Задачи по физике. Часть 1

ЗАДАЧИ ПО

ФИЗИКЕ

ММФ НГУ курс IV «Механика» «Прикладная математика»

www.phys.nsu.ru МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

www.phys.nsu.ru Часть 1

Для студентов 4-го курса механико-математического факультета Отделения: «Механика» «Прикладная математика»

Новосибирск 2000

1

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru В программе представлена первая часть курса общей физики, читаемого на механико-математическом факультете, и типичные задачи, рекомендуемые для решения на семинарских занятиях (Основные задачи) и при выполнении контрольных заданий (Дополнительные задачи). В качестве примера приведены условия задач и их решения из контрольной работы 2000 года. Объем ограничивается разумным количеством задач в соответствии с учебным планом – одним семинаром в неделю и двумя контрольными заданиями в течение семестра. Предназначается для студентов 4-го курса ММФ НГУ (отделения «Механика», «Прикладная математика»). Составители С. А. Бордзиловский А. А. Васильев В. И. Ерофеев А. В. Пинаев В. Н. Рычков

www.phys.nsu.ru Под общей редакцией профессора А. А. Васильева Рецензент профессор Г.В.Меледин Печатается по решению кафедры общей физики НГУ © Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru

© Новосибирский государственный университет, 2000

2

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru ПРОГРАММА ПО ФИЗИКЕ Часть 1 1. Элементы специальной теории относительности Принципы относительности Эйнштейна и Галилея. Преобразования Лоренца. Интервал. Собственное время. Относительность одновременности. Замедление времени и сокращение масштабов при движении. 4-векторы. Преобразование энергии и импульса. Эффект Доплера. 2. Электростатика Закон Кулона. Понятие электрического поля. Напряженность. Потенциал. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Уравнения Пуассона и Лапласа. Поле диполя. Проводники и диэлектрики. Граничные условия. Электроемкость. Энергия и давление поля.

www.phys.nsu.ru 3. Токи Постоянный ток. Закон Ома в дифференциальной форме. Закон сохранения заряда. Правила Кирхгофа. Граничные условия. Преломление линий тока.

4. Магнитное поле Магнитное поле. Сила Лоренца. Закон Био-Савара. Сила Ампера. Связь циркуляции магнитного поля с током. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал. Уравнение для векторного потенциала. Магнитный поток. Индуктивность. Энергия и давление магнитного поля. Магнитное поле в веществе. Граничные условия. 5. Квазистационарные явления Закон Фарадея для электромагнитной индукции. Квазистационарные токи. Цепи. 3

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru Ток смещения. Скин-эффект.

6. Кинематика волны Полная система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Кинематика электромагнитной волны. Ее поперечность, энергия, импульс, момент импульса. Поток энергии. Элементы релятивистской теории в электродинамике. 4-потенциал. Лагранжиан для релятивистской частицы в электромагнитном поле. Уравнение движения частицы в поле. Тензор электромагнитного поля. Релятивистские преобразования поля. Инварианты. Система уравнений Максвелла в релятивистски инвариантной форме.

www.phys.nsu.ru ЛИТЕРАТУРА

1. Берклеевский курс физики. Т. I-V. 2. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1-9. 3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. Электродинамика. 4. И. Е. Тамм. Основы теории электричества. 5. Дж. Орир. Физика. В 2 томах. 6. А. Бейзер. Основные представления современной физики. Программу составил профессор А.А.Васильев

ОСНОВНЫЕ

4

ЗАДАЧИ

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru Семинар 1. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА ДЛЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ. ДЛИНА ОБЪЕКТА. СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ

1. Два события в неподвижной системе К имеют координаты (x1,t1) и (x2,t2). Найти скорость системы, в которой: а) эти события одновременны; б) происходят в одной точке? 2. Система К' движется со скоростью V вдоль оси X неподвижной системы К. Система К'' движется относительно К' со скоростью W вдоль оси Y'. Соответствующие оси координат всех систем параллельны между собой. Установить взаимосвязь координат систем К'' и К. 3. На концах стержня, движущегося с V=4/5 c вдоль оси Х, вспыхивают две лампочки. Какова должна быть очередность вспышек в неподвижной системе К, чтобы для наблюдателя в системе К' движущегося стержня вспышки казались одновременными? В системе К длина стержня L=27 м.

www.phys.nsu.ru 4. В неподвижной системе К стержень длины L=1 м наклонен под углом θ=30o к оси ОХ. Найти длину стержня L' и угол наклона θ' в К'-системе, движущейся с V=24/25 c. 5. Прямолинейно движущийся источник И излучает сигналы с частотой ν0; приемник П, находящийся на линии движения И, воспринимает эти сигналы. Определить зависимость частоты воспринимаемого сигнала ν от скорости излучателя V (эффект Доплера). Семинар 2. СКОРОСТЬ ЧАСТИЦЫ. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕЕ КОМПОНЕНТ 1. В неподвижной системе К частица движется со скоростью u,

направленной под углом θ к оси Х. Каков θ' в системе К', 5

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru движущейся вдоль ОХ со скоростью V? V→с? Какова u'?

Что наблюдается при

2. Параллельный оси ОХ стержень длины l0 движется вдоль ОУ со скоростью W. Как выглядит движение этого стержня для наблюдателя в системе К', движущейся вдоль ОХ со скоростью V? 3. В релятивистскую реку на расстоянии h от берега упал камень. Через какое время волны достигнут берега, если скорость течения равна u, а скорость волн в неподвижной воде w? 4. Плоскопараллельная прозрачная пластина толщины l0, имеющая показатель преломления n=c/v (v – скорость света в пластине), движется со скоростью V от зеркала к источнику S. Определить время, затрачиваемое световым импульсом на прохождение пути от излучателя до зеркала и обратно. Зависит ли время от направления движения пластины?

www.phys.nsu.ru Семинар 3. СИСТЕМА ЧАСТИЦ. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ. Ц-СИСТЕМА. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СОУДАРЕНИЯ. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ

1. Покоящаяся частица массы M распадается на две с массами покоя m1 и m2. Определить кинетические энергии образовавшихся частиц. 2. Из двух одинаковых частиц с массой покоя m одна из них испытывает упругое соударение с неподвижной второй. Найти зависимость кинетической энергии рассеянных частиц Тi от кинетической энергии Т налетающей и ее угла рассеяния θ. Определить угол ψ разлета частиц. 3. Одинаковые частицы m в неподвижной К-системе движутся навстречу друг другу со скоростями V0 (встречные пучки). Определить энергию частиц в системе, где одна из частиц 6

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru покоится. Выразить для этой системы кинетическую энергию частиц Тi через энергию Т0 в К-системе.

4. Фотон рассеялся на неподвижном электроне. Найти изменение длины волны фотона ∆λ от угла рассеяния θ (Комптон-эффект). Семинар 4. 4-ВЕКТОРА, ИХ ИНВАРИАНТЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ 1. Определить 4-вектора: координаты–время, скорость, импульс– энергия, сила, ускорение. Найти "длины" этих 4-векторов. Выписать формулы преобразования компонент для К- и К'-систем. 2. Релятивистский протон с кинетической энергией Т упруго рассеялся на покоящемся протоне, в результате оба протона разлетелись симметрично относительно начального направления. Найти угол разлета φ. Массу покоя mp считать известной.

www.phys.nsu.ru 3. Шарик m1 с кинетической энергией T10 налетает на неподвижный

шарик m2. Определить кинетическую энергию шарика m2 после упругого нецентрального удара шариком m1. Шарик m2 отскакивает под углом α к исходному курсу m1. При каком соотношении m2/m1 передача энергии наибольшая? 4. Определить энергию частиц m1 и m2 в Ц-системе, если в К-системе частицы движутся навстречу друг другу с энергиями Е1 и Е2. 5. Сколько времени занимает распространение света от Солнца до Земли (расстояние L=150 млн км.) в системе протона, движущегося по этому пути с кинетической энергией Т0 = 103 Мэв?

Семинар 5. РАСПАД И РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА

7

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 1. Найти максимальную энергию γ-квантов, образующихся при распаде неподвижного π0-мезона на четыре γ-кванта (масса покоя π0-мезона равна 135 Мэв). 2. Протон налетает на мишень под углом 45о. При какой минимальной энергии протона Emin в результате «удара» о мишень возможно рождение протон-антипротонной пары? 3. Релятивистский π0-мезон распался на лету на два γ-кванта с энергиями Е1 и Е2. Найти угол разлета θ относительно неподвижной К-системы. 4. Оценить порог рождения π0-мезона при столкновении быстрого протона с покоящимся. Массы покоя частиц mπ и mp. 5. π0-мезон распадается на два γ-кванта, причем γ-квант, летящий вперед, обладает энергией E1=270 Мэв. Определить исходную энергию π0-мезона (mπ = 135 Мэв).

www.phys.nsu.ru Семинар 6. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. ТЕОРЕМА ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ИРНШОУ. ДИПОЛЬ 1. Определить поле в центральной точке А равномерно заряженного по объему полушара радиуса R. Общий заряд полушара равен Q/2. 2. Тонкий диск радиуса R имеет заряд σ на единицу поверхности. Определить поле на оси диска. Найти потенциал на краю диска и в центре. 3. В системе трех концентрических сфер с радиусами R1, R2 и R3 на средней сфере находится заряд Q, а остальные две заземлены. Определить напряженность поля и потенциал в зависимости от r.

8

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 4. Два диполя Р1 и Р2 расположены вдоль одной прямой на расстоянии r друг от друга. Определить силу их взаимодействия. Определить энергию системы. 5. Поверхностное натяжение σ сферической жидкой пленки, создает дополнительное давление P, обратно пропорциональное радиусу пленки R. Будет ли устойчивым мыльный пузырь, если его оболочке сообщить некоторый заряд Q?

6. Каким должен быть заряд Q* (см. задачу 5), чтобы радиус пузыря увеличился вдвое? Какой заряд Q0 нужно поместить в центре, чтобы вернуть пузырек к исходному радиусу? Семинар 7. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

www.phys.nsu.ru 1. Металлические полуплоскости образуют двухгранный прямой угол. Заряд Q расположен в точке (a,b) от вершины угла. Найти распределение индуцированных на плоскостях зарядов σ(x) и σ(y).

2. Заряд Q помещен между двумя параллельными проводящими плоскостями таким образом, что от ближайшей плоскости он находится на расстоянии a. Плоскости расположены на расстоянии 3a друг от друга. Определить силу взаимодействия заряда с плоскостями. 3. Заряд Q расположен на расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R (l>R). Определить поверхностную плотность заряда на сфере. 4. Изменится ли емкость плоского конденсатора (площадь пластин S, расстояние между ними d), если:

9

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 1) параллельно пластинам расположить металлическую сетку на

расстоянии a от одной из обкладок; затем 2) соединить сетку с этой обкладкой или 3) заземлить сетку.

Семинар 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ. ВЕКТОРА ПОЛЯРИЗАЦИИ И ИНДУКЦИИ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1. Заряд Q расположен на расстоянии a вблизи плоской границы двух диэлектриков с ε1 и ε2. Определить поле в каждом из диэлектриков. Какова сила, действующая на Q? 2. Заряд Q, расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью ε, удален на расстояние a от проводящей плоскости. Определить распределение индуцированных на плоскости зарядов и силу, действующую на Q.

www.phys.nsu.ru 3. Определить емкость сферического конденсатора, заполненного слоями диэлектрика с проницаемостями ε1 и ε2 (геометрические размеры первого слоя aR1 от центра шара на оси, проходящей по центрам шара и полости. Определить силы, действующие на заряды. 8. Определить дипольный момент проводящей сферы радиуса R, помещенной в однородное электрическое поле Е.

VIII 1. Металлическому шару радиуса a сообщен заряд Q. Шар окружен шаровым слоем диэлектрика ε. Определить наведенные заряды на 22

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru внутренней и внешней (радиусы a и b соответственно) поверхностях диэлектрика. Какова емкость шарового конденсатора? 2. Как ведут себя силовые линии электрического поля на плоской границе диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2? 3. Заряд Q помещен в центре диэлектрического шара радиуса R (диэлектрическая постоянная шара ε1), который, в свою очередь, окружен диэлектриком с ε2. Найти напряженность и потенциал электрического поля как функцию r. 4. Определить поле в шаровой полости радиуса R, заполненной диэлектриком с проницаемостью ε, если в полости на расстоянии a от центра помещен точечный заряд Q. Полость сделана в проводящей среде, находящейся под потенциалом ϕ0. 5. Шар радиуса R с зарядом Q расположен симметрично на плоской границе двух диэлектриков ε1 и ε2. Определить распределение заряда на шаре. Найти поля в диэлектриках, если шар уменьшить до точечного заряда.

www.phys.nsu.ru 6. Определить емкость плоского конденсатора (площадь пластин S и расстояние между ними d), заполненного двумя диэлектриками ε1 и ε2 одинакового объема (толщина диэлектриков равна d). Как изменится емкость конденсатора, если убрать диэлектрик ε2? 7. Определить емкость плоского конденсатора (площадь пластин S и расстояние между ними d) со слоями диэлектрика ε1 и ε2 толщиной d1 и d2 соответственно. Определить заряд на границе раздела диэлектриков, если на обкладках конденсатора поместить заряд q. 8. Однородный диэлектрик с ε=const граничит с бесконечной проводящей плоскостью. В диэлектрик помещен диполь с моментом p на удалении z от плоскости, ориентированный под углом α к нормали. Определить силу взаимодействия индуцированных зарядов и диполя и его потенциальную энергию. 23

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru IX 1. Определить эквивалентное сопротивление R13 мостовой схемы, если сопротивления плеч моста и его диагонали соответственно равны: R12 = 2r, R23 = r, R14 = r, R43 = 2r, R24 = r. 2. В боковые стороны и диагонали моста включены источники тока с произвольными ЭДС. Сопротивления сторон и диагоналей, включая внутренние сопротивления ЭДС, равны R1, R2, ... При каком условии показания амперметра А, включенного в одну из диагоналей моста, не зависят от положения ключа К (замкнут – разомкнут), включенного в другую диагональ? 3. Найти закон преломления линий тока на гладкой поверхности раздела двух сред с проводимостями λ1 и λ2.

www.phys.nsu.ru 4. Источники с ЭДС Ε1 и Ε2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 подсоединены параллельно к сопротивлению R. Определить параметры Ε, r эквивалентного источника. Как изменятся Ε, r при смене полярности одного из источников?

5. В цепь с ЭДС Ε1 последовательно включены сопротивления R1, R2 и R3. К точке контакта R1 и R2 параллельно Ε1 подключена Ε2, а к точке R2 -- R3 параллельно Ε1 подключена Ε3 и сопротивление R. При какой ЭДС Ε2 ток через сопротивление R не идет? Определить при этом ток через Ε1. 6. К заряженному до напряжения U0 конденсатору емкости С1 с помощью ключа К через сопротивление R1 подсоединяется незаряженный конденсатор С2, цепь С1—С2 замыкается через сопротивление R2. Найти зависимость разрядного тока от времени. Определить количество теплоты, выделившейся за время разряда на каждом из сопротивлений R1 и R2. 24

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru 7. K параллельно соединенным сопротивлению R и индуктивности L с помощью ключа К подсоединяется конденсатор С, первоначально заряженный до напряжения U0. Найти заряды, протекающие через элементы цепи после замыкания ключа.

8. K параллельно соединенным участкам цепи из последовательно соединенных R1, L1 и R2, L2 с помощью ключа К подсоединяется конденсатор С, первоначально заряженный до напряжения U0. Определить заряды, протекающие через индуктивности L1 и L2 после замыкания ключа.

X 1. Определить картину силовых линий электрического поля, создаваемого зарядом Q, если его движение началось в момент t=0 и затем продолжалось с постоянной скоростью v. Найти закон изменения наклона силовых линий для неподвижного и движущегося зарядов.

www.phys.nsu.ru 2. Доказать, что поля Е и В удовлетворяют соотношению (ЕВ)=inv. 3. Доказать, что для полей Е и В справедливо (Е2 – В2)=inv. 4. Плоская спираль представляет собой N-витковую систему, простирающуюся от R1 до R2. Определить магнитное поле в центре спирали, если по виткам идет ток I. Определить магнитный момент m спирали при данном токе. 5. По плоскому кольцу радиуса a течет ток I1. По диаметру кольца на высоте b над ним проходит прямолинейный провод с током I2. Определить напряженность магнитного поля в центре кольца. 6. Проводник изогнут в виде полуокружности радиуса R и двух линейных отрезков длиной 2R, представляющих боковые стороны

25

www.phys.nsu.ru

www.phys.nsu.ru треугольника. Определить напряженность магнитного поля в центре полукольца.

7. Определить поле и векторный потенциал, создаваемые двумя прямолинейными токами I встречного направления, разнесенными на расстояние 2a. 8. По плоской петле радиуса a течет ток I. Определить векторный потенциал A и напряженность магнитного поля B в точках, где r»a.

XI 1. Ток I течет по жиле радиуса r1 коаксиального кабеля и возвращается по толстой проводящей оплетке с радиусами r2 и r3. Определить напряженность магнитного поля B(r). Определить коэффициент пропорциональности между B(r) и I – индуктивность L (для участка кабеля длины l).

www.phys.nsu.ru 2. Внутри длинного цилиндрического проводника радиуса R находится цилиндрическая полость радиуса r01. Сила взаимодействия с зарядом-изображением станет сравнимой с силой воздействия основного поля начиная с х*: e2/x2=8πσe, откуда х*=(e/8πσ)0.5≈0.8 10–5 м, т. е. х*