Прогнозирование срока службы электрических машин: Рабочая программа, задания на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольной работы

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электротехники и электромеханики

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СРОКА СЛУЖБЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН Рабочая программа Задание на контрольную работу Методические указания к выполнению контрольной работы

Факультет энергетический Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: 654500 – электротехника, электромеханика и электротехнологии 180100 – электромеханика

Санкт-Петербург 2004

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.313-192 075.8 Прогнозирование срока службы электрических машин: Рабочая программа, задания на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольной работы. – СПб.: 2004. - с. Рабочая программа соответствует требованиям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 654500 (специальность 180100 – «Электромеханика »). Приведена рабочая программа, задания на контрольную работу и методические указания к её выполнению.

Рассмотрено на заседании кафедры электротехники и электромеханики 16 февраля 2004 г. Одобрено методической 24 февраля 2004 г.

комиссией

энергетического

факультета

Рецензенты: кафедра электротехники и электромеханики СЗТУ (зав. кафедрой В.И. Рябуха, канд. техн. наук., проф.), Г.А. Борисов, канд. техн. наук, доц. СПбГЭТУ.

Составители: В.Е. Воробьев, канд. техн. наук, доц. В.Я. Кучер, канд. техн. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2004

2

ПРЕДИСЛОВИЕ Надежность – один из основных показателей качества любого технического устройства. Поэтому специалист в области электромеханики должен уметь оценивать качество электрической машины на любом отрезке ее “жизни”– от этапа проектирования до непосредственного применения по назначению, т. е. – в период эксплуатации. В связи с этим целью курса является изучение электрических машин как объектов оценки показателей надежности, методов аналитического и экспериментального определения последних. В результате изучения курса будущий специалист должен знать современные методы определения надежности электрических машин и уметь применять их на практике, а также иметь представление о перспективных направлениях развития данной области знаний. Теоретической базой курса являются специальные разделы высшей математики (теория вероятностей и математическая статистика), базовый курс электрических машин, технология производства и их испытание.

3

1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Рабочая программа (Объём – 100 часов) Введение [1] c.91-102 Проблема надежности и ее значение для современной техники. Особенности этой проблемы применительно к электрическим машинам. 1.1.1. Методы прогнозирования надёжности электрических машин [1] c.126-128 Методы прогнозирования надежности: их классификация и общая характеристика. Принципы математического моделирования надежности, аналитическое прогнозирование. Вопросы для самопроверки 1. Назовите существующие методы прогнозирования надежности, используемые в зависимости от объёма исходной информации. 2. Дайте краткую характеристику каждому из этих методов. 3. На чем основывается аналитическая оценка надежности? 4. Назовите принципы создания математической модели надежности. 1.1.2. Общие вопросы надёжности электрических машин [1] c.102-107, 116-117 Особенности электрических машин как объектов оценки надежности. Экономические аспекты повышения надежности. Учет вопросов надежности при проектировании: этапы оценки конструкционной надежности; основные требования, обеспечивающие надежность электрической машины. Вопросы для самопроверки 1. Перечислите особенности электрических машин как объектов расчета надежности. 2. Дайте краткую характеристику каждой из особенностей. 3. Каковы критерии повышения надежности электрических машин? 4. Объясните суть понятия “оптимальная долговечность”. 5. Перечислите этапы оценки конструкционной надежности электрических машин. 6. Дайте краткую характеристику каждому из этих этапов. 4

7. Перечислите основные требования, обеспечивающие надежность электрической машины. 1.1.3. Надёжность обмоток электрических машин [1] с.150-167 Закономерности старения изоляции обмоток электрических машин: основные характеристики изоляции, общая характеристика процесса старения изоляции. Старение изоляции под воздействием температуры, электрического поля, механических и термомеханических нагрузок, влаги и химически активных веществ. Законы старения изоляции. Расчет надежности обмоток: принципы математического моделирования, надежность межвитковой и пазовой изоляции “всыпных” обмоток, надежность стержневых обмоток. Вопросы для самопроверки 1. Что является основной характеристикой изоляции обмоток? 2. Факторы, влияющие на эту характеристику. 3. Дайте объяснение понятиям “теплоустойчивость” и “нагревостойкость” изоляции. 4. Что представляет собой старение изоляции? 5. Дайте объяснение понятию “износ” изоляции. 6. Объясните законы, описывающие динамику старения изоляции. Их практическая ценность. 7. Дайте качественную характеристику процессу старения изоляции под воздействием электрического поля. 8. Что собой представляют “кривые жизни” изоляции? 9. Приведите качественную характеристику старения изоляции под действием механических и термомеханических нагрузок. 10. Какими факторами обуславливается старение изоляции под воздействием окружающей среды? 11. Как определяется надежность “всыпной” обмотки? 12. Каковы принципы построения математической модели надежности витковой изоляции? 13. Назовите особенности расчета надежности пазовой изоляции. 14. Объясните суть метода оценки надежности стержневой обмотки.

5

1.1.4. Надёжность подшипниковых узлов [1] c.139-150 Причины выхода из строя подшипниковых узлов. Расчет надежности и долговечности подшипниковых узлов качения: номинальная (расчетная) долговечность, вероятность безотказной работы для произвольного момента времени, учет влияния технологических и эксплуатационных факторов, оценка долговечности с учетом состояния смазки. Вопросы для самопроверки 1. Назовите причины выхода из строя подшипниковых узлов. 2. Что собой представляет расчетная долговечность подшипника качения? 3. Какой из законов распределения отказов лежит в основе расчета вероятности безотказной работы подшипников качения? 4. Приведите соотношение между долговечностью подшипника качения и подшипниковых узлов электрической машины. 5. Дайте краткую характеристику факторов, определяющих надежность подшипниковых узлов. 6. Каким образом можно оценить влияние технологии изготовления и условий эксплуатации подшипниковых узлов на их надежность? 7. Поясните принципиальные положения методики оценки долговечности подшипниковых узлов с учетом состояния смазки. 1.1.5. Надёжность узлов со скользящими контактами [1] c.129-138 Особенности условий работы коллекторно-щеточного узла. Критерии работоспособности и отказа. Расчет надежности коллектора, щеток и щеточного аппарата. Вопросы для самопроверки 1. Дайте краткую характеристику условий работы коллекторно-щеточного узла. 2. Каковы критерии работоспособности и отказа коллекторно-щеточного узла? 3. В соответствии с каким законом распределения отказов выполняется расчет надежности щеток? 4. Приведите алгоритм расчета надежности щеток. 5. Перечислите принципиальные положения методики расчета надежности щеточного аппарата.

6

1.1.6. Испытания электрических машин на надёжность [1] c. 168-184 Методы экспериментальной оценки надежности, их краткая характеристика. Статистическая обработка результатов испытаний, доверительные интервалы, критерии согласия. Вопросы для самопроверки 1. Приведите классификацию испытаний на надежность и дайте их краткую характеристику. 2. Каким образом производится оценка среднего времени безотказной работы? 3. Как определяется количество изделий, необходимое для проведения контрольных испытаний на надежность? 4. Что собой представляет доверительный интервал? Чем обусловлено введение этого критерия? 5. Каковы основные законы распределения отказов применительно к электрическим машинам? 6. Что представляют собой критерии согласия? 1.2. Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения (14 часов) 1. Введение. Методы прогнозирования надежности. Общие вопросы надежности электрических машин 2. Закономерности старения изоляции 3. Надежность обмоток электрических машин 4. Надежность подшипниковых узлов 5. Надежность узлов со скользящими контактами 6. Методы экспериментальной оценки надежности электрических машин 7. Статистическая обработка результатов испытаний на надежность

2ч 2ч 2ч 2ч 2ч 2ч 2ч

1.3. Тематический план практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения (6 часов) 1. Расчет надежности обмоток электрических машин 2. Расчет надежности подшипниковых узлов 3. Расчет надежности узлов со скользящими контактами

7

2ч 2ч 2ч

2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной: 1. Котеленец Н. Ф., Кузнецов Н. Л. Испытания и надежность электрических машин. – М.: Высшая школа, 1988. 2. ГОСТ 27.002–83. Надежность в технике. Термины и определения. 3. ГОСТ 27.410–83. Надёжность в технике.Методы и планы статистического контроля показателей надежности по альтернативному признаку. Дополнительный: 4. Ермолин Н. П., Жерихин И. П. Надежность электрических машин. – Л.: Энергия, 1976. 5. Гольдберг О. Д. Надежность электрических машин общепромышленного и бытового назначения. – Энергия, 1976. 6. Галушко А. И., Максимова И. С., Оснач Р. Г. Надежность изоляции электрических машин. – М.: Энергоиздат, 1979. 7. Куликовский В. Б. Работа изоляции в генераторах. – М.: Энергоиздат, 1981. 8. Воробьев В. Е. Автоматизация испытаний и прогнозирование срока службы электрических машин: Конспект лекций. – СПб.: СЗПИ, 1993. 9. Асинхронные двигатели серии 4А: Справочник. / Под ред. Э. Д. Кравчика – М.: Энергоиздат, 1982. 10. Байзельман Р. Д., Цыпкин Б. В., Перель Л. Я. Подшипники качения. Расчет, проектирование и обслуживание опор: Справочник. – М.: Машиностроение, 1975.

8

3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ Целью предлагаемой контрольной работы является практическое знакомство с методами аналитического определения показателей надежности некоторых узлов электрических машин, а также – оценки этих показателей по результатам испытаний. В каждой из задач номер варианта определяется по последней цифре шифра зачетной книжки студента. При оформлении отчета по контрольной работе необходимо исходить из того, что это важный этап в изучении курса. Поэтому материал должен содержать подробные расчеты и соответствующие объяснения к ним. Форма отчета является общепринятой. Задание 1 Определить показатели надежности подшипниковых узлов качения трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором общепромышленного назначения серии 4А. Необходимые исходные данные представлены в табл. 1. и табл. 2. При расчетах следует полагать, что связь двигателя с механизмом осуществляется посредством зубчатой передачи. Таблица 1 Варианты задания Ротор D2 мм

l2 мм

Рр Н

Высота оси вращения

0,3

54

56

6,7

63

10 6,3

0,25 0,35

76 65

90 74

33,6 24,3

71

1,5 3,0

6,4 4,3

0,25 0,4

100 84

110 100

68,9 49

90

8 4 2

3,0 5,5 7,5

5,8 3,6 2,5

0,3 0,3 0,6

132 125 110

130 125 135

138 123 98,2

112

6 2

7,5 11,0

3,2 2,3

0,35 0,6

158 130

160 130

260 170

132

Номер варианта

2р

Р2 кВт

s %

δ мм

0

2

0,37

8,3

1 2

6 2

0,55 1,1

3 4

6 2

5 6 7 8 9

9

Таблица 2 Основные размеры вала Высота оси вращения

L1

63 71 90 112 132

129 157 200 249 302

d1

L2 = L3

l1

a

d1

D2

d3

14 19 24 32 38

15 20 25 35 45

20 27 32 43 54

Мм

d2

15 23 24,5 32,5 38

30 40 50 80 80

60 79 100,5 124,5 151

a d3

l1

L2 Рис. 1

d2

L3 L1

Задание 2 При испытаниях на долговечность однотипных коллекторных машин постоянного тока, отказы которых в износовый период работы практически имеют нормальное распределение, получены значения времени безотказной работы, представленные в табл. 3. Требуется оценить среднюю долговечность машин Т р и среднее квадратическое отклонение времени σ , а также определить для них соответственно нижнюю и верхнюю доверительные границы с доверительной вероятностью α = 0,95.

10

Таблица 3 Номер варианта

Количество испытанных машин

Значение полученного времени безотказной работы каждой из машин, час.

0

11

1500, 1200, 1800, 1600, 3000, 1400, 2200, 1700, 1900, 2100, 2300

1

12

1200, 1300, 1420, 1280, 1100, 1510, 1600, 1270, 1390, 1190, 1500, 1440

2

13

850, 920, 1100, 1200, 970, 840, 1010, 950, 890, 1000, 900, 1050, 1070

3

14

900, 720, 700, 680, 820, 800, 950, 810, 840, 790, 780, 890, 750, 805

4

15

490, 520, 600, 750, 720, 620, 540, 570, 610, 550, 605, 670, 640, 600, 590

5

15

420, 450, 380, 350, 390, 410, 470, 376, 400, 360, 430, 406, 412, 395, 370

6

14

610, 580, 570, 500, 650, 700, 690, 540, 510, 605, 600, 590, 630, 600

7

13

820, 800, 850, 650, 750, 720, 740, 805, 790, 700, 810, 840, 890

8

12

959, 900, 1000, 1200, 890, 990, 1050, 850, 940, 1300, 1210

9

11

1100, 1050, 1300, 1210, 1260, 1150, 1190, 1200, 1170, 1120, 1240

11

4. Методические указания к выполнению контрольной работы 4.1. Методические указания к выполнению первого задания Схема нагружения горизонтально расположенного вала показана на рис. 2.

FР = Gп + Pп

RA

PР + GM

RБ

Fа b

L2

L3 L1

Рис. 2 Здесь приняты следующие обозначения: Рр – масса ротора с валом; GП – масса полумуфты или шестерни (при оценочных расчетах принимается равной 0,05 Рр); Fр – радиальная нагрузка на выступающий конец вала; Fа – аксиальная нагрузка на вал (если нет явновыраженной осевой нагрузки, она принимается равной 0,15 Рр); Gм – сила одностороннего магнитного притяжения между ротором и статором; RА, RБ – реакции опор. Реакция передачи, Н⋅м М РП = СП ⋅ Н , R0 где МН – номинальный вращающий момент, Н·м; RO – радиус, на котором расположен элемент, передающий усилие, м; СП – коэффициент, зависящий от способа сопряжения двигателя с приводным механизмом. Для передачи упругой муфтой RO – радиус расположения пальцев, а СП = 0,3. Для зубчатой передачи RO – радиус делительной окружности, а СП = 1,08. В случае сопряжения с механизмом посредством упругой муфты или шестерни для предварительных расчетов можно принять RO ≈ 2,3 d1. Начальный расчетный эксцентриситет ротора, м

ео = 0,1 δ + fр + fп , 12

где δ – односторонний воздушный зазор; fр – прогиб вала от массы вала и ротора; fп – прогиб вала от радиальной составляющей нагрузки. Прогиб вала цилиндрической формы, несущего распределенную нагрузку (масса вала и ротора), м

Pp ⋅ L31 fp = , 77 E ⋅ J

πd 4 - экваториальный момент инерции, м 4; Е = 2,06·1011 – могде J = 64 дуль упругости материала вала, Па·Н/м4. Прогиб вала от силы, приложенной к его выступающему концу, м l1 L21 Fp fП = , 16 EJ Начальная сила одностороннего магнитного притяжения определяется по одной из следующих эмпирических формул, Н : при 2р = 2 при 2р > 2

e0 ⋅ 105 , δ e Q0 = 1,5D2 l2 0 ⋅ 105 , δ Q0 = D2 l2

где D2, l2 – диаметр и длина пакета ротора, м. Прогиб вала от силы одностороннего магнитного притяжения, м

f0 = f p

Q0 . Pp

Установившийся прогиб вала от силы одностороннего магнитного притяжения, м fм = f0/(1 - m), где m = fo / eo. Сила установившегося магнитного притяжения, Н

Qм = Qo /(1 – m). Наибольшая радиальная нагрузка на подшипник со стороны выступающего конца вала, Н RA = kмFp(1 – b/L1) + (Pp + Qм)L3/L1 , где kм – коэффициент перегрузки по моменту (принимается равным 1,5); b = a + l1 / 2. 13

Наибольшая радиальная нагрузка на подшипник противоположный выступающему концу вала, Н RБ = kмFpb/L1 + (Pp + Qм)L2/L1 . Динамическая нагрузка радиального однорядного подшипника закрепленной опоры (подшипник Б), Н: при

AБ/RБ ≤ e

QБ = RБ·kБ·kt ,

при

AБ/RБ > е

QБ = (0,56RБ + Y·AБ) ·kБ·kt ,

где АБ – наибольшая аксиальная нагрузка на подшипник, определяемая в общем случае как АБ = Fa + Ao ;

Ао – усилие, создаваемое пружиной осевого поджатия (для двигателей рассматриваемой серии Ао = 0); kБ – коэффициент безопасности (динамический коэффициент) – для асинхронных двигателей общего применения принимается равным 1,2; kt = 1,05 – температурный коэффициент для изоляции класса В. Значения величин Y и е в зависимости от Fa/Co приведены в табл. 4. При Fa/Co < 0,014 принимать Q = R. Таблица 4 Fa / Co

0,014

0,028

0,056

0,056

0,11

0,17

0,28

0,42

0,56

Y

2,3

1,99

1,71

1,55

1,45

1,31

1,15

1,04

1,0

Е

0,19

0,22

0,26

0,28

0,3

0,34

0,38

0,42

0,44

В таблице Fa – осевая нагрузка на вал; Со – статическая грузоподъемность подшипника. В асинхронных двигателях серии 4А при высоте оси вращения до 160 мм оба подшипника (опоры А и Б) – шариковые однорядные с защитными (резиновыми) шайбами средней серии и нормального класса точности [4]. Типы применяемых шарикоподшипников и значения их статической и динамической грузоподъемностей для указанного отрезка серии 4А приведены в табл. 5. Таблица 5 Высота оси вращения, мм 63 71

Тип шарикоподшипника для опор А и Б 180502 180604 180606 14

Коэффициент работоспособности статический динамический Со, Н С, Н 8900 5510 12500 7940 17600 11600

90 112 132

180607 180609

17900 36300

26200 48500

Конструктивно опоры выполняются в двух вариантах: - опора А (со стороны выходного конца вала) с целью предотвращения температурных деформаций конструкции в целом выполняется “плавающей” – со свободной (скользящей) посадкой на вал внутреннего кольца подшипника; - опора Б является фиксирующей, т. е. подшипник сажается на вал с “натягом”. Для плавающей опоры приведенная динамическая нагрузка в случае радиального однорядного подшипника определяется аналогично закрепленной опоре. При этом АА = Ао. Номинальная (расчетная) долговечность подшипника (в час) определяется как б ⎛ C ⎞ 106 , (1) Tр = ⎜ ⎟ ⋅ ⎝ Q ⎠ 60n где С – динамическая грузоподъемность подшипника, Н; n – частота вращения ротора, об/мин; α – показатель степени, принимаемый для шарикоподшипников равным 3. Найденная выше долговечность подшипника качения соответствует стандартной, 90% - ой, вероятности его безотказной работы – Р(t) = 0,9. Известно, что долговечность подшипников качения с консистентной смазкой характеризуется не только усталостью материала подшипника. Опыт эксплуатации, а также экспериментальные исследования по определению надежности и долговечности подшипниковых узлов указывают на то, что определяющим срок службы подшипников является состояние смазочного материала и условий закрепления (посадки) подшипников на валу и в подшипниковых щитах (в корпусе). Долговечность подшипника качения с учетом особенностей его работы можно оценить, воспользовавшись следующей эмпирической зависимостью [4]

(

T ≈ Tp a0 ⋅ Re ⋅ λa ⋅ ∆a a Re

λ

∆

),

(2)

где Тр – расчетная долговечность подшипника качения, час; Re – число Рейнольдса для данного типа смазки; λ – параметр смазки; ао, аRe, аλ, а∆ – опытные значения коэффициентов; ∆ – параметр среднего радиального зазора подшипника.

15

В двигателях серии 4А используются шарикоподшипники с заложенной на весь срок службы смазкой марки ЛЗ–31 и, следовательно, ее пополнение или замена не предусмотрены. Основные характеристики указанной смазки и значения коэффициентов в уравнении (2) представлены в табл. 6 [4].

Таблица 6

ао

Rе

λ

aRe

аλ

а∆

0,21

0,73

632

– 0,79

– 0,058

– 0,7

Параметр среднего радиального зазора определяется как ∆ = 2·(δп ср /δо)

(3)

Средний радиальный зазор в свободном подшипнике качения δо определяется соотношением (4) δо = (δmax + δmin)/2 где δmax, δmin – паспортные значения максимального и минимального радиального зазора подшипника. Их значения в соответствии с данными, приведенными в [ 2 ] для рассматриваемых шарикоподшипников представлены в табл. 7. Таблица 7 Тип подшипника

Внутренний диаметр внутреннего кольца ш / п, мм

180502 180604 180606 180607 180609

св. 10 до 18 св. 18 до 24 св. 24 до 30 св. 30 до 40 св. 40 до 50 16

Радиальный зазор, мкм min

max

8 10 10 12 12

22 24 24 26 29

Средний радиальный зазор в подшипнике после его посадки на вал и в подшипниковый щит определяется по уравнению (4) с учетом следующих обстоятельств. Посадка подшипников на вал и в корпус (подшипниковый щит) для шарикоподшипников, применяемых в рассматриваемых двигателях в соответствии с [4] указана в табл. 8 и табл. 9. Таблица 8 Посадка на вал. Рекомендуемая посадка, мкм

Тип подшипника

Диаметр внутр. кольца, мм

при диаметре внутр. кольца

Натяг (+)

зазор (–)

180502 180604 180606 180607 180609

15 20 30 35 45

10 – 18 18 – 30 18 – 30 30 – 50 30 – 50

16 27 . . . 2 27 . . . 2 32 . . . 3 32 . . . 3

6 – – – –

Таблица 9 Посадка в корпус. Тип подшипника 180502 180604 180606 180607 180609

Диаметр наружн. кольца, мм

Рекомендуемая посадка, мкм при диаметре наружн. кольца

натяг (+)

зазор (–)

30 – 50 50 – 80 50 – 80 80 – 120 80 – 120

8 10 10 12 12

29 33 33 38 38

35 52 72 80 100

Посадочный зазор в шарикоподшипнике без учета температурной деформации колец δп = δ о – ∆ δ , где ∆ δ – диаметральная деформация дорожки качения кольца от натяга посадки. 17

(5)

Для внутреннего кольца

∆δ вн = H э вн ⋅

1 . 1 + ( D - d )/4d

Для наружного кольца ∆ δнар = Нэ нар· [1 – (D – d) / 4d],

где Нэ вн ≈ Нвн·d / (d + 3) Нэ нар ≈ Ннар·D / (D + 3), а Нвн и Ннар – натяги, указанные в табл. 8 и табл. 9. Посадочный радиальный зазор в шарикоподшипнике (max и min) определяется в соответствии с (5), если имеет место натяг. В случае если посадка шарикоподшипника осуществляется с зазором, максимальный радиальный зазор берется в соответствии с табл. 9. Для расчета долговечности системы подшипниковых узлов рекомендуется пользоваться следующим соотношением [4] 1 1 1 1 = e + e +"+ e , e T T1 T2 Tn где: Т– долговечность системы; Тn– долговечность n-го подшипникового узла, входящего в систему; е – показатель степени (для шарикоподшипников равный 10/9). Таким образом, в рассматриваемой конструкции долговечность подшипниковых узлов рассчитывается как Т ⋅Т (6) TАБ = Ае Б е , е ТА + ТБ где ТА и ТБ – долговечность подшипников передней и задней опор, определенная с учетом условий их работы – уравнение (2). Тогда вероятность безотказной работы подшипниковых узлов определяется следующим образом [ 4 ] 1,5 ⎡ ⎛ T ⎤ ⎞ P(t ) = exp ⎢- ⎜⎜ АБ* ⎟⎟ ⎥ , (7) 4,48 T ⎠ ⎝ АБ ⎣⎢ ⎦⎥

где ТАБ – расчетная долговечность подшипниковых узлов, найденная по уравнению (6) по рассчитанным выше Тр для каждой опоры; ТАБ * – то же самое, но с учетом особенностей работы подшипниковых узлов – уравнение (2). 18

Уравнение (7) представляет собой закон Вейбулла, что позволяет по известным параметрам распределения (α = 1,5 и µ = 1 / 4,48ТАБ) оценить рассеяние времени безотказной работы подшипниковых узлов. Исследования [ 4 ] показывают, что при учете реальных технологических и эксплуатационных факторов наработка асинхронных двигателей рассматриваемого отрезка серии 4А с точки зрения надежности подшипниковых узлов будет составлять Т ≈ ( 1 ± 0,67 )Т АБ*

(8)

4.2. Методические указания к выполнению второго задания

При износовых отказах изделий за время испытаний оценка средней их долговечности находится как 1 n Т р = ∑ ti , (9) n i=1 cтандартное отклонение долговечности при этом составляет σ=

(

1 n ∑ ti − Tp n − 1 i=1

)

2

,

(10)

t i – наработка i –го изделия до отказа. Поскольку долговечность отдельных изделий распределена относительно истинного значения Тр со стандартным отклонением σ, то оценка средней долговечности для выборки из n изделий распределяется относительно величины Тр со стандартной ошибкой где

σ(Т р ) = σ / n .

(11)

Уравнение (11) позволяет установить доверительные границы для среднего значения долговечности, полученного в результате испытаний на надежность достаточно большой партии образцов. Из кривой нормального закона распределения (рис.3) известно, что истинное значение долговечности Тр будет примерно в 68,3 % случаях находиться в пределах ± σ (Тр) и примерно в 95,4 % случаях – в пределах ± 2σ (Тр). Вероятности, выраженные в процентах, для интервала ± kσ (Тр) (т. е. величины 68,3 и 95,4 %) представляют собой коэффициенты доверия для соответствующих интервалов. Они определяются площадями, ограниченными кривой нормального распределения и соответствующими границами интервалов. Величины k = (1 . . . 3) показывают количество стандартных ошибок, которые следует вычесть или прибавить к полученной оценке Т р для того, чтобы

19

определить нижнюю и верхнюю доверительные границы при заданном коэффициенте доверия. Тогда доверительный интервал будет определяться следующим образом σ . (12) Tp ± k n

3σ 2σ

σ

34,13

Х

47,725 49,865 Рис. 3 По табличным данным для нормального распределения площади, ограниченные “хвостовыми” участками этой кривой для одного стандартного отклонения от среднего значения Х на рис. 3, составляют по 0,1587. Следовательно, площадь вне интервала “одно стандартное отклонение” равна 2·0,1587 = 0,3174. Площадь внутри этого интервала будет тогда равна 1 – 0,3174 = 0,6826. Если обозначить площадь одного “хвостового” участка кривой через β/2, то площадь в интервале ± kσ (Тр) составит β = 1 − α и выражает собой так называемый коэффициент доверия или уровень значимости. Таким образом, если на рис. 3 за начало координат принять оценку средней долговечности Т р , то нижняя и верхняя доверительные границы будут σ Tр н = T р − kб(n - 1) ⋅ , (13) n 20

σ , (14) n где k α (n – 1) - квантиль распределения Стьюдента для доверительной вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы ν = n – 1. Величина k α (n – 1) находится по табл. 10. Истинное значение долговечности Тр лежит в интервале между Тр н и Тр в с доверительной вероятностью α. Нижняя доверительная граница Тр н средней долговечности обычно представляет больший интерес, чем верхняя. В этом случае для оценки параметров надежности используется односторонняя нижняя доверительная граница Tр н (рис. 2), а верхняя граница принимается равной бесконечности.

Tрв = T р + k б(n -1) ⋅

α=1–β β ● ● Тр н

Тр Рис. 4

При данных условиях заказчику изделий необходимо обеспечить уверенность в том, что при доверительной вероятности α истинная средняя долговечность Тр достигает или превышает заданный минимум. В таком случае нижняя доверительная граница может быть представлена в виде σ Т рн = Т р – kб ( n −1) . n Следовательно, оценка средней долговечности Т р , полученная из опытных данных при испытании изделий на надежность согласно уравнению (13) должна быть Т р ≥ Тр н . (15) Если по результатам испытаний величина Т р не удовлетворяет неравенству (15), то требование заказчика в отношении совпадения истинного значе21

нияТ р с нижней доверительной границей Тр н при заданном коэффициенте доверия β не будет выполнено. Нижняя и верхняя доверительные границы дисперсии времени σ2 определяются с помощью неравенства 2

2

( n - 1) ⋅ σ ( n - 1) ⋅ σ ≤ σ2 ≤ 2 , 2 χ ( в/2)(n -1) χ (1−в/2)(n -1)

(16)

где χ2 (1 – β/2) (n – 1) – квантиль χ2 – распределения при вероятности (1 – β/2) и числе степеней свободы ν = n – 1; χ2 (β/2) (n – 1) – то же для вероятности β/2 (при этом β представляет собой уровень значимости β = 1 – α , где α – доверительная вероятность или коэффициент доверия). Значения указанных квантилей χ2 – распределения определяются по табл. 11. Таблица 10 Квантили распределения Стьюдента Квантили распределения при вероятности равной

Число степеней свободы, ν

0,8

0,9

0,95

0,99

10 11 12 13 14

0,879 0,876 0,873 0,870 0,868

1,372 1,363 1,356 1,350 1,345

1,812 1,796 1,782 1,771 1,761

2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 Таблица 11

2

Квантили χ - распределения Число степеней свободы, ν 10 11 12 13 14

Квантили распределения для доверительной вероятности α равной …. 0,025 …. 0,955 3,25 3,82 4,4 5,01 5,63

22

20,5 21,9 23,3 24,7 26,1

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Рабочая программа 1.2. Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения 1.3. Тематический план практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения 2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ 4. Методические указания к выполнению контрольной работы 4.1. Методические указания к выполнению первого задания 4.2. Методические указания к выполнению второго задания

3 4 4 7 7 8 9 11 11 19

Редактор М.Ю.Комарова Сводный темплан 2004 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П.005641.11.03 от 21.11.03 г.

Подписано в печать . Формат 60×84 1/16 Б. кн.- журн. П.л. 1,25. Б.л. 0,625. РТП РИО СЗТУ. Тираж . Заказ . Северо-Западный государственный заочный технический университет 23

Санкт-Петербург 191186 Санкт-Петербург, ул. Миллионная д. 5

24