紀伊國屋数学叢書 25
編集委員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉 沢
尚 明 (京都大学教授)...
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紀伊國屋数学叢書 25
編集委員 伊藤 戸 田
清 三 (東京大学教授) 宏
(京都大学教授)
永 田
雅 宜 (京都大学教授)
飛 田
武 幸 (名古屋大学教授)
吉 沢
尚 明 (京都大学教授)
村松 壽延
補 間 空 間 論 と線 型 作 用 素 紀伊國屋書店
序
補 間 空 間 論 は 最 近 の 約20年 間 に発 展 し た函 数 解 析 学 の一 分 野 で あ る.標 語 的 に い えば,組 織 的 に不 等 式 を 作 り出 す方 法 で あ る.不 等 式 は 解 析 学 の 色 々な 局 面 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 し て い る.た とえば 近 年 非 常 に 研 究 が 進 ん だ 偏 微 分 方 程 式 論 で は 方 程 式 の 解 と既 知 の量 との 関 係 は しば しば 不 等 式 の 形 で 与 え ら れ る.ア プ リオ リ評価 式 とエ ネ ル ギー 不 等 式 は そ の例 で あ る. 少 し丁 寧 に い うと,適 当 な 条 件 の 下 で,ふ た つ の 不 等 式 か ら多 くの第3の 不 等 式 を 系 統 的 に導 く方 法 が 補 間 空 間 論 であ る.い 式 を この 枠 内 で 扱 うこ とは で き な い.Tを
うま で もな く,す べ て の不 等
線型 作 用 素 とす る とき"変 数"xに
つ い て の不 等 式 ‖Tx‖≦C‖x‖ (Cは定 数) が こ の理 論 の対 象 で あ る.こ こで,‖ ・‖は 数 の 絶 対値 や ベ ク ト ル の長 さを一 般 化 した 概 念 で あ る ノル ム また は 準 ノ ル ム を 表 わ す.線 型 作 用 素 とは い わ ば, 1次 同次 函 数 の こ とで あ るか ら,xの ル空 間)で
あ れば,こ
し か し,xが
動 く範 囲 が 有 限 次 元 の線 型 空 間(ベ
の 形 の不 等 式 に つ い て は 理論 を 作 るほ どの こ と は な い.
函数 空 間,す なわ ち 無 限 次 元 の線 型 空 間,を 動 く場 合 を考 え る と,
(準)ノ ル ム の選 び 方 に よ り実 に 多 様 な問 題 が 生 ず るの で あ る.(準)ノ ぶ こ とはxの
クト
ル ムを選
動 く"空 間"を 決 め る こ とに対 応 す る.し たが って,ふ た つ の 不
等 式 か ら第3の 不 等 式 を 導 くこ とは,ふ た つ の空 間 の 中 間 の空 間― ― を構 成 す る こ とに翻 訳 され るの で あ る.
補 間空間
現在 の到 達 点 か ら振 り返 って見 る と,補 間空 間論 の 発端 はRiesz-Thorinの 凸性 定 理 で あ る と い う こ と が で き る.こ の定 理 は 次 の こ とを主 張 し て い る. p0,p1,q0,q1を1以 る.01の
ときkノ ル ムpに つ い て はp(x-y)は
満 た さ な い.し か し,準
距 離 の 公理 を
ノル ム空 間 に も距 離 を 導 入 して,そ の距 離 に よ る位 相
と準 ノル ム空 間 と し ての 位 相 とが 一 致 す る よ うに で き る.もっ
と精 し く,次 の
定 理 が 成 立 す る. 定 理 線 型 空 間X上 のkセ ミノル ムp(x)に 対 して,次 の条 件 を満 たすkセ ミノル ムqが 存在 す る;す べ て のx∈Xとy∈Xに 対し て, (1)
q(x)≦p(x)≦21/γq(x),
(2) た だ し,γ
q(x+y)γ は(2k)γ=2を
証 明 Xの
点xに
≦q(x)γ+q(y)γ(三
角 不 等 式),
満 た す 定 数 で あ る.
対 し て,
(3) と お け ば よ い.下 る 組{x1,…,xn}に
限 はnも
動 か し た と き のx=x1+…+xnを
つ い て と る の で あ る.
定 義 か ら直 ち にq(x)≦p(x)を α≠0の
満 たす あ らゆ
と き"x=x1+…+xn⇔
得 る. αx=αx1+…+αxn"で
あ るか ら,
q(αx)=│α│q(x)を
得 る.
三 角 不 等 式(2)を
示 そ う.x=x1+…+xm,y=y1+…+ynな
らば
が 定 義 に よ りわ か る.{x1,…,xm}と{y1,…,yn}の
あ らゆ る選 び 方 に つ い て
下 限 を と る と(2)を 得 る. 最 後 にp(x)≦21/γq(x)を
示 す.ま
ず不等式
(4) を 証 明 す る.た
だ し,ν1,…,νnは
(5)
2-ν1+…+2-νn≦1
を 満 た す 非 負 整 数 で あ る.n=1,2の n≧2と n}を
し,n-1以
と な る よ う に で き る.帰
な わ ち,nの
納 法 の 仮 定 に よ り,
と き(4)が
示 さ れ た.さ
な お,不
た が っ て(4)が
等 式(2)と,不
て,
s=p(x1)γ+…+p(xn)γ
と す る.整数νjを2-νj≦p(xj)γ/s0の
と き 成 立 す る か ら,不
等 式(2)か
らqに
が 成 立 す る こ とが わ か る. 一 般 に,線
型 空 間X上
(証 明 終)
の 準 セ ミ ノ ル ムpとqと
p(x)≦c1q(x), が 成 立 す る よ うな 定 数c1とc2が
つ い てN2
は す べ て のx∈Xで,
q(x)≦c2p(x)
存 在 す る と き 同 値 で あ る と い う.
定 理 に よ りつ ぎ の こ と が 直 ち に わ か る:
つ
系 kノ ル ム 空 間 に お い て,も の γ乗 が 三 角 不 等 式(2)を
と のkノ
ル ム と 同 値 なkノ
満 た す も の が 存 在 す る.た
‖x‖ を そ の γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た すkノ た と き の 位 相 は も と のkノ
n,m→
べ て のCauchy列
距 離 を 表 わ す と き,条 ∞
ル ム と す る と,‖x-y‖γ
あ る.
を距 離 とし
ル ム 空 間 と し て の 位 相 に 一 致 す る.
距 離 空 間 が 完 備 で あ る と は"す す な わ ち,disで
ル ム で あ っ て,そ
だ し,(2k)γ=2で
が 収 束 す る"こ
と を い う.
件
の と きdis(xn,xm)→0な
ら ば{xn}は
収 束す る
が 成 立す る とき完 備 で あ る とい う.完 備 ノル ム空 間 をBanach空
間 とい う.
完 備性 を示 す に は次 の補 題 が 大 変 便 利 で あ る. 補 題 距 離disを
持 つ距 離 空 間Xが
完 備 とな る ため の必 要 十 分 条 件 は な ら ば{xn}は
が 成 立 す る こ と で あ る.特 Xが
に,kノ
収束す る
ル ム 空 間Xのkノ
完 備 と な る た め に は,{2k}γ=2に
ル ム を‖x‖ と す る と き,
γ を と り,
な らば
が収束す る
が 成 立 す る こ と が 必 要 十 分 条 件 で あ る. 証 明 必 要 性 は 明 白 で あ る.十 n,m≧njな
分 性 を 示 す.{xn}をCauchy列 ら ばdis(xn,xm)≦2-j
と な る よ う に 正 整 数 列n10とh>1に
含 む 稠 密 部 分 集 合 をMと 対 し て,Mの
す る.こ
の と き任 意
元x1,x2,…,xn,…,を
(1) がn=1,2,…
に つ い て 成 立 す る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.
証 明 x=0の
と き はx1=x2=…=0と
す れ ば よ い.
定 に よ りx1∈Mを‖x1-(1-2α)x‖X≦ で き る.た
αε‖x‖Xと な る よ うに 選 ぶ こ と が
だ し α={hk(2+ε)}-1に
と る.n=1と
が す ぐわ か る.x1,x2,…,xnを(1)を -xn=xに
と す る.仮
し て(1)が
成 立す る こ と
満 た す よ う に 選 ん だ とす る.x-x1-…
つ い て上 と同様 に し て
,xn+1∈Mを
と な る よ うに選 ぶ こ とが で き る.帰 納 法 に よ り結果 を得 る. 系 Tは 準 ノル ム空 間Xか て,D(T)⊃Mと
な る あ るXの
4.1)が 成 立 す る.こ の と きTは 証 明 Xをkノ
ら完備 準 ノ ル ム空 間Yへ 稠 密 部 分 集 合Mの
ル ム 空 間,Yをlノ
対 し て 補 題 の よ うにMの
で あ る か ら 補 題1.2に Σxn.Tは
m→
∞
の 閉 線 型 作用 素 で あ っ
す べ て の点xに
有 界 で しか もD(T)=Xで
点 列x1,x2,…
よ りy=ΣTxnが
準 ノル
とh>1,ε>0に
の と き,
存 在 す る.一
閉 作 用 素 で あ る か らx∈D(T),し
し,Yの
点
を と る.こ
つ い て(1.
あ る.
ル ム 空 間,(2l)γ=2と
ム のγ 乗 は 三 角 不 等 式 を 満 た す と仮 定 す る.Xの
(証 明終)
方,作
か もy=Tx.さ
と し て,‖Tx‖Y≦Ck(1-h-γ)-1/γ‖x‖X.ゆえ
ら に,
にTは
‖T‖ ≦Ck.
り方 か らx=
有 界 で あ っ て, (証 明 終)
閉 作 用素 で あ る こ とか ら連 続 性 が導 か れ る場 合 が あ る.す な わ ち, 定 理 (閉グ ラ フ 定 理) 完 備 準 ノル ム空 間Xの ル ム空 間Yへ
の 閉線 型作 用 素 は連 続 で あ る.特 にYが
的 に埋 め 込 ま れ て い れ ばR(T)⊂Yと L(X,Y)に
全 体 で定 義 さ れ た 完 備 準 ノ
な るXか
分 離 位 相 空 間Fに
らFへ
連続
の連 続 線型 作 用 素 は
属 す る.
証 明 Xをkノ
ル ム空 間,Yをlノ
ル ム 空 間,GをTの
グ ラ フ,X×Y
か らXへ
の 射 影 をP,V={(x,Tx)∈X×Y;‖Tx‖Y≦1}と
X=PG=UnPV=Un(PV)aで
す る.
あ る.(BaはBの
閉 包 を 示 す).完
備距
離 空 間 が 高 々可算 個 の 閉集 合 の和 に な る と きそ の 閉 集 合 の 中 に は 内点 を 含 む も の が あ る と い うBaire-Hausdorffの x→nxは
定 理 に よ り,あ
同 相 写像 で あ る か ら(PV)aが
‖x‖X≦1}と
お く と,あ
含 ま れ る.ρ=δ/lと ∈x0+δUで
あ る か ら,任
-lx-x2‖X0が
ρUと
あ っ てx0+δUは(PV)aに
す る と,x0+lx∈x0+δU,x0-lx
意 の 正 数 εに 対 し て,‖x0+lx-x1‖X0}に
(Ak,1∪ … ∪Ak,n-1)の
Xが
明 白.(ⅱ)⇒(ⅲ)を
な り,ξ がAk と きfk(ξ)=0と
,n\ 定め
間 の と き に は,x1′,x2′,… ∈X′ を 選 ん で,
系 強 可 測 函 数 列 のa.e.で
り(ⅱ)が 導 か れ る.
(証 明終)
の 極 限 は 強可 測 で あ る.
証 明 準 ノル ムの 連 続 性 を使 って 条 件(ⅱ)を 証 明 で き る.
(証 明終)
間
(Ω,μ)を完 備 な測 度 空 間 と し,(Ω,μ)上 μ;X)で
対 し て,
様 収 束 す る.
とん ど可 分 で 弱 可 測"よ
§2.2 Lebesgue空
示
な わ ち 可 算 集 合{xn;n=1,2…}
こ の 閉 包 に 属 す る と仮 定 で き る.自
と お く と,Ak,nのnに
る と,k→0の
可 測"は
可 分 値,す
示 し,そ の二 元f,gに
のX値
強可 測 函 数 の全 体 をM(Ω,
対 して,
(1) と お く と,arctan{s+t)≦arctans+arctantお
よび
を 使 うと三 角 不 等 式 が 証 明 で き る.し た が ってMは(1)を 距 離 空 間 で あ る.た だ し,‖x‖ はXで
準距 離 とす る線 型 準
の準 ノル ム で,‖x‖γが三 角不 等 式 を 満
た す と仮定 す る. pが 正 数 の と き,X値
強 可 測 で あ って
(2)
が 有 限 とな るfの 全 体 をLp(Ω,μ;X)で
表 わ す.p=∞
の ときは 右 辺 の 積 分
を 本 質 的 上 限 に お き かえ てL∞(Ω,μ;X)を ば わ か る よ う に,1≦p≦
∞
定 義 す る.積
分 論 の教 科 書 を 見 れ
の と きLp(Ω,μ)=Lp(Ω,μ;C)は
完 備 な セ ミノ
ル ム 空 間 で あ っ て,
(3)
が 成 立 す る.Xが
が 成 立 す る.不
一 般 の と き も,q=p/γ
等 式(1.2.6)を
≧1な
ら ば,(3)に
使 う と これ よ り,k=21/γ-1と
よ り,
して
(4) を 得 る.す
な わ ちNp(f;Ω,μ;X)はkセ
ミ ノ ル ム で あ る.q≦1な
らば
で あ る か ら, (5)
を 得 る.す
な わ ちNpは21/p-1セ
ミ ノ ル ム で あ る.α ∈Cの
とき
(6)
と な る こ と は 定 義 か ら す ぐわ か る.ま Nγpが,p/γ Lpの
≦1の
の 計 算 に よ り,p/γ
三 角 不 等 式 を 満 た し,こ
≧1の
と きは
れ に よ る準 距 離 が
位 相 を 与え る こ と が わ か る.
LpがMに Mの
と き はNppが
た,上
連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る こ と も す ぐわ か る.
二 元fとgに
つ い てdis(f,g)=0と
どす べ て の 点 でf(ξ)=g(ξ)と
な るた め の 必 要 十 分 条 件 は ほ と ん
な る こ と で あ り,こ
れ は 同 値 関 係 に な る.こ
同 値 関 係 に よ っ て 類 別 し て で き る 空 間 をM(Ω,μ;X)で 代 表 をf,gと
し,dis(f,g)=dis(f,g)と
よ ら な い,そ
し てM上
定 義 す る と,こ
の 距 離 に な る.f∈Lp,dis(f,g)=0な
あ る か ら 上 記 の 同 値 関 係 でLpを
類 別 す る とMの
(Ω,μ;X)と
間 と 呼 ぶ.Lpの
書 き,Lebesgue空
Np(f;Ω,μ;X)は 明 ら か に MやLpの
示 す.Mの
の
元f,gの
れ は代 表 の 選 び 方 に ら ばg∈Lpで
部 分 空 間 に な る.そ 元fの
代 表 の 選 び 方 に よ ら な い の でLp上
代 表 をfと
れ をLp す る と き
の 準 ノ ル ム を 定 め る.
で あ る. 元 は 正 確 に は 函 数 の 同 値 類 で あ る が,混
に は 単 に 函 数 と 呼 び,函数fとfの
乱 す るお そ れ が な い と き
属 す る 同 値 類 を 同 じ記 号 で 表 わ す.こ
の こ
とを"測
度0の
視 す る"な
集 合 上 で の 値 を 無 視 す る"と
か"a.e.で
一 致 す る 函数 を 同一
ど と い う.
定 理 (Ω,μ)が 測 度 空 間 でXが 線 型 位 相 空 間,Lp(Ω,μ;X)は
準 ノ ル ム 空 間 で あ る.特
(Ω,μ;X)とLp(Ω,μ;X)も 証 明 Xが
準 ノル ム 空 間 の と き,M(Ω,μ;X)は
完 備 な ら ばM
完 備 で あ る.
完 備 の と き完 備 性 を い う.Mの
を 使 う.fn∈M,Σdis(fn-1,fn)0>r-indφ1ま
を 満 た す と 仮 定 す る.ま
た,1≦q0≦
た はr-ind
φ00な
(g) -μ はDφq(A)か
をAの
らば
レ ゾル ベン
らDψq(A)へ
ト集 合 に 属 す る 数 と す る.こ
の1対1有
の と き(μ+A)-m
界 線 型 作 用 素 で あ る.l-indφ>0の
場
合,こ
れ は 上 へ の 作 用 素 で あ る.
証明
に 非負整 数kとlを
(a)の 証. 01
収 束 す る.Amは
閉で
か も,
{anA(an+A)-1}mx→Amx. (d)の
証. x∈D(Am)か
つAmx∈Dφq(A)と
す る.補
題8.3に
よ り で あ り,
し た が っ てx∈Dφq(A)で
あ る.
(e)の 証.
と な る.ゆ
とす る と
え に,AmxはDφq(A)に
(f)の 証. l-ind φ>0と
属 す る. す る とl-indψ>mと
し た が っ て(e)に の 包 含 は(d)に
を 得 て,(μ+A)-mが1対1有 l-indφ>0な
例 -μ
よ り
よ り, 逆 向 き
有 界 作 用 素 で あ る か ら,
界 作 用 素 で あ る こ と が わ か る.
ら ば 定 理8.3と(f)に 逆 に な る.よ
をAの
系 q,φ,m,ψ
よ り(μ+A)mはDψqをDφqに
っ て(μ+A)-mは
上 へ の 作 用 素.
レ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 属 す る 数 と し,σ
を 定 理 と 同 じ とす る.こ
証 明 -μ をAの x∈Dφq(A)と
理8.3に
よ る.
(g)の 証. A(μ+A)-1は
(μ+A)-mの
な り,定
写 し, (証 明 終)
を 正 数 とす る とき
の とき
レ ゾル ベ ン ト集 合 に 属 す る数 とす る.
す る と,
で あ る.し
と す る と,定
逆 に, 定 理8.3(c)を
使 っ て,Ajxj∈Dφq(A)を
x∈Qφq(A)と
す る.
得 る か らx∈Dφq(A)で
た が っ て,
理 の(e)に あ る.
よ り,
で あ り,定
理 の(d)に
逆 に,xが
よ りAj μjAm-j(μ+A)-mx∈Qψq(A).
論 理 的 同 値 記 号 の 右 側 の よ うに 表 わ さ れ る とxがQφq(A)に
る こ と は 定 理 の(e)と
定 理8.3(c)に
よ りわ か る.
属す
(証 明 終)
§8.5 定 義 域 ま た は 値 域 と の 補 間 空 間 空 間DφqとRφqを 定 理 mを
補 間 空 間 と し て 特 徴 づ け る.
正 整 数,0