О теореме Понселе

Î òåîðåìå Ïîíñåëå À.À.Çàñëàâñêèé

 íàèáîëåå ïðîñòîé ôîðìå òåîðåìà Ïîíñåëå óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå. Òåîðåìà Ïîíñåëå. Ïóñòü äàíû äâå îêðóæíîñòè, îäíà èç êîòîðûõ ëåæèò âíóòðè äðóãîé. Èç òî÷êè A0 áîëüøåé îêðóæíîñòè ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ìåíüøåé è íàéäåì âòîðóþ òî÷êó A1 ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé êàñàòåëüíîé ñ áîëüøåé îêðóæíîñòüþ. Ïî òî÷êå A1 àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òî÷êó A2 è ò.ä. Òîãäà, åñëè A0 = An äëÿ êàêîé-òî òî÷êè A0 , ýòî áóäåò âûïîëíåíî è äëÿ ëþáîé äðóãîé òî÷êè áîëüøîé îêðóæíîñòè Ãîâîðÿ íåôîðìàëüíî, âïèñàííî-îïèñàííûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî "âðàùàòü"ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè (ïðè ýòîì åãî ôîðìà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿåòñÿ). Áóäåì íàçûâàòü òàêîé "âðàùàþùèéñÿ"ìíîãîóãîëüíèê ìíîãîóãîëüíèêîì Ïîíñåëå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïîíñåëå è åå îáîáùåíèé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n ìîæíî ïðî÷èòàòü â ðàáîòàõ [1,3]. Ïðåäëàãàåìàÿ ñåðèÿ çàäà÷ ñîäåðæèò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïîíñåëå è íåêîòîðûõ ñâîéñòâ ìíîãîóãîëüíèêîâ Ïîíñåëå äëÿ n = 3, 4. Îíà ïðåäíàçíà÷åíà, â ïåðâóþ î÷åðåäü, øêîëüíèêàì 1011 êëàññîâ, íî ìîæåò áûòü èíòåðåñíà è 9-êëàññíèêàì.

Òåñòîâûå âîïðîñû

1. Êàêàÿ âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå? à) Ïåðèìåòð; á) ïëîùàäü; â) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 2. Äàí íåðàâíîáåðåííûé òðåóãîëüíèê. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïîïàðíî íå ðàâíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ òå æå ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé? à) Íè îäíîãî; á) îäèí; â) äâà; ã) áåñêîíå÷íî ìíîãî. 3.  âïèñàííî-îïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå äâå ñòîðîíû ðàâíû. Êàêîå èç óòâåðæäåíèé âåðíî? à) Äâå äðóãèå ñòîðîíû ðàâíû; á) äâå äðóãèå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû; â) äâå äðóãèå ñòîðîíû ðàâíû èëè ïàðàëëåëüíû; ã) íèêàêîå.

Òåîðåìà Ïîíñåëå äëÿ n = 3 1. Ïóñòü O, I  öåíòðû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà, R, r  èõ ðàäèóñû. Äîêàæèòå ôîðìóëó Ýéëåðà

OI 2 = R2 − 2Rr. 1

Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ ÷åðåç I è âåðøèíó C òðåóãîëüíèêà ABC è íàéäåì âòîðóþ

òî÷êó C 0 ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îïèñàííîé îêîëî ABC îêðóæíîñòüþ (ðèñ.1).













Ðèñ.1 Òàê êàê C 0 A = C 0 B , ∠AIB = π − (∠A + ∠B)/2 = (π + ∠C)/2 è ∠AC 0 B = π − ∠C , C 0  öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AIB . Çíà÷èò, IC 0 = C 0 B = 2R sin \2C . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, IC = r/ sin \2C , ñëåäîâàòåëüíî

R2 − OI 2 = CI · C 0 I = 2Rr. ¤ 2. Äîêàæèòå òåîðåìó Ïîíñåëå äëÿ n = 3. Ðåøåíèå. Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC . Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè C 0 íà åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðîâåäåì êàñàòåëüíûå ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà è íàéäåì âòîðûå òî÷êè A0 , B 0 èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ îïèñàííîé îêðóæíîñòüþ. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ A0 B 0 òàêæå êàñàåòñÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Íàïðèìåð, ïóñòü A0 B 0 íå ïåðåñåêàåò âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC . Áóäåì óâåëè÷èâàòü óãîë A0 C 0 B 0 , òàê ÷òîáû ïðÿìàÿ C 0 I îñòàâàëàñü åãî áèññåêòðèñîé. Òîãäà ðàññòîÿíèå îò I äî ïðÿìûõ C 0 A0 è C 0 B 0 áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à äî ïðÿìîé A0 B 0  óìåíüøàòüñÿ, è â êàêîé-òî ìîìåíò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì r0 > r îêàæåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê A0 B 0 C 0 . Íî èç ôîðìóëû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABC è A0 B 0 C 0 ðàâíû  ïðîòèâîðå÷èå. Ñëó÷àé, êîãäà A0 B 0 ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü, ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. ¤ Ñ êàæäûì òðåóãîëüíèêîâ ñâÿçàí ðÿä òàê íàçûâàåìûõ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê èëè öåíòðîâ. Êîãäà òðåóãîëüíèê "âðàùàåòñÿ"ìåæäó îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè, ýòè òî÷êè äâèæóòñÿ ïî êàêèì-òî êðèâûì.  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòîðèè. 3. Êàêóþ òðàåêòîðèþ îïèñûâàåò a) òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí M ; 2

b) îðòîöåíòð H ; ∗ c) òî÷êà Æåðãîííà G (òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû òðåóãîëüíèêà è òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ) òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå? Ðåøåíèå. Ïðîùå âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ôåéåðáàõà, óòâåðæäàþùåé, ÷òî îêðóæíîñòü Ýéëåðà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñåðåäèíû A0 , B0 , C0 òðåóãîëüíèêà ABC , êàñàåòñÿ åãî âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Èç íåå ñëåäóåò, ÷òî öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè, ñîâïàäàþùèé ñ ñåðåäèíîé îòðåçêà OH , ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì I è ðàäèóñîì R/2 − r. Çíà÷èò, òî÷êè M è H ëåæàò íà îáðàçàõ ýòîé îêðóæíîñòè ïðè ãîìîòåòèÿõ ñ öåíòðîì O è êîýôôèöèåíòàìè 2/3 è 2, ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà Æåðãîííà òàêæå äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, ïðè÷åì ýòà îêðóæíîñòü ñîîñíà ñ îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè òðåóãîëüíèêà. Îäíàêî, ïðîñòîå ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîêà ïîëó÷èòü íå óäàëîñü. ¤ Òî÷êó M îáû÷íî íàçûâàþò öåíòðîì òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà. Íà ñàìîì äåëå ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì òÿæåñòè òðåõ ðàâíûõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, è öåíòðîì òÿæåñòè ñïëîøíîãî òðåóãîëüíèêà, íàïðèìåð, âûðåçàííîãî èç êàðòîíà. Åñëè æå ìàññà òðåóãîëüíèêà ñîñðåäîòî÷åíà íà åãî ïåðèìåòðå, êàê ó òðåóãîëüíèêà, ñäåëàííîãî èç ïðîâîëîêè, òî öåíòðîì òÿæåñòè áóäåò äðóãàÿ òî÷êà M1 . Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ìîæíî îïðåäåëèòü òðè öåíòðà: öåíòð òÿæåñòè âåðøèí M0 , öåíòð òÿæåñòè ïåðèìåòðà M1 è öåíòð òÿæåñòè ñïëîøíîãî ìíîãîóãîëüíèêà M2 . 4. Íàéäèòå öåíòð M1 òðåóãîëüíèêà è åãî òðàåêòîðèþ ïðè "âðàùåíèè". Ðåøåíèå. Ñîñðåäîòî÷èâ ìàññû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â èõ öåíòðàõ òÿæåñòè  òî÷êàõ A0 , B0 , C0 , ïîëó÷èì, ÷òî M1  öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê A0 B0 C0 . Ñëåäîâàòåëüíî, M1  îáðàç M ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì I è êîýôôèöèåíòîì 3/2, òàê ÷òî åãî òðàåêòîðèÿ  òîæå îêðóæíîñòü. ¤ 5. Ïóñòü A0 , B 0 , C 0  òî÷êè êàñàíèÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ. Íàéäèòå òðàåêòîðèþ öåíòðà òÿæåñòè M0 òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 . Ðåøåíèå. Ïóñòü A”, B”, C”  âòîðûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ ABC . Òîãäà A”A0 , B”B 0 , C”C 0  áèññåêòðèñû óãëîâ A”B”C”, ò.å. îðòîöåíòð H 0 òðåóãîëüíèêà A0 B 0 C 0 ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè A”B”C”. Êðîìå òîãî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñòîðîíû A”B”C” ïàðàëëåëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì ABC , è çíà÷èò ýòè òðåóãîëüíèêè ãîìîòåòè÷íû. Ïðè ýòîé ãîìîòåòèè O ïåðåõîäèò â I , à I  â H 0 , ñëåäîâàòåëüíî, H 0 ëåæèò íà ïðÿìîé OI è IH 0 /OI = r/R. Ïîýòîìó ïðè âðàùåíèè òðåóãîëüíèêà H 0 , à çíà÷èò è äåëÿùèé îòðåçîê H 0 I â îòíîøåíèè 2 : 1 öåíòð òÿæåñòè A0 B 0 C 0 îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. ¤ 6.∗ Äàí òðåóãîëüíèê Ïîíñåëå è íåïîäâèæíàÿ òî÷êà P . Íàéäèòå òðàåêòîðèþ òî÷êè, èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåííîé P . Îòâåò. Ïóñòü P 0  òî÷êà, èíâåðñíàÿ P îòíîñèòåëüíî îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ïîâîðîòíóþ ãîìîòåòèþ ñ öåíòðîì P 0 , ïåðåâîäÿùóþ P â I , è íàéäåì îáðàç Q òî÷êè I ïðè ýòîé ãîìîòåòèè. Èñêîìàÿ òðàåêòîðèÿ  îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Q (ðèñ.2). Ýòî ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî íåèçâåñòíî.

3


















B

Ðèñ.2

¤

Òåîðåìà Ïîíñåëå äëÿ n = 4 7. Äàíà îêðóæíîñòü è òî÷êà P âíóòðè íåå. Ðàññìîòðèì ïàðû ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ëó÷åé ñ íà÷àëîì P , ïåðåñåêàþùèõ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ A è B . a) Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí îòðåçêîâ AB . b) Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíûõ ê îêðóæíîñòè â òî÷êàõ A è B. Ðåøåíèå. Ïóñòü C  ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíèêà P ACB . Òàê êàê OP 2 +OC 2 = OA2 +OB 2 , C îïèñûâàåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O. Çíà÷èò, ñåðåäèíà îòðåçêà AB îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, öåíòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà OP , è èíâåðñíàÿ ê íåé òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíûõ òàêæå îïèñûâàåò îêðóæíîñòü. ¤ 8. Äîêàçàòü òåîðåìó Ïîíñåëå äëÿ n = 4. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, è âîñïîëüçóéòåñü ïðåäûäóùåé çàäà÷åé. ¤ 9. Ïóñòü äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O, I è ðàäèóñàìè R, r óäîâëåòâîðÿþò òåîðåìå Ïîíñåëå äëÿ n = 4. Âûâåñòè ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå âåëè÷èíû R, r è d = OI . 4

Îòâåò.

1 1 1 = + . 2 2 r (R + d) (R − d)2

¤ 10. a) Äîêàçàòü, ÷òî äèàãîíàëè âñåõ âïèñàííî-îïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñ äàííûìè âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå P , ëåæàùåé íà ïðÿìîé OI . b) Âûâåñòè ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå OP , R è d.

Îòâåò.

R + OP (R + d)2 = . R − OP (R − d)2

¤ 11. Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí âïèñàííîîïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ ìåæäó åãî äèàãîíàëÿìè. Ðåøåíèå. Èç ôîðìóëû ïðåäûäóùåé çàäà÷è íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî P  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïó÷êà, ïîðîæäåííîãî îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòÿìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè X îïèñàííîé îêðóæíîñòè îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ XP ê êàñàòåëüíîé èç X ê âïèñàííîé îêðóæíîñòè áóäåò îäíèì è òåì æå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è ñëåäóåò èç ýòîãî ôàêòà è òîãî, ÷òî ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ, ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. ¤ 12. Íàéòè öåíòðû òÿæåñòè M0 , M1 , M2 ÷åòûðåõóãîëüíèêà è èõ òðàåêòîðèè. Ðåøåíèå. Òî÷êà M0  ñåðåäèíà îòðåçêà ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû äèàãîíàëåé îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî òðàåêòîðèÿ M0  îêðóæíîñòü. M2 ëåæèò íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì öåíòðû òÿæåñòè äâóõ òðåóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå ÷åòûðåõóãîëüíèê ðàçðåçàåòñÿ äèàãîíàëüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, M2 ìîæíî ïîñòðîèòü êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ òàêèõ îòðåçêîâ. Ïîñêîëüêó êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ ïàðàëëåëåí îäíîé èç äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà, à âòîðóþ ïåðåñåêàåò â òî÷êå, äåëÿùåé îòðåçîê îò P äî ñåðåäèíû äèàãîíàëè â îòíîøåíèè 2 : 1, òî M2  îáðàç M0 ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì P è êîýôôèöèåíòîì 4/3, ò.å. òðàåêòîðèÿ M2  òàêæå îêðóæíîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû M2 ìîæíî ïîëó÷èòü êàê öåíòð òÿæåñòè ÷åòûðåõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â öåíòðàõ òÿæåñòè òðåóãîëüíèêîâ IAB , IBC , ICD, IDA, è ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïëîùàäÿì ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîñêîëüêó M1  ýòî öåíòð òÿæåñòè ÷åòûðåõ ìàññ, ïîìåùåííûõ â ñåðåäèíàõ ñòîðîí AB , BC , CD, DA, è ïðîïîðöèîíàëüíûõ äëèíàì ýòèõ ñòîðîí, òî M1  îáðàç M2 ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì I è êîýôôèöèåíòîì 3/2. Çíà÷èò, òðàåêòîðèÿ M1  òîæå îêðóæíîñòü (ðèñ.3).

5






















Ðèñ.3

¤ 13.∗ Äîêàæèòå, ÷òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå Ïîíñåëå a) ïðîèçâåäåíèå òàíãåíñîâ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ äèàãîíàëÿìè ñ ïðÿìîé OI ; b) ïðîèçâåäåíèå äëèí äèàãîíàëåé ïîñòîÿííî. Ïðèìå÷àíèå. Çàäà÷è 1, 3a, 3b, 4, 7  òðåíèðîâî÷íûå; 2, 5, 812  çà÷åòíûå; 3c, 6, 13  äîïîëíèòåëüíûå.

Ëèòåðàòóðà 1. Çàñëàâñêèé À.À., ×åëíîêîâ Ã.Ð. Òåîðåìà Ïîíñåëå â åâêëèäîâîé è àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå. 2001. N 4(19). 2. Çàñëàâñêèé À., Êîñîâ Ä., Ìóçàôàðîâ Ì. Òðàåêòîðèè çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê òðåóãîëüíèêà Ïîíñåëå. Êâàíò. 2003. N 2. 3. Àêîïÿí À.Â., Çàñëàâñêèé À.À. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007.

6