波動方程式の散乱理論 (紀伊國屋数学叢書 23)

紀伊 國屋数学叢書 23

編集委員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏 

(京都大学教授)

永田

雅 宜   (京都大学教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

望月

清

波 動 方程 式 の散乱理 論 紀伊國屋書店

ま

え

が

き

  散 乱 理 論 で は 発 展 方 程 式 系 の解 の無 限 の過 去 で の状 態 と無 限 の 未来 で の 状態 とを 比 較 す る.そ の対 応 を 与 え る作 用 素 を 散 乱 作 用 素(scattering

operator)と

呼 ぶ が,こ れ を 直 接 構 成 す る こ とは 一 般 に困 難 で あ る.そ こで 多 くの場 合,問 題 の系 を よ り単 純 な 発 展 方 程 式 系 ― 見 てMollerの 間)=±

波 動 作 用 素(wave

これ を 自 由な 系 と呼 ぶ ―

か ら の摂 動 と

operators)を 介在 させ る.摂 動 の 影 響 がt(時

∞ の近 傍 で無 視 で き る もの とす れ ば,摂 動 を受 け た 系 の解u(t)はt→

±∞ と と もに 自由 な 系 の解u±0(t)に近 づ くこ とが 期 待 され る.こ は散 乱 状 態 を もつ とい い,対 応W±:u±0(t)→u(t)をMollerの ん で い る.こ れ を 用 いれ ば 散 乱 作 用 素 は 

の と き この 系

波 動 作 用 素 と呼

の よ うに 定 義 され る こ と

に な る.   散 乱 理 論 の 目的 は これ らの作 用 素 の存 在 を 示 し,さ らに物 理的 な観 測 量 で あ る散 乱 作 用 素 の性 質 と摂 動 の 形 状 の 関連 を し らべ る こ と に あ る.そ のた め に t→ ±∞ で 無 視 で き る摂 動 の ク ラ ス の確 定,エ

ネ ル ギー 伝 播 の 性 質,生

成作用

素 の ス ペ ク トル構 造 な ど関 連 す る諸 問題 の解 決 が不 可 欠 に な る.   本書 で は これ らの問 題 を 論 じるが,加 藤 やReed-Simonの

大 書 の よ うに総 合

的 な解 説 を 試 み るつ も りは な く,対 象 と方法 を逆 に 制 限 し て,(筆 る)ひ とつ の立 場 を な るべ く詳 細 に述 べ た い と思 う.即 ち,こ

者 も関 係 す

こで は対 象 を 古

典 的 な 音響 波動 方 程式 と相 対 性 量 子論 に 現 れ る半 線 形 波 動 方 程式 と に し ぼ り, 定 常 あ る いは 非定 常 の エ ネ ルギ ー 積 分 を駆 使 す る道 を と る.   本 書 の構 成 は下 図 の よ うに な る:

  第1章

でd'Alembert方

程 式 の 解 に つ い て 述 べ た 後,前

は 線 形 理 論 に 於 け るFriedrichs, ary)方

法 が 解 説 さ れ,後

Morawetz,

Strauss等

関 係 す る(time "d'Alembert方

Povzner,池

半 の 第6,7,8章

部,Eidus以

で

来 の 定 常 的(station

で は 半 線 形 の 問 題 に 対 す るSegal,

の 結 果 が ま と め ら れ る.当

dependent)方

半 の 第2,3,4,5章

然 の こ とな が ら後 者 は時 間 に

法 に な っ て い る.一

言 で いえ ば 本 書 の 立 場 は

程 式 の 摂 動 に 関 す る エ ネ ル ギ ー の 方 法"で

あ り ,こ

法 が 直 接 他 の も っ と一 般 の 問 題 に 適 用 で き る わ け で は な い.結

こ で の 方

果 そのもの より

も散 乱 理 論 に 於 け る種 々の 問題 を こ こで 具体 的 に把 握 して い た だ けれ ば幸 い で あ る.し

か し な が ら,上

記 の 両 大 書 やLax-Phillips,黒

書 が ど の 程 度 存 在 を 主 張 で き る の か,は

田等 の書 物 に混 って本

な は だ こ こ ろ も と な い.

  本 書 の 執 筆 を 勧 め て 下 さ っ た の は 飛 田 武 幸 教 授 と伊 藤 清 三 教 授 で あ る.伊 教 授 に は さ ら に 初 校 の 段 階 で 有 益 な 助 言 を い た だ い た.ま め ら れ て 以 来 数 年 が 経 過 し た が,そ 終 始 お 世 話 に な り続 け,な りて,こ

た,本

藤

書 の執 筆 を勧

の 間 紀 伊 國 屋 書 店 出 版部 の 渦 岡謙 一 氏 に は

ん と か 出 版 に こ ぎ つ け る こ と が で き た.こ

の場をか

れ ら の 方 々 に 心 か ら 御 礼 申 し 上 げ る.

1983年10月

著

者

目

次

ま えが き 第1章

  d'Alembert方

程 式 の初 期値 問題

  §1 記 号,関 数 空 間

 1

  §2 基 本 解 と波 の 伝播

 6

  §3 極 限 振 幅 の 原理

 10

  §4 Laplace作 第2章

用 素 の ス ペ ク トル表 現  

  波 動 方 程 式 に 対 す る ス ペ ク トル 分 解 の 方 法

  §5 双 曲 型 発 展 方 程 式   §6 非 均 質 媒 質 中 の音 響 波 動 伝 播 問 題     §7 2階 楕 円 型 作 用 素 の 自己 共 役 性 と本 質 ス ペ ク トル   §8 楕 円 性評 価,一 第3章

14

意接 続 定 理

  19 24  29   34

  定 常 波動伝 播 問題

  §9 定 常 問 題 に関 す る エ ネ ル ギ ー積 分

  41

  §10 斉 次 方程 式 の解 の一 意性

  45

  §11 定 常 波 の漸 近 的 相 関 数

 50

  §12 放 射 条 件 に 関連 す る先験 評 価  

55

  §13 極 限 吸収 の原 理  

60

第4章

 短 距離 型摂 動 の散 乱問題

  §14 短 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現 

67

  §15 波 動 作 用 素 の存 在 と完 全 性  

72

  §16 散 乱 作 用 素 の表 現 と逆 問 題  

78

  §17 散 乱 作 用 素 の解 析 接 続  

82

  §18 波 の 指 数 的 減 衰   第5章 

88

遠 距 離 型 摂 動 の場 合

  §19 極 限 吸収 原 理 の見 直 し   §20 遠 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現  

  93 97

  §21 定 常 波 動 作 用 素 の時 間 に依 る表 示  

103

  §22 漸 近 波 動 関 数 とエ ネ ル ギ ー分 布  

110

第6章

  半線 形 波動方程 式

  §23 解 の存 在 と一 意 性  

117

  §24 具 体 的 な 問 題 へ の 応 用 

121

  §25 も うひ とつ の存 在 定 理 

125

第7章 

エ ネ ル ギ ー の伝 播 と減 衰

  §26 エ ネル ギ ー の有 限伝 播 性 と有 界性  

131

  §27 エ ネル ギ ー 減衰 へ の摩 擦 項 の影 響  

135

  §28 局 所 エ ネル ギ ー の 指数 的 減 衰  

141

  §29 非柱 状 の外 部 境 界値 問題  

145

第8章

  半 線 形 方 程 式 の散 乱 問 題

  §30 Huygensの

原理 が使 える問題  

151

  §31 小 さ な初 期 デ ー タを もつ 問 題  

155

  §32 有 効 な エ ネ ル ギ ー評 価 を もつ 問 題  

160

補

足

  165

文

献

 172

索

引 

181

記号表 

184

第1章

  §1  記 号,関

程 式 の初 期 値 問 題

数空間

  こ の 節 で は,本 る.証

  d'Alembert方

書 で 用 い られ る記 号 お よび 基 礎 的 な 関 数 空 間 の 説 明 を す

明 な し で 述 べ た い くつ か の 結 果 に つ い て は,必

溝 畑[67]等

  [A] 

[99],

を 参 照 さ れ た い.

偏 微 分   n-次 元 実Euclid空

…,ξn)等

要 な らSchwartz

で 表 し,Rnで

間Rnの

の 内 積,ノ

点 をx=(x1,…,xn),ξ=(ξ1,

ル ム を そ れ ぞ れ 次 の よ う に 与 え る:

(1.1) Rnの

連 結 開 集 合 を 領 域 と 呼 ぶ.領

ま た領 域

Ω に そ の 閉 包 が 含 ま れ る よ うな 有 界 領 域Gを

び,  し て,そ

域 Ω の 境 界 を ∂Ω で,閉

の よ うに 表 す.複 の 実 部a,虚

部bを

素 数 体Cの

包 を Ω で 表 す.

Ω の 部 分 領 域 と呼

元  

に対

そ れ ぞ れReζ,Imζ

で,ま

た 共 役 複 素 数a-ib

を ζ で 表 す.   Rnま

た はRnの

一 部 分 で 定 義 さ れ た 関 数 は,特

複 素 数 値 を と る も の と す る.関

に こ と わ りの な い か ぎ り,

数f(x)のxj(j=1,…,n)に

(∂f/∂xj)(x)を 簡 単 に ∂jf(x)と 書 く.さ と す る 多 重 指 標 と す る と き,f(x)の

ら に α=(α1,…,αn)を

関 す る偏 導 関 数 非負整数を成分

α 階 の微 分 を

(1.2) と書 く.α 微分を

の 大 き さ￨α￨=α1+…+αnだ

け が 問 題 に な る と き はf(x)の

∇￨α￨f(x)で 代 表 さ せ る こ と に す る.た

(gradient)ベ

ク トル(∂1f(x),…,∂nf(x))を

だ し ∇f(x)はf(x)の

意 味 す る.

α 階 勾 配

  [B]  関 数 空 間   領 域 Ω⊂Rnで

定 義 さ れ た 関 数f(x)の

≦m)が す べ て連 続 で あ る も の全 体 をCm(Ω)で Cm(Ω)(0≦m≦ す.た

∞)に

台(support)と

の こ と で あ っ て,suppfと

は 集 合{x∈

Ω;f(x)≠0}の

表 閉包

は そ れ ぞ れ 適 当 な 位 相 を 導 入 す る こ と が で き る が,こ

C∞0(Ω)の 関 数 列{φj(x)}j=1,2,… 存 在 し て,す

収 束 の 概 念(擬 位 相)を

がC∞0(Ω)で0に

べ て のjに

∞

と と も にKで

こ

与 え て お こ う.

収 束 す る と は,Ω

つ い てsuppφj⊂Kで

の 多 重 指 標 α に 対 し て ∂αxφ(x)がj→ と で あ る.こ

とす る.

書 く 場 合 が あ る.

で は 超 関 数 の 定 義 に 必 要 なC∞0(Ω)の

ト集 合Kが

表 し, 

属 す 関 数 で コ ン パ ク トな 台 を も つ も の 全 体 をCm0(Ω)で

だ し 連 続 関 数f(x)の

  Cm(Ω),Cm0(Ω)に

う ち ∂αxf(x)(￨α￨

の コン パ ク

あ り,さ 一 様 に0に

らに 任 意

収束す るこ

れ を 以下 で は

φj→0 

(C∞0(Ω)で) (j→ ∞) 

(1.3)

の よ うに表 す 場 合 が あ る.   急 減少 関 数族 〓 はC∞(Rn)の

関 数f(x)で,任

意 の 非 負 整 数mに

ついて

(1.4) な る もの全 体 で あ る.〓

は セ ミ ノル ム  

に よ ってFrechet

空 間 に な っ て い る.   Lp(Ω)(1≦p≦ ∞)は

Ω のほ とん どい た る所 で定 義 され たLebesgue可

測関

数で

(1.5)

(μ はRn上

のLebesgue測

で あ る が,特

にp=2の

度)な と きは,ノ

る も の 全 体 で あ る.Lp(Ω)はBanach空

間

ル ム ‖f‖=‖f‖L2(Ω)が 内 積

(1.6) か ら 誘 引 さ れ,L2(Ω)はHilbert空   Ω 上 の 関 数f(x)で,任

間 に な る.

意 の 部 分 領 域 

に 対 し てf(x)∈Lp(G)(1≦p

≦ ∞)と

な る も の,即

ち Ω で の 局 所Lp-関

分 領 域 の 列{Ωk}k=1,2,…

数 全 体 をLploc(Ω)で

表 す.Ω

の部

を

(1.7) を み た す よ う に と れ ば,Lploc(Ω)は Frechet空

セ ミノル ム

‖f‖Lp(Ωk)(k=1,2,…)に

間 に な っ て い る.

 [C]  超 関 数   C∞0(Ω)上 の 連 続 線 形 汎 関 数 を Ω と 呼 び,そ

の 全 体 をD′(Ω)で

と か く.f∈D′(Ω)に

表 す.φ

上 の 超 関 数(distribution)

∈C∞0(Ω)で のf∈D′(Ω)の

値を

〈f,φ〉

対 し て, 〈f(α),φ〉=〈f,(-1)￨α￨∂

(1.8)

定 ま る が,こ

超 関 数fの

意 の φ∈C∞0(Ω′)に対 し て 〈f,φ〉=0と

台 と は,任

れ をfの

αxφ 〉  

に よ っ て 超 関 数f(α)が

の 開 集 合 Ω′ ⊂ Ω の 補 集 合 の こ とを い い,suppfと

α 階 微 分 と呼 び,∂ αxfで 表 す.

の 全 体 を 〓′ で 表 す. 

な る よ うな最 大

書 く.

  〓 上 の 連 続 線 形 汎 関 数 を お だ や か な 超 関 数(tempered び,そ

よ り,

と み な せ る.一

を 持 つ 超 関 数 は 〓 ′の 元 と み な す こ と が で き, 

distribution)と 方,コ

呼

ン パ ク トな 台

の す べ て の 偏 導 関 数 ∂αxf

は ま た 〓 ′に 属 す.  

f(x)∈L1loc(Ω)は

(1.9) に よ っ て Ω 上 の 超 関 数fを

定 め る.ま

たf(x)∈L1loc(Ω)が

あ るm≧0に

対 し

て

(1.10) を 満 たす な らば,こ のfは

  [D] 

Fourier変

お だ や か な 超 関 数 に な る.

換  f(x)∈L1(Rn)のFourier変

換 を 次 の よ うに 定 義 す る:

(1.11)

Fourier像Ff(ξ)はf(ξ)と 〓 上 の1対1連

書 く場 合 が あ る.よ

続 線 形 写 像 を 定 め,逆

く知 ら れ て い る よ うに,Fは

変 換 は 次 の よ うに 与 え ら れ る:

(1.12)  に対 し て

(1.13) に よ っ て 〓′ の 元Ffが

定 ま る が,こ

は や は り 〓′ 上 の1対1連   fが

れ を  

のFourier変

続 線 形 写 像 に な っ て い る.

コ ン パ ク トな 台 を も つ 超 関 数 な ら ば,そ

のFourier変

(Ff)(ξ)=(2π)-n/2〈f,η(x)e-ix・

と 表 せ る.こ る.さ

換 と呼 ぶ.F

こ に η(x)∈C∞0(Rn)はfの

ら に(Ff)(ξ)∈C∞(Rn)で

換は

ξ〉  

台 の 近 傍 で1に

あ り,m≧0が

(1.14)

等 しい 任 意 関 数 で あ

存 在 し て,不

等式

￨∂α ξ(Ff)(ξ)￨≦Cα(1+￨ξ￨)m 

(1.15)

が 任 意 の α に つ い て 成 り立 つ.  

gを

コ ン パ ク トな 台 を もつ 超 関 数 と す る.こ

み 込 み(convolution) 

た み 込 み のFourier変

η(y)φ(x+y)〉

換 に つ い て,次

 

か だ か 多 項 式 の 増 大 度 を も つC∞-関

(1.16)

の 等 式 が 成 り立 つ:

F(f*g)=(2π)n/2(Ff)(Fg).  こ こ に 右 辺 は,た

のたた

を 〈f*g,φ 〉=〈f(x)g(y), 

で 定 義 す る.た

の と きfとgと

(1.17) 数Fgと

〓′ の 元Ff

と の 積 で あ り,〓 ′の 元 と し て 意 味 を も つ.   上 のFourier変

換 はL2(Rn)上

換 を 与 え る(Plancherelの

に 制 限 す る こ と が で き,そ

定 理).さ

ら に,任

れ は ユ ニ タ リー 変

意 のf∈L2(Rn)に

対 して

(1.18) が 成 り立 ち,逆 変 換 は 次 の よ うに 与 え られ る:

(1.19) こ こ にs-limはL2(Rn)で

の 強 収 束 を 意 味 す る.

  [E]  Sobolev空 に 対 し て,重 ∈Hmμ(Ω)と

間   領 域 Ω ⊂Rn,実

み の つ い たSobolev空 は,f(x)お

∂αxf(x)がL2loc(Ω)に

数

μ∈Rお

間Hmμ(Ω)を

よ び 非 負 整 数m=0,1,… 次 の よ うに 定 義 す る.f(x)

よ び 超 関 数 と し て のm階

まで の あ らゆ る偏導 関 数

属 し て お り,

(1.20) な る 不 等 式 が 成 り立 つ と き を い う.Hmμ(Ω)は bert空

ノ ル ム ‖ ‖μ,m,Ωに よ っ てHil

間 に な っ て い る.

  Hm0(Ω)=Hm(Ω)は

通 常 のSobolev空

間 で あ り,H00(Ω)=L2(Ω)で

H0μ(Ω)=L2μ(Ω)は 重 み の つ い たL2-空

間 で あ る.(1.20)で

こ とが 多 い.混

下 で はHm(Ω)の

乱 を 避 け る た め に,以

L2μ(Ω)の ノ ル ム は ‖ ‖ μ で 表 す こ と に す る(第6章 ‖ ‖pで 表 す が,そ   Ω=Rnの

こ で はL2μ(Ω)は

場 合 は,Plancherelの

添字

あ る.ま

た

Ω は省略す る

ノル ムは

‖ ‖Hmで,

以 下 で はLp-ノ

ルムを

現 れ な い). 定理に よって

(1.21) と な る.従

っ てC>1を

大 き く選 べ ば C-1‖f‖m≦ ‖f‖Hm≦C‖f‖m 

が 成 り立 ち,f∈Hm(Rn)とf∈L2m(Rn)と

(1.22)

は 同 値 に な る.

  任 意 の μ に 対 して

(1.23) と す る.Hμ(Rn)は

ノ ル ム ‖f‖Hμ=‖f‖μ に よ っ てHilbert空

(整 数)の と き にHm(Rn)に れ ら は(1.22)に

は2種

間 に な る.μ=m

類 の ノル ム が 定 義 さ れ る こ と に な る が,そ

よ り同 値 な の で,以

下 で は 特 に 必 要 に な ら な い か ぎ り,こ

れ

ら を 区 別 し な い.   C∞0(Ω)は 任 意 のmに Hm(Ω)と

つ い てHm(Ω)に

す る.Hm(Ω)はHm(Ω)の

閉 部 分 空 間 で あ り,そ

間 に な る.実 数 μ≧0に つ い てHμ(Rn)も と 一 致 す る.

属 す.C∞0(Ω)のHm(Ω)で

の 完 備化 を

れ 自 身 がHilbert空

同 様 に 定 義 さ れ る が,こ

れ はHμ(Rn)

  §2  基 本 解 と 波 の 伝 播   均 質(homogeneous)な

媒 質 中 の 音 響 波 動 伝 播 問 題 はd'Alembert方

よ っ て 記 述 さ れ る.即 とす る と き に,音

ち,x∈Rnを

空 間 の 点,t∈Rを

程式に

時 間 の パ ラ メー ター

響 ポ テ ン シ ャ ルw(x,t)は

(2.1) な る初 期 値 問 題 の 解 に な っ て い る.こ Laplace作

用 素)で

あ り,定

数a>0は

こ に ∂2t=∂2/∂t2,  波 の 伝 播 速 度 を 表 す.ま

(n次

元

たf(x,t)は

外 力 の 強 さ を 表 す 関 数 で あ る.   初 期 値 問 題(2.1)を に 属 し,f(x,t)は  

次 の よ うに 考 え よ う:初 各t∈Rに

と す る.こ

期 条件

φ1(x),φ2(x)は

つ い て 〓 ′の 値 を と るtのC∞-関 の と き 解w(x,t)を

 

と も に 

数,即

に 探 し た い.

  問 題 を この よ うに 〓′で 設 定 す る の はFourier変

換 を 使 う た め で あ る.関

w(x,t)等

で 表 す が,こ

のxに

関 す るFourier変

換 をw(ξ,t)等

ち,

数

の と き(2.1)

か ら 次 の 常 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る:

(2.2) この初 期 値 問題 は 一 意的 に解 け,

(2.3) 従 っ て(2.1)の

解 を 得 る に は,こ

れ をFourier逆

変 換 す れ ば よ い:

 以 下 で は,こ の 解 の 具 体 的 な 表 示 を 求 め よ う.

は 各tに Fourier逆

つ い て ξ∈Rnの 変換

有 界 な 連 続 関 数 で あ り,〓 ′ξ に 属 し て い る.E(ξ,t)の

(〓 ′ で) 

はd'Alembert方

程 式 の 基 本 解(elementary

solution)と

(2.4)

呼 ば れ,

(2.5) の 解 を 与 え る.こ

こに

δ(x),x∈Rn,はDirac関 〈δ(x),φ 〉=φ(0), 

数,即

ち,

φ(x)∈C∞0(Rn),

 (2.6)

で 定 義 さ れ る超 関 数 で あ る.   補 題2.1 

Sn-1(n≧2)を

上 の 一 重 層 のFourier逆

原 点 を 中 心 と す るRnで

の 単 位 球 面 と す る.Sn-1

像 は 次 の よ う に 与 え ら れ る:

(2.7) (p=1,2,…).こ

こ にJν(s)はBessel関

数 で あ り,特

に

(2.8)   注 意2.1 

本書 で はBessel関

数等,特

殊 関数 の公 式 は森 口-宇 田川-一 松[79]に

った.   証 明   xと

(Γ(p),p>0,は

ξ と の な す 角 を φ とす る と

ガ ン マ 関 数).こ

こ でBessel関

数 の漸 化 式

(2.9) を 用 い れ ば,求 め る等 式 が 得 られ る.   補 題2.2 

θ(s),s∈R,をHeaviside関 θ(s)=0, 

数 と す る: s≦0, 

θ(s)=1, 

s>0. 

(2.10)

依

ま た δ(s),s∈R,を1次 変 換 と し て,次

元 のDirac関

数 とす る.こ

の と きxに

関 す るFourier

の 等 式 が 成 り立 つ:

(2.11) (2.12) (2.13)   証 明   (2.11)は

直 接 計 算 で き る:

(2.12),(2.13)は

補 題2.1を

用 い て 示 さ れ る.す

な わ ち,2次

元 のFourier

変 換 とし て

が 得 られ,ま

た 公 式(1.14)を

用 い れ ば,3次

元 のFourier変

換 とし て

が 得 ら れ る.  (2.4)お

よ び 上 の2つ

  命 題2.3 

d'Alembert方

の 補 題 か ら,次

の 命 題 が 示 さ れ る.

程 式 の 基 本 解E(x,t)は E(x,-t)=-E(x,t) 

で あ り,t>0の

(2.14)

と き 次 の よ うに 表 せ る:

(2.15)

(2.16) (2.17) た だ し 左 辺 の 添 字 は 空 間 の 次 元 を 表 す.   証 明   (2.14)は(2.4)か

ら た だ ち に 得 ら れ る.n=1,2,3に

En(x,t)の

ら 明 ら か で あ る.一

表 示 は 補 題2.2か

般 のnに

対 す る上 の

つ い て は,補

題2.1

よ り次 の 等 式 が 得 ら れ る こ と に 注 意 す る:

と こ ろ が(2.12),(2.13)の

形 か ら 上 の 式 で 

で 置 き か え る こ と が で き,求

め る 等 式 に な る.

  上 の 表 示 か らわ か る よ う に,基

本 解 はxに

は 

つ い て コ ン パ ク トな 台 を も つ.従

っ て 〓′の 元 と の た た み 込 み を 考 え る こ と が で き,(1.17)を

用 いれ ば

(2.18) これ と(2.3)と  定 理2.4 

か ら次 の定 理 が 得 られ る.

初 期 値 問題(2.1)で

の とき,一 意 的 な解  

φ1, 

とす る.こ

が 存 在 し て,次

の よ うに 表 示 され る.

(2.19) こ こ にE(x,t)はd'Alembert方 En(・,t)*φ(n=1,2,3)を

程 式 の 基 本 解 で あ り,t>0の 具 体 的 に 計 算 す れ ば,次

と き に

の よ う に な る:

(2.20) (2.21) (2.22)

 

 この定 理 の系 とし て,波 動 伝 播 を特 徴 づ け る い くつ か の結 果 が 得 られ る.  点(x0,t0)を

頂 点 とす る未 来 光 錐 を Γ+(x0,t0)={(x,t)∈Rn×R;￨x-x0￨0が

存 在 し て,φ1(x),φ2(x),f(x,t)

の 台 が す べ て 球K(R)={y;￨y￨0が

し,定

理2.6の

で 恒 等 的 に0

原 理 と 呼 ん で い る). 仮 定 が み た され て い る と

存在 して

  §3  極 限 振 幅 の 原 理   初 期 値 問 題(2.1)で

外 力f(x,t)が

働 く場 合 は,一

の節 で は外 力 が時 間 に関 し て 周期 的 で あ る と し て,解

般 に解 は減 衰 し な い.こ の漸 近 挙 動 を考 え よ う. 

が 次 の初 期 値 問 題 を み た す とす る:

(3.1) た だ しf(x)∈C∞0(Rn)で

あ る.定

理2.4に

よ り,

で あ る か ら,t-sを

あ ら た め てsと

お き,両

辺 にeiσtを

乗 じ れ ば,

(3.2)   (3.2)の

右 辺 はt→ ∞ で 収 束 す る こ とが 期 待 さ れ る.以

る の で あ る が,さ

ら に 極 限 関 数 がHelmholtz方

下 で は これ を 確 か め

程式

(3.3)

(-a2Δ-σ2)u(x,σ)=f(x) 

を み た す こ と も 示 さ れ る.こ る 方 法 が あ り,こ

の よ うに,(3.3)の

解 を(3.1)の

れ を 極 限 振 幅 の 原 理(principle

of

limiting

解 を用 いて 求 め amplitude)と

呼 ん で い る.   E(x,t)はtの

関 数 と し て 有 界 で あ り,Laplace変

換 が で き る.

(3.4) と お く と,(2.5)か

ら (-a2Δ-κ2)G(x,κ)=δ(x), 

が 得 ら れ, 

はHelmholtz方

  (3.5)はFourier変

x∈Rn 

(3.5)

程 式 の 基 本 解 に な る こ とが わ か る.

換 の 方 法 で 解 く こ と が で き,〓 ′ で

(3.6)   命 題3.1 

Imκ>0な

る κ について

(3.7) (3.8) (3.9) こ こ にH0(1)(ζ)はHankel関

数 で あり,左

辺 の添 字 は や は り空 間 次 元 を 表

す.   証 明   G1(x,κ)の

表 示 は(3.6)か

の と き は 補 題2.1を

用 い,さ

らに

ら 留 数 計 算 で 求 め る こ とが で き る.n≧2

 

に注 意 す れ ば よい.  

G(x,κ)の

  定 理3.2 

上 の 表 示 か ら 次 の 定 理 が 得 ら れ る. G(x,κ)は

κ に つ い て 実 軸 を 越 え て 解 析 接 続 で き,空

間次元に よ

っ て 次 の よ うに 特 徴 づ け ら れ る:  (ⅰ) G1(x,κ)は

κ=0を1位

(ⅱ) G2p{x,κ)は

κ=0を

(ⅲ) G2p+1(x,κ)はC全

の 極 とす る.  対 数 分 岐 点 とす る 多 価 関 数 に な る.  体 に 解 析 接 続 さ れ,整

  こ の よ う に 解 析 接 続 さ れ たG(x,κ)は よ う.そ

関 数 に な る.

や は り(3.5)を

こ で σ∈R-{0},f(x)∈C∞0(Rn)に

み た す こ とに 注 意 し

対 して

(3.10) と お く と,こ

れ はHelmholtz方

程 式(3.3)の

ひ とつ の 解 に な る.こ

限 振 幅 の 原 理 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る も の で あ り,次   定 理3.3  (3.1)の

f(x)の

解w(x,t)に

  (ⅰ) n=1の

(ⅱ) n=2pの

(ⅲ) n=2p+1の

台 がK(R)={x;￨x￨0で

あ る か ら,u(・,±

つ の 解 を 与 え る.こ

れ ら はr=￨x￨→

σ)=G(・,±

σ)*fは

同 じ 問 題(3.3)の2

∞ に お け る 漸 近 的 性 質 に 違 い が あ り,次

の よ うに 特 徴 づ け れ る.   命 題3.4 

σ∈R-{0},f(x)∈C∞0(Rn)に

u(x,σ)はr→

∞

u=O(r-(n-1)/2)か

こ こに

∂r=∂/∂rで

  注 意3.1 

は0に

つ(∂r-iσa-1)u=O(r-(n+1)/2) 

定 義 さ れ たu=

(3.11)

あ る.

本 書 で はO(r-μ),μ>0,はr→

を,o(r-μ)はrμ

対 し て,(3.10)で

と と も に 次 の よ う な 挙 動 を す る.

を 乗 じ て も0に

∞ でrμ

近 づ く関 数 を 表 す.さ

を 乗 じ て も有 界 に と ど ま る 関 数 ら にO(1)は

有 界 関 数 を,o(1)

近 づ く関 数 を 表 す.

  証 明  f(x)の

台 が コン パ ク

ト で あ る か ら,u(x,σ)の

漸 近 的 性 質 は基 本解

Gn(x,σ)の

そ れ と一 致 す る.n=1,n=2p+1の

形 か ら 明 ら か で あ る.n=2pの

と き(3.11)はGn(x,σ)の

と き はHankel関

数 の漸 近 表 示

を 用 い れ ば よ い.   (3.11)はSommerfeldの で あ る.σ>0の

放 射 条 件(radiation

と き を 外 向 き(outgoing)放

(incoming)放

condition)と

呼 ば れ る もの

射 条 件,σ0 

固 有 値 を も た な い か ら,Stieltjesの

(4.5) 反 転 公 式 に よ り,任

意

対 して

(4.6) こ こに 複 素 数 ζ の平 方 根   Parsevalの

等 式 に よ り,

は  

な る分 岐 を とる も の とす る.

(4.7)

右 辺 の 積 分 を 極 座 標 表 示 す る こ と に よ り,L0の さ ら に はL0の

ス ペ ク トル 表 現 が 得 ら れ る.そ

の 球 面 上 へ の ト レ ー ス(trace)を   Rnが の2つ

れ を 明 確 に 述 べ る た め に,関

数

定 義 し て お か な け れ ば な ら な い.

コ ン パ ク トなCj+1-級(j=0,1,…)超

曲 面 Γ に よ っ て"内"と"外"

の 部 分 に 分 け ら れ る も の とす る.こ

のj次

正 の ス ペ ク トル の 絶 対 連 続 性,

の と きC∞-級

の 関 数f(x)の

Γ 上へ

トレ ー ス γjは 次 の よ うに 定 義 さ れ る: x′ ∈ Γ,  x∈"内" 

こ こ に ν=ν(x′)はx′ ∈ Γ で の"内"か

ら"外"に

(4.8)

向 か う単 位 法 線 ベ ク トル で

あ り,∂ ν=ν・∇ で あ る.   トレ ー ス 作 用 素 に 関 し,本 る が,Γ

書 で 必 要 な 結 果 は 次 の 補 題 で あ る.証

が 超 平 面 の 場 合 に はFourier変

的 に 超 平 面 に 帰 着 す る 変 換 を 行 な う(溝   補 題4.3 

(ⅰ) j≧0(整

換 を 用 い,一

般 の場 合 に境 界 を局 所

畑[67]第3章,島

数),μ>j+1/2と

C∞(Γ)はHμ(Rn)→H[μ-j-1/2](Γ)([ 

す る.こ ]はGauss記

明 は 省略 す

倉[102]付

録).

の と き γj:C∞(Rn)→ 号)な

る連 続 線 形 作 用 素

に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.   (ⅱ) m≧j+1を と き,任

整 数 とす る.γjをHm(Rn)→Hm-j-1(Γ)な

意 の ε>0に

対 し てCε,m>0が

‖γjf｜Hm-j-1(Γ)≦

 注 意4.1  Banach空

間Xの

存在 して

ε ‖f‖Hm(Rn)+Cε,m‖f‖L2(Rn). 

元 をYに

る 作 用 素 とみ る

写す 連続 線 形 作用 素Aを

(4.9)

以下 で はA∈B(X,Y)

と表す こ とが あ る.こ の表 記 に よれ ば,(ⅰ)の 結 論 を γj∈B(Hμ(Rn),H〔 μ-j-1/2〕(Γ))と 書 くこ とが で き る.   上 の 補 題 に 双 対 す る 次 の 結 果 も 必 要 で あ る.   補 題4.4 

h(ξ)∈L2(Γ)のFourier逆

変換 を

(4.10)

とす る.こ わ ち,正

の と き,任

数Cが

意 の μ>1/2に

存 在 し て,任

対 し てF*Γ ∈B(L2(Γ),L2-μ(Rn)).す

意 のh∈L2(Γ)に

対 し

‖F*Γh‖-μ ≦C‖h‖L2(Γ). 

 証明  

  補 題4.3 

(4.11)

とすれ ば

(ⅰ)に

よ り,‖f‖L2(Γ)≦C‖f‖

で あ る か ら(4.11)が   定 理4.5 

な

μ が 成 り 立 ち,〓

はL2μ(Rn)で

稠 密

示 さ れ る.

(E0(λ)f,g),f,g∈H0,はLebesgue測

f,gをL2μ(Rn),μ>1/2,か

度 に 関 し 絶 対 連 続 で あ り,

ら選 べ ば

(4.12) な る 表 示 が 得 ら れ る.こ

こ にS(R),R>0,はRnで

  証 明   L2μ(Rn)がH0で

の 半 径Rの

稠 密 だ か ら(4.12)さ

注 意 す れ ば,(4.12)は(4.7)の

球 面 で あ る.

え 示 せ ば よい,補

題4.3(ⅰ)に

右 辺 を λ で 微 分 す る こ と に よ り得 ら れ る.

  作 用 素F0(σ)∈B(L2μ(Rn),h)(h=L2(Sn-1)),σ>0,を [F0(σ)f](ω)=a-3/2(σa-1)(n-1)/2f(σa-1ω), 

の よ うに 定 義 す る.す

ω ∈Sn-1 

ぐわ か る よ うに,F0(σ)は

作 用 素F*0(σ)∈B(h,L2-μ(Rn))は

(4.13)

σ に つ い て 連 続 で あ り,共

役

次 の よ う に 表 示 さ れ る:

(4.14)   L0の

ス ペ ク トル 表 現 はF0(σ),F*0(σ)を

  定 理4.6 

作 用 素F0を

用 い て 次 の よ う に 与 え ら れ る.

次 の よ うに 定 義 す る:f∈L2μ(Rn)(μ>1/2)に

[F0f](σ,ω)=[F0(σ)f](ω), 

(σ,ω)=R+×Sn-1. 

こ の と きF0はH0をH0=L2(R+;h)(R+=(0,∞))の に 一 意 的 に 拡 張 で き る.こ

のF0を

用 い てL0の

す る と,任

意 のh(σ,ω)∈H0に

勝 手 な 有 界Borel関

ら にF*0:H0→H0をF0の

ついて

(4.15)

上に 写 す ユ ニ タ リー 作 用 素

[F0φ(L0)f](σ,ω)=φ(σ2)[F0f](σ,ω), 

の よ うに ス ペ ク トル 表 現 さ れ る.さ

対 して

f∈H0 

数 φ(L0)は (4.16)

共 役 作用 素 と

(4.17)

(H0で). 

  注 意4.2 

LをHilbert空

間Hで

の 自 己 共 役 作 用 素 とす る と き,R上

の勝 手な

Borel関 数 φ(λ)に対 し て作 用 素 φ(L)が 次 の よ うに定 義 され る:

(4.18)

こ こ に{E(λ),λ

∈R}はLの

  証 明   (4.13),(4.15)よ

従 っ てF0がH0をH0に る.ユ

ス ペ ク トル 測 度 で あ る. り

写 す 等 距 離 作 用 素 に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る こ とが わ か

ニ タ リ ー 性 はPlancherelの

定 理 そ の も の で あ る.(4.16)は

等式

[φ(L0)f]∧(ξ)=φ(a2￨ξ￨2)f(ξ) 

が 成 り立 つ の で,こ   次 に(4.17)を

示 そ う.h(σ,ω)の

れ ば よ い か ら,Nを で き る.Fubiniの

(4.14)お

こ で σ=a￨ξ￨,ω=ξ/￨ξ￨と

よ びF*0の

台 が σ に つ い て コ ン パ ク トの 場 合 を 考 え

充 分 大 き く と っ て,[1/N,N]の 定 理 に よ れ ば,任

(4.19)

お け ば よ い.

意 の

 

等 距 離 性 を 考 慮 し て(4.17)が

外 でh(σ,ω)=0と

仮定

に 対 して

示 さ れ る.

  こ の 節 を 終 え る 前 に 次 の こ と に 注 意 し て お こ う.   命 題4.7 

L0の

の 基 本 解G(x-y;κ)を

リ ゾ ル ベ ン トR0(κ)(κ ∈C,Imκ>0)はHelmholtz方 核(kernel)に

程 式

もつ 積 分 作 用 素 で あ る:f∈H0に

対 し

(4.20)   証 明   (4.19)に

よ り[R0(κ)f]∧(ξ)=(a2￨ξ￨2-κ2)-1f(ξ)と

に 注 意 し て 求 め る 結 果 を 得 る.

な る か ら,(3.6)

第2章

  波 動 方 程 式 に 対 す る ス ペ ク トル 分 解 の 方 法

  一 般 の音 響 波 の伝 播 は,d'Alembert方

程 式 の摂 動 で あ る2階 双 曲 型方 程 式

の初 期-境 界 値 問 題 に よっ て 記 述 さ れ る.こ の よ うな問 題 に 対 し て解 を構 成 し よ うとす れ ば,Fourier変

換 の方 法 は もは や 有 効 で な く,も っ と一 般 の ス ペ

ク トル分 解 を用 い る こ とに な る.本 章 で は この枠 組 を述 べ,そ れ を 具体 的 な問 題 に 適 用す る.ま た,生 成 作 用 素 の楕 円性 に かか わ る基 本 的 事 項 を準 備 す る.

  §5 双 曲 型 発 展 方 程式   HをHilbert空 す.LをHで

間 とし,そ

の 内積,ノ

ル ムを そ れ ぞ れ(,),‖ 

‖ で表

の 非 負値,自 己 共 役 作 用 素 とす る と き

(5.1) な るH上

の 常 微 分 方 程 式 を 双 曲 型 発 展 方 程 式 と い う.た

に 関 す る強 微 分 で あ り,f(t),φ1,φ2等

はHに

  前 節 で 見 た よ うに,負

用 素L0=-a2Δ

の 正 値,自

のLaplace作

己 共 役 作 用 素 を 定 義 し,従

だ し,∂tはH上

のt

属 す も の とす る.

っ てd'Alembert方

はH0=L2(Rn;a-2)上 程 式(2.1)は

上の

意 味 で の 双 曲 型 発 展 方 程 式 に な っ て い る.   (5.1)の

解 を 構 成 す る の にLの

ク トル 測 度 を{E(λ)}と

平 方 根Hを

用 い る と便 利 で あ る.Lの

スペ

す れ ば,Hは

(5.2)

の よ う に 定 義 さ れ る.Hの あ る.ま

たHkの

べ きHk(k=0,1,…)は

定 義 域D(Hk)に

が 定 義 され る が,Hkが

す べ て 非 負 値,自

は 自然 に グ ラ フ ノル ム

閉 作 用 素 な の でD(Hk)は

お り,そ

れ 自 身Hilbert空

N(Hk)で

表 す が,こ

この ノル ムに 関 して 閉 じて

間 に な っ て い る.Hkの

れ はk>0に

己共役 で

独 立 でLの

零 集 合(null

space)を

零 集 合 に 一 致 す る:

N(Hk)=E(0)H.   さ て,発

展 方 程 式(5.1)の

(5.3)

解 と し て は 強 解(strong

solution),即

ち

w(t)∈C2t(R;H)∩C1t(R;D(H))∩Ct(R;D(H2)) 

な る関 数 で(5.1)を   定 理5.1 

(5.4)

満 たす も のを 考 え る こ とに す る.

初 期 値,外 力 を そ れ ぞ れ {φ1,φ2}∈D2(H2)×D(H), 

の よ うに 選 べ ば,(5.1)の

f(t)∈Ct(R;D(H)) 

解 が 一 意 的 に 存 在 し て,次

(5.5)

の よ うに 表 せ る.

(5.6) た だ し,N(H)上

で はH-1sin(Ht)はtI(IはH上

の 恒 等 写 像)の

よ うに

定 義 さ れ る も の とす る.   証 明  f∈D(Hk)(k≧0)と

で あ り,次

す る と

の 等 式 が 成 り立 つ: (j:偶

数)

(j:奇

数).

(5.7) これ か ら(5.6)のw(t)が(5.4)を

み た し,(5.1)の

解 に な る こ と が わ か る.

  解 の 一 意 性 を 示 す の に エ ネ ル ギ ー の 方 法 が 用 い ら れ る.(5.1)の 時 刻tに

解w(t)の

お け るエ ネ ル ギ ー は

(5.8)

で 定 義 され る.こ れ をtで

微 分す れ ば

∂tE(t;w)=Re(∂2tw(t)+H2w(t), 

こ れ を も う一 度tに

∂tw(t))=Re(f(t), 

∂tw(t)).

つ い て 積 分 して

(5.9) こ こ で{φ1,φ2}={0,0},f(t)≡0と な り,∂tw(t)=0が   注 意5.1 

お く と,任

得 ら れ る.従

つ い てE(t;w)=0と

っ てw(t)=w(0)=0.

/1 2‖Hw(t)‖2

(5.8)で

意 のtに

が ポ テ ン シ ャル ・エ ネ ル ギ ー を,

1/ 2‖ ∂tw(t)‖2

が運 動

エ ネ ルギ ー を表 す.  

P0=E(0)をN(H)へ

の 正 射 影 と す る と き,

(5.10) とな る が,こ れ を双 曲型 発 展方 程 式 の 基 本解 と呼 ぶ こ とが あ る.   d'Alembert方

程 式 に つ い て は §2と の 関 係 で 次 の こ と が 成 り立 っ て い る.

 命 題5.2 

E(x,t)を

命 題2.3で

こ の と き,任

意 のf∈H0に

定 め たd'Alembert方

程 式 の 基 本 解 とす る.

ついて

(5.11)   証 明   (4.19)に

従 っ て(2.4)よ

よ り次 の 等 式 が 成 り立 つ:

り求 め る等 式 が 得 ら れ る.

  解 の エ ネ ル ギ ー 伝 播 に 注 目す る の で あ れ ば,(5.1)そ ベ ク トル{Hw(t),∂tw(t)}に

の も の な 考 え る よ り,

対 す る方程 式 系

(5.12) を 考 え る方 が 便 利 で あ る.作 用 素 Λ は

(5.13) で定義 され るが,こ れは直積空 間  

上の 自己共役作用素にな ってい

る.従

っ て Λ は 〓 で の 強 連 続 な ユ ニ タ リ ー 群{e-iΛt;t∈R}を

12)の

解 は これ を 用 い て

生 成 し,(5.

(5.14) の よ うに 得 ら れ る.   命 題5.2 

e-iΛtは 次 の よ うに 分 解 で き る: e-iΛt=e-iHtP(1)+eiHtP(2). 

(5.15)

こ こ にP(j)(j=1,2)は

(5.16) で定義 され る 〓 上 の正 射 影 であ る.   証 明   {φ1,φ2}∈D(H)×Hに

対 し て(5.6)よ

り

(5.17) が 成 り立 つ.こ   (5.15)に

れ と(5.14)と

よ り,エ

か ら 命 題 が 示 さ れ る.

ネ ル ギ ー 伝 播 問 題 はHで

の 挙 動 を 知 る こ と に 帰 着 さ れ る.従 造 の 解 明 が 重 要 に な る.例

え ば,Lが

の ユ ニ タ リー 群{e-iHt;t∈R}

っ て,以

下 の 論 証 で はLの

ス ペ ク トル 構

固有値を持たなければ

(5.18) が 得 ら れ る(Lax-Phillips

[60] chapter

示 す こ と に よ っ て 改 良 され(命 題13.8),さ ば,散

V).こ

の 結 果 はLの

ら にLが

乱 理 論 の 構 成 が 可 能 に な って く る(第4章

絶対連続性を

ス ペ ク トル 表 現 さ れ れ

を み よ).

 エ ネル ギ ー伝 播 問題 は(5 .1)を 一般 化 した 反 復波 動 方 程 式

(5.19) (αjは 相 異 な る正 数)に 対 して も平 行 な議 論 が 可 能 で あ る.   これ を見 るた め に,解 の 具 体 的 表 示 を 求 め てみ よ う(溝 畑[68],望

月[70]).

(5.20) (5.21) と し,u(t),g(t),ψ

を

と お け ば,(5.19)はu(t)に

対 す る 方 程 式 系 と し て 次 の よ うに 変 形 さ れ る:

(5.22) こ こにD(H)は

(5.23)

な る対 角行 列 で あ る.   Hilbert空

間  

に 次 の ノル ム 

を導 入す る.

(5.24) この とき Λ=N-1D(H)N, 

D(Λ)=D(H)2m 

は 〓 で の 自 己 共 役 作 用 素 に な り,(5.22)の

(5.25)

解 は

(5.26) で 与 え ら れ る.e-iΛt=N-1e-iD(H)tNで

あ る か ら,g(t)≡0の

と き に(5.26)を

成 分 ご と に 書 き 下 し て み れ ば,

こ の よ うに,(5.18)の

解 はHで

の ユニ タ リー群  

舞 い に よ っ て 記 述 さ れ る こ とが わ か る の で あ る.

の振

  次 節 以 降 で は 音 響 波 動 伝 播 問 題 を あ つ か う.こ

の 場 合Lは

階 楕 円 型 作 用 素 に な る.本

書 で は 触 れ な い が,電

磁 波 を 記 述 す るMaxwell方

程 式,弾

ら に 量 子 論 に お け るDirac方

性 波 の 方 程 式,さ

方 程 式 な ど は す べ て(5.1)の [122],加

外 部 領 域 で の2

程 式 やKlein-Gordon

型 の 発 展 方 程 式 に 書 く こ と が で き る(Wilcox

藤[51],Reed-Simon[90],Leis[62],Eidus[18],Prosser[87],

Chadam[9]等).

  §6 非均質媒質 中の音響波動伝播問題   O⊂Rnを

コン パ ク トな 障害 物 で,表 面 が充 分滑 らか な も の と す る.外 部 領

域 Ω=Rn-Oで

の音 響 波 の伝 播 は,外 力 が 働 らか な い と して,次

の初 期-境 界

値 問題 に よ って 記 述 され る:

(6.1)

こ こ にa(x)は

波 の 伝 播 速 度 を,ρ(x)は

に 一 様 に 正 で あ る.媒 で あ り,上

質 が 均 質(homogeneous)で

の 方 程 式 はd'Alembert方

(inhomogeneous)な

媒 質 の 密 度 を 表 す 関 数 で,Ω あ れ ばa(x),ρ(x)は

程 式 に な る.し

か し,以

媒 質 の 場 合 を 考 え る の でa(x),ρ(x)は

  境 界 条 件 を 与 え るBはDirichlet条

だ し ν=ν(x)はx∈

法 線 ベ ク トル で あ り,d(x)は   以 後R0>0を

下 では 非 均 質

件 (6.2)

件 Bw(x,t)={ν

を 代 表 す る.た

定数

定 数 で は な い.

Bw(x,t)=w(x,t) 

ま た はNeumann-Robin条

で とも

・∇+d(x)}w(x,t) 

(6 .3)

∂Ω で の Ω の 内 部 か ら 外 部 に 向 か う単 位

∂Ω 上 の 非 負 関 数 で あ る.

大 き く選 ん で,障

害 物Oは

球{x∈Rn;￨x￨0. 

反転公式

表 す: (6.19)

(6.20) が,や

は り成 り立 つ.

 §7  2階 楕 円 型 作 用 素 の 自 己 共 役 性 と 本 質 ス ペ ク トル  こ の 節 で は 定 理6.1,6.2の  

Lの

対 称 性 と(6.14)の

証 明 を 与 え る. 証 明   υ をC∞0(Ω)(Ω=Ω

∪∂Ω)か

ら選 べ ば

(7.1)

D(L)に

与 え ら れ て い る グ ラ フ ノ ル ム 

D(L)はD(L)で

稠 密 で あ る.從

り立 ち,Lの

対 称 性 が 示 さ れ る.ま

に 関 し,C∞0(Ω)∩

っ て(7.1)は た(7.1)で

任 意 のu,υ υ=uと

∈D(L)に

ついて成

お く と,

(7.2) と な り,c(x)の   Lの

有 界 性 と 補 題4.3(ⅱ)と

に よ り,(6.14)が

自 己 共 役 性 を 言 うの に 補 題4.1を

用 い る.(4.3)は

得 ら れ る. 境 界値 問題

(7.3) の 可 解 性 に 関 す る 主 張 で あ る が,こ

の 問 題 は か な り面 倒 で あ る.し か し Ω=Rn

の 場 合 に は 摂 動 論 的 方 法 に よ る 簡 単 な 証 明 法 が あ る.そ を ま ず 紹 介 し,次   Ω=Rnと

の特 別 の 場 合

に 一 般 の 場 合 を 考 え る こ と に し よ う.

す る と,Laplace作

次 の 補 題 が 使 え る(黒   補 題7.1 

こ で,こ

用 素L0=-a2Δ

田[57]Chapter

L0をHilbert空

間H0上

Ⅲ 参 照). の 自 己 共 役 作 用 素 と し,VをD(V)⊃

D(L0)な

る 作 用 素 で 次 の 性 質 を も つ も の とす る:定

し て,任

意 のu∈D(L0)に

ついて

の 自 己 共 役 性 が 既 知 な の で,

数00と   注 意11.1 

し て(11.1)が

(11.7)で

得 ら れ る.

は 境 界 の 近 く で の ρ(x,κ)の 定 義 が あ い ま い で あ る.し

ρ(x,κ)は 遠 方 で の 挙 動 が 重 要 で あ り,境

界 の 近 く で は 適 当 に 定 義 さ れ て い る も の とす る.

 上 の証 明か らわ か る よ うに,δ1>1/2な に 本 質 的 で あ る.そ (11.7)を

か し

こ で 一 般 の δ1>0の

る仮 定 は  

を評価 す る の

場 合 に ρ(x,κ)を 構 成 し よ う とす れ ば,

修 正 し て こ の 項 を 消 す よ う に す れ ば よ い.

  次 の よ うに お こ う.

(11.9)

これ を(11.1)に

代 入 し てYに

つ い て の 方 程 式 を 導 く .簡 単 な 計 算 で

(11.10) 右 辺 第1項

はO(r-2)で

あ る.第2項

に着 目し て

(11.11) な る 方 程 式 を 考 え る.こ

れ は ア イ コ ナ ル(eikonal)方

程 式(∇K)2=m2で

 

とお い て 得 ら れ た 式 で も あ る.   以 下 で はY=Y(x,κ)を(11.11)の ∇Y,ΔY等

近 似 解 と し て 構 成 す る.そ

の 挙 動 に つ い て よ い 評 価 が 得 ら れ る な ら,(11

.9)で

の とき導 関数 命 題11.1を

満

た す ρ が 作 ら れ る こ と に な る.   (11.11)の

両 辺 を2mで

割 っ てr=￨x￨に

つ い て 積 分 す る と,

(11.12) こ の 近 似 解 を 逐 次Y0=0,

(11.13) の よ うに 定 め て ゆ く(k≦N-2}."任

意 定 数"Ck(x,κ)は

(11.14)   命 題11.1で

はN=[1/δ1]+1で

し か し 後 の た め に,こ   補 題11.2  で き,次

あ り,k≧[1/δ1]と

こ で は 一 般 にN≧[1/δ1]+1と

N≧[1/δ1]+1と

の 性 質 を み た す:r=￨x￨→

す る.1≦k≦N-2に ∞

い う場 合 は 起 ら な い. して 話 を進 め る. 対 し てYk(x,κ)が

と と も に κ∈K±

に一様に

定 義

(11.15) (11.16) (11.17) こ こ にpは0≦p≦N-k-1な   さ ら にk≦N-3の

る 任 意 の 自 然 数 で あ る. と き はYk(x,κ)はxに

つ い てC3-級

で

(11.18)

∇3Yk(x,κ)=O(r-2-δ1) 

  証 明   証 明 は 帰 納 法 に よ る が,ま の と き は(11.13)よ

ずk≦[1/δ1]-1の

場 合 を 考 え よ う.k=1

り

(11.19) 従 っ て(9.8)を

用 い れ ばp+2≦Nな

た ∇Y1=∇Y1-∇Y0で (11.19)を

るpに

あ る か ら(11.17)も

も う一 度 微 分 し て(9.9)を

つ い て(11.15)が

示 さ れ る.ま

成 り 立 つ,(11.16)を

用 い れ ば よ い.さ

も う一 度 微 分 で き(9.10)も

用 い て(11.18)が

  一 般 のYk,k≦[1/δ1]-1,に

つ いては

言 うに は

ら にN≧4で

あれ ば

得 ら れ る.

(11.20)

(11.21) な る 等 式 よ り,帰

納 的 に 補 題 の 主 張 が 示 さ れ る.(11.15),(11.17)は

の 式 に ∇pを 作 用 し て 得 る の で あ る が,そ -∇Yk

-2)が 現 れ,(9.8)の

評 価 がl≦Nま

な る 条 件 が 必 要 に な る.(11.16),(11.18)の   次 にk≧[1/δ1]の

の と き 右 辺 に ∇p+1∇Yk-1,∇p+1(∇Yk-1 で で あ る か ら,結

局p+k+1≦N

求 め 方 は 上 と 同 様 で あ る.

場 合 を 考 え よ う.N0=[1/δ1]と

で あ っ たが,被 積 分 関 数 が

これ ら

お く.CN0(x,κ)は

(11.22) と な り,(N0+1)δ1>1で YN0(x,κ)が

あ る か ら 積 分 は 収 束 す る.従

定 義 で き る.そ

っ て(11.13)に

よ って

れは

(11.23) と変 形 で き る が,右 す る.従

辺 の 積 分 範 囲 が こ こ で は(r,∞)に

っ てk≦N0-1の

と き の 論 法 が(11.23)に

な っ て い る こ とに 注 意 対 し て 使 え,YN0に

つい

て 補 題 が 示 さ れ る.   一般 のk>N0=[1/δ1]に

つ いて も

で あ る か ら,Ck(x,κ)が

帰 納 的 に 定 義 で き,(11.13)でYk(x,κ)が

れ が 補 題 を 満 た す こ と はYN0の がC2-級

定 ま る.こ

場 合 と 同 様 で あ る.k≦N-2な

で あ る た め に 必 要 に な る こ と も,す

る 条 件 はYk

で に 明 ら か で あ る.

  以 上 で 補 題 の 証 明 を 終 え る.   命 題11.1の

証 明 Ⅱ (00)と

R5=R5(K±)>R1を

す る.u∈H2loc(Ω)を(9.1)の

充 分 大 き く選 べ ば,任

意 のR>R5に

解 と す る と, 対 して

(12.5)   証 明   命 題9.3でG=Ω(R),u1=u2=uと 界 条 件Bu￨∂

Ω=0を

し,両

辺 に-i/2を

乗 じ る.境

考慮すれば

(12.6) (11.2)よ R5を

りIm∂rρ=-Rem(x,κ)+o(1)で

あ る か

ら,(9.4)に

注 意 す れ ば,

大 き く選 ん で

が 成 り立 つ よ う に で き る.一

方

±Imκ2=±2ReκImκ

で あ る か ら,￨x￨>R5で

はIm∂rρ

≧0, 

と-Imκ2は

κ∈K±

同 符 号 に な り,(12.6)か

ら

求 め る不 等 式 が 得 ら れ る.   補 題12.2  rp=rp(κ,f,μ

関 数uが

放 射 条 件 を 満 た せ ば,pと

′,μ)(p=1,2,…)が

と も に ∞ に 発 散 す る正 数 列

存在 して

(12.7)   証 明   放 射 条 件(12.2)か   命 題12.3 

Imκ>0と

[内 向 き 解]uもHに

ら 明 ら か で あ る. す る.f∈Hで

属 し,次

≦1な

応 す る(9.2)の

外 向 き解

の 評 価 式 が 成 り立 つ:

2￨Reκ￨Imκ

さ ら に0R5に

対 応 す る(9.1)の

外 向 き 解[内

つ い て

′+1/2{‖(∂r+∂rρ)u‖ μ-1,B(R)+‖u‖-μ

′+‖f‖ μ}. 

(12.10)

と μ′ と に 依 る 定 数 で あ る.

  証 明   (12.5)に

戻 って

φ(r)≡1と

す る.R>R5に

対 して

(12.11) 両 辺 に(1+R)-2μ

(11.2),(9.4)に   命 題12.5  1/20はK±,μ

つい て ρ)u‖ μ-1,B(R5)≦C{‖u‖-μ

′+‖f‖

μ}. 

(12.13)

に 依 る 定 数 で あ る.

  こ の 命 題 を 示 す の に 命 題9.5の R5を

充分 大 き く とれ

で 次 の 不 等 式 が 成 り 立 つ:

(12.15)   証 明 (11.2)を

が 得 ら れ,こ   補 題12.7 

用 い る.(9.4)に

れ か ら(12.15)が r=￨x￨→ η(x,κ)=o(1), 

  証 明   (11.2),(11.3)を

∞

注意 して

示 さ れ る.

と と も に κ∈K±

に一 様 に

∂jη(x,κ)=o(r-1) 

(j=1,…,n). 

(12.16)

用 い れ ば よ い.

 ベ ク トル 値 関 数 θ≡e-ρ ∇υ=(∇+∇

を 用 い て(9.15)を

書 き 直 す.t>R+1な

ρ)u 

るtに

つい て

(12.17)

(12.18)   右 辺 を 下 か ら 評 価 し よ う.ま

次 にRe(2iIm∇

ず 補 題12.6を

ρ・θ)(η・θ)=0,￨x・

また 

θ￨≦￨θ￨に

用いて

注 意 す れ ば

に注 意 し て

  こ れ ら の 不 等 式 を(12.18)に

代 入 す る.さ

ら に,補

題12.7に

よ り,R9>R8

を 充 分 大 き く選 べ ば

とな り,結

局 次 の 補 題 が 得 ら れ る.

 補 題12.8 

任 意 のR90を

選 ぶ こ と が で き る.従

っ て(12.19)か

ら

(12.20) 補 題12.2 

よ りt=rpと

ま た 定 理8.1に

おけ ば

よ り

こ こに μ′,μは(12.12)を と な っ て い る.従

満 た す よ うに 選 ん で あ り,従

っ て(12.20)か

っ て-2μ

′ ≧2μ-2-2δ

ら 命 題 の 不 等 式 が 導 か れ る.

  §13  極 限 吸 収 の 原 理   こ こ で は,前 証 明 す る.そ

節 の 先 験 評 価 と §10の

の た め に 補 題 を い くつ か 用 意 す る が,放

組 μ′,μは,(12.12)を

κ∈ Π ±,即 ちImκ>0と

し て(9.1)の

外 向 き 解[内

向 き 解]は

す る.こ

の と き任 意 のf∈L2μ(Ω)に

唯 ひ とつ 存 在 し て,そ

対

れ はL2-解u=

一 致 す る.

  証 明   (12.9)と min{μ,1},に

射 条 件 に 使 わ れ る正 数 の

満 た す も の を ひ と組 選 ん で 固 定 し て お く.

  補 題13.1 

(L-κ2)-1fに

一 意 性 定 理 を 用 い て 極 限 吸 収 の 原理 を

定 理8.1と

か らL2-解u=(L-κ2)-1fはH2γ(Ω),γ=

属 し,H2γ(Ω)⊂H1μ-1(Ω)⊂L2-μ′(Ω)で あ る か ら,放

を 満 た す こ と が わ か る.一

方,外

向 き 解[内

向 き 解]は(12.8)よ

射 条 件(12.2) りHに

属

し て い る こ と が わ か り,一   補 題13.2 

意 性 が 示 さ れ る.

κ=σ ∈R± の 場 合,(9.1)の

外 向 き 解[内

向 き 解]は

存 在す ると

し て も 唯 ひ と つ で あ る.   証 明   2つ あ っ た と し て,そ を 満 た す.φ(r)≡1と

の 差 をuと

し て 補 題12.1を

そ こでC>0を

充 分 大 き く選 べ ば

が 得 ら れ る.両

辺 に(1+R)2μ-2を

す な わ ちu∈L2μ-1(Ω).μ>1/2で   補 題13.3  外 向 き 解[内

乗 じ てRに

射条件 よ り

使 えu≡0が

収 束 列 と し,ulを

す る.{ul}がL2-μ

言 え る.

対 応 す る(9.1)の

′(Ω)で 有 界 な ら,{ul}は

同 じ空 間

な る.

よ り{ul}がL2-μ

て{ul}はH1(Ω(R))で

つ い て 積 分 す る.放

あ る か ら 定 理10.2が

で 前 コ ン パ ク ト(pre-compact)に

  証 明   定 理8.1に

れ は 斉 次 方 程 式(10.1)

用 いれ ば

{κl}⊂K±,{fl}⊂L2μ(Ω)を 向 き 解]と

す れ ば,そ

′(Ω)で 有 界 な ら,任

有 界 に な る.従

{ul}はL2(Ω(R))で

っ てRellichの

意 のR>R6に

定 理(補

題7.5)で

前 コ ン パ ク トに な る. 

一 方 ,命 題12.4,12.5よ

り

が 得 ら れ;μ ′>1/2で

あ る か ら,任

意 の ε>0に

対 し

(13.1)

対 し てR>R6を

充分大 き く

選べば

(13.2) と な る.補   補 題13.4  ら,極

題 は(13.1)と(13.2)と {ul}を

限u0はH2-μ

  証 明   {ul},{Llocul}が

か ら 示 さ れ る.

上 の 補 題 の 関 数 列 と す る.L2-μ ′(Ω)に 属 し,さ と も にL2-μ

′(Ω)でul→u0(l→

ら に 放 射 条 件(12.2)を

∞)な

満 た す.

′(Ω)で の 収 束 列 と な る か ら 定 理8.1を

用 い て,{ul}がH2-μ

′(Ω)でu0に

で 有 界 に な る こ と か ら,命 有 界 に な る.従 と書 き,弱

っ て,弱

極 限 をwと

収 束 す る こ と が わ か る.次

題12.5を

′(Ω)

用 い て,{(∂r+∂rρ)ul}がL2μ-1(B(R6))で

収 束 す る 部 分 列 を 含 む が,そ す る.任

に{ul}がL2-μ

れ を ま た{(∂r+∂rρ)ul}

意 の φ ∈C∞0(B(R6))に

対して

(13.3) が 言 え,w=(∂r+∂rρ)u0と

な る.w∈L2μ-1(B(R6))で

あ る か ら,こ

れ に よ りu0

が 放 射 条 件 を 満 た す こ とが 示 され る.   以 上 よ り,問

題 は 関 数 列{ul}の

の 補 題 で 証 明 さ れ る が,極 る(Eidus[17]参   補 題13.5 

有 界 性 を 示 す こ と に 帰 着 さ れ た.こ

れは次

限 吸 収 の 原 理 を得 る ため の本 質 的 な 部 分 に な って い

照). κ∈K±,f∈L2μ(Ω)と

き 解]をu=u(κ,f)と

す れ ば,正

す る.対

応 す る(9.1)の

数C=C(K±),が

外 向 き 解[内

存 在 して

‖u‖-μ ′≦C‖f‖μ.    証 明   背 理 法 を 用 い よ う.(13.4)を

向

(13.4)

否 定 す る と,複

素 数 列{κl}⊂K±

と関

数 列{fl}⊂L2μ(Ω)で ‖ul‖-μ′=1, 

‖fl‖μ→0, 

κl→ κ0 

と な る も の が 存 在 す る.こ

こ にul=u(κl,fl)は

の 外 向 き解[内

あ る.

  {ul}がL2-μ 分 列{ul′}を

向 き 解]で

′(Ω)で有 界 で あ る か ら,補 含 む.こ

の 極 限 をu0と

(l→ ∞) 

κ=κl,f=flに

題13.3に

よ り,こ

(13.5)

対 応 す る(9.1)

れ は収 束 す る部

す る.

‖u0‖-μ ′=1  で あ っ て,さ

ら にu0は

な る 境 界 値 問 題 を 満 た す.そ → κ0と

(13.6)

な る こ と,お

れ はL2-μ

よ びu0∈H2-μ

′(Ω)でul′ →u0,L2μ(Ω)でfl′

′(Ω)と な る こ と か ら 導 か れ る .一

→0ま 方,補

た κl 題

 

13.4に

よ り,u0は

場 合)ま

放 射 条 件 を 満 た し て い る.従

た は 補 題13.2(Imκ0=0の

(13.6)と

場 合)に

っ て,補

題13.1

よ りu0≡0と

(Imκ0>0の

な ら ね ば な ら ず,

矛 盾 す る.

 これ らの補 題 を 合 せ て 次 の結 果 が 得 られ る.  定 理13.6  (極 限 吸 収 の原 理)  κ0∈K±,f0∈L2μ(Ω)を

{κl}⊂K±

∩ Π ±,{fl}⊂L2μ(Ω)を

そ れ ぞ れ の 極 限 とす る.こ

ul=(L-κ2l)-1fl=R(κl)fl∈D(L) 

はL2-μ ′(Ω)で の 収 束 列 と な り,極 対 応 す る(9.1)の

外 向 き 解[内

  証 明   補 題13.1に 13.3お

よ び13.5よ

り,そ

限 をu0と

れ は κ=κ0,f=f0に

な る.

外 向 き 解[内

極 限 とす る.補

満 た し,従

って κ=κ0,f=f0に

て い る.一

方,補

向 き解]の

題13.4に

対 応 す る(9.1)の た は13.2の

ひ とつ の 集 積 点 で あ る こ とが わ か り,部 列 に な っ て い る.こ

す る と,こ

列 で あ る が,補

の よ う に し て,定

よ りu0は

外 向 き[内

放射条 件を

向 き]解

にな っ 唯

分 列 を と ら な く て も{ul}自

外 向 き 解[内

下では この解 を

u=u(κ,f)=R(κ)f 

し,一

身 が収 束

理 が 証 明 さ れ る.

一 意 的 に 存 在 す る こ と に な っ た.以

の よ うに 表 す.Imκ>0で

題

一 意 性 の 主 張 か らu0は{ul}の

  こ の 定 理 に よ り,任 意 の κ∈ Π ±,f∈L2μ(Ω)に 対 し て,(9.1)の 向 き解]が

(13.7)

れ はL2-μ ′(Ω)で の 前 コ ン パ ク ト集 合 に な る.{ul′}

を ひ とつ の 収 束 部 分 列,u0を

題13.1ま

(l=1,2,…) 

向 き 解]に

よ り{ul}は

収 束 列 と し,

の とき関 数 列

あ れ ばR(κ)はLの

(13.8) リ ゾ ル ベ ン ト(6.19)に

一致

般 に は そ れ の 実 軸 上 へ の 延 長 を 定 義 す る.

  命 題13.7 

(ⅰ) (κ,f)→R(κ)fは

Π ±×L2μ(Ω)か

らH2-μ

′(Ω)へ の 連 続 写 像 で

あ る. (ⅱ) R*(κ)∈B(L2μ

′(Ω),L2-μ(Ω))をR(κ)の R*(κ)f=R(-κ)f, 

  証 明   (ⅰ) {κl}⊂Π ±,{fl}⊂L2μ(Ω)を れ ぞ れ の 極 限 と す る.極

共 役 とす れ ば (κ,f)∈ Π ±×L2μ(Ω). 

収 束 列 と し,κ0∈ Π ±,f0∈L2μ(Ω)を そ

限 吸 収 の 原 理 の 証 明 と 同 様 に,L2-μ ′(Ω)で R(κl)fl→R(κ0)f0 

(13.9)

(l→ ∞)

を 示 す こ と が で き る.H2-μ ′(Ω)で の 収 束 性 は 定 理8.1に

よ る.

  (ⅱ)  f,g∈L2μ(Ω)と

る 列 と す れ ばR*(κl)

=R(-κl)に

す る.{κl}⊂

Π ± を κl→κ(l→ ∞)な

注 意 し ,極 限 吸 収 の 原 理 を 用 い て

が 得 ら れ る.こ

れ は(13.9)を

示 し て い る.

  こ の 命 題 を 用 い て 自 己 共 役 作 用 素Lの   定 理13.8  ∈H,は

{E(λ)}をLの

λ>0の

絶 対 連 続 性 が 示 さ れ る.

ス ペ ク トル 測 度 と す る.こ

関 数 と し てLebesgue測

の と き(E(λ)f,g),f,g

度 に 関 し て 絶 対 連 続 で あ り,特 にf,g

∈L2μ(Ω)に 対 し て は 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

(13.10)   証 明 L2μ(Ω)がHで

稠 密 な の で(13.10)を

絶 対 連 続 性 も 示 さ れ る こ と に な る.そ す.命

題13.7(ⅰ)よ

示 せ ば(E(λ)f,g),f,g∈H,の

こ でf,g∈L2μ(Ω)と

し て(13.10)を

示

り, (L2-μ′(Ω)で)

な る収 束 は λ>0に

つ い て 広 義 一 様 収 束 に な って い る.従

ってStieltjesの 反

転 公 式 で,極 限 と積 分 の順 序 を交 換 す る こ とが で き

被 積 分 関 数 は σ に つ いて 連 続 で あ るか ら,こ れ は(13.10)の え る.2つ

目の 等 式 は 命 題13.7(ⅱ)よ

  こ こで 音響 波動 伝 播 問題(6.5)に を い くつ か 述 べ よ う.

最 初 の等 式 を 与

り示 され る.

戻 り,上 の 結果 か ら導 か れ る解 の漸 近 性 質

  Hを(6.17)で

定 義 し,初

こ の と き,(5.14)お

期 デ ー タ をD(H)×QH(Q=I-E(0))か

よ び 命 題5.2か

上の ユ ニ タ リー 群{e-iHt;t∈R}に  命 題13.9 

ら 選 ぶ.

ら わ か る よ うに,エ

ネ ル ギ ー 伝 播 はH

よ っ て 記 述 さ れ る.

任 意 のf,g∈QHに

ついて

弱減衰  またG⊂

Ω を有 界 領 域 とす れ ば,任 意 のf∈QHに

(13.11)

ついて

局所減衰    証 明   両 式 と も 同 じ よ うに 証 明 で き る の で,(13.12)を を 与 え た と き にfl∈L2μ(Ω),N>0を

(13.12) 示 す.任

意 の ε>0

次 の よ うに と る:

‖Qfl-f‖0に

対 し

‖f‖, 

使 え,補

R>R10.

題 が 示 さ れ る.

次 の よ う に 定 義 す る: V=LJ-JL0, 

こ の と き,任

∞

存 在 して ‖(J*J-1)f‖B(R)0)と

あ る.Va,s(x),c(x)が

示 さ れ る.(14.9)は(14.5)か

  前 章 で 見 た よ う に,リ

,j]f,

′,μを(12.12)を

満 た す 正 数 の 組(た

と だ し,δ=

す る と き に,

R0(κ)∈B(L2μ(Rn),H2-μ

R(κ)∈B(L2μ(Ω),H2-μ

′(Rn)), 

′(Ω)) 

(14.10)

な る κ∈ Π± の 連 続 関 数 に な る.   補 題14.4 

任 意 の κ∈ Π ±に つ い て 次 の"リ

R(κ)J={J-R(κ)V}R0(κ), 

J*R(κ)=R0(κ){J*-V*R(κ)}. 

  証 明   κ∈ Π ± の と き は(14.11)は ら 導 か れ る.κ ∈R±

ゾ ル ベ ン ト"方 程 式 が 成 り立 つ. (14.11)

本 来 の リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式 で(14.7)か

の と き は(14.8)に

注 意 し て 極 限 操 作(命

題13.7(i))を

行 な え ば よ い.   命 題14.5  σ>0に

{E(λ)}をLの

ス ペ ク トル 測 度 と す る.任

意 のf,g∈L2μ(Ω)と

対 して

(14.12) こ こ にF0(σ)∈B(L2μ(Rn),h)(h=L2(Sn-1))は(4.13)で

定 義 さ れ た,L0の

ス

ペ ク ト ル 表 現 を 与 え る 作 用 素 で あ る.   証 明 

(14.8),(14.10)に

注 意 し て リ ゾ ル ベ ン ト方 程 式(14.11)を

用 い る.

命 題13.7(i)お

よ び(14.9)に

(4.12),(4.13)に

よ り,

注 意 す れ ば

(14.13) とな り,従 って 極 限 操 作 を 実 行 して 求 め る等 式 が 得 られ る.  さ て,各

σ∈R±

に 対 し てF(σ)∈B(L2μ(Ω),h)を F(σ)=F0(￨σ￨){J*-V*R(σ)} 

で 定 義 す る.明

ら か にF(σ)は

F*(σ)∈B(h,L2-μ(Ω))は

各R±

(14.14)

で σ に つ い て 連 続 で あ り,共

次 の よ うに 与 え ら れ る: F*(σ)={J-R(-σ)V}F*0(￨σ￨). 

 こ れ ら の 作 用 素 を 用 い てLの   定 理14.6 

(14.15)

ス ペ ク トル 表 現 が 得 ら れ る.

F± を 次 の よ うに 定 義 す る:f∈L2μ(Ω)に

[F±f](σ,ω)=[F(±

  こ の と き 各F± QHをH0=L2(R+;h)の 手 な 有 界Borel関

σ)f](ω), 

対 して

(σ,ω)∈R+×Sn-1. 

は 部 分 的 等 距 離 作 用 素 と し てH上 上 に ユ ニ タ リー に 写 す.こ

(14.16)

に 一 意 的 に 拡 張 さ れ, のF±

を 用 い てLの

の よ うに ス ペ ク トル 表 現 され る.さ 意 のh(σ,ω)∈H0に

f∈H 

ら にF*±:H0→HをF±

(14.17)

の共 役 作 用 素 と

つ い て,

Hで    証 明 

(14.14)と

勝

数 φ(L)は

[F± φ(L)f](σ,ω)=φ(σ2)[F±f](σ,ω), 

す る と,任

役作用素

命 題14.5に

よ り,任

意 のf,g∈L2μ(Ω)とBorel集

(14.18) 合

に対 し て (14.19) こ こに  

今 Δ=(1/N2,N2)と

お い てN→

(Qf,g)=(F±f,F±g)H0. 

L2μ(Ω)はHで さ れ る.F±

稠 密 で あ る か らF±

はQH→H0な

(14.20)

る等 距離 作用 素 に 自然 に拡 張

の ユ ニ タ リー 性 を 言 う ま え に(14.17),(14.18)を

  (14.17)は

φ(t)がBorel集

で あ る.(14.19)を

合 

用 い れ ば,任

∞ とす る と,

示 し て お こ う.

の 定 義 関 数 で あ る場 合 を 示 せ ば 十 分

意 のf∈Hに

対 して

従 って

が 得 られ る.こ

こ に 

あ る.こ

の 等式 か ら

の2つ

は Δ ∩Δ′=φ(空

集 合)な

る 任 意 のBorel集

合 で

a.e. a.e.

となるが,Δの定義関数 

で あ る か ら,求

に対し

め る 次 の 等 式 が 示さ れ る:

(14.21)   (14.18)は のg∈L2μ(Ω)と

次 の よ う に 示 さ れ る.F*(± ΔN=(1/N2,N2)に

σ)h(σ,・)∈L2-μ(Ω)で

対 し て

あ る か ら,任

意

(14.17)に

よ り

χΔN(σ2)[F±g](σ,ω)=[F±E(ΔN)g](σ,ω)で

と な り,L2μ(Ω)はHで

N→

∞

に 注 意 し て(14.18)が

の ユ ニ タ リ ー 性 を 示 す.そ

の 対 応 で あ る こ と,す

示 され る.

の た め に はF*±:H0→QHが1対1

なわ ち

N(F*±)≡{h±

を 示 せ ば よ い.h± ∈N(F*±)と

∈H0;F*±h±=0}={0} 

し よ う.任

(F*±χ Δh±,g)=(h±,χ た だ し

局

稠 密 だ か ら 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

とす れ ば,QF*±=F*±

  最 後 にF±

あ る か ら,結

χΔ=χ Δ(σ2)で あ る.従

(14.22)

意 のBorel集

合 

に対 して

ΔF±g)H0=(h±,F±E(Δ)g)H0=0. って

とな る が,Δ は 任 意 であ った か ら これ は F*(±

を 示 し て い る.(14.15)を

(4.14)よ

σ)h±(σ,・)=0 

a.e.,  σ ∈R+ 

用 い て こ れ を 書 き 直 す と,Ω

り こ の 左 辺 は 斉 次Helmholtz方

(14.23)

で

程式

{-Δ-σ2a-2}F*0(σ)h±(σ,・)=0

を 満 た す.一 (12.2)を

方,右

辺 は そ の 形 か ら わ か る よ うに 内 向 き[外

満 た し て い る.従

っ て,一

意 性 定 理(補

方 程 式 に 対 し て 使 え,F*0(σ)h±(σ,・)=0(a.e.,σ と か らF*0h±=0が れ は(14.22)を

言 え,さ

ら にF*0の

題13.2)が

∈R+)が

向 き]放

射条 件

上 のHelmholtz

導 か れ る.こ

れ と(4.17)

ユ ニ タ リー 性 か らh±=0が

従 う.こ

示 し て い る.

 §15  波動 作 用素 の 存 在 と完 全 性  自由空 間 で の波 と摂 動 を受 け た 波 は,そ れ ぞ れ,Hilbert空

間

で の ユニ タ リー群

(15.1)

(15.2) に よ って 記 述 され る(§§5,6を 見 よ).散 乱 理 論 は これ ら2つ の波 をt→ ±∞ で 比 較 す る.そ のた め に 〓0の 元 と 〓 の元 を 同一 視 す る作 用 素が 必要 で あ る.混 乱 の恐 れ は な い と思 わ れ るの で,そ

れ らは や は り  

で表 し, J{f1,f2}(x)=j(r){f1(x),f2(x)}, 

x∈

Ω 

15.3)

(15.4) の よ うに 定 義 す る.こ   定 義15.1 

こ にj(r)は

定 義14.1の

関 数 で あ る.

〓 での強極限

(15.5) が 存 在 す る と き に.こ   命 題15.1 

れ を 波 動 伝 播 問 題 に 対 す るMollerの

波 動 作 用 素 と呼 ぶ.

波 動 作 用 素 は 存 在 す れ ば 〓0か ら〓 へ の 等 距 離 作 用 素 に な り,

2つ の ユ ニ タ リー 群e-iΛ0tとe-iΛtを

次 の よ う に 結 び 合 わ せ て い る:

W±e-iΛ0t=e-iΛtW±. 

(15.6)

 証 明  e-iΛtは〓 で ユ ニ タ リー であ るか ら, 

命 題13.9を

用 い れ ばe-iΛ0tfがt→

題14.2でJ*J-1は は 消 え,W±

±∞

で0に

に対 し

弱 収 束 す る こ と が わ か り,補

〓0上 の コ ン パ ク ト作 用 素 に な る.従 の 等 距 離性

か ら 次 の よ うに 求 ま る:

 

が 得 ら れ る.等

っ て,右

辺 第2項

式(15.6)は(15.5)

 定 義15.2 

W+の

値 域 とW-の

値 域 が 一 致 す る と き,す

なわ ち

R(W+)=R(W-) 

の と き,波

(15.7)

動 作 用 素 は 完 全(complete)で

あ る と い う.波

動作用素が完全 であ

れば 〓0上 の ユ ニ タ リ ー 作 用 素

(15.8) が 存 在 す る が,こ

れ を 散 乱 作 用 素(scattering

  波 動 作 用 素 の 存 在 か ら,任

意の  

operator)と

呼 ぶ.

に対 して

(15.9) こ れ は 自 由 な 波e-iΛ0tfにt→ す る.さ

ら に,も

で 漸 近 す る 摂 動 波e-iΛtW±fの

し も 波 動 作 用 素 が 完 全 な ら(15.9)は

が で き る:本

来 はe-iΛ0tfで

て ゆ が み,最

終的に  

  こ の よ うに,散

±∞

記 述 さ れ る べ き 波 が,摂

存在を主張

次 の よ うに も 言 う こ と 動V=LJ-JL0に

よっ

な る波 に な る.

乱 作 用 素 は 物 理 的 な 観 測 量 に な っ て い る.

  こ の 節 で は 波 動 作 用 素 の 存 在 と 完 全 性 を 示 す が,そ

の た め に 問題 を 単 独 の 作

用素 Hで に 対 す る 同 じ 問 題 に 帰 着 す る.こ

 

(15.10)

の 作 用 素 も ユ ニ タ リー 群e-iH0tとe-iHtと

を

結 び 合 わ せ る 波 動 作 用 素 で あ る.   命 題15.2 

極 限(15.10)が

存 在 す れ ばW±=W±(Λ,Λ0;J)も

存 在 し て,

次 の よ うに 表 せ る:

(15.11) こ こにP(j)(j=1,2)は(5.16)で   証 明   命 題5.2に

定 義 さ れ た 正 射 影 行 列 で あ る.

より

e-iΛ0t=e-iH0tP(1)+eiH0tP(2), 

e-iΛt=e-iHtP(1)+eiHtP(2).

従 って eiΛtJe-iΛ0t=eiHtJe-iH0tP(1)+e-iHtJeiH0tP(2)

と な り,t→

±∞

 こ の よ うに,問

で の 強 極 限 を 考 え る こ と に よ り,(15.11)が 題 は(15.10)の

示 され る.

存 在 と完 全 性 を 示 す こ と に 帰 着 さ れ た.こ

の

問 題 に つ い て は,も   定 理15.3 

っ と 一 般 に,次

φ(λ)を

λ>0で

の 定 理 が 証 明 さ れ る.

は 区 分 的 に 滑 ら か な 単 調 増 大 関 数 と す れ ば, Hで

す な わ ち,左

辺 の 強 極 限 が 存 在 し てF*±F0に

れ ぞ れ(14.16),(4.15)で

 

一 致 す る.こ

定 義 さ れ たQH,H0か

(15.12)

こ にF±,F0は

らH0=L2(R+;h)の

そ 上 へ

の ユ ニ タ リー 作 用 素 で あ る.  注 意15.1 

作 用 素F*±F0:H0→QHは

ユニ タ リー で

F*±F0e-iH0t=e-iHtF*±F0 

の よ うにe-iH0tとe-iHtと tionary)波

(15.13)

を 結 び 合 せ て い る.こ

の よ う な 意 味 でF*±F0を

定 常(sta

動 作 用 素 と呼 ぶ こ と が あ る .

  注 意15.2 

(15.12)か

らW±=W±(φ(L),φ(L0);J):H0→QHが

ユ ニ タ リ ー 作 用 素 に な る こ と が わ か る .(15.10)の 結 で あ る.な

お,W±(φ(L),φ(L0);J)が

存 在 し,φ

存 在 す れ ば φ に 独 立 に な る,と

動 作 用 素 の 不 変 性 原 理(invariance

principle)と

に独 立 な

存 在 と完 全 性 は この こ と のひ とつ の帰

呼 ば れ て い る(加 藤[50]

い う性 質 は 波 Chapter

X).

  こ の 定 理 の 証 明 に 次 の 命 題 が 使 わ れ る.   命 題15.4 

H0の

稠 密 集 合 に 属 す 任 意 のfに ‖(J-F*±F0)e-iφ(H0)tf‖

で あ れ ば,(15.12)が

つ い て

→0 

(t→ ± ∞) 

(15.14)

成 り立 つ.

  証 明   ス ペ ク トル 表 現 定 理4.6,14.6に

よ り

F*±F0f=F*±[eiφ(σ2)te-iφ(σ2)t]F0f=eiφ(L)tF*±F0e-iφ(L0)tf.

従 って ‖eiφ(L)tJe-iφ(L0)tf-F*±F0f‖=‖(J-F*±F0)e-iφ(L0)tf‖

が 得 られ,命 題 が示 され る.  も う ひ とつ 命 題 を 導 くが,そ   補 題15.5 

の た め に 補 題 を2つ

ζ(σ)∈C∞0(R+;X)(X:Banach空

用 意 す る. 間)に

対 し

(15.15) とお く.こ

こに Δ⊂ ⊂R+は

の 仮 定 を み た す.こ

ζ(σ)の 台 を 含 む 区 間 で あ り,φ(λ)は

の と き 任 意 の 自 然 数lに

対 し て 正 数Clが

定 理15

存 在 して

.3

(15.16)  証 明  任 意 のlに つ い て

で あ る か ら部 分 積 分 を行 な い,Δ で φ′(σ2)>0に注 意 す れ ば,求 め る不 等 式 が 得 ら れ る.   補 題15.6 

h(σ,w)∈C∞0(R+;h)に

対 し て 次 の よ うに お く:

ζ(x,σ)=[F*0(σ)h(σ,・)](x).  任 意 の μ>1/2と

Cv,l>0が

自 然 数vに

(15.17)

つ い て ∂jσ ζ(・,σ)∈Hv-μ-j(Rn)で

あ り,適

当 な正 数

存 在して

(15.18)   証 明   F*0(σ)の 表 示(4.14)よ

り,￨α￨≦v,j≦lに

(15.18)は

か ら 導 か れ る.

こ の 等 式 と補 題4.4と

  命 題15.7 

[F0f](σ,ω)がC∞0(R+;h)に

に 含 ま れ る と す る.こ

の と き,γ>0が

対 して

属 し,σ に 関 す る 台 が 区 間  存 在 して

(15.19) (s>0,t∈R±).こ   証 明   F0fの

で あ り,さ

こ にC>0はf,Δ,γ

に よ っ て 決 ま る 定 数 で あ る.

台 が コ ン パ ク トで あ る か ら

らに

(15.20) 一方

,Schwarzの

不 等 式 よ り,正

数p>1に

対 して

(15.21)

自然 数lと 正 数pを p(1+δ)≧ を み た す よ う に 選 び(例

μ+lか

つl>p

え ばl=[p+1],p=(1+μ)δ-1と

ζ(・,σ)=F*0(σ)[F0(σ)f](σ,・)に

対 し て 補 題15.5を

す る),X=H2-μ-l, 用 い る.次

に 補 題15.6を

用 いれ ば

こ れ を(15.21)に

19)が

合 せ れ ば,γ=p-1(l-p)>0と

し て(15.

成 り立 つ こ と が わ か る.

  定 理15.3の f(x)に

代 入 し,(15.20)と

証 明   [F0f](σ,ω)が

命 題15.7の

条 件 を 満 た す よ う な 関 数f=

対 し Gf,±(t)=(J-F*±F0)e-iφ(L0)tf 

と お く.L0に

各 τ>0に

対 す る ス ペ ク トル 表 現 定 理 を 用 い,(14.15)に

(15.22)

注意すれ ば

つ い て 次 の よ う に お く:

(15.23)

であ るか ら

と な り,命

題15.7に

よ り

(15.24)

が 従 う.こ

こ にC>0は

に 対 し て,等

τ>0に

独 立 な 定 数 で あ る.一

方,任

意 のg∈L2μ(Ω)

式

が 成 り立 つ か ら,Lebesgueの

収 束 定 理 が 使 え,

(15.25) (15.24),(15.25)よ 束 す る.従

り,τ

↓0と

っ て,(15.24)を

と も にGf,±

τ(t)はGf,±(t)にHの

も う一 度 使 っ て

が 得 ら れ る.集 合{f∈H0;[F0f](σ,ω)∈C∞0(R+;h)}はH0で こ れ に よ っ て 命 題15.4の   命 題15.2,定  定 理15.8 

中 で 弱 収

稠 密 で あ る か ら,

条 件 が 満 た さ れ る こ とに な り,定

理15.3か

理 が 証 明 さ れ る.

ら 次 の 結 果 が 示 さ れ た こ と を,注

波 動 作 用 素W±=W±(Λ,Λ0;J)は

意 し て お こ う.

存 在 し,

(15.26) の よ うに表 せ る.従 っ てW±

は 〓0を

 

の上 に 写 す ユ ニ タ リー作

用 素 で あ り,完 全 で あ る.

 §16  散 乱 作 用 素 の 表 現 と逆 問 題  定 理15.8か

らわ か る よ うに,波 動 伝 播 問 題 の散 乱 作 用 素 〓 は 存 在 し,

(16.1) の よ う に 与 え ら れ る.こ の 表 現 を 考 え,そ

の 節 で は 〓 のFourier空

間(momentum

space)で

れ を 逆 問 題 の 一 意 性 の 証 明 に 適 用 す る.

  次 の よ うに お こ う:

(12.2) 上の恒等写像  作 用 素 〓 が 核 表 示 され て い る場 合 に,そ 乱 振 幅(scattering   定 理16.1 

amplitude)を

の核 をT-行

(16.3)

列 と呼 ぶ が,こ

れ は散

定 義 す るな ど,物 理 的 に重 要 な 関 数 で あ る.

〓 は 次 の よ うに表 示 され る:任 意 の  

に 対して

(16.4)  証明  

(14.15)よ

に対 し次の等式 が成 り立つ.

り F*(σ)-F*(-σ)={R(σ)-R(-σ)}VF*0(σ), 

で あ る か ら,(14.12),(14.14)が

こ の 等 式 か ら(16.4)が

使 えて

導 か れ る.

  上 の 定 理 を 言 い か え て,次   定 理16.2 

H0上

σ>0,

の よ う に 述 べ る こ とが で き る.

の 作 用 素T±

を 次 の よ うに 定 義 す る:

上の恒 等写像  こ の と き,任

意 のf(σ,ω)∈H0に

(16.5)

対 して

(16.6) な る 表 示 が 得 ら れ る.こ

のT±

を 用 い て(16.4)は

次 の よ うに 書 け る:

〓=T+P(1)-T-P(2). 

 注 意16.1 

Schrodinger型

(16.7)

の 散 乱 作 用 素S±=S±(L,L0;J)は

(16.8) で 定 義 さ れ る か ら,(16.5)を

次 の よ う に 書 く こ と が で き る: ±2πiT±=I-S±; 

S±=F0S±F*0. 

(16.9)

  次 の よ うに お く:

(16.10) (16.6)か

ら わ か る よ う に,T±

は こ のT±(σ)に

よ っ て 次 の よ うに 表 示 さ れ る:

[T±f](σ,ω)=[T±(σ)f(σ,・)](ω). 

以 下 で は 作 用 素2(σa-1)-n+2T±(σ)∈B(h)をT-行

  この よ うに 散 乱作 用 素 あ るい はT-行

(16.11)

列 と 呼 ぶ.

列 の 表 現 を得 た が,重

で あ る.す な わ ち,物 理 的 な観 測量T±(σ)か ら摂 動Vを

要 な のは 逆 問 題

定 め よ,と い う問 題

で あ る.こ れ は一 般 に は,問 題 の設 定 自体 も難 し く,本 書 で深 く立 ち 入 る能 力 は 筆 者 に は な い.   こ の節 の残 りで は,全 空 間Rnで 意 性 を 述 べ る.荒

の ポ テ ン シ ャル散 乱 につ い て,逆 問題 の 一

く言 えば(16.10)の

表 現 式 で右 辺 第2項

を 消 し て し まお うと

い うもの で,比 較 的 と り扱 いや す い.   n≧3,Ω=Rnと

し てH0=L2(Rn;a-2)上

の作 用 素

L=a2{-Δ+c(x)}, 

を 考 え る.ポ テ ン シ ャル関 数c(x)は

D(L)=H2(Rn) 

(16 .12)

当然 短 距 離 型 条件

c(x)=O(r-1-δ) 

(r=￨x￨→

∞) 

(16.13)

を 満 た し て い る も の と す る.   命 題16.3 

作 用 素(16.12)の"リ

ゾ ル ベ ン ト"R(κ),κ

∈ Π ±,は￨Reκ￨が

充 分 大 き な 所 で 次 の よ うに 評 価 さ れ る:

(16.14)   注 意16.2  Dirichlet条 立 つ(§29を

境 界 値 問 題 に対 し て も,∂ Ω が 星 状(star

shaped)で

あ り,境

界条 件 が

件 の場 合 には,境 界積 分 が うま く処 理 で き る の で ,上 の評 価 はそ の ま ま成 り 参 照 せ よ).

 証 明  今 の場 合,相 関 数 は  た か ら,(12.11)よ

り次 の 不 等 式 が 得 ら れ る:

であ っ

(16.15) 一 方 ,(12.19)でR=0,jR(r)≡1,ζ=xと

n≧3,μ0は

と と っ て あ る の で,上

κ∈ Π ± に 依 ら な い 定 数 で あ る. 

の不 等 式 か ら ‖θ ‖2μ-1≦C(γ){‖u‖2-μ+‖f‖2μ}. 

u=R(κ)fで

あ る か ら,(16.15),(16.16)を

(16.16)

合 せ て(16.14)が

得 ら れ る.

  こ の 命 題 を 用 い て 次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.   定 理16.4 

(16.12)に

対 応 す るT-行

列 は 次 の 性 質 を も つ:

(16.17)   証 明   (16.10)か

ら,任

意 の φ(ω),ψ(ω)∈hに

対 し

(16.18) 補 題4.4と(16.13)と

が 言 え,(16.18)か

に対 し

か ら 

ら(16.17)が

  上 の 定 理 は 短 距 離 型 条 件(16.13)の

従 う. も とで の逆 問 題 の 一 意 性 を 主 張 し て い

る.し

か し(16.17)だ

け で は は っ き り し な い 点 も あ る の で,ポ

テ ン シ ャル に

も っ と 強 い 条 件 を 課 し て み る. c(x)=O(r-(n+1+2δ)/2) 

を 超 短 距 離 型 の 条 件 と呼 ぶ が,こ   定 理16.5  L2(Sn-1)上

(r=￨x￨→

∞) 

(16.19)

の と き は 次 の 結 果 が 得 ら れ る.

c(x)が(16.19)を

満 た す と す る.こ

の 積 分 作 用 素 で あ り,そ

の と きT-行

列 はh=

の 核 は 次 の よ うに 与 え ら れ る:

(16.20) さ らに

(16.21)

a.e. 

と な り,T±(σ)は

ポ テ ン シ ャ ル のFourier変

  証 明   (16.10)に

仮 定(16.19)よ

戻 る.任

換c(ξ)を

一 意 的 に 定 め る.

意 の φ(ω′)∈hに 対 し て

りV=a2c(x)∈L2μ(Rn), 

従 っ て,右

辺 第2項

で

は 積 分 の順 序 交 換 が で き る.さ らに 積分

が 各 点 的 に 意 味 を も つ の で,結   次 に(16.20)で

局(16.20)が

導 か れ る.

σ→ ∞ とす る.ω,ω ′ に 一 様 に

(16.22) と な る か ら,特

に σa-1(ω-ω ′)=ξ を 固 定 し て お け ば(16.21)が

得 ら れ る.

 §17  散 乱 作 用 素 の 解 析 接 続   こ の 節 で はR3に

お け る作 用 素L=a2{-Δ+c(x)}に

つ い て,ポ

テ ンシ ャル

関 数c(x)が

指数的な減衰条件 ￨c(x)￨≦Ce-2αa-1￨x｜

 

を 満 た す 場 合 を 考 え る.c(x)がR3で 左 辺 第2項

(α>0, 

C>0) 

(17.1)

可 積 分 で あ る か ら,今 の 場 合,(16.20)の

も各 点 的 に 意 味 を もつ.そ

こ で 関 数 φ±(x,σ,ω),(σ,ω)∈(R-{0})

×S2,を

(17.2) と お く と,T-行

列 は 次 の よ うに 表 せ る:

(17.3) 上 の

φ ±(x,σ,ω)は

ゆ が ん だ 平 面 波(distorted

mann-Schwinger方

程 式 を 満 た す.即 φ ±(x,σ,ω)+[R0(±

σ)Vφ

plane

waves)で

あ り,Lipp

ち, ±(・,σ,ω)](x)=eiσa-1x・

(17.4)

  (17.1)の

条 件 の も と に,T-行

Imκ>-α

ま で 有 理 型 関 数 と し て 解 析 接 続 で き る こ とを 示 そ う.(17.2)か

わ か る よ う に,φ+と

φ-は

列(17.3)が

ω. 

σ に つ い て 解 析 的 で あ り,

次 の よ う に 関 係 づ け ら れ る:

φ-(x,σ,ω)=φ+(x,-σ,-ω). 

そ こ で,以

ら

(17.5)

下 で は2(σ α-1)-1T+(σ,ω,ω ′)の 方 だ け を 考 え る.

  (17.4)で

σ を 複 素 数 κ に拡 張 し た方 程 式 φ(x,κ,ω)+[R0(κ)Vφ(・,κ,ω)](x)=eiκa-1x・

を 解 き た い.そ の た め にVを2つ V=V1V2; 

(17.6)にV1を

{I+Q0(κ)}V1φ=V1eiκa-1x・

(17.6)

の 掛 算 作用 素 の 積 に 分解 す る.

V1=e-αa-1￨x￨, 

乗 じ れ ば,V1φ

ω  

V2=a2c(x)eαa-1￨x￨ 

(17.7)

に 対 す る方 程 式 ω, 

Q0(κ)=V1R0(κ)V2, 

(17.8)

を 得 る.Q0(κ)が

(17.9) を 核 に も つ 積 分 作 用 素 に な る こ と に 注 意 し よ う(§ §3,4参 (17.7)と

か ら わ か る よ う に,Q0(κ)はHilbert-Schmidt型 κ∈ Π-α={κ;Imκ>-α} 

照).条

件(17.1)と

の作 用 素 とし て (17.10)

に 解 析 的 に 依 っ て い る.   逆 作 用 素{I+Q0(κ)}-1の   Imκ

存 在 と κ に 対 す る 正 則 性 を 言 い た い.

が 充 分 大 き け れ ば 作 用 素 ノ ル ム ‖Q0(κ)‖は 小 さ く な り,{I+Q0(κ)}-1

の 存 在 がNeumann級

数 に よ っ て 保 証 さ れ る .こ

の 事 実 も 用 い て,次

の命 題

を 証 明 す る こ と が で き る.   命 題17.1 

{I+Q0(κ)}-1∈B(L2(R3))は

体 で 存 在 し,κ

極(pole)に

の 有 理 型(meromorphic)関

  こ の 命 題 はFredholmの え ばTamarkin

な る 点 を 除 き,Π-α

積 分 方 程 式 論 に 帰 着 さ れ る.証

[111]の

全

数 に な っ て い る.

方 法 を 用 い る 場 合,積

明 は 省 略 す る が,例

分 核 のHilbert-Schmidtノ

ル ム

お よ び トレ ー ス ノ ル ム を κ に 一 様 に 評 価 す る こ とが 本 質 的 で あ る.Q0(κ)は Hilbert-Schmidt型

で あ る が,一

般 に ト レ ー ス 型 に は な ら な い .そ

{I+Q0(κ)}-1={I-Q0(κ)2}-1{I-Q0(κ)} 

な る 等 式 に 注 意 し て,{I-Q0(κ)2}-1に をL2(R3)の

こで (17.11)

つ い て 命 題 を 証 明 す る こ と に な る .{φj}

完 全 正 規 直 交 系 とす る と きQ0(κ)2のHilbert-Schmidtノ

トレ ー ス ノ ル ム は,そ

な る 評 価 を も つ.従

ル ム,

れ ぞれ

っ て,任

意 の ε>0に

つ い てΠ-α+ε={κ:Imκ

≧-α+ε}

で と も に 一 様 有 界 に な っ て い る.   上 の 命 題 を 用 い て 次 の 定 理 が 得 ら れ る.   定 理17.2 

Q(κ)=V1R(κ)V2は Q(κ)={I+Q0(κ)}-1Q0(κ), 

とお く こ と に よ

り,Hilbert-Schmidt型

κ∈ Π-α 作 用 素 として

 

(17.12)

Π -α に 解 析 接 続 で き,

そ こ で 有 理 型 関 数 に な っ て い る.   証 明   Imκ

≧0で

は"リ

ゾ ル ベ ン ト"方

程 式(14.11)に

よ り

V1R(κ)V2=V1{R0(κ)-R0(κ)VR(κ)}V2=Q0(κ)-Q0(κ)V1R(κ)V2 従 っ て{I+Q0(κ)}-1が

存 在 す る点

で はV1R(κ)V2={I+Q0(κ)}-1Q0(κ)が

. 存 在

し,Hilbert-Schmidt型   次 にQ(κ)の   命 題17.3  が あ れ ば,そ

作 用 素 と し て Π-α で 有 理 型 に な っ て い る.

極 を 調 べ よ う. Imκ ≧0の

と きQ(κ)の

の 平 方 は 作 用 素Lの

  証 明   u∈L2(R3)が

極 は 虚 軸 上 に し か な く,原

点 以 外 に極

負 の 固 有 値 に な る.

方程式 {I+Q0(κ)}u=0 

を 満 た す とす る.κ2がLの て"リ

(17.13)

固 有 値 で な け れ ば,R(κ)V2を

この方 程 式 に作 用 し

ゾ ル ベ ン ト"方 程 式 を 用 い る. R(κ)V2{I+Q0(κ)￨u={R(κ)+R(κ)VR0(κ)}V2u=R0(κ)V2u=0

よ り,(17.13)に   命 題17.4 

戻 れ ばu=-V1R0(κ)V2u=0が 0>Imκ>-α

  証 明   (17.9)か

得 ら れ る.

の と きQ(κ)の

ら わ か る よ うに,任

極 は 虚 軸 に 関 し て 対 称 に 分 布 す る.

意 のu∈L2(R3)に

ついて

{I+Q0(-κ)}u={I+Q0(κ)}u. 

従 っ て κ が 極 で あ る こ と と-κ   原点

κ=0が

  命 題17.5 

(17.14)

が 極 で あ る こ と とは 同 値 に な る.

極 か ど う か と い う 問 題 に つ い て,次

の 命 題 が 成 り立 つ.

n=3でc(x)が

(17.15) を 満 た す と す る.Q0(κ)を

次 の よ う に お く:

Q0(κ)=V1R0(κ)V2; 

V1=(1+r)-1-δ/2, 

V2=a2c(x)(1+r)1+δ/2 (17.16)

こ の と き{I+Q0(κ)}-1∈B(L2(R3))は 存 在 し,連

任 意 の

κ∈ Π0={κ;Imκ

≧0}に

つ い て

続 に な る.

  証 明 

で の{I+Q0(κ)}-1の

存 在 と 連 続 性 は 極 限 吸 収 の 原 理 お よ びLの

正 値 性(例6.3)に

依 る.Q0(0)がHilbert-Schmidt型

存 在 を 言 う の に,方

程 式 {I+Q0(0)}u=0, 

に 対 す る 一 意 性 を 示 せ ば よ い.V2=O(r-1-δ/2)で

な の で{I+Q0(0)}-1の

u∈L2(R3)  あ る か ら

(17.17)

と な り,方

程 式 を 用 い てu=O(r-3/2-δ)が

と し て よ い.υ=R0(0)V2uと

言 え る.一

お け ば,上

般 を 失 う こ と な く3δ0は

κ に 依 ら な い 定 数 で あ る.

  証 明   (18.14)は

明 ら か で あ ろ う.(18.15)は(17.21)よ

が 得 ら れ る か ら,上

の 命 題 を 考 慮 す れ ば(18.14)に

  定 理18.1の

証 明   (18.6)の

の よ うに 解 け る.こ

(R0(κ)fに

解 はImκ

≧0で

り

帰 着 さ れ る. は

こで 等式

つ い て も 同 様)に

注 意 す れ ば,uは

次 の よ うに 表 せ る:

(18.16)

さ ら にL2f,L20fの Imκ ≧-γ

台 コ ン パ ク ト で あ る か ら,系18.4よ

ま で 解 析 的 に 延 長 さ れ,そ

り,uは

そのまま

こで

な る評 価 を もつ.   さ て,(18.4)の

解w(x,t)はLaplace逆

の よ う に 与 え ら れ る が,上 に よ り,次

のu(x,κ)の

変換 に よ り

性 質 を 考 慮 す れ ばCauchyの

の よ うに 積 分 路 を 移 動 で き る.

従 って

これ と(18.3)の

解w(x,t)の

表 示 とか ら 定 理 が 示 さ れ る.

積分定理

第5章  遠距離型摂 動 の場 合

  本 章 で は遠 距離 型 の 問 題 を あ つ か い,波 動 伝 播 問 題(6.5)の

解 の スペ ク ト

ル表 現 お よびt→ ±∞ で の漸 近 挙 動 を 述 べ る.簡 単 のた め に 摂 動 項 は 短 距 離 型 の 部 分 を含 まず,(9.2)で m(x,κ)2=κ2α(x)-2-c(x),  とな って い る場 合 を 考 え る.一 般 の  

p(x,κ)≡0 の 場 合 は,本 章 で あ つ か う問

題 の短 距離 型 摂 動 に な っ て お り,前 章 の 結果 を適 用 で き る.

  §19  極 限 吸 収 原 理 の 見 直 し   遠 距 離 型 の ス ペ ク トル表 現 は,§14の

摂 動論 的 手法 が有 効 で な く,極 限 吸 収

の原 理 か ら直 接 構 成 し な けれ ば な らな い.そ の た め に,第3章

の結果だけでは

不 充 分 で あ り,こ の節 で必 要 な修 正 を加 え る.そ のた め に遠 距 離 型 条 件(6.9) で,球 面 上 の微 分 可能 性 を充 分 高 め る必 要 が あ る.   命 題19.1  N=2 

こ の と き,必

(6.9)ま た は(9.6)でNを (1/21に

ついて

(21.25)  証 明   次 の よ うに お く:

こ こに

ω(λ)∈C∞(R)は0≦

る 関 数 で あ り,σc=(ξ(x)-t)/2sは point)で

あ る.こ

のh1,h2を

ω(λ)≦1,ω(λ)=1(￨λ￨1)な 相 関数 用 い てη±

σ2s+σt-σ

ξ(x)の

臨 界 点(critical

を 分 解 す る:

(21.26)

 ま ずη±,1を 考 え る.

に注意すれば

(21.27) こ こに 積 分 

は も とも とがΔ

上 の 積 分 で あ った の で, 

け る 極 限 で あ る と考 え る こ とが で き る.従

にお

っ て,Fresnel積

分 とし て

(21.28) 一 方 ,第2項

は 部 分 積 分 で き,ま た積 分 順 序 の交 換 をす れ ば

こ こに

ζ(x,σ)の 条 件(21.13)を

考 慮 す れ ば,こ

れ と(21.28)と

か ら

(21.29) が 得 ら れ る.次 従 っ てh2の

にη±,2を

考え

る.{σ

台 上 で は￨2σs+t-ξ(x)￨>sと

を 部 分 積 分 し て(21.13)を

∈Δ;￨σ-σc￨0が

意 のs>0に

存 在 し て,任

よ り

つ いて

これ ら を合 せ て

を得,命 題 が 証 明 され る.

 §22  漸 近 波 動 関 数 とエ ネ ル ギ ー 分 布  こ の節 で はa(x)-aが 期 境 界 値 問 題(6.5)を

遠 距離 型 の摂 動 で あ り,c(x)≡0の

場合について初

考 え,t→ ±∞ に お け る解 の漸 近 的 性 質 を調 べ る.

 初 期 条 件{φ1,φ2}∈D(H)×Hに

対 して 解 を 考 え るの で あ るが,簡 単 の た め

に

(22.1) と お き,解

と して は

(22.2) の表示

(22.3) を 考え る こ と に す る.   次 の よ う に お く:

(22.4)

  補 題22.1 

は ユ ニ タ リ ー 作 用 素 で あ る.

  証 明   F±:H→H0=L2(R+;h)が

これ は

ユ ニ タ リー で あ る か ら,(22.4)に

∼± の 等 距 離 性 を 示 し て い る.H0=L2(R+;h) 

と な る こ と に 注 意 す れ ば,∼ ± は り,ユ

〓 か らH0の

L2(R-;h)で

よ り

あ り

上 へ の 作用 素 とな る こ とが わ か

ニ タ リ ー 性 が 示 さ れ る.

  命 題22.2 

任 意 の 

に対 して

(22.5) と お く と, 

は ユ ニ タ リー作 用 素 で あ り

(22.6) こ こ にK*± ∈B(H0,H)は(21.9)で

定 義 さ れ た 作 用 素 で あ る.

  証 明   f→F±

の ユニ タ リー 性 は 補 題22.1とParsevalの

あ る.(22.6)は

次 の よ うに 示 さ れ る.(21.9)よ

等 式 か ら 明 らか で

り

 左辺

  定 義22.1  e-iΛt,t∈R,に

各 

に 対 し(22.5)の

対 応 す る 波 の 輪 郭(wave

関 数F±(s,x)を

profile)と

ユ ニ タ リー 群

呼 び,

(22.7) をt→

±∞

に お け る 漸 近 波 動 関 数(asymptotic

wave

function)と

呼 ぶ.

  上 の 定 義 お よ び 命 題21.1,定   定 理22.3 

任 意 の 

理21.4か

ら 次 の 定 理 が 示 さ れ る.

に対 し

(22.8) (22.9) (22.10)   証 明   (21.10)に

注意して

写 像 ∼± の ユ ニ タ リー 性 を 用 い れ ば,(22.8),(22.9)の 着 さ れ る.同

様 に(22.10)は

定 理21.4の

証 明 は 命 題21.1に

帰

証 明 に 帰 着 す る.

  こ の よ うに,波

の 伝 播 は 本 質 的 に は 漸 近 波 動 関 数,す

な わ ち,ゆ

球 面 波(22.7)に

よ っ て 記 述 さ れ る こ と が わ か っ た.こ

れ よ り波 の エ ネ ル ギ ー

分 布 につ い て,い

くつ か の 結 果 が 得 ら れ る.

  次 の 記 号 を 用 い る こ と に し よ う.θ1(t),θ2(t)をtの ≦∞

な る も の と す る.C0を

単 位 球 面Sn-1上

がんだ発散

連 続 関 数 で0≦

θ1(t)≦θ2(t)

の可 測 集 合 とし て

と お く.

 命題22.4 

任 意 の 

に対 し

(22.11)   証 明 χK(x)をK(θ1(t),θ2(t);C0)上

で あ る か ら 

の 定 義 関 数 と す る.こ

の とき

とお け ば求 め る式 が 得 られ る.

  任 意 の 領 域K⊂

Ω に 対 し て,解u(t)の

時 刻tに

お け るエ ネルギ ー を

(22.12) で 定 義 す る.t0の

任 意 の ε>0と 

意 のt≧t0に

つい て

場 合 を 考 え る.

に 対 し 実 数 η>0とt0≧max{1,η)が

存

(22.13) す なわ ち,ほ

とん どの エ ネ ル ギ ーが同 じ厚 さ を も った 発散 す る"円 環"領 域 に

集 中 し て伝 播 す る.   証 明  任 意 のK⊂

Ω に 対 して

K=K(t-η,t+η;Sn-1)と

ま たt0を

し,η

を 充 分 大 き く と れ ば 命 題22.4に

充 分 大 き く と れ ば 定 理22.3に

E(t;w,K)≦E(0;w,Ω)は

よ り,任

明 ら か な の で,こ

意 のt>t0に

れ ら か ら(22.13)が

よ り

ついて

示 さ れ る.

 次 の 定 理 は"円 錐"内 で の エ ネル ギ ー の 漸 近 分 布 を 記 述 して い る.   定 理22.6 

Cを

こ の と き 任 意 の 

原 点 を 頂 点 と す るRnで

の"円

錐"と

す る:C=R+×C0.

につ い て

(22.14)  証 明   Ω ∩C=K(0,∞;C0)で

あ る か ら 命 題22.4お

よ り

一方

,定

理22.5の

こ れ ら か ら(22.14)が

証 明 か ら も わ か る よ うに

従 う.

よ びParsevalの

等式

  遠 距 離 型 摂 動 に 対 し,第4章

の意 味 で の波 動 作 用 素 は一 般 に存 在 し な い こ と

が(22.7)の

表 示 か ら わ か る.

  Laplace作

用 素 の 遠 距 離 型 ス ペ ク トル 表 現 は,作

用 素F0(σ)∈B(L2μ(Rn),h):

(22.15) (22.16) を 用 い て 構 成 さ れ る.従

っ てd'Alembert方

程 式 に 対 す る漸 近 波 動 関 数 を 求 め

る と,

(22.17) な る 発 散 球 面 波 が 得 られ る.こ

こ に 波 の 輪 郭F0,±(s,x)は

に 属 す 関 数 で あ る.(22.17)と(22.7)と

がt→

±∞

や は り 

で(L2の

意 味 で の)同

じ関数 を与 え るた め に は

が 存 在 す る必 要 が あ るが,遠

距 離 型 摂 動 で は 右 辺 が 発 散 し て し ま う.

  こ の 章 を 終 え る ま え に(22.15)と(4.13)と

の 関 係 を 注 意 し て お こ う.こ

れ ら は 独 立 に 定 義 さ れ,そ

れ ぞ れLaplace作

  次 の 命 題 で,こ

の 作 用 素 が 本 質 的 に は 同 じ も の に な っ て い る こ とが

れ ら2つ

用 素 の ス ペ ク トル 表 現 を 与 え る.

わ か る.   命 題22.7 

fをf(ξ)∈C∞0(Rn)な

る 関 数 と す る.こ

の と きx∈Sn-1に

一

様に

(22.18)  証 明は省略す るが

に お い て,球 面 積 分 に 次 の 補題 を用 い れ ば よい.

  補 題22.8 

h(ω)∈C∞(Sn-1)に

対 し て

(22.19) こ こ にq0(x)は,任

意 の多 重 指 標 α に つ い て

(22.20) を満 たすC∞-関 数 で あ る.   こ の補 題 はMorseの

補 題 と鞍 部 点 法 を 用 い て 証 明 され る.例

に も っ と一 般 の場 合 の証 明 が与 え られ て い る.

えば 松 村[65]

第6章  半線形波動方程式

 以下 の3つ の 章 で は 変数 分離 型 で な い 問題,主 る.我

に半 線 形 の 波 動方 程 式 を考 え

々の関 心 は や は りt→ ±∞ で の解 の漸 近 性 質 に あ るが,そ の まえ に 本 章

で時 間 に 関す る大 域 解 の存 在 を 保 障 し よ う.中 心 的 な問 題 は局 所 解 の存 在 とそ の延 長 可 能 性 で あ る.後 者 に は解 の有 界性 に関 す る先 験 評 価 が 必要 で あ り,そ のた め,非

線 形 項 に 対 す る仮 定 は い っそ う厳 し い もの に な る."小

さい"初 期

デ ー タ に対 して は 先 験 評 価 が 楽 に導 け,仮 定 が 緩 め られ る場 合 が あ る.こ れ に つ い ては 本 章 で は な く,散 乱 問 題 との 関 連 で 第8章 で 言 及 す る.

  §23  解 の 存在 と 一意 性  この節 で は 問 題 を あ る程 度 抽 象 的 にあ つ か うこ とに して,双

曲型 発 展 方程 式

に 対 す る次 の初 期値 問題 を考 え る:

(23.1) こ こ にL=H2はHilbert空

間H上

の 正 値,自

は 線 形 ま た は 非 線 形 の 摂 動 項 を 代 表 す る.ま

己 共 役 作 用 素 で あ り,F(w(t))

た,初 期 デ ー タ{φ1,φ2}はH×H

の 適 当 な ク ラ ス に 属 す も の とす る.   以 下 で は(23.1)の 言 え,(23.1)を

強 解 を 問 題 に す る.こ

の と き はF(w(t))∈Ct(R+;H)が

次 の よ うに 積 分 方 程 式 に 書 き 直 す こ と が で き る.

(23.2) (23.3)

 (23.2)の

局 所 可 解 性 を 縮 小 写 像 の 原 理 に よ っ て 示 そ う.

  関 数u(t)∈Ct([0,T);D(H2))∩C1t([0,T);D(H))の

うち不 等 式

(23.4) を 満 た す も の 全 体 をX(T)と

す る.こ こ に ‖ ‖はHの

ノ ル ム で あ り,‖  ‖eは

(23.5) な る エ ネ ル ギ ー ・ノ ル ム を 表 す.X(T)が

ノル ム ‖   ‖X(T)に よ っ てBanach

空 間 に な る こ と に 注 意 し よ う.  仮 定

Ⅳ  単 調 増 大 な 関 数 θk(λ)(λ≧0,k=1,2)が

υ(t)∈X(T)に

対 し て0≦t0を 存 在 す る.こ

充 分 小 さ く選 べ ば,(23.2)の

こ に 存 在 区 間[0,T0)は

解 がX(T0)の

中に 一 意 的 に

初 期 デ ー タの ノル ム

(23.14) の大 き さに のみ 依 存 し て決 ま る.  証 明   一 般 に

(23.15) が 言 え,従 2aと

っ て(23.3)のw0(t)に

で き る.さ

こ の と き,写

ら にT0を

つ い てT0>0を

小 さ く し て,次

像w→w0+ΦwはX(T0)で

自身 に 写 し,任

意 のu,υ

小 さ く 選 べ ば ‖w0‖X(T0)≦

の 不 等 式 が 成 り立 つ よ うに す る:

の 球B={u;‖u‖X(T0)≦3a}を

∈Bに

それ

対 し

(23.16) (23.17)  こ の2つ

の 不 等 式 か ら(23.2)の

が で き る.一

意 性 は(23.17)か

の よ うに 定 め る とwn(t)∈Bで

と な る.従 (23.2)を

解w(t)∈X(T0)の

っ てwn(t)はn→ 満 た す.

ら 明 ら か な の で,存

存 在 と一 意 性 を 示 す こ と 在 を 言 う.wn(t)を

逐次

あ って

∞

と と も にXm(T0)で

収 束 し,極

限w(t)は

  大 域 解 の 存 在 を 言 う の に,解

の 有 界 性 に 関 す る 先 験 評 価 が 必 要 に な る.そ

れ

解 が 区 間[0,T)で

初

を 仮 定 に 加 え よ う.   仮 定 Ⅴ  (23.2),(23.13)の 期 デ ー タ に 対 す る(23.14)の 任 意 の0≦t0が

存 在 し て,

対 して

(23.18)   命 題23.3 

(23.2),(23.13)の

C(T,a)>0が

存 在 し て,任

解 が 区 間[0,T)で

意 のt0が

 (P1)  n=1,2の

とき

の 条 件 の も と に 初 期 値 問 題(24.1)を 対 し て,大

 

n≧5の

  仮 定Ⅳ を 見 る の に 次 のSobolevの m>0を

考 え る.任

域 的 強 解w=w(x,t)が

局 所 解 を 求 め るに は 条 件(A1),(P1)だ

  補 題24.2 

ついて

と

非 線 形 項 を 含 ま な い.

∈H2(Rn)×H1(Rn)に  注 意24.1 

意 の(x,t,w)∈Rn×R+×Cに

と き2≦p0が

存在 して

(24.4) こ こ に‖u‖p,1-1と 公 式 と 呼 ば れ る,次 森 口-宇

田 川-一

す る と き,Sonine-Schafheitlinの

の 等 式 が 成 り立 つ(『 岩 波 数 学 辞 典 』,公

松[79]p.193参

式18,19ま

たは

照):

(25.7) こ こ に2F1はBarnesの

と な り,(25.5)が

よ り,(25.6)が

一 般 超 幾 何 関 数 で あ る.こ

得 ら れ る.次

得 ら れ る.

に

の公式を用いれば

 注 意25.1 

  補 題25.3 

(25.6)の

右 辺 は 

に 等 し い.

次 の よ うに お く.

(25.8) こ の と き1/q+1/q′=1,q′>n/(n-1)(n=4の る 任 意 のq,q′

場 合 は さ ら に2/(n-3)>q′)な

に つ い て ‖K(・,t)‖q′

な る不 等式 が成

り 立 つ.こ

こ にC>0はq,q′

  証 明   K(x,t)=t2-nK(t-1x,1)で

とな り,(25.9)が

に よ る 定 数 で あ る.

あ る か らK(x,1)∈Lq′(Rn)で

得 ら れ る.K(x,1)∈Lq′(Rn)を

を 用 い れ ば,K(x,1)は

使 え,r→

K(x,1)のr=1で

の 発 散 の 位 はO(￨r-1￨-(n-3)/2)(n=3に

照)で

  命 題25.1の

あれ ば

示 そ う.第1章

の 補 題2.1

次 の よ うに 表 示 さ れ る:

従 っ て 補 題25.2が

25.1参

(25.9)

≦Ct2-n/q 

あ る か ら,上

∞ で

のq′

証 明   Φu(t)は

に 対 し てK(・,1)∈Lq′(Rn)が

次 の よ う に か け る:

対 し て は 注 意 示 さ れ る.

(25.10) (25.8)か

ら わ か る よ う に,H-2sin(H(t-s))は

核K(x-y,t-s)を

た み 込 み 形 の 積 分 作 用 素 に な っ て い る.従 1/q′+1/q=1な

る任 意 のq,q′>1に

っ て 補 題25.3に

  定 理25.4(局

所 可 解 性)  (25.1)が(A2)お

n=2,3で

よ り命 題 の 不 等 式 が 得 ら れ る. よ び 次 の(P2)を

満 た す と す る:

あ っ て,p≧2.

ま た φ={φ1,φ2}∈H2(Rn)×H1(Rn)を で 線 形 方 程 式 の 解w0(t)が T0≦Tを

不 等 式 を 用 い れ ば,

対して

が 成 り立 つ.従

 (P2) 

っ てHolderの

も つ,た

一 様 連 続 で 有 界 に な る よ う に 選 ぶ.こ

充 分 小 さ く選 べ ば,(25.2)の

の 存 在 区 間[0,T0)は,や

任 意 の 帯 状 領 域{(x,t)∈Rn×[0,T)}

解 がX(T0)に

の と き0
0に 様 の縮 小 写 像 の原 理 が 使 え る.

注 意 す れ ば,定

理23.2と

同

  大 域 解 は 局 所 解 を 延 張 し て 構 成 す る.そ

の た め に,仮

定Ⅴ に 相 当 す る,解

の

先 験 評 価 が 必 要 に な る.   命 題25.5  こ の と き,こ て,任

仮定 Ⅵ′ が 満 た さ れ,(25.2)の のTと(25.11)の

意 の0≦t0が

存 在 し て,任

意 のt>0に

つい て

(27.3)   証 明  と お く.辺

補 題26.2でφ=(1+r+at)ε,補 々加 え合 せ れ ば

題26.3で

ζ=φt=εa(1+r+at)ε-1

こ れ をRn×[0,t)で

積 分 す る.(27.3)は

場 合 に 示 され れ ば よ い の で,波 必 要 が な い.従

コ ン パ ク トな 台 を も つ 初 期 デ ー タ の

の 有 限 伝 播 性 に よ り ∇・Y(t)の 積 分 は 考 慮 す る

って

(27.4) さて

で あ る か ら,ab(x,t)(1+r+at)≧2ε,ab(x,0)+2(1+r)-1≦2C10が

存 在 し て,任

意 のt>0に

つ

いて

(27.7)   証 明   補 題26.2で

こ れ をRn×[0,t)で

φ≡1,補

題26.4でψ=ψ(r)と

積 分 す る.初

お く.辺

々加 え合 せ れ ば

期 デ ー タ の 台 が コ ン パ ク トで あ れ ば

(27.8) が 得 ら れ る.こ

こ でψ(r)を

次 の よ う に 選 ぼ う.

(27.9) す ぐわ か る よ う に,ψ(r)はrに

つ い て単 調 増 大 で

まずψ ≦ γa(t-s)+Rで

υs(t)=0

導 か れ る. る 任 意 のTに

つ いて

υT(t)=υs(t)-U0(t-T)υs(T). 

  証 明   U0(t-s)=U0(t-T)U0(T-s)を

(28.3)

用い て(28.3)は

次 の よ う に 示

さ れ

る.

 こ れ ら の 補 題 お よび 定 理26.5,そ 必 要 な 命 題 を3つ   命 題28.4 

の 系,定

理27.2を

用 い て,定

理28.1に

証 明 す る.

任 意 のs≧0とt≧s+R/aに

対して

E(t;w,a(t-s)-R)=E(t;υs,a(t-s)-R). 

ま た,任

意 のt≧s+2R/aに

(28.4)

対 して E(t;υs)≦E(s+2R/a;υs). 

  証 明   (28.4)は Gt(x,t,w)≦0と

補 題28.2(a)か す れ ば,任

(28.5)

ら 明 ら か で あ る.系26.6でb(x,t)≧0,

意 の0≦s≦tに

つ い て,E(t;w)≦E(s;w)な

不 等 式 が 得 ら れ る.υs(t)はt≧s+2R/aで(24.1)を か ら,こ

の 不 等 式 が 使 え,(28.5)が

 命 題28.5 

任 意 のs≧0に

満 た す(補

る

題28.2(b))

得 ら れ る.

対 し てTをT≧s+6R/aと

とれ ば

E(T+2R/a;υT)≦4E(T;υs;5R) 

(28.6)

  証 明   補 題28.2(c),(28.2)お

よ び 波 の 有 限 伝 播 性(定

こ こ でTが5R≦a(T-s)-Rを

満 た す こ と に 注 意 す れ ば,￨x￨0,R1≧Rに

対 し て,l>6R/a,s+6R/a≦T≦s+l

よ り

な るl,Tが

存 在 して E(T;υs,R1)≦

ηE(s+2R/a;υs). 

  証 明  υs(t)はt≧s+2R/aで(24.1)を 使 え る.即

ち,K=K(R1)>0を

(28 .7)

満 た す か ら,そ 大 き く と る こ と に よ り,任

こ で 定 理27.2が 意 のs1≧s+2R/a

につ い て

(28.8) こ のKCに

対 し てl=KC/η+6R/aと

ど の よ う なTを

お く.そ

と っ て も(28.7)が

し てs+6R/a≦T≦s+lな

成 り立 た な い と し よ う.こ

る

の場 合

(28.9) と な る が,(s+6R/a,s+l)⊂(s1,∞)で

あ る か ら(28.8)と(28.9)を

E(s+2R/a;υs)<E(s1;υs), 

を 得,こ

れ は(28.5)に

  定 理28.1の 命 題28.6に てE(T;υs,5R)≦

っ て 上 のlに

対 し て,(28.7)を

満 たす

存 在 す る.

証 明   R1=5Rと よ り,任

s1≧s+2R/a

矛 盾 す る.従

よ う なTがs+6R/a≦T≦s+lに

合 せ て

し,η

を4η0を

勝 手 に 固 定 し,tを

の と きsj≦t-t0-R/a≦sj+1と

な るjが

存

って t-sj+1-R/a≦t0≦t-sj-R/a.

こ の 不 等 式 と(28.12)と

か ら

E(t;w,at0)≦E(t;w,a(t-sj)-R/a)≦4(4η)jE(0;w)  が 得 ら れ る.一

方,sjの

(28.13)

作 り 方 か らsj+1≦(j+1)lが

言 え,

j≧(t-t0-R/a-l)/l

と な っ て い る.こ

れ を(28.13)に

代 入 し よ う.4η0,R>0に

対 し て

(29.2) をΩ(t;R)=Ω(t)∩{￨x￨0に

(A3),(A7)を

仮 定 す る.こ

の と き,任

意 のs≧0,T>0,R

つ いて E(s+T;w,R-aT)≦E(s;w,R). 

  証 明 K⊂Rn+1を

(29.4)

次 の よ う に と る.

K={(x,t)∈Q;￨x￨≦R-a(t-s),s0に

つ いて

(29.5) こ こ に ε>0は(A4)に

現 れ る 正 数,C(ε)>0は

ε に の み よ る 正 数 で あ り,

(29.6)   証 明   定 理27.1の

証 明 を た ど る.こ

の と き Σ(t)上 の 境 界 積 分 は 上 と同 様,

と な り,(29.5)が

導 か れ る.

  次 に 定 理27.2を

一 般 化 し よ う.そ の た め に Σ に 課 す 条 件 は 次 の よ うで あ る.

 (A8) 

a-1μt+ψ(r)μr≦0, 

(29.7)

a-2μ2t-￨μx￨2≦0. 

(29.8)

こ こ に ψ(r)は(27.9)で

定 義 さ れ た 関 数 で あ る.

  こ の 条 件 を 満 た す 障 害 物 の 例 は 後 に 述 べ る が,(29.7)で

μt≦0と す る と μr≦0

と な り,こ れ は 障 害 物 が 星 状 で あ る こ と を 主 張 す る(後 述 の 定 義29.2参   定 理29.4 

n≧3と

し,(A5),(A8)を

仮 定 す る.こ

の と き,任

照).

意 のt>0

について

(29.9) こ こ に δ>0は(A5)に

現 れ る 定 数,C>0はt,wに

よ ら な い 定 数 で あ り,

(29.10)   証 明   今 の 場 合,(27.8)に

対 応 す る 等 式 は 次 の よ うに な る.

(29.11)

こ こに

(A8)に

注 意 す れ ば,こ れ か ら

を 得,あ

と は 定 理27.2の

証 明 を た ど っ て,(29.11)か

  上 の 定 理 を 用 い れ ば,定 る.し

か し,こ

理27.3,28.1の

ら(29.9)が

導 か れ る.

一 般 化 が前 の場 合 と同様 に得 られ

れ ら の 結 果 を こ こ に 記 す 必 要 は な い で あ ろ う.

  最 後 にCooper-Strauss[12]に

従 っ て,(A8)を

満 た す 障 害 物 の 例 を2つ

あ げ る.   補 題29.5  は,そ

x=x(t)を

Σ(t)上 の 点 の 運 動 と す る.こ

の と き(29.7),(29.8)

れ ぞ れ 次 の 条 件 と 同 値 に な る.

(29.12) (29.13)   証 明   (dx/dt,1)が

が 言 え,こ

Σ 上 の 接 ベ ク トル に な っ て い る か ら

れ を(29.7),(29.8)に

代 入 す れ ば,そ

れ ぞ れ(29.12),(29.13)と

な る.

  定 義29.2  v=v(y)をyか

の と き にO0は 在 して

O0を

原 点 を 内 部 に 含 む 有 界 領 域 と し,∂O0の

らO0の

星 状(star

各 点yに

対 して

内 部 に 向 か う法 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル とす る . y・v(y)≦0, 

y∈ ∂O0 

shaped)で

あ る と い い,さ

(29.14)

ら に 定 数00,T∈R)を

の 近 く で の 解 の 構 成 の た め に,

(31.2)   定 理31.1 

(P3)を

仮 定 す る.α (p-1-2/n)-10が

で あ れ ば,(31.1)に

程 式 の 解w0(t)がY+α(0)に

満 た し,か

つ α0が

存在 して

(32.3)   注 意32.1 

n=3で

あ る か ら ‖G(w(t))‖1=‖G(w(t))‖1と

  証 明   エ ネ ル ギ ー 等 式(26.12)に

な っ て い る.

よ り

‖w(t)‖2e+‖G(w(t))‖1=E(0;w).

一 方(32

.2)をtに

つ い て 積 分 し,

に注 意すれ ば

が 得 ら れ る.こ   命 題32.3 

れ ら を 合 せ て(32.3)が 任 意 の0≦

ε0が

存在し て

‖w(t)‖∞≦C(1+￨t￨)-ε.    証 明  q↓n/3と る.さ

と も にr=2q/(2-q)↓2n/(6-n)=2と

ら に(P4)よ

(32.4) なるこ と に注 意 す

り 2(p-2)0

似 を-ikrと

し て,ア

イ コ ナル 方 程 式 が

解 か れ る.   本 文 か ら もわ か る よ う に,極 す る 結 果 が 不 可 欠 で あ る.定 経 て,短

限 吸 収 の 原 理 に は §10で 述 べ た 解 の 一 意 性 に 関 理10.1の

距 離 型 摂 動 の も と で 加 藤[49]に

結 論 はRellich[92],Povzner[85]を よ っ て は じ め て 示 さ れ た.そ

Simon[103],Agmon[1],Eidus[18],池 [71],Kalf[47]等 れ ら の う ち,本

部-内 山[39],内

書 で 述 べ た も の は[18],[71]の

[15],Goldstein-Sandefur[31]等

月

方 法 を 簡 略 化 し た も の で あ る.

に 言 う"Schrodinger

の 問 題 はDuffin

で も 扱 わ れ て い る.

で は 短 距 離 型 の 散 乱 理 論 を 述 べ た.本

Schrodinger型

山[117],望

数 多 く の 論 文 に よ り条 件 を 緩 め る 工 夫 が な さ れ て い る.こ

  §13の 最 後 に エ ネ ル ギ ー の 均 等 分 割 に つ い て 述 べ た が,こ

  第4章

の後

methodsに

書 の 方 法 はReed-Simon[91]

よ るacoustic

scattering"の

範 疇 に 入 り,

波 動 作 用 素 の不 変 性 原 理 を 用 いた 散 乱 理 論 の組 立 て に な っ て い

る.   本 書 で は 定 理15.3に に 示 さ れ る.そ を す る が,こ

於 い て 波 動 作 用 素 の 存 在,完

変 性 原 理 が 同時

の た め に §14で 述 べ た 短 距 離 型 の ス ペ ク トル 表 現 が 重 要 な 働 き の 部 分 は[70]と

体 の 証 明 は 数 多 くあ る が,こ [11]を

全 性,不

と も に[36;Ⅱ]を

参 照 し た.な

こ で は 前 出 の[50],[6]以

お不変性原理 自

外 にChandler-Gibson

あ げ る に 留 め よ う.

  散 乱 作 用 素 の 表 現 は 黒 田[57]に

も 述 べ られ て い る.逆

問 題 の 一 意 性 はFaddeev

[20]に た.そ

よ っ てR3で

れ は 望 月[69]で

般 化 さ れ た.本

の超 短 距 離 型 ポ テ ン シ ャル の場 合 が は じめ て 示 さ れ 複 素 ポ テ ン シ ャ ル に,斉

質 的 な 部 分 は 命 題16.3型

短 距 離 型 の 場 合 に一

の リ ゾ ル ベ ン ト評 価 で あ り,同

議 論 は 遠 距 離 型 の 場 合 に も 可 能 で あ る.し ば,そ

藤[96]で

か し 逆 問 題 を"解

く"立

様な

場 か ら見 れ

こ に 用 い ら れ る 情 報 は 多 す ぎ,Gelfand-Levitan[28],Faddeev[21]

の 逆 問 題 の 古 典 と は 異 質 な も の に な っ て い る.一 て は,Lax-Phillipsの

方,障

害 物 に よ る散 乱 に関 し

方 法 の延 長 線 上 で 逆 問 題 の 研 究 も進 め られ て い る.本 書

で 述 べ る こ と は で き な か っ た が,こ

れ に つ い て はMajda[63]等

を参 照 され た

い.   次 に §17で 散 乱 作 用 素 の 解 析 接 続 を,Dolph-McLeod-Thoe[14]に べ(Ramm[88]も

参 照),最

後 に §18で 波 の 指 数 減 衰 に つ い て 述 べ た.後

Ladyzhenskaya[59],Thoe[116]等 補 題18.2型 [20]に

従 っ て述

に 得 ら れ て い る 結 果 で あ る が,そ

の リ ゾ ル ベ ン トに 関 す る 評 価 が 本 質 的 で あ り,本

依 る 証 明 を 紹 介 し た.こ

れ ら の2節

者 は れ には

書 で はFaddeev

は 密 接 な 関 連 が あ り,リ

や 散 乱 核 の 極 の 決 定 は 逆 問 題 と も か か わ る 重 要 な 問 題 で あ る が,本

ゾル ベ ン ト 書 で は述 べ

き れ て い な い.   な お,波

の 指 数 減 衰 に つ い て は 岩 崎[42],Vainberg[118],[119],井

[33],[34]に   第5章

別 の 手 法 で 論 じ ら れ て い る.

で は 遠 距 離 型 の 問 題 を 望 月[73]に

論 と し て は 不 完 全 な も の で あ り.エ 定 と 見 る べ き で あ ろ う.漸 てWilcox[122]に さ れ て い る.本

川

従 っ て 述 べ た.こ

の結 果 は散 乱 理

ネ ル ギ ー伝 播 に か か わ る漸 近 波 動 関 数 の決

近 波 動 関 数 はd'Alembert方

よ っ て 導 入 さ れ た が,そ

程 式 の外 部 問 題 に対 し

こ では 短 距 離 型 の散 乱 理 論 が 応 用

書 で は 鞍 部 点 法 に よ る 直 接 的 構 成 を 行 っ た.そ

の と き §20の ス

ペ ク トル 表 現 が や は り重 要 な 役 割 を す る.   遠 距 離 型 散 乱 に 於 け る 修 正 波 動 作 用 素 は,Coulombポ Dollard[13]で の で,そ

は じ め て 導 入 さ れ た.こ

の 後Buslaev-Matveev[8],Alsholm-加

に よ っ て 一 般 化 され,そ

テ ン シ ャル に対 し て

れ は古 典 力 学 と の関 連 で定 義 され る も 藤[3],Holmander[32]等

の 完 全 性 が 前 出 の 北 田[54],池

部-磯 崎[37]で

示 され

て い る.本

書 の よ うな 遠 距 離 型 摂 動 に 対 し て も 同 様 の 取 扱 い が 期 待 さ れ る が,

ま だ 実 現 さ れ て い な い.

  次 に 後 半 に 移 り,半

線 形 問 題 に 対 す る 補 足 を 行 う.

  半 線 形 波 動 方 程 式 は 古 典 的 な 波 動 伝 播 現 象 も 記 述 す る が,普 子 力 学 に 現 れ る 方 程 式 で,一

般形は

∂2tw-a2Δw+m2w+F(w)=0  の よ うにKlein-Gordon型

通 は相 対 論 的 量

(m≧0,定

に 書 くべ き も の で あ る.こ

数) の 問 題 はSegal[100]以

来Browder[7],Strauss[108],Chadam[10],Morawetz-Strauss[78], Reed[89]等

に よ っ て 研 究 さ れ て き た.本

殊 な(vanishing

massの)場

書 で は そ れ ら の う ちm=0と

合 に 問 題 を 限 っ た が,そ

い う特

うす る こ とで 問題 が や さ

し くな る わ け で は な い.   第6章

で は 大 域 解 の 存 在 定 理 を2つ

う も の で,も に は こ れ ら2つ   第7章

うひ と つ は[108]の

述 べ た.ひ

と つ は[89]の

結 果 で あ る.問

抽 象論 か ら 従

題 を 一 般 化 し よ う とす る と き

の 結 果 は 互 い に 補 い 合 う も の に な る.

で は エ ネ ル ギ ー の 伝 播 と 減 衰 に 関 す る い くつ か の 結 果 を,時

間に関係

す る い わ ゆ る エ ネ ル ギ ー の 方 法 に よ っ て 統 一 的 に ま と め て み た.   摩 擦 項 の 影 響 に よ る全 エ ネ ル ギ ー の 減 衰(定 理27.1)は し 改 良 し た も の で あ る.定 た.た

だ し,[72]で

理27.3は

は 定 理27.2に

松 村[64]の

結果を少

そ れ と 対 を な す 結 果 で 望 月[72]に

依 っ

対 応 す る 先 験 評 価 が 定 常 的 に 求 め られ て い

る.   局 所 エ ネ ル ギ ー の 指 数 減 衰 はMorawetz[76],Strauss[109],MorawetzRalston-Strauss[77]等

数 多 く の 研 究 が あ り,外

衰 と境 界 の 形 状 と の 関 係 が 追 求 さ れ て い る.特

部 境 界 値 問 題 に 対 し .指 に[77]に

は ほ とん ど必 要 か つ

十 分 な 条 件 が 得 ら れ て い る(井 川[34]を

参 照 せ よ).こ

こ と は で き な か っ た.こ

方 法 を 紹 介 し た が,こ

こ で は[109]の

良 い と い うわ け で は な い.な

お,田

持 つ 問 題 が 取 上 げ られ て い る.

村[113]に

数減

の結 果 を 本 書 で述 べ る の方 法 が と くに

時 間 に 関 係 す る ポ テ ン シ ャルを

  第8章

は 散 乱 問 題 を 述 べ た.§30で

を 参 照 し,部

分 的 な 改 良 を 行 っ た.し

はStrauss[110]を,§ か し,個

§31,32で

は[108]

々 の 結 果 は あ ま り満 足 の い く も

の で は な い.   §31で は 非 線 形 項 の 位pが 合 は 係 数dの

大 き い 場 合 を 考 え た が,pが

正 負 が 重 大 に な っ て く る.John[46]に とす る と,解

大 域 解 は 存 在 し な い.な で あ れ ば,d