Многообразия, определимые подстановками

Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 104-118

УДК 512.572

МНОГООБРАЗИЯ, ОПРЕДЕЛИМЫЕ ПОДСТАНОВКАМИ

Д . М. СМИРНОВ Памяти Виктора Александровича Горбунова

Введение

По аналогии с многообразиями пермутативных полугрупп (см. [1]) в настоящей статье рассматриваются многообразия пермутативных пгруппоидов и изучаются их типы представимости. Расширяется серия най­ денных в [2] конечно базируемых многообразий конечной размерности. Напомним, что многообразие V сигнатуры Q, представимо (или ин­ терпретируемо) в многообразии V сигнатуры Г2', если для каждого опе­ ратора / ( a ? i , . . . , хп) из Q существует fi'-терм / ( # i , . . . , хп) такой, что для всякой алгебры (A, О') из V производная алгебра (А, {/ | / G 0} при­ надлежит многообразию V. Отношение представимости V -> V является квазипорядком, а его классы эквивалентности называются типами пред­ ставимости. Полагая для типов представимости [U] < [V] тогда и только тогда, когда U —)• V, получим решетку с нулем 0 и единицей 1. Ее принято обозначать через L m t . Нулем решетки L m t служит тип представимости многообразия Sem всех полугрупп или многообразия Gr всех группоидов. Единицей решетки L m t является тип представимости любого тривиального многообразия, т. е. какого-либо многообразия Е одноэлементных алгебр.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Многообразия, определимые подстановками

105

§ 1. Условие представимости многообразия nG^ Пусть S n — симметрическая группа конечной степени n ^ 2 над мно­ жеством {1,2, . . . , п } . Для произвольной подстановки 7г из S n через „G*. обозначим многообразие n-группоидов (А, / ) , удовлетворяющих тожде­ ству f(xU

Х2у...,

Хп) = / ( # „ ( 1 ) , 3^(2), . . . ,

Хп(п)).

По аналогии с многообразиями пермутативных полугрупп (см. [1]), много­ образие nGn назовем многообразием пермутативных п-группоидов (крат­ ко — многообразием, определимым подстановкой я*). Через „Мтг обозначается строгое условие Мальцева (СУМ) ( 3 / ) / ( я ? 1 , «2, . . . , « « ) = / ( » » ( ! ) , ^ ( 2 ) , • • • , Я?1г(п))-

Ясно, что многообразие nGV представимо в каком-либо многообразии У тогда и только тогда, когда в V выполнимо СУМ пМ*, т - е - существует V-терм / ( a ? i , . . . , ж п ), для которого в V справедливо тождество

Ддя цикла С = (12...п) степени п ) 2 и любого многообразия ал­ гебр V обобщенная теорема Гумма (см. [2, 3]) утверждает равносильность следующих трех условий: (a) в V выполнимо СУМ пЖ^} (b) каждый автоморфизм