В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан
Задачи и вопросы по разделу «Оптика» курса общей физики
Учебное пособие
Задачи и вопросы по разделу «Оптика» курса общей физики [Электронный ресур]: Учебное пособие / В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан — Электрон. текст. дан. (1,2 Мб). — Мн.: Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа: http://anubis.bsu.by/publications/elresources/RadiophysicsElectronics/saechnikov.pdf . — Электрон. версия печ. публикации, 2002. — PDF формат, версия 1.4 . — Систем. требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.
МИНСК «Электронная книга БГУ» 2003
© В.А.Саечников, М.И.Хомич, С.В.Трухан., 2003. © Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2003 www.elbook.bsu.by
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À â ò î ð û - ñ î ñ ò à â è ò å ë è: Â. À. Ñàå÷íèêîâ, Ì. È. Õîìè÷, Ñ. Â. Òðóõàí Ðåöåíçåíò äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Â. Â. Àïàíàñîâè÷ Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åíûì ñîâåòîì ôàêóëüòåòà ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè 27 èþíÿ 2002 ã., ïðîòîêîë ¹ 14
Çàäà÷è è âîïðîñû ïî ðàçäåëó «Îïòèêà» êóðñà îáùåé ôèçèÇ-15 êè: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ôàê. ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ñïåö. G 31 04 02 «Ðàäèîôèçèêà» è G 31 04 03 «Ôèçè÷åñêàÿ ýëåêòðîíèêà» / Àâò.-ñîñò. Â. À. Ñàå÷íèêîâ, Ì. È. Õîìè÷, Ñ. Â. Òðóõàí. – Ìí.: ÁÃÓ, 2003. – 184 ñ.: èë. ISBN 985-445-933-0.  ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëåå 500 âîïðîñîâ è 430 çàäà÷ ïî îñíîâíûì òåìàì ðàçäåëà «Îïòèêà» êóðñà îáùåé ôèçèêè äëÿ ïîýòàïíîãî ñàìîêîíòðîëÿ óñâîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Äàíû ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ âàæíåéøèõ òèïîâ. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòà ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè. ÓÄÊ 621.375.9(075.83) ÁÁÊ 22.34ÿ73
ISBN 985-445-933-0
© Ñàå÷íèêîâ Â. À., Õîìè÷ Ì. È., Òðóõàí Ñ. Â., 2003 © ÁÃÓ, 2003
Òåìà 1 ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÊÀ È ÝËÅÌÅÍÒÛ ÔÎÒÎÌÅÒÐÈÈ
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êàêàÿ îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé? Êàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà èäåàëüíûõ ñèñòåì? 2. Êàê ñòðîÿò èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà â öåíòðèðîâàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìå? 3. Êàêèå áûâàþò àáåððàöèè îïòè÷åñêèõ ñèñòåì? Êàê îíè ïðîÿâëÿþòñÿ è ÷åì îáóñëîâëåíû? 4. Êàêîâû íàçíà÷åíèå è ïðèíöèï äåéñòâèÿ ëóïû è ìèêðîñêîïà? Íà÷åðòèòå õîä ëó÷åé â ýòèõ ïðèáîðàõ. 5. ×åì ìèêðîñêîï îòëè÷àåòñÿ îò çðèòåëüíîé òðóáû? 6. Êàê óâåëè÷èòü ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ëóïû, ìèêðîñêîïà? ×åì îãðàíè÷åíà ýòà âåëè÷èíà? 7. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà íàáëþäàòü îòäåëüíûå ìîëåêóëû? 8.  êàêîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ îïòèêà ïåðåõîäèò â ãåîìåòðè÷åñêóþ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû, â êîòîðûõ óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè íå âûïîëíÿþòñÿ. r 9. Êàê èç óðàâíåíèÿ ýéêîíàëà ns = ÑS ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ëó÷åé? 10.  êàêóþ ñòîðîíó èñêðèâëÿåòñÿ ëó÷ â ñðåäå ñ çàâèñÿùèì îò êîîðäèíàò ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ? Îáúÿñíèòå ÿâëåíèÿ ìèðàæà è àñòðîíîìè÷åñêîé ðåôðàêöèè. 11. Êàê èç óðàâíåíèÿ ýéêîíàëà ïîëó÷èòü çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ëó÷åé íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä? Ñôîðìóëèðóéòå ïðèíöèï Ôåðìà. Êàê åãî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïðèíöèïà Ôåðìà. 12. ×òî òàêîå ñîïðÿæåííûå òî÷êè? 13. Êàêóþ ôîðìó äîëæíî èìåòü çåðêàëî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòèãìàòè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ: à) ñâåòÿùåéñÿ òî÷êè, á) áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà? 14. Êàêèå ëó÷è íàçûâàþò ïàðàêñèàëüíûìè? 15. Êàêèìè ïàðàìåòðàìè çàäàþò ëó÷ íà îïîðíîé ïëîñêîñòè? 16. Çàïèøèòå â îáùåì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå ïàðàìåòðîâ ëó÷à ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé îïîðíîé ïëîñêîñòè ê äðóãîé â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè. 3
17. Ïðèâåäèòå âèä ìàòðèö ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ëó÷à, ñîïîñòàâëÿåìûõ: 1) îïòè÷åñêîìó ïðîìåæóòêó, 2) ñôåðè÷åñêîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè, 3) îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè, 4) òîíêîé ëèíçå. 18. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ôîêàëüíûå òî÷êè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû? ×òî òàêîå ãëàâíûå ïëîñêîñòè? 19. Êàê ìîæíî íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå ïàðàêñèàëüíîãî ëó÷à â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, åñëè èçâåñòíî ïîëîæåíèå åå êàðäèíàëüíûõ òî÷åê? 20. ×òî òàêîå ñîïðÿæåííûå ïëîñêîñòè? Êàê íàéòè â ïðîñòðàíñòâå èçîáðàæåíèé ïëîñêîñòü, ñîïðÿæåííóþ ñ îïðåäåëåííîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå ïðåäìåòîâ? 21. Ïðè êàêîì óñëîâèè ñîçäàâàåìîå îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé èçîáðàæåíèå òðåõìåðíîãî ïðåäìåòà ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíî ñàìîìó ïðåäìåòó? Êàê â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå èçìåíåíèå ðàäèóñà êðèâèçíû âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ ëó÷à? 22. Êàêèìè ïàðàìåòðàìè õàðàêòåðèçóåòñÿ ãàóññîâ ïó÷îê? ×òî òàêîå êîìïëåêñíûé ðàäèóñ êðèâèçíû? Êàê îí ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ïó÷êà ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó? 23. ×òî íàçûâàåòñÿ àïåðòóðíîé äèàôðàãìîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, âõîäíûì è âûõîäíûì çðà÷êàìè?  êàêîì ñëó÷àå âõîäíîé çðà÷îê ñîâïàäàåò ñ àïåðòóðíîé äèàôðàãìîé? 24. Ñ êàêîãî ðàññòîÿíèÿ íóæíî ðàññìàòðèâàòü ôîòîñíèìîê, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâèëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå âïå÷àòëåíèå? 25. Êàê ïîëîæåíèå àïåðòóðíîé äèàôðàãìû âëèÿåò íà õàðàêòåð ïåðñïåêòèâû, ïîëó÷àþùåéñÿ íà ïëîñêîì èçîáðàæåíèè? 26. ×òî íàçûâàåòñÿ äèàôðàãìîé ïîëÿ çðåíèÿ, âõîäíûì è âûõîäíûì îêíàìè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû? 27. Êàêóþ ðîëü â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå âûïîëíÿåò ïîëåâàÿ ëèíçà (êîëëåêòèâ)? 28. Êàêèìè ñïîñîáàìè óñòðàíÿþò ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ â çåðêàëüíûõ è ëèíçîâûõ îáúåêòèâàõ òåëåñêîïîâ? 29. Êàêîå óñëîâèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîçäàâàëà ðåçêîå èçîáðàæåíèå òî÷åê ïðåäìåòà, íå ëåæàùèõ íà îïòè÷åñêîé îñè? 30. Ãäå ðàñïîëîæåíû ñîïðÿæåííûå àïëàíàòè÷åñêèå òî÷êè äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè? 31. Êàêèìè ñïîñîáàìè óñòðàíÿþò ñôåðè÷åñêóþ àáåððàöèþ â çåðêàëüíûõ è ëèíçîâûõ îáúåêòèâàõ òåëåñêîïîâ?  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ àáåððàöèÿ àñòèãìàòèçìà? 32. Êàêîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå âûçûâàåò õðîìàòè÷åñêóþ àáåððàöèþ? Êàêèìè ñïîñîáàìè óäàåòñÿ åå óìåíüøèòü? 4
33. Êàêèå àáåððàöèè äîëæíû áûòü óñòðàíåíû â ïåðâóþ î÷åðåäü ó îáúåêòèâîâ: à) òåëåñêîïà, á) ôîòîàïïàðàòà, â) ìèêðîñêîïà, ã) êîëëèìàòîðà ñïåêòðîãðàôà, ä) êàìåðû ñïåêòðîãðàôà? 34. Îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà ñîçäàåò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå óäàëåííîãî ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. Êàê áóäóò ìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè ñâåòîñèëû îáúåêòèâà (äèàìåòðà äèàôðàãìû) ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà è îñâåùåííîñòü ôîòîïëàñòèíêè â òîì ìåñòå, ãäå ïîëó÷àåòñÿ èçîáðàæåíèå? 35. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó (ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü ñâåòà) ÿðêîñòü ñîçäàâàåìîãî îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà ðàâíà ÿðêîñòè ñàìîãî èñòî÷íèêà. 36.  êàêîì ñëó÷àå óâåëè÷åíèå ïðèáîðà, ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ âèçóàëüíûõ íàáëþäåíèé, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì? 37. Êàêèì äîëæåí áûòü äèàìåòð ëèíç îáúåêòèâîâ áèíîêëÿ ñ äåñÿòèêðàòíûì óâåëè÷åíèåì, åñëè äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ðàâåí 5 ìì? 38. Êàêèå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, îïðåäåëÿþò ðàçìåð ñîçäàâàåìîãî åþ äèôðàêöèîííîãî èçîáðàæåíèÿ òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà (äèñêà Ýéðè)? 39. Êîãäà äâà îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêà ñ÷èòàþòñÿ, ïî Ðýëåþ, ðàçðåøåííûìè íà ïëîñêîñòè, ãäå ïîëó÷åíî èçîáðàæåíèå?  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ óñëîâíîñòü ýòîãî êðèòåðèÿ? 40. ×åìó ðàâíî ìèíèìàëüíîå óãëîâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó îäèíàêîâûìè çâåçäàìè, ðàçðåøàåìîå îáúåêòèâîì òåëåñêîïà ñ äèàìåòðîì D? Ïî÷åìó îíî íå çàâèñèò îò ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ îáúåêòèâà? 41. Êàêèìè ïðåèìóùåñòâàìè è íåäîñòàòêàìè îáëàäàþò ñèñòåìû ñ ðàçðåæåííîé àïåðòóðîé, ïîäîáíûå çâåçäíîìó èíòåðôåðîìåòðó? 42. Êàê íóæíî âûáèðàòü îêóëÿð îïòè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ âèçóàëüíûõ íàáëþäåíèé, ÷òîáû ðåàëèçîâàòü ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü åå îáúåêòèâà? 43. Ïî÷åìó â òåëåñêîï çâåçäû âèäíû äíåì, êîãäà èõ íàáëþäåíèå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì íåâîçìîæíî? 44. Ñ êàêîé öåëüþ â ñèëüíûõ ìèêðîñêîïàõ ïðèìåíÿþò èììåðñèþ? 45. Êàê òåîðèÿ Àááå îáúÿñíÿåò çàâèñèìîñòü ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ìèêðîñêîïà îò ÷èñëîâîé àïåðòóðû îáúåêòèâà ïðè êîãåðåíòíîì îñâåùåíèè? 46. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêîãî ìèêðîñêîïà îáíàðóæèòü ÷àñòèöû, ðàçìåð êîòîðûõ ìåíüøå äëèíû ñâåòîâîé âîëíû? 47. Îáúÿñíèòå èäåþ ìåòîäà ôàçîâîãî êîíòðàñòà è ìåòîä ôèëüòðàöèè ïðîñòðàíñòâåííûõ ãàðìîíèê. 5
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Ñòåêëÿííûé øàð (n = 1,5) èìååò ðàäèóñ R = 4 ñì. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò öåíòðà øàðà äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 6 ñì îò ïîâåðõíîñòè øàðà. Îïðåäåëèòü ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå. Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ îïòè÷åñêîé ñèëû òîëñòîé ëèíçû, îãðàíè÷åííîé äâóìÿ ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè: d Ô = Ô1 + Ô2 – Ô1Ô2, n ãäå Ô1 è Ô2 – îïòè÷åñêèå ñèëû ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé, n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ìåæäó ïðåëîìëÿþùèìè ïîâåðõíîñòÿìè. n -1 1-n , Ô2 = = Ô 1, Ô1 = r -r Ô=2
n - 1 2r(n - 1) 2 2(n - 1) – . = 2 r rn nr
Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî 1 rn f = = = 15 , r. Ô 2(n - 1) Ïåðåäíåå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = –1/Ô. Çàäíåå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f¢ = 1/Ô, ïîñêîëüêó ñðåäà ïî îáå ñòîðîíû ëèíçû îäèíàêîâà. Ãëàâíûå ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèÿõ d Ô2 OH = = r, n Ô d Ô1 O¢H¢ = = -r n Ô îò âåðøèíû ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé O è O¢, ò. å. ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòð ëèíçû Ñ. Çíàÿ ðàñïîëîæåíèå êàðäèíàëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåãêî ðåøèì çàäà÷ó. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé f f¢ (1) + = 1, a1 a2 ãäå a1 è a2 – ðàññòîÿíèÿ, êîòîðûå îòñ÷èòûâàþòñÿ îò ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé (ðèñ. 1.1), èëè ôîðìóëîé Íüþòîíà (2) x1 × x 2 = f × f ¢, ãäå x1 è x2 îòñ÷èòûâàþòñÿ îò ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé. 6
F’
F C
O
O’
P x1
P’
F’
F à1
x2 a2
HH’
HH’
Ð è ñ. 1.1
 ýòîé çàäà÷å a1 = –10 ñì, x1 = –4 ñì. Ïîäñòàíîâêà äàííûõ â (1) è (2) äàåò a2 = 15 ñì, x2 = 9 ñì. Ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V = a2/a1 = 1,5. Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ãëàâíûõ, ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé è ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñèñòåìû äâóõ òîíêèõ ëèíç ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 5 ñì, f2 = –5 ñì, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà (ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â âîçäóõå, n = 1). Ðåøåíèå 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì, ñâÿçûâàþùèì ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñèñòåìû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ: D + f1¢ - f2 ff , f = 1 2 , xH = f1 D D D + f1¢ - f2 f ¢f ¢ , f ¢ = - 1 2 , xH¢ = f2¢ D D ãäå D = +10 ñì – ðàññòîÿíèå îò çàäíåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïåðâîé ëèíçû äî ïåðåäíåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè âòîðîé ëèíçû, à xH è xH¢ – ðàññòîÿíèÿ îò ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé. Ñîãëàñíî óñëîâèþ ïåðâàÿ ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, âòîðàÿ – ðàññåèâàþùàÿ. Ðàñïîëîæåíèå êàðäèíàëüíûõ ïëîñêîñòåé ëèíç ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.2. Ðàññòîÿíèå xH îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ïåðåäíåé ãëàâíîé ïëîñêîñòè ïåðâîé ëèíçû, xH¢ – îò çàäíåé ãëàâíîé ïëîñêîñòè âòîðîé ëèíçû. ÏîäH’
F H xH
A
F’ xH’
H1 H1’
F
H’
H
F’ A’
H2H2’
à
á Ð è ñ. 1.2 7
ñòàíîâêà äàííûõ çàäà÷è äàåò f = –2,5 ñì, f¢ = +2,5 ñì, xH = –5 ñì, xH¢ = –5 ñì, ò. å. ñèñòåìà ñîáèðàþùàÿ. Íà ðèñ. 1.2, á äàí ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèÿ äëÿ ýòîé ñèñòåìû ëèíç. 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ îïòè÷åñêîé ñèëû ñèñòåìû Ô = Ô1 + Ô2 – dÔ1Ô2, ãäå d – ðàññòîÿíèå ìåæäó ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè ëèíç: 1 1 1 1 1 10 10 Ô= (ñì–1), + -d = - = f1 f2 f1 f2 5 5 (-5)5 25 Ô1 (-1 5) = 10 25 = -5 (ñì), 10 Ô Ô (1 5) xH¢ = -d 1 = -10 25 = -5 (ñì). 10 Ô xH = d
Åñëè D = 0, òî | f | = ¥, | xH | = ¥, è ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ òåëåñêîïè÷åñêîé. Äëÿ ýòîãî â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ëèíçû íàäî ñäâèíóòü âïëîòíóþ. Ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå òåëåñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ ïðåäìåòà è ðàâíî V = f 2 / f1. Óãëîâîå óâåëè÷åíèå W = f1 /f2, VW = 1, ò. å. äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøèõ óãëîâûõ óâåëè÷åíèé îáúåêòèâ çðèòåëüíîé òðóáû äîëæåí áûòü äëèííîôîêóñíûì, îêóëÿð – êîðîòêîôîêóñíûì. Ïðèìåð 3. Âûâåñòè ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà Ôåðìà ôîðìóëó ïðåëîìëåíèÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R, ðàçäåëÿþùåé ñðåäû ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2 (ðèñ. 1.3). Ïðîâîäèì äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â S è S¢ è ðàäèóñàìè SO, S¢M = S¢B ñîîòâåòñòâåííî, ãäå S – òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, S¢ – åãî èçîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó Ôåðìà îïòè÷åñêèå äëèíû âñåõ ëó÷åé, âûøåäøèõ èç S è ñîáðàâøèõñÿ â S¢, îäèíàêîâû. M D h1
S
A
h2 O
F B
C
–a1
a2
Ð è ñ. 1.3 8
S’
Òîãäà îïòè÷åñêèå ïóòè (DM) è (OB) äîëæíû áûòü ðàâíû: n1DM = n2OB.
(3)
Äëÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé DM » AO + OC, OB = OC – BC, êðîìå òîãî h1 » h2 è óðàâíåíèå (3) çàïèøåì òàê: n1(AO + OC) = n2(OC – BC).
(4)
Ðàññìîòðèì DSAD: SD = SO, h12 = SD 2 - (SD - AO) 2 , h12 = SD 2 - SD 2 + 2SD × AO - AO 2 . Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ, ïðåíåáðåãàÿ ÀÎ2, ïîëó÷èì AO =
h12 . 2SD
(5)
 òîì æå ïðèáëèæåíèè èç DCMF: OC »
h 22 , 2MF
(6)
BC »
h 22 . 2MS ¢
(7)
à èç DCMS¢:
Ïîäñòàâëÿåì (5), (6) è (7) â (4): æ h2 æ h2 h 22 ö h 22 ö ÷ ÷ = n2 ç 1 n1 çç 1 + ç 2MF 2MS ¢ ÷. ÷ è ø è 2SD 2MF ø Ñîêðàùàåì íà
h2 è ïîëó÷àåì 2 1 ö 1 ö æ 1 æ 1 + n1 ç ÷ = n2 ç ÷. è SD MF ø è MF MS ¢ ø
Èç ðèñ. 1.3 (ñ ó÷åòîì ïðàâèëà çíàêîâ) âèäíî, ÷òî â ïàðàêñèàëüíîì ïðèáëèæåíèè SD = –a1, MF = R, MS¢ @ a2, ò. å. æ1 æ1 1ö 1 ö ÷÷ = n 2 çç ÷÷. n1 çç è R a1 ø è R a2 ø
(8)
9
æ1 1ö Âûðàæåíèå (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå nç - ÷ = q = const è a Rø è ïðè ïðåëîìëåíèè ñîõðàíÿåò ñâîþ âåëè÷èíó. Åãî íàçûâàþò íóëåâûì èíâàðèàíòîì Àááå. Ôîðìóëó (8) ÷àñòî èñïîëüçóþò â âèäå n2 n n - n1 , (9) - 1 = 2 a2 a1 R n 2 - n1 – îïòè÷åñêàÿ ñèëà. R Êàê âèäíî èç (9), äëÿ ïàðàêñèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âñå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå S¢, ò. å. ñîõðàíÿåòñÿ ãîìîöåíòðè÷íîñòü ïó÷êà è òî÷êà S¢ ÿâëÿåòñÿ ñòèãìàòè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S. Ïîëîæèâ â ôîðìóëå (9) a1 ® ¥, íàéäåì ìåñòî, ãäå ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñîáåðåòñÿ ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé: ãäå Ô =
a 2 = f2 =
n2 n2 R , = Ô n 2 - n1
a1 = f1 = -
n1 n1 R . =Ô n 2 - n1
à ïðè a2 ® ¥:
Âåëè÷èíû f1 è f2 ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè îòðåçêàìè äëÿ äàííîé ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè è íàçûâàþòñÿ ïåðåäíèì (f1) è çàäíèì (f2) ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû è äëÿ ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî â (9) ïîëîæèòü n2 = –n1.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ôîðìóëó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà: 1 1 2 + = . a2 a1 R Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå òàêîãî çåðêàëà f = R 2. Ñëó÷àè âîãíóòîãî è âûïóêëîãî çåðêàë îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì R. Äëÿ ïëîñêîãî çåðêàëà R ® ¥, è, ñëåäîâàòåëüíî, a2 = –a1, ò. å. èçîáðàæåíèå òî÷êè â ïëîñêîì çåðêàëå ìíèìîå è ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííîå. Ïðèìåð 4. Ôîòîìåòðèÿ. Ñèñòåìà Çåìëÿ – Ñîëíöå. Îäèí êâàäðàòíûé ìåòð çåìíîé ïîâåðõíîñòè, îñâåùàåìûé ñîëíöåì ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè èçëó÷åíèÿ, ïîëó÷àåò ïîòîê â 1,35 Âò, åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîãëîùåíèåì àòìîñôåðîé. Ðàññ÷èòàéòå: 10
1) ïîòîê, èñïóñêàåìûé 1 ì2 ñîëíå÷íîé ïîâåðõíîñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíà èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà (êàæóùèéñÿ óãëîâîé äèàìåòð Ñîëíöà, âèäèìûé ñ Çåìëè, 2a = 32¢); 2) ïîòåðþ ñîëíå÷íîé ìàññû â ñåêóíäó çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ, ñ÷èòàÿ ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíûì 5 ×107 êì; 3) ÿðêîñòü Çåìëè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ïîâåðõíîñòü Çåìëè ðàâíîìåðíî ðàññåèâàåò äîëþ r ïàäàþùåãî ïîòîêà èçëó÷åíèÿ; 4) àìïëèòóäó ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, îáóñëîâëåííûõ îáëó÷åíèåì. Ðåøåíèå. 1) Èçëó÷åíèå Ñîëíöà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, è åãî ÿðêîñòü L ïîñòîÿííà. Ïîòîê, èñïóñêàåìûé ýëåìåíòîì ñîëíå÷íîé ïîâåðõíîñòè dS â òåëåñíîì óãëå dW, îñü êîòîðîãî îáðàçóåò óãîë q ñ íîðìàëüþ ê dS, ðàâåí d2Ô = LdScos q dW.
(10)
Ïðèíèìàÿ çà dW òåëåñíûé óãîë, ëåæàùèé ìåæäó äâóìÿ êîíóñàìè ñ âåðøèíîé íà dS, îñüþ, íîðìàëüíîé ê dS, è àïåðòóðîé 2q, èìååì d2Ô = LdScos q2p sin qdq. Ïîòîê, èçëó÷àåìûé ýëåìåíòîì dS âî âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî, ðàâåí p 2
p 2
dÔ = pLdS ò 2 sin q cos qdq = pLdS ò 2 sin q d(sin q), 0
0
dÔ = pLdS[sin q] 2
p 2 0
= pLdS.
Îòíîøåíèå dÔ/dS = B – ñâåòèìîñòü, èëè èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü, ïîâåðõíîñòè. Äëÿ èçëó÷àòåëÿ, êîòîðûé ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, èìååì B = pL. (11) Çàìåòèì, ÷òî ñôåðà, êîòîðàÿ èçëó÷àåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà, ýêâèâàëåíòíà ïëîñêîìó äèñêó, ïîñêîëüêó ìíîæèòåëü cos q â (10) òî÷íî êîìïåíñèðóåò íàêëîí ïîâåðõíîñòè, îòñ÷èòûâàåìûé îò íîðìàëè. Èìåííî òàêèì îáðàçîì è âèäíî Ñîëíöå. Ïîòîê (10), èñïóñêàåìûé Ñîëíöåì è ïàäàþùèé ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè dS¢ Çåìëè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò Ñîëíöà, ìîæåò áûòü îïðåäåëåí êàê dS ¢ d 2 Ô = LdS 2 . r Ñîçäàâàåìàÿ îñâåùåííîñòü ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà d2Ô dS de = =L 2. ¢ dS r 11
Îñâåùåííîñòü e, ñîçäàâàåìàÿ ñîëíå÷íûì äèñêîì, êîòîðûé âèäåí S ïîä óãëîì 2 = pa 2 , ðàâíà e = Lpa 2 . r Òàêèì îáðàçîì, ñâåòèìîñòü Ñîëíöà èìååò âåëè÷èíó e 1,35 × 10 3 B = pL = 2 = = 5,8 × 10 2 (Âò/ì2). -4 2 a (16 × 3 × 10 ) 2) Èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìàññîé è ýíåðãèåé, çàïèøåì DW Dm = 2 , c ãäå c – ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñóììàðíóþ ìîùíîñòü, òåðÿåìóþ Ñîëíöåì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îíà ðàâíà ìîùíîñòè, ïîëó÷àåìîé åäèíè÷íîé ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè Çåìëè, óìíîæåííîé íà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñîì, ðàâíûì ðàññòîÿíèþ îò Çåìëè äî Ñîëíöà, ò. å. Ô = 1,35× 103 ×4×3,14 × (15)2 ×1020 = 3,815×1026 (Âò). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåðÿ ìàññû â ñåêóíäó ðàâíà Ô 3,815 × 10 26 Dm = 2 = = 4,24 × 10 9 (êã), (3 × 10 8 ) 2 c ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãîäîâîé ïîòåðå 1,4×1013 ò. Îäíàêî ìàññà Ñîëíöà ðàâíà 2×1027 ò. 3) Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Çåìëè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåò ïîòîê dÔ, âíîâü èçëó÷àåò â ïðîñòðàíñòâî ïîòîê dÔ¢ = rdÔ. Òàêèì îáðàçîì, ñâåòèìîñòü Çåìëè dÔ¢ dÔ B¢ = =r = re, dS ¢ dS ¢ ÿðêîñòü r L¢ = e. p 4) Ñðåäíÿÿ îñâåùåííîñòü, ñîçäàâàåìàÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé, ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîîòíîøåíèåì E2 e = e0 c m , 2 îòñþäà 2e 2 × 1,35 × 10 3 × 36 × 3,14 × 10 9 (12) = = 1018 , × 10 4 , E m2 = 8 e0 c 3 × 10 Em = 1010 (Â/ì). 12
Ìàãíèòíîå ïîëå âîëíû èìååò àìïëèòóäó Hm =
1 1010 Em = = 2,7 (À/ì). cm 0 3 × 10 8 × 1,26 × 10 -6
Ïðèìåð 5. Äèàïîçèòèâ ðàçìåðîì 5 ñì ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè 3 ì îò ýêðàíà. Êàêîâî äîëæíî áûòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû è ãäå åå ñëåäóåò ïîìåñòèòü, ÷òîáû äàâàåìîå ýòîé ëèíçîé èçîáðàæåíèå äèàïîçèòèâà íà ýêðàíå èìåëî ðàçìåð 100 ñì. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ìàòðè÷íûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è.  äàííîì ñëó÷àå ëó÷øå ïîëüçîâàòüñÿ èçìåðåíèÿìè îòðåçêîâ â ìåòðàõ. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ëèíçà áûëà òîíêîé è ïîëîæèòåëüíîé. Îïòè÷åñêóþ ñèëó ýòîé ëèíçû áóäåì èçìåðÿòü â îáðàòíûõ ìåòðàõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëèíçà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè õ îò ùåëè è (3 – õ) îò ýêðàíà (ðèñ. 1.4). Äëÿ âûáðàííîãî ïîëîæåíèÿ âõîäíîé (ÎÏ1) è âûõîäíîé (ÎÏ2) îïîðíûõ ïëîñêîñòåé ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö, ñîîòâåòñòâóþùåå öåïî÷êå ýëåìåíòîâ îò ýêðàíà äî ïðåäìåòà, çàïèøåòñÿ â âèäå é A B ù é1 3 - x ù é 1 0ù é1 x ù , M=ê ú =ê 1 úû êë-Ô 1úû êë0 1 úû ëC Dû ë0 I
ëèíçà
II
ãäå (I) è (II) – ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ íà ïðîìåæóòêàõ ëèíçà – ýêðàí è ëèíçà – ïðåäìåò ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö, ïîëíóþ ìàòðèöó ïðåîáðàçîâàíèÿ Ì ïðèâåäåì ê âèäó x ù é1 - 3Ô + xÔ x + (3 - x)(1 - Ôx)ù é1 3 - x ù é 1 M=ê ú. ú ê-Ô 1 - Ôx ú = ê 0 1 -Ô 1 - Ôx û û ë ûë ë ×òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïðåäìåò ñ åãî èçîáðàæåíèåì, âåðõíèé ïðàâûé ýëåìåíò  ìàòðèöû Ì äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ. Êðîìå òîãî, â äàííûõ óñëîâèÿõ âåëè÷èíà À = 1/D îïðåäåëÿåò óâåëè÷åíèå ñèñòåìû. ÎÏ1
3–x x
ÎÏ2
P
Äèàïîçèòèâ
Ýêðàí
3 ì
Ð è ñ. 1.4 13
Èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå äåéñòâèòåëüíîå, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îäíîé ëèíçû îíî äîëæíî áûòü ïåðåâåðíóòûì, òîãäà óâåëè÷åíèå íóæíî âçÿòü ñî çíàêîì «ìèíóñ», ò. å. –100/5 = –20. Ïîýòîìó â ïðèâåäåííîé ìàòðèöå ìîæíî çàïèñàòü 1 = -20, B = 0. D Òàê êàê D = 1 – Ôx = 1/20 = –0,05, òî èç ðàâåíñòâà B = 0 íàõîäèì A=
x + (3 – x)(1– Ôx) = x + (3 – x)(–0,05) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x=
0,15 » 0,15 (ì). 105 ,
Óðàâíåíèå äëÿ D ïðèìåò âèä 1 – 0,15Ô = –0,05. Ñëåäîâàòåëüíî, Ô=
105 , = 7 (ì–1). 0,15
Òàêèì îáðàçîì, ëèíçà äîëæíà èìåòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå 1 1 = = 0,143 (ì) Ô 7 è ðàñïîëàãàåòñÿ íà ðàññòîÿíèè 15 ñì îò äèàïîçèòèâà. f =
Çàäà÷è 1.1. Ñîñóä ñ ðòóòüþ ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w = 1 ñ–1. Ïîâåðõíîñòü ðòóòè ïðèíèìàåò âîãíóòóþ ôîðìó è èñïîëüçóåòñÿ êàê çåðêàëî. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ýòîãî çåðêàëà. 1.2. Äîêàçàòü ãåîìåòðè÷åñêè, ÷òî åñëè ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷êè À, ïîïàäàåò â òî÷êó  ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïëîñêîãî çåðêàëà, òî äëèíà ïóòè ýòîãî ëó÷à ìåíüøå, ÷åì äëèíà ëþáîãî äðóãîãî ïóòè, ïðîõîäÿùåãî îò À ê çåðêàëó, à çàòåì ê Â. 1.3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷êè À, ïîïàäàåò â òî÷êó  ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ïëîñêîé ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, òî îïòè÷åñêàÿ äëèíà ýòîãî ëó÷à ìåíüøå îïòè÷åñêîé äëèíû ëþáîãî ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî À è  (ïðèíöèï Ôåðìà). 1.4. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè óãëà ïàäåíèÿ j ëó÷, îòðàæåííûé îò ïîâåðõíîñòè âîäû, áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðåëîìëåííîìó ëó÷ó? 14
1.5. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f òîíêîé äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû, îãðàíè÷åííîé ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè ñ ðàäèóñàìè R1 = 25 ìì è R2 = 40 ìì; ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ëèíçû ï = 1,5. 1.6. Ñ ïîìîùüþ òîíêîé ñîáèðàþùåé ñòåêëÿííîé ëèíçû ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï = 3/2 ïîëó÷åíî äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà íà ðàññòîÿíèè 10 ñì îò ëèíçû. Ïîñëå òîãî êàê ïðåäìåò è ëèíçó, íå èçìåíÿÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, ïîãðóçèëè â âîäó, èçîáðàæåíèå ïîëó÷èëîñü íà ðàññòîÿíèè 60 ñì îò ëèíçû. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï¢ = 4/3. 1.7. Âûâåñòè ôîðìóëó ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà è ôîðìóëó òîíêîé ëèíçû èç ïðèíöèïà òàóòîõðîíèçìà. 1.8. Ïëîñêóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé 3 ìì ðàññìàòðèâàþò â ìèêðîñêîï. Ñíà÷àëà ìèêðîñêîï óñòàíàâëèâàþò äëÿ íàáëþäåíèÿ âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè, à çàòåì ñìåùàþò òóáóñ ìèêðîñêîïà âíèç äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò îò÷åòëèâî âèäíà íèæíÿÿ ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíêè (äëÿ óäîáñòâà íàáëþäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ïëàñòèíêè ñäåëàíû ìåòêè). Ñìåùåíèå òóáóñà îêàçàëîñü ðàâíûì 2 ìì. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè. 1.9. Ïðåäìåò ïîìåùåí íà ðàññòîÿíèè l1 = 15 ñì îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè. Íàáëþäàòåëü ðàññìàòðèâàåò åãî ÷åðåç ïëàñòèíêó, ïðè÷åì ëó÷ çðåíèÿ íîðìàëåí ê íåé. Òîëùèíà ïëàñòèíêè d = 4,5 ñì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ï = 1,5. Íàéòè ðàññòîÿíèå äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà l2 îò áëèæàéøåé ê íàáëþäàòåëþ ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè. 1.10. Ïîêàçàòü, ÷òî íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå d ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà â ïðèçìå ïðîèñõîäèò ïðè ñèììåòðè÷íîì õîäå ëó÷åé â ïðèçìå. Ñâÿçàòü óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï âåùåñòâà ïðèçìû è ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì À ïðèçìû (ðèñ. 1.5). 1.11. Äëÿ íåêîòîðîé ñòåêëÿííîé ïðèçìû óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ ëó÷à ðàâåí ïðåëîìëÿþùåìó óãëó ïðèçìû. Íàéòè ïîñëåäíèé. 1.12. Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ìîA æåò ìåíÿòüñÿ óãîë îòêëîíåíèÿ ëó÷à ïðè ïðîõîæäåíèè ñòåêëÿííîé ïðèçìû ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì q = 60î. d 1.13. Òðåõãðàííàÿ ïðèçìà ñ ïðåj j’ y y’ ëîìëÿþùèì óãëîì 60î äàåò óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ â âîçäóõå 37î. Êàêîé óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ äàñò ýòà ïðèçìà â âîäå? 1.14. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû èçìåíÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè îñè z ïî ëèÐ è ñ. 1.5 15
íåéíîìó çàêîíó n(z) = n0 (1 + az). Íàéòèrôîðìó ëó÷à â òàêîé ñðåäå z = z(x), åñëè â íà÷àëå êîîðäèíàò âåêòîð S íàïðàâëåí âäîëü îñè x. 1.15. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà â èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ìåäëåííî èçìåíÿþùèìñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ðàäèóñ êðèâèçíû r ëó÷à îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé 1/r = ¶(lnn)/¶N, ãäå ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ãëàâíîé íîðìàëè ê ëó÷ó. Ïîëó÷èòü ýòó ôîðìóëó, èìåÿ â âèäó, ÷òî â òàêîé ñðåäå ñïðàâåäëèâ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ nsin j = const, ãäå j – óãîë ìåæäó ëó÷îì è íàïðàâëåíèåì grad n â äàííîé òî÷êå. 1.16. Íàéòè ðàäèóñ êðèâèçíû ñâåòîâîãî ëó÷à, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ãäå ãðàäèåíò ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ¶n/¶N » 3 ×10–8 ì–1. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ýòîãî ãðàäèåíòà ëó÷ ñâåòà ðàñïðîñòðàíÿëñÿ áû ïî îêðóæíîñòè âîêðóã Çåìëè? 1.17. Âû÷èñëèòü óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d äëÿ ïðèçìû ñ î÷åíü ìàëûì ïðåëîìëÿþùèì óãëîì À ñ ó÷åòîì ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè (îòíîñèòåëüíî À). 1.18. ×åìó ðàâåí óãîë íàèìåíüøåãî îòêëîíåíèÿ d äëÿ ëèíèè D íàòðèÿ â ïðèçìå ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì 60o? Äëÿ ëèíèè D ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ïðèçìû n = 1,62. 1.19. Íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïîä óãëîì j ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ñâåòà øèðèíîé à (ðèñ. 1.6), ñîäåðæàùèé äâå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà äëÿ ýòèõ äëèí âîëí ðàçëè÷íû: ï1 è n2. Îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó hmin ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîé ñâåò, ïðîéäÿ ÷åðåç ïëàñòèíêó, áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â âèäå äâóõ îòäåëüíûõ ïó÷êîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ñïåêòðàëüíóþ êîìïîíåíòó. 1.20. Äëÿ îáðàùåíèÿ èçîáðàæåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìóþ ïðèçìó Äîâå (ðèñ. 1.7), ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé óñå÷åííóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ðàâíîáåäðåííóþ ïðèçìó. Îïðåäåëèòü äëèíó l îñíîâàíèÿ ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà h = 2,11 ñì, à ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ l1 l2
hmin
j
h
Ð è ñ. 1.6
16
a
Ð è ñ. 1.7
ñòåêëà ï = 1,41. Ïðèçìà äîëæíà îáðàùàòü ïó÷îê ñâåòà ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ. 1.21. Íà ñòåêëÿííûé êëèí ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ãðàíè ïàäàåò òîíêèé ëó÷ ñâåòà (ðèñ. 1.8). ÏîêàO a çàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ï = 1,41, óãîë a = 10o. Ñêîëüêî ñâåòëûõ ïÿòåí áóäåò âèäíî íà ýêðàíå Î, ïîñòàâëåííîì çà êëèíîì? 1.22. Ïåðåä òîðöîì ñòåêëÿííîãî öèëèíäðè÷åñÐ è ñ. 1.8 êîãî ñâåòîâîäà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî ðàâåí ï, íà åãî îñè ðàñïîëîæåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà. Íàéòè óãëîâóþ àïåðòóðó a ïó÷êà ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñâåòîâîä. 1.23. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ æèäêîñòüþ ïîñòàâëåí íà ìîíåòó, ðàññìàòðèâàåìóþ ñêâîçü áîêîâóþ ñòåíêó ñòàêàíà. Óêàçàòü íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ âåëè÷èíó ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ï æèäêîñòè, ïðè êîòîðîì ìîíåòà íå âèäíà. 1.24. Ñ êàêèì óãëîì a íóæíî âçÿòü òðàïåöåèäàëüíûé ñîñóä ñ âîäîé AÂÑD (ðèñ. 1.9), ÷òîáû ñêâîçü åãî áîêîâóþ ñòåíêó íå áûëî âèäíî ïðåäìåòà, ïîëîæåííîãî ïîä ñîñóä? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï = 1,33. Äíî ñîñóäà èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà. 1.25. ×åëîâåê, ñòîÿùèé íà áåðåãó ïðóäà, ñìîòðèò íà êàìåíü, íàõîäÿùèéñÿ íà äíå. Ãëóáèíà ïðóäà h = 1 ì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè h¢ îò ïîâåðõíîñòè âîäû ïîëó÷èòñÿ èçîáðàæåíèå êàìíÿ, åñëè ëó÷ çðåíèÿ ñîñòàâëÿåò ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè âîäû óãîë j = 60o? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï = 1,33. 1.26.  îïòè÷åñêîé ñèñòåìå, ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ çàäåðæêè âî âðåìåíè êîðîòêîãî ñâåòîâîãî èìïóëüñà, èñïîëüçóåòñÿ ìíîãîêðàòíîå îòðàæåíèå ñâåòà îò äâóõ âîãíóòûõ ñôåðè÷åñêèõ çåðêàë Ç1 (ðàäèóñ êðèâèçíû r1 = 10 ì) è Ç2 (ðàäèóñ êðèâèçíû r2 = 1 ì), ðàñïîëîæåííûõ íà ðàññòîÿíèè L = 5,5 ì äðóã îò äðóãà (ðèñ. 1.10).  öåíòðå çåðêàëà Ç1 èìååòñÿ îòâåðñòèå äèàìåòðîì d = 2 ìì. Íà ýòî çåðêàëî íà âûñîòå h = 15 ñì îò îñè ñèñòåìû ïàäàåò êîðîòêèé ñâåòîâîé èìïóëüñ â âèäå òîíêîãî ëó÷à, ïàðàëëåëüíîãî îñè. Îöåíèòü, ÷åðåç êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt ýòîò ëó÷ âûéäåò ÷åðåç îòâåðñòèå. D
A
h
d
Ç2 a C
B Ð è ñ. 1.9
L
Ç1
Ð è ñ. 1.10 17
1.27. Ýêñïåðèìåíòàòîð õî÷åò ïîëó÷èòü ôîòîãðàôèþ Ëóíû ðàçìåðîì 6 ´ 6 ñì2, èñïîëüçóÿ âìåñòî îáúåêòèâà ñèñòåìó ïëîñêèõ çåðêàë è âðàùàþùååñÿ âåäðî ñî ðòóòüþ. Âåäðî ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå äâèãàòåëåì ñî ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ âàëà ï = 600 îá/ìèí. Êàêîâî äîëæíî áûòü îòíîøåíèå äèàìåòðîâ øêèâîâ âàëà íà îñè äâèãàòåëÿ è íà îñè âåäðà? Äèàìåòð Ëóíû – 3476 êì, ðàññòîÿíèå îò Ëóíû äî Çåìëè – 384 000 êì. 1.28. Ïðåäìåò ïîìåùåí íà îñè âîãíóòîãî çåðêàëà äàëüøå åãî ôîêóñà. Ìåæäó ôîêóñîì è çåðêàëîì ïîìåùåíà ïëîñêîïàðàëëåëüíàÿ ñòåêëÿííàÿ ïëàñòèíêà òîëùèíîé d ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï òàê, ÷òî îñü çåðêàëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëàñòèíêå. Ïîêàçàòü, ÷òî ââåäåíèå ïëàñòèíêè ñìåùàåò èçîáðàæåíèå òàê æå, êàê ïåðåìåùåíèå çåðêàëà íà ðàññòîÿíèå d(ï – 1)/ï ïî íàïðàâëåíèþ ê ïðåäìåòó. 1.29. Ñòåêëÿííûé òîíêîñòåííûé øàð íàïîëíåí âîäîé (n = 4/3). Íàáëþäàòåëü ñìîòðèò âäîëü äèàìåòðà íà êðóïèíêó, ïåðåìåùàþùóþñÿ âäîëü ýòîãî äèàìåòðà. Êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ êðóïèíêè, åñëè îíà îò óäàëåííîãî ïî îòíîøåíèþ ê íàáëþäàòåëþ êîíöà äèàìåòðà ïåðåìåùàåòñÿ ê áëèæíåìó êîíöó? 2R = 10 ñì. 1.30. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå âîãíóòîãî çåðêàëà, åñëè: à) ïðè ðàññòîÿíèè ìåæäó ïðåäìåòîì è èçîáðàæåíèåì l = 15 ñì ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V = –2,0; á) ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ïðåäìåòà ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V1 = –0,50, à ïðè äðóãîì ïîëîæåíèè, ñìåùåííîì îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî íà ðàññòîÿíèå l = 5 ñì, ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå V2 = –0,25. 1.31. Ïåðåä âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ ñòåêëÿííîé âûïóêëî-ïëîñêîé ëèíçû òîëùèíû d = 9,0 ñì íàõîäèòñÿ ïðåäìåò. Èçîáðàæåíèå ýòîãî ïðåäìåòà îáðàçóåòñÿ íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû, êîòîðàÿ ñëóæèò ýêðàíîì. Îïðåäåëèòü: à) ïîïåðå÷íîå óâåëè÷åíèå, åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 2,5 ñì; á) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ, åñëè ÿðêîñòü ïðåäìåòà B = 7700 êä/ì2, äèàìåòð âõîäíîãî îòâåðñòèÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû D = 5,0 ìì, ïîòåðè ñâåòà ïðåíåáðåæèìî ìàëû. 1.32. Èñòî÷íèê ñâåòà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè l = 90 ñì îò ýêðàíà. Òîíêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó èñòî÷íèêîì ñâåòà è ýêðàíîì, äàåò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, åñëè: à) ðàññòîÿíèå ìåæäó îáîèìè ïîëîæåíèÿìè ëèíçû Dl = 30 ñì; á) ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû èçîáðàæåíèÿ ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ëèíçû â h = 4,0 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïðè äðóãîì. 1.33. Ìåæäó ïðåäìåòîì è ýêðàíîì, ïîëîæåíèÿ êîòîðûõ íåèçìåííû, ïîìåùàþò òîíêóþ ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Ïåðåìåùåíèåì ëèíçû íàõîäÿò äâà ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðûõ íà ýêðàíå îáðàçóåòñÿ ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà. Íàéòè ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïðåäìåòà, åñëè ïðè îäíîì ïîëîæåíèè ëèíçû ðàçìåð èçîáðàæåíèÿ h1 = 2,0 ìì, à ïðè äðóãîì h2 = 4,5 ìì. 18
1.34. Èìåþòñÿ äâå òîíêèå ñèììåòðè÷íûå ëèíçû: îäíà ñîáèðàþùàÿ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 = 1,70, äðóãàÿ ðàññåèâàþùàÿ ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n2 = 1,51. Îáå ëèíçû èìåþò îäèíàêîâûé ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé R = 10 ñì. Ëèíçû ñëîæèëè âïëîòíóþ è ïîãðóçèëè â âîäó. Êàêîâî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñèñòåìû â âîäå? 1.35. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå âîãíóòîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêóþ ñèììåòðè÷íóþ äâîÿêîâûïóêëóþ ñòåêëÿííóþ ëèíçó ñ îäíîé ïîñåðåáðåííîé ïîâåðõíîñòüþ. Ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ëèíçû R = 40 ñì. 1.36. Íàéòè îïòè÷åñêóþ ñèëó è ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ: à) òîíêîé ñòåêëÿííîé ëèíçû â æèäêîñòè ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n0 = 1,7, åñëè åå îïòè÷åñêàÿ ñèëà â âîçäóõå Ô0 = –5,0 äïòð; á) òîíêîé ñèììåòðè÷íîé äâîÿêîâûïóêëîé ñòåêëÿííîé ëèíçû, ñ îäíîé ñòîðîíû êîòîðîé íàõîäèòñÿ âîçäóõ, ñ äðóãîé – âîäà, åñëè îïòè÷åñêàÿ ñèëà ýòîé ëèíçû â âîçäóõå Ô0 = +10 äïòð. 1.37. Ìàòîâîå ñòåêëî ôîòîãðàôè÷åñêîãî àïïàðàòà óñòàíîâëåíî òàê, ÷òî ðåçêèì âûõîäèò èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ì. Äî êàêîãî äèàìåòðà D íóæíî çàäèàôðàãìèðîâàòü îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 20 ñì, ÷òîáû íå áûëî çàìåòíîé íåðåçêîñòè â èçîáðàæåíèè ïðåäìåòîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà 0,5 ì áëèæå ñíèìàåìîãî? (Íåðåçêîñòü ñ÷èòàòü íåçàìåòíîé, åñëè ðàçìûòîñòü äåòàëåé íå ïðåâûøàåò 0,1 ìì.) 1.38. Ïðè ôîòîãðàôèðîâàíèè íà ïëåíêå èç-çà êîíå÷íîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ïîëó÷àþòñÿ ðåçêî èçîáðàæåííûìè íå òîëüêî òå ïðåäìåòû, íà êîòîðûå ñôîêóñèðîâàí îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà, íî òàêæå è ïðåäìåòû, íàõîäÿùèåñÿ íåñêîëüêî áëèæå è íåñêîëüêî äàëüøå ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè íàâåäåíèè îáúåêòèâà ôîòîàïïàðàòà íà ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè L0 = 10 ì, áëèæíÿÿ ãðàíèöà ãëóáèíû ðåçêîñòè ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè L1 = 7,8 ì. Îïðåäåëèòü äàëüíþþ ãðàíèöó L2. 1.39. Êàê ñìåñòèòñÿ ôîêóñ ôîòîàïïàðàòà, åñëè âíóòðü àïïàðàòà íà ïóòè ëó÷åé (ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè) ïîìåñòèòü ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé d = 6 ìì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï = 1,5? (Îáúåêòèâ ñèëüíî çàäèàôðàãìèðîâàí.) 1.40. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ëèíçà íàõîäèòñÿ ïåðåä ãëàçîì è äâèæåòñÿ â ñòîðîíó, òî íàáëþäàòåëþ êàæåòñÿ, ÷òî ïðåäìåò, ðàññìàòðèâàåìûé ÷åðåç ëèíçó, äâèæåòñÿ â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ëèíçà, åñëè ëèíçà ðàññåèâàþùàÿ, è â ïðîòèâîïîëîæíóþ, åñëè ëèíçà ñîáèðàþùàÿ. Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè ñîáèðàþùàÿ ëèíçà èñïîëüçóåòñÿ êàê ëóïà (ïðåäìåò ïîìåùàåòñÿ ìåæäó ôîêóñîì è ëèíçîé), òî ïîëó÷àåòñÿ ïðÿìîå èçîáðàæåíèå. Åñëè æå, îòîäâèíóâ ñîáèðàþùóþ ëèíçó äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ãëàçà, ðàññìàòðèâàòü ÷åðåç íåå óäàëåííûå ïðåäìåòû, òî ïîëó÷àþòñÿ èõ îáðàòíûå èçîáðàæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ñìåùåíèè ëèíçû â ñòîðîíó èçîáðàæåíèå ñìåùàåòñÿ â òó æå ñòîðîíó. 19
1.41. Ïîêàçàòü, ÷òî íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ îïòè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè îòíîñèòåëüíî ñîáèðàþùåé ëèíçû òî÷êàìè ðàâíî 4f, ãäå f – ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû. 1.42. Ñîáèðàþùàÿ ëèíçà äàåò èçîáðàæåíèå íåêîòîðîãî îáúåêòà íà ýêðàíå. Âûñîòà èçîáðàæåíèÿ ðàâíà h1. Îñòàâëÿÿ íåïîäâèæíûì ýêðàí è îáúåêò, íà÷èíàþò äâèãàòü ëèíçó ê ýêðàíó è íàõîäÿò, ÷òî ïðè âòîðîì ÷åòêîì èçîáðàæåíèè îáúåêòà âûñîòà èçîáðàæåíèÿ ðàâíà h2. Íàéòè äåéñòâèòåëüíóþ âûñîòó ïðåäìåòà h. 1.43. Ðàññòîÿíèå îò ëàìïî÷êè äî ýêðàíà L = 50 ñì. Ëèíçà, ïîìåùåííàÿ ìåæäó íèìè, äàåò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ëàìïû íà ýêðàíå ïðè äâóõ ïîëîæåíèÿõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè l = 10 ñì. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû. 1.44. Ó äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ëèíçû ïîñåðåáðåíà îäíà èç ïîâåðõíîñòåé. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ïîëó÷åííîãî òàêèì îáðàçîì çåðêàëà. Ðàäèóñ êðèâèçíû ÷èñòîé ïîâåðõíîñòè ðàâåí R1, ðàäèóñ êðèâèçíû ïîñåðåáðåííîé ïîâåðõíîñòè R2, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû ï. 1.45. Äâå îäèíàêîâûå ïëîñêîâûïóêëûå òîíêèå ëèíçû ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ï ïîñåðåáðåíû: îäíà ñ ïëîñêîé ñòîðîíû, äðóãàÿ ñ âûïóêëîé. Íàéòè îòíîøåíèå ôîêóñíûõ ðàññòîÿíèé f1 è f2 ïîëó÷åííûõ ñëîæíûõ çåðêàë, åñëè ñâåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïàäàåò ñ íåïîñåðåáðåííîé ñòîðîíû. 1.46. Ôîòîãðàôè÷åñêèì àïïàðàòîì, îáúåêòèâ êîòîðîãî èìååò ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå, ìåíÿþùååñÿ îò 12 äî 20 ñì, òðåáóåòñÿ ñôîòîãðàôèðîâàòü ïðåäìåò, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè 15 ñì îò îáúåêòèâà. Êàêóþ ëèíçó íóæíî äîáàâèòü ê îáúåêòèâó, ÷òîáû èçîáðàæåíèå âûøëî ðåçêèì ïðè ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîì ôîêóñíîì ðàññòîÿíèè? 1.47. Äâå òîíêèå ëèíçû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 è f2 íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà, îáðàçóÿ öåíòðèðîâàííóþ ñèñòåìó. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ýòîé ñèñòåìû, à òàêæå ïîëîæåíèÿ åå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé. 1.48. Ñèñòåìó äâóõ òîíêèõ ëèíç, îïèñàííóþ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, òðåáóåòñÿ çàìåíèòü îäíîé «ýêâèâàëåíòíîé» òîíêîé ëèíçîé, êîòîðàÿ ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè îáúåêòà äàâàëà áû òàêîå æå ïî âåëè÷èíå èçîáðàæåíèå åãî, êàê è îïèñàííàÿ ñèñòåìà äâóõ ëèíç. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå è ïîëîæåíèå «ýêâèâàëåíòíîé» ëèíçû. 1.49. Ñ îäíîé ñòîðîíû äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ëèíçû, ñäåëàííîé èç ñòåêëà (ï = 1,52), íàõîäèòñÿ âîäà (ï¢ = 1,33), ñ äðóãîé – âîçäóõ. Íàéòè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ è ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé, óçëîâûõ òî÷åê ñèñòåìû. 1.50. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà çðèòåëüíîé òðóáû f1 = = 60 ñì, à îêóëÿðà f2 = 4 ñì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà îáúåêòèâà è îêóëÿðà ï = 3/2. Òðóáà ïîãðóæàåòñÿ â âîäó, çàïîëíÿþùóþ åå âíóòðåííþþ ÷àñòü. Êàêèì îáúåêòèâîì èç ñòåêëà òîãî æå ñîðòà ñëåäó20
åò çàìåíèòü îáúåêòèâ òðóáû, ÷òîáû â íåå ìîæíî áûëî ðàññìàòðèâàòü óäàëåííûå ïðåäìåòû â âîäå? ×åìó áóäåò ïðè ýòîì ðàâíî óâåëè÷åíèå òðóáû, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû ï¢ = 4/3? 1.51. ×åëîâåê ñ íîðìàëüíûì çðåíèåì ðàññìàòðèâàåò óäàëåííûé ïðåäìåò ñ ïîìîùüþ çðèòåëüíîé òðóáû Ãàëèëåÿ.  êà÷åñòâå îáúåêòèâà è îêóëÿðà èñïîëüçóþòñÿ ëèíçû ñ ôîêóñíûìè ðàññòîÿíèÿìè f1 = 40 ñì è f2 = –2 ñì. Ïðè êàêèõ ðàññòîÿíèÿõ L ìåæäó îáúåêòèâîì è îêóëÿðîì íàáëþäàòåëü óâèäèò ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, åñëè ãëàç ìîæåò àêêîìîäèðîâàòüñÿ îò 10 ñì äî áåñêîíå÷íîñòè? 1.52. Ãàëèëååâà òðóáà 9-êðàòíîãî óâåëè÷åíèÿ èìååò äëèíó 40 ñì. Ïîñëå òîãî êàê îáúåêòèâ è îêóëÿð òðóáû çàìåíèëè ñîáèðàþùèìè ëèíçàìè, òðóáà ñòàëà äàâàòü òî æå óâåëè÷åíèå. Îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f¢1 è f¢2 ýòèõ ëèíç, à òàêæå ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f1 è f2 îáúåêòèâà è îêóëÿðà ãàëèëååâîé òðóáû. 1.53. Çðèòåëüíàÿ òðóáà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì îáúåêòèâà f = 50 ñì óñòàíîâëåíà íà áåñêîíå÷íîñòü. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå Dl íàäî ïåðåäâèíóòü îêóëÿð òðóáû, ÷òîáû ÿñíî âèäåòü ïðåäìåòû íà ðàññòîÿíèè 50 ì? 1.54. Íàéòè óâåëè÷åíèå çðèòåëüíîé òðóáû êåïëåðîâñêîãî òèïà, óñòàíîâëåííîé íà áåñêîíå÷íîñòü, åñëè D – äèàìåòð îïðàâû îáúåêòèâà, à d – äèàìåòð èçîáðàæåíèÿ ýòîé îïðàâû, îáðàçóåìîãî îêóëÿðîì òðóáû. 1.55. Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòîâîãî ïîòîêà ÷åðåç çðèòåëüíóþ òðóáó åãî èíòåíñèâíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ â h = 4,0 × 104 ðàç. Íàéòè óãëîâîé ðàçìåð óäàëåííîãî ïðåäìåòà, åñëè ïðè íàáëþäåíèè â ýòó òðóáó óãëîâîé ðàçìåð åãî èçîáðàæåíèÿ Y¢ = 2,0î. 1.56. Íà ñèñòåìó ëèíç, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1.11, ïàäàåò ñëåâà ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà. Íàéòè ïîëîæåíèå òî÷êè ñõîæäåíèÿ ýòîãî ïó÷êà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñèñòåìû. 1.57. Íàéòè èçîáðàæåíèå òî÷êè, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ñì ñëåâà îò êðàéíåé ëåâîé ëèíçû ñèñòåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.12. 1.58. Ìèêðîñêîï èìååò îáúåêòèâ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1 = 1 ñì è îêóëÿð ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f2 = 3 ñì, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè d = 20 ñì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè l1 äîëæåí íàõîäèòüñÿ 15 ñì
f = +10
5 ñì
f = –20 Ð è ñ. 1.11
f = +9
62 3 ñì 5 ñì
f = –5
f = +5
10 ñì
f = –5
f = +5
Ð è ñ. 1.12
21
îáúåêò, ÷òîáû îêîí÷àòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïîëó÷èëîñü íà ðàññòîÿíèè l2 = 25 ñì îò ãëàçà (ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ÿñíîãî çðåíèÿ)? Êàêîå ïîëó÷èòñÿ ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå a? 1.59. Íàéòè ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé, ôîêóñîâ è óçëîâûõ òî÷åê äâîÿêîâûïóêëîé òîíêîé ñèììåòðè÷íîé ñòåêëÿííîé ëèíçû ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé R = 7,50 ñì, åñëè ñ îäíîé åå ñòîðîíû íàõîäèòñÿ âîçäóõ, à ñ äðóãîé – âîäà. 1.60. Ðàññ÷èòàòü ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé è ôîêóñîâ âûïóêëî-âîãíóòîé òîëñòîé ñòåêëÿííîé ëèíçû, åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè R1 = 10,0 ñì, âîãíóòîé R2 = 5,0 ñì è òîëùèíà ëèíçû d = 3,0 ñì. 1.61. Íàéòè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé òîëñòîé ëèíçû, èìåþùåé ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R. Îïðåäåëèòü ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ f è f ¢ è ïîëîæåíèÿ ôîêàëüíûõ òî÷åê òàêîé ëèíçû, êîãäà îíà ñäåëàíà: èç âîäû (n = 4/3), èç ñòåêëà (nñò = 3/2). Ïðè êàêîì ïîêàçàòåëå ïðåëîìëåíèÿ ôîêàëüíûå òî÷êè íå âûéäóò íàðóæó? 1.62. Ðàäèóñ ñòåêëÿííîãî (ï = 1,5) øàðà R = 4 ñì. Íàéòè ðàññòîÿíèå x¢ îò öåíòðà øàðà äî èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîòîðûé ðàñïîëîæåí â 6 ñì îò ïîâåðõíîñòè øàðà. Íàéòè óâåëè÷åíèå èçîáðàæåíèÿ. 1.63. Ðàäèóñ êðèâèçíû ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñòåêëÿííîé (n = 1,52) ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû R = 26 ñì, òîëùèíà ëèíçû 3,04 ñì. Âû÷èñëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f ëèíçû è íàéòè ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ îáúåêòà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè 75 ñì îò áëèæàéøåé ïîâåðõíîñòè ëèíçû è ðàñïîëîæåííîãî ñî ñòîðîíû: 1) âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè; 2) ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè. 1.64. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f è ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé äâîÿêîâûïóêëîé òîëñòîé ëèíçû, äëÿ êîòîðîé n = 1,5, R1 = 10 ñì, R2 = 4 ñì, d = 2 ñì. 1.65. Îïðåäåëèòü ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé, ôîêàëüíûõ òî÷åê è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñèñòåìû äâóõ òîíêèõ ëèíç, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.13. 1.66. Íàéòè ñ ïîìîùüþ êðèâîé îòíîñèòåëüíîé ñïåêòðàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ãëàçà: à) ïîòîê ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèé ñâåòîâîìó ïîòîêó 1,0 ëì c äëèíîé âîëíû 0,51 è 0,64 ìêì; 10 ñì á) ñâåòîâîé ïîòîê, ïðèõîäÿùèéñÿ íà èíòåðâàë äëèí âîëí îò 0,58 äî 0,63 ìêì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòîê ýíåðãèè Ôý = 4,5 ìÂò, ïðè÷åì ïîñëåäíèé ðàñïðåäåëåí ðàâíîìåðíî ïî âñåì äëèíàì âîëí ýòîãî èíòåðâàëà. Ñ÷èòàòü, ÷òî â äàííîì ñïåêòðàëüíîì èíòåðâàëå ôóíêöèÿ V(l) ëèíåéíà. f = +5 f = –5 1.67. Òî÷å÷íûé èçîòðîïíûé èñòî÷íèê èñïóñêàÐ è ñ. 1.13 åò ñâåòîâîé ïîòîê Ô = 10 ëì ñ äëèíîé âîëíû 22
l = 0,59 ìêì. Íàéòè àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ýòîãî ñâåòîâîãî ïîòîêà íà ðàññòîÿíèè r = = 1,0 ì îò èñòî÷íèêà. 1.68. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å ïëîùàäêè, åñëè èñòî÷íèêîì ñâåòà ñëóæèò áåñêîíå÷íàÿ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ ýòîé ïëîùàäêå, ïðè÷åì ïîâåðõíîñòíàÿ ÿðêîñòü èñòî÷íèêà  âñþäó îäèíàêîâà è íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ? 1.69. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîùàäêå, îñâåùàåìîé íåáåñíîé ïîëóñôåðîé, åñëè ñ÷èòàòü ÿðêîñòü íåáà ïîâñþäó ðàâíîìåðíîé è ðàâíîé Â? 1.70. Êàêóþ îñâåùåííîñòü Å ñëåäóåò ñîçäàòü íà áåëîì ëèñòå áóìàãè ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ k = 0,85, ÷òîáû åãî ÿðêîñòü áûëà  = 3·104 êä/ì2? Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî áóìàãà ðàññåèâàåò ñâåò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. 1.71. Íà âûñîòå h = 1,0 ì íàä öåíòðîì êðóãëîãî ñòîëà ðàäèóñîì R = 1,0 ì ïîäâåøåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê, ñèëà ñâåòà êîòîðîãî I òàê çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ, ÷òî îñâåùåííîñòü âñåõ òî÷åê ñòîëà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîé. Íàéòè âèä ôóíêöèè I(q), ãäå q – óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì èçëó÷åíèÿ è âåðòèêàëüþ, à òàêæå ñâåòîâîé ïîòîê, ïàäàþùèé íà ñòîë, åñëè I(0) = I0 = 100 êä. 1.72. Âåðòèêàëüíûé ëó÷ ïðîæåêòîðà îñâåùàåò öåíòð ïîòîëêà êðóãëîé êîìíàòû ðàäèóñîì R = 2,0 ì. Ïðè ýòîì íà ïîòîëêå îáðàçóåòñÿ íåáîëüøîé çàé÷èê ïëîùàäüþ S = 100 ñì2. Îñâåùåííîñòü çàé÷èêà E = 1000 ëê. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ïîòîëêà r = 0,80. Íàéòè íàèáîëüøóþ îñâåùåííîñòü ñòåíû, ñîçäàâàåìóþ ñâåòîì, îòðàæåííûì îò ïîòîëêà. Ñ÷èòàòü, ÷òî îòðàæåíèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó Ëàìáåðòà. 1.73. Íàä ñòîëîì íàõîäèòñÿ ñâåòèëüíèê, èìåþùèé âèä ðàâíîìåðíî ñâåòÿùåéñÿ ñôåðû ðàäèóñîì R = 25 ñì. Ðàññòîÿíèå îò íåãî äî ïîâåðõíîñòè ñòîëà h = 75 ñì. Îñâåùåííîñòü ñòîëà ïîä öåíòðîì ñâåòèëüíèêà E0 = 70 ëê. Íàéòè ñâåòèìîñòü ýòîãî èñòî÷íèêà, ñ÷èòàÿ åãî ëàìáåðòîâñêèì. 1.74. Îñâåùåííîñòü, ïîëó÷àåìàÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè, ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî Å0 = 105 ëê. Êàêîâà îñâåùåííîñòü Å èçîáðàæåíèÿ Ñîëíöà, äàâàåìîãî ñâîáîäíîé îò àáåððàöèé ëèíçîé ñ äèàìåòðîì D = 5 ñì è ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 10 ñì? Óãëîâîé äèàìåòð Ñîëíöà a = 30¢. 1.75. Îñâåùåííîñòü, ïîëó÷àåìàÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè, îêîëî Å = 105 ëê. Ñ÷èòàÿ, ÷òî èçëó÷åíèå Ñîëíöà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ëàìáåðòà, è ïðåíåáðåãàÿ ïîãëîùåíèåì ñâåòà â àòìîñôåðå, îïðåäåëèòü ÿðêîñòü Ñîëíöà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ðàäèóñ çåìíîé îðáèòû R = 1,5·108 êì, à äèàìåòð Ñîëíöà D = 1,4·106 êì. 23
1.76. Íàéòè îñâåùåííîñòü ïîâåðõíîñòè Çåìëè ó ýêâàòîðà ñâåòîì, îòðàæåííûì Ëóíîé â ïîëíî÷ü â ïîëíîëóíèå. Ñ÷èòàòü, ÷òî Ñîëíöå ÿâëÿåòñÿ ëàìáåðòîâûì èñòî÷íèêîì ñâåòà, à Ëóíà – ëàìáåðòîâûì îòðàæàòåëåì. ßðêîñòü Ñîëíöà ÂÑ = 1,5·109 êä/ì2, ðàäèóñ Ñîëíöà RÑ = 7·108 ì, ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî Çåìëè (è Ëóíû) R0 = 1,5·1011 ì, ðàññòîÿíèå îò Ëóíû äî Çåìëè R1 = 3,8·108 ì, âèäèìûé ðàäèóñ Ëóíû Rë = 1,7·106 ì. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ëóííîé ïîâåðõíîñòè k = 7 %. 1.77. Ñïåêòðîãðàô èìååò îáúåêòèâ êîëëèìàòîðà äèàìåòðîì D ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1 è îáúåêòèâ êàìåðû òîãî æå äèàìåòðà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f2. Èñòî÷íèê ñ ÿðêîñòüþ  ðåçêî îòîáðàæàåòñÿ íà âõîäíóþ ùåëü ñïåêòðîãðàôà ñ ïîìîùüþ êîíäåíñîðà îäèí ðàç ñ óâåëè÷åíèåì (ðàññòîÿíèå îò êîíäåíñîðà äî ùåëè ðàâíî L), äðóãîé ðàç ñ óìåíüøåíèåì. Êàêîâ äîëæåí áûòü äèàìåòð êîíäåíñîðà Dê, ÷òîáû â îáîèõ åãî ïîëîæåíèÿõ îñâåùåííîñòü íà ôîòîïëàñòèíêå áûëà îäèíàêîâîé? ×åìó ðàâíà îñâåùåííîñòü E â ýòîì ñëó÷àå, åñëè ïðåíåáðå÷ü ïîòåðÿìè íà îòðàæåíèå è ïîãëîùåíèå? 1.78. Òåïëîâîé ôîòîïðèåìíèê (ðèñ. 1.14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóþ êàìåðó ñ ïëîùàäüþ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè S = 2 ñì2, èìåþùóþ íåáîëüøîå îòâåðñòèå ïëîùàäüþ S1 = 1 ìì2. Âíóòðåííÿÿ ïîâåðõíîñòü êàìåðû ïîãëîùàåò íåçíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ñâåòà (êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ k = 0,01), à îñòàëüíóþ ÷àñòü ðàññåèâàåò.  ýòèõ óñëîâèÿõ âíóòðè ïîëîñòè ñîçäàÐ è ñ. 1.14 åòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì èçëó÷åíèå. Êàêàÿ ÷àñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà Ô/Ô0 (Ô0 – ñâåòîâîé ïîòîê, ïîïàäàþùèé íà âõîäíîå îòâåðñòèå êàìåðû) âûõîäèò ÷åðåç îòâåðñòèå îáðàòíî? 1.79. Êàêóþ ìîùíîñòü äîëæíà èìåòü ëàìïà â îñâåòèòåëå ìèêðîñêîïà äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðîèçâîäèòü êèíîñúåìêó ìèêðîîáúåêòîâ â âîçäóõå ñ ÷àñòîòîé êàäðîâ n = 104 Ãö? Îáúåêòèâ ìèêðîñêîïà èìååò óâåëè÷åíèå k1 = 20 è àïåðòóðó à = 0,4, îêóëÿð – óâåëè÷åíèå k2 = 8. Êîýôôèöèåíò ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè â àêòèâíûé äëÿ ôîòîñëîÿ ñâåò â ëàìïå íàêàëèâàíèÿ h = 2,5 %. Òåëî ñâå÷åíèÿ ëàìïû èìååò ðàçìåðû S = 2 ´ 5 ìì. ×óâñòâèòåëüíîñòü ôîòîñëîÿ H = 20 ñì2/ýðã (ò. å. 1 ýðã ñâåòîâîé ýíåðãèè íà ïëîùàäè 20 ñì2 äàåò íîðìàëüíóþ ïëîòíîñòü ïî÷åðíåíèÿ). Ïðîïóñêàþùàÿ ñïîñîáíîñòü îáúåêòà c = 40 %. Ïîòåðÿìè ñâåòà â ëèíçàõ ïðåíåáðå÷ü. 1.80. Äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå, ñôîðìèðîâàííîå ñîáèðàþùåé ëèíçîé, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñíà÷àëà íåïîñðåäñòâåííî, à çàòåì íà áåëîì ýêðàíå. Êàê çàâèñèò â îáîèõ ñëó÷àÿõ ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ îò äèàìåòðà ëèíçû? 24
1.81. Íàéòè ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ Ëóíû, íàáëþäàåìîé â òåëåñêîï ñ îáúåêòèâîì äèàìåòðîì 75 ìì, ïðè: 1) 20-êðàòíîì, 2) 25-êðàòíîì, 3) 50-êðàòíîì óâåëè÷åíèÿõ. ßðêîñòü Ëóíû, âèäèìîé íåâîîðóæåííûì ãëàçîì, ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ñ÷èòàòü ðàâíûì 3 ìì. 1.82. Êàê èçâåñòíî, ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ â îïòè÷åñêîé ñèñòåìå íå çàâèñèò îò åãî óâåëè÷åíèÿ. Ïî÷åìó æå ïðè íàáëþäåíèè â ìèêðîñêîï èçîáðàæåíèå êàæåòñÿ ìåíåå ÿðêèì, åñëè ïðèìåíèòü áîëüøåå óâåëè÷åíèå? Íàéòè: 1) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ â ìèêðîñêîïå ñ ÷èñëîâîé àïåðòóðîé 1 (ñóõàÿ ñèñòåìà) è óâåëè÷åíèåì 625; 2) îñâåùåííîñòü èçîáðàæåíèÿ â ìèêðîñêîïå ñ ÷èñëîâîé àïåðòóðîé 1,5 (èììåðñèÿ ñ ï = 1,5) è óâåëè÷åíèåì 1500. Îñâåùåííîñòü îáúåêòà ïðèíÿòü çà åäèíèöó. Ðàññòîÿíèå ÿñíîãî çðåíèÿ ðàâíî 25 ñì, äèàìåòð çðà÷êà ãëàçà ñ÷èòàòü ðàâíûì 2 ìì. Ïîòåðÿìè ñâåòà â ìèêðîñêîïå ïðåíåáðå÷ü.
Òåìà2 ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ. ÍÅÌÎÍÎÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. Êàêèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çàêîíû ýëåêòðîìàãíåòèçìà ëåæàò â îñíîâå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà? 2. Êàêîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò dE/dt â óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà ñ2 rot B – dE/dt = j/e0? 1 && 3. Ýêâèâàëåíòíû ëè âîëíîâûå óðàâíåíèÿ Ñ 2 E - 2 E =0 è c 1 && & Ñ 2B - 2 B = 0 ñèñòåìå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ÑE = 0, c2Ñ ´ B = E, c & èç êîòîðîé îíè âûâåäåíû? ÑB = 0, Ñ ´ E = –B, 4. Îòêóäà ñëåäóåò âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ÝÌÂ)? 5. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âûâåäèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà ÝÌÂ. 6. Êàê èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà íàéòè ôàçîâóþ ñêîðîñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå? 7. Ïîäðàçäåëèòå ÝÌ íà äèàïàçîíû è óêàæèòå èõ ïðèìåðíûå ãðàíèöû. 8. Óêàæèòå ãðàíèöû âèäèìîãî äèàïàçîíà ÝÌ ïî ÷àñòîòàì, ïî êðóãîâûì ÷àñòîòàì, ïî äëèíàì âîëí. 9. Íà êàêèå âèäû ìîæíî ðàçäåëèòü âîëíû ïî ôîðìå ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ôàçû? 10. ×òî òàêîå îäíîðîäíàÿ ïëîñêàÿ âîëíà? 11.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñâîéñòâî ïîïåðå÷íîñòè îäíîðîäíûõ ïëîñêèõ âîëí? 12. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó àáñîëþòíûìè çíà÷åíèÿìè âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ñðåäå ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè e è m? 13. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû, êîòîðàÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì âîëíîâûì âåêòîðîì k. 14. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ïëîñêîé ÝÌ äëÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è E = E(z,t) â ñëó÷àå ëèíåéíîé, êðóãîâîé è ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè. 26
15. Íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà. Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî âåêòîðà? 16. Êàêèå õàðàêòåðèñòèêè ÝÌ ìîãóò áûòü èçìåðåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî? 17. Êàê îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ? 18. Êàê ñëåäóåò ïîíèìàòü óòâåðæäåíèå, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè dw/dt = – divS? 19. Ïî êàêèì ôîðìóëàì ïðåîáðàçóþòñÿ ýíåðãèÿ è èìïóëüñ öóãà ïëîñêèõ âîëí ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé? 20. Íà îñíîâàíèè êàêèõ ôàêòîâ ñäåëàí âûâîä îá ýëåêòðîìàãíèòíîé ïðèðîäå ñâåòà? 21. Äàòü îïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà. Êàê èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé ïëîñêîé ÝÌÂ? 22. Ïî÷åìó âî âçàèìîäåéñòâèè ñâåòà ñ âåùåñòâîì îñíîâíóþ ðîëü èãðàåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñâåòîâîé âîëíû? Êàê ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ýëåêòðîííîé òåîðèåé? 23.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè? Êàêîå ñâîéñòâî óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè? 24. Çàïèøèòå ïðåäñòàâëåíèå ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí ÷åðåç ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè è â êîìïëåêñíîé ôîðìå. 25. Ðàññìîòðèòå ñóïåðïîçèöèþ áåãóùèõ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ ÝÌÂ: áèåíèÿ, ñòîÿ÷èå âîëíû. 26. Ðàññìîòðèòå âîïðîñ î äâèæåíèè ýíåðãèè â ñëó÷àå áèåíèé. 27. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ÷àñòîòû, àìïëèòóäû, ôàçû è ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè èõ ñëîæåíèè âîçíèêëà ñòîÿ÷àÿ âîëíà? 28. ×òî òàêîå óçëû è ïó÷íîñòè ñòîÿ÷åé âîëíû? Îïèøèòå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé ñòîÿ÷åé âîëíå. 29. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà íàõîäÿòñÿ ñîñåäíèå óçëû ñòîÿ÷åé âîëíû? 30.  êàêèõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà äâèæåòñÿ ýíåðãèÿ â ñòîÿ÷åé ÝÌÂ? 31. Êàêèì îáðàçîì îïûò Âèíåðà äîêàçûâàåò, ÷òî ôîòîõèìè÷åñêîå äåéñòâèå ñâåòà îáóñëîâëåíî ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé âîëíû? 32.  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî âîëíà èìååò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ? 27
33. Êàê îïûòíûì ïóòåì ìîæíî îïðåäåëèòü, èìååò ëè èññëåäóåìûé ñâåò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ? 34. ×òî òàêîå ïðàâàÿ êðóãîâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ? 35. Êàê çàâèñèò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè Å(z, t) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îò z â âîëíå ñ ïðàâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé? Îòâåòüòå íà ýòîò æå âîïðîñ äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Â(z, t). 36. Ðàññìîòðèòå ñóïåðïîçèöèþ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí. 37. Çàâèñèò ëè îðèåíòàöèÿ ãëàâíûõ îñåé ýëëèïñà ïðè ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè îò ðàçíîñòè ôàç ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âîëí, â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè êîòîðûõ îáðàçîâàëàñü ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà? 38. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ïðè ðàçíûõ àìïëèòóäàõ ñëàãàåìûõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí? 39. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ïðè ñëîæåíèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè? 40. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå öèðêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèè? 41. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äâå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè, ÷òîáû ïðè èõ ñëîæåíèè ïîëó÷èëàñü âîëíà ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè? 42. Çàïèøèòå âèä ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé è íåïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèé. 43. Çàïèøèòå ïðåäñòàâëåíèå ðÿäà è èíòåãðàëà Ôóðüå â äåéñòâèòåëüíîé è êîìïëåêñíîé ôîðìå. 44. ×òî òàêîå êîìïëåêñíûé ñïåêòð ôóíêöèè? Êàê îí ñâÿçàí ñ àìïëèòóäíûìè è ôàçîâûìè ñïåêòðàìè? 45. Çàâèñÿò ëè êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå èëè Ôóðüå-îáðàç îò ïîëîæåíèÿ íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè? 46. Ê ÷åìó ïðèâîäèò ñìåùåíèå íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè â Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿõ? 47. Ê ÷åìó ïðèâîäèò ñìåùåíèå ñïåêòðà ïî ÷àñòîòàì â ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ôóðüå? 48. Çàâèñèò ëè îò ñäâèãà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè ñïåêòð: à) àìïëèòóäíûé, á) ôàçîâûé? 49. Êàê âûãëÿäèò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ èìïóëüñà è øèðèíîé ñïåêòðà? 50. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î øèðèíå ÷àñòîòíîé ïîëîñû? Êàêîâà øèðèíà ÷àñòîòíîé ïîëîñû èìïóëüñà, ïðåäñòàâëåííîãî d-ôóíêöèåé? 51.  ÷åì ïðåèìóùåñòâî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íà ñèíóñîèäàëüíûå âîëíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèÿìè ïî ïîëíûì ñèñòåìàì äðóãèõ ôóíêöèé? 28
52. Êàêèì ñïåêòðîì (êîýôôèöèåíòàìè Ån ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå E(t) =
¥
åE
n =-¥
n
e - iwnt ) õàðàêòåðèçóåòñÿ êîëåáàíèå âèäà:
E(t) = E0 cos wt, E(t) = E0 sin wt, E(t) = E0 cos(wt + j)? 53. Êàêèì ñïåêòðîì õàðàêòåðèçóåòñÿ êîëåáàíèå âèäà: E(t) = = Acos Wt cos wt, E(t) = E0(1+ 0,5cos Wt) cos(10Wt)? 54. Ìîæíî ëè ïî èçìåðåííîìó èäåàëüíûì ïðèáîðîì ýíåðãåòè÷åñêîìó ñïåêòðó |Ew|2 âîññòàíîâèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè E(t) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû, âîçäåéñòâîâàâøåé íà ñïåêòðàëüíûé ïðèáîð? 55. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ôóíêöèé Ew è |Ew|2 äëÿ îòðåçêà ñèíóñîèäàëüíîãî êîëåáàíèÿ E(t): ì E 0 cos w0 t (-t 2 < t < t 2), E(t) = í î 0 (t > t 2). 56. Êàê ñîîòíîñèòñÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå è èññëåäîâàíèå ñïåêòðà ñïåêòðîãðàôîì (ìîíîõðîìàòîðîì)?  ÷åì ïðåèìóùåñòâî ðàçëîæåíèÿ íà ñèíóñîèäàëüíûå âîëíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèåì ïî äðóãèì ôóíêöèÿì? 57. Èçëîæèòå ïîíÿòèÿ è ìåòîäû Ôóðüå-àíàëèçà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. 58. Êàê âû÷èñëèòü ñïåêòð èçëó÷åíèÿ èçîëèðîâàííîãî íåïîäâèæíîãî àòîìà? 59. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ? 60. ×åì îáóñëîâëåíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â êëàññè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè? 61. ×åì îáóñëîâëåíà åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â êâàíòîâîé èíòåðïðåòàöèè? 62. Ìîæíî ëè ïðèïèñàòü îòäåëüíîìó ôîòîíó ñïåêòð ÷àñòîò, ñîîòâåòñòâóþùèé åñòåñòâåííîé ôîðìå ëèíèè èçëó÷åíèÿ? 63. Êàêèå óñëîâèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû, ÷òîáû ìîæíî áûëî íàáëþäàòü èçëó÷åíèå ñî ñïåêòðàëüíûì êîíòóðîì, îïðåäåëÿåìûì ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì? 64. Êîãäà ïîëó÷àåòñÿ îäíîðîäíîå óøèðåíèå è ÷åì îíî îòëè÷àåòñÿ îò íåîäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ëèíèè? Ñðàâíèòå åãî ñ åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè. 65. Ñîâïàäàåò ëè ôîðìà îäíîðîäíî óøèðåííîé ëèíèè ñîâîêóïíîñòè àòîìîâ ñ ôîðìîé óøèðåííûõ ëèíèé èçëó÷åíèÿ îòäåëüíûõ àòîìîâ? 66. Îáúÿñíèòå ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ äîïëåðîâñêîãî óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. 29
67. Êàêîé ïîðÿäîê âåëè÷èíû èìååò äîïëåðîâñêàÿ øèðèíà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé? Êàê îíà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû èñòî÷íèêà? 68. Êàêîâû ïîðÿäêè âåëè÷èí äîïëåðîâñêîãî óäàðíîãî óøèðåíèÿ ëèíèé ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ â ãàçå? 69. Êàêóþ ôîðìó èìååò ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ: à) ïðè óäàðíîì óøèðåíèè; á) ïðè äîïëåðîâñêîì óøèðåíèè? 70. Ïî÷åìó óäàðíîå óøèðåíèå îäíîðîäíîå? Ïî÷åìó äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì? 71. Êàê ñâÿçàíà ôîðìà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ìàêðîñêîïè÷åñêîãî èñòî÷íèêà, ñîäåðæàùåãî áîëüøîå ÷èñëî íåçàâèñèìî èçëó÷àþùèõ àòîìîâ, ñî ñïåêòðàëüíûìè êîíòóðàìè èçëó÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèìè îòäåëüíûì öóãàì? 72. Êàêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà ëåæèò â îñíîâå ðàññìîòðåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èçëó÷åíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîãî èñòî÷íèêà? 73. Ïðè âûâîäå âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ óñêîðåííî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà áûëè íåÿâíî èñïîëüçîâàíû óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç íèõ. Åùå ðàç âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âñåìè ýòàïàìè âûâîäà è óêàæèòå, ãäå è êàêèå óðàâíåíèÿ áûëè èñïîëüçîâàíû. 74. Êàêóþ ïîëÿðèçàöèþ èìååò âîëíà, èçëó÷àåìàÿ äèïîëåì? Íàðèñóéòå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ, èçëó÷àåìîãî îñöèëëèðóþùèì äèïîëåì.  êàêîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå áóäåò ìàêñèìàëüíûì è â êàêîì åãî íå áóäåò âîîáùå? 75. Êàêîâà çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îñöèëëèðóþùåãî äèïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ? Îöåíèòå tèçë – ðàäèàöèîííîå âðåìÿ æèçíè àòîìà â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè. Âñïîìíèòå, êàêèå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïðèâîäÿò ê óìåíüøåíèþ t? 76. ×òî íàçûâàþò âîëíîâîé çîíîé ïîëÿ èçëó÷åíèÿ îñöèëëèðóþùåãî äèïîëÿ? Ïî÷åìó ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ èçëó÷åíèÿ ñïðàâåäëèâû òîëüêî â âîëíîâîé çîíå? 77. Íà îñíîâå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè îáúÿñíèòå çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ èçëó÷åíèÿ â ñôåðè÷åñêîé âîëíå îò ðàññòîÿíèÿ. 78. Êàê, èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü àòîìà, îöåíèòü âðåìÿ åãî æèçíè â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè? 79. Ïî êàêîìó çàêîíó èçìåíÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå èçëó÷åíèÿ ýíåðãèÿ âîçáóæäåííîãî àòîìà, àìïëèòóäà êîëåáàíèé îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà? 80. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó èçëó÷åíèå èñòî÷íèêà, ñîäåðæàùåãî áîëüøîå ÷èñëî àòîìîâ, ìîæåò áûòü íåïîëÿðèçîâàííûì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âîëíîâûå öóãè, èñïóñêàåìûå îòäåëüíûìè àòîìàìè, õàðàêòåðèçóþòñÿ îïðåäåëåííûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè. 30
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð. Íàéòè ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïðîäîëæèòåëüíîñòè t, ïîâòîðÿþùèõñÿ ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ Ò. Àìïëèòóäà èìïóëüñîâ U0 (ðèñ. 2.1). f(t) t
U0 t T
T
Ð è ñ. 2.1
Ðåøåíèå. Ââèäó ÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü ¥ A f (t) = 0 + å An cos w1t, 2 n =1 ãäå A0 =
2 T
T 2
ò f (t)dt =
-T 2
An =
2 T
2 T
t2
òU
-t 2
0
2p t dt = 2tU 0 T = U 0 w1 , w1 = , T p
T 2
ò f (t) cos nw tdt = 1
-T 2
2U 0 sin(nw1 t 2) . w1 t p (nw1 t 2)
Çàäà÷è 2.1. Âîçäóõ íà÷èíàåò èîíèçîâàòüñÿ ïðè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å » 30 êÂ/ñì. Ïðè êàêîé ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ïëîñêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí äîñòàòî÷íî ìàëîé ÷àñòîòû â âîçäóõå ìîæåò íàñòóïèòü èîíèçàöèÿ? 2.2. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ ëàçåðà ñîñòàâëÿåò 1 Âò/ñì2. Êàêîâà àìïëèòóäà âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýòîé âîëíå? 2.3. Êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ðàâíà w = 109 ñ–1, à âåëè÷èíà  ìàãíèòíîãî âåêòîðà ðàâíà 10–6 Òë. Íàéòè äëèíó âîëíû l, âåëè÷èíó ýëåêòðè÷åñêîé íàïðÿæåííîñòè Å â âîëíå è ñðåäíèé ïîòîê ýíåðãèè P . 31
r2.4. Ïîêàçàòü èñõîäÿ èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ÷òî èíäóêöèÿ B ìàãíèòíîãî ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ. rr r 2.5. Ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå E(r, t) = E 00 cos(wt - kr + j) îïèñûâàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó, ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû r êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå âåêòîðó è ïåðåìåk r ùàþùèåñÿ âäîëü k ñî ñêîðîñòüþ v = w/k. 2.6. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé äèr ïîëåì ñ îñöèëëèðóþùèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì P cos wt (ñëåäóåò ïðèíÿòü âî âíèìàíèå òîëüêî ÷ëåíû, óáûâàþùèå ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó I/r). Ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû áîëüøîãî ðàäèóñà, öåíòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ äèïîëåì, ïîêàæèòå, ÷òî ñðåäíÿÿ èçëó1 ÷àåìàÿ ìîùíîñòü ðàâíà P 2 w4 (4pe 0 c 3 ). 3 2.7. Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ïàäàÿ íà ñâîáîäíûé ýëåêòðîí, çàñòàâëÿåò åãî îñöèëëèðîâàòü. Íàéäèòå îòíîøåíèå ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé ýëåêòðîíîì â åäèíèöó âðåìåíè, ê ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ïàäàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. ×àñòîòàr âîëíû ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëîé, ïîýòîìó âëèÿíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ B âîëíû íà äâèæåíèå ýëåêòðîíà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 2.8. Íàéòè ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ îäèíî÷íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà àìïëèòóäîé Å0 è ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ t. 2.9. Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ ïèëîîáðàçíûõ èìïóëüñîâ. Íà ïåðèîäå Ò ôîðìà èìïóëüñà çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f(t) = E0(1 – t/T), 0 < t < Ò, f(t) = f(t + T). 2.10. Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèõñÿ òðåóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ì -2t T, ãäå -T 2 < t < 0, f (t) = í î 2t T, ãäå 0 < t < T 2 . 2.11. Íàéòè ñïåêòð ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ñ ÷àñòîòîé w0, àìïëèòóäîé Å0 è ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ ïî âðåìåíè îò –t/2 äî t/2: ì E 0 e iw 0t , ãäå -t 2 £ t £ t 2 , ï f (t) = í 0, ãäå t > t 2 , ï 0, ãäå t < -t 2 . î 2.12. Íàéòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî öóãà ñèíóñîèäàëüíûõ âîëí, àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè êîòîðûõ ìåäëåííî èçìåíÿåòñÿ ïî êîëîêîëîîáðàçíîìó (ãàóññîâó) 2 2 çàêîíó: E(t) = E 0 e -t t cos w0 t, ãäå t >> T0 = 2p/w0 – äëèòåëüíîñòü âîëíîâîãî öóãà. Ïîêàçàòü, ÷òî äëèòåëüíîñòü öóãà t è øèðèíà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà Dn ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì tDn ~ 1. 32
2.13. Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü óøèðåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ëèíèè, îáóñëîâëåííîãî ñòîëêíîâåíèÿìè èçëó÷àþùèõ àòîìîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçëó÷àåìûå îòäåëüíûìè àòîìàìè âîëíîâûå öóãè õàðàêòåðèçóþòñÿ îäíîé è òîé æå ñðåäíåé ÷àñòîòîé w0, íî âñëåäñòâèå èñïûòûâàåìûõ àòîìàìè ñòîëêíîâåíèé èìåþò ðàçëè÷íóþ äëèòåëüíîñòü. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëèòåëüíîñòè îòäåëüíûõ öóãîâ ðàñïðåäåëåíû ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåêîòîðûé öóã èìååò äëèòåëüíîñòü, çàêëþ÷åííóþ â ïðîìåæóòêå îò t äî 1 t + dt, ðàâíà p(t)dt = e -t t dt. Íàéòè ôîðìó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçt ëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé õàîòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ öóãîâ (t – ñðåäíÿÿ äëèòåëüíîñòü öóãà èëè ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó ñîóäàðåíèÿìè). 2.14. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, êîòîðàÿ â èíòåðâàëå (–Ò/4, +Ò/4) ðàâíà äâóì, à âíå èíòåðâàëà äî åãî ãðàíèö – íóëþ. 2.15. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, êîòîðàÿ â èíòåðâàëå (0, Ò/ 2) ðàâíà äâóì, à â èíòåðâàëå (Ò/ 2, Ò) – íóëþ. 2.16. Çàïèñàòü ðÿä Ôóðüå äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì Ò, çàäàííîé íà ó÷àñòêå (0, T) ôîðìóëîé f(t) = t/Ò. 2.17. Íàéòè Ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè f(t) = exp(–at2)cosw0t (a > 0). 2.18. Íàéòè Ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè f(z) = 4exp(–z2/a2). 2.19. Ïðîâåäèòå ðàñ÷åò, äîêàçûâàþùèé, ÷òî ñîñòàâíàÿ ëèíèÿ èç äâóõ ëîðåíöåâûõ ëèíèé ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâîé ëèíèåé ñ øèðèíîé g = g1 + g2, à ñîñòàâíàÿ ëèíèÿ èç äâóõ ãàóññîâûõ ëèíèé ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé ëèíèåé ñ øèðèíîé D = D21 + D22 . 2.20. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû è íàïðàâëåíèÿ, íî ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè è íà÷àëüíûìè ôàçàìè (âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèåì êîëåáàíèé ÷åðåç ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ðàññìîòðåòü ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì). 2.21. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé àìïëèòóäû è íàïðàâëåíèÿ, íî ðàçíûõ (áëèçêèõ) ÷àñòîò. 2.22. Èññëåäîâàòü ñòðóêòóðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòîÿ÷åé âîëíû, âîçíèêàþùåé ïðè íàëîæåíèè äâóõ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ íàâñòðå÷ó áåãóùèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, àìïëèòóäû è ïîëÿðèçàöèè. 2.23. Ðàññìîòðåòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ N ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, àìïëèòóäû, íàïðàâëåíèÿ, íî ñ ïîñòîÿí33
íûì ñäâèãîì ôàç d (ïðèìåíèòü àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä è ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì). 2.24. Ðàññìîòðåòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîëíû, âîçíèêàþùåé ïðè ñëîæåíèè äâóõ âîëí îäèíàêîâîé ÷àñòîòû è ïîëÿðèçîâàííûõ îðòîãîíàëüíî äðóã äðóãó. 2.25. Ïîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó ñ ïðîèçâîëüíûì íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè âîëí ïðàâîé è ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèé. Êàê ñâÿçàíû àìïëèòóäû ýòèõ âîëí ñ àìïëèòóäîé èñõîäíîé âîëíû? 2.26. Ïðè ñëîæåíèè äâóõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí â îáùåì ñëó÷àå âîçíèêàåò âîëíà ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè. Âûðàçèòü õàðàêòåðèçóþùèå ýëëèïñ ïîëÿðèçàöèè áîëüøóþ è ìàëóþ ïîëóîñè a1, a2 è óãîë q, îïðåäåëÿþùèé åãî îðèåíòàöèþ, ÷åðåç àìïëèòóäû a, b è ðàçíîñòü ôàç d = j2 – j1. 2.27. Äâå âîëíû îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ïîêàæèòå, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû ðàâíà ñóììå ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ (S1 + S2) êàæäîé èç âîëí, åñëè âîëíû ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ. 2.28. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè âîëíû, ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàçíîñòü ôàç âîëí ðàâíà íóëþ. 2.29. Îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè âîëíû, ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äâóõ âîëí ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî ïðàâîìó è ëåâîìó êðóãó, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàçíîñòü ôàç âîëí ðàâíà d.
Òåìà 3 ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß È ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÎÑÒÜ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1. ×òî òàêîå èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà? Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåðôåðåíöèè äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí Å1 è Å2. 2. Ìîæíî ëè íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèþ îò íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà? 3. Êàêèå èñòî÷íèêè ñâåòà íàçûâàþò êîãåðåíòíûìè? 4. Ïðèâåäèòå ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ïðè èñïîëüçîâàíèè òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. Êàê îáúÿñíèòü âîçìîæíîñòü íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè â íåïîëÿðèçîâàííîì ñâåòå? 5. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè ñâåòà îò îáû÷íûõ èñòî÷íèêîâ èíòåðôåðèðóþùèå ïó÷êè äîëæíû ïðîèñõîäèòü îò îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà? 6. Êàêèå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîãåðåíòíûõ ëó÷åé ñóùåñòâóþò â îïòèêå? 7. Îò ÷åãî çàâèñèò ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè? 8. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ôàç ìåæäó äâóìÿ êîãåðåíòíûìè ëó÷àìè, åñëè ðàçíîñòü õîäà ìåæäó íèìè ðàâíà d. 9. Ïî êàêîìó çàêîíó èçìåíÿåòñÿ îñâåùåííîñòü ýêðàíà, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ äâóõ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îäèíàêîâîé, ðàçíîé èíòåíñèâíîñòè? 10. Êàêîé âèä èìååò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà è îò ÷åãî îíà çàâèñèò? 11. ×òî òàêîå ëèíåéíàÿ è óãëîâàÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû? Îò êàêèõ ïàðàìåòðîâ îíà çàâèñèò? 12. ×òî òàêîå îïòè÷åñêàÿ äëèíà ïóòè? 13. Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàçíîñòü õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè äëÿ íàáëþäåíèÿ â çàäàííîé òî÷êå ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) èíòåíñèâíîñòè? 14. Êàê ñâÿçàíà èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ñ àìïëèòóäîé ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû? 15. Êàêóþ ôîðìó èìåþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ïðè ïàäåíèè íà ýêðàí ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí îò äâóõ òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ? 16. ×òî òàêîå âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 17. Ïî÷åìó â öåíòðå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â îïûòå Þíãà êîíòðàñòíîñòü ïîëîñ íå óõóäøàåòñÿ ïðè çàìåíå òî÷å÷íûõ îòâåðñòèé S, S1 è S2 äëèííûìè óçêèìè ïàðàëëåëüíûìè ùåëÿìè? 35
18. Ìîæíî ëè íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèþ íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà? 19. Ìîæåò ëè íàáëþäàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â ñîëíå÷íîì ñâåòå? 20. ×òî òàêîå âðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü è ñ êàêèìè îñîáåííîñòÿìè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ îíè ñâÿçàíû? 21. Çàïèøèòå óñëîâèå âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòè è îõàðàêòåðèçóéòå âîçìîæíîñòü èññëåäîâàíèÿ êà÷åñòâà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ïðè ïîìîùè ôóíêöèè âèäèìîñòè. 22. Îïèøèòå îïûòû, â êîòîðûõ ïðîÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü. Êàê âëèÿåò àïåðòóðà èíòåðôåðåíöèè íà óñëîâèÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 23. Êàêèå îïûòû äîêàçûâàþò âûñîêóþ âðåìåííóþ è ïðîñòðàíñòâåííóþ êîãåðåíòíîñòü èçëó÷åíèÿ ëàçåðà? 24. Äàéòå êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå êðèâîé âèäèìîñòè â ñëó÷àå èñòî÷íèêà, ñïåêòð èçëó÷åíèÿ êîòîðîãî ñîñòîèò èç äâóõ áëèçêèõ ëèíèé. 25. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèå êâàçèìîíîõðîìàòè÷íîñòè èñòî÷íèêà ñâåòà. 26. Äàéòå îïðåäåëåíèå âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè. Êàêèì îáðàçîì âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàíî ñ ýôôåêòèâíûì èíòåðâàëîì ÷àñòîò, èñïóñêàåìûõ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì èñòî÷íèêîì? 27. ×òî òàêîå ïîïåðå÷íàÿ äëèíà êîãåðåíòíîñòè? Ñ êàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ñâÿçàíî ýòî ïîíÿòèå? 28. Êàêóþ âåëè÷èíó íàçûâàþò äëèíîé êîãåðåíòíîñòè? ×åìó ðàâíà äëèíà êîãåðåíòíîñòè äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, çàíèìàþùåãî ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë øèðèíîé dl ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì äëèíû âîëíû l? 29. Êàêèì îáðàçîì èç íàáëþäåíèÿ ïîëîñ äâóõëó÷åâîé èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ìîæíî ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ñïåêòðàëüíîì ñîñòàâå èçëó÷åíèÿ? 30. Ñîïîñòàâüòå ñïåêòðàëüíûé è âðåìåííîé ïîäõîäû ê îáúÿñíåíèþ èñ÷åçíîâåíèÿ ïîëîñ â êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîì ñâåòå ïðè áîëüøîé ðàçíîñòè õîäà. 31. ×òî íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòè êîëåáàíèé?  êàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ? Êàê ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàíà ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? 32. Êàê íàéòè ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè, åñëè èçâåñòåí ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ èçëó÷åíèÿ? 33. Êàê èçìåðÿåòñÿ âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè èññëåäóåìîãî èçëó÷åíèÿ â ìåòîäå èíòåðôåðîìåòðèè èíòåíñèâíîñòè? 34. Äàéòå êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå ïåðèîäè÷åñêîìó èçìåíåíèþ âèäèìîñòè ïîëîñ â îïûòå Þíãà ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ d 36
ìåæäó îòâåðñòèÿìè S1 è S2, åñëè íà íèõ ïàäàåò ñâåò îò äâóõ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà íåáîëüøîì óãëîâîì ðàññòîÿíèè. 35.  ÷åì ïðè÷èíà óìåíüøåíèÿ âèäèìîñòè èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà? 36. Èññëåäóéòå ðîëü ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà â èíòåðôåðåíöèè. Ââåäèòå ïîíÿòèå ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè. 37. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èçëó÷åíèå îò íåêîãåðåíòíîãî ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êîãåðåíòíîå? 38. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû îò äâóõ ùåëåé? 39. Íà ÷åì îñíîâàí ìåòîä îïðåäåëåíèÿ óãëîâûõ ðàçìåðîâ çâåçä â çâåçäíîì èíòåðôåðîìåòðå? 40. Êàêîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò øèðèíà ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà â âèäå ïîëîñêè ðàâíîìåðíîé ÿðêîñòè ïðè ïåðâîì èñ÷åçíîâåíèè èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â îïûòå Þíãà? 41. Êàêóþ âåëè÷èíó íàçûâàþò ñòåïåíüþ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè? Êàê îíà ñâÿçàíà ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? 42. Êàê ðàçìåðû îáëàñòè êîãåðåíòíîñòè â ïó÷êå ñâåòà îò ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà çàâèñÿò îò ðàññòîÿíèÿ è ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà? Îöåíèòå ðàçìåð îáëàñòè êîãåðåíòíîñòè ïðè ïðÿìîì ñîëíå÷íîì îñâåùåíèè. 43. Äàéòå îïðåäåëåíèå îáúåìà êîãåðåíòíîñòè. 44. Ñôîðìóëèðóéòå îáùèé çàêîí èíòåðôåðåíöèè äëÿ ñòàöèîíàðíûõ îïòè÷åñêèõ ïîëåé. 45. Ðàññìîòðèòå èíòåðôåðåíöèþ â òîíêèõ ïëåíêàõ. Ââåäèòå ïîíÿòèå ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà è ðàâíîé òîëùèíû. 46. Ñ ÷åì ñâÿçàíà ëîêàëèçàöèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? Êàêîâû äîëæíû áûòü óñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ â äâóõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ (ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû è ðàâíîãî íàêëîíà)? 47. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû è ðàâíîãî íàêëîíà? 48. Óêàæèòå ëó÷è, êîòîðûå èíòåðôåðèðóþò ìåæäó ñîáîé â ñëó÷àå èíòåðôåðåíöèè íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêå è ïðè îáðàçîâàíèè êîëåö Íüþòîíà. 49. Êàê âîçíèêàþò êîëüöà Íüþòîíà? Êàê ìîæíî â ýòîì îïûòå èçìåðèòü äëèíó âîëíû? ×åì îòëè÷àþòñÿ êàðòèíû â îòðàæåííîì è ïðîõîäÿùåì ñâåòå? 50. Íàïèøèòå ôîðìóëó äëÿ ðàçíîñòè õîäà ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè â ñëó÷àå èíòåðôåðåíöèè íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêå (íà óçêîì êëèíå). 51. Ïî÷åìó â èíòåðôåðåíöèîííûõ îïûòàõ ïî ìåòîäó äåëåíèÿ àìïëèòóäû ñ ïîìîùüþ òîíêîé ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè èñïîëüçóþò îáû÷íî îòðàæåííûé ñâåò, à íå ïðîøåäøèé? 37
52. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîòÿæåííûé èñòî÷íèê ñâåòà? Ãäå ëîêàëèçîâàíû ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà? 53. Ïî÷åìó äëÿ êîëåö Íüþòîíà, ïîëó÷àþùèõñÿ ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè ëèíçû è ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè, â îòðàæåííîì ñâåòå öåíòð êàðòèíû òåìíûé? 54. Êàêîé âèä èìåþò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû â âîçäóøíîì êëèíå ìåæäó ïëîñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê? 55. Ïî÷åìó äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû â áåëîì ñâåòå ïëåíêà (èëè ïëàñòèíêà) äîëæíà áûòü î÷åíü òîíêîé? 56. Ãäå ëîêàëèçóþòñÿ ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà è ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû? 57. ×åì ëèìèòèðóåòñÿ äîïóñòèìàÿ òîëùèíà ïëåíîê äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèè â áåëîì ñâåòå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì? 58. Âëèÿåò ëè êîíå÷íîñòü ðàçìåðîâ èñòî÷íèêà ñâåòà íà êà÷åñòâî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â ñëó÷àå ïîëîñ ðàâíîãî íàêëîíà? 59. Êàê óñòðîåíû äèýëåêòðè÷åñêèå çåðêàëà ñ î÷åíü âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ? 60. Êàêèì îáðàçîì ñîçäàåòñÿ ñëîé ñ íóëåâîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ? 61. Ïî÷åìó ñëîé ñ îïòè÷åñêîé òîëùèíîé â ÷åòâåðòü äëèíû âîëíû â îäíèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ ñëîåì ñ íóëåâîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ, à â äðóãèõ – ñëîåì ñ î÷åíü âûñîêîé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ? 62.  êàêîì ñëó÷àå äâå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ñêëàäûâàþòñÿ âñåãäà (ò. å. ïðè ëþáûõ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèÿõ) òàê, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ I ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé èñõîäíûõ êîëåáàíèé I1 è I2? 63. Êàêèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèå ìàêñèìóìîâ è ôîðìà ïîëîñ â íàáëþäàåìîé ñ èíòåðôåðîìåòðîì Ôàáðè – Ïåðî èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå â ïðîõîäÿùåì ñâåòå? 64. ×åì îïðåäåëÿþòñÿ êîíòðàñòíîñòü è ðåçêîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â èäåàëüíîì èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? ×òî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ïîâûøåíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ â ðåàëüíîì èíòåðôåðîìåòðå? 65. Êàêàÿ ÷àñòü ïàäàþùåãî â èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî ñâåòà ïðîõîäèò â ìàêñèìóìå? Êàêîâî áóäåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàäàþùèì è îòðàæåííûì ñâåòîì? Êàêîâà ðîëü ïîãëîùåíèÿ ñâåòà â ñëîÿõ? 66. ×åì îòëè÷àþòñÿ ïîëîñû ðàâíîãî íàêëîíà â äâóõëó÷åâîé è ìíîãîëó÷åâîé èíòåðôåðåíöèîííûõ êàðòèíàõ? 67. Îò êàêèõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî, çàâèñèò ðåçêîñòü ïîëîñ? 38
68. Êàêèìè ïðåèìóùåñòâàìè îáëàäàþò çåðêàëà ñ ìíîãîñëîéíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïîêðûòèÿìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòàëëè÷åñêèìè? Êàêîâ ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ? 69. Êàêèå ôàêòîðû îãðàíè÷èâàþò ïðàêòè÷åñêè äîñòèæèìóþ ðåçêîñòü ïîëîñ â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? 70. ×òî òàêîå äèñïåðñèîííàÿ îáëàñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî? Êàê îíà çàâèñèò îò åãî òîëùèíû? Ïî÷åìó â ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ èíòåðôåðîìåòð èñïîëüçóþò ñîâìåñòíî ñ áîëåå ãðóáûì ñïåêòðàëüíûì ïðèáîðîì? 71. Êàê óñòðîåíû èíòåðôåðåíöèîííûå îïòè÷åñêèå ôèëüòðû? 72.  ÷åì ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ ïî÷òè ïîëíîãî îòðàæåíèÿ èëè ïî÷òè ïîëíîãî ïðîïóñêàíèÿ âîëíû â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè – Ïåðî? 73. Êàêèå ôàêòîðû îãðàíè÷èâàþò ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî? 74. Ïî÷åìó äèñïåðñèîííàÿ îáëàñòü èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî íåâåëèêà? 75. ×òî ïðîèñõîäèò ñ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè – Ïåðî ïðè óâåëè÷åíèè äèñïåðñèîííîé îáëàñòè? 76. Îïèøèòå ïðèíöèï ðàáîòû èçâåñòíûõ âàì äâóõëó÷åâûõ èíòåðôåðîìåòðîâ. 77. Íàðèñóéòå ñõåìó èíòåðôåðîìåòðà Æàìåíà è îõàðàêòåðèçóéòå âîçìîæíîñòè èíòåðôåðåíöèîííîãî ìåòîäà äëÿ èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. 78. Ñ êàêîé öåëüþ â îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà ñòàâèòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ êîìïåíñèðóþùàÿ ïëàñòèíêà? 79. Êàê äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà çåðêàëà â èíòåðôåðîìåòðå Ìàéêåëüñîíà äëÿ íàáëþäåíèÿ ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû (êîëåö ðàâíîãî íàêëîíà)? 80. Êàêèì îáðàçîì óñòðîåíû èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè – Ïåðî, ïëàñòèíêà Ëþììåðà – Ãåðêå? 81. Îáúÿñíèòå ïðèíöèï äåéñòâèÿ çâåçäíîãî èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà. 82.  ÷åì ñîñòîèò ïðèíöèï ìåòîäà Ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèè? 83. Èçëîæèòå èäåþ îïûòà Áðàóíà – Òâèññà ïî èíòåðôåðåíöèè èíòåíñèâíîñòåé. Êàê òàêèì ìåòîäîì ìîæíî îöåíèòü âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè è óãëîâûå ðàçìåðû çâåçä? 84. Êàêèì îáðàçîì êîíòðîëèðóåòñÿ êà÷åñòâî èçãîòîâëåíèÿ çåðêàë, ëèíç è ïðèçì ñ òî÷íîñòüþ äî äîëåé äëèíû âîëíû? 85. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïîëåé. 86. Êàê ìîæíî âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ïîëåé äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè? 87. ×òî òàêîå àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ? 39
88. Êàê àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëÿ ñâÿçàíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ èçëó÷åíèÿ? 89. Äàéòå îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè. Êàê êîýôôèöèåíò ÷àñòè÷íîé êîãåðåíòíîñòè ñâÿçàí ñ âèäèìîñòüþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 90. Äàéòå îïðåäåëåíèå ìàòðèöû êîãåðåíòíîñòè êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà. 91. Êàêàÿ èíôîðìàöèÿ òåðÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò êîìïëåêñíîé ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè ê ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè? 92. Êàêîâî óñëîâèå êâàçèìîíîõðîìàòè÷íîñòè, êàêîâ åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë? Ïîëó÷èòå îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû ïðè ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèÿ, îãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè. 93. Êàê âèäèìîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ñâÿçàíà ñî ñòåïåíüþ êîãåðåíòíîñòè ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè èíòåíñèâíîñòåé èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ ñâåòà?
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ Ïðèìåð 1. Äâå ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû, îáëàäàþùèå ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â íàïðàâëåíèè, îïðår äåëÿåìîì âîëíîâûì âåêòîðîì k. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ êàê ôóíêöèþ ðàçíîñòè ôàç d ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí. Ðåøåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê óñðåäíåííîå ïî âðåìåíè íàáëþäåíèÿ êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåñåêàþùåå åäèíèöó ïëîùàäè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ïîòîêà ýíåðãèè, â åäèíèöó âðåìåíè. Äëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû I = e E2 ,
(1)
ãäå e – äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, E – óñðåäíåííàÿ ïî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå. Ôîðìóëà (1) ñïðàâåäëèâà, ïî êðàéíåé ìåðå ïðèáëèæåííî, è äëÿ âîëí áîëåå îáùåãî âèäà. Äëÿ âîçäóøíîé ñðåäû e ~ 1 è I = E2 .
(2)
Ðàññìîòðèì â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ròî÷êår P ïðîñòðàíñòâà ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí E1 è E 2 . Ðåçóëüòèðóþùåå r r r ïîëå â òî÷êå P: E = E1 + E 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, r r E 2 = E12 + E 22 + 2(E1 × E 2 ). 40
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P (2): (3) I = I1 + I2 + I12, r r 2 2 ãäå I1 = E1 , I 2 = E 2 , à I12 = 2 E1 × E 2 – èíòåðôåðåíöèîííîå ñëàãàåìîå. r r Áóäåì â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî E1 × E 2 ¹ 0. Óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí èìåþò âèä rr rr r r r r E1 = A1 cos[wt + (kr1 )], E 2 = A2 cos[wt + (kr2 )], r r r r ãäå A1 , A2 – àìïëèòóäû êîëåáàíèé; r1 , r2 – ðàäèóñ-âåêòîðû, ïðîâåäåííûå îò èñòî÷íèêîâ âîëí äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð. r Íàïðàâèâ îñü OZ ñèñòåìû êîîðäèíàò ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà k, çàïèøåì r r r r (4) E1 = A1 cos[wt + kz1 ], E 2 = A2 cos[wt + kz1 + d], 2p d – ðàçíîñòü ôàç.  ñâîþ î÷åðåäü, l – äëèíà âîëíû, l d = z2 – z1 – îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà. Åñëè ñðåäû, â êîòîðûõ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ëó÷è, õàðàêòåðèçóþòñÿ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2, òî â îáùåì ñëó÷àå îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà d = n2r2 – n1r1, ãäå r1, r2 – ðàññòîÿíèÿ, ïðîõîäèìûå ëó÷àìè îò èñòî÷íèêà äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êîëåáàíèÿ â îáåèõ âîëíàõ ïîëÿr r ðèçîâàíû â îäíîé ïëîñêîñòè, ò. å. ( A1 × A2 ) = A1 × A2 , ïîëó÷èì r r (E1 × E 2 ) = A1 A2 cos(wt + kz1 ) cos(wt + kz1 + d) = AA = 1 2 [cos d + cos(2wt + kz1 + d)]. 2 Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðôåðåíöèîííûé ÷ëåí r r (5) I12 = 2 E1 × E 2 = A1 A2 cos d = 2 I1 I 2 cos d , ãäå d = kd =
òàê êàê A12 A2 , I 2 = E 22 = 2 , cos(2wt + 2kz1 + d) = 0. 2 2 Èñêîìàÿ èíòåíñèâíîñòü èìååò âèä I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos d . I1 = E12 =
(6)
Èç (6) ñëåäóåò I max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 ïðè |d| = 2mp
(7)
(ò. å. ïðè d = ml, ãäå m = 0, 1, 2, …); 41
I min = I1 + I 2 - 2 I1 I 2 ïðè |d| = (2m + 1)p
(8)
l (ò. å. ïðè d = (2m + 1) , ãäå m = 0, 1, 2, …). 2 Ïðèìåð 2. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòåé íà ýêðàíå â èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà (ðèñ. 3.1). Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòè õîäà ìåæäó ëó÷àìè, èäóùèìè â òî÷êó Ð îò èñòî÷íèêîâ S1 è S2, çàïèøåì P S1
2
lö æ S1 P = a 2 + ç x - ÷ , 2ø è x
l
O S2
a Ð è ñ. 3.1
2
lö æ S2 P = a 2 + ç x + ÷ . 2 è ø Îòñþäà S2P2 – S1P2 = 2xl. Ðàçíîñòü õîäà d = S2P – S1P = =
S 2 P 2 - S1 P 2 2xl . = S1 P + S 2 P S1 P + S 2 P
Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â îïûòå Þíãà íàáëþäàåòñÿ ïðè óñëîâèè l Dt , ïî 2
(20)
ïîëó÷èòü îöåíî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè äàííîãî èñòî÷íèêà. Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî e - iw 0t = cos w0 t - i sin w0 t. Èñïîëüçîâàííàÿ çàïèñü äëÿ ñâåòîâîãî âîçìóùåíèÿ u(t) ÷åðåç êîìïëåêñíóþ ýêñïîíåíòó îçíà÷àåò, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü íàïèñàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. 45
 ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t) âíîñÿò âêëàä ðàçëè÷íûå íåçàâèñèìûå èçëó÷àòåëè, ÷èñëî êîòîðûõ ÷ðåçâû÷àéíî âåëèêî, ïðè÷åì êàæäûé èç íèõ èçëó÷àåò ñâåò ñî ñâîåé ÷àñòîòîé w. Ýòî ìîæíî âûðàçèòü â âèäå u(t) =
¥
ò u(w)e
- iwt
dw,
(21)
-¥
ãäå u(w) – âêëàä â ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå èçëó÷åíèÿ ñâåòîâîãî èñòî÷íèêà ñ ÷àñòîòîé w. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ôîðìóëà (21) ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì â èíòåãðàë Ôóðüå ôóíêöèè u(t). Ñîâåðøàÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, çàïèøåì ¥ 1 - iwt (22) u(w) = ò u(t)e dt . 2p -¥ Ôîðìóëà (22) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âêëàä ðàçëè÷íûõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ êîìïîíåíò â ñóììàðíîå èçëó÷åíèå. Ïîäñòàâëÿÿ (20) â (22), ïîëó÷àåì u u(w) = 0 2p
Dt 2
òe
- i( w-w 0 )t
dt .
Âû÷èñëèâ èíòåãðàë, ïîëó÷èì u Dt ì sin ((w - w0 )Dt 2) ü u(w) = 0 í ý. 2p î (w - w0 )Dt 2 þ Ãðàôèê ôóíêöèè
(23)
Dt 2
sin ((w - w0 )Dt 2)
(24)
ïðèâåäåí íà ðèñ. 3.4. (w - w0 )Dt 2 Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûé âêëàä â ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t) âíîñèò ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà ñ ÷àñòîòîé w0 è ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà w êàêîé-ëèáî ìîíîõðîìàòè÷åñêîé êîìïîíåíòû îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû w0, òåì ìåíüøå âêëàä ýòîé êîìïîíåíòû â ðåçóëüòèðóþùåå ñâåòîâîå âîçìóùåíèå u(t). Òàêèì îáðàçîì, çàìåòíûé âêëàä â ðåçóëüòèðóþùåå âîçìóùåíèå âíîñèò èçëó÷åíèå òàêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ èñòî÷íè|u(w)| êîâ, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàêëþ÷åíû â íåêîòîðîì ýôôåêòèâíîì èíòåðâàëå ÷àñòîò äàííîãî íåìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà ñâåòà. Øèðèíà ýôôåêòèâíîãî ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà w0 w ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé, îäíàêî òàê êàê ïåðâûé íóëü ôóíêöèè Ð è ñ. 3.4 46
sin ((w - w0 )Dt 2)
2p , òî äëÿ îöåíêè èíòåðåDt (w - w0 )Dt 2 ñóþùåãî íàñ ýôôåêòèâíîãî ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà ìîæíî ïðèíÿòü âûðà2p æåíèå Dw @ , èëè, ïåðåõîäÿ ê îáû÷íûì ÷àñòîòàì, Dt 1 (25) Dn @ . Dt ïîÿâëÿåòñÿ ïðè w - w0 = ±
Ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt åñòü íå ÷òî èíîå, êàê äëèòåëüíîñòü «âîëíîâîãî öóãà», êîòîðàÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ èñòî÷íèêîâ. ßñíî òàêæå, ÷òî èíòåðôåðåíöèÿ â òî÷êå áóäåò òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ t «âîëíîâûõ öóãîâ», èñõîäÿùèõ îò èñòî÷íèêîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ýôôåêòèâíîìó ÷àñòîòíîìó èíòåðâàëó, äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ t < Dt. (26) Åñëè ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (26), òî îí íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì êîãåðåíòíîñòè, à èç ôîðìóëû (25) ïîëó÷àåì èñêîìîå îöåíî÷íîå âûðàæåíèå âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè: 1 . (27) Dt @ Dn Ïðèìåð 6. Ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S, ïàäàåò ïîä óãëîì j íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé h. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè n. Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà (ðèñ. 3.5). Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â òî÷êå P ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? P S N
j A
C c
n
h
B
Ð è ñ. 3.5 47
Ðåøåíèå. Îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè SANP è SABCP ðàâíà d = n(AB + BC) – AN. (28) Èç ðèñ 3.5 âèäíî, ÷òî h , AN = AC sin j = 2h tg c × sin j, (29) AB = BC = cos c ãäå c – óãîë ïðåëîìëåíèÿ. Èñïîëüçóÿ çàêîí ïðåëîìëåíèÿ sin j sin c = n,
(30)
èç ñîîòíîøåíèé (28)–(30) ïîëó÷àåì d = 2nh cos c. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçíîñòü ôàç ðàâíà 4p d= nh cos c, l
(31)
(32)
ãäå l – äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà. Ïðè çàïèñè ïîëíîé ðàçíîñòè ôàç, êðîìå ðàçíîñòè ôàç, ñîîòâåòñòâóþùåé îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà d, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èçìåíåíèå ôàçû íà p, êîòîðîå ñîãëàñíî ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ ïðîèñõîäèò ïðè îòðàæåíèè îò îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé ïëàñòèíêè. Ïîýòîìó ïîëíàÿ ðàçíîñòü ôàç â òî÷êå P: 4p 4ph (33) d= nh cos c ± p = n 2 - sin 2 j ± p. l l Èíòåíñèâíîñòü â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå ìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (6). Ìàêñèìóìàì èíòåíñèâíîñòè ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèå (34) d = 2nh cos c ± l 2 = ml , ìèíèìóìàì – (35) d = 2nh cos c ± l 2 = (2m + 1) l 2 , ãäå m = 0, 1, 2, … (äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà ± l 2 ñîîòâåòñòâóåò äîïîëíèòåëüíîé ðàçíîñòè ôàç ± p). Ó÷åò ìíîãîêðàòíîãî îòðàæåíèÿ íå ìåíÿåò ðåçóëüòàòîâ çàäà÷è. Çàäàííàÿ ïîëîñà (m = const) õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿíñòâîì âåëè÷èíû óãëà c (à çíà÷èò, è j) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàåòñÿ ñâåòîì, ïàäàþùèì íà ïëàñòèíêó ïîä êàêèì-òî îïðåäåëåííûì óãëîì. Ïîýòîìó òàêèå ïîëîñû íàçûâàþò ïîëîñàìè ðàâíîãî íàêëîíà. 48
Ïðèìåð 7. Âûïóêëàÿ ëèíçà ñ áîëüøèì ðàäèóñîì êðèâèçíû R ëåæèò íà ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêå è îñâåùàåòñÿ íîðìàëüíî ïàäàþùèì ïàðàëëåëüíûì ïó÷êîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l.  âîçäóøíîì çàçîðå ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè ëèíçû è ïëàñòèíêè â îòðàæåííîì ñâåòå íàáëþäàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå êîëüöà Íüþòîíà. Íàéòè ðàäèóñû òåìíûõ êîëåö. Ðåøåíèå. Âîçäóøíûé êëèí, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò èíòåðôåðåíöèÿ, â ñëó÷àå, êîãäà ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíçû âåëèê, èìååò î÷åíü ìàëûé óãîë. Ïîýòîìó ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êëèí ñîñòàâëåí èç îòäåëüíûõ êóñî÷êîâ ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ïëàñòèíîê, è äëÿ êàæäîãî òàêîãî êóñî÷êà, õàðàêòåðèçóåìîãî ñâîåé òîëùèíîé h, ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (31) äëÿ ðàçíîñòè õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé: d = 2nh cos c ± l/2, ïðè÷åì cos c = const. Ñ÷èòàÿ, ÷òî äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà, îáóñëîâëåííàÿ ñäâèãîì ôàçû íà p ïðè îòðàæåíèè îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè, ðàâíà l/2, çàïèøåì óñëîâèå ìèíèìóìà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû (c = 0 ïðè íîðìàëüíîì îñâåùåíèè) â âèäå 2nh + l/2 = (2m + 1)l/2, èëè h=
ml (m = 0, 1, 2, ...). 2
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, h = R - R2 - r 2 . Ðàñêëàäûâàÿ êîðåíü ïî áèíîìó Íüþòîíà è îãðàíè÷èâàÿñü ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì h » r2/2R. È äëÿ ðàäèóñà m-ãî òåìíîãî êîëüöà Íüþòîíà îêîí÷àòåëüíî èìååì rm = mRl . Êîëüöà Íüþòîíà ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìè ðàâíîé òîëùèíû.
Çàäà÷è 3.1. Ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èçëó÷àòåëåé, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè òàê, ÷òî èõ äèïîëüíûå ìîìåíòû ïåðïåíäèêóëÿðíû ýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 3.6). Ðàññòîÿíèå ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè d, äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ l. Èìåÿ â âèäó, ÷òî êî49
ëåáàíèÿ èçëó÷àòåëÿ 2 îòñòàþò ïî ôàçå íà j (j < p) îò êîëåáàíèé èçëó÷àòåëÿ 1, íàéòè: à) óãëû q, â êîòîðûõ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíà; á) óñëîâèÿ, ïðè 1 êîòîðûõ â íàïðàâëåíèè q = p èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ q áóäåò ìàêñèìàëüíîé, à â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè – ìèíèìàëüíîé. 3.2. Íàéòè ïðèìåðíûé âèä ïîëÿðíîé äèàãðàììû íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè 2 (ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè äèïîëÿ) ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ îäèíàêîâûõ èçëó÷àòåëåé 1 è 2, äèïîëüíûå ìîìåíÐ è ñ. 3.6 òû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó íà ðàññòîÿíèè d. Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè: 1) d = l/2, ñäâèã ôàç ðàâåí 0 èëè p; 2) d = l, ñäâèã ôàç ðàâåí 0 èëè p; 3) d = l/4, ñäâèã ôàç p/2. 3.3. Íåïîäâèæíàÿ èçëó÷àþùàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ëèíåéíîé öåïî÷êè ïàðàëëåëüíûõ âèáðàòîðîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå d, ïðè÷åì ôàçà êîëåáàíèé âèáðàòîðîâ ëèíåéíî ìåíÿåòñÿ âäîëü öåïî÷êè. Íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ðàçíîñòè ôàç Dj ìåæäó ñîñåäíèìè âèáðàòîðàìè, ïðè êîòîðîé ãëàâíûé ìàêñèìóì èçëó÷åíèÿ ñèñòåìû áóäåò ñîâåðøàòü êðóãîâîé «îáçîð» ìåñòíîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w. 3.4. ×åòûðå èäåíòè÷íûõ äèïîëüíûõ èçëó÷àòåëÿ ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó è íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ d = 2,5 ñì äðóã îò äðóãà. Îíè ðàáîòàþò íà ÷àñòîòå n = 3 × 109 ñ–1 è ñôàçèðîâàíû òàê, ÷òî èçëó÷åíèå êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî äèïîëÿ îòñòàeò îò ïðåäûäóùåãî íà 90î. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè è ïîñòðîèòü ýòó ôóíêöèþ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (ïîëÿðíàÿ äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ). 3.5. Òðè ñèíôàçíûõ èçëó÷àòåëÿ 1, 2, 3 ðàñïîëîæåíû âäîëü ïðÿìîé (ðèñ. 3.7). Ðàññòîÿíèå ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè 1 è 2 ðàâíî l/2, à ìåæäó èçëó÷àòåëÿìè 2 è 3 â 1,5 ðàçà áîëüøå. Àìïëèòóäû èçëó÷àòåëåé 1 è 2 îäèíàêîâû. Êàêîâà äîëæíà áûòü àìïëèòóäà èçëó÷àòåëÿ 3, ÷òîáû íà äèàãðàììå íàïðàâëåííîñòè ñèñòåìû ñóùåñòâîâàëè ìèíèìóìû íóëåâîé èíòåíñèâíîñòè? Íàéòè íàïðàâëåíèÿ íà ýòè ìèíèìóìû. Ðåøåíèå äàòü àíàëèòè÷åñêè è ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé äèàãðàììû.
l/2
1
3l/4
2 Ð è ñ. 3.7
50
}
d
3
a Ð è ñ. 3.8
x
3.6. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà ýêðàíå â èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà. 3.7. Íàéòè äëèíó âîëíû l ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, åñëè â îïûòå Þíãà ðàññòîÿíèå ïåðâîãî èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà îò öåíòðàëüíîé ïîëîñû õ = 0,05 ñì. Äàííûå óñòàíîâêè (ðèñ. 3.8): a = 5 ì, d = 0,5 ñì. 3.8. Íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ äâóõ ïëîñêèõ âîëí îäíîé è òîé æå äëèíû l ñîñòàâëÿþò äðóã ñ äðóãîì ìàëûé óãîë j. Âîëíû ïàäàþò íà ýêðàí, ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïðèáëèçèòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íàïðàâëåíèþ èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Çàïèñàâ óðàâíåíèÿ îáåèõ âîëí è ñëîæèâ èõ ïîëÿ, ïîêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå Dõ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè èíòåðôåðåíöèîííûìè ïîëîñàìè íà ýêðàíå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì Dõ @ l/j (ðèñ. 3.9). 3.9. Êàê èçìåíèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ Dx â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, åñëè èíòåðôåðèðóþùèå ëó÷è ïàäàþò íà ýêðàí íå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íîðìàëè? 3.10. Íà ïóòè îäíîãî ëó÷à â èíòåðôåðåíöèîííîé óñòàíîâêå Þíãà ñòîèò òðóáêà äëèíîé l = 2 ñì ñ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ñòåêëÿííûìè îñíîâàíèÿìè è íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, êîãäà ýòà òðóáêà íàïîëíåíà âîçäóõîì. Çàòåì òðóáêó çàïîëíÿþò õëîðîì è íàáëþäàþò ñìåùåíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà N = 20 ïîëîñ. Âñÿ óñòàíîâêà ïîìåùåíà â òåðìîñòàò, ïîääåðæèâàþùèé ïîñòîÿííóþ òåìïåðàòóðó. Íàáëþäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ñî ñâåòîì ëèíèè D íàòðèÿ (l = 5890 Å). Ïðèíèìàÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà n = 1,000276, âû÷èñëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ õëîðà.  êàêóþ ñòîðîíó ñìåùàþòñÿ ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè ïðè íàïîëíåíèè ñîñóäà õëîðîì? 3.11. Íàéòè ÷èñëî ïîëîñ èíòåðôåðåíöèè N, ïîëó÷àþùèõñÿ ñ ïîìîùüþ áèïðèçìû Ôðåíåëÿ (ðèñ. 3.10), åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ åå n, ïðåëîìëÿþùèé óãîë a, äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà l. Ðàññòîÿíèÿ îò áèïðèçìû äî èñòî÷íèêà è ýêðàíà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû a è b. X
}
Dx
2
O
a
Z
}
j/2 j/2
1
a
Ð è ñ. 3.9
x
b
Ð è ñ. 3.10
51
3.12. Âûðàçèòü ðàññòîÿíèå õ îò öåíòðà èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû äî m-é ñâåòëîé ïîëîñû â îïûòå ñ áèïðèçìîé (ðèñ. 3.10). Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïðèçìû ï, äëèíà âîëíû l, ïðåëîìëÿþùèé óãîë a. Èíòåðôåðèðóþùèå ëó÷è ïàäàþò íà ýêðàí ïðèáëèçèòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. 3.13. Ïðåëîìëÿþùèé óãîë áèïðèçìû a = 3¢26¢¢. Ìåæäó òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà (l = 5000 Å) è áèïðèçìîé ïîìåùåíà ëèíçà òàêèì îáðàçîì, ÷òî øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ îêàçàëàñü íå çàâèñÿùåé îò ðàññòîÿíèÿ îò ýêðàíà äî áèïðèçìû. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè òåìíûìè ïîëîñàìè, åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà áèïðèçìû n = 1,5. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîëîñ N, êîòîðîå ìîæåò íàáëþäàòüñÿ â ýòîé óñòàíîâêå, åñëè îíî ïîëó÷àåòñÿ ïðè óäàëåíèè ýêðàíà îò áèïðèçìû íà L = 5 ì. 3.14. Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè ýêðàíà â óñòàíîâêå, îïèñàííîé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè ïðåëîìëÿþùèõ óãëîâ áèïðèçìû l = 4 ñì? ×åìó ðàâíî ýòî ÷èñëî ïîëîñ? Ïðè êàêîì ïîëîæåíèè ýêðàíà èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èñ÷åçíóò? 3.15. Ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ áèïðèçìû Ôðåíåëÿ ñ ìàëûì ïðåëîìëÿþùèì óãëîì è ùåëåâîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ïàðàëëåëüíîãî ðåáðó áèïðèçìû. Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íàáëþäàþòñÿ íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè óñòàíîâêè. Íóëåâàÿ ïîëîñà ïîëó÷àåòñÿ â öåíòðå ýêðàíà – íà îñè (òî÷íåå, â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè) óñòàíîâêè. Ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà äî áèïðèçìû ðàâíî à, îò áèïðèçìû äî ýêðàíà – b.  êàêóþ ñòîðîíó è íà êàêóþ âåëè÷èíó õ ñìåñòèòñÿ íóëåâàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîëîñà, åñëè ùåëåâîé èñòî÷íèê ñâåòà íåìíîãî ñìåñòèòü â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ê îñè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû, íà âåëè÷èíó h? 3.16. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà Sl è S2 (ðèñ. 3.11) ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå ÀÂ, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà ðàññòîÿíèå à = 2 ì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà
B a
S2 S1
a Ð è ñ. 3.11
52
A à Ð è ñ. 3.12
á
èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 25 ñì? Ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 1) ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêîâ äî ëèíçû ðàâíî 2f; 2) èñòî÷íèêè Sl è S2 íàõîäÿòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. 3.17. Èç ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f = 50 ñì âûðåçàíà öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü øèðèíû à, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.12, à. Çàòåì îáå ïîëîâèíû ëèíçû ñäâèíóòû äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ (ðèñ. 3.12, á). Ïî îäíó ñòîðîíó ëèíçû ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà (l = 6000 Å). Ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû ëèíçû ïîìåùåí ýêðàí, íà êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ ïîëîñû èíòåðôåðåíöèè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ñâåòëûìè ïîëîñàìè Dx = 0,5 ìì è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ýêðàíà âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Íàéòè à. 3.18. Íà ðèñ. 3.2 ïîêàçàíà èíòåðôåðåíöèîííàÿ ñõåìà ñ áèçåðêàëàìè Ôðåíåëÿ. Óãîë ìåæäó çåðêàëàìè a = 12¢, ðàññòîÿíèÿ îò ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ çåðêàë äî óçêîé ùåëè S è ýêðàíà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî b = 10 ñì è a = 130 ñì. Äëèíà âîëíû ñâåòà l = 0,55 ìêì. Îïðåäåëèòü: à) øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû íà ýêðàíå è ÷èñëî âîçìîæíûõ ìàêñèìóìîâ; á) ñäâèã èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå ïðè ñìåùåíèè ùåëè íà dl = 1 ìì ïî äóãå ðàäèóñà b ñ öåíòðîì â òî÷êå Î; â) ïðè êàêîé øèðèíå ùåëè dmax èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íà ýêðàíå áóäóò íàáëþäàòüñÿ åùå äîñòàòî÷íî îò÷åòëèâî? 3.19. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà äèàôðàãìó ñ äâóìÿ óçêèìè ùåëÿìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà d = 2,5 ìì. Íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì çà äèàôðàãìîé íà L = 100 ñì, îáðàçóåòñÿ ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå è â êàêóþ ñòîðîíó ñìåñòÿòñÿ ýòè ïîëîñû, åñëè îäíó èç ùåëåé ïåðåêðûòü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêîé òîëùèíû h = 10 ìêì? 3.20. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà S1 è S2 ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ íà ýêðàíå Ý, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà ðàññòîÿíèè L = 2 ì. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F = 40 ñì òàê, ÷òîáû èñòî÷íèêè S1 è S2 îêàçàëèñü â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû? 3.21. Êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçáðîñîì äëèí âîëí Dl. Êàêîìó ñîîòíîøåíèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè äëÿ íàáëþäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû? 3.22. Êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l èìååò ïîïåðå÷íûé ðàçìåð L. Îöåíèòü ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû îáëàñòè â îêðåñòíîñòè òî÷êè íàáëþäåíèÿ, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè à îò èñòî÷íèêà, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ñâåòîâîå ïîëå ñîõðàíÿåò êîãåðåíòíîñòü. 3.23. Íà êàêîì ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äîëæíû íàõîäèòüñÿ ùåëè â îïûòå Þíãà äëÿ òîãî, ÷òîáû íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèîííóþ 53
êàðòèíó îò èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà? Óãëîâîé ðàçìåð Ñîëíöà 32¢. Äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíîé 0,55 ìêì. 3.24. Íàéòè äëèíó êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ ðóáèíîâîãî ëàçåðà (l = 693,6 íì), åñëè øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ â äëèíàõ âîëí ðàâíà Dl = 1,6×10–17 ì. 3.25. Ñâåò îò ïðîòÿæåííîãî èñòî÷íèêà (ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî) S ïàäàåò íà íåïðîçðà÷íûé ýêðàí Ý, â êîòîðîì èìåþòñÿ äâà ìàëåíüêèõ îòâåðñòèÿ (ðèñ. 3.13). Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç îòâåðñòèÿ, íàáëþäàåòñÿ â òî÷êå Ð. Èñòî÷íèê ñâåòà è òî÷êà íàáëþäåíèÿ íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ýêðàíà. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îòâåðñòèÿìè èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè â òî÷êå íàáëþäåíèÿ èìååò îñöèëëèðóùèé õàðàêòåð. Îïðåäåëèòü ëèíåéíûé ðàçìåð b èñòî÷íèêà ñâåòà, åñëè 1-é ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè â òî÷êå Ð íàáëþäàåòñÿ ïðè d = d1 = 1 ñì, à àìïëèòóäà îñöèëëÿöèè ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ ïðè d = d2 = 20 ñì. Óñëîâèå d> w0), ïðåíåáðåãàÿ â (31) ñëàãàåìûìè ñ w20 è w2 ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè w4, ïîëó÷èì n2 = 1 -
e2N . e 0 mw2
(32)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ, ñêàæåì, ìåòàëëà äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå åäèíèöû, ò. å. äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé ìåòàëëè÷åñêàÿ ñðåäà îïòè÷åñêè «ìåíåå ïëîòíàÿ», ÷åì âîçäóøíàÿ, è ïðè íåêîòîðûõ óãëàõ ïàäåíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëíîå «âíóòðåííåå» îòðàæåíèå. Ââåäåì «êðèòè÷åñêóþ» ÷àñòîòó 12
æ e2N ö ÷÷ . wk = çç è e0 m ø Òîãäà ôîðìóëà (32) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 æw ö n2 = 1 - ç k ÷ . è wø
(33)
(34)
Ïðè wk > w âòîðîå ñëàãàåìîå â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (31) èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èìååò ìíèìóþ ÷àñòü è ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå âîëí. Ïðè w >> wk ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ® 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäà ñòàíîâèòñÿ ïðîçðà÷íîé äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ëó÷åé. Íàïðèìåð, ìåòàëëû â äîñòàòî÷íîé ìåðå ïðîçðà÷íû äëÿ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé. Ïðèìåð 5. Ãàçîðàçðÿäíàÿ òðóáêà S, èçëó÷àþùàÿ ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 6000 Å, ïîìåùåíà ìåæäó ïîëþñàìè ñèëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòà (ðèñ. 5.2), ñîçäàþùåãî ìàãíèòíîå ïîëå S íàïðÿæåííîñòüþ H = 8,3×106 À/ì. Ïðè z íàáëþäåíèè ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì íàïðàâëåíèþ l/4 N ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âìåñòî îäíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè âèäíû äâå Ð è ñ. 5.2 105
ëèíèè, äëèíû âîëí êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ îò l0 íà âåëè÷èíó ±Dl (ïðîäîëüíûé ýôôåêò Çååìàíà). Âû÷èñëèòü èçìåíåíèå äëèíû âîëíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè Dl â ìàãíèòíîì ïîëå è îïðåäåëèòü õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè íàáëþäàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Ðåøåíèå. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà â îòñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà äâà êîëåáàòåëüíûõ äâèæåíèÿ: âäîëü îñè z (îñü z íàïðàâëåíà ïî ñèëîâûì ëèíèÿì ìàãíèòíîãî ïîëÿ) è ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îñè. Ïðè ýòîì ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå ýëåêòðîíà ñ ÷àñòîòîé w0 â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè z, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðàâîãî è ëåâîãî êðóãîâûõ ðàâíîìåðíûõ äâèæåíèé ñ ÷àñòîòîé w0. Ïðè âêëþ÷åíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðîí íàðÿäó ñ êâàçèóïðóãîé ñèëîé íà÷íåò äåéñòâîâàòü ñèëà Ëîðåíöà r r r (35) FËîð = -e[v ´ B]. Òàê êàê ñèëà Ëîðåíöà äåéñòâóåò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè z, òî íàëè÷èå ýòîé ñèëû íå èçìåíèò õàðàêòåðà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà âäîëü îñè z, ò. å. â ýòîì íàïðàâëåíèè ýëåêòðîí áóäåò ïðîäîëæàòü ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå ñ ÷àñòîFËîð òîé w0. ×òî æå êàñàåòñÿ äâèæåíèÿ ýëåêe e vï òðîíà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè vë z, òî ñèëà Ëîðåíöà ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ Fï ÷àñòîòû êðóãîâûõ äâèæåíèé ýëåêòðîíà ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì ñëó÷àåì, êîãäà ïîëå îòñóòñòâîâàëî. Íîâûå ÷àñòîòû êðóãîâûõ äâèæåíèé ýëåêòðîíà îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé (ðèñ. 5.3): Ð è ñ. 5.3 kr - evë B = mw2ë r (äëÿ ëåâîãî äâèæåíèÿ); kr + evë B = mw2ï r (äëÿ ïðàâîãî äâèæåíèÿ). Ïîñêîëüêó vë = wër, vï = wïr, íàïèñàííûå ðàâåíñòâà ïðèíèìàþò âèä mw2ë r + ewë B - k = 0, mw2ï r + ewï B - k = 0.
(36)
Ðåøàÿ (36) îòíîñèòåëüíî wë è wï, ïîëó÷èì
106
wë = -
1 e B± 2m
k 1 e 2 B2 , + m 4 m2
wï = -
1 e B± 2m
k 1 e 2 B2 . + m 4 m2
(37)
Âûðàæåíèå ïîä êîðíåì ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: k 1 e 2 B2 1 e 2 B2 + = w0 1 + @ w0 , 2 m 4 m 4 m 2 w20 òàê êàê îáû÷íî ÷àñòîòà w0 äîâîëüíî âåëèêà, à e 2 B2 1. sin c e sin c o no ne Çäåñü èíäåêñû «o» è «e» ïðè sin a îçíà÷àþò, ÷òî ðå÷ü èäåò î ñèíóñå óãëà ïàäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â ïåðâîé ïîëîâèíå ïðèçìû. Çàêîíû ïðåëîìëåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà êðèñòàëëè÷åñêîé è âîçäóøíîé ñðåä ïðè âûõîäå ëó÷åé èç ïðèçìû: sin(c e - a) 1 sin(a - c o ) 1 , = ; = ne no sin c ¢e sin c ¢o ãäå (ce – a) – óãîë ïàäåíèÿ íà ãðàíèöó ðàçäåëà íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à, c ¢e – óãîë ïðåëîìëåíèÿ íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à íà óêàçàííîé ãðàíèöå. Òàêîé æå ñìûñë èìåþò àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îáûêíîâåííîãî ëó÷à (ðèñ. 6.2). Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ no, ne è a â çàïèñàííûå ôîðìóëû, ïîëó÷èì c ¢e = 2o14¢, c ¢o = 3o2¢. Óãîë ðàçâîäà ëó÷åé y = c ¢e + c ¢o = 5o16¢. Ïðèìåð 4. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ïîìåùåííóþ ìåæäó äâóìÿ íèêîëÿìè, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ îáðàçóþò ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè óãëû a è b. Èññëåäîâàòü ñëó÷àè ñêðåùåííûõ è ïàðàëëåëüíûõ íèêîëåé. Ðåøåíèå. Ïîä ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ íèêîëÿ ïîíèìàþò ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùóþ îïòè÷åñêóþ îñü è âåêòîð íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó, ò. å. ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ïðîèñõîäÿò êîëåáàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà íåîáûêíîâåííîé âîëíû. Îäèí èç íèêîëåé ïî óñëîâèþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðèçàòîðîì, âòîðîé – àíàëèçàòîðîì. Ñâåò, âûøåäøèé èç ïîëÿðèçàòîðà, ïîïàäàåò â êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ãäå ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, ïîëÿðèçîâàííûå âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàöèè îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí â êðèñòàëëå, à òàêæå ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà 123
D2
Ï
D¢2
E
a A2
A1
b
O
D¢1 Ð è ñ. 6.3
èçîáðàæåíî íà ðèñ. 6.3. Çäåñü ÎÏ, OA – ãëàâíûå ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà; OD1 è OD2 – ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè; OE – àìïëèòóäà ñâåòà, ïàäàþA ùåãî íà ïëàñòèíêó. Òàê êàê ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé D1 â ïëàñòèíêå ðàçëè÷íû, òî ïðîéäÿ ñêâîçü ïëàñòèíêó, óêàçàííûå ëó÷è ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü ôàç 2p (13) d = (ne – no)h, l
ãäå h – òîëùèíà ïëàñòèíêè, l – äëèíà âîëíû èñïîëüçóåìîãî ñâåòà, à no è ne – êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé. Àìïëèòóäà ñâåòà, âûøåäøåãî èç ïëàñòèíêè ñ ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè, ïàðàëëåëüíîé ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ OD1, OD1¢ = OE cos a. Äëÿ ñâåòà, ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíà ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ OD2, OD2¢ = OE sin a. Àìïëèòóäû ëó÷åé, ïðîïóùåííûõ àíàëèçàòîðîì: OA1 = OD1¢ × cos b = OE cos b cos a, (14) OA2 = OD2¢ × sin b = OE sin b sin a.
(15)
Ëó÷è, ïðîïóùåííûå àíàëèçàòîðîì, ÿâëÿþòñÿ êîãåðåíòíûìè ëó÷àìè, è òàê êàê èõ ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïàðàëëåëüíû, îíè èíòåðôåðèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ïîñêîëüêó ê òîìó æå íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòèõ ëó÷åé ñîâïàäàþò, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ñóììàðíîãî èçëó÷åíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos d,
(16)
ãäå d – ðàçíîñòü ôàç ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ëó÷àìè, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (13), OA12 OA22 , I2 = . (17) I1 = 2 2 Ñ ó÷åòîì (14), (15) è (17) ôîðìóëà (16) ïðèíèìàåò âèä I = I0 {cos2(a – b) – sin 2a sin 2b sin2d/2}, 2
(18)
OE – èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïàäàþùåãî íà êðèñòàëëè÷åñêóþ 2 ïëàñòèíêó. ãäå I 0 =
124
Ïóñòü ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð «ñêðåùåíû». Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãîë ìåæäó ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà (a – b) = 90o.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (18) ïðèíèìàåò âèä I^ = I0sin22a sin2d/2. (19) Åñëè (a – b) = 0 (ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð «ïàðàëëåëüíû»), òî I|| = I0(1 – sin22a sin2d/2). (20) Èíòåíñèâíîñòè (19) è (20) äîïîëíèòåëüíû, ïîñêîëüêó I^ + I|| = I0. Ïðèìåð 5. Íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïàäàåò íîðìàëüíî ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó. Ïðîøåäøèé ñâåò ïðîñìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç àíàëèçàòîð. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà, åñëè ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü àíàëèçàòîðà ñîñòàâëÿåò óãîë b ñ îäíèì èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé ïëàñòèíêè. Ðåøåíèå. Íàïðàâèì îñè ñèñòåìû êîîðäè- Y E íàò ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì êðèñòàëëè÷åñ- Ey êîé ïëàñòèíêè (ðèñ. 6.4) Äëÿ ñâåòà, ïîëÿðèa çîâàííîãî ïî êðóãó, (21) Ex = acost, Ey = asin t, A rr A1 ãäå t = wt – (kr). A2 b Íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè Ex = acos t, O Ex X Ey = asin(t + d), ãäå d – ðàçíîñòü ôàç, ïðèîáðåòàåìàÿ ëó÷àìè ïðè ïðîõîæäåíèè ñêâîçü Ð è ñ. 6.4 ïëàñòèíêó. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ àíàëèçàòîðà ñâåòîâûå ëó÷è èçìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó (22) EOA1 = E x cos b = a cos b cos t, é ù p ö æ EOA2 = E y sin b = a sin b sin(t + d) = a sin b cos êt + ç d + ÷ú . (23) 2 øû è ë Ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ñóììàðíîé èíòåíñèâíîñòè ïðè ñóïåðïîçèöèè êîãåðåíòíûõ ëó÷åé pö æ I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cosç d + ÷ 2ø è èëè (24) I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 sin d , ãäå I1 =
a 2 cos 2 b a 2 sin 2 b , I2 = . 2 2 125
Ïîäñòàâëÿÿ I1 è I2 â (24), íàõîäèì a2 (25) (1 + sin 2b sin d). I= 2 Ïðèìåð 6. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ëó÷ ïðîõîäèò ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, îäíî èç ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé êîòîðîé ñîñòàâëÿåò ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà óãîë i. Ðàçíîñòü ôàç, ñîîáùàåìàÿ ïëàñòèíêîé, ðàâíà d. Íàéòè: 1) îòíîøåíèå ïîëóîñåé ýëëèïñà êîëåáàíèé ïîëó÷åííîãî ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà; 2) óãîë ìåæäó ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè ïëàñòèíêè è ïîëóîñÿìè ýëëèïñà. Ðåøåíèå. Ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, êîëåáàíèÿ êîòîðûõ ïîëÿðèçîâàíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ.  ñèëó ðàçëè÷èÿ â ñêîðîñòÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòè âîëíû, ïðîéäÿ ñêâîçü ïëàñòèíêó, ïðèîáðåòàþò ôàçîâûé ñäâèã d, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (13).  ðåçóëüòàòå ñâåò, âûøåäøèé èç ïëàñòèíêè, îêàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííûì. Ïîêàæåì ýòî. Íàïðàâèì îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò OX è OY ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè (ðèñ. 6.5). Òîãäà âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëíàõ ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó (26) Ex = a1 cos t, Ey = a2 sin (t + d), rr ãäå t = wt – (kr); a1, a2 – àìïëèòóäû îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí ñîîòâåòñòâåííî; d – ôàçîâûé ñäâèã. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è a2 (27) = tg i, a1 ãäå i – óãîë ìåæäó ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà è ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì OX êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè. Y
x
z
E
a2
Ï
i q O
Ð è ñ. 6.5
126
a1
X
Ôîðìóëû (26) îïèñûâàþò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííóþ âîëíó. Ïåðåïèøåì èõ â âèäå Ey Ex = cos t, = cos(t + d). a1 a2 Îòñþäà Ey Ex sin(t + d) sin t = sin d, a1 a2 Ey Ex cos(t + d) cos t = 0. a1 a2
(28)
Âîçâîäÿ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, ïîëó÷èì æ Ex çç è a1
2
æE ö ÷÷ + ç y ça ø è 2
2
E E ö ÷ - 2 x y cos d = sin 2 d . ÷ a1 a 2 ø
(29)
Óðàâíåíèå (29) îïèñûâàåò ýëëèïñ, îñè êîòîðîãî â îáùåì ñëó÷àå íå ïàðàëëåëüíû îñÿì OX è OY. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî ïåðåéòè â ñèñòåìó êîîðäèíàò, îñè êîòîðîé Ox è Oz íàïðàâëåíû ïî îñÿì ýëëèïñà.  íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ýëëèïñà äîëæíî èìåòü êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó æ Ex ç çA è 1
2
2
ö æE ö ÷ + ç z ÷ = 1, ÷ çA ÷ ø è 2ø
(30)
à ýòî âîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðîåêöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà îñè íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó Ex = A1 cos(t + d0), Ez = ±A2 sin(t + d0),
(31)
ãäå d0 – íåêàÿ íà÷àëüíàÿ ôàçà. Íàëè÷èå äâóõ çíàêîâ â (31) óêàçûâàåò íà âîçìîæíîñòü äâóõ íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ êîíöà ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà, îïèñûâàþùåãî ýëëèïñ. Íîâûå êîìïîíåíòû Ex è Ez ñâÿçàíû ñ ïðåæíèìè êîìïîíåíòàìè Ex è Ey ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ex = Ex cos q + Ey sin q, Ez = –Ex sin q + Ey cos q,
(32)
ãäå q – óãîë ïîâîðîòà ñòàðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèí ïîëóîñåé ýëëèïñà A1 è A2 ñðàâíèâàåì (31) è (32) è, èñïîëüçóÿ (26), ïîëó÷àåì 127
A1(cos t cos d0 – sin t sin d0) = = a1 cos t cos q + a2(cos t cos d – sin t sin d) sin q, ±A2(sin t cos d0 + cos t sin d0) = = – a1 cos t sin q + a2(cos t cos d – sin t sin d) cos q.
(33)
Ïðèðàâíèâàÿ â ýòèõ âûðàæåíèÿõ êîýôôèöèåíòû ïðè cos t è sin t, ïîëó÷èì (33à) A1 cos d0 = a1 cos q + a2 cos d sin q, A1 sin d0 = a2 sin d sin q,
(33á)
± A2 cos d0 = – a2 sin d cos q,
(33â)
± A1 sin d0 = – a1 sin q + a2 cos d cos q. Âîçâîäÿ â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ (33à) è (33á), íàõîäèì A12 = a12 cos 2 q + a 22 sin 2 q + 2a1 a 2 cos q sin q cos d. Àíàëîãè÷íî äëÿ (33â) è (33ã) èìååì A22 = a12 sin 2 q + a 22 cos 2 q - 2a1 a 2 cos q sin q cos d. Èç (34) è (35) íàõîäèì A12 + A22 = a12 + a 22 . Óìíîæèâ (33à) íà (33â), (33á) íà (33ã) è ñëîæèâ, ïîëó÷èì ± A1A2 = a1a2 sin d. Èç (36) è (37) íàéäåì 2A A 2a a ± 2 1 2 2 = 2 1 2 2 sin d. A1 + A2 a1 + a 2 Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûé óãîë i¢ òàêîé, ÷òî A ± 2 = tg i¢. A1
(33ã) (34) (35) (36) (37) (38)
(39)
×èñëåííîå çíà÷åíèå tg i¢ îïðåäåëÿåò îòíîøåíèå îñåé ýëëèïñà, à çíàê ïðè tg i¢ õàðàêòåðèçóåò äâà âàðèàíòà, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè îïèñàíèè ýëëèïñà. Ñ ó÷åòîì (27) è (39) ôîðìóëà (38) ïðèíèìàåò âèä sin 2i¢ = (sin 2i¢) sin d. (40) Ôîðìóëà (40) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è. Ðàçäåëèâ (33â) íà (33à) è (33ã) íà (33á), ïîëó÷èì -a 2 sin d cos q A -a sin q + a 2 cos d cos q . (41) ± 2 = = 1 a 2 sin d sin q A1 a1 cos q + a 2 cos d sin q 128
Èç (41) íàõîäèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ q: (a12 - a 22 )sin 2q = 2a1 a 2 cos d cos 2q, èëè tg2q =
2a 1 a 2 a12 - a 22
cos d.
È íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ (27), ïîëó÷èì tg2q =
2tg i 1 - tg 2 i
cos d,
èëè tg 2q = (tg 2i) cos d.
(42)
Ôîðìóëà (42) îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè, ò. å. ðåøàåò âòîðóþ ÷àñòü çàäà÷è. Ïðèìåð 7. Íàéòè íàèìåíüøóþ òîëùèíó hmin ïëàñòèíêè êâàðöà, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ÷òîáû ïàäàþùèé ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò âûõîäèë ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó (ne = 1,5533, no = 1,5442, l = 5000 Å). Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (29) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè E x2 + E y2 = a 2 â òîì ñëó÷àå, åñëè a1 = a2 = a è sin d = ±1.
(43) (44)
 (44) çíàê «ïëþñ» ñîîòâåòñòâóåò ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè, çíàê «ìèíóñ» – ïðàâîé. Èç (44) ñëåäóåò, ÷òî d = (2m + 1)p/2 (m = 0, 1, 2, …). Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óñëîâèå âûðàæåíèå (13) äëÿ ôàçîâîãî ñäâèãà ìåæäó îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëíàìè, ïîëó÷èì 2p p (n e - n o )h = (2m - 1) , l 2 l (2m - 1)l . Îòñþäà h min = ò. å. h = = 0,014 (ìì). 4(n e - n o ) 4(n e - n o )
(45)
Ïðèìåð 8. Êîìïåíñàòîð Áàáèíå ïîìåùåí ìåæäó äâóìÿ «ñêðåùåííûìè» ïðèçìàìè Íèêîëÿ. Â êàêèõ ìåñòàõ êîìïåíñàòîðà íàáëþäàþòñÿ òåìíûå ïîëîñû, åñëè ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ no è ne äëÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí èçâåñòíû? 129
Ðåøåíèå. Êîìïåíñàòîð Áàáèíå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ëþáûå ðàçíîñòè ôàç ìåæäó h2 îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè, â òîì ÷èñëå è íóëåâûå. Êîìïåíñàòîð ñîñòîèò èç äâóõ êâàðöåâûõ êëèíüåâ (ïîëîæèòåëüíûé îäíîîñíûé êðèñòàëë) ñ îäèh1 íàêîâûìè îñòðûìè óãëàìè (ðèñ. 6.6).  îäíîì èç êëèíüåâ îïòè÷åñêàÿ îñü ïàÐ è ñ. 6.6 ðàëëåëüíà, à â äðóãîì ïåðïåíäèêóëÿðíà ðåáðó. Ïóñòü h1 è h2 – òîëùèíû êëèíüåâ â íåêîòîðîì îïðåäåëåííîì ìåñòå, à ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà êîìïåíñàòîð ñíèçó, íîðìàëüíî ê åãî ãðàíè. Òàê êàê îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, òî ïàäàþùèé ëó÷ ðàñùåïëÿåòñÿ íà îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Òàê êàê êðèñòàëë ïîëîæèòåëåí, òî vo > ve (no < ne) è îáûêíîâåííûé ëó÷ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîãî êëèíà áóäåò îïåðåæàòü ïî ôàçå íåîáûêíîâåííûé ëó÷ íà âåëè÷èíó 2p (46) d1 = (n e - n o )h1 . l Îäíàêî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó êëèíüÿìè îáûêíîâåííûé ëó÷ ñòàíîâèòñÿ íåîáûêíîâåííûì (ñì. ïðèìåð 3) è áóäåò îòñòàâàòü ïî ôàçå îò âòîðîãî ëó÷à íà âåëè÷èíó 2p (47) d 2 = (n e - n o )h 2 . l Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìè ëó÷àìè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç êîìïåíñàòîð áóäåò ðàâåí 2p (48) d = d1 - d 2 = (n e - n o )(h1 - h 2 ). l Åñëè çà êîìïåíñàòîðîì ïîñòàâèòü àíàëèçàòîð, òî â êîìïåíñàòîðå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ñèñòåìà òåìíûõ ïîëîñ, ðàñïîëîæåííûõ â òåõ ìåñòàõ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü êîìïåíñàòîð. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óñëîâèÿ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ðàññìîòðèì ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ óðàâíåíèÿ (29) â óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè Ey a (49) = (-1) m 2 . Ex a1 Òàêîå âûðîæäåíèå âîçìîæíî ïðè d = mp (m = 0, ±1, ±2, …). 130
(50)
Ïîäñòàâëÿÿ (50) â (48), ïîëó÷èì, ÷òî òåìíûå ïîëîñû áóäóò íàáëþäàòüñÿ â òàêèõ ìåñòàõ êîìïåíñàòîðà, äëÿ êîòîðûõ h1 - h 2 =
ml . 2(n e - n o )
(51)
Ïðèìåð 9. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ Dn äëÿ ïðàâî- è ëåâîêðóãîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà c äëèíîé âîëíû l = 5893 Å â êâàðöå, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â êâàðöå äëÿ ýòîé âîëíû ðàâíî 21,7o íà 1 ìì? Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî òåîðèè Ôðåíåëÿ, âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå îáúÿñíÿåòñÿ ðàçëè÷èåì â ñêîðîñòÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëåâî- è ïðàâîêðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, íà êîòîðûå â êàæäûé äàííûé ìîìåíò ìîæíî ðàçëîæèòü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò. Åñëè îáîçíà÷èòü ïðîåêöèè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà íà îñè êîîðäèíàò Ex, Ey òî, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó âûøå, ýòè ïðîåêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ïðîåêöèé êðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, ò. å. Ex = E x1 + E x2 , Ey = E y1 + E y2 ,
(52)
ãäå äëÿ êîìïîíåíò ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî ëåâîìó êðóãó, èìååì E x1 =
a a cos t1 , E y1 = sin t1 , 2 2
(53)
à äëÿ êîìïîíåíò ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî ïðàâîìó êðóãó, E x2 =
a a cos t 2 , E y2 = - sin t 2 . 2 2
(54)
v v h; t2 = vt + h, v1 v2
(55)
 ñâîþ î÷åðåäü, t1 = vt +
ãäå v1 è v2 – ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ëåâî- è ïðàâîêðóãîïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, h – òîëùèíà ïëàñòèíêè. Ïîäñòàâëÿÿ (53) è (54) â (52) è ó÷èòûâàÿ (55), ïîëó÷èì Ex = a cos æ c c ãäå Dn = çç è v1 v2
vh vh Dn cos t, Ey = a sin Dn cos t, 2c 2c
ö vh æ 1 1 çç + ÷÷ = n1 - n 2 , t = vt + 2 è v1 v2 ø
(56)
ö ÷÷ . ø 131
Îòíîøåíèå Ex /Ey äàåò çíà÷åíèå òàíãåíñà óãëà ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, ò. å. Ey vh (57) = tg j = tg Dn. Ex 2c Èç (57) ïîëó÷àåì j = ah, (58) vDn pDn ãäå a = – âðàùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü êðèñòàëëè÷åñêîé = 2c l0 ïëàñòèíêè, l0 – äëèíà èñïîëüçóåìîãî ñâåòà â âàêóóìå. Îòñþäà jl 0 Dn = @ 7,2 × 10 -5 . ph Ïðèìåð 10. Äèñïåðñèÿ âðàùåíèÿ êâàðöà, âûðåçàííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè, äëÿ æåëòîé îáëàñòè ñïåêòðà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè âðàùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè: l, Å
a, ãðàä/ìì
5269
27,543
5895
21,684
Çàâèñèìîñòü âðàùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè îò äëèíû âîëíû â óçêîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé B a = A + 2, l ãäå À è  – ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòü íàèìåíüøóþ òîëùèíó êâàðöåâîé ïëàñòèíêè h, ïîìåùåííîé ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè, ÷òîáû èç äâóõ ëèíèé íàòðèÿ l1 = 5889,953 Å è l2 = 5895,923 Å îäíà ïîëíîñòüþ ãàñèëàñü, à äðóãàÿ ïðîïóñêàëàñü íàïîëîâèíó. Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà, îïèñàííàÿ â çàäà÷å, íå ïðîïóñêàåò ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãîë ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè j äëÿ ñâåòà ýòîé äëèíû âîëíû äîëæåí áûòü ðàâåí p, ò. å. (59) p = a1h. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ïðè òîé æå òîëùèíå ïîâîðà÷èâàëà ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l2 íà óãîë p/4, ò. å. p/4 = a2h. (60) 132
Ïðè ýòîì (â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ìàëþñà) ÷åðåç àíàëèçàòîð áóäåò ïðîïóñêàòüñÿ ïîëîâèííàÿ èíòåíñèâíîñòü, êàê òðåáóåòñÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è. Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, B B (61) a1 = A + 2 , a1 = A + 2 . l1 l2 Ïîäñòàâëÿÿ (61) â (59) è (60), ïîëó÷èì æ æ Bö B p = çç A + 2 ÷÷ h, p 4 = çç A + 2 l1 ø l2 è è
ö ÷ h. ÷ ø
(62)
Èñêëþ÷èâ ïîñòîÿííóþ À, çàïèøåì æp B ö æ p B ö÷ ç ÷ ç ç h l2 ÷ = ç 4h - l2 ÷ . è è 1 ø 2 ø Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî h, íàõîäèì 3pl21 l22 3pl3 , h= @ 4B(l22 - l21 ) 8Bdl
(63)
ãäå dl = l2 – l1, l = (l1 + l2)/2, l21 l22 = l4 . Ïîäñòàâëÿÿ â (62) ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ èç òàáëèöû â óñëîâèå çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî B » 10–6 ãðàä×ìì. Ïîäñòàâëÿÿ â (63) íåîáõîäèìûå ÷èñëåííûå äàííûå, íàõîäèì h » » 2500 ìì. Ïðèìåð 11. ß÷åéêà Êåððà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíäåíñàòîð äëèíû l = 5 ñì ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïëàñòèíêàìè h = 1 ìì, ïîìåùåííûé â íèòðîáåíçîë, äëÿ êîòîðîãî ïîñòîÿííàÿ Êåððà B = 2 ×10–5 ã–1ñ2. Âñå óñòðîéñòâî íàõîäèòñÿ ìåæäó «ïàðàëëåëüíûìè» íèêîëÿìè N1, N2 è îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì (ðèñ. 6.7). Ê êîíäåíñàòîðó ïîä-
S N1
N2
Ð è ñ. 6.7 133
âåäåíî ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå ñ àìïëèòóäîé 6000  îò ãåíåðàòîðà ñ ÷àñòîòîé n = 107 Ãö. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ïðåðûâàíèé ñâåòîâîãî ïó÷êà, îñóùåñòâëÿåìûõ îïèñàííîé óñòàíîâêîé. Ðåøåíèå. Åñëè ìîëåêóëû æèäêîñòè, â êîòîðóþ ïîìåùåí êîíäåíñàòîð, îáëàäàþò äèïîëüíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè ìîìåíòàìè (ïîëÿðíûå ìîëåêóëû), òî ïðè ïîäà÷å íàïðÿæåíèÿ íà ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà îíè áóäóò âûñòðàèâàòüñÿ âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òàêîãî ðîäà æèäêîñòè áóäóò ðàçëè÷íûìè â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ.  îïòè÷åñêîì îòíîøåíèè æèäêîñòü ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà ïîäîáíà îäíîîñíîìó êðèñòàëëó ñ îïòè÷åñêîé îñüþ, ïàðàëëåëüíîé íàïðàâëåíèþ ñèëîâûõ ëèíèé ïîëÿ. Åñëè ÷åðåç ýòó æèäêîñòü ïðîïóñòèòü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, òî îí áóäåò ðàñïàäàòüñÿ íà îáûêíîâåííóþ è íåîáûêíîâåííóþ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà äàííîé äëèíû âîëíû ðàçíîñòü ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (ýôôåêò Êåððà), ò. å. (64) ne – no = kE2, ãäå k – ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò. Ïðîéäÿ ïóòü l, óêàçàííûå ëó÷è ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü õîäà d = l(ne – no) = klE2. (65) Åñëè ýòà ðàçíîñòü õîäà îêàæåòñÿ êðàòíîé äëèíå âîëíû ñâåòà l, òî ñâåò ñêâîçü îïèñàííîå óñòðîéñòâî ïðîõîäèòü íå áóäåò. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðåðûâàíèÿ ñâåòîâîãî ïó÷êà ÿ÷åéêîé Êåððà èìååò âèä ml = klE2, èëè (66) m = BlE2, k ãäå B = – ïîñòîÿííàÿ Êåððà. l Ïðè ïèòàíèè êîíäåíñàòîðà ïåðåìåííûì íàïðÿæåíèåì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ E çà ÷åòâåðòü ïåðèîäà èçìåíÿåòñÿ îò íóëÿ äî àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ U (67) E0 = 0 , h ãäå U0 – àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ, h – ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà. Ïðè ýòîì óñëîâèå ïðåðûâàíèÿ ñâåòîâîãî U2 ïó÷êà (66) âûïîëíÿåòñÿ m = Bl 20 ðàç. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åh íèÿ èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî m = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, çà ïåðèîä ñâåòîâîé ïó÷îê ïðåðûâàåòñÿ 16 ðàç. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàííîå óñòðîéñòâî îñóùåñòâëÿåò 16n = 1,6×108 ïðåðûâàíèé â ñåêóíäó. 134
Ïðèìåð 12. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü v ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîé r êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå ÷åðåç âåêòîðû ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè D è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîr ëÿ E ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. Ðåøåíèå. Èñõîäèì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ñðåäå, õàðàêòåðèçóåìîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ e (ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû m ïîëàãàåì ðàâíîé åäèíèöå).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èìåþò âèä r r r ¶B (68) rot E = - ; div D = 0; ¶t r r r ¶D ; div B = 0. rot H = ¶t r Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè B ñâÿçàí ñ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè r ìàãíèòíîãî ïîëÿ H ñîîòíîøåíèåì r r (69) B = m 0 H, ãäå m0 = 4p×10–7 Ãí/ì – ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ: r æ ¶E ¶E y ö r æ ¶E y ¶E x ö r ¶E ¶E z ö r ÷ e1 + æç x ÷ e 3 , (70) rot E = çç z ÷ e 2 + çç ÷ ¶y ÷ø ¶z ø ¶x ø è ¶z è ¶y è ¶x r , E – ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðãäå Ex, E E y z r r r äèíàò; e1 , e 2 , e 3 – åäèíè÷íûå âåêòîðû, íàïðàâëåííûå ïî îñÿì ýòîé ñèñòåìû.  òîé æå ñèñòåìå êîîðäèíàò r ¶Dx ¶Dy ¶Dz . (71) div D = + + ¶x ¶y ¶z r r Âèä, àíàëîãè÷íûé (70) è (71), èìåþò ñîîòâåòñòâåííî rot H è div B. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñðåäårðàñïðîñòðàr r íÿåòñÿ ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, òî âåêòîðû E, D è H èçìåíÿþòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó: rr r r E = E 0 e i(vt+kr) , rr r r D = D0 e i(vt+kr) , rr r r (72) H = H 0 e i(vt+kr) , 135
r r r ãäå E 0 , D0 è H 0 – ïîñòîÿííûå âåêòîðû (àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþùèõ r r âåëè÷èí); r – ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íàáëþäåíèÿ; k – âîëíîâîé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó (ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé ôàçû) è ðàâíûé r 2p r v r (73) k= N = N, l v r ãäå N – åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê âîëíîâîìó ôðîíòó, v – íîðìàëüíàÿ (ôàçîâàÿ) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå. r Äàëåå r íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü, íàïðèìåð, rot E, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð r E îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (72). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ E èç (72) â (70) è ïðîèçâåäÿ íåîáõîäèìîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èì rr æ ¶E z ¶E y ö ç ÷ = -i(k y E 0 z - k z E 0 y )e i(vt - kr) , ç ¶y ¶z ÷ø è rr æ ¶E x ¶E z ö ç ÷ = -i(k z E 0 x - k x E 0 z )e i(vt - kr) , ¶x ø è ¶z æ ¶E y ¶E x ç ç ¶x - ¶y è
rr ö ÷ = -i(k x E 0 y - k yz E 0 x )e i(vt - kr) . ÷ ø
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (70), íàõîäèì r r r rot E = -i{(k y E z - k z E y )e1 + (k z E x - k x E z )e 2 + r r r + (k x E y - k yz E x )e 3 } = -i[k ´ E], ò. å. r r r rot E = -i[k ´ E]. Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî r r r rot H = -i[k ´ H], r r r div D = (k × D), r r r div D = (k × B). r dD Âû÷èñëèì : dtr rr rr r r dD ¶ r i(vt - kr ) D0 e = = D0 ive i(vt - kr) = ivD, dt ¶t èëè r r dD = ivD. dt 136
(74) (75) (76) (77)
(78)
Àíàëîãè÷íî
r r dB (79) = ivB. dt Ïîäñòàâëÿÿ (74)–(79) â (68) è ó÷èòûâàÿ (69), ïîëó÷èì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä r r r 1 r r D = - [k ´ H], (k × D) = 0, v r r r 1 r r [k ´ E], (k × H) = 0. H= vm 0 r v r Òàê êàê k = N, òî îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì v r r r r 1 r D = - [N ´ H], (N × D) = 0, v r r r r 1 r (80) [N ´ E], (N × H) = 0. H= m 0v Äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìîãî âûðàæåíèÿ äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè r v èñêëþ÷èì H èç ïåðâîé ïàðû óðàâíåíèé (80).  ðåçóëüòàòå r r r r 1 [N ´ [N ´ E]]. D=2 m 0v Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàñêðîåì ïî ôîðìóëå r r r r r r r r r [a ´ [b ´ c]] = b(a × c) - c(a × b).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì r r r r r r r r r r r 1 1 {N(N × E) - E(N × N)} = {N(N × E) - E}, D=2 2 m 0v m 0v r r r òàê êàê (N × N) = N 2 = 1 (N – åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè). Îòñþäà r r r r r (81) m 0 v 2 D - E = -N(N × E). r Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (81) ñêàëÿðíî íà D, ïîëó÷èì r r r r r r m 0 v 2 D 2 - (E × D) = - (N × D)(N × E) = 0 (ñì. (80)). Îêîí÷àòåëüíî äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè èìååì r r (E × D) 2 . v = m 0 D2
(82) 137
r Ïðèìåð 13.  êðèñòàëëå çàäàí âåêòîð íîðìàëè N ê âîëíîâîìó ôðîíòó ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ r ñêîðîñòü ýòîé âîëíû ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðà N. Ðåøåíèå. Çàäà÷ó áóäåì ðåøàòü â òàê íàçûâàåìîé ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Ïîÿñíèì ýòî ïîíÿòèå. Äåëî â òîì, ÷òî êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ àíèçîòðîïíîé, ò. å. ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòîé ñðåäû çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðîìó ýòè ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ. Ôàêò çàâèñèìîñòè ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ êðèñòàëëà îò íàïðàâëåíèÿ íàõîäèò ñâîå âûðàæåíèå, â ÷àñòíîñòè, â òåíçîðíîì õàðàêòåðå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî r ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè r D è êîìïîíåíòàìè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E â êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå èìååò âèä Di = e 0 å e ij E j ,
(83)
j
–12
ãäå e0 = 8,85×10 Ô/ì – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðàçâåðíóòàÿ çàïèñü (83) èìååò âèä Dx = e0(exxEx + exyEy + exzEz), Dy = e0(eyxEx + eyyEy + eyzEz), Dz = e0(ezxEx + ezyEy + ezzEz),
(83a) r r Òàêèì îáðàçîì, ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ D è E îïðåäåëÿåòñÿ äåâÿòèêîìïîíåíòíîé âåëè÷èíîé, íàçûâàåìîé òåíçîðîì äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû: e ij
æ e xx ç = ç e yx çe è zx
e xy e yy e zy
e xz ö ÷ e yz ÷ . e zz ÷ø
(84)
Èç êóðñà òåíçîðíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òåíçîðîâ, îáëàäàþùèõ îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè (òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè eij êàê ðàç îòíîñèòñÿ ê òàêîìó êëàññó òåíçîðîâ), ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåìûé òåíçîð èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, ò. å. e ij
æ e xx ç =ç 0 ç 0 è
0 e yy 0
0 ö ÷ 0 ÷. e zz ÷ø
(85)
Ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ïðèíèìàåò äèàãîíàëüíûé âèä (85), íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé äè138
ýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Ïðè ýòîì âåëè÷èíû exx = ex, eyy = ey, ezz = ez íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè. Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû ex = ey = ez = e.  ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé ôîðìóëà (83à) ïðèíèìàåò âèä Dx = e0exEx; Dy = e0eyEy; Dz = e0ezEz, èëè, â áîëåå êîìïàêòíîé çàïèñè,
(86)
(87) Di = e0eiEi (i = x, y, z). r Ïóñòü âåêòîð D íàïðàâëåí ïî îñè x ñèñòåìû äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé. Òîãäà D 2 = e 20 e 2x E x2 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî (82) äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû çàïèøåòñÿ â âèäå a x2 = c 2 e x , èëè c , (88) ax = ex ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â ãäå ax – íîðìàëüíàÿ ñêîðîñòü r òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð D íàïðàâëåí âäîëü äèýëåêòðè÷åñêîé îñè x.  ñâîþ î÷åðåäü, ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå c ñâÿçàíà ñ ýëåêòðè÷åñêîé e0 è ìàãíèòíîé m0 ïîñòîÿííûìè ñîîòíîøåíèåì 1 . c2 = e0m 0 r Åñëè âåêòîð D íàïðàâëåí âäîëü îñè y, òî c , (89) ay = ey åñëè âäîëü îñè z, òî az =
c ez
.
(90)
Ôîðìóëû (88)–(90) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îäíîé ôîðìóëû c (i = x, y, z). (91) ai = ei Ñêîðîñòè ai íàçûâàþò ãëàâíûìè ñêîðîñòÿìè ñâåòà â êðèñòàëëå. Îòìåòèì, ÷òî ãëàâíûå ñêîðîñòè ax, ay è az íå îáðàçóþò âåêòîðà. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (81), êîòîðóþ çàïèøåì ÷åðåç ïðîåêöèè âåêòîðîâ íà îñè äèýëåêòðè÷åñêîé ñèñòåìû, ò. å. r r (92) m0v2Di – Ei = –Ni(N × E) (i = x, y, z). 139
Ó÷èòûâàÿ (87) è (91), ïåðåïèøåì (92) â âèäå r r e c2 Di = 2 0 2 N i (N × E). (v - a i )
(93)
Óìíîæèì îáå ÷àñòè (93) íà Ni è ïðîñóììèðóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà: r r N2 (94) åi N i Di = -e 0 c 2 (N × E)åi (v2 -i a 2 ). i ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òàê êàê rËåâàÿ r = (N × D) = 0 (ñì. (80)). Ñëåäîâàòåëüíî,
å (v i
N i2 2
- a i2 )
åN D = i
i
i
= 0,
èëè â ïîäðîáíîé çàïèñè, N x2 (v 2 - a x2 )
+
N y2 (v 2 - a y2 )
+
N z2 (v 2 - a z2 )
= 0.
(95)
Ôîðìóëà (95) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ôðåíåëÿ äëÿ íîðìàëüíîé ñêîðîñòè ñâåòà â êðèñòàëëå è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. r Ïðèìåð 14. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè N â êðèñòàëëå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâå âîëíû, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ðàçíûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Åñëè ýòè ñêîðîñòè ðàçëè÷íû, òî êàæäàÿ èç r âîëí ïîëÿðèçîâàíà ëèíåéíî, ïðè÷åì âåêòîðû D îáåèõ âîëí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ðåøåíèå. Ôîðìóëó (95) çàïèøåì â âèäå N x2 (v 2 - a y2 )(v 2 - a z2 ) + N y2 (v 2 - a x2 )(v 2 - a z2 ) + (96) + N z2 (v 2 - a x2 )(v 2 - a y2 ) = 0. Ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà îáîçíà÷èì f(v2). Òîãäà (96) ïðèíèìàåò âèä f(v2) = 0. (97) Óðàâíåíèå (97) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì îòíîñèòåëüíî v2, êîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå èìååò äâà êîðíÿ. Åñëè ýòè êîðíè áóäóò âåùåñòâåííûìè è r ïîëîæèòåëüíûìè, òî òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî, ÷òî â íàïðàâëåíèè N ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ äâå âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ax ³ ay ³ az. 140
(98)
Âûÿñíèì êà÷åñòâåííî, êàê âåäåò ñåáÿ ôóíêöèÿ f(v2). Òàê êàê Nx, Ny, Nz – êîìïîíåíòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà â äèýëåêòðè÷åñêèõ îñÿõ, òî èõ êâàäðàòû ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, à òàêæå óñëîâèå (98), èç (96) ïîëó÷èì f (a x2 ) = N x2 (a x2 - a y2 )(a x2 - a z2 ) ³ 0, f (a y2 ) = N y2 (a y2 - a x2 )(a y2 - a z2 ) £ 0, f (a z2 ) = N z2 (a z2 - a x2 )(a z2 - a y2 ) ³ 0. Ñäåëàâ ïðåäïîëîæåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè è äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè f(v2), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü – â òî÷êàõ v12 è v22 , ïðè÷åì a y £ v 1 £ a x, az £ v2 £ ay.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ax = ay = az (ñðåäà èçîòðîïíàÿ), v1 = v2 = v. Òàêèì îáðàçîì, êîðíÿì v1 è v2 óðàâíåíèÿ (97) ñîîòâåòñòâóþò äâå ñâåòîâûå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Òåïåðü âûÿñíèì âîïðîñ î ïîëÿðèçàöèè ýòèõ âîëí. Ñîãëàñíî (93) èìååì: r r e c2 Dx = 2 0 2 N x (N × E), v - ax Dy = Dz =
e0 c2 v 2 - a y2 e0 c2 v -a 2
2 z
r r N y (N × E), r r N z (N × E).
Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò îòíîøåíèå Ny N N Dx : Dy : Dz = 2 x 2 : 2 : 2 z 2. 2 v - ax v - ay v - az
(99)
Íàïèøåì àíàëîãè÷íûå îòíîøåíèÿ äëÿ äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ñ íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè v1 è v2: Ny N N D1x : D1y : D1z = 2 x 2 : 2 : 2 z 2; 2 v1 - a x v1 - a y v1 - a z D2 x : D2 y : D2 z =
Nx v -a 2 2
2 x
:
Ny v -a 2 2
2 y
:
Nz v - a z2 2 2
.
141
Ïðàâûå ÷àñòè íàïèñàííûõ îòíîøåíèé ïî ñìûñëó âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â íèõ, âåùåñòâåííû. Ñëåäîâàòåëüíî, âåùåñòâåííû è îòíîøåíèÿ D1x : D1y : D1z , D2 x : D2 y : D2 z . Ïîñêîëüêó îòíîøåíèÿ êîìïîíåíò ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí âåùåñòâåííû, ýòî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ñäâèãà r ôàç ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè. r Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû D1 è D2 êîëåáëþòñÿ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè, ò. å. îáå âîëíû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûìè. r r Íàêîíåö, äîêàæåì, ÷òî ïëîñêîñòè êîëåáàíèé âåêòîðîâ D1 è D2 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èñõîäèì èç (81), çàïèñàííîé äëÿ êàæäîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ âîëí: r r r r r m 0 v12 D1 - E1 = -N(N × E1 ), r r r r r m 0 v22 D2 - E 2 = -N(N × E 2 ). r r Óìíîæàÿ ñêàëÿðíî ïåðâîå óðàâíåíèå íà D2 , à âòîðîå – íà D1 è âû÷èòàÿ âòîðîå ïîëó÷èâøååñÿ ñîîòíîøåíèå èç ïåðâîãî, à òàêæå ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (80), ïîëó÷èì r r r r r r (100) m 0 (v12 - v22 )(D1 × D2 ) - [(D2 × E1 ) - (D1 × E 2 )] = 0. Òàê êàê â ñèñòåìå äèýëåêòðè÷åñêèõ îñåé D1i = e0eiE1i, D2i = e0eiE2i (i = x, y, z), r r r r òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (D2 × E1 ) = (D1 × E 2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, r r (101) (v12 - v22 )(D1 × D2 ) = 0. r r Åñëè v1 ¹ v2, òî (D1 × D2 ) = 0, ò. å. ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè âåêòîr r ðîâ D1 è D2 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Çàäà÷è 6.1. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü v ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â îäíîðîäíîé r êðèñòàëëè÷åñêîé ñðåäå ÷åðåç âåêòîðû rýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè D è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ðàññìàòðèâàåìîé âîëíû. r 6.2.  êðèñòàëëå çàäàí âåêòîð íîðìàëè N ê âîëíîâîìó ôðîíòó ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Âûðàçèòü íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü r ýòîé âîëíû ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðà N. 142
6.3. Ïðÿìàÿ, âäîëü êîòîðîé íîðìàëüíûå ñêîðîñòè îáåèõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â êðèñòàëëå, îäèíàêîâû, íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ ïåðâîãî ðîäà. Ïîêàçàòü, ÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâå îïòè÷åñêèå îñè, è, ðàññìîòðåâ ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ äâóîñíîãî êðèñòàëëà â îïòè÷åñêè îäíîîñíûé, âû÷èñëèòü â ýòîì ñëó÷àå íîðìàëüíûå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. 6.4. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè N â êðèñòàëëå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâå âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè íîðìàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Åñëè ýòè ñêîðîñòè ðàçëè÷íû, òî êàæäàÿ èç âîëí ïîëÿðèçîâàíà ëèr íåéíî, ïðè÷åì âåêòîðû D îáåèõ âîëí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 6.5. Ëó÷îì â êðèñòàëëå íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, íàïðàâëåííàÿ âäîëü âåêòîðà ïîòîêà ýíåðãèè (âåêòîðà Óìîâà – Ïîéíòèíãà). Âäîëü ëó÷åé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ âîëíû. Ñêîðîñòü âîëíîâîãî ôðîíòà âäîëü íàïðàâëåíèÿ ëó÷à íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ. Ïîêàçàòü, ÷òî ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü c íîðìàëüíîé ñêîðîñòüþ âîëíû v ñîîòíîøår r r u ñâÿçàíà íèåì v = u(Nj), ãäå j – åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü ëó÷à. 6.6. Ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì íàïðàâëåíèè êðèñòàëëà ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâà ëó÷à. Åñëè ëó÷åâûå ñêîðîñòè ýòèõ ëó÷åé r ðàçëè÷íû, òî îáà ëó÷à ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàíû, ïðè÷åì âåêòîðû E â íèõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 6.7. Ïðÿìàÿ, â íàïðàâëåíèè êîòîðîé ëó÷åâûå ñêîðîñòè îáîèõ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â êðèñòàëëå, îäèíàêîâû, íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ âòîðîãî ðîäà. Ïîêàçàòü, ÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâå îïòè÷åñêèå îñè âòîðîãî ðîäà è íàéòè èõ íàïðàâëåíèÿ. 6.8. Íàéòè âûðàæåíèå ëó÷åâîé ñêîðîñòè â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ëó÷à â îïòè÷åñêè îäíîîñíîì êðèñòàëëå. 6.9. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíûé óãîë d ìåæäó íàïðàâëåíèåì ëó÷à è íàïðàâëåíèåì âîëíîâîé íîðìàëè â èñëàíäñêîì øïàòå, äëÿ êîòîðîãî no = 1,658 è ne = 1,486. 6.10. Äâîÿêîïðåëîìëÿþùàÿ ïðèçìà (ðèñ. 6.8) èçãîòîâëåíà èç ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,66 è èñëàíäñêîãî øïàòà, äëÿ êîòîðîãî no = 1,66 è ne = 1,49. Îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà. Óãîë a = 30o. Íà ñòåêëÿííóþ ãðàíü ïðèçìû ïàäàåò a
q
Ð è ñ. 6.8
Ð è ñ. 6.9
143
íîðìàëüíî ê íåé ïó÷îê ñâåòà. Ðàññ÷èòàòü âåëè÷èíó óãëà ðàñõîæäåíèÿ y ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé íà âûõîäå èç ïðèçìû. 6.11. Óçêèé ïó÷îê åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l = 589 íì ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîâåðõíîñòü ïðèçìû Âîëëàñòîíà, ñäåëàííîé èç èñëàíäñêîãî øïàòà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.9. Îïòè÷åñêèå îñè îáåèõ ÷àñòåé ïðèçìû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë a ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè ïó÷êîâ çà ïðèçìîé, åñëè óãîë q = 30o. 6.12. Ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïàäàåò íà ïîëÿðîèä, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë j ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. Çà ïåðâûì ïîëÿðîèäîì ñòîèò âòîðîé, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîãî ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåãî ïó÷êà ñâåòà. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà âûõîäå ñèñòåìû, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà I0. 6.13. Ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò, èìåþùèé èíòåíñèâíîñòü I0, ïàäàåò íà ïîëÿðèçàòîð. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñêâîçü ïîëÿðèçàòîð. 6.14. Ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò, èìåþùèé èíòåíñèâíîñòü I0, ïàäàåò íà ñòîïêó èç òðåõ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïåðâûé è ïîñëåäíèé ïîëÿðèçàòîðû «ñêðåùåíû», à ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ñðåäíåãî îáðàçóåò óãîë j ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïåðâîãî. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà âûõîäå èç ñèñòåìû. 6.15. ×àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò (ñìåñü åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì) ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç àíàëèçàòîð. Ïðè ïîâîðîòå àíàëèçàòîðà íà 60o îò ïîëîæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàêñèìàëüíîé ÿðêîñòè, èíòåíñèâíîñòü ïó÷êà óìåíüøàåòñÿ âäâîå. Íàéòè: I - I min , ãäå Imax, Imin – ìàêñèà) ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ïó÷êà D = max I max + I min ìàëüíàÿ è ìèíèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç àíàëèçàòîð; á) îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòåé åñòåñòâåííîãî è ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. 6.16. Ïîñòðîèòü ïî Ãþéãåíñó âîëíîâûå ôðîíòû è íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â ïîëîæèòåëüíîì îäíîîñíîì êðèñòàëëå, îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî: à) ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ è ïàðàëëåëüíà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà; á) ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ ïîä óãëîì 45o ê ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà, è ñâåò ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îïòè÷åñêîé îñè. 6.17. Ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó ñâåò ïàäàåò íîðìàëüíî íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Çà ïëàñòèíêîé íàõîäèòñÿ ïîëÿðèçàòîð, ïëîñêîñòü ïðîïóñêàíèÿ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò óãîë j ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ïëàñòèíêè. Ïîêàçàòü, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ýòó ñèñòåìó: I = I0 (1 + sin 2j sin d), ãäå d – ðàçíîñòü ôàç ìåæäó îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè, êîòîðóþ âíîñèò ïëàñòèíêà. 144
6.18. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Íàéòè õàðàêòåð ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ïëàñòèíêó. 6.19. Êâàðöåâàÿ ïëàñòèíêà, âûðåçàííàÿ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ïîìåùåíà ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè òàê, ÷òî åå îïòè÷åñêàÿ îñü ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ïëîñêîñòÿìè ïðîïóñêàíèÿ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé òîëùèíå ïëàñòèíêè ñâåò ñ l1 = 643 íì áóäåò ïðîõîäèòü ÷åðåç ýòó ñèñòåìó ñ ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòüþ, à ñâåò ñ l2 = 564 íì áóäåò ñèëüíî îñëàáëåí? Ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ Dn = ne – no = 0,0090. 6.20. Êàê ñ ïîìîùüþ ïîëÿðîèäà è ïëàñòèíêè â ÷åòâåðòü âîëíû, èçãîòîâëåííîé èç ïîëîæèòåëüíîãî îäíîîñíîãî êðèñòàëëà (ne > no), îòëè÷èòü: à) ñâåò ëåâîïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó îò ïðàâîïîëÿðèçîâàííîãî; á) åñòåñòâåííûé ñâåò îò ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó è îò ñìåñè åñòåñòâåííîãî ñâåòà ñ ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó? 6.21. Ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè ïîìåñòèëè êâàðöåâûé êëèí ñ ïðåëîìëÿþùèì óãëîì q = 3,5o. Îïòè÷åñêàÿ îñü êëèíà ïàðàëëåëüíà åãî ðåáðó è ñîñòàâëÿåò óãîë 45o ñ ïëîñêîñòÿìè ïðîïóñêàíèÿ ïîëÿðèçàòîðîâ. Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ýòó ñèñòåìó ñâåòà ñ l = 550 íì íàáëþäàåòñÿ ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Øèðèíà êàæäîé ïîëîñû Dõ = 1,0 ìì. Îïðåäåëèòü ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ êâàðöà äëÿ íåîáûêíîâåííîãî è îáûêíîâåííîãî ëó÷åé óêàçàííîé äëèíû âîëíû. 6.22. Îäèí ïîëÿðîèä ïðîïóñêàåò 30 % ñâåòà, åñëè íà íåãî ïàäàåò åñòåñòâåííûé ñâåò. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòà ÷åðåç äâà òàêèõ ïîëÿðîèäà åãî èíòåíñèâíîñòü ïàäàåò äî 9 %. Íàéòè óãîë j ìåæäó îñÿìè ïîëÿðîèäîâ. 6.23. Ïëîñêàÿ âîëíà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ñîçäàåò â òî÷êå P èíòåíñèâíîñòü I0 (ðèñ. 6.10). Íà ïóòè âîëíû ñòàP âÿò äâå áîëüøèå ïëàñòèíêè â l/4, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïëàñòèíîê îðèåíòèðîâàíû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî. Íàéòè èíòåíñèâíîñòü I â òî÷êå Ð. 6.24. Èìååòñÿ ãîðèçîíòàëüíûé ïàðàëëåëüÐ è ñ. 6.10 íûé ïó÷îê ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Îáíàðóæåíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ïó÷êà ÷åðåç ïëàñòèêó â l/4 ïðè åe îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè ñâåò îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì ïîä óãëîì a1 = 23o ê âåðòèêàëè. Åñëè ïëàñòèíêó ïîâåðíóòü íà óãîë 90o, òî ñâåò ñíîâà îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûì ïîä óãëîì a2 = 83o ê âåðòèêàëè. Íàéòè îòíîøåíèå a/b ïîëóîñåé ýëëèïñà ïîëÿðèçàöèè è óãîë íàêëîíà j áîëüøîé ïîëóîñè. 145
6.25. Ðàñïîëîæèâ ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç êðèñòàëëà èñëàíäñêîãî øïàòà, ïàðàëëåëüíî åãî îïòè÷åñêîé îñè, ìåæäó ñêðåùåííûìè íèêîëÿìè ìîæíî îñóùåñòâèòü ìîíîõðîìàòîð, ïîçâîëÿþùèé, íàïðèìåð, çàäåðæàòü îäíó èç ëèíèé äóáëåòà íàòðèÿ è ïðîïóñòèòü äðóãóþ. Íàéòè, êàêîé äîëæíà áûòü ïðè ýòîì ìèíèìàëüíàÿ òîëùèíà dmin ïëàñòèíêè è êàê åå íóæíî îðèåíòèðîâàòü. Ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ èñëàíäñêîãî øïàòà äëÿ ëèíèè l1 = 589 íì ðàâíû ne1 = 1,48654 è no1 = 1,65846, äëÿ ëèíèè l2 = 589,6 íì ne2 = 1,48652 è no2 = 1,65843. 6.26. Ïëîñêàÿ ïîëÿðèçîâàííàÿ ïî êðóãó ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñâåòà äëèíû l è èíòåíñèâíîñòè I0 ïàäàåò íà äèñê, âûðåçàííûé èç èäåàëüíîãî ïîëÿðîèäà, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êîòîðîãî ðàâåí n. Äèñê çàêðûâàåò äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè Ð îäíó çîíó Ôðåíåëÿ. Êàêîâà äîëæíà áûòü òîëùèíà d äèñêà, ÷òîáû èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â äàííîé òî÷êå íàáëþäåíèÿ áûëà ìàêñèìàëüíîé? Íàéòè ýòó èíòåíñèâíîñòü. 6.27. Êðóãëîå îòâåðñòèå â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå îòêðûâàåò äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ îäíó çîíó Ôðåíåëÿ. Îòâåðñòèå çàêðûòî ïîëÿðîèäàìè òàê, ÷òî íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé â ïåðâîé è âòîðîé ïîëîâèíàõ çîí âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îòâåðñòèå îñâåùàåòñÿ ñâåòîì, ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ, åñëè â îòñóòñòâèå ýêðàíà îíà ðàâíà I0. Êàê áóäåò ïîëÿðèçîâàí ñâåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî ïîãëîùåíèå â ïîëÿðîèäàõ îòñóòñòâóåò. 6.28. Àáñîëþòíî ÷åðíàÿ ïëàñòèíêà ïëîùàäüþ S = 10 ñì2 îñâåùàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l = 700 íì, ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I = 30 Âò/ñì2. Êàêîé âðàùàþùèé ìîìåíò Ì èñïûòûâàåò ïëàñòèíêà? 3àâèñèò ëè Ì îò ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ïó÷êå? Êàê èçìåíèòñÿ âðàùàþùèé ìîìåíò, åñëè ÷åðíóþ ïëàñòèíêó çàìåíèòü íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó â l/4? Êàêóþ íàäî âçÿòü êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, ÷òîáû âðàùàþùèé ìîìåíò óäâîèëñÿ? 6.29. Íàéòè íàèìåíüøóþ òîëùèíó d ïëàñòèíêè êâàðöà, âûðåçàííîé ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, ÷òîáû ïàäàþùèé ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò âûõîäèë ïîëÿðèçîâàííûì ïî êðóãó (ïå = 1,5533, ïî = 1,5442, l = 5 × 10–5 ñì). 6.30. Ïðè êàêîé òîëùèíå ïëàñòèíêà èç èñëàíäñêîãî øïàòà ÿâëÿåòñÿ ïëàñòèíêîé â ÷åòâåðòü âîëíû äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l1 = 5880 Å è ìîæåò ïîâîðà÷èâàòü ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè íà 90o äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l2 = 5740 Å? Ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ äëÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé ïðèíÿòü ðàâíîé 0,2 äëÿ îáåèõ äëèí âîëí. Ñ÷èòàòü, ÷òî îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è èäóò ïî îäíîìó íàïðàâëåíèþ. 6.31. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó èñëàíäñêîãî øïàòà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè. Îïðå146
äåëèòü ðàçíîñòü õîäà D îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïëàñòèíêó. Òîëùèíà ïëàñòèíêè 0,03 ìì, ïo = 1,658, nå = 1,486. 6.32. Êàêîâà äîëæíà áûòü íàèìåíüøàÿ òîëùèíà d ïëàñòèíêè ñëþäû, ÷òîáû îíà ìîãëà ñëóæèòü â êà÷åñòâå ïëàñòèíêè â 1/4 âîëíû äëÿ ñâåòà íàòðèåâîãî èñòî÷íèêà, åñëè äëÿ ýòîãî ñâåòà ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ âîëí, èäóùèõ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëàñòèíêå, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû n1 = 1,5941, ï2 = 1,5887? 6.33. Íàáëþäàòåëü ñìîòðèò íà áëèçêèé ïðåäìåò ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ äâîÿêîïðåëîìëÿþùóþ ïëàñòèíêó èç èñëàíäñêîãî øïàòà è âèäèò äâà ïðÿìûõ óâåëè÷åííûõ èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòà, êîãäà ìåæäó ïëàñòèíêîé è ïðåäìåòîì ïîìåùåíà ñîáèðàþùàÿ ëèíçà íà ðàññòîÿíèè 4 ñì îò ïðåäìåòà. Ïîñëå òîãî êàê ê ëèíçå âïëîòíóþ ïðèëîæèëè ñîáèðàþùåå î÷êîâîå ñòåêëî ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé â 5 äïòð, ñòàëî âèäíî òîëüêî îäíî èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû. 6.34. Óçêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî ñíà÷àëà íà îäíó ïëàñòèíêó èñëàíäñêîãî øïàòà, à çàòåì íà âòîðóþ òàêóþ æå ïëàñòèíêó, ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü êîòîðîé îáðàçóåò ñ ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ ïåðâîé ïëàñòèíêè óãîë 30o, è ïàäàåò íà ýêðàí. Îïèñàòü ïîëó÷åííóþ êàðòèíó è íàéòè îòíîñèòåëüíóþ èíòåíñèâíîñòü íàáëþäàåìûõ íà ýêðàíå ïÿòåí. Ï ð è ì å ÷ à í è å: ïëàñòèíêè âûðåçàíû òàê, ÷òî îïòè÷åñêàÿ îñü êðèñòàëëà ñîñòàâëÿåò óãîë g ñ ïëîñêîñòüþ ïëàñòèíêè, ïðè ýòîì 0 £ g < 90°.
6.35.  èíòåðôåðåíöèîííîì îïûòå Þíãà ìåæäó ùåëüþ S è ùåëÿìè S1 è S2 (ðèñ. 6.11) ïîìåùåí ïîëÿðîèä P, ãëàâíûå îñè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ùåëÿì S1 è S2. Êàê èçìåíèòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà ýêðàíå, åñëè ùåëè S1 è S2 ïðèêðûòü ïëàñòèíêàìè â ïîëâîëíû, îðèåíòèðîâàííûìè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó (ïàðàëëåëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ùåëÿì)? ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïîëÿðîèä P ïîâåðíóòü íà 90o? Êàêàÿ êàðòèíà áóäåò íàáëþäàòüñÿ, åñëè óáðàòü ïîëÿðîèä? Ðàññìîòðåòü ýòó æå çàäà÷ó, åñëè âìåñòî ïëàñòèíêè â ïîëâîëíû èñïîëüçóåòñÿ ïëàñòèíêà â ÷åòâåðòü âîëíû. Ùåëè S1 è S2 ïðåäïîëàãàþòñÿ óçêèìè
S1 S P
S2
Ð è ñ. 6.11
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(øèðèíîé ïîðÿäêà äëèíû âîëíû), à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áîëüøèì ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ øèðèíîé. 6.36. Îïðåäåëèòü, âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ðàññìàòðèâàåìîãî ÷åðåç íèêîëü, ïðè ïîâîðîòå íèêîëÿ íà 60o ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæåíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòè. Ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà I - I min = 0,5. D = max I max + I min 6.37. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç ïîëÿðîèä. Íàéäåíî ïîëîæåíèå ïîëÿðîèäà, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòè ïðîøåäøåãî ñâåòà. Ïðè ïîâîðîòå ïîëÿðîèäà èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ íà óãîë a = 30o èíòåíñèâíîñòü ñâåòà óìåíüøàëàñü íà ð = 20 %. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Iê, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà Ië. 6.38. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç íèêîëü. Íàéäåíî ïîëîæåíèå íèêîëÿ, ïðè êîòîðîì èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà ìàêñèìàëüíà. Ïðè ïîâîðîòå íèêîëÿ îò ýòîãî ïîëîæåíèÿ íà íåêîòîðûé óãîë âîêðóã îñè ïó÷êà èíòåíñèâíîñòü ïðîõîäÿùåãî ñâåòà óìåíüøàåòñÿ â ò = 2 ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíîé è âî ñòîëüêî æå ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìèíèìàëüíîé. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè Iê ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Ië ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî. 6.39. Êàê èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé çàäà÷è, åñëè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò è ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó, áóäóò êîãåðåíòíû? 6.40. Ñìåñü ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, è åñòåñòâåííîãî ñâåòà ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åðåç êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó â ÷åòâåðòü âîëíû è íèêîëü. Ïðè âðàùåíèè íèêîëÿ âîêðóã îñè ñâåòîâîãî ïó÷êà íàéäåíî, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ñèñòåìó â ò = 3 ðàçà, ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíóþ èíòåíñèâíîñòü. Íàéòè îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà Iê, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ê èíòåíñèâíîñòè åñòåñòâåííîãî ñâåòà Iå. 6.41. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l, ïîëÿðèçîâàííûé ïî ïðàâîìó êðóãó, ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Íàéòè ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ýòó ïëàñòèíêó. 6.42. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïîëÿðîèä, à çàòåì íà ïëàñòèíêó â ïîëâîëíû. Ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ïîëÿðîèäà (â êîòîðîé ëåæèò ýëåêòðè÷åñêèé âåêòîð ïðîïóñêàåìîé èì âîëíû) ñîñòàâëÿåò óãîë a ñ îñüþ ýòîé ïëàñòèíêè. Íàéòè ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ïðîøåäøåãî ñâåòà íà âûõîäå èç ïëàñòèíêè â ïîëâîëíû. 148
6.43. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ïðîõîäèò ÷åðåç äâà íèêîëÿ, ãëàâíûå ïëîñêîñòè êîòîðûõ ïîâåðíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë a = 20o. Ìåæäó íèêîëÿìè ñòàâÿò ïëàñòèíêó îäíîîñíîãî êðèñòàëëà, âûðåçàííóþ ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè è âíîñÿùóþ ðàçíîñòü õîäà l/2 ìåæäó îáûêíîâåííûì è íåîáûêíîâåííûì ëó÷àìè. Êàêîé óãîë b äîëæíà ñîñòàâëÿòü îïòè÷åñêàÿ îñü ïëàñòèíêè ñ ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì ïåðâîãî íèêîëÿ, ÷òîáû ñâåò ÷åðåç ýòó ñèñòåìó íå ïðîøåë? 6.44. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ÿðêîñòåé äâóõ ïîâåðõíîñòåé, îñâåùàåìûõ íåïîëÿðèçîâàííûì ñâåòîì, îäíó èç íèõ ðàññìàòðèâàþò íåïîñðåäñòâåííî, à äðóãóþ ÷åðåç äâà íèêîëÿ. Êàêîâî îòíîøåíèå ýòèõ ÿðêîñòåé, åñëè îñâåùåííîñòü îáåèõ ïîâåðõíîñòåé êàæåòñÿ îäèíàêîâîé ïðè óãëå ìåæäó íèêîëÿìè a = 60o? Ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåðè ñâåòà â êàæäîì íèêîëå íà îòðàæåíèå è ïîãëîùåíèå ñîñòàâëÿþò ð = 10 % îò ïàäàþùåãî ñâåòà. 6.45. Íåêîãåðåíòíàÿ ñìåñü íåïîëÿðèçîâàííîãî, ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé àíàëèçèðóåòñÿ ïðè ïîìîùè áûñòðî âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿðèçàòîðà è ôîòîïðèåìíèêà, òîê êîòîðîãî çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ñâåòà. Îêàçàëîñü, ÷òî ãëóáèíà ìîäóëÿöèè ôîòîòîêà ò1 = 0,1. Ïîñëå óñòàíîâêè íà ïóòè ëó÷åé ïëàñòèíêè l/4 áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ñâåò ïî-ïðåæíåìó ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîãåðåíòíóþ ñìåñü íåïîëÿðèçîâàííîãî, ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà è ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, íî òåïåðü ãëóáèíà ìîäóëÿöèè ôîòîòîêà ñîñòàâèëà m2 = 0,2. Îïðåäåëèòü ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. 6.46. Ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ïàäàåò íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó, çà êîòîðîé óñòàíîâëåí àíàëèçàòîð. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæåíèå êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîì èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, âûøåäøåãî èç àíàëèçàòîðà, íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ àíàëèçàòîðà è ðàâíà I1.  îòñóòñòâèå ïëàñòèíêè ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïîñëå àíàëèçàòîðà, ñîñòàâèëà I2. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ïîëóîñåé ýëëèïñà ïîëÿðèçàöèè. 6.47. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàíà. Äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà êîëåáàíèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî à è b. Êàêóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó íàäî ïîñòàâèòü íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è êàê åå îðèåíòèðîâàòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé ïî êðóãó: 1) ñ òåì æå íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ; 2) ñ ïðîòèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ? 6.48. Íà ïëîñêèé ýêðàí, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ïîëÿðîèäíûõ ïîëóïëîñêîñòåé, ãðàíè÷àùèõ äðóã ñ äðóãîì âäîëü ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíî ïàäàåò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, ïîëÿðèçîâàííûõ ïî êðóãó (ðèñ. 6.12). Îñè ïîëÿðîèäîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà ðàâíà I0. Îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòü I ñâåòà â òî÷êå P, ðàñïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè 149
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P Ð è ñ. 6.12
Ð è ñ. 6.13
ýêðàíà è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ìåæäó ïîëÿðîèäàìè. Êàê áóäåò ïîëÿðèçîâàí ñâåò â òî÷êå P? 6.49. Ïëîñêàÿ âîëíà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà äëèíû l, ïîëÿðèçîâàííîãî ïî êðóãó, ñîçäàåò â òî÷êå P èíòåíñèâíîñòü I0. Íà ïóòè âîëíû ñòàâÿò áîëüøóþ ïëàñòèíêó èç èäåàëüíîãî ïîëÿðîèäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 6.13. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà ïîëÿðîèäà ï. Íàéòè òîëùèíó d ïëàñòèíêè, ïðè êîòîðîé èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå P áóäåò ìàêñèìàëüíîé. ×åìó ðàâíà Imax? 6.50. Ïëîñêàÿ âîëíà êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèè (äëèíà âîëíû l) ïàäàåò íà ïîëóáåñêîíå÷íûé ýêðàí (ðèñ. 6.13), èçãîòîâëåííûé èç ïîëÿðîèäà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ äëÿ ðàçðåøåííîãî íàïðàâëåíèÿ ï (ï – 1 r0, ãäå r – ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ïó÷êà, t1 = 2 oC, r0 = 2 ìì. Íàéòè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå è çíàê íàâåäåííîé â æèäêîñòè ëèíçû, åñëè dn/dt = –4×10–4 Ê–1.
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