Теория плазмы

В. А. РОЖАНСКИЙ Òåîðèÿ ÏËÀÇÌÛ Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного п...

Author: Рожанский В.А.

30 downloads 256 Views 5MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

В. А. РОЖАНСКИЙ

Òåîðèÿ ÏËÀÇÌÛ

Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки магистров «Техническая физика»

САНКТПЕТЕРБУРГ• МОСКВА• КРАСНОДАР• 2012

ББК 22.333я73 Р 62

Р 62

Рожанский В. А. Теория плазмы: Учебное пособие. — СПб.: Изда' тельство «Лань». — 2012. — 320 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811412334 Учебное пособие содержит изложение вопросов кинетики, динамики и равновесия плазмы, а также процессов переноса в ней. Данный курс отличается от большинства курсов лекций по физике плазмы тем, что в нем описываются явления как в полно' стью ионизованной плазме, так и в частично ионизованной. Пособие предназначено для студентов технических вузов, обучающихся по направлению подготовки «Ядерные физика и технология», а также студентов, изучающих управляемый тер' моядерный синтез, физику газовых разрядов и другие области низкотемпературной плазмы, физику ионосферы, физику косми' ческой плазмы и т. д. Рецензент: Д. Х. МОРОЗОВ — доктор физико'математических наук, началь' ник лаборатории теории турбулентной плазмы Института физи' ки токамаков НИЦ «Курчатовский институт».

ББК 22.333я73

Зав. редакцией физико'математической литературы К. Е. Житков Ответственный редактор О. А. Шаповалова Художественный редактор С. Ю. Малахов Редактор Т. В. Ананченко Корректоры Т. А. Брылева, А. М. Плетнева Верстка М. И. Хетерели Выпускающие М. В. Тучина, О. В. Шилкова ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com 192029, Санкт'Петербург, Общественный пер., 5. Тел./факс: (812) 412'29'35, 412'05'97, 412'92'72. Бесплатный звонок по России: 8'800'700'40'71

Обложка Е. А. ВЛАСОВА © Издательство «Лань», 2012 © В. А. Рожанский, 2012 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Курс лекций «Теория плазмы» читается в СанктПетербургском государственном политехническом университете с 1989 г. для студентов специальности «Фи зика плазмы». Предполагается первоначальное знаком ство с основами физики плазмы в рамках курсов «Введе ние в специальность», «Основы физики плазмы» и «Эле ментарные процессы в плазме». Курс лекций рассчитан на два семестра и содержит изложение кинетики плазмы и процессов переноса (в первом семестре) и вопросов дина мики и равновесия плазмы (во втором семестре). Вопросы распространения волн в плазме систематически рассмат риваются на кафедре физики плазмы отдельно, поэтому в данном курсе рассмотрены только те низкочастотные вол ны и неустойчивости плазмы, которые тесно связаны с ее динамикой и процессами переноса в ней: ионнозвуковые, МГД и дрейфовые волны. Данный курс отличается от большинства курсов лекций по физике плазмы тем, что в нем излагаются явления как в полностью ионизован ной плазме, так и в частично ионизованной. Поэтому он может быть полезен широкому кругу специалистов, ра ботающих в области управляемого термоядерного синте за, физики газовых разрядов и других областей низко температурной плазмы, физики ионосферы, физики кос мической плазмы и т. д. В списке литературы приведены в основном ссылки на русскоязычную литературу, где рас смотрены те или иные вопросы данного курса. Автор признателен Е. Г. Кавеевой и И. Ю. Сениченко ву за ценные замечания и И. Ф. Рожанской за помощь в подготовке рукописи к печати.

Глава 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1.1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Состояние плазмы в общем случае описы 1 1 вается набором функций распределения 11 12 2 3 243 для вхо дящих в нее компонент. Функция распределения имеет смысл плотности частиц в шестимерном фазовом 1про 1 странстве координат и скоростей, а величина 121 13 2 4 253 2 1 1 2 61 1314 представляет собой число частиц в элементе фа зового объема. Индекс a может нумеровать как различ ные частицы, так и различные квантовые состояния мо лекул, ионов или атомов. Ниже рассматривается класси ческая идеальная нерелятивистская плазма. Изменение числа частиц в элементе шестимерного фазового объема в отсутствие столкновений связано с перетеканием «фазо вой жидкости» в соседние области фазового пространства и описывается шестимерным уравнением непрерывности: 321 6 3 4 12 31 2 2 03 34 5 331 1 1 1 21 В фазовом пространстве «координатами» xi являются 3 пространственные координаты ri и 3 компоненты скоро сти Vi, а «скоростями» 21 1 соответственно 3 компоненты скорости Vi и ускорения 211 . Таким образом, уравнение непрерывности в фазовом пространстве имеет вид 3 321 3 3 3 12 31 2 2 03 4 5 121 31 2 4 5 34 1 21 351 331 1 1 1 21

Второй член в левой части представляет собой дивер генцию потока в координатном пространстве, а третий —

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

5

дивергенцию потока в пространстве скоростей. Ускорение 211 связано с внешними силами, действующими на части цу. В плазме 12 1 2 1 1 1 1 1 3 4 1 27 4 5 13 6 52 38 5 63 71 9 8

1 1 где Za — зарядовое число; ma — масса; 1 и 1 — напря женность электрического и магнитного полей соответст 1 венно; 11 2 — сила тяжести. Координаты и скорости яв ляются независимыми переменными, поэтому ¶Vi/¶ri = 0. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то так же и 1211 1 121 2 0 и уравнение непрерывности приводится к виду 211 1 211 12 211 (1.1) 32 1 32 1 40 23 24 22 или 211 1 211 21 3 3 1 1 1 1 4 211 1 211 54 1 5 (1.2) 8 5 5 14 6 62 9 1 5 7 1 7 03 28 29 1

24 24 Это уравнение известно как уравнение Власова. Уравнение Власова может быть записано для любых обобщенных координат и импульсов qi и pi. При этом урав нение Власова вида (1.1) получается из уравнения непре рывности в фазовом пространстве с учетом соотношения 1211 1 121 2 131 1 1 131 3 0 , которое следует из уравнения Гамиль тона: 211 1 23 1 241 2 41 1 1 323 1 221. Левая часть уравнения Власова представляет собой полную производную dfa/dt. Поэтому в стационарном слу чае, в соответствии с теоремой Лиувилля, функция рас пределения постоянна вдоль фазовой траектории части цы. Отсюда следует утверждение, что в бесстолкновитель ном случае стационарная функция распределения есть функция интегралов движения. Учет столкновений изменяет уравнения (1.1), (1.2) так как функция распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекторий, — при столкновениях меня ются скорости сталкивающихся частиц, а также их внут реннее и зарядовое состояния. Кинетическое уравнение в общем случае может быть записано в виде 121 221 1 221 31 4 3 1 1 1 1 4 221 1 221 5 65 1 6 9 6 6 15 7 72 1 6 8 1 8 9 1 3 (1.3) 1

2

2 1

25 25

6

В. А. РОЖАНСКИЙ. ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ

где столкновительный член Sta описывает скорость изме нения функции распределения за счет столкновений. Урав нение (1.3) называют кинетическим уравнением, или урав нением Больцмана. Столкновительный член представля ет собой сумму (1.4) 121 3 4 1212 131 2 32 32 2

каждое слагаемое которой соответствует столкновениям частиц данного сорта a с частицами всех остальных сор тов, в том числе с частицами сорта a. Рассмотрим случай упругих столкновений, когда внут ренние состояния сталкивающихся частиц не изменяют ся при ударе. Будем считать, что в результате акта столк новения двух частиц сортов a и b их координаты не изме 1 1 няются, а скорости до столкновения и 1 изменяются 1 1 1 1 1 Каждое столк на значения 112 и 112 после столкновения. 1 новение частицы со скоростью 11 приводит к ее1 уходу из элемента объема в пространстве скоростей 121 1 Полное число таких уходов при всех возможных с 1 1 1столкновениях 1 частицами сорта b с переходами 11 112 4 113 1 1231 происходя щих в единицу времени в единице объема при фиксиро 1 ванном значении 11 1 дается выражением 1 1 1 1 1 1 1 2 5 2421 2331 3 7 7 53 113 251 111 212631 3 242 13 2 11 24211 4 1 11 4

где dsab/dW — дифференциальное сечение рассеяния в те лесный угол W. Кроме ухода существует также и приход в 1 12 в результате элемент объема пространства1скоростей 1 1 1 1 столкновений с переходами 113 1 123 4 11 112 : 1 1 1 1 1 1 1 3 6 24 2321 9 9 9 52 1124 251 1114212721 3 252 124 8 114 25212421144 1 1 114 124 5

1 1 Скорости 112 и 112 при интегрировании не являются независимыми, а связаны законами1 сохранения — при 1 2 , 1 частица сорта столкновении частиц со скоростями 2 1 1 1 1 a должна получить скорость Перейдем в этом инте 1 1 1 1 1 грале к переменным 11 , 11 1 используя тот факт, что от носительная скорость при столкновениях сохраняется: 1 1 1 1 11 4 12 5 113 4 123 . Якобиан такого преобразования, как из


7

1 1 1 1 вестно из механики, равен единице: 1 12131223 4 121 122 . Учи тывая, что интегрирование 1 по 121 производится только вблизи данного значения 11 1 получаем 1 1 1 1 1 1 1 2 6 2421 2331 3 9 9 53 1135 251 1115212731 3 242 13 8 11 24211 4 1 11 4

Объединяя выражения для прихода и ухода, получа ем для столкновительного члена 1 1 1 2321 242141 3 5 8 8 2424414 6 42 41 325721 4 533 12 6 11 53511 1 (1.5) 1 11 3

1 1 где 113 4 113 1213 23 123 4 123122324 Выражение (1.5) представляет собой больцмановский вид интеграла столкновений. Кинетическое уравнение Больцмана (1.3) является, таким образом, интегродифференциальным уравнением, включающим в себя функции распределения всех сталки вающихся частиц. Поэтому в общем случае должна решать ся система зацепляющихся уравнений для всех функций распределения. При выводе кинетического уравнения пред полагалось, что столкновение имеет точечный характер, при котором мгновенно меняются скорости частиц, но не их координаты. Это предположение оправданно, если сред няя потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в плазме меньше их средней энергии хаотического движе ния Т. Для заряженных частиц средняя потенциальная энергия взаимодействия есть ZaZbe2/árabñ, а среднее рас стояние между частицами árabñ — порядка n–1/3, где n — концентрация плазмы. Поэтому критерий применимости имеет вид ZaZbe2n1/3/T V0 = c(Ec/E)1/2. Так как кулоновское сечение обратно пропорционально кубу угла рассеяния и, следовательно, кубу переданного им пульса, то такие электроны рождаются в результате рас сеяния быстрых электронов с частотой 3 11 4

421 4 2 1 312 4 3

Количество рождений по порядку величины дается (fr — не зависящая от скорости одномерная функция распределения быстрых электронов) 1

5

12

6 313 52 74 4 212 2 1 402 5 12

40

42346 3 832

Полагая быстрые электроны распределенными равно мерно, так что их концентрация nr = cfr, получаем с точ ностью до численного коэффициента количество быстрых электронов, рождающихся в единицу времени: 411 1 41 2 2 13215 3 53 3 12312424

(1.57)

Обрезающий множитель (E/Ec–1) показывает, что ла винный эффект имеет пороговый характер. 1.5. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В СЛАБОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ Описанный в предыдущем разделе факт, что электроны в слабоионизованной плазме являются малой примесью, позволяет линеаризовать столкновительный член и существенно упростить кинетическое уравнение.

26


Слабоионизованной называют плазму, в которой выпол няется неравенство nee > neN(T) формула (1.95) остается точной при любой зависимости частоты столкновений от скоро сти, что легко проверить исходя из (1.88) и определения neN(T). Выражения для коэффициентов более точные, чем (1.95), для произвольной степенной зависимости частоты столкновений от скорости приведены в [7]. Для ионных коэффициентов переноса обычно ограни чиваются приближением элементарной теории. В важном случае ионов в собственном газе коэффициенты переноса в рамках элементарной теории даются (1.95) с частотой столк 11 2 новений 321 2 5 3 434 5 11122 6 3 7 64 2 (1.96) 38 9 73

36


1.7. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В сильном магнитном поле часто бывает це лесообразно перейти к дрейфовому приближению и рас сматривать газ центров ларморовских окружностей — ве дущих центров. Вдоль магнитного поля ведущий центр движется со скоростью, близкой к параллельной скоро сти частицы V||, а поперек магнитного поля перемещается с дрейфовой скоростью. Выражение для скорости дрейфа ведущего центра частицы получается усреднением урав нения движения по быстрым вращениям по малой лармо ровской окружности со скоростью V^. Приведем резуль тат этого усреднения [8]. Скорость ведущего центра: 1 12312 1 1 1 2 1 1 12312 1 24 1 26578636 4 2 49 5 45 4 46 5 54 52 3 311 6 4 2 4 2 4 4 4 123112 1 1 1 1 (1.97) 4 46 5 26263656

4 1 1 где 1 1 2 1 2 . Здесь второй член в правой части представ ляет собой поправку к параллельной скорости, третий — дрейф под действием электрического поля, а два послед них члена — дрейфы, связанные с неоднородностью маг нитного поля. Скорости изменения параллельной и перпендикуляр ной скоростей даются выражениями 11 1 1211 1 1 1 1 345 212 2 3 2435 4 2554554 6 211 2 6785 3 2 9

1 1 19212 211 5 1 1 1 19212 211 1 2 35 4 2554554 6 5 255456 6 23

23

1 1 1 2 2 12 1 11 221 2 6 6785 6 1 25 44 3 2 2

1 12 1 1 5

12 1 1 1 3 1 2435 4 54 3 1 245425 54 3 2

2

192112 21 1 192112 21 5 1 1 1 1 1 5 255457 3 2 35 4 2554554 3 (1.98) 23

23

Различные члены в этом выражении, связанные с элек трическим полем, отражают работу электрического поля


37

при движении ведущего центра вдоль него и работу вих ревого электрического поля над частицей, вращающейся по ларморовской окружности. Члены, связанные с неод нородностью магнитного поля, отражают изменение про дольной и поперечной скорости при сохранении попереч ного магнитного момента и полной энергии. В дрейфовом приближении можно ввести функцию распределения ведущих центров, зависящую от пяти пе ременных, трех координат ведущего центра, продольной и поперечной скорости. Определим ее таким образом, что 1 1 1232411 241 дает число частиц, координаты ведущих цен тров которых лежат в соответствующем элементе объема пятимерного фазового пространства. В отсутствие столк новений, рассматривая течения жидкости ведущих цен тров в этом пространстве, можно получить аналог уравне ния Власова:

311 12 311 2 311 2 311 4 2 1 4 311 43 5 02 34 3311 2 332 32

(1.99)

Это уравнение представляет собой бесстолкновитель ное кинетическое уравнение в дрейфовом приближении. Дрейфовое кинетическое уравнение можно использовать и в столкновительном случае, когда можно пренебречь различием между положением частицы и положением ве дущего центра.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

2.1. УРАВНЕНИЯ МОМЕНТОВ

Система уравнений для моментов функции распределения получается после умножения кинетическо го уравнения на соответствующие произведения компо нент скоростей VjVk…Vn и последующего интегрирования по скоростям. В результате получается бесконечная цепоч ка зацепляющихся уравнений моментов. Первые пять из них получаются умножением на 1, maVj и maV2/2. Умножение на единицу и интегрирование по скоростям приводит к уравнению непрерывности: 1 211 3 4 5 6 1 7 01 22

(2.1)

Мы рассматриваем только упругие столкновения, по этому в правой части интеграл от столкновительного чле на по скоростям дает ноль — отсутствует рождение и ги бель частиц. При наличии неупругих процессов соответ ствующие члены могут быть добавлены в правую часть. Уравнение непрерывности (2.1) описывает сохранение числа частиц. Интегрирование с весом maVj приводит к трем уравне ниям: 23 11 23112 1 1 2 5 51 671 181 4 1 391 6 41 2 4 11 5 (2.2) 41 1 4 2 2 2 Здесь моменты функции распределения 1 1 1 411122223 2 3 51 52 22253 61 37 15 18495

39

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

определены согласно (1.6). Величина 1 211 2 3 31 41 561 74

(2.3)

представляет собой силу трения. Как и столкновительный член, сила трения представляет собой сумму по части цам, с которыми происходят столкновения: 1 1 11 3 4 1 12 1 Комбинируя уравнение (2.2) с уравнением неразрывно сти (2.1), разделяя тепловую скорость в тензоре Majk на скорость хаотического движения и направленную ско рость, получаем 2311 2311 41 51 1 3 312 24 26 272 25112 28 1 1 1 46 1 6 3 91 51 11 3 331 7 41 2 3 11 5 (2.4) 271 272 Здесь

11 21 1 1 2 14 3 51 2 2 2161 (2.5) 3 представляет собой парциальное давление, а величина 31 2

2112 3 2121 3

1 1 3 31 41 151 4 611 2152 4 612 2 4 5 12 15 4 61 22 3 3

(2.6)

называется тензором вязкости. Уравнение (2.4) имеет смысл уравнения движения. Левая его часть содержит субстанциальную производную, которая соответствует ускорению выделенного элемента объема среды. Правая часть есть сумма сил, действующих на этот элемент: градиента парциального давления, ди вергенции тензора вязких напряжений, электрической силы, силы Лоренца и силы трения. Векторная форма уравнения (2.4) имеет вид 1 1 1 21 21 31 1 1 3 211 4311 4 5 24 1 1 1 1 1 2 (2.7) 5 6451 6 4 7 81 3 61 731 28 3 111 7 943 3 1 5

40


При интегрировании кинетического уравнения с ве сом maV2/2 получается уравнение баланса энергии:

3 4 2 31 41 2 3 51 5 4161 7 5 47 68 2 2 9 5

4 491

2 31 41 2 5 3 6 2 51 5 2 4161 7 511 5 112512 5 811 9 8

1 1 511 41 5 11 511 5 1 1

(2.8)

Здесь

1 21 21 1 2 21 21 3 1 2 1 1 14 3 5 1 22 14 3 5 1 2 2 есть вектор плотности потока тепла, а 12 12 12 11 12 2 31 22 41 3 4 561 72 2

(2.9)

(2.10)

есть скорость тепловыделения в результате столкновений. Величина тепловыделения также представляет собой сумму: Qa = åQab. В левой части уравнения баланса энер гии первый член представляет собой скорость изменения энергии единицы объема, которая включает в себя энер гию направленного и теплового движения. Второй член складывается из дивергенции полного потока энергии: 2 3 24 1 2 5 12 3 6 7 9 1 1 312 8 2141 31 8 5 1 2 2 и работы сил давления и вязкости: 2 31 3 4 5 6112 2412 97 3 251 8 1 12 взятых с обратным знаком. В результате появляется ко эффициент 5/2 перед naTa. В правой части уравнения (2.8) кроме тепловыделения Qa содержится работа электриче ского поля и работа силы трения. Сила Лоренца не совер шает работы, так как она перпендикулярна скорости, по этому соответствующий член отсутствует в (2.8). Уравнение баланса энергии может быть скомбиниро вано с уравнением непрерывности и с уравнением баланса сил (2.7). В результате уравнение (2.8) может быть пере писано еще в двух эквивалентных видах:


1 3 2 13 4 2 3 3 4 5 1 3141 51 2 3 2 26 1 1 2 2511 1 1 33141 4 5 5 3 6112 3 4 5 71 7 81 3 292 1 3 32 5 141 624 51 5 3 8

2 1 79 26 2411 1 1 53151 6 4 5 112 5 6 71 81 3 292

41

(2.11)

(2.12)

Эти уравнения описывают изменение внутренней энер гии частиц и представляют собой уравнения баланса тепла. Процедуру интегрирования кинетического уравнения можно продолжать, в результате чего получится бесконеч ная система уравнений моментов. Так как она является прямым следствием кинетического уравнения, то справед лива всегда. Однако практическое ее использование в об щем случае невозможно. Действительно, чтобы определить профиль концентрации из уравнения непрерывности, надо 1 1 знать направленную скорость 11 ; для нахождения 11 из уравнения баланса сил необходимо знать давление pa, вяз 1 кость pajk и силу трения 11 ; в уравнения баланса тепла 1 входят новые величины 11 и Qa и т. д. Чтобы сделать систему уравнений непрерывности, ба ланса сил и энергии (тепла) выра 1 замкнутой, необходимо 1 1 зить величины pajk, 11 , 11 и Qa через na, 11 , Ta и их про странственные производные. Такая процедура возможна в гидродинамическом приближении, когда характерные пространственные и временные масштабы достаточно ве лики, а столкновения достаточно часты. Критерием яв ляется малость длины свободного пробега la или лармо ровского радиуса ионов rca по сравнению с характерным масштабом изменения параметров плазмы Ln = ½dlnn/dx½-1 (или LT = ½dlnn/dx½-1 и т. п.). Характерное время t должно быть велико по сравнению со временем между столкнове ниями 3 211 или обратной циклотронной частотой 31121 1 Элек трическое поле также должно быть мало для полностью ио низованной плазмы, например, E nei, wci >> nii. Сила трения состоит из двух частей: 1 1 11 1 (2.34) 534 1 5 2 5 1 3 52 1 11 Первая часть силы трения 2 1 связана с относительной скоростью электронов и ионов: 11 1 1 1 1 1 4 1 2 3562 4 23 1025112 5 11 32 1 2 12 3 13 4 (2.35) Частота электронионных столкновений согласно (2.22): 3 12 4

4 21 314 2 2 3 4111 2513 12

(2.36)

где кулоновский логарифм: 1 2 2314 3 1115 23 2 4 3145 23 31 1 31 5 5014 4 1 2 2314 3 1115 23 2 4 213123 31 1 31 6 5014 5

В выражение для кулоновского логарифма концентра цию следует подставлять в единицах CGS, а температу 1 ру — в электронвольтах. Вторая часть силы трения 2 1 называется термосилой и зависит только от градиента электронной температуры: 2 2 3 3 51 12 2 6 3 (2.37) 7 4 5017156131 5 7631 9 2 2 41 8 6

49


Поток тепла ионов имеет вид

2 2 3 5 2341 2 5 (2.38) 61 4 56117141 5 61 1 7 141 8 9741 1 2 75 5

где коэффициенты теплопроводности вдоль и поперек маг нитного поля: 3 11 4

319341 2341 211 1 31 1 4 1 51 2 11 51 5221

(2.39)

а частота ионионных столкновений: 311 4

4 1 234 2 2 3 4111 25131 2

(2.40)

Поток тепла электронов состоит из двух частей: 1 1 11 (2.41) 43 1 431 2 432 1 Поток, обусловленный теплопроводностью, имеет вид 2 2 3 5 3421 2 5 (2.42) 612 4 56 117121 5 61 1 7 121 5 8721 1 2 15 9 5 где

3 11 4

3116451 2451 2 12 1 31 1 4 2 61 2 12 61 5231

(2.43)

Вторая часть электронного потока тепла вызвана от носительной скоростью: 1 1 21 1 3 561 1 7 12 (2.44) 81 3 0171561 22 4 5 62 2 2 941 13 7 7 8 Источники и стоки тепла представляют собой тепло обмен между электронами и ионами и джоулев нагрев, который присутствует только в электронном члене: 331 42 2 41 2 53 12 161 4 62 23 32 11 41 2 4 78 4 41 4 (2.45) Тензор вязких напряжений состоит из двух частей: 2 21 21 1 2 11 3 1 2 1 (2.46)

50


Первая часть зависит от скоростей, а вторая часть — от потоков тепла. В отсутствие магнитного поля первое слагаемое имеет вид

2 131 132 2 13 21 4312 5 670 412 5 67 8 6 9 12 3 1 3 1 1 5 5 1 2 1 1 В сильном магнитном поле 11 2 22:

(2.47)

1

1122 2 340 522 1 1 4 4 1133 2 3 0 2533 5 544 3 3 1 2533 3 544 3 3 43534 1 2 2 1 4 4 1144 2 3 0 2533 5 544 3 3 1 2544 3 533 3 5 43534 1 2 2 1 1 4 1134 2 1143 2 341534 5 3 2533 3 544 31 2 1 1 1132 2 1123 2 342532 3 44 542 1 1

1

1142 2 1134 2 342542 5 44 532 4

(2.48)

Коэффициенты вязкости для ионов: 110 2 0196341 2 311 1 34 3 111 2 013 12 11 1 112 2 4111 1 421 341 113 2 1 114 2 2113 3 2421

(2.49)

Для электронов вязкость обычно несущественна. Вто" рая часть тензора вязких напряжений становится суще" 1 1 ственной, когда поток тепла 21 становится порядка 234 1 11 соответствующие выражения приведены в [10]. Вязкост" ное тепловыделение связано в основном с ионами; его глав" ная часть: 282 50 3 283 281 28 4 (2.50) 9156 6 7827 6 9 7 2 4 1 237 3 23 21 24 Численные коэффициенты для случаев многозарядных ионов и промежуточных значений магнитного поля при" ведены в [9]–[10].


51

2.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ. КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ Проанализируем качественно полученные результаты для коэффициентов переноса. 2.4.1. СИЛА ТРЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ. ТЕРМОСИЛА

11 Оценку для части силы трения 2 1 , связанной с отно сительной скоростью, несложно вычислить как изменение 1 1 импульса электрона относительно иона 31 141 1 42 2 за время 11 1 умноженное на концентрацию между столкновениями 2 12 заряженных частиц n. Для движений поперек магнитного поля функция распределения электронов близка к максвел 1 ловской, сдвинутой на величину 1 , так как вращение по ларморовской окружности уменьшает анизотропию функ ции распределения. Поправки содержат малость порядка nei/wce. Поэтому поперечная часть силы трения совпадает с силой трения в квазигидродинамическом приближении (2.21). В продольном же направлении изза искажения функции распределения появляется численный коэффи циент и сила трения оказывается почти вдвое меньше. Вторая часть силы трения, пропорциональная градиен ту электронной температуры, известна как термосила. По явление этой силы связано с зависимостью частоты столк новений от скорости при кулоновских столкновениях. Рассмотрим электроны с нулевой средней скоростью, стал кивающиеся с неподвижными ионами в плазме без магнит ного поля. Потоки электро нов через единичную площад ку, расположенную при z = z0 (рис. 2.1), направлены в проти воположные стороны и равны G+ ~ G- ~ nVT (VT — тепловая скорость). Так как электроны при столкновениях теряют им пульс, появляются две силы, Рис. 2.1

52


пропорциональные соответствую щим потокам R+ ~ R– ~ menVTnei, действующие на ионы. В плазме с однородной температурой и плот ностью эти силы сбалансированы и суммарная сила равна нулю. В присутствии же градиента элек тронной температуры электроны, Рис. 2.2 пересекающие площадку, прихо дят из областей с разной температурой, отличающейся на величину dTe = (dTee/dz)le, где le — длина свободного про бега. Поэтому R+ ¹ R– и возникает несбалансированная сила. Если, например, температура электронов справа больше, то изза того, что кулоновская частота столкновений падает с ростом скорости, сила R+ меньше, чем R–. В результате воз никает несбалансированная сила, вытягивающая ионы в го рячую область. Величина этой силы: 41 43 (2.51) 5 3 2 61 12 331 783 2 7 1 1 431 49 По третьему закону Ньютона такая же сила с противо положным знаком действует на электроны. Поперек сильного магнитного поля электроны вра щаются по ларморовской окружности, и поэтому несбалан сированная сила возникает в направлении, поперечном к градиенту температуры (рис. 2.2). Так как электро ны приносят импульс с расстояний порядка ларморовско го радиуса rce, то различие в температурах составляет dTe = (dTe/dz)rce. Аналогично (2.51) на ионы действует сила 1 1 25 3 (2.52) 6 3 4 7 12 7 5 631 8 1 941 5 а на электроны — такая же сила с противоположным знаком. 2.4.2. ПРОВОДИМОСТЬ

В однородной плазме без магнитного поля или вдоль магнитного поля электрическое поле уравновешивается силой трения. В результате возникает ток, величина ко торого согласно (2.35) есть

53


2 2 1 1 21 21 где спитцеровская проводимость: 312 11 2 1 025141 3 12

(2.53)

(2.54)

Так как частота кулоновских столкновений пропор циональна концентрации заряженных частиц, то прово димость полностью ионизованной плазмы не зависит от концентрации и определяется электронной температурой, 11 2 213 1 2 2 Отметим, что в отличие от случая частично ио низованной плазмы в полностью ионизованной плазме отсутствует понятие подвижности — уравнение (2.53) по зволяет определить лишь относительную скорость элек тронов и ионов, но не сами эти скорости. Это связано с отсутствием выделенной системы отсчета, связанной в слабоионизованной плазме с нейтральным газом. В литературе часто вводится величина s^ = ne2/(menei), которая, однако, не определяет реальную проводимость плазмы поперек магнитного поля. Действительно, одно родное электрическое поле, приложенное поперек магнит ного, всегда можно обратить в ноль в соответствии с преоб разованием Лоренца за счет перехода в систему отсчета, 1 1 2 движущуюся со скоростью 112 1 323 3 4 Поэтому однород ное электрическое поле в полностью ионизованной плаз ме вообще не вызывает тока в поперечном направлении. В этом смысле поперечная проводимость полностью иони зованной плазмы равна нулю, так же как равны нулю по перечные (в направлении электрического поля) подвиж ности электронов и ионов. 2.4.3. ПОТОК ТЕПЛА. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, КОНВЕКТИВНАЯ ЧАСТЬ

Поток тепла, как и сила трения, состоит из двух час тей. Первая часть является линейной функцией градиен та температуры и обусловлена теплопроводностью. Она имеет вид 1 2 211 2 341 1 511 2 3 361 1 511 2 (2.55) 3

54


Оценка компонент тензора теплопроводности 11 и тен зора температуропроводности 11 вдоль и поперек магнит ного поля производится так же, как и для частично иони зованной плазмы. Диагональные компоненты тензора тем пературопроводности по порядку величины оцениваются как средний квадрат случайных блужданий, умноженный на частоту столкновений. Вдоль (в отсутствие) магнитно го поля 1 11 2 321 4 12 1 121 2 322 4 22 2 (2.56) Так как длины пробега электронов и ионов при срав нимых температурах есть величины одного порядка, то 111 1 121 2 32 1 31 — продольная теплопроводность элек тронов намного больше ионной. Поперек магнитного поля частицы при столкновениях смещаются на величину лар моровского радиуса, поэтому (2.57) 21 1 3 4221 5 13 1 2 3 4223 533 2 Соотношение поперечных коэффициентов температу ропроводности обратное — 21 1 1 2 2 1 3 31 1 32 . Оценки по токов тепла в направлении градиентов температуры лег ко получаются как разность тепловых потоков, приноси мых с длины пробега или ларморовского радиуса. Вдоль магнитного поля 21 311 4 3112 3 3113 4 451 511 4 451 6 1 1 1 26 а поперек 23 412 5 4123 4 4124 5 5611 7 11 831 5 56211 7 11 1 1 26 В магнитном поле появляются также холловские по токи тепла, соответствующие недиагональным компо нентам тензора теплопроводности. Вдоль оси у возни кает несбалансированный поток тепла через элемент площади. Односторонний поток тепла, пересекающий площадку, имеет порядок nVTT, а его несбалансирован ная часть дается оценкой nVTrcdT/dx. В результате для электронов 1 3421 1 26 6721 3 1 5121 4 5 (2.58) 9 162 8


55

Холловский поток тепла ионов имеет противополож ный знак. Поток тепла (2.58) перпендикулярен градиенту температуры, поэтому в однородном магнитном поле и при постоянной концентрации его дивергенция равна нулю, то есть этот поток не приводит к изменению температу ры. В неоднородном же магнитном поле дивергенция хол ловского потока (2.58) отлична от нуля, что на языке дрейфов соответствует дивергенции конвективного пото ка тепла, связанного с перемещением ведущих центров частиц. Для электронов в дополнение к теплопроводностно му потоку существует поток тепла, связанный с отно 11 сительной скоростью, 321 в (2.41). Так же как и у термо силы, его происхождение связано с зависимостью час тоты столкновений от скорости. Искажение функции распределения электронов по сравнению со сдвинутой максвелловской функцией распределения приводит к тому, что в отсутствие магнитного поля больший вклад 1 в относительную скорость 1 вносят электроны с боль шими скоростями. В результате появляется поток теп 11 1 ла 321 2 452 1 . Механизм возникновения потока тепла поперек маг нитного поля иллюстрируется на рис. 2.3. Сила трения, связанная с относительной скоростью, тормозит элек троны, вращающиеся по ларморовской окружности, при положительных значениях у, и ускоряет — при от рицательных значениях. При этом совершаемая работа meneiuxrce приводит к тому, что энергия электронов, пере секающих площадку сверху, меньше, чем энергия элек тронов, пересекающих пло щадку снизу. Умножая раз личие в энергиях meneiuxrce на поток частиц nVT, полу чаем оценку потока тепла в направлении у: 1 1 21 561 2 7 13 Рис. 2.3 5 6 2 1 (2.59) 811 4 Тепловыделение 941 13 7 7 8 при столкновениях

56


2.4.4. ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ

Как известно, при столкновении легкой частицы с тя желой передается доля энергии порядка отношения масс. Поэтому, оценивая долю энергии, передаваемую от элек 113 1 3 , по тронов к ионам, как (3/2)n(Te - Ti) за время 2 21 1 2 лучаем для теплообмена 41 2

31 53 16 4 62 23 32 12 1

Член, ответственный за теплообмен, присутствует в уравнениях баланса тепла для ионов и электронов с раз ными знаками. 11 Член 1 12 , который имеется только в уравнении элек тронного 1теплового баланса, состоит из двух частей. Сла 11 гаемое 1 2 1 1 представляет собой джоулево тепловыделе ние, его можно переписать в виде 1 1 1 22 22 2311 3 2 4 1 1 (2.60) 52 5 1 1 1 Знак второго слагаемого, 1 21 3 , может быть положи тельным или отрицательным, соответствующее тепловы деление является обратимым. 2.4.5. ВЯЗКОСТЬ

Явление вязкости связано с переносом импульса. Пусть, например, в отсутствие магнитного поля и гради ента температуры средняя скорость uy меняется в направ лении x. Аналогично потоку тепла разность односторон них потоков импульса nVTuy с расстояния порядка длины свободного пробега составляет 451 1 2 32 4 678 55 4 678 6 321 4 321 1 21 3 1 3 42 Для коэффициента вязкости имеем отсюда оценку 121 2 340

341 56 1 40 5 2 32 6

(2.61)

В выражение для коэффициента вязкости ионов вхо дит ионионная частота столкновений, поэтому

57


hi0 ~ nmici||. (2.62) Подстановка (2.61) в уравнение баланса сил для ионов (2.4) приводит к уравнению диффузии:

121 1221 23 2 14 15 с коэффициентом диффузии D = Ti/(minii). Таким образом, вязкость соответствует диффузии импульса в направле нии градиента скорости. Аналогичным образом происхо дит перенос и других компонент скорости. В общем слу чае тензор вязких напряжений пропорционален тензору скоростей сдвигов (2.46): pjk = –h0Wjk. Тензор Wjk являет ся симметричным тензором с нулевым следом Wjj = 0. Этот тензор обращается в нуль, если плазма вращается как це 1 1 1 1 1 лое 1 1 12 3 2 2 или растягивается как целое 1 2 2 . Компо ненты тензора вязкости, вызванные потоками тепла, име 1 1 ют тот же порядок величины, если 11 2 231 41 . В сильном магнитном поле вязкость имеет более слож ный характер. Компоненты тензора вязких напряжений, содержащие коэффициенты h1 и h2, соответствуют умень шению шага случайных блужданий поперек магнитного поля до величины ларморовского радиуса. Компоненты же, содержащие коэффициенты h3 и h4, не зависят от час тоты столкновений и аналогичны холловским членам в потоке тепла. 2.5. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭНТРОПИИ Энтропия, приходящаяся на одну заряжен ную частицу, например на один электрон, имеет вид 21 1 3 12 31 2 12 4 3 const3 2

(2.63)

Уравнение для энтропии электронов является следст вием уравнений баланса тепла и уравнения непрерывно сти для электронов: 1 1 4 2231 5 3 4 5 131 261 3 1 2 3 1 6 71 3 (2.64) 27 81 81

58


где рождение энтропии в единице объема есть 11 1 1 41 11 2 351 4 1241 3 67 3 5123 8123 3 2

(2.65)

Левая часть уравнения (2.64) описывает изменение энтропии во времени, перенос энтропии в пространстве и передачу энтропии ионам. Используя выражения для силы трения, потока тепла и вязкости из раздела 2.3, перепи шем рождение энтропии в виде 2 2 41 31 4 11 15141 22 6 1 1 15 141 22 6 41 41 2 2 2 2 1 6 1 6 1 6 710 5123 5123 3 (2.66) 81 81 2 Из этого выражения видно, что рождение энтропии есть существенно положительная величина. Для ионов, аналогично, имеем 1 1 4 2231 5 (2.67) 3 4 5 131 261 3 1 2 6 1 7 81 3 27 81 81 2 2 1 41 31 4 11 15141 22 6 1 1 15 141 22 6 710 5123 5123 3 (2.68) 41 41 2 Уравнение баланса суммарной энтропии sn = sen + sin имеет вид 1 1 1 1 3 3 245 3 4 5 151 461 3 52 462 3 1 3 2 2 6 71 3 72 3 712 3 81 82 27 391 18 8 82 22 1 1 49 12 1 4 712 6 1 1 8 2 6 (2.69) 82 81 92 8182 Если характерные времена переноса тепла за счет теп лопроводности и тепловыделения велики по сравнению с характерным временем изменения концентрации и темпе ратуры, так что диссипативными процессами можно пре небречь, то процесс является адиабатическим. При этом уравнения для энтропии электронов и ионов упрощаются: 1 2121 3 4 5 1121 31 2 6 03 (2.70) 24 Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение непрерывности, поэтому величины nsa и n изменяются

59


одинаково, а следовательно, их отношение — энтропия — сохраняется. Комбинируя (2.70) с уравнением непрерыв ности, получаем 1 211 3 121 4211 5 03 (2.71) 23 Таким образом, при адиабатических движениях энтро пия сохраняется вдоль направления движения, а следова тельно, сохраняется и величина:

1131 2 1 2 2 234567

(2.72)

Термодинамические «потоки» и «силы», обсуждав шиеся в разделе 2.1 и связанные соотношением (2.13), на зываются сопряженными, если 1 2 3 21 31 1 1

Из (2.66), (2.68) и (2.69) 1 видно, что сопряженными 1 1 являются «потоки» 11 1 1 , pajk, QD и «силы» ÑTa/Ta, 11 1/2Wajk, (Te – Ti)/(TeTi) соответственно. Для кинетических же коэффициентов Lmn, связывающих «потоки» и «силы» согласно (2.13), выполняется соотношение 1 1 312 142 1 321 12423 которое является следствием общего принципа симмет рии кинетических коэффициентов Онзагера.

Глава 3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

3.1. УСТАНОВЛЕНИЕ КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТИ

Плазма является квазинейтральной средой, то есть концентрации заряженных частиц, умноженные на заряд, для положительных и отрицательно заряжен ных частиц совпадают с высокой точностью. В стационар ном случае это следует из уравнения Пуассона, которое для однозарядных ионов имеет вид 1 (3.1) 1 2 3 3 442141 5 42 23 Действительно, оценивая потенциал в плазме как T/e, из уравнения Пуассона имеем

1 3 1 2 2 5 43 43252 где L = ½Ñlnn½-1 — характерный масштаб изменения кон центрации. Разделив разность концентраций на любую из концентраций, получаем условие квазинейтральности: 41 2 42 1

41 1 42 532 1 2 1 12 (3.2) 4 6 Таким образом, плазма является квазинейтральной, если дебаевский радиус значительно меньше ее характер ных размеров. Это условие нарушается вблизи границ плазмы, где L уменьшается. В объеме же плазмы обычно решают квазинейтральные уравнения, из которых нахо дится самосогласованное электрическое поле, обеспечи вающее квазинейтральность. Плотность заряда, которая ответственна за формирование самосогласованного элек

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

61

трического поля, может быть при необходимости опреде лена из уравнения Пуассона. В ряде случаев, например при протекании через плазму тока, потенциал в плазме может существенно превосходить значение T/e. В этом случае в критерий квазинейтральности (3.2) входит эффективный дебаевский радиус, в котором величина T/e заменена на соответствующую величину потенциала. Проанализируем теперь, как происходит процесс уста новления квазинейтральности, если в плазме созданы раз личные не квазинейтральные возмущения концентраций электронов и ионов. Анализ проведем на примере простой слабоионизованной плазмы без магнитного поля, состоя щей из электронов, однозарядных ионов одного сорта и нейтральных частиц. Исходной является система уравне ний непрерывности для электронов и ионов, куда подстав лены выражение для потока электронов (1.87) и анало гичное выражение для ионов: 121 2 3 4 15 31 321 2 21 41 362 7 5 5 63 17

(3.3)

121 2 3 4 15 31 321 5 21 41 362 7 5 5 63 (3.4) 17 Мы полагаем здесь температуры частиц постоянными, так что термодиффузия отсутствует. Члены в правых час тях описывают парные рождение и гибель частиц. В от сутствие магнитного поля коэффициенты диффузии и под вижности являются скалярами, причем в соответствии с соотношением Эйнштейна Da/ba = Ta/e. Система (3.3), (3.4) должна быть дополнена уравнением Пуассона (3.1). Проанализируем процесс установления квазинейт ральности для случая малых возмущений dne, dni, создан ных на фоне однородной плазмы с концентрацией ne = = ni = n0. Линеаризуем систему (3.1), (3.3), (3.4): 1221 3 4 5 131 4221 6 2041 4723 15 1221 3 4 5 131 4221 6 20 41 4723 15 12 3 4411531 6 532 23

(3.5)

62


Ищем решение в виде интеграла Фурье: 11 1 1 221 13 243 3 1 3 5 22111 4561513 3612 1243 11 1 1 1 112 233 2 1 11 4561412 3517 4 3 1233 Подставляя в (3.5), имеем 123121 3 4 41 22 23121 5 51 30 22 621 1 16

123121 3 4 41 22 23121 4 51 30 22521 1 16 112 2 11 3 442154211 1 54311 23

(3.6)

Подставим выражение для потенциала из третьего уравнения (3.6) в первые два и будем искать зависимость от времени в виде, пропорциональном exp(–iwt). Получив шаяся система алгебраических уравнений имеет нетриви альное решение, если определитель равен нулю. При этом имеем два корня:

11 2 3241 1 532 2 12 2 3262 42 31 4 71 172 45

(3.7)

2 1/2

где дебаевский радиус rd = (Te/4pne ) . Общее решение име ет вид 14121 2 51 1234334165 5 52 43342656 (3.8) 14321 2 3473 51 7 71 51234334165 5 52 43342658 При выводе учтено, что De >> Di и krd > 1. В обратном случае возникают плазмен ные колебания, которые затем затухают, так что квази 11 . нейтральность устанавливается за время 2 12

3.2. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЙ СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА Вблизи материальных поверхностей наруша ется приближение квазинейтральности и одновременно ста новится неприменимым гидродинамическое описание плаз мы, так как характерный масштаб изменения концентра ции L = ½Ñlnn½-1 стремится к нулю. Здесь возникают слои пространственного заряда с размерами порядка дебаевско го радиуса, более точный термин — размер слоя. Проана лизируем сначала структуру такого слоя в отсутствие маг нитного поля для случая, когда длины свободного пробе га электронов и ионов много больше размера слоя.

64


Пусть, для определенно сти, стенка заряжена отрица тельно относительно плазмы. Вблизи стенки, на расстоя нии порядка дебаевского ра диуса, расположен положи тельно заряженный слой про странственного заряда (рис. 3.1). Дальше на масштабе по рядка длины свободного про бега притягивающихся частиц находится так называемый предслой, который разделя Рис. 3.1 ет слой и квазинейтральную плазму, где применимо гидродинамическое описание. Электроны и ионы, попавшие на границу слоя, ведут себя поразному. Ионы ускоряются в слое, поэтому все ионы, летящие в направлении стенки, на нее попадают. Значи тельная же часть электронов отражается от запирающего поля слоя и возвращается в плазму, и только самые энер гичные достигают стенки. Чтобы понять, как формирует ся электронная функция распределения, рассмотрим за дачу о пролете электронов через конденсатор с тормозя щим электрическим полем. 3.2.1. ЭЛЕКТРОНЫ В КОНДЕНСАТОРЕ С ТОРМОЗЯЩИМ ПОЛЕМ

Рассмотрим конденсатор с тормозящим полем для элек тронов и перепадом потенциала Df (Df — положительная величина). Пусть справа налетают электроны, имеющие максвелловскую функцию распределения для положи тельных значений скоростей Vx (рис. 3.2). Часть электро нов отражается от запирающего потенциала и возвраща ется назад, а часть преодолевает перепад потенциала и оказывается слева от конденсатора. В стационарном слу чае в отсутствие столкновений функция распределения в соответствии с теоремой Лиувилля должна сохранять ся вдоль траектории частиц. Отсюда следует утвержде ние, что в бесстолкновительном случае стационарная

3. КВАЗИНЕЙТРАЛЬНОСТЬ И СЛОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

65

функция распределения есть функция интегралов движе ния. Так как при движении сохраняется полная энергия электрона E = meV2/2-ef, то функция распределения так же должна быть функцией этой величины.

Рис. 3.2

Пусть справа функция распределения для частиц, ле тящих налево, максвелловская (положим здесь f = 0):

61 252 4 03 5 6 3 6 7

411 1 2 2 4522 3 456 8 7 9, 1 1 2 22 81 3 281

(3.11)

поэтому f = fM(E). Преодолеть тормозящий потенциал Df могут электроны с энергией большей, чем 20 1 21231 31 2 причем электроны со скоростью V0 тормозятся до нулевой скорости. Таким образом, слева от конденсатора для час тиц, летящих в положительном направлении х, 11 2 2 3422 3 2 145 3 31 51 242 6 03 7 6 456 8 1 456 8 997 (3.12) 9 81 71 22 71 311 2 271 Слева от конденсатора нет частиц, летящих в отрица тельном направлении, f_(Vx 1.

Глава 9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

9.1. ИОННЫЙ ЗВУК

В гидродинамическом приближении пол ностью ионизованная плазма в отсутствие примесей опи сывается системой уравнений переноса, рассмотренной в главе 2: 1 23 3 4 5 341 6 01 25 1 1 1 1 64 71 3 1 6 7481 7 4 5 81 3 91 3 3 1 1 65 3 3 6 1 3 3 4 5 41 3 8 2411 3 4 5 1 6 2 (9.1) 1 1 1 112 1 1 22 2 65 Складывая два уравнения баланса сил для электронов и ионов и пренебрегая электронной инерцией и ионной вязкостью, получаем уравнение суммарного баланса сил, в котором отсутствуют электрическое поле и сила трения: 1 23 (9.2) 451 1 1 2361 27 Здесь суммарное давление p = pe + pi. Пренебрежение ионной вязкостью по сравнению с градиентом давления оправданно, если длина свободного пробега мала по срав нению с характерным размером неоднородности L, что яв ляется условием применимости гидродинамического опи сания плазмы. Как отмечалось в главе 7, уравнение (9.2) позволяет оценить характерную скорость, которая возникает в не однородной полностью ионизованной плазме. Эта ско

9. ДИНАМИКА ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

153

рость порядка ui ~ [(Te + T)i/mi]1/2 и зависит от конкрет ной задачи. Рассмотрим вначале эволюцию малых воз мущений концентрации в безграничной однородной плаз ме концентрации n0 в изотермическом случае. Пусть все величины зависят только от координаты z. Будем искать концентрацию и ионную гидродинамическую скорость в виде 2 1 20 2 211 31 1 311 1 (9.3) 21 2 34563144 2 15671 311 2 34563144 2 15678 Линеаризуя уравнение непрерывности для ионов и уравнение суммарного баланса сил (9.2), получаем

11231 3 1451130 4 01 11261 30 511 3 14272 3 71 331 4 04

(9.4)

Условие совместности системы (9.4) приводит к дис персионному соотношению w = ±kcs,

(9.5)

где для изотермической плазмы 53 2

41 1 42 1 62

(9.6)

Величина cs называется скоростью ионного звука. Бо лее общее определение скорости ионного звука: 41 1

23 1 22

(9.7)

где r = nmi. Это выражение при Te,i = const совпадает с (9.6). Таким образом, возмущение концентрации распространя ется согласно (9.5) с постоянной фазовой скоростью, сов падающей со скоростью звука, а знак «±» соответствует распространению в одну или другую сторону. При этом дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости от длины волны, отсутствует. Как следует из совместного рассмотрения электронно го и ионного уравнений непрерывности, в отсутствие тока через плазму ue = ui = u, т. е. электроны и ионы движут ся совместно. Сила трения между ними равна нулю, а из

154


уравнения баланса сил для электронов имеем больцманов ское распределение для электронов: 11 2

21 2 31 1233 4 30 5 3 1 6 1 1 30

(9.8)

Положительные возмущения концентрации заряже ны положительно, а отрицательные — отрицательно. Электрическое поле, соответствующее больцмановскому потенциалу, удерживает электроны от разбегания и обес печивает одинаковую скорость электронов и ионов в ион нозвуковой волне. Если характерное время, типичное для ионнозвуковой волны w–1 = (kcs)–1, мало по сравнению с диссипативными временами — временем электронной и ионной теплопро водности (k2ce,i)–1 и временем теплообмена (2menei/mi)–1, то ионный звук является адиабатическим. В этом случае со храняется энтропия единицы объема s, температуры элек тронов и ионов меняются как Te,i ~ n2/3, а полное давление как p ~ n5/3. Система (9.4) в общем случае имеет вид

11221 3 1341120 4 01 56 1 1121 71 20 3 13 2 4 02 52

(9.9)

Закон дисперсии попрежнему имеет вид (9.5), а ско рость звука в адиабатическом случае 73 1

56 53

3 1 const

1

5141 2 42 2 3 382

(9.10)

Наконец, возможна ситуация, когда время w–1 мало по сравнению со временем ионной теплопроводности и временем теплообмена, но велико по сравнению со време нем электронной теплопроводности. Такая ситуация мо жет возникнуть изза весьма большой электронной тепло проводности. В этом случае ионный звук является адиа батическим по ионам и изотермическим по электронам, а скорость звука дается выражением 53 2

41 1 15 2 3342 4 62

(9.11)


155

Так как у ионного звука отсутствует дисперсия, то есть волны любой длины распространяются с одной и той же скоростью, то с той же скоростью распространяется и возмущение произвольной формы, которое можно раз ложить в интеграл Фурье на отдельные волны. Поэтому общее решение линеаризованных уравнений (9.1), (9.2) имеет вид n1 = f1(z – cst) + f2(z + cst). (9.12) Это можно продемонстрировать и непосредственно, записав исходные линеаризованные уравнения в виде 141 4 1311 2 0 3 01 15 16 131 141 (9.13) 40 1 3 4722 2 15 16

Рис. 9.1 Распад прямоугольного возмущения на два движущихся возмущения половинной амплитуды

156


Продифференцировав первое уравнение по времени, а второе — по координате, и вычитая одно из другого, при ходим к волновому уравнению: 1 221 1 1 221 2 3 01 132 412 152

(9.14)

решением которого является (9.12). В качестве примера рассмотрим эволюцию прямоуголь ного возмущения концентрации, имеющего вид n1 = A при –a £ z £ a и n1 = 0 вне этого промежутка (см. рис. 9.1). На чальная скорость возмущения концентрации предполага ется равной нулю. Такое возмущение можно представить в виде суммы двух возмущений половинной амплитуды, при чем, в соответствии с (9.12), возмущения движутся со ско ростями ±cs. С течением времени возмущение распадается на два движущихся в разные стороны сигнала (рис. 9.1). Ионный звук может распространяться и в бесстолкно вительной плазме, если электронная температура значи тельно превосходит ионную Te >> Ti. В этом случае можно рассуждать следующим образом: согласно уравнению ба ланса сил для электронов электрическое поле уравновеши вает градиент электронного давления. Поэтому в уравне нии баланса сил для ионов электрическая сила доминиру ет, а давлением ионов и их вязкостью можно пренебречь. В результате, заменяя в уравнении баланса сил для ионов электрическую силу на градиент электронного давления, приходим к уравнению (9.2), в котором присутствует толь ко электронное давление: 1 34 561 1 1 2372 1 (9.15) 38 Скорость звука же совпадает с (9.6). При сравнимых температурах ионный звук сильно затухает по механизму Ландау, здесь необходим кинетический подход. Особого рассмотрения требует случай, когда длина вол ны возмущения порядка дебаевского радиуса. При этом отсутствует квазинейтральность и необходимо использо вать уравнение Пуассона. Проанализируем эту ситуацию для бесстолкновительной плазмы при Te >> Ti. Исходная система уравнений:


1 131 2 3 4 131 41 2 5 03 15 1 132 2 3 4 132 42 2 5 03 15 1 2 64 71 31 1 5 231 83 65 1 0 5 692 332 6 232 83 1 3 4 8 5 472131 6 32 24

157

(9.16)

Из электронного уравнения баланса сил следует больц мановское распределение электронов j = (Te/e)ln(ne/n0), где n0 — невозмущенная концентрация как электронов, так и 1ионов. Из ионного уравнения баланса сил имеем 34 51 61 1 1 272 362 1 Линеаризованная система уравнений 38 неразрывности ионов, уравнений баланса сил и уравнения Пуассона в одномерном случае имеет вид 112311 3 1430 511 4 01 251 2 62 4 321 2 30 1 11271 30 511 4 11462 3211 42 51 4 4623311 1 321 45

(9.17)

Исключая потенциал и скорость ионов, приходим к системе уравнений с двумя неизвестными относительно 311 1 321 2 Приравнивая к нулю определитель этой системы, получаем дисперсионное уравнение: 12 2

32 412 1 1 3 32522

(9.18)

где 322 1 41 124250 12 34 Видно, что в общем случае звуковые волны обладают дисперсией — фазовая скорость зависит от длины волны. При больших длинах волн закон диспер сии (9.18) переходит в (9.5), а при малых длинах волн 231 1 1 частота не зависит от длины волны и совпадает с ионной плазменной частотой:

2 3 2 12 3

4130 42 1 52

(9.19)

158


9.2. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ Проанализируем нелинейную эволюцию в полностью ионизованной плазме в ситуации, когда на чальные размеры неоднородности несущественны. В этом случае решения различных задач удается получить с по мощью автомодельного подхода, когда концентрация и гидродинамическая скорость ионов ищутся как функции одной автомодельной переменной. Рассмотрим в качестве примера одномерное расширение плазмы в вакуум (фоно вую плазму малой плотности). Пусть при z = 0 располо жен источник частиц 1 1 21 21323 При этом плазма растека ется в обе стороны от источника в положительном и от рицательном направлениях z. Вблизи источника частиц устанавливается стационарный профиль концентрации, при этом поток плазмы находится интегрированием уравнения непрерывности по области вблизи источника: 13 2111 2 02 2 231 2 4

3

Рассмотрим сначала изотермический случай Te = const, Te >> Ti. Такая ситуация может реализоваться при расши рении в плазму малой плотности за счет очень большой теплопроводности электронов, поток тепла которых ком пенсирует работу, затрачиваемую на расширение плаз мы. В уравнениях (индекс у гидродинамической скорости ионов опускаем) 12 1 1232 2 3 03 14 15 16 13 13 271 1 2 3 2 3 4 14 15 15

(9.20)

перейдем к переменной z = z/t. Концентрация и скорость ионов предполагаются функциями только от z: n = n(z), u = u(z). Производные преобразуются следующим образом:

1 12 1 1 1 3 34 2 1 12 12 12 2 12 1 12 1 1 1 2 3 3 13 13 12 2 12


159

В новых переменных система уравнений (9.20) имеет вид 23 21342 3 4 03 22 22 24 24 23 3112 4 3 4 2 4 1512 22 22 22 12

(9.21)

Здесь использовано определение скорости звука (9.7). Выражая из первого уравнения производную du/dz и под ставляя во второе уравнение, получаем (знак выбран для течения вдоль положительного направления оси z) u = cs + z.

(9.22)

В изотермическом случае скорость звука постоянна, поэтому du/dz = 1, и для концентрации имеем 23 3 (9.23) 1 2 01 23 41 откуда 1 2 2 3 12343 56 (9.24) 41 В исходных переменных с учетом условия nu(z = 0) = = G(z = 0) = n/2 получаем 32

112 2 02 2 2 34513 26 4 2 51 4 7 51 51 6 6

(9.25)

Таким образом, концентрация экспоненциально спа дает с масштабом cst, а скорость ионов линейно растет с расстоянием. В адиабатическом случае скорость звука (9.7) зависит от концентрации как n1/3(p ~ n5/3). Соотношение (9.22) для гидродинамической скорости попрежнему справедливо. Из второго уравнения (9.21) находим общую связь между u и n: 23 4 1 2 3 51 1 (9.26) 3 Выполняя интегрирование и используя (9.22), полу чаем 3 1 2 2 3 3 30 51 4 1 7 441 230 35 68 32 6 3 41 230 3 9 4 (9.27) 45

160


Здесь n0cs(n0) = G(z = 0). В адиабатическом случае кон центрация обращается в ноль на конечном расстоянии, а скорость остается ограниченной. Используя полученные решения, можно, например, проанализировать задачу о распаде произвольного началь ного разрыва. Пусть в начальный момент времени имелся разрыв концентрации n(z £ 0) = n0, n(z > 0) = 0.

(9.28)

Ограничимся изотермическим случаем. Тогда решение конструируется на основе соотношений (9.22)–(9.24). Ре шение, соответствующее начальному условию (9.28), име ет вид

3 1 30 12342 3 1 30 6

2 2 2 156 4 1 51 3 6 51 6 6 4 1 06

2 4 251 67 2 5 251 68

(9.29)

Профиль концентрации приведен на рис. 9.2. Плазма из области –cst < z < 0 с течением времени вытекает на право, а влево со скоростью звука распространяется волна разряжения. В то же время концентрация при z = 0 оста ется постоянной и равной n(z = 0) = n0exp(–1). Аналогич но строится решение и в адиабатическом случае.

Рис. 9.2 Распад начального разрыва (пунктир). С течением времени плазма (сплошная кривая) вытекает направо, а слева возникает волна разряжения


161

9.3. ПРОСТЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ. ОПРОКИДЫВАНИЕ Одномерные бегущие волны, которые явля ются аналогами линейных ионнозвуковых волн, эволю ционируют более сложным образом. Будем искать част ное решение системы уравнений (9.20) в виде бегущей волны. В этом случае все физические величины в волне (концентрация, давление, гидродинамическая скорость) являются функциями от (z – Vt), причем скорость распро странения V, в отличие от линейного случая, зависит от амплитуды. Так как концентрация, давление и гидроди намическая скорость распространяются совместно, то одни величины являются функцией других. Используя этот факт, перепишем уравнение непрерывности в виде (r = min) 12 11222 12 3 4 03 (9.30) 13 12 14 Здесь произведение ru считается функцией r. В уравне нии же баланса сил 12 12 1 11 22 2 30 (9.31) 13 14 4 14 выразим давление как функцию u: ¶p/¶z = (dp/du)¶u/¶z. Уравнение для скорости при этом преобразуется к виду 13 1 12 13 2 13 2 2 3 03 14 4 13 15

(9.32)

11122 12 в (9.30) и 3 142 1 14 2 1 2 в (9.32) 11 3 14 представляют собой скорости распространения плотности и гидродинамической скорости соответственно. Так как эти величины распространяются совместно, то должно быть V(r) = V(u), откуда Величины 3 112 2

11122 1 13 2 12 3 23 11 1 12

(9.33)

Учитывая, что 23 1 24 1 512 22 1 242 где скорость звука определена согласно (9.7), из (9.33) имеем 2 34 12 11 (9.34) 33 3

162


или

21 431 (9.35) 3 Выражение (9.35) дает зависимость u(r), так как ско рость звука является известной функцией плотности, см. раздел 9.1. Скорость же распространения 3 1 24

V(r) = V(u) = u ± cs. Мы видим, что скорость перемещения точек профиля плотности не является постоянной, как в линейном слу чае, а зависит от величины плотности. Профиль плотно сти, согласно (9.30), описывается выражением r = r(z – V(r))t.

(9.36)

Другими словами, каждая точка исходного профиля перемещается с постоянной скоростью, но величина ско рости перемещения зависит от значения плотности. В слу чае, например, изотермической плазмы, когда cs = const: 1 (9.37) 2 112 2 31 34 3 31 5 10 где r0 — нормировочная константа, например значение плотности на бесконечности. Видно, что точки профиля, соответствующие большей плотности, распространяются быстрее, как это показано на рис. 9.3. С течением време ни профиль плотности становится многозначным, т. е. происходит опрокидывание. Нефизический многознач ный профиль возникает изза неучета диссипативных чле нов, в частности ионной вязкости, в исходных уравнени ях. Тем не менее реальный профиль плотности может быть приближенно получен и в рамках уравнений, не содержа щих вязкость, с помощью «правила площадей». Прове дем вертикальную линию, как показано на рис. 9.3 — так, чтобы площади заштрихованных областей были одинако выми. Тогда профиль плотности, показанный сплошной линией, будет являться решением, так как состоит из плавного участка, который соответствует исходным урав нениям, и разрыва. Полное число частиц под таким про филем сохраняется и равно исходному числу частиц. На переднем фронте профиля плотности образуется ударная


163

Рис. 9.3 Эволюция простой нелинейной волны

волна, которая полностью аналогична ударной волне в обычной гидродинамике. Как и в гидродинамике, чтобы исследовать структуру ударной волны, необходимо перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с волной, и учесть ионную вязкость. Профиль концентрации при этом находится из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а характерная ширина фронта оказывается порядка длины свободного пробега. Однако для больших длин свободного пробега возникает существенное отличие от обычной гид% родинамики. Если длина пробега превышает дебаевский радиус, то структура фронта ударной волны определяется не диссипацией, а нарушением квазинейтральности. При этом возникают так называемые бесстолкновительные ударные волны, для анализа структуры которых необхо% димо решать кинетические уравнения совместно с урав% нением Пуассона. Концентрация ионов на фронте такой ударной волны осциллирует. 9.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИОННО ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ Нелинейные образования с характерными размерами порядка дебаевского радиуса имеют целый ряд особенностей по сравнению с квазинейтральными нелиней% ными волнами, рассмотренными в предыдущем разделе.

164


Эффекты дисперсии, которые в линейном приближении возникают в этом случае, могут при определенных усло виях компенсировать нелинейные эффекты и останавли вать опрокидывание волны. Рассмотрим эволюцию такого образования в бесстолкновительном случае в приближении холодных ионов. Исходными являются одномерные урав нения: 131 1 131 41 2 2 3 03 15 16 14 14 14 71 31 1 1 2 41 1 2 3 531 2 3 15 16 16 132 14 0 3 582 2 32 2 3 16 16 124 (9.38) 3 5462131 5 32 24 162 Будем искать решение в виде локализованного возму щения, распространяющегося с постоянной скоростью, так что все величины являются функцией от переменной (z – Vt): Y = Y(z) = Y(z – Vt). В отличие от случая, рассмот ренного в предыдущем разделе, скорость распространения будем считать постоянной и не зависящей от величины возмущений. Уравнение непрерывности для ионов преобразуется к виду 23 2131 41 2 (9.39) 15 1 2 3 03 24 24 Его интегрирование дает ni(ui – V) = const = –n0V.

(9.40)

Здесь предполагаются выполненными следующие гра ничные условия: ne(¥) = ni(¥) = n0 и ui(¥) = 0. Уравнение баланса сил для ионов в новых переменных имеет вид 41 125

231 23 21 3 31 1 2 3 6 4 03 25 25 25

После интегрирования имеем 22 31 1 1 1 21 4 2 2 53 4 03 2

(9.41)

(9.42)


165

Константа интегрирования выбрана с учетом гранич ного условия j(¥) = 0. Из квадратного уравнения (9.42) находим 21 1 3 2 3 2 3 2441 51 2

(9.43)

Выбирая знак «–» в решении и комбинируя (9.43) с (9.40), получаем концентрацию ионов как функцию по тенциала: 20 3 21 1 1 (9.44) 3 2 2 243 2 51 Из уравнения баланса сил для электронов найдем связь концентрации электронов с профилем потенциала: 11 56 (9.45) 31 Наконец, после подстановки (9.44) и (9.45) в уравне ние Пуассона получаем 32 1 11 4 2 43150 12345 6 4 78 (9.46) 2 61 352 4 4 211 9 72 21 2 20 1234

Это уравнение совпадает с (3.20), но мы ищем решение, удовлетворяющее другому граничному условию j(¥) = 0. Введем безразмерные переменные:

34

31 11 1 2 1 2 4 1 42 4 2 31 42 4550 12

В новых переменных уравнение Пуассона имеет вид 12 1 1 2 234516 3 7 51 3 21 1 2 2 611 2 141 2

(9.47)

Здесь M = V/cs — число Маха. Вводя потенциальную энергию, так что правая часть равна –dU/dF, имеем U(F) = –exp(F) – M2(1 - 2F/M2)1/2 + 1 + M2. (9.48) Выбор константы интегрирования соответствует U(¥) = = 0. При малых значениях F потенциальная энергия опи сывается параболой: 12 12 1 112 2 3 4 3 (9.49) 2 22 2

166


Если M > 1, то при малых F потенциальная энергия отрицательна и убывает (рис. 9.4). С ростом F потенци альная энергия возрастает, проходит через ноль и стано вится положительной. Действительно, например, когда квадратный корень в (9.48) обращается в ноль: U(M2/2) = 1 + M2 – exp(M2/2). Если M < 1,6, то это значение положительно. Поэтому при M < 1,6 потенциальная энергия имеет вид, приведен ный на рис. 9.4. Здесь Fmax соответствует корню U(Fmax) = 0. Будем искать решение (9.47), соответствующее нуле вому уровню энергии E = 0 при условии 1 < M < 1,6.

(9.50)

Используя механическую аналогию (z соответствует времени, а F — координате частицы), заметим, что реше ние имеет колебательный характер, причем в области

Рис. 9.4 Профиль потенциальной энергии при 1 < M < 1,6

Рис. 9.5 Ионнозвуковой солитон


167

F ® 0 частица проводит бесконечное время. Профиль по тенциала описывается уравнением, соответствующим за кону сохранения энергии: 2

1 1 13 2 4 521 2 69 181 7

(9.51)

и имеет вид, изображенный на рис. 9.5. Профиль потен циала дается интегралом 13 41 5 6 9 2 2 72 1 7 345637 7 2 61 7 23 1 2 2 711 2 8 1 8 2 2 2 Решение представляет собой локализованное возмуще ние потенциала, движущееся с постоянной скоростью V. Такое образование называют солитоном. Все точки соли тона движутся с одинаковой постоянной скоростью, а сам солитон сохраняет свою форму (9.51). Скорость движения солитона зависит от его амплитуды, эта связь находится из соотношения U(Fmax) = 0, откуда 1 71123 8 3

453671123 8 2 192

2453671123 8 2 1 2 1123 9

(9.52)

Характерный размер солитона имеет порядок дебаев ского радиуса, так как 11 измеряется в единицах дебаевско го радиуса, амплитуда потенциала имеет порядок Te/e, а скорость движения является сверхзвуковой. Таким об разом, в отличие от простых нелинейных волн, сущест вует решение в виде солитона, когда дисперсия компен сирует нелинейные эффекты. Солитоны существуют в диапазоне чисел Маха (9.50). Максимальная скорость распространения солитона соответствует M = 1,6, при этом соответствующая наибольшая предельная амплиту да солитона согласно (9.52) равна 1 123 345 2 1637 При боль ших числах Маха и больших амплитудах солитонных ре шений не существует. При M = 1,6 и 1 123 345 2 163 квадрат ный корень в (9.48) обращается в ноль, а при еще больших значениях теряет смысл. Физически это означает, что при больших амплитудах дисперсионные эффекты не могут скомпенсировать нелинейность и нелинейные возмуще ния должны опрокидываться.

Глава 10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

10.1. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

В магнитном поле система уравнений пере носа для концентрации и гидродинамических скоростей в пренебрежении инерцией электронов имеет вид 1 13 2 3 4 341 5 01 15 1 13 2 3 4 342 5 01 15 1 31 1 1 1 0 5 6361 6 137 6 241 4 83 2 91

1 1 31 1 1 1 42 3 2 5 6362 2 137 2 242 4 83 6 94 5

(10.1)

Предполагается, что связь давления и концентрации известна и дается, например, адиабатическим законом, который заменяет уравнения баланса энергии. Исходные уравнения иначе называются уравнениями двухжидкост ной магнитной гидродинамики (МГД). Преобразуем систему уравнений двухжидкостной МГД таким образом, чтобы в новой системе уравнений отсутст вовали электрическое поле и токи по плазме. Вначале сло жим два уравнения баланса сил, при этом электрическое поле и сила трения исчезают, поэтому с учетом выраже 1 1 1 ния для плотности тока 3 1 24151 2 52 2 имеем 1 231 1 1 1 (10.2) 451 1 236 4 1 7 5 823 29

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

169

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом. На плазму как целое действуют две силы: сум марный градиент давления и сила Лоренца. Они вызыва ют ускорение плазмы, которое практически совпадает с ускорением ионов, так как суммарный импульс почти сов падает с импульсом ионов изза их большой массы. Вос пользуемся уравнением Максвелла: 1 1 1 15 6 22 7 43 3 8 1 41 1 4 4 45 При медленных процессах, которые рассматриваются ниже, последним членом в правой части (током смеще ния) можно пренебречь. Действительно, с учетом того, что скорость дрейфа равна u = cE/B, отношение 1 1 31 1 1 2 12 32 1 454 2 2 21 5 36 456 52 мало. Поэтому уравнение Максвелла имеет вид 1 1 14 5 12 6 43 2 1 3 Подставляя (10.3) в (10.2), получаем 1 1 1 23 1 451 1 1 236 4 113 5 72 5 723 28 46

(10.3)

(10.4)

Используем соотношение 1 1 1 1 1 111 2 12 2 12 3 31141 4 112 2 и преобразуем уравнение суммарного баланса сил (10.4) к виду 1 23 42 1 1 1 (10.5) 561 1 1 237 2 3 143243 4 28 85 45 Второй член в правой части известен как градиент «магнитного давления». Магнитное давление B2/(8p) до бавляется к газокинетическому давлению и вызывает уско рение плазмы в неоднородном магнитном поле. Последний же член в правой части связан с кривизной силовых линий магнитного поля, его называют «натяжением силовых ли ний». Подчеркнем, однако, что это лишь форма представ ления результата, физически же обе эти силы являются

170


проявлением силы Лоренца, вызванной токами по плаз ме, протекающими поперек магнитного поля. Чтобы получить еще одно уравнение, выразим элек трическое поле из уравнения баланса сил для электронов: 1 1 121 1 1 1 3 (10.6) 3 15 4 62 5 3 423 17 8 1 17 Вычислим ротор от обеих частей (10.6). С помощью уравнения Максвелла левая часть преобразуется к виду 1 1 14 5 22 6 7 1 31 1 3 34 Теперь последовательно преобразуем слагаемые в пра вой части получившегося уравнения: 2 12 3 1 4 81 5 1 9 6 4 1 5 131 1 23 4 7 131 45

14 1 1 1 1 Используя формулу 395 6 112 24 7 1 15 6 2 2 8 151 6 2 23 найдем 2 1 2 3 1 13 4 71 5 1 8 6 1 5 141 23 9 13 1 3

(10.7)

Второй член преобразуем следующим образом: 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 184 5 131 5 4229 6 3 184 5 132 5 4229 7 184 5 135 4 65 5 4229 6 7 7 17 1 1 1 1 11 1 14 5 134 5 454 6 5 4229 6 (10.8) 6 3 84 5 132 5 4229 7 8 4 1 7

В третьем члене пренебрежем термосилой, которая влияет на медленные диффузионные движения. Описание последних следует проводить с помощью исходной системы уравнений двухжидкостной МГД (10.1). Оставшуюся часть силы трения,1 связанную с направленной скорости, перепи 1 шем в виде 1 2 31 11234 2 где 21 11 — тензор, обратный тензору проводимости 11 , имеющему компоненты s|| = ne2/(0,51menei) и s^ = ne2/(menei). Имеем 1 1 1 4 6 7 22 3 3445 8 4 6 7 291 31 5 45 8 1 46 7 291 31 16 7 6245 5 (10.9) 4 Таким образом, преобразованное уравнение (10.6) при водится к виду

171


1 1 1 1 63 4 4 7 71 1 2 9 5 1 5 61 2 7 172 328 5

3 3 5 38 8 5 15 68 41 1 42 5 7 3 4 51 1 3248 5 (10.10) 4 Разделим теперь обе части суммарного уравнения ба ланса сил (10.4) на концентрацию и возьмем ротор. Пре образуем член, содержащий магнитное поле: 1 1 1 55 4 341 5 4 35 5 1 4 41 1 2 6 6 7 3 6 3 6 6 7 3 6 8 36 7 19

39 9 8 4 9 9 8 1 1 1 38 (10.11) 7 1 633 2 8 1 42 8 71 13 6 41 2 8 71 43 6 113 6 41 2 6 41 25 5 8 9 При получении последнего слагаемого использовано 1 1 1 1 1 соотношение 111 2 21 2 2 21 2 3 321 1421 4 1212 5 2 Комбинируя (10.10) и (10.11), получаем

3

4

1 1 8 6 1 21 3 3 49 1 6 71 2 5 1 521 2 7 151 4 9 291 3 1 521 2 2 9 96 88 9 1 32 5 3 3 51 1 424 4 (10.12) 4 23 1 В сильном магнитном поле величиной 1 13 4 41 2 мож 5 но пренебречь по сравнению с B, параметром является от ношение rci(ui)/L = cmiui/(eBL) ts, и новый профиль тока повторяет старый, но сам ток становится больше по абсолютной величине. В общем случае, когда магнитное поле проникает в дви жущуюся плазму, следует пользоваться общим уравнени ем для магнитного поля в системе (10.14). 10.3. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Проанализируем одномерные волны, кото рые возникают в рамках системы уравнений одножидко стной магнитной гидродинамики (10.14) в бесстолкнови тельной плазме. Будем искать такое решение этой систе мы, в котором все величины являются функциями от координаты z и времени t, а следовательно, друг от друга. Отметим, что направление магнитного поля не совпадает с осью z. Уравнение, соответствующее адиабатическому приближению, запишем как условие сохранения энтро пии ds/dt = 0, а в уравнении для магнитного поля пренеб режем членом, содержащим проводимость. Система урав нений (10.14) в одномерном случае принимает вид 151 62 161 7 151 8 17 2 52 12 3 456 12 4 01 8 8 153 2 5 153 3 62 163 4 01 2 8 17 12 456 12 8 8 152 2 5 152 2 61 161 2 63 163 2 1 18 4 01 2 8 17 12 456 12 456 12 6 12 8 1 6 88 1 3 62 151 2 61 152 2 52 161 4 01 12 12 12 9 17 8 163 153 1 63 152 8 17 3 62 12 2 63 12 2 52 12 4 01 8 8 162 4 01 8 17 8 18 15 18 4 01 8 2 6942 2 2 52 1 1 12 7 2 8 8 14 2 5 14 4 02 2 12

8 17

(10.28)

177


В предпоследнем уравнении непрерывности для ионов переходим к производным от давления с помощью соот ношений 22 32 1 25 33

1 1 const

23 23 22 32 1 412 1 1 25 25 26 33

1 1 const

23 23 1 42 2 26 1 26

Из уравнения для z ¾ компонента магнитного поля ¶Bz/¶t = 0 следует,1что величина Bz не зависит от времени. Из условия же 1 2 1 3 01 которое в одномерном случае при нимает вид ¶Bz/¶z = 0, получаем, что величина Bz не зави сит и от координаты z. Таким образом, проекция маг нитного поля на ось z остается постоянной в процессе рас пространения МГДволны: Bz = const. Остальные семь уравнений (10.28) относительно семи величин ux, uy, uz, Bx, By, p, s необходимо решать совместно. Запишем систему уравнений в матричном виде: 12 12 3 1 12 2 4 03 12 13

(10.29)

где Y — вектор в семимерном пространстве, Y = (ux, uy, uz, Bx, By, p, s), а Z(Y) матрица: 1 4 61 4 4 0 4 4 7 18 2 9 4 0 4 4 351 4 0 4 44 0

0

0

0

61

0

0

61

0 351 0 0

53 52 7842 0

3

51 467 0

53 467 61 0 0 0

0

0

51 0 467 52 1 467 7 0 0 61 0 0 61 0 0

3

2 05 5 05 5 5 0 53 5 05 05 5 05 61 5

(10.30)

Будем искать решения в виде линейных волн, то есть представим все величины в виде Y = Y0 + Y1, где вектор Y1 соответствует малым возмущениям. Линеаризуем уравне ние (10.29): 121 121 3 1 12 0 2 4 03 (10.31) 12 13

178


Для простоты выберем систему отсчета, в которой от сутствует невозмущенная скорость вдоль оси z, uz = 0 и отсутствует невозмущенное магнитное поле в направле нии y, By = 0. Последнее условие достигается поворотом системы координат относительно оси z. При этом матри ца Z(Y) упрощается: 1 4 0 4 4 0 4 4 5 18 0 2 9 4 0 4 4 3 41 4 0 4 0 4 0

0

0

0

0

0

0

0 3 41 0 0

42 0 7632 0

3

41 467 0

0 3

42 467 0 0 0 0

41 467 0 0 0 0 0

2 0 05 5 0 05 5 5 1 0 53 7 5 0 05 0 05 0 05 0 0 5

(10.32)

Ищем вектор Y1 в виде Y1 = Aexp(ikz – iwt). Тогда из (10.31) имеем ZA = VA, (10.33) где V = w/k — фазовая скорость волны. Уравнение (10.33) представляет собой задачу определения собственных чи сел и собственных векторов матрицы Z(Y0). Приравнивая нулю определитель det(Z – VI) = 0,

(10.34)

где I — единичная матрица, получаем семь собственных частот. Первые две из них соответствуют альфвеновской волне: VA = ±cAcosq.

(10.35)

Здесь альфвеновская скорость cA определена соглас но (10.15), а q представляет собой угол между направле нием распространения волны z и магнитным полем. Зна ки «±» соответствуют двум волнам, распространяющимся в противоположные стороны, то есть физически тому же типу волны. Вторые две фазовые скорости соответствуют быстрому магнитному звуку:

179

10. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 112

1 42 3 412 3 2422 3 412 32 4 4422 412 4562 5 2 53 6 7 8 2 9 2

8 9

7

(10.36)

Фазовые скорости медленного магнитного звука дают ся выражением 11 2

1 42 3 412 4 2422 3 412 32 4 4422 412 4562 5 2 53 6 7 8 2 (10.37) 9 7 2 8

9 Последняя фазовая скорость соответствует энтропий ной волне: (10.38) VE = 0. Зависимость фазовой скорости различных типов волн от угла с магнитным полем принято изображать на диа грамме, которая называется фазовой полярой (рис. 10.2). Видно, что альфвеновская волна распространяется в основ ном вдоль магнитного поля, при q = 0, pфазовая скорость альфвеновской волны совпадает с альфвеновской скоростью VA = cA, а поперек магнитного поля ее фазовая скорость рав на нулю. Быстрая магнитозвуковая волна распространяет ся как вдоль, так и поперек магнитного поля. В сильном магнитном поле cA >> cs ее фазовая скорость совпадает с альфвеновской скоростью независимо от угла с магнитным полем. Третья мода называется медленным магнитным звуком. Эти волны распространяются в основном вдоль магнитного поля и в сильном магнитном поле cA >> cs при q = 0, pфазовая скорость такой волны совпадает со скоро стью ионного звука cs. Фазовая скорость энтропийной вол ны равна нулю.

Рис. 10.2 Фазовая поляра для МГД волн

180


Собственные вектора, которые соответствуют указан ным модам, имеют вид (для 0 < q < p/2) 1 1 1 102 8 1 345 22 02 02 3 92 2 02 062 4 82 578 2 345 2 5 94 32 13 1 7 3 1 2 2 0 2

2 2 02 6852 2 08 2 3 2 2 3 2

3

9

1 3 3 1 2 2 4 8 578 2 345 2 94 6 5 16 1 7 6 1 2 2 02 6 2 2 02 6852 2 08 2 2 2 3 2

3

9

1 6 6 1 1 7 1 102 02 02 02 02 02 169 (10.39)

Компоненты собственных векторов показывают, какие величины возбуждены в той или иной моде, а также как они соотносятся. Так, например, в альфвеновской волне возбуждены скорость и магнитное поле вдоль оси y, а все остальные параметры остаются постоянными. При этом 411 1 511 1 2603 234 3 1 520 5 Обсудим физические процессы в различных модах для простых вариантов распространения волны. Начнем с альфвеновской волны, распространяющейся вдоль маг нитного поля, q = 0. Пусть имеется электрическое поле, направленное вдоль оси х, периодическое во времени и пространстве 211 1 23451324 3 35667 Это поле вызывает дрейф частиц в скрещенных полях вдоль оси 1 со скоростью 311 1 24521 1 60 2 Одновременно возникает поляризационный ток ионов вдоль оси x: 721 2

30 4251 1621 3 42 5 2 314 0 2 1 621 1 2 18 90 90

(10.40)

Этот ток создает магнитное поле 211 в соответствии с уравнением Максвелла: 4 131 2 3 456 1 1 (10.41) 721 2 3 3 44 18 44 1 Переменное во времени магнитное поле, в свою оче редь, создает вихревое электрическое поле: 1

2

1311 141 3 54311 3 6 2 3 576421 1 18 19

(10.42)

181


Исключая из уравнений (10.40)–(10.42) ток и электри ческое поле, получаем

12 2 22 1301 22

(10.43)

— закон дисперсии для альф веновской волны. Дрейф частиц в альфве новской волне происходит на фоне однородной концентра ции плазмы, поэтому воз мущений концентрации не возникает. Возмущенными величинами являются ско рость 211 и магнитное поле 211 , причем их отношение, как следует из (10.40), (10.41), есть 311 1 411 1 2502 1 40 2 что со ответствует общему выраже нию для собственного вектора альфвеновской моды (10.39). Поперечная скорость дрей фа, таким образом, сдвинута по фазе на 1 с возмущения магнитного поля (рис. 10.3). Величина же смещения плаз мы 1 2 3 211 34 сдвинута по фазе на p/2. Проанализируем таким же образом быструю магни тозвуковую волну, которая распространяется поперек магнитного поля в направле нии z, q = p/2. Основное маг нитное поле направлено вдоль оси 1 (рис. 10.4). При этом бу дем полагать выполненным условие cA >> cs, то есть бу дем считать магнитное поле

Рис. 10.3 Фазовая поляра для МГД волн

Рис. 10.4 Возмущение магнитного поля и концентрации плазмы при распространении быстрой магнитозвуковой волны

182


достаточно сильным. Пусть, как и в предыдущем слу чае, имеется электрическое поле, направленное вдоль оси y, периодическое во времени и пространстве: 211 1 23451324 3 35667

Дрейф плазмы происходит вдоль оси z со скоростью 311 1 24521 1 60 2

а поляризационный ток дается выражением 40 5262 1311 4 526 (10.44) 2 324 0 2 2 311 1 2 18 90 90 Этот ток приводит к возмущению магнитного поля в направлении x: 4 1311 456 1 721 2 3 1 2 (10.45) 43 18 43 1 которое создает переменное электрическое поле: 711 2

2

1311 1421 3 54421 3 26 3 25763111 18 19

(10.46)

Из (10.44)–(10.46) получаем дисперсионное уравнение, совпадающее с (10.43). Таким образом, быстрая магнито звуковая волна распространяется с альфвеновской скоро стью. Характер возмущений иллюстрируется схематически (см. рис. 10.4). В волне возмущено магнитное поле, причем силовые линии остаются прямыми. Как следует из (10.44)– (10.45), скорость частиц находится в фазе с возмущением магнитного поля, причем 411 1 521 1 603 1 50 в соответствии с общим выражением (10.39). Концентрация в волне, как следует из уравнения непрерывности 12231 3 2430 511 4 01 также возмущена, причем 21 1 20 1 311 1 30 2 Последнее со отношение е с т ь с л е д с т в и е у р а в н е н и я в м о р о ж е н н о с т и (10.17) и сохранения отношения B/n при движениях поперек магнитного поля. Оно также соответ ствует собственному вектору (10.39). Быстрая магнитозвуковая волна, распространяющая ся поперек магнитного поля, напоминает ионнозвуковую волну, в которой роль давления плазмы играет магнитное давление B2/8p. Действительно, альфвеновская скорость


183

получается, если в скорости ионного звука заменить давление плазмы магнитным давлением, а возмущение магнитного поля соответствует возмущению давления в ионнозвуковой волне. В пределе cA cs), к которой надо добавить скорость среды: 8 3 92 4 3 5 3 3

451 67 1 42 2 3 3 1 46 46 62

(10.63)

Так как скорость распространения волны пропорцио нальна 2111 2, происходит опрокидывание волны.

188


10.5. МАГНИТОЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ С ДИСПЕРСИЕЙ Покажем на примере нелинейных магнито звуковых волн, что и в магнитном поле существуют реше ния типа солитонов, которые распространяются поперек магнитного поля, не расплываясь. Однако, в отличие от ионнозвуковых солитонов, которые получаются при уче те отклонения от квазинейтральности, магнитозвуковые солитонные решения появляются при учете инерции элек тронов. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z, а волна движется по x со скоростью V, причем будем искать такие решения, при которых V = const и не зависит от ам плитуды волны, т. е. все величины будем искать в виде Y = Y(x – Vt). Будем исходить из уравнений двухжидкостной МГД в пренебрежении столкновениями и температурами частиц. Переходя в уравнениях непрерывности для электронов и ионов 14 1 2451213 3 (10.64) 2 30 16 11 к переменной x = x – Vt, имеем 17

45 42561213 3 2 3 04 44 44

(10.65)

Интегрируя (10.65) и полагая n(x ® ¥) = n0 и uxe,i(x ® ¥) = 0, получаем n(uxe,i – V) = –n0V.

(10.66)

Из уравнений непрерывности следует, что скорости электронов и ионов в направлении 1 совпадают: uxe = = uxi = u. Компоненты уравнения баланса сил после заме ны переменных преобразуются к виду 56 2 7213 1213 261213 1 8 3 2 1 291 1 64213 1 53 564213 2 (10.67) 261213 1 8 3 2 1 294 4 61213 4 7213 53

189


Электрические поля связаны уравнением 1 и магнитные 1 Максвелла 13 4 12 5 6112 2373 2 744 которое при переходе к пе ременной x = x – Vt имеет вид 231 4 25 1 1 22 6 22

(10.68)

Интегрируя и учитывая, что Ey(x ® ¥) = 0 и B(x ® ¥) = = B0, находим 2 31 1 14 2 40 23 (10.69) 5 1 1 Другое уравнение Максвелла 1 2 1 3 144 2 233 дает 2

45 41 3 361712 2 713 23 44 8

(10.70)

Складывая xкомпоненты баланса сил для электро нов и ионов в (10.67), учитывая uxe = uxi = u и mi >> me, получаем 45 3 2 15 1 523 283 (10.71) 61 15 1 7 2 43 9 21 Комбинируем это уравнение с (10.70) и с уравнением непрерывности (10.66), получаем 23 4 24 1 1 51 60 7 (10.72) 22 43 22 После интегрирования имеем 22 1 202 (10.73) 32 1 8341 50 6 Сложим теперь два yкомпонента уравнения баланса сил (10.67). Получим meuye + miuyi = 0, откуда следует uye >> uyi.

(10.74)

Другими словами, возмущение магнитного поля в вол не создается током электронов, и током ионов в (10.70) можно пренебречь. Подставляя электронную скорость uye, выраженную через производную магнитного поля из урав нения (10.70), во второе уравнение (10.67), используя связь электрического и магнитного полей (10.69), выражение для концентрации (10.66) и соотношение (10.73), получа ем уравнение для магнитного поля:

190


3

52 4 22 3 202 5 62 3 1 32 4 22 3 202 3 4 9

34 7 8

4 3 3 8 51 60 4 5 6 4 8

0 1 1 122 3 202 2 2 78 3 4 9 2 420 3 8 51 60 4

(10.75)

Здесь масштаб 23

4130 22 4 1 4 12 3 52 4 12

(10.76)

определяет характерный пространственный размер возму щения. Эту величину называют бесстолкновительным скинслоем. Умножая обе части уравнения (10.75) на dB/dx и интегрируя, получаем 2

2

3 122 1 202 22 2 32 3 2 22 1 202 142 7 14 8 5 1 4 2 12 1 20 22 6 const3 8 7 16 6051 39 8 51 60 4 (10.77) Выберем константу интегрирования равной нулю, то гда на бесконечности, где B = B0, производная dB/dx = 0. Из (10.77) имеем

3

12 2 20 22 2 1 20 32 45 11 3 2 2 36 16741 50 6 2 2 1 20 1 1 8741 50 6 2

(10.78)

Фазовые кривые для этого случая приведены на рис. 10.6. Искомое солитонное решение соответствует на растанию магнитного поля от значения B0 до Bmax (ветвь dB/dx > 0) и дальнейшему падению поля от Bmax до B0

Рис. 10.6 Фазовые кривые в плоскости (B, dB/dx)

191


(ветвь dB/dx 0, а траектории 2 — отрицательному (против тока) на правлению параллельной скорости Vj|| < 0. Положим вна чале V0 = 0. Согласно (13.71) при движении в полоидаль ном направлении продольная скорость частицы уменьша ется, так как магнитное поле возрастает в направлении внутреннего обвода. Для пролетной частицы изменение невелико — порядка eV||j, в то время как для малых про дольных скоростей продольная скорость обращается в ноль, то есть возникает точка поворота. Траектория та кой частицы имеет форму банана (рис. 13.6), а сами час тицы называются «запертыми» или «банановыми». Ионы, имеющие на внешнем обводе положительную скорость, смещаются внутрь магнитной поверхности (рис. 13.6а). После точки поворота ионы летят в направлении внешне го обвода и продолжают смещаться вниз. В нижней части траектории ионы отклоняются наружу от магнитной по верхности и во второй точке поворота происходит еще одно изменение направления скорости. В результате проекция траектории на плоскость малого сечения имеет вид банана. Ионы, имеющие на внешнем обводе отрицательную ско рость, смещаются наружу от магнитной поверхности. Тра ектории банановых электронов приведены на рис. 13.6б.

255

13. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ТОКАМАКАХ

а

б

Рис. 13.6 Проекции траекторий запертых частиц на плоскость малого сечения: а — ионы; б — электроны. а

б

Рис. 13.7 Траектория запертой частицы: а — в отсутствие ра диального электри ческого поля траек тория замкнута; б — разомкнутая траек тория с учетом ради ального электриче ского поля.

Электроны, имеющие положительную скорость в точке О, находятся снаружи от магнитной поверхности, а электро ны с отрицательными скоростями — внутри магнитной поверхности. Траектория частиц в пространстве при V0 = 0 соответствует рис. 13.7а. Найдем наибольшее значение величины параллельной скорости, при которой частица еще является запертой. При этом точка поворота находится на внутреннем обводе в эк ваториальной плоскости. Запишем соотношение (13.71) для такой частицы на внешнем и внутреннем обводах: Vjmax 1 ||

2 2 2 E 3 ej 4 3 5 j Bmin 68 , 0 1 2 E 3 ej 4 3 5 j Bmax 68 , mj 7 mj 7 (13.76)

256


где Bmin, Bmax — значения магнитного поля на внешнем и внутреннем обводах соответственно. Исключая энергию частицы, получаем 21234 2 11

2 34 3234 5 4 3256 6 7 82 7 2 11 1

41 9 1

(13.77)

Для частиц с тепловой энергией частица является за пертой, если величина параллельной скорости лежит в диапазоне 0 1 32 11 1 22312 2 (13.78) Для запертых частиц со скоростями порядка тепловой скорости смещение относительно магнитной поверхности и ширина банана даются оценкой: 11 2 271 3 831 441

251 6121 7 2 3 9 56 51 5

(13.79)

Характер движения пролетной частицы 1 1не меняется существенно при учете полоидального 1 1 3 22 дрейфа со скоростью V0, так как эта скорость мала по сравнению с QVTj. Для запертых же частиц ситуация меняется. Изза радиального электрического поля кинетическая энергия частицы меняется при смещении по радиусу, поэтому (13.76) принимает вид 1 71234 11 01

2 28 3 91 4234 3 5 1 256 68 7 1 7

2 28 3 91 456 3 5 1 234 68 7 1 7

(13.80)

где fout, fin — значения потенциала на внешнем и внут реннем обводах. Учитывая, что 2345 3 267 1 90 42 1 90

8112 5

2

(13.81)

раскладывая подкоренное выражение в ряд по V0/QVTj, по лучим условие запертости для частицы на внешнем обводе: 0 1 32 11 2 330 1 24312 2

(13.82)

257


Таким образом, частица, ско рость которой на внешнем обво де удовлетворяет данному усло вию, имеет точку поворота, и про екция ее траектории на плоскость (r, q) попрежнему имеет вид банана. В то же время в среднем параллельная (или тороидаль ная) скорость остается конеч ной, порядка –V0/Q. Поэтому в тороидальном направлении тра Рис. 13.8 ектория частицы разомкнута и Разомкнутая траектория иона в тороидальном происходит тороидальная прецес электрическом поле сия частицы со скоростью –V0/Q (рис. 13.7б). Дрейф Уэйра В банановом режиме имеется специфическое явле ние — совместный дрейф электронов и ионов к центру плазменного шнура, обусловленный тороидальным элек трическим полем ET. Учет ET приводит к тому, что траек тория частиц в плоскости (r, q) оказывается незамкну той (рис. 13.8). Частицы (ионы), имеющие на внешнем обводе положительную скорость, ускоряются электриче ским полем в верхней части траектории и получают до полнительную энергию 121 31211 2 23 Поэтому изменяется положение точки поворота, в результате чего частица пролетает дополнительное расстояние в полоидальном направлении, одновременно смещаясь за счет вертикаль ного дрейфа внутрь магнитной поверхности. На внутрен ней части траектории поле ET тормозит движение части цы, которая теперь не долетает до точки поворота при ET = 0. В результате частица смещается внутрь исходной магнитной поверхности. Скорость усредненного дрейфа можно оценить следующим образом: изменение среднего радиального смещения частицы d(Dr) связано с изменени ем средней скорости:

22151 3 3

421 131 11 4 431 11 31 11

(13.83)

258


где величина DVj|| обусловлена работой электрического поля eET: 34 5 162 11 2 1 2 (13.84) 72 362 11 Поток, связанный с дрейфом Уэйра, с учетом малого 11 1 1 2 2 количества банановых частиц имеет вид

1 1 2332441 3521 4

(13.85)

Комбинируя с (13.84) и (13.85), подставляя в качестве параллельной скорости величину 1312 1 получаем

1 1 2 34

3 5 2 62 1

(13.86)

Знак «–» соответствует направлению дрейфа Уэйра внутрь плазменного шнура. Анализ, основанный на реше% нии кинетического уравнения, показывает, что дрейф Уэй% ра одинаков для электронов и ионов. Оценки коэффициентов переноса в режиме плато В этом режиме параметр столкновительности удовле% творяет неравенству 11 23 1 2 3 34 3 12 521 Другими словами, длина свободного пробега частиц, в отличие от рассмотренной в разделе 13.1, больше длины обхода qR. Оказывается, что при этом основной вклад в перенос вносят частицы с малыми продольными скоростя% ми. При выполнении левого неравенства скорости их, од% нако, не настолько малы, чтобы неоднородность магнит% ного поля могла существенно изменить топологию траек% торий, то есть вклад в перенос вносят пролетные частицы с малыми полоидальными скоростями. Оценим коэффициент температуропроводности как средний квадрат отклонения от магнитной поверхности между столкновениями, умноженный на частоту столк% новений: 14 2 122 23 1 35 4 2 (13.87) 4 3 3 Множитель dn/n учитывает относительную долю частиц с малыми полоидальными скоростями. Малые


259

полоидальные скорости соответствуют и малым продоль ным скоростям, так как мы считаем выполненным нера венство |V0| < QVTi, которое эквивалентно (13.4) при ef0 ~ Ti. Поэтому dn/n ~ Vj||/VTj. (13.88) В качестве 1 122 в оценку (13.87) следует подставлять 3 частоту столкновений, которая соответствует изменению параллельной скорости на величину порядка ее самой. Оценить 1 122 можно, исходя из того факта, что кулонов 3 ские столкновения представляют собой последовательные рассеяния на малые углы, причем движение частицы в пространстве скоростей имеет характер случайных блуж даний. Приращение поперечной скорости согласно (1.29) имеет вид 1221 1 22 3 3 1 21234

(13.89)

Для частицы, имеющей полную скорость порядка теп ловой скорости Vj ~ VTj и малую параллельную скорость, последняя существенно меняется при DVj^ ~ Vj||. Соответ ствующее время t ~ (Vj||/VTj)2/nj, а эффективная частота 1 233 1 2

11 3 451 11 5 541 62

(13.90)

Среднее отклонение от магнитной поверхности для пролетной частицы с малой параллельной скоростью 141 2

231 4 3 567 281 11

(13.91)

Подставляя (13.88), (13.90) и (13.91) в (13.87), полу чаем 2 2 4 512 5 3 2 1 412 2 322 (13.92) 62 2 7 3 8 2 3

678 9 442 11 5 Это выражение расходится при Vj|| ® 0. Однако с умень шением Vj|| баунсчастота nbj = r/QVj|| падает, а эффектив ная частота столкновений (13.90) растет. Поэтому существует минимальное значение продоль ной скорости 21123 5 соответствующее 134 2 1 122 4 1 При мень 44 шей скорости траектории частиц разрушаются за счет

260


столкновений, прежде чем совершат один оборот. Из усло вия 134 2 1 122 имеем 4 31234 3 1 3212 4 1 4 1 5 2 55

113

6

(13.93)

Полагая, что главный вклад в температуропроводность дают скорости порядка 21123 5 подставляя (13.93) в (13.92), 44 найдем окончательно: 521234 612 2 (13.94) 32 1 2 7 Получившийся коэффициент температуропроводности не зависит от частоты столкновений, поэтому соответст вующий режим называется режимом плато. Оценки коэффициентов переноса в банановом режиме При малых частотах столкновений, когда выполнено неравенство 11 34 2 33 1 2 2 (13.95) 521 скорость (13.93) становится меньше 1312 1 В этом случае основной вклад в перенос вносят банановые частицы с продольными характерными скоростями 32 11 2 1312 3 Для оценки коэффициента температуропроводности в банано вом режиме воспользуемся формулой (13.87), в которой положим 13 1 3 2 2412 3 отклонение от магнитной поверх ности согласно (13.79) 131 2 4321 1 4 2 а эффективную час тоту столкновений оценим как 1 122 3 2 1 3 1 32 Получаем 21 1

1 2 3 41 2 52 21

(13.96)

Следует, однако, иметь в виду, что в действительности дело обстоит более сложно — основной вклад в перенос дают запертые и околопролетные частицы из узкой пере ходной области в пространстве скоростей, разделяющей траектории с различной топологией. Во всех рассмотренных режимах коэффициент темпе ратуропроводности для ионов оказывается в 1 31 2 32 раз большим, чем для электронов. Зависимость же от часто ты столкновений иллюстрируется рис. 13.9, где разные участки кривой соответствуют формулам (13.28), (13.94) и (13.96). Такая температуропроводность называется нео

261


Рис. 13.9 Неоклассическая ионная температуропроводность: 1 — банановый режим; 2 — режим плато; 3 — режим Пфирша — Шлютера.

классической. В банановом режиме коэффициент неоклас сической температуропроводности в e–3/2 раз больше, чем в режиме Пфирша — Шлютера, а при промежуточных час тотах столкновений (режим плато) перенос не зависит от частоты столкновений. 13.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫХ РЕЖИМАХ Режим плато Исходным для анализа является кинетическое урав нение в дрейфовом приближении, рассмотренное в разде ле 1.7: 1 22 1 22 221 11 221 1 1 3 31 1 3 41 22 3 41 4 561 3 26 241 22 241 1 23

(13.97)

Для токамака скорость ведущего центра частицы: 1 1 1 3 4 1 512 2 2 334 5 64 6 51 22 5 6

(13.98)

262


где вертикальный дрейф в неоднородном магнитном поле, в соответствии с (11.9), 3121 451 2 2 31211 3 2 (13.99) 312 3 4 61 78 Изменение продольной и поперечной скоростей в со ответствии с общими формулами раздела 1.7: 1

21 22 7 8 1

31 2 56 2121 23 345 4 23 345 420 21 22 6 (13.100) 8 9 41 554 2 5 5

21 1 5

23 345 4 21 22 21 1 23 345 420 21 1 6 6 3 3 2

(13.101)

Первый член в (13.101) и второй член в (13.100) связа ны с сохранением магнитного момента 2 1 3 21 3121 1 24 в неоднородном магнитном поле. Например, первый член в (13.101) нетрудно получить следующим образом (при V0 = 0): 241 1 2311 3 4 252 1 5 411 1 5 4 5 2311 26 7 46 81 1 11 5

8 3 4 7 2502 1 39 234 6 41 11 41 1 1 51 9 672 68 41 11 5 9 2 2 7 46 81 7

Первый член в (13.100) вызван изменением продоль ной скорости за счет работы полоидального электрическо го поля, имеющего проекцию на параллельное направле ние. Последние члены в (13.100) и (13.101) обусловлены изменением скорости электрического дрейфа в неоднород ном магнитном поле. Функцию распределения будем искать в виде fj(r, q) = f0j(r) + f1j(r, q)... .

(13.102)

Здесь невозмущенная функция распределения пред ставляет собой максвелловское распределение, сдвинутое на величину средней скорости: 60 1 37 4 5

3 21 331 11 2 411 42 21 3121 4 50 567 2 8 62 280 1 280 1 7

32880 1 2 21 432 2 9

(13.103)

263


Линеаризованное кинетическое уравнение имеет вид

2421 11 5 20 3 6

2 2311 4 231 230 1 230 1 4 21 1 6 6 2 5 21211 37 456 8 6 528 6 528 25 71 65 2 25

2121 71 4 231 230 1 1 81 6 7 456 82 5 21211 320 30 1 6 2 81 528 221 11 5 91 6

2121 81 7 456 84 11 3 9 6 1 311 7 2 01 91

(13.104)

Здесь столкновительный член заменен упрощенным выражением, так как в дальнейшем частоту столкнове ний мы устремим к нулю. Комплексное решение кинети ческого уравнения дается выражением 3111 5

2 230 1 44 5 231 230 1 5 21 1 2 3 44 6 21211 47 5673484 6 921 11 6 20 4 4 1 6 728 27 81 67 2 27

2121 2121 81 9 231 230 1 4 91 4 7 567348430 1 33 6 21211 420 6 9 11 489 2 2 91 7 28 221 11 7 1 (13.105) Величину (QVj|| + V0 – inj)–1 разобьем на вещественную и мнимую части: 1 1 221 11 3 20 4 35 1 6

1

35 1 1 3 2 2 2 3221 11 3 20 4 3 5 1 3221 11 3 20 42 3 521

(13.106)

Устремляя nj ® 0 и учитывая, что при интегрировании по скоростям главный вклад в интеграл во втором слагае мом дают резонансные скорости Vj|| = –V0/Q, перепишем (13.106) в виде 3 4 1 1 5 2

6 378 1 941 11 6 40 22 (13.107) 941 11 6 40 941 11 6 40 Это выражение означает, что при интегрировании по параллельным скоростям необходимо вычислить два ин теграла. Первый интеграл вычисляется в смысле главно го значения, а второй интеграл содержит дельтафункцию и дает тот же результат, что и вычисление при малых зна чениях частоты столкновений в (13.106).

264


Окончательно вещественная часть возмущенной функ ции распределения 211 1 1232111 4 определяется как 3 5 6 1 74 2 211 8 3 3 9 1 41 11 9 40 2 52 7 0 1 41 11 9 40

(13.108)

где 62 3 6 1 3 7 351 41 1 6 2 3 4 3 72 4 1 35 41 11 4567 8 7 52 341 11 931 38 61 9 2 38 2

7

4121 4121 51

6 41211 440 6 5 11 49

567 883 1 2 2

(13.109)

Найденная функция распределения позволяет вычис лить все макроскопические величины. Так, например, продольная скорость 21 11 5

24 60

1 1

6 6 311 41 1141 2 541 11541 2

(13.110)

31 0

совпадает с гидродинамическим выражением (13.37). По лоидальное электрическое поле находится из условия ква зинейтральности: 1 1 (13.111) 2 311 451 1 2 312 452 1 откуда

34111 250111 2 1 345 2 3 502 1 6 260 8 2 2 1 7 502 1501 7 65 501

9 7 65 80 2 740 260 6 7 7 8922 7 075 8 501 7 3501 7

7

41 5

(13.112)

Радиальное электрическое поле находится из условия (13.58). Вычисляя продольное и поперечное давление ио нов согласно

21 31211

1 1 2 32 511 631 2 41 1 2 3 1 1 1 511 631 2 2 2 найдем, что (13.58) выполнено, если 4111 2 23

62 2

401 15 1 1401 3 125 3 730811 3 95 12 9 12

(13.113)

(13.114)

265


При этом возмущение потенциала: 41 5 6

34111 250111 2 1 234 2 6 54 501 3 502 1 6 270 8 68 2 2 1 7 502 1501

(13.115)

Возмущения концентрации и ионной температуры да ются (13.45). Радиальный поток частиц может быть вычислен со гласно 21 3 3

1 7 231 424121 3 2 5 41211 4567 6 2 9 1 8 541 26 5 6 4 789 789 96 0 1 11

8

(13.116) В первом приближении по параметру (mi/me)1/2 он об ращается в ноль, так как члены, содержащие полоидаль ное электрическое поле, скомпенсированы бесстолкнови тельной частью функции распределения, так что 21 3

3

342 425121 3 2 5 51211 4567 6 1 7 651 89250 5 5111 4 78 1 801 9

09

(13.117) Это, как и в гидродинамическом режиме, есть следст вие больцмановского распределения частиц с большими продольными скоростями в полоидальном электрическом поле. В следующем приближении поток ионов совпадает с потоком электронов и по порядку величины: 33

4 32 1 56242

1512 2 26 2 7 28 8

(13.118)

Чтобы получить точное выражение при вычислении потока, необходимо учесть отличие функции распределе ния f0e от максвелловской, возникающее изза протека ния тока по плазме. Этот эффект обсуждается ниже для бананового режима. При вычислении ионного теплового потока через маг нитную поверхность по формуле

266


211 2

2

6 341 325121 3 2 4 51211 4567 5 1 3 891 7

651 25121 4 51211 4

27 4 7 4 89

89 85 01 11

(13.119) может показаться, что полоидальное электрическое поле дает вклад в соответствующий поток. Однако следует иметь в виду, что полоидальное поле совершает работу, так как имеются пфиршшлютеровские потоки ионов, которые меняют тепловой поток на величину 4

321

23 121 45111 6 15

2

(13.120)

В итоге, так же как и для потока частиц, полоидаль ное электрическое поле и частицы с большими полоидаль ными скоростями не дают вклада в результирующий по ток тепла: 31 2

2 311 3 312 2

452 426121 3 2 3 61211 4567 5 1 5 6 761 78260 3 96111 4 1 26121 3 61211 4 88 1 901

2

9

(13.121) С учетом (13.114) 61

3 43

312 54 2 12 22 312401 70 01 2 2 5892 02 58

(13.122)

Банановый режим Рассмотрим качественно, как выглядит функция рас пределения частиц. При nj ® 0 функция распределения есть функция интегралов движения и сохраняется вдоль траектории. При этом, изза различия в топологиях тра екторий, функция распределения частиц в неоднород ной плазме имеет разрыв производной. Учет столкнове ний приводит к сглаживанию переходной области. Ионы, летящие на внешнем обводе в положительном направле нии по банановой траектории, приходят в эту точку из

267


внутренних областей. Поэтому количество таких ионов превосходит количество ионов, летящих в отрицательном направлении, на величину 23 131 1 2 01 141 2 (13.123) 24 где ширина банана Dri дается оценкой (13.79). Следова тельно, в области запертых частиц 3211 1 230 2 3 4 5312 про изводная функции распределения ¶fi/¶Vi|| > 0 (рис. 13.10). Производная функции распределения в этой области мо жет быть найдена из оценки 441 451 551 3 3 4 51 53111

3111 12 30 2 3

6321 4 51

(13.124)

Обмен импульсом в результате столкновений наибо лее эффективно происходит между запертыми и пролетны ми частицами. Поэтому ионная функция распределения должна быть похожа на максвелловскую (при dT0i/dr = 0 просто совпадает с ней). Используя это обстоятельство, заменим 431 42111

12 2111 12 20 2 3

31 41 32111 2 511 4 61 2

111 12 20 2 3

1

34 1 1 32 5 3511 45 361 0 (13.125)

Рис. 13.10 Функция распределения ионов в банановом режиме

268


Рис. 13.11 Функция распределения электронов в банановом режиме

Комбинируя с (13.123) и (13.124), найдем величину V0. Соответствующее радиальное электрическое поле при этом получается порядка (13.62), как и в других режимах. Таким образом, требование того, чтобы функция рас$ пределения была, с одной стороны, близкой к максвел$ ловской (точнее говоря, обращала в ноль обусловленный столкновениями поток ионов в пространстве скоростей), а с другой стороны, сохранялась вдоль траекторий в об$ ласти малых скоростей, определяет электрическое поле. Вертикальный ÑB дрейф электронов направлен вверх, поэтому вблизи –V0/Q больше электронов с отрицательным значением скорости и производная функции распределения здесь отрицательна. В то же время при больших значениях параллельной скорости функция распределения электронов должна переходить в максвелловскую, привязанную к ион$ ной электрон$ионными столкновениями. В результате функция распределения электронов имеет вид, приведен$ ный на рис. 13.11. Изломы функции распределения соот$ ветствуют переходу от запертых частиц к пролетным. Запертые электроны имеют направленную скорость отно$ сительно ионов порядка cT0/QeBr (считаем Te ~ Ti ~ T). С учетом их доли 1 1 от общего числа электронов по плаз$ ме протекает ток 1111 2 20 1340 3 25674 (13.126)

269


зависящий от градиентов концентраций, электронной и ионной температур. Кроме того, есть ток j2||, возникающий изза столкновений между запертыми и пролетными элек тронами, которые смещают все тело функции распределе ния относительно ионов. Из баланса сил трения meneij2||/e – meneej1||/en0 = 0

(13.127)

получаем, что j1|| ~ j2||. Оба тока оказываются одного поряд ка и образуют бутстрэп ток jb, который зависит от гради ентов концентрации и температур частиц. По порядку ве личины (13.128) 21 1 30 1450 2 26173 Бутстрэп ток направлен вдоль тока по плазме. Особенности функции распределения электронов при водят и к уменьшению обычного тока проводимости, вы званного вихревым тороидальным электрическим полем. Так как запертые частицы не участвуют в процессе прово димости, то 111123 2 111 21 3 4 5 34 (13.129) где a — численный коэффициент. 13.5. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ЧАСТИЦ И ТЕПЛА Приведем для справки аппроксимационные выражения, справедливые для всех режимов столкнови тельности. Столкновительный параметр определим как

21 1 3

2 1 211 12 34 51112 43 12

2

(13.130)

Поток частиц имеет вид 2 3 21 4 22 1 21 3

240 5301 51 62 6 1 7 23 301 4 811 91 4 812 51 7

12 02 72

7 2344301 5 5 7 23 301 302 9 7 2344301 5 1 8 3 7 23 302

8 4 8 1 7

2 7

301 7

1 4 6121 52 7 6 22 3 8 81340 5

6 (13.131) 0 7 3 91 3

270


где 2 15 2 43 511 423 1 23 3 0 623 6 623 7 8 11 2 312 9 1 4 7 5 4 23 11

1 7 723 511 7 523 511 для m и n от 1 до 2,

0 313 2 31 3

1 2 31 3 413 412 53 1 2 431 3 513 41121 2 3 613 412 4

Значения коэффициентов приведены в таблице.

1

123

1 1 4 12

5123

6123

7123

112

13452

63412

13782

439 2

162

1362

4372

43 2

437 2

662

63772

43572

43582

43582

182

6382

13462

1342

1342

682

531 2

4372

43 12

43 12

882

13982

43 92

43862

43 2

Электронный поток тепла: 23 12 2 4 52 2 1 3 6 12201 4 5 812 91 5 822 6 201 7 8 0 2 021 21 8 9 2 6

1 0 5 3 8 82330201 1 (13.132) 0 2 Продольный ток: 3 1201 4 2 5 23 201 3 5 7 9 41 5 733 1 56 611 4 5 0 7 8 6 723

0 8 13 1 5 9 11 2 (13.133) Ионный поток тепла:

71 5

5 3 201 4 2 4 52 2 5 62 6 7 12 201 7 5 1 9 82 8 4 9292 0 2 012 12 1 2 201 3 9 3 (13.134) 2 3 7

0

2 1 2 611 5 Здесь 31 2

2 127743 511 3 1 22 6 0266 8 7 3 11 2 31 2 9

1 7 1203511 7 0231511 1 7 0274511 4

(13.135)

271


Неоклассическое радиальное электрическое поле: 301 15 1 1301 3 73 3 840911 2

5 12

12

(13.136)

20217 3 120541111 2 3 3214121 53 3 41 3 02741111 2 541 3 4121 53 5

(13.137)

62 2

где

32 6

Уравнение баланса частиц имеет вид 310 1 3 4 2 5 35 2 32

1

2 6 3 7 41

(13.138)

где I и R — члены, описывающие рождение и уничтоже ние частиц. Уравнения баланса тепла: 3 1 130401 2 1 1 2 5 4 5 401 38 6 71 3 7 5 61 4 18 2 2 5 15 9

3 1 130402 2 1 1 2 5 4 5 402 38 6 72 4 (13.139) 7 5 62 4 5 15 9 2 18 2

Источники в правых частях в отсутствие дополнитель ного нагрева: 51 2 611 72 3 51 3 171 3 4 2 5 2 5 5 171 4 3 (13.140) 4

1

3

Здесь величина QD представляет собой теплообмен меж ду электронами и ионами: 3 41 2 3 1 53 1 1610 4 620 23 (13.141) 32 1 а величина 21 — электрическое поле в движущейся с то роидальной скоростью системе отсчета: 4 15 1 1401 61 2 2 62 3 730811 2 01 4 94 2

5 12

12

(13.142)

Дополнительные члены в правых частях уравнений баланса тепла представляют собой работу радиального электрического поля, остальные работы электрических полей и силы трения учтены при вычислении ááqjññ. Следует иметь в виду, что в реальном токамаке тур булентные потоки частиц и тепла могут значительно

272


превосходить неоклассические значения. В особенности это относится к потокам частиц и электронному потоку тепла. В этом случае вид уравнений (13.138) и (13.139) со храняется. Исключение может составлять выражение для работы электрического поля, так как часть работы элек трического поля и силы трения может быть учтена при интегрировании по магнитной поверхности. В случае магнитных поверхностей произвольной фор мы необходимо перейти к поверхностным координатам, описанным в разделе 12.7. Локальное уравнение непре рывности в этих координатах имеет вид 2 320 1 3 1 3 (13.143) 4 5 1 9 6 4 7 51 8 36 3 31 71 где 2 3 31 31 32 1 Умножим это уравнение на 1 и проин тегрируем по полоидальной и тороидальной координатам. Считая в первом приближении концентрацию постоянной вдоль магнитной поверхности, получим в первом члене в левой части 1 116 120 32332

1 5 34 415220 45 16 16 где V — объем внутри данной магнитной поверхности, а производная V¢(a) — объем между соседними магнитны ми поверхностями. Во втором члене получается полный поток через магнитную поверхность. Умножив и разде лив его на V¢(a), перепишем второе слагаемое в виде 2

27 51

1 23334 5 4 1112 261 3

Здесь скобки «áñ» означают усреднение по объему (13.55). В результате усредненное уравнение баланса час тиц принимает вид 1 1 2 1 11 22330 4 3 11 2223 452 4 6 1 222324 7 5 35 16 12

(13.144)

В качестве поверхностной координаты a можно, в ча стности, выбрать эквивалентный радиус магнитной по верхности r, определенный через тороидальный магнитный


273

поток согласно 122 210 3 41 1 Тогда (13.144) принимает вид 1 1 2 1 11 23320 4 4 11 2233 563 4 7 1 223323 8 4 35 (13.145) 15 13 Для круглых магнитных поверхностей r = r, V¢(r) ~ r и (13.145) переходит в (13.38). Уравнения баланса тепла в общем случае: 1 3 213 123340501 4 2 4 1 5 1 6 3 2332 61 73 6 873 501 3 5 9 3 123371 5 28 23 2 2

1 3 213 123340502 4 2 4 1 5 1 6 3 2332 62 73 6 873 502 3 5 9 3 123372 6 28 23 2 2

(13.146)

Выражение для локального радиального электриче! ского поля: 3 2 1 5 23 6 3 1 5 23 31 41 5 83 72 4 01 7 4 4911 86 56 (13.147)

9 2 52 2 52 4

Глава 14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В этой главе рассмотрены вопросы устойчи вости плазмы в предположении, что выполнены условия равновесия в магнитном поле. Наибольшую опасность для магнитного удержания представляют крупномасштабные магнитогидродинамические неустойчивости (МГД), кото рые могут быть описаны в рамках МГДуравнений. Суще ствует и целый ряд других неустойчивостей, связанных с конечной проводимостью плазмы и ее неоднородностью. К таким неустойчивостям относятся, в частности, дрей фовые неустойчивости, проанализированные в главе 8. Первый класс МГДнеустойчивостей во многом анало гичен неустойчивости в жидкости, с которой и начнем рас смотрение. 14.1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА В ЖИДКОСТИ Рассмотрим жидкость в поле силы тяжести (рис. 14.1). Пусть плотность жидкости r0 меняется с вы сотой, r0 = r0(z). В равновесии сила тяжести должна быть уравновешена градиентом давления: 12 1 0 1 20 3 3 01 (14.1) 14 Покажем, что равновесие является неустойчивым, если плотность жидкости нарастает с высотой (тяжелая жидкость на легкой). В этом случае развивается неустой чивость Рэлея — Тейлора. Обратная же ситуация являет ся устойчивой. Физическая причина неустойчивости

14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

275

const

Рис. 14.1 Тяжелая жидкость на легкой неустойчива: неустойчивость Рэлея — Тэйлора

связана с тем, что при возникновении периодического в направлении y возмущения плотности тяжелая жидкость «продавливается» вниз, а легкая «всплывает» наверх, в результате чего малое возмущение нарастает. Так, напри мер, выливается вода из перевернутого стакана. Эволюция малых возмущений описывается системой уравнений Эйлера: 1 1 2 1 3 01 45 1 6 115 3 01 42 1 1 41 1 1 52 6 311415 3 713 6 546 (14.2) 42 Возмущенные величины будем искать в виде волны: 11 2 311234514253 6 24526 1 1 61 2 711234514253 6 24526 (14.3) 71 2 8 11234514253 6 24527 Амплитуды возмущений являются здесь неизвестной функцией координаты z. Линеаризованная система (14.2) имеет вид 131 45312 2 1 3 01 11 14 54641 2 311 0 3 01 11 54640 312 3 54561 1 54640 311 3 5

161 5 41 72 11

(14.4)

276


Выражаем 211 из первого уравнения и подставляем в третье, а затем выражаем p1 из третьего уравнения и под ставляем в последнее уравнение. Выражаем r1 из второго уравнения и также подставляем в последнее уравнение. В результате получаем 22

210 1 2 0 2311 11 2 3 42 110 22 4 5 23 3 21 21 21 1

(14.5)

Частная производная здесь заменена на полную, так как амплитуда скорости зависит только от z. Для фиксированного волнового вектора k уравнение (14.5) соответствует задаче Штурма — Лиувилля на соб ственные функции и собственные значения с соответст вующими граничными условиями. На границах z = 0, L условия соответствуют закрепленной или свободной гра нице:

211 11 1 02 33 1 04 4211 11 1 02 33 1 05 41

(14.6)

Проанализировать устойчивость можно, не решая уравнение, следующим образом. Умножим обе части урав нения (14.5) на комплексносопряженное значение 1211 21 и проинтегрируем вдоль z по всей области. Левую часть про интегрируем по частям, при этом внеинтегральный член обращается в ноль для любого типа граничных условий. Для частоты получаем 210 1 2 3 4 21 21 1 1 232 4 (14.7) 5 1 241 2 6 2 10 77 52 211 9 411 88 21

Так как все величины за исключением производной dr0/dz положительны, то знак частоты зависит от знака производной dr0/dz. Если плотность монотонно нараста ет вдоль z и dr0/dz>0 при всех z, то квадрат частоты отри цателен: w2 < 0. В этом случае w = ±ig, причем корень w = ig соответствует раскачке неустойчивости. В обратном слу чае частота вещественна и такое равновесие устойчиво.

277


Для коротких волн kl >> 1, где l — характерный мас штаб изменения плотности l = |dlnr0/dz|–1, из (14.7) сле дует 230 1 2 37 4 21 21 1 452 6 1 (14.8) 2 7 30 411 21

1 2

В этом случае инкремент нарастания неустойчивости Рэлея — Тейлора при dr0/dz > 0 оказывается порядка 1 1 1 2 2 3 Если собственные функции сильно локализова ны, то есть характерный масштаб их изменения сущест венно меньше l, то r0 и dr0/dz можно вынести изпод ин теграла, и (14.9) 1 2 1 1 32 Чтобы найти точное значение инкремента и собствен ные функции 211 , в общем случае необходимо решать урав нение (14.5). Покажем, как строится решение на примере экспоненциального профиля r0 = r(0)exp(z/l). Пусть гра ничные условия соответствуют закрепленной границе: 211 11 1 02 33 1 04 Уравнение (14.5) сводится к 12

22311 12 2311 4 2 3 52 112 2 2311 4 03 5 21 5 212

(14.10)

Ищем решение в виде 211 1 3 12344156 где комплексное число b = b1 + ib2. После подстановки имеем 1 12 12 1212 2 232122 3 222 2 2 12 2 322 2 3 42 112 2 2 4 03 (14.11) 5 1 5 Так как на границах скорость обращается в ноль, то b2 = pn/L, где n — целое число. Так как частота вещест венна, то, приравнивая к нулю мнимые члены, находим b1 = –1/(2l). Характеристическое уравнение принимает вид 12 1212 2 222 2 3

1 12 2 2 32 112 3 2 4 03 5 1 5

(14.12)

откуда находим инкремент неустойчивости: 1 2 2 342 2

12 2 5

1 12 9

1 7 63 8 9

452 4

2

1

(14.13)

278


Вещественные собственные функции при этом 311 2 4 123

121 456731 8 249 1 56 4567579 8

(14.14)

В частности, для коротких волн kl >> 1, 1 2 1 1 3 2 14.2. ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В полностью ионизованной плазме в маг! нитном поле существует неустойчивость, аналогичная не! устойчивости Рэлея — Тейлора для жидкости. Она вызыва! ется как силой тяжести, так и неоднородностью и кривиз! ной силовых линий магнитного поля. Эту неустойчивость, относящуюся к классу неустойчивостей Рэлея — Тейло! ра, называют желобковой или перестановочной неустой! чивостью. Пусть плазма находится в магнитном поле, параллель! 1 ном оси x, 1 11 2 , а сила тяжести направлена вдоль оси z. Плазма находится в равновесии, так что 34 1 0 1 51 60 7 1 820 9 1 2 02 (14.15) 3 Ограничимся случаем малых b, когда магнитное поле можно считать постоянным и не зависящим от z. Ток в направлении 1 представляет собой сумму диамагнитного

Рис. 14.2 Поляризация возмущений при желобковой неустойчивости


279

тока и тока 210 , вызванного силой тяжести. Ток 210 связан с дрейфом ионов (электронным дрейфом можно пренеб речь изза малой массы): 310 1 2452 160 1 72 Механизм развития неустойчивости для коротких волн, область локализации которых вдоль z значитель но меньше характерных размеров плазмы, иллюстриру ется на рис. 14.2. При наличии периодического по y воз мущения концентрации появляется возмущенный ток 311 1 2452 61 1 1 72 Чтобы его скомпенсировать, возникает нарастающее во времени электрическое поле, вызываю щее поляризационный ток в противоположном направле 1 5260 72 1411 1 Для коротких волн условие 1 2 1 3 0 нии: 813 2 2 19

сводится к равенству нулю возмущенного тока в направ лении y: 68 71 3 627082 1511 931 2 914 3 4 2 2 3 01 (14.16)

1

2 Механизм формирования электрического поля полно стью аналогичен рассмотренному в разделе 11.1 механиз му поляризации сгустков. Электрическое поле вызывает вертикальный дрейф плазмы со скоростью

311 1 24521 1 62

(14.17)

Линеаризованное уравнение непрерывности 1 1 с учетом несжимаемости дрейфовых потоков ( 1 2 121 2 234 22 5 3 0 ) имеет вид 12 121 2 311 0 3 01 (14.18) 14 11 Для возмущений вида (14.3) из (14.16) имеем 611 1

234 51 1 27 50

(14.19)

Подставляя (14.17) и (14.19) в уравнение непрерывно сти с учетом ¶n1/¶t = –iwn1, получаем 1 12 20 122 3 3 3 (14.20) 14 При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 1 2 1 1 32

(14.21)

280


где l = |dlnn0/dz|–1. В обратном случае частота веществен на и плазма устойчива. В общем случае развитие желобковой неустойчивости описывается системой уравнений: 1 13 2 3 4 341 5 01 15 1 13 2 3 4 342 5 01 15 1 1 13 1 1 1 64 372 2 5 6382 2 139 2 242 4 3 2 72 31 65 1 13 1 1 6381 6 139 6 241 4 3 5 04

(14.22)

Выразим поперечную скорость из уравнений баланса сил: 1 1 1 1 316 2 52 31141 2 52 71 3 4 3 2 18521 1 1 15 1 1 1 1 316 2 52 31142 2 52 392 15 2 72 4 2 392 1 2 52 72 3 5 4 4 5 (14.23) 52 1852 152 152 Так как дивергенция диамагнитных потоков в одно родном магнитном поле равна нулю, а дрейфовые потоки несжимаемы, то уравнение непрерывности для электро нов сводится к 12 2 1 3 4 01 (14.24) 31 2 14 1 1 1 дрейфа. Выбирая в каче где 21 1 311 2 423 42 — скорость 1 стве второго уравнения 1 2 1 3 01 получаем 1 1 1 1 1 34 15 3 672 2 683 341 19 3 53 2 (14.25) 4 3 7 1 5 8 6 04 52 52 9

В поляризационном токе учтена в первом приближе нии только скорость электрического дрейфа. Линеаризо ванное уравнение непрерывности совпадает с (14.18) с уче том (14.17). Линеаризованное уравнение (14.25) имеет вид 2914

572 61 8 526072 1411 1 2 5260 72 1431 3 25 7 5 6 03 2 1 13 9 2 1 8

(14.26)

Исключая возмущение концентрации с помощью (14.18), получаем для возмущенного потенциала уравнение


22

12 111 1 120 2 3 32 120 22 4 4 0 211 3 15 15 15

281

(14.27)

Это уравнение совпадает с уравнением (14.5), описы вающим неустойчивость Рэлея — Тейлора в жидкости, и анализ на устойчивость проводится так же, как в преды дущем разделе. Таким образом, плазма в магнитном поле неустойчи ва, если сила тяжести направлена против градиента кон центрации. В реальной плазме гораздо более важную роль играет эффективная «сила тяжести», связанная с неодно родностью магнитного поля и кривизной силовых линий магнитного поля (см. главу 11). Так, в токамаке это эф фективное ускорение дается выражением (11.11). Инкре мент неустойчивости остается порядка (14.21) с заменой g на эффективное ускорение: 42

2131 1 32 2 3 52 6

(14.28)

При развитии желобковой неустойчивости длина вол ны вдоль магнитного поля стремится к бесконечности, так что развивающиеся возмущения имеют форму желобков. Шир магнитного поля подавляет желобковую неустойчи вость. Действительно, мода, которая при какомлибо зна чении z имеет k|| = 0, при других значениях z имеет k|| ¹ 0. При этом положительные и отрицательные возмущения потенциала «закорачиваются», так как лежат на одной силовой линии. В магнитных ловушках с замкнутыми силовыми ли ниями эффективное ускорение может менять знак на раз ных участках силовой линии. В токамаке, например, на внешнем обводе кривизна и градиент магнитного поля со ответствуют раскачке неустойчивости, тогда как на внут реннем обводе знаки эффективного ускорения и градиен та концентрации совпадают, что характерно для устойчи вого равновесия. Чтобы проанализировать устойчивость в этой ситуации, рассмотрим силовую трубку в плазме с малым b. Трубка с плазмой стремится увеличить свой объ ем и переместиться в область, где ее объем может возрасти.

282


При таком перемещении не должно произойти искривле ния трубки, так как при этом возросла бы магнитная энер гия, а значит, и полная энергия системы. Для замкнутой силовой линии объем силовой трубки равен 12 12 3 1 13 412 1 13 54 12 13 1 (14.29) 5 5 где Y — магнитный поток в трубке, который сохраняет ся вдоль трубки и не меняется во времени. Определим величину 12 3 1 12 1 (14.30) 4 Для незамкнутой силовой линии, лежащей на магнит ной поверхности, 1 23 4 5 123 36 474 112 8 1 5 9

(14.31)

где n — число оборотов. Так как трубка стремится увели чить свой объем, а следовательно, и пропорциональную ему величину U, то величина –U является аналогом по тенциальной энергии. Интеграл U является поверхност ной величиной, как и полное давление плазмы, поэтому можно считать p = p(U). При небольшом смещении труб ки без искривления изменение ее объема в соответствии с (14.29) равно dV/V = dU/U. Изменение давления в ней при адиабатическом процессе: dp = –5/3pdV/V = –5/3pdU/U. Вблизи трубки давление окружающей фоновой плаз мы также меняется. Используя связь p = p(U), имеем 2 13 1 232 3 2 1

12 233 13

(14.32)

Если давление фоновой плазмы растет быстрее, чем давление в трубке, то трубка будет возвращена в равно весное состояние. Таким образом, условие устойчивости: 12 52 12 1 13 33

(14.33)


283

Обычно правой частью в (14.33) можно пренебречь, особенно вблизи границы плазмы, поэтому условие устой чивости сводится к 12 1 01 (14.34) 13 Другими словами, плазма устойчива, если внутри плаз мы, где давление возрастает, величина U также имеет мак симум. Так как в этой области магнитное поле меньше, чем снаружи, то говорят, что плазма должна находиться в «магнитной яме». Отметим, что в токамаке «магнитная яма» существует изза шафрановского сдвига внутренних магнитных поверхностей наружу в область меньшего маг нитного поля. Поэтому в плазме токамака желобковая неустойчивость не развивается. Существует, однако, модификация желобковой не устойчивости — так называемая баллонная мода. Возму щения баллонного типа не постоянны вдоль силовой ли нии, их амплитуда больше на внешнем обводе токамака в области неблагоприятной кривизны, где неустойчивость стремится развиваться, и меньше на внутреннем обводе, где неустойчивость подавляется. Баллонная неустойчи вость развивается при конечном давлении плазмы и но сит пороговый по давлению характер. 14.3. ДИССИПАТИВНЫЕ МОДИФИКАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 14.3.1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ — ТЕЙЛОРА В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ

В частично ионизованной плазме в магнит ном поле существует диссипативный аналог желобковой неустойчивости (неустойчивости Рэлея — Тейлора). Она также вызывается как силой тяжести, так и неоднород ностью и кривизной силовых линий магнитного поля. Рассмотрим геометрию, представленную на рис. 14.2, и проведем анализ в локальном приближении. Будем счи тать плазму замагниченной, так что выполнено условие xexi >> 1 (см. главу 5). В частично ионизованной плазме сила тяжести, так же как и в полностью ионизованной

284


плазме, вызывает ток вдоль оси y. При наличии периоди ческого по y возмущения этот ток равен

311 2 3421 52 61 11

(14.35)

Если ионы тоже замагничены, xi >> 1, то холловская подвижность biL = c/B и этот ток совпадает с током в пол ностью ионизованной плазме. В отличие от полностью ионизованной плазмы этот ток компенсируется не поля ризационным током, а ионным током проводимости, если частота столкновений достаточно велика. Вместо (14.16) имеем 3311 41 51 6 4 750 31 2 821 5 01 (14.36) Пренебрегаем диффузионным током en1Di^k2, что спра ведливо при условии (для замагниченных ионов) 41 52 1 12 1 11 61 7 231

(14.37)

Из (14.36) находим возмущенное электрическое поле: 31 4 511 61 (14.38) 1 8 51 2 60 Из уравнения непрерывности для электронов (14.18) с учетом (14.17) получаем 5 3 12 40 121 3 (14.39) 312 36 При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 3 (14.40) 12 1 312 4 721 3

Неустойчивость Рэлея — Тейлора в частично ионизо ванной плазме ответственна, например, за развитие пу зырей плазмы в экваториальной области ионосферы. 14.3.2. ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ, КОНТАКТИРУЮЩЕЙ С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ СТЕНКАМИ

Если полностью ионизованная плазма ограничена ме таллическими стенками, перпендикулярными магнитно му полю, то поляризация плазмы в значительной степени «закорачивается». Однако даже в бесстолкновительной


285

плазме из за эффективного сопротивления пристеночно го слоя остается поляризация, приводящая к развитию неустойчивости. В направлении y возмущенный ток по прежнему дает 1 ся выражением (14.35). Интегрируя уравнение 1 2 1 3 0 вдоль оси x по всей области, ограниченной стенками, пред полагая симметрию по x, получаем

23411 1 25111 2 02 Здесь 521 1 2

(14.41)

1

42 42 1 6178 1 2 9

3 3

3

(14.42)

0

1 — интегральный возмущенный ток, а 111 — плотность тока, вытекающего на стенку при x = L. Чтобы обеспечить вытекание токов на стенку, потенциал вблизи стенки воз мущается. Возмущение потенциала соответствует вольт ам перной характеристике пристеночного слоя (3.26). Считая невозмущенный потенциал плавающим из линеаризован ного уравнения (3.26), найдем

3111 2 241 51

211 2 62

(14.43)

где cs = (Te/mi)1/2 — скорость звука, а ns — концентрация плазмы вблизи стенки. Из за высокой проводимости это возмущение передается в плазму вдоль магнитного поля и не зависит от x. Дополнительно к потенциалу (14.43) в плаз ме существует больцмановский потенциал fB = (Te/e)lnn, который обеспечивает продольный баланс сил. Вызванный им дрейф в скрещенных полях является бездивергентным и не дает вклада в уравнение непрерывности. Уравнение непрерывности (14.18) имеет вид

23321 4

34511 120 5 01 6 17

(14.44)

Полагаем для простоты, что невозмущенная концентра ция факторизуется n0 = n0x(x)n0y(z), так что |dlnn0/dz|–1 = l не зависит от x. Тогда, так как f1 = const(x), профиль воз мущения в направлении x повторяет профиль n0(x). Ком бинируя (14.41)–(14.44), получаем

286

где


7 5 12 60 3 1 2 823223 1 9 3 2 24 5

1

14 1 4 90 4 1 95 4 263 1 0

(14.45)

272 1 83 311 2 5 363

При dlnn0/dz > 0 плазма неустойчива с инкрементом 7 2 5 1 3233 2 2 2 1 2 12 (14.46) 3 233 4 9 556 84 14.3.3. ГРАВИТАЦИОННОДИССИПАТИВНАЯ ЖЕЛОБКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

Отметим, что существует еще диссипативная модифи кация желобковой неустойчивости, связанная с конечной проводимостью плазмы вдоль магнитного поля и конеч 1 ной длиной волны вдоль 1 . Эта неустойчивость реализу ется, если желобковая неустойчивость с k|| = 0 не развива ется, но имеются локальные условия для поляризации плазмы, например неблагоприятная кривизна магнитно го поля. Анализ ее проводится аналогично предыдущим случаям, при этом в балансе токов учитывается продоль ный ток проводимости. Результирующая частота опреде ляется из уравнения

12 2 311 12 2 122 3 01 где 1s 2

kx2 1ci 1ce g , 12g 2 3 . 5 ky2 0,514 ei

(14.47) (14.48)

При ws > wg 12 2 3 1 1 11 1 (14.49) 12 14.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП В магнитогидродинамической теории устой чивости можно сформулировать общий принцип, основан ный на энергетических соображениях. Введем смещение плазмы согласно


1 11 1 2 3 4 213 21134112 0

287

(14.50)

1 1 где 112 233 — скорость элемента объема при развитии не устойчивости. Преобразуем линеаризованные уравнения МГД, ис пользуя смещение. Линеаризованное уравнение для маг нитного поля в отсутствии столкновений имеет вид 1 1 1 111 2 4 75 6 121 6 10 283 3 (14.51) 13 Индекс «0» относится к равновесным значениям ве личин, а индекс «1» соответствует возмущенным величи 1 нам, 10 1 01 1Интегрируя (14.51) по времени от 0 до t и учи 1 тывая, что 11 12 23 1 03 1 02 получаем 1 1 1 1 11 12 233 3 714 5 46 5 10 582 6 (14.52) Запишем уравнения баланса тепла для электронов и ионов в адиабатическом приближении: 1 1 3 2 1121 2 3 3 4 5 1 121 31 2 3 121 4 5 31 6 03 2 24 2

(14.53)

Складывая два уравнения, получим суммарное уравне ние баланса тепла: 1 3 11 3 1 (14.54) 2 3 4 1 122 2 13 4 2 5 03 2 13 2 После линеаризации 3 111 3 11 0 5 0 11 (14.55) 2 2 31 2 1 3 4 2 5 01 2 13 2 2 После интегрирования по времени с учетом 1 11 12 23 1 03 1 0 имеем 1 1 2 5 11 12 233 1 2341 0 2 1 04 5 34 (14.56) 3 Наконец, преобразуем уравнение суммарного балан са сил: 1 1 1 12 1 1 2 343 5 114 6 42 6 423 (14.57) 15 47

288


После линеаризации 1 1 12 2 111 0 0 3 43 4 12 122 1 11 1 1 2 1 0 2 1 11 1 0 2 1 1 23 4 5631 7 684 84 7 684 84 49 49

(14.58)

После подстановки в правую часть (14.52) и (14.56) получаем 1 1 122 (14.59) 30 2 4 11 2234 12 1 1 1 1 1 1 5 1 11 213 2 32132 0 4 2 03 5 13 4 4rot30 5 rot41 5 30 55 4 3 46 1 1 1 1 (14.60) 4 4rot rot41 5 30 5 5 30 56 46 Уравнение (14.59) можно интерпретировать как урав 1 нение Ньютона, а оператор 11 213 представляет собой силу, вызывающую смещение элемента плазмы. Умножим обе 1 части уравнения (14.59) на 1 и проинтегрируем по объему: 11 11 1 11 1 3 10 2232 1 11 2 1 0 (14.61) 5 1 22 12 4 34 5 2 12 45 2 34 22312 5 11 10 2232 1 134 23 (14.62) 2 является кинетической энергией, связанной с развитием неустойчивости. Используя (14.60), можно показать, что интеграл в правой части (14.61) удовлетворяет свойству самосопряженности: 1 2 2 2 1 2 111 22323 3 211 21323 4 (14.63)

Величина

4

4

Отсюда следует соотношение 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 4 12 32423 3 2 14 4 212 32423 5

(14.64)

С учетом этого соотношения (14.61) перепишем в виде 1 11 2 32 2 4 03 13

(14.65)


289

где

1 1 1 1 2 42 24334 4 (14.66) 25 Величина dW имеет смысл изменения потенциальной энергии системы. Если для какоголибо вида смещений dW < 0, то потенциальная энергия K нарастает и развива ется неустойчивость. Если же dW > 0 для любых смеще ний, то равновесие является устойчивым. Таким образом, энергетический принцип позволяет сводить анализ устой чивости к анализу знака величины dW. 11 2 3

14.5. ВИНТОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ Если для желобковой неустойчивости ис точником энергии является тепловая энергия, то при раз витии винтовой неустойчивости энергетическим резер вуаром служит энергия магнитного поля. Рассмотрим несколько простых примеров вин товой неустойчивости. Пусть имеется бесконечный ци линдр, вытянутый вдоль оси z. По плазме протекает ток, а продольное магнитное поле отсутствует, так что плазма представляет собой равновес ный зетпинч, рассмотренный в гла ве 12. Такой пинч может быть не устойчив относительно радиальных возмущений: x = A(r)exp(–iwt + imq + ikz),(14.67)

Рис. 14.3 Возникновение перетяжек в зетпинче

где m = kqr — целое число вследст вие периодичности по угловой коор динате. Смещение элемента плазмы x здесь происходит в радиальном направлении. При m = 0 возмущение азимутально симметрично и имеет характер перетяжек (рис. 14.3). В об ласти перетяжки, где радиус шну ра уменьшается, азимутальное

290


магнитное поле нарастает, так как полный ток I сохраня ется и на границе шнура Bq ~ r–1. Поэтому возрастает и сила Ампера, пропорциональная IBq, которая сжимает плазму и приводит к нарастанию возмущений. При этом нараста ет и давление плазмы внутри перетяжки, но не так силь но, так как может выравниваться вдоль шнура. Чтобы исследовать винтовую неустойчивость с m = 0 количественно, воспользуемся энергетическим принци пом. Будем считать, что пинч по радиусу ограничен ме таллической стенкой, чтобы исключить из рассмотрения вакуумную область. Условие dW > 0 устойчивости (14.66) для радиальных возмущений с m = 0 упрощается. Интег рируя по частям, перепишем (14.66) в виде 1 1 2 12 12 1 5 23 0 102 2 1 34 4 1 3 0 5 0 216 7 822 9 0 86 7 8 5 82 1 5 2 25 03 4

5 5 25 2 5 3 (14.68) Здесь 1 1 1 2 3 4 1 12323 2 12 Выделим в подынтегральном выражении полный квадрат: 2 1 2 102 4 1 1 12 6 3 55 72 83 9 4 0 0 31 2

4 52

3 47 3 5 5 0 102 6 4 2 4

3 3 47 4 2 1 2 5 102 6 2 3 4

72 3 2 2 5 54 0 102 64 1

3

52 03 (14.69) 12 6 2 52 272 4 5 3 4 5 40 0 4 47 3 3 4 Первый интеграл положителен, поэтому неравенство (14.69) выполняется, если второй интеграл также поло жителен, чему соответствует условие 3 12 0 10 1 3 (14.70) 1 0 2 2 2 13 1 3 5 4 6 где 1 2 831 0 1 202 2 Таким образом, неравенство (14.70) пред ставляет собой условие устойчивости для моды с m = 0.


Продольное магнитное поле стабилизи рует моду m = 0, так как силовые линии сжимаются вместе с плазмой и магнитное давление, связанное с продольным полем, нарастает. При этом, однако, может раска чиваться мода m = 1. Рассмотрим, как про исходит развитие неустойчивости m = 1 для тонкого шнура с током, помещенного в про дольное магнитное поле. При возмущени ях с m = 1 шнур изгибается, как показано на рис. 14.4. При этом изза того, что ток течет вдоль шнура, появляется азимуталь ная составляющая тока и радиальная сила Лоренца jqBz/c, которая и приводит к на растанию возмущений. Величина азиму тального тока зависит как от радиального смещения, так и от шага спирали по z. Урав нение радиального баланса сил имеет вид 3

22 2 1 1 4 31 41 4 311 41 522 2 6 6 27

291

Рис. 14.4 Неустойчивость моды m = 1 для тонкого шнура с током

(14.71)

Отсюда следует выражение для инкремента неустой чивости: 11 2 1 234 2 3 45 2 1 6 2 (14.72) 9 75 68

Выражая ток через создаваемое им азимутальное маг нитное поле, получаем 2 11 2 3 4 1 125342 2 (14.73) 4 1/2 где a — радиус шнура, Q = Bq/Bz, а cA = Bz/(4pr) — альф веновская скорость, рассчитанная по полю Bz. Таким об разом, характерное время развития винтовой неустойчи вости определяется альфвеновским временем в отличие от желобковой неустойчивости, где определяющим являет ся время, соответствующее скорости звука. Чтобы найти критерий устойчивости реального шну ра с током конечной толщины относительно моды m = 1, рассмотрим следующую упрощенную модель: пусть на плазменный шнур наложено винтовое возмущение, которое

292


не изменяет его формы. Рассмотрим два поперечных сече ния шнура, отстоящих друг от друга на четверть длины волны (рис. 14.5). Пусть при некотором значении z = 0 шнур смещается влево (пунктир), тогда на расстоянии z = l/4 смещение шнура должно быть направлено вниз. Рассмотрим ситуацию, когда на расстоянии z = l/4 сило вая линия проворачивается в азимутальном направлении на угол, больший, чем p/2. Так как магнитное поле вмо рожено в плазму, то силовая линия относительно центра возмущенного шнура (пунктир) проворачивается в азиму тальном направлении на тот же угол. В то же время отно сительно центра невозмущенного шнура силовая линия проворачивается на больший угол. Чтобы обеспечить по ворот на больший угол, азимутальное магнитное поле на верхней стороне шнура должно возрасти по отношению к равновесному значению. При этом увеличивается и маг нитное давление, которое увеличивает смещение шнура вниз, что и приводит к дальнейшему нарастанию неустой чивости. В обратном же случае, когда силовая линия про ворачивается на длине l/4 на угол, меньший p/2, шнур устойчив. Опре делим запас устойчивости для ци линдрического шнура как 5142 3

21 224 21 34 3 3 21 4 21

(14.74)

Тогда условие устойчивости шну ра соответствует q > 1.

(14.75)

Это неравенство известно как условие устойчивости Крускала — Шафранова. Для моды m ³ 2 проведем сле дующее рассуждение: развернем поверхность шнура в прямоуголь ник (рис. 14.6). Ось ординат соот ветствует координате z, а ось абс цисс — азимутальному углу q. Ра

Рис. 14.5 Смещение сечений толстого плазменного шнура, отстоящих на l/4, при развитии винтовой неустойчиво сти с m = 1


293

Рис. 14.6 Линии постоянной фазы радиального смещения и силовые линии магнитного поля в плоскости (z, q). Ситуация соответствует развитию неустойчивости.

диальные возмущения смещают границу шнура, образуя рифленую поверхность, изображенную на рис. 14.6. Вме сте с радиальными возмущениями по радиусу смещается и продольный ток. Возмущения плотности тока на поверх ности шнура приводят к появлению радиального компо нента магнитного поля 211 1 Переменное во времени ради альное магнитное поле наводит вихревое электрическое поле. В силу высокой проводимости плазмы это наведен ное электрическое поле должно быть практически перпен дикулярным магнитному полю. Это поле и вызывает сме щение элемента плазмы по радиусу изза дрейфа в скре щенных полях. Связь между смещением и возмущением магнитного поля дается согласно (14.52) соотношением 311 2 432 2511 3 423532 4 631 4 756 В этом выражении знак ради ального магнитного поля должен быть отрицателен — то есть соответствовать смещению тока наружу. Други ми словами, наведенное поперечное электрическое поле должно вызывать дрейф плазмы наружу, увеличивая сме щение (рис. 14.6). В обратном случае плазма устойчива, так что критерий устойчивости имеет вид q>m. Если ци линдр имеет конечную длину L, то k = 2pn/L. В частности,

294


для тора радиуса R величина k = n/R. В этом случае усло вие устойчивости имеет вид 5132 2

21 3 4 3 3 21 6 7

(14.76)

Условие (14.76) должно иметь место на границе шну ра. Если плотность тока постоянна по шнуру, то азимуталь ное поле линейно растет с радиусом и значение q постоянно по шнуру. В этом модельном случае условие (14.76) может быть выполнено во всем объеме шнура. При любом более реалистичном профиле тока значение запаса устойчиво сти зависит от радиуса. При этом внутри шнура существу ет много поверхностей с радиусом r = rres, на которых 4 511123 2 1 3 (14.77) 6 Соответствующие магнитные поверхности называют ся резонансными магнитными поверхностями. На самой резонансной магнитной поверхности винтовая мода ней трально устойчива, а с разных сторон от нее изза зависи мости q(r) условие q(r) > m/n с одной стороны выполняет ся, а с другой стороны не выполняется. Устойчивость в этом случае зависит от скорости изменения запаса устой чивости по радиусу, то есть от величины шира магнитно го поля. Для оценки необходимой величины шира приведем следующее упрощенное рассуждение: рассмотрим моду, локализованную около резонансной магнитной поверхно сти. Возмущение давления при смещениях согласно (14.56) есть p1 ~ –xdp/dr. С возмущением давления и кривизной силовых линий RS = rBz/Bq связана дестабилизирующая сила: 23 1 41 1 2 2 (14.78) 25 61 которая стремится вытолкнуть плазму наружу. Эта сила уравновешивается натяжением силовых линий, связан ным с их деформацией. Стабилизирующая сила оценива ется как 1 1 1 24134 341 511 42 62 2 4 5 (14.79) 43 43

295


Используем соотношение (14.52) 311 2 432 1511 и разло жение k|| в ряд вблизи резонансной магнитной поверхно 1 21 4 1123 34 1123 , где 1 1 — введенный в гла сти (8.71) 411 21 3 2 41 3 ве 8 шир магнитного поля. Полагая kq(r – rres) ~ 1, из усло вия F1 = F2 получаем 12 234 1 35 212 3 4 2 212 1 85 212 5

(14.80)

Это неравенство известно как критерий устойчивости Сайдема. Из него следует, что шир магнитного поля эф фективно подавляет неустойчивости, локализованные вблизи резонансных магнитных поверхностей. Аналогич ный критерий Мерсье может быть получен для тороидаль ной геометрии. 14.6. ТИРИНГМОДА Как показано в предыдущем разделе, МГД неустойчивости, локализованные вблизи резонансных маг нитных поверхностей, стабилизируются широм. Однако вблизи резонансных магнитных поверхностей может раз виваться неустойчивость, связанная с изменением топо логии магнитного поля, так называемая тирингмода. Ее существование связано с конечной проводимостью плаз мы вблизи резонансных магнитных поверхностей и при ее развитии вблизи этих поверхностей возникают магнит ные острова — области с другой топологией магнитного поля.

Рис. 14.7 Невозмущенное магнитное поле вблизи нейтрального слоя

296


Проанализируем развитие тирингмоды на примере плоского слоя плазмы (см. рис. 14.7). Пусть основное не возмущенное магнитное поле 210 132 направлено вдоль оси y, а величина его зависит от координаты x. При x = 0 маг нитное поле обращается в ноль, что соответствует нейтраль ному слою. Такое поле создается током 310 1 14 2 4233520 1632 364

Равновесное состояние описывается соотношением

2

13 0 3 410 520 4 01 16

(14.81)

Рассмотрим периодическое вдоль оси y возмущение магнитного поля 211 1 23451324 3 35667 Зависимость от1 ко ординаты z отсутствует. При этом изза условия 1 2 1 3 0 возмущены оба компонента магнитного поля, которые свя заны соотношением 1311 2 45321 3 01 11

(14.82)

Вдали от резонансной магнитной поверхности силовые линии изгибаются, как показано на рис. 14.8. Перемен ное магнитное поле наводит вихревое электрическое поле вдоль z: 141 1 1311 (14.83) 23 21 17 5 16 Так как тирингмода является апериодической и ве щественная часть частоты отсутствует, то электрическое

Рис. 14.8 Формирование магнитного острова


297

поле сдвинуто по фазе на p/2 относительно возмущения 211 . Электрическое поле вызывает дрейф плазмы вдоль оси x со скоростью 451 (14.84) 612 1 2 01 1 73 Скорость дрейфа плазмы направлена к нейтральному слою там, где силовые линии сжимаются, и от него там, где силовые линии расходятся. Вблизи нейтрального слоя скорость (14.84) стремится к бесконечности, так как невозмущенное магнитное поле обращается в ноль. Здесь необходимо учесть конечную проводимость плазмы и вместо (14.84) использовать урав# нение баланса сил для электронов вдоль оси z: 631 1 2

411 520 3 4731 1 8

(14.85)

где 2 3 41111 3 025131 5 12 3 412 4 Продольные токи текут в тон# ком слое вблизи x = 0, где магнитное поле обращается в ноль, и создают магнитную конфигурацию с замкнутыми силовыми линиями — магнитные острова. Действитель# но, положительное возмущенное магнитное поле 211 вбли# зи x = 0 уводит силовую линию в область положительных значений x. По мере смещения по x появляется невозму# щенное магнитное поле вдоль оси y и силовая линия ухо# дит вдоль y. При этом изменяется фаза возмущенного поля 211 и силовая линия начинает смещаться к плоскости x = 0 и затем в область отрицательных значений x. Здесь невоз# мущенное магнитное поле меняет направление и уводит силовую линию в направлении –y. Фаза возмущения 211 опять меняется и в результате силовая линия совершает полный оборот, образуя магнитный остров (рис. 14.8). Вдали же от нейтрального слоя возмущенное поле 211 лишь деформирует силовую линию, не вызывая измене# ния ее топологии. Линия, разделяющая замкнутые и ра# зомкнутые силовые линии магнитного поля, называется сепаратрисой. Вблизи нейтрального слоя линеаризованное уравнение баланса сил имеет вид (возмущениями плотности и давле# ния пренебрегаем)

298


1411 1 1 3 4 521 630 4 520 631 1 (14.86) 17 8 8 1 Движения плазмы считаем несжимаемыми ( 1 2 1 3 0 ): 20

1311 2 45312 3 01 11

(14.87)

Линеаризованное уравнение для магнитного поля (10.14) преобразуется к виду 1311 42 20 1 2 311 3 56711 320 4 1 5 62 311 23 18 46 112

(14.88)

Это уравнение содержит малый коэффициент h0 при старшей производной. Вдали от нейтрального слоя послед# ний член в правой части несуществен, а при приближе# нии к нему вторая производная становится большой, так что член 1211 1 13 компенсируется большой второй произ# водной 1 2 211 1 112 2 умноженной на малый коэффициент h0. При крупномасштабном рассмотрении вторая производ# ная от величины 211 терпит разрыв, в то время как в ре# альности первая производная резко меняется внутри по# граничного слоя шириной 2e. Введем величину

2311 1 231 2 4 3 5 9 1 1672 8 (14.89) 1872 3 311 1024 21 21 Величина D¢ определяется решением внешней задачи с соответствующими граничными условиями. Внутри же пограничного слоя оценим вторую произ# водную: 2 2 211 3 1211 (14.90) 1 2 4 212 Будем считать, что в пограничном слое все три члена в уравнении (14.88) одного порядка. Вводя инкремент не# устойчивости g, получим оценку 32 20 12 211 2 44 112 Из (14.90)–(14.91) имеем 12 20 31 41 2 456 3211 1

(14.91)

(14.92)

299


Еще одно соотношение между инкрементом и шири ной пограничного слоя можно получить из уравнения ба ланса энергии. Согласно уравнению (2.8) скорость изме нения энергии ионов (в нашем случае речь идет о кинетиче ской энергии) определяется работой электрического поля. Будем считать, что длина волны возмущения много больше размера слоя: ke Lc; в — стохастические блуждания силовых линий при l >> Lc.

характер движения концов силовой линии в поперечной плоскости меняется. Согласно общей теории движение становится неустойчивым (это утверждение известно как теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера). Существу# ет так называемая колмогоровская длина Lc, такая, что при l > Lc силовые линии начинают экспоненциально рас# ходиться. Это явление и представляет собой стохастиче# скую неустойчивость. Затем начинается стохастическая диффузия — случайные блуждания концов силовых ли# ний в поперечной плоскости. При этом сечение силовой трубки сильно деформируется, растягиваясь в одном на# правлении и сжимаясь в другом направлении, так как пло# щадь сечения трубки должна сохраняться, что следует из сохранения магнитного потока (рис. 15.2б). При дальней# шем увеличении пути l вдоль силовой линии сечение си# ловой трубки приобретает сложный вид, показанный на рис. 15.2в. Длина «рукавов» возрастает, а их толщина уменьшается, обеспечивая сохранение общей площади. Средний квадрат смещения в поперечном направле# нии, в частности в интересующем нас направлении x, при l > Lc пропорционален длине l в соответствии со случай# ным характером блужданий:

11322 2 2412 53

(15.18)

где величина Dst называется коэффициентом стохастиче# ской диффузии силовых линий магнитного поля. Чтобы связать величину коэффициента стохастической диффузии с возмущенным магнитным полем, рассмотрим

310


вначале уравнение силовой линии в присутствии возму щений. Уравнения силовой линии имеют вид 42 1 32 1 45 3

41 31 2 1 1 2 45 3 6

(15.19)

где 3 2 410 12420 314 Интегрируя второе уравнение, для сило вой линии, которая при l = 0 соответствует x = x0 и y = 0, имеем 1 12 1 3 2 0 3 4 1 1421 (15.20) 5 5 10

Для одной гармоники возмущения, удовлетворяющей условию (15.8), после подстановки (15.20) в фазу возму щения из первого уравнения (15.19) получаем 32 1 61 531 2 0 12347 3 1 16856 (15.21) 68 54 9 10

Покажем, что уравнение (15.21) эквивалентно урав нению Ньютона в задаче о движении заряженной части цы в поле продольной волны. Для периодической волны уравнение движения частицы имеет вид 12 2 13 4 1 1 50 123426 3 7256 162 16 8

(15.22)

Перейдем в систему отсчета, движущуюся с фазовой скоростью волны: 1 1 2 2 3 111 (15.23) 3 В движущейся системе отсчета 121 3 3 1 56 1 4 123 561 1 40 12345 2 217 17 8 0 8

(15.24)

Уравнение (15.24) эквивалентно уравнению (15.21), причем переменные в (15.21) следующим образом соответ ствуют переменным в задаче о движении частицы в поле волны: 21 421 5 6 1 71 8 1 92 1 1 0 1 1 22 (15.25) 430 Как известно, характер движения частицы зависит от ее энергии. Если кинетическая энергия частицы в движу

15. МАГНИТНЫЕ ОСТРОВА И СТОХАСТИЗАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

311

Рис. 15.3 Фазовая плоскость 111 2 21 3

щейся вместе с волной системе отсчета мала, то частица является захваченной и колеблется между горбами потен циала. Частица с большой кинетической энергией остает ся пролетной, причем скорость ее промодулирована за счет потенциала волны. Различный характер движения иллю стрируется фазовой плоскостью (рис. 15.3). Граничная скорость, которая соответствует сепаратрисе, находится из условия 23112 4 2 1 242123 5 откуда 11 2

2 21 3 411 4 2 5 234 6 7 5 8

11 2

2 23 3 4 25 0 6 7 56 8

5

(15.26)

а ширина сепаратрисы: 11 2

1 23 2 34 4 2411 4 4 5 0 6 2 (15.27) 7 56 8 Формула (15.27) соответствует выражению для шири ны острова (15.7) с учетом соответствия (15.25). Если на заряженную частицу действует несколько волн, то на фазовой плоскости возникает несколько зон финитного движения, соответствующих захвату полем разных волн, шириной (15.27). При перекрытии этих зон движение частицы становится случайным. В этом случае в соответствии с эргодической теорией описание одной частицы эквивалентно описанию ансамбля частиц с по мощью функции распределения. Соответствующее кине тическое уравнение имеет вид

11 11 231 11 24 2 3 01 15 16 7 14

(15.28)

312


где малое электрическое поле представляет собой сумму гармоник: (15.29) 21 1 5 21 12342331 4 4 31556 1

В квазилинейном приближении ищем решение в виде 2 1 2 0 2 21 1 21 1 5 21 23453341 4 2 31567

(15.30)

1

При квазилинейном подходе пренебрегают взаимодей ствием гармоник и учитывают лишь воздействие всех волн на функцию f0. В линейном приближении кинетическое уравнение сводится к уравнению для гармоник: 23 14 0 12531 4 516 241 5 2 1 3 (15.31) 7 16 откуда следует 41 2 35

231 14 0 1 1 6 17 41 3 17

(15.32)

Здесь, в соответствии с (8.39),

1 2 1 1 3 28 9 4 356171 4 14 23 71 4 14

71 4 14

(15.33)

Уравнение для f0 получается при учете в кинетическом уравнении (15.28) квадратичных членов и последующем усреднении по пространству: 11 0 231 111 23 1 (15.34) 14 5 16 При усреднении в двойном суммировании остаются только члены с k = –k¢ и мнимая часть (15.33) (см. также раздел 8.5): 2 2 44 0 44 0 2 4 15 32 31 63 7 8191 15 2

2 46 45 5 1 45 6 7

(15.35)

Это уравнение представляет собой уравнение диффу зии в пространстве скоростей с квазилинейным коэффи циентом диффузии:


313

2

122 31 426 3141 5 15 23 62 1

(15.36)

Диффузия в пространстве скоростей стремится уста новить плато на функции распределения в области, где есть резонансы. Используя аналогию между стохастическим движени ем заряженной частицы в поле многих волн и движением конца силовой линии магнитного поля при перекрытии магнитных островов, введем для описания последнего функцию распределения fB в плоскости, перпендикуляр ной силовой линии. По аналогии с (15.36) с учетом соот ветствия (15.25) уравнение для плотности силовых линий должно иметь вид уравнения диффузии: 2 1 2 431 354 6 35 3 4 (15.37) 6 7 0 2 8232 9 31 3 4 5 1 8 36 5 37 36 43 13 242 3

1 2 где коэффициент стохастической диффузии силовых линий дается выражением 2 61 7 (15.38) 845 1 5 2 30 2 3232 4 31 34 9 6 2 3 2 3 13 1

2

Аналогично в тороидальной геометрии с учетом соот ношения d(n/R – mBq/rBz) = Rd(n – m/q) имеем 2

512 322 4 1 3 845 (15.39) 52 112 Коэффициент стохастической диффузии имеет размер ность длины и определяет средний квадрат смещения си ловой линии в поперечном направлении в зависимости от пройденной длины в соответствии с (15.18). 634 1 5 27

15.3. ПЕРЕНОС В СТОХАСТИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ Диффузия силовой линии приводит к появ лению стохастических коэффициентов переноса. Оценить коэффициент диффузии пробной частицы, например элек трона, можно следующим образом. Пусть длина свободного

314


электрона lmfp больше, чем колмогоровская длина Lc. В этом случае электрон свободно летит вдоль силовой ли нии, одновременно смещаясь поперек магнитного поля вместе с ней. Поперечное смещение становится необрати мым только после столкновения, в результате которого ведущий центр ларморовской окружности электрона сме щается на величину порядка электронного ларморовско го радиуса rce. Первоначально электрон был «размазан» по силовой трубке радиуса rce. При l > Lc поперечное сечение силовой трубки приобретает вид, показанный на рис. 15.2, причем поперечный размер «рукавов» становится меньше rce. Поэтому при столкновении электрон переходит в совсем другую трубку и «забывает» о своей истории, в результате чего движение становится необратимым. Так как за время t электрон пролетает длину l = V||t, то в соответствии с (15.18)

21332 2 2412 51124

(15.40)

и коэффициент диффузии пробной частицы: Dtest = DstV||.

(15.41)

Заменяя параллельную скорость электронов на сред нюю тепловую скорость, получим оценку для электронной температуропроводности в стохастическом магнитном поле: ce = DstVTe.

(15.42)

Это выражение известно как формула Речестера — Розенблюта. Коэффициент диффузии в стохастическом магнитном поле значительно меньше — он определяется движением ионов вдоль силовой линии, скорость которых в (mi/me)1/2 меньше, чем скорость электронов. В плазме возникает амбиполярное электрическое поле, которое тормозит элек троны, а результирующий амбиполярный коэффициент диффузии можно оценить как D = Dstcs,

(15.43)

где 41 1 152 2 53 23 63 — скорость ионного звука. В случае, когда стохастическое магнитное поле созда ется за счет развитой турбулентности, оценить коэффи


315

циенты переноса можно следующим образом. В уравнении для магнитного поля (10.14) 1 1 1 1 21 3 22 3 5 6 7 23 7 13 4 1 6 7 481 116 7 15 4 (15.44) 24 9 4 9 оценим бесстолкновительную проводимость как 212 11 2 (15.45) 31 2 где w — характерная частота турбулентности. Характерный масштаб оценим как масштаб, на котором нарушается вмо" роженность, т. е. все три члена в уравнении (15.44) стано" вятся одного порядка. Сравнивая первый и третий члены 2231 14 (15.46) 1 4351242 получаем характерный масштаб: 3 12 1 (15.47) 3 12 где 1 12 2 43322 1 42 электронная плазменная частота. Масштаб d называется бесстолкновительным скин"слоем. Для токамака положим, что силовая линия отклоняется на величину d на колмогоровской длине, которая в тока" маке порядка qR, откуда 4 (15.48) 511 1 5 2 3 1 23 67 41 2

Подставляя эту оценку в (15.42), (15.39), получаем оценку электронной теплопроводности в стохастическом магнитном поле: 42 5 (15.49) 12 1 2 12 2 2 32 62 7 Это выражение, известное как формула Окавы, пред" ставляет собой оценку электронной температуропровод" ности в стохастическом магнитном поле при развитой маг" нитной турбулентности. При этом коэффициент темпера" туропроводности обратно пропорционален концентрации и не зависит от величины магнитного поля. В реальности, однако, такой уровень магнитной турбулентности, по"ви" димому, не достигается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. М. : Наука, 1973. 2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. М. : Наука, 1973. 3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. ч. 1. — М. : Наука, 1976. 4. Голант, В. Е., Жилинский, А. П., Сахаров И. Е. Основы физи ки плазмы. — СПб. : Лань, 2011. 5. Чен, Ф. Введение в физику плазмы. — М. : Мир, 1987. 6. Силин, В. П. Введение в кинетическую теорию газов. — М. : Наука, 1971. 7. Рожанский, В. А., Цендин, Л. Д. Столкновительный перенос в частичноионизованной плазме. — М. : Энергоатомиздат, 1988. 8. Сивухин, Д. В. Вопросы теории плазмы / cб. под ред. Леонтови ча М. А. вып. 1. — М. : Госатомиздат, 1963. 9. Брагинский, С. И. Вопросы теории плазмы / cб. под ред. Леон товича М. А. вып. 1. — М. : Госатомиздат, 1963. 10. Жданов, В. М. Явления переноса в многокомпонентной плаз ме. — М. : Энергоиздат, 1982. 11. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М. : Наука, 1982. 12. Трубников, Б. А. Теория плазмы. — М. : Энергоатомиздат, 1996. 13. Hirshman, S. P., Sigmar D. J. Nuclear Fusion 21 (1981) 1079.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Кинетическое уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Интеграл столкновений при кулоновском взаимодействии . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Общий вид дополнительного потока в пространстве скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Торможение и расплывание облака пробных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Потери импульса и энергии пробными частицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Столкновительный член в форме Ландау . . . . . . 1.3. Уравнение Фоккера — Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Убегающие электроны в полностью ионизованной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Функция распределения электронов в слабоионизованной плазме ..................... 1 1.5.1. Приближение f0, 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Функция распределения в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Влияние электрон/электронных столкновений . . . 1 1.5.4. Общее выражение для 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Коэффициенты переноса электронов в слабоионизованной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Кинетическое уравнение в дрейфовом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Уравнения моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме. Метод Чепмена — Энскога . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Сводка результатов для полностью ионизованной плазмы . . . . . . . . . . . . . 2.4. Коэффициенты переноса в полностью ионизованной плазме. Качественное рассмотрение . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Сила трения, обусловленная относительной скоростью. Термосила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Проводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Поток тепла. Теплопроводность, конвективная часть . . . . . . . 2.4.4. Тепловыделения при столкновениях . . . . . . . . . 2.4.5. Вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Уравнение для энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 4 9 9 11 15 16 17 20 25 26 30 32 33 33 36 38 38 42 48 51 51 52 53 56 56 57

318


Глава 3. Квазинейтральность и слой пространственного заряда . . . 3.1. Установление квазинейтральности . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Бесстолкновительный слой пространственного заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Электроны в конденсаторе с тормозящим полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Потоки частиц и энергии на материальные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Вольт"амперная характеристика слоя. Плавающий потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Структура слоя. Критерий Бома . . . . . . . . . . . . 3.3. Влияние электронной эмиссии. Двойной слой . . . . . 3.4. Слой в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 4. Диффузия частично ионизованной плазмы без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Уравнение амбиполярной диффузии . . . . . . . . . . . . . 4.2. Примеры решения диффузионных задач . . . . . . . . . . 4.2.1. Распад начального возмущения в безграничной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Положительный столб газового разряда . . . . . 4.2.3. Диффузионный распад плазмы . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Диффузионный зонд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5. Диффузия частично ионизованной плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Диффузия и подвижность в магнитном поле . . . . . . . 5.2. Одномерная диффузия в магнитном поле . . . . . . . . . . 5.2.1. Диффузия поперек магнитного поля . . . . . . . . 5.2.2. Одномерная диффузия под произвольным углом к магнитному полю . . . 5.3. Диффузия возмущения в безграничной плазме . . . . . 5.4. Диффузия в плазме, ограниченной стенками . . . . . . 5.5. Диффузионный зонд в магнитном поле . . . . . . . . . . . Глава 6. Частично ионизованная плазма с током . . . . . . . . . . . . . 6.1. Плазма с током без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Малые возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Нелинейная эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Плазма с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Одномерная эволюция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Эволюция малого возмущения в безграничной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Эффект восстановления проводимости . . . . . . . Глава 7. Перенос сильноионизованной плазмы поперек магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Классическая диффузия полностью ионизованной плазмы поперек магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Перенос примесей в полностью ионизованной плазме поперек магнитного поля . . . . 7.3. Частично ионизованная плазма с неоднородной концентрацией нейтралов . . . . . . . . . Глава 8. Дрейфовые волны и турбулентный перенос . . . . . . . . . . 8.1. Дрейфовые волны в неоднородной плазме . . . . . . . . . 8.2. Дрейфово"диссипативная неустойчивость . . . . . . . . . 8.3. Универсальная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Неустойчивости, вызванные градиентом температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Турбулентная диффузия под действием случайных электрических полей . . . .

60 60 63 64 67 68 69 72 74 77 77 80 80 81 83 83 85 85 89 89 90 94 100 104 107 107 109 111 113 113 114 116 118 118 124 126 129 129 133 136 140 142

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.6. Влияние шира магнитного поля на развитие неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 9. Динамика полностью ионизованной плазмы без магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Ионный звук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Нелинейная динамика. Автомодельные решения . . . 9.3. Простые нелинейные волны. Опрокидывание . . . . . . 9.4. Нелинейные ионно!звуковые волны с дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 10. Магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1. Уравнения магнитной гидродинамики . . . . . . . . . . 10.2. Вмороженность и скин!эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Магнитогидродинамические волны . . . . . . . . . . . . . 10.4. Нелинейные магнитогидродинамические волны . . . 10.5. Магнитозвуковые волны с дисперсией . . . . . . . . . . . Глава 11. Динамика плазменных пучков и сгустков в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Движение плазмы поперек магнитного поля в вакууме . . . . . . . . . . . . . 11.2. Торможение плазменной струи в фоновой плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 12. Равновесие плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. О невозможности равновесия без внешнего магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Равновесие пинча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Поверхностные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Уравнение Грэда — Шафранова . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Интегральное условие равновесия плазмы в токамаке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Равновесие плазмы в токамаке с магнитными поверхностями, близкими к круговым . . . . . . . . . . 12.7. Системы координат для магнитных поверхностей произвольной формы . . . . . . . . . . . . . 12.8. Бессиловое равновесие и канонические профили в пинчах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 13. Процессы переноса в токамаках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1. Гидродинамический режим (режим Пфирша — Шлютера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1. Качественные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2. Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3. Течения плазмы на магнитной поверхности, возмущения концентрации и потенциала . . 13.1.4. Потоки частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Радиальное электрическое поле, полоидальное и тороидальное вращение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Неоклассический перенос в бесстолкновительных режимах . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Функция распределения частиц в бесстолкновительных режимах . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Уравнения баланса частиц и тепла . . . . . . . . . . . . . . Глава 14. Устойчивость плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . 14.1. Неустойчивость Рэлея — Тейлора в жидкости . . . . 14.2. Желобковая неустойчивость плазмы . . . . . . . . . . . . 14.3. Диссипативные модификации желобковой неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1. Неустойчивость Рэлея — Тейлора в частично ионизованной плазме . . . . . . . . .

319

146 152 152 158 161 163 168 168 172 176 185 188 192 192 197 202 203 204 206 211 215 220 224 228 233 235 235 238 241 245 246 252 261 269 274 274 278 283 283

14.3.2. Желобковая неустойчивость плазмы, контактирующей с металлическими стенками . . . . . . . . . . . . . 14.3.3. Гравитационнодиссипативная желобковая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Энергетический принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. Винтовая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Тирингмода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. Геодезикоакустическая мода и зональные течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 15. Магнитные острова и стохастизация магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1. Магнитные острова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Стохастическая неустойчивость и диффузия силовых линий магнитного поля . . . . . 15.3. Перенос в стохастическом магнитном поле . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 286 286 289 295 300 304 304 308 313 316

Владимир Александрович РОЖАНСКИЙ

ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ Учебное пособие ГДЕ КУПИТЬ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ: Для того чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»: по России и зарубежью «ЛАНЬТРЕЙД». 192029, СанктПетербург, ул. Крупской, 13 тел.: (812) 4128578, 4121445, 4128582; тел./факс: (812) 4125493 email: [email protected]; ICQ: 446869967 www.lanpbl.spb.ru/price.htm в Москве и в Московской области «ЛАНЬПРЕСС». 109263, Москва, 7я ул. Текстильщиков, д. 6/19 тел.: (499) 1786585; email: [email protected] в Краснодаре и в Краснодарском крае «ЛАНЬЮГ». 350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1 тел.: (861) 2741035; email: [email protected] ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ: интернет#магазины: Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com «Сова»: http://www.symplex.ru; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru «Библион»: http://www.biblion.ru Подписано в печать 20.06.10. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84´108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 16,80. Тираж 1000 экз. Заказ №

.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Издательскополиграфическое предприятие «Правда Севера». 163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, д. 32. Тел./факс (8182) 641454; www.ippps.ru

Теория плазмы

Recommend Documents