1
Маневич Виктор Борисович «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» Краткое содержание. Первая глава книг...
17 downloads
395 Views
6MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
1
Маневич Виктор Борисович «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» Краткое содержание. Первая глава книги содержит элементы теории множеств, используемые в последующих главах. Определяются частично упорядоченные, направленные, совершенно упорядоченные и вполне упорядоченные множества. Изучаются бинарные отношения, функции (отображения), обратимые функции. Определяются понятие группы, суперпозиции отображений, группы преобразований множества. Приводятся некоторые сведения о кардинальных числах множеств, а также несколько необходимых для дальнейшего изложения различных форм аксиомы выбора. В упражнениях к первой главе приводится элементарная теория конечных групп (подгруппы, смежные классы, разложения группы по подгруппе, сопряженные элементы и подгруппы, нормальные делители группы, нормализаторы, дополнительные группы, простые группы, максимальные нормальные делители, композиционные ряды, теорема Жордана-Гельдера, циклические и разрешимые группы, группы подстановок). Часть первой главы и вторая глава книги посвящены изучению понятия числа. Большинство учебников по математическому анализу начинаются с изложения теории действительных чисел. Учитывая, что книга Э.Ландау «Основы анализа» стала библиографической редкостью, автор счел необходимым привести построение множества натуральных чисел на основе несколько модифицированной системы аксиом Пеано. Далее, достаточно подробно изучаются системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Определяются элементарные функции комплексной переменной. В упражнениях ко второй главе изучаются многочлены с действительными коэффициентами как функции действительной переменной. На множестве многочленов определяется оператор дифференцирования и приводится доказательство формулы Тейлора для многочленов. Определяются понятия точек экстремума и приводятся доказательства теорем, позволяющих находить точки экстремума многочленов и рациональных функций. Доказывается теорема об обращении в нуль в интервале (a, b) многочлена, принимающего на концах отрезка [a, b] значения разных знаков. Приводится доказательство формулы Лейбница для нахождения n-ой производной произведения двух многочленов. Для многочленов доказываются теоремы Ролля и Лагранжа. Приводится алгоритм выделения кратных корней многочленов. Определяются функции Штурма и приводится доказательство теоремы Штурма о количестве действительных корней многочлена (не имеющего кратных корней) в любом заданном интервале. Определяются понятия результанта двух
2
многочленов и дискриминанта многочлена и выясняется смысл этих понятий. Приводятся решения уравнений 3-ей и 4-ой степеней с произвольными комплексными коэффициентами. Далее, в упражнениях ко второй главе изучаются векторные пространства (над полем действительных или комплексных чисел) в объеме, достаточном для активного усвоения в последующем теории локально выпуклых топологических векторных пространств (базисы; размерность пространства; пространства со скалярным произведением; плоские множества и плоские оболочки множеств; выпуклые множества и выпуклые оболочки множеств; уравновешенные, абсолютно выпуклые множества и абсолютно выпуклые оболочки множеств, поглощающие множества; гиперплоскости, подпространства и гиперподпространства, фактор-пространства; алгебраически сопряженное пространство; дуальные базисы; ортогональные множества в данном векторном пространстве и в алгебраически сопряженном пространстве; линейные операторы, действующие из одного векторного пространства в другое и двойственные операторы; преднорма и норма на векторном пространстве, нормированные пространства; калибровочная функция абсолютно выпуклого поглощающего множества; ядро множества в векторном пространстве; ограниченные линейные операторы и ограниченные линейные функционалы; собственные векторы и собственные значения линейного оператора, действующего в пространстве Rn всех n-членных последовательностей действительных чисел; ортогональные операторы; ранг оператора). В упражнениях ко второй главе также изучаются системы линейных уравнений (главный и характеристические определители системы; теоремы Крамера, Руше, Кронекера-Капелли) и квадратичные формы (приводимые и неприводимые формы; дискриминант формы; ортогональные инварианты; приведение квадратичной формы к каноническому виду; закон инерции квадратичных форм; критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Наконец, в упражнениях ко второй главе изучаются симметрические и элементарные симметрические функции нескольких переменных. В третьей главе книги приводятся элементы теории отделимых топологических (и, в частности, метрических) пространств: открытые и замкнутые множества; окрестности точек; внутренние, внешние, граничные точки множеств; точки прикосновения множеств; замыкание множества; всюду плотные и нигде не плотные множества; индуцированные топологии; непрерывные отображения одного топологического пространства в другое; гомеоморфизмы; естественная топология в любом нормированном векторном пространстве (в частности,в пространстве R всех действительных чисел и в пространстве С всех комплексных чисел); открытые покрытия множеств и компактные множества; теорема о непустом пересечении последовательности непустых компактных множеств, вложенных друг в друга; критерий компактности
3
множества в Rn или в С; компактность образа компактного множества при непрерывном отображении одного топологического пространства в другое; теорема о гомеоморфности непрерывного обратимого отображения компактного топологического пространства на другое топологическое пространство; сходимость в топологическом пространстве; фильтры и базисы фильтров; ультрафильтры; критерии компактности множества в топологическом пространстве; метрические пространства; естественная топология в метрическом пространстве; метризуемые топологические пространства; ограниченные множества в метрическом пространстве; диаметр ограниченного множества; сепарабельные метрические пространства; база топологического пространства; теорема о наличии счетной базы у всякого сепарабельного метрического пространства; критерий компактности бесконечного множества в метрическом пространстве; связные множества в метрическом пространстве; критерий связности множества в метрическом пространстве; компоненты связности множества; теорема о структуре всякого открытого множества в пространстве R всех действительных чисел; теорема о связности образа связного метрического пространства при непрерывном отображении его в другое метрическое пространство; теорема о равномерной непрерывности непрерывного отображения компактного метрического пространства в другое метрическое пространство; расстояние между двумя непересекающимися множествами в метрическом пространстве, одно из которых компактно, а другое-замкнуто; свойство нормальности метрического пространства; частичные пределы последовательности элементов метрического пространства; замкнутость множества частичных пределов последовательности; верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел; фундаментальные последовательности элементов метрического пространства; полные метрические пространства; полнота пространства Rn (n≥1); теорема Бэра о непустоте пересечения счетного семейства открытых множеств, всюду плотных в полном метрическом пространстве; множества первой и второй категории в произвольном топологическом пространстве. Заключительная часть третьей главы посвящена изучению понятия предела вещественной функции, заданной на промежутке пространства R, и классификации ее точек разрыва ( правосторонний и левосторонний пределы функции; бесконечные пределы и пределы в бесконечности; точки разрыва функции; принцип сходимости; предел монотонной функции; множество точек разрыва монотонной функции; непрерывность монотонной функции в случае связности ее множества значений). В упражнениях к третьей главе приводятся доказательства непрерывности элементарных вещественных функций вещественной переменной и элементарных функций комплексной переменной. Определяется понятие колебания ограниченной вещественной функции в точке и приводится доказательство критерия непрерывности функции в точке. Далее, изучаются ряды с произвольными комплексными (в
4
частности,-действительными) членами (критерий сходимости; необходимое условие сходимости; абсолютная и неабсолютная сходимость; критерий сходимости положительного ряда с монотонно убывающими членами; признаки Коши и Даламбера; знакопеременные ряды и теорема Лейбница; признаки сходимости Дирихле и Абеля; переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов; произведение абсолютно сходящихся рядов; теорема Мертенса; степенные ряды; круг и радиус сходимости степенного ряда). В заключительных упражнениях к третьей главе приводятся доказательства ряда теорем о непрерывном продолжении непрерывной функции, заданной на подмножестве пространства R, на все R. Четвертая глава книги посвящена дифференцированию функций одной вещественной или комплексной переменной. После выяснения простейших свойств производной, приводится вывод формул дифференцирования элементарных функций вещественной переменной, а также формул дифференцирования обратной функции и сложной функции. Приводятся доказательства теорем Ферма, Ролля, Дарбу, вывод формул Лагранжа и Коши, обоснование правила Лопиталя, вывод формулы Тейлора с дополнительным членом в форме Шлемильха и Роша. Приводятся доказательства теорем, содержащих критерии постоянства, возрастания и убывания вещественной функции вещественной переменной, а также обоснования правил нахождения точек экстремума функции. Приводятся разложения элементарных функций вещественной переменной в степенные ряды. Определяется понятие производной для комплекснозначных и векторнозначных функций, определенных на промежутке пространства R. После выяснения простейших свойств производной приводится доказательство неравенства, являющегося аналогом формулы Лагранжа для комплекснозначных и векторнозначных функций вещественной переменной. Для комплексных функций комплексной переменной приводятся доказательства теорем о дифференцируемости обратной функции и сложной функции. Приводится вывод формул дифференцирования элементарных функций комплексной переменной и разложений их в степенные ряды. Определяются понятия области (односвязной и многосвязной), замкнутой области, ломаной в пространстве С всех комплексных чисел и приводится критерий связности открытого множества в С. В упражнениях к четвертой главе обосновывается условие, при котором к комплекснозначным функциям вещественной переменной применимо правило Лопиталя. Далее, приводится доказательство существования бесконечно дифференцируемой вещественной функции с наперед заданным множество нулей, являющимся любым непустым замкнутым множеством в пространстве R. Приводятся доказательства неравенств Коши-Гельдера и Минковского для любых двух n-членных наборов положительных чисел.
5
Приводится доказательство формулы Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано. Определяется понятие выпуклой функции (снизу или сверху) и приводятся доказательства ряда свойств выпуклых функций. В пятой главе книги изучаются двойные ряды и бесконечные произведения, составленные из произвольных комплексных чисел, а также функциональные последовательности и ряды (сходимость двойного ряда; сходимость повторного ряда; двойные и повторные ряды с неотрицательными членами; абсолютно сходящиеся двойные ряды; переместительное свойство абсолютно сходящегося двойного ряда; двойные ряды, получающиеся в результате переменожения двух простых рядов; производящая функция для бесселевых функций; сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения; критерий сходимости бесконечного произведения; абсолютно сходящиеся бесконечные произведения; критерий абсолютной сходимости; достаточное условие неабсолютной сходимости бесконечного произведения с действительными множителями; бесконечные произведения, расходящиеся к нулю; разложение в бесконечное произведение функций sin и cos; формулы Валиса и Стирлинга; гамма-функция и некоторые ее свойства; формулы дополнения, Вейерштрасса, Лежандра для гамма-функции; поточечная и равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда; критерий равномерной сходимости; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда; признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости некоторых функциональных рядов; теорема о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся функциональном ряде; теорема Дини; равномерная сходимость степенного ряда в любом замкнутом круге, лежащем внутри круга сходимости; непрерывность и дифференцируемость суммы степенного ряда внутри круга сходимости; теорема о почленном дифференцировании функционального ряда; разложение функций tgx, ctgx,
1 sin x
на
простейшие дроби; логарифмическая производная гамма-функции; возвышение в степень и деление степенных рядов; подстановка ряда в ряд; числа Бернулли и разложение в степенные ряды функций tgz и zctgz; теорема об обращении степенного ряда; производящая функция для многочленов Лежандра). В упражнениях к пятой главе приводится пример нигде не дифференцируемой непрерывной функции и доказательство теоремы об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Далее, в упражнениях изучаются равностепенно непрерывные семейства функций (теорема о равностепенной непрерывности последовательности непрерывных функций, равномерно сходящейся на компактном множестве метрического пространства; теорема о существовании равномерно сходящейся подпоследовательности у
6
равностепенно непрерывной и поточечно ограниченной последовательности функций, определенных на компактном множестве метрического пространства). Определяются равномерно замкнутые множества функций, равномерные замыкания, алгебры функций и приводятся некоторые их свойства. Приводится доказательство теоремы Стоуна, обобщающей теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции, заданной на отрезке, многочленами. В упражнениях к пятой главе изучаются также функции ограниченной вариации. Шестая глава книги посвящена интегрированию вещественных, комплекснозначных и векторнозначных (со значениями в Rn) функций одной вещественной переменной. Приводятся определение и доказательства некоторых свойств интеграла от непрерывной функции комплексной переменной вдоль спрямляемой кривой. b
Понятие
интеграла
Римана-Стильтьеса
fdg ,
определяемого
a
сначала для неубывающей функции g (и ограниченной вещественной функции f), распространяется затем на случай, когда f непрерывна, а gфункция ограниченной вариации или обе функции f и g имеют ограниченную вариацию на отрезке [a, b] , причем g непрерывна. Приводятся доказательства теоремы о среднем и формулы интегрирования по частям. Далее, понятие интеграла (Римана-Стильтьеса) распространяется на случай, когда обе функции f и g-комплекснозначные, причем f непрерывна, а g-функция ограниченной вариации или обе функции f и g-ограниченной вариации на отрезке [a, b] , причем функция g-непрерывна. Приводятся доказательства теорем об оценке модуля такого интеграла и о справедливости формулы интегрирования по частям. b
Для интеграла Римана
fdõ (рассматриваемого как частный случай a
интеграла Римана-Стильтьеса) приводится доказательство критерия интегрируемости функции f (предварительно определяется понятие множества меры 0). Приводятся доказательства основных теорем и формул (теоремы о среднем, формулы Бонне, формула Ньютона-Лейбница, формула интегрирования по частям, формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла). Приводятся доказательства теорем о замене переменной в интеграле Римана. Определяется интеграл Римана от комплекснозначной и векторнозначной функции вещественной переменной и приводятся доказательства основных свойств интеграла. Приводятся определения кривой (как непрерывного отображения отрезка a t b в комплексную плоскость), простой дуги, простой замкнутой кривой, спрямляемой кривой, гладкой и кусочно-гладкой кривой. Приводятся доказательства теорем о спрямляемости гладкой и кусочно-
7
гладкой кривой. Определяется понятие интеграла
f ( z )dz ,
где γ-
спрямляемая кривая в комплексной плоскости, а f-комплекснозначная функция, определенная и непрерывная на множестве значений кривой γ. Приводятся доказательства основных свойств интеграла и примеры его вычисления. Определяется понятие направления, задаваемого простой дугой (простой замкнутой кривой) на множестве ее значений в комплексной плоскости. Далее, в шестой главе продолжается изучение полиномов Лежандра (ортогональность полиномов Лежандра, интегральное представление полиномов Хn (cos θ)). Приводятся доказательства теоремы о почленном интегрировании равномерно сходящихся рядов и теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. В шестой главе изучаются несобственные интегралы от неограниченных функций, заданных на конечном промежутке, а также несобственные интегралы по бесконечному промежутку (критерии сходимости, признаки сходимости, вычисление с помошью первообразной, элементарные свойства, теоремы о среднем, интегрирование по частям, замена переменной в несобственном интеграле, главные значения несобственных интегралов). Приводятся вычисления интегралов Эйлера и Эйлера-Пуассона, а также доказательства формул для вычисления интегралов Фруллани и интегралов от рациональных функций между бесконечными пределами. Приводятся доказательства теорем о предельном переходе под знаком несобственного интеграла и примеры их применения. Заключительная часть шестой главы посвящена элементам теории меры и лебеговского интегрирования. Определяются понятия кольца и σкольца множеств, аддитивных и счетно-аддитивных функций множеств и приводятся доказательства основных свойств этих функций. Определяются понятия пространства с мерой и измеримого пространства. Изучаются меры Лебега и Лебега-Стильтьеса на вещественной прямой (наделенной естественной топологией) и мера Лебега в пространстве Rn. Определяется понятие измеримой функции, заданной на измеримом пространстве и приводятся доказательства основных свойств измеримых функций. Определяется понятие интеграла Лебега от неотрицательной неизмеримой функции по измеримомму множеству и понятие суммируемой функции. Приводятся доказательства простейших свойств интеграла и ряда основных свойств (суммируемость измеримой функции, ограниченной на измеримом множестве конечной меры, счетная аддитивность интеграла от неотрицательной измеримой функции, теорема Лебега о монотонной сходимости, лемма Фату, теорема Лебега об ограниченной сходимости). Приводится доказательство теоремы о суммируемости функции, абсолютно интегрируемой по Риману (в собственном или несобственном смысле) на конечном или бесконечном промежутке, и равенство ее
8
интегралов Римана и Лебега. Завершается шестая глава распространенением теории интегрирования Лебега на комплекснозначные функции. В упражнениях к шестой главе приводится элементарная теория тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье относительно любой последовательности функций, ортонормированной по заданной весовой функции на заданном конечном или бесконечном промежутке. Приводятся доказательства некоторых свойств ортогональных полиномов (в том числе-полиномов Лежандра, Лаггера, Чебышева, Эрмита). Определяются двойной интеграл Фурье абсолютно интегрируемой в промежутке (-∞,∞) функции f, преобразование Фурье и приводится доказательство формулы обращения преобразования Фурье (при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на функцию f). Изучается равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра, возможность предельного перехода под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра, и приводятся доказательства ряда теорем о равенстве повторных интегралов от функций двух переменных. Приводится доказательство абсолютной непрерывности интеграла Лебега от суммируемой функции. Определяется понятие существенно ограниченной измеримой функции (или в существенном ограниченной измеримой функции) и понятие существенной верхней грани модуля функции (vraisup|f|). Приводится доказательство существования существенного супремума функции |f|. Определяется понятие почти равномерной сходимости и приводится доказательство теоремы Егорова о почти равномерной сходимости последовательности измеримых функций, сходящейся почти всюду на множестве конечной меры. Определяется понятие сходимости по мере и приводится доказательство сходимости по мере последовательности измеримых функций, сходящейся почти всюду на множестве конечной меры. Определяется понятие фундаментальной в смысле сходимости по мере последовательности измеримых функций и приводится доказательство теоремы Рисса о наличии у последовательности, фундаментальной по мере, подпоследовательности, сходящейся почти всюду. Приводится доказательство теоремы о сходимости по мере (к некоторой измеримой функции) последовательности измеримых функций, фундаментальной по мере на измеримом множестве конечной меры. Приводятся доказательства частного случая теоремы Лузина и ряда других теорем. Определяются функциональные пространства Lp(μ) (рассматриваются значения р≥1) и приводятся доказательства неравенств Гельдера и Минковского (в случае р>1), а также полноты пространств Lp(μ).
9
Рассматриваются ортонормированные последовательности 2 вещественных функций класса L (μ) и ряды Фурье функций указанного класса относительно той или иной ортонормированной последовательности. Определяется понятие полной ортонормированной последовательности функций класса L2(μ). Приводится доказательство теоремы Рисса-Фишера, из которой выводится критерий полноты ортонормированной последовательности и разложимость всякой функции класса L2(μ) в ряд Фурье по любой полной ортонормированной последовательности (сходимость ряда понимается как сильная сходимость в пространстве L2(μ)). Седьмая глава книги посвящена дифференцированию и интегирированию (в смысле Римана) функций нескольких вещественных переменных. Определяются понятия дифференцируемого отображения f:G→Rm, где G-открытое множество в Rn, его полной производной (дифференциала) как линейного оператора из Rn в Rm и матрицы Якоби отображения f. Дифференцируемость вещественной функции n переменных рассматривается как частный случай дифференцируемости отображения f:Rn→Rm при m=1. Приводится доказательство дифференцируемости суперпозици двух дифференцируемых отображений. Определяется понятие частной производной вещественной функции по той или иной переменной и устанавливается связь между дифференцируемостью отображения f:G→Rm и дифференцируемостью его компонент. Определяется понятие непрерывной дифференцируемости m n отображения f:G→R (GR ) и приводится доказательство критерия непрерывной дифференцируемости. Для вещественной функции, дифференцируемой в какой-либо точке х, определяется понятие производной (в точке х) по любому направлению, а также понятие градиента функции в точке х. Определяются понятия частных производных второго и более высоких порядков и приводится доказательство теоремы о независимости значений любой к-ой смешанной производной от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования, если все частные производные до к-го порядка включительно непрерывны в окрестности рассматриваемой точки. Приводится доказательство формулы Тейлора для приращения вещественной функции нескольких переменных. Определяются понятия точек экстремума вещественной функции нескольких переменных и приводится доказательство достаточного условия существования экстремума. Приводятся доказательства теорем об обратимых отображениях и неявных функциях и примеры их применения, а также доказательства ряда теорем о дифференцировани интегралов, зависящих от параметра (и примеры их применения). Интеграл Римана от ограниченной функции, заданной на замкнутом параллелепипеде пространства Rn, определяется как общее значение
10
нижнего и верхнего интегралов Дарбу (в случае их равенства). После выяснения простейших свойств интеграла, определяется понятие интегральной суммы функции для выбранного разбиения параллелепипеда, на котором задана функция. Далее, определяется понятие предела интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения и приводится доказательство того, что интеграл Римана может быть определен как предел интегральных сумм. Приводятся определения множеств меры 0 и объема 0 и доказательство того, что ограниченная функция, заданная на замкнутом параллелепипеде, интегрируема тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва имеет меру 0. Определяются множества, измеримые по Жордану и понятие интеграла распространяется на функции, непрерывные почти всюду на компактных множествах, измеримых по Жордану. Приводится доказательство аддитивности интеграла. Определяется понятие объема (площади, протяженности) множества, измеримого по Жордану и приводится доказательство аддитивности объема. Приводятся доказательства ряда достаточных условий измеримости по Жордану плоских множеств и множеств пространства Rn при n≥3. Для функции, интегрируемой на замкнутом параллелепипеде в Rn, приводится доказательство теоремы Фубини (и применение теоремы Фубини к вычислению двойных, тройных и n-кратных интегралов при n>3). Приводится доказательство теоремы о замене переменных в nкратном интеграле и рассматриваются примеры ее применения. Восьмая глава книги посвящена изучению скалярных и векторных полей, дифференциальных форм и основных интегральных формул анализа (Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса). Приводится доказательство существования и единственности базиса, биортогонального к любому наперед заданному базису пространства Rn. Рассматриваются свойства биортогональных базисов и определяется понятие дивергенции линейного оператора, действующего в Rn. Приводится доказательство равенства дивергенции линейного оператора его матричному следу для матрицы этого оператора относительно любого базиса пространства Rn. Приводится определение векторого произведения n-1 векторов пространства Rn, которое согласуется с обычным определением векторного произведения двух векторов пространства R3. Определяется понятие вихря (ротора) линейного оператора, действующего в пространстве R3, и приводится разложение этого вектора по векторам стандартного базиса в R3. Определяются понятия скалярного поля (и его градиента) и векторного поля и его дивергенции, как дивергенции линейного операторапроизводной векторного поля в рассматриваемой точке. В случае трехмерного пространства определяется понятие вихря векторного поля в некоторой точке пространства R3, как вихря линейного операторапроизводной векторного поля в рассматриваемой точке. Приводится
11
разложение вихря по векторам стандартного базиса. Определяется понятие оператора Лапласа и приводятся доказательства формул для операций divgradf, rotgradf, graddivF, divrotF, rotrotF (где f-скалярное, а F-векторное поле). Определяются понятия к-поверхности в открытом множестве пространства Rn (n≥2, k≤n, kєN), множества параметров к-поверхности, дифференциальной формы порядка к (к-формы) и интеграла от к-формы по к-поверхности. Приводится определение внешнего произведения форм (и доказательство ряда свойств внешнего произведения). Определяется понятие оператора дифференцирования на множестве непрерывно дифференцируемых форм (в открытом множестве пространства Rn) и приводятся доказательства ряда свойств этого оператора. Рассматриваются преобразования форм с помощью непрерывно дифференцируемых отображений (замена переменных) и приводятся доказательства важнейших свойств указанных преобразований. Определяются понятия ориентированного 0-симплекса и n ориентированного прямолинейного к-симплекса в пространстве R (n≥2, 1≤k≤n), прямолинейной к-цепи, интеграла от к-формы по прямолинейной к-цепи, границы ориентированного прямолинейного к-симплекса, ориентированного к-симплекса класса С″, к-цепи класса С″, интеграла от к-формы по к-цепи, границы ориентированного к-симплекса класса С″, границы к-цепи класса С″. Приводится доказательство «абстрактной теоремы Стокса» об интегрировании (к-1)-формы по границе к-цепи. Из абстрактной теоремы Стокса выводится формула Грина для треугольника, выпуклого многоугольника, проивзольной выпуклой замкнутой области, ограниченной простым замкнутым контуром. В упражнениях к восьмой главе изучаются замкнутые и точные 1формы в открытом множестве пространства Rn (критерий замкнутости непрерывно дифференцируемой 1-формы; замкнутость, как достаточное условие точности непрерывно дифференцируемой 1-формы в выпуклом или звездном открытом множестве; независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в случае точности подинтегральной 1-формы и т.д.). Изучаются простейшие свойства градиента. Формулируется лемма Пуанкаре и приводится доказательство того, что всякое векторное поле, дивергенция которого равна нулю на звездном открытом множестве в R3,-является полем вихря некоторого векторного поля. Далее, изучаются гладкие поверхности в R3 без особых точек, касательные плоскости и нормали к поверхности. Определяются понятия односторонней и двусторонней поверхности и понятие квадрируемости двусторонней поверхности без особых точек. Формулируется теорема о квадрируемости гладкой двусторонней поверхности без особых точек и приводится выражение площади такой поверхности. Определяется понятие
12
поверхностного интеграла первого рода от непрерывной вещественной функции, заданной на гладкой двусторонней поверхности без особых точек и приводится доказательство существования, а также выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл. Приводятся определения поверхностных интегралов второго рода, доказательства их существования и выражения этих интегралов через двойные интегралы. Определяется понятие общего поверхностного интеграла второго рода и приводится его выражение через поверхностный интеграл первого рода. Доказывается частный случай теоремы Гаусса-Остроградского (для пирамиды в пространстве R3), как следствие из абстрактной теоремы Стокса. Приводится доказательство теоремы Гаусса-Остроградского для односвязной области в R3, ограниченной гладкой двусторонней замкнутой поверхностью без особых точек, удовлетворяющей дополнительным условиям. Доказываются частные случаи классической теоремы Стокса, как следствия из абстрактной теоремы Стокса. Приводится доказательство классической формулы Стокса (преобразующей криволинейный интеграл по замкнутому контуру в интеграл по поверхности, натянутой на этот контур) для случая, когда поверхность (натянутая на замкнутый контур) представима явным уравнением z=f(x,y) (или y=φ(x,z) или x=ψ(y,z)) с дважды непрерывно дифференцируемой функцией f (φ, ψ). Далее, изучаются криволинейные интегралы первого и второго рода, как пределы сответствующих интегральных сумм. Приводится доказательство равенства (при выполнении надлежащих условий) общего криволинейного интеграла второго рода и интеграла от соответствующей 1-формы. В заключительных упражнениях восьмой главы намечен несколько иной (по сравнению с вышеприведенным) подход к интегрированию дифференциальных форм. Этот подход изложен в книге М. Спивака «Математический анализ на многообразиях». Определяются понятия ктензора и антисимметрического к-тензора на конечномерном векторном пространстве над полем R, понятия суммы двух к-тензоров и произведения тензора на действительное число (к≥1). Приводится определение тензорного произведения двух или нескольких тензоров и рассматриваюся основные свойства тензорного произведения. Приводится доказательство теоремы о базисе векторного пространства всех к-тензоров на конечномерном векторном пространстве. Определяется понятие внешнего произведения двух антисимметрических тензоров и приводятся доказательства основных свойств внешнего произведения, а также доказательства теоремы о базисе векторного пространства всех антисимметрических к-тензоров на конечномерном векторном
13
пространстве. Определяется понятие ориентации конечномерного векторного пространства (две возможные ориентации), в частностистандартная ориентация пространства Rn. Далее, изучается векторное пространство Rnp-касательное пространство к Rn в произвольной точке рєRn (нулевой элемент и стандартный базис касательного пространства, скалярное произведение в Rnp, сопряженное пространство (Rnp)*). Определяется понятие к-формы ω на Rn (к≥1), как функции, значение ω(р) которой на любом векторе рєRn представляет собой антисимметрический к-тензор на Rnp (0-форма есть просто вещественная функция на Rn). Определяются операции сложения и внешнего произведения форм, операция дифференцирования форм и приводятся доказательства основных свойств указанных операций. Определяются понятия сингулярного n-мерного куба в открытом множестве пространства Rm, стандартного сингулярного n-мерного куба в Rn и его граней, сингулярной n-мерной цепи в открытом множестве пространства Rm и ее границы. Определяется понятие интеграла от кформы на открытом множестве пространства Rn по любому сингулярному к-мерному кубу в указанном множестве, а также понятие интеграла от кформы по сингулярной к-мерной цепи. Приводится доказательство абстрактной теоремы Стокса, из которой выводятся частные случаи класических формул Грина, Стокса и Гауса-Остроградского. В девятой главе книги изучаются элементы теории функций комплексной переменной. Определяется понятие функции, аналитической на открытом множестве пространства С всех комплексных чисел, как функции, непрерывно дифференцируемой на указанном множестве. Приводится доказательство необходимого и достаточного условия аналитичности функции на открытом множестве пространства С. Выясняется геометрический смысл производной функции комплексной переменной и определяется понятие конформного отображения. Приводятся доказательства интегральной теоремы Коши и ее обобщения на случай многосвязной области; теоремы о существовании первообразной у функции, аналитической в односвязной области; интгеральной формулы Коши и ее следствий (формула среднего значения, принцип максимума модуля аналитической функции). Определяется понятие интеграла типа Коши и приводятся доказательства теоремы об аналитичности функции, представимой интегралом типа Коши, а также ряда других теорем (Морера, Лиувилля, Вейерштрасса). Приводится доказательство теоремы о разложении функции, аналитической в открытом круге, в ряд Тейлора, из которой выводится ряд следствий (теорема об изолированности нулей функции, аналитической и отличной от постоянной в некоторой области; теорема о единственности функции, аналитической в области и принимающей заданные значения на множестве, имеющем предельную точку в этой области).
14
Определяется понятие аналитического продолжения аналитической функции и рассматривается ряд способов аналитического продолжения. Приводятся определения правильных и особых точек функции. Изучаются ряды Лорана (кольцо сходимости; формулы для коэффициентов; существование и единственность ряда Лорана, сходящегося к функции, аналитической в круговом кольце; классификация изолированных особых точек функции). Определяется понятие вычета функции в изолированной особой точке и приводятся доказательства основной теоремы о вычетах и ряда других теорем, используемых затем при вычислении некоторых важных несобственных интегралов. Доказывается теорема об изменении аргумента функции, непрерывной (и не обращающейся в нуль) на замкнутом контуре, когда переменная «пробегает» этот контур в положительном направлении. Приводятся доказательства принципа аргумента, теорем Руше и Гурвица, теоремы об инвариантности области. Заключительная часть этой главы и упражнения к девятой главе посвящены асимптотическим разложениям функций в окрестности бесконечно удаленной точки. В десятой главе книги изучаются элементы теории локально выпуклых топологических векторных пространств и приводятся дополнения к ранее изложенному материалу. Резюмируя, можно сказать, что содержание книги в целом «перекрывает» курс анализа, изучаемый в педагогических и технических ВУЗах. Кроме собственно математического анализа, книга содержит элементы теории функций вещественной переменной и элементы теории функций комплексной переменной, а также, как надеется автор, может служить введением в теорию локально выпуклых топологических векторных пространств. Основными источниками, использованными при написани книги, послужили работы У. Рудина, М. Спивака, А.П. и В. Дж. Робертсонов, а также университетский учебник по математическому анализу авторов В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл. Х. Сендова (см. прилагаемый список использованной литературы). При написании книги автор стремился к максимальной доступности излагаемого материала для студента, впервые приступающего к изучению анализа. С этой целью, в ряде случаев автор счел возможным дополнять и уточнять приводимые доказательства, не оговаривая этого особо. Автор.
Литература.
15
1. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948. 2. Дэй М.М. Нормированные линейные пространства, ИЛ, М., 1961. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть II. М.: Наука, 1980. 4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Часть 2, Из-во МГУ, 2006. 5. Келли Дж. Л. General topology, New York, 1955. 6. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения, Москва, 1966. 7. Ландау Э. Основы анализа, М., 1947. 8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной, М., 1957. 9. Порошкин А.Г. Теория меры и интеграла, М.: КомКнига, 2006. 10. Робертсон А.П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. Изд-во «Мир», Москва, 1967. 11.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. Физматгиз, 1959. 12. Рудин У. Основы математического анализа. Изд-во «Мир», Москва, 1966. 13. Спивак М. Математический анализ на многобразиях. Изд-во «Мир», Москва, 1968. 14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II, М., 1960. 15. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье, М., 1959.
Маневич Виктор Борисович «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» Предисловие Мысль о написании книги «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа», предлагаемой сейчас вниманию читателя, возникла у автора в конце 60-х годов прошлого века, когда издательством «Мир» были напечатаны переведѐнные на русский язык книги У.Рудина «Основы математического анализа», М.Спивака «Математический анализ на многообразиях» и А.П. и В.Дж. Робертсонов «Топологические векторные пространства». Изложение основ математического анализа в первых двух из этих книг резко отличалось по стилю и содержанию от изложения основ анализа в традиционных руководствах, известных автору к тому времени. Так, изложение дифференциального исчисления функций нескольких переменных в упомянутых книгах начинается с ведения общего понятия дифференцируемого отображения (одного конечномерного евклидова пространства в другое) и его производной. Затем, после доказательства терем об обратной функции (доказываемой в книге У.Рудина без использования понятия определителя) и неявной функции, вводится понятие кратного интеграла Римана и доказывается теорема о замене переменных в кратных интегралах. Далее излагается исчисление дифференциальных форм и доказывается абстрактная теорема Стокса (об интегрировании (k-l)-формы по границе kцепи). Следует заметить, что студент, добросовестно изучивший доказательства классических теорем Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского в их традиционном изложении, был не в состоянии понять (как справедливо отмечал Д.А.Райков), что эти теоремы являются частными случаями вышеупомянутой абстрактной теоремы Стокса. С тех пор прошло сорок лет. За это время отечественная математическая литература пополнилась руководствами, излагающими теорию дифференциальных форм, вышеупомянутую абстрактную теорему Стокса и еѐ связь с классическими интегральными теоремами анализа. Таковы, например, книга В.А.Ильина и Э.Г.Поздняка «Основы математического анализа. Ч. 2» (М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1982) и университетский учебник «Математический анализ. Ч. 2» авторов В.А.Ильина, В.А.Садовничего, Бл.Х.Сендова (Изд-во Проспект и изд-во МГУ, 2006). Однако, в указанном университетском учебнике теория дифференциальных форм в евклидовом пространстве излагается (достаточно сжато) лишь в дополнение к основному тексту. Кроме того, по мнению автора, изложение теории дифференциальных форм в духе книги У.Рудина более доступно для студента, впервые приступающего к изучению анализа. Книги У.Рудина и М.Спивака в некотором смысле являются взаимно дополняющими друг друга. Так, например, книга У.Рудина содержит элементы теории метрических пространств, теорию интеграла Римана-Стильтьеса, элементы теории рядов Фурье, элементы теории интеграла Лебега. Всѐ это отсутствует в книге М.Спивака. С другой стороны, книга М.Спивака содержит достаточно подробную теорию кратного интеграла Римана (включающую теорему Фубини), тогда как в книге У.Рудина понятие кратного интеграла определяется лишь для непрерывных функций, заданных на параллелепипедах. Кроме того, в книге М.Спивака определяются многообразия и многообразия с краем, вложенные в n-мерное евклидово пространство. Для этих многообразий доказывается общая теорема Стокса, из которой выводятся классические теоремы анализа в их современной формулировке. Для обеих рассматриваемых книг характерна предельная точность обозначений. Следует также заметить, что обе они написаны очень сжато и не содержат некоторые важные разделы анализа (такие, например, как теория несобственных интегралов, и интегралов, зависящих от параметра). 1
Приступая к написанию «Элементов», автор ставил себе целью соединить в одной книге достоинства упомянутых работ У.Рудина и М.Спивака с достоинствами известного курса Г.М.Фихтенгольца, содержащего «недостающие» разделы анализа и богатого примерами и упражнениями, облегчающими усвоение студентами теоретического материала. Кроме того, автор ставил себе целью написать книгу, которая могла бы служить введением в теорию локально выпуклых топологических векторных пространств. «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» содержат достаточно много упражнений, которые нельзя пропустить без ущерба для понимания основного текста (в котором, однако, приводятся ссылки на эти упражнения). Большинство упражнений снабжено подробными указаниями, фактически являющимися решениями (читателю рекомендуется попытаться решить се упражнения самостоятельно). Следует заметить, что в упражнениях приведена значительная часть теоретического материала. Так, в упражнениях к первой главе приведена элементарная теория конечных групп, в упражнениях ко второй главе – элементарная теория векторных пространств и т.д. Книга «Элементы теоретической арифметики, алгебры и анализа» задумана как учебное пособие для студентов математических и физических факультетов педагогических вузов и некоторых втузов с углублѐнным изучением математики. Ульяновск 2008
2
Глава 1. Элементы теории множеств. Множества, отношения, функции. Понятие множества или совокупности объектов той или иной природы является одним из основных, первичных понятий математики. Не определяя понятия множества, приведем примеры, иллюстрирующие это понятие. Можно говорить, например, о множестве всех жильцов данного дома или множестве всех книг в данном книгохранилище. В первом случае мы предполагаем, что в рассматриваемый момент никто в доме не рождается и не умирает; а во втором – что в рассматриваемый момент книгохранилище не пополняется новыми книгами и не «прощается» с некоторыми из старых. Примеров подобного рода можно привести сколько угодно. Все это – так называемые конечные множества. Простейшим примером бесконечного множества является множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3, …, n, … (Далее мы приведем определения понятий конечного и бесконечного множества). В следующем разделе мы подробно изучим множество N всех натуральных чисел, действия сложения и умножения, и отношения порядка в нем. Здесь же (в примерах 1.15, 1.31) предполагается, что читатель знаком с арифметикой натуральных и целых чисел. 1.1. Обозначение. Если х – один из объектов, составляющих множество А (эти объекты называются элементами множества), то этот факт записывается так: х А (х принадлежит А). Если х не является элементом множества А, то пишут х А или х А. Из соображений удобства вводят в рассмотрение так называемое пустое множество, т. е. «множество», не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . Запись вида Х= a, b, c,..., l будет означать, что Х – множество, состоящее из элементов а, b, с, …, l. Заметим, что порядок записи элементов внутри фигурных скобок не играет никакой роли. 1.2. Определение. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А есть подмножество множества В и пишут А В или В А. Если А В и в В имеется элемент, не принадлежащий А, то А называется собственным подмножеством множества В. Заметим, что, если А В (т. е. А не является подмножеством В), то в А существует элемент х В. Если взять пустое множество , то в нем нет элемента, не принадлежащего произвольно взятому множеству В. По это причине пустое множество считается подмножеством любого множества. Множество, содержащее хотя бы один элемент, называется непустым множеством. 1.3. Замечание. Для установления факта совпадения двух по-разному определенных множеств А и В достаточно установить, что А В и В А. В этом случае будем писать А=В. Вообще, знак равенства «=» будет употребляться нами только для обозначения совпадения объектов, записанных слева и справа от этого знака. Знак « » будет обозначать несовпадение объектов, записанных слева и справа от него.
3
1.4. Обозначения. Пусть Х – некоторое заданное множество и Р - некоторое условие, которому могут удовлетворять или не удовлетворять элементы множества Х. Тогда запись {x X: х удовлетворяет Р} будет означать подмножество (может быть и пустое) множества Х, состоящее из всех тех элементов х Х, которые удовлетворяют условию Р. Имеет смысл также рассматривать всевозможные подмножества множества Х. Если множество, состоящее из множеств, назвать классом, то класс всех подмножеств множества Х будем обозначать B (Х). 1.5. Определение. Пусть а и b – два различных объекта. Упорядоченной парой объектов а и b, взятых в указанном порядке, будем называть класс, состоящий из двух множеств {a} и {a, b}. Этот класс принято обозначать (а, b): (а, b) = {{a}, {a, b}} Ясно, что (а, b) (b, а) = {{b}, {a, b}} Элементы а и b будем называть соответственно первой компонентой и второй компонентой упорядоченной пары (a, b). Мы будем рассматривать также пары вида (а, а)={{a}}, обе компоненты которых представляют собой один и тот же элемент. 1.6. Определение. Прямым (декартовым) произведением непустых множеств А и В, взятых в указанном порядке, называется множество { (а, b): а А, b В. Это множество обозначается АxВ (А2 при В=А). ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ В повседневной жизни мы встречаемся с различными типами отношений: отношения между родителями и их детьми; отношения начальника и его подчиненных; отношения шефства одного коллектива над другим и т. д. Если R – отношение, то запись aRb , будет означать, что а находится в отношении R с b. Например, если R – отношение между родителями и их детьми, то запись aRb означает, что а является одним из родителей b. Мы коротко коснемся лишь так называемых бинарных отношений. Бинарное отношение – это отношение, в котором может находится элемент одного множества А с элементом второго множества В (не исключается случай В=А). Мы определим бинарные отношения на основе понятий «множество», «подмножество», «декартово произведение двух множеств». В дальнейшем слово «бинарное» будем опускать. 1.7. Определение. Пусть А и В – два непустых множества. Всякое непустое подмножество R декартова произведения АхВ определяет некоторое отношение между теми или иными элементами множества А и теми или иными элементами множества В. При этом запись aRb (a А, b В) будет означать то же самое, что и запись (а,b) R. Областью определения DR отношения R будем называть множество всех первых компонент входящих в R пар (DR А), а областью значений ЕR отношения R будем называть множество всех вторых компонент, входящих в R пар (ЕR В): 4
DR= {х А: для некоторого у В (х, у) R} ER= {y В: для некоторого x А (х, у) R}. Если х DR, то R-образом элемента х назовем множество R[x] всех элементов у ER, для которых (х, у) R: R[x]= {y ER: (х, у) R} 1.8. Пример Пусть А – множество жильцов данного дома, В=А, R - отношение между детьми и их родителями. Тогда запись R[a]={b,c} означает, что b и с являются родителями а. 1.9. Определение Пусть А – непустое множество. Отношение R АхА называется отношением эквивалентности в А, если DR=А и выполняются следующие свойства: Рефлексивность: (х,х) R для любого х A Симметричность: если (х,у) R, то (у,х) R Транзитивность: если (х,у) R и (у,z) R, то (x,z) R 1.10. Пример Пусть А – множество учащихся одной данной школы. Учеников школы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, x, y, z…Будем писать aRb или (a,b) R тогда и только тогда, когда b учится в одном классе с а. Ясно, что условия рефлексивности, симметричности, транзитивности выполняются, так что R – отношение эквивалентности. 1.11. Теорема. Пусть R – отношение эквивалентности в множестве А и a,b – различные элементы множества А. Тогда R-образы R[a] и R[b] элементов a и b либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Доказательство: Допустим, что R[a] и R[b] имеют общий элемент х и установим, что в таком случае R[a]=R[b]. Так как (а,х) R и (b,х) R, то (х,b) R (симметричность) и (а,b) R (использовано свойство транзитивности отношения R). Пусть теперь с – любой элемент множества R[a]. Тогда (а,с) R и верна следующая цепочка принадлежностей: (с,а) R, (с,b) R, (b,с) R. Значит, с R[b]. Этим доказано, что R[a] R[b]. Аналогично доказывается и обратное включение. 1.12. Обозначение Если R – отношение эквивалентности в множестве А, то вместо aRb или (а,b) R принято писать a b, если другие (кроме R) отношения эквивалентности в множестве А не рассматриваются. При этом говорят, используя симметричность отношения R, что элементы a и b эквивалентны между собой. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения R запишутся теперь следующим образом: a : а для любого а А; если a : b, то b : a; если a : b и b : с, то a : с. 1.13. Замечание Пусть R – отношение эквивалентности в множестве А. Образуем R-образы R[a] для всех элементов а А и рассмотрим класс K различных получившихся таким образом множеств. Согласно теореме 1.11, эквивалентные между собой элементы «порождают» один и тот же R-образ, которому эти элементы принадлежат; если же a b, то R-образы R[a] и R[b] не только различны, но и не имеют общих элементов. Таким образом, отношение эквивалентности R в множестве А порождает разбиение этого множе5
ства на ряд подмножеств (R-образов элементов А), называемых классами эквивалентности и обладающих следующими свойствами: 1) каждый элемент а А принадлежит одному и только одному классу эквивалентности; 2) каждый класс эквивалентности состоит из эквивалентных между собой элементов; 3) если элементы a и b принадлежит различным классам эквивалентности, то эти элементы не эквивалентны между собой. Все сказанное хорошо иллюстрирует пример 1.10, в котором отношение эквивалентности R распределяет всех учащихся школы по различным классам этой школы (которые и будут классами эквивалентности). 1.14. Определения Пусть А – непустое множество. Отношение R AхА, не содержащее пар вида (а,а), называется частичным упорядочением множества А, если R антисимметрично и транзитивно, т. е. 1) если (a,b) R, то (b,a) R; 2) если (a,b) R и (b,с) R, то (a,с) R. Множество А, рассматриваемое вместе с заданным в нем частичным упорядочением, называется частично упорядоченным множеством. Если R – частичное упорядочение, то вместо aRb или (a,b) R будем писать a b или b а ( а предшествует b или b следует за а). При такой записи условия 1) и 2) принимают вид: 1) если a b, то b а; 2) если a b и b с, то a с. Заметим также, что из a b следует, что a b. Частичное упорядочение R множества А называется направлением, если для любых двух элементов а А и b А найдется элемент с А, следующий и за а и за b, т. е. a с и b с. Множество А, рассматриваемое вместе с заданным в нем направлением, называется направленным множеством. Частичное упорядочение R множества А будем называть совершенным упорядочением, если для любых двух различных элементов а,b А выполняется либо a b либо b а. Множество А, рассматриваемое вместе с заданным в нем совершенным упорядочением, называется совершенно упорядоченным множеством. 1.15. Примеры (а) Пусть А={x, y, z, u, v, t}, R={(x,y), (y,z), (x,u), (x,z), (y,v), (x,v)}. Тогда R - частичное упорядочение множества А. (в) Множество N всех натуральных чисел, рассматриваемое вместе с отношением порядка « αr'). Доказательство. αr'/ αr= αr'-r. поэтому (см. 2.141) если r1, откуда αr'>αr (так как αr>0). Если же 0β, r΄єQ. Эту верхнюю грань будем обозначать следующим образом: αβ=sup {αr}. r< β 2.145 Замечание. Ясно, что для любых рациональных чисел r, r΄таких, что r1 (αєR), то для любого nєN 1/n α -1≤(α-1)/n. Доказательство. При любом λ>0 (λєR) по формуле Ньютона находим: (1+λ)n=1+nλ+…, откуда (1+λ)n1+nλ. Полагая λ=α1/n-1 (это число положительно в силу 2.141), будем иметь α1+n(α1/n-1), откуда α1/n-1≤( α-1)/n, ч.т.д. 2.147. Теорема. Пусть α>1 (αєR), а β-любое действительное число. Утверждается, что если r и r΄-любые рациональные числа, такие, что r0. Поэтому μ1А(Ве1)+μ2А(Ве2)+…+μnА(Веn)=θ (нулевой элемент пространства Rn), т.е. векторы А(Ве1), А(Ве2),…, А(Веn)-линейно зависимы. Замечание. Всякая nxn-матрица называется квадратной матрицей порядка n и является матрицей вполне определенного оператора А: Rn→Rn. 81. Пусть А: Rn→Rn есть линейный оператор, сохраняющий норму, т.е. ||Ax||=||x|| для любого xєRn . Используя поляризационное тождество (см. 34), легко доказать, что оператор, сохраняющий норму, сохраняет и внутреннее (скалярное) произведение векторов, т.е. =<x, y> для любых x, yєRn. В самом деле, = || Ax Ay || 2 || Ax Ay || 2 || A( x y) || 2 || A( x y) || 2 || x y || 2 || x y || 2 = = 4 4 4
=<x, y>. Очевидно и обратное: линейный оператор А: Rn→Rn, сохраняющий внутреннее произведение, сохраняет и норму. Такой оператор обязательно инъективен, ибо если х≠у (x, yєRn), то ||Ax-Ay||=||A(x-y)||=||x-y||≠0, т.е. Ах≠Ау. Следовательно (см. 49), опертор А также и сюръективен и потому обладает обратным оператором А-1: Rn→Rn. Оператор А-1 также сохраняет норму: для любого хєRn ||x||=||A(A-1x)||=||A-1x||. Легко проверить также (это предоставляется читателю), что оператор А-1, как и А, является линейныйм оператором, т.е. А-1єL(Rn, Rn). Углом между двумя ненулевыми векторами x, yєRn будем называть x, y число =arccos . Это определение корректно в силу || x || || y || доказанного в упражнении 34. Если угол между векторами х и у равен π/2, то векторы называются ортогональными. Ясно, что векторы х и у ортогональны тогда и только тогда, когда =0 (х≠0, у≠0). Всякое множество {х, у, …, w}, состоящее из попарно ортогональных векторов, линейно независимо: если αх+βу+…+ξw=θ, то α+β+…+ +ξ<w,х>=0, откуда α·||x||2=0 и α=0. Аналогично доказывается, что β=…=ξ=0. Заметим, что стандартный базис {е1, е2, …, еn } пространства Rn состоит из попарно ортогональных векторов, норма каждого из которых равна 1. Такой базис называется ортонормированным базисом пространства. Если векторы х1, х2,…, хк-линейно независимы, но хотя бы для одной пары (i, j) <xi, xj>≠0, то можно построить такую конечную последовательность попарно ортогональных векторов х'1, х'2,…, х'к, что х1'=х1 и при любом i, 1≤i≤к, вектор хi' является линейной комбинацией векторов х1, х2,…, хi. Опишем процесс построения векторов х'2,…, х'к (называемый процессом ортогонализации системы векторов х1, х2,…, хк). Полагаем х'2=αх'1+х2=αх1+х2, где число α определяется из условия x2 , õ1 <x2', x1'>=0, т.е. α= . Далее, полагаем х'3=βх'1+γх'2+х3, где числа β x1 , x1
199
и γ определяются из условий <x3', x1'>=0 и <x3', x2'>=0: β=
x3 , õ1 , x1 , x1
x3 , õ2 . Заметим, что х2'≠θ, ибо х2' является линейной комбинацией x2 , x2 векторов х1, х2, причем коэффициент при х2 (равный 1), отличен от 0. Точно так же и х3'≠0, ибо х3' является линейной комбинацией векторов х1, х2, х3 с ненулевым коэффициентом при х3. Аналогично предыдущему можно определить векторы х 4',.., хк', в результате чего и получим конечную последовательность х1', х2', х2',..., хк' попарно ортогональных векторов, для которой х1'=х1 и при любом i, 1≤i≤к вектор хi' является линейной комбинацией векторов х1, х2,…, хi. Деля каждый вектор хi' на || хi'||, получим ортонормированную систему векторов. Легко видеть, что если линейный оператор А: Rn→Rn сохраняет норму, то он сохраняет и углы, т.е. 0 (λ≠0, ввиду инъективности оператора А). Тогда для любых ненулевых векторов х=ξ1х1+ξ2х2+…+ξnхn и y=η1x1+η2x2+…+ηnxn γ=
x, y 11 || x1 || 2 22 || x2 || 2 ... nn || xn || 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 || x || || y || 1 || x1 || ... n || xn || 1 || x1 || ... n || xn || Далее, Ах=ξ1λ1х1+ξ2λ2х2+…+ξnλnхn, Ay=η1λ1х1+η2λ2х2+…+ηnλnхn и
200
111 || x1 || 2 2 2 22 || x 2 || 2 ... n 2n n || xn || 2 Àõ, Ày 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 || Àx || || Ày || 1 1 || x1 || ... n n || xn || 1 1 || x1 || ... n n || xn || 2
=
2 (11 || x1 || 2 2 2 || x 2 || 2 ... n n || xn || 2 ) 12 || x1 || 2 ... n2 || xn || 2 12 || x1 || 2 ... n2 || xn || 2
=
x, y . = || x || || y || Следовательно, оператор А сохраняет углы. Обратно, пусть известно, что оператор А сохраняет углы и требуется доказать, что |λ1|=|λ2|=…=|λn|. 1 Убедимся, например, что |λ1|=|λ2|. Расмотрим ненулевые векторы х= х11 1 1 1 х2 и у= х1+ х , где μ1=||x1||, μ2=||x2||. Векторы х и у ортогональны, 1 2 2 2 || õ1 || 2 || õ2 || 2 так как <x, y>= 2 - 2 =0. Так как оператор А сохраняет углы, то и 1 2 векторы Ах, Ау должны быть ортогональны, т.е. =< 1 x1- 2 x2, 1 2 1 x1+ 2 x2> =0, откуда λ12-λ22=0, или |λ1|=|λ2|. Аналогично доказывается, 1 2 что |λi|=|λ1| при любом i=3,…, n. 82. Доказать, что обратимый линейный оператор А: Rn→Rn тогда и только тогда сохраняет углы, когды векторы-столбцы его матрицы [A] попарно ортогональны, а их длины равны между собой. Указание. Если оператор А сохраняет углы, то векторы Ае1, Ае2,…, Аеn попарно ортогональны, т.е. попарно ортогональны векторы-столбцы матрицы [A]. Убедимся, что длины этих векторов равны между собой. Для Àx, Àå1 x, å1 1 2 n любого вектора х=(х , х ,…, х )≠θ имеем: = (*) || x || || å1 || || Àx || || Àå1 || Полагая Ах=u=(u1, u2,…, un), находим (aij-элементы матрицы [A]): u1=a11x1+a12x2+…+a1nxn, u2=a21x1+a22x2+…+a2nxn, …………………………. un=an1x1+an2x2+…+annxn
С учетом этого, равенство (*) принимает вид
(**)
201
a11u1 a21u 2 ... an1u n
õ1
= или 2 2 ( õ1 ) 2 ... ( õn ) 2 (u1 ) 2 ... (u n ) 2 a11 a21 ... an21 (принимая во внимание попарную ортогональность векторов Ае1, Ае2,…, Аеn): õ1 = ( õ1 ) 2 ... ( õn ) 2
(a11 a21 ... an1 ) x1 2
2 11
a
2
2
a ... an1 (a a ... a )( x ) .... 2 21
2
2 11
2 21
2 n
1 2
,
|| Ae1 || x1
õ1
= , ( õ1 ) 2 ... ( õn ) 2 || Ae1 || 2 ( x1 ) 2 || Àe2 || 2 ( x 2 ) 2 ... || Àen || 2 ( x n ) 2 откуда (считая х1≠0) || Aen || 2 || Ae2 || 2 2 2 1( x ) ... 1( x n ) 2 0 . 2 2 || Ae1 || || Ae1 || Так как это равенство верно при любых х2, х3, …, хn, то действительно ||Ае1||=||Ае2||=…=||Аеn||. Обратно, пусть известно, что векторы-столбцы матрицы a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n [A]= .................. попарно ортогональны и длины их равны между an1 an 2 ... ann собой. Убедимся, что для любых ненулевых векторов х=(х1, х2, …, хn) и у=(у1,у2,…, уn) имеет место равенство
x, y Àx, Ày . = || x || || y || || Àx || || Ày || Полагая
Ах=u=(u1,u2,…,un),Ay=v=(v1,v2,…,vn), будем иметь: 1 1 2 2 n n Àx, Ày u v u v ... u v = = || Àx || || Ày || (u1 ) 2 (u 2 ) 2 ... (u n ) 2 (v1 ) 2 (v 2 ) 2 ... (v n ) 2 =
|| Ae1 || 2 ( x1 y 1 ) || Ae 2 || 2 ( x 2 y 2 ) ... || Ae n || 2 ( x n y n ) || Ae1 || 2 ( x1 ) 2 || Ae 2 || 2 ( x 2 ) 2 ... || Ae n || 2 ( x n ) 2 || Ae1 || 2 ( y 1 ) 2 ... || Ae n || 2 ( y n ) 2
= =
|| Ae1 || 2 ( x1 y 1 x 2 y 2 ... x n y n ) || Ae1 || ( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 ... ( x n ) 2 || Ae1 || ( y 1 ) 2 ( y 2 ) 2 ... ( y n ) 2
=
202
=
x, y . || x || || y ||
83. Пусть линейный оператор А: R2→R2 имеет матрицу
cos sin , где 0≤φ≤π. Доказать, что оператор А сохраняет cos
[A]= sin
норму (а, следовательно, и углы) и что для любого х≠θ (х, Ах)=φ. Указание. Для любого х=(х1, х2) вектор у=Ах имеет координаты: у1=cosφx1-sinφx2,y2=sinφx1+cosφx2.Поэтому ||Ax||2=(y1)2+(y2)2=(x1)2+(x2)2=||x||2 , откуда ||Ax||=||x||. Далее, cos(х, Ах)=
õ, Àx x1 ó1 õ2 y 2 = = = || x || 2 || x || || Àõ || x1 (cos x1 sin x 2 ) x 2 (sin x1 cos x 2 ) = || x || 2 cos ( x1 ) 2 sin x1 x 2 sin x1 x 2 cos ( x 2 ) 2 cos 1 || x || 2 = = = || x || 2 || x || 2 =cosφ. Так как оба угла (х, Ах) и φ лежат в промежутке 0, π, то (х, Ах)=φ. 84. Доказать, что если линейный оператор А: Rn→Rn обратим, то обратим и всякий линейный оператор В: Rn→Rn , достаточно близкий к А в том смысле, что ||B-A||
для любого uєRn. Пусть f=А*φх. Согласно тому же упражнению 59, функционалу f сответствует элемент у такой, что f(z)= при любом zєRn. Легко доказать (это предоставляется читателю) единственность такого элемента уєRn. В результате каждому элементу хєRn будет поставлен в соответствие определенный элемент уєRn такой, что =f(z)=φx(Az)=<x, Az>, т.е. = при любом zєRn. Оператор, который каждому элементу хєRn ставит в соответствие (единственный) элемент уєRn, удовлетворяющий равенству = при любом zєRn,-обозначим А'. Оператор А': Rn→Rn удовлетворяет равенству = для любых х,zєRn. Произвести эту проверку мы предоставляем читателю. Если матрица А оператора А-симметричная, т.е. аij=aji при любых i, j=1, 2, …, n, то А'=А, т.е. А'=А и потому А'=А. в этом случае оператор А называется симметричным и удовлетворяет равенству = при любых х,уєRn. 86. Доказать, что собственные векторы симметричного линейного оператора А: Rn→Rn, принадлежащие различным собственным значениям, -ортогональны. Указание. Если хєRn, х≠θ и Ах=λ1х, а уєRn, у≠θ и Ау=λ2у, где λ1≠λ2, то по крайней мере, одно из чисел λ1, λ2 отлично от 0. Пусть, например, λ1≠0. Тогда =
=
1
=
1
=
1 1 1 (1- 2 )<x,y>=0 и <x, y>=0. 1
2 <x, y>, откуда 1
Замечание. Если вектор х≠θ (хєRn) является собственным вектором оператора А: Rn→Rn с матрицей
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 22 2 n А= .................. , то при некотором λ Ах=λх, т.е. координаты х 1, an1 an 2 ... ann х2, .., хn векторах удовлетворяют системе уравнений:
a11x1 a12 x 2 ... a1n x n x1 1 2 n 2 a21x a22 x ... a2 n x x ................................................ a x1 a x 2 ... a x n x n n2 nn n1
(*)
И обратно, если системе (*) при некотором λ удовлетворяют числа х , х , .., хn, среди которых не все равны 0, то вектор х=(х 1, х2, .., хn) является собственным вектором оператора А, принадлежащим собственному значению λ. Система (*) равносильна системе 1
2
205
(a11 ) x1 a12 x 2 ... a1n x n 0 1 2 n a21x (a22 ) x ... a2 n x 0 ................................................ a x1 a x 2 ... (a ) x n 0 n2 nn n1
(**)
Эта система при любом λ имеет нулевое решение, т.е. решение х1=0, х2=0, …, хn=0. Таким образом, задача разыскания собственных векторов и собственных значений оператора А: Rn→Rn сводится к задаче отыскания всех тех значений λ, при которых система (**) имеет хотя бы одно ненулевое решение с последующим решением системы (**) для каждого из упомянутых значений λ. 87. Доказать, что линейный оператор А: Rn→Rn обратим тогда и только тогда, когда столбцы матрицы [A], рассматриваемые как векторы пространства Rn,-линейно независимы. Указание. Если оператор А обратим, то векторы Ае1, Ае2, …, Аеn (eiвекторы стандартного базиса в Rn)-линейно независимы (в противном случае оператор А окажется неинъективным). Следовательно, линейно независимы столбцы матрицы [A]. Обратно, если столбцы матрицы [A] линейно независимы, то линейно независимы векторы Ае 1, Ае2, …, Аеn. Следовательно, эти векторы образуют базис пространства Rn и для любого уєRn имеет место представление у=ξ1Ае1+ξ2Ае2+…+ξnАеn=A(ξ1е1+…+ξnеn) при некоторых ξ1, ξ2,…, ξn. Значит, оператор А сюръективен, а потому (см. 49)-обратим. 88. Пусть J: Rn→Rn есть тождественное отображение Rn на Rn, т.е. Jх=х для любого хєRn. Легко видеть, что J-линейный оператор. Пусть также А: Rn→Rn и В: Rn→Rn суть линейные операторы, удовлетворяющие равенству АВ=J. Доказать, что оба оператора А и В-обратимы и что В=А-1, А=В-1. Указание. Допустив, что В неинъективен, найти вектор х≠θ такой, что Вх=θ. Тогда, с одной стороны, (АВ)х=А(Вх)=Аθ=θ, а с другой(АВ)х=Jx=x≠θ. Полученное противоречие доказывает, что оператор В инъективен, а потому-обратим. Используя легко проверяемое свойство ассоциативности умножения операторов, находим: (АВ)В-1=JВ-1, т.е. (АВ)∙В-1=В-1. Следовательно, В-1=А∙(В∙В-1)=АJ=А и В=(В-1)-1=А. 89. Матрица линейного оператора J: Rn→Rn (Jx=x для любого хєRn) 1 0..... 0 0 1......0 имеет вид: [J]= ............. . Эту матрицу будем обозначать Е и называть 0 0......1 единичной матрицей порядка n. Пусть А-такая квадратная матрица порядка n, для которой существует матрица В порядка n с тем свойством,
206
что А∙В= Е. Матрицу В будем называть правой обратной по отношению к матрице А, а матрицу А –левой обратной по отношению к матрице В. Доказать, что матрица В является также левой обратной для А, т.е. ВА = Е и что В =[A-1], где А-оператор из Rn в Rn, для которого [A]=А. Указание. Пусть В–линейный оператор из Rn в Rn, для которого [В]=В. Тогда Е=АВ=[A]В=АВ (см. 79), т.е. АВ=J. Согласно 88, операторы А и В обратимы и В=А-1, так что В=В=А-1. Далее, ВА= =А-1А=J, откуда ВА= J, ВА=Е и ВА = Е. Замечание. Матрицу А порядка n, для которой существует nxnматрица В, являющаяся для А и правой и левой обратной, -будем называть обратимой матрицей, а матрицу В=[A-1], будем называть -1 -1 матрицей, обратной к А, и обозначать А . Таким образом А =[A-1= =[A-1] (А-матрица оператора А). Если матрица А обратима и А=[A, то, согласно доказанному, оператор А обратим. И обратно, если оператор А: Rn→Rn обратим, то обратима и матрица [A оператора А. В самом деле, из АА-1=J следует, что АА-1=Е, т.е. АА-1=Е. Учитывая 87, можем утверждать, что матрица А порядка n обратима тогда и только тогда, когда ее столбцы (рассматриваемые как векторы пространства Rn) линейно независимы. 90. Пусть квадратная матрица А порядка n
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n А= .................. обладает следующими свойствами: a a ... a nn n1 n 2 1) 2)
столбцы матрицы А, расматриваемые как векторы пространства Rn, попарно ортогональны; длины векторов-столбцов матрицы все равны 1, т.е. 2 2 a11 a 21 ... a n21 1, 2 2 a12 a 22 ... a n22 1,
................................. 2 a12n a 22n ... a nn 1.
Квадратная матрица А, обладающая этими двумя свойствами, называется ортогональной матрицей. Пусть А: Rn→Rn есть линейный оператор, матрицей которого является ортогональная матрица А и пусть
207
е1, е2,…, еn-стандартный базис в Rn. Тогда векторы Ае1, Ае2, …, Аеn попарно ортогональны и каждый из них имеет длину 1. Для любого вектора х=(х1, х2, .., хn) из Rn имеем: ||Ax||2==<x1Аe1+ x2Аe2+…+ xnАen, x1Аe1+ x2Аe2+…+ xnАen>=(x1)2+(x2)2+…+(xn)2=||x||2. Следовательно, ||Ax||=||x||, т.е. оператор А сохраняет норму. Обратное очевидно: если линейный оператор А: Rn→Rn сохраняет норму, то его матрица [A] является ортогональной матрицей (см. 81). Линейный оператор А: Rn→Rn, сохраняющий норму, будем также называть ортогональным оператором. Доказать, что если nxn-матрица А ортогональна, то она обратима и
А-1=А,
т.е. обратная к А матрица совпадает с транспонированной. Доказать также, что строки ортогональной матрицы, рассматриваемые как векторы пространства Rn, попарно ортогональны и длины этих векторов вес равны 1. Указание. Умножая матрицу А на матрицу А по правилу, установленному в 79, получим:
a11 a21... an1 a a ... a n2 12 22 АА= .................. a1n a2 n ... ann
a11 a12 ... a1n 1 0..... 0 a a ... a 2n 21 22 0 1......0 .................. = ............. = an1 an 2 ... ann 0 0......1
Е.
Отсюда следует (см. 89), что и А
А= Е, т.е. А является обратной равенством АА= Е и правилом
матрицей для А:А=А . Пользуясь умножения матриц, установленным в 79, приходим к выводу, что векторыстроки матрицы А составляют ортонормированный базис пространства Rn. Замечание. Из доказанного следует, что для ортогональной матрицы А транспонированная матрица Атакже ортогональна. 91. Пусть А –квадратная матрица порядка n, состоящая из вещественных (действительных) чисел: -1
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n А= .................. an1 an 2 ... ann 1 2.........n Рассмотрим всевозможные подстановки φ= j j ..... j цифр 1, 2, n 1 2 …n. Каждой такой подстановке поставим в соответствие число (-1)s(φ) a1 j1
a2 j2 ... anjn (j1=φ(1),
j2=φ(2),…, jn=φ(n)), где s(φ)=0 , если
208
подстановка φ-четная и s(φ)=1, если подстановка φ-нечетная. Можно также определить s(φ) как число транспозиций, на которые разлагается подстановка φ (см. упражнение 2(f) к главе 1) или как число инверсий в перестановке (j1, j2,…, jn). Определителем или детерминантом марицы А называется число
(1)
s ( )
a1 j1 a2 j 2 ... anjn , где сумма распространена на все n!
n
подстановок цифр 1, 2, …n. Это число обозначается символом det
А или
a11a12 ...a1n a21a22 ...a2 n символом
............... . Таким образом, detА есть сумма n! членов, an1an 2 ...ann
каждый из которых представляет собой произведение (взятое с тем или иным знаком) n элементов матрицы, взятых по одному из каждой ее строки и каждого ее столбца. Например, при n=2 все подстановки цифр 1, 2 таковы: 1 2 1 2 φ1= , φ2= . При этом, s(φ1)=0, s(φ2)=1. Поэтому 1 2 2 1
à11 à12 à 21 à22
=а11а22-а12а21. При n=3 все подстановки цифр 1, 2, 3 таковы:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 φ1= , φ2= 1 3 2 , φ3= 2 1 3 , φ4= 2 3 1 , φ5= 3 1 2 , 1 2 3 1 2 3 . При этом s(φ1)=0, s(φ2)=1, s(φ3)=1, s(φ4)=0, s(φ5)=0, s(φ6)=1. φ6= 3 2 1
à11 à12 à13 à21 à22 à23 = а11а22а33-а11а23а32-а12а21а33+а12а23а31+а13а21а32à31 à32 à33 а13а22а31=а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а13а22а31-а23а32а11-а12а21а33. Последнее выражение нетрудно запомнить (так называемое правило Сарруса). Доказать, что опеределитель nxn-матрицы А и определитель Поэтому
транспонированной матрицы А совпадают. Указание. Так как
209
b11 b12 ... b1n b21 b22 ... b2 n А= .................. , где bij=aji при любых i, j=1,2,…,n, то bn1 bn 2 ... bnn
(1) detА=
s ( )
b1 j1 b2 j 2 ... bnjn , где сумма распространена на все
1 2.........n подстановки φ= j j ..... j єζn. Рассмотрим любой член n 1 2
(1) s ( ) b1 j1 b2 j 2 ... bnjn суммы, определяющей detА. Имеем: (1) s ( ) b1 j1 b2 j 2 ... bnjn = (1) s ( ) à j11 à j2 2 ... à jnn == 1 2.........n j1 j2 ......... jn -1 = 1 2............n =φ . Так как ê ê ..... ê n 1 2
(1) s ( ) à1ê1 à2ê2 ... ànên , где
подстановки φ и φ-1 либо обе четные, либо обе нечетные (см. упражнение 2(f) к главе 1), то s(φ)=s(φ-1)
и
1
(1) s ( ) b1 j1 b2 j 2 ... bnjn = (1) s ( ) à1ê1 à2 ê2 ... ànên . Итак, каждый член суммы, определяющей detА, совпадает с некоторым членом суммы, определяющей detА ; при этом разным членам первой суммы отвечают различные же члены второй суммы (ибо из φ=ψ, φєζn, ψєζn следует, что φ-1≠ψ-1). Так как обе суммы содержат n! членов, то detА =det А . 92. Доказать, что если поменять местами две строки матрицы, то определитель матрицы изменит лишь знак. Указание. Пусть А -следующая nxn-матрица:
a11 a12 ... a1n .................. ai1 ai 2 ... ain .......... ........ А= a a ... a , kn k1 k 2 .......... ........ a a ..... a n 1 n 2 nn а (i0. Если при этом a12 =0 ( a22 ≠ a11 ), то характеристическое уравнение имеет два различных корня: λ1= a11 , λ2= a22 . Система (*) при λ=λ1 принимает вид 0 õ1 0 õ2 0 0 õ1 (à22 à11) õ2 0 Все решения этой системы имеют вид (к, 0), где к-любое действительное число. Таким образом, собственные векторы оператора А, принадлежащие собственному значению λ1-это вектор е1=(1, 0) и все векторы вида μе1 , где μ≠0. Аналогично доказывается, что собственные векторы оператора А, принадлежащие собственному значению λ2-это вектор е2=(0, 1) и все векторы вида νе2, где ν≠0. Если D>0 и a12 ≠0, то характеристическое уравнение имеет два различных корня λ1 и λ2, каждый из которых, как легко видеть, не совпадает ни с a11 , ни с a22 . Система (*) при λ=λ1 имеет вид: 1 2 (a11 1 ) x a12 x 0 1 2 a21x (a22 1 ) x 0
Все решения этой системы таковы: x1=- a12 t, x2=( a11 -λ1)t, где t–любое действительное число. При t≠0 получаем собственные векторы оператора А, отвечающие собственному значению λ1. Они имеют вид t(- a12 , a11 -λ1). Аналогично доказывается, что все собственные векторы оператора А, принадлежащие собственному значению λ2, имеют вид t(- a12 , a11 -λ2), где tлюбое действительное число, отличное от нуля. Обратим внимание читателя на то, что характеристическое уравнение симметричного линейного оператора А: R2→R2 имеет ровно два действительных корня, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Позднее мы докажем, что характеристическое уравнение любого симметричного линейного оператора А:Rn→Rn имеет ровно n действительных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. 105. Расмотрим однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a x a x ... a x 0 21 1 22 2 2n n ............................................. an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0
(*)
232
Доказать, что если определитель d этой системы равен 0, но хотя бы одно из алгебраических дополнений A11, A12, …, A1n отлично от нуля, то все решения системы могут быть заданы равенствами: x1=A11t, x2=A12t, …, xn=A1nt, где t-любое действительное число. Указание. Пусть, для определенности, А11≠0 (читателю предлагается расмотреть любой другой случай). Тогда система
a21x1 a22 x2 ... a2 n xn 0 a x a x ... a x 0 31 1 32 2 3n n .......................................... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0
(**)
при любом фиксированном значении х1 имеет единственное решение относительно неизвестных х2, х3, …, xn:
a21 a23...a2 n x1 x2
a22 a21...a2 n
a31 a33...a3n
................. an1 an 3 ...ann x A 1 12 , x3 a22 a23...a2 n A11 a32 a33...a3n
x1
................. an 2 an1 ...ann a22 a23...a2 n a32 a33...a3n
................. an 2 an 3 ...ann
................. an 2 an 3 ...ann
a22 a23...a2;n1 a21
a21 a22 ...a2 n x1
a31 a32 ...a3n
................. an1 an 3 ...ann x A 1 13 ,..., xn a22 a23...a2 n A11 a32 a33...a3n
................. an 2 an 3 ...ann
a32 a31...a3n
x1
a32 a33...a3,n1 a31 ......................... an 2 an 3 ...an ,n1 an1
a22 a23...a2,n1 a2 n a32 a33...a3,n1 a3n ......................... an 2 an 3 ...an ,n1 ann
233
a21 a22 ...a2,n1 x1 (1) n2
a31 a32 ...a3,n1 .................... an1 an 3 ...an ,n1
a22 a23...a2 n
x1 A1n . A11
a32 a33...a3n ................. an 2 an 3 ...ann Полагая x1=A11t, где t-любое действительное число, будем иметь: x2=A12t, …, xn=A1nt. Таковы все решения системы (**). Но система (*) равносильна системе (**), ибо (в силу условий А11≠0 и d=0) первое уравнение системы (*) является линейной комбинацией остальных. Замечание 1. Найденные решения системы (*) принято записывать в виде пропорций: xn x2 x1 = =…= A1n A11 A12 В этих пропорциях некоторые знаменатели (но не все!) могут равняться 0. Подразумевается, что если общее значение всех пропорций обозначить через t (t-любое из R), то и получим: x1=A11t, x2=A12t, …, xn=A1nt. Например, если имеем однородную систему a1 x b1 y c1 z 0 a2 x b2 y c2 z 0 , a x b y c z 0 3 3 3 определитель матрицы которой равен 0, то все решения системы получаются из пропорций x y z = = b2 c3 b3 c2 a3 c2 a2 c3 a2 b3 b2 a3 в предположении, что не все знаменатели равны 0. Замечание 2. Выше мы предполагали, что в определителе d системы (*) отлично от нуля алгебраическое дополнение одного из элементов первой строки. Разумеется, это не обязательно. Если известно, что, например, Аik≠0 (но по-прежнему d=0), то легко доказать (рассуждая аналогично вышеизложенному), что все решения системы (*) даются равенствами: x1=Ai1t, x2=Ai2t, …, xk=Aikt,…, xn=Aint, где t-любое действительное число. Заметим, что эти решения легко «угадываются», если учесть доказанное в упражнениях 98 и 99.
234
Замечание 3. Применим вышеизложенное к решению однородной системы n-1 линейных уравнений с n неизвестными: a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a x a x ... a x 0 21 1 22 2 2n n ............................................. an1,1 x1 an1, 2 x2 ... an1,n xn 0 в предположении, что хотя бы один из определителей n-1-го порядка, содержащихся в матрице системы, отличен от нуля. Согласно теореме Руше (для ее применения следует мысленно приписать к данной системе два «нулевых» уравнения), данная система имеет n-r, т.е. 1 решений. Чтобы записать эти решения, присоединим к данной системе в качестве первого уравнения «нулевое» уравнение. Тогда, в согласии с вышеизложенным, все решения системы запишутся в виде:
x1 a12 a13...a1n
x2 a11 a13...a1n
a22 a23...a2 n ................. an1, 2 .....an1,n
xn a11...a1,n1
...
a21 a23...a2 n
(1) n1
................. an1,1 .....an1,n
a21...a2,n1 .............. an1,1...an1,n1
Например, все решения системы
a1 x b1 y c1 z d1u 0 a2 x b2 y c2 z d 2u 0 a x b y c z d u 0 3 3 3 3 можно записать в виде:
x b1 c1 d1
y z a1 c1 d1 a1 b1 d1
u , a1 b1 c1
b2 c2 d 2
a 2 c2 d 2
a2 b2 d 2
a2 b2 c2
b3 c3 d 3
a3 c3 d 3
a3 b3 d 3
a3 b3 c3
в предположении, что не все знаменатели равны 0. 106. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
235
a11x1 ... a1n xn b1 a x ... a x b 21 1 2n n 2 . ............................... am1 x1 ... amn xn bm Пусть А -матрица системы:
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 22 2 n А= .................. . am1 am 2 ... amn Расширенной матрицей системы назовем матрицу
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2 n b2 А1= ...................... . a a ... a b mn m m1 m 2 Доказать, что ранг расширенной матрицы системы равен либо числу r-рангу матрицы А, либо числу r+1. Указание. Ясно, что ранг матрицы А1 не меньше r. Убедимся, что он не может быть больше числа r+1. С этой целью расмотрим любой определитель Δ порядка r+2, содержащийся в матрице А1 (если таковые имеются). Определитель Δ либо содержится в матрице А, либо его последний столбец состоит из некоторых элементов bi и тогда Δ «разлагается» по определителям порядка r+1, содержащимся в матрице А. В обоих случаях Δ=0, ибо ранг матрицы А равен r. Точно так же равен 0 любой определитель порядка s>r+2, содержащийся в матрице А1 (если таковые имеются). Следовательно, ранг матрицы А1 не может быть больше числа r+1. 107. Доказать, что если ранг расширенной матрицы и ранг матрицы системы a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (*) .......................................... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm совпадают, то система (*) совместна.
236
Указание. Не ограничивая общности (см. 103), можно считать, что m>n и определитель
à11 à12 ... à1r à21 à22 ... à2 r Δ= ..................
ar1 ar 2 .....arr отличен от нуля (здесь число r представляет собой ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (*)). Расмотрим характеристические определители Δi при i=r+1, …, m (определители, Δ1, Δ2, …, Δr, очевидно, равны 0):
à11 à12 ... à1r b1 à21 à22 ... à2 r b2 Δi=
...................... . ar1 ar 2 .....arr br ai1 ai 2 .....air bi
Если хотя бы один из этих определителей отличен от нуля, то ранг расширенной матрицы системы (*) равен r+1, что противоречит условию задачи. Значит, все характеристические определители системы равны 0 и потому (теорема Руше) система (*) совместна. 108. Доказать, что если ранг расширенной матрицы не совпадает с рангом r матрицы системы a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (*) .......................................... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm то система (*) несовместна. Указание. Не ограничивая общности, можно считать, что m>n (см. 103). Так как по условию ранг расширенной матрицы не совпадает с рангом r матрицы системы (*), то он равен r+1 (см. 106). Следовательно, найдется отличный от нуля определитель порядка r+1, содержащийся в расширенной матрице системы (*). Последний столбец этого определителя должен состоять из некоторых свободных членов bi системы (*) (ибо ранг матрицы системы равен r). Разлагая указанный определитель по элементам последнего столбца, мы убедимся, что хотя бы один из его миноров порядка r отличен от 0. Этот минор является определителем, содержащимся в матрице системы (*). Переставляя (если нужно) уравнения системы (*) и меняя (при необходимости) обозначения неизвестных (что повлечет за собой изменение обозначений
237
коэффициентов при неизвестных и, возможно, изменение обозначений свободных членов), можем добиться того, чтобы определители
à11 à12 ... à1r à21 à22 ... à2 r Δ= ..................
ar1 ar 2 .....arr
à11 à12 .......... à1r b1 à21 à22 ......... à2 r b2 ~ è ............................ ar1 ar 2 ............arr br
ar 1,1 ar 1, 2 .....ar 1,r br 1 ~ оказались отличными от нуля. Но определитель совпадает с характеристическим определителем Δr+1, который, таким образом, оказывается отличным от 0. Следовательно, система (*) несовместна. Замечание. Доказанное в упражнениях 107 и 108 позволяет утверждать следующее (теорема Кронекера-Капелли): система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы. 109. Ранее (см. 32) были приведены определения понятий «линейно независимое множество векторов», «линейно зависимое множество векторов» того или иного векторного пространства Е. В дальнейшем неоднократно употреблялись понятия линейной независимости или линейной зависимости конечной последовательности х 1, х2, …, хк векторов пространства Е (в конечной последовательности два или несколько членов могут представлять собой один и тот же вектор). При этом молчаливо подразумевалось следующее. Пусть М-множество членов конечной последовательности х1, х2, …, хк, т.е. М={xєE:x=xi при некотором iєNk}. Тогда конечная последовательность х1, х2, …, хк является (называется) линейно независимой тогда и только тогда, когда векторы последовательности попарно различны и множество М членов последовательности линейно независимо. Конечная последовательность х 1, х2, …, хк является (называется) линейно зависимой, если она не является линейно независимой. Доказать, что конечная последовательность х1, х2, …, хк линейно зависима тогда и только тогда, когда существуют числа α1, α2,…, αk, не все равные 0 и такие, что α1x1+ α2x2+…+ αkxk=θ Очевидно, верно также утверждение: конечная последовательность линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее членов является линейной комбинацией остальных. Ясно, что конечная последовательность, содержащая нуль-вектор θ или два одинaковых членалинейно зависима. Определим понятие максимального числа линейно независимых векторов конечной последовательности х1, х2, …, хк. Будем рассматривать непустые линейно независимые подмножества множества М. Если таковых нет, т.е. х1=х2= …=хк=θ, то максимальное число линейно независимых
238
векторов последовательности х1, х2, …, хк принимается равным нулю. Если само множество М линейно независимо, то число его элементов и принимается за максимальное число линейно независимых векторов конечной последовательности х1, х2, …, хк. Если М линейно зависимо и среди векторов х1, х2, …, хк есть отличные от θ, то существует такое линейно независимое собственное подмножество Ì множества М, что любой вектор хєМ\ Ì является линейной комбинацией векторов множества Ì . Такое множество Ì будем называть максимальным линейно независимым подмножеством линейно зависимого множества М. ~ Пусть Ì и Ì -два максимальных линейно независимых подмножества линейно зависимого множества М. Доказать, что число элементов ~ множества Ì совпадает с числом элементов множества Ì . Указание. Пусть õ1 , õ2 ,..., õð суть все попарно различные векторы õ,~ õ ,..., ~ õ суть все попарно различные векторы множества Ì , а ~ 1
2
q
~ множества Ì . Рассмотрим векторное подпространство L пространства Е, натянутое на векторы множества М, т.е. совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов множества М. Любой элемент хєL может быть представлен в виде: x=λ1x1+λ2x2+…+λkxk, а любой вектор xi либо принадлежит Ì , либо принадлежит М\ Ì и в любом случае õ1 , õ2 ,..., õð . представляется линейной комбинацией векторов Следовательно, линейно независимое множество Ì является базисом ~ векторного пространства L. Аналогично доказывается, что и Ì является базисом векторного пространства L. Так как любые два базиса векторного пространства равномощны (что для конечномерных пространств доказано в упражнении 33), то р=q, ч.т.д. Замечание. Если множество М членов конечной последовательности х1, х2, …, хк линейно зависимо и отлично от {θ} , то за максимальное число линейно независимых векторов последовательности х1, х2, …, хк принимается число элементов любого максимального линейно независимого подмножества множества М. Если это число равно r (r0. Тогда среди векторов Ae1, Ae2,…, Aen найдутся r попарно различных линейно независимых векторов Aek1, Aek2,…, Aekr таких, что каждый из векторов Ae1, Ae2,…, Aen является линейной комбинацией векторов Aek1, Aek2,…, Aekr. Так как каждый из векторов пространства F является линейной комбинацией векторов Ae1, Ae2,…, Aen (см. 61), то можно утверждать, что каждый вектор пространства F является линейной комбинацией векторов Aek1, Aek2,…, Aekr. Следовательно, эти векторы составляют базис пространства F и ранг оператора А равен r. Замечание. Если оператор А:Rn→Rm инъективен, то векторы Ae1, Ae2,…, Aen линейно независимы, ибо ξ1Ae1+ξ2Ae2+…+ξnAen=θ'→A(ξ1e1+ +ξ2e2+…+ ξnen)=θ'→ξ1e1+ξ2e2+…+ ξnen=θ→ξ1=ξ2=…=ξn=0. Следовательно, m≥n и ранг оператора А равен n. Обратно, если m≥n и ранг оператора А равен n, то векторы Ae1, Ae2,…, Aen линейно независимы. Поэтому, если x= ξ1e1+ξ2e2+…+ ξnen и Ах=θ', то ξ1Ae1+ξ2Ae2+…+ξnAen=θ'→ →ξ1=ξ2=…=ξn=0→x=θ, что доказывает инъективность оператора А. Итак, линейный оператор А:Rn→Rm инъективен тогда и только тогда, когда m≥n и ранг оператора А равен n. Если m=n, то инъективность линейного оператора А:Rn→Rn равносильна его сюръективности (см. 49). Если m>n, то линейный оператор А:Rn→Rm не может быть сюръективным, ибо ранг оператора А не превосходит числа n. Если mn приходим к такому же выводу, ибо если бы столбцы матрицы А оказались линейно зависимыми, то линейно зависимыми были бы и столбцы отличного от нуля определителя порядка r=n, содержащегося в данной матрице. b) r=mn, то Dkfn=θ. Доказать, что для любого действительного многочлена f степени n≥1 имеет место так называемая формула Тейлора: f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) 2 ( x x0 ) n , ( x x0 ) +…+ ( x x0 ) + f(x)=f(x0)+ n! 2! 1! где х и х0 –любые числа из R. Указание. Пусть f= a0 fn+ a1 fn-1+…+ + an1 f1+ a n f0. Убедимся, что формула Тейлора справедлива для базисных многочленов f1, f2,…. При любом натуральном m и любых числах х и х0 из R имеем:
250 m
m
m
m 0
x =[x0+(x-x0)] = õ + Учитывая, что Сmkfm-k=
C k 1
k m
x0
mk
( x x0 ) k (формула
Ньютона).
1 (ê ) 1 (ê ) f m , получим: Сmkx0m-k=Сmkfm-k(x0)= f m ( x0 ) и ê! ê!
m
1 (k ) k fm(x)=fm(x0)+ + f m ( x0 ) ( x x0 ) . k 1 ê! Полагая в этой формуле m=1, 2,…, n и учитывая, что при к>m будем иметь: (n) f 0 ( x0 ) f 0 ( x0 ) f 0 ( x0 ) 2 ( x x0 ) n , ( x x0 ) + ( x x0 ) +…+ f0(x)=f0(x0)+ 1! 2! n! (n) f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) f 1 ( x0 ) 2 ( x x0 ) n , ( x x0 ) + ( x x0 ) +…+ f1(x)=f1(x0)+ n! 1! 2! …………………………………………………………………………. (n) f n ( x0 ) f n ( x0 ) f n ( x0 ) 2 ( x x0 ) + ( x x0 ) +…+ ( x x0 ) n . fn(x)=fn(x0)+ 1! 2! n!
fm(k)(x0)=0,
Умножая первое из этих равенств на a n , второе-на an1 и т.д. (последнее равенство умножается на a0 ), и складывая полученные равенства, находим (так как D, D2,…Dn суть линейные операторы): (n) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 ( x x0 ) + ( x x0 ) +…+ ( x x0 ) n . f(x)=f(x0)+ 1! 2! n! 116. Пусть G–подмножество множества R, представляющее собой конечный или бесконечный (в одну или в обе стороны) интервал. Напомним, что конечный интервал (а, b), где a, bєR и a0, что (х0-δ, x0+δ)G и
251
для всех xє(х0-δ, x0+δ) выполняется неравенство f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)) , то говорят, что функция f в точке x имеет несобственный максимум (несобственный минимум). Для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин-экстремум. Найти все точки экстремума функции-значит найти все такие точки из G, в которых данная функция f:G→R имеет максимум или минимум (собственный или несобственный). Доказать, что если f:R→R. есть действительный многочлен степени n≥1 и точка х0єR такова, что f(x0)≠0 то х0 не является точкой экстремума
функции f (таким образом, равенство f(x0)=0 является необходимым условием того, чтобы точка х0 являлась точкой экстремума действительного многочлена f). Указание. Так как f(x0)≠0, то, применяя формулу Тейлора, будем иметь (при n≥2) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)x 1 f ( x0 ) 1 f n ( x0 ) ( x x0 ) +…+ ( x x0 ) n1 ] x[1+ 2! f ( x0 ) n! f ( x0 ) Обозначим через p наибольшее из чисел
(*)
1 f ( x0 ) , 2! f ( x0 )
1 f ( x0 ) ,…, 3! f ( x0 )
1 f ( n ) ( x0 ) 1 и выберем положительное число δ так, чтобы 00 и собственный максимум при (f''g-fg'')(x0)0 (f(x)0, но в этом интервале функция f не является строго возрастающей. Тогда найдутся такие две точки х1 и х2 интервала (a,b), что x1<x2, но f(x2)≤f(x1). Cогласно доказанному в 121, существуют такие точки x', что x'>x1 и в промежутке [x1, x'] функция f строго возрастает. Ясно, что всякое такое число x' меньше числа x2. Обозначив через Е множество всех чисел x' с указанным свойством, можем заключить, что Е имеет точную верхнюю границу ξ≤x2. Для любого x'єE выполняются неравенства a<x1<x'≤ξ≤x20, то (согласно 121) найдется такое число δ>0, что в интервале (ξ-δ, ξ+δ) функция f строго возрастает. В промежутке (ξ-δ,ξ] найдется точка x0'єE (ибо ξ-наименьшая из верхних границ множества Е). Возьмем любую точку ~õ из интервала (ξ, ξ+δ). Функция f строго возрастает и в промежутке [x1, x0'], и в промежутке [x0, ~õ ]. Отсюда следует, как легко видеть, что f строго возрастает в промежутке [x1, ~õ ]. Выходит, что ~õ єE. Но это абсурдно, ибо ~õ >ξ. Полученное противоречие доказывает, что f строго возрастает в интервале (a,b). Пусть теперь f(x)0 настолько малым, чтобы в интервале (x0-δ, x0+δ) не содержалось корней многочленов f и f кроме х0 (если х0кратный корень f, то х0 является также корнем многочлена f). Тогда в
интервалах (x0-δ, x0) и (x0, x0+δ) каждая из функций f, f сохраняет определенный знак (см. замечание к упражнению 122). Если xє(x0, x0+δ),
то по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=(x-x0)f(ξ), т.е. f(x)=(x-x0)f(ξ), где ξє(x0, x)(x0, x0+δ). Следовательно, в интервале (x0, x0+δ)
функции f и f имеют
одинаковые знаки. Если же xє(x0-δ, x0) , то f(x0)-f(x)=f(η)(x0-x) или f(x)= =-f(η)(x0-x), где ηє(x,x0)(x0-δ, x0). Это и доказывает, что в интервале
(x0-
δ, x0) функции f и f имеют противоположные знаки. 130. Пусть х0-к-кратный корень (к≥2) действительного многочлена f степени n≥2. Доказать существование такого положительного числа δ, что в интервале (x0, x0+δ) функции f и f(k) имеют одинаковые знаки, а в интервале (x0-δ, x0) эти функции имеют либо одинаковые знаки-при четном к, либо противоположные знаки-при нечетном к.
Указание. Число х0 является корнем многочленов f, f,.., f(k-1). Выберем число δ>0 настолько малым, чтобы в интервале (x0-δ, x0+δ) не содержалось корней многочленов f, f,.., f(k-1), f(k), кроме х0. Тогда в
интервалах (x0-δ, x0) и (x0, x0+δ) каждая из функций f, f,.., f(k-1), f(k) сохраняет определенный знак. Согласно доказанному в 129, в интервале (x0, x0+δ)
функция f имеет одинаковый знак с f, функция f'' имеет
одинаковый знак с f и т.д. Следовательно, в интервале (x0, x0+δ) функция
264
f(k) имеет одинаковый знак с f. В интервале (x0-δ, x0) функция f имеет знак, противоположный знаку f. В этом же интервале функция f'' имеет знак, противоположный знаку f. Следовательно, в интервале (x0-δ, x0) функция f'' имеет одинаковый знак с f. Продолжая указанные рассуждения, убедимся, что при четном к производная f(k) в интервале (x0-δ, x0) имеет одинаковый знак с f. При нечетном же k производная f(k) в интервале (x0-δ, x0) имеет знак, противоположный знаку f. 131. Доказать, что если на концах какого-либо интервала (a,b) действительный многочлен f принимает значения разных знаков (f(a)f(b)0), то в интервале (a,b) либо нет корней многочлена f, либо их-четное число. В обоих случаях каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Указание. Если f(a)f(b)0) Из k
k
k
ê ê ... ê
равенства f(a)f(b)= (1) 1 2 (ξ1-a)(ξ2-a)…(ξν-a)(b-ξ1)(b-ξ2)…(b-ξν)g(a)g(b) заключаем, что к1+к2+…+кν-нечетное число, т.е. многочлен f имеет (при f(a)f(b)0, то многочлен f может и не иметь корней в интервале (a,b) (может даже вовсе не иметь корней). Если же они есть в (a,b), то из вышеприведенного равенства для f(a)f(b) следует, что их количество к1+к2+…+кν–четное число. Замечание. Пусть f-действительный многочлен степени n≥1: f(x)= = a0 xn+ a1 xn-1+…+ a n ( a0 ≠0). Записав f(x) в виде
f(x)= a0 xn(1+ чисел
a a1 a 2 2 ... n n ) и обозначив наибольшее из a0 x a0 x a0 x
a a1 a2 , ,..., n через р, можем заключить (как это неоднократно a0 a0 a0
делалось
ранее),
что
при
|x|>p+1
выполняется
неравенство
a a1 a 2 2 ... n n p+1 f(x) имеет знак a0 x a0 x a0 x совего старшего члена a0 xn. Если n–нечетное число, то многочлен f на концах интервала (-р-2, р+2) принимает значения разных знаков и не имеет корней вне этого
265
интервала. Итак, согласно вышедоказанному, действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное число корней и все они принадлежат интервалу (-р-2, р+2). Если числа a n и a0 одного знака, то можно утверждать, что f имеет отрицательный корень, ибо числа f(-р-2) и f(0)= a n имеют разные знаки. Если же числа a n и a0 –разных знаков, то можно утверждать, что f имеет положительный корень. Пусть теперь n–четное число и числа a n и a0 –разных знаков. В этом случае можно утверждать, что f имеет по крайней мере один положительный корень и по крайней мере один отрицательный корень, ибо f принимает значения разных знаков и на концах интервала (-р-2,0) и на концах интервала (0, р+2). 132. Доказать, что между двумя последовательными корнями действительного многочлена f заключается нечетное число корней производной f. Указание. Пусть х1 и х2 последовательные корни f (х10 так, чтобы в интервалах (x1, x1+δ) и (x2-δ, x2) не было корней производной f. Кроме того, õ2 õ1 потребуем, чтобы выполнялось неравенство x1+δ<x2-δ, т.е. δ< . 2 Согласно доказанному в 129, в интервале (x1, x1+δ) f имеет одинаковый
знак с f, а в интервале (x2-δ, x2) f имеет знак, противоположный знаку f. Выберем числа x1'є(x1, x1+δ) и x2'є(x2-δ, x2). Так как числа f(x1') и f(x2') – разных знаков, то (согласно 131) в интервале (x1', x2')–а потому и в
интервале (х1, х2)-заключается нечетное число корней функции f. 133. Пусть f и g–действительные многочлены степеней n и m соответственно, причем n≥m. Доказать существование таких многочленов q и r, что f=gq+r и действительный многочлен r есть либо нуль-многочлен θ, либо имеет степень, меньшую степени m многочлена g. Указание. Доказательство провести индукцией по числу n. Если n=m=0 и f(x)≡ a0 ≠0, g(x)≡b0≠0, то в качестве q следyет выбрать многочлен нулевой степени, для которого q(x)≡
a0 . Выбрав также r=θ, будем иметь: b0
f=gq+r. Если n=1 и f(x)≡ a0 x+ a1 ( a0 ≠0), то следует различать два случая 1) m=1 и g(x)≡b0x+b1 (b0≠0). В этом случае в качестве q следует
a0 выбрать многочлен нулевой степени q(x)≡ . Если при b0
266
a0 b1 =0, то в качестве r выбираем нуль-многочлен; b0 a0 b1 если же a1 ≠0, то в качестве r выбираем многочлен b0 a0 b1 нулевой степени: r(x)≡ a1 . b0 этом a1 -
2)
m=0 и g(x)≡b0≠0. В этом случае в качестве q следует выбрать многочлен первой степени q(x)=
a0 a1 x+ , а в b0 b0
качестве r–нуль-многочлен θ. Пусть утверждение задачи верно для любого действительного многочлена f степени ≤n и любого действительного многочлена g степени m, не превосходящей степени многочлена f. Убедимся, что утверждение задачи остается справедливым для любого многочлена f степени n+1 и любого многочлена g степени m≤n+1. Пусть при всех xєR f(x)= a0 xn+1+…+ an1 , g(x)=b0xm+…+bm, q1(x)≡
где a0 , b0≠0. Введем в рассмотрение многочлен q1:
a 0 n+1-m x . Ясно, что многочлен φ=f-gq1 есть либо нуль-многочлен θ, b0
либо ненулевой многочлен степени n1≤n. В первом случае f=gq1+θ и утверждение задачи верно для f и g. Рассмотрим второй случай. Если n1<m, то f=gq1+φ и утверждение задачи верно для f и g. Если же n1≥m, то согласно предположению индукции φ=gq2+r, где q2–действительный многочлен, а r–либо нуль-многочлен θ, либо ненулевой многочлен степени, меньшей, чем m. Тогда f=gq1+(gq2+r)=g(q1+q2)+r и утверждение задачи справедливо для многочленов f и g. Замечание. Легко доказать единственность представления f=gq+r, где r есть либо θ, либо имеет степень, меньшую степени m многочлена g. В самом деле, пусть gq1+r1=gq2+r2, где r1 и r2 подчиняются указанному ограничению. Тогда g(q1-q2)=r2-r1. Если r2≠r1, то и q2≠q1 и получается, что многочлен g(q1-q2) степени ≥m равен многочлену r2-r1 степени <m. Так как это абсурдно, то r2=r1, а тогда и q2=q1 Заметим еще, что если в представлении f=gq+r r=θ, то говорят, что многочлен f делится на многочлен g или что g является делителем многочлена f. Если g–делитель f, то при любом α≠0 многочлен αg является делителем многочлена f. Если многочлен φ является делителем и многочлена f, и многочлена g, то φ называется общим делителем многочленов f и g. Общий делитель φ многочленов f и g называется наибольшим общим делителем f и g, если φ делится на любой общий делитель многочленов f и g. Пусть φ и ψненулевые многочлены, каждый из которых является наибольшим общим делителем многочленов f и g. Тогда φ=ψq и ψ=φq1, где q и q1-некоторые ненулевые многочлены. Следовательно, φ=φ(qq1), откуда можем
267
заключить, что qq1–многочлен нулевой степени. Поэтому и каждый из многочленов q, q1-нулевой степени, т.е. q(х)≡α, q1(х)≡
1 при некотором
1
α≠0 (αєR). Отсюда следует, что φ=αψ, ψ= φ. Итак, мы видим, что общий наибольший делитель двух многочленов определяется с точностью до произвольного отличного отнуля множителя. Всякий многочлен нулевой степени является общим делителем любых двух многочленов f и g. Если f и g не имеют других общих делителей (степени ≥1), то говорят, что многочлены f и g–взаимно просты. Через D (f, g) будем обозначать тот из наибольших общих делителей многочленов f и g, который имеет своим старшим коэффициентом единицу. Если f и g взаимно просты, то D (f, g)=f0 (f0(x)≡1). Если f не делится на g (предполагается, что степень n многочлена f ≥ степени m многочлена g), то, согласно вышедоказанному f=gq+r, где многочлены q и r определяются единственным образом и многочлен r имеет степень, меньшую степени m многочлена g. При этом многочлен q называется неполным частным от деления f на g, а многочлен r называется остатком от деления f на g. 134. Пусть f на g–действительные многочлены степеней n и m соответственно, причем n≥m. Вопрос о нахождении общего наибольшего делителя многочленов f и g решается с помощью следующего процесса последовательных делений, называемого алгоритмом Эвклида. Делим f на g. Если g оказывается делителем f, то g и является общим наибольшим делителем многочленов f и g и алгоритм Эвклида заканчивается. В противном случае, мы получаем равенство f=gq+r, где r≠θ и r имеет степень, меньшую числа m. Легко видеть, что всякий общий делитель многочленов f и g является общим делителем многочленов g и r и наоборот. Далее, делим g на r, получая в остатке r1; затем, при необходимости, делим r на r1, получая в остатке r2 и т.д. В результате получим цепочку равенств: f gq r , g rq r , 1 1 r r1 q 2 r2 , (*) ................. rk 1 rk q k rk 1 , rk rk 1 q k 1 . Алгоритм Эвклида заканчивается, когда на некотором шагу деление осуществляется без остатка. Это обязательно должно случиться, так как степень многочлена r1 по крайней мере на единицу меньше степени многочлена r; степень многочлена r2 по крайней мере на единицу меньше степени многочлена r1 и т.д. Переходя от первого равенства цепочки (*) ко второму, третьему и т.д., заключаем, что всякий общий делитель
268
многочленов f и g является делителем многочлена rk+1. Затем, переходя последовательно от последнего равенства цепочки (*) к первому, заключаем, что многочлен rk+1 является делителем многочленов rk, rk-1, …, r2, r1, r, g, f. Следовательно, многочлен rk+1, т.е. последний, не равный θ остаток в алгоритме Эвклида, является наибольшим общим делителем многочленов g и f. Доказать, что общий наибольший делитель d многочленов f и g может быть представлен в виде: d=Xf+Yg, где X и Y-некоторые многочлены (один из которых может равняться θ). Указание. Если d=αg при нектором α≠0, то возможность указанного представления очевидна. Если g не является делителем f, то следует заметить, что каждый из остатков r, r1,…, rk+1 в цепочке равенств (*) допускает указанное представление. Например, r=f0f+(-q)g (f0(x)≡1) r1= =g+(-q1)r=g+(-q1)[f+(-q)g]=(-q1)f+(q1q+f0)g и т.д. Замечание. Если, в частности, многочлены f и g взаимно просты, то существуют такие многочлены X и Y, что Xf+Yg=f0 или X(x)f(x)+Y(x)g(x)=1 при всех xєR. 135. Доказать, что если произведение fg двух многочленов f и g делится на многочлен φ, который взаимно прост с g, то многочлен f делится на φ. Указание. Найдя такие многочлены X и Y, что Xg+Yφ=f0 , будем иметь: f=X(fg)+(fY)φ. 136. Пусть действительные многочлены f, g, h-попарно взаимно просты, причем каждый из многочленов f, g имеет степнь ≥1, а многочлен h-более низкой степени, чем многочлен fg. Доказать существование таких ненулевых многочленов f1 и g1, имеющих степени более низкие, чем f и g соответственно, что h=fg1+gf1. Указание. Найти такие многочлены X и Y, что Xf+Yg=f0 (f0(x)≡1). Тогда h=(Xh)f+(Yh)g. Для Xh на g, а Yh на f будем иметь: Xh=qg+g1, ~ Yh= q f+f1 (заметим, что ни один из многочленов Х, У не может равняться θ). Если многочлен Хh-более низкой степени, чем g, то за g1 принимаем Xh. Если Yh более низкой степени, чем f, то за f1 принимаем Yh. В любом случае g1 есть либо θ, либо имеет степень, более низкую, чем g. Аналогичное можно сказать об f1. Но ни g1, ни f1 не могут равняться θ, ибо в противном случае многочлен h либо делится на g, либо делится на f. Поэтому g1 и f1–ненулевые многочлены более низких степеней, чем g и f соответствнно. Подставляя в равенство h=(Xh)f+(Yh)g выражения для Xh и Yh, получим: ~ h=fg1+gf1+(q+ q )fg ~ Если q+ q ≠θ, то многочлен h окажется имеющим степень, не меньшую, чем многочлен fg. Так как это противоречит условию задачи, то ~ q+ q =θ и h=fg1+gf1.
269
Замечание. Если действительные многочлены f и g степени которых ≥1,-взаимно просты, то из доказанного следует существование таких ненулeвых многочленов f1 и g1 степеней более низких, чем f и g соответственно, что f0=fg1+gf1 ((f0(x)≡1) 137. Пусть d–общий наибольший делитель двух действительных многочленов f и g . Из представления d=Xf+Yg (где Х и У-многочлены) следует, что всякий общий корень многочленов f и g является корнем их общего наибольшего делителя d. Ясно, что верно и обратное: всякий корень многочлена d является общим корнем многочленов f и g. Необходимым условием существования общего корня двух действительных многочленов является следующее: их общий наибольший делитель должен иметь степень, не ниже первой. Правда, это условие не является достаточным, ибо действительный многочлен степени к≥2 может и не иметь корней. Доказать следующее: два действительных многочлена f и g, степени которых не меньше единицы, тогда и только тогда имеют общего делителя степени не ниже первой, когда существуют ненулевые многочлены f1 и g1 степеней более низких, чем f и g соответственно, для которых fg1-gf1=θ. Указание. Пусть d–общий делитель многочленов f и g и d имеет степень ≥1. Тогда f=f1d, g=g1d и (fg1-gf1)d=θ. Отсюда следует, что fg1-gf1=θ. При этом f1 и g1–ненулевые многочлены степеней более низких, чем f и g соответственно. Обратно, пусть существуют ненулевые многочлены f1 и g1 с указанными свойствами и требуется доказать, что общий наибольший делитель d многочленов f и g имеет степень ≥1. Обозначим через d1 общий наибольший делитель многочленов f1 и g1. Тогда f1=φd1, g1=ψd1, где ненулевые многочлены φ и ψ взаимно просты. При этом fg1-gf1=(fψgφ)d1=θ, откуда fψ=gφ и мы можем заключить, что f делится на φ, а g
делится на ψ:f=φ f , g=ψ g ( f и g -некоторые ненулевые многочлены).
Имеем: θ=fψ-gφ=φψ( f - g ), откуда f - g =θ и f = g . Мы видим, что
действительный многочлен f является общим делителем многочленов f и
g. Если бы многочлен f оказался нулевой степени, то многочлен φ имел бы степень, одинаковую с многочленом f. Но тогда действительный многочлен f1=φd1 имел бы степень, большую или равную степени многочлена f. Так как это противоречит допущению о многочленах f1 и g1,
то общий делитель f многочленов f и g имеет степень ≥1. Поскольку d f делится на , то и d имеет степень ≥1.
138. Доказать следующее следствие из доказанного в 137: для того, чтобы действительные многочлены a0 xn+ a1 xn-1+…+ an1 x+ a n ( a0 ≠0, n≥1) и b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm (b0≠0, m≥1) не являлись взаимно простыми (т.е. имели общего делителя степени не ниже первой), необходимо и достаточно обращение в 0 определителя m+n–го порядка
270
à0 à1 ...àn m строк
0 a0 ...an1 an ...0 ............................ 0 0...................an b0 b1 ...bm
Δ= n строк
0...0
0...0
0 b0 ....bm1 bm ...0 ............................. 0 0.....................bm
Указание. Согласно доказанному в 137, необходимым и достаточным условием существования у данных многочленов общего делителя степени не ниже первой, является существование двух ненулевых многочленов f1 и g1 таких, что f1(x)=α0xn-1+α1xn-2+…+αn-1, g1(x)=β0xm-1+β1xm-2+…+βm-1 и fg1=gf1 (одно из чисел α0, β0 или оба могут оказаться нулями). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х у многочленов fg1 и gf1, получим систему уравнений:
a 0 0 b0 0 0 a a b b 0 0 1 1 0 0 1 1 0 a 2 0 a1 1 a 0 2 b2 0 b1 1 b0 2 0 .................................................................... a n 0 a n 1 1 ... a n m 1 m 1 b1 n 1 ... bm n m 0 0 0 a n 1 ... a n m 2 m 1 b2 n 1 ... bm n m 1 0 ....................................................................................... 0 0 ... a b 0 0 1 n m 1 m n 1
Это- система n+m линейных однородных уравнений с n+m неизвестными β0, β1, …, βm-1, α0, α1, …, αn-1. Эту систему можно записать так (в предположении, что n≥m):
271
a0 0 0 1 ... 0 m1 b0 ( 0 ) 0 (1 ) ... 0 ( n1 ) 0 a a ... 0 b ( ) b ( ) ... 0 ( ) 0 0 1 m 1 1 0 0 1 n 1 1 0 a2 0 a11 ... 0 m1 b2 ( 0 ) b1 (1 ) ... 0 ( n1 ) 0 ......................................................................................................... an 0 an11 ... anm1 m1 0 ( 0 ) .............. b1 ( n1 ) 0 0 a ... a 0 n 1 n m 2 m 1 0 ( 0 ) ...................b2 ( n 1 ) 0 .......................................................................................................... .......................................................................................................... 0 0 0 1 ... an m1 0 ( 0 ) ................... bm ( n1 ) 0 Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение относительно неизвестных βi и -αj необходимо и достаточно обращение в 0 определителя системы. Но обращение в 0 этого определителя равносильно обращению в 0 определителя транспонированной матрицы системы, который совпадает с Δ. 139.Выше уже отмечалось (см. 2.166, а также упр. 115), что поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым. Это означает, что не всякий действительный многочлен степени n≥1 имеет корень. Равносильное утверждение: не всякое отображение f:R→R, где f– действительный многочлен степени n≥1, является сюръективным. Как мы докажем позднее, поле комплексных чисел (в отличие от поля действительных чисел) алгебраически замкнуто, т.е. любой многочлен f:C→C степени n≥1 с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами имеет в множестве С по крайней мере один корень (который множет оказаться и действительным). Отсюда сразу же следует (см. упр. 19), что всякий многочлен f:C→C степени n≥1 может быть kp k k представлен в виде (при всеx zєС): f(z)= a0 ( z z1 ) 1 ( z z 2 ) 2 ...( z z p ) , где a0 -старший коэффициент многочлена f, а z1, z2,…, zp (1≤p≤n)-попарно различные корни многочлена f, причем к1+к2+…+кр=n (к1≥1, к2≥1,…,кр≥1, кiєN). Ясно, что если р=n, то к1=к2=…=кn=1, т.е. f(z)= a0 (z-z1)(z-z2)…(z-zn) и многочлен f имеет ровно n попарно различных однократных корней. Если же p1, то число z0 должно быть корнем многочлена g, а тогда и число z 0 должно быть корнем многочлена g. Рассуждая аналогично вышеизложенному, получим: f(z)=(z2-2pz+p2+q2)2 g1(z), где g1 есть многочлен с действительными коэффициентами. При к=2 многочлен g1 не обращается в 0 ни при z=z0, ни при z= z 0 . При к>2, продолжая вышеуказанные рассуждения, получим (при всех zєС): f(z)=(z2-2pz+p2+q2)kψ(z), где многочлен ψ степени n-2к имеет действительные коэффициенты и не обращается в 0 ни при z=z0, ни при z= z 0 . Ясно, что указанное представление f(z) справедливо и при к=1, и при к=2. Если многочлен f:С→С с действительными коэффициентами степени n>1 не имеет действительных корней (это возможно только при четном n), то он имеет одну или несколько пар взаимно сопряженных (комплексных корней той или иной кратности и при всех zєС имеет место тождество: k k 2 2 a0 -старший f(z)= a0 ( z 1 z 1 ) 1 .....( z m z m ) m . Здесь коэффициент многочлена f, а кратности к1,…, кm удовлетворяют равенству: 2(к1+…+кm)=n. Квадратныe трехчлены z2+α1z+β1,…, z2+αmz+βm имеют действительные коэффициенты и отрицательные дискриминанты. В общем случае многочлен f:С→С с действительными коэффициентами степени n>1 может иметь один или несколько попарно различных действительных корней той или иной кратности и одну или несколько пар взаимно сопряженных комплексных корней той или иной кратности. При этом для всех zєC имеет место тождество: f(z)= a0 ( z z1 ) 1 ...( z z ) ( z 1 z 1 ) ...( z m z m ) . В этом тождестве z1,…, zμ–действительные корни многочлена f, а все комплексные корни многочлена f являются корнями квадратных трехчленов z2+α1z+β1,…,z2+αmz+βm с действительными коэффициентами и k
k
2
k 1
2
k m
273
отрицательными дискриминантами. Крaтности кi действительных и комплексных корней многочлена f удовлетворяют равенству к1+…+кμ+ +2(кμ+1+…+кμ+m)=n Указанное тождество справедливо для любого многочлена f:С→С с действительными коэффициентами степени n≥1, если допустить, что некоторые из кратностей кi могут быть не только натуральными числами, но и нулями. Так, например, если к 1=…=кμ=0, то многочлен f не имеет действительных корней, если же кμ+1=…=кμ+m=0, то f имеет только действительные корни; при к2=…=кμ+m=0 заключаем, что к1=n и что f имеет единственный (действительный) корень z1 кратности n. Заметим, что каждый действительный многочлен может рассматриваться как сужение на множество R многочлена f:С→С той же степени и с теми же коэффициентами, что и у данного действительного многочлена. Поэтому для многочлена f:С→С с действительными коэффициентами в отношении его «поведения» при действительных значениях аргумента справедливо все то, что доказано выше для действительных многочленов. Если многочлен f:С→С имеет кратные корни, то решение уравнения f(z)=0 можно свести к решению одного или нескольких уравнений φ1(z)=0, φ2(z)=0,…, где многочлены φ1, φ2,… ( с действительными коэффициентами, как и f ) имеют только простые корни. При любом zєC через φ1(z) обозначим произведение множителей z-α, соответствующих простым корням многочлена f (если таковых нет, то полагаем φ1(z)≡1). Далее, через φ2(z) обозначим произведение таких же множителей, соответствующих двойным корням многочлена f и т.д. Тогда f=φ1φ22…φkk, где через к обозначена наивысшая кратность корней многочлена f (мы считаем для упрощения записей, что старший коэффициент а0 многочлена f равен 1). Введем следующие обозначения: D1=D(f,f), D2=D(D1, D'1) и т.д. Заметим, что все многочлены φ1, φ2,…,φk имеют действительные коэффициенты, так как каждому комлексному корню многочлена f определенной кратности соответствует сопряженный корень этого многочлена той же кратности. Доказать, что D1=φ2φ32…φkk-1, D2=φ3…φkk-2,…, Dk-1=φk, Dk=f0 (т.е. Dk(z)≡1). Вывести отсюда, что
D D f =φ1φ2…φk, 1 =φ2φ3…φk, …, k 1 =φk, Dk D1 D2
и, следовательно, φ1=
D D D D D f D1 : , φ2= 1 : 2 , …, φk-1= ê 2 : ê 1 , φk= ê 1 . Dê D1 D2 D 2 D3 Dê 1 Dê
Применив
доказанное
к
многочлену
f(z)=z6+3z5-6z3-3z2+3z+2,
убедиться, что D1=D(f,f) имеет вид: D1(z)=z3+z2-z-1. Точно также убедиться, что D2(z)=z+1, D3(z)=1 (при всех zєC). Следовательно, к=3 и φ3(z)=z+1.
274
z 2z z 2 D ( z) f ( z) Так как =z3+2z2-z-2 и 1 =z2-1, то φ1(z)= =z+2, z 2 1 D2 ( z ) D1 ( z ) 3
2
z 2 1 а φ2(z)= =z-1. Таким образом при всех zєC z 1 z6+3z5-6z3-3z2+3z+2=(z+2)(z-1)2(z+1)3. 140. Пусть f:С→С есть многочлен с действительными коэффициентами. Поставим вопрос о числе действительных корней этого многочлена в произвольном интервале (а,b). Согласно 139, мы можем ограничиться случаем, когда f не имеет кратных корней. В этом случае многочлены f и f взаимно просты. Для решения указанного вопроса образуем т.н. функции Штурма. Обозначим f=f1, разделим f на f1 и обозначим через f2 остаток от деления, взятый с обратным знаком: f=f1φ1-f2 Затем делим f1 на f2 и обозначаем через f3 отстаток от деления, взятый с обратным знаком: f1=f2φ2-f3. Продолжая этот процесс, получим ряд функций (ряд Штурма) f, f1, f2, f3, …, fk, последняя из которых представляет собой общий наибольший делитель многочленов f и f, тождественно равный постоянной, отличной от нуля. Эти функции f, f1,…, fk и называются функциями Штурма. Будем считать, что на границах интервала (a,b) ни одна из функций Штурма не обращается в нуль. Обозначим через х1, х2, х3, …,xm все попарно различные корни функций Штурма (расположенные в порядке возрастания), принадлежащие интервалу (a,b) В полуинтервале [a, x1) все функции Штурма сохраняют свой знак и это же справедливо по отношению к интервалам (х1,х2), …, (хm-1, хm), а x a
b
также по отношению к полуинтервалу (xm,b]. Пусть х-произвольная точка отрезка [a,b], отличная от корней хi функций Штурма. Через Р(х) обозначим число перемен знака в ряду чисел f(x), f1(x), f2(x),…, fk(x). Выберем по произволу точки c1, c2,…, cm-1 так, чтобы с1є(х1,х2), с2є(х2,х3),…, сm-1є(хm-1,хm). Тогда ясно, что Р(а)=Р(х) для любой точки хє[a, x1), Р(с1)=Р(у) для любой точки ує(х1,х2) и аналогичные равенства справедливы для c2,…, cm-1 . Наконец, P(b)=P(ξ) для любой точки ξє(xm,b]. Легко убедиться в том, что две рядом стоящие функции Штурма (в ряду Штурма) не могут обратиться в 0 при одном и том же значении аргумента: предположение о противном приводит к заключению о том, что
275
f и f имеют общий корень, а это невозможно, ибо f не имеет кратных корней. Далее, из равенств, определяющих функции Штурма (и из только что доказанного), следует, что если какая-либо из «промежуточных» функций Штурма fi (1≤i1. f1(x1) также отлично от нуля, так как f не имеет кратных корней. Тогда знаки чисел fi(a) и fi(c1) одинаковы при всех i≥1. Учитывая результат упражнения 129, заключаем, что возможны 2 случая: 1) f f1 f2 … 1) f f1 f2 … - + (a) + (a) + + (c1) - (c1) Как видим, в обоих случаях Р(с1)=Р(а)-1. К такому же выводу мы придем, если в точке х1 обращаются в 0 (кроме многочлена f) одна или несколько функций Штурма. Расмотрим для примера случай, когда f(x1)=0, f4(x1)=0, а остальные функции Штурма не обращаются в 0 в точке х1. Возможны четыре варианта: 1) f f1 - + + + 2) f f1 - + + + 3) f f1 + - 4) f f1 + - -
f2 f3 + + f2 f3 f2 f3 + + f2 f3 -
f4 f5 … - (a) - (c1) f4 f5 … + (a) + (c1) f4 f5 … - (a) - (c1) f4 f5 … + (a) + (c1)
Учитывая, что знаки чисел f2(a) и f2(c1) одинаковы, мы заключаем, что каковы бы ни были знаки чисел f4(a) и f4(c1) для всех четырех вариантов справедливо равенство Р(с1)=Р(а)-1. Так как все вышедоказанное справедливо и по отношению к точкам х2, …,xm, то рассматривая последовательно пары чисел Р(с1) и Р(с2),…, Р(сm) и Р(b) мы приходим к следующей теореме Штурма: при возрастании аргумента от а до b соответствующий функции f ряд Штурма теряет ровно столько перемен знака, сколько корней функции f заключено в интервале (а, b). Другими словами, число действительных корней многочлена f:С→С с действительными коэффициентами, заключенных в интервале (а, b), равно P(a)-P(b). Замечание. При составлении ряда Штурма можно без изменения результатов умножать встречающиеся функции на любые положительные числа во избежание дробных коэффициентов.
277
Рассмотрим пример (взятый из книги Э. Чезаро «Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых»). Пусть f:С→С есть многочлен, для которого при всех zєС f(z)=z4-2z2+z-1. Читателю предоставляется проверить, что для функции f ряд функций Штурма состоит из f, f1, f2, f3, f4, где f1(z)=4z3-4z+1, f2(z)=4z2-3z+4, f3(z)=23z+8, f4(z)=-2924. Возьмем в качестве а число 0, а в качестве b достаточно большое положительное число. При z=0 имеем следующие знаки функций Штурма: -, +, +, +, - , т.е. Р(а)=Р(0)=2. При достаточно большом положительном значении z знаки функций Штурма следующие: +, +, +, +, -, т.е. Р(b)=1. Этот результат будем иметь место уже при z= 2 . Следовательно, f имеет ровно один положительный корень, лежащий между 1 и 2 , ибоf(1)0. Теперь возьмем в качестве а достаточно большое по абсолютной величине отрицательное число. Тогда ряд знаков функций Штурма будет таким: +, -, +, -, -, т.е. Р(а)=3. Так как Р (0)=2, то функция f имеет ровно 1=Р(а)-Р(0) отрицательный корень. Поскольку f(-2)>0, а f(-1)0 (ибо β≠0). Но это противоречит полученному ранее равенству Δ(βi)=0. Значит, действительно, характеристический многочлен n n симметричного оператора A:R →R не может иметь комлпексных корней α+βi при β≠0 (α, βєR). Замечание 1. Используя алгебраическую замкнутость поля комлексных чисел (которая будет доказана позднее) и полученные выше следствия из нее, можем утверждать, что характеристический многочлен симметричного оператора A:Rn→Rn имеет ровно n действительных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если указанный многочлен не имеет кратных корней, то симметричный оперaтор A:Rn→Rn имеет ровно n попарно различных собственных значений. Замечание 2. В упражнении 141 мы расcматривали матрицы и определители, элементами которых являются комплексные числа. Определение детерминанта матрицы с комплексными элементами ничем не отличается от определения, приведенного в 91. Если A и B-две квадратные матрицы n–го порядка (n=2, 3, …) с комплексными элементами, то произведение AB этих матриц определяется с помощью «умножения строк матрицы A на столбцы матрицы B», что согласуется с определением, приведенным в 79. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что определитель произведения двух квадратных матриц
280
(одного порядка) с комплексными элементами равен произведению определителей этих матриц (что доказано в упражнении 95 для квадратных матриц с действительными элементами и их определителей). 142. Рассмотрим последовательность (un) натуральных чисел, определяемую так: u1=1, u2=2, а при n>2 un=un-1+un-2. Получим ряд чисел, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, называемый рядом Фибоначчи. Доказать, что общий вид чисел Фибоначчи следующий: n 1 n 1 1 5 1 1 5 un= 2 . 5 2 Указание. Введем в расмотрение корни α и β квадратного уравнения 1 5 1 5 x2-x-1=0: α= , β= . Тогда α2=α+1, β2=β+1 и при любом 2 2 натуральном n≥2 αn=αn-1+αn-2, βn=βn-1+βn-2. Пусть при любом натуральном n vn=pαn+qβn, где действительные числа р и q подобраны так, что v1=1, v2=2. Для нахождения чисел р, q p q 1 имеем систему уравнений 2 , 2 p q 2 откуда p=
, q=
. При этих значениях р и q v1=1, v2=2, а при
n>2 (nєN) vn=pαn+qβn=p(αn-1+αn-2)+q(βn-1+βn-2)=vn-1+vn-2. Следовательно, при n1 n1 всех nєN un=vn= что и требовалось доказать, так как α-β= 5 . Доказать, что при ν≥2 и n>ν+1 (ν, nєN) имеет место равенство un=uνun-ν+uν-1un-ν-1 (в частности u2ν=u2ν-1+u2ν, ν≥2). 143. Квадратичной формой с n действительными переменными называется всякая функция f:Rn→R, для которой существуют такие действительные числа aij (где индексы i и j, причем i≤j, «пробегают» значения от 1 до n), что для любого х=(x1, x2, …, xn)єRn f(x)= a11 x12+ a22 x22+…+ ann xn2+2 a12 x1x2+2 a13 x1x3+…+2 a1n x1xn+…+ +2 an1,n xn-1xn. Значение f(x) можно записать в виде: n
f(x)=
a
i , j 1
ij
xij x j ( a11 x1+ a12 x2+…+ a1n xn)x1+ +( a21 x1+ a22 x2+…+ a2 n xn)x2+ +………………………...+ + an1 x1+ an 2 x2+…+ ann xn)xn,
281
где индексы i и j независимо друг от друга (условие i≤j снимается) «пробегают» значения от 1 до n, но подразумевается, что при любых i, j
aij = a ji . Симметричная матрица a11 a12 ... a1n a21 à22 ... a2 n А= .................. называется матрицей квадратичной формы f, а ее an1 àn 2 ... ann определитель d называется дискриминантом формы f. Пусть А-линейный оператор в Rn с матрицей А: Ae1= a11 e1+ a21 e2+…+ an1 en, Ae2= a12 e1+ a22 e2+…+ an 2 en, …………………………., Aen= a1n e1+ a2 n e2+…+ ann en. Тогда для любого х=(x1, x2, …, xn)=x1e1+x2e2+…+xnenєR, Ax=x1Ae1+x2Ae2+…+xnAen=x1( a11 e1+ a21 e2+…+ an1 en)+x2( a12 e1+ a22 e2+…+ + a2 n en)+…+xn( a1n e1+ a2 n e2+…+ ann en)= =( a11 x1+ a12 x2+…+ a1n xn)e1+( a21 x1+ a22 x2+…+ +…+ a2 n xn)e2+…+( an1 x1+ an 2 x2+…+ ann xn)en, так что =( a11 x1+ a12 x2+…+ a1n xn)x1+( a21 x1+ a22 x2+…+ a2 n xn)x2+…+( an1 x1+ + an 2 x2+… + ann xn)xn=f(x). Итак, f(x)= (для любого xєRn). Квадратичная форма f называется приводимой, если ее можно m
представить в виде f(x)=
b
i , j 1
ij
yi y j с m переменными y1, y2, …, ym, где m==y12+y22+…+yn2=||Kx||2 и ||Kx||=||x||. Значит, оператор К сохраняет норму, т.е. является ортогональным оператором (см. 90). Далее, Ах=А(y1g1+y2g2+…+yngn), где у=Кх. Так как gi–собственные векторы оператора оператора А, то Ах=y1λ1g1+y2λ2g2+…+ynλngn, так что f(x)===λ1y12+λ2y22+…+ +λnyn2, ч.т.д. Замечание. Обозначим координаты вектора gi (i=1, 2, …, n) через gi1, gi2, …, gin. Так как, К-1e1=g1, К-1e2=g2,…, К-1en=gn, то
g11 g 21... g n1 g11 g12 ... g1n g12 g 22 ... g n 2 g 21 g 22 ... g 2 n [K-1]=[K]-1=[K]'= .................. и [K]= .................. . g1n g 2 n ... g nn g n1 g n 2 ... g nn Итак, при ортогональном преобразовании переменных у=Кх «старые» переменные x1, x2, …, xn выражаются через новые переменные y1, y2, …, yn следующим образом: x1=g11y1+g21y2+…+gn1yn, x2=g12y1+g22y2+…+gn2yn, ……………………….. xn=g1ny1+g2ny2+…+gnnyn
(*).
290
Переменные же y1, y2, …, yn выражаются через старые переменные x1, x2, …, xn так: y1=g11x1+g12x2+…+g1nxn, y2=g21x1+g22x2+…+g2nxn, ……………………….. (**) Yn=gn1x1+gn2x2+…+gnnxn, 149. Пример. Поставим себе целью с помощью ортогонального преобразования переменных привести к каноническому виду следующую квадратичную форму f: f(x)=2x12+2x22+3x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 (x=(x1, x2, x3)любой вектор из R3). Матрица квадратичной формы такова:
A=
2 1 1 1 2 1 . 1 1 3
Дискриминант квадратичной формы d=12+1+1-2-2-3=7≠0, так что форма f неприводима. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид: 2 1 1
1 2 1 =-λ3+7λ2-13λ+7. Решая уравнение -λ3+7λ2-13λ+7=0, 1 1 3 найдем собственные значения линейного оператора А, матрицей которого является A : λ1=1, λ2=3- 2 , λ3=3+ 2 . Для нахождения собственного вектора g1 оператора А следует x1 x2 x3 0 решить систему x1 õ2 x3 0 . Нормированное решение ее (одно из x x 2x 0 3 1 2 двух) таково: g1=( Для
1 2
,
1 2
, 0 ).
нахождения
вектора
g2
решаем
систему:
( 2 1) x1 x2 x3 0 x1 ( 2 1) õ2 x3 0 . С учетом 105 (см. замечание 1), нормированное x1 x2 2 x3 0 1 1 2 2
решение этой системы (одно из двух) таково: g2=( , , 1 2
1 2
Аналогично находим g3: g3=( , ,
1 2
1 2
).
). Cледовательно,
291
[K-1]=
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2
и «старые» переменные x1, x2, …, xn
выражаются через новые переменные y1, y2, …, yn (x=К-1y) следующим образом:
x1=
ó1 2
ó2 ó3 , 2 2
x2=
ó1 2
ó2 ó3 , 2 2
x3=
ó2 2
ó3 2
.
Читателю
предлагается проверить, что, подставив эти значения x1, x2, x3 в выражение f(x), мы придем к заранее известному каноническому представлению формы f в виде λ1y12+λ2y22+λ3y32= y12+(3- 2 )y22+(3+ 2 )y32. 150. В пространстве R2 (на плоскости) наряду со стандартным базисом (ортонормированным) е1=(1,0) и е2=(0, 1) расмотрим какой-либо ортонормированный базис е'1, е'2, получающийся из базиса е1, е2 «поворотом осей на угол φ против часовой стрелки» Ясно, что е'1=cosφе1+sinφе2, е'2=-sinφe1+cosφе2. Если произвольная точка М плоскости имеет в базисе е1, е2 координаты х,у, то координаты x', y' этой же точки М в базисе е'1, е'2 найдутся из уравнения xe1+ye2=x'е'1+y'е'2 или xe1+ye2=x'(cosφе1+sinφе2)+y'(-sinφe1+cosφе2). Из этого уравнения находим: x=x'cosφ-y'sinφ, y=x'sinφ+y'cosφ, откуда x'=xcosφ+ysinφ, y'= =-xsinφ+ycosφ. Расмотрим теперь общее уравнение кривой 2-го порядка на плоскости, отнесенной к стандартному базису е 1, е2 : 2 2 a x +2 b xy+cy +2dx+2ey+f=0. Выясним, на какой угол φ следует повернуть оси координат, чтобы в новом уравнении кривой исчез член с произведением переменных (при этом мы, естественно, считаем, что b≠0). В базисе е'1, е'2 уравнение кривой примет вид: a (x'cosφ-y'sinφ)2+2b(x'cosφ-y'sinφ)(x'sinφ+y'cosφ)+c(x'sinφ+y'cosφ)2+ +2d(x'cosφ-y'sinφ)+2e(x'sinφ+y'cosφ)+f=0. Легко проверить (это предоставляется читателю), что член с произведением x'y' исчезает в том и только в том случае, если (с- a )sin2φ+2bcos2φ=0, откуда ctg2φ=
àñ . 2b
Ограничимся случаем, когда дискриминант δ квадратичной формы a b 2 2 2 ax 2bxy cy отличeн от нуля: δ= = ac b ≠0.b c
x x cos y sin Замечая, что формулы перехода от системы y x sin y cos координат е1, е2 к системе координат е1, е2-можно рассматривать как ортогональное преобразование переменных, мы должны заключить (см.
292
ac ) 2b уравнение кривой 2-го порядка примет вид: λ1x2+λ2y2+2dx+2ey+f=0, где a b λ1 и λ2 находятся из уравнения =0, т.е. λ2-Sλ+δ=0 ( S a c ). b c Здесь d и е-коэффициенты, не зависящие от переменных х, у. Так как λ1≠0 и λ2≠0 (λ1λ2=δ≠0), то полученное уравнение кривой (в базисе е1, е2) можно преобразовать следующим образом: d 2 e 2 d 2 e 2 =0. λ1(x+ ) +λ2(y+ ) +f- 2 1 1 2 d1 Если перенести начало координат в точку с координатами х=- , 1 e d e у=- , т.е. произвести преобразование переменных х=х+ , у=у+ , 2 2 1 то уравнение кривой примет вид: ~ λ1x2+λ2y2+ f =0, (*) d 2 e 2 ~ ~ где f =f. Оказывается значение величины f можно вычислить 1 2 заранее, исходя из первоначального уравнения кривой. a b d ~ Доказать, что f = , где Δ= b c e (мы ограничимся случаем, d e f когда Δ≠0). x k1u k 2 Указание. Пусть –какое-либо ортогональное y 1u 2 преобразование переменных в R2. В новых переменных уравнение ax 2 2bxy cy 2 2dx 2ey f 0 примет вид: a(k1u k2 ) 2 2b(k1u k2 )(1u 2 ) c(1u 2 ) 2 147), что при повороте осей на вышенайденный угол φ (ctg2 φ=
2d (k1u k2 ) 2e(1u 2 ) f 0 или (ak12 2bk11 c12 )u 2 2ak1k 2 b(k1 2 k 2 1 ) c12 u (ak 22 2bk 2 2 c22 ) 2 2(dk1 e1 )u 2(dk 2 e 2 ) f 0
293
Мы
хотим
доказать,
что
для
кривой
второго a b d
порядка
ax 2 2bxy cy 2 2dx 2ey f 0 определитель Δ= b c e d e f ортогональным инвариантом, т.е. что определитель ak12 2bk1 1 c12 ak1k 2 c1 2 b(k1 2 k 2 1 ) dk1 e1
является
2 2 Δ= ak1k 2 c1 2 b(k1 2 k 2 1 ) ak 2 2bk 2 2 c 2 dk1 e1 dk 2 e 2
dk 2 e 2 f
равен определителю Δ. С этой целью рассмотрим следующую квадратичную форму в пространстве R3: ax 2 2bxy cy 2 2dxz 2eyz fz 2 Дискриминантом этой формы является как раз определитель Δ. При ортогональном преобразовании переменных x=k1u+k2v+0∙w, y=μ1u+μ2v+0∙w, z=0∙u+0∙v+w указанная квадратичная форма примет вид: (ak12 2bk11 c12 )u 2 (ak22 2bk2 2 c22 ) 2 fw 2 2ak1k2 b(k12 k2 1 ) c12 u 2(dk1 e1 )uw 2(dk2 e2 )w. Дискриминант этой формы Δ равен: ak12 2bk1 1 c12 ak1k 2 c1 2 b(k1 2 k 2 1 ) dk1 e1 2 2 Δ= ak1k 2 c1 2 b(k1 2 k 2 1 ) ak 2 2bk 2 2 c 2 dk1 e1 dk 2 e 2
dk 2 e 2 . f
Согласно доказанному в 146, дискриминант квадратичной формы есть ее ортогональный инвариант. Следовательно, Δ=Δ. Так как Δ совпадает с Δ, то и Δ=Δ, что мы и хотели доказать. a b d Теперь следует убедиться, что определитель Δ= b d
c e остается e f неизменным и при переносе начала координат (без изменения направленния осей), т.е. при преобразованиях вида х=х+μ, у=у+ν. При 2 2 таком преобразовании уравнение ax 2bxy cy 2dx 2ey f 0 примет вид 2 2 ax 2bxy cy 2(a vb d ) x 2(vc b e) y a 2 2bv cv 2 2d 2ev f 0 и мы должны доказать, что определитель Δ равен определителю
294
a ~ b
b c
a vb d b vc e
a vb d b vc e a 2 2bv cv 2 2d 2ev f ~ Вычитая из 3-го столбца определителя , умноженный на μ 1-ый столбец и умноженный на ν 2-ой столбец, будем иметь: a b d ~ b c e
a vb d b vc e d ev f Теперь вычтем из 3-ей строки последнего определителя умноженную на μ 1-ю строку и умноженную на ν 2-ую строку. Получим: a b d ~ b c e = Δ, что и требовалось доказать. d e f Возвращаясь к уравнению (*), мы, в силу доказанного, можем написать:
a b d
b c e
1 0 d e =Δ= 0 2 f 0 0
0 0 ~ f
~ , откуда λ1λ2 f =Δ или
~ f=
(λ1∙λ2=δ), ч.т.д. 2 Замечания. 1) Если δ= ac b 0 , а ΔS0, то λ1>0,
0 а
295
3) Если δ0. При этом 2
Δ=
5
2
2
2
0 2 1 2 =5∙ 1 2 1
1 2 1
2 -2
2
1 29 2 =- 0.
0 1 2 После поворота осей координат против часовой стрелки на угол 1 3 ac 1 φ= arcctg = arcctg и перенесения начала координат в 2 4 2b 2 надлежащую точку уравнение кривой (согласно 150) примет вид: λ1x2+λ2y2+ =0. Собственные значения λ1 и λ2 матрицы А (оператора А:R2R2 с 5 2 матрицей А) находятся из уравнения =0 или λ2-7λ+6=0, 2 2 откуда либо λ1=1, λ2=6, либо λ1=6, λ2=1. Итак, уравнение кривой примет 29 29 вид х2+6у2= или 6х2+у2= , откуда следует, что данная кривая4 4 эллипс. Этот вывод можно было сделать и заранее (см. замечание 1 к упр. 150), так как δ>0, а ΔSn0: zn-zn0>yn-yn0. 1>yn-yn-1,
ón ón1 0 то, применяя уже доказанную z n z n1 ón z x 0 , откуда lim n и lim n . часть теоремы Штольца, будем иметь: lim zn yn yn Следовательно zn→+∞. Так как, очевидно,
lim
13. Доказать, что если последовательность (xn) имеет предел (конечный или бесконечный, но определенного знака), то тот же предел имеет и последовательность (yn), где yn=
x1 x2 ... xn , nєN. n Указание.
Полагая
un=x1+x2+…+xn,
νn=n,
будем
иметь:
Следовательно (по теореме Штольца), при n→∞
lim yn lim
un lim xn . vn
14. Доказать, что при любом фиксированном кєN
lim
u n u n1 lim xn . vn vn1
410
1k 2 k ... n k n 1 lim при n→∞. k n k 1 2 1k 2 k ... n k n (k 1)(1k 2 k ... n k ) n k 1 . k 1 nk (k 1)n k
Указание.
Обозначив
xn=(k+1)(1k+2k+…+nk)-nk+1, yn=(k+1)nk, будем иметь (при n→∞):
xn xn1 (k 1)n k [n k 1 (n 1) k 1 ] lim lim yn yn1 (k 1)[n k (n 1) k ] (k 1)k k 1 (k 1)n k n k 1 [n k 1 (k 1)n k (1) n ...] 2 lim (k 1)[n k (n k knk 1 ...)] (k 1)k k 1 n ... 2 lim , где многоточием обозначены члены, в каждый из которых n входит в (k 1)knk 1 ... степени, меньшей, чем к-1. Деля числитель и знаменатель дроби на nk-1 и применяя результат
упражнения 10, получим:
lim
xn xn1 yn yn1
(k 1)k 1 2 . (k 1)k 2
1k 2 k ... n k n 1 , ч.т.д. lim Следовательно, nk k 1 2 1 15. Доказать, что e lim 1 n представить в виде
n
при n→∞ и что при любом nєN число е можно
1 1 e 1 ... n , где 0nε). n n 2 2 (a ) k (a ) k 2 2 M M 1 1 , то найдутся такие номера n′ε и Так как при n→∞ n и n k k (a ) (a ) 2 2 M 1 n″ε, что при всех n>n′ε будет n 2a , а при всех n>n″ε будет выполняться (a ) k 2 M 1 неравенство n . Тогда при n>max( n , n , n ) будем иметь: k 2 a (a ) 2 M
(1
)(a ) yn (1 )(a ) или a y n a . 2a 2 2a 2 Случай, когда a =0 рассматривается аналогично вышеизложенному. 18. Доказать, что если xn>0 при всех nєN, то при n→∞
lim n xn lim Указания.
lim
Если
xn1 xn
последовательность
(*)
x x2 x3 , ,..., n1 ,... неограничена сверху, то x1 x2 xn
xn1 и в этом случае очевидно, что неравенство (*) выполняется. Если же указанная xn
413 последовательность ограничена сверху, то (согласно 3.132 и с учетом того, что
xn1 0 при xn
xn1 L . На основании 3.134 (свойство xn xn1 L . Следовательно, Iа), по любому ε>0 найдется такой номер к=nε, что при всех n>к xn всех nєN) существует конечный верхний предел
lim
при n>k+2
0
xk 2 L , xk 1
0
xk 3 L , xk 2
........................ x 0 n L xn 1 Перемножая
xn
все
эти
неравенства,
будем
иметь:
xn ( L ) n( k 1) , откуда xk 1
xk 1 ( L ) n при всех n>к+2. Значит, при всех n>к+2 ( k 1) (L ) n
Так как
lim n
xn n
xk 1 (L ) ( L ) k 1
(**)
xn1 1 (при n→∞), то последовательность положительных чисел ( L ) k 1
x ограничена сверху и потому имеет конечный верхний предел. Из неравенства (**) n
n
lim n xn L . Так как здесь ε-произвольное положительное число, то xn1 n окончательно lim xn L lim при n→∞, ч.т.д. xn следует, что
19. Доказать, что если xn>0 при всех nєN, то
xn1 l im n xn . xn x x2 x3 , ,..., n1 ,... ограничена снизу (например, числом Указание. Последовательность x1 x2 xn xn1 , либо существует конечный нижний предел 0). Согласно 3.133, либо lim xn x l im n1 . Если ℓ=0, то ясно, что подлежащее доказательству неравенство-выполняется. xn l im
Пусть ℓ>0. Задавшись произвольным ε>0, таким, что εк
xn1 (см. 3.134, свойство IIа). Рассуждая, как и в упражнении 18, убедимся, xn
что при всех n>к+2
n
откуда следует, что oкончательно
l im
n
xn . Так как ε может быть взято произвольно малым, то l im
Если
lim
xk 1 ( ) , ( ) k 1
xn n
n
xn l im
xn1 xn
xn1 , то, аналогично вышеизложенному, доказывается, что и xn
lim n xn . Заметим, что из результатов упражнений 18 и 19 следует:
l im
xn1 l im xn
Поэтому если существует предел
lim n xn , причем lim n xn lim 20. Доказать, что
lim
n n
n!
lim
n
xn lim
n
xn lim
xn1 xn
xn1 (конечный или +∞), то существует и предел xn
xn1 . xn
å.
n nn (n 1) n1 (n 1) n nn n Указание. n . Если обозначить xn , то xn1 и n! (n 1)! n! n! n! x xn1 1 (1 ) n , так что lim n1 e . Согласно замечанию к упр. 19, xn xn n x lim n xn lim n1 e . xn 1 1 , то последовательность 21. Доказать, что если при всех nєN xn>0 и lim xn lim xn (xn) сходится. Указание. Пусть
lim xn L (L>0). Тогда lim
1 1 . Одно из чисел L, 1 должно xn L L
1 ≤1. Зададимся произвольным ε>0 и L найдем такие натуральные числа n′ε и n″ε, что при всех n>n′ε будет выполняться неравенство быть ≥1. Будем считать, для определенности, что L≥1,
415
1 1 (см. 3.134, свойство Iа). xn L 1 1 . Но Тогда при всех n>nε=max(n′ε, n″ε) будут выполняться оба неравенства xnnε будут из неравенства xn0, найдем . Убедимся, что lim n 1 n n xm a +ε/2. Затем найдем такой номер nε, что при всех n>nε такой номер m=mε, что m x x1 x2 , ,..., m1 . Возьмем любой номер выполняются неравенства n 2 n 2 n 2 xn a . Если n>m, то n=km+r, где к-натуральное число, а r– n>nε. Если n≤m, то n 2 xn xkm kxm xm a . При 1≤r<m неотрицательное целое число (r<m). При r=0 имеем: n km km m 2 xn xkm xr xkm xr xkm xr xm xr a a . Итак, при получаем: n n n n km n m n 2 2 x xn a , , а это и означает, что lim n a . любом n>nε a n n xkm≤kxm. Пусть
a inf
23. Доказать, что при любом натуральном n
1 1 1 ln(1 ) . n 1 n n
(*)
Указание. Согласно доказанному в 2.192,
1 1 (1 ) n e (1 ) n1 при любом nєN. n n Переходя к логарифмам по основанию е=2,718… и учитывая, что ln–строго возрастающая функция (2.164), будем иметь (см. 2.165):
1 1 n ln(1 ) 1 (n 1) ln(1 ), n n откуда и вытекают неравенства (*). 24. Доказать, что последовательность (Hn), где Hn= 1 бесконечности при n→∞.
1 1 1 ... 2 3 n
стремится к
416
1 k 1 ; 2 2 1 1 1 1 1 1 k при к=2 Н2к=Н4=1+ 1 ( ) 1 ; 2 3 4 2 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k при к=3 Н2к=Н8=1+ ( ) ( ) 1 1 . ; 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 2 Указание. При к=1 Н2к=Н2=1+
Индукцией по числу к доказать, что Н2к≥1+
k . Учесть, что (Hn)–строго возрастающая 2
последовательность. 25. Доказать, что последовательность (xn), где xn= 1
1 1 1 ... -ln n (nєN)-сходится. 2 3 n
Указание. Используя результат упражнения 23, будем иметь:
1 1 ln( n 1) ln n n 1 n
(nєN). Полагая n=1, 2., 3, …, k-1 (к≥4), получим:
1 ln 2 1, 2 1 1 ln 3 ln 2 , 3 2 1 1 ln 4 ln 3 , 4 3 ......................... 1 1 ln k ln( k 1) . k k 1 Складывая все эти неравенства, находим:
1 1 1 1 1 1 ... ln k 1 ... 2 3 ê 2 3 ê 1 Учитывая это, заключаем, что при всех nєN xn>0. Далее, xn=
xn+1-
1 ln n ln( n 1) 0 при любом nєN, т.е. последовательность (xn)–строго убывающая. n 1
Следовательно, существует конечный предел lim ( H n ln n) C 0.577216... , где постоянная С называется постоянной Эйлера. Таким образом, Hn=C+ln n+αn, где αn-бесконечно малая, т.е. lim αn=0 при n→∞
Заметим, что если для некоторой последовательности (βn) lim | n | , то говорят, что βn– бесконечно большая величина. Заметим еще, что из доказанного следует равенство H2n-Hn=ln2n-lnn+ +α2n-αn, т.е.
lim (
1 1 1 ... ) ln 2 . n 1 n 2 2n
26. Пусть дана последовательность a n комплексных (в частности, действительных) чисел. Последовательности
an
сопоставим
последовательность
(Sn),
где
при
любом
nєN
417 n
S n a1 a2 ... an ak
a
( S1 a1 ) . Символ
k 1
n 1
n
будем называть бесконечным рядом
(иногда просто рядом). Числа Sn, n=1, 2,..,k,…, называются частичными суммами ряда. Если
последовательность (Sn) сходится к числу sєС, то будем говорить, что ряд
a n 1
a
писать
n 1
n
=s. В этом случае число s называется суммой ряда:
n
сходится и
s lim (a1 a2 ... an ) .
n
Доказать, что ряд
a n 1
ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого ε>0
n
существует такое натуральное nε, что для любых натуральных чисел m и n, для которых m≥n>nε, m
выполняется неравенство
a k n
0 найдется такое натуральное nε, что при m
любых m,nєN, для которых m≥n>nε, будет выполняться неравенство |Sm-Sn-1|nε выполняется неравенство | a ê | . Следовательно, ê n
m
m
ê n
ê n
aê | aê | при
m≥n>nε, откуда и следует сходимость ряда
a ê 1
ê
.
29.
Доказать,
что
если
сходится
ряд
b n 1
,
n
состоящий
из
действительных
неотрицательных чисел, и при всех n>n0 (n,n0єN) выполняется неравенство | a n |≤ bn , то и ряд
a n 1
n
абсолютно сходится.
Указание. Пусть частичные суммы ζn= b1 b2 ... bn ограничены числом М: ζn≤М при
всех nєN. Обозначим М0= | a1 | | a2 | ... | an0 | . Ясно, что частичные суммы Sn ряда
| a n 1
n
n
|
a
n
–
n 1
удовлетворяют неравенству Sn≤М0+М. Следовательно, ряд
| a
| -сходится, т.е. ряд
n 1
абсолютно сходящийся. Замечание. Часто бывает полезным следующее очевидное утверждение: если ( a n ) и ( bn )– две последовательности действительных неотрицательных чисел и при всех n>n0 (n,n0єN)
выполняется неравенство a n ≥ bn , то из расходимости ряда
b n 1
n
следует расходимость ряда
a n 1
n
.
30.
Доказать, что если ( a n )–монотонно убывающая последовательность действительных
неотрицательных чисел (т.е. при всех nєN a n ≥0 и a n ≥ a n 1 ), то ряд
a n 1
n
сходится в том и
только в том случае, когда сходится ряд a1 2a2 4a4 8a8 ... , т.е. ряд
Указание. Пусть сходится ряд
2 k 0
k
a2 k
2
k
k 0
a 2k
.
, т.е. частичные суммы этого ряда ограничены:
a1 2a2 4a4 ... 2 k a2k M const. Убедимся, что и частичные
при любом кєN
суммы ряда
a n 1
Найдем
n
также ограничены тем же числом М. Пусть n-любое натуральное число.
кєN
такое,
что
n1 и расходится при р≤1.
Указание. При р≤0 общий член ряда не стремится к 0, следовательно, при р≤0 ряд расходится. При р>0 данный ряд сходится или расходится в зависимости от сходимости или расходимости ряда 1
2 4 8 1 1 1 ... 1 ... При 01, то ряд сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия). Следовательно, и данный ряд сходится при р>1 и расходится при р≤1.
32. Доказать, что ряд
1
n(ln n) n 2
ð
сходится при р>1 и расходится при р≤1.
Указание. Так как логарифмическая функция ln, т.е. loge, является строго возрастающей функцией (см. 2.164), то при р≥0 члены ряда монотонно убывают. Следовательно (см. упр. 30), при р≥0 данный ряд сходится или расходится в зависимости от сходимости или расходимости
2 4 2k ... ... , т.е. ряда ряда 2(ln 2) p 4(ln 4) p 2 k (ln 2 k ) p
1 1 1 ð p ð p . Этот (ln 2) k 1 k k 1 (ln 2) k
ряд сходится при р>1 и расходится при 0≤р1 и расходится при 0≤рnε; см. упр. 29) сходится и ряд k
то сходится и ряд
a n 1
34.
a n 1
n
, то (так как
bn . И, наоборот, если сходится ряд n 1
b
n
n 1
,
, ибо an (k )bn при n>nε.
n
Доказать, что если an 0, bn 0 и выполняется неравенство
an 1 bn1 для всех an bn
nєN или хотя бы начиная с некоторого места (т.е. при n≥n0єN), то из сходимости ряда
b
n
n 1
следует сходимость ряда
a n 1
n
.
Указание. Если указанное неравенство выполняется при всех n≥n0, то будем иметь (при всех n≥n0+2)
an0 1 an0
bn0 1 bn0
,
an0 2 an0 1
bn0 2 bn0 1
,...,
an b n , an1 bn1
откуда (после перемножения всех этих неравенств)
an an b n и an 0 bn bn0 an0 bn0
Если сходится ряд
b n 1
n
, то сходится и ряд
35. Доказать, что ряд
1
(ln n) n 2
p
a n0
b n 1
(n n0 2)
bn , а потому (упр. 29) сходится и ряд
n0
a n 1
n
.
расходится при любом р>0.
Указание. Члены ряда положительны и монотонно убывают с возрастанием n. Поэтому (упр. 30) ряд сходится или расходится вместе с рядом 2 4 2k 2k 1 2k ... ... , p p p p (ln 2) p (ln 4) p (ln(2 k )) p (ln 2 ) k (ln 2 ) k k 1 k 1
2k (упр. 4). но этот ряд расходится, ибо p k k
421
36. Доказать, что ряд
1
(ln n) n 2
ln n
сходится.
Указание. Легко видеть, что (lnn)lnn=nln(lnn) (логарифмы чисел, стоящих слева и справа от знака равенства-равны). При n>e9 lnn>9 и ln(lnn)>ln9>2. Поэтому (ln n)lnn=nln(lnn)>n2 при всех n>e9.
Следовательно, при таких n члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда
37. Доказать, что ряд
1
(ln n) n 3
ln(ln n )
1
n n 1
2
.
расходится.
2
å[ln(ln n )] . Из
ln(lnn)
Указание. (lnn)
=
ранее доказанного следует (см. упр. 4), что
n
å åx lim 2 . Легко доказать (что будет сделано несколько позже), что и lim 2 при n x
х→+∞. Это значит, что при всех достаточно больших значениях х х 20 и найдем такое nεєN, что при любых m,nєN, m
таких, что m≥n≥nε будет выполняться неравенство Далее,
найдем
натуральные
| a k n
k
|
2
.
k1 , k2 ,..., kn
числа
такие,
что
ζ(к1)=1,
ζ(к2)=2,…, (k n ) n . Обозначим рε=max( k1 , k 2 ,..., k n ). Ясно, что рε≥nε. Пусть n≥рε и
S n a1 a2 ... an , S n a (1) a ( 2) ... a ( n) . Заметим, что члены a1 , a2 ,..., an входят как в сумму Sn, так и в сумму S n . Поэтому в разность S n -Sn после уничтожения одинаковых членов, могут войти только члены с индексами >nε. Следовательно, m
достаточно большом m. Но при любом m≥nε+1
| a
k n 1
Найдем qεєN так, чтобы при n≥qε было: | S n S |
2
k
|
2
| S n S n |
| a
k n 1
k
|
при
. Значит, при n≥рε | S n S n |
, где S–сумма ряда
n≥max(рε,qε) будем иметь:
| S n S n || ( S n S n ) ( S n S ) |
2
2
a
n
2
.
. Тогда при
.
Но это и означает, что ряд
m
a ( n) сходится и имеет ту же сумму, что и ряд n 1
a n 1
n
.
53. Замечание. Неабсолютно сходящиеся ряды не обладают переместительным свойством,
сформулированном в упражнении 52. Имеет место следующая теорема Римана. Если ряд
a n 1
n
,
состоящий из действительных чисел, неабсолютно сходится, то надлежащей перестановкой членов этого ряда можно добиться того, чтобы он имел своей суммой либо любое наперед заданное конечное число, либо «несобственное число» +∞ или -∞. Интересующийся этим вопросом читатель найдет доказательство теоремы Римана, например, в книге Г.М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. II. Здесь же ограничимся одним примером, иллюстрирующим отсутствие переместительного свойства у неабсолютно сходящегося ряда. Рассмотрим ряд 1
1 1 1 ... , сумма которого 2 3 4
равна ln2 (упр. 44). Произведем перестановку его членов так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных члена:
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 4 3 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2 4n
Имеем:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 3n 1 ... (1 ... ) H 2 n H n H 2 n ( H 2 n H n ) 3 2n 1 2 2 3 2n 2 2 2 1 1 (ln 2 2 n n ) ln 2 при n→∞ (см. упр. 44). Так 2 2
S 3n1 S 3n
1 1 1 , S 3n 2 S 2 n , 2n 1 2n 1 4 n 2
то
и
lim S 3n1 n
как
1 ln 2 и 2
430
lim S 3n2 n
1 ln 2. Заметив, что любое натуральное число m либо делится на 3 без остатка 2
(т.е. имеет вид 3n), либо при делении на 3 дает в остатке 1 (m=3n+1), либо при делении на 3 дает в остатке 2 (m=3n+2),-заключаем, что
lim S m
1 ln 2 , где Sm-любая m–я частичная сумма 2
рассматриваемого ряда. Итак, в результате вышеуказанной перестановки сумма ряда уменьшилась вдвое.
54. Пусть даны два сходящихся ряда
a n 1
n
и
b n 1
n
. Составим всевозможные произведения
членов первого ряда на члены второго ряда. Из этих произведений составится бесконечная прямоугольная матрица:
a1b1
a 2 b1
a3 b1 ....a n b1 .....
a1b2
a 2 b2
a3 b2 ....a n b2 .....
a1b3
a 2 b3
a3 b3 ....a n b3 .....
......................................... a1bk a 2 bk a3 bk ....a n bk .....
(*)
.......................................... Эти произведения можно многими способами расположить в последовательность. Например, полагая c1 a1b1 , c2 a2 b1 a1b2 , c3 a3b1 a2 b2 a1b3 ,..., cn an b1 an1b2 ... a1bn ,... (суммиров
ание элементов матрицы (*) по диагонали), мы можем рассмотреть ряд
ñ
n
n 1
называется произведением Коши двух данных рядов. Можно также суммировать элементы матрицы
(*)
«по
, который
квадратам»,
полагая
d1 a1b1 , d 2 a2b1 a2b2 a1b2 , d 3 a3b1 a3b2 a3b3 a2b3 a1b3 ,...,
d n an b1 an b2 ... an bn an1bn an2bn ... a1bn ,... и рассматривая затем ряд
d
n 1
n
.
an и bn сходятся Доказать следующее утверждение (теорема Коши): если ряды абсолютно, то ряд, составленный из произведений (*), взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой произведение сумм данных рядов. Указание. Когда мы говорим о ряде, составленном из произведений (*), взятых в любом порядке, то имеем в виду, что взято любое биективное отображение ζ множества N на множество
NxN, так что ζ(1)=(i1,k1), ζ(2)=(i2,k2),…, ζ(n)=(in,kn),…, и рассматривается ряд
ñ n 1
(n)
, где
ñ ( n ) ain bkn .
Итак, имеем ряд ai1 bk1 ai2 bk2 ... ain bkn ... , где пары (in,kn), исчерпывают все пары множества NxN и при n≠m (in,kn)≠(im,km). Чтобы доказать абсолютную сходимость этого ряда, составим n–ю частичную сумму Cn ряда, составленного из модулей членов рассматриваемого ряда:
Ñn | ai1 bk1 | | ai2 bk2 | ... | ain bkn || ai1 | | bk1 | | ai2 | | bk2 | ... | ain | | bkn | Пусть рнаибольшее из чисел i1, i2, …, in, а q-наибольшее из чисел k1, k2, …, kn. Тогда
n 1
n 1
Ñn (| a1 | | a2 | ... | a p |)(| b1 | | b2 | ... | bq |) A*B*, где А*= | a n | , В*= | bn | .
431 Следовательно, ряд ai1 bk1 ai2 bk2 ... ain bkn ... абсолютно сходится. Обозначив сумму этого ряда через S и учитывая переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда
(упр. 52), а также сочетательное свойство сходящегося ряда, будем иметь: S=
d n 1
определены
в
начале
упр.
54.
n
, где числа di
S lim( d1 d 2 ... d n ) .
Итак,
Но
n
d1 d 2 a1b1 (a2b1 a2b2 a1b2 ) A2 B2 , A2 a1 a2 , B2 b1 b2 . где Далее, A3 B3 ( A2 a3 )( B2 b3 ) A2 B2 A2b3 a3 B2 a3b3 A2 B2 a1b3 a2b3 a3b3 a3b2 a3b1 A2 B2 d 3 d1 d 2 d 3 , т.е. d1 d 2 d 3 A3 B3 . Индукцией по числу n легко доказать, что d1 d 2 ... d n An Bn , где An–n-я частичная сумма ряда
n
, а Bn-n-я
bn . Следовательно,
частичная сумма ряда
a
S nlim( A Bn ) A B , где A= a n , n n 1
B=
b n 1
n
.
a
55. Пусть ряды
n 1
n
и
b n 1
n
a
сходятся:
n 1
n
=А,
b n 1
n
=В; пусть также один из этих
рядов, например, ряд
a n 1
n
сходится абсолютно.
Доказать, что при этих условиях ряд
ñ n 1
n
, являющийся произведением Коши двух
данных рядов,-сходится и имеет своей суммой число АВ-произведение сумм данных рядов (теорема Мертенса). Указание. Обозначив через An, Bn, Cn частичные суммы рядов соответственно,
будем
an , bn и
иметь:
ñ n 1
n
Cn=c1+c2+c3+…+cn=
a1b1 (a2b1 a1b2 ) (a3b1 a2b2 a1b3 ) ... (an b1 an1b2 ... a1bn ) a1 Bn a2 Bn1 a3 Bn2 ... an B1 . Полагая βn=Вn-B, преобразуем выражение для Сn следующим образом:
Cn a1 ( n B) a2 ( n1 B) a3 ( n2 B) ... an (1 B) An B a1 n a2 n1
0 , где n a1 n a2 n1 ... an 1. a3 n2 ... an 1. Остается доказать, что lim n n 0, найдем такой номер к=кε, что при Задавшись произвольным ε>0 и учитывая, что n n всех n≥к (nєN) будет выполняться неравенство |βn|≤ε. Считая, что n>к, будем иметь:
| n || a1 n a2 n1 ... ank 1 k ank 2 k 1 ... an 1 | A * | 1an 2 an1 ... k 1ank 2 |, т.е. | n | A * | 1an 2 an1 ... k 1ank 2 |,
где
A* | an | . Оставляя число к фиксированным и устремляя n к ∞, получим: n 1
lim | n | A * n
| Так как ε может быть взято произвольно малым, то lim n n
0. | 0 , т.е. lim n n
an и bn -сходится, но не абсолютно, то 56. Замечание. Если каждый из рядов произведение Коши этих рядов может оказаться расходящимся рядом. В качестве примера
432 рассмотрим
неабсолютно
сходящийся
ряд
лейбницевского
типа
1 1 1 1 ... (1) n1 ... и составим произведение Коши этого ряда на самого себя. 2 3 n Общий член этого произведения имеет вид: n 1 1 1 1 1 ... ... ) (1) n1 . Но при n 2 n 1 k n k 1 n k n k 1 k 1 1 1 , так что |cn|≥1 при всех 1≤к≤n кn-к2+к≤n2, следовательно, k n k 1 n и k n k 1 n
cn (1) n1 (
nєN. Таким образом, необходимое условие сходимости нарушено и рассматриваемое произведение Коши расходится. Заметим, что произведение Коши двух неабсолютно сходящихся рядов может оказаться и сходящимся рядом. Рассмотрим, например, неабсолютно сходящийся ряд
1
1 1 1 ... (1) n1 ..., сумма которого равна ln2 (упр. 44). Общий член произведения 2 3 n
Коши этого ряда на самого себя имеет вид: n 1 1 1 1 1 cn (1) n1[ ... ... ] (1) n1 1 n 2(n 1) k (n k 1) n 1 k 1 k (n k 1) n n 2H n 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 (1) ( ) (1) ( ) (1) n1 . n k 1 n 1 k 1 k k 1 n k 1 n 1 k 1 n 1 k Hn Как и в упражнении 48, доказывается, что числа монотонно убывают с возрастанием номера n 1
n и что lim
Hn 0 . Следовательно, ряд n 1
Позднее будет доказано, что если ряды
ñ n 1
n
- лейбницевского типа и потому-сходится.
a и b n
n
сходятся:
a n 1
n
=А,
b n 1
n
=В, то в случае
сходимости произведения Коши данных рядов сумма этого ряда-произведения равна А·В. 57. Пусть даны комплексные числа
a0 , a1 , a2 ,..., an ,... и комплексное число z. Ряд
a0 a1 z a2 z 2 ... an z n ..., который будем записывать в виде
a n 0
n
zn ,
называется степенным рядом. Сходимость (или расходимость) степенного ряда зависит от выбора числа z. Пусть, например, существует
lim n | an | a 0 . Тогда при |z|< n
1 a
1 степенной ряд сходится, а при |z|> ряд расходится. Это утверждение следует из признака a n n n Коши, ибо lim | an z | lim( | an | | z |) a | z | . n
n
Заметим, что при z=0 любой степенной ряд сходится, но может оказаться, что при всех остальных значениях z ряд расходится. Доказать, что если lim n | an | L |z|logaε будем иметь (2.158):
0 a x a loga
или
0 ax
x
a , откуда и следует, что lim x x
a 66. Доказать, что при a 1 lim x Указание. Пусть
0a a x
loga
0 ( 0 a 1).
0 ; если же 0 a 1, то lim a x . x
a 1 . Задавшись произвольным ε>0, при х0, при х0,
xa
при
E
будем
иметь
(2.164):
log x . Если же log a x log a a E или log a x E. Это и доказывает, что lim x a 1 log x . , то log a x log a a E , т.е. log a x E. Значит, lim x 0 a E a log a x 0. 68. Доказать, что при a 1 lim x x
0 x a E
log a n 0 . Ясно, что и n log a (n 1) log a (n 1) log a (n 1) n 1 0, ибо . Заметив это, зададимся n n n n 1 n log a (n 1) (nєN). Пусть х-любое произвольным ε>0 и найдем такое nεєN, что при всех n>nε n Указание.
В
упражнении
11
было
доказано,
что
lim
действительное число, большее, чем nε+1 (x>nε+1). Обозначим через m наибольшее целое, не превосходящее х. Тогда nε+1≤m≤x<m+1
и
log a x log a (m 1) . При этом мы x m
воспользовались тем, что функция loga является строго возрастающей функцией при a 1 (см. 2.164). Итак, для любого ε>0 выполняется неравенство означает, что
lim
0
log a x при всех x>nε+1, а это и x
log a x 0 при х→+∞. x
Замечание. Из доказанного следует, что при a 1 и любом действительном положительном к (к>0)
lim
log a x 0 при х→+∞. xk
В самом деле, зададимся произвольным ε>0 и найдем такое число Δ=Δε>0, что при всех х>Δ имеет 1 log a x ê . Тогда при всех место неравенство x> ê будет хк >Δ и потому x log a x log a x log a x ê . lim 0 при х→+∞. k , откуда Но это и означает, что xk xk xk ax 69. Доказать, что при a 1 и любом к>0 (к, a єR) lim k при х→+∞. x
Указание. Задавшись произвольным Е>0, найдем сперва такое Δ>0 (ΔєR),
k log a x 1 . x 2 klogax=x( 1 ê
Тогда
при
x>max(2logaE,
log a õ 1 ) >2logaE logaE. x 2
Δ)
будем
иметь:
что при х>Δ
ax log a k =xx
Следовательно, при x>max(2logaE, Δ) имеет место
ax ax неравенство: k E. А это и означает, что lim x k . x x 70. Доказать, что при a >1 и к>1 ( a ,kєR)
lim x k log a x 0 x 0
438 Указание. Задавшись произвольным ε>0 и пользуясь результатом упр. 68, найдем такое log x 1 a . Δ>1, что при всех x>Δ будет иметь место неравенство Тогда при 0<x< будет xk log
1
и потому x
1 a x
.
1 ( )k x
, т.е.
xk(-logax)0, что при |x|>Δ | x | 1 |x| 1 |x| | (1 ) e | . | x | 1 1 x Тогда при xΔ) | (1 ) e | , что и доказывает предельное сотношение x 1 1 lim(1 ) x e . Все доказаное позволяет утверждать, что lim(1 ) x e . Это предельное x x x x x(1
сотношение, заменяя переменную х на
1
, можно записать в виде
e lim(1 )
0
1
(*)
Предельное соотношение (*) часто называют вторым замечательным пределом. 75. Доказать непрерывность показательной функции expa:R→R (expa(x)= à , 0 a 1 ). Указание. Согласно 2.158 и 2.160, показательная функция является строго возрастающей функцией при a 1 и строго убывающей функцией при 0 a 1 , причем множеством значений показательной функции является промежуток (0, +∞). Поэтому непрерывность показательной функции следует из теоремы 3.162. x
441 Замечание. Непрерывность показательной функции expa:R→R можно доказать также следующим образом. Согласно упражнению 1 к главе 3, при
a что предоставляется читателю, что и lim x 0 à докажем, что xlim x0
x
x
1 n
a 0 lim a 1 . Легко доказать, n
1 . Заметив это, возьмем любую точку х0єR и
à x0 . Зададимся произвольным ε>0 и найдем (учитывая, что lim a x 1 ) x 0
такое δ>0, что при всех х таких, что |x|0 и 0<x1<x2, то lnx10, что при всех uєR, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство |arctgu-arctgu0|