О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой

Алгебра и логика,, 39, N 5 (2000), 602-617

УДК 512.544

О НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С СИЛЬНО ВЛОЖЕННОЙ ПОДГРУППОЙ^ А.И.СОЗУТОВ

Собственная подгруппа Н группы G называется сильно

вложенной,

если Н содержит элемент порядка 2 (инволюцию) и для любого элемента д £ G\ Н подгруппа Н П Н9 не содержит инволюций. Понятие сильно вложенной подгруппы — один из наиболее важных инструментов теории конечных простых групп, оно появилось в серии работ Д. Томпсона, по­ священных классификации конечных простых N-групп (в частности, ми­ нимальных простых групп) [1, § 1.1, с. 26—27]. Конечные группы с сильно вложенной подгруппой хорошо изучены. В случае, когда силовская 2-подгруппа содержит единственную инволю­ цию, их строение определяется теоремой Брауэра—Сузуки [2], а когда ранг силовской 2-подгруппы ^ 2, тогда — теорией дважды транзитивных групп [1, §3.2]. Полная классификация конечных простых групп с сильно вло­ женной подгруппой (группы L2{q)i Sz(q) и С/з(д), г Д е Я '~ степень числа 2) была получена в результате исследований Г. Цассенхаузена [3], М. Сузуки [4—6] и X. Вендера [7]. Их результаты имеют фундаментальное значение для теории конечных простых групп (см., например, [1, §4.2]). В теории периодических групп аналогичная классификация играла бы не меньшую роль, потребность в ней отчетливо проявилась, например, в работах В.П.Шункова [8—11], выделившего периодические и смешан­ ные группы с сильно вложенной подгруппой в самостоятельный объект *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00542.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

603

О некоторых бесконечных группах

изучения. Первые исследования периодических групп с сильно вложен­ ной подгруппой были выполнены В.П.Шунковым и А.Н.Измайловым: в [12] получены аналоги теоремы Брауэра—Сузуки, а в [13] — некоторых результатов М. Сузуки (при условии существования в группе G строго ве­ щественного относительно некоторой инволюции i элемента а нечетного порядка, порождающего с каждым элементом а 5 , где д (Е С#(г), конечную подгруппу). Понятно, что в общем случае речь идет о возможности переноса лишь некоторых результатов о конечных группах с сильно вложенной подгруп­ пой на класс периодических и смешанных групп, поскольку в этом клас­ се не выполняются аналоги теорем Фробениуса, Томпсона (о нильпотент­ ности ядра группы Фробениуса), теоремы Брауэра—Сузуки (см. вопрос В. П.Шункова 4,74 из [14]), а в теории бесконечных дважды транзитив­ ных групп еще не решены многие проблемы (см., например, вопросы 11.52, 12.48, 14.59 В.Д.Мазурова, 9.71, 10.65 А.Н.Фомина и 10.64 Я.П.Сысака из [14]). Несмотря на это, строение сильно вложенных подгрупп в периоди­ ческих группах иногда все-таки можно определить, В некоторых случаях оно такое же, как и в локально конечных группах. Хорошо известно, что группы I/2(Q) и Sz(Q), где Q — локально ко­ нечное поле характеристики 2, являются ^-группами (группами Цассенхауза) [1, § 3.2, с. 159], т. е. дважды транзитивными группами подстановок, в которых лишь единица оставляет на месте три символа. Сильно вложен­ ная подгруппа в них совпадает со стабилизатором точки и нормализато­ ром силовской 2-подгруппы S, а кроме того, является группой Фробени­ уса с ядром S и локально циклическим дополнением. В L