Курс обыкновенных дифференциальных уравнений

Ю.Н.Бибиков КУРС ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В пособии содержатся все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагаются важные как в теоретическом, так и в прикладном отношении разделы по теории дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями и по теории устойчивости движения. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Основные обозначения 4 Глава I Дифференциальные уравнения первого порядка 5 § 1. Общие положения 5 § 2. Теорема существования 16 § 3. Теорема единственности 21 § 4. Общее решение 23 § 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной форме 25 § 6. Интегрирующий множитель 32 § 7. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные 36 относительно производной Глава II Нормальные системы дифференциальных уравнений. Вопросы 42 существования решений § 1. Вспомогательные сведения 42 § 2. Системы дифференциальных уравнений. Общие положения 48 § 3. Теорема существования и единственности 53 § 4. Продолжение решений 58 § 5. Системы дифференциальных уравнений общего вида 61 § 6. Автономные системы 63 Глава III Линейные дифференциальные уравнения 68 § 1. Общие положения 68 § 2. Линейные однородные уравнения 70 § 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 75 § 4. Линейные неоднородные уравнения 78 Глава IV Линейные системы дифференциальных уравнений 87 § 1. Линейные однородные системы 88 § 2. Фундаментальные матрицы 91 § 3. Подобные матрицы 98 § 4. Функции от матриц 101 § 5. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами 107 § 6. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами 114

§ 7. Линейные неоднородные системы § 8. Краевая задача § 9. Ограниченные решения линейных систем Глава V Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений § 1. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров § 2. Дифференцируемость решении по начальным данным и параметрам § 3. Периодические решения квазилинейных систем § 4. Автономные системы на плоскости § 5. Общее решение § 6. Общий интеграл Глава VI Аналитические нормальные системы дифференциальных уравнений § 1. Аналитические функции нескольких переменных § 2. Аналитичность решений по начальным данным и параметрам § 3. Метод малого параметра § 4. Аналитичность решений как функций независимой переменной § 5. Аналитическое продолжение решений § 6. Изолированные особенности линейной однородной системы § 7. Регулярная особенность линейного однородного уравнения второго порядка § 8. Линеаризация автономной системы в окрестности положения равновесия Глава VII Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений § 1. Устойчивость в малом § 2. Устойчивость по Ляпунову § 3. Устойчивость периодических решений квазилинейных уравнений в критических случаях § 4. Параметрический резонанс § 5. Второй метод Ляпунова Глава VIII Метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений § 1. Формальная и аналитическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений § 2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений § 3. Автономные системы на плоскости в окрестности положения равновесия § 4. Нормальная форма на инвариантной поверхности § 5. Первый метод Ляпунова § 6. Аналитическое семейство периодических решений § 7. Бифуркация периодических решений

119 124 127 130 130 135 141 149 158 161 170 170 174 177 190 195 198 202 210 218 218 222 231 241 244 253 253 255 256 262 268 272 278

§ 8. Нормальная форма периодической системы 281 § 9. Критический случай одного равного нулю характеристического 286 показателя. Алгебраический случай § 10. Критический случай одного нулевого характеристического показателя. 291 Трансцендентный случай Дополнение. Дифференциальное уравнение с частными производными 294 первого порядка Предметный указатель 299 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоколебания 156 Метод вариации произвольных постоянных 82, 120 Базис пространства решений 73, 90 — Коши 191, 206 Бифуркация 146, 185,281 — Ляпунова второй 244 Вронскиан 71, 92 — — первый 268 Выпрямляющий диффеоморфизм — малого параметра 177 161, 168 — неопределенных коэффициентов Группа решений линейной системы 79 108 — Эйлера 109 Дихотомия 127 Мультипликатор 115, 200 Задача Коши 50, 61 Нормализующее преобразование — краевая 124 стандартное 256 Зона неустойчивости 243 Нормальная форма системы 256 Изоклина 7 ——— на инвариантной поверхности Интеграл 96, 161 263 — общий 164 Отрезок Пеано 50 Интегральная кривая 50 Поле направлений 7 — поверхность 162 Понижение порядка системы 96, 165 Интегрирующий множитель 34 Последовательные приближения Квадратичная форма как функция Пикара 53 Ляпунова 249 Предельное множество 65 Квазинормальная форма системы 268 Приводимость 118 Критический случай 232, 252 Проблема центра и фокуса 181 —— алгебраический 288 Продолжение решения 58 —— трансцендентный 291 —-- аналитическое 195 Лемма Абеля 170 Производная в силу системы 162, 244 — Гронуолла 22 Резонанс 79, 144 Линеаризация 213 — параметрический 243 Логарифм матрицы 105 Резонансный коэффициент 256 Ломаная Эйлера 17 Решение 48, 191 Максимальный интервал — общее 158 существования решения 59 — ограниченное 123, 127 Матрица монодромии 115, 200 — особое 26, 39 — фундаментальная 92

— полное 59 — порождающее 141 — формальное 207 Ряд матричный 101 — степенной обобщенный 205 Седло 112, 258 Сепаратриса 271 Система дифференциальных уравнений 48 — — — автономная 63 — — — Вольтерра 153 — — — гамильтонова 168, 276 — — — квазилинейная 141 — — — линейная 52 — — — — неоднородная 119 — — — — однородная 88 — — — — — с периодическими коэффициентами 114 — — — — — с постоянными коэффициентами 107 — — — — — сопряженная 95 — — — нормальная 49 — — — обратимая 277 Существование периодического решения 85, 121, 141, 144 Теорема Лндронова — Витта 230 — Коши 191 — Ляпунова о разложении решений в ряды 270 — о дифференцируемости решения по начальным данным и параметрам 136, 140 — о непрерывности решений по начальным данным и параметрам 131 — о неявной функции 48, 173 — о существовании и единственности решения 56 — о существовании общего интеграла 164 — о существовании общего решения 160

— об аналитичности решений по начальным данным и параметрам 175 — об устойчивости по первому приближению 221, 227, 251, 252 — Пеано 19 — Пуанкаре о разложении решений в ряды 175 — Фукса 205 Теория Флокс 114 Точка особая иррегулярная 202 — — — подвижная 197 — — регулярная 202 — предельная 65 Траектория 50 — замкнутая 65 Узел 112, 257 Уравнение бифуркационное 146, 187, 281 — дифференциальное Бернулли 15 — — Бссселя 208 — — в вариациях 136 — — в полных дифференциалах 32 — — с частными производными 294 — — Ван-дер-Поля 143, 149, 238, 239 — — Дуффинга 144, 240 — — Клсро 40 — — Лагранжа 39 — — линейное неоднородное 14, 78 — — — однородное 14, 70 — — — — с постоянными коэффициентами 75 — — матричное 91 — — Матье 243 — — однородное 15 — — первого порядка в симметричной форме 26 — — — — не разрешенное относительно производной 36 — — порождающее 177 — — с разделяющимися переменными 11, 29

Уравнение — интегральное, эквивалентное задаче Коши 52, 123 — — — краевой задаче 127 — определяющее 205, 218 — характеристическое 76, 205 Условие Липшица 46 Условия краевые 124 — начальные 50 Устойчивость асимптотическая 223 — — экспоненциальная 231 — в малом 219 — линейной системы 224 — периодического решения 229, 237 — по Лагранжу 65 — по Ляпунову 223 — положения равновесия 228 — предельного цикла 156 Фазовое пространство 51 Фокус 113, 152 Формула конечных приращений 46 — Коши 121 — Лиувилля 72, 93

— Френе 93 Фундаментальная система решений 73, 90 Функция аналитическая 171 — Бесселя 210 — векторная 45 — Грина 125 — Ляпунова 244 — исследования 151 Характеристический показатель 115, 200 — полином 76 Центр 113, 153, 261 — изохронный 261 Цикл предельный 156 Эквивалентность систем аналитическая 254 — — формальная 254 Экспонента матрицы 104 ε-решение 16