О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп

Алгебра, и логика, 39, N 4 (2000), 465-479

УДК 512.54

О НЕКОТОРЫХ ПОДГРУППАХ ПОЛУЛИНЕЙНО У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Х ГРУПП*)

в. м. копытов Введение, предварительные сведения Напомним, что полулинейно упорядоченной группой {G; e}.

*^ Работа выполнена при финансовой поддержке фона Российского фонда фунда­ ментальных исследований, проект N 99-01-00156.

@

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

466

В. М. Копыто в

При изучении полулинейно упорядоченных групп бывает полезно рассмо­ треть множество Р ^ = Р U Р - 1 — совокупность всех элементов группы, сравнимых с единицей. В терминах множеств Р и Р± полулинейно упорядоченные группы описываются следующим утверждением [2, теор. 8.1.1]: группа G тогда и только тогда является полулинейно ной группой с положительным

упорядочен­

конусом Р, когда выполняются

следую­

щие условия:

0.1. Р Р С Р , 0.2.РГР~1

= {е},

О.4. G - P " 1 0.7. Р Р "

1

Р, СР±.

В [2] для полулинейно упорядоченной группы были выделены под­ группы, тесно связанные с положительным и отрицательным конусами этой группы. Точнее, если G — полулинейно упорядоченная группа с поло­ жительным конусом Р , то через n(G) обозначается наибольшая выпуклая направленная нормальная подгруппа группы О, через o(G) — наибольшая выпуклая правоупорядоченная подгруппа О, через г (О) — множество всех элементов х из G таких, что х и х"1 сравнимы со всяким элементом из Р^. В [2, теор. 8.3.3] доказано , что r(G) является выпуклой правоупорядоченной подгруппой в О, причем n(G) C r ( G ) C o ( G ) . Здесь мы установим одно новое свойство подгруппы г (С?). Покажем так­ же с помощью примеров, что неравенства в приведенной выше системе включений, вообще говоря, строгие. Напомним, что, как обычно, для любого подмножества S группы G через NG{S) обозначается нормализатор 5 в G: NG(S) = {x£G\x-1Sx

= S}.

О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп

467

§ 1 . Нормализатор порядка

ТЕОРЕМА 1. Во всякой полулинейно упорядоченной группе G под­ группа r(G) совпадает с нормализатором множества

Р^.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что i V ^ P * ) С r(G). Для этого установим сначала, что подгруппа NciP^) ±

элемент х из NG(P )

правоупорядочена, т.е. любой

сравним с единицей группы G. Пусть х Е

NoiP^

— а""1Ь) где а,Ь £ Р. Такое представление элемента х возможно,

их

поскольку G = Р~1Р. Так как х Е ^ ( P * ) , l

l

x~ ar x

1

г

Е Р ^ , т.е. х~ а~ х

1

1

1

a~l Е Р±)

выполняется

1

= (а" ^)" • а*" • (агЧ) = б" а • а"1 • а""х6 =

= Ь- 1 а- 1 6 = 6 - 1 - ж е Р ± . Если б" 1 ^ > е, то Ь" 1 > х" 1 , а поскольку б" 1 < е, получаем, что x l

~

< е5 откуда следует: х > е, ж Е Р ^ . Е]сли же Ь" 1 ^ < е, то ж - 1 > Ь"1. Учитывая е > b~l и то, что в

полулинейно упорядоченной группе всякие два элемента, имеющие общую нижнюю грань сравнимы между собой, заключаем, что элементы х~1 и е сравнимы, т. е. и в этом случае х Е Р ^ . Итак, подгруппа J V G ( P ± ) является правоуиорядоченной подгруппой в G. Теперь докажем, что для любого элемента х из NG(P^)

И ДЛЯ

бого элемента а из Р± элементы х) х~~х и а сравнимы. Поскольку

лю­

NoiP^)

1

правоупорядочена, то элементы х и х" сравнимы между собой и сравни­ мы с е. Не ограничивая общности считаем, что ж" 1 < е < х. Ясно, что достаточно рассмотреть только случай а < е и доказать, что тогда х~~1 сравним с а. Так как x~l Е NQ(P±)

, то х~1а~1х Е Р±. Если х~1а~1х > е,

то х~1а~~1 > х~1. Отсюда и из неравенства е > х~х следует, что элемент х~~1а~1 сравним с е , и тогда элемент х~1 сравним с а. Если же х~~1а~1х < е, то х~1а~1 < х"1 < е и х~1 < а. Таким образом, Л ^ Р * ) Q Г(СУ). Докажем обратное включение Л ^ Р * ) 2 V{G). Пусть х 6 r(G), x > е. Очевидно, что x~lr(G)x

= r(G), x~lax Е Р * для любого элемента а из

r(G) П Р * . Пусть а £ Р \ r(G). Поскольку х" 1 Е r(G), то элемент ж" 1 сравним с любым элементом из Р1^ и, в частности, с а""1. Поскольку г (СУ) выпукла и а" 1 £ r(G), то возможно лишь неравенство а"1 < х~х. Тогда

468

В. М. Копытов

е < х~~ха, х < х~1ах. А так как е < ж, то е < х~~1ах. Следовательно, для любого элемента а из Р^ справедливо х~1ах £ Р ^ , откуда имеем x-ip±x

Q

р± Последнее вместе с хРх~1 С Р± дает х Е NQ(P±).

Теорема

доказана. Рассмотрим расположение относительно r(G) некоторых подгрупп полулинейно упорядоченной группы G. Пусть, как обычно, ((G) = (i(G) — центр группы G; если а — некоторый ординал, то (Q(G) — член верхнего центрального ряда G с номером а. Через Za обозначим выпуклую под­ группу полулинейно упорядоченной группы G, порожденную подгруппой С«(