1
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êóðñ ëåêöèé ïî äåéñòâèòåëüíîìó àíàëèçó Ëåêòîð Âëàäèìèð Èãîðåâè÷ Áîãà÷¼â
II êóðñ, 4 ñåìåñòð, îòäåëåíèå ìàòåìàòèêè
Ìîñêâà 2008
Îò íàáîðùèêà Ýòîò äîêóìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàïèñêè ëåêöèé, ÷èòàâøèõñÿ âåñíîé 2004-ãî ãîäà, è îñíîâûâàåòñÿ íà êîíñïåêòå (îòñêàíèðîâàííûå ëåêöèè â ôîðìàòå djvu), äîñòóïíîì íà ñàéòå http://dmvn.mexmat.net ñ 2005-ãî ãîäà. Ïî ñðàâíåíèþ ñ óïîìÿíóòûì êîíñïåêòîì â äàííîì âàðèàíòå èñïðàâëåíû íåòî÷íîñòè è äîïèñàíû íåêîòîðûå äîêàçàòåëüñòâà. Âåñü òåêñò ïðî÷èòàí è îäîáðåí ëåêòîðîì. Î çàìå÷àíèÿõ, ïðåäëîæåíèÿõ, à òàêæå íàéäåííûõ íåòî÷íîñòÿõ èëè îïå÷àòêàõ ìîæåòå ïèñàòü ìíå íà àäðåñ
[email protected]. Äàííûé äîêóìåíò íàáðàí ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòèëåâîãî ïàêåòà dmvn. Ðîìàí Àâäååâ Ïîñëåäíÿÿ êîìïèëÿöèÿ: 12 äåêàáðÿ 2008 ã.
1
Îãëàâëåíèå 1. 2.
3.
Ââåäåíèå
2
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìåðû
2.1. Àëãåáðû è σ -àëãåáðû ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Èçìåðèìûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ìåðû è èõ ïðîäîëæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Ìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Êîìïàêòíûå êëàññû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Ýêâèâàëåíòíûå óñëîâèÿ ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòè ìåðû 2.4. Âíåøíÿÿ ìåðà è ïðîäîëæåíèå ìåð . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Âíåøíÿÿ ìåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ìåðû . . . . . . . . 2.4.3. Ïðèìåíåíèÿ îñíîâíîé òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Ñâîéñòâà ìåðû Ëåáåãà â Rn . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Îïèñàíèå èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . 2.5. Èçìåðèìûå ôóíêöèè íà ïðîñòðàíñòâàõ ñ ìåðàìè . . . . . . . 2.5.1. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Òåîðåìà Ðèññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Òåîðåìà Åãîðîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Òåîðåìà Ëóçèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5. Ñâÿçü µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ A -èçìåðèìûìè . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Îïðåäåëåíèå Èíòåãðàëà Ëåáåãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Ïðîñòûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà íà ïðîñòûõ ôóíêöèÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Îáùåå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà è íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà 3.2.2. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â èíòåãðàëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Ñâÿçü èíòåãðàëîâ Ëåáåãà è Ðèìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ïðîñòðàíñòâà L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Ïðîñòðàíñòâî L 1 (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Ïðîñòðàíñòâî L p (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Ñâÿçü ðàçíûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . 3.3.5. Î ïðîñòðàíñòâå L∞ (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Ïðîñòðàíñòâî L2 (µ) è åãî ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Òåîðåìà ÐàäîíàÍèêîäèìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Òåîðåìà Ôóáèíè è ñìåæíûå âîïðîñû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Ïðîèçâåäåíèå ìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Çàìå÷àíèå î áåñêîíå÷íûõ ìåðàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Òåîðåìà Ôóáèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Î çàìåíå ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Ñâ¼ðòêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Ñâÿçü èíòåãðàëà è ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Ôóíêöèè îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè è ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà . . . 3.8.3. Íåñêîëüêî çàêëþ÷èòåëüíûõ çàìå÷àíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èíòåãðàë Ëåáåãà
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 3 3 4 4 5 6 6 6 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12
13
13 13 13 14 15 15 16 16 17 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 23 23 25 25 25 25 26 27
1. Ââåäåíèå Ñèÿ òåîðèÿ ñîçäàíà À. Ëåáåãîì. Ñóòü: íîâàÿ òåîðèÿ ìåðû è èíòåãðàëà, ïðèçâàííàÿ ðàñøèðèòü êàê êëàññ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, òàê è êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Èñõîäíûìè îáúåêòàìè òåîðèè ìåðû ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà : íà ïðÿìîé R1 ýòî êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âèäà [α, β], (α, β), (α, β], [α, β); íà ïëîñêîñòè R2 è â Rn ïðîèçâåäåíèÿ òàêîâûõ. Íà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâàõ åñòåñòâåííûì îáðàçîì çàäà¼òñÿ ìåðà: â R1 ýòî äëèíà ïðîìåæóòêà, â R2 è â Rn ñîîòâåòñòâåííî ïëîùàäü è n-ìåðíûé îáú¼ì. Äàëåå íóæíî ïðîäîëæèòü ìåðó íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ìíîæåñòâ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè ìåðû: åñëè A ∩ B = ∅, òî ìåðà ìíîæåñòâà A ∪ B ðàâíÿåòñÿ ñóììå ìåð ìíîæåñòâ A è B . Çíà÷èòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè äîñòèã Æîðäàí. Îïðåäåëåíèå. Ôèãóðà E èçìåðèìà ïî Æîðäàíó, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà A, B , òàêèå ÷òî A ⊂ E ⊂ B è λ(B\A) < ε. Çäåñü λ ìåðà. Ó ýòîãî îïðåäåëåíèÿ åñòü îäèí íåäîñòàòîê: êëàññ èçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó ìíîæåñòâ íå çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñ÷¼òíîãî îáúåäèíåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî Q ∩ [0, 1] íåèçìåðèìî ïî Æîðäàíó. Ïîýòîìó ïîòðåáîâàëîñü óòî÷íèòü ïîíÿòèå èçìåðèìîñòè ìíîæåñòâà, è ýòî áûëî ñäåëàíî Ëåáåãîì. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà E ⊂ [0, 1]n ∞ ∞ P S îïðåäåëÿåòñÿ åãî âíåøíÿÿ ìåðà: λ∗ (E) = inf{ λ(Ek ) : Ek ýëåìåíòàðíûå è E ⊂ Ek }. Ýòà ôóíêöèÿ íå k=1
k=1
ÿâëÿåòñÿ ìåðîé íà êëàññå âñåõ ïîäìíîæåñòâ êóáà [0, 1]n , òàê êàê îíà, âîîáùå ãîâîðÿ, íåàääèòèâíà. Òîãäà ñóæàÿ êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîæåñòâ (ñ âíåøíåé ìåðîé), ìû ïðèõîäèì ê ïîíÿòèþ èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó. Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî E èçìåðèìî ïî Ëåáåãó, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Eε , òàêîå ÷òî λ∗ (E4Eε ) < ε, ãäå E4Eε = (E ∪ Eε )\(E ∩ Eε ). Êëàññ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ çíà÷èòåëüíî øèðå êëàññà ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó, è çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ñ÷¼òíîãî îáúåäèíåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ñîçäàííóþ èì òåîðèþ ìåðû, Ëåáåã ïðèäóìàë ñîâåðøåííî íîâóþ êîíñòðóêöèþ èíòåãðàëà, îòëè÷íóþ îò êîíñòðóêöèè Ðèìàíà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå èíòåãðèðóåìûå ïî Ðèìàíó ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû è ïî Ëåáåãó, íî ïðè ýòîì êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé íàìíîãî øèðå. Íî ýòî áûëî ââåäåíèå. Òåïåðü ìû ïðèñòóïàåì ê ñèñòåìàòè÷åñêîìó èçëîæåíèþ òåîðèè, ñîäåðæàùåé àíîíñèðîâàííûå è ìíîãèå äðóãèå ðåçóëüòàòû.
2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìåðû 2.1. Àëãåáðû è σ -àëãåáðû ìíîæåñòâ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X îñíîâíîå ïðîñòðàíñòâî. Êëàññ A ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé, åñëè ∅, X ∈ A è A çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé. Àëãåáðà íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, åñëè äîïóñêàþòñÿ ñ÷¼òíûå îïåðàöèè. Çàìå÷àíèå.  ýòîì îïðåäåëåíèè ìîæíî òðåáîâàòü çàìêíóòîñòè êëàññà A îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ îïåðàöèé, ÷åðåç êîòîðûå ìîæíî âûðàçèòü âñå îñòàëüíûå. Íàïðèìåð, â îïðåäåëåíèè σ -àëãåáðû òðåáîâàòüSçàìêíóòîñòè S T äîñòàòî÷íî îòíîñèòåëüíî ðàçíîñòè è ñ÷¼òíûõ îáúåäèíåíèé.  ñàìîì äåëå, èìååì X\( An ) = (X\An ), X\( An ) = n n n T = (X\An ). n
Ïðèìåðû: 1◦ . 2◦ . 3◦ . 4◦ . 5◦ .
A = {∅, X} òðèâèàëüíàÿ σ -àëãåáðà. A = 2X äèñêðåòíàÿ σ -àëãåáðà (àëãåáðà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X ). Ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà íà îòðåçêå [0, 1] îáðàçóþò àëãåáðó, íî íå σ -àëãåáðó. A = {Af⊂ N : ëèáî Afêîíå÷íî, ëèáî N\Afêîíå÷íî} òîæå àëãåáðà, íî íå σ -àëãåáðà. A = {E ⊂ X : ëèáî |E| 6 ℵ0 ; ëèáî |(X\E)| 6 ℵ0 } ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé (ℵ0 ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ∞ S íàòóðàëüíûõ ÷èñåë). Äîêàæåì ýòî. Åñëè E ∈ A , òî X\E ∈ A ïî îïðåäåëåíèþ. À åñëè En ∈ A , òî En ∈ A .  ñàìîì äåëå, åñëè äëÿ âñåõ En âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |En | 6 ℵ0 , òî | ∞ S
èìååì |X\En | 6 ℵ0 , òî ïîëó÷àåì |X\
n=1
∞ S n=1
n=1
En | 6 ℵ0 ; à åñëè äëÿ îäíîãî èç En
En | 6 ℵ0 .
Òåîðåìà 2.1. Åñëè F ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X , òî ñóùåñòâóåò íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ F . Îíà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç σ(F ). T ¤ Ïîëîæèì σ(F ) = E , ãäå ïåðåñå÷åíèå áåð¼òñÿ ïî âñåì σ -àëãåáðàì E , ñîäåðæàùèì F . Ïîêàæåì, ÷òî F ⊂E
ìíîæåñòâî σ(F ) ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. Åñëè A ∈ σ(F ), òî äëÿ ëþáîé σ -àëãåáðû E , ñîäåðæàùåé ñåìåéñòâî F , 3
èìååì A ∈ E , ïîýòîìó X\A ∈ E è, çíà÷èò, X\A ∈ σ(F ). Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåì, ÷òî èç A1 , A2 , . . . ∈ σ(F ) ∞ ∞ S T ñëåäóåò An ∈ σ(F ) è An ∈ σ(F ). ¥ n=1
n=1
2.1.1. Áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà
Îïðåäåëåíèå. Áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé ïðîñòðàíñòâà Rn (èëè åãî ïîäìíîæåñòâà) íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðà,
ïîðîæä¼ííàÿ âñåìè îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè.
Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó äîïîëíåíèå ê îòêðûòîìó ìíîæåñòâó çàìêíóòî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïîðîæäåíà âñåìè çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè. Îáîçíà÷åíèå äëÿ áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû: B(Rn ) èëè B(X), ãäå X ⊂ Rn . Óòâåðæäåíèå 2.2. Âñÿêîå îòêðûòîå â Rn ìíîæåñòâî åñòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå îòêðûòûõ øàðîâ â Rn ñ ðàöèîíàëüíûìè öåíòðàìè è ðàöèîíàëüíûìè ðàäèóñàìè. Ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî íà ïðÿìîé ýòî êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ (äèçúþíêòíûõ) èíòåðâàëîâ è ëó÷åé. ¤ Ïóñòü U ⊂ Rn îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ êàæäîé ðàöèîíàëüíîé òî÷êè p ∈ U áåð¼ì âñå îòêðûòûå øàðû V (p, r) ðàöèîíàëüíîãî ðàäèóñà r, òàêèå ÷òî V (p, r) ⊂ U . Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ øàðîâ ñ÷¼òíî. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå ýòèõ øàðîâ åñòü âñ¼ U . Åñëè òî÷êà x ∈ U ðàöèîíàëüíà, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Åñëè æå x íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé, òî ðàññìîòðèì øàð B ⊂ U ñ öåíòðîì â òî÷êå x. Ïîñêîëüêó ñêîëü óãîäíî áëèçêî ê òî÷êå x èìåþòñÿ ðàöèîíàëüíûå òî÷êè, ñóùåñòâóåò øàð ñ öåíòðîì â ðàöèîíàëüíîé òî÷êå è ðàöèîíàëüíûì ðàäèóñîì, ñîäåðæàùèé x è ñîäåðæàùèéñÿ â B. Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ èç ïðèâåä¼ííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ìíîæåñòâà U ëèáî ëó÷, ëèáî èíòåðâàë, ëèáî âñÿ ïðÿìàÿ R. ¥ Çàìå÷àíèå. Äëÿ R2 ýòî óæå íå òàê. Çàäà÷à 2.1. Äîêàçàòü, ÷òî îòêðûòûé êâàäðàò íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷¼òíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ
îòêðûòûõ êðóãîâ.
Çàäà÷à 2.2. Íå ñóùåñòâóåò ïàðêåòà èç çàìêíóòûõ êðóãîâ äëÿ R2 , åñëè çàïðåòèòü ïåðåñå÷åíèÿ âíóòðåííîñòåé. Òåîðåìà 2.3. σ -àëãåáðà B(R) ïîðîæäàåòñÿ êàæäûì èç ñëåäóþùèõ êëàññîâ: 1) ëó÷è (−∞, r), ãäå r ∈ Q; 2) ëó÷è (−∞, r], ãäå r ∈ Q; 3) ïðîìåæóòêè âèäà (a, b], ãäå a, b ∈ Q; 4) ïðîìåæóòêè âèäà [a, b], ãäå a, b ∈ Q; 5) ïðîìåæóòêè âèäà (a, b), ãäå a, b ∈ Q. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû íåñëîæíîå è ñëåäóåò èç âòîðîé ÷àñòè óòâåðæäåíèÿ 2.2.
2.2. Èçìåðèìûå ôóíêöèè Ïóñòü X èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî (ò.å. ïðîñòðàíñòâî X ñ σ -àëãåáðîé A åãî ïîäìíîæåñòâ). Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f : X − → R1 íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé îòíîñèòåëüíî A , åñëè äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà 1 −1 B ∈ B(R ) èìååì f (B) ∈ A .
Òåîðåìà 2.4. Ôóíêöèÿ f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà {x : f (x) < c} ∈ A äëÿ âñÿêîãî c ∈ R. ¤ Óêàçàííîå ìíîæåñòâî åñòü f −1 (E), ãäå E = (−∞, c). Çíà÷èò, åñëè f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A , òî −1 f (E) ∈ A . Îáðàòíî, åñëè äëÿ âñÿêîãî c ∈ R èìååì f −1 (E) ∈ A , òî êëàññ E = {E ⊂ R : f −1 (E) ∈ A } ñîäåðæèò âñå îòêðûòûå ëó÷è âèäà (−∞, c). Äàëåå, E ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé (äîêàæèòå!), ïîýòîìó σ({(−∞, c) : c ∈ R}) ⊂ E . Îòñþäà ïî òåîðåìå 2.3 ïîëó÷àåì B(R) ⊂ E , ÷òî è òðåáîâàëîñü. ¥ Ïóñòü ôóíêöèÿ f : Rn − → R1 èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû. Òîãäà f íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé ïî Áîðåëþ èëè áîðåëåâñêîé. Åñëè (X, A ) è (Y, B) èçìåðèìûå ïðîñòðàíñòâà, òî îòîáðàæåíèå f : X − → Y íàçûâàþò (A , B)-èçìåðèìûì, åñëè f −1 (B) ∈ A äëÿ ëþáîãî B ∈ B . Çàìå÷àíèå. Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêîé, òàê êàê ìíîæåñòâî {x : f (x) < c} îòêðûòî äëÿ ëþáîãî c ∈ R. Òåîðåìà 2.5. Ïóñòü ôóíêöèè fn èçìåðèìû îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû A . Òîãäà: 1) 2) 3) 4)
α1 f1 + α2 f2 åñòü A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ëþáûõ α1 , α2 ∈ R; f1 · f2 A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ; f1 /f2 A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, åñëè f2 6= 0; Åñëè ϕ : R − → R áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ ϕ ◦ f1 ÿâëÿåòñÿ A -èçìåðèìîé;
4
5) Åñëè fn − → f ïðè n − → ∞, òî f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî A ; 6) max{f1 , f2 }, min{f1 , f2 } A -èçìåðèìûå ôóíêöèè. ¤ 1) Åñëè α ∈ R, òî ôóíêöèÿ α · f ÿâëÿåòñÿ A -èçìåðèìîé, òàê êàê ïðè α 6= 0 èìååì (α · f )−1 (−∞, c) = = f −1 (−∞, c/α) ∈ A . Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ñóììà f1 + f2 ÿâëÿåòñÿ A -èçìåðèìîé. Ýòî ñëåäóåò èç öåïî÷êè ∞ S ðàâåíñòâ {x : (f1 + f2 )(x) < c} = {x : f1 (x) < c − f2 (x)} = ({x : f1 (x) < rn } ∩ {x : rn < c − f2 (x)}), ãäå Q = {rn }. n=1
ßñíî, ÷òî ïîñëåäíåå îáúåäèíåíèå âõîäèò â A . 2),3) Ñëåäóþò èç ï. 4). 4) Åñëè B ∈ B(R), òî ϕ−1 (B) ∈ B(R), ïîýòîìó (ϕ ◦ f1 )−1 (B) = f1−1 (ϕ−1 (B)) ∈ A . Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ϕ ◦ f1 A èçìåðèìà.  ÷àñòíîñòè, åñëè f A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèè f 2 è 1/f (ïðè f 6= 0) òàêæå A -èçìåðèìû. 1 f 1 Òåïåðü èç ðàâåíñòâà f · g = ((f + g)2 − f 2 − g 2 ) ñëåäóåò ïóíêò 2), à ïóíêò 3) èç ðàâåíñòâà = f · . 2 g g ∞ S ∞ T ∞ S 5) Ïóñòü f = lim fn . Òîãäà {x : f (x) < c} = {x : fm (x) < c − k1 }, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî f (x) < c n→∞
k=1 n=1 m>n
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà k, n ∈ N, òàêèå ÷òî äëÿ ëþáîãî m > n âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî fm (x) < c − k1 . Òàê êàê äëÿ ëþáûõ m, k ∈ N ìíîæåñòâî {x : fm (x) < c − k1 } ëåæèò â A , òî è ìíîæåñòâî {x : f (x) < c} ëåæèò â A . 6) Îñòàâëÿåòñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. ¥
Ñëåäñòâèå 2.1. Åñëè íà÷àòü ñ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé è ïðèìåíÿòü ê íèì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ è âçÿòèÿ ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ, òî áóäóò ïîëó÷àòüñÿ B -èçìåðèìûå, ò.å. áîðåëåâñêèå ôóíêöèè. Çàìå÷àíèå. Ïóñòü B0 êëàññ âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Ïðè n = 1, 2, . . . îïðåäåëèì êëàññ Bn êàê ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, íå ëåæàùèõ â êëàññàõ B0 , B1 , . . . , Bn−1 , íî ÿâëÿþùèõñÿ ïîòî÷å÷íûìè ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôóíêöèé èç ýòèõ êëàññîâ. Ìíîæåñòâà Bn íàçûâàþòñÿ êëàññàìè Áýðà (Baire). Èõ îáúåäèíåíèå ïî n îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè åù¼ íå äà¼ò âñåãî êëàññà áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé.
2.3. Ìåðû è èõ ïðîäîëæåíèÿ 2.3.1. Ìåðû
Íàïîìíèì, ÷òî åñëè äâà ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî èõ îáúåäèíåíèå ìîæåò áûòü òàêæå îáîçíà÷åíî ÷åðåç AtB . Òàêîå îáúåäèíåíèå íàçûâàåòñÿ äèçúþíêòíûì. Ñèìâîë t ïîä÷¼ðêèâàåò, ÷òî ïåðåñå÷åíèå îáúåäèíÿåìûõ èì ìíîæåñòâ ïóñòî. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A àëãåáðà ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå X . Ôóíêöèÿ m : A − → R íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîé, åñëè m(A t B) = m(A) + m(B) äëÿ ëþáûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ A, B ∈ A . ∞ F Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ µ : A − → R íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíî-àääèòèâíîé (èëè σ -àääèòèâíîé ), åñëè µ( An ) =
=
∞ P n=1
µ(An ) ïðè óñëîâèè, ÷òî
∞ F n=1
n=1
An ∈ A (Åñëè A σ -àëãåáðà, òî ïîñëåäíåå óñëîâèå èçëèøíå).
Çàìå÷àíèå. Ýòî âàæíî. Òàêèå ñ÷¼òíî-àääèòèâíûå ôóíêöèè ìû áóäåì íàçûâàòü ìåðàìè. Ïðèìåðû:
1◦ . Ïóñòü A = {A ⊂ N : ëèáî A, ëèáî N\A êîíå÷íî}. Ïîëîæèì µ(n) = 2−n . Òîãäà áóäåì èìåòü µ({n1 , . . . , nk }) = = 2−n1 + . . . + 2−nk è µ(N) = 2. Ïîëó÷èëè, ÷òî µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ íà àëãåáðå A . 2◦ . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X , ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî {xn } ⊂ X è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë αn > 0, òàêèõ ∞ ∞ P P ÷òî αn = 1. Ïîëîæèì A = 2X . Îïðåäåëèì ôóíêöèþ µ : A − → R ôîðìóëîé µ = αn δxn , ãäå n=1
n=1
δxn (A)
( 1, = 0,
åñëè xn ∈ A, åñëè xn ∈ / A.
Ôóíêöèÿ δxn íàçûâàåòñÿ ìåðîé Äèðàêà â òî÷êå xn . Òàêèì îáðàçîì, µ(A) =
P n:xn ∈A
ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà. 3◦ . Ïóñòü A = {A ⊂ [0, 1] : ëèáî |A| 6 ℵ0 , ëèáî |[0, 1]\A| 6 ℵ0 }. Ïîëîæèì ( 1, åñëè |[0, 1]\A| 6 ℵ0 , µ(A) = 0, åñëè |A| 6 ℵ0 . Î÷åâèäíî, ÷òî µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà. 5
αn äëÿ ëþáîãî A ∈ A . Ìîæíî
4◦ . A àëãåáðà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ íà îòðåçêå [0,1]. Íàïîìíèì, ÷òî A ñîñòîèò èç êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé ïðîìåæóòêîâ âèäà (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]. Ïóñòü λ ôóíêöèÿ äëèíû ïðîìåæóòêîâ. Àääèòèâíîñòü ýòîé ôóíêöèè î÷åâèäíà. ×òîáû äîêàçàòü å¼ ñ÷¼òíóþ àääèòèâíîñòü, íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè îäíî ïîíÿòèå. 2.3.2. Êîìïàêòíûå êëàññû
Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà K ïîäìíîæåñòâ â X íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì êëàññîì, åñëè èç óñëîâèÿ (Kn ∈ K ) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî
N T n=1
∞ T n=1
Kn = ∅
Kn = ∅ .
Èíûìè ñëîâàìè, åñëè êàæäîå êîíå÷íîå ïåðåñå÷åíèå íåïóñòî, òî è ñ÷¼òíîå íåïóñòî. Îñíîâíîé ïðèìåð êîìïàêòíûõ êëàññîâ äà¼òñÿ ñëåäóþùåé ëåììîé. Ëåììà 2.6. Åñëè ëþáîå ìíîæåñòâî K ∈ K ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, òî K êîìïàêòíûé êëàññ. N N T T ¤ Ïóñòü Kn ∈ K è Kn 6= ∅ äëÿ ëþáîãî N ∈ N. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà xN ∈ Kn . Åñëè n=1
n=1
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà ýëåìåíòå x, òî x ýòî îáùèé ýëåìåíò âñåõ Kn . Èíà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } èìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó x, ýòà òî÷êà ëåæèò âî âñåõ Kn . ¥
Òåîðåìà 2.7. Ïóñòü µ íåîòðèöàòåëüíàÿ àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ íà àëãåáðå A è ñóùåñòâóåò êîìïàêòíûé êëàññ K ⊂ A , òàêîé ÷òî äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà A ∈ A èìååì µ(A) = sup{µ(K) : K ⊂ A, K ∈ K }. Òîãäà ôóíêöèÿ µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà. Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü ýòó òåîðåìó, óñòàíîâèì äâà âñïîìîãàòåëüíûõ ðåçóëüòàòà. N S Ïðåäëîæåíèå 2.8. Äëÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé àääèòèâíîé ôóíêöèè µ íà àëãåáðå A èìååì µ( An ) 6 n=1
N P
6
µ(An ), ãäå A1 , . . . , AN ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà èç A .
n=1
Èíäóêöèÿ ïî N . Äëÿ N = 1 äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü äëÿ N = k > 1 óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Òîãäà k k k k S S S S An ) = µ(( An ) t (Ak+1 \ An )) = µ( An ) + µ(Ak+1 \ An ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè èìååì
¤ µ(
k+1 S
n=1 k S
µ(
An ) 6
n=1
k P n=1
n=1
n=1
n=1
µ(An ). Êðîìå òîãî, èç ðàâåíñòâà Ak+1 = (Ak+1 \
µ(Ak+1 ). Îòñþäà îêîí÷àòåëüíî èìååì µ(
k+1 S
n=1
An ) 6
k+1 P n=1
k S
n=1
n=1
An )t(Ak+1 ∩
k S
n=1
An ) ñëåäóåò, ÷òî µ(Ak+1 \
k S n=1
An ) 6
µ(An ). ¥
Ïðåäëîæåíèå 2.9. Àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ µ íà àëãåáðå A ñ÷¼òíî-àääèòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà lim µ(An ) = 0 ïðè An ↓ ∅ (ò.å. An+1 ⊂ An è
n→∞
∞ T
n=1
An = ∅, ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè µ
â íóëå ). ¤ Ïóñòü åñòü íåïðåðûâíîñòü â íóëå. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ Bn ∈ A , ïðè÷¼ì Bi ∩ Bj = ∅ ∞ ∞ S S n→∞ ïðè i 6= j . Ïóñòü B = Bn ∈ A . Ïîëîæèâ Cn = Bi , èìååì Cn ↓ ∅. Ïîýòîìó µ(Cn ) −−−−→ 0. Îòñþäà µ(B) − µ(
n−1 F i=1
n=1
n→∞
n−1 F
Bi ) −−−−→ 0. Òàê êàê µ(
i=1
Bi ) =
n−1 P i=1
i=n
µ(Bi ), òî ïîëó÷àåì µ(B) =
Îáðàòíî. Èìååì A1 = (A1 \A2 ) t (A2 \A3 ) t ..., ïîýòîìó ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ P n=N
µ(An \An+1 ) → 0 ïðè N → ∞. Íî
ïðè n → ∞. ¥ Òåïåðü äîêàæåì òåîðåìó 2.7.
∞ P n=N
∞ P n=1
∞ P i=1
µ(Bi ).
µ(An \An+1 ), îòêóäà
µ(An \An+1 ) = µ(AN ), èáî AN =
∞ F n=N
(An \An+1 ). Çíà÷èò, µ(An ) → 0
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäëîæåíèåì 2.9. Ïóñòü {An } ∈ A , An+1 ⊂ An è
¤
n→∞
∞ T n=1
An = ∅. Äîêàæåì, ÷òî
µ(An ) −−−−→ 0, ýòî è äàñò íàì ñ÷¼òíóþ àääèòèâíîñòü ôóíêöèè µ. Â ñàìîì äåëå, åñëè µ(An ) 9 0 ïðè n → ∞, òî ñóùåñòâóåò ε > 0, òàêîå ÷òî µ(An ) > ε ïðè ëþáîì n, ïîñêîëüêó µ(An+1 ) 6 µ(An ). Äàëåå, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ∞ ∞ ∞ T T T Kn ⊂ An = ∅, ò.å. Kn = ∅. Ïîýòîìó Kn ∈ K , òàêîå ÷òî Kn ⊂ An è µ(An ) 6 µ(Kn ) + 2εn . Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó êîìïàêòíîñòè êëàññà ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî
⊂
N S
N T n=1
n=1
n=1
Kn = ∅. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî AN =
(An \Kn ). Â ñàìîì äåëå, ïóñòü x ∈ AN . Òîãäà x ∈ A1 , . . . , AN −1 , AN . Åñëè x ∈ /
n=1
6
n=1
N S n=1
N T n=1
An ⊂
(An \Kn ), òî x ∈ / An \Kn
ïðè êàæäîì n 6 N . Íî òîãäà x ∈ Kn äëÿ êàæäîãî n 6 N , îòêóäà x ∈
µ(AN ) 6 µ(
N S
(An \Kn )) 6
n=1
N P
N T n=1
Kn = ∅. Ïðîòèâîðå÷èå. Òåïåðü èìååì
µ(An \Kn ) < ε. Ïðîòèâîðå÷èå. ¥
n=1
Òåïåðü âåðí¼ìñÿ ê ïðèìåðó 4◦ ï. 2.3.1. Ïóñòü λ ôóíêöèÿ äëèíû íà àëãåáðå A ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ. Òîãäà λ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà.  ñàìîì äåëå, â êà÷åñòâå êîìïàêòíîãî êëàññà K ìîæíî âçÿòü êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ îòðåçêîâ. Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â R2 (RN ) ñ ôóíêöèåé ïëîùàäè (n-ìåðíîãî îáú¼ìà) λ íà àëãåáðå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ. Çàìå÷àíèå. Óñëîâèÿ òåîðåìû 2.7 íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè äëÿ ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòè, íî â ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ îíè âûïîëíÿþòñÿ.
Çàäà÷à 2.3. Ïóñòü µ íåïðåðûâíàÿ ìåðà íà B(Rn ). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B ∈ B(Rn ) è ëþáîãî
ε > 0 íàéäóòñÿ êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Kε ⊂ B è îòêðûòîå ìíîæåñòâî Uε ⊃ B , òàêèå ÷òî µ(Uε \Kε ) < ε.
Çàìå÷àíèå. Ýòî æå âåðíî äëÿ ëþáîãî ïîëíîãî ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Èòàê, àääèòèâíîñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îçíà÷àåò ñ÷¼òíóþ àääèòèâíîñòü, îäíàêî âëå÷¼ò å¼ ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (íàïðèìåð, íàëè÷èå êîìïàêòíûõ êëàññîâ). Îäíàêî åñòü è óñëîâèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ è íåîáõîäèìûìè, è äîñòàòî÷íûìè. 2.3.3. Ýêâèâàëåíòíûå óñëîâèÿ ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòè ìåðû
Ïðåäëîæåíèå 2.10. Ïóñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ µ àääèòèâíà íà àëãåáðå A . Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû: 1◦ . Ôóíêöèÿ µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà. 2◦ . Ôóíêöèÿ µ íåïðåðûâíà â íóëå (ò.å. µ(An ) → 0 ïðè n → ∞, åñëè An ↓ ∅; An ∈ A ). ∞ S n→∞ 3◦ . Åñëè Bn ∈ A è Bn ↑ B ∈ A (ò.å. Bn ⊂ Bn+1 è Bn = B ), òî µ(Bn ) −−−−→ µ(B). 4 . Åñëè An ∈ A è
∞ S
◦
n=1
An ∈ A , òî µ(
∞ S
n=1
n=1
An ) 6
∞ P
n=1
µ(An ) (ýòî ñâîéñòâî ôóíêöèè µ íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíîé
ïîëóàääèòèâíîñòüþ). ¤ Ðàâíîñèëüíîñòü 1◦ ⇔ 2◦ óæå äîêàçàíà (ñì. ïðåäëîæåíèå 2.9). 2◦ ⇔ 3◦ , èáî åñëè An ↓ ∅, òî X\An ↑ X ; êðîìå òîãî, Bn ↑ B ⇔ (B\Bn ) ↓ ∅. Îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâíîñèëüíîñòü ïóíêòîâ 1◦ , 2◦ , 3◦ ïóíêòó 4◦ . Ïóñòü An ∈ A è
Bn = 6
n P k=1
n S k=1
Ak ∈ A . Èìååì Bn ↑
µ(Ak ). Îòñþäà µ(Bn ) 6
∞ S
n=1 ∞ P
k=1
An , ïîýòîìó µ(
∞ S n=1
∞ S n=1
An ) = lim µ(Bn ). Äàëåå, ïî ëåììå 2.8 ïîëó÷àåì µ(Bn ) 6 n→∞
µ(Ak ). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷àåì µ(
∞ S
Ak ) 6
k=1
Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå ïóíêòà 4◦ . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà An ∈ A , òàêèå ÷òî ñ÷¼òíîé ïîëóàääèòèâíîñòè ôóíêöèè µ èìååì µ( ôóíêöèè µ èìååì µ(
∞ F n=1
An ) > µ(
k F
n=1
An ) =
k P n=1
∞ F
n=1
An ∈ A . Ïîëîæèì
An ) 6
∞ P n=1
∞ P k=1
∞ F n=1
µ(Ak ).
An ∈ A . Â ñèëó
µ(An ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó íåîòðèöàòåëüíîñòè
µ(An ) ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k . Çíà÷èò, µ(
∞ F n=1
An ) >
∞ P n=1
µ(An ),
÷òî è äîêàçûâàåò ñ÷¼òíóþ àääèòèâíîñòü ôóíêöèè µ. ¥ Êàê ñòðîèòü ñ÷¼òíî-àääèòèâíûå ìåðû íà σ -àëãåáðàõ? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà àëãåáðå A ïðîäîëæàåòñÿ äî ñ÷¼òíî-àääèòèâíîé ìåðû íà σ(A ).
2.4. Âíåøíÿÿ ìåðà è ïðîäîëæåíèå ìåð 2.4.1. Âíåøíÿÿ ìåðà ∗
Îïðåäåëèì âíåøíþþ ìåðó µ äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé σ -àääèòèâíîé ìåðû µ íà àëãåáðå A . Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü E ëþáîå ìíîæåñòâî èç 2X . Âíåøíåé ìåðîé ìíîæåñòâà E íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ∞ ∞ P S µ∗ (E) = inf{ µ(An ) : An ∈ A ; E ⊂ An }. n=1
n=1
Ïîêðûâàòü åñòü ÷åì, ïîýòîìó 0 6 µ∗ (E) 6 µ(X). Âîîáùå ãîâîðÿ, âíåøíÿÿ ìåðà íåàääèòèâíà íà êëàññå âñåõ ìíîæåñòâ.
Ëåììà 2.11.
7
1◦ . |µ∗ (A) − µ∗ (B)| 6 µ∗ (A4B) äëÿ ëþáûõ A, B ∈ 2X . 2◦ . Ôóíêöèÿ µ∗ îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñ÷¼òíîé ïîëóàääèòèâíîñòè íà 2X . ¤ 1◦ . Ïîêàæåì, ÷òî µ∗ (A) 6 µ∗ (B)+ µ∗ (A4B). Èìååì: A ⊂ B ∪(A4B), ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî âíåøíÿÿ ìåðà ïîëóàääèòèâíà, ò.å. µ∗ (E1 ∪ E2 ) 6 µ∗ (E1 ) + µ∗ (E2 ) äëÿ ëþáûõ E1 , E2 ∈ 2X .  ñàìîì äåëå, ïóñòü ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ S S P P S E1 ⊂ A0n è E2 ⊂ A00n , ïðè÷¼ì µ∗ (E1 ) > µ(A0n )−ε è µ∗ (E2 ) > µ(A00n )−ε. Òîãäà E1 ∪E2 ⊂ (A0n ∪A00n ) n=1
∗
è µ (E1 ∪ E2 ) 6 ◦
2 . Ïóñòü ìíîæåñòâ ∗
µ (
∞ S
n=1
∞ P
n=1 An ⊂
{Pnk }∞ k=1
An ) 6
n=1
µ(A0n
∪
A00n )
6
∞ P n=1
µ(A0n )
n=1 ∞ P
+
n=1
n=1
µ(A00n )
∗
n=1
∗
6 µ (E1 ) + µ (E2 ) + 2ε. Îñòàëîñü óñòðåìèòü ε ê íóëþ.
X , n ∈ N. Ïóñòü ε > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Äëÿ êàæäîãî n ∈ N ñóùåñòâóåò íàáîð ∞ ∞ S ∞ ∞ ∞ S S S P An ⊂ Pnk , îòêóäà ⊂ A , òàêîé ÷òî An ⊂ Pnk è µ(Pnk ) 6 µ∗ (An ) + 2εn . Òîãäà
∞ P ∞ P n=1 k=1
µ(Pnk ) 6
òðåáîâàëîñü. ¥
k=1
∞ P
k=1
∗
n=1
∗
n=1 ∞ S
µ (An ) + ε.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ïîëó÷àåì µ (
n=1
n=1 k=1 ∞ P ∗
An ) 6
n=1
µ (An ), ÷òî è
Îïðåäåëåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lµ êëàññ òàêèõ ìíîæåñòâ E ⊂ X , ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Aε ∈ A , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ µ∗ (E4Aε ) < ε. Ìíîæåñòâà èç Lµ íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó îòíîñèòåëüíî ìåðû µ (èëè ïðîñòî µ-èçìåðèìûìè ). 2.4.2. Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ìåðû
Òåîðåìà 2.12. Ïóñòü µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà íà àëãåáðå A . Òîãäà:
1◦ . Âíåøíÿÿ ìåðà µ∗ ñîâïàäàåò ñ µ íà A . 2◦ . Ìíîæåñòâî Lµ ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé σ(A ), è ôóíêöèÿ µ∗ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà íà Lµ .  ÷àñòíîñòè, µ∗ äà¼ò ñ÷¼òíî-àääèòèâíîå ïðîäîëæåíèå ìåðû µ íà σ(A ).
Çàìå÷àíèå. Ýòî ñàìàÿ òðóäíàÿ òåîðåìà â êóðñå. ¤
1◦ . Ïóñòü E ∈ A . Òîãäà µ∗ (E) 6 µ(E), èáî E ñåáÿ ïîêðûâàåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè E ⊂
An ∈ A , òî µ(E) = µ(
∞ S
n=1
(An ∩ E)) 6
∞ P n=1
∞ P
µ(An ∩ E) 6
n=1
∞ S n=1
An ,
µ(An ), îòêóäà µ(E) 6 µ∗ (E). Òàêèì îáðàçîì,
µ(E) = µ∗ (E) è A ⊂ Lµ . ◦ h2 . Åñëè A ∈ iLµ , òî X\A ∈ Lµ , èáî äëÿ ëþáîãî E ∈ A èìååì (X\A)4(X\E)) = A4E , è ïîòîìó µ∗ (X\A)4(X\E) = µ∗ (A4E), ò.å. êëàññ Lµ çàìêíóò îòíîñèòåëüíî äîïîëíåíèé. Òåïåðü ïóñòü A, B ∈ Lµ . Ïîêàæåì, ÷òî A ∪ B ∈ Lµ . Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òîãäà ñóùåñòâóþò ∗ ìíîæåñòâà E1 , E2 ∈ hA , òàêèå ÷òî µ∗ (A4E i 1 ) < ε è µ (A4E2 ) < ε. Ïîñêîëüêó (A ∪ B)4(E1 ∪ E2 ) ⊂ (A4E1 ) ∪ ∪ (B4E2 ), èìååì µ∗ (A ∪ B)4(E1 ∪ E2 ) 6 µ∗ (A4E1 ) + µ∗ (B4E2 ) < 2ε ïî ëåììå 2.11. Ðàç ìíîæåñòâî Lµ çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé \ è ∪, ñëåäîâàòåëüíî, Lµ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé. Òåïåðü äîêàæåì àääèòèâíîñòü ôóíêöèè µ∗ . Ïóñòü A, B ∈ Lµ è A ∩ B = ∅. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî µ∗ (A t B) = = µ∗ (A) + µ∗ (B). Íåðàâåíñòâî µ∗ (A t B) 6 µ∗ (A) + µ∗ (B) ñëåäóåò èç ëåììû 2.11. Ïóñòü ε > 0 ïðîèçâîëüíîå ∗ ∗ ÷èñëî. Ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà h E1 , E2 ∈ A , òàêèå i ÷òî µ (A4E1 ) < ε è µ (A4E2 ) µ (E1 ∪ E2 ) − µ (A ∪ B)4(E1 ∪ E2 ) . Äàëåå, âûøå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî µ∗ (A ∪ B)4(E1 ∪ E2 ) < 2ε. Ïîñêîëüêó E1 , E2 ∈ A , ñ ó÷¼òîì ïóíêòà 1◦ èìååì µ∗ (E1 ∪ E2 ) = µ(E1 ∪ E2 ) = µ(E1 ) + µ(E2 ) − µ(E1 ∩ E2 ) 6 6 (ëåììà 2.11) 6 µ∗ (A) − ε + µ∗ (B) − ε − µ(E1 ∩ E2 ). Ïðè ýòîì E1 ∩ E2 ⊂ (A4E1 ) ∪ (B4E2 ), îòêóäà µ(E1 ∩ E2 ) 6 6 ε + ε = 2ε. Èòàê, µ(E1 ∪ E2 ) > µ∗ (A) + µ∗ (B) − 4ε è ïîýòîìó µ∗ (A ∪ B) > µ∗ (A) + µ∗ (B) − 6ε. Òàê êàê ε > 0 ïðîèçâîëüíî, òî µ∗ (A ∪ B) > µ∗ (A) + µ∗ (B), ÷òî è äîêàçûâàåò àääèòèâíîñòü ôóíêöèè µ∗ .  ñèëó ñ÷¼òíîé ïîëóàääèòèâíîñòè ôóíêöèè µ∗ íà àëãåáðå Lµ (ëåììà 2.11) èç ïðåäëîæåíèÿ 2.10 ñëåäóåò ñ÷¼òíàÿ àääèòèâíîñòü µ∗ íà Lµ . ∞ S Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî Lµ ýòî σ -àëãåáðà. Ïóñòü {An } ⊂ Lµ . Íàäî äîêàçàòü, ÷òî An ∈ Lµ . Äåëî n=1
n−1 e1 = A1 , A e2 = A2 \A1 , . . ., A en = An \ S Ak , . . .. ßñíî, ÷òî ñâîäèòñÿ ê äèçúþíêòíîìó îáúåäèíåíèþ, åñëè âçÿòü A k=1
∞ ∞ en ∈ Lµ ïðè ëþáîì n ∈ N è ÷òî S An = S A en . Òåïåðü ñ÷èòàåì, ÷òî ìíîæåñòâà An ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. A n=1
n=1 n F
∞ ∞ F P Ak ) 6 µ∗ ( Ak ). Ïîýòîìó ðÿä µ∗ (Ak ) ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò, äëÿ k=1 k=1 P k=1 k=1 âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî µ∗ (Ak ) < ε. Ïî óæå äîêàçàííîìó èìååì A1 t . . . t AN ∈ Lµ .
Äëÿ ëþáîãî n ∈ N èìååì
n P
∗
∗
µ (Ak ) = µ (
k>N
Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî E ∈ A , òàêîå ÷òî µ∗ (E4(
N F
k=1
8
Ak )) < ε. Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî E õîðîøî
àïïðîêñèìèðóåò è ìíîæåñòâî ∗
6 ε+µ (
F
k>N
Ak ) 6 ε +
P k>N
∞ F k=1
Ak . Èìååì (
∞ F
Ak )4E ⊂ ((
k=1
N F
Ak )4E) ∪ (
k=1
∗
µ (Ak ) < 2ε. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî
ïîýòîìó Lµ σ -àëãåáðà. Òàê êàê A ⊂ Lµ , òî σ(A ) ⊂ Lµ . ¥
∞ S k=1
F
k>N
i h F ∞ Ak ). Òîãäà µ∗ ( Ak )4E 6 k=1
Ak ïî îïðåäåëåíèþ ïðèíàäëåæèò Lµ ,
Çàìå÷àíèå. Áîëåå îáùóþ êîíñòðóêöèþ Êàðàòåîäîðè ñì. â êíèæêå Â.È. Áîãà÷¼âà ¾Îñíîâû òåîðèè ìåðû¿. Ñëåäñòâèå 2.2. Íåîòðèöàòåëüíàÿ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà àëãåáðå A ïðîäîëæàåòñÿ íà Lµ è íà σ(A )
îäíîçíà÷íî (ñ òðåáîâàíèåì ñ÷¼òíîé àääèòèâíîñòè). ¤ Ïóñòü A ∈ Lµ è λ > 0 êàêîå-íèáóäü ñ÷¼òíî-àääèòèâíîå ïðîäîëæåíèå µ íà σ -àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ ìíîæåñòâî A. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ èçìåðèìîñòè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ∞ S B ∈ A , òàêîå ÷òî µ∗ (A4B) < ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà Cn ∈ A , òàêèå ÷òî A4B ⊂ Cn è ∞ P n=1
µ(Cn ) < ε. Òîãäà èìååì λ(A4B) 6
∞ P n=1
λ(Cn ) =
n=1
∞ P n=1
µ(Cn ) < ε, ïîñêîëüêó µ ≡ λ íà A . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
|λ(A) − λ(B)| 6 λ(A4B) < ε. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêæå ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |µ∗ (A) − µ∗ (B)| < ε. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ(B) = µ(B) = µ∗ (B), ïîëó÷àåì |λ(A) − µ∗ (A)| < 2ε, îòêóäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ñëåäóåò λ(A) = µ∗ (A). ¥
Çàäà÷à 2.4. Ïóñòü µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà íà σ -àëãåáðå A è E ∈/ A . Òîãäà ñóùåñòâóåò ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà ν íà σ(A ∪ {E}), êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ µ íà A . 2.4.3. Ïðèìåíåíèÿ îñíîâíîé òåîðåìû
Ïðèìåíèì ïðåäûäóùóþ òåîðåìó ê àëãåáðå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ â îòðåçêå (â ñëó÷àå Rn â n-ìåðíîì êóáå) I ñ ìåðîé µ, ðàâíîé äëèíå (ñîîòâåòñòâåííî n-ìåðíîìó îáú¼ìó). Íà ýòîé àëãåáðå ôóíêöèÿ µ ñ÷¼òíîàääèòèâíà (òàê êàê ñóùåñòâóåò êîìïàêòíûé êëàññ). Òàêîå ïðîäîëæåíèå íàçûâàåòñÿ ìåðîé Ëåáåãà, à ìíîæåñòâà èç Lµ èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó. Çàìåòèì, ÷òî Lµ ⊃ B(I). Òåîðåìó 2.12 ìîæíî ïðèìåíèòü ê ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé àääèòèâíîé ôóíêöèè íà àëãåáðå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ â I .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íåîòðèöàòåëüíóþ ìåðó íà íåêîòîðîé σ -àëãåáðå, ñîäåðæàùåé σ -àëãåáðó B(I). Îãðàíè÷åíèå ýòîé ìåðû íà B(I) íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé ìåðîé. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ñ÷¼òíîàääèòèâíàÿ ìåðà íà B(I) ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêîé. Çàìå÷àíèå. Êðîìå àëãåáð ðàññìàòðèâàþò åù¼ êîëüöà è ïîëóêîëüöà. Êîëüöî R äîïóñêàåò îïåðàöèè ∪, ∩, \, è, êðîìå òîãî, ∅ ∈ R. Íå âñåãäà èìååì X ∈ R, ïîýòîìó êîëüöî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé. Íàïðèìåð, îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà â R îáðàçóþò êîëüöî. Ïîëóêîëüöî R0 ⊂ 2X ýòî ñèñòåìà ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ ìíîæåñòâàìè A, B ñîäåðæèò èõ ïåðåñå÷åíèå A ∩ B , à ðàçíîñòü A\B (êîòîðàÿ íå îáÿçàòåëüíî ñàìà ëåæèò â R0 ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå A\B = R1 t . . . t Rm äëÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ R1 , . . . , Rm ∈ R0 . Ïðèìåðîì ïîëóêîëüöà ÿâëÿåòñÿ êëàññ {[α, β)} ⊂ R, ïðè÷¼ì îí íå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. Ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà R0 ïðîäîëæàåòñÿ äî ñ÷¼òíî-àääèòèâíîé ìåðû íà êîëüöå R, ïîðîæä¼ííîì ïîëóêîëüöîì R0 (ýòî êîëüöî ñîñòàâëÿþò êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ èç R0 ). Äàëåå, ñ êîëüöà R ýòà ìåðà ïðîäîëæàåòñÿ íà σ -àëãåáðó σ(R).
Ïðèìåð 2.1. Ìåðà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Ïóñòü äàíà âåðîÿòíîñòíàÿ áîðåëåâñêàÿ ìåðà µ íà R (òåðìèí ¾âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà¿ îçíà÷àåò, ÷òî ìåðà âñåãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà 1). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ìåðû åñòü Fµ (t) = µ((−∞, t)). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) Fµ ìîíîòîííî íå óáûâàåò; 2) Fµ (t) → 1 ïðè t → +∞; 3) Fµ (t) → 0 ïðè t → −∞; 4) Fµ íåïðåðûâíà ñëåâà. Ïðèìåðû ìåð Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà: 1◦ . Ìåðà Ëåáåãà λ íà îòðåçêå [0, 1]. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ýòîé ìåðû èìååò âèä 0, t 6 0; Fλ (t) = t, t ∈ [0, 1]; 1, t > 1. 2◦ . Ìåðà δ Äèðàêà â íóëå. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ( 0, Fδ (t) = 1,
9
t 6 0; t>0
èìååò ñêà÷îê â òî÷êå t = 0. Âîîáùå èç ðàâåíñòâà µ((−∞, t]) = µ((−∞, t)) + µ({t}) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Fµ èìååò ñêà÷îê â òî÷êå t òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà µ({t}) > 0.  íàøåì ñëó÷àå δ({0}) = 1. Îáðàòíî, åñëè ôóíêöèÿ F (t) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 1)4) ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ áîðåëåâñêàÿ ìåðà µ, òàêàÿ ÷òî Fµ (t) = F (t).  ñàìîì äåëå, çàìåòèì, ÷òî F èìååò íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà. Òîãäà âîçüì¼ì â R ñ÷¼òíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî S òî÷åê íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè F è ðàññìîòðèì àëãåáðó A êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé ïðîìåæóòêîâ âèäà {α, β}, (−∞, α}, {α, +∞) (ñêîáêè "{"è "}"çàìåíÿþò ëþáûå èç ñêîáîê "(", "[" è ")", "]" ñîîòâåòñòâåííî), ãäå α, β ∈ S . Äëÿ ëþáûõ α, β ∈ S , α < β , ïîëîæèì µ({α, β}) = F (β) − F (α), µ((−∞, α}) = F (α), µ({α, +∞)) = 1 − F (α). Òàêèì îáðàçîì, ìû çàäàëè ìåðó íà àëãåáðå A . ßñíî, ÷òî ýòà ìåðà êîíå÷íî-àääèòèâíà. Çàìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíà, èáî ñóùåñòâóåò êîìïàêòíûé êëàññ (äëÿ ëó÷åé âñ¼ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé ôóíêöèè F íà ±∞). Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ìåðû (òåîðåìà 2.12) äà¼ò ìåðó µ íà B(R) (òàê êàê σ(A ) = B(R)), å¼-òî è íàçûâàþò ìåðîé Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. 2.4.4. Ñâîéñòâà ìåðû Ëåáåãà â Rn
Ïðåäëîæåíèå 2.13. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ Rn èçìåðèìî ïî Ëåáåãó è λn ìåðà Ëåáåãà â Rn . Òîãäà:
1. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà h ∈ Rn ìíîæåñòâî A + h òîæå èçìåðèìî ïî Ëåáåãó è λn (A + h) = λn (A). 2. Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Kε ⊂ A è îòêðûòîå ìíîæåñòâî Uε ⊃ A, òàêèå ÷òî λn (Uε ) − ε 6 λn (A) 6 λn (Kε ) + ε. ¤ 1. Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äîêàçûâàåìîå âåðíî äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ, ïîýòîìó ýòî âåðíî è äëÿ âíåøíåé ìåðû. ∞ P 2. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà Ek , òàêèå ÷òî λn (A) > λn (Ek ) − ε è A⊂
k=1
∞ S k=1
Ek . Áîëåå îáùèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå Ek îòêðûòû. Ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü Uε =
∞ S k=1
Ek .
Âçÿâ äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A äî êóáà è ïðèìåíèâ ê íåìó äîêàçàííîå, ïîëó÷èì âïèñàííûé â A êîìïàêò áëèçêîé ìåðû. ¥
Çàäà÷à 2.5. Ïóñòü O îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð â Rn . Òîãäà äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A èìååì
λn (A) = λn (O(A)).
Ïðèìåð 2.2. Ïóñòü I áåñêîíå÷íîìåðíûé êóá: I = {(x1 , x2 , x3 , . . .) : xi ∈ [0, 1]}.  I åñòü àëãåáðà öèëèíäðîâ âèäà C = {(xi ) ∈ I : (x1 , . . . , xn ) ∈ B}, ãäå B ∈ B([0, 1]n ), n ∈ N. Ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì öèëèíäðà C. Çàäà÷à 2.6. Ýòî äåéñòâèòåëüíî àëãåáðà. Çàäà÷à 2.7. Ïóñòü λ∞ (C) = λn (B). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ìåðó íà àëãåáðå
öèëèíäðîâ.
Çàäà÷à 2.8. Êëàññ öèëèíäðîâ ñ êîìïàêòíûìè îñíîâàíèÿìè êîìïàêòåí. Ñëåäñòâèå: ìåðà λ∞ ñ÷¼òíî-àääè-
òèâíà.
Ïðèìåð íåèçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà. Ðàññìîòðèì îòðåçîê [0, 1] è ââåä¼ì íà í¼ì îòíîøåíèå x ∼ y ⇔ ⇔ x − y ∈ Q. Òî, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîìíåíèÿ íå âûçûâàåò.  êàæäîì êëàññå ýêâèâàëåíòíîñòè ÷èñëî òî÷åê ñ÷¼òíî. Ïî àêñèîìå âûáîðà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî E , ñîäåðæàùåå ðîâíî ïî îäíîìó ýëåìåíòó êàæäîãî êëàññà. Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî E íåèçìåðèìî ïî Ëåáåãó. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Çàìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî (E + r1 ) ∩ (E + r2 ) = ∅ ïðè ëþáûõ r1 , r2 ∈ Q. Äàëåå, λ(E) = λ(E + r) ïðè ëþáîì r ∈ Q â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ìåðû Ëåáåãà ïðè ñäâèãå. Ïóñòü λ(E) = 0. Òîãäà çàìåòèì, ÷òîSîòðåçîê [0, 1] ñîäåðæèòñÿ â îáúåäèíåíèèPìíîæåñòâ P âèäà E + r ïðè r ∈ [−1, 1] ∩ Q. Çíà÷èò, 1 = λ([0, 1]) 6 λ( (E + r)) 6 λ(E + r) = 0=0 r∈[−1,1]∩Q r∈[−1,1]∩Q r∈[−1,1]∩Q F ïðîòèâîðå÷èå. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ(E) = d > 0. Òîãäà èìååì [−1, 2] ⊂ (E + r). Çíà÷èò, 3 = r∈[0,1]∩Q S P P = λ([−1, 2]) > λ( (E + r)) > λ(E + r) = d = ∞. Ïðîòèâîðå÷èå. r∈[0,1]∩Q
r∈[0,1]∩Q
r∈[0,1]∩Q
Çàäà÷à 2.9. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ìíîæåñòâà E ⊂ [0, 1], òàêîãî ÷òî λ∗ (E) = 0, λ∗ (E) = 1, ãäå λ∗ (E) = ∞ P
= sup{
n=1
λ(An ) : An ∈ A , E ⊃
∞ F
n=1
An }.
Òåïåðü ïðèâåä¼ì ïðèìåð ìíîæåñòâà, íåèçìåðèìîãî îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî ìåðû. Âîçüì¼ì X = {0, 1}, ïîëîæèì µ(∅) = 0, µ({X}) = 1, A = {∅, X}. Òîãäà ÿñíî, ÷òî ìíîæåñòâî {1} íåèçìåðèìî.
10
2.4.5. Îïèñàíèå èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ
Ïðåäëîæåíèå 2.14. Ïóñòü A íåêîòîðàÿ σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ X ñ çàäàííîé íà íåé σ -àääèòèâíîé ìåðîé µ è A ⊂ X . Òîãäà A ∈ Lµ ⇔ A = A0 ∪ Z , ãäå A0 ∈ A è µ∗ (Z) = 0. Èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà A1 , A2 ∈ A , òàêèå ÷òî A1 ⊂ A ⊂ A2 è µ(A1 ) = µ(A2 ). ¤ Â îáðàòíóþ ñòîðîíó äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå ÿñíî. Äîêàæåì åãî â ïðÿìóþ. Åñëè A ∈ Lµ , òî äëÿ ∞ ∞ P S âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà Bk ∈ A , òàêèå ÷òî µ∗ (A) > µ(Bk ) − ε è A ⊂ Bk . Ïîëîæèì A2,ε =
∞ S k=1
k=1
∗
Bk ∈ A . Òîãäà èìååì µ (A) > µ(A2,ε ) − ε. Òåïåðü áåð¼ì A2 =
∞ T
m=1
k=1
A2, m1 ∈ A , òîãäà µ∗ (A) = µ(A2 ).
Äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó A âõîäèò â Lµ , ïðèìåíèì ê íåìó äîêàçàííîå. Ïîëó÷èì ìíîæåñòâî B ∈ A , òàêîå ÷òî X\A ⊂ B è µ∗ (X\A) = µ(B). Òîãäà ìíîæåñòâî A1 = X\B óäîâëåòâîðÿåò íàøèì òðåáîâàíèÿì. ¥
2.5. Èçìåðèìûå ôóíêöèè íà ïðîñòðàíñòâàõ ñ ìåðàìè Ïóñòü µ > 0 ìåðà íà σ -àëãåáðå A â X . Îòíûíå σ -àëãåáðó Lµ ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó îòíîñèòåëüíî ìåðû µ, áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Aµ , à ïðîäîëæåíèå µ∗ ìåðû µ íà σ -àëãåáðó Aµ áóäåì îáîçíà÷àòü òåì æå ñèìâîëîì µ. Îòìåòèì, ÷òî ðàçâèâàåìàÿ íàìè òåîðèÿ â îñíîâíîì îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà µ(X) < ∞, íà ýòî ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå. Íî áîëüøèíñòâî òåîðåì, êîòîðûå ìû äîêàæåì, òàêæå ñïðàâåäëèâû è äëÿ ñëó÷àÿ µ(X) = ∞. Îá ýòîì ñì. ï. 3.5.2. Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè, èçìåðèìûå îòíîñèòåëüíî Aµ , íàçîâ¼ì µ-èçìåðèìûìè. Êðîìå òîãî, ôóíêöèþ f áóäåì ñ÷èòàòü µ-èçìåðèìîé, åñëè îíà îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X0 ∈ Aµ , òàêîì ÷òî µ(X\X0 ) = 0 (ýòî íàçûâàåòñÿ ¾f îïðåäåëåíà µ-ïî÷òè âñþäó¿), è ôóíêöèÿ f |X0 ÿâëÿåòñÿ µ-èçìåðèìîé, ãäå µ ðàññìàòðèâàåòñÿ íà X0 . Ïðè ýòîì íà X\X0 ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü íå îïðåäåëåíà èëè ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ ±∞. Ôàêòè÷åñêè òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ {x ∈ X0 : f (x) < c} ∈ Aµ äëÿ ëþáîãî c ∈ R.
Çàìå÷àíèå.  äàëüíåéøåì ôðàçû ¾ïî÷òè âñþäó¿, ¾ïî÷òè âñåõ¿ è ò.ä. áóäåì ÷àñòî çàìåíÿòü ñîêðàùåíèåì
¾ï.â.¿
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé f1 , f2 , . . ., îïðåäåë¼ííûõ µ-ïî÷òè âñþäó. Ãîâîðÿò, µ−ï.â.
ï.â.
÷òî fn → f µ-ïî÷òè âñþäó (îáîçíà÷åíèÿ: fn −−−−→ f èëè fn −−→ f , åñëè ÿñíî, î êàêîé ìåðå èä¼ò ðå÷ü), åñëè f (x) = lim fn (x) äëÿ µ-ïî÷òè âñåõ x. n→∞
Ïî äîêàçàííîìó ðàíåå (òåîðåìà 2.5, ï. 5)), åñëè ôóíêöèè fn µ-èçìåðèìû è fn → f µ-ï.â., òî ôóíêöèÿ f òàêæå µ-èçìåðèìà. 2.5.1. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå
Ïóñòü f1 , f2 , . . . è f µ-èçìåðèìûå ôóíêöèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn }∞ n=1 íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ïî ìåðå, åñëè äëÿ âñÿêèõ c, ε > 0 ñóùåñòâóåò nε ∈ N, òàêîå ÷òî µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) < ε äëÿ âñåõ n, m > nε . Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ êàæäîãî c > 0 èìååì µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) → 0 ïðè n, m → ∞. µ
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé f1 , f2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f ïî ìåðå (îáîçíà÷åíèå: fn − → f ),
åñëè äëÿ êàæäîãî c > 0 èìååì µ({x : |fn (x) − f (x)| > c}) → 0 ïðè n → ∞. Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: êàê ýòà ñõîäèìîñòü âëèÿåò íà îñòàëüíûå âèäû ñõîäèìîñòè? Ïðåäëîæåíèå 2.15. Ïóñòü {fn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé. Òîãäà: µ I. Åñëè fn − → f ïðè n → ∞, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå. µ ï.â. II. Åñëè fn −−→ f , òî fn − → f. ¤ I. Ïóñòü c > 0. Èìååì {x : |fn (x) − fm (x)| > c} ⊂ {x : |fn (x) − f (x)| > 2c } ∪ {x : |fm (x) − f (x)| > 2c }, òàê êàê |fn (x) − fm (x)| 6 |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)|. Îòñþäà âñ¼ è ñëåäóåò. II. Ïóñòü c > 0. Ðàññìîòðèì ïðè N ∈ N ìíîæåñòâà AN = {x : |fn (x) − f (x)| < c ïðè ëþáîì n > N }. Èìååì ∞ S AN ⊂ AN +1 è, ñ ó÷¼òîì óñëîâèÿ, X = AN ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâà ìåðû íóëü, ïîýòîìó µ(AN ) → µ(X) n=1
ïðè N → ∞. Ïîýòîìó µ(X\AN ) → 0 ïðè N → ∞, îòêóäà µ({x : |fn (x) − f (x)| > c}) → 0 ïðè n → ∞. ¥
Ïðèìåðû.
1◦ . Ïóñòü fn = n1 íà [0, 1], òîãäà fn → 0 ïîòî÷å÷íî è ïî ìåðå. Èìååì λ({x : |fn (x)| > 0}) = 1 ïðè ëþáîì n ∈ N. Òàêèì îáðàçîì, â îïðåäåëåíèè ñõîäèìîñòè ïî ìåðå óñëîâèå c > 0 ñóùåñòâåííî. 2◦ . Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } íà îòðåçêå [0, 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà λ, íå ñõîäÿùóþñÿ íè â îäíîé òî÷êå, íî ñõîäÿùóþñÿ ïî ìåðå ê íóëþ. Ïîëîæèì f0 ≡ 1. Íà n-ì øàãå ðàçîáü¼ì îòðåçîê [0, 1] íà 2n ðàâíûõ îòðåçêîâ
11
I1 , . . . , I2n è ïðè k = 1, . . . , 2n ïîëîæèì
( 1, fn,k (x) = 0,
x ∈ Ik , x∈ / Ik .
Çàòåì ðàñïîëîæèì ïîëó÷åííûå ôóíêöèè fn,k â îäíó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f0 , f11 , f12 , f21 , f22 , f23 , f24 , f31 , . . .. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå, îäíàêî îíà ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê íóëþ. 2.5.2. Òåîðåìà Ðèññà
×àñòè÷íîå îáðàùåíèå èìïëèêàöèè ¾ñõîäèìîñòü ï.â.¿, ⇒ ¾ñõîäèìîñòü ïî ìåðå¿ äà¼ò òåîðåìà Ðèññà.
Òåîðåìà 2.16.
ï.â.
µ
I. (Ðèññ) Ïóñòü fn − → f . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fnk }, òàêàÿ ÷òî fnk −−→ f ïðè k → ∞. II. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå, òî ñóùåñòâóåò µ-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f , µ òàêàÿ ÷òî fn − → f. ¤ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå (â I ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ, â II ýòî äàíî). Òîãäà äëÿ ëþáîãî k ∈ N ñóùåñòâóåò Nk ∈ N, òàêîå ÷òî µ({x : |fn (x) − fm (x)| > 2−k }) < 2−k ïðè âñåõ n, m > Nk . ßñíî, ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü Nk < Nk+1 . Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fNk } ñõîäèòñÿ ï.â., ò.å. ôóíäàìåíòàëüíà ï.â. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü Ek = {x : |fNk (x) − fNk+1 (x)| > 21k }. Òîãäà µ(Ek ∪ Ek+1 ∪ ∞ S ∞ T 1 . . .) 6 21k + 2k+1 + . . . 6 22k → 0 ïðè k → ∞. Ïîýòîìó µ(M )=0, ãäå M = Em . Åñëè x ∈ / M , òî x∈ /
∞ S m=k
k=1 m=k
Em ïðè íåêîòîðîì k . Çíà÷èò, ïðè ëþáîì m > k âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |fNm (x) − fNm+1 (x)|
j > k ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fNi (x) − fNj (x)| < 2j−1 , îòêóäà è ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fNk (x)} ïðè x ∈ / M . Òåì ñàìûì äîêàçàíî I. Òåïåðü äîêàæåì II. Ïîëîæèì f (x) = lim fNk (x) ïðè x ∈ / M . Òîãäà ôóíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ µ-èçìåðèìîé êàê ïðåäåë ñõîäÿùåéñÿ k→∞
µ
ïî÷òè âñþäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé (òåîðåìà 2.5, ï.5)). Äàëåå, fNk − → f èç ïðåäëîæåíèÿ 2.15, µ II. Âûâåäåì òåïåðü, ÷òî fn − → f . Çàôèêñèðóåì c > 0 è ε > 0. Òîãäà ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóåò ÷èñëî N ∈ N, òàêîå ÷òî äëÿ âñåõ m, n > N âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî µ({x : |fm (x) − fn (x)| > 2c }) < 2ε . Ìîæíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè âñåõ Nk > N âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî µ({x : |fNk (x) − f (x)| > 2c }) < 2ε . Òîãäà ïðè âñåõ n > N èìååì µ({x : |fn (x) − f (x)| > c}) 6 µ({x : |fn (x) − fNk (x)| > 2c } ∪ {x : |fn (x) − f (x)| > 2c }) 6 µ({x : |fn (x) − fNk (x)| > 2c }) + µ → f ïðè n → ∞. ¥ + µ({x : |fn (x) − f (x)| > 2c }) 6 2ε + 2ε = ε. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî fn −
Çàäà÷à 2.10. Äîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ìîæíî çàäàòü ìåòðèêîé, ò.å. ñóùåñòâóåò ìåòðèêà ρ íà ìíîæåñòâå êëàññîâ èçìåðèìûõ ôóíêöèé (ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè, çàäàâàåìîìó ðàâåíñòâîì ïî÷òè µ âñþäó), òàêàÿ ÷òî fn − → f ⇔ ρ(f, fn ) → 0. Çàäà÷à 2.11. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó íåëüçÿ çàäàòü ìåòðèêîé äàæå íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Çàìå÷àíèå. Ýòó ñõîäèìîñòü íåëüçÿ çàäàòü äàæå òîïîëîãèåé. 2.5.3. Òåîðåìà Åãîðîâà
Òåîðåìà 2.17 (Åãîðîâ). Ïóñòü µ(X) < ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà X ê ôóíêöèè f . Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò èçìåðèìîå ìíîæåñòâî Xε ⊂ X , òàêîå ÷òî µ(X\Xε ) < ε è fn ⇒ f íà Xε . ¤ Ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ µ-èçìåðèìîé ïî òåîðåìå 2.5, ï. 5). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà Xnm = T 1 {x : |fi (x) − f (x)| < m = }. Èìååì X1m ⊂ X2m ⊂ . . . ïðè ëþáîì m, è âñå ìíîæåñòâà Xnm ÿâëÿþòñÿ µi>n
èçìåðèìûìè. Ïîëîæèì X m =
∞ S n=1
m Xnm . Äëÿ ëþáîãî m ñóùåñòâóåò òàêîå k(m), ÷òî µ(X m \Xk(m) )
n âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |fi (x) − f (x)| < m , ïîýòîìó x ∈ m m m Xn ⊂ X . Èòàê, ìíîæåñòâà X è X îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæåñòâî ìåðû íóëü ïðè ëþáîì m, ïîýòîìó ìíîæåñòâà ∞ P m m m X\Xk(m) è X m \Xk(m) òàêæå îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæåñòâî ìåðû íóëü. Ïîýòîìó µ(X\Xε ) 6 µ(X\Xk(m) ) = m=1
12
=
∞ P m=1
m µ(X m \Xk(m) )
k(m), èáî Xε ⊂ Xk(m) . Ýòî è îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn } íà Xε . ¥
Çàìå÷àíèå.  òåîðåìå Åãîðîâà íåëüçÿ âçÿòü ε = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü X = (0, 1) ñ ìåðîé Ëåáåãà. Ïîëîæèì fn (x) = xn . Òîãäà fn → 0 íà (0, 1) íåðàâíîìåðíî, è ïîòîìó íåò ìíîæåñòâà Z ìåðû íóëü, òàêîãî ÷òî xn ⇒ 0 íà (0, 1)\Z . 2.5.4. Òåîðåìà Ëóçèíà
Òåîðåìà 2.18 (Ëóçèí). Ïóñòü f èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [0, 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ fε ∈ C[0, 1], òàêàÿ ÷òî λ({x : f 6= fε }) < ε. ¤ Çàìåòèì, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþùåå: äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò êîìïàêò Kε , òàêîé ÷òî λ([0, 1]\Kε ) < ε è ôóíêöèÿ f |Kε íåïðåðûâíà. Åñëè ýòî ñäåëàíî, òî ñóæåíèå ôóíêöèè f íà Kε ìîæíî äîîïðåäåëèòü ïî íåïðåðûâíîñòè. Ìíîæåñòâî [0, 1]\Kε îòêðûòî è ïîòîìó åñòü îáúåäèíåíèå ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ: ∞ F [0, 1]\Kε = (αn , βn ). Íà êàæäîì èíòåðâàëå (αn , βn ) âîçüì¼ì ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ íàøåé ôóíêöèè f , è n=1
ýòîãî áóäåò äîñòàòî÷íî. Äàëåå, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åííà, òàê êàê èíà÷å âìåñòî f ìîæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ fe = arctg f . Èòàê, ïóñòü |f | 6 c. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè çíà÷åíèé, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê f . Äåéñòâèòåëüíî, äåëèì îòðåçîê [−c, c] íà kn ðàâíûõ ÷àñòåé äëèíû 6 n1 è ïîëîæèì fn ðàâíûì ñåðåäèíå j -ãî ïðîìåæóòêà Ij íà ìíîæåñòâå f −1 (Ij ). Òîãäà èìååì |f − fn | 6 n1 . ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâà Aj = f −1 (Ij ) èçìåðèìû è äèçúþíêòíû.  íèõ âïèøåì k k Sn Sn −n êîìïàêòû Sj ⊂ Aj , òàêèå ÷òî λ(Aj \Sj ) < ε2kn . Òîãäà λ([0, 1]\ Sj ) < ε2−n . Íà ìíîæåñòâå Kn = Sj ôóíêöèÿ
fn íåïðåðûâíà. Ïóñòü Kε =
∞ T n=1
Kn , òîãäà λ([0, 1]\Kε ) 6
è fn ⇒ f íà Kε , ïîýòîìó ôóíêöèÿ f |Kε íåïðåðûâíà. ¥
∞ P n=1
j=1
j=1
ε2−n = ε. Ïðè ýòîì èìååì fn ∈ C(Kε ) ïðè ëþáîì n
Çàìå÷àíèå. Õîòÿ ôóíêöèÿ f |Kε íåïðåðûâíà, f ìîæåò íå èìåòü òî÷åê íåïðåðûâíîñòè íà [0, 1]. Ïðèìåð òîìó ôóíêöèÿ Äèðèõëå D(x) íà [0, 1]. Çàäà÷à 2.12. Äîêàçàòü àíàëîã òåîðåìû Ëóçèíà äëÿ ïðîèçâîëüíîé áîðåëåâñêîé ìåðû íà [0, 1]. Ñëåäñòâèå 2.3 (âûòåêàþùåå èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ëóçèíà). Ïóñòü f îãðàíè÷åííàÿ A -
èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (X, A ). Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } A èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè çíà÷åíèé, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê f . ¤ Ïóñòü |f | < c. Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ëóçèíà, äåëèì îòðåçîê [−c, c] íà ïðîìåæóòêè I1n , . . . , Iknn äëèíû ìåíåå n1 . Ïîëîæèì Anj = f −1 (Ijn ) è fn |An = cnj , ãäå cnj ñåðåäèíà ïðîìåæóòêà Ijn . Òîãäà |f − fn | < n1 , ò.å. j fn ⇒ f ïðè n → ∞. ¥
Çàìå÷àíèå. Âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèè fn íå ÿâëÿþòñÿ ñòóïåí÷àòûìè, ïîòîìó ÷òî ïðîîáðàçû ïðîìåæóòêîâ Ijn ìîãóò áûòü ïëîõèìè. 2.5.5. Ñâÿçü µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñ A -èçìåðèìûìè
Ïðåäëîæåíèå 2.19. Ïóñòü (X, A , µ) ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, f µ-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà X . Òîãäà ñóùåñòâóåò A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ g , òàêàÿ ÷òî f = g ïî÷òè âñþäó íà X .  ÷àñòíîñòè, âñÿêàÿ èçìåðèìàÿ ïî Ëåáåãó ôóíêöèÿ íà [0, 1] ïî÷òè âñþäó ðàâíà íåêîòîðîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèè. ¤ Íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü, ãäå ôóíêöèÿ f íå áûëà îïðåäåëåíà èëè áûëà áåñêîíå÷íà, ìû îïðåäåëèì å¼ íóë¼ì, ïîýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f âñþäó îïðåäåëåíà è êîíå÷íà. Ïåðåéäÿ ê arctg f , ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f îãðàíè÷åííà.  ñèëó ïðåäûäóùåãî ôàêòà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Aµ -èçìåðèìûõ ôóíêöèé fn ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè çíà÷åíèé, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ ê f . Ïóñòü fn = c1 , . . . , ck(n) íà äèçúþíêòíûõ ìíîæåñòâàõ A1 , . . . , Ak(n) ∈ Aµ . Òîãäà ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà Bj ⊂ Aj , òàêèå ÷òî Bj ∈ A è µ(Bj ) = µ(Aj ) (ñì. ïðåäëîæåíèå 2.14). Ïîëîæèì gn = cj íà Bj ïðè âñåõ j = 1, . . . , k(n), à âî âñåõ îñòàëüíûõ òî÷êàõ ïîëîæèì gn = 0. Òîãäà èìååì gn = fn ïî÷òè âñþäó è, êðîìå òîãî, ôóíêöèè gn A -èçìåðèìû. Ïðè ýòîì ∞ T gn (x) → f (x) íà ìíîæåñòâå B = (B1 ∪ . . . ∪ Bk(n) ). Èìååì µ(B) = µ(X), èáî µ(X\(B1 ∪ . . . ∪ Bk(n) )) = 0. Òîãäà n=1
ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ A -èçìåðèìîé íà ìíîæåñòâå B êàê ïîòî÷å÷íûé ïðåäåë A -èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ïîëàãàÿ g = f íà B è g = 0 âíå B , ïîëó÷àåì, ÷òî f = g ï.â. è ôóíêöèÿ g A -èçìåðèìà. ¥
13
3. Èíòåãðàë Ëåáåãà 3.1. Îïðåäåëåíèå Èíòåãðàëà Ëåáåãà 3.1.1. Ïðîñòûå ôóíêöèè
Ïóñòü (X, A , µ) ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé íåîòðèöàòåëüíîé ìåðîé. → R1 , òàêàÿ ÷òî χA (x) = (Íàïîìíèì, ÷òî èíäèêàòîðîì ìíîæåñòâà A ⊂ X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ χA : X − 1, åñëè x ∈ A; = 0, åñëè x ∈ / A. Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòîé ôóíêöèåé íà X íàçûâàåòñÿ A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì çíà÷åíèé. n P ci χAi , ãäå Ai ∈ A , à ci ∈ R. Îíà èìååò âèä f = i=1
Çàìå÷àíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâà Ai äèçúþíêòíû. Îïðåäåëåíèå. Åñëè f ïðîñòàÿ ôóíêöèÿ âèäà f = X íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
R
f dµ =
n P i=1
X
n P i=1
ci χAi , òî å¼ èíòåãðàëîì Ëåáåãà ïî ïðîñòðàíñòâó
ci µ(Ai ) (èíîãäà ïèøóò ïðîñòî
R
f dµ).
Çàìå÷àíèå. Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî â ñèëó àääèòèâíîñòè ìåðû µ, ò.å. íå çàâèñèò îò ïðåäñòàâëåíèÿ f óêàçàííûì ñïîñîáîì. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f =
Z f dµ =
m X
dj µ(Bj ) =
j=1
X
m X
dj µ(
j=1
n G
m P
j=1
(Bj ∩ Ai )) =
i=1
dj χBj . Òîãäà
m X
dj
j=1
n X
µ(Bj ∩ Ai ) =
i=1
n X m X
ci µ(Ai ∩ Bj ) =
i=1 j=1
n X
ci µ(Ai ),
i=1
ïîñêîëüêó ci = dj íà ìíîæåñòâå Ai ∩ Bj . 3.1.2. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà íà ïðîñòûõ ôóíêöèÿõ
Ïðåäëîæåíèå 3.1. R Ïóñòü f, g ïðîñòûå ôóíêöèè. Òîãäà:
1) åñëè f > 0, òîR f dµ > 0; R R 2) (ëèíåéíîñòü) (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ ïðè ëþáûõ α, β ∈ R; ¯R ¯ R 3) ¯ f dµ¯ 6 |f | dµ 6 sup f · µ(X). ¤ 1) ßñíî èç îïðåäåëåíèÿ. 2) Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî,R ÷òî ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà. Ïîýòîìó îñòàëîñü R R äîêàçàòü, ÷òî (f +g) dµ = f dµ+ g dµ. Âî-ïåðâûõ, ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f +g òîæå ïðîñòàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ a1 , . . . , an íà äèçúþíêòíûõ ìíîæåñòâàõ A1 , . . . , An , ôóíêöèÿ g ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ b1 , . . . , bm íà äèçúþíêòíûõ ìíîæåñòâàõ B1 , . . . B m . Òîãäà ôóíêöèÿ f + g ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ai + bj R P íà ìíîæåñòâå Ai ∩ Bj . Ïî îïðåäåëåíèþ, (f + g) dµ = (ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ), à ïðè ôèêñèðîâàííîì i èìååì m P j=1 n P i=1
+
i,j
ai µ(Ai ∩ Bj ) = ai µ(Ai ) â ñèëó óñëîâèÿ X = B1 t . . . t Bm . Àíàëîãè÷íî, ïðè ôèêñèðîâàííîì j èìååì bj µ(Ai ∩ Bj ) = bj µ(Bj ). Îòñþäà
m P
j=1
bj µ(Bj ) =
R
f dµ +
R
n P m m P n n P P P P (ai +bj )µ(Ai ∩Bj ) = ai µ(Ai ∩Bj )+ bj µ(Ai ∩Bj ) = ai µ(Ai )+ i,j
i=1 j=1
j=1 i=1
i=1
g dµ.
n n R R P P 3) Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ |f | ïðîñòàÿ. Èìååì | f dµ| = | ai µ(Ai )| 6 |ai |µ(Ai ) = |f | dµ. Äàëåå,
R
|f | dµ =
n P i=1
|ai |µ(Ai ) 6 max |ai | i
n P i=1
i=1
i=1
µ(Ai ) = max f · µ(X). ¥
Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé â ñðåäíåì, åñëè äëÿ âñÿêîãî ε > 0 R ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî |fi − fj | dµ < ε äëÿ âñåõ i, j > N . ª ©R fj dµ Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fj } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó äëÿ íå¼ âûïîëíåí êðèòåðèé Êîøè. Ëåììà 3.2. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fnR} ïðîñòûõ ôóíêöèé ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî |fn | dµ < ε äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ∈ A ñ µ(A) < δ è A R R ëþáîãî n. Çäåñü f dµ := f · χA dµ, A ∈ A (åñëè f ïðîñòàÿ, òî è f · χA òîæå ïðîñòàÿ). A
X
14
¤
Ïóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Áåð¼ì N ∈ N, òàêîå ÷òî
R
|fn − fk | dµ
N .
ε ìíîæåñòâî A òàêîâî, RÂîçüì¼ì CR= max{|f1 |, . . . ,R|fN |} + 1. Ïóñòü R R ÷òî µ(A)ε < δε, ãäå δ = 2C , è n > N . Èìååì |fn | dµ 6 |fn − fN | dµ + |fN | dµ 6 |fn − fN | dµ + max |fN | · χA dµ < 2 + 2C · C = ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü. ¥
A
A
A
X
Ñëåäñòâèå 3.1. Â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé ëåììû èìååì = {x : fn (x) > 0}, A− = {x : fn (x) < 0}.
R
X
|fn | dµ =
A
R
R
fn dµ −
A∩A+
fn dµ < ε, ãäå A+ =
A∩A−
3.1.3. Îáùåå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà
Ïóñòü (X, A , µ) ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé íåîòðèöàòåëüíîé ìåðîé. Ïóñòü f µ-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) ôóíêöèè f ñîäåðæèò ìíîæåñòâî X0 , òàêîå ÷òî µ(X\X0 ) = 0, è ôóíêöèÿ f |X0 èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî Aµ ∩ X0 (âíå X0 ôóíêöèÿ f ìîæåò ïðèíèìàòü êàêèå óãîäíî çíà÷åíèÿ). Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó ïî ìåðå µ (µ-èíòåãðèðóåìîé), åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ïðîñòûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíà R R â ñðåäíåì è ïî÷òè âñþäó ñõîäèòñÿ ê f . Èíòåãðàëîì (Ëåáåãà) ôóíêöèè f íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà f dµ = lim fn dµ. X
n→∞
X
Ìíîæåñòâî µ-èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç L 1 (µ) èëè ÷åðåç L 1 (X), êîãäà ÿñíî, î êàêîé ìåðå èä¼ò ðå÷ü. R Ïîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà êîððåêòíî, ò.å. äðóãîãî ïðåäåëà íåò è áûòü íå ìîæåò ( f dµ îïðåäåë¼í X
îäíîçíà÷íî).  ñàìîì äåëå, ïóñòü {gn } äðóãàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ â ñðåäíåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ¯ ¯ ¯R ¯ R ôóíêöèé, ïî÷òè âñþäó ñõîäÿùàÿñÿ ê f . Äîêàæåì, ÷òî ¯¯ fn dµ − gn dµ¯¯ → 0 ïðè n → ∞. Ïóñòü ε > 0 X X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯R ¯R ¯ ¯ ε ¯ ¯ ¯ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Òîãäà ïî ëåììå 3.2 ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî ¯ fn dµ¯ < 4 , ¯ gn dµ¯¯ < 4ε äëÿ A
A
ëþáîãî ìíîæåñòâà A c µ(A) < δ . Ïî òåîðåìå Åãîðîâà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî A ñ ìåðîé ìåíüøå δ , òàêîå ÷òî fn |X\A ⇒ f |X\A è gn |X\A ⇒ f |X\A . Òîãäà ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî ïðè ëþáîì n > N ñïðàâåäëèâî ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯R ¯ ¯R ¯ ¯ R ¯ ε ¯ ¯ ¯ ¯ íåðàâåíñòâî sup |fn −gn | < 4(µ(X)+1) . Îòñþäà ïðè n > N èìååì ¯ (fn − gn ) dµ¯ 6 ¯ (fn − gn ) dµ¯+¯ (fn − gn ) dµ¯ 6 ¯X\A ¯ x∈X\A X A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯R ¯ ¯R ¯ R R R εµ(X\A) < ε. Òàêèì îáðàçîì, lim fn dµ = lim gn dµ è 6 ¯¯ fn dµ¯¯ + ¯¯ gn dµ¯¯ + |fn − gn | dµ < 4ε + 4ε + 4(µ(X)+1) A
A
n→∞
X\A
n→∞
X
X
òåì ñàìûì èíòåãðàë Ëåáåãà ôóíêöèè f îïðåäåë¼í êîððåêòíî. Çàìå÷àíèå. Ïóñòü A ∈ A è ôóíêöèÿ f µ-èçìåðèìà. Åñëè ôóíêöèÿ f ·χA µ-èíòåãðèðóåìà, R Ròî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f µ-èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå A, è ïèñàòü f ∈ L 1 (A, µ). Ïîëîæèì f dµ = f · χA dµ. A
X
Ïðèìåð 3.1. Âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé. Äåéñòâèòåëüíî,
áûëî äîêàçàíî (ñëåäñòâèå 2.3), ÷òî f åñòü ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ôóíêöèé, à òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì.  ÷àñòíîñòè, ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ (èëè õîòÿ áû îãðàíè÷åííàÿ è èçìåðèìàÿ ïî Ëåáåãó ôóíêöèÿ) íà îòðåçêå èíòåãðèðóåìà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà îáùåãî èíòåãðàëà Ëåáåãà äà¼ò ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 3.3.
R (1) Åñëè f ∈ L 1 (µ) è f > 0, òî f dµ > 0. R R 1 1 (2) R Åñëè f, g ∈ L (µ), òî ïðè ëþáûõ α, β ∈ R èìååì αf + βg ∈ L (µ), ïðè÷¼ì (αf + βg) dµ = α f dµ + + β g dµ. ¯R ¯ R (3) Åñëè f ∈ L 1 (µ), òî |f | ∈ L 1 (µ) è ¯ f dµ¯ 6 |f | dµ. ¯ ¯ ¯R ¯ 1 ¯ (4) Åñëè f îãðàíè÷åííàÿ A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òî f ∈ L (µ) è ¯ f dµ¯¯ 6 sup |f | · µ(X). X
¤ (1) Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðèðóåìîñòè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ïðîñòûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ï.â. ê f ïî÷òè âñþäó íà X è ôóíäàìåíòàëüíàÿ â ñðåäíåì. Òîãäà âñå ôóíêöèè |fn | ïðîñòûå è |fn | −−→ |f | = ¯ f . Ïðè ýòîì ¯ ¯|fn | − |fk |¯ 6 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüR {|f |} ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì. Äåéñòâèòåëüíî, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî n ¯ ¯ R R R 6 |fn − fk |, îòêóäà ¯|fn | − |fk |¯ dµ → 0. Îòñþäà |fn | dµ → f dµ > 0, èáî |fn | dµ > 0. (3)  ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ (1). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } èíòåãðèðóåìûõ ï.â. ïðîñòûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó ê f , ïðè÷¼ì {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì, òî |fn | −−→ |f |, è òîãäà ôóíêöèè R|fn | ïðîñòûå èR ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {|fnR|} ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì. R R Çíà÷èò,R ôóíêöèÿ |f | èíòåãðèðóåìà è |f | dµ = lim |fn | dµ > lim fn dµ = f dµ. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì |f | dµ > f dµ. n→∞
n→∞
(2) Î÷åâèäíî, ÷òî êîíñòàíòó ìîæíî âûíîñèòü èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà. Îñòàëîñü äîêàçàòü òðåáóåìîå ïðè
15
ï.â.
ï.â.
α = β = 1. Äàëåå, ïóñòü fn −−→ f è gn −−→ g , ãäå îáå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn } è {gn } ñîñòîÿò èç ïðîñòûõ ï.â. ôóíêöèé è ôóíäàìåíòàëüíû â ñðåäíåì. Âñå ôóíêöèè fn + gn ÿâëÿþòñÿ R ïðîñòûìè, ïðè÷¼ì fn + R gn −−→ f + g . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn + gn } ôóíäàìåíòàëüíà âR ñðåäíåì,R òàê êàê |fn R+ gn − fRk − gk | dµ R R R 6 |fn − fk | dµ + + |gn − gk | dµ. Îòñþäà, òàê êàê (fn + gn ) dµ = fn dµ + gn dµ, èìååì f dµ + g dµ =R (f + g) dµ. (4) Èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f óæå ïîÿñíÿëàñü, à ïîñêîëüêó |f | − sup |f | 6 0, èìååì (|f | − sup |f |) dµ 6 0, R R îòêóäà |f | dµ 6 sup |f | dµ = sup |f | · µ(X). ¥
Ñëåäñòâèå 3.2 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü f, g µ-èçìåðèìûå ôóíêöèè, ïðè÷¼ì |f − g| 6 C ï.â. íà X . Òîãäà ôóíêöèè f è g µ-èíòåãðèðóåìû ëèáî µ-íåèíòåãðèðóåìû îäíîâðåìåííî. ¤ Ôóíêöèÿ f − g ÿâëÿåòñÿ µ-èçìåðèìîé, ïîýòîìó ïî ïðåäëîæåíèþ 2.19 ñóùåñòâóåò A -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ h, òàêàÿ ÷òî f − g = h ï.â. íà X , ïðè÷¼ì h òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü îãðàíè÷åííîé (ïåðåîïðåäåëèâ h íóë¼ì íà ìíîæåñòâå {x : |h(x)| > C} ∈ A ). Ïî ï. (4) ïðåäûäóùåé òåîðåìû ôóíêöèÿ h ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíäàìåíòàëüíàÿ â ñðåäíåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {hn } ïðîñòûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ï.â. ê h. Íî ï.â. òîãäà hn −−→ f − g , èáî h = f − g ï.â., ïîýòîìó ôóíêöèÿ f − g ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé. Òåïåðü äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ï. (2) ïðåäûäóùåé òåîðåìû, òàê êàê f = g + (f − g), g = f − (f − g). ¥ Ïóñòü A µ-èçìåðèìîå ìíîæåñòâî è f µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ôóíêöèÿ χA · f òîæå µ-èíòåãðèðóåìà. Ïîêàæåì ýòî. Âî-ïåðâûõ, ïî ïðåäëîæåíèþ 2.14 ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî A0 ∈ A , òàêîå ÷òî χA (x) = χA0 (x) ï.â. Âî-âòîðûõ, åñëè {fn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ â ñðåäíåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ ôóíêöèé, ïî÷òè âñþäó ñõîäÿùàÿñÿ ê f , òî ôóíêöèÿ χA · f åñòü ï.â. ïðåäåë ïðîñòûõ ôóíêöèé χA0 · fn . Ïðè ýòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {χA0 · f } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì, òàê R êàê |χAR0 · fn − χA0 · fk | 6 |fn − fk |. Çíà÷èò, ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèÿ χA · f µ-èíòåãðèðóåìà. Òîãäà ïîëîæèì f dµ := χA · f dµ. A X R R R Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî åñëè A ∩ B = ∅, òî f dµ + f dµ = f dµ. A
B
AtB
Ïðèìåð 3.2. Ïóñòü ìíîæåñòâà An îáðàçóþò ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X è äèçúþíêòíû. Ïóñòü f (x) = ck ïðè
x ∈ Ak . Òîãäà ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ A -èçìåðèìîé. Ïðè ýòîì f µ-èíòåãðèðóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∞ ∞ R P P |cn |µ(An ) < ∞.  ýòîì ñëó÷àå f dµ = cn µ(An ). n=1
n=1
¤
Åñëè f ∈ L 1 (µ), òî ïóñòü
n f (x) ïðè x ∈ S A , k fn (x) = k=1 0 èíà÷å.
n ∞ R R R P P Òîãäà |fn | 6 |f | è ïîýòîìó |fn | dµ 6 |f | dµ ïðè ëþáîì n, íî |fn | = |ck |µ(Ak ), çíà÷èò, |ck |µ(Ak ) 6 k=1 k=1 R 6 |f | dµ. ∞ P Îáðàòíî, åñëè |ck |µ(Ak ) < ∞, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì, ïðè÷¼ì îíà k=1
ñõîäèòñÿ ê f ïî÷òè âñþäó. Âñå ôóíêöèè fn ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè è èíòåãðèðóåìû, ïðè ýòîì Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f ∈ L 1 (µ) è
R
f dµ =
∞ P k=1
=
k=−∞
fn =
n P k=1
ck µ(Ak ).
ck µ(Ak ). ¥
Çàìå÷àíèå. Ëåáåã òàê îïðåäåëÿë èíòåãðàë +∞ P
R
R
f dµ: ïóñòü ïðè íåêîòîðîì ε > 0 ñõîäèòñÿ ðÿä S(ε) =
εk · µ({x : εk 6 f < ε(k + 1)}), òî åñòü ñõîäÿòñÿ ïî îòäåëüíîñòè ðÿäû ïðè k > 0 è k < 0. Òîãäà òàêîé ðÿä
ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì ε > 0 è ñóùåñòâóåò ïðåäåë S(f ) = lim S(ε). Ýòîò ïðåäåë è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà. ε→0
Ïîêàæåì, ÷òî ýòî òî æå ñàìîå, ò.å. îïðåäåëåíèå Ëåáåãà ðàâíîñèëüíî íàøåìó îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ fε , ðàâíóþ εk ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ x, äëÿ êîòîðûõ εk 6 f (x) < ε(k + 1).  ñèëó ïðèìåðà 3.2 èìååì fε ∈ L 1 (µ) ⇔ ðÿä S(ε) ñõîäèòñÿ. Òàê êàê |fε − f | 6 ε, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ èç èíòåãðèðóåìîñòè ¯R ¯ Rôóíêöèè ¯ f Rñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f è îáðàòíî. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè f dµ − f dµ¯ 6 ε ε R R 6 |fε − f | dµ 6 ε · µ(X), îòêóäà f dµ = lim fε dµ = lim S(ε) = S(f ), ÷òî è äîêàçûâàåò ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ε→0 ε→0 îïðåäåëåíèé èíòåãðàëà.
3.2. Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà 3.2.1. Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà è íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà
Òåîðåìà 3.4 (àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà Ëåáåãà). Ïóñòü f µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ∈ Aµ ñ óñëîâèåì µ(A) < δ 16
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
R A
|f | dµ < ε.
¤ Ïóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðèðóåìîñòè ñóùåñòâóþò íåîòðèöàòåëüíûå ï.â. ïðîñòûå ôóíêöèè fn , òàêèå ÷òî fn −−→ |f |, ïðè÷¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì. Ïî R äîêàçàííîìó ðàíåå (ëåììà 3.2), ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî fn dµ < 2ε ïðè óñëîâèÿõ A0 ∈ A è µ(A0 ) < δ A0
ñðàçó äëÿ âñåõ n. Ïóñòü òåïåðü A ∈ Aµ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ñ µ(A) < ε. Èç ïðåäëîæåíèÿ 2.14 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî A0 ∈ A , òàêîå äëÿ ëþáîé ôóíêöèè h ∈ L 1 (µ) R R R ÷òî A0 ⊂ A èR µ(A0 ) = µ(A). Òîãäà R ÿñíî, ÷òî ε èìååì h dµ = h dµ. Ïîñêîëüêó |f | dµ = lim fn dµ, ïîëó÷àåì |f | dµ 6 2 < ε, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. A0
¥
A
n→∞
A
A
A
Òåîðåìà 3.5 (íåðàâåíñòâî ×åáûø¼âà). Ïóñòü ôóíêöèÿ f µ-èíòåãðèðóåìà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî R > 0 R |f | dµ
èìååì µ({x : |f (x)| > R}) 6 X R . R R R R R ¤ Ïóñòü G = {x : |f (x)| > R}, L = {x : |f (x)| < R}. Òîãäà |f | dµ = |f | dµ + |f | dµ > |f | dµ > dµ = X
= R · µ(G), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ¥
G
L
G
R
3.2.2. Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè
Òåîðåìà 3.6 (êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè). Ïóñòü f µ-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà f ∈ L 1 (µ) ⇔
⇔
+∞ P
n=1
µ({x : |f (x)| > n}) ñõîäÿùèéñÿ ðÿä.
¤ Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(x), ðàâíóþ n íà ìíîæåñòâå {x : n 6 |f (x)| < n + 1} ïðè ëþáîì n > 0. Ýòà ôóíêöèÿ èìååò ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé. Êðîìå òîãî, èìååì g 6 |f (x)| < g + 1. Ïîýòîìó ôóíêöèè g è R |f (x)| îäíîâðåìåííî èíòåãðèðóåìû èëè íåèíòåãðèðóåìû ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (ñëåäñòâèå 3.2). Íî g dµ = ∞ ∞ P P = n · µ({x : n 6 |f (x)| 6 n + 1}). Çíà÷èò, f ∈ L 1 (µ) ⇔ n · µ({x : n 6 |f (x)| 6 n + 1}) ñõîäÿùèéñÿ ðÿä. Íî n=0
µ({x : |f (x)| > n}) =
∞ P k=n
n=1 +∞ P
µ({x : k 6 |f (x)| < k+1}), ïîýòîìó
îòêóäà âñ¼ è ñëåäóåò. ¥
µ({x : |f (x)| > n}) =
n=1
∞ P n=1
n · µ({x : n 6 |f (x)| < n + 1}),
Ñëåäñòâèå 3.3. Ïóñòü f, g µ-èçìåðèìûå ôóíêöèè, g ∈ L 1 (µ) è |f | 6 g ï.â. Òîãäà f ∈ L 1 (µ). ¤
Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ðÿä
+∞ P n=1
µ({x : g(x) > n}) ñõîäèòñÿ. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî
{x : |f (x)| > n} ⊂ {x : g(x) > n} ïðè ëþáîì n ∈ N, è âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåì èíòåãðèðóåìîñòè äëÿ f . ¥
Ïðèìåð 3.1. Ôóíêöèÿ f (x) = ln x íà îòðåçêå [0, 1] èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó. Äåéñòâèòåëüíî, {x : | ln x| > n} = = (0, e−n ], à ðÿä
∞ P
n=1
e−n ñõîäèòñÿ. 3.2.3. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â èíòåãðàëå
Òåîðåìà 3.7 (Ëåáåã). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïî÷òè âñþäó ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f . Ïóñòü Ròàêæå ñóùåñòâóåò µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ Φ, òàêàÿ ÷òî |fn | 6 Φ ï.â. ïðè ëþáîì n. R R Òîãäà f ∈ L 1 (µ) è f dµ = lim fn dµ. Êðîìå òîãî, |f − fn | dµ → 0. n→∞
¤ Èç ¯óñëîâèÿ µ-èíòåãðèðóåìîé ïî ñëåäñòâèþ 3.3. R Rèìååì ¯|f | R6 Φ ï.â., ïîýòîìó ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ R Ïîñêîëüêó ¯ f dµ − fn dµ¯ 6 |f − fn | dµ, îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî |f − fn | dµ → 0 ïðè n → ∞. Çàìåòèì, ÷òî |f − fn | 6 2Φ ï.â. ÏóñòüR ε > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ñèëó àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî Φ dµ < 4ε äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ∈ Aµ ñ µ(A) < δ . Ïî òåîðåìå Åãîðîâà ñóùåñòâóåò A
ìíîæåñòâî Xδ , òàêîå ÷òî µ(X\Xδ ) < δ è |f − fn | ⇒ 0 íà Xδ . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò R N ∈ N, òàêîå ÷òî R äëÿ ëþáîãî ε n > N âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |f − fn | 6 2(µ(X)+1) íà ìíîæåñòâå Xδ . Òîãäà |f − fn | dµ = |f − fn | dµ + X Xδ R R ε + |f − fn | dµ 6 2(µ(X)+1) µ(X) + 2Φ dµ < 2ε + 2ε = ε, îòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìîå. ¥ X\Xδ
X\Xδ
Ïðèìåð 3.2. Ïóñòü fn = n íà [0, n1 ] è fn = 0 âíå [0, n1 ]. Òîãäà fn → 0 ï.â., íî ôóíêöèé fn íåò îáùåé ìàæîðàíòû. Ýòó òåîðåìó íàçûâàþò òàêæå òåîðåìîé î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè.
17
R [0,1]
fn dµ = 1 6= 0, ïîñêîëüêó ó
Òåîðåìà 3.8 (Áåïïî Ëåâè, î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè fn µ-èíòåãðèðóåìû, ïðè÷¼ì R ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ìîíîòîííà äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ X . Ïóñòü sup fn dµ < ∞. Òîãäà ôóíêöèÿ f := n X R R = lim fn ïî÷òè âñþäó êîíå÷íà, µ-èíòåãðèðóåìà è f dµ = lim fn dµ. n→∞
n→∞
¤ Áåç îãðàíè÷åíèÿ R îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ìîíîòîííà ïðè âñåõ x ∈ X . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { fn dµ} âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åííà, ïîýòîìó îíà ôóíäàìåíòàëüíà. Çíà÷èò, R R ïîñëåäîâàòåëüíîñòü R {fn } ôóíäàìåíòàëüíà â ñðåäíåì, òàê êàê ïðè n > k èìååì fn > fk , îòêóäà |fn − fk | dµ = fn dµ − fk dµ → → 0 ïðè n, k → ∞. Èç íåðàâåíñòâà ×åáûø¼âà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå: R µ({x : |fn (x) − fk (x)| > c}) 6 1c |fn − fk | dµ → 0 ïðè n, k → ∞ ïðè ëþáîì c > 0. Ïî òåîðåìå Ðèññà (òåîðåìà 2.16, X
I) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ï.â. ê êîíå÷íîé èçìåðèìîé ôóíêöèè. Íî òîãäà ê ýòîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ ï.â. âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } â ñèëó å¼ ìîíîòîííîñòè ï.â. Ïîêàæåì, ÷òî f ∈ L 1 (µ).  ñàìîì äåëå, ïðèìåíèì êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè R (òåîðåìà 3.6). Ïåðåéäÿ ê ôóíêöèÿì âèäà fn − f1 , ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî fn > 0 ïðè âñåõ n ∈ N. Ïóñòü fn dµ 6 C äëÿ ëþáîãî N N P P n ∈ N. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì N èìååì µ({x : f (x) > n}) = lim µ({x : fk (x) > n}), n=1
∞ S
òàê êàê {x : fk (x) > n} ⊂ {x : fk+1 (x) > n} ïðè ëþáîì k è
µ({x : f (x) > n}) = lim µ({x : fk (x) > n}). Äàëåå, k→∞
=
∞ P n=1
n · µ({x : n 6 fk (x) < n + 1}) 6
R
N P n=1
{x : fk (x) > n} = {x : f (x) > n}, ò.å.
k=1
µ({x : fk (x) > n}) 6
fk dµ 6 C . Ïîýòîìó
∞ P
k→∞ n=1
ñõîäèòñÿ ðÿä µ({x : f (x) > n}), ïîýòîìó ñõîäèòñÿ è ðÿä R R n=1 fn dµ → f dµ ïî òåîðåìå Ëåáåãà. ¥
N P n=1 ∞ P n=1
∞ P n=1
µ({x : fk (x) > n}) =
µ({x : f (x) > n}) 6 C ïðè ëþáîì N , ïîýòîìó µ({x : f (x) > n}), à ïîòîìó f ∈ L 1 (µ). Òåïåðü
Òåîðåìà 3.9 (Ôàòó). Ïóñòü {fn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü µ-èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé è fn > 0. Ïðåäïîëîæèì, R R R ï.â. ÷òî fn −−→ f è sup fn dµ < ∞. Òîãäà f ∈ L 1 (µ) è f dµ 6 sup fn dµ. n
¤ S
n
Ââåä¼ì ôóíêöèè gn (x) = inf fk (x). Òîãäà âñå îíè µ-èçìåðèìû ïî òåîðåìå 2.4, èáî {x : gn (x) < c} = k>n
{x : fk (x) < c} ∈ Aµ ïðè ëþáîì c ∈ R. Ïðè ýòîì 0 6 gn 6 fn è gn 6 gn+1 . Ïî òåîðåìå Á. Ëåâè ïî÷òè âñþäó k>n R R R ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g = lim gn è îíà ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé, ïðè÷¼ì g dµ 6 sup fn dµ, èáî gn dµ 6 n→∞ n R 6 fn dµ. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî g(x) = f (x) ïî÷òè âñþäó. ¥ =
3.2.4. Ñâÿçü èíòåãðàëîâ Ëåáåãà è Ðèìàíà
Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a, b], òî áóäåì ïèñàòü f ∈ R[a, b]. Rb R Òåîðåìà 3.10. Ïóñòü f ∈ R[a, b], òîãäà f ∈ L 1 ([a, b]) è f dx = f dµ. a
¤
Rb
R
a
[a,b]
Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ (R) f dx è (L)
f dµ äëÿ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà è Ëåáåãà ñîîòâåòñòâåííî îò ôóíêöèè
f ïî îòðåçêó [a, b]. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî [a, b] = [0, 1]. Ïðè ëþáîì n ∈ N ðàçäåëèì îòðåçîê [0, 1] òî÷êàìè âèäà 2kn íà 2n îòðåçêîâ Jn,1 , . . . , Jn,2n . Ðàññìîòðèì ôóíêöèè (îíè áóäóò ñòóïåí÷àòûìè) fn è gn , òàêèå ÷òî fn (x) := inf f (y) ïðè x ∈ Jn,k , gn (x) := sup f (y) ïðè x ∈ Jn,k . Òàêîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ïîñêîëüêó y∈Jn,k y∈Jn,k ½1 ¾ R ëþáàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn dx âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ 0 ½1 ¾ ½1 ¾ ½1 ¾ R R R ê f dx ïðè n → ∞, àíàëîãè÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü gn dx óáûâàåò è ñòðåìèòñÿ ê f dx . Ïðè 0
0
0
ýòîì fn 6 f 6 gn è fn 6 fn+1 , gn > gn+1 (ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ îòðåçêà íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó íå óìåíüøàåòñÿ, à âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó íå óâåëè÷èâàåòñÿ). Ïîëîæèì f ∗ := lim fn , g ∗ := lim gn . Ôóíêöèè f ∗ è n→∞ n→∞ g ∗ èçìåðèìû è îãðàíè÷åííû êàê ïîòî÷å÷íûå ïðåäåëû ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé. Ïî òåîðåìå Á. Ëåâè ôóíêöèè f ∗ R ∗ R R1 R ∗ è g ∗ ÿâëÿþòñÿ µ-èíòåãðèðóåìûìè, ïðè÷¼ì (L) f dµ = lim (L) fn dµ = lim (R) fn dµ è (L) g dµ = n→∞
[0,1]
18
[a,b]
n→∞
0
[0,1]
R1 R1 R ∗ R ∗ gn dµ = lim (R) gn dµ. Îòñþäà (L) f dµ = (L) g dµ = (R) f dx, ïîýòîìó f ∗ = g ∗ ï.â., n→∞ n→∞ 0 0 [0,1] [0,1] [0,1] R R ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (g −f ) dµ = 0, à ïî íåðàâåíñòâó ×åáûø¼âà µ({x : g (x)−f (x) > k1 }) 6 k òàê êàê g −f > 0 è (g ∗ −f ∗ ) dµ.
= lim (L)
R
[0,1]
[0,1]
Îòñþäà f = f ∗ = g ∗ ï.â. ¥
Çàäà÷à 3.1. Äîêàçàòü, ÷òî f ∈ R[a, b] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ è ìíîæåñòâî å¼ òî÷åê ðàçðûâà èìååò ëåáåãîâó ìåðó íóëü. Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóþò íåñîáñòâåííî èíòåãðèðóåìûå ïî Ðèìàíó ôóíêöèè, êîòîðûå íå èíòåãðèðóåìû ïî Ëåáåãó. Ïðèìåð: f (x) = x1 sin x1 íà [0, 1]. Òåîðåìà 3.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà èíòåðâàëå (a, b) è f ∈ R[a + ε, b − ε] ïðè ëþáîì ε > 0. Òîãäà e b) ⇔ f ∈ L 1 ([a, b]) (R(a, e b) êëàññ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ íà (a, b) ïî Ðèìàíó â íåñîáñòâåííîì |f | ∈ R(a, b R R ñìûñëå). Ïðè ýòîì |f | dx = |f | dµ, ãäå èíòåãðàë ñëåâà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà. a
¤
[a,b] 1 b− n
R
e b), òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Åñëè |f | ∈ R(a,
n→∞
= f (x) · χ[a+ n1 ,b− n1 ] èíòåãðèðóåìû ïî Ëåáåãó è (R) fn → f äëÿ ëþáîãî x ∈ (a, b). Ïîñêîëüêó sup n
òåîðåìå Ëåáåãà èìååì
R [a,b]
f dµ = lim
n→∞
R [a,b]
R
|f | dx. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå ôóíêöèè fn (x) :=
1 a+ n
1 b− n
R
R
fn dx = (L)
1 a+ n
fn dµ ïðè ëþáîì n ∈ N. Äàëåå,
1 1 [a+ n ,b− n ]
|fn | dµ < ∞, ïî òåîðåìå Ôàòó ïîëó÷àåì f ∈ L 1 ([a, b]). Òåïåðü ïî
fn dµ = lim
n→∞
1 b− n
R
1 a+ n
|f | dx =
Rb a
|f | dx.
Îáðàòíî, ïóñòü f ∈ L 1 ([a, b]). Òîãäà äëÿ òåõ æå ôóíêöèé fn ïîëó÷àåì
R
|fn | dµ 6
[a,b]
R
|f | dµ, ïîýòîìó
[a,b]
ôóíêöèÿ |f | íåñîáñòâåííî èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. ¥
Çàäà÷à 3.2. Ïðèâåñòè ïðèìåð êîìïàêòà K ⊂ [0, 1], òàêîãî ÷òî ôóíêöèÿ χK íå ìîæåò áûòü ðàâíà ïî÷òè âñþäó èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó ôóíêöèè.
3.3. Ïðîñòðàíñòâà L p 3.3.1. Ïðîñòðàíñòâî L 1 (µ)
Ïóñòü îïÿòü (X, A , µ) ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé íåîòðèöàòåëüíîé ìåðîé. Íàïîìíèì, ÷òî L 1 (µ) ýòî ïðîñòðàíñòâî âñåõ µ-èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé íà X . Çàìå÷àíèå. Ïðîñòðàíñòâî L 1 (µ) íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîòîìó ÷òî ìû äîïóñêàåì ôóíêöèè, íå îïðåäåë¼ííûå â íåêîòîðûõ òî÷êàõ. Òîãäà íåâîçìîæíî êîððåêòíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, ñóììó äâóõ ôóíêöèé, íå îïðåäåë¼ííûõ â îäíîé è òîé æå òî÷êå. Ïîýòîìó îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò ôàêòîðïðîñòðàíñòâî L1 (µ) = L 1 (µ)/ ∼, ãäå ∼ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, f ∼ g ⇔ f = g ï.â. ßñíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî L1 (µ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. R  ïðîñòðàíñòâå L1 (µ) îïðåäåëÿåòñÿ íîðìà ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå kf kL1 (µ) = |f | dµ (èíîãäà èíäåêñ L1 (µ) X
ó íîðìû áóäåì îïóñêàòü, êîãäà ÿñíî, î êàêîé íîðìå èä¼ò ðå÷ü). Î÷åâèäíî, ÷òî íîðìà êîððåêòíî îïðåäåëåíà, ïîñêîëüêó îò èçìåíåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû ðåçóëüòàò íå ïîìåíÿåòñÿ. Ââåä¼ííàÿ íîðìà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ íîðìîé, ïîñêîëüêó äëÿ íå¼ ñïðàâåäëèâû âñå ñâîéñòâà íîðìû: 1) kf k > 0; ïðè÷¼ì kf k = 0 ⇔ f = 0 ∈ L1 (µ); 2) kαf k = |α| · kf k ïðè ëþáîì α ∈ R; 3) kf + gk 6 kf k + kgk. Ñïðàâåäëèâîñòü ñâîéñòâ 1)3) î÷åâèäíî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ èíòåãðàëà Ëåáåãà. Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî L1 (µ) ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Òåîðåìà 3.12. Ïðîñòðàíñòâî L1 (µ) ïîëíî, ò.å. îíî åù¼ è áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. ¤ Ïðîñòðàíñòâî ïîëíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â í¼ì ñõîäèòñÿ. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíà. Òîãäà îíà ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå: µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) → 0R ïðè n, m → ∞ äëÿ âñÿêîãî c > 0. Ýòî ÿñíî èç íåðàâåíñòâà ×åáûø¼âà: 1 |fn − fm | dµ = kfn − fm k. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fnk , µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) 6 c c ñõîäÿùàÿñÿ ï.â. ê ôóíêöèè f . Ïóñòü çàäàíî ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò N , òàêîå ÷òî äëÿ âñåõ n, m > N
19
ï.â.
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî kfn − fm k < ε. Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì n0 > N èìååì |fn0 − fnk | −−→ |fn0 − f |. Ïî R òåîðåìå Ôàòó |fn0 − f | dµ < ε. Òîãäà kf k 6 kfn0 − f k + kfn k < ∞, ïîýòîìó f ∈ L1 (µ) è kfn − f k → 0 ïðè n → ∞. ¥
Çàäà÷à 3.3. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûõ íà [0, 1] ïî Ðèìàíó, íåïîëíî. 3.3.2. Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
Òåîðåìà 3.13 (íåðàâåíñòâî üëüäåðà (Holder)). Ïóñòü p > 1 è q òàêîâî, ÷òî
p + 1q = 1, ò.å. q = p−1 . Ïóñòü ôóíêöèè f, g µ-èçìåðèìû, ïðè÷¼ì ôóíêöèè |f | , |g| µ-èíòåãðèðóåìû. Òîãäà ôóíêöèÿ f g ÿâëÿåòñÿ µ¡R ¢1/p ¡R q ¢1/q èíòåãðèðóåìîé è kf gk 6 kf kp · kgkq (kf kp = |f |p dµ , kgkq = |g| dµ ). p
q
p
1 p
q
Äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a, b ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ab 6 ap + bq (äîêàçàòü â êà÷åñòâå |f | |g| 1 |f |p 1 |g|q çàäà÷è!). Ïîýòîìó · 6 · · (åñòåñòâåííî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íîðìû kf kp è kgkq p + kf kp kgkq p kf kp q kgkqq íåíóëåâûå, èíà÷å óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî). Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f gR. Äîìíîæèâ ýòî 1 |f |p dµ íåðàâåíñòâî íà kf kp · kgkq è çàòåì ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ìíîæåñòâó X , ïîëó÷èì kf gk 6 · · kgkq + p kf kp−1 p R q ³ 1 1´ 1 |g| dµ + · · kf kp = + · kf kp · kgkq = kf kp · kgkq . ¥ q−1 q kgkq p q
¤
Òåîðåìà 3.14 (íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî). Ïóñòü p > 1, à ôóíêöèè f, g µ-èçìåðèìû, ïðè÷¼ì |f |p , |g|p ∈ L 1 (µ). Òîãäà |f + g|p ∈ L 1 (µ) è kf + gkp 6 kf kp + kgkp , ãäå îáîçíà÷åíèå k · kp îçíà÷àåò òî æå ñàìîå, ÷òî è â íåðàâåíñòâå üëüäåðà. p ¤ Ïðè p = 1 äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü p > 1. Âîçüì¼ì q = p−1 . Çàìåòèì, ÷òî |f + g|p 6 2p (|f |p + |g|p ), èáî ïðè ëþáîì x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |f (x) + g(x)| 6 2 max{|f (x)|, |g(x)|}. Îòñþäà |f + g|p ∈ L 1 (µ). p−1 Äàëåå, èìååì |f + g|p 6 |f + g|p−1 · |f | + |f + · |g|. Çàìåòèì, ÷òî |f + Rg|p−1 èíòåãðèðóåìà â R g| R ôóíêöèÿ p−1 p 1/q ñòåïåíè q . Ïîýòîìó ïî üëüäåðà · ( |f |p )1/p , àíàëîãè÷íî R R íåðàâåíñòâó R p 1/p |f + g| R · |f | dµp 6 ( |fR + g| dµ) p−1 p 1/q p 1/q |f + g| · |g| dµ 6 ( |f + g| dµ) · ( |g| ) . Çíà÷èò, |f + g| dµ 6 ( |f + g| ) · (kf kp + kgkp ). Îñòàëîñü R R p(1− 1 ) p/q çàìåòèòü, ÷òî |f + g|p dµ = kf + gkpp , ( |f + g|p dµ)1/q = kf + gkp = kf + gkp p = kf + gkp−1 è ðàçäåëèòü p íåðàâåíñòâî íà kf + gkp−1 . ¥ p 3.3.3. Ïðîñòðàíñòâî L p (µ)
Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîñòðàíñòâî L p (µ) ìíîæåñòâî µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé, òàêèõ ÷òî |f |p ∈ L 1 (µ). Êàê è â L 1 -ñëó÷àå, ââîäèì ôàêòîðïðîñòðàíñòâî Lp (µ) = L p (µ)/ ∼. Èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî ñëåäóåò, ÷òî Lp (µ) R p p 1/p ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Òåïåðü ÷åñòíî çàâåä¼ì L -íîðìó: kf kp := kf kLp = ( |f | dµ) . Ýòî äåéñòâèòåëüíî íîðìà, ïîòîìó ÷òî âñå ñâîéñòâà 1)3) (ñì. ï. 3.3.1) äëÿ k · kp ñïðàâåäëèâû. Òåîðåìà 3.15. Ïðîñòðàíñòâî Lp (µ) ïîëíî. ¤ Ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû ðàññóæäåíèÿì ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.12. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ⊂ Lp (µ) ôóíäàìåíòàëüíà ïî íîðìå k · kp . Òîãäà îíà ôóíäàìåíòàëüíà ïî ìåðå, òàê êàê ïî íåðàâåíñòâó ×åáûø¼âà èìååì µ({x : |fn (x) − fm (x)| > c}) = µ({x : |fn (x) − fm (x)|p > cp }) 6 c1p kfn − fm kpp → 0 ïðè m, n → ∞. Ïî òåîðåìå 2.16 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ñîäåðæèò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü fnk , ñõîäÿùóþñÿ ï.â. ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f . Ïóñòü ε > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Òîãäà ñóùåñòâóåò N ∈ N, òàêîå ÷òî kfn − fm kp < ε ïðè ëþáûõ ï.â. n, m > N . Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì n0 > N èìååì |fn0 − fnk |p −−→ |fn0 − f |p , îòêóäà ïî òåîðåìå Ôàòó kfn0 − f kp 6 ε. Äàëåå ïî íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî èìååì kf kp 6 kfn0 − f kp + kfn0 kp < ∞, ïîýòîìó f ∈ Lp (µ). Íàêîíåö, ïðè ëþáîì n > N èìååì kf − fn kp 6 kf − fn0 kp + kfn0 − fn kp < ε + ε = 2ε, îòêóäà kf − fn kp → 0 ïðè n → ∞. ¥ 3.3.4. Ñâÿçü ðàçíûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé
Ýòà ñâÿçü ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíà ñõåìîé 1, ðàçìåù¼ííîé íà ñëåäóþùåé ñòðàíèöå. Íóæäàåòñÿ â ïîÿñíåíèè òîëüêî èìïëèêàöèÿ ¾ñõîäèìîñòü Lp ⇒ ñõîäèìîñòü L1 ¿. Îíà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà p . üëüäåðà: kf k1 = kf · 1k1 6 kf kp · k1kq = (µ(X))1/q · kf kp , ãäå q = p−1 1
µ
L Çàäà÷à 3.4. Åñëè fn − → f è |fn | 6 Φ, ãäå Φ µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî fn −−→ f . Çàäà÷à 3.5 (òåîðåìà ÂèòàëèÔèõòåíãîëüöàÞíãà (Young)). Ïóñòü fn −ï.â. −→ f . Ïóñòü ôóíêöèè fn è L1
f µ-èíòåãðèðóåìû. Òîãäà fn −−→ f ⇔
R
|fn | dµ →
R
|f | dµ.
20
Åãîðîâ (íà ìíîæåñòâå ïî÷òè ïîëíîé ìåðû)
+3 ñõîäèìîñòü Lp ðàâíîìåðíàÿ u9 ||| ||||| ¡ | | ||| ®¶  ² ïîòî÷å÷íàÿ ||||| | | / ||| ||||| > | | ||| I ®¶ ®¶ z£ ||| + 3 ks ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå ñõîäèìîñòü L1 h U Z _ d i Ðèññ (ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü)
Ñõåìà 1. Ñâÿçü ðàçíûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé 3.3.5. Î ïðîñòðàíñòâå L∞ (µ)
Ïóñòü L∞ (µ) ýòî ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå îáëàäàþò îãðàíè÷åííîé ìîäèôèêàöèåé, ò.å. ëþáóþ òàêóþ ôóíêöèþ f ìîæíî ïåðåîïðåäåëèòü ïî÷òè íèãäå (= íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü) è ïîëó÷èòü îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ. Íîðìà ââîäèòñÿ ïî ôîðìóëå kf k∞ = kf kL∞ := inf sup |fe(x)|. fe∼f x∈X
Çàäà÷à 3.6. Ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî íîðìà, è äîêàçàòü ïîëíîòó L∞ . Çàäà÷à 3.7. Äîêàçàòü, ÷òî f ∈ L∞ (µ) ⇔ sup kf kp < ∞, ò.å. f ∈ Lp (µ) äëÿ ëþáîãî p > 1; è ïðèâåñòè 16p1} , ïîëó÷èì ñëåâà íåïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå, à ñïðàâà íåîòðèöàòåëüíîå, ïîýòîìó îáà ýòèõ çíà÷åíèÿ íóëè è µ({x : g(x) > 1}) = 0, ò.å. g < 1 µ-ïî÷òè âñþäó. Òåïåðü ïîäñòàâèì â òî æå ðàâåíñòâî ϕ = χ{x:g(x) 0 µ-ïî÷òè âñþäó. Èòàê, ôóíêöèÿ ρ îïðåäåëåíà µ-ïî÷òè âñþäó, µ-èçìåðèìà êàê îòíîøåíèå µ-èçìåðèìûõ ôóíêöèé è íåîòðèöàòåëüíà. R R χXn . Èìååì ϕn g dµ = ϕn (1 − g) dν = Ïóñòü Xn := {x : g(x) 6 1 − n1 }. Òîãäà âîçüì¼ì ôóíêöèþ ϕn = 1−g R R = χXn dν 6 ν(X). Ïî òåîðåìå Ôàòó ôóíêöèÿ ρ ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé è ρ dµ 6 ν(X). Äàëåå, X R χXn (x) → 1 µ-ïî÷òè âñþäó è ïîòîìó χXn (x) → 1 ν -ïî÷òè âñþäó. Ïîýòîìó ν(A) = lim χXn dν = n→∞ A R R R R g 1 = lim χA · χXn · 1−g · (1 − g) dν = lim χA · χXn · 1−g dµ = lim χXn · ρ dµ = ρ dµ, ãäå ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî n→∞
X
n→∞
n→∞
X
ñëåäóåò èç òåîðåìû Ëåáåãà, òàê êàê ôóíêöèÿ ρ µ-èíòåãðèðóåìà. ¥
A
A
Çàìå÷àíèå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ÐàäîíàÍèêîäèìà äà¼ò áîëüøåå: ïóñòü µ, ν íåîòðèöàòåëüíûå ìåðû 22
íà A , íî òåïåðü ìû íå òðåáóåì àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ρ ∈ L1 (µ) è íåîòðèöàòåëüíàÿ ìåðà µ0 íà A , òàêèå ÷òî ν = ρ · µ + µ0 , ïðè÷¼ì µ0 ⊥ µ.
Çàäà÷à 3.9. Äîêàçàòü ýòî, èñïîëüçóÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ðàäîíà
Íèêîäèìà.
Ïðèìåð 3.3. Ïóñòü λ ìåðà Ëåáåãà íà [0, 1], δ ìåðà Äèðàêà â íóëå. Òîãäà λ + δ = 1 · λ + δ . Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå áîðåëåâñêèõ ìåð íà R âñÿêàÿ ìåðà ν ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå ν = ρ · λ + ν0 , ãäå λ
ìåðà Ëåáåãà, ρ λ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ è ν0 ⊥ λ. Êðîìå òîãî, ìåðà ν0 èìååò íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî òî÷åê tn , äëÿ êîòîðûõ ν0 (tn ) > 0 (äëÿ êàæäîãî k êîëè÷åñòâî òî÷åê ìåðû áîëüøå 1/k êîíå÷íî, òàê êàê ìåðà âñåãî ∞ P ïðîñòðàíñòâà êîíå÷íà). Ïîýòîìó ν0 = νc + cn δtn , ãäå δt ìåðà Äèðàêà â òî÷êå t è νc ⊥ λ, ïðè÷¼ì ìåðà νc íå n=1
èìååò òî÷åê ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Ýòî ìåðà ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî íåïðåðûâíîé ñèíãóëÿðíîé êîìïîíåíòîé ìåðû ν .
3.5. Òåîðåìà Ôóáèíè è ñìåæíûå âîïðîñû 3.5.1. Ïðîèçâåäåíèå ìåð
Ïóñòü (X, A , µ) è (Y, B, ν) èçìåðèìûå ïðîñòðàíñòâà ñ êîíå÷íûìè íåîòðèöàòåëüíûìè ìåðàìè. Ïðè A ∈ A è B ∈ B ïîëîæèì (µ×ν)(A×B) = µ(A)ν(B). Òàêèå ìíîæåñòâà A×B íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Îíè íå îáðàçóþò àëãåáðó, íî A ⊗ B σ -àëãåáðà, ïîðîæä¼ííàÿ èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè, äîñòîéíà íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Àëãåáðà, ïîðîæä¼ííàÿ èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè, ñîñòîèò èç äèçúþíêòíûõ êîíå÷íûõ N F îáúåäèíåíèé An × Bn , ãäå An ∈ A , Bn ∈ B . Íà òàêèå ìíîæåñòâà ìåðà µ × ν åñòåñòâåííî ïðîäîëæàåòñÿ:
(µ × ν)[
N F
n=1
n=1
An × Bn ] =
N P n=1
µ(An )ν(Bn ). Äîêàæåì ñ÷¼òíóþ àääèòèâíîñòü ýòîé ìåðû.
Òåîðåìà 3.18. Ìåðà µ × ν ñ÷¼òíî-àääèòèâíà íà àëãåáðå, ïîðîæä¼ííîé èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Ïóñòü ñíà÷àëà C =
∞ F
Cn , ãäå C = A × B è Ci = Ai × Bi ; A, Ai ∈ A , B, Bi ∈ B . Ââåä¼ì ôóíêöèè ( ∞ P ν(Bn ), x ∈ An , ßñíî (ïðîâåðüòå!), ÷òî fn : X → R ñëåäóþùèì îáðàçîì: fn (x) = fn = ν(B) íà ìíîæåñòâå 0, x∈ / An . n=1 ∞ R R R P A. Ïî òåîðåìå Á. Ëåâè fn dµ = ν(B) dµ = µ(A)ν(B). Íî fn dµ = ν(Bn )µ(An ) = (µ × ν)(Cn ), è òåì ñàìûì ¤
n=1
n=1 A
A
A
â ÷àñòíîì ñëó÷àå ñ÷¼òíàÿ àääèòèâíîñòü äîêàçàíà. M N ∞ F F Fn Ïóñòü òåïåðü C = Cj , ãäå Cj èçìåðèìûå ïðÿìîóãîëüíèêè, è C = Dn , ãäå Dn = Dn,i , n = 1, 2, . . ., n=1
j=1
i=1
è Dn,i èçìåðèìûå ïðÿìîóãîëüíèêè. Ïóñòü Dn,i,j = Dn,i ∩ Cj . Òîãäà ìíîæåñòâà Dn,i,j äèçúþíêòíû è Cj = ∞ M N ∞ M N F Fn F P Pn P = Dn,i,j , Dn,i = Dn,i,j . Ïî óæå äîêàçàííîìó èìååì µ(Cj ) = µ(Dn,i,j ), µ(Dn,i ) = µ(Dn,i,j ) è n=1 i=1 N P
µ(C) =
j=1
n=1 i=1
j=1
µ(Cj ), µ(Dn ) =
M Pn i=1
j=1 ∞ P
µ(Dn,i ). Ââèäó àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè âñåõ ðÿäîâ ïîëó÷àåì µ(C) =
n=1
µ(Dn ). ¥
σ -Àëãåáðà, ïîðîæä¼ííàÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A ⊗B . Ïî äîêàçàííîìó (òåîðåìà 2.12) ìåðà µ ⊗ ν ñ àëãåáðû, ïîðîæä¼ííîé èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè, ïðîäîëæàåòñÿ äî ñ÷¼òíî-àääèòèâíîé ìåðû íà A ⊗ B . Äàëåå, ýòó ìåðó ìîæíî ïðîäëèòü íà ëåáåãîâî ïîïîëíåíèå L (A ⊗ B) := Lµ×ν . Ïîïîëíåííàÿ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà ëåáåãîâîì ïîïîëíåíèè L (A ⊗ B) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç µ ⊗ ν è íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìåð µ è ν . Îïðåäåëåíèå. Ìåðà µ íà σ -àëãåáðå E íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E ∈ E ñ óñëîâèåì µ(E) = 0 è ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà D ⊂ E èìååì D ∈ E (è òîãäà µ(D) = 0). Ïî ïîñòðîåíèþ µ ⊗ ν ïîëíàÿ ìåðà, äàæå åñëè ìåðû µ è/èëè ν íå áûëè ïîëíûìè. Çàìå÷àíèå. Ïðè ïîñòðîåíèè ñ÷¼òíî-àääèòèâíîé ìåðû, ïðîäîëæåííîé ñ àëãåáðû íà σ -àëãåáðó âñåõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, ïîëó÷àåòñÿ ïîëíàÿ ìåðà. Íà A ⊗ B ìåðà µ ⊗ ν íå îáÿçàíà áûòü ïîëíîé. Ïðèìåð 3.1. Ïóñòü µ = ν = λ ìåðà Ëåáåãà íà σ -àëãåáðå A = B = L âñåõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ íà îòðåçêå [0, 1]. Òîãäà σ -àëãåáðà L ⊗ L ìåíüøå, ÷åì σ -àëãåáðà L2 âñåõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ â [0, 1]2 .
Ëåììà 3.19. Ïóñòü (X, A ) è (Y, B) èçìåðèìûå ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E ∈ A ⊗B è ëþáîãî y ∈ Y èìååì Ey ∈ A , ãäå Ey := {x ∈ X : (x, y) ∈ E}. Çàìå÷àíèå. Ìíîæåñòâà Ey è àíàëîãè÷íûå èì ìíîæåñòâà Ex := {y ∈ Y : (x, y) ∈ E} íàçûâàþòñÿ ñå÷åíèÿìè
ìíîæåñòâà E .
23
¤ Åñëè E = A × B , ãäå A ∈ A , B ∈ B , òî ýòî î÷åâèäíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ E ∈ A ⊗ B , äëÿ êîòîðûõ ýòî âåðíî. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî E σ -àëãåáðà. Äåéñòâèòåëüíî, (X × Y )\E ∈ E , èáî ∞ ∞ ∞ S S S ((X × Y )\E)y = X\Ey . Äàëåå, åñëè En ∈ E , òî En ∈ E , ïîòîìó ÷òî ( En )y = (En )y . Òàê êàê E ñîäåðæèò n=1
n=1
n=1
σ -àëãåáðó, ïîðîæä¼ííóþ èçìåðèìûìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè, òî E = A ⊗ B . ¥
Ñëåäñòâèå 3.5. Åñëè N íåèçìåðèìîå ïî Áîðåëþ ïîäìíîæåñòâî íà îòðåçêå [0, 1], òî îíî áóäåò íåèçìåðèìî ïî Áîðåëþ è â êâàäðàòå [0, 1]2 . Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî N èçìåðèìî ïî Ëåáåãó â êâàäðàòå è èìååò ìåðó íóëü. 3.5.2. Çàìå÷àíèå î áåñêîíå÷íûõ ìåðàõ +
Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ÷¼òíî-àääèòèâíûå ìåðû µ : A → R .  ýòîì ñëó÷àå ñ÷¼òíàÿ àääèòèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ∞ ∞ F P (An )) = µ(An ) ∈ R. Íî â ýòîì ñëó÷àå åñòü òàê æå, êàê è äëÿ ïðîñòðàíñòâ ñ êîíå÷íûìè ìåðàìè: µ( n=1
n=1
îäíî íîâîââåäåíèå: îáÿçàòåëüíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ µ(∅) = 0 (â ïðîñòðàíñòâàõ ñ êîíå÷íûìè ìåðàìè ýòî âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè). Ïðèìåð 3.2. Ïîëîæèì µ(∅) = 0, µ(A) = ∞ äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A 6= ∅. Òîãäà µ ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ áåñêîíå÷íàÿ ìåðà.
Ïðèìåð 3.3. Ìíîæåñòâî A ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó, åñëè äëÿ âñÿêîãî êóáà K ⊂ Rn ìíîæåñòâî
A ∩ K èçìåðèìî. Ðàçäåëèì Rn íà êóáîñåòêó, îáðàçîâàííóþ âñåâîçìîæíûìè ñäâèãàìè êóáà I = [−1, 1]n íà ∞ P öåëî÷èñëåííûå âåêòîðû ñ ÷¼òíûìè êîîðäèíàòàìè. Ïîëîæèì λn (A) = λn (A ∩ Ij ) äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî j=1
+
ìíîæåñòâà A ⊂ Rn . Ïîëó÷åíà ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ ìåðà íà Rn ñî çíà÷åíèÿìè â R . ∞ F + Îïðåäåëåíèå. Ìåðà µ : X → R íàçûâàåòñÿ σ -êîíå÷íîé, åñëè X = Xn , ãäå Xn ∈ A è µ(Xn ) < ∞ äëÿ âñÿêîãî n ∈ N.  ýòîì ñëó÷àå µ(A) =
∞ P n=1 n
n=1
µ(A ∩ Xn ) äëÿ âñÿêîãî A ∈ A .
 ÷àñòíîñòè, ìåðà Ëåáåãà λn íà R ÿâëÿåòñÿ σ -êîíå÷íîé. Èíòåãðàë Ëåáåãà äëÿ ìíîæåñòâ ñ áåñêîíå÷íûìè ìåðàìè îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ ìíîæåñòâ ñ êîíå÷íûìè n P ìåðàìè, òîëüêî òåïåðü ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè f = ci χAi , ãäå µ(Ai ) < ∞ ïðè ci 6= 0. Îñíîâíîå i=1
îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà îñòà¼òñÿ áåç èçìåíåíèé (ïîëàãàåì ïðè ýòîì, ÷òî ci µ(Ai ) = 0, åñëè ci = 0, µ(Ai ) = = ∞). Åñëè ìåðà µ σ -êîíå÷íà, òî èíòåãðàë Ëåáåãà ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ êîíå÷íîé ìåðû ñëåäóþùèì îáðàçîì. ∞ R R P 1 Ïîëîæèì ν(A) := µ(Xn ∩ A). Ïóñòü ρ(X) := 2n (1 + µ(Xn )) ïðè x ∈ Xn . Òîãäà f dµ = f ρ dν . 2−n 1+µ(X n) n=1
X
X
Çàäà÷à 3.10. Ñëó÷àé èíòåãðàëà ïî áåñêîíå÷íîé ìåðå µ ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ σ -êîíå÷íîé ìåðû, òàê êàê åñëè
f µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî ìåðà µ ÿâëÿåòñÿ σ -êîíå÷íîé íà ìíîæåñòâå {x : f (x) 6= 0}. Äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìåð âåðíû òåîðåìû Ëåáåãà, Á. Ëåâè, Ôàòó, üëüäåðà, î ïîëíîòå ïðîñòðàíñòâ Lp . Òåîðåìà Ðàäîíà-Íèêîäèìà âåðíà òîëüêî äëÿ σ -êîíå÷íûõ ìåð. ∞ ∞ F F Åñëè µ è ν σ -êîíå÷íûå ìåðû, òî ìåðó µ ⊗ ν ìîæíî îïðåäåëèòü òàê. Ïóñòü X = Xn , Y = Yk , n=1 k=1 P µ|Xn ⊗ ν|Yk . µ(Xn ) < ∞, ν(Yk ) < ∞. Òîãäà ïîëîæèì µ ⊗ ν := n,k
3.5.3. Òåîðåìà Ôóáèíè
Òåîðåìà 3.20. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ⊂ X × Y èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî ìåðû µ ⊗ ν , ãäå µ, ν ìåðû íà X, Y ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëîæèì Ax = {y : (x, y) ∈ A} ⊂ Y , Ay = {x : (x, y) ∈ A} ⊂ X . Òîãäà äëÿ µ-ïî÷òè âñåõ x ìíîæåñòâî Ax ν -èçìåðèìî è ôóíêöèÿ x 7→ ν(Ax ) µ-èçìåðèìà. Äàëåå, äëÿ ν -ïî÷òè âñåõ y ìíîæåñòâî Ay R R µ-èçìåðèìî è ôóíêöèÿ y 7→ µ(Ay ) ν -èçìåðèìà, ïðè÷¼ì (µ ⊗ ν)(A) = ν(Ax ) dµ = µ(Ay ) dν . X Y R ¤ Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî (µ ⊗ ν)(A) = ϕA dµ, ãäå ϕA (x) = ν(Ax ). Âòîðîå ðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ X
àíàëîãè÷íî. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ äîêàçûâàåìîå âåðíî, ïîýòîìó âåðíî è äëÿ êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü A ïðîèçâîëüíîå (µ ⊗ ν)-èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Òîãäà èç êîíñòðóêöèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ ñóùåñòâóåò ∞ T ìíîæåñòâî B ∈ A ⊗B , òàêîå ÷òî B ⊃ A è (µ⊗ν)(A) = (µ⊗ν)(B) (ñì. ïðåäëîæåíèå 2.14). Ïðè ýòîì B = Bn , ãäå
Bn ⊃ Bn+1 , Bn =
∞ S k=1
n=1
Bn,k , Bn,k êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå äèçúþíêòíûõ èçìåðèìûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ è A ⊂ Bn
äëÿ ëþáîãî n ∈ N (ñð. ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïðåäëîæåíèÿ 2.14). Äîêàæåì íàøå óòâåðæäåíèå äëÿ ìíîæåñòâà B . Äëÿ
24
êàæäîãî èç ìíîæåñòâ Bn,k îíî âåðíî; äëÿ êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé âèäà
N S k=1
Bn,k =: Cn,N òîæå âåðíî, ïîñêîëüêó
òàêèå ìíîæåñòâà ïðåäñòàâèìû â âèäå äèçúþíêòíîãî îáúåäèíåíèÿ èçìåðèìûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ϕCn,N âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ ê ϕBn ïðè N → ∞. Ïî òåîðåìå Á. Ëåâè î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ìíîæåñòâ Bn . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕBn óáûâàåò è ñòðåìèòñÿ ê ôóíêöèè ϕB ïðè n → ∞, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî äëÿ ìíîæåñòâà B ñíîâà ïî òåîðåìå Á. Ëåâè (åñëè ìíîæåñòâà Ek óáûâàþò èëè âîçðàñòàþò ê ìíîæåñòâó E , òî èõ ñå÷åíèÿ âîçðàñòàþò èëè óáûâàþò ê ñå÷åíèþ E ). Îñòàëîñü äîêàçàòü íàøå óòâåðæäåíèå äëÿ ìíîæåñòâà C = B\A, êîòîðîå èìååò (µ ⊗ ν)-ìåðó íóëü. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî e ∈ A ⊗ B òàêîãî æå âèäà, êàê è B , òàêîå ÷òî C ⊂ B e è (µ ⊗ ν)(B) e = 0. Ïðè ýòîì Cx ⊂ B ex äëÿ ëþáîãî x ∈ X . B R e óòâåðæäåíèå òåîðåìû âåðíî (óæå äîêàçàíî), ïîýòîìó 0 = (µ ⊗ ν)(B) e = ν(B ex ) dµ. Îòñþäà Äëÿ ìíîæåñòâà B X
ex ) = 0 µ-ï.â. è ïîòîìó ν(Cx ) = 0 µ-ï.â. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ìíîæåñòâà C , à çíà÷èò, âåðíî ν(B è äëÿ A. ¥
Ñëåäñòâèå 3.6. Ïóñòü µ êîíå÷íàÿ ìåðà, f > 0 µ-èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íà X . Ïóñòü Y = R1 ñ
ìåðîé Ëåáåãà λ. Ïóñòü A ïîäãðàôèê ôóíêöèè f , ò.å. ìíîæåñòâî {(x, y) ∈ X × Y : 0 6 y 6 f (x)}. Òîãäà R f dµ = (µ ⊗ λ)(A).
X
¤ Èìååì λ(Ax ) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ X . Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå ïîëó÷àåì òðåáóåìîå, åñëè ïðîâåðèòü èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà A. Ïðîâåðèì å¼. Òàê êàê ôóíêöèÿ f A -èçìåðèìà, òî ìíîæåñòâî {(x, t) : 0 6 f (x) 6 t} = = {(x, t) : f (x) 6 t} âõîäèò â σ -àëãåáðó A ⊗ B(R1 ), ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ g(x, t) = f (x) − t èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî ýòîé σ -àëãåáðû (êàê ñóììà äâóõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé). ¥
Òåîðåìà 3.21 (Ôóáèíè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f : X × YR → R èíòåãðèðóåìà ïî ìåðå µ ⊗ ν . Òîãäà äëÿ ν ï.â. y ôóíêöèÿ f (x, y) µ-èíòåãðèðóåìà è ôóíêöèÿ y → 7 f (x, y) dµ ÿâëÿåòñÿ ν -èíòåãðèðóåìîé. Äàëåå, äëÿ XR µ-ï.â. x ôóíêöèÿ f (x, y) ν -èíòåãðèðóåìà è ôóíêöèÿ x 7→ f (x, y) dν ÿâëÿåòñÿ µ-èíòåãðèðóåìîé. Ïðè ýòîì Y ¢ ¢ R R ¡R R ¡R f d(µ ⊗ ν) = f dµ dν = f dν dµ.
X×Y
Y X
X Y
¤ Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f . Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî X×Y ×R1 ñ Rìåðîé µ ⊗ ν ⊗ λ, ãäå λ ìåðà Ëåáåãà. Ïóñòü A = {(x, y, t) : 0 6 t 6 f (x, y)} R . Ïî ñëåäñòâèþ 3.6 ïîëó÷àåì f d(µ ⊗ ν) = (µ ⊗ ν ⊗ ⊗λ)(A), à ýòà âåëè÷èíà ïî òåîðåìå 3.20 ðàâíÿåòñÿ (ν ⊗ λ)(Ax ) dµ, à ýòî, â ñâîþ X×Y X ¢ R ¡R î÷åðåäü, ïî ñëåäñòâèþ 3.6 ðàâíî f dν dµ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ¥ X Y
Çàìå÷àíèå. Åñëè f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî ïîïîëíåííîé σ -àëãåáðû L (A ⊗B), òî ïðè ν -ï.â. y ∈ Y ôóíêöèÿ
x 7→ f (x, y) µ-èçìåðèìà. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì r ìíîæåñòâî {(x, y) : f (x, y) < r} ÿâëÿåòñÿ (µ ⊗ ν)-èçìåðèìûì, îòêóäà ïî òåîðåìå 3.20 ìíîæåñòâî {x : f (x, y) < r} ÿâëÿåòñÿ µ-èçìåðèìûì ïðè ν -ï.â. y ∈ Y .
Çàìå÷àíèå.  äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ôóáèíè ìîæíî èìåòü äåëî ñ îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè, òàê êàê ïîòîì ëåãêî ïåðåéòè ê íåîãðàíè÷åííûì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Á. Ëåâè, ðàññìàòðèâàÿ ñðåçêè fn := min{f, n} (ñ÷èòàåì f > 0). 3.22 (Òîíåëëè). Ïóñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî ìåðû µ⊗ν . Ïóñòü ¢ R ¡RÒåîðåìà f dµ dν < ∞. Òîãäà ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ (µ ⊗ ν)-èíòåãðèðóåìîé.
Y X
n}¢. Òîãäà êàæäàÿ¢ èç ôóíêöèé fn ÿâëÿåòñÿ (µ⊗ν)-èíòåãðèðóåìîé è ïî òåîðåìå Ôóáèíè ¡R R ¤ Ïóñòü fn =R min{f, R ¡R fn d(µ ⊗ ν) = fn dµ dν 6 f dµ dν . Îòñþäà ïî òåîðåìå Ôàòó ôóíêöèÿ f (µ ⊗ ν)-èíòåãðèðóåìà. ¥ X×Y
Y X
Y X
Çàäà÷à 3.11. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ôóíêöèè, íå ÿâëÿþùåéñÿ íåîòðèöàòåëüíîé, äëÿ êîòîðîé òåîðåìà Òîíåëëè
íåâåðíà.
Çàäà÷à 3.12. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè f : X × Y → R, êîòîðàÿ íå èíòåãðèðóåìà ¢ R ¡R íåîòðèöàòåëüíîé îòíîñèòåëüíî ìåðû (µ × ν), íî f dµ dν ñóùåñòâóåò. Y X
Çàäà÷à 3.13. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè f : X × Y → R, òàêîé ÷òî ÿâëÿåòñÿ (µ ⊗ ν)-èíòåãðèðóåìîé.
Çàäà÷à 3.14. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè f : X × Y → R, òàêîé ÷òî
25
R ¡R Y X
R ¡R Y X
¢ ¢ R ¡R f dµ dν = f dν dµ, íî f íå X Y
¢ ¢ R ¡R f dµ dν 6= f dν dµ. X Y
3.6. Î çàìåíå ïåðåìåííûõ Ïóñòü (X, A , µ) ïðîñòðàíñòâî ñ êîíå÷íîé ìåðîé è f : (X, A ) → (Y, B) ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ (A , B)èçìåðèìîé. Òîãäà îïðåäåëåíà ìåðà B 7→ (µ ◦ f −1 )(B) := µ(f −1 (B)) äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B ∈ B . Îïðåäåëåíèå. Ìåðà µ ◦ f −1 íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ìåðû µ ïðè îòîáðàæåíèè f . ßñíî, ÷òî ìåðà µ ◦ f −1 ñ÷¼òíî-àääèòèâíà. R R Çàäà÷à 3.15. Ïóñòü ϕ îãðàíè÷åííàÿ B -èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà Y . Òîãäà ϕ(y) d(µ ◦ f −1 ) = ϕ ◦ f dµ. Y
X
Óêàçàíèå. Ñíà÷àëà äîêàçàòü ýòî äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Åñëè µ ìåðà Ëåáåãà íà Rn è f : Rn → Rn , òî ìîæíî ïîèíòåðåñîâàòüñÿ, êîãäà ìåðà µ ◦ f −1 çàäà¼òñÿ ïëîòíîñòüþ. Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü f è íåâûðîæäåííîñòü ÿêîáèàíà f 0 (x) ïî÷òè âñþäó. Ïóñòü Ω1 è Ω2 îòêðûòûå ìíîæåñòâà â Rn , à f äèôôåîìîðôèçì Ω1 → Ω2 . Òîãäà äëÿ R R 1 ëþáîé îãðàíè÷åííîé èçìåðèìîé ôóíêöèè ϕ : Ω2 → R èìååì ϕ ◦ f dx = ϕ(y) dy . 0 (f −1 (y))| | Det f Ω1 Ω2
Ëåììà 3.23. Ïóñòü µ áîðåëåâñêàÿ ìåðà íà êóáå K ⊂ Rn , ïðè÷¼ì µ(B + h) = µ(B) äëÿ ëþáûõ B ∈ B(Rn )
è h ∈ Rn . Òîãäà µ = k · λn , ãäå k ∈ R, λn ìåðà Ëåáåãà íà Rn . Èíûìè ñëîâàìè, ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêè ìåðà Ëåáåãà åäèíñòâåííàÿ ìåðà íà Rn , ñîõðàíÿåìàÿ ïðè ñäâèãàõ. ¤ Äîñòàòî÷íî ýòî äîêàçàòü äëÿ n-ìåðíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ âèäà (α1 , β1 ] × (α2 , β2 ] × . . . × (αn , βn ] ⊂ K , ïîñêîëüêó îíè ïîðîæäàþò σ -àëãåáðó B(Rn ). Áîëåå òîãî, äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ òåìè ïàðàëëåëåïèïåäàìè, äëÿ êîòîðûõ αi , βj ∈ Q (ñð. ñ òåîðåìîé 2.3). À äëÿ ëþáûõ äâóõ òàêèõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ P1 , P2 íàéä¼òñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, òàêîå ÷òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ P1 è P2 ìîæíî ðàçáèòü íà öåëîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êóáèêîâ ðàçìåðà ( n1 , n1 ] × ( n1 , n1 ] × . . . × ( n1 , n1 ]. Èç ýòîãî ïîëó÷àåì, ÷òî µ(P1 )λn (P2 ) = µ(P2 )λn (P1 ), îòêóäà è ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå. ¥
Ñëåäñòâèå 3.7. Åñëè T îðòîãîíàëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî λn ◦ T −1 = λn . ¤ Èç ïðåäûäóùåé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî λn ◦ T −1 = k · λn . Íî ýòè äâå ìåðû ñîâïàäàþò íà ëþáîì øàðå, ïîýòîìó k = 1. ¥
3.7. Ñâ¼ðòêè Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f, g ôóíêöèè íà Rn , èíòåãðèðóåìûå ïî ìåðå Ëåáåãà. Òîãäà ñâ¼ðòêîé ôóíêöèé f è R
g íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ (f ∗ g)(x) := ïî÷òè âñåõ x.
Rn
f (x − y)g(y) dy . Åñëè ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åííà, òî ñâ¼ðòêà îïðåäåëåíà äëÿ
Òåîðåìà 3.24. Ïóñòü f, g ∈ L1 (Rn ). Òîãäà ñâ¼ðòêà f ∗ g îïðåäåëåíà äëÿ ïî÷òè âñåõ x, ïðè÷¼ì kf ∗ gkL1 6 kf kL1 · kgkL1 . ¤ Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ge(x, y) := f (x) · g(y). Èìååì ge(x, y) ∈ L1 (R2n ) ïî òåîðåìå Á. Ëåâè, èáî |e g| = = lim min{|f |, k}χ{|x|6k} ·min{|g|, k}χ{|y|6k} , à èíòåãðàë îò ïðàâîé ÷àñòè ïî Rn ïî òåîðåìå Ôóáèíè íå ïðåâîñõîäèò k→∞ ( R R u = x + y, |f | dx · |g| dy = kf kL1 · kgkL1 . Äåëàåì çàìåíó Òîãäà ge(u, v) = f (u − v)g(v) íà R2n . Ïî òåîðåìå n n v = y. R R Ôóáèíè ïðè ïî÷òè âñåõ u ∈ Rn ôóíêöèÿ v 7→ f (u − v)g(v) èíòåãðèðóåìà ïî v , à å¼ èíòåãðàë èíòåãðèðóåì R ¯ R ïî u. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ f ∗ g îïðåäåëåíà ïðè ïî÷òè âñåõ u è èíòåãðèðóåìà íà Rn . Íàêîíåö, kf ∗ gkL1 = ¯ f (u − Rn R Rn ¯ ¢ ¢ R ¡R R ¡R |f (x)g(y)| dy dx = |f | dx · |f (u − v)g(v)| dv du = (ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõ) = v)g(v) dv ¯ du 6 Rn Rn Rn Rn Rn R |g| dy = kf kL1 · kgkL1 . ¥ Rn
Çàäà÷à 3.16. Åñëè f ∈ Lp (Rn ), g ∈ L1 (Rn ), òî f ∗ g ∈ Lp (Rn ).
3.8. Ñâÿçü èíòåãðàëà è ïðîèçâîäíîé 3.8.1. Ôóíêöèè îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè, åñëè êîíå÷íà âåëè÷èíà (íàçûâàåìàÿ âàðèàöèåé ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]) V[a,b] (f ) = sup T
ðàçáèåíèå îòðåçêà íà n = n(T ) ÷àñòåé òî÷êàìè a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b.
n P
i=1
|f (ai ) − f (ai−1 )|, ãäå T
Îáîçíà÷åíèå. f ∈ V B([a, b]) èëè ïðîñòî f ∈ V B , êîãäà ÿñíî, î êàêîì îòðåçêå èä¼ò ðå÷ü. 26
Çàäà÷à 3.17. Âàðèàöèÿ ëèíåéíà, ò.å. åñëè a 6 c 6 b, òî V[a,b] (f ) = V[a,c] (f ) + V[c,b] (f ). Çàäà÷à 3.18. Åñëè f ∈ V B([a, b]), òî f åñòü ðàçíîñòü äâóõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà 3.25 (Ëåáåã, áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè ï.â. äèôôåðåíöèðóåìà,
è ôóíêöèÿ f 0 èíòåãðèðóåìà.
Rb Ìîæíî çàäàòüñÿ âîïðîñîì: âåðíî ëè â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî f (b) − f (a) = f 0 dx? Îòâåò: âîîáùå ãîâîðÿ, íåò. a ( 0, x ∈ [0, 21 ],  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèþ k(x) = ßñíî, ÷òî k 0 (x) = 0 ï.â., 1, x ∈ ( 12 , 1]. íî ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà íåâåðíà. Íà ñàìîì äåëå ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî äàæå äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. 3.8.2. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè è ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî
{(ai , bi )} ñ óñëîâèåì
n P i=1
n P
i=1
|f (bi ) − f (ai )| < ε äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî íàáîðà äèçúþíêòíûõ èíòåðâàëîâ
|bi − ai | < δ .
Îáîçíà÷åíèå. f ∈ AC([a, b]). Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò Óòâåðæäåíèå 3.26. Åñëè f ∈ AC([a, b]), òî f ∈ C([a, b]). 1 Çàìå÷àíèå. Îáðàòíîå íåâåðíî. Ïðèìåð ôóíêöèÿ f íà îòðåçêå [0, 1], íà êàæäîì èç îòðåçêîâ [ n+1 , n1 ]
çàäàííàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: îò ëåâîãî êîíöà îòðåçêà äî åãî ñåðåäèíû îíà ëèíåéíî âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî n1 , îò ñåðåäèíû äî ïðàâîãî êîíöà ëèíåéíî óáûâàåò îò n1 äî íóëÿ; êðîìå òîãî, f (0) = 0. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî f íå ÿâëÿåòñÿ íè ôóíêöèåé îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè, íè àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.
Óòâåðæäåíèå 3.27. Åñëè f ∈ AC([a, b]), òî f ∈ V B([a, b]). ¤ Äëÿ ε = 1 íàéä¼òñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå δ èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ïóñòü n ∈ N òàêîâî, ÷òî b−a n < δ . Òîãäà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî V[a,b] (f ) 6 n. ¥ Òåïåðü äîêàæåì îñíîâíóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 3.28. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà f ∈ AC([a, b]) ⇔ ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Rx g ∈ L 1 ([a, b]), òàêàÿ ÷òî f (x) = f (a) + g(t) dt. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f ï.â. äèôôåðåíöèðóåìà è f 0 = g ï.â. Â a
÷àñòíîñòè, f (x) ∈ L ([a, b]) è f (x) − f (a) = 0
1
Rx a
f 0 (t) dt.
Çàìå÷àíèå. Ýòà òåîðåìà äà¼ò àëüòåðíàòèâíóþ êëàññèôèêàöèþ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. ¤ (×àñòè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî) Ïóñòü g ∈ L 1 ([a, b]). Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) =
Rx a
g(t) dt àáñîëþòíî
íåïðåðûâíà. Ïóñòü ε > 0 Rïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Òîãäà â ñèëó àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà ñóùåñòâóåò δ > 0, òàêîå ÷òî |g| dt < ε äëÿ âñÿêîãî ìíîæåñòâà E ñ λ(E) < δ . Ïóñòü {(ai , bi )} äèçúþíêòíûé E
íàáîð èíòåðâàëîâ íà [a, b] ñ ñóììîé äëèí ìåíüøå ε. Òîãäà
P i
|f (bi )−f (ai )| =
¯ P Rbi R P¯¯ Rbi ¯ |g| dt = S ¯ g dt¯ 6 i ai
i ai
|g| dt
0 è íàéä¼ì ñîîòâåòñòâóþùåå åìó δ > 0 èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f . Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî èíòåðâàëîâ {(αi , βi )} ñóììàðíîé äëèíû ìåíüøå δ , ïîêðûâàþùèõ ìíîæåñòâî B . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè èíòåðâàëû äèçúþíêòíû (ñì. óòâåðæäåíèå 2.2). Òîãäà äëÿ ëþáîãî N ∈ N
27
èìååì
N P i=1
(βi − αi ) < δ , ïîýòîìó
N P
(f (βi ) − f (αi )) =
i=1
N P i=1
µ((αi , βi )) < ε. Çíà÷èò,
∞ P i=1
µ((αi , βi )) 6 ε, ò.å. µ∗ (B) 6 ε,
îòêóäà ïîëó÷àåì µ(B) = 0 â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε > 0. Óòâåðæäåíèå î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè f ïî÷òè âñþäó è èíòåãðèðóåìîñòè f 0 ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.25, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå ëåêòîðà ¾Îñíîâû òåîðèè ìåðû¿. ¥
Çàìå÷àíèå. Åñëè f ïðîèçâîëüíàÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî â êà÷åñòâå ìîíîòîííî íåóáûâàþùèõ ôóíêöèé f1 , f2 , òàêèõ ÷òî f = f1 − f2 , ìîæíî âçÿòü f1 (x) := V[a,x] (f ) è f2 (x) := V[a,x] (f ) − f . Çàäà÷à 3.19. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ V[a,x] (f ) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé. Ñëåäñòâèå 3.8 (Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì). Ïóñòü f, g ∈ AC([a, b]). Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:
Rb a
b
f 0 g dt = f g|a −
Rb a
f g 0 dt.
¤ Ôóíêöèÿ f g ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé (óïðàæíåíèå). Òîãäà ïî íåäîêàçàííîé òåîðåìå 3.28 ñóùåñòâóþò ï.â. ôóíêöèè (f g)0 , f 0 è g 0 . Ïîýòîìó ï.â. ôóíêöèè f è g îäíîâðåìåííî äèôôåðåíöèðóåìû è (f g)0 = f 0 g + f g 0 . Ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòî ðàâåíñòâî îò a äî b, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ¥ 3.8.3. Íåñêîëüêî çàêëþ÷èòåëüíûõ çàìå÷àíèé
×åðåç D([a, b]) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà îòðåçêå [a, b] è âñþäó äèôôåðåíöèðóåìûõ íà í¼ì. Rx (1) Ôóíêöèÿ g(t) dt ÍÅ îáÿçàíà áûòü äèôôåðåíöèðóåìîé âñþäó. Ïðèìåð: ðàçðûâíàÿ ôóíêöèÿ g(t). a ³Rx ´0 Rx g(t) dt = g(x) íå îáÿçàíî âûïîëíÿòüñÿ âî âñåõ òî÷êàõ, ãäå ôóíêöèÿ f = g(t) dt äèôôåðåíöèðóåìà, (2) Ðàâåíñòâî a
a
èáî g ìîæíî èñïðàâèòü íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü, à èíòåãðàë ýòîãî íå çàìåòèò. (3) Èç òîãî, ÷òî f ∈ D([0, 1]), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî f ∈ AC([0, 1]). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî / L 1 ([a, b]). Ïðè ýòîì f 0 f0 ∈ / L 1 ([0, 1]). Ïðèìåð: f (x) = x2 sin x12 , f (0) = 0. Óïðàæíåíèå: ïðîâåðèòü, ÷òî f 0 ∈ èíòåãðèðóåìà â íåñîáñòâåííîì ñìûñëå ïî Ðèìàíó. (4) Çàäà÷à: åñëè f ∈ D([a, b]) è f 0 ∈ L 1 ([a, b]), òî f ∈ AC([a, b]).
28
![Starlight [Part 2 Of 4]](https://epdf.pub/img/300x300/starlight-part-2-of-4_5ba46e10b7d7bc4506363fd9.jpg)
