Дифракция электромагнитного поля миллиметрового диапазона на плоских объектах: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

И .Ф . Струков

Д и ф ракци яэлектромагни тного поля ми лли метрового ди апазонанаплоски х объектах У ч ебное пособи е Ч асть 2 специ альность 010801 – Ради оф и зи каи электрони ка

В О РО Н Е Ж 2004

У тверж дено науч но-методи ч ески м Советом ф и зи ч еского ф акультета 21. 04. 2004 г., протокол№ 4

А втор СтруковИ .Ф .

У ч ебноепособи еподготовлено накаф едреради оф и зи ки ф и зи ч еского ф акультетаВ оронеж ского государственного уни верси тета.

Рекомендовано длястудентов4-5 курсад/о, 6 курсав/о и маги стров специ альности 010801 – Ради оф и зи каи электрони капри и зуч ени и ради оф и зи ч ески х курсов: « Распространени еради оволн» « И злуч ени е, распространени еи рассеяни еради оволн» « И злуч аю щ и е устрой стваи основы ради оопти ки »

В ведени е Н астоящ ее уч ебное пособи е служ и тметоди ч ески м обосновани ем при вы полнени и лабораторной работы « Д и ф ракци я электромагни тного поля ми лли метрового ди апазонанаплоски х объектах ». И зуч ени е теорети ч еской ч асти работы помож етстудентам закрепи ть знани япо следую щ и м вопросам: - основам скалярной т еори и ди ф ракци и К и рх гоф а, грани ч ны м услови ям; - определени яполяди ф ракци и отплоски х объект овпрои звольной ф ормы наразли ч ны х расст ояни ях ; - основны м свой ствам среды распрост ранени я ди ф ракци онного поля и мпульсной х аракт ери ст и ке и коэф ф и ци ент у передач и в разли ч ны х при бли ж ени ях ; - прост ранст венному и угловому спект ру ди ф ракци онного поля и его зави си мост и отф ормы и размеровобъект а, ви дакомплексной ампли туды поля по и злуч аю щ емураскры ву. И спользовани е общ и х соот нош ени й помож ет проводи т ь расч ёт ди ф ракци онного поля в при бли ж ени ях геомет ри ч еской оптики , Ф ренеля и Ф раунгоф ера отпрямоугольны х и круглы х апертур, облуч аемы х плоской волной . П оказы вает ся, ч т о ди ф ракци онное поле в эт ом случ ае аналоги ч но полю и злуч ени яант енн апертурного т и пас пост оянной ампли тудой ф ункци и возбуж дени я по раскры ву. В пособи и при води т ся подробная мет оди ка анали за прост ранст венного спект ра и определени я его парамет ров: ви да ди аграмм направленност и , ори ент аци и и ш и ри ны основного лепест ка, разреш аю щ ей способност и и злуч аю щ и х си ст ем, а т акж е други х х аракт ери ст и к, ч асто и спользуемы х напракт и ке. П ри ведено опи сани е экспери ментальной установки , конкрет и зи ровано домаш неезадани е, данамет оди каэкспери мент альны х и сследовани й и анали за получ енны х результ ат ов. П ри вы полнени и лаборат орной работ ы т ребует сяпроведени е т рудоёмки х и дли т ельны х вы ч и слени й . Д ля авт омат и заци и расч ет ов студент ам рекомендует ся и спользоват ь Э В М . С эт ой целью в пособи и при ведены программы вы ч и слени я основны х мат емат и ч ески х соот нош ени й на язы ке 1 Packal и всредемат емат и ч еского модели ровани яMathCad . К роме т ого, в работ е предусмот рена возмож ност ь подач и и змеряемы х прост ранст венны х элект ри ч ески х си гналовпосле ни зкоч аст от ной ф и льт раци и ч ерез А Ц П L-783 на вх од персонального компью т ера. Д ополни т ельная и ли основнаяобработ каэт и х си гналовпрои зводи т сяс помощ ью Э В М Pentium 4 с вы водом и нф ормаци и на ди сплей и ли печ ат ь. Э т о сущ ественно расш и ряет возмож ност и проводи мы х в лаборат орной работ е и ли на прои зводственной практ и кеи сследовани й . О бработка пространст венной ампли тудно-ф азовой и нф ормаци и элект ромагни т ны х полей М М ди апазона в « квази реальном» времени ст ала возмож ной врезультат е уч аст и якаф едры ради оф и зи ки вработ епо программе Н О Ц. 1

А вторпри знателен маги стру каф едры ради оф и зи ки К атову М .В . за помощ ь вподготовкепри лож ени й к работе.

Л А БО Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 3 Д И Ф РА К Ц И Я Э Л Е К Т РО М А ГН И Т Н О ГО П О Л Я СВ Ч Д И А П А ЗО Н А Н А П Л О СК И Х О БЪ Е К Т А Х Ц ель работ ы : И сследовани е поля ди ф ракци и в разли ч ны х зонах прост ей ш и х объект ов и возмож ност и ф орми ровани я прост ранст венного спект равх одного си гналаслоем прост ранства. 3.1. О сновны есоот нош ени яи определени я Я влени е ди ф ракци и Зоммерф ельд определи л как « лю бое от клонени е свет овы х луч ей отпрямой ли ни и , кот орое нельзя объясни т ь от раж ени ем и ли преломлени ем». Д алееэт о определени ераспрост рани лось налю бы еволновы е процессы . Ф и зи ч ескую основу ди ф ракци и впервы е предлож и ли Гю й генс и Ф ренель. Гю й генс вы дви нул и нтуи т и вное утверж дени е, ф ормули руемое следую щ и м образом: если каж дую точ ку волнового ф ронт а светового возмущ ени я рассматри ват ь как новы й и ст оч ни к « вт ори ч ного» сф ери ч еского возмущ ени я, т о в лю бой последую щ и й моментвремени волновой ф ронт мож но най т и как оги баю щ ую вт ори ч ны х слабы х волн. И деи Гю й генсабы ли сущ ест венно разви т ы Ф ренелем, кот оры й дополни л и дею пост роени я оги баю щ ей при нци пом и нт ерф еренци и вт ори ч ны х волн друг с другом. Э т о позволи ло ему даж е при прои звольном допущ ени и от носи т ельно эф ф ект и вны х ампли туд и ф аз вт ори ч ны х и ст оч ни ков рассч и т ать распределени е свет а в ди ф ракци онны х карт и нах с вы сокой т оч ност ью . М атемат и ч еское обосновани е ди ф ракци онны х явлени и дали К и рх гоф , Релей , Зоммерф ельд и др. П одробно вопросы ди ф ракци и электромагни тного поля рассмотрены в [1,5]. Скалярнаят еори яди ф ракци и основананаи спользовани и т еоремы Гри на: пуст ь U и G - две прои звольны е комплексны е ф ункци и коорди нат, a S замкнутая поверх ност ь, ограни ч и ваю щ ая объём V. Е сли U и G, и х первы е и вт оры еч аст ны епрои зводны еоднознач ны и непреры вны внутри V и наS, т о

∫∫∫ (G∇U − U ∇G)dV = ∫∫ (G(∂U / ∂n) − U (∂G / ∂n))dS , V

(3.1)

S

где д /д п - ч аст ная прои зводная в каж дой т оч ке S по направлени ю внеш ней нормали n к этой поверх ности ; G - ф ункци яГри на. П ри определенном вы боре ф ункци и Гри наG уравнени е (3.1) мож етбы т ь и спользовано дляреш ени яди ф ракци онны х задач : пуст ь U и G удовлет воряю т волновы м уравнени ям ∇ 2U , G − εµ (∂ 2U , G / ∂t 2 ) = 0 , кот оры е для монох ромат и ч ески х процессов, зави сящ и х отвремени по закону exp(-j ωt ), при ни маю тви д

∇ 2U , G + k 2U , G = 0 ,

(3.2)

где k = ω / V = ω / 1/ εµ = 2π / λ - волновое ч и сло; λ - дли на волны ; V ф азовая скорость; ε , µ - ди элект ри ч еская и магни т ная пост оянны е среды , равны едлявоздух аи вакуума: µ = 4π ⋅ 10−7 Г/м

ε = [1/(4π ⋅ 9)] ⋅ 10 −9 Ф /м,

Н еобх оди мо определи ть знач ени е ф ункци и U в т оч ке P0 (ри с.3.1). В ы берем ф ункци ю Гри навви десф ери ч еской волны , и сх одящ ей и зт оч ки P0, G=(l/Ro)exp(jkRo). Т ак как при R0 → 0, G → ∞ ,т о и склю ч и м точ ку P0 и з объёмаV, аповерх ност ь S предст ави м вви деS=So+S1. В эт ом случ аевы раж ени е(3.1) с уч ет ом (3.2) мож но запи сат ь

∫∫∫ [G∇ U − U ∇ G]dV =∫∫∫ [G(k U ) − (k 2

V

2

2

V

2

G )U ]dV = ∫∫ ...dS + ∫∫ ...dS S1

S0

и ли

∫∫ [G(∂U / ∂n) − U (∂G / ∂n)]dS = −∫∫ [G (∂U / ∂n) − U (∂G / ∂n)]dS S1

(3.3)

S0

П оследни й и нт еграл мож но определи т ь, полагая, ч т о So- эт о сф ера ради усаR0. К ак ви дно и зри с. 3.1, R0 и n во всех т оч ках сф еры направлены в ∂ ∂ ∂R ∂R разны е ст ороны . П редстави м д /д п в ви де = , где = cos (R,n) ∂n ∂n ∂R ∂n угламеж ду направлени ями R и n (ри с.3.2). П ри мени т ельно поверх ност и So R cos(R0,n)=–1. И спользуем последни е d соот нош ени я для определени я и нт еграла по θ n So. В эт ом случ ае dn

Ри с 3.2.

∂G ∂  exp( jkR0 )  2 =   cos( R0 , n) = ((1 − jkR0 ) / R0 ) ⋅ exp( jkR0 ) ∂n ∂R0  R0  П ри Ro → 0 в си лу непреры вност и ф ункци и U и еёпрои зводны х мож но запи сат ь: ( R0 → 0 ∫∫ lim

S0

⋅[

exp( jkR0 ) ∂U exp( jkR0 ) − U (1 − jkR0 ) / R0 ]dS = lim ( )[ )⋅ R0 → 0 ∂n R0 R0

exp( jkR0 ) ∂U ∂U − U (1 − jkR0 ) / R0 ] ⋅ ∫∫ dS = lim ( )[ − U (1 − jkR0 ) / R0 ] ⋅ 4π R02 = R 0 → ∂n ∂n R0 0 S 0

= −4π U ( P0 ) П одст авляязнач ени еи нт егралапо So в(3.3), получ и м U ( P0 ) =

1 4π

∂U

∂G

∫∫ [G( ∂n ) − U ( ∂n )]dS

(3.4)

S1

Эт о соот нош ени е, кот орое носи т названи е и нт егральной т еоремы Гельмгольца-К и рх гоф а, и граетваж ную роль в скалярной т еори и ди ф ракци и , т ак как позволяетвы рази т ь поле в лю бой т оч ке P0 ч ерезграни ч ны е знач ени я волны U и ф ункци и Гри наG налю бой замкнут ой поверх ност и. Н аи больш и й практ и ч ески й и нт ерес предст авляетслуч ай ди ф ракци и поля на плоски х экранах . Задач а ди ф ракци и сф ери ч еской волны U на плоском экране рассмат ри валась К и рх гоф ом, при ч ем дляупрощ ени яреш ени яи м бы ли введены при бли ж енны е грани ч ны е услови я. В пост ановке К и рх гоф а задач а ф ормули ровалась следую щ и м образом: наот верст и е Σ внепрозрач ном экране Э (ри с.3.3) слевападаласф ери ч еская волна U(x,y,z). Н еобх оди мо най т и поле заэкраном вт оч кеP0 . y1 Э

Σ Р0

Р rθ n ur R

r n

S2

R x1

π S2

Ри с. 3.3.

z

θ

ur( R S3

r n

К ак и ранее, окруж и м точ ку P0 замкнутой поверх ностью S2 + Σ + S3 , где: S2 -ч аст ь плоскости , при мы каю щ ая к экрану; Σ - площ адь отверсти я в экране; S3 -полусф ера бесконеч но больш ого ради уса, опи раю щ аяся на экран. В этом случ ае (3.4) мож но запи сать вследую щ ем ви де U ( P0 ) =

1 4π

∂U

∂G

1

1

∫∫ [G( ∂n ) − U ( ∂n )]dS = 4π ∫∫ [...]dS + 4π ∫∫ [...]dS S2 +Σ

S1

Т ак как G = то cos(R,n)=1 и

S3

1 exp( jkR) , a R наполусф ере S3 совпадаетс нормалью n, R

∂ ∂ ∂R ∂ ∂ = = cos(R,n)= . ∂n ∂R ∂n ∂R ∂R ∂G ∂G jkR − 1 = = ⋅ exp( jkR) = jkG при R→ ∞ . ∂n ∂R R2 C уч етом последнего при бли ж ени яи нтеграл по S3 мож но представи ть вви де В этом случ ае

∂U

∂U

∫∫ (G ∂n − jkGU )dS = ∫ ( ∂n − jkU )(GR) Rd Ω ,

(3.5)

Ω

S3

где Ω - телесны й угол с верш и ной вточ ке Р0, dS=R2dΩ В (3.5) вели ч и на RG равномерно ограни ч ена на S3. П оэтому полны й и нтегралпо S3 будетстреми тьсяк нулю при услови и , ч то lim R (

R →∞

∂U − jkU ) = 0 ∂n

(3.6)

во всем телесном угле Ω . Т ребовани е (3.6) назы вается услови ем Зоммерф ельда для и злуч ени я и удовлетворяется, если возмущ ени е U стреми тся к нулю со скоростью , не меньш ей той , с которой расх оди тся сф ери ч еская волна. Т ак как возмущ ени е, падаю щ ее наотверсти е Σ , всегда представляет собой сф ери ч ескую волну и ли ли ней ную комби наци ю сф ери ч ески х волн, то (3.6) вы полняется практи ч ески всегда и , следовательно, и нтеграл по S3 не будетдавать вкладавобщ и й и нт егралпри определени и U(Po). Т аки м образом, при S3→ ∞ вы раж ени е (3.4) при ни мает ви д: U ( P0 ) =

1 4π

∂U

∂G

∂U

1

∂G

∫∫ [G( ∂n ) − U ( ∂n )]dS + 4π ∫∫ [G ( ∂n ) − U ( ∂n )]dS S2

Σ

(3.7)

Д ля упрощ ени я вы ч и слени я (3.7) К и рх гоф ввел при бли ж енны е грани ч ны е услови я, которы е вы полняю тсятем луч ш е, ч ем больш е размеры отверсти я Σ всравнени и с λ . Э т и услови яследую щ и е: ∂U 1. Н а отверсти и Σ распределени е падаю щ его поля U и и мею т ∂n точ но таки еж езнач ени я, каки еони и мели бы вотсутстви и экрана. 2. Н а той ч асти поверх ности S2, которая леж и т в области ∂U геометри ч еской тени экрана, распределени е поляU и его прои зводная ∂n тож дественно равны нулю . В этом случ ае и нтеграл по S2 (3.7) равен нулю и U ( P0 ) =

1 4π

∂U

∂G

∫∫ [G( ∂n ) − U ( ∂n )]dS

(3.8)

Σ

П ервое услови е позволяет определят ь возмущ ени е U, падаю щ ее на от верст и е, пренебрегая нали ч и ем экрана, а вт орое дает возмож ност ь пренебреч ь и нт егри ровани ем по S2. Х от я грани ч ны е услови я К и рх гоф а сущ ест венно упрощ аю трезульт атопределени яполяди ф ракци и U(Po), однако они не могутбы т ь абсолю т но справедли вы ми . П ри сут стви е экрана будет неи збеж но вы зы ват ь некот орое возмущ ени е поля на Σ , т ак как вдоль края от верст и я Σ долж ны вы полнят ься определенны е грани ч ны е услови я, ч т о не т ребует ся при от сутст ви и экрана. К роме т ого, т ень за экраном ни когда не бы ваетрезкой , т ак как поле прони каетзаэкран нанесколько λ . О днако если размеры Σ вели ки по сравнени ю с λ , т о эт и ми краевы ми эф ф ект ами мож но пренебреч ь. П ри эт ом получ аю т сярезульт ат ы , кот оры ех орош о согласую т сяс экспери мент ом. Т еори я К и рх гоф а дает х орош и е результ аты на практ и ке, однако она содерж и тнекот оры е внутренни е прот и вореч и я, ч т о заст авляет и скат ь более удовлет вори т ельное мат емат и ч еское реш ени е задач и . Зат руднени явозни каю ти з-зат ого, ч т о грани ч ны е услови яв (3.8) налагаю тся одновременно как на напряж енност ь падаю щ его поля - U, т ак и на её прои зводную по нормали . И з мат емат и ки и звест но, ч т о, если реш ени е т рех мерного волнового уравнени я (а ф ункци я U удовлет воряет этому уравнени ю ) обращ ает сяв0 налю бом конеч ном элемент еповерх ност и, т о оно долж но обращ ат ься в нуль во всем прост ранст ве. Т аки м образом, два грани ч ны е услови я, взяты е вмест е, означ аю т , чт о повсю ду за Σ поле долж но бы ть равно 0, ч т о прот и вореч и тф и зи кеявлени я. У казанны е прот и вореч и я бы ли устранены Зоммерф ельдом, кот оры й предлож и лнет ребоват ь одновременного налож ени яграни ч ны х услови й наU и ∂U / ∂n . О н предлож и лвы би рать ф ункци ю Гри на– G таки м образом, ч т обы ли бо онаи ли еёпрои зводная ∂G / ∂n на(S2+ Σ ) обращ али сь в0. П ри этом одно и зслагаемы х в поды нт егральны х вы раж ени ях (3.7, 3.8) обращ ает ся в нуль, а ост авш аяся ч аст ь эт и х ф ормул т ребуетпост ановки грани ч ны х услови й ли бо для U и ли для ∂U / ∂n . Т акая ф ункци я Гри на сущ ествуети равна сумме и ли разност и 2-х сф ери ч ески х волн, одна и з кот оры х создает ся и сточ ни ком,

располож енны м в т оч ке PО , авторая и ст оч ни ком, располож енны м в т оч ке P% , кот орая предст авляетсобой зеркальное и зображ ени е т оч ки PО и леж и тпо другую ст орону экрана(ри( с. 3.3). В эт ом случ ае длявсех т оч ек экранаS2 и Σ от верст и я расст ояни яR= R . Е сли вы брат ь ф ункци ю Гри навви де ( ( ( G* = G − G = (1/ R ) ⋅ exp( jkR ) − (1/ R ) ⋅ exp( jkR) , (3.9) т о, дей стви т ельно, эт аф ункци янаS2 и Σ обращ ает сявнуль и вы раж ени е(3.8) при ни маетви д U ( P0 ) = −(1/ 4π ) ∫∫ U (∂G* / ∂n) dS

(3.10)

Σ

Соот вет ст вую щ аяпрои зводнаяпо нормали отф ункци и G* равна ( ( ∂G* ∂G ∂R ∂G ∂R = − = ∂n ∂R ∂n ∂R ∂n ( ( ( ( ∂R 1 ∂R = [ jk − (1/ R)](1/ R )exp( jkR ) ⋅ − [ jk − (1/ R )](1/ R )exp( jkR ) ⋅ ⋅ ( ∂n ∂n R К ак ви дно и зри с. 3.3, наповерх ност и S2 и Σ и меем ( ( R = R ; ∂R / ∂n = cos (R,n); ∂R / ∂n = cos (Ř ,n) = − cos( R,n) Следовательно, наэтой поверх ности G* =0 и ∂G * / ∂n = 2cos( R, n)( jk − 1/ R)exp( jkR) / R

(3.11)

Е сли рассмат ри вать поле ди ф ракци и на больш и х расстояни ях , т . е. в зонеи злуч ени я, когдаkR>>1, т о послеподстановки (3.11) в(3.10) получ и м 1 U ( P0 ) = cos( R, n)U (exp( jkR) / R) dS (3.12) 4π ∫∫ Σ В последнем вы раж ени и cos(R,n) следуетрассмат ри вать как ди аграмму направленност и элемент а раскры ва - cosθ , если θ сч и тать как мери ди альны й угол сф ери ч еской си стемы коорди нат , отсч и т ы ваемы й отn к R. И з ради оопт и ки и звест но вы раж ени е для поля ди ф ракци и как свертки меж ду си гналом в отверст и и Σ и и мпульсной х аракт ери ст и кой слоя прост ранстваh [3]. U ( P0 ) = ∫∫ U ( x1, y1 )h( x − x1, y − y1, z )dx1dy1 , где

h = −(1/ 2π ) d / dz[exp( jkR ) / R ]

(3.13) (3.14)

В ы раж ени е (3.13) для зоны и злуч ени я, когда kR>>1, мож но свести к ви ду (3.12). П окаж ем это: подст авляя в (3.14) знач ени я прои зводной по z d / dz = d / dR ⋅ dR / dz , получ и м следую щ ее вы раж ени е для и мпульсной х арактери ст и ки взонеи злуч ени я, когдаkR>>1 h=−

1 z d 1 1 z ikR − 1 k z exp( jkR ) ( ⋅ exp( jkR )) = − ⋅ exp( jkR ) = 2 2π R dR R 2π R R 2π j R R

Знач ени е ж е поля ди ф ракци и в т оч ке наблю дени я P0 в эт ом случ ае при ни маетви д U ( P0 ) = U ( x, y, z ) = ( k / 2π j ) ∫∫ U (Σ)cos(R, z )(exp( jkR ) / R )dS ,

(3.15)

Σ

где z / R = cos( R, n) = cos(θ ) ; R = ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 + z 2 ; x1, y1 коорди наты т оч ек отверсти я Σ - вх одного зрач ка; x, y, z - коорди наты точ ек наблю дени я. Т аки м образом, вы раж ени е (3.15) совпадаетс (3.12). О днако в (3.15): z=n – внутренняя нормаль; R – расст ояни е от точ ек вх одной апертуры оч ки наблю дени я – P0; exp(jkR)/R – сф ери ч еская волна, и дущ ая Σ( x1 , y1 ) до т отΣ к P0. П ри эт ом знач ени е и мпульсной х арактери сти ки в зоне и злуч ени я и меетви д: h( x − x1, y − y1, z ) =

k z exp( jkR) k exp( jkR ) = ⋅ cosθ ⋅ 2π j R R 2π j R

(3.16)

Среду распрост ранени я ди ф ракци онного поля, т .е. слой пространст ва х протяж енностью Z, мож но рассмат ри вать как ли ней ны й 4 - полю сни к с и мпульсной х арактери сти кой h(x,y,z) и коэф ф и ци ент ом передач и K (ω1 , ω2 , z ) , связанны ми меж ду собой прямы м и обратны м преобразовани ем Ф урье [3]. П оле ди ф ракци и U(x,y,z) мож но такж е определи ть ч ерез знач ени е спектральны х плот ностей вх одного и вы х одного си гналов G (ω1 , ω2 , 0) , G (ω1 , ω2 , z ) , а т акж е коэф ф и ци ента передач и K (ω1 , ω2 , z ) по ф ормулам спектрального анали за ∞

U ( x, y, z ) = (1/ 4π ) ∫ ∫ G (ω1, ω2 ,0) K (ω1, ω2 , z )exp[ j (ω1x + ω2 y )]dω1dω2 , (3.17) 2

−∞

где K (ω1, ω2 , z ) =

∞

∫ ∫ h( x − x1, y − y1, z )exp[− j (ω1x + ω2 y)]dxdy =

−∞

= exp( jz k 2 − Ω 2 )

(3.18)

G (ω1,ω 2 ,0) =

∫ ∫ U ( x1, y1,0) ⋅ exp[− j (ω1x1 + ω2 y1)]dx1dy1

(3.19)

x1 y1

Ω 2 = ω12 + ω2 2 ; ω1 = kx / z;ω2 = ky / z .

(3.20)

П оясни м ф и зи ч ески й смы сл спект ральной плот ност и - G (ω1 , ω2 , 0) вх одного си гналаи ли поля в раскры ве отверст ияΣ. Эт о вы раж ени е (3.19) , как будет показано ни ж е, с т оч ност ью до пост оянной совпадаетс полем ди ф ракци и в дальней зоне и ли с ди аграммой направленност и - Д Н вх одного си гнала – U(x1,y1,0). С другой ст ороны , как ви дно и з (3.19), G (ω1, ω2 ,0) предст авляет собой суперпози ци ю плоски х волн с прост ранст венны ми ч аст от ами ω1 , ω2 и ли плоски х волн, распрост раняю щ и х сяподуглами θ1 ,θ 2 к оси z ω1 = kx / z = ktgθ1 ≈ k sin θ1;ω2 = ky / z = ktgθ 2 ≈ k sin θ 2

(3.21)

где θ1 ,θ 2 - углы , от сч и ты ваемы е от оси z в плоскост ях xoz и yoz ; вы раж ени е (3.21) запи сано в предполож ени и малост и θ1 ,θ 2 (паракси альное при бли ж ени е). О пределени е поля ди ф ракци и по (3.12 , 3.15) в общ ем случ ае зат рудни т ельно. О днако его мож но сущ ественно упрост ит ь, если воспользоват ьсянекот оры ми при бли ж ени ями [1,3]. 3.2. О пределени еполяди ф ракци и впри бли ж ени и Ф ренеля Е сли област ь наблю дени я х , у нах оди т ся на больш ом удалени и от вх одной апертуры x1, y1 (ри с.3. 4), т о сф ери ч ескую поверх ност ь и мпульсной х аракт ери ст и ки мож но замени т ь наэлли пт и ч ескую . В эт ом случ ае σ2 R = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + z = z (1 + σ / 2 z − σ / 8 z + ...) ≈ z (1 + 2 ) (3.22) 2z 2

2

2

2

2

4

4

где σ 2 = ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 Эт а замена справедли ва, если от брасы ваемы е ч лены в (3.22), согласно кри тери ю Релея ≤ 0,1λ , и ли разност ь ф азмеж ду лю бы ми т оч ками вх одной и вы х одной апертур и ст и нного и экви валент ного волнового ф ронтов не превосх оди т 0,1⋅ 2π [3]. Т аки м образом, при бли ж ени е (3.22) будет справедли вы м, если z (σ 4 / 8 z 4 − ...) ≤ 0,1λ при z >> σ

(3.23)

Ф ормула(3.23) предст авляетсумму сх одящ егосязнакопеременного ряда, кот орая не превосх оди тзнач ени я 1-го ч лена, т .е zσ 4 /8 z 4 ≤ 0,1λ . П ри ч ем эт о услови е долж но вы полнят ься для всех знач ени й σ max , пропорци ональны х

сумме размеров вх одного и вы х одного зрач ков, т .е. при бли ж ени е Ф ренеля вы полняет сянат аки х удалени ях отΣ , когда 4 σ max / z ≤ 4 λ / z и ли z1 ≥ 3 σ max /λ

(3,24)

Т аки м образом, и мпульсная х арактери сти ка и поле ди ф ракци и в при бли ж ени и Ф ренеляи мею тви д h = (k / 2π jz )exp( jkz )exp[ jk ( x 2 + y 2 ) / 2 z ];

(3.25*)

U = ( k / 2π jz )exp( jkz ) ∫ ∫ U ( x1, y1,0)exp[ jk (( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 / 2 z ]dx1dy1 x1 y1

(3.25) Знач ени я коэф ф и ци ента передач и в при бли ж ени и Ф ренеля мож но получ и ть, беряпрямое преобразовани е Ф урье от(3.25*) и ли разлагаяв ряд (3.18) и ограни ч и ваясь 2-мяпервы ми ч ленами этого разлож ени я, т.е. K (Ω) = exp( jz k 2 − Ω 2 ) = exp[ jkz (1 −

Ω2 Ω4 + − ...)] ≈ 2 k 2 8k 4

(3.26)

≈ exp( jkz ) ⋅ exp(− jzΩ / 2k ) 2

ρ = x2 + y 2

y1 x1

y

R = ( x − x1 )2 + ( y − y1 ) 2 + z 2

P1(x1,y1,0) 0

О бласть тени 2 z3 ≤ 0.2lmin /λ

P0(x,y,z)

x

φ z

О бласть Ф ренеля О бласть Ф раунгоф ера 4 (дальняязона) z1 ≥ 3 D1,2 /λ 2 z2 ≥ D1,2 /λ

Ри с. 3.4. Согласно кри тери ю Релея, (3.26) справедли во, если вы полняется следую щ еенеравенство длявсех вы сш и х пространственны х ч астотΩmax и ли kz

Ω 4max ≤ 0.1 ⋅ 2π ; 8k 4

4 z ≤ lmin / λ3 ,

2 где Ω max = ω1max + ω22max = 2π / lmin , lmin прост ранственнаянеоднородность вх одного си гнала.

(3.27) ми ни мальная

3.3. П оледи ф ракци и впри бли ж ени и Ф раунгоф ера Е сли уси ли ть неравенство (3.22), т.е. если рассматри вать меньш и е углы ди ф ракци и , т о в(3.25) мож но пренебреч ь k ( x12 + y12 ) / 2 z по сравнени ю с други ми ч ленами и запи сать U ( x, y, z ) ≈ (k / 2π jz ) ⋅ exp( jkz ) ⋅ exp( jk ( x 2 + y 2 ) / 2 z ) ⋅ 14444444244444443 A

⋅ ∫ ∫ U ( x1, y1,0)exp[− j ((kxx1 / z ) + (kyy1 ) / z ]dx1dy1

(3.28)

x1 y1

К ак ви дно, вы раж ени е (3.28) с точ ностью до постоянной А представляетсобой прямое преобразовани е Ф урье от вх одного си гнала U(x1,y1,0), т.е. спект ральную плот ност ь вх одного си гнала - G( ω1, ω2 ,0), где ω1 = kx / z , ω2 = ky / z, . П ри бли ж ени е (3.28), назы ваемое при бли ж ени ем Ф раунгоф ера и ли полем в дальней зоне вх одной апертуры , справедли во, если , согласно кри тери ю Релея, 2 2 k ( x1max + y1max ) / 2 z ≤ 0.1 ⋅ 2π и ли 2 2 2 2 2 ( x1max + y1max ) / z ≤ 0.8λ / 2 ( x1max + y1max )

П оследнее

неравенство

означ ает:

(3.29) при бли ж ени е

Ф раунгоф ера

2 2 вы полняется на таки х расстояни ях z, когда угол 2 ( x1max + y1max ) / z , под

которы м ви ден макси мальны й

2 2 + y1max ) = D1 вх одного размер 2 ( x1max

2 2 си гнала (вх одного зрач ка) ≤ λ / 2 ( x1max + y1max ) . Н еравенство (3.29)

1.25D12 , которое обы ч но запи сы ваю т мож но преобразовать к ви ду z ≥ λ следую щ и м образом z2 ≥ D12 / λ

(3.30)

Е сли размеры области реги страци и такж е малы , то в (3.28) мож но 2 2 полож и ть exp[ jk ( xmax + ymax ) / 2 z ] ≈ 1 , ч то справедли во нарасстояни ях 2 2 z ≥ 5( xmax + ymax ) / λ = 1.25 D22 / λ

Т аки м образом, поле ди ф ракци и в при бли ж ени и Ф раунгоф ера и ли в дальней зоне при отсутстви и квадрати ч ны х ф азовы х набегов 2 2 ( k / 2 z )( xmax + ymax ) необх оди мо наблю дать на расстояни ях z отвх одной апертуры 2 z ≥ D1,2 /λ ,

(3.31)

где D1,2 - макси мальны е размеры вх одного си гнала – D1 и ли области наблю дени я– D2 . П ри этом (3.28) при ни маетви д U ( x, y, z ) = (k / 2π jz )exp( jkz ) ∫ ∫ U ( x1, y1,0)exp[− j ((kxx1 / z ) + (kyy1 / z ))]dx1dy1 x1 y1

(3.32) 3.4.П оледи ф ракци и впри бли ж ени и "тени " (геометри ч еской опти ки ). В этом случ ае коэф ф и ци ент передач и мож но представи ть, ограни ч и ваясь одни м ч леном разлож ени я, следую щ и м образом: K (ω1, ω2 , z ) = exp( jz k 2 − Ω 2 ) ≈ exp( jkz )

(3.33)

Ф ормула(3.33) будетсправедли ва, если z k 2 − Ω 2max = zk (1 − Ω 2max / 2k 2 + Ω 4max /8k 4 − ...) ≈ zk , ч то справедли во, согласно кри тери ю Релея, при 2 z3 ≤ 0.2π k / Ω 2max = 0.2lmin /λ

(3.34)

В этом случ ае поле ди ф ракци и , представленное в ви де обратного преобразовани яФ урье, мож но запи сать U ( x, y, z ) = (1/ 4π 2 ) ∫∫ G (ω1, ω2 ,0) K (ω1, ω2 , z )exp( j (ω1x + ω2 y ))dω1dω2 = = U ( x1, y1,0)exp( jkz )

(3.35)

Т аки м образом, поле ди ф ракци и в при бли ж ени и геометри ч еской опти ки совпадает с вх одны м си гналом U(x1,y1,0), все точ ки которого получ аю тоди наковоезапазды вани епо ф азе- kz. П ри веденны е результаты опи сы ваю тскалярны е волновы е процессы . Е сли рассматри вать ди ф ракци ю и ли и злуч ени е векторного поля, напри мер, Е – компоненты электромагни тной волны , то знач ени е ди ф ракци онного си гнала в дальней зоне в сф ери ч еской си стеме коорди нат( R0 , θ , ϕ ) мож но запи сать [4] E= ⋅∫

k 1 cos2 (θ / 2)(sin ϕ ⋅ θ 0 + cos ϕ ⋅ ϕ 0 ) exp( jkR0 ) ⋅ 2π j R0

∫ E&t exp(− jk sinθ ( x1 cosϕ + y1 sin ϕ ))dx1dy1

,

(3.36)

x1 y1

где (l+cosθ)/2 = cos2(θ/2) = F1(θ) - Д Н элемента волнового ф ронта; R0 расстояни е и з центра сф ери ч еской си стемы (вх одного зрач ка) до точ ки наблю дени я; θ0, φ 0 - еди ни ч ны е вектора; E&t - касательная составляю щ ая

поля по раскры ву. Д ля и злуч ателей (антенн) обы ч но и нтересую тся распределени ем для поля в двух ортогональны х сеч ени ях : Н плоскости (φ=0) и Е плоскости (φ=90о). В этом случ аеи меем E (θ ,ϕ = 0) =

exp( jkR0 ) k cos2 (θ / 2) E&t exp(− jkx1 sin θ )dx1dy1; ∫ ∫ 2π j R0 x y 1 1

k exp( jkR0 ) E (θ ,ϕ = 90o ) = cos 2 (θ / 2) ∫ 2π j R0 x

∫ E&t exp(− jky1 sin θ )dx1dy1;

(3.36*)

1 y1

В ы раж ени е (3.36), (3.36)* совпадаю тс полем ди ф ракци и отплоского вх одного зрач ка(3.28, 3.32), если его рассматри вать вмалом телесном угле θ. В этом случ ае мож но полож и ть: R0≈ z ; cos 2 (θ / 2) ≈ 1; tgθ1 = x / z = sin θ1; tgθ 2 = y / z = sin θ 2 ; exp( jkR0 ) ≈ exp[ jkz (1 + ( x 2 + y 2 ) / 2 z 2 )] П ри эти х допущ ени ях поле ди ф ракци и в дальней зоне вх одного си гнала в двух ортогональны х сеч ени ях : вдоль коорди наты x(ω1 ) при y=0 и вдоль коорди наты y (ω2 ) при x=0, мож но запи сать EH = (k / 2π jz )exp[ jk ( z + x 2 / 2 z )] ∫ 144444244444 3 A( x )

EE = A( y ) ∫

∫ Et exp(−

x1 y1

∫ Et exp(−

x1 y1

jkx x1 )dx1dy1 ; z

jky y1 )dx1dy1 z

(3.37)

и совпадаетс распределени ем полявплоскостях xoz и yoz (3.28). З.5. П оле ди ф ракци и в при бли ж ени и Ф ренеля и прямоугольного отверсти явбесконеч ном экране

тени

от

Н аи больш ее распространени е на практи ке получ и ли случ аи ди ф ракци и электромагни тной волны на вы ступаю щ и х кромках , прямоугольны х и круглы х отверсти ях (ди аф рагмы , ди ф ракци онны е реш етки , голограммы , апертурны е антенны и т.д.). Рассмотри м ди ф ракци ю плоской волны U = U 0 exp( jkz )exp( jkx1 sin α ) , падаю щ ей напрямоугольное отверсти еразмером a × b под углом α (ри с З.5)

y1

y P0(x,y,z)

x1

x

φ

R θ 0

z

b

α a

r k

Ри с. 3.5. Рассматри вая пропускани я

отверсти я

как

транспарант с

коэф ф и ци ентом

1, x1 ≤ a / 2, y1 ≤ b / 2 , T ( x1, y1 ) =  > < 0, x a / 2, y b / 2  1 1 поленавы х одеотверсти ямож но запи сать U 0 exp( jkx1 sin α ), x1 ≤ a / 2, y1 ≤ b / 2 U ( x1, y1,0) =  0, dfdfdfdfdfdfdfdg x1 > a / 2, y1 < b / 2

(3.38)

Е сли расстояни едо области анали заудовлетворяетпри бли ж ени ю тени (3.34), т.е. z ≤ (1/ λ ) ⋅ 0.2( a, b) 2min , то поле ди ф ракци и в соответстви и с (3.35) будети меть ви д U 0 exp( jkz )exp( jkx1 sin α ), x1 ≤ a / 2, y1 ≤ b / 2 U ( x, y , z ) =  0, dddddddddddddddddddd x1 > a / 2, y1 < b / 2 Э то вы раж ени е совпадаетс полем вотверсти и с точ ностью до ф азы - kz. Слой пространства осущ ествляетнад си гналом (3.38) преобразовани е Ф ренеля, если расстояни е до области анали за (вы х одного зрач ка) удовлетворяетуслови ю (3.24). П ри анали зе поля ди ф ракци и вбли зи оси z мож но полож и ть ρ = x 2 + y 2 ≈ 0 и под σ max в (3.24) и меть в ви ду макси мальны й и зразмеров вх одного зрач ка а и ли b. В этом случ ае поле в при бли ж ени и Ф ренеля (3.25) в соответстви и с (3.38) при услови и α = 0 мож но запи сать

a/2 b/2

U ( x, y, z ) = ( k / 2π jz )exp( jkz )

∫ ∫

U 0 exp[ jk (( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 ) / 2 z ]dx1dy1

− a / 2 −b / 2

(3.39) П оследни еи нтегралы и денти ч ны и сводятсяк и нтегралам Ф ренеля x

∫ exp( jπ t / 2)dt = C ( x) + jS ( x) , обладаю щ

и ми следую щ и ми свой ствами :

0

C(-x),S(-x)=-[C(x),S(x)]; C(0),S(0)=0; lim C , S →= ±1/ 2 x →±∞

П ри рассмотрени и и нтеграла по x1 введем новую переменную t = k / π z ⋅ ( x − x1 ) тогда: dx1 = − π z / k dt , а пределы и нтегри ровани я будут: V1 = k / π z ( x − a / 2) при x1 = a / 2 ; x1 = − a / 2 . И меяэто вви ду, получ и м

V2 = k / π z ( x + a / 2)

V1

U ( x, y, z ) = ( k / 2π jz ) π z / k exp( jkz )U 0 ∫ exp[ jπ t / 2]dt

b/2

2

V2

при

∫

exp[ jk ( y − y1 ) 2 / 2 z ]dy1

−b / 2

Т оч но такж емож но запи сать и дляи нтегралапо y1 . О конч ательно и меем V3

V1

U ( x, y, z ) = ( k / 2π jz ) ⋅ π z ⋅ exp( jkz )U 0 ∫ exp[ jπ t / 2]dt ∫ exp[ jπ t12 / 2]dt1 , 2

V2

V4

где: V3 = k / π z ( y − b / 2) при y1 = b / 2 ; V4 = k / π z ( y + b / 2) при y1 = −b / 2 . П одставляяпределы ви нтегралы Ф ренеля, и меем U = (U 0 / 2 j )exp( jkz )[C (V1 ) − C (V2 ) + j ( S (V1 ) − S (V2 ))] ⋅ ⋅[C (V3 ) − C (V4 ) + j ( S (V3 ) − S (V4 ))]

(3.40)

В работе проводи тся экспери ментальное и сследовани е ампли тудного распределени я поля вдоль одной коорди наты . И мея это в ви ду, запи ш ем норми рованное распределени е и нтенси вности ди ф ракци онного поля вдоль х коорди наты . U ( x) U ( x) max

2

=

[C (V1 ) − C (V2 )]2 + [ S (V1 ) − S (V2 )]2 {[C (V1 ) − C (V2 )]2 + [ S (V1 ) − S (V2 )]2 }max

(3.41)

3.6.1. П оле ди ф ракци и отпрямоугольного отверсти я в при бли ж ени и Ф раунгоф ера(вдальней зоне) Рассмотри м ди ф ракци ю плоской волны , падаю щ ей под углом α на прямоугольное отверсти е a × b в экране (ри с.3.5). В этом случ ае ф ункци я возбуж дени яи злуч аю щ его раскры ваи меетви д U ( x1, y1,0) = U 0 exp( jkx1 sin α ) , где k sin α = k1 и меет смы сл волнового ч и сла ф ункци и возбуж дени я. О бознач и м k sin α = kξ ≡ kk1 / k = λ k / Λ = Ck /ν ϕ , где: ξ = C /ν ϕ коэф ф и ци ент замедлени я ф ункци и возбуж дени я по сравнени ю со скоростью света - С ; k1 = 2π / Λ;ν ϕ , Λ - ф азовая скорость и дли на волны ф ункци и возбуж дени явдоль коорди наты х 1. В наш ем случ ае −1 ≤ ξ = sin α ≤ 1 мож ети зменятьсяв эти х пределах в зави си мости от угла падени я α волны на отверсти е. В ообщ е-то, ξ = k1 / k = C /ν ϕ х арактери зует запазды вани е ф ункци и возбуж дени я и мож ет и зменяться в ш и роки х пределах , напри мер, в ф ази рованны х антенны х реш етках (Ф А Р), в и злуч ателях поверх ностны х волн, ди электри ч ески х антеннах . В Ф А Р ξ мож ет задаваться с помощ ью ф азовращ ателей элементов реш етки . О днако случ ай ξ > ξopt = 1 + λ / 2 L , где L - макси мальны й раскры в и злуч аю щ его раскры ва вдоль x1 коорди наты , не и спользуется, т.к. при этом знач и тельно ух удш аю тся параметры и злуч ателей (растет знач ени е У БЛ , падает К Н Д ). П оле ди ф ракци и в при бли ж ени и Ф раунгоф ера, когда квадрати ч ны ми ф азовы ми набегами мож но пренебреч ь, в соответстви и с (3.32) и меет ви д a/2 b/2

U ( x, y, z ) = ( k / 2π jz )exp( jkz )

∫ ∫

U 0 exp[− jk [( x / z − ξ ) x1 + ( yy1 / z )]]dx1dy1 =

− a / 2 −b / 2

sin[k ( x / z − ξ )a / 2] sin[(ky / z )b / 2] = (k / 2π jz )exp( jkz ) ⋅ U 0ab k ( x / z − ξ )a / 2 k ( y / z )b / 2

(3.42)

П оследнее вы раж ени е показы вает, ч то ампли туда ди ф ракци онного поля в дальней зоне пропорци ональна площ ади раскры ва S = ab, ампли туде падаю щ его поля U 0 и обратно пропорци онально расстояни ю меж ду объектом и областью наблю дени я- z . Т ак как при экспери ментальны х и сследовани ях и спользуется ампли тудны й при емни к с квадрати ч ной х арактери сти кой , то вы х одное напряж ени е его целесообразнее сравни вать с норми рованны м знач ени ем и нтенси вности ди ф ракци онного поля, т.е. с

2

2

U ( x, y, z ) / U ( x, y, z ) max = G (ω1, ω2 ,0) / G (ω1, ω2 ,0) max = sin[k ( x / z − ξ ) a / 2] sin[( ky / z )b / 2] = k ( x / z − ξ )a / 2 k ( y / z )b / 2 И нтенси вность

спектральной

(3.43)

2

плотности

и ли

Д Н

и злуч ателя с xa yb прямоугольны м раскры вом в зави си мости от ψ 1 = k ,ψ 2 = k z2 z2 представленанари с. 3.6. И злуч атели , ф ункци я возбуж дени я которы х и меет постоянную ампли туду по раскры ву и ли ней но и зменяю щ ую ся ф азу U ( x1, y1 ) = U 0 exp( jkξ x1 ) , назы ваю т эталонны ми . О тмети м основны е параметры таки х и злуч ателей , с которы ми сравни ваю тсяпараметры други х и злуч аю щ и х си стем. 1.О ри ентаци я основного лепестка. К ак ви дно и з (3.43) и ри с.3.6, основной лепесток Д Н ори енти рован в направлени и нормали к ф азовой поверх ности ф ункци и возбуж дени я (3.38). Д ей стви тельно, угловы е и декартовы екоорди наты главного лепесткаопределяю ти зуслови й : k(xгл/z- ξ)a/2= (ω1 − ω0 ) a / 2 = 0 , откудаk(xгл/z)a/2=(ka/2)sinα и ли xгл=zsinα; xгл/z= tgθ1 ≈ sin θ1 = sin α ; (θ1=α)

(3.43*)

ψ 2 ( y ) = (kyгл/ z )b / 2 = 0; yгл/ z = tgθ 2 ≈ sin θ 2 , откудаугл=0; θ2=0. П ри α = 0 (ξ= 0) основной лепесток Д Н ори енти рован в направлени и нормали к и злуч аю щ ему раскры ву. Э то так назы ваемы й случ ай попереч ного и злуч ени я. П ри π / 2 ≥ θ1 = α ≥ −π / 2,(1 ≥ ξ ≥ 0) и меет место наклонноеи злуч ени е. П ри |ξ| = 1 θ1 = ±π / 2 ф орми руетсяосевоеи злуч ени е, т.е. и злуч ени е с макси мумом вдоль и злуч аю щ его раскры ва. П ри и змени ни и ξ, напри мер, электронны м образом, как это делается в Ф А Р меняется ори ентаци я главного лепестка Д Н , т.е. осущ ествляется электронное скани ровани е Д Н . П ри мени тельно к ри с.3. 5, 3.6 это соответствует и зменени ю углападени яплоской волны наи злуч аю щ и й раскры в.

Ри с 3.6. 2.Ш и ри на основного лепестка. К ак ви дно и з(3.43) и ри с. 3.6, ш и ри на основного лепестка Д Н в коорди натах ψ 1 и ψ 2 остается постоянной незави си мо отти па и злуч ени я и равна 2π на нулевом уровне и 2.78 на уровне полови нной мощ ности . Э то соответствует ш и ри не основного лепесткавкоорди натах вы х одного зрач ка-х ,у, 2∆ψ 10 = [(k 2∆x0 ) / z ]a / 2 = 2π ; 2∆x0 = (2λ / a ) z ; 2∆y0 = (2λ / b) z 2∆ψ 0.5 = [(k 2∆x0.5 ) / z ]a / 2 = 2.78 ; 2∆x0 = 0.442(2λ / a ) z ; 2∆y0 = 0.442(2λ / b) z

(3.44)

Е сли перей ти к угловому спектру, т.е. к углам θ1, θ2 то следует и меть в ви ду, ч то 2∆x, y / z = tg 2∆θ1,2 ≈ sin 2∆θ1,2 ≈ 2∆θ1,2 . В этом случ ае получ и м х орош о прои ллю стри рованны е влабораторны х работах 1 ÷ 2 (см. вы раж ени я10,11) знач ени я 2∆θ10 ≈ 2∆x0 / z ≈ 2λ / a ; 2∆θ 20 ≈ 2λ / b ; 2∆θ0.5 ≈ 0.442(2λ / a, b)

(3.45)

К ак ви дно и з(3.43) и ри с.3.6, полуш и ри на спектра вх одного си гнала ∆ω10 = 2π / a; ∆ω20 = 2π / b - обратно пропорци ональна протяж енности этого си гнала. Э то полож ени е, а такж е результаты (3.44, 3.45), аналоги ч но и звестному в теори и временны х си гналов вы воду: ш и ри на спектра си гнала ∆ω = 2π / τ обратно пропорци ональна его дли тельности – τ. П ри перех оде к наклонному и осевому и злуч ени ю вели ч и ны 2∆ψ 1,2 не и зменяю тся, однако уменьш аю тся эф ф екти вны е размеры и злуч аю щ его раскры ва, которы е становятся равны ми a'=a ⋅ cosθ1; b'= b ⋅ cosθ2. П ри этом увели ч и ваетсяш и ри наосновного лепестка 2∆θ10 ≈ (2λ / a )(1/ cosθ1 ) ; 2∆θ 20 ≈ (2λ / b)(1/ cosθ 2 ) = 2λ / b (при θ2=0) (3.46) 3.У ровень боковы х лепестков. Боковы е лепестки Д Н ф орми рую тсяв направлени ях , где ч и сли тель ф ункци и (3.43) дости гает макси мальны х знач ени й , т.е. при ψ 1 = ψ 0 + (2n + 1)π / 2 ; xб л = (λ z / π a )[(ka / 2)sin α + ( n + 1/ 2)π ] ψ 2 = (2n + 1)π / 2 ; yб л = (λ z / π b)(n + 1/ 2)π ; n = ±1, 2,3,...

(3.47)

У ровень боковы х лепестков (У БЛ ) по напряж ени ю при этом равен У БЛ =

1 π (2n + 1) ⋅ 2

; У БЛ 1 = 2 /(3π ) = 0.212 и ли -13,46 dB

(3.48)

У БЛ по мощ ности при ни мает следую щ ее знач ени е {[1/(2n + 1)](2 / π )}2 . П ри ч ем уровень первого лепестка составляет≈ 0,045 и ли около 4,5% от и нтенси вности и злуч ени я основного лепестка. Н а язы ке пространственны х ч астот ω1,2 = k ( x / z, y / z ) расш и рени е спектра си гнала при ди ф ракци и плоской волны с нулевой ( ω0 = 0 ) и ли прои звольной пространственной ч астотой ( ω0 = k sinα) аналоги ч но расш и рени ю спектра наблю даемого при модуляци и гармони ч еского си гнала ( ω = ω0 ) одни м и з ви деои мпульсов. А сам процесс ди ф ракци и Ф раунгоф ера на прои звольны х апертурах - транспарантах с коэф ф и ци ентом пропускани я T( x1, y1 ) аналоги ч ен модуляци и гармони ч еского си гнала прои звольной модули рую щ ей ф ункци ей . Э та аналоги япоказананари с.3.7 а÷ е.

В и д временного и ли пространственного си гналов e(t )

Спектральны й составси гналов G (ω )

ω0

2π / ω0

T ( x1 )

ω

G (ω1 )

ω0 = k sin α

ω1 = kx / z

U 0 exp( jkx1 sin α ) T0 = 2π / Ω

G (ω )

ω0 − Ω ω 0 ω 0 + Ω

Tω0 = 2π / ω0

T ( x1 )

G (ω1 )

ω0 − b ω 0 ω 0 + b

ω 0 = k ⋅ sin α ; b =

U 0 exp( jkx1 sin α )

e(t )

2π λ

G (ω )

ω0 + 2π / τ ω0 ω0 − 2π / τ T ( x1 )

G (ω1 )

U 0 exp( jkx1 sin α )

ω0 − 2π / a ω0 ω0 + 2π / a

ω 0 = k ⋅ sin α ;

3.6.2 Д и ф ракци я плоской волны на круглом отверсти и в бесконеч ном экране впри бли ж ени и Ф раунгоф ера П усть круглое отверсти е ради уса ρ0 >> λ в бесконеч ном экране облуч ается плоской волной U 0 exp( jkz ) (ри с.3.8), распространяю щ ей ся вдоль оси z ( ω0 = 0 )

y1

y

x1

x P0(x,y,z) φ

R ρ

P(x1,y1) U0exp(jkx)

R0

φ1

ρ1

θ z

0 ρ0

Ри с. 3.8.

В эт ом случ ае коэф ф и ци ент пропускани я T(x1,y1) и поле на вы х оде от верст и ямож но запи сат ь вви де 1, ρ ≤ ρ0 = D / 2 U 0 , ρ ≤ ρ0 T ( x1, y1 ) =  U ( x1, y1 ) =  0, ρ > ρ0 0, ρ > ρ0

(3.49)

П оле в дальней зоне (в при бли ж ени и Ф раунгоф ера) мож но най т и как спект ральную плотност ь си гнала (3.49) по ф ормуле (3.32), предвари тельно перей дяк полярны м коорди нат ам вобласт и вх одного зрач ка ( ρ1,ϕ1 ) и област и наблю дени я ( ρ ,ϕ ) x1 = ρ1 cos ϕ1 ; x = ρ cosϕ ; dx1dy1 = dS = ρ1d ρ1dϕ1 y1 = ρ1 sin ϕ1 ; y = ρ sin ϕ В эт ом случ аемож но запи сат ь 2π ρ0

U ( ρ ,ϕ ) = (k / 2π jz )exp( jkz ) ∫

∫ U 0 exp[− jk ρρ1 cos(ϕ − ϕ1) / z ]ρ1d ρ1dϕ1

0 0

(3.50)

П о услови ю задач и полевобласт и наблю дени янедолж но зави сет ь отуглаϕ , поэт ому в (3.50) мож но полож и т ь ϕ =0. В ы ч и сляя и нт еграл (3.50), необх оди мо воспользоват ьсяследую щ и ми соот нош ени ями :

2π

z

∫ exp( ja cosϕ )dϕ = 2π J 0 (a) ; ∫ zJ 0 ( z )dz = zJ1( z ) , 0

(3.51)

0

где J 0 , J1 - ф ункци и Бесселянулевого и первого порядков. И меяэт о вви ду, получ и м U (ρ ) =

k 2 J ( k ρρ0 / z ) ⋅ exp( jkz ) ⋅ U 0 (πρ02 ) ⋅ 1 2π jz k ρρ0 / z 14444244443

(3.52)

B

А мпли туда поля ди ф ракци и и в эт ом случ ае пропорци ональна площ ади 2 раскры ваS=π ρ0 и ампли тудепадаю щ его поля– U0 U (ρ ) =

2 J (k ρρ0 / z ) k ⋅ S ⋅U0 ⋅ 1 k ρρ0 / z 2π z

(3.53)

Н орми рованное знач ени е и нт енси вност и поля ди ф ракци и (Д Н ) и меетви д и и зображ ено нари с.3.9 2

2

U ( ρ ) / U ( ρ ) max = G (ω ) / G (ω ) max = 2 J1( k ρρ 0 / z ) /( k ρρ 0 / z )

2 J 1 (ωρ 0 ) / ωρ 0

2

(3.54)

2

1

0.5

1.62 0

2

4 6 Ри с. 3.9.

8

ωρ 0 = k ρρ 0 / z

Ф ункци я(3.54) и меетглавны й макси мум, равны й 1 при ρ =0, т .е. наоси z. С увели ч ени ем аргумент а она осци лли руетс пост епенны м уменьш ени ем ампли туды подобно (3.43). И нт енси вност ь равна нулю при знач ени ях аргумент а, определяемы х J1(x)=0. М и ни мумы уж е не строго экви ди ст ант ны (см.табл.3.1). Ч и сленны е знач ени я нескольки х экст ремумов эт ой ф ункци и и вели ч и ны аргумента, при кот оры х они дост и гаю т ся, при ведены вт абл.3.1

Т абли ца3.1. x 0 3.832 5.136 7.016 8.417 10.174 11.62

[2 J1 ( x) / x]2

1 0 0.0175 0 0.0042 0 0.0016

макс. ми ни м. макс. ми ни м. макс. ми ни м. макс.

И зф ормулы (3.54) и граф и ка(ри с.3. 9) ви дно, ч т о ш и ри наосновного лепест ка на 0-м уровне и на уровне 0,5 мощ ност и, ат акж е У БЛ т аки х и злуч ат елей равны : 2∆ρ0 = (3.83/ π )(2λ / 2 ρ0 ) z = 1.22(2λ / D ) z ; tg (2∆θ ) = 2∆ρ0 / z ≈ 2∆θ 0 = 1.22(2λ / D) ; 2∆ρ0.5 = (2 ⋅ 1.62 / π )(2λ / 2 ρ0 ) z = 1.05(2λ / 2 ρ 0 ) z ; 2∆θ0 = 1.05(2λ / D) (3.55) Е сли бы плоская волна, падаю щ ая на от верст и е (ри с. 3.8), и мела ви д U(ρ 1)=U 0 exp( jk ρ1 sin α ) , т о макси мум ди ф ракци онного поля бы л бы ори ент и рованвт ом ж енаправлени и , т .е. подуглом α к оси z. И з при веденного рассмот рени я ви дно: наи более прост о опи сы вается ди ф ракци я плоской волны на плоски х апертурах в при бли ж ени и Ф раунгоф ера, ч то аналоги ч но опи сани ю поля в дальней зоне апертурны х ант енн с однородной ф ункци ей возбуж дени я - U ( x1, y1,0) = U 0 exp( jkx sin α ) по раскры ву. О днако задач а сущ ест венно услож няет ся при ди ф ракци и на объект ах прои звольного поля. Т ак напри мер, при падени и сф ери ч еской волны ради усаR полевраскры вемож но запи сат ь U ( x1, y1,0) = U 0 exp( jk ( x12 + y12 ) / 2 R)

(3.56)

В эт ом случ ае поле ди ф ракци и в дальней зоне в соот вет ст ви и с (3.32) и меетви д U ( x, y, z ) = ( k / 2π jz )exp( jkz ) ∫ ∫ U 0 exp[ jk ( x12 + y12 ) / 2 R ] ⋅ x1 y1

(3.57)

⋅ exp[− jk ( xx1 / z + yy1 / z )]dx1dy1 аналоги ч ны й полю ди ф ракци и плоской волны U( x1, y1 ) = Uo в зоне Ф ренеля (3.25) и мож етбы т ь вы раж ено ч ерез и нт егралы Ф ренеля. К и злуч ат елям с квадрат и ч ны м распределени ем ф азы по раскры ву от носят ся рупорны е ант енны . Т ак, ф ункци явозбуж дени япи рами дального равновы сот ного рупора, пи т аемого волной Н 10, и меетви д

U ( x1, y1,0) = U 0 cos(π x1 / a )exp[ jk ( x12 + y12 ) / 2 R]

(3.58)

П одст авляяэт о вы раж ени е в(3.28) и ли (3.32), получ и м поледи ф ракци и в дальней зоне, подробно рассмот ренное в лаборат орны х работ ах № 1 ÷ 2 (см.вы раж ени я25 ÷ 26). 3.7. Э кспери мент альны й ст енд В лаборат орной работе и спользует ся ми ни и спы т ат ельны й антенны й поли гон, блок-сх емакот орого и зображ енанари с.3.10 и вклю ч ает : 1-генерат ор СВ Ч колебани й ГЗ-37, 38 (λ=4мм) и ли Г4-141 (λ=8мм); 2-и ст оч ни к пи т ани я генерат ора; 3-и злуч аю щ ую волноводную и ли рупорную ант енну; 4ради опоглощ аю щ и й экран; 5-плоски й объектвради опоглощ аю щ ем экране; 6среду распрост ранени я ди ф раги рованного поля; 7-при емную рупорную ант енну; 8-СВ Ч дет ект орную секци ю ; 9-си ст ему перемещ ени я при емной ант енны с дет ект ором по коорди нат е х вы х одного зрач ка; 10-и змери т ельны й селект и вны й ми кровольт мет р В 6-2; 11-самопи сец; 12-А Ц П L-783; 13-Э В М Pentium 4; 14-ди сплей ; 15-си ст ему си нх рони заци и перемещ ени я при емной ант енны 7 сработ ой А Ц П и Э В М .

В Н И М А Н И Е ! Т ок резонат оракли ст ронане долж ен превы ш ат ь 10 мА . В прот и вном случ аегенерат ормож етвы й т и и зст роя. Т ак как в работ е при меняется ампли тудны й при емни к – 8,10, т о необх оди мо и спользоват ь реж и м внут ренней и мпульсной модуляци и генерат ора - 1 . Скач кообразной и плавной регули ровкой напряж ени я от раж ателя кли ст рона уст анавли ваю треж и м генераци и генерат ора - 1 . П ри этом ч аст оту внутренней и мпульсной модуляци и вы би раю травной 400 и ли 1000 Гц. Т ак как и нди кат ором уровнявы х одной мощ ност и генерат ора1 служ и т селект и вны й ми кровольт мет р10, т о его необх оди мо т акж енаст рои т ь нач аст оту модуляци и при ни маемого си гнала - 400 и ли 1000 Гц. П ри первонач альной наст рой ке при емо-передаю щ его т ракт а мож но временно удали т ь ради опоглощ аю щ и й экран - 4. Д ля повы ш ени я надеж ност и проводи мы х в дальней ш ем и змерени й целесообразно наст рой кой зоны генераци и и ч аст от ой резонат ора доби т ься

т акого уровня вы х одной мощ ност и генерат ора, ч т обы вы х одной си гнал при емни ка 10 превы ш ал напряж ени е ш умов в сот ни раз. (В нут ренни е ш умы при емни ка обы ч но сост авляю т 0,5 ÷ 1 мкВ ). У ровень си гнала на вы х оде при емной ант енны в экспери мент е, как прави ло, мал (десят ки и сот ни мкВ ), поэт ому ампли тудны й дет ектор 8 работ аетв квадратич ном реж и ме, т ак ч т о при емны м устрой ст вом 10 реги ст ри рует ся си гнал, пропорци ональны й и нт енси вност и поля в мест е полож ени я ант енны 8. П оэт ому при и сследовани и прост ранственного распределени я ди ф ракци онного поля экспери мент альны е результ ат ы следует сравни ват ь с энергет и ч ески ми х аракт ери ст и ками , получ енны ми при расч етах по (3.41; 3.43; 3.54) и т .д. 3.8. Д омаш неезадани е 1. О знакоми т ьсяс рекомендуемой ли тературой и опи сани ем работ ы. 2. Согласно вари анту, задаваемому преподават елем, определи т ь геомет ри ч ески е размеры объект ов и по ф ормулам (3.24; 3.30; 3.34) най т и расст ояни я, где справедли вы при бли ж ени я: Ф ренеля, Ф раунгоф ера (дальняя зона), геомет ри ч еской опт и ки (т ени ). 3. И спользуя вы раж ени е (3.35), запи сат ь ви д си гналов в при бли ж ени и геомет ри ч еской опт и ки . Сч и т ая преобразовани е Ф ренеля наи более общ и м, рассч и т ат ь ви д си гнала в област и т ени , и спользуя программы П 1 и П 2 при z3 = 2a . № вари анта В и д объекта Геометри ч ески еразмеры объекта П ротяж енность области тени , z3 Расстояни едо зоны Ф ренеля, z1 Расстояни едо грани цы дальней зоны , z2 = (α / λ )a = ma

1

2

3

4

5

6

7

4. П о заданны м λ, z, a, и спользуя ф ормулу (3.39*) и ли (3.41), по предлож енны м программам П 1 и П 2 рассч и т ать распределени еи нт енси вност и ди ф ракци онного поля вдоль одной коорди нат ы , напри мер, х в при бли ж ени и Ф ренеля. П ост рои т ь граф и ки эт ого распределени я для разны х знач ени й 2 z1 = 2a;3a;6a; a / λ = (a / λ )a = ma . a/2

F ( x, z ) =

U ( x, z )

2

2 U ( x, z ) max

=

( x − x1 ) 2 exp[ jk ]dx1 ∫ 2 z −a / 2 a/2

∫

−a / 2

exp[ jk

( x − x1 ) 2 ]dx1 2z

2

2

max

(3.39*)

5. П о граф и кам (4) сделать вы вод о том, ч то ви д поля ди ф ракци и в зоне Ф ренеля сущ ественно зави си т от расстояни я меж ду объектом и областью анали за. И зграф и ков долж но бы ть ви дно: намалы х расстояни ях ( z3 ≤ 2a ) поле ди ф ракци и при бли ж ается к полю объекта, а на больш и х расстояни ях ( z2 ≥ 15a ) оно совпадаетс пространственны м спектром поля объекта. П ронаблю дать и зменени е ф ормы и ш и ри ны главного лепестка, ч и слаи уровнябоковы х лепестков. 6. П о заданны м λ, z, а и ли ρ 0, и спользуя ф ормулы (3.43; 3.50; 3.54), а т акж е предлож енны е программы П 3, П 4, П 5, рассч и т ат ь одномерное распределени е и нт енси вност ей ди ф ракци онного поля в дальней зоне. П ост рои т ь сеч ени еД Н . F ( x, z ) =

U ( x, z )

2

2

U ( x, z ) max

Е сли в ф ормулах (3.43) (3.50) и (3.54), а т акж е в результ ат ах экспери мент а, x / z = tgθ и ρ / z = tgθ замени т ь наsinθ, ч т о мож но сделат ь справедли вы м при o малы х θ ( θ ≤ 15 ), т о и х мож но запи сат ь вугловы х коорди нат ах (при α=0, y=0) вви де U (θ )

2

2

U (θ ) max U (θ )

a sin(k sin θ ) 2 = , a k sin θ 2

(3.43*)

2 J1 ( k ρ sin θ ) , k ρ sin θ

(3.54*)

2

2 U (θ ) max

=

В ы раж ени я (3.43*), (3.54*) совпадаю т с сеч ени ем ди аграмм направленност и и злуч ат елей , и мею щ и х прямоугольны е и ли круглы е раскры вы . Д ля определени я ш и ри ны основного лепест ка ди ф ракци онного полявугловы х коорди нат ах при эт ом мож но пользоват ьсяуслови ями (3.45) и (3.55), при ч ем впоследней ф ормулеследуетполож и т ь ∆ρ = ∆x . 7. П о граф и ку (п.6), а т акж е по ф ормулам (3.44; 3.45; 3.47; 3.48; 3.55) определи т ь разреш аю щ ую способност ь - ш и ри ну основного лепест каси ст ем с прямоугольны ми и круглы ми аперт урами в ли ней ной и круговой си ст еме коорди натна 0-м уровне и уровне полови нной мощ ност и . О предели т ьт акж е уровень боковы х лепест ков 8. Д ля удобст ва анали за результ ат ов и сследовани й граф и ки расч ет ны х знач ени й и нт енси вност и ди ф ракци онного поля (п.п. 4;6) ст рои т ь в одном масш т абес экспери мент альны ми осци ллограммами (пп3;4;7 §3.9)

3.9.И змерени яи расч ет ы влаборат орной работ е 1 .У ст анови т ь скани рую щ ее уст рой ст во в област и геомет ри ч еской опт и ки на z3 = 2a и снят ь ампли тудное распределени е полявэт ой област и . Сделать вы воды . 2.У ст анови ть скани рую щ ее уст рой ст во в област и Ф ренеля и снять 2 ампли тудное распределени е поля e(x)~|U(x)| вдоль одной коорди нат ы в эт ом при бли ж ени и (расст ояни е z1 при эт ом взят ьт акое ж е, ч т о и в п.4 домаш него задани я z1 = 3a ); 3. П о результ ат ам экспери мент а пост рои т ь граф и к норми рованны х знач ени й и нт енси вност и поляди ф ракци и в зоне Ф ренеля. Граф и к и зобрази т ь наодном ри с. с результ ат ами расч ета (п.4 домаш него задани я z1 = 3a ) П о экспери мент альны м данны м определи т ь ш и ри ну основного лепест ка на уровне 0,5, а т акж е полож ени е и уровень 1-го бокового лепестка. Сравни т ь экспери мент альны ерезульт ат ы с результат ами расч ет ов, сделат ь вы воды . П ри меч ани е. Д ляудобст ваанали зарезульт ат овэкспери мент аи сравнени я и х с расч ет ны ми данны ми мож но порекомендоват ь следую щ ее: за х 0=0 при нят ь показани е намерной ли ней ке, вдоль кот орой перемещ ает сякареткас дет ект орной секци ей , N0=37.5 см. О предели т ь масш т аб получ енны х осци ллограмм дляч его нани х от мет ит ь знач ени яx1 нач алаи х 2 концазапи си . В эт ом случ ае n = ( x2 − x1 ) / N см/дел, где N – ч и сло делени й и ли дли на осци ллограммы . Д ля си нх рони заци и запи си с перемещ ени ем при емной ант енны 7 необх оди мо одновременно вклю ч и т ь дви гат ели перемещ ени я карет ки 9 и бумаж ной лент ы самопи сца 11 (ри с. 3.10). Н орми ровку осущ ест влят ь, при нявmax показани яосци ллограмм за1. 4. У ст анови ть скани рую щ ее уст рой ст во с при емной ант енной в дальней зоне объект а (на расст ояни и z2 = ma п. 3 домаш него задани я) и снят ь 2 ампли т удное распределени е поля е(х )~ |U(x)| вдоль одной коорди нат ы в при бли ж ени и Ф раунгоф ера. 5.П ровест и норми ровку получ енны х знач ени й и пост рои т ь граф и к 2

e( x) / e( x) max ≈ U ( x ) / U ( x)max распределени я и нт енси вност и ди ф ракци онного поля. Граф и к и зобрази т ь на одном ри сунке с результ ат ами расч ет а (п.6 домаш него задани я). 6.П о экспери мент альны м результ ат ам определи т ь ш и ри ну основного лепест капрост ранст венного спект ра(Д Н ) на0 уровнеи уровне 0,5 мощ ност и. О предели т ьт акж еУ БЛ и и х ори ент аци ю . 7.И змени т ь угол падени яα элект ромагни т ного полянаплоски й объект5 смещ ени ем передаю щ ей ант енны 3 в гори зонтальной плоскост и . И змери т ь этотугол. Снят ь ампли тудноераспределени еполявэт ом случ аеи определи ть ли ней ное и угловое смещ ени е полож ени яосновного лепесткаД Н . П ровери ть прави льност ь ут верж дени я (ри с.3.6 и ф ормула 3.42), ч т о угол ори ент аци и основного лепест ка Д Н совпадает с углом падени я плоской волны на от верст и е в экране и ли ч т о макси мум ди ф ракци онного поля ори ент и рован в направлени и нормали к ф азовомуф ронту ф ункци и возбуж дени яи злуч ат еля.

8.В озьми т е объектпрот яж енност ью а'=nа, ( n > 1 ). Э кспери мент ально и т еорет и ч ески проверьт е утверж дени е, ч т о ш и ри наосновного лепест каД Н и ли разреш аю щ аяспособност ь и змени т сяпри эт ом вn раз. 3.10. К онт рольны евопросы 1. Ф и зи ч ески й смы слт еорем Гри наи Гельмгольца. 2. Грани ч ны е услови я К и рх гоф а, упрощ аю щ и е реш ени е ди ф ракци онны х задач . 3. В ы борф ункци и Гри наи ви дди ф ракци онного поляпри эт ом. 4. Д альней ш и е при бли ж ени я, упрощ аю щ и е реш ени е ди ф ракци онны х задач . О бщ ее вы раж ени е и мпульсной х аракт ери ст и ки в зоне и злуч ени я и ее ф и зи ч ески й смы сл. 5. К ри т ери й Релея. 6. К оэф ф и ци ентпередач и ли ней ной среды распрост ранени яи его смы сл. 7. Знач ени е и мпульсной х аракт ери ст и ки и коэф ф и ци ент а передач и в при бли ж ени и геомет ри ч еской оптики , Ф ренеля, Ф раунгоф ера. 8. Грани цы при бли ж ени й и ви дси гналавкаж дом и зпри бли ж ени й . 9. П олевпри бли ж ени и Ф раунгоф ера- прост ранственны й спект р и ли Д Н вх одного си гнала. У гловой и прост ранственны й спект рси гнала. 10. В и дполяотпрямоугольного объект авпри бли ж ени и Ф ренеля. 11. В и д ди ф ракци онного поля в дальней зоне и в зоне т ени от прямоугольного и круглого объект ов. 12. А нали з Д Н прямоугольной аперт уры с U(x,y) = Uo в угловы х и ли ней ны х коорди нат ах . Ш и ри на основного лепест ка и уровень боковы х лепест ков. 13. К ак заф и кси роват ь спект ральную плот ност ь вх одного си гнала? 14. К ак заф и кси роват ь в экспери мент ах Е и ли Н компонент ы элект ромагни т ного поляи вкаки х еди ни цах они и змеряю т ся? 15. К ак связаны Е и Н компонент ы полявзонеи злуч ени я? 16. У равнени я составляю щ и х поля в прямоугольном волноводе при волнах т и паТ Е и и х ст руктура. 17. К ри т и ч еская дли на волны и ди сперси я волн в прямоугольном волноводе.

3. 11. Содерж ани е от ч ет а 1. Э ски зы и сследуемы х объект ов. 2. О бщ ая сх ема экспери мент альной уст ановки , основны е парамет ры от дельны х каскадови при нци пы и х работ ы. 3. Грани цы всех при бли ж ени й дляи сследуемы х объектов. 4. Результ ат ы расч ет аи нт енси вност и ди ф ракци онного поляи сследуемы х объект оввразли ч ны х област ях . 5. Знач ени я основны х парамет ров и нт енси вност и прост ранст венного спект раи сследуемы х объект оввугловы х и ли ней ны х коорди нат ах . 6. Результ ат ы экспери мент ального и сследовани я поля ди ф ракци и во всех зонах и сравнени еи х с расч ет ны ми . 7. В ы воды и з результ ат ов сравни т ельного анали за получ енны х результ ат ов. Л и тература О сновнаяли т ерат ура 1. В ай нш тей н Л .А . Т еори яди ф ракци и . Э лектрони каСВ Ч / Л .А . В ай нш тей н. – М .: Ради о и связь, 1995. – 600 с. 2. Гудмен Д ж . В ведени евФ урье- опт и ку / Д ж . Гудмен. - М . ; 1970. – С. 50-93. 3. Борн М . О сновы опти ки / М . Борн, Э . В ольф . - М .: Н аука, 1973. – 719 с. 4. Л и тви ненко О .Н . О сновы ради оопти ки / О .Н . Л и тви ненко. – К и ев, 1974. – С. 69-100. Д ополни тельнаяли тература 5. Ф ради н А .З. А нтенно-ф и дерны еустрой ства/ А .З. Ф ради н. - М ., 1977. С. 239-263. 6. А каев А .А . О пт и ч ески е мет оды обработ ки и нф ормаци и / А .А . А каев, С.А . М ай оров. - М ., 1988. - С. 7-21. 7. Справоч ни к по специ альны м ф ункци ям с ф ормулами , граф и ками и мат емат и ч ески ми т абли цами / пер. с англ.; подред. М . А брамови ца, И .Ст и ган. - М .: Н аука, 1979. - 830 с. 8. Задач и с реш ени ями по ради оф и зи ч ески м курсам длястудентовдневного и веч ернего обуч ени я / Сост . А .В . Зю льков, И .Ф . Струков. – В оронеж : В оронеж ски й государственны й уни верси тет , 2001. – Ч . 1. – 33 с.; Ч . 2. – 33 с. 9. Ст руков И . Ф . И сследовани е ди аграмм направленности и коэф ф и ци ент а направленного дей стви яапертурны х ант енн СВ Ч ди апазона: уч еб. пособи е / И .Ф . Ст руков, В .К . Бутей ко. – В оронеж : В оронеж ски й государственны й уни верси тет , 2003. Ч . 1. – 43 с.

При ложени е I 1) П рограмма для расч ета на Э В М одномерного распределени я и нтенси вности поля ди ф ракци и для прямоугольны х объектов, облуч аемы х плоской волной . П рограмма составлена на язы ке Pascal. П оле рассч и ты вается для сеч ени я в зоне Ф ренеля и ли дальней зоне с и спользовани ем ф ормулы (3.39*) взави си мости отвели ч и ны z a

 jk

∫ U0 exp  2z ( x − x1)

−a

2

| U ( x, z) | = | U ( x, z) |2max

2 2

a

 dx1 

=

2 2

2

 jk

∫ U0 exp  2z ( x − x1)

−a

2

 dx1 

2

(3.39*)

max 2

V1

=

2

V1

π 2 π 2 ∫ cos( 2 t )dt + ∫ sin( 2 t )dt V2 V2

2

2 2  V1 V1 π π 2 2  cos( t )dt + sin( t )dt  ∫ 2  ∫  2 2 2 V V  max

k k k ( x − a ), V 2 = ( x + a ), t = ( x − x1 ) 2 2 πz πz πz 2) П рограмма расч ета распределени я и нтенси вности поля ди ф ракци и от прямоугольного отверсти я при поли номи альной аппрокси маци и и нтегральны х коси нусаи си нуса C (V ), S (V ) вф ормуле(3.41)

где V 1 =

2

C (V1 ) − C (V2 ) + S (V1 ) − S (V2 ) | U ( x, z ) |2 = 2 2 | U ( x, z ) |2 max C (V1 ) − C (V2 ) + S (V1 ) − S (V2 )

(

2

)

(3.41) max

П рограммы (1-2) могутбы ть и спользованы и для расч ета Д Н рупорны х антенн, если распределени е поля в дальней зоне при вести к ви ду правой ч асти (3.39*). Н и ж е при води тся ви д поли номи альной аппрокси маци и и нтеграловФ ренеля[6] C (v ) ≈ 1/ 2 + f (v)sin[(π / 2)v 2 ] − g ( v)cos[(π / 2) v 2 ] S (v) ≈ 1/ 2 − f (v)cos[(π / 2)v 2 ] − g (v)sin[(π / 2) v 2 ] ,

1 + 0.926v 1 + ε ; g (v ) = +ε ; 2 2 + 1.792v + 3.104v 2 + 4.141v + 3.492v 2 + 6.67v3 0 ≤ v < ∞ ; ε < 10−8

где f (v) =

program LabRab_Difraction_1_2; uses Graph; const pi=3.1415926; var GraphDriver, GraphMode, ErrorCode, Xm, Ym, j, N, i : integer; v1, v2, Icos, Isin, max, a, z, x, dx, t, lambda, koef: real; m : array [-400..400] of real; { Ф ункци яU(x) - вы ч и слени еполяч ерези нтеграл } function U (x:real):real; begin v1:=sqrt(2/z)*(x-a/2); v2:=sqrt(2/z)*(x+a/2); Icos:=0; Isin:=0; N:=100; koef:=1; for j:=1 to N do begin t:=pi/2*sqr(v1+(v2-v1)/N*j); {koef:=sqr(cos(arctan(t/sqrt(2/z)/z)/2))*1/sqrt((sqr(z)+sqr(t/sqrt(2/z))));} Icos:=Icos+cos(t)*koef; { koef - дляуч етакоэф ф и ци ентов1/R и cos^2(fe/2) } Isin:=Isin+sin(t)*koef; end; U:=sqr(Icos)+sqr(Isin); end; { Ф ункци яU1(x) - вы ч и слени еполяч ерезполи номы } function U1 (x:real):real; function f(x:real):real; begin f:=(1+0.926*x)/(2+1.792*x+3.104*x*x); end; function g(x:real):real; begin g:=1/(2+4.141*x+3.492*x*x+6.67*x*x*x); end; function c(x:real):real; begin if x>0 then c:=1/2+f(x)*sin(pi/2*sqr(x))-g(x)*cos(pi/2*sqr(x)) else c:=-(1/2+f(-x)*sin(pi/2*sqr(x))-g(-x)*cos(pi/2*sqr(x))); end; function s(x:real):real; begin if x>0 then s:=1/2-f(x)*cos(pi/2*sqr(x))-g(x)*sin(pi/2*sqr(x)) else s:=-(1/2-f(-x)*cos(pi/2*sqr(x))-g(-x)*sin(pi/2*sqr(x))); end; begin v1:=sqrt(2/z)*(x-a/2); v2:=sqrt(2/z)*(x+a/2); U1:=sqr(c(v1)-c(v2))+sqr(s(v1)-s(v2)); end; { П роцедураи ни ци али заци и граф и ки } procedure init;

begin GraphDriver:=Detect; InitGraph (GraphDriver, GraphMode, ''); ErrorCode:=GraphResult; if ErrorCodegrOk then begin writeln ('Error: ', GraphErrorMsg(ErrorCode)); readln; end; end; { П роцедурапостроени якоорди натной сетки } procedure XYplot; begin Line (Xm, 0, Xm, round(Ym*0.9)); Line (0, Round(0.9*Ym), Xm*2, Round(0.9*Ym)); OutTextXY (Xm+15, 5, 'I(x)'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.45), '0.5'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.26), '0.7'); OutTextXY (Xm*2-25, Round(0.9*Ym)-10, 'x/a'); for i:=-6 to 6 do begin line(round(Xm+i/6*Xm), round(Ym*0.9)+5, round(Xm+i/6*Xm), round(Ym*0.9)); OutTextXY (round(Xm+i/6*Xm*0.985)-3, Round(0.92*Ym)+5, chr(48+abs(i))); end; end; BEGIN Writeln('Р ассчет поляди фракци и волноводной и ли рупорной антенны при м алых квадрати чных фазовых и скажени ях.'); WriteLn('Bвeди тe дли ну волны, разм ер и злучателяи расстояни е до э кранав одни х еди ни цах:'); Write('lambda='); ReadLn(lambda); Write('a='); ReadLn(a); Write('z='); ReadLn(z); a:=a/lambda; z:=z/lambda; {П еревод вбезразмерны е вели ч и ны } init; Xm:=GetMaxX div 2; Ym:=GetMaxY; XYplot; max:=0; SetColor(14); write('Черезполи ном ы (желтый) ... '); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U1(i/Xm*a*6); {И зменени еx от-6a до 6a} if m[i]>max then max:=m[i]; {П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); max:=0; SetColor(13); write('Черези нтеграл (розовый) ... '); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U(i/Xm*a*6); {И зменени еx от-6a до 6a} if m[i]>max then max:=m[i]; {П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin

Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); OutTextXY (10, Ym-15, 'Press any key'); ReadLn; CloseGraph; END. Н а ри с. 3.11, 3.12 представлено распределени е и нтенси вности поля ди ф ракци и в зоне Ф ренеля (z2=a/2; z2=2a) вдоль x коорди наты от прямоугольного отверсти я размером a=10λ, λ=4 м м . П оле рассч и тано ч ерез и нтеграл Ф ренеля (3.39*) и поли номи альной аппрокси маци и и нтегральны х коси нусаи си нусавф ормуле(3.41) I(x)

3

2

1

0

1

2

3 x/a

z2=2a

Ри с. 3.11 I(x)

3 z2=a/2

2

1

0

1

2

3 x/a

Ри с. 3.12

3) П рограмма для расч ета на Э В М одномерного распределени я и нтенси вности поля ди ф ракци и от прямоугольного отверсти я в непрозрач ном экране. П рограмма составлена на язы ке Pascal. П оле рассч и ты ваетсявдальней зоне по ф ормуле(3.43) 2

2

G (ω ,0) | U ( x, z ) |2 = | U ( x, z ) |2 max G (ω ,0) 2 max

 ka x  sin  ( − sin α )  2 z  . = ka x ( − sin α ) 2 z

(3.43)

program LabRab_Difraction_3; uses Graph; const pi=3.1415926; var GraphDriver, GraphMode, ErrorCode, Xm, Ym, i : integer; max, a, z, x, t, lambda, alfa: real; m : array [-400..400] of real; { Задани еф ункци и U(x) - вы ч и слени еД Н по ф ормуле } function U (x:real):real; function sinc(x:real):real; begin if x=0 then sinc:=1 else sinc:=sin(x)/x; end; begin t:=pi*a*(x/z-sin(alfa)); U:=sqr(sinc(t))*sqr(cos(arctan(x/z)/2))*1/(sqr(x)+sqr(z)); end; { П роцедураи ни ци али заци и граф и ки } procedure init; begin GraphDriver:=Detect; InitGraph (GraphDriver, GraphMode, ''); ErrorCode:=GraphResult; if ErrorCodegrOk then begin writeln ('Error: ', GraphErrorMsg(ErrorCode)); readln; end; end; { П роцедурапостроени якоорди натной сетки } procedure XYplot; begin Line (Xm, 0, Xm, round(Ym*0.9)); Line (0, Round(0.9*Ym), Xm*2, Round(0.9*Ym)); OutTextXY (Xm+15, 5, 'I(x)'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.45), '0.5'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.26), '0.7'); OutTextXY (Xm*2-55, Round(0.9*Ym)-10, 'x, у.е.'); for i:=-5 to 5 do begin line(round(Xm+i/5*Xm),round(Ym*0.9)+5,round(Xm+i/5*Xm),round( Ym*0.9)); OutTextXY (round(Xm+i/5*Xm*0.985)-3, Round(0.92*Ym)+5, chr(48+abs(i))+'0'); end; end; BEGIN Writeln('И нтенси вность поляди фракци и от прям оуголь ного отверсти яв даль ней зоне.');

WriteLn('Bвeди тe дли ну волны и разм ер отверсти яв одни х еди ни цах:'); Write('lambda='); ReadLn(lambda); Write('a='); ReadLn(a); WriteLn('Bвeди тe угол наклонападаю щ ей плоской волны в ради анах:'); Write('alfa='); ReadLn(alfa); a:=a/lambda; {П еревод вбезразмерны евели ч и ны } z:=sqr(a); init; Xm:=GetMaxX div 2; Ym:=GetMaxY; XYplot; max:=0; SetColor(14); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U(i/Xm*50/lambda); { И зменени еx от-50 до 50 } if m[i]>max then max:=m[i]; { П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; OutTextXY (10, Ym-15, 'Press any key'); ReadLn; CloseGraph; END. Д ля при мера на ри с. 3.13 представлено одномерное распределени е и нтенси вности поля ди ф ракци и в дальней зоне (z=a2/λ) отпрямоугольного отверсти яразмером axb=10 λx10 λ, λ=4 м м . П олеопределено по (3.43) I(x)

20

10

0 Ри с. 3.13

10

20 x

4) П рограмма для расч ета на Э В М распределени я и нтенси вности поля ди ф ракци и от круглого отверсти я в непрозрач ном экране. П рограмма составлена на язы ке Pascal. П оле рассч и ты вается в дальней зоне при помощ и ф ормулы (3.50) при φ=0 2π ρ0

| U ( ρ , z ) |2 = | U ( ρ , z ) |2 max

∫∫ 0 0

2π ρ0

 − jk ρρ1 cos(ϕ1 )  ρ1 exp  d ρ1dϕ1 z    − jk ρρ1 cos(ϕ1 )  d ρ1dϕ1 z 

∫ ∫ ρ1 exp  0 0

2

2

(3.50)

max

5) П рограмма расч ета распределени я и нтенси вности поля ди ф ракци и от круглого отверсти я в случ ае аппрокси маци и ф ункци и Бесселя в ф ормуле (3.54) поли номом [6]. | U ( ρ ) |2 J1 ( ρ ) = 2 ρ | U ( ρ ) |2 max

2

Н и ж е при води тся ви д поли номи альной Бесселя J1 ( x) [6]. П ри

3≤ x < ∞

(3.54) аппрокси маци и ф ункци и

J1 ( x) = x −1/ 2 f1 ( x)cosθ1 ,

где

f1 ( x) = 0.79758456 + 0.00000156(3/ x ) + 0.01659667(3/ x )2 + 0.000171105(3/ x)3 − −0.00249511(3/ x )4 + 0.00113653(3/ x )5 + 0.00020033(3/ x )6 + ε1; θ1 = x − 2.35619449 + 0.12499612(3/ x ) + 0.00005650(3/ x )2 − 0.00637879(3/ x)3 + +0.00074348(3/ x)4 + 0.00079824(3/ x )5 − 0.00029166(3/ x )6 + ε 2 ; ε1 < 4 ⋅ 10−8 ; ε 2 < 9 ⋅ 10−9

П ри −3 < x < 3 J1 ( x) / x = 1/ 2 − 0.56249985( x / 3) 2 + 0.21093573( x / 3) 4 − 0.03954289( x / 3)6 + +0.00443319( x / 3)8 − 0.00031761( x / 3)10 + 0.00001109( x / 3)12 + ε ; ε < 1.3 ⋅10−8 program LabRab_Difraction_4_5; uses Graph; const pi=3.1415926; var GraphDriver, GraphMode, ErrorCode, Xm, Ym, j1,j2, N, i : integer; fe1, ro1, Icos, Isin, max, ro0, z, lambda, koef: real; m : array [-400..400] of real; { Ф ункци яU(ro) - вы ч и слени еД Н ч ерези нтеграл } function U (ro:real):real; begin Icos:=0; Isin:=0; N:=20;

for j1:=1 to N do for j2:=1 to N do begin fe1:=2*pi*j1/N; ro1:=ro0*j2/N; Icos:=Icos+cos(2*pi/z*ro1*ro*cos(fe1))*ro1; Isin:=Isin+sin(2*pi/z*ro1*ro*cos(fe1))*ro1; end; U:=(sqr(Icos)+sqr(Isin)) *sqr(cos(arctan(ro/z)/2)); end; { Ф ункци яU1(ro) - вы ч и слени еД Н ч ерезполи номы } function U1 (ro:real):real; function f(x:real):real; begin f:=0.79788456+0.00000156*x+0.01659667*x*x+0.00017105*x*x*x 0.00249511*x*x*x*x+0.00113653*x*x*x*x*x+0.00020033*x*x*x*x*x* x; end; function t(x:real):real; begin t:=-2.35619449+0.12499612*x+0.00005650*x*x-0.00637879*x*x*x +0.000743448*x*x*x*x+0.00079824*x*x*x*x*x+0.00029166*x*x*x*x* x*x; end; function g(x:real):real; begin g:=-0.56249985*x+0.21093573*x*x-0.03954289*x*x*x +0.00443319*x*x*x*x0.00031761*x*x*x*x*x+0.00001109*x*x*x*x*x*x; end; function J(x:real):real; begin if x>=3 then J:=1/x*1/sqrt(x)*f(3/x)*cos(x+t(3/x)) else J:=(1/2+g(sqr(x/3))); end; begin if ro>0 then U1:=sqr(J(ro/ro0*1.61)) else U1:=sqr(J(-ro/ro0*1.61)); end; { П роцедураи ни ци али заци и граф и ки } procedure init; begin GraphDriver:=Detect; InitGraph (GraphDriver, GraphMode, ''); ErrorCode:=GraphResult; if ErrorCodegrOk then begin writeln ('Error: ', GraphErrorMsg(ErrorCode)); readln; end; end; { П роцедурапостроени якоорди натной сетки } procedure XYplot; begin Line (Xm, 0, Xm, round(Ym*0.9)); Line (0, Round(0.9*Ym), Xm*2, Round(0.9*Ym));

OutTextXY (Xm+15, 5, 'I(ro)'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.45), '0.5'); OutTextXY (Xm+8, Round(Ym*0.26), '0.7'); OutTextXY (Xm*2-65, Round(0.9*Ym)-10, 'ro, у.е.'); for i:=-5 to 5 do begin line(round(Xm+i/5*Xm), round(Ym*0.9)+5, round(Xm+i/5*Xm), round(Ym*0.9)); OutTextXY (round(Xm+i/5*Xm*0.985)-3, Round(0.92*Ym)+5, chr(48+abs(i))+'0'); end; end; BEGIN Writeln('Д Н волноводной и ли рупорной антенны при м алых квадрати чных фазовых и скажени ях'); WriteLn('Bвeди тe дли ну волны и ради ус отверсти яв одни х еди ни цах:'); Write('lambda='); ReadLn(lambda); Write('ro0='); ReadLn(ro0); ro0:=ro0/lambda; {П ерех од к безразмерной вели ч и не} z:=sqr(2*ro0); init; Xm:=GetMaxX div 2; Ym:=GetMaxY; XYplot; max:=0; SetColor(14); write('Черезполи ном ы (желтый) ... '); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U1(i/Xm*50/lambda); {И зменени е ro от-50 до 50} if m[i]>max then max:=m[i]; {П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); max:=0; SetColor(13); write('Черези нтеграл (розовый) ... '); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U(i/Xm*50/lambda); {И зменени еro от-50 до 50} if m[i]>max then max:=m[i]; {П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); OutTextXY (10, Ym-15, 'Press any key'); ReadLn; CloseGraph; END.

Н а ри с. 3.14 и зображ ено распределени е и нтенси вности поля ди ф ракци и в дальней зоне (z=(2ρ0)2/λ) от круглого отверсти я ради уса ρ0=5λ, рассч и танное по (3.50) при φ =0, λ=4 м м . I(r0)

20

10

0

10

20 r0

Ри с. 3.14 6) П рограмма для расч ета на Э В М ди аграммы направленности по мощ ности зеркальной антенны , распределени е поля в раскры ве которой опи сы ваетсяф ормулой   ρ 2  U ( ρ1 ) = ∆ + (1 − ∆ ) 1 −  1     ρ0    

n

(3.59)

П рограммасоставленанаязы ке Pascal. Д Н рассч и ты ваетсявдальней зонепо ф ормуле  2 n   ρ   2 θ  ∫ cos ( 2 ) ∆ + (1 − ∆)1−  ρ10    ρ1 exp{− jkρ1 sin(θ )cos(ϕ1)}d ρ1dϕ1 0    

2π ρ0

| F (θ ) | = | F (θ ) |2max

∫

2

0

 2 n     ρ 2 θ   ∫ cos ( 2 ) ∆ + (1− ∆)1−  ρ10    ρ1 exp{− jkρ1 sin(θ )cos(ϕ1)}d ρ1dϕ1 0    

2π ρ0

∫ 0

(3.60) Снач ала строи тся распределени е и нтенси вности с заданны м знач ени ем ∆ , а затем, для сравнени я, со знач ени ем ∆ =1 – случ ай равномерного распределени яи нтенси вности и злуч ени яантенны .

2

2

max

program LabRab_Difraction_6; uses Graph; const pi=3.1415926; var GraphDriver, GraphMode, ErrorCode, Xm, Ym, j1,j2, N, i, nn : integer; fe, ro, Icos, Isin, max, ro0, x, z, lambda, delta, mno: real; m : array [-400..400] of real; { Ф ункци яU(teta) - вы ч и слени еД Н } function U (teta:real):real; begin Icos:=0; Isin:=0; N:=20; for j1:=1 to N do for j2:=1 to N do begin fe:=2*pi*j1/N; ro:=ro0*j2/N; if romax then max:=m[i]; {П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); delta:=1; write('delta=',delta:3:2,' (розовый) ... '); max:=0; SetColor(13); for i:=-Xm to Xm do begin m[i]:=U(i/Xm*pi/2); { И зменени еteta от-pi/2 до pi/2 } if m[i]>max then max:=m[i]; { П ои ск макси мумадлянорми ровки } end; for i:=-Xm to Xm-1 do begin Line(i+Xm, Round(Ym*(0.9-m[i]/max*0.9)),i+Xm+1,Round(Ym*(0.9m[i+1]/max*0.9))); end; writeln('OK'); OutTextXY (10, Ym-15, 'Press any key'); ReadLn; CloseGraph; END.

Н ари с. 3.15 – 3.18 представлены при меры ди аграмм направленности по мощ ности зеркальной антенны ради усаρ0=15λ, λ=8 м м , рассч и танны епо ф ормуле(3.60).

I(teta)

0,06

0,02

0 0,02

I(teta)

0,06 0,06 teta, rad

n=1; Δ =0 (сплош ная ли ни я); Δ =1 (пункти рнаяли ни я)

0,02

Ри с. 3.16

I(teta)

0,02

0,06 teta, rad

n=1; Δ =0,5 (сплош наяли ни я); Δ =1 (пункти рнаяли ни я)

Ри с. 3.15

0,06

0 0,02

0 0,02

I(teta)

0,06 0,06 teta, rad

0,02

0 0,02

0,06 teta, rad

n=2; Δ =0 (сплош ная ли ни я); Δ =1 (пункти рнаяли ни я)

n=2; Δ =0,5 (сплош наяли ни я); Δ =1 (пункти рнаяли ни я)

Ри с. 3.17

Ри с. 3.18

При ложени е II П рограммы длярасч етаи нтенси вности поляди ф ракци и вслуч аях 1), 2), 3), 4), 5) и Д Н зеркальной антенны 6) – см. П ри лож ени е I. П рограммы вы полнены всредематемати ч еского модели ровани яMathсad. № 1. Д и ф ракци янапрямоугольном отверсти и . ЗонаФ ренеля. Расч етч ерези нтеграл Ф ренеля

λ := 0.4

k := 2 ⋅

π λ

a := 15 ⋅ λ

imax := 100 j := 1 .. 4 i := 0 .. 2 ⋅ imax

  U ( x , z) :=    

2

a ⌠2

   a ⌡−

2

  x := i − imax ⋅20  k ⋅( x − x1) 2  dx1  i imax exp i⋅  2 ⋅ z     

a z2 := 2 ⋅a z3 := 6 ⋅a z4 := 15 ⋅a 2 u1i := U ( xi , z1) u2i := U ( xi , z2) u3i := U ( xi , z3) u4i := U ( xi , z4) z1 :=

u1max := max( u1) u2max := max( u2)

u3max := max( u3) u4max := max( u4) u1i :=

u1i u1max

u2i :=

u2i u2max

u3i :=

u3i u3max

u4i :=

u4i u4max

1

u2i u1i

0.5

0

20

15

10

5

0

xi 1

5

10

15

20

5

10

15

20

xi

u4i u3i

0.5

0

20

15

10

5

0

xi

№ 2. Д и ф ракци янапрямоугольном отверсти и . ЗонаФ ренеля. Расч етч ерезполи номы . 1

u2i u1i

0.5

0

20

15

10

5

0

xi

5

10

15

20

1

u4i u3i

0.5

0

20

15

10

5

0

5

10

15

20

xi

№ 3. Д и ф ракци янапрямоугольном от верст и и . Д альняязона. Расч етпо ф ормуле.

λ := 0.4

k := 2 ⋅

π λ

a := 15 ⋅λ

z :=

a

2

λ

imax := 100

j := 1 .. 4

i := 0 .. 2 ⋅imax

 sink ⋅ x − sin( α )  ⋅ a       z    2 U0 ( x , α ) :=   k ⋅ x − sin( α )  ⋅ a    z  2 U ( x , α ) :=

U0 ( x , α ) if

    

2

x − sin( α ) ≠ 0 z

1 otherwise

α1 := 0

(

u1i := U xi , α1

α2 := 0.1

)

(

)

u2i := U xi , α2

u1max := max( u1) u2max := max( u2) u1i u2i u1i := u2i := u1max u2max

xi :=

i − imax ⋅20 imax

0.8

u1i

0.6

u2i 0.4

0.2

0

20

15

10

5

0

5

10

15

20

xi

№ 4. Д Н круглого и злуч ат еля. Расч етч ерези нт еграл.

λ := 0.4 k := 2 ⋅

 U ( ρ , z , ρ0) :=    ρ01 := 5 ⋅λ

π λ 2 ⋅π

⌠   ⌡0

⌠   ⌡0

λ

)

TOL := 0.01

i := 0 .. 2 ⋅imax

xi :=

2

ρ02 := 10 ⋅λ

z2 :=

(

)

u1i := U xi , z1 , ρ01

u2i := U xi , z2 , ρ02

u1max := max( u1)

u2max := max( u2)

u1i

u2i

u1i :=

u1max

i − imax ⋅30 imax

 k   ρ1 ⋅exp i⋅ ⋅ρ ⋅ρ1 ⋅cos ( φ1)  dρ1 dφ1    z  

( 2 ⋅ρ01)

z1 :=

(

ρ0

imax := 50

u2i :=

u2max

( 2 ⋅ρ02) 2 λ

2

0.8

0.6 u2i u1i 0.4

0.2

0

30

20

10

0

10

20

30

xi

№ 5. Д Н круглого и злуч ат еля. Расч етч ерезполи номы . a0 := 0.79788456 a1 := 0.00000156 a2 := 0.01659667 a3 := 0.00017105 a4 := 0.00249511 a5 := 0.00113653 a6 := 0.00020033 b0 := −2.35619449 b1 := 0.12499612 b2 := 0.00005650 b3 := 0.00637879 b4 := 0.000743448 b5 := 0.00079824 b6 := 0.00029166 1 c1 := 0.56249985 c2 := 0.21093573 c3 := 0.03954289 c0 := 2

imax:= 100 i := 0.. 2⋅imax x := i

i − imax ⋅30 imax

c4 := 0.00443319 c5 := 0.00031761 c6 := 0.00001109 2

3

4

5

λ := 0.4

6

f1(y) := a0 + a1⋅y + a2⋅y + a3⋅y + a4⋅y + a5⋅y + a6⋅y 2

3

4

5

k := 2⋅

π λ

6

θ1(y) := b0 + b1⋅y + b2⋅y − b3⋅y + b4⋅y + b5⋅y − b6⋅y 2

3

4

5

6

J1(y) := c0 − c1⋅y + c2⋅y − c3⋅y + c4⋅y − c5⋅y + c6⋅y

 −3   2  3 3 U0(x) :=  x ⋅f1  ⋅cos x + θ1    if x > 3   x   x    x 2 J1   otherwise  3  ρ01:= 5⋅λ

z1:=

(i )

(2⋅ρ01)2 λ

ρ02:= 10λ ⋅

2

 ρ  U0 − ⋅m otherwise  ρ0  z2:=

(i )

u2 := U x , ρ02

u1max:= maxu1 ( ) u1

u2max:= maxu1 ( ) u2

i

2

 ρ ⋅m if ρ > 0   ρ0 

U( ρ , ρ0) := U0

u1 := U x , ρ01 i

m:= 1.61

(2⋅ρ02) 2 λ

0.8

0.6

u2 i u1 i 0.4

0.2

0

30

20

10

0

10

20

30

xi

№ 6. Д Н зеркальной антенны . Расч етч ерези нтеграл. TOL := 0.01

imax:= 50 λ := 0.4

k := 2⋅

  U( θ , ∆ , n ) :=   

⌠    ⌡

2⋅ π

0

π

ρ0 := 5⋅ λ

λ

⌠    ⌡

ρ0

0

(i

i

( 2⋅ ρ0)2

i := 0 .. 2⋅ imax

λ

∆2 := 1 n2 := 2

)

(i

u2 := U x , ∆2 , n2 i

u1max := max( u1)

u2max := max( u2)

u1

u2

u1 := i

i

u2 := i

u1max

i

u2max

0.8

0.6 u1 i u2 i 0.4

0.2

0

0.4

0.3

0.2

x := i

i − imax π ⋅ imax 10

 n  2  ρ      ( )  1 −     ⋅ ρ ⋅ exp( i⋅ k⋅ sin ( θ ) ⋅ ρ ⋅ cos ( φ) ) dρ dφ  ∆ 1 − ∆ + ⋅     ρ0     

∆1 := 0.1 n1 := 2 u1 := U x , ∆1 , n1

z :=

0.1

0 xi

0.1

0.2

0.3

0.4

)

2

С одержани е 1. В ведени е

3

2. О сновны есоотнош ени яи определени я

4

3. О пределени еполяди ф ракци и впри бли ж ени и Ф ренеля

11

4. П оледи ф ракци и впри бли ж ени и Ф раунгоф ера

13

5. П оледи ф ракци и впри бли ж ени и « тени »

14

6. П оледи ф ракци и впри бли ж ени и Ф ренеляи « тени » от прямоугольного отверсти явбесконеч ном экране

15

7. П оледи ф ракци и отпрямоугольного отверсти явпри бли ж ени и Ф раунгоф ера(вдальней зоне)

18

8. Д и ф ракци яплоской волны накруглом отверсти и в бесконеч ном экране 23 9. Э кспери ментальны й стенд

26

10. Д омаш нее задани е

27

11. И змерени яи расч еты влабораторной работе

29

12. К онтрольны евопросы

30

13. Содерж ани еотсч ета

31

14. Л и тература

31

15. П ри лож ени еI

32

16. П ри лож ени еII

45

А втор

СтруковИ ван Ф едотови ч

Редактор Т и х оми роваО . А .