Статистика электронов и дырок в полупроводниках: Учебное пособие по лекционному курсу ''Физика полупроводников''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

С Т А Т ИС Т ИК А Э Л ЕК Т Р О Н О В И Д Ы Р О К В П О Л У П Р О В О Д Н ИК А Х У чебноепособи е по лекци онномукурсу «Ф и зи каполупроводни ков» Специ альност ь 014100«М и кроэ лект рони каи полупроводни ковы епри боры » (О П Д .Ф .02)

В О РО Н Е Ж 2003

2

У т верж дено научно-мет оди чески м совет ом ф и зи ческого ф акульт ет а 9 января 2003 г. (прот окол№ 1).

Сост ави т ели : Бормонт овЕ .Н ., Х ухрянски й М .Ю .

У чебноепособи еподготовлено накаф едреф и зи ки полупроводни ков и ми кроэ лект рони ки ф и зи ческого ф акульт ет а В оронеж ского государст венного уни верси т ет а. Рекомендует ся для ст удент ов3 курсаф и зи ческого ф акульт ет а.

3

Содерж ани е В ведени е… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

4

1. Распределени еквант овы х сост ояни й взонах… … … … … … … … … …

5

2. Распределени еФ ерми –Д и рака… … … … … … … … … … … … … … … …

6

3. К онцентраци я э лект ронови ды рок взонах… … … … … … … … … … .…

7

4. К онцентраци я носи т елей заряданалокальны х уровнях… … … … … …

12

5. О пределени еполож ени я уровня Ф ерми … … … … … … … … … … … … .. 14 5.1. У равнени еэ лект ри ческой ней тральности … … … … … … … … … .…

15

5.2. У ровень Ф ерми всобст венном полупроводни ке… … … … … … … . 17 5.3. П олупроводни ки спри месью одного ти па… … … … … … … … … ..

18

5.4. В заи мная компенсаци я донорови акцепторов… … … … … … … …

20

5.5. К омпенси рованны еполупроводни ки … … … … … … … … … … … ...

21

6. П ракт и чески езадани я… … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..

25

К онт рольны евопросы … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

30

4

В в едение Зонная т еори я твердого т ела позволяет рассмотрет ь разли чны е возмож ны е квантовы е состояни я в кри ст алле, т.е. разли чны е ти пы ст аци онарны х дви ж ени й э лектронов. В т ермоди нами чески равновесном состояни и для данного полупроводни кового образца при заданной т емперат уре сущ ест вует определенное распределени е э лектронов по разли чны м квантовы м состояни ям. В результ ат е в кри ст алле уст анавли вается определенная концентраци я свободны х э лект ронов n в зоне проводи мости и концентраци я свободны х ды рок р в ды рочной (валент ной ) зоне. К ромет ого, вкри ст алле, содерж ащ ем локальны е уровни э нерги и (при месны е ат омы и ст рукт урны е деф ект ы ), могут бы т ь ещ е от ри цат ельно заряж енны е акцепт оры , на которы х в каж дой еди ни це объема находи т ся некот орое коли чест во связанны х э лект ронов nt , и полож и т ельно заряж енны едоноры , содерж ащ и енекот орую концентраци ю связанны х ды рок pt . В ы чи слени е концент раци й подви ж ны х и связанны х носи т елей заряда сост авляет основную задачу ст ат и ст и ки э лект ронов и ды рок вкри ст аллах. Реш ени е указанной задачи необходи мо для пони мани я многи х э лект ри чески х и опт и чески х явлени й вполупроводни ках. В част ност и , оно позволяет вы ясни т ь зави си мость основны х э лект ри чески х свой ст в полупроводни ка(э лект ропроводности , подви ж ности и др.) от коли чест ваи сост ава при месей и от температ уры . И , наоборот, анали зи руя с помощ ью т еорет и чески х соотнош ени й стат и сти ки э кспери мент альны е данны е о т емперат урной зави си мости концент раци й э лект ронов и ды рок, оказы вается возмож ны м най ти э нергет и чески е уровни , создаваемы е при месны ми атомами и структ урны ми деф ект ами , а т акж е и х концентраци и . Рассматри ваемая задача распадает ся на две части : чи ст о квантовомехани ческую – нахож дени е чи сла возмож ны х квант овы х состояни й э лект ронови ст ати ст и ческую – определени е ф акт и ческого распределени я э лект ронов по э т и м квант овы м состояни ям при т ермоди нами ческом равновеси и .

5

1. Р аспределение к в антов ых состояний в зонах К ак показы вает зонная т еори я, ст аци онарны е состояни я э лект рона в и деальном кри сталле характ ери зую т ся волновы м вект ором k и ли квази и мпульсом p = h k. П ри э т ом вкри ст алле еди ни чного объема каж дому значени ю р соот ветст вует э лемент арная ячей ка зоны Бри ллю э на объемом h3. П оэ т омувэ лемент еобъемазоны Бри ллю э наdVp находи т ся dN = 2dVp/h3 квант овы х состояни й , где множ и т ель 2 учи т ы вает две возмож ны е ори ент аци и спи на. В термоди нами ческом равновеси и вероятност ь заполнени я квант овы х состояни й э лект ронами зави си т только от и х э нерги и Е и т емперат уры , поэ тому в качест ве dVp удобно вы брат ь э лемент объема, заклю ченны й меж ду двумя бесконечно бли зки ми и зоэ нергети чески ми поверхностями . П ри э том и зменени е э нерги и э лектрона на dЕ равноси льно и зменени ю его и мпульса на dp. Ч и сло состояни й , соот вет ст вую щ и х и нт ервалу э нерги й dЕ мож но предст ави т ь вви де dN(E) = g(E) dE , где g(E) – ф ункци я, показы ваю щ ая, как и зменяется плотност ь квантовы х сост ояни й взави си мост и от э нерги и . Т очное вы чи слени е ф ункци и g(E) не просто, т ак как поверхност и постоянной э нерги и и мею т слож ную ф орму. О днако, во многи х случаях оказы вается дост аточны м знат ь ф ункци ю g(E) т олько вбли зи краевзон, от чего задачасущ ест венно упрощ ает ся. Рассмот ри м простей ш и й случай и зот ропного параболи ческого законади сперси и . Т огдадля полной э нерги и э лект ронамож но напи сат ь E = Ec + p2/mn ,

(1)

при э т ом квази и мпульс э лект рона p от счи ты вается от его значени я, соот вет ст вую щ его Ec . Д алее dVp ест ь объем сф ери ческого слоя 4πp2dp. И з(1) и меем П оэ т ому

p = (2mn)1/2 (E – Ec)1/2,

dp = (2mn)1/2 (E – Ec)-1/2 dE/2 .

g(E) = 4π (2mn/h2)3/2 (E – Ec)1/2.

(2)

Распределени е квант овы х сост ояни й ввалент ной зоне получает ся с помощ ью аналоги чны х рассуж дени й и вслучае параболи ческого закона ди сперси и вбли зи края валентной зоны Ev и меет ви д gv(E) = 4π (2mp/h2)3/2 (Ev – E)1/2.

(2а)

6

2. Р аспределение Ф ерми– Д ирак а Э лект роны , как части цы , обладаю щ и е полуцелы м спи ном, подчи няю т ся ст ати ст и кеФ ерми –Д и рака. В ероятност ь т ого, что э лект рон будет находи т ься в квант овом состояни и с э нерги ей Е , определяет ся ф ункци ей Ф ерми –Д и рака f (E,T) = {1 + exp [(E – F) / kT ]}-1 ,

(3)

гдеF –уровень э нерги и Ф ерми , и ли э лект рохи ми чески й пот енци ал. Э нерги я Ф ерми – э т о ст ат и сти ческая характ ери сти ка коллект и ва част и ц, т есно связанная с т ермоди нами чески ми параметрами си ст емы . Т ак, напри мер, ее мож но определи т ь как при ращ ени е свободной э нерги и си ст емы при добавлени и к ней одного э лект ронапри услови и пост оянст ва объема и т емперат уры . О днако мы не ст анем обсуж дат ь т ермоди нами чески й смы сл поняти я э нерги и Ф ерми , абудем рассмат ри ват ь ее как некот орую характ ерную э нерги ю , зави сящ ую от ти па полупроводни ка, его сост ава и состояни я (температ уры , давлени я и др.), значени екоторой подлеж и т определени ю . Ф и зи чески й смы сл э нерги и Ф ерми наи более ясен при абсолю тном нулет емперат уры : т огдаэ т о грани чная э нерги я, отделяю щ ая заполненны е квант овы е сост ояни я от пуст ы х. Д ей стви т ельно, распределени е Ф ерми – Д и рака (3) вэ т ом случае и меет ви д разры вной ф ункци и . Д ля E < F ф ункци я f = 1, а э т о значи т, что все квант овы е состояни я с т аки ми э нерги ями заполнены э лект ронами . Д ля E > F ф ункци я f = 0 и соот вет ст вую щ и е квант овы е сост ояни я соверш енно пуст ы е. П ри лю бой конечной т емпературе ф ункци я Ф ерми и зображ ается непреры вной кри вой и вузкой област и э нерги й , порядка нескольки х kT, вбли зи точки E= F, бы ст ро и зменяет ся от 1 до 0. Размы т и еф ункци и Ф ерми т ем больш е, чем вы ш е т емперат ура. И з вы раж ени я (3) т акж е ви дно, что уровень Ф ерми мож но определи т ь как э нерги ю квант ового состояни я, вероят ност ь заполнени я которого при данны х услови ях равна½ . В ероятност ь т ого, что данное квантовое сост ояни е с э нерги ей Е не занято э лект роном, fp определяет ся ф ункци ей fp (E,T) = (1 –f) = {1 + exp [(F – E) / kT ]}-1 .

(3а)

В ы чи слени е разли чны х ст ат и ст и чески х вели чи н значи т ельно упрощ ает ся, если уровень Ф ерми F леж и т взапрещ енной зоне э нерги й и удален от края зоны проводи мости Ec хот я бы на (2–3) kT. Т огда в распределени и (3) мож но счи т ат ь exp [(F – E) / kT] >> 1

7

и оно переходи т враспределени е М аксвелла – Больцмана класси ческой ст ат и сти ки f = C exp (- E / kT) , (3б) где С – пост оянная. В э том случае мы говори м, что э лект ронны й газ не вы рож ден. А налоги чно, в полупроводни ке р -ти па для от сут ст ви я вы рож дени я ды рочного газа необходи мо, чтобы уровень Ф ерми F т ож е леж ал внут ри запрещ енной зоны и бы л располож ен вы ш еэ нерги и Ev хот я бы на (2–3) kT. П роти вополож ны й случай , когда уровень Ф ерми располож ен внут ри зоны проводи мости и ли внут ри валент ной зоны , ест ь случай вы рож денного э лект ронного и ли , соот вет ст венно, ды рочного газа. В э т ом случае сущ ест венно необходи мо пользоват ься распределени ем Ф ерми –Д и рака(3) и ли (3а). В дальней ш ем при вы чи слени и концент раци й подви ж ны х и связанны х носи т елей зарядамы раздели м задачу надвечаст и . Сначаламы вы рази м э т и концент раци и через уровень Ф ерми , а зат ем рассмотри м, как определи т ь полож ени есамого уровня Ф ерми . 3. К онцентрацииэ лек тронов идырок в зонах Согласно сказанному вы ш е, концентраци я свободны х э лект роновв зонепроводи мост и полупроводни каравна

n=

∞

∫ g ( E ) f ( E ,T )dE .

(4)

Ec

О тмет и м, что вкачест ве верхнего предела и нт егри ровани я мы долж ны бы ли бы взят ь э нерги ю верхнего края зоны проводи мости . О днако т ак как ф ункци я f для значени й э нерги й E > F бы стро убы вает сувели чени ем Е , т о замена верхнего предела на бесконечност ь практи чески не меняет значени я и нт еграла. П одставляя в(4) вы раж ени е(2) для g(E) и (3) для f(E,T), получи м  2m  n = 4π 2 n   h 

3

2 ∞

∫

Ec

1

( E − E c ) 2 dE e

E−F kT

.

(4а)

+1

И нт еграл (4а) удобно предст ави т ь в следую щ ем ви де. В ы берем новую переменную и нт егри ровани я x = (E – Ec) / kT и введем обозначени я η = F – Eс ,

η* = η / kT.

(5)

В ели чи наη носи т названехи ми ческого потенци аладля э лектронов, аη* его безразмерноезначени е. О бозначи м, наконец, для сокращ ени я Nc = 2(2πmnkT / h2)3/2 .

(6)

8

Э т а вели чи на получи ла названи е э ф ф ект и вной плотности состояни й в зонепроводи мости . Т огданетрудно убеди т ься, что и нт еграл (4) при ни мает ви д n = Nc Φ1/2 (η*) , (7) где

2 ∞ x 1 / 2 dx Ф 1/ 2( η ) = . ∫ π 0 1 + exp( x − η* ) *

(8)

Значени е и нт еграла (8) зави си т т олько от параметра η* , т .е. хи ми ческого пот енци ала, и т емперат уры . Э тот и нт еграл и звест ен как и нт еграл Ф ерми – Д и рака (и ли , точнее, и нтеграл Ф ерми –Д и рака си ндексом ½ ) и вобщ ем случаеневы раж ается через э лементарны еф ункци и . Рассуж дая аналоги чно, легко най т и вы раж ени е для концентраци и ды рок ввалентной зоне. О т ли чи я от преды дущ его случая заклю чаю т ся ли ш ь вт ом, что мы , во-первы х, долж ны и спользоват ь вы раж ени е (2а) для плотности сост ояни й в валентной зоне. В о-вторы х, мы долж ны подсчи ты ват ь не чи сло заполненны х, а чи сло незаняты х сост ояни й . И , наконец, и нтегри ровани е по э нерги ям нуж но прои зводи т ь в пределах валент ной зоны . П оэ т ому

p=

Ev

∫ g v ( E ) f p ( E ,T )dE ,

(9)

−∞

и ли , подст авляя вы раж ени е(2а) для gv(E) и (3а) для fp(E,T), получи м  2m p p = 4π 2  h

  

3

2 ∞

∫

Ec

1

( E v − E ) 2 dE e

F −E kT

.

(9а)

+1

В водя, как и вы ш е, безразмерную переменную y = (Ev – E) / kT и безразмерны й парамет р ζ* = ζ / kT , мы при ходи м к ф ормуле, аналоги чной соот нош ени ю (7): p = Nv Φ1/2 (ζ*) . (10) Здесь Nv ест ь э ф ф ект и вная плотност ь состояни й ввалентной зоне: Nv = 2(2πmpkT / h2)3/2 ,

(11)

а Φ1/2 (ζ*) – преж ни й и нт еграл Ф ерми (8). О днако т еперь он содерж и т другой парамет р ζ*, характ ери зую щ и й полож ени е уровня Ф ерми от носи т ельно края валент ной зоны . Разност ь ζ = Ev – F = - η - Eg носи т названи ехи ми ческого пот енци аладля ды рок. В ы раж ени я (7) и (10) для концентраци й подви ж ны х э лект ронови ды рок значи т ельно упрощ аю тся вдвух предельны х случаях, которы е мы рассмотри м болееподробно.

9

1) Н е в ы р ож де нны е полупр ов одни ки Случай невы рож денного полупроводни капоказан нари с. 1, гдеданы плотност ь квантовы х сост ояни й g(E), ф ункци я Ф ерми f(E,T), а т акж е и х прои зведени е, равное dn/dE (здесь dn – концент раци я э лектронов с э нерги ей в и нт ервале E, E+dE). П олное коли чест во э лект ронов в зоне определяет ся площ адью , ограни ченной кри вой g(E)f(E,T) и осью Е . П ри э т ом сущ ествен т олько «хвост » распределени я Ф ерми , кот оры й мож ет бы т ь аппрокси ми рован распределени ем М аксвелла–Больцмана.

Ри с. 1. Граф и ки ф ункци й g(E), f(E,T) и dN/dE для невы рож денного полупроводни каn-ти па. Д ля невы рож денного полупроводни ка exp (x-η*) >> 1 и поэ тому и нт егралФ ерми (8) при ни мает ви д

Ф

( η ) = exp η *

1/ 2

*

2 ∞ −x 1 / 2 ∫ e x dx. π0

В ходящ и й сю даи нтегралхорош о и звест ен и равен ½ √π . П оэ т ому и , следоват ельно,

Φ1/2 (η*) = expη* = exp[(F-Ec)/kT] , n = Nc exp[(F-Ec)/kT].

(12)

А налоги чны м образом упрощ ает ся вы раж ени е для концентраци и ды рок в невы рож денном полупроводни ке. Здесь в и нт еграле Ф ерми мож но полож и т ь exp(y-ζ*) >> 1, и поэ т ому, пост упая как и вы ш е, мы и меем p = Nv exp[(Ev-F)/kT]. (13)

10

П олученны е вы раж ени я (12) и (13) разъясняю т смы сл названи я «э ф ф ект и вная плотност ь состояни й » в зонах для вели чи н Nc и Nv. Э кспоненци альны й множ и т ель в вы раж ени и (12) для невы рож денного полупроводни ка(распределени еМ аксвелла–Больцмана) дает вероятност ь заполнени я квант ового сост ояни я с э нерги ей Е с . П оэ тому ф ормула (12) означает, что для невы рож денного полупроводни ка концентраци я подви ж ны х э лект ронов получает ся такой ж е, как если бы вместо непреры вного распределени я состояни й взоне вкаж дой еди ни це объема бы ло Nc состояни й с оди наковой э нерги ей Ec. А налоги чно, э кспоненци альны й множ и т ель в (13) вы раж ает вероятност ь того, что состояни е с э нерги ей Ev не занято э лект роном, и потому ф ормула (13) показы вает , что при подсчет еконцентраци и ды рок валент ную зону мож но замени т ь совокупност ью состояни й с оди наковой э нерги ей Ev , чи сло кот оры х вкаж дой еди ни цеобъемаест ь Nv . Д о си х пор мы счи тали закон ди сперси и и зотропны м и параболи чески м. В есьма часто, однако, при ходи тся и мет ь дело и с более слож ны ми случаями . Т ак, напри мер, для зоны проводи мост и вгермани и и кремни и и зоэ нергет и чески е поверхности являю т ся э лли псои дами вращ ени я. Ц ентры э т и х э лли псои дов не совпадаю т с цент ром зоны Бри ллю э наи поэ тому вней и меет ся несколько э кви валентны х ми ни мумов э нерги и . Т ем не менее и вэ том случае концентраци я э лект роновмож ет бы т ь рассчи т ана по ф ормуле (12) с заменой mn в вы раж ени и (6) на некот орую вели чи ну mdn , назы ваемую э ф ф ект и вной (скалярной ) массой плотности состояни й . П ри э том mdn = Q2/3 (mxmymz)1/3 , где mx , my , mz - главны е значени я тензора э ф ф ект и вной массы , а Q чи сло э кви валент ны х ми ни мумоввзонепроводи мост и полупроводни ка. П олагая в вы раж ени и (12) mn равны м массе и золи рованного э лект рона mo и Т = 300 К , мы получи м Nv = 2,510*1019 см-3 . Д ля какой ли бо другой т емперат уры и и ной э ф ф ект и вной массы мы и меем Nc(v) = 2,510*1019 (mdn(p) /mo)3/2 (T /300)3/2 см-3 ,

(14)

где mdn(p) – э ф ф ект и вная масса плотности состояни й э лект ронов и ли , соот вет ст венно, ды рок. В невы рож денны х полупроводни ках концентраци я основны х носи телей мала по сравнени ю с Nc и Nv. В вы рож денны х полупроводни ках и меет место обратное. П оэ т ому, сопоставляя и змеренны е значени я концентраци и э лект ронови ды рок со значени ями вели чи н Nc и Nv , полученны ми по ф ормуле(14), мож но сразу уст анови т ь, являет ся ли данны й полупроводни к вы рож денны м и ли нет. Т ак как э ф ф ект и вная массавходи т ввы раж ени я n и p т олько вви де множ и теля m3/2 , вт о время как уровень Ф ерми F входи т впоказатель ст епени , то отнош ени е n/p зави си т главны м образом от полож ени я F

11

от носи т ельно краев зон. В ы раж ени я (12) и (13) показы ваю т, что концентраци я подви ж ны х носи т елей заряда будет больш е вт ой зоне, к кот орой бли ж е располож ен уровень Ф ерми . Н оси т ели заряда в э т ой бли ж ай ш ей зоне будут основны ми , поэ т ому в полупроводни ках n-ти па уровень Ф ерми располож ен вверхней полови не запрещ енной зоны , а в полупроводни ках р -т и па–вни ж ней полови не. О днако прои зведени е концентраци й э лект ронов и ды рок для невы рож денного полупроводни канезави си т от полож ени я уровня Ф ерми . Согласно (12) и (13), оно равно np = ni2 = NcNvexp(-Eg/kT) ,

(15)

где ni - концент раци я э лект роноввсобст венном полупроводни ке. 2) Случай с и льного в ы р ож де ни я Д ругой край ни й случай мы и меем при си льном вы рож дени и э лект ронного газа, когда exp(x-η*) > Nc . В заи мное располож ени е кри вы х g(E), f(E,T) и dN/dE для вы рож денного полупроводни каn-ти пасхемат и чески показано нари с. 2.

Ри с. 2. Граф и ки ф ункци й g(E), f(E,T) и вы рож денного полупроводни каn-ти па.

dN/dE для си льно

В э т ом случае ви нт еграле Ф ерми exp(x-η*) F. Т огда опят ь и нтеграл Ф ерми вы чи сляется непосредст венно и мы и меем

12 3

2 m 1/ 2 4 4  F − Ec  2 3/ 2 n = Nc x dx N x N = =  . (16) c m c ∫ π 0 3 π 3 π  kT  П ри т емперат уреабсолю т ного нуля всесостояни я взоне, э нерги я кот оры х E > F, свободны , а все состояни я с E < F заняты э лект ронами . П оэ т ому хи ми чески й пот енци ал э лект роновη = F – Ec ест ь макси мальная э нерги я э лект роновпри Т = 0. Э т у вели чи ну, и граю щ ую важ ную роль вт еори и мет аллов, часто назы ваю т э нерги ей Ф ерми . x

4. К онцентрация носителей заряда на лок альныхуров нях Д о си х пор рассматри вали сь э лект роны , несвязанны ескаки ми -ли бо конкрет ны ми атомами . О ни трактовали сь как газ свободны х э лект ронови поэ томуподчи няли сь обы чной стати сти кеФ ерми –Д и рака. Ф ункци я распределени я Ф ерми –Д и рака показы вала вероят ност ь распределени я свободны х э лект ронов по квантовы м сост ояни ям. Э лект роны , находящ и еся на локальны х центрах, наоборот, нуж но т рактоват ь как связанны е, и э т о обстоят ельст во сущ ест венно сказы вается нави деи х ф ункци и распределени я. В э т ом случае необходи мо и мет ь ф ункци ю распределени я э лект ронов уж енепо квантовы м, апо э нергет и чески м сост ояни ям. В отли чи е от свободны х, для связанны х э лект ронов нельзя от ож дест влят ь и х э нергети ческое состояни е с квант овы м, так как связанны е с атомом э лект роны могут обладат ь оди наковой э нерги ей , но разли чны ми значени ями спи на. У чи ты ваю т э т о обстоятельст во пут ем введени я ф акт ора(ст епени ) спи нового вы рож дени я. Рассмот ри м полупроводни к, содерж ащ и й донорную при месь в концентраци и Nd. Д онор, удерж и ваю щ и й э лект рон, э лект ри чески ней трален. Э то соот вет ст вует , напри мер, случаю , когда оди н и з узлов реш ет ки кремни я занят атомом мы ш ьяка. П ри э т ом пяты й валентны й э лект рон ат ома донорной при меси не при ни мает участ и я вковалентной связи и ему соот вет ст вует локальны й э нергет и чески й уровень, располож енны й ни ж едназоны проводи мост и навели чи нуEd (ри с. 3, а).

Ри с. 3. Э лект ронны й (а) и акцепторны й (б) полупроводни ки .

13

П оскольку у донорной при меси и меет ся только оди н э лект рон, кот оры й мож ет при ни мат ь участ и е в проводи мости , т о полное чи сло состояни й для донорной при меси долж но бы т ь равно коли чест ву ат омов при меси наеди ни цуобъемакри ст алла, т. е. равно Nd . П редполож и м, что концент раци я э лект ронов, находящ и хся науровне донорной при меси , равна nd . В э т ом случае концент раци я и они зованны х донорны х ат омовpd , образовавш и хся врезульт ат е т епловы х переходов э лект ронов с донорны х уровней в зону проводи мост и и и мею щ и х полож и т ельны й заряд, сост ави т p d = N d – nd .

(17)

Е сли бы напри месном донорном уровне, согласно при нци пу П аули , могли располож и т ься два э лект рона с ант и параллельны ми спи нами , т о вероят ност ь его заполнени я определялась бы ф ункци ей Ф ерми – Д и рака (3), вкот орой вмест о Е следовало пост ави т ь Ed – э нерги ю э лект рона на уровне при меси . Н о на уровне Ed мож ет бы т ь т олько оди н э лект рон, кот оры й мож ет бы т ь захвачен двояки м образом в зави си мости от направлени я спи на. Следоват ельно, ней тральное сост ояни е донорной при меси и меет вдвое больш и й ст ати ст и чески й вес по сравнени ю с и они зованны м состояни ем. Т ак как при от сут ст ви и э лект рона на уровне донорной при меси вероят ност ь т акого состояни я равна1, т о, и сходя и з при нци паБольцмана, мож но запи сат ь: pd : nd = 1 : e – (Ed – F) / kT .

(18)

Зат ем, и спользуя (17), э то равенст во мож но перепи сат ь вви де (Nd – nd)/nd = (2e – (Ed – F) / kT ) –1 ,

(18а)

от куда следует , что концентраци я э лект ронов, находящ и хся на уровнях донорной при меси , равна Nd nd = , (19) 1 ( E d − F ) / kT e +1 2 а концентраци я полож и тельно заряж енны х и оновдонорной при меси на основани и равенст в(18) и (19) будет вы раж ат ься соотнош ени ем Nd pd = . (20) ( F − E d ) / kT 2e +1 П редэ кспоненци альны й множ и т ель в (19) в общ ем случае мож но запи сат ь через g–1. Т огда и з вы раж ени я (19) следует , что для одновалентной донорной при меси , для кот орой при месны й уровень двукрат но вы рож ден, ф акт орспи нового вы рож дени я g = 2.

14

Рассмот ри м теперь акцепторны й полупроводни к, напри мер кремни й , леги рованны й бором. Д опуст и м, что концентраци я введенной при меси равна Na. Э нергет и ческая схема т акого полупроводни ка представлена на ри с. 3, б. Н ей т ральны й атом бора с соседни ми ат омами кремни я образует т ри ковалент ны е связи . Ч етверт ая связь одного и з четы рех соседни х ат омов кремни я ост ается незаверш енной , и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как полож и т ельная ды рка. В э т у незаверш енную связь мож ет перей ти э лект рон от соседнего атомакремни я, и для э того пот ребуется э нерги я, равная Ea . В результ ат е образует ся свободная ды рка, а атом бора превращ ает ся вотри цательно заряж енны й и он бора. Т аки м образом, на э нергет и ческом уровне акцепторной при меси находи т ся оди н э лект рон с прои звольны м направлени ем спи на (ней т ральное состояни е акцепторной при меси ) ли бо и меет ся два э лект рона с анти параллельны ми спи нами в случае, когда атом акцепторной при меси для укомплект овани я парной связи захваты вает э лект рон и з валентной зоны (и они зованное сост ояни е акцепторной при меси ). Следоват ельно, ст епень вы рож дени я акцепт орного уровня g = 2. П оэ томуконцентраци я э лект роновna науровнях акцепторной при меси (и ли концент раци я отри цат ельны х и онов) при данной т емперат уребудет определят ься соотнош ени ем ви да

na =

Na

2 e ( E a − F ) / kT + 1

,

(21)

а концент раци я ды рок на акцепторной при меси pa соот вет ст венно будет равна

pa =

Na

−1

2 e

( F − E a ) / kT

+1

.

(22)

5. О пределение полож ения уров ня Ф ерми В преды дущ и х рассуж дени ях мы счи т али , что уровень Ф ерми задан. П осмотри м т еперь, как мож но най ти полож ени еуровня Ф ерми . О т вет наэ т от вопросзави си т от т ого, каки едруги евели чи ны заданы . Е сли и звестны концент раци и носи т елей заряда взонах n и p, то значени е F мож но определи т ь и з полученны х ранее ф ормул. Т ак, напри мер, для невы рож денного полупроводни каn-т и паи з(12) мы и меем N (23) F = E c − kT ln c . n А налоги чно, для невы рож денного полупроводни ка р -ти па и з (13) получаем N (24) F = E v − kT ln v . p

15

Э ти вы раж ени я даю т уж е и звест ны й нам результ ат , что чем больш е концентраци я основны х носи т елей , тем бли ж е уровень Ф ерми к краю соот вет ст вую щ ей зоны . О днако чащ е мы вст речаемся с задачей , когда задан сост ав кри ст алла, т . е. концентраци и и т и пы содерж ащ и хся внем при месей (и х э нергет и чески е уровни ), а концентраци и свободны х и связанны х носи т елей заряда, напрот и в, долж ны бы ть вы чи слены . В э т ом случае полож ени е уровня Ф ерми мож но най ти и з услови я э лект ри ческой ней тральности образца. 5.1. У равнени еэ лект ри ческой ней т ральности В ы раж ени я для n и p позволяю т вы чи слят ь концентраци ю э лект ронови ды рок при услови и , что и звест но полож ени е уровня Ф ерми . О днако уровень Ф ерми сам зави си т от т емперат уры и концент раци и носи т елей заряда. Е го полож ени е мож ет си льно меняться при введени и при месей , создаю щ и х локали зованны е сост ояни я. Э то ест ест венно, поскольку уровень Ф ерми определяет распределени е э лект ронов по состояни ям. В водя при месь, мы создаем в запрещ енной зоне локали зованны е сост ояни я, вкоторы х могут находи т ься как э лект роны , т ак и ды рки . П ерераспределени е э лект роновпо состояни ям при создани и ди скрет ны х уровней в запрещ енной зоне регули рует ся посредст вом и зменени я полож ени я уровня Ф ерми . Д ля вы чи слени я вели чи ны F служ и т уравнени е, которое обы чно назы вает ся уравнени ем э лект роней тральност и , и мею щ ее прост ой и наглядны й ф и зи чески й смы сл. П реж де всего, предполож и м, что в полупроводни ке и мею т ся донорная и акцепторная при меси с концентраци ями Nd и Na . В результ ат е т ерми ческой и они заци и в полупроводни ке создается некоторое коли чест во свободны х э лект ронови ды рок. Свободны е носи т ели заряда создаю т ся в результ ат е и они заци и ат омов при меси и ат омов основного вещ ест ва; други ми словами , в полупроводни кеи мею т ся свободны еноси т ели зарядаи и оны . К ак во всем кри ст алле, т ак и влю бом ф и зи чески малом объеме вещ ест ва суммарны й заряд всех заряж енны х част и ц долж ен бы т ь равен нулю – э т о и ест ь услови е э лект ри ческой ней т ральности , справедли вое для незаряж енного в целом т ела. Запи ш ем услови е э лект роней тральност и для еди ни чного объема вещ ества. Д ля э того необходи мо подсчи т ат ь заряд полож и тельны х и от ри цат ельны х части ц. Э лект роны возни каю т засчет и они заци и донорной при меси и атомов основного вещ ест ва. П ереход э лект ронов и з валент ной зоны в зону проводи мост и и ли к ат омам акцепторной при меси при води т к создани ю свободны х ды рок.

16

О т ри цат ельны й заряд создаю т свободны е э лект роны и и оны акцепторов, он равен (n + Na-)e- . П олож и т ельны й заряд создаю т свободны е ды рки и и оны доноровобщ ей вели чи ной (p + Nd+) e+. У слови еэ лект роней т ральност и мож но запи сать вви де (p + Nd+) e++ (n + Na-) e- = 0 . Т огда, учи т ы вая, что e- = e+, получи м уравнени е э лект ри ческой ней тральности (n + Na-) – (p + Nd+) = 0 . (25) Ecли обозначи т ь через nd , pd , na , pa чи сло э лект ронови ды рок, находящ и хся на донорном и акцепторном уровнях, т о мож но запи сать ряд очеви дны х соот нош ени й : nd = Nd – Nd+ = Nd – pd ;

Nd+ = Nd – nd = pd ;

pa = Na – Na- = Na – na ;

Na- = Na – pa = na .

В т аком случае уравнени еэ лект ри ческой ней т ральност и (25) мож но запи сат ь водной и з следую щ и х ф орм: (n + na) – (p + pd) = 0 ,

и ли

n + nd – p – pa = Nd – Na .

(26)

Т еперь, чтобы состави т ь уравнени е, и з кот орого мож но определи т ь полож ени е уровня Ф ерми , необходи мо вы рази т ь входящ и е в уравнени е ней тральности (26) вели чи ны через F. П одст авляя в(26) явны евы раж ени я (4а), (9а), (19) и (22) для n, p, nd и pa , окончат ельно получи м  2m 4π 2dn  h

  

 2m dp − 4π 2  h

3

2 ∞

∫ E

1

( E − E c ) 2 dE

c

  

3

e

2 Ev

∫ −∞

E−F kT

+

+1 1

( E v − E ) dE e

F −E kT

2

+1

Nd 1 E dkT− F +1 e 2 −

−

N

1 e 2

a F − Ea kT

(27) = N d − N a.

+1

Реш и т ь уравнени е э лект ри ческой ней тральност и (27) вобщ ем ви де очень слож но и мож но э т о сделат ь только чи сленны ми мет одами . О днако и меет ся ряд частны х случаев, вкот оры х уравнени еэ лект роней т ральност и мож но реш и т ь т акж е анали ти чески . Рассмотри м некоторы е т аки е случаи , и мею щ и еваж ноепракт и ческоезначени е.

17

5.2. У ровень Ф ерми всобст венном полупроводни ке П олупроводни к, вкот ором при меси от сут ст вую т , назы вается чи ст ы м и ли собст венны м полупроводни ком. У равнени еэ лект роней т ральности для собст венного полупроводни каи меет ви д n – p = 0 , и ли

n=p,

(28)

т . е. переход каж дого э лект ронаи з валент ной зоны порож дает вней ды рку, поэ тому чи сло ды рок всобст венном полупроводни ке всегда равно чи слу э лект ронов. Ecли ш и ри на запрещ енной зоны полупроводни ка дост аточно вели ка, т ак что она охват ы вает много kT, и если э ф ф ект и вны е массы э лект ронови ды рок mn и mp одного порядка, то уровень Ф ерми будет дост ат очно удален от краевзон и полупроводни к будет невы рож денны м. П оэ т ому, пользуясь для n и p вы раж ени ями (12) и (13), и меем N c exp

F − Ec E −F = N v exp v . kT kT

Э то дает N m 1 3 (29) kT ln c = E i − kT ln n , 2 Nv 4 mp гдечерезEi = ½ (Ev + Ec) обозначенаэ нерги я середи ны запрещ енной зоны . Э т азави си мост ь показанасхемати чески нари с. 4. Т ам ж еот мечены края зон Ev и Ec и учтено, что ш и ри назапрещ енной зоны самаи зменяет ся с т емперат урой . П ри Т = 0 К уровень Ф ерми располагает ся точно в середи незапрещ енной зоны . П ри повы ш ени и т емперат уры он удаляет ся от зоны болеетяж елы х носи т елей и при бли ж ает ся к зонеболеелегки х. F = Ei −

Ри с. 4. Зави си мость полож ени я уровня Ф ерми от т емперат уры в собст венном полупроводни ке.

18

Д ля полупроводни ковсузкой запрещ енной зоной (HgSe, HgTe, серое олово и др.) даж е при комнатной т емперат уре при ходи т ся уж е учи т ы ват ь вы рож дени е, и поэ томудля n и p нуж но брат ь общ и евы раж ени я (7) и (10). И з вы раж ени я (29) и ри с. 4 ви дно, что если mn и mp весьмаразли чны , т о при повы ш ени и т емперат уры уровень Ф ерми мож ет при бли зи т ься к зоне легки х носи т елей на расстояни е порядка kT и даж е оказат ься внут ри э т ой зоны . П оэ тому т аки е полупроводни ки при нагревани и могут ст ат ь вы рож денны ми . Э тот случай мы и меем, напри мер, вInSb, где mn >> mp. П ри э т ом оказы вается, что уровень Ф ерми попадает взону проводи мост и при т емперат урах T ~ 370 К. 5.3. П олупроводни к спри месью одного т и па Рассмот ри м полупроводни к, содерж ащ и й только донорную при месь с э нергет и чески м уровнем Ed . Д алее, будем счи т ат ь, что т емперат ура не сли ш ком вели ка, т ак что собст венной проводи мост ью мож но пренебречь. В э т ом случае э лект роны взоне проводи мости возни каю т т олько за счет т епловой и они заци и доноров. Н ай дем концент раци ю э лект ронов взоне проводи мост и и полож ени еуровня Ф ерми взави си мост и от т емперат уры . У слови еней тральност и (27) для э т ого случая (p > 1, и з(33) получает ся 1

 ∆E d  1 2 n =  N d N c  exp − . 2   2kT 

(33а)

В э т ом случае мы и меем част и чную и они заци ю донорови концентраци я э лект ронов в зоне проводи мости уменьш ается по э кспоненци альному закону спони ж ени ем т емперат уры . И зображ ая зави си мость ln nT-3/4 от 1/T граф и чески , мы получи м прямую ли ни ю , наклон кот орой равен ∆Ed/2k, т . е. от вечает полови неэ нерги и и они заци и доноров∆Ed. П ри дост аточно вы соки х температ урах, определяемы х услови ем (4Nd/n1 Na, т о n > p и мы будем и мет ь полупроводни к n-ти па. Е сли при э т ом ещ етемперат уранесли ш ком вели ка, т ак что концентраци ей неосновны х носи телей мож но пренебречь, т о n ≈ Nd − Na .

(35а)

К онцент раци я э лект ронов в зоне оказы вает ся т акой , как если бы в полупроводни ке и мели сь одни доноры , но с меньш ей концентраци ей , т ак как част ь полной концентраци и доноровкомпенси рованаакцепт орами .

21

Е сли концент раци я акцепторовбольш еконцентраци и доноров, т о мы будем и мет ь полупроводни к р -ти па и концентраци я ды рок впри месной област и будет p ≈ Na − Nd . (36) Е сли , наконец, концентраци и доноров и акцепторов равны друг другу, т о равенство (35) дает n = p. Т ак как, кроме того, для невы рож денного полупроводни кавсегда np = ni2, то n = p = ni ,

(37)

т . е. концентраци я э лект ронов и ды рок будет т акая ж е, как и при от сутст ви и каки х бы то ни бы ло при месей . В э т ом случае носи т ели возни каю т т олько засчет генераци и зона–зона. П олученны е результат ы показы ваю т , что при суж дени и о ст епени чи стот ы полупроводни ковы х матери алов по и змерени ю концентраци и носи т елей необходи мо соблю дат ь осторож ност ь, так как э т аконцентраци я мож ет бы т ь мала не вследст ви е чи ст оты мат ери ала, а в результ ат е взаи мной компенсаци и доноров и акцепт оров. П оэ т ому для окончат ельного реш ени я вопросапри ходи т ся при бегат ь к дополни т ельны м и сследовани ям, напри мер к и змерени ю подви ж ности . 5.5. К омпенси рованны еполупроводни ки Рассмот ри м опят ь полупроводни к n-ти па, содерж ащ и й доноры с концентраци ей Nd и компенси рую щ и еакцепт оры сконцентраци ей Na< Nd. Будем по-преж нему счи т ать полупроводни к невы рож денны м и рассмотри м область при месной проводи мост и , однако будем т еперь рассмат ри ват ь ш и рокую област ь температ ур, вклю чая и очень ни зки е т емперат уры , когдаи они заци я доноровмож ет бы т ь неполной . У слови еней тральност и (27) для э т ого случая при ни мает ви д Nd = n + Na . F − Ed 2 exp +1 kT

(38)

В ы раж ая, как и вы ш е, э кспонент у через концент раци ю э лект роновn, э т о услови емож но предст ави т ь вви де n(n + N a ) = n1 (T ), Nd − Na − n

(39)

22

где n1 (T) по-преж нему вы раж ает ся ф ормулой (32). П ри Na = 0 э то уравени е переходи т в ранее полученное (31). О но опят ь при води т к квадратному уравнени ю относи т ельно n. Д ля очень ни зки х т емперат ур, когда n Na, мы и меем n ≈ Nd − Na , т . е. полученную ранее ф ормулу (35а). Э т у област ь т емперат ур и ногда назы ваю т «област ью и стощ ени я»доноров. Зави си мост ь n от T для конкретного случая германи я с донорами пятой группы , части чно компенси рованны ми акцепторами т рет ьей группы , показананари с. 5. Д ля случая некомпенси рованны х доноровкри вая 1 при ни зки х т емперат урах и меет наклон, соот вет ст вую щ и й полови не э нерги и и они заци и доноров. П ри нали чи и компенсаци и наклон соот вет ст вует полной э нерги и и они заци и . Следует подчеркнут ь, однако, что при малой ст епени компенсаци и (кри вая 2) и меет ся област ь температ ур (она соот вет ст вует услови ю Na