Алгебра, и логику 39, N 5 (2000), 513-525
УДК 512.552.7
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ Р. Ж. АЛЕЕВ...
41 downloads
120 Views
983KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра, и логику 39, N 5 (2000), 513-525
УДК 512.552.7
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ Р. Ж. АЛЕЕВ Введение
Основным объектом наших исследований являются
центральные
единицы (= центральные обратимые элементы) целочисленных групповых колец конечных групп. Во втором разделе знаменитой работы Хигмана [1] построена тео рия групп единиц конечных абелевых групп. На деле, нахождение еди ниц таких групп там во многом: сведено к нахождению единиц в кольцах целых полей алгебраических чисел, а это — классическая задача теории чисел. Отметим: это сведение проведено именно во многом, а не полно стью, так как, во-первых, задача нахождения единиц в числовых кольцах очень трудна сама по себе, а во-вторых, не ясно, какие числовые единицы понадобятся, что требует отдельного рассмотрения. В [2] теория Хигма на перенесена на центральные единицы целочисленных групповых колец произвольных конечных групп. Пусть К — (ассоциативное) кольцо с единичным элементом 1. Тогда, как обычно, обратимые элементы будем называть единицами и (мульти пликативную) группу единиц кольца К будем обозначать V(K). Следующий достаточно очевидный результат показывает значение группы центральных единиц. *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
514
Р. Ж . Алеев Л Е М М А 1. Группа центральных единиц совпадает с центром
группы всех единиц целочисленного
группового кольца. Более
точно,
пусть ZG — целочисленное групповое кольцо конечной группы G. Тогда \]{Z{ZG)) = Z(ZG) П U(ZG) = Z(U(ZG)), здесь Z(ZG) — центр группового кольца ZG, a Z(XJ(ZG)) — центр группы единиц кольца ZG. Поскольку задача вычисления группы всех единиц целочисленного группового кольца решена лишь для некоторых групп небольшого поряд ка, то получение информации о центре этой группы прольет свет на дан ную задачу. Дополнительную значимость этому придает результат [3, теор. 3.7] о том, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. В ряде работ в Челябинском государственном университете получены полные описания групп центральных единиц следующих неабелевых групп: А5 £ PSL2(5) (1993 год); PSL2(13) PSL2(8)
£ PSL2(4)
и А6 = PSL2(9)
(1990);
PSL2(11)
и SL2(5) (1994 год); SL2{9) (1995 год); J2 (1996 год);
(1997 год); Sz(&) и PGL2{9) (1998 год).
Заметим, что для А$ аналогичный результат был получен в [4]. Основные результаты этой работы изложены в пленарном докладе автора на Международной конференции "Мальцевские чтения" (1997 г.) и анонсированы в [5].
§ 1. Основные понятия и обозначения
Будем придерживаться следующих обозначений. ОБОЗНАЧЕНИЯ. Пусть: 1) G — конечная группа; 2) X(G) — система представителей классов сопряженности группы (?; 3) Irr(G) — набор всех неприводимых комплексных характеров груп пы