I. Основные положения квантовой механики. 1.1. Определения. Постулаты. Теоремы
$ будем называть математическую операцию...
12 downloads
157 Views
389KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
I. Основные положения квантовой механики. 1.1. Определения. Постулаты. Теоремы
$ будем называть математическую операцию, в Определение 1. Оператором Α результате которой из одной функции ƒ(х,y) получается другая функция F(х,y) этих же $ f(x,y)=F(x,y). Примеры: оператор проекции импульса на ось X переменных. Α Ρ$ x =-ih∂/∂x, операторы положения частицы r, x, y, z. $ иΒ $ , которые удовлетворяют cотношению вида Определение 2. Операторы Α $ Β $ ] =Α $ Β $ -Β $ Α $ =0 [Α (Α.1) называют коммутирующими. Например, операторы Ρ$ x и х не коммутируют, так как Ρ$ x х ⋅f(х) =-i h ⋅∂(x⋅f(x))/∂x=i h ⋅ƒ(x)-i h ⋅x⋅∂f(x)/∂x; x Ρ$ x ⋅f(x)= -i h ⋅x⋅∂f(x)/∂x , следовательно [ Ρ$ x x ] = -i h .Оператор положения и оператор импульса подчиняются гейзенберговским коммутационным правилам. [ Ρ$ x ⋅rj] = -i h δij, где δij =1, если i=j и δ ij =0, если i ≠ j, причем i, j =x, y, z
$ называют эрмитовым, если выполняется следующее Определение 3. Оператор Α
соотношение $ ⎪ϕ > = ∫ ϕ ( Α $ f ) * dτ < f⎪ Α
(A.2)
Примеры эрмитовых операторов: x, - i h d/dx, Δ. $ . Ряд Постулат 1. Каждой наблюдаемой величине A соответствует эрмитов оператор Α
операторов можно определить следующим образом. В классическом выражении для соответствующей величины, представленной в декартовых координатах и импульсом, необходимо, (1) оставить без изменения время и координаты; (2) каждую составляющую импульса Ρx, Ρy, Ρz заменить соответствующим эрмитовым оператором: Рх→ Ρ$ x =-i h ∂ /∂x,
Рy→ Ρ$ y = -i h ∂/∂y,
Рz→ Ρ$ z =-i h ∂/∂z.
Постулат 2. Каждое состояние системы частиц полностью описывается функцией координат и времени, называемой волновой функцией Ψ(r,t). Волновая функция должна обладать следующими свойствами: существовать на всем интервале изменения переменных; быть непрерывной, конечной и однозначной. Постулат 3. Зависящая от времени волновая функция ψ(r, t) удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шредингера H$ (t) ⎟ ψ (r, t)> = i h ∂/∂ t ⎟ψ (r,t) > ,
(A.3)
где H$ (t) -гамильтониан или оператор полной энергии системы. $ можно сопоставить линейное уравнение типа Определение 4. Каждому оператору Α $ ƒ =A ƒ, Α
(A.4)
тогда ƒ -называется собственной функцией, а -A называется собственным значением $ . оператора Α
Определение 5. Система функций ϕ i(x) называется ортонормированной , если выполняются следующие условия : ∞
∫ϕ
∗ i
( x )ϕ j ( x )dx ≡< ϕi |ϕ j > = δ ij.
(A.5)
−∞
Система называется полной, если любая функция ψ (x) может быть представлена в виде ψ (х) = ∑ ci ϕi ( x )
(A.6)
i
Постулат 4. Единственно допустимыми значениями , которые могут быть определены путем измерения наблюдаемой величины А, являются собственные значения Аk $ . оператора наблюдаемой величины Α
$ эрмитов, то все его собственные значения действительны . Теорема 1. Если оператор Α
Пусть оператор А имеет собственные функции ϕ n(x) и собственные значения $ Аn . Разложим волновую функцию ψ (х) по собственным функциям оператора Α
ψ (х)= ∑ bnϕ n ,
(A.7)
n
тогда bn = - коэффициенты разложения . Постулат 5. При измерении величины А(х) вероятность обнаружить значение, равное Аn пропорциональна ⎥ b n⎮. Постулат 6. Если рассматриваемая система находится в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (x,y,z) ,то среднее значение < A> наблюдаемой величины А определяется выражением
∫ψ
∗
$ ψ ( x , y , z )dτ ( x , y , z) Α
=
=
∫ψ
∗
( x , y , z )ψ ( x , y , z )dτ
$ |ψ > < ψ |Α < ψ |ψ >
(A.8)
Теорема 2. Необходимым и достаточным условием того, что измеряемые величины А и М могут одновременно принимать точные значения Аi и Mi в результате измерения, является коммутативность соответствующих операторов A$ , M$ . Определение 6. Матричное представление операторов.
Пусть ϕ i - система собственных функций оператора наблюдаемой величины А . Тогда любой оператор M$ в базисе собственных функций оператора A$ можно представить в виде M ij =< ϕi | M$ |ϕ j >
(A.9)
Матрица M i j рассматриватся как матричное представление оператора M$ в базисе ϕi $ называется унитарным, если Α $ *Α $ -1 = Α $ -1 Α $ *= E$ , т.е. Определение 7. Оператор Α $ *= Α $ -1, где E$ -единичный оператор. Α
1.2 Оператор плотности. Уравнение для оператора плотности. Наиболее удобное описание динамики квантовомеханической системы основывается на формализме оператора плотности . Определение 8. При определении оператора плотности следует различать два случая. Если все системы частиц некоторого ансамбля находятся в одном и том же состоянии и описываются одной и той же нормированной функцией состояния, то такое состояние называется чистым. Состояние , не являющиеся чистым, называют смешанным. Оператор плотности ρ(t) соответствующего чистого состояния определяется произведением кет ⎪ψ (x) > и бра < ϕ j | i
(A.11)
j
Для ансамбля частиц в смешанном состоянии, например, находящегося в тепловом равновесии , можно лишь указать вероятность рn того, что какая-либо система частиц ансамбля находится в одном из нескольких возможных состояний ⎪ψ n(t)>. Оператор плотности смешанного состояния определяется как среднее по ансамблю
ρ (t)= ∑ pn |ψ n (t ) >< ψ n (t )|
(A.12)
n
Рассмотрим матричные элементы оператора плотности в ортонормированном базисе {⎪ϕ j>}. Для чистого состояния получаем с учетом соотношения (A.11)
ρ rs= < ϕ r | ∑ ∑ ci (t )c ∗j (t )|ϕi >< ϕ j |ϕ s >= cr ( t ) cs∗ ( t ) i
(A.13)
j
Для смешанного состояния с учетом (A.12) находим ρrs=pk ckr(t)c*ks(t)=cr(t)cs*(t) (A.14) Таким образом, матричные элементы оператора плотности- это произведение
коэффициентов разложения функции состояния ψ(t). Cвойства оператора плотности. 1. Оператор плотности ρ (t) эрмитов . Другими словами рr представляет собой населенность базисного состояния |ϕr >. ρrr =< ϕ r| ρ(t) | ϕ r> = | cr (t) | * = pr
(A.17)
4. Недиагональный элемент матрицы плотности представляет собой “когерентную суперпозицию” собственных состояний ( сr(t)|ϕr > +cs(t)|ϕs >) в ψ(t), для которой справедливо разложение (A.6) 5. Для чистых состояний оператор матрицы плотности является идемпотентом, т.е. ρ* =|ψ>