熱力学―考え方解き方 (わかりやすい機械教室)

E麺 巴瞠面圃磯棚劉團

熱力学 考え方 解 き方 小林恒和 著

東京電機大学出版局

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ピー)す る こ とは,著 作 権

法上 での 例外 を除 き,禁 じ られ て い ます 。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 につ き委 託 を受 けて い ます ので,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず 小 局(03-5280-3422)宛 ご連絡 くだ さい。

ま え が き   熱 力 学 は 機 械 関 係 学 科 で は 重 要 な 基 礎 科 目の 一 つ で あ る が,理 解 しに くい 科 目あ るい は とっ つ き に くい 科 目 と して 敬 遠 され る傾 向 が あ る よ うに 感 じ る。 本 書 は 工 業 熱 力学 の 入 門 書 と な る よ うに そ の 基礎 的 な事 項 を わ か りや す く記 述 し た もの で あ る。 本 書 を ま とめ る に 当 た っ て は 、 次 の よ うな 点 に 留 意 した。 ① 工 業 熱 力 学 の 範 囲 に し た の で 、 微 視 的(ミ

ク ロ)な み か た をす る統 計 熱 力

学 に は触 れ な い。 ② 式 の もつ 意 味 が 理 解 で き る よ うにす る。 ③ 熱 力 学 で は 微 分 ・積 分 な どの 式 を 多 く使 用 す るが 、 平 易 に す る た め に それ を必 要 な最 小 限 に とどめ る。 ④ 熱 力学 の 理 解 を深 め る に は 演 習 問題 を解 く こ とが 大 切 で あ るか ら、例 題 を 解 き、 章 ご とに 演 習 問題 を載 せ る。 例 題 は そ れ を解 くた め の 「 考 え方 」 「解 き方 」 を示 す 。 ⑤SI単

位 を用 い、 重 力 単 位 は 必 要 な最 小 限 に触 れ る に と どめ る。

  しか し、 熱 力 学 をわ か りや す く解 説 す る こ とは 容 易 で は な く、 筆 者 の 力 不 足 も あ っ て そ の 目的 を達 しえ な い か も知 れ な い。 ま た、 思 わ ぬ 誤 謬 が あ っ た り、 繁 簡 当 を得 な い虞 も あ る の で 、 大 方 の ご叱 正 を得 られ れ ば 幸 甚 です 。   本 書 を編 集 す るに 当 た っ て は 、 数 多 く出版 され て い る 先 輩 諸 賢 の熱 力 学 の専 門 書 や 参 考 書 を参 考 に させ て 戴 い た。 これ らは 読 者 諸 氏 が よ り深 く熱 力 学 を学 習 しよ う と志 す と きに 、 大 い に 参 考 に な る と考 え るの で 、 そ の 主 な もの を後 に 掲 げ て 深 く感 謝 の 意 を表 し ます 。   本 書 を刊 行 す るに 当 た っ て 絶 大 な る ご支 援 を戴 い た 東 京 電 機 大 学 出 版 局 の 岩 下 行 徳 氏 、 石 沢 岳 彦 氏 を 始 め とす る関係 各 位 に 厚 くお礼 申 し上 げ ます 。

も く じ

１.基 礎 的 な 知 識

２.熱

力学 第 一法 則

1・1 

温 度 と熱 平 衡

１

1・2 

熱 量 と比 熱

４

1・3 

仕 事 と動 力

７

1・4 

エ ネ ル ギー

10

1・5 

圧 力

13

演習 問題 Ｉ

14

略 解

15

2・1 

状 態 量 と状 態 式

17

2・2 

熱力 学第一 法 則

18

2・3 

静 止 し た物 体 に 対 す る 一 般 エ ネ ル ギー 式

2・4 

３.理

想気 体

21

定 常 流 れ を行 う流 体 に 対 す る 一般 エ ネル ギー式

23

2・5 

可 逆 変 化 と可 逆 サ イクル

29

2・6 

pV線

32

図 と仕 事

演 習問題 Ⅱ

35

略 解

36

3・1 

理想 気体 の状 態式

39

3・2 

理 想 気 体 の 内 部 エ ネ ル ギー, 熱

44

3・3 

理想 気体 の状 態変化

49

3・4 

混合 気体 の性 質

64

演 習問題 Ⅲ

69

略 解

70

エ ン タ ル ピ ー,比

４.熱

５.蒸

６.気

７.ガ

力 学第二 法則

気

体 の流 れ

スサ イ クル

4・1 

熱力学 第 二法 則

77

4・2 

カ ル ノー サ イ クル

81

4・3 

熱力学 温度

85

4・4 

エ ン トロ ピー

87

4・5 

理 想 気 体 の エ ン トロピー

92

4・6 

有効 エネル ギーと最 大仕 事

97

演 習問題 Ⅳ

101

略 解

102

5・1 

蒸 気 の一般 的 性質

107

5・2 

蒸 気 の状 態量

111

5・3 

蒸 気 表 お よび蒸気 線図

116

5・4 

蒸気 の状 態変 化

121

演 習問題 Ⅴ

126

略 解

127

6・1 

気体 の 流れ に関す る 一般 エ ネル ギー式

130

6・2 

ノズル 内の 流れ

135

6・3 

円 管 内の流 れ

145

演 習問題 Ⅵ

151

略 解

152

7・1 

ス ター リン グサ イ ク ル と

エ リクソンサ イ クル 7・2 

155

容 積形 内燃機 関 の理論 サ イ クル 158

7・3 

速 度 形 内 燃 機 関 の サ イ クル 172

7・4 

８.蒸

空 気 圧 縮 機 の サ イ クル

181

演習 問題Ⅶ

191

略

192

解

気による

8・1 

ラ ン キ ン サ イ クル

197

理論サイクル

8・2 

再 熱 サ イ クル

200

8・3 

再 生 サ イ クル

203

8・4 

再 熱 再 生 サ イ クル

206

8・5 

冷凍機

・ヒー トポ ン プ の

理論 サ イ クル

208

演習 問題Ⅷ

213

略 解

214

１

基礎 的 な知 識   熱 力 学(thermodynamics)は

各 種 の エ ネ ル ギー とエ ネ ル ギー 間 の 変 換 お よ び

エ ネ ル ギ ー と物 質 の 性 質 と の 間 の 関 係 な ど を 取 扱 う学 問 で あ る 。 特 に 各 種 の 熱 機 関,冷

凍 機,圧

力 学(engineering 

縮 機 そ の 他 の熱 と仕 事 との 関係 な ど を主 に 取 扱 うの が 工 業 熱 thermodynamics)で

あ る。

  本 書 は工 業 熱 力学 の 基 本 につ い て 述 べ るが,ま ず,そ

れ を理 解 す る に 必 要 な

温 度,熱 量,比 熱,エ ネ ル ギー な どの 基 礎 的 な知 識 を再 確 認 して お こ う。

1・1温

度 と熱 平 衡

  わ れ わ れ は 物 体 か ら 温 か い と か 冷 た い と か と い う感 覚 を 受 け る 。 こ の 温 冷 の 度 合 を 表 す 尺 度 が 温 度(temperature)で 境 や 条 件 に よ っ て 変 わ る し,数

あ る。 わ れ わ れ の 感 覚 は そ の と き の 環

量 的 で も な い 。例 え ば,ほ

ぼ 同 じ 温 度 の 水 で も,

夏 は 冷 た く冬 は 温 か く感 じ る 。 そ こ で 温度 の 測 定 に は 温 度 計(thermometer)を 用 い る。

  温 度 計 は,物 体 の 長 さ,体 積,電 気 抵 抗,熱 起 電 力,熱 放 射 な ど の 温 度 に よ っ て 変 化 す る性 質 を利 用 し て温 度 を測 定 す るが,い

ろ い ろ な 温 度 や 測 定 環 境 に対

応 で き る よ うに,各 種 の もの が つ く られ て い る。   温 度 が 異 な る二つ の 物 体 を接 触 させ,周

囲 か ら の影 響 を遮 断 して お く と,温

度 が 高 い 物 体 は低 くな り,低 い物 体 は高 くな っ て,十 分 な時 間 が経 過 す る と ２ 物 体 が 同 じ温 度 に な る こ とを,わ れ わ れ は 経 験 か ら知 って い る。 こ の 同 一 温 度 に な っ た状 態 を,２ 物 体 は 熱 平 衡(thermal  equilibrium)の 状 態 に な っ た とい う。「 物 体 Ａ と物 体 Ｂ が 熱 平 衡 の 状 態 に あ り,ま た 物 体 Ａ と物 体 Ｃ が 熱 平 衡 の

状 態 に あ る と き,物 体 Ｂ と物 体 Ｃ も 熱 平 衡 の 状 態 に あ る。」と い え る 。 こ れ は 熱 力 学 第 零 法 則(the  zeroth  low  of thermodynamics)と

も 呼 ば れ,熱

び 温 度 測 定 の 基 礎 と な る 重 要 な 法 則 で あ る 。 し た が っ て,Ｂ

力 学 お よ

と Ｃ を直 接 接 触 さ

せ な く て も Ａ を仲 介 し て 熱 平 衡 の 状 態 を調 べ る こ と が で き,Ａ に 適 当 な 目盛 り を つ け て 温 度 計 と す れ ば,Ｂ

や Ｃ な ど他 の物 体 の 温 度 を測 る こ とが で き る。

  温 度 の 目 盛 に は い ろ い ろ な 規 約 が 作 ら れ て い る 。 国 際 単 位 系(略 称SI)で そ の 基 本 単 位 の 一 つ に 熱 力 学 温 度*1を 〔Ｋ 〕 と 定 め,1〔K〕

位 の 名 称 は ケ ル ビ ン,記

は 水 の 三 重 点 の 熱 力 学 温 度 の1/273.16と

力学温度 ケル ビ ン 〔 Ｋ 〕の 代 わ りに,セ 号:℃)を

採 用 し,単

用 い て も よ く,T〔K〕

ル シ ウ ス 温 度(名

は, 号 は

定 義 し て い る 。熱

称:セ

ル シ ウ ス 度,記

とt〔 ℃ 〕 と の 関 係 は 次 の よ う に 規 定 さ れ て1

〔K〕=1〔 ℃ 〕 で あ る 。 t=T-273.15

(1・1)

 温 度 差 は 〔 Ｋ〕ま た は 〔℃ 〕で 表 され る。 セ ル シ ウ ス 温 度 は従 来 用 い ら れ て き た摂 氏 温 度 と同 じ と考 え て よ い。   熱 力 学 に よ る と,温 度 に は 最 低 の 限 界 が あ る こ と が 証 明 さ れ る*2。 こ の 最 低 限 界 の 温 度 は 絶 対 零 度(absolute  絶 対 温 度(absolute 

zero  point)と

temperature)と

上 絶 対 零 度 を0〔K〕,水

呼 ば れ,こ

れ を零 点 とす る温 度 を

い う。SIの 熱 力 学 温 度

の 三 重 点 を273.16〔K〕

〔ケ ル ビ ン 〕 は,実 際

と 定 め た セ ル シ ウ ス(摂

氏)温

度 系 の 絶 対 温 度 と い え る。 ア メ リ カ や イ ギ リ ス な ど で は 華 氏 温 度 〔° Ｆ〕が 使 用 さ れ て い る 。 セ ル シ ウ ス (摂 氏)温

度 ｔ と 華 氏 温 度tfと

t=5/9(tf-32) 

  華 氏 温 度 系 の 絶 対 温 度TF(単 tfお よびT〔K〕

４章4・3を

参 照。

の 関 係 が あ る。

tf=9/5t+32

位 の 名 称:ラ

との 間 に 次 の 関 係 が あ る。

TF=tf+459.67

*1,*2第

の 間 に は,次

(1・2)

ン キ ン,記 号:Ｒ)は,華

氏温度

TF=9/5T

な お,華

氏 温 度 はSIで

は 認 め られ て い な い。

  〔 参 考 〕  セ ル シ ウ ス(摂

氏)温

度 ｔ と華 氏 温 度tfと

  摂 氏 温 度 目盛 は セ ル シ ウ ス(Celsius)氏,華 ト(Fahrenheit)氏

  こ こ で は,摂

氏 温 度 目盛 は フ ァー レ ンハ イ

が 創 案 し た も の で あ る が,科

に は そ の 規 約 は 改 正 さ れ,今

の関 係 に つ い て

学 技術 の 進 歩 に伴 っ て厳 密

日に 至 っ て い る。

氏 温 度 目 盛 と 華 氏 温 度 目盛 が 次 の よ う に 規 定 さ れ た も の と

し て,  そ の 関 係 を 求 め て み る 。   摂 氏 温 度 目 盛:標

準 大 気 圧(760㎜Hg=101325 

が 融 解 す る 温 度 す な わ ち 氷 点 と,水

Pa)に

お け る純 水 の 氷

が 沸 騰 す る温 度 す な わ ち蒸 気 点 を温 度

の 定 点 に と り,氷 点 を ０°,蒸気 点 を100° と し,そ の 間 を100等

分 し て1〔 ℃ 〕

と定 め る。   華 氏 温 度 目盛:摂

氏 温 度 目 盛 と 同 じ 温 度 の 定 点 を と り,氷 点 を32°,蒸 気

点 を212° と し,そ

の 間 を180等

  し た が っ て,摂

氏 温 度 ｔと 華 氏 温 度tfと

212°Fで あ る か ら,こ

れ をt=Atf+Bの

の 関 係 は,０ ℃ が32°F,100℃

が

式 に代 入 して解 け ば 求 め られ る。

0=32A+B

(１)

100=212A+B

(２)

と な り,式(１)と

式(２)を

0-32A=100-212A 212A-32A=100

A=5/9∴B=-160/9

ゆえに

分 し て1〔 ° Ｆ〕 と 定 め る。

連 立 方程 式 と して解 け ば

と な り,式(1・2)の

例 題1・1あ

関 係 が 得 られ る。

る 人 の 体 温 が36.5℃

で あ っ た 。 こ の 体 温 は 何 〔K〕か 。 ま た 何

〔°F〕 か 。

〔 考 え方 〕 温 度 目盛 の 規 定 に よ っ て 式(1・1)と 〔解 〕  t=36.5℃

で あ る か ら 式(1・1)を

式(1・2)を

用 い て 解 く。

変形 して

T=t+273.15 =36

.5+273.15=309.65〔

式(1・2)か

°C〕

ら

1・2 熱 量 と比 熱

  温 度 の 異 な る ２物 体 を 接 触 さ せ て お く と,高 体 は 温 ま る 。 こ れ は 熱(heat)が は エ ネ ル ギ ー(energy)の

温 度 の 物 体 は 冷 え て 低 温度 の 物

高 温 物 体 か ら 低 温 物 体 に 移 っ た た め で あ り,熱

一 形 態 で あ る。

  あ る物 体 に 熱 を 加 え た 場 合,加

え た 熱 量 に 比 例 し て 温 度 の 変 化 が 表 れ る と き,

こ の 熱 を 顕 熱(sensible  heat)と

い う。 熱 を 加 え て も 融 解 や 蒸 発 な ど に 使 わ れ て

温 度 の 変 化 が 表 れ な い と き は,こ   熱 量(quantity  を 規 定 し,エ

れ を 潜 熱(latent  hert)と

of hert)の 単 位 は, SIで

い う*1。

は 単 位 の 名 称 は ジ ュ ー ル,記 号 は 〔J〕

ネ ル ギー や 仕 事 と同 じで あ る。

1〔J〕=1〔N・m〕=1〔W・s〕 熱 量 が 大 き い 場 合 に は 〔J〕の103倍 こ れ ま で,工 1〔kcal〕

の 〔MJ〕 な ど を用 い る 。

業 上 で は 熱 量 の 単 位 は キ ロ カ ロ リ 〔kcal〕 が 用 い ら れ て い た 。

は,標

*１  こ の 節 で は,潜

の 〔kJ〕や106倍

準 気 圧(101325Pa)の

熱 は 取 り扱 わ ない。

下 で 重 量1〔kgf〕

の純 水 の 温 度 を １

〔℃ 〕だ け 上 昇 さ せ る の に 必 要 な 熱 量 で あ る 。 こ れ に は 〔 計 量 法kcal〕,〔15° kcal〕,〔 国 際 蒸 気 表(IT)kcal〕

な ど が あ る が,そ

の 差 は わ ず か で あ り,一

般 工

業 上 で は特 に 区別 す る必 要 は な い 。 1〔計 量 法kcal〕=4186.05〔J〕=4.18605〔kJ〕 1〔15°Kcal〕=4185.5〔J〕=4.1855〔kJ〕 1〔ITKcal〕=4186.8〔J〕=4.1868〔kJ〕

  ア メ リ カ や イ ギ リ ス な ど で は,〔Btu〕(1〔1b〕 る に 必 要 な 熱 量)や 量)が

の 水 の 温 度 を1〔 °F〕上 昇 さ せ

〔Chu〕(1〔lb〕 の 水 の 温 度 を1〔 ℃ 〕上 昇 さ せ る に 必 要 な 熱

熱 量 の単 位 と して用 い られ て い る。

  物 体 を 加 熱 し た と き の 温 度 上 昇 は そ の 物 体 の 質 量 ば か り で な く,そ よ っ て も 相 違 が あ る 。 こ れ は 物 体 に よ っ て 比 熱(specific  hert)が あ る 。単 位 質 量(1kg)の

物 体 の 温 度 を 単 位 温 度(1  K)だ

熱 をC〔J/kg・K〕

か らT2〔K〕 と す れ ば,次

(1・3)は T2〔K〕

量m〔kg〕

の物

ま で 上 昇 さ せ る の に 必 要 な 熱 量Q〔J〕

は,比

の 式 で求 め られ る。 (1・3)

Q=mC(T2-T1)〔J〕   し か し,物

異な るか らで

け上 昇 させ るに 必 要 な

熱 量 〔J〕を,そ の 物 体 の 比 熱 〔J/kg・K〕 と い う 。 し た が っ て,質 体 の 温 度 をT1〔K〕

の種 類 に

体 の 比 熱 の 値 は 一 定 で は な く,一

般 に温 度の 関数 で あ るか ら式

狭 い 温 度 範 囲 しか 成 り立 た な い こ と に な る 。 そ こ で 温 度T1〔K〕

ま で の 平 均 比 熱(mean 

ば,式(1・3)と

specific  heat)をCm〔J/kg・K〕

か ら

と して用 い れ

同 じよ うな 次 の 式 で 計 算 で き る。 Q=mCm(T2-T1)〔J〕

(1・4)

  ま た,物 体 の 比 熱 の 値 は,加 熱 す る際 の 条 件 に よ って も異 な る。 加 熱 す る条 件 は い ろ い ろ考 え られ るの で,比 熱 に も各 種 の 比 熱 が あ る こ とに な るが,実

用

上 重 要 な の は 圧 カ 一 定 の 場 合 の定 圧 比 熱 と,容 積 一 定 の場 合 の 定 容 比 熱 で あ る 。 定 圧 比 熱 は 熱 膨 張 に よ る仕 事 の分 だ け 定 容 比 熱 よ り大 き い が,固 体 の 場 合 に は 熱 膨 張 が わず か で あ るの で,ふ つ う両 者 の 差 を 無視 し て も さ しつ か え な い 。   な お,こ れ まで 工 業 上 で は,単 位 重 量(1kgf)の

物 体 の 温 度 を単 位 温 度(１ ℃)

だ け 上 昇 さ せ る に 必 要 な 熱 量 〔kcal〕が 比 熱 〔kcal/kg・℃ 〕 と し て 用 い られ て

きた。

例 題1・2質

量3kgの

を 求 め よ 。 ま た,ア

銅 の 温度 を,25℃ か ら150℃ ま で上 げ るの に 必 要 な熱 量

ル ミニ ウ ム に つ い て 同 じ く求 め よ 。 た だ し,銅

ウ ム の 平 均 比 熱 は そ れ ぞ れ398J/kg・K,942 

J/kg・Kと

とア ル ミニ

す る。

  〔 考 え 方 〕 銅 と ア ル ミニ ウ ム の 平 均 比 熱 が 与 え ら れ て い る か ら,式(1・4)に

それ を

代 入 し て 計 算 す る。 〔 解 〕  ま ず 温 度 の 単 位 〔℃ 〕を 〔 Ｋ〕に す る と式(1・1)か

ら

T1=25+273.15=298.15〔K〕 T2=150+273.15=423.15〔K〕 と な る か ら,銅

はm=3kg, 

Cm=398 

ア ル ミ ニ ウ ム の 場 合 はm=3kg, 

J/kg・Kで

Cm=942 

あ るか ら

J/kg・Kで

Q=mCm(T2-T1)=3×942×(423.15-298.15) =353250〔J〕=353

.25〔kJ〕

 〔 注 〕  こ こ で は 〔℃ 〕 を 〔 Ｋ〕に し た が,1℃=1Kで

あ る か ら 〔℃ 〕の ま ま で 計 算 し

て も同 じで あ り,そ の 方 が 容 易 で あ る。

例 題1・3温

度295K,質

塊 を 焼 入 れ て,そ

量10  kgの

水 の 中 に,温

度1120  K,質

量0.5kgの

鋼

の ま ま 熱 平 衡 の 状 態 に 達 し た と き の 温 度 は い く ら か 。 た だ し,

水 と鋼 の 比 熱 は そ れ ぞ れ4180J/kg・K,465 

J/kg・K一

定 と し,水 の 蒸 発 や 水 の

容 器 と の熱 交 換 そ の他 の 熱 損 失 は す べ て無 視 す る もの とす る。   〔 考 え方 〕 水 の 蒸 発 や 水 の 容 器 との 熱 交 換 そ の 他 の 熱 損 失 を 無 視 す るの で,高 温 の 鋼 塊 が 放 出 した 熱 量 と低 温 の 水 が 受 取 っ た 熱 量 が 等 し い と考 え る 。 した が っ て,水 鋼 の 量 を そ れ ぞ れ 添 字 １お よ び ２を つ け て 表 し,熱 平 衡 後 の 温 度 をTmと m1C1(Tm-T1)=m2 

とな り,こ れ に 数 値 を代 入 し てTmを   〔解 〕  式(１)を T2=1120 

変 形 し,与

K,  C1=4180  m1C1(Tm-T1)=m2 

す れば

C2(T2-Tm)

(１)

計 算 す る。

え ら れ た 数 値m1=10kg,m2=0.5kg, 

J/kg・K, 

C2=465  C2(T2-Tm)

J/kg・Kを

いれ て計算 す る と

T1=295 

K,

と

1・3 仕 事 と動 力

  力(force)が

物 体 に 作 用 し て 物 体 を 動 か し た と き,力

い う 。仕 事 Ｗ の 大 き さ は,力F〔N〕 S〔m〕

は 仕 事(work)を

した と

と 物 体 の 力 の 方 向 の 変 位(displacement)

との 積 で 表 され る。

  仕 事 の 単 位 は,SIで

は熱 量 と同 じジ ュ ー ル 〔 Ｊ〕 で あ り,1〔J〕=1〔N・m〕

であ

る 。 こ れ ま で の 重 力 単 位 系 で は 〔kgf・m〕 が 用 い ら れ て き た 。 1〔kgf・m〕=9.80665〔J〕

≒9.81〔J〕

図1・1(a)の よ うに 力 Ｆ と変位 ｓの 方 向 が 一 致 す る場 合 の仕 事 Ｗ は W=Fs〔J〕 図1・1(b)の

(1・5)

よ う に 力 Ｆ と 変 位 ｓ の 方 向 が 角 θ を な す 場 合 に は, W=Fs 

cos  θ 〔J〕

(1・6)

(ａ)

(ｂ) 図1・1

図1・2の よ う な 回転 運 動 に な る場 合 は W=Fs=Fγ こ こ に,T=Fγ

θ=Tθ

〔J〕 を ト ル ク(torque)と

(1・7) い う。

仕 事 の 時 間 に 対 す る割 合 す な わ ち単 位 時 間 に な す 仕 事 量 を動 力(power)と い,工 率 また は仕 事 率 と もい う。

い

  動 力 の単 位 は,SIで

は 単位 の 名 称 ワ ッ ト,記

号 〔 Ｗ 〕 と定 め て い る。 1〔W〕=1〔N・m/s〕=1〔J/s〕 動 力 が 大 き い 場 合 に は,〔 Ｗ 〕の103倍 や106倍

の 〔MW〕

の 〔kW〕

な ど が 用 い ら れ る。

重 力 単 位 系 で は 動 力 の 単 位 は 〔kgf・m/s〕 で あ る が,〔kW〕,〔PS〕

な どが 一 般 に 用 い ら れ て

い る。 図1・2

1〔kW〕=103〔W〕=103(J/s) ≒102〔kgf・m/s〕

≒1.36〔PS〕

1〔PS〕=75〔kgf・m/s〕=0.7355〔kW〕*1 な お,仕

事 の 単 位 と し て 〔kW・h〕,〔PS・h〕

を用 い る こ と もあ る。

  図1・1(a)の よ う に 力 と変 位 の 方 向 が 一 致 す る場 合,仕 〔s〕とす れ ば,動

力P〔W〕

事 に 要 した 時 間 をt

は 次 の 式 で表 され る。

P=W/t=Fs/t=Fc〔W〕 こ こ に,C=s/t〔m/s〕

  図1・2の

(1・8)

は 速 度(velocity)で

回 転 運 動 の 場 合 に は,角

式(1・8)と

あ る。

θ 〔rad〕 を 回 転 す る 時 間 をt〔s〕 と す れ ば,

同 じよ うに

P=W/t=Tθ/t=Tω

こ こ に,ω=θ/t〔rad/s〕

〔W〕

は 角 速 度(angular 

*１  こ こ に 掲 げ た 馬 力 は メ ー トル 系 馬 力(仏   も あ る が,本

(1・9)

馬 力)で

velocity)で

あ り,他

あ る。

に フ ィ ー ト・ポ ン ド系 馬 力 な ど

書 で は 必 要 な 場 合 に は メ ー トル 系 馬 力 を 用 い る。

例 題1・4質 ま た,こ

量500kgの

物 体 を垂 直 に8m持

の と き 等 速 で 持 ち 上 げ,40秒

ち上 げ る と きの 仕 事 を求 め よ。

間 か か っ た と す る と動 力 は い く ら か 。

  〔 考 え 方 〕 物 体 を垂 直 に 上 げ る の で 力 と変 位 の 方 向 は 一 致 す る か ら,仕 事 は 力 を F=mgか

ら 求 め,式(1・5)を

利 用 す る。 動 力 は 式(1・8)に

  〔 解 〕 重 力 加 速 度 はg=9.80665m/s2≒9.81 

m/s2と

数値 をいれ て計算 す る。

し,式(1・5)か

ら仕 事 はm=

500kg,  s=8mで W=Fs=mgs=500 

×  9.81×8

=39240〔J〕=39 動 力 は 式(1・8)か

.24〔kJ〕

らt=40sで

P=W/t=39240/40=981〔W〕=0.981〔kW〕

ま たは P=W/t=39.24/40=0.981〔kW〕

例 題1・5  あ る 自動 車 用 ガ ソ リン機 関 の 最 大 トル クは,機 の と き160N・mで 〔考 え 方 〕  ま ず,角 〔解 〕

速 度 ω 〔rad/s〕 を 求 め て か ら,式(1・9)を

毎 分 １ 回 転(1rpm)は2π/60〔rad/s〕

用 い る。

であ るか ら

n〔rpm〕=2πn/60〔rad/s〕

こ れ を 式(1・9)に

関 が 毎 分2800回

あ る と い う。 こ の と き の 軸 出 力 は い く ら か 。

代 入 し て,n=2800 

〔注〕  重 力単 位 で解 くと

rpm, 

T = 160 N・mか

ら

転

エネル ギ ー

1・4

  物 体 が 仕 事 を で き る 状 態 に あ る と き,物 体 は エ ネ ル ギ ー(energy)を る と い う。 し た が っ て,エ に は 位 置 エ ネ ル ギ ー,運 エ ネ ル ギ ー,放

もっ て い

ネ ル ギ ー と仕 事 と は 同 質 の も の で あ る 。 エ ネ ル ギ ー 動 エ ネ ル ギ ー,熱

エ ネ ル ギ ー,電

気 エ ネ ル ギ ー,化

学

射 エ ネ ル ギ ー な ど い ろ い ろ な 種 類 が あ る。 こ れ ら の エ ネ ル ギ ー

は そ の 形 態 が 異 な る だ け で,本

質 は 全 く 同 じ も の で あ り,一

つ の 形 態 か ら他 の

形 態 に 変 換 す る こ と は で き る が,創 造 し た り消 滅 さ せ た りす る こ と は で き な い 。   エ ネ ル ギ ー の 単 位 は,SIで

は 熱 量 や 仕 事 と 同 じ ジ ュ ー ル 〔Ｊ〕で あ り,重

力単

位 系 で は 〔kgf・m〕 が 使 わ れ て い た 。

  周 囲 か ら 隔 て られ た物 体 の 集 ま り(こ れ を系 とい う)が 各 種 の 形 態 の エ ネ ル ギー を保 有 し,そ れ らの 間 で い ろ い ろ な エ ネ ル ギー の 変 換 が 行 わ れ た と して も, 次 の よ う な関 係 が 成 立 す る。  

「一 つ の 系 の 保 有 す る エ ネ ル ギ ー の 総 和 は,外

定 不 変 で あ り,外

部 と の 間 に 交 換 の な い 限 り一

部 と の 間 に 授 受 が あ る 場 合 に は,そ

  こ れ を エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則(low  of conservation 

の 量 だ け 増 減 す る 。」 of energy)と

然 科 学 で は 最 も 基 本 的 な 法 則 の 一 つ で あ る 。 仕 事 の 原 理,ベ 熱 力 学 第 一 法 則 な ど は,エ

い い,自

ル ヌ ー イ の 定 理,

ネ ル ギ ー保 存 の 法 則 をそ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 適 用

した もの と考 え て よ い。

例 題1・6質

量m〔kg〕

の 物 体 を高 さz〔m〕 持 ち上 げ る仕 事 を,垂 直 に 持 ち上

げ る場 合 と,水 平 面 と角 θ を なす 斜 面 上 を水 平 な 力 で 押 し上 げ る場 合 に つ い て 比 較 せ よ。 た だ し,摩 擦 な どの 抵 抗 は 無 視 す る。   〔考 え 方 〕 二 つ の 場 合 の 仕 事 を そ れ ぞ れ 求 め て 比 べ る。  〔 解〕   ま ず,垂

直 に 持 ち上 げ る場 合 の 仕 事 を求 め る 。

質 量 ｍ の 物 体 を 垂 直 に 持 ち 上 げ る に 要 す る 力 はmgで る仕 事 をW1と

す れ ば,式(1・5)か

ら

あ る か ら,高

さ ｚ上 げ

W1=Fs=mgz〔J〕

  斜 面 上 を 押 し上 げ る場 合 は,摩 擦 を考 え な い と,図 の よ うに 物 体 に 作 用 す る 重 力mgの

斜面 に平 行 な分 力

mg  sinθ と,水 平 に 加 え る 力 Ｆ の 斜 面 に 平 行 な 分 力Fcosθ

とが 等

し く な る よ う に,力 Ｆ を加 え れ ば よ い。  し た が っ て mg  sin θ=Fcos 

θ

F=mgtanθ

  高 さ ｚだ け 上 げ る た め に,Ｆ

を 作 用 させ る長 さ を ｌ とす れ ば,図 か ら明 ら か な よ う

に z=lsinθ

ゆ え に,斜

面 上 を水 平 な 力 Ｆ で 物 体 を 押 し上 げ る仕 事W2は,式(1・5)か

し た が っ て,W1=W2で

あ り,仕

ら

事 は 等 しい 。

〔 注 〕 実 際 に は,摩 擦 な どの 抵 抗 が あ る の で 仕 事 は 等 し くな ら な い 。

例 題1・7物

体 が 自由 落下 す る場 合 に つ い て,機 械 エ ネ ル ギー の保 存 を説 明せ

よ 。

  〔 考 え方〕   自 由 落 下 す る物 体 の エ ネ ル ギー と し て は,重 と,落

力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー

下 中 の 運 動 エ ネ ル ギー の 二 つ を考 え る。機 械 エ ネ ル ギ ー とは 位 置 エ ネ ル ギ ー と

運 動 エ ネ ル ギ ー の 総 称 で あ るか ら,落 下 中 に 二 つ の エ ネ ル ギ ー の 和 が 一 定 に な る こ と を確 か め れ ば,エ

ネ ル ギ ー の保 存 を 説 明 で き る 。 な お,空

気 の 抵 抗 な どは 無 視 して 考

え る。   〔 解 〕 図 の よ うに,質 量 ｍ の 物 体 が 高 さz1か

ら 自 由 落 下 す る も の と し,高 さz1と

落 下 途 中 の 高 さz2, z3に お け る位 置 エ ネ ル ギーEp1,  Ep2, Ep3と 運 動 エ ネ ル ギ ーEk1, Ek2,Ek3を Ep=mgz,運

求 め,そ

れ ぞ れ の 和 を求 め て み る 。 な お,重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギ ーEpは

動 エ ネ ル ギ ーEkは

がc1=0,C22=2g(z1-z2), 

速 度 を ｃ とす れ ばEk=mc2/2で

C32=2g(z1-z3)と

  z1に お け る位 置 エ ネ ル ギ ー   Ep1=mgz1

あ り,落 下 す る速 度

な る こ と を確 か め る。

運 動 エ ネ ル ギ ー   Ek1=0

〃

z2に お け る位 置 エ ネ ル ギ ー   Ep2=mgz2 〃

運 動 エ ネル ギー

z3に お け る 位 置 エ ネ ル ギ ー   Ep3=mgz3

〃

運動 エ ネル ギー

〔例 題1・7〕 の 図

したが って

  こ の 結 果,位

置 エ ネ ル ギ ー と運 動 エ ネ ル ギー の 和 は い ず れ も等 し い 。 こ れ は 自 由 落

下 に よ っ て 重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギ ー が 減 少 し た分 だ け 運 動 エ ネ ル ギー が 増 加 し,そ の 和 が 常 に 一 定 に保 た れ る,す な わ ち,機 械 エ ネ ル ギ ー が保 存 さ れ る こ と を示 し て い る。 〔 注 〕 この 例 題 で は 空 気 の 抵 抗 な ど を無 視 し た が,そ け 落 下 速 度 が 遅 く な るが,減

れ を考 え た場 合 は,そ

の分 だ

少 し た運 動 エ ネ ル ギー は 摩 擦 に よ っ て 熱 エ ネ ル ギ ー に 変

わ る の で,全 体 と し て エ ネ ル ギ ー は 保 存 さ れ る。 ま た,地 面 を基 準 面 と す れ ば,地 に 達 し た と きの 位 置 エ ネ ル ギ ー は ０に な り,運 動 エ ネ ル ギー も ０に な る が,運 ル ギ ー は 地 面 に い く らか の 穴 を あ け た りす る仕 事 や,そ

面

動 エネ

の際 の大 きな摩擦 抵抗 に うち

か つ ため な どに 費 や され る こ と に な り,エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 は成 立 し て い る 。

圧力

1・5

圧 力(pressure)と

は,単

  圧 力 の 単 位 は,SIで が,バ

位 面 積 あ た り に 働 く力 で あ る 。

は 単 位 の 名 称 は パ ス カ ル,記

号 は 〔Pa〕 と規 定 し て い る

ー ル 〔bar〕 も併 用 し て よ い こ と に な っ て い る 。 1〔Pa〕=1〔N/㎡

〕

1〔bar〕=105〔Pa〕

圧 力 が 大 き い 場 合 に は,〔Pa〕 の103倍

の 〔kPa〕 や106倍

の 〔MPa〕

が用 い ら れ

る。   こ れ ま で 工 業 上 で は,圧 圧(ま

た は 単 に 気 圧)と

トル 〔 ㎜Hg〕

力 の 単 位 と し て 〔kgf/㎝2〕

も 呼 び,記

が 広 く用 い ら れ,工

号 は 〔at〕も 使 わ れ た 。 ま た,水

や 水 柱 ミ リ メ ー トル 〔 ㎜H2Oま

た は ㎜Aq〕

学気

銀 柱 ミ リメー

な ど も用 い られ

て い た。

  圧 力 の 表 し 方 に は 基 準 の 取 り方 に よ っ て,完 対 圧(absolute  pressure)と

pressure)と,大

全 真 空 を 基 準 に し て ０ とす る絶

気 圧 を 基 準 に と っ て ０ と す る ゲ ー ジ 圧(gauge

が あ り,二 つ の 圧 力 系 の 圧 力 差 を 表 す た め に は 差 圧 を 用 い る こ と も

あ る 。 絶 対 圧pabsと Pabs=Pg+大

ゲ ー ジ圧pgと

の 関係 は 次 の 式 に な る。

気 圧

(1・10)

  圧 力 が 大 気 以 下 の状 態 を真 空(vacuum)と

い い,そ の 圧 力 を真 空 圧 力 とい う。

真 空 圧 力 に も絶 対 圧 とゲ ー ジ圧 とが あ り,真 空 度 と い う表 し方 もあ る。   な お,標 る。

準 気 圧(standard 

atmospheric 

pressure)(1 

atm)は101325 

Paで

あ

例題

大 気 中 に あ る 直 径50㎝

1・8

の お も り を の せ た と き,シ し,ピ

の シ リ ン ダ 内 の ピ ス トン 上 に 質 量50 ㎏

リ ン ダ 内 の 気 体 の ゲ ー ジ 圧 と絶 対 圧 を 求 め よ 。 た だ

ス ト ン の 質 量 は 無 視 し,大 気 圧 は101.3kPa,重

力 加 速 度 ｇ は9.81  m/s2

とす る。  〔 考 え方 〕   こ の 課 題 で は,シ い の で,シ

リン ダ は 大 気 中 に あ っ て そ の 内部 の 圧 力 を 与 え て い な

リン ダ 内 の 圧 力 は 大 気 圧 と釣 合 っ て い る と考 え て よ い 。 した が っ て,ゲ

ジ圧 は お も りに よ る圧 力 だ け を 考 え れ ば よ く,絶 対 圧 は 式(1・10)の

ー

よ うに ゲ ー ジ圧

に 大 気 圧 を加 え れ ば よ い 。な お,計 算 す る際 に 単 位 を揃 え る こ と を忘 れ て は い け な い 。  〔 解 〕 お も りに よ る 圧 力 は,お も り に か か る重 力 ㎎ ば 求 め られ る 。 シ リン ダ の 径 はd=50㎝=0.5mと

絶 対 圧 は 式(1・10)か

ら

Pabs=pg+大 =2

気 圧

.5+101.3=103.8〔kPa〕

〔演

１.500℃

お よ び1000℃

２.500° Ｆ お よ び1000° ３.質

量1.5㎏

を シ リンダの 断面積 Ａ で割 れ し て ゲ ー ジ 圧Pgは,

問

題1〕

は そ れ ぞ れ 何 Ｋ か 。 ま た,何 Ｆは そ れ ぞ れ 何 ℃ か 。 ま た,何

の 水 を18℃

こ の 加 熱 に600Wの

習

か ら100℃

° Ｆか 。 Ｋ か。

ま で 加 熱 す る の に 必 要 な 熱 量 を 求 め よ 。 ま た,

電 熱 器 を使 用 し,電 熱 器 の 発 生 す る 熱 量 の60%が

れ る も の と して,加

有 効 に使 わ

熱 に 要 す る 時 間 を 求 め よ。 た だ し,水 の 比 熱 は4186J/㎏

・K一

定 と し,水 は 蒸 発 しな い も の とす る。 ４.90℃

の 水5㎏

と30℃ の 水10 ㎏ を 混 合 し て 攪 拌 す る と,熱 平 衡 後 の 水 の 温 度 は

何 ℃ か 。 た だ し,水 の 容 器 の 熱 容 量 や 混 合 の 際 の 熱 損 失 な どは 無 視 す る。 ５.0.008m3の 328Kに

水 に1100  Kの 鋼 塊3㎏

を投 入 し て 攪 拌 し た ら,熱

平衡 後 の温 度 が

な っ た 。水 の 温 度 上 昇 は い く らか 。た だ し,水 の 比 熱 は4186  J/㎏ ・K,鋼 塊

の 比 熱 は489J/㎏

・Kそ れ ぞ れ 一 定 と し,水

の 蒸 発 や 水 の 容 器 との 熱 交 換 そ の 他 の

熱 の 損 失 に つ い て は無 視 す る。 ６.ホ イ ス トで1000㎏

の 物 体 を垂 直 に10 m揚

か 。 この 仕 事 を １分30秒 効 率 が68%で

げ る 。ホ イ ス トの な し た仕 事 は い く ら

で 行 っ た とす れ ば 動 力 は い く らか 。 ま た,こ の ホ イ ス トの

あ る とす れ ば,巻

上 げ 用 電 動 機 は 最 低 何kW必

７.あ る 自 動 車 用 ガ ソ リン機 関 の 軸 出 力 は,毎 分5600回   う。 こ の と き の 機 関 の 軸 トル ク を 重 力 単 位 とSI単 ８.蒸 気 ボ イ ラ の 圧 力 計 が12㎏f/㎝2を

示 し,そ

要か。

転 の と き100PSで

あ るとい

位 で 求 め よ。 の と き の 大 気 圧 が755 ㎜Hgで

あ った。 ボ イラ内 の蒸気 の絶 対圧 は い くらか。

〔 略

１.式(1・1)お

よ び 式(1・2)か

 

解

〕

ら

T=500+273.15=773.15≒773〔K〕 T=1000+273.15=1273.15≒1273〔K〕

２.式(1・2)お

よ び 式(1・1)か

ら

T=260+273.15=533.15≒533〔K〕 T=537.8+273.15=810.95≒811〔K〕

３.加 熱 に 要 す る 熱 量 は 式(1・3)か Q=mC(t2-t1)=1.5×4186 

×(100-18) =514878〔J〕

  加 熱 に 必 要 な 時 間 は1W=1J/sな 効 に 使 わ れ る の で,

ら

≒514

.9〔kJ〕

の で,600 W=0.6kJ/sと

な り,そ の60%が

有

４.例 題1・3と

同 じ よ うに 解 く。 こ の 課 題 で はc1=c2で

あ り,温 度 は セ ル シ ウ ス 度

の ままで よい。

５.例

題1・3に

な ら っ て,0.008m3の

６.ホ

イ ス トの な す 仕 事 は 式(1・5)か W=Fs=㎎s=1000 

水 の 質 量 は8㎏fで

ら

×  9.81×10=98.1×103〔J〕 =98

動 力 は 式(1・8)か

あ るか ら

.1〔kJ〕

ら

巻上 げ用 電動 機 の所用 動 力は

７.式(1・9)か

ら 解 く。

重力単 位:

SI単 位:

８. 

1㎏f/㎝2=9.80665  し た が っ て,式(1・10)に pabs=9.80665  =1

×  104Pa,1㎜Hg=1.3332 

× 102Pa

よ って

×  104×12+1.3332×102 

.277×106〔Pa〕=1.277〔MPa〕

× 755

２

熱 力学 第 一 法 則   熱 力 学 第 一 法 則 は 第 二 法 則 と と も に工 業 熱 力 学 の基 礎 で あ る。1840年 代 に熱 の本 性 が エ ネ ル ギー で あ る こ とが 確 か め られ,第 一 法 則 が 生 まれ た。 こ の章 で は 第 一 法 則 と そ れ か ら導 か れ る 第 一 法 則 の 式 お よ び そ の 応 用 に つ い て 説 明 す る。

2・1

状態量 と状態式

  熱 力 学 で 対 象 とす る物 体 の 集 ま り を熱 力 学 的 系 とい い,単 に 系(system)と

も

い う。 熱 力 学 的 系 は他 の 部 分 か ら独 立 させ て 考 え るの で,境 界 を 明確 に定 め て 周 囲(外

界 また は環 境 と も い う)と 区別 され る。 しか し,系 や 境 界 は 固 定 され

た もの で は な く,考 え て い る課 題 の解 決 に最 も都 合 が よ い よ うに選 ぶ こ とが で き る。   熱 力 学 的 系 に は境 界 を通 して 周 囲 との 間 に,熱 や 仕 事 な どの エ ネ ル ギー の交 換 は あ るが 物 体(ま

た は質 量)の

流 出や 流 入 の な い閉 じた 系 と,エ ネ ル ギー と

物 体 の 両 方 が 出 入 りす る開 い た 系 とが あ る。 特 に エ ネ ル ギー も物 体 も一 切 出 入 り し な い系 を孤 立 系 とい う。   温 度,圧

力,容 積 な どの よ うに 熱 力 学 的 系 の 状 態 を規 定 す る物 理 量 を状 態 量

(quantity of state)と い う。状 態 量 は系 の現 在 の 状 態 の み に よ って 定 ま る量 で あ り,過 去 に どの よ うな過 程 を経 て 現 在 の状 態 に な った か とい う こ とは無 関係 で あ る。 熱 量 や 仕 事 の よ うに 現 在 の 状 態 に な る ま で の 変 化 の 経 路 に よ っ て値 が 異 な る量 は 状 態 量 で は な い 。   状 態 量 は,温

度,圧

力 な どの よ うに物 体 の 質 量 の 大 き さに 関 係 しな い もの を

示 強 性 状 態 量 とい い,容 積,内

部 エ ネ ル ギー な どの よ うに質 量 の 大 き さに よ っ

て増 減 す る もの を示 量 性 状 態 量 とい う。   状 態 量 は数 多 くあ るが,そ

れ らの 間 に は 互 い に 決 ま っ た 関係 が あ り,個 々 の

状 態 量 が 独 立 に変 化 で き る もの で は な い 。 例 え ば,一 定 の 成 分 の 一 定 量 の 気 体 の 容 積 は,そ

の圧 力 や 温 度 が 変 わ れ ば 変 化 し,圧 力や 温 度 が 一 定 に な る と一 定

の 値 に な る。この よ うに,状 態 量 の うち ２個 だ け が 独 立 に 変化 す る こ とが で き, ２個 の状 態 量 が 定 ま る と他 の状 態 量 も定 ま って しま い,系 の状 態 が 決 定 す る。し たが っ て,単 位 質 量 の容 積 す な わ ち比 容 積 υは 圧 力 ｐ と温 度 Ｔ の 関 数 で あ り, 次 の 式 で 表 され る。 υ=f(p.T) 

あ る い は   F(P.T.υ)=0

こ れ を状 態 式(equation 

of state)と

(2・1)

い う。 状 態 式 は 熱 平 衡 に お け る 状 態 量 の 関

係 を 表 して い る。

熱力学第一法則

2・2

  熱 の本 性 に つ い て は,18世

紀 頃 は熱 素 とい う質 量 が 測 定 で きな い 微 少 な 物 質

が あ っ て,そ れ が 一 つ の 物 体 内 あ る い は一 つ の 物 体 か ら他 の 物 体 に 移 動 して 増 減 す る こ とに よ っ て,温 度 の 上 昇 や 下 降 が起 こ る と考 え られ て い た 。18世 紀 終 り頃 か ら,熱 は 物 質 で は な くエ ネ ル ギ ー の 一種 で あ る こ と を証 明 す る実 験 が 行 わ れ た が,そ の 後1840年

代 に マ イ ヤ ー(R.Mayer)氏

や ジ ュー ル(J.P.Joule)氏

に よ っ て,「 熱 と機 械 的 仕 事 とは 形 態 は 異 な るが 本 質 は 同 じエ ネ ル ギー で あ っ て,熱

と仕 事 との 間 に は 一 定 の数 値 的 関係 が あ る」と い うこ とが 確 か め られ て,

これ が 今 日の 熱 力 学 の 基礎 に な っ た。  

「熱 と仕 事 と は 形 態 は 異 な る が,そ

仕 事 に 変 え る こ と も,逆

の 本 質 は 同 等 な エ ネ ル ギ ー で あ り,熱

に 仕 事 を 熱 に 変 え る こ と も で き る 。」

一 法 則(the  first law  of thermodynamics)と   熱 と仕 事 と の 数 値 的 関 係 は,SI単 か ら,熱

量 Ｑ と仕 事

Ｗ

を

こ れ を熱 力 学 第

い う 。

位 で は 同 一 の 単 位(ジ

と は 同 一 の 数 値 に な り,換

ュール 〔 Ｊ〕)で あ る

算 の必 要 は な い。

重 力 単 位 で は 熱 量 Ｑ の単 位 は 〔kcal〕,仕 事 Ｗ の 単 位 は 〔 ㎏f・m〕 で あ るか ら,熱 の 仕 事 当 量 Ｊ や 仕 事 の 熱 当 量1/Jを W=JQ〔 た だ し,熱

用 い,次

の 式 で 表 して い る。

㎏f・m〕 また はQ=W/J〔kcal〕

の 仕 事 当 量J=426.8≒427〔

(2・2)

㎏f・m/kcal〕

仕事 の熱 当量   エ ネ ル ギー に は 熱 や 仕 事 の ほか に,位 置 エ ネ ル ギー,運 動 エ ネ ル ギ ー,電 気 的 エ ネ ル ギー,化

学 的 エ ネ ル ギー,放

射 エ ネ ル ギ ー な どい ろい ろ な エ ネ ル ギー

が あ る。 こ れ らの エ ネ ル ギー は形 態 は 異 な るが,そ

の 本 質 は全 く同 じで あ り,

一 つ の 形 態 か ら他 の形 態 に 変 わ る こ とは で き る が

,創 造 した り消 滅 させ た りす

る こ とは で きな い 。 こ の こ とか らヘ ル ム ホ ル ツ(Helmholtz)氏

が 第 １章1・4節

に 掲 げ た エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を提 唱 し,そ れ は正 し い と認 め られ た。 熱 力 学 第 一 法 則 は エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を熱 と仕 事 との 間 に 適 用 し た もの で あ る。   動 力 を発 生 す る機 械 に エ ネ ル ギー 保 存 の 法 則 を 当 て はめ て考 え る と,機 械 が 動 力 を発 生 して 外 部 に 与 え る に は,同 時 に 必 ず 他 か らの エ ネ ル ギー を消 費 しな け れ ば な ら な い 。 も し,他 か らな ん らの エ ネ ル ギ ー の 供 給 を受 け な い で 運 動 を 続 け,外

に 仕 事 を な しつづ け る こ とが で き る とす れ ば,そ

れは第一種 の永久運

動 をす る とい うが,エ ネ ル ギー 保 存 の法 則 は そ れ を 否 定 して い る。 したが っ て, 次 の よ う な表 現 が で き る。   「エ ネ ル ギ ー を消 費 し ない で,引 続 き仕 事 を発 生 す る機 械 をつ くる こ と は で き な い。」   「第一 種 の 永 久 運 動 は 不 可 能 で あ る。」   こ れ らは,熱 例 題2・1鋼

力 学 第一 法 則 を別 の 形 で 言 い表 した もの とい え る。 球 を50mの

高 さか ら落 と して床 に 衝 突 させ た と き,運 動 エ ネ ル

ギ ー が 全 部 熱 に 変 わ り,そ の50%が 昇 を 求 め よ 。 た だ し,鋼

鋼 球 に 与 え られ る もの と して鋼 球 の 温 度 上

球 の 比 熱 は0.465kJ/㎏

・K一 定 とす る 。

 〔 考 え方 〕 鋼 球 が 床 に 衝 突 して な す 仕 事 は,衝

突 直 前 の 運 動 エ ネ ル ギ ー に 等 し く,

そ れ は 落 下 す る前 の 重 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー に 等 し い。 し た が っ て,位 ギ ー の50%を

求 め,式(1・3)で

温 度 上 昇 を計 算 す る。

〔 解 〕 重 力 に よ る 位 置 エ ネ ル ギ ー は,質 ㎎z=50 

こ の50%が

量m,高

さz=50mか

ら

〔J〕

鋼 球 に 与 え られ る熱 量 Ｑ に な る の で Q=50㎎

ゆ え に,温

㎎

置エネル

×0.5〔J〕

度 上 昇 は 式(1・3)か

〔 注 〕 重 力 単 位 系 で解 け ば,鋼 Gz=50  式(2・2)か

C=0.465kJ/㎏

例 題2・2質

ら,C=0.465 

kJ/㎏

・K=465 

J/㎏

・Kと

して

球 の 重 量 をG〔 ㎏f〕 と して

G〔 ㎏f・m〕 ら

・K=0.111kcal/㎏f・

量1050㎏

℃ で あ る か ら,式(1・3)と

の 自動 車 を速 度40 ㎞/hの

状 態 か ら,ブ

け て 停 止 させ た。 こ の と き,各 種 の 摩 擦 抵 抗 な どを 無視 して,ブ よ っ て制 動 され た もの とす れ ば,ブ

同 じよ うに

レー キ をか レー キ の み に

レー キか ら発 生 す る熱 量 は い くらか 。

 〔 考 え方 〕   自動 車 を停 止 させ る た め に ブ レ ー キ の す る仕 事 は,自 動 車 の 運 動 エ ネ ル ギ ー1/2mc2に

等 し く,そ れ が す べ て 熱量 に 変 わ る と考 え れ ば よ い 。

〔 解〕   時速 を秒速 に換 算 して

したが って

2・3

静 止 した物 体 に対 す る一 般 エ ネル ギ ー式

静 止 した物 体 に 熱 を加 え る と,そ の 熱 は一 般 に 次 の 三 つ に 消 費 され る。 ①   物 体 の分 子 の運 動 エ ネ ル ギ ー を増 し,温 度 を上 昇 させ る た め に。 ②   物 体 の分 子 相 互 間 の 引 力 に 打 ち勝 つ た め に,あ

る い は分 子 の 集 合 状 態 を変

化 させ るた め に 。 ③   物 体 の体 積 を膨 張 させ て,外 部 に対 して 仕 事 をす る た め に 。 体 積 の 膨 張 が ① や ② に 関 連 し て 起 こ る よ う に,三 る の で は な く,相

つ は そ れ ぞれ が 独 立 して い

互 に 関 連 し た も の で あ る 。 ① と② に 費 や さ れ た 熱 量 は,物

内 に 蓄 え ら れ る こ と に な り,こ れ を 内 部 エ ネ ル ギ ー(internal  energy)と

体

い う。

これ に 対 し て外 部 へ の仕 事 を外 部 エ ネ ル ギー とい う こ と もあ る。

  この よ う に静 止 した物 体 に 外 部 か ら加 え ら れ た 熱 は,内

部 エ ネ ル ギー と して

蓄 え られ る と同 時 に外 部 に 対 して仕 事 をす る。   内部 エ ネ ル ギ ー とは,物 体 の保 有 す る総 エ ネ ル ギー か ら力 学 的 エ ネ ル ギー(運 動 エ ネ ル ギー と外 力 に よ る位 置 エ ネ ル ギー)と

電 気 的 エ ネ ル ギー を差 し引 い た

残 り をい う。 熱 力 学 で は 一 般 に 電気 的 エ ネル ギ ー は 考 え な くて も よ いか ら,静 止 して い て 外 力 の 作 用 を受 け な い 物 体 の保 有 す る総 エ ネ ル ギ ー が 内 部 エ ネ ル ギー で あ る。 内 部 エ ネ ル ギー は状 態 量 で あ る。 し たが っ て,他 温 度,圧

力,容

つ う,質 量m〔 ギー(比

積 な どの うち二 つ が 決 ま る と,内 部 エ ネ ル ギー も決 定 す る。 ふ ㎏ 〕の 内 部 エ ネ ル ギ ー はU〔J〕,単

内 部 エ ネ ル ギ ー とい う)はu〔J/㎏

  静 止 し て い る物 体 に 微 小 な 熱 量dQを dUだ

の状態量例 えば

位 質 量 あ た りの 内部 エ ネ ル

〕で表 す 。 与 え る と,内 部 エ ネ ル ギ ー が 微 小 量

け 増 加 し,同 時 に 外 部 に対 して微 小 な仕 事dWを

す る こ と に な り,熱 力

学 第 一 法 則 か ら次 の 式 が 成 り立 つ 。 dQ=dU+dW〔J〕

(2・3)

単 位 質 量 あ た りで は,Q,U,Wを dq=du+dw〔J/㎏

小 文 字 で 表 して 〕

  こ の 式 は 熱 力 学 上 重 要 な 基 礎 式 で あ り,第 式(energy 

equation)と

(2・4)

一 法 則 の 式 あ る い は エ ネ ル ギー の

い う。

した が っ て,物 体 に 熱 量 Ｑ を与 え て 状 態 １か ら状 態 ２に 変 化 させ る と,内 部

エ ネ ル ギ ー はU1か 式(2・3)と

らU2に

増 加 し,外 部 に 対 し て 仕 事 Ｗ

を す る 。こ の 場 合 は,

同 じ よ う な 形 の 次 の 式 で 表 さ れ る。 Q=U2-U1+W〔J〕

(2・5)

〔参 考 〕  内部 エ ネ ル ギー の本 質 は   静 止 して い て外 力 の 作 用 を受 け な い物 体 の 保 有 す る総 エ ネ ル ギ ー が 内部 エ ネ ル ギ ー で あ り,熱 を加 え る と一 般 に 内部 エ ネ ル ギー は増 加 す る とい う。 内 部 エ ネ ル ギー の 本 質 は何 だ ろ うか 。   こ の質 問 に 答 え るに は,物 体 は 原 子 や 分 子 で 成 り立 つ こ とが 知 られ て い るが,こ

れ らの 粒 子 に つ い て の微 視(ミ

ク ロ)的 な考 察 が 必 要 で あ る。 本

書 で は微 視 的 な理 論 に は ほ とん ど触 れ な い が,内 部 エ ネ ル ギー の 本 質 につ い て き わめ て 簡 単 に説 明 し てお く。   物体 を構 成 す る原 子 や 分 子 は絶 え ず 運 動 して い る の で運 動 エ ネ ル ギー を 持 ち,分 子 間 引 力 に も とつ く位 置 エ ネ ル ギー も持 っ て い る。 物体 に外 部 か ら熱 を与 え た り仕 事 を加 え た りす る と,運 動 は い っ そ う激 し くな る。 この 原 子 や 分 子 の運 動 エ ネ ル ギ ー や 位 置 エ ネ ル ギ ー が 内 部 エ ネ ル ギー で あ る。 す な わ ち,物 体 を構 成 す る原 子 や 分 子 とい う微 細 な 世 界 の 力 学 的 エ ネ ル ギー が 内部 エ ネ ル ギー で あ り,こ れ は 巨視(マ

ク ロ)的 な物 体 全 体 と して

の 力学 的 エ ネ ル ギ ー と は全 く性 質 の 異 な る もの で あ る。 内部 エ ネ ル ギ ー は そ の絶 対 量 は決 め られ な い の で,あ

る基 準 の 状 態 の 内 部 エ ネ ル ギ ー を ０ と

決 め て,数 量 的 に は 表 す 。

例 題2・3静 1800Jを

止 し て い る 物 体 に 熱 量4100Jを

与 え た ら,外 部 に 対 し て 仕 事

な し た。 物 体 の 内 部 エ ネ ル ギー の 増加 は い くらか 。

 〔 考 え方 〕 静 止 した 物 体 に 与 え ら れ た熱 量 は,内 部 エ ネ ル ギ ー と し て 蓄 え ら れ る と 同 時 に 外 部 に 対 して 仕 事 をす る。 し た が っ て,外

部 に 対 して な し た仕 事 以 外 は 内 部 エ

ネ ル ギ ー の 増 加 と な る。 〔解 〕

式(2・5)を

U2-U1=Q-W

変 形 し,Q=4100J, 

W=1800Jを

入れ ると

=4100-1800 =2300〔J〕=2

例 題2・4静

止 し た 物 体 を 加 熱 し た ら,内 部 エ ネ ル ギ ー が2.4kJ増

に 外 部 に 対 し て1.1kJの 〔 考 え方 〕 例 題2・3と 〔解 〕

.3〔kJ〕

式(2・5)か

加 し,同 時

仕 事 を した とい う。 こ の と きの加 熱 量 は い くらか 。 同 様 に 式(2・5)に

らU2-U1=2.4kJ, 

よ っ て 解 く。 W=1.1kJを

入 れ て

Q=U2-U1+W =2

2・4定

.4+1.1=3.5〔kJ〕

常 流 れ を行 う流 体 に対 す る一般 エ ネル ギ ー式

管 路 を定 常 流 れ す る流 体 の エ ネ ル ギー に つ い て 考 え て み よ う。 〔 参 考 〕 管 路 … 流体 を流 す場 合,そ れ を導 く管 や その 系 統 を管 路 とい う。   定 常 流 … 管 路 を流体 が 流 れ る場 合,任 度,方

意 の 場 所 で 流 れ の 状 態(圧 力,速

向 な ど)が 時 間 に よ って 変 化 の な い 常 に一 定 な流 れ を定 常 流 とい う。

こ れ に 対 して 時 間 に よ っ て変 化 す る流 れ は 非 定 常 流 とい う。   流 体 が 図2・1の よ う な 管 路 を 定 常 流 れ し て い る場 合,そ

の 質 量 流 量 をqm

〔㎏/s〕 とす れ ば,流 量 は 時 間 的 に変 化 し な いか ら,管 路 の 断 面 の ど こ で も一 定 で あ る。 しか し,任 意 の 一 つ の 断 面 の 流 速 を み る と,図2・2の

図2・1

図2・2

よ う に管 の 中 央

部 分 が 最 も大 き く,管 壁 に近 づ くと次 第 に小 さ くな り,管 壁 で は きわ め て 小 さ くな るの で,流 速 は そ れ ぞ れ の 断 面 の 平 均 流 速 を とっ て考 え る。   図2・1に

示 す よ う に 管 路 の 断 面 Ⅰお よ び 断 面 Ⅱ に お け る 断 面 積 をA1お

A2〔 ㎡ 〕,平 均 流 速 をc1お 体 の 体 積 は 毎 秒A1c1お

よ びc2〔m/s〕

よ びA2c2〔m3/s〕

とす れ ば,こ

れ らの 断 面 を通 過 す る流

と な る 。 こ の と き,断 面 Ⅰお よ び Ⅱ を

通 過 す る 流 体 の 比 容 積 を υ1お よ び υ2〔m3/㎏ 〕 と す れ ば,次 (equation  of continuity)が

よび

の流れの連 続の 式

成 り立 つ こ と に な る 。

(2・6)

  流体 が 管 路 を定 常 流 れ す る場 合,そ

の 任 意 の 断 面 を 流体 と と もに 単位 時 間 に

通 過 す るエ ネ ル ギー につ い て 考 え て み よ う。 断 面 を流 体 と と も に通 過 す る エ ネ ル ギー は,そ の 断 面 の管 の 中心 を基 準 にす れ ば位 置 エ ネ ル ギー は ０と して よい の で,流 体 の もつ 内部 エ ネ ル ギー と運 動 エ ネ ル ギー とに な るが,そ

れだけ では

な い 。 断 面 を流 体 が 通 過 す る に は,そ の 点 の 圧 力 に打 ち勝 って 背 後 か ら押 し込 ま れ る こ とに な るの で,こ の 押 し込 み の 仕 事 に 相 当す るエ ネ ル ギー を もっ て い る 。図2・3(a)に 示 す よ うな水 平 管 路 を,流 体 が 断 面 Ⅰか ら Ⅱ ま で定 常 流 れ す る 場 合,こ れ は 図2・3(b)の よ うに 管 内 に ピ ス トン が あ って,ピ ス トン は 質 量 が な く,管 壁 との 間 に隙 間 も摩 擦 もな く,ピ ス トンの右 側 の圧 力 は ０(完全 真 空)で, 左 側 か ら ピス トン に加 わ る力 と釣 り合 う力 Ｆ で 支 え な が ら,ピ ス トン を断 面 Ⅰか ら Ⅱ まで 移 動 させ た 場 合 と同 じ と 考 えて よ い 。 ピ ス トン を断 面 Ⅰか ら Ⅱ まで 移 動 させ る仕 事 は,断 面 Ⅰか ら Ⅱ の 距 離 を ｌ とす れ ばFlで

(ａ)

あ る。断 面

Ⅰの 断 面 積 を Ａ,圧 力 を ｐ とす れ ば, F=pAで Alは

あ るか らFl=PAlと

な り,

断 面 Ⅰと Ⅱ との 間 の容 積 Ｖ で,

Fl=PAl=pVと

な る。こ れ が 押 し込

(ｂ)

図2・3

み の 仕 事 で あ る 。 し た が っ て,断 通 過 す る エ ネ ル ギ ーE〔J/s〕

面 Ⅰを 定 常 流 れ す る 流 体 と と も に 単 位 時 間 に

は,内 部 エ ネ ル ギ ー と 運 動 エ ネ ル ギ ー と 押 し込 み

の 仕 事 の 相 当 す る エ ネ ル ギ ー の 和 で あ っ て,流 体 の 質 量 流 量 をqm〔 ㎏/s〕,内

部

エ ネ ル ギ ー をU〔J〕,比

qm

の 体 積 をV〔m3〕,比

内 部 エ ネ ル ギ ー をu〔J/㎏

〕,平

容 積 を υ 〔m3/㎏ 〕 と す れ ば ,次

均 流 速 をc〔m/s〕, 

の 式 で 表 さ れ る。

(2・7)

  この よ うに,管

内 を流 れ るエ ネ ル ギー は三 つ の 部 分 か ら成 り立 っ て い る。 そ

の う ち,内 部 エ ネ ル ギー と運 動 エ ネ ル ギー は 流体 に 保 有 され るが,押

し込 み の

仕 事 に 相 当す るエ ネ ル ギー は流 体 自身 に保 有 され る もの で は な く,流 体 が 流 れ る こ とに よ っ て 管 内 を伝 わ る エ ネ ル ギー で あ る。   流 れ て い る 流体 の エ ネ ル ギー を取 り扱 う と きは,内 部 エ ネ ル ギ ーuと 押 し込 み の仕 事pυ は 結 び つ い て 出 て くる の で,こ の 和 を考 え る と便 利 で あ り,こ れ を 単 位 質 量 あ た りで は ｈで 表 して h=u+pυ

〔J/㎏

〕

(2・8)

任 意 の 質 量m〔 ㎏ 〕に対 して は Ｈ で 表 し H=mh=m(u+pυ)=U+pV〔J〕 こ の Ｈ を エ ン タ ル ピ ー(enthalpy)と alpy)と あ り,工

(2・9)

い い, ｈ を 比 エ ン タ ル ピ ー(specific  enth

い う 。 エ ン タ ル ピ ー ｈ はp,υ,uが

状 態 量 で あ る か ら,同

じ く状 態 量 で

業 上 重 要 な状 態 量 の 一 つ で あ る。

〔参 考 〕

エ ン タル ピー に つ い て

  エ ン タ ル ピー は0〔K〕 現 在 の 圧 力p〔Pa〕

の 無 の 状 態(0Kで

一 定 の 下 に,現

は 気 体 の 容 積 は ０に な る)か ら

状 のp〔Pa〕,υ

〔m3〕, T〔K〕

の気体 を

つ く り だ す の に 必 要 な エ ネ ル ギ ー に 相 当 す る 熱 量 と い う こ とが で き ,全 量,熱

含 量,熱

熱

力 学 的 ポ テ ン シ ャル な ど と呼 ば れ た こ と も あ る。

  物 体 の エ ン タ ル ピー はh=u+pυ

で,ｕ は 物 体 に保 有 され るが, pυ は物

体 の 状 態 に よ っ て エ ネ ル ギー と して 同 じで は な い 。 流 体 が 流 れ て い る場 合

は,流 体 と とも に管 内 を伝 わ るが,静

止 して い る場 合 は 異 な る。 例 えば,

容 器 に 入 れ た流 体 を場 所 Ａ か ら場 所 Ｂ に移 して も,流 れ で は な い か らpυ は エ ネ ル ギ ー と して 問題 に な らな い。静 止 して い る物 体 のpυ は,気 体 で は ｐ よ り低 い 圧 力 の 周 囲 に 対 して,あ

る程 度 仕 事 をす る能 力 を持 って い る と

い え る 。 しか し,圧 縮 率 が きわ め て小 さい 液 体 や 固体 で は 仕 事 をす る能 力 が あ る とは い え な い 。   こ の よ うに,エ

ン タル ピー は 流 体,特

に 気 体 が 流 れ て い る場 合 に,重 要

な状 態 量 で あ る。 エ ン タ ル ピー は 内部 エ ネ ル ギー と同 様 に,絶 対 値 は決 め ら れ な いの で,適 当 な基 準 状 態 の 値 を ０ と定 め て,数 量 的 に扱 う。 工 業 上 は絶 対 値 で は な く,エ ン タル ピー の 増 減 した 量 が 問 題 に な る。

  図2・4に 示 す よ うな管 路 を,流 体 が 質 量 流量qm〔 ㎏/s〕 で 断 面 Ⅰ か ら断 面 Ⅱ まで(こ の 間 に機 械 装 置 が あ る と考 えて よ い)定 常 状 態 で 流 れ る 問 に,外 部 か ら 熱 量Q 〔J/s〕を受 取 り,ま た 外 部 に 対 し て 仕 事Wt〔J/s〕

をなす 場合 の エ

ネ ル ギー に つ い て考 え て み よ う。 図2・4

断 面 Ⅰの 基 準 面 か らの 高 さ をZ1 〔m〕 と し,流

入 す る 流 体 の 圧 力,比

流 速 を そ れ ぞ れp1〔Pa〕,υ1〔m3/㎏

容 積,温

度,比

内 部 エ ネ ル ギ ー お よ び平 均

〕,  T1〔K〕, ul〔J/㎏

〕お よ びc1〔m/s〕

る 。 断 面 Ⅱ か ら 流 出 す る 流 体 に つ い て も 同 様 にz2,  p2,υ2,  T2, u2お

とす

よ びC2と

す る 。 摩 擦 そ の 他 の 損 失 は な い も の と す れ ば 断 面 Ⅰお よ び 外 部 か ら 単 位 時 間 に 供 給 され るエ ネ ル ギー は

断 面 Ⅱお よ び外 部 へ 単 位 時 間 に 流 出 す るエ ネ ル ギ ー は

熱 力 学 第 一 法 則 に よ っ て両 者 は等 しい か ら

エ ン タ ル ピー はh=u+pυ

で あ る か ら,そ

れ ぞ れ をh1お

よ びh2と

す れ ば,

(2・10)

  こ の 式 が 定 常 流 れ を行 う流体 に対 す る一 般 エ ネ ル ギ ー 式 で あ る。 こ の 式 は応 用 が 広 い の で そ の例 を考 え て み る。   管 路 が 水 平 か そ れ に 近 く,Zl=Z2と

み なせ る と きは,

(2・11)

さ ら に,c1=c2,Zl 

= Z2と

み な せ る と き は,

Q=Wt+qm(h2-h1)=Wt+H2-H1〔J/s〕

(2・12)

Wt=Q+qm(h1-h2)=Q+H1-H2〔J/s〕

(2・13)

と な り,c1=c2,Zl=Z2と

み な せ る 場 合 は,外 部 か ら の 熱 量 Ｑ は 仕 事 と エ ン タ ル

ピ ー の 増 加 に な り,外 部 へ の 仕 事Wtは こ と を表 して い る。

熱 量 Ｑ と エ ン タ ル ピー を 消 費 し て 行 う

  ま た,外

部 と の 間 に エ ネ ル ギ ー の 授 受 が な い,す

な わ ち Ｑ もWtも

と もに ０

な ら ば,式(2・11)は

(2・14)

流 体 の 単位 質 量 あ た りに す れ ば, (2・15)

と な り,外

部 と の 間 に エ ネ ル ギ ー の 授 受 が な く,位

き る 管 路 の 定 常 流 で は,エ

置 エ ネ ル ギー の 差 が 無 視 で

ン タ ル ピー と運 動 エ ネ ル ギー の 和 が 保 存 さ れ る こ と

を示 し て い る。   こ れ ら の 式 に お け るWtは

例 題2・5図2・1に 100㎜ た,内

工 業 仕 事(technical 

い う。

示 す よ う な管 路 内 を気 体 が 定 常 流 れ して い る。管 の 内 径 が

の 断 面 に お け る 平 均 流 速 が2m/sで 径 が150㎜

損 失 は な く,気

work)と

あ る と き,質 量 流 量 は い く ら か 。ま

の 断 面 に お け る 平 均 流 速 は い く ら か 。 た だ し,摩 体 の 比 容 積 は0.84m3/㎏

一 定 とす る 。

  〔 考 え方 〕 定 常 流 な の で連 続 の 式 が 成 り立 つ か ら,式(2・6)を 平 均 流 速 も求 め る 。 単位 を揃 え る こ と を忘 れ な い 。 〔 解〕   質 量 流 量qmは

d=100㎜=0.1m,υ=0.84 

こ の 課 題 で は,比

m3/㎏

と し て

容 積 一 定 す な わ ち υ1=υ2で あ る か ら,式(2・6)は

A1c1=A2c2 

ゆ え に,平

を代 入 し,

式(2・6)に

均 流 速c2は d12cl=d22c2

,

擦 な どの

使 用 して 質 量 流 量 も

例 題2・6あ kPa,容

る 物 体1㎏

積0.2m3の

が,圧

力98  kPa,容

積0.85  m3の

状 態 に 変 化 し た。 こ の 変 化 で 内部 エ ネ ル ギー に 変 化 が な

か っ た とす れ ば,エ

ン タル ピー の 増 加 は い くらか 。

〔 考 え方 〕 式(2・8)に

よ っ て 変 化 前 後 の エ ン タ ル ピ ー の 差 を求 め れ ば よ い 。

〔 解 〕 変 化 前 後 の 状 態 量 を添 え 字 １と ２をつ け て 表 せ ば,エ 変化 前 のエ ンタル ピー

h1=u1+p1υ1

変化 後 のエ ン タル ピー

h2=u2+p2 

した が っ て,状

状 態 か ら,圧 力480

ン タ ル ピー は

υ2

態 変 化 に よ る エ ン タ ル ピー の 増 加 は

h2-h1=(u2-u1)十(P2υ2-Plυ1) こ の 課 題 で は,u2=u1で

あ る か

p2=480kPa=480×103 

らp1=98 

Pa,υ2=0.2m3を

h2-h1=P2υ2-p1 

入 れ て

.7〔kJ/㎏

〕

力 の 単 位 を 〔kPa〕 の ま ま で

h2-h1=480×0.2-98×0.85=12.7〔kJ/㎏

〕

る蒸 気 ター ビ ンが 毎 時600㎏

の 蒸 気 の 供 給 を受 け て動 力 を発 生

し て い る。 蒸 気 の 比 エ ン タ ル ピ ー が 入 り 口 で は3367kJ/㎏,出 ㎏

.85  m3,

.2-98×103×O.85

=12700〔J/㎏)=12

例 題2・7あ

Pa,υ1=0

v1

=480×103×O

あ る い は,圧

kPa=98×103 

口 で は2803  kJ/

で あ る 時,発 生 す る 動 力 は い く ら か 。た だ し,入 り 口 と 出 口 の 運 動 エ ネ ル ギ ー

の 差 は 無 視 し,外

部 へ の 熱 損 失 は な い もの とす る。

  〔 考 え方 〕 蒸 気 は タ ー ビ ン 内 を定 常 流 れ す る と して 解 く。 こ の 課 題 はCl = C2で,外 部 か らの 供 給 熱 量Q=0と 〔解 〕

式(2・12)を

し て よ い か ら,式(2・12)に

変 形 し て,hl  =3367  kJ/㎏, 

よ っ て 計 算 す る。

h2=2803 

kJ/㎏

を いれて 計算 す る。

Wt=qm(hl-h2) =600(3367-2803)=338400〔kJ/h〕=94〔kW〕

2・5

可逆変化 と可逆サ イクル

物 体 に 熱 を加 え る と,内 部 エ ネ ル ギー が 増 加 し,膨 張 して外 部 に対 して 仕 事

をす る 。この 膨 張 は 固体 や 液体 よ り気 体 の 方 が 大 き い。ま た,気 体 は 圧 力 に よ っ て も容 積 が 大 き く変 化 す る。 工 業 上 で は 気 体 を膨 張 させ て仕 事 を させ る こ とが 多 い。   気 体 の 膨 張 に よ る仕 事 は,膨 張 の仕 方,い い か え れ ば 状 態 の変 化 の 方 法 に よ っ て 変 わ る。 こ こで は理 想 的 な 可 逆 変 化 と その と きの 仕 事 につ い て考 え る。   可 逆 変 化(reversible change)は,力

学 的 に も熱 的 に も常 に平 衡 を保 ち な が ら

無 限 に ゆ るや か に 進 め られ る状 態 変 化 で,こ

れ は 途 中か ら逆 の 方 向 に 同 じ よ う

に 平 衡 状 態 を保 って 行 う と完 全 に 元 の状 態 に 戻 す こ とが で き,周 囲 に 全 く何 の 変 化 を残 す こ とが な い。 た と えば,気 体 の 可 逆 変 化 に お い て は,気 体 の あ らゆ る部 分 の 速 度 が き わ め て遅 く ０で あ る と と もに 同 一 の 温 度 と同 一 の 圧 力 で あ り,他 の 物 体 と熱 交 換 を行 う と きは 両 者 の 温 度 が 同 じで な け れ ば な ら な い。 こ の よ う な変 化 は理 想 的 に 考 え られ るが,実

際 に は 不 可 能 な こ とで あ り,自 然 界

に 起 こ る 変 化 は す べ て 不 可 逆 変 化(ir reversible  change)で   図2・5に

あ る。

示 す よ う に,シ

リン ダ内 に気 体

を封 入 して 可 逆 変 化 させ る。 ピス トン は シ リン ダ との 間 に 漏 れ も摩 擦 もな い もの とす る 。 シ リ ン ダ 内 の 圧 力 を ｐ,断 面 積 を Ａ と す れ ば,ピ

ス トン 面 に 働 く力 はpAで

あ り,

図2・5

ピ ス トンの 右 側 に これ と釣 り合 う力 Ｆ を作 用 させ て,ピ ス トン を無 限 に緩 や か に(無

限 に 時 間 をか け て)平 衡 状 態 を保 っ た ま ま移 動 させ る と,こ れ は可 逆 変

化 と考 え て よ い°膨 張 の 場 合 は,ピ ス トン の 微 小 移 動 距 離 をdx,そ リン ダー 内 の 容 積 の微 小 増 加 をdVと 事dWは

れ によ るシ

す れ ば,気 体 の 可 逆 膨 張 に よ る微 小 な仕

次 の 式 に よ っ て表 さ れ る。 dW=Fdx=pAdx=pdV

(2・16)

こ の 式 は圧 縮 の 場 合 も成 り立 つ が,容 積 が 減 少 す る の でdWは こ の 仕 事dWは

絶 対 仕 事(absolute  work)と

負 の値 に あ る。

い い,工 業 仕 事 と区 別 す る。

  しか し,不 可 逆 変 化 の場 合 に は,例 え ば膨 張 で は圧 力 ｐ の低 下 を伴 うの で,

仕 事 は 減 少 して,次

の 式 に な る。

dWQ1'ま (Q1'-Q1)を

サ イクル Ｂ よ り熱 効 率 が 低 暢

た は(Q1'-Q1)Q1と

と,低

熱 源 か ら 熱 量(Q2'-Q2)が

Q1)が

高 熱 源 に 入 る こ と に な る 。 こ れ は 外 部 か ら何 の 作 用 も な し に 熱 が 低 熱 源

か ら 高 熱 源 に 移 っ た こ と に な り,熱

な っ て,熱

す る 量(Q1'-

力 学 第 二 法 則 に 反 す る の でQ2'>Q2に

な る

こ と は な い 。ま た 逆 に Ａ を 熱 ポ ン プ,Ｂ を 熱 機 関 と し て Ｂ で Ａ を 運 転 す る 場 合 を 考 え て も,同

様 にQ2>Q2'あ

Q1'お よ びQ2=Q'2で るA,B両

る い はQ1>Q1'と

あ り, Q2/Q1=Q2'/Q1'と

な る こ と は な い 。 ゆ え にQ1= な る 。 す な わ ち,動

カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 等 し い 。 し た が っ て,温

作 流体 の 異 な 度T1,T2の

高

低 両 熱 源 の 間 に 作 用 す る カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 は 動 作 流 体 に 無 関 係 で あ り,動

作 流 体 の 如 何 に か か わ ら ず,常

例 題4・1  高 熱 源 温 度800K,低

に 式(4・5)で

表 さ れ る。

熱 源 温 度300 Kの 間 に作 用 す る カ ル ノー サ イ

ク ル機 関 の 熱 効 率 お よ び放 熱 量 と受 熱 量 の 比 を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 熱 効 率 は 式(4・5)か ら求 め る。放 熱 量 と受 熱 量 との 比 も同 じ式 か らQ2/Q 1= T2 /T1で

求 め られ る 。

〔解 〕  T1=800K, 

ηc=1-T2/T

T2=300 

Kで

1=1-300/800=0.625

放 熱量 と受 熱 量の 比は

あ る か ら 熱 効 率 ηcは 式(4・5)で

62.5%

37.5%

例 題4・2 

高 熱 源 温 度920K,低

機 関 の 熱 効 率 を求 め よ。 また,こ の 供 給 熱 量 が25kJで

熱 源 温 度288 Kの

間 で働 くカ ル ノー サ イ ク ル

の カ ル ノー サ イ ク ル機 関 の １サ イ クル あ た り

あ る とす れ ば,１ サ イ クル あ た りの 正 味 仕 事 は い く らか 。

〔 考 え 方 〕 熱 効 率 ηｃは 式(4・5)で

求 め られ る。 正 味 仕 事 も ηcがわ か れ ば 式(4・2)

で 計 算 で き る。 〔解 〕 

T1=920K, 

T2=288 

Kで

あ る か ら 熱 効 率 ηcは 式(4・5)で

68．7%

正 味 仕 事 はQ1=25kJで

あ る か ら,式(4・2)に

W=Q1ηc=25×0.687=17

よ って

.18〔kJ〕

熱力学温度

4・3

可 逆 カ ル ノー サ イ ク ル の 熱効 率 は 前 節 で 説 明 した よ うに,高 熱 源 の 温 度T1, 低 熱 源 の 温 度T2の

と き次 の 式 で 表 さ れ,動 作 流 体 の 種 類 に 関 係 な く高 低 両 熱

源 の 温 度 だ け で定 ま る。

した が っ て

上 の ３式 は,高 低 両 熱 源 の 温 度 Ｔ1お よ びT2と

受 熱 量Q1お

との 関 係 を示 し,こ れ に よれ ば Ｔ1を 基 準 と してQ1とQ2を

よ び 放 熱 量Q2

測 定 す れ ばT2が

決 め られ る こ とに な る。 この よ うに して 定 義 さ れ た 温度 Ｔ が 熱 力 学 温 度 で あ り,絶対 温 度 あ る い は ケ ル ビ ン 温 度 と も呼 ば れ る。 上 式 の T1お

よ びT2は

熱 力 学 温 度 で あ る。

  熱 力 学 温 度 の 目盛 を 決 め る に は,図4・5の よ う に 熱 力 学 温 度T1,T2,T3,…

の 等 温 線 と,

こ れ に 交 わ る ２本 の 断 熱 線A,Bを

か き,相

接 す る カ ル ノ ー サ イ ク ル1243,3465,5687, … … を 考 え る 。 等 温 変 化12,34,56,…

図4・5

… に

お い て 出 入 す る 熱 量 をQ1,Q2,Q3,…

… と し,各

仕 事 をW1,W2,W3,…

ル ノー サ イ ク ル 機 関 の 熱 効 率 の 式(4・5)

と す れ ば,カ

カ ル ノー サ イ クル の 外 部 へ の

から

W1=Q1-Q2=面

積1243,W2=Q2-Q3=面

し た が っ て,W1=W2=Ｗ3=…

積3465で

あ るか ら

… す な わ ち 面 積1243=面

積3465=面

積5687

に な る よ うに各 等 温 線 をひ け ば T1-T2=T2-T3=……

とな り,各 温 度 差 を等 し くす る こ とが で き,こ れ を温 度 の 目盛 とす る こ とが で き る。 この 温 度 目盛 は選 ぶ 仕 事 の大 き さ に よ っ て 異 な る が,例

え ば純 水 の 氷 点

と蒸 気 点 に 対 応 す る温 度 の 間 を100等 分 す れ ば,こ の ２定 点 の 温 度 差 は100度 に な る。 この よ うに 考 え て 熱 力 学 温 度 目盛 は定 め られ た。   カ ル ノー サ イ クル の 熱 効 率 は 動 作 流体 の 種 類 に 無 関 係 で あ るか ら,熱 力 学 温 度 も温 度 計 の 種 類 や 構 造 に 無 関 係 に定 義 され た絶 対 性 を もつ 温 度 で あ る。 カ ル ノー サ イ クル は実 現 で きな い が,熱

力 学 温 度 は理 想 気 体 に よ る気 体 温度 計 の 温

度 と一 致 す る こ とは 証 明 で き る。 理 想 気体 温 度 計 も実 現 で き な い が,実 際 の水

素 や 窒 素 の気 体 温度 計 の 読 み を補 正 す る こ とに よ っ て代 用 す る こ とが で き る。   カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 式(4・5)で り,絶 対 零 度 に な れ ば ηc=1に る が,こ

低 熱 源 の 温 度T2を

下 げ れ ば 高 くな

な る 。さ ら に 下 げ れ ば １ よ り大 き く な る こ と に な

れ は 加 え た 熱 量 よ り大 き な 仕 事 が で き る こ と に な り,熱

に 反 す る の で あ り え な い 。 こ の こ と は 絶 対 温度 ０ 〔Ｋ〕(-273.15℃)が 温 度 で あ り,こ の 温 度T2を

力学 第 一 法 則 最低 限 の

れ よ り低 い 温 度 は 存 在 し な い こ と を 示 し て い る 。 な お,低

絶 対 零 度 に す る こ と は で き な い の で,ηc=1に

熱源

な る こ と は な く,カ

ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 は 必 ず １ よ り小 さ い 。

4・4

可 逆 カ ル ノ ー サ イ ク ル の 熱 効 率 の 式(4・5)を

エ ン トロ ピ ー

変 形 す る と次 の よ うに な る。

または   こ れ ま で は 動 作 流体 が 受 取 っ た熱 量 と放 出 した 熱 量 に 適 当 に正 負 の 符 号 をつ け て 取 り扱 って きた が,こ こ で は熱 量 Ｑ に 対 して受 熱 は正,放 熱 は 負 と し,そ の 符 号 が Ｑ 自身 の 中 に含 まれ る もの とす れ ば,上

式 は 次 の よ うに 表 さ れ る。

(4・8)

  一 般 に 可 逆 サ イ ク ル は 図4・6のpV線 図 に示 す よ うに 無 数 の 小 さ い カ ル ノー サ イ クル の 集 合 とみ な す こ とが で き る。 い ま一 つ の 小 カ ル ノー サ イ ク ル が 温 度T1の

高熱

源 か ら熱 量dQ1を

低熱

源 に 熱 量dQ2を (4・8)と

受 取 り,温 度T2の

放 熱 す る もの とす れ ば,式

同 様 に 次 の 式 に な る。

図4・6任

意 の可 逆 サ イ クル

この 小 サ イ クル を寄 せ 集 め た 全 サ イ クル に 対 して は 次 の 式 で 表 さ れ ΣdQ/T=0

(4・9)

これ を積 分 の 形 で表 し,全 サ イ クル に対 す る積 分 を ∮ で表 す と,次 の 式 に な る 。

dQ

∮ /T=0

(4・10)

こ の 積 分 を 可 逆 サ イ ク ル に 対 す る ク ラ ウ ジ ウ ス の 積 分(Clausius'integral)と い

う 。

不 可 逆 サ イ クル の 場 合 に はQ1/T1-Q2/ T2