Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

С.С. Коробков

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Учебное пособие

Екатеринбург 1999

С.С. Коробков. Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с.

В предлагаемом учебном пособии, предназначенном для студентов первого курса очного и заочного отделений математического факультета, разобран весь основной материал первой темы курса “Алгебра и теория чисел”. Все определяемые в пособии понятия сопровождаются примерами, а утверждения — подробными доказательствами. В конце каждого пункта сформулированы вопросы для самопроверки, отражающие обязательный минимум знаний. Достаточный уровень усвоения материала соответствует способности самостоятельного решения упражнений, содержащихся в пособии. Пособие будет полезно учителям математики и учащимся старших классов.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Е.А. Перминов

c С.С. Коробков, 1999

Оглавление Предисловие

5

1 Элементы математической логики 1.1 Высказывания. Логические операции . . . . . 1.1.1 Понятие высказывания . . . . . . . . . 1.1.2 Логические операции . . . . . . . . . . 1.1.3 Формулы логики высказываний . . . . 1.1.4 Вопросы для самопроверки . . . . . . 1.1.5 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Логическое следствие. Методы доказательств 1.2.1 Логическое следствие . . . . . . . . . . 1.2.2 Методы доказательств . . . . . . . . . 1.2.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . 1.2.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Предикаты. Кванторы . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Предикаты . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . 1.3.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Формулы логики предикатов . . . . . . . . . . 1.4.1 Формулы логики предикатов . . . . . . 1.4.2 Запись математических предложений логики предикатов . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . 1.4.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Виды теорем. Необходимость и достаточность 1.5.1 Вопросы для самопроверки . . . . . . . 1.5.2 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . на языке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 8 9 15 15 16 16 17 21 21 21 21 24 25 26 28 28 30 32 32 34 36 36

2 Элементы теории множеств 2.1 Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Понятие множества. Способы задания множеств 2.1.2 Пустое и универсальное множества . . . . . . . . 2.1.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Определение операций над множествами . . . . . 2.2.2 Свойства операций над множествами . . . . . . . 2.2.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Определение и примеры бинарных отношений . . 2.3.2 Виды бинарных отношений . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Разбиение множества . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Функции и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Определения функции и отображения . . . . . . . 2.5.2 Виды отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 38 39 40 40 41 41 42 44 44 45 45 46 49 50 51 51 52 54 54 55 55 56 59 59 61

4

Предисловие Предлагаемое учебное пособие является вторым изданием работы автора “Элементы математической логики и теории множеств”, опубликованной в Свердловском государственном педагогическом институте в 1988 году. По своему содержанию новое издание не многим отличается от предыдущего. В него внесено лишь несколько исправлений и незначительных дополнений. Существенные различия можно обнаружить в оформлении этих двух изданий: если первое из них автор печатал на пишущей машинке, а затем от руки вписывал формулы, то второе издания было подготовлено им с использованием издательской системы LATEX 2ε , специально предназначенной для подготовки к печати математических текстов. Данное учебное пособие адресовано в первую очередь студентампервокурсникам математического факультета педагогического университета. Оно состоит из двух частей. Первая часть целиком посвящена элементам математической логики. В ней изучаются операции над высказываниями, свойства этих операций, рассматриваются различные методы доказательств и приводятся их логические обоснования. Кроме этого, здесь вводятся различные виды теорем и такие понятия, как “необходимое условие”, “достаточное условие” и “необходимое и достаточное условие”, с которыми студенты встретятся в дальнейшем в самых различных математических дисциплинах. В этой же части рассмотрены правила записи математических предложений на специальном языке — языке логики предикатов и правила построения отрицаний. Вторая часть пособия посвящена элементам теории множеств. Здесь вводятся операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение) и изучаются их свойства, рассматриваются бинарные отношения и отображения множеств. Все новые понятия сопровождаются определениями, а все определения — многочисленными 5

примерами. Данное пособие можно рассматривать как введение в математику, хотя оно не охватывает всех аспектов введения (в нем не говорится о методе математической индукции и нет элементов комбинаторики). Главные его цели — 1) познакомить с логическими операциями и основными способами доказательств теорем, 2) показать возможности использования языка логики предикатов для записи математических предложений, 3) научить выполнять основные операции над множествами. Автор стремился сделать изложение строгим и вместе с тем доступным и потому адресует данное пособие не только студентам, но и тем учащимся школ, которые хотели бы углубить свои математические знания. В работе использованы следующие обозначения: буквами N, Z, Q и R обозначены соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Значком 2 обозначается конец доказательства и конец решения задачи.

6

Глава 1 Элементы математической логики 1.1

Высказывания. Логические операции

1.1.1 Понятие высказывания Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами. Примеры высказываний: D : 5 — простое число, E : 12 = 22 · 3, F : Земля — спутник Луны, G : Функция y = cos x является четной, H : если ~a и ~b — различные векторы, то ~a − ~b 6= ~b − ~a. Каждое высказывание кроме своего смыслового значения имеет и истинностное значение, которое есть истина (сокращенно И) или ложь (сокращенно Л). Так в предыдущих примерах истинностные значения высказываний D, E, G, H равны И, а истинностное значение высказывания F равно Л. Высказывания D, E, F , G являются примерами простых высказываний, высказывание H — пример сложного высказывания. Сложные высказывания образуются из простых с помощью логических операций (связок). Определим следующие логические операции: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию.

7

1.1.2 Логические операции Опpеделение 1.1.1 Отрицанием высказывания A называется высказывание ¬A1 (читается «не А»), которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Опpеделение 1.1.2 Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание A ∧ B (читается «А и B»), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Опpеделение 1.1.3 Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание A ∨ B (читается «А или B»), которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Опpеделение 1.1.4 Импликацией высказываний А и В называется высказывание A ⇒ B (читается «если А, то B»), которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно. Высказывания A и В в импликации имеют специальные названия: А называется посылкой или условием, а В называется следствием или заключением. Опpеделение 1.1.5 Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание A ⇔ B (читается «А тогда и только тогда, когда В»), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны или ложны. Примеры. Пусть буквы D, E, F , G, H имеют тот же смысл, что и выше. Тогда высказывание (¬D) ∨ G является истинным, так как высказывание G истинно; высказывание (E ∧ (¬G)) ⇔ F истинно, так как высказывания (E ∧ (¬G)) и F одновременно ложны; высказывание D ⇒ ¬G ложно, так как высказывание D истинно, а высказывание ¬G ложно. Подчеркнем, что логические операции определяются над любыми высказываниями и потому истинными могут оказаться совершенно бессмысленные высказывания, например, такие как F ⇒ G: если Земля — спутник Луны, то 12 = 22 · 3. 1

В некоторых учебниках высказывание A.

8

1.1.3 Формулы логики высказываний Логические операции над высказываниями обладают рядом общих свойств. Применение этих свойств позволяет, с одной стороны, сводить анализ сложных высказываний к анализу более простых высказываний, а с другой стороны — преобразовывать длинные цепочки высказываний в более короткие. Очевидно, что главным критерием верности выполненных преобразований является совпадение истинностных значений первоначального и полученного высказываний для каждого шага преобразований. Изучение свойств логических операций естественно проводить не на конкретных высказываниях, а на особых выражениях, содержащих переменные, принимающие значения И и Л (такие переменные называются пропозициональными переменными), знаки логических операций и круглые скобки для указания порядка выполнения действий. Пропозициональные переменные будем обозначать малыми латинскими буквами и называть их просто переменными. Сформулируем определение формулы логики высказываний: Опpеделение 1.1.6 1) Пропозициональные переменные, буквы И и Л являются формулами логики высказываний; 2) если A и B — формулы логики высказываний, то формулами логики высказываний являются также выражения: (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B); 3) выражение является формулой логики высказываний тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет первому или второму пункту данного определения. Примеры формул логики высказываний: (¬A ∧ (A ∨ (B ⇒ C))), ((A ⇒ B) ⇔ ((¬A) ∧ C)), (A ∨ ¬(B ⇒ C)). Следующие выражения не являются формулами логики высказываний: (∨), (¬A)¬B, (¬ ⇒ B), (∨A ∨ B), (A¬ ⇒ B). Из определения 1.1.6 следует, что формулы логики высказываний имеют внешнее сходство с буквенными выражениями элементарной алгебры. Они содержат конечное число переменных, то есть элементарных формул, левых и правых скобок, знаков логических операций и букв И и Л. В дальнейшем там, где не возникает двусмыслия, для сокращения речи мы вместо слов «формула логики высказываний» будем говорить просто «формула». Как правило, формула логики 9

высказываний, содержащая пять или более знаков логических операций, — это громоздкое и трудно читаемое выражение. Формулу можно упростить за счет уменьшения числа скобок в ней, приняв следующие соглашения: 1) внешние скобки в формуле можно опускать; 2) внутренние скобки в формуле можно опускать с учетом следующего порядка выполнения действий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Пример такого упрощения: формулу (A ⇔ (B ⇒ (C ∨ (D ∧ (¬E))))) можно записать более коротко: A ⇔ B ⇒ C ∨ D ∧ ¬E. Очевидно, что совсем без скобок обойтись нельзя. Действительно, в формулах A ∧ (B ∨ C) и A ∧ B ∨ C различные порядки выполнения действий. Подставляя в формулу вместо переменных их значения и выполняя указанные в ней действия, находим истинностное значение формулы. Зависимость истинностных значений формулы от значений входящих в нее переменных наглядно иллюстрируют истинностные таблицы. С использованием этих таблиц основные логические операции можно было бы определить так: p И И Л Л

q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q И Л И И И И Л Л Л И Л Л И И Л И И Л Л И Л Л И И

Существуют формулы, истинностные значения которых не зависят от значений входящих в них переменных. Такие формулы имеют специальные названия. Опpеделение 1.1.7 Формула логики высказываний называется тождественно истинной (тождественно ложной), если при любых значениях входящих в нее переменных ее истинностное значение равно истине (лжи). Тождественно истинностные формулы называют также тавтологиями, а тождественно ложные — противоречиями. Примерами тождественно истинных формул являются формулы p ∨ ¬p, p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q, p ⇒ p ∨ q, а примерами тождественно ложных — формулы p ∧ ¬p, (p ∧ (¬p ∨ q)) ∧ ¬q. Для того, чтобы убедиться в 10

этом, достаточно составить для каждой из формул таблицу истинности. Покажем это на примере формулы p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q. Переменными в этой формуле являются буквы p и q. Порядок выполнения действий таков: импликация (в скобках), конъюнкция, импликация. В соответствии с этим выделяем части, из которых состоит формула: p ⇒ q, p ∧ (p ⇒ q) и составляем таблицу истинности: p И И Л Л

q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q И И И И Л Л Л И И И Л И Л И Л И

Существуют формулы, которые не являются ни тождественно истинными, ни тождественно ложными. Такие формулы принимают истинностные значения И и Л. Примеры таких формул: p, p ∨ ¬q, p ⇒ ¬q. Опpеделение 1.1.8 Две формулы логики высказываний A и B называются равносильными, если при любом наборе значений переменных, входящих в эти формулы, истинностные значения формул A и B равны. То, что формулы A и B равносильны, будем записывать так: A ≡ B. Понятия равносильности и эквиваленции тесно связаны между собой. Эта связь отражена в следующей теореме: Теоpема 1.1.1 Формулы логики высказываний A и B равносильны тогда и только тогда, когда формула A ⇔ B является тождественно истинной. Доказательство. Пусть формулы A и B зависят от переменных p1 , p2 , . . . , pn . Предположим сначала, что формулы A и B равносильны, и докажем, что A ⇔ B — тождественно истинная формула. Возьмем произвольный набор значений переменных p1 , p2 , . . . , pn . При этом наборе формулы A и B будут иметь какие-то истинностные значения, причем, если истинностное значение формулы A равно И, то истинностное значение формулы B также равно И, а если истинностное значение формулы A равно Л, то истинностное значение формулы B также равно Л. Это означает, что формула A ⇔ B при любом наборе значений входящих в нее переменных p1 , p2 , . . . , pn принимает 11

истинностное значение, равное И, то есть является тождественно истинной. Пусть теперь A ⇔ B — тождественно истинная формула. Докажем, что A и B — равносильные формулы. При произвольном наборе значений переменных p1 , p2 , . . . , pn , входящих в формулу A ⇔ B, ее истинностное значение равно И. Согласно определению эквиваленции это означает, что формулы A и B принимают одинаковые истинностные значения, то есть являются равносильными. 2 Теоpема 1.1.2 Пусть формулы A и B зависят от переменных p1 , p2 , . . . , pn . Предположим, что формулы A0 и B 0 получены из формул A и B соответственно подстановкой произвольных формул A1 , A2 , . . . , An вместо переменных p1 , p2 , . . . , pn . Тогда если A ≡ B, то A0 ≡ B 0 .

Доказательство. Пусть формулы A1 , A2 , . . . , An зависят от переменных q1 , q2 , . . . , qm . Тогда ясно, что формула A0 ⇔ B 0 , полученная из формулы A ⇔ B заменой переменных p1 , p2 , . . . , pn формулами A1 , A2 , . . . , An соответственно, зависит от переменных q1 , q2 , . . . , qm . Пусть A ≡ B. Докажем, что формула A0 ⇔ B 0 является тождественно истинной. Для этого возьмем произвольный набор значений переменных q1 , q2 , . . . , qm . При этом наборе формулы A1 , A2 , . . . , An примут какието истинностные значения. Обозначим их буквами a1 , a2 , . . . , an соответственно. Положим p1 = a1 , p2 = a2 , . . . , pn = an . Тогда формулы A ⇔ B и A0 ⇔ B 0 будут иметь одинаковые истинностные значения. По теореме 1.1.1 A ⇔ B — тождественно истинная формула. Следовательно, формула A0 ⇔ B 0 принимает значение И при любом наборе значений переменных q1 , q2 , . . . , qm , то есть является тождественно истинной формулой. Применяя теорему 1.1.1 теперь уже к формуле A0 ⇔ B 0 , заключаем, что A0 ≡ B 0 . 2

Теоpема 1.1.3 (Законы логики высказываний) Пусть A, B, C — произвольные формулы логики высказываний. Тогда справедливы следующие утверждения: ) 1. A ∧ A ≡ A, — свойства идемпотентности 2. A ∨ A ≡ A, ) 3. A ∧ B ≡ B ∧ A, — свойства коммутативности 4. A ∨ B ≡ B ∨ A, 12

5. A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C, 6. A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C,

)

— свойства ассоциативности

7. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), 8. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C), 9. ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B, 10. ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B, 11. A ∧ (A ∨ B) ≡ A, 12. A ∨ (A ∧ B) ≡ A, 13. ¬(¬A) ≡ A,

)

)

)

— свойства дистрибутивности

— свойства де Моргана

— свойства поглощения

— свойство двойного отрицания

14. A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A,

— свойство контрапозиции

15. ¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B, — свойство отрицания импликации 16. A ∧ ¬A ≡ Л,

— свойство противоречия

17. A ∨ ¬A ≡ И,

— свойство исключенного третьего

18. A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B, 19. A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A), 20. A ∧ И ≡ A, 21. A ∨ И ≡ И, 22. A ∧ Л ≡ Л, 23. A ∨ Л ≡ A. Доказательство. Согласно теореме 1.1.2 достаточно проверить выполнимость свойств 1–23 для пропозициональных переменных. Такую проверку удобно осуществить с помощью истинностных таблиц. Покажем как это сделать на примере свойства 7. 13

p И И И Л И Л Л Л

q И И Л И Л И Л Л

r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) И И И И И И Л И И Л И И И И Л И И И И И Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л

Сравнивая два последних столбца, заключаем, что p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). 2 Применение свойств логических операций позволяет выполнять различные действия: преобразовывать и упрощать формулы, определять вид формулы, устанавливать равносильность формул. Иллюстрацией этому служат следующие две задачи. Задача 1.1.1. Доказать, что формула p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q является тождественно истинной. 18 7 Решение: p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q ≡ p ∧ (¬p ∨ q) ≡ (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) ⇒ 16

3

23

18

9

q ≡ Л ∨ (p ∧ q) ⇒ q ≡ (p ∧ q) ∨ Л ⇒ q ≡ p ∧ q ⇒ q ≡ ¬(p ∧ q) ∨ q ≡ 6

17

21

(¬p ∨ ¬q) ∨ q ≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q) ≡ ¬p ∨ И ≡ И. 2

Числа, стоящие над знаками равносильности, означают номера примененных свойств из теоремы 1.1.3. Задача 1.1.2. Доказать равносильность формул p ⇒ ¬(q ∨ p) ∨ ¬(r ∨ q) и ¬(p ∧ (q ∨ r)). 9

4

Решение: p ⇒ ¬(q ∨ p) ∨ ¬(r ∨ q) ≡ p ⇒ ¬((q ∨ p) ∧ (r ∨ q)) ≡ 8

18

9

p ⇒ ¬((q ∨ p) ∧ (q ∨ r)) ≡ p ⇒ ¬(q ∨ (p ∧ r)) ≡ ¬p ∨ ¬(q ∨ (p ∧ r)) ≡ 7

5

1

¬(p ∧ (q ∨ (p ∧ r))) ≡ ¬((p ∧ q) ∨ (p ∧ (p ∧ r))) ≡ ¬((p ∧ q) ∨ ((p ∧ p) ∧ r))) ≡ 7

¬((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) ≡ ¬(p ∧ (q ∨ r)). 2 Решения задач 1.1.1 и 1.1.2 проведены подробно, каждому знаку равносильности соответствует применение одного свойства логических операций. На практике, по мере накопления опыта в таких преобразованиях, применяют за один шаг несколько свойств, и потому цепочки равносильностей в аналогичных примерах становятся значительно короче. Очевидно, что метод преобразования формул 14

наиболее экономичен по сравнению с методом истинностных таблиц. Однако без метода истинностных таблиц совсем обойтись нельзя, так как на его использовании основано доказательство свойств логических операций. 1.1.4

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под высказыванием? 2. Сформулируйте определения логических операций. 3. Что называется формулой логики высказываний? 4. Каков порядок выполнения логических операций в формуле? 5. Какая формула называется тождественно истинной (тождественно ложной)? 6. В чем заключается метод истинностных таблиц? 7. Какие две формулы называются равносильными? 8. Сформулируйте и докажите теорему о связи двух равносильных формул с их эквиваленцией. 9. Сформулируйте и докажите теорему о подстановке формул в равносильные формулы. 10. Сформулируйте и докажите основные свойства логических операций. 1.1.5 Упражнения 1. С помощью метода истинностных таблиц определите вид следующих формул: (a) p ∧ q ⇒ p ∨ q,

(b) p ⇒ ¬q ∨ (p ⇒ q),

(c) ¬(p ∧ q) ∧ (q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q) ∧ (p ∨ q),

(d) p ∨ q ⇒ ¬q ∧ p,

(e) p ⇒ (q ⇒ p) ∧ (p ∨ q), (f) ¬(q ⇒ ¬p) ∧ ¬q.

2. Докажите утверждение: формулы A и B равносильны тогда и только тогда, когда формула A ⇔ ¬B является тождественно ложной. 15

3. С помощью свойств логических операций докажите следующие равносильности: (a) ¬p ∨ ¬(p ⇒ q) ∨ (p ∧ ¬(q ∧ p)) ≡ ¬(p ∧ q),

(b) p ⇔ (¬q ⇒ ¬(p ⇒ q ∨ ¬p)) ≡ q ⇒ p, (c) ¬(p ⇒ q) ∨ (p ∧ ¬q ⇒ ¬p) ≡ И,

(d) (p ⇒ (q ⇒ r ∨ ¬q) ∧ ¬r) ⇒ p ∨ q ≡ p ∨ q,

(e) ((q ⇒ p) ∨ ¬(p ∨ q)) ∧ (¬q ⇒ (q ∧ r)) ≡ p ∧ q.

4. С помощью свойств логических операций упростите формулы, приведенные в упражнении 1). 5. Равносильны ли формулы (a) (p ⇒ q) ⇒ r и p ⇒ (q ⇒ r),

(b) ¬(p ∧ ¬(p ∧ ¬(p ∧ ¬(p ∧ ¬p)))) и ¬p, (c) p ∧ (q ∨ (p ∧ (q ∨ (p ∧ q)))) и p ∧ q?

6. Запишите равносильности, выражающие логические операции конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию через (a) отрицание и конъюнкцию, (b) отрицание и дизъюнкцию, (c) отрицание и импликацию.

1.2

Логическое следствие. Методы доказательств

1.2.1 Логическое следствие Опpеделение 1.2.1 Формула B называется логическим следствием формул A1 , A2 , . . . , An , если для каждого набора истинностных значений, входящих в A1 , A2 , . . . , An , B переменных, такого, что все формулы A1 , A2 , . . . , An истинны, формула B также истинна. Если формула B является логическим следствием формул A1 , A2 , . . . , An , будем записывать так: A1 , A2 , . . . , An  B.

16

Замечание 1.2.1 Из определения 1.2.1 легко следует, что всякая тождественно истинная формула является логическим следствием любой формулы и что всякая формула является логическим следствием любой тождественно ложной формулы. 1.2.2 Методы доказательств С помощью понятия логического следствия легко объяснить смысл доказательства теорем, имеющих весьма распространенную формулировку: пусть A1 , A2 , . . . , An , тогда B. Действительно, смысл самой теоремы заключается в утверждении того, что если истинны A1 , A2 , . . . , An , то истинно и B. Смысл доказательства заключается в установлении того, что B — логическое следствие формул A1 , A2 , . . . , An . Кроме того, понятие логического следствия позволяет логически обосновать некоторые из широко употребляемых методов доказательств. Этот метод заключается в том, что вместо теоремы вида A ⇒ B доказывается теорема ¬B ⇒ ¬A. Логическим обоснованием этого метода является свойство контрапозиции: A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A. Приведем пример использования такого метода. Пример 1.2.1. Доказать, что если для некоторого целого числа z и натурального числа n выполняется равенство z n + 2z − 3 = 0, то z — нечетное число. Доказательство. Посылкой здесь является утверждение A: z n + 2z − 3 = 0, заключением B: z — нечетное число. Предположим ¬B: z — четное число, то есть z = 2m, где m — некоторое целое число. Тогда z n +2z −3 = 2n mn + 4m − 3 = 2(2n−1 mn + 2m) − 3 = 2(2n−1 mn + 2m − 1) − 1 6= 0. Таким образом, истинно ¬A: z n + 2z − 3 6= 0. 2 Метод косвенного доказательства.

Этот метод часто используется при доказательстве утверждений и заключается в том, что предполагая ложность доказываемого утверждения, мы выводим истинность и ложность одного и того же высказывания, то есть получаем противоречие. Логическим обоснованием этого метода является следующая теорема.

Метод доказательства от противного.

17

Теоpема 1.2.1 Если из формул A1 , A2 , . . . , An , ¬B логически следует противоречие, то формула B является логическим следствием формул A1 , A2 , . . . , An . Доказательство. Пусть A1 , A2 , . . . , An , ¬B  F , где F — тождественно ложная формула. Пусть формулы A1 , A2 , . . . , An , ¬B, F зависят от переменных p1 , p2 , . . . , pm . Придадим этим переменным произвольные значения. При этом истинностное значение формулы F равно Л, и так как она является логическим следствием формул A1 , A2 , . . . , An , ¬B, то истинностные значения этих формул не могут одновременно равняться И. Предположим, что при этом наборе значений переменных p1 , p2 , . . . , pm истинностные значения формул A1 , A2 , . . . , An равны И. Тогда согласно сказанному выше истинностное значение формулы ¬B равно Л, а значит истинностное значение формулы B равно И. Это означает, что формула B принимает значение И всякий раз, когда значение И принимают формулы A1 , A2 , . . . , An , то есть A1 , A2 , . . . , An  B. 2 Проиллюстрируем применения метода от противного следующим примером. √ Пример 1.2.2. Доказать утверждение B: 2 не является рациональным числом. √ Доказательство. Предположим противное: 2 — рациональное число, то есть √ m (1.1) 2= , n m где m, n — целые числа. Очевидно, что можно считать несократимой n m дробью. Итак, имеем высказывание C: — несократимая дробь. n m2 Возведя обе части равенства (1.1) в квадрат, получим 2 = 2 и m2 = 2n2 , n 2 откуда следует, что m — четное число, а значит и m — четное число. Пусть m = 2k, где k — целое число. Тогда 2n2 = 4k 2 , откуда n2 = 2k 2 . Рассуждая аналогично, заключаем, что n — четное число. Значит m истинно ¬C: — сократимая дробь. Получаем противоречие: C ∧ ¬C. n Таким образом, ¬B  C ∧ ¬C ≡ Л, и потому утверждение B истинно2 . 2 2

Формулы A1 , A2 , . . . , An , о которых в этом примере ничего не было сказано, присутствуют здесь неявно — это аксиомы, задающие систему натуральных чисел.

18

Метод построения цепочки импликаций.

Покажем применение этого

метода на решении такой задачи: Задача 1.2.1. Доказать, что для любого натурального числа n число 3 n + 5n делится на 6 (то есть при делении этого числа на 6 остаток равен нулю). Введем обозначения: A: n — натуральное число, B: n3 + 5n делится на 6, A1 : числа 6n, (n − 1)n(n + 1) делятся на 6, A2 : сумма 6n + (n − 1)n(n + 1) делится на 6. В этих обозначениях наша задача может быть записана так: доказать A ⇒ B. Доказательство. Импликации A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 очевидны. Истинность импликации A2 ⇒ B вытекает из того, что 6n + (n − 1)n(n + 1) = 6n+n3 −n = n3 +5n. Таким образом, мы построили цепь импликаций: A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , A2 ⇒ B, на основании которой заключаем, что A ⇒ B. 2 Логическим обоснованием этого метода является следующая теорема. Теоpема 1.2.2 Пусть A, A1 , A2 , . . . , An , B — произвольные формулы. Тогда A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , . . . , An ⇒ B  A ⇒ B. Доказательство. Пусть при некотором наборе значений переменных, входящих в формулы A, A1 , A2 , . . . , An , B, истинностные значения формул A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , . . . , An ⇒ B равны И. Тогда если истинностное значение формулы A равно И, то истинностное значение формулы A1 так же равно И (поскольку равно И истинностное значение импликации A ⇒ A1 ). Переходя последовательно к формулам A1 ⇒ A2 , . . . , An ⇒ B и рассуждая аналогично, мы через конечное число шагов придем к тому, что истинностное значение формулы B, а следовательно, и формулы A ⇒ B равно И. Если же истинностное значение формулы A равно Л, то по определению импликации истинностное значение формулы A ⇒ B равно И. Таким образом, при том же наборе значений переменных истинностное значение формулы A ⇒ B равно И. Это означает, что A ⇒ B — логическое следствие формул A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , . . . , An ⇒ B. 2 Этот метод, также как и предыдущий, относится к типу прямых доказательств. Покажем суть этого метода на примере.

Метод разбора случаев.

19

Пример 1.2.3. Доказать B: при любом натуральном n числа n, n + 2, n + 13 не могут быть одновременно простыми числами (напомним, что натуральное число p, большее единицы, называется простым, если оно имеет всего два натуральных делителя: 1 и p). Доказательство. Рассмотрим три случая: A1 : n делится на 3, то есть n = 3m для некоторого натурального числа m, A2 : при делении n на 3 получается остаток 1, то есть n = 3m + 1 для некоторого натурального числа m, A3 : при делении n на 3 получается остаток 2, то есть n = 3m + 2 для некоторого натурального числа m. Очевидно, что A1 ∨ A2 ∨ A3 ≡ И. Доказательство нашего утверждения рассмотрим в каждом случае отдельно. Сначала докажем, что A1 ⇒ B. Действительно, если n = 3m — простое число, то m = 1 и тогда n+2 = 5, а n + 13 = 16. Ясно, что последнее число не является простым. Докажем теперь A2 ⇒ B. Пусть n = 3m + 1. Тогда n + 2 = 3m + 3 = 3(m + 1) и так как m — натуральное число, то 3(m + 1) — не простое число. Остается доказать, что A3 ⇒ B. Пусть n = 3m + 2. Тогда n + 13 = 3m + 15 = 3(m + 5). Очевидно, что это число не является простым. Таким образом, B истинно во всех случаях. 2 В процессе доказательства мы установили, что A1 ∨ A2 ∨ A3 , A1 ⇒ B, A2 ⇒ B, A3 ⇒ B  B. Логическим обоснованием этого метода является следующая теорема. Теоpема 1.2.3 Пусть A1 , A2 , . . . , An , B — произвольные формулы. Тогда A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An , A1 ⇒ B, A2 ⇒ B, . . . , An ⇒ B  B. Доказательство. Пусть для некоторого набора значений переменных, входящих в формулы A1 , A2 , . . . , An , B, истинностные значения формул A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An , A1 ⇒ B, A2 ⇒ B, . . . , An ⇒ B равны И. Согласно определению операции дизъюнкции это означает, что хотя бы одна из формул A1 , A2 , . . . , An принимает значение И. Пусть такой формулой будет Ak (1 6 k 6 n). Рассмотрим импликацию Ak ⇒ B. Так как ее истинностное значение по условию равно И, то истинностное значение формулы B так же равно И. Таким образом, B — логическое следствие формул A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An , A1 ⇒ B, A2 ⇒ B, . . . , An ⇒ B. 2 Рассмотренные методы доказательств не исчерпывают всех методов доказательств в математике. Кроме того, следует иметь в 20

виду, что доказательства многих, в том числе простых, утверждений могут представлять собой сложную комбинацию различных методов доказательств. 1.2.3

Вопросы для самопроверки

1. Что называется логическим следствием формул A1 , A2 , . . . , An ? 2. В чем заключается метод косвенного доказательства? Каково его логическое обоснование? 3. В чем заключается метод доказательства от противного? Каково его логическое обоснование? 4. В чем заключается метод построения цепочки импликаций? Каково его логическое обоснование? 5. В чем заключается метод разбора случаев? Каково его логическое обоснование? 1.2.4 Упражнения 1. Докажите правило силлогизма: p ⇒ q, q ⇒ r  p ⇒ r. 2. Докажите, что (a) A, A ⇔ B  B,

(b) A ⇒ B, A ⇒ C  A ⇒ B ∧ C, (c) A ⇒ C  A ∧ B ⇒ C,

(d) A ⇒ (B ⇒ C)  A ∧ B ⇒ C, (e) A, A ⇒ B  B,

(f) A ∨ B, ¬B  A,

(g) A ⇒ C, B ⇒ C  A ∨ B ⇒ C.

1.3

Предикаты. Кванторы

1.3.1 Предикаты Для обозначения объектов в математике (точек, чисел и т. д.) используются буквы. При этом буквами мы обозначаем как конкретные объекты, например: A — точка с координатами (2;0), 21

так и произвольные объекты, например: x — целое число. Во втором случае значениями букв могут быть различные объекты из какой-нибудь конкретной области. Такие буквы мы будем называть предметными переменными. Предложения с переменными часто построены так же, как построены высказывания. Сравните, например, предложения: «5 — простое число» и «x — простое число». Но часто предложения с переменными высказываниями не являются. Так в предыдущем примере предложение «x — простое число» не является высказыванием, но оно превращается в высказывание тогда, когда вместо x мы подставляем конкретное число. Те объекты, для которых используется переменная в предложении, будем называть допустимыми значениями переменной. Если допустимыми значениями переменной x являются натуральные, целые, рациональные или действительные числа, то x называется соответственно натуральной, целой, рациональной или действительной переменной. Пропозициональной переменной, как мы знаем, называется переменная, чьи допустимые значения — буквы И и Л. Опpеделение 1.3.1 Предложение с n переменными, превращающееся в высказывание при подстановке вместо переменной любого ее допустимого значения, называется n-местным предикатом. Предикаты будем обозначать заглавными латинскими буквами с указанием в скобках всех входящих в них переменных. Примеры предикатов: P (x) : x2 − 1 = 0, Q(x, y) : xy = 3, T (x, y, z) : x2 + y 2 + z < 1, R(x) : «x — четное число», S(x, y) : «треугольники x и y подобны», V (x, y) : «прямые x и y не пересекаются», W (x, y, z) : «точки x, y и z лежат в одной плоскости». Здесь P (x) и R(x) — примеры одноместных предикатов, Q(x, y), S(x, y) и V (x, y) — примеры двуместных предикатов, а T (x, y, z), W (x, y, z) — примеры трехместных предикатов. Если в двуместном предикате заменить одну из переменных любым ее допустимым значением, то получится одноместный предикат, например, Q(2, y): 2y = 3. В общем случае, если в n-местном предикате заменить 22

любую переменную ее допустимым значением, то получится новый, уже (n − 1)-местный предикат. Естественно поэтому считать высказывания 0-местными предикатами. Высказывания могут быть получены из соответствующих предикатов, например, высказывание 3 > 2 может быть получено из одноместного предиката P (x): x > 2 или даже из двуместного предиката Q(x, y): x > y. Сложные предикаты могут быть получены из простых с помощью логических операций, аналогичных тем, которые были определены в пункте 1.1.2 для высказываний. При этом надо иметь в виду, что в результате применения логической операции может получится предикат, в котором количество переменных отлично от количества переменных в исходных предикатах. Например, если P (x): x > 5 и Q(x): «x делится на 3», то предикат P (x) ∧ Q(x): «x > 5 и x делится на 3» является одноместным. Если в одном из предыдущих предикатов (например, в Q(x)) переменную x обозначить буквой y, то предикат P (x) ∧ Q(y): «x > 5 и y делится на 3» будет уже двуместным. Аналогичная ситуация может возникать при оперировании с многоместными предикатами. Логические операции применимы и к предикатам с различным числом переменных. Например, пусть Q(x, y): x + y = 2, P (x): x2 + 3x + 1 > 0. Тогда предикат P (x) ⇒ Q(x, y): «если x2 + 3x + 1 > 0, то x + y = 2» является двуместным предикатом. Отметим без доказательства, что операции над предикатами обладают теми же свойствами, что и операции над высказываниями (см. теорему 1.1.3). Значением любого предиката (то есть значением, получающимся в результате замены всех предметных переменных их допустимыми значениями) является высказывание. Высказывание, как мы знаем, может быть истинным или ложным. Например, предикат P (x): «x — простое число» при x = 2 принимает значение истинного высказывания: «2 — простое число», а при x = 4 принимает значение ложного высказывания: «4 — простое число». Однако предикат Q(x): «если x — действительное число, то x2 > 0» при любом действительном значении x дает истинное высказывание. Такой предикат имеет специальное название. Опpеделение 1.3.2 Предикат P (x1 , x2 , . . . , xn ) называется тождественно истинным (тождественно ложным), если при любом наборе допустимых значений переменных x1 , x2 , . . . , xn этот 23

предикат принимает значение истинного (ложного) высказывания. Предикат, не являющийся тождественно ложным, называется выполнимым. Примеры тождественно истинных предикатов: P (x): |x| > 0, Q(x, y): cos2 x + sin2 x = 1; тождественно ложных: T (x): cos x > 1, P (x, y): x2 + y 2 < 0; выполнимых: V (y): 3y > 0, W (x, y): 2x + 3y = 1, где x, y — действительные переменные. Опpеделение 1.3.3 Назовем два предиката P (x1 , x2 , . . . , xn ) и Q(x1 , x2 , . . . , xn ) равносильными, если при любом наборе допустимых значений предметных переменных x1 , x2 , . . . , xn истинностные значения получаемых высказываний равны. То, что предикаты P (x1 , x2 , . . . , xn ) и Q(x1 , x2 , . . . , xn ) равносильны, будем записывать так: P (x1 , x2 , . . . , xn ) ≡ Q(x1 , x2 , . . . , xn ). Примеры равносильных предикатов: P (x): lg x > 0 и Q(x): x > 1, P (x, y): cos x = cos y и Q(x, y): x = ±y + 2πk, где k — целое число. 1.3.2 Кванторы Пусть x — предметная переменная. Выражение «для любого x» будем обозначать символом ∀x, который назовем квантором всеобщности. Выражение «существует x» будем обозначать символом ∃x, который назовем квантором существования. Происхождение знаков ∀ и ∃ связано с английскими словами All — все и Exists — существует, а слова квантор — с латинским словом quantum — сколько. Кванторы употребляются как приставки перед предикатами и действуют на предикаты. Пусть P (x) — произвольный одноместный предикат, зависящий от переменной x. Тогда под выражением ∀x P (x) мы будем понимать высказывание, истинное тогда и только тогда, когда предикат P (x) тождественно истинен. Под выражением ∃x P (x) мы будем понимать высказывание, истинное тогда и только тогда, когда предикат P (x) не является тождественно ложным. Приведем примеры. Пусть P (x): x2 > 0, Q(x): x = 3, где x — действительная переменная. Тогда высказывания ∀x P (x): «для любого x x2 > 0», ∃x P (x): «существует x такой, что x2 > 0,» ∃x Q(x): «существует x, такой, что x = 3» являются истинными, а высказывание ∀x Q(x): «для любого x x = 3» ложно. Рассмотрим теперь, как действуют кванторы на двуместные предикаты на примере предиката P (x, y) с действительными переменными: x2 + y > 24

3. Сначала рассмотрим предложение ∀x P (x, y): «для любого x x2 + y > 3». Очевидно, что это предложение не является высказыванием, однако при y = 4 получаем истинное высказывание: «для любого x x2 + 4 > 3», а при y = −1 — ложное высказывание: «для любого x x2 − 1 > 3». Таким образом, предложение ∀x P (x, y) зависит только от переменной y и потому является одноместным предикатом. Переменная x в этом предикате ∀x P (x, y) называется связанной переменной. Рассмотрим теперь предложение ∃x P (x, y): «существует x такой, что x2 + y > 3». Легко видеть, что это предложение не является высказыванием, но превращается в высказывания при конкретных значениях переменной y. Следовательно, ∃x P (x, y) — одноместный предикат, зависящий от переменной y, а переменная x в этом предикате является связанной. Ясно, что если перед предикатом P (x, y) приписать поочередно кванторы ∀y или ∃y, то получатся одноместные предикаты ∀y P (x, y) или ∃y P (x, y) соответственно. Аналогично действуют кванторы на многоместные предикаты. Таким образом, если P (x1 , x2 , . . . , xn ) — nместный предикат, то связывая кванторами k различных переменных, (k 6 n) получим (n − k)-местный предикат. Рассмотрим следующий пример: пусть Q(x, y): x + y = 1, где x, y — действительные переменные. Тогда высказывание ∃x ∀y x + y = 1 ложно. Действительно, не существует такого числа x, чтобы x + y = 1 при любом y. Однако высказывание ∀y ∃x x + y = 1 истинно, так как для любого значения y существует значение x = 1 − y такое, что x + y = 1. Этот пример говорит о том, что перестановка между собой разноименных кванторов может привести к различным по смыслу высказываниям. Истинностные значения высказываний ∀ x∀y x + y = 1 и ∀y ∀x x + y = 1, а так же высказываний ∃ x∃y x + y = 1 и ∃y ∃x x + y = 1 равны. В этих примерах проявляется общее правило: при перестановке одноименных кванторов смысловое значение получающихся высказываний сохраняется. 1.3.3

Вопросы для самопроверки

1. Что называется n-местным предикатом? 2. Является ли высказывание предикатом? 3. Какие логические операции можно выполнять над предикатами? 4. На какие виды делятся все предикаты? 25

5. Какие два предиката называются равносильными? 6. Дайте понятия кванторов всеобщности и существования. 7. Как действуют кванторы на одноместные предикаты? 8. Как действуют кванторы на многоместные предикаты? 1.3.4 Упражнения 1. В следующих предложениях выделите и обозначьте предикаты и с помощью этих обозначений и знаков логических операций запишите данные предложения: (a) сумма двух четных чисел является четным числом, (b) центры любых трех шаров лежат в одной плоскости, (c) скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, (d) модуль суммы двух действительных чисел не больше суммы их модулей. 2. Пусть x, y, z — действительные переменные. Определите вид каждого из следующих предикатов: √ (a) P (x): x2 = |x|, (b) Q(x, y): |x| + |y| > |x + y|,

(c) T (x, y): |x − y| + |y − x| = 0,

(d) V (x, y, z): x2 + y 2 > z 2 , (e) W (x, y): xx = y y ,

(f) F (x, y): 1 + |x| = −|y| − 1. 3. Определите истинностные значения высказываний: (a) если P (x) ∨ Q(x) — тождественно истинный предикат, то P (x) и Q(x) — тождественно истинные предикаты, (b) если P (x) ∧ Q(x) — тождественно ложный предикат, то P (x) и Q(x) — тождественно ложные предикаты, (c) если P (x) ⇒ Q(x) — выполнимый предикат, то хотя бы один из предикатов P (x) или Q(x) выполним. 4. Определите истинностные значения высказываний: 26

(a) ∀x P (x),

(b) ∀x ∀y Q(x, y), (c) ∃y ∀x T (x, y),

(d) ∀x ∀z ∃y V (x, y, z), (e) ∀x ∃y W (x, y), (f) ∃x ∃y Q(x, y),

(g) ∀x ∃y T (x, y),

(h) ∀x ∃y ∀z V (x, y, z), (i) ∃x ∃y W (x, y),

(j) ∃x ∃y F (x, y),

где P (x), Q(x, y), T (x, y), V (x, y, z), W (x, y), F (x, y) — предикаты, определенные в упражнении 2). 5. Какие из следующих предложений являются высказываниями, одноместными или двуместными предикатами: (a) сумма двух целых чисел четна, если одно из чисел четно, (b) любое положительное число больше любого отрицательного числа, (c) среди трех попарно различных натуральных чисел существует наименьшее, (d) точка M (x, y) принадлежит прямой 3x + 2y = 1, (e) для любого значения y точка M (x, y) принадлежит прямой 3x + 2y = 1, (f) существует такое значение x, для которого точка M (x, y) принадлежит прямой 3x + 2y = 1, (g) для любого значения x существует значение y такое, что точка M (x, y) принадлежит прямой 3x + 2y = 1, (h) через некоторые три точки можно провести три различные прямые, (i) сумма двух простых чисел не является простым числом, (j) разность квадратов любых двух нечетных целых чисел четна. 27

6. Докажите, что предикаты P (x1 , x2 , . . . , xn ) и Q(x1 , x2 , . . . , xm ) равносильны в том и только в том случае, когда предикат P (x1 , x2 , . . . , xn ) ⇔ Q(x1 , x2 , . . . , xm ) является тождественно истинным.

1.4

Формулы логики предикатов

1.4.1 Формулы логики предикатов Логические операции (включая и операцию приписывания кванторов) над предикатами и их свойства изучаются в логике предикатов. Языком логики предикатов являются особые выражения — формулы логики предикатов. Определим формулу логики предикатов. Пусть, как и прежде, малые латинские буквы с индексами или без них обозначают предметные переменные, заглавные латинские буквы с индексами или без них — символы n-местных предикатов (n — натуральное число или n = 0). Опpеделение 1.4.1 1) символы 0-местных предикатов, а так же выражения вида P (x1 , x2 , . . . , xn ), где P — символ n-местного предиката (n > 1), являются формулами логики предикатов; 2) если P, Q — формулы логики предикатов, то формулами логики предикатов являются выражения (¬P ), (P ∧ Q), (P ∨ Q), (P ⇒ Q), (P ⇔ Q). Если T — формула логики предикатов, содержащая переменную x, то формулами логики предикатов являются выражения (∀x T ) и (∃x T ); 3) выражение является формулой логики предикатов тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет первому или второму пункту данного определения. Формулы логики предикатов будем обозначать заглавными латинскими буквами. Примем соглашение об экономии скобок: 1) внешние скобки в формуле можно опускать; 2) внутренние скобки в формуле можно опускать с учетом следующего порядка выполнения действий: приписывание кванторов, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Например, формулу (((∀x P (x)) ∧ (¬Q(y))) ∨ T (z)) можно записать в более простом виде: ∀x P (x) ∧ ¬Q(y) ∨ T (z). В этой формуле 28

P (x) называется областью действия квантора ∀x. Область действия квантора ∃x в формуле ∃x (P (x) ∧ Q(y)) есть формула P (x) ∧ Q(y). Формула логики предикатов, удовлетворяющая первому пункту определения 1.4.1, называется элементарной формулой, а удовлетворяющая второму пункту — составной формулой. Элементарные формулы играют роль переменных в составных формулах, так же как пропозициональные переменные в формулах логики высказываний. Значениями элементарных формул являются конкретные предикаты. Опpеделение 1.4.2 Предикатные формулы A и B называются равносильными, если при любом наборе значений входящих в них элементарных формул получаются равносильные предикаты. То, что формулы A и B равносильны, будем записывать так: A ≡ B. Заметим, что проверка того, являются ли две предикатные формулы A и B равносильными, сводится в конечном итоге к сравнению истинностных значений двух высказываний, получающихся из A и B последовательной подстановкой сначала конкретных предикатов, а затем допустимых значений входящих в них предметных переменных. На этом основании мы можем утверждать, что равносильности, имеющие место для формул логики высказываний, сформулированные в теореме 1.1.3, справедливы и для формул логики предикатов. Покажем, например, что для любых формул A и B логики предикатов справедливо утверждение: A ∧ B ≡ B ∧ A. Для этого возьмем произвольный набор значений элементарных формул, входящих в A и B и получим предикаты P (x1 , x2 , . . . , xn ) ∧ Q(x1 , x2 , . . . , xm ) и Q(x1 , x2 , . . . , xm ) ∧ P (x1 , x2 , . . . , xn ). Эти предикаты равносильны, так как при любом наборе допустимых значение переменных x1 , x2 , . . . , xm , . . . , xn получающиеся высказывания P ∧ Q и Q ∧ P имеют равные истинностные значения. Сформулируем без доказательства еще ряд равносильностей для формул логики предикатов, которые вместе с отмеченными выше называются законами логики предикатов: ) 1. ¬(∀x A(x)) ≡ ∃x (¬A(x)), — правила построения отрицаний 2. ¬(∃x A(x)) ≡ ∀x (¬A(x)), 3. ∀x ∀y A(x, y) ≡ ∀y ∀x A(x, y), 29

4. ∃x ∃y A(x, y) ≡ ∃y ∃x A(x, y), 5. ∀x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x), 6. ∃x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x). 1.4.2 Запись математических предложений на языке логики предикатов Математические предложения несут информацию об отношениях между математическими объектами: числами, точками, прямыми, векторами, функциями и т. д. Эти отношения: равенство, больше, меньше, принадлежит, делится и т. д. являются предикатами, многие из которых имеют обшепринятые обозначения. Так, например, предикат равенства «x равно y» обозначает так: x = y, а предикаты «x больше y» и «x меньше y» обозначаются соответственно x > y и x < y, предикат «x принадлежит y» обозначается так: x ∈ y. Используя язык логики предикатов в сочетании с общепринятыми математическими знаками, мы можем получить краткую и понятную запись математических предложений. Так как языком логики предикатов являются формулы логики предикатов, то предложение считается правильно написанным на этом языке только тогда, когда оно получено из формулы логики предикатов заменой предикатных символов конкретными предикатами. Полученные таким способом выражения так же будем называть формулами логики предикатов. Рассмотрим примеры. 1. Запишем на языке логики предикатов такую аксиому: «для любых двух различных точек существует одна и только одна содержащая их прямая». Математические объекты в этом предложении — это точки и прямые. Первые из них обозначим заглавными, а вторые — малыми латинскими буквами. Выделим тепрь отношения между объектами в этом предложении: точки не равны; точки принадлежат прямой; прямые равны. Таким образом, четыре объекта (две точки и две прямые) связаны тремя отношениями (неравенства, принадлежности и равенства): A 6= B, A ∈ a, B ∈ a, A ∈ a0 , B ∈ a0 , a = a0 . Теперь согласно формулировке аксиомы применим кванторы и получим формулу: ∀A ∀B (A 6= B ⇒ ∃a (A ∈ a ∧ B ∈ a ∧ ∀a0 (A ∈ a0 ∧ B ∈ a0 ⇒ a = a0 ))).

2. Применим теперь язык логики предикатов в записи определения предела числовой последовательности: «число a называется пределом 30

числовой последовательности {an }, если для каждого положительного числа ε существует такой номер nε , что для всех номеров n, больших nε , выполняется неравенство |an − a| < ε». Объектами в этом предложении являются действительные числа a, an , ε и натуральные числа nε , n, а отношения между ними — больше и меньше: ε > 0, n > nε , |an − a| < ε. Поэтому определение предела может быть записано так: число a называется пределом числовой последовательности {an }, если ∀ε (ε > 0 ⇒ ∃nε ∀n (n > nε ⇒ |an − a| < ε)). Заметим, что последнюю формулу можно упростить, если применить расширенные кванторы ∀ε > 0 и ∀n > nε , означающие «для любого положительного ε» и «для любого n, большего nε » соответственно: ∀ε > 0 ∃nε ∀n > nε |an − a| < ε.

(1.2)

3. Теорема: «прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой другой плоскости, параллельной данной плоскости» записывается следующим образом: ∀a ∀α ∀β (a ⊥ α ∧ α k β ⇒ a ⊥ β), где a — прямая, α, β — плоскости. Применение языка логики предикатов к записи математических предложений дает возможность применять законы логики предикатов к получению новых формулировок определений и теорем. Это особенно важно при проведении доказательств методом от противного. Приведем примеры. 4. Определить понятие: «число a не является пределом числовой последовательности {an }». Ясно, что число a не является пределом числовой последовательности {an }, если оно не удовлетворяет определению предела последовательности, то есть не удовлетворяет условию (1.2). Следовательно, a не является пределом числовой последовательности {an }, если для него выполнено условие ¬(∀ε > 0 ∃nε ∀n > nε |an − a| < ε). Однако в такой формулировке смысл определения непонятен. Преобразуем последнюю формулу по правилам построения отрицаний: ¬(∀ε > 0 ∃nε ∀n > nε |an − a| < ε) ≡ ∃ε > 0 ∀nε ¬(∀n > nε |an − a| < ε) ≡ ∃ε > 0 ∀nε ∃n > nε ¬(|an − a| < ε) ≡ ∃ε > 0 ∀nε ∃n > nε |an − a| > ε. 31

Таким образом, число a не является пределом числовой последовательности {an }, если найдется такое положительное число ε, что для любого номера nε существует такой номер n > nε , для которого |an − a| > ε. 5. Сформулируем определение непериодической функции, построив отрицание определения периодической функции. Напомним определение периодической функции: функция f (x) называется периодической, если существует число T 6= 0, что при любом x из области определения f (x) числа x − T и x + T так же принадлежат этой области и при этом выполняются равенства f (x − T ) = f (x) = f (x + T ). Используя D (f (x)) для обозначения области определения функции f (x), перепишем определение периодической функции: функция f (x) называется периодической, если ∃T 6= 0 ∀x ∈ D (f (x)) (x − T ), (x + T ) ∈ D (f (x)) ∧ f (x − T ) = f (x) = f (x + T ). Построив отрицание этой формулы согласно правилам построения отрицаний и законам де Моргана, получим такое определение: функция f (x) называется непериодической, если ∀T 6= 0 ∃x ∈ D (f (x)) (x − T ) ∈ / D (f (x) ∨ (x + T ) ∈ / D (f (x)) ∨ f (x − T ) 6= f (x) ∨ f (x + T ) 6= f (x)) . 1.4.3 Вопросы для самопроверки 1. Что называется формулой логики предикатов? 2. Какая формула логики предикатов называется элементарной и какая составной? 3. Какие две формулы логики предикатов называются равносильными? 4. Сформулируйте правила построения отрицаний. 1.4.4 Упражнения 1. Укажите области действия кванторов в формулах: (a) ∀x P (x) ∧ Q(x), 32

(b) ∀x (P (x) ∧ Q(x)), (c) ∃x P (x) ⇒ Q(x),

(d) ∀x ∃y P (x, y),

(e) ∃x ∀y (P (x) ∧ Q(y)), (f) ∃x (P (x) ∨ Q(y)),

(g) ∀x P (x) ∧ ∀x Q(x), (h) ∀x(P (x) ⇒ Q(y)), (i) ∃x P (x) ∧ Q(x, y).

2. Равносильны или нет следующие формулы: (a) ∀x P (x) ∨ ∀x Q(x) и ∀x (P (x) ∨ Q(x)),

(b) ∃x P (x) ∧ ∃x Q(x) и ∃x (P (x) ∧ Q(x)),

(c) ∀x (P (x) ⇒ Q(x)) и ∃x(¬P (x) ∨ Q(x)),

(d) ∃x ¬P (x) ∨ ∃x Q(x) и ∃x (P (x) ⇒ Q(x)),

(e) ∀x ¬P (x) ∧ ∀x ¬Q(x) и ¬(∃x (P (x) ∨ Q(x))?

3. Постройте отрицания формул, приведенных в упражнении 1). 4. Применяя язык логики предикатов, запишите в краткой форме определения: (a) параллельных прямых, (b) перпендикулярных плоскостей, (c) коллинеарных векторов, (d) четной функции, (e) нечетной функции, (f) точек максимума и минимума функции. 5. Сформулируйте отрицания определений, указанных в упражнении 4). 6. Запишите на языке логики предикатов следующие высказывания: (a) если каждое из двух целых чисел делится на число m, то сумма, разность и произведение этих чисел делятся на m, 33

(b) два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, (c) через любую точку можно провести единственную прямую, параллельную данной, (d) уравнение x2 − 2 = 0 не имеет рациональных корней,

(e) уравнение x2 −2 = 0 имеет ровно два различных действительных корня, (f) для некоторых действительных положительных значений x выполняется неравенство x2 > 2x ,

(g) для любого ненулевого значения a функция y = ax + b не является периодической. 7. Запишите отрицания высказываний из упражнения 6) на языке логики предикатов и сформулируйте полученные высказывания.

1.5

Виды теорем. Необходимость и достаточность

Математические теории основываются на аксиомах — таких высказываниях, истинность которых устанавливается соглашением. Такое соглашение часто имеет практическую основу, например: счет, измерение и т. д. Аксиом, как правило не много. Всякое другое высказывание, сформулированное в рамках данной теории, считается истинным, если оно является логическим следствием аксиом. Такие истинные высказывания будем называть теоремами. Многие теоремы в математике содержат в себе условие и заключение, которые в общем случае являются n-местными предикатами. Для упрощения наших рассуждений будем считать их одноместными предикатами. Тогда один из наиболее распространенных видов теорем выражается следующей формулой: ∀x (A(x) ⇒ B(x)). (1.3)

Например: если произвольное целое число является квадратом, то оно оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6, 9. Условие здесь P (x): «целое число x является квадратом», заключение Q(x): «последняя цифра числа x есть одна из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9», а все утверждение может быть записано в виде ∀x (P (x) ⇒ Q(x)). Для сокращения речи формулу (1.3) будем называть теоремой 34

(заметим, что формула превращается в теорему тогда, когда после подстановки вместо предикатных символов A(x) и B(x) конкретных предикатов получается истинное высказывание). Имея теорему (1.3), можно построить следующие высказывания: ∀x (B(x) ⇒ A(x)),

(1.4)

∀x (¬A(x) ⇒ ¬B(x)),

(1.5)

∀x (¬B(x) ⇒ ¬A(x)).

(1.6)

Высказывание (1.4) может быть ложным или истинным. Если высказывание (1.4) истинно, то оно называется обратной теоремой. Если высказывание (1.5) истинно, то оно называется противоположной теоремой. Высказывание (1.6) согласно закону контрапозиции ¬B(x) ⇒ ¬A(x) ≡ A(x) ⇒ B(x) истинно, поскольку истинно (1.3) и называется теоремой обратной противоположной. Сама теорема (1.3) в этом случае называется прямой теоремой. Так в предыдущем примере высказывание ∀x (Q(x) ⇒ P (x)) ложно, так как число 5, например, не является квадратом никакого целого числа, и потому обратной теоремой не является. По свойству контрапозиции высказывание ∀(¬P (x) ⇒ ¬Q(x)) тоже ложно, и потому не является противоположной теоремой. Рассмотрим другой пример. Пусть T (x): «целое число x делится на 5», S(x): «целое число x оканчивается цифрой 0 или цифрой 5». Легко видеть, что все высказывания ∀x (T (x) ⇒ S(x)), ∀x (S(x) ⇒ T (x)), ∀x (¬T (x) ⇒ ¬S(x)), ∀x (¬S(x) ⇒ ¬T (x)) истинны. В теореме ∀x (A(x) ⇒ B(x)) условие A(x) обычно называют достаточным условием для B(x), а B(x) необходимым условием для A(x). В том случае, когда имеет место обратная теорема ∀x (B(x) ⇒ A(x)) говорят, что B(x) является необходимым и достаточным условием для A(x), а A(x) — необходимым и достаточным условием для B(x). В этом случае все четыре теоремы (1.3)–(1.6) могут быть объеденены в одну ∀x (A(x) ⇔ B(x)) (1.7)

(на основании равносильностей: A(x) ⇔ B(x) ≡ (A(x) ⇒ B(x)) ∧ (B(x) ⇒ A(x)), A(x) ⇒ B(x) ≡ ¬B(x) ⇒ ¬A(x), B(x) ⇒ A(x) ≡ ¬A(x) ⇒ ¬B(x). Доказательство теоремы (1.7) состоит из двух частей: из доказательства прямой теоремы ∀x (A(x) ⇒ B(x)) и обратной 35

теоремы ∀x (B(x) ⇒ A(x)). Первая часть доказательства называется необходимостью, а вторая — достаточностью. 1.5.1 Вопросы для самопроверки 1. Что понимается под прямой, обратной, противоположной и обратной противоположной теоремами? 2. Что называется необходимым условием, достаточным условием? 3. Какая часть доказательства называется необходимостью, а какая достаточностью? 1.5.2 Упражнения 1. Определите, для каких из следующих теорем имеют место обратные теоремы: (a) если сумма двух простых чисел является простым числом, то одно из них равно двум, (b) среди трех последовательных целых четных чисел хотя бы одно число делится на 6, (c) если x > y, то (x − y)2 > 0,

(d) если x > 0, то для любого y выполнимо x + y 2 > 0, (e) если в треугольнике ABC угол C — прямой, то AC 2 + BC 2 = AB 2 , (f) если фигура Φ — выпуклый пятиугольник, то сумма внутренних углов Φ равна 540◦ , (g) если функции f (x) и g(x) являются периодическими и имеют общий период T , то функция f (x)+g(x) является периодической с периодом T . 2. Для теорем упражнения 1), для которых справедливы обратные теоремы, сформулируйте обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы. 3. В теоремах упражнения 1) выделите и обозначьте предикаты и запишите теоремы (в том числе обратные и противоположные, если они существуют) в символической форме. 36

4. Определите, является ли A необходимым, достаточным или необходимым и достаточным условием для B: (a) A: x = y, B: tg x = tg y, (b) A: «x делится на y», B: «x + y делится на y», (c) A: x > y, B: cos x > cos y, (d) A: ~x коллинеарен ~y , B: (~x, ~y ) = |~x||~y |,

(e) A: «треугольники x и y симметричны относительно прямой l», B: x = y, (f) A: «точки x, y, z принадлежат одной окружности», B: «точки x, y, z не лежат на одной прямой»,

(g) A: f 0 (x) = g 0 (x), B: f (x) = g(x), (h) A: «площади треугольников x и y равны», B: «периметры треугольников x и y равны», (i) A: «функции f (x) и g(x) четны», B: «функция f (x)+g(x) четна».

Глава 2 Элементы теории множеств 2.1

Понятие множества

2.1.1 Понятие множества. Способы задания множеств Не все математические понятия могут быть строго определены, так как какие-то из понятий должны быть первоначальными. К числу таких исходных понятий относится понятие множества. Пояснить смысл этого понятия можно, указав синонимы слову «множество». Множество — это, иными словами, набор или совокупность какихлибо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества будем обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы множеств — малыми латинскими буквами. То, что a является элементом множества A, записывается так: a ∈ A (читается «a принадлежит A»). Если b не является элементом множества A, то будем записывать так: b ∈ / A (читается «b не принадлежит A»). Рассмотрим два способа задания множеств. Очевидно, что множество задано, если определены его элементы. Определить элементы множества можно либо их перечислением (если число их конечно), либо указанием присущего им характеристического свойства. В обоих случаях для записи множеств используются фигурные скобки. Если множество M состоит из элементов m1 , m2 , . . . , mn , то будем записывать: M = {m1 , m2 , . . . , mn }. Например, множество всех натуральных делителей числа 12 можно записать так: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Заметим, что порядок, в котором перечисляются элементы, может быть любым. Если множество M состоит из элементов, обладающих свойством P (x), то будем писать M = {x | P (x)} (читается: M равно множеству элементов x, таких, что P (x). Например, множество всех натуральных четных чисел можно 38

записать так: {x | ∃n ∈ N x = 2n}. Характеристическое свойство в этом случае есть одноместный предикат P (x): ∃n ∈ N x = 2n. Ясно, что бесконечное множество не может быть задано перечислением всех своих элементов и что конечное множество может быть задано с помощью характеристического свойства. Опpеделение 2.1.1 Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы A принадлежат B. То, что A является подмножеством B будем записывать так: A ⊆ B (читается: «A содержится в B»). Из определения 2.1.1 вытекает, что всякое множество является подмножеством самого себя. Опpеделение 2.1.2 Множества A и B называются равными, если A ⊆ B и B ⊆ A. То, что множества A и B равны, будем записывать так: A = B. Замечание 2.1.1 Наряду со знаком ⊆ будем использовать знак ⊂ . Запись A ⊂ B означает, что A — подмножество множества B и A 6= B. 2.1.2 Пустое и универсальное множества Определим два специальных множества. Опpеделение 2.1.3 Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обюозначается символом ∅. Предложение 2.1.1 Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Доказательство. Для любого множества A импликация x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A истинна, так как посылка x ∈ ∅ ложна. Следовательно, ∅ ⊆ A. 2 Опpеделение 2.1.4 Множество U называется универсальным по отношению к множествам A1 , A2 , . . . , An , если каждое из этих множеств содержится в U .

39

Например, множество действительных чисел является универсальным множеством по отношению к множествам натуральных, целых и рациональных чисел. Произвольное непустое множество можно интерпретировать в виде точек плоскости и изображать некоторой замкнутой областью. При этом равные множества должны изображаться одной замкнутой областью. Если A A B — подмножество множества B, то соответствующая иллюстрация имеет вид, представленный на Рис. 1. рисунке 1. Универсальное множество, в отличие от произвольного множества, будем изображать на плоскости в виде замкнутой прямоугольной области. 2.1.3 Вопросы для самопроверки 1. Что понимается под множеством? 2. Сформулируйте определение подмножества. 3. Какие два множества называются равными? 4. Сформулируйте определения пустого и универсального множества. 5. Равны или нет множества ∅ и {∅}? 6. Какой из знаков нужно поставить между множествами {1} и {{1}, {1, 2}}? 2.1.4 Упражнения 1. Докажите, что (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C). 2. Что можно сказать о множествах A1 , A2 , . . . , An , если A1 ⊆ A 2 ⊆ . . . ⊆ A n ⊆ A 1 ? 3. Задайте двумя способами множество точек плоскости с целочисленными координатами, принадлежащих кругу радиуса 2 с центром в начале координат. 40

4. Задайте с помощью характеристического свойства множество всех точек плоскости, принадлежащих первому координатному углу. 5. Выпишите все подмножества множества {1, 2, 3}.

2.2

Операции над множествами

2.2.1 Определение операций над множествами Рассмотрим операции пересечения, объединения и разности над множествами. При этом будем считать, что рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U . Опpеделение 2.2.1 Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству B. Согласно определению 2.2.1 A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} и графически изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 2.

A

B

Рис. 2. Опpеделение 2.2.2 Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A или множеству B. Согласно определению 2.2.2 A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} A и графически изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 3.

B

Рис. 3. Опpеделение 2.2.3 Разностью множеств A и B называется множество A \ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B. Согласно определению 2.2.3 A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} A и графически изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 4.

B Рис. 4.

Опpеделение 2.2.4 Дополнением множества A до универсального множества U называется множество A, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат множеству A. 41

Согласно определению 2.2.4 A = {x | x ∈ U ∧ x ∈ / A} и графически изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке 5. Из определений 2.2.4 и 2.2.3 следует, что A = U \ A.

A

U

Рис. 5.

2.2.2 Свойства операций над множествами Теоpема 2.2.1 (Свойства операций над множествами) Пусть A, B, C — произвольные подмножества универсального множества U . Тогда справедливы следующие утверждения: ) 1. A ∩ A = A, — свойства идемпотентности 2. A ∪ A = A, ) 3. A ∩ B = B ∩ A, — свойства коммутативности 4. A ∪ B = B ∪ A, ) 5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, — свойства ассоциативности 6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, )

7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), — свойства дистрибутивности 8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), ) 9. (A ∩ B) = A ∪ B, — свойства де Моргана 10. (A ∪ B) = A ∩ B, ) 11. A ∩ (A ∪ B) = A, — свойства поглощения 12. A ∪ (A ∩ B) = A, 13. A = A,

— свойство двойного дополнения

14. A \ B = A ∩ B, 15. A ∩ U = A, 16. A ∪ U = U, 17. A ∩ ∅ = ∅, 42

18. A ∪ ∅ = A, 19. A ∩ A = ∅, 20. A ∪ A = U, 21. U = ∅, 22. ∅ = U. Доказательство каждого равенства основывается на определении равенства множеств. Заметим, что основные свойства операций над множествами аналогичны свойствам логических операций, поэтому доказательства равенств 1–13 осуществляются с использованием соответствующих равносильностей из теоремы 1.1.3. Докажем, например, равенство 8). Пусть x — произвольный элемент множества A ∪ (B ∩ C). Тогда x ∈ A ∪ (B ∩ C)≡(x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∩ C)≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)≡((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))≡ (x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)≡x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Поясним доказательство. Сначала мы воспользовались определением объединения множеств (первая равносильность), затем — определением пересечения множеств (вторая равносильность), потом применили свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции (третья равносильность), далее использовали определение объединения множеств (четвертая равносильность) и в конце — определение пересечения множеств (пятая равносильность). Таким образом, мы доказали, что x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Это означает, что A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C), то есть A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Доказательство равенства 14) более короткое: x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ x ∈ A ∩ B. Равенства 15–18 доказываются с использованием соответствующих равносильностей 20–23 из теоремы 1.1.3. Докажем, например, равенства 15 и 16. x ∈ A ∩ U ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ U ) ≡ (x ∈ A) ∧ И ≡ x ∈ A, 43

x ∈ A ∪ ∅ ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ ∅) ≡ (x ∈ A) ∨ Л ≡ x ∈ A.

В доказательстве равенств 19 и 20 используются соответственно равносильности 16 и 17 из теоремы 1.1.3. Равенства 21 и 22 очевидны. 2 Покажем, как применяя свойства операций над множествами, можно устанавливать равенства множеств. Задача 2.2.1. Доказать равенство (A \ (B ∪ (A ∩ B))) ∩ (A \ B) = ∅. Решение: 14

10

(A \ (B ∪ (A ∩ B))) ∩ (A \ B) = (A ∩ B ∪ (A ∩ B)) ∩ (A ∩ B) = 5

3, 19

(A ∩ (B ∩ A ∩ B))) ∩ (A ∩ B) = (A ∩ B) ∩ ((A ∩ B) ∩ (A ∩ B)) = 17

(A ∩ B) ∩ ∅ = ∅. Числа, стоящие над знаками равенств, обозначают номера примененных свойств из теоремы 2.2.1. Таким образом, можно указать два основных способа доказательства равенств множеств: доказательство, основанное на определении равенства множеств, и доказательство, основанное на использовании свойств операций над множествами. 2.2.3 Вопросы для самопроверки 1. Что называется пересечением, объединением, разностью двух множеств? 2. Что называется дополнением множества до универсального? 3. Какими свойствами обладают операции над множествами? 4. Какими способами решаются задачи на доказательство равенства множеств? 2.2.4 Упражнения 1. Изобразите графически следующие множества: а) A ∩ (B \ C), г) A \ (B \ C),

б) A ∪ (B ∩ C), д) A \ (B \ C), 44

в) A \ (B ∩ C), е) A ∩ (B ∪ C),

2. В каких случаях а) A ∩ B = A,

б) A ∪ B = A,

в) A \ B = A,

г) A ∪ B = A ∩ B?

3. Выразите через A, B, C множества, заштрихованные на следующих рисунках:

B

A

C

B

A

C

a)

b) Рис. 6.

4. Докажите равенства, множествами

используя

B

свойства

A c)

C

операций

над

(a) A ∩ ((B \ (C ∩ A)) ∩ (C \ B)) = ∅,

(b) A ∪ (B ∩ (C \ A) ∪ A ∪ B) = A ∪ (B ∪ C). 5. Верно ли равенство (A ∪ B) \ (B ∪ C) = A \ C для любых множеств A, B, C?

2.3

Бинарные отношения

2.3.1 Определение и примеры бинарных отношений Имея два произвольных элемента a и b, определим новый элемент (a, b), который назовем упорядоченной парой. При этом a будем называть первой компонентой, а b — второй компонентой. Будем говорить, что две упорядоченные пары (a, b) и (c, d) равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Опpеделение 2.3.1 Декартовым (прямым) произведением непустых множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар, у которых первая компонента принадлежит множеству A, а вторая — множеству B. Декартово произведение множеств A и B обозначается через A × B. Таким образом, A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}. Пример 2.3.1. Пусть A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. Тогда A × B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}. 45

Отметим, что если A 6= B, то B × A 6= A × B. Если B = A, то получим множество A×A, которое называется декартовым квадратом множества A. Опpеделение 2.3.2 Бинарным отношением, заданным на множестве A, называется любое подмножество декартого квадрата множества A. Бинарные отношения будем обозначать малыми греческими буквами (с индексами и без индексов). Примерами бинарных отношений на множестве A = {1, 2, 3} могут служит следующие подмножества множества A × A: ρ1 = {(1, 1), (1, 2), (3, 3)}, ρ2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, ρ3 = {(1, 2), (2, 1)}, ρ4 = ∅, ρ5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, ρ6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}. Бинарное отношение можно определить на любом непустом множестве. Например, если M — множество треугольников, то можно расмотреть такое бинарное отношение: θ = {(a, b) | (a, b ∈ M ) ∧ (a подобен b)}, или, если P — множество всех людей, то бинарным отношением на P является следующее множество σ = {(a, b) | (a, b ∈ P ) ∧ (a знает b)}. Если ρ — бинарное отношение, то наряду с записью (a, b) ∈ ρ будем употреблять запись aρb, имеющую тот же смысл, и если (a, b) ∈ / ρ, то соответственно a 6 ρb. 2.3.2 Виды бинарных отношений Рассмотрим некоторые виды бинарных отношений. Опpеделение 2.3.3 Бинарное отношение ρ, заданное на множестве M , называется рефлексивным, если ∀a ∈ M aρa. Примерами рефлексивных бинарных отношений являются бинарные отношения ρ2 , ρ5 , θ, σ. Чтобы сформулировать определение нерефлексивного бинарного отношения, нужно взять отрицание предикатной формулы ∀a aρa. Согласно правилам построения отрицаний 46

¬(∀a aρa) ≡ ∃a a6 ρa. Следовательно, бинарное отношение ρ, заданное на множестве A, называется нерефлексивным, если ∃a ∈ A a6 ρa. Элемент a в этом случае называется контрпримером к свойству рефлексивности. Бинарные отношения ρ1 , ρ3 , ρ4 , ρ6 не рефлексивны, так число 2 является для них общим контрпримером. Опpеделение 2.3.4 Бинарное отношение ρ, заданное на множестве M , называется симметричным, если ∀a, b ∈ M (aρb ⇒ bρa). Примерами симметричных бинарных отношений являются отношения ρ2 , ρ3 , ρ5 , θ. Пустое бинарное отношение ρ4 тоже симметрично, так как импликация aρb ⇒ bρa для него всегда истинна. Бинарное отношение ρ1 не симметрично, так как (1, 2) ∈ ρ1 и (2, 1) ∈ / ρ1 , а значит пара (1, 2) является контрпримером к этому свойству. По аналогичной причине не симметрично бинарное отношение ρ6 . Бинарное отношение σ не симметрично, так как очевидно найдутся два человека, из которых первый знает второго, а второй не знает первого. Опpеделение 2.3.5 Бинарное отношение ρ, заданное на множестве M , называется транзитивным, если ∀a, b, c ∈ M (aρb ∧ bρc ⇒ aρc). Бинарные отношения ρ1 , ρ2 , ρ4 , ρ5 , ρ6 , θ являются примерами транзитивных бинарных отношений. Бинарное отношение ρ3 не транзитивно, так как (1, 2) ∈ ρ3 ∧ (2, 1) ∈ ρ3 , но (1, 1) ∈ / ρ3 . Бинарное отношение σ не транзитивно, так как то, что a знает b и b знает c не означает, что a знает c. Опpеделение 2.3.6 Бинарное отношение ρ, заданное на множестве M , называется антисимметричным, если ∀a, b ∈ M (aρb ∧ bρa ⇒ a = b). Среди приведенных выше бинарных отношений антисимметричными являются бинарные отношения ρ1 , ρ4 , ρ5 , ρ6 . Бинарное отношение ρ2 не антисимметрично, так как (1, 2) ∈ ρ2 и (2, 1) ∈ ρ2 , и 1 6= 2. По той же причине не антисимметрично бинарное отношение ρ3 . Так как два подобных треугольника не обязательно равны, то следовательно, θ — не антисимметричное бинарное отношение. Бинарное отношение σ не антисимметрично, так как два знакомых друг другу человека обязательно различны. 47

Каждое бинарное отношение может обладать или не обладать указанными выше свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности и антисимметричности (сокращенно (Р), (С), (Т) и (А) соответственно). В зависимости от конкретного набора свойств бинарные отношения имеют специальные названия. Вот основные из них: отношение предпорядка (сокращенно (ПП)): (P), (T); отношение частичного порядка (сокращенно (ЧП)): (P), (T), (A); отношение линейного порядка (сокращенно (ЛП)): (P), (T), (A) и ∀a, b ∈ M ((a, b) ∈ ρ) ∨ ((b, a) ∈ ρ); отношение эквивалентности (сокращенно (Э)): (P), (C), (T). Пример 2.3.2. Пусть M = {1, 2}. Тогда M × M = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. На множестве M можно определить всего 16 различных бинарных отношений. Все такие бинарные отношения приведены в следующей таблице: № ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ9 ρ10 ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 ρ15 ρ16

Бинарные отношения ∅ {(1, 1)} {(2, 2)} {(1, 2)} {(2, 1)} {(1, 1), (2, 2)} {(1, 1), (1, 2)} {(1, 1), (2, 1)} {(1, 2), (2, 1)} {(1, 2), (2, 2)} {(2, 1), (2, 2)} {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} {(1, 2), (2, 1), (2, 2)} {(1, 1), (2, 1), (2, 2)} {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Р – – – – – + – – – – – – – + + +

C + + + – – + – – + – – + + – – +

T + + + + + + + + – + + – – + + +

A ПП ЧП ЛП Э + – – – – + – – – – + – – – – + – – – – + – – – – + + + – + + – – – – + – – – – – – – – – + – – – – + – – – – – – – – – – – – – – + + + + – + + + + – – + – – +

Пусть A, B — произвольные непустые множества и ρ — бинарное отношение между элементами множеств A и B, то есть ρ ⊂ A × B. 48

Множество всех элементов из A, являющихся первыми компонентами упорядоченных пар из ρ называется областью определения бинарного отношения ρ, а множество всех вторых компонент — областью значений бинарного отношения ρ. Область определения ρ обозначается через Dom ρ, а область значений — через Im ρ. Таким образом, Dom ρ = {a ∈ A | ∃b ∈ B (a, b) ∈ ρ}, Im ρ = {b ∈ B | ∃a ∈ A (a, b) ∈ ρ}. Обратимся к рассмотренным выше примерам и для некоторых из них найдем область определения и область значений. Нетрудно видеть, что Dom ρ1 = {1, 3}, Im ρ1 = A; Dom ρ2 = A = Im ρ2 ; Dom ρ4 = ∅ = Im ρ4 ; Dom ρ6 = {1, 2}, Im ρ6 = {2, 3}; Dom θ = Im θ = M . Опpеделение 2.3.7 Пусть ρ — бинарное отношение между элементами множеств A и B. Тогда бинарное отношение ρ0 = {(b, a) | (a, b) ∈ ρ} между элементами множеств B и A называется бинарным отношением, обратным к отношению ρ. Пример 2.3.3. ρ01 = {(1, 1), (2, 1), (3, 3)}. Пример 2.3.4. ρ05 = ρ5 . Опpеделение 2.3.8 Пусть A, B, C — непустые множества и ρ ⊂ A × B, µ ⊂ B × C. Композицией бинарных отношений ρ и µ называется бинарное отношение ρ ◦ µ = {(a, c) | ∃b ∈ B ((a, b) ∈ ρ ∧ (b, c) ∈ µ)}. Пример 2.3.5. Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, C = {m, n}, ρ = {(1, a), (2, a),(3, c)}, µ = {(a, m), (a, n), (b, n), (c, m)}. Тогда ρ ◦ µ = {(1, m), (1, n), (2, m), (2, n), (3, m)}. 2.3.3 Вопросы для самопроверки 1. Что называется декартовым произведением множеств? 2. Как определяется равенство двух упорядоченных пар? 3. Что называется бинарным отношением, заданным на множестве? 4. Сформулируйте определения свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности, антисимметричности бинарных отношений. 49

5. Что называется областью определения и областью значений бинарного отношения? 6. Сформулируйте определение бинарного отношения, обратного данному. 7. Что называется композицией бинарных отношений? 8. Какому условию должны удовлетворять область определения и область значений бинарного отношения ρ для того, чтобы ρ ◦ ρ 6= ∅? 2.3.4 Упражнения 1. Доказать, что бинарное отношение ρ на множестве M симметрично и антисимметрично одновременно тогда и только тогда, когда ρ = {(a, a) | a ∈ M }. 2. Сформулируйте и запишите определения несимметричного, нетранзитивного, неантисимметричного бинарных отношений. 3. Приведите пример нерефлексивного, несимметричного, нетранзитивного, неантисимметричного бинарного отношения. 4. Какими свойствами обладают следующие бинарные отношения, заданные на множестве натуральных чисел: (a) aρb ⇔ a < b,

(b) aρb ⇔ a 6 b,

(c) aρb ⇔ a и b делятся на 5,

(d) aρb ⇔ a делится на b, (e) aρb ⇔ a делит b,

(f) aρb ⇔ a + b = 10,

(g) aρb ⇔ a и b — нечетные числа, (h) aρb ⇔ a = b ∨ a < b ∨ a > b, (i) aρb ⇔ ab = ba ,

(j) aρb ⇔ b = a + 1. 5. Найдите Dom ρ и Im ρ для бинарных отношений, определенных в предыдущем примере. 50

6. Докажите, что если бинарное отношение ρ обладает одним из свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности, антисимметричности, то обратное бинарное отношение ρ0 обладает соответствующим свойством. 7. Докажите, что ρ0 = ρ тогда и только тогда, когда ρ — симметричное бинарное отношение. 8. Является ли равенство Dom ρ = Im ρ достаточным для того, чтобы ρ ◦ ρ = ρ? 9. Для каждого бинарного отношения упражнения 4) найдите обратное бинарное отношение. 10. Найдите композицию бинарных отношений 4f) и 4j), 4c) и 4f), 4a) и 4e). 11. Пусть ρ и µ — два бинарных отношения, заданные на множестве M и обладающие одновременно одним из свойств (Р), (С), (Т) или (А). Будет ли их композиция ρ ◦ µ обладать соответствующим свойством? 12. Какими свойствами обладают следующие бинарные отношения, заданные на множестве M : (a) M = N × N, (a, b)ρ(c, d) ⇔ ad = bc,

(b) M = R, aρb ⇔ b = |a| ∨ b = a2 ,

(c) M = Z, aρb ⇔ a + b > 5 ∧ b < 0,

(d) M = Z × Z, (a, b)ρ(c, d) ⇔ a − b = c − d ∧ a 6= b,

(e) M — множество прямых плоскости, aρb ⇔ a||b ∨ a ⊥ b.

2.4

Отношение эквивалентности

2.4.1 Отношение эквивалентности Среди бинарных отношений важное место занимает отношение эквивалентности. Опpеделение 2.4.1 Бинарное отношение, заданное на множестве M , называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. 51

Пример 2.4.1. На множестве M = {1, 2, 3} бинарное отношение ρ1 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3)} рефлексивно, симметрично и транзитивно и потому является отношением эквивалентности. Пример 2.4.2. Пусть M = N и ρ2 = {(a, b) | a и b имеют одинаковые остатки при делении на 3}. Отношение ρ2 рефлексивно, так как a и a имеют одинаковые остатки при делении на 3. Отношение ρ2 симметрично, так как если a и b имеют одинаковые остатки при делении на 3, то b и a имеют одинаковые остатки при делении на 3. Отношение ρ2 транзитивно, так как если a и b имеют одинаковые остатки при делении на 3 и b и c имеют одинаковые остатки при делении на 3, то a и c имеют одинаковые остатки при делении на 3. Следовательно, ρ2 — отношение эквивалентности. Пример 2.4.3. Пусть M — произвольное непустое подмножество, ρ3 = {(a, b) | a = b}. Легко видеть, что ρ3 — отношение эквивалентности на M . Опpеделение 2.4.2 Пусть ρ — отношение эквивалентности на множестве M и a ∈ M . Классом эквивалентных элементов, определяемых элементом a, называется множество a ¯ = {b ∈ M | aρb}. В этом случае a называется представителем класса a ¯. В первом из предыдущих примеров ¯1 = {1, 2} = ¯2, ¯3 = {3}. Во втором примере имеем три различных класса, так как при делении на 3 возможны всего три остатка: 0, 1, 2. Этими классами являются множества ¯0 = S S {3n | n ∈ N}, ¯1 = {3n + 1 | n ∈ N {0}}, ¯2 = {3n + 2 | n ∈ N {0}}. В третьем примере каждый класс эквивалентных элементов a ¯ состоит только из элемента a, то есть a ¯ = {a}. 2.4.2 Разбиение множества Опpеделение 2.4.3 Разбиением множества M называется совокупность подмножеств, Mi (i ∈ I), удовлетворяющих следующим условиям: 1) ∀i ∈ I Mi 6= ∅, 2) ∀i, S j ∈ I (i 6= j ⇒ Mi ∩ Mj = ∅), 3) Mi = M . i∈I

Пример 2.4.4. Пусть M = N и M1 — множество всех нечетных чисел, M2 — множество всех четных чисел. Ясно, что M1 и M2 — непустые 52

S подмножества, что M1 ∩ M2 = ∅ и M1 M2 = N. Следовательно, M1 , M2 — разбиение множества N. Пример 2.4.5. M = N и ∀n Mn = {n}. Очевидно, что совокупность всех классов Mn образует разбиение множества N. Два предыдущих примера показывают, что для каждого непустого множества существует разбиение и если множество содержит более одного элемента, то число различных разбиений не меньше двух. Между отношениями эквивалентности на множестве M и разбиениями множества M существует тесная связь. Эта связь определена в следующей теореме. Теоpема 2.4.1 Пусть ρ — отношение эквивалентности на множестве M . Тогда совокупность всех различных классов эквивалентных элементов образует разбиение множества M . Обратно: если совокупность подмножеств Mi (i ∈ I) образует разбиение множества M , то бинарное отношение µ = {(a, b) | ∃i ∈ I a, b ∈ Mi } является отношением эквивалентности на M . Доказательство. 1. Пусть ρ — отношение эквивалентности на множестве M и a ¯ — произвольный класс эквивалентных элементов. Так как бинарное отношение ρ рефлексивно, то ∀a ∈ M aρa, а значит a ∈ a ¯. Это доказывает, что ∀a ∈ M a ¯ 6= ∅. Пусть b ∈ M и ¯b ∩ a ¯ 6= ∅. ¯ ¯ ¯ Докажем, что b = a ¯. Пусть c ∈ b ∩ a ¯. Тогда c ∈ b и c ∈ a ¯ и потому (b, c) ∈ ρ, (a, c) ∈ ρ. Если x — произвольный элемент из класса ¯b, то (b, x) ∈ ρ. Так как ρ симметрично, то (x, b) ∈ ρ, а так как ρ транзитивно и (b, c) ∈ ρ, то (x, c) ∈ ρ. Аналогично доказывается, что (x, a) ∈ ρ. Воспользовавшись снова симметричностью отношения ρ, заключаем, что (a, x) ∈ ρ и потому x ∈ a ¯. Это означает, что ¯b ⊆ a ¯. Обратное ¯ включение a ¯ ⊆ b доказывается аналогично. Из этих двух включений вытекает равенство ¯b = a ¯. Таким образом, два класса эквивалентных элементов либо равны между собой, либо не содержат общих элементов. Далее, поскольку каждый класс эквивалентных элементов a ¯ является подмножеством содержится в S в M , то объединение всех таких классов S M , то есть a ¯ ⊆ M . Но так как ∀a ∈ M a ∈ a ¯, то a ∈ a ¯ и потому a∈M a∈M S S M ⊆ a ¯. Следовательно, M = a ¯. Таким образом, совокупность a∈M

a∈M

всех различных классов эквивалентных элементов образует разбиение множества M . Первая часть теоремы 2.4.1 доказана. 53

2. Пусть теперь совокупность классов Mi (i ∈ I) образует разбиение множества M . Докажем, что бинарное отношение µ = {(a, b) | ∃i S ∈ I a, b ∈ Mi } является отношением эквивалентности на M . Так как Mi = M , то ∀a ∈ M ∃i ∈ I a ∈ Mi . Это означает, что ∀a ∈ M aµa i∈I

и потому µ рефлексивно. Если (a, b) ∈ µ, то ∃i ∈ I a, b ∈ Mi . Но тогда b, a ∈ Mi и потому (b, a) ∈ µ. Следовательно, µ симметрично. Пусть (a, b) ∈ µ и (b, c) ∈ µ. Тогда ∃i, j ∈ I (a, b ∈ Mi ∧ b, c ∈ Mj ). Ясно, что b ∈ Mi ∩ Mj и потому Mi = Mj . Так как a, c ∈ Mi , то (a, c) ∈ µ, а значит отношение µ транзитивно. Таким образом, µ — рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение, то есть µ — отношение эквивалентности. 2 Пример 2.4.6. Пусть M = {a, b, c, d}. Легко видеть, что подмножества {a, b}, {c} и {d} образуют разбиение множества M . Очевидно, что из элементов подмножества {a, b} можно составить такие пары: (a, a), (a, b), (b, a), (b, b); из элемента подмножества {c} только одну пару (c, c) и аналогично для подмножества {d} — пару (d, d). Таким образом, бинарное отношение µ, определяемое данным разбиением, равно множеству {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (d, d)}. Классы эквивалентных элементов: a ¯ = {a, b} = ¯b, c¯ = {c}, d¯ = {d}, соответствующие этому бинарному отношению, образуют исходное разбиение. 2.4.3 Вопросы для самопроверки 1. Какое бинарное отношение называется эквивалентности? Приведите примеры.

отношением

2. Что называется классом эквивалентных элементов, определяемых элементом? 3. Что называется разбиением множества? Приведите примеры. 4. Сформулируйте теорему о связи между эквивалентности и разбиениями множества.

отношениями

5. Сколько различных разбиений имеет множество {1, 2}?

54

2.4.4 Упражнения 1. Выпишите все отношения эквивалентности на множестве {a, b, c} и соответствующие им разбиения. 2. Докажите, что следующие бинарные отношения на M являются отношениями эквивалентности: (a) M = N, aρb ⇔ |a − b| делится на n,

(b) M = Z, aρb ⇔ (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a = b = 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0),

(c) M = Q, aρb ⇔ a, b — одновременно целые или дробные числа,

(d) M = R, aρb ⇔ |a| = |b|,

(e) M — множество векторов плоскости, ~aρ~b ⇔ ~a коллинеарен ~b,

(f) M = R, aρb ⇔ [a] = [b], где [a]— целая часть числаa, [b] — целая часть числа b,

(g) M — множество правильных n-угольников, aρb ⇔ a подобен b, (h) M = R, aρb ⇔ cos a = cos b.

3. Для каждого из отношений эквивалентности упражнения 2) постройте соответствующее разбиение. 4. Будет ли композиция двух отношений эквивалентности отношением эквивалентности? 5. Запишите отношения эквивалентности, разбиениям множества {a, b, c, d}:

соответствующие

(a) {a}, {b}, {c}, {d},

(b) {a}, {b}, {c, d}, (c) {a}, {b, c, d},

(d) {a, b}, {c, d}, (e) {a, b, c, d}.

6. Пусть M (n) — множество натуральных чисел, кратных числу n (n > 1). Образуют ли подмножества M (n) разбиение множества N?

55

2.5

Функции и отображения

2.5.1 Определения функции и отображения Опpеделение 2.5.1 Функцией из множества A в множество B называется бинарное отношение ϕ ⊂ A × B, удовлетворяющее условию: ∀a ∈ A ∀b, c ∈ B ((a, b) ∈ ϕ ∧ (a, c) ∈ ϕ ⇒ b = c). Пример 2.5.1. Пусть A = B = R, ϕ1 = {(a, b) | b = a2 }. √ Пример 2.5.2. Пусть A = Z, B = R, ϕ2 = {(a, b) | b = a}. Пример 2.5.3. Пусть A = N, B = R, ϕ3 = {(a, b) | b = lg a}. Если ϕ — функция из множества A в множество B, то множество Dom ϕ называется областью определения функции ϕ, а множество Im ϕ — областью значений функции ϕ. Заметим, что Dom ϕ может не совпадать с A. Опpеделение 2.5.2 Отображением множества A в множество B называется функция ϕ из A в B, для которой Dom ϕ = A. В предыдущих примерах функции ϕ1 и ϕ3 являются отображениями, функция ϕ2 отображением множества Z не является, так как Dom ϕ2 — множество всех неотрицательных целых чисел. Не трудно заметить, что всякая функция ϕ является отображением множества Dom ϕ в множество Im ϕ. В этом пункте основное внимание будет уделено отображениям. Для обозначения отображений кроме малых греческих букв будем использовать и малые латинские буквы f, g, h и т.д. Пусть f — отображение множества A в множество B. Если (a, b) ∈ f , то будем записывать f (a) = b и называть b образом элемента a, а a — прообразом элемента b. Согласно определению отображения образ любого элемента a из A существует и определен однозначно. Если f (a) = b, то говорят также, что элемент b соответствует элементу a при отображении f , а само f называют соответствием, при котором каждому элементу множества A соответствует только один элемент из множества B. Задание конкретного отображения f сводится к описанию способа нахождения образа f (a) произвольного элемента a из A. Сам способ может быть описан либо словесно, либо таблицей, либо аналитическим выражением. 56

2.5.2 Виды отображений Опpеделение 2.5.3 Отображение f множества A и множество B называется инъективным, если ∀a1 , a2 ∈ A (f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ).

Опpеделение 2.5.4 Отображение f множества A и множество B называется сюръективным, если ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b.

В качестве примеров отображений рассмотрим некоторые элементарные функции. В этих примерах буквой f обозначено отображение множества A в множество B. Пример 2.5.4. A = B = R и ∀x ∈ A f (x) = ax + b, где a, b ∈ R и a 6= 0. Если ax1 + b = ax2 + b, то x1 = x2 и потому отображение f инъективно. y−b y−b Если y ∈ R, то ∈ R и f( ) = y. Следовательно, отображение f a a сюръективно. Пример 2.5.5. A = B = R и ∀x ∈ A f (x) = x2 . Отображение f не инъективно, так как f (−1) = 1 = f (1) и 1 6= −1. Отображение f не сюръективно, так как например, −1 не является образом никакого числа, то есть ∀x ∈ R x2 6= −1. Пример 2.5.6. A — множество всех неотрицательных действительных чисел, B = R и ∀x ∈ A f (x) = x2 . Очевидно, что теперь f — инъективное, но не сюръективное отображение. Пример 2.5.7. A = R, B — множество всех неотрицательных действительных чисел и ∀x ∈ A f (x) = x2 . Ясно, что отображение f не инъективно, но сюръективно. Пример 2.5.8. A = B — множество всех неотрицательных действительных чисел и ∀x ∈ A f (x) = x2 . Отображение f инъективно и сюръективно. Пример 2.5.9. A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b}, f = {(1, a), (2, b), (3, a), (4, b)}. Легко видеть, что бинарное отношение f действительно является отображением множества A в множество B. Это отображение не инъективно, так как 1 6= 3 и f (1) = a = f (3). Отображение f сюръективно, так как оба элемента a и b являются образами элементов из множества A. Опpеделение 2.5.5 Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Среди рассмотренных выше отображений биективными являются отображения в примерах 2.5.4) и 2.5.8). Другими примерами биективных 57

отображений являются функции f (x) = tg x для A =]−π/2, π/2[ и B = R, f (x) = lg x для A =]0, ∞[ и B = R.

Опpеделение 2.5.6 Отображение f множества A в множество B называется обратимым, если обратное бинарное отношение f 0 является отображением множества B в множество A. В этом случае отображение f 0 называют обратным к отображению f и обозначают через f −1 . Определим в каких из рассмотренных выше примерах отображения обратимы. В первом примере отображение f = {(x, ax + b) | x ∈ R}. Для того, чтобы записать обратное бинарное отношение, обозначим ax+b 1 b 1 b через y. Тогда x = y − = a0 y + b0 , где a0 = , b0 = . Следовательно, a a a a f 0 = {(y, a0 y + b0 ) | y ∈ R}. Ясно, что f 0 — отображение множества R в множество R и потому f — обратимое отображение. Отображение f в примерах 2.5.5 и 2.5.6 не обратимо, так как Dom f 0 6= B. Отображение f в примере 2.5.7 не обратимо, так как (1, 1) ∈ f 0 и (1, −1) ∈ f 0 и потому бинарное отношение f 0 не является отображением. Отображение f в примере 2.5.8 обратимо, так как обратное бинарное отношение √ f 0 = {(y, y) | y ∈ R ∧ y > 0} является отображением множества всех неотрицательных действительных чисел в себя. Отображение f в примере 2.5.9 не обратимо, так как обратное бинарное отношение f 0 = {(a, 1), (b, 2), (a, 3), (b, 4)} не является отображением. Заметим, что отображение оказалось обратимым в тех случаях, когда оно было биективным. Такое совпадение не случайно. Имеет место теорема: Теоpема 2.5.1 Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно. Доказательство. Необходимость. Пусть f — обратимое отображение множества A в множество B. Это означает, что обратное бинарное отношение f 0 также является отображением. Следовательно, f 0 удовлетворяет двум условиям: 1) ∀b ∈ B ∀a, c ∈ A ((b, a) ∈ f 0 ∧ (b, c) ∈ f 0 ⇒ a = c) и 2) Dom f 0 = B. Из первого условия следует импликация (b = f (a) = f (c)) ⇒ a = c, которая означает инъективность отображения f . Из второго условия следует, что ∀b ∈ B ∃a ∈ A (b, a) ∈ f 0 , а это означает сюръективность отображения f . Таким образом, f — биективное отображение. 58

Достаточность. Пусть f — биективное отображение множества A в множество B. Тогда f — инъективное отображение, то есть ∀a, c ∈ A ∀b ∈ B (f (a) = b = f (c) ⇒ a = c). Это означает, что если (b, a) ∈ f 0 и (b, c) ∈ f 0 , то a = c. Следовательно, f 0 — функция из B в A. По условию f — сюръективное отображение, то есть ∀b ∈ B ∃a ∈ A f (a) = b, а значит (b, a) ∈ f 0 . Это говорит о том, что Dom f 0 = B и потому f 0 — отображение множества B в множество A. Таким образом, отображение f обратимо. 2 2.5.3 Вопросы для самопроверки 1. Что называется функцией из множества A в множество B? 2. Что называется отображением множества A в множество B? 3. Что называется областью определения и областью значений функции? 4. Сформулируйте определения инъективного, сюръективного и биективного отображений. 5. Какое отображение называется обратимым? Когда отображение обратимо? 6. Если f — обратимое отображение, то будет ли отображение f −1 обратимым? 2.5.4 Упражнения 1. Какие из следующих бинарных отношений между элементами множеств A и B являются функциями из A в B, отображениями A в B: (a) A = B = R, aρb ⇔ b = a3 ,

(b) A = B = R, aρb ⇔ b = cos |a|,

(c) A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5}, ρ = {(1, 2), (2, 3), (3, 5)},

(d) A = N, B = {2n | n ∈ N}, aρb ⇔ b = 2a , (e) A = Z, B = N, aρb ⇔ b = |a| + 1,

(f) A = {a | a ∈ R ∧ a > 0}, B = R, aρb ⇔ b = lg a,

(g) A — множество векторов плоскости, B = N, ~aρb ⇔ b = |~a|? 59

2. Докажите, что каждая из следующих функций f является отображением множества A в множество B, и определите, какими из свойств инъективности, сюръективности, биективности обладает f: (a) A = B = N, f (a) = na, где n ∈ N,

(b) A = Z, B = N, f (a) = a2 + 1, ( a, если a четно, (c) A = N, B = Z, f (a) = −a, если a нечетно, ( 2a, если a > 0, (d) A = Z, B = N, f (a) = 2|a| + 1, если a 6 0, (e) A = R, B = [−1, 1], f (a) = sin a, ( a, если a 6 0, (f) A = B = R, f (a) = a2 , если a > 0, (g) A = {a | a ∈ R ∧ a > 0}, B = R, f (a) =

√

a,

(h) A = R, B = {b | b ∈ R ∧ b > 0}, f (a) = |a|,   −1, если a < 0, (i) A = R, B = {−1, 0, 1}, f (a) = 0, если a = 0,   1, если a > 0,

(j) A — множество подмножеств множества B = {1, 2, 3, 4}, f (a) — наименьшее число в подмножестве a.

3. Какие из отображений упражнения 2) обратимы? 4. Докажите, что композиция отображений является отображением. 5. Докажите, что композиция инъективных (сюръективных, биективных) отображений является инъективным (сюръективным, биективным) отображением. 6. Пусть f, g — биективные отображения. Докажите, что f ◦ g — биективное отображение и что (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .

Литература [1] Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. [2] Куликов Л.Я., Москаленко А.И., А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебн. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1993. [3] Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств, линейные уравнения и неравенства, матрицы и определители: Учебное пособие для студентов-заочников физикоматематических факультетов педагогических институтов. М.: Просвещение, 1974. [4] Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Ч.1. Минск: Вышейшая школа, 1982. [5] Лельчук М.П., Полевченко И.И., Радьков А.М., Чеботаревский Б.Д. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Минск: Вышейшая школа, 1986.

Коробков Сергей Самсонович Элементы математической логики и теории множеств Учебное пособие

Компьютерная верстка: С.С. Коробков Редактор Подписано в печать . Формат 60 × 84 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать ротапринтная. Усл. печ. л. 4,9 Уч.- изд. л. 4,9. Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет. Адрес: 620219 Екатеринбург, ГСП 135, просп. Космонавтов, 26