Математическая сейсмология в СССР

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР. С. Л. С о б о л е в (чл.-корр. Ак. наук) и С. Г. М и х л и н . Математическая сейсмология в дореволюционной России разрабатывалась сравнительно мало. Кроме работ акад. Б. Б. Голицына, ничего заметного в этой области сделано не было. Вопросы, которыми занимается математическая сейсмология, разделяются в основном на вопросы так называемой „большой сейсмологии" и „малой сейсмо­ логии". „Большая сейсмология", которой по преимуществу занимался акад. Голицын, имеет своим предметом изучение строения земного шара в целом и изучение явления землетрясений как явления, затрагивающего большие части земного шара. К такого рода вопросам относится, например, задача об определении скоро­ стей упругих волн в различных точках внутренности земного шара, вопросы меха­ низма возникновения землетрясений в некоторых районах земной поверхности, тесно связанные с задачей о распределении внутренних сил в земной коре, и т. п. К малой сейсмологии относятся задачи, связанные с изучением местных явлений при землетрясениях. При изучении такого рода явлений не учитываются шаровидность земли, распределение материков и океанов и т. д. Научная постановка вопросов малой сейсмологии может по справедливости считаться заслугой Сейсмологического института Академии наук СССР. Математической разработкой этих вопросов занимался теоретический отдел этого института. Основные работы Сейсмологического института были связаны с двумя круп­ ными проблемами: распространением сейсмических волн и статическим распре­ делением напряжений в земной коре. При этом в качестве первого приближения к действительности принималось, что вещество земной коры — однородное и идеально упругое. В соответствии с указанной проблематикой Сейсмологического института работа его теоретического отдела проводилась в основном в двух направлениях: динамической и статической теории упругости. Ряд работ теорети­ ческого отдела посвящен также теории пластического состояния; эти работы вызваны к жизни тем обстоятельством, что гипотеза об идеально упругой земной коре не всегда может считаться достаточно близкой к действительности, а теория пластического ее стояния представляет собой попытку объяснения процессов, происходящих в веществе за пределами упругости. В настоящей статье мы коснемся главным образом работ теоретического отдела Сейсмологического инсти­ тута, относящихся к теории упругости. Первая часть статьи будет посвящена статичесЁой, вторая—динамической еории упругости.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

229

§ 1. Основные понятия и уравнения теории упругости. Теория упругости представляет собой раздел механики сплошной среды, к которой относятся также гидродинамика, теория пластичности, теория сыпучих тел и др. Обычная механика имеет дело с твердым телом, в котором расстояние между любыми двумя его частицами остается неизменным. Механика же сплош­ ной среды изучает деформируемые тела, в которых под влиянием действующих на них внешних сил меняются положения частиц друг относительно друга. Деформацией такого сплошного тела и называется изменение расстояния между его частицами, иначе говоря, изменение взаимного расположения этих частиц. Такое различие объектов изучения приводит, между прочим, к тому, что многие теоремы механики твердого тела делаются неверными в применении к деформи­ руемому телу. Так, в механике сплошной среды нельзя пренебрегать системами сил, статически эквивалентными нулю. Если, например, к концам упругого стержня приложить две равные, направленные в противоположные стороны рас­ тягивающие силы, то стержень растянется. Состояние стержня под действием этих сил, статически эквивалентных нулю, очевидно, отлично от того состояния, в котором этот стержень находится без воздействия внешних сил. Как уже было сказано, одно из основных положений механики сплошной среды заключается в том, что сплошная среда считается деформируемой под влиянием внешних сил. В тесной связи с этим находится и другое положение: При деформации сплошной среды в этой среде возникают внутренние силы, являющиеся результатом воздействия одной части деформируемой среды на другую. Относительно этих внутренних сил делается следующее предположение. Если мысленно вырезать любую часть сплошной среды, то совокупность всех действующих на эту часть сил статически эквивалентна нулю. Это предположение можно назвать аксиомой равновесия. Как это подчеркнуто самим названием, в механике сплошной среды прини­ мают, что вещество непрерывно распределено во всем объеме, которое оно заполняет. Чтобы составить представление о характере внутренних сил, поступим сле­ дующим образом. В некоторой точке Л сплошной среды проведем три оси, парал­ лельные осям координат. Рассмотрим площадку а, расположенную в плоскости ZOY и содержащую внутри себя или на границе точку А. К этой площадке приложены некоторые внутренние силы, являющиеся результатом воздействия на нее остальной части сплошной среды. Пусть вектор сил, действующих на площадку о, будет р(ож). Составим отношение

где на этот раз через о обозначена величина площадки. В механике сплошной среды принимается, что отношение (1), вообще говоря, стремится к определен­ ному пределу, когда линейные размеры площадки о стремятся к нулю: Иш b _ = t(*>.

(2)

230

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

Вектор t1 называется вектором напряжения в точке А на площадку, нормальную к оси х. Точно так же строятся векторы напряжений vV) и t, на площадки, нормальные соответственно к осям у и з. В общем случае векторы Ла?) АУ) t- ' суть функции координат точки Л. Если векторы t l ', t , г ' известны, то вектор напряжений на любую пло­ щадку в точке А определяется равенством w t w = t*(*), cos(w, a;) + dV) t w 'cos(», j/) + t w cos(w, *), • < * ) .

(3)

где n — направление нормали к рассматриваемой площадке. Вектор К сил, действующих на любую поверхность конечных размеров И5 выражается через вектор t(w) по формуле К

-//*°

*>.

(4)

где da — элемент поверхности. Формулы (3) и (4) показывают, что состояние внутренних сил в сплошной среде вполне известно, если известны в каждой точке векторы t(£C), t(y\ t{z). Пусть i, j , k — орты осей х, у, z. Разложим векторы t(a,), t(y\ t(z) по ортам i, j , k. Эти разложения будут иметь следующий вид:

t^xj+xy+x.k,] tw=YJL+Yj+Y.k,\

(5)

Величина Хх есть нормальная составляющая напряжения на площадку, пер­ пендикулярную к оси ОХ] Ху и Хв суть составляющие напряжения на ту же площадку, лежащие в плоскости этой площадки. Аналогичные заключения можно сделать об остальных величинах Yx, . . . , Ze. Очевидно, состояние внутренних сил, или, как говорят, напряженное состояние в сплошной среде, будет вполне известно, если в каждой точке сплошной среды будут даны значения совокупности девяти величин: Y

Y

Y

(6)

Zx-> ^ v Zz Для читателя, знакомого с тензорным анализом, отметим, что совокупность величин (6) образует тензор, называемый тензором напряжений. Компоненты напряжений не независимы: как это доказывается в механике сплошной среды, они удовлетворяют в силу аксиомы равновесия следующим уравнениям: Ху = lrx; Xz = Zx; Yz = Zy, (7) дх„ , dYv^ 4-^ + х-о, ду дх dY„ dZ.. Y = 0, дз дх ду дх

щ

•»-£+*-•

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

231

Здесь X, Y", Z—компоненты объемных сил (включая и силы инерции), отнесенных к единице объема. Соотношения (8) называются обычно уравнениями равновесия. Обратимся теперь к понятиям, связанным с деформацией сплошной среды. Рассмотрим две точки Ж и Жх, радиусы-векторы которых до деформации равны соответственно г и г -f- dr. В результате деформации точка Ж сместится на неко­ торый вектор и, а точка Мг—на u-f-du. Квадрат расстояния между Ж и Жх изменится на величину (dr + dnf — dr2 = 2 (du, dr) + du2. (9) Величина (9) и определяет деформацию сплошной среды. Обозначим VL^UJL + UJ + UJL. Можно показать, что 2 (du, dr) + du* = w da? + T y , dy2 + Tg2 d,^ + 2 ^ , d^ dy + 2Тжг d^ d^ + 2 Tyi dj/ d*, где (10) *xy

' 3«/ ' 9ж "•" ду ds ^ dy

и аналогично определяются -у , .

• 9 4zz

lex

ds 0*

' dy dz '

Положим \xz >

7

s===

If»* •

Совокупность величин \хх

Ixy

\xz

Чу%

Чуу

4yz

\zx

\zy

\zz

(11)

образует тензор, называемый тензором деформации. В дальнейшем мы будем иметь дело с малыми деформациями, т. е. с такими деформациями, что квадратами и произведениями смещений их, и , uz и их про­ изводных по координатам можно пренебречь по сравнению с их первыми степе­ нями. Тензор деформации тогда принимает . dtiболеедипростой duz вид: х дгк ди^ ду ' дх dz ' дх дх дих , ди^ ду ' дх

ду

dz ' ду

9 Зад. диу , duz dz "^ дх дг ^ ду Обратимся теперь к упругим телам. Мы будем называть сплошную среду упругой, если выполнены следующие условия: 1) в рассматриваемой среде воз­ можны только малые деформации; 2) между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций существует взаимно-однозначная зависимость. В силу малости деформаций эту зависимость можно считать линейной. Не вдаваясь в подробности, отметим, что наше определение — не наиболее общее. Однако классическая теория упругости, дальнейшему развитию которой

232

С Л .СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

посвящены работы теоретического отдела Сейсмологического института, рас­ сматривает только упругие среды, удовлетворяющие указанным гипотезам. Если упругая среда изотропна, т. е. ее упругие свойства одинаковы во всех направлениях, то, как это можно доказать, связь между тензорами дефор­ мации и напряжений имеет следующий вид:

(дих

(12)

ди А

и т. д. Величины л и |х — постоянные, характерные для данной упругой среды. Они называются коэфициентами Ляме. Чтобы найти напряжения и деформации в упругой среде, необходимо решить систему девяти диференциальных уравнений в частных производных (8) и (12) с девятью неизвестными Хх, . . . , Zz, ихУ иу, uz при некоторых граничных, а в случае зависимости упругого состояния от времени, — и начальных условиях. Значительные трудности, на которые наталкивается решение такой задачи* заставляют рассматривать частные ее случаи, в которых можно надеяться полу­ чить решение более простым путем. Одним из таких случаев, и притом чрезвы­ чайно важным, является так называемая плоская задача теории упругости. Плоским деформированным состоянием называется такое состояние упругой среды, когда вектор смещения в каждой точке среды параллелен некоторой фикси­ рованной плоскости, которую мы примем за плоскость XOY, и не зависит от з. Такое состояние можно осуществить, если бесконечный цилиндр с образую­ щими, параллельными оси я, подвергнуть действию внешних сил, которые остаются постоянными вдоль образующей и направлены нормально к ней. Плоское деформированное состояние можно характеризовать равенствами

Пользуясь уравнениями (12), можно доказать, что в этом случае напряжения также не зависят от г. Из этих же уравнений следует, что

Х.-0,

Y, = 0, Z.-jjJ^iX.+

Yj.

Таким образом в рассматриваемом случае вместо девяти неизвестных доста­ точно определить только пять, а именно Хх, Ху, Yy, ux, и . Эти неизвестные удовлетворяют уравнениям

23&

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СЕЙСМОЛОГИЯ В СССР

Задача определения плоского деформированного состояния по уравнениям (13) и называется плоской задачей теории упругости, а уравнения (13) назы­ ваются уравнениями плоской задачи теории упругости. § 2. Плоская статическая задача теории упругости. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением статического состояния Без ограничения общности можно принять, что объемные силы отсутствуют* Х = Г = 0. Так как картина деформаций и напряжений не зависит от #, то достаточно рассмотреть только сечение упругой среды плоскостью XOY. Это сечение будет некоторой областью плоскости XOY, в которой и должны быть определены пять неизвестных, удовлетворяющих уравнениям (13). К уравнениям (13) необходимо присоединить еще граничные условия. Эти условия могут быть довольно разнообразными. Мы будем рассматривать два типа граничных условий: 1) На контуре области даны смещения точек упругой среды. 2) На контуре области заданы внешние силы (или напряжения), действующие на упругую среду. Отде^ные случаи плоской задачи решались различными методами. Наиболее эффективным оказался метод комплексной переменной. Впервые этот метод был применен к ряду частных задач Г. В. Колосовым в его докторской диссертации г> в 1909 г. Значительное развитие этот метод получил в работах Н. И. Муехелишвили 2 ), которому мы обязаны наиболее интересными результатами в решении плоской задачи. Изложим кратко сущность метода комплексной переменной. Первые два уравнения (8) при сделанном нами предположении X = Y = 0 имеют общий интеграл

Yх — д2Ж

~~ ду* '

у —д!К У~

'дх* '

х — — *

mW

дх ду'

где W—произвольная пока функция. На основании остальных трех уравне­ ний (8) можно заключить, что функция W удовлетворяет так называемому бигармоническому уравнению дх* ^

дх*ду^

ду*

Таким образом вместо пяти неизвестных Хх, Ху, Yy, ux, иу достаточно найти одну неизвестную W. Следующий шаг был сделан Гурса, который показал, что всякую бигармоническую функцию, т. е. функцию, удовлетворяющую бигармоническому уравнению, можно представить в следующем виде:

*) Г. В. К о л о с о в, Об одном применении теории фунцкий комплексной переменной к плоской задаче математической теории упругости, Юрьев 1909. Эта книга переиздана в 1935 г. 2 ) Почти все результаты Н. И. Мусхелишвили изложены в его книге „Некоторые задачи теории упругости", АН СССР, 1935.

234

С. Л. СОБОЛЕВ И С. Г. МИХЛИН

где ср (>) и у (^) — аналитические функции комплексной переменной # = #-(- г'//. Н. И. Мусхелишвили принадлежат следующие формулы:

17 +г' W = 9 ("} + * ^ + ^ '

(14)

2;х (»я + « д = у.? (г) -.? 7 Н - Wh

(15)

где

Далее, если Xv и F v суть составляющие по осям % я у внешних сил, при­ ложенных к контуру области, то на этом контуре справедливо равенство 3W

3W

Г

^+*'^—7^+^ л + а '

(16)

где а — произвольная постоянная. В случае односвязной области ее можно фик­ сировать произвольно; если же область многосвязная, то интегрирование введет на каждом контуре особую постоянную. В этом случае одна из постоянных опятьтаки может быть зафиксирована произвольно, а остальные определяются требова­ нием, чтобы полученные в результате смещения были однозначными. Заметим, что правые части формул (14) и (15) формально совпадают, если в первой положить — 1 = х и изменить знаки обеих частей равенства. Плоская задача теории упругости сводится к следующей краевой задаче теории функций комплексной переменной: Найти две аналитические функции