О равновесии и движении жидкости при взаимодействии ее частиц

О РАВН0ВМ1И И ДВИЖЕНШ ЖИДКОСТИ

ПРИ В З А Ш Д Ш Т В И ЕЯ ЧАСТЙЦЪ.

При изученш и изсл1>доваши вопроса о фигур* земли при­ шлось мн* заняться общею Teopiero равнов!>е1я и движешя жидкости при взаимодФйствш ея частицъ и придти къ н*которымъ выводамъ, относящимся къ этой теорш. Не встречая ихъ въ изв'Ьстныхъ MHt трудахъ ученыхъ по гидростатика и гидродинамика и признавая ихъ не лишенными интереса, я решаюсь обратить на нихъ внимаше публики.

1. Пусть требуется определить положешя равнов*с1я сплош­ ной однородной жидкой массы М, частицы которой взаимно притягиваются пропорщонально разстояшямъ и, кром* того, подвержены д*йетв1ю тяжести. Возмемъ систему осей х, у, z такъ, чтобъ направлеше оси % было противоположно направлешю тяжести; означимъ чрезъ Д плотность жидкости, чрезъ [л притяжеше единицы массы на разстояши равномъ единиц*. Известное дифференщальное уравнеше свободной поверхности жидкости въ равHOBtcin

1 xz)-

Уравнения (2) могутъ иметь несколько системъ решешй: каждая система дейетвительныхъ решенш будетъ соответ­ ствовать особому положешю равновешя жидкости. Разсмотримъ некоторые частные случаи. a) Жидкость свободна (не заключена въ сосудъ). Вся по­ верхность жидкости будетъ въ этомъ случае свободною по­ верхностью: жидкая масса должна быть жидкою сферою. Урав­ нения (2) обращаются въ 4>

М== ~ъаг\

X — OÙ,

у = у, z = z—h

Первое изъ этихъ уравненш определяете г, послелнее по­ казываете, что равновееае возможно только тогда, когда Л=0, когда g = О, когда тяжесть на частицы жидкости не дей­ ствуете, я, у и 1 остаются совершенно произвольными. b) Жидкость не свободна. Несвободною поверхностью жид­ кости, внутреннею поверхностью заключающаго жидкость сосуда, пусть будетъ горизонтальная плоскость. Примемъ эту плоскость за плоскость ху. Жидкая масса въ настоящемъ случае должна иметь форму сферическаго сегмента. Уравнешя (2) обращаются въ M

: тсД U ^3 — (h—z)

г?

+ -3 (*—*)* h * = х, у=^у,

('+»-'./ 7 = 7 _ J + ' 34 (2г +А—7) Первое и последнее изъ этихъ уравненШ опред'Ьляютъ г и 7; второе и трет1е показываютъ, что œ шу суть величи­ ны совершенно произвольные. До сихъ поръ мы разсматривали жидкость однородную. Положить теперь, что данная намъ жидкость разнородна, что она состоитъ изъ двухъ жидкостей, изъ которыхъ одна им1>етъ массу M и плотность а, другая — массу М' и боль­ шую плотность Д'. -— Зная, что частицы разнородной жид­ кой массы въ paBHOBtcin составляютъ однородные слои уров­ ня и проч., заключаемъ, что уравнеше свободной поверхно­ сти будетъ

(*_*)* + Су-уУ + Çz-h - zf = r\ что уравнеше поверхности, отделяющей массу M отъ массы М', будетъ Постоянныя г, г, w, у, 1 определятся изъ уравненШ M' = frfM', M = Г dU,

х (м + м') = Г х m + Çx'dW, (3)

У(М+М')= ( V dm + Г y' dwr, ~z (M 4- M') == Г z'd M +

fz'tfM'.

Если жидкая масса свободна и частицы ея не подвержены д1зйствт тяжести, то

м'=|тгду з ,м=-^ А 0 3 — 0> * = *, » = », 1 = т

_ 5 — Вотъ какъ легко и полно решаются вопросы о равнов^сш жидкости, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально разетояшямъ! Столь же полно, но не столь же легко, путемъ сейчасъ указанньшъ решаются вопросы о равновъсш жидкости при другихъ законахъ взаимод,Ьйств1я ея частицъ. Пусть, на прим'бръ, требуется определить положешя равHOB^cifl однородной жидкой массы, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально кубамъ ^разетояшй. Дифференщальное уравнеше свободной поверхности жид­ кости будетъ dx\\

Cr2 (V — х) dx'dydz +ау\\

J г2 {у — у) dxdy'dz' +

+ dz Г Г \r2 (z—z) dx'dt/dz = О, (4) гд* г2 = (x'-xf 4- (Г—У)2 + (*' - *)2Взявши начало координатъ въ центр* тяжести жидкости, оси координатъ по направленш главныхъ осей инерщи жид­ кой массы, выведя ху у и s въ ур. (4) изъ подъ знаковъ интеграловъ и положивши [{[xndxrdyrdzf ÇÇÇy'*dx'dy'dz

= A, =В,

ÇÇÇz'*dx'dy'dz' = C>

ЯР

{хп + ул + s'2) x'dx'dy'dz' = D,

(хп + у" + zn) y'dx'dy'dz = Е, (хп + уп + zn) z'dx'dy'dz' = F,

(5)

— 6— получимъ M - (хй + у2 + zs) (xdx + y(fy H- «&) -j+ (A H- В -f- C) (жЖв + tjdij + zrfz) -f + 2 (Aa;«fcc + Byrfy _|_ Czdz) — Ddx — Edy — Fdz = 0. Интегращя даетъ M + 4 (A^r2 -f By2 + (V) — 4 (Da; + Ey + F*) = G. Вотъ уравнеше свободной поверхности жидкости. Для определешя постоянныхъ А, В, С, D, Е, F и G должны послужить ур. (5) и уравнеше

2. Положешя равновешя системы отличаются, какъ известно, отъ другихъ возможныхъ для системы положешй гЬмъ, что при нихъ функщя силъ имеетъ наибольшую или наимень­ шую величину, — Попытаемся на основанш этого свойства определить положешя равновешя свободной однородной жид­ кой массы М, частицы которой взаимно притягиваются пропорщально разетояшямъ. Для п точекъ, взаимно притягивающихся пропорцюнально разетояшямъ, функщя силъ U, какъ не трудно убедиться, определится уравнешемъ п

и

п

k l кУ+(îfi tjkf+{Zi ZkY = - lZm*lr &* °° ~ ~ î î

l

Въ случае непрерывной однородной массы, плотность ко­ торой есть Д,

— 7 —

Заменивши въ этомъ уравненш прямолинейныя координаты сферическими, положивши: х. = г cos fcos I, y.=r cos f sin I, zi = r sin f, xh == p cos 9 cos \ yk == p cos cp sm X, г& = p sin 9, получимъ U = —i^(T(V2cos/d/Wdr Г(Т|г2+р2 — — 2rp {cosfcoslcos 9 cos X -f~ cosfsinlcos 9 smÀ-f -f- sm / ш Ф) [ p2 cos 9 dodXdp.

(6)

Допуетимъ, что начало осей координата взято внутри мас­ сы и что каждый рад1усъ векторъ встречаете поверхность массы въ одной только точке. Решеше задачи, которую мы себе предложили, должно со­ стоять въ определенш частныхъ значешй изменяющихся по виду функщй г и р подъ услов!ями; а) чтобъ вар!ащя шестикратнаго интеграла U (ур. 6) равнялась нулю; Ъ) чтобъ шести­ кратный интегралъ I I I Дг2 cos f dfdldr J I j A^cos^d^dldp равнялся M2; с) чтобъ г и ея вар!ащя были точно такими же функщями f и I, какими функщями

*= * •

Первое уравнеше опредФляетъ а; два ел^дующихъ даютъ: J * = 0, t/"= 0; последнее ноказываетъ, что 7 есть величина совершенно произвольная.

4. Интересно наследовать болФе сложные случаи движешя жидкости, частицы которой взаимно притягиваются пропорцюнально разстояшямъ. Для такого изслЪдовашя необходимо познакомиться съ некоторыми общими свойствами равнов'ЬЫя и движешя жидкости. Познакомимся же съ ними. Пусть мы имФемъ жидкую массу въ равнов^сш. Возмемъ внутри ея какую нибудь точку т. Отъ точки m проведемъ рядъ какихъ нибудь лиши siy s 2 ,.... къ свободной поверхности. На основаши того, что давлеше во ве£хъ точкахъ свободной поверхности одинаково по величин* (равно нулю, если нФтъ вн^шняго давленш), заключимъ, что интегралы

Л*"/!** • взятые по лишямъ *4, s2, отъ точки m до свободной по­ верхности, равны между собою (каждый изъ интеграловъ ра­ вняется давлешю на свободной поверхности безъ давлешя въ точк* т). Уравнешя равнов^шя жидкости ах

dy

заключаюгщяея въ одномъ уравнения

dz

— 12 —

убФдятъ за тФмъ въ равенства между собою интеграловъ

JAS,*,, pà$ ds , 2

2

Если лишя sn перееФкаетъ въ двухъ точкахъ свободную поверхность, то J ASnc/5n, взятый между точками свободной поверхности, равенъ нулю. Пусть жидкость свободна. На основанш сказаннаго сейчасъ заключаемъ: а) о равенства нулю интеграловъ \aXdx,

iäYdy,

\tJLdz4

взятыхъ между точками поверхности жидкости по лишямъ параллельнымъ осямъ координатъ; Ь) о равенств* нулю интеграловъ

Г XüXdxdy, f ïàXdxdz, J \Mdxdtj,

J iùJdydz,

I |AZ(tedi8,| J \Mdydz, взятыхъ между точками поверхности жидкости по плоскостящъ параллельнымъ плоскостямъ координатъ; с) о равенств* нулю интеграловъ I | | äXdxdydz,

| I J àYdœdydz,

I | l àZdxdydz,

распространенныхъ на всю массу яшдкоети.

— 13 — Прим^неше сд^ланныхъ сейчасъ выводовъ къ двяжешю сво­ бодной жидкой массы приводитъ къ уравнешямъ

| А ( х -ж)* с = 0 '

K Y -^> = °-

(Ю)

/ / Д ( X -^) r f ^=JJ A (Y-J)H=,.MI (11)

HfA(Y~^f)dxdydz^>

(12)

JJJ A ( z ~S) da; ^ 2==o 5. Воспользуемся выводами предыдущего параграфа такой задачи: определить движеше свободной о Г Р *" ДНо Р°Дн о й жидкой массы М, частицы которой вза И м н о пп ° ЯГИва ются пропорцюнально разстояшямъ и которой в ъ „ ~ жея1Я Дана форма эллипсоида вращешя (начальны«ZT ***' ск частицъ жидкости, положимъ, равны ну д ю ). рости

Шен1я

На

основаншур- (12), обращающихся для нашего с

лг_0 ъ .яключимъ,

n

лучаявъ

dv

что центръ тяжести ж И д К о с т и

^ о с р « « -

"

«

^

Въ

начал.

Д ш ш ^ Г ^ ^

_ и— тяжести жидкости былъ центръ эллипсоида, служившаго на­ чальною поверхностью жидкости; эта точка будетъ следова­ тельно центромъ тяжести жидкости во все время движешя. Примемъ ее, для упрощешя формулъ, за начало координатъ. Уравнешя (10) для нашего случая обращаются въ etх

,-—, d y

d z

_____

и даютъ по интеграцш и по надлежащемъ определенш npt)извольныхъ постоянныхъ 7=Г 0 со*(/\/(/Л1), ^f=^\cos(t\/ijM)}

l7=70cos(t\/iLM).

(13)

Время I считаемъ мы отъ момента начала движешя. Уравнешя (13) даютъ возможность определять движешя центровъ тяжести частицъ жидкости, находящихся на лшияхъ параллельныхъ осямъ координатъ, находящихся на какихъ бы то нибыло прямыхъ лишяхъ. Прежде чемъ пойдемъ далее въ решепш задачи, упростимъ ее. Весьма легшясоображешя приводятъ къ тому заключенно, что поверхность жидкой массы во все время движешя будетъ поверхностью вращешя около оси вращешя начальной по­ верхности. Если такъ, то решете вопроса о движенш жид­ кости, объ измененш со временемъ формы ея поверхности, приводится къ решешю вопроса объ измененш со временемъ формы одного изъ мерщданныхъ сеченШ. Возмемъ ось z по оси вращешя. Плоскость, заключающую мерид!анное сечеше, изменеше формы котораго со временемъ мы хотимъ определить, примемъ за плоскость xz. Уравнеше начальнаго меридшннаго еечешя будетъ

Въ плоскости xz возмемъ новую систему осей ££, имеющихъ тоже начало, но наклоненныхъ къ осямъ х и z на уголъ ср. Формулы преобразования координатъ даютъ

_

45 —

x — \cos^ — £smç

\ — xcos(% 4~ zsin(f

£ = Свшр + ('COS©

£ = — xsino 4~ zcos'$

Зам'Ьнивъ а? и z въ ур. (14) ихъ величинами изъур. (15), получимъ Ьй [l2cos2