Определение отношения коэффициентов Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ. теплопроводности Ò. 10, ¹ 4, 2004 и электропроводности методом Кольрауша
75
Определение отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности методом Кольрауша В.С. Булыгин Московский физикотехнический институт (государственный университет)
[email protected] Получено выражение, позволяющее определять отношение постоянной Больцмана k и элементарного заряда e в эксперименте по стационарному нагреву проволоки постоянным электрическим током.
Согласно закону ВидеманаФранца, экспериментально установленному ими в 1853 году и уточнённому Л. Лоренцем (соавтором формулы ЛоренцЛоренца) в 1882 г., отношение коэффициентов теплопроводности є и электропроводности σ для металлов имеет вид
κ = LT , σ
(1)
где Т – абсолютная температура, L – универсальная постоянная, называемая числом Лоренца. Теоретическое выражение для числа Лоренца можно получить, используя выражение для проводимости
σ=
e2 nτ , m
(2)
где e – элементарный заряд, m – масса электрона, n – концентрация и τ – время свободного пробега электронов проводимости, а также для коэффициента теплопроводности 1 3
1 3
2 3
κ = CV vl = CV v 2τ = CV
E τ, m
(3)
где CV – удельная теплоёмкость, v – средняя скорость, l = vτ – длина свободного пробега и Е – средняя энергия электронов проводимости. Теория металлов, развитая Зоммерфельдом, который рассматривал электроны проводимости как квантовый газ невзаимодействующих электронов, подчиняющихся принципу Паули и описываемый распределением ФермиДирака, даёт следующие выражения для энергии и удельной теплоёмкости электронов в металле:
E = kTF , CV =
π 2 kT 2 TF
n ,
где TF – температура Ферми, k – постоянная Больцмана, что после подстановки в
76
В.С. Булыгин
(3) придаёт коэффициенту электронной теплопроводности в металле вид:
κ=
π 2 k 2T n τ 3
m
.
Теперь, согласно (1) и (2), для числа Лоренца получается следующее теоретическое выражение: 2
L=
κ π2 ⎛k ⎞ −8 = ⎜ ⎟ = 2, 44 ⋅10 3 ⎝e⎠ σT
B2 K 2 ,
(4)
зависящее только от фундаментальных констант e и k. Кольрауш в своих работах 1899 и 1900 годов продемонстрировал, что для экспериментального определения отношения коэффициента теплопроводности и проводимости можно использовать измерения установившегося распределения температуры в нагреваемой постоянным электрическим током проволоке, боковая поверхность которой теплоизолирована, а концы имеют одинаковую температуру. Для своего анализа Кольрауш использовал уравнение Верде, полученное им в 1872 г. для температуры в тонкой проволоке, по которой течёт постоянный электрический ток, в предположении, что коэффициенты теплопроводности и электропроводности являются константами. Проведём анализ эксперимента Кольрауша, учитывающий возможную температурную зависимость этих коэффициентов. Одномерное уравнение теплопроводности без теплообмена на боковой поверхности
Cρ
∂T ∂ ⎛ ∂T = ⎜ κ ( x, t ) ∂t ∂x ⎝ ∂x
⎞ ⎟ + q ( x, t ) , ⎠
где С и ρ – теплоёмкость и плотность материала проволоки, а q – плотность тепловых источников в ней, для стационарного случая с тепловым источником ДжоуляЛенца q = σ E 2 принимает вид:
d ⎛ dT ⎞ 2 ⎜κ ⎟ +σ E = 0 . dx ⎝ dx ⎠
(5)
Если металл является свободным от примесей и, следовательно, его электрическое сопротивление определяется рассеянием электронов проводимости на тепловых колебаниях кристаллической решётки, то, как это следует из формулы БлохаГрюнайзена (см. Приложение), удельное сопротивление такого металла можно считать пропорциональным абсолютной температуре, т.е. принять, что 1
σ (T )
= bT ,
( b = const ) .
(6)
Определение отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности методом Кольрауша
77
В этом случае, согласно закону ВидеманаФранца (1), коэффициент теплопроводности
κ = Lσ T = L b является константой, и нелинейное уравнение (5) приводится в этом случае к виду: d 2T 1 E 2 + =0 . dx 2 L T
(7)
Распределение напряжённости электрического поля в проволоке E ( x ) в силу закона Ома j = σ E и с учётом (6) повторяет в данном случае распределение температуры: ,
(8)
поскольку плотность тока j одинакова по всей длине проволоки. Свяжем эту неизвестную плотность тока с напряжением U, приложенным к проволоке. Поместим начало координат в середину проволоки, тогда, учитывая (8), имеем: U=
l2
∫
E ( x ) dx = jb
−l 2
l2
∫ T ( x ) dx = jbl T
cp
−l 2
,
ãäå λ – äëèíà ïðîâîëîêè, Òñð – å¸ ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà: l2
1 j TEcp( x=) = ∫ T= (jbT x ) dx( x ) l −σ l 2
.
(9)
Таким образом, jb = U lTcp , и выражение (8) принимает теперь вид E ( x) =
U T ( x) , l Tcp
что после подстановки в уравнение (7) приводит его к формально линейной записи
d 2T + Ω 2T = 0 , dx 2
(10)
где введено следующее обозначение для неизвестной “частоты”: Ω=
U
l Tcp L .
С помощью последнего выражения можно будет определить число Лоренца
⎛ U L=⎜ ⎜ Ω lT cp ⎝
2
⎞ ⎟⎟ , ⎠
(11)
если ñâÿçàòü ΩλTcp с величинами, непосредственно наблюдаемыми в эксперименте. Так как по условию эксперимента концы проволоки имеют равную
78
В.С. Булыгин
температуру, то распределение температуры в проволоке будет симметричным относительно середины проволоки (x = 0) и уравнение (10) имеет, следовательно, следующее формальное решение:
T ( x ) = Tmax cos Ω x ,
(12)
из которого, с учётом (9), получается: l2
Ω l Tcp = Ω
∫ T ( x ) dx = 2 T
max
−l 2
sin
Ωl ⎛ Ωl ⎞ = 2 Tmax 1 − cos 2 ⎜ ⎟. 2 ⎝ 2 ⎠
(13)
Введя обозначение для температуры на концах проволоки: Tmin = T (± λ 2) из (12) имеем cos
Ωl Tmax = 2 Tmin ,
что, после подстановки в (13) и затем в (11), даёт искомое выражение для экспериментального определения числа Лоренца
L=
4 (T
U2
2 max
2 − Tmin )
;
(14)
сравнение с теоретическим значением числа Лоренца (4) позволяет из (14) получить выражение для нахождения отношения постоянной Больцмана и элементарного заряда:
k 3 U = ⋅ . 2 2 e 2π Tmax − Tmin
(15)
Таким образом, стационарный нагрев электрическим током проволоки (боковая поверхность которой теплоизолирована) позволяет с помощью выражения (15) по измеренным значениям напряжения на проволоке U, температуры в середине проволоки T max и температуры на концах проволоки T min экспериментально определить отношение двух фундаментальных констант: k и e. Заметим, что полученное выражение (14) для нахождения числа Лоренца по результатам описанного эксперимента сохранит свой вид и при другой температурной зависимости κ и σ. Пусть электрическое сопротивление металла обусловлено только рассеянием электронов проводимости на примесях, тогда можно пренебречь зависимостью сопротивления от температуры и считать проводимость σ = const . Отсюда, предполагая выполненным закон Видемана Франца, из (1) получаем для коэффициента теплопроводности , что с учётом того, что òåïåðü
, после подстановки в уравнение (5)
Определение отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности методом Кольрауша
79
приводит его в данном случае к виду: 2
L
d ⎛ dT ⎞ ⎛ U ⎞ ⎜T ⎟+⎜ ⎟ = 0, dx ⎝ dx ⎠ ⎝ l ⎠
или 2
d 2T 2 2 ⎛U ⎞ =− ⎜ ⎟ . 2 dx L⎝ l ⎠
(16)
Дважды интегрируя уравнение (16) и учитывая, что в середине проволоки (x = 0) температура максимальна и, следовательно, dT 2 dx
= 2T x=0
dT dx
x=0
=0,
получаем: 2 T 2 ( x ) = Tmax −
U2 ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ L ⎝l⎠
2
(17)
откуда, с учётом ðàâåíñòâà T (± λ 2) = Tmin , следует ; 2 2 U2 κ2 2 U U несмотря в распределениях температур (12) и (17), для нахождения = = Tmax Tmin − т.е.,⇒ L = на2 отличие 2 σ 8 (Tmax −4TLmin ) 4 (Tmax − Tmin ) числа Лоренца вновь получается выражение (14) (а, следовательно, и выражение
(15)). В заключение покажем, при каких условиях предсказания линейной теории Кольрауша совпадают с вышеизложенной нелинейной теорией. Если считать κ и σ независящими от температуры, то поскольку и òåïåðü E = U λ = const , óðàâíåíèå (5), ïðèíèìàþùåå â äàííîì ñëó÷àå âèä: d 2T σ ⎛U ⎞ =− ⎜ ⎟ dx 2 κ⎝l⎠
2
,
будет иметь следующее решение: T ( x ) = Tmax −
σ 2κ
2
⎛U ⎞ 2 ⎜ ⎟ x , ⎝l⎠
(18)
из которого, с учётом равенства T (± λ 2) = Tmin , находим: . Отсюда для экспериментальной оценки числа Лоренца по линейному приближению получается следующее выражение
80
В.С. Булыгин
L=
κ U2 = σ Tcp 8 Tcp (Tmax − Tmin ) ,
которое совпадёт с прежним выражением (14), если в качестве Tcp положить Tmax + Tmin 2 вместо выражения для средней температуры, следующего из (9) и (18): Tcp =
Tcp =
Tmax + 2 Tmin Tmax + Tmin 1 = − (Tmax − Tmin ) . 3 2 6
Ïðèëîæåíèå Формула БлохаГрюнайзена является полуэмпирической интерполяционной формулой, описывающей температурную зависимость удельного электрического сопротивления идеального беспримесного металла. В ней в выражении (2) для проводимости масса электрона m заменена эффективной массой m*, а для времени свободного пробега приводится следующее выражение: 1 9π 3 C 2 m∗ −3 = ( aK 0 ) θ T τ ( T ) hk θ M
x
( ) F (θ T ) ;
F5 ( x ) = ∫
5
5
0
(e
z5
z
− 1)(1 − e− z )
dz ,
где h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, C – константа размерности энергии (С ~ 1–10 эВ), описывающая связь между электронами проводимости и колебаниями решётки, θ – дебаевская температура, M – масса атома, а – постоянная решётки, K 0 = 2π (3n 8π )1 3 , n – концентрация электронов проводимости. Разложение F5(x) в ряд Тейлора даёт: ⎡
(T θ ) F (θ T ) = 14 θT ⎢⎢1 − 181 ⎛⎜⎝ θT ⎞⎟⎠ 5
5
⎣
2
4 ⎤ + O (θ T ) ⎥ ⎥⎦
(
)
;
таким образом, с относительной ïîãðåøíîñòüþ ~ (1/18)(θ /T)2 можно считать, что при температурах порядка комнатных и выше удельное сопротивление пропорционально абсолютной температуре: 1/ σ ~ 1/ τ ~ 1/T (дебаевская температура для некоторых металлов равна: θCu=339 K, θPb=94,5 K, θSn~200 K, θAg=225 K, θAu=165 K).
