Квантовые свойства света, квантовая механика, элементы атомной и ядерной физики. Методические указания и контрольные задания

Министерство образования Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Аннотация: Данный раздел включает задачи на темы квантовые свойства света, квантовая механика, элементы атомной и ядерной физики. Приведены основные формулы и справочные данные, применяемые для решения задач. Основные формулы 1. Тепловое излучение. 1. Энергетическая светимость абсолютно черного тела, т.е. энергия, излучаемая в 1сек. единицей поверхности абсолютно черного тела, определяется формулой Стефана-Больцмана Rэ = σТ4,

ФИЗИКА Квантовые свойства света, квантовая механика, элементы атомной и ядерной физики Методические указания и контрольные задания

где Т- температура в градусах Кельвина σ- постоянная СтефанаБольцмана.

σ = 567 ⋅ 10−8 Вт / м 2 ⋅ град 4

2. Если излучение исходит от серого, то

Rэ1 = кσТ −4 где к- коэффи-

циент всегда меньше единицы. Энергетическая светимость Rэ связана со спектральной плотностью энергетической светимости абсолютночерного тела λ соотношением ∞

Rэ=

∫ r λ dλ 0

3.По 1-му закону Вина произведение абсолютной температуры абсолютно-черного тела на длину волны, при которой спектральная плотность энергетической светимости этого тела максимальна и равна максимальной величине λm ⋅T = b, где b=2,9⋅10-3 м⋅град – постоянная Вина. 4. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры (2-й закон Вина): Составители: К.Н. Иванов В.В.Мухаев А.П.Ринчинов

Улан-Удэ, 2003

rλ = С ⋅ Т 5 , где С = 1,29 ⋅10-5 вт/м3⋅град5 2. Фотоэлектрический эффект. 1. Формула Эйнштейна в общем случае ε = hv = A + Tmax , или ħ ω = А + Т max ,

где ε = hv = ħ ω - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А- работа выхода электрона их металла; Т max- максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона; в случае, если энергия фотона много больше работы выхода (hv>>A), hv=Tmax , или ħ ω = Т max . 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в двух случаях (нерелятивистком и релятивистком) выражается различными формулами: а) если фотоэффект вызван фотоном, имеющим незначительную энергию ( hv

2 = ħ ω >5 кэВ), то

Т max = (m − m0 )c 2 , или Tmax = m0c 2 ( где

1 1− β 2

− 1) ,

β = υ max , m-масса релятивисткого электрона. c

3) Красная граница фотоэффекта λ 0 = hc / A, или λ 0 = 2πhc /

A ; ν 0 = A / h, или ω 0 = A / h ;

где λ0 – максимальная длина волны излучений (ν0 и ω0 –минимальные соответственно частота и круговая частота), при которых еще возможен фотоэффект. 3. Давление света. Фотоны 1. Давление, производимое светом при нормальном падения,

p=

Ee (1 + ρ ) , или p = ω (1 + ρ ) , c

где Ee- облученность поверхности; с- скорость электромагнитного излучения в вакууме; ω- объемная плотность энергии излучения; р- коэффициент отражения. 2. Энергия фотона ε = hv = hc / λ , или ε= hω , где h- постоянная Планка ; h =h/(2π); v-частота света; ω- круговая частота; λ- длина волны.

3. Масса и импульс фотона выражаются соответственно формулами m=

ε

с

2

=

h р и p=mc= . сλ λ

4. Эффект Комптона. 1. Изменение длины волны ∆λ фотона при рассеянии его на электроне на угол θ ∆λ=λ’-λ=

2π θ 2πh (1 − cosθ ) , или ∆λ = 2 sin 2 , mc 2 mc

где m- масса электрона отдачи; λ и λ’ –длины волн. 2. Комптоновская длина волны λс=2πħ/(mс). (При рассеянии фотона на электроне λс=2,436 пм).

5. Атом водорода по теории Бора. 1. Момент импульса электрона на стационарных орбитах L=mυr=nħ (n=1,2,3,…), где m- масса электрона; r- радиус орбиты; υ- скорость электрона на орбите; n- главное квантовое число; ħ- постоянная Планка. 2. Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе их одного стационарного состояния в другое, ε = 2πhω = Е n2 − E n1 , где ω- круговая частота излучения;

Ε n2 и Ε n1 - энергия атома в ста-

ционарных состояниях, соответственно из которого атом переходит и в которое он переходит, или

ε = Εi (

1 1 − ), n1 n 2

где Еi – энергия ионизации атома водорода. 3. Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

Εn = −

me 4 32π 2 ε 02 h 2 n 2

4. Сериальная формула, определяющая длину волны света, излучаемого или поглощаемого атома водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,

1

λ ’

= R' (

1 1 − 2), 2 n1 n 2

где R – постоянная Ридберга (R’=1,10 · 107м-1).

6. Простейшие случаи движения микрочастиц. 1. Одномерное временное уравнение Шредингера ih

2ψ

h ∂ ∂ψ , =− 2m ∂x 2 ∂t 2

где i = − 1 -мнимая единица; m- масса частицы, ψ(x,t)- волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

i h

ψ ( x, t ) = exp ( px − Et ) , где А- амплитуда волны де Бройля; р- импульс частицы; Е- энергия частицы. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

∂ 2ψ 2m + ( E − U )ψ = 0 ∂x 2 h 2 где Е- полная энергия частицы; U- полная энергия; ψ(x)- координатная (или амплитудная) часть волновой функции. В общем случае уравнение Шредингера записывается в виде

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2m + + + ( E − U )ψ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 h 2

или в операторной форме

∆ϕ + где ∆=

2m ( E − U )ϕ = 0 , h2

∂2 ∂2 ∂2 - оператор Лапласа. + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой φ- функции и ее первой производной. 2. Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в одномерном случае) выражается формулой

2

dW = ϕ ( x)

5. Еуд=Есв/А, где удельная энергия связи; А-атомная масса элемента. где

ϕ (x)

2

dx ,

- плотность вероятности.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x1 доx2 находиться интегрированием dW в указанных пределах: ч2

W=

∫ ϕ ( x)

2

dx .

ч1

3. Собственное значение энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой

En =

π 2h 2 2ml

2

n 2 (n=1,2,3,…),

где l – ширина потенциального ящика. Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид

2 πn sin x l l

ϕ n ( x) =

4. Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины

n=

λ1 k2 = λ2 k1

,

где λ1и λ2 – длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I в II); k1 и k2 – соответствующие значения волновых чисел. 5. Коэффициент отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через низкий (U<E) потенциальный барьер бесконечной ширины: 2

k −k 4k1k2 , ρ = 1 2 ;τ = (k1 + k2 ) 2 k1 + k2 где k1 и k2- волновые числа волн де Бройля в областях I и III. 6. Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины

 2  2m(U − E )d  , где U – высота потенциального барьера;  h 

D≈exp  −

Е- энергия частицы; d- ширина барьера.

7. Волны де Бройля 1.Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом p движущейся частицы, для двух случаев: а) в классическом приближении (υ