Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного. Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)  

Е.Б. Сандаков, С.Г. Селиванова              

Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного

Москва 2009

 

УДК 517.53/55(076) ББК 22.161.1я7 С18 Сандаков Е.Б., Селиванова С.Г. Сборник домашних заданий по теории функций комплексного переменного. Учебно-методическое пособие. – М.: МИФИ, 2009. – 40 с. В сборнике собраны задания по 18 темам, предлагаемым студентам второго курса всех факультетов в качестве домашнего задания по теории функций комплексного переменного. Каждый параграф содержит 25 вариантов примерно одинаковых по сложности. Предназначено для преподавателей второго курса всех факультетов. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Н.В. Мирошин Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ ISBN 978-5-7262-1133-6

©

Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009

Редактор М.В. Макарова Подписано в печать 10.06.2009. Формат 60х84 1/16. Печ.л. 2,5. Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 350 экз. Изд. № 059-1. Заказ № Московский инженерно-физический институт (государственный университет). Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31

 

СОДЕРЖАНИЕ § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13.

Комплексные числа и действия над ними .................................4 Области на комплексной плоскости...........................................8 Кривые на комплексной плоскости............................................9 Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.................................10 Интеграл от функции комплексной переменной ....................12 Конформные отображения ........................................................14 Разложения в ряд Тейлора.........................................................17 Разложение в ряд Лорана ..........................................................19 Классификация особых точек аналитических функций.........22 Вычисление вычетов..................................................................24 Вычисление интегралов с помощью вычетов .........................26 Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов ...................................................................28 Вычисление несобственных интегралов вида

+∞

∫−∞ R( x) cos λxdx

и

+∞

∫−∞ R( x)sin λxdx ................................30

§ 14. Вычисление интегралов, содержащих ln x и xα , где 0 < α < 1 ................................................................................32 § 15. Изображения функций...............................................................33 § 16. Нахождение оригинала по заданному изображению..............34 § 17. Решение операционным методом дифференциальных уравнений .................................................36 § 18. Решение операционным методом систем линейных дифференциальных уравнений ...............................38

3

§ 1. Комплексные числа и действия над ними Найти Z , Re(Z) и Im(Z), где: 101

⎛ 1− i ⎞ 4 1) Z = ⎜ ⎟ ; Z = i(3 + i 3) ; Z = cos( 3 + i ) ; ⎝3+i 3 ⎠ ⎛ −1 − i 3 ⎞ Z = ln ⎜ ; Z = (5 + 5i )1+i ; ⎜ 2 + 2i ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2) Z = ⎜⎜ ⎝ ⎛ Z = ln ⎜ ⎜ ⎝

99

3 + 3i ⎞ ⎟ ; Z = 4 i( 3 − i) ; Z = sin(5 + i ) ; 1 + i ⎟⎠ 3 − 3i ⎞ 6 + 5i ; ⎟⎟ ; Z = (1 + i ) −1 − i ⎠ 98

⎛ 3 +i⎞ ⎛ −3 + i 3 ⎞ 3) Z = ⎜ ; Z = 4 16i ; Z = ch(1 − i) ; Z = ln ⎜ ; ⎟ ⎜ 2i ⎟⎟ ⎜ 1− i ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Z = (1 − i 3)1+i ; 97

⎛ 1+ i ⎞ 4 4) Z = ⎜ ⎟ ; Z = 16i (i − 3) ; Z = sh(2 − i) ; 3 3 i − ⎝ ⎠ ⎛ 2i ⎞ 1−i Z = ln ⎜ ⎟ ; Z = ( 3 + i 3) ; ⎝ 1+ i 3 ⎠ 95

⎛ 5 + 5i ⎞ 3 5) Z = ⎜ ⎟ ; Z = −1 − i ; Z = cos(1 + i 3) ; ⎝ 3 − 3i ⎠ ⎛ 1− i 3 ⎞ Z = ln ⎜ ; Z = ( − 3 + i ) 2+ i ; ⎜ 1 − i ⎟⎟ ⎝ ⎠

4

97

⎛ 1+ i 3 ⎞ 3 6) Z = ⎜⎜ ⎟⎟ ; Z = −1 + i ; Z = sin( 3 − i) ; 3 − i 3 ⎝ ⎠ ⎛ 1+ i ⎞ 1−i Z = ln ⎜ ⎟ ; Z = (3 + i 3) ; + 3 i 3 ⎝ ⎠ 103

⎛ 3 +i⎞ 7) Z = ⎜ ⎜ 1 − i ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 −i ⎞ ; Z = 3 1 + i ; Z = ch( 3 + i) ; Z = ln ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ −2 + 2i ⎠

Z=ii; 99 ⎛ 3 + 3i ⎞ ⎛ −1 − i ⎞ 3 8) Z = ⎜ ⎟⎟ ; ⎟ ; Z = 1 − i ; Z = sh(1 − i 3) ; Z = ln ⎜⎜ ⎝1− i 3 ⎠ ⎝ 1+ i ⎠

Z = (1 + i )i ; 97 ⎛ 3 −i⎞ ⎛ 2 + 2i ⎞ 3 9) Z = ⎜ ⎟⎟ ; ⎟ ; Z = i(1 − i ) ; Z = cos(1 + i) ; Z = ln ⎜⎜ ⎝3+i 3 ⎠ ⎝ 2 + 2i ⎠

Z = (1 − i)1+i ; 101

⎛ 3 − 3i ⎞ 10) Z = ⎜⎜ ⎟⎟ ; Z = 3 −i (1 + i ) ; Z = sin(3 + 2i ) ; 1 + i ⎝ ⎠ ⎛ −3 + i 3 ⎞ Z = ln ⎜ ; Z = ( 3 + i )i ; ⎜ 1 − i ⎟⎟ ⎝ ⎠ 95

⎛1− i ⎞ 4 11) Z = ⎜ ⎟ ; Z = −i ( 3 − i) ; Z = ch(2 − 3i ) ; ⎝i 2 ⎠ ⎛ 3−i 3 ⎞ Z = ln ⎜ ; Z = ( 3 − i)1+i ; ⎜ 1 + i ⎟⎟ ⎝ ⎠ 99

⎛ 1− i ⎞ 4 3 12) Z = ⎜ ⎟ ; Z = i (i + 3) ; Z = sh(2 + 3i ) ; + 1 i 3 ⎝ ⎠ ⎛ 1− i ⎞ −1+ i ; Z = ln ⎜ ⎟ ; Z = (−3 − i 3) ⎝ 1− i 3 ⎠ 5

101

1− i ⎛ 1+ i ⎞ 13) Z = ⎜ ; Z = cos(3 − i ) ; ⎟ ; Z=3 1+ i ⎝1− i 3 ⎠ ⎛ 1+ i ⎞ 1+ 2i Z = ln ⎜ ; ⎟ ; Z = (− 3 + i) ⎝ 2 −i 2 ⎠ 93 ⎛ 3 − 3i ⎞ ⎛1− i ⎞ 3 14) Z = ⎜ ⎟⎟ ; ⎟ ; Z = 8 + 8i ; Z = sin(5 + 2i) ; Z = ln ⎜⎜ 2 i − ⎝1+ i ⎠ ⎝ ⎠

Z = (1 − i 3)1−i ; 96

⎛ −3 − i 3 ⎞ ⎛ 1+ i ⎞ 15) Z = ⎜ ; Z = 3 8 − 8i ; Z = tg(2 + i) ; Z = ln ⎜ ⎟; ⎜ 1 − i ⎟⎟ ⎝ 1− i 3 ⎠ ⎝ ⎠ Z = (1 + i 3)1−2i ; 91

⎛ 2 + 2i ⎞ ⎛ 2 ⎞ 4 16) Z = ⎜ ⎟; ⎟ ; Z = i ; Z = ctg(1 + 3i ) ; Z = ln ⎜ ⎝ 3 +i⎠ ⎝ − 3 +i⎠

Z = (−1 − i )1+i

3

; 90

⎛ 3 +i⎞ 2i ⎛ ⎞ ; Z = 6 i ; Z = sin(−1 + i 3) ; Z = ln ⎜ 17) Z = ⎜ ⎟; ⎜ 1 + i ⎟⎟ ⎝ −1 + i 3 ⎠ ⎝ ⎠ Z = (1 − i 3)1− 2i ; 101

⎛1+ i 3 ⎞ 18) Z = ⎜ ⎜ 2i ⎟⎟ ⎝ ⎠ Z = ( 3 − i )1+i

3

⎛ 1− i 3 ⎞ ; Z = 8 −1 ; Z = cos(1 − i 3) ; Z = ln ⎜ ; ⎜ 1 + i ⎟⎟ ⎝ ⎠

; 92

⎛ − 3 +i⎞ ⎛ −1 + i ⎞ 6 19) Z = ⎜ ⎟⎟ ; ⎟ ; Z = −i ; Z = sin( 3 + 2i) ; Z = ln ⎜⎜ ⎝ 3 −i ⎠ ⎝ 1− i 3 ⎠ Z = ( 3 + i )1+ 2i ; 99

⎛ 1+ i 3 ⎞ ⎛1+ i ⎞ ; Z = 4 1 + i 3 ; Z = ch(2 + 3i) ; Z = ln ⎜ 20) Z = ⎜ ⎟ ⎟; ⎜− 3 +i⎟ ⎝ 2i ⎠ ⎝ ⎠ 6

Z = (−1 + i)1+i

3

; 101

⎛ −1 + i ⎞ 21) Z = ⎜ ⎟ ⎝ 3 −i ⎠

⎛ 3 −i⎞ ; Z = 3 −1 + i ; Z = ch(−1 + i ) ; Z = ln ⎜ ; ⎜ 1 + i ⎟⎟ ⎝ ⎠

Z = (− 3 − i )2i −1 ; 91

⎛ −1 + i 3 ⎞ 22) Z = ⎜ ; Z = 4 −1 + i 3 ; Z = sh(2 + 5i ) ; ⎜ 1 − i ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 3 +i⎞ ; Z = ( 3 + i )2−3i ; Z = ln ⎜ ⎜ 1 − i 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 93

⎛ −1 − i ⎞ ⎛ −2 ⎞ 4 23) Z = ⎜ ⎟ ; Z = −1 − i 3 ; Z = th(1 + i ) ; Z = ln ⎜ ⎟; ⎝ 3 +i⎠ ⎝ 1+ i 3 ⎠ Z = (1 + i )1−i ; 100

⎛1+ i 3 ⎞ 24) Z = ⎜ ; Z = 4 1 − i 3 ; Z = cth(3 + 2i) ; ⎜ −1 + i ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2i ⎞ 1+i Z = ln ⎜ ⎟ ; Z = 1+ i 3 ; ⎝ 3 −i⎠ 91

⎛ 1+ i ⎞ ⎛1+ i ⎞ 3 25) Z = ⎜ ⎟ ; Z = −1 − i ; Z = sin(3i − 2) ; Z = ln ⎜ ⎟; ⎝1− i ⎠ ⎝ 3 −i ⎠ Z = i −1 − 3 + i .

7

§ 2. Области на комплексной плоскости На комплексной плоскости изобразить области, удовлетворяющие условиям: 2) z − i > 1 ; z < 2 ; 1) z − 1 < 1 ; z + 2 > 3 ; 3) z + i < 1 ; z − 1 < 1 ;

4) z + 1 > 1 ; z − i < 1 ;

5) z + i < 2 ; Re z > 1 ;

6) z − 1 − i > 1 ; Im z > 0 ; Re z > 0 ;

7) z − i < 3 ; Im z > 1 ;

8) z − i < z + i ;

z+i z − 2 ;

π 2π ; < arg z < 6 3 π 2π 12) < arg( z − 1 − i) < ; 6 3 14) z + 1 − i < z − 1 ;

15) iz − 1 + 2i < 1 ;

16) z − i + z + i < 5 ;

17) z < 1 ; z − i < 1 ;

18) z > 1 ; z − i < 1 ;

9)

11) Re z > z − 1 ;

10) z < 2 ;

21) 2 Re z > z − 1 ;

π ; 4 22) z − 1 − i < 1 ; z + i > 2 ;

23) z + 1 + i < 1 ; z + i < 2 ;

24) z + 1 − i > z − 1 + i ;

19) z > 2 ; z − 2 < 2 ;

20) z > 2 ; 0 < arg z
2 ; z + 1 + i < 2 .

8

§ 3. Кривые на комплексной плоскости Определить линии, заданные указанными уравнениями и изобразить их на комплексной плоскости: i ; 2) Z = 2cos t + 3i sin t; 1) Z = tg t + cos t 3) Z = cos 2t – i sin 2 t ; 4) Z = 3ch t – i sh t; 4i 5) Z = sin t + 4i cos 2 t ; 6) Z = 2ctg t + ; sin t 1 3i 7) Z = eit + it ; 8) Z = 2th t – ; ch t 2e 2i 9) Z = sin t – i cos 2t; 10) Z = 3sh t + ; cth t 2i ; 11) Z = 4sh t + i ch 2t; 12) Z = 3cos t + tg t i ; 14) Z = cos 2 t − i cos 2t; 13) Z = 2ch t – 2 th t 15) Z = 2cos 2t + i sin t; 16) Z = ch 2t + 2i sh t; 17) Z = − sin 2 t + 2i cos t; cos 2t ; 19) Z = (1 + cos t ) + i 2 21) Z = 1 − sin t + 3i cos 2t ;

18) Z = 3cos t + 4i sin 2 t ; 20) Z = 2cos 2t + i(1 − cos t ) ; 22) Z = (1 + sh t ) + i ch 2t ; 3 24) Z = 2eit + it ; e

23) Z = (2 + ch 2t) – i(1 + ch t); 25) Z = (tg t – 2) +

2i . cos t

9

§ 4. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части Найти аналитическую функцию f(z) = u(x, y) + iv(x, y), если задана ее действительная часть u(x, y) или мнимая часть v(x, y): 1) u(x, y) = x3 − 3 xy 2 + 2 y ; 2) u(x, y) = e2 x ( x cos 2 y − y sin 2 y ) ; 3) v(x, y) = e2 x ( y cos 2 y + x sin 2 y ) ; 4) u(x, y) = 5) v(x, y) = 6) u(x, y) =

x2 − y2 ( x 2 + y 2 )2 2 xy ( x 2 + y 2 )2

; ;

e x ( x cos y + y sin y ) x2 + y2

;

e x ( x sin y − y cos y )

; x2 + y 2 8) u(x, y) = x cos x ch y + y sin x sh y ; 9) v(x, y) = y cos x ch y − x sin x sh y ; x cos x ch y − y sin x sh y 10) u(x, y) = ; x2 + y 2 7) v(x, y) =

11) v(x, y) = e x (sin x sin y ch y + cos x cos y sh y ) ; y cos x ch y + x sin x sh y ; 12) v(x, y) = x2 + y 2 13) u(x, y) = e x (cos y sin x ch y − sin y cos x sh y ) ; 14) u(x, y) = e x (cos x cos y ch y + sin x sin y sh y ) ; 10

15) v(x, y) =

e x [( x + 1)sin y − y cos y ] ( x + 1)2 + y 2

;

16) v(x, y) = e x (cos x sin y ch y − sin x cos y sh y ) ; 17) u(x, y) =

e x [( x + 1) cos y + y sin y ] ( x + 1) 2 + y 2

;

18) u(x, y) = e x [( x + 1) cos y − y sin y ] ; 19) v(x, y) = e x [( y + 1) cos y + x sin y ] ; 20) u(x, y) = x cos( x + 1)ch y + y sin( x + 1)sh y ; 21) v(x, y) = y sin x ch( y + 1) + x cos x sh( y + 1) ; 22) u(x, y) = e x [ x cos y − ( y + 1)sin y ] ; 23) v(x, y) = e x [( x + 1)sin y + y cos y ] ; 24) u(x, y) = x sin x ch( y + 1) − y cos x sh( y + 1) ; 25) v(x, y) = y cos( x + 1) ch y − x sin( x + 1)sh y .

11

§ 5. Интеграл от функции комплексной переменной Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой: 1) ∫C z Re zdz , где C – отрезок прямой от точки z1 = –1 + 2i до точки z2 = 2 + i; 2) ∫C z Im z 2 dz , где С: z = 2 , 0 ≤ arg z ≤ π и обход по кривой С совершается по часовой стрелке; dz , где С: z − z0 = r ; −π ≤ arg z ≤ 0 и контур С об3) ∫C ( z − z0 ) 2 ходится против часовой стрелки; 4) ∫C z Re z 2 dz , где С: z = 2 , π ≤ arg z ≤ 2π и контур С обходится против часовой стрелки; 5) ∫C z z 2 dz , где С: z = 3 , Re z ≥ 0 и контур С обходится по часовой стрелке; 6) ∫C z Re z 3dz , где С: z = 2 , Im z ≤ 0 и контур С обходится против часовой стрелки; 7) ∫c zz 3dz , где С: z = 2 , Re z ≥ 0 и контур С обходится против часовой стрелки; 8) ∫C ( z + 1) z dz , где С – ломаная ABC, z A = 0 , z B = −1 + i , zC = 1 + 2i ;

9)

∫C z

2 z3

e dz , где С – ломаная ABC,

z A = 1 + 2i ,

zB = 0 ,

zC = −2 − i ; z2 ∫C z dz , где С – граница области {1 < z < 2, Re z > 0} и С обходится в положительном направлении; 11) ∫C cos zdz , где С – ломаная ABC, z A = 0 , z B = 1 , zC = 2i ;

10)

12

12)

z

∫C z

dz , где С – граница области {1 < z < 2 , Im z > 0} и кон-

тур С обходится в положительном направлении; 13) ∫C z 2 zdz , где С – граница области { z < 2 , Re z < 0} и контур С обходится в положительном направлении; 14) ∫C e z Re zdz , где С – отрезок прямой AB, z A = 1 − i , z B = −2 + i ;

⎛z⎞ где С – граница области {1 < z < 2 , Re z > 0 , ⎝ ⎠ Im z > 0} и контур С обходится в положительном направлении;

15)

∫C Re ⎜ z ⎟ dz ,

16) ∫C z Re z 2 dz , где С – граница области { z < 2 , Im z < 0} и контур С обходится в положительном направлении; 17) ∫C ch 2 zdz , где С – ломаная ABC: z A = 1 + i , z B = −1 + 2i , zC = 2 + 3i ; 18) ∫C sin 2 zdz , где С – ломаная ABC: z A = 1 ,

zB = 2 + i ,

zC = 3 − i ; 19) ∫C cos(iz )dz , где С – ломаная ABC: z A = 1 − i , z B = 2 + i , zC = 0 ; π 3π ⎫ ⎧ dz , где С – граница области ⎨1 < z < 2, < arg z < ⎬ 4 4⎭ ⎩ и контур С обходится в положительном направлении; 21) ∫C z 2 Re z 2 dz , где С – ломаная ABC: z A = 1 − i , z B = −1 ,

20)

z

∫C z

zC = 2 + i ; 22) ∫C sin(iz ) dz , где С – ломаная ABC: z A = 1 + i , z B = 2 − i , zC = −1 + i ;

23)

∫C z

2

Im z 2 dz , где С – ломаная ABC: z A = i , z B = 2 − i ,

zC = 1 + 2i ;

24)

∫C z Im z

3

dz , где С – ломаная ABC: z A = −1 + i , z B = −i ,

zC = 1 + 2i ; 25) ∫C cos 2 zdz , где С – ломаная ABC: z A = −1 , z B = 1 + 2i , zC = 2 − i .

13

§ 6. Конформные отображения 1. Во что преобразуется кольцо 2 < z < 4 при отображении z −1 ? z+2 2. Найти конформное отображение области { z − i < 2 , Im z < 1} на верхнюю полуплоскость. 3. Во что преобразуется область D = {z : Im z > 0 , Re z < 0} при z −i ? отображении W = z+i 4. Отобразить множество Im z > 0 с выброшенным полукругом z ≤ 1 конформно на полуплоскость Im W > 0. W=

5. Найти образ полукруга z < 1 , Im z > 0 при отображении W = 2z − i . 2 + iz 6. Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость область { z < 1 ∩ z − i > 1} .

=

7. В какую область функция W =

2 отображает область z −1

{1 < z < 2} ? 8. Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость область { z − 2 < 2 ∩ Im z > 0} . 9. Отобразить конформно на верхнюю полуплоскость полосу 0 < Im z < 2 . 10. Найти конформное отображение области { z < 1 ∩ z − i < 1} на правую полуплоскость ReW > 0 . 11. Отобразить конформно полосу, заключенную между прямыми y = − x и y = − x + b на верхнюю полуплоскость. 14

12. Найти конформное отображение области { z − 1 < 2 ∩ z + 1 < 2}

на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 13. В какую область функция W =

z +1 отображает область z −1

{ z − 1 < 2 ∩ z + 1 < 2} ?

14. Найти конформное отображение области { z < 1 ∩ z − 1 − i > 1}

на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 15. В какую область функция W =

1− z отображает область 1+ z

{ z > 1 , Im z > 0} ? 16. Найти конформное отображение области 3π ⎫ ⎧ D = ⎨ z < 1 ∩ 0 < arg z < ⎬ 4⎭ ⎩ на верхнюю полуплоскость. z+2+i отображает область 17. В какую область функция W = z +1− i Re z > 2 ? 18. Найти конформное отображение области D = { z < 1 ∩ z − 1 − i < 1}

на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 19. Найти конформное отображение первого квадранта с разрезом по отрезку [0;1 + i ] на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 20. Найти конформное отображение круга z < 1 с разрезом по действительному положительному радиусу на верхнюю полуплоскость. 21. Найти конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 с разрезом по части окружности z = 1 , лежащей в первом квадранте на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 15

22. В какую область функция W =

z −1 отображает область z−2

1 < Re z < 2 ? 23. Найти конформное отображение полосы −π < Re z < π с разрезом по положительной части мнимой оси на верхнюю полуплоскость Im W > 0 . 2z − i отображает область 24. В какую область функция W = 2 + iz Re z > 0 , Im z > 0 ? π π с 25. Найти конформное отображение полосы − < Im z < 2 2 разрезом по отрицательной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость Im W > 0 .

16

§ 7. Разложение в ряд Тейлора Заданную функцию f(z) разложить в ряд Тейлора в точке z0: 1 1) f(z) = в точке z0 = 0 ; (1 + z )(1 + z 2 ) 2 z 2) f(z) = 2 в точке z0 = 0 ; ( z + 1)( z 2 + 4) z 3) f(z) = в точке z0 = −2 ; ( z + 1)( z 2 + 4 z + 5) z+5 4) f(z) = в точке z0 = 1 ; ( z + 1)( z 2 − 2 z + 5) 2−z 5) f(z) = 3 в точке z0 = −1 ; z + 2 z 2 + 5z 1+ z 6) f(z) = ln в точке z0 = 0 ; 1− z z в точке z0 = 1 ; 7) f(z) = ( z + 1)(2 − z ) z в точке z0 = 0 ; 8) f(z) = 1 − z2 z2 + 1

в точке z0 = 2 ; z2 − 4z + 5 z 10) f(z) = в точке z0 = 0 ; (1 − z 2 )2 z 11) f(z) = в точке z0 = 0 ; (1 − z 6 )2 z 12) f(z) = в точке z0 = 0 ; (1 + z )3 9)

f(z) =

17

13) f(z) = arcsin z в точке z0 = 0 ; z+3 14) f(z) = в точке z0 = 1 ; ( z + 2)( z 2 − 2 z + 5) 2z 15) f(z) = в точке z0 = 0 ; 4 − z2 ⎛2+ z⎞ 16) f(z) = ln ⎜ ⎟ в точке z0 = 1 ; ⎝ z ⎠ 1 ⎛ 1⎞ 17) f(z) = arctg ⎜ 1 + ⎟ в точке z0 = − ; z 2 ⎝ ⎠ z 18) f(z) = в точке z0 = −1 ; z2 + 2z + 5 2z + 1 в точке z0 = −1 ; 19) f(z) = 2 ( z + 2 z + 2)( z 2 + 2 z + 5) 20) f(z) = 21) f(z) =

z2 (1 + z 2 )2

в точке z0 = 0 ;

z2 + 5 z 2 + 7 z + 12 z

в точке z0 = 1 ;

в точке z0 = −1 ; ( z 2 − 4 z + 3) 2 z+2 23) f(z) = 4 в точке z0 = 0 ; z + 2z2 − 3 22) f(z) =

z2 + z + 1

в точке z0 = 1 ; ( z 2 − 5 z + 6) 2 z +1 25) f(z) = в точке z0 = 0 . 8 − z3 24) f(z) =

18

§ 8. Разложение в ряд Лорана Заданную функцию f(z) разложить в ряд Лорана в кольце a < z − z0 < b и в окрестности точки z = ∞ : 2z + 1

в кольце 2 < z − 1 < 4 и в окрест( z + 3)( z 2 + 4 z + 3) ности точки z = ∞ ; 1 в кольце 0 < z < 3 и в окрестности z = ∞ ; 2) f(z) = 2 z ( z − 3) 2z 3) f(z) = 2 в кольце 0 < z + 1 < 2 и в окрестности z = ∞ ; z −1 1 в кольце 0 < z < 2 и в окрестности z = ∞ ; 4) f(z) = 3 z ( z + 2) 3z в кольце 0 < z + 1 < 4 и в окрестности 5) f(z) = ( z + 1)( z − 3) z=∞; z +1 6) f(z) = 2 в кольце 0 < z < 1 и в окрестности точки z ( z − 1) z=∞; 3z + 2 в кольце 0 < z < 2 и в окрестности z = ∞ ; 7) f(z) = 3 z ( z + 2) 1 8) f(z) = в кольце 0 < z + 2 < 3 и в окрестности 2 ( z − 1) ( z + 2)2 z=∞; 4z 9) f(z) = в кольце 0 < z − 1 < 3 и в окрестности ( z − 1)2 ( z + 2) точки z = ∞ ; 1)

f(z) =

19

10) f(z) =

2z в кольце 1 < z < 2 и в окрестности ( z − 1)( z + 2)

z=∞;

11) f(z) =

z2 + 1

в кольце 0 < z + 1 < 3 и в окрестности

( z + 1)2 ( z − 2)

точки z = ∞ ; 12) f(z) =

z2 + z

в кольце 0 < z + 2 < 3 и в окрестности

( z + 2)2 ( z − 1)

точки z = ∞ ; 13) f(z) =

1

в кольце 0 < z − 2 < 2 и в окрестности точки

( z − 2)2 z

z=∞;

14) f(z) =

z +1 2

( z + 4) z 2

в кольце 0 < z < 2 и в окрестности точки

z=∞;

15) f(z) =

2z ( z − 1)( z 2 + 9)

в кольце 1 < z < 3 и в окрестности точ-

ки z = ∞ ; 16) f(z) =

z+2 2

( z − 1)( z 2 + 4)

в кольце 1 < z < 2 и в окрестности

точки z = ∞ ; z

в кольце 1 < z + 1 < 2 и в окрестно( z + 2)( z + 2 z + 5) сти точки z = ∞ ; z +1 18) f(z) = 2 в кольце 1 < z − 1 < 2 и в окре( z − 2 z )( z 2 − 2 z + 5) стности точки z = ∞ ; z в кольце 2 < z < 3 и в окрестности 19) f(z) = ( z 2 − 4)( z 2 + 9) точки z = ∞ ; 17) f(z) =

2

20

z2 −1

в кольце 1 < z + 2 < 2 и в ок( z 2 + 4 z + 5)( z 2 + 4 z + 8) рестности точки z = ∞ ; z 21) f(z) = 2 в кольце 1 < z − 1 < 3 и в ок( z − 2 z + 2)( z 2 − 2 z + 10) рестности точки z = ∞ ; z в кольце 1 < z + 1 < 2 и в окрестно22) f(z) = 2 ( z + 2)( z + 2 z + 5) сти точки z = ∞ ; 20) f(z) =

z2 − 4z

в кольце 1 < z − 2 < 3 и в окрест( z − 3)( z 2 − 4 z + 13) ности точки z = ∞ ; z +1 в кольце 1 < z − 1 < 3 и в окрестности 24) f(z) = 2 ( z − 2 z )( z + 2) точки z = ∞ ; z2 + z 25) f(z) = 2 в кольце 1 < z + 2 < 2 и в окрест( z + 4 z + 3)( z + 4) ности точки z = ∞ . 23) f(z) =

21

§ 9. Классификация особых точек аналитических функций Найти все особые точки аналитической функции, выяснить их характер и исследовать поведение функции на бесконечности: sin 2 z 1 z 1 2) f ( z ) = + cos + z ; + sin ; 1) f ( z ) = iz z sin z z e −1 z −1 1 1 1 3) f ( z ) = iπz ; 4) f ( z ) = + 5 + z 2 sin ; sin( z + 2) z e + 1 z ( z + 4) 5) f ( z ) =

7) f ( z ) = 9) f ( z ) =

1 ez

1 + ; cos z − 1 z 2 + 1

6) f ( z ) =

eiz + 1 ez ; + 2 sin 2 z z + 4 1 z e −1

1

1 z + sin + 6 z 5 ; 8) f ( z ) = + ; sin z ( z 2 + 1) 2 z ( z + 1) 2

2

sin z

ez

+

eiz + 1 ( z 2 − 4)2

1

10) f ( z ) =

;

1 eiz + 1 12) f ( z ) = z sin + ; z sin z

1 + z 2 sin ; z z e +e 1 sin 1 z ; 13) f ( z ) = + 1 + cos z ( z − 1) 2

11) f ( z ) =

1

1

14) f ( z ) =

⎛ 1 ⎞ + cos ⎜ ⎟; z −1+ e ⎝ z −1⎠ 1 − cos z ⎛ 1 ⎞ + z 2 sin ⎜ 16) f ( z ) = iz ⎟; e −1 ⎝ z +1⎠ 1 1 17) f ( z ) = 4 z 8 − 3 z 2 − sin + 8; z −1 z

15) f ( z ) =

cos z − 1 z +e ; sin z

1

−z

22

z + e z +1 ; sin z − 2

18) f ( z ) =

1 − 3z 5 ; 1 cos + 1 z 1

5

19) f ( z ) = 3 z + cos 20) f ( z ) =

;

cos z + 1 ⎛ 1 ⎞ + ( z − 1)cos ⎜ ⎟; sin z ⎝ z −1⎠

21) f ( z ) = sin z + 23) f ( z ) =

( z − 1)3

1 2 − ez

1 ez + 2

22) f ( z ) =

;

1 z2 + 1 ; + sin sin(iz ) ( z − π)

24) f ( z ) =

z −1

1 e −1 . 25) f ( z ) = z 2 sin + 2 z ( z − 1)2

23

e4iz − 1 sin z ; + sin z cos z − 1 ez 2

( z + 1)

3

+

z ; 1 − cos z

§ 10. Вычисление вычетов Найти вычеты относительно всех изолированных особых точек (включая z = ∞ ) функции: ⎛ z ⎞ 1) f ( z ) = sin ⎜ ⎟; ⎝ z +1⎠

2) f ( z ) =

sin 2 z ; 3) f ( z ) = z (1 − cos z )

5) f ( z ) =

4) f ( z ) =

z2 ⎛ 1 ⎞ ( z − 4) cos ⎜ ⎟ ⎝ z −2⎠

6) f ( z ) =

;

2

1

sin z 2 z ( z 3 + 1) sin πz z4 −1 sin z eiz + 1

1 ez

ez ;

;

1 + ez

;

1 eiz + 1 πz 7) f ( z ) = 2 z 4 sin + ; 8) f ( z ) = z 3 sin ; z sin z z −1 1 ez sin 2 z 1 + 2 ; 10) f ( z ) = iz + z 3 cos ; 9) f ( z ) = cos z − 1 z + 1 z e −1 1 1 11) f ( z ) = ; + cos z + 1 z − 1 cos z + 1 1 12) f ( z ) = + ( z − 2) cos ; sin z z−2 eiz − 1 2 1 13) f ( z ) = + z sin ; sin z z sin 2 z 1 14) f ( z ) = 2 + ( z − 1)3 cos ; z −1 z +1

15) f ( z ) = 17) f ( z ) =

sin 2 z eiz − 1

1

1

+ z 2e z ;

1 ez + 2 ; sin z − 2 z + 1 24

16) f ( z ) =

z + e z −1 ; sin z

18) f ( z ) =

1 ; e −1 z

1

z

−

1 z 20) f ( z ) = 2 z + ; z + 1 cos z − 1 1 sin 1 z ; 22) f ( z ) = + 1 + cos z ( z − 1) 2 sin

1

cos z − 1 z 19) f ( z ) = +e ; sin z

21) f ( z ) =

23) f ( z ) =

z2 1 + cos ; sin z z 1 z e −1

z + ; sin z ( z 2 + 1) 2

25) f ( z ) = ( z

1 2 1− z − 1) e

+

24) f ( z ) =

z . sin z

25

1 1 + z 2 sin ; sin( z + 1) z

§ 11. Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычислить интегралы: 1)

∫z =π 2

3)

∫ z =π 2

e z dz z ( z + 1)

2

sin 2 zdz z ( z − 1)2

;

2)

;

4)

z2 ∫ z =2 sin 2 z dz ; ⎛1⎞ 11) ∫ z =1 z 4 sin ⎜ ⎟ dz ; ⎝z⎠ zdz 13) ∫ z =1 ; 1 − cos z

9)

∫ z =π

;

6)

∫ z =2

8)

∫ z =1

zdz ; sin 2 z 1 ⎞ ⎛1 ⎜ − ⎟ dz ; ⎝ z sin z ⎠ z ctg 2 zdz ;

10)

∫ z =2

12)

∫ z =2

14)

∫ z =1

⎛ 1 ⎞ z 3 cos ⎜ ⎟ dz ; ⎝ z +1⎠ 1 z 4 sin dz ; z

16)

∫ z =2

z 3e z −1 dz ;

18)

∫ z −1 =1

21)

∫ z =2

1

15)

∫ z =4

dz ; sin z

17)

∫ z =2

z 4 sin

19)

∫ z =3

⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ez ⎜⎜ z sin ⎜ ⎟+ ⎝ z −1 ⎠ z ⎝

∫ z −1 =3

1 2 z −1 z e dz

2

⎛2⎞ sin ⎜ ⎟ dz ⎝z⎠ ; 5) ∫ z = 2 1+ z 1 ⎛ 1 ⎞ 7) ∫ z +1 = 2 cos ⎜ ⎟ dz ; ( z + 2) ⎝ z +1⎠

20)

dz ; z sin z

∫ z =4

1 dz ; z +1

z 3 cos

1 dz ; z −1

⎞ ⎟⎟ dz ; ⎠

ze z dz ; sin z 26

dz ; z sin 2 z

22)

∫ z =π 2

24)

∫ z =2

sin zdz 2

2

z ( z + 1) (e z − 1)dz z 2 ( z − 1)3

;

23)

;

25)

27

1

∫ z =2

z 3 sin

∫ z =π

⎛ 1 2 ⎜ z −1 z e ⎜ ⎝

( z − 1) 2

dz ;

1 z − +e 2

⎞ ⎟ dz . ⎟ ⎠

§ 12. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов Вычислить следующие интегралы: 1) 3)

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

∫

+∞ −∞

5)

∫

7)

∫−∞

9)

∫−∞

+∞

+∞

xdx ( x − 1)( x 2 + 1)2

∫−∞

13)

∫−∞

15)

∫−∞

17)

+∞ −∞

∫

19)

∫−∞

21)

∫−∞

+∞

+∞

+∞

+∞

2)

; 

4)

xdx ( x + 1)( x 2 + 4) 2 ( x + 1)dx ( x 2 + 2 x + 5)3 xdx 2

( x − 2 x + 2) ( x + 1)dx

2

2

( x + 2 x + 10) xdx +∞

11)

;

2

( x − x + 1) dx 4

2

∫

+∞ 0

∫

+∞ 0

x 2 dx ( x 4 + 1)( x 2 + 4)

( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 4)2 x 2 dx

6)

∫

;

8)

∫−∞ ( x + 1)( x 2 + 4) 2 ; ∫−∞

12)

∫−∞

14)

∫−∞

16)

∫−∞

;

18)

+∞ 0

∫

;

20)

∫−∞

; ;

2

(2 x + 1)( x + x + 1)

2

;

(2 x + 3)dx ( x 2 − 1)( x 2 + 2 x + 5)2 xdx 2

( x − x − 2)( x + 9) (3 x + 1)dx

2

+∞

10)

;

2

+∞

( x 2 + 2 x + 2)2 ( x 2 − x + 1) 2 28

;

+∞

+∞

+∞

+∞

;

x 2 dx

;

( x − 1)( x + 1) dx

2

+∞ 0

(1 + x 4 ) 2 xdx

;

;

dx

; ( x + 4)3 ( x + 1) dx 2

( x 2 + 10 x + 26)2 xdx ; 2 ( x + 8 x + 20) 2 xdx

;

( x + 1)( x 2 + 4 x + 13)2 ( x 2 + 1)dx ( x 4 + 7 x 2 + 12)2 ( x − 1)dx ( x 2 − 9)( x 2 + 2)3

; ;

;

+∞

22)

∫−∞

23)

∫−∞

24)

∫−∞

25)

+∞ 0

∫

( x + 2) dx

+∞

; ( x − 2)( x 2 + 1)3 (2 x − 1)dx

+∞

( x 2 + x − 6)( x 2 − x + 1)2 (2 x + 1)dx

;

( x 2 + x − 2)( x 2 + 4 x + 8)2 x 2 dx ( x 2 − 4)( x 4 + 2 x 2 + 5)2

.

29

;

§ 13. Вычисление несобственных интегралов вида +∞ +∞ ∫−∞ R( x) cos λxdx и ∫−∞ R( x)sin λxdx Вычислить следующие интегралы: cos xdx sin 2 xdx +∞ +∞ ; 2) ∫−∞ ; 1) ∫−∞ 2 (1 + x)( x + 4) ( x + 4)( x 2 + 9) x sin xdx +∞ +∞ sin 2 xdx 3) ∫0 ; 4) ∫0 ; 2 2 ( x − 4)( x + 9) x( x 2 + 1) 2 sin 3 xdx x cos 2 xdx +∞ +∞ 5) ∫−∞ ; 6) ∫−∞ ; 2 2 ( x − 1)( x + 4) ( x + 2)( x 2 + 16) x sin 2 xdx cos xdx +∞ +∞ 7) ∫0 ; 8) ; ∫ −∞ ( x 2 − 1)( x 2 + 4) ( x + 1)( x 2 + 1)2 cos 2 xdx cos 4 xdx +∞ +∞ 9) ∫0 ; 10) ∫−∞ ; 2 2 ( x − 1)( x + 9) ( x − 1)( x 2 + 9) x sin 2 xdx +∞ +∞ ( x + 1)sin 2 xdx 11) ∫0 ; 12) ∫−∞ ; 2 2 ( x − 4)( x + 9) x( x 2 + 4)( x 2 + 9) +∞

13)

∫0

15)

∫0

17)

∫0

19)

∫0

21)

∫0

+∞

+∞

+∞

+∞

x 2 cos 2 xdx 2

2

( x − 1)( x + 4) sin 3xdx 2

2

;

x( x + 1)( x + 9) cos 2 x dx ; x4 + 1 cos xdx ; ( x 2 + 4)3 x sin xdx ; ( x 2 + 1)3

;

30

+∞

14)

∫−∞

16)

∫−∞

18)

∫−∞

20)

∫−∞

22)

∫−∞

+∞

+∞

+∞

+∞

cos 2 xdx (1 + x)( x 2 + 1)( x 2 − 4) cos3xdx ; ( x − 4)( x 2 + 4) ( x + 1)sin 2 xdx ; ( x 2 + 2 x + 2)2 cos 3xdx ; ( x 2 − x + 1) 2 x cos xdx ; 2 ( x − 2 x + 10) 2

;

23) 25)

+∞ 0

∫

+∞ 0

∫

x sin 2 xdx ( x 2 + 9) 2

;

x 2 cos 3xdx ( x 2 + 9) 2

24) .

31

+∞ 0

∫

x3 sin 3xdx ( x 4 + 16)2

;

§ 14. Вычисление интегралов, содержащих ln x и xα , где 0 < α < 1 Вычислить следующие интегралы: ln xdx ln x +∞ +∞ ; 2) ∫0 dx ; 1) ∫0 2 2 x + 2x + 2 x + 16 +∞ 0

4)

∫

7)

∫0

dx 2 x 3 ( x + 2)

;

ln xdx

+∞

2

x + 4x + 5 ln 2 x

+∞

10)

∫0

13)

∫0

16)

∫0

19)

∫0

22)

∫0

2

x + 16

+∞

2

x + 4x + 8 dx ; 3 x ( x + 3) dx 4

+∞

+∞ 0

24)

∫

25)

∫0

+∞

4

x ( x + 1) ln xdx

2

x ( x + 4)

;

∫

8)

∫0

ln xdx ln xdx

+∞

∫0

17)

∫0

; 20)

∫0

23)

∫0

( x 2 + 4 x + 13)2

6)

( x + 1)( x + 1)

; 14)

( x + 2)( x 2 + 4) ln xdx

;

2

∫0

ln 2 xdx

x ( x + 1)

+∞

11)

dx ;

ln xdx

+∞

+∞

;

ln xdx

+∞ 0

5)

3)

+∞

+∞

2

( x + 9) ln 2 xdx 2

x + 25 ln xdx 3

+∞

2

;

x ( x + 2) ln xdx

4

x ( x + 3) dx

4

x ( x + 5)

+∞

;

; .

32

;

2

;

;

; 9)

dx

+∞

∫0

x ( x + 1)2 ln 2 x

+∞ 0

∫

x2 + 9

dx ;

x ln xdx

+∞

∫0

( x 2 + 1) 2

∫0

15)

∫0

18)

∫0

21)

∫0

;

ln xdx

+∞

12)

x ( x + 2) 2

+∞

ln xdx

+∞

( x 2 + 4)2 dx

+∞

;

;

x ( x + 2) 2 x ln xdx ; ( x 2 + 4)2

3

;

;

§ 15. Изображения функций Найти изображения следующих функций: 1) f (t ) = (t − 1)3 et +1 ;

2) f (t ) = t 3 ch 3t ;

3) f (t ) = e2t cos ωt ; 1 − cos t ; 5) f (t ) = t 7) f (t ) = t 2 sin αt ;

4) f (t ) = cos 2(t − 1) ; sin(αt ) 6) f (t ) = ; t 8) f (t ) = cos αt ch βt ;

e2t sin 3t ; t 11) f (t ) = te2t cos3t ;

10) f (t ) = t cos(2t − 1) ;

9) f (t ) =

12) f (t ) = t sh 2t ch t ;

e−t sin 2 2t ; t sin t sin 3t 15) f (t ) = ; t

et − e3t ; t t sin τ 16) f (t ) = ∫0 dτ ; τ

13) f (t ) =

14) f (t ) =

t

17) f (t ) = ∫0 ch 2τd τ ;

18) f (t ) = cos 2t cos3t ;

19) f (t ) = tet sin 2t ;

20) f (t ) = ∫0 eτ cos 2τd τ ;

21) f (t ) = t 2 e −t cos 2t ;

22) f (t ) = t ch(2t − 1) ;

23) f (t ) = t sh 3t cos 2t ;

24) f (t ) = te2t cos3(t − 1) ;

t

25) f (t ) = e −2t cos 2 (t + 1) .

33

§ 16. Нахождение оригинала по заданному изображению Восстановить оригинал по заданному изображению: p +1 p−2 1) F ( p ) = 2 ; 2) F ( p ) = ; 2 ( p + 4 p + 5) p ( p + 1)( p + 2)( p 2 + 4) p +1 p −1 3) F ( p ) = 2 ; 4) F ( p ) = 2 2 ; 2 ( p + 1) p ( p + 1) 5) F ( p ) = 7) F ( p ) =

p

6) F ( p ) =

;

; p3 + 3 p 2 + 3 p + 1 p 8) F ( p ) = 2 ; ( p + 4)( p 2 + 9) p 10) F ( p ) = ; 2 ( p + 1) ( p 2 + p + 1)

( p 3 − 1) 2 2 p +1

; p3 + 4 p 2 + 5 p p−2 9) F ( p ) = 2 ; p ( p + 1)3 p 11) F ( p ) = 2 ; ( p + 4 p + 8)2 12) F ( p ) =

p2 + 1

p2 + p + 1

; ( p 2 + 2 p + 2)( p 2 − 4 p + 5) p+2 p−2 13) F ( p ) = 2 2 ; 14) F ( p ) = 3 ; 2 p ( p + 4) ( p + 1) p 2 2 p +1 15) F ( p ) = 3 ; ( p − 1)( p 2 + p + 1) p+3 16) F ( p ) = ; ( p − 1)( p + 2)( p 2 + 4) 17) F ( p ) =

p2 − 2 p − 1 p3 − 2 p 2 + 2 p − 1

;

34

18) F ( p ) = 19) F ( p ) =

p2 − 2 p + 2 ( p 2 + 2 p + 5)( p 2 − 9)

;

p2 + 2 p − 2

; p3 + 2 p 2 + 2 p + 1 2p +3 20) F ( p ) = 2 ; ( p + 1)2 ( p 2 + 4) 22) F ( p ) =

24) F ( p ) = 25) F ( p ) =

p −1 p4 + p2 + 1

21) F ( p ) = 23) F ( p ) =

;

p2 − 2 p + 5 p ( p − 1)( p 2 + 9)

;

p2 − 2 p ( p 2 + 2 p + 10)( p 2 − 9)

35

.

p+2 3

p + 4 p2 + 5 p

;

p2 + 2 ( p 2 + 4)2 ( p 2 − 1)

;

§ 17. Решение операционным методом дифференциальных уравнений Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений: 1) y′′ − 4 y ′ + 4 y = xe 2 x , y (0) = y ′(0) = 1 ; 2) y′′ + 4 y′ = x sin 2 x , y (0) = 1 , y ′(0) = −1 ; 3) y′′ + 2 y ′ + y = xe − x , y (0) = 2 , y′(0) = 1 ; 4) y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 2e −3 x , y (0) = 1 , y′(0) = 2 ; 5) y ′′ + 2 y ′ + 2 y = e − x cos x , y (0) = −1 , y′(0) = 1 ; 6) y ′′ − 9 y = xe3 x , y (0) = 1 , y′(0) = 2 ; 7) y′′ − 4 y ′ + 8 y = e2 x cos 2 x , y (0) = y′(0) = 2 ; 8) y′′ − 2 y ′ + y = xe x , y (0) = 0 , y′(0) = 1 ; 9) y ′′ − 4 y ′ + 3 y = 2 xe x + e3 x , y (0) = 1 , y′(0) = 0 ; 10) y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = 2e x , y (0) = 1 , y′(0) = y ′′(0) = 0 ; 11) y′′ − 2 y ′ + y = 4 xe x , y (0) = 0 , y′(0) = 1 ; 12) y ′′ − 2 y ′ + 2 y = xe x cos x , y (0) = 1 , y′(0) = 1 ; 13) y′′′ + 2 y ′′ − y ′ − 2 y = xe −2 x + chx , y (0) = y′(0) = 0 , y ′′(0) = 1 ; 14) y′′ − 10 y′ + 25 y = xe5 x , y (0) = 1 , y′(0) = 0 ; 15) y′′ − 8 y ′ + 16 y = xe 4 x , y (0) = 0 , y′(0) = 1 ; 16) y′′ + 25 y = x sin 5 x , y (0) = y ′(0) = 1 ; 17) y′′ − 4 y ′ + 8 y = e2 x cos 2 x , y (0) = 0 , y′(0) = 2 ; 18) y IV + 4 y ′′ + 4 y = x cos 2 x , y (0) = y′(0) = 0 , y ′′(0) = y ′′′(0) = 1 ; 19) y ′′ − 9 y = xe3 x , y (0) = 0 , y′(0) = 1 ; 20) y′′ + 8 y ′ + 16 y = 2 xe −4 x , y (0) = y ′(0) = 1 ; 36

21) y′′ + 16 y = x sin 4 x , y (0) = 1 , y′(0) = 0 ; 22) y′′ + 4 y′ + 8 y = e−2 x sin 2 x , y (0) = 0 , y′(0) = 1 ; 23) y IV + 2 y ′′′ + y ′′ = 2 xe− x , y (0) = y′(0) = 0 , y ′′(0) = y ′′′(0) = 1 ; 24) y IV + 2 y ′′ + y = x sin x , y (0) = y ′(0) = 1 , y′′(0) = y′′′(0) = 0 ; 25) y′′′ + 6 y ′′ + 9 y′ = xe −3 x , y (0) = y′(0) = 2 , y′′(0) = 0 .

37

§ 18. Решение операционным методом систем линейных дифференциальных уравнений Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений: ⎧ x′ + 2 x + 4 y = 1 + 4t ; ⎪ x(0) = 2 , y (0) = 3 ; 1) ⎨ 3 2 ⎪⎩ y′ + x − y = 2 t , ⎧⎪ x′ + 2 x − y = −e−2t ; x(0) = −2 , y (0) = 3 ; 2) ⎨ 2t ⎪⎩ y′ + 3x − 2 y = 6e , ⎧⎪ x′ − x − 2 y = t 2 ; x(0) = 2 , y (0) = 4 ; 3) ⎨ t ⎪⎩ y′ − 2 x − y = e , ⎧3 x′ + 2 x + y′ = t ; 4) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; ⎩ x′ + 2 y ′ + 3 y = 1, ⎧⎪ x′ = 3 y − 2 x; x(0) = y (0) = 1 ; 5) ⎨ t ⎪⎩ y′ = x + y + e , ⎧⎪ x′ + 2 y ′ − y = et ; 6) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; ⎪⎩ x′ + y ′ + 2 y = sin t , ⎧⎪ x′ + x − 3 y = 1; 7) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; 2t ⎪⎩ y′ − x − y = e , ⎪⎧3 x′ + 2 x + y′ = e2t ; x(0) = y (0) = 1 ; 8) ⎨ ⎪⎩ x′ + 4 y ′ + 3 y = 1, 38

⎧ x′ − x − 2 y = sin t ; 9) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; ⎩2 y′ − 2 x + y = t , ⎧ x′ = y + t; 10) ⎨ x(0) = y (0) = 1 ; ⎩ y′ = 2 x + 2 y + sin t , ⎧ x′ − y ′ − 2 x + y = 2t; x(0) = 1 , y (0) = 0 ; 11) ⎨ ⎩ x′ + 2 y ′ + x = cos t , ⎧⎪ x′ + x − 8 y = t 2 ; 12) ⎨ x(0) = y (0) = 1 ; t ⎪⎩ y′ − x − y = 2e , ⎧⎪ x′ − 2 x − y = 1 + t ; 13) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; 2 ⎪⎩ y′ + x − 4 y = t , ⎧⎪ x′ − x − y = et ; 14) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = −1 ; 2 ⎪⎩ y′ + 2 x − 4 y = t + 1, ⎧⎪ x′ + 3 x − 2 y = et ; x(0) = y (0) = 1 ; 15) ⎨ 2 ⎪⎩ y′ + 2 x − y = 2t , ⎧⎪ x′ − 3 x + y = 1 − t; 16) ⎨ x(0) = −1 , y (0) = 1 ; 2t ⎪⎩ y′ + y − 4 x = e , ⎧⎪ x′ − 5 x − 3 y = 2et ; x(0) = y (0) = 1 ; 17) ⎨ 2 ⎪⎩ y′ + 3 x + y = t , ⎧⎪ x′ + x + 5 y = sin t; 18) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; 2t ⎪⎩ y′ − x − y = e , ⎧⎪ x′ − x + y = tet ; x(0) = y (0) = 1 ; 19) ⎨ 2 ⎪⎩ y′ + x − y = 1 + t , 39

⎪⎧ x′ − x − 5 y = e2t ; 20) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = 2 ; ⎪⎩ y′ − x + 3 y = cos t , ⎧⎪ x′ − 4 x + 5 y = e2t cos t; 21) ⎨ x(0) = 2 , y (0) = 1 ; 2 ⎪⎩ y′ − x = t + 1, ⎧ x′ − x − y = t cos t ; 22) ⎨ x(0) = 1 , y (0) = −1 ; ⎩ y′ + 2 x + y = sin t , ⎧⎪ x′ + 4 x + 2 y = te −t ; 23) ⎨ x(0) = y (0) = 1 ; −t ⎪⎩ y′ − 6 x − 3 y = e sin t , ⎧⎪ x′ + 2 x + 4 y = te2t ; x(0) = 1 , y (0) = 2 ; 24) ⎨ −3t ⎪⎩ y′ + x − y = e , ⎧⎪ x′ − 2 x − y = te3t ; x(0) = −2 , y (0) = 1 . 25) ⎨ 3t ⎪⎩ y′ + x − 4 y = 2e ,

40