Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный университет
УДК 621.396.6+517.442(075) З-8...
12 downloads
279 Views
1003KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный университет
УДК 621.396.6+517.442(075) З-81 Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ Рецензент – доктор технических наук, профессор, действительный член Академии транспорта РФ (завкафедрой прикладной математики Омского государственного университета транспорта) В.К. Окишев
З-81
И.Д. Золотарев ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, УПРОЩАЮЩЕГО ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Рекомендовано Сибирским региональным отделением учебно-методического объединения по образованию в области энергетики и электротехники в качестве учебного пособия для межвузовского использования для студентов, обучающихся по направлениям 654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации», 645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология»
Золотарев И.Д. Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем: Учебное пособие. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 136 с. ISBN 5-7779-0469-6 Излагается метод исследования переходных процессов в колебательных системах, позволяющий существенно упростить наиболее трудоемкую операцию при нахождении решения дифференциального уравнения системы – обратное преобразование Лапласа. Показано, что при этом комплексный сигнал обеспечивает корректное определение огибающей и фазы реального сигнала. Наглядность получаемых решений достигается привлечением спектрального метода. Приведены примеры расчета переходных процессов при проектировании радиоустройств. Для студентов, обучающихся по направлениям 010802 «Фундаментальная радиофизика и физическая электроника», 210301 «Радиофизика и электроника», 010800 «Радиофизика», 654200 «Радиотехника», 654400 «Телекоммуникации», 645500 «Электротехника, электромеханика и электротехнология», аспирантов, инженеров и научных сотрудников радио- и электротехнических специальностей, а также специалистов в области измерительной техники и автоматики, исследующих динамику колебательных систем. УДК 621.396.6+517.442(075)
Издание ОмГУ
Омск 2004
© Золотарев И.Д., 2004 © Омский госуниверситет, 2004
ISBN 5-7779-0469-6 2
ВВЕДЕНИЕ При разработке радиоэлектронных устройств различного назначения перед инженером часто возникает задача необходимости исследования прохождения импульсных радиосигналов через линейные цепи. Для решения задачи во временной области широко используется операционное исчисление на основе интегральных преобразований Лапласа. При рассмотрении задачи в частотной области применяют спектральный метод на основе интегральных преобразований Фурье. Оба эти пути исследования тесно связаны между собой и иногда их рассматривают как единый метод (метод трансформации Фурье). При нахождении реакции радиоэлектронного устройства (РЭУ) на импульсное возбуждение применением операционного исчисления наиболее трудоемкой операцией является выполнение обратного преобразования Лапласа (ОПЛ) [1]. Трудоемкость ОПЛ особенно возрастает для важных в радиотехнических приложениях случаев воздействия на РЭУ радиоимпульсных сигналов, а также при наличии в сигнальном тракте РЭУ избирательных фильтров (колебательных систем). Это обусловлено тем, что для радиоимпульсных сигналов и таких реализаций РЭУ изображающая функция (ИФ) исследуемой реакции системы на входное возмущение имеет комплексно-сопряженные пары (КСП) полюсов. В этих случаях даже для относительно простых ИФ существенно увеличивается трудоемкость и громоздкость преобразований при переходе из пространства изображений в пространство оригиналов по сравнению с нахождением решений для вещественных полюсов ИФ [2]. Между тем существующая тенденция предельного увеличения скорости переработки информации в радиосистемах приводит к необходимости построения РЭУ, работающих в динамическом режиме, когда преобразования сигнала, съем и обработка информативного параметра его происходят не после окончания переходных процессов (ППР) на выходе информативного канала, а в течение этих процессов. В общем случае из-за неизбежного наличия ППР при возбуждении электронной системы импульсным сигналом форма его искажается. Данные искажения приводят к разрушению информативного параметра сигнала (к возникновению соответствующих динамических ошибок работы системы). 3
Исследование ППР в системе с целью минимизации ошибки, вносимой переходными процессами в информативный параметр сигнала, является одним из необходимых этапов проектирования современных РЭУ, функционирующих в динамическом режиме. Поэтому проблема разработки методов, упрощающих исследование переходных процессов в радиоустройствах, всегда привлекала серьезное внимание специалистов [l–6]. Наибольшее распространение при исследовании переходных процессов в радиосистемах нашел разработанный С.И. Евтяновым метод медленно меняющихся огибающих (ММО). В данном методе существенное снижение трудоемкости получения решения линейных дифференциальных уравнений (ДУ) при исследовании ППР в колебательных системах достигается применением определенных упрощающих допущений (асимптотический метод малого параметра). При этом исходные ДУ, связывающие отклик линейной системы с возбуждающим ее радиосигналом, преобразуется к укороченным символическим уравнениям относительно ММО [2]. Чем более узкополосные сигналы и системы исследуются, тем более точными будут искомые решения, найденные методом ММО. В качестве меры узкополосности радиосигналов и систем обычно рассматривают отношения µ = ∆ω с ω н и ε = 2 ∆ω н ω р , где ∆ω с – ширина спектра радиосигнала, ω н – частота его высокочастотного (ВЧ) заполнения, 2∆ω н – ширина полосы пропускания колебательной системы, ω р – резонансная частота ее. Для узкополосных сигналов и систем имеем малые параметры µ и ε ( µ 0 , тогда первый член в (3.11) будет иметь вид f (t )e − pt
∞
= 0 − f (0)
0
∞
∞
0
0
и, следовательно, f1( p ) = p ∫ f (t )e − pt dt − f ( 0 ) , но 19
∫ f (t)e
− pt
df 1 (t ) d 2 f (t ) , = dt dt 2
то изображение второй производной через изображение первой производной согласно формуле (3.12) запишется в виде f 2 ( p ) = pf1( p ) − f ′( 0 ) , (3.13) где
f ′( t ) =
df ( t ) dt
.
Аналогично получаем рекуррентную формулу для изображения n -й производной через изображение n − 1 производной (3.14) f n ( p ) = pf n −1 ( p ) − f ( n −1) (0) , n −1 f (t ) . где f ( n − 1) = d n −1
dt
Пользуясь формулой (3.13) или более общей рекуррентной формулой (3.14), можно легко последовательно, принимая за основу (3.12), написать развёрнутые формулы для изображения n -й производной: f1 ( p ) = pf ( p ) − f (0), f 2 ( p ) = p 2 f ( p ) − pf (0) − f ′(0) = f1 ( p ) − f ′(0),
f 3 ( p ) = pf 2 ( p ) − f ′′( 0 ) = = p3 f ( p ) − p2 f ( 0 ) − pf ′( 0 ) − f ′′( 0 ),
(3.15)
Здесь f ( 0 ), f ′( 0 ), f ′′( 0 )... – величины функции f (t ) и ее производных при значении независимой переменной t = 0. Отсюда одно из существенных достоинств операционного исчисления состоит в том, что при решении дифференциальных уравнений сразу учитываются начальные условия. Упрощение записей получаем, если считать начальные условия равными нулю (это также важ-
dt = f ( p) .
20
ный для практики, но все же частный случай работы системы)*. Тогда из (3.15) имеем для нулевых начальных условий простое соотношение fn ( p) = pn f ( p) . (3.16) 3.5. Теорема об изображении интеграла функции вещественной переменной
4. ИЗОБРАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ ТИПОВЫХ ФОРМ Воспользуемся приведёнными выше теоремами для нахождения изображений некоторых важных функций, определяющих сигналы, часто встречающихся при исследовании радиоэлектронных схем. При этом будем исходить из полученного ранее изображения единичного скачка 1(t ) → f ск ( p ) = 1 / p . 4.1. Изображение экспоненциального импульса
Пусть f (t ) → f ( p ) . Найдём изображение интеграла: t
F (t ) = ∫ f (ξ )dξ .
(3.17)
0
Нужно определить: F ( p ) = L{F (t )} . Дифференцируя первообразную функцию (3.17), имеем dF(t) = f (t) . dt
(3.18)
Отсюда, в соответствии с теоремой об изображении производной, можем записать: f ( p ) = pF ( p ) − F ( 0) . (3.19) Но из (3.17) имеем F(0)=0, так как значение определённого интеграла с равными пределами равно нулю. Значит, f ( p ) = pF ( p ) . Тогда F ( p) =
f ( p) . p
(3.20)
Таким образом, изображение интеграла исходной функции равно ее изображению, поделенному на p.
*
Наличие нулевых начальных условий, вообще говоря, не является принципиальным для последующего рассмотрения метода упрощающего ОПЛ. Они влияют лишь на значения коэффициентов при целых степенях переменной p, получаемых при их приведении для p одинаковых степеней и которые, таким образом, зависят от начальных условий (см. формулы (3.15)).
21
Определим экспоненциальный импульс в форме f e (t ) = Ae β t 1(t ) , (4.1) где β – вещественная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При β = 0 приходим к рассмотренной ранее в п. 2.4.2 функции скачка, где для f e (t ) → A β =0
1 p
и, воспользовавшись теоремой смещения в про-
странстве изображений, запишем: f e ( p) = A
1 . p−β
(4.2)
4.2. Изображение функции включения синусоидального сигнала Пусть дан сигнал, определяемый функцией: f (t ) = A cos(ω нt +ψ )1(t ) ,
(4.3)
т.е. сигнал задан синусоидой, усеченной за счет множителя 1(t) для области t < 0 . Функцию (4.3), по аналогии с единичным скачком, будем называть функцией радиоскачка [5]. Воспользовавшись формулой Эйлера, перепишем (4.3) в виде ⎡ e j (ω н t +ψ ) e − j (ω н t +ψ ) ⎤ + f (t ) = A ⎢ ⎥1(t ) . 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦
22
(4.4)
Применив теорему смещения в частотной области, получим
{
L A 1(t )e
± jω н t
{
}
1 , =A p ∓ jω н
}
L A 1(t )e ± j (ω н t +ψ ) = A
(4.5)
e ± jψ . p ∓ jω н
(4.6)
Воспользовавшись теоремой об изображении суммы, из (4.4) получим выражение f ( p ) = L { f (t )} =
jψ
− jψ
⎤ A⎡ e e + ⎢ ⎥. 2 ⎢⎣ p − jω н p + jω н ⎥⎦
(4.7)
Иногда удобно изображение усеченной синусоиды представить в ином, более компактном, виде. Для этого произведём тривиальные преобразования с выражением (4.7): f ( p) =
A 2
⎡ ( p + jω н )(cos ψ + j sinψ ) + ( p − jω н )(cos ψ − j sinψ ) ⎤ ⎢ ⎥= p 2 + ω н2 ⎣⎢ ⎦⎥
⎡ p cos ψ − ω н sinψ + j (ω н cos ψ + p sinψ ) + p cos ψ − ω н sinψ ⎤ −⎥ ⎢ p 2 + ω н2 A⎢ ⎥. = ⎥ 2 ⎢ j (ω н cos ψ + p sinψ ) ⎢− ⎥ 2 2 p + ωн ⎢⎣ ⎥⎦
Окончательно получим f ( p) = A
p cosψ − ω н sinψ . p 2 + ω н2
(4.8)
Аналогично найдем изображение для функции f (t ) = A sin(ω нt +ψ ) ⋅ 1(t ) , f (t ) = A f ( p ) = L{ f (t )} = A
e j (ω н t +ψ ) − e − j (ω н t +ψ ) 1(t ) , 2j
p sinψ + ω н cosψ . p 2 + ω н2
(4.9) (4.10)
Подставляя вместо ψ в формулу (4.8) для изображения косинусоидальной функции значения ψ - π / 2 , получим изображение синусоидальной функции в форме (4.10). 4.3. Изображение колебательного процесса с экспоненциальной огибающей Сигнал для этого случая представим в форме f (t ) = Ae β t sin(ω нt + ψ )1(t ) .
(4.12)
Здесь формула (4.12) определяет затухающую или нарастающую (в зависимости от того, β < 0 или β > 0) синусоидальную функцию, для которой огибающая – Ae β t 1(t ) . Формула (4.12), описывающая данный сигнал, отличается от выражения (4.9) множителем e β t . Тогда, воспользовавшись теоремой смещения, получаем из выражения (4.10) для изображения функции (4.12) ( p − β ) sinψ + ω н cosψ f ( p ) = L{ f (t )} = A . (4.13) ( p − β )2 + ω н2 Для функции вида f (t ) = Ae β t cos( ω нt + ψ )1(t ) , (4.14) сопоставляя (4.14) с (4.3) из изображения (4.8) и применяя теорему смещения, аналогично получим ( p − β ) cosψ − ω н sinψ f ( p) = A . (4.15) ( p − β ) 2 + ω н2 4.4. Изображение сигнала, определяемого секулярной функцией
Формула (4.10), очевидно может быть получена из (4.8) (и наоборот, формула (4.8) из (4.10), если учесть, что косинусоидальный и синусоидальный сигналы отличаются сдвигом по фазе на π / 2 (сравни формулы (4.3) и (4.9)). Тогда, например, π A sin(ω нt + ψ )1(t ) = A cos(ω нt + ψ − )1(t ) . (4.11)
Запишем сигнал в наиболее общей форме: f (t ) = At k e β t cos( ω нt + ψ )1(t ) , (4.16) где время входит вне знака косинуса (секулярная функция [19]), k = 0, 1, 2,..., т.е. k – целое, положительное, включая нуль. Прежде чем найти изображение сигнала (4.16) найдем изображение вспомогательных функций. Для этого напомним, что
23
24
2
изображение δ-функции (единичного импульса) fδ ( p ) = 1 (формула (2.8)). Изображение единичного скачка представим, как в формуле (2.9): f ( p ) = L{1(t )} =
1 . p
Заметим, что можно осуществить переход от (2.8) к (2.9) на основе теоремы об изображении интеграла функции времени, учитывая интегральную связь между оригиналами в виде (2.5): t
∫ δ (ξ )dξ .
1(t ) =
t
∫
−∞
f −3 ( t ) =
t
∫
∫ 1(ξ )dξ = ∫ dξ = t1(t ) ,
−∞
0
t
t
t
t
−∞
0
0
∫ ∫1(ξ )dξ = ∫ ∫ ξdξ = ∫
ξ2 2
dξ =
1(t ) → t3 1(t ) , 2 ⋅3
t
tn f − n (t ) = ∫ ∫ ... ∫ 1(ξ )dξ = 1(t ) . n! −∞
(4.17)
Следует иметь в виду, что решение интегралов в выражении (4.17) будет справедливо для t > 0. Это следует из того, что в подынтегральной функции имеем 1(t) = 0 при t < 0. Таким образом, всюду в решениях (4.17) нужно вводить множитель 1(t), чтобы показать, что решения справедливы для t > 0. Например,
f − 1 ( t ) = t ⋅ 1( t ) ,
f − 2 (t ) =
2
t 1(t ), ..., 2
f − n (t ) =
n
t 1(t ) . n!
Соответственно нижний предел определенных интегралов в (4.17) может быть взят равным нулю. Исходя из очевидности присутствия множителя 1(t), в соотношениях (4.17) его иногда опускают. В 25
(4.18)
Из (4.18) получаем изображение для функции целых степеней (t), усеченных во времени
t
t2 f −1 (ξ )dξ = ∫ ∫ 1(ξ )dξ = ∫ ξdξ = 1(t ) , 2 −∞ 0
f −2 (ξ )dξ = ∫
t2 1 1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −2 ( p ) = 3 , 2 p
t 1 1(t ) → L{ f − n (t )} = f − n ( p ) = n +1 . n! p
t
−∞
f − 2 (t ) =
1 , p2
n
Найдем функции
t
t ⋅1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −1( p ) =
…
−∞
f −1 (t ) =
дальнейшем не будем оговаривать усечение функции на отрицательной полуоси времени, которое имеем, так как интеграл в прямом преобразовании Лапласа односторонний. Изображения для функции в (4.17) запишем исходя из теоремы об изображении интеграла
1 , p
t ⋅1( t ) →
1 , p2
t 2 ⋅1( t ) →
2! , p3
t 3 ⋅1( t ) →
3! , p4
… t n ⋅1( t ) →
n! . p n+1
(4.19)
Теперь воспользуемся соответствующими теоремами для того, чтобы от (4.19) перейти к искомому изображению для оригинала (4.16). Для этого представим (4.16) в форме f (t ) =
[
]
At k ( β + jω н )t + jψ e + e( β − jω н )t − jψ 1(t ) . 2
26
(4.20)
Исходя из теорем смещения и изображения суммы сигналов, получаем из (4.19) и (4.20) искомое изображение секулярного сигнала (4.16): f ( p) =
⎤ Ak ! ⎡ e jψ e − jψ + ⎥. ⎢ 2 ⎣⎢ [ p − ( β + jω н )] k +1 [ p − ( β − jω н )] k +1 ⎦⎥
(4.21)
Приведем последнее соотношение к общему знаменателю. При этом учтем, что {[( p − β ) − jω н ][( p − β ) + jω н ]}k +1 = [( p − β ) 2 + ω н2 ]k +1 . (4.22) Тогда изображающая функция f ( p ) из (4.21) преобразуется к виду f ( p) =
Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1e jψ + [( p − β ) − jωн ]k +1e− jψ ⎫⎪ ⎬= ⎨ 2 ⎪⎩ ⎪⎭ [( p − β )2 + ωн2 ]k +1
Применим к правой и левой частям дифференциального уравнения (1.7) прямое преобразование Лапласа. ⎧⎪ n ⎧⎪ m d µ y ⎫⎪ d λ x ⎫⎪ L ⎨ ∑ a µ µ ⎬ = L ⎨ ∑ bλ λ ⎬ . ⎪⎩λ = 0 dt ⎪⎭ dt ⎪⎭ ⎪⎩µ = 0
Ak! ⎡{[( p − β ) + jωн ]k +1 + [( p − β ) − jωн ]k +1}cosψ = + ⎢ 2 ⎣⎢ [( p − β )2 + ωн2 ]k +1
(4.23)
При k = 0 выражение (4.23) принимает форму ( p − β ) cosψ − ω н sinψ f ( p) = A , ( p − β )2 + ω н2 т.е. при k = 0 приходим от (4.23) к формуле (4.15) изображения для функции (4.14), которую получаем из оригинала (4.16), полагая в нем k = 0 .
(5.1)
Будем для упрощения рассуждений считать, что исследуемая система имеет нулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях, свидетельствующих об отсутствии начальных запасов энергии в исследуемой системе, выражения для изображений производных функций (3.15) переходят к более простому виду (3.16), т.к. начальное значение функции и ее производных вплоть до порядка равны нулю т.е. n −1 f (0) = 0, f ′(0) = 0, ..., f (
Ak! ⎧⎪[( p − β ) + jωн ]k +1(cosψ + j sinψ ) + [( p − β ) − jωн ]k +1(cosψ − j sinψ ) ⎫⎪ = ⎨ ⎬= 2 ⎪⎩ ⎪⎭ [( p − β )2 + ωн2 ]k +1
j{[( p − β ) + jωн ]k +1 − [( p − β ) − jωн ]k +1}sinψ ⎤ + ⎥. [( p − β )2 + ωн2 ]k +1 ⎦⎥
5. ИЗОБРАЖАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
n −1)
(0) = 0 .
Применяя теорему об изображении производной, а также вспомогательные теоремы об изображении суммы и умножении функции на постоянную величину, сразу получим m ⎛ n ⎞ ⎜ a p µ ⎟ ⋅ y ( p ) = ⎛⎜ b p λ ⎞⎟ ⋅ x ( p ), ∑ ∑ µ λ ⎟ ⎜ ⎜ µ =0 ⎟ ⎠ ⎝ λ =0 ⎝ ⎠
(5.2)
где x ( p ) и y ( p ) – изображения входного сигнала и отклика системы. Из выражения (5.2) изображение отклика системы найдем как y ( p) = K ( p) x ( p) ,
(5.3)
m
∑ bλ p λ
K ( p ) = λn= 0
∑ aµ p µ
,
(5.4)
µ =0
где дробно-рациональная функция K(p) называется передаточной функцией системы (или системной функцией). Из сопоставления (5.4) с исходным дифференциальным уравнением (формула (1.7)) следует, что передаточная функция целиком определяется коэф27
28
фициентами исходного дифференциального уравнения. Иными словами, между K(p) и дифференциальным уравнением существует единственная связь. Откуда следует, что исследуемая физическая система может быть определена как через дифференциальное уравнение, так и через передаточную функцию K(p). Схематически связь между входным сигналом x(t) и откликом системы y(t) через переход в пространство изображений и обратно показана на рис. 5.1. x(t )
K ( p)
↑ L−1
x ( p)
y ( p)
29
F ( p) .
(5.7)
µ =0
Обозначим множитель при F ( p ) через K1( p ) 1
K1 ( p ) = n
.
(5.8)
Тогда (5.7) примет вид: y ( p) = K1( p )F ( p ) .
(5.5)
где F ( p ) – изображение вынуждающей функции. Изображающее уравнение можно теперь переписать в форме µ =0
∑ aµ p
µ
µ =0
Таким образом, применение преобразование Лапласа к правой и левой части исходного дифференциального уравнения переводит его в пространство изображений. Алгебраическое уравнение (5.2) называется изображающим уравнением. Полагая, что входной сигнал x(t) известен, правую часть уравнения (1.7) можно представить как функцию F(t), которую иногда называют вынуждающей функцией. Тогда
n
1
∑ aµ p µ
Рис. 5.1
∑ (aµ p µ ) y ( p) = F ( p).
y ( p) = n
y (t )
L ↓
⎧⎪ n d µ y ⎫⎪ L⎨ ∑ µ ⎬ = F ( p) , ⎪⎩µ = 0 dt ⎪⎭
Решая уравнение (5.1) относительно y ( p ) , имеем
(5.6)
(5.9)
В важном случае, если на входе системы действует только один сигнал x(t), а не сумма сигнала и его производных с весовыми коэффициентами bλ , то, как следует из (1.7) и (5.2), полагаем bλ = 0 для всех λ = 1, m . Не нарушая общности рассуждений, мо-
жем принять b0 = 1 , и тогда F (t ) = x(t ) . При этом передаточная функция (характеристика системы K ( p ) = K1 ( p ) ) и определяется только левой частью дифференциального уравнения (1.7), которой соответствует формула (5.8). Будем рассматривать этот случай. Такой подход несколько упрощает нахождение результата, не требует изменения методики нахождения решения при переходе к более сложному возмущению F (t ) , содержащему производные x(t). Действительно наличие производных x(t) влияет на структуру числителя передаточной характеристики K1( p ) и не отражается на ее полюсах. Трудоемкость же нахождения решения y (t ) и характер поведения ее определяется полюсами ее изображения и, следовательно, полюсами K(p) (а также полюсами x ( p ) , формула (5.3)). Независимо от того, имеются ли начальные запасы энергии или отсутствуют, применение прямого преобразования Лапласа к правой и левой частям уравнения (1.7) позволяет алгебраизировать обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом правая и левая части уравнения (1.7) представлены в пространстве 30
изображений полиномами целых степеней переменной p. Высшая степень полинома в левой части равна порядку дифференциального уравнения. Наличие начальных условий лишь приведет к появлению дополнительных членов в правом полиноме, степень которых ниже порядка дифференциального уравнения. После приведения подобных членов получаем полиномы целых степеней в правой и левой части изображающего уравнения для исходного дифференциального уравнения вида (1.7). Таким образом, наличие начальных условий лишь изменит величину коэффициентов при целых степенях p. Для большинства практических задач радиоэлектроники передаточная характеристика K(p) является дробно-рациональной функцией (ДРФ), т.е. представляет отношение полиномов целых степеней p (формула (5.4)). Будем рассматривать класс сигналов, для которых изображение x ( p ) также ДРФ. Тогда и изображение y ( p ) как произведение дробно-рациональных функций также будет ДРФ. 6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Временные характеристики системы (радиоэлектронной схемы) – это отклик системы на типовые формы сигналов. Они однозначно связаны с ее передаточной характеристикой, а значит, и с дифференциальным уравнением системы. Наиболее широко используются импульсная реакция и переходная характеристика системы. 6.1. Импульсная реакция системы
Импульсная реакция системы – это отклик системы на возбуждающий сигнал вида δ-функции. Импульсная реакция имеет ряд синонимов: импульсная реакция, импульсная характеристика, память системы. В физике аналогом импульсной реакции является функция Грина. Будем обозначать импульсную реакцию g(t). Тогда для дифференциального уравнения вида (1.7) n
dµg
µ =0
dt µ
∑ aµ
= δ (t ) .
31
(6.1)
Применяя к (6.1) прямое преобразование Лапласа и учитывая, что L{δ (t )} = 1 , получим n
( ∑ aµ p µ ) g ( p ) = 1 ,
(6.2)
µ =0
где g ( p) – изображение импульсной характеристики системы. Отсюда g( p) =
1 n
∑ aµ p
µ
= K ( p) .
(6.3)
µ =0
Из (6.3) следует, что с точностью до размерности изображение импульсной реакции системы равно передаточной характеристике системы. Для нахождения импульсной реакции применим к (6.3) обратное преобразование Лапласа. Тогда g (t ) = L−1{g ( p )} = L−1{K ( p )} . (6.4) Из этого уравнения следует простая связь между импульсной реакцией и передаточной функцией системы, а именно: импульсная реакция системы с точностью до размерности определяется ОПЛ передаточной характеристики ее*. Так как система задана передаточной характеристикой K(p) (или дифференциальным уравнением, однозначно связанным с K(p)), то и импульсная реакция однозначно определяет систему. Иными словами, импульсная реакция является функцией времени, определяющей систему во временной области, как и передаточная характеристика в области комплексной переменной p или дифференциальное уравнение, связывающее вход и выход системы.
*
Из (6.1) и (6.2), учитывая вид ППЛ (формула (2.1)), следует, что размерность единицы в правой части (6.2), как изображения δ-функции, равна [δ (t)]⋅c. Совершенно так же из (6.3) размерность импульсной реакции [g ( p )] = [δ (t )]⋅ c ⋅ [K ( p )] . Здесь квадратные скобки означают размерность соответствующей величины (функции).
32
6.2. Переходная характеристика системы
Переходная характеристика (переходная функция) системы – это отклик системы на единичный скачок. Будем обозначать переходную характеристику через h(t ) . Обращаясь к дифференциальному уравнению (1.7), имеем n
∑
µ =0
aµ
d µh dt µ
= 1(t ) ,
⎧⎪ n ⎞ d µ h ⎫⎪ ⎛⎜ n 1 ⇒ L ⎨ ∑ aµ a p µ ⎟h ( p) = , = µ ⎬ ⎜∑ µ ⎟ p dt ⎪⎭ ⎝ µ =0 ⎪⎩µ =0 ⎠
так как L{1(t )} =
1 ; p
(6.6)
(6.7)
1 c + j∞ K ( p) pt e dp , ∫ 2πj c − j∞ p
(6.8)
и, следовательно, ⎧ K ( p) ⎫ h(t ) = L−1 ⎨ ⎬. ⎩ p ⎭
y (t )
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 7.1. Применение операционного исчисления для интегрирования линейных дифференциальных уравнений
Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению (5.4), находим искомый интеграл дифференциального уравнения исследуемой системы:
µ =0
Таким образом, между изображением переходной характеристики h( p) и передаточной характеристики системы K ( p) существует простая связь, определяемая соотношением (6.7). Перепишем (6.7) в виде h(t ) = L−1{h ( p )} =
Система определяется: или дифференциальным уравнением или K ( p ), h(t ), g (t )
Рис. 6.1
стики. Здесь и дальше символ ⇒ означает «откуда следует». Из формулы (6.6) получаем: 1 K ( p) h ( p) = = . n p µ p ∑ aµ p
x(t )
(6.5)
h ( p ) – изображение переходной характери-
1
ным уравнением, или передаточной характеристикой, или импульсной реакцией или переходной характеристикой (рис 6.1). Все эти определения однозначно связаны между собой.
(6.9)
y (t ) = L−1{ y ( p )} = L−1{K ( p ) x ( p )} ,
(7.1)
или c + j∞
c + j∞
1 1 y(t ) = y( p)e ptdp = K ( p) x ( p)e ptdp . ∫ ∫ 2πj c − j∞ 2πj c − j∞
(7.2)
Интеграл (7.2) равен сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции: y( t ) = ∑ res( pν ) , (7.3) ν
Поскольку переходная характеристика системы однозначно связана с ее передаточной характеристикой, то она определяет как и импульсная реакция поведение системы физическую систему во временной области. То есть система определена: дифференциаль-
ν = 1, r ; r – число всех полюсов изображающей функции; черта означает целые значения на интервале 1…r.
33
34
где res ( pν ) – вычет в н -м полюсе подынтегральной функции;
Как следует из (5.3), K ( p) – дробно-рациональная функция переменной p, т.е. отношение двух полиномов целых степеней p. В достаточно общем случае представления сигнала суммой секулярных функций (см. формулу (4.16)) изображение сигнала также представляется суммой ДРФ вида (4.21), что также дает результирующую ДРФ изображения сигнала. Общность секулярного сигнала понимается в том смысле, что все другие рассмотренные выше сигналы (кроме δ(t)-функции) могут быть получены из (4.16), полагая равными нулю параметры k , β , ω н и ψ по отдельности или совместно. То же касается их ИФ, которые также могут быть получены из (4.21). Тогда изображение отклика системы y ( p ) , являющееся согласно (5.3) произведением K ( p) и x ( p) , также будет ДРФ. Для дробно-рациональной функции вычеты могут быть найдены применением формулы обращения, по которой осуществляется переход из пространства изображений в пространство оригиналов. Получим эту формулу.
(7.4)
F ( p) и Q( p ) – полиномы целых степеней переменных p.
Корни полинома знаменателя Q( p ) , определяемые из соотношения Q( p) = 0 , являются полюсами ДРФ y ( p ) . В соответствии с оговоренным выше условием ради упрощения рассмотрения будем считать, что F(p) имеет полюсы 1-го порядка, т.е. простые (некратные) полюсы. Тогда дробь y ( p ) может быть представлена суммой простых дробей: y( p) =
F(p )
∑ Q ′( p ) pν= p ν
ν
35
⋅
1 , p − pν
±p t fν ( p) = f ( p ∓ pν ) ← f (t )e ν 1(t ) ,
имеем fν ( p ) =
1 ← e pν t 1( t ) . p − pν
(7.5)
(7.6)
Формула разложения для y ( p ) содержит сумму дробей вида 1 p − pν
с постоянными коэффициентами F ( pν ) / Q ′( p ) p = pν . Тогда,
в соответствии с теоремой об умножении функции на постоянную величину, получим: r
F( p )
∑ Q ′( p) ν
ν =1
Будем рассматривать случаи ДРФ с простыми полюсами. Запишем y ( p ) в таком виде: F ( p) . Q( p )
ν = 1, r . Перейдем от (7.4) к оригиналу y (t ) . Для этого учтем, что 1 p есть изображение единичного скачка. Тогда, принимая во внимание теорему смещения (формула (3.7))
y (t ) =
7.2. Формула обращения для изображения, определяемого ДРФ
y ( p) =
где Q ′(p) – производная знаменателя по p ( (Q′( p ) = dQ / dp ) ; pν – корни знаменателя Q( p ) . Будем считать, что имеем r корней, т.е.
p = pν
e pν t 1(t ) .
(7.7)
Эта формула, которую называют формулой обращения, обеспечивает переход от изображения к оригиналу в важном случае простых полюсов изображающей функции K(p). Для ДРФ y ( p ) , имеющей кратные полюсы, подход остается тем же, но формулы получаются более сложными, а значит, и менее наглядными [3,5]. 8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ ПОЛЮСАМИ Пример 1. Найти напряжение на параллельном контуре uk (t ) при включении на него источника тока i (t ) = A01(t ) sin(ω нt + ψ ) (рис. 8.1). Примем нулевые начальные условия.
36
Решение. Воспользовавшись законом Ома в операторной форме, получим (8.1) u k ( p ) = K ui ( p )i ( p ) = z( p )i ( p ) , где K ui ( p ) – передаточная характеристика данной схемы. На входе действует ток, на выходе получаем напряжение, что соответствует размерности передаточной характеристики [ K ui ( p )] = [В]/[А] = Ом, т.е. передаточная характеристика имеет размерность L i (t ) сопротивления: отсюда ввели ui индекс для K ( p) . Таким C uk (t ) образом, K ui ( p ) = z( p ) , что в R данном случае видно из схемы (рис. 8.1). Найдем z ( p ) . Имеем в контуре две параллельные ветРис. 8.1 ви: индуктивную с операторным сопротивлением zL ( p ) = pL + r и емкостную zc ( p ) = 1 / pC . Отсюда 1 ( pL + r ) z z 1 p + 2α pC , z( p ) = L c = = z L + zc pL + r + 1 C p 2 + 2α p + ω2p pC
(8.2)
где α – коэффициент затухания контура, α = r / 2 L ; ω p – резонансная частота колебаний, ω p = 1
LC . Нужно определить uk (t ) .
Найдем изображающую функцию для включения радиоскачка тока на колебательный контур: i ( p ) = L{ A01(t ) sin(ω нt + ψ )} . p sinψ + ω н cosψ p 2 + ω н2
Q( p) = ( p 2 + ω н2 )( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .
(8.3)
2
гая ( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .
Тогда полюсами изображающей функции uk ( p ) будут комплексно-сопряженные пары
p1, 2 = ± jω н , p3, 4 = −α ± jω 0,
(8.6)
где ω 0 – частота собственных колебаний. ω 0 = ω 2p − α 2 .
(8.7)
Производная знаменателя Q( p) выражения (8.4) по переменной p даёт Q′( p ) = 2 p( p 2 + 2αp + ω 2p ) + (2 p + 2α )( p 2 + ω н2 ) . (8.8) Подставляя в (8.8) корни знаменателя, получим: Q′( p ) p = p1 = 2 jω н [( jω н ) 2 + 2αjω н + ω 2p ] = 2 jω н (ω 2p − ω н2 + 2αjω н ), Q′( p) p = p2 = −2 jω н [(− jω н ) 2 − 2αjω н + ω 2p ] = −2 jω н (ω 2p − ω н2 − 2αjω н ), Q′( p ) p = p = [2(−α + jω 0 ) + 2α ][(−α + jω 0 ) 2 + ω н2 ] = 3
= 2 jω 0 (α 2 − ω 0 − 2αjω 0 + ω н2 ). 2
Или, учитывая (8.7): 2 Q′( p ) p = p = 2 jω 0 [α 2 + α 2 − ω p − 2αjω 0 + ω н2 ] = Аналогично для полюса p4 : Q′( p ) p = p = −2 jω 0 [2α 2 + 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )]. 4
37
(8.5)
Отсюда p1,2 находим из условия ( p + ω н ) = 0 ; p3,4 находим, пола2
= 2 jω 0 [2α 2 − 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )].
.
(8.4)
Полюсы функции uk ( p ) ищем как корни знаменателя Q( p ) , полагая Q( p ) = 0 .
3
В соответствии с (4.9) и (4.10) i ( p ) = A0
Подставляя (8.2) и (8.3) в (8.1), получим 1 p sinψ + ω н cosψ p + 2α . uk ( p) = A0 ⋅ 2 2 2 C p + ωн p + 2αp + ω 2p
38
Числитель F ( p) определим из (8.4) как F ( p) =
A0 ( p sinψ + ω н cosψ )( p + 2α ). C
Решение для uk (t ) в соответствии с формулой обращения (7.7) будет иметь вид 4
uk (t ) =
F( p )
∑ Q′( p) pν= p
ν =1
e pν t 1(t ) ,
Пример 2. Включение постоянного напряжения на интегрирующую цепь (рис. 8.2).
ν
или, подставляя значения Q′( p) p = pν , получаем
R
⎡ F( p1) F( p2 ) uk (t) = ⎢ e jωнt + e− jωнt + 2 2 ⎢ 2 jω (ω2 −ω 2 +2α jω ) −2 jωн (ωp −ωн −2α jωн ) н ⎣ н p н F( p3 ) + e(−α+ jω 0)t + 2 2 2 jω0 (ωн −ω0 −2α jω0 +α 2 ) +
⎤
F( p4 ) −2 jω0 (ωн −ω0 +2α jω0 +α ) 2
2
2
e(−α− jω 0)t ⎥1(t).
uвх
В этом решении первые два члена определяют вынужденную составляющую переходного процесса (ВСПП) (это вычеты в «вынужденных» полюсах p1,2 = ± jω н ); последние два члена определяют свободную составляющую переходного процесса (ССПП) (это вычеты в «свободных» полюсах p3,4 = −α ± jω0 ). Найденный в форме (8.9) результат в принципе даёт искомое решение. Однако для того чтобы в явной форме записать вещественный сигнал uk (t ) , требуется выполнить ряд громоздких трудоёмких операций с комплексными функциями в (8.9). Кроме того, в записи радиосигнала uk (t ) , полученной после таких преобразований, затруднительно в явной форме выделить фазу колебания uk (t ) . Поэтому такой подход затрудняет анализ работы фазовых систем при исследовании прохождения сигналов через избирательные цепи. С другой стороны, фазовая микроструктура радиосигнала во многих случаях позволяет получить существенно большую информацию, чем ее можно снять в РЭУ, работающих по огибающей радиосигнала. Это привело к широко-
uвых
С
Рис. 8.2
(8.9)
⎥⎦
39
му использованию фазовых методов и средств при реализации современных РЭУ. Изложенный в учебном пособии метод, упрощающий ОПЛ, позволяет резко снизить трудоёмкость получения результата при исследовании колебательных процессов и относительно легко выделить в явной форме фазу исследуемого радиосигнала.
Решение. uвых ( p ) = A ⋅1(t ) , K ( p ) =
zc ( p ) , zc ( p ) + R
1 1 1 = , 1 pC R + 1 + pτ pC где постоянная времени τ = RC . K ( p) =
uвх ( p ) = L{uвх (t )} = L{A ⋅1(t )} =
(8.10)
A , p
uвых ( p ) = uвх ( p ) ⋅ K ( p ) .
Таким образом, uвых ( p ) =
A 1 ⋅ . p 1 + pτ
(8.11)
Полюсы изображающей функции uвых ( p) лежат в комплексной p1 = 0 , p2 = − 1 τ , Q( p) = p (1 + pτ ) , плоскости в точках Q′( p ) = (1 + pτ ) + pτ = 1 + 2 pτ , Q′( p ) p = p1 = 1 , Q′( p ) p = p2 = 1 − 2τ τ = −1 .
40
Воспользовавшись формулой обращения, имеем uвых (t ) =
2
A ⎡A ⎤ e pν t 1(t ) == ⎢ e0 t − e−t τ ⎥1(t ) = A(1 − e−t τ )1(t ) . (8.12) 1 ⎣1 ⎦ p = pν
F( p )
∑ Q′( p) ν
ν =1
Найденный в (8.12) сигнал как реакция интегрирующей цепи на включение функции, пропорциональной единичному скачку, пропорционален переходной функции интегрирующей цепи. Коэффициент пропорциональности A. Таким образом, uвых (t ) = A ⋅ h(t ) , где h(t) – переходная функция интегрирующей цепи. Заметим, что первый член в (8.12) – вычет в полюсе p1 = 0 , т.е. в полюсе, определяемом из ИФ возбуждающего сигнала («вынужденный» полюс). Этот член определяет ВСПП. Второй член в (8.12) – вычет в полюсе p2 = − 1 τ характеризует ССПП. Здесь p2 – «свободный» полюс, определяемый из передаточной характеристики (системной функции) K ( p) . Заметим, что цепь, показанная на рис.8.2, не является идеальным интегратором. При достаточно большой постоянной времени τ , когда длительность процесса существенно меньше τ , наблюдается эффект интегрирования (накопления) за счет «памяти» ёмкости С. В соответствии с теоремой об изображении интеграла функции времени передаточная характеристика идеального интегратора имеет вид kинт.ид. ( p ) = 1 / p . Пример 3. Определить импульсную реакцию (импульсную характеристику) интегрирующей цепи. Решение. Импульсная характеристика – это реакция цепи на δ -импульс. Изображение δ -импульса fδ ( p) = 1 (формула (2.8.)). Передаточная характеристика интегрирующей цепи −1 K ( p ) = (1 + pτ ) определена в (8.10). Тогда для импульсной реакции интегрирующей цепи имеем ИФ. g ( p) = K ( p ) fδ ( p) = (1 + pτ ) −1 , (8.13) полюс которой p1 = −1 τ . Как следует из (8.13), при нахождении импульсной реакции имеем только «свободные» полюсы. Реакция схемы, т.е. g (t ) представляет собой свободный процесс, опреде41
ляемый только схемой (системой). Для перевода (8.13) в пространство оригиналов воспользуемся формулой обращения (7.7). Тогда из (8.13) Q( p) = 1 + pτ , Q′( p ) = τ , F ( p) = 1 и, следовательно, g (t ) =
1
τ
e − t τ 1(t ) .
(8.14)
Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок uвх (t ) = A sin(ω нt +ψ )1(t ) . Решение. Изображающая функция для входного сигнала согласно (4.10) имеет вид uвх ( p ) = A( p sinψ + ω н cosψ )( p 2 + ω н2 ) −1 . Тогда, учитывая выражение (8.10) для передаточной характеристики интегрирующей цепи, имеем ИФ для выходного сигнала в виде 1 A p sinψ + ω н cosψ , (8.15) uвых ( p ) = 2 2 τ p + 1 /τ p + ωн где «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jω н , «свободный» полюс p3 = −1 τ , F ( p) = А /τ ( p sinψ + ωн cosψ ), Q( p) = ( p2 + ωн2 )( p + 1/τ ), Q′( p) = 2 p( p + 1/τ ) + ( p2 + ωн2 ) = 3 p2 + 2 p /τ + ωн2 , Q′( p) p = p = 2( jωн )2 + 2 jωн /τ = 2 jωн ( jωн + 1/τ ), 1
Q′( p) p = p = 2( − jωн )2 − 2 jωн /τ = −2 jωн ( − jωн + 1/τ ), 2
Q′( p) p = p = 3( −1/τ )2 − 2 /τ 2 + ωн2 = ωн2 + 1/τ 2 . 3
Тогда в соответствии с формулой обращения (7.7) получим выражение для искомой реакции интегрирующей цепи на радиоскачок: − jω н sinψ + ω н cosψ A ⎡ jω н sinψ + ω н cosψ exp(− jω нt ) + exp jω нt + uвых (t ) = ⎢ − 2 jω н (− jω н + 1/ τ ) τ ⎣ 2 jω н ( jω н + 1/ τ ) ⎤ (−1/ τ ) sinψ + ω н cosψ + exp(−t / τ ) ⎥1(t ) ω н2 + 1/ τ 2 ⎦
42
или 1 A⎡ (t ) = ⎢ exp j (ω нt +ψ ) + u вых τ ⎢⎣ 2 j ( jω н + 1/τ ) 1 exp − j (ω нt +ψ ) + + − 2 j ( − jω н + 1 / τ )
[
+
(−1/τ ) sinψ + ω н cosψ
ω н + 1/τ 2
2
]
(8.16)
⎤ exp(−t /τ ) ⎥1(t ) ⎦
Заметим, что в формуле (8.16) первые два члена (вычеты в «вынужденных» полюсах p1, 2 = ± jω н ) определяют ВСПП, третий член (вычет в «свободном» полюсе p3 = −1 τ ) определяет ССПП. Выражение (8.16) можно также переписать в таком виде ⎧1 uвых (t ) = A⎨ K ( jω н ) exp j (ω нt +ψ ) − ⎩2 j 1 − K (− jω н ) exp[− j (ω нt +ψ )] + 2j +
− sinψ + ω нτ cosψ 1 + ω нτ 2
2
⎫ exp(−t /τ ) ⎬1(t ), ⎭
(8.16а)
где, учтено, что из (8.10) следует K (± jωн ) = K ( p) p=± jω = (1+ pτ )−p1=± jω . н
н
Пример 5. Определить импульсную реакцию и переходную характеристику цепи (рис. 8.3). С + uвх (t )
–
R uвых (t )
Данная схема широко используется либо как разделительная по постоянной составляющей (например, как «неискажающая» переходная цепь между каскадами), либо для квазидифференцирования (цепь укорочения сигнала). При выполнении эквивалентных неравенств 1
1
R , >> τ . (8.18) ωв ωвC В этом смысле говорят, что дифференцирующая цепь – это цепь с малой постоянной времени. Область дифференцирования сосредоточена в окрестности низких частот ω < ωв; область неискаженной передачи – начиная от некоторой частоты ω низш с выходом в область высоких частот. При дифференцировании подчеркиваются высокочастотные составляющие спектра. Идеальный дифференциатор имеет передаточную характеристику K диф.ид. ( p ) = Ap (теорема об изображении производной).
Поскольку в обоих случаях (дифференцирования и неискаженной передачи сигнала) схема рис. 8.3 остается той же, то она описывается одной математической моделью (одним дифференциальным уравнением). А это значит, что передаточная характеристика K(p), определяемая схемой рис.8.3, не зависит от выполнения неравенств (8.24) и (8.25) и переходный процесс для обоих случаев рассчитывается по одним и тем же формулам. Решение. Найдем передаточную характеристику K(p) для схемы рис. 8.3. Эта схема представляет потенциометрический делитель. Поэтому R R pτ p K ( p) = = = = . (8.19) R + zc ( p ) R + 1/ pC 1 + pτ p + 1/τ
Рис. 8.3 43
44
Изображающая функция для импульсной реакции pτ p = . g ( p) = fδ ( p ) K ( p) = 1 1 + pτ p + 1/τ
(8.20)
Изображающая функция для переходной характеристики 1 1 . h( p) = fск( p)K( p) = K( p) = p p+1/τ
(8.21)
В обоих случаях (формулы (8.20) и (8.21)) заменитель дробей один и тот же, т.е. Q( p) = p + 1/τ , корень его (полюс ИФ) p1 = −1/τ , Q′( p) =1 . Так как полюс ИФ сигнала на выходе схемы находится как полюс передаточной характеристики (т.е. «свободный» полюс), то и импульсная реакция у(t), и переходная характеристика h(t) в данном случае определяют свободный процесс (ССПП). Для нахождения оригиналов для ИФ ((8.20) и (8.21)) воспользуемся формулой обращения (7.7), согласно которой сразу получаем: g (t ) = −1 τ e−t τ 1(t ) , h(t ) = e −t τ 1(t ) .
(8.22)
(8.23) Заметим, что и импульсная реакция g(t), и переходная характеристика h(t) для схемы рис. 8.3 определяются одной и той же экспоненциально-затухающей функцией, которая затухает тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи. Но импульсная реакция имеет обратный знак относительно знака воздействия и величина ее в начальный момент времени тем больше, чем меньше постоянная времени. Физически это понятно. Так как от действия δ-сигнала (для математической модели длительность его бесконечно малая, амплитуда бесконечно большая, а из условия нормировки площадь равна единице, т.е. энергия его конечна) емкость зарядится до тем большего значения напряжения, чем меньше постоянная времени цепи; знаки заряда на емкости при этом показаны на рис. 8.3. После окончания δ-импульса емкость разряжается на сопротивление R; при этом на выводе резистора,
45
подключенного к емкости, имеем минус относительно второго вывода*. Для переходной характеристики, представляющей реакцию схемы на положительный единичный скачок, имеем режим заряда емкости C при формировании выходного сигнала, снимаемого с резистора R. При этом начальное значение выходного сигнала равно "+1" (весь входной сигнал при t=0 приложен к резистору R, т.к. полагаем, что uc(0) =0, и не зависит от постоянной времени цепи τ). Полярность выходного экспоненциального импульса h(t) положительна и соответствует режиму заряда емкости C. Пример 6. Найти реакцию переходной цепи рис. 8.3 на включение радиоскачка uвх (t ) = A sin(ω нt + ψ )1(t ) . Решение. Изображающая функция для входного сигнала из (4.10) имеет вид uвх ( p) = A
p sinψ + ωн cosψ p2 + ωн2
.
Тогда, учитывая (8.19) для передаточной характеристики данной схемы изображающая функция для сигнала на выходе цепи может быть представлена в виде: p sinψ + ω н cosψ p , (8.24) uвых ( p ) = A p + 1/τ p2 + ω 2 н
для которой вынужденные полюса p1,2 = ± jω н , «свободный» полюс p3 = −1 / τ .
* В формуле (8.22), описывающей реакцию цепи на δ-импульс, определена только регулярная составляющая сигнала. Здесь имеется в виду, что отклик цепи на импульс, возмущение рассматриваем при подходе к нулю временной оси справа, т.е. от момента t=0+. В этом случае считаем, что δ-импульс не охватывается, оставаясь у начала координат слева. При охвате δ-импульса в импульсную реакцию вошел бы и δ-сигнал [11,30].
46
L
Знаменатель ИФ Q( p ) = ( p 2 + ω н2 )( p + 1 / τ ) , F ( p ) = A( p sinψ + ω н сosψ ) p . а числитель Производная знаменателя
C
1 Q′( p) = 2 p( p + ) + ( p 2 + ω н2 ) = 3 p 2 + 2 p /τ + ω н2 .
i(t)
τ Так как знаменатель Q( p) , а следовательно, и полюсы ИФ выходного сигнала совпадают с примером 4, то совпадают и значения Q′( p ) , вычисленные для соответствующих полюсов, а именно: Q′( p ) p = p = 2 jω н ( jω н + 1/τ ), Q′( p ) p = p = −2 jω н (− jω н + 1/τ ), 1
e(t)
2
Q′( p ) p = p = ω н2 + (1/τ ) 2 . 3
Тогда, воспользовавшись формулой обращения (7.7), получаем аналогично решению примера 4 выражение для искомого сигнала на выходе схемы рис. 8.3: ⎡ jω н exp j (ω н t +ψ ) + uвых (t ) = A⎢ ⎢⎣ 2 j ( jω н + 1/τ ) +
− jω н exp − j (ω н t +ψ ) + − 2 j ( − jω н + 1 / τ )
+
sinψ − ω нτ exp( −t /τ ) 2 1+ ωн τ 2
[
]
(8.25)
⎤ ⎥1(t ). ⎦
⎧1 1 uвых (t ) = A⎨ K ( jω н ) exp j (ω нt +ψ ) − K (− jω н ) exp[− j (ω нt +ψ )] + j j 2 2 ⎩ sinψ − ω нτ cosψ ⎫ + ⋅ exp(−t /τ ) ⎬1(t ), 2 2 1 + ω нτ ⎭
Рис. 8.4 Решение. Импульсную реакцию и переходную характеристику тока в последовательном колебательном контуре ищем как реакцию контура на включение источника э.д.с. в форме δ -импульса или единичного скачка. Исходя из закона Ома, в операторной форме запишем: i ( p ) = e ( p ) / z k ( p ) = e ( p ) yk ( p ) , (8.27)
где
zk ( p ) = pL +
Тогда
Или, подобно получению соотношения (8.16 а), имеем: (8.26)
r
1 + r, pC
yk ( p ) = 1 / z k ( p ) .
1 p , = e ( p) 2 1 L( p + 2αp + ω 2p ) pL + +r pC затухания α = r / 2 L , резонансная
i ( p) = e ( p)
(8.28)
где коэффициент частота −1/ 2 ω p = (LC) . Изображениями возбуждающих сигналов при нахождении импульсной реакции и переходной характеристики соответственно будут eδ ( p) = 1 , eск( p) = 1/ p , подставляя которые в (8.28), получим ИФ для импульсной реакции gi (t ) и переходной характеристики h i (t ) колебательного контура
где в соответствии с (8.18) K (± jω н ) = K ( p ) p = ± jω =
± jω н . ± jω н + 1 / τ
gi ( p) = p[L( p 2 + 2αp + ω 2p )] −1,
hi ( p) =[L( p2 + 2αp + ω 2p )] −1 .
(8.29)
Пример 7. Найти импульсную реакцию и переходную характеристику для тока в последовательном колебательном контуре (рис. 8.4).
ственных колебаний ω 0 = (ω 2р − α 2 )1/ 2 . Тогда p1, 2 являются полюса-
47
48
Полюсами обоих ИФ будут p1, 2 = −α ± jω 0 , ω0 – частота соб-
ми системной функции yk ( p ) и поэтому определяют свободные колебания системы. Знаменатели Q( p) изображающих функций в (8.29) одинаковы: Q( p) = L( p 2 + 2αp + ω 2р ) . Производная Q′( p) = 2 L( p + α ) . Тогда Q′( p) p= p1 = 2 L(−α + jω0 + α ) = 2 jω 0 L, Q′( p) p= p 2 = −2 jω 0 L. Подставляя найденные соотношения в формулу обращения (7.7) и учитывая (8.29), получим искомые выражения для импульсной реакции и переходной характеристики последовательного колебательного контура: 2 F( p ) i e pi t = −α + jω0 e(−α + jω0 )t + −α − jω0 e(−α − jω0 )t = gi (t) = ∑ ′ Q ( p ) 2 jω0 L − 2 jω0 L i=1 i =
[−α(e 2 jω L e−α t
jω0t
− jω0t
−e
)+ jω (e 0
jω0t
− jω0t
+e
)]=
Умножение на p в пространстве изображений означает нахождение производной в пространстве оригиналов. Пример 8. Найти импульсную реакцию и переходную характеристику для напряжения на параллельном контуре при его возбуждении источником тока (рис. 8.1). Решение. Импульсную реакцию и переходную характеристику для напряжения на параллельном колебательном контуре ищем как реакцию на включение источника тока в форме δ -импульса или одиночного скачка соответственно. Согласно закону Ома в операторной форме запишем uк ( p ) = i ( p ) z к ( p ) , (8.32) где операторное сопротивление контура z к ( p ) определяется соотношением (8.2); изображения сигналов iδ ( p) = 1 , iск ( p ) = 1/ p. . Тогда в соответствии с (8.32) ИФ для импульсной реакции и переходной характеристики параллельного колебательного контура запишем в следующем виде:
(8.30)
gи ( p) =
p + 2α p + 2α 1 1 = , 2 2 C p + 2αp + ω p C ( p + α ) 2 + ω 02
(8.33)
hи ( p) =
p + 2α p + 2α 1 1 = . pC p2 + 2αp + ω 2p pC ( p +α )2 + ω02
(8.34)
0
=
−α t
e
ω0 L
(−α sinω0t +ω0 cosω0t )1(t),
hi (t ) =
1 2 jω 0 L
e( −α + jω 0 )t +
1 e −α t e( −α − jω 0 )t = sin ω 0t 1(t ). − 2 jω 0 L ω0 L
(8.31) Из полученных соотношений (8.30) и (8.31) следует, что g i (t ) =
dhi (t ) dt
, т.е. между импульсной реакцией и переходной ха-
рактеристикой имеем ту же связь, что и между возбуждающими сигналами, так как δ (t) =
d1(t) . Это находит свое отражение в изоdt
бражениях этих функций тем, что они отличаются множителем L{δ (t )} = 1, L{1(t )} = 1 p ⇒ pL{1(t )} = L{δ (t )}.
Для ИФ g u ( p ) имеем полюсы p1, 2 = −α ± jω 0 , для ИФ hu ( p ) полюсы p1, 2 = −α ± jω 0 и p3 = 0 . Для ИФ, определяемых формулами p + 2α , в gu ( p ) знамена(8.33) и (8.34), примем функцию F ( p) = C
тель
Qδ ( p ) = p 2 + 2αp + ω 2р ,
в
знаменатель
Q ск ( p ) = p ( p 2 + 2α p + ω 2p ) , которые совпадают с соответствующими
функциями предыдущего примера. Тогда Q′δ ( p ) = 2( p + α ), Q′ск ( p ) = 3 p 2 + 4αp + ω 2p , что дает Q′δ ( p ) p = p = 2 jω 0 , 1
Q′δ ( p ) p = p = −2 jω 0 . 2
Аналогично Q′ск ( p) p = p1 = 2 jω 0 (−α + jω 0 ), Q′ск ( p) p = p 2 = −2 jω 0 (−α − jω 0 ), Q′ск ( p) p = p 3 = ω 2p .
49
hu ( p )
50
Воспользовавшись формулой обращения (7.7) найдем искомые импульсную и переходную характеристики параллельного колебательного контура: ⎡ − α + jω 0 + 2α ( −α + jω 0 )t − α − jω 0 + 2α ( −α − jω 0 )t + e e g и (t ) = ⎢ − 2 jω 0 C 2 jω 0 C ⎣ =
e −α t ω 0C
h (t ) = и
⎤ ⎥1(t ) = ⎦
(8.35)
(α sin ω 0t + ω 0 cosω 0t )1(t ),
−α − jω0 + 2α (−α + jω0 )t 2α ⎤ 1 ⎡ −α + jω0 + 2α (−α + jω0 )t + + 2 ⎥1(t ) . e e ⎢ − 2 jω0 (−α − jω0 ) C ⎣ 2 jω0 (−α + jω0 ) ωp ⎦
Последнее соотношение может быть преобразовано к более удобному виду: ⎛ α 2 + ω 02 ⎞⎤ 1 ⎡ hи (t ) = 2 ⎢2α − e −α t ⎜⎜ sin ω 0t + 2α cosω 0t ⎟⎟⎥1(t ) . (8.36) ω p C ⎢⎣ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦ Из рассмотренных выше примеров следует вывод: поиск оригиналов по заданной изображающей функции резко усложняется, если необходимо осуществлять переход для функции, содержащей комплексно-сопряженные полюсы, наличие которых свидетельствует о колебательности в реакции системы на возбуждающий сигнал. 9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ
Важное значение спектрального метода в радиоэлектронике обусловило широкое освещение его в научной, инженерной и учебно-методической литературе. Основополагающей в этом направлении явилась работа А.А. Харкевича [26], в которой достаточно полно изложен материал по спектральному методу и его приложениях в радиоэлектронике.
51
9.1. Ряд Фурье
Рассмотрим периодическую функцию f (t ) = f (t + nT ) , (9.1) где T – наименьший период, n – любое целое число, включая нуль. Ряд Фурье в тригонометрической форме для такой функции имеет вид ∞ 2πk 2πk + bk sin ), (9.2) f (t ) = c0 + ∑ ( ak cos T
T
k =1
где среднее значение за период (постоянная составляющая) равно c0 =
T 2
1 f (t )dt , T ∫T −
(9.3)
2
коэффициенты ak и bk определяются формулами ak =
T 2
2 2πk tdt , f (t ) cos T T ∫T −
bk =
T 2
2 2πk tdt , f (t ) sin T T ∫T −
2
(9.4)
2
Заметим, что из (9.4): ak = a − k , bk = −b− k . Формула (9.2) для ряда Фурье путем простых преобразований может быть приведена к виду ∞ ⎛ 2πk ⎞ f (t ) = c0 + ∑ ck cos⎜ t − ϕk ⎟ , (9.5) k =1
ck = ak2 + bk2 ,
откуда следует, что
ck = c − k ,
⎝ T
ϕ k = arctg
⎠
bk , ak
(9.6)
ϕ k = −ϕ − k .
Формулы (9.5) и (9.6) получили, полагая в (9.2) ak = ck cos ϕ k , bk = ck sin ϕ k ,
52
(9.7)
Ряд Фурье (9.5) можно представить в более компактной показательной форме ∞
2π ⋅k ⋅t T
Обозначим частоту
2π = ω1 , где ω1 – частота первой гармоT
(9.8)
нической составляющей. Её период совпадает с периодом повто2π k рения T исходной функции. Тогда частота kω1 = = ωk , где ω k –
которая получена применением к ряду (9.5) представления косинусоидальной функции по формуле Эйлера, согласно которой каждый член суммы расписывается в виде
частота k-й гармонической составляющей сигнала. Запись сигнала в одной из форм ряда Фурье иногда называют спектральным представлением сигнала.
f (t ) =
∑
Ck e
j
,
k = −∞
⎞ c ⎛ 2πk −ϕk ⎟ = k ck cos⎜ ⎠ 2 ⎝ T = Ck e
j
⎡ j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ − j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ ⎤ k⎟ k ⎟⎥ ⎜ ⎢ ⎜⎝ T ⎠ ⎠ +e ⎝ T ⎢e ⎥= ⎢⎣ ⎥⎦
2πk t T
+ C− k e
−j
2πk ⋅t T ,
ak
(9.9)
где Ck и C− k – комплексные амплитуды колебаний c Ck = k e − jϕ k , 2
c C− k = k e jϕ k . 2
T
bk
с0
ω ω1
0
2ω1 3ω1
Ck = C−* k ,
(9.11)
где знак (*) означает комплексно сопряженную величину. Из (9.7) и (9.10) c a b Ck = k (cos ϕ k − j sin ϕ k ) = k − j k . 2 2 2
Рис. 9.1
ϕk π
ck с0
(9.12)
0
ω1
ω1
ω1
ω1
ω
0
Подставляя в (9.12) формулы (9.4), получим выражение для комплексной амплитуды Ck , определенной через исходный сигнал: T −j 1 2 Ck = ∫ f (t )e T −T
2πk ⋅t T
ω
2ω1
ω1
0
(9.10)
Отсюда следует
3ω1
ω1
ω1
ω
−π
T
dt ,
1 2 C k = 0 = c0 = ∫ f (t )dt . T −T
(9.13)
Рис. 9.2
Комплексные амплитуды Ck единственным образом связаны с формой сигнала f (t ) . Иными словами, каждому сигналу присущ свой спектр, т.е. каждая функция f (t ) может быть представлена только своим рядом Фурье (теорема о единственности представления рядом Фурье).
Спектральное представление сигнала можно наглядно показать на графиках зависимости амплитуд ak , bk и c0 (рис. 9.1) для ряда Фурье в форме (9.2) или зависимости амплитуд ck и начальных фаз составляющих (рис. 9.2) для ряда Фурье в форме (9.5). Такой дискретный спектр, для которого расстояние между смежными составляющими спектра равно частоте повторения (частоте 1-й гармоники), называется гармоническим, а его составляющие гармоническими составляющими. Амплитуды отдельных
53
54
2
2
гармонических составляющих могут быть равны нулю. Разложение в ряд возможно, если могут быть найдены амплитуды ak , bk и c0 (формулы (9.3) и (9.4)) или комплексные амплитуды Ck (формула (9.13)). Для этого исходная функция должна удовлетворять условиям Дирихле: функция f (t ) ограничена, кусочнонепрерывная и имеет на периоде конечное число экстремальных значений. Физический смысл ряда Фурье хорошо просматривается и имеет практическое приложение. Так можно физически собрать периодический сигнал, если суммировать отдельные компоненты спектра, складывая, например, сигналы с генераторов синусоидальных колебаний заданных частот (частоты 1ой и более высоких гармонических составляющих). При этом для каждой гармонической составляющей ряда Фурье в виде (9.5) необходимо выставить, чтобы «собрать» заданное колебание, определенную амплитуду – ck и начальную фазу – ϕ k , соответствующую формулам (9.6), где ck и ϕ k находятся через ak и bk , определяющие амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих ряда Фурье в форме (9.2). На практике удобнее для нахождения ck и ϕ k пользоваться значениями комплексных амплитуд Ck , определяемых интегралом (9.13). Тогда из (9.10) имеем ck k ≠ 0 = 2 Ck , ϕ k = − arg Ck , где заключение комплексной величины в черточки означает, что берется модуль её, т.е. то же, что и отсутствие точки над комплексной величиной. В данном учебном пособии применяются оба обозначения модуля, т.е. Ck = Ck . Системы, в которых используется сумма «гармонических» составляющих для получения сигнала требуемой формы, созданы на практике. Здесь имеется в виду, что для каждой «гармонической» составляющей выставляется соответствующая амплитуда ck и начальная фаза колебания ϕ k . Однако эти составляющие срезаны во времени вне выбранного интервала времени, охватывающего время существования заданного сигнала. В основе реали55
зации таких схем используется следующий подход. Заданный сигнал периодически продолжают с выбранным периодом повторения на всей оси времени. Для такого периодизированного гипотетического сигнала находят ck и ϕ k , тем самым определяют его гармонические составляющие. Тогда для получения заданного сигнала составляющие его суммируются на интервале существования сигнала. Это достигается срезанием непрерывных составляющих, представляющих ряд Фурье, справа и слева относительно выбранного временного интервала суммирования. При таком моделировании сигнала используется замечательное свойство ряда Фурье – быстрая сходимость к исходному сигналу, что позволяет ограничиваться минимальным числом членов суммы, необходимым для обеспечения требуемой точности описания заданного сигнала. 9.2. Интегральные преобразования Фурье
Любой реальный физический процесс ограничен во времени, т.е. когда-то начавшись, он неизбежно, когда-то закончится. Очевидно, рассматривая реальный электрический сигнал как некоторый физический процесс, можно утверждать, что на оси времени он всегда имеет начало и конец. Это значит, что рассмотренный выше периодический сигнал, который в частотной области представлен рядом Фурье (т.е. дискретным спектром в форме суммы гармонических составляющих), являлся полезной абстракцией, так как, строго говоря, физически периодического сигнала, повторяющегося с периодом T на всей оси времени вплоть до t → ±∞ , быть не может. То же касается гармонических составляющих спектра, которые с определённой амплитудой должны продолжаться во времени в t → ±∞ и поэтому физически реализованы быть не могут. Отметим, что сигналы, существующие на некотором ограниченном интервале времени, на котором они определены, называют финитными сигналами. Попробуем воспользоваться рядом Фурье и для случая непериодического, одноразового сигнала. Для этого перепишем ряд (9.8), подставив в него формулу (9.13) для Ck . Получим:
56
f (t ) =
T /2 ⎞ 1 ⎛⎜ f (t )e − jkω1t dt ⎟ e jkω1t . ∫ ⎜ ⎟ k = −∞ T ⎝ −T / 2 ⎠ ∞
∑
(9.14)
Применим не совсем строгое, но наглядное доказательство перехода от спектра периодического к спектру непериодического сигнала. Закрепив один из периодических сигналов на оси времени, устремим период T к бесконечности ( T → ∞ ) (рис. 9.3а, б).
f(t)
f(t)
t
Т
Т
T →∞
а
t
(9.16)
dω .
(9.17)
Подставляя (9.16) в (9.15), запишем: 1 2π
∞
∫ S (ω )e
jω t
−∞
Функция S (ω ) называется спектральной плотностью (спектральной функцией). Иногда ради сокращения формулировок её называют просто спектром. Интеграл (9.16) называют прямым преобразованием Фурье (ППФ). Символически ППФ обозначим оператором F .
∫ f (t )e
− jω t
dt .
(9.18)
Спектральная плотность S (ω ) существует, если имеется абсолютная сходимость интеграла
T →∞
между составляющими спектра при T → ∞ стремится к dω , т.е. к бесконечно малой величине. Кроме того, kω1 → ω . Таким обT →∞
разом, kω1 принимает уже не дискретные значения частоты, кратные частоте 1-й гармоники, а все значения ω на оси частот. Получаем сплошной, а не линейчатый спектр. Далее, множитель 1 T в (9.14) умножим и разделим на 2π . Тогда 1 2π 1 dω . = = T 2πT 2π Следовательно, при T → ∞ (9.14) можем переписать в виде 1 ( f (t )e − jω t dt )e jω t dω . 2π −∫∞ −∫∞
57
dt .
−∞
Тогда из периодической последовательности остается один 2π импульс. При этом ω1 = → dω . Следовательно, расстояние
∞
− jω t
−∞
S (ω ) = F { f (t )} =
Рис. 9.3
∞
∫ f (t )e
S (ω ) =
∞
б
f (t ) =
∞
f (t ) =
T → −∞
T
Выражение (9.15) называется двойным интегралом Фурье. Внутренний интеграл зависит от текущего значения частоты ω . Обозначим его комплексной функцией частоты ω :
∞
∫
f (t ) dt , т.е. если этот интеграл
−∞
имеет конечное значение. Интеграл (9.17) называют обратным преобразованием Фурье (ОПФ). Обозначают его оператором F −1 . Тогда f (t ) = F −1{S (ω )} =
1 2π
∞
∫ S (ω )e
jω t
dω .
(9.19)
−∞
Интегралы (9.16) и (9.17) называют интегральными преобразованиями Фурье.
(9.15)
58
9.3. Сопоставление комплексной амплитуды и спектральной плотности, а также ряда и интеграла Фурье
Сравним формулы (9.13) и (9.16) для комплексной амплитуды Ck и спектральной плотности S (ω ) . Для этого снова перепишем эти формулы: Ck =
1 T
T /2
.
∫ f (t )e
− jkω1t
∞
S (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt .
dt ,
−∞
−T / 2
Заметим, что Ck рассчитывается для частоты ω k = kω1 , т.е. можем записать Ck = C (ω k ) =
1 T
T /2
∫
f (t )e
− jω k t
dt . Далее, если вычис-
T /2
ляется C (ω k ) и S (ω k ) для сигнала одной и той же формы, то значение интеграла с пределами ±∞ для S (ω k ) и с пределами ±T / 2 для C (ω k ) будет одним и тем же, поскольку подынтегральные функции одинаковы. Значит, можем писать из сопоставления (9.13) и (9.16): C (ω k ) =
1 S (ω k ) , T
(9.20)
или, если не привязываться к конкретной частоте: C (ω ) =
1 S (ω ) . T
(9.21)
Спектральная плотность S (ω ) зависит только от вида функции f(t), а комплексная амплитуда C (ω ) зависит и от периода повторения. С ростом периода Т величина C (ω ) уменьшается. В таблицах обычно приводится спектральная плотность S (ω ) . Для нахождения C (ω ) следует для данного периода повторения разде-
от частоты, но не зависит от периода повторения. С точностью до размерности можно сказать, что C (ω ) = S (ω ) при Т = 1с. Сравним теперь размерности. Если обратиться к (9.13), то сразу видно, что C (ω ) имеет размерность исходной функции f(t), т.е. [ C (ω ) ]=[f(t)]. Размерность
S (ω ) , как следует из формулы
(9.16), определяется соотношением [ S (ω ) ]=[f(t)]с=[ C (ω ) ]с, т.е. равна размерности сигнала, умноженного на время. Сравним теперь ряд и интеграл Фурье (обратное интегральное преобразование Фурье). Для этого перепишем ряд Фурье в форме (9.8) и обратное преобразование Фурье (9.17) f (t ) =
∞ jω t ∑ Ck e k , k = −∞
f (t ) =
Из сопоставления этих соотношений видно, что в интеграле Фурье имеем, как и в ряде Фурье, суммирование составляющих. Но в интеграле Фурье суммируются составляющие бесконечно малой амплитуды: dC (ω ) =
1 S (ω )dω при бесконечном их числе. 2π
Спектр для непериодического процесса – сплошной, т.е. присутствуют все составляющие; расстояние между смежными составляющими равно dω , т.е. бесконечно малой величине. Таким образом, интеграл Фурье (как и ряд Фурье для периодической функции) формирует непериодический процесс. Но в отличие от ряда Фурье интеграл Фурье формирует этот процесс за счет суммирования бесконечного числа составляющих (сплошной, а не дискретный спектр) при бесконечно малой амплитуде каждой составляющей. При этом, если непериодическая функция будет иметь ту же форму, что и периодическая функция, то имеем соотношение (9.21) для связи между комплексной амплитудой C (ω ) и спектральной плотностью S (ω ) .
лить S (ω ) на величину периода Т. Удобство функции S (ω ) в отличие от функции C (ω ) состоит в том, что первая зависит только 59
1 ∞ jω t ∫ S (ω )e k dω . 2π − ∞
60
Рассмотрим теперь интеграл
10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt ,
10.1. Связь между интегральными преобразованиями Фурье и преобразованиями Лапласа
Между интегральными преобразованиями Фурье и преобразованиями Лапласа имеется теснейшая связь. Эти преобразования настолько близки, что иногда их обобщают как одно преобразование (например, называя оба преобразования трансформациями Фурье). Вместе с тем наглядность спектрального метода исследования сигналов и электронных цепей, базирующегося на интегральных преобразованиях Фурье, позволяет по аналогии дать физическое наглядное толкование и внешне формальным методам операционного исчисления, опирающегося на интегральные преобразования Лапласа. Для сопоставления общих подходов напишем вначале интегральные соотношения (2.2) и (9.16) для прямых преобразований Фурье и Лапласа: ∞
S (ω ) = ∫ f (t )e
− jω t
dt ,
−∞
∞
S ( p ) = ∫ f (t )e
− pt
если f (t ) = 0 при t < 0 , то и f1 (t ) = 0 при t < 0 . Тогда интеграл (10.3) перепишем в форме одностороннего ППФ: ∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt , 0
и с учетом (10.1) ∞
S1 (ω ) = ∫ f (t ) e − ( c + jω )t dt .
Сравнивая (10.4) с односторонним прямым преобразованием Фурье (ППФ) (10.2) относительно функции f (t ) , замечаем, что в результате преобразования получаем функцию S (c + jω ) , где S ( jω ) – спектральная плотность функции f (t ) *. Таким образом,
(10.4) можно переписать в виде ∞
S1 ( jω ) = S (c + jω ) = ∫ f (t )e − (c + jω ) dt .
0
∞
∞
−∞
0
S (ω ) = ∫ f (t )e − jω t dt = ∫ f (t )e − jω t dt .
(10.2)
(10.4)
0
dt .
Введем новую (вспомогательную) функцию f1 (t ) = f (t )e − ct , (10.1) где c – абсцисса сходимости, c ≥ 0 . Очевидно, что с ростом t при t > 0 имеем уменьшение функции f1(t ) по отношению к f (t ) по экспоненциальному закону. При достаточно большом c для физических задач можно обеспечить сходимость интеграла (9.16) для вспомогательной функции f1(t ) (рис. 10.1а и б). Начало отсчета времени можно всегда отнести к моменту возникновения сигнала. Тогда
(10.3)
−∞
(10.5)
0
Вводя комплексную переменную p = c + jω , последнее соотношение перепишем в форме (2.2), т.е. в форме прямого преобразования Лапласа (ППЛ)*: ∞
S ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt = L{ f (t )} .
(10.6)
0
Значит, отличие ППФ от ППЛ состоит в том, что в последнем сходимость интеграла обеспечивается за счет введения множителя e − ct (c > 0) в исходной функции f (t ) . Покажем связь между обратным преобразованием Фурье и обратным преобразованием Лапласа. Для этого запишем ОПФ вида (9.17) для функции f1(t ) : f1 (t ) =
(Здесь учтено условие f (t ) = 0 при t < 0 .)
1 ∞ jω t ∫ S ( jω )e dω . 2π − ∞ 1
(10.7)
Здесь введен аргумент спектральной плотности с множителем jω. Это непринципиально, так как в преобразовании Фурье всегда есть множитель j при ω. *
61
62
Учитывая (10.1) и (10.5), перепишем (10.7) в форме f (t )e − ct =
1 ∞ jω t ∫ S (c + jω )e dω . 2π − ∞
Умножая числитель и знаменатель выражения (10.9) на j и учитывая, что c = const, djω = d (c + jω ) , перепишем (10.9) в форме (10.8)
f (t ) =
1 ∞ ( c + jω )t d ( c + jω ) . ∫ S ( c + jω ) e 2πj − ∞
(10.10)
Введем новую переменную интегрирования p = c + jω . Тогда для пределов интеграла при ω = ∞ , p = c + j∞ ; ω = −∞ , p = c − j∞ и выражение (10.10) примет вид f (t ) =
вспомогательная функция f1 (t )
б) сигнал f (t ) в форме радиоскачка и соответствующая ему вспомогательная функция f1 (t )
Рис. 10.1
63
множителя e − ct ). Переходя от (10.7) к (10.9) путем умножения правой и левой части на ect , приходим к обратному преобразованию Фурье для исходной функции f (t ) . При этом амплитуды отдельных составляющих под знаком интеграла будут равны: dC (ω ) =
Умножим правую и левую часть (10.7) на ect . Это можно сделать, так как множитель ect не зависит от переменной интегрирования ω . Получим 1 ∞ ( c + jω ) t dω . ∫ S ( c + jω ) e 2π − ∞
(10.11)
Формула (10.11) совпадает с выражением (2.2), определяющим обратное преобразование Лапласа. Таким образом, от ОПФ для вспомогательной функции f1(t ) переходим к ОПЛ для функции f (t ) . Остановимся на физическом толковании связи между обратным преобразованием Фурье и обратным преобразованием Лапласа. Для этого обратимся к (10.7). Это соотношение представляет ОПФ для вспомогательной функции f1(t ) , обладающей повышенной сходимостью относительно исходной функции f (t ) (за счет
a) Видеосигнал f (t ) и соответствующая ему
f (t ) =
1 c + jω pt ∫ S ( p )e dp . 2πj c − jω
1 1 S (c + jω )ect dω = S1 (ω )ect dω . 2π 2π
(10.12)
Таким образом, если при ППФ вводили вспомогательную функцию f1(t ) , обладающую повышенной сходимостью, то теперь при ОПФ вводим расходимость для каждой элементарной компоненты (рис. 10.2).
(10.9)
64
1 S (ω ) dω 2π
1 S (ω ) e ct dω 2π
Рис. 10.2 Переход же от (10.9) к (10.11), приводящий исходное соотношение к форме ОПЛ, осуществляется уже за счет замены вещественной переменной интегрирования ω на комплексную переменную p = c + jω . Но при этом формула (10.11) (т.е. ОПЛ) оказывается более сильной для решения физических задач, чем формула (9.19), определяющая ОПФ. Преимущества ОПЛ в форме (10.11) обеспечивается возможностью привлечения мощных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений, базирующихся на теории функций комплексного переменного. Это позволило построить специальный математический аппарат исследования переходных процессов в линейных системах – операционное исчисление. Из проведенного рассмотрения следует теснейшая связь между интегральными преобразованиями Фурье и интегральными преобразованиями Лапласа, которые, вообще говоря, можно рассматривать с единых позиций как обеспечивающие построение единого метода решения линейных дифференциальных уравнений. 65
Отличие состоит в том, что интегральные преобразования Фурье, используемые при спектральном методе исследования электронных цепей и сигналов, позволяют достичь весьма наглядного представления процессов прохождения сигналов через цепи в частотной области. Использование интегральных преобразований Лапласа, позволяющих, что очень важно, получать результаты непосредственно во временной области, носит несколько формальный характер. Показанное здесь единство обоих этих методов в определенной степени позволяет устранить формальность подхода при использовании операционного исчисления, базирующегося на преобразованиях Лапласа. Достигаемая при этом физичность понимания приложения операционного исчисления позволяет избежать возможных ошибок, обусловленных внешней формальностью его процедур. Общность спектрального метода и операционного исчисления позволяет построить единый аппарат исследования процессов в электронных линейных цепях, как это, например, сделано в работе М.И. Конторовича [1]. 10.2. Общность и отличия операционного исчисления и спектрального метода исследования линейных электрических цепей 10.2.1. Общность изображающей функции и спектральной плотности сигнала
Сравнивая ППФ и ППЛ (формулы (9.18) и (2.1)), замечаем: если начало отсчета времени охватывает время существования сигнала так, что при t < 0 имеем f (t ) = 0 , то при формальной замене переменной на jω получаем из изображения сигнала спектральную плотность. Очевидно, это же правило действует и в обратном направлении. Действительно, сопоставляя S ( p) =
∞
∫ f (t )⋅ e
− pt
dt
0
S ( jω ) =
и
∞
∫ f (t )⋅ e 0
можем сразу записать: S ( jω ) j ω = p = S ( p ) .
66
− jω t
dt ,
Таким образом, по изображению функции времени путем замены p на jω может быть найден ее спектр, и наоборот, путем замены jω на p может быть найдено изображение функции времени. Обратимся теперь к записи (5.4) связи между изображениями входного и выходного сигнала через передаточную функцию системы y ( p) = K ( p) f ( p) . Заменяя теперь формально p на jω , получим . S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) .
(10.12)
Таким образом, путем замены в изображающем уравнении (5.4) p на jω сразу получаем связь между спектрами входного и выходного сигналов через частотную характеристику системы. 10.2.2. Некоторые ограничения перехода изображение – спектральная плотность сигнала путем подстановки p ↔ jω
При рассмотрении сигналов, описываемых разрывными (сингулярными) функциями, операция перехода изображение – спектральная плотность заменой p ↔ jω требует определенной аккуратности. Сразу отметим, что физическое формирование таких сигналов невозможно. Спектры таких сигналов простираются до бесконечно больших частот и для получения таких сигналов потребовалось бы иметь систему, обладающую бесконечно широкой полосой пропускания, что физически нереализуемо. Однако применение описания математических моделей реальных сигналов через типовые разрывные функции оказывается очень удобным и широко используется при выполнении исследований сигналов и цепей. Для иллюстрации сказанного обратимся вначале к определению спектральной плотности через операцию ППФ (9.16), которое перепишем в виде ∞
S (ω ) =
∫ f (t ) e
−∞
− jωt
∞
dt =
∫ f (t )[cos ωt − j sin ωt ]dt .
−∞
67
(10.13)
Здесь и ниже берутся главные, по Коши, значения интегралов, т.е. интегралы ищутся при равном (симметричном) стремлении к верхнему и нижнему пределам. Любая вещественная функция может быть представлена единственным образом суммой четных и нечетных составляющих*: f (t) = fчет(t) + fнеч(t) , (10.14) (10.15) где fчет(t) = fчет(−t) , fнеч(t) = − fнеч(t) – условия четности и нечетности составляющих. Четные и нечетные составляющие исходной функции определены формулами fчет (t ) =
f (t ) + f ( −t ) , 2
f неч (t ) =
f (t ) − f ( −t ) . 2
(10.16)
Подставляя (10.14) в (10.13), получаем ∞
S (ω ) =
∫
∞
f чет (t ) cos ω t dt − j
−∞
где M (ω ) =
∫ f неч (t ) sin ω t dt = M (ω ) − jN (ω ) ,
∞
∫ f чет cos ω t dt ,
N (ω ) =
∞
∫ f неч (t ) sin ω t dt .
(10.18)
−∞
−∞
щая
(10.17)
−∞
Из формулы (10.18) следует, что вещественная составляюопределяется только четной составляющей сигнала
M (ω )
fчет (t) ; мнимая составляющая спектра N (ω ) определяется только нечетной составляющей сигнала fнеч(t) . Из (10.18) также следует, что M (ω ) = M ( −ω ) , − N (ω ) = N ( −ω ) , (10.19) т.е. для вещественной функции времени f (t ) вещественная составляющая спектра ее M (ω ) является четной функцией частоты, а мнимая составляющая спектра N (ω ) – нечетной функцией частоты. * Здесь имеются в виду регулярные («гладкие») функции вплоть до сингулярности первого порядка (разрыв первого рода), которая описывается функцией скачка. Сингулярности более высокого порядка (δ(t), dδ (t ) , d 2δ (t ) и т.д.) требу-
dt
dt 2
ют специального рассмотрения, выполняемого в рамках теории обобщенных функций (теории распределений) [30].
68
Из (10.17) и (10.19) сразу следует важнейшее соотношение
Переход p → jω дает спектр
. *
.
S (ω ) =
S (ω ) = S ( −ω ) ,
(10.20) т.е. для вещественного сигнала спектральная плотность его при изменении знака частоты описывается комплексно-сопряженной функцией. Запишем спектральную плотность сигнала f (t ) в форме S (ω ) = S (ω )e jψ s (ω ) .
Тогда из (10.17) S (ω ) = M 2 (ω ) + N 2 (ω ) ,
ψ s = −arctg
N (ω ) . M (ω )
(10.21)
Так как в общем случае спектральную плотность можно представить как S (ω ) = Re{S (ω)} + j Im{S (ω )} = S (ω) cosψ s (ω ) + jS(ω ) sinψ s (ω) , (10.22) то, сопоставляя (10.22) с (10.17), имеем Re{S (ω )} = M (ω ) Im{S (ω )} = −N (ω ) . (10.23) Перейдем к сигналу, имеющему наложенные на регулярную составляющую разрывы первого рода типа скачка. Тогда можно выделить отдельно регулярную и импульсную (сингулярную) составляющие сигнала [11, c.136]. Пусть имеем скачок сигнала при t = 0 . Аналог сигнала с таким скачком получаем применяя ППЛ по отношению к регулярному сигналу, начало которого лежит в области t < 0 . В этом случае за счет нулевого значения нижнего предела интеграла в ППЛ срезается регулярная составляющая f (t) при t < 0 , т.е. учитывается лишь значение функции f (t ) при t > 0 . Тогда f (t ) = f синг (t ) + f рег (t ) = f (0)1(t ) + f рег (t ) . Здесь очевидно f рег (0) = 0 , а скачок функции f (t ) при t = 0 учитывается первым
сингулярным членом суммы. Изображением сингулярной составляющей f синг (t ) = f (0)1(t ) будет функция f синг ( p ) =
f (0) . p
69
f (0) = − jN (ω ) . jω
(10.25)
Здесь Re{S (ω )} = M (ω ) = 0 . Спектральная плотность S (ω ) в (10.25) содержит только мнимую составляющую. А это, согласно (10.18), должно во временной области соответствовать сигналу, описываемому только нечетной функцией времени. Но, с другой стороны, сингулярный сигнал вида функции скачка f синг (t ) = f (0)1(t ) содержит как четную, так и нечетную составляющие. Действительно, f синг (t ) можно представить в виде суммы [32]: f синг (t ) =
1 f (0)[1 + sgn t ] = f (0)1(t ) , 2
(10.26)
где sgn – сигнум-функция (функция знака): ⎧1, t > 0; ⎪ sgn t = ⎨0, t = 0; ⎪−1, t < 0. ⎩
(10.27)
Выражение (10.26) определяет сингулярный сигнал вида функции скачка как сумму нечетной составляющей (сигнумфункции
1 f (0) sgnt ) и «вырожденной» четной составляющей («вы2
рожденной» в том смысле, что четная составляющая здесь просто представляет постоянную составляющую, равную
1 f (0) вдоль 2
всей оси времени) (рис. 10.3.). Спектр вида (10.25) может формироваться только нечетной составляющей сигнала (10.26), определяемой сигнум-функцией.
(10.24)
70
I2 =
f синг (t ) f ( 0)
t
0
=
∞
∞
sin ωt sin ξ sin ξ ∫ ωt dωt = ∫ ξ dξ =2 ∫ ξ dξ . 0 −∞ −∞
Правый интеграл получен из предыдущего с учетом четности подынтегральной функции. Интегральный синус определен как t sin ξ Si t = ∫ dξ , Si ∞ = π / 2, ⇒ I 2 = π при t > 0 . ξ 0 Изменение знака t меняет знак I 2 на обратный, т.е. I 2 = −π при t < 0 . Значит, при t = 0 имеем скачок I 2 от −π до π , т.е. I 2 = π sgn t и, следовательно,
1 f ( 0) 2 0
∞
y (t ) =
t
f (0) f ( 0) π sgn t = sgn t . 2π 2
Таким образом, нечетная составляющая сингулярного сигнала,
+
определяемая функцией S (ω ) =
f (0) 0
t
Рис. 10.3
Проверим это, выполнив ОПФ по отношению к спектральf (0) . ной плотности S (ω) = jω Пример 1. Ищем y (t ) = F −1{ f (0) / jω } . ∞
∞ ∞ 1 e f (0) ⎡ cosωt sinωt ⎤ f (0) = + y(t) = f ( 0 ) d d j dω⎥ = [I1 + I2 ] . ω ω ⎢ ∫ ∫ ∫ 2π −∞ jω 2π ⎣⎢−∞ jω jω −∞ ⎦⎥ 2π
I1 =
jω t
∞
cosω t dω = 0 в силу нечетности подынтегральной функции jω −∞
∫
при симметричных пределах интегрирования.
71
f (0) sgn t , имеет спектральную плотность 2
f ( 0) , что и требовалось доказать. jω
Для нахождения спектра результирующего сигнала (10.26) нужно найти спектральную плотность постоянной составляющей его (первый член в (10.26)). Для этого предварительно получим некоторые вспомогательные соотношения. Определим δ -функцию через ОПФ, учитывая, что спектр ее Sδ (ω ) = 1 : δ (t ) =
∞
∞
1 1 Sδ (ω )e jω t dω = e jω t d ω . ∫ 2π − ∞ 2π −∫∞
(10.28)
Произведем формальную замену переменных t и ω . Тогда δ (ω ) =
∞
1 e jω t dt , 2π −∫∞
(10.29)
или, меняя знак у переменной ω , получим δ ( −ω ) =
∞
1 e − jω t dt . 2π −∫∞
72
(10.30)
Рассматривая δ (x) как четную функцию своего аргумента, когда имеем δ (x) = δ (− x) , умножим правую и левую части в (10.30) на постоянную величину A0 . A0 2πδ (ω ) =
Получим
∞
∫ A0e
− jω t
dt = F { A0 } .
(10.31)
−∞
В правой части выражения (10.31) имеем ППФ относительно постоянной величины A0 , т.е. спектральную плотность постоянной величины, которая определена через δ -функцию. Иными словами, S A (ω ) = A0 2πδ (ω ) . (10.32) 0 Пример 2. Для контроля полученного соотношения (10.32) найдем исходную величину A0 , применив к (10.32) ОПФ: 1 F {S A (ω )} = A0 2π 0 2π −1
∞
∫ δ (ω )e
jω t
dω = A0 ,
(10.33)
−∞
что и следовало ожидать. Таким образом, спектр постоянной величины определяется через δ -функцию в частотной области. Следовательно, из (10.32) 1 f ( 0) 2 S f 0 (ω ) = π f (0)δ (ω ) .
(10.34)
Тогда искомый спектр сингулярного сигнала (функции скачка величиной f(0)) (формула 10.26) определяется как сумма спектров (10.25) и (10.34): ⎡ 1 ⎤ (ω ) = f (0) ⎢ + πδ (ω )⎥ . синг ⎣ jω ⎦
(10.35)
Следовательно, при рассмотрении сигналов, описываемых функциями с разрывами первого рода, необходимо проявлять осторожность при переходе от изображающей функции сигнала к его спектральной плотности путем замены p на jω , так как может быть потеряна δ -сингулярная составляющая спектра. Об этом же говорит Ю.В. Тронин в своей статье «Утеряна δ – функция» [33]. 73
∞
∫
f ( t ) dt ≠ ±∞
−∞
(иногда это условие абсолютной интегрируемости ставится, как необходимое для выполнения ППФ [26, с. 64]). Для того чтобы обойти эту трудность, вводят множитель сходимости e −ct , c>0. При этом сигнал считается определенным на положительной полуоси времени. Находят спектр такой функции: S e (ω ) =
1 . c + jω
Затем, устремляя c к нулю, приходим к спектру вида (10.25). При таком подходе в определении спектра сигнала, описываемого функцией скачка, как раз и теряется δ -сингулярность спектра (10.35). Ошибка возникает из-за того, что сколь бы малое c не было, имеем экспоненту, которая при t → ∞ стремится к нулю и, следовательно, имеет ограниченную площадь, а значит, постоянная составляющая равна нулю, отсюда равна нулю и соответствующая ей δ -сингулярная составляющая спектра. −ct
Иное дело, когда речь идет о ППЛ, множитель e вводится специально для обеспечения сходимости исходной функции f (t ) .
спектр постоянной величины
Sf
Необходимым условием отсутствия δ -сингулярности в спектре сигнала является конечное значение интеграла от абсолютного значения функции, описывающей сигнал, т.е.
Тогда в выражении для спектра Se (ω ) применяем замену переменной p = c + jω и получаем строгое изображение функции скачка S ( p) = 1 / p . Очевидно, что и обратный переход от спектра функции скачка к ее изображению путем замены в (10.35) jω на p не может быть выполнен, так как член с δ -сингулярностью не позволяет сделать соответствующую подстановку. В литературе, однако, довольно часто встречается переход с использованием множителя сходимости [26, 32 и др.]. Тогда получаем Sf = lim Se (ω ) = 1 / jω . синг c →0
Получаем тот же результат, что и при переходе от изображения скачка S ( p ) = 1 / p к спектру его замены p на jω . 74
В большинстве практических случаев такой подход является удовлетворительным, поскольку постоянная составляющая, наличию которой при моделировании функции скачка и обязана δ -сингулярность спектра, информации не несет, не пропускается переходными RC-цепочками между каскадами и вообще по сигнальным цепям постоянная составляющая, как правило, не рассматривается. 10.2.3. Переход от изображающего уравнения системы к уравнению для спектров входного и выходного сигналов
Передаточная характеристика системы K ( p) определяется в соответствии с (5.4) и (5.8) из изображающего уравнения системы (5.2), которое получаем отображением дифференциального уравнения системы в пространство изображений (формула (5.1)). Таким образом, существует однозначная связь между передаточной характеристикой K ( p) и дифференциальным уравнением системы (1.7) и (1.8). Начальные условия могут быть учтены в правой части дифференциального уравнения. При этом они входят в правую часть как эквивалентные источники [1, с. 8–9]. При таком подходе передаточная характеристика K ( p ) определяется только левой частью дифференциального уравнения (собственно самим дифференциальным уравнением системы (ДУС), формула (5.8) для K1 ( p) ). Это позволяет, рассматривая связь между спектральным методом и операционным исчислением, считать, не снижая общности рассуждений, что исследуется «пустой» четырехполюсник, т.е. схема имеет нулевые начальные запасы энергии в накопительных элементах (ее емкостях и индуктивностях) системы. Принятие гипотезы «пустого» четырехполюсника позволяет упростить рассуждения, такой подход имеет и большое практическое значение, так как многие задачи радиоэлектроники предполагают нулевые исходные состояния системы. Кроме того, спектральный метод в обычной постановке не учитывает начальные условия (модификация спектрального метода, в котором по аналогии с ППЛ учитываются начальные условия, предпринята в [1, с. 175]). 75
Обратимся к записи связи (5.3) между изображениями входного и выходного сигнала через передаточную функцию системы y ( p) = K ( p) f ( p) . Заменяя формально p на jω , получим
S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) ,
(10.36)
где S y ( jω) и S f ( jω ) – спектральные плотности выходного и входного сигналов соответственно. Из изложенного выше следует, что S y ( j ω ) p = j ω = y ( p ) и S f ( j ω ) p = jω = f ( p ) . (10.37) Комплексная функция частоты K ( jω ) p = j ω = K ( p )
(10.38)
называется комплексной частотной характеристикой системы (или просто частотной характеристикой системы). Из (10.36) следует, что S y ( jω ) = K ( jω ) S1 ( jω ) . (10.39) Формулу (10.39) можем также записать в эквивалентной форме* S y (ω) = K(ω)S f (ω) . (10.39а) Здесь, как уже отмечалось, отсутствие точек над функциями также означает, что берутся модули. Из (10.15) (или из (10.39а)) следует, что модуль комплексной частотной характеристики показывает связь между амплитудами соответствующих составляющих спектра входного и выходного сигналов. Эту характеристику (т.е. K ( jω ) ) называют амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ).
*
Чтобы подчеркнуть, что в (10.39а) определена зависимость модулей комплексных функций (КФ) от частоты, множитель j при ω опущен. Это оправдано тем, что при нахождении модуля КФ (который сам является вещественной функцией частоты) вещественная и мнимая части КФ складываются в квадратуре. При этом в конечных выражениях модуля вещественная и мнимая части КФ уже не разделены (множитель j при ω отсутствует). Такой же подход имеем при нахождении аргумента комплексной функции, который ищется как арктангенс отношения мнимой к вещественной части ее.
76
Представим функции, входящие в (10.36), в форме
S y ( jω) = S y (ω)e
jΦ y (ω)
, S f ( jω ) = S f (ω )e
K ( jω ) = K (ω )e
jΦ k (ω )
jΦ f ( jω )
,
Функция Φ k (ω ) = arg K ( jω ) ,
, (10.40)
откуда можем записать: Φ y (ω ) = arg S y ( jω ) , Φ f (ω ) = arg S f ( jω ) , Φ k (ω ) = arg K ( jω ) . (10.41) Очевидно, уравнение (10.36) определяет связь не только между амплитудами входных сигналов, но и между их аргументами. Действительно, из (10.36) следует, что arg S ( jω ) = arg K ( jω ) + arg S f ( jω ) , (10.42) в другой записи
Φ y (ω ) = Φ f (ω ) + Φ k (ω ) .
(10.42а)
Поскольку из (9.20) комплексные амплитуды спектра периодического сигнала C y (ω ) и C f (ω ) определены через спектральные плотности как C y ( jω k ) =
1 S y ( jω k ) , T
C f ( jω k ) =
1 S f ( jω k ) , T
(10.43)
1 S f (ωk ) . (10.44) T Аргументы комплексных амплитуд, определяющие начальные фазы гармонических составляющих, связаны для разложения в ряд Фурье входного и выходного периодических сигналов той же зависимостью, что и связь между аргументами соответствующих спектральных плотностей (формулы (10.42) и (10.42а)): arg C y ( jω ) = arg S y ( jω ) = Φ y (ω ) , C y (ω ) =
1 S y (ω ) , T
C f (ωk ) =
arg C f ( jω ) = arg S f ( jω ) = Φ f (ω ) .
(10.45)
Значит, Ф y (ω ) и Ф f (ω ) можно трактовать как зависимость от частоты начальных фаз соответствующих спектральных составляющих, амплитуды которых конечны для периодического сигнала (это функции C y (ω ) и C f (ω ) )), и бесконечно малы для непериодических сигналов (это функции
77
1 1 S y (ω )dω и S f (ω )dω . 2π 2π
(10.46) определяющая, согласно (10.42) или (10.42а), зависимость между начальными фазами спектральных компонент входного и выходного сигналов, называется фазочастотной характеристикой системы (ФЧХ системы). Следовательно, комплексная частотная характеристика системы K ( jω ) сразу задает две частотные характеристики: модуль ее K (ω ) – АЧХ системы, аргумент arg K ( jω ) – ФЧХ системы. Значит, комплексное уравнение (10.36) определяет сразу две связи между спектрами входного и выходного сигналов: по модулям через АЧХ и начальным фазам через ФЧХ. Это находится в соответствии с тем, что спектр любого сигнала определяется двумя характеристиками спектральной плотности – зависимостью от частоты модуля и аргумента ее, соответствующих амплитуде и начальной фазе каждой спектральной компоненты. Отметим, что здесь речь идет о математическом представлении спектра, когда формально (использованием формулы Эйлера для представления синусоиды) вводятся наряду с положительными и отрицательные частоты (см. переход от (9.5) к (9.8)). Физического смысла отрицательные частоты не имеют, так как частота колебания – это число периодов в секунду, которое может быть только положительным, но это очень удобная математическая абстракция, позволяющая многие соотношения в теории спектров представлять в комплексной форме (ср., например, формулы ряда Фурье (9.2), (9.3) с (9.8)). Таким образом, при физическом представлении спектра присутствуют составляющие спектра только положительных (физических) частот (формулы (9.2) и (9.3)). При эквивалентном математическом представлении присутствуют как положительные, так и отрицательные частоты. Достоинством математического представления, помимо компактности записей, улучшающих обозреваемость получаемых результатов, является возможность представления колебаний в форме комплексных функций, а также их наглядного представления на комплексной плоскости в виде векторов (где отображаются одновременно амплитуды и фазы соответствующих синусоидальных составляющих). Амплитуды состав78
10.2.4. Таблицы сопоставления спектрального метода и операционного исчисления при интегрировании линейных дифференциальных уравнений
ляющих физического спектра в два раза больше амплитуд математического (кроме С0 ) (формула (9.14)), т.е. ck = 2 Ck ≡ 2 C (ω k ) ,
где комплексные амплитуды ряда C (ω k ) определяется формулами (9.13). Покажем аналогичные соотношения для амплитуд физического и математического спектров непериодического вещественного сигнала. Перепишем выражение для спектральной плотности (9.18) в виде ∞
S ( jω ) =
∫
f (t )e
− jω t
∞
dt =
∫ f (t )(cos ω t − j sin ω t )dt ,
(10.46)
−∞
−∞
откуда сразу следует важное уравнение S ( jω ) = S * ( − jω ) , (10.47) что дает соотношения для модулей и аргументов спектральной плотности: S (ω ) = S (−ω ) , arg S ( jω ) = − arg S (− jω ) . (10.48) Тогда, учитывая (10.47), напишем ОПФ (формула (9.17)) в виде
Рассмотрим некоторые таблицы, иллюстрирующие связь между спектральным методом и применением операционного исчисления при исследовании прохождения сигнала через физическую систему. В табл. 10.1 иллюстрируется связь между спектральными плотностями и изображениями сигналов на входе и выходе системы, а также связь между дифференциальным уравнением системы и передаточной (системной) и частотной характеристиками системы. В гр. 3 показаны переходы от спектров к изображениям сигналов и наоборот. Здесь же показано, что при нулевых начальных условиях такой же переход имеем между передаточной и частотной характеристиками. Таблица 10.1
Исходная функция
Оператор
1
2 L
1 ∞ 1 ∞⎡ jω t jω t − jω t ⎤ dω = + S (−ω )e ∫ S (ω )e ∫ ⎢ S ( jω )e ⎥⎦ dω = 2π − ∞ 2π 0 ⎣ (10.49) 1 ∞⎡ jω t − jω t ⎤ * = + S ( jω ) e ∫ S ( jω )e ⎥⎦ dω . 2π 0 ⎢⎣ f (t ) =
Записав спектральную плотность в форме S (ω ) = S (ω )e и подставляя это выражение в (10.49), получим f (t ) =
1
π
∫ S (ω ) cos (ω t + ψ s ) dω . 0
(10.50)
p = jω
Дифференциальное уравнение µ
d y dt µ
y ( p) p = jω
F
µ
S f ( jω )
F L
y (t )
∑ aµ
79
f ( p)
f (t )
jψ s (ω )
∞
Функция в частотной области 3
L
= f (t ) F
Наименование функции
4 Изображение Спектральная плотность Изображение
Спектральная плотность При нулевых Передаточная начальных услови- характеристика ях K ( p) Комплексная частотная p = jω характеристика K ( jω ) S y ( jω )
80
В табл. 10.2 показана последовательность действий при анализе системы спектральным методом и при применении операционного исчисления. Из сопоставления этих двух путей анализа следует их глубокое родство.
так и дифференциальное уравнение может быть получено по этим характеристикам [1]. При этом, как уже отмечалось, между ДУС и ее характеристиками K ( p) и K ( jω ) существует единственная связь. Таблица 10.3
Таблица 10.2
Анализ
Синтез
Дано: f (t ) ; дифференциальное уравнение или структура схемы. Требуется найти: y (t ) Спектральный метод Операционное исчисление 1. Ищем спектральную плотность 1. Находим изображение S f ( jω ) = F{ f (t )} f ( p ) = L{ f (t )} 2. Из дифференциального 2. Из дифференциального уравнения или схемы ищем уравнения или схемы находим K ( p) K ( jω ) 3. Определяем изображение 3. Определяем спектр y ( p) = K ( p) f ( p) S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) 4. Ищем отклик системы y (t ) 4. Ищем отклик системы y (t )
Дано: f (t ) , y (t ) . Следует найти дифференциальное уравнение,
{
} {
{
}
y(t ) = L−1{y( p)} = L−1 K( p) f ( p)
}
y(t) = f −1 S y ( jω) = f −1 K( jω)S f ( jω)
схемы или K ( p) , или K ( jω ) . В конечном счете требуется найти схему, реализующую переход f (t ) → y (t ) Спектральный метод Операционное исчисление 1. Ищем спектры 1. Ищем изображения S f ( jω ),
S y ( jω )
f ( p ),
y ( p)
f ( p ) = L{ f (t )},
S f ( jω ) = F{ f (t )},
y ( p ) = L{ y (t )}
S y ( jω ) = F{ y (t )}
2. Определяем частотную характеристику S y ( jω ) K ( jω ) = S f ( jω )
2. Определяем передаточную характеристику K ( p) =
y ( p) f ( p)
3. По найденному K ( p) синтезируется схема
3. По найденному K ( jω ) синтезируется система Задача синтеза в отличие от задачи анализа неоднозначна. Один и тот же оператор может быть реализован различным построением схем.
В табл. 10.3 для сопоставления спектрального метода и операционного исчисления дана последовательность действий при решении задачи синтеза системы. Из этой таблицы также видно единство этих обоих методов. Поскольку задача синтеза неоднозначна, выбор конкретного построения синтезируемого радиоэлектронного устройства определяется существующей элементной базой и технико-технологическим заделом. Иногда для аналитических исследований считается достаточным, если результатом синтеза является нахождение дифференциального уравнения системы, решением которого будет заданный отклик системы y (t ) на определенное возмущение f (t ) . Как передаточная (или частотная) характеристики могут быть найдены из дифференциального уравнения системы (табл. 10.1),
При применении операционного исчисления для интегрирования линейных дифференциальных уравнений наиболее трудоемкой операцией обычно является выполнение обратного преобразования Лапласа. Особенно возрастает трудоемкость при иссле-
81
82
11. МЕТОД, УПРОЩАЮЩИЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 11.1. Постановка задачи
довании прохождения радиосигналов через электронные цепи, содержащие колебательные звенья. В этом случае изображающая функция (ИФ) реакции системы на возбуждающий радиосигнал содержит пары комплексно-сопряженных полюсов. Это наглядно видно из примеров применения формулы обращения в обычном виде (7.7), рассмотренных в гл. 8. Даже в простейшем случае, когда ИФ имеет одну пару простых (т.е. первого порядка кратности) КСП, доведение исследований до конечного результата оказывается весьма громоздким и трудоемким. Указанное обстоятельство привело к многочисленным поискам методов и путей, облегчающих задачу анализа переходных процессов в радиосистемах. В настоящее время наиболее широко применяется метод комплексных медленно меняющихся огибающих, позволяющий упростить исследование колебательных переходных процессов в радиосистемах применительно к задачам радиоэлектроники, разработанный С.И. Евтяновым в его монографии [2]. Сущность этого метода состоит в замене радиосистемы соответствующим низкочастотным аналогом. При этом получаем укороченные символические уравнения, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения системы в два раза. Близкий к этому путь, позволяющий упростить нахождение решения, предложен А.Д. Артымом [8]. Однако методы нахождения переходных процессов в колебательных системах, рассмотренные в [2,8], дают приближенные решения. Эти решения асимптотически приближаются к точному тем быстрее, чем более узкополосные сигналы и фильтры исследуются. От этого недостатка свободен предложенный и разработанный в [5– 7, 11, 12] метод, упрощающий ОПЛ в случае наличия колебательности исследуемого переходного процесса. Сущность его сводится к тому, что ищутся вычеты для одного из каждой пары КСП изображающей функции, т.е. вычеты определяются в одной (верхней или нижней) полуплоскости комплексного переменного p. Получаемый при этом комплексный сигнал (КС) позволяет определить огибающую и фазу сигнала на выходе исследуемой схемы, соответствующие их физическому адеквату, независимо от степени широкополосности сигнала [20–23]. Это весьма важно при разработке современных радиоэлектронных систем, в кото-
рых с целью увеличения скорости переработки потока информации наблюдается тенденция перехода к широкополосным и сверхширокополосным сигналам [24, 25]. Предложенный подход [5–7] позволил получить формулы, существенно упрощающие ОПЛ при исследовании переходных процессов в радиосистемах.
Будем рассматривать упрощение ОПЛ для случая простых полюсов изображающей функции. При наличии кратных полюсов путь остается тем же, но формулы получаются более громоздкими [5,7].
83
84
11.2. Формула, упрощающая выполнение ОПЛ (случай простых КСП изображающей функции)*
Для получения формулы, упрощающей выполнение обращения из пространства изображений в пространство оригиналов рассмотрим дробно-рациональную изображающую функцию (ДРФ): y ( p) =
F ( p) . Q( p)
(11.1)
Представим полином Q( p ) в знаменателе выражения (11.1) в виде m2
Q( p) =
∏
( p − pν )( p − pν* ) ⋅
ν =1
r
∏( p − pν ) ,
(11.2)
ν =m+1
где m / 2 – число пар комплексно-сопряженных корней полинома Q( p) ; r – число всех корней; r – m – число вещественных корней. Символ (*) означает комплексно-сопряженный корень. Комплексно-сопряженные корни функции Q( p ) имеют вид
pν ⎫⎪ = β ± jων , *⎬ pν ⎪⎭ ν
вещественные корни pν = βν . Запишем формулу (11.2) в виде Q( p) = ( p − pν )W( p) = ( p − pν )(p − pν* )V( p) ,
где
[
(11.3)
]
V ( p ) = Q( p ) / ( p − pν )( p − pν* ) ,
W ( p) = Q( p) /( p − pν ) ,
т.е. функция W ( p) – это остаток от деления полинома Q( p) на член ( p− pν ) , V ( p ) – остаток от деления Q( p) на квадратный трехчлен ( p − pν )( p − pν* ) . *
Из (11.3) W ( p ) = ( p − pν )V ( p) .
(11.4) *
Обратимся теперь к формуле обращения (7.7) : r
y (t ) =
F( p )
∑ Q′( pνν ) e pν t 1(t ) .
ν
ν =1
Продифференцируем Q( p) , тогда из (11.3) имеем для вещественных полюсов ИФ Q′( p ) = W ( p ) + ( p − pν )W ′( p ) , (11.5) для комплексно-сопряженных полюсов ИФ Q′( p ) = ( p − pν* )V ( p ) + ( p − pν )V ( p ) + ( p − pν )( p − pν* )V ′( p ) . (11.6) Подставляя в (11.5) и (11.6) значения полюса pν , получим соответственно для вещественного и КСП Q′( pν ) = W ( pν ) , (11.7) Q′( pν ) = 2 jων V ( pν ) .
(11.8) Если учесть (11.4), то (11.7) перейдёт в (11.8). Будем пользоваться для КСП представлением Q′( pν ) в форме (11.8), а для вещественных полюсов – в форме (11.7). Тогда формулу обращения представим в виде m/ 2
y (t ) = ∑
F( p )
ν
ν =1 Q′( p p= p )
e
ν
pν t
F ( pν* )
m/ 2
+ ∑
ν =1 Q′( p
p= p*ν
)
e
pν* t
F ( pν )
r
+ ∑
ν =m+1 Q′( p p= p )
e
pν t
. (11.9)
ν
Очевидно, вторая сумма является комплексно-сопряженной с первой суммой. Это позволяет записать m/2
y (t ) = 2 ∑
F ( pν )
ν =1 Q′( p p = p ) ν
e
pν t
r
+ ∑
F ( pν )
ν = m +1 Q′( p p = p )
e
pν t
.
(11.10)
ν
*
Как уже отмечалось, множитель 1(t) в формуле обращения (7.7) отражает тот факт, что при использовании операционного исчисления в обычной форме при выполнении ППЛ отсекаются значения f (t) при t 0, ⎩ ⎧1 при x > 0, ⎪ сигнум-функция (функция знака) sgn x = ⎨0 при x = 0, ⎪− 1 при x < 0. ⎩
Если и для t < 0 по-прежнему исходить из представления ∧
сопряженной, по Гильберту, функции в комплексной форме f а (t ) , для которой вещественная функция
∧ ⎧ ∧ ⎫ f а у (t ) = Im⎨ f ау (t )⎬ , то мож⎩ ⎭ t