Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения, 2002

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. К. Манжосов

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания

Ульяновск 2002

2

УДК 539.3 ББК М 23 Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Грибов А. П.

М 23

Манжосов В. К. Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 2002. – 31 с.

Методические указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Сопротивление материалов» для направлений «Машиностроительные технологии и оборудование», «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования». Методические указания предназначены для студентов при изучении раздела «Расчет стержня при сложном нагружении», выполнении контрольных и расчетнопроектировочных заданий по данной теме, самостоятельной работе.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

 Ульяновский государственный технический университет, 2002

2

3

СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ........................................................................4 1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ СТЕРЖНЯ...............................4 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ..................................................10 2.1. Нагружение стержня в плоскости y – x ..........................................10 2.2. Нагружение стержня в плоскости z – x..........................................12 2.3. Нагружение стержня моментами M 1 и M 2 , плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня............................13 3. НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКАХ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ ...........................................................................14 4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ................................24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….. 26 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................................................26 ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………………. 27

3

4

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Изгиб с кручением стержня возникает тогда, когда внешние силы (включая и реакции внешних связей) создают на участках стержня моменты сил относительно продольной оси стержня (примем за продольную ось – ось х) и координатных осей y и z, лежащих в плоскости рассматриваемого поперечного сечения. Для круглого поперечного сечения стержня любые оси поперечного сечения, проходящие через его центр тяжести – главные центральные оси. Поэтому оси y и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения.

P2

y

α2

1

2 K2 αк

A

1

αк

2

O

O

1

2

B

x

K1 P1

α1 Рис. 1

Характерный вид такого нагружения показан на рис. 1. Стержень (вал), установленный на опорах А и В, имеет жесткие диски 1 и 2, плоскость которых перпендикулярна продольной оси стержня х. В плоскости этих дисков соответственно в точках К1 и К2 приложены силы Р1 и Р2 Положение точки К1 на окружности радиуса О1 К1 зададим углом α К 1 между осью y и радиусом O1K 1 . Положение точки К2 на окружности радиуса О2 К2 зададим углом α К 2 между осью y и радиусом O2 K 2 . Если ось y до совмещения с радиусом Oi K i поворачивается против часовой стрелки, то угол α Кi считается положительным, если по часовой стрелке – то отрицательным. Предположим, что линии действия сил Р1 и Р2 составляют с касательными к окружностям в точках К1 и К2 соответственно углы α 1 и α 2 . Полагаем также, что под действием сил Р1 и Р2 стержень находится в состоянии покоя или равномерного вращения (состоянии статического равновесия). Покажем, что стержень при таком нагружении будет испытывать изгиб с кручением. 1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ СТЕРЖНЯ При составлении расчетной схемы стержня силы Р1 и Р2 , приложенные в точках К1 и К2 вне продольной оси стержня, необходимо привести к продоль4

5

ной оси стержня, выбрав в качестве центра приведения для силы Р1 точку О1, а для силы Р2 – точку О2 . Точки О1 и О2 – это точки пересечения плоскости дисков 1 и 2 с продольной осью стержня. При приведении силы P1 из точки K 1 в точку O1 необходимо добавить момент силы P1 относительно центра приведения (момент M 1 ). Модуль момента M 1 равен

D1 , (1.1) 2 где P1t = P1 cos α1 – модуль окружной составляющей силы P1 (модуль проекции силы P1 на касательную к окружности в точке K1 ); D1 – диаметр окружности с радиусом O1 K1 . M 1 = O1 K1 ⋅ P1 ⋅ cos α1 ,

M 1 = P1t ⋅

Процедура определения сил и моментов в ряде задач может быть обратной. По постановке задачи вначале может быть определен модуль момента силы P1 относительно точки O1 (момент M 1 ). Затем при известном значении диаметра D1 может быть определен модуль проекции силы P1 на касательную в точке K1 и модуль силы P1

2M 1 2M 1 P1 = P1t / cos α1 = , . (1.2) D1 D1 cos α1 При приведении силы P2 из точки K 2 в точку O2 необходимо добавить момент силы P2 относительно центра приведения (момент M 2 ). Модуль момента M 2 равен D M 2 = O2 K 2 ⋅ P2t , M 2 = P2t ⋅ 2 , (1.3) 2 где P2t = P2 cos α 2 – модуль окружной составляющей силы P2 (модуль проекции силы P2 на касательную к окружности в точке K 2 ); D2 – диаметр окружности с радиусом O2 K 2 . P1t =

Если по условию задачи вначале удается определить модуль момента силы P2 относительно точки O2 (момент M 2 ), то при известном значении диаметра D2 может быть определен модуль проекции силы P2 на касательную в точке K 2 и модуль силы P2 , т. е.

P2t =

2M 2 D2

,

P2 = P2t / cos α 2 =

2M 2 . D2 cos α 2

(1.4)

На рис. 2, а в плане показан диск 1 (если смотреть на диск 1 со стороны продольной оси х), точки K1 и O1 , сила P1 , приведенная к точке O1 , и момент M 1 , равный модулю момента силы P1 относительно точки O1 .

5

6

На рис. 2, б в плане показан диск 2 (если смотреть на диск 2 со стороны продольной оси х), точки K 2 и O2 , сила P2 , приведенная к точке O2 , и момент M 2 , равный модулю момента силы P2 относительно точки O2 .

y

y

αP

1

K2

1 M

P2 2

αP

1

O

2

z

O

2

z

1

M

K1

2

P1 а)

б) Рис.2

Так как силы P1 и P2 могут быть расположены к оси y под разными углами α p1 и α p 2 (рис. 2), целесообразно эти силы после приведения их к точкам O1 и O2 разложить на составляющие P1 y , P2 y и P1 z , P2 z , линии действия которых параллельны соответствующим осям y и z . В этом случае мы приходим к единым плоскостям нагружения стержня (нагружение в плоскости y − x , нагружение в плоскости z − x ). На рис. 3, а в плане показан диск 1, силы P1 y и P1 z , а также момент M 1 .

y

y

2

1 P2y

P1y M

P1z z

O

P2z

1

z 1

а)

M

O

2

2

б) Рис.3

Проекции сил P1 y и P1 z на координатные оси y и z могут быть найдены как

P1 y = P1 cos α p1 ,

P1z = P1 sin α p1 .

6

(1.5)

7

На рис. 3, б в плане показан диск 2, силы P2 y и P2 z , а также момент M 2 . Проекции сил P2 y и P2 z на координатные оси y и z могут быть найдены как

P2 y = P2 cos α p 2 ,

P2 z = P2 sin α p 2 .

(1.6)

Естественно возникает вопрос: а как определить углы α p1 и α p 2 (углы между осью y и линиями действия сил P1 и P2 ), если заданы положения точки K1 (угол α k1 ) и точки K 2 (угол α k 2 ), линии действия силы P1 относительно касательной в точке K1 (угол α1 ), линии действия силы P2 относительно касательной в точке K 2 (угол α 2 ). Рассмотрим для этого возможные схемы приложения произвольной силы P в точке K под углом α к касательной (рис. 4, а, б).

y

αp α

αк z αP

αк

O z

y

O

P

P

K

K

α а)

б) Рис.4

Ограничимся случаем, когда сила P направлена в зону между точкой О и касательной к точке K . Здесь возможно рассмотрение двух схем: 1) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О против часовой стрелки (рис 4, а); 2) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О по часовой стрелке (рис 4, б). В первом случае (рис.4, а) угол α p определится как

во втором случае (рис.4, б)

π α p =α k + ( + α ) , 2

(1.7)

π α p =α k – ( + α ) . 2

(1.8)

π α p =α k ± ( + α ) , 2

(1.9)

Общей формулой, описывающей оба случая, является

7

8

где знак «плюс» принимается в случае, если сила P в точке K стремится повернуть диск против часовой стрелки; знак «минус» принимается в случае, если сила P в точке K стремится повернуть диск по часовой стрелке. Так как в построенной нами схеме (рис. 1) сила P1 стремится повернуть диск 1 по часовой стрелке, значение угла α p1 определится по формуле (1.8)

π (1.10) α p1 =α k1 – ( + α ) . 2 На схеме, изображенной на рис. 1, сила P2 стремится повернуть диск 2 против часовой стрелки. Поэтому значение угла α p 2 определится по формуле (1.7)

π α p 2 =α k 2 + ( + α ) . (1.11) 2 Заметим, что значения угла α ki ( i =1,2) берутся с учетом его знаков. Если ось y до совмещения с радиусом-вектором ОК поворачивается против часовой стрелки, то угол α ki считается положительным. Если ось y до совмещения с радиусом-вектором ОК поворачивается по часовой стрелке, то угол α ki считается отрицательным. Изобразим расчетную схему стержня с действующими на него силами на рис. 5.

M

A

1

M

P1 z

P2z

2

B X

a

b

c

P2 y

P1 y Рис. 5

Так как стержень находится в состоянии статического равновесия, то из условий равновесия следует, что сумма моментов сил относительно продольной оси x должна быть равна нулю: ∑ M x ( Pi ) = 0 . Если пренебречь трением в опорах А и В стержня, то

∑ M x ( Pi ) = −M 1 + M 2

.

Из условия равновесия следует

− M 1 + M 2 = 0 , M 2 = M 1 , P2t откуда

P1t D2 = , P2t D1

D2 D = P1t 1 , 2 2

(1.12) (1.13)

8

9

т. е. в условии статического равновесия отношение окружных составляющих сил P1t и P2t обратно пропорционально отношению диаметров окружностей D1 и D2 , на которых лежат точки приложения сил (точки K1 и K 2 ). Равенство (1.13) при известных значениях D1 и D2 позволяет определить P2t (если найдено значение P1t ) или, наоборот, определить P1t (если найдено значение P2t ):

P2t = P1t

D1 , D2

P1t = P2t

D2 . D1

(1.14)

Используя принцип независимости действия сил, расчетную схему стержня (рис.6, а) можно представить в виде следующих расчетных схем:

M

A

M

P1 z

1

a

P2z

2

b

B

x

c

P2 y

P1 y

а) расчетная схема нагружения стержня

A

y

B x a

b

x

c

z

P2 y

P1y

б) расчетная схема нагружения стержня в плоскости y - x

P1z

A

P2z

a

B

b

x x

c

y z

в) расчетная схема нагружения стержня в плоскости z - x

M

A a

M

1

b

B

2

c

г) расчетная схема нагружения стержня при кручении Рис. 6

9

x

10

− расчет стержня на изгиб при его нагружении в плоскости y − x (рис. 6, б); − расчет стержня на изгиб при его нагружении в плоскости z − x (рис. 6, в); − расчет стержня на кручение при его нагружении моментами M 1 и M 2 , плоскости действия которых совпадают с плоскостями дисков 1 и 2 и перпендикулярны продольной оси стержня (рис. 6, г). 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ Для каждой схемы нагружения стержня (рис. 6, б, в, г) определяются внутренние силовые факторы в поперечных сечениях. 2.1. Нагружение стержня в плоскости y – x Схема нагружения стержня в плоскости y − x представлена на рис. 7, а. В поперечных сечениях стержня возникают поперечные силы Q y и изгибающие моменты M z .

A

B a

b

X

c

P2y

P1y

а) расчетная схема нагружения стержня в плоскости y - x

YA

YB

X a

b

c

P2y

P1y

б) расчетная схема стержня с учетом опорных реакций YA и YB Рис. 7

Для их определения необходимо вначале найти опорные реакции YA и YB (рис. 7, б), используя уравнения v равновесия вида v M ( P ) = 0 M ( P , ∑ A i ∑ B i) = 0 . Из первого уравнения, которое можно представить как − YB (a + b + c) + P1 y ⋅ a + P2 y (a + b) = 0 ,

10

11

находим

YB =

P1 y ⋅ a + P2 y (a + b) ( a + b + c)

Из второго уравнения

v

∑ M B ( Pi ) = 0

.

следует, что

YA (a + b + c) − P1 y (b + c) − P2 y ⋅ c = 0 , откуда

YA =

P1 y (b + c) + P2 y ⋅ c ( a + b + c)

.

После определения опорных реакций YA и YB приступаем к определению поперечной силы Q y и изгибающего момента M z в поперечных сечениях стержня на различных участках

−( ∑ Piy ) f ,  Qy =   ∑ Piy p ,

(

(1.15)

)

где ( ∑ Piy ) f − сумма проекций на ось y внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала (точки А) до рассматриваемого сечения; ( ∑ Piy ) p − сумма проекций на ось y внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня. Изгибающий момент Mz в произвольном поперечном сечении стержня определяется на j -м участке как

Mzj

−[ ∑ M z( Pi ) ] f , =  [ ∑ M z( Pi ) ] p ,

j = 1, 2, . . . , n ,

(1.16)

где [ ∑ M z ( Pi ) ] f − сумма моментов относительно оси z поперечного сечения внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения; [ ∑ M z ( Pi ) ] p − сумма моментов относительно оси z внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня; j − текущий номер участка; n − число участков. Процедуру определения поперечной силы Q y и изгибающего момента

M z в поперечных сечениях стержня можно найти в методических указаниях

[ 5 − 6 ].

11

12

2.2. Нагружение стержня в плоскости z – x Схема нагружения стержня в плоскости z − x представлена на рис. 8, а.

P1z

A a

P2z b

B

X

c

x y z

а) расчетная схема нагружения стержня в плоскости z - x

P1z

P2z X

a

b

c

y

ZB

ZA

x z

б) расчетная схема стержня с учетом опорных реакций ZA и ZB Рис. 8

В поперечных сечениях стержня возникают поперечные силы Qz и изгибающие моменты M y . Для их определения необходимо вначале найти опорные реакции Z A и Z B (рис. 8, б), используя уравнения равновесия вида v v ( ) = 0 M P , M ( P ∑ A i ∑ B i) = 0 . Из первого уравнения, которое можно представить как Z B (a + b + c) − P1z ⋅ a − P2 z (a + b) = 0 ,

P1z ⋅ a + P2 z (a + b) . ( a + b + c) v Из второго уравнения ∑ M B ( Pi ) = 0 следует, что − Z A (a + b + c) + P1z (b + c) + P2 z ⋅ c = 0 , P (b + c) + P2 z ⋅ c Z A = 1z . откуда ( a + b + c) находим

ZB =

После определения опорных реакций Z A и Z B приступаем к определению поперечной силы Qz и изгибающего момента M y в поперечных сечениях стержня на различных участках

− (∑ Piz ) f , Qz =   (∑ Piz )p ,

12

(1.17)

13

где (∑ Piz ) f − сумма проекций на ось z внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала (точки А) до рассматриваемого сечения; (∑ Piz ) p − сумма проекций на ось z внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня. Изгибающий момент My в произвольном поперечном сечении стержня определяется на j − м участке определяется как −  [ ∑ M y ( Pi )] f , j = 1, 2, . . . , n , (1.18) M yj =  [ M ( P )] , ∑ y i  p где [∑ M y ( Pi )] f − сумма моментов относительно оси z поперечного сечения внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения; [∑ M y ( Pi )] p − сумма моментов относительно оси z внешних сил (включая и реакции внешних связей), действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения до конца стержня; j − текущий номер участка; n − число участков. Процедуру определения поперечной силы Q y и изгибающего момента

M z в поперечных сечениях стержня можно найти в методических указаниях

[5 − 6].

2.3. Нагружение стержня моментами M 1 и M 2 , плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня Схема нагружения стержня моментами M 1 и M 2 представлена на рис. 9,а. Плоскость действия моментов M 1 и M 2 перпендикулярна продольной оси стержня.

M

A

M

1

a

B

2

b

X

c

а) расчетная схема стержня, испытывающего кручение

M

M

1

2

X a

b

c

б) расчетная схема стержня, испытывающего кручение, когда внешние связи не создают реакций Рис. 9

13

14

Если пренебречь трением в опорах А и В, то связи, ограничивающие возможность поворота стержня вокруг продольной оси х, отсутствуют. Соответственно отсутствуют и реакции таких связей. Стержень при отбрасывании внешних связей оказывается нагружен лишь моментами M 1 и M 2 . Причем из v условия статического равновесия ∑ M х ( Pi ) = 0 имеем − M1 + M 2 = 0 , M1 = M 2 . Крутящий момент M х в поперечных сечениях стержня возникает лишь на части стержня, ограниченного плоскостями действия моментов M 1 и M 2 . На схеме, представленной на рис. 9, б, это участок стержня длиной b . Крутящий момент M х в поперечных сечениях этого участка определится как

a ≤ x ≤ a + b, − [∑ M x ( Pi )] f = −(− M 1 ) = M 1 , Mx =  (1.19)  [∑ M x ( Pi )] p = M 2 , a ≤ x ≤ a + b, где [∑ M х ( Pi )] f − сумма моментов относительно продольной оси x пар сил, действующих на часть стержня от его начала до рассматриваемого сечения; [∑ M x ( Pi )] p − сумма моментов относительно продольной оси x пар сил, действующих на часть стержня после рассматриваемого сечения. 3. НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКАХ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 10), испытывающего изгиб с кручением. В поперечном сечении действуют следующие внутренние силовые факторы: поперечные силы Q y и Qz , изгибающие моменты M y и M z , крутящий момент M x .

M

y y

Qz M z

Z

x Qy

14

M

X

15

Плоскость действия изгибающих моментов M y и M z проходит через главные центральные оси y и z поперечного сечения. Используя принцип независимости действия сил, можно задачу определения напряжений в точках поперечного сечения свести к задачам определения напряжений в точках поперечного сечения при поперечном изгибе, рассматривая отдельно поперечный изгиб стержня в плоскости y − x и поперечный изгиб стержня в плоскости z − x , а также определения касательных напряжений τ ( M x ) в точках поперечного сечения от действия крутящего момента M x . Касательные напряжения τ ( M x ) в произвольной точке поперечного сечения, имеющей координаты y и z (рис. 11, а), при кручении стержня круглого поперечного сечения определяются по формуле

τ (M x ) =

Mx ρ , Jp

(1.20)

где ρ = y 2 + z 2 – расстояние от рассматриваемой точки С до точки О продольной оси стержня; J p − полярный момент инерции поперечного сечения относительно точки О; y и z – координаты точки, где определяются касательные напряжения.

y C ρ

z

z

y C

y

M

y O

O

z M

а)

Qz

z

M

X

y

Z

Qy б)

Рис. 11.

Максимальные по модулю касательные напряжения возникают в наиболее удаленных точках поперечного сечения на расстоянии, равном радиусу круга, M M D τ max ( M x ) = x ρ max = x , ρ max = c , (1.21) Jp Wp 2 3

πD где Dc – диаметр круга; W p = c – полярный момент сопротивления попе16

речного сечения.

15

16

При поперечном изгибе при нагружении стержня в плоскости y − x в произвольной точке поперечного сечения возникают нормальные напряжения σ ( M z ) от действия изгибающего момента M z (рис. 11, б)

σ (M z ) = −

Mz y, Jz

(1.22)

z; где J z – момент инерции поперечного сечения относительно оси y − координата точки по оси y . Знак «минус» означает, что при положительных значениях изгибающего момента M z в точках поперечного сечения, имеющего положительные координаты y , возникают нормальные напряжения сжатия. Касательные напряжения τ (Q y ) в произвольной точке поперечного сечения от действия поперечной силы Q y могут быть определены по формуле Журавского

τ (Q y ) =

Q y S z* J z bz

,

(1.23)

где Q y – значение поперечной силы в поперечном сечении; S z* – статический момент относительно оси z части поперечного сечения, расположенной над точками поперечного сечения с координатами y (на рис. 12, а эта часть сечения заштрихована); bz – длина отрезка поперечного сечения, параллельного оси z и проходящего через точки с координатами y (рис. 12, а).

y

bz

y

C

z

y

z

O

б)

а) Рис. 12.

Касательные напряжения τ (Q y ) распределены по высоте поперечного сечения по нелинейному закону (рис. 12,б). Максимального значения касательные напряжения для круглого поперечного сечения достигают в точках, лежащих на оси z , причем

16

17

τ max (Q y ) =

4 Qy , 3 A

(1.24)

где А – площадь поперечного сечения. При поперечном изгибе при нагружении стержня в плоскости z − x в произвольной точке поперечного сечения возникают нормальные напряжения σ ( M y ) от действия изгибающего момента M y (рис. 11, б)

σ (M y ) =

My Jy

z,

(1.25)

J y – момент инерции поперечного сечения относительно оси y ; z − координата точки по оси z . Касательные напряжения τ (Qz ) в произвольной точке поперечного сечения от действия поперечной силы Qz могут быть определены по формуле

где

Журавского

τ (Q z ) =

Qz S y* J y by

,

(1.26)

где Qz – значение поперечной силы в поперечном сечении; S *y – статический момент относительно оси y части поперечного сечения, расположенной от отрезка by в сторону оси z (на рис. 13, а эта часть сечения заштрихована); by – длина отрезка поперечного сечения, параллельного оси y и проходящего через точки с координатами z (рис. 13, а).

y C

y

by

z

z

z

O

а)

б) Рис. 13.

Касательные напряжения τ (Qz ) распределены по ширине поперечного сечения по нелинейному закону (рис. 13, б). Максимального значения каса-

17

18

тельные напряжения для круглого поперечного сечения достигают в точках, лежащих на оси y , причем

τ max (Qz ) =

4 Qz , 3 A

где А – площадь поперечного сечения. Ось z , где расположены точки поперечного сечения с максимальными τ max (Q y ) , и ось y , где расположены точки поперечного сечения с максимальными τ max (Qz ) , пересекаются в центре тяжести поперечного сечения. В точке пересечения (в центре тяжести поперечного сечения) максимальные касательные напряжения 2 2 τ max = τ max (Q y ) + τ max (Qz ) =

41 4Q Q y2 + Qz2 = , 3A 3A

где Q = Q y2 + Qz2 – поперечная сила в сечении. Нормальные напряжения σ в произвольной точке поперечного сечения от действия изгибающих моментов M z и M y суммируются

σ = σ ( M z )+ σ ( M y ) = −

My Mz y+ z. Jz Jy

(1.27)

В поперечном сечении существуют такие точки (обозначим координаты этих точек y0 и z0 ), для которых σ = 0, т.е. My M − z y0 + z0 = 0. Jy Jz Из данного равенства следует, что

z0 =

Mz Jy y0 . Jz M y

Учитывая, что для круглого поперечного сечения J y = J z , получим

z0 = Обозначим отношение

Mz y0 . My

(1.28)

Mz = k . Тогда My z 0 = k y0 .

(1.29) Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат (центр тяжести поперечного сечения) с угловым коэффициентом

k = tg β ,

tg β =

Mz , My

(1.30)

где β – угол между координатной осью y и линией, в точках которой нормальные напряжения равны нулю. 18

19

Эта линия называется нулевой (или нейтральной) линией. Ее положение относительно оси y определяется углом β . Если угол β > 0, то он должен быть отложен от оси y против часовой стрелки (рис. 14, а). Если угол β < 0, то этот угол должен быть отложен от оси y по часовой стрелке (рис. 14, б).

y

y

β

β O

O

z

z

нулевая линия нулевая линия а) β > 0

б) β < 0

Рис. 14

Рассмотрим положение произвольной точки С поперечного сечения относительно нулевой линии (рис. 15). Точка С имеет координаты y и z в системе координатных осей y , z . Введем новую систему координат y н и z н , проходящих через центр тяжести поперечного сечения таким образом, что ось y н совпадает с нулевой линией, а ось z н перпендикулярна нулевой линии (рис. 15). Координаты точки С в новой системе координатных осей, повернутых относительно осей y и z на угол β , могут быть определены как

yн

β

y

yн C

y

E

z

z D zн

zн

O

Рис.15

y н = y cos β + z sin β , z н = z cos β − y sin β . (1.31) Заметим, что модуль координаты z н определяет расстояние от точки С до нулевой линии. В произвольной точке С, имеющей координаты y и z , нормальные напряжения σ определяются как

σ =−

My Mz y+ z. Jz Jy

19

(1.32)

20

Преобразуем данное равенство следующим образом:

σ =

My Jy

(z −

Mz Jy y) . Jz M y

Учитывая, что для круглого поперечного сечения

J y = J z , а отношение

Mz = tg β , получим My M M z cos β − y sin β σ = y ( z − tg β ⋅ y ) = y ⋅ . Jy Jy cos β Но из (1.31) z н = z cos β − y sin β . Тогда M z σ = y⋅ н , (1.33) J y cos β т. е. нормальные напряжения σ в произвольной точке поперечного сечения пропорциональны координате z н этой точки (модуль z н определяет расстояние от рассматриваемой точки до нулевой линии). Опасными точками будут те точки поперечного сечения, которые наиболее удалены от нулевой линии. Для круглого поперечного сечения это точки D и E (рис. 15), где ось z н пересекает профиль сечения. Так как ( z н ) max = r (где r − радиус круга), то в опасных точках возникают максимальные по модулю нормальные напряжения My My 1 z ⋅ r = σ max = ⋅ , (1.34) J y cos β W y cos β где W y =

Jy r

– осевой момент сопротивления поперечного сечения.

Учитывая, что tg β =

σ max =

My Mz sin β , можно выразить σ max как , cos β = My Mz Mz M r 1 . ⋅ = z ⋅ Wz sin β J z sin β

(1.35)

Расчет σ max в опасных точках поперечного сечения следует вести в опасном сечении стержня. Естественно возникает вопрос: а где находится опасное сечение? Если σ max =

My Wy

1 = 1 + tg 2 β , cos β

а

⋅

π π 1 , а также, что для − ≤ β ≤ cos β 2 2 M z2 tg β = 2 , My 2

то

1 1 = cos β M y

а максимальные по модулю нормальные напряжения

20

M y2 + M z2 ,

21

σ max =

1 Wy

M y2 + M z2 =

M изг , M изг = Wy

M y2 + M z2 ,

(1.36)

где M изг – модуль полного изгибающего момента. Тогда опасным по нормальным напряжениям будет то поперечное сечение стержня, в котором M изг достигает наибольшего значения. Итак, в точках круглого поперечного сечения, удаленных от центра тяжести на расстоянии, равном радиусу круга, возникают максимальные по моду-

M изг и максимальные по модулю касаWy тельные напряжения от действия крутящего момента M x Mx τ max ( M x ) = . (1.37) Wp лю нормальные напряжения σ max =

В центре тяжести поперечного сечения возникают максимальные касательные напряжения от действия поперечной силы

4Q , 3A

τ max (Q) =

Q = Q y2 + Qz2 .

(1.38)

Как правило, более опасными являются периферийные точки круга. Проанализируем напряженное состояние в этих опасных точках. Выделим в окрестности опасной точки элементарный объем (рис.16, а), по граням которого действуют нормальные напряжения σ x и касательные напряжения τ x t (по граням, совпадающим с поперечным сечением стержня).

τ τxt τtx dx

D D1

dr

σx r

σ3

A

O

O

1

C 1 σ1 σx B

σ

df

D2 x a)

б) Рис. 16

По перпендикулярным граням, плоскость которых проходит через продольную ось х, действуют только касательные напряжения τ t x (первый индекс соответствует направлению нормали к грани, а второй индекс – направлению 21

22

самого касательного напряжения). На рис. 16, а напряжения на невидимых гранях условно не показаны, чтобы не загромождать рисунок. Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния в опасной точке (определение главных напряжений σ 1 и σ 3 ) при известных нормальных ( σ x ≠ 0 , σ t = 0) и касательных τ x t и τ t x напряжений в двух взаимно перпендикулярных гранях элементарного объема осуществим путем построения круга Мора (рис. 16, б). Для этого проведем координатные оси σ и τ (рис. 16, б). На оси σ отложим отрезок OC1 , соответствующий в определенном масштабе нормальному напряжению σ x . Из точки C1 построим отрезок C1 D1 , соответствующий в масштабе значению касательного напряжения τ x t . Так как во взаимно перпендикулярной грани нормальные напряжения σ t = 0 (изображающая это напряжение точка на оси σ совпадает с началом координат – точкой О) и действуют только касательные напряжения τ t x , то из точки О строим отрезок ОD2 , соответствующий в масштабе касательному напряжению τ t x . По закону парности касательных напряжений следует, что τ t x = τ x t . Поэтому отрезки ОD2 и C1 D1 равны между собой. Соединим точки D1 и D2 . Пересечение отрезка D1 D2 с осью σ произойдет в точке О1 , причем ОО1 =

σх . Радиусом О1 D1 из точки О1 проведем окружность, которая пере2 сечет ось σ в точках А и В. Отрезок ОА в масштабе соответствует главному напряжению σ 3 , а отрезок ОВ – главному напряжению σ 1 . Радиус О1 D1 окружности равен σ −σ3 О1 D1 = 1 . (1.39) 2 С другой стороны О1 D1 − гипотенуза прямоугольного треугольника О1С1 D1 и = О1С1 =

2

О1 D1 =

(O1C1 ) + (C1 D1 ) = 2

2

σ x  2   + τ xt .  2 

(1.40)

Приравнивая равенства (1.39) и (1.40), получим 2

σ1 − σ 3 σ  =  x  + τ xt2 или σ 1 − σ 3 = σ x2 + 4τ xt2 . 2  2  Отрезок ОВ = ОО1 + О1 В . Переходя к напряжениям, имеем 2

(1.41)

σ σ  σ 1 = х +  x  + τ xt2 . (1.42) 2  2  Отрезок ОА = О1О – О1 А . Переходя к напряжениям и учитывая, что σ 3 < 0, получим 22

23 2

σ σ  σ 3 = х –  x  + τ xt2 . 2  2  Если учесть, что в опасной точке поперечного сечения σ х = σ max =

(1.43)

M изг , а каWy

Mx , то при изгибе с кручением Wp

сательные напряжения τ x t = τ max ( M x ) =

стержня круглого поперечного сечения в опасных точках сечения 2

M σ 1 = изг + 2W y

2  М изг  M x   + ,  2W  W 2 y  p 

M σ 3 = изг – 2W y

2  М изг  M x   + .  2W  W 2 y  p 

(1.44)

2

(1.45)

Если учесть, что для круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления W p = 2 W y , то последние равенства можно преобразовать к виду

σ1 =

1 2 + M 2х ) , ( M изг + M изг 2W y

(1.46)

σ3 =

1 2 + M 2х ) . ( M изг − M изг 2W y

(1.47)

2 Если теперь учесть, что М изг = М y2 + M z2 , то 2 M изг + M 2х = M x2 + M 2y+ M z2 = M 0 ,

(1.48)

где M 0 − модуль главного момента внутренних сил в поперечном сечении при приведении их к центру тяжести сечения. Тогда

σ1 =

1 M изг + М 0 , ⋅ Wy 2

(1.49)

σ3 =

1 M изг − М 0 . ⋅ Wy 2

(1.50)

23

24

4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ При расчете на прочность в опасных точках опасного сечения анализируется неравенство σ экв ≤ [σ ], (1.51) где σ экв − эквивалентные нормальные напряжения, учитывающие главные напряжения σ 1 , σ 2 , σ 3 по главным площадкам в опасной точке; [σ ] − допускаемые напряжения для материала стержня. Для вычисления σ экв можно воспользоваться формулами соответствующих теорий прочности. По третьей теории прочности (σ экв ) 3 = σ 1 − σ 3 . (1.52) Учитывая выражения для σ 1 и σ 3 , получим

М (σ экв ) 3 = 0 = Wy где ( М пр ) 3 = M 0 =

M х2 + M 2y+ M z2 Wy

=

( М пр ) 3 Wy

,

(1.53)

M x2 + M 2y+ M z2 – приведенный момент в поперечном се-

чении, вычисленный по третьей теории прочности. По четвертой теории прочности

(σ экв ) 4 =

[

]

1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 . 2

(1.54)

При изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения в окрестности опасной точки одна из главных площадок элементарного объема находится на боковой поверхности стержня и нормальные напряжения там отсутствуют . Тогда, принимая, что σ 2 = 0, получим

1 2 2 2 2 (2σ 1 + 2σ 3 − 2σ 1σ 3 ) = σ 1 + σ 3 − σ 1σ 3 . 2 Так как с учетом выражений (1.49) и (1.50) для σ 1 и σ 3 2 2 + М 02 − М 02 1 M изг 1 M изг 2 2 σ1 + σ 3 = 2 ⋅ σ1 ⋅σ 3 = 2 ⋅ , , 2 4 Wy Wy (σ экв ) 4 =

2 2 + М 02 − М 02 1 M изг 1 M изг σ + σ σ1 ⋅σ 3 = 2 ⋅ – то ⋅ 2 4 Wy W y2 1 3 2 преобразований получим σ 12 + σ 32 – σ 1 ⋅ σ 3 = 2 ( M изг + М х2 ) . 4 Wy 2 1

2 3–

и после

Тогда эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности

(σ экв ) 4 =

1 Wy

2 M изг + 0,75М х2 =

24

( М пр ) 4 Wy

,

(1.55)

25

где ( М пр ) 4 =

М y2 + M z2 + 0,75М х2 – приведенный мо-

2 М изг + 0,75М х2 =

мент в поперечном сечении, вычисленный по 4-й теории прочности. Вернемся теперь к условию прочности (1.51) σ экв ≤ [σ ], которое с учетом (1.53) и (1.55) запишем как

( M пр ) i Wy

≤ [σ ] ,

i = 3 или i = 4 ,

(1.56)

где индекс i = 3 означает, что приведенный момент ( М пр ) i вычисляется по третьей теории прочности с использованием формулы (1.53),

( М пр ) 3 =

M x2 + M 2y+ M z2 ,

(1.57)

а индекс i = 4 означает, что приведенный момент ( М пр ) i вычисляется по четвертой теории прочности с использованием формулы (1.55), 2 ( М пр ) 4 = М изг + 0,75М х2 =

М y2 + M z2 + 0,75М х2 .

(1.58)

Расчет на прочность может проводиться как поверочный и связан с анализом выполнения неравенства (1.56) при известных значениях М пр , осевого момента сопротивления поперечного сечения W y и допускаемого напряжения

[σ ] . Расчет на прочность может проводиться как проектировочный и связан, как правило, либо с определением W y , либо с определением [σ ] и выбором материала. При проектировочном расчете, когда неизвестной величиной является W y , из формулы (1.56) следует

Wy ≥

( M пр ) i

[σ ]

, i = 3 или i = 4 .

(1.59)

Для круглого кольцевого сечения стержня 3

d  π ( Dc3 − d c3 ) πDc3 Wy = [1 −  c  ] , = 32 32  Dc 

(1.60)

где Dc − диаметр внешней окружности кольцевого сечения; d c − диаметр внутренней окружности кольцевого сечения. Если задано соотношение

dc = k , то диаметр Dc может быть определен из Dc

(1.59) с учетом (1.60) как Dc ≥ 3

32( М пр ) i

π (1 − k 3 )[σ ]

25

, а диаметр d c = kDc .

(1.61)

26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В методических указаниях изложены основные положения расчета стержня круглого поперечного сечения при изгибе с кручением. Показана особенность составления расчетной схемы стержня, когда точки приложения внешних сил лежат вне продольной оси стержня. Приведены формулы для вычисления угла α p , определяющего положение линии действия силы Р относительно координатных осей и позволяющего легко находить составляющие этой силы, параллельных координатным осям y и z поперечных сечений стержня. На основе принципа независимости действия сил схема нагружения стержня, испытывающего изгиб с кручением, представляется в виде трех независимых схем нагружения: изгиб стержня при нагружении его в плоскости y − x , изгиб стержня при нагружении его в плоскости z − x , кручение стержня. Показана процедура расчета стержня при нагружении его в плоскости y − x , при нагружении его в плоскости z − x , при кручении стержня, которая предполагает определение реакций в опорах и определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня. Даны формулы для расчета нормальных напряжений в точках поперечного сечения стержня от действия изгибающих моментов M y и M z , касательных напряжений от действия крутящего момента M x в поперечном сечении, от действия поперечных сил Q y и Qz . Определено положение опасных точек в поперечном сечении стержня, а также опасное сечение. На основе построения круга Мора показана процедура определения главных напряжений в опасных точках поперечного сечения. Приведена последовательность расчета на прочность круглого стержня , испытывающего изгиб с кручением. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. − М.: Наука, 1986.− 512 с. 2. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивлеие материалов. − М.: Высшая школа, 1989. − 624 с. 3. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивлеиие материалов. − М.: Высшая школа, 1995. − 540 с. 4. Манжосов В. К. Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1997. − 40 с. 5. Манжосов В. К. Определение внутренних силовых факторов в стержневых системах: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1998. – 44 с. 6. Манжосов В. К. Расчет стержней при сложном нагружении. Косой изгиб: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1999. − 40 с.

26

27

ПРИЛОЖЕНИЕ Задание : Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения Техническое задание: Для передачи мощности N служит зубчатая передача (ведущий вал − I, ведомый вал − III, промежуточный вал − II). Частота вращения промежуточного вала nII, направление вращения показано на схемах рис. 17 − 19 Приложения. Силы взаимодействия зубчатых колес направлены по линиям зацепления, расположенным под углом α=20° к касательной сопряженных окружностей зубчатых колес. Каждую из этих сил можно разложить на окружную Pt и радиальную Pr составляющие, причем Pr ≈0,4 Pt . Диаметры сопряженных окружностей зубчатых колес промежуточного вала равны D1 и D2. Потерей мощности на трение в подшипниках и в зацеплении пренебречь. Схемы зубчатых передач изображены на рис. 17 − 19 Приложения. Требуется: 1. Определить величины и направления сил, действующих на зубчатые колеса промежуточного вала II и привести их к центрам тяжести соответствующих сечений вала . 2. Построить эпюры крутящего Mх и изгибающих My и Mz моментов. 3. Построить эпюру суммарного изгибающего момента, пользуясь формулой

M =

M y2 + M z2 .

4. Найти положение опасного сечения и определить максимальный приведенный момент Мпр по третьей теории прочности . 5. Подобрать диаметр вала d при заданном значении [σ] и округлить это значение до ближайшего большего. Исходные данные, определяющие значения мощности N, частоты вращения nII , диаметров сопряженных окружностей зубчатых колес D1 и D2, длин участков промежуточного вала a, b и c , представлены в табл.1

27

28

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Рис. 17 28

29

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Рис. 18 29

30

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Рис.19

30

Таблица 1 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ к расчетно-проектировочному заданию Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения Номер строки

Частота вращения n II , об/мин

Мощность N, кВт

Длина участков , м

Диаметры колес , м

a

b

c

D1

D2

Допускаемые напряжения [σ ] , МПа

1

400

40

0,1

0,1

0,1

0,3

0,1

120

2

500

40

0,1

0,1

0,12

0,32

0,12

100

3

600

40

0,1

0,12

0,14

0,28

0,14

140

4

700

45

0,14

0,1

0,16

0,3

0,16

160

5

800

45

0,16

0,18

0,14

0,32

0,15

100

6

900

45

0,16

0,2

0,18

0,34

0,14

120

7

1000

50

0,18

0,2

0,16

0,36

0,12

130

8

1100

50

0,18

0,22

0,10

0,38

0,18

140

9

1200

60

0,2

0,2

0,16

0,4

0,18

150

10

1400

60

0,2

0,18

0,22

0,35

0,16

160