Διαφορική Γεωμετρία

S( HAU M'S O UfLJNE

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ,.. ",

fJoII'O}-,\AllfA'«Jl

MARTI,'II

,\Ι

LlPSC HUTZ

~IOIΩ,,"l

OΙ\~lTOIi,."'l ω,,,,()ΙΙΩΡf()Σ

ΧΡιιιlOι

f][PJ[nl Θι'ΩΡΙΑ ΚΑΙ l~;

~I:

. ΙΗΙΙ'"

Ι ΙΥΤ\ ΠΡΟ8 I ΙΙ\IΜ"

\j« ,R·\\I'-ttllf [Σ 111.

"HI'YOR ~

ΛΟ IΙ Νι\

'1I1\1Kon .. ~

SCHAUM'S

OUTLINE

SERIES

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Schaum's Outline of Theory and Problems of DIFFERENTIAL GEOMETRY)

MARTIN

Μ. LLIPSCHUTZ,

Ph. D.

PROFESSOR OF ΜΑΤΗΕΜΑ TICS UNIVERSITY OF BRIDGEPORT

ΕΠΙΒΛΕΨΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΕΩΣ:

ΠΕΤΡΟΣ-ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΜΠΟΖΩΝΗΣ ΤΑΚΤΙΚΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

-~

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ:

ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΚΟΥΦΟΓΙΩΡΓΟΣ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΠΑ'Ι'ΚΟΥΣΗΣ

ΔΡ ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΟΣ, ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΣ

ΔΡ ΜΑΘΗΜΑΠΚΟΣ, ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

McGRAW-HILL, NEW YORK ΕΣΠΙ, ΑΘΗΝΑ

.

---~

~--

~

~-

Ι

Copyright © 1974 by McGraw-Hill, Inc. ΑΙΙ rights reserved. Printed ίη the United States of America. Νο part of this publication may be reproduced, stored ίη a retrieval system or transmitted, ίη any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. 37985

'514. f ΙΙΡ

Copyright © 1981, , Αθήνα. "Ολα τά

ΕΣΠΙ, Ε.

Περσίδης

&

Σία, ΕΕ.

δικαιώματα διατηρουνται.

Τό

βιβλίο αύτό τυπώθηκε στήν

' Απαγορεύονται

ή άνατύπωση ή ή άντι­

γραφή μέρους ή όλου του βιβλίου, ή άποθήκευση σέ άρχείο πληροφοριών, ή μετάδοση μέ όποιοδήποτε μέσο έπικοινωνίας (ήλεκτρονικό, μηχανικό, φωτοαντιγραφικό, φωνο­ γραφικό, κτλ.) χωρίς νά προηγηθεί εγγραφη άδεια του έκδότη. ΕΣΠΙ,

SCHAUM 22

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Τό βιβλίο αύτό απευθύνεται στούς φοιτητές ή τούς μεταπτυχιακούς σπουδαστές πού πα­ ρακολουθουν ενα έξαμηνιαίο μάθημα στή διαφορική γεωμετρία.

Στό βιβλίο αύτό παρουσιά­

ζονται οί θεμελιώδεις εννοιες τής διαφορικής γεωμετρίας τών καμπυλών καί τών έπιφανειών στόν τριδιάστατο Εύκλείδειο χώρο καί δίνονται έφαρμογές τών έννοιών αύτών σέ πολλά πα­ ραδείγματα καί λυμένα προβλήματα .

.Η

βασική

θεωρία τών διανυσμάτων καί του διανυσματικου λογισμου μιας μεταβλητής

δίνονται στά κεφάλαια Ι καί

στά κεφάλαια

4

καί

5

2.

.Η

εννοια τής καμπύλης έμφανίζεται στό κεφάλαιο

3,

ένώ

αναπτύσσεται ή θεωρία των καμπυλων του Ε3 μαζί μέ όρισμένα θέματα

τής θεωρίας έπαφής πού αποτελεί μιά πολύ φυσική προσέγγιση τής Kλα~ΙKής θεωρίας των καμπυλων .

. Ιδιαίτερη

φροντίδα καταβλήθηκε στόν όρισμότής έπιφάνειας γιά νά μπορέσει ό ανα­

γνώστης νά έμβαθύνει στήν έπεξεργασία πρoβλημ~των τής όλικής διαφορικής γεωμετρίας καί

νά προχωρήσει στή μελέτη τής σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας. Συμπληρωματικά στά κεφάλαια 6 καί 7 δίνονται στοιχεία από τήν ά:νάλυση κ:αί τήν τοπολογία. Στό κεφάλαιο 8 δίνεται ό όρισμός τής έπιφάνειας, ένω τά κεφόλαια 9. καί ιο αφιερώνονται στήν ανάπτυξη τής θεωρίας τής μή έσωτερικής γεωμετρίας, στήν ,έισαΥωγική παρουσίαση των τανυστικων

μεθόδων καί σέ μιά έπιλογή θεμάτων τής όλικης θέωρίας των έπιφανειων.

Στό τελευταίο

κεφάλαιο παρουσιάζεται ή βασική θεωρία τής έσωτερικής γεωμετρίας των έπιφανειων. Σ' αύτό τό βιβλίο ύπάρχουν έπίσης πολυάριθμα σχήματα πού βοηθουν τόν αναγνώστη καθώς καί πολλά ακόμη συμπληρωματικά ταξινομημένα προβλήματα, τά όποία βρίσκονται στό τέλος κάθε κεφαλαίου καί δίνουν τήν εύκαιρία στόν αναγνώστη νά έλέγξει αν εχει κα­ τανοήσει τήν ύλη. Μέ εόχαρίστηση d,νακοινώνω δτι οΙ

Martin Silverstein καί Jih~Shen Chiu μέ βοήθησαν . Επίσης χρωστω εύγνωμοσύνη στούς

μέ τήν κριτική τους καί τίς χρήσιμες ύποδείξεις τους.

Daniel Schaum καί Nicola Monti γίά τή θαυμάσια συνεργασία τους στήν εκδοση αύτή καί Henry Hayden γιά τήν τυπογραφική έπιμέλεια καί τήν καλιτεχνική παρουσίαση των σχημάτων. Τέλος έπιθυμω νά έκφράσω τήν έκτίμησή μου στή γυναίκα μου Sarah γιά τήν στόν

προσεκτική δακτυλογράφηση των χειρογράφων.

Bridgeport, Conn. Μάρτιος 1969

MARTIN

Μ.

LIPSCHUTZ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ Τά τελευταία χρόνια τό βιβλίο εγινε στήν

• Ελλάδα

σχεδόν τό μοναδικό έργαλείο γιά τήν

έκμάθηση ενός έπιστημονικου κλάδου, έκτοπίζοντας κάθε άλλη μορφή προσπελάσεως στή γνώση.

.Η

του

κατάλληλου

πιό

κατοχή μιας άπό τίς βασικές ξένες γλωσσες έξασφαλίζει τή δυνατότητα έπιλογής βιβλίου, μέσα άπό· τήν πλούσια ξένη

βιβλιογραφία.

•Η

παράλληλη

μελέτη περισσότερων δμοειδων βιβλίων διευκολύνει τήν άφομοίωση καί όξύνει τό κριτικό

πνευμα.

' Αντίθετα, ή άγνοια μιας ξένης γλώσσας περιορίζει άπελπιστικά τούς δρίζοντες του

νέου πού καταφεύγει στήν άποκλειστική χρήση των σημειώσεων του καθηγητή.

Γι' αύτό

πιστεύουμε δτι οί μεταφράσεις καλων βιβλίων εΤναι μιά ούσιαστική βοήθεια, άν καί γενικά

εΤναι μιά άχαρη απασχόληση καί στήν ή ανάλογη σημασία.

• Ελλάδα

μιά ύπόθεση δύσκολη, πού δέν τής εχει δοθεί

Μέσα σ' αυτό τό πλαίσιο των προβλημάτων, αποφασίσαμε νά συνερ­

γαστουμε μέ τήν εταιρεία ΕΣΠΙ, γιατί ανακαλύψαμε τήν άρτια όργάνωσή της καί τό ύψηλό

αίσθημα έπαγγελματικής εύθύνης των έκπροσώπων της. Τό βιβλίο αύτό κρίθηκε αρκετά κατάλληλο βοήθημα γιά τούς δευτεροετείς φοιτητές μας, πού διδάσκονται τό μάθημα τής κλασικής διαφορικής γεωμετρίας.

Τά εΙσαγωγικά κεφάλαια

πού αφορουν τό διανυσματικό, τανυστικό καί απειροστικό λογισμό, τήν τοπολογία καί τή θεωρία συναρτήσεων βοηθουν στήν κατανόηση των ύπόλοιπων θεμάτων τής διαφορικής γεω­ μετρίας καί αρκετά εχουν αύτοδύναμη αξία.

Μέ τήν έπαγωγική άνάπτυξη των θεμάτων του,

τήν προσωρινή απομάκρυνση των δύσκολων αποδείξεων (στήν πρώτη συνάντηση του άνα­ γνώστη

μέ τίς

βασικές εννοιες καί τά αντίστοιχα θεωρήματα) καί τήν έξαιρετικά πλούσια

ποικιλία των παραδειγμάτων καί των έφαρμογων του γίνεται ενα χρήσιμο «βιβλίο άναφορας» γιά τόν 'Έλληνα φοιτητή.

'Από τήν άποψη των άποδείξεων εΤναι πλήρες, γιατί δ συγγραφέας

περιέλαβε στά λυμένα προβλήματα κάθε κεφαλαίου δλες τίς άποδείξεις πού παρέλειψε στήν αντίστοιχη θεωρία.

Στό συμβολισμό άκολουθεί πολύ κλασικά πρότυπα, άΛ.λά στήν έπεξερ­

γασία των γεωμετρικων θεμάτων δίνει μέ κατανοητό τρόπο άρκετές εννοιες σέ σύγχρονη μα­ θηματική γλώσσα καί προετοιμάζει τόν άναγνώστη στήν κατανόηση τής διαφορίσιμης πολ­

λαπλότητας καί ένμέρει τής γεωμετρίας σέ αύτήν. Γιά τήν άναγκαία συμπλήρωση των γνώσεων του άναγνώστη μέ βασικές εννοιες, δπως δ τελεστής σχήματος, ή συναλλοίωτη παραγώγιση (μέ τίς έφαρμογές της στή γεωμετρία), ή γενίκευση του

Cartan

στούς τύπους του

Frenet

καί άκόμα γιά περισσότερες έφαρμογές τής

άλικής διαφορικής γεωμετρίας ύποδεικνύουμε δύο έξαιρετικά βιβλία:

τό βιβλίο του Μ. Do Carmo (Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976) καί του Β. O'Neill (Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966). ΟΙ εύχαριστίες μας άπευθύνονται σέ πολλούς συνεργάτες καί συναδέλφους μέ τούς ό­

ποίους είχαμε ένδιαφέρουσες καί χρήσιμες συζητήσεις σέ έννοιολογικά θέματα καί μεταφρα­ στικά ή γλωσσικά προβλήματα.

• Αναφέρουμε

Ιδιαίτερα τίς παρατηρήσεις των κ.κ. Σ. Περ­

σίδη καί Θ. Χασάνη πού ήταν άρκετές καί εύστοχες.

Εύχαριστουμε έπίσης τήν Ο.Ε.

• Αφοί

Κυριλλόπουλοι γιά τή φωτοστοιχειοθέτηση του έλληνικου κειμένου, τούς Λεούση-Μαστρο­

γιάννη γιά τήν έκτύπωση καί τό προσωπικό της έκδοτικής έταιρείας ΕΣΠΙ γιά τή σύνθεση του κειμένου, των τύπων καί τήν άρτια έμφάνιση του βιβλίου.

Μάρτιος

1982

Π.-Δ. ΜΠΟΖΩΝΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο

1

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Εισαγωγή.

Διανύσματα.

μωτό μέγεθος.

Πρόσθεση διανυσμάτων.

Γραμμική έξάρτηση καΙ γραμμική άνεξαρτησία.

Έσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. νατολισμένες βάσεις.

• Εξωτερικό

1

Πολλαπλασιασμός διανύσματος μέ βαθ­

Κάθετα διανύσματα.

γινόμενο διανυσμάτων.

Βάσεις καί συντεταγμένες.

Όρθοκανονικές βάσεις.

Προσα­

Μικτό γινόμενο καΙ διανυσματικές

ταυτότητες.

Κεφάλαιο

2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ.......... Εύθείες καί έπίπεδα.

ρια.

• Ιδιότητες

κλάσεως

Κεφάλαιο

3

Περιοχές.

τών δρίων.

Cm. • Ο

Διανυσματικές συναρτήσεις.

Συνέχεια.

τύπος τοϋ

Taylor.

παραμετρικές

παραστάσεις.

πλεγμένες παραστάσεις καμπυλών. τόξου.

4

καμπύλες.

• Ορθογώνιες

Κανονικές καμπύλες κλάσεως

Μον.1διαίο έφαπτόμενο διάνυσμα.

Πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα.

κάθετος.

Κινούμενο τρίεδρο.

Cm.

προβολές.

43

Πε­

Όρισμός τοϋ μήκους

Στρέψη.

Έφαπτομένη καΙ κάθετο έπίπεδο.

Πρώτη κάθετος καί έγγύτατο έπίπεδο.

οι έξισώσεις τοϋ

• Εγγύτατες

Frenet.

Κανονική

Δεύτερη

Σφαιρικές δείκτριες.

Φυσικές έξισώσεις.

μορφή

61

Καμπυλό-

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ............................................... δικότητας.

~~ ~~

Ο.

Συνεπώς

Ο καί δρα ή (ut, u 2, U3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2, ν3)'

=

3

3

= k=I ~

~ aikU; καί Wj

ί=Ι

3

:Σ

δπου Cij

CijUi,

i=l

Έπειδή ή

Εύκολα

=

bkjVk'

Μέ άντικατάσταση παίρνουμε

3

= 1,2,3.

~ aikbkj, i, j

k=I

' Αλλά

(wt, W2' w3) εχει τόν 'ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (νι, ν2' ν3) καί ή (νι, V2' ν3) εχει τόν 'ίδιο (Ul, U2, U3), συμπεραίνουμε δτι det (b jj ) > Ο καί det (aij) > Ο· συνεπώς εχουμε Ο. Δηλαδή ή (Wl> W2, W3) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (Ut, U2' U3)'

προσανατολισμό μέ τήν

>

det (Ci;)

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.28.

-Εστω

a = 2et - e2 + e3, b aX b, (b) b χ a, (c) aX (b

= el + 2e2 -

(α)

χ

(α)

aX b

(b) b

(C)

χ

a

aX (b

det

(:~

-el

+

det

χ

~)

-: e3 1-1

el (

+

3e2

e2

e3,

= e2 + 2e3.

C

χ

=

(-1 2)

el det

b)

χ

1 -1

(a

χ

b)

χ

1 2)

=

= aX (b

1 -1

e3 det

( 2 ~) -

1

aX b = -(b

1

Ο

Παρατηροϋμε δτι

(2 1) +

Παρατηροϋμε δτι

2-1

e3 -1

c)

c

- e2 det

5e3

=

(d)

Ύπολογίστε τίς παραστάσεις

c, (e) (a χ b) • c, (/) aX (b + c) - aX b - aX c.

c), (d) (a

χ

c) -# (a

χ

b)

χ

det

(

el

2 5)

e3

1

e2 -1 -2

1

-1 3 det (:: 5 e3

c. (-1)(0)

+

(3)(1)

+

(5)(2)

= 13

χ

a).

., (Ι)

aX (b +

c) = det(:: -~ 1

e3 Συνεπως

4e2 + 2e3' a

1.29.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

18

χ

(b + c) - a

νΕστω

Χ

b - a

aX (b + c)

Δείξτε δτι (α)

(α)

Χ

=

c

aX b

+ aX c,

(b) (ka)

χ

b

=

k(a χ b).

a = uIe} + ~e2 + αae3, b = btel + b2e2 + b3e3, c = cle} + C2e2 + C3e3'

aX (b + c)

=

[u2(b 3 + c3) - u3(b 2 + c2)Jel + [u3(b } + c t ) - u l (b 3 + c 3)]e2 + [ul(b 2 + cι> - u2(b ! -Ι- Cl)Je3 (u2 b 3 - u3 b 2)et + (u3 b } - ul b3)e2 + (UI b 2 - ~bI)e3 + (U2 C3 - u3 c 2)el + (u3 c t - ut c 3)e2 + (Ul C2 - u2 c l)e3 aXb+aXc

(b) (ka)

χ

b

(kU 2b 3 - kU3b2)et k[(u z b 3 - u3b2)e t

1.30.

+ (kU 3b l - ku t b 3)e2 + (ku Ib 2 - kU2bt)e3 + (u3 b l - u t b3)ez + (ulbz - u2bl)e3] = k(a χ b)

Δείξτε δτι la χ bl 2 = la[Z [b[2 νΕστω

a = ulel + uZe2 + U3e3

[a· b1 2• b = ble } + b2e2 + b3e3.

καί

la χ bl 2 = (a Χ b)· (a Χ b) =

[(U2b3 - u3b2)et + (u 3 b } - ulb3)e2 + (αlb2 - u2bl)e3] • [(u 2b 3 - u3b2)et + (u 3b l - u l b 3)e2 + (u I b 2 - u2bt)e3] (U2b3 - U3b2)2 + (U3bl - UIb3)2 + (Ulb2 - U2 b l)2 2 2 2 2 2b2 2 bZ Ζ 2 2 Z u 2 b3 + u 3b2 + U3 Ι + α ι 3 + α ι b 2 + U2b Ι - 2U2b2U3b3 - 2ulbIU3b3 - 2utbtuzb2

(a· a)(b· b) - (a· b)(a' b) Ζ 2 2 2 2 2 . (α ι + U2 + u 3 )(b } + b2 + b3 ) - (αtb} -Ι- u2b2 + α3b3)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b b b α ι b 2 + α ι b3 + U2 b Ι + u 2 b3 + u 3b l + u 3 b2 - 2ulbIα2b2 - 2αι ι α 3 3 - 2U2 2U3 3 Συγκρίνοντας τά παραπάνω άποτελέσματα παίρνουμε τό ζητούμενο συμπέρασμα.

1.31. ' Αποδείξτε (ί) (ίί)

θ. (aΧb).ιa

b. (ί)

τό Θεώρημα

1.5:

la χ bl = lallbl sin θ, καί

(aΧb).ιb

'Εάν (a χ b) =F Ο, τότε ή (a,

b, aX b)

εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (et, e2, e3).

Χρησιμοποιώντας τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

la χ bl 2 =

. Επειδή sin θ (ίί)

θ = 4-(a, b)

θ.

lal 2 Ibl2 - la· bl 2 = lal 2 Ibl 2 - lal 2 Ibl2 cos2 θ lal 2 1bl 2 (1 - cos2 θ) = lal21bl2 sin 2 θ (Iallbl sin θ)2

"" Ο γιά Ο ~ θ ~ π, εχουμε

la χ bl

= lallbl sin θ.

νΕστω

a = ulel + ~e2 + u3e3 καί b = blel + b2e2 + b3e3' (a χ b)· a [(~b3 - u3 b2)el + (u3bl - ulb3)e2 + (ulb2 - u 2 b l )e3] • (ule} + a2e2 + U3e3)

= =

~Oμoια,

b.

.Η

(a

Χ

UI~b3 - Ula3b2

b) • b =

Ο.

Συνεπως

+ u2U3b! (a

χ

b) .1 a

δρίζουσα των συντεταγμένων της τριάδας

det (

αι U2 U3

b} b2 b3

»)

(U2 b3 - U 3 b2 (U3b} - atb3) (ut b2 - ~bl)

'Εάν aX b # Ο, τότε la χ bl 2

>

=

U2utb3

+ U3ulb2 -

καί

Χ

(a

b) .l.. b .

(a, b, aX b)

(U2b3 - U3b2)2

U3U2b! = Ο

+ (U3b} -

εΙναι

utb3)2

+ (Ulb2 -

u2bt)2 =

la χ bl 2

Ο καί ή (a, b, aX b) εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (eI, e 2, e3)'

Γ ΚΕΦ.Ι

1.32.

19

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΑ

Δείξτε δτι ο ορισμός τοϋ έξωτερικοϋ γινομένου εΙναι άνεξάρτητος τής δεξιόστροφης όρθο­ κανονικής βάσεως πού εχουμε εκλέξει. "Εστω

ε καί

νονικές βάσεις.

εΙ τό εξωτερικό γινόμενο τών

Μπορούμε νά ύποθέσουμε δτι τά

συνέβαινε, τότε άπό τό Θεώρημα

=

'Από τό Θεώρημα

'Επειδή τά

a

a

καί

b

ώς πρός δύο διαφορετικές δεξιόστροφες όρθοκα­

b

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

Γιατί αν αύτό δέν

c = εΙ = Ο, περίπτωση γιά τήν όποία Ισχύει ή (a, b, ε) εΙναι μιά βάση καί συνεπώς μπορούμε νά

θά είχαμε δτι

1.6

Τώρα άπό τό Θεώρημα 1.5(ίί) ξέρουμε δτι ή τριάδα

εΙ aa + βb + γε. a(b· a) + βΙbl 2 = ο.

καί

a

καί

=

1.5(ίί) έχουμε επίσης δτι

b

a· εΙ alal 2 ε{ναι γραμμικώς άνεξάρτητα, έπεται δτι

σχέση αύτή μαζί μέ τίς δύο προηγούμενες δίνει α

=β =Ο

b, εΙ) καί (a, b, ε) εΙναι δεξιόστροφες, έχουμε γ> Ο. γlε,l. Συνεπώς γ = 1 καί c = ε'.

καί επομένως

'Από τό Θεώρημα

εΙ

+ β(a • b)

=Ο

καί

lal 2 1bl 2 - la • bl 2

= γε.

Έπειδή

πρόταση. γράψουμε

οί βάσεις

1.5(ί) έχουμε τελικά lε,l

=

b· εΙ

.,ι. Ο.

.Η

(a,

= lεl =

ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

1.33.

"Εστω

= el + 2e2 -

a

+ e2,

e3, b = -el

+ 2e3. 1 -1 Ο)

·Έχουμε

a· b

1.34.

Δείξτε δτι

a· b

χ

c

χ ε

det

• Υπολογίστε τό a· b χ c.

c = -e2

( -12

1-1 Ο 2

5

= a χ b· c. aX b· ε

1.35.

Άποδείξτε τό Θεώρημα

aX (b

χ

c)

(atet

1.8: aX (b

χ

c) = (a· c)b - (a· b)c.

+ a2e2 + a3e3) χ

[(b2C3 - b3c2)et

+ α3 b t c 3)e t + (αlb3Cl - at b t c 3 - a2 b 2c 3 + a2 b 3( 2)e3 (a· b)c (alcl + α2C2 + a3(3)(btet + b2e2 + b3e3) - (αtbl + a2b2 + a3b3)(ctel + C2e2 + C3e 3) (a2btc2 + a3btc3 - a2ctb2 - a3ctb3)et + (b 2a l c t + b 2a 3c 3 - C2albl - C2 a 3b 3)e2 + (b 3a l c l + b 3 ΑZC2 - C3a l b l - c3 a 2b z} e 3 (a2 b l c 2 - ΑZb 2 c t - α3 b 3 C !

Έπίσης

+ (b3cl - c3bt)e2 + (blC2 - b2ct)e3] + (a.3 b 2C3 - a3 b 3c 2 - albtc2 + al b 2c t)e2

(a· c)b -

aX (b χ ε)

'Άλυτα Προβλήματα 1.36.

=

OPQR τού Σχ. 1-18 εστω a ΟΡ, b OQ, ε RQ. 'Εκφράστε τό διάνυσμα ΡΜ μέ τή 'Απ. ΡΜ -lb + -lc - a

τής

πλευρας

= ΟΚ

=

+

=

+

=

+

καί Μ τό

βοήθεια

=

b, ε. 1.37.

=

Στό τετράεδρο μέσο

τών

a,

"Εστω a 2U1 u2 - 3U3, b υι - 2U2 u3, ε -υι 2U2 - U3' Βρείτε τό διάνυσμα 3a - 2b ε ώς συνάρτηση τών υι, U2, U3' 'Απ. 3υι 9U2 - 12u3

+

+

+

Q

+

Δείξτε δτι

1.39.

Δείξτε δτι τά μέσα τών εύθύγραμμων τμημάτων, πού ενώνουν τά μέσα τών άπέναντι πλευρών ενός τετραπλεύ­

la ± b ± cl ,,: lal

Ibl

lεl.

1-18

1.38.

ρου, συμπίπτουν.

1.40.

Δείξτε δτι οί διχοτόμοι τών γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται άπό τό ίδιο σημείο.

Σχ.

20 1.41. 1.42.

ΚΕΦ.Ι

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Δείξτε δτι

ot

διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται άπό τό ίδιο σημείο.

Δείξτε δτι όσαδήποτε διανύσματα άπό ενα σύνολο γραμμικώς άνεξάρτητων διανυσμάτων είναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

1.43.

Δείξτε δτι δύο γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα του Ε2 όρίζουν μιά βάση του Ε2.

1.44.

Δείξτε δτι τρία ή περισσότερα διανύσματα του Ε2 ε{ναι γραμμικώς έξαρτημένα.

1.45.

Έάν αι. bi• ci είναι οί συντεταγμένες τών διανυσμάτων

έάν καί μόνο έάν αί

= kai' 1.46.

-Εστω υι.

a. b. ε

έάν καί μόνο έάν Ci

U2' U3 μιά βάση. Έξετάστε άν τά διανύσματα a Άπ.

=

= -2νι +

-Εστω

ν2

- ν 3 • U2

= 3ν ι -

ν2

ώς πρός κάποια βάση, δείξτε δτι (ί)

= α; + bi • (ίίί) b = ka,

= υι -

2U2 + u3. b

a

= b,

έάν καί μόνο έάν

= u2 -

U3.

ε

= 2υι -

bi

U2+

ΝαΙ

-Εστω υι. U2. U3 μιά βάση καί νι = -υι + u 2 - U3. ν2 υι ν2. ν3 δρίζουν μιά βάση καί βρείτε τίς συντεταγμένες του a Άπ. υι

1.48.

= a + b,

(ίί) ε

i•

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

5U3 1.47.

=b

+ 2ν3. u3

=

+ 2U2 - U3. ν3 = 2ul + U3. Δείξτε δτι τά νι. 2υι - U3 ώς πρός τή βάση νι. ν2. ν3' 4νι - 2ν2 + 3ν3. a -8νι + 4ν2 - 5ν3

=

=

a = -e } + e2 - 2e 3 καί b = e} - e2 + e 3. . Υπολογίστε τίς παραστάσεις (α) a· b. (b) lal. (c) cos 4(a. b). Άπ. (α) -4. (b)...[6. (c) -4/(3V2). (d) -4/V3. (e) -(4/3)(e} - e2 + e3)

(d) P b (a). (e) Pb (a).

1.49.

Βρείτε τά συνημίτονα κατευθύνσεως του διανύσματος

1.50.

Προσδιορίστε τό χ ετσι ωστε τά διανύσματα Άπ.

1.51. 1.52.

χ

=

a:=-.: e} + e2 - e3

καί

b

= -e} +

καί

e2 - e3

b

= 2e l -

xe2 + e3

arlal 2 - (αδ + βγ)(a· b) + βδlbl 2 .

Δείξτε δτι τά διανύσματα

gl

Βρείτε ενα διάνυσμα

2e2 - 2e3'

τίς πλευρές ενός όρθογώνιου τριγώνου.

1.53.

= xe} +

a

'Απ. 2/...[14, ι/νΓι4. -3/V14

3e3'

νά είναι κάθετα.

1

Νά γίνει γινόμενο παραγόντων ή παράσταση -Εστω

= 2e } + e2 -

a

Άπ.

Άπ.

(aa -

ε, ετσι ωστε τά

a. b,

βb)

• (ya - cSb)

ε νά άποτελουν

= ±(2el - e2 + e3)

ε

= (1/3)(2el -

=

=

2e2 + e3)' g2 (1/3)(el + 2e2 + 2e3) καί g3 (1/3)(2el + e2 - 2e3) (el. e2' e3) ώς συνάρτηση τής (gl' g2. g3)' (1/3)(-2g } + 2gi + g3)' e3 (1/3)(gl + 2g2 - 2g3)

άποτελουν μιά όρθοκανονική βάση καί βρείτε τήν 'Απ.

1.54.

= (1/3)(2g} + g2 +

el

2g3). e 2

=

=

Δείξτε δτι τό άθροισμα τών τετραγώνων τών πλευρών ενός παραλληλογράμμου ε!ναι ίσο μέ τό ίiθρoισμα τών τετραγώνων τών διαγωνίων του.

=

=

=

1.55.

'Εάν a e } - 2e2 + 3e3. b 2e } - e2 - e3 καί ε e2 + e3. βρείτε τά (α) aX b. (b) b χ a. (c) a· b χ ε (d) aX (b χ ε). 'Απ. (α) 5e } + 7e2 + 3e3. (b) -5e } - 7e2 - 3e3. (c) 10. (d) 2e } - 2e2 - 2e3

1.56.

Βρείτε ενα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στά a

1.57.

Βρείτε τήν άπόσταση

'Απ. d

S

μέχρι τό Ρ

= IPb χ ,,(a)1

1.58.

det

1.59.

Δείξτε ότι

(a

1.60.

Δείξτε ότι

[(a χ b)(c χ d)(e χ f)]

1.61.

Έάν τά

(a

1.62.

χ

χ

b) " (ε

χ

χ ε)

d) + (b

=

(

e3 καί b

I

υι • νι υ ι • ν2 υ ι • ν3 ) U2" νι

U2" ν2

U2" ν3

υ3"ν ι

υ3"ν2

υ3"ν3

• (a

χ

d) +

(ε χ

a) " (b

χ

d)

. Ο.

[abd][cef] - [abc][def].

a καί b κείνται σέ ενα έπίπεδο κάθετο πρός ενα άλλο έπίπεδο πού περιέχει τά ε καί d. δείξτε δτι

b) " (ε

χ

-Εστω (υ ι ,

d) =

U2, U3)

Ο. μιά τυχούσα

(νι, ν2, Va) είναι δυϊκή τής (υι,

1.63.

= -e} - 2e2 + e3' 'Απ. ±(I/V2)(e + e3) Ρ άπό τό έπίπεδο S, δπου a = ΟΡ = e } + e2 - e3 είναι τό διάνυσμα καί τά διανύσματα b = -e } + e3, ε = e } - e2 βρίσκονται στό S.

d ενός σημείου

άπό τό σημείο Ο του

= e } + e2 -

= [abc].

-Εστω (υι,

u2' U3) καί U2, U3)'

βάση καί

νι

U2, U3)' δηλαδή

(νι. ν2' ν3)

U2

χ

U3

= _.[υιυ2υ3] , 11;" Vj

δύο δυϊκές βάσεις.

ν2

U3

= [υ υ2υ3]ι , χ υ

ι = δίjι i, j = 1,2,3.

ν3

Δείξτε δτι ή (νι, ν2' ν3)

=

Δείξτε δτι ή

εχει τόν ίδιο προσανατολισμό

μέ τήν (υ ι ,

1.64.

Δείξτε ότι ύπάρχουν δύο κλάσεις ίσοδυναμίας στό σύνολο τών διατεταγμένων βάσεων (βλ. Πρόβλ.

1.27). Δη­ (wl, W2, W3) δέν Ι:χουν τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν (υι, U2' U3), δείξτε δτι προσανατολισμό μέ τήν (wl, W2, W3)' "Ετσι μπορούμε νά λέμε στι δύο διατεταγ­

λαδή, άν οί (νι, ν2' ν3) καί ή (νι, ν2, ν3) Ι:χει τόν ίδιο

μένες βάσεις Ι:χουν τόν ίδιο ή άντίθετο προσανατολισμό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ

'Έστω σημείο

a

καί

a

u

δύο διανύσματα (σημεία) τού Ε3 μέ

καί είναι παράλληλη πρός τό διάνυσμα

τήν εξίσωση

Χ

= ku

~ Ο.

u

Καλούμε εύθεία πού διέρχεται άπό τό

τό σύνολο των σημείων χ του Ε3 πού ίκανοποιουν

u

+ θ,

< k < 00

-00

(2.1)

Μέ χρήση των συντεταγμένων ή διανυσματική αύτή εξίσωση δίνει τίς εξισώσεις -00

Οί εξισώσεις

(2.1)

καί

παράγει τήν ευθεία,

λέγονται παραμετρικές έξισώσεις της ευθείας.

(2.2)

όταν ή

παράμετρος

(2.2)

00

Λέμε στι τό σημείο

παίρνει τιμές στήν πραγματική ευθεία.

k

λέμε ότι είναι παράλληλο πρός τήν ευθεία, αν τό διάνυσμα αυτό καί τό μένα.

Ο ύπάρχει 8 > Ο τέτοιο ωστε Ig(t)1 < ε γιά κάθε t στήν S~(to). . Εάν τώρα θέσουμε g(t) = jf(t) - LI. τότε παρατηρουμε δτι jg(t)1 = jf(t) - LI < ε εάν καί μόνο εάν ή f(t) ανήκει στήν S.(L). ΥΕτσι έ­ χουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

t

-+

2.1.

.Η

ί( Ι) τείνει στό

δταν

L

t

-+

t o, εάν καί μόνο εάν ή If( Ι) - LI τείνει στό μηδέν δταν

=

eI - 2e2' γιατί

to.

Παράδειγμα

2.12.

"Εχουμε

lim (t2e l

t-+l

lim If(t) - LI Ι-+Ι

=

(t+ l)e2)

-

lim l(t2

-

Ι-+Ι

1)el - (t - 1)e21

=

lim [(t2 -1)2

Ι-+Ι

+

(έ -

=

1)2j1/2

• Υποθέτουμε, τέλος, δτι ί(Ι) -+ L δταν t -+ t o• Τότε γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει δ > If(t) - LI < ε γιά κάθε t στήν S~(to). Συνεπώς γιά κάθε t στήν Sδ(tσ). θά εχουμε'

If(t)j όπου Μ

=

Max (ε, !f(t o) - LI)

=

jf(t) -

L + LI

~ If(t) -

LI + ILI

~ Μ

Θεώρημα στό

2.2. t o.

Έάν ή

f(t)

Ο τέτοιο ωστε

/

//

+ IL!

μέ τήν προϋπόθεση δτι ή ί(Ι) εΙναι όρισμ~η στό t o.

έχουμε τό επόμενο θεώρημα:

μένη

Ο

Ά

εΙναι όρισμένη στό

to

καί εχει δριο όταν

t -+ t o,

τότε ή

f(t)

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Ύποθέτουμε δτι

lim

Λ(Ι)

Ι-Ι ο

= L i,

ί

= 1,2,3'

τότε

lim [fl(t)el + f2(t)~;+ f3(t)~] \

t ... t o

= Ltel + L2e2,+ L3e3

\

Πράγματι, έστω f(t)

= fl(t)el + f2(t)~ + f3(t)e3 καί L = Ltel + L;.e2 + Laea' τότε ~ ./ lim If(t)-L! lim I(fl(t)el + fz\t)e-1. + f3(t)e3) - (Llel +L~+L3e3)1 t-+to

= = 3

t .... t o

lim Ι ...

ο

to

[(ιι(ι)

-Ll)Z

+ (f2(t) -

L 2)2

+ (f3(t) -

L 3 )2]l/2

ε{ναι φραγ­

26

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

• Ισχύει θεώρημα

tπίσης ιcαί τό άντίστροφο, δπότε εχουμε τό Ι:πόμενο θεώρημα:

f(t) = fl(t)el + f2(t)e2 + f3(t)e3 = 1,2,3, εχουν δρια δταν t -+ t o,

Ή συνάρτηση

2.3.

tάν οΙ συναρτήσεις

ί

fi(t),

=

lim f(t) t .... t o

2.13.

Παράδειγμα

1im

ι-ο

Παράδειγμα

t .... t o

(lim f2(t») e2 + (lim f3(t)\e3

Βίη t) e}

(lim cos t)

'm Ι(2 + 1ι.) - Ι(2) 11 h

h_O

Ύποθέτουμε τώρα δτι

f(t)

(lim

ι-ο

+ te2 •

f(t) = t 2el

νΕστω

2.14.

=

3)

= fl(t)el +

«2 + h)2e l

•

=

h-O

=

h_O

hm

t .... t o

ι-ο

e2

ιcαί

+

δταν

If(t)l-+ ILI

t -+ t o.

= Ltet + L2e2 +

L

Πράγματι, θέτοντας

L3e3,

f~(t»)1/2

[( lim ft(t»)2 + (lim f 2(t»)2 + (lim f3(t»)2]l/2 ι-..

t .... t o

to

L~ + L~]l/2

+

[L;

ILI

Ας σημειωθεί δτι τό άντίστροφο δέν ίσχύει.

χωρίς δμως νά ύπάρχει ιcαί τό δρω της

to =

=

(lim t) e3

(4e } + 2e2)

-

h

f2(t)e2 + f3(t)e3

t .... t o

μείο

+ (2 + h)e2)

Τότε

t -+ t o.

t-+ t o

=

W

~+

. [«2 + h)2 - 4)el he2 ] 11m h +-1ι.

lim [f~(t) + f~(t)

lim If(t)1

ι-ο

Τότε

δταν

f(t) -+ L

'J

t ... to

t .... t o

+

έάν ιcαί μόνο

t -+ to,

Ιι(Ι») el +

νΕχουμε

«Βίη t)e} + (cos t)e2 + te

εχουμε

(lim

εχει δριο δταν

ιcαί εΙναι

Δηλαδή, μπορεί να υπαρχει το ορω της

Αύτό συμβαίνει Π.χ. στό Παράδειγμα

f(t).

2.11

If(t)1

(στό ση­

Ο).

VΥστερα άπό δσα άναφέραμε, διατυπώνουμ,ε τό Ι:πόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

'Εάν

2.4.

f(t) -+ L δταν}4 t o, τότε If(t)l .... ILI δταν t -+ to. /

.

Τέλος, εχουμε τίς παραιcάτω/ Ιδιότητες:

'

τότε

=

[Ηι]

lim (f(t) + g(t»

[Η2]

lim (h(t)g(t»

[Ha]

'Εάν Ν.,ι. Ο, τότε

[IL]

lim (f(t)· g(t»

[IL]

lim (f(t)

[IL]

'Εάν

ι-ι.

'Εάν

lim f(t) ι-ι.

=

/ lim f(t) + lim g(t) ι-ι.

t .... t o

= L,

lim g(t)

ι-ι.

=Μ

ιcαί

lim h(t)

ι-ι.

= Ν,

L+M

i

=

ι-ι.

tlr.

Παράδειγμα

χ

2.15.

r-'t.•

=

"\.,

ι-ι.

χ

=

= =

L,

ι-ι.

lim

θ-θ.

lim g(t)

Μ,

1im h(t)

t .... 'o

1im f(t)· lim g(t) ι-ι.

L/N.

χ Μ.

t .... t o

1im (f(t)· g(t) χ h(t»

ι-ι.

L

t

h(θ) = t o, τότε

=

=

L·M

=

lim g(t)

, .... to

t .... t o

=

t .... t o

lim f(t)

lim f(t)

t .... t o

lim [Ι(Ι) g(t) h(t)]

t .... to

t .... to

= f(to), t = h(θ) ιcαί

νΕστω

ΝΜ

lhn (f(t)/h(t» = lim f(t)/ lim h(t) t .... t o

g(t»

lim f(t)

ι-ι.

ι-ι.

li~'f(t). lim g(t)

ι-ι.

ι-ι.

=

mm h(t) lim g(t)

χ

=

=

Ν.

f(h(θ» = f (lim h(θ») = f(to). θ-θ.

Τότε

lim f(t)· lim (g(t) χ h(t»

t ..... to

1im h(t)

ι-ι.

lim

θ_θ.

t .... to

=

[LMN]

t 1

Ι 1i

\Ι

r ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

27

ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Λέμε ότι μιά διανυσματική συνάρτηση

νά άνήκει στήν

στό

to

»

t

γιά κάθε

S.(f(to

=

lim f(t) t .... t o

συνάρτηση

• Από

2.3 επεται ότι = 1,2,3, εΙναι

ί

fi(t),

ή

f(t)

άνήκει στό πεδίο

to

ή ίσοδύναμα, ή

f(t)

f(t)

εΙναι συνεχής

f(to)

(2.8)

t = to

λέγεται συνεχής στό Ι, άν εΙναι συνεχής σέ κάθε

f(t)

τό Θεώρημα

ναρτήσεις της

όπου τό

to,

(πού γενικά έξαρταται άπό τό ι) τέτοιο ώστε ή

πού άνήκει στήν Sδ(t ο )·

αν

.Η

εΙναι συνεχής στό

f(t) 8> Ο

όρισμοϋ της, άν γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει

στό Ι .

εΙναι συνεχής έάν καί μόνο έάν οί συντεταγμένες συ­

συνεχείς.

. Επίσης

άπό τίς Ιδιότητες [Β ι ] μέχρι καί [Β 6 ] ε­

πεται ότι τό άθροισμα, τό γινόμενο, τό έσωτερικό καί έξωτερικό γινόμενο συνεχών συναρτήσεων εΙναι συνεχείς συναρτήσεις καί άκόμα ότι ή σύνθεση συνεχών συναρτήσεων εΙναι συνεχής συνάρ­ τηση.

V

Ας σημειωθεί ότι ή συνθήκη

εΙναι Ισοδύναμη μέ τήν

(2.8)

» f(t o»

Ο

lim (f(t) - f(t o

t .... t o

ή, άν θέσουμε Παράδειγμα

h = t - t o, "Εστω

2.16.

f(t)

=

lim f(t)

f(t)

Παράδειγμα

γιά t G#

γιά

"Εστω

2.17.

f(t)

1 εχουμε

to

Παράδειγμα

σπου

lim (a

t ..... t o

t. t; ~ : ={ +

είναι σταθερά διανύσματα.

a, b, c

+ bt +

Ο

=

ct 2 )

a

+

bt o

ή

f(t)

=

ct~

+

Τότε

f(t o)

ε{ναι συνεχής γιά κάθε

2eI

tl~o . Ενώ

h .... O

= a + bt + ct2,

t .... t o Δηλαδή ή

lim (f(to+ h) -

μέ τήν

=1

f(t)

el

+

t#l

t3e2,

t

e2,

Τότε

=1

t~ - 1 to-l e Ι

Δ~ (t; ~ : el + t3e2)

=

ε{ναι

+

συνεχής γιά

κάθε

t.

Πράγματι,

t~2 υ-

εχουμε

]~ f(t) = ]~ (tt ~

2.18.

2

•Η

:

+ t3e2)

eI

διανυσματική συνάρτηση

lim

t .... t

__ {te te

f(t)

«t + l)et + t3e2) =

γιά κάθε t έκτός άπό τήν τιμή t

t "" Ο t < Ο

+ e2,

l

e2'

l -

2eI

+

e2

=

τοϋ Παραδείγματος

f(l)

2. 11

ε{ναι συνεχής

= Ο, στήν όποία τό δριο δέν ύπάρχει.

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Τό όριο

άν ύπάρχει, λέγεται παράγωγος της παραγωγίσιμη στό

to.

f(t)

lim .....1f(~t)_---:f~(t=o) t - to t = t o• • Εάν ή f'(t o)

=

f'(to)

στό

έπίσης άπό τή σχέσή~

= t~------o + ~τόν =

f'(to)

/'

=

=

f(t)

f(t)

= a + bt + ct2,

. f(t o + 11m

Δt) -

At .... o

.

11m

At ... o

b

Δt

+

όπου

f(t o)

Δt

2cto Δt ΔΙ

+

=

παραπάνω όρισμό, ή παράγωγος στό

to

lim ftt o + Δt) - f(t o) At .... o

f'(t o)

ύπάρχει, λέμε ότι ή

εΙναι

___ _

Παρατηροϋμε ότι, άyerσoυμε t

πα Ράδειψ2:Ι9. "Εστω

(2.9)

t .... t o

a, b, c

(2.10)

Δt

\

ε{ναι σ~θερά διανύσματα. Τότε

~t)

Δt)2j

ct~)

• [a + b(to + c(to + - (a + bto + 11m -=----=-----'\....--.....:....~-.:......---....:.....--=.

ΔΙ ... Ο'

c(Δt)2

=

lim (b

At ... o

Συνεπώς ή Ι(Ι) εΙναι παραγωγίσιμη στό t o μέ παράγωγο ΙΙ(Ι ο )

+

Δt

2cto + cΔΙ)

= b + 2cfo.

δίνεται

=

b

+

2cto

28

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

~Eστω Θεώρημα

τώρα

2.3

δτι

=

f(t)

fl(t)el

+ f2(t)e2 + f3(t)e3.

'Από

τόν όρισμό

ΚΕΦ.2

της παραγώγου καί τό

εχουμε

lim f(t) - f(t o)

f'(t o)

t - to

t ... t o

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα στό

t o,

Μιά διανυσματική συνάρτηση

2.5.

f(t)

= fl (t)eI + f2(t)e2 + f3(t)e3

είναι παραγωγίσιμη

t o, εάν καί μόνο εάν κάθε συντεταγμένη συνάρτηση fi(t), i = 1,2,3, είναι παραγωγίσιμη στό

καί μάλιστα εχουμε

, Εάν

ή

f(t)

συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη σέ ενα διάστημα Ι, τότε ή

όρισμένη

στό

Ι,

πού

μπορεί

νά

είναι

f'(t)

είναι επίσης μιά διανυσματική

παραγωγίσιμη.

'Όταν

συμβαίνει

αύτό,

λέμε

f"(t).

Μέ

u = f(t)

χρη­

δτι ή αρχική συνάρτηση εχει παράγωγο δεύτερης τάξεως, τήν όποία συμβολίζουμε μέ

παρόμοιο τρόπο όρίζουμε τίς παραγώγους ανώτερης τάξεως. 'Όπως στίς πραγματικές συναρτήσεις, ετσι καί στίς διανυσματικές συναρτήσεις σιμοποιουμε τούς συμβολισμούς

u' Παράδειγμα

2.20.

=

. Εάν u

u'

~~ =

u"

:t

Παράδειγμα

2.21.

.Η

~~ =

=

(t 3

χ

=

+ 2t)e l +

:t (t 3 + 2t)e I

(~~) =

u"

f'(t),

:t

(sin t)e2

:t (~~) = ~:~

+ ete 3 ,

+ :ι (sin t)e2 +

(3t 2 + 2)e I

+

+ a(sin t)e2

a(cos t)eI

=

άξόνων καί άκτίνα α, δπως φαίνεται στό Σχ.

2-10.

Κ.Ο.Κ.

f"(t),

τότε

:t (e t )e3

:t (cos t)e2

+

=

(3t 2 + 2)e I

:ι (e )e3 = t

6te l

+

(cos t)e2

+

e t e3

-

(sin t) e 2

+

e t e3

εχει γράφημα τήν περιφέρεια πού εχει κέντρο τήν άρχή των Ή παράγωγος

χΙ

=

dx/dt

=-

a(sin t)el

+ a(cos t)e2

εΙναι

ενα διάνυσμα πού έφάπτεται στήν περιφέρεια στό άντίστοιχο σημείο χ, δηλαδή εΙναι κάθετο στό διάνυσμα χ, άφου εχουμε

χ· χΙ

=

ο. Χ2

----------~~~~~----~--------~xι

ί·

/ !

ι

Σχ.2-10

Πολλές ιδιότητες τών πρι1~μαΤΙKών συναρτήσεων ισχύουν καί γιά τίς διανυσματικές συναρτή­ σεις.

Γιά παράδειγμα, αΥαΙΡέρουμε τό Πρόβλημα 2.26, δπου αποδεικνύεται τό εξης θεώρημα:

Θεώρημα 2~/>ΈCi~-~f(t) είναι παραγωγίσιμη στό /

t o,

τότε ή

f(t)

είναι συνεχής στό

to.

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.2

29

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΩΣ

, Εάν u, v, h

[J . 1]

.Η

U

+

, Η hu

είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις τού 1

'

Ι

,

ειναι παραγωγισιμη στο

V

,d dt (u

και

u'v

'Η

u

χ

+ v) =

d -(u·v) dt

είναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

εΙναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

v

στό Ι, τότε ίσ-χύουν τά έξης:

du dt

+ dv dt .

dv dt

+ dt • u.

d dt (hu)

είναι παραγωγίσιμη στό Ι καί

Ή

t

U'

d dt (u χ ν)

dv

dv du uX dt + dt χ v.

Τέλος ε-χουμε τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συ~'αρτήσεως:

[J5]

Έάν ή διανυσματική συνάρτηση ναρτηση t

l t,

= h(θ)

= f(t)

u

είναι παραγωγίσιμη στό Ι.' δπου ή εικόνα

τότε ή σύνθετη συνάρτηση

u

= g(θ) = f(h(B» dθ

-Εστω

2.22.

~:

u =

α(cos

t)et - a(sin t)e2,

~: ~: = ~~ /~~ =

h(I.) περιέ-χεται στό διάστημα

εΙναι παραγωγίσιμη στό Ι. καί

θ

= (1

+ Ι2)Ι/2,

t

> Ο.

Τότε

(-a(sin t)et - a(cos t)e2)/[t(1 -(a!t)(l

+ Ι 2 )-Ι/2}

+ t2)l/2«sin t)eI + (cos t)ez)

δπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δη γιά τίς πραγματικές συναρτήσεις τής μορφής

de!dt =F

Ο, είναι

= l/(de/dt).

dt/de

Παράδειγμα 2.23. -Εχουμε Παράδειγμα

2.24.

2 d [ du d U] dt u dt dt2

1t &.~~)

-Εχουμε

=

d (

dt

U'

ο,:ι ( ~~) + ~~ . ~~

=

I t καί ή πραγματική συ­

du dt dt do

du Παράδειγμα

είναι παραγωγίσιμη στό

Ι

=

u':

θ

= h(t),

+

γιά τίς όποίες έχουμε

Ι ~: 12

2U)

du d dt χ dt2

du d3u] [ u dt dt3 Τέλος, αν

Ι

ι

,

θά ε-χουμε U·

u εΙναι u

μιά διανυσματική συνάρτηση μέ σταθερό μέτρο, δηλαδή αν

= σταθ.,

U'

Δηλαδή τό Θεώρημα

u

2.7.

du dt

εΙναι κάθετο στό Έάν

u

\u\ =

σταθ., τότε

όπότε παραγωγίζοντας παίρνουμε

du

+ dt

du/dt.

•u

=

Ο

η

U'

du dt

=

Ο

νΕτσι ε-χουμε τό έπόμενο θεώρημα:

είναι μιά μοναδιαία διανυσματική συνάρτηση, τότε τό

du/dt

είναι κάθετο στό

u.

Τό θεώρημα αύτό παρουσιάζει ενδιαφέρον καί τό -χρησιμοποιούμε συ-χνά.

ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΛΑΣΕΩΣ ~

, j'

ι

~,

\

Γενικά, απαιτούμε οί συναρ\ήσεις μας να ε-χουν παραγώγους τουλά-χιστον πρώτης τάξεως καί

συ-χνά απαιτούμε νά ε-χουν παρα1φγους δεύτερης ij ανώτερης τάξεως.

Έπίσης -χρειάζεται νά ξέ­ ρουμε τήν εύρύτερη οικογένεια τωΥ συναρτήσεων πού πληρουν μιά τέτοια ιδιότητα. Λέμε δτι μιά πραγματική ij μιά διανυσματική σ~νάρτηση f εΙναι κλάσεως Cm ij διαφορίσιμη τάςεως Cm σέ ενα διάστημα Ι, αν ύπάρ-χει ή παράγωγός της τάξεως m καί εΙναι συνε-χής στό Ι. Συμβολίζουμε τήν κλάση των συνε-χων συναρτήσεων/μέ

δλων των τάξεων μέ C"'.

/

CO,

ενω τήν κλάση των συναρτήσεων πού ε-χουν παραγώγους

Τ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

30 , Επειδή

ΚΕΦ.2

μιά διανυσματική συνάρτηση εΙναι συνεχής ή παραγωγίσιμη έάν καί μόνο Μν σλες οί

συντεταγμένες συναρτήσεις της εΙναι συνεχείς ή παραγωγίσιμες, εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

+

+

Θεώρημα 2.8. Μιά διανυσματική συνάρτηση f(t) = fl(t)el f2(t)~ f3(t)e3 εΙναι κλάσεως στό Ι, Μν καί μόνο Μν οΙ συντεταγμένες συναρτήσεις της fl(t), f2(t) καί f3(t) εΙναι κλάσεως

Cm Cm

στό Ι.

Ας σημειωθεί στι μιά συνάρτηση πού εΙναι κλάσεως

W

Παράδειγμα

εΙναι καί κλάσεως

f(t) = t-'et +

Θεωρουμε τή διανυσματική συνάρτηση

2.25.

Cm

t)e2 + t8/3e3'

(Βίη

CJ -00

γιά κάθε

3. Πράγματι

el

+

e2

=

'Επειδή ύπάρχει τό δριο, ή

f(t)/t 2 εΙναι φραγμένη στό μηδέν' ετσι f(t) O(t2 ). "Ας σημειωθεί άκόμα δτι f(t)/t f(t) = O(t) στό μηδέν. 'Αλλά τό O(tZ) ({ναι ή «καλύτερη .. περιγραφή της συμπεριφορας της f(t) στό μηδέν, γιατί If(t)/tQI .... "" οταν t .... Ο γιά α > 2.

....

Ο δταν

t ....

Παράδειγμα

lor

to

στό

Ο· ετσι

2.29.

"Εστω

f(t) μιά διανυσματική συνάρτηση κλάσεως Cm στό Ι.

'Εφαρμόζοντας τόν τύπο τού

Tay-

εχουμε

ΑΝΑΛ ΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΊΗΣΕΙΣ

Ύποθέτουμε δτι ή

t

καί

f(t)

εΙναι κλάσεως

στό Ι.

C ..

Τότε γιά κάθε φυσικό άριθμό

m καί κάθε

στό Ι εχουμε

to

f(to)

f(t) "Αν επιπλέον εΙναι καί

f'(t ) + __ ο (t 1

lim Rm(t, t o)

= Ο.

+ ... +

to)

τότε ή

f(t)

f<m)(t o)

--Ι-ο (t - to)m

m.

+ Rm(t, to)

μπορεί νά έκφραστεί στό Ι ώς δυναμοσειρά

:Σ f(n>\to) (t - t o)" n.

f(t)

.. =0

"Όταν αύτό συμβαίνει, ή συνάρτηση

f(t)

λέγεται άναλυτική στό Ι.

Γενικότερα, ή

f(t) εΙναι άνα­ f(t) άναπτύσσεται

λυτική στό Ι, άν γιά κάθε t o στό Ι ύπάρχει μιά περιοχή S6(tO) , στήν όποία ή σέ δυναμοσειρά, δηλαδή

f(t)

:Σ an(t -

t o)"

ιι=Ο

μέ άλλα λόγια ή δυναμοσειρά συγκλίνει στήν f(t) γιά κάθε λυτικών συναρτήσεων στό Ι συ».βολίζεται μέ

t

στήν Sδ(t ο).

Ή κλάση των άνα­

CA.

'Όπως φαίνεται στό παράδειγμα πού άκολουθεί, μιά συνάρτηση κλάσεως

εΙναι άναλυτική.

Μπορεί νά δειχθεί ότι κάθε συνάρτηση, πού παριστάνεται

C'"

i\

μπορεί νά μήν

όρίζεται άπό μιά

δυναμοσεΙΡά, εΙναι παραγωγίσιμη στό έσωτερικό του διαστήματος στό όποίο συγκλίνει ή δυνιιμο­

Ι f

1

σειρά.

'Η

παράγωγός της, πού δίνεται έπίσης άπό μιά δυναμοσειρά, βρίσκεται άπό τήν άρχική

δυναμοσειρά μέ παραγώγιση κάθε όρου της χωριστά.

= a"n!.

Έπαληθεύεται μάλιστα εύκολα ότι

"Ετσι, κάθε άναλυτική συνάρτηση εΙναι κλάσεως

, Από

f = (α) lim (f(t) • g(t» = lim f(t) • lim g(t) = lim «ιίη t)e. + te 3 ) • lim ι .. ο t .. o ι .. ο t .. o t .. o (b) lim (f(t) χ g(t» lim f(t) χ lim g(t) lim «ιίη t)e. + tea) χ lim [(t2 + 1)e. + ete2] ι-ο t_o ι ... ο ι ... ο t ... o

+ ea

lim (f(t)· g(t», .. ο

ι

g(t».

8eι

-

ι

«t

=

2.16.

f(t)

= Bί~ t e. + (cos t)e2 στό t = Ο,

νά εΙναι συνεχής στό σημείο αύτό.

"

Εχουμε

"Ετσι, αν θέσουμε

= lim

lim f(t) ι .. ο

f(O)

1 ... 0

= e. + e2,

(Sint

~χoυμε lim

1 ... 0

(e. +

eι)

=

Ο

= Ο χ (e. + eΙ> = Ο

Προσδιορίστε τήν τιμή της συναρτήσεως f(t)

2.17.

=

Ο·

~τσι ώστε ή

' t e.

f(t)

+

(cos

= f(O),

t)eι)

=

δπότε ή

e. + e2

f(t) εΙναι συνεχής στό t

= Ο.

Έάν f(t), g(t) καί h(t) εΙναι συνεχείς συναρτήσεις στό t o, δείξτε δη καί ή [f(t) g(t) h(t)] εΙ­ ναι συνεχής στό

. Από

to.

= f(to). 1im g(t) = g(to) ιcαί ι ... ι. 1im [f(t) g(t) h(t)] = [f(to) g(to) h(to)] ... t.

τήν υπόθεση ~χoυμε δτι

ράδεΙΥμα 2.15 ~πεται στι

lim f(t)

ι ... ι.

ι

'Επομένως, ή συνάρτηση

[f(t) g(t) h(t)]

ε{ναι συνεχής στό

t o•

1im h(t) ι

... ι.

= h(to).

• Από

τό Πα-

2.18.

ΚΕΦ.2

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

36

Χρησιμοποιώντας τόν δρισμό τοϋ δρίου δείξτε δτι

+

lim (t2et t ... t

f(t) = t2et + (t + l)e2

Θέτουμε

If(t) - LI

καί

=

(t + 1)e2)

L = el + 2e2'

=

1(t2 -l)el + (t -l)ezl

=

It-llIt+ll + It-ll

~

el

+

2e2

"Εχουμε

IΙ2 -lllell + It -lll e 21

~

IΙ-ΙIΨ-ΙI+2+Ι)

IΙ-ΙIΨ- Ι I+3)

=

Έάν εκλέξουμε τιμές γιά τήν παράμετρο πού νά συναληθεύουν τίς άνισότητες έχουμε τελικά




•

t

Ο.

~

είναι φραγμένη στό

f(t)

to

ενώ

g(t)

~ Ο δταν

t

~

t o,

δείξτε

t o•

Έπειδή ή

εΙναι φραγμένη στό Ι Ο , ύπάρχουν Μ

f(t)

>

Ο καί δι

>

Ο

τέτοια ωστε

If(t)
~ Μ, δταν Ο < It - Ιοl < δι· Έπίσης, επειδή g(t) -+ Ο δταν t -+ t o, ύπάρχει δ 2 > Ο τέτοιο ωστε Ig(t)1 < ./Μ, δταν Ο < ΙΙ - Ιοl < δ 2 • Θέτουμε τώρα δ = min(II t , δ 2 ), όπότε γιά 0< It - Ιοl < δ έχουμε 0< ΙΙ - Ιοl


Ο, βρείτε τίς παραγώγους (α) du/dt, (b) dJ.u/dt2 • (t + l)e t e2 + (l/t)e3' (b) 2eI - (t + 2)e te2 - (l/t2)e3

Βρείτε τήν εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης πού προσδιορίζεται άπό τήν παραμετρική παράσταση χ

2.54.

= (t2 + l)eI -

(α) 2te l -

"Εστω u = Άπ.

4

+ (log t)e3

καί v

(2 + t) sin t - cos t [(l/t) cos t - log t Βϊη t]el eteI

+

=

t = Ι. -00 < k


>.

Με­

ρικές φορές στίς έφαρμογές μέ τόν δρο καμπύλη έννοοϋμε τήν είκόνα του πεδίου όρισμου μιας κανονικής παραμετρικής παραστάσεως.

είναι κατ'

Γενικά, μιά ίδιότητα μιας παραμετρικής παραστάσεως δέν

ανάγκη καί ιδιότητα τής καμπύλης.

Κάθε ιδιότητα δμως τής καμπύλης πρέπει νά είναι

κοινή γιά δλες τίς παραμετρικές παραστάσεις πού ανήκουν στήν 'ίδια κλάση, η δπως λέμε, πρέπει νά ειναι «ανεξάρτητη της παραμέτρου». Παράδειγμα

3.6.

Θεωροίψε τήν έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου

ραμεΤΡΙΚ'ή παράσταση

(cos

χ

του Παραδείγματος

τό

cos θ -1)e}

αύξάνεται

t

+

θ)(2

(sin

== t + 1, -1 "'" t "'" 211' -1,

cos

θ -

στό

διάστημα

-1 "'" t "'"

+

[sin (Ι + 1)] [2 cos (Ι

2π -

1,

ή

καί τήν κανονική πα-

l)ez•

'·Η σύνθεση δίνει τήν κανονική παραμετρική

[cos (t + 1)] [2 cos (t + 1) - 1]el

χ

.. Οταν

3.2.

θ)(2

θ

παράσταση

+ 1)

συνάρτηση θ

- 1]e2'

= t

+1

-1 "'" t "'" 211' - 1

αύξάνεται

στό Ο "'" θ "" 2.. καί ή

νέα παραμετρική παράσταση προσδιορίζει τήν ίδια καμπύλη μέ τήν άρχική παραμετρική παράσταση, τά γραφήματα τών όποίων διαγράφονται μέ τήν ίδια φορά, δπως φαίνεται στό Σχ. παραμέτρου θ

= -t,

-211' "" t "'"

=

χ

'Όταν τό

t

αύξάνεται στό

3-4(a).

Θεωρουμε τώρα τήν έπιτρεπτή άλλαγή

Ο, όπότε εχουμε τήν κανονική παραμετρική παράσταση

(cos t)(2 cos t - 1)et -

-2". "'" t "'"

(sin

Ι)(2

cos t - l)ez,

= -t

Ο, ή συνάρτηση θ

-211' "'" t "'" Ο

έλαττώνεται στό διάστημα Ο

"'"

θ ""

211

καί τό σύ­

νολο τών σημείων διαγράφεται κατά τήν άντίθετη φορά άπό δ,ΤΙ στήν προηγούμενη περίπτωση, όπως φαίνεται καί

στό Σχ.

3-4(b).

Συνεπώς, ή φορά κατά τήν όποία μιά καμπύλη διαγράφεται εΙναι ίδιότητα τής παραμετρικής παρα­

στάσεως' καί όχι της καμπύλης.

Τέλος, αν θεωρήσουμε τή συνάρτηση

;

Ι

γιά Ο "" t "'" 11/3

t, θ

+ 211,

-t

e(t)

{

t,

γιά

11'/3 < t < 511'/3

γιά

5,,/3 "'" t "'" 211'

ευκολα διαπιστώνουμε ότι δέν εΙναι μιά έπιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου καί έπομένως ή

χ

=

{cos e(t)] (2 cos e(t) - 1)el

+

[sin e(t)](2 cos e(t) - 1)e2'

δέν εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση, αν καί τό γράφημά της άποτελείται άπό τό ίδιο σύνολο σημείων [Σχ.

3-4(c)J.

Άλλά σύμφωνα μέ τόν όρισμό, ή παραπάνω παραμετρική παράσταση δέν προσδιορίζει καμπύλη.

Ύπεν­

θυμίζουμε στι μέ τήν αύστηρή εννοια μιά καμπύλη πρέπει νά θεωρηθεί, οχι άπλώς σάν ενα σύνολο σημείων άλλά σάν

ενας γενικός κανόνας, σύμφωνα μέ τόν όποίο διαγράφεται τό σύνολο αύτό τών σημείων καί πού προσδιορίζεται άπό μιά οίκογένεια

ίσοδύναμων παραμετρικών παραστάσεων.

(α)

(b) Σι.

3-4

(c)

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

46 Παράδειγμα

8Ενα ένδιαφέρον παράδειγμα καμπύλης εΙναι ή κυκλική ελικα, πού προσδιορίζεται άπό τήν κανο­

3.7.

νική παραμετρική παράσταση χ

=

Χι καί δίνεται στό Σχ. Χ2

= a sin t,

-ao

3-5.


x(t) καί χ = Χ*(θ) διαγράφουν τήν 'ίδια φορά. 'Εάν dt/dθ < Ο, τότε τό t ελαττώνεται σταν αύξάνεται τό θ

= x(t) καί χ

= Χ*(θ)

διαγράφουν τήν καμπύλη κατά άντίθετες φορές.

Μιά κανονική προ­

σανατολισμένη καμπύλη εΙναι μιά καμπύλη κατά μήκος τής όποίας εχει εκλεγεί μιά όρισμένη φορά. Δηλαδή μιά κανονική προσανατολισμένη καμπύλη εΙναι μιά οικογένεια άπό κανονικές παραμετρικές

παραστάσεις, οί όποίες συνδέονται άνά δύο μέ μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου μέ θετική παρά­ γωγο.

ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ

ΥΕστω στι χ

τής καμπύλης

= x(t)

εΙναι μιά παραμετρική παράσταση

του Σχ.

C

3-9.

Μέ τή βοήθεια των συντε­

ταγμένων συναρτήσεων τής καμπύλης στό

to

ή διανυσμα­

τική συνάρτηση

χ

= xl(to)el

+ X2(tO)e2 + ke3,

-00

< k < 00

ή

Χι

= xl(to),

Χ2

= X2(tO),

Χ3

= k,

-00

< k < 00

εκφράζει τήν εξίσωση τής εύθείας πού εΙναι κάθετη στό έπίπεδο ΧΙΧ2 καί διέρχεται άπό τό σημείο

λης.

Χι

x(to)

τής καμπύ­

Συνεπώς ή οικογένεια τών εύθειών

= xl(t),

Χ2

= X2(t),

Χ3

= k,

-00



Ο

ή Σχ.3-11

καμπύλη βρίσκεται στό έπίπεδο ΧΙΧ2'

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΞΟΥ

Τό μήκος ένός τόξου όρίζεται άπό τά μήκη τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων.

ι

Ι

ότι ενα τόξο

C,

όχι κατ'

άνάγκη κανονικό, δίνεται άπό τήν χ

διαμέριση

α

του διαστήματος α ~ t ~

b. Χο

= x(t),

t o < t l < ... < t n

α ~

t

~

b.

'Έστω

Θεωρουμε μιά

b

• Η διαμέριση αύτή όρίζει μιά άκολουθία σημείων του Ε3

=

X(t O),

χι

=

X(t l ),

Xn

=

X(t n )

πού τά ένώνουμε διαδοχικά γιά νά σχηματιστεί ενα προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο Ρ, όπως φαίνεται

στό Σχ. είναι IΧι

3-12. Τό μήκος του εύθύγραμμου τμήματος μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων Χί-Ι καί - Χι-ιl. Συνεπώς τό μήκος του Ρ είναι n

s(P)

Σ ΙΧΙ

ί=Ι

. Υποθέτουμε μέριση, δηλαδή

n

-

Χί-ΙΙ

Σ IX(ti )

τώρα ότι είσάγουμε μιά λεπτότερη δια­

τόξο Ρ', μέ τήν προσθήκη νέων σημείων στό άρχικό τόξο,

3-12.

Έπειδή τό μήκος τής μιας

πλευρας ένός πολυγώνου είναι μικρότερο ή 'ίσο μέ τό ά­ θροισμα τών μηκών τών άλλων πλευρών, επεται ότι τό

μήκος του Ρ είναι μικρότερο ή 'ίσο μέ τό μήκος του Ρ', δηλαδή

s(P) ~ S(P').

(3.5)

x(ti-t)1

ί=l

θεωρουμε τό προσεγγιστικό πολυγωνικό

όπως φαίνεται στό Σχ.

Xi

/-~~----~ Σχ.

~Eτσι είναι εύλογο νά θεωρήσουμε

•

3-12

r 50

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

ώς μήκος του

C τό μεγαλύτερο τών μηκών σλC?ν τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων Ρ.

"Ενα τόξο λέμε στι εΙναι ύπολογίσιμο .., πεπερασμένου μήκους, αν τό σύνολο S σλων τών μηκών s(P) εΙναι ανω φραγμένο. Στήν περίπτωση αύτή τό σύνολο S εχει έλάχιστο άνω φράγμα ή ανω πέρας (supremum), τό όποίο όρίζεται ώς τό μήκος του τόξου.

uEva σύνολο

S

από πραγματικούς αριθμούς λέμε στι εΙναι ανω φραγμένο, αν ύπάρχει πραγμα­

τικός αριθμός Μ τέτοιος ώστε χ "'" Μ γιά κάθε χ στό

S.

γεται άνω φράγμα του τέτοιο ώστε Μ"'"

L

εΙναι έπίσης ενα ανω φράγμα.

τικών αριθμών εΙναι στι, αν τό σύνολο φράγμα, δηλαδή ενα ανω φράγμα W

S. Στήν περίπτωση αύτή ό αριθμός Μ λέ­

ν Ας σημειωθεί στι, αν Μ εΙναι ενα ανω φράγμα του

s

S,

τότε κάθε

L

Μιά από τίς βασικές ίδιότητες τών πραγμα­

εχει ενα ανω φράγμα Μ, τότε εχει καί ενα έλάχιστο ανω

S

τέτοιο ώστε, αν

Ας σημειωθεί στι τό μήκος ένός τόξου

C

L

εΙναι τυχόν ανω φράγμα, τότε

L

~ Β.

εΙναι ανεξάρτητο τής παραμέτρου (δηλαδή ανεξάρ­

=

τητο τής κανονικής παραμετρικής παραστάσεως).

=

Γιατί, εστω Χ x(t) καί Χ Χ*(Ο) δύο παραμε­ C μέ πεδία όρισμου I t καί Ι. αντίστοιχα, τέτοιες ώστε ή t Ι(θ) νά εΙναι ι-ι. Σέ κάθε διαμέριση 00 < Οι < ... < 0n του Ι. αντιστοιχεί μιά μοναδική διαμέριση to < t l < ... < t .. του I t , ή t n < t n - l < . " < t o (ανάλογα μέ τόν προσανατολισμό), σπου Ιι t(Oi), ί = Ο, 1, ... , π, ή Ιπ-Ι = Ι(θ ι), ί = Ο, 1, ... , π, αντίστοιχα, πού δίνει τό ίδιο πολυγωνικό τόξο Ρ καί αν­

τρικές παραστάσεις του

=

=

τίστροφα.

νΕτσι, τό σύνολο

S

τών μηκών σλων τών προσεγγιστικών πολυγωνικών τόξων εΙναι

ανεξάρτητο τής παραμέτρου καί συνεπώς ανεξάρτητο τής παραμέτρου εΙναι καί τό έλάχιστο άνω

φράγμα του Παράδειγμα

πού εΙναι τό μήκος του

S,

Τό τόξο χ

3.14.

μέριση του πεδίου δρισμου

= tel + t2e2,

0=

ο

C.

""

t "" Ι, εΙναι ύπολογίσιμο.

to < t l < ... < t n =

Ι.

Γιά νά τό δουμε αύτό θεωρουμε μιά δια­

Τό μήκος του άντίστοιχου προσεγΥιστικου πολυγωνικου τό­

ξου ε!ναι n

~ Ι (tiel

S(P)

Ι=Ι

+ t~e2)

~ Ι (ti - ti-t)et

+

3 ~ (t; - t t -

=

ι

""

δπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός δτι Ο "" t i νΕτσι, τό σύνολο των

s(P)

- (ti-tet

ι

l

< ti

""

t)

Ι,

Ι

(t~ - t~-l)e21

3

+ t i - t + t i ""

γιά δλα τά Ρ εχει άνω φράγμα τόν άριθμό

καί εχει μήκος ίσο μέ τό έλάχιστο άνω φράγμα του συνόλου των Παράδειγμα

Χ2 μέ πεδίο όρισμου τό διάστημα Ο"" ο, Ι/(Ν

s(P)

Ι)π,

-

3 καί ~ (t; - t t - t ) ι

3.

tn

-

to =

.

.

... ,

= =

Συνεπως, τό τόξο εΙναι ύπολογίσιμο

t {tocos (l/t) γιά 0< t"" Ι γιά t = Ο

t "" Ι (Σχ. 3-13) δέν εΙναι ύπολοΥίσιμο.

Ι/2"., ι/π, ι,

Γιατί, άν χρησιμοποιήσουμε τή διαμέ­

εχουμε

+

Ι [(Ν ~ 2)π - (Ν ~ ι)πJ el

/.;

"-~/

ΙΙ ι

ι

+

[(Ν ~ 2)π cos (Ν - 2)π

~,pάν παραλ~{ψ'~ε τόν πρωτο καί τόν τελευταίο δρο του άθροίσματος, τότε -

ι.

s(P).

= Ι (Ν ~ Ι)π el + (Ν ~ Ι)π [cos (Ν - ι)π]e21

~\ , ;.,,1\ j'" . .

=

Τό τόξο

3.15.

Χι

ριση

+ t~-le2)1

-

(Ν ~ Ι)π cos (Ν - ι)πJ e2 1

Ι

r ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

51

2

"'"

Ν1 ..~ι 1 [ π".

"'"

Ni21[~cosn". ..

s(P)

=ι ι

1 cos π". (π +1 1)". ] el +. [ π".

π".

-

n

n +1 1 cos

-

(π + 1)". ] e2

Ι

+IICOS(n+l)".]e21

= t

Χι

όπου, γιά νά πάμε άπό τήν πρώτη σχέση στή δεύτερη, χρησιμοποιή­

σαμε τήν ανισότητα laeι + be21 "'" Ibe21'

τό αθροισμα

Ν-2

:Σ _1_ .. =ι n + 1

αποκλίνει.

. Αλλά, όπως ε{ναι γνωστό,

WΕτσι, τό s(P) μπορεί νά γίνει

όσο θέλουμε μεγάλο, αν πάρουμε τό Ν αρκετά μεγάλο.

Δηλαδή τό

Σχ.3-13

τόξο δέν ε!ναι ύπολογίσιμο.

Στά Προβλήματα Θεώρημα

3.3.

καί

3.23

3.24

δείχνουμε τό παρακάτω θεώρημα:

'Ένα κανονικό τόξο ε{ναι ύπολογίσιμο.

'Εάν

χ

= x(t),

α 6Ξ

t

6Ξ

b,

ε{ναι μιά κα­

νονική παραμετρική παράσταση του τόξου, τότε τό μήκος του δίνεται από τό όλοκλήρωμα

s Παράδειγμα 3.16. ο

""

t "" 2".,

(3.6)

Τό μήκος τού τόξου τής ελικας πού δίνεται από τήν

χ =

(α cos t)el

+

(α Βίη t)e2

+

bte 3 ,

ε!ναι 2Π

2Π

8

=

Ι νa

2

sin 2 t

+ a 2 cos2 t + b2 dt

ο

=

Ι (α 2 + b

2 )1/2

dt

=

2".(a 2 + b2 )1/2

Ο

ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΩΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ

'Έστω ότι μιά κανονική καμπύλη δίνεται από τήν κανονική παραμετρική παράσταση χ πού όρίζεται στό

Ι.

= x(t)

Θεωρουμε τή συνάρτηση Ι

s 'Εάν

s(t)

Ι dt JΓto Ι dx dt

(3.7)

t:=: to, τότε s:=: Ο καί ή (3.7) δίνει τό μήκος του τμήματος τόξου τής καμπύλης μεταξύ των x(t o) καί x(t). 'Εάν t < t o, τότε s < Ο καί ή (3.7) δίνει τό αντίθετο του μήκους του τμή­ τόξου μεταξύ των σημείων x(to) καί x(t).

σημείων ματος

'Από τό θεμελιωδες θεώρημα του απειροστικου λογισμου επεται ότι ή

(3.7)

εχει συνεχή παρά­

γωγο πού δέν μηδενίζεται καί δίνεται από τήν εκφραση

ds dt

Ι \.

= I~~I

=

Συνεπως, ή s = s(t) ε{ναι μιά έπιτρεπτή αλλαγή παραμέτρου στό [. 'Επίσης, ή s(t) ε{ναι κλάσεως Cm στό I,dv ή X(t) ε{ναι κλάσεως Cm σ' αυτό. ~Eτσι μπορουμε νά πάρουμε τό μήκος τόξου s ώς παράμετρο μιας παραμετρικής παραστάσεως τής καμπύλης, πού βρίσκεται από τή σύνθεση τής X(t) μέ τήν αντίστροφη τής (3.7), δηλαδή τήν t = t(S). ~ Ας σημειωθεί ότι ή παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης πού έκφράζεται ώς συνάρτηση

του μήκους τόξου δέν ε{ναι μοναδική, γιατί έξαρταται από τήν έκλογή του αρχικου σημείου όλοκλήρωμα (πού αντιστοιχεί στό 8

=

to

στό

Ο) καί από τό πρόσημο του όλοκληρώματος, δηλαδή από

τή φορά μέ τήν όποία διαγράφεται ή καμπύλη.

Π.χ. μπορουμε νά πάρουμε

.....

~-----~ , .

52

ΚΕΦ.3

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

"Ετσι, μιά παραμετρική παράσταση

φυσική παράσταση, άν Ι dx/ds Ι =

βοήθεια δλων αύτων δείχνουμε τό

~εώρημα

"Ας

3.4.

σημειωθεί

χ

= x(s)

to

= X(S) στό Ι. λέγεται παραμετρική παράσταση μήκους τόξου • Η παράμετρος s τα παράμετ Μέ τή παρακάτω θεώρημα (Προβλ. 3.19 καί 3.20): χ

1.

C, τότε ισχύουν τά έξης: (ί) Τό μηκος του τμήματος τόξου της C μεταξύ των σημείων Χ(Βι) καί X(S2) εΙναι ίσο μέ IS2 - Βιl· (ii) , Εάν χ = X*(S*) εΙναι Ύυχούσα άλλη φυσική παράσταση της C, τότε s = ± S* + σταθ. (ίΗ) 'Εάν χ = X*(t) είναι τυχούσα άλλη κανονική παραμετρική παράσταση της C πού εχει τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν χ = X(S), τότε ds/dt = Idx/dtl. 'Εάν δέν εχει τόν 'ίδιο προσα­ νατολισμό, τότε ds/dt = -Idx/dtl.

χ

' Εάν

- f.t [dXI dt dt

=

s(t)

11

r

s = s(t)

δτι, αν ή

όρίζεται από

τό όλοκλήρωμα της

(3.7),

τότε

ή

σύνθεση

εΙναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης, γιατί

= x(t(s»

3.17.

/~~I/I~;I

dx Ι/ dt/ / dt ι ds

I~:I Παράδειγμα

εΙναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης

=

(α

cos t)eI

ι

ύπολογίζουμε τό όλοκλήρωμα

Γενικά,

1

Γιά νά βροϋμε μιά φυσική παράσταση της ελικας

χ

Έάν θέσουμε

/~~//I~~I

=

s

t

= (α + b2j-lI2 S

ή

παραγώγιση

2

J Ι dxdt Ι dt

=

ο

+

(α

f

t

ο

sin t)e2

+

bte3

(α2 + bψ/2 dt =

στήν παραπάνω παράσταση, εχουμε μιά φυσική παράσταση της Ελικας

ώς

πρός

μιά

φυσική

παράμετρο

s

θά συμβολίζεται

παραγώγιση ώς πρός τυχούσα άλλη παράμετρο θά συμβολίζεται μέ τόνους.

•

d 2x ds2 ,

dx •• ds ,Χ

Χ

, _ dx Χ dt'

μέ τελείες και

η

'Έτσι θά γράφουμε

,,_ d 2 x χ dt2'

Λυμένα Προβλήματα ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

3.1.

Δείξτε δτι ή διανυσματική συνάρτηση χ

= tel

ραμετρική παράσταση καμπύλης γιά κάθε

t

+ (t2 + 1)e2 + (t -1)3e3

εΙναι μιά κανονική πα­

καί βρείτε τίς προβολές της καμπύλης στά έπί­

πεδα ΧΙΧ2 καί ΧΙΧ3. Προφανώς ή dx/dt

= el + 2te2 + 3(t -1)2e3

ε{ναι συνεχής καί

Idx/dtl

= [1 + 4t2 + 9(t -

1)4)112 #- Ο

t. Συνεπώς ή χ ε{ναι κανονική γιά κάθε t. . Η προβολή στό επίπεδο ΧΙΧ2 ε{ναι ή παραβολή χι = t, Χ2 = t 2 + 1, Χ3 = Ο ή Χ2 = X~ + 1, Χ 3 = Ο . . Η προβολή στό επίπεδο Χ Ι Χ3 ε{ναι ή καμπύλη τρίτου βαθμου χι = t, Χ3 = (t - 1)3, Χ2 = Ο ή Χ3 = (Χι - 1)3, Χ2 = Ο. . Η δοθείσα καμπύλη μπορεί νά θεωρηθεί

γιά κάθε

ώς τομή τών κυλίνδρων Χ2

3.2.

Δείξτε

δτι

-2π"'" θ

ή

"'" 2π,

= X~ + 1 καί

παραμετρική

Χ3

= (Χι -

παράσταση

χι

1)3.

= (1

+ cos θ),

Χ2

=

Βίη θ,

Χ3

= 2

Βίη (θ/2),

εΙναι κανονική καί δτι ή καμπύλη βρίσκεται στή σφαίρα πού εχει κέντρο

τήν αρχή των αξόνων καί ακτίνα

2

καί στόν κύλινδρο (Χι

-1)2

+ Χ;

= 1.

r ΚΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥ ΛΗΣ

3

= -

Οί συναρτήσεις (/χιΜθ

= cos

(θ/2)

dX21do = cos

[1

+ cos2 (θ/2)] 112

dX3Ide

Ο

#

παραμετρική παράσταση είναι κανονική.

+ χ; + χ;

+ COS θ)2 + + + COS θ)2 + sin2 θ + 2(1 (Χι -1)2 + χ; = cos 2 θ + sin 2 θ = 1, Sin 2 θ

(1

Έπειδή

4 sin 2 (θ/2)

(1

καί

θ,

είναι συνεχείς καί άκόμα

Συνεπώς ή

χ;

Βίη θ,

53

cos

θ)

4

Τι καμπύλη βρίσκεται στή σφαίρα μέ κέντρο τήν άρχή τών άξόνων

Σι.

καί άκτίνα 2 καί στόν (κυκλικό) κύλινδρο (Χι -1)2 + Χ; = 1 . • Η τομή τών επιφανειών αυτών φαίνεται στό Σχ. 3-14.

3.3.

'Η εξίσωση τής κισσοειδοϋς τοϋ Διοκλή σέ πολικές συντεταγμένες ε{ναι

-7

Ή dt/do εΙναι συνεχής καί dt/do "ι= Ο, δπότε εχουμε ή dt/do πρώτα

δτι

>

Ο

δταν θ ι




πού εΙναι δμως άδύνατο, άφου εΙναι dt/do

Ο

t'(o')

σ' δλόκληρο τό

επεται δτι εΙναι ι-ι καί εχει άντίστροφη, εστω, τήν o(t). επεται δτι ή άντίστροφή της

Έπειδή ή t(O) εΙναι γνησίως αυξουσα,

18'

Τέλος, επειδή ή Ι(θ) εΙναι αυξουσα καί συνεχής,

o(t) εΙναι επίσης αυξουσα καί συνεχής.

ίσχυρισμου στόν άναγνώστη.)

do dt

('Αφήνουμε τήν άπόδειξη αύτου του

'Αλλά τότε ή θ(Ι) εχει επίσης παράγωγο

lim Δθ

1 / lim ΔΙ

ΔΙ"'Ο Δt

== 1 / dt

Δθ ... Ο Δθ

πού εΙναι συνεχής καί διάφορη του μηδενός, γιατί καί ή

dt/dθ

dθ

εΙναι συνεχής καί διάφορη του μηδενός.

Αί,τό

συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

3.14. . Υπενθυμίζουμε παραμέτρου

t =

= x(t)

ότι μιά κανονική παραμετρική παράσταση Χ

= Χ*(θ)

μέ μιά κανονική παραμετρική παράσταση Χ t(θ) τέτοια ωστε Ι(Ι θ )

= It

καί

στό

It

ε{ναι ισοδύναμη

στό Ι.' αν ύπάρχει μιά επιτρεπτή αλλαγή

x(t(B» =

Χ*(θ).

Δείξτε δτι ετσι όρίζεται μιά

σχέση ισοδυναμίας στό σύνολο τών κανονικών παραμετρικών παραστάσεων.

==

Προφανώς ή χ

x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τόν εαυτό της, αν πάρουμε ώς επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου t == θ. Έπίσης, αν ή χ = x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν χ = Χ*(θ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου t == t(θ), τότε ή χ == Χ*(θ) ε!ναι επίσης ίσοδύναμη μέ τήν χ == x(t) μέ επιτρεπτή άλ­ λαγή παραμέτρου τήν άντίστροφη συνάρτηση θ == θ(t), γιατί θ(lι) == lθ καί Χ*(θ(t» == χ(t(θ(t») == x(t). Τέ­ τήν ταυτοτική συνάρτηση

ύποθέτουμε δτι ή χ == x(t) ε!ναι ίσοδύναμη μέ τήν χ = Χ*(θ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου τήν == t(θ) καί δτι ή χ == Χ*(θ) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν χ == χ**(φ) μέ επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου τήν θ == θ(φ). Θεωρουμε τή σύνθετη συνάρτηση t == t(θ(Φ». 'Έπεται εύκολα δτι ή ddt _ ddt ddθ ε!ναι συνεχής .φ θ Φ καί dt/dφ "ι= Οστό lφ. Συνεπώς, ή t == t(ο(φ» εΙναι μιά επιτρεπτή άλλαγή παραμέτρου στό lφ. Έπίσης εχουμε t(θ(/φ » == t(Ie) == lι καί χ(t(ο(φ») = χ*(ο(φ» == χ**(φ). Έτσι, ή χ = x(t) εΙναι ίσοδύναμη μέ τήν

λος,

t

χ

=

χ**(φ), κι αύτό συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

3.15.

'Υπολογίστε τό μη κος του τόξου "Εχουμε

8

=

==

2

=

ο

3.16.

= 3(cosh 2t)el

~π Ι ~~ Ι dt = ~π 16 sinh 2tel

f" 6[sinh 2t + cosh 2t + 1]1/2 dt 2

Χ

i

1T

= (ro + τ) cos θ

ο ~

t

~

6[2 cosh2 2Ι]Ι/Ι dt

==

ο

1'11' 6V2 cosh 2Ι dt

3V2 sinh2π

ο

- r cos (ro: r θ) ι Χι

=

3.4) (ro

πού δίνεται από τίς

+ τ) sin θ -

o r sin (r : r

θ)

ώς συνάρτηση του θ. "Εχουμε

8

~θ [(:ι)2 + (~:ι)2T/2 do

~8(ro+r{(-sino (ro +

τ) 58

+ sin(ro;ro)X + (coso -cos(ro;ro)5I/2dO

[2 - 2 cos (τοο/τ)]Ι/2 do

2(ro +

Ο

- 4

(ro

+ τ)τ ro

τ) 58 sin (Τοθ/2τ) do Ο

cos (roo/2r)

18 ο

=

71'.

+ 6 cosh 2tez + 6e31 dt

Βρείτε τό μηκος τόξου της επικυκλοειδοϋς (Πρόβλ.

χι

+ 3(sinh 2t)ez + 6te3,

4

(ro+r)r

ro

[1- cos (Τοθ/2τ)]

Γ

Ι

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

ΚΕΦ.3

3.17.

Νά είσαχθεί τό μήκος τόξου ώς παράμετρος στήν καμπύλη

χ

ΕΙναι

Ι

57

8

=

+ (e t sin t)e2 + etes,

(e t COS t)el

~ t 1 ~~ Ι dt = ~ι Ι (e

-

=

(Β Ι sin t +

cos t - e t sin t)et +

t

< t < 00

-00

f t [e2t(-2 cos t sin t + 1) + e 2t (2 cos t sin t + 1) +

e t cos t)e2 + eIe31dt

Β 2 ψ!2 dt = V3 ΙΙ Β Ι dt = V3 (Β Ι -1)

ο

ο

=

Λύνοντας ώς πρός t εχουμε t παίρνουμε

3.18.

χ

=

+

log (s/V3


I(ti

8(Ρ) "'" (Μι

"'" t "" b,

εΙναι καί φραγμένες στό α

+ Μ2 + Μ 3)

~ (t l -

"Ετσι, τό 8(Ρ) Ε-χει άνω φράγμα τόν άριθμό (Μι

3.24.

tI-t)

+ Μ 2 + M 3 )(b -

ΔεΙξτε ότι τό μηκος του κανονικου τόξου χ

8

=

i

b

Ι ~~ Ι dt

τό θεώρημα

3.3

-

"Εστω τυχόν ~ > Ο.

γιά

Itf

κάθε -

'Επειδή οΙ Ι; (t), ί

It - t'!
Ο

3.23

άποδεικνύει

τέτοιο ώστε

ί = 1,2,3

του όλοκληρώματος,

υπάρχει

νά ε-χουμε

Ι fb If'(t)1 dt

I:(t)

= 1,2,3, εΙναι συνε-χείς στό κλειστό διάστημα α "'" t "'" b, εΙ­

1/:(t) - I:(t') ι


καί

= -a(sin t)e1 + a{cos t)e2 + be3

Ο,

b.p

Ι ~: Ι

ο,

=

t.

εχουμε

(a2 + b2)1/2

. Οπότε t

=

:

= :;: =

:/~

~~/I~~I

=

=

=

(a2+b2)-l/2(-a(sint)el+a(cost)e2+bea)

όπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός ότι ds/dt !dx/dt! (θεώρ. 3.4). Παρατηροϋμε ότι κατά μηκος της ελικας τό μοναδιαίο ~φαπτόμενo διάνυσμα t σχηματίζει σταθερή γωνία e Cos-l (t· e3) = Cos-l b(a 2 b 2 )-1/2 μέ τόν α­ ξονα

=

+

:1:3'

Στή συνέχεια κάνοντας χρήση μιας φυσικης παραστάσεως της καμπύλης θά δρίσουμε καί άλλα γεωμετρικά μεγέθη σάν τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα.

θετης συναρτήσεως καί τή σχέση

ds/dt

= Idx/dtl. τά

Μέ τόν κανόνα παραγωγίσεως σύν­

γεωμετρικά αύτά μεγέθη μποροϋν νά έκφρα­

στοϋν καί ιός συναρτήσεις μιας τυχούσας παραμέτρου, όπως εγινε στό προηγούμενο παράδειγμα.

61

1 ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

62 . Εάν

Χ

= X(t)

εΙναι μιά τυχούσα κανονική παραμετρική παράσταση της καμπύλης

τόν ίδιο προσανατολισμό μέ τήν Χ

χ'

= X(S),

dx dt

=

dx ds ds dt

=

δπου πάλι χρησιμοποιήσαμε τή γνωστή σχέση

νυσμα

πού εχει

C

τότε

=

ds/dt

= Idxldtl.

~Eτσι, δπως περιμέναμε, τό διά­

X'(t) σ' ενα σημείο της καμπύλης εχει τήν ίδια διεύθυνση μέ τό αντίστοιχο διάνυσμα t(S)

στό σημείο αύτό, δηλαδή εΙναι επίσης εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης καί εχουμε γενικά

=

t

χ' Ι!ΧΊ

(4.1)

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΙΙΙΠΕΔΟ

•Η

εύθεία πού διέρχεται από ενα σημείο χ της

κανονικης καμπύλης

C

καί εΙναι παραλληλη πρός τό

εφαπτόμενο διάνυσμα στό σημείο αύτό λέγεται έφα­

πτομένη της

(2. Ι)

στό χ (Σχ.

της σελίδας

σημείο Χσ c/

C

= x(to)

χ

δπου tσ

επεται δτι

• Από

τήν εξίσωση

1)..J.Y~WHQIIέVη

στό

δίνεται από τήν εξίσωση

+

Χο

= t(to)

σμα στό

21,

4-2).

kto,

-00


Ο), ή καμπύλη είναι μιά δεξιόστροφη ελικα, όπως φαίνεται στό Σχ. +ΙO(a). ή καμπύλη είναι μιά άριστερόστροφη ελικα, όπως φαίνεται στό Σχ.

4-IO(b).

Έπειδή ή

στρέψη τ εκφράζει μιά εσωτερική ίδιότητα της καμπύλης, συμπεραίνουμε ότι αύτές οί δύο καμπύλες δέν μπορουν νά συμπέσουν.

Ι

Γ ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

70

(α)

Δεξιόστροφη ~λΙKα,

".

>

Ο

(b)

• Αριστερόστροφη

~λΙKα,

".

καί, αν όλοκληρώσουμε ξανά, Χ'

7J§J2J:ι

= X(S),

βρίσκεται

στό

εlνα~

X(S)

έπίπεδο Χ ·"1}0 -

σταθ.

Ειδικά: ή χ = X(S) βρίσκεται στό έγγύτατο έπίπεδό

της, όπως φαίνεται

στό Σχ.

'Ισχύει

4-11.

Σχ.4-11

έπίσης καί τό άντίστροφο, όπότε εχουμε τό επό­ μενο θεώρημα:

Θεώρημα

2

Μιά καμπύλη κλάσεως

4.4.

τηση), η εΙναι κλάσεως

Cl,

Cm, m

~

3,

κατά μηκος της όποίας ή (διανυσματική συνάρ­

εΙναι έπίπεδη καμπύλη, έάν καί μόνο έάν ή στρέψη της μηδενίζεται ταυ­

τοτικα.

~ Αν δέν όρίζεται διαφορετικά, θά ύποθέτουμε πάντοτε ότι οί καμπύλες μας εΙναι κανονικές καμ­

πύλες κλάσεως

λάχιστον καί

b

CI.

cm,

m

~

3,

καί ότι οί άντίστοιχες διανυσματικές συναρτήσεις η εΙναι κλάσεως του­

Στήν περίπτωση αύτή ή τ εΙναι μιά συνεχής συνάρτηση καί οί συναρτήσεις κ,

εΙναι κλάσεως τουλάχιστον

t,

η

Cl.

Στό επόμενο θεώρημα, πού άποδεικνύουμε στό Πρόβλημα

4.19

της σελίδας

77,

ή στρέψη μιας

καμπύλης έκφράζεται ώς συνάρτηση των παραγώγων μιας τυχούσας παραμετρικης παραστάσεως. Θεώρημα 4.5. • Η στρέψη της '>'= Ο δίνεται άπό τήν εκφραση

= X(t)

καμπύλης χ

. τ

=

στό τυχόν σημείο αύτης γιά τό όποίο εΙναι κ

[Χ'Χ"Χ"'] /χ' χχ'Ψ

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΔΕΙΚΤΡΙΕΣ

Τά μοναδιαία έφ~πτόμενα διανύσματα μιας καμπύλης

C,

αν μεταφερθοϋν στήν άρχή των άξόνων, παράγουν μιά καμ­ πύλη Γ πάνω στή σφαίρα μέ κέντρο τήν άρχή των άξόνων καί άκτίνα

1,

όπως φαίνεται στό Σχ.

4-12 .• Η

καμπύλη Γ όνο­

μάζεται σφαιρική δείκτρια της (διανυσματικης συναρτήσεως)

, Εάν

χ

ή χι = t(S) Γενικά,

της ΧΙ

ή

εΙναι μιά φυσική παράσταση της

= x(s)

= X(S)

s

C,

t.

τότε

εΙναι μιά παραμετρική παράσταση τής Γ.

δέν εΙναι

μιά φυσική

παράμετρος κατά μηκος

= t(S), άφοϋ

Ι ~~ι Ι

=

Ι ~: Ι

/t/

/ΚΙ

Σχ.

4-12

..

r ΚΕΦ.

. Επομένως, μηκος της Μέ

71

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

4 ή Χ

χι

είναι μιά φυσική παράσταση της καμπύλης

= t(S)

= x(s)

Γ,

εάν

καί μόνο εάν

\1(\ == 1.

έχουμε

παρόμοιο τρόπο μπορουμε νά θεωρήσουμε τή σφαιρική δείκτρια της

παράσταση Χ2 ΠαράδεΙ-Υμα

= n(s)]

4.10.

καί τή σφαιρική δείκτρια της

Γιά τήν ελικα τών Παραδειγμάτων

χ

κατά

+ a(Βίη t)e2 +

= a(cos t)el

t =

(a2

+

καί

4.8

=

b

+

b2)-l/2(b(sin

Παρατηροϋμε επίσης ότι οί διανυσματικές συναρτήσεις

= b(s)J.

>

Ο,

b~ Ο

+ be3)

a(cos t)e2

+ (Βίη t)e2)

n = -«cos t)el (a 2

α

+

[μέ παραμετρική

εχουμε

4.9

bte3

b2)-ll2(-a(sin t)el

n

[μέ πάραμετρική παράσταση Χ3

b

+ ae3)

t)el - b(cos t)ez

εχουν σταθερές συντεταγμένες ώς πρός τό

t, n, b

e3,

όπότε

οί σφαιρικές τους δείκτριες εΙναι περιφέρειες μέ κέντρα πάνω στόν άξονα Χ3'

.Η

άκτίνα τής σφαιρικής δείκτριας τής

Ρ

t

=

καί συνεπώς ή άκτίνα καμπυλότητάς της εΙναι

t

( 1

2 _ b_ )Ι/2 = a 2 + b2

Οί άκτίνες καμπυλότητας τών σφαιρικών δεικτριών τών

καί

n

α

εΙναι P

b

καί P

n = 1

b b

άντίστοιχα .

Λυμένα Προβλήματα ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

4.1.

Βρείτε τίς εξισώσεις της εφαπτομένης καί του κάθετου επιπέδου της καμπύλης

χ στό

•Η

(1

+ t3)e3

χ'

εξίσωση τής έφαπτομένης στό

=

Υ

x(l)

=1

t

+ kx'(l)

εΙναι

=

Υ

ή

(2 + k)e} - (1

+ 2k)e2 + (2 + 3k)e3

εξίσωση τοϋ κάθετου επιπέδου εΙναι

(Υ - χ(1»' Χ'(1)

4.2.

+

t = 1. WΕχουμε

.Η

t 2e2

(1 + t)el -

=

=

Ο

ή

(Υι - 2)

+ (Υ2 + 1)(-2) + (Υ3 -

2)3

=

Ο

ή

Υι -

2Υ2

+ 3Υ3 =

10

Βρείτε τήν τομή του επιπέδου ΧΙΧ2 καί των εφαπτομένων της ελικας

(cos t)el

Χ

•Η

+

+

(sin t)ez

te3

(t>

Ο)

εφαπτομένη στό τυχόν σημείο χ εΙναι

Υ

=

χ

+ Τα'

ή

= (cos t - k

Υ

Βίη t)el

+ (Βίη t + k

cos t)e2

+ (t + k)e3

ή, άν συμβολίσουμε μέ χ τό διάνυσμα θέσεως, εχουμε

χι

= cos t - k

Βίη

. Η εξίσωση τοϋ επιπέδου ΧΙΧ2 εΙναι Χ3

Χ2

t,

= Ο.

=

Βίη

t

+k

cos t,

Χ3

= t

+k

Συνεπώς κατά μήκος τής τομής εχουμε t

Όπότε ή τομή εΙναι ή καμπύλη

χι

= cos t

+t

Βίη

t,

Χ2

=

Βίη

t - t cos t,

Χ3

=

Ο

+k

=Ο

ή

k

=-t.

72 4.3.

Δείξτε ότι τά εφαπτόμενα διανύσματα κατά μήκος τής καμπύλης χ

2b 2 = 3a,

σχηματίζουν σταθερή γωνία μέ τό διάνυσμα

Ix'l =

ιcαί

a

εΙναι

Cos- I

ae}

= 3a.

2b 2

χ' a } {-,-,,-,-, a

=

•

χ

Cos-I

= ateI +

= eI + e3.

a

ez + t3e3,

bt2

όπου

r ι

ι

+ 2bte2 + 3t2e3

=

(a2 + 4b 2t 2 + 9tψ/2

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση τοϋ

=

χ'

" Εχουμε

4.4.

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

(a 2 + 6at2 + 9t4)I/2

= α + 3t2

Συνεπώς, ή γωνία μεταξύ τοϋ έφαπτόμενου διανύσματος χ' ιcαί

α + 3t 2_Γn}

{

=

+ 3t2) ν 2

(α

Cos-I (1/V2)

Μιά καμπύλη ονομάζεται γενική ή κυλινδρική ελικα ήα πύλ

=

π/4

σταθερής κλίσεως, άν, όπως

στό προηγούμενο πρόβλημα, ύπάρχει ενα σταθερό διάνυσμα πού ονομάζεται α ονας τής ελικας,

τέτοιο ώστε ή γωνία α των εφαπτόμενων διανυσμάτων τής καμπύλης μέ τόν άξονα νά εΙναι σταθερή.

Δέν εξετάζουμε τήν άπλή περίπτωση α

= Ο,

κατά τήν όποία όλα τά εφαπτόμενα

διανύσματα εΙναι παράλληλα, γιατί στήν περίπτωση αύτή ή καμπύλη εΙναι ευθεία (Πρόβλ_

4.28).

Δείξτε δτι μιά γενική ελικα εχει μιά φυσική παράσταση τής μορφης

χ

+ x2(s*)e2 +

xI(s*)eI

s*(COS a)e3

Ύποθέτουμε δτι ή ελιιcα διέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων ιcαί δτι τό διάνυσμα πρός τόν άξονα της Eλιιcας.

=

cos α 'Oλoιcληρώνoντας τήν Χ3

= COS α

ράσταση της μορφης

δπως ζητάμε.

'Εάν α

= π/2,

=

cos 4(t, e3)

=

8* = 8 + c/(COS

α ~ π/2, θέτουμε

εΙναι παράλληλο

t· e3 = Χ' e3 = Χ3

εχουμε Χ3

, Εάν

e3

Τότε

χ

=

τότε

Χ3

περίπτωση αύτή εχουμε

+ c,

8 COS α

α), όπότε Χ3

XI(8*)eI

c =

σταθ.

= 8* COS α

ιcαί εχουμε γιά τήν ιcαμπύλη μιά φυσιιcή πα­

+ X2(8*)e2 + 8*(COS a)e3

= c = Ο, άφοϋ ή ιcαμπύλη χ = xI(s)eI + x2(s)e2

Δηλαδή ή ιcαμπύλη βρίσιcεται στό έπίπεδο

διέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων.

Στήν

ΧΙΧ2.

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ

4.5.

Βρείτε τό διάνυσμα καμπυλότητας

στό σημείο

t

χ

= 1.

t'

=

+

teI

Στό t = 1 εχουμε

4.6.

+

tt3e3

= e } + te2 + t2e3'

-(1 + t 2 + t4)-3/2 [(2t3 + t)eI k

t t 2e2

Ix'l = (1 + t 2 + t4)I/2 t = x'/Ix'l = (1 + t 2 + t4)-lI2(eI + te2 + t2e3) (1 + t 2 + t4) -I/2(e2 + 2te3) - (e} + te2 + t2e3)(1 + t 2 + t4) -3/2 (t + 2t3) χ'

" Εχουμε

k καί τήν καμπυλότητα lκl τής καμπύλης

t = t'IIx'l = k=

-(1

+

+

(t4 - 1)e2 - (t3 + 2t)e3]

t 2 + t 4)-2[(2t3

-i(eI - e3) ιcαί 1001 =

Ikl

+ t)eI +

(t4 -1)e2 - (t3 + 2t)e3]

= iV2.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα lκ*1 τής προβολής τής κυλινδρικής ελικας (Πρόβλ_ επίπεδο πού εΙναι κάθετο στόν άξονά της, δίνεται άπό τή σχέση lκ*1

4.4) σε ενα

= IKI/sin a, όπου 2

α =ι'= Ο

εΙναι ή γωνία των εφαπτόμενων διανυσμάτων τής ελικας μέ τόν άξονά της καί lκl εΙναι ή καμπυλότητα τής ελικας.

Ι

ΚΕΦ.4

ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤ Α ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ

-Εστω χ

= Χ(8)

διαίο διάνυσμα).

ή ελικα καί

73

δ iiξονάς της (ενα μονα­

u

Ή προβολή της ελικας στό έπίπεδο πού

δ"ιέρχεται άπό τήν άρχή τών άξόνων καί εΙναι κάθετο στό u εΙναι ή καμπύλη (Σχ.

4-13)

=

χ* W

Χ(8)

Ας σημειωθεί δτι γενικά τό 8

της προβολης χ*

dx*

cι;

=

Χ*(8).

=

- (u' X(8»U δέν εΙναι φυσική παράμετρος

Παραγωγίζοντας εχουμε

t - (U·t)U

(COSa)U

t -

καί

Id;: Ι

dX* • dx*]1/2 [ d8 d8

[(t· t) - 2(cos a)(t· υ) + (COS 2 a)(u' U)]l/2 [1 - 2 cos 2 α + cos2 α]1/2 = sin α όπου Ο




(Ι

•Απ. f(t)

= Α sin t + Β cos t + C,

χ

Α, Β,

=

C=

Δείξτε ότι τά εγγύτατα επίπεδα σέ τρία τυχόντα σημεία τής καμπύλης χ

α.{cοs

t)el

σταθ.

+ a(sin t)e2 + !(t)e3

εΙναι

= tel + tt2e! + !t3e3 διέρχονται άπό

ενα σημείο τοϋ επιπέδου πού δρίζεται άπό τά τρία σημεία.

4.38. 4.39.

Δείξτε ότι ή

• Αποδείξτε τότε τ

==

χ

= x(t)

εΙναι μιά επίπεδη καμπύλη, εάν καί μόνο εάν (Χ'Χ"χ"']

τό άντίστροφο τοϋ Θεωρήματος

4.4

τής σελίδας

70:

Έάν χ

=

Ο.

= x(s) εΙναι

μιά επίπεδη καμπύλη,

ο.

4.40.

Δείξτε ότι μιά καμπύλη εΙναι κυλινδρική ελικα, εάν καί μόνο εάν ή σφαιρική δείκτρια της t

4.41.

Δείξτε ότι ή εφαπτομένη της σφαιρικής δείκτριας τής t μιας καμπύλης μένη τής σφαιρικής δείκτριας τής

b

C

ε{ναι παράλληλη μέ τήν εφαπτο­

στά άντίστοιχα σημεία.

εΙναι ιc3

=

(ιc 2

+ τ2)/ιc

4.42.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα τής σφαιρικής δείκτριας τής

4.43.

Δείξτε δτι ή στρέψη τής σφαιρικής δείκτριας τής t εΙναι τι = κ(;2 -: :;) .

b

εΙναι περιφέρεια.

2

•

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

ΟΙ ΕΕΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ

Θεώρημα

FRENET

Κατά μηκος της καμπύλης Χ

5.1.

νοποιουν τίς έξισώσεις

•

= x(s) οί

t

κη

η

-Kt

b

-τη

διανυσματικές συναρτήσεις

t,

η καί

+ Tb

ίκα-

b

(5.1)

Οί έξισώσεις αύτές λέγονται έξισώσεις τών SeπeΙ-Freneι η έξισώσεις του

Frenet

της καμπύλης.

Οί έξισώσεις αύτές εΙναι βασικές στή θεωρία τών καμπυλών καί πρέπει κανείς νά τίς άπομνημονεύ­ . Η πρώτη καί ή τρίτη άπό τίς έξισώσεις εχουν ηδη βρεθεί [έξισώσεις (4.6) καί (4.14)]. Γιά νά άποδείξουμε τή δεύτερη έξίσωση παραγωγίζουμε τήν η b χ t. Στή συνέχεια χρησιμοποιουμε σει.

=

τήν πρώτη καί τήν τρίτη έξίσωση, όπότε παίρνουμε

ή

=

j, χ t + b χ i

-τ(η χ t} + b χ (κη)

=

Παρατηρουμε στι, αν γράψουμε τίς έξισώσεις του

.t

t,

τότε άπό τούς συντελεστές των

η,

b

=

-Kt

b

Ot -

Frenet κη

Ot +

η

=

(-T)(-b) + «(-t)

=

-Kt + Tb

μέ τή μορφή

+ Ob

+ Οη + Tb τη

+ Ob

σχηματίζεται ό πίνακας

~~\ (&~) ~ (-~Ο -τ~ ~)( Ο ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σάν ενα πρώτο συμπέρασμα τών έξισώσεων του

θά δείξουμε στι μιά καμπύλη εΙναι πλήρως

Frenet

όρισμένη, αν δοθουν ή καμπυλότητα καί ή στρέψη της ώς συναρτήσεις μιας φυσικής παραμέτρου.

Θά δείξουμε δηλαδή στι, αν Τ*(8) γιά κάθε 8, τότε οί στό χώρο.

C

καί

C

καί

C*

C*

εΙναι δύο καμπύλες γιά τίς όποίες

Πράγματι, αν δοθουν δύο τέτοιες καμπύλες, τότε ή

γιά κάποιο S

=

«(s) = «*(s)

καί

T(S)

=

εΙναι ίδιες χωρίς όμως νά εχουν άπαραίτητα τήν ίδια θέση μέσα

80 τά άντίστοιχα σημεία των

C*

καί

C

C*

μπορεί vΆ μεταφερθεί ετσι ώστε

νά συμπέσουν.

Στή συνέχεια εστω ότι ή

C* περιστρέφεται γύρω άπό τό κοινό σημείο ετσι ώστε στό 80 οί τριάδες (t:, η~, ~) καί (to, no, bo) νά ταυτιστουν. Παραγωγίζοντας τώρα τό γινόμενο t· t* καί χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις του Frenet, εχουμε d t· i* + i· t* t'K*n* + KD-t* = K(t'n* + n-t*) ds(t·t*) d ds(n-n*)

'Επίσης

καί

d

-(b-b*) ds

= =

η-ή*

+ ή-η*

=

D'(-K*t*+T*b*) + (-«t+Tb)-n*

-K(n-t* + t'n*) + T(n-b* + b-n*)

b-j,*

+

j,-b*

=

b· (-τ*η*)

80

+

(-Tn)-b*

-T(b- η* +

η-

b*)

Κ Ε Φ.

81

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

5

Προσθέτοντας τίς παραπάνω σχέσεις κατά μέλη εχουμε

d ds(t-t* + • Ολοκληρώνοντας

παίρνουμε

t· t* +

η' η*

Ο

+b-b*) = σταθ .

+ b - b* =

b o = b~, δπότε to - t:

= η~.

• Αλλά στό Βο είναι 10 = t~. no

η-η*

= ηο - η~ = b o - b: = 1.

νΕτσι, στό Βο,

καί συνεπώς γιά κάθε Β, εχουμε

η- η*

t - t* +

+ b - b* =

3

. Αλλά δύο μοναδιαία διανύσματα, σπως τά t καί t* πληρουν πάντοτε τή COS4-(t,t*) "'" 1. Όπότε, επειδή t-t* + η-η* + b-b* = 3. συμπεραίνουμε

t - t* νΕτσι, γιά κάθε

ται στι

x(s)

s

η- η*

1,

= 1,

=

b - b*

-1

~

t· t* =

1

t = t*, η = η* καί b = b*. Τέλος, επειδή t = dx/ds = t* = dx*/ds, επε­ • Αλλά στό Βο είναι X(So) = x*(so). Συνεπώς x(s) = x*(s) γιά κάθε Β, C καί C* ταυτίζονται. νΕτσι άποδείξαμε τό εξής θεώρημα:

είναι

= x*(s) + σταθ.

δηλαδή οί καμπύλες Θεώρημα

=

σχέση

στι

Μιά καμπύλη δρίζεται μονοσήμαντα, σταν δίνονται ή καμπυλότητα καί ή στρέψη

5.2.

της ώς συναρτήσεις μιας φυσικής παραμέτρου.

κ

Οί εξισώσεις

= K(S),

Τ

=

τ(Β)

πού δίνουν τήν καμπυλότητα καί τή στρέψη μιας καμπύλης ώς συναρτήσεις του 8 λέγονται φυσικές ή έσωτερικές έξισώσεις τής καμπύλης, έπειδή προσδιορίζουν πλήρως τήν καμπύλη. Παράδειγμα

5.1.

'(α)

• A~ό τά ~εω~ήματα 4.1 καί 4.4 (σελ. 64 καί 70 άντίστοιχα) επεται ότι οί φυσικές tξισώσεις μιας εύθείας εΙναι

Ι

ΙC = Ο και .,.

=

ο.

, (b) ΟΙ εξισώσεις ιc = σταθ."# Ο,

ρ

..

= 1/IΙCI·

=Ο

(Παράδ.

4.3, σελ. 63) εΙναι οΙ φυσικές tξισώσεις περιφέρειας μέ άκτίνα

(c) ΟΙ φυσικές εξισώσεις της κυκλικής ελικας (Παραδ. 4.4 καί 4.9) εΙναι

=

Ι


Ο,

Το

>

Ο.

8,

Χ2

• Απαλείφοντας

=

Χ3

i"'08 2 ,

=

i",OT083

τό 8 μεταξύ των δύο πρώτων εξισώσεων, παρατηροϋμε ότι στήν

περιοχή ενός σημείου ή προβολή της καμπύλης στό εγγύτατο επίπεδο (επίπεδο ΧΙΧ2) εΙναι κατά προσέγγιση ή παρα­

=

βολή Χ2 i"'oX~, πού δίνεται στό Σχ. 5-3(a). • Η προβολή της καμπύλης στό εύθειοποιό επίπεδο εΙναι κατά προ­ σέγγιση ή τριτοβάθμια καμπύλη Χ3 l",OTOX~' πού δίνεται στό Σχ. 5-3(b). Τέλος, ή προβολή στό κάθετο επίπεδο εΙναι κατά προσέγγιση ή καμπϋλη X~ I(T~/",o)x~ , πού δίνεται στό Σχ. 5-3(c).

=

=

(α)

(b) Σχ.

(c)

5-3

ΕΝΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ

Οί εφαπτόμενες μιας καμπύλης

της

C.

Μιά καμπύλη

πτόμενες της

C

παράγουν μιά επιφάνεια, πού όνομάζεται έφαπτόμενη έπιφάνεια

C

πού κείται επί της εφαπτόμενης επιφάνειας της

C*,

όρθογώνια, λέγεται ένειλιγμένη της

C

καί τέμνει τίς εφα­

C.

δίνεται άπό τήν χ = x(S) καί αν, δπως φαί­ 5-4, x*(s) εΙναι ενα σημείο μιας ενειλιγμένης C*, στό όποίο ή C* τέμνει όρθογώνια τήν εφαπτομένη στό x(s), τότε τό διάνυσμα x*(s) - x(s) εΙναι συγγραμμικό μέ τό t(s). ν Αρα ή C* εχει μιά παράσταση της μορφης x*(s) = x(s) + k(s) t(s). . Αλλά, σέ μιά ενειλιγμένη, τό Έάν ή

C

νεται στό Σχ.

εφαπτόμενο διάνυσμα

dx*· ds = Χ + kt

+

• (1 + k)t

=

kt

+ kKn

εΙναι κάθετο στό εφαπτόμενο διάνυσμα t της

dx*· ds • t (1 + k)(t • t)

=

• Ολοκληρώνοντας λιγμένες χ*

+ kK(n· t) =

k s)t,

χ

δηλαδή

•

+k =

= -s + c, c = σταθ.

εχουμε

= χ + (c -

1

C,

c Ο

Σχ.

5-4

νΕτσι, ύπάρχει μιά απειρη οίκογένεια άπό ένει­

μία ένειλιγμένη γιά κάθε

c.

s = c.

Γιατί

εΙναι Κ =ιJ. ο.

. Από

Παρατηροϋμε δτι ή χ* δέν εΙναι κανονική έκεί δπου ή χ εχει σημείο καμπης ή

dx* ds καί συνεπώς

dx*lds

=

dx ds

+

= Ο, δπου Κ = Ο.

dt (c-s)ds - t

=

• (c-s)t

=

(c-s)Kn

νΕτσι, ύποθέτουμε δτι κατά μη κος της

αυτο επεται επισης δτι καί κ* =F Ο κατά μηκος της ένειλιγμένης της

στό Πρόβλημα

5.15

της σελίδας

97,

Κ =F Ο.

C

Γιατί, δπως δείχνουμε

ή καμπυλότητα της ένειλιγμένης ίκανοποιεί τήν κ*2

Συνεπώς κ* =F Ο όταν

C.

=

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

Έάν -σο

ή

Δηλαδή, τό

ότι

έφαπτομένη

< k < 00, k

μιας

καμπύλης

τότε

Χ

=

Χ(8)

εΙναι μιά φυσική

στό σημε~o Χ δίνεται άπό τήν

!tl

!dx·ldk! παράμετρος.

85

=

ci : χ.

στα ση μεταξύ των δύο ένειλιγμένων

Έmπλέον, έπειδή γιά

= Χ

=

Χ

+ kt,

1 k

=Ο

εΙναι χ.

εΙναι ή άπόσταση του σημείου χ. της έφαπτομένης άπό τό σημείο Χ της

!k!

χ.

+ (Cl -

ct : χ.

8)t καί

= Χ

= Χ,

επεται

Τέλος ή άπό­

C.

+ (C2 -

8)t της C, ό­

πως φαίνεται καί στό Σχ. 5-5(α), διατηρείται σταθερή γιά κάθε 8 καί εΙναι ίση μέ

!(C! - 8) -

8)1 = IC! -

(C2 -

C2!

.' Από τά παραπάνω συμπεραίνουμε ότι μπορουμε νά κατασκευάσουμε μιά ένειλιγμένη της καμπύλης C ξετυλίγοντας ενα τεντωμένο νημα πού εΙναι τυλιγμένο κατά μηκος της. Έάν, όπως συμβαίνει στό Σχ. 5-5(b), τό νi'jμα εχει μηκος Co καί εχει έκλεγεί μιά φυσική παράμετρος 8 κατά μηκος της C πού νά παριστάνει τήν άπόσταση του τυχόντος σημείου της άπό τό σταθερό άκρο του νήματος, τότε ή καμπύλη πού παράγεται άπό τό ξετύλιγμα του νήματος εΙναι ή ένειλιγμένη χ. = χ + (Co - 8)t.

c

C* 8=0 (α)

(b) Σχ.

Παράδειγμα

5.5.

Γιά τήν ελιιcα

~~ t

'Επίσης, χ*

=

Χ

+

(c - s)t

=

ddXt

/1

ddXt

Ι

--

(α2

(α2 + b2) l/2 t.

=

+ α(βίη t)e2 + bte3'

= a(cos t)el

-a(βίη t)e t + a(cos t)e2 + be3'

==

-=

= ~! Ι;;: Ι dt

s

Χ

5-5

[α

cos t - a(c -

+

[bt

+

W

>

Ο,

b~

ο, εχουμε

Ι ~: Ι = (α2 + bψ/2

+ b2 )-l/2(-a(sin t)e l +

a(cos t)e2 + be3)

Αρα οΙ ένειλιγμένες εΙναι οί καμπύλες

Β){α 2

(c -

α

+ b2 )-l/2 sin t]el +

Β)(α2

[α

sin t

+ a(c -

Β)(α 2

+ b2 )-l/2 cos t]e2

+ b2)- l/2b]e3

. Εάν θέσουμε γ = c(a2 + b2 )-l/2 καί χρησιμοποιήσουμε τήν άντίστροφη συνάρτηση t = Β(α2 + b 2)-l/2, εχουμε χ*

=

a[(cos t

+t

βίη t) -

γ

sin t1et

+

α[(βίη t -

t cos t)

+ -γ cos t}e2 +

boγe3

Παρατηρούμε ότι ή ένειλιγμένη αύτή εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, πού βρίσκεται στό έπίπεδο :1:3 στό Σχ.

5-6.

Σχ.

5-6

=

bΎ, όπως φαίνεται

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

86 ΕΞΕΙΛΙΓΜΕΝΕΣ

Έάν μιά καμπύλη

τότε έξ όρισμοϋ ή δοθεί ή

C*

εΙναι ένειλιγμένη τής καμπύλης

C

λέγεται έξειλιγμένη τής

= X(S)

άπό τήν Χ

καί

όρθογώνια.

C

• Εάν

ή

C

δίνεται

εΙναι τό σημείο τής έξειλιγμένης,

X*(S)

στό όποίο ή έφαπτομένη της τέμνει τήν

X*(S} = X(S)

C

στό

X(S),

τότε

+ α(Β) n(s) + β(Β) b(s)

Γιατί, όπως φαίνεται στό Σχ.

t(S)

Συνεπώς, αν

C.

οΙ έξειλιγμένες της εΙναι οΙ καμπύλες, τών όποίων

C,

οΙ έφαπτόμενες τέμνουν τήν

στό

C*,

5-7,

τό

x*(s)-x(s)

εΙναι κάθετο

καί συνεπώς μπορεί νά έκφραστεί ώς γραμμικός συν­

δυασμός τών

n(s)

καί

Παραγωγίζουμε τήν παραπάνω σχέ­

b(s).

Σχ. 5 - 7

ση, όπότε έχουμε

dx*

= Χ

d8

Έπειδή χ* -

χ

=

τώρα

αΩ

τό

+ {Jb.

•

είναι

dx*/ds

έπίσης

Αρα α

= Ι/κ

+ άη + a(-Kt+ Tb) + iJb - βτη = (1 - aK)t + (ά - βτ)η + (β + -ra)b t

έφαπτόμενο

τής

Συνεπώς, ύπάρχει πραγματικός άριθμός

Ι-ακ = Ο, W

•

+ άη + αή + {Jb + {Jb

(ά- βτ) = ka

καί, άφου άπαλείψουμε τό

k

καί

λύνοντας ώς πρός

• Ολοκληρώνοντας

τ

_

τ

-

C*,

θά

εΙναι

συγγραμμικό

μέ

τό

τέτοιος ώστε

(β+τα) = kp

άπό τίς δύο τελευταίες έξισώσεις, παίρνουμε

β(ά - βτ) - α(β + τα)

11

k

=

Ο

βά - αβ _ ~C t- t !!. a2+fJ2

-

ds ο

[!

α

J.

τήν τελευταία σχέση έχουμε β = acot τ ds + C 'Επειδή α = ι/Κ, έχουμε τε­ λικά β = (Ι/κ) cot τΜ + C J. ~Eτσι φθάνουμε σέ μιά άπειρη οίκογένεια άπό έξειλΙΥμένες, μιά

[!

έξειλιγμένη Υιά κάθε τιμή της

c,

χ*

μέ έξίσωση

χ + ~η + ~cot(S -rds + C)b

=

ν Ας σημειωθεί ότι κατά μήκος τής

C πρέπει (γιά νά έξασφαλίσουμε τήν κανονικότητα) νά ύπο­ Πράγματι, παραγωyίζovτας τήν χ* = Χ + αΩ + pb έχουμε dx*. • ds = (α- βτ)η + {β + -ra)b

θέσουμε ότι (ά - βτ)" + (β + τα)" =F Ο.

δηλαδή ή C· δέν εΙναι κανονική καμπύλη, όταν (ά - βτ)2 + (β + τα)2 = Ο. ΕΙδικά, όταν ή C εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, τότε τ = Ο, α = Υβ μέ Υ = σταθ. καί (ά - βτ)2 + (β + τα)" = (κηκ4 )(Ι + Υ-2). νΕτσι, γιά τίς έπίπεδες καμπύλες C άρκεί νά ύποθέσουμε ότι j( =ιk Ο. Παράδειγμα τε

.,.

5.6.

= Ο καί χ*

·Οπως

Έάν

C

εΙναι μιά έπίπεδη καμπύλη, τό­

οΙ έξειλιγμένες της εΙναι

=

χ + !D + r b

"

φαίνεται aτό Σχ.

,,'

5-8,

Υ = σταθ.

γιά Υ

=Ο

1)

έξειλιγμένη βρίσκεται στό Ίδιο έπίπεδο μέ την ματι, αύτή εΙναι

1)

άντ{στοιχη

C.

Πράγ­

μόνη έξειλιγμένη aτό έπίπεδο της

καί όνομάζεται Aπiπεδη ιςειλιγμivη της

C.

C

Παρατηροϋμε

b = σταθ., οΙ άλλες έξειλιγμένες βρί­ lva κ:ύλινδρο, του όποίου οΙ γενέτειρες εΙναι καθετες στό έπίπεδο της C καί διέρχονται άπό τά σημεία τής έπίπεδης έξειλιγμένης τής C. έπίσης ότι, έπειδή σκονται πάνω σ'

Σχ,

5-8

ΚΕΦ.5

87

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

8ΕΩΡΙΑ ΕΠΑΦΗΣ

Διαισθητικά φαίνεται ότι, άπό όλα τά επίπεδα πού διέΡΊονται άπό ενα σημείο Χ μιας καμπύλης

c.

εκείνα πού περιέΊουν τήν εφαπτομένη στό Χ εΊουν μεγαλύτερο βαθμό «επαφής» μέ τήν

Χ άπό ό,τι τά επίπεδα πού δέν περιέΊουν τήν εφαπτομένη. ριέΊουν τήν εφαπτομένη

C

στό

Έπίσης, άπό όλα τά επίπεδα πού πε­

στό Χ, εκείνο πού εΊει τό μεγαλύτερο βαθμό έπαφής ε{ναι τό εγγύτατο

επίπεδο.

Γιά νά εξετάσουμε γενικά τό βαθμό επαφής μιας καμπύλης ή

κλάσεως, ενώ ή επιφάνεια

C

C μέ μιά επιφάνεια, ύποθέτουμε ότι = xl(t)el + XZ(t)e2 + X3(t)e3 πού είναι κατάλληλης S δίνεται άπό τήν εξίσωση F(xl, Χ2, Χ3) = Ο. Ύποθέτουμε επίσης ότι ή σέ ενα σημείο Χσ = X(to) άλλά καί σέ n -1 άκόμη σημεία, χι = Χ(Ι ι ),

δίνεται άπό τή διανυσματική συνάρτηση Χ

C

τέμνει τήν

ΟΊΙ μόνο

S

= x(t"-l)

... , Χ,,-ι

μιας πεΡΙΟΊής του χο.

=

f(t) Προφανώς εΊουμε

C

ύπάΡΊουν

καί

S

F(xI(t), X2(t), X3(t»

f(t o)

=

F(xt(tt), X2(t l ), Xa(tt»

f(t t )

γιατί οί

Θεωρουμε τώρα τή συνάρτηση

τέμνονται στά σημεία Χο, Χι, ... , Χ,,-ι.

t;, t;, ... , t~-l

Ο

' Από τό θεώρημα του Rolle εΠΕται ότι

μέ

to ~ ετσι ώστε

t; ~ t t , f'{t;)

ι ι ~ t; ~ t 2 ,

=

~ t~-l ~ t n -

= .,. = f'(t~-I) = ύπάΡΊουν t;" t;" ... , t::-

=

μέ

t~-2 ~ ι~'-ι ~ Ι~-ι

... ,

= ... =

!"(t~')

l

Ο

t

'"

f"(t~')

2

f'(t~)

Άλλά πάλι άπό τό θεώρημα του Rolle

ετσι ώστε

tn -

••• ,

!"(t;:-t)

=

ο

ΣυνεΊίζοντας μέ αύτόν τόν τρόπο, βρίσκουμε ότι ύπάΡΊουν σέ κάποια πεΡΙΟΊή του

t;, t;', ... , ξ~~ ι ~

to

άριθμοί

t o,

γιά τούς δποίους εΊουμε

!(tO)

=

!'(t;)

=

f"(t~')

= .,. =

=

!(,,-t)(ξ~~l»

Ο

Ύποθέτουμε τώρα ότι ύπάΡΊει μιά δριακή επιφάνεια, καθώς τά Χι, Χ2, .•. , Χ,,-ι τείνουν στό

χο.

Ποιό συγκεκριμένα ύποθέτουμε ότι, καθώς τά Χι, Χ2, •.. , Χ,,-ι τείνουν στό Χο, ή

όριο μιας οίκογένειας επιφανειών, καθεμιά άπό τίς δποίες τέμνει τήν

n - 1 σημεία μιας πεΡΙΟΊής του χο. ~Oταν τά Χι, Χ2, •.• , Χ,,-ι ... ,ξ~Ι> τείνουν στό to καί συνεπώς στό όριο θά εΊουμε f(to)

=

=

f'(t o)

j"(tO) =

.. ,

=

C

S

είναι τό

στό χο καί στά παραπάνω

τείνουν στό Χο, οί άριθμοί

f(,,-n(t O} '=

tr, t~,

Ο

νΕτσι καταλήγουμε στόν επόμενο δρισμό:

Μιά καμπύλη Χ ξεως

n

= xl(t)eI + X2(t)ez + Xa(t)ea f(t)

ίκανοποιεί τίς συνθήκες W

εΊει μέ τήν επιφάνεια

στό σημείο πού άντισΤΟΙΊεί στήν τιμή

j(tO)

=

j'(to)

=

t

= t o,

F(xt, Χ2, Χ3) =

Ο

έπαφή τά­

άν ή συνάρτηση

F(xl(t), X2(t), X3(t»

= .,. =

!(n-l)(tO)

=

Ο καί

j(n)(t O) =F

Ο.

Ας σημειωθεί ότι δ δρισμός αύτός είναι άνεξάρτητος τής παραμετρικής παραστάσεως τής καμ­

πύλης.

Γιά νά τό άποδείξουμε ύποθέτουμε ότι

Χ

=

Χ~(θ)eι

+

Χ~(θ)e2

είναι μιά άλλη παραμετρική παράσταση τής καμπύλης.

+

Χ:(θ)e3

Τότε

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

88

Χ':'(θ) καί

=

Χί(t(θ»,

g(θ)

F(x! (θ), X~ (θ), X~ (θ»

g'(θ)

t' !'(t(B»

g"(θ)

(t')2 !"(t(B» + t" !'(t(B»

ί=1,2,3

F(χι(t(θ», X2(t(B», Xa(t(B»)

=

Γενικά, ή οω(θ) θά εΙναι γραμμικός συνδυασμός της !(i)(t(θ» ξεως, δηλαδή

, Αλλά, άν ! ο, ή προηγούμενη εκφραση γίνεται

Υ

+ pn + pub

Χ

=

Τέλος, ύποθέτουμε πάλι ότι Ρ(Χι, Χ2, Χ3, αι,~,

... , αη-ι) = ο εΙναι μιά n - 1 παραμετρική οΙκο­ X(t) = Xl(t) el + X2(t) ~ + X3(t) e3 τό σημείο

γένεια έπιφανειών, πού εχουν κοινό μέ μιά καμπύλη

t = t O•

πού άντιστοιχεί στήν τιμή

W

οΙκογένειας νά τέμνει τήν καμπύλη σέ

tl ,

••• ,

λίδας

t..-l

87,

to.

μιας περιοχής τοϋ

n- 1

Ας σημειωθεί ότι γενικά μπορεί νά κατασκευαστεί μιά

n- 1

παραμετρική οΙκογένεια έπιφανειών πού νά ίκανοποιεί

n -1

συνθήκες, ετσι ώστε κάθε μέλος τής

σημεία, Π.χ. στά σημεία πού άντιστοιχούν στίς τιμές

'Εάν, άκολουθώντας μιά διαδικασία άνάλογη μέ έκείνη τής σε­

βροϋμε ότι ύπάρχει ή όριακή έπιφάνεια

καί δίνεται άπό τήν Ρ(Χι, Χ2, Χ3)

S

=

Ο, τότε ή

συνάρτηση

f(t) = F(xl(t), X2(t), Xa(t» !(to) = f'(t o) =

ίκανοποιεί τίς σχέσεις

Δηλαδή, ή όριακή έπιφάνεια

= !(n-n(to) =

'"

Ο

εχει μέ τήν καμπύλη έπαφή τουλάχιστον τάξεως

S

παρόμοια διαδικασία χρησιμοποιείται καί γιά μιά

n -1

γενικά, άν ή έγγύτατη έπ\φάνεια (άντίστοιχα καμπύλη) μιας φανειών (καμπυλών) εΙναι μοναδική

καί εχει μέ τήν

C

στό

n -1

to.

Μιά

~Eτσι,

παραμετρικής οΙκογένειας έπι­

n στό Χ, τότε άποτελεί τό n - 1 γειτονικά σημεία τής

έπαφή τάξεως

όριο τής οικογένειας τών έπιφανειών (καμπυλών) πού διέρχονται άπό

C,

n

παραμετρική οΙκογένεια καμπυλών.

όταν αύτά τείνουν στό Χ.

ΠαράδεΙΎμα

5.11.

Ή έγγύτατη περιφέρεια μιας καμπύλης

σε ενα σημείο της Χ εΙναι τό δριο των περιφερειων

C

πού διέρχονται άπό τό Χ καί άπό δύο γειτονικά σημεία της

καθώς αύτά προσεγγίζουν τό χ.

C,

σφαίρα ε{ναι τό δριο των σφαιρών πού διέρχονται άπό τό Χ καί άπό τρία γειτονικά σημεία της

ΗΟμοια, ή έγγύτατη

C,

καθώς αύτά προ­

σεγγίζ?υν τό Χ.

Λυμένα Προβλήματα ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.

5.1.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ

Προσδιορίστε τίς φυσικές έξισώσεις τής άλυσοειδοϋς

Χ

• Επειδή τηση τής 8.

+ te2,

ή άλυσοειδής εΙναι έπίπεδη καμπύλη, &χουμε 'Τ

α

==

Ο.

=

σταθ.

• Απομένει

>Ο νά βρούμε τήν

Εύκολα βρίσκουμε

χ'

= sinh (tlα)e} x

• Από

= a(eosh (t/a» el

τό Θεώρημα

4.2

1l

=

+ e2,

(llα)(cosh (Ιlα»

της σελίδας

64

(χΙ χ χ")

8

•

(Χ' χ

ft lχΙI dt

=

• Απαλείφοντας

82

τό

+

παίρνουμε"

=

42

[sinh2 (tlα)

χ' χ χ"

et,

+ 1]1/2 =

cosh (ιlα)

= -(lla)(cosh (ιια» e3

(lla2) cosh2 (tla) (sinh2 (έlα) + 1)3

x/) _ -

=

ο

Συνεπώς

=

εχουμε

(χΙ. χΙ )3

• Επίσης

1χΊ

ft cosh (tla) dt

=

1

a2 cosh4 (Ιlα)

α sinh (tla)

ο

=

α/(8 2

a2 sinh2 (tla)

+ 0,2),

+

0,2

=

a2 cosh2 (Ιlα)

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

"

ώς συνάρ-

92 5.2.

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

Προσδιορίστε τίς φυσικές έξισώσεις της έπικυκλοειδοϋς

χ

[(ΤΟ+ΤΙ)CΟSθ

τιcοs(ΤΟ~ΤΙθ)Jeι

-

"Εχουμε

dx

χ'

[ -(Το + Τι)

=

de

+

=

χΙ'

dx' de

(Το

[ -(Το + Τι)

+ Τι)

(Το

(Το + τι)2

+

COS θ

τι

Sin θ

COS

-Τ-ι- θ

(ΤΟ + τι )] -Τ-ι- θ

(Το + τι)2

+

( Το + τι

COS

τι

Sin

•

+ τι)4(το + 2τι)2

(Το

(χ' χ Χ")

~

Τι θ)] e2

)] e2

el

(το + τι )] -Τ-ι- θ

+ cos θ

χ' χ χ"

(Χ' χ Χ")

. (το τι + τι SlD

-

ΤΟ + τι θ )] el + Τι) Sin (-Τ-ι-

[ (Το + Τι) cos θ -

[ -(το + Τι)

+

+

Sin θ

[(το+τι)SίΠθ

+

COS

e2

(Το +ι τι

-Τ-- θ

))]

e3

COS (Το/Τι)θ]2

[1 -

Ι

Το + τι ) + τι)2 [ 1 - ( sin θ sin -Τ-ιθ + cos θ 2(το + τι)2[1 - COS (τοΙΤι)θ]

(

2(το

χΙ .χ'

(Χ' χ χ") (χ'

• (χ' • χ')3

(Το

'Επίσης

8

=

fr:

-11" ΤΟ

'Απαλείφοντας τό θ

όπου Β

5.3.

=

Α

>Α

+ Τι)

3.28,

))]

+ 2τ ι )2

σελ.

,,2

καί

1 ,,2Β2 = 1

Α2

+

=

4τι(το

καί Β

το

+

εχουμε

82

Α2

1'j

+ Τι) 2τι

82

ρ2

+ Β2

= 1

Παρατηροϋμε δτι Α

.

>

Β.

Γιά τήν υποκυκλοειδή εχουμε

60).

Προσδιορίστε τήν καμπύλη, της όποίας οί φυσικές έξισώσεις εΙναι

κ Θέτουμε Φ

χ

=

= " = (1/2α8)Ι/2.

'Από τήν έξίσωση

5.4.

--Τι- θ

χ χ")

από τίς έκφράσεις τών

Το

(Πρόβλ.

( ΤΟ + τι

dfJ IdXl de 82

4τι(το

COS

= α

(5.6)

(1/2αs)112,

=

τ

Ο,

α

> Ο,

Όλοκληρώνοντας βρίσκουμε Φ

s

>Ο

= (28/α)Ι/2 1'j

8

=

aφ2/2. όπότε "

= 1/αφ.

fπεται δτι ή καμπύλη εΙναι

f φ[(cοs φ)eι + (Βίη φ)e2] dφ

a(cos Φ

=

Δείξτε ότι ή καμπύλη μέ φυσικές έξισώσεις κ

+ Φ Βίη φ)eι + a(Βίη Φ - Φ cos φ)e2

= ...;2/(82 + 4), τ = V2/(S2 + 4)

εΙναι μιά κυ­

λινδρική έλικα (πάνω) σ' έναν κύλινδρο, του Qπoίoυ οΙ κάθετες τομές εΙναι άλυσοειδείς καμ­ πύλες. 'Από τό Πρόβλημα

1

= σταθ.

της καί α

4.21

"Εστω τώρα χ

= 4(t, υ).

της σελίδας

= Χ(8)

77

συμπεραίνουμε ότι ή καμπύλη ε{ναι κυλινδρική ελικα, γιατί "/Τ

μιά φυσική παράσταση της ελικας,

Έπίσης από τό Πρόβλημα 4.21 εχουμε "/Τ

τίς φυσικές έξισώσεις της προβολης χ*

= Χ(8) -

από τήν άρχή τών αξόνων καί εΙναι κάθετο στό

(Χ(8) •

u

(Σχ.

u)u

u

=

τό μοναδιαίο διάνυσμα τοϋ άξονά

= ωη α' συνεπώς α = π/4.

Γιά νά βροϋμε

της καμπύλης Χ(8) στό έπίπεδο πού διέρχεται

5-11),

υπολογίζουμε τήν παράγωγο

r ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

dx· dB

=t-

=

t - (cos α)υ

(t· υ)υ

93

t - u/V2

όπότε

Ι d;sΊ =

=

[(t - u/V2)' (t - u/V2)]1/2

l/V2

Μιά φυσική παράμετρος κατά μηκος της προβολης εΙναι

= ~Ί d:sΊds =

s* , Από

τό Πρόβλημα

4.6

της σελίδας

s/..;2 72

έχουμε

Κ· = K/Sin 2 a = 2V2/(s2 + 4) Συνεπώς κ* προβολής.

=

...[2/(s*2 + 2) εΙναι ή φυσική έξίσωση της ' Από τό Πρόβλημα 5.1 επεται δη ή προβολή

εΙναι μιά άλυσοειδής καμπύλη.

5.5.

Σχ. 5- 11

Δείξτε δτι, γιά μιά καμπύλη πού βρίσκεται σέ μιά σφαίρα άκτίνας α καί που ή στρέψη της τ εΙναι παντού διάφορη του μηδενός, ισχύει ή σχέση

= x(s)

Έστω δτι ή Χ

βρίσκεται στή σφαίρα μέ κέντρο τό Υο καί άκτίνα

=

(x(s) - Υο) • (x(s) - Υο)

2(Χ-Υο)'Χ

Παραγωγίζοντας έχουμε

καί μέ νέα παραγώγιση "Επεται δη κ

(Χ - Υο) • t

+ Χ' t

# Ο καί (Χ - Υο) • η = -ι/κ.

ο

ή

(Χ

ο

ή

Κ(Χ -

Χρησιμοποιώντας τή σχέση (Χ μένες του Χ -

η,

+

(Χ-Υο)·ή

Υο ώς πρός τά

t,

2

b

εΙναι Ο, -ι/κ,

Χ

Υο

-

έχουμε

t

ο

Υο)' η

+

Ι

=

Ο

Τελικά παραγωγίζοντας παίρνουμε

= ;/κ ή Υο) • t = Ο έχουμε,

Χ'η

s

a2

Υο) •

-

Τότε γιά κάθε

a.

άφου

K/K2r. -ι

-;;-η

=

;/κ 2

(x-Yo)·(-Kt+ ..b) .. #

Ο, (Χ - Υο)'

b

= ΊC/K τ. 2

"Ετσι, οΙ συντεταγ­

Έπομένως

Κ

+

K2rb

όπότε εχουμε

(Χ

5.6.

-

Υο) • (Χ

-

Υο)

= X(s) σχηματίζει σταθερή = X(S) εΙναι μιά λογαριθμική

Δείξτε δτι, αν τό διάνυσμα θέσεως χ μιας έπίπεδης καμπυλης χ

γωνία α μέ τήν έφαπτομένη t

= t(S)

τής καμπυλης, τότε ή χ

ελικα.

"Εχουμε χ' t

= (COS α) Ixl.

Έπίσης, έπειδή η 1.. t, έχουμε Ιχ' ηl

ξουμε τή διεύθυνση του η ετσι ώστε χ. D

x·t + Παραγωγίζοντας πάλι εχουμε

Έπειδή τ

= ο,

ή

= -Kt·

x·i

=

χ.

+

κ 2 χ. t

+

= Isin allxl

καί μπορουμε νά διαλέ­

Παραγωγίζοντας τήν πρώτη σχέση παίρνουμε ι

ή

κΧ'Β

κχ·ή

+

ΚΧ'η

=

cos2 a

ο

=

= Ο καί

Ixl (-Ίc sin α - κ2 cos α) •Η

t

(cos α) 1Χϊ

κΧ'Β

άρα ίcx' D -

= (- sin α) Ixl.

ίc

ή

ο

=

-(cot α)κ2

διαφορική αύτή έξίσωση ώς πρός κ μπορεί νά λυθεί μέ χωρισμό των μεταβλητών, όπότε βρίσκουμε ιc

=

Ι

(cot a)8 +

C

ΚΕΦ.5

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

94

πού εΙναι ή φυσική έξίσωση μιας λογαριθμικης ελικας (βλ. Παράδ.

Στό ίδιο

ήσουμε

τήν

=

4-(Χ, δι) στό

Σχ.

καί Πρόβλ.

5.2

άποτέλεσμα φθάνουμε,

= 4-(t, δι),

Φ

φ

α

-

καί

Τότε

5-12.

(- βίη α)τ.

5.28). τήν

= Ixl,

τήν r χ'

=

t

Παραγωγίζοντας

αν

χρησιμοποι­

πολική

(cos α)τ

τήν

γωνία

όπως

Χ' Ω

=

σχέση

ε­

καί

τελευταία

=

fJ

φαίνεται

χουμε

.

-βιηα

(Χ' Ω) dιι = .!!. dιι dφ

dr

dfJ

=

dfJ

= (Χ' η + Χ' ίι)(l/ιc)

(Χ' n)(l/ ιc)

όπου

χρησιμοποιήσαμε

dφ/dfJ

= 1. -

dφ

τίς

σχέσεις

dφ/dιι

= ΙC

καί

Τελικά

βίη α : ;

-(Χ' t)

=

-(COS α)τ

=

n = -ΙCt.

όπου χρησιμοποιήσαμε τήν

•

Σχ.5-12

Ολοκληρώνοντας τήν

=r

dr/dfJ

cot α

εχουμε

r

= e(cοtα)θ + C,

δη-

λαδή μιά λογαριθμική ελικα.

5.7.

'Έστω ότι μιά καμπύλη

όρίζεται άπό τήν

C

f

χ = α όπου g(t) [gg'g"] =F

1I1 = Ι,

εΙναι

τήν ταυτότητα

a(ιχ ι')

χ"

a(1

χ ι")

χ'"

a(1

χ ι"')

=

a2(g

=

[Χ'Χ"Χ"'] τό Θεώρημα

χ

a 2 (1

+ a(l' χ ι') =

,')

10

70

καί αρα

=

f

χ ι")

a2 (1', ι')(ι'

=

α

=α

πεται ότι τά b, b καί

(χ' χ χ")

S

g(t)

f

'b

ι)

=

a 2 {[ιι'ι"] Ι -

•

b

ιc

Ι = Ι [ιι'ι"] α lι'13

=

a 2 [lι'ι"] Ι

.

'# Ο· έπισης

+ a(ι' χ ι")] =

a3 [ιι'ι"]2

εχουμε

σταθ.

(χ' χ Χ")

'#

Ο

Δηλαδή, αν κατά μήκος μιας καμ­

τότε ή καμπύλη μπορεί νά έκφραστεί μέ τή μορφή

χ g'(t) dt όπου =

Ig(t)1 = 1 ΩΧb

=

καί

-b χ

D

(gg'g"]

=

+ Ο.

-b χ (-b/T)

=

.

abXb.

χ b d8. • Από τίς b = -τΩ = -(I/a)n καί 'b = -(I/a)ia = -(I/a)( -"t + .,.b) ε­

εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα, δηλαδή [b bb] "ι. Ο.

τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

a 2 Ig,l2

[gg'g] ι"}

[χ'χ"χ"']

=

= σταθ. = Ι/α,

t d8

a(1

a 2 [ιι'ι"] ι. [a(ι Χ g"')

, Από τίς έξισώσεις του Frenet εχουμε t

"Ετσι Χ =

καί

εχουμε

χ (ι χ ι")

(χΙ Χ χ") • Χ'"

=

Δείξτε το αντίστροφο τοϋ προηγούμενου προβλήματος.

χ

=Ι

+ a(,' χ ι")

Χ ι') • (ι χ ι')

χ χ"l = Ιχ'ΙΧΨ

της σελίδας

4.5 τ

πύλης εΙναι τ

Ig(t)1

Ι/α.

Χ'

της σελίδας

[F2 J

, Άλλά άπό τό Θεώρημα 4.2 ιc

5.8.

=F Ο

:.1 ι' καί, αν χρησιμοποιήσουμε τήν ταυτότητα [F t ] της σελίδας 10, εχουμε

χ' χ χ"

, Από

=

Δείξτε ότι ιc =F Ο καί τ

χ' • Χ'

, Από

= σταθ.

α

εΙναι μιά διανυσματική συνάρτηση, ή όποία ίκανοποιεί τίς σχέσεις Ο.

"Εχουμε

Έπειδή

χ g'(t) dt,

g(t)

Προφανώς, γιά Ι

=b

εχουμε

r ΚΕΦ.5

5.9.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥ ΛΩΝ

95

Δείξτε ότι ή διαφορά του μήκους 8 ένός άρκετά μικρου τόξου

IPQI

μηκος

της άντίστοιχης χορδης εΙναι τάξεως

Παίρνουμε τήν κανονική μορφή (σελ.

χι

=

8 - iK~s3 + 0(s3),

PQ

μιας καμπύλης άπό τό

8'.

83)

Χ2 =

i;εP + 0(Β3),

1-"082 +

=

2:3

i"OTOs3 + o(s3)

• Υψώνοντας στό τετράγωνο κάθε συντεταγμένη μπορουμε νά γράψουμε

xi =

1,,~S4

82 -

!,,:s4

+ o(s4),

_ -

~2

-3

o(s4)

(Xi + xi + χ;}Ι/2 = ΊΒ2 - -(z"~84 + O(s4)]l/2

!PQ\

"Αρα

=

x~

+ 0(84), 214,,~r

[(s -

+ O(s3»2]1/2

= s - 214"~s3

+ o(r)

2

5.10.

' Εάν λης

κο

!PQ\ -

Συνεπώς

- 24 s3

8

+ o(r)

καί ή διαφορά ε{ναι τάξεως s3.

οί πρώτες κάθετοι μιας καμπύλης

C*,

δείξτε δη κατά μηκος της

α(κ 2 "Εστω δτι ή

+ 1'2) =

=

δίνεται άπό τήν Χ

C

C

τής

Κ,

α -

σταθ.

Χ(8) καί εστω στι

μέ Χ*(8) συμβολίζουμε τό άντίστοι:χ:ο σημείο τής όποίο ή δεύτερη

ταυτίζονται μέ τίς δεύτερες καθέτους μιας καμπύ­

εΙναι

C

C*,

στό

κάθετος ταυτίζεται μέ τήν πρώτη κάθετο

στό σημείο

C

διάνυσμα

x(s), όπως φαίνεται στό Σ:χ:. 5-13. Τό x*(s) - x(s) ε{ναι παράλληλο μέ τό Π(8) , όπότε

=

x*(s)

+

x(s)

α(Β) Π(Β)

Θεωρούμε τό έφαπτόμενο διάνυσμα

dx* d$

=

d ds(x+an)

-

(t + απ Έπειδή

dx* d8.l

ιIKt

α

(Χ+απ+αη)

+ arb) = (1 - ",,,)t + απ + aTb

, ιιχ* ϊi8.l

εΙναι και

b*,

=

ο όπότε

..'

=

= σταθ. καί

π

dx* • d8

dx*/ds = (1 -

t*

καί

:::

_

τσι

=

(1 - Ο (εμπειρικά

κατασκευάζουμε μιά ένειλιγμένη της περιφέρειας ξε­

τυλίγοντας απ στό θ

=

, Εάν

αυτην ενα τεντωμένο νημα μέ άρχή

Ο, Όπως φαίνεται στό Σχ. 8

ε[ναι

μιά φυσική παράμετρος τής περιφέρειας,

ετσι ώστε νά εχουμε 8 ένειλιγμένης ε[ναι χ*

=Ο

=

όταν θ

χ -

=

Ο, τότε ή έξίσωση τής

Προφανώς 8

8t.

μήκος τόξου τής περιφέρειας.

t

5-15).

=

αθ ε{ναι τό ------~----~~----~----------Xl

' Επίσης

dX] . e)el + (cos e)e z = dx/I de de = (- Sln

Συνεπώς

χ*

=

+ a{sin e)e2) - αιι« + ιι sin e)et + a(sin θ -

(a(cos e)et

= a(cos θ

sin e)ej ιι

+ (cos e)e2)

Σχ.

5-15

cos e)e2

εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

5.15.

Δείξτε στι ή καμπυλότητα της ένειλιγμένης χ*

=

Χ

+ (c -

s)t

της καμπύλης Χ

= x(s)

δίνεται

άπό τή σχέση

Πράγματι εχουμε

dt*

di

dx·

i - t

t*

d:s*

ds

Id:sΊ

8)t = (c - 8)/(n,

/1 ~* Ι

I(c -

ψΙ

= sign [(c - 8)/()n

sign [(c - 8)κH-"t + Tb)

sign [(c - 8)/()ή

dt*

καί

d8*

d8*

Δείξτε στι τό μοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσμα της ένειλιγμένης χ* καμπύλης Χ

= x(S)

ε{ναι

n*

-"t + Tb (c -

8)ΚΚ*

καί

Kb

=

b*

'Από τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

Συνεπώς

-Kt + Tb (c- 8)/(

~:/I~Ί

κ*2 = Ι dt* 12 =

Συνεπώς

5.16.

+ (c -

t* b*

Χ

=

+ (c -

8)t

+ Tt

I(c - 8)ΚIIΟ

Β,α

ετσι ώστε οΙ

C

καί

C·

νά

χ

=

(t

+ k)e} +

>Ο

ce Ύθ •

Βρείτε τήν έξίσωση της έφαπτόμενης έπιφάνειας στήν καμπύλη

Άπ.

5.31.

C·,

Bertrand.

Προσδιορίστε τήν καμπύλη τής όποίας οΙ φυσικές έξισώσεις ε{ναι

'Απ.

5.30.

TlSin(ro~rle)Je2

-

Α2

1_ Κ = __ as+b'

5.29.

+ be3)'

= Β(2α2 + b 2)l/2

Άπ.

ε{ναι καμπύλες τοϋ

5.28.

= et(a(cos t)e } + a(sin t)e2

Βρείτε τίς φυσικές έξισώσεις τής ύποκυκλοειδοϋς

χ = [(το-τι) cosD

5.27.

χ

b

(t 2 + 2kt)e2

+

(t3

+ 3kt2)e3'

-00


Ο

χΙ

Τό ήμιεπίπεδο




Ο καί τόν άξονα

Τά σημεία του άξονα Χ2 εΙναι όριακά σημεία του

συνόλου καί δέν dνήκουν στό σύνολο (έκτός dπό τήν dρχή των dξόνων).

'Εάν στό σύνολό μας συμπεριλάβουμε

καί τά σημεία αύτά, δηλαδή άν θεωρήσουμε τό σύνολο πού dποτελείται dπό τό ήμιεπίπεδο χι "'" Ο καί τόν άξονα χι, τότε fχουμε fva κλειστό σύνολο πού εΙναι τό κάλυμμα του dρχικου συνόλου.

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

Έπειδή

(b)

κάθε

περιορισμένη

περιοχή

τυχόντος

σημείου

του

έπιπέδου

ΧΙΧ2

105

περιέχει

τουλάχιστον

σημείο, επεται δτι κάθε σημείο του Ε2 ε{ναι όριακό σημείο του συνόλου τών ρητών σημείων του Ε2. τό κάλυμμα του συνόλου τών ρητών σημείων του Ε2

~να

ρητό

Συνεπώς,

ε{ναι τό Ε2.

Τέλος, ενα σύνολο' S τοϋ Ε λέγεται φραγμένο, αν περιέχεται σέ κάποια σφαιρική περιοχή ενός

σημείου του.

νΕτσι, στόν ΕΙ τό

σμένο ανοικτό διάστημα.

ανοικτό δίσκο, ενω στόν Ε3 τό Παράδειγμα

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ ενα πεπερα­

S

Στόν Ε2 τό

S

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ εναν

εΙναι φραγμένο, εάν καί μόνο εάν περιέχεται σέ μιά ανοικτή σφαίρα.

S

6.5.

(α)

Τό σύνολο τών σημείων

(b)

Τό σύνολο τών ρητών σημείων (Ρ,

(c)

'Ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων του Ε ε{ναι προφανώς φραγμένο.

1,1/2,1/3, ...

του ΕΙ εΙναι φραγμένο, γιατί περιέχεται στό διάστημα Ο


b

τό

R

ή, Ισοδύναμα, αν

Έάν ύποθέσουμε τό αντίθετο, τότε ύπάρχει !':να σημείο

δέν περιέχεται στό Χι

S

R.

ΗΟπως φαίνεται καί στό Σχ.

του έπιπέδου ΧΙΧ2 καλύπτουν τό

R

6-26,

"'" t "'" 1, επεται δτι είναι συμπαγές

(b, sin 1/b)

του πεδίου όρισμου της Χ,

του

S

μέ

0


εΙναι όριακό σημείο

του

S, γιατί κάθε περιορισμένη περιοχή. του (ο,!) περιέχει ενα τουλάχιστον σημείο του S. 'Αλλά τό (Ο, t) δέν ανήκει στό S. Συνεπώς τό S δέν εΙναι κατά τόξο συνεκτικό καί ετσι άποδεικνύεται ή πρόταση. Χι> b

(Ο, ~)

----------~~r-~---\--~~_+--------~~--------~--,f------~~xl

Σχ.

6-26

6.21.

ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

118

'Έστω Ι μιά συνεχής άπεικόνιση του άνοικτου συνόλου Ο (του Ε) στόν Ρ καί 0* τυχόν Δείξτε δτι τό σύνολο των σημείων Ρ του Ο γιά τά όποία τό Ι(Ρ)

άνοικτό σύνολο του Ρ. άνήκει στό "Εστω

μείο τοϋ

0*

τό σύνολο τών σημείων Ρ τοϋ Ο Υιά τά όποία τό

S

'Επειδή τό σύνολο

S.

'Επειδή ή

f

εΙναι άνοικτό σύνολο του Ε.

0*

εΙναι συνεχής στό Ο, ύπάρχει περιοχή Sδ(Ρ ο ) τέτοια

νά άνήκει στήν

»

S(f(P o

f(P) άνήκει στό 0* καί Ρο τυχόν ση­ S(f(Po ή όποία περιέχεται στό 0*. ωστε Υιά κάθε Ρ στό Sδ(Ρ ο ) n Ο τό f(P)

»

εΙναι άνοικτό, ύπάρχει περιοχή

καί συνεπώς στό

0*.

'Εάν ή

Sδ(Ρ ο ) περιέχεται στό Ο, τότε Υιά κάθε Ρ στήν

Sδ(Ρ ο ) τό f(P) άνήκει στό Ο·, όπότε ή Sδ(Ρ ο ) περιέχεται στό S. 'Εάν ή Sδ(Ρ ο ) δέν περιέχεται στό Ο, έπειδή τό Ο εΙναι άνοικτό, ύπάρχει μιά μικρότερη περιοχή Sy(PO) στό Ο, ή όποία περιέχεται στήν Sδ(Ρ ο ), δπως φαίνεται στό Σχ. 6-27. 'Αλλά τότε Υιά κάθε Ρ στήν Sy(P O) τό f(P) άνήκει στό 0* καί συνεπώς ή

Sy(PO) περιέχεται στό S. Συνεπώς, καί στίς δύο S(PO) ή όποία περιέχεται στό S. Έπομένως,

ριοχή

περιπτώσεις, Υιά τυχόν σημείο Ρο τοϋ τό

S

----

τέλεσμα.

Ι

/" /"

/ / Ι

/

\

" -..-

/

Ο· "-

/

\

\ J /

/

"-

/"

1(0)

/

..... Σχ.

'Έστω Ι μιά άπεικόνιση

C

......

Ι

\

σύνολο

-- --

\

Ι

6.22.

/"

/'

/

Ι

\

ύπάρχει πε­

S

είναι άνοικτό, πού εΙναι καί τό ζητούμενο άπο­

ενος συνόλου

S

6-27

(του Ε) στόν Ρ τέτοια

του Ρ, τό σύνολο των σημείων Ρ του

εΙναι κλειστό σύνολο του Ε. Παρατηροϋμε δτι τό

S,

ώστε,

γιά

κάθε κλειστό

γιά τά όποία τό Ι(Ρ) άνήκει στό

Δείξτε δτι ή Ι είναι συνεχής στό

C,

S.

πρέπει νά εΙναι κλειστό σύνολο. Υιατί τό f(S) περιέχεται στό κλειστό σύνολο f δέν εΙναι συνεχής στό σημείο Ρο τοϋ S. Τότε ύπάρχει μιά περιοχή S(f(Po)) τέτοια ωστε κάθε περιοχή S(P ο) νά περιέχει ενα τουλάχιστον σημείο Ρ, τού όποίου ή εΙκόνα f(P) δέν άνήκει στήν S(f(P O»' ή, άκριβέστερα, έπειδή τό f(P o) άνήκει στήν S(/(P O)), κάθε περιορισμένη περιοχή S'(PO) περιέχει ενα σημείο Ρ τέτοιο ωστε τό f(P) νά άνήκει στό [S(f(Po))]C. -Εστω S· τό σύνολο τών σημείων Ρ τοϋ S Υιά τά όποία τό f(P) άνήκει στό [S(f(Po»]C. Παρατηρούμε δτι τό σύνολο [S(f(Po»]C εΙναι κλειστό. "Ετσι, άπό τήν ύπόθεση τό S· εΙναι κλειστό. -Εχουμε όμως δείξει δτι τό Ρο εΙναι όριακό σημείο τοϋ S·. Συνεπώς, τό Ρο άνήκει στό S·. Αύτό όμως εΙναι άδύνατο, έπειδή τό f(P o) άνήκει στήν S(f(PO»' τό όποίο συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

F.

6.23.

S

'Υποθέτουμε τώρα δτι ή

Δείξτε τό Θεώρημα

6.10:

Έάν Ι εΙναι μιά συνεχής άπεικόνιση ένός συνόλου

F καί g μιά συνεχής άπεικόνιση της είκόνας I(S) (του Ρ) στόν G, (g ο Ι)(Ρ) = g(/(P» εΙναι συνεχής άπεικόνιση του S στόν G.

S

(του Ε) στόν

δείξτε δτι ή άπεικόνιση

=

"Εστω S«g ο f)(P o)) S(g(f(P o»)) τυχούσα περιοχή τοϋ (g ο f)(P o). 'Επειδή ή 9 εΙναι συνεχής στό I(S), ύπάρχει περιοχή S(f(Po» τέτοια ωστε τό g(Q) νά άνήκει στήν S(g(f(Po») Υιά κάθε Q πού άνήκει στό S(f(Po n f(8). 'Επειδή ή Ι εΙναι συνεχής στό S, ύπάρχει περιοχή S(PO) τέτοια ωστε τό Ι(Ρ) νά άνήκει στήν S(/(P ο» Υιά κάθε Ρ στό S(P ο) n S. Συνεπώς, Υιά δλα τά Ρ στό S(P ο) Γι S τό f(P) άνήκει στό S(/(Po n I(S) καί αρα τό g(/(P» άνήκει στήν S(g(f(PO»)' Συνεπώς, ή 9 ο Ι εΙναι συνεχής στό Ρο,

»

»

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

6.24.

Δείξτε τό Θεώρημα

6.8:

Έάν Ι εΙναι μιά συνεχής άπεικόνιση ένός συμπαγους συνόλου

(του Ε) στόν Ρ, τότε ή είκόνα του

S

S

εΙναι συμπαγές σύνολο.

"Εστω {ο:} τυχούσα άνοικτή κάλυψη τοϋ I(S). Γιά κάθε σημείο Q στό S εστω O~ ενα άνοικτό σύ­ 1(Q). 'Επειδή ή f είναι συνεχής στό S, άπό τό Πρόβλημα 6.19 επεται ότι ύπάρχει άνοικτό σύνολο 00 τοϋ Ε, πού περιέχει τό Q καί τέτοιο ωστε Υιά κάθε Ρ στό 00 n S τό Ι{Ρ) νά άνήκει στό O~ η, Ισοδύναμα, τό Ι{ΟΟ) νά περιέχεται στό O~. Ή ΟΙΚΟΥένεια {Οο} εΙ-

νολο τής ΟΙΚΟΥένειας {O~} πού περιέχει τό

".. ι

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΚΕΦ.6

ναι μιά άνοικτή κάλυψη τοϋ

S,

119

έπειδή περιέχει κάθε σημείο

Q τοϋ S. Έπειδή τό S εΙναι συμπαγές, ύ­ . Αφοϋ τό I(OQ.) περιέχεται στό OQ· γιά i 1, ..

πάρχει πεπερασμένη ύποκάλυψη {OQ ,OQ , ... , OQ}. Ι

2

ι-ι

άπεικόνιση ενός συμπαγούς συνόλου

n

=

ί

t

., n καί ή οΙκογένεια {OQ.} εΙναι μιά κάλυψη τοϋ S, επεται δτι ή οίκογένεια {O~ ,06_, ... , ο:; } εΙναι . 1 1-~ -n μιά πεπερασμένη ύποκάλυψη τοϋ I(S). Συνεπώς, τό /(S) εΙναι συμπαγές.

6.25.

'Εάν Ι εΙναι μιά συνεχής καί

δείξτε δτι ή

f

εΙναι ενας όμοιομορφισμός τού

S

(τού Ε) στόν

-Εστω C τυχόν I(S) γιά τά όποία τό I-l(f(P» Ρ ά­ I-l(S*) CnS. Έπειδή τό συμπαγές σύνολο τό /-l(S*) εΙναι κλειστό. . Αλλά, έπειδή ενα (Πρόβλ. 6.39), επεται δτι τό /-I(S*) εΙναι συμ­

Πρέπει νά δείξουμε δτι ή ι-ι εΙναι συνεχής άπεικόνιση τής εΙκόνας Ι(Ξ) στόν Ε. κλειστό σύνολο τοϋ Ε καί νήκει στό

S

εΙναι

C.

τό σύνολο τών σημείων Ι(Ρ) τοϋ

S*

'Όπως φαίνεται καί στό

κλειστό καί τό

C

Σχ.

6-28,

εχουμε

εΙναι κλειστό, επεται δτι καί

κλειστό ύποσύνολο ενός συμπαγοϋς συνόλου εΙναι συμπαγές παγές.

F,

έπί της είκόνας του.

S

=

=

'Η είκόνα δμως ενός συμπαγοϋς συνόλου άπό μιά συνεχή άπεικόνιση εΙναι συμπαγές σύνολο καί

συνεπώς τό ναι κλειστό.

/(I-l(S*»

= S*

εΙναι συμπαγές.

'Αλλά ενα συμπαγές σύνολο εΙναι κλειστό, όπότε τό

Έτσι, αν δοθεί ενα τυχόν κλειστό σύνολο

γιά τά όποία τό Ι-Ι(Ρ) άνήκει στό ε!ναι συνεχής άπεικόνιση τοϋ

C,

εΙναι κλειστό.

C

τοϋ Ε, τό σύνολο

Άπό τό Πρόβλημα

S* τών σημείων 6.22 συμπεραίνουμε

S*

Ρ τοϋ δτι ή

εΙ­

F, 1-1

I(S).

f ---------....

Σχ.

F

6·28

'Άλυτα Προβλήματα 6.26.

Προσδιορίστε ποιά άπό τά παρακάτω σύνολα εΙναι (ί) άνοικτά, (ίί) κλειστά, (ίίί) φραγμένα (ίν) συνεκτικά, (ν) συμπαγή.

(α)

Δύο ξένα μεταξύ τους κλειστά διαστήματα τοϋ ΕΙ.

(b)

Δύο ξένοι μεταξύ τους άνοικτοί δίσκοι τοϋ Ε2.

(c) Τό συμπλήρωμα δύο άνοικτών καί ξένων μεταξύ τους δίσκων τοϋ Ε2. (d) Δύο ξένες μεταξύ τους κλειστές σφαίρες τοϋ Ε3. (e) Τό συμπλήρωμα δύο ξένων μεταξύ τους καί κλειστών σφαιρών τοϋ Ε3. (ι)

'Η σπείρα τοϋ Ε3.

(g) Τό συμπλήρωμα τής σπείρας στόν Ε3. Άπ. (α)

Κλειστό, φραγμένο, μή συνεκτικό, συμπαγές.

(b) 'Ανοικτό, φραγμένο, μή συνεκτικό, μή συμπαγές. (c) Κλειστό, μή φραγμένο, συνεκτικό, μή συμπαγές. (d) Κλειστό, φραγμένο, μή συνεκτικό, συμπαγές. (e) 'Ανοικτό, μή φραγμένο, συνεκτικό, μή συμπαγές. (f) Κλειστό, φραγμένο, συνεκτικό, συμπαγές. (g) 'Ανοικτό, μή φραγμένο, μή συνεκτικό, μή συμπαγές.

6.27.

Δείξτε δτι ή τομή πεπερασμένου ή άπειρου πλήθους κλειστών συνόλων τοϋ Ε εΙναι κλειστό σύνολο.

6.28.

Δείξτε δτι ενα σημείο Ρ εΙναι δριακό σημείο ενός συνόλου νολο πού περιέχει τό Ρ περιέχει καί άλλα σημεία τοϋ

6.29.

S

τοϋ Ε έάν καί μόνο έάν κάθε άνοικτό σύ­

έκτός άπό τό Ρ.

'Εάν Ρ εΙναι ενα όριακό σημείο τοϋ Ε, δείξτε στι κάθε άνοικτό σύνολο πού περιέχει τό Ρ περιέχει ενα άπειρο πλήθος σημείων τοϋ

6.30.

S

Δείξτε στι ενα σύνολο

S.

S τοϋ Ε, πού εχει πεπερασμένο πλήθος σημείων, εΙναι φραγμένο.

τ ΚΕΦ.6

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

120 6.31.

Δείξτε δτι ή lνωση πεπερασμένου πλήθους σφαιρικών περιοχών του Ε είναι φραγμένο σύνολο.

6.32.

Δείξτε δτι τό σύνολο τών όριακών σημείων !:νός συνόλου του Ε είναι

6.33. 6.34.

Έάν

λυμμα

Τ είναι ενα κλειστό σύνολο, πού περιέχει ενα σύνολο

S του

έςωτερικό του

6.35.

λέγεται έςωΤεΡικό σημείο !:νός συνόλου

(βλ. Πρόβλ.

8

του Ε, δείξτε δτι τό

8

Τ περιέχει καί τό κά­

8.

-Ενα σημείο Ρ ματος του

κλειστό σύνολο.

lva

8,

τό όποίο όνομάζεται

8,

είναι άνοικτό σύνολο.

-Ενα σημείο Ρ λέγεται συνοριακό σημείο του

αν δέν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σημείο του

8,

Δείξτε δτι τό σύνολο τών συνοριακών σημείων του

6.36.

Δείξτε δτι δ Ε είναι συνεκτικό σύνολο.

6.37.

Δείξτε δτι .τό

8

αν τό Ρ είναι εσωτερικό σημείο του συμπληρώ­

8,

Δείξτε δτι τό σύνολο τών εξωτερικών σημείων του

6.8).

είναι

lva

συμπαγές σύνολο του

8,

πού όνομάζεται σύνορο του

Ε2, έάν καί μόνο εάν τό

8,

8.

είναι κλειστό σύνολο.

είναι συμπαγές σύνολο θεωρού­

8

μενο ώς ύποσύνολο ενός επιπέδου στόν Ε3.

6.38.

Δείξτε άπευθείας σάν συνέπεια του όρισμου (χωρίς τή βοήθεια του Θεωρήματος

6.6)

δτι ό Ε δέν είναι συμ­

παγές σύνολο.

6.39.

Δείξτε άπευθείας (χωρίς τή βοήθεια του Θεωρήματος

δτι ενα κλειστό ύποσύνολο ενός συμπαγους συνό­

6.6)

λου του Ε είναι συμπαγές.

6.40.

Δείξτε

δτι

κάθε ύποσύνολο

όριακό σημείο στό

6.41.

Δείξτε δτι οί συναρτήσεις Χ

8 6.42.

ενός συμπαγους συνόλου

του Ε μέ απειρο πλήθος

8

Υ

= u,

=

Ζ

V,

= I(u,

υ)

Δείξτε δτι οί συναρτήσεις Χ

Έστω Ι μιά

συνεχής

= au + bv + c, Υ = du + ev + Ι, ae -

S.

bd """

Ο, όρίζουν μιά Ι-Ι άμφισυνεχή άπει­

άπεικόνιση

ενός

συνόλου

8

(του Ε)

στόν

S ».

Ή Ι είναι άσυνεχής στό

Ρο, αν ύπάρχει περιοχή

»

8(f(P o

F.

Νά

δώσετε τόν όρισμό

Δείξτε δτι ή άπεικόνιση Χ

είναι (α)

6.45.

συνεχής στό

=

u,

(-1, -1), (b)

=

Υ

v,

συνεχής στό

2 2 Ζ __ {U1, + v , (1,1),

«ή Ι

τέτοια ωστε γιά κάθε περιοχή

ύπάρχει κάποιο σημείο Ρ στήν 8(Ρ ο ) γιά τό όποίο τό Ι(Ρ) νά άνήκει στό

6.44.

ενα

επί του έπιπέδου ΧΥ.

uv

άσυνεχής στό σημείο Ρο του Άπ.

στοιχείων εχει

όρίζουν μιά Ι-Ι άμφισυνεχή άπεικόνιση ενός συνόλου

(του Ε2) στόν Ε3, αν ή συνάρτηση 1(1Ι, υ) είναι συνεχής στό

κόνιση του επιπέδου

6.43.

S*

S.

είναι

S(P o)

νά

[S(f(Po»]c.

γιά u"'" Ο γιά

u
f{xo) D~X-XO}2f(xo) = (2e} - 6e2)(Xl -1)2 + 6e2(Xl -1)(Χ2 + 1) - 6et(X2 + 1)2.

aX

6x2elv~

2

=

(2e} - 3e!)(xt - 1) Συνεπώς

+ D( Χ-Χο> f(xo) + iD~x -XO>2f(XO) + ο(lχ - xol 2) -e2 + (2el - 3e2)(X1 - 1) + (3e t + e2)(x2 + 1) + (eI - 3e2)(X! - 1)2 + 3ez(xJ - I)(Χ2 + 1) - 3et(X2 + 1)2 + ο«χι - 1)2 + (Χ2 + 1)2) f σέ σειρά δυνάμεων τού (Χι - 1) καί

ώς εξης:

+ 1)2

+ 2(χι - 1) + 1 [(Χ2 + 1) -1]3 (Χ2 + 1)3 - 3(Χ2 + 1)2 + 3(Χ2 + 1) - 1 [(χι -1) + 1J3[(X2 + 1) -1] = [(χι -1)3 + 3(χι -1)2 + 3(χ,-1) + [(Χι - 1)

+

f(Σo)

Τό άποτέλεσμα αύτό μπορεί έπίσης νά προκύψει, αν άναπτύξουμε τήν

+ 1)

3

+ Xle2)1I! +

σΧι σΧ2

+

2

+ 3XlX2e2)1I! +

6Xle2vtv2

f(x)

του (Χ2

R",(X, Χο)

(Χι

- 1)2

1][(Χ2

+ 1) -

1]

ΔΙΑΝγΣΜΑΊ1ΚΕΣ ΣγΝΑΡΊΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΊ1ΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.7

135

δπότε

f(x)

=

(~+ x~)el

+ +

+

=

X=:X2e2

{3(xl -1)(Χ2 + 1) {(Χ2

+ 1)3e} +

{(xl-1)2

+

(Χ2

+ 1)

[(Χι - 1)3(Χ2

•Η

2(x l -1)

3(χι -

1 - 3(Χ2 + 1)2

3(Χι -1) -

1)2(Χ2

+ 1)

+ (Χ2 + 1)2)

-1)2

+

3(Χ2

+ 1)

- 1}et

l}e2

- (Χι -1)3]e2}

καί ετσι τό άποτέλεσμα συμφωνεί μέ τό

δεύτερη μέθοδος πού χρησιμοποιήθηκε γιά νά βρεθεί τό άνάπτυγμα του

μπορεί νά εφαρμοστεί, όταν οΙ συντεταγμένες συναρτήσεις τής άζεται δ τύπος του θεωρήματος

+

- 3(xl - 1)2 -

+ 1) +

Παρατηρουμε ότι ό τελευταίος όρος εΙναι πράγματι Ο«Χι άποτέλεσμα της πρώτης μεθόδου.

+

f

Taylor

εΙναι πολυώνυμα, άλλά στή γενική περίπτωση χρει­

7.12.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ νΕστω

f

μιά διανυσματική συνάρτηση του άνοικτου συνόλου

τέτοια συνάρτηση δέν ε{ναι

J(f) = det (a!;/aXj) =F

Ο.

ι-ι.

εΙναι

3.

του Ε3 στόν Ε3.

Γενικά, μιά

Ύποθέτουμε ότι σέ ενα σημείο χο του

V ή Ίακωβιανή εΙναι (a/;/aXj) εΙναι ό πίνακας του διαφορικου df (πού όπως Έπειδή det (a/i/aXj) =F Οστό Χο, επεται ότι ή τάξη της 7.1(ί) ή df(xo) εΙναι Ι-Ι. ' Αλλά σέ μιά περιο-χή του χο

'Υπενθυμίζουμε ότι

ξέρουμε εΙναι μιά γραμμική απεικόνιση).

df(Xo) ή f(x)

V

Συνεπώς, από τό Θεώρημα

ίσουται κατά προσέγγιση μέ

f(Xo)

λά-χιστον σέ μιά περιο-χή του χο.

+ df(Xo)(x -

Χο):

'Έτσι περιμένουμε ή

f

νά είναι Ι-Ι του­

Πράγματι, αυτό εΙναι ενα μέρος του παρακάτω ενδιαφέροντος

θεωρήματος, πού λέγεται θεώρημα τής άντίστροφης συναρτήσεως. Θεώρημα

νΕστω

f

κλάσεως

~

VΕστω

7.13. Cm , m det (a/i/iJXj) =F Ο.

1.

μιά διανυσματική συνάρτηση ενός ανοικτου συνόλου ότι

Τότε ύπάρ-χει περιο-χή

(ί)

Ό περιορισμός της

(ϊϊ)

•Η

εικόνα

επίσης

S(XO)

Ίακωβιανή

S(xo)

στήν περιο-χή

f

της

f(S(Xo»

ή

σέ

ενα

πού περιέχεται στό

σημείο χο

V

εΙναι μιά συνάρτηση

S(xo)

V

(του Ε) στόν Ε,

του

V

είναι

J(f) =

τέτοια ώστε: Ι-Ι.

εΙναι ενα ανοικτό σύνολο.

(ϊϊϊ) Ή αντίστροφη συνάρτηση ι-ι τής

f

εΙναι κλάσεως

Cm

στό

f(S(xo».

(Βλ. Σχ.

7-7.)

Ε

Ε

--f

~ (-Ι

Σχ.7-7

Γιά τήν απόδειξη του θεωρήματος αύτου παραπέμπουμε τόν άναγνώστη σέ ενα βιβλίο πραγματικών συναρτήσεων. Παράδειγμα

7.15.

οι εξισώσεις

Υι

=

Χι COS Χ2'

ΥΖ

=

χι sin Χ2'

(Χι> Ο)

όρίζουν μιά άπεικόνιση του δεξιου ήμιεπιπέδου του επιπέδου ΧΙΧ2 επί του επιπέδου ΥιΥ2' άπό τό όποίο άφαιρέθηκε ή άρχή τών άξόνων, όπως φαίνεται στό παρακάτω Σχ. 7-8(α).

J(f)

=

det

(σΥ;) σχ]

cos Χ2 det ( . sln Χ2

Γιά χι

>

Ο

εχουμε

=

Ο

Συνεπώς, γιά κάθε σημείο (Χι, Χ2) του δεξιου ήμιεπιπέδου ύπάρχει περιοχή S(Xt. Χ2) στήν όποία ή άπεικόνιση εΙναι ι-ι καί επί (ενός άνοικτου συνόλου του επιπέδου ΥιΥ2)' Ή άντίστροφη άπεικόνιση δίνεται άπό τίς σχέσεις

ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣγΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

136

ΚΕΦ.7

όπου πρέπει νά πάρουμε εναν κατάλληλο περιορισμό της συναρτήσεως «τόξο εφαπτομένης».

ή

άπεικόνιση δέν εΙναι

ή

εΙκόνα της λωρίδας στό Σχ.

7-8(b).

1-1 Ο ""

• Ας σημειωθεί ότι det (iJy;liJXj) # Ο, γιατί

σ' δλο τό δεξιό ήμιεπίπεδο, αν καί σέ κάθε σημείο του εχουμε Χ2

< 2".

καλύπτει όλο τό επίπεδο ΥιΥ2 εκτός άπό τήν άρχή τών άξόνων, όπως φαίνεται

"Ετσι, άπό τό θεώρημα της άντίστροφης συναρτήσεως εξασφαλίζεται γενικά ή ϋπαρξη άντίστροφης

συναρτήσεως τοπικά καί όχι δλικά.

(b)

(α) Σχ.

7-8

Λυμένα Προβλήματα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.

7.1.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

Δείξτε ότι ή

Υ

(sin χι cos X2)gt

=

+

(sin χι sin X2)g2

+

(cos Xl)g3

όρίζει μιά άπεικόνιση μέ πεδίο όρισμου τ6 ύποσύνολο Ο"'" Χι "'" Πι Ο"'" Χ2 πεδίο τιμων τή σφαίρα πού εχει άκτίνα ή άπεικόνιση αύτή

< 2π

του Ε2 καί

1

καί κέντρο τήν άρχή των άξόνων του Ε3.

+

sin 2 χι sin 2 Χ2

ΕΙναι

Ι-Ι;

" Εχουμε

lyl2 =

y~

+

y~

+

y~

=

sin2 χι cos2 Χ2

"Ετσι τό πεδίο τιμών της άπεικονίσεως εΙναι στή σφαίρα.

νουμε τυχόν Υ πού ίκανοποιεί τήν IΥΙ2

Χι

=

Cos-l

Υ3

καί

cos 2 ΧΙ

=

sin 2 χι

+

Υι

Υ2> Ο

γιά

Υ2

Ο

γιά

Ο

γιά

".

γιά

= Υι = Ο Υ2 = Ο καί Υ2 = Ο καί

2".

1

καί θέτουμε

γιά

Χ2

cos2 ΧΙ

Γιά νά δείξουμε ότι ή άπεικόνιση εΙ ναι επί, παίρ­

= y~ + Y~ + Y~ = 1 Cos-I

+

2

γΥ Ι +Υ 22 Cos-l

Υι

";Y~ +y~




Ο

Υι




U

= Ι.

=

Ο ιcαί

Υι

Ο,

τότε

Υ2

Αύτό δείχνει στι χι

Υι,

=

sin χι sin Χ2

Ο, τότε Χ2




Ο.

. Επειδή

ή

εΙναι συνεχής στό

f

χο, υπάρχει άριθμός δ

>

Ο τέτοιος

ώστε If(x) - f(xo)1

Ο

-=

< -_Ο-Ι

Ig(x) - g(xo)1 Ιχ - χσl


! = ο v

_ . Επει δ'η

του Ο.

g ε{ναι παραγω-

ο

Χρησιμοποιώντας σλα τά προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι

+

. M f , χ) (Κι(Χ, ν)) 11m

R 2 (f(x), υ)

Ο

Ivl

ν_ο

Έτσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΔIΑΝΥΣΜΑΤιΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΛΑΣΕΩΣ

Cm.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΝΤιΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ

7.26.

Βρείτε τίς παρακάτω παραγώγους τής διανυσματικής συναρτήσεως f(x)= (x~ x2e Uo

Xι

g3 στό χο

= el + e2

=

καί

vo

el -

02f

(α)

e2:

= el -

ΟΧιΟΧ2 =

(α) a2f/axt aX2,

(b)

a3f/axi aX2, (c)

D;ouof

+ xngI + xIe X2 g2+

κατά τίς κατευθύνσεις

2e2. ii

[of 1

οΧ! oX 2 .J

(b)

(c)

D~u f(x)

if2f -2UlV} ΟΧ ι

(2ι ι

7.27.

"Εστω w =

+

if2f

~(1ιιυz υΧ ι

Χ2

+ x2eXlg3)UIV! +

+ 1Ι2υι) +

(e X2 g z

ίJ2f 2U2V2 ΟΧ2

+ eXlg3)(ulV2 + U·zVt) +

g(Yt, Υ2), Υι = Υι(Χι, Χ2), Υ! = Υ2(ΧΙ, χ!).

(2g } + xlex2g2)I.l~V2

Δείξτε ότι

a2w

[σ: ι (:~) ] ::: + :~ σ:~~2 + [σ: ι (:;:) ] 02w σΥι [ uyi σχι

o2w

σΥ2] σΥι

ow

::: +

σ2Υ1

+ σΥ! σΥ! σχ! σΧ2 + σΥ} σχ! σχ! ίI2w

σΥ!

Q2w σΥ2] σΥ2

ίIw

σ2 Υ2

+ [ σΥι σΥ2 σχ! + aYi σχ ι σΧ 2 + σΥ2 σχ! σΧ 2 πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

:;:

if::~~2 .

ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝγΣΜΑ ΤΙΚΗΣ ΜΕΤ ΑΒΛΗΤΗΣ

ΚΕΦ.7

7.28.

147

Δείξτε δτι ή διανυσματική συνάρτηση

=

f(x)

+

(e%I cos X2)el

(e%I sin X2)e2

ίκανοποιεί τίς συνθήκες τοϋ θεωρήματος τής άντίστροφης συναρτήσεως στόν Ε2 άλλά δέν εΙ ναι

ι-ι

στόν

Ε2.

Προφανώς, ή

f

ε{ναι κλάσεως

J(f)(x) γιά κάθε

7.29.

Χ.

Cl

det

Έπειδή όμως

f(x

στήν Ε2. eXI ( eXI

cos Χ2

-ex.

Χ2

eXI

Sin

+ 2πe2) = f(x)

Ύ ποθέτουμε' δτι ή άπεικόνιση Υι

Έπίσης

Sin Χ 2 ) cos Χ2

επεται ότι ή συνάρτηση αύτή δέν ε{ναι ι-ι

= /ι (Χι, Χ2),

Υ2

= /2(ΧΙ, Χ2)

= Ρ ι (Υι,Υ2),

aF I

1 a!2

J

aYI . Από

Χ2

= Ρ 2 (Υι,Υ2). 1

aF 2

aX2'

iJYI

J

-

a/2 aXt'

'Εάν

άπεικόνιση δίνεται

J= a(/t, /2)IiJ(Xt, Χ2), δείξτε στι

aFI

1 iJ/t

iJY2

Ε2.

ίκανοποιεί τίς συνθήκες τοϋ θε­

ωρήματος- της άντίστροφης συναρτήσεως καί άκόμα δτι ή άντίστροφη

άπά τίς σχέσεις χι

στόν

J

-

1 a/t

iJF 2

ι3Χ2'

J

iJY2

aXl

τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως εχουμε

af

iJYI

1

iJYI

=

Ο

iJF

iJf

iJF

I I t -+ -2 iJx iJYI iJx iJYt

Ο

iJf l iJF I iJf l iJF 2 -+ iJx l aY2 iJx 2 iJY2

1

l

iJYI

iJY2

iJf

iJY2

2

iJY2 iJY2

2 2 - I+iJx-2 iJxt iJY2 aY2

~~) iJx2

',t ( :

iJf 2 iJx2

2

iJf

iJYt

det

Γ

iJxl

iJx 2

iJf2

'Ι') iJf2

axl

iJx 2

iJF 2 aYl

det

Μέ όμοιο τρόπο βρίσκονται οί παράγωγοι

iJF l /iJY2

καί

iJF2/iJY2

iJF

iJf

iJF

2

iJF l/iJYt

καί

Γ ",:)) Γ

det 1 iJf2 J iJX2'

iJF

2 I 2 -+ -2 iJxl iJYt iJx iJYt

Λύνοντας τό σύστημα τής πρώτης καί τής δεύτερης εξισώσεως ώς πρός

iJF I

iJf

iJF

iJYI

βρίσκουμε

iJF 2/iJyl

iJx t

iJf2 iJx l

iJxt

iJx 2

iJf2

iJf2

iJxt

iJx2

1 iJf2

- J

οΧι

καί ετσι συμπληρώνεται ή λύση τοϋ προ-

βλήματος.

'Άλυτα Προβλήματα 7.30.

Δείξτε δτι ή Υ

= COS xtgl + sin x t g2 + x2g3

τοϋ κυκλικοϋ κυλίνδρου πού εχει άξονα τόν

7.31.

Δείξτε

στι

Χ2

< 2π

0
πτουν τόν κύλινδρο. 00

Σχ.

8-6

Στό Πρόβλημα 8.7 δείχνουμε δτι διανυσματικές συναρτήσεις τής μορφής Χ = UeI + Ve2 + f(u, V)e3 ή Χ = ueI + f(u, v)e2 + 'Ve3 ή ακόμα Χ = f(u, υ)ει + ueZ + Ve3 όρίζουν τμήματα κλάσεως C''', δταν ή συνάρτηση !(ι{, υ) εΙναι κλάσεως Cm. Τά τμήματα αυτά όνομάζονται τμήματα Monge καί εΙναι πολύ χρήσιμα στή μελέτη τών επιφανειών. Θά δείξουμε δτι, αν ενα σύνολο S εΙναι ή είκόνα μιας κανονικής παραμετρικής παραστάσεως κλάσεως Cm, τότε γιά κάθε Ρο στό S ύπάρχει ενα τμήμα Monge τοϋ S κλάσεως Cm πού περιέχει τό Ρο. Γιά νά τό αποδείξουμε αυτό ύποθέτουμε ότι Χ = X(U, υ) εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση τοϋ S κλάσεως Cm όρισμένη στό U καί (UO, Vo) εΙναι ενα σημείο τοϋ U, πού απεικονίζεται στό Ρο, όπως φαίνεται στό Σχ. 8-7. Έπειδή ή x(u, υ) εΙναι κανονική, τουλάχιστον μία από τίς 2 χ 2 έλάσσονες όρίζουσες τοϋ Ίακωβιανοϋ πίνακα τής Χ στό (Uo, Vo) δέν εΙναι μηδέν. Χωρίς βλάβη τής γενικότητας μποροϋμε νά ύποθέσουμε ότι

iJXI

det στό (Uo,

iJu ( iJX2 iJu

iJXI) iJv

Θεωροϋμε τώρα τήν απεικόνιση χι

Vo).

ο

iJX2 iJv

= XI(u, υ),

Χ2

= X2(U, υ)

πού προσδιορίζεται από τίς δύο πρώτες συντεταγμένες συναρτήσεις τής Χ.

αυτή εlναι κλάσεως

Cm

στό

αφοϋ καί ή Χ εΙναι κλάσεως

U,

εΙναι συνεχής καί διάφορη τοϋ μηδενός στό ναρτήσεως επεται ότι ύπάρχει ενα ανοικτό απεικόνιση

εΙναι

Ι-Ι

επίσης κλάσεως

Cm

απεικόνιση τοϋ

W*

(Uo, Vo). ' Αλλά σύνολο W της U

καί εχει αντίστροφη

απεικόνιση τήν

καί όρίζεται στό ανοικτό σύνολο

στό

W*

Cm

στό

U.

τοϋ

U

στό

επίπεδο ΧΙΧ2

Προφανώς ή απεικόνιση

Έπίσης ή

Ίακωβιανή

από τό θεώρημα της αντίστροφης συ­ πού περιέχει τό

u

(UO, Vo),

στό όποίο ή

= U(Xl, Χ2), V = υ(χι, Χ2),

τοϋ επιπέδου ΧΙΧ2.

πού εΙναι

Τελικά, ή σύνθετη

S

\ χ

/ 11

Ι

ι Ι

Ι Ι

,

Ι

\

u

'-

........

_-"'''

/

~--------. . X2

,/

---+------u Σχ.8-7

\ ι

ΚΕΦ.8

χ

=

Xl(U(Xl, Χ2),

=

xlel

εΙναι ενα τμήμα Ρο.

+

+

X2e2 τού

Monge

X2»el + X2(U(Xl, Χ2),

υ(χι,

X3(U(Xl, Χ2),

S

κλάσεως

υ(χι,

υ(χι,

θεώρημα

Έάν ενα σύνολο

8.1.

cm,

δρισμένο στό

Cm

~Eστω

W*,

ή είκόνα τού δποίου περιέχει τό

ύπάρχει ενα τμήμα

S

S

. Η CJ3

καλύπτει τό

S

S,

m

~

= x(u, υ)

τής

CJ3

εΙναι τομή τοϋ

S

"-

τής CJ3 εχει εικόνα πού



Ο.

Ν καί Ν* σέ ενα σημείο εΙναι ίσα εάν καί μόνο εάν

. Υπενθυμίζουμε δτι τά κάθετα διανύσματα o(u, υ)/σ(θ, φ) > Ο. . Επομένως, ή S εΙναι προ­

σανατολίσιμη, εάν καί μόνο εάν μπορουμε νά όρίσουμε ενα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στήν επι­ φάνεια πού νά μεταβάλλεται κατά τρόπο συνεχή πάνω σ'

αύτή.

Διαισθητικά, μιά προσανατολισμένη επιφάνεια είναι μιά προσανατολίσιμη επιφάνεια στήν όποία εχει όριστεί σέ κάθε σημείο της ενα άπό τά δύο μονάδιαία κάθετα διανύσματα, τό όποίο μεταβάλ­

λεται κατά τρόπο συνεχή στήν επιφάνεια. οικογένεια τμημάτων κλάσεως

Cm

του

S

' Ακριβέστερα, εστω S ενα σύνολο του Ε3 καί

J'

μιά

πού ίκανοποιοί1ν τίς εξής συνθήκες:

. Υπάρχει ενα σύνολο τμημάτων τής J" πού αποτελεί μιά βάση του S. , Εάν Χ = X(U, υ) καί Χ = Χ*(θ, φ) είναι δύο τυχόντα επικαλυπτόμενα τμήματα τής 1', τότε στήν τομή τους εχουμε O(U, υ)/σ(θ, φ) > Ο. (iii) • Η l' είναι μέγιστη. Δηλαδή, αν προστεθεί στήν l' ακόμα ενα τμήμα τής S, πού δέν ανήκει

(ί)

(ίί)

στήν

J"

Τό σύνολο

, Εάν

τότε ή ιδιότητα (ίί) παύει νά ισχύει.

S μαζί μέ τήν οικογένεια

l'

εΙναι μιά προσανατολισμένη άπλή επιφάνεια κλάσεως

Cm.

μιά άπλή επιφάνεια είναι προσανατολίσιμη, τότε αύτή μπορεί νά προσανατολιστεί, αν προ­

σθέσουμε σέ μιά βάση, πού ίκανοποιεί τήν (ίί), σλα τά τμήματα πού διατηρουν τήν ιδιότητα αύτή.

, Επίσης

μιά συνεκτική προσανατολίσιμη επιφάνεια

φορετικούς τρόπους, γιατί τά τμήματα τής

J'2

S

S

μπορεί νά προσανατολιστεί μέ δύο μόνο δια­

ανήκουν μόνο σέ μιά από τίς δύο οικογένειες

πού ίκανοποιουν τίς παραπάνω συνθήκες (ί), (ίί) καί (ίίί).

1'1

καί

Ή απόδειξη αφήνεται στόν αναγνώστη

ώς ασκηση.

Μιά άπλή επιφάνεια γιά τήν όποία ύπάρχει μιά βάση μέ ενα μόνο τμήμα λέγεται στοιχειώδης. Παρατηρουμε στι μιά στοιχειώδης επιφάνεια είναι προσανατολίσιμη καί δμοιομορφική μέ ενα ανοι­ κτό σύνολο του επιπέδου. Παράδειγμα

8.6.

•Η

σφαίρα καί ή σπείρα ε{ναι παραδείγματα

συνεκτικών, συμπαγών καί προσανατολίσιμων έπιφανειών. Τό

έλλειπτικό παραβολοειδές καί τό έπίπεδο ε{ναι παραδείγματα συνεκτικών στοιχειωδών έπιφανειών. πού φαίνεται στό Σχ.

i:va

8-17,

•Η

λωρίδα τοϋ

Moebius,

δέν ε{ναι προσανατολίσιμη.

Γιατί

κάθετο διάνυσμα, πού άρχικ:ά όρίζουμε σέ μιά περιοχή της,

μπορεί νά έπεκταθεί σ' δλη τήν έπιφάνεια κατά συνεχή τρόπο, ετσι ώστε, δταν φθάσουμε στήν άρχική περιοχή, νά εχει τήν άντίθετη φορά.

Σχ.

Παρατήρηση.

8·17

'Εάν δέν όρίζεται ρητά κάτι διαφορετικό, θά ύποθέτουμε στό έξής στι οί επιφάνειες

πού μελεταμε είναι συνεκτικές. κτική άπλή επιφάνεια κλάσεως

νΕτσι, σταν λέμε «επιφάνεια κλάσεως

Cm"

θά εννοουμε μιά «συνε­

Cm».

ο, επεται δτι u = u' καί ν = ν'. "Αρα ή άπεικόνιση είναι ι-ι

. Η άντίστροφη είναι ή u

= VX;,

υ

= X2IVX;.

'Επειδή u

άντίστροφη άπεικόνιση όρίζεται καί είναι συνεχής.

• Αρα

>

Ο, συμπεραίνουμε δτι χι

>

.

Ο καί έπομένως ή

ή άπεικόνιση είναι ενα τμήμα κλάσεως

C...

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

164 8.9.

Δείξτε ότι τό ύπερβολικό παραβολοειδές Χ3 σεως

xi/α 2 -

=

ΚΕΦ.8

X~/b2 εΙναι μιά άπλή επιφάνεια κλά­

C" .

.Η

άπεικόνιση

είναι ενα τμήμα

Monge

κλάσεως

C"',

πού καλύπτει τό ύπερβολικό παραβολοειδές.

είναι τομή τοϋ ύπερβολικοϋ παραβολοειδοϋς μέ τό άνοικτό σύνολο

•Η

είκόνα τοϋ τμήματος

Ε3, συνεπώς τό τμήμα αύτό άποτελεί μιά

βάση.

8.10.

Οί επιφάνειες συχνά εκφράζονται μέ πεπλεγμένη μορφή, δηλαδή σάν σύνολα ίκανοποιοϋν μιά εξίσωση τής μορφής !(Χι, Χ2, Χ3)

= c,

όπου

c=

σταθ.

• Από

S

τοϋ Ε3 πού

τό θεώρημα τών

πεπλεγμένων συναρτήσεων, πού μπορεί νά βρεθεί σέ κάθε βιβλίο άπειροστικοϋ λογισμοϋ, τό

σύνολο

S

μαζί μέ όλα τά τμήματα τοϋ

είναι κλάσεως

Cm

καί στό τυχόν σημείο τοϋ

!Χ Ι ' !Χ2' !Χ3 είναι διάφορη τοϋ μηδενός.

τιμές τής

c

κλάσεως

S

γιά τίς όποίες ή εξίσωση

=

=

Cm

εΙναι μιά άπλή επιφάνεια, όταν ή

!

μία τουλάχιστον άπό τίς μερικές παραγώγους

S

Χρησιμοποιώντας τά προηγούμενα προσδιορίστε τίς

xi - 2χι

+ Χ2Χ3 = c

προσδιορίζει μιά άπλή επιφάνεια.

=

=

'Έχουμε ΙΧ ι 2Χι - 2, fX2 χ 3 , fX3 Χ2, οί όποίες μηδενίζονται συγχρόνως, έάν καί μόνο έάν χι 1, Χ2 Ο, Χ 3 Ο. . Αλλά οί τιμές αύτές ίκανοποιοϋν τήν xi - 2χι + Χ2Χ3 c, έάν καί μόνο έάν c -1. 'Άρα ή x~ - 2χι + Χ2Χ3 = c προσδιορίζει μιά άπλή έπιφάνεια γιά κάθε c # -1, πού είναι καί τό ζη­

=

=

=

=

τούμενο άποτέλεσμα.

8.11.

Οί δευτεροβάθμιες επιφάνειες όρίζονται άπό εξισώσεις τής μορφής 3

!

3

Σ α;ίΧίΧί

+

ti=l

Σ bixi Ι=Ι

+

ο

C

Μέ στροφή καί μεταφορά τοϋ συστήματος συντεταγμένων μπορεί νά άποδειχθεί στι οί μή τε­ τριμμένες επιφάνειες μποροϋν νά μετασχηματιστοϋν σέ μιά άπό τίς παρακάτω εξι περιπτώσεις (Σχ.

8-22).

(1) , Ελλειψοειδές:

(2)

2

χι α

2

2

2

+ Χ22 + Χ32 = b

(1)

ΧΙ+ α

2

α

1

2

χι α2

Χ: = 1 c

- bX: _

X~ -2 α

παραβολοειδές:

Δευτερο β άθμιος κώνος:

c2

b2

222

Χ;

Έλλειπτικό παραβολοειδές:

(5) , Υπερβολικό

(6)

222 Χ 2_ Χ3 __

'Υ περ βλ . ο οει δ ές (μονοχωνο):

(3) , Υπερβολοειδές (δίχωνο):

(4)

1

C

+ -bX~2 -

-x~2 - -X~2 α b 2

+ Χ2 b2 _

Χ3

Ο

=

Χ3

=

Ο,

(

2

Χ3 C 2

=

Ο

Χι, Χ2, Χ3) -F (Ο) ο, Ο,

(3)

(5)

(4)

(6)

χ

Χ2

Σχ. 8 -22

ΚΕΦ.8

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

165

Χρησιμοποιώντας τή μέθοδο του Προβλήματος 8.10, δείξτε δτι καθεμιά από τίς παραπάνω εξισώσεις εκφράζει μιά άπλή επιφάνεια κλάσεως

. χ; Για! = -2 ± α

x~ Χ;" b 2 ± ? εχουμε

!χ

c-

8.12.

= - 2 ,!χ 2 = α

C"'.

2Χ2 ±-b ,!χ 2

3

2Χ3 = ±-2 . c

'Όλες

αυτες

Άλλά ή άρχή δέν άνήκει στίς (Ι), (2), χ2 χ2

Γιά τίς ύπόλοιπες δύο, όπου!

είναι σ' ολες τίς περιπτώσεις κλάσεως νεια κλάσεως

ι

= (Ο, ο, Ο).

χρόνως, έάν καί μόνο έάν (Χι, Χ2, Χ3)

παραπάνω έπιφάνειες.

2x l

= a~

.

μηδενιζονται

b~ - Χ3, εχουμε !Χ3 = -1 "'" Ο.

±

Τελικά ή !

Συνεπώς, καθεμιά άπό τίς συναρτήσεις έκφράζει μιά άπλή έπιφά­

C"'.

C"'.

Δείξτε δτι μιά κανονική παραμετρική παράσταση είναι τοπικά ι-ι και αμφισυνεχής.

αν Χ

= x(u, υ)

νολο

U,

ι-ι

συγ-

(3) καί (6) άπό τίς

είναι

μιά

κανονική

δείξτε δτι γιά κάθε

(u,

παραμετρική

υ) στό

παράσταση

όρισμένη

ύπάρχει μιά περιοχή

U

S(u,

Δηλαδή,

σέ ενα ανοικτό σύ­

υ) στήν όποία ή Χ είναι

κα ί αμφισυνεχ ής. 'Υπενθυμίζουμε ότι στήν άπόδειξη του Θεωρήματος

8.1

ή τάξη του Ίακωβιανου πίνακα τής χ είναι δύο.

Έπομένως μπορουμε νά ύποθέσουμε ότι σέ κάθε σημείο

(u, υ) ύπάρχει μιά Ι-Ι άπεικόνιση χι = x,(u, v), Χ2 = X2(U, υ) κλάσεως Cm, m == 1, όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο W πού περιέχει τό (u, υ) καί ή όποία εχει άντίστροφη άπεικόνιση τής 'ίδιας κλάσεως. ' Επίσης ξέρουμε ότι ύπάρχει ενα τμήμα Monge χ = xIe) + X2e2 + !(Χι, x2)e3 όρισμένο στήν εικόνα του W τής παραπάνω άπεικονίσεως, έτσι ωστε ό περιορισμός τής

χ

= x(u,

υ) στό

W

νά ταυτίζεται μέ τή σύνθετη άπεικόνιση

χ

, Αλλά

ή

W,

νεχής στό

8.13.

=

xt(u, v)e l

+

+

x2(u, v)e2

!(xI(u, υ), X2(u, v»e3

χ, άφου προκύπτει άπό τή σύνθεση δύο Ι-Ι καί άμφισυνεχών άπεικονίσεων, είναι Ι-Ι καί άμφισυ­ τό όποίο καί άποδεικνύει τήν πρόταση.

Μπορεί νά δειχθεί δτι, αν Χ

= x(u, υ)

είναι ενα τμήμα μιας άπλής επιφάνειας

καί Ρ ενα

S

σημείο στό πεδίο τιμων του τμήματος, τότε ύπάρχει μία τουλάχιστον σφαιρική περιοχή

του Ε3, τέτοια ωστε ή τομή της μέ τήν επιφάνεια

νά περιέχεται στό τμήμα Χ

S

Χρησιμοποιήστε τό αποτέλεσμα αυτό γιά νά δείξετε δτι κάθε τμήμα τής μέ ενα ανοικτό σύνολο του Ε3.

' Από

καλύπτουν μιά άπλή επιφάνεια

είναι τομή τής

S

αυτό βέβαια επεται στι κάθε οικογένεια τμημάτων πού

είναι μιά βάση τής

S

S

S(P)

= x(u, υ).

S.

=

Έστω G ή είκόνα ενός τμήματος χ x(u, υ) τής S. ' Από τήν ύπόθεση έχουμε ότι γιά κάθε Ρ στό G ύπάρχει περιοχή S(P) τέτοια ιοστε S(p)n S c G. 'Έστω 0= uS(P). Παρατηρουμε ότι τό σύνολο Ο

είναι άνοικτό, έπειδή είναι ενωση άνοικτών συνόλων. 'Υποθέτουμ/τώρα ότι Q είναι ενα τυχόν σημείο του G. Έπειδή Q Ε S(Q), επεται ότι Q Ε Ο = uS(P). 'Αλλά Q Ε S, συνεπώς καί Q Ε SnO. Έπομένως G c SnO. 'Αντίστροφα, ύποθέτουμε δτι Q Ε S~ Ο. 'Επειδή SnO = Sn [~S(P)] = ~ [SnS(p»). επεται δτι τό

G

Q

άνήκει σέ κάποιο

= S n Ο,

σύνολο του

8.14.

'Έστω Χ χα στά

SnS(P).

Άλλά

Συνεπώς

SnS(P)cG.

Q

Ε

πού είναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα, δηλαδή κάθε τμήμα τής

G, S

όπότε

SnOcG. S

είναι τομή τής

'Έτσι έχουμε μέ ενα άνοικτό

Ε3.

= x(u, υ)

καί Χ

ανοικτά σύνολα

= Χ*(θ, φ) U

καί

δύο τμήματα μιας άπλής επιφάνειας

U*,

'Έστω

W καί W* τά αντίστοιχα G n G*. Δείξτε στι τά σύνολα W

πού

ύποσύνολα των

καί

S

εχουν επικαλυπτόμενες εικόνες

W*

U

καί

U*

όρισμένα αντίστοι­

G

καί

G*

στήν

S.

πού απεικονίζονται στήν τομή

είναι ανοικτά στά αντίστοιχα (παραμετρικά) επί­

πεδά τους. 'Έστω (uo,vo) ενα σημείο τοι) W

μέ εικονα Ρο στό GnG*. 'Έστω S.(P o) καί Sδ(Ρ ο ) περιοχές του S.(Po)nS c G καί Sδ(Ρο)nS c G*. 'Υποθέτουμε ότι • "'" δ, όπότε S.(P o) n S c G n G*. 'Επειδή ή x(u, υ) είναι συνεχής, ύπάρχει Sδ (uo, Vo) τέτοια ωστε .γιά κάθε (u, υ) στήν Sδ n U τό σημείο x(u, υ) νά άνήκει στήν S.(Po) καί συνεπώς ~τό GnG*. 'Αλλά τό U είναι άνοικτό. "E~σι, γιά άρκετά μικρό δ 2 έχουμε στι τό (u,v) άνήκει στό W καί φυσικά τό x(u,v) στό 6nG*, δταν τό (u,v) άνήκει στήν περιοχή Sδ (u o, vo). επεται στι τό W είναι άνοικτό. Μέ ' Επειδή τό (uo, vo) είναι τυχόν σημείο του Ρο τέτοιες ωστε

w,

παρόμοιους 2 συλλογισμούς μπορουμε νά άποδείξουμε δτι καί τό W* είναι άνοικτό.

8.15.

'Έστω Χ

= x(u, υ)

ενα τμήμα μιας άπλής επιφάνειας

σύνολο U καί μέ εικόνα G καί εστω Χ

Monge

τής

S

=

Χ*(Χι, Χ2)

όρισμένο στό ανοικτό σύνολο

V*

S

=

κλάσεως

xIe)

Cm

όρισμένο στο ανοικτό

+ x2eZ + Χ! (Χι, xZ)e3

καί μέ εικόνα

G*

ενα τμήμα

πού περιέχεται στό

G,

δ-

Κ ΕΦ.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

166 πως φαίνεται στό Σχ.

κάθε (U, υ) στό

απεικόνιση

Δείξτε δτι ύπάρχει ενα ανοικτό σl)νολο

= XI(U, υ), Χ2 = xAu, υ)

απεικόνιση χι Ο γιά

8-23.

Χ

τού

W

ωστε ή

Χ

επί τού

V*

X(U, υ)

=

κλάσεως

Cm.

καί μιά

U

δπου Ο(ΧΙ, Χ2)!θ(ιι,

νά ταυτίζεται στό

μέ τή

W

Ι-Ι

V)·oF

σίΝθετη

υ), Χ2(ΙΙ' υ)).

= X*(XI(u"

7

τέτοια

W,

τοl>

W

8

"

" ..... _-----

v

Χι Χ2

--

..,,--------Χ2

Xt(U, υ)

= =

-------.. X2(U, υ\

Σχ.

8-23

Σύμφωνα μέ τό προηγούμενο

πρόβλημα {Υπάρχει ενα άνοικτό σύνολο W τού U, τέτοιο ωστε ή Χ νά GnG* = G*. 'Επειδή οί χ, χ* ε!ναι ι-ι. ύπάρχει μιά ι-ι απεικόνιση χι τού W επί τού V*. τέτοια ωστε στό W νά ε!ναι Χ(IΙ, υ) = χ*(χι(ιι, v), Χ2(ΙΙ, v». δτι οί χι = χι(ιι, υ), Χ2 = X2(U, υ) ε!ναι κλάσεως C,n καί iJ(X l , X2)IiJ(ll, υ) '"'" Ο. • Αλ­

απεικονίζει τό Χι(IΙ, υ),

Χ2

, Απομένει λά

οί

W επί = Χ 2 (IΙ, υ)

τού

νά δείξουμε

= Χι(1(, υ)

χι

X(1.l,11) ε{ναι κλάσεως

καί

= Χ2(ΙΙ, υ)

Χ2

Cm,

ε{ναι

οί Μο

επεται δτι καί οί χι

τάξη τών 'Ιακωβιανών πινάκων τών

Χ

=

πρώτες

= XI(U, v),

χ(ιι, υ) καί χ

=

Χ2

συντεταγμένες

= Χ 2 (IΙ, υ)

Χ*(Χι, Χ 2 )

τής χ

= χ(ιι, v).

ε!ναι κλάσεως

'Επειδή

ή

Τέλος, αφού ή

C'n.

είναι σέ κάθε σημείο δίJΟ, τό διαφορικό

καί τών δύο συναρτήσεων σέ κάθε σημείο ε!ναι μιά ι-ι γραμμική απεικόνιση τών διανυσμάτων πού βρίσκονται στά αντίστοιχα παραμετρικά τους επίπεδα επί ενός επιπέδου τού Ε3.

. Υπενθυμίζουμε

δτι τό διαφορικό τής

συνθέσεως δύο απεικονίσεων προκύπτει από τή σύνθεση τών διαφορικών τών απεικονίσεων.

=

φορικό τής απεικονίσεως χι επιπέδου

χι

ιιυ

έπί

XI(U, υ), Χ2

=

τών διανυσμάτων

=

X 2 (U, υ)

τού

επιπέδου

είναι επισης

δύο σέ

ΧΙΧ2'

• Επομένως,

ή

κάθε σημείο' δηλαδή

' Αποδείξτε

τό Θεώρημα

θ

Στήν τομή

8.3:

Χ*(θ, φ) μιας άπλής επιφάνειας

S

κλάσεως

= θ(u, υ),

Φ = καί

= (COS θ)eι

+ (Sin e)e2

= (siη!θ COS θ)eι + (sin !θ sin θ)e2 + (COS tθ)e3

g(e)

'Επαληθεύστε τήν ίδιότητα δη τό μοναδιαίο κάθετο διά­ νυσμα άλλάζει φορά, δταν διαγράψει μία φορά τήν περι­

= (COS e)el + (sin e)e2

φέρεια Υ

'Εάν στό Πρόβλημα

8.39.

8.38

8-26).

άφαιρέσουμε άπό τή λωρίδα τοι>

τήν περιφέρεια χ

Moebius

(Σχ.

= (cos e)el + (sin e)e2'

δείξτε

δτι ή επιφάνεια ποί) άπομένει είναι συνεκτική καί προσα­

Σχ.8-26

νατολίσιμη.

= y(t)

'Εάν χ

8.40.

Δείξτε δτι ό

8.41.

8.42.

εlναι μιά κανονική καμπυΛη κλάσεως

u = U(t), V

ή καμπύλη

κωνος

:= υ(Ι)

x~

α

x~

2 + b2

cm

ενός τμήματος

Χ,Ι

-

C2

=

Ο,

Χ3

>

Ο, (χι, Χ2, Χ3) #- (Ο, ο, Ο),

δείξτε δτι

Cm.

είναι μιά στοιχειώδης επιφάνεια

είναι ενα μή μηδενικό διάνυσμα παράλληλο πρός to εφαπτόμενο έπίπεδο μιας άπλής επιφάνειας σέ

= dy/dt

δείξτε δτι ύπάρχει μιά καμπύλη χ :=

y(t) της έπιφάνειας ΠΟ!' διέρχεται άπό τό Ρ ετσι ωστε

στό Ρ.

'Έστω

ενα

C

κανονικό τόξο κλάσεως

τυχούσα περιοχή του καί νά παραμείνει

'Εάν

\

Cm,

κλάσεως

'Εάν Τ

'Εξετάστε αν οί επόμενες επιφάνειες είναι συμπαγείς: (α) 'Απ. (α) Μή συμπαγής, (b) συμπαγής.

8.45.

κλάσεως

C''''.

τ

8.44.

= X(U, ν)

κλάσεως

ενα σημείο Ρ,

8.43.

χ

το\, παραμετρικού επιπέδου είναι μιά κανονική καμπύλη

S

των τής

(UO, Vo).

ατό επίπεδο ιιυ μέ ενα ακρο τ6

Δείξτε δτι τ6

κανονικό τόξο κλάσεως

C Cl.

(b)

xi -

2Χι

+

x~

= χ(ιι, υ),

χ

=

i:=

1,2,

νά ίσχί)ουν τά έξης

(ί)' Η

J';

Χ*(θ, φ) άνήκουν στήν ΊΌ, τότε στήν τομή [χουμε

μέγιστη, δηλαδή, αν προσθέσουμε στήν

Fi

1.

(UO, VO) και εστω S(UO' Vo) μιά S(U O' vo)

J'

δλων των τμημά­

διαιρείται κατά μοναδικό τρόπο σέ δlJΟ μή κενές ξένες μεταξύ τους ί,ποοικογένειες

'Fi'

+ xi

μπορεί νά επεκταθεί πρός κάθε σημείο (ιι*, ν*) τής

εlναι μιά συνεκτική προσανατολίσιμη άπλή επιφάνεια, δείξτε δτι ή οίκογένεια

S

τέτοιες ωστε γιά κάθε

χ

Cl

xi - x~ + x~ = 1,

ενα αλλ ο τμήμα της

S,

εlναι μιά βάση.

ίι(ιι, ν)/ίΙ(θ, φ) τότε ή

>

'Fl

καί

'F2'

(ίί)

'Εάν τά τμήματα

Ο.

(ίίί)' Η Ί' ;

είωι

ίδιότητα (ίί) παί)ει νά ίσχί>ι:ι.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

'Υπενθυμίζουμε δτι μιά καμπύλη του Ε3 όρίζεται μονοσήμαντα από δύο τοπικά αναλλοίωτα με­ γέθη, τήν καμπυλότητα καί τή στρέψη, δταν τά μεγέθη αυτά εκφράζονται ώς συναρτήσεις του μήκους

τόξου. πού

'Όμοια, μιά επιφάνεια του Ε3 όρίζεται μονοσήμαντα από δύο τοπικά αναλλοίωτα μεγέθη,

λέγονται αντίστοιχα πρώτη καί δεύτερη θεμελιώδης μορφή.

'Έστω χ

= X(U, υ) ενα τμήμα μιας επιφάνειας κλάσεως Cm, m:::;" 1. Ξέρουμε δτι τό διαφορικό = χ(u,'υ) στό σημείο (1.ι,υ) είναι μιά Ι-Ι καί επί γραμμική απεικόνιση dx =

τής απεικονίσεως χ Xu

du

+

Xv

πού απεικονίζει τό τυχόν διάνυσμα

dv

νυσμα Xu du

+ X v dv

"Ας σημειωθεί δτι χρησιμοποιουμε τά σύμβολα διαφορικά τών συναρτήσεων συντεταγμένων στό μένες ένός διανύσματος στό επίπεδο

(du, dv)

πάλι μέ

(du, dv)

του επιπέδου

τής επιφάνειας στό αντίστοιχο σημείο

. Ανάλογα

uv.

x(u + du, v

+ dv)

=

x(u,

στό εφαπτόμενο διά­

υ), δπως φαίνεται

συμβολίζουμε τήν τιμή του διαφορικου

'Υπενθυμίζουμε ακόμα δτι τό

dx.

uv

στό Σχ. 9-1. du, dv Ύιά νά εκφράσουμε από τή μιά μεριά τά επίπεδο uv καί από τήν άλλη μεριά τίς συντεταγ­

X(U,

dx

+

υ)

ίκανοποιεί τή σχέση (βλ. Θεώρ.

dx

+

στό

dx 7.12)

o((du2 + dvψ/2)

τό διάνυσμα dx είναι προσέγγιση πρώτης τάξεως του διανύσματος x(u + du, v + dv) x(u, υ), δπου τό x(u, υ) παριστάνει κάποιο σημείο του τμήματος καί τό x(u + du, υ + dv) ενα

Δηλαδή

γειτονικό του σημείο.

υ

/,.+,.,.+,., (!Ι, υ)

-----.. U

Σχ.

9-1

Θεωρουμε τώρα τή συνάρτηση Ι πού ή τιμή της στό τυχόν διάνυσμα

(du, dv)

του επιπέδου

uv

είναι

= (Χ'λ du + x v dv) • (x u du + Xv dv) (Xu • xu)du 2 + 2(xu· xv)du dv + (Χ υ • x v)dv 2 =

I(du, dv)

dx· dx

δπου θέσαμε

Ε =

Xu· X u ,

'Η συνάρτηση αυτή, πού συμβολίζεται Ι

F =

X u • Χυ ,

= dx· dx

πρός

du

καί

Οί

dv.

συναρτήσεις τών

u

καί

v.

Συχνά στή

+

2F du dv

+

G dv 2

G = χυ • Xv

= Ε du 2

= x(u, υ) καί είναι μιά συντελεστές Ε, F καί G λέγονται

μελιώδης μορφή του τμήματος χ

Ε du 2

+ 2F du dv + G dv 2 ,

(9.1) λέγεται πρώτη θε­

όμογενής συνάρτηση δεύτερου βαθμου ώς

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί είναι

βιβλιογραφία όρίζεται ώς πρώτη θεμελιώδης μορφή Ι μιά

συνάρτηση στο εφαπτόμενο επίπεδο, τής όποίας ή τιμή στό τυχόν εφαπτόμενο διάνυσμα

Χυ

dv = dx

είναι

I(dx) = Edu 2

+ 2Fdudv + Gdv 2 171

xu du

+

r ΠΡΩΤΗ

172

Γνωρίζουμε ότι τό διάνυσμα εχει άρχή τό σημείο

x(U, υ)

ΚΑΙ

ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

στό σημείο

dx

x(u, υ) είναι κατά σημείο x(U + du, v + dv)

καί πέρας. τό

Κ ΕΦ.

9

προσέγγιση τό διάνυσμα πού του τμήματος.

Θά δουμε πα­

ρακάτω ότι ή Ι έξαρταται κατά κάποιον τρόπο μόνο άπό τήν επιφάνεια καί όχι άπό τό συγκεκρι­ μένο τμήμα τής επιφάνειας. Χ*(θ, φ)

Πράγματι, αύτό άληθεύει μέ τήν έξής εννοια:

. Υποθέτουμε

είναι ενα άλλο τμήμα πού ή εικόνα του τέμνει τήν εικόνα του άρχικου τμήματος

Τότε ό άντίστοιχος επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός θ ρικό στό σημείο

(U, υ)

ότι Χ

=

X(U, υ).

= θ(u, υ), Φ = ΙP(U, υ) εχει διαφο­

dv) στό διάνυσμα (dθ, dιp), τό όποίο δί­ νεται άπό τίς σχέσεις dθ = θ υ du + θ υ dv, dq, = Φ" du + Φυ dv. Ό ισχυρισμός ότι ή Ι είναι άνε­ ξάρτητη του τμήματος σημαίνει δτι οί θεμελιώδεις μορφές Ι καί 1* ταυτίζονται κάτω άπό τήν άν­ τιστοιχία του παραπάνω μετασχηματισμου, δηλαδή I(du, dv) = Ι*(dθ, dιp). Αύτό μπορουμε νά τό επαληθεύσουμε μέ τή

Ι*(dθ, dιp)

πού άπεικονίζει τό διάνυσμα (dιι,

βοήθεια του κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως:

=

!dX*j2 I(Χ:θ"

=

jX: dθ + Χ: dιf>I2

IΧ:(θ" du + θ υ dv) + χ:(φ,. du + Φυ dV)j2

=

+ Χ:φ,,) du + (Χ:θ υ + Χ:Φυ) dVj2

jx" du + Χ υ dVj2

= Idxj2 =

I(du, dv)

Τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως δέν παραμένουν άναλλοίωτα στούς παραμετρικούς μετα­ σχηματισμούς, άλλά μετασχηματίζονται ώς έξής: χ.χ

Ε

u.

=

U

Χ*'Χ*θ θ

'Όμοια

•

2 U

(Χ*θ θ

U

+χ*..ι.). (Χ*θ +χ*..ι. Φ Ψu

θ

2Χ*·Χ*θ..ι.

+

θ

Φ

u't'u

+

Φ Ψu

U

)

χ*.χ*..ι.2 Φ

Ε*θ,:

Φ 't'u

2Ρ*θ υ Φ"

+

+

Ε*θ;

+

2Ρ*θ υ Φυ

(9.3)

G*ιp~

+

Τέλος, άς σημειωθεί δτι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι θετικά όρισμένη.

(du, dv) εχουμε ι:;" , Επίσης, έπειδή τά !Xu du + Χυ dVl 2 = Ο

>

, Επειδή Ο, G >

Ο, ενώ Ι

=

> Ο.

Ο εάν καί μόνο εάν

διανύσματα

χ,. καί Χ υ

εάν καί μόνο εάν

du

du

=Ο

καί

είναι γραμμικώς

=Ο

καί

dv

= Ο.

ανεξάρτητα

Δηλαδή γιά κάθε

Προφανώς εχουμε

1= jdxl2:;"

δτι

Ι

= Ο.

dv

EG - F2 >

Ο.

Αύτό επαληθεύεται εύκολα.

Xu:/= Ο

Πράγματι, επειδή τά Xu καί Xv είναι = xu • Xu = Ixul2 > Ο καί G = X v ' Xv = ταυτότητας [F t ] της σελίδας 10, βρίσκουμε δτι

καί X v :/= Ο, όπότε Ε

'Επίσης, μέ τή βοήθεια τής διανυσματικης

EG - p~ = (Xu' Xu)(X v ' Χ υ ) - (Xu' Xv)(Xu' Xv ) = (Xu χ Xv ) • (X u χ Xv ) = IXu χ Xvl 2 , Αλλά

Ο.

= IdxI2 =

ή Ι είναι θετικά όρισμένη, τά θεμελιώδη μεγέθη πρέπει νά ίκανοποιουν τίς σχέσεις

Ο καί

γραμμικώς άνεξάρτητα, εχουμε

Ixvl2

(9.2)

F

βρίσκουμε

G

Ε

G*ιp~

σέ κάθε σημείο εχουμε

Xu χ

Χ"

:/=

Ο, όπότε

EG - F2

>

(9.4)

Ο.

Πολλές φορές, στίς πρακτικές εφαρμογές, μιά επιφάνεια δίνεται άπό μία κανονική παραμετρική παράσταση.

Σ' αύτή τήν περίπτωση, ύποθέτουμε πάντοτε δτι οί ίιπολογισμοί γίνονται σ' ενα κα­

τάλληλο περιορισμό της, ωστε νά εξασφαλίζεται τό Παράδειγμα

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τό τμήμα

9.1.

Χ

Ι

καί

=

Ε

= (u + v)e l

du 2 + 2F du dv +

G

= u

+ v,

Φ

=u-

v,

+ (u - v)e2 + uve3

dv 2 =

Παρατηρούμε ότι σέ κάθε σημείο (U, υ) εχουμε Ε θ

>

Ο,

(2 +

v2) du 2 + 2uv du dv +

G >

Ο καί

Χθ

= + !θe3, e}

= oet + φe2 + :!-(θ - φ )e3 Ε* = Χθ' Χ θ = 1 + !θ , F* = Χθ

Χφ

=

e2 -

!φe 3 ,

2

2

• Εάν

θέσουμε

= 2,

Φ

=

Ο, όπότε Ε*

2

•

Χφ

=

-:!-θΦ, G*

= Χφ • Χφ = 1 + !φ 2

=

u = 1, v = 1 εχουμε Ε = 3, F = 1, G 3. . Αλλά στό = 2, F* = Ο, G* 1. Δηλαδή τά πρωτα θεμελιώδη μεγέθη δέν πα­

Παρατηρούμε ότι στό σημείο (πού άντιστοιχεί στό)

'ίδιο σημείο εχουμε θ

EG - F2 =

+ u2) dv 2 4 + 2u2 + 2v 2 > Ο. (2

τότε ή επιφάνεια δίνεται έπίσης άπό τό τμήμα

Χ

Έχουμε

1-1 καί νά μπορεί νά θεωρηθεί τμήμα.

ραμένουν άναλλοίωτα στούς παραμετρικούς μετασχηματισμούς.

=

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

173

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Τά πρωτα θεμελιώδη

μεγέθη παίζουν

βασικό ρόλο στόν ύπολογισμό τοϋ μήκους τόξου, τής

γωνίας έφαπτόμενων διανυσμάτων καί τοϋ έμβαδοϋ μιας επιφάνειας. α ~

t ~ b,

ενα

κανονικό

τόξο ενός τμήματος Χ

X(U, υ).

=

'Έτσι, εστω Χ

= X(U(t), υ(Ι»,

Γνωρίζουμε δτι τό μήκος του δίνεται

άπό τό όλοκλήρωμα

dt Sα (dXdt' dX) b

Jrα

=

dt

b [(

Xu

du dv Ε dt + 2F Τι dt + Sα [(dU)2 b

s

'Επομένως

112

du dt

(dU dV)J!!2 + Χ" dV) dt . Χ.,. Τι + Χ" dt dt

(dv)2]

]/2

G dt

(9.5)

dt

'Έτσι τό μήκος ενός τόξου έπιφάνειας εξαρταται άπό τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή.

"Ας ύποθέσουμε δτι

= Χ" du + Χ" dv

dx

σματα στό σημείο Χ μιας έπιφάνειας.

dx' 8χ Idx!!Bxl

COSa

f3

είναι δύο έφαπτόμενα διανύ­

+ Χ" dv) • (X

(Χ" du

Bu

u

dx

καί δχ, τότε

+ Χ" δυ)

IX u du + Χ" dvllxtί Su + χ" δυ! EduBu + F(duBv + dv Bu) + G dv δυ [Ε du2 + 2F du dv + G dvzγ/2 [Ε Bu2 + 2F Bu δυ + G δυΨ/2

= Είδικά, αν

= Χ" su + Χ" δυ

καί δχ

'Εάν α είναι ή γωνία των διανυσμάτων

(9.6)

είναι ή γωνία των U- καί υ-παραμετρικων καμπυλών στό σημείο Χ, δηλαδή ή

γωνία

τών διανυσμάτων χ ... καί Χ" στό σημείο αυτό, τότε Xu'X"

Xu'X"

cοsβ

(9.7)

'Από τά παραπάνω εχουμε τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα 9.1. (α) dx = xu du + Χ" dv,

'Έστω

δΧ

ή σχ*ση

(b)

Οί

F

= Ο.

= x(u, υ)

Χ

= Χ., Bu + Χ" δυ

καί υ-παραμετρικές

u-

9.2.

=

Χ

μιας

έπιφάνειας.

~ π/2.

Τά

έφαπτόμενα

διανύσματα

καμπύλες

ενός

τμήματος

είναι

=

Ο

όρθογώνιες,

έάν

καί μόνο

έάν

Δίνεται ή μοναδιαία σφαίρα

+

(COS e sin φ)e ι

(sin e sin

Θεωρούμε τήν είκόνα τής καμπύλης

t

τμήμα

EduSu + F(duBv + dv su) + Gdv δυ

Παράδειγμα

Ο ~

ενα

αυτής είναι κάθετα μεταξύ τους, εάν καί μόνο έάν ίσχύει

φ)eΖ

+

(COS φ)e3

e = log cot (π/4 -

t/2), φ = π/2 - t, 9-2, ή είκόνα αύτής ξε­

·Οπως φαίνεται καί στό Σχ.

κινάει άπό τόν ίση μερινό καί στρέφεται ελικοειδώς γύρω άπό τό βόρειο

πόλο.

Γιά νά προσδιορίσουμε τό μήκος της ύπολογίζουμε τά μεγέθη

Ε

e sin φ)eι +

Xe

(- sin

Χφ

(COS θ cos φ)eι

=

Χθ • Χθ

de dt

=

= sin2 Φ,

cosec 2

F

+

(COS

e sin φ)eΖ

(sin e cos

φ)e2

= Χθ' Χφ = Ο,

(r./4 - t/2)

=

2 cot (π/4 - t/2)

G

- (sin φ)e3

= Χφ • Χφ = 1

Σχ.9·2

1

1

2 sin (π/4 - t/2) cos (π/4 - t/2)

sin

(π/2

-

Ι)

dφ

καί

dt

=

-1

"Ετσι. ό περιορισμός τής πρώτης θεμελιώδους μορφής κατά μήκος τής καμπύλης, γιά τήν όποία εχουμε φ δίνει

καί επομένως

Ι

=

Ε (de) 2 + dt

8

-

2F do dφ dt dt

Ι ο

+

G

(ddΦt)2

= Jnr

=

sin Φ sin2 (π/2 _ Ι) 2

1T12

Πl2

VIdt

ο

V2dt

=

π/ΥΖ

+

1

=

2

=

π/2

- t,

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

174

Παρατηροϋμε δτι ή καμπύλη σχηματίζει σταθερή γωνία α

==

ποιήσουμε τή σχέση Φ

π/2

dX

cosa

==

cos4-

)

dt'

(

. Υποθέτουμε

- t,

( Xu

Χθ

==

Ι

dθ

(Ο"'"

+

t

==

μέ τούς παράλληλους Φ

σταθ.

9

Πράγματι, αν χρησιμο­

~~ π/2)

•

dΦ\1

+

Ι Χθ dt

τώρα δτι ΔR

του όποίου τό σύνορο

* Χφ ~) Χ()

εχουμε

Κ ΕΦ.

Χφ dt

Χ()

Ε ~~ + ~ F

•

ν'ιΥΕ

1==

(

==

Βίη 2 Φ

sίn(π/2-t)

) (

1 1) 1

.,f2sίn φ

==.,f2

είναι ενα αρκετά μικρό κλειστό σύνολο, στήν εικόνα ενός τμήματος,

αποτελουν οί γειτονικές υ-παραμετρικές καμπύλες

παραμετρικές καμπύλες υ καί υ

+ dv,

δπως φαίνεται στό Σχ.

u

καί

u

+ du

καί οί U-

Σάν μιά πρώτη προσέγγιση του

9-3.

εμβαδου του ΔR παίρνουμε τό εμβαδόν του παραλληλογράμμου, του όποίου πλευρές είναι τά δια­

νύσματα Δχι

= X u du

καί ΔΧ2

= Xv dv.

Μέ τήν ύπόθεση δτι

du>

dv >

Ο καί

Ο, τό εμβαδόν δίνε­

ται από τή σχέση

ΔS

=

ΙΔχι χ ΔΧ2!

= Ixu χ ΧυΙ du dv

= VEG - F2 du dv

Αύτό μας όδηγεί σέ ενα γενικότερο όρισμό του εμβαδου σέ μιά επιφάνεια.

κλειστό συνεκτικό σύνολο, πού περιέχεται στήν εικόνα ενός τμήματος Χ

τό σύνορο του

R

Πράγματι, εστω

= X(U, υ)

R

ενα

(ύποθέτουμε δτι

καί μιά περιφέρεια μπορουν νά συνδεθουν μέ μιά Ι-Ι κανονική, εκτός από πεπε­

ρασμένο αριθμό σημείων, αμφισυνεχή απεικόνιση).

Τό εμβαδόν του

R

όρίζεται ώς τό διπλό όλο­

κλήρωμα, δταν βέβαια αύτό ύπάρχει,

ΙΙ VEG-F2dudv

Α

(9.8)

νι

δπου

W

είναι τό σύνολο του παραμετρικου επιπέδου πού τό τμήμα τό απεικονίζει στό

Σχ.

R.

9-3

"Ας σημειωθεί δτι σέ μιά προσανατολισμένη επιφάνεια ό προηγούμενος όρισμός του εμβαδου είναι ανεξάρτητος του τμήματος πού καλύπτει τό

πού περιέχει τό

R

R.

Πράγματι, εστω Χ

= Χ*(θ, φ) ενα άλλο τμήμα

>

Ο σέ κάθε σημείο

(U,

καί τέτοιο ωστε a(θ, φ)/a(u, υ)

κολα νά δειχθεί από τίς εξισώσεις

(9.2)

καί

(9.3)

υ) του

W.

Μπορεί εύ­

δτι

EG - F2 = (E*G* - F*2)[a(B,

φ)/a(u, υ)]2

(9.9)

όπότε τό θεώρημα μετασχηματισμου πολλαπλών όλοκληρωμάτων δίνει

ΙΙ VEG -

Α

F2 du dv =

W

=

ιι

f.f yE*G* W

yE*G* - F*2

a(θ,φ)

F*2 - - du dv a(u, υ)

dθdφ = Α*

W·

δπου

W*

είναι τό σύνολο του παραμετρικου επιπέδου θφ στό όποίο ό επιτρεπτός παραμετρικός με­

τασχηματισμός απεικονίζει τό συνολο ανεξάρτητο του τμήματος.

W.

.Η

σχέση αύτή αποδεικνύει δτι τό εμβαδόν του

R

είναι

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ

9

lΙαράδειγμα

Θεωροίψε τήν ιωνονικιι

9.3.

σπείρας.

'Έχοιιμε

παραμετρική

παράσταση (Παμ

Μ2

Ο.

Στήν

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

177

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας λέγεται έλλειπτικό, άν σ'

περίπτωση αύτή ή

ώς συνάρτηση των

8

πτικό παραβολοειδές, δπως φαίνεται καί στό Σχ. 9-6(α). τό πρόσημο σ' δλα τά σημεία (διανύσματα)

(du, dv).

καί

du

dv

αύτό είναι

LN -

προσδιορίζει ενα ελλει­

Παρατηρουμε άκόμα δτι ή δ διατηρεί Στήν περιοχή ένός ελλειπτικου σημείου

ή επιφάνεια βρίσκεται πρός τό ενα μέρος του εφαπτόμενου επιπέδου της στό σημείο αύτό καί

εχει τή μορφή του Σχ. 9-6(α).

(b) LN-M2


Σχ.

'Υπερβολικό σημείο:




>

α

Ο

cos Ο γιά Ο < Φ < π, LN= π καί LN - Μ2 < Ο γιά

Έτσι, δπως φαίνεται στό Σχ.

βρίσκονται

< ".)

α Είη φ)

=

Μ2 είναι 'ίδιο μέ τό πρόσημο τοϋ

=ο

Φ

+

α(b

LN LN -

• Αρα

πού

'Επομένως, είναι στα­

μηκος τών παραλλτΙλων Φ

9-7,

τά ση­

πρός τό εξωτερικό της σπείρας

είναι ελλειπτικά.

Ή επιφάνεια βρίσκεται

πρός τό ενα μέρος τοί", εφαπτόμενου έ1Ηπέδου σέ κάθε σημείο αίnης της περιοχης. της σπείρα.; (π

· Ν

dv 3 ]

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ

9

'Έχουμε

+ (3u 2 + 4u3 )e3'

el

Xu

Ν X

Στό σημείο 11

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

+ 3υ ε 3 , X uu = (6ιι + 12u2 )e3' X uv = + 4u3)2 + 9υ + 1] -Ι/2 (-(3ιι + 4II 3)el - 3v 2ez + e3) (6 + 24ιι)ε;ι, Χ ιιιιυ = ο, Χ ιιυυ == Ο, X = 6e3 =

Xv

2

e2

4

[(3u 2

=

=

U1lU

= Ο, υ = ο,

συναρτήσεως

Πράγματι στό

δ

=

t; [6e

εχουμε

= x uv = x v " = Ο,

Χ 1lΙΙ

= Ο, υ = Ο

u

+

i(x uuu ' Ν du 3

=

+

3 •

e3 du 3

+

dv 3 = (d,t

= du 3 Στήν

δ

ή

ο,

X vv

2

VVI '

σημείο τής επιφάνειας είναι ενα επίπεδο σημείο. τής

179

.Η

' Ν

3x u1Lv

όπότε

=Μ

L

=Ο

Ν

=

καί επομένως τό άντίστοιχο

επιφάνεια μπορεί νά μελετηθεί στό σημείο αύτό μέ τή βοήθεια

+

du 2 dv

3Χ ιι η' Ν dIt dv 2

+

Χ"υι"

Ν dv 3 )

συνάρτηση αύτή γίνεται

6e3' e3 dv 3 ]

+ dv)(du2 -

du dv

+ dv 2 )

περίπτωση αύτή ύπάρχει στό έφαπτόμενο επίπεδο

μία μόνο εύθεία, ή είναι δ

=

Ο.

είναι

dv2)

.Ο

+ dv =

du

δεύτερος

Ο,

κατά μήκος τής όποίας (du 2 - du dv

+

παράγοντας

προφανώς θετικά όρισμένος γιά

κάθε πραγ­

ματικό ζεϋγος

(du, dv). Στήν περιοχή ενός τέτοιου σημείου ή επιφάνεια μοιάζει μέ τό Σχ. 9-9. ΚΑΘΕΤΗ

Σχ. 9-9

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ

'Έστω Ρ ενα σημείο μιας επιφάνειας κλάσεως τό Ρ καί χ

= x(u(t), v(t))

μιά κανονική καμπύλη

ι'υσμα τής κάθετης καμπυλότητας της βολή του διανύσματος καμπυλότητας

C k

C

χ

2,

::="

C2

κλάσεως

= x(u, υ)

της

kn

=

(k' Ν)Ν

(9.14)

είναι ανεξάρτητο της φορας πού εχει τό Ν.

'Επίσης είναι ανεξάρτητο της

φορας μέ τήν όποία διαγράφεται ή καμπύλη (δηλαδή του προσανατολισμου της είναι ανεξάρτητο της φορας αυτης.

πυλότητα της

.Η

προβολή του

στό Ρ καί συμβολίζεται μέ

C

διαγράφεται ή

K

n

,-,

dN t·

δτι

και το οιανυσμα καμπυ

γονός

n

= k'N

(9.15)

δ τ ειναι

δ ιανυσμα ' dt = dt dt/I dt' dx Ι = ds

- ,εφαπτομενο , το, μονα ιαιο

λ'οτητας

κατά μηκος της

k

καμπύλης τό

Τι' όπότε

dt. dt

k'N

dN/1

_ dx . dt dt -

ειναι

t

N/ldxl

dx 12 dt

της

dN

ή

Kn

ώς

'Ρ ειναι τ t = dx ds = dx dt / Ι dx dt Ι

στο

"

χρησιμ;ποιησουμεdtΤΟ

Ν, εχουμε ο

=-

dt

γε-

(t· Ν) = _. Ν

dt

+

dN/ldx 'Ι

Τι

dt

_ dx • /dx. dx dt dt/ dt dt

If du + Ν " dV)\ dt '/ \ X u Τι +

L(du/dt)2 + 2M(du/dt)(dv/dt) E(du/dt)2 + 2F(du/dt)(dv/dt) δτι

C

"Ε" τσι, αν

κάθετο στό

-t·

dt

du dV) (dU ( Xu Τι + Xv dt • N u (ίΤ

Συνεπώς

Παρατηρουμε

C), αφου καί τό k

στή διεύθυνση του Ν λέγεται κάθετη καμ­

εξαρταται από τή φορά του Ν, αλλά είναι ανεξάρτητο της φορας μέ τήν όποία

C.

. Υπεν θ' " υμι ζ ουμε οτι

,

kn

Κ η , δηλαδή εχουμε K

Τό πρόσημο της

Τό διά­

ειναι ή διανυσματική προ­

στό Ρ στό κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα Ν στό Ρ, δη-

C kn

kn

ενα τμημα πο\" περιέχει

πού διέρχεται από τό Ρ.

στό Ρ, πού συμβολίζεται μέ

λαδή Παρατηρουμε δτι τό

Cm , m

συνάρτηση

τών

du/dt

καί

Xv

dV) (dU dt • Xu dt

+ Χ " dV) dt

+ N{dv/dt)2 + G(dv/dt)2

dv/dt

(9.16)

εξαρταται

μόνο

τό

λόγο

δηλαδή από τή διεύθυνση της εφαπτομένης της καμπύλης

ακόμα δτι ή

είναι επίσης συνάρτηση των θεμελιωδών μεγεθών πρώτης καί δεύτερης τάξεως, πού

K

n

εξαρτώνται μόνο από τό Ρ. Θεώρημα

9.2.

C

στό Ρ.

από

(du/dt)/(dv/dt),

Παρατηρουμε

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

'Όλες οί καμπύλες μιας επιφάνειας, πού διέρχονται από ενα σημείο Ρ καί εχουν

κοινή εφαπτομένη στό σημείο Ρ, εχουν τήν 'ίδια κάθετη καμπυλότητα στό Ρ.

. ! !

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

180 . Υποθέτουμε

τώρα στι

C

είναι

μιά

9

Κ ΕΦ.

καμπύλη

της όποίας ή διανυσματική συνάρτηση

(πού ή

n

τιμή της σέ κάθε σημείο δίνει τό αντίστοιχο πρώτο κάθετο διάνυσμα) είναι συνεχής στό Ρ καί ακόμα

δτι ή φορά του

κατά μηκος της

n

ετσι ωστε νά έχουμε στό

, Από

τήν εξίσωση

Ρ

Ο ~

εχουμε

(9.15)

Kn = k·N = i·N = K(n·N) = Κ δπου α

= 4(n, Ν).

C εχει εκλεγεί 4(n, Ν) ~ -π/2.

' Αφου

(9.17)

COSa

σ' ένα όποιοδήποτε ση­

μείο της επιφάνειας ή κ" εξαρταται μόνο από τή

διεύθυνση της εφαπτομένης της

C καί αφου τό

COS α προσδιορίζεται από τή διεύθυνση της πρώ­

της καθέτου της καμπυλότητα

κ

C,

επεται δτι, δταν

της

cos α =F

στό Ρ όρίζεται

C

μαντα, αν ξέρουμε τό εγγύτατο επίπεδο της πως φαίνεται στό Σχ.

Ο, ή

μονοσή­

C,

δ­

Σχ.

9-10

9-10.

Παρατηρούμε επίσης δτι

cos α =

Ο, εάν καί μόνο εάν τό

n

είναι παράλληλο πρός τό εφαπτό­

μενο επίπεδο στό Ρ ή, ίσοδύναμα, εάν καί μόνο εάν τό εγγύτατο επίπεδο της καμπύλης καί τό εφαπτόμενο Θεώρημα

επίπεδο της επιφάνειας συμπίπτουν.

9.3.

νΕτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

ΗΟλες οί καμπύλες μιας επιφάνειας, πού διέρχονται από ενα σημείο Ρ καί εχουν τό

'ίδιο εγγύτατο επίπεδο στό σημείο αυτό, εχουν καί τήν ίδια καμπυλότητα κ στό Ρ, μέ τήν προϋπό­ θεση δτι τό αντίστοιχο εγγύτατο επίπεδο δέν είναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια. 'Από τό προηγούμενο θεώρημα επεται δτι, δταν δέν πρόκειται γιά καμπύλες της επιφάνειας, τών όποίων τό εγγύτατο επίπεδο σ' ένα σημείο Ρ είναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια στό σημείο αύτό, τότε ή

καμπυλότητα μιας καμπύλης είναι 'ίση μέ τήν καμπυλότητα κάποιας επίπεδης τομης στό

σημείο αύτό, δηλαδή μιας καμπύλης πού είναι τομή της επιφάνειας μέ κάποιο κατάλληλο επίπεδο

πού διέρχεται από τό Ρ.

Ειδικά, δταν ή

είναι μιά καμπύλη πού διέρχεται από τό Ρ καί είναι ή

C

τομή τού τμήματος μέ ενα επίπεδο πού περιέχει τό Ν, λέμε δτι ή φάνειας στό Ρ.

Τότε δμως

n· Ν = 1,

όπότε από τήν

(9.17)

C

είναι μιά κάθετη τομή της επι­

παίρνουμε

K

n

=

κ.

'Έτσι, έχουμε τε­

λικά τό επόμενο θεώρημα: Θεώρημα

9.4.

.Η

καμπυλότητα μιας κάθετης τομης μιας επιφάνειας σ' ένα σημείο Ρ είναι 'ίση μέ

τήν κάθετη καμπυλότητα της τομης στό Ρ. 'Επειδή ή κάθετη "αμπυλότητα της της εφαπτομένης της

C

στό Ρ εξαρταται μόνο από τό Ρ καί από τή διεύθυνση

C

στό Ρ, μπορούμε νά μιλαμε γιά τήν κάθετη καμπυλότητα στό Ρ κατά τή

διεύθυνση πού προσδιορίζεται από τό λόγο 2

= 'Εδώ ό λόγος

du: dv

Ldu Edu2

+ dv 2 =F + Ndv 2 + Gdv 2

du: dv, du 2

+ 2Mdudv + 2Fdudv

Ο, καί νά γράφουμε από τήν

11

(9.16)

(9.18)

Τ

προσδιορίζει τή διεύθυνση της ευθείας πού βρίσκεται στο εφαπτόμενο επι­

πεδο καί είναι παράλληλη μέ τό διάνυσμα X u

du

+ Χ" dv.

Οί λόγοι

du: dv

καί

du' : dv'

προσδιο­

ρίζουν τήν 'ίδια διεύθυνση, εάν καί μόνο εάν οί δροι τους είναι ανάλογοι, δηλαδή εάν καί μόνο εάν ύπάρχει λ

= λ du'

=F Ο τέτοιο ώστε νά έχουμε du

'Από τήν εξίωση

(9.18)

επεται δτι ή

K

n

καί

dv

= λ dv'.

παραμένει αναλλοίωτη στούς επιτρεπτούς παραμετρικούς

μετασχηματισμούς πού διατηρούν τή φορά τού Ν (μέ τό ίδιο νόημα πού παραμένουν αναλλοίωτες καί οί θεμελιώδεις μορφές Ι "αί Π), ενώ αλλάζει πρόσημο σ' εναν επιτρεπτό παραμετρικό μετασχη­ ματισμό πού αλλάζει τή φορά τού Ν.

τού τμήματος. ή

' Επίσης,

Δηλαδή ή Κ" είναι, κατά προσέγγιση προσήμου, ανεξάρτητη

επειί)ή ή Ι είναι θετικά όρισμένη, επεται δτι ή

μηδέν συγχρόνως μέ τήν Π.

K

n

είναι θετική, αρνητική

'Ακόμα, αν τό Ρ είναι έλλειπτικό σημείο, τότε

διατηρεί τό πρόσημο γιά δλες τίς διευθύνσεις

du; dv.

=F Ο καί ή

K

'Εάν τό Ρ είναι ύπερβολι"ό σημείο, ή

K

είναι θετική, αρνητική ή μηδέν ανάλογα μέ τή διεύθυνση

du; dv.

K

n

n n

'Εάν τό Ρ είναι παραβολικό

ΚΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

σημείο, ή Ο.

K

n

διατηρεί τό πρόσημο καί είναι μηδέν γιά τή μοναδική διεύθυνση γιά τήν όποία ΙΙ

Τέλος, σ'

Παράδειγμα

ενα επίπεδο σημείο είναι

-(α

cos

n =Ο

+

=

(α

-(α

sin

θ

sin

φ)eι

+

(α

cos θ sin

-(α

cos

θ

sin

φ)eι

-

(α

sin

sin

φ)eι

sin

θ

sin

θ

cos θ sin φ)eι

-

(α

α

L -

(α

sin -

(α

sin 2 Φ,

α sin 2 Φ,

Χθθ' Ν

"n = σταθ. = Ι/α

θ

dφ

dφ

+ +

=

γιά όλες τίς διευθύνσεις. α

+ (α cos φ)e3

sin θ sin φ)e2

φ)e2 2

L do 2 + 2Μ do Ε do 2 + 2F do Δηλαδή εχουμε

K

Θεωροϋμε ενα τμημα της σφαίρας άκτίνας

9.7. Χ

Χφφ

181

φ)e2,

(α

Χφ

φ)e2,

ο

-(α

cos φ)e3,

=

Χθ' Χ φ

Μ

ΧθΦ' Ν

=

=

Ν dφ2

α

G dφ2

α2

sin

Ο,

θ

G

Ο,




"n>

Ο

Ο

---2--------~----~~-----tt

9-11

ΚΥΡΙΕΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΥΡΙΕΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ Στήν

παράγραφο

στερα τήν κάθετη μιας

"n

επιφάνειας.

είναι,

αυτή

θά

εξετάσουμε

καμπυλότητα σ'

' Επειδή

ή

εκτενέ­

ενα σημείο Ρ

κάθετη

καμπυλότητα

κατά προσέγγιση προσήμου, άνεξάρτητη

του τμήματος, μπορουμε γιά λόγους άπλουστεύσεως νά βρουμε μιά περιοχή του σημείου Ρ πού νά κα­ λύπτεται

άπό

τήν

εικόνα

Χ

= uel + Ve2 + f(u, v)e3,

Xv

= e2

στό Ρ.

ενός

τμήματος

ετσι ωστε

Xu

-=:--------- Χ2 =

Monge

= el

καί

Αυτό γίνεται, αν τοποθετήσουμε τήν

επιφάνεια κατά τέτοιο

τρόπο

ωστε τό Ρ νά άντι­

στοιχεί στήν άρχή των άξόνων καί τό εφαπτόμενο

επίπεδο νά ταυτίζεται μέ τό επίπεδο ΧΙΧ2 (Σχ.

9-12).

Σχ.

9-12

V

'Έτσι εχουμε

= Xu' X u = 1,

Ε

L du 2 Edu 2 , Επειδή ή

K

νά θέσουμε

n

G

= Xv ' Xv = 1

+ 2Μ du dv + Ν dv 2 + 2Fdudv + Gdv 2

L du 2

F

= xu • Xv = Ο,

εξαρτάται μόνο άπό τό λόγο

du

= cos θ

καί

dv

= Βίη θ,

IKnl = 1/r2

Τέλος, άν θέσουμε

±1

+

2Μ du

du

2

+

dv dv 2

+

Ν dv 2

+ dv 2

1

+

2Μ

cos θ

Βίη Ο

Χ2

=

2MXIX2

Lxi +

+

= r Βίη θ, +

Ν

sin 2 Ο

εχουμε

Nx~

(9.19)

εξίσωση αυτη προσδιορίζει μιά κωνική τομή στό επίπεδο XIX2, πού λέγεται δείκτρια του

καί τής όποίας τό τυχόν σημείο (χι, Χ2) άπέχει άπό τήν άρχή των άξόνων άπόσταση

άντίστροφο τής τετραγωνικής ρίζας τής

IKnl,

'Εάν τό Ρ είναι ενα ελλειπτικό σημείο

σπως φαίνεται στό Σχ.

9-13(a).

ύπολογισμένης κατά τή διεύθυνση Μ2

(LN -

άποτελείται άπό ενα ζευγος συζυγων ύπερβολων [Σχ. K

n

είναι θετική καί κατά μήκος τής άλλης ή

(LN - Μ2

= Ο,

+

L2

Ν2

+

>

Ο), τότε

ή

K

n

= Ο.

K

n

9-13(b)].

Μ2

(LN -

Dupin

r 'ίση μέ cos θ : Βίη θ.

δείκτρια είναι

'Εάν τό Ρ είναι ενα ύπερβολικό σημείο

χουν στίς διευθύνσεις γιά τίς όποίες

καί

όπότε

= r cos θ,

καί χι

9

καί

du/dv, μπορουμε νά ύποθέσουμε στι du 2

L cos 2 θ

.Η

Κ ΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

182

τό

μιά ελλειψη,

< Ο),

ή δείκτρια

Κατά μήκος της μιάς ύπερβολης ή

είναι άρνητική.

Οί κοινές άσύμπτωτες άντιστοι­

Στήν περίπτωση πού τό σημείο είναι παραβολικό

Μ2 # Ο), τό πολυώνυμο

Lxi +

2MXIX2

+ Nx~

μετασχηματίζεται σ' ενα

γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων καί ή δείκτρια είναι τότε ενα ζευγος παράλληλων εύθειων, σπως φαίνεται στό Σχ.

9-13(c), κατά τήν διεύθυνση των όποίων είναι (L = Μ = Ν = Ο) δέν ύπάρχει δείκτρια.

K

n

= Ο.

Στήν περίπτωση πού τό

σημείο είναι επίπεδο

Χ2

Χ2

Κίφιες

διευθύνσεις

--~----",,

LN-M2

Ο

(b) LN-M2




Ο.

Μ2, όπότε εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

'Ένα σημείο μιας επιφάνειας εΙναι Ελλειπτικό, εάν καί μόνο εάν Κ

9.8.

εάν καί μόνο εάν Κ

Gauss

Τέλος, παρατηρουμε δτι

παραβολικό η επίπεδο, εάν καί μόνο Εάν Κ

=

>

Ο· ύπερβολικό,

Ο.

9.10.

• Από τά δεδομένα τοϋ Παραδείγματος 9.9(a) βλέπουμε στι σέ κάθε σημείο μιας σφαίρας ακτίνας α ή καμπυλό­ τητα τοϋ

είναι Κ

Gauss

=

σταθ.

= 1/a2 •

• Η μέση καμπυλότητα είναι Η

= ±l/a καί

τό πρόσημό της έξαρταταl

από τόν προσανατολισμό της σφαίρας.

(b)

• Από τά δεδομένα τοϋ Παραδείγματος 9.9(b) βλέπουμε στι σέ κάθε σημείο ενός επιπέδου ή καμπυλότητα τοϋ Gauss είναι Κ

(c)

=Ο

καί ή μέση καμπυλότητα Η

= Ο.

Θεωροϋμε τώρα τήν παραμετρική παράσταση

χ τής σπείρας.

F

= Ο,

G

. Από L

= a 2,

= (b

+ α sin φ)(cοs e)el +

τά Παραδείγματα

9.3

καί

= (b + α sin φ) sin Φ,

9.5,

+ α sin φ)(sίη e)e2 + (α cos φ)e3

τών σελίδων

= Ο,

Μ

(b

= a.

Ν

175

. Από

178 αντίστοιχα, εχουμε Ε = (b + α sin φ)2, (9.21) επεται στι οί κύριες καμπυλότητες

καί

τήν

είναι οί ρίζες της εξισώσεως

a 2(b . Από

+ α sin φ)2κ 2

[a(b

-

+ α sin φ)2 +

•

κι

=

2b + 2a sin Φ 2a(b α sin φ)

+

καμπυλότητα.

sin φ]κ

+

α(b

+ α sin φ)

Κ2

Φ = b +sinα sin Φ

sin Φ

=

ο

-

1

.,

-

(b

+

,.

sin

φ) ±

b

+ α sin φ) .

λ'

.

α' που ειναl η μεγιστη καμπυ οτητα, και

,

. , ' •λ .

που ειναι η ε αχιστη

'Η έλάχιστη καμπυλότητα Κ2 μεταβάλλεται κατά μηκος ενός μεσημβρινοϋ συναρτήσει

τής Φ, καί μάλιστα παίρνει τή μέγιστη τιμή της στούς παράλληλο\)ς Φ Φ

2α

2a(b

Παρατηροϋμε στι ή κι εΙναι ϊδια σέ κάθε σημείο καί "ίση μέ τήν καμπυλότητα της περιφέρειας

πού παράγει τή σπείρα.

λ ηΛ.Ο '

+ α sin φ)

τήν δευτεροβάθμια αύτή έξίσωση βρίσκουμε

κ

η

a 2(b

/2 = -Π.

'Η

=Ο

καί Φ

λ.

=π

- G auss

καμπυ οτητα του

1/(b + α)

στόν έξωτερικό παράλληλο Φ

καί παίρνει τήν έλάχιστη τιμή της

τ

ειναι

Κ

= ΚΙ 2 = Κ

-l/(b -

sln Φ a(b + α sin φ) .

= π/2.

Είναι μηδέν

α) στόν εσ.ωτερικό παράλ-

ΠΡΩΤΗ

Κ ΕΦ.9

ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

185

ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑΣ

'Υποθέτουμε πάλι δτι Ρ είναι ενα σημείο ενος τμήματος Χ

Cm , m

~

Στό Πρόβλημα

2.

Θεώρημα

Μιά διεύθυνση

9.9.

τής σελίδας

9.24

du: dv

καί μόνο εάν (γιά κάποιο τμήμα) τά (ΕΜ

- LF) du

+

2

197,

=

X(U, υ) μιας επιφάνειας κλάσεως

αποδεικνύουμε τό επόμενο θεώρημα:

σ' ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας είναι κύρια διεύθυνση, εάν

du (ΕΝ

καί

dv

ίκανοποιουν τήν εξίσωση

- LG) du dv

+

(ΡΝ

- MG) dv

2

γ-eιJγι~

=

0---,>

(9.25)

'Όταν τό σημείο δέν είναι ομφαλικό, τό αριστερό μέλος τής προηγούμενης εξισώσεως αναλύεται

σέ γινόμενο δύο παραγόντων καί ετσι παίρνουμε δύο εξισώσεις τής μορφής Α

du

+ Β dv = Ο,

πού

αντιστοιχουν στίς δύο ορθογώνιες κύριες διευθύνσεις.

'Επειδή ή κάθετη καμπυλότητα

, στούς

K

n μιας καμπύλης είναι αναλλοίωτη (εκτός από τό πρόσημό της)

επιτρεπτούς παραμετρικούς μετασχηματισμούς, επεται δτι οί διευθύνσεις στίς όποίες ή

βάνει τίς ακραίες τιμές της, δηλαδή οί κύριες διευθύνσεις, είναι επίσης αναλλοίωτες.

K

n

λαμ­

Ειδικά, αν

Χ*(θ, φ) είναι ενα όποιοδήποτε αλλο τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τότε ή διεύθυνση dθ: dφ είναι κύρια,

= θ" du + θ v dv,

εάν καί μόνο εάν dθ

στό Ρ ώς πρός τό τμήμα Χ

dq,

= Φ" du + Φυ dv

καί ή

du: dv είναι μιά κύρια διεύθυνση

X(U, υ).

=

Μιά καμπύλη μιας επιφάνειας λέγεται Y1!.αΜUι!ι καμπυλότηταc, αν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης ή διεύθυνση τής εφαπτομένης της είναι μιά κύρια διεύθυνση.

"Απ' δσα αναφέραμε παραπάνω, επεται

δτι μιά καμπύλη είναι γραμμή καμπυλότητας, εάν καί μόνο εάν σέ κάθε σημείο της ή διεύθυνση τής εφαπτομένης ίκανοποιεί τήν εξίσωση 'Ακόμα μπορουμε νά θεωρήσουμε τήν τών γραμμών καμπυλότητας.

(9.25), γιά κάποιο τμήμα Χ = x(U, υ) (9.25) σάν τή διαφορική εξίσωση πo~

πού περιέχει τό σημείο. δίνει τίς δύο οικογένειες

'Από τό αντίστοιχο θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας τών διαφο­

ρικών εξισώσεων, ξέρουμε δτι, δταν οί συντελεστές είναι κλάσεως σι, ύπάρχουν λύσεις τής

(9.25).

'Έτσι εχουμε τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

9.10.

Στήν περιοχή ενός μή ομφαλικου σημείου μιας επιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

ύπάρχουν δύο οικογένειες ορθογώνιων γραμμών καμπυλότητας. Παράδειγμα

Θεωρουμε τήν επιφάνεια πού δίνεται άπό

9.11.

τό τμημα

=

+ ve2 + (u 2 + v 2)e3 Μπορεί νά ύπολογιστεί δη Ε = 1 + 4u 2 , F = 4uv, G = 1 + 4v 2 , L = 2(4u 2 + 4v 2 + 1)-1/2, Μ = Ο, Ν = 2(4u2 + 4v 2 + 1)-1/2. 'Από τήν (9.25), άφου διαιρέσουμε μέ -8(4u 2 + 4v 2 + 1)-1/2, εχουμε uv du 2 + (v 2 - u 2 ) du dvuv dv 2 = Ο ii (u du + ν d'v)(v du - u dv) = Ο ii u du + ν

dv

=

Ο,

χ

v du -

uel

u dv

=

Ο.

Οί λύσεις της πρώτης εξισώ­

σεως είναι ή οίκογένεια τών περιφερειών

u 2 + ν2

= r 2,

ενώ

οί λύσεις

της δεύτερης εξισώσεως είναι ή οΙκογένεια τών

ευθειών

= bv,

u

πού διέρχονται άπό τήν άρχή τών άξόνων.

Οί καμπύλες αυτές του παραμετρικου επιπέδου προσδιορίζουν

=-----,,...--τ-τ--... Χ2

στήν επιφάνεια τίς γραμμές καμπυλότητας, δπως φαίνεται καί στό Σχ.

Σημειώνουμε δτι στό σημείο της επιφάνειας

9-15.

πού άντιστοιχεί στό

1, L = 2,

Μ

=

Ο, Ν

u = ο, ν = Ο είναι = 2. Δηλαδή τά

Ε

= 1. F =

θεμελιώδη

Ο,

=V

~p;::::::=~

G =

μεγέθη

πρώτης καί δεύτερης τάξεως είναι άνάλογα σ' αύτό τό σημείο Σχ.

καί επομένως είναι ενα όμφαλικό σημείο, δηλαδή ενα σημείο

9-15

στό όποίο κάθε διεί,θυνση είναι κύρια διεύθυνση.

, Από

τό Θεώρημα

9. ιο

επεται δτι στήν περιοχή ενος μή ομφαλικου σημείου Ρ μιας επιφάνειας

μέ κατάλληλη διαφορισιμότητα μπορεί νά βρεθεί ενα τμήμα κλάσεως παραμετρt'κές καμπύλες νά είναι οί γραμμές καμπυλότητας.

κετό νά βρουμε ενα τμήμα κλάσεως

C2 ,

του όποίου οί U- καί υ­

Σέ πολλά προβλήματα δμως είναι αρ­

C 2 , πού νά περιέχει τό Ρ καί του όποίου οί διευθύνσεις (τών εφα­

πτομένων) τών U- καί υ-παραμετρικών καμπυλών νά συμπίπτουν μέ τίς κύριες διευθύνσεις μόνο στό σημείο Ρ.

Στό Πρόβλημα

Θεώρημα 9.ΙΙ. περιΙχει

οί 13

9.21

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

Γιά κάθε σημείο Ρ μιας επιφάνειας κλάσεως

τό Ρ καί

του όποίου

κύριες διευθύνσεις.

οί

διευθίJνσεις τών

u-

Cm , m

~

2,

ύπάρχει ενα τμήμα ποί)

καί υ-παραμετρικών καμπυλών στό Ρ είναι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΑΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

186

'Υποθέτουμε τώρα δτι οί διευθύνσεις των

εφαπτόμενα

στίς u-παραμετρικές

παραμετρικές καμπύλες, ή εξίσωση

Ο, d1J

du =

καμπύλες,

(9.25)

9

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ένός τμήματος σ'

u-

ενα μή όμφαλικό σημείο Ρ είναι κύριες διευθύνσεις. ναι

Κ ΕΦ.

' Επειδή

ενω τά Xv

=

τά διανίJσματα χ ..

+ 1xv

OXu

= 1xu

+ ΟΧ"

εί­

είναι εφαπτόμενα στίς υ­

πρέπει νά ίκανοποιείται στό Ρ γιά

du

= 1, dv = Ο

καί

'Αντικαθιστώντας βρίσκουμε

= 1.

ΡΝ

- MG =

Ο

καί

ΕΜ

- LF =

Ο

Ύπενθυμίζουμε ακόμα δη οί κύριες διευθύνσεις σ' ενα μή όμφαλικό σημείο είναι όρθογώνιες.

Συ­

νεπως, άπό τό Θεώρημα

Τε­

λικά, επειδή

της σελίδας

9.1

173

ε'Χουμε

F =

Ο στό Ρ καί ετσι

ή Ι είναι θετικά όρισμένη, είναι Ε> Ο, όπότε Μ

MG = Συνεπως F =

= Ο.

ΕΜ Μ

=

=

Ο.

Οστό Ρ.

Ίσ'Χύει δμως καί τό άντίστροφο, όπότε ε'Χουμε τό έξης θεώρημα: Θεώρημα

Οί

9.12.

διευθύνσεις των

u-

καί υ-παραμετρικων

καμπυλων ενός τμήματος

σ'

ενα μή

όμφαλικό σημείο μιας επιφάνειας είναι οί κύριες διευθύνσεις, έάν καί μόνο εάν στό σημείο αι'nό

F=

είναι

• Ως

Μ

=

Ο.

συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος ε'Χουμε επίσης τό επόμενο πόρισμα:

Πόρισμα.

Οί

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας πού δέν εχει όμφα­

u-

λικά σημεία είναι γραμμές καμπυλότητας, έάν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο του τμήματος

είναι

F=M=O.

u-

Έάν οί διευθύνσεις των

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ενός τμήματος σέ ενα σημείο Ρ είναι

κύριες διευθύνσεις, τότε εχουμε άπλές εκφράσεις γιά τίς κύριες καμπυλότητες.

Πράγματι, ας ύπο­

θέσουμε δτι τό Ρ είναι ενα μή όμφαλικό σημείο.

εχουμε

στό Ρ καί οί εξισώσεις

γονται στίς

κΕ)

(L -

(9.20)

du =

κι

= L/E. = N/G

9.12

F =

Μ

=

Ο

γιά τίς κύριες καμπυλότητες καί τίς κύριες διευθύνσειs στό Ρ άνά­

Ο καί (Ν

διέρχεται άπό τό Ρ έχουμε ΚΖ

Τότε. άπό τό Θεώρημα

- KG) dv = Ο. 'Επειδή γιά τήν u-παραμετρική καμπύλη πού du = 1, d1J = Ο, ή κύρια καμπυλότητα κατ' αυτή τή διεύθυνση είναι

"Ομοια, ή κύρια καμπυλότητα κατά τή διεύθυνση της υ-παραμετρικης καμπύλης είναι

καί προκύπτει αν θέσουμε

μείο, τότε άπό τό Θεώρημα

du =

Ο καί

dv = 1.

Τέλος, αν τό Ρ είναι ενα όμφαλικό ση­

9.7 έχουμε κ = L/E = Μ/Ρ = N/G.

VΕτσι, εχουμε άποδείξει τό έξης

θεώρημα: Θεώρημα

Έάν οί διευθύνσεις των

9.13.

u-

καί υ-παραμετρικων καμπυλων ενός τμήματος σ

ενα

σημείο Ρ μιας επιφάνειας είναι κύριες διευθύνσεις, τότε οί κύριες καμπυλότητες στό Ρ δίνονται άπό τίς σχέσεις Πόρισμα.

καί

Έάν οί

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ενος τμήματος μιας επιφάνειας είναι γραμμές

u-

καμπυλότητας, τότε οί κύριες καμπυλότητες στό τυχόν σημείο δίνονται από τίς σχέσεις

Κι Παράδειγμα

9.12.

= L/E

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού δίνεται από τό τμήμα χ

. Από

καί

τό Παράδειγμα

9.11

= uel

+ vez + (1,1,2 + v Z)e3

ξέρουμε δη οί γραμμές καμπυλότητας είναι οί καμπύλες τής έπιφάνειας πού προσδιορίζονται

u 2 + v 2 ' = r 2 καί τίς ευθείες u = bv τού μετασχηματισμού u = rcos θ, v = r Βίη θ μπορούμε νά

από τίς περιφέρειες τρικού

τίς γραμμές καμπυλότητας.

'Έτσι, εχουμε τήν παραμετρική

χ Τά θεμελιώδη μεγέθη

1 + 4r2 , L = -2r2 (1 -2(1 + 4rZ)-1/2 καί

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ

(τ

=

cos

θ)eι

παραμετρικού έπιπέδου.

Μέ τή βοήθεια τού παραμε­

πετύχουμε οί παραμετρικές καμπύλες νά συμπέσουν μέ παράσταση

+ (τ Βίη θ)eΖ + r2e3.

r

>

Ο

πρώτης καί δεύτερης τάξεως εχουν τότε τίς άπλούστερες έκφράσεις

+ 4τ2)-Ι!2, "ι!

Μ

=

Ο, Ν

= -2(1 + 4τ2)-Ι/2.

= N/G =, -2(1 + 4r l!)-3/Z.

Ε

= r 2 , F = Ο, G = "ι = L/E =

ενώ οί κύριες καμπυλότητες είναι

RODRIGUES

. Υποθέτουμε δτι du: dv είναι μιά κύρια διεύθυνση σ' ενα σημείο Ρ ενός τμήματος καί κ είναι ή αντίστοιχη κύρια καμπυλότητα.

Άπό τίς εξισώσεις (9.10), (9.12) καί (9.20) εχουμε

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

(-N.. ·X,,-KX.. ·x..)du

+

(-N.,·X,,-KXV·x..)dv

Ο

(-Ν.. • χ"

+

(-Ν.,· Χ., -

Ο

ΚΧ.. • χ.,)

-

du

[(N.. du (dN Δηλαδή τό διάνυσμα καί

dN

dN

K(x .. du

+ x.,dv)]

• χ..

+ N"dv) +

K(x .. du

+ x"dv)]

• Χ"

+ Kdx) • χ.. =

+ Κ dx

ο,

dv

=

Ο

+ Kdx) ·Χ"

(dN

Ο

ο

στό σημείο αυτό είναι κάθετο στά γραμμικώς ανεξάρτητα διανύ­

'Αλλά είναι καί παράλληλο πρός τό έφαπτόμενο έπίπεδο στό Ρ, έπειδή καί τά

=Ο

. Επομένως έχουμε dN + Κ dx dN είναι συγγραμμικό πρός

είναι παράλληλα πρός αυτό.

dx

ΚΧ.,· χ.,)

+

[(N.. du+N.,dv)

σματα χ.. καί Χ".

187

ώς πρός μιά κύρια διεύθυνση, τό διάνυσμα

dN =

σχέση

-Κ

dx, .Η

9.14.

διεύθυνση

9.23

du: dv

τής σελίδας

= χ.. du + Χ., dt.

Τό αντίστροφο αυ­

σ' ενα σημείο μιας έπιφάνειας είναι μιά κύρια διεύθυνση έάν

dN =

Ν.. du

dN έξίσωση

+ Ν" dv

καί

ίκανοποιοϋν τή σχέση

=

-Kdx

(9.26)

'Όταν συμβαίνει αυτό, ό Κ έκφράζει τήν κύρια καμπυλότητα κατά τή διεύθυνση

.Η

~Eτσι,

δίνεται από τή

~Eτσι, εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

196.

καί μόνο έάν γιά κάποιο αριθμό Κ (καί γιά κάποιο τμήμα) τά διανύσματα

dx

= -Κ dx.

ή dN dx καί

δπου Κ είναι ή κύρια καμπυλότητα τής διευθύνσεως αυτής.

τοϋ αποδεικνύεται στό Πρόβλημα

Θεώρημα

τό

(9.26),

du: dv .

πού χαρακτηρίζει πλήρως τίς κύριες διευθύνσεις, λέγεται τΌπος του

Rodrigues

καί ή απομνημόνευσή του είναι χρήσιμη.

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ. Μιά διεύθυνση

du: dv

σ'

ΣΥΖγΓΕΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ενα σημείο μιας έπιφάνειας, γιά κάποιο τμήμα τής όποίας ισχύει

π λέγεται άσυμπτωτική διεύθυνση.

=

+

L du 2

Έπειδή

K

n

2Μ du

=

dv

+

Ν dv 2

Ο

=

(9.27)

π/Ι καί ή Ι είναι θετικά όρισμένη, οί ασυμπτωτικές

διευθύνσεις είναι οί διευθύνσεις γιά τίς όποίες

K

n

= Ο.

Σ'

ενα έλλειπτικό σημείο δέν ύπάρχουν

ασυμπτωτικές διευθύνσεις σ' ενα ύπερβολικό σημείο ύπάρχουν δύο διαφορετικές ασυμπτωτικές διευ­ θύνσεις σ' ενα παραβολικό σημείο ύπάρχει μία ασυμπτωτική διεύθυνση, ένώ τέλος σ' ενα έπίπεδο σημείο κάθε διεύθυνση είναι ασυμπτωτική. Μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας λέγεται άσυμπτωτική γραμμή, αν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης ή διεύθυνση τής έφαπτομένης της είναι ασυμπτωτική διεύθυνση.

'Έτσι, μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας

είναι ασυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν ή διεύθυνση τής έφαπτομένης τής καμπύλης ίκανοποιεί

τήν

γιά κάποιο τμήμα χ

(9.27)

αυτή

αναλύεται

σέ δύο

= x(u, υ)

τής έπιφάνειας.

Σ'

ενα ύπερβολικό σημείο ή έξίσωση

διαφορετικθς έξισώσεις τής μορφής Α

du

+ Β dv =

Ο, πού

θεωρηθοϋν ώς οί διαφορικές έξισώσεις πρώτης τάξεως τών ασυμπτωτικών γραμμών.

μποροϋν νά ~Eτσι εχουμε

τό έπόμενο θεώρημα:

Θεώρημα

9.15.

Σέ μιά περιοχή ένός ύπερβολικοϋ σημείου μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm, m

~

3,

ύπάρχουν δύο διαφορετικές οικογένειες ασυμπτωτικών γραμμών.

, Εάν

οί

u-

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος είναι ασυμπτωτικές γραμμές, τότε πρέπει

(9.27) γιά du = 1, dv = Ο καί du = Ο, dv = 1 σέ κάθε ' Επίσης ισχύει καί τό αντίστροφο, όπότε έχουμε τό έπόμενο

νά ίκανοποιείται ή

σημείο.

L =

θεώρημα:

Ν

=

Θεώρημα

Ο.

9.16.

Οί

u-

9.13.

τότε

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας έπιφάνειας είναι ασυμπτω­

τικές γραμμές, έαν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο είναι Παράδειγμα

' Αλλά

L

= Ν = Ο.

Θεωρούμε τήν παραμετρική παράσταση

χ

=

(τ

cos e)eI

Εϋκολα ύπολογίζονται τά θεμελιώδη μεγέθη

+ (τ sin e)e2 + (log r)e3'

τ> Ο

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

188

L

=

-τ/(Ι

+ r)1/2,

Μ

= Ο,

= Ι/τ(Ι + r2)l/2

Ν

'Αντικαθιστώντας τίς έκφράσεις αύτές στήν (9.27) καί πολλαπλασιάζοντάς την έπί (Ι dr 2 /r = Ο, πού εΙναι ίσοδύναμη μέ τίς dfJ dr/r Ο, dfJ -

ρική έξίσωση -rdfJ 2

+

+ u = log r

τές εχουν γιά λύσεις τίς fJ

καί

fJ

+ 11 = -log r,

=

+

δπου u

καί

11

+ r2)1/2 dr/r

φθάνουμε στή διαφο­

= Ο.

Οί έξισώσεις αύ­

εΙναι οί σταθερές όλοκληρώσεως.

Οί

οίκογένειες τών καμπυλών τής έπιφάνειας πού προσδιορίζονται από τίς παραπάνω καμπύλες τού παραμετρικού έπιπέ­

δου εΙναι δύο οίκογένειες άσυμπτωτικών γραμμών. καί

δηλαδή τίς fJ

11,

= -(U + 11)/2, r = χ

=

Λίινοντας ώς πρός θ

e(u-v)/2(cos

καί

r

βρίσκουμε δύο συναρτήσεις τών

u

Συνεπώς, ή αρχική παραμετρική παράσταση γίνεται

e(u-v)/2.

!(u + lI»el -

e(u-v)/2(sin

!(u + 1I»e2

+

!(u -1I)e3

ποίι τοπικά εΙναι Ι;να τμήμα έπιφάνειας, τού όποίου οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι οί άσυμπτωτικές γραμμές τής έπι­ φάνειας .

. Υπενθυμίζουμε

τώρα δτι σέ κάθε σημείο μιας καμπύλης μιας έπιφάνειας ή κάθετη καμπυλότητα

είναι Kn

δπου

= π/Ι = k· Ν

είναι τό διάνυσμα καμπυλότητας τής καμπύλης.

k

'Απ'

αυτο επεται ότι μιά καμπύλη είναι

άσυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο της είναι έάν ή

k =

Θεώρημα

Ο ή τό

είναι κάθετο στό Ν.

k

k' Ν =

ο· δηλαδή έάν καί μόνο

νΕτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Μιά καμπύλη μιας έπιφάνειας είναι άσυμπτωτική γραμμή, έάν καί μόνο έάν κάθε

9.17.

σημείο τής καμπύλης είναι σημείο καμπής

(k =

Ο) ή τό έγγύτατο έπίπεδο στό τυχόν σημείο τής

καμπύλης είναι έφαπτόμενο στήν έπιφάνεια. 'Επειδή κατά μήκος μιας ευθείας είναι

Πόρισμα.

k

Ξ ο, εχουμε τό έπόμενο πόρισμα:

Μιά εt'Jθεία μιας έπιφάνειας είναι άσυμπτωτική γραμμή.

Γιά τίς άσυμπτωτικές γραμμές πού δέν είναι ευθείες θά δείξουμε στό Πρόβλημα

199

Θεώρημα

9.18 (Beltrami-Enneper).

πού δέν είναι ευθεία, ή στρέψη

τής σελίδας

Σέ

κάθε σημείο μιας άσυμπτωτικής

δπου Κ είναι ή καμπύλότητα τού

Μιά διεύθυνση

8u:

Gauss

=

-Κ

στο αντίστοιχο σημείο.

8υ σ' ενα σημείο μιας έπιφάνειας λέγεται ~ πρός τή διεύθυνση

αν

dx' 8Ν

δπου (γιά κάποιο τμήμα) είναι σχέσεων

dx

Ldu Bu ' Από

8υ.

=

Ο

(9.28)

καί δΝ

= N u 8u + N v 8υ.

Μέ τή βοήθεια τών

+ M(duBv + dv 8u) +

Ν dv δυ

=

Ο

(9.29)

τή συμμετρία της προηγούμενης σχέσεως συμπεραίνουμε δτι ή

έπίσης συζυγής πρός τήν

Bu:

= X u du + X v dv

du:dv,

βρίσκουμε δτι ή παραπάνω συνθήκη είναι ισοδύναμη μέ τήν

(9.10)

Σημείωση.

γραμμής μιας έπιφάνειας,

ίκανοποιεί τή σχέση

τ2

καί

9.30

τό έπόμενο θεώρημα:

Bu:

du: dv είναι du: dv

8υ, όπότε μπορούμε νά μιλαμε γιά τίς συζυγείς διευθύνσεις

'Επίσης παρατηρούμε δτι μιά άσυμπτωτική διεύθυνση είναι αύτοσυζυγής.

, Εάν δοθεί μιά διεύθυνση du': dv, ή (9.29) γίνεται μιά γραμμική έξίσωση

(L du ώς πρός

Bu:

8υ.

8u:

8υ, δταν

Θεώρημα

Στό Πρόβλημα

LN -

9.19.

Μ2

oF Ο.

+ Μ dv) 8u + 9.29

(Μ du

+ Ν dv) δυ

=

Ο

άποδεικνύεται ότι ή έξίσωση αυτή εχει μιά μοναδική λύση

'Έτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

Κάθε διεύθυνση σ' ενα έλλειπτικό ή ύπερβολικό σημείο μιας έπιφάνειας εχει μιά

μοναδική συζυγή διεύθυνση.

Δύο οικογένειες καμπυλών μιας έπιφάνειας λέγονται συζυγείς (οίκογένειες γραμμών), αν οί διευ­ θύνσεις (τών έφαπτομένων) τών καμπυλών είναι συζυγείς σέ κάθε σημείο.

τρική οικογένεια καμπυλών

f(u,

ρηθεί ώς ή διαφορική έξίσωση 'Εάν οί

u-

υ)

= CI

' Εάν δοθεί μιά παραμε': (9.29) μπορεί νά θεω­ g(u, υ) = C 2 •

στό παραμετρικό έπίπεδο, ή έξίσωση

πρώτης τάξεως τής συζυγούς οΙκογένειας

καί υ-παραμετρικές καμπύλες είναι συζυγείς, τότε πρέπει νά ίκανοποιοϋν τήν

(9.29)

ι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

γιά

=

=

du 1, dv Ο (9.29) εχουμε

καί

στήν

8u

= Ο,

τελικά Μ

=1

8υ

= Ο.

σέ κάθε σημείο.

189

'Αντικαθιστώντας τίς εκφράσεις αυτες

'Επίσης ισχύει καί τό άντίστροφο, όπότε εχουμε τό έπόμενο

θεώρημα: Θεώρημα

Οί

9.20.

u-

καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας εΙναι συζυγείς,

εάν καί μόνο εάν εΙναι Μ

=

Ο σέ κάθε σημείο.

'Από τό προηγούμενο θεώρημα καί τό πόρισμα του Θεωρήματος Πόρισμα:

συμπεραίνουμε τό έξής:

9.12

Οί U- καί υ-παραμετρικές καμπύλες ένός τμήματος μιας επιφάνειας πού δέν εχει ομφα­

λικά σημεία εΙναι ορθογώνιες καί συζυγείς, εάν καί μόνο εάν εΙναι γραμμές καμπυλότητας. Παράδειγμα

9.14.

Θεωρούμε τήν έπιφάνεια πού δίνεται άπό τό τμήμα (Παράδ.

Χ Γνωρίζουμε

δτι

L

= uel

= Ν = 2(u2 + v 2 + 1)-Ι/2,

Μ

έπιφάνειας ε{ναι συζυγείς.

τήν έξίσωση I(u, υ) Ιv: -Ιu

= -v: u.

=

+ ve2 +

= Ο.

(u 2

Έπειδή Μ

= ο,

9. Ι Ι)

= (Ι.(.) YJ

+ v 2)e3

επεται

Rt-..

v~

δτι οί παραμετρικές

καμπύλες τής

Θεωρούμε τώρα στό παραμετρικό έπίπεδο τήν οίκογένεια τών καμπυλών πού δίνεται άπό U2 V 2 = C~. Έπειδή dl du IV dv 2u du 2υ dv ο, εχουμε du: d1' =

= LU

+

-v δu + u δυ = Ο, πού εχει γιά καμπυλών U 2 + V 2 = C~ καί u

=

+

=

+

2(1 + u 2 + v 2 ) -Ι/2, παίρνουμε τήν έξίσωση λύσεις τήν οίκογένεια τών εύθειών u = C 2v. 'Επομένως, οί δύο οίκογένειες τών C 2v προσδιορίζουν δύο συζυγείς οίκογένειες γραμμών τής έπιφάνειας, πού ε{ναι

Έάν χρησιμοποιήσουμε τήν

(9.29)

καί διαιρέσουμε μέ

=

γραμμές καμπυλότητας. Σημείωση. παραμετρικών

'Όπως είδαμε, ή κάθετη καμπυλότητα ε{ναι κατά προσέγγιση προσήμου άνεξάρτητη τών έπιτρεπτών μετασχηματισμών.

"Ετσι,

προκύπτει δτι οί κύριες καμπυλότητες (κατά προσέγγιση

προσήμου), οί

κύριες διευθύνσεις, οί γραμμές καμπυλότητας καί τά όμφαλικά σημεία, αν καί όρίστηκαν μέ τή βοήθεια ενός συγκε­

κριμένου τμήματος, ε{ναι έννοιες πού άναφέρονται στήν έπιφάνεια καί όχι στό τμήμα.

Κάτι άνάλογο ίσχύει γιά τίς

άσυμπτωτικές γραμμές καί τίς συζυγείς διευθύνσεις.

Λυμένα ΙΙροβλήματα ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ.

9.1.

ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ.

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Δείξτε ότι ή πρώτη θεμελιώδης μορφή ένός τμήματος τής εκ περιστροφής επιφάνειας

χ

+ f(t)(sin θ)e2 + g(t) e3

Ι

γράφεται "Εχουμε

f(t)(cos θ)eι

Χθ

Ε

=

=

-(Ι Βίη

Χθ·Χθ

+ (Ι cos e)e2, Xt = = 12, F = Χθ·Χt =

(Ι'

e)el

cos e)el

+ (Ι'

Βίη

e)e2

+ g'e3

Ο,

άπό τίς όποίες παίρνουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

9.2.

= e θ (cοtβ)/V2, θ = θ,

Βρείτε τό μήκος του τόξου u κώνο

"Εχουμε Ε ιcαί

χ

= Χθ· Χθ = u 2,

= F

Ο ~ θ ~ π, β

+ (u sin θ)e2 + ue3 = Χθ· Xu = Ο, G = Xu • Xu = 2, du/de = u(cot β)/ΥΖ, (u cos θ)eι

Ο

[u2

+ (cot2 β)u2j1/2 de

=

";1 + cot2 β fTΓ uΟ

γιά

γιά du2 + dv 2


FL)

Ο,

ή προηγούμενη εκ­

= Ο,

πού Ισοδυναμοϋν

= M/F = N/G.

Δείξτε δτι γιά κάθε σημείο Ρ μιας έπιφάνειας ύπάρχει ενα παραβολοειδές τέτοιο ώστε ή κάθετη καμπυλότητα τής επιφάνειας κατά τήν τυχούσα διεύθυνση εΙναι ίση μέ τήν καμπυ­ λότητα του παραβολοειδους στήν 'ίδια διεύθυνση .

. Υποθέτουμε

δτι ή έπιφάνεια εχει μεταφερθεί καί περιστραφεί, ετσι ωστε τό Ρ νά βρίσκεται στήν άρχή

τών άξόνων καί τό έφαπτόμενο έπίπεδο στό σημείο αύτό νά συμπίπτει μέ τό έπίπεδο

%Ι%2'

Τότε ύπάρχει μιά

περιοχή της έπιφάνειας στό Ρ πού είναι ή είκόνα τοϋ ψήματος

χ δπου

Χ(Ο, Ο)

=

ο, χ",(Ο., Ο)

= 8ι,

Χ

= ae3'

δπου

xu",(O, Ο)

α du2

+ 2b du dll + C d1l 2 du2 + d1l 2

=

χ,,(0, Ο)

+

uel

= e2'

1182

+

f(U,1I)e 3

' Από τόν τύπο τοϋ

εχουμε

Taylor

+ lIe2 + t(au2 + 2bull + cv 2)e3 + o(u2 + 112)

uel

=

χ",,,(Ο, Ο)

=

be3 καί

"",,(Ο, Ο)

=

=

ce3, Ν(Ο, Ο)

• Επομένως

e3.

εχουμε

".

=

. Η έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν προσέγγιση

= uel + lIe2 + t(au2 + 2bull +

χ.

είναι ενα παραβολοειδές έφαπτόμενο στό έπίπεδο %Ι%2 στό

u =

C1I 2 )e3

Ο, 11

Ο καί τέτοιο ωστε ":

=

= ".,

πού

είναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

9.16.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

Μιά διεύθυνση

9.5:

duo : dv o

εΙναι κύρια και ενας άριθμός "ο εΙναι

ή κύρια καμπυλότητα πού άντιστοιχεί στή διεύθυνση αύτή σ' εάν καί μόνο εάν τά /(0'

ενα σημείο μιας έπιφάνειας,

du o' dv o (γιά κάποιο τμήμα) ίκανοποιουν (L - /(οΕ) du o + (Μ - "oF) dv o = Ο

τίς σχέσεις

'Υποθέτουμε δτι "ο εΙναι ή κύρια καμπυλότητα κατά τήν κύρια διεύθυνση

(α)

duo: dllo•

δτι οί κύριες καμπυλότητες είναι ή μέγιστη καί ή έλάχιστη τιμή της κάθετης καμπυλότητας "ιι'

παίρνει τή μέγιστη

t'f

11 Τ

=

"n

du 2

L Ε du 2

=

τήν έλάχιστη τιμή της "ο στό

+ 2Μ du dll + + 2F du dv + (duo, dllo),

a"n- Ι -

Ι II du

~

, Εάν

τότε οί μερικές παράγωγοι σ' αύτό τό σημείο

. Αλλά

-

(1I/1)I(dUo. dvo)

ο

=

Ο

~

Ι, εχουμε

~I Ι du

=

-_ (duo' dv o )

πολλαπλασιάσουμε μέ

καί

(duo.d"o)

ΙΙ I du Ι

12

II d",

Ο

(d",O' dvo)

"nl(duo.dVo)

καί

= "ο· Συνεπώς καί

. Αφοϋ II du

2L du

+ 2Μ dv

καί

I d ", =

2Ε

(L duO

+ Μ dvo)

-

(Μ duo

+ Ν dvo)

-

du

+ 2F dll,

κλπ., εχουμε

+ F dvo) "o(F duo + G dvo) "ο(Ε duo

Συνεπώς, αν ή

Ν d1l 2 G dv 2

πρέπει νά μηδενίζονται, δηλαδή

a du

'Υπενθυμίζουμε

=

ο

=

Ο

τ ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

194

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα. κανοποιοϋν τίς έξισώσεις (α).

ΚΕΦ.9

. Αντίστροφα, ύποθέτουμε τώρα ότι τά κο, dtto, dvO, dlt~

+ dv~

Φ Ο, ί­

Τότε τό κο πρέπει νά ίκανοποιεί τήν έξίσωση

Μ-

L - κΕ det ( Μ - KF

KF) N-KG

Ο

ή άναπτύσσοντας

(EG - F2)K2 -

. Υποθέτουμε

(ΕΝ

+ GL -

2FM)K

+ (LN -

=

Μ2)

πρώτα ότι Ρ εΙναι ενα όμφαλικό σημείο μέ καμπυλότητα κ.

Ο

(b)

• Αφοϋ ή τιμή κ λαμβάνεται σέ

κάθε διεύθυνση, οί συντελεστές τών έξισώσεων (α) πρέπει νά εΙναι όλοι μηδέν, δηλαδή Άλλά τότε άπό τό Πρόβλημα

N/G. καί κ

= ΚΟ.

διεύθυνση.

9.14

επεται ότι ή έξίσωση

(b)

κ

= L/E = M/F

=

εχει μία μόνο ρίζα μέ πολλαπλότητα δύο

ν Αρα τό κο εΙναι ή κύρια καμπυλότητα καί κάθε διεύθυνση, όπως καί ή

duo: dv o ,

εΙναι κύρια

'Εάν τώρα τό Ρ εΙναι ενα μή όμφαλικό σημείο, ή κο πρέπει νά εΙναι μία άπό τίς δύο διαφορε­

τικές ρίζες τής (b~ δηλαδή μία άπό τίς δύο κύριες καμπυλότητες σ' ενα μή όμφαλικό σημείο, καί ή άντίστοι­ χη διεύθυνση

9.17.

duo: dv o

νά εΙναι κύρια.

Δείξτε ότι ή καμπυλότητα κ σ'

"Ετσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ενα σημείο Ρ μιας καμπύλης

C,

πού εΙναι τομή δύο τμη­

μάτων επιφανειών, ίκανοποιεί τή σχέση

κ2

sin 2 α =

K~

+ K~

2Κ Ι Κ2 COS α

-

όπου κι καί Κ 2 εΙναι οί κάθετες καμπυλότητες κατά τή διεύθυνση της

C

στό Ρ καί α ή γωνία

τών καθέτων στίς επιφάνειες στό Ρ. Άπό τήν έξίσωση

(9.17)

της σελίδας

κιΝ2

. Αφαιρώντας

=

εχουμε

180

K(n' Ν ι )Ν 2

καί

=

Κ2Νι

K(n' ΝΖ)Ν ι

κατά μέλη καί χρησιμοποιώντας τή διανυσματική ταυτότητα τού Θεωρήματος

1.8

τής σελίδας

10

βρίσκουμε

'Από τήν ταυτότητα

[F l ],

της σελίδας

ιο επεται ότι κΖ[(Ν ι χ Ν Ζ ) χ η]

κ2[(Ν ι χ Ν 2 )

• [(Νι

• (Νι χ Ν Ζ )

χ Ν ) χ η]

2

-

«Νι χ Ν 2 ),

n)2]

κΖ(Ν ι χ Ν Ζ ) • (Νι χ Ν 2 )

όπου χρησιμοποιήσαμε τό γεγονός στι τό Νι χ Ν 2 εΙναι ενα διάνυσμα παράλληλο πρός τήν έφαπτομένη τής καμπύλης καί συνεπώς (Νι χ Ν 2 ) •

n =

K~

9.18.

Ο.

Μετά τίς πράξεις παίρνουμε

2ΚΙΚ2 cos α

-

+

K~

=

κ 2 sin 2 α

Δείξτε ότι σ' ενα τυχόν σημείο ένός τμήματος επιφάνειας ισχύει Ν.. χΝ"

σπου Κ εΙναι ή καμπυλότητα τού

Gauss

=

Κ(χ.. χχ,,)

στό σημείο αυτό.

'Αφοϋ τό Ν εΙναι μοναδιαίο διάνυσμα, τά διανύσματα Ν.. καί Ν" εΙναι κάθετα στό Ν καί συνεπώς παράλληλα πρός τό έφαπτόμενο έπίπεδο. Μπορούμε έπομένως νά γράψουμε Ν.. ι:χ.. όπου τά α, b. c. d πρέπει νά προσδιοριστοϋν. Παρατηρούμε ότι

+ dx",

Ν.. χ Ν"

=

(aχ,.

+ bx,,) χ

(cx.. + dx,,)

=

νΕτσι άπομένει νά δείξουμε δτι

ad -

. Από

τή σχέση αύτή καί τίς σχέσεις

χ,.' Ν.

=

cb

(9.10)

ax,.' χ,.

=

det (:

της σελίδας

+

bx.. • χ"

:) 175

=

(ad - bc)(x,. χ χ,,)

= κ εχουμε

αΕ

+

bF

-L

= αχ.. +

bx"

καί Ν"

=

Γ ΚΕΦ.

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

9

Χ" • Ν..

~Oμoια

χ,.·Ν"

Χ" • Ν"

=

+ bG = cE + dF = = cF + dG = aF

195

-Μ

-Μ

-Ν

ΟΙ έξισώσεις αύτές μπορούν νά γραφούν μέ τή μορφή γινομένου πινάκων ώς έξής:

(-L

= Συνεπώς

~)

det (:

~) =

det ( ;

ad _ cb

=

-Μ)

-Μ

-Ν

(~~

det

LN - Μ2 EG-F2

-Μ)

-Ν

Κ

τό όποίο συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ

9.19.

Προσδιορίστε τίς κύριες διευθύνσεις τής έπ-ιφάνειας πού δίνεται άπό τό τμήμα

ve2 +

+

(u2

v 2 )e3

χ

= uel

+

u = 1, v = 1 καί έπαληθεϋστε τόν τύπο τοϋ Rodrigues γιά κάθε κύρια

στό

διεύθυνση.

=

=

=

'Από τό Παράδειγμα 9.11 τής σελίδας 185 έχουμε Ε = 1 + 4u2, F 4ull, G 1 + 4112, L 2(4u2 + 4112 + 1)-1/2, Μ = Ο, Ν = 2(4u2 + 4112 + 1)-1/2. Στό u = 1, 11 = 1 εχουμε Ε = 5, F 4, G = 5, L = 2/3, Μ = Ο, Ν = 2/3. Σύμφωνα μέ τήν έξίσωση (9.25) τής σελίδας 185 οΙ κύριες διευθύνσεις στό u = 1, v = 1 ε{ναι οΙ λύσεις τής έξισώσεως

= Ο .., (du + dv)(du - dll) = dUt: dlll = 1 : -1 καί dU2: dV2 = 1 : 1. "Εχουμε έπίσης χ.. = el + 2ue3' Χ" = e2 + 2ve3 Ν = (4u 2 + 4112 + 1)-1/2(-2uel - 2ve2 + e3) -ldu2 + ~d1l2

Συνεπώς

Στό

ο

Ν..

= (4u 2 + 4v 2 + 1)-3/2 [-(8u 2 + 2)eI + 8ulle2 - 4ue3]

Ν"

=

(4u2 + 4112 + 1)-3/2 [8Ullel - (8112 + 2)e2 - 411e3]

= 1, 11 = 1 ε{ναι χ,. = el + 2e3, χ., u

= N.. dul + N"d1l1 = !-τ (-18el + 18e2) = -~~ (el -e2)'

dN l "Αρα

dN l

18 = -Γ7dχι.

dN2

=

Συνεπώς dN2

= x,.dul + x.,d1l1 = el - e2

dxI

'Επίσης

Ν.. dU2 + Ν" d1l2 dX2

9.20.

=

= -i; dX2,

=

=

Χ.. dU2

!-ΤΙ -2el - 2e2 - 8e3]

+

=

Χ" d1l2

+

el

= - -b [eI + e2 + 4e3] e2

+

4e3

πού μαζί μέ τήν άντίστοιχη παραπάνω σχέση έπαληθεύουν τόν τύπο τού Rodrigues.

Δείξτε στι οί λύσεις τής Α du2

+ 2Β du dv + C dv 2 =

Ο προσδιορίζουν οίκογένειες όρθογώ­

νιων καμπυλών σ' ενα τμήμα, έάν καί μόνο έάν Εσ

- 2FB

+ GA

=

ο.

Ύποθέτουμε δτι

Α

du2

+

2Β

du dll

+

C d1l 2

=

(Α'

du

+ Β' dll)(C' du + D' dv) du + Β' dll = Ο καί

Τότε ή μία άπό τίς οίκογένειες τών καμπυλών ε{ναι ή λύση τής Α'

τής

C' 8u

8u : 811

+ D' 811 = Ο.

= D': -C'.

Κατά μήκος τής πρώτης εχουμε

'Αλλά σύμφωνα μέ τό θεώρημα

9.1

du: dv

= Β' : -Α'

τής σελίδας

173

ή άλλη ε{ναι ή λύση

καί κατά μήκος τής δεύτερης

οΙ καμπύλες τών δύο οίκογενειών

εΙναι όρθογώνιες, έάν καί μόνο έάν

Ε du 8u

+ F(du 811 + d1l8u) + G d1l811

+ D'A') + GA'C' + GA = Ο

= EB'D' - F(B'C' EC - 2FB

9.21.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

9.11:

r

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

196

'Εάν Ρ εΙναι ενα σημείο μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm,

m~

2,

τότε ύπάρχει ενα τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις τών παραμετρικών καμπυλών στό Ρ νά εΙναι οί κύριες διευθύνσεις. ΕΙναι άρκετό νά θεωρήσουμε τήν περίπτωση όπου τό Ρ εΙναι ενα μή όμφαλικό σημείο.

Γιατί διαφορε­

τικά κάθε διεύθυνση θά ήταν κύρια διεύθυνση καί κάθε τμήμα πού περιέχει τό Ρ θά ήταν κατάλληλο. θέτουμε τώρα ότι

οί

Χ

= X(U,

υ)

εΙναι ενα τυχόν τμήμα πού περιέχει τό μή όμφαλικό σημείο Ρ

dUt: dvt καί duz; dvz είναι οί κύριες διευθύνσεις στό Ρ.

, ματισμο u

=

οί διευθύνσεις

dιιι Ο

+

d U! Φ,

=

υ

d υι

+

Ο

dυ2 φ.

Ύπο­

καί άκόμα ότι

Θεωροϋμε τό γραμμικό παραμετρικό μετασχη-

Π αρατηρουμε - "οτι

υ) =

ο ά

dUZ).J. dV -r-

-

, φου 2 "Ετσι, ό παραμετρικός μετασχηματι­

dUt: dvt καί dU2: dV2 εΙναι διαφορετικές μεταξύ τους.

σμός είναι ενας έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός κλάσεως

I de t (dU dVI

iJ(U, iJ(o, φ)

C"".

"Επεται άκόμα ότι ή Χ

=

χ*(ο, φ)=

x(u(o, Φ), v(o, φ» είναι ενα τμήμα κλάσεως C2, πού περιέχει τό Ρ καί γιά τό όποίο εχουμε

Xe Χφ

+ XV(iJV!iJO) + χ,,(iJv!iJφ)

XU(iJU!iJO) χ u (iJ1ι/iJφ)

=

x u dul Xu

dUz

+ Χ" dVI + Χ" dV2

Δηλαδή οΙ διευθύνσεις τών 0- καί φ-παραμετρικών καμπυλών στό Ρ εΙναι έκείνες τών κύριων διευθύνσεων.

9.22.

Τό θεώρημα του

νειας κλάσεως

Euler. Cm, m

~

' Αποδείξτε ότι ή κάθετη καμπυλότητα σ' ενα σημείο Ρ 2, κατά τή διεύθυνση τής έφαπτομένης L δίνεται από κ..

κι cos2a

=

+ Κ2 Βίη

2

μιας έπιφά­

τή σχέση

a

όπου κι καί Κ 2 εΙναι οί κύριες καμπυλότητες στό Ρ καί α ή γωνία μεταξύ της

καί τής

L

κύριας διευθύνσεως πού αντιστοιχεί στήν ΚΙ'

Τό θεώρημα εΙναι προφανές, αν τό Ρ εΙναι όμφαλικό σημείο, γιατί τότε «1 σουμε τίς άλλες περιπτώσεις, εστω

u-

καί

186 εχουμε F 2

«1

".. = Ldu Ε du 2

= L!E

καί «\Ι

=Μ =Ο

. Θ . 913 ξ'ερουμε οτι ". . • εωρημα. οι κυριες

=

Κι Ε du2 + G dv2 +

cOSα

=

9.12

της

καί Ο:

1

λότητες ε{ " ναι αντιστοιχα

Ε du2 + G dv2 L,

πού εχ.ει διεύθυνση

άντίστοιχ.α, εχουμε άπό τήν εξίσωση

Edu

ΥΕ du2

καμπυ

Gdv 2

1(2

'Εάν τώρα α καί β είναι οί γωνίες μεταξύ μιας τυχούσας εφαπτομένης

1: Ο

Γιά νά εξετά­

στήν προηγούμενη σχέση εχουμε

Edu2

τών κύριων διευθύνσεων

= «".

Τότε άπό τό Θεώρημα

το

' Αντικαθιστώντας IC n

«\Ι

καί ή κάθετη καμπυλότητα σέ κάθε διεύθυνση du: dv δίνεται άπό τήν εκ-

2 ++ Ν dv • 'Α' G dv πο 2

= N/G.

=

ενα τμήμα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οΙ διευθύνσεις τών

υ-παραμετρικών καμπυλών νά είναι εκείνες τών κύριων διευθύνσεων.

σελίδας φραση

= x(u, υ)

Χ

καί

+ G dv2 ..;E

(9.6)

τής σελίδας

du: dv, καί

173

Gdv 2

COSp

'Εάν ύψώσουμε στό τετράγωνο καί άντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση, παίρνουμε

".. = , Αλλά

9.23.

"ι

COs

2

α

οί κύριες διευθύνσεις εΙναι κάθετες, δηλαδή β

Συμπληρώστε τήν απόδειξη του Θεωρήματος σ'

+

"Ζ

2 COS

= .,./2 -

9.14.

β

α, καί τελικά

" .. =

"ι COS2 α

+

"2

sin2 α.

Δηλαδή δείξτε ότι ή διεύθυνση

du: dv

ενα σημείο μιας έπιφάνειας είναι μιά κύρια διεύθυνση, αν γιά κάποιο αριθμό κ (καί γιά

κάποιο τμήμα) ισχύει

κατά τή διεύθυνση

dN = -Kdx

du: dv .

• Από τή σχέση dN

= -" dx

+ "dx) • Χ,. = Ο καί (ιιΝ + "dx) • Χ" = ο 1'\ [(Ν.. du + Ν" dv) + "(xu du + Xv dv)] • xu = Ο. [(Ν,. du + Ν" dv) + "(xu du + Xv dv)J • Χ" = Ο εχουμε

(dN

(-N,.·Xu - "Χ,. 'Xu)du

+

(-Ν,,·Χ,. -

"x,,'xu ) dv

Ο

(-Ν,.' Xv -

+

(-Ν,,' Xv -

ΚΧ,,' Xv) dv

ο

"χ,.' Xv) du

Ι

r ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ θΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

. Από

τό θεώρημα

θυνση

9.24.

9.5

(Μ

(Μ

(Ν

τής σελίδας

-

επεται ότι ή

183

' Αποδείξτε dv (γιά

τό Θεώρημα

καί

Ο

- "G) d1J

εΙναι μιά κύρια καμπυλότητα καί ή άντίστοιχη διεύ­

"

Μιά διεύθυνση

9.9:

- LF) du2

Σύμφωνα μέ τό θεώρημα

"

9.5

+ ή

(ΕΝ

du: dv

εΙναι κύρια, έάν καί μόνο έάν τά

du

+

- LG) du dv

du: d1J

(FN - MG) dv2 =

Ο

εΙνυι μιά κύρια διεύθυνση, Μν καί μόνο Μν γιά κάποιο πραγμα­

(καί γιά κάποιο τμήμα) έχουμε

+ (Μ "F) du + (Ν -

"Ε)

(L (Μ

-

du

+ Μ d1l)

(L du

πού γράφεται

(ΕΜ

+

- LF) du2

(ΕΝ

Ο Ο

du + F d1l)

=

ο

=

Ο

οί παραπάνω έξισώσεις μποροϋν νά έχουν τή

LdU+MdV det ( Mdu+ Ndv

= "G) d1l =

"F) d1J

,,(F du + G dv)

,,(Ε

(Mdu+Ndv)

9.25.

Ο

κάποιο τμημα) ίκανοποιουν τήν εξίσωση

(ΕΜ

, Αλλά

=

- "F) d1J

πού έπαληθεύει τίς σχέσεις εΙναι κύρια διεύθυνση.

du: dv

τικό άριθμό

+ "F) du +

(L - "Ε) du

197

μή μηδενική λύση

Edu Fdu

- LG) du dv

+ FdV) + Gd1J +

(1, -,,),

Μν καί μόνο έάν

ο

=

(FN - MG) d1J 2

Ο

'Εάν δύο επιφάνειες τέμνονται κατά σταθερή γωνία καί ή τομή τους εΙναι γραμμή καμπυλό­ τητας της μιας έπιφάνειας, δείξτε ότι είναι καί γραμμή καμπυλότητας της dλλης. VΕστω ότι οί έπιφάνειες Μι καί ΜΖ είναι Νι' Ν2

= σταθ.

τέμνονται κατά σταθερή γωνία.

Τότε κατά μήκος τής τομής τους

Συνεπώς

0= :t(Nl'Nz} = (:tNl)'N2+ Nl':tNz Έάν ύποθέσουμε ότι ή τομή ε{ναι γραμμή καμπυλότητας της

dN t

dx Τι = -"Ι dt'

• Επομένως

dx

-"ιΤι'ΝΖ

+

dN 2

Νι'ΤΙ

Μι. τότε ξέρουμε ότι (τύπος του Rοdήgues)

Ο

=

. Αλλά τό διάνυσμα d:x/dt είναι κάθετο στό ΝΖ, δηλαδή (dxldt)· ΝΖ

δή τό διάνυσμα άNldt ε{ναι κάθετο στό Νι. ε{ναι μοναδιαίο.

τοιος ωστε

9.26.

. Επομένως,

τό

dNz/dt είναι dNJdt = -"2(dx/dt}. • Επομένως,

Τρίτη θεμελιώδης μορφή.

•Η

συγγραμμικό μέ τό

=

Ο.

d,,/dt.

Δηλαδή

ύπάρχει άριθμός

-

2Η Π

+ ΚΙ =

• Από Nu

τόν τύπο τοϋ

=

-"I"u

σπου "ι καί "2 είναι οί κύριες καμπυλότητες.

+

Ν" dv

-"lxu du -

=

-Ι

+

+

"ιΧ., d1l -

Kldx

Ν"

=

"2Χ"

έχουμε σ'

αύτό τό σημείο

-"2""

dv

"2Χ., dv

=

Έκλέγουμε

u- καί ν-παραμετρικών καμπυλών ατό

Συνεπώς, γιά τό τυχόν διάνύσμα (du, dv) εΙ ναι

-"IX u du -

"ιΧ., dv

dN

καί

Rodrigues

Παρατηροϋμε

"Ετσι, εΙναι άρκετό

νά θεωρήσουμε ενα τυχόν σημείο Ρ καί νά άποδείξουμε τήν παραπάνω σχέση στό σημείο αύτό. γι' αύτό ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις τών

N u du

= dN' dN.

Ο, 6που Η καί Κ εΙναι ή μέση καμπυλότητα

Εϋκολα έπιβεβαιώνεται ότι ή ΠΙ είναι άναλλοίωτη, μέ τήν ίδια έννοια πού ε{ναι καί ή Ι.

dN

ΝΖ

"2 τέ­

άντίστοιχα.

Gauss

νά ε{ναι κύριες διευθύνσεις.

Δηλα­

ή τομή είναι έπίσης γραμμή καμπυλότητας της Μ 2 •

στι ή ΙΙ καί ή Η άλλάζουν πρόσημο συγχρόνως μέ τήν άλλαγή τοϋ προσανατολισμοϋ.

Ρ

= Ο.

"Ετσι Νι' (άN2 /dt)

εΙναι κάθετο καί στό Ν 2 , γιατί τό

τρίτη θεμελιώδης μορφή όρίζεται άπό τή σχέση ΠΙ

Δείξτε 6τι ισχύει ή σχέση ΠΙ καί ή καμπυλότητα του

Άλλά τό άNz/dt

-"ι dx

+

("ι - "2)"" dv

+ Κ2 dx = (dN + κι dx) • (dN + Κ2 dx) dN

"Αρα

· Αλλά

("2 - κι)χ,. du (Κι

-

ΠΙ

!(Χι, Χ2, Χ3)

= C,

•Xv

~:: ~~::) !:Ι:3

dX3

=

'Εάν aχ

Ι:Ι:2 d:ι: 2

d:ι: ι

=

df:ι:

d:Ι:2

+ d:Ι:3 e3

ι el

=

dN

+ df:Ι:2 e2 + dfx3e3.

= f:ι:ιeι + f:Ι:2e2 + f:Ι:3e3

τήν

έξίσωση

= ο.

=

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ.

[dx G dG]

+

IGI3

'Υποθέτουμε τώρα δτι ή διεύθυνση τοϋ διανύσματος Τότε, άπό τόν τύπο τοϋ

[d .Q. (dG _ (G' dG)G)] χ IGI IGI IGI3

Συνεπώς

Ι

εΙναι κάθετο στήν έπιφάνεια καί

= dG _ (G' dG)G

Συνεπώς, τά τρία διανύσματα aχ, Ν καί

[dx Ν ιΙΝ]

[dx GG]

άπό

διάνυσμα της έπιφάνειας. τότε Ι:Ι: d:ι: ι

εΙναι ενα έφαπτόμενο

Συνεπώς. τό διάνυσμα G

εΙναι μιά κύρια διεύθυνση.

εΙναι συγγραμμικά.

Ο

προσδιορίζεται

ο

IGI

dG =

πού

d!:Ι:3

" Αρα

δπου

Συνεπώς. στό

ο

ο,

+ d:Ι:2 e2 + d:Ι:3 e3

el

+ Ι:Ι:3 d:ι:3 = Ο.

= G/IGI·

= ο.

εΙναι λύσεις των έξισώσεων

det (:::

Άλλά

du dv X u

+ Κ Ι = ο.

2Η Π

-

Δείξτε στι οΙ κύριες διευθύνσεις μιας έπιφάνειας,

e2

Κι)

+ κι dx) • (ιΙΝ + Κ2 dx) = Ο + (Κι + Κ2) dN • dx + "ΙΚ2 dx • dx

dN • dN

· Επομένως

Ν

-

(ιΙΝ

1'\

9.28.

Κ2)(Κ2

έπειδή οΙ γραμμές καμπυλότητας εΙναι όρθογώνιες στό Ρ. εχουμε τελικά X u ' X v

σημείο αύτό εΙναι

9.27.

ΚΕΦ.9

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

198

= ο,

dN

=

dx = d:ι: ι el + dx καί dN

τά διανύσματα

Rodrigues,

εΙναι γραμμικώς έξαρτημένα, όπότε

_1_ [dx G dG] IGI2

G' dG [dx GG] IGI4

άπό τήν όποία επεται εύκολα τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ

Δείξτε στι οί παραμετρικές καμπύλες της έπιφάνειας χ

= xl(U) + X2(V),

σπου Χι καί Χ2 εΙναι

τυχούσες παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις, εΙναι συζυγείς.

Ειναι λίδας

189

Xu

= χ; (u),

Xv

= x~(υ),

Xvv

==

Ο. Συνεπώς Μ

= x,.v· Ν == Ο.

"Ετσι, άπό τό Θεώρημα 9.20 της σε­

επεται δτι οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι συζυγείς.

9.29. ' Αποδείξτε

τό Θεώρημα·

Σέ ενα έλλειπτικό ή ύπερβολικό σημείο κάθε διεύθυνση εχει

9.19:

μιά μοναδική συζυγή διεύθυνση .

. Από

τήν έξίσωση

(9.29) της σέλίδας 188, ή 8u: 811 εΙναι συζυγής πρός τήν du: dv, έάν καί μόνο Μν

·Η

(Μ

+

(Mdu+Nd1l)2

παραπάνω έξίσωση εχει μιά μοναδική λύση

δέν μηδενίζονται συγχρόνως.

"Ετσι, αν δοθεί

=

+

(L du+M dv) 8u

du+N dv) 8υ Ο 2 2 8u: 8v, 8u + 8v .,ι. ο, Μν καί μόνο Μν οί δύο συντελεστές ή du: dv, ύπάρχει μιά μοναδική διεύθυνση 8u: 811 πού έπα­

ληθεύει τήν έξίσωση Μν καί μόνο Μν

(Ldu+Md1l)2

1'\

(V

· Αλλά

+ Μ2) du 2 +

2(LM + ΜΝ) du dl1

+

(Μ2

.,ι.

Ο

+ Ν2) dv 2

ή τελευταία εΙναι διάφορη τοϋ μηδενός γιά δλες τίς διευθύνσεις

.,ι.

du: d1l,

Ο μέ

du2 + dv 2 .,ι.

ο, έάν καί

μόνο έάν ή διακρίνουσά της ε!ναι

(L2 + Μ2)(Μ2 + Ν2) - (LM + ΜΝ)2 η

αναπτύσσοντας

ζυγή διεύθυνση στροφό του.

(LN 8u: 811,

Μ2)2

>

Ο

η

LN -

έάν καί μόνο έάν

Μ2 .,ι. Ο.

LN -

>

Ο

"Ετσι κάθε διεύθυνση

du: d1l

εχει μιά μοναδική συ­

Μ2 .,ι. Ο, .πού άποδεικνύει τό θεώρημα καθώς καί τό άντί­

r ι

ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΜΟΡΦΗ

ΚΕΦ.9

9.30.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα

Κατά μήκος μιας άσυμπτωτικής γραμμής πού δέν εΙναι εύθεία

9.18:

ή στρέψη ίκανοποιεί τή σχέση Σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

τ2

=

=

-Κ.

τής σελίδας

9.17

γραμμής ε{ναι εφαπτόμενο στήν επιφάνεια.

b

199

188,

τό εγγύτατο επίπεδο σέ κάθε σημείο μιας ασυμπτωτικής

Συνεπώς, κατά μήκος τής καμπύλης αύτής ή δεύτερη κάθετος ε{ναι

= ±(dNlds) = -τη καί (dNlds)' (dNlds) = ..2(η· η) = τ2• 'Από τό + Κ Ι = ο. 'Αλλά κατά μήκος μιας ασυμπτωτικής γραμμής ε{ναι πΙ = (dNlds) • (dNlds) = τ καί Ι = (ώr.lds) • (dx/ds) = 1. Συνεπώς τ + Κ = Ο ij τ = -Κ.

±Ν, απ' σπου επεται στι b 9.26 εχουμε πι - 2Η Π

Πρόβλημα

Π

9.31.

= Ο,

2

2

2

Δείξτε δτι οι ασυμπτωτικές διευθύνσεις τής έπιφάνειας πού προσδιορίζεται άπό τήν έξίσωση

{(Χι, Χ2, Χ3)

= C

εΙναι λύσεις των έξισώσεων

dxtd{xt

+

+

dx2 d{X2

Σύμφωνα μέ τό Πρόβλημα

•

_

=

dx3 d{X3

' _ dG (G • dG)G IGI και dN - IGI IGI3 .

=

{xtdXl+{X2dx2+{X3dx3

+ fX2e2 + fX3e3

9.27 τό διάνυσμα G = fxtet

G

Ετσι Ν -

ο,

Ο

ε{ναι κάθετο στήν επιφάνεια.

Συνεπώς, αν ή διεύθυνση τοϋ dx

= dxt el + dX2 e2 + dX3 e3

ε{ναι μιά ασυμπτωτική διεύθυνση, εχουμε

=

ο

, Αλλά dx' G

9.32.

= Ο.

- Αρα dx' dG

=Ο

(G • dG)(dx • G)

dX'dG

-dx'dN

ΙΙ

-IGΓ

τι dxl dfx

l

IGI3

+ dX2 dfx2 + dX3 dfx3 = Ο.

Χρησιμοποιώντας τό προηγούμενο πρόβλημα βρείτε τίς άσυμπτωτικές γραμμές τής έπιφάνειας

{ =

Χ3 -

χι βίnΧ2

=

Ο,

< Χ2 < π/2,

-π/2

Χι> Ο.

= -ΒίηΧ2, f X2 = -χι cosxz, fX3 = Ι, dfxl = -COSX2 dx 2, dfZ2 = -cosxzdxl + χι Βίη Χ2 dX2, dfx3 = Ο. Ή εξίσωση dfxt dxt + dfxz dx2 + dfx3 dX3 = -2 COS Χ2 dxl dx 2 + χι Βίη Χ2 dx; = Ο ε{ναι ίσοδύναμη μέ τίς dX2 =.: Ο καί -2 cos ΧΖ dxt + χι Βίη Χ2 dX2 = Ο, πού εχουν λύσεις Χ2 = C καί "Εχουμε

Χι

ιχι

= Κ secl/2 Χ2

αντίστοιχα. 'Εάν αντικαταστήσουμε τήν πρώτη στήν εξίσωση

τήν οίκογένεια τών εύθειών χι

πυλών

χι

= Κ secl/2 u,

Χ2

= t,

= U,

Χ2

= C,

Χ3

= t Βίη C,

= Κ sec l l2 U Βίη u,

Χ3

t >

-π12

Ο.


Ο,

Δείξτε δτι ή

Χ

άπό τήν

9.46.

11)

=C

-

χ:

καί x~ - x~ = Κ.

+

'11

u-παραμετρικής καμπύλης

xi = Ο

ν

=Ο

ή στρέψη

είναι οί τομές τής επιφάνειας μέ τούς

Δείξτε δτι οΙ διευθύνσεις των γραμμων καμπυλότητας διχοτομούν τίς γωνίες πού σχηματίζουν οί άσυμπτωτικές διευθύνσεις.

9.53.

Δείξτε δτι ή μέση καμπυλότητα είναι μηδέν σέ μιά επιφάνεια τής όποίας οί άσυμπτωτικές γραμμές εΙναι όρθο­ γώνιες.

9.54.

'Εάν μιά σφαίρα ή ενα επίπεδο τέμνουν μιά επιφάνεια κατά σταθερή γωνία, δείξτε δη ή τομή εΙναι γραμμή καμπυλότητας.

9.55.

Δείξτε δτι τό αθροισμα των κάθετων καμπυλοτήτων σέ ενα σημείο μιας επιφάνειας ώς πρός κάθε ζεύγος όρθο­ γώνιων διευθύνσεων εΙναι σταθερό.

9.56.

'Εάν μιά επιφάνεια εχει μιά μονοπαραμετρική οΙκογένεια επίπεδων άσυμπτωτικων γραμμων, πού δέν εΙναι εύθείες, δείξτε δτι ή επιφάνεια ε!ναι επίπεδο.

9.57.

. Υποθέτουμε περιοχή

R

εΙκόνα τής Ρ, δταν ή

9.58.

δτι

R

είναι μιά περιοχή ένός τμήματος μιας επιφάνειας.

Τά μοναδιαία κάθετα διανύσματα στήν

τής επιφάνειας όρίζουν επί τής μοναδιαίας σφαίρας ενα σύνολο

R. R

τείνει στό Ρ.

Ο

Ύπόδι:ιςη:

Πρόβλ.

9.18,

'Εάν εΙναι Κ

=F

κονίζεται

μέ τή σφαιρική είκόνα της (Πρόβλ.

1- Ι

R"

πού όνομάζεται σφαιρική

Δείξτε δτι ό λόγος τού εμβαδΟύ τής Η' πρός τό εμβαδόν τής Ητείνει στό ΙΚΙ σέ ενα σημείο σελ.

194.

σέ ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας, δείξτε δτι ύπάρχει μιά περιοχή τού Ρ, ή όποία άπει­

9.57).

r ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝο

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΩΝ

Οί έξισώσεις των

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

GAUSS-WEINGARTEN γιά τίς έπιφάνειες εΙναι άνάλογες μέ τίς έξισώσεις του

Gauss-Weingarten

Frenet

γιά τίς καμπύλες. 'Υπενθυμίζουμε δτι οί έξισώσεις του Frenet έκφράζουν τά διανύσματα ϊ, ή καί b ώς γραμμικούς συνδυασμούς των t, n καί b μέ συντελεστές πού έξαρτωνται άπό τήν καμπυλό­ τητα καί τή στρέψη.

νΕτσι καί οί έξισώσεις των

Gauss-Weingarten

έκφράζουν τίς παραγώγους των

διανυσμάτων χ", Χ" καί Ν ώς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αύτων μέ συντελεστές πού έξαρτωνται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως καί τίς παραγώγους τους .

• Υποθέτουμε

δτι Χ

= x(u, υ)

εΙναι ενα τμήμα μιας έπιφάνειας κλάσεως

Χ" καί Ν εΙναι (διανυσματικές) συναρτήσεις κλάσεως τουλάχιστον

ραγώγους Χ"'" Χ..", Χ"", Ν.. καί Ν".

' Επειδή

Cl,

Cm, m

~ 20

Τότε Χ..,

δηλαδή εχουν συνεχείς πα­

τά διανύσματα Χ.. , Χ" καί Ν εΙναι γραμμικως άνεξάρ­

τητα, μπορουμε νά γράψουμε

Χ"" = Γ~2 Χ.. + Γ~2 Χ" + α ι2Ν Ν

Γ~2X" + Γ~2X" + α22Ν β~x" + β~x" + γιΝ

Ν"

β~x" + β~x., + γ2Ν

Χ""

"

rt, αφ βΙ γί

δπου οί συντελεστές

, Επειδή

, Αλλά

(10.1)

θά ύπολογιστουν στή συνέχεια.

τό διάνυσμα Ν εΙναι μοναδιαίο, τά Ν" καί Ν" εΙναι κάθετα στό Ν.

Χ" ο Ν

= Χ" ο Ν = Ο

Ο

=

Ν" οΝ

=

β~x" οΝ + β~x., οΝ + γιΝοΝ

Ο

=

Ν" οΝ

=

β~x" οΝ + β~x., οΝ + γ2ΝοΝ

= 1.

καί Ν ο Ν

νΕτσι γι

= γ2 = Ο.

'Έπεται άκόμα δτι

-Μ

xuoNu = β:χ"οχ" + ~x"ox" = β:Ε + P~F xvoN" = P~xvox,,+p~xvoxv p:F+~G

-Μ

Χ" ο Ν" =

β~x" ο Χ" + β~x" ο Χ"

β~E + p~F

Χ" οΝ "

βΙΖΧ" ο Χ" + β22Χ" ο Xv

β2Ι F + P22G

-L

- Ν

=

Συνεπώς

Λύνοντας τίς δύο πρωτες έξισώσεις ώς πρός β: καί β~ καί τίς δύο τελευταίες ώς πρός β~ καί β~,

βρίσκουμε , Από

τίς

β Ιι -_

(10.1)

MF LG EG -_ F2 '

β~

=

LF - ΜΕ EG - F2 ,

2

=

NF - MG

EG - 'F2 ,

β2 2

=

MF - ΝΕ EG - F2

(102) ο

παίρνουμε άκόμα

L Μ Ν

=

Χ"" οΝ

Γ:ιΧ.. ο Ν

+ Γ~ιX., οΝ + α ιι ΝοΝ

-

α

ιι

x"v οΝ =

Γ~2X.. οΝ + Γ~2 Χ" ο Ν + α ι2Ν ο Ν

=

α

Ι2

x"v οΝ

Γ~2X .. • Ν + Γ~2x"oN + α22 ΝοΝ =

α

22

(10.8)

'Έτσι

14

βΙ

201

Γ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

202 , Απομένει

δρίσουμε τίς συναρτήσεις Γ~.

νά

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Στό Πρόβλημα

10.3

τής

Κ Ε Φ.

σελίδας

216

10

δείχνουμε στι

αύτά δίνονται άπό τίς σχέσεις

- 2FF.. + FE" = GE..2(EG-F2)

rll

GE" - FG"

Γ~2 = 2(EG-F2}

2EF,,-EEv +FE.. = 2(EG -F2}

2

Γ ιι

EG" -FE" 2(EG -F2}

2

Γ Ι2

Γ~2

2GF" - GG .. - FG" 2(EG -F2)

Γ~2

EG" - 2FF" + FG .. 2(EG-F2)

(10.4)

'Έτσι εχουμε τό ~πόμενo θεώρημα:

Θεώρημα

10.1.

Σ'

ενα τμήμα χ

= X(U, υ)

μιας έπιφάνειας κλάσεως

Cm , m

~

οί διανυσματικές

2,

συναρτήσεις χ.., Xv, Ν καί οΙ παράγωγοί τους Ικανοποιουν τίς έξισώσεις

Γ~ιx..

rt

σπου οΙ συντελεστές βf καί

+

Γ~ιx"

+ LN

r1 2 x .. +

Γ~2Xυ

Γ~2X"

Γ~2Xυ

+ ΜΝ + ΝΝ

+

βΙχu

+ β~x"

~x..

+ β~x"

(10.5)

δίνονται άπό τίς έξισώσεις (10.2) καί (10.4).

οι πρωτες τρείς άπό τίς παραπάνω έξισώσεις λέγονται έξισώσεις του

ένω οΙ δύο τελευ­

Gauss,

rt

ταίες λέγονται έςισώσεις του Weingarten. ΟΙ συναρτήσεις όνομάζονται σύμβολα του Christojje/ δεύτερου είδους. Παρατηρουμε άπό τίς (10.4) δτι τά έξαρτωνται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί τίς παραγώγους τους, ένω τά βΙ έξαρτωνται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως. Τέλος δρίζουμε Γ~ι = 2 καί Γ~ι Γ~2' • Οπότε εχουμε = Γ~ί γιά κάθε

rt

ί,

j, k

ΠαράδεΙΎμα

10.1.

Θέλουμε νά έπαληθεύσουμε τίς έξισώσεις

χ....

=

(10. Ι)

rt

Ύιά τήν έκ περιστροφής έπιφάνεια

+ (κ sin 8)e2 + g(u)e3, u > Ο Χ .. = (cos 8)el + (sin 8)e2 + g'e3' Χθ = -(κ sin 9)el + (κ cos 8)e2 Ν = -(1 + g'2)-l/2(g'(cos 8)el + g'(sin e)e2 - e3) = g"e3' Χ..θ = -(sin e)el + (cos e)e2' Χθθ = -(κ cos e)el - (κ sin 8)e2 Ε = Χ.. ' Χ.. = 1 + g'2, F = Χ,,' Χθ = Ο, G = Χθ' Χθ = u 2 Χ

L

=

r1

= 1,2.

Χ.... ·Ν

=

(κ

cos 8)el

Υ"(1+ο'2)-Ι/2,

Χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις

pl =

=

(10.2)

-g"(1

καί

Μ

(10.4)

+ g'2)-3/2,

= Χυθ'Ν =

Ο,

Ν

=

Χθθ' Ν

=

ΚΥ'(1+ο'2)-Ι/2

βρίσκουμε

β~

=

β~

=

ο,

β~

-Κ-ΙΥ'(1

+ Υ'2)-Ι/2

Συνεπώς

= g'g"/(1 + g'2)x,. + g"(1 + Υ'2)-Ι/2Ν = g"e3 = u -Ι Χθ = -(sin 8)el + (cos 8)e2 = Χ""

rlIx..

+ Γ~ιX8 + LN

Γ~2x..

+ Γ~2Xθ + ΜΝ

Γ~2x,. β:χ..

+ Γ~Xθ + ΝΝ = -ul(1 + g'2)x" + ug'(1 + Υ'2)-Ι/2Ν = -(κ cos e)el - (κ sin e)e2 = Χθθ + β~Xθ = -g"(1 + g'2)-3/2x,. = -g"(1 + g'2)-3/2«COS 8)el + (sin e)e2 + g'e3) = Ν,.

β~x..

+ β~Xθ =

-Κ-ΙΥ'(Ι

+ Υ'2)- Ι/ 2χ θ

= g'(1 + g'2)-l/2«sin e)el -

= Χ""

(cos e)e2) = Ν θ

πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ

~Eστω δτι δίνονται οΙ συναρτήσεις Ε, F,

κλάσεως.

G, L, Μ

Θά έξετάσουμε αν ύπάρχει ενα τμήμα χ

GAUSS

καί Ν των U καί

= x(u, υ),

της καί δεύτερης τάξεως νά εΙναι οΙ συναρτήσεις Ε, F,

G

καί

v καί στι εΙναι κατάλληλης

του όποίο υ τά θεμελιώδη μεγέθη πρώ­

L, Μ,

Ν άντίστοιχα.

Γενικά, ή άπάν­

τηση εΙναι άρνητική, έκτός αν ίκανοποιουνται δρισμένες συνθήκες (έξι σώσεις) «συμβιβαστότητας».

ι

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

Οί συνθήκες αυτες προέρχονται άπό τό γεγονός ότι, αν

X(U, υ)

203

είναι μιά συνάρτηση κλάσεως

C3 ,

τότε οί μικτές μερικές παράγωγοι τρίτης τάξεως τής Χ είναι άνεξάρτητες τής σειρας παραγωγίσεως, δηλαδή

(Xu)uv = (Xu).u,

Στό Πρόβλημα

10.28

Θεώρημα

νΕστω Χ

10.2.

τής σελίδας

= Χ(1Ι, υ)

συντελεστές τών εξισώσεων τών

Xu .... , X"vu,

224

(Χυ)ιιυ

=

(10.6)

(Xv)vu

δείχνουμε τό επόμενο θεώρημα:

ενα τμήμα μιας έπιφάνειας κλάσεως

Gauss-Weingarten

είναι κλάσεως

Cl.

Xv"v, Xvvu ύπάρχουν καί ίκανοποιοϋν τίς παραπάνω συνθήκες

C"', m"", 2,

τοϋ όποίου οί

Τότε οί μικτές παράγύ)γοι

(10.6),

έάν καί μόνο εάν τά

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως ίκανοποιοϋν τίς έξισώσεις συμβιβαστότητας

2

~}-.O' L v - Μ.. l Μγι(Μ;,;-Col"fA1. Ι Μ.. - Ν..

(10.7)

(10.8) Οί έξισώσεις συμβιβαστότητας μποροϋν νά γραφοϋν μέ διάφορες μορφές.

οί δύο πρώτες εξισώσεις

Ή έξίσωση

(10.8)

(10.7)

λέγονται έξισώσεις τών

είναι ίδιαίτερα ένδιαφέρουσα.

Στήν παραπάνω μορφή

Mainardi-Codazzi.

Ύπενθυμίζουμε πρώτα ότι οί συναρτήσεις Γ~

έξαρτώνται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως καί τίς παραγώγους τους.

καί ή εκφραση

, Αλλά

LN -

Μ2 εξαρτάται άπό τά θεμελιώδη μεγέθη Ε,

τότε ή καμπυλότητα τοϋ

Gauss

Κ

= (LN - M2)/(EG - F2),

F, G

. Επομένως,

καί τίς παραγώγους τους.

πού άρχικά δρίστηκε ώς συνάρ­

τηση τής πρώτης καί τής δεύτερης θεμελιώδους μορφής, έξαρταται μόνο άπό τά μεγέθη της πρώτης θεμελιώδους μορφης.

Αυτό ε{ναι ενα άπό τά πιό ένδιαφέροντα άποτελέσματα 'της θεωρίας τών έπι­

φανειών καί θά δοϋμε δτι εχει πολλές ένδιαφέρουσες συνέπειες.

Θεώρημα

κλάσεως

10.3. C"', m

Τό θεώρημα

:Ξ!::

3,

Egregium

τού

Gauss.

.Η

νΕτσι εχουμε τό έξής θεώρημα:

καμπυλότητα τοϋ

Gauss

μιάς έπιφάνειας

είναι συνάρτηση μόνο τών θεμελιωδών μεγεθών πρώτης τάξεως (καί τών πα­

ραγώγων τους).

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Θεώρημα

v

10.4. Θεμελιώδες θεώρημα τών έπιφανειών. 'Έστω Ε, F καί G συναρτήσεις τών u C2 καί L, Μ καί Ν συναρτήσεις τών u καί v κλάσεως Cl όρισμένες σέ ενα άνοικτό περιέχει τό (Uo, Vo) ετσι ωστε γιά κάθε (u, υ)

κλάσεως

νολο πού

(ί) (ίί)

EG - F2 > Ο, Ε > οί E,F,G,L,M,N

Ο,

G

>Ο

ίκανοποιοϋν τίς εξισώσεις συμβιβαστότητας

Τότε ύπάρχει ενα τμήμα Χ

καί σύ­

= x(u, υ)

κλάσεως

C3

(10.7)

καί

δρισμένο σέ μιά περιοχή τοϋ

(10.8).

(Uo, Vo),

τοϋ όποίου

τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως είναι οί συναρτήσεις E,F,G καί L,M,N ΙΧντί­ στοιχα.

.Η

επιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τό τμήμα Χ

= x(u, υ)

είναι μονοσήμαντα όρισμένη,

εκτός άπό τή θέση της στό χώρο.

Μιά άπόδειξη γιά τήν ϋπαρξη επιφάνειας πού εχει τίς συναρτήσεις Ε, λιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως δίνεται στό Παράρτημα

2.

F, G, L, Μ, Ν

γιά θεμε­

Έδώ άποδεικνύεται τό μονο­

= x(u, υ) καί Χ = x*(u, υ) όρισμένα σ' ενα U, πού περιέχει τό (Uo, Vo), καί τέτοια ωστε γιά ιcάθε (u, υ) νά είναι Ε = Ε*, F = F*, G = G*, L = L*, Μ = Μ* καί Ν = Ν*. Ύποθέτουμε έ.πίσης ότι ή επιφάνεια, πού προσδιορίζεται άπό τό Χ = x*(u, υ), μεταφέρεται καί ϋστερα περιστρέφεται ετσι ωστε τό σημείο πού άντιστοιχεί στό x*(Uo, Vo) νά ταυτιστεί μέ τό x(Uo, Vo) καί τά εφαπτόμενα διανύσματα Χ: (Uo, Vo) καί x~ (uo, Vo) νά ταυτιστοϋν μέ τά xu(uo, Vo) καί xv(uo, Vo) άντίστοιχα. Αυτό ε{ναι δυνατό, άφοϋ τά μήκη τών διανυσμάτων Χ: καί Χ: καί ή γωνία τους όρίζονται άπό τίς συναρτήσεις Ε*, F* καί G*, οί όποίες όμως ταυτίζονται μέ τίς Ε, F καί G στό (uo, vo). νΕστω τώρα u = u(t}, v = v(t) ενα σήμαντο.

. Υποθέτουμε

δτι ύπάρχουν δύο τμήματα Χ

άνοικτό συνεκτικό σύνολο

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

204

ΤΑΝΥΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦ.10

κανονικό τόξο πού ~νώνει τό (ιισ, υα) μέ ενα τυχόν σημείο (U, υ) του

.σεις

U. Θεωρουμε τίς συναρτή­ X,,(t) = Xu(U(t), V(t» καί X,,(t) = x ..(U(t), V(t». Παραγωγίζοντας εχουμε du dv dxu du dv dxv du dv Χ" dt + χ" dt' dt =:= Χυ .. dt + Xuv dt ' d t X vu dt + Χυυ dt

= X(U(t), V(t»,

X(t)

dx dt -

Χρησιμοποιώντας τίς τρείς πρώτες εξισώσεις τών εχουμε

du Χ.. dt

dx dt

dx.. (It

(

1

Γ ιι

+

dV)

1

Γ Ι2 dt

( Γ 12 du dt

+

1dV) χ

Γ22 dt

(

+

Xu

(L ~~ + Μ ~~)

1

dxv dt

όπου

Γ Ι2 dt

= VΧ" χ -Χ..F2 EG

('2 dudt + ]'2 dV) dt χ" 112

22

F2)-1/2

a(t)Xu + b(t)xv

dxu dt

c(t)Xu + d(t)x" + e(t)xu χ χ"

~~"

[(t)xu

+

+

g(t)x"

dv

b(t)

h(t)xu du

1

=

C(t)

dt'

χ"

F2)-1/2

dx dt

a(t)

Xu χ χ"

Ιχ.. χ Χ.. Ι

dV)

2

+

χ x,,)(EG -

(Xu

+

..

du

2

ΓΗ dt

+ (Μ ~~ + N~~) (Xu χ x,,)(EG ή

-_

dv Χυ dt

du d1 +

+

Ν

..

και τη σχέση

(10.5)

ΓΗ dt

(10.9)

χ Χ" Ι dv

+ Γ Ι2 dt'

κλπ.

Οί παραπάνω εξισώσεις δρίζουν ενα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως ώς

πρός τίς συναρτήσεις X(t), Xu(t) καί X,,(t).

Σημειώνουμε έπίσης στι οί συντελεστές a(t), b(t), κλπ.,

έξαρτώνται μόνο άπό τήν καμπύλη U(t), V(t), άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως

Ε, F,

Μ, Ν καί άπό τίς παραγώγους τών Ε,

G, L,

==

πειδή Ε

Ε*, F

= F*, G = G*, L = L*,

Μ

=

F

καί

κατά μήκος τής u

G

= U(t), V

= V(t).

'Ε­

Μ* καί Ν=Ν* γιά κάθε (U,V), οί άντίστοιχες συ­

ναρτήσεις X*(t) = X*(U(t), V(t», χ: (t) = X:(U(t), V(t» καί χ: (t) = X~(U(t), V(t» του τμήματος χ = X*(U, υ) ίκανοποιουν προφανώς τό 'ίδιο σύστημα τών εξισώσεων (10.9). 'Επίσης άπό τίς άρχικές συνθήκες εχουμε X(tO) = χ(ιισ, υα) = χ*(ιισ, VO) = X*(tO), X..(tO) = X..(UO, Vo) = χ: (ιισ, Vo) = X:(tO) καί X,,(t O) X,,(UO, Vo) χ: (UO, υο) = χ: (tO). • Από τό θεώρημα μοναδικότητας τών συνήθων διαφορικών εξισώσεων επεται ότι X(t) X*(t) κατά μήκος τής τυχούσας καμπύλης u = U(t), v V(t). Συνεπώς,

=

=

=

=

τά τμήματα ταυτίζονται, γεγονός πού άποδεικνύει τό ζητούμενο. Παράδειγμα

F ~ Ο, G

Ρ Ιι

τών

10.2.

= sin2 u,

θέλουμε

_ - -1, β2 1 -- βΙ2 --

L

= 1,

νά

προσδιορίσουμε

=

Gauss-Weingarten ε{ναι x"u = Ν, χ.." = (cot u)xv>

· Από

τήν πρώτη καί τήν τέταρτη εξίσωση

της

δποίας

τά

θεμελιώδη

μεγέθη

ε{ναι

Ε

= 1,

= -(sin u cos u)x" + (sin2 u)N, N u = -χ.., Ν" παίρνουμε x"uu = -χ .. καί δλοκληρώνοντας εχουμε

=

a(v) sin u

+

b(v) cos u

+

=

-χ"

c(v)

αύτή και τή δεύτερη εξίσωση εχσυμε

Χ,," WΕτσι

επιφάνεια

Χ""

χ

· Από

τήν

=

Μ Ο καί Ν sin2 u, Ο < u < 1F. 'Από τίς εξισώσεις (10.2) καί (10.4) παίρνουμε 2 2 2 Ο , ρ2 E ' ~ξ . 2 -- -1, ΓΙ11 -- Γ 11 -- 1,112 -- Γ 22 -- Ο , Γ Ι2 -- Cot,. -, ΓΙ 22 - - ' SlD U COS u. W τσι οι .. ισωσεις

b'(sin u

11, επεται δη

+

κόμα δη

Συνεπώς

a' cos u - b' Βίη u

=

(cot U)X"

=

a' cos u

+

b' cos u cot u

=

χ""

a"

=

cos u cot U) = -ε' cotu ij b' = -C' COS u. Έπειδή δμως σί b' b' = c' Ο. Συνεπώς b = σταθ. καί c = σταθ. • Από τήν πρώτη

= -a

=

a" Sin u

καί μάλιστα

χ

a

=

-(Sin u cos U)x..

= d cos v + e Sin 11,

=

d cos v

βίη

u

+

δπου

+

(Βίη 2

d =

e βϊη v Βίη u

U)XUU

καί

+

c' cotu

εΙναι συναρτήσεις μόνο του

καί τήν τρίτη εξίσωση εχουμε ά-

=

-a Sin u

σταθ. καί

e =

+

+

b cos u

c'

· Απομένει νά δείξουμε δη τά διανύσματα d, e καί b άποτελοϋν όρθοκανονική βάση.

σταθ.

~Eτσι

c Έάν αύτό συμβαίνει. θά εχουμε

ι

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

=

Ιχ - cl 2

(d· d) cos2 ν sin 2 u + 2(d' e) cos ν sin ν sin 2 u + 2(d· b) cos ν sin u cos u + (e' e) sin2 ν sin2 u

=

+

cos2 ν sin 2 u

sin2 ν sin2 u

+

cos2 U

=

Δηλαδή τό χ θά εΙναι σημείο της σφαίρας πού εχει άκτίνα

b

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

+

205

2(e' b) sin ν sin u cos u

+

(b· b) cos 2 u

1 1

καί κέντρο τό

c.

Γιά νά δείξουμε τώρα ότι τά

καί

d, e

σχηματίζουν όρθοκανονική βάση, παρατηροϋμε ότι

=

χ"'χ,,

=

G

=

1

1'1 Συνεπώς

e' e

= 1,

d' e

= Ο,

b· d = e' b =

Ο.

χ...

• Αρα b' b

= 1.

=

2(d'e) sinvcosv sin2 u

-

+

(e'e)cos2 vsin 2 u

2(d' e) sin ν cos ν. + (e' e) COS 2 ν

-

Χρησιμοποιώντας αύτό εχουμε άκόμη ότι

=. Ο =

F

(b·d)

Βϊην

sin2 u

(e'b) COSv sin 2 u

-

Τελικά

=

Xu

= 1, πού εΙναι

(d'd)sin 2 vsin2 u

(d • d) sin2 ν

d' d

x,,'Xu Συνεπώς

=

sin2 u

=. 1

Ε

=

~να κομμάτι μιας σφαίρας άκτίνας

+

cos2 ν cos 2 u

τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

sin 2 ν cos2 u

+

(b' b) sin 2 u

Έπομένως, ή έπιφάνεια μέ τά δοθέντα θεμελιώδη μεγέθη εΙναι

1.

ΜΕΡΙΚΑ ΟΛΙΚΑ ΘΕΩΡΉΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Cm,

Θέλουμε νά δείξουμε στι ή σφαίρα εΙναι ή μόνη συνεκτική καί κλειστή έπιφάνεια κλάσεως

m

~

3,

της δποίας σλα τά σημεία εΙναι έλλειπτικά όμφαλικά σημεία.

μιά έπιφάνεια κλάσεως

όμφαλικό σημείο. πού περιέχει τό Ρ.

=

εΙναι Κ

σταθ.

Cm, m

~

3,

»Ας ύποθέσουμε στι

ε{ναι

S

συνεκτική καί κλειστή καί στι κάθε σημείο της ε{ναι έλλειπτικό

νΕστω Ρ ενα τυχόν σημείο της

. Υπενθυμίζουμε

= X(U, υ)

καί Χ

S

ενά συνεκτικό τμημα τής S

στι σέ ενα έλλειπτικό όμφαλικό σημείο ή κάθετη καμπυλότητα

-F Ο γιά κάθε διεύθυνση καί στι κάθε διεύθυνση του τμήματος ε{ναι κύρια διεύθυνση.

νΕτσι, κάθε καμπύλη του τμήματος, επομένως καί μιά παραμετρική καμπύλη, ε{ναι γραμμή καμπυ­

λότητας.

' Από

τόν τύπο τοϋ

Rodrigues

επεται στι Ν..

=

-κΧ,. καί Ν"

=

-κΧ,,'

»Ας σημειωθεί έδώ

στι σ' ενα τυχόν σημείο του τμήματος ή Κ ε{ναι ίδια γιά κάθε διεύθυνση, άλλά άκόμα δέν εΙναι γνωστό άν ή Κ εΙναι σταθερή σέ κάθε σημείο του τμήματος.

Γιά νά τό δείξουμε αυτό, χρησιμο­

ποιοϋμε τό γεγονός στι τό τμημα X(U, υ) εΙναι κλάσεως (J3 καί ύπολογίζουμε τά Ν.."

=

=

καί κ..

= Ο.

Συνεπώς Κ

= σταθ.

παντου στό τμημα.

ενός συνεκτικοϋ τμήματος στό όποίο εΙναι Κ

καί ενα τυχόν σημείο

Q

ενα κανονικό τόξο Γ: Χ

=

»Αρα κάθε σημείο της

πάλι άπό τόν τύπο τοϋ

Έπειδή τό τμημα εΙναι συνεκτικό, ύπάρχει

τοϋ τμήματος πού ενώνει τά Ρ καί

Rodrigues, -κΧ

S

παντοϋ στό τμημα.

+C Q,

ή

ΙΧ

Q.

' Αφοϋ

κάθε σημείο της

θά εΙναι γραμμή καμπυλότητας.

=

εχουμε κατά μηκος τής Γ

= σταθ.

"Ετσι, τό σημείο Χ, άρα καί τό

C/K.

άνήκει στήν εικόνα

στήν είκόνα του τμήματος.

= X(t)

=

κ"Χ..

-F Ο. Τώρα θεωροϋμε ενα σταθερό σημείο Ρ

κάθε σημείο της Γ, άφοϋ κ

Ν

S

-

'Αλλά σέ 'Έτσι κ" = Ο

σταθ.

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, κάθε καμπύλη της

τό

-κΧ.."

= Ο.

καί Ν".. -κΧ" .. - κ,.Χ". Έάν άφαιρέσουμε κατά μέλη, παίρνουμε κ"Χ.. - KuX" κάθε σημείο του τμήματος τά διανύσματα χ.. καί Χ" εΙναι γραμμικώς άνεξάρτητα.

dN/dt -K(dx/dt), σπου . Ολοκληρώνοντας εχουμε

- C/KI = l/lκl

Κ

S

'Έτσι,

= σταθ.

σέ

(C = σταθ.)

βρίσκεται πάνω σέ μιά σφαίρα Σ μέ άκτίνα l/lκl καί κέντρο

Έπειδή σμως στήν τομή δύο τυχόντων συνεκτικών τμημάτων οί άντίστοιχες σφαίρες πού

προσδιορίζονται άπό τήν παραπάνω διαδικασία συμπίπτουν, επεται εύκολα στι καί σλα τά συνεκτικά

τμήματα της

S

θά βρίσκονται πάνω στήν 'ίδια σφαίρα Σ.

εΙναι κλειστή, επεται άπό τό Θεώρημα

8.5

της σελίδας

159

' Αφοϋ S =

στι

ή Σ εΙναι συνεκτική καί ή

Σ.

S

'Έτσι δείξαμε τό έξης θεώ­

ρημα:

Θεώρημα

10.5.

Οί μόνες συνεκτικές καί κλειστές έπιφάνειες κλάσεως

Cm, m

~

Cm, m

~ 2, πού εχουν σλα

3,

πού εχουν ολα

τους τά σημεία έλλειπτικά όμφαλικά σημεία, εΙναι οί σφαίρες. UΟ μοια , μπορεί νά δειχθεί τό επόμενο θεώρημα:

Θεώρημα 10.6.

Οί μόνες συνεκτικές καί κλειστές έπιφάνειες κλάσεως

τους τά σημεία έπίπεδα σημεία, εΙναι τά έπίπεδα. Ή άπόδειξη τοϋ παραπάνω θεωρήματος άφήνεται ώς άσκηση στόν άναγνώστη (Πρόβλ.

10.38).

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

206 Στό Πρόβλημα Θεώρημα

10.10

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ ΕΦ.Ι0

δείχνουμε τό. παρακάτω θεώρημα: Οί μόνες συνεκτικές καί συμπαγείς έπιφάνειες κατάλληλης κλάσεως,

10.7. (Liebmann)

μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ

εΙναι οί σφαίρες.

Gauss

Σημειώνουμε δτι σάν συμπέρασμα τοϋ προηγούμενου θεωρήματος εχουμε τήν άκόλουθη ένδια­ φέρουσα ίδιότητα τών σφαιρών, μέ τήν όποία καί θά άσχοληθοϋμε περισσότερο στό επόμενο κεφά­

λαιο. νειας

V

S,

Ας ύποθέσουμε δτι ύπάρχει μιά συνεχής άπεικόνιση ή όποία τοπικά εΙναι

μιας έπιφάνειας Σ έπί μιας έπιφά­

f

ι-ι καί διατηρεί τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή.

σημείο Ρ της Σ δεχόμαστε δτι ύπάρχει ενα τμημα χ

= x(u, υ)

f νά εΙναι μιά άπεικόνιση ι-ι τοϋ χ

= x(u, υ)

έπί ενός τμήματος χ

= x*(u, υ)

τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως νά ταυτίζονται στά άντίστοιχα σημεία. Πρόβλημα

9.6

της σελίδας

Δηλαδή γιά κάθε

πού περιέχει τό Ρ τέτοιο ώστε ή

της

S,

τέτοια ώστε

'Όπως δείξαμε στό

δύο επιφάνειες μέ τά 'ίδια θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως δέν εΙναι

190,

άπαραίτητο νά εΙναι 'ίδιες, άφοϋ μιά έπιφάνεια όρίζεται μονοσήμαντα μόνο δταν δίνονται τά θεμε­

λιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως.

Είδικά δμως, δταν ή Σ εΙναι σφαίρα, τότε καί ή

πρέπει νά εΙναι σφαίρα καί μάλιστα της 'ίδιας άκτίνας. λότητα τοϋ

Gauss

'ίση μέ Κ

= 1/R2,

δπου

S

Γιατί μιά σφαίρα Σ εχει σταθερή καμπυ­

εΙναι ή άκτίνα της Σ, καί έπειδή ή καμπυλότητα τοϋ

R

Gauss

εΙναι μιά συνάρτηση πού έξαρταται μόνο άπό τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως, επεται δτι

καί ή

S

εχει σταθερή καμπυλότητα τοϋ

'ίση μέ Κ

Gauss

εΙναι συνεκτική καί συμπαγής καί ή άπεικόνιση

S

εΙναι συνεκτική καί συμπαγής.

f

= 1/R2.

της Σ έπί της

Έπίσης, έπειδή ή σφαίρα Σ

S

εΙναι συνεχής, επεται δτι ή

'Αλλά τότε άπό τό προηγούμενο θεώρημα επεται δτι ή

έπίσης σφαίρα καί ή άκτίνα της εΙναι

= 1/Κ /2.

S

εΙναι

Ι

R

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

'Ο συμβολισμός της θεωρίας τών έπιφανειών μπορεί νά άπλοποιηθεί κατά πολύ μέ τή βοήθεια

τών τανυστών καί τοϋ τανυστικοϋ συμβολισμοϋ.

Στό εξης οί συντεταγμένες ενός διανύσματος θά

συμβολίζονται μέ άνω δείκτες, ένώ μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε κάτω δείκτες.

νυσμα τοϋ Ε3 θά συμβολίζεται μέ χ μέ

(u 1, u 2 )

καί ενα τμημα μέ χ

= xlel + x 2e2 + x 3e3,

WΕτσι, ενα διά­

ενα σημείο τοϋ παραμετρικοϋ έπιπέδου

= x(u!, u 2 ).

'Επίσης οί μερικές παράγωγοι τοϋ χ θά συμβολίζονται μέ σχ

χι Συνεπώς

dx =

ΧΙ

ενα

Χ2

= au2 '

εφαπτόμενο διάνυσμα της

du 1 + Χ2 du2 , Ι

gl1

Κ.Ο.Κ.

έπιφάνειας,

σύμφωνα μέ τό συμβολισμό αυτό, γράφεται

ενώ ή πρώτη θεμελιώδης μορφή γίνεται

=

dx· dx

= δπου μέ gl1

σχ

= iiu 1 '

du l du 1

= ΧΙ· Χι = Ε,

ΧΙ· ΧΙ

+

du l du l

ΥΙ2 du l du 2

+

+

= Υ2Ι = ΧΙ· Χ2 = F δπου ί, k = 1,2.

'Επίσης συμβολίζουμε μέ

g

du2

+

Υ2Ι du 2 du l

ΥΙ2

μεγέθη πρώτης τάξεως καί

2χι· Χ2 du l

καί g22

g22

+

Χ2· Χ2 du2 du 2

=

du2 du2

= Χ2· Χ2 = G

Σ

gilc

dui du lc

(10.10)

ίΙC

συμβολίζουμε τά θεμελιώδη

τήν όρίζουσα της πρώτης θεμελιώδους μορφης Ι, δηλαδή

g

EG -

F2

ενώ συμβολίζουμε μέ gl1

Στό Πρόβλημα

10.12

=

g22/g,

της σελίδας

g12

=

220

Υ2Ι

=

-ΥΙ2/Υ

=

-g21/g,

g22

(10.11)

δείχνουμε δτι

1, έάν ί =j { Ο,

έάν ί rF

j

(10.12)

Αυτό σημαίνει δτι ό πίνακας (Υίί) εΙναι ό άντίστροφος τοϋ (Υίί) καί τό γινόμενό τους εΙναι

ι

Ι

Κ ΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

207

gl2) g22 Τέλος συμβολίζουμε μέ

ΙΙ

=

-dx' dN

=

b ll

=

du l du l

+

Νι

dN =

δπότε ή δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται

du l du l - Χι' N 2 du l du 2 -

-Χι' Νι

b l2

+ Ν2 du2 ,

dul

du l du 2

+

b 2l

+

du 2 du l

Χ2' Νι

du2 du l - Χ2' N 2 du2 du2 Σ bιιc du l du"

du 2 du 2 =

b 22

(10.19)

Ι"

όπου μέ

bll

-Χι' Νι

b l2

b2l

=

b22

=

Χιι' Ν ::;:

=

L

= -χι,Ν2 = ΧΙ2'Ν = Χ22,Ν = Ν

-Χ2,Νί

-Χ2'Ν2

συμβολίσαμε τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως.

=

b

.Ο

' Επίσης

= (b ll b 22 -

det (b jj)

Χ2ι'Ν

(10.1~)

δρίζουμε

= LN -

b l2 b 2l )

Μ

=

κανόνας άθροίσεως τοϋ τανυστικοϋ λογισμοϋ εΙναι δ έξης:

Μ2

(10.15)

Θεωροϋμε πρώτα τό άθροισμα

3

Σ

α=Ι

aiab '"

+

(t;lb l

=

(t;2b 2

+

(t;3b 3

Παρατηροϋμε ότι στό άριστερό μέλος της ίσότητας τό α έμφανίζεται στό γινόμενο ιt;αb '" άκριβώς

μιά φορά ώς κάτω δείκτης καί μιά φορά ώς άνω δείκτης.

σύμβολο της άθροίσεως Σ ΊCαί γράφουμε μόνο a...b II •

(t;ab '"

.Ο

=

=

Σ ιι;..b α

Σ' αυτή τήν περίπτωση παραλείπουμε τό

~Eτσι

(t;lb l

+ a i2 b 2 +

aI 3b 3

α

δείκτης α, ώς πρός τόν δποίο γίνεται ή άθροιση, λέγεται δείκτης άθροίσεως ή βουβός δείκτης.

Μποροϋμε νά χρησιμοποιοϋμε δποιοδήποτε σύμβολο γιά ενα βουβό δείκτη. γράψουμε

.Ο

(t;ab '"

δείκτης ί λέγεται έλεύθερος δείκτης.

Τέλος, σέ μιά παράγωγο iJθΙ/iJu; ή Xj ρείται άνω δείκτης καί δ δείκτης Παράδειγμα

(α)

"Εστω

τήν

f

= (t;fJbfJ = aiyb

Δηλαδή μποροϋμε νά

Y

Τό σύμβολο τοϋ έλεύθερου δείκτη δέν μπορεί νά άλλάζει.

= iJX/iJu;

δ δείκτης ί της συναρτήσεως συντεταγμένων θεω­

της μεταβλητης κάτω δείκτης.

j

10.3. f

= f(rx;l, rx;2, rx;3)

ιός πρός

ul

καί rx;i

= rx;1(ul , U 2),

ί

= 1,2,3. . Ο

κανόνας παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως γιά

εΤναι ί

= 1,2

'Επειδή τό α_συναντάται ώς κάτω δείκτης στόν παράγοντα .!L καί ώς άνω δείκτης στόν . _ ίJrx;'"

γωγος μπορει να γραφει

ίJI

ίJu (b) "Εστω S =

aafJrx;arx;/!,

α, β

= 1,2,3.

ίJI ίJrx;II

' =

ίJrx;II ίJu l

S

έκφράζει τό διπλό άθροισμα

3

~ ~

S

ίJu i ' τελικά ή παρά-

'Επειδή καθένας από τούς δείκτες α καί β συναντάται μιά φορά ώς κάτω

δείκτης καί μιά φορά ώς άνω δείκτης, επεται ότι τό 3

ίJrx;'"

aafJrx;arx;fJ

α=ιβ=Ι

allrx;l x l

Παράδειγμα

10.4.

+ al2rx;lrx;2 + al3rx;lrx;3 + ~lrx;2rx;l + a22rx;2 X 2 + a23rx;2x3 + a3lrx;3rx;l + a32rx;3rx;2 + α33rx;3:ι;3

Χρησιμοποιώντας τόν κανόνα αθροίσεως, μποροϋμε νά γράψουμε ενα έφαπτόμενο διάνυσμα (ή τό

διαφορικό ~νός τμήματος) ώς dx

= Χα du'" = '"

καί τήν πρώτη θεμελιώδη μορφή ώς Ι

=

= Χα' xfJ du

II

dufJ.

'Επίσης, τό

διαφορικό τοϋ κάθετου διανύσματος (ή τή σφαιρική είκόνα) ώς dN Να duII καί τή δεύτερη θεμελιώδη μορφή ώς 11 -Χα' NfJ du du/! Χαβ 'Ν du du fJ bafJ du ιlu/!. Τέλος οί έξισώσεις των Gauss-Weingarten (10.5) γράφονται

=

=

'"

ΧΙ1 = Γ~lXα ή συντομότερα

+

bllN,

ΧΙ2

=

Γ~2Xα

'"

+ bl2N,"

Χ22 = Γ;2 Χα

+ b22N, ί,;

Νι

= 1,2

=

β~Xα'

Ν2 = β:Χα

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

208

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ Ε Φ.

10

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

Έπειδή οΙ τανυστές εχουν μεγάλη ποικιλία έφαρμογων στίς πολλαπλότητες, γι' αυτό έκτός άπό τόν όρισμό της έπιφάνειας του Ε3 θά δώσουμε μιά γενίκευση της εννοιας της στοιχειώδους έπιφά­

n,

νειας, τή στοιχειώδη πολλαπλότητα διαστάσεως

ώς έξης:

'Υποθέτουμε ότι εχουμε ενα σύνολο

Μ άπό σημεία Ρ πού μπορουν νά τεθουν σέ μιά ι-ι άντιστοιχία μέ ενα κατάλληλο σύνολο n-άδες (σημεία)

(ul , U2 ,

••• ,

κόνιση πού στέλνει τά σημεία του Μ στίς n-άδες του συνόλου

P(ul ,

••• ,

S

άπό

πραγματικων άριθμων πού λέγονται συντεταγμένες του Ρ. Ή άπει­

U,,)

S

λέγεται σύστημα συντεταγμένων

Ή εννοια του συστήματος συντεταγμένων P(u l , ... , u") του Μ εΙναι άνά­

u") του Μ.

λογη μέ έκείνη του τμήματος μιας έπιφάνειας, όπου έπίσης όρίζεται μιά ι-ι άντιστοιχία μεταξύ των

σημείων του τμήματος καί ένός συνόλου σημείων του έπιπέδου

Κάθε άλλο σύστημα συντε­

u l u 2•

ταγμένων P(u l , •• • ,u,,) του Μ, όρισμένο σέ κάποιο σύνολο n-άδων S, όρίζει μιά 1-1 άντιστοιχία (ul , . • • , u") ~ (ut, ... , u,,) μεταξύ των n-άδων των δύο συνόλων S καί S καί λέγεται μετασχημα­ τισμός συντεταγμένων.

. , n,

Ό μετασχηματισμός αύτός μπορεί νά γραφεί

ui

καί ό άντίστροφός του

= ui(u

l , ..• ,

u").

Προφανως, οΙ

στό S, ένω οΙ U i εΙναι πραγματικές συναρτήσεις στό

ui

ui = ui(ul ,

•.• ,

u"), i

= 1, ..

εΙναι πραγματικές συναρτήσεις

'Ο μετασχηματισμός αύτός εΙναι άντί­ στοιχος του έπιτρεπτου παραμετρικου μετασχηματισμου Ul Ul (u1, U2 ), U2 U2(Ut, U2 ) μιας έπι­ 2 l 2 2 l 2 l φάνειας μέ άντίστροφο τόν U U (u1, U ), U U (U , U ), οΙ όποίοι ύπάρχουν στήν τομή δύο τμη­

=

S.

=

=

=

μάτων της έπιφάνειας.

'Υποθέτουμε πάντα ότι τά παραπάνω σύνολα δειου χώρου.

['Υπενθυμίζουμε ότι ενα σύνολο

ναι άνοικτό, άν γιά κάθε (U~, ... , U~) του

όλα τά

(ul ,

,U,,)

•• •

S

των n-άδων εΙναι άνοικτά σύνολα του Εύκλεί­

άπό n-άδες

S

(u1, ..• , U") πραγματικων άριθμων εΙ­

S ύπάρχει ενας πραγματικός άριθμός ι> Ο, τέτοιος ώστε

πού Ικανοποιουν τήν [~ (Ui_U~)2}/2 < ε νά άνήκουν στ6

άκόμα ότι ό μετασχηματισμός

= Ui(u1, ••. , U,,)

Ui

εΙναι έπιτρεπτός, δηλαδή οΙ συντεταγμένες συ­

ναρτήσεις του καί έκείνες του άντίστροφου μετασχηματισμου U i !Ι,,.;Ι !Ι" ,ι ' υ... 'υ..... ρικ ς παραγωγους !Ι",Ι και !I,,'J' t,1

έ

~ upa

υ...

l

και,iJ(u !Ι( -Ι , .• •

,'U") -")

uU, . . . ,'U

έπειδή οΙ Uι

= 1, ... , n,

υ...

= d e t(OU !Ι -Ι uU

Ο

i

)

-F.

'

και

'Υποθέτουμε

S.]

ή

= ul(ιί , Ι

• Ιακω β ιανη'Ι ε ναι

Σ' το Π ρο'βλ ημα

10 .Ι7

••• ,

U")

εχουν συνεχείς με-

!I(U l ••• , u-") d t ( iJu-Ι) υ, !Ι( ι ") = e -Ι -F υ U , ... , u iJU

λ'δ

- σε ι ας της

22Ι

δ ειχνουμε '

'Υπενθυμίζουμε έπίσης ότι μιά διανυσματική συνάρτηση

νεχής στό (u~,

... ,U:),

όταν γιά κάθε ε> Ο ύπάρχει

[f: (UI(ul , ... ,u,,) Ή συνάρτηση

S.

, ότι,

καί Uι εΙναι συναρτήσεις άντίστροφες ή μιά της άλλης, εχουμε

iJuJ iJua J iJua iJul = 8 ι

του

Ο

ui(ul ,

..• ,

u")

(10.16)

• • • , U") όρισμένη 8> ο, ετσι ώστε νά έχουμε

ui(u l ,

S,

S

εΙναι συ­

[f: (Ui_U~)2Jl/2 < 8

UI(u~, ... ,U~»2T/2 < ε γιά

εΙναι συνεχής στό

στό

άν εΙναι συνεχής σέ κάθε σημείο (U~,

... , U~)

Ή μερική παράγωγος iJiiHiJu i στό (u~, .•. ,U~) όρίζεται άπό τό όριο

iJUi ( ι

Ι.

") _ -

!Ι",Ι U O' ••• , Uo

υ...

1m

/c: ...

Ui(u~, ... ,u~+k, .•. ,U~) -

k

o

ui(U~, ... ,U~)

Τό σύνολο Μ μαζί μέ όλα τά συμβιβαστά συστήματα συντεταγμένων (δηλαδή έκείνα τά όποία συνδέονται μεταξύ τους μέ εναν έπιτρεπτό μετασχηματισμό συντεταγμένων) λέγεται στοιχειώδης πολ­ λαπλότητα διαστάσεως Παράδειγμα

n.

10.5.

(α)

Μιά άπλή κανονική καμπύλη τοϋ Ε3 χωρίς αύτοτομές εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

(b)

Μιά στοιχειώδης έπιφάνεια τοϋ Ε3 (πού, δπως ξέρουμε, καλύπτεται άπό ενα μόνο τμήμα) εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

(c)

1.

2.

• Ο χώρος Ε3 μαζί μέ δλα τά συστήματα συντεταγμένων P(~Ι, ~2, ~), πού όρίζονται στόν Ε3 καί γιά τά όποία οί μετασχηματισμοί χΙ

κλάσεως

Cl

= xί(~Ι, ~2, ~3), i = 1,2,3,

καί οΙ άντίστροφοί τους ~Ι

= ~Ι(xl, χ 2, χ3 ), ί = 1,2,3, εΙναι

μέ 'Ιακωβιανή ιJ(X ,x ,x3 ) -F Ο άρα καί ιJ(~Ι,~2,z3) -F Ο εΙναι μιά στοιχειώδης πολλαπλότητα l

διαστάσεως 3.

Ι

2

3

ιJ(~Ι, ~2, χ )

ιJ(x , :22, χ 3 )

,

,

1

r Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

209

ΤΑΝΥΣΤΕΣ

'Ένας τανυστής Τ σέ ενα σημείο Ρ μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας διαστάσεως

n

μπορεί νά

θεωρηθεί σάν ενα γεωμετρικό «άντικείμενο», πού όρίζεται στό Ρ καί προσδιορίζεται άπό τίς παρα­ κάτω ίδιότητες:

(ί)

Ό τανυστής Τ ώς πρός ενα σύστημα συντεταγμένων

P(ut, ... , u") τής πολλαπλότητας έκφρά­ C, πού λέγονται συνιστώσες του Τ ώς

ζεται άπό ενα σύνολο βαθμωτών (άριθμητικών) μεγεθών

πρός τό σύστημα συντεταγμένων (Η)

'Εάν

σες

P(u 1 ,

C του

••• ,

u")

P(ut, ... , u").

εΙναι τυχόν άλλο σύστημα συντεταγμένων τής πολλαπλότητας, ο{ συνιστώ­

Τ ώς πρός τό P(Ut, ... , u") καί ο{ συνιστώσες C συνδέονται μέ όρισμένους κανόνες πού έξαρτώνται άπό τό μετασχηματισμό συντεταγμένων UI UI (U 1, ••• , U"), . ά' , Ι -ι n, και. τον ντιστροφο του u u Ι(u, ... , U-ΙΙ) •

μετασχηματισμου,

t.

= 1, ... ,

=

=

'Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα τανυστή σέ ενα σημείο Ρ μιας έπιφάνειας εΙναι ό τανυστής έκεί­

νος, του όποίου οί συνιστώσες ώς πρός ενα τμήμα χ

θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως Υυ, ί,

i = 1,2,

= X(u1, U 2 )

πού περιέχει τό Ρ δίνονται άπό τά

στό σημείο αύτό.

'Εάν χ

= x*(u u l,

2)

εΙναι ενα

άλλο τμήμα, πού περιέχει τό Ρ μέ άντίστοιχα θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως !ί1J στό σημείο αύτό, τότε άπό τίς έξισώσεις

(9.2)

καί

(9.3)

επεται ότι τά Υίί συνδέονται μέ τά Οί} μέ τόν κανόνα με-

τασχη ματισμοϋ

. α,β=

•Ο

1,2

(10.17)

τανυστής αυτος λέγεται συναλλοίωτος μετρικός τανυστής τής έπιφάνειας στό Ρ.

'Όπως καί ό τανυστής πού άναφέραμε προηγουμένως ετσι καί ενας τυχόν τανυστής Τ έξαρταται συνήθως άπό τό σημείο Ρ τής πολλαπλότητας στό όποίο άναφερόμαστε, καί εΙναι πιό σωστό νά

συμβολίζεται Τ(Ρ).

. . , un)

του Ρ.

Οί συνιστώσες του Τ(Ρ) δίνονται ώς συναρτήσεις τών συντεταγμένων

(u1, .

Μιά συνάρτηση πού άντιστοιχεί σέ κάθε σημείο Ρ μιας πολλαπλότητας εναν τα­

νυστή Τ(Ρ) λέγεται τανυστικό πεδίο. Οί τανυστές ταξινομουνται, άνάλογα μέ τούς κανόνες μέ τούς όποίους μετασχηματίζονται οί συνιστώσες του, ώς εξής:

(ί)

'Ένας τανυστής λέγεται άνταλλοίωτος τανυστής τάξεως στώσες του Α ι,

... , Α n

ώς πρός

μέ τόν κανόνα

α,ί (Η)

... , Α ..

n

συνι­

1

(10.18)

η συναλλοίωτο διάνυσμα, αν οί

n

συνι­

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζQνται σύμφωνα

μέ τόν κανόνα

α,ί

= 1, .. . ,n

(ίΗ) 'Ένας τανυστής λέγεται άνταλλοίωτος τανυστής τάξεως

... , n,

η άνταλλοΕωτο διάνυσμα, αν οί

= 1, ... , n

'Ένας τανυστής λέγεται συναλλοίωτος τανυστής τάξεως στώσες του Αι,

1

κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα

2,

αν οί

(10.19)

n2

συνιστώσες του Α IJ, ί,

i=

1,

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

α,β,ί,i= (ίν) 'Ένας τανυστής λέγεται συναλλοίωτος τανυστής τάξεως

1, ... , n,

2,

1, .. . ,n άν οί

n2

(10.20) συνιστώσες του

A Ij ,

ί,

i=

ώς πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

(10.21) Οί τέσσερις παραπάνω τανυστές εΙναι είδικές περιπτώσεις του επόμενου όρισμου:

(ν)

'Ένας τανυστής λέγεται μικτός τανυστής (η μικτός σχετικός τανυστής) άνταλλοίωτης τάξεως

συναλλοίωτης τάξεως

8

r

καί

μέ βάρος Ν, αν οί n r + s συνιστώσες του A:~:::~, i k , im = 1, ... , n, ώς

πρός κάποιο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κανόνα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

210

Α Ιι· ..·Ι.1,.

[(aui)JN αl·· ·α. aui1 au4 det σiίΙ Α,.ι·· ·11. ΣU"ι ... au~

=

JI"·

'Εάν δ έκθέτης Ν της Ίακωβιαvi'jς dπόλυτoς τανυστής.

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

'Εάν 8

= Ο,

au/J 1

auJ•

•••

Κ ΕΦ.

au/J· σiίΙ•

(10.22)

εΙναι μηδέν, δ τανυστής λέγεται άκριβέστερα

det (auf ja1i;)

δ τανυστής λέγεται άπλώς άνταλλοίωτος.

νυστής λέγεται άπλώς συναλλοίωτος.

10

Τό άθροισμα

+8

r

'Εάν

r

= Ο,

λέγεται τάξη τοϋ τανυστη.

ραπάνω τανυστές (ί), (ίΟ, (ίίί) καί (ίν) εΙναι άπόλυτοι τανυστές.

δ τα­

Οί πα­

'Επίσης δρίζουμε:

(νί) 'Ένα βαθμωτό μέγεθος λέγεται τανυστής τάξεως μηδέν. Η Ας σημειωθεί ότι γενικά δ κανόνας μετασχηματισμοϋ tνός τανυστη ίκανοποιεί τή μεταβατική

ίδιότητα. Γιά παράδειγμα, θεωροϋμε τόν κανόνα μετασχηματισμοϋ Αι = λα uu ~~ΙIr , πού όπως ξέρουμε έκφράζει τή σχέση μεταξύ τών συνιστωσών tνός άνταλλοίωτου διανύσματος ώς πρός τά δύο συστή-

ματα συντεταγμένων P(u 1 ,

•• •

καί P(U 1,

,11,")

•••

,u,,). •Από

τήν έξίσωση (10.18) επεται, ύστερα

άπό άντικατάσταση καί έφαρμογή τοϋ κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως, ότι

Αι =

(a

Α

aua ) aU ' = au/J aua

a

i

A/J

i = ΑΙ! au au/J

(au au ) auIr au/J

Δηλαδή ~χoυμε τελικά τόν κανόνα μετασχηματισμοϋ πού συνδέει τίς συνιστώσες τοϋ άνταλλοίωτου

δΙl,1νύσματος ώς πρός τά συστήματα συντεταγμένων P(U 1, ΠαράδεΙΥμα

(α)

,11,") καί P(U 1,

•• •

,Un ).

10.6. /(1;1,1;2,:ι:3) μιά πραγματική συνάρτηση κλάσεως

wEatro

•••

οΙ συναρτήσεις 1;Ι

= 1;i(:e1, :22, Ζ3), ί = 1,2,3,

C1

όρισμένη σέ ενα άνοικτό σύνολο

U

τοϋ Ε3.

'Εάν

προσδιορίζουν εναν έπιτρεπτό μετασχηματισμό συντεταγμένων, τότε

άπό τόν κανόνα παραγωγίσεως σύνθετης συναρτήσεως επεται δτι σέ κάθε σημείο εχουμε

a/

a/ a1;Ir a1;Ir a:ei'

=

a:ei

= 1, 2, 3

ί

άπό τήν έξίσωση (lΟ.19) βλέπουμε δτι οΙ μερικές παράγωγοι

wEtat,

a/la1;i,

ώς οΙ συνιστώσες kνός συναλλοίωτου τανυστικοϋ πεδίου όρισμένου στό

(b)

'Από τίς έξισώσεις

(lO.17)

καί

U

ί

= 1,2,3,

τητα ενα άπόλυτο συναλλοίωτο ταννστικό πεδίο τάξεως Ύπενθυμίζουμε [έξίσωση (9.1Ι), σελ.

175]

τόν ίδιο τρόπο δπως καί τά ΙΙΙί' δηλαδή

.

=

=

aUIr au/J bαβ ail' aw

=

bfj

(d)

ΙΙίk, εΙναι στήν πραγματικό-

2.

δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως bij μετασχηματίζονται κατά στήν τομή τών τμημάτων χ X{U1 , U 2 ) καί χ x"(iί Ι , iί2) εχουμε

wEtal

/.

επεται δτι ό συναλλοίωτος μετρικός τανυστής, δηλαδή τό ταννστικό πεδίο

(10.2I)

μιας έπιφάνειας πού οΙ συνιστώσες του εΙναι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως

(c)

μποροϋν νά θεωρηθοϋν

πού λέγεται κλίση της

τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως άποτελοϋν έπίσης τίς συνιστώσες kνός άπόλυτου συναλλοίωτου τα­

νυστικοϋ πεδίου τάξεως

2

WΕστω il = il ' ' δ ιαστασεως n και,

το u

i (u 1, ••• , U n )

δταν α

=

..~ στω

Ρ, εχουμε

τής έπιφάνειας.

ενας έπιτρεπτός μετασχηματισμός συντεταγμένων μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας

Ir

, ""θ ροισμα "α . . /J aU/J aW au aili

δπου χρησιμοποιήσαμε τήν έξίσωση (IΟ.16). ενα μικτό

άπόλυτο

ταννστικό

'

'Α φου-

μ

ή

δ

' δ ροι

μη ενικοι

- άθ' , ά ροισματος υπ ρχουν

του

ό

μ νο

•Από τήν έξίσωση (ΙΟ.22) επεται δτι τό δέλτα τοϋ Kronecker ε{ναι

πεδίο τάξεως

συναλλο{ωτης τάξεως

2,

1

καί άνταλλοίωτης τάξεως

1.

Τέλος

παρατηροϋμε δτι εΙναι ενας ταννστης τοϋ όποίου οΙ συνιστώσες εΙναι ίδιες ώς πρός κάθε σύστημα συντεταγμένων τής πολλαπλότητας.

(e)

wEatro δτι σέ ενα σημείο τής τομής δύο τμημάτων μιας έπιφάνειας εχουμε Αί;ί

όρίζονται άπό τίς σχέσεις (ΙΟ.ΙΙ). Θεωροϋμε τό άθροισμα

auy aUU αβ aillc aw aUIr aUIJ

iiίkAIc; = ΙΙΥσ aiίΙ aillc ιι aβ

aulJ

aw _

..IΙΥσΙΙ

=

aiί' au/J -

j

δι

_

-

-j

δι

(au u aillc ) αβ aUy aw aillc aUIr ΙΙΥσΙΙ aili aU/J

_

-

auy aw _ ail' au/J - ΙΙΥαιι

If!.

= ιιαβ ail:

α

/J

auy ail; au/J

. aili

/J

auy aw

δ Υ aili au/J

aw, δπου οί ιιίi aU aU/J

Κ ΕΦ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

• Αφοϋ Oi1ι;A/cI

= δΙ

t:πεται δτι

ou =

-Ετσι, άπό τήν εξίσωση πεδίου τάξεως

2

(10.20)

AU

βλέπουμε ότι οΙ gU

εΙναι συνιστώσες ~νός άπόλυτου άνταλλοίωτου τανυστικοϋ

της tπιφάνειας, που λέγεται dvtαλλoiwtoς μετρικός τανυστής.

(!) Θεωρούμε τά 27 βαθμωτά μεγέθη eίJ/c, ί,;, k

= 1,2,3,

που όρίζονται ώς ~ξης:

Μν δύο άπό τους δείκτες ί,;, k

= Γιά παράδειγμα

e112

= Ο,

e212

= Ο,

el23

det (cl{>

δπου παίρνουμε τό πρόσημο

k

211 .

ΤΑΝγΠIΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

+

ί,;,

k

εΙναι μιά άρτια μετάθεση των

Μν

ί,;,

k

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

= Ι, e213 = -Ι, e231 = 1.

1,2,3 1,2,3

Ύπενθυμίζουμε ότι

=

όταν ί, ί,

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

εΙναι ίδιοι

tdv

εΙναι μιά άρτια μετάθεση των

k

1,2,3

'Αλλά τότε άπό τόν όρισμό τού

1,2,3.

καί τό πρόσημο

-

όταν ί, ί.

eiJ/c t:πεται ότι μποροϋμε νά γρά­

ψουμε

δπου άθροίζουμε ώς πρός α, β. γ.

=

Έπίσης qουμε

+ det (a:> { - det (a{)

έάν Ρ, έάν

Ρ,

q, r

q.,.

ε{ναι μιά αρτια μετάθεση των

1,2, 3

ε{ναι μιά περιττή μετάθεση των

1,2,3

"Αρα

= 11.!(Υ , u 2, u 3) Ι

"Εστω τώρα ότι

11.'

διαστάσεως

• Από

3.

ε{ναι lνας μετασχηματισμός συντεταγμένων μιας στοιχειώδους πολλαπλότητας

δσα άναφέραμε παραπάνω, μποροϋμε νά γράψουμε

e"rdet

• Επομένως,

οΙ ΒίΙ"

-1.

ίlu!

ι1iίP _ ίl11.1l _ ίι11." ea/JyσΥa ί/uI! ίluY

ε{ναι συνιστωσες ~νός άνταλλοίωτου τανυστη τάξεως

οΙ ποσότητες eij/c, ί,;, k βάρους

(-ΣW) =

= 1,2,3,

δπου eijJc

= eU/c,

3

καί βάρους

1. • Ας

σημειωθεί δτι

ε{ναι συνιστώσες ~νός συναλλοίωτου τανυστη τάξεως

3

καί

Άφήνουμε τήν άπόδειξη αυτού ώς ασκηση στόν άναγνώστη.

ΟΙ συνιστώσες ενός τανυστη λέγονται συμμετρικές ιός πρός δύο άνταλλοίωτους δείκτες (ανω δεί­ κτες) ή ώς πρός δύο συναλλοίωτους δείκτες (κάτω δείκτες), αν παραμένουν άναλλοίωτες, όταν έναλ­

λάσσονται οί δείκτες αύτοί.

Γιά παράδειγμα οί Α;!: εΙναι συμμετρικές ώς πρός τόν πρώτο καί τρίτο

άνταλλοίωτο δείκτη, αν Α;!:

=

A~Ι γιά κάθε ί καί

k.

Οί συνιστώσες ενός τανυστη λέγονται άvτισυμμετρικές ώς πρός δύο άνταλλοίωτους δείκτες ή ώς πρός δύο συναλλοίωτους δείκτες, αν άλλάξουν τά πρόσημά τΡυς μόνο, όταν έναλλάσσονται οΙ

δείκτες.

αν Α;!:

WΕτσι, οί A~ εΙναι άντισυμμετρικές ώς πρός τόν πρώτο καί τόν τρίτο άνταλλοίωτο δείκτη,

= -Α::

γιά κάθε ί, k.

~Eνας τανυστής λέγεται συμμετρικός, αν οΙ συνιστώσες του εΙναι συμμετρικές ώς πρός όλα τά ζεύγη τών άνταλλοίωτων καί όλα τά ζεύγη τών συναλλοίωτων δεικτών.

Έάν οί συνιστωσες του

τανυστη εΙναι άντισυμμετρικές ώς πρός όλα τά ζεύγη τών άνταλλοίωτων καί όλα τά ζεύγη των συναλ­ λοίωτων δεικτών, δ τανυστής λέγεται άντισυμμετρικός.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

212 Στό Πρόβλημα

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦ.10

δείχνουμε ότι, άν οί συνιστώσες ένός τανυστη ιός πρός ~να σύστημα συν­

10.19

τεταγμένων εΙναι συμμετρικές ιός πρός κάποιο ζευγος δεικτών, τότε οί συνιστώσες του τανυστη ιός πρός κάθε άλλο σύστημα συντεταγμένων εΙναι συμμετρικές ιός πρός τούς ίδιους δείκτες. συμμετρία ιός πρός ~να ζευγος δεικτών εΙναι ίδιότητα του τανυστη.

WΕτσι, ή

Τό ίδιο Ισχύει γιά τήν άντισυμ­

μετρία. Παράδειγμα

(α)

10.7.

Ό συναλλοίωτος καί ό 6.νταλλοίωτος μετρικός τανυστής ε{ναι συμμετρικοί τανυστές, άφου giJ καί gij

=

UjI, ί,

i=

= gJi, ί, j = 1,2,

1,2.

(b) Τό δέλτα του Kronecker μπορεί νά γενικευθεί ώς !:ξης:

=

= ρ, i = q ί = q, i = Ρ

Μν ί

καί

έάν

καί ί =ιb

i "'" j

i

(i,i,p,q

= 1, ... ,π)

σέ κάθε άλλη περίπτωση

Στό Πρόβλημα 10.14 της σελίδας 220 δείχνουμε δτι οί 8~ΙΙ ε{ναι οΙ συνιστώσες !:νός 6.πόλυτου τανυστη τάξεως

4,

συναλλοίωτης τάξεως

.

άντα λλ οιωτους

'Εάν ί

δ

καΙ 6.νταλλοίωτης τάξεως

2

i

ε κτες του.

Γ' ιατι,

Προφανώς, αύτός ε{ναι άντισυμμετρικός ώς πρός τούς

2.

= 1. = q . .. ..... 1, 8~ιι = -1,8ΊΙ' = 1 καί 8~ιι = -3: " uv .~

ρ,

και ~

...L.

ό .fIQ τ τε Oij -

1

. .qp και 0(j

= - l'

- .ΡΙΙ συνεπως 0(j -

.ιιρ -oij •

= q, 1 = Ρ καί i". i. τότε • Στίς άλλες περιπτώσεις 3~ιι = Ο. 8~P = Ο, = -8ΊΙ'. ·Ομοια dποδεικνύεται δτι ε{ναι 6.ντισυμμετρικός καΙ ώς πρός τούς συναλλοίωτους δείκτες του. Ρ

όπότε 8~ιι (ο)

Τά παραπάνω μπορουν νά γενικευθοϋν ώς !:ξης:

8 ΙΙ Ι "' ι

Ι

.. .. .Ι,.

--

1

έάν οΙ ίι , ... , i". ε{ναι διαφορετικοί καί

-1

Μν οΙ ίι •... ,... ε{ναι διαφορετικοί καί -m

{

Ο

Γιά παράδειγμα

81245 1122

=

Ο

•

11' .•. , 1.,. i 1, ••• , 1.,.

ε{ναι μιά άρτια μετάθεση τών ίι ••··• i". εlναι μιά περιττή μετάθεση τών ί 1 •

••• ,

i".

σέ κάθε άλλη περίπτωση

lxoupE

=

81134 1234

Ο.

1234'

s:::::t

Μπορεί νά δειχθεί δτι οΙ m καί άνταλλοίωτης

τάξεως

=Ο

r.!78

= -1 •

~134 1234

82314 1234

=

+1

•

33465 3456

=

-1

•

84356 4356

=

1

εlναι οΙ συνιστώσες !:νός dντισυμμετρικοίi άπόλυτου τανυστη συναλλοίωτης m.

τάξεως

ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

(α) Πρόσθεση.

WΕστω A;::::t καί B~:"""7. οί συνιστώσες δύο τανυστών Α καί Β της ίδιας συναλ­

λοίωτης καί άνταλλοίωτης τάξεως καί του ίδιου βάρους.

Στό Πρόβλημα

10.18

της σελίδας

221,

δείχνουμε ότι τά άθροίσματα

Αίl···ι,. J," ·ι,

+

Βίl",ι,.

Ιι" ·ι,

πού βρίσκουμε άν προσθέσουμε τίς άντίστοιχες συνιστώσες τών Α καί Β, άποτελουν τίς συνι­

στώσες ένός τανυστη μέ τούς Α καί Β.

C

της ίδιας άνταλλοίωτης καί συναλλοίωτης τάξεως καί του ίδιου βάρους

Ό τανυστής

(b) Έξωτερικό Υινόμενο τανυστών.

C

λέγεται άθροισμα τών Α καί Β.

Έάν οί συνιστώσες Β;;:::;: ένός τανυστη Β τάξεως Ρ

λαπλασιαστουν μέ τίς συνιστώσες A~~"""7. ένός τανυστη Α τάξεως r

+ q πολ­ + 8, τό άποτέλεσμα εΙναι

~να σύνολο nr+s+ p + q βαθμωΤών μεΎεθών Βαl·· . α,. Α ιl···ι,. ί l ' •. i. 11 1 , . ·11.

ΕΙναι εύκολο νά δειχθεί ότι οί c;~::

::: εΙναι

+

οί συνιστώσες ένός τανυστη C, άνταλλοίωτης τά­

+

ξεως r + Ρ. συναλλοίωτης τάξεως 8 q καί βάρους Νι ΝΖ• όπου Νι εΙναι τό βάρος του Α καί Ν 2 εΙναι τό βάρος του Β. Ό τανυστής C λέγεται ιςωτερικό Υινόμενο τών Α καί Β. Μιά εΙ­ δική περίπτωση έξωτερικου γινομένου εχουμε δταν ό Α εΙναι ~νας τανυστής τάξεως Ο, δηλαδή ~να βαθμωτό μέγεθος (άριθμός).

r

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

ΚΕΦ.Ι0

(c) Συστολή.

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

213

νΕστω A;~:::t οΙ συνιστώσες ενός τανυστη Α άνταλλοίωτης τάξεως r, συναλλοίωτης Τά n r +.- 2 βαθμωτά μεγέθη

τάξεως S καί βάρους Ν.

10· .. ;,. Β;•.. .ι,

=

πού προκύπτουν αν ταυτίσουμε τόν πρώτο άνταλλοίωτο δείκτη μέ τόν πρώτο συναλλοίωτο δείκτη

καί άθροίσουμε, μπορουμε νά δείξουμε ότι εΙναι οί συνιστώσες ενός τανυστη Β, άνταλλοίωτης τάξεως

r - 1,

συναλλοίωτης τάξεως S -

συστολή του τανυστη Α.

καί βάρους Ν.

1

'Ο τανυστής Β λέμε ότι εΙναι μιά

'Ένας τέτοιος τανυστής (πού προέρχεται άπό συστολή) μπορεί νά σχη­

ματιστεί γιά κάθε συνδυασμό ενός συναλλοίωτου καί ενός άνταλλοίωτου δείκτη. Παράδειγμα

(α)

10.8.

WΕστω ΑΗ

οί συνιστώσες τυχόντος άνταλλοίωτου τανυστή τάξεως

2,

καί εστω στι

οί Βυ εΤναι επίσης οΙ συνιστώσες Ι:νός άνταλλοίωτου τανυστη τάξεως

Bii

= An.

Παρατηροϋμε στι

γιατί

2,

iY a1lI aw = Αβα d t (aut)N au a1lI = Αιι = Βυ :.~ = Αβα det (au Β αβ det (~~_ιιY ~~αΙ "",μ awJ aua aufJ e a1li aufJ aua J

" ... )

u·",

Θεωροϋμε τώρα τούς τανυστές πού δρίζονται άπό τίς συνιστώσες τών παραπάνω τανυστών

CU Dii Προφανώς

αι

!(ΑΙΙ+ Β;Ι)

= CH

καί

Dj!

!(ΑΙΙ- Β;Ι)

= -D;;

WΕτσι οί CiJ ε[ναι συμμετρικές καί οΙ ταλλοίωτος τανυστής τάξεως

(δ)

= !(AIJ + Βυ) = !(Aii -Bii) = !(Bii + Αυ) = !(BIJ - AIJ)

WΕστω e ll

= ell = Ο,

e 12

=

άνάλογα μέ τίς συνιστώσες

2

Di; εΤναι άντισυμμετρικές.

. Αλλά

cΥ

+ DIJ

= AIJ

καί ετσι κάθε άν­

εΤναι άθροισμα Ι:νός συμμετρικοϋ καί Ι:νός άντισυμμετρικοϋ τανυστη τάξεως

=

=

e12 = 1, e 21 e21 -1 καί e 22 eIJk καί BI;k τοϋ Παραδείγματος

= e22 = Ο. 10.6(1),

Οί

2.

συνιστώσες ιι ΙJ καί ΙΙΙ; δρίζονται

σταν ή τάξη εΤναι

2.

Στή συνέχεια θεω­

ροϋμε τό εξωτερικό γινόμενο

Παρατηροϋμε δτι, σταν οί δείκτες Ρ, q εΤναι διαφορετικοί, τότε Α:!.ι = 1 άν ί = Ρ καί i = q; καί Α:!.ι = -1 άν ί q καί ; ρ. Σέ κάθε άλλη περίπτωση εχουμε Α:!.ι Ο. Δηλαδή άπό τό Παράδειγμα 10.7(δ) εχουμε

=

=

=

=

" pq B"'B

Βλέπουμε τέλος στι ή συστολή δίνει

δ

= δ~" =

α; αι;ι

{Ι Εάν; Ο

εάν;

= q} # q

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΩΝ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Θεωρουμε τίς έξισώσεις του

Χι;

. Εάν

Gauss

=

ΓϋΧα

+ bi;N

(α, ί,

πάρουμε τό έσωτερικό γινόμενο καί τών δύο μελών τών έξισώσεων του

Χι; • Xk

=

Γϋ(Χα· Xk)

Οί συναρτήσεις rIjk ΞΞ Χιι· Xk λέγονται σύμβολα τού

σχέση gιag aJ

= 8{

=

(10.29)

j = 1,2)

Gauss

μέ τό Xk, εχουμε

rugak

Christojje/

πρώτου είδους.

Χρησιμοποιώντας τή

εχουμε

νΕτσι, τά σύμβολα του Chήstοffel πρώτου καί δεύτερου είδους συνδέονται μεταξύ τους μέ τίς έξι­ σώσεις

ri;k =

gkar~

καί

(10.2~)

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

214 Στό Πρόβλημα

10.24

της σελίδας

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ ΕΦ.

δείχνουμε δτι οΙ συναρτήσεις Γι;Ιι: δίνονται άπό τίς σχέσεις

223 =

(10.25)

rt δίνονται

ιcαί συνεπώς οΙ συναρτήσεις

Γ .!".. V

10

άπό τίς σχέσεις

1

~y

Ας σημειωθεί δτι τά σύμβολα του

ka

[σΥ;α

au'

+ οΥαιJ _ σΥΙΙ] au aU

(10.26)

Q

Christoffel δέν εΙναι συνιστώσες tνός τανυστη, γιατί δ ιcα­ Christoffel περιλαμβάνει ιcαί τίς δεύτερες παραγώγους Στό Πρόβλημα 10.27 της σελίδας 223 δείχνουμε τό tπόμενο

νόνας μετασχηματισμου τών συμβόλων του

του μετασχηματισμου συντεταγμένων. θεώρημα: Θεώρημα

10.8.

Τά σύμβολα του

μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τούς ιcανόνες

Christoffel

~. Ί:,

[aU aulJ Q

r~1J σiίΙ σiίI +

1

au'aZuΎσiίI] iJUk auΎ

=

f ijk

Θεωρουμε στή συνέχεια τίς έξισώσεις του

Weingarten

= Pfχa,

Νι

(χ, i

= 1,2

(10.27)

Πολλαπλασιάζοντας έσωτεριιcά μέ Χι, βρίσιcoυμε δτι τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως bIJ ίΙCα­ νοποιουν τίς σχέσεις

= Νι· Xj =

-bij 'Εάν δρίσουμε bl

= biagai, bl

νΕτσι οΙ έξισώσεις του

b{

ιcαί

biJ

β~YαI

εχουμε

=

bιΎg ΎJ

=

-βΊΥαΎΥΎΙ

=

-β~8~

-βl

μπορουν νά γραφουν

Weingarten Νι

όπου οΙ

=

βΊχa· Χ;

=

-b~χa,

i = 1,2

(10.28)

συνδέονται μέ τίς σχέσεις

b{ = ΥαΙ bia

καί

(10.29)

•Εδώ οΙ biJ εΙναι οΙ συνιστώσες tνός άπόλυτου συναλλοιώτου τανυστη τάξεως 2 ιcαί οί bl εΙναι οί 2, άνταλλοίωτης τάξεως 1 ιcαί συναλλοίωτης τάξεως 1 .

συνιστώσες tνός άπόλυτου τανυστη τάξεως

• Ορίζουμε

τώρα τά σύμβολα δεύτερου είδους τού R mijk

=

b ίk bjm

ιcαί τά άντίστοιχα σύμβολα πρώτου είδους τού

R~k

Riemann

- bi ; bkm

(10.90)

Riemann

=

gαp R

(10.91)

aijk

Παρατηρουμε δτι οΙ Rmi;k εΙναι οί συνιστώσες tνός άπόλυτου συναλλοίωτου τανυστη τάξεως

4

ιcαί

ότι οί B~/ι: εΙναι οί συνιστώσες tνός άπόλυτου τανυστη τάξεως 4, συναλλοίωτης τάξεως 3 ιcαί άν­ ταλλοίωτης τάξεως τού

Riemann

1.

ΟΙ τανυστές αυτοί λέγονται άντίστοιχα συναλλοίωτος τανυστής καμπυλότητας

ιcαί μικτός τανυστής καμπυλότητας τού

Riemann.

•Από

τίς έξισώσεις

επεται δτι

Παρατηρουμε άπό τήν

(10.29)

ιcαί

(10.31) (10.92)

(10.30)

δτι οί συνιστώσες

R.,.ijk

εΙναι άντισυμμετριιcές ώς πρός τούς δύο

πρώτους δείιcτες ΙCαί ώς πρός τούς δύο τελευταίους δείιcτες, δηλαδή R imjk

=

-Rmjjk

ιcαί

R mikJ

=

- RmiJk

(10.99)

~"

Κ ΕΦ.

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

=

UΕτσι εχουμε Rimjk

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

215

Ο σταν οί δύο πρώτοι η οί δύο τελευταίοι δείκτες εΙναι ίδιοι.

τέσσερις άπό τίς συνιστώσες αύτές εΙναι διάφορες του μηδενός.

R l2l2 = R 212l = b22 b ll - b l2b2l = LN -

= R 2112 =

R l22l

bl2 b2l

Μ2

Μ2)

b22 bll = -(LN -

-

Τελικά, μόνο

Αύτές εΙναι οί εξής:

= b

(10.34)

=

(10.35)

-b

"Αν καί οί συνιστώσες του τανυστή καμπυλότητας δρίστηκαν ώς συναρτήσεις τών μεγεθών τής δεύτερης θεμελιώδους μορφής, μπορουν στήν πραγματικότητα νά έκφραστουν ώς συναρτήσεις μόνο

τών μεγεθών τής πρώτης θεμελιώδους μορφής, δηλαδή ώς συναρτήσεις τών συνιστωσών του μετρι­ κου τανυστή καί τών παραγώγων τους.

Στό Πρόβλημα

10.29

της σελίδας

224

δείχνουμε τό επόμενο

θεώρημα: Θεώρημα

R mijk

10.9.

• Επειδή

τά σύμβολα του

έξαρτώνται μόνο άπό τίς συνιστώσες του μετρικου τανυστή

Christoffel

(δηλαδή τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως) καί τίς παραγώγους τους, επεται στι τό ίδιο Ισχύει καί γιά τόν τανυστή καμπυλότητας. θεια τής έξισώσεως

Αύτό εΙναι ίσοδύναμο μέ τό θεώρημα του

ή καμπυλότητα του

(10,34)

Gauss

LN-M2 EG-F2

Κ

=

Gauss,

άφου μέ τή βοή­

δίνεται άπό τήν εκφραση

b g

=

R l2l2 g

Λυμένα Προβλήματα ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

10.1.

Δείξτε στι οί έξισώσεις τών

Gauss-Weingarten

=

Χ ε{ναι

gxu" = gx"" σπου ρ=/...

+ qrx" + psx.. + qsx" + sgl/ 2N ptx.. + qtx" + tg l/2 N prxu.

gxuu.

uel

rg l/2 N

+ ve2 +

για ενα τμημα

Monge

/(u, v)e3

g3/ 2N.. (spq - rq2 - r)x.. + (rpq - Sp2 - s)x" g 3/2N" = (tpq - sq2 - s}x.. + (spq - tp2 - t)x"

q=/", r=!...., s=/..", t=!"", g=l+p2+ q 2. = 1 + r, F = Χ.. ' Χ" = pq, G = Xv' Xv = 1 + q2 = 1 + r + q2 = g, Ν = χ.. χ x"f!x.. χ χ,,\ = -(pel + qe2 L = χ..". Ν = τlο , Μ = Χ Ν = 81ο , Ν = χ.,.,' Ν = Ιlο Ε" = 2ρτ, Ε" = 2Ρ8, F = Ρ8 + qr, F" = ρι + q8, Gu = 2q8, Ε

=χ

Εα

-

.. '

χ..

F2

Ι/2

Ι/2

Ι/2

..,,'

u

Άπό τίς έξισώσεις

(10.2)

ιcαί

(10.4)

Γ~ι

= prlg

Γ~2

= p81g

Γ~2 = ptlg

Γ~ι

= qrlg

Γ~2

=

Γ~2

=

β~

= (8pq - rq2 - r)/g3/2

~

β~

= (rpq -

pi = (8pq -

άπό τίς δποίες επεται τό άποτέλεσμα.

1

παίρνουμε

q81g

8ρ2 - 8)lg3/2

eiJlg l/2

qtlg

= (tpq - 8q2 - 8)/g3/2 t p2 - t)/g3/2

G" = 2qt

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

216 10.2.

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

Χρησιμοποιώντας τίς έξισώσεις τοϋ

Weingarten, ΙΠ

όπου ΠΙ

= dN· dN

πυλότητα τοϋ

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2ΗΠ

-

Κ Ε Φ.

10

δείξτε ότι

+ ΚΙ =

Ο

εΙναι ή τρίτη θεμελιώδης μορφή, Η ή μέση καμπυλότητα καί Κ ή καμ­

Gauss.

Χρησιμοποιώντας τήν έξίσωση (Ι 0.2) τής σελίδας

Ντι· Ν"

20 Ι

παίρνουμε

=

(β~ X u + β~Xυ) • (.B~ X u + β~Xυ)

=

(MF - LG)2E + 2(MF - LG)(LF - ME)F + (LF - ME)2G (EG - F2)2 (EG - F2)2 (EG - F2)2 (-2LMF + L2G + EM2)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)L - (LN -

=

~-~

Μ2)Ε

~-~

ΚΕ

2HL 'Όμοια

Ν,,· Ν"

=

(β~x" + β~x,,) • (β~x,. + β~x,,)

=

(MF - LG)(NF - MG)E + (NF - MG)(LF - ME)F (EG - F2)2 (EG - ~)2 (MF - LG)(MF - NE)F + (LF - ME)(MF - NE)G + (EG - F2)2 (EG - F2)2 (ΜΕΝ - M2F + LGM - FLN)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)M (EG - F2)2 EG - F2 2ΗΜ - KF

(LN-M2)F EG-~

(β~x .. + β~x,,) • (β~x,. + β~x,,)

'Επίσης

= =

(NF - MG)2E + 2(NF - MG)(MF - NE)F + (Μι;' - NE)2G (EG - F2)2 (EG - ~)2 (EG - F2)2 (ΕΝ2 - 2MFN + M2G)(EG - F2) (ΕΝ - 2MF + LG)N (LN-M2)G (EG - F2)2 EG - F2 EG-F2 2ΗΝ - KG

Συνεπώς

ΙΙΙ

=

=

(Ν ..

+Ν

=

N u • Ν,. du 2 + 2Ν ... Ν" dv dv + Ν • Ν dv 2 (2HL - ΚΕ) KF) du dv + (2ΗΝ - KG) dv 2 2 2H(L du + 2Μ du dv + Ν dv 2) - Κ(Ε du 2 + 2F du dv + G dv 2) 2ΗΙΙ - ΚΙ dN· dN

du du 2 +

dv) • (Ν,. du + Ν" dv)

" 2(2ΗΜ -

"

"

πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.3. Δείξτε ότι τά σύμβολα τοϋ Christoffe! Γ~ δίνονται από τίς εκφράσεις (10.4) τής σελίδας 202. Παρατηρούμε στι

=

χ,.. Χ,.,.

!(Χ,.·

Xv • χ""

Xu )..

!(Xv • χ"),,

=

!Ε,..

Xu • x,.v

!(χ ... Xu)v

!G".

x V• χ,."

!(χ"

• X,,)u

'Επίσης, χρησιμοποιώντας τίς παραπάνω σχέσεις, εχουμε

(Xu • x v ) ..

F,. Fv

=

(xu·x v)"

=

x u,. • Xv + Xu • x uv = Xuu • Xv + }Ε ., xuv·x,,+xu·x v., = !G .. +xu·x"v

Συνεπώς

F" - !G,.

'Από τίς έξισώσεις του

Gauss

καί τά προηγούμενα εχουμε

!Eu = Χ,,· Χ,... = rllxu • Χ" + rilXU· Xv = r:ιΕ + r~lF F" - !E v = xv·xv.. = r:lxv·xu + rilxv·x" = r:IF + r~IG !Ε"

=

Χ,.· xuv Χ,,· xu-v

iGu

=

Fv -

!G,.

!G v

=

=

=

r: 2x,. • Χ" + ri2X"· Χ"

= r1 E +

ri2F

Γ~2Xυ· X u + Γ~2Xυ· Χ"

=

r~2G

Χ.. • xv"

Xv • x vv

=

=

2

r~2F

r~2x,.· Χ.. + r~2X"· χ"

r~2XV· Χ,. + r~2Xυ· Χ"

=

=

+

r~2E + r~2F

r~2F + r~2G

Λύνοντας τίς δύο πρώτες έξισώσεις ώς πρός r: ι καί riI' τίς δύο επόμενες εξισώσεις ώς πρός 1':2 καί ri2 καί τίς δύο τελευταίες έξισώσεις ώς πρός Γ~2 καί Γ~2 βρίσκουμε

rι !

Κ ΕΦ.

θΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

Ι

Γ~l

Γ~l

=

GE,. - 2FF,. + FE" 2(EG-F2)

Γ~2

2EF.. - ΕΕ" + FE .. 2(EG-F2)

Γ~2

=

Τ ΑΝΥΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

GE,,-FG .. 2(EG-F2)

Γ~2

EG.. -FE" 2(EG-F2)

Γ~2

=

217

2GF" - GG,. - FG" 2(EG-F2) EG" - 2FF" + FG,. 2(EG-F2)

πού εΙναι οί ζητούμενες έκφράσεις.

10.4.

Δείξτε ΟΤΙ

K(EG - Ρψ = [ΧιιιιΧυΧ"][Χ""Χ,,Χ,,] - [X"vXuX,,]2.

LN -

~Aρα

=

• (X u

χ Χ,,)

=

[χ""χ ..χ,,]/Iχ,. χ χ,,1

[X.."xux,,]2

Ιχ.. χ χ,,12

=

LN-M2

Κ

Συνεπώς

=

Χ"''· Ν

[X....XUx"][X""X"X,,l -

Μ2

(Χ .. χ Χ,,)

'Επίσης

10.5.

=

Ν

Μ

(χ,..

=

Xu)(X v • Χ,,) - (X u • χ,,)2

-

F2

[χ.."χ..χ,,]2

[xuux..x"Jlx""x"x,,] -

EG-F2

Εα

(EG-F2)2

Χρησιμοποιώντας τό άποτέλεσμα του προηγούμενου προβλήματος, δείξτε ΟΤΙ

(Ρ.." - !Ε""

Κ(ΕG-FΨ

+

ΡΖ)

- tG ....)(EG -

t~"

det (

F"-!G,, Ε

F

- det

G

F

F"-!E,, V

!G")

(Ο !Ε" !Ε" Ε !G..

Ας σημειωθεί δτι αυτό εΙναι μιά αμεση άπόδειξη του θεωρήματος του

F

Gauss.

Προφανώς εχουμε

[abc][def]

det

(

d1 el

11 C·

d)

c·e c·f , Από

τό Πρόβλημα

K(EG -F2)2

10.4

=

καί άπό τούς ύπολογισμούς του Προβλήματος

x uu • Χ""

det

det

,

χ,.. Χ"" Χ,,· χ"'')

Χ"''· Χ"

(X

(

Χ ... Χ..

uu • X v

Xu •

Χ"... Χ""

F"-tG,,

!Ε..

Ε

F,,-t E .,

F

tGV) F

(Χ..... Χ"" -

+

Xu "

det

(

Στό Πρόβλημα 10.3 δείξαμε δτι x ..u • Χ"

•

(

det

G

εχουμε

Χ"" • Χ..., • Χ..

χ,. • χ,..,

χ,."

χ,. • Χ..

X uv • X v

Χυ.

(χ,."οχ -

Αφου καί οί δύο όρίζουσες εχουν τήν κοινή έλάσσονα δρίζουσα K(EG-F2)2

15

Χ" • χ,. "v • X v

Xv

det

10.3

tE"

tG. det ( ;

F,,-tG ..

!Ε"

Ε

F .. -!E"

= F .. -

Ε

F

x,.v· Χ"

= !G...

G

~). επεται δτι

F

!Ε" καί

Xv

. " !Ε" tGU) F

x,..,)(EG - F2)

Ο

•

Συνεπώς

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

218 (F u

t E v)v =

-

. Αφαιρώντας

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

Κ Ε Φ.

ΤΑΝΥΣTlΚΟΣ ΛOΓlΣMOΣ

10

(X uu ' xv)v

εχουμε

πού δίνει τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

10.6. . Εάν

οί παραμετρικές καμπύλες ενός τμήματος ε{ναι γραμμές καμπυλότητας, δείξτε δτι οί έξι­

σώσεις

των

(10.7)

παίρνουν τή μορφή

Codazzi-Mainardi

1 Ev συ = "2 Έ(Κ 2 - Κι),

σΚ 2

σκι

1 Gu G(K !

"2

iJu

-

Κ2)

δπου κι καί Κ 2 ε{ναι οί κύριες καμπυλότητες. 'Όταν οί παραμετρικές καμπύλες ε{ναι γραμμές καμπυλότητας, εχουμε

= ΙΙι1 =

F

Ο.

'Έτσι, οί εξισώσεις

(Ι 0.7) μετασχηματίζονται στίς

καί

Ν,.

10.7.

κι

= L/E

Ev(N _L)

καί

G

9.13

της σελίδας

= N/G.

καί Κ2

tEv(~+~)

ΝΕΕ υ

2EG

NEG u LGG u 2EG + 2EG

2Ε

Άλλά σύμφωνα μέ τό Θεώρημα τητας, τότε

+Nri2

-Lr~2

=

(~\

ή

LGE v 2EG +

Lr~2 - Nril

Lv

Ε

186,

(~λ

(~+ ~)

tGu

=

~~ (~ - ~)

αν οί παραμετρικές καμπύλες ε{ναι γραμμές καμπυλό­

'Έτσι εχουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

Δείξτε δτι δέν ύπάρχει συμπαγής επιφάνεια στόν Ε3 κλάσεως

Cm,

m~

2.

μέ καμπυλότητα τοϋ

Κ ~ ο.

Gauss

Ύποθέτουμε τό άντίθετο. δηλαδή δτι

σημείο της δποίας ε{ναι

Κ"" Ο.

ε{ναι μιά συμπαγής επιφάνεια κλάσεως

S

Θεωροϋμε τώρα τήν πραγματική συνάρτηση f(P)

Χ εκφράζει διανυσματικά τό τυχόν σημείο Ρ.

=

Cm, m:=: 2,

σέ κάθε

lχΙ2

δπου τό

= Χ' Χ,

'Αφήνουμε στόν άναγνώστη νά δείξει ώς ασκηση δτι ή

f

ε{ναι

S. Συνεπώς, σύμφωνα μέ τό Θεώρημα 6.9 τής σελίδας 110, ή f παίρνει τό μέγιστό της, εστω f(P o) = lχσl 2 = r 2 , σέ κάποιο σημείο Ρο τής S. "Ας σημειωθεί δτι πρέπει νά ε{ναι r 2 > Ο. Γιατί διαφορετικά θά είχαμε f == Ο στήν S, άφοϋ παντοϋ ίσχύει f:=: Ο καί τό r 2 ε{ναι τό μέγιστό της, καί ή S θά ε{χε ενα μόνο σημείο τό Χ Ο, πράγμα πού ε{ναι άδύνατο. "Εστω τώρα Χ x(u, ν) ενα τμημα τής S πού περιέχει τό Ρο καί τέτοιο ωστε οί διευθύνσεις trovu- καί ν-παραμετρικών καμπυλών στό Ρο νά είναι συνεχής παντοϋ στήν

=

κύριες.

'Αφοϋ ή

f(P)

= f(x(u, ν» af/au

στό Ρο.

'Επίσης

aZf/au2 στό Ρο.

Ρο. Ν

2xu

' Xu

=

εχει τό μέγιστό της στό Ρο, εχουμε

2x'xu

=

Ο

καί

σι/συ

=

+ 2χ, x uu

""

Ο

καί

ίJη/συ 2

2x'x v = 2x v '

= Xv

Ο

+ 2χ, X vv

Ο

""

τίς παραπάνω δύο πρώτες εξισώσεις επεται δτι τό Χ ε{ναι κάθετο στά X u καί X v

Συνεπώς Ν

= x/r.

καί

. Από

=

=

= ±x/lxl = ±x/r

. Αντικαθιστώντας

στό Ρο.

στό σημείο

Μποροϋμε νά ύποθέσουμε δτι ή φορά τοϋ Ν ε{ναι τέτοια ωστε

στίς δύο τελευταίες άπό τίς παραπάνω εξισώσεις εχουμε X u ' X u

+ τΝ • x uu "" Ο < Ο στό Ρο .

Xv'xv+rN'Xvv "" Ο ή Ε + rL "" Ο καί G+rN "" Ο ή L/E "" -1/r < Ο καί N/G "" -1/r

. Αφοϋ

οΙ διευθύνσεις τών u-

τής σελίδας

καί

186, επεται δτι κι

ν-παραμετρικών καμπυλών ε{ναι κύριες στό Ρο.

= L/E

καί Κ2

= N/G.

Συνεπώς εχουμε Κ

στό Ρο. πού ε{ναι επίσης άδύνατο, άφοϋ ύποθέσαμε δτι Κ"" Ο δεικνύει τήν πρόταση.

άπό

τό Θεώρημα :=: 1/r2

= ΚΙΚ2 = LN/EG

παντοϋ στήν

9.13

>

Ο

'Η άντίφαση αύτή άπο­

S.

10.8. Δείξτε ότι ή συνάρτηση f(P) = [κι (Ρ) - κ 2 (Ρ)]2 όρισμένη σέ μιά επιφάνεια ε{ναι συνεχής. Ύπενθυμίζουμε δτι οί κύριες καμπυλότητες σέ ενα σημείο Ρ μιας επιφάνειας

S

εξαρτώνται άπό τόν

προσανατολισμό τοϋ τμήματος πού περιέχει τό Ρ, δηλαδή άλλάζουν πρόσημο δταν άλλάζουμε τή φορά τοϋ

Ν.

"Ετσι, αν ή

S δέν ε{ναι προσανατολίσιμη, δέν ε{ναι δυνατό νά δριστοϋν οί κι(Ρ) καί Κ2(Ρ) ώς συνεχείς S. . Η f δμως ε{ναι άνεξάρτητη τής άλλαγής τοϋ προσήμου τών κι καί Κ2 ε{ναι μιά εσωτερική ίδιότητα της S, δηλαδή άνεξάρτητη τοϋ τμήματος πού περιέχει τό Ρ.

συναρτήσεις σ' δλόκληρη τήν καί συνεπώς

Γιά νά δείξουμε δτι ή πού περιέχει τό Ρο.

f

ε{ναι συνεχής σέ ενα σημείο Ρο, ύποθέτουμε δτι Χ

= x(u, ν)

ε{ναι ενα τμήμα

'Αφοϋ οί κι καί Κ2 ε{ναι συνεχείς συναρτήσεις τών θεμελιωδών μεγεθών πρώτης καί δεύ-

Τ

Κ Ε Φ.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

10

ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

219

=

f(x(u, υ» εΙναι συνεχής συνάρτηση τών u καί v. "Ετσι, αν δοθεί e > Ο, ύπάρχει If(x(u,v»-f(x(uo,vo»1 < € γιά κάθε (U,V) στήν Sδι(UΟ'VΟ}' Άπό τό Πρόβλημα 8.13 της σελίδας 165 επεται δη ή είκόνα Μ της Sδ (1to, vo) στήν S εΙναι ή τομή ένός άνοικτου συνόλου Ο του ι Ε3 μέ τήν S. Συνεπώς, ύπάρχει μιά περιοχή Ss(xo} του Ε3, τέτοια ωστε τό Sδ(Χο} n S νά περιέχεται στήν Μ. "Ετσι, γιά κάθε χ στό Sδ(ΧΟ} n S εχουμε If(x} - f(xo} Ι < •. Αύτό δείχνει δτι ή f εΙναι συνεχής στό Ρο. τερης τάξεως, ή

f(P}

δι> Ο τέτοιο ωστε

10.9.

' Αποδείξτε

τό λήμμα του

'Εάν σ

HiZbert:

ενα σημείο Ρο μιας έπιφάνειας κατάλληλης κλά­

σεως ίσχύουν (ί) τό ΚI(Ρο ) είναι ενα τοπικό μέγιστο, (ίί) τό κ 2 (Ρο ) είναι ενα τοπικό έλάχιστο

> κ 2 (Ρο ),

καί (ίίί) κι(Ρ ο )

τότε Κ(Ρ ο ) ~ Ο.

Έπειδή ΚI(Ρ ο } # Κ2(Ρ Ο )' τό Ρο δέν εΙναι όμφαλικό σημείο. σελίδας

ύπάρχει ενα τμημα χ

185,

= x(u, υ)

εΙναι γραμμές καμπυλότητας της έπιφάνειας.

σκι

2'1 Ε" Ff(K2 -

συ

"Ετσι, σύμφωνα μέ τό Θεώρημα

9.10 της

πού περιέχει τό Ρο καί του όποίου οί παραμετρικές καμπύλες

• Από "Ι)

τό Πρόβλημα

10.6

σΚ2

καί

επεται δτι

1 Gu

2' (;("ι -

uu

'(2)

Παραγωγίζοντας εχουμε

. Αφου

οί "ι καί

στό Ρο.

• Αρα

"2

= a"z/aU = = G u = Ο στό

παίρνουν άκραίες τιμές στό Ρο, εχουμε σ"ι/συ

άπό τίς δύο πρώτες παραπάνω σχέσεις εχουμε Ε"

Ο στό Ρο.

• Αλλά "ι # .02 •Αντικαθιστώντας στίς

Ρο.

δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε καί

Έπειδή ή κι παίρνει μέγιστο στό Ρο, εΙναι σ2"ι/συ2"", Ο στό Ρο.

Έπίσης "ι

νεπώς ή πρώτη άπό τίς παραπάνω σχέσεις δίνει Ε"" ~ Ο στό Ρο.

Έπειδή ή

εΙναι ίJ2K2/ίJu2 ~ Ο στό Ρο.

Έπίσης

G

> Ο,

πύλες εΙναι γραμμές καμπυλότητας, εχουμε Πρόβλημα

10.5

όπότε

F =

=

Μ

G uu

~ Ο στό Ρο.

Ο.

• Αλλά

> "2 .02

στό Ρο καί Ε

>

Ο. Συ­

παίρνει έλάχιστο στό Ρο,

Τελικά, άφου οί παραμετρι~ές καμ­

στό Ρο εΙναι Ε"

=

Ο καί

Gu =

Ο.

• Από

τό

βρίσκουμε τότε δτι στό Ρο ίσχύει Κ

Έπειδή Ε"" ~ Ο καί

10.10. ' Αποδείξτε

Guu

~ ο, επεται δτι Κ"'" Ο, πού εΙναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

τό Θεώρημα

Οί μόνες συνεκτικές καί συμπαγείς έπιφάνειες κατάλληλης

10.7:

κλάσεως, μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ 'Υποθέτουμε δτι βλημα Κ

>

Ο.

10.5

f(P}

πειδή

εΙναι συμπαγής, ή

S

νά εΙναι Κ"'" Ο.

της σελίδας

205

=

σταθ.

Σύμφωνα μέ τό Πρό­

Συνεπώς, μπορουμε νά ύποθέσουμε δτι

συμπεραίνουμε δτι ή

S

S

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό ση­

εΙναι σφαίρα, όπότε συμπληρώνε­

Γιά νά δείξουμε δτι κάθε σημείο της S εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, θεωρουμε τή

= [κι (Ρ) -

συνάρτηση ή

S

Έάν τώρα μπορέσουμε νά δείξουμε δτι κάθε σημείο της

μείο, τότε άπό τό Θεώρημα

ται'ή άπόδειξη.

είναι οί σφαίρες,

εΙναι μιά συνεκτική καί συμπαγής έπιφάνεια μέ Κ

εΙναι άδύνατο γιά δλα τά σημεία της

10.7

= σταθ.

S

Gauss,

τώρα δτι ι> Ο στό Ρο.

Κ2(Ρ}]2.

f

Άπό τό Πρόβλημα

10.8

εχουμε δτι ή

f(P)

εΙναι συνεχής στήν

παίρνει τό άπόλυτο μέγιστο σέ κάποιο σημείο Ρο της

Άφου ή

f

S.

S.

Έ­

Ύποθέτουμε

εΙναι συνεχής στό Ρο, εΙναι ι> Ο σέ κάποια περιοχή S(Po}'

'Επει­

- Κ2}2 > Ο στήν S(Po), εΙναι κι # .02 στήν S(Po). Έπίσης οί κι καί .02 εχουν τό ϊδιο πρόσημο στήν S(P o), άφου Κ ΚΙΚ2 > Ο στήν S(Po)' Έτσι, μπορουμε νά ύποθέσουμε δτι κι > .02 > Ο στήν S(Po)• . Αφου κι - .02 > Ο στήν S(Po) καί ή (Κι - .02)2 εχει μέγιστο στό Ρο, επεται δτι ή κι - .02 εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο. . Επειδή Κ Κι"2 σταθ. > Ο, ή .02 έλαττώνεται δταν ή κι αύξάνεται καί έπομένως ή κι εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο καί ή .02 τοπικό έλάχιστο στό Ρο. Συνεπώς, αν ι> Ο στό Ρο τότε (ί) ή κι εχει τοπικό μέγιστο στό Ρο, (ίί) ή "2 εχει τοπικό έλάχιστο στό Ρο καί (ίίί) κι > "2 στό Ρο. • Από τό Πρό­ βλημα 10.9 επεται δτι Κ"'" Ο στό Ρο. . Αλλά αύτό εΙναι άδύνατο άφου Κ> Ο στήν S. "Ετσι ή f δέν εΙναι θετική στό Ρο. •Αλλά ή f παίρνει στό Ρο τή μέγιστη τιμή της καί άκόμα άπό τόνόρισμό της f(P) ~ Ο γιά κάθε Ρ. Συνεπώς f == Ο στήν S. Δηλαδή κι .02 σέ κάθε Ρ της S. . Επειδή οί κύριες καμπυλό­ δή

f =

(Κι

=

=

=

=

τητες εΙναι άκραίες τιμές της κάθετης καμπυλότητας στό Ρ καί έπειδή Κ

λότητα νεπώς ή

,,= S

σταθ.

# Ο σέ κάθε Ρ.

εΙναι σφαίρα.

Δηλαδή κάθε σημείο της

S

>

ο,

επεται δτι ή κάθετη καμπυ­

εΙναι έλλειπτικό όμφαλικό σημείο καί συ­

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

220

ΤΑΝγΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Κ Ε Φ.

10

ΤΑΝΥΣΤΕΣ

10.11. 'Εάν υ ί

= a~ua

Γράφουμε να

10.12.

Δείξτε ότι

καί wi

= b~va,

= ~a~uβ.

δείξτε ότι w '

Συνεπώς

β

όπου οί

giaga;=B{, a,i,i=l,2, UllU ll

+ ΥΙ2Υ

2Ι

ΥιαΥ a2

ΥιιΥ Ι2

+ ΥΙ2Υ

22

Υ2αΥ αΙ

Υ2ιΥ ΙΙ

Υ2αΥ α2

Υ2ιΥ Ι2

+ Υ22Υ + g22g 22

= = = =

=

{~

ΥιαΥ αΙ

"Εχουμε

=

= b~α~uβ.

2Ι

ΥίαΥ α ;

Συνεπώς

δρίζονται άπό τίς σχέσεις

ga;

(10.11).

= u/u = 1 -Υl1ΥΙ2/Υ + ΥΙ2Υιι/Υ = Ο Υ2ιΥ22/Υ - Υ22ΥΙ2/Υ = Ο -Υ2ιΥ2ι/Υ + g22g11/g = g/g = 1

UllU22/U - ΥΙ2ΥΙ2/Υ

Μν ί

=j

Μν ί

# j

}

= 8~,

10.13. Δείξτε ότι Bf;ij

οι

V

{

•

ε ναι οι

O

20

καί Β ι] εΙναι οί συνιστώσες συμμετρικών τανυστών, καί αν χΙ καί ΥΙ εΙναι οί

A ij

συνιστώσες άνταλλοίωτων διανυσμάτων ετσι ώστε

i, j

=

δείξτε ότι Α .. ΧΙΧ Ι 1J

Έπειδή (Α ι]

-

11

- "lBij)Xi

=

=ο

1, ... , n, κι =F Κ2

Ο καί ότι ή κι εΙναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτηο

γιά κάθε

j, εχουμε (Aij - "lBjj)Xiy;

= Ο.

'Όμοια, άπό τή δεύτερη έξίσωση

Ο καί, έπειδή οί Α ιι καί Bij ε{ναι συμμετρικές, (Α ι] - "2Bij)XiyJ = 00 ' Αφαιρών­ "2)Β ιι χΙΥΙ = Ο. Έπειδή "ι #- "2, επεται δη ΒΗΧΙ Υ ; = Ο καί συνεπώς Α ιι 2:ΙΥ; = Ο. Γιά νά

εχουμε (Aij - "2Bij)yixJ τας, εχουμε ("ι

Β .. ΧΙΧ Ι

=

=

δείξουμε δη ή "ι ε{ναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτη, ύποθέτουμε δη ΖΙ εΙναι οί συνιστώσες τυχόντος άνταλλοί­ ωτου διανύσματος καί θεωρουμε τό άθροισμα

(Α αβ

=

ίJiί ί

ίJu o ίJu B

ίliί;

"ιΒαβ) oili σiί; χ Ύ 8uY Ζσ aUu

-

(Α οβ - "ιΒαβ)χΥΖσ (~~; ::~) (~~ :::) .

α

β

(Α οβ - "IΒ οβ )2: α Ζ β

(Α αβ - "ιΒαβ)χΥΖσδΥ δ σ

=

=

ο' Αφου δμως (Α αβ - "ιΒοβ)ΧΟ ο γιά κάθε β, εχουμε καί (Α ιι - "lBij)XiZ; 00 ' Αλλά οί συνιστώσες ΖΙ ε{ναι τυχουσεςο • Επομένως καί (A ij - "lBij)xi Ο γιά κάθε jo "Αρα ή "'ι ε{ναι μιά βαθμωτή άναλλοίωτη.

=

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΩΝ

10.22. Δείξτε ότι οί συνιστώσες dui , i

= 1,2,

του έφαπτόμενου διανύσματος

dx

= χα dua

μετασχη­

ματίζονται όπως οί συνιστώσες ένός άνταλλοίωτου διανύσματος καί λέγονται άνταλλοίωτες

συνιστώσες του

dx .

=

=

. Υποθέτουμε δη iίΙ iίi(u l , u 2), ί 1,2, l 2 i τίστροφο u = ui(iί , iί ), i = 1,20 Τότε άπό χ

α

-

-

ίJx

-

ίJuo

νεπώς diί i

ίJx ίJiί l

-

-

ίJiίl

-

ίJx ίJiί + -ίJiί2 -ίJua ίJuO

ίJiί Ι

= du o ίJuO '

10.23. Δείξτε δτι

ίJYυ

ίJu k

=

-

ίιΧ ίJiί -ίJiίΙ -ίJuO'

κανόνα

παραγωγίσεως

'Έπεται δτι

dx.=

Χα

σύνθετης

du o =

ίJx ίJiίΙ

συναρτήσεως

ίJiί Ι

dua ίJua

ίJx ίJiί ί

εχουμε

diί i

Συ '-

πού ε{ναι τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

= rikJ + rjki.

Παραγωγίζοντας τήν gij

δμως ε{ναι riik

τόν Ι

2

--

ε{ναι ενας έπιτρεπτός μετασχηματισμός συντεταγμένων μέ άν­

Χι} • Xk'

= Χι· Xj

ώς πρός u k εχουμε

Συνεπώς ίJgi;!ίJu k

=

r ikJ

+ rjkio

ίJgj;!ίJu k

Xιk • Xj

+ ΧΙ· Xjko

' Από τόν όρισμό

.'" Κ ΕΦ.

10

10•24•

Δει τε vτι Γιικ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ

-ξ

1 [ag!k = -2 --ο

J!

aU'

ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.

iJgki au

+

agii] iJU

--k

--j -

10.25.

Γίικ

Δείξτε ότι

'θ

,

= rjik

.. k

για κα ε ~,1.

i

ίJui

ίJ

=

ίJui (011022 - (gI2)2)

=

9 [ 9

11

ίJy ll + ίIUi

δπου χρησιμοποιήσαμε τίς σχέσεις

uui

ίJy Kι

+

ίJYH ίJu k

ίJω -

Γ ιcρ

ίJu!

=

2

+ Γιιlc

καί

ί! _ iJuk - Γik;

ίJy

+ Γ1ΙCΙ'

Γι;κ.

og aui = 2gr:i • ~

ίJy

ίJy Kι

m:; = Γ;ίlc + rlcίj.

Υεπεται οτι Υ ίJY!K ίJu

•

223

•

ίJy·1c

'Από τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

'Ε πει δ'η

ΤΑΝγΣΤιΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

(10.11)

22

iJui g22

σΥ 22 + 2 ίJui

9

της σελίδας

12

+

ίJ022

gl1 ίIUi -

ίJ9 12 ] ίJui

οοαβ ίJO αβ

=

. Από

206.

σΥ 12

2g 12 ίJuI iJuI

τό Πρόβλημα

10.23

=

+ Γβία ) =

οοαβ(Γ αίβ

=

9

ίJOll

=

εχουμε

2ΥΓ:Ι

δπου χρησιμοποιήσαμε τή σχέση Γ~ = ΥκαΓΙΙα καί άντικαταστήσαμε τό βουβό δείκτη β μέ α.

10.26. Δεiξτε ότι R",ii.k = gαmR'fjk. 'Από τή σχέση (10.31) της σελίδας 214 εχουμε

10.27.

Δείξτε ότι τά σύμβολα πρώτου είδους του

= gαmgβαRβΙilc = 8::'Rβijk = Rmi;Ic.

OamRgk

Christoffel

μετασχηματίζονται σύμφωνα μέ τόν κα-

νόνα

Ύπενθυμίζουμε

=

Ufjy

δτι οί

ίJuβ ίJuY

oui

ι'Jiί •

k

9jl
Ο ύπάΡ'lει ενα κανονικό τόξο C' πού ένώνει τό Ρ μέ τό Q, τέτοιο ώστε L(C) + ε> L{C') [L(C) = D(P, Q) ε{ναι τό μέγιστο άπό τά κάτω φράγματα].

μήκους μεταξύ των Ρ καί

=

ΕΙναι φανερό δτι τά τόξα ελάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων άνήκουν στήν εσωτερική γεω­ μετρία της επιφάνειας.

Στό επίπεδο, ή εσωτερική άπόσταση

D(P, Q)

εΙναι άκριβως ή Εύκλείδεια άπόσταση, όπότε ενα

τόξο ελάχιστου μήκους ύπάρχει πάντα καί εΙναι μοναδικό, γιατί ε{ναι τό εύθύγραμμο τμήμα μεταξύ

των Ρ καί

Γενικά, δπως δείχνουμε καί στό Παράδειγμα Ι Ι3(a), δέν εΙναι άπαραίτητο μεταξύ

Q.

δύο δοθέντων σημείων μιας επιφάνειας νά ύπάρχει τόξο ελάχιστου μήκους ή, δπως δείχνουμε στό Παράδειγμα

ll.3(b),

Παράδειγμα

11.3.

(α)

S

"Εστω

δταν ύπάρχει ~να τέτοιο τόξο, δέν εΙναι άπαραίτητα μοναδικό.

τό έπίπεδο rι;y, άπό τό όποίο εχει άφαιρεθεί ή

άρ-χή των άξόνων.

Q=

(ο,

Θεωροϋμε τά σημεία Ρ

δπως φαίνεται στό Σ-χ.

-1),

κάθε Ε

>

Ο

μέ τό

Q

καί

11-6.

= (0,1)

ύπάρ-χει Ενα κανονικό τόξο πού f:νώνει τό Ε-χει μηκος μικρότερο τοϋ

καί

Προφανώς, γιά

2 + Ε.

Ρ

Υ

Ρ(Ο,l)

Θά μπο­

ροϋσε κάποιος νά πάρει τό τόξο της περιφέρειας μεταξύ των Ρ καί

Q,

πού Ε-χει κέντρο τό (Η, Ο),

κετά μεγάλη άκτίνα

R.

R

>

Ο,

(Β,Ο)

καί άρ­

ΕΙναι προφανές δτι τό μήκος δ­

ποιουδήποτε κανονικοϋ τόξου μεταξύ των Ρ καί νά

εΙναι

μεγαλύτερο

ή

ίσο τού

2.

"Ετσι

Q πρέπει D(P, Q) = 2.

• Από τήν άλλη πλευρά δέν ύπάρχει κανονικό τόξο στήν S πού νά ένώνει τά Ρ καί Q καί νά εχει μήκος ίσο' μέ 2, άφού στήν έπιφάνεια δέν άνήκει ή άρχή των άξόνων. Συνεπώς, δέν ύπάρ-χει στην

ταξύ των Ρ καί

Q.

S

τόξο έλάχιστου μήκους με­

Q(O, -1) Σχ. 11 -6

χ

(b)

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

232 WΕστω

μιά σφαίρα.

S

11

Μπορεί νά δειχθεί δτι κάθε μέγιστος κύκλος πού ~νώνει τό βόρειο μέ τό νότιο πόλο της

σφαίρας ε[ναι ~να τόξο ~λάχιστoυ μήκους μεταξύ των πόλων.

Συμπεραίνουμε ετσι δτι μπορεί νά !υπάρχει ~νας

άπειρος dριθμός διαφορετικων τόξων ~λάχιστoυ μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας ~πιφάνειας.

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΚΑΜΠΥ ΛΟΤΗΤΑ

• Υποθέτουμε ότι C εlναι ~να τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας έπιφάνειας S. • Εάν Ρ εlναι τυχόν σημείο τοϋ C καί Q ~να γειτονικό του σημείο πάνω στό C, τότε διαισθητικά περιμένουμε τό τμημα τοϋ τόξου μεταξύ των Ρ καί Q νά εlναι έπίσης ~να τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των Ρ καί Q. Φαίνεται έπίσης ότι ή όρθογώνια προβολή C* τοϋ τμήματος τοϋ C πού πε­ ριέχεται μεταξύ των σημείων Ρ καί Q έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου της S στό Ρ (Σχ. 11-7), εlναι ~να τόξο έλάχιστου μήκους τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου μεταξύ τοϋ Ρ καί της προβολης Q* τοϋ Q έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου. •Αλλά τότε ή C* πρέπει νά εlναι εύθύγραμμο τμημα ή, Ισοδύναμα, μιά καμπύλη μέ καμπυλότητα μηδέν.

WΕτσι γιά νά μελετήσουμε τά τόξα έλάχιστου μήκους της

έπιφάνειας θεωροϋμε έκείνες τίς καμπύλες, πού ή προβολή τους έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου εχει μηδενικό διάνυσμα καμπυλότητας. Ν

Σχ.

11-7

Σχ.11-8

Τό διάνυσμα καμπυλότητας στό Ρ της προβολης μιας καμπύλης

πέδου στό Ρ λέγεται διάνυσμα γεωδαισιακης καμπυλότητας της Γιά νά ύπολογίσουμε τό διάνυσμα χ

= x(u, ν)

ύποθέτουμε ότι ή

εlναι ~να τμημα πού περιέχει τό Ρ καί χ

της καμπύλης

C

kg,

C

S

C

C

έπί τοϋ έφαπτόμενου έπι­

στό Ρ καί συμβολίζεται μέ

εlναι μιά έπιφάνεια κλάσεως

= x(s) = x(u(s),ν(s»

Cm,

m:Ξ!::

ko. 2,

μιά φυσική παράσταση

κλάσεως

C'l. •Αρχικά μέ Τ συμβολίζουμε τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα της U έκείνο τό διάνυσμα τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου στό Ρ, γιά τό όποίο ή δεξιόστροφη καί όρθοκανονική (Σχ. 11-8). Χωρίς περιορισμό της γενικό­

στό σημείο Ρ καί μέ

τριάδα (Τ,

U, Ν)

εlναι

τητας μποροϋμε νά ύποθέσουμε ότι τό σημείο Ρ εlναι ή άρχή των άξόνων.

καμπύλης

C

έπί τοϋ έφαπτόμενου

καί

στό Ρ εχουμε

=

(Τ· Τ)Τ

t

= Τ'

* _ dt* _ dt*/I dx* Ι k - ds* - ds ds

=

dX* • dx*) d2x* _ (dX* • d2x*) dx* ( ds ds ds 2 ds ds 2 ds

Ι d:sΊ4

ετσι στό Ρ εχουμε έπίσης

+ (Τ· U)U =

Τ,

-_ 1,

Ι ddXs* Ι

d2x* ds 2

=

καί έπομένως μέ τή βοήθεια των τριων τελευταίων σχέσεων

•Αλλά

τό

U

εlναι κάθετο στό Τ.

τόν τύπο

(k' Τ)Τ

+ (k' U)U =

(k' U)U

k* = ko = (k' U)U - (k' U)(U' Τ)Τ .

WΕτσι εχουμε τελικά τόν τύπο

k" = •Από

Παραγωγίζον-

dx* /ds

dx dX*Il t* -_ - - -* Ι d8 ds

dx* ds

Τότε ή προβολή της

= (Χ' Τ)Τ + (Χ' U)U.

= (Χ' Τ)Τ + (Χ' U)U = (t· Τ)Τ + (t· U) U • • d2x*/ds 2 = (t'T)T + (t·U)U = (k'T)T + (k'U)U

τας εχουμε

•Αλλά

έπιπέδου στό Ρ εlναι χ*

(11.1) παρατηροϋμε ότι τό

ko

(k'U)U

(11.1)

εlναι πράγματι ή διανυσματική προβόλή τοϋ δια­

νύσματος καμπυλότητας k της C στό Ρ έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου. Έπειδή τό διάνυσμα k εlναι κάθετο στό Τ, ή διανυσματική προβολή του έπί τοϋ έφαπτόμενου έπιπέδου εlναι άπλως ή συνι­ στώσα του

(k' U)U

ώς πρός

U.

WΕτσι εχουμε τό έπόμενο θεώρημα:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

Θεώρημα

233

Τό διάνυσμα γεωδαισιακης καμπυλότητας kιι μιας καμπύλης

11.5.

νυσματική προβολή του διανύσματος καμπυλότητας

τής

k

C

στό Ρ εΙναι ή δια­

C

στό Ρ επί τού εφαπτόμενου επιπέδου

στό Ρ .

. Από τήν εξίσωση (11.1) καί τή γνωστή σχέση k" Τ k = όπου, όπως ξέρουμε,

= (k" Ν)Ν

k ..

kιι

+ k ..

=Ο

μπορούμε νά γράψουμε

= (k" U)U + (k" Ν)Ν

(11.2)

εΙναι τό διάνυσμα τής κάθετης καμπυλότητας τής

C

στό Ρ.

Πα­

ρατηροϋμε ότι τό k ιι εΙναι άνεξάρτητο τού προσανατολισμού τής επιφάνειας καί τής καμπύλης γιατί τό ίδιο Ισχύει καί γιά τά διανύσματα Ό πραγματικός άριθμός λότητα της

C

στό Ρ.

• Από

καί

k

k ...

πού δρίζεται άπό τή σχέση k

Kg

τή σχέση

(11.2)

C,

~πεται ότι κ

ιι

=

ιι = k" U.

KgU

λέγεται γεωδαισιακή καμπυ­

Έπίσης, άφου τό

U

~χει εκλε­

γεί ~τσι ώστε ή τριάδα (Τ, U, Ν). δήλαδή ή (t. U. Ν). νά εΙναι δεξιόστροφη καί όρθοκανονική, εχουμε τελικά

U:I:

Νχ

t.

Συνεπως

= k" U

Kg

= k· (Ν χ t).

κιι = (tkN] Παρατηρουμε ότι ή κ

ιι

ή

K

άπ'

= (ΧΧΝ]

(11.3)

έξαρταται καί άπό τόν προσανατολισμό τής έπιφάνειας

του Ν) καί άπό τόν προσανατολισμό τής καμπύλης

• Αντίθετα

g

νΕτσι ~χoυμε τόν τύπο

C

S

(δηλαδή τή φορά

(δηλαδή τή φορά τοϋ t) .

ό,τι συμβαίνει στήν κάθετη καμπυλότητα Κ"' πού εξαρταται άπό τά θεμελιώδη

μεγέθη πρώτης καΙ δεύτερης τάξεως, ή γεωδαισιακή καμπυλότητα κ

εξαρταται μόνο άπό τά θεμε­

ιι

λιώδη μεγέθη πρώ1rης τάξεως (καί τίς παραγώγους τους) καί συνεπώς εΙναι μιά εσWτερική Ιδιότητα

τής επιφάνειας. ραγώγων τους.

Αύτό προκύπτει αν εκφράσουμε τήν κ ιι ώς συνάρτηση των Ε,

Στό Πρόβλημα

πύλης εχουμε

2 [ Γη

11.l3

της σελίδας

250

F, G

καί των πα­

δείχνουμε δτί γιά μιά φυσική παράσταση καμ­

(dU)3 2 1 (dU)2 dv 2 Ι du (dV) 2 ds + (2ΓΙ2 - Γιι) ds ds + (Γ22 - 2Γ ι2 ) ds ds _

(11.4)

r~2(ddsV)3 + du d v2 _ dZu2 dV] '/EG _ F2 ds ds ds ds V 2

καί συνεπως ~χoυμε τό tπόμενο θεώρημα: Θεώρημα

11.6.

•Η

γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας καμπύλης μιας επιφάνειας εΙναι μιά γεωμετρική

άναλλοίωτη τής επιφάνειας.

Παρατηρούμε ότι κατά μήκος των u-παραμετρικων καμπυλών V = σταθ. εΙναι dv/ds = Ο καί du/ds = ι/ΥΕ' καί κατά μήκος τών υ-παραμετρικών καμπυλων u = σταθ. εΙναι du/ds = Ο καί dv/ds = ι/να. ~Eτσι, γιά τή γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικων καμπυλων, ή έξίσωση (11.4) δίνει 2 (dU)3 2 2 VEG - F2 (K g ) υ = σταθ. ΓΗ di vEG - F Γ 11 ΕγΕ (11.5) _r~2(dv)3'/EG_F2 = -ΓΙ V=E=GC---=F2= () K g .. = σταθ. ds ν 22

GVG

Έάν επιπλέον οί παραμετρικές καμπύλες εΙναι όρθογώνιες, τότε εΙναι F

rh = -}G../E.

= Ο,

Γ~l

= -IE,,/G

Ευ

(11.6)

2Eya' Παράδειγμα

χουμε

11.4.

θεωρουμε τό παραβολοειδές Χ

Χτ Ε Ν

=

χΙ

t

1

16

=

(τ

cos 8)et

+ (τ sin 8)e2 + r2e3' 0< r < = (-Τ Sin 8)el + (Τ COS ')e2

+ (sin 8)e2 + 2rea, Xe Χτ"Χ τ = 1 + 4 τ2, F = Χτ·Χθ = Ο, XrXXe . = Ι = (1 + 4r2)-l/2(-2r(cos 8)el (cos 8)el

Χτ XXsl

. Η ,-παραμετρική καμπύλη Τ αύτης εΙναι

καί

νΕτσι ~χoυμε

= τι)

ε{ναι

Χ

=

(rl) coβ ,)et

+

G

=

Xs"Xe

"", -"" < 8


α

ο, Ο

= (1*

11-12

άπό τό όλοκλ ήιρωμα 'Επειδή

στό Ρ πού

Q.

Σχ.

καί δτι χ

= x(r, 8)

Θά δείξουμε δτι ή γεωδαισιακή πού διέρχεται άπό

11-12.

Q

ib

=

(dr/dt) dt =

8 = 80

Ισχύει εάν καί μόνο εάν

σημείων Ρ καί

+ G(r, 8)(d8/dt)2 dt

λ

ΤΟ

dr =

μεταξύ τών σημείων Ρ καί

d8/dt

=Ο

ή

8

= σταθ.

Q,

ro ενώ ή Ισότητα

Δηλαδή ή γεωδαισιακή

είναι τό μοναδικό τόξο ελάχιστου μήκους μεταξύ δλων τών

τόξων πού συν Ο, τέτοιο ώστε τά σημεία Ρε καί Ρ_ε, πού άντι-

Κ Ε Φ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

240

11

Σχ. 11 -14

στοιχοϋν στίς τιμές

t +ε

ξουμε πρωτα ότι τό

t-

καί

~ Ας συμβολίσουμε άκόμα μέ

C•

ε, νά βρίσκονται στό Χ

τό τμημα τοϋ τόξου

C

= x(r, θ)

όπως φαίνεται στό Σχ.

μεταξύ των Ρ καί Ρε.

εΙναι τόξο έλάχιστου μήκους μεταξύ των Ρ καί Ρε.

C.

11-14.

Θέλουμε νά άποδεί­

Ύποθέτουιιιε ότι ισχύει

τό άντίθετο, δηλαδή ότι ύπάρχει ενα κανονικό τόξο Γ ε μεταξύ των σημείων Ρ καί Pε~ τοϋ δποίου τό μηκος L(rE ) εΙναι αύστηρά μικρότερο άπό τό L(CE). ~ Ας ύποθέσουμε ότι L(rE ) 8 = L(CE ). Θε­

+

ωροϋμε τώρα τό τόξο Γ πού προκύπτει, αν άντικαταστήσουμε στό

C*

πού νά εΙναι κανονικό στά

φέρει άπό έκείνο τοϋ Γ τό πολύ κατά

~ Ας σημει­

όμως ότι μπορεί

Ρ καί Ρε καί τοϋ όποίου τό μήκος νά δια­

'Επειδή όμως

8/2.

τό σ ε μέ τό Γε •

. Αποδεικνύεται

ωθεί ότι τό τόξο αύτό γενικά δέ~ εΙναι κανονικό στά Ρ καί Ρ.. νά βρεθεί ενα τόξο

C

L(r) + 8

= L(C)

καί τό

C*

άπό τήν κα­

τασκευή του εΙναι ενα κανονικό τόξο μεταξύ των Ρ ι καί Ρ2 , εχουμε

+ 8/2

L(C*)

~

πράγμα πού εΙναι όμως άδύνατο, άφοϋ τό

Ρ ι καί Ρ 2 •

ή

L(C)

C




εΙναι άνεξάρτητη του

L(C),

εΙναι τό μέγιστο κάτω φράγμα τών μηκών τών τόξων άπό τό Ρ στό

Ο ύπάρχει ενα κανονικό τόξο

τότε εχουμε

D(P,R) 'Επειδή τό ~

(ίίί)

'Επειδή τυχόν

~

>

=

>

~

Ο, γιά κάθε τόξο

ο εχουμε

D(P, Q)

~

= ε.

W

~

Ο

.,

D(P, Q) Q

D(P, Q)

+ D(Q,R) + 3ε

D(P,Q)

+ D(Q, R).

εΙναι καί

D(P, Q) ""

άπό τό Ρ στό Q τέτοιο ώστε

C

Ι:πεται δτι

= ο.

D(P, Q) C άπό

ύπάρχει ~να τόξο

- QI

=ο

ή Ρ

Q

της

S

S

Ο.

'Εάν τώρα ρ,=

L(C)

-

C

=

Q,

τέτοιο ώστε τό μήκος του

L(C) ~ D(P, Q) + •. wEatro τώρα C· f(C). 'Επειδή ή f D(f(P), f(Q» ~ L(C·) = L(C) ~ D(P, Q) +~. 'Επειδή

Αρα

Δείξτε

D(P, Q) ~ D(f(,P), f(Q». L(C)

Q, αν δοθεί τυχόν

νά {κανοποιεί τή σχέ­

εΙναι τοπική Ισομετρία, εχουμε τό ~

S*.

σέ μιά επιφάνεια

ή εσωτερική άπόσταση εΤναι

άπό τό Ρ στό

Q,

'Επειδή γιά

Q τέτοιο ώστε νά εχουμε Q
~ L(C). 'Ε1τειδή τό ~

εΙναι τό μέγιστο κάτω φράγμα τών μηκών τών Τόξων άπό τό Ρ στό

ύπάρχει πάντα ενα τόξο

~ ε.

'Αντίστροφα, ας ύποθέσουμε δτι

τό Ρ στό

= Q.

μιά τοπική ίσομετρική άπεικόνιση μιας επιφάνειας

'Επειδή

ση

>

~

~ ~

'Αλλά γιά τήν Εϋκλείδεια άπόσταση Ισχύει ΙΡ

δτι γιά κάθε ζευγος σημείων Ρ,

> Ο,

D(P, R)

άπό τό Ρ στό

C

L(C)

γιά τυχόν ~

εΙναι τυχόν, εχουμε τελικά ΙΡ

f

+ L(C2 ) +

L(C 1)

Ο ύπάρχει ~να κανονικό τόξο

D(P, Q) Ο. Τότε L(C) ~ D(P, Q) + ~

WΕστω

~

L(C)

εΙναι τυχόν, εχουμε τελικά

L(C) ""

γιά κάθε ~

~

L(C) γιά δλα τά κανονικά τόξα C ,~πό τό Ρ wEtaI, ή D(P, Q), πού ε[ναι τό μέγ'ιστο κάτω προσανατολισμού τών τόξων C. Συνεπόiς εχουμε C.

Q, γιά τυχόν C l άπό τό Ρ στό Q τέτοιο ΆSστε L(C1) ~ D(P, Q) +.. Γιά τόν ίδιο λόγο ύπάρχει ενα κανονικό τόξο C 2 άπό τό Q στό R τέτοιο ώστε L(C2 ) ~ D(Q, R) +.. Τώρα τό τόξο πού προκύπτει άπό τήν ~νωση τών C2 καί C 1 εχει «γωνία» στό Q καί f:πομένως στή γενική πε­ ρίπτωση δέν εΙναι i:va κανονικό τόξο άπό τό Ρ στό R. Μπορεί δμως νά δειχθεί δτι ύπάρχει i:va κανο­ νικό τόξο C άπό τό Ρ στό R πού τό μηκος του, στή δυσμενέστερη περίπτωση, εΙναι λίγο μεγαλύτερο. Δηλαδή ύπάρχει κανονικό τόξο C άπό τό Ρ στό R, τέτοιο ΆSστε L(C) ~ L(C 1) + L(C2 ) +~. 'Αλλά

(ίί)

11.7.

άπό τό Ρ στό Q ε[ναι άνεξάρτητο του προσανα­

C

~πεται δτι K~ τό σύνολο τών άριθμών

C,

ε[ναι άνεξάρτητο του προσανατολισμου τών

Q

= Q.

εΙναι τυχόν, ~πεται τό

L(C·)

= L(C).

ζητούμενο άπο­

τέλεσμα.

11.8.

=

= x(s) μιά φυσική παράσταση καμπύλης χωρίς σημεία καμπης καί Υ = y(s, υ) v > ο, ή κανονική παραμετρική παράσταση πού προσδιορίζει τόν ενα κλάδο εφαπτόμενης επιφάνειας αύτης (Πρόβλ. 8.19, σελ. 167). Δείξτε δτι σέ κάθε σημείο της

WΕστω Χ

x(s) της

+ vt(S),

εφαπτόμενης επιφάνειας ύπάρχει περιοχή πού μπορεί νά άπεικονιστεί Ισομετρικά επί l:νός συνόλου του επιπέδου. Σύμφωνα μέ τό θεμελιώδες θεώρημα τών καμπυλών, ύπάρχει μιά καμπύλη του έπιπέδου ΧΙΧ2 μέ φυσική παράσταση

,,(s) τής Χ

χ.

= x·(s),

= x(s).

τέτοια ώστε ή καμπυλότητα

,,·(s}

της χ.

= x·(s)

νά εΙναι ίση μέ τήν κοιμπυλότητα

'Εάν δοθεί ~να σημείο Ρ της έφαπτόμενης έπιφάνειας καί ~να τμήμα

περιέχει τό Ρ, ορίζουμε τήν άπεικόνιση

f τής εΙκόνας του τμήματος στό έπίπεδο μέ τήν

Υ

=y(s, 11) πού

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κ ΕΦ.ΙΙ

= f(y(s, υ» = f(x(s) + lIt(S» = x*(s) + lIt*(S) = t* εΙναι συνεχείς καί ΙΥ: χ Υ: Ι = 1ι/(*

Υ*

= χ* +

οι Υ:

>

υπόθεση 11

lιΙ*

Ο καί

της σελίδας

Il.I ι-ι.

=

t* + lI/(*n* καί Υ:

.,& Ο· συνεπώς ή

/(* = /(

228

μποροϋμε, δν περιορίσουμε τό τμημα πού περιέχει τό Ρ, νά

= y(s,v) fχουμε Ε = Υ.·Υ. = (t+lIIΟ

τέτοια ώστε

υ) νά ίσχύει

Ε δπου Ε,

= X(U, υ) ΑΕ*,

F*, G*

καί Ε*,

καί χ*

=

= f(x(u, υ».

F

=

= X(t)

καί

G

= λG*

εΙναι άντίστοιχα τά θεμελιώδη

μεγέθη

πρώτης τάξεως τών

Δείξτε δτι ή σύμμορφη άπεικόνιση διατηρεί τή γωνία δύο

τεμνόμενων προσανατολισμένων καμπυλών.

λισμένων καμπυλών χ

λF*

καί ξ

= ξ(τ)

Μέ τόν δρο γωνία δύο τεμνόμενων προσανατο­

έννοοϋμε τήν κυρτή γωνία θ

= 4(Χ',ξ') των

έφα­

πτ6μενων διανυσμάτων στό σημείο τομής τους.

= X(U, υ) εΙναι ενα τμημα πού περιέχει τό Ρ καί χ = x(u(t), ν(Ι» , ε = Χ(7/(Τ), Ητ» S πού τέμνονται στό Ρ καί fxouv dντίστοιχα έφαπτόμενα διανύσματα στό Ρ ε' = χ,.7/' + xJ'. Έάν 8 = 4(Χ" ε'), τότε άπό τήν έξίσωση (9.6) της σελίδας 173

Ύποθέτουμε δτι χ

είναι

χ'

δύο

καμπύλες

= χ,.ιι' + x.,V'

της

καί

fχσ.υμε

COSfJ

• Ατιό ε*'

17

1

τήν

δλλη

=

πλευρά,

= χ: 7/' + < r'

δν

8*

ε[ναι ή

τών καμπυλών χ*

γωνία τών έφαπτόμενων διανυσμάτων

= X*(U(t), lI(t»

καί ε*

=

Χ*(7/(Τ), r(τ»

χ*'

= χ: U' +

της Β*, τότε

χ: ν'

καί

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

250

=

cos s*

[E*(U')2

• Αλλά άπό τήν ύπόθεση cos s cos s* ή S s*,

=

11.11.

Δύο

Ο

...,:::

=

έπιφάνειες

λ~

=

λΕ*,

F =

G=

λF* ιcαί

λέγονται

S·

έφαρμόσιμες,

αν

ύπάρχει

στόν Ε3, τέτοια ώστε (ί)

S

μιά

= S,

fo(S)

συνεχής

(ίί)

σλες τίς τιμές τοϋ λ οί άπεικονίσεις ίλ, είναι ίσομετρικές άπεικονίσεις

Διαισθητικά, αύτό σημαίνει στι οί έπιφάνειες

S

καί

έφαρμόσιμες, λέμε στι ή κάμψεως.

μπορεί νά προκύψει άπό τήν

S·

f 1(S) της S

οίκογένεια

= S·,

ίλ"

(ίίί) γιά

έπί της fλ(S).

είναι έφαρμόσιμες, αν ή Β μπορεί

S·

S·. . Εάν S

νά καμφθεί συνεχως καί ίσομετρικως ώστε νά συμπέσει μέ τήν έπιφάνειας

λG*. Συνεπώς fχουμε

πού συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

καί

S

11

+ 2F*u'v' + G*(ν')ψ/2 [Ε*(,1')2 + 2F*,1'r' + G*(r')2]1/2

ε[ναι στά άντίστοιχα σημεία Ε

άπεικονίσεων της

1,

Κ Ε Φ.

μέ κάμψη.

S

S·

καί

•Η

είναι

ίδιότητα μιας

πού είναι άναλλοίωτη σέ μιά συνεχή οΙκογένεια ίσομετριων λέγεται άναλλοίωτη

Προφανως, αν οί

καί

S

νιicά, τό άντίστροφο δέν Ισχύει.

είναι έφαρμόσιμες, τότε είναι καί ίσομετρικές.

S*

Γε­

Δείξτε στι μιά περιοχή τυχόντος σημείου ενός κλάδου της

έφαπτόμενης έπιφάνειας μιας καμπύλης μπορεί νά προκύψει άπό κάμψη τμήματος τοϋ έπιπέ­ δου (βλ. Πρόβλ. "Εστω

Υ

11.8).

= Y(S,lI) =

Σ(Β)

πιφάνειας μιας ιcαμπύλης Σ

=

+ lIt(S),

ν

>

Ο, μιά ιcανoνιιcή παραμετριιcή παράσταση της έφαπτόμενης έ­

Σ(Β). πού δέν εχει σημεία ιcαμπής.

λών επεται δτι γιά ιcάθε λ, Ο ~ λ ~

1,

. Από

= Χλ,(Β),

ύπάρχει μιά ιcαμπύλη χ

τό θεμελιώδες θεώρημα 1;ών ιcαμπυ­ μέ ιcαμπυλότητα

,,(s) ι Ο.

ε[ναι μιά ιcανoνιιcή άπεΙΙCόνιση της εΙ1cόνας ένός τμήματος τής έφαπτόμενης έπιφάνειας έπί του πεδίου τιμών της, ιcλάσεως C 1 γιά ιcάθε λ. Προφανώς ε[ναι

1.8,

Ιλ,

= y(s, ν) ΙCαί τό σύνολο δλων τών σημείων Ιι(Υ(Β,ν» ε[ναι ύποσύνολο του έπιπέδου πού παράγεται = Χι(Β). Τελιιcά, γιά δλα τά λ, οΙ ύπολογισμοί δίνουν = (Σλ,).· (Σλ,). = 1 + ν ,,2 = Εο , F). = (Χλ,).· (Χλ)1Ι = 1 == F o' G). = (Σλ,)ιι· (Σλ,)ιι = 1 = Go

f o(y(s,lI»

άπό τίς έφαπτόμενες τής έπίπεδης ιcαμπύλης Χ 2

Ελ,

τό όποίο άπoδειιcνύει τήν πρόταση.

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ

11.12.

Προσδιορίστε τίς γεωδαισιακές τοϋ όρθοϋ κυκλικοϋ κώνου

Χ

=

(U βίη α

COS θ)eι

λύνοντας τίς έξισώσεις

όπου

C

= eK βίη

2

α.

...

Χ.. = Ι, F

= :ι:,.. Χθ = Ο,

= σταθ., Ο < α < π/2,

α

'Επειδή ή παράμετρος

2

= Ι: 12 = \Χ.. : + Σθ:1 = . Αλλά ds/ds = C/u 2 Βίη 2 α, όπότε 1

s

G

= Χθ· Χθ = u

'ΙΙ> Ο

= Γ~2 = Γ~l := Γ~ = ο, l'k = -u Βίη 2 α, Γ~2 = l/u.. "Ετσι ή δεύτερη άπό τίς έξισώσεις (Ι 1.7) γίνεται ~: = -(2/u) ~~: . Θέτοντας Φ = ~: παίρνουμε ~:: = -:: : . Συνεπώς log Φ = -2 log u + Κ 1'1 φ = : = (J/u2 Βίη 2 α, "Εχουμε Ε

=χ

+ (u βίη α sin θ)e2 + (U COS a)e3 (11.7) της σελίδας 234.

2

Βίη2 α' Γ~ι

έιcφράζει τό μήιcoς τόξου, εχουμε

Ε(:Υ + 2F~: ~: + G(~Y παίρνουμε du/ds

=

1'1

1

= (:Υ + u 2 Βίη 2 α(:Υ

vu2 βίη2 α - CZ/u Βίη α.

Τέλος άπόείς δύο τε­

λευταίες σχέσεις εχουμε (λ ιcαί Β ε{ναι σταθερές)

du/ds

11.13.

= (1/C)u Βίη αVιι2 Βίη 2 α -

CZ

=

u

λ

sec

[(Βίη α)Β

+ Β]

Δείξτε στι ή γεωδαισιακή καμπυλότητα κ ιι μιας καμπύλης μέ φυσική παράσταση ]t

X(U(S), v(s»

κλάσεως (j2 ενός τμήματος Χ

=

κι = [Γ~ι(:Y + (2Γ~2-Γω(:)(:) _

+

(Γ~2-2Γω(:)(~~)2

ΓΙ (dV)3 + du d2v2 _ d2u2 dV] yEG _ F2 22

ds

=x(s) =

X(U, υ) κλάσεως (j2 δίνεται άπό τήν ειcφραση

ds ds

ds ds

251

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

" Εχουμε

dx du dv t = dB = x,.dB +x"ds' "Ετσι άπό τήν tξίσωση

[tkN]

=

/«(1

dt = = dB

k

(11.3)

της σελίδας

[χ,.χ,...Ν] ( : )3+

=

+([x,.x.ιvN]

Χ.... (dU) ds 2 + 2x,.v (dU) ds (dV) ds +

(dV) dB 2 + χ,. d2u ds2 + Xv d2v ds2

βρίσκουμε

233

(2 [x,.x..vN] + [x"x"..NJ> ( :

(~: ) (~:)2

+ 2[x"x,.vNJ>

X vv

)2 (::) γ

+ [XvXvvN] ( :

[χ,.χ"Ν] ( : :~ -

+

:: :)

Τώρα άπό τήν tξίσωση του Gauss χ,... = Γ~ιx,. + Γ~ιx" + LN τής σελίδας 202 i\χουμε

=

[χ,.χ,...Ν]

rft [χ,.χ,.Ν] + Γ~ι [χ..χ"Ν] + L[x..NN] =

Άλλά [χ"χ"Ν] =(χ,. χ χ,,). (Χ.. χ χ")/Ιχ,, χ χ,,1

= Ιχ,. χ χ,,1

=

=VEG - F2. = r~2yEG -

~Oμoια Ιχουμε [xvx.."N] -Γ~ι VEG - F2, [x,.x,.vN] [x.ΧVVN] = Γ~ VEG - F2, [x"χvvN] = -rh yEG - F2. /«(1

11.14.

Γ~ι [χ..χ"Ν]

Συνεπώς [χ,.χ,...Ν] = r~tVEG - F2.

= -Γ~2 yEG -

Ji'2, [x"x,.vN]

F2,

. Αντικαθιστώντας στήν tξίσωση πού δίνει τήν

παίρνουμε τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

'Αποδείξτε τό Θεώρημα Ι 1.8: κλάσεως C2 ~νός τμήματος χ συναρτήσεις

Ξέρουμε

δη

Χ

= Χ(Β)

t,

~πεται δτι fι Χ

•Από

Κ(Ι

t=

κλάσεως

d2u ds2

+ Γ ιιι (dU)2 ds +

d2v d.<J2

+

2

(dU)2

+

Γιι ds

= k • Ό,

δπου

t,

(du/dB)

• Επομένως,

fι

Χ

+ χ" (dv/ds)

dt ds

= = x(s)

C2

εΙναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν οί

Ι du dv + Γ 2Ι 2 (ddsV )

2

Γ Ι2 ds ds

2

Γ Ι2 ds ds

du dv

2

Ό, Ν εΙναι

= Χ(Β) εΙναι γεωδαισιακή, Μν

Χ..

k

k ..

= X(U, υ)

= x(s) = X(U(S), v(s»

ίκανοποιοϋν τίς έξισώσεις

V(S)

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τήν

k"x ..

καί

U(S)

Μιά καμπύλη μέ φυσική παράσταση Χ

μιά

k· U

Έπειδή τό

βάση.

k

ο

"Ετσι,

fι

φυσιιcή

παράσταση

εΙναι πάντα κάθετο στό άντίστοιχο

καί μόνο Μν κατά μήκος της Ισχύει

k· χ,. =

Ο ΙCαί

X vv

ο

.

(dV) 2 d2u d2ν dB + Χ.. ds2 + χ" ds2

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

dU)2 + 2(x.. • Χ..) du ds dv ds + (X vv • Χ..) (dV) d8 2 + (χ... Χ..) d2u ds2 + (χ... Xv) dZν ds2 v

(χ,.... χ,.) ( ds

χ" = (χ..... χ,,) ( ~:)

Λύνοντας ώς πρός

k· χ" =

παίρνουμε

(dU) 2 du dv χ,... ds + 2x..v dB dB +

=

=

+

όρθοκανονική

= Ο.

Ο

2

2

d 2u/ds2

+ 2(x,.v. X v)

~: ~: +

καί

καί χρησιμοποιώντας τή διανυσματική ταυτότητα

(a

d 2v/ds2 χ

b) • (c

χ

(x"v. X v)

(~: )

2

+

(χ,..

X V)

ιι;; +

(xv • χ,,) :~

=

Ο Ο

d) = (a· c)(b • d) - (8· d)(b· c)

παίρνουμε τίς ίσοδύναμες tξισώσεις

(EG - F2) d2u dιι 2

=

(XVχ Σκυ) • (Συ χ Συ) (dU) ds 2

+

2(χ" χ x,.V) • (Χ.. χ X V) ~: ~:

+

(χ" χ x"v) • (χ,. χ χ,,) ( :) 2

+

2(χ,. χ X ..V )

du d8 dv

+

(χ" χ X vv) • (χ" χ χ,.)

Χρησιμοποιώντας τήν Ν = χ,. χ χ"Ιlχ,. χ xvl

•

(X v χ Χ ..) ϊi8

= χ.. χ x"IvEG -

(dV) ds 2

F2 καί τίς tκφράσεις γιά τά [χ,.Χ....Ν], κλπ.

του προηγούμενου προβλήματος παίρνουμε τίς ζητούμενες έξισώσεις.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

252 11.15.

'Εάν οί συναρτήσεις

καί

U(S)

ΚΕΦ.11

εΙναι μιά λύση τοϋ συστήματος τών διαφορικών έξισώ­

v(s)

s=

σεων τοϋ προηγούμενου προβλήματος, ετσι ωστε σέ κάποιο σημείο

Εο(:): + 2Fo(:X(:X + GO(~): = s

δείξτε ότι ή

, Από

εΙναι μιά φυσική παράμετρος της καμπύλης

χ

u(s),

τό προηγούμενο πρόβλημα ξέρουμε δτι οί συναρτήσεις

So νά εχουμε

1

= X(U(S), v(S».

ν(Β) ε[ναι

μιά

λύση

του συστήμα­

τος τών διαφορικών έξισώσεων, Μν καί μόνο έάν σέ κάθε σημείο τής καμπύλης τό διάνυσμα ::. χ,.

= Ο καί

δπου

= Ο ή, Ισοδύναμα, τήν : . u = Ο γιά κάθε έφαπτόμενο διάνυσμα U. ' Αλλά τότε ~ Itl 2 = ~ (t· t) = 2 ::. t = ο, άφου ή t εχει μέτρο ίσο μέ ενα. • Ολοκληρώνοντας τήν τελευταία σχέση εχουμε Itl = C = σταθ. ' Αλλά στό σημείο s = εΙναι

t

= ~: = χ,.: + χ" : ' ίκανοποιει τις σχέσεις

::'

: . χ"

2

11.16.

1(x,.)0(~:)0 + (x,,)o(~:ΧI2 = Eo(~:): + 2FO(~:X(:X + GO(~;): =

=

Itol 2 Συνεπώς

Itl 2 = Idx/dsl 2 = 1

'Εάν χ

= X(S) = X(U(S), v(S»

χ

So

= X(U, υ) γιά

1

γιά κάθε Β, πού συμπληρώνει τήν άπόδειξη.

εΙναι μιά φυσική παράσταση μιας γεωδαισιακης ~νός τμήματος

=Ο

τό όποίο Ε:;:: E(u), F

= G(u),

καί G

δείξτε ότι ίσχύει

VG cos θ = C =

σταθ., όπου θ εΙναι ή γωνία της γεωδαισιακης καί τών υ-παραμετρικών καμπυλών

u = σταθ.,

= 4-(t, χ,,).

δηλαδή θ

= ο, Γ~2 = G,j2G, Γ~ = Ο. Συνεπώς, ή • - έξ' (11 .7 )γι' νεται .d2ν Ο ' Ε πειδ η• dsd (G dV) d2ν + Gοι du δ ευτερη των ισωσεων ds2 + G G.. du ds dv da =. ds = G ds2 ds dll ds' ή παραπάνω έξίσωση ε[ναι Ισοδύναμη μέ τήν :a (G ~;) = Ο. Συνεπώς G ~: = C = σταθ. Μέ τή βοήθεια τής F = χ,. • Χ" = Ο βρίσκουμε δτι Άπό τίς σχέσεις (10.4) της σελίδας 202 βρίσκουμε δτι Γ~l

dv G ds Συνεπώς

= (Χ" • Χ,,) ~; = (Χ" ~: + Χ" : ) • χ" = VG COS(J = C = σταθ.

11.17. ' ΑΠbδείξτε Cm, m ~ 2,

τό Θεώρημα

'Εάν χ

11.10:

τέτοιο ωστε Ε

οί u-παραμετρικές καμπύλες υ

(ii)

ή υ-παραμετρική καμπύλη

υ (i)

, Από

τήν έξίσωση

τρικές καμπύλες

(Η)

= .

= Uo

, Από

±

καί

"Αρα

. dv

du

ά

•

S..fGvc-..jE

G - C2

τής σελίδας

233

εχουμε

(11.6) εχουμε (Κιι ).. = ..

ντικατασταση

= dv

/du ds/ 'ds

= G(u),

-

του

=±

VG

COS (J

τότε

Uo εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τό προηγούμενο πρόβλημα εχουμε

.

=

G..(UO) =

Ο,

εΙναι γεωδαισιακή, Μν καί μόνο Μν

τόξου, εχουμε

την

4-(t, Χ,,)

σταθ. εΙναι γεωδαισιακές,

ο

ε[ναι γεωδαισιακή, έάν καί μόνο έάν

Μ ετα.

G

COS

εΙναι ~να τμημα μιας έπιφάνειας κλάσεως

du,

C=

(K g ),,= σταθ

σταθ. εΙναι γεωδαισιακές.

Πάλι άπό τήν έξίσωση

u (iii)

11

(11.6)

=

=

u =

= X(U, v(U»

(ίίί) μιά καμπύλη χ

= X(U, υ)

= E(u), F = Ο

(ί)

\t\\x,,\

=

G.. (UO)

2G(uo)

G ..(UO)

Et)

.

= - 2EyG _", = ο.

_~. γ E(uo)

= Ο. = σταθ.

G: = C

=

σταθ . Συνεπώς, οΙ

Συνεπώς, ή ν-παραμετρική καμπύλη

'Επίσης, έπειδή ή

E(dU)2 + C2 ds G

s

έκφράζει τό μήκος

du '1/G - C2 = ±----. ds ΥΈνα

dv ds = .C G

παίρνουμε

c...;E

άπ' δπου επεται τό ζητούμενο άποτέλεσμα.

VGVG-C2'

1

u-παραμε-

Κ ΕΦ.

11.18.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

= X(U, ν)

'Ένα τμημα Χ

U

+V

ν.

καί

' Εάν

= Ο,

F

δπου

Liouvi//e, αν έχουμε Ε = G = V μιά συνάρτηση μόνο του

μιας επιφάνειας λέγεται τμημα του

εΙναι μιά συνάρτηση μόνο του U καί

U

= x(s) = X(U(S), ν(Β))

"(ώρα χ

253

εΙναι μιά φυσική παράσταση μιας γεωδαισιακης ένός

τέτοιου τμήματος, δείξτε δτι

=

U sin2 8 - V cos 2 8 δπου

8

σ,

= σταθ.

σ

εΙναι ή γωνία της γεωδαισιακης καί τών u-παραμετρικών καμπυλών ν

8 = 4(t,Xu). wE χουμε

U' 2(U + V) -- ΓΙ11

~

προφανως

στήσουμε στήν έξίσωση (Ι

-y Ο, τέτοιο ώστε ή -. < s < e, α < t Ο τέτοιο ώστε ή διανυσματική συνάρτηση χ στηκε στή

Ο

< r < ε,

-

σελίδα 00

νά εΙναι

237,

< θ < 00,

μιά κανονική παραμετρική

< r < ε,

πού άπεικονίζει ι-ι τό Ο

ριοχης ενός σημείου Ρ μιας επιφάνειας κλάσεως

< r < ε,

τυχόν άνοικτό ύποσύνολο τού Ο

cm,

< 211"

Ο ~ θ

παράσταση

< 211",

Ο~ θ m:Ξ!::

= x(r, θ),

πού κατασκευά­

κλάσεως (J2

στό

επί μιας περιορισμένης πε­

καί δ περιορισμός της στό

3,

εΙναι ενα σύστημα γεωδαισιακών πο­

λικών συντεταγμένων. 'Έστω χ

= x(u,lI)

ενα τμήμα τής επιφάνειας πού περιέχει τό Ρ, τέτοιο ώστε τό (Ο, Ο) τοϋ παραμετρι­

=

κοϋ επιπέδου νά άντιστοιχεί στό Ρ καί άκόμα νά έχουμε στό Ρ

=

χ,. 11 καί x v 12, δπου τά εφαπτόμενα 11 καί 12 ε{ναι όρθοκανονικά καί ύπολογίζονται μέ τή βοήθεια τής θΌ Παρατηροϋμε δτι στό Ρ εχουμε Ε X u • χ,. 1, F χ,. • Xv Ο καί G Xv • Xv 1. Θεωρουμε τώρα τίς διαφορικές εξισώσεις (11.7) γιά τό τμήμα χ X(U,lI) διανύσματα

=

= =

=

11"

, Από

11(0)

=

2r~2u'1I'

+

Γ~2 (11')2

Ο

2 Γ~2 U'lI'

+

r;2 (11')2

Ο

= Ο,

= ε,

U'(O)

11'(0)

= "

τή θεωρία τών διαφορικών εξισώσεων γνωρίζουμε δτι γιά κάθε Ι

μιά μοναδική λύση U(t; Ι,,),

t,

+ +

Γ~1 (U')2

= Ο,

U(O)

=

r~l(u')2

+ +

.u"

μέ άρχικές συνθήκες

=

ξ, ".

(α)

(6)

"

ύπάρχει, σέ μιά περιοχή τοϋ t

=

Ο,

lI(t; ξ, ,,), πού εχει συνεχείς παραγώγους μέχρι καί δεύτερης τάξεως ώς πρός

Έπειδή οί εξισώσεις ε{ναι γραμμικές όμογενείς ώς πρός τίς παραγώγους δεύτερης τάξεως καί τά

γινόμενα τών δύο παραγώγων πρώτης τάξεως, επεται δη γιά κάθε λύση U(t; Ι,,), lI(t; ι,,) οί συναρτήσεις

U(S; ρΙ ρ,,), lI(S, ρΙ ρ,,), δπου t = ps, ε{ναι επίσης λύση του συστήματος τών διαφορικών εξισώσεων γιά μικρά ρΒ καί ίκανοποιοϋν τίς άρχικές συνθήκες ul.=o Ult=o Ο, 111.=0 1I1t=0 Ο, U.I.=o pUtlt=o ρξ καί 11.1.=0 pll t lt =o ρ". • Επομένως Ισχύουν U(t; ι,,) U(S; ρΙ ρη) καί lI(t; ι,,) lI(S; ρΙ ρη). ΕΙδικά δταν S = 1 εχουμε u(t; Ι,,) u(l; ρΙ ρη) καί lI(t; Ι η) = 11(1; ρΙ ρη). Θέτουμε τώρα :ι: ΡΙ Υ ρ" καί θεωροϋ­ με τόν παραμετρικό μετασχηματισμό U = u*(:ι:, Υ), 11 = 1Ι*(:ι:, Υ), δπου u*(:ι:, Υ) = u(l; :ι:, Υ) καί 1Ι*(:ι:, Υ) 11(1; :ι:, Υ). • Ο μετασχηματισμός αυτός άπεικονίζει μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου :Ι:Υ

=

=

=

=

=

=

σέ μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου

Ull.

σεων καί τίς άρχικές συνθήκες παρατηρουμε δτι U*(O, Ο) Υ

=Ο ε

καί γιά κάθε ξ, η εχουμε

=

= U~:Ι:t

Ut

+ U:Yt

=

U: = 1, u; = ο, 11: = Ο

Συνεπώς,

u:",

+

U:E

=1

καί 11;

=

= =

= =

=

=

Πράγματι άπό τή θεωρία τών διαφορικών εξισιί)­

=Ο

καί 11*(0, Ο)

=

η

= Ο.

1Ι::Ι:(

lI t

Έπίσης, στό t

+

=

lI;Yt

lΙ;ε

= Ο, :ι: = Ο,

+

lΙ;η

καί αρα ή Ίακωβιανή ε{ναι

ίJ(U*, 11*) Ι ίJ(:ι:, Υ) (0.0) Έπειδή δμως ή

=

det

U:)

(U:

υ~

11; (0.0)

1

Ίακωβιανή ε{ναι μιά συνεχής συνάρτηση, ε{ναι διάφορη του μηδενός σέ μιά περιοχή τοϋ

=

- Αρα ή άπεικόνιση u = u*(:ι:, Υ), 11 υ*(:ι:, Υ) ε{ναι ενας επιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός κλά­ C2, πού άπεικονίζει 1-1 μιά περιοχή τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου :Ι:Υ επί μιας περιοχής τής άρχής τών άξόνων του επιπέδου uv. Θεωρουμε τώρα τή σύνθεση χ χ*(:ι:, Υ) = χ(u*(:ι:, Υ), υ*(:ι:, Υ». Προ­ φανώς, ή άπεικόνιση αυτή ε{ναι ενα τμήμα κλάσεως C2 τής επιφάνειας σέ μιά περιοχή τοϋ Ρ, πού άπεικο­ νίζει τό (Ο, Ο) στό Ρ καί λέγεται σύστημα κανονικών συντεταγμένων τού Riemann στό Ρ. Εύκολα επαληθεύ­ εται δτι στό Ρ ε{ναι χ; = χ,., χ; = X v καί ~πoμένως ε{ναι επίσης Ε* = 1, F* = Ο, G* 1 στό Ρ.

(ο, Ο). σεως

=

=

= cos Φ

Τέλος θέτουμε ξ νιση χ

=

χ**(ρ, φ)

ράσταση κλάσεως Ο

o τήν ίδια καμπυλότητα του Gauss μέ τήν έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν χ* (u* cos θ*)eι + (u* sin θ*)e2 + u*ea. u* > Ο σημείο (u*. θ*), όπου u* = u καί θ* = θ, χωρίς δμως οΙ έπιφάνειες νά εΙναι χ

εχει

στό

(U, θ) ή έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

, Αφήνουμε

Ισομετρικές.

ώς ασκηση στόν άναΥνώστη νά έπαληθεύσει δτι γιά τό χ lχουμε

Ε

= 1 + 1/u2,

F =

G = u2

Ο,

καί

Κ

= -1/(1 + U2)2

ένώ γιά τό χ* l",(ουμε

Ε*

= 1,

F*

Έπομένως οΙ δύο έπιφάνειες

οΙ έπιφάνειες εΙναι Ισομετρικές. ιι*

= u*(',u),

•Από τήν Κ

= Ο,

lxouv

G*

= 1 + (U*)2

καί

Κ*

= Κ*

γεθών [έξισώσεις

Ύποθέτουμε τώρα δτι

Τότε ύπάρχει ~νας έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός

τέτοιος ώστε στά άντίστοιχα σημεία νά εΙναι Ε

παίρνουμε (1

ποια δμως άποκλείεται.

= -1/(1 + (U*)2)2

τήν ίδια καμπυλότητα στά άντίστοιχα σημεία.

= Ε*,

,* =

Ί*(" u),

= F*, G = G* καί Κ = Κ* • = ±u ή u*= ν-2 - u 2 , ή ό­

F (1 + u 2)2. 'Οπότε πρέπει ή u*

+ (u*)2)2 =

Χρησιμοποιώντας τώρα τούς κανόνες μετασχηματισμου τών πρώτων θεμελιωδών. με­

(9.2) καί (9.3), σελ. 172] καί μέ τήν ύπόθεση δτι ιι*

= ±u, εύκολα συμπεραίνουμε δτι ό πα­

ραμετρικός μετασχηματισμός πρέπει νά Ικανοποιεί τίς σχέσεις

(α)

+

1

Έπειδή ή πρέπει καί

(1 + u 2)(,:)2

=

1

+

1/u2,

(b),:,:

=Ο

καί

(c)

(1

+ U2)(,:)2

= u2

u* εΙναι άνεξάρτητη του " lχουμε u: ΞΞ Ο. Έπειδή πρέπει νά lχουμε a(,*, u*)/a(" u) ,,& Ο, ': -F Ο, όπότε άπό τήν έξίσωση (b) βρίσκουμε ': == Ο. Αύτό άντιφάσκει πρός τήν (α) καί ltOI

άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ

11.29.

GAUSS-BONNET

Προσδιορίστε τήν όλική καμπυλότητα του έλλειψοειδους. Τό έλλειψοειδές εΙναι όμοιομορφικό μέ τή σφαίρα.

Συνεπώς, ή όλική καμπυλότητα του έλλειψοειδους

εΙναι ίση μέ τήν όλική καμπυλότητα της σφαίρας πού, δπως ξέρουμε, εΙνα~

11.30.

417'.

Προσδιορίστε τήν όλική καμπυλότητα της έπιφάνειας πού δίνεται στό :εχ. ~Oπως φαίνεται πιό καθαρά στά Σχ. Ι

χερούλια. Παράδ.

' Από

11. Ι

τόν τύπο δμως

Ι, σελ.

246),

χ

= 2(1 -

1-28(b) ρ),

ιcαί

(c)

11-28(a).

ή έπιφάνεια εΙναι όμοιομορφική μέ μιά σφαίρα μέ

3

δπου Ρ εΙναι ό άριθμός τών χερουλιών της έπιφάνειας (βλ.

~πεται δτι ή όλική καμπυλότητα της έπιφάνειας εΙναι 217'Χ

= -817'.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦ.11

259

(δ)

(α)

(c)

Σχ. l1 -28

11.31.

Προσδιορίστε όλους τούς όρους του τύπου των

Gauss-Bonnet (11.22)

της σελίδας

244,

γιά τήν

είκόνα του καμπυλόγραμμου πολυγώνου, μέ άκμές πού δίνονται άπό τίς παραμετρικές παρα­

στάσεις C~: θ = t, Φ = π/4, Ο ~ t "'" π/2· C~: θ = π/2, Φ = t, π/4"'" t "'" π/2· C~: θ = π/2 - t, Φ = π/2, Ο "'" t "'" π/2· C~: θ = Ο, Φ = π/2 - t, Ο"'" t "'" π/4 της σφαίρας πού προσδιορίζεται άπό τήν

(Βλ. Σχ.

+

(cos θ Sin ..,

'Άλυτα Προβλήματα 11.34.

' Εάν S σεως

11.35.

Cl,

εΙναι μιά συμπαγής έπιφάνεια καί δείξτε ότι καί ή έπιφάνεια

f

μιά κανονική άπεικόνιση της

S

έπί μιας f;πιφάνειας

=

= f(x(t»

S·

κλά­

~Ιναι συμπαγής.

' Αποδείξτε τό Θεώρημα 11.2: ' Εάν f εΙναι μιά κανονική άπεικόνιση της έπιφάνειας S Cr καί s X(t) εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης ·c της S καί ή σύνθεση χ.

11.36.

S.

στήν

εΙναι μιά κανονική παραμετρική παράσταση μιας καμπύλης της

Δείξτε δτι ή στερεογραφική προβολή μιας σφαίρας έπί f:νός έπιπέδου (Παράδ.

11.1,

σελ.

S·

κλάσεως

S·

227)

κλάσεως

Cr,

κλάσεως

τότε

Cr.

εΙναι σύμμορφη

άπεικόνιση.

11.37.

Δείξτε, μέ τή βοήθεια τοϋ δρισμοϋ της συνέχειας (σελ. 107), δτι μιά Ι-Ι κανονική άπεικόνιση f μιας έπιφά­ νειας S έπί μιας έπιφάνειας S· κλάσεως Cl εΙναι μιά Ι-Ι άμφισυνεχής άπεικόνιση της S έπί της S •.

Κ ΕΦ.

11.38.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

11

Δείξτε δτι μιά άπεικόνιση έάν γιά κάθε τμήμα χ

F* 11.39.

261

f μιας έπιφάνειας S σέ μιά έπιφάνεια S* εΙναι τοπική Ισομετρία, έάν καί μόνο

= x(u,lI)

της

= Ε*, F = F*

lχουμε Ε

S

εΙναι άντίστοιχα τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξεως τών

χ

καί

G

Δείξτε δτι οί διαφορικές έξισώσεις τών γεωδαισιακών tνός τμήματος

+ ρΖ + q2) iί + priι,2 + 2P8UiJ + ptiJ2 (Ι + ρ2 + q2) V + qriι 2 + 2q8UiJ + qtv 2

δπου Ε,

καί χ*

χ

Monge

(Ι

δπου Ρ

= G*,

= x(u,lI)

= Ι.., q = Ι'" 11 = Ι...., 8 = Ι..'" t = Ι"".

Δείξτε δτι οί λύσεις της έξισώσεως

= b + α sin Φ,

,.yr2 - C2va2

(b

+ α sin φ)(cοs (J)el +

νΕστω χ

(U - C)-lI2 du ±

= x(u,lI)

+ α sin φ)(sin e)e2 +

(b

f

Liouville

(V + C)-lI2 dll

cm,

m"" 3,

(α

cos φ)e3

(Πρόβλ.

σταθ.,

ενα τμημα μιας έπιφάνειας κλάσεως

νά εΙναι όρθογώνιες.

234.

(r- b)2

-

Δείξτε δτι οί γεωδαισιακές μιας στοιχειώδους έπιφάνειας του

f

τής σελίδας

εΙναι οΙ γεωδαισιακές της σπείρας

χ

έξισώσεις

(11.7)

Cadr

=

d(J

11.43.

εΙναι

= Ο

11.4Ι.

11.42.

G*,

ο

Βρείτε τίς γεωδαισιακές του έπιπέδου σέ πολικές συντεταγμένες λύνοντας τίς έξισώσεις

r

καί Ε*,

= uel + lIeZ + I(u, 1I)e3

11.40.

δπου

F, G

= f(x(u, 11».

C

=

11.18)

προσδιορίζονται άπό τίς

σταθ.

τέτοιο ώστε οΙ παραμετρικές καμπύλες

Δείξτε δτι

Κ δπου ("'ιι)Ι καί ("ιι)2

εΙναι οί γεωδαισιακές καμπυλότητες τών

U- καί lΙ-παραμετρικών καμπυλών άντίστοιχα,

ένώ 8 ι καί 82 εΙναι οί φυσικές παράμετροι αυτών.

11.44.

νΕστω Ρ καί χ

= x(u, 11).

Q

δύο σημεία μιας γεωδαισιακή ς

11 =

σταθ. tνός συστήματος γεωδαισιακών συντεταγμένων

Δείξτεδτι άπό δλα τά κανονικά τόξα του τμήματος πού tνώνουν τό Ρ μέ τό

Q,

τό γεωδαι­

σιακό τόξο εχει τό μικρότερο μη κος.

11.45.

Δείξτε δτι ή έκ περιστροφής έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

χ

δπου

u

= Cl cos (lΙ/α) + C 2 sin (lΙ/α)

σφαίρα;

καί

=

1(11)

=f

=

(U sin e)e2

νι

+ 1(1I)e3

- (du/dll)2 dll εΙναι

έπιφάνεια μέ σταθερή θετική

Γιά ποιές τιμές τών

=

Cl

καί

C2

ή έπιφάνεια εΙναι

Δείξτε δτι ή έκ περιστροφης έπιφάνεια πού δίνεται άπό τήν

χ

δπου

u = Cte"Ia

καμπυλότητα του

11.47.

+

(U cos (J)el

Gauss Κ = Ι/α2 γιά κάθε C l καί C2 • 'Απ. C l σ, C2 = Ο τι C l Ο, C 2 α

καμπυλότητα του

11.46.

=

+

C 2e-"Ia

Gauss

Κ

= χ

Δείξτε δτι ή

καί

= 1(11)

-Ι/α 2 •

=

U(COS (J)el

+

u(sin e)e2

+ 1(1I)e3

= f νι - (du/dll)2 dll, εΙναι μιά έπιφάνεια μέ σταθερή άρνητική

2(tanh (r/2) cos (J)el

+

2(tanh (r/2) sin e)e2

κατάλληλα περιορισμένη προσδιορίζει ενα σύστημα γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων του ύπερβολικου

έπιπέδου στήν άρχή τών άξόνων (βλ. Παράδ.

11.48.

11.9,

σελ.

242).

Προσδιορίστε τήν έσωτερική άπόσταση ένός σημείου Ρ του ύπερβολικου έπιπέδου άπό τήνάρχή τών άξόνων.

'Απ. D(O,P)

= tanh (IΡI/2)

262 11.49.

= Υ(')

"Εστω Υ

μιά φυσική παράσταση μιας καμπύλης

γενής έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν χ διάνυσμα της

11.50.

ΚΕΦ.11

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

C,

C,

πού δέν t:χει σημεία καμπης.

= Υ(Ι) + ν n(8),

δπου

n

ε{ναι μιά άναπτυκτή έπιφάνεια, έάν καί μόνο έάν ή Υ

Δείξτε δτι μιά καμπύλη Υ

= Υ(8)

της προσανατολισμένης έπιφάνειας

S

έάν καί μόνο έάν ή εύθειογενής έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό, τήν μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της

11.51.

11.52.

= Ο καί

δτι Φ

= -.,.,

'Εάν

S

~στω Φ(8)

δπου

.,.

= 4--(1, η),

= Υ(Ι)

ε{ναι μιά έπ.ίπεδη καμπύλη.

ε{ναι γραμμή καμπυλότητας της χ

=

Υ(Ι)

+ νΝ(8),

S,

δπου Ν ε{ναι τό

ε{ναι μιά άναπτυκτή έπιφάνεια.

S,

Θεωροϋμε μιά άναπτυκτή έπιφάνεια πού προσδιορίζεται άπό τήν Ι•Υ

Δείξτε δτι ή εύθειο­

ε{ναι τό πρωτο κάθετο μοναδιαίο

δπου

χ

= Υ(8) + tIl(8), 1I1 = 1, τέτοια ώστε = Υ(8). Δείξτε

ε{ναι τό πρωτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα της Υ

n

ε{ναι ή στρέψη της

Υ

=

Υ(8).

ε{ναι μιά έπιφάνεια μέ σταθερή καμπυλότητα τοϋ

Gauss

Κ

""

Ο, δείξτε δτι τό έμβαδόν ένός γεωδαι­

σιακοϋ πολυγώνου προσδιορίζεται άπό τίς έσωτερικές του γωνίες.

11.53.

"Εστω

C,,' n = 1,2, ... ,

μιά απειρη άκολουθία γεωδαισιακων τριγώνων, τά όποία συστέλλονται σέ

lva

ση-

3

μείο Ρ, δταν n

-+...

έσωτερικές του γωνίες. 11.54.

"Εστω

αν ρ

11.55.

S

= Ο,

"Εστω

S

μιά σφαίρα μέ Ρ χερούλια.

(b) Κ(Ρ)

:Σ βί" - "ΙΤ 1im ί=1 , δπου Α η ε{ναι τό έμβαδόν τοϋ C,. καί βί" οί

Δείξτε δτι Κ(Ρ) =

=Ο

αν ρ

= 1,

η.....

Α"

Δείξτε δτι ύπάρχει

(c) Κ(Ρ)

μιά έπιφάνεια μέ καμπυλότητα τοϋ




Ο

"Εστω δτι Ρ ι , Ρ 2 , Ρ 3 , Ρ.ι, ε{ναι οΙ κορυφές ένός

γεωδαισιακοϋ τετράπλευρου μέ άπλως συνεκτικό έσωτερικό, τοϋ όποίου οΙ δύο άπέναντι πλευρές Ρ ι Ρ! καί Ρ 3 Ρ4

~χoυν ίσα μήκη καί ε{ναι κάθετες στήν τρίτη πλευρά Ρ 2 Ρ 3 •

Δείξτε δτι οΙ έσωτερικές γωνίες στίς

κορυφές Ρ 1 καί Ρ 4 ε{ναι όξείες.

11.56.

"Εστω

χ

= x(u, ν)

Ι:να σύστημα γεωδαισιακων συντεταγμένων, τέτοιο ώστε οΙ u-παραμετρικές καμπύλες νά

ε{ναι φυσικές παραστάσεις γεωδαισιακων μέ φυσική παράμετρο.

Δείξτε δτι, αν C ε{ναι μιά όποιαδήποτε γεωδαισιακή τοϋ τμήματος πού έκφράζεται μέ φυσική παράσταση καί '(8) ε{ναι ή συνάρτηση ~oύ όρίζεται άπό τήν t (COS ')11 + (sin ')12, δπου 11 καί 12 ε{ναι τά μοναδιαία έφαπτόμενα διανύσματα των U- καί

=

ν-παραμετρικων καμπυλων άντίστοιχα καί

• de C εχουμε dι

11.57.

t

τό μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα της

C,

τότε κατά μηκος της

iJVG dv

+ -;;;-

ds = Ο.

Μέ τή βοήθεια των άποτελεσμάτων τοϋ προηγούμενου προβλήματος βρείτε τόν τύπο των

Gauss-Bonnet

γιά

Ι:να γεωδαισιακό τρίγωνο, παίρνοντας ενα σύστημα γεωδαισιακων πολικων συντεταγμένων μέ κέντρο μιά άπό τίς κορυφές τοϋ τριγώνου.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι

Τό Θεώρημα

Ύπάρξεως Καμπυλών

~Eστω κ καί τ δύο συνεχείς συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής

μιά καμπύλη Χ τ καί

s

= X(S),

Ο ~

~ α, κλάσεως

s

s,

s~

Ο ~

α.

Ύπάρχει

τής δποίας ή καμπυλότητα εΙναι κ, ή στρέψη εΙναι

C2,

εΙναι μιά φυσική παράμετρος.

'Απόδειξη.

Θεωροϋμε τό σύστημα τών έννέα διαφορικών έξισώσεων

- = Kn;,

=

iι;

t;

+ Tb;,

-Kt;

= -Tn;

b;

(ί

= 1,2,3)

μέ άρχικές συνθήκες

tl(O)

= 1, t 2(0) = Ο,

= Ο, nl(O) = Ο, n2(0) = 1, n3(0) = Ο,

t 3(0)

bl(O)

= Ο,

= Ο,

b2(0)

b 3(0)

=ί

Αύτό εΙναι ενα σύστημα γραμμικών δμογενών διαφορικών έξισώσεων μέ συντελεστές συνεχείς συ­ ναρτήσεις.

Γιά ενα τέτοιο σύστημα ξέρουμε άπό γνωστό θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας

δτι ύπάρχει μία μονοσήμαντα δρισμένη λύση

t;(S), n;(s), b;(s),

= 1,2,3, κλάσεως

ί

μέ Ο ~

Cl

s ~ α,

πού ίκανοποιεί τίς δοθείσες άρχικές συνθήκες.

~Eστω τώρα δτι

t

= tlel + t2e2 + t 3e3,

λουμε νά δείξουμε πρώτα δτι

(t, η, b)

= nlel + n2e2 + n3e3

+ b2e2 + b3e3.

Θέ­

εΙναι μιά δεξιόστροφη όρθοκανονική τριάδα γιά κάθε Β.

Γι'

η

καί

b = blel

αύτό θεωροϋμε ενα σύστημα διαφορικών έξισώσεων ώς πρός τίς συναρτήσεις η-

καί

b

b - b.

= κη,

i

ίι

= -Kt + Tb, b = -τη

καί

t(O)

= el,

η(Ο)

= e2,

Μέ τή βοήθεια τών σχέσεων αύτών εύκολα βρίσκουμε στι οί συναρτήσεις

καί

b -b d

t - t, t - η, t - b,

η

- η,

Προφανώς εχουμε

b(O)

= es

t - t, t - η, t - b,

η - η, η-

b

ίκανοποιοϋν τίς γραμμικές δμογενείς διαφορικές έξισώσεις

.

=

2K(t - η)

d ds(t-n)

=

κ(η-η)

:a(t-b)

=

K(n-b) - T(t-n)

ds (t - t)

d

ds (η - η) - K(t-t)

+

=

-2K(t - η) + 2T(b - η)

d -(n-b)

T(t-b)

-K(t-b) + T(b-b) -

ds

d ds(b-b)

=

τ(η-η)

-2T(n-b)

μέ άρχικές συνθήκες

(t - t)(O) •Η

= 1,

= Ο,

(t - b)(O)

= Ο,

(Β - Β)(Ο)

= 1,

(Β - b)(O)

= Ο,

(b - b)(O)

=1

λύση δμως ενός τέτοιου συστήματος εΙναι μοναδική καί μπορεί νά άποδειχθεί μέ άπλή άντι­

κατάσταση

δτι δίνεται άπό τίς συναρτήσεις

(Β - b)* ΞΞ Ο,

(b - b)*

γιά κάθε Β.

ΞΞ

1.

~ Αρα ή

Συνεπώς εχουμε

(t,

Β,

εΙναι δεξιόστροφη, γιατί οί

t,

1

(t - η)(Ο)

b)

t -t

. Επίσης Ixl

η καί

b

εΙναι συνεχείς καί ή

τώρα τήν καμπύλη Χ = x(s) =

= Itl = 1.

Συνεπώς ή

s

δπου

Ibl

= 1,

·ίΧη

+

i

S

t(u) du.

Ο

(t,

η,

b)

(t-b)* η -Β

ΞΞ Ο,

= 1,

txD. =

Τελικά άφοϋ

κ(ΒΧη)

+

b

=t χ Β

(-K(tXt»

επεται δτι καί ή στρέψη τής καμπύλης εΙναι τ.

263

Β-

b

(Β-Β)* ΞΞ

1,

b -b

==

= Ο,

Έπίσης ή τριάδα

εΙναι δεξιόστροφη στήν άρχή

Προφανώς, ή

εΙναι μιά φυσική παράμετρος.

επεται δτι ή καμπυλότητά της εΙναι Κ.

b=

ΞΞ ο,

= Ο,

εΙναι μιά όρθοκανονική τριάδα γιά κάθε Β.

τών άξόνων .

• Ορίζουμε _

(t-t)* ΞΞ 1, (t-B)* t - Β = Ο, t - b

= 1,

x(s)_

• Επειδή t

εΙναι κλάσεως

= κΒ

δπου ΙΒΙ

C2.

= 1,

καί

+

T(txb)

= -

τη

~Eτσι άποδεικνύεται τό θεώρημα.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Τό Θεώρημα Ύπάρξεως

WΕστω Ε,

U καί

F

ν κλάσεως

ώστε

καί

G

Έπιφανειών

συναρτήσεις των U καί ν κλάσεως

(Η)

C2

καί

Μ καί Ν συναρτήσεις των

L,

δρισμένες σέ ενα άνοικτό σύνολο πού περιέχει τό σημείο

Cl

EG - F2 > Ο, Ε> Ο, G > Ο, οΙ Ε, F, G, L, Μ, Ν Ικανοποιουν

(i)

11

(UO, νο)

καί τέτοιες

τίς έξισώσεις συμβιβαστότητας (Ι 0.7) καί (Ι 0.8).

= X(U, ν) κλάσεως ca δρισμένη σέ F, G, L, Μ καί Ν εΙναι τά θεμελιώδη

Τότε ύπάρχει μιά κανονική παραμετρική παράσταση χ ριοχή

του

(Uo,

νο),

τής

δποίας

οΙ

συναρτήσεις Ε,

μιά πε­ μεγέθη

πρώτης καί δεύτερης τάξεως (πού δρίζονται δπως άκριβως καί στήν περίπτωση του τμήματος).

'Απόδειξη.

Θεωρουμε τό gύστημα των διαφορικων έξισώσεων μέ μερικές παραγώγους

+ Γ~ι V, + LN, r~2Ui + Γ~2 V, + ΜΝι = Γ~2 Ui + Γ~2 V ; + ΜΝι

(U,)" = Γ~ι U,

(Vi)"

(Ui)"

(Ν,)"

(Vi)"

+ Γ~2 V, + ΝΝι β~Uι + β~Vι β~υι + β~V, r~2U;

(Νι)"

(i

= 1,2,3)

μέ άρχικές συνθήκες

Ut(Uo,vo) v'Eo U2(Uo, νο) = Ο Ua(Uo, νο) = Ο

Vt(UO,vO) = Fo/VEo V 2(UO, νο) = VEoGo - F~/VEo Va(UO, νο) Ο

(Εο = E(Uo, νο), F o = F(Uo, νο), τίς σχέσεις (10.4) τής σελίδας

Ο

Nt(Uo,vo) N 2 (Uo, νο) Na(Uo, νο)

Ο

1

Go = G(Uo, νο», δπου τά σύμβολα του Christoffel ΓΖ δίνονται άπό 202 καί τά β: άπό τίς σχέσεις (10.2). Τό παραπάνω σύστημα εχει

δέκα όκτώ γραμμικές δμογενείς διαφορικές έξισώσεις πρώτης τάξεως μέ μερικές παραγώγους καί συντελεστές κλάσεως

Cl

ώς πρός τίς έννέα συναρτήσεις

Ui(U, ν), Vi(U, ν), Ni(u, ν), i

= 1,2,3.

"Ε­

πειδή Ικανοποιοϋνται οΙ συνθήκες συμβιβαστότητας των έξισώσεων αύτων, επεται, άπό τό άντίστοιχο

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας, δτι ύπάρχει μιά μοναδική λύση

i

= 1,2,3, κλάσεως

σέ μιά περιοχή του

C2

WΕστω τώρα δτι U

= Ule. + U

2 e2

(UO, νο)

+ U ae3,

ν

= Vlel + V

"Από τίς άρχικές συνθήκες εύκολα ύπολογίζεται δτι στό ν· ν

= G, U' Ν

= Ο,

ν· Ν

= Ο,

(U, ν) σέ μιά περιοχή του (Uo, νο).

Ν' Ν

= 1.

Ui(U, ν), Vi(U,

2 e2

(Uo,

+ Vae3

καί Ν' Ν.

Ni(u, ν),

= Ntet + N 2 e2 + N ae3. U' U = Ε, U· ν = F,

καί Ν

νο) εχουμε

Θέλουμε νά δείξουμε δτι αύτό συμβαίνει γιά κάθε

'Όπως καί στήν περίπτωση του θεωρήματος ύπάρξεως γιά καμ­

πύλες, θεωρουμε ενα σύστημα διαφορικων έξισώσεων ώς πρός τίς συναρτήσεις

U· Ν, V· Ν

ν),

πού ίκανοποιεί τίς δοθείσες άρχικές συνθήκες.

U' U, U· ν, V· ν,

"Από τό παραπάνω σύστημα των διαφορικων έξισώσεων προκύπτει εύκολα

δτι οΙ συναρτήσεις αύτές ίκανοποιουν τό σύστημα των διαφορικων έξισώσεων μέ μερικές παραγώ­ γους

(U' U)"

(U· ν)" = (U· ν)" (ν· V)" (ν·ν)"

+ 2r~2(U' ν) + 2M(U' Ν) r:s(u, U) + (Γ: ι + r~2)(U' ν) + Γ~ι(ν· ν) + M(U· Ν) + L(Y' Ν) 2r~2(U' U)

(U' U)"

+ (Γ: 2 + r~2)(U' ν) + ri2(V' ν) + N(U· Ν) + Μ(ν· Ν) = 2r:2(u· ν) + 2Γ~2(ν· V) + 2Μ(ν· Ν) = 2r~(U'V) + 2Γ~(ν·ν) + 2Ν(ν'Ν) r~(u· U)

264

11

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

265

(V· Ν) .. = β~(υ· V) + β~(ν, V) + Γ~2(υ· Ν) + Γ~2(ν· Ν) + Μ(Ν· Ν) (ν·Ν)"

βΗυ,ν)

=

+ β:(ν·ν) + Γ~2(υ'N) + Γ~(ν'N) +Ν(Ν·Ν)

(U·N) .. = βΙ(u·u) + β~(U'V) + Γ:ι(U'Ν) + Γ~ι(ν'N) +L(N'N) β~(U'U) + β:(u·v) + r~2(U'N) + ΓΜν·Ν) +Μ(Ν'Ν)

(U'N)" (Ν' Ν)..

= 2β~ (U • Ν) + 2β~(ν, Ν)

(Ν'Ν)"

= 2βΗU'Ν) + 2β:(ν·Ν)

μέ άρχικές συνθήκες

(U· U)(UO, vo) (U· N)(Uo, vo)

= Εο =Ο

(U· v){Uo, vo)

=

(V·N)(Uo,Vo)

=Ο

Fo

(V· V)(Uo, Vo) (Ν'

= Go

N)(Uo, Vo) = 1

ΕΙναι καί αυτό ~να γραμμικό όμογενές σύστημα διαφορικών έξισώσεων πρώτης τάξεωςμέ μερικές παραγώγους.

• Επειδή

ξέρουμε δτι τό σύστημα τών έξισώσεων αυτών εχει μιά λύση κλάσεως (;2,

~πεται δτι ικανοποιουνται καί οΙ συνθήκες συμβιβαστότητας.

•Αλλά έμείς τότε ξέρουμε άπό τό

άντίστοιχο θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας δτι μιά λύση, πού Ικανοποιεί τίς άρχικές συνθή­

κες, εΙναι μοναδική.

Εύκολα έπαληθεύεται μέ άπλή άντικατάσταση δτι μιά λύση του συστήματος

= Ε, (υ· V)· = Ρ, εΙναι υ·υ = Ε, υ·ν = Ρ, ν·ν = G,

πού Ικανοποιεί καί τίς άρχικές συνθήκες δίνεται άπό τίς συναρτήσεις

= G, (U·N)· Ξ Ο, (ν·Ν)· Ξ ο, (Ν' Ν)· ΞΞ 1. Συνεπώς = Ο, ν· Ν = Ο καί Ν· Ν = 1 γιά κάθε (U, υ) σέ μιά περιοχή

(ν·ν)· υ· Ν

• Ορίζουμε

ca,

του

(Uo, Vo) •

τώρα τήν έπιφάνεια ώς συ.νάρτηση μιας λύσεως του συστήματος αυτών τών διαφο­

ρικών έξισώσεων μέ τίς σχέσεις χ.. κλάσεως

(U· τη.

= U,

Χ"

= ν.

Έπειδή υ"

= ν.., ύπάρχει

μιά λύση Χ

= X(U,V)

ή όποία μάλιστα μπορεί νά δοθεί άπό τήν εκφραση

Χ = X(U, υ) = ι: υ(ξ, υ) dξ + λ." V(Uo, 7]) dTJ •Απομένει

νά δείξουμε δτι ή Χ

= x(u, υ)

εΙναι κανονική παραμετρική παράσταση, δηλαδή δτι εl­

ναι χ.. χ χ" .,ι. Ο, καί δτι τά θεμελιώδη μεγέθη πρώτης καί δεύτερης τάξεως εΙναι Ε, Ρ,

G

ιcαί

L,

= υ χ V εΙναι συνεχής καί έπειδή στίς άρχικές συνθήκες εχουμε (Χ.. χ X,,){Uo, Vo) = (υ χ V)(Uo, Vo) = yEoGo- p~ ea -F Ο, ~πεται δτι χ.. χ χ" -F Ο σέ κάποια πε­ ριοχή του (Uo, VO). • Επίσης εΙναι φανερό δτι χ.. ' Χ.. = υ· υ = Ε, Χ.. ' Χ" = U· V = F καί Χ,,' Σ" = G. Μ, Ν άντίστοιχα.

Έπειδή

ή χ.. χ χο

= Ο, V· Ν = Ο = ν,,'Ν = Μ ιcαί χ",,'Ν = ν,,' Ν = Ν. x(u, υ) εΙναι L, Μ καί Ν, γεγονός πού

Τελικά, άπό τό πρώτο σύστημα των διαφορικών έξισώσεων καί τό γεγονός δτι υ· Ν

καί Ν·Ν

= 1, ~πεται

άμέσως δτι Χ.... ' Ν

=

υ.. ·Ν

= L,

Συνεπώς, τά θεμελιώδη μεγέθη δεύτερης τάξεως τής συμπληρώνει τήν άπόδειξη του θεωρήματος.

18

Χ..,,' Ν Χ

=

ΑΓΓ ΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Geodesic = γεωδαισιακός, γεωδαισιακή Geometry = γεωμετρία Global = όλικός Global property = όλική Ιδιότητα Green 's theorem = θεώρημα τού Green Handle = χερούλι, λαβή Heine-Borel theorem = θεώρημα των Heine-Borel Helicoid = έλικοειδής Helix = gλικα Homeomorphism = όμοιομορφισμός Hyperbolic = ύπερβολικός Hyperboloid = ύπερβολοειδές Identity = ταυτότητα Implicit function = πεπλεγμένη Index = δείκτης

συνάρτηση

= δείκτρια = άνισότητα

Ιndίcatήχ

Inequality Inflection

ροίηι

=

σημείο καμπης

= έσωτερικό Ιntήnsίc = έσωτερικός Ιnteήοr

Invariant = άναλλοίωτος, άμετάβλητος Inverse = άντίστροφος Inverse function theorem = θεώρημα τής άντίστροφης Involute = ένειλιγμένη Ιsοmetήc mapping = Ισομμετρική άπεικόνιση Isometry = Ισομετρία

συναρτήσεως

Jacobian = Ίακωβιανή (όρίζουσα) Jacobian matήχ = Ίακωβιανός πίνακας Jordan arc = τόξο τού Jordan Kronecker symbol

= σύμβολο

ή δέλτα τού

Kronecker

Length = μήκος Limit = όριο Limit ροίηι = όριακό σημείο ή σημείο συσσωρεύσεως Line = γραμμή, εύθεία Linear = γραμμικός Linear dependence = γραμμική έξάρτηση Linear function = γραμμική συνάρτηση Line of curvature = γραμμή καμπυλότητας Liouville's formula = τύπος τού Liouville Liouville surface = έπιφάνεια τού Liouville Local = τοπικός Local property = τοπική Ιδιότητα Lοgaήthm

= λογάριθμος = λογαριθμική

Logarithmic spiral

ελικα

Mainardi-Codazzi equations = έξισώσεις των Mainardi-Codazzi Manifold = πολλαπλότητα Mapping = άπεικόνιση Matrix = πίνακας Mean = μέσος Mean curvature = μέση καμπυλότητα Mean value theorem = θεώρημα τής μέσης τιμής Μeήdίan

= μεσημβρινός

Minding' s theorem = θεώρημα τού Minding Minimum = έλάχιστος Meobius strip = λωρίδα τού Moebius

269

ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

270 Monge patch = τμήμα Monge Monkey saddle = σέλα τοϋ πιθήκου Moving tήhedrοn = κινούμενο τρίεδρο Multiplication = πολλαπλασιασμός

Natural = φυσικός Natural equations = φυσικές έξισώσεις Natural parameter = φυσική παράμετρος Neighborhood = περιοχή Non-Euclidean geometry = μή Εύκλείδεια γεωμετρία Normal = κανονικός, κάθετος Normal coordinates = κανονικές συντεταγμένες Normal curνature = κάθετη καμπυλότητα Normal section = κάθετη τομή Open = άνοικτός Open coveήng = άνοικτή κάλυψη Open set = άνοικτό σύνολο Orientable = προσανατολίσιμος Οήented

= προσανατολισμένος

Οήented

'basis =

Orientec;l

curνe

=

προσανατολισμένη βάση

προσανατολισμένη καμπύλη

surface = προσανατολισμένη έπιφάνεια Orthogonal = όρθογώνιος Orthogonal basis = όρθογώνια βάση Orthogonal 'projection = όρθογώνια προβολή Orthogonal vectors = κάθετα ή όρθογώνια διανύσματα -orthonormal = όρθοκανονικός Orthonormal basis = όρθοκανονική βάση O\culating circle = έγγύτατος κύκλος ., Oscu1ating paraboloid = έγγύτατο παραβολοειδές Osculating plane = έγγύτατο έπίπεδο Oscu1ating sphere = έγγύτατη σφαίρα Outer product = έξωτερικό γινόμενο Οήented

Parabolic ροίηι = παραβολικό σημείο Paraboloid ,; παραβολοειδές Parallel = παράλληλος Parameter = παράμετρος Parameter curve = παραμετρική καμπύλη Partia1 = μερικός Partial derivative = μερική παράγωγος Patch (coordinate) = τμήμα Peano curνe = καμπύλη τοϋ Peano Planar ροίηΙ = έπίπεδο σημείο Plane = έπίπεδο ΡοίηΙ

= σημείο

Polar = πολικός Polar coordinates = πολικές συντεtαγμένες Polygon = πολύγωνο Principal = κύριος, πρωτεύων Pήncipal curvature = κύρια καμπυλότητα Principal direction = κύρια διεύθυνση PrinCΊpal normal = πρώτη κάθετος Product = γινόμενο Projection = προβολή Property = Ιδιότητα Pseudosphere = ψευδοσφαίρα Quadratic

suήace

= δευτεροβάθμια

έπιφάνεια

ΑΓΓΛΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Radius = άκτίνα Radius of curvature = άκτίνα καμπυλότητας Radius of torsion = άκτίνα στρέψεως Rank = τάξη, βαθμός Rank of matrix = τάξη πίνακα Reciprocal = άντίστροφος Reciprocal tensors = άντίστροφοι τανυστές Rectifiable arc = ύπολογίσιμο ή πεπερασμένου μήκους τόξο Rectifying plane = εύθειοποιό έπίπεδο Regular = κανονικός, όμαλός Regular Ρarametήc representation = κανονική παραμετρική παράσταση Representation = παράσταση, έκπροσώπηση Revolution = περιστροφή Riccati equation = έξίσωση του Riccati Riernann curvature tensor = τανυστής καμπυλότητας του Riernann Riernann normal coordinates = κανονικές συντεταγμένες του Riernann Right = όρθός Right conoid = όρθό κωνοειδές Right helicoid = όρθό Ι:λικοειδές Rοdήgues' formula = τύπος του Rodrigues Rule = κανόνας Ruled surface = εύθειογενής έπιφάνεια Ruling = γενέτειρα Scalar = βαθμωτός Scalar product = έσωτεριιeό ή άριθμητικό γινόμενο Second = δεύτερος Second curvature = δεύτερη καμπυλότητα Section = τμήμα, τομή Serret-Frenet equations = έξισώσεις των Serret-Frenet Set = σύνολο Sirnple = άπλός Sirnple curνe = άπλή καμπύλη SkeW-SΥrnrnetήc

= άντισυμμετρικός = άντισυμμετρικός

Skew-syrnrnetric tensor Slope = κλίση Space = χωρος Sphere = σφαίρα SΡheήcal

=

σφαιρικός

Spiral = σπειροειδής Stereographic projection = Stήρ

τανυστής

= λωρίδα

στερεογραφική προβολή

Suprernurn = άνω πέρας ή έλάχιστο άνω φράγμα Surface = έπιφάνεια Surface of revolution = έπιφάνεια έκ περιστροφής Syrnbol = σύμβολο Syrnrnetric = συμμετρικός Syrnrnetric tensor = συμμετρικός τανυστής Tangent = έφαπτόμενος, έφαπτομένη Tangent plane = έφαπτόμενο έπίπεδο Tangent surface = έφαπτόμενη έπιφάνεια Taylor's forrnula = τύπος του Taylor Tensor = τανυστής Tensor field = τανυστικό πεδίο Theorerna Egregiurn of Gauss = θεώρημα Egregium Third = τρίτος Tqpological invariant = τοπολογική άναλλοίωτη Topological rnapping = τοπολογική άπεικόνιση Topology = τοπολογία Torsion = στρέψη

του

Gauss

271

ΑΓΓΛΙΚΗ OPOΛOΓlA

272 Torus = σπείρα, τόρος Total = όλικός Total curvature = όλική καμπυλότητα Tractrix = Ι!λκουσα Transformation = μετασχηματισμός Triangle = τρίγωνο Triangle inequalίty = τριγωνική άνισότητα Trihedron = τρίεδρο Triple product = μικτό γινόμενο Unbilίcal

= όμφαλικός

Uniqueness = μοναδικότητα Unit = μονάδα Unit vector = μοναδιαίο διάνυσμα Value = τιμή Vector = διάνυσμα Vector product = έξωτερικό 1'1 Weingarten equations

διανυσματικό γινόμενο

= έξισώσεις

τοϋ

Weingarten

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

• Αθροισμα διανυσμάτων,

, Αριθμητική προβολή διανύσματος, 5 · Αριθμητικό γινόμενο, 5 , Αριστερόστροφη βάση, 7 · Ασυμπτωτική γραμμή, 187 · Ασυμπτωτική διεύθυνση, 187 · Αφινικό σύστημα συντεταγμένων, 33

2

τανυστώ ν , 212 , Ακμή πολυγώνου, 243 • Ακρα τόξου, 47 , Ακτίνα καμπυλότητας, Ι, 63 στρέψεως, 91 • Αλυσοειδής καμπύλη, 91, 93 , Αμφιμονότιμη άπεικόνιση ή συνάρτηση, 44 , Αμφισυνεχής άπεικόνιση, 110 · Αναλλοίωτη κάμψεως, 250 · Αναλυτική συνάρτηση, 31, 39 · Αναπτυκτή έπιφάνεια, 257 · Ανισότητα τριγωνική, 14 τών Cauchy-Schwarz, 5 • Ανοικτή κάλυψη, 106 , Ανοικτή σπείρα, 105 , Ανοικτή σφαίρα, 102 • Ανοικτός δίσκος, 102 · Ανοικτό σύνολο, 102 · Ανταλλοίωτες συνιστώσες διανύσματος, 222 · Ανταλλοίωτο διάνυσμα, 209 · Ανταλλοίωτος μετρικός τανυστής, 211 · Ανταλλοίωτος τανυστής, 209 · Αντίθετα διανύσματα, Ι , Αντίστροφη βάση, 16 , Αντίστροφοι τανυστές, 226 , Αντισυμμετρικές συνιστώσες τανυστή, 211 • Αντισυμμετρικός τανυστής, 211 • Ανω πέρας, 50 • Αξονας ελικας, 72 · Απεικόνιση άμφισυνεχής, Ι 10 γραμμική, 122, 123 έπιφανειών, 227 ίσο μετρική , 229 σύμμορφη, 249 συνεχής, 107 τοπικά ίσομετρική, 230 τοπολογική ή δμοιομορφισμός, 110 τοϋ Gauss, 175 · Απλή έπιφάνεια, 155 · Απλή καμπύλη, 47 · Απλή προσανατολισμένη έπιφάνεια. 160 · Απλό κλειστό τόξο τοϋ Jordan, 243 • Απλώς συνεκτικό σύνολο, 243 · Απόλυτος τανυστής, 210 , Απόσταση, έσωτερική, 231

Βαθμωτό μέγεθος,

2

Βάση άριστερόστροφη,

δεξιόστροφη, διατεταγμένη,

7

7 7

δυϊκή ή άντίστροφη,

16

έπιφάνειας ή τμηματική παράσταση, όρθοκανονική,

προσανατολισμένη, τοϋ

Ε3,

155

6 7

4

Βασική ή δδηγός καμπύλη, Βήμα Ελικας,

162

46

Βουβός δείκτης ή δείκτης άθροίσεως,

207

Γενέτειρα έπιφάνειας, κυλίνδρου, Γενική

162 152

κυλινδρική ελικα,

ij

72

Γεωδαισιακές πολικές συντεταγμένες, Γεωδαισιακές συντεταγμένες, Γεωδαισιακή γραμμή,

235

234

Γεωδαισιακή καμπυλότητα,

232, 233 237 Γεωδαισιακό τρίγωνο, 245 Γεωμετρική άναλλοίωτη, 231 Γεωδαισιακός κύκλος,

Γινόμενο

έξωτερικό διανυσμάτων, έξωτερικό τανυστών, έσωτερικό, μικτό,

8 212

5

9

Γραμμή άσυμπτωτική,

187 234 καμπυλότητας, 185 συζυγής, 188

γεωδαισιακή,

Γραμμική άπεικόνιση, πίνακας,

122, 123

123

Γραμμικώς άνεξάρτητα διανύσματα, Γραμμικώς έξαρτημένα διανύσματα, Γωνία διανυσμάτων, έξωτερική, έσωτερική,

5 243 245

έφαπτόμενων διανυσμάτων,

273

173

3 3

237

ΕγΡΕΤΗΡIΟ

274 Δείκτης άθροίσεως ή Δείκτης, έλεύθερος,

βουβός δείκτης,

.-άνοικτή σφαίρα,

207

Δείκτρια

Έγγύτατη καμπύλη,

, Εγγύτατη

σφαιρική, τοϋ

70, 79 Oupin, 182

Δεξιόστροφη βάση,

Kronecker, 6 175

67

Δεύτερη καμπυλότητα ή στρέψη,

Δευτεροβάθμια έπιφάνεια,

69

164

Δεύτερο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα,

67

Διάνυσμα άνταλλοίωτο, άντίθετο,

209

Ι

γεωδαισιακή ς καμπυλότητας, δεύτερο κάθετο μοναδιαίο, διεύθυνση καί φορά,

έξωτερικό γινόμενο, έσωτερικό γινόμενο,

232

67

3 8 5

κάθετης καμπυλότητας, κάθετο πρός έπίπεδο,

179

21

καμπυλότητας καμπύλης, μηδενικό,

63

Ι

μήκος ή μέτρο,

Ι

μικτό γινόμενο,

9

μοναδιαίο,

'Εξισώσεις παραμετρικές,

μοναδιαίο έφαπτόμενο,

παράλληλο πρός έπίπεδο,

158

21

πολλαπλασιασμός μέ βαθμωτό μέγεθος,

2

πρώτο κάθετο μοναδιαίο,

ταυτότητες, Ε3,

64, 66

γωνία (καμπυλόγραμμου πολυγώνου),

Έξωτερικό γινόμενο

9

Ι

διανυσμάτων, τανυστών,

γραμμικώς άνεξάρτητα,

κάθετα ή όρθογώνια,

6 3

Διανυσματική προβολή διανύσματος,

5, 6

Διανυσματική συνάρτηση

, Επικυκλοειδής

καμπύλη,

121

66, 88, 90 67

εύθειοποιό,

130 139

έφαπτόμενο έπιφάνειας, κάθετο καμπύλης,

Διανυσματικό γινόμενο,

8

σημείο,

7

Διαφορά διανυσμάτων,

2

άλλαγή παραμέτρου,

127

Διεύθυνση

'Επιφάνεια

Cm, 29

άναπτυκτή, άπλή,

257

155

άσυμπτωτική,

δευτεροβάθμια,

διανύσματος,

έκ περιστροφής,

187 3 κύρια, 181, 182 συζυγής, 188

εύθειογενής,

κλειστός,

164 161 162, 170

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας,

53, 55

Δίσκος άνοικτός,

44, 49

Έπιτρεπτός παραμετρικός μετασχηματισμός,

Διαφορίσιμη συνάρτηση τάξεως

Διοκλή, κισσοειδής τοϋ,

158

62

177, 178

, Επιτρεπτή

Διαφορικό συναρτήσεως,

53, 56, 92

Έπίπεδο έγγύτατο,

διανυσματικής μεταβλητής,

βάση,

Έπαφή τάξεως

120 120 n, 87

Έξωτερικό συνόλου,

παράλληλα ή συγγραμμικά,

Διατεταγμένη

8

212

Έξωτερικό σημείο,

3 3

γραμμικως έξαρτημένα,

φραγμένη,

2

, Εξωτερική

209

Διανύσματα

σύνθετη,

203 Gauss, 202 τοϋ Riccati, 82 τοϋ Weingarten, 202 τών Mainardi-Codazzi, 203 τών Serret-Frenet, 80 φυσικές, 81 τοϋ

61

μοναδιαίο κάθετο έπιφάνειας,

συναλλοίωτο,

21

συμβιβαστότητας,

3, 5

πρόσθεση,

περιφέρεια ή έγγύτατος κύκλος,

89 91 , Εγγύτατο έπίπεδο, 66, 88, 90 , Εγγύτατο παραβολοειδές, 176 Εικόνα ή πεδίο τιμών, 23 Έλάχιστο ανω φράγμα, 50 Έλεύθερος δείκτης, 207 " Ελικα κυκλική, 46, 52, 63, 68, 69, 71, 81, 85, 97 γενική ή κυλινδρική, 72, 77, 79, 92, 101 λογαριθμική, 82, 93, 100 • Ελικοειδές, όρθό, 170 " Ελκουσα, 241 , Ελλειπτική γεωμετρία, 241 Έλλειπτικό όμφαλικό σημείο, 183 , Ελλειπτικό σημείο, 177 Έλλειπτικό παραβολοειδές, 164 , Ελλειψοειδές, 164 Έμβαδόν, 174 'Ενειλιγμένη καμπύλη, 84, 97 Έξειλιγμένη καμπύλη, 86, 98

7

ΔεΥτερη θεμελιώδης μορφή, Δεύτερη κάθετος,

89 89

Έγγύτατη σφαίρα,

Δέλτα ή σύμβολο τοϋ

τοϋ

22

'Εγγύτατη έπιφάνεια,

207

κανονική παραμετρική παράσταση, όρισμός,

102 103

Δυϊκή ή άντίστροφη βάση,

155

προσανατολίσιμη, προσανατολισμένη,

16

150

160, 170 160

σταθερής καμπυλότητας τοϋ

Gauss, 240

203

157

243

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

, Επιφάνεια

(συνέχεια)

στοιχειώδης,

275

Κάθετα ή όρθογώνια διανύσματα, Κάθετη καμπυλότητα,

160

συμπαγής,

Κάθετη τομή έπιφάνειας,

συνεκτική,

Κάθετο διάνυσμα (πρός έπίπεδο),

τοϋ

Κάθετο έπίπεδο καμπύλης,

160 159 Liouville, 253, 261

, Επιφάνειες

Κάθετος, δεύτερη,

έφαρμόσιμες,

ίσομετρικές,

Κάλυμμα συνόλου,

250 229

1'1

180

άνοικτή,

22

φυσικές έξισώσεις καμπύλης,

'Εσωτερική άπόσταση, 'Εσωτερική γεωμετρία,

80, 81

67 104

'Εσωτερική ίδιότητα έπιφάνειας,

106

πεπερασμένη, Καμπύλες τοϋ

231 229, 231

107 Bertrand, 95

Καμπύλη

'Εσωτερική γωνία γεωδαισιακοϋ τριγώνου,

245

άπλή,

47

ένειλιγμένη,

231

84, 97 86, 98 έπικυκλοειδής, 53, 56, 92

'Εσωτερικό γινόμενο,

5 , Εσωτερικό καμπύλης, 243 , Εσωτερικό σημείο, 113 , Εσωτερικό σύνολο, 113 Εύθείες, παράλληλες, 21 Εύθειογενής έπιφάνεια, 162, 170 Εύθειοποιό έπίπεδο, 67

έξειλιγμένη,

Εύκλείδειος χώρος,

κανονική προσανατολισμένη,

θεώρημα ύπάρξεως καί μοναδικότητας, κανονική,

κανονική κλάσεως κανονική μορφή,

Cm, 49 83

κανονική παραμετρική παράσταση,

Ι

κισσοειδής τοϋ Διοκλή,

'Εφαπτομένη καμπύλης,

κογχοειδής τοϋ Νικομήδη,

84, 98, 167, 191 61, 62, 66 σφαιρικήδείκτρια, 70, 79 , Εφαπτόμενο έ'Πίπεδο έπιφάνειας, 157, 158 , Εφαρμbσιμες έπιφάνειες, 250

προσανατολισμένη,

τοϋ

175 171

Θεμελιώδης μορφή δεύτερη,

τρίτη,

τής άντίστροφης συναρτήσεως, τής μέσης τιμής,

τών τών

135

143

Euler, 196 Green, 243 Minding, 241 Gauss-Bonnet, 242, 246 Heine-Borel, 107

ύπάρξεως καί μοναδικότητας έπιφανειών,

Egregium

151 151

245 243 Καμπυλότητα, 62, 65, 73 άκτίνα, Ι, 63 γεωδαισιακή, 233 γραμμή, 185 δεύτερη, 69 κάθετη, 179 καμπύλης, 63 κέντρο, 89, 99 κύρια, 181, 182 μέση, 184 όλική, 246, 258 προσημασμένη, 65 σφαιρική, 91, roο τοϋ Gauss, 184 τρίγωνο,

243

τοϋ

60

u-παραμετρική,

πολύγωνο,

171 197

Θεώρημα

τοϋ

47 72 70, 79

Καμπυλόγραμμο

172

Θετικός προσανατολισμός καμπυλόγραμμου πολυγώνου,

τοϋ

59

Peano, 46

ύποκυκλοειδής, ν-παραμετρική,

175

θετικά όρισμένη, πρώτη,

53

162 όρισμός, 45, 49

σφαιρική δείκτρια, Θεμελιώδη μεγέθη

43, 56 47, 60

όδηγός,

σταθερής κλίσεως,

πρώτης τάξεως,

81

44

'Εφαπτόμενη έπιφάνεια καμπύλης,

δεύτερης τάξεως,

21

62

Κάλυψη

€-σφαΙΡΙKή περιοχή,

'Εσωτερικές

6

179

τοϋ

203

Gauss, 203

Κανόνας παραγωγίσεως σύνθετης συνάρτήσεως, Ίακωβιανή,

128

Ίακωβιανός πίνακας,

128

, Ιδιότητα

Κανονικές συντεταγμένες τοϋ

Riemann, 255

Κανονική διαφορίσιμη άπεικόνιση έπιφανειών,

άναλλοίωτη κάμψεως,

έσωτερική έπιφάνειας, όλική,

250 231

Ι

τοπική,

Κανονική

καμπύλη,

Ι

227

44

Κανονική μορφή καμπύλης,

83

Κανονική παραμετρική παράσταση έπιφάνειας,

, Ισοδύναμες κανονικές παραμετρικές παραστάσεις, 45 1'1 ίσομετρική άπεικόνιση, 229 'Ισομετρικές έπιφάνειες, 229

'Ισομετρία

29, 130,

131

150 56

Κανονική παραμετρική παράσταση καμπύλης,. 43,

Κανονική παραμετρική παράσταση καμπύλης κλάσεως

cm,49 Κανονική προσανατολισμένη καμπύλη,

47

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

276 Κανονικό τόξο,

'Ορθογώνια βάση,

47

Κατά κατεύθυνση, παράγωγος,

• Ορθογώνια · Ορθογώνια

125, 132 105, 106

Κατά τόξο συνεκτικό σύνολο, καμπυλότητας,

καμπύλης,

89, 99

σφαιρικής καμπυλότητας,

'Ορθοκανονική

Κλειστή σπείρα, Κλειστή σφαίρα,

Κλειστός δίσκος, Κλειστό σύνολο, Κλίση,

170

βάση,

6 163, 190 Όριακό σημείο, 104 • Ορίζουσα, Ίακωβιανή, 128 'Όριο συναρτήσεως, 24, 124

Κινούμενο τρίεδρο καμπύλης, Κισσοειδής τοϋ Διοκλή,

6

47

'Ορθό l:λικοειδές,

91

67 53, 55

'Ορθο κωνοειδές,

105 103 103 103

Παραβολικό όμφαλικό σημείο,

210

Κογχοειδής τοϋ Νικομήδη, Κορυφή πολυγώνου,

Παραβολικό σημείο,

59

έγγύτατο,

72

176 164 ύπερβολικό, 162, 164

Κύλινδρος,

έλλειπτικό,

152, 235 Κύρια διεύθυνση, 181, 182 Κύρια καμπυλότητα, 181, 182 Κώνος, 32, 170 Κωνοειδές, όρθό, 163, 190

Παραγώγιση σύνθετης συναρτήσεως, Πάράγωγος

κατά κατεύθυνση,

125, 132

126

μερική,

219 Λογαριθμική lλικα, 82, 93, 100 Λωρίδα τοϋ Moebius, Ι, 170

συναρτήσεως,

27

Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα,

Παράλληλες εύθείες,

Παράλληλο διάνυσμα πρός έπίπεδο,

235

Μερική παράγωγος,

Παράλληλοι,

Μέση καμπυλότητα,

Παραμετρικές καμπύλες,

126 184 152, 161

Μέτρο ή μήκος διανύσματος, Μηδενικό διάνυσμα,

151

190

Παραμετρική έξίσωση,

208

Ι

21

Παραμετρική παράσταση,

Ι

190 21

152, 161

παράλληλες,

Μετασχηματισμός συντεταγμένων,

23

Παραμετρική παράσταση μήκους τόξου,

Μή Εύκλείδεια γεωμετρία,

241

Παραμετρικός μετασχηματισμός,

Μήκος

3

21

Παράλληλες παραμετρικές καμπύλες,

30, 124

Μέγιστος κύκλος σφαίρας,

52

157

Παράμετρος,

διανύσματος,

τόξου,

29, 130 27, 126, 127, 129, 131

Παραγωγίσιμη συνάρτηση,

Λήμμα τοϋ Hίlbert,

Μεσημβρινός,

183

177

Παραβολοειδές

243

Κυλινδρική ή γενική lλικα,

Μεγάλο Ο,

6

προβολή

διανύσματος,

Κέντρο

6

ή κάθετα διανύσματα,

43, 150 23 παραστάσεως, 43 φυσική, 52

Ι

καμπύλης,

49, 50 30, 124

Μικρό ο,

Μικτό άπόλυτο τανυστικό πεδίο, Μικτό γινόμενο,

210

Παράσταση

9

εύθειογενοϋς μορφής,

Μικτός τανυστής, καμπυλότητας

209 τοϋ Riemann, 214

Πεδίο

Μοναδιαίο δεύτερο κάθετο διάνυσμα, Μοναδιαίο διάνυσμα,

162

52

φυσική,

67

όρισμοϋ,

3, 5

23 209

τανυστικό,

Μοναδιαίο έφαπτόμενο διάνυσμα καμπύλης, Μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα έπιφάνειας, Μοναδιαίο πρώτο κάθετο διάνυσμα,

61

158

23

τιμών,

Πεπερασμένη κάλυψη,

64

107

Πεπερασμένου μήκους, τόξο,

50

Πεπλεγμένη παράσταση

Νικομήδη, κογχοειδής τοϋ,

59

έπιφάνειας, καμπύλης,

• Οδηγός καμπύλη, 162 • Ολική διαφορική γεωμετρία, • Ολική Ιδιότητα, Ι • Ολική καμπυλότητα, 246, 258 • Ομοιομορφικά σύνολα, 110 • Ομοιομορφισμός, 110 'Ομοπαραλληλλικό σύστημα συντεταγμένων, 'Ομφαλικό σημείο, έλλειπτικό, παραβολικό,

183 183

183

Περιοχή,

164 48

22

περιορισμένη,

22

Πίνακας γραμμικής άπεικονίσεως,

Ίακωβιανός, τάξη,

33

122, 123

128

122

Πολλαπλασιασμός διανύσματος μέ βαθμωτό μέγεθος, Πολλαπλό σημεΙο, Πολλαπλότητα,

44

208

Πολυγωνική άνάλυση,

245

2

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Πολύγωνο, καμπυλόγραμμο,

277

Συνάρτηση

243

άναλυτική,

Προβολή άριθμητική διανύσματος,

διανυσματική διανύσματος, καμπύλης (όρθογώνια), στερεογραφική,

5 47, 48

227

Προσανατολίσιμη έπιφάνεια, Προσανατολισμένη έπιφάνεια, Προσανατολισμένη καμπύλη, Προσανατολισμός βάσεως,

160 160, 170 47, 60

7

Προσεγγιστικό πολυγωνικό τόξο, Προσημασμένη καμπυλότητα,

49

65

Πρόσθεση

διανυσμάτων, τανυστών,

2

212

Πρώτη θεμελιώδης μορφή, Πρώτη κάθετος,

31, 39 122, 123 διανυσματική, 121 διαφορίσιμη, 29 κλάσεως Cm, 29, 133 δριο, 24, 124 παραγώγιση, 27, 29, 126 παραγωγίσιμη, 126, 127, 129, 131 συνεχής, 27, 124 συνεχώς παραγωγίσιμη, 129 σύνθετη, 130 συντεταγμένων, 128 φραγμένη, 24 Συνεκτική έπιφάνεια, 159 Συνεκτικό σύνολο, 105 Συνεχής άπεικόνιση, 107, 108 Συνεχής συνάρτηση, 27, 46, 124 γραμμική,

5

171

66

Πρώτο κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα,

64, 66.

Συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, Σέλα τοϋ πιθήκου,

Συνημίτονα κατευθύνσεως,

178

Σύνθετη διανυσματική συνάρτηση,

Σημείο

έλλειπτικό,

Ε3,

συμμετρικές,

211

Σύνολα τοπολογικά Ισοδύναμα ή όμοιομορφικά, Σύνολο άνοικτό, κλειστό,

102 103

μή συνεκτικό, συμπαγές, συνεκτικό,

φραγμένο,

ύπερβολικό,

Στοιχειώδης πολλαπλότητα διαστάσεως

105

107 105 105

Συνοριακό σημείο,

177 Σπείρα, 104, 105, 158, 178, 184 άνοικτή, 105 στερεή ή κλειστή, 105 Στερεογραφική προβολή, 227 Στοιχειώδης έπιφάνεια, 160

120 120

Σύνορο συνόλου, Συντεταγμένες

γεωδαισιακές,

235 4 κανονικές τοϋ Riemann, 255 σημείου, 208 διανύσματος,

n, 208

Στρέψη,

Σύστημα

69 άκτίνα, 91

γεωδαισιακών πολικών συντεταγμένων,

Συγγραμμικά διανύσματα, Συζυγής διεύθυνση,

209 211

άντισυμμετρικές,

Ι

Συζυγείς γραμμές,

130

Συνιστώσες τανυστή,

177 έξωτερικό, 120 έπίπεδο, 177, 178 έσωτερικό, 113 καμπής, 63, 66, 75 όμφαλικό, 183 παραβολικό, 177 πολλαπλό, 44 συνοριακό, 120 συσσωρεύσεως, 104 τοϋ

129

7

γεωδαισιακών συντεταγμένων,

3

όμοπαραλληλικό,

188 188

Σύμβολα

Συστολή Σφαίρα

τοϋ

Christoffel δεύτερου είδους, 202 τοϋ Christoffel πρώτου είδους, 213 τοϋ Landau, 30, 124 τοϋ Riemann δεύτερου είδους, 214 τοϋ Riemann πρώτου είδους, 214 Σύμβολο ή δέλτα τοϋ Kronecker, 6 Συμμετρικές συνιστώσες τανυστή, 211 Συμμετρικός τανυστής, 211 Σύμμορφη άπεικόνιση, 249 Συμπαγές σύνολο, 107, 109 Συμπαγής έπιφάνεια, 160 Συναλλοίωτο διάνυσμα, 209 Συναλλοίωτος μετρικός τανυστής, 209 Συναλλοίωτος τανυστής, 209 Συναλλοίωτος τανυστής καμπυλότητας τοϋ

Συναρτήσεις συντεταγμένων,

33 208 τανυστή, 213

συντεταγμένων,

128

άνοικτή,

102 22 έγγύτατη, 91 κλειστή, 103 ε-άνοικτή,

μεσημβρινοί,

152 111, 246 παράλληλοι, 152 Σχέση ίσοδυναμίας, 16 μέ

n

χερούλια,

Τανυστής άνταλλοίωτος,

209

άνταλλοίωτος μετρικός, άντίστροφος,

Riemann, 214

226

άντισυμμετρικός, άπόλυτος,

210

211

211

235

237

110

-, ~78

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Τανυστής (συνέχεια)

Τoπoλoγιιcά Ισοδύναμα σύνολα,

έξωτεριιcό γινόμενο,

Τoπoλoγιιcή άπειιcόνιση,

212

ιcαμπυλότητας,

Τόπος,

μιιcτός,

Τριγωνιιcή άνισότητα,

214 209 όρισμός, 209 πρόσθεση, 212 συμμετριιcός, 211 συναλλοίωτος, 209 συστολή, 213 Τανυστιιcό πεδίο, 209

110

110

105, 106

Τρίγωνο, γεωδαισιαιcό,

14 245

Τρίτη θεμελιώδης μορφή,

11}7

Τύπος του του του

Τάξη

των

Liouville, 253 Rodrigues, 186, 187 Taylor, 30, 134 Gauss-Bonnet, 244

Τ

άπειιcoνίσεως,

122 έπαφής, 67, 177 πίναιcα, 122 τανυστή, 210

Ύπερβoλιιcή γεωμετρία,

· Yπερβoλιιcό

153 47 του Liouville, 253 Monge, 154, 155

Ύπoιcάλυψη,

τόξου,

Τομή έπιφάνειας, ιcάθετη,

155

180

Φόρά διανύσματος, Φράγμα,

Τόξο

μήιcoς,

164 106

· Yπoιcυιcλoειδής ιcαμπύλη, 60 • Υπολογίσιμο τόξο, 50

Τμηματιιcή παράσταση έπιφάνειας,

έλάχιστου μήιcoυς,

r

Ύπερβολοειδές,

έπιφάνειας,

3

50

Φραγμένη διανυσματιιcή συνάρτηση,

231

Φραγμένη συνάρτηση,

47

ιcανoνιιcό,

241 242 177

έπίπεδο,

Ύπερβoλιιcό σημείο,

Τμήμα

Φραγμένο σύνολο,

49

πεπερασμένου μήιcoυς, του

Φυσιιcή παράμετρος,

Jordan, 242 50

Τoπιιcά Ισoμετριιcές έπιφάνειες, Τoπιιcά Ισομετρική άπειιcόνιση,

230 230

Τoπιιcή διαφoριιcή γεωμετρία, Ι

139

r

24

105

Φυσιιcές έξισώσεις ιcαμπύλης,

50

υπολογίσιμο,

81

Φυσιιcή παράσταση,

52 52

Xαραιcτηριστιιcή του

Euler, 246

χωρος, Eύιcλείδειoς,

Ι

Ι

Τoπιιcή Ιδιότητα, Ι Τoπιιcή Ιδιότητα συναρτήσεως,

25

Beltrami-Enneper, τύπος των, 188 Bertrand, ιcαμπύλες του, 95, 98, 100

Ψευδοσφαίρα,

δείιcτρια του,

χαραιcτηριστιιcή του,

Frenet,

έξισώσεις του,

246 80

έξισώσεις του, θεώρημα

202 Egregium

ιcαμπυλότητα του,

του,

σύμβολα του,

203

184

Gauss-Bonnet θεώρημα των,

242, 246 244 Green, θεώρημα του, 243 τύπος των,

Heine-Borel, θεώρημα των, 107 Hilbert, λήμμα του, 219

ι

30, 124

Ι

253, 261

253

Mainardi-Codazzi, έξισώσεις των, 203 Minding, θεώρημα του, 241 Moebius, λωρίδα του, Ι, 170 Monge, τμήμα, 154, 155 Peano,

Gauss

6 Ι

Landau, LiouvilIe

τύπος του,

196

242

σύμβολο ή δέλτα του,

έπιφάνεια του,

182

Euler θεώρημα του,

241

τόξο του,

Jordan,

Kronecker, Cauchy-Schwarz, άνισότητα των, 5 Christoffel, σύμβολα του, 202, 213 Dupin,

.

ιcαμπύλη του,

Riccati, έξίσωση Riemann

του,

46 82

ιcανoνιιcές συντεταγμένες του,

σύμβολα του,

τανυστής ιcαμπυλότητας του,

Rοdήgues, τύπος του,

Serret-Frenet, Taylor,

255

214 186, 187

έξισώσεις των,

τύπος του,

30, 134

80

214