凸体と代数幾何学 (紀伊國屋数学叢書 24)

紀伊國屋数学叢書 24

編集委 員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

小 田 忠雄

凸 体 と代 数 幾 何 学 紀伊國屋書店

序

  トー リ ック多 様 体 あ るい は トー ラ ス埋 込 み と呼 ば れ る代 数 多様 体 の 理 論 は, 実 ア フ ィ ン空 間 内 の 凸 図 形 の幾 何 学 と代 数幾 何 学 とを 関 連 づ け る理 論 で あ る. 1970年 代 初 頭 に基 礎 づ け が 行 わ れ て 以来 の10年 間 に 長 足 の発 展 を 遂 げ,数

々

の 興 味 深 い 応 用 例 を 生 み 出 した.   本 書 は,ト

ー リ ッ ク多 様 体 に 関 し て これ まで に 得 られ た 結 果 の な るべ く多 く

の 部 分 を 統 一 的 な 形 に ま とめ るた め に著 した も の で あ る.   近 年 代 数 幾 何 学 の教 科 書 は 何 種 類 も 出版 され てお り,20年 前 に較 べ て基 礎 的 知 識 が 得 や す くな って い る.し か し な が ら初 学 者 が 学 ぶ べ き基 本 的 概 念 の量 は 尨 大 で あ り,一 般 論 に 馴 染 ん だ 上 で そ れ らを 有 機 的 に使 用 し て研 究 を行 うの は 決 して 容 易 で な か ろ う.   そ こで 代 数 幾 何 学 へ の判 り易 い 入 門 書 とな る こ とも 目標 とす る本 書 で は,予 備 知 識 の 量 に わ ず らわ され ず に あ る程 度 理 論 の実 態 が判 るよ うに,複 素 解 析 空 間 と して トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る こ と に し た.そ

れ ら の複 素 解 析 的性 質

を,目 に 見 え る凸 図 形 の初 等 幾 何 学 に翻 訳 で き るばか りで は な く,興 味 あ る複 素 解 析 空 間 の 具 体 例 も比 較 的 容 易 に構 成 で き る の で あ る.   しか しな が ら トー リ ッ ク多 様 体 は 本 質 的 に は 代 数 多 様 体 で あ り,そ の基 本 的 性 質 の 証 明 に はGAGA定

理 を 通 じ て代 数 幾 何 学 に帰 着 させ る こ とが 不 可避 で

あ る.そ の た め に 必 要 な一 般 論 は,証

明は と もか くな るべ く判 り易 い形 で本 書

に 収 録 す る よ う努 め た.複 素 解 析 学 と代 数 幾 何 学 との間 の差 異 が か え って浮 き 彫 りに な って い れ ば 怪 我 の 功 名 で あ る.   第1章 で は トー リ ッ ク多 様 体 理 論 の基 礎 的 部 分 を解 説 す る.実 ア フ ィン空 間 内 の 扇 お よび 扇 の 写 像 を 定 義 し,そ れ らを 使 っ て トー リ ッ ク多 様 体 お よ び 同変 正 則 写 像 を 構 成 す る.扇 お よび 扇 の 写 像 の 興 味 あ る具 体 例 は 比 較 的 容 易 に作 る こ とが で き,そ れ に応 じ て複 素 解 析 空 間 お よび 正 則 写 像 の面 白い 例 が 沢 山構 成 で き る こ と とな る.ま た 例 え ば 双 有 理 幾 何 学 の 基 本 的 問 題 が,ト

ー リッ ク多 様

体 の 場 合 に は 扇 の細 分 に 関 す る興 味 あ る問 題 に帰 着 で き る の で あ る.   第2章 で は,コ

ンパ ク トな トー リッ ク多 様 体 の コホ モ ロジ ー お よび射 影 空 間

に 埋 込 め る トー リッ ク多 様 体 を取 扱 う.凸 体 に含 まれ る格子 点 の 問題 や 凸体 の 等 周 問題 が,ト

ー リ ッ ク多様 体 の 代 数幾 何 学 的 問 題 に翻 訳 で き る こ と も判 る.

また 射 影 多 様 体 に関 す る強 力 な森 理 論 も,ト ー リッ ク多 様 体 の場 合 に は少 し一 般 化 した 上 で 扇 を 使 って 解 明す る こ とが で き る.   第3章 で は,ト

ー リ ッ ク多 様 体 上 の微 分 形 式 に関 連 した 話 題 を と り あ げ る.

複 素 解 析 多 様 体 の変 形,退 化 に関 連 が あ る ばか りで は な く,可 換 環 論 の立 場 か ら も興 味 あ る話 題 であ る.ま た 関連 し てCremona群   第4章

も本 章 で取 り挙 げ る.

では,本 書 で 取 扱 い得 な か った重 要 な応 用 に簡 単 に触 れ た 後,循 環 連

分 数 と2次 元 カ ス プ特 異 点 と の関 係,さ

ら にそ れ らの 高次 元 へ の 自然 な一 般 化

を 紹 介 す る.簡 単 に触 れ るVⅡ 型 曲面 の構 成 と共 に,ト ー リッ ク多 様 体 の開 集 合 の 離 散 群 に よる商 空 間 とし て興 味 あ る複 素多 様 体 を構 成 す るの で あ る.   凸 体 に 関 す る文 献 は 沢 山存 在 す る が,そ の 中 か ら本書 で 必要 とす る事 項 を ま とめ て 付 録 とした.   これ ま で に発 表 され て い る トー リ ッ ク多 様 体 関 係 の論 文,解 説 の 内 容 を 本書 に 数 多 く組 み 入れ させ て頂 い た.著 者 諸 氏 に この場 で感 謝 を した い.ま た 本書 の随 所 で 明 らか な よ うに,最 初 の共 同 研 究 者 で あ る 名古 屋 大 学 の三 宅 克 哉 氏, 次 の共 同 研 究 者 で あ って単 独 に も この理 論 の 発 展 に 貢献 され た 東 北 大 学 の 石 田 正 典 氏 に 負 う と ころが 多 い.ま た 石 田 氏 に は 原稿 に 部分 的 に 目を 通 して 頂 き貴 重 な助 言 も頂 い た.こ の機 会 に 両 氏 に 謝 意 を 表 した い.   本 叢 書 へ の執 筆 を御 薦 め頂 い た 永 田 雅 宜,飛 田武 幸 の 両 先 生 に こ こで 感 謝 を す る と と もに,完 成 が大 幅 に 遅 れ,編 集 委 員 会 の諸 先 生 お よび 紀 伊 國 屋 書 店 出 版 部 の諸 氏 に 御 迷 惑 を お か け した こ とを お わ び す る.   本 書 の 印 刷 中,1983年11月10目

不 慮 の 事 故 に よ り急 逝 さ れ た 畏 友 宮 田武

彦 氏 に 本 書 を 捧 げ 御 冥 福 を 祈 りた い.   尚,本 書 は英 訳 され,Convex duction

to the Theory

15,Springer-Verlag,1988と

Bodies

of Toric

and Algebraic

Geometry:An

Varieties,Ergebnisse

der

Intro Math.(3)

して出 版 され て い る. 著

者

目

次

序 第1章 

扇 と トー リ ッ ク 多 様 体

  §1.1  有 理 強 凸 多 面 錐 と 扇 

1

  §1.2 

4

トー リ ッ ク 多 様 体 

  §1.3  軌 道 分 解,角

付 き 実 多 様 体 お よ び 基 本 群 

12

  §1.4  非 特 異 性 と コ ン パ ク ト性 

17

  §1.5  同 変 正 則 写 像 

22

  §1.6  低 次 元 トー リ ッ ク 特 異 点 と有 限 連 分 数 

27

  §1.7 

41

第2章

トー リ ッ ク多 様 体 の 双 有 理 幾 何 学 

  整 凸 多 面 体 と トー リ ッ ク 射 影 多 様 体

  §2.1  同 変 直 線 バ ン ドル,不

持 函数

  70

  §2.2  コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 の コ ホ モ ロ ジ ー 

76

  §2.3  射 影 空 間 へ の 同 変 正 則 写 像 

89

  §2.4 

変Cartier因

子,支

トー リ ッ ク射 影 多 様 体 

  §2.5  森 理 論 と トー リ ッ ク 射 影 多 様 体  第3章

 

101 115

トー リ ッ ク多 様 体 と 微 分 形 式

  §3.1  対 数 的 極 を 持 つ 微 分 形 式 

128

  §3.2  石 田 の 複 体 

132

  §3.3  コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 と微 分 形 式 

144

  §3.4 

トー リ ッ ク 多 様 体 の 自 己 同 型 群 とCremona群 

150

第4章 

い くつ か の 応 用

  §4.1  循 環 連 分 数 と2次

元 トー リ ッ ク 多 様 体 

166

  §4.2  カ ス プ特 異 点 

172

  §4.3  トー リ ッ ク多 様 体 の コン パ ク ト商 多 様 体 

190

付

録   凸 体 の幾 何 学

  §A.1  凸 多 面 錐 

195

  §A.2  凸 多 面 体 

202

  §A.3  支 持 函 数 

205

  §A.4  コン パ ク ト凸集 合 の混 合 体 積 

209

  §A.5  コン パ ク ト凸 多 面体 の 形 態 

213

文

223

献 

第1章

  扇 と トー リ ック多様 体

  本 章 にお い ては 凸 体 の幾 何 学 的 素 材 で あ る扇 を まず 定 義 し,さ 然 に トー リ ッ ク多 様 体(あ

らに扇 か ら 自

るい は トー ラス埋 込 み)と 呼 ば れ る複 素 解 析 空 間 を

構 成 す る.こ の構 成 方 法 は非 常 に簡 単 な もの で あ るが,本 書 に お い て紹 介 す る よ うに,自 然 界 に は 数 学 的 に有 意 義 な扇 が 多 数 存 在 し,そ れ に応 じて興 味 あ る 複 素 解 析 空 間 が 自然 に 構 成 出来,応 用 範 囲が 案 外 広 い の で あ る.   こ の理 論 の要 点 は,ト

ー リッ ク多 様 体 の複 素 解 析 的 諸 性 質 が,扇 の初 等 幾 何

学 的 性 質 で 記 述 出来 る こ とに あ り,そ の うち で最 も基 本 的 な もの につ い て は本 章 で 取 扱 い,そ の 他 に つ い ては 後 章 に 譲 る.   簡 単 のた め 複 素 解 析 空 間 とし て構 成 す るが,全

く同 じ方 法 に よ り,扇 に対 し

任 意 の基 礎 体 また は可 換 環 上 の代 数 多 様 体 とし て トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る こ とが 出来,標

数 に無 関 係 な代 数 幾 何 学 の 判 り 易 い 素 材 を 得 る.Demazure

[D5],Mumford達[TE],佐

武[S1],三

宅 ‐小 田[MO′]が1970年

代初頭 に

互 い に 独 立 に 基 礎 づ け を 行 った 理 論 で あ る.[TE],[MO],Danilov[D1],小 田[O1]に

代 数幾 何 学 的 立 場 か らの 総 合 的 な 解 説 が あ る.

 §1.1 有理強 凸多面錐 と扇   階 数rの

自由Z‐ 加 群 

を固 定 し て考 え る.M=HomZ(N,Z)を

その

双対Z‐ 加 群 とす れ ば,自 然 なZ‐ 双 線 形 写 像

を 得 る.N,Mの

係 数 を 実 数 体Rに

拡 張 し たr次 元R‐ ベ ク トル空 間 を 

とす れ ば,係 数 拡 大 に よ りR‐ 双 線 形 写 像: MR×NR→Rを

  定 義  NRの

得 る.

部分 集 合 σ が(原 点0を 頂 点 とす る)有 理 強 凸 多 面錐 で あ る と

は,有 限 個 のNの

元n1,n2,…,nsが

存在 して

とな り,さ

らに σ∩(-σ)={0},す

ま な い こ とで あ る.た だ し 

な わ ち σが{0}以

外 にR‐ 部 分 空 間 を 含

は 非 負実 数 全 体 の 意 味 で あ る.

  つ ま りσは 付 録 §A.1の 意 味 でR‐ ベ ク トル空 間NR内

の凸 多 面 錐 であ るが,

{0}以 外 にR‐ 部 分 空 間 を 含 ま ない と い う意 味 で強 凸 で あ る.さ 性 す なわ ち あ らか じ めNR内

に与 え られ た格 子Nに

ら に σ の 有理

関 し て整 数 方 向(有 理 数 方

向 と い っ て も同 じ)の ベ ク トル で張 られ て い る こ とも 要請 す るの で あ る.付 録 §A.1に

お け る諸 概 念 を この 場 合 に も次 の よ うに適 用 出来 る.

  有 理 強 凸 多 面 錐 σ の次 元dimσ +(-σ)=Rσ

の 次 元 で あ る.我

扱 う.σ のMRに

と 定 義 す れ ば,こ 1.3参 =rと

照).σ

とは σを 含 むNRの

最 小 のR‐ 部 分 空 間 σ

々 はr以 下 色 々 の次 元 の有 理 強 凸 多 面 錐 を 取

お け る双 対 錐 を

れ はMR内

の 凸 多 面 錐 で あ り,し

か も 有 理 的 で あ る(命 題

が 強 凸 で あ る こ と に よ り 

す な わ ちdimσv

な る .σ の 部 分 集 合 τ が σ の 面 で あ る と は あ るm0∈

と な る こ とで あ り,τ乗

対 し γn(λ)(m):=λ<m,n>で

の 意 味 で あ る.n,n′

てNはTNの

∈Nに

定 義 す る.右

辺 は λの整 数

対 し γn+n′=γn・γn′が 成 立 す る.か

くし

一 助 変 数 部 分 群 全 体 の な す 群 と 同 一 視 出 来 る.

  よ り具 体 的 に は 次 の 通 り で あ る.NのZ‐ 対 基 底 を{m1,…,mr}と

を 得 る.す

す る. 

た 

局e(m)はTN上

双

す れ ば 同型

座 標 系 を 与 え る. 

で あ り,結

で あ る.ま

と り,Mの

に 対 しuj=e(mj)と

な わ ち(u1,…,ur)はTNの

ら 

基 底{n1,…,nr}を

な

のLaurent単

な ら はλ∈Cxに

項式 なの

対 し 

を 対 応 させ る準 同 型 で あ る.   代 数 的 トー ラス の持 つ基 本 的 性 質 は,可 換 代 数 群 で あ る こ と と次 の完 全 可 約 性 を み たす こ とで あ る.証 明 は そ れ ほ ど困 難 で は な く,代 数 群 の標 準的 な参 考 書 に は どれ に で も載 って い る.   完 全 可約 性 定理   代 数 的 トー ラスTNがC‐

ベ ク トル空 間Wに

し て い る とす る.す なわ ち群 の準 同型 ρ:TN→GL(W)が ρの 各 行 列 成 分 が 座 標u1,…,urのLaurent多 この と き各m∈Mに

対 し指 標mに

代数的に作用

与 え られ,し か も

項 式 で 表 わ され る もの とす る.

関 す る 固有 空 間 を 

と定 義 す れ ば,Wは

それ ら の直 和

に 分 解 す る.   扇 か ら トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る際 に 基 本 とな る のは,Mか ラスTN=HomZ(M,Cx)を

定 義 す る上 述 の 方 法 を 命題1.1に

ら代数 的 トー お け る部 分 加 法

半 群 〓σに 拡 張 す る次 の結 果 で あ る.   命 題1.2  NRの

有 理 強 凸 多 面 錐 σに対 し命 題1.1に

部分加法半群を 

と し,ま

は1対1写

たm∈

とす る.こ

〓σ とu∈Uσ

像 で あ る.Uσ

よ り得 るMの

に 対 しe(m)(u):=u(m)と

をCpに

有 限生成 の とき

すれば

お け る そ の 像 と 同 一 視 す れ ば,Uσ

はCp内

で い くつ か の(単 項 式)=(単 的 部 分 集 合 で あ る.複

項 式)の 形 の 有 限 個 の 方 程 式 系 の 解 集 合 と な り代 数

素 解 析 空 間Cpか

ら 導 か れ る 構 造 に よ りUσ はr次

既 約 か つ 正 規 な 複 素 解 析 空 間 と な り,し に よ ら な い.ま

た 各m∈

か も そ れ は 生 成 元m1,…,mpの

〓σ に 対 しe(m)はUσ

元 の 選 び方

上 の 多 項 式 函 数 で あ り,従

っ

て 正 則 函 数 で あ る.   注   Uσ に は 実 はC上

の既 約 ア フ ィ ン代 数 多 様 体 の構 造 が入 り,そ れ に 付随 し て 自然

に 得 られ る複 素解 析 空 間 の構 造 が 上記 の もの で あ る.後 述 の 通 り我 々は トー リッ ク多 様 体 の 複 素解 析 的 性 質 の 証 明を,こ

の事 実 に よ って 代数 幾 何学 に 帰 着 さ せ る こ とが 出来 る

の で あ る.ち な み に 代 数 幾 何 学 を 使 用 す れ ばUσ の代 数 多 様 体 と して の構 造は 次 の よ う に 明快 に 記 述 出 来 る.す な わ ちMのC上 し こ こで はe(m)を

の 群 環 を 

とす る.た だ

単 な る記 号 と考 え,積 の構 造 を 

で 入 れ る.

この と き ア フ ィン ・スキ ー ムSpec(C[M])のCに 準 同 型C[M]→C)の

値 を持 つ 点(す なわ ち環 と し て のC‐

全 体 は 明 らか に 我 々 の代 数 的 トー ラ スTN=HomZ(M,Cx)と

致 す る.〓 σはMの

部 分 加 法 半 群 で あ るか らそ のC上

をC‐ 基 底 とす るC[M]の Cに 値 を持 つ 点(す

一

の半 群 環C[〓 σ]は{e(m);m∈

部 分 環 であ る.こ の と き ア フ ィン ・ス キ ー ムSpec(C[〓

なわ ち環 と して のC‐ 準 同型C[〓 σ]→C)の

〓σ} σ])の

全 体 は 明 ら か にUσ と

一 致 す る.   命 題1.2の u∈Uσ

証 明   m1,…,mpは

は 

ap∈Cが

っ て定 義 に よ り

に よ っ て 唯 一 通 りに 決 ま る.a1,…,

与 え られ た とき 

にa1,…,apが

とな るu∈Uσ が 存 在 す る ため

み た す べ き 必 要 十 分 条 件 は,上

変 数x1,…,xpを xp]か

加 法 半 群 〓σを 生 成 す る.従

らC[〓

と き そ の 核Iの

そ れ ぞ れe(m1),…,e(mp)に σ]=C[e(m1),…,e(mp)]へ

記 の 注 を 使 え ば 次 の 通 りで あ る. 移 す よ う な 多 項 式 環C[x1,…,

のC上

の 環 準 同 型 を 考 え る.こ

イ デ ア ル と し て の 生 成 元f1(x),…,fq(x)を

ap)がf1(a)=…=fq(a)=0を

み た す こ と で あ る.さ

の

とれ ば,a=(a1,…, て 

とす れ ば,  と な る.た

はm∈

〓σ に わ た る 和,ま

た Σ"は

ν1m1+…+νpmp=mを

ν1,…,νpの す べ て に わ た る 和 で あ る.簡 よ う なfか

ら な る イ デ ア ルIの

ぶ こ と が 出 来 る.す

だ しb(ν1,…,νp)∈Cで

あ り, 

みたす非負整数

単 な 計 算 に よ り 明 ら か な よ うに,こ

の

生 成 元 とし ては 次 の よ うな形 の もの 有 限 個 を 選

な わ ち 非 負 整 数 λ1,…,λp,μ1,…

μpがMに

お い て λ1m1

を み た す と きの 多 項 式  で あ る.   命 題 の 証 明 を 完 了 す る に は,Uσ の ア フ ィ ン 代 数 多 様 体 と し て の 座 標C[〓 がr次

元 の 正 規 整 域 で あ る こ と を 見 れ ば よ い.C[M]は

urに 関 す るLaurent多 域 で あ る.従

で あ る か ら 各m∈Mは る.従

前 述 の 通 り変 数u1,…,

項 式 全 体 の 環 

っ て そ の 部 分 環 で あ るC[〓

と を 示 そ う.C[M]が

と一 致 す る ので 整 σ]も そ うで あ る.ま

あ るm′,m"∈

っ てe(m)=e(m′)/e(m")と

一 致 す る こ と が 判 る .最

書け

σ]の 商 体 とC[M]の

商 体 とが

σ]が 正 規 す な わ ち 商 体 の 中 で 整 閉 で あ る こ

明 ら か に 正 規 で あ る こ と か ら,C[〓

整 閉 包RはC[M]に

含 ま れ る.t∈TN,m∈Mに

定 義 す る こ と に よ りTNはC[M]に

代 数 的 に 作 用 し,C[〓

対 しe(m)がC[〓

っ てR=C[〓

σ]上 整 な らm∈

σ]とRはTN‐

元 で あ り,e(m)の

σ]を 示 す た め に は,m∈

〓σ で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る .

a1,…,aν ∈C[〓 σ]に 対 しe(m)ν+a1e(m)ν-1+…+aν=0が せ よ.各aje(m)ν-jの

成 立 して い る と

指 標 νmに 関 す る 固 有 空 間 成 分 を 考 え れ ば,あ

に 対 しm′ ∈ 〓σ が 存 在 し て νm=m′+(ν-j)mと

〓σ で あ る.

場 合 の 簡 単 な 例 を 挙 げ よ う.{n1,n2}をNのZ‐

m2}をMの

双 対 基 底 とす る(第1.2図

  (ⅰ) 

  (ⅱ) 

な ら  と な る. 

基 底 と し,{m1,

参 照).

な ら  と な る. 

る 

な る こ と が 判 り,jm=

m′∈ 〓σ で あ る こ と に な る.〓 σの 飽 和 性 に よ りm∈   例   r=2の

不

固 有 空 間 の 直和 に 分 解

記 の 作 用 の 定 義 か ら 各 固 有 空 間 は 高 々1次

形 の 元 で 生 成 さ れ る こ と が 判 る.従 Mに

σ]の 商 体 に お け る

対 しt・e(m):=t(m)e(m)と

変 な 部 分 空 間 で あ る.前 述 の 完 全 可 約 性 定 理 に よ りRは さ れ る が,上

た 

〓σ に よ りm=m′-m"と

な り,C[〓

後 にC[〓

σ]

で あ り,  は 同 型 で あ る. で あ り,  に よ り  で あ る.

  (ⅲ)σ={0}な

ら 

と な り,結 局(ⅱ)と 同 様 に    (ⅳ) 

と な る. な ら 簡 単 な 計 算 に よ り 

お よ び 

と な る.  に よ り 結 局Uσ={(u1,u2,u3)∈C3;u12=

u2u3}と

な り,原

い て は §1.6に

点(0,0,0)はUσ

の 孤 立 特 異 点 と な る.こ

の例の一般化につ

お い て 詳 述 す る.

(ⅰ)

(ⅲ)

(ⅱ)

(ⅳ) 第1.2図

  Uσ の形 の多 様 体 の貼 り合 せ に よ っ て 一 般 の トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る際 に次 の結 果 が 基 本 的 役割 を果 す.   命 題1.3  σがNRの

有 理強 凸 多面 錐 な ら ば,双

面 錐 であ る.τ が σ の面 で あれ ばm0∈M∩

とな り,特 に τも またNRの の と き 

対 錐 σvはMRの

有理凸多

σvが 存 在 し て  有 理 強 凸 多 面 錐 で あ る.こ

で あ りUτ={u∈Uσ;u(m0)≠0}と

な る.特 に

UτはUσ の 開集 合 で あ る.   証 明  σ が有 限個 のNの 元 の非 負 一 次 結 合 全 体 とし て与 え られ て い る の で, σvはMRに お け る有 限 個 の整 数 係 数 斉 次 一 次 不 等 式 系 の解 全 体 と し て 与 え ら れ て い る こ とに な る.定

理A.2に

よ り明 らか に σvの 生 成 元 と してMの

選 べ,σvは 有 理 的 で あ る.τ が σ の面 で あれ ば,定 義 に よ りあ る  し 

とな る. 

を相 対 内部 に含 む σvの 面 を 考 え る.そ

元が に対 の面 も

明 らか に整 数 係 数 斉 次 一 次不 等 式 系 の 解 全 体 の 形 に表 わ し うる ので 有 理 的 で あ り,従

って相 対 内 部 に 

の 点 を 含 む.適

当 な 自然 数 倍 を とれ ば あ るm0

∈Mが

そ の面 の相 対 内 部 に含 まれ る こ とに な り,命 題A.6の

証 明に よ り τ=

σ∩{m0}⊥ とな る.   さて 系A.7に

よ り 

で あ るか ら  で あ るが,一 方 任 意 のm∈

きな 自然 数aを て 

とれ ばm+am0は

σv,従 っ てM∩

とな る.m0∈

〓τに 対 し十 分 大

σv=〓 σ に 属 す る.よ っ

〓σ で あ るか ら 

は 明 ら か で あ る.   以 上 の 準 備 の も と に い よ い よ トー リ ッ ク 多 様 体 を 構 成 す る.   定 理1.4 

の 扇 Δ が 与 え ら れ た と き{Uσ}σ ∈Δ を 自 然 に 貼 り合 せ る こ

と に よ りHausdorff分

を 得 る.こ

離 公 理 を み た す 複 素解 析 空 間

れ は 既 約 か り 正 規 で あ り,(N,Δ)に

(toric variety)あ

る い は トー ラ ス 埋 込 み(torus

  証 明   命 題1.2に つ 正 規 なr次

付 随 し た トー リ ッ ク 多 様 体

よ り各 σ∈ Δ に 対 す るUσ

元 代 数 的 部 分 集 合,従

embedding)と

は 複 素 ア フ ィン空 間 内 の既 約 か

っ て 解 析 的 部 分 集 合 で あ る.一

に よ り σ,τ∈ Δ に 対 し て σ ∩τ は σ お よ び τ の 面 で あ る.従 よ りUσ ∩τは 自然 にUσ

お よ びUτ

呼 ぶ.

の 開 集 合 と な る.こ

方 扇 の定 義

っ て 命 題1.3に

の 事 実 を 使 っ て{Uσ}σ ∈Δ

を 自 然 に 貼 り合 せ る こ と に よ りr次

元 の 既 約 か つ 正 規 な 複 素 解 析 空 間X=TN

emb(Δ)を

離 公 理 を み た す こ とを 見 るた め に は 直 積 空

間X×X内

得 る.XがHausdorff分

で 対 角 線 集 合 が 閉 集 合 で あ る こ と を 言 え ば よ い.す

∈ Δ に 対 し 対 角 線 写 像  こ と で あ る.こ

∩τ の 〓σ,〓τ⊂ 〓σ∩τ へ の 制 限 で あ る.

を 示 そ う.定

あ る か ら 右 辺 は 左 辺 に 含 ま れ る.一 の で,あ

るm0∈Mの

σ,τ

が 閉 じた 埋 込 み とな る

こにu′u"はu∈Uσ

  ま ず 

なわ ち各

理A.1(2)に

方 σ と τ とは 面 σ ∩τ の み で 交 わ っ て い る

決 め る 超 平 面{m0}⊥

に あ る こ と が 定 理A.1(3)に

よ り(σ ∩τ)v=σv+τvで

よ り命 題1.3と

に 関 して σ と τ とは 互 い に反 対 側 同 様 に 証 明 出 来 る.従 と な る.よ

っ て 

っ て 命 題1.3に

よ り 

が 成 立 す る.   〓σお よ び 〓τの 生 成 元 を{m1,…,mp}お

よ び 

は 〓σ∩τの 生 成 元 と な る.閉

と す れ ば 

埋 込 み 写 像(e(m1),…,e(mp),

 の 像 が 閉 埋 込 み 写 像  およ び 

の 直 積 写 像 

の 像 の 閉 部 分 集 合 で あ る こ と は 容 易 に 判 る.   上 記 の トー リ ッ ク多 様 体 の 構 成 はNRに 次 に 双 対 加 群Mの Uσ={u:〓

部 分 加 法 半 群 〓σ=M∩

お い て まず 有 理 強 凸 多 面 錐 σ を と り σvを 作 り,再

σ→C;u(0)=1,u(m+m′)=u(m)u(m′),∀m,m′

び 一 種 の双 対 操 作 で ∈ 〓σ}を 導 入 し

た う え で 貼 り合 せ る 方 法 を と っ て お り,一 が,実

は そ の お か げ でUσ

∩Uτ=Uσ

見 二 重 手 間 を か け無 駄 な よ うで あ る

∩τ と な り,以

下 で見 る よ う に 扇 の 性 質

と トー リ ッ ク多 様 体 の 性 質 と の 対 応 が 非 常 に 見 易 くな る の で あ る.  で あ り 

で あ る が,{σv}σ

∈Δ,{〓σ}σ ∈Δ を 図 示 し て 取

扱 う の は 容 易 で は な い こ とを 確 か め て み ら れ る と よ い.   注   命 題1.2お

よび そ の 直 後 の 注 で述 べ た通 り,各Uσ

の 構造 を 持 ち,ま

た 貼 り合 せ の 写 像 も命 題1.3に

はC上

の ア フ ィン代 数 多 様 体

よ り代 数 的 で あ る.従

は(一 般 に は 無 限 個 の)ア フ ィン 開集 合 を貼 り合 せ て 出来 るC上

ってTNemb(Δ)

の代 数 多 様 体 の構 造 を

持 ち,そ れ に 付 随 して 得 られ る複 素 解 析 空 間 が こ こで 取 扱 う トー リ ッ ク多 様 体 で あ る. この 事 実 は 後 に しば しば 利用 す る.Cの

代 りに 任 意 の 体 あ るい は 可換 環 を考 えれ ば,実

は も っ と一 般 に そ の 上 の代 数 多 様 体 あ るい は ス キ ー ム と して の トー リ ッ ク多 様 体 が構 成 出 来 る の であ る.本 章 の序 で挙 げ た 文 献 を 参 照 して 頂 きた い.  

の 場 合 の ト ー リ ッ ク 多 様 体 の 簡 単 な 例 を い くつ か 挙 げ よ う.

  例  N=Zと

し 

と す る.こ

と す れ ば,TNemb(Δ)は 

と 

に 沿 っ て 貼 り合 せ た も の で あ り,複 (第1.3図

と を 共 通 の 開 集 合U{0}=TN=Cx 素 射 影 直 線P1(C)と

一 致 す る こ とが 判 る

参 照).

  例   (第1.4図

の と き Δ={σ,-σ,{0}}

のZ‐ 基 底 を{n1,n2}と

し,Mの

双 対 基 底 を{m1,m2}と

する

参 照).

  (ⅰ) 

と し Δ={σ,τ,{0}}と

お よ びUτ=Cx×Cを

共 通 の 開 集 合U{0}=TN=Cx×Cxに

せ る こ と に よ りTNemb(Δ)=C2＼{(0,0)}と   (ⅱ) n0=-n1-n2と

な る.

お よ び そ れ ら の 面 で あ る 

の 集 ま りを Δ と す る. 

で あ り,開

複 素 射 影 平 面P2(C)と

常 の 斉 次 座 標 を[z0:z1:z2]と

集 合 に 沿 って貼 り

一 致 す る こ と が 判 る.P2(C)の

す れ ば, 

Uτ,Uρ は そ れ ぞ れ 開 集 合{z0≠0},{z1≠0},{z2≠0}と (ⅲ) 整 数aに

沿 っ て 貼 り合

し 

と す る.σ,τ,ρ

合 せ たTNemb(Δ)は

す れ ば,Uσ=C×Cx

通

と な りUσ, 一 致 す る の で あ る. 

対 し  と し,σ,σ

′,τ,τ ′お

よ び そ れ ら の 面 す べ て の 集 ま り を Δ と す る.こ のP1(C)‐

バ ン ドル と な り,普

通Fa(あ

一 致 す る こ とが 判 る .F-aとFaと

の と きTNemb(Δ)はP1(C)上

る い は Σa)と 書 くHirzebruch曲

面 と

は 同 型 で あ る こ と も 容 易 に 判 る の で,通

常 

の 場 合 の み を 考 え る.

(ⅰ)

(ⅱ)

第1.3図   TNemb(Δ)を

トー リ ッ ク多 様 体 あ る い は トー ラ ス 埋 込 み と呼 ぶ 理 由 は 次 の 通

り で あ る.Nの

扇 Δ は 必 ず{0}を

TNと

な る.ま

た{0}は

はUσ

の 開 集 合 で あ る.従

含 む.明

っ てTNemb(Δ)は

もTNが

理4.1]を

  定 理1.5  代 数 的 トー ラスTNが 用 す る とき,も

しXがTNと

σ→Cを

に 作 用 し てい る こ と と な る.貼

作 用 す る.特 に σ={0}の

おけ る群 演 算 と一 致 す る.実

細 は た とえ ば[MO,定

準

を任意の

の と きtu:〓

で あ り,TNがUσ

せ に よ り結 局TNemb(Δ)に はU{0}=TNに

開集合 と

とす れ ば 定 義 に よ りt:M→Cxは

σ→Cはu(0)=1, 

m,m′ ∈ 〓σ に 対 し て み た す.こ

と定 義 す れ ばtu∈Uσ

代 数 的 ト ー ラ スTNを

よ りTN

の 代 数 多 様 体 と し て の 構 造 に 関 し て 代 数 的 に)

な わ ちt∈TN,u∈Uσ たu:〓

あ りU{0}=

ー ラ ス 埋 込 み と 呼 ば れ る.

  一 方TNはTNemb(Δ)に(そ

同 型 で あ り,ま

ら か に 〓{0}=Mで

す べ て の σ∈ Δ の 面 で あ る か ら 命 題1.3に

し て 含 む こ と と な り,ト

作 用 し て い る.す

(ⅲ) 第1.4図

り合

とき この 作用

は逆 に次 の定 理 が成 り立 つ.詳

参 照 して 頂 きた い. 既 約 か つ 正 規 な 代 数 多 様 体Xに

同型 な 開 軌 道 を 含 む な らばNの

除 い て唯 一 つ決 ま り,同 型X=TNemb(Δ)がTNの

代数的に作 扇 Δ が 同型 を

作 用 も込 め て成 り立 つ.

  この定 理 の証 明 に は,前 述 の 代 数 的 トー ラ ス の完 全 可 約 性 と,次 の 基本 的 な 結 果 を 使 用 す る こ とを 付 記す るに と どめ る.(p.69,追

記(1)参 照).

  隅 広 の 定 理([S9,I,補 代 数 多様 体Xに

題8,系2])連

結 な 線 形 代 数 群Gが

代 数 的 に 作 用 す るな らば,XはG‐

わ れ る.特 にGが

既約かつ正規な

不 変 な準 射 影 的 開 集 合 で 覆

代 数 的 トー ラス で あ る場 合 に は,XはG‐

不 変 な アフ ィ ン開

集 合 で覆 わ れ る.

 §1.3 軌道 分解,角 付き実多様 体および基本群   前 節 に お い て 我 々は 

の 扇 Δ に 対 す る トー リ ッ ク多 様 体TNemb(Δ)

を構 成 し た.ま た 代 数 的 トー ラ スTNがTNemb(Δ)に

作用 す る こ とも述 べ た.

す な わ ち 各 σ∈Δ に対 し開 集 合Uσ はTN‐ 不 変 で あ り,t∈TN=HomZ(M,Cx) お よび  に対 し

とす る とtu∈Uσ

と な る の で あ っ た.こ

の 作 用 に 関 す る 軌 道 分 解 が 次 の よ うに

明 快 に 記 述 出 来 る.   命 題1.6 

σ∈ Δ に 対 し,TNの

剰 余 代 数 的 トー ラ ス と し て の

群準 同型} はTNemb(Δ)のTN‐

軌 道 とみ な せ,こ

道 全 体 の 集 合 と 同 型 に な る.ま

れ に よ っ て Δ はTNemb(Δ)のTN‐

軌

た 次 の こ とが 成 立 す る.

  (ⅰ) orb({0})=U{0}=TN.   (ⅱ) σ∈ Δ に 対 しorb(σ)の 余 次 元r-dimσ

複 素 解 析 空 間 と し て の 次 元 は,σ

のNRに

おけ る

と一 致 す る.

  (ⅲ) σ,τ∈ Δ とす る.τ

が σ の 面 で あ る こ と とorb(σ)がorb(τ)の

閉 包 に含

ま れ る こ と とは 同 値 で あ る.   (ⅳ) σ∈ Δ に 対 しUσ

は{orb(τ)}τが

  次 にorb(σ)がTN‐

対 し γn(λ)(m)=λ<m,n>で

と き 収 束 す る こ と,す

ま りn∈

軌 道 で あ る こ と を 示 す.σ

含 ま れ る 最 大 の 部 分 加 群 と な る.群 に 対 しu(m)=0と

べ て のm∈

な わ ち 

とな

σ で あ る.

は σvに 含 ま れ る 最 大 のR‐ 部 分 空 間 で あ り,従

Uσ の 元 と な り,か

与 え ら れ る.

に 含 ま れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す

λ →0の

る こ と と 同 値 で あ る.つ

対応 す る一 助 変 数

∈ Δ な ら 命 題A.6に

っ てM∩

準 同 型u:M∩

く し てorb(σ)はUσ

σ⊥ は 〓σ=M∩

σ⊥→Cxをm∈

し て 延 長 し た 写 像u:〓

よ り σ⊥

σ→Cは

σvに

〓σ, 

命 題A.9に

の 部 分 集 合 とみ な せ る.Uσ

よ り

内 のTN‐

軌 道 と な る こ と は 明 ら か で あ る.   上 記 の 考 察 を 一 般 化 し て(ⅳ)を 示 そ う.Uσ よ りu(0)=1か A.9に

つ m,m′

σ→Cを

考 え る.定

義 に

∈ 〓σ,で あ る か ら,命

よ り 

題A.6に

の 元u:〓

は σvの あ る 面 とMと

題

の 共 通 集 合 と な る.命

よ り σvの 面 は す べ て σ の 面 τに よ り σv∩ τ⊥ の 形 に 書 け て い る の

で,各u∈Uσ

とな る.〓

に 対 し σ の 唯 一 つ の 面 τが 存 在 し て

σ∩τ⊥ は 明 ら か に 群M∩

τ⊥ を 生 成 す る の で 結 局 σ の 面 τ に 対 し   はM∩

準 同 型 の 全 体orb(τ)と

τ⊥ か らCxへ

の群

同 一 視 出 来 る こ と に な り(ⅳ)の前 半 を 得 る.

  (ⅲ)を示 そ う.も

しorb(σ)がorb(τ)の

閉 包 に 含 ま れ て い る な ら ば,orb(σ)の

開 近 傍 で あ るUσ

はorb(τ)と

っ てorb(τ)⊂Uσ

よ り τは σ の 面 と な る.逆

交 わ り,従

σvの 面 で あ る.u∈orb(τ)を,す 元 と し よ う.σ 属 さ な いM∩

べ て のm∈M∩

の 相 対 内 部 に あ るNの σv∩ τ⊥ の 元m′

限 

元nを

選 べ ば,補

っ て(ⅳ)に

の と き σv∩ τ⊥は

τ⊥ に 対 しu(m)=1と

に 対 し て は<m′,n>>0と

対 し γn(λ)・u∈orb(τ)であ り,m∈M∩

で あ る.極

と な る.よ

に τ が σ の 面 で あ る と し よ う.こ

題A.4に な る.一

なる よ り σ⊥に

方 λ∈Cxに

σv∩ τ⊥ に 対 し

はm∈M∩

σ⊥ の と きu0(m)=1を

み た し,

 

  か つ  りu0∈orb(σ)と

の と きu0(m)=0を

な る か らorb(τ)の

み た す.上

閉 包 がorb(σ)と

記 の 同一 視 に よ

交 わ り,orb(σ)を

含む こ

と と な る. (ⅳ)の後 半 は(ⅲ)と(ⅳ)の 前 半 と に よ り明 ら か で あ る.   注   卜ー リッ ク多 様 体TNemb(Δ)をC上

の代 数 多 様 体 と考 え た とき,そ

な ア フ ィン開部 分 集 合 の全 体 が{Uσ}σ ∈Δ と一 致 し て い る こ とが判 る.特 がC上

のTN‐ 不 変

にTNemb(Δ)

の代 数 多様 体 とし て ア フ ィン空 間 に 同 変 に 閉 部 分 多 様 体 と して 埋 込 め るた め の 必

要 十 分 条件 は,π ∈Δ が存 在 し て Δが π の面 全 体 の 集 合 と一 致 す る こ と で あ る.証 た と えば[MO,定   系1.7 

理4.2(ⅱ)]を

明は

参 照 し て頂 きた い.

τ∈ Δ に 対 し τ∩Nの

生 成 す るNの

部 分 加 群 をZ(τ

∩N)と

書 き,

 と す る.ま た τを 面 と し て 持 つ σ∈ Δ に 対 し  を  とす る.こ

に お け る σ の 像 と し, 

の と き Δ(τ)はN(τ)の

包V(τ)はTN(τ)emb(Δ(τ))と emb(Δ)が

扇 で あ り,orb(τ)のTNemb(Δ)に

一 致 す る.特

非 特 異 で あ れ ばV(τ)も

単 にN,Δ

有 理 強 凸 多 面 錐 と な る こ と お よ び Δ がNの 方 命 題1.6(ⅲ)に

で あ り  ,従

と 書 こ う.τ2,preprint.

tetrahedra,Canad.J.Math.16(1964),389-396. 辺 雅 之,The

beddings,Tokyo

classification

of

Fano

3-folds

with

torus

em

J.Math.5(1982),37-48.

追 加 文 献 [追1] 

岩 下 直 子,Canonicalに

な る3次

元cyclic

quotient

singularities,東

北 大 修

士 論 文1984年3月. [追2]  to

石 田 正 典,岩 be

下 直 子,Canonical

submitted

to

Proc.of

quotient

the

singularities

Japan-U.S.Seminar

Singularities,Tsukuba/Kyoto,1984(T.Suwa Advanced

Studies

in

Amsterdam,New

Pure

土 橋 宏 康,Three-dimensional

[追4] 

尾 形 庄 悦,カ

[追5] 

尾 形 庄 悦,Special

[追6] 

to

cusp

values

Tohoku

of

D.Luna

P .Wagreich,eds.), and

North-Holland,

and

zeta

functions

北 大 修 士 論 文1984年3月. associated

to

cusp

singularities,

Math.J.

R.Stanley,Combinatorics

Math.Helvetici

three, Analytic

singularities,ibid.

ス プ 特 異 点 の 不 変 量 に つ い て,東

41,Birkhauser,Boston,Basel,Stuttgart [追7] 

,Tokyo

dimension

Complex

York,Oxford.

[追3] 

submitted

and Math.8,Kinokuniya

of on

Th.Vust,Plongement 58(1983),186-245.

and

commutative

algebra,Progress

,1983. d'espaces

homogenes,Comment.

in

Math.

著

小

者

田 忠

雄

1940年 京都市 に生 まれ る.1962年

京都 大

学理学部数学科卒業.1967年Harvard大 学Ph.D.取 得.名 古屋 大学理 学部助手, Princeton大 学講師,名 古屋 大学理 学部助 教授を経て,現 在,東 北大学理学部 教授.

凸 体 と 代 数 幾 何 学 1985年1月18日

  第1刷 発 行

1994年7月10日

  第3刷 発 行

発行所 

株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3-17-7 電 話  03(3354)0131(代 表) 出 版 部(編 集)電 話03(3439)0172 ホ ー ル  (営業)電 話03(3439)0128

セール部 

東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5-38-1 郵

便

番

号  

156

印 刷 研究社印刷 製 本  三  水  舎 C TADAO ODA,1985 PRINTED IN JAPAN 定価 は外装 に表示 して あ ります

紀伊國屋数学叢書 について   数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の 段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 く とい うよ うな 受動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ 不 十分 で あ る.   みず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろい ろ な 数 学 書 が 出 版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は 極 め て基 礎 的 な考 え 方 に対 して さ え常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 しい考 え方 を理 解 す る こ とが必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 かれ た書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と古 典 的 な視 点 とを見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の発 展 を考 慮 した 視点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が要 望 され て い る.   本 叢書 は こ の よ うな要 望 に応 え て 企画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の 専門 課程 の学 生 ま た は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の深 さ ま で勉 学 す る た め の伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数学 の 発 展 に と って 重要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が置 かれ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第一 線 で活 躍 し て お られ る数 学 者 に 執 筆 をお願 い して い る.   学 生諸 君 お よ び 数学 同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よ って数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本的 な 考 え 方 を理解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待す る と と もに,更 に現 代数 学 の 最 先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望み た い.