Относительно гиперимунные отношения на структурах

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 170—183

УДК 510.53

ОТНОСИТЕЛЬНО ГИПЕРИМУННЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА СТРУКТУРАХ∗) С. C. ГОНЧАРОВ, Ч. Ф. Д. МАК-КОЙ, Дж. Ф. НАЙТ, В. С. ХАРИЗАНОВА § 1. Предварительные сведения В работе рассматриваются счетные структуры вычислимых предикатных языков, исследуются относительно гипериммунные и относительно гиперпростые отношения на этих структурах. Отношение R на носителе A счетной структуры A называется дополнительным, если символ для данного отношения не входит в язык L структуры A. Можно отождествить носитель структуры A с подмножеством ω, и представлять его как множество констант. Через LA обозначается расширение языка L константными символами a для всех a ∈ A, а через AA — соответствующая обогащенная структура. Атомной диаграммой D(A) структуры A называется множество всех атомных и отрицаний атомных предложений в языке LA , истинных в AA . Говорят, что структура вычислима, если вычислима ее атомная диаграмма. Нас интересуют синтаксические условия существования изоморфной копии структуры A, в которой образ R является относительно гиперпростым, а также синтаксические условия существования копии A, в которой ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Национального научного фонда,

двухнациональный проект N DMS-0075899, первый автор был также поддержан Российским фондом фундаментальных исследований, проект N 02-01-00593, и Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2112.2003.1.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Относительно гипериммунные отношения на структурах

171

образ ¬R является относительно гипериммунным. Бесконечное множество натуральных чисел является гипериммунным тогда и только тогда, когда никакая вычислимая функция не мажорирует его главную функцию (см. [1]). Множество называется гиперпростым, если оно вычислимо перечислимо (в.п.), и его дополнение гипериммунно. Совокупность всех гиперпростых множеств является собственным подмножеством множества всех простых множеств, т. е. в.п. множеств, дополнение которых бесконечно и не содержит бесконечных в.п. подмножеств. В [2] показано, что дефицитное множество вычислимого 1-1-перечисления для невычислимого в.п. множества является гиперпростым. Следовательно, любая ненулевая в.п. тьюрингова степень содержит гиперпростое множество. Любой иммунный начальный сегмент вычислимого линейного порядка является гипериммунным [3]. В [4] изучались ко-в.п. интервалы в вычислимом линейном порядке с гипериммунными (эквивалентно, иммунными) образами в некоторой изоморфной копии данного линейного порядка. В [5] для вычислимой булевой алгебры A, атомы которой образуют бесконечное вычислимое множество, установлено, что для любой ненулевой в.п. тьюринговой степени существует изоморфная копия B алгебры A такая, что множество всех атомов этой копии является гипериммунным множеством, содержащимся в данной степени. В [6] изучались иммунность и простота отношений на вычислимых структурах, а также относительные иммунность и простота отношений на счетных структурах; были получены различные синтаксические условия, эквивалентные соответствующим семантическим условиям. В [7] были введены понятия формальной гипериммунности и формальной гиперпростоты для отношений на вычислимых структурах. Эти понятия являются синтаксическими аналогами гипериммунности и гиперпростоты. Там же были получены первые результаты о существовании для таких отношений. В [8] были предложены общие достаточные условия для существования гиперпростого отношения на вычислимой структуре, содержащегося в произвольной ненулевой в.п. тьюринговой степени. В настоящей работе рассматриваются относительные версии гипер-

172

С. C. Гончаров, Ч. Ф. Д. Мак-Кой, Дж. Ф. Найт, В. С. Харизанова

иммунности и гиперпростоты отношений на счетных структурах. Результаты, устанавливающие эквивалентность синтаксического и соответствующего семантического условий в вычислимых структурах, обычно требуют дополнительных предположений о разрешимости, аналогичные результаты для относительных версий алгоритмических свойств не содержат подобных предположений. Примеры таких относительных результатов представлены в [6, 9—12]. Всюду далее через A обозначается бесконечная вычислимая структура языка L, через R — дополнительное бесконечное и кобесконечное отношение на A. Без ограничения общности будем считать, что R является одноместным. Как обычно, и R, и ¬R будут обозначать дополнение множества R. Пусть ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . — фиксированное эффективное перечисление всех одноместных частичных вычислимых функций, X ⊆ ω. Тогда X X ϕX 0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . — фиксированное эффективное перечисление всех одно-

местных X-частичных вычислимых функций. Для структуры B под ϕB e D(B)

будем подразумевать функцию ϕe

. Следующая (каноническая) нумераdef

ция конечных множеств является стандартной. Пусть D0 = ∅. Для m > 0 полагаем Dm = {d0 , . . . , dk−1 }, где d0 < . . . < dk−1 и m = 2d0 + . . . + 2dk−1 . Следующее определение тоже стандартное (см. [1]). Последовательность (Ui )i∈ω конечных множеств называется сильной таблицей, если существует одноместная вычислимая функция f такая, что для любого i ∈ ω выполняется Ui = Df (i) . Сильная таблица называется таблицей без пересечений, если ее элементы попарно не пересекаются. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть S ⊆ ω. (i) Отношение ¬S называется гипериммунным (на ω), если оно бесконечно, и не существует такой сильной таблицы без пересечений (Ui )i∈ω , что для любого i ∈ ω выполняется Ui ∩ S 6= ∅. (ii) Отношение S называется гиперпростым (на ω), если S в.п., а ¬S является гипериммунным. Аналогичным образом можно определить гипериммунность и гиперпростоту отношений на произвольном вычислимом множестве. Введем относительные версии гипериммунности и гиперпростоты.

Относительно гипериммунные отношения на структурах

173

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть S — дополнительное (одноместное) отношение на носителе B счетной структуры B. (i) Последовательность (Ui )i∈ω конечных множеств назовем сильной таблицей относительно B, если существует одноместная B-вычислимая функция f такая, что для любого i ∈ ω выполняется Ui = Df (i) . (ii) Отношение ¬S назовем гипериммунным относительно B, если оно бесконечно и нет сильной относительно B таблицы без пересечений (Ui )i∈ω такой, что для любого i ∈ ω выполняется Ui ∩ S 6= ∅. (iii) Отношение S называется гиперпростым относительно B, если S в.п. относительно B, а ¬S является гипериммунным относительно B. В работе рассматриваются следующие проблемы. ПРОБЛЕМА 1. При каких синтаксических условиях существует изоморфизм F из A на копию B такой, что ¬F (R) является гипериммунным относительно B? ПРОБЛЕМА 2. При каких синтаксических условиях существует изоморфизм F из A на копию B такой, что F (R) является гиперпростым относительно B? Через ~a обозначается конечная последовательность (кортеж) элементов; часто будем писать a ∈ ~a вместо a ∈ ran(~a) и ~a ∩ G = ∅ вместо ran(~a) ∩ G = ∅. § 2. Относительно гипериммунные отношения В [7] введено синтаксическое свойство, соответствующее семантическому свойству гипериммунности, будем называть его формальной гипериммунностью. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [7]. (i) Формальной сильной таблицей на A называется такая вычислимая последовательность (ψi (~c, ~xi ))i∈ω экзистенцальных формул в языке L с конечным числом параметров ~c, что для любого конечного множества G ⊆ A существуют i ∈ ω и последовательность → −

~ai ∈ Alh(xi ) , для которых выполняется [AA |= ψi (~c, ~ai )] ∧ [~ai ∩ G = ∅].

174

С. C. Гончаров, Ч. Ф. Д. Мак-Кой, Дж. Ф. Найт, В. С. Харизанова (ii) Отношение ¬R называется формально гипериммунным на A, ес-

ли нет формальной сильной таблицы (ψi (~c, ~xi ))i∈ω на A такой, что для любого i ∈ ω выполняется 

 ∀~ai ∈ Alh(~xi ) [(AA |= ψi (~c, ~ai )) ⇒ (~ai ∩ R 6= ∅)].

Оказывается, что формальная гипериммунность на A является необходимым условием существования вычислимой копии A такой, что соответствующий образ является гипериммунным (см. [7]). Допустим, что B — вычислимая копия A, и F — изоморфизм из A на B. Нетрудно показать: если (ψi (~c, ~xi ))i∈ω — формальная сильная таблица на A, то (ψi (F (~c), ~xi ))i∈ω — формальная сильная таблица на B (см. [8]). ТЕОРЕМА 2.1 [7]. (i) Если F (¬R) является гипериммунным на B, то ¬R будет формально гипериммунным на A. (ii) Предположим, что существует алгоритм, который по заданной последовательности ~c ∈ A