Осцилятор Дуффинга: Учебное пособие для студентов вузов

Â.Â. Àñòàõîâ, Ñ.À. Êîáëÿíñêèé, À.Â. Øàáóíèí

Îñöèëëÿòîð Äóèíãà

2007

ÓÄÊ 53.182(076.5)

Àñòàõîâ Â.Â.,Êîáëÿíñêèé Ñ.À., Øàáóíèí À.Â. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà: Ó÷åá-

íîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. 2007.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé ïî êóðñó îñíîâû òåîðèè êîëåáàíèé äëÿ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà óíèâåðñèòåòà. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ ïðîñòåéøèìè íåëèíåéíûìè ÿâëåíèÿìè - àíãàðìîíè÷íîñòüþ, íåèçîõðîííîñòüþ, ìóëüòèñòàáèëüíîñòüþ, íåëèíåéíûì ðåçîíàíñîì, à òàêæå äëÿ îáó÷åíèÿ ñòóäåíòîâ ìåòîäàì àíàëèçà íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Îñíîâíûå ýåêòû èçó÷àþòñÿ íà îäíîé èç áàçîâûõ ìîäåëåé íåëèíåéíîé äèíàìèêè - îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, êîíòðîëüíûå âîïðîñû è ëàáîðàòîðíûå çàäàíèÿ, âûïîëíÿåìûå íà ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîì êîìïëåêñå ïðîãðàìì, èñïîëüçóþùèõ ñðåäó Labview. Ïðèâåäåí ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. åêîìåíäîâàíî ê èçäàíèþ êàåäðîé ðàäèîèçèêè è íåëèíåéíîé äèíàìèêè Ñ Ó.

Îãëàâëåíèå 1. Ââåäåíèå 2. Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îñöèëëÿòîð Äóèíãà 3. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ èõ óñòîé÷èâîñòü 4. Èññëåäîâàíèå êîíñåðâàòèâíîãî àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà 5. ßâëåíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 6. ßâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 7. Ëèòåðàòóðà

3

1 Ââåäåíèå Òåîðèþ êîëåáàíèé íà÷èíàþò èçó÷àòü, êàê ïðàâèëî, ñ èçó÷åíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, óðàâíåíèå êîòîðîãî:

x′′ + 2αx′ + ω02 x = F (t)

(1.1)

- ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Çäåñü ïåðåìåííàÿ

x

õàðàêòåðèçóåò ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà â êàæ-

äûé ìîìåíò âðåìåíè (îáû÷íî ýòî - òîê, íàïðÿæåíèå, çàðÿä è ò.ï.), ýèöèåíò äèññèïàöèè,

ω0

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà,

F (t)

α - êî-

- âíåøíåå âîçäåé-

ñòâèå. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð - ïðîñòåéøàÿ êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà (áàçîâàÿ ìîäåëü), ïîçâîëÿþùàÿ èññëåäîâàòü òàêîå óíäàìåíòàëüíîå ÿâëåíèå, êàê ðåçîíàíñ, òî åñòü ýåêò ðåçêîãî óâåëè÷åíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âîçäåéñòâèÿ ñ ñîáîñòâåííîé ÷àñòîòîé ñèñòåìû. Îäíàêî, ëèíåéíûé õàðàêòåð ýòîé ìîäåëè â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ ñäåðæèâàþùèì àêòîðîì: îí íå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü òàêèå íàáëþäàþùèåñÿ â ïðèðîäå è òåõíèêå ÿâëåíèÿ, êàê íåèçîõðîííîñòü è àíãàðìîíè÷íîñòü êîëåáàíèé. Äëÿ èõ àíàëèçà òðåáóåòñÿ óñëîæíåíèå óðàâíåíèÿ îñöèëëÿòîðà (1.1) çà ñ÷åò ó÷åòà íåëèíåéíûõ ñâîéñòâ ðåàëüíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Ñäåëàòü ýòî ìîæíî, íàïðèìåð, ó÷òÿ çàâèñèìîñòü êîýèöèåíòà äèññèïàöèè

α

èëè ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû

ω0

îò èíòåíñèâíîñòè (àìïëèòó-

äû) êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå.  ïåðâîì ñëó÷àå íåëèíåéíîñòü íîñèò äèññèïàòèâíûé, à âî âòîðîì - ðåàêòèâíûé õàðàêòåð. Îáû÷íî â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ïðèñóòñòâóþò îáå íåëèíåéíîñòè, îäíàêî, äëÿ ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà áûâàåò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü âëèÿíèå ýòèõ àêòîðîâ ïî îòäåëüíîñòè. Íàïðèìåð, åñëè ìû ó÷òåì çàâèñèìîñòü äèññèïàöèè îò ìîùíîñòè êîëåáàíèé (òî åñòü îò êâàäðàòà äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé):

α(x) = −(ε − x2),

òî ïîëó÷èì õîðîøî èçâåñòíîå â ðàäèîèçèêå óðàâíåíèå ãåíåðàòîðà Âàíäåð-Ïîëÿ:

x′′ − (2ε − x2 )x′ + ω02 x = F (t) 4

(1.2)

. Åñëè ó÷åñòü çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû îò ìîùíîñòè:

ω02(x) =

ω02 (1 + ξx2) òî ïîëó÷èì äðóãóþ áàçîâóþ ìîäåëü íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà - îñöèëëÿòîð Äóèíãà:

x′′ + αx′ + ω02 (1 + x2)x = F (t)

(1.3)

Íà ïðèìåðå ýòîé ìîäåëè óäîáíî èçó÷àòü òàêèå ýåêòû íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, êàê íåèçîõðîííîñòü, àíãàðìîíè÷íîñòè è ìóëüòèñòàáèëüíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, îñöèëëÿòîð Äóèíãà - ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðà ñ ðåàêòèâíîé íåëèíåéíîñòüþ.

5

2 Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îñöèëëÿòîð Äóèíãà

Îñöèëëÿòîð Äóèíãà èëè îñöèëëÿòîð ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìîäåëåé òåîðèè êîëåáàíèé. Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà èìååò âèä:

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0.

(2.1)

Åãî ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ, ê ïðèìåðó, êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ (ðèñ. 2.1a), êîëåáàíèÿ ãðóçèêà íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé âîçâðàùàþùåé ñèëîé, ðàñïîëîæåííîãî íà ïëîñêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2.1b). Äàííîå óðàâíåíèå òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì (ðèñ. 2.1 ). àññìîòðèì ïåðå÷èñëåííûå ïðèìåðû áîëåå ïîäðîáíî.

2.1 Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóçèê ìàëîãî ðàçìåðà ìàññîé m, ïîäâåøåííûé íà äëèííîé òîíêîé íèòè

l

(ðèñ. 2.1a). Ïðåäïî-

ëàãàåòñÿ, ÷òî ìàññà ìàÿòíèêà ñîñðåäîòî÷åíà â ãðóçèêå è íèòü ÿâëÿåòñÿ íåðàñòÿæèìîé. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áåç ó÷åòà òðåíèÿ

ma = −P1 , 6

11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 0 1 00000000000000000000 11111111111111111111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ϕ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 N 0 1 0 1 0 1 0 1

U(x)

F(x) 000 111 111 000 000 111 m 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111

P1

(a)

mg

(b)

x

( )

x

èñ. 2.1: Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðèâîäÿùèõ ê óðàâíåíèþ Äóèíãà: (a) - ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ, (b) - ãðóç íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé æåñòêîñòüþ, ( ) - äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì.

ãäå

a

- óñêîðåíèå äâèæåíèÿ,

P1

- âîññòàíàâëèâàþùàÿ ñèëà. Êàê âèäíî èç

P1 = mgSin(ϕ). Ëèíåéíàÿ è óãëîâàÿ v = l dϕ dt .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

ðèñóíêà, øåíèåì

ñêîðîñòè ñâÿçàíû ñîîòíî-

d2 ϕ g + sin ϕ = 0. dt2 l sin ϕ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâϕ5 ϕ3 íîâåñèÿ ϕ = 0: sin ϕ = ϕ − + ∓ . . .. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ îò 6 120 Ôóíêöèþ

ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ñëó÷àé ñëàáîé íåëèíåéíîñòè) â ðàçëîæåíèè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ñëàãàåìûìè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

d2 ϕ g 1 3 + (ϕ − ϕ ) = 0. dt2 l 6 Ñ ó÷åòîì ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, êîòîðóþ áóäåì ïîëàãàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè

(Fd = δv),

ïîëó÷èì óðàâíåíèå

dϕ g g 3 d2 ϕ + δl + ϕ − ϕ dt2 dt l 6l Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ

ϕ = x, δl = α, (g/l) = β

óðàâíåíèþ (2.1).

7

è

(−g/6l) = γ ,

ïðèõîäèì ê

2.2 ðóç íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé æåñòêîñòüþ Â êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.2.1b, íà ãðóçèê ìàññîé

m

äåéñòâóåò âîçâðàùàþùàÿ ñèëà

æèíû

k

è ñìåùåíèÿ

x

F,

êîòîðàÿ çàâèñèò îò æåñòêîñòè ïðó-

îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, è ñèëà òðåíèÿ

Fd .

Áóäåì

ïîëàãàòü, ÷òî ñèëó óïðóãîñòè ïðóæèíû ìîæíî çàäàòü â âèäå

F = k0 x + k1 x 3 , à ñèëà òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè

Fd = δ

dx . dt

Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

d2 x dx m 2 + δ + k0 x + k1 x 3 = 0 dt dt èëè

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0, ãäå

α = (δ/m), β = (k0 /m)

è

γ = (k1/m).

2.3 ×àñòèöà â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå àññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññîé

m

â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì (ñì.

ðèñ.2.1ñ), êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèåé

1 2 1 4 ax + bx , 2 4

u(x) = ãäå

a 0.

Ïðè îòêëîíåíèè ÷àñòèöû îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, íà

íåå äåéñòâóåò âîçâðàùàþùàÿ ñèëà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èìååò âèä

m¨ x+

F = − ∂V∂x(x) .

∂V (x) = 0 ∂x 8

 îòñóòñòâèå äðóãèõ ñèë,

èëè

m¨ x + ax + bx3 = 0. Ñ ó÷åòîì ñèëû òðåíèÿ

Fd = δ x˙

ïîëó÷èì óðàâíåíèå (2.1)

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0, ãäå

α = (δ/m), β = (a/m), γ = (b/m).

àññìîòðåííûå ïðèìåðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîñòåéøèå êîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé ìîäåëüþ è äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå íåàâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà îïèñûâàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ â îäíîìîäîâîì ïðèáëèæåíèè [(20)℄. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà ïðè âíåøíåì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé è ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç áàçîâûõ ìîäåëåé òåîðèè äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà.

9

3 Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èõ óñòîé÷èâîñòü

Íà÷íåì èññëåäîâàíèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà ñ èçó÷åíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ - èõ ïîèñêà è àíàëèçà íà óñòîé÷èâîñòü â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ

x˙ = y

è ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ

îñöèëëÿòîðà (2.1) â âèäå:

x˙ = y, y˙ = −αy − βx − γx3.

(3.1)

Ýòà ñèñòåìà äâóõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ýêâèâàëåíòíà óðàâíåíèþ (2.1). Çäåñü

x(t)

è

y(t)

- äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå,

êîòîðûå îäíîçíà÷íî è ïîëíîñòüþ çàäàþò ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà â ìîìåíò âðåìåíè

t.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îñ-

öèëëÿòîðà Äóèíãà ñîñòàâëÿåò

N = 2,

à ñàìî àçîâîå ïðîñòðàíñòâî

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü. Íà àçîâîé ïëîñêîñòè

(x, y)

èìåþòñÿ òî÷êè ðàâíîâåñèÿ (íàçûâàåìûå

òàêæå îñîáûìè èëè íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì

x˙ = 0, y˙ = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

y = 0, αy + βx + γx3 = 0. Èç àíàëèçà (3.2) âèäíî, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

10

(3.2)

α, β

è

γ

íà àçîâîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ëèáî îäíà òî÷êà ðàâíîâåñèÿ

P0 : {x = 0, y = 0}, ëèáî òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ

P0 : {x = 0, y = 0}, s β P1 : {x = − , y = 0}, γ s β P2 : {x = − − , y = 0}. γ Î÷åâèäíî, ÷òî îäíà îñîáàÿ òî÷êà è

γ

ñóùåñòâóåò, åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåò-

γ ðàçíûõ çíàêîâ. Âñå òðè òî÷êè ëåæàò â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå íà îñè OX . Òî÷êè P1 è P2 ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî îñè OY . Ïðè êîíå÷íîì, èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè β è ïðè ñòðåìëåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà γ ê íóëþ (ïðè ïåðåõîäå îò íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ê ëèíåéíîìó), òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P1 è P2 ðàçáåãàþòñÿ äðóã îò äðóãà ïî îñè OX ê +∞ è ê −∞. ðîâ

β

P0

(3.3)

îäíîãî çíàêà, à òðè - åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

β

è

Èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà. Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì èññëåäóåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ëèíåàðèçîâàííîé â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè. Âèä ðåøåíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþò êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:

det

"

∂f1 (¯ x,¯ y) − ∂x ∂f2 (¯ x,¯ y) ∂x

λ

∂f1 (¯ x,¯ y) ∂y ∂f2 (¯ x,¯ y) − ∂y

λ

#

= 0.

(3.4)

f1 (x, y) = y, f2 (x, y) = −αy − ∂f1,2 (¯ x,¯ y) ∂f (¯ x,¯ y) βx−γx , x¯, y¯ îáîçíà÷àþò êîîðäèíàòû íåïîäâèæíûõ òî÷åê, 1,2∂x , ∂y Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

3

îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ, âû÷èñëåííóþ â íåïîäâèæíîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè

x = x¯, y = y¯.

11

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (3.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

λ2 − Sλ + J = 0,

(3.5)

ãäå

x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ + , ∂x ∂y ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) x, y¯) ∂f2(¯ J = − . ∂x ∂y ∂y ∂x

S =

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

λ1,2 Çàïèøåì

S

è

J

S = ± 2

r

S2 − J. 4

â áîëåå êîíêðåòíîé îðìå ÷åðåç ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà

Äóèíãà

S = = = J = = =

x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ + ∂x ∂y 0−α −α, ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) x, y¯) ∂f2(¯ − ∂x ∂y ∂y ∂x 2 0(−α) − 1(−β − 3γ x¯ ) β + 3γ x¯2.

Òîãäà

λ1,2

α =− ± 2

Çàïèøåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

r

α2 − β − 3γ x¯2. 4

λ1,2

(3.6)

äëÿ êàæäîé èç òðåõ òî÷åê ðàâíîâå-

ñèÿ. Äëÿ òî÷êè

P0 (êîîðäèíàòà x = x¯ = 0) ïîëó÷àþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ r α2 α − β. λ1,2 = − ± (3.7) 2 4 12

Äëÿ òî÷êè

P1

(êîîðäèíàòà

q x = x¯ = − βγ )

ïîëó÷àåòñÿ

r

α2 + 2β. λ1,2 4 q ¯ = − − βγ ) ïîëó÷àþòñÿ Äëÿ òî÷êè P2 (êîîðäèíàòà x = x æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (3.8), êàê è äëÿ òî÷êè P1 . α =− ± 2

(3.8)

òî÷íî òàêèå

Ïðîàíàëèçèðóåì õàðàêòåð îñîáûõ òî÷åê â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòîðîâ

α, β, γ .

àññìîòðè äâà ñëó÷àÿ:

γ 0.

Ñëó÷àé 1: γ < 0. β < 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òîëüêî ¯ = 0 è y¯ = 0. Åå ñîáñòâåííûå ðàâíîâåñèÿ P0 ñ êîîðäèíàòàìè x

 ýòîì ñëó÷àå, åñëè îäíà òî÷êà çíà÷åíèÿ

λ1,2

îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì (3.7). Âèäíî, ÷òî âíå çàâèñèìî-

ñòè îò ïàðàìåòðà

α (è ïðè ïîëîæèòåëüíûõ, è ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíè-

ÿõ, è â ñëó÷àå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà ïàðàìåòð äèññèïàöèè

α = 0)

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1,2

ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è ðàçíûõ

çíàêîâ, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà

P0

ÿâëÿåòñÿ ñåäëîì.

β > 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P0 , P1 , P2 , êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàíû âûðàæåíèåì (3.4). Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà P0 â íà÷àëå êîîðäèíàò õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîáñòâåí√ √ íûìè çíà÷åíèÿìè,çàäàííûìè âûðàæåíèåì (3.7). Åñëè −2 β < α < 2 β , òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè. Îíè √ èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ïðè −2 β < α < 0, è îòðè√ öàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ïðè 0 < α < 2 β . Òî åñòü íåïîäâèæíàÿ Åñëè æå

òî÷êà â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóñòîé÷èâûé è óñòîé÷èâûé îêóñ, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè

√ α>2 β

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþò-

ñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì. Ïðè

√

α < −2 β

P0

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâ-

ëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è ïîëîæèòåëüíûìè, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà

P0

ïðåâðàùàåòñÿ â íåóñòîé÷èâûé óçåë.

Íåïîäâèæíûå òî÷êè

P1,2

ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó è âåäóò ñåáÿ îäèíà-

êîâûì îáðàçîì. Èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

çàäàíû âûðàæåíèåì (3.8),

α ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ äåéÒàêèì îáðàçîì, íåïîäâèæíûå òî÷êè P1,2

èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ïðè ëþáûõ ñòâèòåëüíûìè è ðàçíûõ çíàêîâ.

λ1,2

13

ÿâëÿþòñÿ ñåäëàìè.

Ñëó÷àé 2: γ > 0.

 ýòîì ñëó÷àå â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò îäíà òî÷êà ðàâíîâåñèÿ

β > 0. Îíà ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì óçëîì ïðè √ −2 β < α < 0, òî îñîáàÿ òî÷êà P0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

â íà÷àëå êîîðäèíàò, åñëè

√ α < −2 β .

Åñëè

íåóñòîé÷èâûé îêóñ. Îíà ïðåâðàùàåòñÿ â óñòîé÷èâûé îêóñ ïðè ïîëîæè-

√ 0 < α < 2 β . Ïðè √ (α > 2 β ) îñîáàÿ òî÷êà P0

òåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè

áîëüøèõ

çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè

ÿâëÿåòñÿ

óñòîé÷èâûì óçëîì.

β < 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P0 , P1 , P2 . Îñîáàÿ òî÷êà P0 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè α îñòàåòñÿ ñåäëîì. Íåïîäâèæíûå òî÷êè P1 è P2 ÿâëÿþòñÿ íåóñòîé÷è√ √ âûìè óçëàìè ïðè α < −2 2β . Ïðè −2 2β < α < 0 îíè ïðåâðàùàþòñÿ Eñëè

â íåóñòîé÷èâûå îêóñû. Çàòåì ñòàíîâÿòñÿ óñòîé÷èâûìè îêóñàìè ïðè

√ 0 < α < 2 2β ,

è äàëåå - óñòîé÷èâûìè óçëàìè, êîãäà

√ α > 2 2β .

3.1 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 1. Èññëåäîâàíèå ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

íàéòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà,

îïðåäåëèòü èõ òèï â çàâèñèìîñòè îò óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, èññëåäîâàòü ñòðóêòóðó àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà â îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò è ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ.

3.1.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî èíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, èçìåíÿÿ ïàðàìåòðû è íàáëþäàÿ ðåçóëüòàò â âèäå àçîâîãî ïîðòðåòà è âðåìåííîé ðåàëèçàöèè. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 3.1. Êíîïêàìè "

"è "

"â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðîèçâîäèòñÿ ñî-

14

èñ. 3.1: Ïðîãðàììà äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

15

îòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. Íà äâóõ ãðàèêàõ x-y îòîáðàæàåòñÿ àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà, ñëåâà ãðàèê èìååò èêñèðîâàííûå ïðåäåëû è îáíîâëÿåòñÿ ïðè çàïóñêå ñ íîâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. ðàèê x-y ñïðàâà î÷èùàåòñÿ îò òðàåêòîðèé âðó÷íóþ ïðè ïîìîùè êíîïêè Reset. Åãî ìàñøòàá è ãðàíèöû ìîãóò ïîäáèðàòüñÿ àâòîìàòè÷åñêè, ÷òîáû âñå òî÷êè îòîáðàæàåìûõ òðàåêòîðèé ïîïàäàëè â âèäèìóþ îáëàñòü. Äëÿ ýòîãî êíîïêè

äîëæíû áûòü íàæàòû äëÿ îáåèõ îñåé (çíà÷îê çàêðûòîãî çàìêà).

Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ "

"

"è "

"ìîæíî âðó÷íóþ óñòàíîâèòü

ïðåäåëû ïîêàçàíèé. Íà íèæíåì ãðàèêå îòîáðàæàåòñÿ âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðîâ íà ãðàèêàõ x-y. Êîîðäèíàòû êóðñîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì îñöèëëÿòîðà, îòîáðàæàþòñÿ â îêíàõ x è y ïîä ãðàèêàìè x-y. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêà Save traje tory ñëóæèò äëÿ ñîõðàíåíèÿ ïîñëåäíåé ðåàëèçàöèè â àéë. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG.

Çàäàíèÿ 1. Íàéòè àíàëèòè÷åñêè âñå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (2.1), ïðîâåñòè èõ àíàëèç (òèï ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è óñòîé÷èâîñòü â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

β, µ).

Èñïîëüçîâàòü èêñèðîâàííîå

ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå êîýèöèåíòà äèññèïàöèè

α (çàäàåòñÿ ïðå-

ïîäàâàòåëåì). 2. Íà ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ

β

-

µ

íàíåñòè ëèíèè, ðàçãðàíè÷èâàþùèå

îáëàñòè ñ ðàçíûì òèïîì ïîâåäåíèÿ, äëÿ êàæäîãî èç íàéäåííûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. 3. Èñïîëüçóÿ ïðîãðàììó ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîñòðîèòü òèïè÷íûå êàðòèíû àçîâûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòÿõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

β

è

µ

äîëæíû áûòü âçÿòû èç ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòåé (ñì. ï. 2). Äëÿ

16

ýòîãî ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â ïðÿìîì âðåìåíè èç íåñêîëüêèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè êàæäîãî èç âûáðàííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîñòðîèòü ÷èñëåííî ïðèòÿãèâàþùèå è îòòàëêèâàþùèå ìíîãîîáðàçèÿ ñåäëîâûõ òî÷åê. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòòàëêèâàþùèõ ìíîãîîáðàçèé âûáðàòü íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè ñåäëîâîé òî÷êè è ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â ïðÿìîì âðåìåíè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèòÿãèâàþùèõ ìíîãîîáðàçèé âûáðàòü íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè ñåäëîâîé òî÷êè è ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â îáðàòíîì âðåìåíè. 4. Äëÿ óêàçàííûõ ïðåïîäàâàòåëåì çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïîñòðîèòü îáùóþ êàðòèíó ðàñïîëîæåíèÿ àçîâûõ òðàåêòîðèé, çàäàâàÿ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ â ðàçíûõ îáëàñòÿõ àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. 5. Âûïîëíèòü ïóíêòû 2 è 4 äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (ïðè

α = 0).

Ïðîèçâåñòè ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ

êîíñåðâàòèâíîãî è äèññèïàòèâíîãî îñöèëëÿòîðîâ.

17

4 Èññëåäîâàíèå êîíñåðâàòèâíîãî àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

 îáîáùåííîì âèäå óðàâíåíèå íåëèíåéíîãî, êîíñåðâàòèâíîãî, àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì

x¨ + f (x) = 0, ãäå

f (x) -

(4.1)

âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó ïðè îòêëîíåíèè

îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ýòî æå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

x¨ + çäåñü

U (x)

dU (x) =0 dx

(4.2)

- ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è

âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

U (x) =

Z

f (x)dx.

Óðàâíåíèå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü. Ââåäåì ïåðåìåííóþ

x˙ = v ,

è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà

dv dx dU (x) + = 0, dx dt dx dv dU (x) v + = 0. dx dx  ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì

v2 + U (x) = E. 2 18

Ýòî ñîîòíîøåíèå îòðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â êîíñåðâàòèâíîì íåëèíåéíîì îñöèëëÿòîðå. Çäåñü

E - ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, U (x) - ïîòåíöèàëüíàÿ

ýíåðãèÿ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Âûðàæàÿ

v

îò

x, çàïèøåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè p v = 2[E − U (x)].

íà àçîâîé ïëîñêîñòè (4.3)

Çíàÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè, ìîæíî ïîñòðîèòü àçîâûé ïîðòðåò íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðîâåäåì ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî, àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

x¨ + βx + γx3 = 0

(4.4)

â ñëó÷àÿõ à) á) â)

β > 0, γ > 0, β < 0, γ > 0, β > 0, γ < 0.

Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà ìîæíî çàïèñàòü êàê

x¨ + òîãäà

U (x) =

dU (x) = 0, dx

Z

(αx + βx3)dx,

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì â ÿâíîì âèäå ïîòåíöèàëüíóþ óíêöèþ

1 1 U (x) = βx2 + γx4 + C. 2 4

(4.5)

Ïî âèäó ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü õàðàêòåðíûé âèä àçîâûõ ïîðòðåòîâ. Ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ãðàèêîâ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì ìèíèìóìû ñîîòâåòñòâóþò ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ òèïà öåíòð, à ìàêñèìóìû - ñåäëîâûì ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ. Ñåäëà è èõ ñåïàðàòðèñû ðàçäåëÿþò â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûì ïîâåäåíèåì. Óáåäèòüñÿ â ýòîì, à òàê æå ïðîäåëàòü ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîòðåòîâ ïî âèäó ïîòåíöèàëüíîé óíê-

19

öèè ìîæíî è áîëåå ñòðîãèì îáðàçîì. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (4.3), çàïèøåì óðàâíåíèå àçîâûõ òðàåêòîðèé äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

v=

r

1 2E − 2C − βx2 − γx4. 2

(4.6)

Çàäàâàÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû (β , è åå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â âèäå ïîëíîé çàïàñåííîé ýíåðãèè (E è

γ)

C ), ìîæ-

íî íà àçîâîé ïëîñîêîñòè ñòðîèòü ñåìåéñòâà òðàåêòîðèé äëÿ âñåõ òðåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñëó÷àåâ - (à), (á) è (â).

4.1 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 2. Èññëåäîâàíèå óñòðîéñòâà àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

ïîñòðîèòü âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè êîíñåðâàòèâ-

íîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, îïðåäåëèòü êàê èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè âëèÿþò íà ñòðóêòóðó àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò è ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ.

4.1.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà Äóèíãà äëÿ çàäàâàåìûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 4.1. Êíîïêàìè Êíîïêàìè "

"è "

"â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðîèç-

âîäèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. Íà ãðàèêå x-U(x) èçîáðàæàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, íà ãðàèêå x-y îòîáðàæàåòñÿ àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà. ðàèê x-y àâòîìàòè÷åñêè î÷èùàåòñÿ îò òðàåêòîðèé êàæäûå 3000 øàãîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêæå ýòî ìîæíî ñäåëàòü

20

èñ. 4.1: Ïðîãðàììà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâûõ ïîðòðåòîâ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

21

âðó÷íóþ ïðè ïîìîùè êíîïêè Reset. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ " "

"

"è

"óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðåäåëû ïîêàçàíèé ýòèõ ãðàèêîâ. Íà ãðàèêå t-

x(t) îòîáðàæàåòñÿ âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà íà ãðàèêå xU(x). Êîîðäèíàòû êóðñîðà îòîáðàæàþòñÿ â îêíàõ x è y ïîä ýòèì ãðàèêîì. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG. Ïðè ñîõðàíåíèè èçîáðàæåíèé íåîáõîäèìî ïîñëåäîâàòåëüíî óêàçàòü ïóòü è íàçâàíèÿ àéëîâ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ãðàèêà ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâîãî ïîðòðåòà (ïî óìîë÷àíèþ pot.jpg è x-y.jpg).

Çàäàíèÿ è óïðàæíåíèÿ 1. Ìåòîäàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîñòðîèòü àçîâûå ïîðòðåòû êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (4.4) äëÿ òðåõ ñëó÷àåâ: (à) -

β > 0, γ > 0,

(á) -

β < 0, γ > 0,

(â) -

β > 0, γ < 0.

(Êîíêðåòíûå

÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñëåäóåò ïîëó÷èòü ó ïðåïîäàâàòåëÿ). 2. Ïîñòðîèòü äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ (âñå òðè ñëó÷àÿ) ãðàèêè ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè

U (x).

3. Ïîñòðîèòü äëÿ òðåõ ñëó÷àåâ àçîâûå ïîðòðåòû êîíñåðâàòèâíîãî ñîöèëëÿòîðà Äóèíãà, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå àçîâûõ òðàåêòîðèé (4.6). 4. Ïðîàíàëèçèðîâàòü è ñîïîñòàâèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. (Ñîïîñòàâèòü àçîâûå ïîðòðåòû, ïîñòðîåííûå ðàçíûìè ìåòîäàìè äëÿ îäèíàêîâûõ çíà÷åíèé ïàðìåòðîâ. Ñîïîñòàâèòü òèïû àçîâûõ ïîðòðåòîâ ñ ãðàèêàìè ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè.)

22

5 ßâëåíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà Îäíèìè èç ïðîñòåéøèõ, òèïè÷íûõ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé, íàáëþäàåìûõ â ñèñòåìàõ ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, ÿâëÿþòñÿ íåèçîõðîííîñòü, àíãàðìîíè÷íîñòü è ìóëüòèñòàáèëüíîñòü. Ïîä íåèçîõðîííîñòüþ ïîíèìàþò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû (ïåðèîäà) ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé îò èõ àìïëèòóäû (èíòåíñèâíîñòè). Ýòî ÿâëåíèå äåìîíñòðèðóåò, íàïðèìåð, ñêà÷óùèé ìÿ÷èê: â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñ êàêîé âûñîòû ñáðàñûâàåòñÿ ìÿ÷èê, ïåðèîä åãî ïîäñêîêîâ áóäåò ðàçíûì. Îíî æå íàáëþäàåòñÿ ïðè äâèæåíèè ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà, ÷òî îòðàæàåòñÿ â çàêîíå Êåïëåðà. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè ïðîÿâëÿåòñÿ â èçìåíåíèè îðìû êîëåáàíèé ñ ðîñòîì èõ àìïëèòóäû: äëÿ ìàëîé àìïëèòóäû êîëåáàíèÿ îñòàþòñÿ ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèìè, äëÿ áîëüøåé - èõ îðìà èñêàæàåòñÿ. Ïðè èñêàæåíèè îðìû êîëåáàíèé â ñïåêòðå ïðîèñõîäèò ãåíåðàöèè íîâûõ ãàðìîíèê íà ÷àñòîòàõ, êðàòíûõ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè ëåãêî îáíàðóæèòü, íàáëþäàÿ çà êîëåáàíèÿìè èçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèê áëèçîê ê ãàðìîíè÷åñêîìó îñöèëëÿòîðó è åãî êîëåáàíèÿ áëèçêè ê ñèíóñîèäàëüíûì. Ñ óâåëè÷åíèåì àìïëèòóäû íåëèíåéíîñòü âåäåò ê èñêàæåíèþ îðìû êîëåáàíèé: âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ íà÷èíàåò áîëüøå è áîëüøå îòëè÷àòüñÿ îò ñèíóñîèäû. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè è ñîñòîèò â óõîäå âðåìåííîé ðåàëèçàöèè îò ãàðìîíè÷åñêîé îðìû ñ ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè êîëåáàíèé.  ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíûõ ãàðìîíèê è óâåëè÷åíèþ èõ èíòåíñèâíîñòè. ßâëåíèå ìóëüòèñòàáèëüíîñòè, òàêæå êàê íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè, ìîæåò íàáëþäàòüñÿ òîëüêî â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ. Çàêëþ÷à-

23

åòñÿ îíî â òîì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìîæåò äåìîíñòðèðîâàòü ðàçëè÷íûå ðåæèìû. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî â åå àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî àòòðàêòîðîâ. Ñèñòåìà, â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå êîòîðîé ñîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèñòàáèëüíîé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà ñîñóùåñòâóåò òîëüêî äâà óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèÿ, ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ áèñòàáèëüíîé. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ â ñèñòåìå íàáëþäàåòñÿ îäèí è òîò æå àòòðàêòîð, íàçûâàåòñÿ áàññåéíîì ïðèòÿæåíèÿ ýòîãî àòòðàêòîðà.

5.1 Èññëåäîâàíèå íåèçîõðîííîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà àññìîòðèì ñëó÷àé êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ

x¨ + βx + γx3 = 0.

(5.1)

α = 0, êîëåáàíèé, è ïàðàìåòð γ

 îñöèëëÿòîðå Äóèíãà â äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòð äèññèïàöèè ïàðàìåòð

β

õàðàêòåðèçóåò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó

ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì íåëèíåéíîñòè. Âûÿâèòü àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû ìîæíî òîëüêî äëÿ ñëàáî íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà ïàðàìåòð

γ

ÿâëÿåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé, òî åñòü

|γ| = = = = = Çäåñü óãëîâûå ñêîáêè

< ... >

Z 1 T iω0adt ˙ T 0 iω0 a, ˙ Z T 1 a3 exp(2iω0t)dt T 0 a3 [exp(2iω0T ) − exp(2iω00)] 2iω0T a3 [exp(i4π) − 1] 2iω0T a3 [cos 4π + i sin 4π − 1] 2iω0T 0. îçíà÷àþò óñðåäíåíèå çà ïåðèîä. Õîðîøî

26

âèäíî, ÷òî ïîñëå óñðåäíåíèÿ çà ïåðèîä ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû:

a˙ = i Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó

a(t)

3γ 2 |a| a. 8ω0

(5.6)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

a(t) = ρ(t) exp(iφ(t)), ãäå

ρ(t), φ(t)

(5.7)

- äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé

àìïëèòóäó è àçó êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàâëÿÿ (5.7) â óðàâíåíèå (5.6) è âûäåëÿÿ îòäåëüíî äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóäû è àçû

ρ(t) ˙ = 0, 3γ 2 ˙ ρ (t). φ(t) = 8ω0

(5.8) (5.9)

Èíòåãðèðóÿ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì ðåøåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû è àçû

ρ(t) = ρ0 , 3γ 2 φ(t) = ρ t. 8ω0 0 Òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü ðåøåíèå

x(t)

óðàâíåíèÿ êîíñåðâàòèâíîãî, ñëàáî

íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà:

x(t) = Re[a(t) exp(iω0t)] = Re[ρ(t) exp(iφ(t)) exp(iω0t)] 3γ 2 = Re[ρ0 exp(i ρ t) exp(iω0t)] 8ω0 0 3γ 2 ρ )t. = ρ0 cos(ω0 + 8ω0 0

(5.10)

Âèäíî, ÷òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà Äóèíãà çàâèñèò îò åãî àìïëèòóäû. Ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé ÷àñòîòà èëè íàðàñòàåò, èëè óáûâàåò, ÷òî çàâèñèò îò çíàêà ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

27

γ.

5.2 Èññëåäîâàíèå àíãàðìîíè÷íîñòè

Ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä áûëî ïîëó÷åíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ àâòîíîìíîãî, êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, êîòîðîå îïèñûâàåò ýåêò íåèçîõðîííîñòè è â òîæå âðåìÿ íèêàê íå îòðàæàåò ýåêò àíãàðìîíè÷íîñòè, ïðèñóùèé äëÿ âñåõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Ïðîâåäåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà äðóãèì àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì - ìåòîäîì Ïóàíêàðå. Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïèñûâàåò è ýåêò íåèçîõðîííîñòè, è ýåêò àíãàðìîíè÷îñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ðàâíà åäèíèöå (β

= ω02 = 1) x¨ + x + γx3 = 0.

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà â íîâîé ïåðåìåííîé ïî âðåìåíè :

ω

2d

τ = ωt

2

x + x + γx3 = 0. 2 dτ

(5.11)

åøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà äëÿ ïåðåìåííîé

x,

òàê è äëÿ ÷àñòîòû

êàê

ω:

x = x0 + γx1 + γ 2x2 + ..., ω = 1 + γω1 + γ 2ω2 + .... γ → 0 ÷àñòîòà √ ω ñòðåìèòñÿ ê ÷àñòîòå β = 1. êîëåáàíèé ω0 = Ïðè

γ

(5.12) (5.13)

ñîáñòâåííûõ (èëè ëèíåéíûõ)

 âûðàæåíèÿõ (5.12)-(5.13) îãðàíè÷èìñÿ ñëàãàåìûìè äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, è ïîäñòàâèì èõ â óðàâíåíèå (5.11)

(1 + γω1)2(¨ x0 + γ x¨1) + x0 + γx1 + γ(x0 + γx1)3 = 0, x¨0 + 2γω1x¨0 + γ x¨1 + 2γ 2ω12 x¨1 + γ 3ω12 x¨1 + x0 + γx1 + γx30 + ... = (5.14) 0. àçëîæèì óðàâíåíèå (5.14) ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà

28

γ . Ïðèðàâíÿåì ñëàãà-

åìûå îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè

γ0 : x¨0 + x0 = 0, γ 1 : 2ω1x¨0 + x¨1 + x1 + x30 = 0, x¨1 + x1 = −2ω1x¨0 − x30.

(5.15)

(5.16)

åøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.15) ÿâëÿåòñÿ

x0 = a cos(τ + φ) = a cos(ωt + φ).

(5.17)

Ïîäñòàâèì (5.17) â óðàâíåíèå (5.16):

x¨1 + x1 = 2ω1a cos(τ + φ) − a3 cos3(τ + φ), 3 1 x¨1 + x1 = 2ω1a cos(τ + φ) − a3 [ cos(τ + φ) + cos 3(τ + φ)]. (5.18) 4 4 Ê ñåêóëÿðíîìó ðîñòó

φ)

x1(τ ) ïðèâîäÿò ñëàãàåìûå ïðîïîðöèîíàëüíûå cos(τ +

(ïðè ðåçîíàíñíîì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè íà ãàðìîíè÷åñêèé îñ-

öèëëÿòîð ïðîèñõîäèò ðàñêà÷êà êîëåáàíèé äî áåñêîíå÷íîñòè, ïðè âåëè÷èíà

x1 (τ ) → ∞).

τ →∞

×òîáû óñòðàíèòü òàêîå ðåçîíàíñíîå âîçäåéñòâèå,

ïîäáåðåì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ìàëóþ äîáàâêó ê ÷àñòîòå

3a3 2ω1a − = 0, 4 3a2 . ω1 = 8

(5.19)

Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (5.18) ïðèìåò âèä

a3 x¨1 + x1 = − cos 3(τ + φ). 4 åøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.20) ÿâëÿåòñÿ

x1 = C cos 3(τ + φ).

29

(5.20)

×òîáû îïðåäåëèòü êîíñòàíòó

C,

ïîäñòàâèì ýòî â óðàâíåíèå (5.20)

−9C cos 3(τ + φ) + C cos 3(τ + φ) = −

a3 cos 3(τ + φ), 4

a3 C = 32

Âûðàæåíèå äëÿ

x1

ïðèìåò âèä

a3 x1 = cos 3(τ + φ). 32  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè

γ2

a3 x ≃ a cos(ωt + φ) + γ cos 3(ωt + φ), 32 2 3a ω ≃ 1+γ . 8

(5.21)

(5.22)

Ïîëó÷åííûé äàííûì ìåòîäîì ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî êóáè÷åñêàÿ íåëèíåéíîñòü ïðèâîäèò ê àíãàðìîíè÷íîñòè è íåèçîõðîííîñòè êîëåáàíèé â êîíñåðâàòèâíîì îñöèëëÿòîðå. Ïîìèìî îñíîâíîé ÷àñòîòû ïîÿâèëàñü òðåòüÿ ãàðìîíèêà. ×àñòîòà êîëåáàíèé çàâèñèò îò èõ àìïëèòóäû, ïðè÷åì, åñëè

γ > 0, òî ÷àñòîòà ω ðàñòåò ïðè γ < 0, òî ÷àñòîòà óìåíüøàåòñÿ.

óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé; åñëè

Òàêèì îáðàçîì, ìû âûÿâèëè, ÷òî óæå ïðè ñëàáîé íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ñèíóñîèäàëüíûìè, â íèõ ïðèñóòñòâóþò ãàðìîíèêè. Ïðè÷åì, â ïðèáëèæåíèè äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè â îñöèëëÿòîðå ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ãåíåðèðóåòñÿ òðåòüÿ ãàðìîíèêà. Àìïëèòóäà ãàðìîíèêè ìíîãî ìåíüøå àìïëèòóäû îñíîâíîé ñîñòàâëÿþùåé êîëåáàíèé.

30

5.3 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 3. Èññëåäîâàíèå íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â êîíñåðâàòèâíîì îñöèëëÿòîðå Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

ñîïîñòàâèòü ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëå-

íèé íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò.

5.3.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò èçó÷èòü òàêèå ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ ñèñòåì, êàê íåèçîõðîííîñòü è àíãàðìîíè÷íîñòü, íàáëþäàÿ çà èçìåíåíèÿìè ÷àñòîòû, àìïëèòóäû è ñïåêòðîì êîëåáàíèé. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 5.1. Êíîïêàìè Êíîïêàìè

è

â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðî-

èçâîäèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. ðàèêè x-y è t-x(t) îòîáðàæàþò ñîîòâåòñòâåííî àçîâûé ïîðòðåò è âðåìåííóþ ðåàëèçàöèþ êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ è

,

óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðåäåëû ïîêàçàíèé ýòèõ ãðàèêîâ. Íà ãðàèêå

Spe trum îòîáðàæàåòñÿ ñïåêòð êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà íà ãðàèêå x-y èëè óñòàíàâëèâàþòñÿ ÷èñëåííî â îêíàõ x è y. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG. Ïðè ñîõðàíåíèè èçîáðàæåíèé íåîáõîäèìî ïîñëåäîâàòåëüíî óêàçàòü ïóòü è íàçâàíèÿ àéëîâ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ àçîâîãî ïîðòðåòà, âðåìåííîé ðåàëèçàöèè è ñïåêòðà (ïî óìîë÷àíèþ x-y.jpg, t-x.jpg è spe .jpg). Èíäèêàòîðû Amplitude è Frequen y ïîêàçûâàþò òåêóùèå áåçðàçìåðíûå àìïëèòóäó è ÷àñòîòó êîëåáàíèé. Ïðè íàáëþäåíèè ýåêòà íåèçîõðîííîñòè ðåêîìåíäóåòñÿ âû-

31

èñ. 5.1: Ïðîãðàììà äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà.

32

áèðàòü ìàëûå âðåìåíà èíòåãðèðîâàíèÿ (t

20), äëÿ áîëåå òî÷íîãî ðàñ÷åòà

ÁÏÔ è íàáëþäåíèÿ ãàðìîíèê ñïåêòðà ñëåäóåò óñòàíàâëèâàòü áîëüøèå âðåìåíà (t

200).

Çàäàíèÿ è óïðàæíåíèÿ 1. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (5.10),

ïðè èêñèðîâàííîì ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè

γ (êîíêðåòíûå ÷èñëåí-

íûå çíà÷åíèÿ ñëåäóåò ïîëó÷èòü ó ïðåïîäàâàòåëÿ) â çàâèñèìîñòè îò àìïëèòóäû

ρ0 .

Âûÿâèòü, êàê ìåíÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà

êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò àìïëèòóäû. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû. 2. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èíòåãðèðóÿ ÷èñëåííûìè ìå-

òîäàìè óðàâíåíèå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (5.1) ïðè

γ , â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãî ñêîðîñòü x ˙ 0 èêñèðîâàíà è ðàâíà íóëþ).

x0

òîì æå çíà÷åíèè

ñìåùåíèÿ

(íà-

÷àëüíàÿ

Âûÿâèòü, êàê ìå-

íÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû

x0 .

Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé

îò àìïëèòóäû. 3. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (5.10),

ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àìïëèòóäû ìåòðà íåëèíåéíîñòè âàëû çíà÷åíèé

γ

γ

ρ0

â çàâèñèìîñòè îò ïàðà-

(êîíêðåòíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ

ρ0

è èíòåð-

ñëåäóåò îáñóäèòü ñ ïðåïîäàâàòåëåì) . Âûÿâèòü, êàê

ìåíÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ.

4. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èíòåãðèðóÿ ÷èñëåííûìè ìå-

òîäàìè óðàâíåíèå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (5.1) ïðè èêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (x0 ñðàâíèìî ñ çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ.

ρ0

è

x˙ 0 = 0)

â

Âûÿâèòü, êàê ìåíÿåòñÿ

÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ . Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò ïàðà-

ìåòðà íåëèíåéíîñòè.

33

5. Ïðîâåñòè ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åíûìè ïðèáëèæåííûìè àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Îöåíèòü èíòåðâàëû çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ãäå ïðèìåíèìû àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.

34

6 ßâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 6.1 Êà÷åñòâåííûé àíàëèç çàäà÷è î âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ. Ïðè âîçäåéñòâèè âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû íà ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð íàáëþäàåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, åäèíñòâåííûé îñíîâíîé ýåêò - ëèíåéíûé ðåçîíàíñ. Ïðè ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû ê ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðàñòåò.  îñöèëëÿòîðå áåç äèññèïàöèè îíà ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êîãäà ÷àñòîòà âîçäåéñòâèÿ ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé.  îñöèëëÿòîðå ñ ïîòåðÿìè àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äîñòèãàåò íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, à çàòåì óìåíüøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòàìè. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îò ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà õàðàêòåðèçóþò ðåçîíàíñíûå êðèâûå. (Äðóãèìè ñëîâàìè, ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ - ýòî ãðàèê çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé îò ðàññòðîéêè). ×åì ìåíüøå ïîòåðè â îñöèëëÿòîðå, òåì îñòðåå è âûøå ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ. ×òî èçìåíèòñÿ, êîãäà îñöèëëÿòîð ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíûì? Èëè, ÷òî èçìåíèòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà â îñöèëëÿòîðå ÷àñòîòà êîëåáàíèé çàâèñèò îò àìïëèòóäû? Ïóñòü íà íåëèíåéíûé îñöèëëÿòîð, ñîâåðøàþùèé ìàëûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé

ω1 ,

äåñòâóåò âíåøíåå âîçäåéñòâèå òîé æå ÷àñòîòû. Òîãäà ñèñòåìà

ïîëó÷àåò ýíåðãèþ îò âíåøíåãî èñòî÷íèêà, è ìàëûå âíà÷àëå êîëåáàíèÿ íàðàñòàþò. Îäíàêî, ïîñêîëüêó îñöèëëÿòîð íåèçîõðîííûé, áîëüøåé ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò óæå äðóãàÿ ÷àñòîòà.  ðåçóëüòàòå ñèñòåìà âûõîäèò èç ðåçî-

35

íàíñà è, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé àìïëèòóäû, îñöèëëÿòîð ïåðåñòàåò çàìå÷àòü âíåøíþþ ñèëó. Òàêèì îáðàçîì, âûõîä èç ðåçîíàíñà ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò íåëèíåéíîãî ñäâèãà ÷àñòîòû

ω = ω(A).

×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, ðàññìîòðèì ÿâëåíèå ðåçîíàíñà â ëèíåéíîì îñöèëëÿòîðå, çàòåì ó÷òåì ýåêò íåèçîõðîííîñòè è â óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ââåäåì ïîïðàâêó ê ÷àñòîòå.

Çàïèøåì óðàâíåíèå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ïðè âíåøíåì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèèè

x¨ + αx˙ + ω02x = B cos ωt, ãäå

B, ω

ñèïàöèè,

- àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ,

ω0

(6.1)

α

- ïàðàìåòð äèñ-

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Ïåðåïèøåì

óðàâíåíèå (6.1)

x¨ + αx˙ + ω02 x =

B exp(iωt) + k.c. 2

(6.2)

(k. . - êîìïëåêñíî - ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà) è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå

x(t) = Re[A exp(iωt)] A = exp(iωt) + k.c. 2 1 = [A exp(iωt) + A exp(−iωt)], 2 ãäå

A

(6.3)

- ïîñòîÿííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé àì-

ïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé.

Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå

1 [iωA exp(iωt) − iωA exp(−iωt)], 2 1 x¨ = [−ω 2A exp(iωt) − ω 2 A exp(−iωt)], 2

x˙ =

36

(6.4) (6.5)

Ïîäñòàâèì (6.3) - (6.5) â óðàâíåíèå (6.2)

iωα ω2 A[exp(iωt) + exp(−iωt)] + A[exp(iωt) − exp(−iωt)] + 2 2 ω02 + A[exp(iωt) + exp(−iωt)] 2 B [exp(iωt) + exp(−iωt)], = 2 A(ω02 − ω 2 + iωα) = B, |A(ω02 − ω 2 + iωα)| = |B|, q A2[(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 α2 ] = B, B . (6.6) |A| = p 2 (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 α2

−

Âûðàæåíèå (6.6) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Åñëè äèññèïàöèÿ îòñóòñòâóåò (α

= 0

- ñëó÷àé êîíñåðâàòèâ-

íîãî îñöèëëÿòîðà), òî ïðè ñòðåìëåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ê

(ω → ω0) (B = const),

ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå îñöèëëÿòîðà

è ïîñòîÿííîì çíà÷åíèè àì-

ïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ

àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ,

âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè

(|A| → ∞).

Îòìå-

òèì, ÷òî áåñêîíå÷íûé ðîñò àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìîæåò ïðîèñõîäèòü è ïðè î÷åíü ìàëîì, íî êîíå÷íîì çíà÷åíèè àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  äèññèïàòèâîì îñöèëëÿòîðå àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé âñåãäà êîíå÷íà, è, ÷åì ìåíüøå ïîòåðè

α

â îñöèëëÿòîðå, òåì

îñòðåå è âûøå ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ.

 óðàâíåíèè ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ (6.6) ó÷òåì ïîïðàâêó ê ÷àñòîòå â âèäå

3 ω 2(A) = ω02 + γA2. 4

(6.7)

Ýòà çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ïîëó÷åííûìè âûðàæåíèÿìè (5.10) è (5.22), åñëè ïàðàìåòð íåëèíåéíîñòè ìàë

37

(|γ|