Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС: Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет»

Утверждаю в печать Ректор университета д-р техн. наук ___________ С.Н. Иванченко «______» _______________ 2003 г.

В. А. Лашко, М. В. Лейбович

МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ В РАСЧЕТАХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИЛОВЫХ УСТАНОВОК С ДВС Учебное пособие

Авторы: В. А. Лашко ________________________ М. В. Лейбович ____________________ _ Научные редактор: А. И. Каминский ____________

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хабаровский государственный технический университет»

В. А. Лашко, М. В. Лейбович

Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок c ДВС

Утверждено издательско-библиотечным советом университета в качестве учебного пособия

Хабаровск Издательство ХГТУ 2003

УДК 621.431 ББК ЗЗ65 Л32 Рецензенты: кафедра "Тепловозы и тепловые двигатели" Дальневосточного государственного университета путей сообщения (заведующий кафедрой, ректор ДГУПС, профессор В.Г. Григоренко) Доронин В. И., доктор технических наук, профессор заведующий кафедрой "Теоретическая механика" Дальневосточного государственного университета путей сообщения заслуженный деятель наука Российской Федерации Научный редактор

Лашко В. А., Лейбович М. В. Л32 Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС: Учебное пособие. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та. 2003. – 211 с. ISBN 5-7389-0233-5 Крутильные колебания в сложных механических системах являются теми важными динамическими процессами, исследование которых требует привлечение современных методов. К ним относятся матричные методы, позволяющие наиболее просто представить все расчетные уравнения, данные и результаты. Матричные формы записи уравнений движения крутильно-колебательной системы со многими степенями свободы удобны для расчетов по определению амплитудно-частотных характеристик при помощи ЭВМ. Работа предназначена для студентов специальностей "Двигатели внутреннего сгорания", "Энергетические силовые установки" при изучении курса "Крутильные колебания силовых установок". Учебное пособие будет полезно аспирантам, специалистам, занимающимся вопросами динамики двигателей и теорией колебаний динамических систем, а также студентам механических специальностей. УДК 621.431 ББК

ISBN 5-7389-0233-5 © Издательство Хабаровского государственного технического университета, 2003 © Лашко В. А., Лейбович М. В., 2003

3

ВВЕДЕНИЕ Методы расчета крутильных колебаний валопровода силовой установки с двигателем внутреннего сгорания (ДВС) имеет давнюю историю. Однако в связи с бурным развитием компьютерной техники, методов вычислительной математики и со значительным усложнением создаваемой конструкции машин и механизмов подходы к расчету крутильных колебаний требуют пересмотра и существенной корректировки. Особенно актуально и своевременно решение этих вопросов при подготовке инженеров по различным техническим направлениям и, в частности, по специальностям 101200 “Двигатели внутреннего сгорания” и 240500 “Эксплуатация судовых энергетических установок”. К этому следует добавить, что монографии, учебники и учебные пособия по вопросам крутильных колебаний в значительной степени устарели, а отдельные издания представляют собой библиографическую редкость. В предложенной работе авторы поставили цель в какой-то мере устранить пробелы, имеющие место в расчетах крутильных колебаний валопровода силовых установок. В основе данного учебного пособия лежит матричный метод расчета крутильных колебаний, развивающихся в быстровращающейся механической системе под воздействием периодически меняющейся нагрузки. Этот метод универсален, компактен в представлении как исходной информации, так и расчетных уравнений, легко реализуется с использованием компьютерных технологий. Особенно удобно использовать его при расчете крутильных колебаний сложных современных судовых энергетических установок. В данном пособии много внимания уделено дискретным, динамическим моделям валопроводов силовых установок различной технической структуры. Это объясняется приемлемой точностью для решения всех практических задач и возможностью реализовать сложные разветвленные крутильно-колебательные системы. Была показана возможность расчета крутильных колебаний упругого вала с бесконечным числом степеней свободы. Однако использование данного подхода для решения задач практики сложных энергетических установок до настоящего времени остается проблемным. Можно надеяться на создание комплексного подхода, в котором основой будет расчет дискретных систем, а для решения определенных проблемных вопросов – расчет крутильных колебаний вала с бесконечным числом степеней свободы. Чтобы показать преимущества матричного подхода в расчете крутильных колебаний валопроводов, много внимания было уделено методам расчета амплитудно-частотных характеристик систем с конечным числом степеней свободы. Дан критический анализ широко используемых на практике методов Толле, Хольцера, Релея и Терских. Необходимо констатировать, что при использовании комплексного подхода возможность их включения в общий программный комплекс очевидна. Казалось бы, рассматриваются традиционные разделы крутильных колебаний (свободные, затухающие и вынужденные), но с точки зрения матричного подхода это дает особую привлекательность относительно эффективности практических расчетов на современных компьютерах. Настало время использования и фундаментальной теории управления для проектирования современных судовых энергетических установок, обеспечив при этом их высокую надежность и эффективность в эксплуатации. Не хотелось оставлять в стороне и такой факт, что в учебном пособии представлено большое количество иллюстративных примеров, расчетов, а также задач для самостоятельного решения. Вне сомнения это поможет будущему инженеру разобраться в тонкостях расчета крутильных колебаний валопровода судовых силовых установок. Есть надежда, что представленные материалы окажут помощь аспирантам, специалистам конструкторских бюро двигателестроения и других машиностроительных предприятий.

4

1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Расчет крутильных колебаний коленчатых валов ДВС, валопроводов силовых установок судов как механических систем со многими степенями свободы, представляет трудоемкую вычислительную процедуру. Поэтому от выбора метода расчета зависит быстрота и надежность расчетов, форма представления исходных данных и результатов счета. Существует несколько способов определения амплитудно-частотных характеристик колебательных систем. Матричный метод выделяется своей наглядной и компактной формой представления параметров системы, структурой записи дифференциальных уравнений колебаний, алгоритмичностью вычислительных процедур на ЭВМ. Последующие разделы этой работы основываются на матричных операциях. Кроме того, программы расчета амплитудно-частотных характеристик крутильных систем разработаны с применением матричного исчисления. Поэтому для полного понимания существа излагаемых вопросов теории крутильных колебаний этот раздел освещает основные определения, операции и методы матричного исчисления и анализа.

1.1. Матрицы и их представления Числовые величины образуют различные множества - линейные пространства, кольца, модули, поля и группы. Эти величины могут выступать как исходные данные, описывающие статическое или динамическое состояния механической системы. Для обработки данных желательно формировать структурные массивы скалярных величин. Определение. Массив чисел, представленный в виде прямоугольной таблицы называется матрицей. Например: ⎛ a11 a12 a13 .... a1m ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 a 23 .... a 2 m ⎟ A = ⎜ a31 a 32 a33 .... a3m ⎟ ⎟ ⎜ . . .... . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜a ⎝ n1 a n 2 a n 3 .... a nm ⎠ Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Если элементами матрицы являются вещественные (комплексные) числа, то такая матрица называется вещественной (комплексной). Множество вещественных чисел будем обозначать через R , а множество комплексных чисел – через C . Обозначение aij ∈ A означает, что число aij есть элемент матрицы A. В обозначении элемента aij первый индекс i означает номер строки, где он расположен, а второй индекс j - номер столбца матрицы. Количество строк и столбцов матрицы определяют ее размерность. Так если матрица имеет n строк и m столбцов, то ее размерность равна (n × m ) . Будем использовать следующее сокращенное обозначение матрицы: A = (aij )n×m . Если n = m , то матрица называется квадратной, а число n

называется порядком матрицы. Если n = 1 , то матрица размерности (1 × m ) имеет вид A = (a1 a2 a3 .... am ) и называется вектором-строкой. Если m = 1, то матрица ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ размерности (n × 1) A = ⎜ 2 ⎟ называется вектором-столбцом. Таким образом, (n × m ) − M ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠

5

матрица образована из n векторов-строк по m элементов в каждой из них или из m векторов-столбцов по n элементов. Среди множества матриц выделяются нулевая и единичная. Так в нулевой матрице

(обозначим ее через O ) все элементы равны нулю, то есть

∀i ∈[1, n], j ∈[1, m] (a

ij

= 0).

Здесь символ ∀ означает «для любого». Обозначения i ∈ [1, n ], j ∈ [1, m] означают, что индекс i пробегает значения натурального ряда от 1 до n, а индекс j - от 1 до m. Определение. Единичной матрицей для множества квадратных матриц порядка n называется таблица элементов, удовлетворяющих условию ⎧1, i = j δ ij = ⎨ , ⎩0, i ≠ j где i, j ∈ [1, n]. Элемент δ ij называется символом Кронекера. Единичная матрица

обозначается так: E = (δ ij )( n×m ) . Линия, на которой в матрице E располагаются единич-

ные элементы, называется главной диагональю. Определение. Матрица, на главной диагонали которой, располагаются отличные от нуля элементы, а все остальные элементы - нулевые, называется диагональной. Символическое определение: ∀i ∈ [1, n] ( ai ≠ 0, ai ∈ K ) → diag A = (ai δ ij )(n×n ) . Приведение матрицы A к диагональному виду можно рассматривать как специальную операцию, превращающую квадратную матрицу n − го порядка в диагональную матрицу того же порядка. Следующей операцией преобразования матрицы является ее транспонирование. Транспонирование матрицы меняет местами ее строки и столбцы между собой. Символически это записывается в виде: ∀i ∈ [1, n], j ∈ [1, m] (aij a a ji ) . Транспонированная матрица A обозначается AT . Транспонирование вектора-строки определяет векторстолбец. Например, вектор-строка X = ( x1 x 2 ... x n ) размерности (1× n ) при транспони-

ровании определяет вектор-столбец X T = (x1 x 2 K x n ) размерности (n × 1). Задача. Определить для матрицы A ее транспонированную матрицу. Матрица размерности (3 × 4 ) имеет вид ⎛2 3 2 9⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 5 7 4 ⎟. ⎜1 0 8 3⎟ ⎝ ⎠ T

Решение. Поменяем местами друг с другом симметричные элементы матрицы относительно главной диагонали. Тогда транспонированная матрица запишется так: ⎛ 2 0 1⎞ ⎟ ⎜ 3 5 0 ⎟ ⎜ AT = ⎜ . 2 7 8⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 9 4 3⎟ ⎠ ⎝ Определение. Если для элементов матрицы A выполняется условие ∀i, j ∈ [1, n ] (aij = a ji ), то такая матрица называется симметричной. Если выполняется условие

aij = −a ji , то такая матрица называется антисимметричной или кососимметричной.

В теоретической механике матрица вида

6

⎛ J xx ⎜ Ι o = ⎜ − J yx ⎜− J zx ⎝

− J xy J yy − J zy

− J xz ⎞ ⎛ J 11 ⎟ ⎜ − J yz ⎟ = ⎜ − J 21 J zz ⎟⎠ ⎜⎝ − J 31

− J 12 J 22 − J 32

− J 13 ⎞ ⎟ − J 23 ⎟ J 33 ⎟⎠

является симметричной и определяет тензор инерции твердого тела относительно точки O [1]. Диагональные элементы J xx = J 11 , J yy = J 22 , J zz = J 33 тензора инерции представляют собой осевые моменты инерции тела, а недиагональные элементы J ij (i ≠ j ) − его центробежные моменты инерции. Антисимметричная матрица вида

ω y −ωz ⎞ ⎛ 0 ω12 − ω13 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ω = ⎜−ω y ω x ⎟ = ⎜ − ω 21 ω 23 ⎟ 0 0 ⎜ ω 0 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ ω 31 − ω 32 ⎝ z −ωx определяет вектор угловой скорости ω (ω x ,ω y ,ω z ) вращения твердого тела вокруг неподвижной точки O . Величины ω x , ω y , ω z − компоненты вектора угловой скорости

ω в определенной координатной системе. В теории линейных уравнений широкое применение находят треугольные матрицы, то есть квадратные матрицы, в которых ниже (выше) главной диагонали расположены нулевые элементы. Так A1 - верхняя треугольная, а A2 - нижняя треугольная матрицы: ⎛ a11 ⎜ A1 = ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

⎛ a11 ⎜ A2 = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31

0 ⎞ ⎟ a22 0 ⎟. a22 a32 a33 ⎟⎠ 0 При решении задач теории крутильных колебаний систем типа «коленчатый вал силовой установки с ДВС» встречается матрица, все ненулевые элементы которой сосредоточены около главной диагонали. Такую матрицу называют ленточной [2]. Примером такой матрицы является матрица жесткости крутильной системы. Она имеет вид 0 0 ⎞ ⎛ c11 c12 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ c12 c22 c23 0 C = ⎜ 0 c23 c33 c34 0 ⎟. ⎟ ⎜ 0 c34 c44 c45 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 c45 c55 ⎠ ⎝ 0

a12

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠

0

Во многих случаях над матрицами размерности (n × m), (n, m > 2 ) производят разбиения на блоки (которые иногда называются клетками) с целью выделения подматриц специального назначения. Определение. Матрица, элементами которой являются подматрицы различных размерностей, называется блочной. Среди блочных матриц выделяется класс блочно-диагональных, которые имеют на главной диагонали в качестве элементов квадратные матрицы. Примером блочной матрицы является ниже записанная матрица B . ⎛ ⎛ b11 ⎜⎜ ⎜ ⎜ b21 B = ⎜ ⎜⎝ b31 ⎜ ⎜ ⎛0 ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝ ⎝

b13 ⎞ ⎟ b22 b23 ⎟ b32 b33 ⎟⎠ 0 0⎞ ⎟ 0 0 ⎟⎠ b12

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ b ⎛ 44 ⎜⎜ ⎝ b54

0⎞ ⎞ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎛ B3′×3 0 ⎟⎠ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ 0 b45 ⎞ ⎟ ⎝ ⎟ b55 ⎟⎠ ⎟⎠

0 ⎞ ⎟ . B2′′×2 ⎟⎠ 5×5

7

Она являет собой блочно-диагональную матрицу. Ее диагональными элементами являются блоки – подматрицы порядка три и два соответственно. Таким образом, введение матриц связано с формированием скаляров в виде прямоугольных таблиц. Другой подход введения матриц основан на понятии линейного преобразования векторных пространств. Каждому линейному преобразованию в выбранном базисе соответствует квадратная матрица [3].

1.2. Матричные операции Эффективность введения матриц связана с возможностью проведения различных действий с их элементами. Рассмотрим алгебраические операции над множеством матриц, превращающие их в определенные алгебраические системы.

1.2.1. Сложение и вычитание матриц Пусть заданы две матрицы A = (aij )n×m , B = (bij )n×m одинаковой размерности. Определение. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица C = A + B

(C = A − B ) , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов. То есть ∀aij ∈ A, ∀bij ∈ B, ∀cij ∈ C c ij = a ij + bij (c ij = a ij − bij ), i ∈ [1, n ]; j ∈ [1, m ]. Пример. Для квадратных матриц третьего порядка 0 − 1⎞ 1⎞ ⎛−1 1 ⎛1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟, B = ⎜ 1 −1 1 ⎟ A = ⎜−1 1 ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ T найти сумму C = A + B , транспонированную матрицу C и сумму C1 = C + C T . Искомые матрицы имеют вид: ⎛0 1 1⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ T C = ⎜ 1 0 0 ⎟, C1 = ⎜ 1 0 1 ⎟. C = ⎜ 0 0 1 ⎟, ⎜1 1 0⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

Операции сложения и вычитания матриц удовлетворяют свойствам коммутативности и ассоциативности: A + B = B + A , ( A + B ) + C = A + (B + C ), для ∀A,B,C ∈ M n ,n , где M n ,n - множество матриц размерности (n × m ) . Сумму k матриц размерностей (n × m ) k

обозначают следующим образом: A = ∑ Ai , где

∀i ∈ [1, k ] (A ∈ M ).

i =1

Нулевая матрица O ∈ M n ,n обладает свойством:

i

n ,n

∀A ∈ Μ ( A + O = O + A = A). n ,n

Определение. Группой называется множество M , в котором задана операция (в дан-

ном случае операция сложения “+”) такая, что ∀a, b ∈ M ставится в соответствие третий элемент p ∈ M ( p = a + b ) . Для группы справедливы аксиомы:

∀a, b, c ∈ M ((a + b ) + c = a + (b + c )) ; существование нулевого элемента — ∃o ∈ M ∀a ∈ M (o + a = a + o = a ) ; существование обратного элемента — ∀a ∈ M ∃ b ∈ M (a + b = b + a = o ) .

1) ассоциативность операции сложения — 2) 3)

8

Логический символ ∃ означает слово "существует”. Если при этом выполняется условие: ∀a,b ∈ M (a + b = b + a ), то группа называется коммутативной по этой операции. На множестве матриц порядка (n × m ) выше описанным образом задана операция сложения, удовлетворяющая аксиомам группы. Таким образом, множество матриц Μ n ,n образует коммутативную группу относительно операции сложения матриц.

1.2.2. Умножение матриц на число из поля K Определение. Произведением матрицы A = (aij )n×m на число λ ∈ K называется

матрица P ∈ M n ,m , элементы которой формируются умножением каждого элемента матрицы A на число λ , то есть

∀i ∈ [1, n], j ∈ [1, m]∀λ ∈ K ∀a

⎛ cos ϕ Задача. Дана матрица Ф , имеющая вид Ф = ⎜⎜ ⎝ sin ϕ этой матрицы на число 2 ⋅ π , при ϕ = π (радиан).

ij

∈ A ( pij = λ aij ).

− sin ϕ ⎞ ⎟ . Найти произведение cos ϕ ⎟⎠

Решение. По определению произведения матрицы на число имеем 0 ⎞ ⎛ 2π cos ϕ − 2π sin ϕ ⎞ ⎛ − 2π ⎛1 0⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = −2π ⎜⎜ ⎟⎟ . Ô = ⎜⎜ − 2π ⎠ ⎝ 2π sin ϕ 2π cos ϕ ⎠ ⎝ 0 ⎝0 1⎠ Для операции умножения матрицы на число справедливы свойства: • ∀α ∈ K ∀A, B ∈ Μ n,n (α ( A + B ) = αA + αB );

• ∀α , β ∈ K ∀A ∈ M ((α + β )A = αA + βA) ; • ∀α , β ∈ K ∀A ∈ Μ ((αβ )A = α (βA)) . n,n

n ,n

Определение. Множество M называется линейным пространством над полем K , если для любого элемента этого множества введена операция сложения ∀a, b ∈ M (a, b ) → a + b и операция умножения элемента из M на число из поля K

( (∀a ∈ M ∀λ ∈ K

)

)

a → λ a , и эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

∀a, b, c ∈ M ((a + b ) + c = a + (b + c )); коммутативность операции сложения — ∀a, b ∈ M (a + b = b + a ); существование нулевого элемента — ∀a ∈ M ∃o ∈ M (a + o = o + a ); существование обратного элемента — ∀a ∈ M ∃b ∈ M (a + b = b + a = o );

1) ассоциативность операции сложения — 2) 3) 4)

5) дистрибутивность относительно элементов поля K — ∀a ∈ M ∀λ , µ ∈ K ((λ + µ ) a = λ a + µ a ); 6) дистрибутивность относительно элементов множества M — ∀a, b ∈ M ∀λ ∈ K ((a + b )λ = λ a + λ b ); 7) ассоциативность относительно умножения на числа из K — ∀a ∈ M ∀λ , µ ∈ K ((λ µ ) a = λ (µ a )); 8) умножение элементов из M на число из K унитарно –

∀a ∈ M ∃1 ∈ K (a1 = a ).

Если поле K = R - вещественное поле, то множество M − вещественное линейное пространство, если поле K = C − комплексное, то M − комплексное линейное про-

9

странство. Комплексная матрица X = (xkj )n×n , в которой каждый элемент записывает-

(

)

ся в виде xkj = akj + i bkj i = − 1 , представляется как сумма двух матриц Х = A + iB ,

где A = (akj )n×n , B = (bkj )n×n . Комплексная матрица X соответствует комплексно~ сопряженной матрице X = A − i B. Ясно, что матрицы одной размерности образуют линейное пространство относительно выше введенных операций сложения и умножения на числа из поля K . В частности, векторы-столбцы размерности (n × 1) образуют линейное пространство, которое называется n − мерным координатным (векторным) пространством Vn . Любой вектор-столбец (x1 x2 L xn ) определяет координаты некоторого вектора x в заданной координатной системе n − мерного пространства. Поэтому алгебра над векторами является алгеброй в соответствующем координатном пространстве. T

1.2.3. Умножение матриц На множестве матриц определенной размерности можно ввести операцию умножения, при которой двум матрицам ставится в соответствие матрица (она называется их произведением). Определение. Произведением двух матриц A = (aij )n×m , B = (bkl )m× p называется матрица C = AB, каждый элемент cij которой определяется как сумма произведений элеm

ментов i строки матрицы A на элементы j столбца матрицы B , то есть сij = ∑ aik bkj , k =1

где i ∈ [1, n ], j ∈ [1, p ]. Если принять во внимание интерпретацию матрицы An×m как прямоугольного массива скаляров, образованного n векторами-строками или m векторами-столбцами, то произведение матриц An×m ,Bm× p можно рассматривать как матрицу, образованную n векторами-столбцами размерности p или p векторами-столбцами размерности n.

i

ai ,1

ai ,2

ai ,3

…

ai ,m

b1, j b2, j b3, j :

bm , j a i ,1b1, j

ai , 2 b2, j a i , 3 b3, j

…

ai ,m bm , j

=

ci , j

j

Рис. 1.1 При этом каждый элемент cij ∈ Cn× p определяется как скалярное произведение векторастроки матрицы A с номером i на вектор-столбец матрицы B с номером j. На рис. 1.1 показано образование элемента сij ∈ C n× p .

10

Задача. Заданы следующие матрицы:

⎛ 3 0 −1 2 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 − 2 0 0 4⎟ , ⎜0 1 − 3 −1 2⎟ ⎝ ⎠ 3×5

2⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ 7 B = ⎜− 3 1 ⎟ . ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ 5 ⎜ 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ 5×2

Найти произведение матриц. Решение. Согласно правилу умножения матриц получим следующие значения элементов произведения заданных матриц: c11 = 3 ⋅ 4 + 0 ⋅ 7 + (− 1) ⋅ (− 3) + 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 = 29, c12 = 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ (− 1) = 1,

c21 = 1 ⋅ 4 + (− 2) ⋅ 7 + 0 ⋅ (− 3) + 0 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 = −7, c22 = 1 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ (− 1) = −1,

c31 = 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 7 + (− 3) ⋅ (− 3) + (− 1) ⋅ 5 + 21 = 10,

c32 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 1 + (− 1) ⋅ 0 + 2 ⋅ (− 1) = −5. Матрица C , равная произведению матриц A, B , имеет структуру ⎛ 29 1 ⎞ ⎟ ⎜ C = ⎜ − 7 − 1 ⎟. ⎜ 10 − 5 ⎟ ⎠ ⎝ Можно выделить следующее мнемоническое правило определения размерности произведения двух матриц: An×m Bm× p = Cn× p . Как видно из формулы, индекс размерности m , содержащийся как у матрицы A, так и у матрицы B , исчезает и уже не присутствует у матрицы C. Для квадратных матриц операция умножения выполняется только в случае равенства их порядков (размерностей). В общем случае имеет место неравенство вида AB ≠ BA. Когда выполняется условие AB = BA, то такие матрицы называются коммутативными. Примером таких матриц являются единичная матрица E и любая квадратная матрица An×n . Действительно, всегда выполняется равенство AE = EA = A. Задача. Задана комплексная матрица X = A + i B . Определить произведение этой ~ матрицы на соответствующую ей комплексно-сопряженную матрицу X = A − i B . Решение. Учитывая, что i 2 = −1, получим ~ XX = ( A + i B )( A − i B ) = A2 + B 2 + i(BA − AB ). ~ Если матрицы A, B − коммутативные, то есть AB = BA , XX = A2 + B 2 . Задача. Определить произведение вектора-строки a T = (a1 a2 ... an )

T

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ столбец b = ⎜ 2 ⎟ . ... ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠

на вектор-

Решение. Так как вектор-строка является матрицей размерности (1× n ), а векторстолбец – матрицей размерности (n × 1), то согласно выше приведенному правилу определения размерности получим матрицу, размерность которой равна (1× 1), то есть ре-

11

зультатом произведения этих матриц будет матрица из одного элемента, значение коn

торого выражается формулой c = ∑ ai bi . i =1

Умножение матрицы An×m на вектор-столбец Bm×1 задает вектор-столбец, определяемый формулой Cn×1 = An×m Bm×1. При помощи этой операции в компактной форме записывается система линейных уравнений. Задача. Задана система четырех линейных уравнений: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + a14 x 4 = b1 ⎪a x + a x + a x + a x = b ⎪ 21 1 22 2 23 3 24 4 2 . (1.1) ⎨ + + + = a x a x a x a x b 32 2 33 3 34 4 3 ⎪ 31 1 ⎪⎩a 41 x1 + a 42 x 2 + a 43 x3 + a 44 x 4 = b4 Представить эту систему в матричной форме. Решение. Из коэффициентов aij системы уравнений (1.1) составляется квадратная матрица A четвертого порядка. Из неизвестных x j составляется вектор-столбец X 4×1. Вектор-столбец B4×1 формируется из элементов b j правой части системы (1.1). Эти матрицы имеют вид: ⎛ a11 a12 a13 a14 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 a23 a24 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜b ⎟ X = ⎜ ⎟, B = ⎜ 2 ⎟. A=⎜ , ⎟ x b a a32 a33 a34 ⎜ 31 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 41 a42 a43 a44 ⎠ Тогда в матричной форме система (1.1) запишется так: AX = B. Задача. Проверить справедливость равенства AB = BA, если

(1.2)

⎛ 4 − 1 0⎞ ⎛ 0 7 − 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ 1 0 8 ⎟, B = ⎜ 2 1 0 ⎟. ⎜ − 2 3 1⎟ ⎜4 − 2 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Обозначим множество квадратных матриц размерности (n × n ) через M n ,n .

Для

матриц A, B, C ∈ M n ,n выполняются следующие свойства: • • •

( AB ) C = A (BC ) − ассоциативный закон умножения матриц; ( A + B )C = AC + B C − дистрибутивный закон справа; A (B + C ) = AB + AC − дистрибутивный закон слева.

Определение. Кольцом называется непустое множество M , на котором заданы две

бинарные операции: сложение и умножение, то есть ∀a, b ∈ M a, b → a + b & a, b → ab, удовлетворяющие следующим свойствам: 1) множество M с операцией сложения образует коммутативную группу; 2) множество M с операцией умножения образует полугруппу, то есть множество, в котором умножение ассоциативно; 3) операции сложения и умножения связаны дистрибутивным законом ∀a, b, c ∈ M ((a + b )c = a c + b c )& (c (a + b ) = c a + cb ). Единичным элементом кольца называется такой элемент e, что ea = ae = a. Кольцо, содержащее единичный элемент, называется кольцом с единицей. Если, кроме того, выполняется равенство ab = ba, то кольцо называется коммутативным.

12

Из выше приведенного следует, что множество квадратных матриц порядка n образует кольцо с единицей (роль единицы выполняет единичная матрица E ). В общем случае, кольцо квадратных матриц не коммутативное. Для множества квадратных диагональных матриц операция умножения коммутативна. Поэтому диагональные матрицы порядка n образуют коммутативное кольцо. k

Произведение k квадратных матриц размерности обозначается так: A = ∏ Ai . i =1

Степенью матрицы A называется матрица A = A1 A2 ... Ak , где A1 = A2 = ... = Ak = A. k

Принято соглашение, что Ao = E. При этом справедливо равенство A s At = A s +t . Задание для самостоятельного решения. Задана комплексная матрица X = A + iB . ~ Определить выражение X 2 + X 2 .

При помощи степени матрицы и операции сложения вводится понятие многочлена от матрицы. Матричный многочлен порядка n записывается в виде: f ( A) = α1 An + α 2 A n−1 + ..... + α n A + α n+1 , где

∀s ∈ [1, n + 1] (α

s

∈ K .)

Задание для самостоятельного решения. Пусть заданы многочлены f1 ( A), f 2 ( A) соответственно порядка n и m. Показать, что справедливо равенство f1 ( A) f 2 ( A) = f 2 ( A) f1 ( A). Задание для самостоятельного решения. Задана диагональная матрица diag ( A) = (α iδ ij )n×n . Найти k - ю степень этой матрицы. Задание для самостоятельного решения. Доказать, что операция транспонироваT ния удовлетворяет равенству ( AB ) = B T AT .

1.3. Определитель матрицы Определение. Определителем матрицы A порядка n называется величина, равная алгебраической сумме n! слагаемых, каждый из которых представляет произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с соответствующим знаком. Определитель матрицы или детерминант есть ее числовая характеристика. Принято следующее обозначение определителя матрицы A : det ( A). n!

Имеет место формула det ( An×n ) = ∑ (− 1) a1 j1 a2 j2 ....anjn , где j1 , j 2 , ...., j n − индексы, приt

j

нимающие значения из множества целых чисел {1 2 ... n}; они образуют некоторую перестановку из чисел 1, 2, ..., n; показатель степени t представляет число инверсий в ⎛ 1 2 ... n ⎞ ⎟⎟. подстановке ⎜⎜ ⎝ j1 j2 ... jn ⎠ В определении детерминанта приведены некоторые понятия комбинаторики: перестановка, инверсия. Приведем начальные сведения и практическое руководство для их использования при вычислении определителей матриц, а также алгебраических дополнений при нахождении обратных матриц. Рассмотрим последовательность первых n натуральных чисел, которые образуют конечное множество {1 2 3K n}. Эти числа можно располагать в произвольном порядке. Например, для n = 3 имеем следующие различные упорядоченные множества:

13

{123}, {132}, {213}, {231}, {312}, {321}.

В связи с действиями с этими конечными множествами необходимо дать определения, с помощью которых в дальнейшем можно описывать различные операции и свойства объектов линейной алгебры. Определение. Всякое расположение чисел в конечном множестве натуральных чисел {1 2 3K n } называется перестановкой. Количество различных перестановок из n чисел равно n! = 1 ⋅ 2 L n ( n − факториал). Например, для n = 3 имеем 3!= 6 выше записанных перестановок. Произвольную перестановку из n чисел будем обозначать следующим образом: {i1 i2 i3 K in }, где ik − любое число из натуральной перестановки {1 2K n}. Определение. Перемена мест двух чисел в перестановке при сохранении расположения других чисел на своих местах называется транспозицией. Транспозиция переводит одну перестановку в другую. Например, перестановка {2 1 4 3 5} при помощи транспозиции чисел 1, 5 переходит в перестановку {2 5 4 3 1}. Всегда можно из натуральной перестановки перейти к любой другой перестановке посредством конечного числа транспозиций. Задача. Показать, c помощью каких транспозиций, происходит переход от перестановки {1 2 3 4 5} к перестановке {3 5 4 1 2}. Решение. Обозначим транспозицию элементов перестановки i, j через i ↔ j. Тогда имеет место следующая последовательность транспозиций: ↔3 ↔5 ↔4 {1 2 3 4 5}⎯1⎯ ⎯→{3 2 1 4 5} ⎯2⎯ ⎯→{3 5 1 4 2} ⎯1⎯ ⎯→{3 5 4 1 2}. В перестановке имеют случаи, когда два рассматриваемых числа отличаются по величине – одно больше или меньше другого. Например, в перестановке {2 3 4 1 5}, рассматривая числа 3, 1 и 3, 5, видно, что в первой паре 3 > 1, а во второй − 3 < 5. Для этого случая вводится следующее определение. Определение. В перестановке {i1 i2 Kik Ki s K in } числа ik , i s составляют инверсию, если ik > is . Инверсия между числами имеет место, если первое число больше второго. Например, в перестановке {3 4 1 5 2} число 3 составляет со всеми остальными числами две инверсии (3 > 1, 3 > 2 ), число 4 образует также две инверсии (4 > 1, 4 > 2 ), число 1 не образует ни одной инверсии, а число 5 составляет одну инверсию с числом 2. Задание для самостоятельного решения. Подсчитать общее число инверсий в перестановке {6 1 3 4 2 5}. Определение. Перестановка называется четной, если все ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной, если – нечетное число инверсий. Задача. Определить на четность следующую перестановку из семи элементов: {2 7 1 5 4 6 3}. Решение. Число 2 составляет одну инверсию; 7 − пять инверсий; 1 − ноль инверсий; 5 − две инверсии; 4 − одну инверсию; 6 − одну инверсию; 3 не составляет ни одной инверсии. Таким образом, общее количество инверсий равно сумме чисел 1, 5, 0, 2, 1, 1, 0, то есть десяти. Следовательно, данная перестановка – четная. Произведя в перестановке одну транспозицию, тем самым изменяем ее четность. Например, если перестановка {2 7 1 5 4 6 3} является четной, то после транспозиции элементов 1 ↔ 6 получим нечетную перестановку ( 15 инверсий). Рассмотрим на примере квадратной матрицы третьего порядка методику составления ее детерминанта. Матрица имеет вид:

14

⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ A =⎜ a21 a 22 a 23 ⎟ . ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ Количество слагаемых определителя равно 3! = 6. То есть определитель будет иметь шесть слагаемых, в каждом из которых содержится произведение трех элементов (они выбираются по одному из каждой строки и каждого столбца). Индексы элементов образуют перестановки. Можно группировать слагаемые так, чтобы в сомножителях их первые индексы образовали натуральную перестановку {1 2 3}, а вторые индексы – 3! перестановок. Знак каждого слагаемого определителя выражается числом инверсий в перестановке вторых индексов элементов матрицы. Знак «+» ставится, когда перестановка четная, а знак «−» – когда нечетная. Тогда имеет место следующая формула расчета: det ( A3×3 )=a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 − a13 a 22 a31 − a12 a 21 a33 − a11 a 23 a32 .

Задание для самостоятельного решения. Расписать определитель матрицы четвертого порядка A 4×4 согласно вышеприведенному определению.

В приложениях научных дисциплин, например, в теории колебаний упругих систем, механике сплошной среды определитель выступает как средство вычисления основных характеристик исследуемых объектов. Ниже приведены области практического использования определителя как основного расчетного элемента. A. Линейная алгебра. При вычислении собственных векторов и их собственных значений формируется характеристическая матрица. Тогда характеристическое (вековое) уравнение записывается как равенство нулю определителя этой матрицы. Расписывая определитель, получаем алгебраическое уравнение относительно собственных значений. В этом случае определитель выступает как некий механизм построения уравнений, из которых определяются неизвестные величины. B. Теория линейных уравнений. Для нахождения решения системы линейных уравнений

n

∑a j =1

ij

x j = bi , где i = [1, n ] сначала стремятся определить совместима ли

она или нет, то есть имеет ли решение или нет, а если имеет, то единственное оно или их бесконечное множество. Для этого анализируется значение определителя, построенного при помощи коэффициентов aij системы линейных уравнений. Если определитель этой системы равен нулю, то имеется бесконечное множество решений, в противном случае ненулевого решения нет. Если n = m и определитель равен нулю, то система неоднородных линейных уравнений не имеет нетривиального решения, а если определитель не равен нулю, то существует единственное решение. C. Матричное исчисление. Во многих задачах требуется включить в расчет обратную матрицу, то есть такую матрицу X , для которой справедливо равенство XA = AX = E. Вычисление обратной матрицы, которая обозначается X = A −1 , осуществляется при помощи определителя матрицы A. В этом случае определитель по существу отвечает на вопрос: существует ли для матрицы A обратная матрица A−1. Если det ( A) ≠ 0, то для этой матрицы существует обратная матрица. D. Аффинная геометрия. Линейно независимые векторы ai в n − мерном линейном пространстве задаются своими координатами (ai1 , ai 2 ,...., ain ) в определенном базисе. Количество максимально линейно независимых векторов равно размерности данного пространства. Из строк координат этих векторов можно сформировать

15

квадратную матрицу порядка (n × n ). С другой стороны, при помощи этих n векторов ai можно построить параллелепипед, объем которого и равен определителю этой сформированной координатами векторов матрицы. Если объем параллелепипеда обозначим через V , тогда получим формулу вычисления этого объема: V = det ( A). На рис. 1. 2 для n = 3 показан параллелепипед, образованный строками матрицы A. Его объем равен определителю этой матрицы.

Рис.1. 2 E. Тензорный анализ и механика сплошной среды. Основная идей теории тензоров, имеющая широкое применение в механике, заключается в инвариантности описания объекта (как физико-математической модели реальных тел и процессов) относительно выбора координатных систем в том или ином пространстве. Переход от одной координатной системы к другой осуществляется при помощи допустимых преобразований [4]. Так, кроме непрерывности функций и их частных производных в некоторой области пространства (в общем случае, риманова пространства) выдвигается требование не обращения в нуль якобиана преобразования координат – функционального определителя. Якобиан также входит в определение относительных тензоров [5]. При описании действий с тензорами, в частности, при абсолютном дифференцировании, основную роль играет фундаментальный метрический тензор (g ij ) , который можно представить в матричной форме. Его определитель ис-

пользуется для построения в евклидовом пространстве взаимных базисов [6]. В теории определителей выделяются два аспекта. Во-первых, разрабатываются методы вычисления определителя, а, во-вторых, выясняются его свойства, позволяющие наиболее просто решать все вопросы, связанные с его нахождением и применением. Приведем основные свойства определителей вещественных матриц. 1. Определитель есть линейная функция одной строки или столбца. Так, если матрица A имеет вид L a1 j L a1n ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ L M L M ⎜ tM ⎟ t t (1) ( j) (n ) ⎟ ⎜ L λ ∑ bis L λ ∑ bis ⎟, A = ⎜ λ ∑ bis s =1 s =1 s =1 ⎜ ⎟ M L M L M ⎜ ⎟ ⎜ a ⎟ L a L a n1 nj nn ⎝ ⎠ то есть каждый элемент строки с номером i представляет собой линейную комби( j) нацию t элементов bis , где j ∈ [1, n]; λ ∈ K . Тогда определитель этой матрицы

16

найдется по формуле det ( A) = λ

∑ det (A ), t

p =1

p

где Ap − матрица, имеющая следую-

щую структуру: a12 L a1n ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ M L M ⎟ ⎜ M (1) (2 ) (n ) Ap = ⎜ bip L bip ⎟. bip ⎟ ⎜ M L M ⎟ ⎜ M ⎜a a n 2 L a nn ⎟⎠ ⎝ n1 Задача. Вычислить определитель матрицы A, имеющей вид b ⎛ a ⎞ ⎟⎟, A = ⎜⎜ ⎝ r (c + c′) r (d + d ′)⎠ где a = 2, b = 5, c = −3, c ′ = 1, d = −1, d ′ = 2, r = 2.

Решение. Согласно вышеприведенному свойству получим 5⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟,det ( A1 ) = −2 + 15 = 13, A1 = ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ⎝ − 3 − 1⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 5⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟,det ( A2 ) = 4 − 5 = −1. A2 = ⎜⎜ ⎝ c′ d ′ ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ Определитель равен: det ( A) = r ⋅ det ( A1 ) + r ⋅ det ( A2 ) = 2 ⋅ 13 + 2 ⋅ (− 1) = 24. 2. При перестановке двух строк или двух столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Пусть заданы две матрицы, отличающиеся друг от друга только переставленными строками с номерами i, s, то есть

⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ . ... . ⎟ ⎜ . ... . ⎟ ⎜ a ... a ⎟ ⎜a ... a sn ⎟ in ⎟ ⎟ ⎜ i1 ⎜ s1 A1 = ⎜ . ... . ⎟, A2 = ⎜ . ... . ⎟. ⎟ ⎜a ⎜ a ... a ⎟ in ⎟ ⎜ s1 ... a sn ⎟ ⎜ i1 ⎜ . ... . ⎟ ⎜ . ... . ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ an1 ... ann ⎠ ⎝ an1 ... ann ⎠ Тогда det ( A1 ) = − det ( A2 ). 3. Если в матрице две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Это свойство помогает сразу же обнаруживать матрицы, определители которых равны нулю, а также позволяет эффективно вычислять ранг матриц. 4. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда между ее строками (столбцами) имеет место линейная зависимость. Среди различных преобразований элементов матрицы выделяются следующие: 1) транспозиция (переместимость) двух строк или двух столбцов матрицы; 2) умножение строки (столбца) на число λ ∈ K , λ ≠ 0; 3) прибавление (вычитание) к одной строке (столбцу) другой строки. При помощи элементарных преобразований можно менять вид матрицы, легко находить ее ранг и вычислять ее определитель. Так, если между строками матрицы имеет место линейная зависимость, то есть одну строку можно представить в виде линейной комбинации других ее строк, то при помощи элементарных преобразова-

17

ний эту матрицу можно привести к виду, в котором она содержит две одинаковых строки. А это и будет означать, что ее определитель равен нулю. Задача. Вычислить определитель матрицы имеющей вид: 8 0 ⎞ ⎛ 7 −5 6 ⎜ ⎟ 3 −1⎟ ⎜ 1 −2 4 A = ⎜− 6 0 7 1 − 2 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜− 2 4 − 8 − 6 2 ⎟ ⎜ 5 0 0 3 − 8 ⎟⎠ ⎝ Решение. Заметим, что вторая и четвертая строки линейно зависимы. Так, четвертая получается из второй, умноженной на –2. Умножая вторую строку на 2 и складывая ее с четвертой строкой, получим нулевую строку. Согласно 3 – му свойству определитель этой матрицы равен нулю, то есть det ( A) = 0. 5. Определитель матрицы не меняется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к диагональному виду. Ниже приведено описание метода диагонализирования квадратной матрицы. • При помощи транспозиции всегда можно добиться того, что a11 ≠ 0. В модифицированном методе Гауссе с выбором максимального элемента на строке (столбце) среди ai1 (a1 j ) выберем максимальный элемент и произ-

ведем перемену мест строк; имеем a11 = max(a11 , a 21 ,..., a n1 ) ≠ 0. −1

•

Умножая первую строку на a11 , получим первый элемент матрицы, равный единице. • Умножаем первую строку на a21 и вычитаем из второй строки преобразованную первую; умножаем первую строку на a31 , и вычитаем из третьей строки преобразованную первую, и так далее до последней строки – умножаем первую строку на an1 и вычитаем из последней строки преобразованную первую. В результате этих действий в первом столбце матрицы образуются нулевые элементы, кроме a11 ≠ 0, то есть получим матрицу a13 a1n a12 ⎛ ⎞ ... ⎜1 ⎟ a11 a11 a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a13 ⋅ a 21 a1n ⋅ a 21 ⎟ a12 ⋅ a 21 ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ... a a a − − (n ) ⎜ 0 ⎜ 22 23 2 n ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ An×n = ⎜ a a a 11 11 11 ⎝ ⎠⎟ = ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎜. ⎟ . . ... . ⎜ ⎛ ⎛ a12 ⋅ a n1 ⎞ ⎛ a13 ⋅ a n1 ⎞ a13 ⋅ a n1 ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ... ⎜⎜ a nn − ⎟ ⎜ a n3 − ⎜⎜ 0 ⎜⎜ a n 2 − a11 ⎟⎠ ⎜⎝ a11 ⎟⎠ a11 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ 1 a12 (1) a13 (1) ... a1n (1) ⎞ ⎜ ⎟ a (1) ⎞ ⎜ 0 a 22 (1) a 23 (1) ... a 2 n (1) ⎟ ⎛ 1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟=⎜ (1) ⎟, A 0 . . . ... . n −1×n −1 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ 0 a (1) a (1) ... a (1) ⎟ n2 n3 nn ⎝ ⎠ где элементы в блочной матрице обозначены через подматрицы (1) (1) (1) (1) a (1) = a12 , a13 ,L, a1n , 0 = (0, 0,L, 0), A(n −1)×(n −1) .

(

)

18

•

Произведем в той же последовательности и такие же по смыслу действия, что и в предыдущих пунктах метода, то есть выберем из элементов перво(1) максимальный отличный от нуля элемент го столбца An −1× n −1 (1)

•

(

(1)

(1)

(1)

)

a22 = max a22 , a23 ,..., a2 n , и при помощи элементарных преобразований получим следующую матрицу: ⎛ 1 a12 (1) a13 (1) ... a1n (1) ⎞ ⎟ ⎜ (2 ) (2 ) ⎜0 1 ... a 2 n ⎟ a 23 ⎜ (2 ) (2 ) ⎟ 0 ... a3n ⎟. a33 ⎜0 ⎜. . . ... . ⎟ ⎜⎜ (2 ) (2 ) ⎟ 0 ... a nn ⎟⎠ a3n ⎝0 Продолжая таким же образом процесс преобразований матрицы, получим матрицу, имеющую вид либо треугольный, либо диагональный. Количество ненулевых диагональных элементов равно рангу rang ( A) этой матрицы. Если rang ( A) ≠ n, то матрица будет иметь трапециевидную форму, и ее определитель будет равен нулю, так как в этой матрице будут нулевые строки. Если rang ( A) = n, то матрица будет иметь диагональную форму, то есть ее структура будет иметь следующий вид: ⎛ 1 a12 (0 ) a13 (0 ) ... a1n (0 ) ⎞ ⎟ ⎜ (1) (1) ⎜0 a23 1 ... a2 n ⎟ (2 ) ⎟ A = ⎜⎜ 0 0 1 ... a3n ⎟. ⎜. . . ... . ⎟ ⎜⎜ ( n −1) ⎟ ⎟ 0 0 ... ann ⎠ ⎝0

6. Если матрица A − треугольная, то ее определитель равен произведению элементов главной диагонали. n

Справедлива формула: det ( An×n ) = ∏ aii , где aii − диагональные элементы. Если

∀i = [1, n] (a

i =1

= 1), то det ( A) = 1; если ∃i(aii = 0 ), то det ( A) = 0. В последнем случае такая матрица называется вырожденной, в противном случае – невырожденной. Задача. Привести матрицу A к диагональной форме и вычислить ее определитель. Матрица имеет следующий вид: ⎛ 2 −1 0 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 −5 4 0 ⎟ A=⎜ . − 3 1 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 5 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ Решение. Выполним следующие действия. • Произведем транспозицию первой и второй строк, получим матрицу ⎛ 1 −5 4 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1 0 4 ⎟ A 1= ⎜ . − 3 1 2 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 5 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ii

19

•

•

•

•

Умножим первую строку на 2 и вычтем ее из второй; умножим первую строку на 3 и сложим ее с третьей; сложим первую и четвертую строки. В результате получим следующую матрицу: 0⎞ ⎛1 − 5 4 ⎜ ⎟ −8 4 ⎟ ⎜0 9 A2 = ⎜ . 0 − 14 14 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎟ 5 0 ⎝ ⎠ Вторую строку умножим на 14 и сложим ее с третьей; получим 9 4 0 ⎞ ⎛1 − 5 ⎜ ⎟ −8 4 ⎟ ⎜0 9 A3 = ⎜ − 65 ⎟. 0 0 138 9 9⎟ ⎜ ⎜0 0 ⎟ 5 0 ⎝ ⎠ Умножим третью строку на число 9 ⋅ 5 и отнимем ее из четвертой строки; в 138 результате получим диагональную матрицу вида 4 0 ⎞ ⎛1 − 5 ⎟ ⎜ 4 ⎟ −8 ⎜0 9 A4 = ⎜ − 65 ⎟. 0 0 138 9 9 ⎟ ⎜ 325 ⎟ ⎜0 0 0 138 ⎠ ⎝ Определитель этой матрицы равен: det ( A) = det ( A4 ) = 1 ⋅ 9 ⋅ 138 ⋅ 325 = 325. 9 138

(

)

Задание для самостоятельного решения. Матрица имеет вид:

⎛ 0 ⎜ ⎜− 2 A=⎜ 2 ⎜ ⎜ −1 ⎜ 3 ⎝

4 −1 0 2 ⎞ ⎟ 1 0 0 − 3⎟ 3 5 −1 1 ⎟ . ⎟ 0 2 1 0 ⎟ 0 0 1 − 5 ⎟⎠

Привести эту матрицу к диагональному виду и вычислить определитель. 7. Для любых двух квадратных матриц A, B порядка n определитель их произведения равен произведению их определителей. Справедлива формула det ( AB ) = det ( A) ⋅ det (B ). (1.3) В общем случае, для s − квадратных матриц Ai имеет место формула s ⎞ ⎛ s det⎜⎜ ∏ Ai ⎟⎟ = ∏ det ( Ai ). ⎝ i =1 ⎠ i =1 В частности, если матрица A − обратимая, то справедливо равенство det ( A) ⋅ det (A −1 ) = det (AA −1 ) = det (E ) = 1. Отсюда следует формула вычисления определителя обратной матрицы 1 det (A−1 ) = . det ( A)

20

Задание для самостоятельного решения. Показать справедливость равенства (1.3), если матрицы имеют вид: ⎛ 1 − 3 5⎞ ⎛ 2 1 − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ 7 0 4 ⎟, B = ⎜ − 1 8 3 ⎟. ⎜− 4 2 1⎟ ⎜1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. При транспонировании матрицы определитель не меняет своего значения. Имеет место формула det ( A) = det (AT ). Задание для самостоятельного решения. Вычислить значение определителя транспонированной матрицы, имеющей следующий вид:

1 −1 0 ⎞ ⎛−1 0 ⎜ ⎟ 0 0 −2 1 ⎟ ⎜ 2 A = ⎜−1 1 3 − 1 2 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 − 2 0 − 3⎟ ⎜1 3 −1 3 0 ⎟⎠ ⎝ Задание для самостоятельного решения. Показать, что для квадратных матриц A, B (det ( A) ≠ 0, det (B ) ≠ 0 ) не выполняется равенство det ( A + B ) = det ( A) + det (B ).

1.4. Преобразование матриц Выделим два типа преобразований произвольной матрицы A. 1. Преобразование матрицы не меняющее ее размерности, но изменяющее ее поэлементное строение f :A → A′, dim( A) = dim( A′). К этому типу относятся элементарные преобразования. 1.1. Перестановка мест двух строк или столбцов. Операция взаимной замены элементов aij , aik ∈A , (символически изображаемой ∀i ∈ [1, n] (aij ⇔ aik ) при фиксированных j, k ) )приводит к образованию новой матрицы A′, в которой в столбце с номером j стоят элементы столбца с номером k матрицы A , а в столбце с номером k − элементы столбца j . Такие преобразования осуществляются при решении системы линейных уравнений матричным способом. Пример. В матрице третьего порядка поменять местами первый и третий столбцы. ⎛1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 2 3 ⎟ ⎜1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠

−−→

⎛ 3 2 1⎞ ⎜ ⎟ A′ = ⎜ 3 2 1⎟. ⎜ 3 2 1⎟ ⎝ ⎠

1.2. Умножение строки или столбца на число из числового поля K . Умножить строку с номером i на число λ ∈ K означает умножение на это число всех элементов строки с номером i этой матрицы. Пример. Из матрицы A третьего порядка построить матрицу A′ путем умножения второй строки матрицы A на число λ = −5.

21

⎛1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜3 2 1⎟ ⎜0 1 4⎟ ⎝ ⎠

−−→

2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ − 15 − 10 − 5 ⎟ . ⎜ 0 4 4 ⎟⎠ ⎝

1.3. Сложение или вычитание к строке (столбцу) другой строки (столбца) данной матрицы. Если поэлементно сложить строки с номерами i, j , то в результате этого получится матрица той же размерности, что и исходная. Пример. Из матрицы A образовать матрицу A′, третья строка которой есть сумма первой и третьей строк матрицы A. ⎛ 2 1 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 1 ⎟ ⎜5 4 −1⎟ ⎝ ⎠

−−→

⎛ 2 1 − 4⎞ ⎜ ⎟ A′ = ⎜ 0 3 1 ⎟. ⎜7 5 − 5⎟ ⎝ ⎠

Эти преобразование применяется в методе Гаусса при решении системы линейных уравнений, а также при вычислении определителей и рангов матриц. 2. Преобразование матрицы, изменяющее ее размерность. К такому типу преобразований относятся операции удаления или добавления к исходной матрице нескольких строк или столбцов. Выберем в матрице An×n k строк и l столбцов. Образуются две подматрицы. Одна матрица A′ формируется из элементов матрицы, находящихся на пересечении указанных строк и столбцов, а другая матрица A′′ − из оставшихся элементов матрицы A , находящихся вне пересечения указанных строк и столбцов. Пример. Дана матрица A5×7 . Составить матрицы A′, A′′ на основе строк 2, 4 и столбцов 2, 3, 4. ⎛2 ⎜ ⎜1 A = ⎜0 ⎜ ⎜5 ⎜4 ⎝

3 0 2 0 4

4 3 1 0 9

0 2 4 7 2

5 1 3 3 8

6 0 9 1 3

9⎞ ⎟ 4⎟ ⎛2 5 6 9⎞ ⎜ ⎟ ⎛0 3 2⎞ ⎟ ⎟⎟, A′′ = ⎜ 0 3 9 7 ⎟ 7 → A′ = ⎜⎜ ⎟ ⎝0 0 7⎠ ⎜4 8 3 8⎟ 2⎟ ⎝ ⎠ 8 ⎟⎠

Если при m = n, k = l , то выделенные матрицы будут квадратными. Так, например, в матрице A порядка n выделяются строки с номерами i1 , i2 , K, ik и столбцы с номерами j1 , j 2 , K , j k . Матрица, образованная элементами, стоящими на пересечении этих сток и столбцов, будет квадратной матрицей k − го порядка. Обозначим эту матрицу через Ak′×k .Определитель этой матрицы называется минором k-порядка матрицы A. Подматрица из оставшихся элементов матрицы A будет квадратной матрицей (n − k ) − го порядка. Обозначим ее через An′′−k×n−k . Определитель этой матрицы называется дополнительным минором. Задача. Составить миноры второго порядка матрицы A5×5 из строк с номерами 2, 5. Матрица имеет вид

22

⎛1 ⎜ ⎜0 A = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

1⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟. ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠

Решение. Число матриц второго порядка, полученных из двух фиксированных строк и произвольных столбцов, равно числу сочетаний С 52 = 10. Эти матрицы имеют вид: ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ′ = ⎜⎜ ⎟⎟, A13′ = ⎜⎜ ⎟⎟, A14′ = ⎜⎜ ⎟⎟, A15′ = ⎜⎜ ⎟⎟, A23 ⎟⎟, A12′ = ⎜⎜ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝0 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 0⎞ ′ = ⎜⎜ ′ = ⎜⎜ ′ = ⎜⎜ ′ = ⎜⎜ ′ = ⎜⎜ ⎟⎟, A25 ⎟⎟, A34 ⎟⎟, A35 ⎟⎟, A45 ⎟⎟. A24 ⎝ 0 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝1 0 ⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝0 1⎠ Индексы у матриц второго порядка указывают номера столбцов, участвующих в их образовании. Миноры этих матриц равны соответственно: ′ ) = 0, det ( A12′ ) = 0, det ( A13′ ) = 0, det ( A14′ ) = 0, det ( A15′ ) = 0, det ( A23 ′ ) = 0, det ( A25 ′ ) = 0, det ( A34 ′ ) = −1, det ( A35 ′ ) = 1, det ( A45 ′ ) = 1. det ( A24 В общем случае число миноров k − го порядка матрицы n − го порядка определяется n! по формуле C kn = . Миноры матриц Ak′×k , An′ − k ×n − k представляют собой взаимно k!(n − k )! дополнительные миноры.

Задача. Найти для минора (n −1) − порядка матрицы An×n дополнительный минор.

Решение. Матрицей дополнительного минора (n −1) − порядка будет матрица первого порядка, то есть матрица с одним элементом. Поэтому этот дополнительный минор будет равен элементу его матрицы. Пусть матрица третьего порядка имеет вид ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 5 6 ⎟. ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠ Образуем матрицу минора из строк с номерами 1, 2 и столбцов с номерами 1, 3. Тогда минор и дополнительный к нему минор будут равны: 1 3 det ( A′) = = −6, det ( A′′) = 8 = 8. 4 6 Наряду с понятием минора k − порядка вводится понятие алгебраического дополнения к нему. Так, если из матрицы выделены строки с номерами i1 ,i2 ,K,ik и столбцы с

номерами j1 , j2 ,K, jk , то из него образуется минор

det ( Ak×k ).

Определение. Алгебраическим дополнением к минору называется его дополнительный минор, взятый со знаком плюс или минус в зависимости от значения суммы индексов строк и столбцов, образующих минор. То есть алгебраическое дополнение определяется по формуле det ( A′′) = − 1t det ( A′),

( )

k

где t = ∑ (il + jl ) . Понятие минора и алгебраического дополнения используются при l =1

вычислении определителя. Метод Лапласа основан на разложении определителя по нескольким строкам и столбцам. Если выбрать произвольные k строк и столбцов в оп-

23

ределителе матрицы An×n , то сумма произведений всех миноров k − го порядка в выбранных строках (столбцах) на их алгебраические дополнения равна определителю Cnk

этой матрицы. Справедлива формула det ( A) =∑ Ak′×k An′′−k×n−k . 1

В частности, разложение определителя матрицы иногда рационально проводить по i − й строке (или по j − му столбцу), в которой много нулевых элементов. Тогда определитель равен произведению элементов выделенной строки на их алгебраические дополнения. Так как C nn = n, то имеет место формула вычисления определителя n

det ( A) = ∑ aij Aij′′ , j =1

где aij − элементы выделенной строки матрицы, а Aij′′ − их алгебраические дополнения; i − номер строки, по которой производится разложение определителя матрицы A. Задача. При помощи разложения определителя по строке вычислить значение определителя матрицы, имеющей вид: ⎛ 2 − 1 0 3⎞ ⎜ ⎟ 2 0⎟ ⎜0 1 A=⎜ . 1 0 − 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜4 − 2 0 1⎟ ⎝ ⎠ Решение. Так как в этой матрице вторая строка содержит два нулевых элемента, то рационально разложить определитель матрицы по этой строке. Тогда получим 2 0 3 2 −1 3 2+ 2 2+3 det ( A) = 1 ⋅ (− 1) 1 − 1 2 + 2 ⋅ (− 1) 1 0 2 = 20. 4 0 1 4 −2 1

Так как в этой матрице имеется третий столбец, содержащий также два нулевых элементов, то, следовательно, разложение можно проводить и по этому столбцу. Задание для самостоятельного решения: вычислить определитель этой матрицы при помощи разложения по третьему столбцу. Задание для самостоятельного решения. Вычислить значения определителей матриц при помощи разложения по строкам или столбцам. Вид матриц:

0 0 3 −1 4 ⎞ ⎛ 6 ⎜ ⎟ ⎛ 4 −1 −1 0 3 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜− 4 −1 3 −1 0 3 2 1 ⎟ ⎜− 7 0 ⎜ 5 −7 0 3 1 − 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. , = A= 6 B 0 −5 0 3 ⎜ ⎟ 4 0 0 7 ⎟ ⎜ −1 0 4 0 7 − 8⎟ ⎜ 1 ⎜ 2 −2 1 0 1 − 3 ⎟⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0 −1 3 0 ⎠ ⎝ ⎜ − 3 8 −1 3 0 0 ⎟⎠ ⎝ Ответ. det ( A) = −59,det (B ) = −7972. Таким образом, формируя минорные подматрицы данной матрицы, получим матрицы меньшей размерности. Наоборот, расширенные матрицы получаются добавлением строк или столбцов. Их размерность будет больше размерности исходной матрицы.

24

1.5. Обратимость матриц При решении системы линейных уравнений AX = B матричным методом встает вопрос о существовании для матрицы A обратной матрицы. Определение. Матрица A называется особенной или вырожденной, если ее определитель равен нулю, то есть det ( A) = 0. Особенная матрица не имеет обратной. Если det ( A) ≠ 0, то матрица A обладает обратной матрицей. Определение. Матрица B называется обратной для матрицы A , если выполняются равенство: BA = AB = E , где E − единичная матрица. Обозначим обратную матрицу для A через A−1. Обратная матрица формируется при помощи присоединенной матрицы P , которая имеет следующее строение. Каждый элемент pij ∈ P есть алгебраическое дополнение к

элементу a ji ∈ A. Обратная матрица A−1 для матрицы A равна присоединенной матрице, деленной на определитель этой матрицы, то есть имеет место следующая формула: P A−1 = . det ( A)

Алгоритм вычисления обратной матрицы для матрицы n-го порядка. 1. Произвести вычисление определителя матрицы или непосредственно по определению, или при помощи метода Лапласа, или путем приведения матрицы к треугольной форме. 2. Для каждого элемента aij ∈ A определить его алгебраическое дополнение det (Aij′′ ) , то есть определитель подматрицы, образованный элементами матрицы A после выi+ j черкивания строки с номером i и столбца с номером j , взятой со знаком (− 1) . 3. Найденное значение поместить в матрицу на место пересечения j строки и i столбца. Это будет элемент p ji присоединенной матрицы P.

4. Произвести деление каждого элемента присоединенной матрицы на значение определителя исходной матрицы. Полученная матрица и есть обратная к матрице A. Чтобы убедиться в правильности составления обратной матрицы A−1 необходимо проверить равенства: A −1 A = E , AA −1 = E. Задача. Найти обратную матрицу для матрицы, имеющей вид 0 1⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ A = ⎜−1 3 0⎟ . ⎜ 1 −1 2⎟ ⎝ ⎠ Решение. Определитель матрицы вычисляется по вышеприведенной формуле и равен det ( A) = 10. Последовательность построения присоединенной матрицы P.

25

⎛ 3 0⎞ ⎟⎟ , определитель 1. Элементу a11 = 2 соответствует дополнительная матрица ⎜⎜ ⎝ −1 2⎠ которой равен 6. Тогда алгебраическое дополнение элемента a11 равно

(− 1)1+1 ⋅ 6 = 6. Следовательно, первый элемент присоединенной матрицы

p11 = 6. 1+ 2 − 1 0 2. Элементу a12 = 0 соответствует алгебраическое дополнение (− 1) = 2. То1 2 гда элемент присоединенной матрицы p21 = 2. 3 1+ 3 − 1 3. Элементу a13 = 1 соответствует алгебраическое дополнение (− 1) = −2. 1 −1 Следовательно, p31 = −2. Уже на этих этапах прослеживается определенная закономерность соответствия элементов матриц A,P. Индексы элементов этих матриц инвертированы друг относительно друга, то есть ij ↔ ji. Поэтому aij ↔ p ji . Аналогично находятся и все остальные

элементы присоединенной матрицы. 1+ 2 4. Элементу a21 = −1 соответствует элемент p12 = (− 1) ⋅1 = −1.

5. Элементу a22 = 3 соответствует элемент p22 = (− 1)

2+ 2

6. Элементу a23 = 0 соответствует элемент p32 = (− 1)

⋅ 3 = 3.

2+3

7. Элементу a31 = 1

соответствует элемент p13 = (− 1)

3+1

8. Элементу a32 = −1 соответствует элемент p23 = (− 1)

⋅ (− 2 ) = 2.

⋅ (− 3) = −3.

3+ 2

⋅ 1 = − 1.

9. Элементу a33 = 2 соответствует элемент p33 = (− 1) ⋅ 6 = 6. Таким образом, обратная матрица имеет вид ⎛ 6 − 1 − 3⎞ ⎟ 1 ⎜ −1 A = ⋅⎜ 2 3 − 1 ⎟. 10 ⎜ 6 ⎟⎠ ⎝− 2 2 3+3

Проверка:

⎛ 2 0 1 ⎞ ⎛ 6 − 1 − 3⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ AA =⎜ − 1 3 0 ⎟ ⋅ ⎜ 2 3 − 1 ⎟ ⋅ =⎜ 0 10 ⎜ ⎜ 1 −1 2⎟ ⎜ − 2 2 6 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝0 ⎛ 6 − 1 − 3⎞ ⎛ 2 0 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ −1 A A =⎜ 2 3 − 1 ⎟ ⋅ ⎜ − 1 3 0 ⎟ ⋅ =⎜ 0 10 ⎜ ⎜− 2 2 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 1 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝0 −1

0 0⎞ ⎟ 1 0 ⎟. 0 1 ⎟⎠ 0 0⎞ ⎟ 1 0 ⎟. 0 1 ⎟⎠

Операция обратимости матриц обладает следующими свойствами:

( A + B )−1 = A −1 + B −1 ,

(( A) )

−1 −1

=A,

( AB )−1 = B −1 A−1.

Задание для самостоятельного решения. Найти обратную матрицу для матрицы ⎛1 ⎜ ⎜0 A=⎜ 0 ⎜ ⎜−1 ⎝

0 0 − 1⎞ ⎟ 2 1 − 3⎟ . 0 −1 1 ⎟ ⎟ 1 1 0 ⎟⎠

26

1.6. Ранг матрицы Понятие ранга матрицы связано с определением количества линейно независимых строк расширенной матрицы системы линейных уравнений. Как было ранее отмечено, матрицу An×m можно рассматривать как n векторов-строк длины m или m векторовстолбцов длины n. Они являются либо линейно зависимыми, либо линейно независимыми. Линейно зависимые строки (столбцы) матрицы можно при помощи элементарных преобразований свести к матрице с нулевой строкой (столбцом). Определение. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк (или столбцов). Существует несколько процедур определения ранга матрицы. Первым этапом вычисления ранга является определение миноров второго порядка отличных от нуля, составленных на основе первых двух строк матрицы. Затем определяются миноры третьего порядка, окаймляющие не нулевой минор второго порядка. Если все эти миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. В противном случае процедура вычисления миноров, отличных от нуля, продолжается аналогично, то есть высчитываются миноры четвертого порядка, окаймляющие не равный нулю минор третьего порядка. Также, если все эти миноры будут равны нулю, то ранг матрицы равен трем. Если это не так, то процедура счета миноров (более высоких порядков, чем предыдущие) продолжается вплоть до определения окаймляющих не нулевой минор (n − 1) − го порядка минорами n − го порядка. Расчет всех главных миноров осуществляется при определении знакоопределенности квадратичной формы в критерии Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны [8]. Данный метод трудоемок и занимает много времени для матриц размерности n > 4. Поэтому на практике применяется более эффективная процедура вычисления ранга матрицы – приведение матрицы к диагональному виду (с равными единице диагональными элементами). Количество единиц на главной диагонали и определяет ее ранг. Задача. Определить ранг матрицы, имеющей вид ⎛2 ⎜ ⎜1 A=⎜ 6 ⎜ ⎜1 ⎝

2 1 6 2

0 0 0 1

1 − 3 − 1⎞ ⎟ 4 0 2 ⎟ . 3 − 9 − 3⎟ ⎟ 0 5 0 ⎟⎠

Решение. Применим метод диагонализирования матрицы. Ниже приведена цепочка преобразованных при помощи элементарных преобразований матриц. ⎛2 ⎜ ⎜1 A=⎜ 6 ⎜ ⎜1 ⎝

2 1 6 2

0 0 0 1

1 − 3 − 1⎞ ⎟ 4 0 2 ⎟ 3 − 9 − 3⎟ ⎟ 0 5 0 ⎟⎠

→

⎛1 ⎜ ⎜2 A1 = ⎜ 6 ⎜ ⎜1 ⎝

1 2 6 2

0 0 0 1

4 0 2 ⎞ ⎟ 1 − 3 − 1⎟ 3 − 9 − 3⎟ ⎟ 0 5 0 ⎟⎠

→

27

⎛1 ⎜ ⎜0 A2 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 A4 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

1 0

4

0 0

−7

0 0 − 21 1 1

−4

1 0

4

1 1 −4 0 0 −7 0 0

0

2 ⎞ ⎟ −3 −5 ⎟ − 9 − 15 ⎟ ⎟ 5 − 2 ⎟⎠ 0 2 ⎞ ⎟ 5 − 2⎟ 3 5 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠

⎛1 ⎜ ⎜0 → A3 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0

1 0 1 1 0 0 0 0

⎛1 ⎜ ⎜0 → A5 = A′ = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

1 1 0 0

2 ⎞ ⎟ − 4 5 − 2⎟ → − 7 − 3 − 5⎟ ⎟ − 7 − 3 − 5 ⎟⎠ 0 4 0 2⎞ ⎟ 1 − 4 5 2⎟ . 1 − 3 8 3⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟⎠ 4

0

Так как в этой матрице три единицы на главной диагонали (одна нулевая строка), то ранг матрицы равен трем, то есть rang ( A) = 3. Задание для самостоятельной работы. Определить ранг матрицы, имеющей вид

1 − 2 1 −1 5 3 0 ⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ 0 1 0 − 2 −1 0 ⎟ ⎜ −1 0 ⎜ 4 −2 1 0 4 1 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 0 −2 2 0 − 2⎟ ⎜ 0 A=⎜ ⎟. − − − − 2 0 1 0 2 2 0 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 −1 1 0 1 −1⎟ ⎜ ⎟ 2 1 0 −2 1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎜ 2 3 −1 − 2 0 1 5 0 ⎟⎠ ⎝

1.7. Система линейных уравнений При исследовании крутильных колебаний механической системы со многими степенями свободы составляются модели в виде распределенных масс на невесомом упругом валу. Ее движение описывается дифференциальными уравнениями, решения которых осуществляются при помощи решения системы линейных уравнений. В общем случае система n линейных уравнений с m неизвестными xi записывается в виде: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1m x m = b1 , ⎪a x + a x + L + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2m m 2 ⎨ ⎪M ⎪⎩a n1 x1 +a n 2 x 2 + L +a nm x m = bn ,

(1.4)

где коэффициенты aij ,bi − постоянные действительные числа. В свернутой форме система (1.4) представляется в виде

m

∑a j =1

ij

x j =bi , где i = [1, n] . В компактной матричной

форме эта же запись системы линейных уравнений имеет вид

28

AX = B,

(1.5)

⎛ a11 a12 ... a1m ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 ... a2 m ⎟ где A = ⎜ − матрица коэффициентов системы; . . ... . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n1 an 2 ... anm ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜b ⎟ X = ⎜ ⎟, B = ⎜ 2 ⎟ − векторы-столбцы неизвестных и коэффициентов правой части . . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ системы линейных уравнений (1.4). Если все коэффициенты bi равны нулю, то система (1.4) называется однородной. Для случая n = m и det ( A) ≠ 0 матрица A имеет обрат-

ную матрицу A−1. Тогда производя матричное умножение выражения (1.5) на эту обратную матрицу и, учитывая справедливость формулы A−1 A = E , получим матричное решение системы линейных уравнений, записанное в следующей форме: X = A−1 B .

(1.6)

В разделе вынужденных колебаний механической системы со многими степенями свободы рассматривается поведение этой системы под воздействием вынуждающих сил, которые выражаются периодическими функциями, разлагаемыми в ряд Фурье. В этом случае правая часть системы (1.6) уже является не вектором-столбцом, а квадратной матрицей того же порядка, что и матрица коэффициентов A. Тогда система неоднородных линейных уравнений записывается в виде AX = H ,

где

⎛ h11 ⎜ ⎜h H = ⎜ 21 . ⎜ ⎜h ⎝ n1

h12 h22 . hn 2

(1.7)

... h1m ⎞ ⎟ ... h2 m ⎟ − матрица внешнего силового воздействия на элементы ... . ⎟ ⎟ ... hnm ⎟⎠

механической системы. Если n = m и det ( A) ≠ 0, то решение системы (1.7) находится в матричной форме по формуле X = A −1 H .

(1.8)

Если в выражении (1.5) вектор-столбец – нулевой, то система однородных уравнений в матричной форме записывается в виде AX = 0.

(1.9)

Для того чтобы система (1.9) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A был равен нулю, то есть, чтобы в матрице были линейно зависимые строки или столбцы. Необходимость решения систем вида (1.9) возникает при построении матрицы коэффициентов распределения (модальной матрицы) крутильных колебаний механической системы со многими степенями свободы.

29

Для решения системы (1.9) необходимо определить ранг матрицы. Это можно сделать по вышеприведенной методике. Если rang ( A) = r ≠ n, то система однородных уравнений представляется в виде: ⎧a11 x1 + a12 x 2 + L + a1r x r =− a1r +1 x r +1 − L − a1n x n , ⎪a x + a x + L + a x = − a x − L − a x , ⎪ 21 1 22 2 2r r 2 r +1 r +1 2n n ⎨ ⎪M ⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nr x r =− a nr +1 x r +1 − L − a nn x n .

(1.10)

Введем систему n − r линейно независимых векторов: ⎧e1 = (1 0 0 K 0 ), ⎪e = (0 1 0 K 0 ), ⎪ 2 ⎨ ⎪M ⎪⎩en − r = (0 0 0 K 1). Последовательно подставляя эти единичные векторы в систему уравнений (1.10) вместо неизвестных в ее правую часть, получим систему r уравнений с r неизвестными. Тогда система (1.10) в матричной форме представится в виде

Ar X r = − An − r ei (i ∈ [1, n − r ]), ⎛ a11 ⎜ ⎜a где Ar = ⎜ 21 . ⎜ ⎜a ⎝ r1

a12 a 22 . ar 2

... a1r ⎞ ⎛ a1r +1 ⎜ ⎟ ... a 2 r ⎟ ⎜a , An − r = ⎜ 2 r +1 ⎟ . ... . ⎜ ⎟ ⎜a ... a rr ⎟⎠ ⎝ rr +1

a1r + 2 a2r +2 . a rr + 2

(1.11)

... a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ... a 2 n ⎟ ⎜x ⎟ , X r = ⎜ 2 ⎟. ⎟ . ... . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ... a rn ⎟⎠ ⎝ r⎠

Следует заметить, что количество матричных уравнений (1.11) равно n − r и это каждое матричное уравнение имеет r решений. Решения системы однородных уравнений (1.11) образуют систему линейно независимых векторов, которые называются фундаментальной системой решений. В общем случае эта система имеет вид

( (

) )

(

)

⎧ x (1) = x1(1) x 2(1) x3(1) L x r(1) 1 0 0K0 ⎪ (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ⎪ x = x1 x 2 x3 L x r 0 1 0K 0 ⎨ ⎪M ⎪ x (r ) = x (r ) x (r ) x (r ) L x (r ) 0 0 0 K1 . r 1 2 3 ⎩ Задача. Для системы однородных линейных уравнений ⎧ x1 − x 2 + x5 = 0, ⎪− x + 3 x − 2 x + 2 x = 0, ⎪ 1 2 3 5 ⎨ ⎪− 2 x 2 + 3 x3 − x 4 = 0, ⎪⎩− x3 + x 4 − 3 x5 = 0.

определить фундаментальную систему решений.

30

Решение. Выполним следующие действия: 1. Составим матрицу данной системы уравнений

0 1 ⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜−1 3 − 2 0 . A=⎜ 0 − 2 3 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 − 1 1 − 3 ⎟⎠ ⎝ 2. Определим ранг матрицы методом ее диагонализирования. Проводим последовательно элементарные преобразования; в результате получаем цепь преобразованных матриц: 0 1 ⎞ 0 1 ⎞ ⎛1 −1 0 ⎛1 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟ ⎜ 0 1 − 1 0 1,5 ⎟ ⎜0 2 − 2 0 A→⎜ → → 0 − 2 3 −1 0 ⎟ ⎜0 0 1 −1 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 − 1 1 − 3⎟ ⎜ 0 0 − 1 1 − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 1⎞ ⎛1 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − 1 0 1,5 ⎟ . →⎜ 0 0 1 −1 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ Таким образом, ранг данной матрицы равен трем. 3. Представление системы однородных линейных уравнений в виде неоднородных уравнений. Так как rang ( A) = 3, то будем решать систему трех уравнений относительно трех неизвестных x1 ,x2 ,x3 . Тогда заданная система уравнений запишется в виде: ⎧ 1x1 − 1x 2 + 0 x3 = 0 x 4 − 1x5 ⎪ ⎨− 1x1 + 3x 2 − 2 x3 = 0 x 4 − 2 x5 . ⎪ 0 x − 2 x + 3x = 1x + 0 x 1 2 3 4 5 ⎩ 4. Матрицы коэффициентов при неизвестных в левой и правой частях представляются в следующем виде: ⎛ x1 ⎞ ⎛0 −1⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A3×3 = A = ⎜ − 1 3 − 2 ⎟, B3×2 = B = ⎜ 0 − 2 ⎟, X 3×1 = X = ⎜ x 2 ⎟ . ⎜x ⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎜ 0 −2 3 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Придадим последовательно неизвестным x 4 , x5 значения 1,0; 0,1 , то есть введем два линейно независимых вектора e1 = (10 ), e2 = (01) . Тогда получим матричную запись неоднородной системы уравнений AX = Bei , где i = 1, 2. 5. Определитель матрицы A вычисляется по вышеприведенной методике; он равен det ( A) = 2. ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 6. Для i = 1 получим следующую систему уравнений: AX = ⎜ 0 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ Решая эту систему методом Крамера [9], получим следующие решения: x (1)1 = 1, x (1)2 = 1, x (1)3 = 1.

31

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ 7. Для i = 2 система уравнений примет вид AX = ⎜ − 2 ⎟. ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ Решая эту систему уравнений, найдем следующие решения: x (2 )1 = −5,5; x (2 ) 2 = −4,5; x (2 )3 = −3. 8. Фундаментальная система решений запишется в виде x (1) = (1 1 1 1 0), x (2 ) = (− 5,5 − 4,5 − 3 0 1). Эту систему можно представить и в матричном виде, если введем матрицу решений следующего вида: 1 1 1 0⎞ ⎛ 1 ⎟⎟. T = ⎜⎜ ⎝ − 5,5 − 4,5 − 3 0 1 ⎠

Задание для самостоятельного решения. Для следующей системы уравнений определить фундаментальную систему решений: ⎧ 5 x1 − 2 x3 + x 4 = 0, ⎪− x ⎪ 1 + 3 x 2 − 2 x 4 = 0, ⎨ ⎪− 10 x1 + 4 x3 − 2 x 4 = 0, ⎪⎩ 3 x1 − 9 x 2 + 4 x 4 = 0.

1.8. Собственные векторы и собственные значения При приведении матрицы A n − го порядка к диагональному виду составляется характеристическая матрица: A − λE , где λ ∈ K ,E − единичная матрица. Определитель этой матрицы является многочленом степени n от числа λ и называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни называются характеристическими корнями.

Задача. Для матрицы, имеющей вид

⎛ 5 − 2 − 3⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ − 2 6 − 4 ⎟ , составить характеристи⎜ − 3 − 4 10 ⎟ ⎠ ⎝

ческий многочлен и найти его корни. Решение. Согласно вышеприведенной структуре характеристической матрицы для данной матрицы она имеет вид −3 ⎞ ⎛5 − λ − 2 ⎟ ⎜ A − λE = ⎜ − 2 6 − λ − 4 ⎟. ⎜ −2 − 4 10 − λ ⎟⎠ ⎝

Определитель этой матрицы равен: det ( A − λE ) = −λ3 + 21λ2 + 111λ − 276. Определим корни уравнения третьей степени λ3 − 21λ2 − 111λ + 276 = 0 . Применим метод Кардано. Произведем замену переменных в уравнении, вводя новую перемен21 ную y = λ − = λ − 7. Тогда подставляя в кубическое уравнение λ = y + 7, получим 3 уравнение y 3 − 36 y + 15 = 0. Решение этого уравнения ищется по формулам

32

⎛ϕ ⎞ ⎛ϕ ⎞ ⎛ϕ ⎞ y1 = 23 p cos⎜ ⎟, y 2 = 23 p cos⎜ + 120 o ⎟, y 3 = 23 p cos⎜ + 240 o ⎟, ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝3⎠

(36)3

15 → ϕ = 100,4 o Тогда y1 = 5,78; y 2 = −6,19; y3 = 0,42. 2p 27 Следовательно, корни характеристического уравнения будут равны λ1 = 12,78, λ 2 = 0,80, λ = 7,42. В общем случае, для определения амплитудно-частотных характеристик колебательной системы со многими степенями свободы составляется однородное матричное уравнение: (H − λE )X = 0, где H − матрица, характеризующая инерционные и упругие свойства механической системы; λ = k 2 − квадрат круговой частоты колебаний системы; X − вектор-столбец амплитуд. Так, для колебательно-крутильной системы имеем H = A −1C , где матрицы A, C − соответственно, матрицы инерции и жесткости. При определении не нулевых значений вектора амплитуд X необходимо решить характеристическое уравнение где p =

= 41,57; cos ϕ = −

det (H − λE ) = 0.

(1.12)

В результате разрешения этого уравнения определяются n корней λ1 , λ 2 , ..., λ n , которые называются собственными значениями характеристического уравнения. Каждому корню λi соответствует система однородных уравнений (1.12), решая которую определяют неизвестные векторы амплитуд.

1.9.

Дифференцирование матриц

1.9.1. Определение производной матрицы Элементы матрицы в общем случае могут быть функциями одной или многих переменных. Тогда эта матрица, определяющая некоторые свойства механической системы, будет являться переменной матрицей. Так, если все элементы матрицы A являются функциями скалярного аргумента, например, времени t , то эта матрица будет являться матричной функцией этого параметра. В этом случае ∀i, j ∈[1, n] (aij = aij (t )) и, следовательно, матрица имеет вид A = A(t ) = (aij (t ))n×n . Динамические свойства механической

системы будут описываться не только этой переменной матрицей, но и ее первой и второй производными по параметру t . Будем рассматривать такие переменные матрицы, элементы которых являются непрерывными и дифференцируемыми функциями в некоторой области изменения скалярного параметра. Определение. Производной матрицы A(t ) n − го порядка по скалярному аргументу t называется матрица этого же порядка, каждый элемент которой есть производная соответствующего элемента матрицы по этому параметру t. В символической форме производная матрицы запишется в виде dA(t ) & = A = (a& ij )n×n , dt

(1.13)

33

daij (t ) ⎞ T ⎟⎟ . Производная вектора-столбца a = (a1 a 2 ... an ) по скаdt ⎠ ⎝ T лярному параметру t запишется в виде: a& = (a&1 a& 2 ... a& n ) .

где

∀i, j ∈ [1, n] ⎛⎜⎜ a&

ij

=

Задача. Вычислить первую производную матрицы ⎛ p11t k1 p12 t k2 ⎜ A = ⎜ p21e k1t p22 e k2t ⎜ ⎝ p31 sin k1t p32 cos k 2t

где

∀i, j ∈ [1, n] ( p

ij

, ki ∈ R ).

A , имеющую вид p13t k3 ⎞ ⎟ p23e k3t ⎟ , ⎟ p33tgk3t ⎠

Решение. Согласно правилам дифференцирования показательной, степенной и тригонометрических функций и определению (1.13), получим следующий вид производной этой матрицы: ⎛ ⎞ k3 −1 k 2 −1 ⎜ k p t k1 −1 ⎟ k p t k p t 2 12 3 13 ⎜ 1 11 k t ⎟ A& = ⎜ k1 p21e 1 k 2 p22 e k2t k 3 p23e k3t ⎟ . ⎜ cos 2k 3t ⎟ ⎜ k1 p31 cos k1t − k 2 p32 sin k 2 t k 3 p33 ⎟ cos 2 k 3t ⎠ ⎝ Аналогично определяются вторая и другие высшие производные матриц, зависящие от скалярного аргумента t.

1.9.2. Свойства производных переменной матрицы как функции скалярного аргумента Пусть заданы переменные матрицы Ai (t ) ∈ M n ,n (i ∈ [1, p ]) , зависящие от скалярного аргумента t . Если каждый элемент этих матриц является дифференцируемой функцией, то такие матрицы будем называть дифференцируемыми. 1. Производная конечной линейной комбинации матриц Ai . Представим матрицу A в виде суммы матриц семейства {Ai , i ∈ [1, p ]}, умноженных на постоянные числа λi вещественного поля R. Имеем следующую запись: p

A(t ) = ∑ λi Ai . Тогда производная этой матрицы по t

запишется в виде:

i =1 p

A& (t ) = ∑ λi A& i , где A& i − производная от матрицы Ai . i =1

2. Производная произведения матриц Ai . Составим из матриц вышеприведенного семейства дифференцируемых матриц проp

изведение A(t ) = ∏ Ai . Для общности выкладок положим, что A0 = E − единичная i =1

матрица. Тогда дифференцируя правую часть этого выражения, получим следуюp

m −1

щую запись производной матрицы A : A& = ∑∏ Ak A& m m =1 k =0

p

∏ A . В частности, `для трех j

j = m +1

34

дифференцируемых матриц A, B, C ∈ M n ,n производная их произведения представится в виде:

d ( ABC ) & = ABC + AB& C + ABC& . dt

Задание для самостоятельной работы. Для матрицы A определить производную по t в момент времени t = 1 с. Матрица имеет вид ⎛ cos ω t sin ω t 0 ⎞ ⎜ ⎟ π A = ⎜ − sin ω t cos ω t 0 ⎟ , ω = рад. 2 ⎜ 0 0 1 ⎟⎠ ⎝

3. Производная обратной матрицы. Если матрица A(t ) − невырожденная, то для нее существует обратная матрица A−1 , такая, что AA−1 = E. Продифференцировав это выражение по t , получим

( )

d A−1 dA−1 A& A−1 + A = 0. Отсюда следует формула: = − A−1 A& A−1. dt dt Задание для самостоятельного решения. Для невырожденных дифференцируемых матриц A(t ), B(t ) доказать справедливость матричного равенства:

d ( AB ) A−1 A& + B& B −1 = − B A. dt −1

4. Производная произведения матрицы A(t ) на вектор-столбец b(t ). Предполагая, что A(t ), b(t ) − дифференцируемые функции, получим

(

)

d ( Ab ) & d bT A dbT = Ab + Ab&, = A + bT A& . dt dt dt 5. Производная матрицы A(t ), элементы которой являются сложными функциями. Рассмотрим матрицу, элементы которой представляются в виде: ∀i, j ∈ [1, n] (aij = aij (x(t ))) . Тогда производная этой матрицы по t запишется в ⎛ daij виде A& (t ) = x&D(t ), где D(t ) = ⎜⎜ ⎝ dx цы A по переменной x.

⎞ ⎟⎟ − матрица производных элементов матри⎠ n×n

1.9.3. Свойства производной переменной матрицы A по векторному аргументу Рассмотрим матрицу A(t ) ∈ M n×n , каждый элемент которой является дифференцируемой функцией от k переменных. То есть

∀i, j ∈ [1, n]

aij = aij ( x1 (t ) x2 (t ) ... xk (t )) ,

где ∀s ∈ [1, k ] xs = xs (t ) − дифференцируемые функции по скалярному аргументу t. Переменные xs (t ), являющиеся аргументами функций aij ∈ A (t ), можно представить как вектор-столбец

35

⎛ x1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (t )⎟ , x = x (t ) = ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x (t )⎟ ⎝ k ⎠

(1.14)

или как вектор-строку x T = ( x1 (t ) x 2 (t ) L x k (t )) . Тогда любой элемент матрицы A(t ) будет являться скалярной функцией вектора x , то есть

∀i, j ∈ [1, n] (a

ij

= aij ( x )).

Производная элемента aij по параметру t определяется по формуле ∂aij dxs ⎛ ∂aij ⎞ ⎟⎟ x& , = ⎜⎜ =∑ ∂ dt x s =1 ∂x s dt ⎝ ⎠

daij

T

k

(1.15)

T

T ∂aij ⎞ ⎛ ∂aij ∂aij ⎛ ∂aih ⎞ ⎟ − вектор-строка частных производных элемента где ⎜ L ⎟ = ⎜⎜ ∂xk ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x1 ∂x2 aij ∈ A(t ) по вектору x ; x& − вектор-столбец производных по t компонент вектора x .

Тогда производная матрицы A(t ) = (aij ( x (t )))n×n по t определится по формуле ⎛ ⎛ ∂aij A& = ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ∂x ⎝

T ⎞ & ⎞⎟ ⎟⎟ x . ⎠ ⎟⎠ n×n

Согласно формуле (1.15) эту производную можно представить в виде суммы произведений матрицы частных производных матрицы A по всем переменным xi (i ∈ [1, k ]) на вектор-столбец производных компонент вектора x , то есть k

A& = ∑ x&i A, i ,

(1.16)

i =1

⎛ a11,i ⎜ ⎜ a 21,i где A, i = ⎜ M ⎜ ⎜a ⎝ n1,i

a12,i a 22,i M a n 2,i

L a1n ,i ⎞ ⎟ L a 2 n ,i ⎟ ∂A ∂aij . Введено обозначение: = aij ,k . = M M ⎟ ∂xi ∂xk ⎟ L ann ,i ⎟⎠

Задача. Вычислить производную матрицы A( x1 , x2 ) по t , если x1 = x1 (t ), x2 = x(t ), а матрица имеет вид ⎛ x12 x2 (x1 + x2 )2 x12 + x2 2 ⎞⎟ ⎜ 2 2 2 2 2 A = ⎜ ( x1 − x2 ) x1 x2 x2 − x1 ⎟ . ⎟ ⎜⎜ 2 2 2 x1 x2 ⎟⎠ ⎝ x1 − x1 x2 x1 x2 − x2

( (

) )

Решение. По формуле (1.16) производная матрицы A , являющейся дифференцируемой функцией двух переменных, запишется в виде:

36

⎛ x1 2 2( x1 + x 2 ) 2 x1 ⎞ 2( x1 + x 2 ) 2 x 2 ⎞ ⎛ 2 x1 x 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 A& (t ) = ⎜ 2( x1 − x 2 ) 2 x1 x 2 2 x 2 ⎟ x& 2 . − 2 x1 ⎟ x&1 + ⎜ 2( x 2 − x1 ) 2 x1 x 2 ⎟ ⎜⎜ 2 ⎜ 2x − x x2 x 2 ⎟⎠ x1 − 2 x 2 2 x1 x 2 ⎟⎠ 2 ⎝ 1 ⎝ − x1 Задача. Определить производную по времени матрицы положения произвольного звена механической системы, состоящей из n твердых тел. Решение. В общем случае, положение твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве определяется шестью обобщенными координатами q s (s ∈ (1, n )). Как было показано ранее, матрица положения произвольного звена механической системы (например, колебательно-крутильной системы) относительно [0] − координатной системы (связанной со стойкой) в блочной форме записывается в виде:

⎛α (t ) h(t )⎞ ⎟⎟ , A(t ) = ⎜⎜ O 1 ⎝ ⎠ где α = α (q (t )) − матрица ориентации звена, являющаяся функцией от вектора трех первых обобщенных координат; h(t ) = h( p (t )) − вектор-столбец полюса звена, являющегося функцией другой тройки обобщенных координат. То есть векторы q , p пред-

ставляются в матричном виде: q = (q1 (t ) q 2 (t ) q3 (t )) , p = (q 4 (t ) q5 (t ) q 6 (t )) , где T

T

q1 , q2 , q3 − углы ориентации звена (для каждой конкретной задачи этими координатами могут быть углы Эйлера, Крылова, Кардана [1]); q 4 , q 5 , q 6 − координаты точки звена, выбранной в качестве полюса, в частности, ими могут быть как декартовые, так и криволинейные координаты (например, цилиндрические или сферические). ⎛α& h& ⎞ ⎟ , где Производная матрицы A(t ) , согласно формуле (1.16), будет равна A& (t ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0 0⎠ α& = α , 1 q&1 + α , 2 q& 2 + α , 3 q&3 , h& = h, 4 q& 4 + h, 5 q& 5 + h, 6 q& 6 . Через α ,1 ;α , 2 ;α , 3 ; h, 4 ; h, 5 ; h, 6 обозначены матрицы частных производных соответствующих матриц ориентации и положения полюса по обобщенным координатам данного звена. Если в качестве обобщенных координат выбрать углы Эйлера q1 = ψ , q2 = θ , q3 = ϕ , то матрица ориентации звена запишется в виде: ⎛ cψ cϕ − sψ cθ sϕ ⎜ α (ψ , θ , ϕ ) = ⎜ − cψ sϕ − sψ cθ cϕ ⎜ sψ sθ ⎝

sψ cϕ + cψ cθ sϕ − sψ sϕ + cψ cθ cϕ − cψ sθ

sθ sϕ ⎞ ⎟ sθ cϕ ⎟ . cθ ⎟⎠

Введены сокращенные обозначения: cϕ = cos ϕ , cψ = cosψ , cθ = cosθ , sϕ = sin ϕ , sψ = sinψ , sθ = sin θ . Производная матрицы ориентации вычисляется по следующей формуле: ⎛ − sψ cϕ − cψ cθ sϕ сψ сϕ − sψ cθ sϕ 0 ⎞ ⎛ sψ sθ sϕ − cψ sθ sϕ cθ sϕ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ & α& = ψ& ⎜ sψ sϕ − cψ cθ cϕ − сψ sϕ − sψ cθ cϕ 0 ⎟ + θ ⎜ sψ sθ cϕ − cψ sθ cϕ cθ cϕ ⎟ ⎜ ⎜ − sψ cθ cψ cθ sψ sθ 0 ⎟⎠ − cψ cθ − sθ ⎟⎠ ⎝ ⎝

37

⎛ − сψ sϕ − sϕ cθ cϕ − sψ sϕ + cϕ cθ cϕ sθ cϕ ⎞ ⎜ ⎟ + ϕ& ⎜ − сψ cϕ + sϕ cθ sϕ − sψ cϕ − cϕ cθ sϕ − sθ sϕ ⎟ . ⎜ 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ Если в качестве вектора p обобщенных координат полюса звена выбрать сферические координаты ρ , ζ , χ , то вектор-столбец положения полюса относительно неподвижной координатной системы запишется в виде: ⎛ ρ sin ζ cos χ ⎞ ⎜ ⎟ h = ⎜ ρ sin ζ sin χ ⎟ . ⎜ ρ cos χ ⎟ ⎝ ⎠ Тогда производная этого вектора-столбца по параметру t запишется в виде: ⎛ sin ζ cos χ ⎞ ⎛ ρ cos ζ cos χ ⎞ ⎛ − ρ sin ζ sin χ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ h& = ρ& ⎜ sin ζ sin χ ⎟ + ζ& ⎜ ρ cos ζ sin χ ⎟ + χ& ⎜ ρ sin ζ cos χ ⎟ . ⎜ cos χ ⎟ ⎜ − ρ sin χ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

1.9.4. Производная вектора по вектору Рассмотрим вектор a как дифференцируемую функцию, компоненты которой являются также дифференцируемыми функциями многих переменных. В этом случае вектор представляется либо в виде вектора-столбца, либо в виде вектора-строки от векторного аргумента x [10]: ⎛ a1 ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 2 ( x )⎟ T a (x ) = ⎜ , a ( x ) = (a1 ( x ) a 2 ( x ) L a n ( x )), M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a ( x )⎟ ⎝ n ⎠ где x − вектор-столбец, структура которого определяется формулой (1.14). Запишем производную вектора a по вектору x. При этом будем учитывать правило дифференцирования скалярных функций компонент вектора a , являющихся функциями вектора x. Имеем следующее выражение рассматриваемой производной: ⎛ ∂a1 ⎜ T ⎜ ∂x ∂a ⎜ ∂a 2 =⎜ T ∂x T ⎜ ∂x M ⎜ ∂a n ⎜ T ⎝ ∂x

⎞ ⎛⎜ ∂a1 ⎟ ∂x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ∂a 2 ⎟ = ⎜ ∂x1 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ∂a ⎟ ⎜⎜ n ⎠ ⎝ ∂x1

∂a1 ∂x2 ∂a 2 ∂x2 M ∂a n ∂x2

∂a1 ⎞ ⎟ ∂xk ⎟ ∂a2 ⎟ L ∂xk ⎟ . ⎟ L M ⎟ ∂an ⎟ L ∂xk ⎟⎠ L

(1.17)

где n − количество компонент вектора a ; k − количество переменных векторного аргумента x. То есть производная вектора a по вектору-строке x представляется в виде матрицы размерности (n × k ) , каждая i − я строка которой представляет собой частную производную компоненты ai вектора a по вектору x. Транспонирование выражения

38

(1.17) позволяет получить другое представление производной вектора-строки вектора a по вектору x. Действительно, транспонируя выражение (1.17), будем иметь

∂a T ⎛ ∂a1 ⎛ ∂a ⎞ =⎜ ⎜ T⎟ = ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x T

∂a 2 ∂x

⎛ ∂a1 ⎜ ⎜ ∂x1 ∂a ∂a n ⎞ ⎜⎜ 1 L ⎟ = ∂x2 ∂x ⎠ ⎜ ⎜ M ⎜ ∂a1 ⎜ ∂x ⎝ k

∂a 2 ∂x1 ∂a 2 ∂x2 M ∂a 2 ∂xk

∂an ∂x1 ∂a2 L ∂x1 L M ∂an L ∂xk L

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∂a T является матрицей размерности (k × n ), каждый j стол∂x бец которого является частной производной компоненты a j по вектору x. Очевидно,

В этом представлении

T

⎛ ∂a T ⎞ ∂a ∂a T ∂a ⎟⎟ = T . Получив выражения для , в матчто справедливо равенство: ⎜⎜ ∂x T ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ричной форме, теперь легко записать производную вектора a по параметру t , если x = x (t ). Имеют место формулы: da ∂a dx = dt ∂x T dt

(1.18)

da T dx T ∂a T = dt dt ∂x

(1.19)

Согласно условным обозначениям, принятым в п. 1.2.3, размерности в левой и правой частях выражения (1.18) связаны символической записью: (n × 1) = (n × k )(k × 1). Аналогично, получаем для выражения (1.19) формулу размерности: (1 × k ) = (1 × k )(k × n ).

1.9.5. Производная квадратичной формы по вектору Динамическое состояние крутильно-колебательной системы с n степенями свободы характеризуется тремя симметричными матрицами n − го порядка: матрицей инерции A, матрицей жесткости С и матрицей рассеивания B. Кинетическая и потенциальная энергия, диссипативная функция Релея формируются из этих матриц и представляются в виде квадратичных форм относительно обобщенных координат и обобщенных скоростей. Обозначим векторы-столбцы обобщенных координат и скоростей в виде: ⎛ q1 (t ) ⎞ ⎛ q&1 (t ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ q2 (t )⎟ & ⎜ q& 2 (t )⎟ q =⎜ , q =⎜ . M ⎟ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ q (t )⎟ ⎜ q& (t )⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠

Тогда кинетическая энергия T , функция рассеивания Ф и потенциальная энергия П в матричном виде запишутся как следующие скалярные выражения:

39

1 1 1 T = q& T A q& , Ф = q& T B q& , П = q T C q . 2 2 2 При составлении уравнений Лагранжа второго рода эти функции необходимо дифференцировать, причем T , Ф − по вектору q& , а П − по вектору q . Приведем методику дифференцирования потенциальной энергии как функции обобщенных координат по вектору q . Так как П = П (q (t )) , то дифференцируя по параметру t эту функцию, получим следующую формулу: dП & T ∂П =q . dt ∂q

(1.20)

1 С другой стороны, дифференцируя формулу П = q T C q по t и учитывая, что 2 dП 1 & T C = const , получим = q C q + q T C q& . Так как q T C q& − скалярная величина, и dt 2 T матрица C − симметричная C = C T , то q T C q& = q T C q& = q& T C q . Тогда получим

( (

следующую формулу

)

) (

) (

(

)

(

)

) (

dÏ = q& T C q . dt

)

(1.21)

Сравнивая выражения (1.20) и (1.21), получим искомую формулу ∂П = Cq . ∂q

(1.22)

Задание для самостоятельно решения. Доказать справедливость матричных формул ∂T ∂Ф = A q& , = B q& . & ∂q ∂q&

40

2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ РАСЧЕТНАЯ СХЕМА КОЛЕБАТЕЛЬНОКРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 2.1. О необходимости уменьшения числа степеней свободы динамической системы В любой упругой системе каждый ее бесконечно малый элемент при внешнем воздействии на него имеет возможность перемещаться относительно соседних элементов в пределах допустимых связями, то есть имеет свою степень свободы. Следовательно, даже самый простейший механизм, совершающий малые колебания, обладает бесконечно большим числом степеней свободы и неограниченным спектром собственных частот. Движение элементов такой системы описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Например, к системам с распределенными параметрами относятся дизель-редукторные установки судов, в состав которых входят главный двигатель (дизель), судовой валопровод и гребной винт. Численный расчет по определению амплитудно-частотных характеристик таких систем настолько трудоемок, что его можно считать практически неосуществимым даже при наличии быстродействующих ЭВМ. Этими трудностями обусловлена необходимость замены реальной системы с бесконечно большим числом степеней свободы динамически эквивалентной ей упрощенной системой с таким числом степеней свободы n , чтобы было практически возможно рассчитать систему n совместимых уравнений. Вместе с тем нельзя безмерно упрощать модель механических колебательных систем. Так как при исследовании резонансных зон силовых установок необходимо охватить как можно больший диапазон их собственных частот. А это можно осуществить лишь при разумном формировании дискретной модели колебательной системы с достаточной большим числом свободы, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В методике составления приведенной схемы отдельные элементы реальной механической системы в зависимости от их роли наделяются одним из присущих им свойств инерции, упругости или сопротивлениях. С этой целью можно рассматривать движение не только явно сосредоточенных масс, размещенных на валу, но и масс отдельных частей вала, приписывая им свою степень свободы. В связи с этим в судовых установках с непосредственной передачей движения от двигателя на винт через гребной вал, состоящий из нескольких частей, целесообразно массы этих частей вала сосредотачивать в местах их фланцевых соединений. При исследовании крутильных колебаний силовой установки с ДВС принято его коленчатый вал и другие упругие элементы представлять в виде невесомого упругого вала постоянного диаметра. При этом массы участков этого вала, расположенные между сосредоточенными массами системы, принято относить к тем сосредоточенным массам, к которым они принадлежат, а сосредоточенные массы представлять в виде дисков достаточно малой толщины. Например, массу колена коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания, взятого между серединами его коренных шеек, массу вращающихся и возвратно-перемещающихся частей, связанных с одной шатунной шейкой, принято заменять динамически эквивалентным диском, расположенным в середине ша-

41

тунной шейки. Маховик, сцепление и прилегающие к нему участки вала принято заменять одним диском, расположенным в том сечении приведенного вала, которое соответствует положению маховика на валу реальной крутильной системы. Исследованиями установлено, что при сопротивлениях, заглушающих колебания в двигателе, замена реальной системы приведенной дает достаточно точное соответствие числовых значений собственных частот с их экспериментальными данными. Поэтому при определении собственных частот приведенную систему можно рассматривать как консервативную, то есть лишенную внешних и внутренних сопротивлений. Однако даже незначительные диссипативные силы, заглушающие колебания, практически не влияющие на их частоты собственных колебаний системы, значительно влияют на их амплитуды. Если вибрирующие массы имеют одинаковые сопротивления и секции цилиндров работают идентично, то закономерность изменения углов закрутки вала в различных его сечениях приблизительно совпадает с закономерностью изменения амплитуд колебаний, полученных в результате расчета данной системы как консервативной. При разных сопротивлениях движению отдельных приведенных масс системы и не идентичной работы цилиндров закономерность изменения углов закрутки участков вала, расположенных между приведенными массами, не совпадает с закономерностью изменения углов поворотов сечений вала консервативной системы с теми же приведенными массами и жесткостями. Изменение амплитуд колебаний по длине вала между приведенными массами называют формой колебаний. Количество форм колебаний приведенной системы с n степенями свободы столько же, сколько и частот, что следует из закона соответствия каждой частоте своей формы. Из векового уравнения движения крутильной системы с n степенями свободы определяется n корней, представляющих собой собственные частоты. Причем для системы со свободными концами один корень имеет нулевое значение, что соответствует равномерному вращению вала как абсолютно твердого тела, а остальные (n − 1) корней выражают отличные от нуля частоты собственных колебаний. При осциллографировании и торсиографировании крутильных колебаний системы регистрируется сложный процесс движения данного сечения вала реальной системы, замененной n массами при ее упрощении. При этом на кривые низших частот и форм колебаний с большим периодом и значительными амплитудами накладываются колебания высших частот с малыми периодами и малыми амплитудами. Тем самым экспериментально подтверждается наличие разных форм колебаний, совершающихся с разными частотами. Совпадение экспериментальных значений частот собственных колебаний с частотами собственных колебаний, подсчитанными для консервативной системы, подтверждает допустимость замены реальной системы с бесконечным числом степеней свободы приведенной системой с конечным числом сосредоточенных масс.

2.2. Эквивалентность действительной и приведенной систем Движение любой из приведенных масс упрощенной системы при крутильных колебаниях вполне определяется углом закрутки того сечения вала, в котором закреплена рассматриваемая масса. Поэтому такой угол может быть принят за обобщенную координату упрощенной системы. Количество обобщенных координат такой системы будет равно количеству ее приведенных масс. Если приведенная система имеет n обобщенных координат, то есть имеет степень свободы равную n , то ее движение вполне определяется системой n обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода:

42

⎞ ∂L ⎟⎟ − (2.1) = Qi , ⎠ ∂ qi где qi − обобщенная координата i − ой степени свободы системы; q&i − обобщенная d ⎛∂ L ⎜ dt ⎜⎝ ∂ q& i

скорость, i ∈ [1, n]; L − функция Лагранжа; Qi − обобщенная сила, не имеющая потенциала и соответствующая i − й обобщенной координате. Функция Лагранжа вычисляется по формуле L = T − Π , где T − кинетическая энергия системы, Π − потенциальная энергия системы. Обобщенные координаты и обобщенные силы выбираются так, чтобы произведение Qi ⋅ qi имело размерность работы. Так, если за обобщенную координату принять линейную величину, то обобщенная сила должна иметь размерность силы. Если за обобщенную координату принять угол кручения, то обобщенная сила будет иметь размерность момента. При замене реальной системы упрощенной необходимо обеспечить динамическую эквивалентность этих систем. Из уравнения (2.1) видно, что динамическая эквивалентность приведенной системы будет обеспечена, если при ее замене сохранится неизменной функция Лагранжа L . Этому условию удовлетворяют два равенства: П д = П пр , Tд = Tпр . Индекс д в выраже-

ниях энергий представляет действительную систему, а индекс пр − динамически приведенную. Равенство потенциальных энергий служит для приведения вала к одному диаметру, а равенство кинетических энергий – для замены распределенных масс сосредоточенными и редуцированными массами на произвольно выбранном радиусе. Основным объектом крутильно-колебательной системы поршневых двигателей является коленчатый вал со свободно движущимися с ним массивными элементами – поршневой группой, шатуном, коленчатым валом, маховиком и другими элементами. На рис. 2.1 а изображена схема четырехцилиндрового поршневого двигателя внутреннего сгорания с маховиком. а

б

1

2

3

4

1

2

3

4

5

ϕ 1

2

3

4

5

5

Рис. 2. 1 При построении эквивалентной системы ее распределенные элементы приводятся к сосредоточенным в определенных местах массам, которые моделируются дисками малой толщины. В теории крутильных колебаний упругих систем со многими степенями свободы под массой понимается любой ее элемент, характеризующийся только инерционными свойствами. Для этих масс вычисляются моменты инерции, называемые приведенными моментами инерции. Сосредоточенные инерционные элементы эквивалентной системы соединяются между собой упругими валами, массы которых вклю-

43

чаются в соседние массы. Эти упругие валы называются соединениями; их упругие свойства характеризуются коэффициентами жесткости c (или коэффициентами податливости e ). Тогда коленчатый вал ДВС в эквивалентной системе представляется в виде невесомого круглого стержня постоянного сечения с различными участками определенной жесткости, на котором сосредоточены вращательные массы в виде тонких инерционных дисков. На рис. 2.1, б изображена колебательно-крутильная схема, моделирующая четырехцилиндровый ДВС, представляемый на рис. 2.1, а. Любая механическая колебательная система определяется двумя важными характеристиками – собственной частотой и формой колебаний. Определение. Частотой ν крутильных колебаний силовой установки называется число колебательных движений в единицу времени, то есть число циклов в секунду. Периодом колебаний τ колебательной системы называется время выполнения одного цикла. Частота и период колебаний системы связаны между собой соотношением: ν = 1 .

τ

В СИ единицей измерения частоты является герц (Гц). Помимо частоты колебаний ν в секунду в механике широко используется круговая (угловая) частота k , которая оп2π и измеряется в рад/с. Частоты ν , k связаны между соределяется по формуле: k =

τ

бой соотношением k = 2πν . Определение. Формой главного колебания крутильной системы называется совокупность амплитуд, соответствующих определенной частоте. На практике формы колебаний представляют совокупностью не абсолютных угловых амплитуд приведенных масс системы, а набором отношений всех абсолютных амплитуд к одной фиксированной амплитуде выделенной массы (как правило, первой). Эти отношения амплитуд называются относительными амплитудами или коэффициентами распределения. Для крутильной системы с n степенями свободы существует (n − 1) собственных частот. Каждой частоте соответствует своя форма колебаний. Графически форма представляется n ординатами, отложенными перпендикулярно оси вала из точек сосредоточения масс и соединенными прямыми в виде ломаной линии. Пересечение формы колебания с осью эквивалентного вала называется узлом колебания [11]. Формы главных колебаний различаются по количеству узлов. На рис. 2.1, б изображена одноузловая форма колебаний для крутильно-колебательной схемы с пятью степенями свободы. Одной из главных задач расчета крутильных колебаний реальной системы является определение ее частот и построение форм главных колебаний. Приведенная система будет эквивалентной действительной, если их частоты и формы колебаний практически равны. А так как эти характеристики зависят от моментов инерции и жесткостей элементов системы, то при построении эквивалентной приведенной системы необходимо, чтобы выполнялись два условия. Первое – моменты инерции относительно оси вращения элементов действительной и приведенной системы должны быть равны друг другу. Второе – углы скручивания при свободных малых колебаниях валов реальной системы и участков вала приведенной системы также должны быть равны друг другу. Само построение эквивалентной системы зависит от структуры и элементов крутильно-колебательной системы. Рассмотрим по отдельности методику определения приведенных моментов инерции сосредоточенных масс и податливостей (жесткостей) участков приведенного вала.

44

2.3. Определение жесткостей участков вала крутильной системы Определение. Набор данных, характеризующих упругие свойства механической системы, называется жесткостью. При малых крутильных колебаниях вал силовой установки подвергается воздействиям крутящего момента M кр , который подчиняется закону Гука, то есть его значение

пропорционально углу поворота вала M кр = cϕ . Коэффициент пропорциональности с в этой зависимости называется коэффициентом крутильной жесткости механической системы или жесткостью. С физической точки зрения, жесткость есть крутящий момент, отнесенный к единице угла закрутки вала. В системе СИ размерность крутильной жесткости определяется размерной единицей Hì / ñ . Определение. Податливостью или коэффициентом податливости элемента крутильной системы e называется отношение угла закрутки вала к величине крутящего момента, приложенного к его концу. То есть податливость есть обратная величина же1 сткости. Жесткость и податливость связаны между собой соотношением: e = . c Как известно из курса сопротивления материалов, для однородного вала длины l жесткость определяется по формуле G Jp c= , (2.2) l где величина G − модуль упругости материала вала при сдвиге; J p − полярный момент инерции сечения вала. Из формулы (2. 2) видно, что упругие свойства вала зависят от параметров: G, l и J p . Последний параметр определяется формой сечения вала. В общем случае, полярный момент инерции плоской фигуры относительно оси z, перпендикулярной ее плоскости, определяется по формуле: J p = ∫ ρ 2 dF ,

где

ρ−

(F )

расстояние от элементарной площадки dF до оси z. Определив полярный момент J p , крутильная жесткость участка вала длины l вычисляется по формуле (2.2).

2.3.1. Сложение жесткостей участков вала В состав многих крутильно-колебательных систем входят последовательно соединенные упругие элементы, в частности, валы. Вместо расчета каждого отдельного вала на жесткость при кручении в колебательно-крутильной схеме определяют эквивалентную жесткость этих последовательно соединенных валов. На рис. 2.2 изображена система, состоящая из двух валов, каждый из которых определяется своей длиной, жесткостью и радиусом поперечного сечения. Задача. Определить податливость составного вала, изображенного на рис. 2. 2. Решение. Введем обозначение: ϕ1 , ϕ 2 – соответственно, углы закрутки валов 1, 2 относительно неподвижной плоскости. Тогда абсолютный угол поворота составного вала равен ϕ = ϕ1 + ϕ 2 . Для крутящего момента, вычисляемого по закону Гука, справедливо равенство M кр = c1 ⋅ ϕ 1 = c 2 ⋅ ϕ 2 = c экв ⋅ ϕ , где c экв − приведенная жесткость сис-

45

темы, то есть жесткость вала, эквивалентного системе двух последовательно соединенных валов. Определим выражение этой жесткости через исходные жесткости c1 , c 2 .

Рис. 2. 2 Для углов закрутки справедливы формулы: ϕ = получим

M кр

=

M кр

+

M кр c экв

, ϕ1 =

M кр c1

, ϕ2 =

M кр c2

. Тогда

M кр

, откуда и следует искомая формула для эквивалентной жеc1 c2 1 1 1 = + или eэкв = e1 + e2 . Для вала, состоящего из n последовасткости, то есть c ýêâ c1 c 2 тельно соединенных элементов (цилиндрических валов), его приведенная жесткость n 1 1 вычисляется по формуле =∑ . c экв i =1 ci c экв

2.3.2 Момент инерции плоских сечений участков вала Для вычисления жесткости того или иного участка вала крутильной системы необходимо знать полярный момент его сечения. Рассмотрим подход к выводу формул моментов инерции J p , основанный на его вычислении при помощи полярных координат.

Рис. 2. 3

46

Плоская фигура F может быть задана полярными координатами ρ , ϕ (рис. 2. 3). Выделим в сечении вала элементарный участок, площадь dF которого определяется по формуле dF = ρ ⋅ dρ ⋅ dϕ . Тогда для произвольных углов α1 , α 2 , измеряемых в радианах, радиусов ρ1 , ρ 2 , определяющих границы выделенного сечения, полярный момент инерции сечения вала F будет равен α2

⎛ r2 4 − r1 4 J p = ∫ ρ dρ ∫ dϕ = (α 2 − α 1 )⎜⎜ 4 r1 α1 ⎝ r2

3

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(2.3)

Рассмотрим методику вычисления полярных моментов валов различных поперечных сечений. Она основывается на выделении симметричных геометрических фигур данного сечения и применении формулы (2.3).

Полярные моменты инерции поперечных сечений вала A. Круглый однородный вал радиуса r . Так как α 1 = 0, α 2 = 2 π , r1 = 0, r2 = r , то из (2.3) получим J p =

π 2

r4 =

π 32

D4 ,

где D − диаметр однородного круглого вала. B. Круглый кольцевой (полый) вал. Так как α 1 = 0, α 2 = 2 π , r1 = r , r2 = R, то из (2.3) получим следующее выражение: Jp =

π

(R 2

)

− r4 =

π

(

)

(2.4) D4 − d 4 , 32 где D, d − соответственно внешний и внутренний диаметры кольцевого вала. Фор4

π D 4 ⎛⎜

⎛d⎞ мулу (2.4) можно преобразовать к виду J p = 1− ⎜ ⎟ 32 ⎜⎝ ⎝ D ⎠

4

⎞ ⎟ . Если толщина полого ⎟ ⎠

D−d ⎛d⎞ < 0,01 ), то ⎜ ⎟ = (1 − ε ) 4 ≈ 1 − 4ε . В биноминальD ⎝D⎠ ном разложении не учитывались слагаемые, в которых присутствовала степень маπ D 4ε . лой величины ε . Тогда для тонкостенных валов применима формула J p = 8 C. Круглый вал радиуса R с круглым отверстием радиуса r . Если в вале диаметра D высверлено не центральное отверстие диаметра d , то для 4

вала достаточна мала ( ε =

Рис. 2. 4

Рис. 2. 5

47

определения полярного момента инерции сечения задается расстояние между осями отверстия и вала. На рис. 2. 4 показано межосевое расстояние b . Жесткость такого вала определяется сечением, перпендикулярным оси вращения вала z. Полярный момент сечения вала с вырезанным отверстием равняется разности полярных моπ D4 − J ′p , ментов круглого сечения диаметра D и круга диаметра d , то есть J p = 32 π d2 2 π d2 2 b = d + 8b 2 . Тогда полярный момент сечения равен: где J ′p = J p′ + 4 32

(

Jp =

)

π

(D 32

4

)

− d 4 − 8b 4 .

(2. 5)

В практических расчетах момента инерции сечения вала с эксцентричным отверπ D4 − d 4 λ , где коэффициент λ являетстием часто применяется формула: J p = 32 ся численным параметром, значения которого определяются экспериментальным путем. На рис. 2. 5 показан график зависимости этого коэффициента от геометрических размеров сечения, где λ = f (b, d , D ).

(

)

D. Вал круглого сечения с одной шпоночной канавкой. На рис. 2. 6 изображено сечение круглого вала со шпоночной канавкой. Здесь задаются следующие геометрические параметры: R − радиус вала, a, c − размеры шпоночной канавки; b − расстояние от центра масс сечения шпонки до точки O.

Рис. 2. 6

Рис. 2. 7

Для определения жесткости такого вала вычислим полярный момент инерции сечения J p . Выполним следующие действия. 1. Определение полярного момента круглого сечения 1 относительно центральной оси вала z. Имеет место стандартная формула момента: J p1 =

π R4

. 2 2. Определение полярного момента прямоугольного сечения 2 относительно оси вала z. По формуле Штейнера-Гюйгенса имеем: J p 2 = J Cp + cab 2 , где b − расстояние от оси z до центра C . Для сечения шпонки в виде прямоугольника со сторонами a, c момент инерции сечения относительно оси z определяется по формуле J Cp =

a⋅c 2 a2 2 ( a + c 2 ). Если a = c, то J p 2 = ( a + 6b 2 ) . 12 6

48

Для определения момента инерции сегмента 3 нужно найти полярные моменты треугольника и сектора. 3. Определение полярного момента инерции сектора ОАВ (рис. 2. 8). На рис. 2. 8 изображен круг радиуса R , сектор OAB с углом ∆ϕ . Для определения полярного момента инерции сектора применим метод полярных координат. Тогда для сектора OAB будем иметь ϕ2 R 1 2 3 J p 3 = ∫ ρ dF = ∫ ρ dρ ∫ dϕ = ∆ϕ R 4 . 4 0 ϕ1

a = 0,8 R → ∆ϕ =0,823 рад. Тогда J p 3 = 0,206 R 4 .

При

Рис. 2. 8 4. Определение полярного момента инерции равнобедренного треугольника OAB (рис. 2. 8). Так как справедлива формула J p 4 = J Oz = J Ox + J Oy , то нахождение полярного момента треугольника OAB J p 4 сводится к нахождению осевых моментов треугольника относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через его вершину O .

a A

y 2

a

y 2

A

B

ax

dF

C

x

L

B

hy

dF

dy

h

h

y O

Рис. 2. 9

dx O

Рис. 2. 10

49

Определение осевого момента J Ox . Из подобия треугольников (рис. 2. 9) сле-

a⋅ y a ⋅ h3 ; тогда J 0 x = ∫ y 2 a x dy = . При a = 0,8 R → h = 0,917 R . 4 h 0 h

дует что a x =

Следовательно, осевой момент треугольного сечения равен J Ox = 0,154 R 4 . Определение осевого момента J 0 y . Из подобия треугольников OСB и KLB

h (a − 2 x ). Тогда осевой момент инерции вычисляется по a

(рис. 2. 10) имеем hy = a

формуле: J 0 y = 2

2

2 ∫x 0

3 h (a − 2 x ) dx = h ⋅ a . Если a = 0,8 R 4 , то осевой момент 48 a

треугольника равен J 0 y = 0,01 R 4 . Определение полярного момента инерции треугольника. Имеет место ah 2 формула: J p 4 = J 0 x + J 0 y = a + 12h 2 . Если a = 0,8 R 4 , то J p 4 = 0,164 R 4 . 48 5. Определение полярного момента инерции сегмента. Момент инерции сегмента равен разности моментов инерции сектора и треугольника OAB (рис. 2. 8), то есть J p 5 = J сегм = J p 3 − J p 4 . Тогда получим фор-

(

)

1 ah 2 ⎛ ∆ϕ ⎞ ⎛ ∆ϕ ⎞ ∆ϕ R 4 − a + 12 h 2 , где h = R cos⎜ ⎟, a = 2 R sin ⎜ ⎟. 4 48 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Учитывая эти две формулы, получим выражение полярного момента сегмента: мулу:

(

J p5 =

)

R4 (6 ∆ϕ − 4 sin (∆ϕ ) − sin (2∆ ϕ )) . 24

J сегм =

(2.6)

При a = 0, 8 R и c = 0,29 R получим значение J p 5 = J сегм = 0,042 R 4 . 6. Определение момента инерции кругового сечения со шпоночной канавкой (рис. 2. 6) Искомый полярный момент вала с шпоночной канавкой определяется по формуле: J p = J p1 − J p 2 − J p 5 =

π R4 2

(

)

(

ah 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎛1 − ca⎜ b 2 + a + b 2 ⎟ − ⎜ ∆ϕR 4 − a + 12h 2 12 48 ⎝ ⎠ ⎝4

)⎞⎟. ⎠

⎛ ∆ϕ ⎞ a Если заданы параметры сечения R, a, c , то b = R cos⎜ ⎟ − . Введем обозначения: ⎝ 2 ⎠ 2 a c λ = , µ = . После преобразований полярный момент сечения представится в виде: R R ⎛π 1 ⎞ J p = R 4 ⎜ − ∆ϕ + p ⎟ , ⎝2 4 ⎠ где p =

λ 4 − λ2 48

(6 + λ (24µ 2

2

))

−1 −

µλ2 6

(6 + λ (6 + λ (2µ 2

2

(2. 7)

2

)))

−1 .

50

E. Круглый вал с лыской. На рис. 2. 11 изображено сечение круглого вала радиуса R с лыской, которое задана углом ∆ϕ .

Рис. 2. 11 Полярный момент этого сечения равен J p =

π R4

− J сегм . Учитывая полученную 2 ранее формулу момента инерции сечения – сегмента (2. 6), получим следующее выражение искомого момента: R4 (12π − 6∆ϕ + 4 sin ∆ϕ + sin (2∆ϕ )) . Jp = (2. 8) 24

2.3.3. Жесткость участка вала переменного сечения В состав крутильно-колебательной системы могут входить валы с переменным сечением. Для составления динамически эквивалентной расчетной схемы необходимо уметь определять коэффициенты жесткости (податливости) валов с переменным сечением. Рассмотрим вал переменного сечения в виде усеченного конуса (рис. 2. 12). Задача. Для вала длины l , представляющего собой усеченный конус, определить его податливость.

Рис. 2. 12

Рис. 2. 13

Решение. На рис. 2. 12 изображен участок вала, сечение которого непрерывно меняется по его высоте. Сечение вала плоскостью, перпендикулярной оси его симметрии

51

и расположенного на расстоянии z от нижнего основания представляет собой переменный круг диаметра d z . Основания усеченного конуса – круги, диаметры которых равны d1 , d 2 , соответственно ( d1 > d 2 ). Податливость такого вала равна l

n

dz , GJ pz 0

e = lim ∑ ei = ∫ n →∞

где J pz =

π dz

i =1

4

− полярный момент инерции сечения, находящегося на расстоянии z 32 от нижнего сечения. Диаметр d z , являющийся функцией расстояния z , равен d − d2 d z = d1 − 2tgα ⋅ z , где tgα = 1 ( α − угол, образованный наклонной образующей 2l конуса с его центральной осью z ). Тогда податливость участка вала длины dz равна 32dz de z = . Следовательно, податливость всего вала равна π Gd 4 l

dz 32 e=∫ =− GJ z 2Gπ tgα 0

d2

∫d

−4 z

d (d z ).

d1

После преобразований получим следующее выражение податливости вала: 2 ⎛ d ⎞ ⎜1 + 2 + ⎛⎜ d 2 ⎞⎟ ⎟. ⎜ d1 ⎜⎝ d1 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠

32l e= 3 3π Gd1d 2

(2. 9)

Вал, полученный вращением плоской кривой d x = d ( z ) , изображен на рис. 2. 13. Его l2

податливость равна

dz 32 e=∫ = GJ pz π G l1

(

l2

dz

∫d l1

)

4

. Например, если d z =

z

1 , тогда получим z

32 5 5 l 2 − l1 . Частным случаем вала переменного сечения 5π ⋅ G является ступенчатый вал, то есть участок валопровода, образованный последовательным соединением цилиндрических тел различной жесткости. Например, n соединенных цилиндрических валов, каждый из которых определяется длиной li , полярным моментом сечения J pi , модулем сдвига Gi образуют валопровод, коэффициент жесткости коследующее выражение: e =

n

n

торого определится по формуле: c =

∑ Gi J pi ∏ l j i =1

j ≠i

.

n

∏l

k

k =1

В частности, для трех круглых валов, выполненных из одного и того же материала, (Gi = G ) коэффициент жесткости приведенного вала вычисляется по формуле: Gπ 3 Di c= ∑ . 32 i =1 l i Задание для самостоятельной работы. Определить коэффициент податливости полого вала толщины ε . Вал представляет собой усеченный конус с круглыми основаниями, диаметры которых, соответственно равны D, d . 4

52

2.3.4. Определение приведенной длины упругого вала в колебательно-крутильной системе Моделью колебательно-крутильной системы (ККС) цепного или разветвленного типа является совокупность сосредоточенных масс (представляемых в виде тонких дисков с моментами инерции J i ), отражающих инерционно-вращательные свойства элементов действительной силовой установки с валопроводом и вспомогательными механизмами, соединенными между собой стержнями – валами, упругие свойства которых отражают жесткость элементов этой системы. Эти элементы имеют разные геометрические размеры. Участки же вала эквивалентной системы должны иметь цилиндрическую форму и одинаковый диаметр. То есть геометрически участки вала эквивалентной ККС отличаются друг от друга только длиной. Определение. Длины участков между соседними массами крутильно-колебательной системы называются приведенными длинами. Так, j − й участок приведенной системы с коэффициентом жесткости с j определяется приведенной длиной l j 0 . В задаче приведения действительной системы к ее эквивалентной колебательнокрутильной схеме стоит вопрос о нахождении приведенных длин всех участков приведенного вала. Следует отметить, что упругие элементы действительной системы могут иметь валы различного геометрического сечения, соединения нескольких валов разных по своим геометрическим и упругим свойствам. Все эти особенности необходимо учесть при решении вопроса об определении приведенных длин и приведенных коэффициентов жесткости (или коэффициентов податливостей).

Приведение длин цилиндрических участков вала На рис. 2. 14 показана схема замены участка действительного вала длиной l , диаметром d и полярным моментом инерции J p приведенным валом длиной l 0 , диаметром d 0 и полярным моментом инерции J p 0 . В поршневых ДВС за диаметр приведенного вала обычно принимается диаметр коренной шейки коленчатого вала. Если коренная шейка имеет полое сечение, то за диаметр приведенного вала принимается ее внешний диаметр. Задача. По известным геометрическим и жесткостным характеристикам участка вала действительной системы l , d , J p , G найти приведенную длину l 0 вала. Предполагает-

ся, что G0 = G . Решение. Основой решения данной задачи является условие равенства коэффициентов жесткости действительного и приведенного валов, которое следует из принципа равенства потенциальных энергий при кручении этих валов одним и тем же крутящим моментом M кр . Как известно из теории упругости, потенциальная энергия цилиндрического стержня, закрепленного одним концом и подвергнутого кручению на другом при 2 M кр l помощи момента M кр , определяется по формуле П = . 2GJ p

53

Рис. 2. 14 Тогда выполняется равенство: c =

G⋅Jp l

=

G ⋅ J p0

l0 = l

мая зависимость:

l0 J p0

= const , из которого и следует иско-

(2.10) . Jp Для цилиндрических валов, сечениями которых являются круги, их полярные моменты 4 π d04 π d4 ⎛ d0 ⎞ инерции равны: J p = , J p0 = . Тогда из (2. 10) следует формула: l 0 = l ⎜ ⎟ . 32 32 ⎝ d ⎠ В зависимости от геометрической структуры действительного вала по формуле (2. 10) и определяется приведенная длина вала. Так, для вала с постоянным сечением в виде круга диаметром d и с центральным сверлением диаметром δ приведенная длина за4 d0 . А для вала с сечением в виде круга диаметра d , с экспишется в виде: l 0 = l 4 d −δ 4 центричным сверлением диаметра δ и эксцентриситетом ε приведенная длина опреде4 d0 . ляется по формуле l 0 = l 4 2 d − δ 4 + 8(εδ )

(

)

Задача. Конический вал длиной l и диаметрами при основаниях D, d приведен к сплошному цилиндрическому валу с диаметром d 0 . Определить приведенную длину вала l 0 , если известен модуль сдвига G. Решение. Из равенства коэффициентов податливостей конического вала и его привеl денного эквивалента eпр = 0 и определяется приведенная длина. Так, на основании J p0G

формулы (2. 9) получим расчетную формулу: l 0 = l

2 4 d 0 ⎛⎜ d ⎛ d ⎞ ⎞⎟ + + 1 ⎜ ⎟ . D ⎝ D ⎠ ⎟⎠ 3Dd 3 ⎜⎝

Задача. Для двух цилиндрических валов, соединенных последовательно друг с другом, определить длину l 0 приведенного вала диаметром d 0 . Известны их длины l1 , l 2 , диаметры d1 , d 2 , модули сдвига G1 , G2 .

54

Решение. Из условия равенства податливостей системы валов и их эквивалентного вала имеем eпр = e1 + e2 = eд . Из этого равенства следует формула l0 l l G J l + G2 J 2 l1 = 1 + 2 = 1 12 . G0 J 0 G1 J 1 G2 J 2 G1G2 J 1 J 2 Тогда приведенная длина вала будет равна ⎞ l l 4⎛ l 0 = G0 d 0 ⎜⎜ 1 4 + 2 4 ⎟⎟ . G2 d 2 ⎠ ⎝ G1 d1 l ⎞ 4⎛ l Если G0 = G1 = G2 , то l 0 = d 0 ⎜⎜ 14 + 2 4 ⎟⎟ . d2 ⎠ ⎝ d1

Учет местных деформаций при переходе с одного демпфера на другой В реальных конструкциях в местах соединения валов различной длины и диаметра наличествуют галтели – округления углов на деталях, повышающие прочность и снижающие внутренние напряжения при переходе от меньших сечений к большим. Для таких соединений также применим метод приведения к эквивалентному участку вала. На рис. 2. 15 показаны участки действительного и приведенного валов. Задача. Для двух валов из одного и того же материала, длины и диаметры которых равны, соответственно, l1 , l 2 ; D1 , D2 определить приведенную длину l 0 эквивалентного вала диаметром D0 .

Рис. 2. 15 Решение. Принимая величину ∆l как длину элемента соединенных валов, не участвующего в деформации, длины валов определятся по формулам: l1′ = l1 + ∆l , l 2′ = l 2 + ∆l . Тогда согласно формуле (2.10) приведенные длины этих валов определятся так: J p0 J p0 ; l 20 = l 2′ . l10 = l1′ J p1 J p2 Следовательно, приведенная длина эквивалентного вала определится по формуле

55

l 0 = l10 + l 20 = (l1 + ∆l )

J p0

+ (l 2 − ∆l )

J p0

(2. 11) . J p1 J p2 Величина ∆ l определяется при помощи приведенного на рис. 2. 16 графика.

Рис. 2. 16 ⎛D ⎞ = f ⎜⎜ 1 ⎟⎟ при радиусе галтели равной ρ = 0,1 ⋅ D1. В случае фланцевого соD1 ⎝ D2 ⎠ единения валов диаметр D2 принимается равным диаметру окружности соединительных болтов. При этом ∆l = b 2 , где b − толщина фланцевого соединения.

Здесь

∆l

В формуле коэффициента податливости ступенчатого вала с галтелью необходимо учитывать особенности соединения валов. Тогда, учитывая формулу (2.11), будем иметь следующее выражение коэффициента податливости: е=

l0 32 ⎛⎜ (l1 + ∆l ) (l 2 − ∆l ) ⎞⎟ . = + 4 GJ p 0 π G ⎜⎝ D1 4 D2 ⎟⎠

Таким образом, податливость ступенчатого вала с галтелями не равна податливости того же вала, но без галтелей. Так, при малом радиусе галтели ρ , когда D2 >> D1 , податливость вала, изображенного на рис. 2. 15 , несколько больше ступенчатого вала без галтелей. При большем радиусе галтели ( ρ > 0,2 ÷ 0,3 D1 ) результат обратный. В этом случае поправка ∆l в последней формуле берется со знаком минус [15]. Задача. Некоторый участок валопровода состоит из трех элементов (рис. 2. 17). Сплошной вал 1 длины l1 имеет круглое постоянное сечение диаметром d1. Фланцевое соединение 2 определяется длиной l2 и диаметром d 2 . Трубчатый вал 3 задается его длиной l3 , внутренним и внешним диаметрами d 3 , D3 . Фланец – соединительная часть валов, представляющая собой диск с равномерно расположенными отверстиями для болтов. Этот участок приводится к эквивалентному, круглому, сплошному валу диаметра d 0 . Определить его приведенную длину l 0 . Решение. Податливость приведенного вала равна сумме податливостей всех участ3 l ков действительного вала, поэтому справедлива формула eпр = ∑ ei , где eпр = 0 . J p0G i =1 Тогда получим искомую величину податливости приведенного вала.

56

Рис. 2. 17 Она равна: eпр =

π d 0 4G 32

3

∑e , i =1

i

где e1 =

32l1

π Gd1

4

, e2 =

64l 2

π Gn(d 2 d ′)

2

, e3 =

l3 32 ⎛⎜ 4 π G ⎜⎝ D3 − d 3 4

n − количество отверстий во фланцевом соединении; d ′ − диаметр этих отверстий. Тогда приведенная длина эквивалентного вала определится по формуле: ⎞ 32 J p 0 ⎛ l1 l3 2l 2 ⎜ ⎟. l0 = + + 2 4 4 4 π ⎜⎝ d1 n(d 2 d ′) D3 − d 3 ⎟⎠ 2

2 ⎛ d 2l1 ⎛ d1 ⎞ ⎜ ⎟ + l3 ⎜ 4 1 4 Если принять d 0 = d1 , то получим формулу: l 0 = l1 + ⎜ ⎟ ⎜ n ⎝ d2d ′ ⎠ ⎝ D3 − d 3

⎞ ⎟; ⎟ ⎠

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Приведение длины колена вала двигателя внутреннего сгорания В поршневом ДВС его вращательные элементы представляют собой упругие деформируемые детали. Каждое колено вала приводится к элементу колебательнокрутильной системы. Так на рис. 2. 18 показана схема приведения одного колена вала к двум моторным массам, соединенным упругим валом. Методика расчета моторной массы и ее момента инерции будут рассмотрены в разделе определения моментов инерции элементов колебательно-крутильной системы. Здесь же решается задача расчета приведенной длины колена вала ДВС. Элемент колена состоит из двух половинок шатунных шеек, коренной шейки и двух щек. Поэтому приведенная длина эквивалентного участка вала определится как сумма трех приведенных длин этих элементов: l0 = lшш0 + lкш0 + 2lщ0 , где l øø 0 = (l øø + 2∆ l øø

)

J po J pøø

; l êø 0 = (l êø + 2∆ l êø

)

J po J pêø 0

(2. 12) . Величины ∆l шш , ∆l кш являются

длинами участков вала не участвующих в деформации. Если в качестве диаметра приведенного вала примем диаметр коренной шейки, то есть D0 = d кш , то lкш 0 = lкш + 2∆lкш .

57

Рис. 2. 18 Определим приведенную длину щеки колена. На рис. 2. 19 изображена щека в деформационном состоянии, когда на нее действует крутящий момент M кр . Здесь щека колена представляет собой звено, соединяющее шатунную и коренную шейки.

Рис. 2. 19 Приведенная длина щеки определяется из деформации крутящего момента по форM кр R муле ϕ щ = , где R − расстояние между осями коренной и шатунной шеек, EJ xx hb 3 − момент инерции поперечного сечения щеки относительно оси x − x; E − 12 модуль упругости при изгибе. Жесткость щеки при скручивании вала, определяемая J xx =

58

по формуле cщ = cщ 0 =

GJ p 0

lщ0 =

GRJ p 0

lщ0

M кр

ϕщ

, и тогда

=

J xx E , должна равняться жесткости щеки приведенного вала R

EJ xx GJ p 0 . Отсюда следует формула приведенной длины щеки = R lщ 0

. Подставляя значения приведенных длин элементов вала в (2. 12), полуEJ xx чим приведенную длину вала, соответствующую коленчатому валу: l 0 = (l шш + 2 ∆ l шш )

J p0 J pшш

+ (l кш + 2 ∆ l кш )

J p0 J pкш

+2

GRJ p 0 EJ xx

(2.13)

.

Приведем разновидности формулы (2.13), предложенные различными авторами. Приведенная длина колена вала равна: Jp Jp Jp • по Тимошенко – l0 = (lкш + 0,9h ) 0 + (lкш + 0,9h ) 0 + 0,9 R 0 ; J xx J pкш J pшш •

•

по Картеру –

по Зиманенко –

l0 = 0,75lшш

J p0 J pшш

+ (lкш + 0,8h )

J p0 J pкш

+ 1,274

J p0 J xx

;

b h ⎛ ⎞ Jp ⎛ ⎞ Jp l0 = ⎜ 0,8lшш + 0,2 d кш ⎟ 0 + ⎜ lкш + 0,3 d кш ⎟ 0 + b R ⎠ J pкш ⎝ ⎠ J pшш ⎝ + 0,85

Jp R R 0 . d шш J xx

Задание для самостоятельной работы. Выделенный из колебательно-крутильной системы элемент состоит из пяти звеньев (рис. 2. 20). Привести этот элемент к эквивалентному валу диаметра D и определить его приведенную длину, если заданы следующие величины: d1 = 20, D1 = 25, D2 = 40, D3 = 80, D4 = 30, d 5 = 10, D5 = 15; G1 = G5 = 7,85 ⋅ 10 −5 , G2 = G4 = 8,25 ⋅ 10 −5 , G3 = 7,25 ⋅ 10 −5 ; l1 = 60, l 2 = 20, l 3 = 10, l 4 = 40, l 5 = 80. Диаметры и длины элементов системы задаются в сантиметрах, модули упругости - в MПa .

Рис. 2. 20

59

2.3.5. Податливость широко используемых конструкций вала На основании вышеприведенной методики определения полярных моментов инерции сечений вала и коэффициентов жесткости (или податливости) ступенчатых и переменных по сечению валов можно вычислить податливости валов различной геометрической конфигурации. В различных учебниках и справочниках можно найти формулы расчета коэффициентов податливостей упругих элементов колебательно-крутильной системы [11, 12, 15]. Приведем формулы расчета податливостей следующих элементов крутильной системы. 1. Полый круглый вал (вал с осевым отверстием). На основании формул (2. 2) и (2. 4) коэффициент податливости высчитывается по 32l формуле: e = . Введем поправочный коэффициент, который называется πG D 4 − d 4 1 коэффициентом сверления: k c = . 4 d ⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝D⎠ Тогда коэффициент податливости вала с центральным сверлением запишется так:

(

)

e=

Податливость этого вала равна e =

32 l k c . π GD4

(2.14)

32 ⎛⎜ l1 + ∆ l l 2 − ∆ l ⎞⎟ + . 4 π G ⎜⎝ D1 4 D2 ⎟⎠

2. Круглый вал с эксцентричным сверлением. Воспользовавшись формулами (2. 2) и (2. 5), получим расчетную формулу: 32l 4 e= D − d 2 d 2 + 8b 2 . πG l Например, при b = d , D = 2d податливость вала равна e = 1,455 . Gd4 Для вычисления коэффициента податливости такого вала можно воспользоваться параметром λ = f (b, d , D ) , определяемым при помощи графической зависимости, изображенной на рис. 2. 5. В этом случае податливость вычисляется по формуле:

(

e=

(

))

32k c l . π λ GD4

3. Круглый вал с лыской (рис. 2. 11). Для определения податливости такого вала достаточно воспользоваться общей формулой податливости (2. 2) и формулой вычисления полярного момента сечения

(2. 8). При ∆ϕ = J z = 1,159 R 4 .

π

6

рад. получим следующее выражение момента инерции сечения:

Тогда податливость такого вала будет равна e =

l l = 0,8628 . GJ p GR 4

60

4. Вал, ослабленный шпоночной канавкой (рис. 2. 21).

Рис. 2. 21

Рис. 2. 22

Применяя формулу (2. 7) для вычисления полярного момента инерции сечения, получим расчетное выражение для податливости вала ослабленного шпоночной канавкой. При λ = 0,8, µ = 0,361 получим p = 0,012 и J p = 1,377 R 4 . Для квадратного сечения шпонки a = c = 0,25 R будем иметь λ = 0,25, µ = 1, ∆ϕ = 0,251 рад.; тогда получим p = 0,0137, J p = 1,522 R 4 . Следовательно, коэффициент податливости определится по формуле: e =

l l = 0,657 . На практике используют приближенGJ p GD 4

32 k ш l , где k ш − поправочный коэффициент, определяемый при π G D4 помощи номограмм [11]. Шпоночные канавки валов следует учитывать при расчете коэффициента податливости в том случае, если они выходят из-под ступицы.

ную формулу: e =

5. Шлицевой вал (рис. 2. 22).

Податливость этого вала определяется по такой же приближенной формуле, что и 32lk ш . При этом рекомендуется для вала, ослабленного шпоночной канавкой: e = π Gd 4 10h принимать поправочный коэффициент k ш ≈ 1 + , где h − высота шлицевой каd навки. С учетом внутреннего сверления принимается в расчет поправочный коэф32 k ш k c фициент сверления. Тогда податливость такого вала равна: e = . πG D 4 6. Цилиндрический вал произвольного сечения (рис. 2. 23).

Рис. 2. 23

61

Податливость вала с симметричным сечением по отношению к оси вычисляется по 32 4 J p l , где S − площадь сечения вала; J p − моприближенной формуле: e = π G S4 мент инерции сечения относительно центральной оси симметрии. 7. Фланцевое соединение (рис. 2 . 24).

Рис. 2. 24 64l , где n − число болтов; d δ − диаπGn(Ddδ )2 метр болта; D − диаметр вала, на котором расположены болты.

Податливость этого вала равна: e =

8. Фланцевое соединение со ступицей (рис. 2. 25).

Рис. 2. 25 4 ⎞ l2 32 ⎛ l1 1 ⎛⎜ ⎛ d1 ⎞ ⎞⎟ ⎜ + + x ⎟⎟, где x = Податливость этого вала равна e = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ . 3 ⎜ π G ⎜⎝ d14 d 2 4 d 4 ⎝ d 2 ⎠ ⎟⎠ ⎠ 1 ⎝

9. Муфты. Муфта как объект крутильной системы, является в общем случае нелинейным элементом. Эта нелинейность обусловлена наличием ограничителей деформации, которые резко нарушают пропорциональность крутящего момента и угла закрутки вала. Для определения податливости упругой муфты без трения необходимо знать

62

зависимость между ее угловой деформацией ϕ и передаваемым эластическим моментом M кр . Эта характеристика определяется экспериментальным путем. Муфты с цилиндрическими спиральными пружинами, расположенными тангенциально на радиусе R , имеют линейную характеристику и их момент податливости 8l1d 3 , где l1 − число рабочих винтов определяется по формуле [15, стр. 44]: e = Gl2δ 4 R 2 пружины; l2 − число пружин; d − диаметр витка пружины; δ − диаметр проволоки пружины; G − модуль сдвига материала пружины. Коэффициент c =

Gδ 4 называ8l1 d 3

ется линейной жесткостью одной пружины. Муфты с предварительным натягом пружин имеют резко выраженную нелинейность, поэтому вышеуказанная расчетная формула применима только для малых колебаний. Для муфт с плоской и осевой цилиндрической пружинами коэффициент по12l датливости определяется по формуле: e = , где E − модуль упругости матеEmbh 3 риала пружины; l − длина каждой пружины муфты; m − число пружин в муфте; b, h − ширина и толщина сечения полосы пружины. Муфта со змеевидной пружиной будет линейной, если передаваемый ею средний крутящий момент не превосходит заданной предельной величины. Тогда коэффициент податливости рассчитывается по формуле: e=

(6 l 2 − 4 l1 + 9,4 r )l1 2 , 2R 2 E i b h 3

где l1 − расстояние между точками касания пружин с опорными зубьями; l 2 − длина прямолинейной части пружины; r − радиус закругления ленты; R − радиус окружности расположения пружин; i − число зубьев в каждой половине муфты. Тогда жесткость вала с вырезанным отверстием вычисляется по формуле π ⋅G 4 c= D − d 2 d 2 + 8b 2 , где G − модуль упругости вала при сдвиге; l − длина 32 ⋅ l участка вала. Например, при b = d , D = 2d , податливость вала равна

{

(

)}

e = 1,455

l . G⋅d4

10. Дейдвудный вал. В одновинтовых судах используются дейдвудные валы, входящие в состав дейдвудных устройств и служащие для уплотнения валопровода в местах выхода его из корпуса. Дейдвудный вал представляет собой кольцевой, стальной вал с бронзовой облицовкой. Коэффициент податливости дейдвудного вала равен сумме податливостей основного вала и его бронзовой облицовочной части. Обозначим e1 , e2 податливости стального вала и его бронзовой облицовки. Используя формулу (2. 14), получим выражение податливости дейдвудного вала:

63

e = e1 + e2 = 1

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

1

− коэффициенты сверления стального вала и 4 ⎛ D1 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ D2 ⎠ ⎝ D1 ⎠ бронзовой облицовки. Здесь D1 , D2 − внешние диаметры стального и бронзовых валов ( D2 > D1 ), d − внутренний диаметр полого стального вала. Модуль сдвига стали в два раза больше модуля сдвига бронзы [12]. Следовательно, общая податливость дейдвудного вала равна:

где k c1 =

4

, kc2 =

kc2 32l ⎛⎜ k c1 + 4 ⎜ π ⎝ G1 D1 G2 D2 4

⎛ ⎜ k + 2k ⎛⎜ D1 e= c2 ⎜ 4 ⎜ c1 πG1 D1 ⎝ ⎝ D2 32l

⎞ ⎟⎟ ⎠

4

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

11. Колено коленчатого вала. Вопрос о жесткости элементов колена вала ДВС уже рассматривался в разделе 2.3.5 при определении приведенной длины. Податливость колена определяется как сумма податливостей коренных и шатунных шеек, а также двух щек. Угловая деформация этих элементов при кручении осуществляется в результате скручивании валов шеек и изгиба щек в плоскости, перпендикулярной оси вала. В реальных условиях за счет зазоров в рамовых подшипниках деформационные процессы протекают пространственным образом. Поэтому податливость каждого колена зависит от зазоров в упорных подшипниках и их упругости [12]. При расчете могут быть использованы следующие эмпирические формулы, учитывающие податливости всех элементов колена: − формула С. С. Зиманенко для расчета податливости колена автомобильных двигателей d ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ l шш + 0,6h шш 0,8l кш + 0,2 δ кш l шш R R ⎟ 32 ⎜ R e= ; + 3 + 4 4 π G ⎜ d шш 4 − δ шш 4 d кш − δ кш hb d кш ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ − формула В. С. Картера для расчета податливости колена авиационных двигателей e=

0,75l кш 32 ⎛⎜ l шш + 0,8h 1,5R ⎞⎟ + + ; 4 4 4 4 π G ⎜⎝ d шш − δ шш hb 3 ⎟⎠ d кш − δ кш

− формула С. П. Тимошенко для расчета податливости колена двигателей

e=

l кш + 0,9 h 2,356 GR ⎞ 32 ⎛⎜ l шш + 0,9 h ⎟; + + π G ⎜⎝ d шш 4 − δ шш 4 d кш 4 − δ кш 4 Ehb 3 ⎟⎠

64 −

формула для расчета податливости колена судовых дизельных двигателей

(

)(

4 4 4 4 l шш l кш 32 ⎛⎜ 1,8 K ⎛⎜ 0,64 3 d шш − δ шш d кш − δ кш 1+ 2 e= + + π G ⎜ d шш 4 − δ шш 4 d кш 4 − δ кш 4 h ⎜ R R2 ⎝ ⎝

где K ≈

) ⎞⎟ ⎞⎟ , ⎟⎟ ⎠⎠

b + 15b0

R; 2 32b 2 b0 − формула В. П. Терских для расчета податливости колена дизельных двигателей 11 ⋅ 10 −6 (l + 0,5 R ) . e≈ 4 4 d ср − δ ср

В этих приближенных формулах (значение податливости одного колена вала отклоняется от действительного значения на 5-10 %) использованы обозначения величин, которые показаны на рис. 2. 18: l шш , l кш − длины шатунной и коренной шеек; d шш , δ шш − наружный и внутренний диаметры шатунной шейки; d кш , δ кш − наружный и внутренний диаметры коренной шейки; h, b − толщина и ширина щеки; R − расстояние между осями симметрии коренной и шатунной шеек; l − длина колена; d ср , δ ср − соответственно, наружный и внутренний средние диаметры шатунной и коренной шеек. Задача для самостоятельного решения. Определить податливость круглого вала со срезанными сегментами сверху и снизу (рис. 2. 26), если заданы величины: l = 1,2 ì − длина вала; R = 2,4 ì − радиус сечения вала; h = R − расстояние между срезами; G = 3,2 ⋅ 10 −5 ÌÏà . Задача для самостоятельного решения. Определить жесткость вала, сечение которого изображено на рис. 2. 27. Дано: l = 2 ì , R = 0,95 ì , α = 60 o , G = 2,8 ⋅ 10 −5 ÌÏà . Задача для самостоятельно решения. Определить жесткость вала, сечение которого изображено на рис. 2. 28. Дано: l = 3,2 ì ; R = 0,67 ì ; a = 0,1 ì − параметр квадратной канавки, α = 120 o.

Рис. 2. 26

Рис. 2. 27

Рис. 2. 28

65

2.4. Основные положения приведения масс динамической системы силовой установки В динамике колебательно-крутильной системы под массой условно понимается ее элемент, который характеризуется только моментом инерции относительно оси вращения вала [12]. То есть в контексте задачи приведения действительной системы к ее динамической модели масса представляется и как крутильно-колеблющийся элемент, так и его инерционное свойство. При этом вводится два вида масс: распределенных по определенному закону и сосредоточенных в локальных точках или сечениях крутильной системы. Так, массы, размеры которых вдоль вала не превосходят в 1,5-2 раза его диаметр, называются сосредоточенными массами [15]. Примером таких масс являются маховое колесо, насаженное на ось вала, муфты, соединяющие валы, также кривошипно-шатунные механизмы поршневых ДВС. При построении цепной или разветвленной динамически эквивалентной модели крутильной системы, в состав которой входят передаточные механизмы (редукторы или мультипликаторы), их зубчатые колеса моделируются сосредоточенными массами. Если размер элемента крутильной системы вдоль вала больше двух диаметров, то либо этот элемент разделяется на несколько частей (как правило, две-три в дискретной модели), либо представляется как распределенная по длине масса (непрерывно распределенные параметры). В последнем случае этот элемент представляет собой механическую систему с бесконечным числом степеней свободы; тогда ее крутильные колебания описываются дифференциальными уравнениями с частными производными гиперболического типа [19]. В задаче приведения масс выделяются два аспекта. Во-первых, приведение масс осуществляется в рамках силового анализа как приведение сил тяжести и сил инерции движущихся элементов системы к определенным точкам. Во-вторых, приведение масс рассматривается в связи с формированием динамически эквивалентной крутильноколебательной системы с ДВС. В этом разделе рассмотрим принцип приведения масс к сосредоточенным точкам. Как уже отмечалось выше, причиной крутильных колебаний в валопроводе силовой установки является неравномерное воздействие на вращающиеся массы крутящих моментов от газовых и инерционных сил. В поршневых ДВС кроме деталей, вращающихся относительно коленчатого вала, имеются звенья, совершающие возвратнопоступательные и плоскопараллельные движения. Силы инерции, действующие на эти звенья, непрерывно распределены по некоторому закону. Для приведения этих сил к центру в классической механике пользуются методом Пуансо, согласно которому любую совокупность сил можно привести к главному вектору и главному моменту сил относительно выбранной точки [20]. Основная идея приведения сил инерции в динамике ДВС состоит в приведении масс подвижных элементов системы к точкам, траектории которых известны. Если движение механической системы (отдельный механизм или отдельная часть агрегата) определяется одной обобщенной координатой, то эту систему можно свести к простейшей динамической модели. В зависимости от поставленной задачи и от строения системы такой динамической моделью является либо вращающееся абсолютно твердое тело (с приведенным моментом инерции), либо перемещающаяся по известной траектории материальная точка (с приведенной массой).

66

2.4.1. Замена вращающихся масс кривошипно-шатунного механизма поршневого двигателя внутреннего сгорания При проведении силового анализа колебательно-крутильной системы силовой установки с ДВС, в состав которого входят поршневые группы, каждую массу детали, вращающейся вокруг неподвижной оси, приводят к отдельной массе, сосредоточенной в конкретной точке. В этой замене соблюдается равенство скоростей действительной системы и представляемой массы. В приведении всех масс деталей каждого кривошипа коленчатого вала следует применять закон равенства кинетических энергий: 1 1 2 2 J дω д = J крω пр , где J д , J кр − соответственно, моменты инерции действительной и 2 2 приведенной систем вращательных масс; ω д = ω пр – угловая скорость вала. Таким об-

разом имеем формулу J д = J кр . Под символом J кр понимается суммарный момент инерции всех элементов колена (кривошипа) относительно оси вала, то есть J кр = J кш + J шш + 2 J щек + J прот , где J кш , J шш , J щек , J прот − моменты инерции коренной шейки, шатунной шейки, двух щек и противовеса. Так, если всю массу одного кривошипа коленчатого вала привести к оси шатунной шейки, то приведенная масса опредеJ кр лится по формуле: mкр = 2 , где r − длина кривошипа. r Шатун движется плоскопараллельно, причем его конец, соединенный с кривошипом (точка, лежащая на шатунной оси), совершает круговое движение по закону ϕ = ϕ (t ), а другой конец, связанный с поршнем (точка, принадлежащая оси поршневого пальца для транковых ДВС) или с крейцкопфом (для крейцкопфных ДВС), перемещается по прямой. В динамике ДВС массу шатуна разносят на две части. Так, часть массы шатуна mшк приводят к колену, совершающему вращательное движение, а другую часть массы mшп - к поршню. Тогда приведенная вращающая масса кривошипно-шатунного механизма определится как сумма двух масс: mâð = mêð + møê .

2.4.2. Динамическая и статическая модели шатуна: приведение масс Приведенная эквивалентная схема шатуна представляет собой невесомый стержень, на концах которого сосредоточены массы [31]. Динамическая модель шатуна определяется тремя уравнениями, отражающими эквивалентность масс реального шатуна и его модели, равенство их статических моментов и моментов инерции относительно центра тяжести шатуна. В динамической модели шатуна одна масса m B сосредоточена на оси головного подшипника в точке B , другая масса m X расположена на расстоянии x от центра тяжести шатуна в сторону кривошипного подшипника A. Определим значения приведенных масс m B , m X и расстояния x . Расчетные уравнения, отражающие вышеотмеченную динамическую эквивалентность шатуна и его динамической модели, запишутся в виде:

m B + m X = m, m B (l − d 2 ) = m X x, m B (l − d 2 ) 2 + m X x 2 = J C ,

67

где J C − момент инерции шатуна относительно его центра тяжести C ; d 2 − расстояние от точки A до центра тяжести; l − длина шатуна. После несложных выкладок получим следующие расчетные формулы для определения неизвестных величин: J (l − d 2 )2 , x = J C , mB = m C , m X = m 2 JB JB m (l − d 2 )

где J B = J C + m (l − d 2 ) − момент инерции шатуна относительно оси поршневого пальца B. В общем случае справедливо неравенство: x < d 2 . Однако для упрощения расчета динамическую модель шатуна заменяют статической моделью, в которой не учитывается равенство моментов инерции действительного шатуна и его модели. Тогда можно принять, что x = d 2 . Для практического расчета приведенных масс шатуна, которые здесь будем обозначать через mшк = m A , mшп = m B , воспользуемся двумя равенствами: mшк + mшп = m2 = mш , mшк l = mш (l − d 2 ), где mш − масса шатуна. Таким образом, в статической модели приведенные массы шатуна определяются по формулам: (l − d 2 ) d møï = mø 2 , møê = mø . l l Следует отметить, что в статической модели значение момента инерции шатуна от( ст ) 2 = mшп (l − d 2 ) 2 + mшк d 2 = mш d 2 (l − d 2 ). носительно его центра тяжести равно J C 2

2.4.3. Замена поступательно перемещающихся масс кривошипношатунного механизма двигателя внутреннего сгорания Массы возвратно-поступательно движущихся частей КШМ можно привести к оси поршневого пальца. Тогда приведенная масса mпост отдельного аксиального кривошипно-шатунного механизма крутильной системы складывается из массы всех деталей поршневого комплекта mп , совершающей прямолинейное движение по направляющей поршня цилиндра и отнесенной к оси поршневого пальца массы шатуна mшп , значение которой определяется вышеприведенными формулами. То есть имеет место формула: mïîñò = mï + møï . В динамике ДВС поступательно перемещающуюся массу mп приводят к динамически эквивалентной, сосредоточенной в точке A − оси шатунной головки. Условием такой эквивалентности вновь выступает закон равенства кинетических энергий. Обозна( À) чим приведенную к точке A поступательно движущуюся массу через mïîñò . Тогда ра( À) венство кинетических энергий запишется: 0,5 mïîñò v B = 0,5 mïîñò v A , где v A = ω r − окружная скорость оси шатунной головки; v B − скорость поршня. Из кинематики КШМ аксиального ДВС перемещение поршня определится прибли⎛⎛ λ ⎞ ⎛ r λ ⎞⎞ женной формулой [31, стр. 17]: s = r ⎜⎜ ⎜1 + ⎟ − ⎜ cos ϕ + cos 2ϕ ⎟ ⎟⎟, где λ = . При ус4⎠ ⎝ 4 l ⎠⎠ ⎝⎝ тановившемся режиме силовой установки закон вращения вала имеет линейной характер, то есть ϕ = ω ⋅ t , где ω − угловая скорость коленчатого вала. Проинтегрировав по времени функцию s = s (ϕ (t )) , получим формулу скорости перемещения поршня. Она имеет вид: v B = s& = rω (sin ω t + 0,5 λ sin 2ω t ). В этой формуле учитывается только второй порядок биноминального разложения функции s = s (ϕ (t )) . Тогда приведенная к 2

2

68

точке A возвратно-поступательно движущаяся масса представляется как функциональная зависимость от угла поворота вала, то есть ( A) 2 mïîñò = mïîñò (sin ϕ + 0,5 λ sin 2ϕ ) = mïîñò f (ϕ ). Теперь можно вычислить усредненное значение этой приведенной массы за один полный период вращения вала. Это значение вычисляется при помощи интеграла: 2π 2π m m ( ñð) mïîñò = ïîñò ∫ f (ϕ )dϕ = ïîñò ∫ (sin ϕ + 0,5 λ sin 2ϕ ) 2 dϕ . 2π 0 2π 0 Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулами: sin 2 ϕ =

1 − cos 2ϕ , 2

1 − cos 4ϕ , sin ϕ sin 2ϕ = 0,5 (cos ϕ − cos 3ϕ ). После интегрирования получим 2 следующее среднее значение приведенной к шатунной шейке поступательно перемещающейся массы кривошипно-шатунного механизма: 2 mпост ⎛⎜ ⎛ λ ⎞ ⎞⎟ ( ср ) 1+ ⎜ ⎟ , (2.15) mпост = 2 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ d где mпост = mп + mш 2 . Учитывая, что для большинства поршневых ДВС 0,2 < λ < 0,4 , l получим приближенную формулу вычисления приведенной к оси шатунной шейки по( ñð ) ≅ 0,5125 mïîñò . ступательно перемещающейся массы КШМ: mïîñò sin 2 2ϕ =

2.4.4. Моторная масса и ее момент инерции относительно оси вала Вышеописанный метод позволяет привести массу всех элементов кривошипношатунного механизма к центру – оси шатунной шейки. Определение. Моторной массой колебательно-крутильной системы называется приведенная к оси шатунной шейки масса всех элементов кривошипно-шатунного механизма поршневого двигателя внутреннего сгорания. На рис. 2. 29 изображены в пространственном виде кинематическая цепь одного КШМ ДВС и разнесенная на две части его моторная масса.

Рис. 2. 29

69

Величина моторной массы вычисляется как сумма вращательных и возвратнопоступательных масс, приведенных к шатунной шейке. Поэтому имеет место формула моторной массы: ⎛ λ2 ⎞ J m ( пр ) ( A) m мот = mk (2.16) + mшк + mпост = 2д + mшк + пост ⎜⎜1 + ⎟⎟. 2 ⎝ 4 ⎠ r Момент инерции моторной массы определяется как произведение моторной массы на длину кривошипа, то есть по формуле m r 2 ⎛ λ2 ⎞ (2. 17) J мот = m мот r 2 = J д + mшк r 2 + пост ⎜⎜1 + ⎟⎟. 2 ⎝ 4 ⎠ Таким образом, в практическом плане можно определять моторные массы и их моменты инерции и тем самым для масс, сосредоточенных на колене вала ДВС, формировать цепную крутильно-колебательную систему. В этой модели моторные массы представляются в виде тонких дисков с моментом инерции, определяемым по формуле (2. 17). Следовательно, моторные массы составляют лишь часть крутильной системы, в состав которой входят и другие элементы (маховики, муфты, участки валопровода, редукторы, гребной винт).

2.5. Определение приведенных моментов инерции элементов колебательно-крутильной системы Основной целью приведения действительной колебательно-крутильной системы к ее эквивалентной динамической модели является представление технической конструкции с непрерывно распределенной массой механической системой с распределенными массам, и связанными безмассовыми упругими связями, то есть колебательной системой с конечным числом степеней свободы. Замена действительной системы ее упрощенной динамически эквивалентной осуществляется на основе принципа равенства их кинетических энергий при одинаковых частотах и амплитудах. Так как основное внимание здесь уделяется на составлении крутильно-колебательной динамической схеме, то характеристиками инерционности ее элементов выступают приведенные моменты инерции относительно оси вала. Решая задачу преобразования действительной механической системы к ее динамической модели (с точки зрения инерционных свойств), будем определять для группы деталей приведенные к валу их моменты инерции (приведенные моменты инерции движущихся масс). Результатом этого моделирования является разнесение на упругом валу совокупности масс (в виде однородных плоских дисков), количество которых равно числу степеней свободы приведенной крутильной системы. В этой физикоматематической модели информация обо всех приведенных моментах инерции располагается в диагональной матрице инерции, порядок которой равен количеству степеней свободы этой системы.

2.5.1. Приведение кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания к эквивалентной динамической модели На рис. 2. 30 представлена кинематическая схема кривошипно-шатунного механизма (КШМ) поршневого двигателя внутреннего сгорания. Звенья с номерами 1, 2 и 3 представляют, соответственно, кривошип (колено), шатун и поршень отдельного КШМ. Движение этого механизма задается углом поворота кривошипа ϕ = ϕ (t ) . Ориентация

70

шатуна относительно оси x определяется углом ψ , который связан с углом ϕ слеr l − длина дующей зависимостью: sin ψ = λ ⋅ sin ϕ , где λ = ; r − длина кривошипа; l шатуна. Угловые скорости кривошипа и шатуна равны соответственно ω1 = ϕ& , ω 2 = ψ& .

Рис. 2. 30 Кинетическая энергия КШМ определяется по формуле: 1 1 1 1 2 2 2 Tд = J 1ω 1 + m2 vC 2 + J 2ω 2 + m3 v B , 2 2 2 2 где J 1 , J 2 − моменты инерции звеньев 1, 2 относительно точек O, C 2 (точка C 2 − центр тяжести шатуна); m2 , m3 − соответственно массы шатуна 2 и поршня 3; vC 2 , v B − скорости точек C 2 , B . Каждый кривошипно-шатунный механизм ДВС моделируется как механическая система с абсолютно жесткими звеньями и с одной степенью свободы. Ее обобщенной координатой выбирается функция угла поворота коленчатого вала ϕ = ϕ (t ) . Тогда этот механизм можно свести к динамической модели – условному абсолютно твердому телу, вращающемуся вокруг оси вала с угловой скоростью ω пр = ω1 = ϕ& . Кинетическая энер1 2 J прω1 , где J пр − приведенный момент инер2 ции динамически эквивалентной системы Определим величину приведенного момента. Согласно принципу приведения системы к ее динамической модели их кинетические энергии Tд , Tпр равны между собой. То-

гия приведенной системы равна: Tпр =

гда получим следующее выражение приведенного момента: 2

2

2

⎛v ⎞ ⎛ω ⎞ ⎛v ⎞ J пр = J 1 + m2 ⎜⎜ C 2 ⎟⎟ + J 2 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + m3 ⎜⎜ B ⎟⎟ . ⎝ ω1 ⎠ ⎝ ω1 ⎠ ⎝ ω1 ⎠ Преобразуем эту формулу. Для звена 2, совершающего плоскопараллельное движение, точка A является полюсом (ее скорость определяется по формуле v A = ω 1 r ). Тогда следуя основной теореме кинематики твердого тела, скорости vC 2 , v B запишутся в виде: vC 2 = v A + ω 2 × AC 2 , v B = v A + ω 2 × AB. Определим квадраты скоростей vC 2 , v B . Имеем:

vC 2 = v A + 2v A ⋅ ω 2 × AC 2 + (ω 2 d 2 ) , v B = v A + 2v A ⋅ ω 2 × AB + (ω 2 l ) , 2

2

2

2

2

2

d 2 = AC 2 . Здесь смешанные произведения расписываются следующим образом:

v A ⋅ ω 2 × AC 2 = ω 2 (v Ax d 2 y − v Ay d 2 x ) = ω 2 (v A d 2 sin ϕ ⋅ sin ψ − v A d 2 cos ϕ ⋅ cosψ ) = = −ω 2 v A d 2 cos(ϕ + ψ ) = −ω 1ω 2 rd 2 cos(ϕ + ψ ).

Аналогично v A ⋅ ω 2 × AB = −ω 1ω 2 rl cos(ϕ + ψ ). Тогда приведенный момент КШМ запишется в виде:

где

71

(

)

2

⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ 2 J пр = J 1 + (m2 + m3 ) ⋅ r − 2r ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ (m2 d 2 + m2 l ) ⋅ cos(ϕ + ψ ) + J 2 + m2 d 2 + m3l 2 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . ⎝ ω1 ⎠ ⎝ ω1 ⎠ Определим отношение угловых скоростей. Продифференцировав функциональную зависимость sinψ = λ sin ϕ по времени t , получим выражение ψ& cosψ = λ ϕ& cos ϕ , из которого можно определить угловую скорость шатуна. Действительно, учитывая те положения звеньев КШМ, при которых угловая скорость шатуна равна нулю, запишем выражение угловой скорости в следующем виде: π ⎧ cos ϕ & ⎪⎪λ cosψ ϕ , ïðè ϕ ≠ 2 (1 + 2kπ ), k = 0, 1, 2, K ω 2 = ψ& = ⎨ π ⎪ 0, ïðè ϕ = (1 + 2kπ ), k = 0, 1, 2, K ⎪⎩ 2

(

2

)

Следовательно, для всех углов ϕ ≠ ливо отношение:

π

2

(1 + 2kπ ),

где k − любое целое число, справед-

ω2 cos ϕ =λ , где cosψ = ± 1 − λ2 sin 2 ϕ . Тогда выражение привеcosψ ω1

денного момента инерции КШМ примет вид: ⎛ cosψ ⎞ ⎟⎟ (m2 d 2 + m2 l ) cos(ϕ + ψ ) + J ïð = J 1 + (m2 + m3 ) r 2 − 2λ ⎜⎜ ⎝ cos ϕ ⎠

(

)

(2.18) 2 ⎛ ⎞ ψ cos 2 ⎟⎟ . + J 2 + m2 d 2 + m3 l 2 λ ⎜⎜ ⎝ cos ϕ ⎠ Из формулы (2.18) видно, что приведенный момент КШМ представляет собой функцию от угла поворота кривошипа, то есть J пр = f (ϕ ). В СИ размерность приведенного

(

)

момента измеряется в следующих физических единицах: êã ì 2 . Следуя традиции прикладной механики, введем безразмерный приведенный момент инерции КШМ: J пр Θ пр = . Эта величина, также как и J пр , является конструктивным параметром меm1 r 2 ханизма, то есть он не зависит от его закона движения. Введем следующие обозначения: ρ1 , ρ 2 − радиусы инерции, соответственно, кривошипа и шатуна; m ρ m µ 21 = 2 , µ 31 = 3 - отношения масс шатуна и поршня к массе кривошипа, ν 1 = 1 , m1 r m1 d ρ ν 2 = 2 , ν 3 = 2 − безразмерные параметры. Тогда в этих обозначениях безразмерный l l приведенный момент инерции КШМ запишется в следующем виде: cos ϕ ⋅ cos(ϕ + ψ ) cos 2 ϕ 2 2 Θ пр = ν 1 2 + µ 21 + µ 31 − 2( µ 21 ⋅ν 3 + µ 31 ) + ( µ 21 (ν 2 + ν 3 ) + µ 31 ) . cosψ cos 2 ψ Рассмотрим частные значения приведенного момента инерции. При ϕ = kπ , где

(

)

k − любое целое число угол ψ = 0 и Θ ïð (0) = ν 1 2 + µ 21 ν 2 + (1 − ν 3 ) . При углах равных

π

2

2

⎛π ⎞ 2 → cosψ = 1 − λ2 ≠ 0 и Θ пр ⎜ ⎟ = ν 1 + µ 21 + µ 31 . Таким образом, зна2 ⎝2⎠ чения приведенного момента инерции КШМ располагаются в диапазоне, определяемом π ⎛π ⎞ Θ ïð (0 ), Θ ïð ⎜ ⎟. При углах поворота коленчатого вала равных ϕ = (1 + 2kπ ) масса 2 ⎝2⎠ КШМ оказывает на крутильные колебания существенное влияние. Поэтому при расчете

ϕ=

(1 + 2kπ )

72

приведенного момента инерции КШМ следует проводить вычисления при углах кратных девяносто градусов. В качестве примера другого метода определения приближенного значения момента инерции кривошипно-шатунного механизма рассмотрим подход Тимошенко [32], применяя вышевведенные обозначения. Следуя принципу разноса масс КШМ, изложенном в разделе 2.4, можно заменить его инерционные характеристики приведенным моментом инерции J пр . Равенство кинетических энергий действительного КШМ и его динамической модели задает определяющее приведенный момент выражение: 0,5 J ïð ω 2 = Tâð + Tïîñò , где ω − угловая скорость коленчатого вала ДВС; Tвр , Tпост − кинетические энергии вращательно и поступательно движущихся масс КШМ. Кинетическая энергия вращательных масс отдельного КШМ ДВС определяется следующим равенством: Tâð = 0,5 (J êð + møê r 2 ) ω 2 . Кинетическая энергия поступательно перемещающихся масс определяется как среднее значение этой функции за полный цикл, то есть при помощи интеграла: 2π 2π 1 1 1 2 2 2 Tпост = 0 , 5 m v d ϕ = mпост (ω r ) (sin ϕ + 0,5 λ sin 2ϕ ) dϕ ≈ mпост (ω r ) . пост B ∫ ∫ 2π 0 4π 0 4 При вычислении интеграла повторяются все выкладки, которые проводились в разделе 2. 4. Здесь не учитывалась малая величина 0,25λ2 . Тогда приведенный момент инерции однорядного КШМ вычисляется по следующей приближенной формуле: J пр = J кр + r 2 (mшк + 0,5mпост ). Подставляя в это выражение формулы расчета масс mшк , mпост , полученные в разделе 2.4, получим ⎛ m d (l − d 2 ) m d ⎞⎞ ⎛ J пр = J кр + r 2 ⎜⎜ ш 2 + 0,5⎜ mп + ш 2 ⎟ ⎟⎟ = J кр + 0,5r 2 (mп + mш (k + 1)), l l ⎠⎠ ⎝ ⎝ m AC 2 l − d 2 = . Очевидно, что k = шк − коэффициент, характеризующий отноAB l mш шение массы шатуна, приведенной к колену, к массе самого шатуна. Как отмечает Терских В. П., для низкооборотных двигателей внутреннего сгорания, частота вращения которых составляет n = 90 ÷ 150 об / мин , коэффициент k меньше, чем для высокооборотных ( n = 1000 ÷ 3000 об / мин ). В практических расчетах применяется эмпирическая формула Терских для однорядных двигателей [15, стр. 31]: (0,001n ìàõ )2 + 0,3 (2. 19) , k ≈ 0,8 (0,001n ìàõ )2 + 0,5 где n мах − максимальное число оборотов вала.

где k =

Задача для самостоятельного решения. Для шестицилиндрового двигателя, развивающего угловую скорость n = 1500 об / мин, определить приведенный момент инерции КШМ, если известны следующие величины: l = 0,455 м - длина шатуна; λ = 0,231, mш = 3,6 кг − масса шатуна в полной сборке; mп = 1,4 кг − масса поршневого комплек-

та; J кр = 1,59 кг ⋅ м 2 − момент инерции кривошипа.

73

2.5.2. Определение приведенного момента инерции кривошипношатунного механизма с присоединенными шатунами Если в конструкции кривошипно-шатунного механизма ДВС имеются несколько присоединенных к колену шатунов с соответствующим поршневым комплектом, то для такой системы также можно определить приведенный момент инерции. Для уменьшения сил, действующих на стенки цилиндров, прицепные шатуны в V − , W − и звездообразных ДВС располагаются впереди главного шатуна относительно направления вращения коленчатого вала. На рис 2. 31 изображена схема центрального кривошипно-шатунного механизма с одним присоединенным шатуном. Для последующего вывода формулы приведенного момента инерции введем следующие обозначения. Кривошипу отдельного КШМ поршневого ДВС назначим номер 0. Главный поршень и шатун, соответственно, обозначим номерами 1п, 1ш. Тогда i − й поршень и присоединенный шатун получат, соответственно номера iп, iш. Обозначения распространяются для всех s шатунов и поршней отдельного колена вала.

Рис. 2. 31 Массы поршней и шатунов, моменты инерции относительно центров тяжести шатунов будут снабжаться индексами соответствующего звена. Например, массы шатунов, изображенных на рис. 2. 31, будем обозначать так: m1ш , m2ш . Все инерционные и кинематические характеристики кривошипа этого механизма будем индексировать символом 0. Тогда приведенный момент КШМ с s присоединенными шатунами будет вычисляться по следующей формуле: ⎛ vC i = J 0 + ∑ miø ⎜⎜ i =1 ⎝ ω0 s

J ïð

2

s ⎞ ⎛ω ⎟ + ∑ J iø ⎜⎜ iø ⎟ i =1 ⎝ ω0 ⎠

2

s ⎛v ⎞ ⎟⎟ + ∑ miï ⎜⎜ B i i =1 ⎠ ⎝ ω0

2

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

(2. 20)

Ясно, что для схемы, изображенной на рис. 2. 31, суммирование в формуле (2.20) проводится от 1 до 2. Отношения кинематических характеристик в формуле (2.20) вычисляются точно также, как и для центрального КШМ без присоединенных шатунов. Так, при определении квадратов скоростей vC i , v B i необходимо найти скалярное произведение скорости v A , угловой скорости i − го шатуна ω iш и вектора, соединяющего полюс A с соответствующими точками C i (центр тяжести i − шатуна) или Bi (ось верхней головки шатуна). В расчете появляются конструктивные углы между направляющими

74

движения главного и i − поршня. Обозначим их символом γ i1 . Тогда угол ориентации кривошипа ( 0 − звено) относительно направляющей i − поршня вдоль оси Oxi будет равен ϕ i = ϕ 1 − γ i1 , где ϕ 1 − угол поворота кривошипа относительно основной оси x1 = x , вдоль которой перемещается главный поршень 1п. Тогда положение i − го шатуна в этом механизме определяется при помощи угла ψ i относительно оси xi . Угловая скорость шатуна с номером i определяется аналогично, как для обычного КШМ, то есть по формуле: π ⎧ cos ϕ i λ ω , äëÿ ϕ i ≠ (1 + 2kπ ) − γ ⎪⎪ i cosψ i 0 2 , ω iø = ψ& i = ⎨ (2.21) π ⎪ 0, äëÿ ϕ i = (1 + 2kπ ) − γ ⎪⎩ 2 r 2 где λi = , cosψ i = ± 1 − λi sin 2 ϕ i ; ω 0 = ϕ&1 − угловая скорость кривошипа. Здесь инli декс i изменяет значения от 1 до количества s прицепных шатунов. Получим следующие кинематические зависимости: v A ⋅ ω iø × ACi = − v A d i ω iø cos(ϕ1 + χ i ), v A ⋅ ω iø × ABi = − v A l i ω iø cos(ϕ1 + χ i ), где χ i = γ i1 − ψ i ; d i = AC i , ABi = l i . Тогда приведенный момент для центрального КШМ с s прицепными шатунами будет вычисляться по формуле: ⎛ω = J 0 + møï r − 2∑ (miø d i + miï li )⎜⎜ iø i =1 ⎝ ω0 s

J ïð

2

(

s ⎞ ⎟⎟ cos(ϕ i + χ i ) + ∑ J iø + miø d i 2 + miï l i 2 i =1 ⎠

)

⎛ ω iø ⎜⎜ ⎝ ω0

2

⎞ ⎟⎟ , ⎠

s

где mшп = ∑ (miп + miш ) − суммарная масса всех поршней и шатунов данного КШМ. i =1

Введем следующие безразмерные величины: µ iш = масса кривошипа. При ϕ i ≠

π 2

miш m d , µ iп = iп , ν i = i , где m0 − mo mo li

(1 + 2kπ ), ∀i ∈ [1, s ] безразмерный приведенный момент

такого КШМ запишется так: ⎫⎪ ⎧⎪ ⎛ cos ϕ ⎞ 2 ⎛ cos ϕ i ⎞ i ⎟⎟ − 2θ i1 ⎜⎜ ⎟⎟ cos(ϕ i + χ i )⎬ , (2.22) Θ пр = θ 0 + ∑ ⎨θ i 2 ⎜⎜ cosψ i ⎠ cosψ i ⎠ i =1 ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ ⎭ ⎩ 2 J + mш r J 2 θ0 = 0 , θ i1 = µ iшν i + µ iп , θ i 2 = iш 2 + µ iшν i + µ iп . 2 m0 r m0 l i На практике для многорядных и звездообразных ДВС приведенный момент инерции КШМ с прицепными шатунами подсчитывается по формуле [15, стр. 32]: s

J пр = J кр

⎧⎪ s s −1 ⎛ ⎛a + r ⎨∑ mпi + (1 + k )mшг + ∑ ⎜1 + ⎜⎜ i ⎜ ⎝ li i =1 ⎪⎩ i =1 ⎝ 2

2 ⎞ ⎞⎟ ⎫⎪ ⎟⎟ k mшi ⎬, ⎠ ⎟⎠ ⎪⎭

(2.23)

где J кр − момент инерции кривошипа; r − его радиус; mшi , mпi − массы прицепных шатунов и поршней, относящихся к одному колену; ai − расстояние между поршневым

75

пальцем главного шатуна и пальцем крепления i − го прицепного шатуна; li − длина i − го прицепного шатуна. Коэффициент k определяется по эмпирической формуле Терских (2.19). В некоторых поршневых ДВС применяются дезаксиальные КШМ, у которых оси цилиндра и коленчатого вала не пересекаются, а смещены на некоторое расстояние. Относительным смещением (относительным дезаксажем) оси поршня называется b отношение z = . В современных дезаксиальных ДВС z = 0,004 − 0,2 [24]. r Задача для самостоятельной работы. Определить приведенный момент инерции КШМ с дезаксажем при λ = 0,25; z = 0,1; µ 21 = 0,9; µ 31 = 0,6.

2.6. Определение моментов инерции элементов крутильноколебательной системы При составлении расчетной схемы крутильно-колебательной системы совокупность деталей, сосредоточенных в определенных местах валопровода, заменяют приведенной массой с соответствующим приведенным моментом инерции относительно оси вала. В формулу приведенного момента инерции входят моменты инерции отдельных элементов этой крутильной системы, отличающиеся своими геометрическими, инерционными и упругими свойствами. Поэтому для каждого элемента крутильной системы имеется своя методика определения моментов инерции. Так, можно выделить аналитический, графический, экспериментальный и комбинированный способы расчета. Для деталей симметричной формы, геометрические свойства которой выражаются математическими формулами, рационально использовать аналитический метод. Для деталей сложной геометрической конфигурации, не позволяющей представить ее конечной суммой простых тел, применяется графический метод. При помощи измерений нужных расстояний на эскизе такой детали и соответствующей расчетной процедуре определяется момент инерции. Например, при расчете момента инерции противовесов, установленных на коленах КШМ деталь изображают как конечную совокупность элементарных слоев, проводят замеры их углов, дуг и высот и далее проводят суммирование элементарных моментов инерции этих слоев. В инженерной практике применяются графоаналитические методы. Так, для расчета моментов инерции маховиков, гребных винтов, колена вала используют алгоритмические формулы, которым предшествуют измерительные действия. Если затруднительно провести определение момента инерции детали аналитическим или графическими методами, то при наличии такой детали рационально воспользоваться экспериментальным способом. Для определения момента инерции шатуна можно использовать вышеизложенный метод разделения масс. Но более точно эта задача решается при помощи экспериментального метода, сущность которого будет раскрыта в следующем разделе.

2.6.1. Аналитический метод расчета моментов инерции тел Рассмотрим общий метод, основанный на определении момента инерции тела относительно оси. А затем, воспользовавшись им, приведем некоторые формулы для вычисления моментов инерции элементов, представляющих детали крутильноколебательной системы.

76

Момент инерции тел вращения относительно оси По определению момент инерции объемного тела вычисляется по формуле Jz =

∫( )h

2

dm,

(2.24)

V

где h − кратчайшее расстояние элемента тела массой dm до оси вращения; V − объем тела, по которому и вычисляется данный интеграл. Валы вращения, коренные шейки коленчатого вала, шестеренки в распределительной коробке передач представляют собой симметричные тела вращения относительно их центральной оси. Рассмотрим методику расчета моментов инерции цилиндрических валов различной геометрической конфигурации.

Момент инерции сплошных цилиндрических валов радиуса R. Необходимой информацией о сплошных цилиндрах является их масса m (или плотность γ ), радиус R (или диаметр D ) и длина H . Как известно, момент инерции отmR 2 . Но также важно знать принцип 2 получения подобных формул. Этот принцип основан на интегральном исчислении. Выделяя цилиндрический слой толщиной dh , образованный двумя коаксиальными цилиндрами радиусов h, h + dh , составляем для них момент инерции относительно центральной оси симметрии цилиндра. А затем вычисляем непрерывную сумму моментов инерции этих цилиндрических слоев. Так как масса вышеуказанного цилиндрического слоя равна dm = γdV = γ ⋅ 2πhdh , то на основании (2.24) момент инерции тела вращения носительно оси симметрии цилиндра равен J z =

R

относительно оси z запишется J z = 2π ∫ γh 3 dh . В общем случае плотность цилиндра 0

может быть переменной, то есть γ = γ ( р ). На практике же плотность отдельного циm m линдрического вала постоянна. То есть, если γ = const , то γ = = . Тогда и поV πR 2 H mR 2 mD 2 лучаем известную формулу: J z = = . 2 8

Момент инерции полых цилиндров (коренных шеек) Для уменьшения веса коленчатого вала в быстроходных ДВС шатунные и коренные шейки изготавливаются в виде полых цилиндров [21]. Момент инерции полого вала (рис. 2. 32) вычисляется при помощи вышевыведенной формулы для сплошного цилиндра. Если R, r − соответственно, внешний, внутренний радиусы цилиндра, то мо1 мент инерции определяется по формуле: J z = m′ R 2 + r 2 , где m′ − масса полого ци2 линдра. Рассмотрим методику расчета момента полого цилиндра. Движение этого механизма задается углом поворота кривошипа ϕ = ϕ (t ) . Ориентация шатуна относительно оси x определяется углом ψ , который связан с углом ϕ сле-

(

)

77

r дующей зависимостью: sin ψ = λ ⋅ sin ϕ , где λ = , r − длина кривошипа, l − длина l шатуна. Угловые скорости кривошипа и шатуна равны, соответственно ω1 = ϕ& , ω 2 = ψ& .

Рис. 2. 32 Тогда момент инерции полого цилиндра определяется следующим образом: m R2 m r 2 γ π H 4 γπ H 2 ( ( Jz = 1 − 2 = R − r4 )= R + r 2 )(R 2 − r 2 ) = 2 2 2 2 1 1 = m′(R 2 + r 2 ) = m′(D 2 + d 2 ) , 2 8 где D, d − соответственно, внешний и внутренний диаметры полого стержня. Задание для самостоятельной работы. Вал длины H состоит из двух частей: внутреннего цилиндра плотностью γ 1 и радиуса r и внешнего цилиндрического слоя толщиной R − r. Определить момент инерции всего этого составного вала относительно центральной оси.

Момент инерции шатунной шейки относительно оси вращения вала Ось симметрии шатунной шейки zC параллельна оси вращения коленчатого вала z , поэтому момент инерции определяется по формуле Штейнера- Гюйгенса, то есть по формуле J z = J AA = J zC + mш С 2 , где C − расстояние между осями zC , z; mш − масса шатунной шейки. Шатунная шейка в различных конструкциях колена КШМ имеет различную геометрическую форму. Так, если шатунная шейка представляет собой сплошной цилиндр диаметром D и длиной l (рис. 2. 33), то ее момент инерции определяется по формуле: m J z = шш (D 2 + 8C 2 ). 8 Если задана не масса, а плотность материала цилиндра γ , то формула момента инерции относительно оси вала приобретет вид: J z =

πD 2 γ l 32

(D

2

+ 8C 2 ).

78

Рис. 2. 33

Рис. 2. 34

Для шатунной шейки, выполненной в виде полого цилиндра с внутренним δ и внешним D диаметрами (рис. 2. 34) на основании вышеприведенной методики получим следующую формулу момента инерции

J z = J AA =

π (D 2 − δ 2 ) l γ (D 2 + δ 2 + 8C 2 ) 32

.

На рис. 2. 35 показана схема шейки, представляющей собой цилиндр диаметра D с вырезанным отверстием диаметром δ , ось которого отстоит от оси шейки на расстоянии e. Масса такого крутильного элемента равна m′ =

γπ

(

)

l D 2 − δ 2 . Тогда момент 4 инерции такого элемента относительно оси AA определится по формуле: J AA =

Рис. 2. 35

γπl 32

{(D

2

− δ 2 ) + 8 D 2 C 2 − 8δ 2 (e 2 + C 2 )}.

Рис.2. 36

На рис. 2. 36 представлена схема литого вала с нецилиндрическим отверстием, определяемым параметрами δ 1 , δ 2 . Момент инерции такого звена равен

79

⎧⎪ D 4 ⎛ δ 4 ⎛ δ 4 4δ 2 8 ⎞ C 2 2 2 − ⎜ 1 ⎜⎜ 2 4 + 2 2 + ⎟⎟ + J AA = π ⎨ 2δ 1 + δ 2 ⎜ 3 ⎠ 12 2δ 1 ⎪⎩ 32 ⎝ 160 ⎝ δ 1

(

⎫

)⎞⎟⎟⎪⎬ l γ . ⎠⎪⎭

Момент инерции твердого тела, полученного вращением плоской кривой, и ограниченного двумя параллельными плоскостями Рассмотрим твердое тело, образованное вращением участка гладкой плоской линии, заданной в плоскости xz уравнением x = f ( z ) вокруг оси Oz (рис. 2. 37). Определим момент инерции J z твердого тела, полученного вращением кривой x = f ( z ) вокруг оси Oz на угол 2π радиан. Имеет место следующая методика вычисления момента инерции такого тела. 1. Элементарному участку длиной dz сопоставляется цилиндр радиуса r = f ( z ) высотой dz и массой dm. Тогда момент инерции этого цилиндра будет равен 1 dJ z = dm ⋅ r 2 . 2 2. Вычисление моментов инерции всех элементарных цилиндров. Так как момент инерции тела вращения равен интегральной сумме всех элементарных моментов, то имеем z 1 1 2 4 J z = ∫ r 2 dm = ∫ γ π [ f (z )] dz. (2.25) 2 2 z1 (V ) При помощи этой формулы можно получить выражение моментов инерции различных тел вращения.

Рис. 2. 37

Рис. 2. 38

Задача. Определить момент инерции твердого тела, представляющего собой усеченный конус. На рис. 2. 38 в плоскости Oxz изображена проекция этого твердого тела. Уравнение образующей АВ задается x = z ⋅ tgα , где α − угол между образующей АВ и осью Oz. Радиусы малого и большого оснований усеченного конуса равны соответственно R1 = z1 ⋅ tgα , R2 = z 2 ⋅ tgα , где z1 , z 2 − координаты точек A, B по оси Oz.

80

Тогда на основании формулы (2. 25) будем иметь:

R − R2 1 1 4 , J z = ∫ γπ ( z ⋅ tgα ) dz = γ ⋅ π ⋅ h 1 2 10 R1 − R2 R1 R2

5

5

1 γ π h R4. 10 Радиусом инерции i z твердого тела относительно оси z называется величина, опре-

где h = z 2 − z1 . В частности, если R1 = 0, R2 = R, то J z =

деляемая из равенства J Z = miz . Тогда для усеченного конуса радиус инерции равен 2

3 R2 − R1 iz = . 10 R2 3 − R13 5

Если R1 = 0, R2 = R, то i =

5

3 3 R и J z = mR 2 . 10 10

Задача. Определить момент инерции усеченного шара радиуса R. Решение. Так как уравнение круга в первой четверти координатной плоскости Oxz за-

писывается в виде x = R 2 − z 2 , то на основании формулы (2.25) имеем

Jz =

γπ ⎡

(

) (

2 1 5 3 3 5 R 4 ( z 2 − z1 ) − R 2 z 2 − z1 + z 2 − z z ⎢ 2 ⎣ 3 5

)⎤⎥ . ⎦

В случае симметричного усеченного шара имеют место условия: z 2 = a, z1 = − a, 0 < a ≤ R. 2 1 ⎞ ⎛ Тогда получим J z = γ ⋅ π ⋅ a ⋅ ⎜ R 4 − R 2 a 2 + a 4 ⎟ . В частности, момент инерции шара 3 5 ⎠ ⎝ 8 относительно его оси симметрии равен J Cz = γ ⋅ π ⋅ R 5 . 15 m 3 m , то получим следующее выражение момента инерции Если учесть, что γ = = V 4 πR 3 2 2 ⎛ R5 − r 5 ⎞ ⎟. шара J Cz = mR 5 . Момент инерции полого шара равен J Cz = m⎜⎜ 3 5 5 ⎝ R − r 3 ⎟⎠ Задача для самостоятельного решения. Определить момент инерции эллипсоида b (тела вращения, образованного вращением кривой с уравнением x = a 2 − z 2 ). a

81

Момент инерции тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг неподвижной прямой Некоторые детали крутильной системы можно рассматривать как тела, образованные вращением плоской фигуры F вокруг оси Oz (рис. 2. 39).

Рис. 2. 39 Границу этой фигуры можно задать двумя кривыми: r1 = f1 ( z ) на участке N1 L1 N 2 , и r2 = f 2 ( z ) на участке N1 L2 N 2 . Для выделенного элемента dm тела элементарный объем dV выразится через цилиндрические координаты r , ϕ , z посредством формулы dV = rdrdϕdz. Тогда момент инерции тела вращения относительно оси Oz запишется:

Jz =

∫ r γrdrdϕdz = ( ) 2

V

γπ 2

∫ {f (z ) − f (z )}dz.

z2

4

4

2

1

z1

Если записать это выражение через массу, то получим следующую формулу:

∫ ( f (z ) − f (z ))dz

z2

4

Jz =

m z1 ⋅ 2 z2

2

4

1

∫ ( f (z ) − f (z ))dz 2

2

.

(2.26)

2

1

z1

Задача. Для эллипсоида вращения вычислить момент инерции относительно оси вращения Oz.

Рис. 2. 40

82

Решение. Эллипсоид вращения получается вращением плоской фигуры F (рис. 2. 40). y2 z2 + = 1. Уравнение ее границы задается в плоскости формулой b2 a2 b a 2 − b 2 , и, следовательно, из формулы (2.26) получим Тогда f1 = y1 = 0, f 2 = y 2 = a 4

(

)

⎛b⎞ 4 4 ⎜ ⎟ a − z dz ∫ m ⎝a⎠ 3 J z = ⋅ −aa = mb 2 . 2 2 ⎛b⎞ 2 5 2 a − z dz ⎜ ⎟ ∫ a⎠ − a⎝ a

(

)

(2.27)

Задание для самостоятельного решения. Вычислить объем эллипсоида, рассмотренного в предыдущем примере. Задание для самостоятельного решения. Определить момент инерции тела, полученного из цилиндра диаметра D , высотой h , путем высверливания усеченного конуса такой же высоты с соответственно внешним и внутренним диаметрами d , δ . Задание для самостоятельного решения. Определить момент инерции тора, образованного вращением круга радиуса R вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга, и расположенного на расстоянии l от его центра. Задание для самостоятельного решения. Определить момент инерции тела, образованного вращением прямоугольного треугольника со сторонами a, b вокруг оси, лежащей в плоскости этого треугольника на расстоянии h от его центра тяжести.

Момент инерции секторного цилиндра относительно оси, перпендикулярной плоскости сектора через его центральную точку Задача. Определить момент инерции твердого тела, полученного путем вырезания из кругового цилиндра радиуса R и высоты h двумя полуплоскостями, пересекающимися по его оси симметрии и образующими центральный угол α (рис. 2.41, а).

a

á

Рис. 2. 41

83

Решение. Итак, необходимо найти момент инерции тела OABB ′A′O ′ (назовем его секторным цилиндром), изображенного на рис. 2. 41, а. Выделим в верхнем основании кругового цилиндра элементарный слой толщины dr , определяемый углом α и переменным радиусом r , 0 ≤ r ≤ R (рис. 2. 41, б). По этому слою строится элементарная цилиндрическая оболочка высоты h . Масса выделенного пространственного элемента 180 равна dm = γ α rhdr , где α − центральный угол, измеряемый в радианах ( α o = α−

π угол в градусах); γ − плотность материала данного однородного твердого тела, êã / ì 3 . Момент инерции секторного цилиндра равен: R

Jz =

2 3 ∫ r dm = γ α h∫ r dr =

(m )

0

γ α hR 4 4

.

(2.28)

Так, для α = 2π (случай кругового цилиндра) момент инерции равен J z =

γ π hR 4

. 4 Преобразуем формулу (2.28) так, чтобы в ней содержалась масса рассматриваемого тела. Масса секторного цилиндра равна: mα = 0,5 γ α h R 2 . Отсюда получим выражение 2mα плотности материала тела: γ = , и тогда момент инерции секторного запишется: α hR 2 1 J z = mα R 2 . (2.29) 2 Таким образом, момент инерции секторного цилиндра относительно оси z определяется структурно по такой же формуле, что и круговой цилиндр из того же материала. Если известна масса кругового цилиндра m и требуется определить момент инерции его секторного цилиндра с углом α , то можно это сделать следующим образом. Так как mα =

α m, то на основании формулы (2.29) получим выражение искомого момента: 2π α Jz = mR 2 . (2.30) 4π

Задача. Вал высоты h и диаметра d образован из двух полуцилиндров разных плотностей γ 1 , γ 2 . Определить момент инерции этого вала. Решение. Имеем следующие действия:

J z = J1 + J 2 =

πγ 1 hR 4 64

+

πγ 2 hR 4 64

=

π hR 4 64

(γ 1 + γ 2 ) = 1 (m1 + m2 )R 2 , 2

где m1 , m2 − массы соответствующих половинок данного цилиндрического вала. Задание для самостоятельной работы. Цилиндрический вал составлен из трех кг одинаковых частей, но различной плотности. Дано: h = 5 м, R = 0,8 м, γ 1 = 7,85 ⋅ 10 3 3 м кг плотность углеродистой стали, γ 2 = 2,75 ⋅ 10 3 3 − плотность алюминиевых сплавов, м êã γ 3 = 4,5 ⋅ 10 3 3 − плотность титановых сплавов. Определить момент инерции вала. ì

84

Задание для самостоятельной работы. Полый цилиндрический вал, наружный и внутренний диаметры которого равны, соответственно, D, d , образован из двух частей разных плотностей γ 1 , γ 2 . Определить момент инерции такого вала.

Определение приведенного момента инерции коробки передач В состав крутильной системы силовой установки транспортных машин входят различные элементы трансмиссии, например, коробка передач с зубчатыми цилиндрическими шестеренками насаженными на упругие валы. При составлении эквивалентной схемы массы элементов этих редукторов приводятся к сосредоточенным массам, для которых высчитывают приведенные моменты инерции. Рассмотрим методику определения приведенного момента инерции коробки передач относительно оси коренной шейки коленчатого вала колебательно-крутильной системы. На рис. 2. 42 изображена кинематическая схема коробки передач с n шестеренками и двумя валами. Первичный вал Ι вращается с угловой скоростью ω , вторичный вал ΙΙ - с угловой скоростью, определяемой передаточным отношением i. Рассмотрим зацепление k − го колеса. Передаточное число равно ik =

ω ΙΙ . Обозначим через J i моωΙ

менты инерции шестеренок, насаженных на вал I , а через J i′ − моменты инерции шестеренок, закрепленных на валу ΙΙ. В качестве приведенного вала примем первичный вал I . Тогда имеем ω ïð = ω I .

Рис. 2. 42 Тогда из равенства

Täåéñ =

1 J ïð ω ïð2 получим выражение приведенного момента 2 n

n

s =1

s =1

инерции коробки передач при заданной k − й передачи, то есть J ïð = ∑ J s + iê2 ∑ J s′ , где n − количество шестеренок коробки передач.

85

2.6.2. Графоаналитический метод определения момента инерции тел вращения При вращении гладкой незамкнутой кривой вокруг неподвижной оси, образуется поверхность, задающая некоторое твердое тело. Не всегда кривую можно задать аналитически уравнением y = y ( x ). Терских разработал методику расчета момента инерции деталей, часто применяемых на практике [15]. Сопоставим каждому значению r (расстоянию от оси вращения z ) полый цилиндр радиусом dr и высоты y (рис. 2. 43).

Рис. 2. 43 Элементарная масса выделенного объема равна dm = 2γ π yrdr , где γ − плотность материала данного тела; y = y (r ) − графически заданная функция от расстояния r . Тогда момент инерции рассматриваемого тела вращения равен J z = 2π ⋅ γ

R

∫r

3

ydr ,

(2.31)

0

где R = max ri . В общем случае ( m > 0 ) интеграл вида, представленного выражением (2. 31), вычисляется методом средних ординат по формуле: R R m +1 m ∫0 yr dr = m + 1 ⋅ yср ,

где y ср − среднее значение функции y (r ) на отрезке [0, R ]. Тогда момент инерции данного тела вычислится по формуле: 1 J z = π γ R 4 y ñð . (2. 32) 2 Для определения величин yср применяется следующая графоаналитическая процедура. 1. Построение кривой y = y (r ) : ряду значений r путем измерений толщины детали сопоставляется величина y. В результате этих действий появится гладкая кривая (рис. 2. 44). 2. Проводится разбиение кривой на n площадок (это число определяет точность вычисления) Ti Ti +1 , i = 1,..., n (на рис. 2. 44 показано n = 10 ). 1 3. Определяется угол α по формуле tgα = . При m = 3 следует α = 11,31o. По m+2 углу α строится луч (см. рис. 2. 44). 4. Из точек Ti проводятся перпендикуляры к оси Or и определяются точки Oi , Oi′, лежащие, соответственно, на оси Or и луче с углом α . Выстраиваются n − 1 криволинейных трапеций OiTiTi +1Oi +1 . Замеряя отрезки OOi = ri , определяем расстояния от точек Ti до оси Oy ( i ∈ [1, n] ). Кроме того, имеем Oi Oi′ = Ri .

86

Рис. 2. 44 5. Для каждой криволинейной трапеции OiTiTi +1Oi +1 строится средняя ордината Ai′Bi = hi , так, чтобы площадь криволинейной трапеции была приблизительно равна произведению hi на отрезок Oi Oi +1 . Таким образом, Ai′ ∈ Ti Ti +1 , Bi ∈ Oi Oi +1 . При этом Oi Bi = d i , i ∈ [1, n − 1] . 6. Из точек Oi при помощи циркуля проводим отрезки радиусов Ri и определяем точки Ai на оси Or (Ri = Oi Oi′ = Oi A i ) . Введем следующее обозначение: xi = Ai Ai +1 = (ri +1 − ri ) + (Ri − Ri +1 ) , где i = 1, 2,..., n. Точка пересечения отрезка A1 A1′ с вертикалью, проведенной из точки A2 , обозначим A2′′ . Положение любой точки Ai′′ (i > 2 ) определяется как пересечение отрезка Ai′′Ai′ с вертикальной прямой, направленной из Ai +1 . Например, A3′′ − точка пересечения прямой A2′′A2′ с вертикалью, проведенной через точку A3 и т.д. Для i > 1 введем обозначение отрезков: Ai Ai′′ = y i ( y1 = 0 ) . Тогда имеет место расчетная формула: ⎛ h − y i −1 ⎞ ⎟⎟ , i ∈ [2, n] . y i = y i −1 + xi −1 ⎜⎜ i −1 ⎝ d i −1 + Ri −1 ⎠

(2.33)

87

7. Результатом всех построений является прямая An An′′, равная искомой средней координате, то есть y ср = An An′′. Таким образом, средняя ордината yср определяется при помощи рекуррентной формулы (2.33). Определив yср по формуле вычисляется момент инерции твердого тела. Другой метод определения моментов инерции звена (колебательно-крутильной системы), имеющего сложную форму, также является графоаналитическим. Рассмотрим его алгоритм расчета. Сначала проводится разбиение пространственного твердого тела цилиндрическими поверхностями, образующие которых являются параллельными оси вращения z. На расстоянии r от оси z строится цилиндрическая поверхность толщины dr и высоты b = b(r ) (рис. 2. 45). Эта поверхность определяется углом ϕ .

Рис. 2. 45 На втором этапе производится вычисление момента инерции этой выделенной 1 цилиндрической поверхности. Для элементарной массы имеем: dJ z = r 2 dm , где 2 dm = ρ ⋅ dV , ρ − заданная объемная плотность материала данной детали, dV − элементарный объем цилиндрической поверхности. Площадь сектора OAB (см. рис. 2. r 2πϕ o 45) равна S = . Тогда площадь секторной полоски AA′BB′ длины dr равна 360 o дифференциалу функции S , то есть dS =

πϕ o 180 o

rdr .

(2.34)

Тогда момент инерции цилиндрической поверхности, выделенной на расстоянии r , равен dJ z =

ρ πϕ o 2 180

o

b(r ) r 3 dr

(2.35)

Момент инерции звена колебательно-крутильной системы равен интегралу от выражения (2.35), при 0 ≤ r ≤ Rm , то есть

88

Jz =

ρπ 2 ⋅ 180

Rm o

∫ ϕ (r ) b(r ) r

3

dr.

(2.36)

0

Если имеется аналитическое представление зависимости b = b(r ), то для нахождения момента инерции тела J z достаточно вычислить интеграл по формуле (2.36). Но для многих деталей эту зависимость представляют графически или таблично (по результатам измерений). Тогда момент инерции вычисляется при помощи конечной суммы вида J z =

ρπ

n

∑ϕ

o

bi ri ∆ ri , где n − число разбиений; ∆ ri − прираще3

2 ⋅ 180 i =1 ние радиуса. При этом соблюдается следующая процедура расчета. • Для значений r1 , r2 ,..., rn , которым соответствуют числа b1 , b2 ,..., bn (постоянные на рассматриваемых отрезках ∆ r1 , ∆ r2 ,....., ∆ rn ), последовательно высчитываo

ются произведения ϕ1 r1 b1 ∆ r1 ,..., ϕ n rn bn ∆ rn . полученные выражения суммируются, а затем результат умножается на 3

•

3

ρπ

. 2 ⋅ 180o В результате определится величина, равная моменту инерции детали относительно оси z. Графическим методом обычно пользуются для определения моментов инерции тех тел, которые имеют сложную геометрическую конфигурацию. К таким элементам колебательно-крутильной системы относятся маховики, противовесы коленчатого вала, гребные винты. Так, для гребного винта, состоящего из ступицы и нескольких лопастей можно применить вышеописанный графоаналитический метод. При этом имеет место следующая последовательность действий. • Для каждой лопасти применяется метод определения средней ординаты y ср пу• •

тем измерения плоскостей цилиндрических сечений и построения чертежа, подобного тому, который изображен на 2.44. Вычисляется момент инерции по формуле (2.31). Если n − общее количество лопастей, то момент инерции всей совокупности лопастей рассчитывается по формуле: J ëîï = 0,5π nγ R y ñð (êã ⋅ ì 3 ).

•

Определяется момент инерции ступицы вместе с конусом гребного винта по приближенной формуле: J ст =

γπ 32

d 4 l , где l − длина ступицы, d − средний диа-

метр ступицы. • Вычисляется полный момент инерции гребного вала: J ГВ = J лоп + J ст . В методических указаниях [35] рассмотрены вопросы определения моментов инерции некоторых элементов колебательно-крутильной системы графоаналитическим методом. Она предназначена для выполнения лабораторных работ по расчету инерционных и жесткостных характеристик деталей судового валопровода. Таким образом, для расчета момента инерции гребного винта J ГВ необходимо иметь его чертеж с цилиндрическими сечениями лопастей. На практике может быть использована эмпирическая формула [15, стр. 31]: J ÃÂ ≈ 2,85 ⋅ 10 −8 γ D 5 [a + 3]a, êã ñì ñ 2 , где γ − плотность материала винта, êã ñì −3 ; D − диаметр винта, ñì ; a − дисковое отношение. Данная формула применима для гребных винтов обычных винтовых судов. Для ледокольных винтов эта формула дает большие отклонения [15, стр. 35].

89

Так как гребной винт вращается в водной среде, то к моменту инерции винта следует присоединить момент инерции воды. Формула этого момента довольно сложная. Но для некоторых случаев применима следующая эмпирическая формула: ⎛a ⎞ J âîä ≈ 67 ⋅ 10 −10 D 5 n (h − 0,4 ) ⎜ + 0,04 ⎟ (1 + k ), êã ñì ñ 2 , ⎠ ⎝n где D − диаметр гребного винта; a = 0,5 ÷ 1,2 − дисковое отношение; h = 0,8 ÷ 1,3 − шаговое отношение винта, n − количество лопастей винта, k − режим, определяющий режим движения судна. Для швартового режима k = 0,2 , для ходового режима k = 0,3(1 − h). Следовательно, полный момент инерции гребного вала и массы воды, отрабатываемой лопастями равен: J = J ГВ + J вод . Как показали экспериментальные данные, имеет место следующая зависимость [12, стр. 42]: J вод = λ J ГВ , где λ = 0,2 ÷ 0,4. Задание для самостоятельной работы. Рассчитать полный момент инерции гребного винта и воды, если известны следующие данные: D = 1,92 м, n = 4, a = 0,5, h = 0,6, γ = 7,85 ⋅ 10 −3 êã ñì −3 . Принять ходовой режим движения судна.

2.6.3. Экспериментальный метод вычисления моментов инерции деталей При вычислении момента инерции составных и сложной конфигурации деталей крутильной системы применяются опытные измерения. Среди экспериментальных способов выделяются своей простотой метод качания физического маятника и метод крутильных колебаний. Рассмотрим их сущность.

Метод качания Определим момент инерции J z A шатуна (как твердого тела) относительно оси, проходящей через центр A шатунной шейки (рис. 2. 46).

Рис. 2. 46 Здесь применяется теория малых колебаний физического маятника. Для любого твердого тела, подвешенного на оси перпендикулярной плоскости качания, период колеба-

90

ний равен τ = 2π

J zA

, где m − вес твердого тела, d − расстояние от центра масс mg ⋅ d твердого тела до оси подвеса z A . Тогда момент инерции этого тела определится по формуле 1 J zA = m g dτ 2 = 0,781 m dτ 2 . 2 4π Если известно положение центра масс C детали и точно измерен период колебаний, то с помощью вышеприведенной формулы можно достаточно верно вычислить значение момента инерции детали относительно оси привеса (качания). Для определения момента инерции детали относительно оси, проходящей через ее центр масс, можно воспользоваться формулой Штейнера-Гюйгенса: J zC = J z A − md 2 . Задача. Известна длина l − расстояние между двумя центрами O1 , O2 качания детали момент инерции, которой требуется найти. Центр тяжести детали расположен между этими центрами, то есть C ∈ O1O2 . Определить положение центра тяжести, то есть расстояние О1С = l1 (или O2 C = l 2 = l − l1 ). Решение. При помощи центра качания O1 можно определить период качаний τ 1 детали как физического маятника, а при помощи центра O2 − период τ 2 . Имеем две формулы вычисления моментов инерции относительно двух центров: 2 2 m g l1 τ 1 m g l 2 τ 21 , , J1 = J = 2 4π 2 4π 2 где m − масса детали. С другой стороны, по теореме Штейнера-Гюйгенса имеем фор2 2 2 2 мулы: J 1 = J C + m l1 , J 2 = J C + m l 2 . Отсюда следует J 1 − J 2 = m l1 − l 2 . Тогда по-

(

лучим следующее выражение: l1τ 1 − l 2τ 2 = 2

2

(

)

)

4π 2 2 2 l1 − l 2 . А так как l 2 = l − l1 , то полуg

чим l1 =

τ 1 2 − 4,024 l ⎛ τ 12 + τ 2 2 ⎜ ⎜ l ⎝

⎞ ⎟ − 8,024 ⎟ ⎠

.

(2.37)

Таким образом, если не известно положение центра тяжести детали, момент инерции которой требуется найти, то следует выполнить следующие действия: − подвесить тело относительно оси O1 z; − определить вертикаль и на ней выбрать точку O2 , расположенную на другом конце детали; − замерить расстояние l = O1O2 ; − относительно точек O1 , O2 вычислить периоды колебаний детали τ 1 , τ 2 ; − по формуле (2.37) вычислить величину l1 ; − рассчитать момент инерции тела по формуле J 1 = 0,2485 m l1 τ 1 ; − по формуле Гюйгенса-Штернера вычислить момент инерции относительно центра 2 тяжести детали: J C = J 1 − ml1 . 2

91

Метод крутильных колебаний Второй способ основан на теории малых крутильных колебаний твердых тел. Шатун AB подвешивается на упругом стержне так, чтобы ось вращения проходила через центр масс, перпендикулярно плоскости кручения (рис. 2. 47).

Рис. 2. 47 Закрутив деталь на некоторый угол, дадим ей свободу перемещения. Эти движения представляют собой крутильные колебания с периодом, который определяется по форJ zC муле: τ = 2π ⋅ , где c − коэффициент жесткости упругого стержня. Эта величина c π ⋅ d 4G вычисляется по формуле: c = , где G − модуль упругости материала стержня 32h при сдвиге; d − диаметр стержня, h − его длина. Тогда момент инерции детали будет равен cτ 2 J zC = 2 . 4π

Если же по тем или иным причинам коэффициент жесткости c не представляется возможным найти, то экспериментально определяют период колебаний τ э эталонного тела, момент которого известен. Например, для твердого тела – диска массы mэ и радиуса Rэ период колебаний равен τ э = 2π

Jэ . Тогда исключив коэффициент жесткос

сти, получим выражение момента инерции: 2

J zC

⎛τ ⎞ = J э ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝τэ ⎠

92

2.7. Вычисление матрицы инерции цепной крутильной системы Итак, для определения моментов инерции приведенных масс эквивалентной системы и формирования матрицы инерции применяется следующая методика. 1. Выделяются участки колебательно-крутильной системы, содержащие несколько инерционных элементов. Число n − количество выделенных участков эквивалентной системы. Кроме того, это число определяет степень свободы рассматриваемой крутильно-колебательной системы. 2. При помощи теоремы об изменении кинетической энергии массы этих элементов приводятся к моторной массе, представляющейся на схеме эквивалентной колебательно-крутильной системы в виде диска с приведенным моментом инерции. То есть для каждого j − го участка цепи определяются моменты инерции всех его k элементов - J j1 , J j 2 ,..., J jk относительно оси коленчатого вала ДВС. Обозначим ω

угловую скорость вращения коленчатого вала. Тогда согласно принципу приведе1 1 k 2 2 ния получим: J jω = ∑ J jsω s . Так как ω s = ω , s = 1, 2,..., k , то приведенный 2 2 s =1 k

момент инерции j − го участка эквивалентной системы будет равен J j = ∑ J js . j =1

В результате образуется последовательная цепь моторных масс, инерционные свойства которой определяются моментами инерции J 1 , J 2 ,..., J n . 3. Квадратная матрица порядка, равного количеству моторных масс, заполняется на главной диагонали вычисленными моментами инерции. А все остальные недиагональные элементы равны нулю. В результате получаем матрицу инерции вида: ⎛ J1 0 L 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 J2 L 0 ⎟ . A=⎜ . . L . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 L J ⎟ n⎠ ⎝ Например, на рис. 2. 48 изображен участок коленчатого вала (условно обозначим его под номером j ), в состав которого входят следующие детали: 1, 8 – прилегающие к колену части коренных шеек; 2 – щеки колена; 3 – противовес; 4 – мотылевая шейка; 5, 6, 7 – звенья кривошипно-шатунного механизма ДВС.

Рис. 2. 48

93

По вышеприведенной методике определяются моменты инерции перечисленных элементов этого участка рассматриваемой системы. Обозначим эти моменты так: J j1 , J j 2 ,...., J j 8 . Сумма этих величин и будет моментом инерции j − й моторной массы, то есть

8

J j = ∑ J s . Процедура приведения масс кривошипно-шатунного механизма s =1

подробно рассмотрена выше. Такая же процедура справедлива и для других структурных участков действительной системы (валопровода машинных агрегатов с ДВС).

2.8. Определение инерционно-жесткостных характеристик передаточных механизмов с упругими звеньями В состав силовой установки с ДВС входит сам двигатель, передаточный механизм, исполнительные устройства и валопровод. В состав валопровода входят различного назначения валы, муфты и демпферы. Упругие и инерционные свойства элементов валопровода и двигателя были рассмотрены в главе 2. Исполнительными устройствами в различных силовых установках являются потребители энергии, валогенератор, технологические машины. Как правило, звенья исполнительного механизма более жесткие, чем элементы валопровода и передаточных механизмов при кручении. Наиболее податливыми являются звенья передаточных механизмов, передающих динамические нагрузки на звенья исполнительных устройств [28]. Назначение передаточных механизмов в такой системе состоит в том, чтобы обеспечить согласованность работы ДВС и исполнительного устройства. В судовых, автотранспортных, дорожных силовых установках передаточными являются зубчатые передачи и гидравлические устройства (гидромуфты, гидрообъемные передачи) [24]. При составлении и расчете динамических моделей крутильно-колебательных систем, включающих в свой состав передаточные механизмы, необходимо учитывать упругость их звеньев. Для силовой установки, включающей только двигатель, исполнительный механизм и связывающий их передаточный механизм (например, простая зубчатая передача) можно сопоставить различные модели. Самой простой является механическая система с жесткими звеньями, движения которой определяется всего одной обобщенной координатой – углом поворота входного звена (двигателя). В динамической модели с жесткими звеньями не учитываются деформационные процессы. Следовательно, такие модели не объясняют имеющих место вибраций и поломок деталей крутильной системы. Поэтому выделяются наиболее упругие элементы и составляется крутильная схема с учетом податливостей звеньев передаточного механизма. Такие модели определяются большим количеством степеней свободы. Наиболее простой динамической моделью, учитывающей упругость звеньев передаточного механизма, является система, состоящая из двигателя и исполнительного механизма (как системы с жесткими звеньями), последние связаны друг с другом посредством упругой связи, моделирующей податливые звенья зубчатой передачи. На рис. 2. 49, а представлена схема выше описанной системы силовой установки. Звенья 1- 4 образуют передаточный механизм, представляющий собой простую зубчатую передачу. Этой кинематической схеме сопоставляется динамическая модель с двумя степенями свободы (рис. 2. 49, б). Абсолютные углы поворотов звеньев с номерами O, N являются обобщенными координатами q 0 , q N данной динамической модели. Ее параметрами являются моменты инерции J O , J N (включающие в себя не только вращающиеся массы звеньев O, N , но и массы звеньев передаточного механизма), ко-

94

эффициент упругости c , представляющий приведенную к эквивалентному валу упругость всех упругих элементов передаточного механизма, коэффициент диссипации b , также представляющий собой совокупные свойства сопротивления (пропорциональные угловым скоростям звеньев). à

3

J 2′

J 1′

á

II

2

bïð

0

I

N

c ïð

III

M âð 1

qo

qN

4 Рис.2. 49 Подробно рассмотрим методику определения приведенных моментов инерции и жесткости в механической системе с передаточным механизмом в виде зубчатой передачи.

2.8.1. Определение приведенных моментов передаточных механизмов в силовых установках с ДВС Рассмотрим простейшую кинематическую схему, включающую передаточный механизм с упругими звеньями (рис. 2. 50). Рассматривая эту систему как колебательнокрутильную, составляем эквивалентную ей динамическую модель. Если не учитывать деформацию зубьев передачи, то можно представить две колебательно-крутильные системы: трехмассовую (рис. 2. 51, a) и двухмассовую (рис. 2. 51, б). J 1′

N à

2

II

ωI

c ′2

c1′

á

c II

O

J 3′

J 2′

ϕ2

ϕ1

ϕ3

I cI

c ′′

1 J 1′′

Рис. 2. 50

ϕ1

ϕ2

J 2′′

Рис. 2. 51

В трехмассовой схеме учитывается инерционность вращающихся масс двигателя (звено O ), исполнительного механизма (звено N ) и звеньев передаточного механизма как отдельных элементов крутильной системы. В двухмассовой схеме инерционные характеристики шестеренок передаточного механизма разнесены по двум массам – двигателя и исполнительного механизма. Общим началом для приведения к динамической модели является выбор общего, эквивалентного вала. Тогда для определения при-

95

веденного момента инерции динамической системы положим вал двигателя I общим для этих динамических моделей. Это означает, что приведенный вал вращается с угловой скоростью ω I вращения вала двигателя. Тогда ω O = ω 1 = ω I , ω 2 = ω N = ω II − угловые скорости, соответственно, валов / I , II , ω пр = ω I - угловая скорость приведенного

ω2 = u − передаточное отношение зубчатой передачи. Тогда на ω1 основе равенства кинетических энергий элементов действительной и приведенной систем имеем следующие выкладки. 1. Для трехмассовой системы: 1 1 ′ 2 2 • J 0ω I = J 1 ω пр ⎯→ J 1′ = J 0 , 2 2 1 1 1 2 2 • J 1ω I + J 2ω II = J 2′ ⎯→ J 2′ = J 1 + J 2 u 2 , 2 2 2 1 1 2 2 • J N ω II = J 3′ω пр ⎯→ J 3′ = J N u 2 . 2 2 2. Для двухмассовой системы: 1 (J 0 + J 1 )ω I 2 = 1 J 1′′ω ïð 2 ⎯→ J 1′′ = J 0 + J 1 , • 2 2 1 (J 2 + J N )ω II 2 = 1 J 2′′ω ïð 2 ⎯→ J 2′′ = (J 2 + J N )u 2 . • 2 2 Для приведенной динамической модели крутильной системы, схема которой изображена на рис. 2. 49, б, ее приведенные моменты инерции определяются по той же самой методике. Так угловые скорости звеньев системы связаны следующими равенствами: ω ω ω 0 = ω 1 = ω Ι = ω пр ; ω ΙΙ = ω 2 = ω 3 = uω Ι ; ω ΙΙΙ = ω 4 = ω N = wω Ι ; где u = ΙΙ , w = ΙΙΙ − пеωΙ ωΙ редаточные числа зубчатой передачи. Из равенств кинетических энергий элементов действительной и приведенной систем вала. При этом имеем:

1 1 1 1 2 2 2 2 J 0ω Ι + J 1ω Ι + J 2ω ΙΙ = J 1′ω пр , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 J 3ω ΙΙ + J 4ω ΙΙΙ + J N ω ΙΙΙ = J 2′ ω пр . 2 2 2 2 следуют формулы расчета приведенных моментом инерции двухмассовой динамической модели: J 1′ = J 0 + J 1 + J 2 u 2 , J 2′ = J 3 u 2 + ( J 4 + J N )w 2 . Задание для самостоятельной работы. Получить выражение приведенных моментов инерции для трехмасссовой и четырехмассовой колебательно-крутильных систем.

2.8.2. Определение приведенных коэффициентов жесткости передаточных механизмов в силовых установках с ДВС Рассмотрим силовую установку с двигателем и исполнительным механизмом, соединенными простой зубчатой передачей (см. рис. 2. 50). Схемы динамической модели с упругими звеньями представлены на рис. 2. 51, а, б. Определим коэффициенты жесткости c1′ , c 2′ , c ′′. В этой процедуре учитываем упругость валов действительной системы. Существует несколько подходов к решению этой задачи.

96

1. Метод Ден-Гартога [27]. Закрепим звено N и приложим к звену O крутящий момент M кр . В результате его действия звено O (вращательные массы двигателя) повернется на некоторый угол ϕ 0 . Этот угол равен сумме угла поворота ϕ 01 (угол поворота звена O относительно звена 1, принятого как условно-неподвижного) и угла поворота ϕ 12 звена 1 в результате поворота звена 2 относительно неподвижного M кр1 ϕ звена N . То есть ϕ 0 = ϕ 01 + ϕ 12 , где ϕ 01 = ,. ϕ 12 = 2 N , где u − передаточное сΙ u M кр 2 . Крутящий момент M кр 2 на отношение зубчатой передачи. При этом ϕ 2 N = с II валу ΙΙ определяется из равенства работ моментов, приложенных к звеньям 1, 2: M кр1 M кр1ϕ 12 = M кр 2ϕ 2 N . Отсюда следует выражение M кр 2 = . Следовательно, u M кр1 угол ϕ 12 представится в виде: ϕ 12 = . Тогда угол поворота звена O будет рас II u 2 M кр1 M кр1 + . C другой стороны, приведенный (эквивалентный) вал пововен: ϕ o = сI с II u 2 рачивается на тот же угол ϕ 0 моментом M кр1 . В результате приравнивания этих углов получим выражение, из которого и определяется коэффициент податливости приведенного вала: 1 1 1 e= = + . c пр с I c II u 2 2. Энергетический метод. Суть метода состоит в том, что передаточный механизм (зубчатая передача) с несколькими гибкими валами приводится к колебательноупругой системе с эквивалентным валом, податливость которого складывается из податливостей валов действительной системы. Сами эти податливости определяются при помощи равенства потенциальных энергий участков приведенной и действительной крутильных систем, соответствующих рассматриваемым упругим валам. Передаточный механизм, кинематическая схема которого изображена на рис. 2. 50, имеет соответствующую динамическую модель (см. рис. 2. 51, б), характеризуемую по упругим свойствам приведенным коэффициентом жесткости c пр = c ′′. В качестве приведенного вала примем вал I . Это означает, что углы закрутки эквивалентного вала и вала I передаточного механизма равны между собой, то есть ϕ Ι = ϕ пр . Мысленно закрепим шестеренку 1 и произведем закрутку на угол ϕ Ι звена O . 1 1 2 2 Тогда будем иметь: П Ι = с Ι ϕ Ι = с1 пр ϕ пр = П1 пр . Отсюда следует выражение ко2 2 эффициента жесткости первого приведенного участка вала: c1 пр = с Ι . Аналогично, закрепив шестеренку 2, произведем закрутку звена N на угол ϕ ΙΙ . Из равенств по1 1 2 2 тенциальных энергий П ΙΙ = с ΙΙ ϕ ΙΙ = с 2 пр ϕ пр = П 2 пр следует выражение коэф2 2 фициента жесткости второго приведенного участка вала: c 2 пр = с ΙΙ u 2 , где u = передаточное отношение данной зубчатой передачи.

ϕ ΙΙ − ϕΙ

97

Податливость эквивалентного вала, составленного из последовательно соединенных участков с приведенными жесткостями, равна сумме этих податливостей, то 1 1 1 есть е пр = = + . Отсюда следует формула приведенной жесткости ККС: с ′′ с1 пр с 2 пр c Ι c ΙΙ u 2 . c Ι + c ΙΙ u 2 Для трехмассовой ККС (см. рис. 2.51, а) приведенные жесткости определяются по такому же принципу; они равны c1′ = c Ι , c 2′ = c ΙΙ u 2 . Для зубчатой передачи, со схемой представленной на рис. 2. 50, угол кручения эквивалентного вала принимается равным углу закрутки вала Ι . Так как эта зубчатая передача имеет три упругих вала, то эквивалентный вал (рис. 2. 49, б) имеет три участка с приведенными коэффициентами жесткости c1 пр , c 2 пр , c3 пр . Имеют место c ′′ =

следующие расчетные выражения: 1 1 2 2 cΙ ϕ Ι = c 1 пр ϕ пр ⎯→ с1 пр = с Ι , 2 2 1 1 2 2 cΙΙ ϕ ΙΙ = c 2 прϕ пр ⎯→ с 2 пр = с ΙΙ u 2 , 2 2 1 1 2 2 cΙΙΙ ϕ ΙΙΙ = c3 прϕ пр ⎯→ с 3 пр = с ΙΙΙ w 2 , 2 2 где u =

ϕ ΙΙ ϕ , w = ΙΙΙ − передаточные числа. Следовательно, коэффициент приведенϕΙ ϕΙ сΙ сΙΙ сΙΙΙ (uw)

2

ной жесткости будет равен: c пр =

cΙ cΙΙ u 2 + cΙ cΙΙΙ w 2 + cΙΙ cΙΙΙ (uw)

2

.

Для зубчатых передаточных механизмов, колебательно-крутильные схемы которых представляются двухмассовой системой (см. рис. 2. 49, а), вводится понятие жесткости передаточного механизма [28]. Определение. Коэффициентом жесткости передаточного механизма, приведенного к входному звену, называется отношение крутящего момента, приложенного к входному звену, к углу его поворота. Этот угол характеризует полную деформацию всех упругих элементов зубчатой передачи. Если учитывать и жесткость зубьев шестеренок передачи, то приведенный коэффициент жесткости будет включать в свою формулу как коэффициенты жесткостей упругих валов, так и жесткости самих зубьев. Например, если обозначим жесткости зубчатых колес 1, 2 и 3, 4 передаточного механизма, изображенного на рис. 2. 49 а, соответственно c12 , c 34 , то коэффициент жесткости передаточного механизма, приведенного к входному звену, будет равен

c пр

⎛1 1 1 1 1 = ⎜⎜ + + + + 2 2 c34 u c ΙΙΙ w 2 ⎝ с Ι с12 с ΙΙ u

−1

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

Задание для самостоятельной работы. Определить приведенные коэффициенты жесткостей передаточного механизма (см. рис. 2. 49, а), динамическая модель которою представляет собой трехмассовую колебательно-крутильную систему, включающую два упругих вала.

98

3. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Определение. Свободными или собственными колебаниями упругой системы называются колебания, возникающие в ней в результате резкого снятия деформирующего ее внешнего воздействия или вследствие однократного приложения к ней силовой нагрузки. Если бы сопротивление движению отсутствовало, то свободные колебания должны были бы совершаться бесконечно долго. Тогда в любое мгновение сумма потенциальной и кинетической энергий колебательной системы равна начальному количеству сообщенной ей энергии при возбуждении колебаний.

3.1. Свободные крутильные колебания многомассовой механической системы Многомассовые цепные колебательно-крутильные системы обладают числом степеней свободы (в отношении возможных независимых видов загрузки отдельных участков) на единицу меньше числа масс. Следовательно, в зависимости от начальных условий и вида начального воздействия система с n сосредоточенными массами может совершать свободные колебания с различными частотами. Число возможных частот свободных колебаний системы будет равно n − 1. Каждой частоте собственных колебаний вала будет соответствовать свойственная ей главная форма колебаний. При сложном движении колебательных масс в различные стороны между ними возникает узел колебаний. Каждая главная форма имеет определенное число узлов. Угловые перемещения всех колеблющихся масс приобретают свои амплитудные значения, также как и нулевые значения – одновременно.

1

J1

J2

J n−2

J3

n −1

cn−2

c3

c2

c1

n−2

3

2

n

c n −1

J n −1

Jn

Рис. 3. 1 Многомассовая колебательная система моделируется как схема, состоящая из отдельных участков вала независимой друг от друга закрутки, то есть как система отдельно колеблющихся сосредоточенных масс с закрепленными жесткостями справа и слева от них. Поэтому крутильную систему энергетической установки с двигателем внутреннего сгорания можно представить в виде эквивалентной схемы колебательнокрутильной системы с n приведенными массами, как это изображено на рис. 3. 1. При этом необходимо принять во внимание общие положения приведения масс и длин различных участков вала (глава 2). Крутильные колебания этой системы определяется n обобщенными координатами. В качестве обобщенных координат целесообразно принять абсолютные углы поворотов

99

моторных масс относительно оси вала. Обозначим эти обобщенные координаты следующим образом: qi = ϕ i , i ∈ [1, .., n] . Углы ϕ i отсчитываются от положения равновесия каждой сосредоточенной массы mi ; причем ϕ i > 0, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки. Таким образом, цепная крутильная система с n массами имеет n степеней свободы и описывается n обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые выводятся из уравнений Лагранжа второго рода. Для их составления необходимо определить кинетическую энергию и обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам. Обозначим через J i моменты инерции моторных масс относительно оси вращения вала. Тогда кинетическая энергия крутильной системы определится как сумма кинетических энергий вращающихся абсолютно твердых тел. При этом имеет место формула:

1 n 2 J iϕ& i . (3.1) ∑ 2 i =1 Эквивалентная схема, изображенная на рис. 3.1, представляет собой консервативную систему, в которой участки вала при его закручивании удовлетворяют закону Гука. То есть крутящие моменты пропорциональны относительным углам поворота соседних моторных масс. Обозначим крутильные жесткости участков между i, i + 1 (i ∈ [1, n − 1]) через ci ,i +1 = ci , а относительные углы – через ∆ϕ i = ϕ i +1 − ϕ i . ТоT=

гда потенциальная энергия крутильной системы с n степенями свободы будет равна

Π =

1 n−1 2 ci ∆ ϕ i . ∑ 2 i =1

(3.2)

Для консервативной системы (системы, имеющей потенциальную энергию) уравнения Лагранжа второго рода записываются в виде: ∂П d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎜⎜ ⎟⎟ − =− , (3.3) ∂t ⎝ ∂ϕ& i ⎠ ∂ϕ i ∂ϕ i где i ∈ [1, n] . Учитывая выражения (3.1) и (3.2), уравнения (3.3) запишутся в следующем виде: ⎧ J 1ϕ&&1 + c1 (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0, ⎪ J ϕ&& − c (ϕ − ϕ ) + c (ϕ − ϕ ) = 0, 2 2 2 3 ⎪ 2 2 1 1 ⎪⎪. . . . . . . . . . . . . . (3.4) ⎨ ⎪ J iϕ&&i − ci −1 (ϕ i −1 − ϕ i ) + ci (ϕ i − ϕ i +1 ) = 0, ⎪. . . . . . . . . . . . . . ⎪ ⎪⎩ J nϕ&&n + cn−1 (ϕ n−1 − ϕ n ) = 0. Дифференциальные уравнения второго порядка можно записывать в матричной форме. Для этого используем введенные ранее следующие матрицы:

100

⎛ J1 0 K 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 J2 K 0 ⎟ – диагональная матрица инерции, элементами которой являA=⎜ 0 0 L 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 L J ⎟ n⎠ ⎝ ются моменты инерции сосредоточенных масс;

0 0 L 0 ⎞ − c1 ⎛ c1 ⎟ ⎜ 0 L 0 ⎟ − c2 ⎜ − c1 (c1 + c2 ) C =⎜ 0 (c2 + c3 ) − c3 L 0 ⎟⎟ – ленточная, симметричная матрица − c2 ⎜ L . ⎟ . . . ⎜ . ⎜ 0 0 0 0 L cn−1 ⎟⎠ ⎝ жесткости, элементами которой являются коэффициенты жесткости участков приведенного вала колебательно-крутильной системы. Введем векторы-столбцы обобщенных координат и обобщенных ускорений крутильT T ной системы с n степенями свободы: ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 , K ϕ n ) , ϕ&& = (ϕ&&1 , ϕ&&2 , K , ϕ&&n ) . Тогда уравнения (3.4) запишутся в матричном виде:

Aϕ&& + Cϕ = 0.

(3.5)

Частные решения уравнения (3.5) в матричной форме имеют вид

ϕ = a sin (kt + α ),

(3.6)

где k − круговая частота; α − фаза колебаний; a = (a1 , a2 , L , an ) − вектор-столбец амплитуд колебаний. Для характеристики форм главных колебаний системы вводятся веa личины µ i как отношения амплитуд µ i = i , i ∈ [1, n], называемые коэффициентаa1 ми распределения или относительными амплитудами. Подставляя решение (3.6) в выражение (3.5), получим систему алгебраических уравнений в виде: T

(C − k A) µ = 0, 2

(3.7)

где µ = (µ1 , µ 2 , L , µ n ) − вектор-столбец коэффициентов распределения. Система уравнений (3.7) имеет не нулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, то есть d n = det C − k 2 A = 0. В развернутом виде это уравнение записывается так: T

(

dn =

)

c11 − wJ 1

− c1

0

− c1

c22 − wJ 2

− c2

0 .

− c2 .

0

0

L

0

L

0

c33 − wJ 3 L . L 0

0 .

L cnn − wJ n

= 0,

(3.8)

101

где c11 = c1 , cii = ci −1 + ci , i ∈ [2, n − 1]; c nn = c n −1 ; w = k 2 . Уравнение (3.8) называется уравнением частот свободных колебаний механической системы с n степенями свободы или вековым уравнением. Структура определителя такова, что после вычисления его получается следующая рекуррентная формула: 0

d n = ∑ (− 1) I i wi = 0, i

(3.9)

i=n

где I i − коэффициенты разложения определителя соответствующие i − й степени квадрата круговой частоты w. Уравнение (3.9) представляет собой алгебраическое уравнение n − й степени величины w. Каждый коэффициент уравнения (3.9) имеет свою n

структуру. Так, для i = n → I n = det ( A) = ∏ J i , то есть коэффициент I n при степени n i =1

величины w есть определитель матрицы инерции A , который, в свою очередь. равен произведению всех диагональных элементов этой матрицы. Для i = (n − 1) коэффициент I n−1 равен сумме произведений всех миноров (n −1) − го порядка матрицы A на алгебраические дополнения первого порядка матрицы жесткости C (относительно миноров (n −1) − го порядка этой матрицы). Введем обозначения: ⎛ j L jk ⎞ ⎛ j L jk ⎞ ⎟⎟, Cn ,k ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – миноры k − го порядка матриц A, C порядка An ,k ⎜⎜ 1 ⎝ i1 L ik ⎠ ⎝ i1 L ik ⎠

n, полученные из элементов этих матриц при пересечении i1 , i2 ,..., ik строк и j1 , j2 ,..., jk столбцов, соответственно; ⎛j ⎛j L jn ⎞ L jn ⎞ ⎟⎟, C n′ ,n − k ⎜⎜ k +1 ⎟⎟ – алгебраические дополнения, соответAn′ ,n − k ⎜⎜ k +1 i L i i L i n ⎠ n ⎠ ⎝ k +1 ⎝ k +1 ственно, к минорам An,k , Cn ,k , где 1 ≤ k ≤ n − 1. При этом в дальнейшем будем обозна-

чать через An ,k , An′ ,n−k миноры и их алгебраические дополнения матрицы A; через Cn ,k , Cn′ ,n−k − миноры и их алгебраические дополнения матрицы жесткости C. Тогда в n

этих обозначениях коэффициент I n−1 запишется в виде: I n−1 = ∑ An,n−1Cn′ ,1 , где сумми1

рование идет от 1 до n, так как сложение произведений осуществляется по перебору строк матрицы A от первой до последней n − й строки. Коэффициент I n−2 записываетm

ся в виде суммы произведений следующего строения:

I n−2 = ∑ An ,n−2Cn′ , 2 ,

где

1

⎛n − 2⎞ m=⎜ ⎟ - число сочетаний n по (n − 2 ) . Аналогично определяются все последую⎝ n ⎠ щие коэффициенты; при этом порядок миноров матрицы A каждый раз уменьшается на единицу, а порядок алгебраического дополнения увеличивается также на единицу. Общая формула определения коэффициента I i имеет вид: m

I i = ∑ An ,i Cn′ ,n−i , i = n − 1, n − 2,... , 1,

(3.10)

1

⎛i⎞ где m = ⎜ ⎟ − число сочетаний из n по i. Так как det (C ) = 0, то коэффициент I 0 = 0. ⎝n⎠

102

Формулы (3.9) и (3.10) доказываются методом математической индукции. Алгоритмичность формул определения коэффициентов I i позволяет разработать процедуру их вычисления и тем самым составить алгебраическое уравнение n − й степени для вычисления всех его корней. Так, при n = 6 уравнение (3.9) запишется так: d 6 = I 6 w6 − I 5 w5 + I 4 w 4 − I 3 w3 + I 2 w 2 − I1w + I 0 = 0. Задание для самостоятельного решения. Для крутильной системы с тремя степенями свободы составить дифференциальные уравнения и уравнения частот.

Методом математической индукции нетрудно доказать, что все главные миноры матрицы C положительны. Действительно, при n = 1 справедливо условие с11 = с1 > 0; при n = 2 выполняется условие c − c1 det (C 2 ) = 1 = c1 ⋅ c2 > 0. − c1 (c1 + c2 ) n

Предположим, что справедлива формула det (C n ) = ∏ ci для числа n. Докажем спраi =1

ведливость этой формулы для n + 1. Согласно структуре ленточной и симметрической матрицы C разложение определителя (n + 1) − го порядка по (n + 1) − ой строке привоn

n −1

n +1

i =1

i =1

i =1

дит к следующему выражению: d n+1 = ∏ ci ⋅ (cn + cn+1 ) + cn ⋅ (− cn )∏ ci = ∏ ci > 0. Что и требовалось доказать. k

∏c ,

Таким образом, все главные миноры матрицы C положительны и равны

i

где

i =1

k ∈ [1, n]. Согласно критерию Сильвестра, если все главные миноры положительны, то квадратичная форма, составленная из элементов этой матрицы, будет положительноопределенной [8]. То есть потенциальная энергия колебательно-крутильной системы является положительно-определенной формой. Тогда по теореме Лагранжа-Дирихле положение равновесия механической системы устойчиво. Следовательно, корни wi уравнения частот (3.9) – вещественные, положительные и различные величины. Так как выполняется равенство I 0 = det (C ) = 0, то порядок характеристического уравнения (3.9) понижается на единицу и, следовательно, имеем характеристическое уравнение 1

(n −1) − й степени: ∑ (− 1)i I i w(i−1) = 0,

описывающее крутильные колебания системы с

i =n

n степенями свободы. Это уравнение имеет (n − 1) корней, то есть (n − 1) собственных

(

)

частот, которые можно записать в порядке возрастания: w1 < w2 < .... < wn−1 , wi = ki . Каждому найденному корню wi (i = 1, 2,..., n − 1) будет соответствовать система алгебраических уравнений (3.7) относительно коэффициентов распределения µ i , записываемых в матричной форме. Определим (n − 1) наборов коэффициентов µ i . Для определения всех наборов этих коэффициентов имеет место следующая процедура. 1. Последовательно подставляя корни wi в уравнение (3.7), получим систему однородных алгебраических уравнений с определителем равным нулю. Следовательно, строки (столбцы) определителя (3.8) зависимы. То есть одна из строк (или столбцов) будет следствием других. 2

103

2. Образуем минор вычеркиванием последней строки и последнего столбца определителя (3.8). Обозначим его так: c11 − J 1 wi d n−1 (wi ) =

− c1 .

− c1

L

0

c22 − J 2 wi L . L

0

0 .

.

L cn−1,n−1 − J n−1wi

0

При этом миноры, полученные заменой в определителе (3.8) j − го столбца последним n − м столбцом умноженным на (− 1) , обозначим через d n−1, j (w j ). 3. Воспользовавшись правилом Крамера, определим для wi коэффициенты распреде(w ) (w ) d (w ) d d (i ) (i ) (i ) ления по формулам µ1 = n−1,1 i , µ 2 = n−1, 2 i , K , µ n−1 = n−1,n−1 i . d n−1 (wi ) d n−1 (wi ) d n−1 (wi ) Или в сокращенной форме (w ) d µ j (i ) = n−1, j i , (3.11) d n−1 (wi ) где i, j ∈ [1, n − 1]. . При этом µ1(i ) = 1. Таким образом, каждому корню µ i соответствует набор n величин – коэффициен-

(

(i )

(i )

(i )

)

тов распределения 1, µ 2 , K , µ n−1 , µ n , определяющих форму i − го главного колебания крутильной системы. Набор коэффициентов распределения для wi можно представить как вектор-строку. Тогда матрица из этих векторов-строк будет иметь вид: ⎛ µ1 (1) ⎜ (2 ) ⎜ µ M =⎜ 1 ⎜ . ⎜ µ (n −1) ⎝ 1

µ 2 (1) µ 2 (2 ) .

µ 2 (n −1)

µ n (1) ⎞⎟ µ n (2 ) ⎟

K L L

⎟. ⎟ ( n −1) ⎟ L µn ⎠ .

Эта матрица характеризует все формы колебаний колебательно-крутильной системы с n степенями свободы и называется фундаментальной. Когда сосредоточенные массы совершают крутильные колебания на одной из собственных частот, то такие формы колебаний называют главными формами колебаний. Эти формы колебаний можно получить при соответствующем подборе начальных условий. При этом, колебания, совершаемые на меньшей собственной частоте k1 , называются первой формой, на частоте k 2 − второй формой, на k n − n − й формой колебаний системы. Частные решения системы (3.5) с частотой ki представляют i − е главные колебания. Функции, представляемые выражениями ϕ i

(1)

= µ i a1 sin (k1t + α 1 ), i ∈ [1, n], определя(1)

(1)

ют первые главные колебания колебательной системы с собственной частотой k1 и начальной фазой α1. Аналогично, в общем случае, функции

ϕ i ( j ) = µ i ( j ) a1 ( j ) sin (k j t + α j ), i ∈ [1, n], j ∈ [1, n − 1]

(3.12)

104

определяют j − ю форму колебаний системы с собственной частотой k j и фазой α j . ( j)

Коэффициенты µ i образуют матрицу M и полностью определяют состояние колебательно-крутильной системы. Общее решение системы (3.5) выражается линейной комбинацией частных решений (3.12) и представляется в виде: n −1

ϕ i = ∑ µ i ( j ) a1 ( j ) sin (k j t + α j ),

(3.13)

j =1

где

i ∈ [1, n].

Частоты

kj

упорядочены

в

порядке

возрастания,

то

есть

k1 < k 2 < .... < k n −1 . Наименьшая из частот k1 называется основной частотой колебаний системы. Таким образом, малые крутильные колебания колебательно-крутильной системы, схема которой изображена на рис. 3.1, совершаемые около положения устойчивого равновесия (П = 0 ) , описываются функциями вида (3.13). Решение (3.13) системы уравнений (3.5) можно представить в матричной форме. Для этого введем вектор-столбец ⎛ a1 (1) sin (k1t + α 1 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a1 (2 ) sin (k 2 t + α 2 ) ⎟ a1 sin (kt + α ) = ⎜ ⎟ ⎜ LLLLLLL ⎟ ⎜ a (n −1) sin (k t + α )⎟ n −1 n −1 ⎠ ⎝ 1 размерности ((n − 1) × 1). Тогда функции (3.13) в матричной форме запишутся в виде:

ϕ = M T a1 sin (kt + α ) ,

(3.14)

где ϕ = (ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ) − вектор-столбец обобщенных координат (абсолютных углов T

поворотов моторных масс); M T − транспонированная матрица, имеющая вид ⎛ µ1(1) ⎜ (1) ⎜µ MT =⎜ 2 ⎜ . ⎜ µ (1) ⎝ n

µ1 (2 ) L µ1(n −1) ⎞⎟ µ 2 (2 ) L µ 2 (n −1) ⎟ .

µ n (2 )

⎟. ⎟ ( n −1) ⎟ L µn ⎠

L

.

Для представления полной картины поведения крутильной системы необходимо определить все собственные частоты ki , составить матрицу коэффициентов распределения M , по начальным условиям движения найти амплитуды ai и начальные фазы α i . В технических приложениях это наглядно представить в виде графических эпюр. При( j) нимая, например, a1 = 1 ( j ∈ [1, n − 1]) , откладываются ординаты амплитуд всех остальных n − 1 моторных масс в соответствие со значениями коэффициентов распреде( j) ления µ i по каждой собственной частоте k j . В результате этого для механической системы составляются n − 1 эпюры форм главных колебаний.

105

3.2. Примеры использования матричного метода при расчете свободных колебаний крутильной системы Вышеизложенную методику расчета крутильных систем с любой конечной степенью свободы применим для простых схем. Основной целью этого раздела является иллюстрация матричного метода по определению амплитудно-частотных характеристик колебательно-крутильных систем с двумя, тремя и четырьмя степенями свободы. Задача 1. Составить алгоритм расчета свободных колебаний цепной крутильной системы с двумя степенями свободы.

Рис. 3. 2 Решение. На рис. 3. 2 представлена схема, состоящая из двух моторных масс (моменты которых равны, соответственно, J1 , J 2 ) и невесомого упругого вала жесткостью c. 1. Выбор обобщенных координат. Крутильная система описывается двумя обобщенными координатами – абсолютными углами поворотов моторных масс ϕ1 , ϕ 2 относительно оси вращения вала. 2. Кинетическая энергия этой крутильной системы. Рассматриваемая система представляет собой простую цепную крутильную конструкцию. Поэтому кине1 1 2 2 тическая энергия равна сумме двух энергий: T = J 1ϕ& 1 + J 2ϕ& 2 . 2 2 1 2 3. Потенциальная энергия системы определяется по формуле П = c (ϕ 1 − ϕ 2 ) . 2 4. Тогда уравнения Лагранжа второго рода запишутся в виде дифференциальных ⎧ J ϕ&& + c (ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0 уравнений: ⎨ 1 1 . ⎩ J 2ϕ&& 2 − c (ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0

5. Вид решения системы дифференциальных уравнений. Согласно общей теории системы линейных и однородных дифференциальных уравнений решение ищется в виде гармонических функций ϕ 1 = a1 sin (kt + α ), ϕ 2 = a 2 sin (kt + α ). 6. Коэффициент распределения определяется как отношение амплитуд a2 , a1 , то a есть µ = 2 . Тогда a 2 = µ a1 . Подставляя решения ϕ1 , ϕ 2 в дифференциальные a1 уравнения, получим систему алгебраических уравнений

106

(

)

⎧⎪ c − J 1 k 2 a1 − c a 2 = 0, ⎨ ⎪⎩− c a1 + c − J 2 k 2 a 2 = 0.

(

)

7. Характеристическое уравнение (уравнение частот) составляется как равный нулю определитель полученной системы алгебраических уравнений, то есть в виде k 2 J 1 J 2 k 2 − c( J 1 + J 2 ) = 0. Решая это уравнение, определим корни

[

]

c( J 1 + J 2 ) . J1 J 2 8. Нулевая частота означает вращение вала без деформаций. Коэффициент распределения тогда равен c − J 1k 2 c µ= . = c c − J 2k 2 Для частоты k1 = 0 коэффициент распределения равен µ = 1; для частоты k 2 коJ эффициент распределения определится так: µ = µ 2 = − 1 . Положив a1 = 1, поJ2 лучим a 2 = µ . Формы колебаний этой системы представлены на рис. 3. 3.

уравнения; они равны: k1 = 0, k 2 =

Рис. 3. 3 Для частоты k 2 имеет место узел. Его расположение находится при помощи следующего расчета. Из подобия треугольников ALU, BMU следует отношение

µ =

a2 l − x = , a1 x

107

где l − длина приведенного вала; x − расстояние AU от левой моторной массы J 2l l . до узла U. Тогда получим x = = µ + 1 J1 + J 2 9. Закон движения крутильной системы имеет вид ϕ1 = a1 sin (kt + α 1 ), ϕ 2 = µ a1 sin (kt + α 2 ). Постоянные величины α1 , α 2 вычисляются при помощи начальных условий движения системы. Такая же методика расчета проводится для крутильной системы с двумя степенями свободы, имеющей два участка вала, один из которых жестко заделан на одном из своих концов (рис. 3. 4). Задача 2. Составить алгоритм расчета амплитудно-частотных характеристик колебательно-крутильной системы, схема которого изображена на рис. 3.4. Дано: J 1 = 40 êãì 2 , J 2 = 120 êãì 2 , c1 = 2 ⋅ 10 6 H ⋅ ì / ðàä, c 2 = 2.5 ⋅ 10 6 H ⋅ ì / ðàä.

Рис. 3. 4 Решение. Алгоритм расчета выражается следующими действиями. 1. Задание обобщенных координат системы. В качестве обобщенных координат этой механической системы с двумя степенями свободы выбираем абсолютные угла поворотов масс относительно неподвижной плоскости отсчета – углы ϕ1 , ϕ 2 . 2. Формирование матрицы инерции системы. 0⎞ ⎛J ⎟⎟. A = ⎜⎜ 1 ⎝ 0 J2 ⎠ 3. Формирование матрицы жесткости системы. ⎛ (с + с ) − с2 ⎞ ⎟. С = ⎜⎜ 1 2 с2 ⎟⎠ ⎝ − с2

108

4. Составление уравнений Лагранжа второго рода. ⎧ J 1ϕ&&1 + (c1 + c 2 )ϕ1 − c 2ϕ 2 = 0, ⎨ ⎩ J 2ϕ&&2 − c 2ϕ1 + c 2ϕ 2 = 0.

5. Составление системы алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний механической системы.

[

]

⎧⎪ (c1 + c 2 ) − J 1 k 2 a1 − c 2 a 2 = 0, ⎨ ⎪⎩− c 2 a1 + c 2 − J 2 k 2 a 2 = 0.

(

)

6. Составление уравнения частот. J 1 J 2 k 4 − ( J 1c 2 + (c1 + c 2 )J 2 ) k 2 + c1c 2 = 0. 7. Определение частот колебаний системы. Введем обозначения: w = k 2 , p =

J 1c2 + J 2 (c1 + c2 ) cc ,q= 1 2 . J1 J 2 J1 J 2

Тогда в этих обозначениях уравнение частот запишется в виде w 2 − pw + q = 0. p 2 − 4q p 2 − 4q p p , w2 = − . + 2 2 2 2 Следовательно, частоты этой крутильной системы равны k1 = w1 , k 2 = w2 . Корни этого уравнения равны: w1 =

8. Определение коэффициентов распределения системы. Из системы алгебраических уравнений относительно амплитуд коэффициент распределения определяется по формуле:

µ=

(с1 + с2 ) − J1k 2 c2

=

c2 . c2 − J 2 k 2

Тогда частоте k1 соответствует коэффициент распределения

частоте k 2 → µ 2

2 ( c1 + c2 ) − J 1k 2 . =

2 ( c1 + c 2 ) − J 1 k1 µ1 = ,

c2

а

c2 Подставляя численные данные в полученные выражения, получим следующие значения: k1 = 353,55, k 2 = 91,287. Коэффициенты распределения равны: µ1 = 1,66667, µ 2 = −0,199996,.

9. Построение форм колебаний системы. На рис. 3. 5 изображены для каждой частоты графики относительных амплитуд колебаний. Для второй частоты имеет место узел.

109

Рис. 3. 5 10. Составление главных колебаний системы. Первому главному колебанию системы соответствуют следующие две функции:

ϕ1(1) = a1(1) sin (k1t + α1 ), ϕ 2 (1) = µ1a1(1) sin (k1t + α1 ). Второму главному колебанию системы соответствуют функции

ϕ1(2 ) = a1(2 ) sin (k 2 t + α 2 ), ϕ 2 (2 ) = µ 2 a1(2 ) sin (k 2t + α 2 ). 11. Общее решение системы дифференциальных уравнений (уравнение движения колебательной системы): ϕ1 = ϕ1(1) + ϕ1(2 ) = a1(1) sin (k1t + α1 ) + a1(2 ) sin (k 2t + α 2 ),

ϕ 2 = ϕ 2 (1) + ϕ 2 (2 ) = µ1a1(1) sin (k1t + α1 ) + µ 2 a1(2 ) sin (k 2t + α 2 ). С учетом численных данных для данной системы имеем следующие уравнения движения: ϕ1 = sin (353,55t + α 1 ) + sin (91,287t + α 2 ),

ϕ1 = 1,66667 sin (353,55t + α 1 ) − 0,199996 sin (91,287t + α 2 ).

110

Задача 3. Для четырехмассовой крутильно-колебательной системы цепного типа (рис. 3. 6) составить формы колебаний.

J3

J2

J1

c2

c1

J4

c3

Рис. 3. 6 Заданы следующие величины: J 1 = 100 êãì 2 , J 2 = 50 êãì 2 , J 3 = 60 êãì 2 , J 4 = 150 êãì 2 , c1 = 1,9 ⋅ 10 6 H ì / ðàä, c 2 = 1,5 ⋅ 10 6 H ì / ðàä, c3 = 2,2 ⋅ 10 6 H ì / ðàä.

Решение. Алгоритм решения задачи следующий: 1. Задание обобщенных координат системы. Если система имеет четыре моторные массы и является не закрепленной с обоих концов, то она имеет четыре степени свободы, и, следовательно, описывается четырьмя обобщенными координатами. В данной задаче рационально принять в качестве обобщенных координат абсолютные углы поворотов моторных масс вокруг оси вращения вала. Обозначим их следующим образом: ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 . 2. Формирование матрицы инерции данной крутильной системы. Для цепной крутильной системы матрица инерции имеет диагональный вид ⎛ J1 ⎜ ⎜0 A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0

0

J2

0

0

J3

0

0

0 ⎞ ⎛100 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0 50 0 0 ⎟ = . 0⎟ ⎜ 0 0 60 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ J 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 150 ⎟⎠

3. Формирование матрицы жесткости данной крутильной системы. Для цепной крутильной системы матрица жесткости имеет ленточно-диагональный вид: ⎛ c1 ⎜ ⎜− c C =⎜ 1 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

− c1 (c1 + c 2 )

0 − c2

− c2

(c2 + c3 )

0

− c3

0 ⎞ ⎛ 1,9 − 1,9 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ − 1,9 3,4 − 1,5 0 ⎟ = ⋅ 10 6. − c3 ⎟ ⎜ 0 − 1,5 3,7 − 2,2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ c3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 2,2 2,2 ⎟⎠ 0

4. Составление уравнения частот. Согласно вышеприведенной методике уравнение частот представляет собой равный нулю определитель матрицы вида C − Aw, то есть det (C − Aw) = 0, где w = k 2 . Подставляя в это выражение матрицы A, C , получим следующий вид уравнения частот:

111

c1 − J 1 w − c1

− c1 (c1 + c2 ) − J 2 w

0

− c2

(c2 + c3 ) − J 3 w

− c3

0

0

− c3

c3 − J 4 w

0 − c2

0 0

= 0.

Расписывая определитель третьего порядка, получим следующий вид характеристического уравнения I 4 w 4 − I 3 w3 + I 2 w2 − I1w + I 0 = 0. А так как det (C ) = I 0 = 0, то имеем характеристическое уравнение третьего порядка вида I 4 w3 − I 3 w 2 + I 2 w − I1 = 0, где коэффициенты при степенях корней уравнения определяются по формулам: 4

I 4 = det ( A) = ∏ J i = J 1 J 2 J 3 J 4 ; i =1

I 3 = c1 J 2 J 3 J 4 + (c1 + c2 )J1 J 3 J 4 + (c2 + c3 )J 1 J 2 J 4 + c3 J 1 J 2 J 3 ;

I 2 = c2 c3 J1 J 2 + (c1 + c2 )c3 J 1 J 3 + c1c3 J 2 J 3 + (c1c2 + c1c3 + c2 c3 )J 1 J 4 + + (c2 + c3 )J 2 J 4 + c1c2 J 3 J 4 ;

I1 = c1c2 c3 ( J 1 + J 2 + J 3 + J 4 ). При подстановке данных задачи получим следующее расчетное характеристическое уравнения: w 3 − 163333,3w 2 + 6,828w − 6,27 ⋅ 1013 = 0. 5. Определение корней уравнения частот. Решая полученное уравнение, получим следующие значения корней: k1 = 113,093, k 2 = 218,2611, k 3 = 320,788. 6. Составление матрицы коэффициентов распределения. Подставляя первый корень k = 113,093 в систему (3.7), получим систему четырех зависимых уравнений. Так как ранг матрицы этой системы равен трем, то принимая µ11 = 1, можно составить систему трех уравнений, матричный вид которых представляется так: ⎛ − 1,9 ⋅ 10 6 ⎞ ⎛ µ12 ⎞ ⎛ − 6,21 ⋅ 105 ⎞ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎜ 2,76 ⋅ 106 − 1,5 ⋅ 10 6 ⎟ ⎜ µ13 ⎟ = ⎜ 1,9 ⋅ 10 6 ⎟ . ⎟ ⎜ − 1,5 ⋅ 10 6 2,93 ⋅ 10 6 − 2,2 ⋅ 10 6 ⎟ ⎜ µ ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝

Определитель этой системы равен det = −6,27 ⋅ 1018. Решая эту систему методом Крамера, получим µ11 = 1, µ12 = 0.3268, µ13 = −0.66329, µ14 = −1.1095. Аналогично, подставляя корень к = 218,261 в систему (3.7), получим значения коэффициентов распределения: µ 21 = 1, µ 22 = −1,507, µ 23 = −2,289, µ 24 = 0,1516 . Корню k = 329,788 соответствуют коэффициенты распределения: µ 31 = 1, µ 32 = −4,41, µ 33 = 3,871, µ 34 = −1,343 . Подсчитав все элементы, получим следующую матрицу: ⎛1 0,3268 − 0,66329 − 1,1095 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜1 − 1,507 − 2,289 0,1516 ⎟. . ⎜1 − 4,41 − 1,343 ⎟⎠ 3,871 ⎝

112

7. Построение форм колебаний. Для каждой частоты построим график относительных амплитуд. Каждой массе сопоставим амплитуду, значение которой откладывается вдоль оси Oy. На рис. 3. 7 первый график относится к частоте k1 = 113,093, второй – к k 2 = 218,2611, а третий – к k 3 = 320,788. На первом графике имеется один узел, на втором – два узла, а на третьем - три узла.

Рис. 3. 7 Задание для самостоятельной работы. Для колебательно-крутильной системы, схема которой изображена на рис. 3. 8 определить амплитудно-частотные характеристики и построить график форм колебаний системы. J3 J2 J1

c1

c2

c3

Рис. 3. 8 J 1 = 200 êãì 2 , J 2 = 200 êãì 2 , J 3 = 200 êãì 2 ,

Дано:

c1 = 3,2 ⋅ 10 6 H ì / ðàä,

Íì , c 2 = 3,2 ⋅ 10 6 H ì / ðàä, c3 = 3,2 ⋅ 10 6 H ì / ðàä. ðàä

113

3.3 Особенности расчета свободных крутильных колебаний сложных разветвленных систем машинных агрегатов с двигателями внутреннего сгорания 3.3.1. Сложные разветвленные системы установок с двигателями внутреннего сгорания В общем случае расчетная схема крутильных колебаний комбинированного ДВС должна включать как коленчатый вал двигателя, так и его системы, турбонаддувный агрегат, если он имеет механическую связь с коленчатым валом и потребитель энергии. На рис. 3. 9 показана дискретная многомассовая расчетная схема, охватывающая все основные подсистемы четырехтактного комбинированного двигателя.

Рис. 3. 9 Массы с номерами 1…6 заменяют кривошипно-шатунный механизм двигателя, массы 7…10 – привод генератора, массы 11…16 – распределенный вал с проводом клапанов, массы 17, 18 – носок коленчатого вала, массы 19…21 – турбонаддувный агрегат, массы 22…25 – насос высокого давления с регулятором, массы 26, 27 – масляный насос, массы 28, 29 – водяные насосы. В вышерассмотренной разветвленной схеме фактически был затронут один двигатель. Однако в практике существует большое разнообразие разветвленных систем, расположенных после двигателя внутреннего двигателя (при передачи энергии потребителю). Любая разветвленная крутильная система образуется от основной цепи присоединением передаточных механизмов. Как правило, в судовых и транспортных силовых установках передаточные механизмы представляют собой совокупность звеньев, образующих между собой высшие пары (зубчатые редукторы и дифференциалы). В зависимости от постановки задачи динамики и цели исследования поведения механической системы составляются динамические модели. Выделяются два вида идеализации передаточных механизмов [28]:

114

− механизмы с жесткими звеньями и идеальными парами, то есть механические системы, все элементы которых моделируются как абсолютно твердые тела, а связи рассматриваются как удерживающие и голономные; − механизмы с упругими звеньями и неидеальными парами, то есть системы, в которых имеются элементы, представляющие собой деформируемые тела, а связи представляют собой неудерживающие (шарниры с зазорами) и неголономные. В некоторых случаях достаточна первая идеализация. Тогда зубчатые колеса и валы их соединяющие рассматриваются как жесткие звенья. Для зубчатой передачи с одной степенью свободы все ее инерционные элементы сводятся к одной сосредоточенной массе, которую, в зависимости от упругости или жесткости соединительных валов, приводят к цепной или разветвленной крутильной системе. Задача. Для колебательно-крутильной системы с передаточным зубчатым механизмом, звенья которого моделируются как абсолютно твердые тела, составить расчетную схему. Считать, что соединяющие звено с номером i с редуктором и редуктор с исполнительными механизмами, валы также являются жесткими телами. На рис. 3. 10 изображена часть кинематической схемы колебательно-крутильной системы с редуктором и двумя исполнительными механизмами.

1′ = 1′′

i −1

2′

5′

4′

ñi −1

3′

i 2′′ 3′′

6′′

7 ′′

J i −1

4′′

J iïð

5′′

Рис. 3. 10

Рис. 3. 11

Решение. На рис. 3. 10 показаны следующие обозначения: − i − номер звена крутильной системы, с которым через абсолютно твердый вал соединен редуктор (зубчатый передаточный механизм с одной степенью свободы); − 1 = 1′ = 1′′ − номер основного зубчатого колеса редуктора, соединенного со звеном i; − 2′, 3′, 4′ − номера зубчатых колес одной ступени редуктора; − 2′′, 3′′, 4′′, 5′′, 6′′ − номера зубчатых колес второй ступени редуктора; − 5′, 7 ′′ − номера вращающихся масс исполнительных механизмов (выходные звенья). Из-за абсолютной жесткости всех звеньев системы после звена i все их массы можно привести к массе звена i . Тогда момент инерции звена i будет равен моменту инерции самого этого звена J i плюс момент инерции редуктора и вращательных масс двух исполнительных устройств. При выводе приведенного момента инерции также как и ранее используем принцип равенства кинетических энергий. Тогда получим следующую формулу приведенного момент инерции звена i в цепной колебательно— ′ − момент крутильной системе: J i пр = J i + J ред + u ′J 5′ + u ′′J 7′′ , где J ред = J ′ред + J ′ред

115

инерции редуктора, приведенного к валу i − го звена; u ′, u ′′ − передаточные числа ступеней редуктора. В данных обозначениях имеем следующие выражения: k′

J ′ред = ∑ J j u 2 ji − момент инерции приведенного к валу звена i всех вращающихся j =1′

звеньев, отмеченных одним штрихом; k ′′

′ = ∑ J j u 2 ji − момент инерции приведенного к валу звена i всех вращающихся J ′ðåä j =1′′

звеньев, отмеченных двумя штрихами (здесь k ′ = 5′, k ′′ = 7′′ ). 2

Передаточные отношения u ji определяются по формуле: u ji = ∏ u ss −1 ⋅ u1i , s= j

Z s −1 ; Z s − количество зубьев зубчатого колеса s редуктора. Следует отмеZs тить, что передаточные числа u ′, u ′′ определяются по формуле [39, стр. 201]: ω ω Z Z Z Z Z u ′ = 5′ = 1′ 3′ , u ′′ = 7′′ = 1 3′′ 5′′ . ω i Z 2′ Z 4′ ω i Z 2′′ Z 4′′ Z 6′′ Действительно, например, связь между угловыми скоростями ω 7′′ , ω i определяется

где u ss −1 =

при помощи соотношения: ω 7′′ = u 7′′6′′ u 6′′5′′ u 5′′4′′ u 4′′3′′ u 3′′2′′ u 2′′1′′ u1′′iω i . А так как при этом справедливо равенство u 7′′6′′ = u 5′′4′′ = u 3′′2′′ = u1′i = u1′′i = 1 , то, следовательно, верно вышенаписанное выражение. На рис. 3.11 показана часть цепной системы, полученной путем редуцирования крутильной системы с редуктором. Динамические модели механических систем с жесткими звеньями не позволяют учитывать деформационные процессы в их элементах, исследовать их вибрационные движения. Поэтому составляют динамические модели с упругими звеньями. Такие модели были рассмотрены в предыдущем разделе главы 3 для цепных крутильноколебательных систем. Но и для крутильных систем с редукторами, образующими разветвленные крутильно-колебательные системы, также необходимо составлять динамические модели с упругими звеньями. В традиционных методиках расчета разветвленные системы путем редуцирования масс приводят к цепным [11, 12, 15]. То есть все массы выделенной ветви приводятся к массе звена, определяющей эту ветвь. При этом, как правило, массой звеньев передаточного механизма пренебрегают и не учитывают при построении расчетной схемы. В процессе приведения разветвленной системы к цепной крутильной схеме моменты инерции звеньев, расположенных после редуктора, умножают на квадрат передаточного числа этого редуктора, а коэффициенты податливости валов делят на квадрат этого же передаточного числа [12]. То есть редуцированные массы характеризуются только передаточным числом редуктора. Для схемы, изображенной на рис. 3. 10, редуцирование означает определение приведенных моментов инерции масс, расположенных за редуктором и приведенного коэффициента податливости вала, соединяющего звено i c редуцированной массой. На рис. 3.12 изображена схема крутильной системы, в которой редуктор условно представлен в виде трех зубчатых колес, а звенья с номерами i, i + 1 и j, k соответственно определяют вращательные массы основной и разветвленных крутильных систем. Введены обозначения: ci − коэффициент жесткости вала, соединяющего i − звено с редуктором; c j , c k − коэффициенты жесткости валов, соединяющих редуктор с вращающимися массами j , k (моделирующими исполнительные механизмы), соответственно. Передаточные числа редуктора для звеньев j, k равны, соответственно, u ji =

ωj ω , u ki = k , где ω i , ω j , ω k − угловые ωi ωi

116

скорости звеньев с номерами i, j , k . Тогда момент инерции редуцированных звеньев j, k , моделирующих в цепной крутильной системе звено i + 1 , определяется по формуле: J i +1 = J j u ji + J k u ki , где J j , J k − момент инерции вращающих масс j , k звеньев двух колебательных ветвей. 2

2

cj u ji

ci

ci −1

c1

Jj c1

ci −1

ci

Jk u ki J1

Ji

J i −1

J i −1

J1

ck

Рис. 3. 12

Ji

J i +1

Рис. 3. 13

Так как валы с коэффициентами жесткости c j , c k параллельны между собой, то эквивалентная жесткость этих валов определяется суммой их приведенных жесткостей: c ýêâ = c jïð + c kïð . А последовательные валы с жесткостью ci и c экв заменяются валом, 2

u ji u ki

коэффициент податливости которого равен eiïð = ei +

2

. 2 2 u ji c k + u ki c j В результате редуцирования получается цепная система, схема которой изображена на рис. 3.13. Такая динамическая модель определяется i частотами и формами колебаний, приблизительно описывающими свободные крутильные колебания системы с ответвлениями. Но эта модель не дает ответ на развитие крутильных колебаний в самих ветвях с редукторами. Другой способ редуцирования систем с разветвлениями основан на методе Толле [11], сущность которого для цепных систем будет раскрыта в главе 7. Рассмотрим этот подход при редуцировании разветвленных систем. На рис. 3. 14 показана крутильная система, в которой в i − м элементе имеются две ветви с упругими звеньями. Jk

c1

c2

Ui

ck

ci +1

ci

cj J1

J2

Ji Рис. 3. 14

Jj

J i +1

Jn

117

Задаваясь пробной частотой колебаний ω , исследуем развитие крутильных колебаний в точке ветвления для масс с моментами инерции J j , J k . Для определения приведенных масс (с номерами j , k ) массе (с номером i ) задаем кинематическое возбуждение с амплитудой ai и рассматриваем колебания двухмассовых крутильных систем звеньев i − k , i − j . Воспользовавшись полученными выше результатами расчета крутильных колебаний подобных двухмассовых систем, запишем амплитуды колебаний в 1 1 этих двух ветвях: a k = ai , a j = ai . 2 ω Jk ω2J j 1− 1− ck cj Редуцированность масс этих систем следует из равенства инерционных моментов вращательных масс: J k ред ai = J k a k , J j ред ai = J j a j . Тогда имеем, что J k ред = J k

ak = Jk ai

1 1−

ω Jk 2

ck

, J j ред = J j

aj ai

1

= Jj 1−

ω 2J j

.

(3. 15)

cj Следовательно, момент инерции приведенных к звену i масс редуцированной, цепной крутильной системы будет равен J i пр = J i + J k ред + J j ред . В этой методике ко-

эффициенты жесткости валов c k , c j входят в состав момента инерции редуцированной

− − − −

системы. Расчет проводится по заданной пробной частоте ω . Для ответвлений из масс больше одной этот метод редуцирования реализуется для каждой массы начиная с последней при помощи формул типа (3. 15). Другие способы, также основанные на методе Толле, можно найти в книге [11]. Эти способы, с одной стороны, весьма громоздки в вычислительном плане, с другой стороны, очень приближенны при расчете собственных частот и амплитуд разветвленной крутильной системы, и с третьей стороны, не учитывают сложный характер крутильных колебаний в самих ветвях. На практике выяснено, что характерной особенностью развития крутильных колебаний в таких разветвленных системах как системы с несколькими двигателями и передаточными механизмами, муфтами, является снижение низших форм собственных колебаний [26]. Поэтому следует от редуцированной схемы, моделирующей разветвленную систему, перейти к динамической модели самих разветвленных крутильных систем. Далее для них построить расчетную методику определения их амплитудно-частотных характеристик и определить резонансные зоны. На примере крутильно-колебательных систем, применяемых в судостроительной отрасли, рассмотрим методику построения расчетных схем разветвленных систем и способы их математического моделирования. В начале приведем некоторые определения и сокращенные обозначения понятий, которые будут использоваться в дальнейших описаниях технических систем и их динамических моделях. Энергетическая (силовая) установка (ЭУ) – двигатель и вспомогательные механизмы, предназначенные для получения механической энергии за счет природных энергетических ресурсов. Выделяются в особый класс транспортные ЭУ: судовые, автомобильные, тепловозные, авиационные. Морские суда отличаются друг от друга типом ЭУ, видом двигателя и способом передачи энергии к движителю. Судовые ЭУ разделяются на следующие четыре типа [26]: дизельные установки с прямой передачей энергии на гребной вал (ГВ); дизель-редукторные установки (ДРУ); установки с электродвижителем: установки с турбозубчатым агрегатом.

118

Двигатель – машина, преобразующая энергию в механическую работу. Выделяется класс тепловых двигателей (ДВС), внутри которых за счет сжигания топлива производится работа. В технике нашли широкое применение поршневые, комбинированные, газотурбинные ДВС. В этом учебном пособие рассматриваются поршневые ДВС. На современных судах используется несколько двигателей, из них выделяют главный двигатель (ГД). Дизельная установка (ДУ) – двигатель внутреннего сгорания с воспламенением от сжатия поршнем высокотемпературной топливной смеси в цилиндре. Частота вращения вала ДУ от 90 до 3000 оборотов в минуту. Существуют ДУ с n ≈ 6000 îá / ìèí . Различаются следующие типы дизельных установок: малооборотные двигатели (МОД) – двигатели с n = 90 − 150 îá / ìèí ; − среднеоборотные двигатели (СОД) – двигатели с n = 400 − 900 îá / ìèí ; − высокооборотные двигатели (ВОД) - двигатели с n = 1000 − 3000 îá / ìèí и более. − Движитель – устройство для преобразования работы двигателя в движение транспортного средства. На судах роль движителя выполняют гребные винты (ГВ). Различаются гребной винт регулируемого шага (ВРШ) и фиксируемого шага (ВФШ). Судовой валопровод (СВ) – совокупность устройств, соединяющих двигатель с движителем, то есть все валы и связанные с ними сосредоточенные и распределенные массы от носового конца двигателя до основного приемника мощности, все вспомогательные устройства как потребителей энергии с их валами и элементами привода и передаточные механизмы. Так, валопровод судов включает в себя следующие основные элементы: валы - упорный, промежуточный и гребной, опорные подшипники, валоповоротные и тормозящие устройства, муфты, редукторы. Пропульсивная установка – часть судовой энергетической установки, энергия которой приводит к действию движители. В состав пропульсивной установки входят генераторы, двигатели (дизели, турбины), передаточные механизмы (редукторы), валопровод, движители (гребные винты), системы дистанционного управления. Редукторы – в основном зубчатая передача, предназначаемая для снижения частот вращения вала. Реверс – механизм, предназначаемый для изменения направления движения элементов машины. Валогенератор (ВГ) – генератор (производитель электрической энергии), соединенный с валом главного двигателя. Дедвейт – полная грузоподъемность судна. Дедвейт равен разности между водоизмещением и собственной массой судна со всеми механизмами. Муфта – устройство для соединения валов. Муфты приводов передают вращение и вращательный момент с одного вала на другой. На судах с СОД используются многомашинные ЭУ, то есть на гребной винт через редукторы работает несколько дизельных установок. Для возможностей маневрирования работы этих ДУ на вспомогательные механизмы через передачу отбора мощности (ПОМ) применяются разобщительносоединительные муфты (РСМ), а для защиты редукторной передачи от ударных нагрузок при включении и выключении двигателя – упругая муфта (УМ). В маломощных ЭУ применяются электромагнитные и гидравлические муфты, которые благодаря большой податливости при кручении разделяют всю колебательно-крутильную систему на отдельные части, отделяя ДВС и исключая взаимное влияние каждой части на развитие крутильных колебаний в отдельных ветвях. При использовании РСМ появляется возможность рассмотрения каждой ветви как самостоятельной колебательнокрутильной системы и предотвращения в ней развития резонансных колебаний независимо от другой ветви. Рассмотрим типичные, наиболее часто применяемые разветвленные системы дизельредукторных установок (ДРУ) [40]. В состав энергетических установок (ЭУ) боль-

119

шинства современных крупных и малых судов различного назначения входят дизельные или дизель-редукторные установки, состоящие из главного двигателя (ГД) дизеля, судового валопровода (СП) и гребного винта (ГВ). Высокая экономичность современных дизелей стала причиной резкого сокращения применения в качестве ГД паровых и газовых турбин, которые используются главным образом на кораблях и высокоскоростных пассажирских судах на подводных крыльях и воздушной подушке. Дизель – электрические установки, в которых главными двигателями являются гребные электродвигатели (ГЭД), еще не находят достаточно широкого применения. В дизель-редукторных установках имеются широкие возможности отбора мощности от редуктора на другие нужды, в первую очередь, для привода электрогенераторов, что позволяет в ряде случаев существенно повысить эффективность и экономичность работы ЭУ. На трех нижеприведенных рисунках показаны схемы ДРУ с отбором мощности: от ведомой шестеренки (только на ходу судна) − рис. 3. 15; от ведущей шестерни (как на ходу, так и на стоянке) − рис. 3. 16, 3. 17. На этих схемах введены следующие обозначения: 1 – редуктор; 2 – упругая соединительно-разобщительная муфта; 3 – ГД; 4 – эластичная муфта; 5 – валогенератор (ВГ); 6 – разобщительная муфта; 7 – грузовой насос; 8 – зубчатая разобщительная муфта; 9 – валоповоротный механизм.

Рис. 3. 15

Рис. 3. 16

Отбор мощности можно осуществлять не только на ходу судна, но и на стоянке. В последнем случае, в состав валопровода включают разобщенную муфту, отключающую его от редуктора. Схема подобной ДРУ крупнотоннажного танкера “Океанус” показана на рис.3. 17.

Рис. 3. 17

Рис. 3. 18

При отключении валопровода зубчатой разобщенной муфтой 8 привод валогенератора 5 (ВГ) и привод грузовых насосов 7 на стоянке может быть осуществлен от любого главного двигателя. Особенно часто отбор мощности на валогенератор используется с ДРУ с винтом регулируемого шага (ВРШ) при работе ГД по характеристике n = const.

120

На рис. 3. 18 показана схема ДРУ, применяемая на легких быстроходных судах. Здесь обозначено: 1- ГД; 2 – эластичная муфта; 3 – редуктор-разделитель мощности; 4 – встроенные упорные подшипники. С целью повышения экономичности ЭУ разработаны новые и усовершенствованы ранее известные схемы ДРУ. На рис. 3. 19 – 3. 25 представлены типичные и наиболее применяемые на современных судах кинематические схемы с одномашинным приводом гребного винта. На этих схемах введены обозначения: 1 – гребной винт регулируемого шага (ВРШ); 2 – редукторная передача (РП); 3 – соединительно-разобщительная муфта (СРМ) ГД; 4 – упругая муфта (УМ); 5 - главный двигатель (ГД); 6 – главная зубчатая передача; 7 – упорный подшипник; 8 – валогенератор (ВГ); 9 – муфта привода ВГ; 10 – зубчатая пара привода ВГ; 11 – гребной винт фиксированного шага (ВФШ); 12 – промежуточный вал; 13 – обратимый ВГ-ГЭД; 14 – зубчатая пара привода ГВ от обратимого ВГ в режимах гребного электродвигателя (ГЭД); 15 – соединительноразобщительная муфта от обратимого ВГ в режиме ГЭД. Для ДРУ многих типов судов основной является схема среднеоборотных дизелей (СОД) с одноступенчатой цилиндрической РП (рис 3. 19, а) вертикального или горизонтального исполнения. РП может иметь встроенную соединительноразобщительную (чаще всего многодисковую фрикционную) муфту с дистанционным управлением (гидравлическую или пневматическую). 5

à 15

á

JM

3

JÂÌ M 1 JP

J äâ

2 J ÃÂ

Рис. 3. 19 Наличие встроенной малогабаритной соединительно-разобщительной муфты обеспечивает возможность работы ГД при остановленном валопроводе, поэтому возможен отбор мощности на вспомогательные нужды на стоянке судна при неработающем ГВ. При построении колебательно-крутильной системы ДРУ, изображенной на рис. 3.19, а, необходимо учитывать наличие как сосредоточенных вращающихся масс двигателя, редуктора, элементов валопровода с гребным винтом и вспомогательных потребителей энергии, так и соединительно-разобщительной муфты, отделяющей одни ветви системы от других. На рис. 3. 19, б изображена разветвленная колебательно-крутильная система ДРУ с СМР в РП. На схеме показана основная цепь, в состав которой входят моторные массы двигателя (условно изображены в виде двух вращательных элементов) с общим моментом инерции вращательных масс двигателя J дв , вращательная масса муфты с моментом инерции J м , вращательные массы редуктора и валопровода с моментами инерции равными соответственно J р , J ГВ . Точка M на схеме условно показывает место ветвления. Так, для ДРУ, изображенной на рис. 3. 19, а, крутильноколебательной ветвью является участок системы от муфты до вращательных масс потребителя мощности ГД, общий момент инерции которых на схеме показан символом

121

J ВМ . На рис. 3. 20, а показана схема стандартной ДРУ с отбором мощности (ОМ) – “power take off”. Промежуточный вал ОМ для привода ВГ также может иметь соединительно-разобщительную муфту (многодисковую с дистанционным управлением или обычную механическую с ручным управлением). Часто для упрощения конструкции редукторной передачи муфту отбора мощности не применяют, а валогенератор отключают по току. Такая схема ДРУ позволяет приводить от главного двигателя одновременно ГВ и ВГ или только ГВ (с полной загрузкой дизеля), или только валогенератор. 9

a

á

5

J M1 M2

4

8

10

JM2

J ÂÃ

M1

1 JP

J äâ

2 J ÃÂ

Рис. 3. 20

На рис. 3. 20, б изображена колебательно-крутильная схема ДРУ с ОМ для привода ВГ. На ней показаны ветвления от точек M 1 , M 2 соответствующих соединительноразобщительных муфт. На схеме введены такие же как обозначения моментов, как и на рис. 3. 19, б. При включении муфты функционирует соответствующая ветвь системы и там из-за упругости ее элементов и появления не равных скручивающих моментов развиваются крутильные колебания. Так, если муфта M 1 отсоединяет валопровод от ГД, то он работает на другие потребители энергии, например, дает энергию вспомогательным механизмам данного судна. В состав этой ветви могут входить другие редукторы, вращательные массы которых следует учитывать при составлении крутильной системы. á

a

J M1 J ÃÂ

J ÄÂ

M1

5

11

M2 J P2

J M 2 J P1

Рис. 3.21 При выключении муфты M 2 и включении муфты M 1 образуется ветвь, в состав которой войдут массы двигателя муфты M 1 , редуктора и валопровода с гребным валом. То есть при работе одной муфты ветви представляют собой цепные колебательнокрутильные системы. При одновременном включении обеих муфт образуется разветв-

122

ленная система, в каждой ветви которой будут развиваться крутильные колебания, оказывающие друг на друга определенное влияние. В ДРУ с ВФШ используются или реверсивные ГД, или реверсивные РП различных конструктивных исполнений, одна из схем которых изображена на рис. 3. 21, а. Дистанционным включением соответствующей разобщительной муфты обеспечивается правое или левое вращение ВФШ. На рис. 3. 21, б показана схема, в которой при помощи СРМ M 1 , M 2 , представлены две крутильно-колебательные системы, работающие каждая отдельно от другой. Так, при включении муфты M 1 совершается правое вращение валопровода с ГВ, и там развиваются крутильные колебания. На судах с переменным ходом, с большими потребностями в электроэнергии и с высокими требованиями к уровню вибрации (паромы, траулеры, круизные и исследовательские суда) применяются ДРУ с РП, которые обеспечивают две части вращения ГВ при постоянной частоте вращения главного двигателя. На рис. 3. 22, а изображена схема ДРУ с двухскоростной редукторной передачей. J3 J2 J1 a 13 J á 12 4 3

14

2 4

15 5

1

M1

5

J5 J6

1 Рис. 3. 22

РП имеет две вспомогательные зубчатые пары ЗП1 и ЗП2. Передаточное число ЗП1 выбирается из условия работы ВГ, а передаточное число ЗП2 – из условия 1 требуемого дополнительного снижения частоты вращения гребного вала. Использование двухскоростной РП позволяет повысить пропульсивные качества ГВ, снизить его шум и расход топлива, повысить загрузку ГД на всех режимах работы. Крутильно-колебательная схема этой ДРУ изображена на рис. 3. 22, б. На этой схеме под J 1 , J 2 , J 3 понимаются моменты инерции соответственно вращательных масс ГД, соответствующей зубчатой передачи и муфты, которая и здесь обеспечивает ветвление системы. Момент инерции J 4 − инерционная характеристика вращательных масс валогенератора, а J 5 , J 6 − другой зубчатой передачи и масс валопровода с гребным винтом. С целью повышения эффективности ДРУ в последние годы широко применяется вспомогательный привод ГВ от обратимого ВГ (“auxiliary propulsion drive”) – APD. Использование специальных тиристорных преобразователей частоты тока позволило применять в составе ЭУ обратимые ВГ, которые могут работать в режиме гребного электродвигателя (ГЭД) при питании от других источников тока. При таком принципе работы – использование валогенератора – гребного электродвигателя (ВГ –ГЭД) в режиме подвода мощности к РП – “power take in” – РТI наряду с режимом ОМ позволяет получить такие же преимущества, что и в комбинированной дизель-электрической установке по схеме CODOE. Такой режим может применяться при неисправности ГД, как аварийный метод резервирования (зубчатая муфта разобщает РП и ГД, дисковая муфта включена, и ВГ в режиме ГЭД приводит ГВ). При экстремальных обстоятельствах, ко-

123

гда требуется увеличить пропульсивную мощность, используется ВГ-ГЭД, получающий энергию от вспомогательного дизель-генератора (ДГ). На рис 3. 23, а изображена схема ДРУ с двухскоростной редукторной передачей с ВГ-ГЭД. Высокоэкономичная и гибкая ДРУ с двухскоростной РП и с ВГ-ГЭД установлена на контейнеровозе “БеллПайэниэр” (дедвейт 5100 тонн). 9 5 â á J ÂÃ J M 3 J J P2 a J äâ J äâ P1 J M1

8

J ÂÃ

1

2

J P3

JM 2

J ÃÂ

J P2

J ÃÂ

J P2

Рис.3.23 В состав ДРУ этого судна входит СОД фирмы “Вяртсиля” марки 8R32 (3280 кВт при 750 мин-1), двухскоростная РП EVC750-2P1530 и ВРШ типа PR90/4 диаметром 3,8 м. На РП навешен ВГ-ГЭД мощностью 750 кВт при 1500 мин-1. Муфты М1 и М2 имеют обратимое гидравлическое управление, муфта М3 – ручное. ДРУ работает в четырех режимах (1 уз равен 1,852 км/час – скорость судна в морской навигации). 1. Нормальный ход в море (муфта М2 отключена) при скорости 14, 5 уз обеспечивается нагрузкой 85% номинальной с отбором мощности на ВГ и с частотой вращения ГВ 155 мин-1. Суточный расход топлива − 14, 5 т. 2. Экономический ход (муфта М1 отключена) при 12 уз отбором мощности на ВГ и с частотой вращения ГВ 110 мин-1. Суточный расход топлива − 6,5 т. 3. Максимальный ход (муфты М2 и М3 отключены) при скорости 16, 5 уз с полной загрузкой дизеля, частотой вращения ГВ 155 мин-1 и отключенным ВГ. Суточный расход топлива − 16 т. 4. Малый ход (муфты М1 и М3 отключены) при скоростях до 8 уз с приводом ГВ при частоте его вращения 110 мин от обратимого ВГ, работающего в режиме ГЭД и питающегося от трех вспомогательных ДГ мощностью по 250 кВт. Суточный расход топлива – до 3,5 т. Экономия топлива при эксплуатации такой установки составляет 15-20 % по сравнению с ДРУ обычного типа. Для нормального хода судна с такой ДРУ колебательнокрутильная схема имеет вид, изображенный на рис. 3. 23, б, а для экономического хода – на рис. 3.23, в. Как видно их этих рисунков, обе крутильные схемы относятся к разветвленному типу колебательных систем. Задание для самостоятельной работы. Составить колебательно-крутильные схемы для ДРУ, изображенной на рис. 3. 23, a, для малого и максимального ходов судна.

Фирма “Альфа Дизель” (группа МАН) разработала ДРУ (рис. 3.24, а), примененную на грузовом судне “Лаура Косан” и работающую в трех основных режимах: нормальном, портовом и вспомогательном (резервном) привода гребного винта. В нормальном режиме при обеих включенных муфтах обеспечивается ход судна и работа ВГ; в портовом – муфта М1 включена, муфта М2 отключена − ГВ не работает, ВГ питает судовые электропотребители; в режиме вспомогательного хода муфта М1 разобщена, привод ГВ осуществляется от обратимого ВГ, работающего в режиме ГЭД при использо-

124

вании вспомогательного дизель-генератора (ДГ). При этом ГД находится в резервном режиме или остановлен. На рис. 3. 24, б изображена крутильно-колебательная схема этой ДРУ. При одновременном включении двух СРМ образуется разветвленная колебательно-крутильная система, в которой будут развиваться крутильные колебания.

J ÂÃ

15

a

3

á J P2 J P1

1 5

J ÃÂ

JM 2

J M 1 J äâ

Рис. 3. 24 Особенно эффективна ДРУ с обратимым ВГ для двухвинтовых судов. В этом случае режим работы в порту, а также малый и средний ходовые режимы могут осуществляться при работе только одного ГД, в то время как второй ГД может быть остановлен (на ходовых режимах второй ГВ приводится через РП от обратимого ВГ в режиме ГЭД с запиткой его от ВГ первого ГД). В конструкцию РП также может встраиваться пусковой электродвигатель (“пони-мотор”), необходимый для повышения частоты вращения обратимого ВГ в режиме ГЭД. Такая система, получившая название “Get-You-HomePower” (GYHP), позволяет существенно повысить экономичность ЭУ. Одним из путей повышения экономичности судна за счет увеличения его полезного объема может быть оптимизация компоновки ЭУ и уменьшение габаритов машинного отделения (МО). Специалисты фирмы “Ренк-Такке” и Дельфтского технологического университета разработали ДРУ, названную “Neat Fit Propulsion”, в которой ГД размещается как можно дальше в корму и несколько выше, чем обычно [41]. Одноступенчатая РП, упругая муфта и упорный подшипник монтируются с носового конца ГД, а промежуточный вал – под ГД (см. рис. 3.18). Вся ДРУ размещается на общем фундаменте.

Рис. 3. 25 Так как мощность СОД не велика, то на судах стали применять многомашинные ЭУ, в которых на ГВ через РП работает несколько главных двигателей. На многих типах одновальных судов используется привод ГВ от двух ГД, на двухвальных судах – от четырех ГД с помощью суммирующих РП с двумя входными и одним выходным валом (во многих случаях редуктор имеет также вал ОМ для привода ВГ). Компоновка двигателей должна давать возможность маневрировать энергией на само перемещение судна

125

и на вспомогательные нужды. Такие требования предполагают использование в ДРУ соединительно-разобщительных муфт, которые были показаны на предыдущих схемах. Двухмашинный привод одного ГВ может выполняться как по схеме “отец и отец” (одинаковые ГД), так и по схеме “отец и сын” (ГД разной мощности). J ÂÃ

a á

M1

JM1

J äâ1

M2 J ÃÂ J P

J äâ 2

JM 2

Рис. 3. 26

На рис. 3. 26 – 3. 27 показаны кинематические схемы ДРУ с приводом ГВ от двух одинаковых ГД (схема “отец и отец”). Так на рис. 3. 26 изображена дизель-редукторная установка парома “Суперфакс” с одновременной работой каждого ГД на ГВ и ВГ, а на рис. 3. 27 – ДРУ с возможностью разделенной работы каждого ГД на ВГ. На этой схеме показаны: 1 - выносная двухкорпусная муфта; 2 - комбинированная эластичная соединительно-разобщенная муфта. J ÂÃ 1 J P1 a á M 1′ J äâ1 M1 M2 J ÃÂ

J P3

JM1 JM 2

M 2′ J P2

J äâ 2

J ÂÃ 2 Рис. 3. 27 На рис. 3. 26, а показана схема ДРУ судна (одна линия вала) с приводом каждого ВРШ фирмы “КаМеВа” (диаметр винта 4,9 м) от двух СОД фирмы “Зульцер” марки 12ZA40 через суммирующую РП с навешенным ВГ мощностью 1120 кВт. Каждый ГВ в отдельности может приводить ГВ и ВГ (на валу ВГ может быть установлена соединительно-разобщительная муфта для отключения ВГ). На рис. 3. 27 приведена схема ДРУ, в которой ГД может при необходимости работать только на ВГ. На судах некоторых типов (танкеры, многоцелевые суда снабжения,

126

рыболовные суда и др.) в ЭУ по схеме “отец и отец” часто один из каждой пары ГД или оба ГД привода одного ГВ обеспечивают с носового конца привод ВГ или других потребителей (грузовых насосов). Использование обратимых ВГ в режиме ГЭД в таких установках позволяет получить значительную экономию топлива, комбинируя на разных режимах количество работающих ГД. Одну из интересных схем одновальной двухмашинной ДРУ имеет установка крупной крабо-рыбоконсервной плавбазы “Содружество”, построенной в 1988 г. в Финляндии. Кинематические схемы с приводом ГВ от двух ГД разных типов по схеме “отец сын” показаны для ДРУ круизного судна “Кроун Одиссей” с двухскоростной редукторной передачей и главными двигателями разных моделей на рис. 3. 28, а для ДРУ лайнера “Ориана” с однотипными главными двигателями на рис. 3. 29.

9

1 8 7

6

5

4

2 3

Рис. 3. 28

Рис. 3. 29

На рис. 3. 29 показаны кинематические схемы с приводом ГВ от двух ГД разных типов по схеме “отец и сын”: а – ДРУ круизного судна “Кроун Одиссей” с двухскоростной РП и ГД разных моделей; б – ДРУ лайнера “Ориана” с однотипными ГД. Введены обозначения: 1 – ГД “отец”; 2 – зубчатая передача второй скорости ГВ; 3 – соединительно-разобщительная муфта привода второй скорости ГВ; 4 – соединительноразобщительная муфта привода ГВ от ГД “сына”; 5 – ГД “сын”; 6 – упругая соединительно-разобщительная муфта; 7 – ВГ; 8 – зубчатая передача первой скорости ГВ; 9 – главная зубчатая передача. Четырехмашинные ДРУ с двумя СОД на каждый ГВ применены, в частности, на крупнейшем в мире круизном судне люкс “Соверен оф зе сиз”, начавшем эксплуатироваться с 1988 г. (длина 268 и ширина 32,2 м, дедвейт 5000 т, валовая вместимость 74000 рег. т, 2282 пассажира, скорость 21,2 уз, количество и мощность ГД 4x 5115 кВт), на круизном судне “Роял викинг сан” (4x5280 кВт), крупнейшем в мире железнодорожном пароме “Рэйлшип Ш”(4x8145 кВт), а также на одном из самых скоростных паромов типа “Суперфакс”, построенном в 1995 г. (дедвейт 5420 т, вместимость 23000 рег. т, 1400 пассажиров, скорость 27 уз, количество и мощность ГД 4x7920 кВт). Привод ГВ и двух ВГ мощностью по 2400 кВт осуществляется от двух СОД фирмы “Вяртсиля” марки 8R22 по 3240 кВт при 750 мин-1 через двухскоростную суммирующую РП (см. рис. 3. 28). Конструкция РП позволяет использовать ГД в разных режимах работы. С середины 80-х годов резко возросла популярность ДРУ по схеме “отец и сын” [41]. За последние годы было введено в эксплуатацию более 50 судов дедвейтом свыше 2000 т различного назначения с ДРУ по такой схеме – паромы, круизные суда, многоцелевые суда снабжения, газовозы, контейнеровозы, накатные суда, танкеры, НИС, ры-

127

боловные суда. Привод ГВ в таких установках может осуществляться как однотипными ГД, но с разным числом цилиндров, так и ГД разных моделей при разных частотах вращения. Примером ДРУ с ГД различных типов является ЭУ двухвального круизного судна люкс “Кроун Одиссей”. Привод каждого ГВ обеспечивается парой ГД-СОД фирмы “Крупп МаК” - марки 6М601, мощностью 8000 кВт при 400 мин (“отец”) и марки 8М35, мощностью 2650 кВт при 720 мин-1 (“сын”). Особенностью суммирующей РП фирмы “Ренк Такхе” этой ДРУ (рис. 3.29) заключается в наличии двух ступеней (так как ГД имеют разную частоту вращения) экономичного двухскоростного привода (две пары зубчатых колес) от ГД меньшей мощности. При работе только одного “отца” ГВ вращается с частотой 130 мин-1, и нормальная круизная скорость судна составляет 18 уз (“сыновья” отключены). При работе всех ГД обеспечивается максимальная скорость 22,5 уз. На малых ходах (малая круизная скорость в прибрежных водах − 13 уз) работают только “сыновья” на каждом валопроводе, при этом обеспечивается экономия топлива на 20% по сравнению с обычным ДРУ, так как “сыновья” работают при оптимальной загрузке, когда ГВ вращается с меньшей мощностью при большом шаге. ГД имеет меньший износ, улучшаются условия для их обслуживания, ГД – “сыновья” соединены также с ВГ и могут работать как на ГВ, так и в режиме ДГ. Представляет также интерес необычная схема ДРУ новейшего круизного лайнера “Ориана” (Рис.3. 30), введенного в эксплуатацию в 1995 г. Каждый ГВ приводится парой ГД-СОД фирмы МАН марки 9L58/64 мощностью 11925 кВт при 428 мин (“отец”) и СОД марки 6L58/64 мощностью 7950 кВт при 428 мин-1 (“сын”).

5 10

1

Рис. 3. 30

Рис. 3. 31

ДРУ по этой схеме функционирует как “отец и сын плюс вспомогательный электропривод” и сочетает в себе все особенности двухскоростной РП с обратимым ВГ. РП фирмы “Ренк Такхе” обеспечивает привод ВГ мощностью 4200 кВт при работе от “сына” независимо от работы ГВ, при этом ВГ может использоваться в режиме вспомогательного ГЭД для привода ГВ. Мощность ВГ в режиме ГЭД − 4000 кВт (суммарная мощность, подводимая от ГД на каждый ГВ 23875 кВт). На рис. 3. 30 изображена кинематическая схема ДРУ лайнера “Ориана”. Данная ДРУ обеспечивает 11 режимов работы ЭУ. Несмотря на усложнение состава ДРУ (РП имеет 7 зубчатых колес, 19 подшипников, 4 гидромуфты сцепления, 5 валов) и значительную суммарную массу, ДРУ каждого вала судна «Ориана” обеспечивает высокую экономичность энергетических установок на всех режимах работы и полностью окупает капитальные затраты. Дизельредукторные установки по схеме “отец и сын” вызвали новое повышение интереса к

128

СОД после некоторого спада их сбыта на рынке дизелей после создания МОД с малыми диаметрами цилиндров и прямой передачей на гребной винт. Значительная экономическая эффективность ЭУ двухвинтовых судов может быть обеспечена применением ДРУ по системе “TNT”, в которой РП одно- или двухмашинных приводов ГВ соединены поперечным валом с коническими зубчатыми колесами, что позволяет рационально использовать ГД на частичных нагрузках и при маневрировании. В установке с двумя ГД они работают через такой “композитный” редуктор с двумя ВРШ и (или) на один или два ВГ, при этом привод ГВ и ВГ может обеспечиваться каким-либо одним ГД. Система “TNT” может включать РП с одной или двумя скоростями. Принципиальная схема двухвинтовой установки с двумя ГД по системе “TNT”, альтернативная обычной двухвинтовой ДРУ с четырьмя ГД, показана на рис. 3. 31. Оба ГД могут работать каждый на ГВ и ВГ “своего” или противоположного борта. Задание для самостоятельной работы. Для дизель-редукторных установок, кинематические схемы которых изображены на рис. 3. 28 – 3. 30, составить динамические модели в виде разветвленных колебательно-крутильных систем.

3.3.2. Приведение сложной действительной системы к эквивалентной разветвленной схеме Как уже было отмечено, в состав крутильной системы кроме двигателя входят различного назначения агрегаты, связанные через передачи. Да и в самом ДВС привод ГРМ, насосов высокого давления и др. осуществляются через механические передачи. Такие трансмиссионные системы характеризуются ответвлениями в виде совокупности зубчатых шестеренок, насаженных на упругие валы. Тогда приведенные системы будут содержать ветви, по структуре схожие с основной цепной системой. Методика приведения действительной системы (двигателя) к цепной эквивалентной системе была описана в главе 2. Рассмотрим методику составления эквивалентной разветвленной системы и определения основных ее характеристик.

3.3.2.1. Простейшая разветвленная система, содержащая две ветви, каждая из которых содержит по одной массе На рис. 3. 32 приведена кинематическая схема трансмиссионной системы, состоящей из трех зацепленных вращательных элементов. Первый вращательный элемент представляет собой две зубчатые шестеренки a, b с общим упругим валом Ι . Второй и третий элементы соединяются через шестеренки c, d с шестеренкой b. Данная система характеризуется моментами инерции шестеренок J a , J b , J c , J d , J e , J f и коэффициентами жесткостей cΙ , cΙΙ , cΙΙΙ соответствующих валов системы. Эту систему можно свести к динамически эквивалентной крутильной схеме. За основу такой приведенной модели рационально выбрать крутильную систему, содержащую три упругих вала. А так как оси этих валов не лежат на одной прямой, то такая система приводится к разветвленной колебательной системе, схема которой изображена на рис. 3. 33. В этой схеме массы колес c, b, d приводятся к одной массе 2 с приведенным моментом. Ставится задача определить моменты инерции масс и коэффициенты жесткостей валов приведенной системы. Следует обратить внимание на условность изображения схемы этой крутильной системы (рис. 3. 33).

129

3

II l

c

a

II

b

I

I III

A

f III

d

Рис. 3. 32

2

1

4

Рис . 3. 33

Ветви с валами ΙΙ , ΙΙΙ показаны как выходящие из центральной точки A . На самом деле эти оси и в эквивалентной схеме параллельны друг другу. Такое изображение удобно с точки зрения выделения ветвей и указания приведенных масс и упругих валов. Инерционные и упругие характеристики приведенной системы определяют из заданных характеристик действительной системы, кинематическая схема которой изображена на рис. 3. 33, на основе равенства кинетической и потенциальной энергий рассматриваемых систем.

Определение моментов инерции динамической модели ККС Согласно структуре двух систем их угловые скорости равны друг другу, то есть 1 1 ω Ι ä = ω Ι ïð . Тогда из равенства их кинетических энергий J a ω Ι 2 = J 1ω Ι ïð 2 следует ра2 2 венство, определяющее момент инерции первой массы приведенной системы, то есть J1 = J a . Шестеренки c, b, d действительной системы, расположенные в одном блоке и находящиеся в зубчатом зацеплении, приводятся к массе 2 приведенной системы. Тогда из принципа равенства кинетической энергии элементов c , b , d действительной систе1 1 1 1 2 2 2 2 J d ω ΙΙΙ д + J bω Ι д + J cω ΙΙ д = J 2ω Ι пр . мы и приведенной системы 2 получим 2 2 2 2 Обозначим передаточные числа механизма:

ω ΙΙ д ω ΙΙΙ д = i, = j. ωΙ д ωΙ д

Тогда момент инерции приведенной массы определится по следующей формуле: J 2 = J b + J ci 2 + J d j 2 . Аналогично определяются моменты инерции J 3 , J 4 приведенной системы. Действительно, из равенства кинетических энергий: 1 1 1 1 2 2 2 2 J eω ΙΙ д = J 3ω ΙΙ пр , J f ω ΙΙΙ д = J 4ω ΙΙΙ пр 2 2 2 2 2 2 получим моменты инерции J 3 = J e i , J 4 = J f j . Здесь учитывается структура приведенной системы, в которой все массы вращаются с одинаковой скоростью, то есть ω Ι пр = ω ΙΙ пр = ω ΙΙΙ пр = ω Ι д = ω Ι .

130

Определение податливостей валов динамической модели ККС Здесь выполняется требование структурной организации приведенной системы: угповоротов валов приведенной системы равны между собой, то есть ϕ Ι пр = ϕ ΙΙ пр = ϕ ΙΙΙ пр = ϕ Ι д . Тогда из равенства потенциальных энергий упругих валов

лы

действительной и приведенной систем можно вывести выражение коэффициентов жесткости (или податливостей) валов эквивалентной системы. Действительно, для первых 1 1 2 2 валов рассматриваемых систем получим cΙ д ∆ ϕ Ι д = cΙ пр ∆ ϕ Ι пр . Отсюда выводятся 2 2 1 1 2 2 равенства cΙ д = cΙ пр = c1 . Для вторых валов имеем cΙΙ д ∆ ϕ ΙΙ д = cΙΙ пр ∆ ϕ ΙΙ пр . Отсюда 2 2 получим cΙΙ пр = c2 = cΙΙ д i 2 (так как

∆ ϕ ΙΙ д ∆ ϕ ΙΙ д = = i ). Для третьих валов имеем ∆ ϕ ΙΙ пр ∆ ϕ Ι д

1 1 2 2 cΙΙΙ д ∆ ϕ ΙΙΙ д = cΙΙΙ пр ∆ ϕ ΙΙΙ пр . Отсюда получим cΙΙΙ пр = c3 = cΙΙΙ д j 2 . 2 2

3.3.2.2. Двухразветвленная крутильно-колебательная система с несколькими массами Рассмотрим систему, в состав которой входят две ветви, каждая из которых содержит несколько приведенных масс. На рис. 3. 34 изображена схема, в которой две ветви имеют зубчатые зацепления с основным вращательным элементом с моментом J 2 . III

J 5′

J 6′

J 4′

J 3′

II J 8′

I

J1′

V

J10′ J 9′

IV

J 7′

J 2′

VI

J12′

VII

J11′

J13′

VIII

IX

J15′

J14′

Рис. 3. 34 Данную систему можно привести к такой эквивалентной крутильной схеме, какая изображена на рис. 3. 35. Здесь приведены обозначения: J i′ − момент инерции шестеренки с номером i, где i = 1, 2, ..., 15; cij′ − коэффициенты жесткости вала, соединяюще-

131

го шестеренки с номерами i, j действительной системы. Для схемы, изображенной на ′ − коэффициент жесткости вала Ι; c34 ′ − коэффициент жесткорис. 3. 35 параметр c12 ′ − коэффициент жесткости вала ΙΙΙ; c78 ′ - коэффициент жесткости вала сти вала ΙΙ; c56 ′ 15 − ΙV ; …, c14

коэффициент жесткости участка вала между массами 14 и 15. U4 J4

J3

III U5

IV

U3

II I U2

U1

V

J5 U6

U7 VI

J1

J6

J2

J7

Рис. 3. 35 Для приведенной системы вводятся следующие обозначения: J i , (i = 1, 2,..., 7 ) − моменты инерции приведенных масс; c12 = c1 , c23 = c2 , c34 = c3 , c35 = c4 , c26 = c5 , c67 = c6 − коэффициенты жесткостей валов приведенной системы. На схеме, изображенной на рис.3. 35, массы с номерами 10, 11, 12 приведены к одному валу с приведенным коэффициентов жесткости c5 , а массы с номерами 13, 14, 15 – к другому валу c c6 . Кинематической особенностью эквивалентной системы является равенство друг другу угловых скоростей вращения всех ее масс. Моменты инерции J i эквивалентных систем определяются относительно структурной схемы (см. рис. 3. 35) из принципа равенства кинетических энергий рассматриваемых частей действительной и приведенных систем. Имеем следующие формулы определения моментов инерции: 2 2 2 2 2 J 1 = J 1′ , J 2 = J 2′ + J 3′iΙ ,ΙΙ + J 9′ iΙ ,V , J 3 = J 4′ iΙ ,ΙΙ + J 5′ iΙ ,ΙΙΙ + J 7′ iΙ ,ΙV , 2 2 2 2 2 J 4 = J 6′ iΙ ,ΙΙΙ , J 5 = J 8′iΙ ,ΙV , J 6 = ( J 10′ + J 11′ + J 12′ )iΙ ,V + J 13′ iΙ ,ΙV , J 7 = ( J 14′ + J 15′ )iΙ ,VΙ . Коэффициенты жесткости валов приведенной системы (см. рис. 3. 35) равны: 2 2 2 2 2 c1 = c1′, 2 , c2 = c3′, 4iΙ ,ΙΙ , c3 = c5′ ,6 iΙ ,ΙΙ iΙΙ ,ΙΙΙ = c5′ ,6iΙ ,ΙΙΙ , c4 = c7′ ,8iΙ ,ΙV .

Для определения коэффициента жесткости c5 воспользуемся следующими соображениями. Блок колес с осями V , VI , VII (см. рис. 3. 36) можно привести к упрощенной схеме с одной приведенной массой, момент которой обозначим J ′′ , и одним валом, с жесткостью cV . Тогда податливость эквивалентного вала V ′′ определяется как сумма податливостей валов V , VI , VII , то есть, eV ′′ = eV + eVI + eVII . Следовательно, коэффици1 1 1 1 = + + . Тогда приведенент жесткости эквивалентного вала будет равен cV ′′ cV cVI cVII

ная жесткость эквивалентной системы (рис.3.37) будет равна iI ,V =

ω10 − передаточное число от 1 к 10 шестеренке. ω1

с5 = сV ′′ iΙ ,V , 2

где

132

V

VI

V ′′

VII

J ′′

10

11

12

Рис. 3. 36

Рис. 3. 37

Также определяется эквивалентная жесткость второй ветви кинематической схемы. 1 1 1 Имеется следующая формула: . Тогда приведенная жесткость c6 будет = + cVIII ′ cVIII c IX равна c6 = cVIII ′′ i I ,VIII , где iI ,VIII = 2

ω14 − передаточное число от 1 к 14 шестеренке. ω1

3.3.2.3. Колебательно-крутильная система со многими ветвями В общем случае состав разветвленной системы включает в себя последовательную основную цепь приведенных масс, а также заданное структурой кинематической схемы определенное количество ветвей, представляющее собой также последовательные цепи приведенных масс. В свою очередь, ветви эквивалентной системы могут содержать подветви. В зависимости от условия задачи одна и та же действительная система может быть приведена к различным эквивалентным системам. Это связано с учетом колебательных явлений на валах системы. Система приведенных масс последовательной основной цепи состоит из n − 1 участков. Введем следующие обозначения. Массы первой ветви пронумеруем двумя индексами 1,1; 1,2;....1, s1 , где s1 − количество масс первой цепи. Массы k − й ветви пронумеруем индексами k ,1; k ,2;.... k , sk , где sk − количество масс k − й ветви. На рис. 3. 38 изображена основная ветвь с k ветвями.

Рис. 3. 38

133

Введем понятие узла. На схеме колебательной системы упругие валы соединяются через приведенные массы. Точки соединения валов назовем узлами, соответствующими соединяющей их приведенной массе. На рис. 3. 39 для отдельного участка последовательной цепи показаны узлы, обозначенные U 1 , U 2 , ..., U n .

U i −1

U1 U 2

J1

J2

Ui

J i −1

Un

U i +1

Ji

J i +1

Jn

Рис. 3. 39 В цепи открытого типа узлы U 1 , U n имеют по одному валу, все остальные узлы – по два. В цепях с ответвлениями имеются узлы с тремя и более валами. На рис. 3. 40 показан участок цепи с узлами с тремя и четырьмя валами.

Ui Uj Ji

Jj Рис. 3.40

Трехосевой узел U i определяет одну ветвь, четырехосевой узел определяет две ветви. Двухосевые узлы не имеют ветвей. В самой ветви также могут быть свои разветвления. Колебательные свойства любой крутильной системы определяется моментами ее приведенных масс и коэффициентами жесткостей валов. Эти характеристики записываются в компактной форме в виде матриц.

3.3.3. Формирование матрицы инерции эквивалентной разветвленной системы В качестве обобщенных координат крутильной системы, содержащей k ветвей, здесь также, как и для обычной цепной системы принимаются абсолютные углы поворотов приведенных масс, отсчитываемые относительно базисной неподвижной плоскости. Следует заметить, что, как правило, ветви реальных трансмиссионных систем параллельны друг другу. Поэтому повороты моторных масс, количественно определяемые абсолютными углами, осуществляются в плоскостях параллельных одной плоско-

134

сти, которую и называем базисной. Обозначим эти абсолютные углы (обобщенные координаты) как и прежде через ϕ i . Но при этом следует учесть индексацию масс, входящих как в основную цепь, так и в отдельные ветви. Так как в качестве обобщенных координат принимаются абсолютные углы поворотов приведенных масс, то кинетиче1 2 ская энергия этих масс вычисляется по стандартной формуле Ti = J iω i , где ω i = ϕ& i − 2 угловая скорость поворота i − й приведенной массы, являющейся производной от угла поворота по времени. Тогда кинематическая энергия всей колебательной системы равна w 1 2 T = ∑ J iω i , i =1 2 где w − степень свободы системы. Следовательно, матрица инерции будет иметь диагональный вид. Запишем ее следующим образом: ⎛ J1 ⎜ O ⎜ ⎜ Jn ⎜ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

J 1,1 O J 1,s1 O J k ,1

0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ O ⎟ J k ,sk ⎟⎠

Видно, что первые n диагональные элементы – моменты инерции масс основной цепи приведенной системы; вторая группа s1 элементов – моменты инерции масс первой ветви системы; последняя группа k − й ветви – моменты инерции приведенных масс k

этой ветви. Очевидно, что степень свободы системы равна w = n + ∑ si . i =1

Матрица A представляет собой блочно-диагональную матрицу, то есть диагональные элементы представляют собой k + 1 квадратных матриц, каждая из которых имеет размерность, равную количеству приведенных масс. Первая блочная матрица характеризует инерционные элементы цепной колебательно-крутильной системы; остальные – колебательно-крутильные ответвления от основной цепи.

3.3.4. Формирование матрицы жесткости эквивалентной разветвленной системы Для составления матрицы жесткости колебательно-крутильной системы необходимо определить потенциальную энергию системы. Она вычисляется как сумма потенциальных энергий всех упругих элементов приведенной системы. Так, потенциальная энергия вала, соединяющего i, j − е сосредоточенные массы, определяется по формуле

135

1 2 cij ∆ ϕ ij , где cij − жесткость вала; ∆ ϕ ij = ϕ i − ϕ j − угол поворота вала. Полная 2 1 n−1 2 потенциальная энергия крутильной системы равна: Π = ∑ сij ∆ ϕ ij . 2 i , j =1 Согласно принятым обозначениям для приведенных масс, можно ввести и обозначения для коэффициентов жесткостей. Для главной цепи, состоящей из n приведенных масс и n − 1 участков, задаются n − 1 коэффициентов жесткости, которые обозначим c1 = c1, 2 , c2 = c2,3 ,...., cn−1 = cn−1,n . Поэтому для этой последовательной цепи потенци-

Π ij =

1 n−1 2 cs ∆ ϕ s , где ∆ϕ s = ϕ s +1 − ϕ s , s ∈ [1, n − 1] . Первая ∑ 2 s =1 ветвь соединяется с i1 - м участком основной цепи. Тогда коэффициенты жесткостей i1 участком обозначим так: первой ветви соединенной с

альная энергия равна Π осн =

c0,1 1 = c1 1 , c1, 2 1 = c2 1 ,...., cs1 −1,s1 1 = cs1 1 . Для второй ветви, соединенной с i2 участком осi

i

i

i

i

i

новной цепи коэффициенты жесткости обозначим c1 2 , c2 2 ,...., cs2 2 . Для k − й ветви, соi

i

i

единенной с ik − м участком основной цепи, жесткости обозначим с1 k , c2 k , ....., csk k . i

Тогда потенциальная энергия валов первой ветви равна Π 1 =

1 2

∑ c (∆ ϕ s1

i1

j

j =1

i

j +1, j

i

),

i1 2

где

∆ ϕ j +1, j i = ϕ j +1i − ϕ j i . Потенциальная энергия валов k − й ветви равна 1

1

1

(

)

1 sk ik i 2 c j ∆ ϕ j +1, j k . ∑ 2 j =1 Потенциальная энергия всей системы вычисляется по следующей формуле: s k 2 1 n−1 1 k p ip 2 Π = Π осн + ∑ Π p = ∑ cs (∆ ϕ s ) + ∑∑ c j ∆ ϕ j +1, j i p . 2 s =1 2 p =1 j =1 p =1 Так как система не цепная, то матрица жесткости будет иметь несколько иной вид, чем простая цепная приведенная система. Размерность матрицы жесткости будет такой же и для матрицы инерции. Вследствие того, что углы поворотов приведенных масс ветвей входят в выражение потенциальной энергии дважды, а углы поворотов масс основной системы, через которые происходит соединение с ветвями, как минимум трижды, то это означает, что в матрице жесткости коэффициенты жесткости будут располагаться симметрично относительно главной диагонали матрицы. При этом диагональные элементы матрицы жесткости будут либо отдельными коэффициентами жесткости, либо суммой двух или трех слагаемых. Не диагональные элементы матрицы либо нулевые, либо некие отрицательные величины. И в этом случае матрица жесткости будет ленточной. Только количество лент будет больше двух.

Πk =

(

)

Задача. Для колебательно-крутильной системы, изображенной на рис. 3. 33, составить матрицу жесткости и матрицу инерции. Решение. Коэффициенты жесткости эквивалентной системы выражаются через коэффициенты жесткости валов действительной системы по формулам: 2 2 c1 = ca , c2 = cc iI ,II , c3 = cd iI , III ,

⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ где iI ,II = ⎜⎜ II ,д ⎟⎟, iI , III = ⎜⎜ III ,д ⎟⎟ − передаточные числа. Тогда потенциальная энергия ⎝ ω I ,д ⎠ ⎝ ω I ,д ⎠ 1 1 1 2 2 2 системы запишется в виде: Π = c1 (ϕ1 − ϕ 2 ) + c2 (ϕ 2 − ϕ 3 ) + c3 (ϕ 2 − ϕ 4 ) . 2 2 2

136

Из схемы видно, что узел A − точка соединения трех валов. То есть через посредство приведенной массы 2 происходит передача колебаний массам первой и второй ветвей. Поэтому угол ϕ 2 три раза входит в выражение потенциальной энергии. Диагональный элемент c22 матрицы жесткости является суммой трех коэффициентов жесткостей. Элементами ленты являются соответствующие коэффициенты жесткостей со знаком минус. Таким образом, согласно структуре потенциальной энергии имеем следующую матрицу жесткости для данной крутильной системы: − c1

⎛ c1 ⎜ ⎜− c C =⎜ 1 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

0

(c1 + c2 + c3 )

− c2

− c2 − c3

c2 0

0 ⎞ ⎟ − c3 ⎟ . 0 ⎟ ⎟ c3 ⎟⎠

Так как все обобщенные координаты – абсолютные углы поворотов приведенных масс, которые обозначены ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 , то кинетическая энергия колебательнокрутильной системы определяется по формуле 1 1 1 1 Τ = J1ϕ&12 + J 2ϕ& 2 2 + J 3ϕ& 3 2 + J 4ϕ& 4 2 . 2 2 2 2 То есть матрица инерции имеет диагональный вид: ⎛ J1 ⎜ ⎜0 A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0

0

J2

0

0

J3

0

0

0⎞ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ J 4 ⎟⎠

Задача 2. Для колебательно-крутильной системы, приведенная схема которой изображена на рис. 3. 34 , сформировать матрицы инерции и жесткости. Решение. На схеме эквивалентной системы (см. рис. 3. 35) введены обозначения узлов U i , номеров валов - I , II , ....., VI . Моменты инерции приведенных масс обозначены J i , (i = 1, 2,..., 7 ), коэффициенты жесткости - c1 , c2 ,...., c6 . Обобщенные координаты – абсолютные углы поворотов приведенных масс - ϕ i . Тогда кинетическая энергия кру-

тильной системы равна: T =

1 2

7

∑ J ϕ& i =1

⎛ J1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0

i

2

i

. Матрица инерции запишется так

0 J2

0 0

0 0

0 0

0 0

0

J3

0

0

0

0

0

J4

0

0

0

0

0

J5

0

0 0

0 0

0 0

0 0

J6 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟. ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ J7 ⎠

137

Потенциальная энергия этой системы определяется по формуле: 1 1 1 1 Π = c1 (ϕ1 − ϕ 2 )2 + c2 (ϕ 2 − ϕ 3 )2 + c3 (ϕ 3 − ϕ 4 )2 + c4 (ϕ 3 − ϕ 5 )2 + 2 2 2 2 1 1 2 2 + c5 (ϕ 2 − ϕ 6 ) + c6 (ϕ 6 − ϕ 7 ) . 2 2 Тогда матрица жесткости запишется в виде: ⎛ c1 ⎜ ⎜ − c1 ⎜ 0 ⎜ C =⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

− c1

(c1 + c2 + c5 )

0

0

0

0

− c2

0

0

− c5

− c2

(c2 + c3 + c4 )

− c3

− c4

0

0

− c3

c3

0

0

0 − c5

− c4 0

0 0

c4 0

0 (c5 + c6 )

0

0

0

0

− c6

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟. ⎟ 0 ⎟ − c6 ⎟ ⎟ c6 ⎠

Заметим следующее обстоятельство, помогающее контролировать правильность составления матрицы жесткости. Узел U 1 схемы (рис. 3. 35) имеет вал I жесткости c1 . Тогда на месте элемента c11 матрицы жесткости устанавливается этот коэффициент c1 . В узле U 2 сходятся три вала - I , II , V , жесткости которых равны, соответственно, c1 , c2 , c5 . Тогда на месте элемента c 22 матрицы C помещается сумма коэффициентов жесткостей, то есть (c1 + c 2 + c5 ). В узел U 3 сходятся три вала - II , III , IV . Поэтому на месте c33 ставится (c 2 + c3 + c 4 ). В узел U 4 входит один вал III жесткости c3 , поэтому на месте c 44 стоит коэффициент жесткости с3 . В узел U 5 входит также один вал с номером IV и жесткостью c 4 . На месте элемента c55 помещается коэффициент жесткости c4 . В узел U 6 входят два вала - V , VI , жесткости которых равны, соответственно, c5 , c6 . Поэтому на месте элемента ставится (c6 + c6 ). В узел U 7 входит только один вал VI жесткости c6 . Следовательно, элементом c77 матрицы С является коэффициент c6 . Можно обобщить на любую цепь ККС правило составления диагональных элементов матрицы жесткости C. Так, если в узел U i входят s валов с номерами j1 , j2 ,..., js , жесткости которых равны, соответственно, c j1 , c j2 ,...., c js , то диагональные элементы s

cii матрицы жесткости будут равны cii = ∑ c jk . Также можно выделить закономерность k =1

составления недиагональных элементов матрицы жесткости. Для данной задачи имеем следующий алгоритм. Узлы U 1 , U 2 соединяются через вал жесткости c1 , поэтому c12 = −c1 . Узел U 2 соединяется с узлами U 1 , U 3 , U 6 валов I , II , V , жесткости которых, соответственно, равны c1 , c 2 , c5 . Поэтому имеем c 21 = − c1 , c 23 = −c 2 , c 26 = −c5 . Узел U 3 соединяется с узлами U 2 , U 4 , U 5 валов II , III , IV , жесткости которых равны, соответственно, c2 , c3 , c4 . Тогда c32 = −c 2 , c34 = −c3 , c35 = −c 4 . Узел U 4 соединяется с узлом U 5 вала III жесткости c3 ; поэтому c45 = −c3 . Узел U 5 соединяется с узлом U 3 вала IV жесткости c4 ; поэтому c53 = −c 4 . Узел U 6 соединяется с узлами U 2 , U 7 валов V , VI , жесткости которых равны, соответственно, c5 , c6 ; поэтому c62 = −c5 , c67 = −c6 .

138

Узел U 7 соединяется с узлом U 6 вала VI жесткости c6 ; тогда c76 = −c6 . Все остальные недиагональные элементы равны нулю. Общее правило образования недиагональных элементов матрицы жесткости: любой не нулевой диагональный элемент cij матрицы жесткости C отрицателен. Элемент cij равняется коэффициенту жесткости вала, соединяющего узел U i с узлом U j . Например, если это вал с номером k , то cij = −ck . Если нет непосредственного соединения узлов U i , U j , то cij = 0. Задача для самостоятельного решения. Для колебательно-крутильной системы, схема которой изображена на рис. 3. 41 составить матрицу жесткости.

Рис. 3. 41 Дифференциальные уравнения разветвленной системы в матричной форме имеют такой же вид, как и для простой цепной системы, то есть Aϕ&& + Cϕ = 0. Поэтому методика решения этого матричного дифференциального уравнения такая же, как та, которая была описана в разделе 3.2. Задача для самостоятельного решения. Для ККС, схема которой изображена на рис. 3.19, б, составить матрицы инерции и жесткости, если в состав масс двигателя входит 6 моторных масс и масса маховика, в одну ветвь – одна масса, во вторую – масса редуктора и четыре массы валопровода, включая и сам гребной винт. Задача для самостоятельного решения. Для ККС, схема которой изображена на рис. 3.20, б, составить матрицы инерции и жесткости. В состав масс двигателя входит 4 моторных масс и масса маховика, в одну ветвь – две массы, во вторую –три массы валопровода, включая гребной винт.

139

4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Расчет на свободные колебания механической системы имеет своей целью определение всех ее собственных частот, которые представляют собой основную механическую характеристику упругих свойств этой системы. В процессе работы механической системы на нее действуют импульсные силы и внешние нагрузки, зависящие от времени. В результате их действия на упругую систему, возникают колебания, которые называются вынужденными колебаниями. Так, в колебательно-крутильных системах, схема которых изображена на рис. 2. 1, a, возмущающими нагрузками являются возбуждающие моменты от газовых и инерционных сил кривошипно-шатунного механизма, периодически изменяющиеся по величине и по направлению. В общем случае, возмущающие моменты математически представляются периодическими функциями, которые можно разложить в ряд Фурье.

4.1. Общие положения гармонического анализа Определение. Функция f (t ) называется периодической, если существует такое число τ , которое удовлетворяет равенству f (t + τ ) = f (t ). Число τ называется периодом 2π функции, а число p , определяемое по формуле p = , называется частотой.

τ

Периодические функции, описывающие вынужденные колебания, разлагаются на совокупность гармонических колебаний. Процесс разложения периодической функции на гармоники называется гармоническим анализом. 2π Периодическую функцию Qi (t ) с периодом τ = можно разложить в тригонометp рический ряд вида ∞

Qi (t ) = hi 0 + ∑ hij sin ( jpt + δ j ) .

(4.1)

j =1

Величина p j = pj =

2π j

τ

называется частотой j − ой гармоники, а величина τ j =

τ j

−

периодом j − й гармоники. Тригонометрический ряд (4.1) можно представить в ином виде. Для этого выполним следующее преобразование:

hij sin ( jpt + δ j ) = hij cos δ j sin jpt + hij sin δ j cos jpt. Введем обозначения: hi 0 =

ai 0 , hij cos δ j = bij , hij sin δ j = aij . 2

Тогда ряд (4.1) примет вид

Qi (t ) =

ai 0 + ∑ (aij cos jpt + bij sin jpt ), j = 1, 2,..., n. 2

Определение. Если коэффициенты ai 0 , aij , bij этого ряда определяются по формулам

140 τ τ ⎧ 2 2 ⎪ a i 0 = ∫ Q i (t )dt , a ij = ∫ Q i (t ) cos ( jpt ) dt , τ 0 τ 0 ⎪ ⎨ τ ⎪ b = 2 Q (t )sin ( jpt ) dt , ⎪ ij τ ∫ i 0 ⎩

(4.2)

то тригонометрический ряд называется рядом Фурье, а коэффициенты этого ряда ai 0 , aij , bij − коэффициентами Фурье периодической функции Qi (t ). Каждую периодическую функцию, интегрируемую на интервале [− τ , τ ] и удовлетворяющую принципу Дирихле, можно разложить в ряд Фурье.

Задача. Циклическое нагружение силовой нагрузки имеет вид τ − периодических импульсов прямоугольной формы (рис. 4. 1).

M

M1

τ

τ

2

2

τ

− M1

τ

t

Рис. 4. 1 То есть вынужденный момент представляется кусочно-гладкой периодической функцией вида τ ⎧ ⎪ M1, 0 ≤ t ≤ 2 (4.3) Q(t ) = ⎨ τ ⎪− M 1 , < t ≤ τ. 2 ⎩ Представим эту функцию в ряд Фурье. Для этого по формулам (4.2) определим коэффициенты Фурье: ⎧τ2 ⎫ τ τ 2 2⎪ ⎪ a 0 = ∫ Q(t )dt = ⎨∫ M 1 dt − ∫ M 1 dt ⎬ = 0, τ 0 τ ⎪0 τ ⎪ 2 ⎩ ⎭ aj =

2

τ

τ

∫ Q(t )cos 0

2π jt

τ

dt = 0,

⎧ τ2 ⎫ τ 2π jt 2π jt 2π jt ⎪ 2 2⎪ b j = ∫ Q(t )sin dt = ⎨∫ M 1 sin dt − ∫ M 1 sin dt ⎬ = τ 0 τ τ ⎪0 τ τ τ ⎪ 2 ⎩ ⎭ τ τ ⎫ ⎧ ⎧ 4M 1 2π jt 2 2π jt ⎪ ⎪ 2 M 1τ ⎪ , j − нечетное, = + cos =⎨π j ⎨− cos ⎬ τ 2π j ⎪ τ 0 τ τ⎪ ⎪ 2⎭ ⎩ 0, j − четное. ⎩ τ

141

То есть bk =

4M 1 , k = 0, 1, 2,..., ∞. Тогда функция Q(t ) представится рядом (2k + 1)π Фурье ∞ 4M 1 2(2k + 1)π t 1 Q(t ) = sin . ∑ π k =0 (2k + 1) τ

Задача. На колебательно-крутильную систему с двумя степенями свободы действуют вынужденные воздействия Q(t ), P (t ), представляющие собой периодические функции с периодом τ , которые можно разложить в ряд Фурье. Определить амплитуды вынужденных колебаний, соответствующие j − й гармонике вынужденных моментов. Решение. Разложим в ряд Фурье τ − периодические функции Q(t ), P(t ) :

Q(t ) =

a0 ∞ + ∑ (a j cos jpt + b j sin jpt ), 2 j =1

P(t ) =

h0 ∞ + ∑ (h j cos jpt + d j sin jpt ). 2 j =1

Тогда в матричной форме дифференциальные уравнения вынужденных колебаний запишутся ⎛ J 1 0 ⎞⎛ ϕ&&1 ⎞ ⎛ c − c ⎞⎛ ϕ1 ⎞ ⎛ Q(t )⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ (4.4) ⎝ 0 J 2 ⎠⎝ ϕ&&2 ⎠ ⎝ − c c ⎠⎝ ϕ 2 ⎠ ⎝ P(t ) ⎠ Частное решение этой системы дифференциальных уравнений запишется в виде: ∞ h ϕ 1 = 0 + ∑ (h j cos jpt + f j sin jpt ), 2 j =1

ϕ2 =

r0 ∞ + ∑ (r j cos jpt + q j sin jpt ). 2 j =1

Определив вторые производные функций абсолютных углов ϕ&&1 , ϕ&&2 , подставим их вместе с ϕ1 , ϕ 2 в матричное уравнение (4.4), получим уравнения, из которых можно определить искомые величины вынужденных амплитуд. Так, для j − й гармоники имеем следующее матричное уравнение: ⎛ c − J 1 ( jp )2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ −ñ ⎜ ⎜ 0 ⎝

−ñ

0

c − J 1 ( jp ) 0 −ñ

2

0

c − J 2 ( jp ) 0

2

⎞⎛ h j ⎞ ⎛ a j ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ f j ⎟ ⎜ b j ⎟ ⎟⎜ r ⎟ = ⎜ g ⎟. ⎟⎜ j ⎟ ⎜ j ⎟ 2 ⎟⎜ c − J 2 ( jp ) ⎠⎝ q j ⎟⎠ ⎜⎝ d j ⎟⎠ 0 −ñ 0

(4.5)

Обозначим четырехмерную матрицу в уравнении (4.5) через F j , а векторы-столбцы

левой и правой частей (4.5) - wвынj , w j соответственно. Тогда матричное уравнение в символической форме запишется так F j wвынj = w j . Из этого матричного равенства ис-

142 −1

комые амплитуды вынужденных колебаний выразятся через обратную матрицу F j , то −1

есть получим wвынj = F j w j . Аналогично решается вопрос определения амплитуд вынужденных колебаний по j − ой гармонике вынужденных моментов для колебательнокрутильной системы с большем числом степеней свободы, чем две. Задание для самостоятельной работы. Определить амплитуды вынужденных колебаний колебательно-крутильной системы с тремя степенями свободы по второй гармонике вынужденных моментов, если на первой и третьей моторных массах действуют вынужденные моменты, определяемые по формулам:

τ τ ⎧ ⎧ ⎪ M 3 , если 0 ≤ t ≤ 2 , ⎪ M 1 , если 0 ≤ t ≤ 2 , . Q1 = ⎨ , Q3 = ⎨ τ τ ⎪− M 3 , если ≤ t ≤ τ ⎪− M 1 , если ≤ t ≤ τ 2 2 ⎩ ⎩

4.2. Силы, действующие на коленчатый вал и создающие крутящий момент Крутящий момент, действующий на вал ДВС, возникает как результат действия газовых сил в цилиндрах, сил тяжести и сил инерции перемещающихся масс кривошипно-шатунных механизмов двигателя. Как правило, действие сил тяжести деталей крутящей системы незначительно. Поэтому их берут в расчет только в случае двигателей, подвижные деталей которых имеют достаточно большие веса. Преобразование сил давления газов на поршень двигателя в крутящий момент подробно рассматривается в литературе по динамике ДВС [20,27,31,32]. Это преобразование происходит путем разделения газовых сил PГ на две составляющие: одна сила PГШ направлена вдоль оси шатуна, другая N ÃA действует перпендикулярно стенкам цилиндра (рис. 4. 2).

TÃ

PÃ Ø

A l

R

M êð

NÃÀ

PÃ Ø

ϕ

B

ψ

O

PÃ

NÃÂ

Рис. 4. 2 Периодически изменяющаяся сила N Г , вызывает перекладывание действия поршня с одной стороны стенки цилиндра на другую. Кроме того, эта сила вызывает появление опрокидывающего момента, равного M O = N ÃÂ H , где H = OB. Его действие воспринимается опорами двигателя и вызывает поперечные колебания его корпуса на уп-

143

ругом амортизаторе. Эти составляющие газовых сил каждого цилиндра ДВС опредеP ляются из векторного треугольника по формулам: PÃØ = à , N à= Pà tgψ . Сила cosψ PГШ также раскладывается на две составляющие: TГ − тангенциальную составляющую, создающую крутящий момент и N ГА − нормальную составляющую, действующая на sin (ϕ + ψ ) cos(ϕ + ψ ) , N ГА = PГ . ось кривошипа. Эти силы равны: T Г = PГ cosψ cosψ Крутящий момент от газовых сил равен: sin (ϕ + ψ ) . cosψ Раскладывая в ряд Фурье тригонометрические функции, получим выражение крутящего момента от газовых сил в виде бесконечного ряда гармонических функций. Крутящий момент от сил инерции составляется только для поступательно движущихся масс кривошипно-шатунного механизма. Как было показано в 2.4, массу КШМ двигателя внутреннего сгорания можно привести к вращательной массе mвр , сосредоM êðà = Tà R = Pà R

точенной на оси шатунной шейки и поступательной массе m пост , сосредоточенной на оси поршневого пальца. Сила инерции от вращательной массы (в случае ω = const ) наин правлена вдоль кривошипа и крутящего момента не создает. Она равна: Fвр = mвр Rω 2 и также как и сила N ГА действует на опоры двигателя. ин

Сила инерции от поступательно движущейся массы равна: Fпост = mпост a пост , где a пост − ускорение поршня. Это ускорение определяется как вторая производная от хода поршня S . Ход поршня равен: ⎛⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ S = R⎜⎜ ⎜1 + ⎟ + ⎜ cos ϕ + cosψ ⎟ ⎟⎟, λ⎠ ⎝ λ ⎠⎠ ⎝⎝ R где λ = ; R − радиус кривошипа; l − длина шатуна. Применяется приближенная l формула ускорения поршня [31]: a пост = Rω 2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ ). В этой формуле учтены ин

гармоники до второго порядка. Сила Fпост направлена вдоль прямой OB (см. рис. 4. 2). Раскладывая эту силу также как и силу PГ , определим тангенциальную составляюин

щую Tпост силы инерции от поступательно движущихся масс. Она тоже будет создавать крутящий момент. Таким образом, общий крутящий момент определяется по формуле: sin (ϕ + ψ ) M êð = M êðà + M êðèí = (mïîñò a ïîñò + Pà )R . cosψ Для определения крутящего момента от газовых сил и сил инерции проводится следующая процедура. По углу поворота кривошипа ϕ определяется ход поршня S . По π D2 этой информации определяется рабочий объем цилиндра: V Ц = S , где D − диа4 метр цилиндра. По типу двигателя строится индикаторная диаграмма – зависимость давления p в цилиндре от его рабочего объема V Ц за один цикл [30]. Различаются двухтактные и четырехтактные двигатели. Определив давление по каждому шаговому значению угла ϕ , вычисляется и величина газовой силы PГ = pF , где F − площадь

144

сечения поршня. Таким образом, разбив период работы ДВС за цикл (например, двухтактный двигатель имеет период, равный 2π радиан, четырехтактный - 4π ) на равное количество угловых промежутков ϕ i , получим совокупность данных (в виде таблицы или графика) о газовых силах, а следовательно, и о крутящем вал моменте. Раскладывая крутящий момент в ряд Фурье по гармоникам с кратными частотами, получим математическое представление вынужденного силового воздействия на вал. Представив крутящие моменты всех цилиндров в матричной форме, получим вектор-столбец вынужденного силового воздействия – обобщенную силу внешнего воздействия. С его помощью и записывается матричное уравнение вынужденных колебаний крутильной системы с n степенями свободы. При решении дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, определяются их законы движения и резонансные зоны крутильных колебаний.

4.3. Гармонический анализ возбуждающих моментов в двигателях внутреннего сгорания Причиной возникновения крутильных колебаний коленчатых валов двигателей (валопроводов силовой установки с ДВС) является неравномерность крутящих моментов, которые складываются из крутящих моментов отдельных цилиндров. Неравномерность крутящего момента каждого цилиндра вызывается газовыми и инерционными силами, периодически изменяющимися как по величине, так и по направлению. Период изменения газовой нагрузки при вращении вала двигателя с угловой скоро2π ⋅ n −1 стью ω = составляет: c 60 2π 60 • Для двухтактного двигателя τ â = = c; ω n 4π 120 • Для четырехтактного двигателя τ â = = c, ω n где n − число оборотов вала в минуту. Характер изменения момента предопределяется индикаторной диаграммой, зависящей от режима двигателя. Период изменения инерционной нагрузки одинаков для обоих видов двигателя и 2π 60 составляет τ â = = ñ . По величине момент зависит от ω 2 ; среднее значение моω n мента за период равно нулю. Имеют место формулы: M êð = M ã + M j = f (ω t ),

(M )

êð ñð

= (M ã )ñð + (M j )ñð = (M ã )ñð = M ñð ,

где M г − момент от газовых сил; M j − момент инерционных сил. Ввиду различия в характере изменения крутящих моментов от давления газов и инерционных сил целесообразно анализ этих моментов производить раздельно. Кривые крутящих моментов, представляющие собой периодические функции, могут быть разложены методом гармонического анализа в бесконечный ряд составляющих гармонических функций – так называемых гармоник. Каждая гармоника такого ряда имеет свой период, начальную фазу и амплитуду колебаний. При этом следует иметь в виду, что амплитуды и период гармоник ряда постепенно убывают. Период каждой гармоники

145

является кратным периоду разлагаемой кривой, а поэтому для какой либо k − й гармоники имеем τ вk =

τв

. Круговая частота этой гармоники представляет собой угловую k скорость вращения вектора (равного амплитудному значению M ak ) в векторной диа2π 2π k = . Так как периоды исходного возмущающего момента грамме и равную pk =

τ вk

τв

от газовых сил различны для двухтактного и четырехтактного двигателей, то имеем, соответственно: pk =

2π k ω 2π k ω 1 = kω = k мω , pk = = kω = k мω . 2π 4π 2

Следовательно, моторные гармоники имеют следующий порядок: • k м = 1; 2; 3; 4;.... – для двухтактного двигателя; •

k м = 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5;.... − для четырехтактного двигателя;

Гармоники возмущающего момента k − го моторного порядка сообщают колену вала за один оборот двигателя " k " импульсов. В последующем индекс " м " не будем писать, считая " к " моторным порядком. Возмущающий момент равен M êð = f (ω t ) = f ñð + a1 sin ω t + a 2 sin 2ω t + ... + a k sin kω t + .... ... + b1 cos ω t + b2 cos 2ω t + .... + bk cos kω t + ... = ∞

∞

∞

k =1

k =1

k =1

= f ñð + ∑ a k sin kω t + ∑ bk cos kω t = M ñð + ∑ M ak sin (kω t + ε k ), ak . Коэффициенты ряда bk Фурье находятся на практике с помощью анализатора, посредством транспарантов графически или аналитически, используя для этого спектральные шаблоны. Легко реализовать гармонический анализ на ЭВМ. где амплитуда M ak = ak + bk и начальная фаза ε k = arctg 2

2

4.3.1. Анализ моментов от газовых сил M г = f (ωt ) Для четырехтактного двигателя имеем: M ã = M ñð +

∞

∑M

k =0,5

ã ak

sin (kω t + ε k ).

На рис. 4. 3 изображена кривая момента M газ . Для двухтактного двигателя имеем : ∞

M ã = M êð + ∑ M ãak sin (kω t + ε k ). k =1

В общем случае M ср приводит во вращение вал во вращение с постоянной угловой скоростью ω , а гармонические составляющие являются возмущающими моментами, вызывающими крутильные колебания и неравномерность его вращения.

146

Рис. 4. 3

4.3.2. Анализ моментов от сил инерции M j = f (ω t ) На рис. 4. 4 показаны кривые зависимости момента M j от частоты вращения вала.

Рис. 4. 4

147

Момент от сил инерции имеет следующее представление бесконечным рядом Фурье: M j = ∑ M jar sin (kω t + ε k ). С другой стороны имеем sin (α + β ) R≅ cos β sin (α + β ) (cosα + λ cos 2α ) ≅ m j R 2 ω 2 × ≅ − m j R 2ω 2 cos β

M j = T j R = Pj

⎛ ⎞ λ λ2 × ⎜⎜ sin α cosα + λ sin α cos 2α + sin 2α cosα + sin 2α cos 2α ⎟⎟ ≅ 2 2 ⎝ ⎠ 2 ⎛λ ⎞ 1 3 λ ≅ m j R 2ω 2 ⎜⎜ sin α − sin 2α − λ sin 3α − sin 4α ⎟⎟ ≅ 2 4 4 ⎝4 ⎠ ≅ M j1 + M j 2 + M j 3 + M j 4 + ...., где T j − тангенциальная сила инерции; α − угол поворота коленчатого вала; β − угол отклонения шатуна от оси цилиндра; λ − постоянная кривошипно-шатунного механизма.

4.3.3. Суммирование гармоник M ã ak , M j

k

Гармонический анализ моментов M ã ak , M jk обычно осуществляется для режима максимальной мощности. Значение амплитуд гармоник для другого режима x находят, ( pi )x , умножая полученные амплитуды M ã ak на отношение индикаторных давлений ( pi 0 )N 2

⎛n ⎞ а амплитуды M jak − на отношение оборотов двигателя в квадрате ⎜⎜ x ⎟⎟ . Суммирова⎝ nN ⎠ ние гармоник M ã ak , M jk одного порядка и режима производят графически сложением их векторов для ω t = 0, когда вектор M jk направлен по горизонтальной оси, а вектор

M ã ak составляет с этой осью угол ε гk (рис. 4. 5).

Рис. 4. 5

148

Тогда имеем M ak sin ε k = M г ak sin ε гk ; M ak cos ε k = M jak + M г ak cos ε гk ; ⎛ M г ak

ε k = arcsin⎜⎜

⎝ M ak

M ak =

(M

sin ε

гk

⎞ ⎟; ⎟ ⎠

sin ε гk ) + (M jak + M г ak cos ε гk ) . 2

г ak

2

Следовательно, k − я гармоника крутящего момента будет определена по формуле

(M )

кр k

= M ak sin ( p k t + ε k ).

В V − образном двигателе на одно колено действуют два цилиндра, поэтому возмущающий момент получится суммированием векторов гармоник одного порядка обоих цилиндров с учетом сдвига фаз в соответствии с последовательностью их работы.

4.4. Матричный метод расчета вынужденных колебаний крутильно-колебательной системы со многими степенями свободы Рассмотрим случай вынужденных колебаний без учета рассеивания энергии под действием гармонических сил Qi (t ) = hi sin ( p t + δ ), где hi − амплитуды сил; p − частота вынужденных сил; δ − фаза этих сил. Вынужденные силы можно представить в виде T вектор-столбца так: Q(t ) = (Q1 , Q2 ,..., Qn ) . Тогда дифференциальные уравнения вынужденных колебаний в матричной форме запишутся Aϕ&& + Cϕ = Q(t )

(4.6)

Общее уравнение (4.6) ищется в виде суммы частного решения и решения однородного уравнения. Частное решение системы (4.6) находится в виде ϕ = f sin ( pt + δ ),

где f = ( f 1 , f 2 ,...., f n ) − вектор-столбец искомых величин, ϕ − вектор-столбец частных решений системы (4.6). Так как ϕ&& = − p 2 f sin ( pt + δ ), то подставляя ϕ , ϕ&& в (4.6), получим матричное выражение для определения вектор-столбца f : . T

(C − Ap ) f = h. 2

Введем обозначение: H = (C − Ap 2 ) . Если det (H ) ≠ 0, тогда получим f = H −1h,

(4.7)

149

где H −1 − обратная матрица; h = (h1 , h2 ,..., hn ) − вектор-столбец амплитуд вынужденных сил. С учетом решения однородного уравнения (3.5), записанного в матричной форме (3.15), общее решение системы (4.3.1) будет иметь вид: T

ϕ = M T a1 sin (kt + α ) + H −1 h sin ( pt + δ ).

(4.8)

В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания крутильной системы с двумя и пятью степенями свободы. Задача. Записать уравнение вынужденных колебаний крутильной системы с двумя степенями свободы (рис. 4. 6). Проанализировать поведение системы в зависимости от действия вынуждающих моментов Q1 = h1 sin ( pt + δ ), Q2 = h2 sin ( pt + δ ).

1

2

ϕ1

ϕ2

c1 Q1

Q2 J2

J1

Рис. 4. 6. Решение. Для решения задачи выполним следующие действия. 1. Определим собственные частоты колебаний системы. Для этого составим матрицы инерции и жесткости; они имеют вид: ⎛J A = ⎜⎜ 1 ⎝0

0⎞ ⎛ c ⎟⎟, C = ⎜⎜ 1 J2 ⎠ ⎝ − c1

− c1 ⎞ ⎟. c1 ⎟⎠

Тогда из уравнения частот, для данной задачи имеющей вид c − k 2 J1

−c

−c

c − k 2J2

=0,

вычислим значение собственной частоты; оно равно k=

c( J 1 + J 2 ) . J1 J 2

(4.9)

2. Определим амплитуды вынужденных колебаний. Матричное уравнение (4.7) для данной системы запишется в виде:

150

⎛ c − J1 p 2 ⎜ ⎜ −c ⎝

− c ⎞⎛ f 1 ⎞ ⎛ h1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. c − J 2 p 2 ⎟⎠⎜⎝ f 2 ⎟⎠ ⎜⎝ h2 ⎟⎠

Решая эту систему алгебраических уравнений методом Крамера, получим выражение амплитуд вынужденных колебаний: f1 =

(h1 + h2 )c − J 2 h1 p 2 , p 2 (J 1 J 2 p 2 − c( J 1 + J 2 ))

f2 =

(h1 + h2 )c − J 1h2 p 2 . p 2 (J 1 J 2 p 2 − c( J 1 + J 2 ))

(4.10)

Учитывая значение (4.9), формулы (4.10) можно записать так: fi = −

di 1 2 p J1 J 2 p − k 2 2

(

)

,

(4.11)

где i = 1, 2; d1 = J 2 h1 p 2 − (h1 + h2 ) c, d 2 = J 1 h2 p 2 − (h1 + h2 ) c. 3. Общее решение дифференциальных уравнений вынужденных колебаний запишется в виде суммы решения для системы однородных уравнений и частного решения с амплитудами, определяемыми по формуле (4.11). Амплитуды свободных колебаний связываются коэффициентами распределения µ по формуле a1 = µa 2 . Тогда из системы (3. 12) для n = 2 получим выражение коэффициента распределения:

µ=

c . c − J 1k 2

(4.12)

Тогда общее решение представится как система двух функций ⎧ϕ1 = µ a 2 sin (kt + α ) + f1 sin ( pt + δ ) , ⎨ ⎩ϕ 2 = a 2 sin (kt + α ) + f 2 sin ( pt + δ )

(4.13)

где a 2 − амплитуда; δ − начальная фаза. Они определяются из начальных условий движения системы. Из (4.13) следует, что вынуждение создает сложное колебание системы, складывающееся из двух гармонических колебаний: свободных колебаний с частотой k и вынужденных колебаний с частотой p. 4. Вынужденные колебания описываются уравнениями d1 ⎧ ⎪ϕ 1вын = − p 2 ( p 2 − k 2 )J J sin ( pt + δ ) ⎪ 1 2 ⎨ d2 ⎪ϕ sin ( pt + δ ) 2 вын = − 2 2 ⎪⎩ p ( p − k 2 )J 1 J 2

.

151

Из этих формул видно, что вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения системы, а определяются характеристиками вынуждающих воздействий, то есть от параметров h1 , h2 , p, δ . 5. Случай равенства собственной частоты k и частоты вынужденного момента p. Из формулы (4.11) видно, что в случае p = k амплитуды f i неограниченно возрастают. Такое явление в теории колебаний называется резонансом. Значение частоты p при резонансе называется критическим. При резонансе нельзя пользоваться выражением (4.11) как частным решением уравнения (4.10) при n = 2. d1 d2 Введем обозначение: H 1 = , H2 = . 2 J1 J 2 p J1 J 2 p 2 Тогда первое уравнение (4.13) вместе со своей производной по времени запишется в виде H ϕ1 = µ a 2 (sin kt cosα + cos kt sin α ) − 2 1 2 sin ( pt + δ ), p −k (4.14) H1 p ϕ&1 = µ a 2 k (cos kt cos α − sin kt sin α ) − 2 cos( pt + δ ). p −k2 При начальных условиях t = 0, ϕ10 = 0, ϕ&10 = 0 амплитуда a 2 и начальная фаза α будут равны 2 ⎧ ⎪a 2 = 1 H 1 cos δ p 1 + tg 2δ ⎛⎜ k ⎞⎟ , ⎜ p⎟ ⎪ µ p2 − k 2 k ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ k ⎪tgα = p tgδ . ⎩ Подставив формулы (4.15) в закон ϕ1 (t ), получим

(

ϕ1 =

H1 k − p2 2

)

⎛ ⎛p ⎞⎞ ⎜⎜ sin ( pt + δ ) − ⎜ sin kt cos δ + cos kt sin δ ⎟ ⎟⎟. ⎝k ⎠⎠ ⎝

(4.15)

(4.16)

Аналогично, получим и закон изменения ϕ 2 :

ϕ2 =

H2 k − p2 2

⎛ ⎛p ⎞⎞ ⎜⎜ sin ( pt + δ ) − ⎜ sin kt cos δ + cos kt sin δ ⎟ ⎟⎟. ⎝k ⎠⎠ ⎝

(4.17)

Для получения закона вынужденных колебаний при резонансе воспользуемся 0 правилом Лопиталя для раскрытия неопределенности в выражениях (4.16), 0 (4.17). В результате получим H1 (cos δ sin kt − kt cos(kt + δ )), 2k 2 H = 22 (cos δ sin kt − kt cos(kt + δ )). 2k

ϕ1âûí = ϕ 2âûí

(4.18)

152

J2 . То есть в случае резонанса формы вынуJ1 жденных колебаний такие же, как и соответствующие формы свободных главных колебаний.

При этом H 1 = µ H 2 , где µ = −

Задача. Для колебательно-крутильной системы с пятью степенями свободы, совершающей вынужденные колебания под действием гармонических возмущений hi sin ( pt + δ ), i = 1, 2,..., 5, определить амплитуды вынужденных колебаний, если при этом даны следующие значения параметров системы: J 1 = 30, J 2 = 50, J 3 = 80, J 4 = 60, J 5 = 120;

c1 = 2 ⋅ 10 6 , c 2 = 4 ⋅ 10 6 , c3 = 3 ⋅ 10 6 , c 4 = 6 ⋅ 10 6 , p = 200 c −1 ; h1 = 500, h2 = 300, h3 = 600, h4 = 300, h5 = 800. Здесь моменты инерции J i измеряются в êã ⋅ ì 2 , коэффициенты жесткости валов – в H ⋅ ì / ðàä , амплитуды вынужденных сил – в H ⋅ ì . Решение. Имеет место следующий алгоритм решения. 1. Формирование матрицы H = C − Ap 2 . ⎡ 2 ⋅ 10 6 ⎢ 6 ⎢− 2 ⋅ 10 H =⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

− 2 ⋅ 10 6 6 ⋅ 10 6

0 − 4 ⋅ 10 6

0 0

− 4 ⋅ 10 6

7 ⋅ 10 6

− 3 ⋅ 10 6

0

− 3 ⋅ 10 6

9 ⋅ 10 6

0

0

− 6 ⋅ 10 6

0 ⎤ ⎤ ⎡30 0 0 0 ⎥ ⎢ 0 50 0 0 0 ⎥⎥ ⎥ ⎢ 2 0 ⎥. 0 ⎥ − p ⎢ 0 0 80 0 ⎥ ⎥ ⎢ − 6 ⋅ 10 6 ⎥ ⎢ 0 0 0 60 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 120⎥⎦ 6 ⋅ 10 6 ⎥⎦ 0 0

2. Вычисление определителя матрицы H . Применяя методы вычисления определителя диагональной и ленточной матриц, получим det (H ) = 4,76237 ⋅10 32. 3. Вычисление обратной матрицы H −1 . H −1 =

H∗ = det (H )

⎛ − 4,6 ⋅ 10 −8 − 5,2 ⋅ 10 −7 − 4,9 ⋅ 10 −7 ⎜ ⎜ − 5,1 ⋅ 10 −7 − 2,1 ⋅ 10 −7 − 1,9 ⋅ 10 −7 = ⎜ − 1,9 ⋅ 10 −8 − 1,9 ⋅ 10 −7 4,9 ⋅ 10 −8 ⎜ ⎜ 6,4 ⋅ 10 −8 0,5 ⋅ 10 −8 − 0,6 ⋅ 10 −8 ⎜ −7 1,3 ⋅ 10 −7 − 0,3 ⋅ 10 −8 ⎝ 3,2 ⋅ 10 4. Вычисление вектор-столбца f = H −1h.

0,6 ⋅ 10 −8 2,5 ⋅ 10 −8 − 0,6 ⋅ 10 −8 − 4,2 ⋅ 10 −8 2.1 ⋅ 10 −7

3,2 ⋅ 10 −7 ⎞ ⎟ 1,3 ⋅ 10 −7 ⎟ ⎟ − 3,2 ⋅ 10 −8 ⎟. − 2,1 ⋅ 10 −7 ⎟ ⎟ − 2,2 ⋅ 10 −7 ⎠

Так как h = (500, 300, 600, 300, 800 ) , то имеем T

f = −(2,02 ⋅10 −4 , 3,31⋅10 −4 , 3,05 ⋅10 −4 , 1,45 ⋅10 −4 , 0,45 ⋅10 −4 ) . T

153

Задача. Колебательно-крутильная система с двумя степенями свободы совершает вынужденные колебания под действием вынуждающих моментов:

Q1 = h11 sin ( p1t + δ 1 ) + h12 sin ( p2 t + δ 2 ),

Q2 = h21 sin ( p1t + δ 1 ) + h22 sin ( p2 t + δ 2 ).

Определить амплитуды вынужденных колебаний. Решение. Согласно матричной записи уравнений вынужденных колебаний (4.6), получим следующие дифференциальные уравнения:

J 1ϕ&&1 + c(ϕ1 − ϕ 2 ) = h11 sin ( p1t + δ 1 ) + h12 sin ( p 2 t + δ 2 ), J 2ϕ&&2 + c(ϕ 2 − ϕ1 ) = h21 sin ( p1t + δ 1 ) + h22 sin ( p2 t + δ 2 ).

(4.19)

Частные решения системы (4.19) запишутся в виде

ϕ1 = f11 sin ( p1t + δ 1 ) + f12 sin ( p 2 t + δ 2 ), ϕ 2 = f 21 sin ( p1t + δ 1 ) + f 22 sin ( p 2 t + δ 2 ). Для определения величин f11 , f 12 , f 21 , f 22 составим матричное уравнение ⎛ c − J 1 p1 2 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ −c ⎜ 0 ⎝

0 2 c − J 1 p1 0

−c 0 2 c − J1 p2

−c

0

⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 2 c − J 1 p 2 ⎟⎠⎜⎝ 0 −c 0

f11 ⎞ ⎛ h11 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ f 12 ⎟ ⎜ h12 ⎟ . = f 21 ⎟ ⎜ h21 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ f 22 ⎟⎠ ⎜⎝ h22 ⎟⎠

В вышепринятых обозначениях это уравнение запишется в виде:

Hf = h. Так как det (H ) ≠ 0, то вектор-столбец искомых величин f ij − амплитуд вынужденных колебаний определится по формуле: f = H −1 h.

Задача для самостоятельного решения. Определить амплитуды вынужденных колебаний крутильной системы с двумя степенями свободы, если на моторные массы действуют моменты

Q1 = a1 sin pt + b1 cos pt , Q2 = a 2 sin pt + b2 cos pt.

154

Задача для самостоятельного решения. Определить амплитуды вынужденных колебаний крутильной системы с тремя степенями свободы, если на моторные массы действуют следующие вынуждающие моменты: Q1 = 0, Q2 = h sin pt , Q3 = g cos pt.

4.5. Частотно-фазовые диаграммы анализа вынужденных колебаний многомассовой системы 4.5.1. Частотные диаграммы Эти диаграммы облегчают определение резонирующих гармоник крутящего момента в диапазоне рабочих режимов двигателя и нахождение оборотов, при которых возникает резонанс в той или иной форме колебаний. Условие резонанса: ω c = p k = kω . Число свободных колебаний вала в минуту определяется по формуле nc = nдв =

30ω

π

30ω c

π

. Число оборотов коленчатого вала в минуту равно

. Тогда при резонансе имеет место равенство nc = nв = knдв , откуда обороты

двигателя, резонирующие с k − й гармоникой, определятся по формуле: (nдв )k =

nc . k

Частотные диаграммы представлены на рис. 4. 7.

Рис. 4. 7 Резонанс определенной узловой формы колебаний с заданной гармоникой крутящего момента двигателя при определенных оборотах в минуту.

155

4.5.2. Фазовые диаграммы гармонических составляющих Фазовая диаграмма k − й гармоники многоцилиндрового двигателя – это векторная диаграмма, в которой векторы моментов данной гармоники для различных цилиндров (вращающихся с круговой частотой p k = kω ) сдвинуты на фазовые углы, соответствующие условию получения угловых интервалов между рабочими ходами в очередных цилиндрах в последовательности порядка их работы. Угловые интервалы между рабочими ходами многоцилиндрового двигателя при условии равенства ϑ = T ω / z , где z -число цилиндров. Так для двухтактного двигателя ϑ = 2 π / z = 360 o / z , а для четырехтактного двигателя - ϑ = 4 π / z = 720 o / z. Повороту колена вала на угол θ отвечает поворот соответствующего этому колену вектора-момента k − й гармоники в фазовой диаграмме на угол kθ В многоцилиндровом двигателе за интервал времени между рабочими ходами в первом цилиндре и в i − цилиндре, снижая нумерацию i в порядке очередности рабочих цилиндров, коленчатый вал повернется на угол θ i = (i − 1)ν . Угол ϑi поворота вала за интервал времени между ходами в первом и i − м цилиндрах в фазовой диаграмме k − й гармоники соответствует фазовый угол kθ i между векторами моментов этих цилиндров. При расчетах принимается, что крутящие моменты на различных коленах одинаковы, и, следовательно, амплитуды, то есть векторы k − й гармоники, для них тоже одинаковы.

4.5.2.1. Фазовые диаграммы четырехцилиндрового однорядного двигателя На рис. 4. 8 представлена схема заклинки четырехцилиндрового четырехтактного двигателя. Порядок работы цилиндров двигателя: 1-2-4-3-1. Угловой интервал между рабочими ходами (см. рис. 4. 8) определяется так: θ = 720 o / 4 = 180 o.

a

á

Рис. 4. 8 В табл. 4. 1 показаны значения углов фаз в зависимости от порядка очередности рабочих ходов.

156

Порядок очередности ходов Первый

N цилин дра 1

kθ i kθ i

θ i = (i − 1)ν θ 2 = ν = 180 o

Второй

2

θ 3 = 2ν = 360 o Третий

4

θ 4 = 3ν = 540 o Четвертый

3

Пятый

1

Таблица 4.1

θ 5 = 4ν = 720 o

k= 0,5

k=1

k=1,5

k=2

k=2,5

k=3

90

180

180*1,5

180*2

180*2,5

180*3

180

360

360*1,5

360*2

360*2,5

360*3

270

540

540*1,5

540*2

540*2,5

540*3

360

720 720*1,5

720*2

720*2,5

720*3

Фазовые диаграммы показаны на рис. 4. 9.

Рис. 4. 9

4.5.2.2. Фазовые диаграммы четырехтактного шестицилиндрового однорядного двигателя На рис. 4. 10 представлена схема заклинки четырехтактного шестицилиндрового ДВС. à

á

Рис. 4. 10

157

Порядок работы цилиндров двигателя: 1-5-3-6-2-4. Угловой интервал между рабочими ходами (см. рис. 4. 10) определяется так: θ = 720 o / 6 = 120 o. В табл. 4.2 показаны значения углов фаз в зависимости от порядка очередности рабочих ходов. Таблица 4.2 Порядок очередности ходов Первый Второй Третий Четвертый Пятый Шестой Седьмой

N цилиндра

kθ i

θ i = (i − 1)ν

k=0,5

k=1

k=1,5

k=2

k=2,5

k=3

θ 2 = 1ν = 120 o

60

120

180

240

300

360

θ 3 = 2ν = 240 o

120

240

360

480

600

720

θ 4 = 3ν = 360 o

180

360

540

720

900

1080

θ 5 = 4ν = 480 o

240

480

720

960

1200

1440

θ 6 = 6ν = 600 o

300

600

900

1200

1500

1800

θ 7 = 7ν = 720 o

360

720

1080

1420

1800

2160

1 5 3 6 2 4 1

Возбуждающие гармоники, векторы амплитуд которых направлены в одну сторону, действуют синхронно на все колена вала и могут вызвать опасные для его прочности колебания. Такие гармоники называются мажорными или главными (на рис. 4.9 - четвертая; на рис. 4. 11 – шестая; на рис. 4. 12 – первая). Если порядок возбуждающих гармоник k равен или кратен половине числа вспышек за один оборот коленчатого вала (например, k = 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; .... − на рис. 4.11), то такие гармоники, действуя синхронно на половину коленчатого вала, могут также вызвать колебания системы со значительными дополнительными напряжениями. Такие гармоники называются сильными (на рис. 4. 9 − вторая; на рис. 4. 11 – третья; на рис. 4. 12 – вторая). Остальные гармоники, обычно являющиеся менее опасными, называются минорными или слабыми. Фазовые диаграммы показаны на рис. 4. 11.

158

Рис. 4. 11 Для двухтактного двигателя фазовые диаграммы строятся аналогично, только порядковые номера гармоник – целые числа (рис. 4. 12).

Рис. 4. 12

159

5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 5.1. Сопротивление колебаниям Для определения собственных частот крутильной системы составляются дифференциальные уравнения свободных колебаний. Эти собственные частоты являются характеристикой данной упругой колебательно-крутильной системы и зависят только от ее инерционных и жесткостных параметров. При исследовании крутильной системы необходимо учитывать сопротивление движению элементов системы, то есть силы трения, вызывающие рассеивание (диссипацию) энергии, что в свою очередь, приводит со временем к уменьшению амплитуд колебаний. Определение. Процесс в колебательной механической системе, в результате которого ее полная механическая энергия уменьшается со временем, называется затуханием колебаний системы, а сами колебания называются затухающими. При построении эквивалентной схемы крутильной системы ее линеаризуют, то есть все действующие на систему нелинейные силы не учитывают. В такой модели крутильно-колебательной системы силы сопротивления представляют линейными функциями скоростей. Эти допущения хотя и приводят к приближенным результатам, позволяют сделать выводы о характере колебаний реальной системы. Для того чтобы определить амплитудно-частотные характеристики крутильной системы при затухании колебаний, необходимо учитывать силы трения. Различаются два вида сопротивлений: внешнее и вязкое внутреннее трение. Внешние силы сопротивления, как правило, вызваны взаимодействием элементов системы с вязкой средой. Например, вращение гребного винта в воде. Внешние силы пропорциональны абсолютным обобщенным скоростям системы. Внутренние силы сопротивления проявляются как результат взаимодействия между частями колебательнокрутильной системы при относительном повороте сечений. Эти силы пропорциональны скоростям относительных перемещений точек системы. При изучении колебаний силовой установки транспортных средств нужно учитывать внутренние силы сопротивления, а при изучении колебаний валопроводов судов – как внешние, так и внутренние силы вязкого трения. Диссипативные свойства системы описываются функцией рассеивания. Она вводится следующим образом. На точки системы действуют силы вязкого трения, которые математически выражаются векторными зависимостями: Ri = −ηi vi , где ηi − коэффи-

циенты пропорциональности силы трения Ri и скорости vi движения точки; i = 1, 2,..., N (здесь N − количество точек системы). Обобщенные силы сопротивления, соответствующие обобщенным координатам по определению равны 2 N N N ∂ri ∂vi ∂vi ∂ N η i vi = ∑ Ri ⋅ = − ∑η i vi ⋅ =− . Q jc = ∑ Ri ⋅ ∑ ∂ϕ j i =1 ∂ϕ& j ∂ϕ& j ∂ϕ& j i =1 2 i =1 i =1 Определение. Функция, определяемая по формуле

Φ= называется функцией рассеивания.

1 N 2 ∑η i vi , 2 i =1

(5.1)

160

Структура этой функции такая же, как и кинетическая энергия системы, только вместо масс mi содержатся коэффициенты ηi . Такая функция в обобщенных координатах представляется квадратичной формой следующего вида:

Φ=

1 N N ∑∑ bijϕ& iϕ& j , 2 i =1 j =1

(5.2)

где ϕ& i − обобщенные скорости системы, bij − коэффициенты диссипации. В матричной форме формула (5.2) запишется в виде: 1 2

Φ = ϕ& T Bϕ& ,

(5.3)

где B = (bij )n×n − матрица коэффициентов диссипации; она называется матрицей диссипации. Эта матрица симметрическая, ее порядок равен степени свободы крутильной системы. Если значения коэффициентов матрицы диссипации достаточно большие, то имеет место процесс быстрого затухания колебаний, который называется апериодическими колебаниями. Эти движения не описываются гармоническими функциями. Как известно, функция рассеивания характеризует изменение механической энергии в единицу времени, то есть имеет место следующая дифференциальная зависимость полной 1 d (T + Π ) = − Φ . механической энергии от диссипативной функции: 2 Обобщенная сила Q jc может быть записана в следующем виде n

Q jc = − ∑ bij ϕ& i , i ∈ [1, n].

(5.4)

i =1

5. 2. Примеры определения обобщенных сил сопротивления Задача 1. На рис.5. 1 представлена схема колебательно-крутильной системы с тремя степенями свободы. Углы поворотов моторных масс ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 , отсчитываемые от единой абсолютной плоскости, принимаются за обобщенные координаты системы.

J1

b1

b2

c1

c2 J2

Рис. 5. 1

J3

161

Механические свойства упругих валов определяются коэффициентами жесткости c1 , c2 , а силы вязкого трения – внутренними сопротивлениями, определяемыми коэффициентами диссипации b1 , b2 . Составить обобщенные силы сопротивления системы. Решение. Функция рассеивания этой системы имеет вид

Φ = b1 (ϕ&1 − ϕ& 2 )2 + b2 (ϕ& 2 − ϕ& 3 )2 ,

1 1 2 2 & & & & где ϕ 1 − ϕ 2 = ω1r ; ϕ 2 − ϕ 3 = ω 2 r − относительные скорости валов системы. Тогда обобщенные силы сопротивления будут равны ⎧− Q1c = b1 (ϕ&1 − ϕ& 2 ) , ⎪ ⎨− Q2c = −b1 (ϕ&1 − ϕ& 2 ) + b2 (ϕ& 2 − ϕ& 3 ), ⎪− Q = −b (ϕ& − ϕ& ) . 2 2 3 ⎩ 3c

(5.5)

Задача 2. На рис. 5. 2 изображена схема колебательно-крутильной системы с тремя степенями свободы, на которую действуют внешние силы вязкого трения, определяемые коэффициентами диссипации b1 , b2 , b3 . Составить обобщенные силы сопротивления.

b3 b1

b2

c1

c2 J2

J1

J3 Рис. 5. 2 . Решение. В этом случае силы сопротивления пропорциональны абсолютным обобщенным скоростям системы, и функция рассеивания будет иметь вид:

1 2

1 2

1 2

Φ = b1ϕ&1 2 + b2ϕ& 2 2 + b3ϕ& 3 2 . Тогда обобщенные силы сопротивления запишутся в виде Q1c = −b1ϕ&1 , Q2 c = −b2ϕ& 2 , Q3c = −b3ϕ& 3 .

(5.6)

162

5.3. Затухающие колебания многомассовой системы Для колебательно-крутильной системы (простого цепного строения) с n степенями свободы, на которую действуют как внешние так и внутренние силы вязкого трения, уравнения Лагранжа запишутся в виде:

∑ (a n

s =1

js

ϕ&&s + b js ϕ& s + c js ϕ s ) = 0

(5.7)

или в матричной форме

Aϕ&& + Bϕ& + Cϕ = 0,

(5.8)

T T T где ϕ&& = (ϕ&&1 , ϕ&&2 , ...., ϕ&&n ) , ϕ& = (ϕ&1 , ϕ& 2 , ...., ϕ& n ) , ϕ = (ϕ1 , ϕ 2 , ...., ϕ n ) − векторы-столбцы соответственно обобщенных ускорений, скоростей и координат крутильной системы. Решение системы (5.7) ищется в виде:

ϕ = ue pt ,

(5.9)

где u = (u1 , u 2 ,..., u n ) − вектор-столбец комплексных чисел, p − искомый параметр, определяющий основные характеристики затухающих колебаний. Подставив решение (5.9) в матричное уравнение (5.8), получим T

(Ap

2

)

+ Bp + c u = 0,

(5.10)

представляющую систему n уравнений с n комплексными неизвестными ui . А так как величины u, p − комплексные, то матричное уравнение (5.10) описывает 2n уравнений с 2n неизвестными. Для того чтобы найти ненулевые решения ui , нужно решить уравнение частот: det Ap 2 + Bp + C = 0 . (5.11)

(

)

Если корни pi - комплексные, что имеет место при малых сопротивлениях, то возникает вопрос о структуре этих чисел. Докажем, что вещественная часть комплексного числа p (решения уравнения (5.11))- отрицательна. Представим число p в комплексной форме: p = n + ik , где i = − 1 - мнимая единица, а n, k − действительные числа. Тогда числу p соответствует комплексносопряженное число p ′ = n − ik . Корню p уравнения (5.11) соответствует амплитуда u. Ее также можно представить в комплексной форме u = v + iw, где v, w − действительные числа. Тогда p ′ соответствует комплексно-сопряженная амплитуда u ′ = v − iw. Выразим число p через кинетическую, потенциальную энергии и функцию рассеивания. Эти динамические характеристики системы в матричной форме представляются в виде: 1 1 1 T = ϕ& T Aϕ& , Π = ϕ T Cϕ , Φ = ϕ& T Bϕ& . 2 2 2

163

Приведем уравнение (5.10) к выражению, содержащему T , Π , Φ . Для этого умно1 1 1 1 жим уравнение (5.10) на u T , тогда получим u T Aup 2 + u T Bup + u T Cu = 0. 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T Введем обозначения: u Au = T (u ), u Cu = Π (u ), u Bu = Φ (u ). Здесь функции 2 2 2 T (u ), Φ (u ), Π (u ) означают выражения, полученные из Τ (ϕ& ), Φ (ϕ& ), Π (ϕ ) подстановкой в них, соответственно, u вместо ϕ& , ϕ . Тогда получим p 2Τ (u ) + pΦ (u ) + Π (u ) = 0 . Для корня p, которому соответствует амплитуда u, из уравнения (5.10) следует выражение: p 2 u T Au + pu T Bu + u T Cu = 0, а для корня p ′, которому соответствует u ′ также из (5.10) вытекает уравнение p ′ 2 u ′T Au ′ + p ′u ′T Bu ′ + u ′T Cu ′ = 0. То есть корни p, p ′ удовлетворяют одному и тому же уравнению: p 2T (u , u ′) + pΦ (u, u ′) + Π (u , u ′) = 0. По теореме Виета корни этого уравнения удовлетворяют условию p + p′ = −

Φ (u , u ′) T (u , u ′)

, p ⋅ p′ =

Π (u, u ′) T (u, u ′)

.

Так как u = v + iw, u ′ = v − iw, то Ф(u, u ′) = Ф(v) + Ф( w), T (u , u ′) = T (ν ) + T (w), Π (u, u ′) = Π (v) + Π ( w) − положительно определенные формы. Так как p = n + ik , p ′ = n − ik , то p + p ′ = 2n, p ⋅ p ′ = n 2 + k 2 . Следовательно, имеем 2n = −

Φ (u, u ′) Π (u, u ′) < 0, n 2 + k 2 = > 0. Τ (u, u ′) Τ (u , u ′)

То есть n < 0. Вещественная часть комплексных корней отрицательна. Запишем частное решение для комплексных корней уравнения частот (5.10). Для p = −n + ik , p ′ = −n − ik − комплексно-сопряженные корни уравнения (5.10), частное решение запишется в виде ϕ = ue pt + u ′e p′t , где u = v + iw, u ′ = v − iw. Учитывая, что

e ikt = cos kt + i sin kt , e − ikt = cos kt − i sin kt , получим ϕ = 2e − nt u 0 sin (kt + α ), где v u 0 = v 2 + w 2 , tgα = − . Если же все корни вещественные, то pi = ni . Условие w p ⋅ p ′ > 0 означает, что числа p, p ′ − одного знака, а p + p ′ < 0, что p < 0, p ′ < 0, то есть ni < 0. Тогда частное решение запишется в виде: q = ve − nt , то есть эта функция описывает апериодическое движение системы.

164

5.4. Пример расчета затухающих колебаний крутильной системы с двумя степенями свободы На систему, состоящую из двух моторных масс, соединенных упругим валом, действуют силы вязкого трения, пропорциональные относительной скорости (рис. 5. 3). b

c

ϕ2

ϕ1 J2

J1

Рис. 5. 3 Определить амплитудно-частотные характеристики затухающих колебаний этой системы. Решение. В качестве обобщенных координат системы выберем абсолютные углы поворотов моторных масс - ϕ 1 , ϕ 2 . Моменты инерции моторных масс, как и прежде, 1 1 2 2 обозначим J 1 , J 2 . Кинетическая энергия системы будет равна Τ = J 1ϕ&1 + J 2ϕ& 2 . 2 2 Упругие свойства системы описываются коэффициентами жесткости вала c 1 2 H ì / ðàä. Тогда потенциальная энергия системы будет равна Π = c(ϕ 1 − ϕ 2 ) . 2 Внутренние силы вязкого трения определяются при помощи функции рассеивания 1 2 R = b(ϕ&1 − ϕ&1 ) , где b − коэффициент диссипации энергии системы. Уравнения Ла2 гранжа второго рода для этой системы запишутся ⎧ J 1ϕ&&1 + b(ϕ&1 − ϕ& 2 ) + c(ϕ1 − ϕ 2 ) = 0, . ⎨ ⎩ J 2ϕ&&2 + b(ϕ& 2 − ϕ&1 ) + c(ϕ 2 − ϕ1 ) = 0

(5.12)

Частное решение этой системы представляется в виде: ϕ 1 = u1 e pt , ϕ 2 = u 2 e pt , где u1 , u 2 − комплексные амплитуды, комплексная частота колебаний. Подставив эти решения в систему (5.12), получим

(

) (

⎧⎪ J 1 p 2 + bp + c u1 − (bp + c ) u 2 = 0, ⎨ ⎪⎩− (bp + c ) u1 + J 2 p 2 + bp + c u 2 = 0.

)

(5.13)

Для того чтобы система имела ненулевое решение u1 , u 2 необходимо, чтобы определитель системы (5.12) был равен нулю. То есть из уравнения частот 2 J 1 p 2 + bp + c J 2 p 2 + bp + c − (bp + c ) = 0

(

)(

находим его корни. В расписанном виде имеем

)

165

(

)

p 2 J 1 J 2 p 2 + b( J 1 + J 2 ) p + c( J 1 + J 2 ) = 0. J1 + J 2 . Корни уравнения запишутся J1 J 2

Или p 2 + bλ p + cλ = 0, где λ =

p1 =

Для значений b 2
1, что соответствует повышению усталостной прочности.

179

При определении запаса прочности с учетом концентрации напряжений и влияния масштабного и технологического факторов предельно допустимые значения напряжений должны быть уменьшены. При этом снижается только амплитудная составляющая путем соответствующего увеличения амплитуды действующего напряжения в kσ k = σ раз. Прочность деталей, подверженных одновременному действию переε σ′ ε σ′′ ε σ менных нормальных и касательных напряжений (например, при сочетании деформации изгиба и кручения), оценивается суммарным запасом прочности: nσ nτ 1 n∑ = . = 1 1 nσ2 + nτ2 + 2 2 nσ nτ

6.2. Определение расчетных значений крутящего момента Рассмотрим участок приведенного вала, который необходимо проверить на прочность. С этой целью зафиксируем действительную схему вала (рис. 6. 2). Для определения значений крутящего момента, с целью расчета на прочность элементов i − колена рассматривается такой участок, которому соответствуют наибольшие средние и амплитудные значения момента.

Рис 6. 2

180

На рис. 6. 3 изображен график гармоники с минимальной M min и максимальной M max амплитудами, а также ее среднее значение M m .

Рис. 6. 3 Выделяется участок В-Д и для него фиксируется приведенная схема, форма колебаний и участок приведенного вала (см. рис. 6. 1). Крутящий момент складывается из "набегающего" крутящего момента, подводимого от других цилиндров, момента данного i − го цилиндра и упругого момента, вызываемого периодической знакопеременной закруткой ∆ϕ i вала в результате крутильных колебаний в резонансном режиме с той или иной гармоникой k − го порядка. Таким образом, расчетный момент можно представить как M расч.i = M набег.i + M i + M упр.i = M набег.i +1 + M упр.i . Угол закрутки вала на участке В-Д составляет ∆ ϕ i = ϕ i − ϕ i +1 = Ai − Ai +1 = A1 (a i − a i +1 ). Тогда M упр.i = ci ∆ ϕ i = ci A1 (ai − ai +1 ) представляет собой амплитудное значение мо-

мента упругости. Среднее значение (M упр.i )m = 0. По кривой набегающего момента

M набег .i +1 находим M max , M min и, следовательно, получаем соотношение для определения среднего значения момента: (M набег.i +1 )m = M max − M min 2 и амплитудного значения момента

(M набег.i +1 )a = M max + M min . 2

Расчетное значение момента равно:

M расч.а = (M набег .i +1 )a + M упр.i , M расч.m = (M набег .i +1 )m .

6.3. Определение запасов прочности при асимметричном цикле (изгиб, растяжение-сжатие, кручение) За основу расчета запасов прочности принимается схематизированная диаграмма предельных напряжений для образцов без концентрации напряжения. На рис. 6. 4 представлены следующие напряжения: σ max − наибольшее по алгебраической величине на-

181

пряжение цикла; σ m − среднее напряжение цикла; σ −1 − предел выносливости при симметричном цикле; σ 0 − предел выносливости при пульсирующем цикле.

Рис. 6. 4 Уравнением линии предельных напряжений в координатах σ max , σ m является урав⎞ ⎛σ нение прямой, проходящей через две точки – А, Б с координатами (0, σ −1 ) и ⎜ 0 , σ 0 ⎟. ⎠ ⎝ 2 Это уравнение имеет вид:

σ max = σ −1 +

⎛ 2σ − σ 0 ⎞ σ 0 − σ −1 ⎟⎟ ⋅ σ m . ⋅ σ m = σ −1 + ⎜⎜1 − −1 σ0 ⎛σ0 ⎞ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Обозначим Ψσ =

2σ −1 − σ 0

коэффициент, характеризующий чувствительность меσ0 талла к асимметрии цикла. Коэффициент Ψσ зависит от свойств металла. Таким образом, уравнение линии предельных напряжений для образца без концентрации напряжений приобретает вид:

σ max = σ −1 + (1 −Ψ σ ) ⋅ σ m .

(6.1)

При действии касательных напряжений уравнение имеет аналогичный вид:

τ max = τ −1 + (1 −Ψτ ) ⋅τ m .

(6.2)

Учет концентрации напряжений абсолютных размеров сечений, состояния поверхности и т.д. производится по экспериментальным данным определенной закономерности. Эта закономерность заключается в том, что отношение предельных амплитуд гладкого образца и детали, на прочность которой влияют концентрация напряжений, абсолютные размеры, состояние поверхности, свойства поверхности слоя и другие факторы, остается постоянным независимо от величины среднего напряжения цикла.

182

На этом основании может быть построена схематизированная диаграмма предельных напряжений для детали (рис. 6. 5).

Рис. 6. 5 Указанное построение может быть получено аналитически. Предельная амплитуда напряжений образца выражается формулой σ a = σ max − σ m = [σ −1 + (1 −Ψ σ )σ m ] − σ m = σ −1 −Ψ σ σ m . Предельная амплитуда напряжений для детали σ ak на основе вышеотмеченной закономерности будет в (kσ )D раз меньше σ a , то есть (σ ak )d =

σa

(kσ )D

=

σ −1 −Ψ σ σ m

(kσ )D

.

Уравнение линии предельных напряжений для детали получит вид:

(σ

) = (σ )

max k d

ak

d

+σm =σm +

σ −1 − Ψσ σ m

(kσ )D

=

σ −1

(kσ )D

⎡ Ψσ ⎤ + ⎢1 − ⎥ σ m. ( ) k σ D ⎦ ⎣

(6.3)

Диаграмма предельных напряжений для деталей и ее аналитическое выражение используются для определения запасов прочности (рис. 6. 6).

Рис. 6. 6

183

Пусть номинальные напряжения в детали σ max , σ m характеризуются точкой M . Так как эта точка лежит ниже линии предельных напряжений, то деталь, очевидно, будет иметь некоторый запас прочности больше единицы. Предположим, что в процессе работы детали с ростом нагрузки отношение

σ max = const , то есть имеет место пропорциональное возрастание и переменной, и поσm

стоянной составляющих цикла напряжений. Такое напряжение детали является простым. При простом нагружении точка, характеризующая цикл напряжений, будет двигаться от точки M к точке N по лучу ON , выходящему их начала координат. При этом коэффициент асимметрии цикла будет оставаться постоянным. Это вытекает из следующих зависимостей: tg β =

σ max 2σ max 2 = = , σ m σ max + σ min 1 + r

σ min − коэффициент асимметрии цикла. σ max σ При max = const , r = const. Предельной точкой, соответствующей разрушению, буσm

где r =

дет являться точка N . Запас прочности материала вала равняется следующему значению: nσ =

NN ′ NN ′′ N ′N ′′ (σ rk )d (σ ak )d σ md = = = = = , MM ′ MM ′′ M ′M ′′ σ max σa σm

где (σ rk )d − предел выносливости при асимметричном цикле для деталей; (σ ak )d − предельная амплитуда напряжений для детали. Величину (σ rk )d − ординату точки N − найдем в результате совместного решения уравнений линии AN (линии предельных напряжений для детали) и луча ON : ⎡ Ψ ⎤ σ ′ k )d = −1 + ⎢1 − σ ⎥ σ m′ ; уравнение линии AN − (σ max (kσ )D ⎣ (kσ )D ⎦

σ max σ m′ , где штрихами обозначены текущие коордиσm σ −1 ⋅ σ max ′ k )d = (σ rk )d , получим (σ rk )d = . наты. Отсюда, учитывая, что (σ max (kσ )D σ a +Ψ σ σ m ′ = уравнение луча ON − σ max

Таким образом, окончательное выражение для запаса прочности имеет вид:

nσ =

σ −1 . (kσ )D σ a +Ψσ σ m

(6.4)

Аналогично выводится выражение запаса прочности при кручении. Имеет место следующая формула: nτ =

τ −1 . (kτ )D τ a +Ψτ τ m

(6.5)

184

В области больших асимметрий цикла при сохранении условия прочности по усталости напряжение в деталях может оказаться близким к предельному по статической несущей способности. Эта несущая способность характеризуется напряжениями k l σ T в пластическом состоянии (см. рис. 6. 6) и σ b − в хрупком состоянии. Коэффициент kl зависит от распределения напряжений за пределами упругости и параметра диаграммы деформирования. Поэтому, наряду с определением запасов прочности по усталости [формулы (6.1), (6.2)], следует определять запас прочности по статической несущей способности. Данная методика подробно представлена в литературе [43]. В соответствии с этим, диаграмма предельных напряжений будет ограничена линией σ max = k l σ T (для кручения τ max = k l τ T ) по статической несущей способности (рис. 6. 6). Для асимметричных циклов с условием σ m < 0 можно принять Ψ σ = 0.

6.4. Напряжения в элементах вала При определении напряжений в элементах коленчатого вала воспользуемся расчетной схемой, представленной на рис. 6. 7. Напряжения рассчитываются с учетом крутильных колебаний и усталостной прочности.

Рис. 6. 7

185

6.4.1. Скручивание шеек вала Соответствующие касательные напряжения при скручивании вала для коренной шейки можно записать так: M M τ ak = расч.a , τ mk = расч.m , Wk Wk где Wk − момент сопротивления коренной шейки. Он определяется в этом случае слеd π 3 дующим образом: Wk = d k 1 − α 4 , где α = k 0 − отношение внутреннего и 16 dk наружного диаметров коренной шейки. Тогда запас прочности вала с учетом крутильных колебаний и усталостной прочности, записывается по формуле:

(

)

nτ =

τ −1

kτ

ετ

(6.6)

.

τ ak +Ψ τ τ mk

Представленное соотношение отличается от выражения (6.5) введением ε τ , которое является коэффициентом влияния абсолютных размеров. Коэффициенты kτ , ε τ ,Ψ τ определяются по справочным данным в зависимости от материала вала. Что касается шатунной шейки, то определение запаса прочности осуществляется по аналогичному соотношению (6.7). Аналогично определяется Wш − момент сопротивления скручиванию для шатунной шейки, и подсчитываются набегающие моменты на шатунную шейку. Последнее является определяющим при вычислении M ′расч.a , M ′расч.m .

6.4.2. Изгиб щеки в плоскости, перпендикулярной валу Воспользуемся схемой, изображенной на рис. 6. 7 и определим соответствующие напряжения: M M σ aщ = расч.a , σ mщ = расч.m , Wщ Wщ hb 2 . где Wщ − момент сопротивления сечения щеки. Он равен: Wщ = 6 Соответственно запас прочности определяется по формуле: nσ =

σ −1 kσ

εσ

.

(6.7)

σ aщ +Ψ σ σ mщ

Аналогично, как в случае скручивания вала, коэффициенты kσ , ε σ ,Ψ σ определяются в зависимости от материала по справочным данным. То же самое можно сказать и о напряжениях τ −1 , σ −1 . Задание для самостоятельной работы. Определить запас прочности для шатунной шейки коленчатого вала.

186

7. МЕТОДЫ РАСЧЕТАКРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ В данной главе будут изложены основные методы расчета крутильно-колебательных систем. Основная цель – показать преимущества, привлекательность использования матричных методов. Для приведенной схемы крутильно-колебательной системы составляются дифференциальные уравнения, которые затем решаются с целью определения амплитудночастотных характеристик. Для малого количества степеней свободы (2 – 3) определение собственных частот не представляет сложности, но для s ≥ 4 вычисления становятся громоздкими, и повышается вероятность ошибок расчета. Поэтому были разработаны различные подходы к расчету колебаний крутильных систем, основанные на приближенном вычислении собственных частот. А так как большое значение в инженерной практике имеют основные частоты, то большинство методов ориентировано не на составление кинетической и потенциальной энергий и применение метода Лагранжа, а на составление рекуррентных формул амплитуд.

7.1. Метод Хольцера Рассмотрим цепную крутильно-колебательную систему (рис. 7. 1) J1

c1

Ji

J3

J2

c2

c3

ci −1

c n −1

ci

ϕ i +1

Jn

J n −1

ϕ i −1

J i +1

J i −1

ϕi Ji

Рис. 7. 1 Из равенства момента инерционных сил i − й массы с моментом сил упругости вала слева и справа от нее: J iϕ&&i + ci −1 (ϕ i − ϕ i −1 ) + ci (ϕ i − ϕ i +1 ) = 0.

(7.1)

Так как ϕ i = ai sin kt , ϕ&&i = −ai k 2 sin kt , то получим

− J i ai k 2 sin kt + ci −1 ai sin kt − ci −1 ai −1 sin kt + ci ai sin kt − ci ai +1 sin kt = 0. Сократив на sin kt , получим

(

)

ai −1ci −1 + ai J i k 2 − ci −1 − ci + ai +1ci = 0

(7.2)

187

Напишем уравнения вида (7.1) для всех масс: ⎧ J 1ϕ&&1 + c1 (ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0 ⎪ J ϕ&& + c (ϕ − ϕ ) + c (ϕ − ϕ ) = 0 1 2 2 3 ⎪ 2 2 1 2 ⎪⎪ J 3 ϕ&&3 + c 2 (ϕ 3 − ϕ 1 ) + c3 (ϕ 3 − ϕ 4 ) = 0 ⎨ ⎪KKKKKKKKKKKKKKKK ⎪ J n −1 ϕ&&n −1 + c n − 2 (ϕ n −1 − ϕ n − 2 ) + c n −1 (ϕ n −1 − ϕ n ) = 0 ⎪ ⎪⎩ J n ϕ&&n + c n −1 (ϕ n − ϕ n −1 ) = 0. i =n

∑ J ϕ&&

Сумма этих уравнений равна

i =1

массы:

(

i

i

= 0.

)

Составим уравнения вида (7.2) для каждой

⎧a1 J 1k 2 − c1 + a2 c1 = 0 ⎪ 2 ⎪a1c1 + a2 J 2 k − (c1 + c2 ) + a3c2 = 0 ⎪a c + a J k 2 − (c + c ) + a c = 0 ⎪ 2 2 3 3 2 3 4 3 ⎨ K K K K K K K K K K K K KKKKK ⎪ ⎪a c + a J k 2 − (c + c ) + a c = 0 n −1 n −1 n−2 n −1 n n −1 ⎪ n −2 n −2 2 ⎪⎩an J n k − cn−1 + an−1cn−1 = 0.

(

( (

) )

( )

(7.3)

)

Система (7.3) имеет n уравнений с n + 1 неизвестными: k , a1 , a2 , K , an . Абсолютные амплитуды ai заменим на относительные амплитуды µ i (коэффициенты распределения) и найдем из уравнений (7.3) их значения: ⎧µ = 1 ⎪ ⎪µ = µ − µ1 J 1 k 2 1 ⎪ 2 c1 ⎪ µ1 J1 + µ 2 J 2 2 ⎪ k . ⎨µ 3 = µ 2 − c2 ⎪ ⎪KKKKKKKKKKKK ⎪ ⎪µ = µ − µ1 J 1 + µ 2 J 2 + µ 3 J 3 + K + µ n−1 J n−1 k 2 n −1 ⎪ n cn−1 ⎩ В общем виде для сечения вала под i − й массой угловая относительная амплитуда определяется следующим образом:

µ i = µ i −1 −

k2 ci −1

i −1

∑a J j =1

j

j

.

Максимальная закрутка вала на участке между i − 1, i массами равна

188

µ i − µ i −1 = − n

∑ J ϕ&&

Подставляя в выражение

i =1

i

i

k 2 i −1 ⋅ ∑ ajJ j. ci −1 j =1

= 0 значение ϕ&&i , получим n

− ∑ J i k 2 ai sin kt = − k 2 sin kt ⋅ ∑ µ i J i = 0 . i =1

n

Так как уравнение должно удовлетворяться при любом значении t , то − k 2 ⋅ ∑ µ i J i = 0 , i =1

что при k ≠ 0, µ i ≠ 0, J i ≠ 0 справедливо лишь для определенных значений k , которые следует найти исходя из условия, согласно которому сумма моментов сил инерции масс была бы равна нулю, то есть n

∑µ J i =1

i

i

= 0.

Задаваясь различными значениями k и определяя каждый раз µ i для всех масс, можно n

построить кривую

∑µ J i =1

i

i

=

R R = f (k ) в координатах k , 2 (рис. 7. 2) 2 k k

Рис. 7. 2 Пересечение кривой f (k ) с осью абсцисс дает искомое значение k . При k = 0, µ i = 0 n

кривая пересекает координатную ось на расстоянии − ∑ J i . Поскольку обычно пракi =1

тический интерес представляют низкие частоты k1 , k 2 , нет необходимости строить всю кривую, а можно ограничиться лишь значениями ее, лежащими близко к k1 , k 2 . n

Особенностью метода Хольцера является вычисление суммы

∑µ J i =1

i

i

= 0 по проб-

ным значениям частот. Корректирование выбора пробных частот осуществляется по анализу значений результатов вычисления суммы инерционных крутящих моментов.

189

R и называется остаk2 точным моментом. Таким образом, устанавливается функциональная зависимость f (k ) между остаточным моментом и пробной частотой k .

Для k 2 значение этой суммы, как показано выше, обозначается

7.2. Метод Толле Этот метод представляет другой вид метода остатка. Он основан на равенстве нулю суммы моментов сил упругости и моментов инерции при собственных колебаниях крутильных систем. Для цепной системы, состоящей из n приведенных масс с моментами инерции J i (i = 1, 2,..., n ) и (n − 1) участков вала, коэффициенты жесткости которых равны c j ( j = 1, 2,..., n − 1) , соответственно, составляются алгоритмические выражения моментов сил упругости и амплитуд крутильных колебаний. Момент сил упругости, действующий на j − й участок вала, обозначается через M j j = 1, 2,..., n − 1. Амплитуда углового колебания i − й приведенной массы обозначается через ui i = 1, 2,..., n. Тогда система алгебраических уравнений ⎧M 1 = − J 1u1k 2 , ⎪ 2 ⎪M 2 = M 1 − J 2 u 2 k , ⎪KKKKKKKKK ⎪ ⎨ 2 ⎪M j = M j −1 − J j u j k , ⎪KKKKKKKKK ⎪ ⎪⎩M n−1 = M n−2 − J n−1u n −1k 2 ,

(7.4)

отображает зависимости угловых моментов. Здесь величины M j = − J j u j k 2 являются моментами сил инерции вращательных масс. Вторая система соотношений выражает связи амплитуд колебаний приведенных масс системы. Она имеет вид: M1 ⎧ ⎪u 2 = u1 + c 1 ⎪ M2 ⎪ ⎪u3 = u 2 + c2 , ⎨ ⎪KKKKKKK ⎪ M n−1 ⎪ ⎪u n = u n−1 + c n −1 ⎩ ⎛ GJ p ⎞ ⎟⎟ , i = 1, 2,...., n. Складывая все уравнения (7.4), получим выражение где ci = ⎜⎜ ⎝ l ⎠i M n = −k 2

n

∑J u i =1

i i

.

(7.5)

190

Здесь R = M n = M n−1 − J n u n k 2 называется остаточным моментом. Если k является частотой колебаний, то R = 0. Для произвольных чисел k остаточный момент является функцией от k 2 , то есть R = f k 2 . Исходя из выражения (7.5), строится график в плосR кости двух осей 2 , k 2 . Точки пересечения графика с осью k 2 определяют собственk ные частоты колебаний системы. Метод Толле удобен при определении собственных частот колебаний крутильных систем. Но он также как метод Хольцера ограничен в своем применении. Он пригоден лишь для свободных колебаний. Для вынужденных и затухающих колебаний этот метод не пригоден.

( )

7.3. Энергетический метод Рэлея Для оценки значений собственных частот колебаний консервативных систем используют метод Рэлея, который основан на законе сохранения полной механической энергии для главных колебаний. Уравнение часто составляется из равенства максимальных значений кинетической и потенциальной энергий, то есть Τ max = Π max . Так, для консервативных систем с n степенями свободы кинетическая и потенциальная энергии представляются квадратичными формами вида: T=

1 n n 1 n n J ijϕ& iϕ& j , Π = ∑∑ cijϕ iϕ j , ∑∑ 2 i =1 j =1 2 i =1 j =1

где J ij − инерционные параметры системы, cij − коэффициенты жесткости упругих элементов системы. Для s − го главного колебания максимальные значения кинетической и потенциальной энергии запишутся в виде Tmax =

1 2 ks 2

n

n

∑ ∑ J ij asi asj , Π max = i =1 j =1

1 n n ∑∑ cij asi asj , 2 i =1 j =1

где k s − главная частота s − го колебания; asi − амплитуды, определяющие форму s − го главного колебания. Тогда приближенное значение собственной частоты s − го главного колебания будет равно: n

ks =

n

∑∑ J ij asi asj i =1 j =1 n n

∑∑ c a i =1 j =1

ij

si

a sj

n

=

∑J a n

i =1 n

i

2 si

∑∑ c a i =1 j =1

ij

. si

a sj

Точность значения k s зависит от того, как точно соответствуют числа asi s − ой формы главного колебания. Поэтому метод Рэлея применяется при заданном наборе чисел asi . Для систем с более чем две степени свободы метод Рэлея не эффективен. В. Л. Бидерман отметил следующий недостаток этого метода: "Задают форму колебания

191

системы, сводя ее таким образом к системе с одной степенью свободы. При удачной аппроксимации получают достаточно точное значение низшей собственной частоты системы, однако другие ее динамические характеристики остаются нераскрытыми" [14].

7.4. Метод цепных дробей Терских Для определения частот при помощи метода цепных дробей составляется уравнение частот, записанное в виде цепной дроби [15]. Приведем технологию составления таких уравнений на примере крутильной системы с 4 – мя степенями свободы. Для этой системы дифференциальные уравнения движения имеют вид: ⎧ J 1ϕ&&1 + c1 (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0 ⎪ J ϕ&& − c (ϕ − ϕ ) + c (ϕ − ϕ ) = 0 ⎪ 2 2 1 1 2 2 2 3 ⎨ & & ( ) ( ⎪ J 3ϕ 3 − c2 ϕ 2 − ϕ 3 + c3 ϕ 3 − ϕ 4 ) = 0 ⎪⎩ J 4ϕ&&4 − c3 (ϕ 3 − ϕ 4 ) = 0.

(7.6)

Решение этой системы ищется в виде ϕ i = ai sin (kt + α ). Тогда система (7.6) примет вид: ⎧ J1a1k 2 + c1 (a1 − a2 ) = 0 ⎪ 2 ⎪ J 2 a2 k − c1 (a1 − a2 ) + c2 (a2 − a3 ) = 0 ⎨ 2 ⎪ J 3 a3 k − c2 (a2 − a3 ) + c2 (a3 − a4 ) = 0 ⎪ J a k 2 − c (a − a ) = 0. 3 3 4 ⎩ 4 4

(7.7)

Последовательно выражая a2 , a3 , a4 через a1 , получим уравнение частот в виде цепной дроби 1 (7.8) = 0. − J 4k 2 + 1 1 + 1 c3 − J k 2 + 3 1 1 + 1 c2 − J k 2 + 2 1 1 + c1 − J 1k 2 Аналогично получаются уравнения для крутильной системы с n степенями свободы. Эти уравнения алгоритмичны и, также как в методе Хольцера приводятся к вычислительной процедуре частот. Задавая пробные частоты, проводится вычисление цепной дроби. Если при заданной частоте эта дробь [например, дробь типа (7.8) при n = 4 ] будет равна нулю, то выбранное значение частоты будет соответствовать действительной. В этом методе в расчет не привлекаются амплитуды. Как и в методе Хольцера, в методе Терских необходимо " угадать" область значений частот, из которой может быть найдена собственная частота колебаний.

192

7.5. Матричные методы Использование математического аппарата матриц в теории крутильных колебаний позволяет не только записать расчетные уравнения для систем со многими степенями свободы в компактном виде, но и сформировать вычислительную процедуру по определению всех собственных частот и амплитуд колебаний. Форма записи дифференциальных уравнений, преобразование этих уравнений, приведение к решению в матричной форме для различных матричных методов практически одинаковы. Но по-разному осуществляется сама вычислительная процедура. Рассмотрим матричный метод вращения [16]. Этот метод основан на составлении спектральной матрицы следующего вида: ⎛ k11 ⎜ ⎜ 0 Ω=⎜ ⎜ . ⎜ . ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ 2 K k n ⎟⎠

0 K 2 k2 K . K .

0 0 .

В этой матрице на главной диагонали расположены квадраты собственных частот крутильной системы, а все остальные элементы этой матрицы равны нулю. Как было показано выше, из (3.5) на основании (3.6) следует матричное уравнение: Ca = Ak 2 a

(7.9)

где a − вектор-столбец амплитуд. Тогда при помощи фундаментальной матрицы, имеющей вид: ⎛ a11 ⎜ ⎜a Φ = ⎜ 21 . ⎜ ⎜a ⎝ n1

a12 a 22 . an 2

K a1n ⎞ ⎟ K a2 n ⎟ , K . ⎟ ⎟ K a nn ⎟⎠

где aij − амплитуды колебаний, уравнения (7.9) запишутся в виде CΦ = AΦ Ω . (7.10) Нахождение матрицы Ω проводится по следующему алгоритму. 1. Вычисляется матрица U = A −1 2CA−1 2 . 2. Вычисляется матрица X = A−1 2Φ . 3. Преобразование выражения (7.10). Так как A−1 2 A1 2 = E , A1 2 A1 2 = A, то получим CA −1 2 A1 2Φ = A1 2 A1 2ΦΩ . Отсюда следует UX = XΩ . Следовательно, получим искомое выражение матрицы: Ω = X −1UX . Для вычисления этой матрицы применяется метод вращения Якоби. Но для выполнения этого процесса необходимо определить фундаментальную матрицу Φ . Ее можно найти, решая систему det k 2 E − A−1C = 0.

(

)

193

8. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ВАЛА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Для упрощения расчетной технологии крутильно-колебательных систем принято их сводить к дискретным динамическим моделям, описываемым конечной совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Такой подход был проиллюстрирован в главе 3. Но в состав крутильных систем различных установок и машин входят упругие элементы, размерами которых нельзя пренебречь при формировании их расчетных схем. Так, в состав судовых валопроводов входят достаточно длинные промежуточный и гребной валы. А длины ведущих полуосей и карданных валов автотранспортных машин превосходят по величине размеры других деталей трансмиссий. Сведение таких валов к некоторой совокупности сосредоточенных масс очень сильно упрощает динамическую модель и искажает всю картину сложного колебательного процесса в валопроводе. Следовательно, для реализации адекватности протекания динамического процесса реальной технической системы и ее динамической модели необходимо включать в состав колебательно-крутильной схемы тела с распределенными параметрами, то есть такие объекты, как длинные упругие валы. Так, для исследования продольных и крутильных колебаний буровых установок были применены континуально-дискретные модели [44]. Основой этой модели является неоднородный стержень переменного сечения, связанный системой дискретных масс упруго диссипативными связями. Колебания такой системы описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В моделях силовых установок и трансмиссиях судовых и транспортных средств валы большой длины представляются однородными цилиндрическими телами с постоянными круглыми сечениями. В этом разделе будет рассмотрена методика составления дифференциальных уравнений свободных и вынужденных крутильных колебаний круглых валов и их решение. Итак, объектом, совершающим крутильные колебания, здесь является однородный круговой цилиндрический стержень (вал с центральной осью симметрии) длины l , плотности ρ и радиуса R его сечения.

8.1. Определение крутящего момента Моделью рассматриваемого динамического процесса стержня являются малые крутильные колебания, при которых плоские поперечные сечения остаются плоскими в результате кручения. Взаимное расположение любых двух соседних сечений (расположенных на бесконечно малом расстоянии dx) определяется углом поворотом ϕ вокруг центральной оси вала x. В процессе крутильных движений значение угла ϕ произвольного сечения является функцией его положения вдоль стержня и времени. Так, если вдоль центральной оси симметрии вала направить ось x от левого крайнего сечения, а начало координат выбрать в центре этого сечения, то угол закрутки (кручения) представится в виде: ϕ = ϕ ( x, t ), 0 ≤ x ≤ l. Таким образом, эта функция определяет закон малых крутильных колебаний стержня в целом и позволяет изучить движение любого поперечного сечения вала. В результате кручения стержня любое сечение подвергается воздействию крутящего момента M кр . Определим его величину.

194

На произвольном расстоянии x от левого края выделим сечение a − b , а от него на расстоянии dx - сечение a ′ − b ′ (рис. 8. 1).

Рис. 8. 1

Рис. 8. 2

Рассмотрим поворот сечения a ′ − b ′ относительно сечения a − b . Кручение представляет собой деформацию сдвига материала, заключенного между этими выделенными сечениями, вызывающую относительный поворот вокруг оси x. Для того чтобы сечение a ′ − b ′ повернулось на угол dϕ относительно сечения a − b необходимо к нему приложить крутящий момент M кр . Для его определения необходимо найти касательное напряжение τ . С этой целью выделим бесконечно малый тонкий цилиндр длины dx, радиуса r поперечного сечения (рис. 8. 2). В результате действия крутящего момента M кр образующая A0 A0′ займет положение A0 A′ , определяемое углом сдвига γ . При

этом углы γ , dϕ связаны зависимостью γdx = rdϕ . Отсюда следует формула вычисления угла сдвига: ∂ϕ ( x, t ) rdϕ γ = =r . (8.1) dx ∂x

С другой стороны, касательное напряжение τ , вызванное этим сдвигом, определяется из закона Гука: τ = Gγ , где G − модуль сдвига. Усилие в сечении dF будет равно dS = τdF = Gγ dF . Тогда закручивающий момент, приложенный к элементарной площадке, определится по формуле: dM кр = rdS = Gγ rdF . Воспользовавшись формулой (8.1), получим: ∂ϕ dM кр = Gr 2 dF . (8.2) ∂x Следовательно, полный крутящий момент, действующий на сечение a ′ − b ′ при закрутке на угол dϕ , получается интегрированием выражения (8.2) по всей площади сечения a ′ − b′ : ∂ϕ M кр = ∫∫ dM кр = G r 2 dF . ∫∫ ∂ x (F ) (F ) А так как J p = ∫∫ r 2 dF − полярный момент инерции сечения a ′ − b ′ , то окончательно (F )

получим, что M кр = GJ p

∂ϕ . ∂x

(8.3)

195

Выражение GJ p иногда называют жесткостью сечения вала при кручении, ∂ϕ = ε ϕ называют относительным углом закручивания вала. Таким образом, крутя∂x щий момент, действующий на любое сечение вала, равен произведению жесткости сечения на его относительный угол закрутки.

8.2. Дифференциальные уравнения свободных крутильных колебаний вала Традиционно при составлении дифференциальных уравнений крутильных колебаний применяется принцип Даламбера [13, 19, 45]. При этом рассматриваются лишь стержни постоянного поперечного сечения. Однако в общем случае жесткость GJ p (x) является функцией координаты x. Для составления дифференциального уравнения крутильных колебаний стержня выделим его элемент длиной dx , расположенный на расстоянии x от центра O (см. рис. ′ , соответственно приложенные 8.1). На него действуют крутящие моменты M кр , M кр слева и справа, а также инерционный момент M ин . Согласно принципу Даламбера их сумма равна нулю. ∂M кр ∂ϕ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ′ = M кр + dM кр = M кр + Здесь M кр = GJ p ( x) , M кр dx = M кр + ⎜ GJ p (x ) ⎟dx , ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x M ин = J x

∂ 2ϕ ∂ 2ϕ , где J − осевой момент инерции выделенного элемента стержня; − x ∂t2 ∂t2

его угловое ускорение. Осевой момент определяется по формуле: J x = i x dm, где i x − радиус инерции элемента стержня; dm − его элементарная масса. Исходной информацией о данном стержне является его плотность ρ . Тогда элементарная масса выделенной бесконечно малой части стержня определится по формуле: 2 dm = ρ F ( x ) dx. Поэтому имеем для осевого момента инерции J x = ρ i x F ( x ) dx. Но так 2

как F (x ) i x = J p ( x ) − полярный момент инерции сечения, то, следовательно, осевой 2

момент инерции будет равен J x = ρ J p ( x )dx, а инерционный момент инерции стержня

∂ 2ϕ dx. Следовательно, на основании принципа ∂t 2 ∂M кр ′ − M ин = Даламбера будем иметь: − M кр + M кр dx − M ин = 0. ∂x Отсюда, согласно вышенаписанным выражениям, получим уравнение: вычислится по формуле: M èí = ρ J p ( x )

∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ 2ϕ ( ) ( ) = GJ x J x . ρ ⎜ p ⎟ p ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂t2

(8.4)

Если GJ p = const , тогда получим следующий вид дифференциального уравнения:

196 2 ∂ 2ϕ 2 ∂ ϕ = a , ∂t2 ∂x 2

(8.5)

где a = G / ρ . Уравнение (8.5) называется дифференциальным уравнением свободных крутильных колебаний цилиндрических валов постоянного сечения. Это есть дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа. Оно еще называется волновым уравнением [46].

8.3. Решение волнового уравнения Решение уравнения (8.4) осуществляется при помощи обобщенных функций, вводимых в функциональном анализе для решения дифференциальных уравнений с частными производными и переменными коэффициентами. Эти задачи выходят за рамки данного учебного пособия. Здесь же сосредоточим внимание на решении дифференциального уравнения (8.5). Традиционно для решения этого уравнения применяется либо метод Даламбера (метод характеристик), либо метод Фурье (метод разделения переменных) [45, 46]. Для решения практических задач, связанных с крутильными колебаниями упругих валов, входящих в состав колебательно-крутильной системы, эффективен метод Фурье. Поэтому именно он и будет выбран для решения уравнения (8.5). Решение уравнения (8.5) представляется в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией координаты x , а другая – переменной времени t. То есть решение представляется в виде:

ϕ = ϕ (x, t ) = X ( x)T (t ).

(8.6)

2 2 ∂ 2ϕ ∂ 2T &&(t ), ∂ ϕ = ∂ X T (t ) = T (t )X ′′( x ). В результате подста( ) ( ) = = X x X x T ∂t 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂x 2 новки (8.6) в дифференциальное уравнение (8.5) получим выражение:

При этом

X ′′( x ) T&&(t ) = 2 = − p2, X ( x ) a T (t )

(8.7)

где p − постоянная величина, коэффициент пропорциональности. Но как будет выяснено ниже, эта величина имеет фундаментальное значение для описания крутильных колебаний вала. Из (8.7) следует система двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

X ′′(x ) + p 2 X ( x ) = 0 , 2 T&&(t ) + (ap ) T (t ) = 0.

(8.8) (8.9)

Для однозначного решения дифференциального уравнения (8.5) или то же самое для системы уравнений (8.8)-(8.9) необходимо задать дополнительные условия. Ими являются условия на концах стержня (при x = 0, x = l ) – концевые или граничные условия и условия в начальный момент времени (при t = 0 ) – начальные условия. В зависимости от граничных и начальных условий и решается данная задача.

197

Решение дифференциального уравнения (8.8): X ′′(x ) + p 2 X ( x ) = 0 при определенных граничных условиях. Выделяются следующие условия. A. Свободные граничные сечения вала – случай установки вала на двух опорных подшипниках качения. В этом случае на левое и правое сечения не действуют кру∂ϕ ( x, t ) тящие моменты, и, следовательно, учитывая равенство M кр = GJ p = 0 , по∂x ∂ϕ ∂ϕ лучим следующие условия: ∀t = 0. Или, что то же самое: = ∂x x =0 ∂x x =l X ′(0, t ) = X ′(l , t ) = 0.

(8.10)

B. Закрепленные граничные сечения вала – случай защемления вала слева и справа. Тогда должны быть выполнены условия: ∀t ϕ (0, t ) = ϕ (l , t ) = 0 или, что то же самое: X (0, t ) = X (l , t ) = 0.

(8.11)

C. Один конец свободен, другой закреплен – случай, моделирующий граничные условия гребного вала винтового судна. Например, для левого закрепленного сечения, правого свободного получим следующие граничные условия: X (0, t ) = X ′(l , t ) = 0.

(8.12)

Для определенности рассмотрим случай с граничными условиями (8.12). Вид обыкновенного дифференциального уравнения (8.8) определяет и вид его решения – сумму двух гармонических функций (как при решении уравнения линейного осциллятора): X = C1 cos px + C 2 sin px. Производная от этой функции: X ′ = − pC1 sin px + pC 2 cos px. Для определения постоянных интегрирования C1 , C 2 воспользуемся граничными условиями (8.12). Будем иметь 0 = C1 , 0 = pC 2 cos pl. А чтобы выполнялось условие

∀t X = 0

при x = l необходимо, чтобы C 2 ≠ 0. Следовательно, должно быть выполнено условие:

cos pl = 0.

(8.13)

Уравнение (8.13) называется частотным уравнением. Решая его, получим

π

(2i − 1), i = 1, 2, K (8.14) 2l бесконечную совокупность гармонических функций X ( x ). Вводя обозначение k = 2i − 1 , получим вид этих функций в компактной форме (для всех нечетных k ): pi =

⎛ kπ x ⎞ X k = C sin ⎜ ⎟, ïðè k = 1, 3, 5 K ⎝ 2l ⎠

(8.15)

198

Функции X k ( x ) определяют формы собственных крутильных колебаний, они называются главными функциями. Так как важно знать вид формы колебаний, (она определяется своей частотой), то для целей изображения форм можно принять C = 1. Последовательно придавая индексу k его нечетные значения, получим совокупность частот p k , периодов τ k и форм, определяемых функциями X k . πx 3π 4l 3πx π , τ 3 = → X 3 = sin ; k = 3 → p3 = ; При k = 1 → p1 = , τ 1 = 4l → X 1 = sin 2l 3 2l 2l 2l 5π 4l 5πx , τ 5 = → X 5 = sin K Следовательно, главные функции X k для k = 5 → p5 = 2l 5 2l каждой частоты p k определяют формы в виде синусоид, укладывающихся на длине l вала. При k = 1 первая синусоида не имеет точек пересечения с осью Ox на длине l , при k = 3 вторая синусоида пересекает длину вала в одной точке ( x = 2l / 3 ), при k = 5 третья синусоида пересекает длину вала в двух точках (x1 = 2l / 5, x 2 = 4l / 5) и так далее. Явно прослеживается следующая закономерность количества точек пересечения синусоид с отрезком длины вала: при произвольном нечетном числе k количество тоk −1 , а координаты этих точек равны чек пересечения синусоиды с частотой p k равно 2 (k − 1)l . 2l соответственно x1 = , K , x k −1 = 3 k 2 2 Решение дифференциального уравнения (8.9): T&&(t ) + (ap ) T (t ) = 0 при определенных начальных условиях. Выделяются следующие общие условия:

∂ϕ (x, 0) = f 2 (x ), 0 ≤ x ≤ l. ∂t

ϕ ( x, 0) = f 1 ( x),

(8.16)

Первое начальное условие определяет угловую деформацию стержня, второе – распределение угловых скоростей сечений вала. kπ Решение дифференциального уравнения (8.9) для каждого p k = (по структуре 2l схожего с уравнением линейного осциллятора) записывается в виде:

⎛ kaπ t ⎞ ⎛ kaπ t ⎞ Tk = a k cos⎜ ⎟ + bk sin ⎜ ⎟ , k = 1, 3, 5, K, ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ где коэффициенты a k , bk определяются при помощи начальных условий (8.16). Таким образом, функции вида ⎛ kπ x ⎞⎛ ⎛ kaπt ⎞ ⎛ kaπt ⎞ ⎞ ⎟⎜⎜ a k cos⎜ ⎟ + bk sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ ⎠ ⎝ 2l ⎠⎝

ϕ k ( x, t ) = X k (x )Tk (t ) = sin ⎜

(8.17)

являются частным решением дифференциального уравнения (8.5) с граничными и начальными условиями (8.12) и (8.16). На основании однородности и линейности дифференциального волнового уравнения любая конечная совокупность решений вида (8.17)

199

также будет решением этого уравнения. Следовательно, решением уравнения (8.5) будет являться и бесконечный ряд

ϕ ( x, t ) =

⎛ kπ x ⎞⎛ ⎛ kaπt ⎞ ⎛ kaπt ⎞ ⎞ sin ⎜ ⎟⎜⎜ a k cos ⎜ ⎟ + bk sin ⎜ ⎟ ⎟⎟ . ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ ⎠ ⎝ 2l ⎠⎝ k =1, 3, 5... (8.18) ∞

∑

Следующим этапом составления общего решения уравнения (8.5) является нахождение таких постоянных коэффициентов a k , bk , чтобы были выполнены начальные условия (8.16). Если ряд (8. 18) сходится, то его можно продифференцировать. Производная этого ряда по t записывается в виде: ∞ kaπ ∂ϕ ⎛ kaπ t ⎞ ⎛ kaπ t ⎞ ⎞ ⎛ kπ x ⎞⎛ sin ⎜ = ∑ ⎟⎜⎜ − a k sin ⎜ ⎟ + bk cos⎜ ⎟ ⎟⎟ . ∂t k =1,3,5,... 2l ⎝ 2l ⎠⎝ ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ ⎠

(8.19)

Теперь воспользуемся начальными условиями при t = 0 . Из выражений (8.18), (8.19) и условий (8.16) получим f 1 ( x ) = ϕ ( x, 0 ) =

⎛ kπ x ⎞ a k sin ⎜ ⎟, ⎝ 2l ⎠ k =1, 3, 5.. ∞

∑

f 2 (x ) =

∞ ∂ϕ (x, 0) = ∑ kaπ bk sin⎛⎜ kπ x ⎞⎟ . ∂t ⎝ 2l ⎠ k =1, 3, 5.. 2l

(8.20)

Полученные формулы (8.20) представляют собой ряды Фурье по синусам. Коэффициенты a k , bk вычисляются как коэффициенты Фурье по формулам: 2 4 ⎛ kπ x ⎞ ⎛ kπ x ⎞ a k = ∫ f1 sin ⎜ f 2 sin ⎜ ⎟dx, bk = ⎟dx. ∫ l 0 kaπ 0 ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ l

l

(8.21)

Следует отметить, что на функции f1 ( x ), f 2 ( x ) должны быть наложены определенные ограничения. Так, функция f 1 ( x ) на 0 ≤ x ≤ l должна быть дважды непрерывно дифференцирована, иметь кусочно-непрерывную производную f1′′′ и f1 (0) = f1 (l ) = 0, ″ ″ f1 (0) = f1 (l ) = 0. Функция f 2 ( x) на 0 ≤ x ≤ l должна быть непрерывно дифференци″ руемой, иметь кусочно-непрерывную производную f 2 и f 2 (0) = f 2 (l ) = 0 . Таким образом, уравнение свободных колебаний однородного стержня постоянного сечения представляется бесконечным сходящимся рядом вида (8.18), коэффициенты которого вычисляются по формулам (8.21) при выполнении граничных условий (8.12) и начальных условий (8.16). В зависимости от начальных условий находятся коэффициенты Фурье (8.21). Задача. К закрепленному слева однородному стержню длиной l к крайнему справа сечению приложен момент M 0 . Затем мгновенно прекращают его действие. В результате первичной закрутки стержень начинает совершать малые крутильные колебания. Определить начальные условия движения этого стержня, а по ним коэффициенты Фурье a k , bk .

200

M0 GJ p называется относительным углом кручения. Тогда закон кручения каждого поперечного сечения стержня определяется по линейному закону и в начальный момент времени t = 0 определяется функциями f1 = ϕ 0 x, f 2 = 0, при 0 ≤ x ≤ l . Следовательно, на основании формул (8.21) коэффициенты Фурье для любого нечетного k запишутся: Решение. Из курса сопротивления материалов известно, что величина ϕ 0 =

2 ⎛ kπ x ⎞ ϕ 0 x sin ⎜ ⎟ dx . ∫ l 0 ⎝ 2l ⎠ l

bk = 0, a k =

(8.22)

Определение коэффициентов ak совершается вычислением интегралов (8.22) по частям. Имеют место следующие выкладки: l

2lx 2l ⎛ kπx ⎞ ⎛ kπx ⎞ ⎛ kπx ⎞ ⎛ 2l ⎞ ⎛ kπ ⎞ ∫0 x sin⎜⎝ 2l ⎟⎠dx = − kπ cos⎜⎝ 2l ⎟⎠ 0 + ∫0 kπ cos⎜⎝ 2l ⎟⎠dx =⎜⎝ kπ ⎟⎠ sin⎜⎝ 2 ⎟⎠ . l

2

l

⎛ kπ ⎞ Так как для любых нечетных k справедливо тождество: cos⎜ ⎟ = 0. И кроме того, ⎝ 2 ⎠ k 1 − ⎞ ⎛ ⎛ kπ ⎞ имеет место формула: sin ⎜ ⎟ = (− 1)⎜⎝ 2 ⎟⎠ . Следовательно, окончательно коэффициен⎝ 2 ⎠ ты Фурье для заданных начальных условиях вычисляются по формуле: ⎛ k −1 ⎞ ⎟ 2 ⎠

a k = (− 1)⎜⎝

8ϕ 0 l

(kπ )2

, bk = 0, k = 1, 3, 5, K

(8.23)

Так, для первых четырех k значения коэффициентов a k запишутся:

a1 =

8lM 0 8lM 0 8lM 0 8lM 0 , a3 = − , a5 = , a7 = − ,K 2 2 2 GJ pπ 25GJ pπ 49GJ pπ 2 9GJ pπ

Видна закономерность изменения коэффициентов a k : с увеличением числа k коэффициенты уменьшаются обратно пропорционально квадрату числа k . Следовательно, при k → ∞ коэффициенты ak также стремятся к бесконечности (a k → ∞) . В практическом плане это означает, что начиная с некоторого числа k гармоники с этими амплитудами a k не будут играть существенной роли в описании свободных крутильных колебаний стержня. Таким образом, колебательный процесс однородного вала при вышезаданных граничных и начальных условиях определяется бесконечным рядом:

ϕ ( x, t ) =

8lM 0 GJ pπ 2

∞

⎛ k −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

∑ (− 1)

k =1, 3, 5K

1 ⎛ kπ x ⎞ ⎛ kπ at ⎞ sin ⎜ ⎟ cos⎜ ⎟. 2 k ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠

(8.24)

Проведем предварительные расчеты по составлению функции ϕ ( x, t ). Ограничимся первыми четырьмя слагаемыми. Тогда получим следующее выражение:

201

⎛ 8lM 0 ⎜ GJ π 2 p ⎝

ϕ ( x, t ) = ⎜

⎞ ⎟(sin ⎛⎜ π x ⎞⎟ cos⎛⎜ π a t ⎞⎟ − 1 sin ⎛⎜ 3π x ⎞⎟ cos⎛⎜ 3π a t ⎞⎟ + ⎟ ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ 9 ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ ⎠ 1 ⎛ 5π x ⎞ ⎛ 5π a t ⎞ 1 ⎛ 7π x ⎞ ⎛ 7π a t ⎞ + sin ⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ − sin ⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ + K). 25 ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠ 49 ⎝ 2l ⎠ ⎝ 2l ⎠

Вычисления проведем для однородного вала длины l = 3 м, диаметра d = 0,3 м. Для углеродистых сталей их плотность в среднем равна ρ = 8,0 ⋅ 10 3 êã / ì 3 , модуль сдвига G = 8,1 ⋅ 1010 Í / ì 2 . Предел прочности для этих сталей задается в следующих пределах: [τ ] = 20 ÷ 45 МПа. Для нашего примера примем [τ ] = 30 МПа. Тогда максимальный крутящий момент определяется при помощи неравенства: M

max êð

< [τ ] Wc = [τ ]

π d3 16

.

30 ⋅ 10 ⋅ 3,1415 ⋅ 0,33 ≈ 1589625 H ⋅ ì . 16 Примем как заданный крутящий момент в правом сечении: M 0 = 1,2 ⋅ 10 5 H ì . Тогда

Таким образом, имеем M êðmax