Труды 27-ой конференции молодых ученых мехмата МГУ

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒ èìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåò

Òðóäû XXVII Êîíåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ì Ó èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Ìîñêâà

2005

ÓÄÊ

51 + 53

Òðóäû XXVII Êîíåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ì Ó èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

 íàñòîÿùåì ñáîðíèêå ïðåäñòàâëåíû ñòàòüè ïî àêòóàëüíûì ïðîáëåìàì ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè, ïîäãîòîâëåííûå ó÷àñòíèêàìè XXVII Êîíåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ì Ó èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà (11  22 àïðåëÿ 2005 ã.), ïðîâåä¼ííîé ñîâìåñòíî ñ XII Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíåðåíöèåé ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷åíûõ ËÎÌÎÍÎÑÎÂ.

åäàêòîð  Ò. Â. îäèîíîâ

Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåò Ì Ó, 2005

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 05.12.2005 ã. Ôîðìàò 60×90 1/16.

Çàêàç 6

Îáúåì

8

ï. ë.

Òèðàæ 50 ýêç.

Èçäàòåëüñòâî ÖÏÈ ïðè ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì àêóëüòåòå Ì Ó ã. Ìîñêâà, Âîðîáü¼âû ãîðû. Ëèöåíçèÿ íà èçäàòåëüñêóþ äåÿòåëüíîñòü ÈÄ  04059 îò 20.02.2001 ã.

Ñîäåðæàíèå

À. M. Áàãÿí

Õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ â

ïðîñòðàíñòâå ïóòåé êîíå÷íîãî ãðàà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

È. À. Áàçîâ

Êâàäðàòè÷íûé îïåðàòîðíûé ïó÷îê çàäà÷è î äèíà-

ìè÷åñêîì ãàñèòåëå êîëåáàíèé ñ êàòàðàêòîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ß. À. Áóòêî Ôîðìóëà Ôåéíìàíà äëÿ äèóçèè ñî ñíîñîì â îá-

ëàñòè êîìïàêòíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ñ. Â. àëüöåâ, À. È. Øààðåâè÷

Àñèìïòîòèêà äèñêðåòíîãî

ñïåêòðà íåñàìîñîïðÿæ¼ííîãî ïåðèîäè÷íîãî îïåðàòîðà . . . . . . . . . . . 18

Å. Â. àïå÷êèíà Î ñòîõàñòè÷åñêèõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-

íèÿõ ñ ðàñøèðåííûì ñèììåòðè÷íûì èíòåãðàëîì . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Þ. . åðàñüêèíà Ìîäåëü ñàìîî÷èùåíèÿ ëåãî÷íûõ ñòðóêòóð . . . 23 Ä. Â. ëàçêîâ Ïðîñòåéøèå óñòîé÷èâûå ðåæèìû â ìîäåëè Ëàíãà  Êîáàÿøè ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ï. Þ. ëàçûðèíà

Íåðàâåíñòâî áðàòüåâ Ìàðêîâûõ äëÿ ðàçíûõ

ìåòðèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ä. Ñ. ëûçèí Ïðîñòðàíñòâåííî-íåîäíîðîäíûå öèêëû îäíîé êðà-

åâîé çàäà÷è â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ä. Ë. óñåâ Çàäà÷à î êðóãîâîì ñäâèãå íåñæèìàåìîãî ïîëîãî öè-

ëèíäðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Í. Ñ. óñåâ

Ïðèìåíåíèå êàíîíè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êóñî÷íî

àèííûõ îòîáðàæåíèé ê îáúåìó èõ ïðè äåîðìàöèÿõ ñ èçìåíåíèåì ãåîìåòðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

È. Ø. Äèëüäàáàåâà, Ë. À. Àëåêñååâà Óäàðíûå âîëíû â óïðó-

ãîé ñðåäå ïðè ñáðîñå íàïðÿæåíèé íà òðåùèíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Â. Å. Åâäîêèìîâè÷ Çàìêíóòûå ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ

äèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Þ. À. Åðìîëåíêî

Àñèìïòîòèêà óêëîíåíèé öåëûõ óíêöèé îò

ýëåìåíòîâ ïåðâîé ñòðîêè òàáëèöû Ïàäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

À. Í. Æàðîâ, È. . Æàðîâà

Î íåëèíåéíûõ îñöèëëÿöèÿõ çà-

ðÿæåííîé êàïëè âÿçêîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Ä. Ï. Èëüþòêî àçâåòâëåííûå λ-ýêñòðåìàëè è èõ àñèìïòîòèêà ïðè

λ → ∞ .......................................................

Ô. Ê. Èíäóêàåâ Àâòîìîðèçìû äèñêðåòíîé ãðóïïû åéçåíáåð-

. 55

ãà è èõ ÷èñëà àéäåìàñòåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

È. Ñ. Êàùåíêî Íîðìàëèçàöèÿ ñèñòåìû ñ ïåðèîäè÷åñêè ðàñïðå-

äåëåííûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

À. Â. Êèñåëåâ

Î ðåäóêöèè óðàâíåíèÿ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíî-

ñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

Â. Â. Êîëûáàñîâà Çàäà÷à Äèðèõëå  Íåéìàíà äëÿ äèññèïàòèâíîãî óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà â äâóìåðíîé îáëàñòè ñ òðåùèíàìè ñ óñëîâèåì Íåéìàíà íà òðåùèíàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ñ. Â. Êíÿçåâà

Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ìíîãîñëîéíîãî êîëüöà,

ïîäêðåïëÿþùåãî êðóãîâîå îòâåðñòèå â âåñîìîé ïîëóïëîñêîñòè ñ íàêëîííîé ãðàíèöåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ñ. À. Êîìå÷ Ýíòðîïèÿ

è ñêîðîñòü óñëîæíåíèÿ ãðàíèö â ãèïåð-

áîëè÷åñêèõ ñèñòåìàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

À. À. Êóêóøèíà åøåíèå óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë . . 80 À. À. Ëîãà÷åâ Î òðþêå Áàòëåðà è ðåäóêöèè äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ

ïîòîêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

À. Â. Ìåíüøåíèíà, Ñ. Ï. îðáèêîâ

Èçó÷åíèå áèóðêàöèè,

ïðèâîäÿùåé ê õàîòè÷åñêèì äâèæåíèÿì â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

À. Â. Ìîðæàêîâ

Ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà îáîáùåííîãî äè-

åðåíöèðîâàíèÿ â êëàññå îãðàíè÷åííûõ çâåçäíûõ îáëàñòåé, ñîäåðæàùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Ï. Í. Íåñòåðîâ Àñèìïòîòè÷åñêîå

ïîâåäåíèå ðåøåíèé îäíîìåð-

íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ áûñòðî îñöèëëèðóþùèì ïîòåíöèàëîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Î. Î. Îáðåçêîâ Ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà ëàïëàñèàíà Ëåâè . . . . . 103 Í. À. Îïîêèíà Ôîðìû Êèëëèíãà íà êàñàòåëüíîì è êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Ê. Í. Ïå÷åðñêèõ Ñõåìû âûñîêîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ ðåøå-

íèé òðåõìåðíûõ Ì Ä óðàâíåíèé ìåòîäîì îäóíîâà . . . . . . . . . . . . . 107

À. . Ñëàâèí

Êâàçèäâóõñëîéíàÿ ìîäåëü äëÿ ïîòîêîâ ìåëêîé

âîäû íàä ñòóïåí÷àòîé ãðàíèöåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

È. Â. Òåëÿòíèêîâ Ïîâåðõíîñòíûå ìåðû íà òðàåêòîðèÿõ â ðèìà-

íîâûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ïîðîæäàåìûå áðîóíîâñêèìè äâèæåíèÿìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

È. Þ. Òðóáíèêîâ èïåðáîëè÷åñêèé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ îáðàòèìîñòè óíêöèîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ â

Õ. Õîðøèäè

Lp −ïðîñòðàíñòâàõ . . . 118

Òîïîëîãèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà íà

so(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Ì. Â. Øåáëàåâ Î êðèïòîñèñòåìàõ, èñïîëüçóþùèõ ãðóïïû êîñ

4

125

ÓÄÊ 511

Õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå ïóòåé êîíå÷íîãî ãðàà

À. M. Áàãÿí Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

1. Ââåäåíèå.  ðàáîòå âû÷èñëÿåòñÿ õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, óäîâëåòâîðÿþùèõ îãðàíè÷åíèÿì, íàëîæåííûì íà ÷èñëî ïîâòîðåíèé â íèõ íåêîòîðûõ ãðóïï ñèìâîëîâ. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû òåðìîäèíàìè÷åñêîãî îðìàëèçìà, îïèñàííûå â [1℄.

N Íà ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S , ρθ , ãäå ρθ (x, y) = θn(x,y) , θ ∈ (0, 1) è

ìåòðèêó

yk , ∀k 6 n}.

Ïóñòü

S = {1, . . . , K}, ââåäåì n(x, y) = sup{n : xk =

G = (S, E) - ñâÿçíûé îðèåíòèðîâàííûé S è ìíîæåñòâîì ðåáåð E ⊂ S × S .

ãðà ñ

ìíîæåñòâîì âåðøèí

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ âåðøèíó íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà

I⊂S

ïðîõîäèò ïåòëÿ; åñëè

I= 6 ∅,

I = {1, . . . , I}. Ω = {ω1 , ..., ωJ } â G è

áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

Ïóñòü çàäàíû òàêæå íàáîð ïðîñòûõ öèêëîâ

Li , Mj ∈ N, 1 6 i 6 I , 1 6 j 6 J . àññìîòðèì ìíîæåñòâî X ⊂ S N ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íûìè ïóòÿìè â G è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: ÷èñëî ñòîÿùèõ ïîäðÿä â x ∈ X ñèìâîëîâ i ∈ I íå ïðåâîñõîäèò Li , à ÷èñëî ñòîÿùèõ ïîäðÿä öèêëîâ ωj ∈ Ω íå ïðåâîñõîäèò Mj . Çàìåòèì, ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ I , Ω è {I + 1, . . . , K} ìîæåò áûòü ïóñòûì (íî íå âñå òðè); òîãäà ÷àñòü èç ÷èñëà

îïèñàííûõ âûøå óñëîâèé îòñóòñòâóåò.

Çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè õàóñäîðîâîé ðàçìåðíîñòè ìíîæåñòâà

X,

îòâå÷àþùåé ìåòðèêå

DH,ρ (X)

ρ = ρθ .

˜ = (S, ˜ E) ˜ ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí S˜ = S˜1 ∪ S˜2 ∪ àññìîòðèì ãðà G S˜3 , ãäå S˜1 = {(i, l), 1 6 i 6 I , 1 6 l 6 Li }, S˜2 = {(ωj , m), 1 6 j 6 J , 1 6 m 6 Mj }, S˜3 = {I + 1, . . . , K}. ˜ , ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæ×òîáû îïèñàòü ìíîæåñòâî ðåáåð E − + äîé âåðøèíå s ˜ âåðøèíû s˜ , s˜ ∈ S , ãäå s˜− = s˜+ = i ïðè s˜ = (i, l) ∈ − ˜ S1 , s˜  íà÷àëüíàÿ âåðøèíà öèêëà ωj , s˜+  êîíå÷íàÿ âåðøèíà öèêëà ωj ïðè s˜ = (ωj , m) ∈ S˜2 è s˜− = s˜+ = k ïðè s˜ = k ∈ S˜3 . Ïîëîæèì òàêæå â óêàçàííûõ òðåõ ñëó÷àÿõ ñîîòâåòñòâåííî ||˜ s|| = l, ||˜ s|| = m|ωj |, ãäå |ωj |  äëèíà öèêëà ωj , è ||˜ s|| = 1. Áóäåì ñ÷èòàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ˜ , åñëè (˜ s1 , s˜2 ) ∈ E s+ ˜− ˜1 = (i1 , l1 ) ∈ S˜1 , ÷òî (˜ 1 ,s 2 ) ∈ E , íî i1 6= i2 ïðè s s˜2 = (i2 , l2 ) ∈ S˜1 è ω1 6= ω2 ïðè s˜1 = (ω1 , m1 ) ∈ S˜2 , s˜2 = (ω2 , m2 ) ∈ S˜2 . 5

W (v) = −kvk ln θ, v ∈ S˜, è I J ′ ′ ˜, q = P Li + P Mj + K − I , ãäå ìàòðèöó Aβ = {aβ (v, v )}q×q , v, v ∈ S Ââåäåì óíêöèþ

W : S˜ → R,

ïîëîæèâ

i=1

j=1

˜ è aβ (v, v ′ ) = 0 ïðè (v, v ′ ) ∈ ˜. aβ (v, v ′ ) = exp[−βW (v ′ )] ïðè (v, v ′ ) ∈ E /E Òåîðåìà. Õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü β = DH,ρ (X) ìíîæåñòâà X ðàâíà åäèíñòâåííîìó ïîëîæèòåëüíîìó êîðíþ óðàâíåíèÿ λmax (Aβ ) = 1, ãäå λmax (Aβ )  ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû Aβ . 2. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Êàæäîìó áåñêîíå÷íîìó ïóòè x ∈ ˜. X ìû ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé áåñêîíå÷íûé ïóòü x ˜âG Ïóñòü x = (x1 , x2 , . . . ). àññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ. (à) Íàéäóòñÿ òàêèå n ∈ N è j ∈ [1, J], ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1 , . . . , xn ìîæíî ðàçáèòü íà m 6 Mj áëîêîâ, ñîâïàäàþùèõ ñ ωj . Äëÿ ìàêñèìàëüíîãî èç òàêèõ n ïîëîæèì x ˜1 = (j, m). (á) Óñëîâèå ï. (à) íå âûïîëíÿþòñÿ, íî íàéäóòñÿ òàêèå i ∈ [1, I] è l 6 Li , ÷òî x1 , . . . , xl = i, xl+1 6= i. Ïîëîæèì òîãäà x ˜1 = (i, l). ˜3 . (â) Óñëîâèÿ ï.ï. (à), (á) íå âûïîëíÿþòñÿ, ýòî çíà÷èò, ÷òî x1 ∈ S Ïîëîæèì òîãäà x ˜1 = x1 . Ñëåäóþùèé øàã  ïðèìåíåíèå îïèñàííîé ïðîöåäóðû ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(xt1 +1 , xt1 +2 , . . . ),

ãäå

t1 = ||˜ x1 ||,

÷òî ïðèâîäèò ê

x˜2 .

Ïðîäîëæàÿ òàê æå, ïîëó÷èì â èòîãå (çà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ) âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x ˜. Ïåðåõîä îò x ê x ˜ ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîπ . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ˜ , êîòîðîå ìû áåñêîíå÷íûõ ïóòåé â ãðàå G

çíà÷íûì îòîáðàæåíèåì; îáîçíà÷èì åãî

πX

åñòü ìíîæåñòâî âñåõ

˜. X ρ˜θ 

îáîçíà÷èì Ïóñòü

ρθ ïðè x˜ = πx, y˜ = πy , òî

îáðàç ìåòðèêè

âèäíî, ÷òî åñëè

îòîáðàæåíèè

π.

Èç ïîñòðîåíèÿ

ρ˜θ (˜ x, y˜) = ρθ (x, y) = θh(˜x,˜y)+∆(x,y), ãäå

h(˜ x, y˜) =

p P

ν=1

k˜ xν k, p = p(˜ x, y˜) = sup{n : x ˜ν = y˜ν , ∀ν 6 n}

è

˜ . Ïóñòü ρˆθ (˜ 0 6 ∆(x, y) 6 max{k˜ sk : s˜ ∈ S} x, y˜) := θh(˜x,˜y) . Ëåãêî âè˜ ˆθ  íîâàÿ ìåòðèêà íà X , êîòîðàÿ ýêâèâàëåíòíà ìåòðèêå äåòü, ÷òî ρ ρ˜. Ïîñêîëüêó ýêâèâàëåíòíûì ìåòðèêàì îòâå÷àåò îäíà è òà æå õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü, ìû ìîæåì çàìåíèòü ρ ˜θ íà ρˆθ . Òåïåðü îïðåäåëèì óíêöèþ U = U (V, x), ãäå V  êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà N, x ∈ X , ïîëîæèâ U (V, x ˜) := W (˜ xn ), åñëè V = {n}, n ∈ N, è U (V, x˜) = 0 âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. 6

Î÷åâèäíî,

p  X  ρˆθ (˜ x, y˜) = exp − U ({n}, x ˜n ) , p = p(˜ x, y˜). n=1

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìåòðèêà â ñìûñëå [1℄, ãäå

U

ρˆθ

ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ìåòðèêîé

 ïîòåíöèàë. Â ýòîé ñòàòüå ïîêàçàíî, ÷òî õàó-

ñäîðîâà ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ïóòåé, âû÷èñëåííàÿ äëÿ òàêîé ìåòðèêè, íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ Áîóýíà  ýòî äàâëåíèå, îòâå÷àþùåå ïîòåíöèàëó íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä

P (βU ) = ln λmax (Aβ ). λmax (Aβ ) = 1.

P (βU ) = 0, â êîòîðîì P U . Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî â

Òåì ñàìûì óðàâíåíèå Áîóýíà

3. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïóñòü

BL

- ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íóëåé è åäèíèö,

óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ: ÷èñëî ñòîÿùèõ ïîäðÿä íóëåé è ÷èñëî ñòî-

L > 1. Ýòî ÷àñòíûé G(S, E)  ïîëíûé ãðà ìíîæåñòâî I ñîâïàäàåò ñ S è L1 = L2 = L. ÷òî òîãäà ìàòðèöà Aβ ïðèíèìàåò âèä

ÿùèõ ïîäðÿä åäèíèö íå ïðåâîñõîäÿò íåêîòîðîãî ñëó÷àé ðàññìîòðåííîé ñèòóàöèè, â êîòîðîì ñ äâóìÿ âåðøèíàìè, Íåòðóäíî ïðîâåðèòü,



θβ

    Aβ =  θβ    θβ

··· . . .

0 θβ Lβ

···

θ

···

θLβ

. . .

··· 0

θLβ



   Lβ  θ  .   

Çàìåòèì, ÷òî ñóììû ýëåìåíòîâ âî âñåõ ñòðîêàõ ìàòðèöû Aβ îäèθβ + ... + θLβ . Èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäó-

íàêîâû è ðàâíû

ëþ ñîáñòâåííîå ÷èñëî íåîòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû ëåæèò ìåæäó ìàêñèìóìîì è ìèíèìóìîì ñóìì, ñîñòàâëåííûõ èç ýëåìåíòîâ åå ñòðîê β Lβ . Ñîãëàñíî äî(ñì. [2℄). Ñëåäîâàòåëüíî, λmax (Aβ ) = θ + ... + θ êàçàííîé òåîðåìå èñêîìàÿ âåëè÷èíà β ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ θβ + ... + θLβ = 1, êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå θ(L+1)β = 2θβ − 1. Äëÿ ñëó÷àÿ

θ = 1/2

ýòîò ðåçóëüòàò èìååòñÿ â [3℄.

Àíàëîãè÷íîå ÿâíîå óðàâíåíèå äëÿ õàóñäîðîâîé ðàçìåðíîñòè ìîæíî íàïèñàòü è â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî âåðøèí ïîëíîãî ãðàà

G = (S, E)

ïðîèçâîëüíî è ÷èñëî ïîâòîðåíèé êàæäîé

âåðøèíû îãðàíè÷åíî îäíîé è òîé æå êîíñòàíòîé

L, èëè êîãäà |S| = 2

è ÷èñëî ïîâòîðåíèé êàæäîé âåðøèíû îãðàíè÷åíî ñâîåé êîíñòàíòîé.

7

BL , L = 1, 2, ..., íèãäå íå ïëîòíî â ïðîG, èãóðèðóþùåãî â ïðåäûäóùåì çàìå÷àíèè,

2. Êàæäîå èç ìíîæåñòâ ñòðàíñòâå ïóòåé ãðàà

òàê êàê ëþáîé öèëèíäð ñîäåðæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå ïðèíàäëåæàùóþ

BL .

Òàêèì îáðàçîì,

S

BL

 ìíîæåñòâî ïåðâîé êàòåãîðèè.

L

L → ∞ êîðåíü óðàâíåíèÿ θ(L+1)β = 2θβ − 1 ñòðåìèòñÿ ê ÷èñëó − ln 2/ ln θ , ðàâíîìó õàóñäîðîâîé ðàçìåðíîñòè N âñåãî ïðîñòðàíñòâà ïóòåé {0, 1} (ïîñëåäíåå òàêæå âûòåêàåò èç äîS N êàçàííîé òåîðåìû). Òåì ñàìûì DH,ρ ( BL ) = DH,ρ ({0, 1} ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè

L

{0, 1}N íà ÷èñåë èç [0, 1],

3. Îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

îòðåçîê ∞ P

[0, 1],

èíäóöèðîâàííîå

k -è÷íûì

ðàçëîæåíèåì

−n

x =

xn k , ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì íà íåêîòîðîì ìíîn=1 N æåñòâå Ek ⊂ {1, ..., k} , äîïîëíåíèå ê êîòîðîìó ñ÷åòíî. Òàê êàê ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî íà õàóñäîðîâó ðàçìåðíîñòü íå âëèÿåò, ìû ìîãëè áû âû÷èñëÿòü ðàçìåðíîñòü ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà

[0, 1] ñ ïîìîùüþ

èõ ñèìâîëè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, ïåðåíåñÿ åâêëèäîâó ìåòðèêó íà {0, 1}N. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îáðàç ýòîé ìåòðèêè íå ýêâèâàëåíòåí ìåòðèêå

ρθ

íè ïðè êàêîì

θ,

òàêîé ïîäõîä äåéñòâèòåëüíî âîçìîæåí,

òàê êàê õàóñäîðîâà ðàçìåðíîñòü, îòâå÷àþùàÿ îáðàçó åâêëèäîâîé ìåòðèêè, ñîâïàäàåò ñ õàóñäîðîâîé ðàçìåðíîñòüþ, îòâå÷àþùåé ìåòðèêå

ρ1/k

(ñì. [4, Ÿ14℄). Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû ýòîé ðàáîòû,

äîêàçàííûå äëÿ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïðèìåíèìû è ê ìíîæåñòâàì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, îïèñûâàåìûì â òåðìèíàõ êîýèöèåíòîâ

[1℄

[2℄ [3℄ [4℄

8

k -è÷íûõ

ðàçëîæåíèé.

Hausdor dimension and pressure in the DLR thermodynami formalism. Amer. Math. So . Transl. (2).  2000.  198.  91107. àíòìàõåð Ô. . Òåîðèÿ ìàòðèö.  Ì.: Íàóêà, 1966. Shahverdian A. Yu. The nite-dieren e method of one-dimensional nonlinear systems analysis. Fra tals  2000.  8.  4965. Áèëëèíãñëåé Ï. Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è èíîðìàöèÿ.  Ì.: Ìèð, 1969. Gurevi h B. M. and Tempelman A. A.

ÓÄÊ 628.517

Êâàäðàòè÷íûé îïåðàòîðíûé ïó÷îê çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîì ãàñèòåëå êîëåáàíèé ñ êàòàðàêòîì

È. À. Áàçîâ îñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿ Îïèñàíèå êîíñòðóêöèé äèíàìè÷åñêîãî ãàñèòåëÿ êîëåáàíèé ñ êàòàðàêòîì â ðîëè âÿçêîñòíîãî äåìïåðà êîëåáàíèé ïðèâåäåíî â [2℄. àçûñêèâàÿ, êàê îáû÷íî ðåøåíèå çàäà÷è î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ â λt T T 2 âèäå x = qe , ãäå x = (x1 , x2 ) , q = (q1 , q2 ) , x, q ∈ R . àñ÷åòíàÿ

ñõåìà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé, â ïðèíÿòûõ íàìè  áåçðàçìåðíûõ ïåðå

µ 0 , µ  îòíî0 1   1 + γ −1 øåíèå ìàññ. Ìàòðèöà æåñòêîñòè C èìååò âèä: C = , à −1 1 γ = ff21  îòíîøåíèå æåñòêîñòè ïðóæèí. Ñòðóêòóðà ìàòðèöû ýëåÿ   β −β ñëåäóþùàÿ: R = , çäåñü β  áåçðàçìåðíûé êîýèöè−β β

ìåííûõ, èìååò âèä:

M λ2 + Rλ + C = 0, ãäå M =

åíò âÿçêîãî òðåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê òèïè÷íîìó ñàìîñîïðÿæåííîìó êâàäðàòè÷íîìó îïåðàòîðíîìó ïó÷êó [1℄. Êñòàòè, â [2℄ íå ïðèâîäèòñÿ îáùåå èññëåäîâàíèå ñïåêòðà, à ðàññìîòðåí òîëüêî êîíêðåòíûé ÷èñëîâîé ïðèìåð, îòâå÷àþùèé ìàëîé âÿçêîñòè.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâîäèòñÿ ïîëíîå èññëåäîâàíèå ðàñïîëîæåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë (Ñ×) â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ñïåöèè÷åñêîé îñîáåííîñòüþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îïåðàòîð ýëåÿ

R

èìååò íå íóëåâîå ÿäðî, ÷òî îêà-

çûâàåò ñïåöèè÷åñêîå âëèÿíèå íà ðàñïîëîæåíèå ñïåêòðà.  ðàáîòå äîêàçàíà òåîðåìà î çàòóõàíèè: Re λ

< 0.

Óñòàíîâëåíî äîñòàòî÷íîå

óñëîâèå êîëåáàòåëüíîñòè ðåæèìîâ (ìîä). Àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà äëÿ óñëîâèÿ àïåðèîäè÷íîñòè

(Im λ = 0) óñòàíîâëåíà áûòü íå ìîæåò â R. Óñòàíîâëåíû âîçìîæíîñòè âîçíèêíî-

ñèëó ñïåöèèêè îïåðàòîðà

âåíèÿ ñëåäóþùèõ ñèòóàöèé: ÷åòûðåõêðàòíîå âåùåñòâåííîå Ñ×, ïàðà äâóêðàòíûõ âåùåñòâåííûõ Ñ×, êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííàÿ ïàðà êðàòíûõ êîìïëåêñíûõ Ñ×, òðåõêðàòíîå âåùåñòâåííîå Ñ× è ò.ä. Âî âñåõ

ñëó÷àÿõ óñòàíîâëåíà äâóêðàòíàÿ ïîëíîòà â ñìûñëå Êåëäûøà áàçèñà èç ñîáñòâåííûõ è ïðèñîåäèíåííûõ âåêòîðîâ.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ìåòîäîì äèàãðàììû Íüþòîíà ïîñòðîåíû àñèìïòîòèêè Ñ× äëÿ áîëüøèõ òðåíèÿ.

(β ≫ 1)

è ìàëûõ

(β ≪ 1)

çíà÷åíèé êîýèöèåíòà âÿçêîãî

9

[1℄ Êîïà÷åâñêèé Í. Ä., Êðåéí Ñ. ., Íãî Çóé Êàí Îïåðàòîðíûå ìåòîäû â ëèíåéíîé ãèäðîäèíàìèêå: Ýâîëþöèîííûå è ñïåêòðàëüíûå çàäà÷è.  Ì.: Íàóêà, 1989. [2℄ Ëîéöÿíñêèé Ë. ., Ëóðüå À. È. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ÷. 3. Äèíàìèêà íåñâîáîäíîé ñèñòåìû è òåîðèÿ êîëåáàíèé.  Ì., Ë.: ÒÒÈ, 1934.

ÓÄÊ 517.9

Ôîðìóëà Ôåéíìàíà äëÿ äèóçèè ñî ñíîñîì â îáëàñòè êîìïàêòíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ

ß. À. Áóòêî Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

1.Ââåäåíèå.

Ïîëó÷åíû ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè-

Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ äèóçèè ñî ñíîñîì â îáëàñòè êîìïàêòíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ â âèäå ïðåäåëà êîíå÷íîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ ïî äåêàðòîâûì ñòåïåíÿì îáëàñòè; ïðè ýòîì èíòåãðàëû áåðóòñÿ îò ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ìíîãîîáðàçèÿ, êîýèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ è íà÷àëüíûõ äàííûõ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå, îïèñûâàþùåå ñíîñ, íå èìååò îñîáûõ òî÷åê íà ìíîãîîáðàçèè, ïîòåíöèàë - íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, íà÷àëüíûå äàííûå - íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, îáðàùàþùàÿñÿ â íîëü íà ãðàíèöå ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ìíîãîîáðàçèÿ.  äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóþòñÿ òåîðåìà ×åðíîâà [Ch1℄ è àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè, íàéäåííûå â ðàáîòàõ Ñìîëÿíîâà, Âàéöçåêêåðà è Âèòòèõà [SWW1, SWW2℄.

2.Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ.

10

K

Äëÿ âñÿêîãî ðèìàíîâà ìíîãî-

ρ ðèìàíîâó ìåòðèêó íà K , volK - áîðåëåâñêóþ ìåðó íà K , ïîðîæäàåìóþ ðèìàíîâûì îáú¼ìîì, s al(x) ≡ tr Ricci(x) - ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà ìíîãîîáðàçèÿ K â òî÷êå x ∈ K . 2 Ñèìâîëîì r (x) - îáîçíà÷èì êâàäðàò íîðìû íîðìàëè ñðåäíåé êðèk ¯ âèçíû â òî÷êå x. Äëÿ ëþáîãî k ∈ N ñèìâîë C0 (G) îáîçíà÷àåò ïðî¯ óíêöèé, ðàâñòðàíñòâî k ðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûõ íà G íûõ íà ∂G íóëþ âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè äî ¯ äîîïðåäåk -îãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Êàæäóþ óíêöèþ èç C0 (G) ¯ , ïðåâðàùàÿ òåì ñàìûì, C0 (G) ¯ â ïîäïðîñòðàíñòâî ëèì íóë¼ì âíå G C(K). Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà Ω ∈ K óíêöèÿ IΩ (x) - èíäèêàòîð ìíîæåñòâà Ω. îáðàçèÿ

îáîçíà÷èì ñèìâîëîì

Ïóñòü

X

- áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî,

ðûâíûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â

X,

L(X) ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåíàäåë¼ííîå ñèëüíîé îïåðàòîð-

íîé òîïîëîãèåé. Äëÿ êàæäîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

Dom(A)

A

â

X

÷åðåç

îáîçíà÷àåòñÿ åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Ïðîèçâîäíàÿ â íó-

F : [0, ε) → L(X), ε > 0 - ýòî ëèíåéíîå îòîáðàæåF (0) : Dom(F ′ (0)) → X , îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì F ′ (0)g = limt→0 t−1 (F (t)g − F (0)g), ãäå Dom(F ′ (0)) - âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ g ∈ X , äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïðåäûäóùèé ïðåäåë. Â äàëüëå óíêöèè ′

íèå

íåéøåì èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ âåðñèÿ òåîðåìû ×åðíîâà [Ch1℄.

Òåîðåìà 1 (Òåîðåìà ×åðíîâà). . Ïóñòü F : [0, ∞) → L(X) - ñèëüíî íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, F (0) = I - òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, ||F (t)|| 6 eat äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ R è ïóñòü D- âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Dom(F ′ (0)), ñóæåíèå íà êîòîðîå îïåðàòîðà F ′ (0) îáëàäàåò çàìûêàíèåì C . Åñëè C ÿâëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì ñèëüíî íåïðåðûâíîé ïîëóãðóïïû etC , òî äëÿ êàæäîãî T > 0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü F (t/n)n , n ∈ N ïðè n → ∞ ñõîäèòñÿ ê etC â ñèëüíîé îïåðàòîðíîé òîïîëîãèè ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî t ∈ [0, T ].

Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ×åðíîâó îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåF (t) è etC ââåäåíî â [SWW3℄: ||F (t)g − etC g|| =

ìåéñòâ îïåðàòîðîâ

o(t), t → 0 ∀g ∈ D1 ⊂ D(C), ëåíèÿ îïåðàòîðà C .

ãäå

D1 -

ñóùåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäå-

3. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü G - îáëàñòü êîìïàêòíîãî ðèìàíî-

âà ìíîãîîáðàçèÿ

K , dim K = m

ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé

∂G.

àññìîòðèì

íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó Êîøè-Äèðèõëå â ýòîé îáëàñòè äëÿ óðàâíåíèÿ äèóçèè ñî ñíîñîì:

 ∂f 1   (t, x) = (− ∆K f )(t, x) + (a(x), ∇f (t, x))+   ∂t 2   +V (x)f (t, x), t > 0, x ∈ G,   f (0, x) = f0 (x), x ∈ G,     f (t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂G. Çäåñü

∆K =

(1)

2 tr ∇ - îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè íà ìíîãîîáðà-

K , ∇ - ñâÿçíîñòü Ëåâè-×èâèòà (ïðè ýòîì ñèìâîëîì ∇f (x) ∈ Tx K f â òî÷êå x). Ïðåäïîëàãàåò1 ñÿ, ÷òî a(·) : K → T K - âåêòîðíîå ïîëå êëàññà C (K), (u(x), v(x)) - ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ u(x) è v(x) â Tx K , ïîòåíöèàë V : G → R - íåïðåðûâíàÿ îãðàíè÷åííàÿ óíêöèÿ. ¯ → R, f0 ∈ C0 (G), ¯ f (t, ·) ∈ Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî f : [0, ∞) × G ¯ ∀t > 0. Çäåñü C0 (G) ¯ - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî óíêöèé, C0 (G), çèè

- îáîçíà÷àåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè

11

íåïðåðûâíûõ íà

G

è ðàâíûõ íóëþ íà

∂G,

ñ íîðìîé

supx∈G |f (x)|.

|| · ||, ||f || =

Íàøåé öåëüþ áóäåò ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) â âèäå ïðå-

äåëà íåêîòîðûõ êîíå÷íîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ ïî äåêàðòîâûì ñòåïåíÿì îáëàñòè

G.

Çàäàäèì îïåðàòîð

(A, Dom(A))

íà ïðîñòðàíñòâå

¯ C0 (G)

ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:

¯ , Dom(A) = C20 (G)   (− 1 ∆ f )(x) + (a(x), ∇f (t, x)) + V (x)f (x), ∀x ∈ G, K 2 (Af )(x) =  0, ∀x ∈ ∂G.

Òîãäà äëÿ Ìû

¯ . ∀f ∈ Dom(A) (Af )(x) ∈ C0 (G)

ïîñòðîèì

{Sp (t)}t>0 ,

îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå

ñåìåéñòâà

ýêâèâàëåíòíûå ïî ×åðíîâó ïîëóãðóïïå

{Sq (t)}t>0 è etA , ðàçðåøà-

þùåé çàäà÷ó (1). Òîãäà èç òåîðåìû ×åðíîâà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî

etA = s − lim (Sq (t/n)n ), n→∞

etA = s − lim (Sp (t/n)n ), n→∞

ãäå

s − lim

îáîçíà÷àåò ïðåäåë â ñèëüíîé îïåðàòîðíîé òîïîëîãèè íà

¯ . C0 (G) 4. Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè-Äèðèõëå â âèäå ïðåäåëà êîíå÷íîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Ïóñòü K - êîìïàêòíîå ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè m, èçîìåòðè÷åñêè âëîæåííîå RN . Ïóñòü Φ : K → RN -èçîìåòðèÿ, îñóùåñòâëÿþ-

â ïðîñòðàíñòâî

ùàÿ âëîæåíèå. Äëÿ êàæäîãî âåêòîðà ñòâà

Tx K

ñèìâîëîì

uΦ (x)

u(x)

êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàí-

îáîçíà÷àåòñÿ ýòîò æå âåêòîð êàê âåêòîð â îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ëþáîãî n ∈ K n = K ×K ×. . .×K .

N

àññìîòðèì ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ T (t), t x äóþùèì îáðàçîì: (T (t)f )(x) = f (γ (t)), ãäå

> 0, äåéñòâóþùèõ ñëåγ x (·) - ãåîäåçè÷åñêàÿ ñ íà÷àëîì â òî÷êå x è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a(x) òàêàÿ, ÷òî äëèx íà å¼ îò íà÷àëà äî òî÷êè γ (t) ðàâíà t||a(x)||Tx K ≡ t||aΦ (x)||RN , ãäå || · ||RN - íîðìà â îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå K è âåêòîðíîå ïîëå a(·) òàêîâû, ÷òî T (t), äëÿ t > 0 êîððåêòíî îïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâå C(K), òî åñòü âåêòîðíîå ïîëå íå èìååò îñîáûõ òî÷åê íà ìíîãîîáðàçèè.

ε(·) : [0, t0 ] → R+ - óíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî ε(t) ց 0 ïðè ¯ àïϕε(t) (x) - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî óíêöèé èç C30 (G) ïðîêñèìèðóþùèõ â ñìûñëå ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè óíêöèþ IG (x) Ïóñòü

t → 0. 12

Ïóñòü

t → 0. Ïðè÷¼ì ϕε(t) (x) = 1 ïðè x ∈ G3ε(t) , ϕε(t) (x) = 0 ïðè x ∈ G \ Gε(t) è 0 < ϕε(t) (x) < 1 ïðè x ∈ Gε(t) \ G3ε(t) , ãäå Gδ = {x ∈ G : ρ(x, ∂G) > δ}. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(t), t > 0 ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ òàêèõ, ÷òî S(t)f (x) = ϕε(t) (x)f (x). Ïîëîæèì äëÿ t > 0, x, z ⊂ K ïðè

p(t, x, z) =

1 e− (2πt)m/2

||Φ(x)−Φ(z)||2 N R 2t

è

Ïóñòü óíêöèÿ s al(·) íåïðåðûâíà íà

q(t, x, z) = K.

R

K

p(t,x,z) . p(t,x,z)volK (dz)

¯ : C0 (G)

àññìîòðèì ñëåäóþùèå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå â

Sq (t) : (Sq (t)f )(x) = ϕε(t) (x)

Z

etV (x) f (z)q(t, γ x (t), z)volK (dz),

¯ G

Sp (t) : (Sp (t)f )(x) = ϕε(t) (x)

Z

etV (x) e 4 s al(γ t

x

(t)) − 8t r 2 (γ x (t))

e

¯ G

·

· f (z)p(t, γ x (t), z)volK (dz) Â

êà÷åñòâå

Sq (t), Sp (t) ïëîòíîå â

ñóùåñòâåííîé

îáëàñòè

îïðåäåëåíèÿ

áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî

¯ . C0 (G)

îïåðàòîðîâ

¯ , D = C40 (G)

âñþäó

¯ , ðàçðåøàÏóñòü etA - ïîëóãðóïïà îïåðàòîðîâ â C0 (G) tA þùàÿ çàäà÷ó Êîøè-Äèðèõëå (I). Òîãäà 1) e = s − lim (Sq (t/n)n ), Òåîðåìà 2.

n→∞

2) etA = s − lim (Sp (t/n)n ).

n→∞ Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ

òàêèõ, ÷òî

Bp (t)f (x) =

R

p(t, x, z)f (z)volK (dz).

Bp (t), t > 0

Ïóñòü ñåìåéñòâî îïå-

K

Bq (t) äåéñòâóåò íà C(K) ñëåäóþùèì îáðàçîì: Bq (t)f (x) = R ¯ â îïðåq(t, x, z)f (z)volK (dz). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óíêöèè f ∈ C0 (G)

ðàòîðîâ

K äåëåíèè

Bp

è

Bq

èíòåãðàëû ïî âñåìó ìíîãîîáðàçèþ ìîæíî çàìå-

íèòü èíòåãðàëàìè ïî îáëàñòè. Îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà óíêöèþ 2 t t e 4 s al(·) e− 8 ||τΦ (·)||RN îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Tp (t), à îïåðàòîð óìíîæåtV (·) ¯ íèÿ íà óíêöèþ e - ñèìâîëîì U (t). Òîãäà äëÿ f ∈ 0 (G) èìååì

C

Sq (t)f (x) = (S(t)U (t)T (t)Bq (t)f )(x) è

Sp (t)f (x) = (S(t)U (t)T (t)Tp (t)Bp (t)f )(x). Ïîêàæåì, ÷òî ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ

{Sq (t)}t>0

è

{Sp (t)}t>0 ýêâèetA , ãäå îïå-

âàëåíòíû ïî ×åðíîâó ñèëüíî íåïðåðûâíîé ïîëóãðóïïå ðàòîð

A

ââåä¼í ðàíåå. Íàì íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ

13

Sq (t)f −f ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: Sq (0) = Id, limt→0 t S (t)f −f = Af , äëÿ ∀f ∈ D. Sp (0) = Id, limt→0 p t Ïðåäëîæåíèå 1 ( ì.[SWW2℄). Ïóñòü Φ : K →

= Af ,

äëÿ

∀f ∈ D,

è

RN - èçîìåòðè÷åñêîå âëîæåíèå êîìïàêòíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ K â RN , dim K = m. Òîãäà äëÿ ëþáîé óíêöèè f ∈ C3 (K) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: Bp (t)f (x) = e− 4 s al(x) e+ 8 r t

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ

Òàêæå

t

f ∈D

2

(x)

t f (x) − ∆K f (x) + O(t3/2 ) 2

âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

t (Tp (t)Bp (t)f )(x) = f (x) − ∆K f (x) + O(t3/2 ). 2 äëÿ f ∈ D ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî e− 4 s al(x) e+ 8 r t

t

Bq (t)f (x) =

e

2

(x)

f (x) − 2t ∆K f (x) + O(t3/2 )

− 4t s al(x)

t

e+ 8 r

2 (x)

+ O(t3/2 )

(2)

.

Bq (t)f (x)−f (x) = È, òàêèì îáðàçîì, limt→0 Bq (t)f (x) = f (x), limt→0 t 1 − 2 ∆K f (x). À çíà÷èò, ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ Bq (t) ýêâèâàëåíòíî ïî 1 ×åðíîâó ïîëóãðóïïå, ïîðîæä¼ííîé − ∆K , òî åñòü äëÿ ëþáîé óíê2 öèè

f ∈D

t (Bq f )(x) = f (x) − ∆K f (x) + o(t). (3) 2 Äàëåå ïðîâåðèì, ÷òî ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ T (t) óäîâëåòâîðÿåò T (t)f (x)−f (x) = ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: limt→0 T (t)f (x) = f (x), limt→0 t x (a(x), ∇f (x)). Òàê êàê γ (0) = x, òî lim T (t)f (x) = lim f (γ x (t)) = t→0

t→0

f (x), è ïî ïðàâèëó äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè àðãóìåíòà x (x) (γ x (0)) t ìû ïîëó÷àåì, ÷òî limt→0 T (t)f (x)−f = limt→0 f (γ (t))−f = t t (a(x), ∇f (x)). Òîãäà ñ ó÷¼òîì îðìóë (2) è (3)

lim T (t)Tp (t)Bp (t)f (x) = f (x),

t→0 a

lim

t→0

14

T (t)Tp (t)Bp (t)f (x) − f (x) = t T (t)(Tp (t)Bp (t)f (x) − f (x)) + T (t)f (x) − f (x) = lim = t→0 t 1 = − ∆K f (x) + (a(x), ∇f (x)). 2

(4)

È àíàëîãè÷íî,

lim

t→0

lim T (t)Bq (t)f (x) = f (x),

t→0

a

T (t)Bq (t)f (x) − f (x) = t T (t)(Bq (t)f (x) − f (x)) + T (t)f (x) − f (x) = lim = t→0 t 1 = − ∆K f (x) + (a(x), ∇f (x)). 2

(5)

etV (x) â ðÿä Òåéëîðà ïðè t → 0 ïîëó÷àåì, lim U (t)T (t)Tp (t)Bp (t)f (x) =

Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì óíêöèè äî ïåðâîãî ïîðÿäêà, ìû

t→0

U(t)T (t)T (t)B (t)f (x)−f (x)

p p f (x), limt→0 = Hf (x), ãäå îïåðàòîð H : t 1 Hf (x) = − 2 ∆K f (x) + (a(x), ∇f (x)) + V (x)f (x). È àíàëîãè÷íî, U(t)T (t)Bq (t)f (x)−f (x) lim U (t)T (t)Bq (t)f (x) = f (x), limt→0 = Hf (x). t

t→0 Äëÿ ëþáîé óíêöèè

f,

f ∈ D ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî íîñèòåëè êàê ñàìîé

òàê è âñåõ å¼ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äî âòîðîãî ïîðÿä-

Gδ . Íàéä¼ì tδ > 0, ïðè êîòîðîì ∀t ∈ [0, tδ ] Gδ ⊂ G3ε(tδ ) . Ñëåäîâàòåëüíî, limt→0 (Sp (t)f )(x) = lim[0,tδ ]∋t→0, (Sp (t)f )(x) = ϕε(0) (x)f (x) = ¯ ∀f ∈ D, è àíàëîãè÷íî limt→0 (Sq (t)f )(x) = f (x). Çíàf (x), ∀x ∈ G, ÷èò, óñëîâèÿ Sp (0) = Id, Sq (0) = Id âûïîëíåíû. Òàê êàê äëÿ ∀t ∈ [0, tδ ] ïðè x ∈ Gδ âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî S (t)f −f S (t)f −f ϕε(t) (x) = 1 , òî ∀x ∈ Gδ lim p t (x) = Af (x), lim q t (x) =

êà âêëþ÷èòåëüíî ëåæàò â îáëàñòè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óñëîâèå:

t→0

t→0

Af (x). Ïðè x ∈ G \ Gδ âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà f (x) = 0, ∇f (x) = 0, S (t)f −f ∆K f (x) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, lim p t (x) = 0 = Af (x), t→0

Sq (t)f −f (x) t t→0 Sp (t)f −f (x) = t

lim

0 =

= 0 = Af (x).

Sq (t)f −f (x) t Sq (t)f −f (Af )(x), lim (x) t t→0

0,

Ïðè

= 0,

x ∈ ∂G à

äëÿ ëþáîãî

çíà÷èò,

lim

t→0

t > 0

Sp (t)f −f (x) t

=

= 0 = (Af )(x). Òåì ñàìûì äî¯ êàçàíî, ÷òî äëÿ ∀x ∈ G, ∀f ∈ D âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ S (t)f −f S (t)f −f limt→0 p t (x) = (Af )(x), limt→0 q t (x) = (Af )(x). Èòàê, ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ {Sp (t)}t>0 è {Sq (t)}t>0 ýêâèâàëåíòíû tA tA ïî ×åðíîâó ïîëóãðóïïå e è, ñîãëàñíî òåîðåìå ×åðíîâà, e = s− n tA n lim (Sp (t/n)) , e = s − lim (Sq (t/n)) .

n→∞

n→∞

5. Ôîðìóëû Ôåéíìàíà äëÿ çàäà÷è Êîøè-Äèðèõëå. Ïî òåî-

ðåìå 2 ðåøåíèå çàäà÷è (I) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì (íèæå

x0 = x): 15

tA

1) f (t, x) ≡ (e f0 )(x) = lim

Z

e

t n

n P

V (xk−1 )

k=1

n→∞ Gn x1

n Y

k=1

!

ϕε(t/n) (xk−1 ) ×

×f0 (xn )q(t/n, γ x (t/n), x1 )q(t/n, γ (t/n), x2 ) . . . q(t/n, γ xn−1 (t/n), xn )× × volK (dx1 )...volK (dxn )

2)f (t, x) = lim

Z

n→∞ Gn

×e

t − 8n

n P

e

t n

n P

V (xk−1 )

k=1

n Y

r 2 (γ xk−1 (t/n))

k=1

e

t 4n

n P

k=1

s al(γ xk−1 (t/n))

×

!

ϕε(t/n) (xk−1 ) f0 (xn )p(t/n, γ x (t/n), x1 )×

k=1 x1

(6)

× p(t/n, γ (t/n), x2 )...p(t/n, γ xn−1 (t/n), xn )volK (dx1 )...volK (dxn ).

(7)

Íè ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ãî ñåìåéñòâà

ϕε(t) (x)

ε(t) → 0,

íè âûáîð àïïðîêñèìèðóþùå-

íå âëèÿþò íà ïðåäåëû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ îð-

N

ìû èíòåãðèðóåì îãðàíè÷åíìóë (4), (5). Òàê êàê ïðè âñÿêîì n ∈ ¯ n è èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ϕε(t/n) → G

íóþ óíêöèþ ïî êîìïàêòó

IG , n → ∞,

òî âûáåðåì

ε(t/n) (n ∈ N)

òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïðå-

äåëüíûå âûðàæåíèÿ â îðìóëàõ (4) è (5) ñîâïàäàëè ñîîòâåòñòâåííî ñ âûðàæåíèÿìè

1) f (t, x) = lim

Z

n→∞ Gn

t

en

Pn

k=1

V (xk−1 )

f0 (xn )q(t/n, γ x (t/n), x1 )×

× q(t/n, γ x1 (t/n), x2 )...q(t/n, γ xn−1 (t/n), xn )×

× volK (dx1 )...volK (dxn ),

2) f (t, x) = lim

Z

n→∞ Gn

e

t n

n P

V (xk−1 )

k=1

t − 8n

n P

e

t 4n

n P

k=1

s al(γ xk−1 (t/n))

(8)

×

r 2 (γ xk−1 (t/n))

×e f0 (xn )× x x1 p(t/n, γ (t/n), x1 )p(t/n, γ (t/n), x2 )...p(t/n, γ xn−1 (t/n), xn )× k=1

× volK (dx1 )...volK (dxn ). 16

(9)

Òåîðåìà 3. Ïóñòü f (t, x) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè-Äèðèõëå (I) ñ ¯ . Òîãäà f (t, x) ìîæåò áûòü ïðåäíà÷àëüíûì óñëîâèåì f0 ∈ C0 (G) ñòàâëåíî îðìóëàìè (6) è (7).

Áëàãîäàðíîñòè.

Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü

ïðîåññîðó Î. . Ñìîëÿíîâó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîëåçíûå äèñêóññèè.

[1℄

[Ch1℄ Chernoff R. P. Note on produ t formulas for operator semigroups. J. Fun . Anal.  1968. 2.  238242.

[2℄

Chernoff R. P. Produ t formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators. Mem. AMS.  1974.  140.

[3℄

 H.v., Witti h O. Brownian [SWW1℄ Smolyanov O. G., Weizsa ker motion on a manifold as limit of stepwise onditioned standart Brownian motions.  In: Canadian Math. So . Conferen e Pro eedings. Vol. 29.  2000.

[4℄

 [SWW2℄ Smolyanov O. G., Weizsa ker H.v., Witti h O. Cherno's theorem and Dis rete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds.  http://arxiv.org/PS_ a he/math/pdf/0409/0409155.pdf

[5℄

 [SWW3℄ Smolyanov O. G., Weizsa ker H.v., Witti h O. Cherno's theorem and the onstru tion of semigroups.  In: Evolution Equations: Appli ations to Physi s, Industry, Life S ien es and E onomi s  EVEQ 2000, M.Ianelli, G.Lumer (eds.)  Birkh auser, 2003.  355364.

[6℄

Ñìîëÿíîâ Î. ., Òðóìåí À.

[7℄

Smolyanov O. G., Tokarev A. G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Cherno formula. J. of Math.Phys.  2002.  43,  10.  51615171.

[8℄

Andersson L., Driver B. K. Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds. J. Fun . Anal.  1999.  165,  2.  430498.

[9℄

Representations of the solution of the Cau hy  Diri hlet problem for the heat equation in a domain on a ompa t Riemannian manifold by fun tional integrals. Rus. J. Math. Phys.  2004.  11,  2.  17.

Èíòåãðàëû Ôåéíìàíà ïî ðàåêòîðèÿì â ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèÿõ.  jourÄÀÍ.  2003.  392,  2.  174 179.

Butko Ya. A.

17

ÓÄÊ 517.984.55+514.84

Àñèìïòîòèêà äèñêðåòíîãî ñïåêòðà íåñàìîñîïðÿæ¼ííîãî ïåðèîäè÷íîãî îïåðàòîðà

Ñ. Â. àëüöåâ, À. È. Øààðåâè÷ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. íèå

2

D = −h2 ddx2 + iV (x),

àññìîòðèì äèåðåíöèàëüíîå âûðàæåãäå

V (x)

 íåêîòîðàÿ ïåðèîäè÷íàÿ öåëàÿ

T ∈ (0, +∞). Íàñ áóäåò èíòåðåV (x) ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîçíà÷íîé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Òîãäà ïîòåíöèàë iV (x) áóäåò ÷èñòî ìíèìûì íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Äèåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå D ïîðîæäàåò íåîãðàíè1 ÷åííûé íåñàìîñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîð íà L2 (S = R/T Z). Ïîñòàâèì àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ ñ ïåðèîäîì

ñîâàòü ñëó÷àé, êîãäà

âîïðîñ îá àñèìïòîòèêå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ýòîãî îïåðàòîðà. Óðàâíåíèå

Dϕ − Eϕ = −h2

d2 ϕ + (iV (z) − E)ϕ = 0 dz 2

åñòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ñ öåëûìè àíàëèòè÷åñêèìè êîýèöèåíòàìè. Ïîýòîìó âñå åãî ðåøåíèÿ

ϕ

îáðàçóþò äâóìåðíîå ëèíåéíîå ïîä-

ïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå öåëûõ àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, âñå (ïåðèîäè÷íûå ñ ïåðèîäîì

T ) ñîáñòâåííûå óíêöèè ðàñA(C/T Z) ïåðèîäè÷å-

ñìàòðèâàåìîãî îïåðàòîðà ëåæàò â ïðîñòðàíñòâå

ñêèõ öåëûõ àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé. Çíà÷èò, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

D êàê ëèD, íà âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå A(C/T Z). Èòàê, íàñ

îïåðàòîð, ïîðîæä¼ííûé äèåðåíöèàëüíûì âûðàæåíèåì íåéíûé îïåðàòîð

èíòåðåñóåò âîïðîñ, êàêîâà àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà

D.

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ÷èñëîâîé îáðàç îïåðàòîðà D. Âå-

ùåñòâåííîçíà÷íàÿ óíêöèÿ

V (x)

íåïðåðûâíà (òàê êàê îíà àíàëèòèS1 = R/T Z ñâîèõ ìèíè-

÷åñêàÿ), à çíà÷èò äîñòèãàåò íà îêðóæíîñòè

min V è max V . Äëÿ ëþáîãî h > 0 âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà D ëåæàò â ïîëóïîëîñå [0, +∞) + i[min V, max V ]. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ðàâåíñòâî Dϕ = Eϕ íà ϕ, à çàòåì ïðîèíòåãðèðîâàòü åãî ïî S1 . ìóìà è ìàêñèìóìà. Îáîçíà÷èì èõ Ëåììà 1.

Ýòà ëåììà ïîçâîëÿåò èñêàòü àñèìïòîòèêó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà

18

D

òîëüêî â ïîëóïîëîñå

[0, +∞) + i[min V, max V ].

Ïîèñê àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé â ÷àñòíîì ñëó÷àå. àññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé îïåðàòîðà D ñ ïîòåíöèàëîì iV (z) = i cos z .

Èññëåäîâàíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðîâåä¼ì ñ

ïîìîùüþ ÂÊÁàñèìïòîòèêè (ñì. [1℄, [2℄). Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì âñåâîçìîæíûå ãðàû Ñòîêñà äëÿ óíêöèè

q(z) = i cos z − E .

Ïðè

êàæäîì âîçìîæíîì (òîïîëîãè÷åñêîì) âèäå ãðàà Ñòîêñà âû÷èñëèì ìàòðèöó ìîíîäðîìèè

M,

òî åñòü ìàòðèöó, îòâå÷àþùóþ ñäâèãó

àðãóìåíòà íà ïåðèîä â ïàðå óíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé. ×èñëî ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà

D

íà

A(C/T Z)

E

òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà íåêîòîðàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé ïåðåâîäèòñÿ ìàòðèöåé ìîíîäðîìèè â ñåáÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà ìîíî-

M èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå 1, ÷òî ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ tr M = det M + 1. Íà ïåðèîäå óðàâíåíèå q(z) = 0 èìååò äâà ðåøåíèÿ (íå ñîâïàäàþùèå ïðè E 6= ±i). Ýòî òî÷êè z± (E) = ± arccos(−iE). Ñëó÷àé êðàòíûõ ðåøåíèé (òî åñòü ñëó÷àé E = ±i) ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Ëåììà 2. Äëÿ óíêöèè q(z) = i cos z−E ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ E ∈ ([0, +∞) + i[−1, +1]) \{i, −i} åñòü ïÿòü òîïîëîãè÷åñêè ðàçíûõ âèäîâ ãðàà Ñòîêñà: äðîìèè

1)

2)

Äîêàçàòåëüñòâî.

3)

4)

5)

Ñ ó÷¼òîì ñâîéñòâ ëèíèé Ñòîêñà, îïèñàííûõ

â [1℄, ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå èìåþòñÿ äâå òî÷êè ïîâîðîòà, à ãðà Ñòîêñà äëÿ ëþáîãî E äîëæåí áûòü ïåðèîäè÷åí ñ ïåðèîäîì 2π è ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íóëÿ (òàê êàê q(z + 2π) = q(z) è q(z) = q(−z)). Ëåììà 3. Äëÿ óêàçàííûõ âûøå òîïîëîãè÷åñêèõ âèäîâ ãðàà Ñòîêñà óñëîâèå tr M = det M + 1 íà ìàòðèöó ìîíîäðîìèè ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì  R √ óñëîâèÿì (ñîîòâåòñòâåííî)  2π 1 1) cos ih i cos x − Edx = 1 + O(h);  R0 √  z + 1 2) cos ih i cos z − Edz = O(h), åñëè êîíå÷íîé ëèíèåé z− Ñòîêñà ñîåäèíåíû òî÷êè òî÷êè + , èëè, åñëè ñîåäèíåíû  R z− è z√  z+ −2π 1 z− è z+ − 2π , òî cos ih z− i cos z − Edz = O(h);


τ1 +τ2 τ1 +τ2 1 3) exp − h + exp (1 + O(h)) + exp τ2 −τ (1 + O(h)) = h R zh− √ 2 + O(h), ãäå τ1 = z+ −2π i cos z − Edz , ïðè÷¼ì Im τ1 > 0, à

19

Rz √ τ2 = z−+ i cos z − Edz , ïðè÷¼ì Im τ2 > 0;
4) exp τh3 = 2 + O(h), ãäå Re τ3 > 0, òî åñòü ýòî óðàâíåíèå íåðàçðåøèìî
ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ h; 5) exp τh4 = 2 + O(h), ãäå Re τ4 > 0, òî åñòü ýòî óðàâíåíèå íåðàçðåøèìî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ h; Äîêàçàòåëüñòâî.  êàæäîì ñëó÷àå, çíàÿ âèä ãðàà Ñòîêñà, ïîñòðîèì ìàòðèöó ïåðåõîäà Ω (ìàòðèöà ìîíîäðîìèè M ÷åðåç íå¼ âûðàæàåòñÿ) èç íåêîòîðîé êàíîíè÷åñêîé îáëàñòè K â êàíîíè÷åñêóþ îáëàñòü K + 2π (ñì. [1℄ è [3℄). R z+ (E) p R z (E)−2π √ Ëåììà 4. i cos z − Edz = z−+(E) i cos z − Edz . z− (E) R z+ (E) √ i cos z − Edz = 0 íà Ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Re z− (E) ïàðàìåòð E ∈ C îáîçíà÷èì η , à ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ R z (E)−2π √ Re z−+(E) i cos z − Edz = 0 îáîçíà÷èì η ′ . Ëåììà 5. Ìíîæåñòâî η ÿâëÿåòñÿ êðèâîé â C, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó i è ïåðåñåêàþùåé ëó÷ (0, +∞) ðîâíî â îäíîé òî÷êå E ⋆ ∈ (0, +∞). Ìíîæåñòâî η ′ = η . Ëåììà 6. Òîïîëîãè÷åñêèé ñëó÷àé 1) ãðàà Ñòîêñà ðåàëèçóåòñÿ íà ëó÷å (E ⋆ , +∞). Ñëó÷àé 2)  íà èíòåðâàëå êðèâîé η , ñîåäèíÿþùåì òî÷êè i è E ⋆ (ïðè ýòîì â ãðàå Ñòîêñà êîíå÷íîé ëèíèåé Ñòîêñà ñîåäèíåíû òî÷êè z− è z+ ) è íà èíòåðâàëå êðèâîé η , ñîåäèíÿþùåì òî÷êè −i è E ⋆ (ïðè ýòîì â ãðàå Ñòîêñà êîíå÷íîé ëèíèåé Ñòîêñà ñîåäèíåíû òî÷êè z− è z+ − 2π ). Ñëó÷àé 3) ðåàëèçóåòñÿ â òî÷êå E ⋆ .  îñòàëüíûõ òî÷êàõ ïîëóïîëîñû [0, +∞) + i[−1, 1], êðîìå òî÷åê ±i, ðåàëèçóþòñÿ ñëó÷àè 4) è 5). Òåîðåìà 1. Âíå εîêðåñòíîñòåé òî÷åê ±i àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà D ïðè iV (z) = i cos z ñîñðåäîòî÷åíà íà òð¼õ êðèâûõ: ëó÷å (E ⋆ , +∞), îòðåçêå êðèâîé η , ñîåäèíÿþùåì òî÷êó i è òî÷êó E ⋆ , è îòðåçêå êðèâîé η , ñîåäèíÿþùåì òî÷êó −i è òî÷êó E ⋆ . Íà ëó÷å (E ⋆ , +∞) àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé D âûäåR 2π √ ëÿåòñÿ óñëîâèåì Im 0 i cos x − Edx ∈ h(2πZ + O(h)), íà îòðåçêå Rz √ êðèâîé η óñëîâèåì Im z−+ i cos z − Edz ∈ h(π/2 + πZ + O(h)), à íà îòðåçêå ñîïðÿæ¼ííîé êðèâîé η èìååì ñîïðÿæ¼ííîå óñëîâèå R z+ (E) p Im z (E) i cos z − Edz ∈ h(π/2 + πZ + O(h)). −

Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàìå÷àíèå 1.

Äîñòàòî÷íî îáúåäèíèòü ðåçóëüòàòû âñåõ ëåìì.

Óñëîâèÿ íà àñèìïòîòèêó âûïèñàíû â òåîðåìå 1

÷åðåç ìíèìûå ÷àñòè íåêîòîðûõ èíòåãðàëîâ. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êàæäîãî èç íèõ îáðàùàåòñÿ â íîëü íà ñîîòâåòñòâóþùåé

20

êðèâîé.

Ïîýòîìó

â

óñëîâèÿõ

íà

àñèìïòîòèêè

Im ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà íà ëó÷å (E ⋆ , +∞) èìååì òðåáîR 2π √ âàíèå i cos x − Edx ∈ ih(2πZ + O(h)), íà îòðåçêå η (êðîìå 0 Rz √ εîêðåñòíîñòè òî÷êè i): z−+ i cos z − Edz ∈ ih(π/2 + πZ + O(h)), à R z+ (E) p íà îòðåçêå η (êðîìå εîêðåñòíîñòè òî÷êè −i): i cos z − Edz ∈ z− (E) ih(π/2 + πZ + O(h)). 2 Çàìå÷àíèå 2. àññìîòðèì ïîâåðõíîñòü p + i cos z = E â ïðîñòðàíñòâå {(p, z) ∈ C × (C/T Z)}. Ýòî  ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü óíêöèè √ p(z) = i cos z − E . Îíà ïîëó÷àåòñÿ ñêëåéêîé âäîëü ðàçðåçà (ñ ¾ïåðåõë¼ñòîì¿) äâóõ ýêçåìïëÿðîâ öèëèíäðà C/T Z, ðàçðåçàííîãî ïî îòðåçêó [z− , z+ ]. çíàê

z+

z+

z+ −→

z−

γ−

z−

γ0

γ+ z−

Íà ýòîé ïîâåðõíîñòè èìåþòñÿ òðè áàçèñíûõ öèêëà: 1)

γ0

 öèêë, èäóùèé èç òî÷êè

ùèéñÿ â 2)

z− ;

γ−

 öèêë, èäóùèé èç

γ+

 öèêë, èäóùèé èç

z+

z−

÷åðåç òî÷êó

z+

è âîçâðàùàþ-

è îáõîäÿùèé ëåâûé ýêçåìïëÿð öè-

ëèíäðà â íàïðàâëåíèè óáûâàíèÿ 3)

z+

Re z ;

è îáõîäÿùèé ïðàâûé ýêçåìïëÿð öè-

ëèíäðà â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ

Re z .

Ñ ó÷¼òîì ýòîãî, èíòåãðàëû â òåîðåìå 1 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì îò óíêöèè

p = p(z, E):

 R

pdz ∈ ih(2πZ + O(h)), γ  R +   Rγ0 pdz ∈ ih(π + 2πZ + O(h)), γ− +γ0 +γ+ pdz ∈ ih(π + 2πZ + O(h)),

E ∈ (E ⋆ , +∞)

E ∈ η, Re E ∈ (ε, E ⋆ ]

E ∈ η, Re E ∈ (ε, E ⋆ ].

 òàêîì âèäå ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ îáû÷íî íàçûâàþòñÿ óñëîâèÿìè êâàíòîâàíèÿ ÁîðàÇîììåðåëüäà.

[1℄ Åâãðàîâ Ì. À., Ôåäîðþê Ì. Â. Àñèìïòîòèêà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ w′′ −p(z, λ)w = 0 ïðè λ → ∞ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. ÓÌÍ  1966.  21,  1.  350. [2℄ Ñò¼ïèí Ñ. À., Àðæàíîâ À. À. Î ëîêàëèçàöèè ñïåêòðà â îäíîé çàäà÷å ñèíãóëÿðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé. ÓÌÍ  2002.  57,  3.  161162. 21

[3℄ Òóìàíîâ Ñ. Í., Øêàëèêîâ À. À. Î ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè ñïåêòðà ìîäåëüíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ÎððàÇîììåðåëüäà ñ ïðîèëåì Ïóàçåéëÿ. Èçâåñòèÿ ÀÍ, ñåðèÿ Ìàòåìàòèêà  2002.  66,  4.  177204.

ÓÄÊ 519.21

Î ñòîõàñòè÷åñêèõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ñ ðàñøèðåííûì ñèììåòðè÷íûì èíòåãðàëîì

Å. Â. àïå÷êèíà Óèìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àâèàöèîííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò àññìîòðèì äåòåðìèíèðîâàííûé àíàëîã ñòîõàñòè÷åñêîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

η(t) − η(0) = (E)

Z

t

0

a(s, η(s)) ∗ dX(s) +

Z

t

b(s, η(s))ds,

(1)

0

ãäå ïåðâûé èíòåãðàë åñòü ðàñøèðåííûé ñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë ïî

X(s), s ∈ [0, T ], îáëàäàþùåé ëîêàëüíûì âðåα(t, u), t ∈ [0, T ], u ∈ R, íåïðåðûâíûì ïî t ïðè ï.â. u. Ïðè ïðåäñêàçóåìîñòü êîýèöèåíòîâ a è b íå ïðåäïîëàãàåòñÿ.

íåïðåðûâíîé óíêöèè ìåíåì ýòîì

Èçâåñòíî [1, 2℄, ÷òî ðàñøèðåííûé ñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî çàðÿäó (çíàêîïåðåìåííîé ìåðå), à ñ äðóãîé, ïðåäåëîì ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ ïðè îïðåäåëåííîì âèäå àïïðîêñèìàöèè ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé.  ñâîþ î÷åðåäü, ñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë åñòü äåòåðìèíèðîâàííûé àíàëîã ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Ñòðàòîíîâè÷à. àñøèðåííûé ñèììåòðè÷íûé èíòåãðàë âîçíèêàåò â îáîáùåííîé îðìóëå Èòî, ïîýòîìó ðàññìîòðåíèå óðàâíåíèé âèäà (1) ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷åé. åøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èùåòñÿ â âèäå η(s) = ϕ(t, X(t)) ïðè ýòîì Rt óíêöèÿ ϕ(t, X(t)) = 0 g(s, X(s))1(X(s) 6 X(t))ds + η(0) íàõîäèòñÿ èç ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

 ∂   ϕ(s, u) = a(s, ϕ(s, u)), ∂u   1 ∂ ϕ(s, X(s)) = b(s, ϕ(s, X(s))) 2 ∂s

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

22

ϕ(0, X(0)) = η(0).

(2)

Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ìîäèèêàöèè ìåòîäà [2℄, ïðåäëîæåííîãî Ô. Ñ. Íàñûðîâûì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2).

[1℄ Íàñûðîâ Ô. Ñ. Ñèììåòðè÷íûå èíòåãðàëû è èõ ïðèìåíåíèå â èíàíñîâîé ìàòåìàòèêå. Òðóäû ÌÈÀÍ.  2002.  237.  265278. [2℄ Íàñûðîâ Ô. Ñ. Ñèììåòðè÷íûå èíòåãðàëû è ïîòðàåêòîðíûå àíàëîãè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Âåñòíèê Ó ÀÒÓ.  2004.  4,  2.  5566. ÓÄÊ 519.21

Ìîäåëü ñàìîî÷èùåíèÿ ëåãî÷íûõ ñòðóêòóð

Þ. . åðàñüêèíà Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Ââåäåíèå.

 ðàáîòå ñòðîèòñÿ ìîäåëü, èìèòèðóþùàÿ ñòðóêòóðó

è ïðîöåññ ñàìîî÷èùåíèÿ â ëåãî÷íûõ òêàíÿõ æèâûõ îðãàíèçìîâ.  ðåàëüíîé ñèòóàöèè ëåãêèå îáðàçóþò äðåâîâèäíóþ ñòðóêòóðó, â ñåãìåíòàõ áðîíõîâ êîòîðîé èìåþòñÿ âîðñèíêè, èãðàþùèå ðîëü ýñêàëàòîðíîãî ìåõàíèçìà âûâîäà íàêîïèâøåãîñÿ â ëåãêèõ âåùåñòâà âî âíå. Ñåãìåíòû èìåþò ðàçíûå ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè è ðàçíóþ ýåêòèâíîñòü âîðñèíîê. ×åì âûøå îò àëüâåîë, òåì ìîùíåå ìåõàíèçì ïåðåäà÷è âåùåñòâà èçíóòðè âî âíå. Âîçíèêàåò çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ëåãî÷íîãî ìåõàíèçìà ñàìîî÷èùåíèÿ è èçó÷åíèÿ å¼ ñâîéñòâ.  ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ òàêàÿ ìîäåëü è äëÿ íåå ðåøàåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ â ñàìîì ñëîæíîì ñëó÷àå ñêîðîñòè åå î÷èùåíèÿ ïðè ó÷åòå çíà÷åíèé òàêèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, êàê ÷èñëî âîðñèíîê â ñåãìåíòå, èõ ýåêòèâíîñòü, ãëóáèíà äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðû è äð., òî åñòü âû÷èñëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñëîæíîñòíàÿ óíêöèÿ Øåííîíà.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ðåçóëüòàòû.

Ïóñòü

N N

= {1, 2, . . . , n, . . . },

N0

=

. Ïóñòü À = {a1 ,

a2 ,

...,

åòñÿ âåðøèíîé. Ïóñòü Â

⊆

N ∪{0}, N n =

an }.

Ýëåìåíò

ai

{1, 2, . . . , n} ïðè n

ai

i ∈ Nn íàçûâàaj ) èç Â íàçûâàåòñÿ

èç À ïðè

À×À, òîãäà ïàðà (ai ,

ðåáðîì, îðèåíòèðîâàííûì îò

∈

aj , ïðè i, j ∈ Nn . ãðàîì. Åãî âåðøèíàìè ÿâëÿþòñÿ ïàðû èç Â. Ïðî âåðøèíó ai èç (ai , aj ) ê

Ïàðó G = (A, B) íàçûâàåì ýëåìåíòû èç À, à ðåáðàìè 

23

ãîâîðÿò, ÷òî îíà èíöèäåíòíà ýòîìó ðåáðó, à ÷èñëî âñåõ òàêèõ ðåáåð ÿâëÿåòñÿ åå âåòâëåíèåì. Êàæäûé ãðà äîïóñêàåò ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êàæäîé âåðøèíå ai èç À âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâëÿåòñÿ òî÷/ êà ai â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ìíîæåñòâî êîòîðûõ / îáîçíà÷àåì ÷åðåç À . Êàæäîìó ðåáðó (ai , aj ) ñîïîñòàâëÿåòñÿ îðèåíòèðîâàííàÿ äóãà / / îêðóæíîñòè , ïðè ýòîì ðàçíûå äóãè íå ïåðåñåêàþòñÿ, êðîìå, áûòü ìîæåò, òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîé è òîé æå âåðøèíå. Âîç/ íèêàþùàÿ èãóðà G íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé

ãðàà

G.

Èçâåñòíî[1℄, ÷òî òàêàÿ ðåàëèçàöèÿ âñåãäà âîçìîæíà.  íàøèõ ðàññìîòðåíèÿõ ãðà ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàí åãî ãåîìåòðè÷åñêîé ðåàëèçàöèåé. Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñïåöèàëüíûå ãðàû, íàçûâàåìûå

âüÿìè. àññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ D

−1

äåðå-

, êîòîðàÿ ïîëó-

÷àåòñÿ èç äåðåâà D ïóòåì çàìåíû îðèåíòàöèè â D íà ïðîòèâîïîëî−1 æåííóþ, ïîëàãàÿ êîðíåì â D êîðåíü â D. −1 D íàçîâåì I-äåðåâîì.

D

, à êëàññ âñåõ I-äåðåâüåâ Êëàññ âñåõ äåðåâüåâ îáîçíà÷èì ÷åðåç −1 −1 . Âûäåëèì â ïîäêëàññ âñåõ I-äåðåâüåâ, êàæäàÿ òî÷-

 ÷åðåç

D

D

êà â êîòîðûõ èíöèäåíòíà íå áîëåå, ÷åì òðåì ðåáðàì, òî åñòü èìååò âåòâëåíèå íå áîëåå äâóõ. Ýòè I-äåðåâüÿ íàçûâàåì

äèõîòîìè÷åñêèìè.

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå äåðåâüÿ, õîòÿ íàøè óòâåðæäåíèÿ äëÿ íèõ áóäóò ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ ïîäêëàññà I-

N.

äåðåâüåâ ñ çàäàííûì âåòâëåíèåì q, q∈

Ñäåëàåì íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëü-

íî I-äåðåâüåâ.

−1

Ïðèïèøåì êàæäîìó ðåáðó I-äåðåâà D çîâåì

âåñîì ðåáðà.

÷èñëî èç

N , êîòîðîå íà-

Ýòî ïðèïèñûâàíèå ïîä÷èíèì ïðàâèëó: åñëè äâóì

ðåáðàì, âõîäÿùèì â îäíó è òó æå âåðøèíó, ïðèïèñàíû, ñîîòâåòñòâåííî, âåñà a è b, òî èñõîäÿùåìó èç íèõ ðåáðó ïðèïèñûâàåì âåñ

>

a+b .

Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîå ðåáðî ðàçäåëåíî íà n ÷àñòåé,

ãäå n∈N , êîòîðûå íàçûâàåì âîðñèíêàìè, çàíóìåðîâàííûìè ÷èñëàìè i èç N n , âîçðàñòàþùèìè â íàïðàâëåíèè îáðàòíîì îðèåíòàöèè ðåáðà. Âîðñèíêàì ìîãóò ïðèïèñûâàòüñÿ ÷èñëà èç

24

N 0 , íå ïðåâîñõîäÿùèå

âåñà ýòîãî ðåáðà, íàçûâàåìûå

íàãðóçêîé íà âîðñèíêó.

Ïðèïèøåì òàêæå ðåáðó ÷èñëî r èç

N , òàêîå ÷òî r íå ïðåâîñõîäèò

âåñà ðåáðà, è íàçîâåì åãî ìåðîé ïåðåáðîñà. −1 I-äåðåâî D , ó êîòîðîãî êàæäîìó ðåáðó ïðèïèñàíû âåñ b, òàêîé

6 b 6 2 , ( 1 , 2 ) ∈ N , ìåðà ïåðåáðîñà r, òàêàÿ ÷òî k1 6 r 6 k2 , ∈ N, è ÷èñëî âîðñèíîê n, îáîçíà÷èì ÷åðåç D−1 ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n). Ñâÿæåì ñ íèì íåêîòîðûé ïðîöåññ, êîòîðûé íàçîâåì ïðîöåññîì î÷èùåíèÿ. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. ÷òî 1

(k1 , k2 )

−1

Ñ÷èòàåì, ÷òî â D

( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) çàäàíû ðàñïðåäåëåíèÿ çíà-

÷åíèé íàãðóçîê ïî âñåì âîðñèíêàì. Êàæäàÿ âîðñèíêà îñóùåñòâëÿåò ïåðåáðîñ ñâîåé íàãðóçêè íà ñëåäóþùóþ ñ ìåíüøèì íîìåðîì âíóòðè ðåáðà ïî òàêîìó ïðàâèëó: à) åñëè ñëåäóþùàÿ âîðñèíêà èìååò íå íóëåâóþ íàãðóçêó, òî ïåðåáðîñ íå îñóùåñòâëÿåòñÿ; á) åñëè íàãðóçêà âîðñèíêè íå ïðåâîñõîäèò r, è âûïîëíåíî óñëîâèå à), òî ïåðåáðàñûâàåòñÿ íà ñëåäóþùóþ âñÿ íàãðóçêà âîðñèíêè, è ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî åå íàãðóçêà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ; â) åñëè íà âîðñèíêå íàãðóçêà d áîëåå, ÷åì r, òî îíà ïåðåáðàñûâàåò íà ñëåäóþùóþ âîðñèíêó íàãðóçêó, ðàâíóþ r, è îñòàâëÿåò ó ñåáÿ íàãðóçêó d-r; åñëè âîðñèíêà â ðåáðå ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíåé, òî ïåðåáðîñ íàãðóçêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðàâèëàì à), á), â); ã) åñëè ðåáðî îêàí÷èâàåòñÿ êîðíåì, òî ïåðåáðîñ ñ íàèìåíüøåé ïî íîìåðó âîðñèíêè îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñðåäó ïî ïðàâèëàì á) è â), â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñðåäà èãðàåò ðîëü âîðñèíêè íóëåâîé íàãðóçêîé; ä) åñëè ðåáðî çàêàí÷èâàåòñÿ íå êîðíåì, òî åñòü åãî âåðøèíà èíöèäåíòíà ñëåäóþùåìó ðåáðó, òî íàãðóçêà ñ íàèìåíüøåé ïî íîìåðó âîðñèíêè ýòîãî ðåáðà ïåðåäàåòñÿ íàèáîëüøåé ïî íîìåðó âîðñèíêå äðóãîãî ðåáðà ïî ïðàâèëàì à), á), â). Ñ÷èòàåì, ÷òî ïðîöåññ î÷èùåíèÿ ðàçâèâàåòñÿ â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t, ãäå t = 0, 1, 2, . . . . −1  íóëåâîé ìîìåíò I-äåðåâî D ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) èìååò çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå íàãðóçîê ïî åãî âîðñèíêàì. Ê ïåðâîìó ìîìåíòó îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåáðîñ íàãðóçîê ñ âîðñèíêè íà âîðñèíêó âî âñåì I-äåðåâå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè à), á), â), ã), ä). Åñëè çà q òàêòîâ íà âîðñèíêàõ I-äåðåâà âîçíèêëî íîâîå ðàñïðåäåëåíèå íàãðóçîê, è õîòÿ áû îäíà èç íàãðóçîê íå ðàâíà íóëþ, òî ïðîöåññ ïðîäîëæàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè à), á), â), ã), ä).

25

Åñëè â ìîìåíò p âïåðâûå íàãðóçêà âñåõ âîðñèíîê ñòàëà ðàâíîé íóëþ, òî ïðîöåññ îñòàíàâëèâàåòñÿ.

−1

ßñíî, ÷òî çíà÷åíèå p çàâèñèò îò D

( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) è íà÷àëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ íàãðóçîê íà åãî âîðñèíêàõ. Íàøåé ãäàâíîé çàäà÷åé áóäåò âûÿâëåíèå ýòîé çàâèñèìîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåáåð â I-äåðåâå âèäà

(ai1 , ai2 )(ai2 , ai3 ) . . . (aik , aik+1 )(aik+1 , aik+2 ) . . . (ais−1 , ais ) íàçîâåì

öåïüþ

â í¼ì îò

ai1

äî

ais

è áóäåì ñ÷èòàòü s åå äëèíîé. Íàè-

áîëüøóþ äëèíó öåïè â I-äåðåâå íàçûâàåì åãî

ãëóáèíîé. Ïîíÿòèå ãëó-

áèíû ðàñïðîñòðàíèì íà âåðøèíû I-äåðåâà. −1 Ïóñòü ai - íåêîòîðàÿ âåðøèíà â D ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n). îâîðèì, ÷òî îíà èìååò íåêîòîðóþ ãëóáèíó h, åñëè êðàò÷àéøàÿ öåïü îò íåå −1 äî êîðíÿ â D ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) èìååò äëèíó h. Òåì ñàìûì, ãëóáèíà −1 êîðíÿ ðàâíà íóëþ. Åñëè ãëóáèíà D ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) ðàâíà l , òî âñå åãî âåðøèíû ðàññëàèâàþòñÿ íà êëàññû K0 , K1 , ..., Kl , ãäå Kj ñîñòîèò −1 ( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n), êîòîðûå èìåþò ãëóáèíó èç âñåõ òåõ âåðøèí èç D

j.

N

( 1 , 2 ; k1 , k2 ; n) (b,r)ïðàâèëüíûì, åñëè êàæäîìó ðåáðó, èñõîäÿùåìó èç ëþáîé âåðøèíû l−j l−j êëàññà Kj , ïðèïèñàíû âåñ 2 b è ìåðà ïåðåáðîñà 2 r. Òàêèì îáðàçîì, ðåáðàì, èñõîäÿùèì èç âåðøèí êëàññà Kl , áóäóò ïðèïèñàíû âåñ l−1 l−1 b è ìåðà ïåðåáðîñà r, à ðåáðó, âõîäÿùåìó â êîðåíü - 2 b è 2 r, Ïðè çàäàííûõ b è r èç

−1

ñ÷èòàåì D

−1 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêîå I-äåðåâî áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Dl (b, r, n). −1 Îáîçíà÷èì ÷åðåç Dl (b, r, n) êëàññ âñåõ I-äåðåâüåâ Dl (b, r, n),

à ÷åðåç L(Dl (b, r, n))  íàèáîëüøåå èç âðåìåí, çà êîòîðîå çàêàí÷è−1 âàåòñÿ ïðîöåññ î÷èùåíèÿ Dl (b, r, n) ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîì ðàñïðåäåëåíèè íàãðóçîê åãî âîðñèíîê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç L(b, r, n, l) íàèáîëüøåå èç çíà÷åíèé óíêöèè −1 L(Dl (b, r, n)) ïî âñåì Dl (b, r, n) èçDl (b, r, n).Òàêèì îáðàçîì, íàøåé ãëàâíîé çàäà÷åé áóäåò óñòàíîâëåíèå âèäà ýòîé óíêöèè, îáû÷íî íàçûâàåìîé ñëîæíîñòíîé óíêöèåé Øåííîíà. Òåîðåìà.

ñòâî

Åñëè b, r, n, l ∈ N , òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíL(b, r, n, l) =

b r

· (2nl − −1).

Òàêèì îáðàçîì ìû ðåøèëè íàøó îñíîâíóþ çàäà÷ó.

[1℄ ßáëîíñêèé Ñ. Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2002. 26

ÓÄÊ 517.928

Ïðîñòåéøèå óñòîé÷èâûå ðåæèìû â ìîäåëè Ëàíãà  Êîáàÿøè ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì

Ä. Â. ëàçêîâ ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï. . Äåìèäîâà Èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà ñèñòåìû Ëàíãà-Êîáàÿøè ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ïàðàìåòðîâ. Ñòðîèòñÿ è èññëåäóåòñÿ êâàçèíîðìàëüíàÿ îðìà ìîäåëè â ñëó÷àå áëèçêîì ê êðèòè÷åñêîìó.

1. Ââåäåíèå. àññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü äèíàìèêè ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ëàçåðà, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà óðàâíåíèÿõ Ëàíãà-Êîáàÿøè [1℄:

Çäåñü

Z(t)

 dE   = v(1 + iα)EZ + κe−iω0 h E(t − h), dt   dZ = Q − Z − (Z + 1) |E|2 . dt

E(t)



êîìïëåêñíàÿ

ω0



íèå òîêà íàêà÷êè ðàñïàäà;

α

ýëåêòðè÷åñêîãî

ïîëÿ,

−ω0 h  ñèëà è àçà îáðàòíîé îïòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà; Q õàðàêòåðèçóåò ïðåâûøåíàä ïîðîãîâûì; v ñâÿçàí ñ îòíîøåíèåì âðåìåí

 èíâåðñèÿ íîñèòåëåé;

ñâÿçè (ÎÑ),

àìïëèòóäà

(1)

κ>0

è

 êîýèöèåíò óøèðåíèÿ ëèíèè, îòâåòñòâåííûé çà

íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó àìïëèòóäîé è àçîé ïîëÿ;

h



âðåìÿ ïðîõîäà ïî âíåøíåìó ðåçîíàòîðó. Êðîìå òîãî, ïîä÷åðêíåì, ÷òî âàæíûìè ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ ÿâëÿþòñÿ

Q, v, h > 0.

àññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà

2. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.

Q, v

àñèìïòîòè÷åñêè âåëèêè.

Íàéäåì ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (1) êàê ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû

(

(1 + iα)E ∗ Z ∗ + κe−iω0 h E ∗ = 0, Q − Z ∗ − (Z ∗ + 1) |E ∗ |2 = 0.

(2)

Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàññìîòðèì îòäåëüíî.

27

1. Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ E ∗ = 0, Z ∗ = Q. Ýòî áàçîâîå

ðåøåíèå

ñèñòåìû (1). Îíî ïðèñóòñòâóåò ïðè ëþáîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ. Åãî óñòîé÷èâîñòü îïðåäåëÿåòñÿ èç àíàëèçà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

λ − κe−iω0 h e−λh = vQ(1 + iα). Îòìåòèì, ÷òî â "êðèòè÷åñêîì" ñëó÷àå

Q=0

ïðè

ω0 h = πm, m ∈ Z

îíî ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíûì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì Õàò÷èíπ ∗ ∗ ñîíà, ïîýòîìó, åñëè 0 < −κ cos(ω0 h) < 2h , òî E = 0, Z = Q óñòîé÷èâî.  ñèëó íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè λ îò ïàðàìåòðîâ òî æå ìîæíî óòâåðæäàòü è äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ñðàâíèòåëüíî áîëüøèõ

Q

Q, |κ sin(ω0 h)|.

Îäíàêî, ïðè

ýòî ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî âíå

çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé äðóãèõ ïàðàìåòðîâ. ∗ Åñëè E 6= 0, òî, óïðîñòèâ (2), ðàññìîòðèì ñèñòåìó

2.

(

(1 + iα)Z ∗ + κe−iω0 h = 0,

Q − Z ∗ − (Z ∗ + 1) |E ∗ |2 = 0.

åøàÿ åå, ïîëó÷èì áåñêîíå÷íî ìíîãî ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ âèäà ∗ ∗ |E ∗ |2 = Q−Z 1+Z ∗ , Z = −κ cos(ω0 h). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ∗ −iωt óñëîâèé tg(ω0 h) = −α è −1 < Z < Q. Çàìåíà âèäà E(t) = P (t)·e ñâîäèò ýòîò ñëó÷àé ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû (1) â îêðåñò-

íîñòè öèêëà. Òî÷íåå öèêëîâ, ïîñêîëüêó êàæäîìó ωk ñîîòâåòñòâóåò, iδt âîîáùå ãîâîðÿ, ñâîå ðåøåíèå âèäà P (t) = Pk e , Z(t) = Zk . Ýòè ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðåæèìàìè âíåøíåãî ðåçîíàòîðà. Âîïðîñà îá èõ óñòîé÷èâîñòè ïîêà êàñàòüñÿ íå áóäåì.

3. Ïîñòðîåíèå íîðìàëüíîé îðìû è åå ñâîéñòâà.

àññìîòðèì èñõîäíóþ ñèñòåìó Ëàíãà-Êîáàÿøè â ñëó÷àå, êîãäà 1 ïàðàìåòðû Q, v äîñòàòî÷íî âåëèêè (ïîðÿäêà ε , ãäå ε  ìàëûé ïàðàìåòð). Òî÷íåå,

v=

1 , ε

1 Q=q· . ε

(3)

×òîáû èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå óðàâíåíèé (1) â îêðåñòíîñòè öèêëîâ, âûïîëíèì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ:

t = εs,

1 E = √ · e−iωs E1 . ε

Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ñèñòåìå

28

 dE1   = (1 + iα)E1 Z + iωE1 − εκeδ(ε) E1 (s − h0 ), ds   dZ = q − (Z + 1) |E |2 − εZ, 1 ds

(4)

ãäå

h

ñâÿçàíî ñ

h0

ðàâåíñòâîì

h = εh0 ,

ñèñòåìó ìû è áóäåì èññëåäîâàòü.

à

δ(ε) = −ω0 h + ωhε−1 .

Ýòó

àññìîòðèì íàðÿäó ñ ñèñòåìîé óðàâíåíèé (4) îáîáùàþùåå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà

  h x′ = F (x) + ε · Φ x, x(t − ) . ε

(5)

Îáùàÿ ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ åãî äèíàìèêè â ìàëîé îêðåñòíî′

ñòè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû "íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ"

F (x) áûëà ðàçðàáîòàíà â [3℄. Åþ ìû

x =

è âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåíèòåëüíî

ê óðàâíåíèþ Ëàíãà-Êîáàÿøè.  äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìà ÎÄÓ

x′ = F (x)

èìååò ïåðèîäè÷åñêîå

ðåøåíèå, êîòîðîå â îðìå âåêòîðà ñ âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè èìååò âèä:



 cos(ωs) √ V0 (s) = q ·  sin(ωs)  . 0

Ïîñòàâèì çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4) â ìàëîé "îêðåñòíîñòè" íàéäåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû "íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ" ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà

ε.

Âàæíóþ

ðîëü èãðàåò ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ ëèíåàðèçîâàííîé â îêðåñòíîñòè

V0

ñèñòåìû "íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ". Ñòàíäàðòíàÿ ëèíåàðèçàöèÿ ïðèâîäèò ê ñèñòåìå

u′ = A(s)u,

(6)

ïåðèîäè÷åñêàÿ ìàòðèöà êîòîðîé èìååò âèä:



0 ω A(s) =  √ −2 q · cos(ωs)

 √ −ω q · [cos(ωs) − α sin(ωs)] √ 0 q · [sin(ωs) + α cos(ωs)]  . √ −2 q · sin(ωs) −q

Çàìåòèì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ýòà ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå

  − sin(ωs) √  cos(ωs)  , K0 (s) = q · 0

à, âî-âòîðûõ, äâà ìóëüòèïëèêàòîðà ìàòðèöû ìîíîäðîìèè ïî ìîäóëþ ìåíüøå åäèíèöû. Îòìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííàÿ ê (6) ñèñòåìà èìååò

29

ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå

  sin(ωs) + α cos(ωs) 1  − cos(ωs) + α sin(ωs)  . H0 (s) = − √ · q 0

àññìîòðèì îðìàëüíûå ðÿäû

V (s, ε) = V0 (τ ) + εV1 (τ, t) + . . . , dτ = 1 + εϕ(t) + . . . . ds Çäåñü Vj (τ, t) ÿâëÿþòñÿ T -ïåðèîäè÷íûìè (T = ñêàëÿðíàÿ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ, t = εs.

(7)

(8)

2π ω ) ïî τ , ϕ(t)  Ïîäñòàâèì (7), (8)

â (4) è áóäåì ïðèðàâíèâàòü êîýèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ

ε.

Òîãäà, ñîáèðàÿ êîýèöèåíòû ïðè ïåðâîé ñòåïåíè

ε,

ïðèõîäèì ê

ñèñòåìå



 dV1 = A(τ )V1 + Φ V0 τ (s) , V0 τ (s − h0 ) . dτ

ϕ(t)V0′ (τ ) +

(9)

θ = θ(ε) [0, T ), äëÿ êîòîðîãî h0 − θ ÿâëÿåòñÿ

Ñëåäóÿ [3℄, ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì òàêîå çíà÷åíèå èç ïîëóèíòåðâàëà öåëûì êðàòíûì

T: θ = {h0 }

Òåì ñàìûì ïðè äî

T . Òàêæå

mod T

ε → 0 çíà÷åíèå θ

h ={ } ε

y,

2π ω

.

0 T -ïåðèîäè÷åñêóþ óíêöèþ g(y)

áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç ìåíÿåòñÿ îò

ââåäåì â ðàññìîòðåíèå

÷èñëîâîãî ïàðàìåòðà

mod

îïðåäåëÿåìóþ îðìóëîé

1 g(y) = hΦ, H0 i = T

ZT  0


Φ V0 (τ ), V0 (τ − y) , H0 (τ ) dτ.

Êðîìå òîãî, èç (8) èìååì

τ (s) = s − s0 + ε

Zs

s0

  ϕ(εr) + . . . dr,

ïîýòîìó

τ (s − h0 ) = τ (s) − h0 −

Zt

t−h

30

  ϕ(r) + . . . dr,

è, çàìåíÿÿ

h0

íà

θ

â ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè

V0 ,

ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàå-

ìûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïîëó÷àåì, ÷òî

y=θ+

Zt

ϕ(r)dr.

t−h Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî (ïî

τ)

ðåøåíèÿ óðàâíå-

V1 , ϕ(t)

íèÿ (9) ñîñòîèò â îðòîãîíàëüíîñòè ñëàãàåìûõ, íå ñîäåðæàùèõ óíêöèè

H0 (s).

Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî

Z0   ϕ(t) = g(y) = g θ + ϕ(t + r)dr ,

(10)

−h

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (10) èãðàåò ðîëü íîðìàëüíîé îðìû â çàäà÷å î ëîêàëüíîé äèíàìèêå óðàâíåíèÿ (4) â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ

V0 (s)

ñèñòåìû

"íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ". Îòûñêàâ åãî ðåøåíèå â óêàçàííîì êëàññå óíêöèé, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî íàéòè ëþáîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ðÿäîâ (7), (8). Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (10) îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ

ϕ = g(θ + hϕ). Ïóñòü

θ0

ϕ0

(11)

åñòü ðåøåíèå (11), ñîîòâåòñòâóþùåå íåêîòîðîìó çíà÷åíèþ

ïàðàìåòðà

θ.

Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè

ϕ0

ðàçðåøàåòñÿ â [3℄ ñëåäóh · |g ′ (θ0 + hϕ0 )| < 1,

þùèì îáðàçîì. Åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî òî ðåøåíèå

ϕ0

óðàâíåíèÿ (11) óñòîé÷èâî. (À âìåñòå ñ íèì è ðåøå-

íèå óðàâíåíèÿ (4), çàäàâàåìîå ðÿäîì (7)). Êîãäà âåðíî ñîîòíîøåíèå h · |g ′ (θ0 + hϕ0 )| > 1, ϕ0 íåóñòîé÷èâî. Îáîçíà÷àÿ

ωϕ

âíîâü

ϕ

è ïîëàãàÿ

θ1 = {ωθ − δ(ε) + arctg(α)}mod 2π , ìû ïîëó÷èì, ÷òî â ñëó÷àå ñèñòåìû Ëàíãà-Êîáàÿøè óðàâíåíèå (10) èìååò âèä:

p
ϕ(t) = −κ 1 + α2 sin θ1 + y .

(12)

Îòâëå÷åìñÿ îò èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1), è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (10), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êâàçèíîðìàëüíîé îðìîé äëÿ (5). Èìåííî, äîêàæåì, ñëåäóþùåå ïîëåçíîå óòâåðæäåíèå.

31

Ëåììà 1. Åñëè äëÿ ëþáîãî y âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |h · gy′ (y)| 6

ρ < 1, òî ïðè ëþáîé íà÷àëüíîé óíêöèè ϕh èç C 1 [−h, 0] ϕ′ (t) → 0 ýêñïîíåíöèàëüíî ïðè t → ∞.

Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà.

Äèåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (10) è èñïîëüçóÿ èçâåñòíóþ òåîðåìó Ëàãðàíæà, ïðèäåì ê ñîîòíîøåíèþ

ϕ′ (t) = gy′ (y(t)) · h · ϕ′ (t − ph) Îáîçíà÷èì çàòü, ÷òî

L = sup

t∈[tn ,∞)

sup |ϕ′ (t)|.

t∈[t0 ,∞) ′

|ϕ (t)| 6 ρn L,

äëÿ íåêîòîðîãî

p ∈ (0, 1).

 ñèëó óñëîâèé ëåììû ìîæíî ïîêàãäå

tn 6 t0 + nh.

Çàìå÷àíèå. Ìíîæåñòâî íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕh èç óñëîâèÿ ëåììû ìîæåò áûòü ðàñøèðåíî âïëîòü äî êëàññà L[−h, 0].

Ñëåäñòâèå. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû, òî ðåøåíèå ϕ(t) óðàâíåíèÿ (10) ýêñïîíåíöèàëüíî ñòðåìèòñÿ ê êîíñòàíòå ïðè t → ∞.

Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ Ëàíãà-Êîáàÿøè. Îòìåòèì ñâÿçü ìåæäó äèíàìèêîé èñõîäíîé ñèñòåìû â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ è äèíàìèêîé åå êâàçèíîðìàëüíîé îðìû (12). Èìåííî, óñòîé÷èâîìó ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ (12) ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâûé öèêë â (1). Ñîãëàñíî ëåììå 1 ýòà ñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ â
√1 ñëó÷àå, êîãäà cos θ1 + y < . Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòκh 1+α2 ñÿ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ êàê óðàâíåíèÿ (12), òàê

è èñõîäíîé ñèñòåìû (1). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ÷èñëåííî ðåøåíèå (12)

âñåãäà àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîé êîíñòàíòå

Ck

(âîîáùå

ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííîé), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |Ck | < √ κ 1 + α2 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé (3), â èñõîäíîé ñèñòåìå (1) óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðîñòîé ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì iδt , Z = Zk . âèäà E = Ek e Àâòîð áëàãîäàðèò Ñ. À. Êàùåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è.

[1℄ Lang R.,Kobayashi K. External opti al feedba k ee ts on semi ondu tor inje tion laser properties. IEEE J. Quantum Ele tron.  1980.  16 (1).  347355. [2℄ Ýëüñãîëüö Ë. Ý., Íîðêèí Ñ. Á. Ââåäåíèå â òåîðèþ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþùèìñÿ àðãóìåíòîì.  Ì.: Íàóêà, 1971. [3℄ Êàùåíêî Ñ. À. Áèóðêàöèè öèêëà â ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ íåëèíåéíûõ àâòîíîìíûõ ñèñòåìàõ. Èçâåñòèÿ ÀÅÍ, ñåðèÿ ÌÌÌÈÓ.  1998.  2,  4.  553. 32

ÓÄÊ 517.518.86

Íåðàâåíñòâî áðàòüåâ Ìàðêîâûõ äëÿ ðàçíûõ ìåòðèê

Ï. Þ. ëàçûðèíà Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Pn

 ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n.  R 1/q 1 1 q Äëÿ P ∈ Pn ïîëîæèì kP kq = , 0 < q < ∞; 2 −1 |P (t)| dt   R 1 1 kP k∞ = maxt∈[−1,1] |P (t)|; kP k0 = exp 2 −1 ln |P (t)| dt .  äîêëàäå Ïóñòü

áóäåò îáñóæäàòüñÿ íåðàâåíñòâî

kP (k) kq 6 Mq,p (n, k)kP kp ,

P ∈ Pn , 1 6 k 6 n,

(1)

q, p > 0. Òàê, q = p = ∞, . Ëàáåëk = 1, q > 1, p = ∞. Äëÿ k = n (1)

Íåðàâåíñòâî (1) èçó÷àëîñü ìíîãèìè ìàòåìàòèêàìè äëÿ áðàòüÿ Ìàðêîâû íàøëè òî÷íóþ êîíñòàíòó ïðè ëå 

q = ∞, p = 2,

Á. Áîÿíîâ 

ýêâèâàëåíòíî çàäà÷å î ìíîãî÷ëåíå íàèìåíåå óêëîíÿþùåìñÿ îò íóëÿ â

Lp ,

ðåøåííóþ ïðè

p = ∞

p = 1 À. Í. Êîðêèp = 2. Ñ. Â. Êîíÿãèí ïîëó÷èë

Ï. Ë. ×åáûøåâûì,

íûì è E. È. Çîëîòàðåâûì, à òàêæå ïðè

n è k îöåíêè ðîñòà íàèëó÷øåé êîíñòàíòû â âåñîâîì p > 1. Èç åãî ðåçóëüòàòà, à òàêæå îäíîãî èç ðåçóëüòàòîâ Â. È. Èâàíîâà ñëåäóåò, ÷òî ïðè èêñèðîâàííûõ k , 0 < p 6 q 6 ∞

ðàâíîìåðíûå ïî àíàëîãå (1) äëÿ

Mq,p (n, k) ≍ n2k+2/p−2/q ,

n → ∞.

Íàñ èíòåðåñóåò ïðåäåëüíûé ñëó÷àé íåðàâåíñòâà (1) ïðè

p = 0.

Àâòî-

ðîì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà.

Ïóñòü n > 1, 1 6 k 6 n, 1 6 q 6 ∞. Tîãäà n−k

k · −zk(n−k)q n! . z∈[0,1) (n − k)! k · −zkn0

Mq,0 (n, k) = max

Ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå z ∗ ; ýêñòðåìàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû c(t ± z ∗ )n è òîëüêî îíè.  ÷àñòíîñòè, åñëè (n − k)2 q 6 k , òî z ∗ = 0 è Mq,0 (n, k) =

n! en . (n − k)! ((n − k)q + 1)1/q 33

àáîòà âûïîëíåíà ïðè èíàíñîâîé ïîääåðæêå ÔÔÈ (ïðîåêò 0501-00233) è Ïðîãðàììû îñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë Ô (ïðîåêò ÍØ-1347.2003.1). ÓÄÊ 517.926

Ïðîñòðàíñòâåííî-íåîäíîðîäíûå öèêëû îäíîé êðàåâîé çàäà÷è â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå

Ä. Ñ. ëûçèí ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï. . Äåìèäîâà  äîêëàäå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à:

utt + u = a2 uxx + (µu − u2 )ut u|x=0 = u|x=π = 0,

(1)

îòûñêàíèå àñèìïòîòèêè öèêëîâ êîòîðîé ïðè íàëè÷èè ðåçîíàíñà ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ðàáîòû. Çäåñü

1:2

0 < µ n èìååò ìåñòî ðåçîíàíñ

2ωn = ω2k+1 , òî åñòü

a = ank =

p 3/((2k + 1)2 − 4n2 ).

Ïóñòü òàêæå äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ

n, r

(2)

âûïîëíÿåòñÿ

4ωn 6= ωr .

(3)

Äëÿ çàäà÷è (1), îáëàäàþùåé ðåçîíàíñîì (2), ïðè óñëîâèè (3) ïîëó÷åíî ïðèáëèæåíèå öèêëà ñëåäóþùåãî âèäà:

u(t, x) = µρ1 (ei(ωn t+ϕ0 ) + e−i(ωn t+ϕ0 ) ) sin nx− − µρ2 (e2i(ωn t+ϕ0 ) + e−2i(ωn t+ϕ0 ) ) sin(2k + 1)x + o(µ2 ), ãäå

34

ϕ0 ∈ [0, 2π],

à

ρ 1 , ρ2

ÿâíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç

n, k .

ÓÄÊ 539.3

Çàäà÷à î êðóãîâîì ñäâèãå íåñæèìàåìîãî ïîëîãî öèëèíäðà

Ä. Ë. óñåâ Òóëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î êðóãîâîì ñäâèãå ïîëîãî öèëèíäðà ïðè óñëîâèè íåñæèìàåìîñòè ìàòåðèàëà. Ââîäèòñÿ óíêöèÿ êðóãîâîé äåîðìàöèè, îïðåäåëÿþùàÿ íàïðÿæåííî-äåîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå öèëèíäðà. Ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè âðàùàþùåãî ìîìåíòà îò óãëà ïîâîðîòà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà. Ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ìîäóëÿ ñäâèãà ñ èñïîëüçîâàíèåì äàííîé çàâèñèìîñòè.

1. Ââåäåíèå. Êðóãîâîé ñäâèã ïîëîãî öèëèíäðà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ

ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ðàçëè÷íûõ íåëèíåéíûõ ñðåäàõ, â ÷àñòíîñòè â ýëàñòîìåðàõ [1℄. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ íà îñíîâå ìîäåëè êðóãîâîãî ñäâèãà ïîçâîëÿò îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ìàòåðèàëüíûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêæå, â ðåçóëüòàòå òàêèõ èññëåäîâàíèé ìîæíî áóäåò äåëàòü âûâîäû îá àäåêâàòíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòåðèàëà ðàçëè÷íûìè óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿ.  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîðîäíûé, èçîòðîïíûé, íåëèíåéíî-óïðóãèé, íåñæèìàåìûé ìàòåðèàë, óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ â [2℄.

2. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êðóãîâîãî ñäâèãà.

àññìîòðèì

äîñòàòî÷íî äëèííûé ïîëûé öèëèíäð èç îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà. Âíóòðåííÿÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü æåñòêî çàêðåïëåíà. Âíåøíÿÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ íà íåêîòîðûé óãîë ïîä âîçäåéñòâèåì âðàùàþùåãî ìîìåíòà. àññìàòðèâàåìûé ìàòåðèàë ïîëàãàåì íåñæèìàåìûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, îñåâûå è ðàäèàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé îòñóòñòâóþò. Òîëùèíà öèëèíäðà íå ìåíÿåòñÿ. Ñäâèãîâûå äåîðìàöèè âîçíèêàþò â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âíóòðåííèõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé âîêðóã îñè öèëèíäðà. àññìîòðèì ïëîñêóþ äåîðìàöèþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ öèëèí-

R1 , âíåøíèé  R2 . Ïîä äåéñòâèåì âðàùàþùåãî ìîìåíòà M âíåøíÿÿ îáîëî÷êà ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë γ òàê, ÷òî òî÷êà B ïåðåìåùàåòñÿ â òî÷êó C . Òàê

äðà (ðèñ. 1). Âíóòðåííèé ðàäèóñ öèëèíäðà îáîçíà÷èì

êàê âíóòðåííÿÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü æåñòêî çàêðåïëåíà, òî òî÷êà

A îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé. Âíóòðåííèå öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõ35

R2

C

R1

M

g B

A èñ. 1.

Ñõåìà êðóãîâîãî ñäâèãà.

íîñòè áóäóò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã îñè öèëèíäðà íà íåêîòîðûå óãëû, ìåíüøèå

γ,

íî áóäóò îñòàâàòüñÿ íà ñâîèõ ðàäèóñàõ. àäèàëüíîå

ðàñïðåäåëåíèå ýòèõ óãëîâ íàçîâåì óíêöèåé êðóãîâîãî ïåðåìåùåíèÿ èëè óíêöèåé ïîâîðîòà. Ïóñòü

R , Φ, Z

 öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷åê öèëèíäðà â

íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè,

r, ϕ, z

 öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷åê

öèëèíäðà â äåîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè. Ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèé, ïîëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó óêàçàííûìè êîîðäèíàòàìè â âèäå:

r = R, ϕ = Φ + f (R) ,

(1)

z = Z, ãäå

f (R)  íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ êðóãîâîãî ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëü-

íûõ òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (ðèñ. 1):

f (R1 ) = 0,

f (R2 ) = γ.

Ââåäåì áåçðàçìåðíóþ ïåðåìåííóþ ñÿ â ïðåäåëàõ îò

36

1 äî d = R2 /R1

(2)

ρ = r/R1 = R/R1 , ìåíÿþùóþ-

 îòíîñèòåëüíàÿ òîëùèíà öèëèíäðà.

Âåëè÷èíó

k (ρ) =

ρ df (ρ) 2 dρ

(3)

íàçîâåì áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì ñäâèãà èëè ñäâèãîâîé äåîðìàöèåé. Çàïèøåì äèàäíîå ïðåäñòàâëåíèå àèíîðà äåîðìàöèè â îðòîíîðìèðîâàííîì îòñ÷åòíîì áàçèñå öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:

F = ~er~er + 2k~er~eϕ + ~eϕ~eϕ + ~ez~ez .

(4)

Ìåðà äåîðìàöèè Êîøè- ðèíà [2℄ ñ ó÷åòîì (4) ïðèìåò âèä:


G = F · FT = 4k 2 + 1 ~er~er + 2k (~er~eϕ + ~eϕ~er ) + ~eϕ~eϕ + ~ez~ez .

(5)

Èçâåñòíî [2℄, ÷òî äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà ýíåðãåòè÷åñêè ñî-

ïðÿæåííóþ ïàðó îáðàçóþò òåíçîð åíêè ùåííûé òåíçîð Êîøè

σR .

Γ

è ¾ïîâåðíóòûé¿ îáîá-

Îäíàêî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîãî

ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèàëà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñèììåòðè÷íûé òåíçîð èñòèííûõ íàïðÿæåíèé Êîøè

S.

Äëÿ íåñæèìàåìîãî ìàòåðèàëà

ñâÿçü ìåæäó óêàçàííûìè òåíçîðàìè íàïðÿæåíèé èìååò âèä:

S = RT · σR · R, ãäå

(6)

R  îðòîãîíàëüíûé òåíçîð ïîâîðîòà â ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè àF = U · R, èìåþùèé ñëåäóþùåå äèàäíîå ðàç-

èíîðà äåîðìàöèè ëîæåíèå:

R= √

1 [(~er~er + ~eϕ~eϕ ) + k (~er~eϕ − ~eϕ~er )] + ~ez~ez . k2 + 1

(7)

Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íåñæèìàåìîãî ìàòåðèàëà â âèäå [2℄:

ãäå

σ eR

e σ eR = 2GΓ,

(8)

 äåâèàòîð ¾ïîâåðíóòîãî¿ îáîáùåííîãî òåíçîðà Êîøè,

äåâèàòîð òåíçîðà äåîðìàöèè åíêè,

G

e Γ



 ìîäóëü ñäâèãà. Òåíçîð äå-

îðìàöèè åíêè [2℄ äëÿ íåñæèìàåìîãî ìàòåðèàëà ñîâïàäàåò ñî ñâîèì äåâèàòîðîì:

e = ln Γ=Γ

√
k2 + 1 + k √ [k (~er~er − ~eϕ~eϕ ) + (~er~eϕ + ~eϕ~er )] . k2 + 1

Ïðåäñòàâèì òåíçîðû ñîñòàâëÿþùèõ

(9)

S è σR â âèäå ñóììû øàðîâîé è äåâèàòîðíîé

e + pE, S=S

σR = σ eR + σ0 E,

(10)

37

ãäå

e S

p  ãèäðîñòàòè÷åñêîå σ0  ïåðâûé èíâàðèàíò ¾ïîâåðíóòîãî¿ îáîáùåííîãî òåíE  òåíçîðíàÿ åäèíèöà. Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèÿ (10) â

 äåâèàòîð òåíçîðà íàïðÿæåíèé Êîøè,

íàïðÿæåíèå, çîðà Êîøè,

âûðàæåíèå (6) è ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ (8), ïîëó÷èì:

e = RT · σ e · R. S eR · R = 2G · RT · Γ

p = σ0 ,

Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå

b e = S/ e (2G) S

è

(11)

pˆ = p/ (2G).

Èç

âûðàæåíèÿ (11) ñ ó÷åòîì (7) è (9) ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì áåçðàçìåðíûå êîìïîíåíòû äåâèàòîðà òåíçîðà èñòèííûõ íàïðÿæåíèé Êîøè:

√
k ln k 2 + 1 + k b b √ σ err = −σ eϕϕ = − , k2 + 1 √
ln k 2 + 1 + k √ τb erϕ = τbrϕ = . k2 + 1

(12)

(13)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìè òîëüêî ðàäèàëüíîé ïåðåìåííîé

ρ, çàïèøåì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â öèëèíäðè÷å-

ñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ:

b brr − σ b dˆ p dσ e rr σ e eϕϕ + + = 0, dρ dρ ρ 2b τrϕ db τrϕ + = 0. dρ ρ

3. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.

µ

(15)

åøåíèåì óðàâíåíèÿ (15) ÿâëÿåòñÿ

óíêöèÿ:

ãäå

(14)

τbrϕ =

µ , ρ2

(16)

 áåçðàçìåðíûé âðàùàþùèé ìîìåíò íà åäèíèöó äëèíû öèëèí-

äðà, ïðèëîæåííûé ê åãî âíåøíåé ïîâåðõíîñòè, èìåþùèé âèä:

µ= ãäå

M

M , 4πGR12

(17)

 ðàçìåðíûé âðàùàþùèé ìîìåíò íà åäèíèöó äëèíû öèëèíäðà,

ïðèëîæåííûé ê åãî âíåøíåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 1). Ïîäñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ (12) â (14) è ïåðåõîäÿ ê äèåðåíöèðîâàíèþ ïî ïåðåìåííîé

k,

ïðè óñëîâèè

íîå ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå:

pˆ = 38

pˆ (k) |k=0 = 0,

 1 2 p 2 ln k +1+k . 2

íàéäåì áåçðàçìåð-

(18)

Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíûõ êîìïîíåíò äåâèàòîðà íàïðÿæåíèé è ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ îò ñäâèãîâîé äåîðìàöèè

k

ïðåäñòàâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè (12)  (13)

è (18). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè k = kmax ≈ 1,509 êàñàòåëüíîå max íàïðÿæåíèå èìååò ìàêñèìóì τ brϕ = τbrϕ (kmax ) ≈ 0,663. Èç óðàâíåíèÿ (16) ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óíêöèè

τbrϕ (ρ)

äîñòèãàåòñÿ íà âíóòðåííåì ðàäèóñå, ò. å. ïðè

ρ = 1.

Òà-

êèì îáðàçîì, ïðåäåëüíûé áåçðàçìåðíûé âðàùàþùèé ìîìåíò ìîæíî max îïðåäåëèòü êàê µmax = τ brϕ ≈ 0,663. Ñðàâíèâàÿ (13) è (16), ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå

ln µ = ρ2

√
k2 + 1 + k √ , k2 + 1

(19)

èç êîòîðîãî ÷èñëåííî íàõîäèì ïàðàìåòð ñäâèãà çíà÷åíèè áåçðàçìåðíîãî âðàùàþùåãî ìîìåíòà

µ.

k (ρ)

ïðè çàäàííîì

×èñëåííî èíòåãðè-

ðóÿ óðàâíåíèå (3) ïðè áåçðàçìåðíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, ñëåäóþùèõ èç óñëîâèé (2), íàõîäèì çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî âðàùàþùåãî ìîìåíòà îò óãëà ïîâîðîòà âíåøíåé îáîëî÷êè öèëèíäðà

µ = µ (γ).

Ëèíåàðèçóÿ óðàâíåíèå (19) è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (3), ïîëó÷èì ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó âðàùàþùèì ìîìåíòîì è óãëîì ïîâîðîòà âíåøíåé îáîëî÷êè öèëèíäðà:

µ=γ

d2 . −1

(20)

d2

Àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü âðàùàþùåãî ìîìåíòà îò óãëà ïîâîðîòà, íàéäåííàÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ Òðåëîàðà è Ìóíèèâëèíà, ïðèâîäèòñÿ Ëàâåíäåëîì [1℄.

µ = µ (γ) è åå ëèíåéíîé àñèìïòîòèêè äëÿ d = 2 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, óíêöèÿ µ = µ (γ) àñèìïòîòè÷åñêè ëèíåéíà ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ ïîâîðîòà âíåøíåé îáîëî÷êè γ < 0,2. Ïðè áîëüøèõ óãëàõ ðàèêè çàâèñèìîñòè

îòíîñèòåëüíîãî ðàäèóñà

ïîâîðîòà âðàùàþùèé ìîìåíò íåëèíåéíî ñòðåìèòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ

µmax ≈ 0,663.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîäóëÿ ñäâèãà óãîë ïîâîðîòà âíåøíåé îáîëî÷êè

γ

G

ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðÿåòñÿ

è ïî ãðàèêó

µ = µ (γ)

îïðåäå-

ëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó óãëó áåçðàçìåðíûé âðàùàþùèé ìîìåíò

µ.

ìîìåíò

Èçìåðÿåìûé â õîäå ýêñïåðèìåíòà ðàçìåðíûé âðàùàþùèé

M

è äðóãèå èçâåñòíûå âåëè÷èíû ïîäñòàâëÿþòñÿ â îðìó-

ëó (17), è òåì ñàìûì îïðåäåëÿåòñÿ íåèçâåñòíûé ìîäóëü ñäâèãà. Ïðîâåðêó äîñòîâåðíîñòè îïèñàíèÿ ìàòåðèàëà óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ (8),

39

0.6

0.5

0.4 m 0.3

0.2

0.1

0

0.1

èñ. 2.

0.2

Ôóíêöèÿ

0.3

µ = µ (γ)

0.4

0.5

0.6

è åå ëèíåéíàÿ àñèìïòîòèêà.

òàêæå ìîæíî ïðîâåñòè ñ ïîìîùüþ ãðàèêà

µ = µ (γ)

è îðìó-

ëû (17).  äàííîì ñëó÷àå ìîäóëü ñäâèãà áóäåò èçâåñòíîé âåëè÷èíîé, à îïðåäåëÿòüñÿ áóäåò âåëè÷èíà áåçðàçìåðíîãî âðàùàþùåãî ìîìåíòà

µ,

êîòîðàÿ íàíîñèòñÿ íà ãðàèê è ñðàâíèâàåòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêîé

âåëè÷èíîé äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óãëà ïîâîðîòà. Åñëè ðàñõîæäåíèÿ â èíòåðâàëå äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè, òî èññëåäóåìûé ìàòåðèàë îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ (8).

4. Çàêëþ÷åíèå.

 äàííîé ðàáîòå ñ ïîìîùüþ çàäà÷è î êðóãî-

âîì ñäâèãå ïîëîãî öèëèíäðà áûëî ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ðåàêöèè íåëèíåéíî-óïðóãîãî íåñæèìàåìîãî ìàòåðèàëà,

óäîâëåòâîðÿþùåãî

óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ, ïðåäñòàâëåííîìó â [2℄. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïîçâîëÿåò îïèñàòü íåëèíåéíûå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà, ïðîÿâëÿþùèåñÿ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ íàãðóçêàõ. Ïðè ìàëûõ íàãðóçêàõ äàííîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò àñèìïòîòè÷åñêè ëèíåéíóþ ðåàêöèþ ìàòåðèàëà, àíàëîãè÷íóþ ïîòåíöèàëàì Òðåëîàðà è Ìóíèèâëèíà.

[1℄ Ëàâåíäåë Ý. Ý. àñ÷åò ðåçèíîòåõíè÷åñêèõ èçäåëèé.  Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1976. [2℄ Ìàðêèí À. À. Íåëèíåéíàÿ òåîðèÿ óïðóãîñòè.  Òóëà: Òóë Ó, 2000. 40

ÓÄÊ 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2

Ïðèìåíåíèå êàíîíè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êóñî÷íî àèííûõ îòîáðàæåíèé ê îáúåìó èõ ïðè äåîðìàöèÿõ ñ èçìåíåíèåì ãåîìåòðèè

Í. Ñ. óñåâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. Í. Ý. Áàóìàíà  òåîðèè òîïîëîãè÷åñêèõ âàðèàöèîííûõ çàäà÷, òàêèõ êàê ïðîáëåìà Ïëàòî è åå îäíîìåðíûé àíàëîã  ïðîáëåìà Øòåéíåðà, âàæíóþ ðîëü èãðàþò íåïðåðûâíûå äåîðìàöèè ìèíèìèçèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé, èçìåíÿþùèå èõ òîïîëîãèþ. Íåîáõîäèìîñòü ïîäîáíûõ äåîðìàöèé äàâíî è øèðîêî èçâåñòíà, ñì. [2℄,[3℄.  äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü òàêèõ äåîðìàöèé â êëàññå òàê íàçûâàåìûõ ìíîãîãðàííèêîâ-ñëåäîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñïåöèàëüíûå êëàññû êóñî÷íî àèííûõ îòîáðàæåíèé, ââåäåíî ïîíÿòèå îáúåìà ìíîãîãðàííèêàñëåäà è êàê ïðèëîæåíèå ïîêàçàíà ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ-ñëåäîâ, ñâîäÿùàÿñÿ ê èçâåñòíûì ïðèíöèïàì Ïëàòî. Ýòà òåõíèêà òàêæå ïîçâîëèëà ïîëó÷èòü ïðîäâèæåíèå â ðåøåíèè çàäà÷è î ñâÿçè ïîãðóæåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà è åãî ãðàíèöû, ñì. [1℄. Ïóñòü

K

 êîíå÷íûé ïîëíûé ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ (âñå

ñèìïëåêñû êîìïëåêñà

K

ñ÷èòàþòñÿ îòêðûòûìè). Îáúåäèíåíèå âñåõ

ñèìïëåêñîâ èç K íàçûâàåòñÿ òåëîì êîìïëåêñà K è îáîçíà÷àåòñÿ ÷å∪ ðåç K. Ìíîãîãðàííèêîì èëè ïîëèýäðîì íàçûâàåòñÿ òåëî íåêîòîðîãî ñâÿçíîãî ñèìïëèöèàëüíîãî êîìïëåêñà. Íèæå âñå ìíîãîãðàííèêè ν ñ÷èòàþòñÿ âëîæåííûìè â ïðîñòðàíñòâî R äîñòàòî÷íî áîëüøîé ðàç-

ν , â êîòîðîì èêñèðîâàíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïîðîæmes0 , . . . , mesν . Êàæäîå íåïðåðûâíîå êóñî÷íî àèííîå ( PA-) îòîáðàæåíèå

ìåðíîñòè

äàþùåå îáúåìû

f

ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííûì íà ñâÿçíîì êîìïàêòíîì ìíîãîãðàííîì

ìíîæåñòâå

dom f .

Êóñî÷íàÿ àèííîñòü

åò òàêîé ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ

dom f ,

÷òî îãðàíè÷åíèå

f

K,

f

îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâó-

òåëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ

íà êàæäûé ñèìïëåêñ èç

K

 àèííîå

îòîáðàæåíèå.

PA-îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ êîíòðàêöèåé, åñëè ïðîîáðàç êàæim f ñâÿçåí. PA-îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ ñìÿòèåì, åñëè f -îáðàç âñÿêîãî íåïóñòîãî èíòåðâàëà, ëåæàùåãî â dom f , äîé òî÷êè åãî îáðàçà

òàêæå ñîäåðæèò íåïóñòîé èíòåðâàë.

41

PA-îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûì îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñà K, åñëè ∪ K = dom f , îòîáðàæåíèå f àèííî íà êàæäîì ñèìïëåêñå êîìïëåêñà K, è ñîâîêóïíîñòü îáðàçîâ âñåõ ñèìïëåêñîâ êîìïëåêñà K ÿâëÿåòñÿ (ñâÿçíûì ïîëíûì) ñèìïëèöèàëüíûì êîìïëåêñîì, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç f (K). Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ f ◦ g íåêîòîðûõ îòîáðàæåíèé f è g , òî âñåãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèÿ f è g ñîãëàñîâàíû â ñëåäóþùåì ñìûñëå: im g = dom f . Òåîðåìà 1. Ïóñòü g0 è g1  PA-êîíòðàêöèè ñ îáùåé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, à fι  PA-ñìÿòèÿ, çàäàííûå íà im gι (ι = 0, 1), ïðè÷åì f0 ◦ g0 = f1 ◦ g1 . Òîãäà íàéäåòñÿ èíúåêòèâíîå PA-îòîáðàæåíèå h : im g1 → im g0 òàêîå, ÷òî f0 ◦ h = f1 . åäóêòîì êóñî÷íî àèííîãî îòîáðàæåíèÿ f íàçîâåì òàêîå êóñî÷íî àèííîå ñìÿòèå g , ÷òî g ◦h = f äë íåêîòîðîé PA-êîíòðàêöèè h, îïðåäåëåííîé íà dom f (êàæäîå òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îòîáðàæåíèÿ f íàçîâåì êàíîíè÷åñêèì). Òåîðåìà 2. Ó âñÿêîãî PA-îòîáðàæåíèÿ f åñòü ðåäóêò, ïðè÷åì ðàçíûå ðåäóêòû îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà êîìïîçèöèþ ñ êóñî÷íî àèííûì ãîìåîìîðèçìîì (ñì. òåîðåìó 1). àññìîòðèì íåêîòîðîå êóñî÷íî àèííîå îòîáðàæåíèå f . Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A ⊂ dom f ãðàíè÷íî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ f , åñëè äëÿ íåêîòîðîãî (à çíà÷èò äëÿ âñÿêîãî) êàíîíè÷åñêîãî ïðåä−1 ñòàâëåíèÿ f = g ◦ h âåðíî, ÷òî (1) A = h (h(A)) è (2) äë âñÿêîãî êóñî÷íî àèííîãî ãîìåîìîðèçìà i ìíîãîãðàííèêà im h íà ñåáÿ òàêîãî, ÷òî i ◦ h = h âåðíî, ÷òî i(h(A)) = h(A). Êóñî÷íî àèííûå îòîáðàæåíèÿ f è g ñîîòâåòñòâåííûìè ãðàíè÷íûìè ìíîæåñòâàìè A è B íàçîâåì ðåäóêòèâíî ýêâèâàëåíòíûìè, ′ ′′ ′ ′′ åñëè íàéäóòñÿ êàíîíè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ f = f ◦ f è g = g ◦ g ′ ′ ′′ ′′ òàêèå, ÷òî f = g è f (A) = g (B). Êëàññû ðåäóêòèâíî ýêâèâàëåíòíûõ ïàð hf, Ai, ãäå A  ãðàíè÷íîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî PAîòîáðàæåíèÿ f íàçîâåì îòìå÷åííûìè ìíîãîãðàííèêàìè-ñëåäàìè. Òàêæå äëÿ îòìå÷åííîãî ìíîãîãðàííèêà-ñëåäà a ïàðó hg, Ai ∈ a íàçîâåì êàíîíè÷åñêèì ïðåäñòàâèòåëåì îòìå÷åííîãî ìíîãîãðàííèêàñëåäà a, åñëè îòîáðàæåíèå g  êóñî÷íî àèííîå ñìÿòèå. Ïàðó hΨ(·, ·), Ai, ãäå Ψ(·, ·)  îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå íà ïðîèçâåäåíèè [α, β] × S íåêîòîðîãî îòðåçêà [α, β] ⊂ R (ãäå α 6= β ) è íåêîòîðîãî ìíîãîãðàííèêà S ñî çíà÷åíèÿìè â òîì æå àèííîì ïðîñòðàíñòâå è íåïðåðûâíîå ïî ñîâîêóïíîñòè àðãóìåíòîâ íà [α, β] × S è ïðè ýòîì ìíîæåñòâî A ãðàíè÷íî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ Ψ(τ, ·) ïðè τ ∈ [α, β], íàçîâåì îòìå÷åííîþ ëåâîþ îäíîðîäíîþ (èëè åùå àíàëèòè÷åñêîþ) îòíîñèòåëüíî îòðåçêà [α, β] è ïîëíîãî ñèìïëèöèàëüíî42

K, åñëè (0) îòîáðàæåíèå Ψ(·, x) ïîñòîÿííî ïðè êàæäîì Ψ(τ, ·) ñèìïëèöèàëüíî îòíîñèòåëüíî êîì∪ ïëåêñà K ïðè êàæäîì τ ∈ [α, β] (ñëåäîâàòåëüíî, S = K) è (2) äëÿ ′ ′′ âñÿêèõ äâóõ âåðøèííûõ òî÷åê v , v êîìïëåêñà K è ïðîèçâîëüíûõ τ ′ , τ ′′ ∈ (α, β] åñëè Ψ(τ ′ , v ′ ) = Ψ(τ ′ , v ′′ ), òî Ψ(τ ′′ , v ′ ) = Ψ(τ ′′ , v ′′ ) (èëè åùå Ψ(τ, ·)-îáðàç êàæäîé âåðøèííîé òî÷êè êîìïëåêñà K çàâèñèò îò τ àíàëèòè÷åñêè íà îòðåçêå [α, β]). Ñåìåéñòâî Φτ îòìå÷åííûõ ìíîãîãðàííèêîâ-ñëåäîâ ñ ïàðàìåòðîì τ ∈ [α, β] ⊂ R, íàçîâåì äåîðìàöèåþ ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàçìåðíîñòü îáðàçà Φτ íå çàâèñèò îò τ ∈ [α, β], íàéäóòñÿ ïîäðàçäåëåíèå α = ξ0 < . . . < ξν = β , íàáîð ñèìïëèöèàëüíûõ êîìïëåêñîâ K1 , . . . , Kν è íàáîð ëåâûõ îäíîðîäíûõ îòíîñèòåëüíî îòðåçêà [ξι−1 , ξι ] èëè [ξι , ξι−1 ] è ñîîòâåòñòâåííîãî êîìïëåêñà Kι ïàð hΨι (·, ·), Aι i, ãäå hΨι (τ, ·), Aι i ∈ Φτ , τ ∈ [ξι−1 , ξι ] ïðè ι = 1, . . . , ν . ãî êîìïëåêñà

x ∈ A,

(1) îòîáðàæåíèå

Òàêîå ñåìåéñòâî îòìå÷åííûõ ìíîãîãðàííèêîâ-ñëåäîâ íàçîâåì êó-

ñî÷íî àíàëèòè÷åñêèì ïðè óñëîâèè, ÷òî åãî ñîñòàâëÿþùèå àíàëèòè÷íû.

åì

Óñòàíîâëåíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ îðìóëà êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ïðîèçâîëüíîãî êóñî÷íî àèííîãî îòîáðàæåíèÿ

vol(f ) :=

X

îáú-

f

mesµ g(K)

K:K∈K

µ = dim im f , ïðîèçâîëüíîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ f = g ◦ h è ïðîèçâîëüíîãî ñèìïëèöèàëüíîãî êîìïëåêñà K, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî îòîáðàæåíèå g ñèìïëèöèàëüíî. Òàêæå êîððåêòíî îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå îáúåìà îòìå÷åííîãî ìíîãîãðàííèêà-ñëåäà a: Vol a := vol(f ), äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà hf, Ai èç a. Òåîðåìà 3. Åñëè Φ  äåîðìàöèÿ îòìå÷åííûõ ìíîãîãðàííèêîâñëåäîâ, òî óíêöèÿ p, äåéñòâóþùàÿ ïî îðìóëå p(τ ) = Vol Φτ , íåïðåðûâíà. Åñëè æå Φ êóñî÷íî àíàëèòè÷åñêàÿ, òî p êóñî÷íî C 1 ãëàäêà. Ñêàæåì, ÷òî îòìå÷åííûé ìíîãîãðàííèê-ñëåä a ìèíèìàëåí, åñëè äëÿ âñÿêîé àíàëèòè÷åñêîé äåîðìàöèè Φ íà [α, β], ãäå Φα = a, âåðíî, d ÷òî dτ τ =α+ Vol Φ(τ ) > 0. àññìîòðèì íåêîòîðîå ìíîæåñòâî P è òî÷êó a â íåì. Ñêàæåì òîãäà, ÷òî ìíîæåñòâî K ⊂ P åñòü ëîêàëüíûé êîíóñ â ìíîæåñòâå P ñ âåðøèíîþ â a, åñëè íàéäåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ K òàêîé, ÷òî (1) ìíîæåñòâî {a}  âåðøèíà âî âñÿêîì ñèìïëåêñå A èç êîì∪ ïëåêñà K è (2) K = K  îêðåñòíîñòü òî÷êè a â ìíîæåñòâå P . Äëÿ òàêîãî ëîêàëüíîãî êîíóñà K îïðåäåëèì åãî ãðàíèöó fra K ïî îðìóëå fra K := {x : [a, x) ⊂ K, x ∈ / K}. äëÿ

43

Åñëè

a

 îòìå÷åííûé ìíîãîãðàííèê-ñëåä,

ñêèé ïðåäñòàâèòåëü, âåðøèíîþ â òî÷êå

a ∈ dom f \A, K

a,

ñêèì ïðåäñòàâèòåëåì ìíîãîãðàííèêà-ñëåäà

hf, Ai

dom f \A ñ

òî îòìå÷åííûé ìíîãîãðàííèê-ñëåä ñ êàíîíè÷å-

hf |K , fra Ki íàçîâåì ëîêàëèçàòîì îòìå÷åííîãî a.

Ñêàæåì, ÷òî îòìå÷åííûé ìíîãîãðàííèê-ñëåä

ìàëåí,

 åãî êàíîíè÷å-

 ëîêàëüíûé êîíóñ â

a ëîêàëüíî ìèíè-

åñëè âñÿêèé åãî ëîêàëèçàò ìèíèìàëåí.

Òåîðåìà 4 (Àíàëîã ïðèíöèïîâ Ïëàòî). àññìîòðèì ñëó÷àé: a  ëîêàëüíî ìèíèìàëüíûé îòìå÷åííûé ìíîãîãðàííèê-ñëåä â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, hf, F i ∈ A, ìíîæåñòâî dom f íå èìååò òî÷åê ðàçìåðíîñòè 1 è â êàæäîé òî÷êå èç dom f îòîáðàæåíèå f ëîêàëüíî èíúåêòèâíî. Òîãäà äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ dom f \ F íàéäåòñÿ îòêðûòîå â dom f ìíîæåñòâî U ∋ x ñ îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ: èëè (1) U ãîìåîìîðíî R2 è f |U àèííî; èëè (2) íàéäåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ K òàêîé, ÷òî

• ∪K = U ; • K = {S1 , S2 , S3 , A}, ãäå Sι  äâóìåðíûé ñèìïëåêñ, A  ðåáðî â êàæäîì èç S1 , S2 , S3 ; • f |Sι àèííî, ι = 1, 2, 3; • äâóãðàííûé óãîë ìåæäó f (Sα ) è f (Sβ ) ðàâåí 120◦ , ïðè α 6= β ;

èëè (3) íàéäåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ K òàêîé, ÷òî

• ∪K = U ; • K = {S12 = S21 , S23 = S32 , S31 = S13 , S14 = S41 , S24 = S42 , S34 = S43 , A1 , A2 , A3 , A4 , P }, ãäå Sαβ  äâóìåðíûé ñèìïëåêñ, èìåþùèé ãðàíÿìè Aα , Aβ è P , è Aι  ðåáðî ñ âåðøèíîþ P ; • f |Sαβ àèííî, ïðè α 6= β ; • äâóãðàííûé óãîë ìåæäó f (Sαβ ) è f (Sβγ ) îäèí è òîò æå, ïðè α 6= β 6= γ 6= α. [1℄ óñåâ Í. Ñ. Êóñî÷íî àèííûå ïîãðóæåíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ è èõ ãðàíèöû // Ìàòåðèàëû VIII Ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ (26 åâðàëÿ 2004 ã.). Ì.: Èçäàòåëüñòâî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà Ì Ó èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, 2004, ñ. 390392 [2℄ Èâàíîâ À. Î., Òóæèëèí À. À. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé.  Ì., Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2003. [3℄ Ôîìåíêî À. Ò. Âàðèàöèîííûå ìåòîäû â òîïîëîãèè.  Ì.: Íàóêà, 1982. 44

ÓÄÊ 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2

Óäàðíûå âîëíû â óïðóãîé ñðåäå ïðè ñáðîñå íàïðÿæåíèé íà òðåùèíå

È. Ø. Äèëüäàáàåâà, Ë. À. Àëåêñååâà

Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà çàäà÷ äèðàêöèè âîëí â èçîòðîïíûõ óïðóãèõ ñðåäàõ ïðè ñáðîñå íàïðÿæåíèé âñëåäñòâèå âîçíèêíîâåíèÿ òðåùèí ïðîèçâîëüíîé îðìû. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ àïïàðàò òåîðèè îáîáùåííûõ óíêöèé, ñëåäóÿ ìåòîäèêå, ðàçðàáîòàííîé â [1-3℄. Èñïîëüçóÿ äèåðåíöèðîâàíèå â ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ óíêöèé, èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ ñ ìàññîâîé ñèëîé â âèäå ñèíãóëÿðíûõ îáîáùåííûõ óíêöèé òèïà ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîÿ íà ïîâåðõíîñòè òðåùèíû ñ ïëîòíîñòÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ñêà÷êàì íàïðÿæåíèé è ñêîðîñòåé ïåðåìåùåíèé. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà òåíçîðà ðèíà óðàâíåíèé Ëàìå, ñòðîèòñÿ ðåøåíèå â âèäå åãî ñâåðòêè ñ ñèíãóëÿðíîé ìàññîâîé ñèëîé. Ïîëó÷åíû èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðåìåùåíèé ñðåäû ïðè çàäàííûõ ñêà÷êàõ íàïðÿæåíèé è ñêîðîñòåé ïåðåìåùåíèé íà òðåùèíå, ðåãóëÿðíûå äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê ñðåäû.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè èññëåäîâàíà äèíàìèêà ñðåäû ïðè çàäàííîì ñáðîñå íàïðÿæåíèé íà òðåùèíå êîíå÷íîé äëèíû ïðè ïëîñêîé äåîðìàöèè. àññìîòðåíû äâà ñëó÷àÿ: ñáðîñ âåðòèêàëüíûõ è ñáðîñ ãîðèçîíòàëüíûõ íàïðÿæåíèé. Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ïðÿìîëèíåéíîé òðåùèíû è äóãîâîé îðìû.

1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è äèíàìèêè òðåùèí.

S â ëèíåéíîé óïðóãîé t = 0 ñðåäà íàõîäèëàñü â ìîìåíò t = 0 â ñðåäå âîçíè-

àññìîòðèì íåðàçâèâàþùóþñÿ òðåùèíó ñðåäå. Äî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè ñòàòè÷åñêîì íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè. Â

êàåò òðåùèíà.  êà÷åñòâå ìîäåëè ýòîãî ïðîöåññà çäåñü ïðåäëàãàåòñÿ âîçíèêíîâåíèå ñêà÷êà íàïðÿæåíèé íà ïîâåðõíîñòè

S

â ìîìåíò

t=0

ñ ïîñëåäóþùèì ñáðîñîì íàïðÿæåíèé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàçâèòèÿ òðåùèíû

T (t 6 T < ∞):

[σij nj ]S = Pi (x, t)

ïðè

t > 0, Pi (x, t) → 0

ïðè

t → T.

(1)

Ïðè ýòîì â ñðåäå âîçíèêàþò óäàðíûå âîëíû, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì Ëàìå:

45

kl ckl u + ckl ij [uk,l ]S nj δS (x) + cij ij k,lj ãäå

u(x, t)

∂ ∂2 ([uk ]S nl δS ) − ρ = −ρFˆi ∂xj ∂ t2

 âåêòîð ïåðåìåùåíèé òî÷åê ñðåäû,

ρ

(2)

 åå ïëîòíîñòü.

Êàê èçâåñòíî [4℄, íà ðîíòàõ óäàðíûõ âîëí âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ:

[ui ]Fi = 0, ãäå

mj (x, t)

mj [σij ]Fi = −cρ[u˙ i ]Fi

(3)

 êîìïîíåíòû âîëíîâîãî âåêòîðà  åäèíè÷íîé íîðìàëè

ê ðîíòó âîëíû, íàïðàâëåííîé â ñòîðîíó åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè òðåùèíû ïðè ìãíîâåííîì ñáðîñå íàïðÿ+ 0 σij nj = 0 ; Pi (x, t) = −σij nj δ(t) . Ïðè äëèòåëüíîì ñáðîñå 0 Pi (x, t) = −σij nj δ(t) ñ÷èòàåì èçâåñòíûì.

æåíèé:

2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ óíêöèé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ àïïàðàòîì òåîðèè îáîáùåííûõ óíêöèé. Äëÿ ýòîãî áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåííóþ óíêöèþ

u ˆ(x, t).

u(x, t)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ó÷åòîì

óñëîâèé (1), (3), îáîáùåííîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ:

σ ˆij,j − ρ

∂2u ˆ = 2 ∂t

  ∂ kl ˆi. = −ρFˆi + Cij [uk,l ]S nj δS (x) + ([uk ]S nl δS (x)) = G ∂xj

(4)

Çäåñü â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé ïîÿâëÿþòñÿ ñèíãóëÿðíûå îáîáùåííûå óíêöèè  ïðîñòûå è äâîéíûå ñëîè íà òðåùèíå ñ ïëîòíîñòÿìè, çàâèñÿùèìè îò ñêà÷êà íàïðÿæåíèé è ïåðåìåùåíèé íà íåé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ, U k - òåíçîðîì ðèíà. j Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèé Ëàìå (2), ñîîòâåòñòâóþùåå Fi = −δ(x, t)δi . Ïåðåõîäÿ ê èíòåãðàëüíîé çàïèñè ýòîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷èì âîñïîëüçóåìñÿ åãî óíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì

m X

kl m (x, t) = Cij U (x, t), k,l

ij

Γm (x, t, n) i

=

m X

(x, t)nj ,

ij

i (x − y, t, n) = Tm (y − x, t), Γm i i i Hm (x, t, n) = Tm (x)t H(t).

46

Ôîðìóëà âûðàæàåò ïåðåìåùåíèÿ â ñðåäå ïðè èçâåñòíûõ ñêà÷êàõ íàïðÿæåíèé è ñêîðîñòåé ïåðåìåùåíèé íà òðåùèíå. Îíè, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè è ñâÿçàíû óñëîâèÿìè, çàâèñÿùèìè îò óñëîâèé êîíòàêòà áåðåãîâ òðåùèíû. Çäåñü íà ýòîì âîïðîñå ìû ïîêà íå îñòàíàâëèâàåìñÿ.

3. Òåíçîðû óíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé ïðè ïëîñêîé äåîðìàöèè. Çàïèøåì îðìóëû (4) äëÿ ïëîñêîé äåîðìàöèè.  ýòîì ñëó÷àå òåíçîð ðèíà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èçîòðîïíîé óïðóãîé ñðåäû èìååò âèä [1℄:

ˆ j (x, t) = U i +

1 2π



t2 r 2 (2r,i

H(c1 t−r)(δij −r,i r,j ) c1

√

c21 t2 −r 2

+

r,j −δij )



c1 H(c1 t−r) √22 2 c1 t −r

H(c2 t−r)r,i r,j c1

√

c21 t2 −r 2

.

 2 H(c2 t−r) − c√ + 2 2 2 c2 t −r

(5)

Ñòîëáöû ýòîé ìàòðèöû îïèñûâàþò ïåðåìåùåíèÿ ñðåäû ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííîé ñèëû, ñîñðåäîòî÷åííîé â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðèëîæåííîé â ìîìåíò t=0:.

F1 = H(t)(δ(x), 0),

F2 = H(t)(0, δ(x))

4. Ïåðåìåùåíèÿ óïðóãîé ñðåäû ïðè ñáðîñå íàïðÿæåíèé íà òðåùèíå. Ïóñòü ìàññîâûå ñèëû ðàâíû íóëþ, òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå â (4) íóëåâîå. Çäåñü â ðàñ÷åòàõ ïåðåìåùåíèé ñðåäû ïîêà ó÷òåíî òîëüêî ñëàãàåìîå, îïðåäåëÿåìîå ñáðîñîì íàïðÿæåíèé íà òðåùèíå. À èìåííî, ïîëàãàåì

1 um (x, t) ∼ = ρ

Zt 0

dτ

Z

i Um (x − y, t)[Pi (y, t − τ ] dS(y).

S

S

àñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ïðè ñáðîñå íàïðÿæåíèé íà ïëîñêîé òðåùèíå, ìîäåëèðóåìîé îòðåçêîì:

|x1 | 6 1, x2 = 0.

Íà ðèñóíêàõ

ïðåäñòàâëåíû âåêòîðíûå ïîëÿ ïåðåìåùåíèé ïðè â ñëó÷àå, êîãäà [Pi (y, t − τ )]S = δij exp(−αt)H(1 − |x1 |). Ïðè j = 1, èìååì ñáðîñ âåðòèêàëüíûõ íàïðÿæåíèé, êîòîðûå âîçíèêàþò, íàïðèìåð, â çåìíîé êîðå ïðè ðàñêðûòèè òðåùèí. Ïðè

j = 2,

ñáðàñûâàþòñÿ êàñàòåëüíûå

íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå õàðàêòåðíû äëÿ òðåùèí ñî ñäâèãîì áåðåãîâ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Òàê êàê äåéñòâèå ñèëû ïðîèñõîäèò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ìîæíî íàáëþäàòü ïåðåìåùåíèå ñðåäû â ýòîì æå íàïðàâëåíèè, à â îáëàñòè, ãäå ñðåäà íàõîäèòñÿ çà ðîíòîì äåéñòâèÿ ñèëû, íàáëþäàåòñÿ ïîäòÿãèâàíèå ñðåäû â íàïðàâëåíèè äåéñòâèÿ ñèëû.  âåðõíåì è íèæíåì ó÷àñòêå òàêæå íàáëþäàåòñÿ çîíà çàâèõðåíèÿ.

47

èñ. 1.

æåíèé.

48

Âåêòîðíîå ïîëå ïåðåìåùåíèé ïðè ñáðîñå êàñàòåëüíûõ íàïðÿ-

èñ. 2.

Âåêòîðíîå ïîëå ïåðåìåùåíèé ïðè ñáðîñå âåðòèêàëüíûõ íà-

ïðÿæåíèé.

49

50

[1℄ Àéòàëèåâ Ø. Ì., Àëåêñååâà Ë. À., Äèëüäàáàåâ Ø. À., Æàíáûðáàåâ Í. Á. Ìåòîä ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé â çàäà÷àõ äèíàìèêè óïðóãèõ ìíîãîñâÿçíûõ òåë.  Àëìàòû: ûëûì, 1992. [2℄ Àëåêñååâà Ë. À., Çàêèðüÿíîâà . Ê. Äèíàìè÷åñêèå àíàëîãè îðìóëû Ñîìèëüÿíû äëÿ íåñòàöèîíàðíîé äèíàìèêè óïðóãèõ ñðåä ñ ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíüþ àíèçîòðîïèè. ÏÌÌ.  1994.  58,  2.  170175. [3℄ Alexeyeva L. A. Analogies of Kir hho and Somigliana formulas in elastodynami s plane problems. Int. J. Applied Mathemati s & Me hani s.  1991. 55,  2.  298308. ÓÄÊ 514.144.23, 514.172.45, 514.177.2

Çàìêíóòûå ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ äèíàìè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè

Â. Å. Åâäîêèìîâè÷ Áåëîðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò òðàíñïîðòà Â ñåòè, ñîñòîÿùåé èç

N

îäíîëèíåéíûõ óçëîâ, öèðêóëèðóåò

ÿâîê. Ñîñòîÿíèå ñåòè â ìîìåíò âðåìåíè íûì âåêòîðîì

ãäå

t

M

çà-

õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëó÷àé-


~x(t) = x1 (t), x2 (t), . . . , xN (t) ,
xi (t) = xi 1 (t), . . . , xi, ni (t) ,

ni =| xi |  ÷èñëî çàÿâîê â i-ì óçëå, à xi k (t)  òèï çàÿâêè ñ íîìåðîì k â î÷åðåäè i-ãî óçëà (i = 1, N − 1, k = 1, ni ). Çàÿâêè ìîãóò áûòü L òèïîâ. Ñîñòîÿíèå xN N -ãî óçëà áóäåì ïîëàãàòü ïðîèçâîëüíûì. Ïîä ñîñòîÿíèåì xN + xi N -ãî óçëà áóäåì ïîíèìàòü òàêîå åãî ñîñòîÿíèå, êîãäà â óçëå íàõîäèòñÿ | xN | + | xi | çàÿâîê ( xi  ñîñòîÿíèå i-ãî óçëà.) Îáîçíà÷èì ÷åðåç (0) òàêîå ñîñòîÿíèå óçëà, êîãäà â íåì îòñóòñòâóþò çàÿâêè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

X = {~x = (x1 , x2 , . . . , xN ) : n1 + n2 + . . . + nN = M }, à ÷åðåç

XM−1 = {~x = (x1 , x2 , . . . , xN ) : n1 + n2 + . . . + nN = M − 1}. Íàïðàâëåííàÿ â i-é óçåë çàÿâêà l -ãî òèïà, êîãäà ñåòü íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè

~x ∈ XM−1

íåïîñðåäñòâåííî â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè, ñ

51

(i)

fl (~x) íà÷èíàåò îáñëóæèâàòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ äèñöèïëèíîé LCF S ñ äîîáñëóæèâàíèåì âûòåñíåííîé ñ ïðèáîðà çàÿâêè, (i) à ñ äîïîëíèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1 − fl (~ x) ìãíîâåííî îáõîäèò óçåë   (i) 0 6 fl (~x) 6 1, i = 1, N , l = 1, L, ~x ∈ XM−1 . âåðîÿòíîñòüþ

Âðåìåíà îæèäàíèÿ çàÿâîê â î÷åðåäè îãðàíè÷åíû ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ïàðàìåòðîì

1, N . Äëèòåëüíîñòè

νi (~n), i =

îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê â óçëàõ íå çàâèñÿò îò ïðî-

i-ãî óçëà èìåµi (~x), i = 1, N, ~x ∈ ni > 0. Çàÿâêà l-ãî òèïà,

öåññà ïîñòóïëåíèÿ, íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé, è äëÿ þò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì

XM−1 .

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî

µi (~x) > 0

ïðè

çàâåðøèâøàÿ îáñëóæèâàíèå â i-ì óçëå, íåçàâèñèìî îò äðóãèõ çàÿâîê ñ âåðîÿòíîñòüþ

p(i, l)(j, m) (~x) íàïðàâëÿåòñÿ â

N X L X

j=1 m=1

j -é

óçåë, ïðèîáðåòàÿ òèï

m;

p(i, l)(j, m) (~x) = 1, i = 1, N, l = 1, M , ~x ∈ XM−1 .

Çàÿâêà l -ãî òèïà, îáîøåäøàÿ i-é óçåë, íåçàâèñèìî îò äðóãèõ çàÿâîê ñ âåðîÿòíîñòüþ

q(i, l)(j, m) (~x) íàïðàâëÿåòñÿ â

N X L X

j=1 m=1

j -é

óçåë, ïðèîáðåòàÿ òèï

m;

q(i, l)(j, m) (~x) = 1, i = 1, N, l = 1, L, ~x ∈ XM−1 .

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè óñòàíàâëèâàåòñÿ äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè è íàõîäèòñÿ èíàëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå.

52

ÓÄÊ 517.5

Àñèìïòîòèêà óêëîíåíèé öåëûõ óíêöèé îò ýëåìåíòîâ ïåðâîé ñòðîêè òàáëèöû Ïàäå

Þ. À. Åðìîëåíêî îìåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ô. Ñêîðèíû

f , àíàëèòè÷åñêèå â íåêîòîðîé îáD = {z : |z| 6 1}, è ïðåäñòàâèìûå â D

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óíêöèè ëàñòè

G,

ñîäåðæàùåé êðóã

f (z) =

X∞

n=0

fn z n .

 ðàáîòàõ [1, 2℄ ïðè óñëîâèÿõ íà êîýèöèåíòû

fn+1 /fn = (a/nα ){1 + γ(n)}, ãäå

(1)

{fn }∞ n=0 (2)

γ(n) → 0, α > 0, a ∈ C, ïîëó÷åíû àñèìïòîòèêè óáûâàíèÿ âåëè÷èí kf (z) − πn,1 (z; f )kC(D)

ïðè

n → ∞,

ãäå

πn,1 (z; f ) 

àïïðîêñèìàöèè Ïàäå ïîðÿäêà (n,1). àñ-

ñìîòðèì áîëåå îáùèå óñëîâèÿ:

q fn+1 {1 + γ(n)}, = fn nα lnβ n

(3)

γ(n) → 0, α, β > 0, q ∈ C. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ Ïóñòü êîýèöèåíòû {fn }∞ n=0 ðÿäà (1) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (3).Òîãäà äëÿ ëþáîãî z ∈ D ïðè n → ∞ ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî:    1 qα n+2 f (z) − πn,1 (z; f ) = −fn+1 z 1 + O . nα+1 lnβ n nα lnβ n ãäå

Òåîðåìà 1.

Ïóñòü

∗ rn,1 ∈ RC n,1

 ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ íàèëó÷øåãî ïðèáëèRC n,1 .

æåíèÿ â êëàññå âñåõ ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé

Òåîðåìà 2.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ïðè n → ∞ èìåþò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêèå ðàâåíñòâà:    α|q| 1 kf (z) − r∗ (z; f )k = |fn+1 | 1 + O . nα+1 lnβ n nα lnβ n

53

[1℄ Áåðåçêèíà Ë. Ë.,óñàê Â. Í. Î íàèëó÷øèõ ðàöèîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèÿõ íåêîòîðûõ öåëûõ óíêöèé. Âåñöi ÀÍ ÁÑÑ. Ñåð. iç.-ìàòýì. íàâóê.  1990.   4.  2732. [2℄ Levin A. L.,Lubinsky D. S. Rows and diagonals of the Walsh array for entire fun tions with smooth Ma laurin series oe ients. Constr. Approx.  1990.   6.  257286. ÓÄÊ 532.516, 532.591

Î íåëèíåéíûõ îñöèëëÿöèÿõ çàðÿæåííîé êàïëè âÿçêîé æèäêîñòè

À. Í. Æàðîâ, È. . Æàðîâà ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï. . Äåìèäîâà Êàê èçâåñòíî, èññëåäîâàíèå êàïèëëÿðíûõ îñöèëëÿöèé è óñòîé÷èâîñòè çàðÿæåííîé êàïëè âÿçêîé æèäêîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ â ñâÿçè ñ ìíîãî÷èñëåííûìè àêàäåìè÷åñêèìè, òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðèëîæåíèÿìè. Îäíàêî, ñòðîãîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà âðåìåíè íèêåì èç èññëåäîâàòåëåé íå íàéäåíî.  íàñòîÿùåì èññëåäîâàíèè ðàññìàòðèâàëàñü ñåðè÷åñêàÿ êàïëÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ â âàêóóìå â óñëîâèÿõ íåâåñîìîñòè, íåñóùàÿ íà ñåáå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Ñ÷èòàëîñü, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëå ñêîðîñòåé æèäêîñòè â êàïëå íóëåâîå, à îðìà êàïëè îñåñèììåòðè÷íà è îïèñûâàåòñÿ óíêöèåé âèäà

ξ=ε

X

hm Pm (cosϑ)

m∈Ω ãäå

ε

 ìàëûé ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé àìïëèòóäó íà÷àëüíîãî

âîçìóùåíèÿ;

Pm (cosϑ)

 ïîëèíîì Ëåæàíäðà ïîðÿäêà

æåñòâî èíäåêñîâ èçíà÷àëüíî âîçáóæäåííûõ ìîä; ó÷èòûâàþùèå ïàðöèàëüíûé âêëàä

m-îé

hm

m; Ω

 ìíî-

 êîíñòàíòû,

ìîäû â îðìèðîâàíèå íà-

÷àëüíîé îðìû êàïëè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îðìóëèðîâêà çàäà÷è î ðàñ÷åòå êàïèëëÿðíûõ êîëåáàíèé çàðÿæåííîé êàïëè, âÿçêîé íåñæèìàåìîé ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè ñîäåðæèò â ñåáå: óðàâíåíèå Íàâüå  Ñòîêñà; óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè æèäêîñòè; óðàâíåíèå Ëàïëàñà äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà; óñëîâèÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîñòè ïîâåðõíîñòè êàïëè; óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ïîëíîãî çàðÿäà êàïëè; óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà îáúåìà

54

êàïëè; óñëîâèå íåïîäâèæíîñòè öåíòðà ìàññ êàïëè; êèíåìàòè÷åñêîå è äèíàìè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðîãèäðîäèíàìèêè, îïèñûâàþùàÿ îñöèëëÿöèè âÿçêîé çàðÿæåííîé êàïëè ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé, òî äëÿ åå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðÿìîãî ðàçëîæåíèÿ ïî âåëè÷èíå ìàëîãî ïàðàìåòðà ðÿä ïî

ε

ε.

àçëîæèâ âñå âåëè÷èíû çàäà÷è â

ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè è ïðèìå-

íÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî âðåìåíè ìîæíî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è î êàïèëëÿðíûõ îñöèëëÿöèÿõ çàðÿæåííîé êàïëè âÿçêîé æèäêîñòè è â ÷àñòíîñòè àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ îòêëîíåíèÿ ïîâåðõíîñòè êàïëè îò ðàâíîâåñíîé

ξ(t).

Äàííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â

âèäå áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ ïî êîðíÿì äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ è êîíå÷íûìè ðÿäàìè ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà. Îòìåòèì òàê æå, ÷òî â ïðåäåëå áîëüøîé âÿçêîñòè âûðàæåíèå äëÿ

ξ(t)

äîñòàòî÷íî êîìïàêò-

íî. Àíàëèç íàéäåííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ âðåìåííîé ýâîëþöèè îðìû ñèëüíî äåîðìèðîâàííîé êàïëè ñèëüíî âÿçêîé æèäêîñòè ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà âðåìåííîé ýâîëþöèåé êàæäîé ìîäû. ÓÄÊ 514.77, 519.711.72, 517.982.22

àçâåòâëåííûå

λ-ýêñòðåìàëè ïðè λ → ∞

è èõ àñèìïòîòèêà

Ä. Ï. Èëüþòêî

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Ââåäåíèå è ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ò.å. êðèòè÷åñêèõ òî÷åê óíêöèîíàëà íîðìèðîâàííîé äëèíû, ïîÿâëÿþòñÿ ïðè îáîáùåíèè çíàìåíèòîé ïðîáëå-

ñðåäè âñåõ ñåòåé, çàòÿãèâàþùèõ äàííîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî X òî÷åê åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, íàéòè ñåòü íàèìåíüøåé äëèíû, ñì. [1℄ . åøåíèå ýòîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ êðàò÷àéøåé ñåòüþ, çàòÿãèâàþùåé ìíîæåñòâî X .  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñåòè íà λ-íîðìèðîâàííûõ ïëîñêîñòÿõ, ò.å. íà íîðìèðîâàí2 íûõ ïëîñêîñòÿõ (R , ρλ ), äëÿ êîòîðûõ åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü Σ = 2 {x ∈ R | ρλ (x) = 1} ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëüíûì 2λ-óãîëüíèêîì, îäíà

ìû Øòåéíåðà:

èç îñåé ñèììåòðèè êîòîðîãî ëåæèò íà îñè àáñöèññ. Âàæíûìè îòëè-

÷èÿìè ýòèõ íîðìèðîâàííûõ ïëîñêîñòåé îò ñòàíäàðòíîé åâêëèäîâîé Ïðè ïîäãîòîâêå äàííîé ðàáîòû àâòîð ïîëüçîâàëñÿ ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêîé ãðàíòîâ Ïðåçèäåíòà Ô ÍØ 1988.2003.1, ÌÄ 263.2003.01, à òàêæå ãðàíòà ÔÔÈ 04-01-00682.

55

ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ îòñóòñòâèÿ ãëàäêîñòè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè

Σ

è ñòðîãîé âûïóêëîñòè åäèíè÷íîãî êðóãà, îãðàíè÷åííîãî

Σ.

Îêà-

çûâàåòñÿ, íà òàêèõ ïëîñêîñòÿõ, ââèäó îòñóòñòâèÿ ãëàäêîñòè íîðìû, êëàññ ëîêàëüíî ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé ñóùåñòâåííî øèðå êëàññà ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé.  äàííîé ðàáîòå äàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé îòâåò íà

λ-íîðìèðîâàííîé λ 6= 2, 3, 4, 6. Òàêæå èññëåäóþòñÿ âîïðîñû î ðåàëèçàöèè äåðåâà â âèäå λ-ýêñòðåìàëüíîãî äåðåâà, ãäå λ 6= 2, 3, 4, 6, è îá àñèìïòîòèêå λ-ýêñòðåìàëüíûõ äåðåâüåâ ïðè λ → ∞. Ýêñòðåìàëüíûå ñåòè. Ïîä ñåòüþ ìû áóäåì ïîíèìàòü ïðîèçâîëüíîå ïëîñêîå äåðåâî Γ ñ ìíîæåñòâîì âåðøèí V (Γ) è ìíîæåñòâîì ðåáåð E(Γ). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåòü Γ çàòÿãèâàåò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî X , åñëè V (Γ) ñîäåðæèò ìíîæåñòâî X . Âåðøèíû èç ìíîæåñòâà X íàçûâàþòñÿ ãðàíè÷íûìè äëÿ ñåòè Γ (∂Γ  ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ âåðøèí ñåòè Γ), à âåðøèíû èç V (Γ) \ X  âíóòðåííèìè äëÿ Γ.

âîïðîñ, êîãäà äåðåâî ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüíûì íà ïëîñêîñòè (λ-ýêñòðåìàëüíûì), ãäå

Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ëèíåé-

íûå ñåòè, ò.å. ñåòè, âñå ðåáðà êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ. Ìàêñèìàëüíûé ïóòü â Γ, âñå âíóòðåííèå âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò â Γ ñòåïåíü 2 è ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè âåðøèíàìè äëÿ Γ, íàçîâåì íèP òüþ. Äëèíîé ℓ(Γ) ñåòè Γ íàçîâåì ñóììó xy∈E(Γ) ρλ (x − y). Ïîä äåîðìàöèåé ñåòè Γ ìû ïîíèìàåì íåïðåðûâíîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî {Γt } ñåòåé Γt ñ ãðàíèöåé ∂Γ, ïîëó÷åííûõ èç Γ äâèæåíèåì âíóòðåííèõ âåðøèí, ïðè ýòîì âåðøèíû ìîãóò ðàñùåïëÿòüñÿ. Îïðåäåëåíèå 1.

Ñåòü

Γ

íàçûâàåòñÿ

ýêñòðåìàëüíîé,

åñëè äëÿ ëþ-

áîé äåîðìàöèè {Γt }, t ∈ [0, 1], ãäå Γt=0 = Γ, âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå d dt t=0+ ℓ(Γt ) > 0. Ýêñòðåìàëüíàÿ ñåòü íà λ-íîðìèðîâàííîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ λ-ýêñòðåìàëüíîé. Ïóñòü

γ

Γ

 ïðîèçâîëüíàÿ ñåòü íà

λ-íîðìèðîâàííîé

ïëîñêîñòè, è

 íåêîòîðîå åå ðåáðî, îðèåíòèðîâàííîå îäíèì èç äâóõ âîçìîæíûõ

ñïîñîáîâ. Åñëè íàïðàâëåíèå ýòîãî ðåáðà ïðèõîäèò âî âíóòðåííþþ òî÷êó ñòîðîíû 2λ-óãîëüíèêà Σ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàìûêàíèå fl(γ) íàïðàâëåíèÿ ðåáðà γ ðàâíî ýòîé ñòîðîíå 2λ-óãîëüíèêà Σ (íåòî÷å÷íîå ðåáðî), à åñëè íàïðàâëåíèå ýòîãî ðåáðà ïðèõîäèò â âåðøèíó 2λ-óãîëüíèêà, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàìûêàíèå fl(γ) íàïðàâëåíèÿ ðåáðà γ ðàâíî ýòîé âåðøèíå (òî÷å÷íîå ðåáðî). Äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ A è B èç Σ îáîçíà÷èì ÷åðåç α(A, B) òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü óãëîâ ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðàìè òî÷åê x ∈ A è y ∈ B . Åñëè γ1 è γ2
 äâà ñìåæíûõ ðåáðà, òî â âûðàæåíèè α fl(γ1 ), fl(γ2 ) ïîä çàìûêàíèÿìè fl(γi ) ìû áóäåì ïîíèìàòü çàìûêàíèÿ äëÿ ðåáåð γi , i = 1, 2, îðèåíòèðîâàííûõ îò èõ îáùåé âåðøèíû. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ

56

(γ, γ ′ ) ñìåæíûõ ðåáåð, îðèåíòèðîâàííûõ îò èõ îáùåé âåðøèíû. ′ Îïðåäåëèì çíàê ýòîé ïàðû ǫ(γ, γ ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëèíåéíî ′ ′ ′ íåçàâèñèìûõ ðåáåð γ è γ ïîëîæèì ǫ(γ, γ ) = 1, åñëè áàçèñ (γ, γ ) ïî2 ′ ëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàí íà R , è ǫ(γ, γ ) = −1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå; ′ ′ äëÿ ëèíåéíî çàâèñèìûõ ðåáåð γ è γ ïîëîæèì ǫ(γ, γ ) = 1. Îïðåäåëèì ′ ′ äëÿ ïàðû (γ, γ ) ïîãðåøíîñòü fall(γ, γ ) è îðèåíòèðîâàííóþ ïîãðåøíîñòü fall0 (γ, γ ′ ), ïîëîæèâ: fall(γ, γ ′ ) = k , åñëè ïàðó


2π kπ α fl(γ), fl(γ ′ ) = − , 3 3λ

è

fall0 (γ, γ ′ ) = ǫ(γ, γ ′ )fall(γ, γ ′ ). P = {γ1 , . . . , γn } Γ, ãäå γi  ïîñëåäîâàòåëüíûå ðåáðà ïóòè P . Ïðè êàæäîì 1 6 i 6 n − 1 âíóòðåííåé âåðøèíå zi ïóòè P , èíöèäåíòíîé ðåáðàì γi è γi+1 , ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çíàê ǫ(γi , γi+1 ). Ïóòü P íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíî ïîâåðíóòûì, åñëè âñå âíóòðåííèå âåðøèíû ïóòè P , ãðàíè÷íûå â ñåòè Γ, èìåþò îäèíàêîâûé çíàê. Îðèåíòàöèÿ ïðàâèëüíî ïîâåðíóòîãî ïóòè P íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé, åñëè çíàê êàæäîé âíóòðåííåé âåðøèíû ïóòè P , ãðàíè÷íîé â ñåòè Γ, ïîëîæèòåëåí. Îïðåäåëèì äëÿ êàíîíè÷åñêè îðèåíòèðîâàííîãî ïóòè P , âñå âíóòðåííèå ðåáðà êîòîðîãî òî÷å÷íû, îðèåíòèðîâàííóþ ïîãðåøíîñòü fall0 (P), ïîëîæèâ: àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé îðèåíòèðîâàííûé ïóòü

â ñåòè

n−2   X fall0 (P) = max fall0 (γ1j , γ2 ) + fall0 (γi , γi+1 ) + fall0 (γn−1 , γnl ) , j,l

i=2

∂fl(γi ) = {γi1 , γi2 }, i = 1 èëè n,  ãðàíèöà ïîäìíîæåñòâà fl(γi ) Σ. Ïóñòü Π  ìíîæåñòâî êàíîíè÷åñêè îðèåíòèðîâàííûõ ïóòåé â Γ, âñå âíóòðåííèå ðåáðà êîòîðûõ òî÷å÷íû. Ïîëîæèì Fall0 (Γ) = maxP∈Π fall0 (P). Îïðåäåëåíèå 2. Êóñî÷íî-ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ íàçîâåì ìîíîòîííîé, åñëè íàïðàâëåíèÿ âñåõ âåêòîðîâ ñêîðîñòè ýòîé êðèâîé ïðèõîäÿò íà îäíó è òó æå ñòîðîíó 2λ-óãîëüíèêà Σ. Îïðåäåëåíèå 3. Ñåòü Γl áóäåì íàçûâàòü ëèíåàðèçàöèåé ñåòè Γ, åñëè îíà ïîëó÷åíà çàìåíîé âñåõ íèòåé ñåòè Γ íà ïðÿìîëèíåéíûå îòãäå

îêðóæíîñòè

ðåçêè.

Òåîðåìà 1. Ïðîèçâîëüíàÿ ñåòü Γ λ-ýêñòðåìàëüíà, ãäå λ 6= 2, 3, 4, 6, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå åå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ÿâëÿþòñÿ ãðàíè÷íûìè, âñå åå íèòè  ìîíîòîííûå êðèâûå è Fall0 (Γl ) 6 3.

57

λ-ýêñòðåìàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ ñåòè è àñèìïòîòèêà λýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé ïðè λ → ∞. àññìîòðèì íà ïëîñêîñòè

Γi , i = 1 , 2 . Ñåòè Γ1 è Γ2 íàçûâàþòñÿ ïëàíàðíî ýêâèâàëåíò-

äâå ïðîèçâîëüíûå ñåòè Îïðåäåëåíèå 4.

íûìè, åñëè

ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðèçì ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþ-

ùèé îðèåíòàöèþ è ïåðåâîäÿùèé îäíó ñåòü â äðóãóþ (ñ ñîõðàíåíèåì ãðàíèöû). Îïðåäåëåíèå 5. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåòü Γ äîïóñêàåò ïëàíàðíóþ λ-ýêñòðåìàëüíóþ ðåàëèçàöèþ, åñëè ñóùåñòâóåò ïëàíàðíî ýêâè′ âàëåíòíàÿ åé λ-ýêñòðåìàëüíàÿ ñåòü Γ . Îïðåäåëåíèå 6. Ñåòü Γ íàçûâàåòñÿ äåðåâîì Øòåéíåðà, åñëè ñòåïåíè âñåõ âåðøèí íå áîëüøå 3, à âñå âåðøèíû ñòåïåíè 1 ÿâëÿþòñÿ

ãðàíè÷íûìè. Âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2. Ñåòü Γ äîïóñêàåò ïëàíàðíóþ λ-ýêñòðåìàëüíóþ ðåàëèçàöèþ, ãäå λ 6= 2, 3, 4, 6, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Γ ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì Øòåéíåðà. àññìîòðèì íà ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ ñåòü Γ è ïîñëåäîâàòåëü∞ íîñòü ñåòåé {Γn }n=1 , ïëàíàðíî ýêâèâàëåíòíûõ ñåòè Γ. Ôèêñèðóåì äëÿ êàæäîé ñåòè Γn äåîðìàöèþ, êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò ïëàíàðíóþ ýêâèâàëåíòíîñòü ñåòåé Γ è Γn . Òåì ñàìûì äëÿ êàæäîé ïàðû ñåòåé

èêñèðîâàíà ïëàíàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü. Îïðåäåëåíèå 7.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

{Γn }∞ n=1

ñõîäèòñÿ ê Γ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí, ñîñòàâëåííàÿ èç âåðøèí ñåòåé Γn , êîòîðûå ïðè ïëàíàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà, ñõîäèòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíå ñåòè Γ. Ïîñëå∞ äîâàòåëüíîñòü ñåòåé {Γn }n=1 ñòðîãî ñõîäèòñÿ ê ñåòè Γ, åñëè îíà ñõîäèòñÿ è ãðàíèöû âñåõ ñåòåé ñîâïàäàþò.

Òåîðåìà 3. Äëÿ ëþáîé ýêñòðåìàëüíîé ñåòè Γ íà ñòàíäàðòíîé åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü λ-ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ñõîäÿùàÿñÿ ê Γ ïðè λ → ∞

Íå äëÿ êàæäîé ýêñòðåìàëüíîé ñåòè íà ñòàíäàðòíîé åâêëèäîâîé

λ-ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, λ → ∞. Ïðîáëåìû ìîãóò âîçíèêíóòü â ãðàíè÷íûõ âåðøèíàõ ñòåïåíè 2 è 3. Îïðåäåëåíèå 8. Ñåòü Γ íàçûâàåòñÿ áèíàðíîé, åñëè âñå åå ãðàíè÷íûå âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 1, à âíóòðåííèå  3. Òåîðåìà 4. Äëÿ ëþáîé áèíàðíîé ýêñòðåìàëüíîé ñåòè íà ñòàíäàðòíîé åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü λ-ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé, ñòðîãî ñõîäÿùàÿñÿ ê íåé ïðè λ → ∞. ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ñòðîãî ñõîäÿùàÿñÿ ê íåé ïðè

58

Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ïðîåññîðàì À. Î. Èâàíîâó è À. À. Òóæèëèíó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå.

[1℄ Èâàíîâ À. Î., Òóæèëèí À. À. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ñåòåé.  Ìîñêâà  Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé. 2003. ÓÄÊ 514.74

Àâòîìîðèçìû äèñêðåòíîé ãðóïïû åéçåíáåðãà è èõ ÷èñëà àéäåìàñòåðà

Ô. Ê. Èíäóêàåâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

1. Îïðåäåëåíèå ÷èñëà àéäåìàñòåðà. ãðóïïà, à

φ

Ïóñòü G - äèñêðåòíàÿ

- å¼ àâòîìîðèçì. Ââåä¼ì íà G ñëåäóþùåå îòíîøåíèå

ýêâèâàëåíòíîñòè:

y = gxφ(g −1 ) Ïðåäëîæåíèå 1. Ýòî îòíîøåíèå äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè Äîêàçàòåëüñòâî. −1 1) x ∼ x, òàê êàê x = exφ(e ) −1 2) Åñëè x ∼ y, y ∼ z , òî ∃g ∈ G, h ∈ G ÷òî y = gxφ(g ), z = −1 −1 −1 −1 hyφ(h ) = hgxφ(g )φ(h ) = hgxφ((hg) ) ⇒ x ∼ z −1 3) Åñëè x ∼ y , òî y = gxφ(g ) ⇒ x = g −1 yφ((g −1 )−1 ) ⇒ y ∼ x

x∼y

åñëè

∃g ,

÷òî

ðóïïà G ðàçáèâàåòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè; êëàññ ýêâèâà-

ëåíòíîñòè ýëåìåíòà x îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç íàçûâàåòñÿ

÷èñëîì àéäåìàñòåðà

xφ .

×èñëî òàêèõ êëàññîâ,

àâòîìîðèçìà

φ

è îáîçíà÷àåòñÿ

R(φ).

2. Äèñêðåòíàÿ ãðóïïà åéçåíáåðãà.

öåëî÷èñëåííûõ

àññìîòðèì ìíîæåñòâî

3 × 3-ìàòðèö âèäà   1 k m 0 1 l  , ãäå k, l, m ∈ Z 0 0 1

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêèå ìàòðèöû îáðàçóþò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ

åéçåíáåðãà.

äèñêðåòíîé ãðóïïîé

Áóäåì îáîçíà÷àòü å¼ ÷åðåç G.

59

2. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ.

G

Äèñêðåòíàÿ ãðóïïà åéçåíáåðãà

èìååò òðè îáðàçóþùèå:

 1 a = 0 0

 1 0 1 0 ; 0 1

Ëþáàÿ ìàòðèöà èç çîì:

G

 1 b = 0 0

 0 0 1 1 ; 0 1



1 0 c = 0 1 0 0

 1 0 , 1

âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îáðàçóþùèå ïðîñòûì îáðà-



1 k 0 1 0 0

 m l  = b l a k cm . 1

(1)

Ýòè îáðàçóþùèå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè:

[a, c] = e;

[b, c] = e;

[a, b] = c,

ãäå êâàäðàòíûå ñêîáêè îáîçíà÷àþò ãðóïïîâîé êîììóòàòîð.

G  m l  = (k, l, m). 1

Ìû áóäåì çàïèñûâàòü ýëåìåíòû ãðóïïû

 1 0 0

k 1 0

â âèäå òðîåê ÷èñåë:

Íàïðèìåð, îáðàçóþùèå áóäåì çàïèñûâàòü òàê:

a = (1, 0, 0);

b = (0, 1, 0);

c = (0, 0, 1).

Òîãäà çàêîí óìíîæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå:

(x1 , x2 , x3 )(y1 , y2 , y3 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 + x1 y2 ); à îáðàòíûé ýëåìåíò íàéäåòñÿ ïî îðìóëå:

(x1 , x2 , x3 )−1 = (−x1 , −x2 , −x3 + x1 x2 ). Äàëåå, íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî

ak bl = bl ak ckl .

(∗)

Ýòèì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ÷òîáû çàïèñûâàòü ëþáûå ýëåìåíòû x x x ãðóïïû â âèäå b 2 a 1 c 3

G - ýòî áåñêîíå÷íàÿ öèêc = (0, 0, 1).

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîììóòàíò ãðóïïû ëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ

60

2. Îïèñàíèå àâòîìîðèçìîâ ãðóïïû G. Åñëè φ - àâòîìîðèçì G, òî îí ïåðåâîäèò êîììóòàíò ãðóïïû â ñåáÿ, ïðè÷¼ì èçî±1 Ïóñòü φ äåéñòâóåò íà îáðàìîðíûì îáðàçîì. Ïîýòîìó φ(c) = c

ãðóïïû

çóþùèõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 l k m   φ(a) = (k, l, m) = b a c ; q p r φ(b) = (p, q, r) = b a c ;   φ(c) = cs ; ãäå s = ±1

Òîãäà íà ïðîèçâîëüíîì ýëåìåíòå

(x1 , x2 , x3 ) îòîáðàæåíèå φ äåéñòâóåò

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

φ(x1 , x2 , x3 ) = (φ(b))x2 (φ(a))x1 (φ(c))x3 ; φ(b)x2 = (bq ap cr )(bq ap cr ) · · · (bq ap cr ) = | {z } x2

(

=b

èñïîëüçóåì: (*),

ac = ca, bc = cb)

qx2 px2 rx2 +pq(1+2+...+(x2 −1))

a

c

= bqx2 apx2 crx2 +pq

φ(a)x1 = (bl ak cm )(bl ak cm ) · · · (bl ak cm ) = blx1 akx1 cmx1 +kl | {z }

x2 (x2 −1) 2

x1 (x1 −1) 2

;

;

x1

Òàêèì îáðàçîì,

φ(x1 , x2 , x3 ) = bqx2 apx2 crx2 +pq

x2 (x2 −1) 2

= bqx2 +lx1 apx2 +kx1 crx2 +mx1 +sx3 +pq

·blx1 akx1 cmx1 +kl

x1 (x1 −1) 2

·csx3 =

x2 (x2 −1) x (x −1) +kl 1 21 +plx1 x2 2

= (kx1 +px2 , lx1 +qx2 , mx1 +rx2 +sx3 +pq

=

x2 (x2 − 1) x1 (x1 − 1) +kl + 2 2 + plx1 x2 ).

Òî åñòü, àâòîìîðèçìû íàøåé ãðóïïû íàõîäÿòñÿ ñðåäè îòîáðàæåíèé âèäà:

φ : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (kx1 +px2 , lx1 +qx2 , mx1 +rx2 +sx3 +pq

x2 (x2 − 1) x1 (x1 − 1) +kl +plx1 x2 ). 2 2 p, q, r, k, l, m ∈ Z, s = ±1. (2) 61

Ïðåäëîæåíèå 2. Àâòîìîðèçìû ãðóïïû G - ýòî â òî÷íîñòè òå îòîáðàæåíèÿ âèäà (2), ó êîòîðûõ kq = pl + s. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèå kq = pl+s ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîáðàæåíèå φ âèäà (2) ñî-

õðàíÿëî îïåðàöèþ. Äëÿ íà÷àëà, ïîêàæåì, ÷òî ÷òî ïåðâûå äâå êîìïîíåíòû ó

φ(xy)

áóäóò ñîâïàäàòü ïðè ëþáûõ

φ(x)φ(y)

è

k, l, m, p, q, r, s.

φ(x) = (kx1 + px2 , lx1 + qx2 , ∗);

φ(y) = (ky1 + py2 , ly1 + qy2 , ∗); φ(x)φ(y) = (k(x1 + x2 ) + p(x2 + y2 ), l(x1 + y1 ) + q(x2 + y2 ), ∗); xy = (x1 + y1 , x2 + y2 , ∗); φ(xy) = (k(x1 + x2 ) + p(x2 + y2 ), l(x1 + y1 ) + q(x2 + y2 ), ∗);

Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü ïðîâåðÿòü ðàâåíñòâî òîëüêî òðåòüèõ êîìïîíåíò Ïóñòü

φ(x)φ(y)

è

φ(xy).

x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).

Òîãäà:

φ(x)φ(y) = (kx1 + px2 , lx1 + qx2 , mx1 + rx2 + sx3 + pq

x2 (x2 − 1) + 2

x1 (x1 − 1) + plx1 x2 )· 2 y2 (y2 − 1) y1 (y1 − 1) ·(ky1 +py2 , ly1 +qy2 , my1 +ry2 +sy3 +pq +kl +ply1 y2 ) = 2 2 = (∗, ∗, m(x1 + y1 ) + r(x2 + y2 ) + s(x3 + y3 ) + A), pq kl ãäå A = (x2 (x2 −1)+y2 (y2 −1))+ (x1 (x1 −1)+y1 (y1 −1))+pl(x1 x2 +y1 y2 )+ 2 2 + (kx1 + px2 )(ly1 + qy2 ) = pq kl = (x22 + y22 − x2 − y2 + 2x2 y2 ) + (x21 + y12 − x1 − y1 + 2x1 y1 )+ 2 2 + pl(x1 x2 + y1 y2 + x2 y1 ) + kqx1 y2 ; + kl

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

φ(xy) = φ(x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 + x1 y2 ) = = (∗, ∗, m(x1 + y1 ) + r(x2 + y2 ) + s(x3 + y3 ) + B), ãäå

62

B = sx1 y2 +

pq ((x2 + y2 )(x2 + y2 − 1))+ 2

kl (x1 + y1 )(x1 + y1 − 1) + pl(x1 + y1 )(x2 + y2 ) = 2 pq kl = sx1 y2 + (x22 + y22 − x2 − y2 + 2x2 y2 ) + (x21 + y12 − x1 − y1 + 2x1 y1 )+ 2 2 + pl(x1 x2 + y1 x2 + y2 x1 + y1 y2 ); +

Òàêèì îáðàçîì, ëåãêî âèäåòü, ÷òî:

φ(xy) = φ(x)φ(y) ⇔ A = B ⇔ ⇔ pl(x1 x2 +y1 y2 +x2 y1 )+kqx1 y2 = pl(x1 x2 +y1 x2 +y2 x1 +y1 y2 )+sx1 x2 ⇔ ⇔ kqx1 y2 = plx1 y2 + sx1 y2 ⇔ kq = pl + s

kq = pl + s äîñòàòî÷íî äëÿ φ. Ïóñòü p = (p1 , p2 , p3 )  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò G. Óáåäèìñÿ ÷òî ∃!x : φ(x) = p.    kx1 + px2 = p1 ; lx1 + qx2 = p2 ;   F (x1 , x2 ) + sx3 = p3 . Òåïåðü óáåäèìñÿ ÷òî ýòîãî æå óñëîâèÿ

áèåêòèâíîñòè

kq − pl = s = ±1, ýòà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ∀p1 , p2 , p3 . Ñëåäîâàòåëüíî, φ - áèåêöèÿ. 2. ×èñëà àéäåìàñòåðà àâòîìîðèçìîâ ãðóïïû G. Ëåììà 1. Åñëè s = 1, òî R(φ) = ∞. Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé àâòîìîðèçì φ ñ s = 1. Çàèêñèðóåì x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ G. Îïèøåì åãî êëàññ ñêðó÷åííîé ýêâèâàëåíòíîñòè xφ . −1 Åñëè g = (g1 , g2 , g3 ) ∈ G òî g = (−g1 , −g2 , g1 g2 − g3 ); −1 φ(g ) = (−kg1 − pg2 , −lg1 − qg2 , −g3 + Q(g1 , g2 )), ãäå Q - êâàäðàòè÷ ñèëó òîãî, ÷òî ðåøåíèå,

íûé ïîëèíîì äâóõ ïåðåìåííûõ.

gxφ(g −1 ) = (g1 , g2 , g3 )(x1 x2 x3 )(−kg1 −pg2 , −lg1−qg2 , −g3 +Q(g1 , g2 )) = = (g1 +x1 , g2 +x2 , g3 +x3 +g1 x2 )(−kg1 −pg2 , −lg1 −qg2 , −g3 +Q(g1 , g2 )) = = (x1 +(1−k)g1 −pg2 , x2 −lg1 +(1−q)g2 , g3 −g3 +x3 +g1 x2 +Q(g1 , g2 )− − (g1 + x1 )(lg1 + qg2 )) = = (x1 + (1 − k)g1 − pg2 , x2 − lg1 + (1 − q)g2 , x3 + Q1 (g1 , g2 )).

(3)

63

ãäå

Q1

- äðóãîé êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîì äâóõ ïåðåìåííûõ (x èê-

ñèðîâàí). àññìîòðèì

íóëåâîé óðîâåíü L0 = {x ∈ G | x1 = 0}.

Åãî

ìîæíî î÷åâèäíûì îáðàçîì îòîæäåñòâèòü (êàê ìíîæåñòâî è äàæå êàê 2 ãðóïïó) ñ Z . Ïóñòü

x = (0, x2 , x3 ).

Òîãäà

xφ = {((1 − k)g1 − pg2 , x2 − lg1 + (1 − q)g2 , x3 + Q(g1 , g2 ))}, xφ ∩ L0 = 1−k 1−k = {(0, x2 − lg1 + (1 − q) g1 , x3 + Q2 (g1 )) | g1 : g1 ∈ Z} = p p (1 − q)(1 − k) 1−k = {(0, x2 + ( − l)g1 , x3 + Q2 (g1 )) | g1 : g1 ∈ Z}, p p (4) ãäå

Q2

 ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå 2.

Ïðåäñòàâèì ñåáå

L0

êàê ðåøåòêó íà ïëîñêîñòè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

ýòî ìíîæåñòâî, äëÿ ëþáîãî

x ∈ L0 ,

ëåæèò ëèáî íà ïðÿìîé, ëèáî íà

ïàðàáîëå. Íî êîíå÷íûì ÷èñëîì òàêîãî ðîäà ìíîæåñòâ íåëüçÿ çàìîñòèòü âåñü

L0 .

Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Âûáåðåì íà

ïëîñêîñòè êàêóþ-íèáóäü ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþñÿ ñ ðåø¼òêîé áîëåå ÷åì ïî îäíîé òî÷êå è íå ñîâïàäàþùóþ ïî íàïðàâëåíèþ íè ñ îäíîé èç ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ìí-âà

xφ ∩ L0 .

Òîãäà å¼ ïåðåñå÷åíèå

ñ ýòèìè ìíîæåñòâàìè áóäåò ëèáî ïóñòûì, ëèáî îäíîòî÷å÷íûì, ëèáî äâóòî÷å÷íûì. Íî íàøà ïðÿìàÿ ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ðåøåòêè, è âñå ýòè òî÷êè íåëüçÿ çàìîñòèòü êîíå÷íûì ÷èñëîì îäíîòî÷å÷íûõ è äâóòî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ. Ïðîòèâîðå÷èå. Ñòàëî áûòü,

L0

èìååò ïåðåñå÷åíèå ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì êëàññîâ ñêðó÷åííîé ýêâèâàëåíòíîñòè.

Ëåììà 2. Äëÿ êàæäîãî N ∈ N ñóùåñòâóåò àâòîìîðèçì φ ãðóïïû G òàêîé, ÷òî R(φ) = 2N . Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî àâòîìîðèçìà φ, òî åñòü, îòîáðàæåíèÿ âèäà âèäà (2) ñ kq − pl = ±1, èìååì: φ(x) = (kx1 + px2 , lx1 + qx2 , sx3 + Q0 (x1 , x2 )); Ïóñòü g = (g1 , g2 , g3 ). Òîãäà

g −1 = (−g1 , −g2 , g1 g2 − g3 );

φ(g −1 ) = (−kg1 − pg2 , −lg1 − qg2 , −sg3 + Q1 (g1 , g2 )); gxφ(g −1 ) = (g1 + x1 , g2 + x2 , g3 + x3 + g1 x2 )· · (−kg1 − pg2 , −lg1 − qg2 , −sg3 + Q1 (g1 , g2 )) =

= (x1 +(1−k)g1 −pg2 , x2 −lg1 +(1−q)g2 , x3 +2g3 +Q2 (g1 , g2 , x1 , x2 )) 64

k = 1 − N, p = N, l = 1, q = −1. Òîãäà s = kq − pl = N − 1 − N = −1 - óñëîâèÿ Ïðåäëîæåíèÿ 2 âûïîëíåíû. Èìååì:

Âûáåðåì

gxφ(g −1 ) = (x1 + N g1 − N g2 , x2 + 2g2 − g1 , x3 + 2g3 + Q2 (g1 , g2 , x1 , x2 )). (5)

Îáîçíà÷èì:

f2 − f1 ,

f1 = g1 −g2 , f2 = 2g2 −g1 , f3 = g3 . Òîãäà g1 = f2 +2f1 , g2 =

è èìååì:

xφ = {gxφ(g −1 ) | g ∈ G}

= {(x1 + N f1 , x2 + f2 , x3 + 2f3 + Q3 (f1 , f2 , x1 , x2 )) | f1 , f2 , f3 ∈ Z}.

(6)

x è y ïåðâûå êîìïîíåíòû íå ðàâN , òî x ≁ y . Òî åñòü, ïîäìíîæåñòâà H1 , H2 , . . . HN ∈ G, Hr = {(r + f1 N, ∗, ∗) | f1 ∈ Z} òàêîâû, ÷òî ýëåìåíòû èç ðàçíûõ

Îòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè ó ýëåìåíòîâ íû ïî ìîäóëþ ãäå

ïîäìíîæåñòâ íå ýêâèâàëåíòíû. Ïîêàæåì, ÷òî êàæäîå òàêîå ïîäìíî-

æåñòâî ðàñïàäàåòñÿ ðîâíî íà äâà êëàññà ñêðó÷åííîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà âûðàæåíèÿ

Q0 (x1 , x2 ) = mx1 + rx2 + pq

Q0 , Q1 , Q2 , Q3 .

Íàïîìíèì, ÷òî

x2 (x2 − 1) x1 (x1 − 1) + kl + plx1 x2 2 2

- ýòî ìíîãî÷ëåí äâóõ ïåðåìåííûõ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åãî ÷¼òíîñòü åãî çíà÷åíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì íàáîðå àðãóìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ èõ îñòàòêàìè ïðè äåëåíèè íà 4. Ïðîñëåäèâ çà âûêëàäêàìè â íàñòîÿùåé ëåììå, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âñå Ôèêñèðóåì

r ∈ 0, N − 1.

Qi

îáëàäàþò òåì æå ñâîéñòâîì.

Òîãäà, ñîãëàñíî (6),

(r, 0, 0)φ = {(r + N f1 , f2 , 2f3 + Q3 (f1 , f2 , x1 , x2 )) | f1 , f2 , f3 ∈ Z} [ = {(r + N f1 , f2 , 2f3 + Q3 (f1 , f2 , r, 0)) | i,j∈Z4

=

[

| f1 ∈ 4Z + i, f2 ∈ 4Z + j, f3 ∈ Z} =

i,j∈Z4

{(r + N f1 , f2 , 2f3 + (Q3 (i, j, r, 0))mod2) |

| f1 ∈ 4Z + i, f2 ∈ 4Z + j, f2 ∈ Z} ; [ (r, 0, 1)φ = {(r + N f1 , f2 , 2f3 + 1 + (Q3 (i, j, r, 0))mod2) | i,j∈Z4

| f1 ∈ 4Z + i, f2 ∈ 4Z + j, f3 ∈ Z} ; 65

Hr ýêâèâàëåíòåí ëè(r, 0, 0), ëèáî (r, 0, 1). Èìåííî, ýëåìåíò âèäà(r + f1 N, f2 , f3 ) ãäå f1 = i(N ), f2 = j(N ) ëåæèò â (r, 0, 0)φ åñëè f3 èìååò òó æå ÷¼òíîñòü, ÷òî è Q3 (i, j, r, 0) è â (r, 0, 0)φ , åñëè äðóãóþ. Çíà÷èò, êàæäîå èç ïîäìíîæåñòâ Hr ðàñïàäàåòñÿ íà äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè. Íî ýòèõ ìíîæåñòâ N øòóê è âìåñòå îíè äàþò âñþ ãðóïïó G. Çíà÷èò, ãðóïïà G ðàñïàäàåòñÿ â 2N êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè, òî åñòü R(φ) = 2N . Òàêèì îáðàçîì, âèäíî, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò èç

áî

ÓÄÊ 519.62

Íîðìàëèçàöèÿ ñèñòåìû ñ ïåðèîäè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûì çàïàçäûâàíèåì

È. Ñ. Êàùåíêî ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï. . Äåìèäîâà Èçó÷àåòñÿ äèíàìèêà äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì (T

x˙ + γx = a

Z0

cos(σ

≫ 1)

s )x(t + s)ds + px2 + F (x), T

(1)

−T

a < 0, γ > 0,

ãäå

ïðè÷åì

γ 2 + 2a > 0,

à

F (x)

èìååò â íóëå ïîðÿäîê

ìàëîñòè âûøå âòîðîãî. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëîêàëüíàÿ äèíàìèêà çàäà÷è (1) â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ â ãëàâíîì ïîâåäåíèåì ðåøåíèé íîðìàëèçîâàííîé ñèñòåìû  ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íå ñîäåðæàùåé áîëüøîé ïàðàìåòð. Íàïðèìåð, åñëè

σ = 2πn (n > 0), íîðìàëèçîâàííàÿ ñèñòåìà áóäåò èìåòü

âèä: ′

ξk =

Çäåñü

P



 π2 2γ 2 π 4 2 2 2 2 2 2 4 (n − k )((2a + γ )k − γ n ) + (k − n )i ξk − 2a2 k 2 a2 k 3 ′ π 2 n2 γ − pϕk (ξ), k 6= 0, ±n; ξ0 = ξ0 . a

ϕk (ξ)  ýòî êîýèöèåíò ïðè e2kπit !2 ξm e2mπit

â ðàçëîæåíèè âûðàæåíèÿ

â ðÿä Ôóðüå.

m6=±n

àáîòà

âûïîëíåíà

Ó.04.01.052.

66

ïðè

ïîääåðæêå

ïðîãðàììû

Óíèâåðñèòåòû

îññèè

Àíàëîãè÷íàÿ ñèñòåìà ïîëó÷àòñÿ è â ñëó÷àå

σ = π(2n + 1).

[1℄ Êàùåíêî È. Ñ. Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà îäíîãî êëàññà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðàñïðåäåëåííûì çàïàçäûâàíèåì.   êí.: Ñîâð. ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè è èíîðìàòèêè. Âûï. 7.  ßðîñëàâëü, 2005.  140147. ÓÄÊ 514.763.85, 517.972.6

Î ðåäóêöèè óðàâíåíèÿ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé

À. Â. Êèñåëåâ Èâàíîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýíåðãåòè÷åñêèé óíèâåðñèòåò  ðàáîòå ïðèâåäåíû ñâîéñòâà àëãåáðû Ëè êîíòàêòíûõ ñèììåòðèé EminΣ äâóìåðíûõ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé â E3 ; ïî-

óðàâíåíèÿ

ñòðîåíà ñïèðàëåîáðàçíàÿ ìèíèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè âðàùåíèÿ è ðàñòÿæåíèÿ. Îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ ñëåäóþò [1, 3, 5℄. Âñå ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòåé ñîõðàíÿþò3 ñÿ ïðè çàìåíàõ x ↔ y , z 7→ −z êîîðäèíàò 0xyz â ïðîñòðàíñòâå E .

1. Ëåæàíäðîì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà 1

[6℄.

Óðàâíåíèå äâóìåðíûõ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé

(1 + u2y ) uxx − 2uxuy uxy + (1 + u2x ) uyy = 0,

(1)

çàäàííûõ â íåïàpàìåòpè÷åñêîé îðìå Σ = {z = u(x, y)} ⊂ E3 , îòîáðàæàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëåæàíäðà L = {w = xux + yuy − u, p = ux , q = uy } â ëèíåéíîå ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1 + p2 ) wpp + 2pq wpq + (1 + q 2 ) wqq = 0.

(2)

Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå L−1 = {x = wp , y = wq , u = pwp + qwq − w} ñîïîñòàâëÿåò ðåøåíèÿì óðàâíåíèÿ (2) ìèíèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè Σ . Êàæäîé ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ (2) ñîîòâåòñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ (1). Ïîñêîëüêó îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèå

ℓ¯F (ϕ) = 0, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò [1℄ èíèíèòåçèìàëüíûå ñèìϕ ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ {F = 0}, ñîâïàäàåò ñ ñàìèì

ìåòðèè

ýòèì óðàâíåíèåì, òî ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 1 [5℄. Àëãåáðà Ëè sym EminΣ êîíòàêòíûõ ñèììåòðèé óðàâíåíèÿ (1) ïîðîæäåíà ðåøåíèÿìè ϕ = w(ux , uy ) óðàâíåíèÿ (2), â òîì ÷èñëå ϕ1 = 1 (ñäâèã) è ϕi2 = uxi (òðàíñëÿöèè; x1 ≡ x, x2 ≡ y ), à

67

i i òàêæå òî÷å÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ϕ12 3 = yux − xuy , ϕ3 = x + uuxi (âðàùåíèÿ) è ϕ4 = u − xux − yuy (ðàñòÿæåíèå).

Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñåìüþ òî÷å÷íûìè ñèììåò-

ðèÿìè

ϕ1 , . . ., ϕ4

óêàçàíû â [4℄.

Âñå êîíòàêòíûå ñèììåòðèè ϕ(ux , uy ) ∈ sym EminΣ êîììóòèðóþò [5℄ ìåæäó ñîáîé. Äëÿ ëþáîé ñèììåòðèè ϕ(ux , uy ) ∈ sym EminΣ âûïîëíåíî Óòâåðæäåíèå 2.

{ϕ12 3 , ϕ} = ux

∂ϕ ∂ϕ − uy , ∂uy ∂ux

{ϕ4 , ϕ} = −ϕ,

{ϕi3 , ϕ} = −uxi ϕ + (1 + u2xi )

∂ϕ ∂ϕ + ux uy . ∂uxi ∂ux3−i

Ïîäàëãåáðà Ëè h ðåøåíèé ϕ(ux , uy ) óðàâíåíèÿ (2)  ðàäèêàë àëãåáðû Ëè sym EminΣ êîíòàêòíûõ ñèììåòðèé óðàâíåíèÿ (1).  [5℄ áûëè ïîñòðîåíû äâå áåñêîíå÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñèì-

ìåòðèé ìåð

uy );

ϕ ∈ h,

ïîëèíîìèàëüíûõ ïî îäíîìó èç àðãóìåíòîâ (íàïðè-

êàæäîé ñòåïåíè

Ïðèìåð 1

ϕ8 =

ïîëèíîìîâ ñîîòâåòñòâóþò äâà ðåøåíèÿ.

ϕ12 = ux ,

ϕ1 = 1, ϕ6 =

k

[3℄. Ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà÷èíàþòñÿ ñå÷åíèÿìè

ϕ22 = uy ,

ux u2y + arctg ux , 1 + u2x ux u3y 3 ux uy + , 2 2 (1 + ux ) 2 1 + u2x

ϕ7 = ϕ9 =

ϕ5 = uy arctg ux ,

u2y 1 + u2x

− ux arctg ux ,

u2x − 1 3uy · u3y − . 2 2 (1 + ux ) 1 + u2x

Îòîáðàæåíèÿ adϕ12 è adϕi3 : h → h çàäàþò ëîêàëü3 íûå îïåðàòîðû ðåêóðñèè íà àëãåáðå Ëè sym EminΣ , Óòâåðæäåíèå 3.

Ïðèìåð 2.

Ïåðå÷èñëåííûå â ïðèìåðå 1 ñèììåòðèè îòîáðàæàþòñÿ

ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé íèæå ñõåìå:

adϕ2

adϕ1

− 21 adϕ12

ϕ5 −−−−3→ ϕ6 −−−−3→ ϕ7 −−−−−−3→ ϕ8 − 12 ϕ5   − ad 1 adϕ1  ϕ3 y 3y adϕ2

ϕ22 −−−−3→ ϕ1

Ñèììåòðèÿ

ϕ5

ϕ9 + 27 ϕ22 .

ñëóæèò ¾çàòðàâêîé¿ äëÿ îáåèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

Èç òåîðåìû 1 è óòâåðæäåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî êàæäîé êîíòàêòíîé ñèììåòðèè

ϕ ∈ h

óðàâíåíèÿ (1) ìîæíî äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè

ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ìèíèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü

68

Σ:

1) Ïîñêîëüêó

ϕ(p, q) åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2), òî îáðàç L−1 (ϕ)

îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà îïèñûâàåò ìèíèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè.

EminΣ ∩ {ϕ = 0} óðàâíåíèÿ (1) ñèììåòðèåé ϕ ∈ h ⊂ 3 çàäàåò ϕ-èíâàðèàíòíóþ ïîâåðõíîñòü â E , ñì. ï. 2. Ïðèìåð 3. åøåíèþ ϕ5 = q arctg p óðàâíåíèÿ (2) ñîîòâåòñòâóåò 3 ãåëèêîèä {z = x tg y} ⊂ E ñ îñüþ 0y è îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè 0xz .  òî æå âðåìÿ ìèíèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ñèììåòðèè ϕ5 = uy arctg ux , åñòü ïëîñêîñòü. Çàìå÷àíèå 1. åíåðàòîðû àëãåáðû Ëè sym EminΣ , óêàçàííûå â óòâåðæäåíèè 1, çàäàþò ñèììåòðèè ut = ϕ([u]; x, y) ïîâåðõíîñòåé Σ = {z = u(x, y)}. Îïåðàòîðû ðåêóðñèè (ñì. óòâåðæäåíèå 3 è [5℄) ïîñòàâëÿþò äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè Σ . 2.  pàáîòå [4℄ áûëè îïèñàíû ìèíèìàëüíûå ïîâåpõíîñòè Σ (íà2) åäóêöèÿ

sym EminΣ

ïpèìåp, êàòåíîèä, ãåëèêîèä, ïîâåpõíîñòü Ùåpêà [7℄), èíâàpèàíòíûå

ϕ òî÷å÷íûõ ñèìϕ1 , . . ., ϕ4 ópàâíåíèÿ (1); äëÿ ýòîãî påøàëèñü ñîâìåñòíî ópàâíåíèå (1) è ϕ = 0. Òàêæå â [4℄ áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à påäóê12 öèè (1) êîìïîçèöèåé φ = ϕ3 + ϕ4 âpàùåíèÿ è pàñòÿæåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 4 [4℄. Ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (ρ, θ) íà ïëîñêîñòè 0xy . Òîãäà âñÿêàÿ ìèíèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü σ ⊂ E3 , èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ñèììåòðèè φ = u − (x − y)ux − (x + y)uy , çàäàíà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (z , ρ, θ) ñîîòíîøåíèåì z = ρ·h(θ−ln ρ), ãäå óíêöèÿ h(q) àðãóìåíòà q = θ − ln ρ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî íåêîòîpûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé

ìåòpèé

h′′ · (h2 + 2) + h − 2h′ − (h′ )3 − (h − h′ )3 = 0.

(3)

Ñëåäñòâèå 1. Ïîâåðõíîñòè σ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ áîêîâîé ãðàíè öèëèíäðà Q = {ρ = 1} ⊂ E3 âäîëü ëîãàðèìè÷åñêèõ ñïèðàëåé ρ = const · exp(θ), θ ∈ R, ïî êîíóñàì z= ρ·h(q) , âîñïðîèçâîäÿ âûñåêàåìûé èìè íà öèëèíäðå ïðîèëü Π = z = h(q) ρ=1 ðåøåíèÿ h. ′ ′ 2 Ïîäñòàíîâêà h = ξ , h = η(ξ) îòîáðàæàåò (3) â óðàâíåíèå η η (ξ + 3 3 2) + ξ − 2η − η − (ξ − η) = 0 ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ; çàäàííûé

èì àçîâûé ïîðòðåò óðàâíåíèÿ (3) èññëåäîâàí â [2℄. Ïðåäúÿâèì èñêîìûå

φ-èíâàðèàíòíûå

ìèíèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè

â ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè.

L íà ñèñòåìó, ñîñòîÿφ = 0; ïîëó÷èì (2) è, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå w + q wp − p wq = 0.  ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ p = ̺ cos ϑ, q = ̺ sin ϑ íà ïëîñêîñòè 0pq âòîðîå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä w − wϑ = 0, îòêóäà w = ω(̺) exp(ϑ). Ïîäñòàâëÿÿ w(̺, ϑ) â (2), ìû ïðèõîäèì ê Ïîäåéñòâóåì ïðåîáðàçîâàíèåì Ëåæàíäðà

ùóþ èç (1) è óðàâíåíèÿ

69

óðàâíåíèþ

̺2 · (1 + ̺2 ) ω ′′ (̺) + ̺ ω ′ (̺) + ω(̺) = 0.

Åãî êîìïëåêñíî

ñîïðÿæåííûå ðåøåíèÿ òàêîâû:

ω ± = 2 + ̺2


21


− 1
1  exp ± arctg −(1 + ̺2 ) 2 ± arth −(1 + ̺2 ) 2 ;

èõ âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè îïðåäåëÿþò ïàðó óíêöèé

p
w± = ω± ( p2 + q 2 ) exp arctg(q/p) ,

à òå, â ñâîþ î÷åðåäü, çàäàþò ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå

φ-

èíâàðèàíòíûõ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé ïîñðåäñòâîì îáðàòíîãî −1 ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà L . Çàìå÷àíèå 2. ðàèêè z = u(x, y) ïîëó÷åííûõ âûøå ðåøåíèé
L−1 w(p, q) íåòðèâèàëüíî ïåðåêëåèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé [2℄. Ïðîèëü Π îáùåãî ïîëîæåíèÿ, çàäàííûé ïîâåðõíîñòüþ σ íà áîêîâîé ãðàíè öèëèíäðà Q (ñì. ñëåäñòâèå 1), èçîáðàæåí íèæå íà ðèñóíêå. h(q) 6 $

Rr

σ1 σ2

àñïðîñòðàíåíèå ïðîèëÿ

Π

Π

rS

q

%

ñ öèëèíäðà

Q ⊂ E3

îïðåäåëÿåòñÿ

ñëåäñòâèåì 1; â íà÷àëå êîîðäèíàò ïîâåðõíîñòü èìååò îñîáåííîñòü. îðèçîíòàëüíóþ ïðîåêöèþ ïðîèëÿ ìîæíî ñäåëàòü ñîèçìåðèìîé ñ

2π ,

ñêîëü óãîäíî ìàëî ñäâèãàÿ âïðàâî ðåáðî

ê íåìó êîìïîíåíòû

σ1

è

σ2

R

è ïðèìûêàþùèå

ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ïîäêëåè-

âàÿ íåîáõîäèìîå ÷èñëî ïðîèëåé ïîñëåäîâàòåëüíî íà îêðóæíîñòè

{q ∈ R}/2πZ,

ìîæíî ñäåëàòü ìèíèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü

íåñóùåé: êàæäîå ðåáðî ñïèðàëè

R

σ

ñàìî-

áóäåò ðàñïîëîæåíî íà ëîãàðèìè÷åñêîé

S.

Àâòîð áëàãîäàðåí . Âèòîëî è Ä. Â. Ïåëèíîâñêîìó çà ñòèìóëèðóþùèå çàìå÷àíèÿ, à òàêæå Â. È. Âàðëàìîâó çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. àáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãpàíòà 650 CP/D óíèâåðñèòåòà Ëå÷÷å.

[1℄ Áî÷àðîâ À. Â., Âåðáîâåöêèé À. Ì., Âèíîãðàäîâ À. Ì. è äð. Ñèììåòðèè è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè / åä. À. Ì. Âèíîãðàäîâ è È. Ñ. Êðàñèëüùèê. 2-å èçä.  Ì.: Ôàêòîðèàë, 2005. [2℄ Âàðëàìîâ Â. È., Êèñåëå â À. Â. Î íîâîì êëàññå ñïèðàëüíûõ ìèíèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïðåïðèíò ÂÌ-4/05.  Èâàíîâî: È ÝÓ, 2005. 70

[3℄ Êèñåëå â À. Â., Ìàííî Äæ. Î íåïîëèíîìèàëüíûõ ñòpóêòópàõ, äîïóñêàåìûõ ïîëèíîìèàëüíûìè äèåpåíöèàëüíûìè ópàâíåíèÿìè. Âåñòíèê È ÝÓ.  2004.  3.  3031. [4℄ Bla N. Lie groups appli ations to minimal surfa es PDE. Di. Geom.  Dynam. Systems.  1999.  1, 1.  19. [5℄ Kiselev A. V., Manno G. On the symmetry stru ture of the minimal surfa e equation.   êí.: Pro . IX onf. `Dierential Geometry and Its Appli ations', 2004.  Prague, 2005 (â ïå÷àòè). [6℄ Legendre A. M
emoire sur l'int
egration de quelques
equations aux diff
eren es partielles. M
em. A ad. Roy. S i. Paris.  1789.  309351. [7℄ Nits he J. C. C. Vorlesungen u ber Minimal a hen.  Berlin: SpringerVerlag, 1974. ÓÄÊ 517.956.224

Çàäà÷à Äèðèõëå  Íåéìàíà äëÿ äèññèïàòèâíîãî óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà â äâóìåðíîé îáëàñòè ñ òðåùèíàìè ñ óñëîâèåì Íåéìàíà íà òðåùèíàõ

Â. Â. Êîëûáàñîâà Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Çàäà÷è Äèðèõëå è Íåéìàíà äëÿ äèññèïàòèâíîãî óðàâíåíèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ âîëí â îáëàñòÿõ ñ ýêðàíàìè èçó÷àëèñü â [1, 2℄. 2 Íà ïëîñêîñòè x ∈ R ðàññìîòðèì ìíîãîñâÿçíóþ îáëàñòü, îãðàíè1 1 ÷åííóþ ïðîñòûìè ðàçîìêíóòûìè êðèâûìè (ýêðàíàìè) Γ1 , . . . , ΓN ∈ 1 2 2 2,λ 2,λ C è ïðîñòûìè çàìêíóòûìè êðèâûìè Γ1 , . . . , ΓN2 ∈ C , λ ∈ (0, 1], òàê, ÷òî êðèâûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, â ÷àñòíîñòè, êîíöîâ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àé âíåøíåé îáëàñòè, òàê è ñëó÷àé âíóòðåí2 íåé îáëàñòè, êîãäà êðèâàÿ Γ1 îõâàòûâàåò âñå îñòàëüíûå. Ïîëîæèì S S N N 1 2 Γ1 = n=1 Γ1n , Γ2 = n=1 Γ2n , Γ = Γ1 ∪ Γ2 . Ñâÿçíóþ îáëàñòü, îãðà2 1 2 íè÷åííóþ Γ è ñîäåðæàùóþ Γ , áóäåì íàçûâàòü D , òàê ÷òî ∂D = Γ , Γ1 ⊂ D. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ êðèâàÿ Γjn , j = 1, 2, ïàðàìåòðèçîâàíà äëèíîé äóãè s:


  Γjn = x : x = x(s) = x1 (s), x2 (s) , s ∈ ajn , bjn , n = 1, . . . , Nj ,

1 1 1 1 2 2 2 òàê, ÷òî a1 < b1 < · · · < aN < bN < a1 < b1 < · · · < aN < 1 1 2 2 bN2 è îáëàñòü D îñòà¼òñÿ ñïðàâà ïðè âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà s íà     S S N1 N2 1 1 2 2 Γ2n . Ñîâîêóïíîñòè îòðåçêîâ îñè Os n=1 an , bn , n=1 an , bn è

71

S2

S



Nj j j n=1 an , bn j=1 ñòâåííî. Äëÿ j =



äàëåå òàêæå áóäåì îáîçíà÷àòü

0, 1

è

r ∈ [0, 1]

Γ1 , Γ2

è

Γ

ñîîòâåò-

ïîëîæèì


C j,r Γ2n =   

= F (s) : F (s) ∈ C j,r a2n , b2n , F (m) a2n = F (m) b2n , m = 0, j ,




TN2 C j,r Γ2 = n=1 C j,r Γ2n . Ïóñòü nx = x′2 (s), −x′1 (s)  âåêòîð 1 íîðìàëè ê Γ â òî÷êå x(s). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü Γ êàê ñîâîêóïíîñòü

è

ðàçðåçîâ.

Îïðåäåëåíèå 1.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ

 K, åñëè 
u ∈ C 0 D \ Γ1 ∩ C 2 D \ Γ1

u(x)

ïðèíàäëåæèò

êëàññó ãëàäêîñòè 1)

u(x)

íåïðåðûâíà íà êîíöàõ

Γ  ;  ∇u ∈ C D \ Γ1 \ X , ãäå X  ìíîæåñòâî  

SN1 1 1 1 èç êîíöîâ Γ : X = x a ∪ x b ; n n n=1 ðàçðåçîâ

2)

è

1

0

3) â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè

C > 0, ǫ > −1

x(d) ∈ X

òî÷åê, ñîñòîÿùåå

äëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíò

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|∇u| 6 C|x − x(d)|ǫ , ãäå

x → x(d)

è

(1)

d = a1n èëè d = b1n , n = 1, . . . , N1 . u(x) è ∇u(x) íåïðåðûâíî ïðîäîëæèìû

 îïðåäåëåíèè 1 íà ðàçΓ1 \X ñëåâà è ñïðàâà, íî ìîãóò èìåòü ñêà÷îê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç

ðåçû 1

Γ \ X.

Çàäà÷à

U.

Íàéòè óíêöèþ

u(x)

èç êëàññà

K,

êîòîðàÿ óäîâëå2 u(x) = 0,

òâîðÿåò óðàâíåíèþ åëüìãîëüöà ux1 x1 (x) + ux2 x2 (x) + k x ∈ D \ Γ1 , k = const, Im k > 0, è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

∂u(x) = f1 (s), ∂nx x(s)∈Γ1

u(x)|x(s)∈Γ2 = f2 (s).

(2)

Åñëè D  âíåøíÿÿ îáëàñòü, äîáàâèì óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè u = p

o |x|−1/2 , |∇u(x)| = o |x|−1/2 , |x| = x21 + x22 → ∞. Âñå óñëîâèÿ çàäà÷è U äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå.

Ñ ïîìîùüþ ýíåðãåòè÷åñêèõ òîæäåñòâ ìîæíî äîêàçàòü òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè.

Åñëè Γ ∈ C 2,λ , λ ∈ (0, 1], òî çàäà÷à U èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Òåîðåìà 1.

72

Íèæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî


f1 (s) ∈ C 0,λ Γ1 , Ïîä

R

. . . dσ

Γj


f2 (s) ∈ C 1,λ Γ2 ,

áóäåì ïîíèìàòü

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è

u[µ](x) =

i 4

Z

µ(σ)V (x, σ) dσ + Γ1

PNj R bjn n=1 ajn

U

â âèäå

Z

µ(σ)

i 4

Γ2

λ ∈ (0, 1].

(3)

. . . dσ .


∂ (1) H0 k|x − y(σ)| dσ, ∂ny

(4)

ãäå

V (x, σ) =

Z

σ

a1n

(1)

H0 (z)


∂ (1) H0 k|x − y(ξ)| dξ, ∂ny

  σ ∈ a1n , b1n ,

n = 1, . . . , N1 ,

 óíêöèÿ Õàíêåëÿ ïåðâîãî ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà.



µ(s) â ïðîñòðàíñòâå Cqω Γ1 ∩C 1,λ/4 Γ2 , ω ∈ (0, 1], q ∈ [0, 1), ñ íîðìîé k · kCqω (Γ1 ) + k · kC 1,λ/4 (Γ2 ) .
ω Γ1 , åñëè µ1 (s) ∈ Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî µ(s) ∈ Cq
Q N1 s − a1n q s − b1n q , è kµ(·)kC ω (Γ1 ) = C 0,ω Γ1 , ãäå µ1 (s) = µ(s) n=1 q kµ1 (·)kC 0,ω (Γ1 ) . Êðîìå òîãî, óíêöèÿ µ(s) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì Áóäåì èñêàòü

Z

b1n

µ(σ) dσ = 0,

n = 1, . . . , N1 .

(5)

a1n

Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû [3℄, ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè µ(s) ïðè

Cqω Γ1 ∩ C 1,λ/4 Γ2 , ω ∈ (0, 1], q ∈ [0, 1), è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (5), òî óíêöèÿ (4) óäîâëåòâîðÿåò âñåì íàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó

óñëîâèÿì çàäà÷è, êðîìå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2). ×òîáû óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ïîäñòàâèì (4) â (2) è ïîëó÷èì èíòåãðàëüµ(s) íà Γ1 è Γ2

íûå óðàâíåíèÿ äëÿ

1 π

Z

Γ1

µ(σ)

dσ + σ−s µ(s) +

Z

Γ

Z

Γ

µ(σ)Y1 (s, σ) dσ = −2f1 (s), µ(σ)Y2 (s, σ) dσ = 2f2 (s),

s ∈ Γ1 , s ∈ Γ2 ,

(6)

(7)

73

ãäå

(

" !

1 sin ϕ0 x(s), y(σ) 1 Y1 (s, σ) = 1 − δ(σ) − − π |x(s) − y(σ)| σ−s  

i ∂ i ∂ ∂ (1) − V0 x(s), σ − δ(σ) H0 k|x(s) − y(σ)| ∈ 2 ∂nx 2 ∂nx ∂ny
0,p0 1 ∈C Γ ×Γ ,

p0 = λ, åñëè 0 < λ < 1, è p0 = 1 − ǫ0

äëÿ ëþáîãî

(ñì. [4, ëåììà 3℄),

ǫ0 ∈ (0, 1), åñëè λ = 1



i
i ∂ (1) 1 − δ(σ) V x(s), σ + δ(σ) H0 k|x(s) − y(σ)| , 2 2 ∂ny Z σ
  ∂ h k|x − y(ξ)| dξ, σ ∈ a1n , b1n , n = 1, . . . , N1 , V0 (x, σ) = a1n ∂ny 2i z (1) h(z) = H0 (z) − ln , π k δ(s) = 0, åñëè s ∈ Γ1 , è δ(s) = 1, åñëè s ∈ Γ2 . ×åðåç ϕ0 (x, y) îáîçíà÷åí − → óãîë ìåæäó âåêòîðîì xy è íàïðàâëåíèåì íîðìàëè nx . Óãîë ϕ0 (x, y) ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí îòëîæåí îò nx ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êðîìå òîãî, ϕ0 (x, y) íåïðåðûâåí ïðè x, y ∈ Γ, åñëè x 6= y . Ñîãëàñíî [3, 4℄, Y2 (s, σ) ∈
C 0 Γ2 × Γ , ò. ê. Γ ∈ C 2,λ . Y2 (s, σ) =

Ïîëüçóÿñü òåõíèêîé èç [3, 4℄, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå ðå

Cqω Γ1 ∩ C 0 Γ2 , ω ∈ (0, 1],

q ∈ [0, 1), àâòîìàòè÷åñêè ïðèíàäëåæèò Cqω Γ1 ∩ C 1,λ/4 Γ2 . Ïîýòî

ω 1 ìó íèæå áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ñèñòåìû (5)(7) â Cq Γ ∩ C 0 Γ2 . Ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (5)(7) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àøåíèå óðàâíåíèÿ (7) â ïðîñòðàíñòâå

åì ñèñòåì, èçó÷åííûõ â [5℄. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1 ìîæíî äîêàçàòü,

÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (5)(7) èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

Cqω Γ1 ∩ C 0 Γ2 , ω ∈ (0, 1], q ∈ [0, 1). Èñïîëüçóÿ ýòîò àêò è ñëåäñòâèå 1 â [5℄, ìîæíî äîêàçàòü ëåììó. 2,λ â ïðîñòðàíñòâå

Ëåììà. Åñëè Γ ∈ C , λ ∈ (0, 1], è âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3), òî

p ñèñòåìà óðàâíåíèé (5)(7) èìååò ðåøåíèå µ(s) ∈ C1/2 Γ1 ∩ C 0 Γ2 , p = min{1/2, λ}. Ýòî
ðåøåíèå
ñèñòåìû (5)(7) åäèíñòâåííî â ïðîp ñòðàíñòâå C1/2 Γ1 ∩ C 0 Γ2 . 2,λ Òåîðåìà 2. Åñëè Γ ∈ C , λ ∈ (0, 1], è âûïîëíåíû óñëîâèÿ (3), òî ðåøåíèå çàäà÷è U ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è äà¼òñÿ îðìó

p ëîé (4), ãäå µ(s)  ðåøåíèå ñèñòåìû (5)(7) â C1/2 Γ1 ∩ C 0 Γ2 , p = min{1/2, λ}, ãàðàíòèðîâàííîå ëåììîé.

74

åøåíèå çàäà÷è

U

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1) ñ

ǫ = −1/2.

[1℄ Krutitskii P. A. The Diri hlet problem for the dissipative Helmholtz equation in a plane domain bounded by losed and open urves. Hiroshima Math. J.  1998.  28,  1.  149168. [2℄ Krutitskii P. A. The Neumann problem for the 2-D Helmholtz equation in a domain, bounded by losed and open urves. Int. J. Maths. Math. S i.  1998.  21,  2.  209216. [3℄ Êðóòèöêèé Ï. À. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà âíå ðàçðåçîâ íà ïëîñêîñòè. ÆÂÌ è ÌÔ.  1994.  34,  89.  12371257. [4℄ Êðóòèöêèé Ï. À. Çàäà÷à Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà âíå ðàçðåçîâ íà ïëîñêîñòè. ÆÂÌ è ÌÔ.  1994.  34,  11.  16521665. [5℄ Êðóòèöêèé Ï. À. Î ñâîéñòâàõ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îïåðàòîðàìè Êîøè. ÄÀÍ.  2001.  376,  11.  1720. ÓÄÊ 517.956.224

Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ìíîãîñëîéíîãî êîëüöà, ïîäêðåïëÿþùåãî êðóãîâîå îòâåðñòèå â âåñîìîé ïîëóïëîñêîñòè ñ íàêëîííîé ãðàíèöåé

Ñ. Â. Êíÿçåâà Òóëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ïðåäëîæåíî íîâîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î ïëîñêîé äåîðìàöèè óïðóãîé âåñîìîé ïîëóáåñêîíå÷íîé ñðåäû S0 , îãðàíè÷åí′ íîé íàêëîííîé ãðàíèöåé L0 (β  óãîë íàêëîíà ê ãîðèçîíòàëè), îñëàáëåííîé êðóãîâûì îòâåðñòèåì

L0

ðàäèóñà

R0 ,

ïîäêðåïëåííûì ìíî-

ãîñëîéíûì êîëüöîì, ñîäåðæàùèì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî

(j = 1, . . . , n),

n

ñëîåâ

Sj

âûïîëíåííûõ èõ ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ. Äåîðìàöèîí-

Sj (j = 0, . . . , n) õàðàêòåðèçóþòñÿ Ej (j = 0, . . . , n) êîýèöèåíòàìè Ïóàññîíà νj (j = 0, . . . , n). Âíóòðåííèé êîíòóð êîëüöà Sn ñâîáîäåí îò äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë. Êîëüöî íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå H îò íàêëîííîé ãðàíè′ öû L0 . Ñëîè Sj (j = 1, . . . , n) è ñðåäà S0 äåîðìèðóþòñÿ ñîâìåñòíî, òî åñòü íà ëèíèÿõ êîíòàêòà Lj (j = 1, . . . , n) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ îáëàñòåé

ìîäóëÿìè óïðóãîñòè

íåïðåðûâíîñòè âåêòîðîâ íàïðÿæåíèé è ñìåùåíèé. Ïîñëå ââåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ

. . . , n)

ϕ˜j (z), ψ˜j (z) (j = 0,

õàðàêòåðèçóþùèõ íàïðÿæåííî-äåîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå

àáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòîì ÍØ-1013.2003.5.

75

îáëàñòåé

Sj (j = 0, . . . , n)

è ñâÿçàííûõ ñ íàïðÿæåíèÿìè èçâåñòíû-

ìè îðìóëàìè Êîëîñîâà  Ìóñõåëèøâèëè, ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê êðàåâîé çàäà÷å òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ

ϕ˜0 (z), ψ˜0 (z),

ðåãóëÿðíûõ â

˜0 ÷åðåç ïðÿìîëèíåéíóþ ãðàîáëàñòè S0 , â âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü S ′ íèöó L0 . Ýòî ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ê èòåðàöèîííîìó ïðîöåññó, ïðè êîòîðîì â êàæäîì ïðèáëèæåíèè ðåøàåòñÿ çàäà÷à äëÿ ìíîãîñëîéíîãî êîëüöà, ïîäêðåïëÿþùåãî îòâåðñòèå â ïîëíîé ïëîñêîñòè, ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, ñîäåðæàùèõ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû, ïðåäñòàâëåííûå â îðìå êîìïëåêñíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà, íåèçâåñòíûå êîýèöèåíòû êîòîðûõ îòûñêèâàþòñÿ íà îñíîâå ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ èòåðàöèîííîãî

ïðîöåññà

(êîãäà

îòëè÷èå

ñîîòâåòñòâóþùèõ

êîýèöèåíòîâ

ñèñòåìû, ïîëó÷åííûõ â äâóõ ïîñëåäóþùèõ ïðèáëèæåíèÿõ, íå ïðå−7 âûøàþò çàðàíåå çàäàííîé ìàëîé âåëè÷èíû ε = 10 ) âû÷èñëÿþòñÿ êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèé â ðÿäû èñêîìûõ êîìïëåêñíûõ ïîòåíöèàëîâ. Äàëåå îïðåäåëÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ â îáëàñòÿõ

Sj (j = 0, . . . , n).

åøåíèå çàäà÷è ðåàëèçîâàíî â âèäå ïðîãðàììû äëÿ ÏÝÂÌ. ÓÄÊ 517, 519.21

Ýíòðîïèÿ è ñêîðîñòü óñëîæíåíèÿ ãðàíèö â ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåìàõ

Ñ. À. Êîìå÷ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

1. Ââåäåíèå. Îäíà èç ãåîìåòðè÷åñêèõ

èíòåðïðåòàöèé ýíòðîïèè

Êîëìîãîðîâà Ñèíàÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñâÿçûâàåò ýòó âåëè÷èíó ñî ñêîðîñòüþ èñêàæåíèÿ ãðàíèö ïðîñòûõ îáëàñòåé â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû. Âïåðâûå ïîäîáíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðàâäà, â íåñòðîãîé îðìå, ïîÿâèëàñü â èçè÷åñêîé ëèòåðàòóðå (ñì. [2, ãë. 1℄).  [3℄ ýòîò âîïðîñ áûë èññëåäîâàí äëÿ ñèìâîëè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíà ñïðàâåäëèâîñòü òàêîãî ïîäõîäà íà ïðîñòîì ïðèìåðå êëàññè÷åñêîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.

n  ãèïåðáîëè÷åñêèé àâòîìîðèçì n-ìåðíîãî òîðà T è n  ýíòðîïèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (T , ν, τ ), ãäå ν  ìåðà Ëå-

Ïóñòü

hν (τ )

τ

áåãà. Äëÿ âñÿêîé òî÷êè ðàäèóñà

76

r

p ∈ Tn

îáîçíà÷èì ÷åðåç

B(p, r) çàìêíóòûé øàð D ⊂ Tn

ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå. Äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà

îáîçíà÷èì ÷åðåç

Uε (D)

åãî

ε-îêðåñòíîñòü.

Ñîðìóëèðóåì îñíîâíîé

ðåçóëüòàò ýòîé ðàáîòû.

Äëÿ âñÿêîé óíêöèè k: R+ → Z+ , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì limε→0 k(ε)/ ln ε = 0 è limε→0 k(ε) = ∞ , ïðè âñåõ p ∈ Tn ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
ν Uε (τ k(ε) B(p, ε)) 1 lim (1) ln = hν (τ ). ε→0 k(ε) ν(B(p, ε)) Òåîðåìà.

Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî èçâåñòíûõ àêòîâ, êàñàþùèõñÿ àâòîìîðèçìà òîðà (ñì., íàïðèìåð, [1℄). Ïóñòü

τ.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç

λ1 . . . λs

Aτ

 ìàòðèöà, èíäóöèðóþùàÿ

å¼ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà

Y

hν (τ ) = ln

i:|λi |>1

|λi |.

(2)

|λi | = 6 1 äëÿ ëþáîãî i. Hs ) ïðÿìóþ ñóììó ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ λi |λi | > 1 (|λi | < 1); Hu , Hs èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî Aτ , Hs ∩Hu = {0} è Rn = Hu ⊕Hs . Òàê êàê

τ

 ãèïåðáîëè÷åñêèé àâòîìîðèçì, òî

Îáîçíà÷èì ÷åðåç

Hu

( îîòâåòñòâåííî,

Íàì ïîòðåáóåòñÿ òàêæå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Óòâåðæäåíèå. Ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû as , au , λs < 1, λu > 1, ÷òî äëÿ ëþáûõ y1 ∈ Hs , y2 ∈ Hu è m ∈ N

m kAm τ y1 k 6 as λs ky1 k,

QHu è Hs ëåáåãîâû λ = i:|λi |>1 |λi |. Òîãäà Bu ⊂ Hu è Bs ⊂ Hs Ââåä¼ì íà

ëîæèì

−m kA−m τ y2 k 6 au λu ky2 k. ìåðû

µu

è

µs

(3)

ñîîòâåòñòâåííî. Ïî-

äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ

µu (Aτ Bu ) = λµu (Bu ),

µs (Aτ Bs ) = λ−1 µs (Bs ).

(4)

2. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.

n ε Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà M ⊂ R îáîçíà÷èì ÷åðåç O (M ) åãî εn îêðåñòíîñòü â R . Ïîëîæèì Hs (y) = y + Hs , Hu (y) = y + Hu , y ∈ Rn . Ìåðû Ëåáåãà íà Hs (y), Hu (y) (ïîëó÷åííûå èç µs , µu ñäâèãîì áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå ñèìâîëàìè µs è µu . Äëÿ ëþáîãî ε Gs ⊂ Hs (y), y ∈ Rn , îáîçíà÷èì ÷åðåç Os,y (Gs ) åãî εε îêðåñòíîñòü â Hs (y). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ìíîæåñòâî Ou,y (Gu ) ⊂ íà

y)

ìíîæåñòâà

Hu (y), ãäå Gu ⊂ Hu (y). Äàëåå, äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè, èíäåêñ y áóäåò îïóñêàòüñÿ. Ïóñòü íè÷åííîå

Gsy

(ñîîòâåòñòâåííî,

ïîäìíîæåñòâî

Guy )

 ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå îãðà-

ãèïåðïëîñêîñòè

Hs (y)

(ãèïåðïëîñêîñòè

77

Hu (y)). Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî Gsy × Guy := {z ∈ Rn : z = ys + yu − y , ys ∈ Gsy , yu ∈ Guy } ïàðàëëåëîãðàììîì â Rn . Äëÿ ëþáûõ y ∈ Rn , δ > 0 δ δ δ ïîëîæèì P (y) = Os (y) × Ou (y). n ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû C1 , C2 , çàâèñÿùèå òîëüêî îò óãëà ìåæäó Hu è Hs , òàêèå, ÷òî P C1 ε (x) ⊂ Oε (x) ⊂ P C2 ε (x).

Îöåíêà ñâåðõó.

(5)

Èç (5) è îïðåäåëåíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà

P C2 ε (x)

ïîëó÷àåì

    Akτ Oε (x) ⊂ Akτ P C2 ε (x) = Akτ OsC2 ε (x) × OuC2 ε (x) , ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà ìåæäó

Hu

è

Hs ,

k ∈ Z+ .

γ1 > 0, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò óãëà

òàêàÿ, ÷òî

Oε (Akτ P C2 ε (x)) ⊂ Osγ1 ε (Akτ OsC2 ε (x)) × Ouγ1 ε (Akτ OuC2 ε (x)). Â

ñèëó

(3)

(6)

(7)

k C ε diam(Aτ Os 2 (x))

6 2as λks C2 ε. Òàê êàê λs < 1 è k(ε) C2 ε ìàëûõ ε (áîëüøèõ k(ε)) Aτ Os (x) ⊂

limε→0 k(ε) = ∞, òî ïðè k(ε) Osε (Aτ x) è, ñëåäîâàòåëüíî,

Osγ1 ε (Aτk(ε) OsC2 ε (x)) ⊂ Osε(1+γ1 ) (Aτk(ε) x), à ïîòîìó

µs (Osγ1 ε (Aτk(ε) OsC2 ε (x))) 6 µs (Osε(1+γ1 ) (Aτk(ε) x)). Òåïåðü îöåíèì

  µu Ouγ1 ε (Akτ OuC2 ε (x)) .

(8)

 ñèëó (3) âûïîëíÿåòñÿ

k k C ε −1 k íåðàâåíñòâî d(Aτ x, ∂(Aτ Ou 2 (x))) > au λu C2 ε, ãäå d  ìåòðèêà â k(ε) k(ε) n R . Ïîýòîìó ìíîæåñòâî Θ(Aτ x), ïîëó÷åííîå èç Aτ OuC2 ε (x) ãîìîk(ε) òåòèåé ñ êîýèöèåíòîì 2 è öåíòðîì â òî÷êå Aτ x, ïðè äîñòàòî÷íî k(ε) C2 ε γ ε ìàëîì ε ñîäåðæèò Ou1 (Aτ Ou (x)). Òàê êàê, î÷åâèäíî,

µu (Θ(Aτk(ε) x)) = 2n−l µu (Aτk(ε) OuC2 ε (x)), ãäå

l

 ðàçìåðíîñòü

Hs ,

èç (4) ñëåäóåò, ÷òî

µu (Ouγ1 ε (Aτk(ε) OuC2 ε (x))) 6 µu (Θ(Aτk(ε) x)) = 2n−l λk(ε) µu (OuC2 ε (x)). (9)

78

µ

Ïóñòü

 ìåðà Ëåáåãà â

Rn .

 ñèëó (7)-(9)

µ(Oε (Aτk(ε) P C2 ε (x))) 6 6 γ0 µs (Osγ1 ε (Aτk(ε) OsC2 ε (x)))µu (Ouγ1 ε (Aτk(ε) OuC2 ε (x))) l

6 γ0 α1 (ε(1 + γ1 )) 2 γ0

ãäå

α2

n−l

k(ε)

λ

n−l

α2 (C2 ε)

 êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ ëèøü îò óãëà ìåæäó

(10)

,

Hu

è

Hs ,

à

α1 ,

 êîíñòàíòû, çàâèñÿùèå òîëüêî îò l .

Îöåíêà ñíèçó. Ïðè âñÿêîì k ∈ Z+ P C1 ε (x) ïîëó÷àåì

èç (5) è îïðåäåëåíèÿ ïàðàëëå-

ëîãðàììà

Osε (Akτ x) × Akτ OuC1 ε (x) ⊂ Oε (Akτ P C1 ε (x)) ⊂ Oε (Akτ Oε (x)). Îáîçíà÷èì ÷åðåç

π

åñòåñòâåííóþ ïðîåêöèþ

Rn

íà

Tn .

(11)

Äëÿ îöåíêè

ìåðû ìíîæåñòâà èç ëåâîé ÷àñòè (11) íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.

k(ε)

Ïðè ìàëîì ε ìíîæåñòâî Oε (Aτ P C2 ε (x)) ïðîåöèðóåòñÿ ïîä äåéñòâèåì π íà Tn âçàèìíî îäíîçíà÷íî. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà P C2 ε (x) ñëåC ε äóåò, ÷òî diam(P 2 (x)) 6 2C2 ε. Ñëåäîâàòåëüíî, Ëåììà.

diam(O ãäå

β = |Aτ |

ε

(Aτk(ε) P C2 ε (x))) 6 2C2 εβ k(ε) + 2ε,

(12)

k(ε) = o ln(ε), 0 ïðè ε → 0. Î÷åâèän ìåíüøå 1, ïðîåöèðóåòñÿ íà T óòâåðæäåíèå ëåììû. 

 íîðìà ìàòðèöû. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû

ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü (12) ñòðåìèòñÿ ê íî, ÷òî ìíîæåñòâî, äèàìåòð êîòîðîãî âçàèìíî îäíîçíà÷íî. Îòñþäà ñëåäóåò Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî

   µ(Oε (Aτk(ε) P C1 ε (x))) = ν π Oε (Aτk(ε) P C1 ε (x)) .

(13)

Èç (4) è (11) ïîëó÷àåì

µ(Oε (Aτk(ε) P C1 ε (x))) > γ0 µs (Osε Aτk(ε) (x))µu (OuC1 ε (x))λk(ε) > γ0 α1 εl α2 (C1 ε)n−l λk(ε) , ãäå

γ0 ,

(14)

êàê è ðàíüøå, çàâèñèò òîëüêî îò óãëà ìåæäó Hu è Hs . p ∈ Tn è x ∈ π −1 p. Òîãäà, â ñèëó (5) è (13)

Ïóñòü òåïåðü

  µ(Oε (Aτk(ε) P C1 ε (x))) 6 ν Uε (τ k(ε) B(p, ε))

(15)

6 µ(Oε (Aτk(ε) P C2 ε (x))). 79

Ïîäñòàâëÿÿ (10) è (14) â (15), ïîëó÷àåì

  γ˜ εn λk(ε) C1 n−l 6 ν Uε (τ k(ε) B(p, ε))

(16)

6 γ˜ (1 + γ1 )l 2n−l λk(ε) C2 n−l εn ,

ãäå

γ˜ = γ0 α1 α2 . Äëÿ ìåðû øàðà èìååì

ν(B(p, ε)) = µ(Oε (x)) = α3 εn , ãäå

α3

 êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò

(17)

n.

Èç (16), (17) è (2) ïîëó÷àåì (1). Òåîðåìà äîêàçàíà.

Çàìå÷àíèå. Ïî-âèäèìîìó, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ãîðàçäî áîëåå øèðîêîãî êëàññà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, â ÷àñòíîñòè äëÿ äèåîìîðèçìîâ Àíîñîâà.

[1℄ óðåâè÷ Á. Ì., Ñèíàé ß. . Äîïîëíåíèå ê êíèãå Ï.Áèëëèíãñëåé: Ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ è èíîðìàöèÿ.  Ì.: Ìèð, 1969. [2℄ Çàñëàâñêèé . Ì. Ñòîõàñòè÷íîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.  Ì.: Íàóêà, 1984. [3℄ Gurevi h B. M. Geometri Interpretation of Entropy for Random Pro esses. AMS Transl. (2)  1996.  171.  8187. ÓÄÊ 512.55

åøåíèå óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

À. À. Êóêóøèíà Êàðåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò

Ââåäåíèå.

Êîëüöîì äâîéíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ êîëüöî

K = {a + b · j/j 2 = 1, a, b ∈ R} ïîëó÷åííîå èç ïîëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë äîáàâëåíèåì ýëåìåíòà j , 2 äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå j = 1. Ïîëó÷åííîå êîëüöî áëèçêî êàê ê ïîëþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñåë

R. Êîëüöî K

C,

òàê è ê ïîëþ äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-

ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî êàê àêòîð-êîëüöî êîëüöà

ìíîãî÷ëåíîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè ïî èäåàëó, ïîðîæx2 − 1.

äåííîìó ìíîãî÷ëåíîì

Äâà ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòà êîëüöà

K

ðàâíû òîãäà è òîëüêî òî-

ãäà, êîãäà ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ ýëåìåíòîâ.

80

Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì îïåðàöèÿì íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè:

(a + b · j) + (c + d · j) = (a + c) + (b + d) · j

(a + b · j) · (c + d · j) = (a · c + b · d) + (a · d + b · c) · j

Íî êîëüöî äâîéíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ öåëîñòíîñòè, òàê êàê â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

K

ýëåìåíòû

1+j

è

äåëèòåëÿìè íóëÿ.

1−j

ÿâëÿþòñÿ

¾åøåíèå óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë¿ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé òåìîé äëÿ èçó÷åíèÿ, òàê êàê ïðè èçó÷åíèè äàííîé òåìû îáîáùàåòñÿ âîïðîñ îá èçâëå÷åíèè êîðíåé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èèñåë.

åøåíèå óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë.

îáùåãî âèäà ñòåïåíè

n

â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

K

Óðàâíåíèå

èìååò âèä:

(an +bn ·j)·xn +(an−1 +bn−1 ·j)·xn−1 +· · ·+(a1 +b1 ·j)·x+(a0 +b0 ·j) = 0 ïðè÷åì ÷èñëà

an , an−1 , . . . , a1 , a0

è

bn , bn−1 , . . . , b1 , b0

ÿâëÿþòñÿ ïðî-

èçâîëüíûìè äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Òåîðåìà 1. Ïðîèçâîëüíîå íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî m ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ðåøåíèé íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè n â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë K òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà m ïðåäñòàâèìî â âèäå m = t · s, ïðè÷åì öåëûå ÷èñëà t è s óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 0 6 t, s 6 n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçâîëüíîå íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî m ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ðåøåíèé íåêîòîðîãî

óðàâíåíèÿ

(an +bn ·j)·xn +(an−1 +bn−1 ·j)·xn−1 +· · ·+(a1 +b1 ·j)·x+(a0 +b0 ·j) = 0 (1)

â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

K . Òîãäà äîêàæåì, ÷òî m

ïðåäñòàâèìî â

m = t · s, ïðè÷åì t è s óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 0 6 t, s 6 n. x = y + z · j  îäèí èç êîðíåé äàííîãî óðàâíåíèÿ (1), òîãäà âìåñòî x, ïîäñòàâëÿÿ y + z · j â äàííîå óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì

âèäå

Ïóñòü

óðàâíåíèå âèäà

(an + bn · j) · (y + z · j)n + · · ·+ (a1 + b1 · j) · (y + z · j) + (a0 + b0 · j) = 0

(2)

Òàê êàê, ñîãëàñíî îðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, âûïîëíÿåòñÿ îðìóëà

(y + z · j)r =

r X

k=0

Crk · yr−k · (z · j)k 81

1 6 r 6 n, òî óðàâíåíèå (2), à çíà÷èò è äàííîå óðàâíåíèå (1), ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé  (an + bn · j) · (y + z)n + · · · + (a1 + b1 · j) · (y + z) + (a0 + b0 · j) = 0, (an + bn · j) · (y + z)n + · · · + (a1 + b1 · j) · (y + z) + (a0 + b0 · j) = 0. äëÿ âñåõ

Êàæäîå óðàâíåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñòå-

n â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R, à, çíà÷èò, â ïîëå äåéñòâèòåëün ðåøåíèé. Ïóñòü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû èìååò t ðåøåíèé, à âòîðîå óðàâíåíèå ýòîé æå ñèñòåìû èìååò s ðåøåíèé, òîãäà âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ðàâíî m = t·s. Êîëè÷åñòâî ðåøåíèé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) è ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïåíè

íûõ ÷èñåë èìååò íå áîëåå

ñîâïàäàþò, òàê êàê ñèñòåìà áûëà ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íî âûïîëíåíèå óñëîâèé

0 6 t, s 6 n.

(1),

òîãäà

m = t · s.

Î÷åâèä-

Äîêàçàíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå

òåîðåìû.

m ïðåäñòàâèìî â 0 6 t, s 6 n, òî ñóùåñòâóåò

Äîêàæåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òåîðåìû1: åñëè âèäå

m = t·s

è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ

m ðåøåíèé. (u − 1) · (u − 2) · ... · (u − t) = 0

óðàâíåíèå, êîòîðîå èìååò ðîâíî Óðàâíåíèå

â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ

÷èñåë ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

ut −

(1 + t) · t t−1 ·u + · · · + (−1)t · t! = 0 2

è èìååò ðîâíî t ðåøåíèé. Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèå (v − 1) · (v − 2) · ... · (v − s) = 0 â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ïðèâîäèòñÿ ê âèäó v s − (1+s)·s · v t−1 + · · · + (−1)s · s! = 0 è èìååò ðîâíî s ðåøåíèé. 2 Ïóñòü êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ

ut −

(1 + t) · t t−1 ·u + · · · + (−1)t · t! = 0 2

ðàâíû

kt = 1, kt−1 = −

(1 + t) · t , . . . , k0 = (−1)t · t! 2

à êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ

vs −

(1 + s) · s t−1 ·v + · · · + (−1)s · s! = 0 2

ðàâíû

ns = 1, ns−1 = − 82

(1 + s) · s , . . . , k0 = (−1)s · s! 2

Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ãäà

nm , . . . , nt+1

âèäà

åñëè

0 6 i 6 n,

s6t

(äëÿ óñëîâèÿ

t6s

àíàëîãè÷íî), òî-

ðàâíû 0. åøàÿ âñå âîçìîæíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé



ai + bi = ki , ai − b i = n i .

òîãäà íàéäåì íåèçâåñòíûå

ai , b i ,

êîòîðûå áóäóò ñîîò-

âåòñòâóþùèìè êîýèöèåíòàìè óðàâíåíèÿ

(an +bn ·j)·xm +(an−1 +bn−1 ·j)·xm−1 +· · ·+(a1 +b1 ·j)·x+(a0 +b0 ·j) = 0. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî

m

ðåøåíèé. Äîñòàòî÷íîå

óñëîâèå òåîðåìû äîêàçàíî. Çíà÷èò, òåîðåìà 1 äîêàçàíà ïîëíîñòüþ. Ñëåäñòâèå 1. Ëþáîå óðàâíåíèå ñòåïåíè n â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë ìîæåò èìåòü íå áîëåå n2 ðåøåíèé.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î÷åâèäíî, ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â òåîðåìå 1. Òàê êàê êîëüöî äâîéíûõ ÷èñåë

K

âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå äåéñòâè-

òåëüíûå ÷èñëà, òîãäà î÷åâèäíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà 2.

Òåîðåìà 2. Âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé íàä ïîëåì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äàííûõ óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë.

Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè ìîæíî èçâëåêàòü òîëüêî èç äâîéíûõ ÷è-

a + b · j , äëÿ êîýèöèåíòîâ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå |b| 6 a, ïðè÷åì äàííûé êîðåíü èìååò îäíî åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå. [2℄

ñåë âèäà

Äëÿ òîãî ÷òîáû â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë íàéòè ìèíèìàëüíóþ ñòå-

ïåíü óðàâíåíèÿ, èìåþùåãî

m

ðåøåíèé íåîáõîäèìî:

1) íàéòè âñå âîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë

t · s,

ðàâíûõ ÷èñëó

m;

2) âûáðàòü òàêèå çíà÷åíèÿ ÷èñåë ÷èíà ðàçíîñòè 3) ìèíèìàëüíîé ÷èñëî èç ÷èñåë

t−s

ñòåïåíüþ

t

Óðàâíåíèå ñòåïåíè êîëüöå

• •

K

èìååò ðîâíî

Ñòåïåíü

n

è

s,

÷òîáû àáñîëþòíàÿ âåëè-

s. n ñ

óðàâíåíèÿ

ÿâëÿåòñÿ

ìàêñèìàëüíîå

è

n2

äåéñòâèòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè â

ðåøåíèé åñëè:

äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì ÷èñëîì è äèñ-

êðèìèíàíò äàííîãî óðàâíåíèÿ áîëüøå íóëÿ; Ñòåïåíü

n äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíûì ÷èñëîì è äèñ-

êðèìèíàíò äàííîãî óðàâíåíèÿ ìåíüøå íóëÿ.

Äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ ñòåïåíè öèåíòàìè â êîëüöå ïåíè

t

áûëà ìèíèìàëüíîé;

n

K

nñ

äåéñòâèòåëüíûìè êîýè-

ðàâåí äèñêðèìèíàíòó ýòîãî æå óðàâíåíèÿ ñòå-

ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè â ïîëå

R. 83

Åñëè óðàâíåíèå ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè íå èìååò ðåøåíèé â ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðåøåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

Ïðèìåðû.

R,

òî ýòî óðàâíåíèå íå èìååò

K

Ïðîèçâîëüíîå óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè âèäà

(a + b · j) · x3 + (c + d · j) · x2 + (l + k · j) · x + (m + n · j) = 0 â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

K ìîæåò èìåòü îäíî, äâà, òðè, ÷åòûðå, øåñòü

è äåâÿòü ðåøåíèé; ïÿòü, ñåìü, âîñåìü ðåøåíèé äàííîå óðàâíåíèå èìåòü íå ìîæåò. Ïðèìåðû íåêîòîðûõ óðàâíåíèé, èëëþñòðèðóþùèå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé ïðîèçâîëüíûõ óðàâíåíèé òðåòüåé ñòåïåíè â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë:

• x3 + (−6 + 3 · j) · x2 + (15 − 12 · j) · x + (−14 + 13 · j) = 0

 èìååò

îäíî ðåøåíèå, 3

• 2 · x + (−8 + 2 · j) · x2 + (11 − 5 · j) · x − 2 = 0  èìååò äâà ðåøåíèÿ, • 2 · x3 + (9 − 3 · j) · x2 + (14 − 8 · j) · x + (−1 − 5 · j) = 0  èìååò òðè ðåøåíèÿ,

• 2 · x3 + (21 − 5 · j) · x2 + (51 − 61 · j) · x + (−81 + 79 · j) = 0



• 2 · x + (−19 + 7 · j) · x + (67 − 45 · j) · x + (74 − 86 · j) = 0



èìååò ÷åòûðå ðåøåíèÿ, 3 2 èìååò øåñòü ðåøåíèé, 3 2

• x + (1 − 7 · j) · x + (15 − 4 · j) · x + (3 − 9 · j) = 0

 èìååò äåâÿòü

ðåøåíèé,

Ïðîèçâîëüíîå óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë

K

ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíî, äâà, òðè, ÷åòûðå, øåñòü, âîñåìü,

äåâÿòü, äâåíàäöàòü è øåñòíàäöàòü ðåøåíèé. Êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèé ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â òåîðåìå 1.

Çàêëþ÷åíèå.

 õîäå ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ óñòàíîâëåíî

âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèé â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë, óñòàíîâëåí ñïîñîá íàõîæäåíèÿ â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè óðàâíåíèÿ, èìåþùåãî çàäàííîå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé, à òàêæå íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå ñ äåéñòâèòåëüíûìè 2 êîýèöèåíòàìè ñòåïåíè n â êîëüöå äâîéíûõ ÷èñåë èìååò n ðåøåíèé.

[1℄ Ye Shuwu On double number. A ta S i. Natur. Univ. Situatsen Natur. S i.  1991.  2. [2℄ Èâëåâ Ä. Ä. Î äâîéíûõ ÷èñëàõ è èõ óíêöèÿõ. Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîñâåùåíèå.  1961.  6. 84

[3℄ îçåíåëüä Á. À. Íååâêëèäîâû ãåîìåòðèè.  Ì.: ÒÒÈ, 1995. ÓÄÊ 517.938.5

Î òðþêå Áàòëåðà è ðåäóêöèè äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ

À. À. Ëîãà÷åâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Àííîòàöèÿ Èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìîñòè è êâàçèñëó÷àéíîñòè êëàññà ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Γ\G, îòâå÷àþùèõ ëåâîèíâàðèàíòíûì ðèìàíîâûì ìåòðèêàì íà G, dimG = 3. àññìîòðåííûå ïðèìåðû ïîäòâåðæäàþò ãèïîòåçó À. Ì. Ñòåïèíà î ñâÿçè ïîëîæèòåëüíîñòè òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèè èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ è ñóùåñòâîâàíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîé êîìïîíåíòû â ïðèñîåäèíåííîì ïðåäñòàâëåíèè. Ëàãðàíæåâ ïîòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ðèìàíîâîé ìåòðèêå ρ : T M → R+ íà ìíîãîîáðàçèè M , - ýòî äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå SM ⊂ T M êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íîé äëèíû, äëÿ êîòîðîé óíêöèåé Ëàãðàíæà ñëóæèò ρ. åîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíûé âåêòîð v ∈ SM çà âðåìÿ t ïåðåõîäèò â êàñàòåëüíûé âåêòîð γ(t) ˙ ê íàòóðàëüíî ïàðàìåòðèçîâàííîé ãåîäåçè÷åñêîé γ(·), çàäàâàåìîé íà÷àëüíûì óñëîâèåì γ(0) ˙ = v . Êâàäðàòè÷íîñòü óíêöèè ρ ïî ñêîðîñòÿì ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà T M è (ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà) íà T ∗ M .  ðàáîòàõ [6, 2℄ áûëè ðàññìîòðåíû íîâûå èíòåãðèðóåìûå ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ãðóïï Ëè. Èíòåãðèðó∗ åìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íàáîð èç n = dim(T M )/2 ãëàäêèõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ óíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ íà ïëîòíîì ïîäìíîæåñòâå, ïîïàðíûå ñêîáêè Ïóàññîíà êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ñíà÷àëà áûë ïîñòðîåí ïðèìåð èíòåãðèðóåìîãî ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà òðåõìåðíîì íèëüìíîãîîáðàçèè; ýíòðîïèÿ ýòîãî ïîòîêà ðàâíà 0. Çàòåì áûë ïðåäúÿâëåí èíòåãðèðóåìûé ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê ñ ïîëîæèòåëüíîé òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèåé íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè àáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà Ïðåçèäåíòà Ô äëÿ âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë ÍØ-457.2003.1

85

ðàçìåðíîñòè 3 è ñåðèÿ òàêèõ ïðèìåðîâ â áîëåå âûñîêèõ ðàçìåðíîñòÿõ. Ïåðå÷èñëèì êîíèãóðàöèîííûå ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, ÿâëÿþùèåñÿ íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ òðåõìåðíûõ ãðóïï ðóïïà åéçåíáåðãà

G-ïðîñòðàíñòâàìè. Äëÿ ýòîãî G è èõ äèñêðåòíûõ ïîäãðóïï Γ.

T3 (çäåñü è äàëåå óïîòðåáëÿþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ

èç [1℄) - ýòî ãðóïïà âåðõíåòðåóãîëüíûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà 3 ñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè. Ìû íå áóäåì îïèñûâàòü ýòîò ñëó÷àé, òàê êàê îí ïîëíîñòüþ ðàññìîòðåí â [6℄.

Ñëó÷àé 1. ðóïïà S1 . Ýòó ãðóïïó ìîæíî çàäàòü ñëåäóþùèì îá-

(x, y, z) ∈ R3 , (x, y, z) ∗ (x′ , y ′ , z ′ )=(x + x′ ez , y + y ′ e−z , z + z ′ ). Äèñêðåòíàÿ êîêîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà äëÿ ãðóïïû S1 ïîðîæäàåòñÿ k −k îáðàçóþùèìè (x1 , y1 , 0), (x2 , y2 , 0) è (0, 0, k), ãäå e + e ∈ Z. Ñëó÷àé 2. ðóïïà S2 . Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 1, ãðóïïà ïðåäñòàâ3 ëÿåòñÿ â âèäå (x, y, z) ∈ R , ðàçîì

(x, y, z) ∗ (x′ , y ′ , z ′ ) =

= (x + x′ cos 2πz + y ′ sin 2πz, y − x′ sin 2πz + y ′ cos 2πz, z + z ′ ).

Äèñêðåòíàÿ êîêîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà Γ ãðóïïû S2 ïîðîæäàþòn ñÿ îáðàçóþùèìè (0, 0, p ), (x1 , y1 , 0) è (x2 , y2 , 0), ãäå n ∈ N, p = 2, 3, 4 èëè 6, ëèáî Γ ïîðîæäàåòñÿ îáðàçóþùèìè (x1 , y1 , 0), (x2 , y2 , 0) è

(x, y, n),

ãäå

n ∈ N.

Ñëó÷àé 3.

ðóïïà

SL(2, R).

Ýòî ãðóïïà êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïî-

ðÿäêà 2 ñ îïðåäåëèòåëåì ðàâíûì 1. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê îïèñàíèþ äèñêðåòíûõ ïîäãðóïï, èçëîæåíû â [3℄. Äëÿ îïèñàíèÿ ëåâîèíâàðèàíòíûõ ìåòðèê áóäåò äîñòàòî÷íî íàéòè áàçèñ ëåâîèíâàðèàíòíûõ 1-îðì

(α, β, γ), òîãäà ëþáóþ ëåâîèíâàðè-

àíòíóþ ìåòðèêó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

ds2 = a11 α ⊗ α + a12 α ⊗ β + a22 β ⊗ β + a23 β ⊗ γ + a33 γ ⊗ γ + a13 α ⊗ γ. Ëåâîèíâàðèàíòíûå ìåòðèêè äëÿ ñëó÷àåâ 1 è 2 ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå

ds2 = a11 e−2z dx2 + a12 dxdy + a22 e2z dy 2 + a23 ez dydz+ + a33 dz 2 + a13 e−z dxdz 86

- ñëó÷àé 1

ds2 = (a11 cos2 2πz + a12 cos 2πz sin 2πz + a22 sin2 2πz)dx2 + + (2a11 cos 2πz sin 2πz + a12 cos2 2πz − a12 sin2 2πz+

+ 2a22 cos 2πz sin 2πz)dxdy+

+ (a11 sin2 2πz − a12 cos 2πz sin 2πz + a22 cos2 2πz)dy 2 +

+ (a23 cos 2πz − a13 sin 2πz)dydz+

+ a33 dz 2 + (a23 sin 2πz + a13 cos 2πz)dxdz

Ïåðâûìè èíòåãðàëàìè íà

T ∗G

- ñëó÷àé 2

ÿâëÿþòñÿ

I1 = px ; I2 = px py ; I3 = H I1 = px ; I2 = p2x + p2y ; I3 = H

- ñëó÷àé 1 - ñëó÷àé 2

ýòè íàáîðû èíâîëþòèâíû, îäíàêî íå âñå èíòåãðàëû èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïîäãðóïïû

Γ

ëåâûìè ñäâèãàìè, ïîýòîìó èõ T ∗ Γ\G.

íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ïîëíûé íàáîð èíòåãðàëîâ íà àññìîòðèì x| I˜1 = f (px py ) sin (2π ln −|p I˜2 = I2 = px py ; k ); 3 2 2 2 2 2 ˜ ˜ I1 = px (px − 4 (px + py )) ; I2 = I2 = p2x + p2y ;

ãäå

f (x) = exp − x12 .

Òîãäà

I˜1 , I˜2 , I˜3

I˜3 = I3 = H; I˜3 = I3 = H,

ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè

ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì äëÿ ñëó÷àåâ 1 è 2, ñîîòâåòñòâåííî, è èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ïîäãðóïïû

Γ

ëåâûìè ñäâèãàìè.

Ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, íà êîòîðîì íàðóøàþòñÿ óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, äëÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ

ψ˜ = (I˜1 , I˜2 , I˜3 ),

åñòü

˜ ={px py = 0} ∪ {b1 3ez px + b23 e−z py + 2b33 pz = 0}∪ crit(ψ) px ∪ {cos (2π ln − ) = 0} - ñëó÷àé 1; k ˜ ={py = 0} ∪ {px = 0} ∪ {p2 = 3p2 } ∪ {p2 = 3p2 }∪ crit(ψ) x y x y

∪ {b23 (sin 2πzpx + cos 2πzpy ) + b13 (cos 2πzpx − sin 2πzpy )+ + 2b33 pz = 0} - ñëó÷àé 2.

Äîïîëíåíèå ê óêàçàííûì ìíîæåñòâàì âñþäó ïëîòíî, òàêèì îáðàçîì ∗ óñòàíîâëåíà èíòåãðèðóåìîñòü ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì íà T Γ\G äëÿ ñëó÷àåâ 1 è 2. Íà ìíîæåñòâå

{I˜1 = c1 , I˜2 = c2 , I˜3 = c3 },

çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæå-

ñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, ïîòîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíûé ïîòîê

87

íà òîðå, ýíòðîïèÿ êîòîðîãî ðàâíà 0. Òàê êàê òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ íà èíâàðèàíòíûõ ìíîæåñòâàõ íóëåâàÿ, òî è íà èõ îáúåäèíåíèè îíà ðàâíà íóëþ (ñì. [5℄). Ïîëó÷àåì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ âíå ìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ðàâíà íóëþ. Ïðåäëîæåíèå 1. Äëÿ êàæäîé ëåâîèíâàðèàíòíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà S1 è ïðîèçâîëüíîé êîêîìïàêòíîé äèñêðåòíîé ïîäãðóïïû Γ ⊂ S1 ñîîòâåòñòâóþùèé ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê íà S(Γ\S1 ) âïîëíå èíòåãðèðóåì è èìååò ïîëîæèòåëüíóþ òîïîëîãè÷åñêóþ ýíòðîïèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê óíêöèÿ àìèëüòîíà ñîîòâåòñòâóåò ìåòðèêå, òî b33 6= 0. Òîãäà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî L = {px = 0, py = 0, pz = b133 , (x, y, z) ∈ Γ\G}. Ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèòñÿ â ìíîæåt ñòâå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïîòîêà φ . Çà âðåìÿ t = 1 ïðåîáðàçîâàíèå âäîëü òðàåêòîðèé ãåîäåçè÷åñêîãî t ïîòîêà φ íà ïîäìíîæåñòâå L ∩ {z = const} ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé

ñäâèãà íà òîðå è ãèïåðáîëè÷åñêîãî àâòîìîðèçìà, à åãî òîïîëîãè-

÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ïîëîæèòåëüíà. Äàëåå âîñïîëüçîâàâøèñü îðìóëîé htop (φt ) = |t| htop (φ1 ) ïîëó÷àåì, ÷òî íà èíâàðèàíòíîì ïîäìíîæåñòâå òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ïîòîêà ïîëîæèòåëüíà, à, ñëåäîâàòåëüíî, òîïîëîãè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ïîòîêà ïîëîæèòåëüíà íà âñåì îäíîðîäíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðåäëîæåíèå 2. Äëÿ êàæäîé ëåâîèíâàðèàíòíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêè íà S2 è ïðîèçâîëüíîé êîêîìïàêòíîé äèñêðåòíîé ïîäãðóïïû Γ ⊂ S2 ñîîòâåòñòâóþùèé ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê íà S(Γ\S2 ) âïîëíå èíòåãðèðóåì è èìååò íóëåâóþ òîïîëîãè÷åñêóþ ýíòðîïèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî íàøå ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî-

÷åê ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà

K = {b23 (sin 2πzpx + cos 2πzpy )+ + b13 (cos 2πzpx − sin 2πzpy ) + 2b33 pz = 0} è ïðÿìûõ â ïëîñêîñòè (px , py ), âûõîäÿùèõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ïîä π 6 k , ãäå k = 0, 1, . . . , 11. Ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ìû ðàññìîòðèì íèæå. Èç óñëîâèÿ

óãëàìè

b23 (sin 2πzpx + cos 2πzpy )+ + b13 (cos 2πzpx − sin 2πzpy ) + 2b33 pz = 0 è óðàâíåíèé àìèëüòîíà ñëåäóåò, ÷òî

z = const. Òîãäà íàì íóæíî K ∩ {z = const}. À ïîòîê

ðàññìîòðåòü ÷òî ïðîèñõîäèò íà ìíîæåñòâå

88

íà ýòîì ìíîæåñòâå ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ëèíåéíûé ïîòîê íà òîðå, ýíòðîïèÿ êîòîðîãî ðàâíà 0. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî

{px

0} ∪ {py

=

=

0} ∪ {p2x

=

3p2y } ∪ {p2y

=

3p2x }.

I˜1 , I˜2 ñäåëàåì äðóãóþ çàìåíó px → cos αpx + sin αpy py → − sin αpx + cos αpy . Òàêèì îáðàçîì, ïðè èêñèðîâàííîì α

 èíòåãðàëàõ è

ìû îïÿòü ïîëó÷èì ïåðâûé èíòåãðàë èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ

Γ

ëåâûìè ñäâèãàìè, òàê êàê êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòîâ åñòü

ïîâîðîò, à åãî ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïîâåðíóòîå íà óãîë α â ïëîñêîñòè π àññìîòðèì α = 100 , òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî îñîáûõ òî-

(px , py ).

÷åê (ãäå âîçìîæíà íåíóëåâàÿ ýíòðîïèÿ) áóäåò ñîñòîÿòü èç ìíîæåñòâà

{px = 0} ∩ {py = 0}, à

ïîòîê íà ýòîì ìíîæåñòâå èìååò íóëåâóþ òîïî-

ëîãè÷åñêóþ ýíòðîïèþ. Ïðåäëîæåíèå 3. Äëÿ êàæäîé ëåâîèíâàðèàíòíîé ìåòðèêè íà G = SL(2, R), èìåþùåé îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ïðèñîåäèíåííûõ ñèììåòðèé, è êàæäîé äèñêðåòíîé êîêîìïàêòíîé ïîäãðóïïû Γ ⊂ G ñîîòâåòñòâóþùèé ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê íà S(Γ\G) íå èíòåãðèðóåì è èìååò ïîëîæèòåëüíóþ òîïîëîãè÷åñêóþ ýíòðîïèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåòðèêè íà Γ\SL(2, R), èìåþùèå îäíîïàðà-

ìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ïðèñîåäèíåííûõ ñèììåòðèé, ñîñòîÿò èç ìåòðèê èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî ïðàâûõ ñäâèãîâ íà ýëåìåíòû ïîäãðóïS1 , ñëåäîâàòåëüíî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà îáëàäàåò 1 ñèììåòðèåé. àññìîòðèì ðåäóêöèþ ñèñòåìû ïî äåéñòâèþ S , îíî íå ïû ñîïðÿæåííîé ñ

èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Îáîçíà÷èì ïðèâåäåííîå àçîâîå ïðîñòðàíñòâî áóäåò

Mred ,

ñîîòâåòñòâóþùåå íóëåâîìó óðîâíþ ìîìåíòà. Îíî

ñèìïëåêòè÷åñêè

äèåîìîðíî êîêàñàòåëüíîìó ðàññëîåS1 êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà Γ\SL(2, R), îáîçíà÷èì åãî M1 = Γ\SL(2, R)/S1 . 1 Òàê êàê ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî H = SL(2, R)/S , òî ïðîñòðàí∗ ñòâî M1 åñòü íå ÷òî èíîå, êàê T (Γ\H). Êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàííèþ ïðîàêòîðèçîâàííîãî ïî

Γ\H áóäåò êîìïàêòíûì. ∗ Äîïóñòèì, ÷òî ãàìèëüòîíîâ ïîòîê èíòåãðèðóåì íà T (Γ\G), òî∗ 2 ãäà è íà T (Γ\H) ïîòîê áóäåò èíòåãðèðóåì. Ìåòðèêà dsH è óíê∗ öèÿ àìèëüòîíà HH íà Γ\H è T (Γ\H) ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àþòñÿ ∗ èç ìåòðèêè è óíêöèè àìèëüòîíà íà Γ\SL(2, R) è T (Γ\SL(2, R)). ñòâî

Âîñïîëüçóåìñÿ àêòîì, óòâåðæäàþùèì, ÷òî ìåòðè÷åñêàÿ ýíòðîïèÿ ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà

S(Γ\H)

îòíîñèòåëüíî ãëàäêîé èíâàðèàíò-

íîé ìåðû Ëèóâèëëÿ ïîëîæèòåëüíà, à ñëåäîâàòåëüíî (íàïðèìåð, ñì.

89

[4℄) ïîòîê íå èíòåãðèðóåì íà

T ∗ (Γ\H).

Ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå.

Èç ïîëîæèòåëüíîñòè ìåòðè÷åñêîé ýíòðîïèè è âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà, ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíîñòü òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèè íà

S(Γ\H),

à ñëåäîâàòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ðåäóêöèþ, òîïîëîãè÷åñêàÿ ýí-

òðîïèÿ ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà íà

S(Γ\SL(2, R))

ïîëîæèòåëüíà.

Ïðåäëîæåíèÿ 1 è 2 îá èíòåãðèðóåìûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêàõ ñ îäíîðîäíûìè êîíèãóðàöèîííûìè

G-ïðîñòðàíñòâàìè, îòâå÷àþùèõ G, ñîãëàñóþòñÿ ñ ãèïî-

ëåâîèíâàðèàíòíûì ðèìàíîâûì ìåòðèêàì íà

òåçîé î ñâÿçè òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèè òàêèõ ïîòîêîâ ñ ñóùåñòâîâàíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîé êîìïîíåíòû â ïðèñîåäèíåííîì ïðåäñòàâëåíèè.  ñëó÷àå èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì óêàçàííàÿ ñâÿçü T ∗ (Γ\S1 ) ñóùåñòâóåò ãàìèëü-

ìîæåò íàðóøàòüñÿ. Òàê, íàïðèìåð, íà

òîíîâà ñèñòåìà ñ êâàäðàòè÷íîé ïî èìïóëüñàì ëåâîèíâàðèàíòíîé óíêöèåé àìèëüòîíà, îáëàäàþùàÿ íóëåâîé òîïîëîãè÷åñêîé ýíòðîïèåé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîé ñèñòåìû ìîæíî ðàññìîòðåòü ñèñòåìó, ïîðîæäåííóþ óíêöèåé àìèëüòîíà

H = px py .

[1℄

Ë. Àóñëåíäåð, Ë. ðèí, Ô. Õàí

[2℄

Èíòåãðèðóåìûå ãåîäåçè÷åñêèå ïîòîêè íà íàäñòðîéêàõ àâòîìîðèçìîâ òîðîâ. Òðóäû Ìàò. èíñòèòóòà èì. Â. À. Ñòåêëîâà.  2000.  231.  4663. Ì. àãóíàòàí Äèñêðåòíûå ïîäãðóïïû ãðóïï Ëè.  Ì.: Ìèð, 1977. A. V. Bolsinov and I. A. Taimanov Integrable geodesi ow with positive topologi al entropy.  Invent. Math.  2000.  140.  639650. R. Bowen Entropy for group endomorphisms and homogeneous spa es.  Trans. AMS.  1971.  153.  401414. L. Butler A new lass of homogeneous manifolds with Liouvilleintegrable geodesi ows.  C. R. Math. A ad. S i. So . R. Can.  1999.  21(4).  127131.

[3℄ [4℄ [5℄ [6℄

90

ñòâàõ.  Ì.: Ìèð, 1966.

À. Â. Áîëñèíîâ, È. À. Òàéìàíîâ

Ïîòîêè íà îäíîðîäíûõ ïðîñòðàí-

ÓÄÊ 531.8

Èçó÷åíèå áèóðêàöèè, ïðèâîäÿùåé ê õàîòè÷åñêèì äâèæåíèÿì â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè

À. Â. Ìåíüøåíèíà, Ñ. Ï. îðáèêîâ Íèæåãîðîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àðõèòåêòóðíî  ñòðîèòåëüíûé óíèâåðñèòåò  äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ áèóðêàöèÿ, êîòîðàÿ ïðîèñõîäèò â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè è ìîæåò ïðèâîäèòü [1, 2, 3℄ ê âîçíèêíîâåíèþ õàîòè÷åñêèõ äâèæåíèé. Äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè âîçìîæíî ñëåäóþùåå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå. Ìãíîâåííîå óäàðíîå âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò íà ãèïåðïîâåðõíîñòè æåíèè êîòîðîé àçîâûå ïåðåìåííûå

x1 , . . . , xn−1

xn = 0,

ïî äîñòè-

ìåíÿþòñÿ ñêà÷êî-

îáðàçíî ñîãëàñíî îðìóëàì

− − − − − x+ 1 = H1 (x1 , . . . , xn−1 , µ) = x1 H11 (x1 , . . . , xn−1 , µ), − − − − − − x+ i = Hi (x1 , . . . , xn−1 , µ) = xi + x1 H1i (x1 , . . . , xn−1 , µ),

(1)

i = 2, n − 1, à ïðè

xn > 0

èçìåíåíèå àçîâûõ ïåðåìåííûõ ïîä÷èíÿåòñÿ äèå-

ðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì

dxi /dt = x˙ i = Φi (x1 , . . . , xn , µ), i = 1, n − 1, dxn /dt = x˙ n = Φn (x1 , . . . , xn , µ) = = x1 Φn1 (x1 , . . . , xn , µ) + xn Φnn (x1 , . . . , xn , µ). Çäåñü:

− x− 1 , . . . , xn−1

è

+ x+ 1 , . . . , xn−1

(2)

- ñîîòâåòñòâåííî äîóäàðíûå

è ïîñëåóäàðíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ; µ - ïàðàìåòð ñèñòåìû; t − − − − − âðåìÿ; −1 < H11 (0, x2 , . . . , xn−1 , µ) < 0; H11 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) 6 0; Φn1 (x1 , . . . , xn−1 , 0, µ) > 0. Âñå óêàçàííûå óíêöèè ïðåäïîëàãàþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè. Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñèñòåìû ñîñòàâëÿþò n òî÷êè (x1 , . . . , xn−1 , xn > 0) ïðîñòðàíñòâà R . Ïðîâîäèìîå íèæå ðàññìîòðåíèå ñïðàâåäëèâî â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ â ñèñòåìå (1), (2) ñëåäóþùèõ ëîêàëüíûõ îñîáåííîñòåé.

Òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ xn = 0, x˙ n = 0, x ¨n = 0, ′′′

xn =

n n X ′′′ ∂ X ∂Φn ( Φk )Φj > 0, (èëè xn < 0), ∂xj ∂xk j=1 k=1

91

íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíûìè îñîáåííîñòÿìè ïÿòîãî (èëè øåñòîãî) òèïà. Îíè îáðàçóþò ìíîãîîáðàçèÿ â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû. Äëÿ äàëüíåéøåãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ àçîâûõ òðàåêòîðèé ââîäèòñÿ òî÷å÷íîå îòîáðàæåíèå

x˙ n > 0

â ñåáÿ. Çäåñü:

T1

T = T2 T1

÷àñòè ìíîãîîáðàçèÿ

xn = 0,

 îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå òî÷êó

(x1 > 0, x2 , . . . , xn−1 , 0)

â òî÷êó

− − (x− 1 6 0, x2 , . . . , xn−1 , 0),

îíî îñóùåñòâëÿåòñÿ òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû (2);

T2

 îòîáðàæåíèå,

çàäàâàåìîå îðìóëàìè (1) óäàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé.

xn = 0, x˙ n > 0 ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî DN , N = 1, 2, . . . , êîòîðûå îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: àçîâûå òðàåêòîðèè, âûõîäÿùèå èç òî÷åê ìíîæåñòâà DN , ïîñëå N óäàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé ïîêèäàþò ìàëóþ îêðåñòíîñòü ãèïåðÍà ìíîãîîáðàçèè

ìíîæåñòâ

ïîâåðõíîñòè óäàðà.  ñîñòàâ ãðàíèöû ìíîæåñòâà DN âõîäÿò ÷àñòè ìíîæåñòâ γN è γN +1 . Ìíîæåñòâà γN ÿâëÿþòñÿ îáðàçàìè ìíîãîîáðàçèÿ xn = 0, x˙ n = ¨n > 0, íàõîäÿùåãîñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè ëîêàëüíûõ îñîáåííî= 0, x −N ñòåé ïÿòîãî òèïà, ïðè äåéñòâèè îòîáðàæåíèé T . Ïðè ñòðåìëåíèè N ê +∞ ïðåäåëüíûì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ γN ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî γ∗ , êîòîðîå ñîñòàâëÿåò ãðàíèöó îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íîóäàðíûõ äâèæåíèé. Ïîä áåñêîíå÷íîóäàðíûì äâèæå-

íèåì ïîíèìàåòñÿ äâèæåíèå ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì óäàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ïðîèñõîäÿùèõ çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Èçó÷àåìàÿ áèóðêàöèÿ ïðîèñõîäèò â ñèñòåìå (1), (2) ïðè ïîïàäàíèè ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ

Γ,

ëîêàëüíîé îñîáåííîñòè ïÿòîãî òèïà

êîòîðîå âûõîäèò èç íåêîòîðîé

M∗ ,

íà ãðàíèöó îáëàñòè ñóùå-

ñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íîóäàðíûõ äâèæåíèé γ∗ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåk ñòâóåò òàêîå k > 0, ÷òî T M∗ = MΓ , MΓ ∈ γ∗ , MΓ ∈ Γ, M∗ ∈ Γ.

Ïîñëå áèóðêàöèè äàííîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ìîæåò èñ÷åçàòü, à âìåñòî íåãî ìîãóò âîçíèêàòü õàîòè÷åñêèå äâèæåíèÿ. Ïîñëå áèóðêàöèè â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ âèäà (1), (2) ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ ìíîæåñòâà, êîòîðûå äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì ïîëó÷èëè íàçâàíèå "ïîäêîâû Ñìåéëà". àññìàòðèâàåìûå â ðàáîòå ñèñòåìû íå îáÿçàòåëüíî îáëàäàþò ñâîéñòâîì ãèïåðáîëè÷íîñòè, ïîýòîìó çäåñü òåðìèí "ïîäêîâà Ñìåéëà" èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ

92

ñèòóàöèè, â êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

[ \ T N +k DN = P1 P2 ; P1 P2 = ∅, Pi 6= ∅; \ \ Pi γN 6= ∅, Pi γN +1 6= ∅; \ \ [ T N +k Pi Pj 6= ∅, (T N +k Pi DN ) ⊂ (P1 P2 ); \ \ T N +k Pi γN 6= ∅; T N +k Pi γN +1 6= ∅; i, j = 1, 2; \ DN E = ∅, DN

ãäå

\

E = T N +k+1 (DN

T

γN +1 )

S

T N +k (DN

T

(3)

γN ).

 ñèñòåìàõ (1), (2) ìîãóò òàêæå âîçíèêàòü ïîäêîâû Ñìåéëà ðàçα(N +k) ëè÷íîé êðàòíîñòè. Ìíîæåñòâà DN è T DN , ãäå α > 2, îáðàçóþò

r > 2,

ïîäêîâó Ñìåéëà êðàòíîñòè

DN

ãäå

\

åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ:

T α(N +k) DN =

r [

Pi ;

i=1

\ \ Pi 6= ∅; Pi γN 6= ∅, Pi γN +1 6= ∅; \ Pi Pj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , r; \ \ Pi γN è Pi γN +1 − îäíîñâÿçíûå ìíîæåñòâà; \ \ \ \ Pi T N +k (γN DN ) = ∅, Pi T N +k+1 (γN +1 DN ) = ∅; \ ˜ N ) = ∅, Pi B(D

˜ N ) = B(DN )\(γN B(D

S

γN +1 ), B(DN )

- ãðàíèöà ìíîæåñòâà

(4)

DN .

Íàëè÷èå ïîäêîâ Ñìåéëà ðàçëè÷íîé êðàòíîñòè âëå÷åò [4℄ âîçíèêíîâåíèå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå õàîòè÷åñêèõ äâèæåíèé. Ïîä õàîòè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè ïîíèìàþòñÿ äâèæåíèÿ, îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè ñóùåñòâåííîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è íåðåãóëÿðíîñòè ýâîëþöèîííîãî ïîâåäåíèÿ. ×èñëåííî áèóðêàöèÿ èçó÷àåòñÿ íà ïðèìåðå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âèáðîóäàðíîãî ìåõàíèçìà ñ çàçîðîì

q¨ + λ2 q = V sin t + 1, q˙+ = −Rq˙− , Çäåñü

λ > 0; V > 1; 0 < R < 1

ïðè ïðè

q > 0, q = 0.

(5)

- êîýèöèåíò âîññòàíîâëåíèÿ

ñêîðîñòè.

93

 ñèñòåìå (5) ÷èñëåííî îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçó÷àåìàÿ áèóðêàöèÿ, à ïîñëå íåå íàáëþäàþòñÿ ïîäêîâû Ñìåéëà ðàçëè÷íîé êðàòíîñòè è ïîðîæäàåìûå ïîñëåäíèìè õàîòè÷åñêèå äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ

V = 4, R = 0.68 äëÿ 2, 549 < λ 6 2, 551 îáðàçóþòñÿ r = 3 ìíîæåñòâàìè DN è T 2(N +k) DN ïðè N = 11; äëÿ 2, 551 < λ 6 2, 5517 îáðàçóþòñÿ ïîäêîâû Ñìåé2(N +k) ëà êðàòíîñòè r = 4 ìíîæåñòâàìè DN è T DN ïðè N = 12. Äëÿ V = 4, R = 0, 75 2, 578 6 λ < 2, 585 ïîäêîâû Ñìåéëà îáðàN +k çóþòñÿ ìíîæåñòâàìè DN è T DN ïðè N = 6, 7; äëÿ çíà÷åíèé 2, 56 6 λ < 2, 578 - ïðè N = 6; äëÿ çíà÷åíèé 2, 538 6 λ < 2, 56 - ïðè ïàðàìåòðîâ

ïîäêîâû Ñìåéëà êðàòíîñòè

N = 5. ×èñëåííûå ðàñ÷åòû òàêæå ïîêàçàëè, ÷òî ïîñëå áèóðêàöèè õàîòè÷åñêèå äâèæåíèÿ èìåþò [5, 6℄ ïðåäåëüíûì íåîáû÷íîå ìíîæåñòâî

S.

Ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: - â îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà - èç òî÷åê ìíîæåñòâà

S

S

ñóùåñòâóþò õàîòè÷åñêèå äâèæåíèÿ;

âûõîäÿò òðàåêòîðèè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ

õàîòè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè; - òðàåêòîðèè, ïîïàäàÿ â ìàëóþ îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà

S,

îñòà-

þòñÿ â íåé â òå÷åíèå âñåãî îñòàëüíîãî íàáëþäàâøåãîñÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè.  ðàáîòå òàêæå ÷èñëåííî îïðåäåëåíû ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïðåäåëüíîãî ìíîæåñòâà

S.

Ïî ðåçóëüòàòàì ýòèõ èññëåäîâàíèé

ñäåëàí âûâîä î òîì, ÷òî â ìàëîé îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà

S

ñðåä-

íåå ïî àíñàìáëþ ñîâïàäàåò ñî ñðåäíèì ïî âðåìåíè, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ ñëåäñòâèå èç ýðãîäè÷åñêîé òåîðåìû Áèðêãîà - Õèí÷èíà.

[1℄ îðáèêîâ Ñ. Ï., Ìåíüøåíèíà À. Â. Áèóðêàöèÿ, ïðèâîäÿùàÿ ê õàîòè÷åñêèì äâèæåíèÿì â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.  2004.  40,  8.  11431144. [2℄ Gorbikov S. P., Menshenina A. V. A new road to haos in dynami al systems with impa t intera tions.  XXI International Congress of Theoreti al and Applied Me hani s: Abstra ts.  Warsaw. Poland.  2004.  392393. [3℄ îðáèêîâ Ñ. Ï. Ìåíüøåíèíà À. Â. Îá îäíîé áèóðêàöèè, ïðèâîäÿùåé ê õàîòè÷åñêèì äâèæåíèÿì â ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè.  Í. Íîâãîðîä, 2003. 11 Ñ. Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 23.12.03.  2242Â2003. 94

[4℄ îðáèêîâ Ñ. Ï., Ìåíüøåíèíà À. Â. Âîçíèêíîâåíèå õàîòè÷åñêèõ äâèæåíèé â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ êðàòíûõ ïîäêîâ Ñìåéëà â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ óäàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè. Âåñòí. Íèæåãîðîä. ãîñ. óí-òà. Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå è îïò. óïð-å.  2004.   1(27).  1424. [5℄ îðáèêîâ Ñ. Ï., Ìåíüøåíèíà À. Â. Î ïðåäåëüíîì ìíîæåñòâå îäíîé âèáðîóäàðíîé ñèñòåìû ïîñëå áèóðêàöèè, ïðèâîäÿùåé ê õàîòè÷åñêèì äâèæåíèÿì. Âåñòí. Íèæåãîðîä. ãîñ. óí-òà. Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå è îïò. óïð-å.  2004.   1(27).  2527. [6℄ Gorbikov S. P., Menshenina A. V. Computational investigation of strange attra tor of one pie ewise smooth system.  VI International Congress of Mathemati al Modeling: Abstra ts.  N.Novgorod, University of N.Novgorod.  2004.  290291.

ÓÄÊ 517.983

Ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà îáîáùåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ â êëàññå îãðàíè÷åííûõ çâåçäíûõ îáëàñòåé, ñîäåðæàùèõ íà÷àëî êîîðäèíàò

À. Â. Ìîðæàêîâ Äîíñêîé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà îáîäåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ (ÎÎÄ) åëüîíäà  Ëåîíòüåâà äàåòñÿ äëÿ óíêöèé, àíàëèòè÷åñêèõ â íà÷àëå êîîðäèíàò [1℄. Òàì æå ïîëó÷åíî ïðåäñòàâëåíèå ÎÎÄ â ñëó÷àå êðóãà ñ öåíòðîì â íóëå.

G  çâåçäíàÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü êîìC. Äàëåå ïóñòü {dn }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, H(G)  ïðîñòðàíñòâî ãîëîìîðíûõ â G óíêöèé ñ Ïóñòü

ïëåêñíîé ïëîñêîñòè

òîïîëîãèåé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà êîìïàêòàõ. Íåñêîëüêî îáîáùàÿ èñõîäíîå îïðåäåëåíèå íàçîâ¼ì íåïðåðûâíûé â îïåðàòîð

H(G)

ëèíåéíûé

D

îïåðàòîðîì îáîáùåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ, åñëè îí n n−1 îáëàäàåò ñâîéñòâîì : Dz = dn−1 z , n ∈ N; D1 = 0. Òàêîé îïåðàn òîð åäèíñòâåíåí â ñèëó ïîëíîòû {z } â H(G). Òåîðåìà 1. Ïóñòü G  çâ¼çäíàÿ îãðàíè÷åííàÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ îáëàñòü â C. D  ëèíåéíûé îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé íà ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ ïî ïðàâèëó :

Dz n = dn−1 z n−1 , n ∈ N, D1 = 0 95

Îïåðàòîð D ðàñøèðÿåòñÿ äî íåïðåðûâíîãî íà H(G) îïåðàòîðà îáîáùåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîP∞ n ñõîäèòñÿ â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò è ãäà ðÿä d z n=1 n åãî ñóììà d(z) àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàåòñÿ â çâ¼çäíóþ îáëàñòü G · G′−1 = {z1 · z2 : z1 ∈ G, z2 ∈ C \ G}. Çàìå÷àíèå. Åñëè G = {z : |z − z0 | < R, |z0 | < R}, òî ïîðîæäàþùàÿ P∞ n îïåðàòîð óíêöèÿ d(z) = n=1 dn z àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæàåòñÿ â ′−1 GG′−1 = (M (G)) , ãäå M (G) = {z : |z − 1| + R 6 R|z|}  ìíîæåñòâî, îãðàíè÷åííîå îâàëîì Äåêàðòà.

[1℄ Ëåîíòüåâ À. Ô. Îáîáùåííûå ðÿäû ýêñïîíåíò.  Ì.: Íàóêà, 1981. ÓÄÊ 517.928

Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ áûñòðî îñöèëëèðóþùèì ïîòåíöèàëîì

Ï. Í. Íåñòåðîâ ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï. . Äåìèäîâà àññìîòðèì îäíîìåðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

−y ′′ + q(x)y = 0 íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè x > q(x) = xβ P (x1+α ) + cx−2 . Çäåñü

0 c

(1)

ñ îñöèëëèðóþùèì ïîòåíöèàëîì - ïðîèçâîëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðû

α

è

β

óäîâëåòâîðÿþò ñëå-

äóþùèì íåðàâåíñòâàì:

β − α > −1,

2α − β > 0.

(2)

Ýòà çàäà÷à èññëåäîâàëàñü â ðàáîòå [2℄ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî

P (x)



ãëàäêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì. Ìû

P (x) ÿâëÿåòñÿ èëè íåïðåðûâíîé ïåðèîäè÷åT , èëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèãîíîìåòðèn P ÷åñêèé ìíîãî÷ëåí âèäà P (x) = pj eiλj x , ãäå λj - ïðîèçâîëüíûå äåéáóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî

ñêîé óíêöèåé ñ ïåðèîäîì

j=0

ñòâèòåëüíûå ÷èñëà, à òàòü, ÷òî

P (x)

pj

- êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ìû òàêæå áóäåì ñ÷è-

ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé óíêöèåé. Â äàëüíåéøåì

áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ

96

P (x)

ïðèíàäëåæèò êëàññó

Σ,

åñëè îíà

ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåé èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì. Êðîìå òîãî, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óíêöèÿ

P (x) èìå-

åò íóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå, ò.å.

1 lim T →∞ T Çäåñü è âåçäå äàëåå

ZT 0


P (x)dx = M P (x) = 0.


M P (x)

îáîçíà÷àåò ñðåäíåå ïåðèîäè÷åñêîé èëè

P (x).

ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè æèì

γ=

α , 1+α

δ=

Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ïîëî-

β − 2α , 1+α

ζ=

1 . (1 + α)2

Çàìåòèì, ÷òî èç (2) è (3) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî

(3)

−1 6 δ < 0.

Ñåðèåé çàìåí îò óðàâíåíèÿ (1) ìû ìîæåì ïåðåéòè ê èññëåäîâàíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû (ñì. [4℄):

  Y˙ 1 = tδ A(t) + t−1 B(t) + t−2−δ C + R(t) Y1 .

(4)

Çäåñü

A(t) =



ζP1 −ζ 2 P12

Ôóíêöèÿ

P1 (t),

  δ 1 2 , B(t) = −ζP1 −γζP1 ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó

   0 0 0 , C= . ζc 0 − 2δ − γ

Σ

è èìåþùàÿ íóëåâîå ñðåä-

íåå çíà÷åíèå, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ:

P (t).

Êîíêðåòíûé âèä ìàòðèöû

R(t) äëÿ

P˙ 1 (t) =

íàñ â äàëüíåéøåì íå èìååò

îñîáîãî çíà÷åíèÿ, ãëàâíîå, ÷òî î íåé íàäî çíàòü, ýòî òî, ÷òî R(t) =
O tδ−1 , t → +∞. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèö A(t) è B(t) ïðèíàäëåæàò êëàññó

Σ.

Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà ñèñòåìû (4) ìû

áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå [1℄. Êðàòêî èçëîæèì åãî ñóòü. àññìîòðèì ñèñòåìó

  k 
dˆ x X 1 = A (t) x ˆ + ξ(t)B(t)ˆ x + O t−ϕ1 x ˆ. j jα   dt t j=1

(5)

A1 (t), A2 (t), . . . , Ak (t) ñóòü ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìè èç α è íàòóðàëüíîå ÷èñëî k óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì 0 < kα 6 1 < (k + 1)α, ϕ1 > 1. Ìàòðèöà B(t)
−β îãðàíè÷åíà, ò.å. ||B(t)|| 6 C < ∞ ïðè t > t0 , óíêöèÿ ξ(t) = O t Çäåñü ìàòðèöû

êëàññà

Σ.

Âåùåñòâåííîå ÷èñëî

97

è

α + β > 1.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

ïîìîùüþ çàìåíû

  k  X 1 V (t) yˆ, x ˆ= j   tjα j=0

ãäå V0 (t) = I  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, à ýëåìåíòàìè 1, . . . , k ÿâëÿþòñÿ óíêöèè èç êëàññà Σ ñ íóëåâûì

ìàòðèö

t

ñ

Vj (t), j =

ñðåäíèì çíà÷åíè-

åì, ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèñòåìó

ãäå

  k   X
dˆ y 1 = Aj yˆ + ξ(t)B(t)ˆ y + O t−ϕ2 yˆ, jα   dt t j=1

(6)

{Aj }  ïîñòîÿííûå ìàòðèöû. Çíà÷åíèå êîíñòàíòû ϕ2 îïðåäåëÿåòϕ2 = min{(1+k)α, α+β, ϕ1 }. Ìàòðèöû Vj (t) ñ

ñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:

j−1

j−1

l=0

l=0

X dVj (t) X Aj−l (t)Vl (t) − Vl (t)Aj−l . = dt Íà êàæäîì øàãå

j = 1, ..., k

ìàòðèöà

Aj

(7)

îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ,

÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (7) èìååò íóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå:

Aj = M

j−1 X l=0

 Aj−l (t)Vl (t) .

Íà ñëåäóþùåì ýòàïå äëÿ ïîëó÷åíèÿ àñèìïòîòèêè èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà Ëåâèíñîíà (ñì., íàïðèìåð, [3℄). Ïðèâåäåì åå îðìóëèðîâêó ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìå âèäà

 k X

 


dˆ y = t−αj Aj yˆ + O t−ϕ1 yˆ,   dt j=1

(8)

0 6 α1 < α2 < . . . < αk 6 1, {Aj }  ïîñòîÿííûå ìàòðèöû è ϕ1 > 1. Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñðåäè ìàòðèö Aj ïåðâîé íåíóëåâîé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà Al . Ïóñòü ìàòðèöà Al èìååò ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà óíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû (8) èìååò âèä ãäå

nZt o
Φ(t) = Π + o(1) exp Λ(s)ds , t∗

98

t > t∗ , t → ∞,

ãäå Π  ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòîÿò èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû Al , è Λ(t)  äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé k P ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû t−αj Aj . j=l

Çàìåíà

çíà÷åíèåì

ãäå

Y1 = (I + 1t V (t))Y2 ,

V (t) ìàòðèöà ñ íóëåâûì ñðåäíèì è ñ ýëåìåíòàìè èç êëàññà Σ, ïðèâîäèò ñèñòåìó (4) ê âèäó 
 Y˙ 2 = tδ A(t) + t−1 B + t−2−δ C + O tδ−1 Y2 , (9)


B = M B(t) =

δ

ãäå

 0 . − δ2 − γ

2

0

Ïîñêîëüêó ïðè ðàçëè÷íûõ

δ

àñèìïòîòèêà ðåøåíèé áóäåò ñóùåñòâåííûì îáðàçîì îòëè÷àòüñÿ, íàì ñëåäóåò ðàññìîòðåòü íåñêîëüêî ñëó÷àåâ.

I. δ = −1 (β − α = −1).

Y2 = (I + 1t V (t))Y ìû ïåðåéäåì îò (9) ê ñèñòåìå 1

 A1 + B + C + O t−2 Y, Y˙ = t  
0 1 A1 = M A(t) = . Çäåñü è äàëåå −ζ 2 a 0

Çàìåíîé

ãäå

a=M




P12 (t)

=M

hZt

P (s)ds

0

2 i

(10)

h Zt i2 − M P (s)ds > 0. 0

Âû÷èñëèì ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû

A1 + B + C =



− 21 2 −ζ a + ζc

1 2

 1 . −γ

 çàâèñèìîñòè îò çíàêà äèñêðèìèíàíòà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ðàññìîòðèì äâà âàðèàíòà. a > (c + 14 )(1 + α)2 . Òîãäà

1.

λ1,2

γ = − ± ζi 2

r

1 a − (c + )(1 + α)2 . 4

Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 1 äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè óíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ñèñòåìû (10) è çàòåì âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ (1), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêó äëÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé

y1,2 (x)

ïðè

x → +∞:


1 y1,2 (x) = x 2 exp{±iω(1 + α)−1 ln x} 1 + o(1) ,

99

ω=

ãäå

q a − (c + 41 )(1 + α)2 .

2. a < (c +

1 4 )(1

2

+ α)

.

Òîãäà

λ1,2

γ =− ±ζ 2

Íåñëîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî â

x → +∞

Ïóñòü òåïåðü

r

  1 − a − (c + )(1 + α)2 . 4 ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ y1,2 (x) 1

y1,2 (x) = x 2 ±ω∗ (1+α) ãäå

ω∗ =

èìåþò ïðè

ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêó:

q   − a − (c + 41 )(1 + α)2 .

−1


1 + o(1) .

II. −1 < δ < − 21

Çàìåíîé

ãäå

Y2 = (I + tδ V (t))Y ìû ïðåîáðàçóåì (9) â ñèñòåìó 
 Y˙ = tδ A1 + t−1 B + O t−ϕ2 Y,

ϕ2 = min{−2δ, 1−δ, δ+2}. Âû÷èñëèì ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû  δ −1  t tδ tδ A1 + t−1 B = 2 δ , −µt − 2δ t−1 − γt−1

ãäå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå çíà÷èì òàêæå âåëè÷èíó

√

ζ a

÷åðåç

ν.

µ = ζ 2 a > 0.

Îáî-

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìåþò

âèä

γ λ1,2 (t) = − t−1 ± iνtδ 2

s

1−

(γ + δ)2 −2(1+δ) t = 4µ
γ = − t−1 ± i νtδ + O(t−2−δ ) , 2

t√ → +∞. Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåéëîðîâñêèì ðàçëîæåíè1 + x ïðè x → 0. Ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) èìåþò òîãäà ñëåäóþùóþ àñèìïòîòèêó ïðè x → +∞:
α−β y1,2 (x) = x 2 exp{±iS(x)} 1 + o(1) , √ ãäå S(x) = a(1 + α)−1 (β − α + 1)−1 xβ−α+1 . III.− 21 6 δ < − 31 . δ 2δ Ñ ïîìîùüþ çàìåíû Y2 = (I + t V1 (t) + t V2 (t))Y îò ñèñòåìû (9) ìû êîãäà

åì äëÿ

ïåðåõîäèì ê ñèñòåìå

  Y˙ = tδ A1 + t2δ A2 + t−1 B + O(t−ϕ2 ) Y. 100

Çäåñü


A2 = M A1 (t)V1 (t) =

ãäå

3

ϕ = 2ζ M

hZt 0

è ϕ2 −1

t

B

= −3δ .



 0 0 , −ϕ 0

P1 (s)ds P12 (t) − a


i

Âû÷èñëÿÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû

tδ A1 + t2δ A2 +

è ðàñêëàäûâàÿ èõ ïî îðìóëå Òåéëîðà, ñòðîèì àñèìïòîòè÷å-

ñêîå ïðåäñòàâëåíèå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé (1) ïðè

x → +∞.

y1,2 (x) = x Ôóíêöèÿ

S(x)

y1,2 (x) óðàâíåíèÿ

Èìååì, α−β 2


exp{±iS(x)} 1 + o(1) ,

x → +∞.

âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

S(x) =

c ln x √ M a(1 + α)−1 (β − α + 1)−1 xβ−α+1 + √ , a(1 + α)3

S(x) =

√ a(1 + α)−1 (β − α + 1)−1 xβ−α+1 +

è

c M x−3α+2β+1 +√ , a(1 + α)3 (−3α + 2β + 1)

ãäå

c=M M

IV.

hZt 0

δ=−

1 2

1 δ>− , 2


i P1 (s)ds P12 (t) − a .

1 − k1 6 δ < − k+1 , k > 2, k  öåëîå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèêè â îáùåì ñëó÷àå íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ âñåõ ìàòðèö Aj (t) â (5) âûïîëíåíî óñëî
âèå M trAj (t) = 0, j = 1, . . . , k . Òîãäà ìàòðèöû Aj , j = 1, . . . , k â (6) èìåþò íóëåâîé ñëåä.

Äîêàçàòåëüñòâî. (ñì. Èòàê, çàìåíîé

[4℄).

Y2 = (I + tδ V1 (t) + . . . + tkδ Vk (t))Y

îò ñèñòåìû (9)

ìû ïåðåõîäèì ê ñèñòåìå


 Y˙ = tδ A1 + . . . + tkδ Ak + t−1 B + O t−ϕ2 Y, 101

ãäå

ϕ2 = −(1 + k)δ .

Äåéñòâóÿ òàêæå êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ,

ìû ïîëó÷àåì àñèìïòîòèêó äëÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé

y1,2 (x)

óðàâíåíèÿ (1):

y1,2 (x) = x Ôóíêöèÿ

S(x) =

S(x)

α−β 2


exp{±iS(x)} 1 + o(1) ,

x → +∞.

èìååò âèä

√ a(1 + α)−1 (β − α + 1)−1 xβ−α+1 +

c
M x−3α+2β+1 +√ + O x−5α+3β+1 . 3 a(1 + α) (−3α + 2β + 1)

−5α + 3β + 1 = 0 (∼ δ = − 13 ), ïèñàòü O(ln x). Åñëè

òî âìåñòî

O(x−5α+3β+1 )

ñëåäóåò

[1℄ Áóðä Â. Ø., Êàðàêóëèí Â. À. Àñèìïòîòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîëåáàòåëüíî óáûâàþùèìè êîýèöèåíòàìè. Ìàòåì. çàìåòêè.  1998.  64,  5.  658 666. [2℄ Èòñ À. . Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ îñöèëëèðóþùèì ïîòåíöèàëîì ïðè íóëåâîé ýíåðãèè.  êí.: Ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.  9. Ñáîðíèê ñòàòåé.  Ë.: èçä-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1979.  3041. [3℄ Êîääèíãòîí Ý. À., Ëåâèíñîí Í. Òåîðèÿ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  Ì.: ÈË, 1958. [4℄ Íåñòåðîâ Ï. Í. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ áûñòðî îñöèëëèðóþùèì ïîòåíöèàëîì. óê. äåï. â ÂÈÍÈÒÈ ÀÍ 29.04.2005,  640- 2005.

102

ÓÄÊ 517.987.4

Ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà ëàïëàñèàíà Ëåâè

Î. Î. Îáðåçêîâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Äîêëàä ïîñâÿùåí ïðîáëåìå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ëàïëàñèàíà Ëåâè. Äåéñòâèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëàïëàñèàíà Ëåâè áûëè íàéäåíû â ðàáîòå Ë. Àêêàðäè è Î. . Ñìîëÿíîâà [2℄  ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå óíêöèè áûëè ïðåäñòàâëåíû ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå è Ëàïëàñà ïîäõîäÿùèõ ñ÷åòíîàääèòèâíûõ ìåð. Ìû ââîäèì îáîáùåíèå ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé (íàçûâàåìîå äàëåå

α ∈ C)

α−ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ìåðû

äëÿ ïðîèçâîëüíîãî

è ïîêàçûâàåì, ÷òî ñïåêòð îïåðàòîðà Ëåâè-Ëàïëàñà ñîâïà-

äàåò ñî âñåì ìíîæåñòâîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå óíêöèè ìîãóò áûòü íàéäåíû êàê

α−ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ôóðüå ìåð. Ýòîò íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ëàïëàñèàí Ëåâè îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå óíêöèé, çàäàííûõ íà îñíàùåííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, è äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå íåñàìîñîïðÿæåííûå ðàñøèðåíèÿ. Áîëåå ðàííèå ðåçóëüòàòû î ëàïëàñèàíàõ Ëåâè ñîäåðæàòñÿ â ñòàòüÿõ Ë. Àêêàðäè è Î. . Ñìîëÿíîâà [4℄, [1℄, [2℄. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âîçðîñøèé â ïîñëåäíåå âðåìÿ èíòåðåñ ê àíàëèçó ëàïëàñèàíîâ Ëåâè â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñâÿçàí ñ ïîÿâëåíèåì ðàáîòû Ë. Àêêàðäè, Ï. Äæèáèëèñêî è È. Â. Âîëîâè÷à [5℄ (ñì. òàêæå [3℄), â êîòîðîé ïîêàçàíî, ÷òî âûïîëíåíèå åâêëèäîâûõ óðàâíåíèé ßíãà  Ìèëëñà äëÿ

1-îðìû ýêâèâàëåíòíî òîìó,

÷òî àññîöèèðîâàííûé ñ íåé ïàðàëëåëü-

íûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé ëàïëàñèàíà Ëåâè. Îïðåäåëåíèå 1.

Ïóñòü

E, G

 ýòî âåùåñòâåííûå ëîêàëüíî âûïóê-

ëûå ïðîñòðàíñòâà (ËÂÏ). Âñþäó íèæå

L(E, G) îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíE â

ñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç

f : E → G íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé ïî àòî â x ∈ E , åñëè äëÿ âñÿêîãî h ∈ E íàéäåòñÿ  îáîçíà÷àåìûé ñèì′ âîëîì f (x)  îïåðàòîð èç L(E, G), òàêîé ÷òî åñëè G.

Ôóíêöèÿ

òî÷êå

r(z) = f (x + z) − f (x) − f ′ (x)z òî

lim

t→0

r(th) t

äëÿ êàæäîãî

z ∈ E,

= 0.

Îïðåäåëåíèå 2.

(ñð.

[4℄) Ïóñòü

T

ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîçíà÷íûì

ëèíåéíûì óíêöèîíàëîì, îïðåäåëåííûì íà íåêîòîðîì ïîäïðîñòðàí∗ ñòâå domT ïðîñòðàíñòâà L(E, E ). Ëèíåéíûì äèåðåíöèàëüíûì

103

îïåðàòîðîì âòîðîãî ïîðÿäêà (∆T , dom∆T ), çàäàâàåìûì óíêöèîíàëîì T , íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà  dom∆T ≡ f ∈ C 2 (E) : ∀x ∈ E f ′′ (x) ∈ domT
T ′′ T â C(E), îïðåäåëÿåìîå òàê: ∆ f (x) = T (f (x)) äëÿ f ∈ dom∆ . Â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ËÂÏ E ÿâëÿåòñÿ âñþäó ïëîò-

íûì ïîäïðîñòðàíñòâîì âåùåñòâåííîãî ñåïàðàáåëüíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà

H

E → H íåïðåðûâíî. Ïóñòü åùå âåê≡ L(E, R) íàäåëåíî íåêîòîðîé ëîêàëüíî

è âëîæåíèå ∗

òîðíîå ïðîñòðàíñòâî

E

âûïóêëîé òîïîëîãèåé, ñîãëàñóþùåéñÿ ñ êàíîíè÷åñêîé äâîéñòâåííî∗ ñòüþ h·, ·i ìåæäó E è E . Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ òðîéêà ∗ ∗ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ: E ⊂ H = H ⊂ E . Ýòà òðîéêà íàçûâàåò-

îñíàùåííûì ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Êðîìå ýòîãî, ïóñòü (en )n∈N  ýòî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â H , ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ E . Âåçäå äàëåå ýòîò áàçèñ èêñèðîâàí. Îïðåäåëåíèå 3. (ñð. [2℄) Îïåðàòîðîì Ëàïëàñà-Ëåâè ∆L íàçûâàåò2 ñÿ îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà dom∆L ⊂ C (E) â C(E), îïðåäåëÿñÿ

åìîå ðàâåíñòâîì

n

(∆L f ) (x) =

1 X ′′ (f (x)ek , ek ) n k=1

äëÿ

f ∈ dom∆L .

Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà-Ëåâè. Ïóñòü

u : E → C

îáîçíà÷àåò äâàæäû äè-

åðåíöèðóåìóþ ïî àòî óíêöèþ. Äëÿ êàæäîãî ÷èñëà íàéäåì ðåøåíèÿ (ò.å. óíêöèè

u)

ñëåäóþùåé çàäà÷è

(∆L u)(x) = γu(x), Îïðåäåëåíèå 4.

ðû

ν

íà

E∗

x∈E

α−ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå

γ ∈ C

ìû

(1)

ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ìå-

íàçûâàåòñÿ  îáîçíà÷àåìàÿ ñèìâîëîì

Fα ν

 êîìïëåêñ-

íîçíà÷íàÿ óíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì

(Fα ν) (x) =

Z

eαhf,xi ν(df ),

E∗

Ïóñòü

 Br = f ∈ E ∗ : (f, f )L = r2

x ∈ E.

(2)

îáîçíà÷àåò ñåðó ðàäèóñà

r,

ñîîòâåòñòâóþùóþ ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ Ëåâè.

Ïóñòü γ ∈ C è ν  ýòî ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà E ∗ ñ íîñèòåëåì â Br äëÿ íåêîòîðîãî r > 0, òàêàÿ ÷òî åå α−ïðåîáðàçîâàíèå Òåîðåìà 1.

104

√

γ

Ôóðüå ñóùåñòâóåò äëÿ α = r . Òîãäà óíêöèÿ uγ , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì Z √ γ uγ (x) = e r hf,xi ν(df ), x ∈ E E∗

ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðà Ëàïëàñà-Ëåâè, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ γ . Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïðåäëîæåíèÿ 3 èç ðàáîòû [2℄ íà ñëó÷àé êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (êàê óæå îòìå÷àëîñü, â [2℄, [1℄ ðàññìàòðèâàëèñü òîëüêî êëàññè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è Ëàïëàñà): Òåîðåìà 2. (Î íåñàìîñîïðÿæåííûõ ðàñøèðåíèÿõ ∆L ) Äëÿ êàæäîãî θ ∈ (−π, π] ñóùåñòâóåò ïîäïðîñòðàíñòâî Lθ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà E , òàêîå ÷òî ñóæåíèå îïåðàòîðà e−iθ ∆L íà Lθ îïðåäåëÿåò ñóùåñòâåííî ñàìîñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð. Ïðîñòðàíñòâî Lθ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê íåïðåðûâíàÿ ãèëüáåðòîâà ñóììà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ Lθr (σ), ãäå Lθr (σ) îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî eiθ/2 −ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ìåð, ÿâëÿþùèõñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè êîìïëåêñíîçíà÷íûõ óíêöèé èç ïîäõîäÿùåãî êëàññà è íåêîòîðîé èêñèðîâàííîé ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ìåðû σ , ñîñðåäîòî÷åííîé íà ìíîæåñòâå Br (ñð. [2℄). Çàìå÷àíèå 1.

Íàëè÷èå íåñàìîñîïðÿæåííûõ ðàñøèðåíèé îïåðàòî-

ðà Ëàïëàñà-Ëåâè ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íåîæèäàííûì. Îäíàêî, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìû èùåì ñîáñòâåííûå óíêöèè ëàïëàñèàíà Ëåâè ñðåäè óíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà îñíàùåííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå

E.

Ïîýòîìó ñòàíäàðòíûé àðãóìåíò ñàìîñîïðÿæåííîñòè,

èñïîëüçóåìûé â ñëó÷àå îáû÷íîãî ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâà, íåïðèìåíèì.  äåéñòâèòåëüíîñòè, èìåííî ñòðóêòóðà îñíàùåííîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà è ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñ∗ íûì çíà÷åíèé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè âûïîëíÿåòñÿ E = H = E (ò. å. îïåðàòîð Ëàïëàñà-Ëåâè îïðåäåëåí íà ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå), òî âîçìîæíû òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëàïëàñèàíà Ëåâè.

[1℄ Àêêàðäè Ë., Ñìîëÿíîâ Î. . Îïåðàòîðû Ëàïëàñà  Ëåâè â ïðîñòðàíñòâàõ óíêöèé íà îñíàùåííûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè.  2002.  72.  145150. [2℄ Àêêàðäè Ë., Ñìîëÿíîâ Î. . Ïðåäñòàâëåíèÿ ëàïëàñèàíîâ Ëåâè è ñâÿçàííûõ ñ íèìè ïîëóãðóïï è ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé. ÄÀÍ.  2002.  384.  295301. [3℄ Àðåüåâà È. ß. Íåàáåëåâà îðìóëà Ñòîêñà. Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà.  43.  353356. 105

[4℄ A

ardi L., Smolyanov O. G. On Lapla ians and Tra es. Confer. Sem. Univ. Bari.  1993.  250.  125. [5℄ A

ardi L., Gibilis o P., Volovi h I. V. Yang  Mills Gauge Fields as Harmoni Fun tions for the L
evy Lapla ians. Russian Journal of Math. Physi s.  1994.  2.  235250. ÓÄÊ 514.76

Ôîðìû Êèëëèíãà íà êàñàòåëüíîì è êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèÿõ

Í. À. Îïîêèíà Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ïóñòü

G  ãðóïïà Ëè G èìååò âèä:

è

g

 åå àëãåáðà Ëè. Ôîðìà Êèëëèíãà íà

ãðóïïå Ëè

B(u, v) = gij ui v j , ãäå

u, v

m k gij = Cik Cjm ,

 ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà

íûå êîíñòàíòû àëãåáðû Ëè

g

 ñòðóêòóð-

[1℄.

Èçâåñòíî [2℄, ÷òî êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå

U, V ∈ g01

k G, Cij

(1)

T G  ãðóïïà Ëè. Ïóñòü T G. Â íåêîòîðîì áà-

ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà

çèñå ëåâîèíâàðèàíòíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íàéäåíà îðìà Êèëëèíãà íà

T G,

êîòîðàÿ èìååò âèä

B(U, V ) = GAB U A V B , ãäå

Gij = 2gij , Giej = 0, Geiej = 0.

(2)

Îíà âñåãäà âûðîæäåííàÿ ðàíãà r 6 n. Èç âèäà îðìû Êèëëèíãà (2) 1 âûòåêàþò ñëåäóþùèå ïðèçíàêè òèïîâ àëãåáð Ëè g0 . 1 Òåîðåìà 1. Àëãåáðà Ëè g0 ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

àëãåáðà Ëè g ðàçðåøèìà. 1 Òåîðåìà 2. Àëãåáðà Ëè g0 ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà àëãåáðà Ëè g ðàçðåøèìà. ∗ Íàìè ïîêàçàíî, ÷òî êîêàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå T G ÿâëÿåòñÿ 0 ãðóïïîé Ëè. Ïóñòü U, V ∈ g1 ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ ∗ 0 íà T G. Â íåêîòîðîì áàçèñå ñîîòâåòñòâóþùåé àëãåáðû Ëè g1 îð-

ìà Êèëëèíãà èìååò àíàëîãè÷íûé âèä. Ýòà îðìà òàêæå âñåãäà âûðîæäåííàÿ ðàíãà

106

r 6 n.

Äîêàçàíî, ÷òî òåîðåìû 1 è 2 âåðíû è äëÿ àëãåáðû Ëè ∗ Ëè T G.

g10

ãðóïïû

[1℄ Øàïóêîâ Á. Í. Çàäà÷è ïî ãðóïïàì Ëè è èõ ïðèëîæåíèÿì.  M.: ÍÈÖ ÕÄ.  2002. [2℄ Morimoto A. Prolongations of G-stru tures to tungent bundles. Nagoya Math. J.  1968.  32.  67108. ÓÄÊ 533.95, 537.84

Ñõåìû âûñîêîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ ðåøåíèé òðåõìåðíûõ Ì Ä óðàâíåíèé ìåòîäîì îäóíîâà

Ê. Í. Ïå÷åðñêèõ Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò è Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ÀÍ

Ââåäåíèå. C ïîìîùüþ êîíå÷íî-îáúåìíûõ ìåòîäîâ ãîäóíîâñêîãî òèïà [1, 2℄ ñ âûñîêèé òî÷íîñòüþ ðåøàþòñÿ òàêèå ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå çàäà÷è, êàê ìîäåëèðîâàíèå ìåæçâåçäíûõ îáëàêîâ, àêêðåàöèîííûõ äèñêîâ, ðàçëè÷íûõ ïëàçìåííûõ ñòðóé. Áîëüøèíñòâî ýòèõ ÿâëåíèé íåñòàöèîíàðíû è ñâÿçàííû ñî ñëîæíûìè òå÷åíèÿìè, â êîòîðûõ, íàðÿäó ñ ÷àñòíûìè íåïðåðûâíûìè ðåøåíèÿìè, ïðèñóòñòâóþò óäàðíûå âîëíû è ðàçðûâû. Ïðè èñïîëüçîâàíèè íåïîäâèæíîé ñåòêè, ìåòîäû îäóíîâà íå äîïóñêàþò êîððåêòíîãî îáîáùåíèÿ íà âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî ïðîñòðàíñòâó, è, êàê îäíî èç ñëåäñòâèé, ìåòîäû ðàçìûâàþò ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ. Ìíîãèå èññëåäîâàòåëè [1℄ äëÿ óñòðàíåíèÿ ðàçìûâàíèÿ ðàçðûâîâ óñïåøíî èñïîëüçîâàëè âìåñòå ñ îáû÷íûìè ìåòîäàìè ñêâîçíîãî ñ÷åòà äèíàìè÷åñêîå âûäåëåíèå ðàçðûâîâ è ïîäâèæíûå ñåòêè [6℄ . Ê ñîæàëåíèþ, òàêèå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû çíà÷èòåëüíî áîëåå ãðîìîçäêè è ñëîæíû, è, êàê ïðàâèëî, ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî îáùèé âèä ðåøåíèÿ èçâåñòåí çàðàíåå. Íåñìîòðÿ íà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîäâèæíûõ è àäàïòèâíûõ ñåòîê, àêòóàëåí âîïðîñ î ïîëó÷åíèè ðåãóëÿðíîé ñõåìû ñî âòîðûì ïîðÿäêîì òî÷íîñòè.

1. Ñîäåðæàíèå ðàáîòû.

 äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû äâà

îðèãèíàëüíûõ ìåòîäà çàîñòðåíèÿ ðàçðûâîâ â Ì Ä òå÷åíèÿõ íà îñíîâå ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ ðåêîíñòðóêöèè Ì Ä ïàðàìåòðîâ íà ãðàíÿõ ÿ÷ååê, ðåàëèçîâàííûå äëÿ êîððåêöèè ðàçìûòûõ àëüâåíîâñêèõ îñîáåííîñòåé. Ïðåäëîæåí ïðîñòîé è ýêîíîìè÷íûé êðèòåðèé âûÿâëåíèÿ ðàçìûòûõ, òðåáóþùèõ êîððåêöèè, ðåøåíèé, ðàáîòàþùèé çà ñ÷åò

107

îòñëåæèâàíèÿ îñîáåííîñòåé ñ ïðÿìûìè ïðèçíàêàìè Ì Ä ðàçðûâîâ. Ïðè ýòîì ïåðåïàä Ì Ä ïàðàìåòðîâ íà ãðàíÿõ ÿ÷ååê ñðàâíèâàåòñÿ ñ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ëèíåéíûõ âîëí, ðàññ÷èòàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà îó, ïðè ðåøåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è èìàíà. Îòêóäà îïðåäåëÿåòñÿ òèï Ì Ä âîëíû ïðîèçâîäÿùåé ìàêñèìàëüíûé âêëàä â ðåøåíèå.  îáëàñòè ãëàäêèõ ðåøåíèé êóñî÷íî-ïàðàáîëè÷åñêàÿ ðåêîíñòðóêöèÿ èëè ðåêîíñòðóêöèÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà óñïåøíî ïîâûøàåò òî÷íîñòü ðåøåíèé [2℄.  ñëó÷àå ãëàäêèõ ðåøåíèé íåîáõîäèìî â ïðåäïîëîæåíèè î íåïðåðûâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ì Ä ïàðàìåòðîâ, àäåêâàòíî ñãëàæèâàòü ðåøåíèå, íî íà ðàçðûâíûõ (ðàçìûòûõ ñõåìîé) îñîáåííîñòÿõ òå÷åíèé, î÷åâèäíî, âòîðîìó ïîðÿäêó òî÷íîñòè äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü êîððåêòíîå çàîñòðåíèå ïðîèëåé ðàçðûâîâ. àçðàáîòàí ìåòîä ñêâîçíîãî ñ÷åòà ñ ïîëó÷åíèåì ðåøåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, ñ îòêîððåêòèðîâàííûìè ðàçðûâíûìè ðåøåíèÿìè, ëîêàëèçàöèÿ êîòîðûõ ïîâûøåíà äî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî äëÿ ñõåìû îäóíîâñêîãî òèïà. Ïðè ýòîì ìåòîä íå òåðÿåò îáùåé óñòîé÷èâîñòè.

2. Ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðåêîíñòðóêöèè.

àçè÷èÿ

ìåæäó èñïîëüçóåìûìè òèïàìè ñæèìàþùåé è ñãëàæèâàþùåé ðåêîíñòðóêöèè èìåþò âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè è ïðîÿâëÿþòñÿ òîëüêî â ïðîöåññå äëèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé. Òåì íå ìåíåå, îíè èìåþò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå, òàê êàê ñãëàæèâàíèå ðàçðûâîâ ðåêîíñòðóêöèåé âòîðîãî ïîðÿäêà ìîæåò ïðîèñõîäèòü íåîãðàíè÷åíî. À ïðèìåíåíèå ñæèìàþùåé ðåêîíñòðóêöèè íà ãëàäêèõ ðåøåíèÿõ ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ îñöèëÿöèé è ðàçðóøåíèþ ðåøåíèé. Íà ðèñóíêå ïîêàçàí ðåçóëüòàò ïðîõîæäåíèÿ àëâåíîâñêîãî ðàçðûâà ïî ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ïîëó÷åííûé äâóìÿ ìåòîäàìè: ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåêîíñòðóêöèè âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (êðàñíûå òî÷êè) [2, 5℄ è ñ èñïîëüçîâàíèåì ñæèìàþùåé ðåêîíñòðóêöèè Super-Bee (÷åðíûå òî÷êè) [3℄. Âèäíî, ÷òî ÷èñëî êðàñíûõ òî÷åê íà ðàçðûâå ñèëüíî âîçðîñëî â òî âðåìÿ êàê ÷åðíûõ ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèëîñü. Òàê æå âèäíû îñöèëëÿöèè âûçâàííûå ñæèìàþùåé ðåêîíñòðóêöèåé. Áëàãîäàðÿ ðàçðàáîòàííîé ïðîöåäóðå âûÿâëåíèÿ ðàçðûâîâ, óäàåòñÿ èçáåæàòü îáåèõ íåäîñòàòêîâ ìåòîäà. Ïðè ýòîì íóæíûé òèï ðåêîíñòðóêöèè èñïîëüçóåòñÿ ñòðîãî íà îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ðåøåíèÿ.

3. Ìåòîä âûÿâëåíèÿ ðàçðûâîâ.

Ìåòîä îñíîâàí íà ñâîéñòâå

ðåøåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, à èìåííî íà òîì, ÷òî, ïðè ðàñ÷åòàõ òàêèìè ìåòîäàìè ðàçðûâû ìîãóò ðàçìûâàòüñÿ, íî íå ìîæåò èñêàæàòüñÿ èõ òèï [2℄. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìûòûé ïî ñåêòêå ðàçðûâ õàðàêòåðèçóåò îáëàñòü ñîñåäíèõ ÿ÷ååê ñ îäèíàêîâûì òèïîì ðåøåíèÿ

108

çàäà÷è èìàíà. Òàêæå, çíàÿ ñâîéñòâà ìåòîäîâ, ìîæíî ðàññóæäàòü î õàðàêòåíîé âåëè÷èíå òàêèõ îáëàñòåé. Ïîä òàêîé êðèòåðèé áåçóñëîâíî ïîïàäóò ñëó÷àéíûå ãëàäêèå îñîáåííîñòè òå÷åíèé. Íî ýòî íå ïðèâåäåò ê ðàçðóøåíèþ ñõåìû. Ïî òîìó, ÷òî èç-çà õàðàêòåðíî ìàëîãî ðàçìåðà îíè áóäóò èñêàæåíû òàêæå, êàê è ðàçðûâû, è, êàê âñå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, áóäóò áûñòðî òåðÿòü ñõîæåñòü ñâîåé êîíèãóðàöèè ñ ðàçðûâàìè.

4. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû. Ê ñîæàëåíèþ, îáúåì ñòàòüè íå ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè ïîëíûé îá-

çîð òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâ. Íàìè áûëè ïðîâåäåíû îäíî- è òðåõìåðíûå ðàñ÷åòû òå÷åíèé [2, 4℄. Ïðîâåäåííûå îäíîìåðíûå òåñòû: ñðàâíåíèå ñ àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè ðåçóëüòàòîâ ðàñïàäà ðàçðûâà ñ ÿðêî âûðàæåííûìè âñåìè òèïàìè âîëí, ïðîõîæäåíèå ëèíåéíûõ âîëí âñåõ òèïîâ, äëèòåëüíàÿ ýâîëþöèÿ ðàçðûâîâ. Òðåõìåðíûå: ñåðè÷åñêèé âçðûâ, âîçìóùåíèÿ íà ðîíòàõ âîëí, òîêîâûé ñëîé, ýâîëþöèÿ ðàçðûâîâ ñëîæíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîíèãóðàöèè.

[1℄ îäóíîâ Ñ. Ê., Çàáðîäèí À. Â., Èâàíîâ Ì. ß., Êðàéêî À. Í., Ïðîêîïîâ . Ï. ×èñëåííîå ðåøåíèå ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè.  Ì.: Íàóêà, 1976. [2℄ Êóëèêîâñêèé À. ., Ïîãîðåëîâ Í. Â., Ñåìåíîâ À. Þ. Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì óðàâíå109

íèé.  Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. [3℄ Roe P. L. Some ontributions to the modeling of dis ontinuous ows. (Le tures in applied Mathemati s.)  AMS: Providen e, 1985. [4℄ Gardinger T. A., Stone J. M. An Unsplit Godunov Method for Ideal MHD via Constrained Transport. J. Comput. Phys.  2005.  42,  205.  509539. [5℄ Colella P., Woodward P. R. The pie ewise paraboli method (PPM) for gas-dynami al simulations. J. Comput. Phys.  1984.  42,  54.  174201. [6℄ Lee S. S., Tanaka H. T. Parallel Image Segmentation with Adaptive Mesh. ICPR.  2000.  42,  1.  1635. ÓÄÊ 532.5

Êâàçèäâóõñëîéíàÿ ìîäåëü äëÿ ïîòîêîâ ìåëêîé âîäû íàä ñòóïåí÷àòîé ãðàíèöåé

À. . Ñëàâèí Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò è Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ÀÍ

Ââåäåíèå.

Óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óïðî-

ùåííóþ ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Ýòè óðàâíåíèÿ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ èçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, êàê âîëíû öóíàìè, ðàñïðîñòðàíåíèå òÿæåëûõ ïðèìåñåé â àòìîñåðàõ ïëàíåò è ìíîãèõ äðóãèõ ÿâëåíèÿõ, â êîòîðûõ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â íàïðàâëåíèè ïîëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ â îñòàëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Áîëüøèíñòâî èç ýòèõ ÿâëåíèé îïèñûâàþòñÿ ìîäåëüþ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè  ìîäåëüþ ìåëêîé âîäû [1℄. Ìàòåìàòè÷åñêè ÓÌ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåëèíåéíóþ ãèïåðáîëè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, âî ìíîãîì àíàëîãè÷íóþ ñèñòåìå óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè [2℄. Óêàçàííàÿ àíàëîãèÿ, ïîçâîëèëà, àäàïòèðóÿ ãàçîäèíàìè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, ðàçðåøèòü àíàëèòè÷åñêè çàäà÷ó èìàíà äëÿ ñëó÷àÿ ðàñïàäà ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà íà ñêëîíå [3,4℄, îïèñûâàåìóþ õîðîøî èçâåñòíûìè óðàâíåíèÿìè Ñåí-Âåíàíà :

( ∂h

∂t + ∂(hu) ∂t

110

∂(hu) ∂x = 0 ∂ (hu2 +gh2 /2) + ∂x

B = −gh dz dx

(1)

g  ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, h(x, t)  ãëóáèíà æèäêîñòè, u(x, t)  îñðåäí¼ííàÿ ïî ãëóáèíå ãîðèçîíòàëüíàÿ ñêîðîñòü æèäêîñòè. ãäå

Îáîáùåíèå èäåé, çàèìñòâîâàííûõ èç ãàçîâîé äèíàìèêè, îêàçàëîñü îñîáåííî ïëîäîòâîðíûì äëÿ êëàññà ëèíåéíûõ ïîäñòèëàþùèõ ïîâåðõíîñòåé.  òîæå âðåìÿ, àêòóàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèå ãàçîäèíàìè÷åñêèõ àíàëîãèé íà ñëó÷àé êîìïëåêñíûõ ïîäñòèëàþùèõ ïîâåðõíîñòåé, îïèñûâàåìûõ íå äèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè, êàê àëüòåðíàòèâû ðåøåíèé ïîëíîé ñèñòåìû ãèäðîäèíàìèêè. Ýòî ïîçâîëèò ðàçðàáîòàòü ýåêòèâíûå ÷èñëåííûå àëãîðèòìû ñêâîçíîãî ñ÷åòà òèïà îäóíîâà [5,6℄ äëÿ òàêèõ òå÷åíèé, îñíîâûâàÿñü íà ðåøåíèè çàäà÷è èìàíà. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ãðàíèöû, àïïðîêñèìàöèÿ ïðîèëÿ

äíà

z(x)

êîìáèíàöèåé

êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ è

êóñî÷íî-

ëèíåéíûõ óíêöèé ñâîäèò çàäà÷ó ê êîíå÷íîìó ÷èñëó ñèñòåì âèäà (1), ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:

u(x, 0) =



â îáëàñòè

ul , ur ,

x < 0, x > 0,

åñëè åñëè

x ∈ (−∞, +∞)

è äëÿ

h(x, 0) =

t > 0.



hl , hr ,

åñëè åñëè

x < 0, x > 0. (2)

Ïðè ýòîì äëÿ ãîðèçîíòàëüíûõ

è íàêëîííûõ ãðàíèö çàäà÷à èìàíà èìååò ñòðîãîå ðåøåíèå, íå âûõîäÿùåå çà ðàìêè ïðèáëèæåíèé ìåëêîé âîäû, â òî âðåìÿ, êàê íà ñòóïåí÷àòîé ãðàíèöå ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì ó÷åò âåðòèêàëüíûõ óñêîðåíèé âáëèçè óñòóïà.  äàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåíà ïðèáëèæåííàÿ òåîðèÿ ðàçðûâíûõ òå÷åíèé ìåëêîé âîäû âáëèçè óñòóïà äíà, îñíîâàííàÿ íà äâóõñëîéíîé àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ñòóïåíüêè. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïðàâèëüíîì ðàçäåëåíèÿ æèäêîñòè íà äâà ñëîÿ èçèêà ïðîöåññîâ â îêðåñòíîñòè ñòóïåíüêè ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî îïèñàíà ðåøåíèåì êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû ñî ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, îïèñûâàþùèìè âçàèìîäåéñòâèå ñëîåâ. Ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîé íåîäíîðîäíîñòè ââîäèòñÿ ñîáñòâåííîå äâóõñëîéíîå äåëåíèå, ìû íàçûâàåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé êâàçèäâóõñëîéíîé ìîäåëüþ ìåëêîé âîäû.

1. Êâàçèäâóõñëîéíàÿ ìîäåëü. Ñóòü ïðåäëîæåííîé ìîäåëè ñî-

ñòîèò â ñëåäóþùåì. àññìîòðèì ïîòîê ìåëêîé âîäû áåç òðåíèÿ íàä ñòóïåíüêîé âûñîòû 

a

, áåç ïîòåðè îáùíîñòè, ïîâåðíóòîé íàëåâî.

Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûñîòà æèäêîñòè áûëà áû íèæå ñòóïåíüêè, òî ñòóïåíüêà èãðàëà áû äëÿ íèæíåãî ñëîÿ ðîëü íåïðîòåêàåìîé ãðàíèöû. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûñîòà æèäêîñòè áîëüøå âûñîòû ñòóïåíüêè, âîçìîæíî, ðàññìîòðåòü äâà ñëîÿ æèäêîñòè: íèæíèé ñ ïàðà-

111

ìåòðàìè ïîòîêà

h1

è

u1 ,

äëÿ êîòîðîãî ñòóïåíüêà ÿâëÿåòñÿ íåïðîòå-

êàåìîé ãðàíèöåé è âåðõíåãî ñ ïàðàìåòðàìè ïîòîêà

h2

è

ðîãî îòñóòñòâóåò ïðÿìîå âëèÿíèå ñòóïåíüêè, î÷åâèäíî,

u2 , äëÿ êîòîhl = h1 + h2 .

Óðàâíåíèÿ äëÿ äâóõñëîéíîé ñèñòåìû âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 ∂h ∂ 1  ∂t + ∂x (h1 u1 ) = 0,    ∂h2 + ∂ (h u ) = 0, 2 2 ∂t ∂x ∂h2 ∂ 1 ∂ 2 2  (h u ) + 1 1  ∂x (h1 u1 + 2 gh1 ) + gh1 ∂x = 0,   ∂t ∂h1 ∂ ∂ 1 2 2 ∂t (h2 u2 ) + ∂x (h2 u2 + 2 gh2 ) + gh2 ∂x = 0,

ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì

u1 = 0

ïðè

(3)

x = 0, t > 0

(ñòóïåíüêà âëèÿåò íà âûñîòó è ñêîðîñòü íèæíåãî ñëîÿ ó ñòóïåíüêè) è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïðè

h1 = h∗ , h2 = hr ,

t = 0:

h2 = hl − h∗ , u 1 = u l , u2 = ur ïðè x > 0

u2 = ul

ïðè

x 6 0,

Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü ñèñòåìó (3), ðàñùåïèì å¼ íà äâå òàê,

h1 è u1 ñòàëî âîçìîæíî âû÷èñëèòü íåçàâèñèìî îò u2 . Ïðèíèìàÿ ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî îðìèðî-

÷òîáû ïåðåìåííûå ïåðåìåííûõ

h2

è

âàíèå âîëíîâîé êàðòèíû â íèæíåì ñëîå ïðîèñõîäèò ìíîãî áûñòðåå ÷åì â âåðõíåì, ðàçäåëåíèå íà ñëîè ïðîâåäåì, òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íèæíèé ñëîé, âçàèìîäåéñòâóÿ ñî ñòóïåíüêîé, ïðèõîäèë â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ è îáðàçîâûâàë ñî ñòóïåíüêîé åäèíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñ2 gh1 ∂h ∂x â òðåòüåì óðàâíåíèè ñèñòåìû (3). Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåðõíèé ñëîé íå îêàêîñòü. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì

çûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà íèæíèé, ò.å. ïðåíåáðåæåì ÷ëåíîì 1 gh2 ∂h ∂x . Òîãäà âëèÿíèå íèæíåãî ñëîÿ íà âåðõíèé áóäåò ó÷òåíî çà ñ÷åò ∗ èçìåíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ h2 = hl − h , x 6 0, îïðåäåëÿåìîãî èçìåíåíèåì ãëóáèíû íèæíåãî ñëîÿ ïðè òîðìîæåíèè íà ñòóïåíüêå.

Òåïåðü ïåðåìåííûå h1 è u1 , è h2 è u2 ñâÿçàíû òîëüêî ÷åðåç íàh∗ , êîòîðûé íåîáõîäèìî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì,

÷àëüíûé ïàðàìåòð

÷òîáû íåïîñðåäñòâåííî íà ñòóïåíüêå âûñîòà íèæíåãî ñëîÿ ñîâïàäàëà ñ âûñîòîé ñòóïåíüêè

h1 |x=0 = a. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ

h∗

ñâîäèòñÿ ê ðå-

øåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è Äèðèõëå.  çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñêîðîñòè

ul

(ñëó÷àé ðàâåíñòâà íóëþ ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì: íåòðóäíî âèäåòü, ul = 0, òî h∗ = a) ðåøåíèå çàäà÷è ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ïðèí-

÷òî åñëè

öèïèàëüíî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ:

112

à)

ul > 0,

êàðòèíà òå÷åíèÿ èìååò âèä îòðàæåííîé âëåâî óäàðíîé h∗ è ul > 0, à ñïðàâà

âîëíû, ñëåâà îò êîòîðîé ïàðàìåòðû ïîòîêà

h=a á)

è u = 0. ul < 0, êàðòèíà

òå÷åíèÿ èìååò âèä óõîäÿùåé âëåâî âîëíû ðàçh∗ è ul < 0, à ñïðàâà

ðÿæåíèÿ, ñëåâà îò êîòîðîé ïàðàìåòðû ïîòîêà

h=a

è

u = 0.

Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ∗ è h2 = hl − h .

h∗ ,

è òåïåðü äëÿ

2. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå.

x60

èìååì:

h1 = h∗

Äëÿ ïðîâåðêè êà÷åñòâåííîé

òåîðèè ïðåäëîæåííîé ìîäåëè â ðàáîòå ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå îñíîâàííîå íà êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ìåëêîé âîäû âî âñåé îáëàñòè èñêëþ÷àÿ îêðåñòíîñòü óñòóïà, âíóòðè êîòîðîé ðåàëèçîâàíà êâàçèäâóõñëîéíàÿ ìîäåëü. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ ìîäåëü ðåàëèçóåò âñå àíàëèòè÷åñêè äîïóñòèìûå êîíèãóðàöèè, âîçìîæíûå â ðàìêàõ ïðåäïîëîæåíèÿ îá àâòîìîäåëüíîñòè è íàëè÷èÿ ñòàöèîíàðíîé çîíû, ïðè ýòîì êëàññ ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé ðàñøèðåí çà ñ÷åò êà÷åñòâåííîãî ó÷åòà äèññèïàöèè ïîñòóïàòåëüíîé ìåõàíè÷åñêîé çà ñ÷åò òóðáóëåíòíîñòè, êàê óíêöèè êðóïíîìàñøòàáíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîòîêà.

3. Òåñòîâûå ðàñ÷åòû è èõ àíàëèç.

Ê ñîæàëåíèþ, îáúåì ñòà-

òüè íå ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè ïîëíûé íàáîð òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâ. Îãðàíè÷óñü íàèáîëåå èíòåðåñíûìè è ïîêàçàòåëüíûìè íà ìîé âçãëÿä (èñóíîê 1 è 2). Äëÿ êàæäîé êîíèãóðàöèè áóäåì ñòðîèòü 3 ãðàèêà: ñâåðõó àíàëèòè÷åñêè âîçìîæíàÿ êîíèãóðàöèÿ; ïî ñåðåäèíå çàâèñèìîñòü âûñîòû h ïîòîêà îò êîîðäèíàòû x, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî; ñíèçó çàâèñèìîñòü ÷èñëà Ôðóäà F îò êîîðäèíàòû x, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî. Ïóíêòèðíîé ëèíèåé íà âåðõíåì ãðàèêå ïîêàçàí êîíòàêòíûé ðàçðûâ, òî åñòü ðàçäåëåíèå æèäêîñòè íà ëåâóþ è ïðàâóþ â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ íà ãðàèêå âûñîòû h îò êîîðäèíàòû x îáîçíà÷àåò íà÷àëüíóþ ãëóáèíó ïîòîêà.  ñêîáêàõ ïîä ðèñóíêàìè óêàçàíû íà÷àëüíûå ïàðàìåòðû ïîòîêà. Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ äàííûõ ïîêàçàë àâòîìîäåëüíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé (÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè [7℄, ìîäåëèðóþùèìè êîíèãóðàöèþ äâå óäàðíûõ âîëíû ñïðàâà îò ñòóïåíüêè) è ñòàöèîíàðíîñòü ðåøåíèÿ íàä ñòóïåí÷àòîé ãðàíèöåé (÷òî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðàçðàáàòûâàåìûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è [8℄).

4. Çàêëþ÷åíèå.

 ðàáîòå ñîðìóëèðîâàíà è ðåøåíà çàäà÷à î

ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà äëÿ óðàâíåíèé ìåëêîé âîäû íà ñòóïåíüêå. Ïðåäëîæåíà ìîäåëü, ïîçâîëÿåò âîñïðîèçâîäèòü ñëîæíóþ èçèêó òå÷åíèÿ âáëèçè ñòóïåíüêè. Áûëè âûÿâëåíû: àâòîìîäåëüíîñòü

113

114

115

ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé, ñòàöèîíàðíîñòü ðåøåíèÿ íàä ñòóïåí÷àòîé ãðàíèöåé. Ìîäåëü ðåàëèçóåò âñå àíàëèòè÷åñêè äîïóñòèìûå êîíèãóðàöèè, à òàêæå è íåâîçìîæíûå àíàëèòè÷åñêè, íî âîçìîæíûå èçè÷åñêè (ñëó÷àè, êîãäà âîëíà ðàçðÿæåíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ñòóïåíüêó, ëèáî ïðèìûêàåò ê íåé ñëåâà). Ïðåäëîæåííàÿ êâàçèäâóõñëîéíàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ðàçðàáîòàòü ÷èñëåííûé ìåòîä äëÿ ðàñ÷åòà òå÷åíèé ìåëêîé âîäû íàä ïîäñòèëàþùåé ïîâåðõíîñòüþ ëþáîé ñëîæíîñòè.

[1℄ Vreugdenhil G. B. Numeri al method for shallow-water ow.  Kluwer, 1984. [2℄ îæäåñòâåíñêèé Á. Ë., ßíåíêî Í. Í. Ñèñòåìû êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé.  Ì.: Íàóêà, 1978. [3℄ Karelsky K. V., Papkov V. V., Petrosyan A. S. Parti ular solutions of shallow water equations over non-at surfa e. J. Phys. Let.   271.  341348. [4℄ Karelsky K. V., Papkov V. V. ,Petrosyan A. S., Tsygankov D. V. The initial dis ontinuity de ay problem for shallow water equations on slopes. J. Phys. Let.  271.  349357. [5℄ îäóíîâ Ñ. Ê., Çàáðîäèí À. Â., Èâàíîâ Ì. ß., Êðàéêî À. Í., Ïðîêîïîâ . Ï. ×èñëåííîå ðåøåíèå ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè.  Ì.: Íàóêà, 1976. [6℄ Êóëèêîâñêèé À. ., Ïîãîðåëîâ Í. Â., Ñåìåíîâ À. Þ. Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé.  Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. [7℄ Áóêðååâ Â. È., óñåâ À. Â. ðàâèòàöèîííûå âîëíû ïðè ðàñïàäå ðàçðûâà íàä óñòóïîì äíà îòêðûòîãî êàíàëà.  Íîâîñèáèðñê: ÏÌÒÔ, 2003. [8℄ Âîëîäêîâè÷ À. Í., Êàðåëüñêèé Ê. Â., Ïåòðîñÿí À. Ñ. Çàäà÷à î ñòàöèîíàðíîì îáòåêàíèè ñòóïåíüêè â ïðèáëèæåíèè ìåëêîé âîäû.  êí.: Òðóäû XLVII íàó÷íîé êîíåðåíöèè ÌÔÒÈ. ×àñòü VIII. Ôèçèêà è Ýíåðãåòèêà.  Ì.: 2004.

116

ÓÄÊ 681.32

Ïîâåðõíîñòíûå ìåðû íà òðàåêòîðèÿõ â ðèìàíîâûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ïîðîæäàåìûå áðîóíîâñêèìè äâèæåíèÿìè

È. Â. Òåëÿòíèêîâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Â ðàáîòå ñòðîÿòñÿ ïîâåðõíîñòíûå ìåðû íà ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ óíêöèé

C([0, 1], M ),

îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå

[0, 1]

è ïðè-

íèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â êîìïàêòíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè M , èçîn ìåòðè÷åñêè âëîæåííîì â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî R , ïîðîæäåííûå n ìåðîé Âèíåðà íà ïðîñòðàíñòâå C([0, 1], R ) íåïðåðûâíûõ óíêöèé n íà [0, 1], ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â R (îíà îïèñûâàåò áðîóíîâñêîå n äâèæåíèå â R ). Ïðè ýòîì îñíîâíîé öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ñëó÷àÿ, êîãäà êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííûå ïîâåðõíîñòíûå ìåðû ýêâèâàëåíòíû ìåðå Âèíåðà íà åò áðîóíîâñêîå äâèæåíèå íà

M ),

C([0, 1], M )

(îíà îïèñûâà-

ïðè÷åì íàéäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå

ïëîòíîñòè àäîíà  Íèêîäèìà, âûðàæàþùèåñÿ ÷åðåç êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð

K

è òåíçîð è÷÷è ìíîãîîáðàçèÿ

R.  ÷àñòíîñòè, ïîëó-

÷åííàÿ âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòíàÿ ìåðà èìååò ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü z,K îòíîñèòåëüíî ìåðû Âèíåðà íà ìíîãîîáðàçèè WM :

z,K dηM z,K dWM

e

(ξ) = Z

e

− 16

− 16

R1

T r(R(ξ(t))K) dt

0

R1

, T r(R(ζ(t))K)dt

0

z,K WM (dζ)

C([0,1],M) ãäå

ξ ∈ C([0, 1], M ).

Åñëè êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð åäèíè÷íûé, òî ââåäåííûå â äàííîé ðàáîòå ìåðû ñîâïàäàþò ñ ââåäåííûìè â [1℄ ïîâåðõíîñòíûìè ìåðàìè, ïëîòíîñòè êîòîðûõ îòíîñèòåëüíî ìåðû Âèíåðà íà ìíîãîîáðàçèè ñ åäèíè÷íûì êîððåëÿöèîííûì îïåðàòîðîì âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ìíîãîîáðàçèÿ.

 [1℄ Smolyanov Î. G., Weizsa ker H. v, Witti h O. Brownian motion on a manifold as limit of stepwise onditioned standard Brownian motions. Can. Math. So . Conferen e Pro eedings.  2000.  29.  589602.

117

ÓÄÊ 517.98

èïåðáîëè÷åñêèé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ îáðàòèìîñòè óíêöèîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ â Lp −ïðîñòðàíñòâàõ

È. Þ. Òðóáíèêîâ

Áåëîðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àññìîòðèì ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå E ñî CN è áàçîé (X, α, µ), ãäå X− íåêîòîðîå êîìïàêòíîå ïðîñòðàí-

ñëîåì

α : X → X  ãîìåîìîðèçì, µ  ìåðà íà X, êâàçèèíâàðèàíòíàÿ α, ïðè÷åì supp µ = X. Ïîäìíîæåñòâî K ðàññëîåíèÿ E íàçûâàåòñÿ âåêòîðèàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî x ìíîæåñòâî Kx := K ∩ p−1 (x) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â p−1 (x). Âåêòîðèàëüíîå ìíîæåñòâî, ó êîòîðîãî ïîäïðîñòðàíñòâà Kx íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò x, ÿâëÿåòñÿ ïîäðàññëîåíèåì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàäàíî îòîáðàæåíèå θ : E → E, ÿâëÿþùååñÿ ëèíåéíûì ðàñøèðåíèåì α è ïåðåâîäÿùåå ñëîé Ex â ñëîé Eα(x) ïî ñòâî,

îòíîñèòåëüíî

ïðàâèëó:

x ∈ X, ξ ∈ Ex = CN .

θ : (x, ξ) → (α(x), θ(x)ξ), Åñëè ðàññëîåíèå

E

E

òðèâèàëüíî, ò.å.

ìîæíî çàäàòü îðìóëîé:

θ : (x, ξ) → (α(x), ξ),

E = X × CN ,

(1)

òî äåéñòâèå íà

x ∈ X, ξ ∈ Ex .

(2)

Ex çàäàíà íîðìà, íåïðåðûâíî çàâèx. Ïðîñòðàíñòâî Lp (E) îïðåäåëèì êàê ïîïîëíåíèå Γ(E) íåïðåðûâíûõ ñå÷åíèé ïî íîðìå

Äàëåå, ïóñòü â êàæäîì ñëîå ñÿùàÿ îò òî÷êè ïðîñòðàíñòâà



||u|| = 

Z

X

Ïóñòü

A ≈ HOM E 

 p1

||u(x)||px dµ , p > 1.

àëãåáðà ãîìîìîðèçìîâ ðàññëîåíèÿ

ëèíåéíî îòîáðàæàåòñÿ â ñëîé

118

Ex .

a : E → E,

E,

ò.å.

Ex a àëãåáðû A ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð a : Lp (E) → Lp (E), ÿâëÿþùèéñÿ óìíîæåíèåì íà a, ò.å. ïåðåâîäÿùèé ñå÷åíèå u(x) â ñå÷åíèå a(x)u(x), ïðè÷åì òàêèõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé

ïðè êîòîðûõ ñëîé

Êàæäîìó ýëåìåíòó

||a|| = max ||a(x)||x .

(3)

x∈X

Îïåðàòîð

T

çàäàäèì îðìóëîé: 1

(T u)(x) = (γ(x)) p θ ◦ u(α−1 (x)), γ(x) =

ãäå

dµα dµ

(4)

 ïðîèçâîäíàÿ àäîíà  Íèêîäèìà ìåðû

µα

ïî ìåðå

µα îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì µα (E) := µ(α−1 (E)). Îïåðàòîð T èçîìåòðè÷åñêè îáðàòèì â Lp (E), ïðè÷åì îòîáðàæåíèå µ,

à ìåðà

Tb : A → A, T : a → T aT −1 = θ ◦ a ◦ θ−1

ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííèì àâòîìîðèçìîì àëãåáðû àëüíîñòè ðàññëîåíèÿ

E, T

A.

 ñëó÷àå òðèâè-

åñòü îáû÷íûé îïåðàòîð ñäâèãà â ïðîñòðàí-

ñòâå âåêòîð-óíêöèé. Ïóñòü

(E, X, p)

MA β : E → E  íåïðåðûâíîå ëèα : X → X. Ëèíåéíîå ðàñøèðå-

 ðàññëîåíèå íàä êîìïàêòíûì ïðîñòðàíñòâîì

ñ èêñèðîâàííîé íîðìîé â êàæäîì ñëîå, íåéíîå ðàñøèðåíèå ãîìåîìîðèçìà íèå

β

ãèïåðáîëè÷åñêèì,

íàçûâàåòñÿ

îòíîñèòåëüíî

β

c s , cu

ãäå

è

γs , γu

åñëè ñóùåñòâóþò èíâàðèàíòíûå E s è E u è ïîñòîÿííûå γs , γu < 1, òàêèå, ÷òî E = E s ⊕ E u è

íåïðåðûâíûå ïîäðàññëîåíèÿ

cs , cu > 0, 0
íàçûâàþò

ñëîåíèåì.

cu γu−n ||ξ||,

u

ξ ∈ E , n = 1, 2, ...

ñæèìàþùèìñÿ, E u



ðàñòÿãèâàþùèìñÿ

(5) (6) ïîäðàñ-

Òåîðåìà 1. Ïóñòü A ≈ HOM E, ãðóïïà Z äåéñòâóåò íà ïðîñòðàíñòâå MA òîïîëîãè÷åñêè ñâîáîäíî, à ýëåìåíò a0 ∈ A îáðàòèì. Îïåðàòîð b = a0 + a1 T : Lp (E) → Lp (E) îáðàòèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñòðîåííîå ïî íåìó ëèíåéíîå ðàñøèðåíèå β = a−1 0 ◦ a1 ◦ θ îòîáðàæåíèÿ α : X → X ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì. Çàìå÷àíèå. Ñëó÷àé, êîãäà âìåñòî ïðîñòðàíñòâà Lp (E) ðàññìàòðèâàåòñÿ Γ(E) èëè L∞ (E) íîñèò êëàññè÷åñêèé õàðàêòåð è èññëåäîâàí

â [2℄, [3℄. àññìîòðåí òàêæå ñëó÷àé, êîãäà â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ñå÷åíèé áåðåòñÿ

L2 (E)

([1℄), íî åãî äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà C ∗ -àëãåáð, â ÷àñòíîñòè, íà òåîðå-

ñóùåñòâåííûå ðåçóëüòàòû òåîðèè

ìó îá èçîìîðèçìå. ëàâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè p 6= 2 àëãåáðà îïåðàòîðîâ â Lp (E) íå ÿâëÿåòñÿ C ∗ −àëãåáðîé, è ê íåé íåëüçÿ ïðèìåíèòü ñòàíäàðòíûå êîíñòðóêöèè ýòîé òåîðèè.

119

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Îïåðàòîð b ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå b = a0 (I + D), ãäå D = a−1 0 a1 T, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü îáðàòès u ìîñòü îïåðàòîðà I + D. Ïóñòü E è E  ñæèìàþùååñÿ è ðàñòÿãèâàþùååñÿ ïîäðàññëîåíèÿ ðàññëîåíèÿ E, à ps  ãîìîìîðèçì E, äåéñòâóþs u ùèé íà ñëîå Ex êàê ïðîåêòîð íà Ex ïàðàëëåëüíî Ex . Èíâàðèàíòíîñòü ïîäðàññëîåíèé îòíîñèòåëüíî β îçíà÷àåò, ÷òî ps ◦ β = β ◦ ps . Îïåðàòîð

(7)

Ps : Lp (E) → Lp (E), (Ps u)(x) = ps (u(x))

ÿâëÿåòñÿ ïðî-

åêòîðîì è îñóùåñòâëÿåò ðàçëîæåíèå Lp (E) â ïðÿìóþ ñóììó ïîäs s u u ïðîñòðàíñòâ Lp = Lp (E ) è Lp = Lp (E ). Èç (2.10) ñëåäóåò, ÷òî Ps D = DPs è D ïðè ðàçëîæåíèè Lp (E) = Lsp ⊕ Lup ðàçëàãàåòñÿ â

ïðÿìóþ ñóììó îïåðàòîðîâ Ds è Du : D = Ds ⊕ Du . Èç óñëîâèÿ (2.8) n n ñëåäóåò, ÷òî ||Ds || 6 cs γs , n = 1, 2, ..., îòêóäà ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ r(Ds ) < 1 è îïåðàòîð I +Ds îáðàòèì. Àíàëîãè÷íî r(Du−1 ) < 1 è I +Du

I +D

îáðàòèì. Çíà÷èò, îáðàòèìû îïåðàòîðû

Íåîáõîäèìîñòü.

è

Èç îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà

b = a0 (I + D). b = a0 + a1 T ñëåäóåò

I + D. . Ïóñòü λ ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó σ(D) îïåðàòîðà D, à |ζ| = 1. Òîãäà ζλ ∈ σ(D), ò.å. ñïåêòð îïåðàòîðà D èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé âîêðóã òî÷êè 0. îáðàòèìîñòü îïåðàòîðà Ëåììà 1

[4℄.

Èç ëåììû 1.2 ñëåäóåò, ÷òî îïðåäåëåí îïåðàòîð

1 P = πi

Z

(λ − D)−1 dλ,

(8)

|λ|=1 ÿâëÿþùèéñÿ ïðîåêòîðîì è îñóùåñòâëÿþùèé ðàçëîæåíèå èññà îïåðàòîðà

σ(Ds )

D

Ds è Du òàêèõ, ÷òî ñïåêòð |λ| = 1, à ñïåêòð σ(Du ) âíå ýòîé

â ïðÿìóþ ñóììó îïåðàòîðîâ

ëåæèò âíóòðè îêðóæíîñòè

îêðóæíîñòè.

Åñëè u ∈ Lhp (E) è ρ ∈ L∞ (MA , µ), òî ρu ∈ Lhp (E), h = s, u. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè u ∈ Lsp (E), òî ||Dn u|| → 0 ïðè n → ∞. u n Åñëè u ∈ Lp (E), u 6= 0, òî ||D u|| → ∞ ïðè n → ∞. Ïîýòîìó s n Lp (E) = {u ∈ Lp (E) : D u → ∞}. Åñëè ρ ∈ L∞ (MA , µ), òî ||Dn ρu|| = ||Tb(ρ)Dn u|| 6 ||ρ|| · ||Dn u|| → 0, ò.å. ρu ∈ Lsp (E). Àíàëîãè÷íî äîêàçûËåììà 2.

âàåòñÿ âòîðîå óòâåðæäåíèå ëåììû. Áóäåì

ñ÷èòàòü,

÷òî

ïðîñòðàíñòâî

ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå, âñþäó ïëîòíîå

120

Lp (E)

ñåïàðàáåëüíî,

ìíîæåñòâî ñå÷åíèé

ò. å.

{vj }∞ j=1 .

 ýòîì ñëó÷àå âåêòîðèàëüíûå ìíîæåñòâà

Es

è

Eu

îïðåäåëÿþòñÿ òàê:

Exs = {vjs (x), 1 6 j 6 ∞}, Exu = {vju (x), 1 6 j 6 ∞}.

Lp (E s ) = Lsp (E), Lp (E u ) = Lup (E). Äîêàçàòåëüñòâî. ” ⊃ ”. Ïóñòü u ∈ Lsp (E). Ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü vjn : ||u − vjn ||Lp → 0. Èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü vjn , ñõîäÿùóþñÿ ê u äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ MA . k s s Çíà÷èò, u(x) ∈ Ex äëÿ ï.â. x, ò.å. u ∈ Lp (E ). s ” ⊂ ”. Ïóñòü u ∈ Lp (E ). Ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü vin ïî÷òè âñþäó ñõîäÿùàÿñÿ ê u(x). Ïîêàæåì, ÷òî ||u−vin ||Lp → 0. Ïî ñâîéñòâó àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà âûáåðåì δ > 0 R εp ||u(x) − vin (x)||p dµ < , åñëè òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî 2 A µ(A) < δ. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Åãîðîâà: ïî δ > 0 íàéäåì ìíîæåñòâî Mδ ⊂ MA òàêîå, ÷òî µ(MA \Mδ ) < δ è íà Mδ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü vin ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Âûáåðåì íîìåð nε òàê, ÷òîáû äëÿ n > nε Ëåììà 3.

âûïîëíÿëîñü

sup ||u(x) − vin (x)||x
nε

ε . 2µ(MA )

èìååì

 

Z

MA

 p1

||u(x) − vin (x)||p dµ 6 ε.

Ëåììà 4. Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå E ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó E = E s ⊕ E u â òîì ñìûñëå, ÷òî Ex = Exs ⊕ Exu äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ MA . Âåêòîðèàëüíûå ìíîæåñòâà E s è E u èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ β. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäïðîñòðàíñòâà Exs è Exu ïîðîæäàþò Ex äëÿ s u ï.â. x ∈ MA . Ïîêàæåì, ÷òî E ∩ E = {0}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî s íå òàê. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñå÷åíèå u 6= 0 òàêîå, ÷òî u ∈ Lp (E ) è u s u u ∈ Lp (E ). Íî ïî ëåììå 2.3 u ∈ Lp (E) è u ∈ Lp (E). Òàê êàê

Lsp (E) ∩ Lup (E) = {0}, òî

u(x) = 0

ïî÷òè âñþäó. Ïðîòèâîðå÷èå. s u Èíâàðèàíòíîñòü E è E îòíîñèòåëüíî β ñëåäóåò èç èíâàðèàíòs u íîñòè Lp (E) è Lp (E) îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà D.

121

r(Ds ) < 1 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåLp (E), ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé, ïðè÷åì ||Ds ||0
cu γu−n ||v u ||, 0 < γu < 1.

(10)

Íåðàâåíñòâà (9) è (10) îçíà÷àþò, â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíèå óñëîâèé (5) è (6) ãèïåðáîëè÷íîñòè ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ β. s u Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäðàññëîåíèÿ E è E íå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè.

Ïóñòü âåêòîðèàëüíîå ìíîæåñòâî E s ðàçðûâíî â òî÷êå x0 ∈ MA . Ñóùåñòâóþò òàêèå Ks > 0, Ku > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè Ux0 íàéäåòñÿ ñå÷åíèå v ∈ Lp (E), v 6= 0, supp v ⊂ Ux0 , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà: ||v s || < Ks ||v u ||, ||v u || > Ku ||v||. Äîêàçàòåëüñòâî. àçðûâíîñòü E s â òî÷êå x0 îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò d > 0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 â ëþáîé îêðåñòíîñòè Ux0 ìîæíî âûäåëèòü äâà ïîäìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíîé ìåðû V1 è V2 , òàêèå, ÷òî ∃ ξ0 ∈ Exs0 : ∀ x ∈ V2 ∃ ξx ∈ Ex , ãäå ||ξ0 || = ||ξx || = 1 è Ëåììà 5.

Åñëè â êà÷åñòâå íèå

v(x)

h

||ξ0 − ξx ||x 6 ε,

(11)

||ξx − h||x > d, ∀h ∈ Exs .

(12)

âçÿòü

ξxs ,

òî ïîëó÷èì

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

v(x) = Èìååì:

(

||ξxu ||x > d.

Îïðåäåëèì ñå÷å-

ξx , x ∈ V2 , 0, x ∈ / V2 .

  p1 Z 1 ||v|| =  ||v(x)||p dµ = [µ(V2 )] p , V2

1 p

||v u || > d [µ(V2 )] = d||v|| > d| ||v s || − ||v u || | > d( ||v s || − ||v u || ), 122

îòêóäà

||v s || < Òàêèì îáðàçîì,

Ks =

d+1 u ||v ||. d

d+1 , Ku = d. d

Ëåììà äîêàçàíà.

Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïóñòü

u(x) =

(

ξ0 , x ∈ {x0 } ∪ V2 , , 0, x ∈ / {x0 } ∪ V2

v(x)  ñå÷åíèå èç ëåììû 2.2. Ôèêñèðóåì ε > 0 è äîñòàòî÷íî áîëün ∈ N, ÷òîáû ||β n (ξ0 )||αn (x) 6 ε. Îêðåñòíîñòü Ux0 ìîæíî âûáðàòü íàñòîëüêî ìàëîé ( Ux0 = Ux0 (ε, n) ), ÷òî à

øîå

1

|| [γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn v(αn (x))− 1

−[γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn u(αn (x))||αn (x) 6 ε è

1

|| [γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn u(αn (x)) − β n (ξ0 )||αn (x) 6 ε. Òîãäà

1

|| [γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn v(αn (x))||αn (x) 6 1

6 || [γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn u(αn (x))||αn (x) + ε 6 6 ||β n (ξ0 )||αn (x) + 2ε 6 3ε.

Ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ïî

V2 .

Èìååì

  p1 Z 1 ||Dn v|| =  || [γ(αn (x)) · ... · γ(α(x))]− p Dn v(αn (x))||p dµ 6 V2

1

6 3ε[µ(V2 )] p = 3ε||v||, îòêóäà

||Dn v|| 6 3ε||v||.

(13)

Èñïîëüçóÿ (9), (10) è ëåììó 1.6, ïîëó÷àåì

||Dn v|| > ||Dn v u || − ||Dn v s || > cu γu−n ||v u || − cs γsn ||v s || > 123

>

 
d+1 cu γu−n − cs γsn ||v u || > cu dγu−n − cs (d + 1)γsn ||v||. d

(14)

Ñðàâíèì íåðàâåíñòâà (13) è (14):

cu dγu−n − cs (d + 1)γsn < 3ε.

(15)

cs , cu è d íå çàâèñÿò íè îò n è ìàëîì ε âîçíèêíåò s u âåêòîðèàëüíûå ìíîæåñòâà E è E íåïðåðûâ-

 ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå êîíñòàíòû

ε,

íè îò

n,

ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì

ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,

íû è ÿâëÿþòñÿ ïîäðàññëîåíèÿìè. Òåîðåìà äîêàçàíà.

[1℄ Àíòîíåâè÷ À. Á. Ëèíåéíûå óíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îïåðàòîðíûé ïîäõîä. Ìí.: Óíèâåðñèòåòñêîå, 1988. [2℄ Áðîíøòåéí È. Ó. Íåàâòîíîìíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. Êèøèíåâ: Èçäàòåëüñòâî Øòèèíöà, 1984. [3℄ Íèòåöêè Ç. Ââåäåíèå â äèåðåíöèàëüíóþ äèíàìèêó. Ì.: Ìèð, 1975.  304 ñ. [4℄ Abramovi h Y. A., Arenson E. L., Kitover A. K. Bana h C(K)− modules and operators preserving disjointness. England, Longman S ienti and Te hni al, 1992. ÓÄÊ 517.98

Òîïîëîãèÿ èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà íà

so(4) Õ. Õîðøèäè Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Â ðàáîòå èññëåäóåòñÿ òîïîëîãèÿ èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà äëÿ àëãåáðû Ëè

so(4).

à-

ìèëüòîíèàí è èíòåãðàë ýòîé ñèñòåìû  êâàäðàòè÷íûå óíêöèè.  ðàáîòå [1℄ äîêàçàíî ÷òî äëÿ àëãåáðû Ëè

so(4) ñóùåñòâóþò ëèøü

äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ, äëÿ êîòîðûõ ãàìèëüòîíèàí è äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë êâàäðàòè÷íû. Ýòè èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìè êëàññè÷åñêèõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ Ñòåêëîâà è Êëåáøà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà. Ñëó÷àé Êëåáøà íà

so(4)

èññëå-

äîâàí â ðàáîòå [2℄. Çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ èíòåãðèðóåìûé ñëó÷àé óðàâíåíèé Ýéëåðà so(4)∗ , ÿâëÿþùèéñÿ êîìïàêòíûì àíàëîãîì êëàññè÷åñêîãî èíòå∗ ãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ñòåêëîâà íà e(3) .

íà

124

Ïîñòðîåíû áèóðêàöèîííûe äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, è äîêàçàíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.

Ïðåäëîæåíèå 1. Áèóðêàöèîííûe äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, â ñëó÷àå Ñòåêëîâà íà so(4)∗ , ñîñòîÿò èç îáúåäèíåíèÿ äâóõ ÷àñòåé ïàðàìåòðè÷åñêîé êðèâîé ñ òðåìÿ îòðåçêàìè. Êîíöåâûå òî÷êè ýòèõ îòðåçêîâ ÿâëÿþòñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè îòðåçêîâ ëèáî äðóã ñ äðóãîì ëèáî ñ êðèâîé.

àññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà çàâèñèò îò íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ. Ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ïîëó÷àþòñÿ êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûå áèóðêàöèîííûe äèàãðàììû.

Ïðåäëîæåíèå 2. Âñåãî ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû ìîæåò áûòü 10 âèäîâ áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.

[1℄ Âåñåëîâ À. Ï. Îá èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé Ýéëåðà íà àëãåáðå so(4). ÄÀÍ ÑÑÑ.  1983.  270,  6.  12981300. [2℄ Îøåìêîâ À. À. Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî äëÿ îñíîâíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.   êí.: Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó. Âûï. 25, ÷àñòü 2.  Ì.: Ì Ó, 1993.  23109. ÓÄÊ 123.45

Î êðèïòîñèñòåìàõ, èñïîëüçóþùèõ ãðóïïû êîñ

Ì. Â. Øåáëàåâ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Ââåäåíèå.

 2001 ãîäó â ðàáîòå [1℄ áûë ïðåäëîæåí ïîäõîä ê

ïîñòðîåíèþ àñèììåòðè÷íîé êðèïòîñèñòåìû, èñïîëüçóþùåé íåêîòîðûå çàäà÷è êîìáèíàòîðíîé òåîðèè ãðóïï. Àâòîðû ðàññìîòðåëè çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîñòè è ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà â ãðóïïå êîñ Àðòèíà

Bn

êàê îñíîâó äëÿ ïîñòðîåíèÿ îäíîñòîðîííåé

óíêöèè, êîòîðàÿ ëåãëà â îñíîâó ýòîé êðèïòîñèñòåìû.  äàííîé ñòàòüå ìû ðàññìîòðèì ïîòåíöèàëüíî óÿçâèìûå ìåñòà ýòîé êðèïòîñèñòåìû è îïèøåì íåêîòîðûå êëàññû êëþ÷åé, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ñíèæàåò ñòîéêîñòü ñèñòåìû.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.

ðóïïà êîñ Àðòèíà

Bn

- êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ

ãðóïïà ñ ìíîæåñòâîì ïîðîæäàþùèõ ýëåìåíòîâ æåñòâîì îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé âèäà

σi σj = σj σi , |i − j| > 1

σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 .

{σ1 , . . . , σn−1 } è ìíî(1) (2)

125

àðñàéä è Ôóðñòîí ïîêàçàëè, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò

b

ãðóïïû

Bn

ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëåí â íåêîòîðîì êàíî2 íè÷åñêîì âèäå, ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü íàéäåíî çà O(|b| n log2 n) ±1 n−1 øàãîâ, ãäå |b| îçíà÷àåò äëèíó ñëîâà b â àëàâèòå {σi }i=1 è òåì ñàìûì íàøëè ýåêòèâíîå ðåøåíèå ïðîáëåìû ýêâèâàëåíòíîñòè ñëîâ.

x è y ∈ Bn ñîïðÿæåíû, åñëè ñóùåa ∈ Bn , ÷òî y = axa−1 . • Îïðåäåëåíèå ñîïðÿæåííîñòè Ïóñòü çàäàíà ïàðà (x, y) ∈ Bn × Bn Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè x è y ñîïðÿæåííûìè

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíòû ñòâóåò òàêîé ýëåìåíò

èëè íåò.

• Ïîèñê ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà Ïóñòü çàäàíà ïàðà (x, y) ∈ Bn × Bn òàêàÿ, ÷òî x è y ñîïðÿæåíû. Òðåáóåòñÿ íàéòè a ∈ Bn òàêîå, −1 ÷òî y = axa Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü èçâåñòíûå àëãîðèòìû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà, íåäàëåêî óøëè îò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïåðåáîðà âñåõ âîçìîæíûõ êëþ÷åé.

Êðèïòîãðàè÷åñêèé ïðîòîêîë, èñïîëüçóþùèé çàäà÷ó ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà. Ïóñòü äâà àáîíåíòà

A

è

B

æåëàþò óñòàíîâèòü çàùèùåííûé îá-

Bn , èçâåñòSA =< s1 , s2 , . . . , sk > è SB =< t1 , t2 , . . . , tl >, tj , 1 6 j 6 l - ïîðîæäàþùèå ýëåìåíòû, îïóáëè-

ìåí èíîðìàöèåé. àññìîòðèì äâå ïîäãðóïïû ãðóïïû íûå îáåèì ñòîðîíàì: ãäå

si , 1 6 i 6 k

è

êîâàííûå â îòêðûòîì äîñòóïå. Îïðåäåëèì ñîïðÿãàþùóþ óíêöèþ β : Bn × Bn → Bn êàê β(x, y) = x−1 yx.

Èç îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿãàþùåé óíêöèè ñëåäóåò ìóëüòèïëèêàòèâ-

íîñòü ïî âòîðîìó àðãóìåíòó, ò.å.

β(x, y1 y2 ) = β(x, y1 )β(x, y2 ).

Ýòà

óíêöèÿ îðìèðóåò îñíîâó êðèïòîñèñòåìû. àññìîòðèì óíêöèè γ1 : Bn × Bn → Bn , γ1 (u, v) = v −1 u è γ2 : Bn × Bn → Bn , γ2 (u, v) = −1

u

v

Çàìåòèì, ÷òî

γ1 (x, β(y, x)) = γ2 (y, β(x, y)).

Àëãîðèòì:

A âûáèðàåò ñåêðåòíîå ñëîâî a ∈ SA , Áîá âûáèðàåò b ∈ SB ñîîòâåòñòâåííî. Àáîíåíò A ïåðåäàåò ïî îòêðûòîìó êàíàëó àáîíåíòó B ñëîâà, ñîïðÿæåííûå ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòàì SB ñ ïîìîùüþ a: a−1 t1 a, a−1 t2 a, . . . , a−1 tl a Àáîíåíò B ïåðåäàåò ïî îòêðûòîìó êàíàëó àáîíåíòó A ñëîâà, ñîïðÿæåííûå ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòàì SA ñ ïîìîùüþ b: b−1 s1 b, b−1 s2 b, . . . , b−1 sk b −1 Àáîíåíò A çíàåò ñëîâà b s1 b, b−1 s2 b, . . . , b−1 sk b è a, êðîìå òîãî àáîíåíò A çíàåò ñëîâî a, ïîýòîìó âîçìîæíî âû÷èñëåíèå

1) Àáîíåíò ñëîâî 2)

3)

4)

126

β(b, a).

Àíàëîãè÷íî àáîíåíò

B

β(a, b).

ìîæåò âû÷èñëèòü

5) Òåïåðü àáîíåíòû ìîãóò âû÷èñëèòü îòêðûòûå êëþ÷è äëÿ èñ−1 −1 b ab = [a, b], KB = ïîëüçîâàíèÿ: KA = γ1 (a, β(b, a)) = a −1 −1 γ2 (b, β(a, b)) = β(a, b)b = a b ab = [a, b]. Òåì ñàìûì îáà àáîíåíòà èìåþò êëþ÷, êîòîðûé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ óñòàíîâëåíèÿ çàùèùåííîãî ñîåäèíåíèÿ. Äëÿ äåøèðîâàíèÿ ñîîáùåíèé êðèïòîàíàëèòèê, ðàñïîëàãàþùèé òîëüêî ïåðåõâà÷åííîé ïåðåïèñêîé, äîëæåí ðåøèòü çàäà÷ó ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà, íå èìåþùåé ýåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ.

Ñëàáûå êëàññû êëþ÷åé. Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü x, y ∈ Bn , X =< x >⊆ Bn - öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû Bn , ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòîì x. Òîãäà çàäà÷à ïðî-

?

âåðêè y ∈ X ìîæåò áûòü ðåøåíà çà âðåìÿ O(max(|x|, |y|)2 n log2 n) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ýëåìåíò x ∈ BnPçàäàí â âèäå ñëîâà âès k1 ks äà x = σi . . . σi . Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà n=0 kn , êîòîðóþ äàëåå s 1

áóäåì íàçûâàòü ëîãàðèìîì ýòîãî ýëåìåíòà, ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé äëÿ äàííîãî ñëîâà îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåíèÿ. Êðîìå òîãî, äëÿ êàêîéëèáî ñòåïåíè ýëåìåíòà

x

ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ïðîñòî óìíîæà-

åòñÿ íà ïîêàçàòåëü ýòîé ñòåïåíè. Ëîãàðèì ýëåìåíòà ìîæåò áûòü íàéäåí î÷åâèäíûì îáðàçîì çà âðåìÿ

ly = log y .

X.

Åñëè

|x|.

y ∈ X íóæíî íàéòè ëîãàðèìû lx = log x log x| log y íå âûïîëíÿåòñÿ, òî y íå ïðèíàäëåæèò

Òîãäà äëÿ ïðîâåðêè è

?

ly

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîòðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî

x lx = y .

Âîçâå-

äåíèå â ñòåïåíü - ïðîñòàÿ êîíêàòåíàöèÿ n ïîäñëîâ, êîòîðàÿ â ñâîþ ly î÷åðåäü ìîæåò áûòü âûïîëíåíà çà log2 l øàãîâ, ïðîâåðêà ðàâåíñòâà x âûïîëíÿåòñÿ àëãîðèòìîì àðñàéäà  Ôóðñòîíà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Óòâåðæäåíèå 1 ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñðàçó äâà âûâîäà:

•

Óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ÷òî êàêàÿ-ëèáî èç ãðóïï ëÿþùååñÿ ïîëèíîìîì îò äëèíû

•

SA

èëè

SB , îð-

ìèðóþùèõ ñåêðåò, ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé, ìîæíî çà âðåìÿ, ÿâ-

si

è

tj

ñîîòâåòñòâåííî.

Î÷åâèäíà íåñòîéêîñòü êëþ÷åé, ïðèíàäëåæàùèõ öèêëè÷åñêîé ãðóïïå - îíè òàêæå ìîãóò áûòü íàéäåíû çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.

àññìîòðèì ãîìîìîðèçì äóþùèì îáðàçîì:

F : Bn → GL(Z[t], n), çàäàâàåìûé ñëå-

Êàæäîìó ïîðîæäàþùåìó ýëåìåíòó

σi

ñîïîñòàâèì ìàòðèöó íàä

Z[t] 127

âèäà





1

        

..

.

1−t 1

t 0 ..

.

1

    .    

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè îòîáðàæåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ãðóïïû êîñ. Ýòî ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû êîñ ïîëó÷èëî íàçâàíèå ïðåäñòàâëåíèÿ Áóðàó. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè

n> 5

äàííîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåòî÷-

SA è SB òàêîâû, ∩ Sb = e. Òîãäà çàäà÷ó ïîèñêà x òàêîbx ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå

íûì, ò. å. ÿäðî ãîìîìîðèçìà íåòðèâèàëüíî. Ïóñòü ÷òî KerF

∩ SA = e

ãî, ÷òî âûðàæåíèå êàê

XA = BX

è KerF −1

a=x

äëÿ ìàòðèö, ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ

ýëåìåíòîâ ãðóïïû êîñ. Çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ãîìîìîðèçìà ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà

X , A, B

íåâûðîæäåíû. Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó ëèíåé-

íûõ óðàâíåíèé íàä

Z[t],

êîòîðàÿ ìåòîäîì àóññà ìîæåò áûòü ïðèâå-

äåíà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Òîãäà çàäà÷à ïðåâðàùàåòñÿ â ðåøåíèå ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ çàäà÷è ïîèñêà êîýèöèåíòîâ ó ñèñòåìû èç ïðåâîñõîäèò

|x|.

n

ïîëèíîìîâ, ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü êîòîðûõ íå

Òåì ñàìûì äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:

Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü F  îïèñàííûé âûøå ãîìîìîðèçì è KerF ∩ SA = e è KerF ∩ Sb = e. Òîãäà ñåêðåòíûé êëþ÷ ìîæåò áûòü íàéäåí çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.

[1℄ Anshel I., Anshel M., Fisher B., Goldfield D. New Key Agreement Proto ol in Braid Group Cryptography (Le ture Notes in Computer S ien e, 2020).  Springer Berlin, 2001.

128