Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны: Методические указания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Физика»

Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны

Методические указания

Пенза 2009г.

Содержатся основные сведения по темам «Электромагнетизм», «Электромагнитные колебания и волны», примеры решения задач, контрольное задание (работа № 4). Подбор материала соответствует рабочей программе курса физики для студентов технических специальностей Пензенского государственного университета. Методические указания подготовлены на кафедре «Физика» и предназначены для студентов заочного факультета. Студенты дневных факультетов могут использовать данное издание для самостоятельной работы. Ил. 30, табл. 1, библиогр. назв. 5 Составители: Н.А. Уфельман, П.П. Першенков Рецензент: Зайцев Р.В., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Общая физика» Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского.

2

Общие методические указания Учебная работа студента-заочника по изучению физики складывается из следующих основных элементов: самостоятельного изучения физики по учебным пособиям, решения задач, выполнения контрольных и лабораторных работ, сдачи зачетов и экзаменов. Указания к самостоятельной работе по учебным пособиям. 1. Изучать курс следует систематически в течение всего учебного процесса. Изучение физики в сжатые сроки перед экзаменом не дает глубоких и прочных знаний. 2. При изучении курса необходимо выбрать какое-либо учебное пособие в качестве основного и придерживаться данного пособия. Замена одного пособия другим в процессе обучения может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами. Но если основное пособие не дает полного и ясного ответа на некоторые вопросы программы, необходимо обращаться к другим учебным пособиям. 3. При чтении учебного пособия необходимо составлять конспект, в котором записывать законы и формулы, выражающие эти законы, определения физических величин и их единиц, делать чертежи и решать типовые задачи. При решении задач следует пользоваться Международной системой единиц (СИ). 4. Самостоятельную работу по изучению физики необходимо подвергать систематическому самоконтролю. Для этого после изучения очередного раздела следует ставить вопросы и отвечать на них. При этом надо использовать рабочую программу курса физики. 5. Прослушать курс лекций по физике, организуемый для студентовзаочников. Пользоваться очными консультациями преподавателей, а также задавать вопросы в письменном виде. Указания к решению задач 1. Указать основные законы и формулы, на которых базируется решение, и дать словесную формулировку этих законов, разъяснить буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-либо физический закон, или не являющаяся определением какой-либо физической величины, то ее следует вывести. 2. Нарисовать чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех случаях, когда это возможно). Выполнять его надо аккуратно с помощью чертежных принадлежностей. 3. Сопровождать решение задач краткими, но исчерпывающими пояснениями. 4. Получить решение задачи в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При 3

таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин. 5. Подставить в полученную для искомой величины формулу вместо символов обозначения единиц, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. 6. Подставить в полученную формулу числовые значения величин, выраженные в единицах одной системы. Несоблюдение этого правила приводит к неверному результату. Исключение из этого правила допускается лишь для тех однородных величин, которые входят в виде сомножителей в числитель и знаменатель формулы с одинаковыми показателями степени. Такие величины необязательно выражать в единицах той системы, в которой ведется решение задачи. Их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах. 7. Произвести вычисление искомой величины, руководствуясь правилами приближенных вычислений. Записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование единицы искомой величины. 8. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа числовые значения величин записать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 2140 надо записать 2,14·103, вместо 0,00192 − записать 1,92·10−3 и т.д. 9. Оценить, где это целесообразно, правдоподобность численного ответа. В ряде случаев такая оценка помогает обнаружить ошибочность полученного результата. Например, коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы, электрический заряд не может быть меньше элементарного заряда е = 1,60·10−19 Кл, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме ит.д. Умение решать задачи приобретается длительными и систематическими упражнениями. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольной работы, следует после изучения очередного раздела учебника внимательно разобрать помещенные в настоящем пособии примеры решения типовых задач, решить ряд задач из задачников по физике. 10. Каждая контрольная работа оформляется в отдельной тонкой тетради в клеточку. На обложке тетради указать сведения о себе, номер контрольной работы, сведения о преподавателе. На первой странице тетради указать номер варианта (в соответствии с последней цифрой номера вашей зачетной книжки) и выписать номера всех задач вашего варианта. При оформлении каждой задачи необходимо переписать полный текст условия, обозначить все заданные и искомые величины.

4

Рабочая программа по разделам «Электромагнетизм», «Электромагнитные колебания и волны» Электромагнетизм Магнитное поле постоянного тока Магнитное поле постоянного тока в вакууме и его характеристики. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямого и кругового токов. Закон Ампера. Контур с током в магнитном поле. Момент сил. Магнитный момент контура с током. Взаимодействие параллельных проводников. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции и ее применение к расчету магнитного поля соленоида и тороида. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Эффект Холла. Электромагнитная индукция Явление электромагнитной индукции. Опыты Фарадея. Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции. Движение проводника с током в магнитном поле. Явление самоиндукции. Индуктивность. Электродвижущая сила самоиндукции. Токи при замыкании и размыкании электрической цепи. Взаимная индуктивность. Энергия контура с током. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля. Магнитное поле в веществе Намагниченность вещества. Магнитные моменты атомов. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Магнитная проницаемость и восприимчивость. Магнетики. Диа-, пара- и ферромагнетики. Гиромагнитное отношение. Магнитные моменты электронов и атомов. Собственный механический момент электронов (спин). Опыт Штерна и Герлаха по установлению связи магнитного и механического моментов атомов. Ферромагнетики. Опыты Столетова. Кривая намагничивания. Гистерезис. Домены. Остаточная намагниченность и коэрцитивная сила. Анизотропия ферромагнетиков. Зависимость магнитных свойств ферромагнетика от температуры; фазовые переходы второго рода; точка Кюри. Природа ферромагнетизма.

5

Уравнения Максвелла Максвелловская трактовка явлений электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитные колебания и волны Свободные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре. Формула Томсона. Дифференциальное уравнение затухающих и вынужденных электромагнитных колебаний. Условный период. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Емкостное сопротивление колебательного контура. Индуктивное сопротивление. Явление резонанса в электрическом колебательном контуре. Волновое уравнение. Плоские электромагнитные волны. Энергия и импульс электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойтинга.

6

Основные сведения Электромагнетизм Введение Электромагнетизм – раздел курса физики, в котором изучаются свойства электромагнитного поля и взаимодействующего с ним вещества. В наиболее общем случае электромагнетизм можно рассматривать как особую форму взаимодействия между движущимися электрически заряженными частицами. Передача магнитных взаимодействий осуществляется магнитным полем. Наряду с электрическим полем магнитное поле представляет собой одно из проявлений электромагнитной формы движения материи. Между магнитным и электрическим полями нет полной симметрии. Источником электрического поля являются электрические заряды, но аналогичных магнитных зарядов пока не обнаружено, хотя гипотезы об их существовании высказывались. Источником магнитного поля является движущийся заряд, т.е. электрический ток. В атомных масштабах для электронов и нуклонов (протонов, нейтронов) имеются два типа микроскопических токов – орбитальных, связанных с переносом центра тяжести этих частиц в атоме, и спиновых, связанных с их внутренним движением. Следовательно, количественной характеристикой магнетизма частиц является их орбитальный и спиновый магнитные моменты. Так как элементарные частицы – электроны, протоны, нейтроны − обладают магнитными моментами, то и любые их комбинации – атомные ядра и электронные оболочки, а следовательно атомы, молекулы и макроскопические тела, могут быть в принципе источниками магнетизма. Таким образом по существу все вещества обладают магнитными свойствами. Сложность атомной структуры веществ построенных из огромного числа атомов, приводит к практически неисчерпаемому разнообразию магнитных свойств. Взаимосвязь магнитных свойств веществ с их немагнитными характеристиками позволяет использовать исследования магнитных свойств как источник информации о внутренней структуре микрочастиц и тел макроскопических размеров. Большой диапазон магнитных явлений объясняет широкое применение магнитных исследований в технике и физических исследованиях.

7

1. Магнитное поле постоянного тока в вакууме. Основной количественной характеристикой магнитного поля является r вектор индукции магнитного поля В .

r Н

Вектор магнитной индукции связан с напряженностью магнитного поля

r r В = µµ 0 Н , где

(1.1)

µ – относительная магнитная проницаемость среды (для вакуума µ = 1), µ0 – магнитная постоянная в системе СИ ( µ 0 = 4π ⋅ 10 −7 Гн/м). r В отличие от вектора индукции магнитного поля В , вектор напряженноr сти магнитного поля Н не зависит от магнитных свойств среды. Магнитная индукция постоянного электрического тока I определяется по закону Био-Савара-Лапласа: r r µµ 0 I [dl rr ] , (1.2) dB = 4πr 3 r r где dB − магнитная индукция малого элемента проводника dl с током I; r r − радиус-вектор, проведенный из этого элемента проводника в расr сматриваемую точку А (рис. 1.1.). Модуль вектора dB :

dB =

µµ0 I sin α dl , 4π r 2

(1.3)

r r где α – угол между векторами dl и r . r Направление вектора магнитной rиндукции В определяется по правилу r векторного произведения векторов [ dl r ] (правило правого винта) (рис. 1.1.).

Рис. 1.1. 8

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет рассчитать индукцию магнитного r поля В проводников различной конфигурации с постоянной силой тока I. Магнитная индукция поля: - созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником с током на расстоянии r0 от точки, где ищется индукция, до проводника с током I; - созданного отрезком проводника с током I, где α1 и α2 – углы между отрезком проводr ника и радиус-вектором точки r (рис. 1.2).

B=

B=

µµ 0 I 2πr0

(1.4)

µµ0 I (cosα1 − cosα 2 ) (1.5) 4πr0

В I

r α1

r0

r α2

Рис. 1.2. Магнитная индукция в центре кругового витка с током I радиуса R r Магнитная индукция В на оси кругового контура радиуса R с током I на расстоянии а от точки, где ищется индукция магнитного поля до плоскости витка (рис. 1.3.).

B=

B=

µµ 0 I

.

(1.6)

µµ0 R 2 I

(1.7)

2R

2( R 2 + a 2 ) 3 2

B а R

0 I

Рис. 1.3. r Магнитная индукция В поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида, где n – число витков на единицу длины соленоида (тороида). Сила Ампера r где dF − сила, действующая на проводник с током I помещенный в однородное магнит9

B = µµ 0 nI

(1.8)

r r r dF = I [dl B] ,

(1.9)

r ное поле, где dl − элемент длины проводника (рис. 1.4).

Рис. 1.4. dF = IdlB sin α ,

Модуль силы Ампера где α – угол между элементом длины проr водника и вектором магнитной индукции В . r Сила dF взаимодействия двух прямолинейных длинных параллельных проводников с токами I1 и I2 r где dl – элемент длины проводников,

(1.10)

r r µµ0 I1I 2 dl , (1.11) dF = 2π d

d – расстояние между ними (рис. 1.5). В1 I1

В2

F2

F1

I2

d

Рис. 1.5. Магнитный момент контура с током I

r r Pm = I S n ,

(1.12)

где S – площадь контура (рис. 1.6), r n – единичный вектор нормали к плоскости контура.

Рис. 1.6. Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле 10

r r r M = [ Pm B] или (1.13)

r r где β – угол между векторами Pm и B .

M = Pm B sin β ,

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

n r r B d l = µ 0 ∑ I K , (1.14) ∫ K =1

где n – число проводников с током IК, охватываемых контуром. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля – магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: Работа по перемещению контура с током в магнитном поле

r r B ∫ dS = 0

(1.15)

δ А = Id Φ ,

(1.16)

где dΦ – магнитный поток сквозь поверхность, которую пересекает проводник при перемещении. Если в процессе перемещения проводника I – const, то где Φm – магнитный поток сквозь поверхность прочерченную проводником при перемещении.

11

2

A1−2 = ∫ IdΦ m = IΦ m , 1

(1.17)

2. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца. Эффект Холла.

r Сила F действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле рассчитанная Х.А. Лоренцем и имеет вид: r где E − напряженность электрического поля,

r r r r F = qE + q[V B] , (2.1)

q – заряд частицы, r B − магнитная индукция поля, r V − скорость частицы r r вr системе координат, в которой определена F , E , B . r Первый член силы Лоренца qE − сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле.

Второе слагаемое в (2.1) определяет силу, действующую на движущийся заряд в магнитном поле – сила Лоренца Fл. Для стационарных магнитныхrполей r сила Лоr ренца равна Fл перпендикулярна V и B r Fл не изменяет скорости и энергии частицы, не совершает работы, изменяет траекторию частицы, т.е. сообщает частице центростремительное ускорение. Модуль силы Лоренца Fл: r r где α – угол между векторами V и B .

r r r Fл = q[V B] . (2.2)

Fл = qVB sin α , (2.3)

Fл max = qVB . (2.4)

Максимальная сила Лоренца Направление силы Лоренца определяется по правилу r rлевойr руки. Взаимная ориентация векторов V , B и F для положительного заряда представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1. 12

В вакууме в постоянном магнитном поле заряженная частица под действием силы Лоренца двигается по винтовой линии (рис. 2.2), где h – шаг винтовой линии. V α R

B

h

Рис. 2.2. Движение складывается из равномерного rи прямолинейного движения вдоль направления B со скоростью V| | и равномерного вращательного движения со скоростью V⊥ (рис. 2.3). q

V| | = V cosα V⊥ = V sin α

(2.5)

В

α V

V

Рис. 2.3. Шаг винтовой линии h равен пути, пройденному частицей вдоль поля за время одного полного оборота

h = V| |T = V cosα ⋅ T , (2.6)

2πR , V⊥

(2.7)

qB mV

(2.8)

где Т – период обращения частицы

T=

здесь R – радиус траектории движения заряда. r r Если V ⊥ B − траектория движения частицы – окружность; циклическая частота ωн − ларморовская частота.

ωн =

Воздействие магнитного поля на движущийся заряд приводит к перераспределению тока по сечению проводника, что проявляется в различных термомагнитных и гальваномагнитных эффектах (эффект Холла). Эффект Холла

r Явление возникновения электрического поля с напряженностью Ен в r твердом проводнике (рис. 2.4) с током плотностью j , помещенном в магнитr ное поле с напряженностью H , называется эффектом Холла. Эффект Холла 13

объясняется взаимодействием носителей заряда (электронов проводимости и дырок) с магнитным полем. r r r r r В магнитном поле на электроны действует сила F = e[ B V ] ( V = j / ne − средняя скорость направленного движения, n – концентрация носителей, е – абсолютное значение заряда электрона). H

b

Eн j = I / bd

Uн = Ен·b I

d

Рис. 2.4. На боковой грани пластины происходит накопление зарядов и возникает поле Холла. Напряженность электрического поля Холла

Ен = RHj sin α , (2.9)

где Rr – постоянная Холла, α – угол между векторr ми H и j . Максимальная напряженность поля (sinα = 1) Разность потенциалов на боковых гранях пластин

Ен = RHj.

(2.10)

I Uн = Eb = RH , (2.11) d

где d – толщина пластины, b – ширина пластины. Для равновесного процесса поле Холла уравновешивает силу Лоренца

еЕн = еНV, (2.12) R=

откуда постоянная Холла равна

1 . ne

(2.13)

Знак постоянной Холла R совпадает со знаком носителей заряда. Для металлов n = 1022 см−3, R ~ 10−3 см3/Кл, для полупроводников R ~ 105 см3/Кл. Эффект Холла открыт американским ученым Э.Г. Холлом (E.H. Hall) в 1879 г. в тонких пластинках Au. Эффект Холла – один из наиболее эффективных методов изучения энергетического спектра носителей заряда в металлах и полупроводниках. Зная постоянную Холла можно определить знак носителей зарядов и их концентрации, что позволяет сделать, например, заключение о количестве примесей в полупроводниках. Линейная зависимость R от Н используется для измерения напряженности магнитного поля (магнитометры).

14

3. Магнитное поле в веществе

Все тела при внесении их во внешнее магнитное поле намагничиваются, т.е. создают собственное магнитное поле, которое накладывается на внешнее поле. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. По своим свойствам все вещества (магнетики) подразделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Диамагнетики и парамагнетики, которые имеют слабые магнитные свойства и ферромагнетики, которые обладают сильными магнитными свойствами. Электрон, движущийся по орбите в атоме эквивалентен замкнутому контуру с орбитальным током

I = eν,

(3.1)

r Pem = ISnr

(3.2)

r r Le = gPem

(3.3)

e 2m

(3.4)

где е – абсолютная величина заряда электрона; ν − частота его обращения по орбите (рис. 3.1). I

Pem

e 0 Le Рис. 3.1. Орбитальный магнитный момент электрона где S – площадь орбиты электрона; r n – единичный вектор нормали к плоскости орбиты. Орбитальный момент импульсаr электрона противоположен по направлению Pem , где g – гиромагнитное отношение орбитальных моментов (m – масса электрона). Орбитальный магнитный момент атома равен r где Pemi − магнитный момент i-го электрона, Z – число электронов в атоме.

15

g=−

Z r r Pm = ∑ Pemi , i =1

(3.5)

Орбитальный момент импульса атома – это геометрическая сумма моментов импульса всех электронов атома. При внесении атома в магнитное поле на электрон, движущийся в атоме действует момент сил r где Pem − орбитальный магнитный момент элекr трона, B − магнитная индукция.

r Z r L = ∑ Lei

(3.6)

i =1

r r r M = [ Pem B] ,

(3.7)

По теореме Лармора: единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электронаr в атоме является прецессия орбиты и r вектора Pm с угловой скоростью ωL вокруг оси, проходящей через ядро атома параллельно векr тору B индукции магнитного поля (рис. 3.2).

B ωL

Pm α

Рис. 3.2. Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина – намагниченность r где Pmi − магнитный момент i-го атома (молекулы);

n – число атомов (молекул) в объеме ∆V. Диамагнетиками называются вещества магнитные моменты атомов (молекул) которых в отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю, т.к. магнитные моменты всех электронов 16

r 1 J= ∆V

n

r P ∑ mi , i =1

(3.8)

атома (молекулы) взаимноскомпенсированы. К диамагнетикам относятся инертные газы, молекулярный водород и азот, цинк, медь, золото, серебро, вода (жидкая), ацетон, глицерин, NaCl и др. При внесении диамагнетика во внешнее магнитное поле атомы (молекулы) вещества приобретают наведенные магнитные моменты r ∆Pm . Созданное внутреннее магнитное поле r диамагнетика Bвнутр. направлено в сторону проr тивоположную внешнему магнитному полю B0 . Магнитная восприимчивость диамагнетика

(

)

χ ≅ − 10−6 ÷ 10−5 .

Если атомы (молекулы) вещества в отсутствии внешнего магнитного rполя имеют собственный магнитный момент Pm отличный от нуля, то такие вещества называются парамагнетиками. В отсутствии внешнего магнитного поля парамагнетик не намагничен, т.к. собственные магнитные r моменты ориентированы беспорядочно ( J = 0 ). Во внешнем магнитном rполе магнитные моменты атомов (молекул) Pm прецессируют вокруг направления внешнего магнитного поля r r B0 с угловой скоростью ωL прецессии Лармора. Совместные действия теплового движения и магнитного поля приводят к преимущественной ориентации собственных магнитных моментов атомов парамагнетика по направлению вектора r внешнего магнитного поля B0 . Магнитная восприимчивость парамагнетика зависит от температуры и с ростом температуры она убывает (по формуле Ланжевена (1906г)) где k = 1,38·10−23 Дж/К. Магнитная восприимчивость парамагнети17

Pm 2 χ= , 3kT

(

(3.9)

)

χ = 10−5 ÷ 10−3 .

ка положительна и изменяется в пределах К парамагнетикам относятся многие металлы, их сплавы, кислород О2, оксид азота NO, оксид марганца MnO, хлористое железо FeCl2 и др. Магнитное поле в веществе является суперпозицией двух полей: внешнего магнитного r поля B0 , создаваемого макротоками, и внутренr него или собственного магнитного поля Bвнутр. , создаваемого микротоками Закон полного тока для магнитного поля в веществе где Iмакро и Iмикро – алгебраическая сумма макрои микротоков сквозь поверхность, натянутую на контур L. r Циркуляция вектора намагниченности J равна Закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать в виде

r Вектор H − напряженность внешнего магнитного поля Циркуляцияr вектора напряженности магнитного поля H вдоль произвольного замкнутого контура (L) равна алгебраической сумме макротоков сквозь поверхность натянутую на этот контур

r r r B = B0 + Bвнутр. (3.10)

∫ Bdl = µ 0 (I макро + I микро ) ,

( L)

(3.11)

r r ∫ Jdl = I микро . (3.12)

(L)

r ⎛ B r⎞ r ∫ ⎜⎜⎝ µ 0 − J ⎟⎟⎠dl = I макро . (3.13) r r B r H= − J . (3.14)

µ0

r r H ∫ dl = I макро . (3.15)

µ =1+ χ,

Для изотропных сред

r r J = χ H.

(3.16)

Ферромагнетизм Ферромагнетизм – это магнитоупорядоченное состояние вещества, при r котором все магнитные моменты атомов Pm носителей магнетизма в веществе параллельны между собой в отсутствии внешнего магнитного поля (рис. 3.3). Самопроизвольная ориентация магнитных моментов в ферромагнетике устанавливается при температуре ниже температуры точки Кюри (θ, К). При температуре выше температуры точки Кюри ферромагнетик теряет ферромаг18

нитные свойства и становится парамагнетиком или антиферромагнетиком.

Рис. 3.3. Ферромагнитная структура кристалла с гранецентрированной кубической решеткой, ниr r же точки Кюри. Pm - магнитный момент атома; J S − вектор суммарной намагниченности единицы объема. Ферромагнетики – это твердые кристаллы, обладающие анизотропными свойствами. Среди химических элементов ферромагнитны переходные металлы Fe, Co, Ni, редкоземельные элементы Cd, Dy, Ho, Er, Tm и сплавы (табл. 1). Таблица 1. Ферромагнитные материалы. Металлы

Fe

Co

Ni

Cd

Tb

Dy

Ho

Er

Tm

Сплав Гейслера CuAlMg

Точка Кюри

1043

1403

631

289

219

87

20

19,6

25

200

θ, К

В настоящее время широкое применение нашла магнитокерамика для изготовления сердечников катушек индуктивности, дросселей и других радиотехнических устройств, работающих при частотах (104÷108) Гц. Широкое применение в радиотехнике и вычислительной технике получили ферриты – полупроводниковые или диэлектрические материалы, представляющие собой химические соединения оксида железа (Fe2O3) с оксидами других металлов. Магнитодиэлектрики имеют большое электрическое сопротивление, уменьшающее токи Фуко в сердечнике и потери на перемагничивание. К основным свойствам ферромагнетиков относятся нелинейная зависимость rмагнитной проницаемости µ от напряженности внешнего магнитного поля H (рис. 3.4) и магнитный гистерезис (hysteresis – запаздывание).

19

µ 102 24 20 16 12 8 4

cплав Fe - Si

10 20 30 40 50

Н

А м

Рис. 3.4. Значения магнитной проницаемости µ ферромагнетиков могут достигать (10 ÷106). 3

Основная кривая намагничивания ферромагнетика впервые получена А.Г. Столетовым (рис. 3.5).

Рис. 3.5. r r r r r r При H < H S зависимость J = f ( H ) нелинейная, при H > H S наблюдается магнитное насыщение. r H S − напряженность магнитного поля при котором наступает насыщение r образца; J S − намагниченность насыщения. r Ферромагнетик обладает остаточной намагниченностью J r , т.е. он может сохранить состояние намагниченности при отсутствии внешнего магнитного поля. Остаточный магнетизм является результатом магнитного r гистерезиса, который проявляется в том, что изменение намагниченности r J в переменном магнитном поле отстает от изменения напряженности H внешнего поля. Петля гистерезиса ферромагнетика представлена на рис. 3.6.

20

Рис. 3.6. При уменьшении напряженности внешнего магнитного поля до нуля r ферромагнетик остается намагниченным ( J r – остаточная намагниченность). Для того, r чтобы r размагнитить образец необходимо задать внешнее магнитное поле H с , где H с – коэрцитивная сила. r В зависимости от величины коэрцитивной силы H с – различают магА нитно-мягкие материалы с коэрцитивной силой H с ≅ ( 0,8 ÷ 8 ) (трансформ маторные стали Fe-Si, перпаллои Fe-Ni) и магнитотвердые (постоянные магА ниты) с коэрцитивной силой H с ≈ 104 ÷ 105 с остаточной индукцией м Br ≅ 1 Тл.

(

)

Феноменологическая теория ферромагнетизма была сформулирована П. Вейсом в 1907г. П. Вейс высказал гипотезу о причинах спонтанной намагниченности ферромагнетика. Согласно этой гипотезе кристалл состоит из доменов, каждый из которых намагничен до насыщения, но магнитные моменты r доменов направлены хаотично и результирующая намагниченность J (полный магнитный момент) образца равна нулю. При внесении образца в магнитное поле происходит смещение границ r доменов и поворот вектора магнитного момента Pm домена в направлении r внешнего магнитного поля H . r На рис. 3.7 a), b) представлена ориентация магнитных моментов Pm доменов ферромагнитного образца: а) в отсутствии внешнего магнитного поля;

r r б) при внесении образца в магнитное поле с напряженностью H ≅ H S , 21

r где H S – напряженность магнитного поля насыщения, ∆V – единица объема вещества. n

r J ∑ i =0 i =1

Pm

r H =0

r r ∑ Pm J= ∆V Рис. 3.7 а), b).

Френкель и Дорфман рассчитали размеры доменов. Установлено, что размеры доменов l зависят от размеров образца L: l = L . Для образцов −2 средних размеров (L ≈ 1 см) l ≈ 10 см. Наблюдения доменной структуры с помощью порошковых фигур, эффекта Керра и рентгеновской топографии подтвердили эти расчеты. Рентгеновская топография доменной структуры ферромагнитного образца (Fe-Ni) представлена на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Строгую количественную теорию ферромагнитных доменов построили Ландау и Лифшиц (1936г).

22

Эйнштейн и де Гааз экспериментально определили гиромагнитное отношение для ферромагнетика где е – абсолютное значение заряда электрона,

γg = −

e , m

(3.17)

m – масса покоя электрона. Для ферромагнетика выполняется зависиr e r мость Pem = − Lem , m r где Lem − собственный момент импульса электрона, r Pem − собственный магнитный момент (спин) электрона. Модуль спинового магнитного момента электрона равен

Pem = 3µ Б ,

(3.18)

eh h − магнетон Бора, где h = , h= 2m 2π 6,63·10−34 Дж·с (постоянная Планка). где µ Б =

Необходимым условием существования ферромагнитных свойств вещества является наличие в атомах нескомпенсированных спиновых моментов на внутренних электронных орбитах атома. Ориентация спиновых магнитных моментов параллельно друг другу приводит к образованию областей спонтанной намагниченности. Достаточное условие существования ферромагнетизма: отношение параметра кристаллической решетки d к диаметру электронной орбиты, на которой находится электрон с нескомпенсированным спином, должно быть больше 1,5, d т.е. > 1,5 , R – радиус орбиты электрона с нескомпенсированным спином. 2R Самопроизвольная намагниченность в кристаллах ферромагнетика не может возникнуть за счет магнитного взаимодействия. Гейзенберг показал, что между спинами внутри доменов существуют особые силы, имеющие квантовую природу – силы обменного взаимодействия. Мерой обменного взаимодействия по Гейзенбергу служит обменный интеграл А (рис. 3.9) (расчет обменного интеграла выходит за рамки классического курса физики).

23

d 2R

Рис. 3.9. Следовательно, критерием существования ферромагнитных свойств в кристалле является положительный обменный интеграл: если А > 0 => ми; если А < 0 =>

d > 1,5 − вещество обладает ферромагнитными свойства2R d < 1,5 − данное вещество не является ферромагнетиком. 2R

24

4. Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция – возникновение электродвижущей силы (э.д.с. индукции) в проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущемся в постоянном магнитном поле. Электрический ток вызванный этой э.д.с., называется индукционным. Электромагнитная индукция открыта английским физиком М. Фарадеем в 1831г. Согласно закону Фарадея, э.д.с. индукции εi в контуре прямо пропорциональна скорости изменения во времени t магнитного потока Φ через поверхность S, ограниченную контуром:

εi = −

dΦ dt

(4.1)

Знак минус определяет направление индукционного тока в соответствии с правилом Ленца, которое является следствием закона сохранения энергии. Согласно правилу Ленца индукционный ток в контуре направлен так, что создаваемый им поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, стремится препятствовать тому изменению потока, которое вызывает данный ток. В постоянном магнитном поле э.д.с. индукции возникает лишь в том случае, когда магнитный поток через ограниченную контуром поверхность изменяется во времени, т.е. контур при движении должен пересекать линии магнитной индукции (при движении вдоль линий ∆Φ = 0 э.д.с. не возникает). Э.д.с. индукции равна работе по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура, совершаемой силами вихревого электрического поля, которое согласно уравнениям Максвелла, порождается в пространстве при изменении магнитного поля со временем. Электродвижущая сила индукции εi, возникающая в рамке, содержащей N витков площадью S, при вращении рамки с угловой скоростьюr ω в однородном магнитном поле с индукцией B определяется уравнением

ε i = BNSω cos ωt

(4.2)

где ωt угла между вектоr – мгновенное значение r ром B и вектором нормали n к плоскости рамки. Потокосцепление рамки с током ψ где N – число витков. Количество электричества q, протекающего в контуре при изменении потокосцепления, пронизывающего все витки контура на величину ∆ψ

25

ψ = NΦ,

(4.3)

где R – сопротивление контура.

q=

∆ψ R

(4.4)

Явление самоиндукции является частным случаем электромагнитной индукции и заключается в возникновении э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока. Направление э.д.с. самоиндукции определяется правилом Ленца, т.е. при увеличении силы тока э.д.с. самоиндукции препятствует его возрастанию, а при уменьшении силы тока – его убыванию. Явление самоиндукции подобно явлению инерции в механике. Э.д.с. индукции пропорциональна скорости изменения силы тока в цепи и индуктивности цепи L.

ε Z = −L

Индуктивностью замкнутого проводящего контура называется скалярная величина L

L=

ψc I

dI dt

(4.5)

,

(4.6)

где ψс – потокосцепление самоиндукции. Индуктивность длинного соленоида и тонкого тороида где V – объем соленоида (тороида), n =

L = µµ0 n 2V ,

(4.7)

N – число l

витков на единицу длины соленоида.

n=

Для тороида

N , 2π rср

(4.8)

где rср – радиус средней линии тороида.

В электрической цепи, содержащей постоянную э.д.с., при замыкании цепи сила тока за счет э.д.с. самоиндукции устанавливается не мгновенно, а через некоторый промежуток времени; при выключении цепи ток не прекращается мгновенно. Возникающая при размыкании цепи э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника. При включении в цепь источника э.д.с. сила тока в цепи изменяется по закону где R – сопротивление цепи, ε – э.д.с. источника тока, t – время, прошедшее после замыкания (t0 = 0, I0 = 0), I – сила тока в момент времени t. 26

I=

ε⎛

R − t ⎜1 − e L

R ⎜⎝

⎞ ⎟ , (4.9) ⎟ ⎠

Нарастание тока тем быстрее, чем больше отношение R L ( R1 L1 > R2 L2 ) (рис. 4.1).

ε

I

R R1 L1

R2 L2

0

t Рис. 4.1.

При выключении источника э.д.с. ε = 0 закон изменения силы тока имеет вид

I = I0

R − t e L ,

(4.10)

Сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения I0 до нуля (рис. 4.2), тем быстрее, чем больше сопротивление цепи R и чем меньше ее индуктивность L ( R1 L1 > R2 L2 ) . I I0 R1 L1

R2 L2

t Рис. 4.2. Явление взаимной индукции заключается в наведении э.д.с. индукции во всех проводниках, находящихся вблизи цепи переменного тока где М21 – взаимная индуктивность,

ε 21 = − M 21

dI1 (4.11) dt

ε21 – э.д.с. во втором контуре, I1 – сила тока в первом контуре. Для неферромагнитной среды

М12 = М21 .

Для ферромагнитной среды М21 ≠ М12, взаимная индуктивность зависит не только от геометрической формы и расположения контуров, но и от 27

(4.12)

силы токов в них. Энергия магнитного поля контура с током Объемная плотность энергии магнитного поля

LI 2 W= . 2

(4.13)

BH µµ0 H 2 ω= = = . 2 µµ0 2 2 B2

(4.14)

28

5. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Уравнения Максвелла – это фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Уравнения Максвелла сформулированы в 60х гг. 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений и развития идей М. Фарадея о том, что взаимодействие между электрически заряженными телами осуществляется посредством электромагнитного поля. Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие электромагнитное поле с его источниками, т.е. распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В вакууме электромагнитное поле характеризуется r r напряженностью электрического поля Е и магнитной индукцией B зависящими от пространственных координат и времени. Для описания электромагr нитных свойств в среде вводится электростатическая индукция D r r r r иr напряженность магнитного поля H . Для определения векторов Е , B , D , H должr ны быть известны плотность заряда ρ, и плотность электрического тока j . Первое уравнение Максвелла является обобщением закона Био-Савара о возбуждении магнитного поля электрическими токами r где jполн − плотность полного тока, равная геометрической сумме плотностей макротока и тока смещения

r r H ∫ dl =

(L)

Уравнение Максвелла в дифференциальной форме

29

(S )

r r ∂D . (5.2) jполн = j + ∂t r r ∂D jсм = . (5.3) ∂t

Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в данной точке Первое уравнение Максвелла в интегральной форме: r Циркуляция вектора напряженности H магнитного поля по проволочному неподвижному замкнутому контуру L, равна алгебраической сумме макротоков и токов смещения сквозь поверхность ограниченную контуром.

r r j d S ∫ полн , (5.1)

r r H ∫ dl = I макр + I см (5.4)

( L)

r r ∂D rot H = j + . (5.5) ∂t

Второе уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея:

r r r ∂B r ∫ Edl = −∫ ∂t dS . (5.6) ( L)

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (э.д.с. индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром.

r r ∂B . (5.7) rot E = − ∂t

Уравнение Максвелла в дифференциальной форме Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов аналогично электрическим (магнитное поле порождается только электрическими токами), т.е. поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Четвертое уравнение Максвелла (теорема Гаусса) – это обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов, т.е. поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри данной поверхности

∫ Bn dS = 0

(5.8)

r divB = 0 .

(5.9)

(S )

∫

(S )

r r DdS =

∫ ρdV

(5.10)

(V )

r divD = ρ ,

(5.11)

r r D = εε 0 E , r r B = µµ0 H , r r j = γ E,

(5.12)

где ρ – объемная плотность заряда. Для изотропных сред

где γ – удельная электропроводность сред.

30

Электромагнитные колебания и волны 6. Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре без активного сопротивления

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивности L. При замыкании на катушку заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда в конденсаторе и тока в катушке. Свободные электрические колебания являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0. В колебательном контуре происходит периоq 2 LI 2 q2 + = const элек- W = дическое преобразование энергии We = 2C 2C 2 (6.1) трического поля конденсатора в энергию магнит2 LI ного поля Wm = и наоборот (рис. 6.1). Полная 2 энергия W = (We + Wm) не изменяется с течением времени (6.1).

We = t=0

q

2

2C

Wm = 1 t= T 4

LI

2

We =

2

q

2

2C

1 t= T 2

Рис. 6.1. Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падение напряжеq ния на емкости U C = и на индуктивности C dI UL = L в сумме должны давать ноль dt dI q L + C = 0. dt C dI d 2 q ⎛ dq ⎞ Т.к. = 2 ⎜I = ⎟ получим дифференциdt dt ⎝ dt ⎠ альное уравнение свободных гармонических колебаний

31

Wm = 3 t= T 4

LI

2

2

d 2q + ω0 2 q = 0 , (6.2) 2 dt

где ω0 – собственная частота колебательного контура

1 . (6.3) LC q = qm cos (ω0t + ϕ0 ) , (6.4)

ω0 =

Решение уравнения (6.2) имеет вид

где qm – амплитудное значение заряда конденсатора, φ0 – начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Следовательно, заряд на пластинках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0. Период колебаний определяется по формуле Томсона T = 2π LC (6.5) Напряжение на конденсаторе и сила тока в катушке определяется по законам: (6.6) U = U m sin(ω0t + ϕ0 ) , q где U m = m − амплитуда напряжения на конденсаторе. C I = − I m cos(ω0t + ϕ0 +

π

2

),

(6.7)

qm − амплитуда силы тока. LC q Um (6.8) Im = m = LC LC Соотношение (6.8) по форме подобно закону Ома для пассивного участка цепи постоянного тока, поэтому величину L C называют волновым сопротивлением колебательного контура.

где I m =

32

7. Свободные затухающие колебания в колебательном контуре

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы. Свободные колебания реальных систем всегда затухают, т.к. реальный контур обладает активным сопротивлением R отличным от нуля. Энергия запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание. Уравнение затухающих колебаний можно получить исходя из того, что q dI сумма падения напряжения на емкости U C = , на индуктивности U L = L C dt и на сопротивлении UR = I·R колебательного контура равна нулю. dI 1 L + IR + q = 0 (7.1) dt C Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре имеет вид: d 2 q R dq 1 q = 0, + + (7.2) dt 2 L dt LC или d 2q dq + 2β + ω0 2 q = 0 , (7.3) 2 dt dt где β – коэффициент затухания колебательного R β = . (7.4) контура 2L R2 1 2 2 При условии, что β < ω0 , т.е. < ре2 4 L LC шение уравнения (7.2) имеет вид q = qme − β t cos (ωt + ϕ0 ) , (7.5) где ω = ω0 2 − β 2 , т.е.

ω=

1 R2 − LC 4 L2

(7.6)

Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше частоты собственных колебаний ω0. При R = 0 выражение (7.6) переходит в выражение (6.3). Напряжение на конденсаторе определяется по закону U = U me − β t cos (ωt + ϕ0 ) , (7.7) q где U m = m . C Дифференцируя выражение (7.7) получим выражение для силы тока в колебательном контуре:

33

π

I = ω0qme− β t cos (ωt + ϕ0 + ψ ) ,

(7.8)

1). Из теории Максвелла что электромагнитные волны являются r следует, r поперечными: векторы E и H напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскостиr перпендикулярной r r r вектору V скорости распространения волны. Векторы E , H и V образуют правовинтовую систему (рис. 9.1).

Рис. 9.1. r r Векторы E и H колеблются в одинаковых фазах, мгновенные значения E и H связаны соотношением 37

ε 0ε E = µ0 µ H .

(9.3) E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль. Следовательно, от уравнения (9.1) можно перейти к уравнениям 2 ∂2Ey ∂2H z 1 ∂ Ey 1 ∂2H z = 2 = , . (9.4) ∂x 2 V 2 ∂t 2 ∂x 2 V ∂t 2 Частным решением уравнения (9.4) являются плоские монохроматические электромагнитные волны одной частоты E y = E0 cos (ωt − kx + ϕ ) , (9.5)

H z = H 0 cos (ωt − kx + ϕ ) , (9.6) где E0 и H0 – соответственно амплитуда напряженностей электрического и магнитного полей волны, ω – циклическая частота волны, k = ω V − волновое число, φ – начальные фазы колебаний. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей we и wm электрического и магнитного полей: ε 0ε E 2 µ0 µ H 2 . (9.7) w = we + wm = + 2 2 Плотности энергии электрического и магнитного полей в каждый момент одинаковы (we = wm), следовательно (9.8) w = 2we = εε 0 E 2 = ε 0 µ0 εµ EH . Модуль плотности потока энергии: S = w ⋅V = E ⋅ H (9.9) Вектор плотности потока электромагнитной энергии – вектор УмоваПойтинга: r r r S = ⎡⎣ E H ⎤⎦ . (9.10) r Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную распространению волны. Теория Максвелла доказывает существование давления электромагнитных волн. Русский физик – экспериментатор Лебедев П.Н. в 1899г. экспериментально доказал существование давления электромагнитных волн на твердые тела, а в 1907г. – на газы, что явилось прямым подтверждением электромагнитной теории Максвелла. Естественное радиационное давление излучения Солнца составляет 10−10 от атмосферного давления, но длительное воздействие радиационного давления на большую площадь солнечных батарей искусственных спутников Земли приводит к преждевременному сходу спутников с орбит и падению их на Землю. Импульс электромагнитного поля W p = mc и p = , (9.11) c 38

где W – энергия электромагнитного поля, W = mc 2 . (9.12) Соотношение между массой и энергией электромагнитного поля (9.12) является универсальным законом природы.

39

Примеры решения задач

Пример 1. По квадратной а = 0,2 м течет ток I = 4 А. Определить r рамке со стороной r напряженность H и индукцию В магнитного поля в центре рамки (µ = 1). Решение: Магнитное поле в центре рамки (рис. П1) создается каждой из его сторон и направлено в одну сторону нормально плоскости рамки. Следовательно по принципу суперпозиции полей r r Н = 4 Н1 , r где H1 – напряженность поля, создаваемого отрезком проводника с током I длиной а, модуль которой определяется по формуле (согласно (1.1), (1.5)): I H1 = ( cosα1 − cosα 2 ) , α2 α1 4π r где r = a/ 2 − расстояние от проводника до точки поля. По условию задачи α1 = 45º; α2 = 135º. I ⋅2 (cos 45° − cos135°) ; Рис. П1. Тогда H = 4 4πa 4⋅2⋅4⋅2 2 H= = 18 А/м. 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,2 ⋅ 2 Индукция магнитного поля В и напряженность связаны соотношением В = µ µ0Н: В = 1 · 12,56·10-7 ·18 = 2,26·10-5 Тл. Ответ: Н = 18 А/м; В = 2,26·10-5 Тл. Пример 2. По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как это показано на рис. П2а, течет ток I = 100 А. Вычислить магнитную индукцию в точке О, если R = 10 см (µ = 1). Решение: По принципу суперпозиции полей: r r r r r BО = B AB + BBC + BCD (рис. П2b), где BО − индукция магнитного поля, созданного участками проводника AB, BC и CD.

По закону Био-Савара-Лапласа: r r µµ0 I [dl r ] µ Idl sin α dB = , dB = 0 , (см. 1.2, 1.3). 3 4πr 4πr 2 40

R R = sinα , r = . sin α r sin α =

rdα rdα , dl = (рис. П2с). dl sin α

Следовательно, µ Irdα sin α µ 0 Idα µ 0 I sin α ⋅ dα dB AB = 0 2 = = . 4πr 4πR 4πr sin α π /2

α2

B AB

µ I sin αdα µ 0 I (− cosα ) ; =∫ 0 = R R 4 π 4 π 0 α1

B AB =

µ0 I 4πR

Рис. П2. BBC =

µ0 I 4πR 2

(B r

AB

2πR 4

∫ dl = 0

)

r = BCD .

µ0 I 8R

.

2 µ 0 I µ 0 I µ 0 I ⎛ 1 1 ⎞ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 100 ⎛ 1 1⎞ + ⎟ = 3,56 ⋅ 10 −4 Тл. + = B0 = ⎜ ⎜ + ⎟= 4πR 8R 2 R ⎝ π 4 ⎠ 2 ⋅ 0,1 ⎝ 3,14 4 ⎠ Ответ: В = 3,56 · 10-4 Тл. Пример 3. Бесконечно длинный провод (рис. П3) образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу идет ток I = 5 А. Найти радиус витка, если напряженность магнитного поля в центре витка Н = 41 А/м. Решение: r r r По принципу суперпозиции полей H = H 1 + H 2 . Используя (1.1), (1.4), (1.6), получим: Н=Н r 1 + Н2 (рис. П3), где H1 – напряженность магнитного поля прямого тока, r H 2 – напряженность магнитного поля кругового тока. I I I ⎛1+ π ⎞ I ⎛1+ π ⎞ + = Н= ⎜ ⎟, R = ⎜ ⎟, 2π R 2 R 2 R ⎝ π ⎠ 2H ⎝ π ⎠ Рис. П3. 5 ⋅ 4,14 R= = 0,081 м = 8 см . 2 ⋅ 41 ⋅ 3,14 41

Ответ: R = 8 см. Пример 4. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V0 = 107 м/с. Длина конденсатора l = 5см. Напряженность электрического поля конденсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому полю. Индукция магнитного поля В = 10 мТл. Найти радиус R и q Кл = 1,76 ⋅ 1011 . шаг винтовой траектории. Удельный заряд электрона кг m Решение: Электрон в электростатическом поле rпроходит разность потенциалов и попадает в магнитное поле со r скоростью V под углом φ к направлению вектора магнитной индукции B . rТраектория движения электрона в магнитном поле с постоянным вектором B − винтовая линия с постоянным радиусом R и шагом винта h.

Рис. П4. r Определим скорость электрона V на выходе из конденсатора (рис. П4):

r r r V = Vx i + Vy j ;

V = Vx 2 + Vy 2 ;

Vx = V0 ;

Vy = − at ,

r где а − ускорение движения электрона в конденсаторе; ⎛ l ⎞ t – время движения электрона в конденсаторе ⎜ t = ⎟ . ⎝ V0 ⎠

42

r r F a= ; m

2

⎛ qEl ⎞ V = V0 + ⎜ ⎟ ; ⎝ mV0 ⎠

r r F = q E;

2

2

⎛ 1,76 ⋅ 1015 ⋅ 5 ⋅ 10−2 ⎞ 7 V = 10 + ⎜ ⎟ = 1,37 ⋅ 10 м/с. 7 10 ⎝ ⎠ В магнитном поле на движущуюся частицу действует сила Лоренца r r r r r Fл = q ⎡⎣V B ⎤⎦ ; Fл = q VB sin V B из формулы (2.3).

( )

7 2

(

)

Сила Лоренца сообщает частице центростремительное ускорение. В проmV 2 sin 2 ϕ mV sin ϕ V sin ϕ екции на ось y: q VB sin ϕ = ⇒R= = , где φ – угол q R qB B m r r между векторами V и B . 2

⎛ qEl ⎞ V0 + ⎜ ⎟ sin ϕ V ⎝ mV0 ⎠ R= , sin ϕ = 1 − cos 2 ϕ ; cos ϕ = 0 . q V B m Подставляя числовые значения, получим: 2

( ) 10

R=

7 2

⎛ 1,76 ⋅ 5 ⋅ 10−2 15 ⎞ +⎜ ⋅ 10 ⎟ 107 ⎝ ⎠ 11 −2 1,76 ⋅ 10 ⋅ 10

2

1−

107 1,37 ⋅ 107

= 4,98 ⋅ 10−3 м ≈ 5 ⋅ 10-3м.

Шаг винтовой линии h вдоль оси x за время одного полного оборота h = V cos ϕT из (2.6), 2π R где Т – период обращения электрона. T = . V sin ϕ V cos ϕ ⋅ 2π R h= = 2π Rctgϕ , h = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 ⋅ 10−3 ⋅ 1,073 = 3,36 ⋅ 10−2 м. V sin ϕ Ответ: R = 5·10−3 м; h = 3,36·10−2 м. Пример 5. На соленоид длиной l = 1,5 м и диаметром D = 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 2000 витков, по ней течет ток I = 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Определить среднюю э.д.с. εср, которая индуцируется в надетом на соленоид витке, если ток в соленоиде выключается в течение t = 2 мс? Решение: Основной закон электромагнитной индукции 43

εi = − L

r r dψ , dψ = NBdSn , dψ = NdΦ , dt

где ψ – потокосцепление, εi – электродвижущая сила индукции, L – индуктивность контура, Φ – магнитный поток соленоида, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром. dI (4.14) или Электродвижущая сила взаимной индукции ε i = − M12 dt ∆I ε ср = − M12 , где М12 – коэффициент взаимной индукции. ∆t ⎛ S πD 2 ⎞ ⎟⎟ . M12 = µµ0 N1N 2 , где S – площадь витка ⎜⎜ S = l 4 ⎠ ⎝ N1 = 1, N2 = N, t0 = 0, ∆t = t, ∆I = I. Напряженность поля созданного соленоидом определяется согласно выражениям (1.1) и (1.8). N 2 ⋅ 2000 H = I ⋅n= I ; H = = 2,67 ⋅ 10 3 А/м. l 1,5 По графику зависимости В = f(H) на рис. П5 находим индукцию ферромагнитного сердечника В = 1,6 Тл (В − вектор магнитной индукции соленоиr r В да). В = µµ 0 Н ; В = µµ 0 Н ⇒ µµ 0 = . Н N ∆I ε ср = µµ 0 N1 S (знак «−» опущен, т.к. в данном случае направление l ∆t э.д.с. несущественно). B N1NS ∆I 1,6 ⋅ 1 ⋅ 2000 ⋅ 3,14 ⋅ 25 ⋅ 10−4 ⋅ 2 ε ср = = = 1,567 В. H l ∆t 2,67 ⋅ 103 ⋅ 1,5 ⋅ 2 ⋅ 10−3 ⋅ 4 Ответ: εср = 1,567 В. Пример 6. Имеется катушка индуктивности длиной l = 20 см и диаметром D = 2 см и числом витков N = 200 медной проволоки, площадь поперечного сечения которой S = 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой э.д.с. При помощи переключателя э.д.с. выключается, и катушка замыкается накоротко. Через какое время t после выключения э.д.с. ток в цепи уменьшается в 2 раза. Решение: При выключении источника э.д.с. сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения I0 до нуля. Сила тока при выключении цепи изменяется по закону (4.10) R − t e L ,

I = I0 где I0 – сила тока в момент времени t0 = 0, 44

I – сила тока в момент времени t, R – сопротивление цепи, L – индуктивность цепи.

I I0 I R I ln = − t ; t = . R I0 L I0 − L l NπD , где ρ = 1,7·10-8Ом·м Сопротивление медной проволоки R = ρ = ρ S S – удельное сопротивление меди. N2 2 Индуктивность катушки L = µµ 0 n lS1 = µµ 0 S1 , где µ = 1 для неферl N − число витков на единицу длины соленоида, ромагнитной среды, n = l πD 2 −7 − площадь витка катушки. µ 0 = 4π ⋅ 10 Гн/м, S1 = 4 I ln ⋅ S ⋅ µ0 ⋅ N ⋅ D R ρ ⋅ N ⋅π ⋅ D ⋅ 4 ⋅ l 4ρ ⋅ l I0 = = ; t= . 2 2 L S ⋅ µ0 ⋅ N ⋅ π ⋅ D S ⋅ µ0 ⋅ N ⋅ D −4 ρ ⋅ l ln

R − t =e L ;

ln 0,5 ⋅ 10−6 ⋅ 4π ⋅ 10−7 ⋅ 200 ⋅ 0,02 t= = 0,25 мс. −1,7 ⋅ 10−8 ⋅ 0,2 ⋅ 4

Ответ: t = 0,25 мс. Пример 7. По обмотке тороида течет ток I = 0,6 А. Витки провода диаметром d = 0,4 мм плотно прилегают друг к другу. Найти энергию W магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь сечения его S = 4 см2, диаметр средней линии D = 30 см. Решение: Энергия магнитного поля тороида W распределена равномерно по всему объему V тороида. Объемная плотность энергии ВН (4.14), 2 где B − индукция магнитного поля тороида, H − напряженность магнитного поля.

ω=

45

Рис. П5. Следовательно, энергия магнитного поля W =

BH V , где V = l·S, где l – 2

длина средней линии тороида, V – объем тороида. Напряженность магнитного поля внутри тороида H = I·n, где n – число витков на единицу длины. I 0,6 H= = = 1500 А/м. d 0, 4 ⋅ 10−3 По графику зависимости B = f(H) (рис. П5) находим индукцию магнитного поля тороида В = 1,2 Тл. Энергия магнитного поля тороида: BHπDS 1,2 ⋅ 1500 ⋅ 3,14 ⋅ 0,3 ⋅ 4 ⋅ 10−4 W= ; W= = 0,339 Дж. 2 2 Ответ: W = 0,339 Дж.

Пример 8. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ и катушки индуктивности L = 5,07 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания δ разность потенциалов на обкладках конденсатора за время t = 1 мс уменьшается в три раза? Определить сопротивление контура R при этих характеристиках колебательного контура. Решение: 1 2π , где ω0 = Условный период затухающих колебаний T = LC ω0 2 − β 2 R − коэффициент затухания. 2L условный период затухающих колебаний

− собственная частота контура; β = Следовательно, 2π T= . 1 R2 − LC ( 2 L )2

46

Если считать активное сопротивление контура R малым, можно записать T = 2π LC . U Логарифмический декремент затухания колебаний δ = ln 0 , (δ = βТ), U1 где U0 – амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе в момент времени t = 0; U1 – амплитуда колебаний напряжения в момент времени t. Для затухающих колебаний U1 = U 0e e

−

δt T

−βt

U T U δt U1 ⇒ = ln 0 ⇒ δ = ⋅ ln 0 . U0 T U1 t U1 Переведя данные задачи в

= U 0e

−

δt T

;

=

систему

СИ,

найдем

ln 3 ⋅ 6,28 5,07 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,2 ⋅ 10 −6 δ= = 0,216. 1 ⋅ 10 −3 Зная логарифмический декремент затухания контура можно оценить значение активного сопротивления R: 2 ⋅ 5,07 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,216 R 2 Lδ δ = T ⇒ R= ; R= = 11 Ом. −3 −6 2L T 6,28 5,07 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ 10 Ответ: δ = 0,216, R = 11 Ом.

47

Контрольная работа № 4

Варианты к контрольной работе Номер варианта, который вам необходимо решать, определяется последней цифрой номера вашей зачетной книжки. Варианты 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

401 402 403 404 405 406 407 408 409 410

420 419 418 417 416 411 415 414 413 412

440 429 428 427 426 425 424 423 422 421

Номера задач 432 450 433 449 434 448 435 447 430 446 421 445 437 444 438 443 439 442 431 441

457 452 453 454 455 456 451 458 459 460

461 462 463 464 465 466 467 468 469 470

479 478 477 476 475 474 473 472 471 480

Задачи к контрольной работе

r r 401. Определить напряженность H и индукцию B магнитного поля, создаваемого током I = 6 A, текущим по проводу, согнутому в виде прямоугольника со сторонами а = 16 см и b = 30 см, в его центре.

402. По двум длинным проводам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии r5 см, текут в одном направлении токи 5 и 10 А. Определить r напряженность H и индукцию B магнитного поля в точке, отстоящей на 2 см от первого из проводов и на 5 см от второго. 403. По длинному проводу, согнутому под прямым углом, течет ток I = r r 20 А. Определить напряженность H и индукцию B магнитного поля в точке, лежащей на продолжении одной из сторон угла на расстоянии r = 2 см от вершины. 404. Ток I = 30 А течет по длинному проводу, r r согнутому под углом α = 60º. Определить напряженность H и индукцию B магнитного поля в точке, находящейся на биссектрисе угла на расстоянии а = 5 см от его вершины. 405. По проводу, согнутому rв виде кольца радиусом R = 11 см, течет ток r I = 14 А. Найти напряженность H и индукцию B магнитного поля: а) в центре кольца; б) в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра, на расстоянии а = 10 см от центра. 48

406. По проводнику, изогнутому в виде окружности течет ток. Напряженность магнитного поля Н1 в центре окружности 20 А/м. Не изменяя силы тока в проводнике,r ему придали форму квадрата. Определить напряженность магнитного поля H 2 в точке пересечения диагоналей этого квадрата. 407. Круговой виток радиусом R = 15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. Перпендикуляр, восстановленный на провод из центра витка, является нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе I1 = 1A, сила тока в витке I2 = 5A. Расстояние r от центра витка до провода d = 20 см. Определить магнитную индукцию B в центре витка. r 408. Определить магнитную индукцию B на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 10 см в точке, расположенной на расстоянии d = 20 см от центра кольца, если в центре кольца индукция В0 = 20 мкТл.

409. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с магнитным моментом Pm = 1,5 А·м2 равна 150 А/м. Определить: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке. 410. По трем длинным параллельным проводам, удаленным друг от друга на одинаковом расстоянии 0,4 м, проходят токи I, −I, и −2I. Найти точку на прямой, соединяющей проводники, где индукция магнитного поля, создаваемого токами равна нулю. 411. Изолированный проводник изогнут в виде прямого угла со сторонами 20 см каждая. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 смr так, что стороны угла являются касательными к кольцу. Найти индукцию B магнитного поля в центре кольца. Силы токов I в проводниках равны 2А. 412. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиус большего витка 20 см, а меньшего 12 см. Напряженность Н поля в центре витков равна 5 А/м, если токи текут в одном направлении, и равна нулю, если в противоположных. Определить силу тока I в витках. 413. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам находящимся на расстоянии r10 см друг от друга, текут токи I силой 5 А в каждом. Определить индукцию В магнитного поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками в случаях, когда: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направлении; 2) проводники перпендикулярны (рассмотреть различные направления токов). 49

414. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиус большего витка 12 см, а меньшего 2 см. Напряженность поля в центре витков Н = 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и равна нулю, если в противоположных. Определить силу тока в витках. 415. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, расстояние между которыми 15 см, в одном направлении текут токи 4 и 6 А. Определить расстояние от проводника с меньшей силой тока до геометрического места точек, в котором напряженность магнитного поля равна нулю. 416. По контуру в виде равностороннего прямоугольника идет ток I =r 40 А. Сторона треугольника а = 30 см. Определить магнитную индукцию B в точке пересечения высот. 417. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника r со стороной а = 20 см, течет ток силой I = 100 А. Найти напряженность H магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряженность Н0 поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника. 418. По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток I1 = 10 А. Под ним на расстоянии r = 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток I2 = 1,5 А. Какова должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы он удеркг живался незакрепленным. Плотность алюминия ρ = 2,7 · 103 3 . м 419. По трем параллельным прямым проводникам, находящимся на одинаковом расстоянии а = 10 см друг от друга, текут одинаковые токи по 100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на единицу длины каждого провода. 420. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 2R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А = 138 нДж. Определить силу тока в проводниках. 421. Рамка с током I = 5 А содержит N = 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент Pm рамки с током, если ее площадь S = 10 см2. 422. По витку радиусом R = 10 см течет ток I = 50 А. Виток помещен в однородное магнитное поле индукцией В = 0,2 Тл. Определить вращающий

50

(механический) момент М действующий на виток, если плоскость витка составляет угол φ = 60º с линиями индукции. 423. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи силой I = 100 А. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равной ее длине. 424. По двум параллельным проводам длиной l = 1 м каждый текут токи одинаковой силы. Расстояние между проводами d = 1 см. Сила взаимодействия токов F = 10-3 Н. Какова сила тока I в проводах. 425. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной а = 20 см текут токи по I = 10 А. Определить силу взаимодействия контуров, если расстояние между соответственными сторонами контуров d = 2 мм. 426. Электрон в атоме водорода двигается вокруг ядра по окружности радиусом r = 0,53·10-8 см. Вычислить магнитный момент Pm эквивалентного кругового тока и механический момент М, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, направленной параллельно плоскости орбиты электрона. 427. Короткая катушка содержит N = 1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной а = 10 см. Найти магнитный момент катушки при токе I = 1 А. 428. Рамка длиной а = 4 см и шириной b = 1,5 см содержащая N = 200 витков тонкой проволоки находится в магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Какой вращающий момент М действует на рамку, когда по виткам течет ток силой I = 1мА. Найти магнитный момент при этом токе. 429. Квадратная рамка со стороной 4 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет угол 30º с нормалью к рамке. Какая работа совершается при повороте рамки в положение, когда ее плоскость совпадает с направлением линий индукции поля? 430. Квадратная рамка со стороной 3 см содержит 50 витков и помещена в однородное магнитное поле с напряженностью Н = 100 А/м. Какая работа совершается при повороте рамки на 30º в одну и в другую сторону, если сила тока в ней 1 А?

51

431. Виток радиусом 2 см, сила тока в котором I = 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90º вокруг оси совпадающей с диаметром витка (Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной). 432. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого В = 2 мТл, по винтовой линии R = 2 см и шагом h = 5 см. Определить скорость электрона. 433. Определить нормальное и тангенциальное ускорение электрона, движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях, в двух случаях: а) скорость электрона V направлена вдоль полей; б) скорость электрона V направлена перпендикулярно к ним. 434. Траектория пучка электронов, движущихся в вакууме в магнитном поле с индукцией В = 7 мТл – дуга окружности радиусом 3 см. Определить скорость и энергию электрона в Э.В. 435. Электрон обладая скоростью V = 1 Мм/с, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 60º к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля Н = 1,5 кА/м. Определить: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали. 436. Алюминиевая пластина толщиной а = 0,1 мм, и высотой d помещается в магнитное поле перпендикулярное ребру d и направлению тока I = 5 А. Индукция магнитного поля В = 0,5 Тл. Найти возникающую в результате эффекта Холла разность потенциалов если концентрация электронов n = 2,54·1028 м-3. 437. Медная пластина толщиной а = 0,5 мм и высотой b = 10 мм помещается в магнитное поле перпендикулярное ребру b и направлению тока I = 20 А. Поперечная (холловская) разность потенциалов U = 3,1 мкВ. Индукция магнитного поля В = 1 Тл. Найти концентрацию n электронов проводимости меди и их скорость V при этих условиях. 438. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью V = 106 м/с. Индукция магнитного поля В = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия W = 11 кэВ. 439. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V = 107 м/с. Длина конденсатора l = 5 см. 52

Напряженность электрического поля конденсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому полю. Индукция магнитного поля В = 10 мТл. Найти радиус R и шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле. 440. Определить поперечную разность потенциалов, возникающую при протекании тока силой I = 10 А вдоль проводящей пластины толщиной а = 0,1 мм, помещенной перпендикулярно магнитному полю с индукцией В = 2 Тл. Концентрация носителей тока n = 2,5·1028 м-3. 441. Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60º с направлением поля. Какую работу совершают силы поля при повороте витка в устойчивое положение. 442. Соленоид длиной l = 0,5 м содержит N = 1000 витков. Определить магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если сопротивление его обмотки R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В. 443. Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 180º вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля. 444. В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно вращается прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков. Площадь рамки S = 100 см2. Определить частоту вращения рамки, если максимальная э.д.с., индуцируемая в ней, εi max = 12,6 В. 445. Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,5 мм имеет длину l = 0,4 м и поперечное сечение S = 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении U = 10 В, если за время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты, равное энергии внутри соленоида? Поле считать однородным. 446. Индуктивность соленоида L при длине 1 м и площади поперечного сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определить силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна ω = 0,1 Дж/м3. 447. Прямой проводник длиной l = 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи r = 0,4 Ом. Какая 53

мощность Р требуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции со скоростью V = 20 м/с. 448. Рамка из провода сопротивлением R = 0,01 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S равна 100 см2. Найти какое количество электричества q протечет через рамку за время поворота ее на угол α = 30º в следующих случаях: 1) от α1 = 0 до α1 = 30º; 2) от α1 = 30º до α2 = 60º; 3) от α2 = 60º до α3 = 90º. 449. На соленоид длиной l = 160 см и диаметром D = 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 2000 витков, а по ней течет ток I = 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Какая средняя э.д.с. индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течении 2 с. Зависимость индукции магнитного поля железного сердечника от напряженности внешнего поля дана на рис. П5. 450. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи проводника расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением r = 0,02 Ом. Проводник лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны а1 = 10 см, а2 = 20 см. Найти силу тока в проводнике, если при его выключении через рамку протекало количество электричества q = 6,93·10-4 Кл. 451. Железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением радиуса а = 3,0 см, несет на себе обмотку из N = 1000 витков, по которой течет ток I = 1 А. Средний радиус тора b = 32 см. Найти магнитную энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность поля одинаковой по всему сечению и равной ее значению в центре сечения. Зависимость индукции магнитного поля железного сердечника от напряженности внешнего поля дана на рис. П5. 452. На соленоид длиной l = 20 см и площадью поперечного сечения S = 30 см2 надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 320 витков, и по нему идет ток I = 3 А. Какая средняя э.д.с. εср , индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течении времени t = 1 мс? 453. Имеется катушка длиной l = 20 см и диаметром D = 2 см. Обмотка катушки состоит из N = 200 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой S = 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой э.д.с. При

54

помощи переключателя э.д.с. выключается, и катушка замыкается накоротко. Через какое время t после выключения э.д.с. ток в цепи уменьшается в 2 раза. 454. Катушка имеет индуктивность L = 0,2 Гн и сопротивление R = 1,64 Ом. Во сколько раз уменьшается ток в катушке через время t = 0,05 с после того, как э.д.с. выключена и катушка замкнута накоротко? 455. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока Ф = 0,42 мВб в соленоиде с железным сердечником длиной l = 120 см с площадью поперечного сечения S = 3 см2. Зависимость индукции магнитного поля от напряженности внешнего поля дана на рис. П5. 456. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиной l = 30 см объемная плотность энергии магнитного поля была равна w0 = 1,75 Дж. 457. Контур имеет сопротивление R = 2 Ом и индуктивность L = 0,2 Гн. Построить график зависимости тока I в контуре от времени t прошедшего с момента включения в цепь э.д.с., для интервала 0 ≤ t ≤ 0,5с через каждую 0,1с. По оси ординат откладывать отношение нарастающего тока к конечному току I0. 458. В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл, помещена катушка, состоящая из N = 200 витков. Сопротивление катушки R = 10 Ом; площадь поперечного сечения S = 12 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет угол α = 60º с направлением магнитного поля. Какое количество электричества q пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля? 459. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,35 Тл равномерно с частотой n = 480 мин-1 вращается рамка, содержащая N = 500 витков площадью S = 50 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную э.д.с. индукции εmax возникающую в рамке. 460. При индукции магнитного поля В = 8 Тл объемная плотность энергии магнитного поля соленоида ω = 200 Дж/м3. Определить магнитную проницаемость сердечника соленоида. 461. Сила тока в открытом колебательном контуре изменяется в зависимости от времени по закону i = 0,1cos 6 ⋅ 105 πt . Найти длину излучаемой волны.

55

462. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора 20 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1 А. 463. Записать и объяснить систему уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля в отсутствии заряженных тел. 464. Записать и объяснить систему уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля в отсутствии токов проводимости. 465. Записать и объяснить систему уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля при наличии заряженных тел и токов проводимости. 466. Катушка индуктивностью L = 31 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины S = 20 см2 и расстояние между ними 1 см. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, если амплитуда силы тока в контуре 0,2 мА, а амплитуда напряжения 10 В? 467. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 1 мкФ и катушки индуктивностью L = 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе 100 мкКл. Написать уравнения q = q(t), i = i(t), U = U(t). Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения. 468. Емкость конденсатора колебательного контура С = 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитуда колебаний заряда 8 мкКл. Написать уравнения q = q(t), U = U(t), i = i(t). Найти амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки. 469. Найти период Т и частоту ν колебаний в контуре, состоящем из конденсатора С = 800 пФ и катушки индуктивностью L = 2 мкГн. Во сколько раз изменится период колебаний, если в конденсатор ввести диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε = 9. 470. Батарея состоящая из двух конденсаторов электроемкостью по 2 мкФ каждый, разряжается через катушку (L = 1мГн; R = 50 Ом). Возникнут ли при этом колебания, если конденсаторы соединены: а) параллельно; б) последовательно? 471. Определить логарифмический декремент затухания контура, электроемкость которого С = 2,2 нФ и индуктивность L = 150 мкГн, если на поддержание в этом контуре незатухающих колебаний с максимальным напряжением Um = 0,9 В требуется мощность Р = 10 мкВт. 56

472. Логарифмический декремент затухания δ = 0,015, частота колебаний 50 Гц. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в 30 раз; 2) число полных колебаний, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды. 473. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, при использовании формулой Т 0 = 2π LC для вычисления периода колебаний контура, состоящего из конденсатора электроемкостью С = 5,5 нФ и катушки с обмоткой из медной проволоки сечением площадью S = 0,2 мм2? Длина катушки l = 50 см. Диаметр катушки мал по сравнению с ее длиной. 474. Определить логарифмический декремент затухания δ, если разность потенциалов на обкладках конденсатора колебательного контура уменьшилась в 3 раза за 1 мс. Емкость конденсатора С = 0,2 мкФ, катушка индуктивности L = 5,07 мГн. Определить сопротивление R контура. 475. Катушка длиной l = 25 см и радиусом r = 2 см имеет обмотку N = 1000 витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой S = 1 мм2. Катушка включена в цепь переменного тока с частотой ν = 50 Гц. Какую часть полного сопротивления Z катушки составляет активное сопротивление R и индуктивное сопротивление XL? Wм магнитного поля к энергии элекWэл T трического поля для момента времени . 8 476. Найти соотношение энергии

477. Резонансная частота контура, содержащего конденсатор емкостью 120 пФ, должна быть равна 18 МГц. Катушка индуктивности должна быть изготовлена из изолированного провода длиной 12 м и диаметром 1,1 мм в виде соленоида с плотной намоткой без сердечника. Сколько витков должна иметь катушка? 478. В колебательном контуре, содержащем конденсатор, емкостью С = 5 нФ и катушку индуктивностью L = 10 мкГн и активным сопротивлением R = 0,2 Ом поддерживаются незатухающие гармонические колебания. Определить амплитудное значение напряжения Um на конденсаторе, если средняя мощность, потребляемая колебательным контуром составляет 5 МВт. 479. Логарифмический декремент затухания δ равен 0,01, частота колебаний 50 Гц. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний умень-

57

шается в 20 раз; 2) число полных колебаний, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды. 480. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 25 мГн, конденсатора С = 10 мкФ и резистора. Определить сопротивление резистора если известно, что амплитуда тока в контуре уменьшается в е раз за 16 полных колебаний.

58

Список литературы

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989, 2000. 2. Савельев И.В. Курс физики. – М.: Наука, 1988. – т. 2. 3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1985. 4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Наука, 2002. 5. Чертов А.Г., Воробъев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1988.

59

Содержание

Общие методические указания …………………………………………….. 3 Рабочая программа по разделам “Электромагнетизм”, “Электромагнитные колебания и волны” ………………………………………………………… 5 Основные сведения ………………………………………………………… 7 Электромагнетизм …………………………………………………………. 7 1. Магнитное поле постоянного тока в вакууме ……………………… 8 2. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца. Эффект Холла …………….…………………………………………….. 12 3. Магнитное поле в веществе …………………………………………. 15 4. Электромагнитная индукция ………………………………………… 25 5. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля ………………. 29 Электромагнитные колебания и волны …………………………………… 31 6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре без активного сопротивления ……………………………………………… 31 7. Свободные затухающие колебания в колебательном контуре ……. 33 8. Вынужденные электромагнитные колебания ……………………… 35 9. Электромагнитные волны …………………………………………… 37 Примеры решения задач …………………………………………………… 40 Контрольная работа № 4 …………………………………………………… 48 Список литературы ………………………………………………………… 59

60