Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Ч. 1

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ И. А. КУПРИЯНОВ О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ 1

Санкт-Петербург 2001

2 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра сопротивления материалов Н. Б. ЛЕВЧЕНКО Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ И. А. КУПРИЯНОВ О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения ЧАСТЬ 1 Задачи № 1–11 Под редакцией д-ра техн. наук, проф. В. Д. Харлаба

Санкт-Петербург 2001

3 УДК 539.3/8(07) Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 1 / Н. Б. Левченко (гл. 1, кроме разд. 1.2.3), Л. М. Каган-Розенцвейг (гл. 2), И. А. Куприянов (гл. 1, разд. 1.2.3; гл. 3), О. Б. Халецкая (гл. 2); СПбГАСУ. СПб., 2001. – 89 с. В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-проектировочные работы, по трем темам: "Растяжение-сжатие", "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния" и "Кручение". Решение задач снабжено подробными объяснениями. Ил. 54. Библиогр. 4 назв.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения); д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий) Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

© Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая, 2001 © Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2001

4

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

В процессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР). Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер. Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в издании "Сопротивление материалов и основы строительной механики" (Методические указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ. СПб., 1999), по которому студенты выбирают схемы решаемых задач. В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что Вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов. Расчетно-проектировочные работы оформляются на стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в

5 соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для замечаний преподавателя. После выполнения всех задач, входящих в расчетнопроектировочную работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Нагрузки: F – сосредоточенная сила, кН; M – сосредоточенная пара сил (момент), кН⋅м; q – интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м. Обозначение осей: x – продольная ось стержня; y , z – главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня. Геометрические характеристики поперечного сечения стержня: A – площадь поперечного сечения, см2; S y , S z – статические моменты относительно осей y, z , см3;

I y , I z – осевые моменты инерции относительно осей y, z , см4; I p – полярный момент инерции, см4. Внутренние усилия: N – продольная сила, кН; Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН; My , Mz, (M) – изгибающие моменты кН⋅м; Mк – крутящий момент, кН⋅м. Напряжения: σ x , σ y , σ z , (σ) – нормальные напряжения, МПа;

τ xy , τ yz , τ zx , (τ) – касательные напряжения, МПа;

σ1 , σ 2 , σ 3 , (σгл) – главные напряжения, МПа. Деформации и перемещения: ε x , ε y , ε z ,(ε) – относительные продольные деформации;

γ xy , γ yz , γ zx , (γ) – угловые деформации (углы сдвига); ∆l – абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (переме-

6 щения точек оси вдоль оси x), см; v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см; ϕ – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад; θ – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад. Характеристики материала: σпц – предел пропорциональности, МПа; σт – предел текучести, МПа; σв – временное сопротивление (для хрупких материалов σ рв – предел

прочности при растяжении, σ св – предел прочности при сжатии), МПа; [σ], [τ] – допускаемые напряжения, МПа; E – модуль упругости, МПа; ν – коэффициент Пуассона; α – коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

7

1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.1, 2.2), гл. 3 (§ 3.1, 3.4, 3.6–3.12). Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 2. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 1 (§ 1.3), гл. 2.

Основные понятия и формулы

Растяжение-сжатие – простейший вид деформации стержня. При растяжении-сжатии в стержне из шести видов внутренних усилий возникает только одно усилие – продольная сила N. Для определения внутренних усилий в стержнях и стержневых системах используется метод сечений. Согласно этому методу продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна (рис. 1.1). Часто внутреннее усилие меняется по длине стержня, в этом случае принято рисовать график изменения усилия вдоль оси стержня, N>0 N>0 который называется эпюрой. Эпюра позволяет определить, в каком сечении N 0 , σ z > 0 (растягивающие), касательное напряжение τ xz > 0 (обходит площадку по часовой стрелке), касательное напряжение τ zx < 0 (обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле знаков для τ закон парности касательных напряжений принимает вид τ xz = − τ zx . (2.1) Если рассматривать только площадки, перпендикулярные незагруженной площадке, то положение площадки определяет угол α n между нормалью к ней и осью x (см .рис. 2.2). Угол α n отсчитывается от оси x к нормали n и считается положительным, если отсчет происходит против часовой стрелки. Нормальное напряжение σ n и касательное напряжение τ n на этой площадке определяются по формулам σ + σz σx − σz σn = x + cos ( 2α n ) − τ xz sin ( 2α n ) ; (2.2а) 2 2 σ − σz (2.2б) τn = x sin ( 2α n ) + τ xz cos (2α n ) . 2 Примечание. В правой части формул (2.2а) и (2.2б) на первом месте стоит нормальное напряжение на той площадке, от нормали к которой отсчитан угол α n . Касательное напряжение берется с этой же площадки.

49 Формулы (2.2а) и (2.2б) показывают, что плоское напряженное состояние в точке определяется тремя параметрами – напряжениями σ x , σ z , τ xz : зная эти три параметра, можно вычислить напряжения по любой площадке. Пусть σ n + 90 – нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной площадке с нормалью n. Из выражения (2.2а) следует, что σ x + σ z = σ n + σ n +90 , (2.3) то есть сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при совместном повороте этих площадок (является инвариантом напряженного состояния). Формулы (2.2а) и (2.2б) упрощаются, когда заданные площадки являются главными (то есть на них отсутствуют касательные напряжения). Пусть в этом случае главные напряжения обозначены ′ , тогда σ x = σ′гл , σ y = σ′гл ′ ′ σ′ + σ′гл σ′ − σ′гл σ n = гл + гл cos ( 2α n ), 2 2 (2.4) ′ σ′гл − σ′гл sin ( 2α n ). τn = 2 Если исходные площадки не являются главными, то главные напряжения могут быть вычислены по формуле σ′гл ⎫ σ x + σ z 1 ± ( σ x − σ z ) 2 + 4 τ xz 2 . ⎬= ′ ⎭ σ′гл 2 2

Согласно (2.3)

(2.5)

′ = σx + σz . (2.6) σ′гл + σ′гл Положение главных площадок определяет угол α гл , который находится из уравнения 2τ xz . (2.7) tg( 2α гл ) = − σx − σz Формуле (2.7) отвечает множество углов α гл , отличающихся друг от друга на величину, кратную 90°. Разные главные площадки соответ′ . ствуют только двум из этих углов, которые обозначают α′гл , α′гл

50 Для определения площадки, на которой действует бóльшее из ′ , можно установить, исследуя при α n = α гл знак напряжений σ ′гл , σ ′гл второй производной функции σ n ( α n ) , заданной выражением (2.2а). Эта производная d 2σn = −2( σ x − σ z ) cos ( 2α n ) + 4τ xz sin ( 2α n ) . (2.8) 2 dα n Если

d 2σn dα n 2

> 0 при α n = α′гл , то на этой площадке действует меньшее

′ , если из напряжений σ ′гл , σ ′гл

d 2σn dα n

2

< 0 , – то бóльшее (случай равен-

ства нулю не встречается). Для главных напряжений, как уже было сказано, используется специальное обозначение: σ1 , σ 2 , σ 3 ( σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ). В рассматриваемом случае плоского напряженного состояния σ1 – максимальное, ′ , 0. а σ 3 – минимальное (с учетом знака) из трех напряжений σ′гл , σ′гл Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на всех вообще площадках в рассматриваемой точке, σ − σ3 τ max = 1 . (2.9) 2 Такое напряжение действует на площадке, перпендикулярной площадке 2 и повернутой относительно площадки 1 на угол 45°. На площадке с τ max действует нормальное напряжение σ + σ3 σ 45° = 1 . 2 Площадка 2 может совпадать с плоскостью чертежа, но может и сов′ . Соотпадать с одной из площадок, по которым действуют σ′гл , σ ′гл ветственно рассматриваемая площадка с τ max может быть перпендикулярна плоскости чертежа, но может быть и повернута из плоскости чертежа. Касательное напряжение, максимальное по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа,

51 ′ σ′гл − σ′гл . (2.10) 2 Величина max τ в общем случае не равна τ max . Соответствующая ей площадка перпендикулярна плоскости чертежа и наклонена к пло′ на угол 45° . На этой же площадке действует норщадкам σ ′гл , σ ′гл мальное напряжение ′ σ′ + σ′гл σ max τ = гл . (2.11) 2 max τ =

Графическое исследование плоского напряженного состояния. Формулы (2.2а) и (2.2б) можно представить в графической форме. Как известно из аналитической геометрии, в декартовой системе координат параметрическое уравнение окружности радиуса R с координатами центра x c = a , y c = 0 имеет вид (2.12) x = a + R cos ϕ ; y = R sin ϕ . Если в формулах (2.12) обозначить x = σ n , y = τ n , R = ( σ x − σ z ) / 2 , a = ( σ x + σ z ) / 2 , ϕ = 2α n , то формулы примут вид (2.2а) и (2.2б). Значит, напряжения σ n , τ n на площадке с нормалью n , заданной углом α n , являются координатами точки окружности радиуса ( σ x − σ z ) / 2 , центр которой лежит на горизонтальной оси и имеет координату ( σ x + σ z ) / 2 . Построенную таким образом окружность обычно называют "кругом Мора".

Деформированное состояние в точке. Деформированное состояние в точке нагруженного тела есть совокупность линейных относительных деформаций отрезков, проведенных через эту точку, и изменений углов между отрезками (угловых деформаций). Деформированное состояние в точке задано, если для любых двух направлений могут быть вычислены линейные и угловые деформации. Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: линейные относительные деформации ε x , ε y , ε z по трем взаимно перпендикулярным направлениям x , y , z и изменения прямых углов между этими направлениями γ xy , γ xz , γ yz .

52 Всегда можно провести через точку три взаимно перпендикулярные прямые, углы между которыми не изменятся вследствие деформации. Оси координат, совпадающие с этими прямыми, называются главными осями деформированного состояния в точке. Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях) при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и деформаций описывает обобщенный закон Гука: 1 1 γ xy = τ xy ; ε x = [σ x − ν( σ y + σ z )], G E 1 1 (2.13) ε y = [σ y − ν( σ z + σ x )], γ yz = τ yz ; G E 1 1 ε z = [σ z − ν( σ x + σ y )], γ zx = τ zx . E G Здесь E , G , ν – упругие характеристики материала; E – модуль Юнга (модуль упругости); ν – коэффициент Пуассона ( 0 ≤ ν ≤ 0,5 ); G – модуль сдвига, для которого имеет место соотношение G = E /[2(1 + ν)] . Для изотропного материала главные оси деформированного состояния и главные оси напряженного состояния совпадают, поэтому линейные деформации вдоль главных осей напряженного состояния определяются соотношениями (2.13): 1 ε1 = [σ1 − ν( σ 2 + σ 3 )] , E 1 ε 2 = [σ 2 − ν( σ 3 + σ1 )] , (2.14) E 1 ε 3 = [σ 3 − ν( σ1 + σ 2 )] . E Соответствующие угловые деформации равны нулю. Относительная объемная деформация в точке (отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к первоначальному объему) не зависит от выбора системы координат: ε v = ε x + ε y + ε z = ε1 + ε 2 + ε 3 . (2.15)

53 Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже. Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный запас прочности, что проще всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.5 Для всех применяемых при выполнении расчетнопроектировочной работы теорий прочности условие прочности можно записать в едином виде σ экв ≤ [σ]р , (2.16) где [σ]р = Rр / n – допускаемое напряжение. Величина Rр представляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. σ экв – комбинация главных напряжений σ1 , σ 2 , σ 3 (эквивалентное напряжение). Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением σ1 (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения σ1 . Условие прочности имеет вид σ экв = σ1 ≤ [σ]р . (2.17)

5

Современные нормы строительного проектирования предусматривают несколько более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.

54 Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией ε1 (она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения σ1 . Условие прочности приводится к виду σ экв = σ1 − ν( σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ]р . (2.18) Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением τ max предельного значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения τ max . Данной теории соответствует условие прочности σ экв = σ1 − σ 3 ≤ [σ]р . (2.19) Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение 1 (2.20) σ экв = [( σ1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ1 ) 2 ] ≤ [σ]р . 2 Сама эта теория прочности непосредственно не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равнонаклоненными к главным осям (октаэдрические площадки). Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), относящейся к хрупким материалам, имеет вид σ вр (2.21) σ экв = σ1 − с σ 3 ≤ [σ]р . σв

55 Здесь σ вр , σ св – пределы прочности при растяжении и при сжатии. Эта теория учитывает взаимодействие нормального и касательного напряжений на площадке с τ max , которая, следовательно, должна считаться плоскостью зарождения начальной микротрещины. (Согласно опыту плоскость развивающейся далее макротрещины перпендикулярна первому главному направлению.) Среди первой, второй и пятой теорий лучше количественно согласуется с опытом при плоском напряженном состоянии последняя теория. Третья и четвертая теории обе имеют достаточную пригодность для использования в инженерных расчетах. Примеры решения задач 2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОЩАДКАХ. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 7)

Условие задачи 100 МПа

Элемент, выделенный из тела, находится в плоском напряженном состоянии 80 МПа (рис. 2.3). По граням элемента заданы нор20 МПа мальные и касательные напряжения, значеβ =105° ния которых приведены на рисунке. Материал элемента – сталь с такими Рис. 2.3. Заданное предел текучести напряженное состояние характеристиками: σ т = 240 МПа; модуль Юнга в условии задачи № 7 E = 2 ⋅ 105 МПа; коэффициент Пуассона E ν = 0,3 ; модуль сдвига G = = 0,77 ⋅ 105 МПа; нормируемый ко2(1 + ν) эффициент запаса прочности n = 1,5 . Требуется: 1) найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом β = 105° (см. рис. 2.3);

56 2) определить величины главных напряжений и положение главных площадок; 3) найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует; 4) оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки); 5) найти величины относительных продольных деформаций в исходной системе координат xyz и по главным направлениям; вычислить относительную объемную деформацию. Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

z

n

αn= 105° τxz= –80 σx= –20 x

σz= –100 Рис. 2.4. Определение напряжений на заданной наклонной площадке

Решение Изобразим элемент в виде плоского рисунка, на котором должна быть указана система координат (см. рис. 2.4). Введенная система координат позволяет присвоить напряжениям обозначения: σ x = −20 МПа, σ z = −100 МПа, τ xz = −80 МПа. На рисунке следует показать также наклонную площадку, указать штриховкой ее внутреннюю сторону, задать внешнюю нормаль к площадке.

Аналитический способ исследования напряженного состояния Определение напряжений на наклонной площадке. Напряжения, действующие на наклонной площадке (см. рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает угол α n между нормалью n к площадке и осью x . Этот угол нельзя путать с углом β , указанным на рис. 2.3. Можно отсчитывать угол α n не от оси x , а от оси z, но тогда в формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения σ x , σ z надо поменять местами

57 и напряжение τ xz заменить напряжением τ zx . Надо выбирать более удобный способ. Используем угол α n между n и осью x , отсчитывая его от оси x к нормали n : α n = 105° ( см. рис. 2.4). Значение угла положительное, так как угол отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.2а) и (2.2б) σ + σz σx − σz − 20 − 100 + σn = x + cos ( 2α n ) − τ xz sin ( 2α n ) = 2 2 2 − 20 − ( −100) + cos ( 2 ⋅ 105°) − ( −80) sin (2 ⋅ 105°) = −134,6 МПа , 2 σ − σz τn = x sin ( 2α n ) + τ xz cos ( 2α n ) = 2 − 20 − ( −100) = sin ( 2 ⋅ 105°) − ( −80) cos ( 2 ⋅ 105°) = 49,3 МПа. 2 Получившееся нормальное напряжение σ n отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжение τ n положительно, это значит, что оно обходит площадку по часовой стрелке. Используем теперь угол α n между нормалью n и осью z , отсчитывая его от z к n : α n = 15° . Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде: σ + σx σz − σx cos ( 2α n ) − τ zx sin ( 2α n ) = σn = z + 2 2 − 100 − 20 − 100 − ( −20) = + cos ( 2 ⋅ 15°) − 80 sin ( 2 ⋅ 15°) = −134,6 МПа, 2 2 σ − σx τn = z sin(2α n ) + τ zx cos(2α n ) = 2 − 100 − ( −20) = sin ( 2 ⋅ 15°) + 80 cos ( 2 ⋅ 15°) = 49,3 МПа. 2

58 Абсолютная величина полного напряжения (или просто полное напряжение)

pn

σn τn Рис. 2.5. Напряжения на наклонной площадке

pn = σ 2n + τ 2n = ( −134,6) 2 + ( 49,3) 2 = 143,4 МПа. Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.

Определение главных напряжений и главных направлений. Согласно (2.5) главные напряжения σ′гл ⎫ ( −20) + ( −100) 1 ± [ −20 − ( −100)]2 + 4( −80) 2 = ⎬= ′ ⎭ σ′гл 2 2

= −60 ± 89,44 МПа . После вычисления главные напряжения следует пронумеровать согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используются для этих напряжений разные обозначения. Главные напряжения, пронумерованные согласно их величине, σ1 = 29,44 МПа , σ 2 = 0 , σ 3 = −149,44 МПа .

Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений по наклонной площадке относится и к способам вычисления положения главных площадок. Здесь мы вычис′ , определяющие положения главных площадок, лим углы α′гл , α′гл одним способом: будем отсчитывать эти углы от направления оси x . Углы являются решениями уравнения (2.7): 2τ xz 2( −80) tg ( 2α гл ) = − =− = 2, σx − σz − 20 − ( −100) то есть ′ = 121,7°. α′гл = 31,7°, α′гл

59 Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с α′′гл

45°

z

z

σ3

σ′гл

x

Рис. 2.6. Определение положения главных площадок

31,7°

σmaxτ x maxτ

α′гл σ′′гл

σ1

Рис. 2.7. Площадка с максимальным касательным напряжением

напряжениями σ1 , σ 3 (рис. 2.6). Выясним, какому из этих напряжений соответствует угол α′гл . Для этого определим по формуле (2.8) знак второй производной d 2 σ n dα n 2 при α n = α′гл : d 2σn 2

= −2[ −20 − ( −100)] cos ( 2 ⋅ 31,7°) + 4( −80) sin ( 2 ⋅ 31,7°) < 0 .

dα n Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение σ1 . Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы: α1 = 31,7° , α 3 = 121,7° .

Определение максимального касательного напряжения. Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости x0 z (рис. 2.7), определяется формулой (2.10): max τ =

′ σ′гл − σ′гл 29,44 − ( −149,44) = = 89,44 МПа. 2 2

В рассматриваемом примере главные напряжения σ′гл = σ1 , ′ = σ 3 , поэтому касательное напряжение max τ является максиσ′гл

60 мальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: max τ = τ max . Нормальные напряжения на той же площадке даются формулой (2.11): ′ σ′ + σ′гл 29,44 + ( −149,44) σ max τ = гл = = − 60 МПа. 2 2 Графический способ исследования напряженного состояния Круг напряжений Мора является средством вычисления. При выполнении задачи его необходимо построить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат. Строим круг напряжений Мора (рис. 2.8). Изображаем систему координат σ0τ с одинаковым масштабом по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости σ0τ две точки X, Z , соответствующие заданным площадкам с нормалями x, z . КоK

Z

2⋅45°

τ 80

N 40 2⋅15°

ΙΙΙ – 160

2α3 – 120

2αn

σ

Ι – 80 O

– 40

2α1

20 – 40

X

– 80

Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

40

61 ординатами точек X ( −20,−80) , Z (−100, 80) являются нормальные и касательные напряжения на заданных площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга Мора. Точка О пересечения диаметра с осью σ – центр круга. Проводим окружность. Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) являются главными напряжениями: σ1 ≈ 29 МПа, σ3 ≈ −149 МПа. Углы α1 , α 3 , определяют положения главных площадок. Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения α1 , α 3 . По рисунку сразу видно, какому главному напряжению соответствует каждое значение угла. Графически найденные значения: 2α1 ≈ 63° , 2α 3 ≈ 243° = 180° + 63° . Графический способ дает возможность проверить аналитическое решение, поэтому в расчетной работе следует рядом с кругом напряжений на отдельном рисунке показать положения главных площадок и напряжения на них. Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка K круга. Координаты точки K дают значения max τ ≈ 89 МПа, σ max τ = − 60 МПа. Найдем с помощью круга напряжений напряжения на наклонной площадке. Построим на круге точку N , соответствующую наклонной площадке. Для этого отложим от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол 2α n = 2 ⋅ 105° , либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении угол 2⋅15°. Координаты точки N дают напряжения на наклонной площадке: σ n ≈ −135 МПа , τ n ≈ 49 МПа . Полное представление о напряженном состоянии дают три круга напряжений. Точки каждого круга соответствуют площадкам, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Круги строятся по главным напряжениям. Обычно изображение напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не обязательно на милли-

62 метровке. Все три круга напряжений для рассматриваеτmax мого напряженного состояния 80 показаны на рис. 2.9. Постро40 енный на рис. 2.8 круг напряжений соответствует площадIII I σ II кам, перпендикулярным плос40 кости чертежа (перпендику- – 160 – 120 – 80 – 40 лярным второй главной пло– 40 щадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение τ max определяется по бóльшему кругу. Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие объемное напряженное состояние

Проверка прочности. Главные напряжения σ1 , σ 2 , σ 3 уже известны (вычислены выше). Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности. Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение σ экв = σ1 − σ 3 = 29,44 − ( −149,44) = 178,9 МПа . Сравнение σ экв с пределом текучести σ т показывает, что материал работает упруго. Действительно, σ экв = 178,9 МПа < σ т = 240 МПа . Но условие прочности не выполнено: σ экв = 178,9 МПа > [σ] = 160 МПа . Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса nдейств = σ т / σ экв = 240 / 178,9 = 1,33 меньше нормативного n = 1,5 . Согласно четвертой теории прочности

63

σ экв =

1 [( σ1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ1 ) 2 ] = 2

1 [( 29,44) 2 + ( −149,44) 2 + ( 29,44 − ( −149,44)) 2 ] = 167,0 МПа, 2 σ т = 240 > 167,0 > [σ]р = 160 МПа. Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим: nдейств = 240 / 167 = 1,44 . Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке, показанной жирной линией на рис. 2.10, действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Площадка, показанная жирной линией на рис. 2.11, соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам. Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи. =

z

z

3

3

σ 45 o

1

1

τmax 45°

x

x 31,7°

31,7° y

2

Рис. 2.10. Опасная площадка по третьей теории прочности

y

2

Рис. 2.11. Опасная площадка по четвертой теории прочности

Положение исходного элемента по отношению к конструкции, из которой вырезан элемент, известно. Примененный способ изобра-

64 жения опасных площадок позволяет указать эти площадки непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Следует начать с выяснения, работает ли материал в упругой области. Вычисленное выше эквивалентное напряжение оказалось меньше предела текучести. Это означает, что уровень напряжений соответствует упругой стадии деформирования и можно использовать обобщенный закон Гука. Если уровень напряжений соответствует неупругой стадии деформирования, то закон Гука определяет только упругую часть полных деформаций. В задаче при этой ситуации нужно вычислить только упругую составляющую деформации, отметив это примечанием в тексте. Линейные деформации в направлении осей x, y , z 1 1 −5 ε x = [σ x − ν( σ y + σ z )] = [ − 20 − 0 , 3 ( 0 + ( − 100 ))] = 5 ⋅ 10 , 5 E 2 ⋅ 10 1 1 ε y = [σ y − ν( σ z + σ x )] = [0 − 0,3( −100 + ( −20)] = 1,8 ⋅ 10 −4 , 5 E 2 ⋅ 10 1 1 −4 ε z = [σ z − ν( σ x + σ y )] = [ − 100 − 0 , 3 ( − 20 + 0 )] = − 4 , 7 ⋅ 10 . 5 E 2 ⋅ 10 Угловая деформация 1 1 −3 γ xz = τ xz = ( − 80 ) = − 1 , 04 ⋅ 10 рад ≈ − 0,06° . 5 G 0,77 ⋅ 10 →

→

Знак минус означает, что угол ( dx, dz ) уменьшается. Две другие угловые деформации отсутствуют: γ xy = γ yz = 0 , так как равны нулю соответствующие касательные напряжения. Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3 ε1 =

1 1 [σ1 − ν( σ 2 + σ 3 )] = [29,44 − 0,3(0 − 149,44)] = 3,714 ⋅ 10 − 4 , 5 E 2 ⋅ 10

65 1 1 −4 [σ 2 − ν( σ 3 + σ1 )] = [ 0 − 0 , 3 ( − 149 , 44 + 29 , 44 )] = 1,80 ⋅ 10 , 5 E 2 ⋅ 10 1 1 ε 3 = [σ 3 − ν( σ1 + σ 2 )] = [ −149,44 − 0,3( 29,44 + 0)] = − 7,914 ⋅ 10 − 4. 5 E 2 ⋅ 10 Относительная объемная деформация ε v = ε x + ε y + ε z = ε1 + ε 2 + ε 3 = −2,4 ⋅ 10 − 4 . Рис. 2.12, 2.13 разъясняют результаты выz γ xz числений. Условно исходные длины ребер элеεz мента считаются равными единице. При этом линейные относительные деформации в направлении этих ребер равны абсолютным изменениям длин. В исходном недеформированном х состоянии грани элемента параллельны коорεx динатным плоскостям системы координат xyz . Рис. 2.12. Деформации В результате деформации тела элемент переэлемента по заданным мещается как жесткое целое и деформируется. направлениям х, z На рис. 2.12 жирной σ3 линией изображен σ1 деформированный элемент. Недеформироα1 ванный элемент показан штриховой линией. Перемещение элемента как жесткого ε 1/2 целого не изображено. Этот элемент получает угловые и линейные деформации. Деформированный элемент, грани ко- ε 3/2 торого в исходном недеформированном соРис. 2.13. Деформации стоянии были параллельны главным плоэлемента по главным щадкам, показан на рис. 2.13. Этот элемент направлениям 1, 3 получает только линейные деформации. ε2 =

66 2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 8)

Условие задачи На гранях элементарного параллелепипеда заданы главные напряжения (рис. 2.14). Материал элемента – чугун c характеристиками 5 с σвр = 180 МПа, σ в = 600 МПа, E = 1,2 ⋅ 10 МПа, ν = 0,25 . Нормативный коэффициент запаса прочности n = 3 . αn n

Требуется: 1) найти нормальное σ n , каса120 МПа тельное τ n и полное pn напряжения β=15° на наклонной площадке, заданной углом β и изображенной на рис. 2.14; 2) найти величины наибольшего Рис. 2.14. Заданное касательного напряжения и соответстнапряженное состояние вующего ему нормального напряжев условии задачи № 8 ния, показать положение площадки, на которой эти напряжения действуют; 3) проверить прочность материала; найти действительный коэффициент запаса прочности. 50 МПа

Решение

2

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому сразу пронумеруем главные напряжения по убыванию ( σ1 = 0 , σ 2 = −50 МПа, σ 3 = −120 МПа) и 120 изобразим на рисунке главные оси (рис. 2.15).

Определение напряжений. Напряжения на наклонной площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное отличие состоит в том, что можно ис-

50 n αn= 15° 120 3

50 Рис. 2.15. Определение напряжений на наклонной площадке

67 пользовать частный случай (2.4) общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки будем задавать углом α n , отсчитываемым от оси 3 к нормали n. Значение α n = 15° положительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.4) σ + σ2 σ3 − σ2 σn = 3 + cos ( 2α n ) = −115,3 МПа, 2 2 σ − σ2 τn = 3 sin ( 2α n ) = −17,5 МПа. 2 Модуль полного напряжения p n = σ 2n + τ 2n = 116,6 МПа. Примененная формула для касательного напряжения τ n справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. Максимальное для таких площадок касательное напряжение σ − σ 3 ( −50) − ( −120) −3 = 2 max τ = τ 2max = = 35 МПа. 2 2 Соответствующее нормальное напряжение σ + σ 3 − 50 + ( −120) σ max τ = 2 = = −85 МПа. 2 2 Подсчитанное выше значение 50 2 −3 касательного напряжения τ 2max не са45° мое большое из всех возможных знаσmaxτ чений. Это значение является максимумом для касательных напряжений 120 120 maxτ по площадкам, перпендикулярным 3 плоскости чертежа. Площадка, на ко50 −3 торой действует τ 2max , расположена Рис. 2.16. Площадка с максимальным касательным под углом 45° к главным площадкам напряжением для заданного 2, 3 (рис. 2.16). Максимальное касательное наплоского напряженного пряжение (максимум вычисляется для состояния всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение

68 σ1 − σ 3 0 − ( −120) = = 60 МПа, 2 2 σ + σ3 σ 45o = 1 = − 60 МПа 2 всегда действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7, τ max ≠ max τ . 50 2 Круг напряжений для заданного плоского напряженного состояния показан 120 на рис. 2.18. Координаты точки N дают τmax значение напряжений на площадке с нор3 малью n. Площадке с max τ соответствует 1 точка K круга. σ45° На рис. 2.19 показаны все три круга Рис. 2.17. Площадка напряжений. Видно, что площадке с наис максимальным касательным напряжением для заданного большим по модулю касательным напряжением τ max соответствует точка, лежаобъемного напряженного состояния щая на бóльшем круге напряжений. τ max =

Проверка прочности. По условию задачи материал элемента хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности, относящиеся к хрупким материалам. Расчетное напряжение, соответствующее первой теории прочности σ экв = σ1 = 0 ≤ [σ]р . Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена. Расчетное напряжение, соответствующее второй теории прочности, 180 σ экв = σ1 − µ(σ 2 + σ 3 ) = 0 − 0,25( −50 − 120) = 42,2 ≤ [σ] р = = 60 МПа. 3

69 τ

σn

40

K

2⋅45 –120 III

– 100 2⋅αn

τn

τ

°

20

2− 3 max

II – 80

– 60

– 40

– 20

0

σ2

N

(σ2+σ3)/2

σ – 20

– 40

σ3

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса nдейств

σ вр 180 = = = 4,26 , σ экв 42,2

большем нормативного ( n = 3 ). Расчетное напряжение, соответствующее теории прочности Мора, σ вp 180 180 = 60 МПа. σ экв = σ1 − c σ 3 = 0 − ( −120) = 36,0 ≤ [σ]р = 3 600 σв Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса σ вр 180 nдейств = = = 5. σ экв 36,0

70 Опасная плоскость показана на рис. 2.20 жирной линией. Она перпендикулярна первому главному направлению. Если напряженное состояние достигнет III критического уровня (для этого все напряжения надо увеличить

τ

1− 3

τ max 2−3

τ max

1− 2

τ max

II

I σ

50

2

120

Рис. 2.19. Круги Мора, изображающие заданное объемное напряженное состояние

3 1

в nдейств раз), то по указанной плоскости произойдет разрушение.

Рис. 2.20. Опасная площадка по первой и второй теориям прочности

2.3. РАСЧЕТ ДЛИННОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рассматривается длинная прямолинейная цилиндрическая тонкостенная труба (рис. 2.21) с l / R ≥ 5 , R / δ ≥ 10 . Труба нагружена δ

z M F

x y

М F

q R

Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента

71 внутренним давлением q , по ее торцам приложены силы F и крутящие моменты M . Напряжения в трубе будем обозначать, используя местную декартову систему координат x, y, z (см. рис. 2.21): ось x параллельна оси трубы, σх ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y N служит продолжение радиуса R. Сила F вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие N = F и Рис. 2.22. Напряжения создает нормальное напряжение в трубе от продольной силы (рис. 2.22) F σx = . 2 π Rδ Здесь 2πRδ – значение площади поперечного сечения тонкостенной трубы. Внутреннее давление вызывает расσz σz тяжение трубы в кольцевом направлении q R (рис. 2.23), чему соответствует напряжение σ z в продольных сечениях трубы: σ zδ σ zδ qR Рис. 2.23. Напряжения в . σz = трубе от δ внутреннего давления Напряжения σ z положительны при q > 0 . Случай q < 0 отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности. M Крутящий момент создает касательные напряжения в поперечном сечении τxz трубы (рис. 2.24): R M τ xz = . 2 πR 2 δ Направление касательного напряжения τ xz Рис. 2.24. Напряжения совпадает с направлением крутящего мов трубе от крутящего мента M . момента Остальные напряжения либо в точно-

72 сти равны нулю, либо малы: τ xy = τ zy = 0 , σ y ≈ 0 . Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.

z

σz σx

y

τxz

x

Рис. 2.25. Напряженное

состояние точки трубы Условие задачи Труба с радиусом сечения R = 0,5 м толщиной δ = 1 см загружена продольной растягивающей силой F = 900 кН, внутренним давлением q = 0,8 МПа и крутящим моментом M = 300 кН ⋅ м . Материал трубы – чугун с такими характеристи-

ками: σ вр = 180 МПа, σ св = 600 МПа, ν = 0,25. Нормативный коэффициент запаса прочности n = 3 . Требуется: 1) найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы; 2) найти главные напряжения и положения главных площадок; 3) проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности; 4) показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического. В расчетно-проектировочной работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7.

Решение Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок. Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как R / δ = 50 / 1 = 50 > 10 ,

73 то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные формулы применимы. Нормальное напряжение от продольного растяжения силой F = 900 кН 900 кН F σx = = = 2,87 2 = 28,7 МПа 2πRδ 2π ⋅ 50 ⋅ 1 см положительно. Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением q = 0,8 МПа , qR 0,8 ⋅ 50 σz = = = 40 МПа δ 1 также положительно. Касательное напряжение, вызванное моментом M = 300 кН ⋅ м , по модулю равно M 300 ⋅ 10 2 кН 1 , 9 τ xz = = = = 19 МПа . 2πR 2 δ 2π ⋅ 50 2 ⋅ 1 см 2 Принимая во внимание направление крутящего момента (см. рис. 2.21) и учитывая правило знаков для касательного напряжения при плоском напряженном состоянии, получаем τ xz = −19 МПа . Изобразите найденное напряженное состояние точки трубы в виде плоского рисунка, учтя при этом правила знаков для напряжений. Для последующей проверки прочности вычислим главные напряжения: σ′гл ⎫ σ x + σ z 1 ( σ x − σ z ) 2 + 4τ xz 2 = ± ⎬= ′ ⎭ σ′гл 2 2 =

28,7 + 40 1 ± ( 28,7 − 40) 2 + 4 ⋅ (19) 2 = 34,35 ± 19,82 МПа. 2 2

Главные напряжения, пронумерованные должным образом, σ1 = 54,17 МПа , σ 2 = 14,53 МПа , σ 3 = 0 .

74 Тангенс угла наклона главной площадки tg ( 2α гл ) = −

2τ xz 2( −19) =− = −3,36 . 28,7 − 40 σx − σz

Отсюда два главных угла

π = − 36,7° + k ⋅ 90° ( k = 0;1) . 2 Соответствие угла α гл главным площадкам (1 или 2) устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку вычисленных значений главных напряжений и главных направлений можно выполнить графически, построив круг напряжений Мора. Построение круга напряжений описано при решении задачи № 7. Материал является хрупким (чугун), поэтому с целью проверки прочности используем вторую теорию прочности или теорию прочности Мора. Согласно второй теории прочности α гл = − 0,641рад + k ⋅

σ экв = σ1 − ν( σ 2 + σ 3 ) = 54,14 − 0,25(14,53 + 0) = 180 = 50,54 МПа ≤ [σ]р = = 60 МПа , 3 значит, прочность обеспечена. Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:

nдейств

σ вр 180 = = = 3,56 > n = 3 . σ экв 50,54

Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси трубы под углом α′гл = −36,7° . Она показана на рис. 2.26, где ось x – продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва на

z

1 x α′ гл 2

Рис. 2.26. Вероятное направление трещин

75 рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть показано и на самой конструкции. Согласно пятой теории прочности (теории Мора) σ экв = σ1 −

σ вр σ св

σ 3 = 54,14 − 0,3 ⋅ 0 = 54,14 МПа ≤ [σ]р =

180 = 60 МПа , 3

то есть прочность также обеспечена. Вычислим фактический коэффициент запаса прочности: nдейств

σ вр 180 = = = 3,32 > n = 3 . σ экв 54,14

76

3. КРУЧЕНИЕ Рекомендуемая литература Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл.5 (§ 5.1–5.4), гл. 11 (§ 11.5); Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 6 (§ 27, 29–30, 32); Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 6 (§ 6.1–6.4, 6.6, 6.7).

Основные понятия и формулы

При кручении поперечные сечения стержня поворачиваются вокруг его продольной оси, а продольные волокна при этом искривляются, превращаясь в пространственные кривые. Кручение вызывается парами сил, действующими в плоскости поперечных сечений. В поперечных сечениях стержня возникает одно внутреннее усилие − крутящий момент Мк. Стержень, работающий на кручение, принято называть валом. Крутящие моменты в сечениях определяются, как и другие виды усилий, методом сечений. Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно продольной оси стержня. Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 3.1). Напряженное состояние в любой точке поперечного сечения Mк > 0

Mк > 0 x

Рис. 3.1. Правило знаков для крутящего момента

77 при кручении является чистым сдвигом, и в точках поперечного сечения возникают касательные напряжения. Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения с радиусом R (или кольцевого сечения с внешним радиусом R) определяются по формуле M τ = к ρ, (3.1) Ip где ρ − расстояние от центра до точки, в которой мы определяем τ. Эти напряжения направлены перτmax пендикулярно радиусу, соединяющему центр круга с рассматриваемой точкой. Эпюра распределения y ρ касательных напряжений на любом 2R диаметре будет иметь вид, показанM ρ τ= к ный на рис. 3.2. Максимальные каIp τmax z сательные напряжения, как следует из формулы (3.1), действуют в точРис. 3.2. Распределение ках на контуре сечения и они равкасательных напряжений ны в круглом сечении M τ max = к , (3.2) Wp где W p = I p / ρ max = I p / R – полярный момент сопротивления. Деформацию стержня круглого (кольцевого) сечения при кручении характеризует угол закручивания поперечного сечения на участке длиной l (рис. 3.3) M l θ= к . (3.3) GI p Относительная величина этого угла (на единицу длины) θ′ называется погонным углом закручивания M θ′ = к . (3.4) GI p

78

Мк

θ l

Рис. 3.3. Деформация стержня при кручении

Эпюры распределения касательных напряжений в стержнях прямоугольного сечения показаны на рис. 3.4. Максимальные касательные напряжения действуют в точках, расположенных по середине длинной стороны сечения. Они равны M (3.5) τ max = к . Wк Напряжения в точках по середине короткой стороны M (3.6) τ1 = γ к . τ1 Wк Погонный и полный углы закруh/2 чивания для стержней прямоугольного y сечения определяются по формулам h/2

τmax

θ′ =

Mк M l ; θ= к . GI к GI к

(3.7)

b/2 b/2 z Рис. 3.4. Распределение касательных напряжений в прямоугольном сечении

Геометрические характеристики сечения, входящие в формулы (3.1)– (3.7), можно найти следующим образом: Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления:

79 • для круглого сечения πR 4 πR 3 Ip = , Wp = ; (3.8) 2 2 • для кольцевого сечения πR 4 πR 3 4 Ip = 1 − α ; Wp = 1 − α4 . (3.9) 2 2 Здесь α = r R − отношение радиусов внутреннего и внешнего контуров кольца. Для стержня прямоугольного сечения геометрическая характеристика жесткости I к = αb 4 (3.10) и момент сопротивления кручению Wк = βb 3 , (3.11) где b − меньшая сторона прямоугольного сечения, а коэффициенты α, β , γ в формулах (3.6), (3.10), (3.11) определяются в зависимости от отношения сторон сечения h b по таблицам, имеющимся в справочной литературе, например в [3, § 6.6]. Модуль сдвига в формулах (3.3) и (3.7) E . (3.12) G= 2(1 + ν ) Целью расчета вала на кручение, как правило, является удовлетворение двум условиям: прочности и жесткости. Условие прочности в опасной точке вала при кручении записывается так: (3.13) τ max ≤ [τ], где [τ] берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты: • из второй теории прочности [σ]р σ вр [τ] = ; (3.14) = 1 + ν n (1 + ν ) • из теории Мора

(

)

(

)

80

[σ]р

σ вр [τ] = , = 1 + k n (1 + k )

(3.15)

где k = σ вр σ св . Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим: • по третьей теории прочности [τ] = [σ] = σ т , (3.16) 2 2n • по четвертой теории прочности [τ] = [σ] = σ т . (3.17) 3 3n Условие жесткости вала при кручении – это условие, ограничивающее деформации стержня, а именно: θ′max ≤ [θ′] , (3.18) где [θ′] – допускаемый погонный угол закручивания, величина которого нормируется. Удовлетворяя этим двум условиям, можно либо подбирать размеры сечения, либо определять допускаемую нагрузку на стержень. Примеры решения задач 3.1. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ (ВАЛА), РАБОТАЮЩЕГО НА КРУЧЕНИЕ (ЗАДАЧА № 10)

Условие задачи Имеется стержень, расчетная схема которого представлена на рис. 3.5, а. Стержень нагружен внешними парами M 1 , M 2 , M 3 . Левый участок стержня выполнен из чугуна и имеет прямоугольное сечение с заданным соотношением сторон h b ; правый участок выполнен из стали и имеет круглое сечение. Известны характеристики прочности материалов: σ вр ( σ св ) для чугуна и σ т для стали; упругие постоянные материалов − E , ν; допускаемый погонный угол закручивания [θ′] .

81 Требуется: 1) подобрать размеры поперечных сечений стержня так, чтобы выполнялись условия прочности и жесткости на каждом участке стержня; 2) построить эпюру изменения угла закручивания по длине стержня.

Решение Строим эпюру крутящих моментов, используя метод сечений. Крутящий момент на каждом участке находим как алгебраическую сумму моментов внешних пар, расположенных справа от сечения. (В этом случае можно построить эпюру Мк без определения реактивного момента, возникающего в защемлении.) Крутящий момент на край-

M1 a

0

0 б

3

2

1 Чугун

M3

M2 Сталь ο

1

l1

l2 2

l3 3

M1+M2+M3 M2+M3

M3

Эпюра Mк в

θ1-0

θ2-0

θ3-0 Эпюра θ

Рис. 3.5. К решению задачи № 10: а – расчетная схема стержня; б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

нем правом участке равен M 3 , на среднем − M 3 + M 2 и на левом − M 3 + M 2 + M 1 . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.5, б.

82 Подбираем размеры сечения стержня из условия прочности. На чугунном участке стержня M к max = M 3 + M 2 + M 1 и из условия прочности (3.13), определяя τ max по формуле (3.5), находим минимально необходимую величину момента сопротивления кручению: M к max Wкнеобх ≥ и, зная Wкнеобх , определяем ширину сечения b из [τ] необх W к . (Значение [τ] высчитываем либо по формулы (3.11): b ≥ 3 β второй теории прочности (3.14), либо по (3.15) – теории Мора.) Для стального участка опасным является сечение, где действует максимальный крутящий момент, т. е. в данном примере M к max = M 3 + M 2 , и из условия прочности (3.13) находим требуемый полярный момент сопротивления M к max , W необх ≥ p [τ] где [τ] определяем по теориям прочности, справедливым для пластичного материала (3.16) или (3.17). Зная W pнеобх , ищем радиус поперечного сечения, используя формулу (3.8) для полярного момента сопротивления

R≥3

2W pнеобх

. π Полученные размеры рекомендуем округлить в большую сторону до 0,1 мм. Проверим, выполняется ли для найденных из условия прочности размеров поперечных сечений условие жесткости. Сосчитаем геометрические характеристики I p и I к по формулам (3.8) и (3.10) и модули сдвига чугуна и стали по (3.12). На чугунном участке стержня должно выполняться условие M к max ≤ [θ′]. GI к На стальном участке должно быть

83 M к max

≤ [θ′]. GI p Если условие жесткости на каком-то участке не выполняется, то следует увеличить размеры сечения. Из условия жесткости находим минимально необходимую геометрическую характеристику жесткости для прямоугольного сечения: M I необх ≥ к max к G[θ′] и требуемый полярный момент инерции для круглого сечения M I необх ≥ к max . p G[θ′] Зная I p и I к , определяем по формулам (3.10) и (3.8) размеры поперечного сечения, удовлетворяющие условию жесткости b≥4

I необх к

и R≥

4

2 I необх p

. π α Окончательно размеры, удовлетворяющие двум условиям (и условию прочности, и условию жесткости), и соответствующие им геометрические характеристики сечений используем в дальнейших расчетах. Построим эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях стержня (рис. 3.2 и 3.4), сосчитав значения напряжений по формуле (3.2) для круглого сечения и по формулам (3.5) , (3.6) для прямоугольного сечения. Заметим, что по найденным значениям напряжений можно проверить свои вычисления, а именно, если размеры сечения были определены из условия прочности, то значения максимальных касательных напряжений должны быть близки к допускаемым. Если же размер сечения находился из условия жесткости, то максимальные напряжения будут меньше допускаемых касательных напряжений. Построим эпюру углов закручивания. Углы закручивания на каждом участке стержня вычисляются по формулам (3.3) или (3.7). При этом следует учитывать знак крутящего момента. Построение эпюры углов закручивания следует начинать, определив угол закручивания

84 θ1–0 сечения 1–1 (рис. 3,5, а) по отношению к неподвижному сечению 0–0 (заделке). Например, в рассматриваемом примере ( M 1 + M 2 + M 3 )l1 . θ1− 0 = GI к Угол закручивания θ2–1 сечения 2–2 по отношению к сечению 1– 1 найдем по формуле (3.3): ( M 2 + M 3 )l 2 θ 2 −1 = . GI p Аналогично находится угол закручивания θ3–2 сечения 3–3 по отношению к сечению 2–2. На эпюре θ откладываем полные углы закручивания сечений по отношению к неподвижному сечению, т. е. θ2 − 0 = θ1− 0 + θ2 −1 , θ3 − 0 = θ 2 − 0 + θ3 − 2 . Вид эпюры углов закручивания зависит от того, найдены ли размеры поперечного сечения из условия прочности или из условия жесткости. На рис. 3.5, в показан вид эпюры θ, построенной в предположении, что размеры поперечных сечений найдены из условия прочности. В этом случае угол наклона эпюры θ на каждом участке прямо пропорционален величине крутящего момента и обратно пропорционален жесткости стержня при кручении (GIp, GIк). Если размеры сечений на всех участках получены из условия жесткости, то угол наклона эпюры θ на опасных участках должен быть одинаковым. 3.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОГО ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил M 1 и M 2 , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала α и β ; длины участков l1 , l2 , l3 . Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов;

85 2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности; 3) построить эпюру углов закручивания.

Решение Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары M A и M B . Составив условие равновесия вала M A − M1 − M 2 + M B = 0, убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: M A и M B . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тоM1

а MA

б

M2

Ip

αIp

l1

l2

MB β Ip l3

MА MА – М1

Эпюра Мк MА – М1 – М2 в

Эпюра θ

Рис. 3.6. К решению задачи № 11: а – расчетная схема стержня; б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

86 му, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: θ A − B = 0 , или θ1 + θ 2 + θ3 = 0 . Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении) , для каждого участка стержня: (M A − M 1 − M 2 )l3 (M A − M 1 )l2 M l θ1 = A 1 , θ2 = , θ3 = . GI p αGI p βGI p Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент M A , а затем из уравнения равновесия определяем M B . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б. Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала: M M M − M1 τ (1) = A ; τ (2 ) = A τ (3) = B . ; Wp aW p bW p Коэффициенты a и b , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка W p , определим через известные параметры α и β . Полярный момент инерции αI p может быть записан двояким образом: πR24 πR14 αI p = ; , αI p = α 2 2 где R1 , R2 − радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус R2 через R1 : R2 = 4 αR1 . Тогда полярный момент сопротивления второго участка πR23 4 3 πR13 4 3 = α = α Wp , aW p = 2 2

( ) 3 3 то есть a = (4 α ) . Аналогично b = (4 β ) .

( )

87 Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления W pнеобх , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке. R1 =

3

2W pнеобх

;

R2 = 4 α R1 ;

R3 = 4 β R1 .

π Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. 2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. 3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. 4. Сопротивление материалов и основы строительной механики: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И А. Куприянов, Н. Б. Левченко. СПб., 1999.

88

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ...................... Используемые обозначения........................................................................................

1. Растяжение-сжатие............................................................................................... 1.1. Расчет статически определимых стержневых систем.................................. Примеры решения задач....................................................................................... 1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного растяжению-сжатию (задача № 1)................................................................................................................. 1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2).............................................. 1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3)............................................. 1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем.............................. Примеры решения задач....................................................................................... 1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие (задача № 4)...................................................................... 1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)............................................................. 1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6).......................................................... 2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния................................................................. Примеры решения задач....................................................................................... 2.1. Исследование плоского напряженного состояния по заданным напряжениям на произвольных площадках. Проверка прочности (задача № 7).................. 2.2. Исследование плоского напряженного состояния по заданным напряжениям на главных площадках. Проверка прочности (задача № 8)............................. 2.3. Расчет длинной тонкостенной трубы, подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента (задача № 9).....................

3. Кручение................................................................................................................. Примеры решения задач....................................................................................... 3.1. Подбор сечения составного стержня (вала), работающего на кручение (задача № 10)............................................................................................................... 3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11)....... Список литературы.....................................................................................................

89

Нина Борисовна Левченко Лев Марленович Каган-Розенцвейг Игорь Александрович Куприянов Ольга Борисовна Халецкая

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть 1

Редактор А.В. Афанасьева Корректор К.И. Бойкова Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

ЛР № 020282 от 24.12.96

Подписано к печати 20.10.2001. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500. Заказ . "С" Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармей-

ская ул., д. 5.