補間空間論と線型作用素 (紀伊國屋数学叢書 25)

紀伊國屋数学叢書 25

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏  

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉 沢

尚 明   (京都大学教授)

村松 壽延

補 間 空 間 論 と線 型 作 用 素 紀伊國屋書店

序

  補 間 空 間 論 は 最 近 の 約20年 間 に発 展 し た函 数 解 析 学 の一 分 野 で あ る.標 語 的 に い えば,組 織 的 に不 等 式 を 作 り出 す方 法 で あ る.不 等 式 は 解 析 学 の 色 々な 局 面 に お い て 重 要 な 役 割 を 果 し て い る.た とえば 近 年 非 常 に 研 究 が 進 ん だ 偏 微 分 方 程 式 論 で は 方 程 式 の 解 と既 知 の量 との 関 係 は しば しば 不 等 式 の 形 で 与 え ら れ る.ア プ リオ リ評価 式 とエ ネ ル ギー 不 等 式 は そ の例 で あ る.   少 し丁 寧 に い うと,適 当 な 条 件 の 下 で,ふ た つ の 不 等 式 か ら多 くの第3の 不 等 式 を 系 統 的 に導 く方 法 が 補 間 空 間 論 であ る.い 式 を この 枠 内 で 扱 うこ とは で き な い.Tを

うま で もな く,す べ て の不 等

線型 作 用 素 とす る とき"変 数"xに

つ い て の不 等 式 ‖Tx‖≦C‖x‖  (Cは定 数) が こ の理 論 の対 象 で あ る.こ こで,‖ ・‖は 数 の 絶 対値 や ベ ク ト ル の長 さを一 般 化 した 概 念 で あ る ノル ム また は 準 ノ ル ム を 表 わ す.線 型 作 用 素 とは い わ ば, 1次 同次 函 数 の こ とで あ るか ら,xの ル空 間)で

あ れば,こ

し か し,xが

動 く範 囲 が 有 限 次 元 の線 型 空 間(ベ

の 形 の不 等 式 に つ い て は 理論 を 作 るほ どの こ と は な い.

函数 空 間,す なわ ち 無 限 次 元 の線 型 空 間,を 動 く場 合 を考 え る と,

(準)ノ ル ム の選 び 方 に よ り実 に 多 様 な問 題 が 生 ず るの で あ る.(準)ノ ぶ こ とはxの

クト

ル ムを選

動 く"空 間"を 決 め る こ とに対 応 す る.し たが って,ふ た つ の 不

等 式 か ら第3の 不 等 式 を 導 くこ とは,ふ た つ の空 間 の 中 間 の空 間― ― を構 成 す る こ とに翻 訳 され るの で あ る.

補 間空間

  現在 の到 達 点 か ら振 り返 って見 る と,補 間空 間論 の 発端 はRiesz-Thorinの 凸性 定 理 で あ る と い う こ と が で き る.こ の定 理 は 次 の こ とを主 張 し て い る. p0,p1,q0,q1を1以 る.01の

ときkノ ル ムpに つ い て はp(x-y)は

満 た さ な い.し か し,準

距 離 の 公理 を

ノル ム空 間 に も距 離 を 導 入 して,そ の距 離 に よ る位 相

と準 ノル ム空 間 と し ての 位 相 とが 一 致 す る よ うに で き る.もっ

と精 し く,次 の

定 理 が 成 立 す る.   定 理   線 型 空 間X上 のkセ ミノル ムp(x)に 対 して,次 の条 件 を満 たすkセ ミノル ムqが 存在 す る;す べ て のx∈Xとy∈Xに 対し て,   (1) 

q(x)≦p(x)≦21/γq(x),

  (2)  た だ し,γ

q(x+y)γ は(2k)γ=2を

 証 明   Xの

点xに

≦q(x)γ+q(y)γ(三

角 不 等 式),

満 た す 定 数 で あ る.

対 し て,

 (3) と お け ば よ い.下 る 組{x1,…,xn}に

限 はnも

動 か し た と き のx=x1+…+xnを

つ い て と る の で あ る.

  定 義 か ら直 ち にq(x)≦p(x)を   α≠0の

満 たす あ らゆ

と き"x=x1+…+xn⇔

得 る. αx=αx1+…+αxn"で

あ るか ら,

q(αx)=￨α￨q(x)を

得 る.

  三 角 不 等 式(2)を

示 そ う.x=x1+…+xm,y=y1+…+ynな

らば

が 定 義 に よ りわ か る.{x1,…,xm}と{y1,…,yn}の

あ らゆ る選 び 方 に つ い て

下 限 を と る と(2)を 得 る.   最 後 にp(x)≦21/γq(x)を

示 す.ま

ず不等式

 (4) を 証 明 す る.た

だ し,ν1,…,νnは

  (5) 

2-ν1+…+2-νn≦1

を 満 た す 非 負 整 数 で あ る.n=1,2の n≧2と n}を

し,n-1以

と な る よ う に で き る.帰

な わ ち,nの

納 法 の 仮 定 に よ り,

と き(4)が

示 さ れ た.さ

  な お,不

た が っ て(4)が

等 式(2)と,不

て,

s=p(x1)γ+…+p(xn)γ

と す る.整数νjを2-νj≦p(xj)γ/s0の

と き 成 立 す る か ら,不

等 式(2)か

らqに

が 成 立 す る こ とが わ か る.    一 般 に,線

型 空 間X上

(証 明 終)

の 準 セ ミ ノ ル ムpとqと

p(x)≦c1q(x),  が 成 立 す る よ うな 定 数c1とc2が

つ い てN2

は す べ て のx∈Xで,

q(x)≦c2p(x)

存 在 す る と き 同 値 で あ る と い う.

  定 理 に よ りつ ぎ の こ と が 直 ち に わ か る:

つ

  系   kノ ル ム 空 間 に お い て,も の γ乗 が 三 角 不 等 式(2)を

と のkノ

ル ム と 同 値 なkノ

満 た す も の が 存 在 す る.た

‖x‖ を そ の γ 乗 が 三 角 不 等 式 を 満 た すkノ た と き の 位 相 は も と のkノ

n,m→

べ て のCauchy列

距 離 を 表 わ す と き,条 ∞

ル ム と す る と,‖x-y‖γ

あ る.

を距 離 とし

ル ム 空 間 と し て の 位 相 に 一 致 す る.

  距 離 空 間 が 完 備 で あ る と は"す す な わ ち,disで

ル ム で あ っ て,そ

だ し,(2k)γ=2で

が 収 束 す る"こ

と を い う.

件

の と きdis(xn,xm)→0な

ら ば{xn}は

収 束す る

が 成 立す る とき完 備 で あ る とい う.完 備 ノル ム空 間 をBanach空

間 とい う.

  完 備性 を示 す に は次 の補 題 が 大 変 便 利 で あ る.   補 題   距 離disを

持 つ距 離 空 間Xが

完 備 とな る ため の必 要 十 分 条 件 は な ら ば{xn}は

が 成 立 す る こ と で あ る.特 Xが

に,kノ

収束す る

ル ム 空 間Xのkノ

完 備 と な る た め に は,{2k}γ=2に

ル ム を‖x‖ と す る と き,

γ を と り,

な らば 

が収束す る

が 成 立 す る こ と が 必 要 十 分 条 件 で あ る.   証 明   必 要 性 は 明 白 で あ る.十 n,m≧njな

分 性 を 示 す.{xn}をCauchy列 ら ばdis(xn,xm)≦2-j

と な る よ う に 正 整 数 列n10とh>1に

含 む 稠 密 部 分 集 合 をMと 対 し て,Mの

す る.こ

の と き任 意

元x1,x2,…,xn,…,を

  (1) がn=1,2,…

に つ い て 成 立 す る よ うに 選 ぶ こ と が で き る.

  証 明   x=0の

と き はx1=x2=…=0と

す れ ば よ い. 

定 に よ りx1∈Mを‖x1-(1-2α)x‖X≦ で き る.た

αε‖x‖Xと な る よ うに 選 ぶ こ と が

だ し α={hk(2+ε)}-1に

と る.n=1と

が す ぐわ か る.x1,x2,…,xnを(1)を -xn=xに

と す る.仮

し て(1)が

成 立す る こ と

満 た す よ う に 選 ん だ とす る.x-x1-…

つ い て上 と同様 に し て

,xn+1∈Mを

と な る よ うに選 ぶ こ とが で き る.帰 納 法 に よ り結果 を得 る.    系   Tは 準 ノル ム空 間Xか て,D(T)⊃Mと

な る あ るXの

4.1)が 成 立 す る.こ の と きTは   証 明   Xをkノ

ら完備 準 ノ ル ム空 間Yへ 稠 密 部 分 集 合Mの

ル ム 空 間,Yをlノ

対 し て 補 題 の よ うにMの

で あ る か ら 補 題1.2に Σxn.Tは

m→

∞

の 閉 線 型 作用 素 で あ っ

す べ て の点xに

有 界 で しか もD(T)=Xで

点 列x1,x2,…

よ りy=ΣTxnが

準 ノル

とh>1,ε>0に

の と き,

存 在 す る.一

閉 作 用 素 で あ る か らx∈D(T),し

し,Yの

点 

を と る.こ

つ い て(1.

あ る.

ル ム 空 間,(2l)γ=2と

ム のγ 乗 は 三 角 不 等 式 を 満 た す と仮 定 す る.Xの

(証 明終)

方,作

か もy=Tx.さ

と し て,‖Tx‖Y≦Ck(1-h-γ)-1/γ‖x‖X.ゆえ

ら に,

にTは

‖T‖ ≦Ck. 

り方 か らx=

有 界 で あ っ て, (証 明 終)

 閉 作 用素 で あ る こ とか ら連 続 性 が導 か れ る場 合 が あ る.す な わ ち,   定 理   (閉グ ラ フ 定 理)  完 備 準 ノル ム空 間Xの ル ム空 間Yへ

の 閉線 型作 用 素 は連 続 で あ る.特 にYが

的 に埋 め 込 ま れ て い れ ばR(T)⊂Yと L(X,Y)に

全 体 で定 義 さ れ た 完 備 準 ノ

な るXか

分 離 位 相 空 間Fに

らFへ

連続

の連 続 線型 作 用 素 は

属 す る.

  証 明  Xをkノ

ル ム空 間,Yをlノ

ル ム 空 間,GをTの

グ ラ フ,X×Y

か らXへ

の 射 影 をP,V={(x,Tx)∈X×Y;‖Tx‖Y≦1}と

  X=PG=UnPV=Un(PV)aで

す る.

あ る.(BaはBの

閉 包 を 示 す).完

備距

離 空 間 が 高 々可算 個 の 閉集 合 の和 に な る と きそ の 閉 集 合 の 中 に は 内点 を 含 む も の が あ る と い うBaire-Hausdorffの x→nxは

定 理 に よ り,あ

同 相 写像 で あ る か ら(PV)aが

‖x‖X≦1}と

お く と,あ

含 ま れ る.ρ=δ/lと ∈x0+δUで

あ る か ら,任

-lx-x2‖X0が

ρUと

あ っ てx0+δUは(PV)aに

す る と,x0+lx∈x0+δU,x0-lx

意 の 正 数 εに 対 し て,‖x0+lx-x1‖X0}に

(Ak,1∪ … ∪Ak,n-1)の

  Xが

明 白.(ⅱ)⇒(ⅲ)を

な り,ξ がAk と きfk(ξ)=0と

,n＼ 定め

間 の と き に は,x1′,x2′,… ∈X′ を 選 ん で,

  系  強 可 測 函 数 列 のa.e.で

り(ⅱ)が 導 か れ る. 

(証 明終)

の 極 限 は 強可 測 で あ る.

  証 明   準 ノル ムの 連 続 性 を使 って 条 件(ⅱ)を 証 明 で き る. 

(証 明終)

間

  (Ω,μ)を完 備 な測 度 空 間 と し,(Ω,μ)上 μ;X)で

対 し て,

様 収 束 す る.

とん ど可 分 で 弱 可 測"よ

  §2.2  Lebesgue空

示

な わ ち 可 算 集 合{xn;n=1,2…}

こ の 閉 包 に 属 す る と仮 定 で き る.自

と お く と,Ak,nのnに

る と,k→0の

可 測"は

可 分 値,す

示 し,そ の二 元f,gに

のX値

強可 測 函 数 の全 体 をM(Ω,

対 して,

 (1) と お く と,arctan{s+t)≦arctans+arctantお

よび

を 使 うと三 角 不 等 式 が 証 明 で き る.し た が ってMは(1)を 距 離 空 間 で あ る.た だ し,‖x‖ はXで

準距 離 とす る線 型 準

の準 ノル ム で,‖x‖γが三 角不 等 式 を 満

た す と仮定 す る.  pが 正 数 の と き,X値

強 可 測 で あ って

 (2)

が 有 限 とな るfの 全 体 をLp(Ω,μ;X)で

表 わ す.p=∞

の ときは 右 辺 の 積 分

を 本 質 的 上 限 に お き かえ てL∞(Ω,μ;X)を ば わ か る よ う に,1≦p≦

∞

定 義 す る.積

分 論 の教 科 書 を 見 れ

の と きLp(Ω,μ)=Lp(Ω,μ;C)は

完 備 な セ ミノ

ル ム 空 間 で あ っ て,

 (3)

が 成 立 す る.Xが

が 成 立 す る.不

一 般 の と き も,q=p/γ

等 式(1.2.6)を

≧1な

ら ば,(3)に

使 う と これ よ り,k=21/γ-1と

よ り,

して

  (4) を 得 る.す

な わ ちNp(f;Ω,μ;X)はkセ

ミ ノ ル ム で あ る.q≦1な

らば

で あ る か ら,  (5)

を 得 る.す

な わ ちNpは21/p-1セ

ミ ノ ル ム で あ る.α ∈Cの

とき

 (6)

と な る こ と は 定 義 か ら す ぐわ か る.ま Nγpが,p/γ Lpの

≦1の

の 計 算 に よ り,p/γ

三 角 不 等 式 を 満 た し,こ

≧1の

と きは

れ に よ る準 距 離 が

位 相 を 与え る こ と が わ か る.

  LpがMに   Mの

と き はNppが

た,上

連 続 的 に 埋 め 込 ま れ る こ と も す ぐわ か る.

二 元fとgに

つ い てdis(f,g)=0と

どす べ て の 点 でf(ξ)=g(ξ)と

な るた め の 必 要 十 分 条 件 は ほ と ん

な る こ と で あ り,こ

れ は 同 値 関 係 に な る.こ

同 値 関 係 に よ っ て 類 別 し て で き る 空 間 をM(Ω,μ;X)で 代 表 をf,gと

し,dis(f,g)=dis(f,g)と

よ ら な い,そ

し てM上

定 義 す る と,こ

の 距 離 に な る.f∈Lp,dis(f,g)=0な

あ る か ら 上 記 の 同 値 関 係 でLpを

類 別 す る とMの

(Ω,μ;X)と

間 と 呼 ぶ.Lpの

書 き,Lebesgue空

Np(f;Ω,μ;X)は 明 ら か に    MやLpの

示 す.Mの

の

元f,gの

れ は代 表 の 選 び 方 に ら ばg∈Lpで

部 分 空 間 に な る.そ 元fの

代 表 の 選 び 方 に よ ら な い の でLp上

代 表 をfと

れ をLp す る と き

の 準 ノ ル ム を 定 め る.

で あ る. 元 は 正 確 に は 函 数 の 同 値 類 で あ る が,混

に は 単 に 函 数 と 呼 び,函数fとfの

乱 す るお そ れ が な い と き

属 す る 同 値 類 を 同 じ記 号 で 表 わ す.こ

の こ

とを"測

度0の

視 す る"な

集 合 上 で の 値 を 無 視 す る"と

か"a.e.で

一 致 す る 函数 を 同一

ど と い う.

  定 理   (Ω,μ)が 測 度 空 間 でXが 線 型 位 相 空 間,Lp(Ω,μ;X)は

準 ノ ル ム 空 間 で あ る.特

(Ω,μ;X)とLp(Ω,μ;X)も   証 明   Xが

準 ノル ム 空 間 の と き,M(Ω,μ;X)は

完 備 な ら ばM

完 備 で あ る.

完 備 の と き完 備 性 を い う.Mの

を 使 う.fn∈M,Σdis(fn-1,fn)0>r-indφ1ま

を 満 た す と 仮 定 す る.ま

た,1≦q0≦

た はr-ind

φ00な

  (g) -μ はDφq(A)か

をAの

らば

レ ゾル ベン

らDψq(A)へ

ト集 合 に 属 す る 数 と す る.こ

の1対1有

の と き(μ+A)-m

界 線 型 作 用 素 で あ る.l-indφ>0の

場

合,こ

れ は 上 へ の 作 用 素 で あ る.

 証明 

に 非負整 数kとlを

  (a)の 証. 01

収 束 す る.Amは

閉で

か も,

{anA(an+A)-1}mx→Amx.  (d)の

証.  x∈D(Am)か

つAmx∈Dφq(A)と

す る.補

題8.3に

よ り  で あ り,

し た が っ てx∈Dφq(A)で

あ る.

  (e)の 証. 

と な る.ゆ

とす る と

え に,AmxはDφq(A)に

  (f)の 証.  l-ind φ>0と

属 す る. す る とl-indψ>mと

 し た が っ て(e)に の 包 含 は(d)に

を 得 て,(μ+A)-mが1対1有   l-indφ>0な

  例  -μ

よ り 

よ り, 逆 向 き

有 界 作 用 素 で あ る か ら,

界 作 用 素 で あ る こ と が わ か る.

ら ば 定 理8.3と(f)に 逆 に な る.よ

をAの

 系  q,φ,m,ψ

よ り(μ+A)mはDψqをDφqに

っ て(μ+A)-mは

上 へ の 作 用 素. 

レ ゾ ル ベ ン ト集 合 に 属 す る 数 と し,σ

を 定 理 と 同 じ とす る.こ

 証 明  -μ をAの   x∈Dφq(A)と

理8.3に

よ る.

  (g)の 証. A(μ+A)-1は

(μ+A)-mの

な り,定

写 し, (証 明 終)

を 正 数 とす る とき

の とき

レ ゾル ベ ン ト集 合 に 属 す る数 とす る.

す る と, 

で あ る.し

と す る と,定

 逆 に,  定 理8.3(c)を

使 っ て,Ajxj∈Dφq(A)を

  x∈Qφq(A)と

す る.

得 る か らx∈Dφq(A)で

た が っ て,

理 の(e)に あ る.

よ り,

で あ り,定

理 の(d)に

  逆 に,xが

よ りAj μjAm-j(μ+A)-mx∈Qψq(A).

論 理 的 同 値 記 号 の 右 側 の よ うに 表 わ さ れ る とxがQφq(A)に

る こ と は 定 理 の(e)と

定 理8.3(c)に

よ りわ か る. 

属す

(証 明 終)

  §8.5  定 義 域 ま た は 値 域 と の 補 間 空 間   空 間DφqとRφqを   定 理   mを

補 間 空 間 と し て 特 徴 づ け る.

正 整 数,0