Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5
УДК 517.9
СТРУКТУРНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЭЙЛЕРОВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КОНФИГУРАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ОБЛАСТЯХ С ТРЕЩИНАМИ Ж. Фремь¨ е, Я. Соколовски Аннотация: Получена структурная теорема для эйлеровой производной конфигурационного функционала, определенного на области, содержащей криволинейные трещины. Эта теорема обобщает на случай гладких областей структурную теорему, данную в монографии J. Sokolowski, J. P. Zol´esio «Introduction to shape optimization: shape sensitivity analysis» Berlin etc.: Springer-Verl., 1992. (Comput. Math.; V. 16). Даны два примера применения полученного результата к конфигурационным функционалам, определенным для граничной задачи. Ил. 6, библиогр. 11.
1. Введение Анализ влияния конфигурации в граничных задачах в областях с трещинами важен для приложений (см. например, обзорную работу [1], где рассмотрены приложения к механике разрушения, и библиографию в ней). В [2] (см. также [3, 4]) установлены результаты в простейшем случае. Поскольку структурная теорема не была известна, в [2] использован прямой подход, который в случае функционала энергии предусматривает существование конфигурационной производной от решений эллиптических уравнений, определенных в области с трещинами. По существу, тот же подход был использован в [5] в случае односторонних условий на берегах трещины, однако похоже, что в этом случае результат о конфигурационной дифференцируемости в литературе не был отмечен. Можно отослать читателя к [6] за соответствующими результатами о конфигурационной дифференцируемости решений вариационных неравенств в гладких областях. Задача с односторонними условиями на берегах трещины рассмотрена в [7] для скалярного уравнения и в [8] — для системы упругости, где выведена так называемая формула Райса — Черепанова. В [7, 8] показано, что утверждение о конфигурационной дифференцируемости решений вариационных неравенств не требуется для доказательства дифференцируемости функционала энергии относительно длины трещины в задачах с односторонними условиями на берегах трещины. 2. Основной результат. Структурная теорема для эйлеровой производной Структурная теорема важна для приложений в задачах оптимизации конфигурации, потому что она позволяет получить конфигурационную дифференцируемость специального конфигурационного функционала простой проверкой c 2000 Фремь¨
е Ж., Соколовски Я.
1184
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
условий, обычно заданных в фиксированной области, с помощью методов материальной производной. Пусть D ⊂ R2 — ограниченная область с гладкой границей Γ и Σ — часть гладкой кривой. Будем считать, что Σ лежит в области D. Рассмотрим область Ω = D \ Σ с трещиной Σ. Через A и B обозначим концы Σ. Пусть J — функционал области, конфигурационно дифференцируемый в Ω. Определение конфигурационной дифференцируемости см. в [6]. Будем использовать поле скоростей V для построения семейства областей Ωt = Tt (V )(Ω) с использованием техники, описанной в [6]. Не ограничивая общность, будем рассматривать задачу с автономными векторными полями. Мы докажем следующий результат о структуре эйлеровой полупроизводной dJ(Ω; V ). Теорема 2.1 (структурная теорема). Пусть k — неотрицательное целое число. Предположим, что отображение D k (D; R2 ) 3 V 7→ dJ(Ω; V ) ∈ R линейно и непрерывно. Тогда существуют два вещественных числа αA и αB и линейная форма φ, непрерывные на C k (Σ) (φ ∈ (C k (Σ))0 ), такие, что dJ(Ω; V ) = αA (V.τ )(A) + αB (V.τ )(B) + φ(V.n)
∀V ∈ D k (D; R2 ),
где V.τ , V.n — касательная и нормальная составляющие поля V на Σ соответственно (рис. 1).
Γ
A
Σ
τ
n
B
τ
Ω
Рис. 1. Область Ω с криволинейной трещиной Σ. Доказательство. Можно считать, что Σ такова: Σ = {(x1 , x2 ) | 0 < x1 < 1, x2 = 0},
(1)
в противном случае воспользуемся подходящей заменой переменных. Нам потребуется вид касательного множества dΣ (x + hv) 2 =0 . TΣ (x) = v ∈ R | lim inf h h→=0+ Найдем TΣ (x) для x ∈ Σ. Случай 1. x = (x1 , x2 ) ∈ Σ, т. е. 0 < x1 < 1, x2 = 0. В этом случае нормаль n(x) к Σ в точке x ∈ Σ определена и, кроме того, TΣ (x) = Tx (Σ) совпадает с касательным пространством Σ в точке x, так что V (x) ∈ TΣ (x) тогда и только тогда, когда V (x).n(x) = 0. Случай 2. x = A = (0, 0) (рис. 2).
Структурная теорема для эйлеровой производной
1185
X2
Γ
τ
n
Σ
A
B (1,0) τ
(0,0)
X1
Ω
Рис. 2. Область Ω. Имеем TΣ (x) = TΣ (A) =
v = (X1 , X2 ) ∈ R2 | lim inf h→0+
dΣ (x + hv) =0 , h
hkvk, еслиX1 ≤ 0, h|X2 |, еслиX1 ≥ 0, так что kvk, еслиX1 ≤ 0, dΣ (x + hv) lim inf = h h→0+ |X2 |, еслиX1 ≥ 0, и тем самым (рис. 3) dΣ (x + hv) =
TΣ ((0, 0)) = TΣ (A) = {v = (X1 , X2 ) ∈ R2 | X2 = 0, X1 ≥ 0}.
(2)
X1
A+hv
A (0,0)
B (1,0)
X2
Рис. 3. Вычисление TΣ (A). Случай 3. x = B = (1, 0). В этом случае, так как x = A = (0, 0), имеем TΣ ((1, 0)) = TΣ (B) = {v = (X1 , X2 ) ∈ R2 | X2 = 0, X1 ≤ 0}.
(3)
Для любого x ∈ Σ множество TΣ (x) является векторным пространством, так что −TΣ (x) = TΣ (x). С другой стороны, {TΣ (A)} ∩ {−TΣ (A)} = {TΣ (B)} ∩ {−TΣ (B)} = {(0, 0)},
(4)
и согласно теореме Нагумо [9] или условиях двойной допустимости [10, 11] и соотношениям (2)–(4) если поле V ∈ D k (D; R2 ) удовлетворяет следующим условиям: V (x).n(x) = 0 ∀x ∈ Σ, V (A) = V (B) = (0, 0), (5)
1186
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
то Σ глобально инвариантно относительно соответствующего преобразования Tt (V ). Внешняя граница Γ = ∂D также инвариантна относительно Tt (V ), поскольку носитель поля V содержится в D. Таким образом, граница области Ω = D \ Σ, т. е. ∂Ω = Γ ∪ Σ, глобально инвариантна относительно преобразования Tt (V ). Следовательно, Ωt = Tt (V )(Ω) = Ω. Отсюда dJ(Ω; V ) = 0
(6)
для любого векторного поля, удовлетворяющего (5). Нетрудно видеть, что можно распространить понятие касательного и нормального векторов на точки A и B из Ω. Условия (5) могут быть переформулированы так: V (x).n(x) = 0
∀x ∈ Σ,
(V.τ )(A) = (V.τ )(B) = 0.
(7)
Итак, для V ∈ D k (D, R2 ), удовлетворяющего условиям (7), имеем dJ(Ω; V ) = 0. Тем самым естественно рассмотреть множество F (Ω) = {V ∈ D k (D, R2 ) | V.n = 0 на Σ, (V.τ )(A) = (V.τ )(B) = 0}.
(8)
Согласно предположению о линейности и непрерывности отображения V 7→ dJ(Ω; V ) из D k (D, R2 ) в R множество F (Ω), определенное равенством (8), содержится в его ядре. Следовательно, справедлива Лемма 2.2. Отображение ψ : D k (D, R2 )/F (Ω) → C k (Σ) × R × R,
{V } 7→ (V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B))
является изоморфизмом. Доказательство. Линейное отображение ψ : {V } 7→ (V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B)) определено, поскольку если V1 − V2 ∈ F (Ω), то (V1 − V2 ).n = 0 на Σ,
((V1 − V2 ).τ )(A) = ((V1 − V2 ).τ )(B) = 0.
Пусть {V } ∈ D k (D, R2 )/F (Ω) таково, что ψ({V }) = 0, т. е. V.n = 0 на Σ,
(V.τ )(A) = (V.τ )(B) = 0,
так что V ∈ F (Ω) и {V } = {0}. Следовательно, ψ взаимно однозначно. Покажем, что ψ накрывающее. Пусть (v, v1 , v2 ) ∈ C k (Σ) × R × R. Надо найти V ∈ D k (D, R2 ) такое, что ψ({V }) = (v, v1 , v2 ). Для любого v ∈ C k (Σ) = C k ([0, 1]) по определению пространства C k ([0, 1]) существует v˜ ∈ C k (R) такое, f2 посредством равенства что v˜|[0,1] = v. Тем самым определено V f2 (x1 , x2 ) = v˜(x1 ) V
∀x1 , x2 ∈ R.
(9)
f2 ∈ C k (R2 ). Пусть θ ∈ D(D, R) = C ∞ (D, R) таково, что θ ≡ 1 в Очевидно, что V 0 достаточно малой окрестности Σ. Положим f2 (x1 , x2 ) V2 (x1 , x2 ) = θ(x1 , x2 )V
∀x1 , x2 ∈ R.
(10)
Определим функцию µ(x1 ) = (1 − x1 )v1 + x1 v2 .
(11)
Тогда µ ∈ C (R). Таким же образом введем k
f1 (x1 , x2 ) = µ(x1 ) V
∀x1 , x2 ∈ R.
(12)
Структурная теорема для эйлеровой производной
1187
f1 ∈ C k (R2 ). Определим V1 формулой Ясно, что V
f1 (x1 , x2 ). V1 (x1 , x2 ) = θ(x1 , x2 )V
(13)
Пусть V — векторное поле с компонентами V1 , V2 , где V1 , V2 заданы соотношениями (9)–(13), так что V = (V1 , V2 ) ∈ D k (D, R2 ). Кроме того, f1 (x1 , x2 ) f1 (x1 , x2 ) = V V1 (x1 , x2 ) = θ(x1 , x2 )V
на Σ
= µ(x1 ) = (1 − x1 )v1 + x1 v2 .
Следовательно, (V.τ )(A) = µ(0) = v1 , (V.τ )(B) = µ(1) = v2 , и по построению f2 (x1 , x2 ) = V f2 (x1 , x2 ) V2 (x1 , x2 ) = θ(x1 , x2 )V
на Σ
= v˜(x1 ) = v(x1 ),
т. е. V.n = v on Σ. Мы определили V ∈ D k (D, R2 ) так, что ψ({V }) = (v, v1 , v2 ). Лемма 2.2 доказана. Лемма 2.3. Существует линейное непрерывное отображение Φ : C k (Σ) × R × R → R такое, что для любого векторного поля V ∈ D k (D, R2 ) dJ(Ω; V ) = Φ(V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B)). Доказательство. Можно определить Φ по формуле Φ({V }) = dJ(Ω; V ).
(14)
В самом деле, если {V } = {V }, т. е. V ∈ {V }, то V − V ∈ F (Ω). Так как F (Ω) содержится в ядре dJ(Ω; ·), имеем 0
0
0
dJ(Ω; V − V 0 ) = 0. Полупроизводная Эйлера dJ(Ω; .) линейна по предположению, поэтому dJ(Ω; V ) = dJ(Ω; V 0 ).
(15)
Соотношение (15) позволяет определить Φ. Действительно, из леммы 2.2 и соотношения D k (D, R2 )/F (Ω) ' C k (Σ) × R × R вытекает, что {V } = (V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B)),
(16)
значит, dJ(Ω; V ) = Φ({V }) = Φ(V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B)). (17) Более того, dJ(Ω; ·) линейно и непрерывно, откуда следует, что Φ линейно и непрерывно. Теперь мы можем завершить доказательство структурной теоремы. В самом деле, существует линейное отображение Φ, непрерывное из C k (Σ) × R × R в R, такое, что dJ(Ω; V ) = Φ(V.n, (V.τ )(A), (V.τ )(B))
∀V ∈ D k (D, R2 )
с Φ ∈ (C k (Σ) × R × R)0 = (C k (Σ))0 × R × R. Поэтому существуют вещественные αA , αB и линейная форма φ, непрерывная на C k (Σ), такие, что dJ(Ω; V ) = φ(V.n) + αA (V.τ )(A) + αB (V.τ )(B) Структурная теорема доказана.
∀V ∈ D k (D, R2 ).
(18)
1188
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски 3. Применения структурной теоремы
Мы рассмотрим два примера, демонстрирующие использование структурной теоремы для конфигурационных функционалов, определенных на областях с трещинами. Результаты о формуле Гриффитса в случае односторонних краевых условий на берегах трещины можно найти в [2, 5]. 3.1. Нелинейная граничная задача. Применим структурную теорему в случае функционала энергии для нелинейной граничной задачи. Поскольку сингулярная часть решения в этом случае неизвестна (см. [3]), мы не можем найти коэффициенты αA , αB в доказанной формуле. y2
Γ n
Σl A τ (0,0)
B (l,0) τ
y1
Ω
Рис. 4. Область Ω с трещиной Σl . Пусть D ⊂ R2 — открытое ограниченное множество с гладкой границей Γ. Пусть Σl — множество {(y1 , y2 ) | 0 < y1 < l, y2 = 0}, A и B — его вершины. Будем считать, что это множество принадлежит области D при достаточно малом l > 0. Область с трещиной обозначим через Ω = D \ Σl (рис. 4). Рассмотрим функционал Z (19) I(ϕ) = F (∇ϕ(y)) dy, Ω
где F : R → R удовлетворяет описанным ниже условиям. Пусть W — подпространство в H 1 (Ω), состоящее из функций, следы которых на Γ обращаются в нуль: W = {ϕ ∈ H 1 (Ω) | ϕ|Γ = 0} = HΓ1 (Ω). Можно показать существование и единственность решения следующей задачи минимизации: найти u ∈ W такое, что I(u) = inf I(v). (20) 2
v∈W
= D(D). Рассмотрим преобразование (см. [8]), определенПусть θ1 , θ2 ∈ ное так: (21) y1 = x1 − δθ1 (x1 , x2 ), y2 = x2 − δθ2 (x1 , x2 ) (δ > 0). Координаты точки в открытых множествах Ω, Ωδ обозначаются через (y1 , y2 ) ∈ Ω, (x1 , x2 ) ∈ Ωδ соответственно. Обозначим через V векторное поле с компонентами θ1 , θ2 , V ∈ (D(D))2 . Якобиан преобразования (21) равен C0∞ (D)
qδ = 1 − δ(θ1,x1 + θ2,x2 ) + δ 2 (θ1=,x1 θ2,x2 − θ1,x2 θ2,x1 ) = 1 − δ div V + δ 2 det(DV ). Для достаточно малого δ имеем qδ > 0, так что преобразование (21) взаимно однозначно. Обозначим y = y(x, δ), x = x(y, δ). Пусть Ωδ — образ Ω при преобразовании (21). Поскольку θ1 , θ2 ∈ D(D), Γ инвариантно относительно (21).
Структурная теорема для эйлеровой производной
1189
Обозначим Wδ = HΓ1 (Ωδ ). Можно показать существование и единственность uδ ∈ Wδ такого, что Z Iδ (uδ ) = inf Iδ (w), где Iδ (ψ) = F (∇ψ(x)) dx ∀ψ ∈ Wδ . w∈Wδ
Ωδ
Положим J(Ω) = I(u) =
Z
F (∇u(y)) dy,
δ
J(Ωδ ) = Iδ (u ) =
Ω
Z
F (∇uδ (x)) dx.
Ωδ
Для применения структурной теоремы необходима конфигурационная дифференцируемость функционала J(Ω) в Ω, что устанавливается доказательством существования следующего предела: dJ(Ω; V ) = lim
δ→0+
J(Ωδ ) − J(Ω) , δ
(22)
который линеен и непрерывен относительно V = (θ1 , θ2 ). Конфигурационная дифференцируемость функционала J(Ω) получается при следующих условиях. Теорема 3.1.1. Предположим, что (i) F ∈ C 1 (R2 ; R) выпукла и липшицева, DF липшицева и строго монотон-
на.
(ii) I и Iδ — коэрцитивные строго выпуклые функционалы. Тогда • существует единственное u ∈ W такое, что I(u) = inf I(v), v∈W
и, кроме того, u удовлетворяет соотношению Z hDF (∇u), ∇ϕi dy = 0 ∀ϕ ∈ W , Ω
• существует единственное uδ ∈ Wδ такое, что Iδ (uδ ) = inf Iδ (w), w∈Wδ
и u удовлетворяет соотношению Z hDF (∇uδ ), ∇ψi dx = 0 ∀ψ ∈ Wδ , δ
Ωδ
• J конфигурационно дифференцируем в Ω, и Z Z dJ(Ω; V ) = hDF (∇u), B · ∇ui dy + div V F (∇u) dy, Ω
где B = −
θ1,y1 θ1,y2
θ2,y1 θ2,y2
Ω
.
Доказательство первых двух свойств стандартно и поэтому опускается. Докажем только конфигурационную дифференцируемость функционала J в Ω. Введем следующие обозначения:
1190
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
(i) для матрицы-функции A : Ω → M2,2 (R) через AT обозначим транспонированное отображение, определяемое равенством (AT )(y) = (A(y))T ∀y ∈ Ω, где (A(y))T — транспонированная к A(y) матрица; (ii) kAk∞ = sup sup |Aij (y)| — L∞ -норма матрицы-функции A. y∈Ω i,j=1,2
Доказательство разобьем на несколько шагов. Шаг 1. Существует константа C, не зависящая от δ, такая, что kuδ kWδ ≤ C. При наших предположениях DF строго монотонна, т. е. существует γ > 0 такое, что γ|p − q|2 ≤ hDF (p) − DF (q), p − qi для всех (p, q) ∈ (R2 )2 . Для p = ∇uδ и q = 0 имеем γ|∇uδ |2 ≤ hDF (∇uδ ) − DF (0), ∇uδ i. Интегрирование по Ωδ приводит к неравенству Z Z δ 2 γ |∇u | dx ≤ hDF (∇uδ ) − DF (0), ∇uδ i dx. Ωδ
Ωδ
Принимая во внимание, что
R
hDF (∇uδ ), ∇uδ i dx = 0 для пробной функции
Ωδ
ψ = uδ , имеем γkuδ k2Wδ ≤ −
Z
hDF (0), ∇uδ i dx ≤
Ωδ
Z
|DF (0)||∇uδ | dx =
Ωδ
поэтому γkuδ k2Wδ ≤
|DF (0)|2 2γ
Z
|DF (0)| √ γ|∇uδ | dx, √ γ
Ωδ
Z
dx +
γ δ 2 ku kWδ , 2
Ωδ
и мы приходим к требуемой оценке нормы uδ : kuδ kWδ ≤
|DF (0)||D|1/2 = C. γ
Обозначим uδ (x) = uδ (y), x = x(y, δ), uδ ∈ W . Имеем ∇x uδ = Aδ · ∇y uδ , где −δθ2,x1 1 − δθ1,x1 . Aδ = −δθ1,x2 1 − δθ2,x2 Покажем, что kuδ kW ≤ C 0 для достаточно малого δ. Мы установили, что Z δ 2 ku kWδ = |∇uδ (x)|2 dx ≤ C 2 , Ωδ
откуда, заменяя переменные, имеем Z 1 |Aδ · ∇uδ (y)|2 dy ≤ C 2 . qδ Ω
Учитывая равенства Aδ = I + δB и qδ = 1 − δ div V + δ 2 det(DV ), легко показать, что |qδ − 1| ≤ δ| div V | + δ 2 | det(DV )| ≤ δk div V kL∞(Ω) + δ 2 k det(DV )kL∞ (Ω) → 0 при δ → 0+ ,
Структурная теорема для эйлеровой производной
1191
а это означает равномерную на Ω сходимость qδ → 1 при δ → 0+ . Значит, существует ε1 > 0 такое, что |qδ − 1| ≤ 12 при δ ∈ (0, ε1 ) или, что равносильно, 1 3 2 2 ≤ qδ ≤ 2 в Ω. Используя оценку для qδ , можно оценить L -норму Aδ · ∇uδ : Z Z 2 1 |Aδ · ∇uδ |2 ≤ |Aδ · ∇uδ (y)|2 dy ≤ C 2 , 3 qδ Ω
Ω
p т. е. kAδ · ∇uδ k(L2 (Ω))2 ≤ 3/2C, что может быть переписано в виде p k∇uδ + δB · ∇uδ k(L2 (Ω))2 ≤ 3/2C. Из последнего неравенства вытекает, что k∇uδ k(L2 (Ω))2 − δkB · ∇uδ k(L2 (Ω))2 ≤
p 3/2C.
Ввиду того, что kB · ∇uδ k(L2 (Ω))2 ≤ kBk∞ k∇uδ k(L2 (Ω))2 , имеем k∇uδ k(L2 (Ω))2 (1 − p δkBk∞ ) ≤ 3/2C. Считая, что kBk∞ 6= 0 (иначе V ≡ 0), обозначим ε2 = 1/(2kBk∞). Тогда можно оценить 1 − δkBk∞ снизу: 1 − δkBk∞ ≥
1 2
при δ ∈ (0, ε2 ).
Для любого δ ∈ (0, ε), ε = min(ε1 , ε2 ) > 0, имеем p 1 k∇uδ k(L2 (Ω))2 ≤ 3/2C, 2 а это означает, что √ k∇uδ k(L2 (Ω))2 = kuδ kW ≤ 6C = C 0 , поэтому существует C 0 ≥ 0 такое, что kuδ kW ≤ C 0
для достаточно малого δ.
(23)
Шаг 2. uδ → u в W при δ → 0+ . Заменяя переменные, получаем Z dy hDF (Aδ · ∇uδ ), Aδ · ∇ϕi = 0 ∀ϕ ∈ W . qδ Ω
Согласно предположениям DF строго монотонна: γ|p − q|2 ≤ hDF (p) − DF (q), p − qi
∀(p, q) ∈ (R2 )2 .
Используя это неравенство с p = ∇u и q = ∇uδ , имеем γ|∇u − ∇uδ |2 ≤ hDF (∇u) − DF (∇uδ ), ∇u − ∇uδ i. Интегрирование по Ω приводит к соотношениям Z γku − uδ k2W ≤ hDF (∇u) − DF (∇uδ ), ∇u − ∇uδ i ≤
Z Ω
Ω
hDF (∇u), ∇ui −
Z Ω
hDF (∇u), ∇uδ i +
Z
hDF (∇uδ ), ∇uδ − ∇ui
Ω
≤
Z Ω
hDF (∇uδ ), ∇uδ − ∇ui.
1192
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
Применяя вариационное уравнение для uδ , получаем Z Z 1 1 hDF (Aδ · ∇uδ ), Aδ · ∇ui = 0 = hDF (Aδ · ∇uδ ), Aδ · ∇uδ i, qδ qδ Ω
Ω
что приводит к равенству Z 1 hDF (Aδ · ∇uδ ), Aδ · (∇u − ∇uδ )i = 0. qδ Ω
Перепишем его в виде Z
1 T Aδ · DF (Aδ · ∇uδ ), ∇u − ∇uδ = 0, qδ
Ω
позволяющем оценить норму u − uδ : Z 1 DF (∇uδ ) − ATδ · DF (Aδ · ∇uδ ), ∇uδ − ∇u dy γku − uδ k2W ≤ qδ Ω Z ≤ hFδ (∇uδ ), ∇uδ − ∇ui dy ≤ kFδ (∇uδ )k(L2 (Ω))2 ku − uδ kW , Ω
где Fδ (v) = DF (v) − q1δ ATδ · DF (Aδ · v). L2 -норма Fδ (v) может быть оценена следующим образом: 1 1 1 |Fδ (v)| ≤ DF (v) − DF (v) + DF (v) − ATδ · DF (v) qδ qδ qδ 1 T 1 + Aδ · DF (v) − ATδ · DF (Aδ · v) ≤ αδ + βδ + γδ . qδ qδ Разберемся с αδ , βδ , γδ по отдельности. Имеем − div V + δ det(DV ) αδ = δ|DF (v)| qδ ≤ 2δ|DF (v)|(k div V kL∞ (Ω) + εk det(DV )kL∞ (Ω) ), откуда αδ ≤ C1 δ|DF (v)| при δ ∈ (0, ε). Рассуждая аналогично для βδ , находим βδ =
1 |DF (v) − (I + δB)T · DF (v)| ≤ 2|δB T · DF (v)| ≤ 2δkB T k∞ |DF (v)|, |qδ |
что приводит к оценке βδ ≤ C2 δ|DF (v)| для δ ∈ (0, ε). Наконец, для γδ γδ =
1 T Aδ · DF (v) − ATδ · DF (Aδ · v) ≤ 2 ATδ |DF (v) − DF (Aδ · v)|. |qδ |
С учетом того, что
T
A = kI + δB T k ≤ kIk + εkB T k∞ при δ ∈ (0, ε), δ
получаем неравенство для γδ :
γδ ≤ 2(kIk + εkB T k∞ )|DF (v) − DF (Aδ · v)|. Поскольку DF липшицева, γδ ≤ 2(kIk + εkB T k∞ )L|v − Aδ · v| и |v − Aδ · v| = |δB · v| ≤ δkBk∞ |v|, неравенство γδ ≤ C3 δ|v| получается для δ ∈ (0, ε).
Структурная теорема для эйлеровой производной
1193
Завершим оценку Fδ (v). Имеем |Fδ (v)| ≤ C1 δ|DF (v)| + C2 δ|DF (v)| + C3 δ|v| = δ(C4 |DF (v)| + C3 |v|). Из неравенства |DF (v)| ≤ |DF (0)| + L|v| следует, что |Fδ (v)| ≤ δ(µ1 + µ2 |v|) и |Fδ (v)|2 ≤ δ 2 (µ1 + µ2 |v|)2 ≤ 2δ 2 µ21 + µ22 |v|2 , поэтому |Fδ (∇uδ )|2 ≤ 2δ 2 µ21 + µ22 |∇uδ |2 для v = ∇uδ . Интегрируя последнее неравенство по Ω, получаем Z Z 2 2 2 2 2 |Fδ (∇uδ )| ≤ 2δ µ1 |D| + µ2 |∇uδ | ≤ 2δ 2 µ21 |D| + µ22 kuδ k2W , Ω
Ω
откуда приходим к оценке kFδ (∇uδ )k(L2 (Ω))2 ≤ µδ для δ ∈ (0, ε). Поэтому γku − uδ k2W ≤ µδku − uδ kW для δ ∈ (0, ε) и переход к пределу ku − uδ kW ≤
µ δ → 0 при δ → 0+ γ
завершает доказательство непрерывности по δ: uδ → u в W при δ → 0+ . Шаг 3. Переход к пределу в (22). Введем следующие обозначения: Z Z Z 1 π(Ω; ϕ) = F (∇ϕ) dy, πδ (Ω; ϕ) = F (Aδ · ∇ϕ) dy, π(Ωδ ; ϕ) = F (∇ϕ) dx, qδ Ω
Ω
π(Ω; u) = min π(Ω; ϕ), ϕ∈W
Ωδ
π(Ωδ ; uδ ) = min π(Ωδ ; ϕ). ϕ∈Wδ
Заменяя переменные, получаем min πδ (Ω; ϕ) = min π(Ωδ ; ϕ). Обозначим J(Ω) = ϕ∈W
ϕ∈Wδ
π(Ω; u), J(Ωδ ) = π(Ωδ ; uδ ). Имеем J(Ωδ ) − J(Ω) π(Ωδ ; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) = = ≤ . δ δ δ δ Предельный переход в обеих частях приводит к соотношениям lim sup δ→0+
J(Ωδ ) − J(Ω) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) ≤ lim inf ≤ lim sup . δ δ δ δ→0+ + δ→0
По определению функционалов энергии Z F (A · ∇u) 1 − F (∇u) δ πδ (Ω; u) − π(Ω; u) qδ = dy δ δ Ω Z Z F (Aδ · ∇u) − F (∇u) 1 − qδ = dy + F (∇u) dy δqδ δqδ Ω Ω Z Z F (∇u + δB · ∇u) − F (∇u) 1 − qδ dy + F (∇u) dy. = δqδ δqδ Ω
Ω
При наших предположениях существует функция ξ, 0 ≤ ξ(y) ≤ δ, такая, что F (∇u + δB · ∇u) − F (∇u) = hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui. δ
1194
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
Следовательно, πδ (Ω; u) − π(Ω; u) = δ
Z
1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy + qδ
Ω
Z
1 − qδ F (∇u) dy, δqδ
Ω
и переход к пределу при δ → 0 в правой части осуществляется по теореме о мажорированной сходимости. Поскольку F и DF липшицевы, то Z Z 1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy → hDF (∇u), B · ∇ui dy, qδ +
Ω
Ω
Z
1 − qδ F (∇u) dy → δqδ
Ω
Z
div V F (∇u) dy,
Ω
откуда получаем, что lim sup δ→0+
πδ (Ω; u) − π(Ω; u) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) = lim+ δ δ δ→0 Z Z = hDF (∇u), B · ∇ui dy + div V F (∇u) dy. Ω
Ω
Для завершения доказательства дифференцируемости выведем оценку снизу для lim inf, используя следующее неравенство: J(Ωδ ) − J(Ω) π(Ωδ ; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) = = ≥ . δ δ δ δ Переход к пределу в обеих частях приводит в неравенству lim inf + δ→0
J(Ωδ ) − J(Ω) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) ≥ lim inf . δ δ δ→0+
Вновь по определению функционалов энергии имеем Z F (A · ∇u ) 1 − F (∇u ) δ δ qδ δ πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) = dy δ δ Ω Z Z F (Aδ · ∇uδ ) − F (∇uδ ) 1 − qδ = dy + F (∇uδ ) dy. δqδ δqδ Ω
Ω
Используя формулу Тейлора, получаем F (∇uδ + δB · ∇uδ ) − F (∇uδ ) F (Aδ · ∇uδ ) − F (∇uδ ) = δ δ = hDF (∇uδ + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i для функции ξ, 0 ≤ ξ(y) ≤ h, откуда Z πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) 1 = hDF (∇uδ + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy δ qδ Ω Z 1 − qδ + F (∇uδ ) dy. δqδ Ω
Структурная теорема для эйлеровой производной Имеем следующую оценку: Z Z 1 − qδ 1 − qδ F (∇uδ ) dy − F (∇u) dy δqδ δqδ Ω Ω Z Z 1 − qδ (F (∇uδ ) − F (∇u)) dy ≤ = δqδ Ω
Ω
1195
1 − qδ δqδ M |∇uδ − ∇u| dy.
Принимая во внимание неравенство 1 − qδ δqδ ≤ 2(k div V kL∞(Ω) + εk det(DV )kL∞ (Ω) ) при δ ∈ (0, ε), выводим, что Z Z 1 − qδ 1 − qδ F (∇uδ ) dy − F (∇u) dy δqδ δqδ Ω
Ω
≤ 2M (k div V kL∞ (Ω) + εk det(DV )kL∞ (Ω) )
Z
|∇uδ − ∇u| dy.
Ω
Из того, что lim ku − uδ kW = 0, следует сходимость δ→0+
Z Ω
1 − qδ F (∇uδ ) dy → δqδ
Z
div V F (∇u) dy при δ → 0+ .
Ω
Далее, Z Z 1 hDF (∇uδ + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy = qδ Ω Ω Z Z 1 − hDF (∇u + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy + qδ Ω Ω Z Z 1 − hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇uδ i dy + qδ Ω Ω Z Z 1 − hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy + qδ Ω ZΩ = Aδ +
1 hDF (∇uδ + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy qδ 1 hDF (∇u + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy qδ 1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇uδ i dy qδ 1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy qδ 1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy, qδ
Ω
где для последнего члена Z Z 1 hDF (∇u + ξB · ∇u), B · ∇ui dy → hDF (∇u), B · ∇ui dy qδ Ω
при δ → 0+ .
Ω
Поскольку DF липшицева, существует константа N ≥ 0 такая, что |Aδ | ≤ N ku− uδ kW для любого δ ∈ (0, ε), а это означает, что Aδ → 0 при δ → 0+ , и мы получаем сходимость Z Z 1 hDF (∇uδ + ξB · ∇uδ ), B · ∇uδ i dy → hDF (∇u), B · ∇ui dy при δ → 0+ , qδ Ω
Ω
1196
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
которая влечет равенство πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) = lim+ δ δ δ→0 Z Z = hDF (∇u), B · ∇ui dy + div V F (∇u) dy.
lim inf + δ→0
Ω
Ω
Наконец, lim+
δ→0
J(Ωδ ) − J(Ω) = δ
Z
hDF (∇u), B · ∇ui dy +
Ω
Z
div V F (∇u) dy = dJ(Ω; V ).
Ω
Мы показали, что конфигурационный функционал J(Ω) дифференцируем, отображение V 7→ dJ(Ω; V ) линейно и непрерывно и можно применять в этом случае структурную теорему, которая приводит к следующей формуле: dJ(Ω; V ) = αA (V.τ )(A) + αB (V.τ )(B) + φ(V.n) ∀V ∈ D k (D; R2 ), где φ ∈ (C k (Σl ))0 , αA , αB ∈ R и k = 1. 3.2. Условия Синьорини. Пусть D ⊂ R2 — ограниченная область с гладкой границей Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓS и Σ — множество {(x1 , x2 ) | 0 < x1 < 1, x2 = 0}. Будем считать, что это множество лежит в области D. Область с трещиной Σ обозначим через Ω = D \ Σ (рис. 5). В области Ω рассмотрим следующую граничную задачу для функции u, удовлетворяющей условиям −∆u = f в Ω; ∂u = 0 на Σ± ; ∂n
∂u = φ на ΓN ; ∂n ∂u ∂u ≥ 0, u = 0 на ΓS . u ≥ 0, ∂n ∂n u = 0 на ΓD ;
(24)
Здесь f ∈ C 1 (D), φ ∈ H 2 (Ω) — заданные функции. X2
φ ΓN
ΓD
n
Σ A τ (0,0)
B (1,0) τ
X1
Ω ΓS
Рис. 5. Область Ω. Соответствующая вариационная формулировка этой нелинейной задачи, а также факт существования и единственности решения хорошо известны. Коротко напомним две эквивалентные формулировки задачи (24): u ∈ K,
a(u, v − u) ≥ L(v − u)
∀v ∈ K
(25)
Структурная теорема для эйлеровой производной
1197
или u ∈ K,
I(u) ≤ I(v)
∀v ∈ K,
(26)
где K = {v ∈ H (Ω) | v = 0 на ΓD и v ≥ 0 на ΓS } — замкнутое выпуклое множество в H 1 (Ω). Здесь мы использовали следующее обозначение для u, v ∈ H 1 (Ω): Z Z Z 1 a(u, v) = h∇u, ∇vi, L(v) = f v + φv, I(v) = a(v, v) − L(v). 2 1
Ω
Ω
ΓN
Функционал энергии для задачи (24) определяется по формуле Z Z Z 1 |∇u|2 − f u − φu, J(Ω) = 2 Ω
Ω
(27)
ΓN
где u — вариационное решение (24). Пусть θ1 , θ2 ∈ C0∞ (D). Будем использовать те же обозначения, что и в п. 3.1. Для δ > 0 минимизационная задача определяется в Ωδ с функционалом энергии Z Z Z 1 δ 2 δ |∇u | − f u − φuδ . (28) J(Ωδ ) = 2 Ωδ
Ωδ
ΓN
Найдем вид конфигурационной производной J(Ωδ ) − J(Ω) dJ(Ωδ ) = lim = dJ(Ω; V ), dδ δ=0 δ→0+ δ
(29)
необходимой для применения структурной теоремы. Пусть uδ (x) — решение минимизационной задачи в Ωδ и uδ (x) = uδ (y), x = x(y, δ). Имеем ∇x uδ = Aδ · ∇y uδ с Aδ =
1 − δθ1,x1 −δθ1,x2
−δθ2,x1 1 − δθ2,x2
(30)
.
Таким образом, Aδ = I + δB. Следовательно, Z Z 1 |∇uδ |2 dx = |Aδ · ∇uδ |2 dy. qδ Ωδ
Ω
Замена переменных дает равенство Z Z 1 f uδ dx = f (x(y, δ))uδ (y) dy. qδ Ωδ
Обозначим f δ (y) =
Ω
f (x(y,δ)) . qδ
Тогда f δ (y) − f 0 (y) df δ (y) 0 . = lim f (y) = dδ δ=0 δ→0+ δ
Считая y, δ независимыми переменными в (21), имеем x = x(y, δ). Дифференцируя (21) по δ, получим 0=
dx1 dx1 dx2 − θ1 − δθ1,x1 − δθ1,x2 , dδ dδ dδ
0=
dx1 dx2 dx2 − θ2 − δθ2,x1 − δθ2,x2 , dδ dδ dδ
1198
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
так что θ1 (1 − δθ2,x2 ) + δθ2 θ1,x2 dx1 = , dδ qδ
θ2 (1 − δθ1,x1 ) + δθ1 θ2,x1 dx2 = . dδ qδ
Следовательно, из (31) вытекает, что ∂f (x(y, δ)) dx1 dx2 = fx1 + fx2 = fy1 θ1 + fy2 θ2 . ∂δ dδ δ=0 dδ δ=0 δ=0
(31)
(32)
Теперь мы можем найти производную f 0 (y). Действительно, согласно (32) f (x(y, δ)) f (x(y, δ)) − qδ f (y) 1 f 0 (y) = lim − f (y) = lim qδ qδ δqδ δ→0+ δ→0+ f (x(y, δ)) − f (y) = lim + div V f (y)|δ=0 = fy1 θ1 + fy2 θ2 + (θ1y1 + θ2y2 )f, δ δ→0+ т. е. ∂ ∂ f 0 (y) = (θ1 f ) + (θ2 f ) = div(V f ). (33) ∂y1 ∂y2 Так как f ∈ C 1 (Ω), можно заметить, что f δ (y) − f 0 (y) → f 0 (y) в L∞ (Ω) δ
(34)
при δ → 0+ . Множества допустимых функций для рассматриваемых минимизационных задач определяются так: Kδ = {w ∈ H 1 (Ωδ ) | w = 0 на ΓD и w ≥ 0 на ΓS }, K0 = K = {w ∈ H 1 (Ω) | w = 0 на ΓD и w ≥ 0 на ΓS }. С учетом (21) пусть x = x(y, δ). Тогда wδ (x) = wδ (y). Из включения w ∈ Kδ вытекает, что wδ ∈ K0 , и, обратно, из wδ ∈ K0 — что wδ ∈ Kδ . Это означает, что преобразование (21) отображает Kδ на K0 и взаимно однозначно. Докажем непрерывность uδ по δ: δ
kuδ − ukH 1 (Ω) → 0 при δ → 0+ . Функция uδ ∈ Kδ является решением вариационного неравенства Z Z Z δ δ δ h∇u , ∇v − ∇u i ≥ f (v − u ) + φ(v − uδ ) ∀v ∈ Kδ . Ωδ
Ωδ
(35)
ΓN
Подставив v = 0 в (35), получим, что kuδ kH 1 (Ωδ ) ≤ C равномерно по δ. Следовательно, kuδ kH 1 (Ω) ≤ C равномерно по δ. Замена переменных в (35) дает оценку Z Z Z dy hAδ · ∇uδ , Aδ · ∇˜ v − Aδ · ∇uδ i ≥ f δ (˜ v − uδ ) dy + φ(˜ v − uδ ) dσ(y) ∀˜ v ∈ K0 qδ Ω
Ω
ΓN
или Aδ = I + δB. Отсюда согласно (36) имеем Z dy h∇uδ + δB · ∇uδ , ∇˜ v + δB · ∇˜ v − ∇uδ − δB · ∇uδ i qδ Ω Z Z ≥ f δ (˜ v − uδ ) dy + φ(˜ v − uδ ) dσ(y) Ω
ΓN
(36)
∀˜ v ∈ K0 . (37)
Структурная теорема для эйлеровой производной
1199
Подставив v˜ = u в (37), получаем Z Z Z dy h∇uδ , ∇u − ∇uδ i + P (δ, u, uδ ) ≥ f δ (u − uδ ) dy + φ(u − uδ ) dσ(y), (38) qδ Ω
Ω
ΓN
где P (δ, u, uδ ) → 0 при δ → 0 . Решение задачи (24) является решением вариационного неравенства Z Z Z u ∈ K0 : h∇u, ∇v − ∇ui ≥ f (v − u) + φ(v − u) dσ(y) ∀v ∈ K0 . +
Ω
Ω
ΓN
Подставив v = uδ , придем к неравенству Z Z Z h∇u, ∇uδ − ∇ui ≥ f (uδ − u) + φ(uδ − u). Ω
Ω
(39)
ΓN
Соотношения (38), (39) приводят к сходимости kuδ − ukH 1 (Ω) → 0 при δ → 0+ .
(40)
Обозначим J(Ω) = π(Ω; u), J(Ωδ ) = π(Ωδ ; u ). Имеем δ
J(Ωδ ) − J(Ω) π(Ωδ ; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) = = ≤ δ δ δ δ и тем самым J(Ωδ ) − J(Ω) πδ (Ω; u) − π(Ω; u) lim sup ≤ lim sup δ δ + + δ→0 δ→0 Z Z Z 1 = hB · ∇u, ∇ui dy + div V |∇u|2 dy − f 0 u dy. (41) 2 Ω
Ω
Ω
С другой стороны, J(Ωδ ) − J(Ω) π(Ωδ ; uδ ) − π(Ω; u) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; u) = = δ δ δ πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) ≥ , δ поэтому согласно (40) lim inf δ→0+
J(Ωδ ) − J(Ω) πδ (Ω; uδ ) − π(Ω; uδ ) ≥ lim inf + δ δ δ→0 Z Z Z 1 2 = hB · ∇u, ∇ui dy + div V |∇u| dy − f 0 u dy. (42) 2 Ω
Ω
Ω
Из (41) ввиду (42) следует, что Z Z Z J(Ωδ ) − J(Ω) 1 2 lim div V |∇u| dy − f 0 u dy. = hB∇u, ∇ui dy + δ 2 δ→0+ Ω
Ω
(43)
Ω
Подстановка B и f 0 в (43) приводит к соотношению Z 1 ((θ1y1 − θ2y2 )((uy1 )2 − (uy2 )2 ) + 2(θ1y2 + θ2y1 )uy1 uy2 ) dJ(Ω; V ) = − 2 Ω Z − ((θ1 f )y1 + (θ2 f )y2 )u. Ω
(44)
1200
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски
Отображение V 7→ dJ(Ω; V ) линейно и непрерывно при k = 1. Функционал J(Ω) конфигурационно дифференцируем, и тем самым в этом случае применима структурная теорема. Найдем соотношение между коэффициентами αA , αB в формуле (18) и коэффициенты сингулярности решения задачи (24). Нас будут интересовать такие преобразования области Ω, при которых концы трещины перемещаются, в то время как остальная часть границы не изменяется. Кроме того, предположим, что концы трещины перемещаются без изменения направления, так что изменение границы определяется векторным полем V (x) = (θ1 (x), 0), (45) где θ1 имеет носитель в D и θ1 (x) = −1 в окрестности начала A. Согласно (44) Z Z 1 2 2 dJ(Ω; V ) = − (θ1y1 ((uy1 ) − (uy2 ) ) + 2θ1y2 uy1 uy2 ) − (θ1 f )y1 u. 2 Ω
Ω
С другой стороны, Z Z 1 2 2 dJ(Ω; V ) = lim − (θ1y1 ((uy1 ) − (uy2 ) ) + 2θ1y2 uy1 uy2 ) − (θ1 f )y1 u, ε→0 2 Ωε
Ω
где Ωε — подмножество Ω, определяемое числом r > ε (рис. 6). Пусть γε — кривая, заданная числом r = ε, и 0 < θ < 2π. φ
X2
ΓN ΓD A (0,0)
ν
Σ
ε
n B (1,0)
X1
γε
Ωε ΓS
Рис. 6. Область Ωε . Введем обозначение Aε = −
1 2
Z
(θ1y1 ((uy1 )2 − (uy2 )2 ) + 2θ1y2 uy1 uy2 ).
(46)
Ωε
Интегрируя по частям, получим Z 1 2 2 Aε = θ1 ((uy1 ) − (uy2 ) )y1 + (uy1 uy2 )y2 dy 2 Ωε Z 1 2 2 + θ1 cos θ((uy1 ) − (uy2 ) ) + sin θuy1 uy2 dσ. 2 γε
Структурная теорема для эйлеровой производной
1201
Используя это равенство для решения u: 1 ((uy1 )2 − (uy2 )2 )y1 + (uy1 uy2 )y2 = uy1 (uy1 y1 + uy2 y2 ) = uy1 ∆u = −f uy1 , 2 приходим к формуле Z Z 1 2 2 Aε = − θ1 f uy1 dy + θ1 cos θ((uy1 ) − (uy2 ) ) + sin θuy1 uy2 dσ. 2
(47)
γε
Ωε
Кроме того,
Z
θ1 f uy1 dx →
Ωε
Пусть Bε =
Z
Z
θ1 f uy1 dx при ε → 0+ .
Ω
θ1
1 cos θ((uy1 )2 − (uy2 )2 ) + sin θuy1 uy2 dσ. 2
γε
Известно, что u = uR + cS, √
(48)
и u ∈ H (U ) (U — малая окрестность A в Ω такая, что U ∩Γ = где S = ∅) и c — коэффициент сингулярности решения вариационного неравенства (25). Принимая во внимание разложение (48), для достаточно малого ε, поскольку θ1 ≡ −1 на γε , имеем r cos( θ2 )
R
2
Z2π 1 2 2 Bε = c ε cos θ((Sy1 ) − (Sy2 ) ) + sin θ(Sy1 Sy2 ) dθ 2 2
0
+c
Z2π
R R R dθ ε cos θ uR y1 Sy1 − uy2 Sy2 + sin θ uy1 Sy2 + uy2 Sy1
0
Z2π 2 1 R 2 R R + ε + sin θ u cos θ uR − u u dθ = Bε(1) + Bε(2) + Bε(3) . y1 y2 y1 y2 2 0
В этом случае вид сингулярных функций известен: 1 1 θ θ Sy1 = √ cos , Sy2 = √ sin . 2 2 2 r 2 r Первый из интегралов в Bε принимает вид Bε(1)
2
=c
Z2π
cos θ 2
1 cos2 4
1 sin θ θ θ θ θ 2 − sin + cos sin dθ 2 4 2 4 2 2
0
c2 = 8
Z2π 2πc2 πc2 (cos2 θ + sin2 θ)dθ = = . 8 4 0
Имеем Bε(1) =
πc2 . 4
(49)
1202
Ж. Фремь¨е, Я. Соколовски (2)
(3)
Нетрудно видеть, что Bε → 0 и Bε → 0 при ε → 0+ (на самом деле мы имеем √ (2) (3) оценки Bε = O( ε), Bε = O(ε)). Таким образом, Z πc2 πc2 Bε → , Aε → − θ1 f uy1 dy + при ε → 0+ , 4 4 Ω
откуда dJ(Ω; V ) = −
Z
((θ1 f )y1 u) dy −
Ω
Z
θ1 f uy1 dy +
Ω
= − lim+
Z
ε→0
πc2 4 πc2 ((θ1 f )y1 u + θ1 f uy1 ) dy + 4
Ω
и, наконец,
πc2 (50) = αA . 4 Коэффициент αA = πc2 /4 совпадает с выражением эйлеровой полупроизводной dJ(Ω; V ), определяемой структурной теоремой. dJ(Ω; V ) =
ЛИТЕРАТУРА 1. Bui H. D., Ehrlacher A. Developments of fracture mechanics in France in the last decades // Fracture Research in Retrospect. Rotterdam, 1997. P. 369–387. 2. Destyunder Ph., Jaoua M. Sur une interpr´etation math´ematique de l’int´egrale de Rice en th´eorie de la rupture fragile // Math. Methods Appl. Sci.. 1981. V. 3. P. 70–87. 3. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Berlin: Springer-Verl., 1992. (Rech. Math. Appl.). 4. Blat J., Morel J. M. Elliptic problems in image segmentation and their relation to fracture theory // Recent advances in nonlinear elliptic and parabolic problems. Proc. Intern. Conf. Longman Scientific and Technical. 1988. V. 10. P. 379–394. 5. Destyunder Ph. Calcul de forces d’avancement d’une fissure en tenant compte du contact unilat´eral entre les l`evres de la fissure // C. R. Acad. Sci., S´er. 2.. 1983. T. 296. P. 745–748. 6. Sokolowski J., Zol´esio J. P. Introduction to shape optimization: shape sensitivity analysis.. Berlin etc.: Springer-Verl, 1992. (Comput. Math.; V. 16). 7. Khludnev A. M., Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice — Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains // European J. Appl. Math.. 1999. V. 10, N 4. P. 379–394. 8. Khludnev A. M., Sokolowski J. Griffith formula for elasticity system with unilateral conditions in domains with cracks // European J. Mech. A. Solids. 2000. V. 19, N 1. P. 105–120. 9. Aubin J. P. Initiation ` a l’analyse appliqu´ee. Paris: Masson, 1994. (Found. appl. anal.). 10. Delfour M. C. Shape derivatives and differentiability of Min Max // Shape optimization and free boundaries. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute and S´eminaire de math´ematiques sup´erieures, held Montreal, Canada, June 25-July 13, 1990.. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992 (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys.; 380). P. 36–112. 11. Delfour M. C., Zol´esio J. P. Structure of shape derivatives for nonsmooth domains // J. Funct. Anal.. 1992. V. 104, N 1. P. 1–33. Статья поступила 3 марта 1999 г. Universit´ e Henri Poincar´ e (Nancy I), Institut de Math´ ematiques Elie Cartan, B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-l` es-Nancy Cedex, France
[email protected] [email protected] 