量子コンピュータ入門 (情報科学セミナー)

情 ★報 ・科 ・学

Lヨ1躍 ゴン胃M …タ1尚 西嗣酋朗 暫

躍

Ｒ 本書 の 無 断複 写 は,著 作権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 本 書 は,日 本 複 写権 セ ン ター 「出版 物 の 複 写 利用 規 程 」 で定 め る特別 許諾 を必要 とす る出 版物 です 。 本 書 を複 写 され る場 合 は,す で に 日本 複 写 権 セ ン ター と包 括 契約 を され て い る方 も事 前 に 日本 複写 権 セ ン タ ー(03-3401-2382)の

許 諾 を 得 て くだ さ い

。

は じめ に

  本 書 の 目的 は,最 近 話 題 に な っ て い る 量 子 コ ン ピュ ー タ の概 念 を,な るべ く多 くの 読 者 に正 し く理 解 して い た だ くこ とで あ る.そ の た め に,量 子 コ ン ピュ ー タ の 根 底 に あ る考 え 方 を,計 算 機 科 学 の 立 場 か ら な るべ く平 易 に解 説 す る こ と を心 が け た.ま た,量 子 コ ン ピ ュ ー タ上 にお け る効 率 的 な ア ル ゴ リズ ム 設計 法 や,量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 可 能 性 につ い て も紹 介 した.   実 は,量

子 コ ン ピ ュ ー タ は ま だ 実 現 で き て い な い し,近

も 考 え ら れ て い な い.現 な く,量

子Turing機

在 考 案 さ れ て い る の は,量

い 将 来 に実 用 に な る と

子 コ ン ピュ ー タそ の もの で は

械 と い う量 子 コ ン ピ ュ ー タ の 数 学 的 モ デ ル な の で あ る.

  理 論 の 重要 な役割 の 一 つ は未 来 を予 見 す る こ とで あ る.英 国 の数 学 者Alan  Turing が 偉 大 だ っ た の は,コ

ン ピュ ー タが 影 も形 もな か っ た1930年

ピュ ー タの 数 学 的 モ デ ルで あ るTuring機

代 に,現 在 の コ ン

械 を考 案 した 点 に あ る .

  とこ ろ で,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モデ ルがTuring機 そ れ らの構 造 は あ ま り に異 な っ て い るの で,す

械 だ とい わ れ て も,

ぐ に は納 得 で き な い 方 が 多 い だ ろ

う.現 在 の 我 々で す らそ の よ うな状 況 な の だ か ら,Turing機

械が考案 された当時

の 人 々 に は,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 実 現 形 態 は ま っ た く想 像 で きな か っ た はず で あ る.そ れ と同 じ よ うに,量 子Turing機 に は,も

械 が 考 案 され て ま だ間 もな い現 在 の我 々

し量 子 コ ン ピュ ー タが 未 来 に 実 現 され る と して も,そ の 姿 が 想 像 で き な

い の は 当 然 の こ とで あ る.   本書 を読 ん で,量 子Turing機

械 に興 味 を持 た れ た ら,是 非,そ

方 法 に も思 い を はせ て い た だ きた い.世

の物理 的実現

界 初 の 量 子 コ ン ピュ ー タが 日本 で 開 発 さ

れ た ら,ど ん な に 素 晴 ら しい こ とで あ ろ うか.

本 書 の構 成   本 書 の 第 Ⅰ部(第1∼3章)は

イ ンフ ォー マ ル な解 説 にあ て た.第

Ⅰ部 を お 読 み

い た だ くだ け で,前 提 知 識 な しに,量 子 コ ン ピ ュ ー タ とは 何 か が お お む ね 理 解 で き る よ う に配 慮 した.第

Ⅰ部 の 記 述 は啓 蒙書 の レベ ル で あ る.

  理 論 を よ り正 確 に理 解 した い 方 は,続 ん で い た だ きた い.第

く第 Ⅱ 部(第4∼6章)の

各章 を読み進

Ⅱ 部 も,な るべ く記 述 が 平 易 にな る よ うに心 が け た.第

Ⅱ

部 の 記 述 の レベ ル は,啓 蒙 書 と学 術 論 文 の 中 間 程 度 の レベ ル で あ る.本 書 の 構 成 は 以 下 の とお りで あ る.

第 Ⅰ部   量 子 コ ン ピュ ー タの 初 歩 第 １章 新 た な計 算 モデ ル の 出現 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 概 念 が 登 場 し た背 景 や,研 状 な ど に つ い て 述 べ る.さ

究 の 簡 単 な歴 史,研 究 の現

らに,量 子 コ ン ピ ュー タの 動 作 原 理 を直 観 的 に

説 明 す る. 第 ２章

量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

一 般 読 者 向 け の イ ン フ ォー マ ル な 解 説 .量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論 的 枠 組 み を,で

き るだ け わ か りや す く説 明 す る.Shorの

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム を直

観 的 に理 解 す る こ と を 目 標 と した. 第 ３章 量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 に向 け て 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 に 関 し,主

に物 理 学 者 た ち が 行 っ て い る基 礎 研 究

の現 状 を紹 介 す る.関 連 論 文 が 投 稿 され て い るWWWサ ど も紹 介 す る. 第 Ⅱ 部   量 子 コ ン ピュ ー タの理 論

第 ４章 計算論概 説

イ トの ア ド レス な

本 書 の 範 囲 で必 要 と な る,計 算 論 に 関 す る基 本 事 項 を解 説 す る.Turing機 械,ラ

ン ダム ・ア ル ゴ リズ ム,計 算 量 理 論 な どに つ い て,な

るべ く平 易 に説

明 す る. 第 ５章 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル 量 子Turing機

械 の 定 義 と,そ の性 質 を紹 介 す る.さ

らに,そ の モ デ ル上 で

定 義 さ れ る計 算 量 ク ラ ス につ い て も述 べ る. 第 ６章 量 子 ア ル ゴ リズ ム の 設 計 法 最 近,話

題 に な っ て い る,Shorの

因 数 分 解 アル ゴ リズ ム の 詳 細 な 解 説 に 焦

点 を あ て て,量 子 コ ン ピュ ー タ 上 の 効 率 的 ア ル ゴ リズ ム の動 作 に つ い て 説 明 す る. あ とが き 量 子 コ ン ピュ ー タ研 究 の 進 め 方 や,今 後 の 展 望 に つ い て 述 べ る.論 文 や 書 籍 の 購 読 ガ イ ドも掲 載 し た. 文 献 リス ト

  量 子 コ ン ピュ ー タの研 究 は,ま だ始 ま った ばか りで あ る.こ の 時 期 に,こ の チ ャ ン ス に あ ふ れ た 分 野 を多 くの 方 々 に知 っ て い た だ き た い と思 い,と 書 を 出版 し よ う と心 が け た.そ の 結 果,多 な っ た の で は な い か と,少

に か く早 く本

少 荒 削 りな もの をお 目 に か け る結 果 に

し気 に な っ て い る.本 書 を 読 んで,１ 人 で も多 くの 方

が 量 子 コ ン ピュ ー タ に興 味 を持 っ て 下 され ば,筆 者 に と っ て は望 外 の 喜 びで あ る.   本 書 の 執 筆 に際 し,東 京 電 機 大 学 出版 局 の 植 村 八 潮 氏 に は い ろ い ろ な ご助 言 を い た だ い た.末 筆 な が ら深 く感 謝 申 し上 げ る. 1997年2月 付 記     山 口大 学 理 学 部 の 松 野 浩 嗣 先 生 に は,本 書 の 初 版 の誤 記 誤 植 を 多数 ご指 摘 い た だ い た.３ 刷 に あ た っ て 付 記 して 深 く感 謝 申 し上 げ る. 2001年11月

西野哲朗

次

目

は じめ に

ｉ

第 Ⅰ部 第 １章

量 子 コン ピュー タの初歩

新 た な計 算 モ デル の 出現

３

1.1

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 定 義

４

1.2

半導体技術 の 限界

５

1.3

量子力 学

６

1.4

Feynmanの

1.5

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル の 誕 生

1.6

量 子 コ ン ピ ュ ー タ研 究 の活 発 化

11

1.7

量 子 コ ン ピ ュ ー タへ の 期 待

13

量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

15

2.1

Turing機

16

2.2

簡 単 な確 率 的Turing機

第 ２章

指摘

７ ９

械

械

18

2.2.1

記憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

2.2.2

状 態 ベ ク トル と遷 移行 列

20

2.2.3

状 態の重 ね合 わせ

22

2.2.4

遷 移行列 が満 たす べ き条件

22

2.2.5

計算 木

23

械

18

2.2.6 2.3

2.4

第 ３章

計算 木が満 たすべ き条件

簡 単 な 量 子Turing機

26

械

27

2.3.1

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 量 子Turing機

2.3.2

1QTMの

2.3.3

状態の干 渉

31

2.3.4

計算木が満 たす べ き条件

32

2.3.5

1QTMの

33

Shorの

因数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の 動 作 原 理

36

2.4.1

因数 分 解 の 難 し さ

36

2.4.2

量 子Turing機

械 とは

37

2.4.3

離 散Fourier変

換

41

2.4.4

量子並列計 算

2.4.5

２段Fourier変

2.4.6

量 子 ｋ面 サ イ コ ロ投 げ

械

計算木

遷移行列

27 28

44 換

46 50

量 子 コ ン ピュー タの 実現 に向 け て

53

3.1

量子情報

54

3.2

量子 回路

56

3.3

量 子 系 の シ ミュ レ ー シ ョ ン

58

3.4

量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 に お け る問 題 点

60

3.5

研 究の ための情報 源

61

第 Ⅱ部

量子 コン ピュ ー タの理 論

計算論概説

67

4.1

計算 時間の測 り方

68

4.2

計算機 の物理的実現方法 と計算 時間

73

4.3

多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム

75

第 ４章

4.4

確 率 的 ア ル ゴ リズ ム

77

4.5

P=NP?問

80

4.6

形式言 語

4.7

Turing機

4.8

計算 量の概念

88

4.9

計算 量 の ク ラス と完 全 問題

90

量子 コ ン ピュー タの数 学 的 モデ ル

95

5.1

Turing機

96

5.2

量 子Turing機

第 ５章

5.3

第 ６章

題

83 85

械

械 の拡張

97

械

97

5.2.1

テ ン ソ ル積

5.2.2

量 子Turing機

械 の 物 理 的表 現

5.2.3

量子Turing機

械の定義

5.2.4

計算過程 と結果の観測

102

5.2.5

万 能 量 子Turing機

104

械

99

100

量 子 計 算 量 の クラ ス

105

量 子 ア ル ゴ リズムの 設計 法

109 110

6.1

DeutschとJozsaの

6.2

因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の現 状

113

6.3

因数分解 の整数論的基礎

115

6.4

離 散Fourier変

120

6.5

Shorの

ア ル ゴ リズ ム(簡 単 な場 合)

122

6.6

Shorの

ア ル ゴ リ ズ ム(一

125

あ とが き

参考 文献 索    引

ア ル ゴ リズ ム

換

般 の 場 合)

129

136 ・142

第 Ⅰ 部 量 子 コンピュータの初 歩

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 初 歩

第 Ⅰ部

  量 子Turing機

械 の 理論 を完 全 に理 解 す る こ とは,残 念 なが ら,非 常 に難 しい と

い わ ざ る を得 な い.こ の 理論 は,コ

ン ピュー タ ・サ イエ ンス の 基礎 理 論 で あ る理 論

計 算 機 科 学 と い う学 問 分 野 の最 先 端 の研 究 テ ー マ で あ る.理 論 計 算 機 科 学 の教 育 は,現 在,日

本 の幾 つ か の 大 学 の情 報 系 学 科 で 主 に行 われ てい るが,大

学 生 に理

論 計 算 機 科 学 の基 礎 を完 全 に 身 につ け て も ら う ため に は,や は り最 低 で も2∼3 年 の教 育 を必 要 とす る.一 方,社 の ため に2∼3冊

会 人 の 方 々 の場 合 に は,理 論 計 算 機 科 学 の 習 得

の 標 準 的 な教 科書 を読 む こ とが で きれ ば理 想 的 で あ る.し か し,

何 か と忙 しい この ご時 勢 で は,そ   そ こ で,本 書 の 第 ２章 は,い

の よ う な時 間 を確 保 す る こ と は非 常 に 難 しい.

ま まで 理 論 計 算 機 科 学 な ど聞 い た こ と もな い とい

う方 々 に も,量 子 コ ン ピュ ー タが どの よ うな動 作 原 理 で動 く機 械 なの か を,直 観 的 に,し か もで き る だけ 正確 に理 解 して い た だ くこ と を目 的 と して 書 い た.筆 者 の 乏 しい力 量 で そ の よ うな こ とが 可 能 と も思 わ れ な い が,本 章 の 記 述 に あ た って は,そ の 方 針 で で き る限 りの 努 力 を試 み た.   一般 読 者 を想 定 した 文 章 の 場 合,数 式 は極 力 書 か な い よ うに す るべ きだ が,量 子 コ ン ピ ュー タの 基 本 原 理 の 説 明 には,簡 単 な 数 式 は導 入 せ ざ る を得 な い.逆 に, 数 式 を使 わ ず にあ え て言 葉 で 説 明 す る と,か え って わ か り に く くな る よ うで あ る. そ こで,第

２章 で は,無 理 数 に関 す る 初 等 的 な計 算,２ 行 ２列 の 行 列 の 乗 算,級 数

の 和 の公 式,簡 単 な確 率 の 計 算 だ け は用 い る こ と に して記 述 を進 め た.こ 内 容 は お お む ね高 等 学校 で 習 得 す る もの だが,こ

れ らの

れ だ け の 前 提 知 識 で コ ン ピュ ー

タ ・サ イエ ン ス の最 先 端 の 話 題 を ご紹 介 す る わ け なの で,こ れ らの 数 学 的記 述 に つ い て は ど うか ご辛 抱 い た だ きた い .な お,上 記 の 数 学 的 事 項 に 関 して は,必 要 と な る箇 所 に な るべ く公 式 を掲 載 した の で,ご 参 照 い た だ き た い.   数 学 的 な詳 細 は と もか く,量 子 コ ン ピ ュー タが どの よ う な仕 組 み で動 作 す る の か は,第

Ⅰ部 の 内容 か ら だ い たい ご理 解 い た だけ る と思 う.も ち ろ ん,理 論 の詳

細 を完 全 に 理 解 す る こ と は,第

Ⅰ部 の 内容 だ け か らで は無 理 な の で,理

に 理 解 した い 方 は本 書 の 第 Ⅱ 部 を お読 み い ただ きた い.

論 を完 全

第 １章

新 た な計 算 モデ ル の 出現

  1994年

に,AT&TBell研

究 所 のP.  Shorは,量

子Turing機

数 の 因 数 分 解 を小 さ な 誤 り確 率 で 高 速 に 行 え る こ と を 示 し た.整 き く な る と,ス

の桁 数 が 大

ー パ ー コ ン ピ ュ ー タで さ え も 高 速 に は 行 え な い 作 業 で あ る と考 え ら れ て い る.

  も し量 子 コ ン ピ ュ ー タ を 実 際 に 作 る こ とが で き れ ば,Shorの 高 速 に 行 う こ と が で き る.と

こ ろ が,イ

て い る 公 開 鍵 暗 号 系 の 多 くは,現

ア ル ゴ リ ズ ム を用 い て 因 数 分 解 を

ン タ ー ネ ッ ト上 で セ キ ュ リテ ィを 確 保 す る た め に 使 わ れ

在 の コ ン ピ ュ ー タ が100桁

で き な い とい う事 実 に 基 づ い て い る.し ば,多

械 と い う計 算 モ デ ル 上 で,整 数 の 因 数 分 解 は,そ

た が っ て,量

以上 の 因数 を現実 的 時 間 内に は発 見

子 コ ン ピ ュ ー タ の ハ ッ カ ー が も し出 現 す れ

くの 人 々 に 不 安 を 与 え る こ と に な る で あ ろ う.

  こ の よ う な 報 道 が な さ れ た た め,米

国 で は量 子 コ ン ピュ ー タが 一 躍 注 目 を 集 め た.と

子 コ ン ピ ュ ー タが ど の よ う な 計 算 機 か と い う こ と は,意 本 章 で は,ま

ず 量 子 コ ン ピ ュ ー タ の 直 観 的 イ メ ー ジ と,量

つ い て 述 べ る.

こ ろ が,量

外 と正 確 に は 知 ら れ て い な い よ うで あ る. 子 コン ピュー タに 関す る研 究 の歴 史 に

1.1

量 子 コ ン ピュー タの定 義

  現 在 の コ ン ピ ュ ー タ は,Turing機 (計 算 モ デ ル)に

械(注  １)とい う コ ン ピ ュ ー タ の 数 学 的 モ デ ル

基 づ い て 構 築 さ れ て い る.理

見 す る こ と で あ る.英

国 の 数 学 者Alan 

Turingが

コ ン ピ ュ ー タ が 影 も 形 も な か っ た1936年 デ ル で あ るTuring機 物 理 学 者David  し た.本

偉 大 だ っ た の は,現

子Turing機

在 の よ うな

ご ろ に ,現 在 の コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ

械 を 考 案 し た 点 に あ る.1985年

Deutschは,量

書 で は,量

論 の 重 要 な役 割 の 一 つ は 未 来 を予

子Turing機

に, Turingと

同 じ英 国 人 の

械 とい う新 しい計 算 モ デ ル を提 案

械 をモ デ ル とす る コ ン ピ ュー タの こ と を量 子 コ

ン ピ ュ ー タ と 呼 ぶ.

  本 書 の 目的 は,最 近 話 題 に な って い る この 量 子 コ ン ピュ ー タの 理 論 的 枠 組 み を, な るべ く多 くの 読 者 に正 確 に 理 解 して い た だ くこ とで あ る.本 書 を お 読 み い た だ け れ ば わ か る が,量 子 コ ン ピュ ー タは まだ 実 現 され て い な い し,ま た,近 い 将 来 に実 用 に な る と もあ ま り考 え られ て い な い.現 在 ま で に量 子 コ ン ピ ュ ー タ につ い て 研 究 され て い る の は,そ の ほ とん どが,実 す る こ と で は な く,量 子Turing機

際 の 量 子 コ ン ピュ ー タの 設 計 法 に関

械 と い う計 算 モ デ ル の性 質 と,そ の モ デ ル 上

の 効 率 的 な ア ル ゴ リズ ム(問 題 の 解 法 手 続 き)の 設計 手 法 なの で あ る .本 書 で は, 量 子 コ ン ピュ ー タ の実 現 可 能性 につ い て も若 干 記 述 す るが,本 書 の 目的 は,あ

く

ま で, 量子Turing機

械 とい う ま っ た く新 しい 計 算 モ デ ル の 根底 にあ る考 え

方 を,理 論 計 算 機 科 学(注２)の 立 場 か ら解 説 す る こ と で あ る.あ わ せ て,量 子Turing機

械 上 に お け る,(理 論 上)効

率的 なアル ゴ

リズ ム の 設 計 法 に つ い て も紹 介 す る.   量 子 コ ン ピ ュー タ に関 す る研 究 は,ま だ 始 ま った ば か りで あ る.ご

く最 近 に なっ

て,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実現 に関 す る研 究 も盛 ん に な っ て きた し,理 論研 究 も加 速度 的 に件 数 が 増 え て い る の で,こ の 分 野 の 今 後 の進 展 に はお お い に 期待 で きる (注 １)Turing機 (注 ２)

械 につ い て は

第 ４章 参照.

,本

書 の 第 ２ 章 と 第 ４ 章 で 詳 し く述 べ る.

で あ ろ う.本 書 を読 ま れ た 多 くの 方 々が,そ

の よ うな研 究 の 本 質 的 な 意 味 を正 確

に理 解 で き る よ うに な っ て い た だ け れ ば幸 い で あ る.ま た,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論 や 実 現 に 関 す る研 究 に進 み た い 方 は,そ の た め に必 要 な 基 礎 知 識 が 本 書 か ら 得 られ る は ず で あ る.

1.2

半導体技術 の限界

  まず 最 初 に,量 子 コ ン ピ ュ ー タが提 案 され るに 至 っ た歴 史 的 背 景 を 簡 単 に述 べ て お く.コ ン ピュ ー タの誕 生 か ら今 日ま で の約50年

間,平 均 して 考 え れ ば,コ

ン

ピ ュ ー タ は ２年 ご と に そ の計 算 速 度 が ２倍 に 高 速 化 さ れ,し か も,そ の サ イ ズ は 半 分 に縮 小 化 さ れ て きた.50年

前,大 部 屋 を独 占 して い た初 期 の コ ン ピ ュ ー タ よ

り も,現 在 の パ ソ コ ンの 方 が 大 きな計 算 能 力 を持 って い る.し か し,こ の よ うな 急 速 な 進 歩 は つ い に終 わ り を告 げ,集 積 回 路 技 術 は そ の 限 界 に 直 面 して い る と い わ れ て い る.   現 在 の 集 積 回 路 は,人 で きて い る.さ

間 の 髪 の 毛 の 幅 よ り もは るか に小 さな トラ ン ジ ス タか ら

らに,最 先 端 の技 術 を用 い る と,現 在 の もの よ り も100倍

も小 さ

な ト ラ ン ジ ス タ を生 産 す る こ とが で き るそ うで あ る.し か し,そ の よ うな ミク ロ の 世 界 で は,個 々 の 原 子 が 姿 を現 す た め,現 在 の 理 論 に基 づ く集積 回 路 は 機 能 し な くな る とい わ れ て い る.し た が っ て,将 来 コ ン ピュ ー タ を ミク ロ化 した け れ ば, ま っ た く新 しい 理論 に基 づ く新 技 術 が 必 要 とな る.   そ も そ も,コ ま た,コ

ン ピ ュ ー タ を 構 成 す る 回 路 は ど こ ま で 小 さ くで き る の だ ろ う か?

ン ピ ュ ー タ の 計 算 過 程 に お い て,最

消 費 さ れ ね ば な ら な い の だ ろ う か? 

低 限 どの くら いの 量 の エ ネ ル ギ ーが

コ ン ピ ュ ー タ を ミ ク ロ 化 す る た め に は,こ

の よ う な 物 理 的 限 界 を 明 ら か に し て お か な け れ ば な ら な い.コ 化 に 関 す る こ の よ う な 問 題 に 答 え る た め に,IBMト ２人 の 先 駆 的 研 究 者Rolf  LandauerとCharles 

ー マ スJ.ワ H. Bennettは,計

ン ピ ュ ー タの 小 型 ト ソ ン研 究 所 の 算 の物理 学 に

つ い て の 研 究 を 数 十 年 前 か ら 今 日 に 至 る ま で 続 け て い る[9,30].

コ ン ピ ュ ー タは物 理 的 装 置 で あ るか ら,そ の 動 作 や性 質 は物 理 学 の 言 葉 で 記 述

す る こ とが で き る.こ の と き,コ

ン ピ ュー タが 非 常 に小 さ くな れ ば,そ

の動 作 の

記 述 は古 典 力 学 で は な く,量 子 力学 に よ って 与 え な け れ ば現 実 に そ ぐわ な くな る. 実 際,電

子 や 原 子 な どの ミク ロ な物 理 系 の 振 る舞 い は,古 典 力 学 で は 正 確 に表 現

で きな い が,量 子 力 学 を 用 い て 表 現 す る と実 験 事 実 を うま く説 明 で きる.し か し, 量 子 力 学 的 世 界 を支 配 す る確 率 法 則 は,マ

ク ロ な 世 界 に住 ん で い る 私 た ち人 間の

直 観 に は 反す る もの で あ る.こ の確 率 法 則 の違 い の た め に,量 子 力 学 的現 象 は,私 た ちが 慣 れ 親 し んで い る 古 典 力 学 的 現 象 とは ま っ た く異 な っ て い る.

1.3  量 子 力学   量 子 力 学 の 理 論 は,デ

ンマ ー ク の物 理 学 者Niels  Bohrら

よ く知 られ て い る よ うに,我

に よ って 構 築 され た.

々の 直観 に反 す る よ うな 多 くの 実 験 結 果 が,量 子 力

学 を用 い て説 明 した り,予 想 す る こ とが で きた.量 子 コ ン ピ ュ ー タの動 作 を正 し く理 解 す るた め に は,波 動 と粒 子 の 二 重 性 と呼 ば れ る 量 子 力 学 にお け る一 つ の 事 実 を理 解 して お け ば よい.波 動 と粒 子 の 二 重 性 は,非 常 に 大 雑 把 に い え ば,以 下 の こ とを 述 べ て い る. 原 子 の よ うな,我 々が 粒 子 と考 え て い る もの が,あ 波 の よ うに振 る 舞 い,逆 に,光 の よ うな,我 が,時

る環 境 の も とで は

々が 波 と考 えて い る もの

と し て粒 子 の よ う に振 る舞 う.

  量 子 力 学 の 理 論 は,ど

の よ うな 波 に 対 して,ど の よ うな 粒 子 が 対 応 す るか につ

い て 述 べ て い る と考 え る こ とが で き る.   波 動 と粒 子 の 二 重 性 か ら導 か れ る 第一 の 帰 結 は,原 子 の よ うな小 さな物 理系 は, 離 散 的 な エ ネ ル ギ ー 状態 の み を取 り得 る とい うこ とで あ る.原 子 が あ る エ ネ ル ギー 状 態 か ら他 の エ ネ ル ギ ー状 態 に移 る と きに は,光 子 と呼 ばれ る一 定量 のエ ネ ルギ ー の か た ま り を吸 収 また は 放 出 す る.こ の 光 子 は,光 い る.

を構 成 す る粒 子 と考 え られ て

  波 動 と粒 子 の 二 重 性 か らの 第二 の 帰 結 は,量 子 力 学 的 波 は水 面 の 波 の よ うに 重 ね 合 わ せ る(加

え合 わせ る)こ

とが で き る とい う こ とで あ る.こ の 場 合,重

ね合

わ さ れ る個 々の 波 は,あ る一 つ の 粒 子 の位 置 をお お まか に記 述 して い る.し か し， この よ う な波 が 二 つ 以 上 重 ね 合 わ され る と,各 粒 子 の 位 置 は不 確 か に な る.量 子 力 学 に お い て は,一 つ の粒 子 が 二 つ の位 置 に同 時 に存 在 す る と考 え る こ とが あ る. この よ う な粒 子 の位 置 は,例

え ば,光 子 が 電子 か ら飛 び 出す とい う よ うな,あ

る

種 の 相 互 作 用 に よ って,そ の粒 子 が ど ち らの位 置 に 存 在 す るか が 判 明 す る まで は, わ か らな い ま ま で あ る.   二 つ の 重 ね 合 わ され た 量 子 波 は,そ れ らが 一 つ の 波 の よ うに振 る 舞 う と き,コ ヒ ー レ ン トで あ る とい わ れ る.一 方,二 つ の コ ヒ ー レ ン トな 波 が,そ れ ぞ れ の 独 自性 を 回復 す る過 程 を,デ

コ ヒ ー レ ン ス とい う.一 般 にデ コ ヒ ー レ ンス に は,長

い 時 間 が か か る可 能性 が あ る.例 え ば,光 子 が 電 子 に衝 突 す る こ と に よ り,そ の 真 の 位 置 を明 ら か に す る まで に は,数

日 を 要す る 場 合 もあ る.原 理 的 に は,野 球

の ボ ー ル も二 つ の 位 置 に 同 時 に存 在 し得 るが,実 確 な 位 置 が す ぐ に検 出 で きて しま うた め に,そ 性 を持 つ の は,ミ

際 に は,ボ ー ル は 大 き過 ぎて 正 うは な らな い.波 動 と粒 子 の 二 重

ク ロ サ イズ の も の の み で あ る.

  量 子 力 学 につ い て の 教 科 書 や 啓 蒙書 は 多 数 出版 され て い る が,情 報 分 野 の研 究 者 に 理 解 しや す い もの と して は,[32,41，44，45,50]な

1.4 

Feynmanの an

一般 に

どが あ る.

の指 摘

,汎 用 コ ン ピュ ー タは 以 下 の 条件 を満 たす よ うな万 能 計 算 装 置 で あ る こ

とが 理 想 で あ る. 汎 用 コ ン ピ ュ ー タ は,任 意 の 物 理 的 計 算 装 置 を効 率 よ く シ ミュ レー シ ョ ン(模

倣)す

る こ と が で き る.

こ こで,「効 率 よ く」 とい うの は,「た か だ か 多 項 式 倍 の計 算 時 間 で 」 とい う意 味 で あ る.つ ま り,任 意 の 計 算装 置 Ｍ を考 え,Ｍ

が サ イズ ｎ の 入 力 に対 して,た か

だ かt(n)ス

テ ッ プ 以 内 に 計 算 を 終 了 す る と す れ ば,汎

と 同 じ計 算 を(t(n))κ

ス テ ッ プ 以 内 に 行 わ な け れ ば な ら な い(た

従 来 の 計 算 論 に お い て は,こ て い た.例

え ば,万

意 のTuring機

用 コンピュー タ Ｕ はそれ だ し κ は 定 数) .

の よ うな 汎 用 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル が 存 在 し

能Turing機

械[27]と

い う 汎 用 コ ン ピ ュ ー タ の モ デ ル は,任

械 を 効 率 よ く模 倣 で き る こ と が 知 ら れ て い る.

  と こ ろ で,通 常 のTuring機

械 は,計 算 の 各 ス テ ップ や,テ ー プ へ の 情 報 の 書 き

込 み ・読 み 出 しが確 定 的 に行 わ れ るか ら,そ の 意 味 で は古 典 力 学 で 記 述 で き るモ デ ル で あ る.そ

こで,量 子 力 学 を考 慮 に 入 れ て も,上 の 命 題 が 同 様 に成 り立 つ か

とい う疑 問 が 生 じ る.   量 子 力 学 的 動 作 原 理 が 計 算 に どの よ うな影 響 を及 ぼ す か を 最初 に 問 題 に した の は,Richard  Ｐ.  Feynmanで

あ った[20 ,21].彼 は,古 典 的 な ノ イマ ン型 コ ン ピュー

タ を用 い て量 子 系 を シ ミュ レ ー シ ョ ンす る と,上 で 述 べ た確 率 法 則 の 違 い の ため に,非 常 に 多 くの 計 算 時 間 が必 要 と な る可 能 性 が あ る こ とを指 摘 した.彼 は また, この 問 題 を回 避 す る た め に,量 子 力 学 的 原 理 に基 づ くコ ン ピ ュ ー タが 利 用 で き る 可 能性 につ い て も述 べ た.つ ま り彼 は,量 子 コ ン ピ ュー タが(未 知 の 物 質 を も含 め た)量 子 系 の シ ミュ レー シ ョン に役 立 つ か も しれ な い とい う こ と を指 摘 した の だ . 見 方 を変 え れ ば,彼

は暗 に次 の よ うな問 題 を提 示 した と考 え る こ と もで きる.

量 子 力 学 的 動 作 原 理 に 基 づ くコ ン ピ ュー タは,古 典 的 コ ン ピ ュ ー タよ り も効 率 的 に計 算 が 行 え るか? この 問 題 につ い て は,第

４章 以 降 で 詳 し く述 べ る.

  アル ゴ ンヌ 国 立 研 究所 のPaul  Benioffは,通 学 を用 い て 表現 で きる こ とを,1980年

常 の コ ン ピュ ー タの 動 作 が 量 子 力

代 初 め に示 した[８].具 体 的 にはBenioffは,

量 子 力 学 の 最 も基 本 的 な枠 組 み で あ る量 子 過 程 の 可 逆 ユ ニ タ リ発 展 に よ っ て,通 常 のTuring機

械 が模 倣 で き る こ と を示 した.し か し,彼 は 量 子 力 学 的 動 作 原 理 を

用 い る こ と で,よ

り大 きな計 算 能 力 が 得 られ るか 否 か に つ い て は考 察 し なか った.

1.5

量子 コ ン ピュー タの数 学 的 モデ ルの誕 生

  最 近 話 題 に な って い る量 子 コ ン ピ ュー タの 明確 な数 学 的 モ デ ル を最 初 に 与 えた の は,Oxford大

学 数 理 研 究 所 の物 理 学 者David  Deutschで

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル で あ る量 子Turing機 そ れ らの数 学 的 性 質 を研 究 した.そ

あ る[15,16].彼

は,

械 と量 子 回 路 を定 義 し,

して,そ れ らの モ デ ルが 現 在 の コ ン ピュー タの

数 学 的 モ デ ル とどの よ うに違 うの か を発 見 し よ う と試 み た.特 に彼 は,コ ン ピュー タの 計 算 速 度 を飛 躍 的 に向 上 させ るの に,量 子 力 学 的 効 果 が 利 用 で きる の で は な い か と考 え た.   こ こ で,量 f(x)の

子 コ ン ピ ュ ー タ の 直 観 的 イ メ ー ジ を 述 べ て お こ う.例

値 を コ ン ピ ュ ー タ に 計 算 させ る こ と を 考 え る.た

る 値 は,x1,x2,…,x7の

７通 り の み と す る.い

対 し て,f(xi)=aと   現 在 の(逐

ン ピ ュ ー タ を 用 い て,こ

７ 台 の コ ン ピ ュ ー タ を 用 意 し て,そ

数 ｘ が 取 り得

る 入 力xi(1〓2〓7)に

の 問 題 を な る べ く速 く解 く に は,

れ ら を 並 列 に 動 作 さ せ れ ば よ い.７

台 の コン

値 を計 算 す る た め の 同 じ プ ロ グ ラ ム に 従 っ て 動 作 す る が,７

へ の 入 力 は す べ て 違 え て お く.こ 1.1(ａ)参

数

な る こ と が あ る か ど う か を 知 り た い と し よ う(注 １).

次 型)コ

ピ ュ ー タ はf(ｘ)の

ま,あ

だ し,変

と し て,関

の よ う な 処 理 がtn時

台

間 で 行 え る と し よ う(図

照).

  こ れ と 同 じ作業 を,量 子 コ ン ピ ュ ー タな らば た っ た １台 で,し か も 同 じ計 算 時 間tnで

行 え る.ま ず,量 子 コ ン ピュ ー タに お い て は,通 常 の ７台 の コ ン ピ ュー タ

そ れ ぞ れ の 計 算 過 程 が,あ

る波 と して表 現 され る(図1.1(ｂ)参

照).こ

れ らの 波

の 波 長 や 振 幅 は,計 算 結 果 が 違 え ば異 な っ て い る もの とす る.ま た,同

じ計 算 結

果 に 対 応 す る波 で も,位 相 が異 な って い る こ と もあ る.例

え ば,図(ｂ)中

の出力

が ｂの 場 合 に 対 応 す る太 線 の二 つ の波 と,出 力 が ｃの 場 合 に対 応 す る点 線 の 二 つ の 波 は,そ れ ぞ れ位 相 が 逆 に な っ て い る.   量 子 コ ン ピ ュ ー タ で は,通

常 の ７台 の コ ン ピ ュ ー タが 別 々 に 行 う計 算 を,上

で述

べ た ７個 の 波 を 一 つ に 重 ね 合 わ せ て し ま う こ と に よ り,１ 台 で 行 う こ と が で き る. (注１)ここ で ７ とい う数 字 は本 質 的で は ない .こ こ での 議論 は,人 力 が 何 通 りの場 合 で も成 り 立つ.

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図1.1

量 子 コ ン ピュー タの概 念 図.(ａ)通 常 の 並列計 算 の過 程,(ｂ)各 計算 過 程 の波 に よる表現 ,( ｃ)重ね 合 わ され た波.

しか も,こ の よ うに 波 を重 ね合 わせ た と きに,位 相 の異 な る 波(図1.1(ｂ)の の 波 や 点 線 の 波)は

太線

打 ち消 し合 っ て 消 え て しま う(負 の 干 渉) .一 方,図1.1(ｂ)

の 実 線 の 波 の よ うな,波 長 の 同 じ波 同士 は 強 め 合 う(正 の 干 渉) .   量 子 コ ン ピ ュ ー タ にお け る計 算 で は,所 望 の 結 果(図 過 程 が お互 い に強 め 合 い,そ きれ ば,計 算 終 了 後(図

の 例 で は ａ)を 出 す 計 算

の 他 の 計 算 過 程 は逆 に弱 め合 う よ うにす る こ とが で

の 時 刻tn)に

出 力 を観 測 した と きに,高 い確 率 で 所 望 の

結 果 を読 み 出せ る.例 え ば,図1.1(ｃ)に

お い て は,実 線 の波 同 士 は強 め合 っ て い

る の に対 し,太 線 の波 と点 線 の 波 は打 ち消 し合 っ て消 え て し まっ て い る.し た が っ て,時 刻tnに

出 力 結 果a(実

と結 果 ｃ(点 線 の波)を

線 の 波)を 読 み 出 す 確 率 は １,結 果 ｂ(太 線 の波)

読 み 出 す 確 率 は と も に ０ とな る.

量子 コ ン ピュ ー タ研 究 の活 発 化

1.6

  実 は,1980年 代 後 半 に,量 子 コ ン ピュ ー タの研 究 は 一 時 衰 え を見せ た.そ の 第 一の原因は ,こ の 分野 の研 究 者 が すべ て,量 子 コ ン ピュー タの 理 論 的 考 察 の み を行 い,そ

れ を実 現 す る た め の 物 理 的 研 究 を行 わ なか っ た こ とで あ る .こ の ア プ ロ ー

チ をIBMのLandauerは

特 に厳 し く批 判 した.ま た,量 子 コ ン ピ ュー タは エ ラー

を起 こ しや す く,誤 り訂 正 が 深 刻 な 問 題 に な る こ と も明 らか に な って きた.と ろ が,何

こ

か 具 体 的 な 数 学 的 問 題 を,量 子 コ ン ピュ ー タが現 在 の コ ン ピ ュー タ よ り

も実 際 に速 く解 け る か 否 か は 不 明 の ま ま で あ った.   と こ ろ が,こ

の 数 年 間 で 事 態 は 一 変 し た.1994年

にAT&T, 

Bell研

究所 の

Peter  W.  Shorが,

量 子Turing機

械 を用 い る と,因 数 分 解 問 題 と離 散 対 数 問 題 が非 常 に

小さな 誤 り確 率 で 高 速 に 解 け る こ と を示 し,大 き なブ レ ー クス ル ー を もた ら した.こ こで,因 数 分 解 問 題 とは ,「整 数 Ｎ が 与 え られ た と き に,Ｎ

の 非 自明 な(つ

ま り １と Ｎ 以 外 の)因 数 が 存 在

す る な らば,そ れ を １組 発 見 せ よ 」 とい う問 題 で あ る.ま た,離 散 対 数 問 題 とは, 「素 数 ｐ,整 数 ｇ と整 数 ｘ(mod  p)が 与 え られ た と きに,gr=x(mod 

p)と な

る整 数 γ を発 見 せ よ」 とい う問 題 で あ る.整 数 Ｎ の 因数 分 解 は,Ｎ

が比 較 的小

さ な数 の 場 合 に は,現 在 の コ ン ピ ュ ー タで も十 分 実 用 的 な時 間 内 に行 え る が,Ｎ が 大 き くな る に従 っ て膨 大 な計 算 時 間 が 必 要 とな り,現 在 最 も強 力 な ス ーパ ー コ ン ピ ュ ー タ を用 い て も行 え な くな る.同 様 に 離 散 対 数 問題 も,一 般 に,現 在 の コ ン ピ ュ ー タで は 効 率 よ く解 くこ と はで きな い と考 え ら れ て い る .効 率 的 な量 子 ア

ル ゴ リズ ム の 設 計 法 につ い て は,第   Shorの

この 結 果 は,1994年

６章 で詳 し く述 べ る.

に ア メ リカ で 大 反 響 を巻 き起 こ した.と

現 在 提 案 され て い るRSAな

い うの は,

どの 公 開 鍵 暗 号 系 の 代 表 的 な もの が,因 数 分解 問 題

と離 散 対 数 問題 の 難 し さ を前 提 と して 設 計 され て い る か らで あ る.つ

ま り,大 き

な 整 数 の 因数 分 解 の 難 し さが,暗 号 解 読 の 難 し さに 対 応 す る よ うに 暗 号 系 が 設 計 さ れ て い る の だ.公 開 鍵 暗号 は,こ れ か らの イ ン ター ネ ッ ト社 会 に お い て,情 報 セ キ ュ リテ ィの 要 に な る と考 え られ て い る.し た が って,も が 実 現 で きて しま うと,Shorの

し量 子 コ ン ピュ ー タ

ア ル ゴ リ ズム を用 い て,因 数 分 解 や 離 散 対 数 に基

づ い た 公 開鍵 暗 号 を高 い 確 率 で 破 れ る こ とに な り,大 きな 社 会 不 安 が もた ら され る可 能性 が あ る.し か し,現 在 ま で の研 究 成 果 か ら判 断 す る と,近 い 将 来 に そ の よ うな 社 会 不 安 が起 こ る可 能 性 は ほ とん ど な さそ うで あ る.実 は そ の く らい,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 は難 しそ うな の で あ る.   上 で 述 べ たShorの だが,こ

結 果 は,量 子Turing機

こ で 注 意 す べ き こ とは,Shor自

で あ る.す な わ ち,最 初 はDeutschら 機 械 の 計 算 能 力 が,1990年

械 の計 算 能 力 を数 学 的 に示 した もの

身 は理 論 計 算 機 科 学 者 で あ る とい う こ と の 物 理 学 者 に よ って提 案 され た 量 子Turing

ご ろ か ら計 算 機 科 学 者 に よっ て も研 究 さ れ る よ う に

な っ たの だ.詳 しい こ とは後 の章 で紹 介 す る が,Shorの とVazirani, Yao, Simonら

結 果 以 外 に も,  Bernstein

の 理 論 計 算 機 科 学 者 が 優 れ た計 算 論 的研 究 成 果 を発 表

し,量 子 コ ン ピ ュー タの 計 算 論 的 基礎 を築 き上 げ た.本 書 の 目的 は,Shorの

因数

分 解 ア ル ゴ リズ ム の 解 説 を中 心 に,量 子 コ ン ピュ ー タ研 究 の計 算 論 的 基 礎 を解 説 す る こ とで あ る.   ま た 最 近 に な っ て,量

子 コ ン ピ ュ ー タ の 物 理 的 実 現 方 法 に つ い て も,幾

究 成 果 が 発 表 さ れ 始 め た.1993年

にMITのSeth 

し て 動 作 す る 可 能 性 が あ る 物 理 系 の 候 補 と し て,多 挙 し た.そ ま た,カ

れ ら の 物 理 系 は,Landauerの リ フ ォル ニ ア 工 科 大 学 のH.Jeff 

Institute  of Standards  ど が,量

Lloydは,量

つ か の研

子 コ ン ピュ ー タ と

くの よ く知 ら れ た 物 理 系 を 列

反 論 の 幾 つ か を 回 避 す る 形 で 動 作 す る. Kimbleの

and  Technology)のDavid 

グ ル ー プ や, NIST(National J. Winelandの

グ ループ な

子 コ ン ピ ュ ー タ の 実 現 方 式 に 関 す る 基 礎 実 験 を 行 っ て い る.さ

ら に,量

子 コ ン ピ ュー タの誤 り訂 正 に 関 す る理 論 的成 果 も,ご

く最 近 に な っ て活 発 に発 表

さ れ始 め た.

1.7

量 子 コ ン ピュ ー タへ の期待

  い ま ま で に,多

くの 計 算 機 科 学 者,物

デ ル で あ る 量 子Turing機

理 学 者 が,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ

械 の 計 算 論 的 性 質 を明 らか に し て きた.理 論 上 は,量

子 コ ン ピ ュ ー タに は 以 下 の 三 つ の こ とが 期 待 で き る. １.任 意 の 物 理 系 の 効 率 的 な シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

  BernsteinとVazirani[10],お 機 械 は,任

よ びYao[54]の

結 果 か ら, Deutschの

量 子Turing

意 の 物 理 系 を 効 率 的 に 模 倣 で き る こ と が わ か っ て い る.

２.発 熱 量 の 極 め て 少 な い コ ン ピュ ー タ の 実 現   計 算 過 程 を一 意 的 に逆 戻 りで き る計 算 シ ステ ムの こ とを,可 逆 的 計 算 シ ス テ ム とい う[40].量 子Turing機

械 は,定 義 か らた だ ちに可 逆 的計 算 シス テ ム で あ る こ

と が わ か る.一 般 に,可 逆 的計 算 シス テ ム をモ デ ル とす る コ ン ピ ュ ー タに お い て は,発

熱 量 を非 常 に 少 な くで き る との 指 摘 が あ る[9,40] .

  一 般 に,通

常 のTuring機

の 手 法[９]を

用 い る と,任

行 う可 逆Turing機

械 は 可 逆 で は な い.し 意 の(決

械 Ｍ'に

械 Ｍ

変 換 す る こ と が で き る.し

機 械 を モ デ ル と す る コ ン ピ ュ ー タ も,Bennettの 論 的 に は 発 熱 量 を 少 な く す る こ と が で き る.し ら れ たTuring機 と し,ま

械 Ｍ'は,も

と のTuring機

た 計 算 速 度 も 若 干 低 下 す る.一

ン ピ ュ ー タ は,そ

方,量

は ,そ

示 した 可 逆 化 れ と 同 じ計 算 を

た が っ て,通

常 のTuring

手 法 を 用 い て 可 逆 化 す れ ば,理 か し,Bennettの 械 Ｍ

手 法 に 従 っ て得

よ り も多 く の 記 憶 領 域 を 必 要

子Turing機

の 定義 か ら も と も と可 逆 な の で

化 す る 必 要 が な い.

か し, Bennettが

定 性)Turing機

,Bennettの

械 をモ デ ル とす る コ 手 法 を用 い て 可 逆

３.計 算 時 間の飛 躍 的短縮   Shorの

ア ル ゴ リズ ム[48]を 用 い れ ば,量 子Turing機

誤 り確 率 で高 速 に行 え る.通 常 のTuring機

械 上 で 因数 分解 を小 さな

械 上 で は,同 様 な こ と は行 え ない で あ

ろ うと予 想 され て い る ので(た だ し証 明 は され て い ない!),お 機 械 は 通 常 のTuring機

械 よ り も,(因 数 分 解 の よ う な)あ る種 の 計 算 は 高 速 に実

行 で きる で あ ろ うと予 想 され る.た だ し,量 子Turing機 題 が 効 率 的 に解 け るか 否 か は まだ わか っ て お らず,た な っ て い る(NP完

全 問題 に つ い て は,第

械 を用 い て, NP完

全問

いへ ん重 要 な未 解 決 問 題 と

４章 参 照).

 現 在 の コ ン ピ ュー タの数 学 的 モデ ル はTuring機 りに 異 な る の で,こ

そ ら く量 子Turing

械 で あ るが,両 者 の構 造 は あ ま

の こ と をす ぐ に は納 得 で きな い 方 も多 い だ ろ う.現 在 の 我 々

で す ら そ の よ うな状 況 な の だ か ら,Turing機

械 が 考 案 さ れ た1936年

当時 の人 々

に は,現 在 の コ ン ピュ ー タの 実 現 形 態 は ま っ た く想 像 で き なか っ た で あ ろ う.そ れ と同 じよ うに,量 子Turing機

械 が 考 案 さ れ て まだ 間 もな い現 在 の我 々 に は,も

し量 子 コ ン ピ ュ ー タが 未 来 に実 現 され る と して も,そ の姿 が想 像 で き な い の は し ご く当然 の こ とで あ る.   本 書 を読 ん で,も

し量 子Turing機

械 に興 味 を持 た れ た ら,そ れ に基 づ く量 子

コ ン ピ ュー タの 物 理 的 実 現 方 法 や,量 子 コ ン ピ ュ ー タ上 の 効 率 的 ア ル ゴ リ ズ ムの 設 計 手 法,さ

ら には 量 子 コ ン ピュ ー タの プ ロ グ ラ ミング 方 法 論 な どに つ い て,ぜ

ひ,思 い を はせ て い た だ きた い.世 界 初 の 量 子 コ ン ピ ュー タが 日本 で 開 発 され た ら どん な に 素 晴 ら しい こ とで あ ろ うか.

第 ２章 量 子 コ ン ピ ュ ー タ と は?

  前章 で述 べ た とお り,量 子 コ ンピュ ー タの数 学的 モデ ル は量 子Turing機 械で あ る.本 書 の 目標 の一 つは,こ の量子Turing機 械 を用 い る と,整 数の 因数 分解 が少 ない 誤 り確率 で高 速 に行 え る と い うShorの 結 果 を紹 介 する こ とであ る.し か し,こ の事実 を数学 的 に完全 に理 解 す るこ とは ,理 論 計 算機 科 学 に初 めて接 す る読者 に とっては,非 常 にたい へ んな作 業 とな るであ ろ う.そ こで,本 章 で は,量 子Turing機

械が 高速 に因数 分 解 を行 う際 の動作 を,直 観 的 に理 解 してい た だ こ うと思

う.第 ６章 で,こ の動作 を数 学 的 に厳密 に説 明 す るが,数 学 的 な詳細 に興味 の な い読 者 は,こ の 章 の 説 明 を理 解 して い ただ くだけ で も十分 だ と思 う.   さ っ そ く計 算 モ デ ル の 説 明 を 始 め る が,以 て,徐 →

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

械(1QTM)→

一 般 の 量 子Turing機

的Turing機

る べ く簡 単 な 計 算 モ デ ル の 説 明 か ら 始 め

に,1QTMが

械(1PTM)→

体 的 に は,Turing機

械(QTM)のUG順

番 に 説 明 し て い く.Turing機

械 が 得 ら れ る.1QTMは,1PTMを 理 解 で きれ ば,そ

つ い て は,本

械 と確 率

械 を拡 張 す る こ と に よ り確

少 し拡 張 す る だ け で 得 る こ と が で き る.さ

れ を 一 般 化 してQTMを

章 の 最 後 で 説 明 す る.

械(TM)

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 量 子Turing機

械 は 古 く か ら知 ら れ て い る計 算 モ デ ル で あ り, Turing機

率 的Turing機

QTMに

下 で は,な

々 に複 雑 な モ デ ル の 説 明 に 移 る よ う に話 を 進 め て い く.具

理 解 す る こ と は,そ

ら

れ ほ ど 難 し くな い.

2.1 

Turing機

  ま ず 最 初 に,簡 を 図2.1に

機械

単 なTuring機

示 す(注１).図2.1か

央 処 理 装 置(CPU)と,テ れ て お り,有

械(Ｔuring 

下TMと

略 す)の

例

有 限 制 御 部 と呼 ば れ る 中

ー プ か ら な っ て い る.有

限 制 御 部 に は ヘ ッ ド が接 続 さ

限 制 御 部 は ヘ ッドが そ の 時 点 で 位 置 して い る テ ー プ の マ ス 目 に書 か

れ た 記 号 を 読 む こ と が で き る.テ よ い が,本

Machine,以

ら わ か る よ う に,TMは

ー プ の マ ス 目 に 書 く記 号 は ど の よ う に 定 め て も

書 で は テ ー プ の １マ ス に 記 入 で き る の は,０

記 号 の み と す る.テ

ま た は １ と い う ２種 類 の

ー プ 記 号 を こ の よ う に 制 限 し て も,一

般 性 を 失 わ な い こ とが

知 ら れ て い る.

  有 限 制 御 部 は,そ の 名 の とお り,各 時点 に お い て有 限 個 の 状 態 の う ちの ど れ か 一 つ の 状 態 に あ る .TMの はTMの

動 作 は,状

態 遷 移 関 数 で 定 義 され る.状 態 遷 移 関数

プ ロ グ ラム と考 え る こ とが で き,図2.2の

よ うな 表 形 式 で 表 す こ とが で

き る.   図2.1の

よ うな構 造 を持 ち,図2.2の

Ｍ と呼 ぼ う.Ｍ 立 っ て,Ｍ

よ う に状 態 遷 移 関 数 を定 義 され たTMを

は以 下 の よ うに動 作 す る(図2.3参

照).ま

に は 入 力 が テ ー プ 上 に与 え られ る.図2.3の

100が 与 え られ て い る.起 動 前 に は,Ｍ

ず,動 作 の 開始 に先

場 合 に は,入 力 と して

の 有 限 制御 部 は 開始 状 態q0に

れ て お り,ヘ ッ ドは テ ー プ の 左 端 の 記 号(図2.3の

セ ットさ

場 合 に は １)を 読 ん で い る.こ

の と き,起 動 後 の Ｍ の 動 作 は以 下 の よ うに な る.   最 初,Ｍ

の 「現 在 の 状 態 」 はq0で,ヘ

な の で,図2.2の

ッ ドが 読 んで い る 「現 在 の 記 号 」 は １

状 態 遷 移 関 数 の 定 義 の １行 目 が適 用 さ れ る.そ の 結 果,Ｍ

態 を 「次 の 状 態 」 で あ るq1に

遷 移 させ,ヘ

は状

ッ ドが 位 置 して い る １マ ス 目 に 「書

き込 む記 号 」 で あ る ０を 上書 き し,「ヘ ッ ドの 移 動 方 向 」 で あ る Ｒ(右 側)に ヘ ッ ド を １マ ス 移 動 させ る.な お,ヘ 側)が

ッ ドの 移動 方 向 と して は,Ｌ(左

側)と

Ｒ(右

指 定 で き る.

(注１)本節 で単 にTuring機 る.

械 と呼 ん でい るの は ,通 常,決 定性Turing機

械 と呼 ば れてい る計 算 モデ ルで あ

図2.1 

Turing機

械 Ｍ

図2.2 

  上 の 遷 移 に よ り,Ｍ

の

図2.3  TMMの

動作

Ｍ の状 態遷 移 関数 の 表

「現 在 の 状 態 」 はq1,ヘ

ッ ドが 読 ん で い る 「現 在 の 記

号 」 は ０ に な っ た の で,今

度 は,図2.2の

状 態 をq2に

ッ ドが 位 置 し て い る ２ マ ス 目 に １ を 上 書 き し,ヘ

遷 移 させ,ヘ

２行 目 が 適 用 さ れ る.そ

の 結 果,Ｍ

は ッド

を １ マ ス 右 に 移 動 さ せ る.

 以 下 同様 に して,Ｍ

の 遷 移 は 進 む が,も

しあ る時 点 で, Ｍ の 「現 在 の 状 態 」

と 「現 在 の 記 号 」 の組 に対 して,状 態 遷 移 が 定義 され て い な い よ うな状 況 に到 達 した ら,そ の 時 点 で Ｍ は停 止 す る.そ る 内 容 を Ｍ の 出 力(計

して,そ

算 結 果)と 考 え る.

の と きテ ー プ 上 に記 入 され て い

2.2  簡 単 な確 率 的Turing機 2.2.1 

械

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 確 率 的Turing機

  上 で 説 明 したTMは,現

械

在 の状 態 と,そ の と きヘ ッ ドが 読 ん で い る記 号 が 指 定

さ れれ ば,次 に 遷 移 す べ き状 態 が 一 意 に決 ま る の で,正 確 には 決 定 性Turing機 械 と呼 ば れ る.こ の 決 定 性 の 部 分 を拡 張 して,TMの

現 在 の 状 態 とヘ ッ ドが 読 ん

で い る 記 号 が 指 定 さ れ た と き に,次 の 動 作 が 確 率 的 に 決 定 され るTMを る こ とが で き る.こ の よ うなTMを Machine,以

下PTMと

  以 下 で は,話

略 す)と

確 率 的Turing機

定義す

械(ProbabilisticTuring

い う.

を簡 単 に す るた め に,テ ープ が １マ ス だ け か ら な る記 憶容 量 １ビ ッ

ト(注 １)の非常 に単 純 なPTMを を1PTM(1 

bit  PTMの

考 え る(図2.4参 略)と

照).本 書 で は,こ の よ う なPTM

呼 ぶ こ と にす る.以 下 で考 え る1PTMに

おい

て は,１ マ ス しか な い テ ー プ の マ ス 目 に ０が 書 き込 まれ て い る状 態 を 「状 態 ０」, マ ス 目 に １が 書 き込 まれ て い る状 態 を 「状 態 １」 と呼 ぶ こ と にす る.し た が って, この1PTMが

「状 態 ０」 の と きに は ヘ ッ ドは必 ず 記 号 ０を読 ん で お り,「状 態 １」

の と きに は ヘ ッ ド は必 ず 記 号 １ を読 ん で い る こ とに な る.こ の よ う に1PTMの 動 作 は,図2.5の

よ うな 状 態 遷 移 図 で 表 す こ とが で きる.図2.5の

遷移 図で注意

す べ き こ とは,矢 線 に付 け られ て い る ラベ ル が,そ の 矢 線 に 対 応 す る状 態 遷 移 が 起 こ る確 率 に な っ て い る こ とで あ る.   図2.4の

よ う な 構 造 を 持 ち,図2.5の

と 呼 ぼ う.Ｐ

は 以 下 の よ う に 動 作 す る.ま

力 が テ ー プ 上 に 与 え ら れ る.も で,入

よ う に 遷 移 関 数 を 指 定 さ れ た1PTMを

ち ろ ん,Ｐ

ず,動

作 の 開 始 に 先 立 っ て, Ｐ に は 入

の テ ー プ に は マ ス 目 が 一 つ しか な い の

力 と い っ て も ０ ま た は １ し か あ り得 な い.図2.4の

０ が 与 え ら れ て い る.し

た が っ て,図2.4で

態 ０」 に セ ッ ト さ れ て い る.ヘ (図2.4の

は,起

場 合 に は,入

力 と して

動 前 の Ｐ の 有 限 制 御 部 は 「状

ッ ドは テ ープ の た だ 一 つ の マ ス 目 に書 か れ た 記 号

場 合 に は ０)を 読 ん で い る.こ

の と き,起

動後 の Ｐ の動作 は以下の よ

(注１)情報 量の単 位 を ビ ッ トとい う.１ ビ ッ トの情 報 は ２進数 の １桁 で表 現 で き,二 つ の 選択 肢YesとNoの 区 別 を表 す.

Ｐ

図2.4記

憶 容 量 １ ビ ッ トの 確 率 的Turing機

図2.51PTMPの

械 Ｐ

状態 遷 移図

う に な る.   最 初,Ｐ

の 状 態 は ０ で あ る が,図2.5の

矢 線 は ２ 本 あ り,そ

の ど ち ら に も 確 率1/2が

と い っ た 記 号 は 後 で 必 要 に な る が,い Ｐ が

状態 遷移 図で ノー ド ０か ら出ている ラ ベ ル 付 け さ れ て い る(図

ま は 無 視 し て い た だ き た い).こ

「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に 遷 移 す る 確 率 は1/2で

ら 「状 態 １」 に 遷 移 す る 確 率 も1/2で

あ り,か

あ る と い う こ と で あ る.し

中 の α,c の 意 味 は,

つ,「 状 態 ０」 か た が っ て,Ｐ

を

「状 態 ０」 か ら起 動 し た と き に,１ 単 位 時 間 後 に Ｐ が 「状 態 ０」 に な っ て い る 確 率 は1/2で

あ り,「状 態 １」 に な っ て い る 確 率 も や は り1/2で

(注１)PTMPは

,１ 単 位 時 間 ご とに １回の状 態 遷移 を行 うもの とす る.

あ る こ と に な る(注１).

2.2.2 

状 態 ベ ク ト ル と遷 移 行 列

  この よ うな状 態 遷 移 を行 列 とベ ク トル を用 い て 表す 方法 が あ る.ま ず ， 上 で 述 べ た, Ｐ が 「状 態０ 」 に な っ て い る 確 率 が1/2で

て い る確 率 もや は り1/2で を,以

あ り,か つ 「状 態 １」 に な っ

ある

下 の よ う な ベ ク ト ル で 表 現 す る こ と に し よ う.

こ の ベ ク トル の 第 １行 成 分 は,Ｐ 成 分 は,Ｐ

が 「状 態 ０」 で あ る確 率 を 表 して お り,第 ２行

が 「状 態 １」 で あ る確 率 を 表 して い る.こ の よ うなベ ク トル を Ｐ の状

態 ベ ク トル とい う.し た が って,「状 態 ０」 は状 態 ベ ク トル

で 表 され る.と い うの は,「状 態 ０」 とは,Ｐ

が 「状 態 ０」 で あ る 確 率 が １で あ り,

か つ,「状 態 １」 で あ る確 率 が ０で あ る状 態 に ほ か な ら ない か らで あ る.同 様 の 理 由 に よ り,「状 態 １」 は状 態 ベ ク トル

で 表 さ れ る.

この と き,図2.5に

行 列 Ａ に お い て,第

示 され た状 態 遷 移 は次 の行 列 で 表 現 で きる.

１行 お よび 第 １列 が 「状 態 ０」 に,第

「状 態 １」 に対 応 して い る.こ

２行 お よ び第 ２列 が

の と き,行 列 Ａ の 第 ｉ行 第 ｊ 列 成 分 は,

Ｐ が 「状 態j-1」 を 表 し て い る.す

な わ ち,以

か ら 「状 態i-1」

に遷 移 す る確 率

下 の よ う な 対 応 関 係 に な る.

Ａ の 第 １行 第 １列 成 分:Ｐ

が 「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 １行 第 ２列 成 分:Ｐ

が 「状 態 １」 か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 ２行 第 １列 成 分:Ｐ

が 「状 態 ０」 か ら 「状 態 １」 に遷 移 す る確 率

Ａ の 第 ２行 第 ２列 成 分:Ｐ

が 「状 態 １」 か ら 「状 態 １」 に遷 移 す る確 率

例 え ば,行 列 Ａ の 第 １行 第 ２列 成 分 は1/3で か ら 「状 態 ０」 に遷 移 す る確 率 で あ り,図2.5の

あ るが,こ

の 値 は Ｐ が 「状 態 １」

ノ ー ド １か ら ノ ー ド ０ に 向 か う

矢 線 に ラベ ル付 け され た値 と一 致 してい る.こ の よ うな行 列 Ａ を Ｐ の 状 態 遷 移 行 列 とい う.一 般 に,

を任 意 の状 態 ベ ク トル とす る と き,Ｐ

の 状 態 遷 移 は 以 下 の 式 で表 現 す る こ とが で

き る.

例 え ば,状

態 ベ ク ト ル υ0は 以 下 の よ う に 変 換 さ れ る.

す な わ ち,Ｐ

の最 初 の 状 態 が 「状 態 ０」 だ っ た と き に は,そ の 状 態 を 表 現 す る ベ

ク トル υ0に 遷 移 行 列 Ａ を左 か ら掛 け る こ とに よ り,Ｐ の １単位 時 間 後 の 状 態 を 表 す ベ ク トルuが

得 られ る.

  同 様 に して,Ｐ

を 「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間 動 作 させ た と きの 状 態 は,以 下 の

計 算 に よ り得 られ る.

す な わ ち,1PTMPは,「

状 態 ０」 か ら 動 作 を 開 始 す る と,２ 単 位 時 間 後 に は ,「状

態 ０」 で あ る 確 率 が5/12,「

2.2.3

状 態 １」 で あ る 確 率 が7/12に

な る.

状 態の重 ね合 わ せ

  上 で 述 べ た よ う に,1PTMPは,「

状 態 ０」 か ら動 作 を開 始 す る と,２ 単 位 時 間

後 に は,「状 態 ０」 で あ る確 率 が5/12,「 状 態 １」 で あ る確 率 が7/12と

なるわけだ

が,こ

箱 の 中に入

の こ との 意 味 を少 し考 え て み よ う.例 え ば,こ

の1PTM 

Pを

れ て蓋 を して し まい,「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間 だ け 動 作 させ る(こ の 間 ,箱 の 中 は 見 な い).そ

して,２ 単 位 時 間 後 に蓋 を 開 け て ,箱 の 中 の Ｐ が ど の状 態 にあ る

か を 「観 測 」 す る こ と に し よ う.   い う まで もな く,そ の よ うな 観 測 の 結 果 は,「状 態 ０」 ま た は 「状 態 １」 に確 定 す る.な ぜ な ら,機 械 で あ る1PTM 

Pが

あ る時 点 に お い て 取 り得 る状 態 は ,「状 態

０」 ま た は 「状 態 １」 の ２通 り しか あ り得 な い か らで あ る.そ れ で は ,上 の状 態 ベ ク トル ｗ は い っ た い何 を表 現 して い るの だ ろ うか?  状 態 ベ ク トル ｗ が 表 現 し て い る こ と を,確 率 の 立 場 か ら述 べ れ ば以 下 の よ うに な る. 「Ｐ を 「状 態 ０」 か ら ２単 位 時 間箱 の 中 で動 作 させ,そ

の後 ,蓋 を 開

け て Ｐ の 状 態 を観 測 す る 」 とい う試 行 を12回 行 えば,そ の うちの ５ 回 は 「状 態 ０」 が 観 測 さ れ,残

りの ７回 は 「状 態 １」が 観 測 され る .

この よ うな解 釈 を,重 ね合 わせ 状 態 の 確 率 的 解 釈 とい う.

2.2.4

遷移行列が満 たすべ き条件

  上 で 述 べ た よ うに,1PTM  定 す れ ば よい.と

Pを

一 つ 指 定 す る た め に は,遷 移行 列 Ａ を一 つ指

こ ろで 遷 移 行 列 Ａ と して は,ど の よ うな行 列 を指 定 して も構 わ

な い の で あ ろ うか?  答 え は 否 で あ る. 話 を簡 単 に す る ため に,上 の例 と同 じ記 憶 容 量 １ビ ッ トのPTMの て説 明 す る.こ の 場 合,1PTMの

場合 につい

状 態 遷 移 図 に対 応 す る遷 移 行 列 Ａ は ２行 ２列

に な る.そ

こ で,遷

と 置 こ う.ま

移行 列 Ａ の一般形 を

ず,a,b,c,dは

確 率 を 表 し て い る か ら,

a〓0,b〓0,c〓0,d〓0

を満 た さ な け れ ば な らな い.次

に,図2.5か

(１)

らわ か る よ う に,「状 態 ０」 に 対 応 す

る ノー ドか ら は ２本 の矢 線 が 出 て お り,そ れ ら には 確 率 ａ と ｃが ラベ ル付 け され て い る.「状 態 ０」 か らは,「状 態 ０」 また は 「状 態 １」 の ど ち らか に遷 移 しな け れ ば な ら ない か ら,こ れ ら ２通 りの 状 態 遷 移 が 起 こ り得 るす べ て の場 合 で あ る.し た が って,こ

の 二 つ の 状 態 遷 移 が 起 こ る確 率 を足 し合 わ せ る と,そ の 値 は １に な ら

な け れ ば な ら な い.す な わ ち, a+c=1

が 成 り 立 た な け れ ば な ら な い.ま

た,同

(２) 様 の 理 由 に よ り,

b+d=1 も成 り立 た な け れ ば な らな い.以

(３)

上 の(1)∼(3)式

が,遷 移 行 列 Ａ の 成 分 が 満

た さな け れ ば な ら ない 条 件 で あ る.逆 に,上 の(1)∼(3)式

を満 たすa,b,c,dを

勝 手 に １組 選 ん で 遷 移 行 列 Ａ を 指 定 す れ ば,必 ず そ れ に対 応 す る1PTMが

存在

す る.

2.2.5   PTMの

計算木 動 作 を 表 現 す る も う一 つ の 方 法 と して,計 算 木 を用 い る 方 法 を紹 介 し

よ う.例 と して,上 で 示 した1PTM 

Pを

「状 態 ０」 か ら起 動 して,２ 単 位 時 間

動 作 させ た と きの 計 算 木 を 図2.6に 示 す.計 算 木 は 幾 つ か の ノー ド と,そ れ らの ノ ー ド を結 ぶ 辺 か らな る.図2.6に

お い て は,ノ

ー ドは 丸 印 で 表 され てお り,辺

は 丸 印 を 結 ぶ 線 分 で 表 さ れ て い る.図 の 名 前 で あ る.各

ノ ー ド は,そ

中 のn1,n2,…,n7は

れ が 「状 態 ０」 に 対 応 す る ノ ー ド で あ る か ,「状 態

１」 に 対 応 す る ノ ー ド で あ る か に 従 っ て,そ て い る.二

つ の ノ ー ド を 結 ぶ 辺 に は,そ

付 け さ れ て い る.例

え ば,ノ

  本 書 で は,計

ー ドn1とn2は

と も に 「状 態 ０」 に 対 応 し て お り, Pが

「状 態 ０」 か ら 「状 態 ０」 に 遷 移

ラ ベ ル 付 け さ れ て い る. 算 木 を 図 示 した 場 合 に は,辺

か っ て い る も の と解 釈 す る.例 らn2に

れ ぞ れ ０ ま た は １で ラ ベ ル 付 け され

の 辺 に対 応 す る状 態 遷 移 の 確 率 が ラベ ル

そ れ ら 二 つ の ノ ー ド を結 ぶ 辺 に は,1PTM  す る 確 率1/2が

え ば,図2.6の

向 か っ て い る も の と 考 え る.二

は 上側 の ノー ドか ら下側 の ノー ドに向 ノ ー ドn1とn2を

ド の 子 と 呼 ぶ.例

で あ る.計 の,た

に,終

点 ノー ド を出 発 点 ノー

親 で あ り,n2はn1の

子 で あ る .計 算 木 に お

が １本 も 入 っ て こ な い ノ ー ド を 根 と 呼 び ,辺

が １本 も 出 て い か な い ノ ー

ド を 葉 と 呼 ぶ.例

え ば,n1はn2の

結 ぶ 辺 は , n1か

つ の ノー ドが 直 接 辺 で 結 ばれ て い る と き,

そ の 辺 の 出 発 点 ノ ー ド を 終 点 ノ ー ド の 親 と 呼 び,逆

い て,辺

計 算 木 内 の 各 ノー ド

え ば,図2.6の

計 算 木 に お い て は,n1が

算 木 内 の 各 ノ ー ド に は,根

え ば,図2．6の

葉

の よ う な辺 を つ なげ て得 られ る道 筋 を

計 算 木 の ノ ー ドn5の

た ど っ て 到 達 す る に は,n1→n2→n5と

場合

,根n1か

らn5に

辺 を

い うパ ス を必 ず 通 らな け れ ば な らな い .

根 か ら あ る ノ ー ド ｎ に 到 達 す る 際 の,こ

図2.6

,n6,n7が

か らそ の ノ ー ド に辺 を た ど って 到達 す る ため

だ １ 通 り の 道 筋 が 必 ず 存 在 す る.こ

パ ス と い う.例

根, n4,n5

の よ う な パ ス の 中 に 含 ま れ る 辺 の 本 数 を,

1PTM  Pの 計 算 木

ノ ー ド ｎ の レ ベ ル と い う.例

え ば,ノ

根 か ら の 唯 一 の パ ス で あ り,こ

の パ ス の 中 に は ２本 の 辺 が 含 ま れ て い る の で,n5

の レ ベ ル は ２ で あ る.図2.6の

計 算 木 の 場 合 に は,レ

ル １の ノ ー ド はn2,n3,レ

ー ドn5の

場 合 に は, n1→n2→n5が

ベ ル ０の ノ ー ド はn1,レ

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4,n5,n6,n7で

  Ｐ を 「状 態 ０」 か ら 起 動 し て 箱 の 中 で 動 作 さ せ,２ の 状 態 を 観 測 す る 問 題 を,計 算 木 で は,一

表 し,一

ら に,上

あ る.

単位時間後 に箱 を開けてそ

算 木 の 視 点 か ら も う 一 度 考 え て み よ う.図2.6の

番 上 の ノ ー ドn1が

し て い る.さ

ベ

起 動 前 の Ｐ の 状 態(こ

か ら ２段 目 の ノ ー ドn2,n3は

番 下 の ノ ー ドn4,n5,n6,n7は

計

の 場 合 は 「状 態 ０」)を 表

１単 位 時 間 後 の Ｐ の 状 態 を

２ 単 位 時 間 後 の Ｐ の 状 態 を 表 し て い る.

  こ こ で,２ 単 位 時 間 後 に箱 を 開け て観 測 した と きに Ｐ が 「状 態 ０」 で あ る確 率 を,計 算 木 を用 い て 求 め て み よ う.ま ず,図2.6の

計 算 木 を見 る と,２ 単 位 時 間 後

に Ｐ が 「状 態 ０」 に な るの は,Ｐ

到 達 す る場 合 と,ノ ー ドn6に

が ノー ドn4に

到 達 す る場 合 の ２通 りが あ る こ とが わ か る.Ｐ

が ノー ドn4に

到 達 す る の は, Ｐ

の 状 態 遷 移 が, 「状 態 ０」(ノ ー ドn1)→ と 進 ん だ 場 合 で あ る.こ 移 し 」 か つ,そ

「状 態 ０」(ノ ー ドn2)→

の よ う な状 態 遷 移 が 起 こ る の は,Ｐ

れ に 引 き続 い て 「n2か

か らn2に

遷 移 す る 」 確 率 は,図2.6か

か らn4に

遷 移 す る 」 確 率 も1/2で

す る 確 率 は,こ

「状 態 ０」(ノ ー ドn4)

らn4に

が 「n1か

遷

遷 移 し た 」 と き に 限 る. Ｐ が 「n1

ら も わ か る よ う に1/2で あ る.し

らn2に

た が っ て, Ｐ がn1か

あ り, Ｐ が らn4に

「n2 到達

れ ら 二 つ の 確 率 の 積 に な る の で,

と な る.

  同 様 に して,Ｐ

がn１

る 」 確 率1/2と,「n3か

か らn6に らn6に

到 達 す る 確 率 は, Ｐ が 「n1か 遷 移 す る 」 確 率1/3の

らn3に

積 に な る の で,

遷移す

と な る.し

た が って,２ 単 位 時 間 後 に箱 を開 け て観 測 した と き に Ｐ が 「状 態 ０」

で あ る確 率 は,Ｐ

が 「n1か らn4に

到 達 す る 」事 象 と 「n1か らn6に

到 達 す る」

事 象 の確 率 の 和 に な るの で,

と 求 ま る.こ

の 値 は,2.2.2節

で 示 し た(*)式

の 状 態 ベ ク ト ル ｗ の 第 １行 成 分 の

値 と 一 致 し て い る.

計算木 が満 たすべ き条件

2.2.6   図2.6よ

うな木 を書 け ば,な

ん で もPTMに

答 え は 否 で あ る.計 算 木 がPTMの

対 す る 計 算 木 に な る の だ ろ うか?

状 態遷 移 を表 現 す る た め に は,以 下 の 三 つ の

条 件 を満 た さな け れ ば な らな い. １.

計 算 木 内 の 同 じラベ ル を持 つ ノー ド に お い て は,辺 の 枝 分 か れ の 仕 方 が 同 一 で な け れ ば な らな い .

２.

計 算 木 内 の親 か ら子へ の 遷 移 は,PTMの

対 応 す る状 態 遷 移 と して実 現 可 能

で な け れ ば な らな い. ３.

計 算 木 の 各 レベ ル に お い て,そ の レベ ル に現 れ るす べ て の ノ ー ドの発 生確 率 の 合 計 は,常

  ま ず,条

に １で な け れ ば な ら な い.

件 １ に つ い て 説 明 す る.図2.6に

ち ら も ラ ベ ル が ０ で あ る が,こ

お い て,例

か れ の 状 況 は 完 全 に 一 致 して い な け れ ば な ら な い.実 ら は,「状 態 ０」 の 子(n2)へ

の 確 率1/2の

1/2の

様 に,n2か

遷 移 が 起 こ り得 る.同

の 遷 移 と,「状 態 １」 の 子(n5)へ ドn1とn2に

つ い て は,条

ドn1とn2を

際,図2.6に

遷 移 が 起 こ り 得 る.よ

件 １が 満 た さ れ て い る.図2.6に

上 の 条 件 ２ も満 た し て い る.例 結 ぶ 辺 が あ る が,1PTM 

お い てn1か

ら も,「状 態 ０」 の 子(n4)へ

の 確 率1/2の

Pに

ど

お け る子 へ の 枝 分

遷 移 と,「状 態 １」 の 子(n3)へ

適 用 さ れ ね ば な ら な い ノ ー ド が な い の で,図2.6は   ま た,図2.6は

え ば ノ ー ドn1とn2は

の よ う な 場 合 に は,n1とn2に

は,ほ

の確 率 の 確 率1/2 っ て,ノ

ー

か に 条 件 １が

条 件 １ を 満 た し て い る. え ば,図2.6の

計 算 木 に は ノー

お い て は 「状 態 ０」 か ら 「状 態 １」

へ の 遷 移 が 確 か に可 能 で あ る.実 際,Ｐ

に お い て は,「状 態 ０」 と 「状 態 １」 の 間

の す べ て の 状 態 遷 移 が 可 能 だ か ら,条 件 ２は当 然 満 た され て お り,こ の 例 か らは 条件 ２の 本 質 が わ か りに くい.条 件 ２が 本 質 的 に意 味 を持 っ て くる の は,後 で 述 べ る 一 般 のPTMや   最 後 に,条

量 子Turing機

件 ３ に つ い て 見 て お こ う.図2.6の

ノ ー ド はn2,n3,レ

な っ て い る.ま

計 算 木 の 場 合 に は,レ

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4∼n7で

て 考 え る と,n2とn3の

発 生 確 率 は と も に1/2で

た,レ

1/4,1/4,1/6,1/3で

あ る .ま あ り,そ

ベ ル ２ に つ い て は,n4,n5,n6,n7の あ り,こ

る こ と が わ か る.し 図2.6の

械の場合で ある.

ず,レ

ベ ル １に つ い

れ らの 和 は確 か に １に 発 生 確 率 は そ れ ぞ れ,

れ ら す べ て の 和 を 求 め る と,確

た が っ て,図2.6の

ベ ル １の

か に １に な っ て い

計 算 木 は 条 件 ３ も満 た し て い る .以

計 算 木 は 上 の 三 つ の 条 件 を す べ て 満 た し て お り,計

上 で,

算 木 と して 適 格 で あ

る こ と が 確 認 で き た.

2.3 2.3.1

機械

記 憶 容 量 １ ビ ッ ト の 量 子Turing機

  本 節 で は,量 す)の

機械

簡 単 な 量 子Turing機

子Turing機

械(Quantum 

Turing  Machine,以

直 観 的 イ メ ー ジ を持 っ て い た だ くた め に,最

同 様,記

憶 領 域(メ

以 下1QTMと 前 節 の1PTMと

モ リ)を

略 す)の

も 簡 単 なQTMと

１ ビ ッ ト しか 持 た な い 量 子Turing機

例 を 示 す.そ

の1QTMの

ま っ た く同 じで あ る.し

か し,後

下QTMと

略

し て,前 械(1bit 

節 と

QTM,

構 造 は 図2 .7の と お り で あ り, で わ か る こ と だ が,そ

の 機 能や

物 理 的 実 現 方 法 は ま っ た く異 な っ て い る.

  1QTMに

お い て は,テ ー プ の 一 つ の マ ス 目 は, ０が 書 き込 ま れ て い る状 態(前

節 の 「状 態0」)と,１

が 書 き込 まれ て い る状 態(前 節 の 「状 態 １」)の 任 意 の 重 ね

合 わ せ を保持 す る こ とが で き る.し た が って,1QTMの

ヘ ッ ドは,こ の よ うな状

態 の 重 ね 合 わ せ を読 み書 きす る こ とが で きる と仮 定 され て い る.こ の よ うな 「状 態 ０」 と 「状 態 １」 の任 意 の 重 ね 合 わ せ を保 持 で き る ビ ッ トを キ ュ ー ビ ッ ト(qubit

,

quantum 

bitの

2.3.2

1QTMの

  1QTMの

略)と

呼 ぶ.

計 算木

動 作 を,計 算 木 を用 い て 説 明 し よ う.図2.7の

2.8の よ うな計 算 木 に よ って動 作 を指 定 され た1QTMを 算 木 つ い て い え ば,1PTMと1QTMの 「1QTMの

よ うな構 造 を持 ち,図 Ｑ と呼 ぶ こ と にす る.計

違 い は,以 下 の た だ １点 の み で あ る.

場 合 に は,計 算 木 の枝 の ラベ ル と して(０ 以 上 の 実 数 ば か

りで な く),任 意 の 複 素 数 が 使 用 で き る.」   た だ し,1QTMの

計 算 木 の解 釈 は,前 節 で 述 べ た1PTMの

異 な って い る.す な わ ち,前 節 の1PTMに 「実 際 に動 作 して い る1PTMは,根

計 算 木 の 場 合 とは

対 す る計 算 木 の 場 合 に は, か ら葉 に至 る可 能 な ４通 りの計 算

パ ス の うち の た だ 一 つ を実 行 して い る 」 と解 釈 し た.し

か し,図2.8の

よ う な1QTMに

「実 際 に動 作 して い る1QTMは,根

対 す る 計 算 木 の 場 合 に は,

か ら葉 に至 る 可 能 な ４通 りの計

算 パ ス の す べ て を(一 つ のハ ー ド ウ ェ ア 上 で)同 時 に実 行 して い る 」 と解 釈 す る.   も う少 し詳 し く説 明 す る.ま ず,動 作 の 開 始 に先 立 っ て,Ｑ 上 に 与 え られ る.も ち ろ ん,Ｑ

図2.7

には入力が テープ

の テ ー プ には マ ス 目が 一 つ しか な い の で,入 力 と

記 憶 容 量 １ ビ ッ トの 量 子Turing機

械 Ｑ

(ａ) 図2.8

1QTM 

Qの

(ｂ)

計 算 木. (ａ) 「状態 ０」か ら起 動 した場 合, (ｂ) 「 状 態 １」か ら起動 した場合.

い っ て も ０ ま た は １ し か あ り得 な い.図2.7の れ て い る.ま

た 図2.7で

て い る と 考 え る.ヘ

は,起

場 合 に は ,入

動 前 の Ｑ の 有 限 制 御 部 は 「状 態 ０」 に セ ッ ト さ れ

ッ ド は テ ー プ の た だ 一 つ の マ ス 目 に 書 か れ た 記 号(図2.7の

場 合 に は ０)を 読 ん で い る.1QTMQも,１ う も の と す る.こ

  1QTMQを

力 と して ０が 与 え ら

の と き,起

単 位 時 間 ご と に １ 回 の 状 態 遷 移 を行

動 後 の Ｑ の 動 作 は 以 下 の よ う に な る.

「状 態 ０」 か ら起 動 して,２ 単 位 時 間動 作 させ た と きの 計 算 木 を図

2.8(a)に,「 状 態 １」か ら起動 して,２ 単 位 時 間動 作 させ た と きの計 算 木 を図2.8(b) に そ れ ぞ れ示 して あ る.計 算 木 の 表 記 法 は 図2.6の 場 合 とほ ぼ 同 様 で あ るが,た だ １点 異 な って い る の は,図2.8で

は辺 の ラベ ル と して負 の 実 数 が 現 れ て い る こ

とで あ る(注１).負 の 数 が 現 れ て い る こ とか ら も わ か る よ うに,辺 れ た こ れ らの 数 は確 率 で は な い.1QTMの は,対 応 す る1QTMの

に ラベ ル付 け さ

場 合 に は,各 辺 に ラベ ル付 け され た数

状 態 遷 移 の振 幅 と呼 ば れ る.振 幅 を ２乗 した値 が対 応 す

る状 態 遷 移 の 確 率 と な る.   例 え ば,図2.8(b)の

計 算 木 の ノ ー ドn2とn5を

ル 付 け され て い る が,こ (注 １)

の 値 がn2か

上で も述 べ た よ う に,1QTMに きる.し か し図2.8の

らn5へ

結 ぶ 辺 に は,-1/√2が

ラベ

の 状 態 遷 移 の 振 幅 で あ り,こ の 状

対 す る計 算 木 の辺 の ラ ベル と して は,任 意 の複 素 数 を 一般 に は使 用 で

例 で は,辺 の ラベ ル と して 正 と負 の実 数の み が用 い られ て い る.

態 遷 移 が 起 こ る確 率 は,

と な る.

  Ｑ を 「状 態 １」 か ら起 動 して 箱 の 中 で動 作 させ,２ 単 位 時 間 後 に箱 を 開 け て そ の 状 態 を観 測 す る こ とを考 え てみ よ う.図2.8(b)の ドn1が

起 動 前 の Ｑ の 状 態(こ

は な い.)を 表 して い る.さ

計 算 木 で は,レ ベ ル ０の ノ ー

の 場 合 は 「状 態 １」.こ れ は重 ね 合 わせ の 状 態 で

らに,レ ベ ル １の ノ ー ドn2とn3に

対 応 す る状 態 の

重 ね合 わ せ が １単 位 時 間後 の Ｑ の 状 態 を 表 し,レ ベ ル ２の ノー ドn4∼n7に

対

応 す る すべ ての 状 態 の 重 ね合 わせ が ２単 位 時 間後 の Ｑ の 状 態 を 表 し てい る.  こ こ で,２ 単 位 時 間 後 に箱 を開 け て観 測 した と き に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 を求 め て み よ う.ま ず,図2.8の にな る の は,Ｑ

が ノー ドn5に

重 りが あ る こ とが わ か る.Ｑ 「状 態 １」 (ノ ー ドn1)→ と 進 ん だ 場 合 で あ る.こ 遷 移 し 」 か つ,そ 「n1か

らn2に

り,Ｑ

が

Ｑ がn1か

計 算 木 を見 る と,２ 単位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 １」 到 達 す る場 合 と,ノ ー ドn7に が ノー ドn5に 「状 態

到 達 す るの は, Ｑ の 状 態 遷 移 が,

０」(ノ ー ドn2)→

らn5に

遷 移 す る 」 事 象 の 振 幅 は,図2.8か

「n2か らn5に

らn5に

「状 態 １」(ノ ー ドn5)

の よ う な 状 態 遷 移 が 起 こ る の は,Ｑ

れ に 引 き 続 い て 「n2か

が 「n1か

らn2に

遷 移 し た 」 と き に 限 る. Ｑ が ら も わ か る よ う に1/√2で

遷 移 す る 」 事 象 の 振 幅 は-1/√2で

遷 移 す る 事 象 の 振 幅 は,こ

到 達 す る場 合 の ２

あ る.し

あ

た が っ て,

れ ら 二 つ の 振 幅 の 積 に な る の で,

と な る.   同 様 に し て,Ｑ

がn1か

遷 移 す る 」 振 幅1/√2と,「n3か

らn7に

遷 移 す る 事 象 の 振 幅 は, Q2が らn7に

遷 移 す る 」 振 幅1/√2の

「n1か

らn3に

積 に な る の で,

と な る.し た が っ て,２ 単 位 時 間 後 に 箱 を 開 け て 観 測 した と き に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る事 象 の振 幅 は,Ｐ

が 「n1か らn5に

到 達 す る」 事 象 と 「n1か らn7に

到

達 す る」 事 象 の 振 幅 の 和 に な る の で,

と 求 ま る.ゆ し た が っ て,２

え に,２ 単 位 時 間 後 に Ｑ が 単 位 時 間後 に Ｑ が

「状 態 １」 で あ る 確 率 は02=0と

「状 態 ０」 で あ る 確 率 は1-0=1で

なる. あ る.

  こ こ で注 意 す べ き こ と は,も ち ろ ん,２ 単 位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 が,０ に な っ て し まっ た こ とで あ る.こ れ は 次 の 理 由 に よる.１QTMの

状 態遷

移 の確 率 を 求 め る には,ま ず そ の 遷 移 の 振 幅 を求 め て か ら,そ の値 を ２乗 しな け れ ば な ら な いが,振

幅 を求 め る 際 には,正

の 数 ば か りで な く負 の数 も足 し合 わ せ

る こ とが あ る の で,振 幅 が ０ に な る可 能 性 が あ る .こ の よ うな こ とは,図2.6の よ うな1PTMに

お け る 状 態 遷 移 確 率 の 計 算 に お い て は 絶 対 に起 こ らな い こ と

に 注 意 され た い.   上 で 述 べ た こ とか ら,Ｑ

を 「状 態 １」 か ら起 動 して 箱 の 中 で動 作 させ,２ 単 位

時 間 後 に箱 を 開 け て そ の 状 態 を観 測 す る と,必 ず 「状 態 ０」 とな る こ と が わ か っ た.逆

に,Ｑ

を 「状 態 ０」 か ら起 動 して箱 の 中で 動 作 させ ,２ 単 位 時 間 後 に 箱 を

開 け て その 状 態 を観 測 す る と,必 ず 「状 態 １」 と な る こ とが 同様 の議 論 に よ りわ か る.以 上 の こ とか ら,1QTM 

Qは

２ス テ ップ か け て ,入 力 値 の 否 定(注１)を計

算 す る こ とが わ か る.し た が って Ｑ は,１ ス テ ップ で は 否 定 の 平 方 根 を計 算 して い る よ うに 見 え るの で,Square 

Root  of NOTと

呼 ば れ て い る.

状態の干渉

2.3.3

  上 の 計 算 に お い て注 意 す べ きこ とは,２ 単 位 時 間後 に Ｑ が 「状 態 １」 で あ る確 率 を,Ｑ

が 「n1か らn5に

到 達 す る 」振 幅 と 「n1か らn7に

の ２乗 と して求 め て い る こ とで あ る.見 方 を変 えれ ば,n5に で 現 れ る 「状 態 １」 と,n7に (注1)

０の 否 定 は1,1の

お い て 振 幅1/√2で

否 定 は ０で あ る．

到 達 す る」振 幅 の 和 お い て振 幅-1/√2

現 れ る 「状 態 １」 が 互 い に打 ち

消 し合 っ て,全 体 と して確 率 ０で 現 れ る 「状 態 １」 を 形 成 して い る と も考 え られ る.こ の よ う な状 態 の相 互 作 用 を状 態 の 干 渉 と呼 ぶ.こ の例 の場 合 に は,「状 態 １」 が 現 れ る確 率 が 弱 め られ て い る の で,こ の よ うな 形 の 干 渉 を負 の 干 渉 とい う.   ２単位 時 間 後 に Ｑ が 「状 態 ０」 で あ る こ とが 観 測 され る確 率 も,同 様 に して, Ｑ が 「n1か らn4に

到 達 す る」 事 象 の振 幅 と 「n1か らn6に

到 達 す る 」事 象 の

振 幅 の和 の ２乗 と して以 下 の よ うに求 め られ る.

こ こ で は 上 と は逆 に,あ る状 態 が 現 れ る確 率 が 強 め られ る 形 の,状 態 の正 の 干 渉 が 見 られ る.

計算木 が満 たすべき条件

2.3.4   1PTMの

場 合 と同様 に,図2.8の

よ う な計 算 木 が1QTMの

状 態 遷 移 を表 現 す

る た め に は,以 下 の 三 つ の 条 件 を満 た さな け れ ば な ら ない. １.

計 算 木 内 の 同 じラ ベ ル を持 つ ノ ー ドに お い て は,辺

の枝 分 か れ の 仕 方 が 同

一 で なけ れ ば な ら な い . ２.

計 算 木 内 の 親 か ら子 へ の遷 移 は,1QTMの

対 応 す る状 態 遷 移 と して 実現 可

能 で な け れ ば な らな い. ３.

計 算 木 の 各 レベ ル にお い て,そ の レベ ル に現 れ るす べ て の ノー ド の発 生確 率 の 合 計 は,常

に １で なけ れ ば な ら ない.

  こ れ ら の 条 件 は,1PTMの

場 合 と ま っ た く同 じ で あ る.例

計 算 木 は 上 の ３ 条 件 を す べ て 満 た し て い る.条 し て 確 認 で き る の で,こ 木 の 場 合 に は,レ る.ま

ず,レ

な の で,Ｑ

件 １と ２ につ い て は前 節 と同 様 に

こ で は 条 件 ３ に つ い て だ け 見 て お こ う.図2.8(b)の

ベ ル １ の ノ ー ド はn2,n3,レ

ベ ル １ に つ い て 考 え る と,n2とn3に がn2ま

え ば,図2.8(b)の

た はn3に

到 達 す る 確 率 は,

計算

ベ ル ２ の ノ ー ド はn4∼n7で 対 応 す る 振 幅 は と も に1/√2

あ

と な る.ま

た,レ

ベ ル ２ に つ い て は,n4,n5,n6,n7に

1/2,-1/2,1/2,1/2な

と な る.し

1PTMの

がn4か

た が っ て,図2.8(b)の

1QTMの

2.3.5

の で,Ｑ

らn7の

対 応 す る 振 幅 は そ れ ぞ れ, い ず れ か に 到 達 す る 確 率 は,

計 算 木 は 条 件 ３ を 満 た し て い る,

遷移 行列

場 合 と同様 に,1QTMの

状 態 遷 移 も遷 移 行 列 を用 い て表 す こ とが で

き る.前 節 と 同様 に,「状 態 ０」 は状 態 ベ ク トル

で,「 状 態 １」 は 状 態 ベ ク ト ル

で 表 す こ とに す る.   こ の と き,図2.8の

計 算 木 で 示 さ れ た状 態 遷 移 は次 の 状 態 遷 移 行 列 で 表 現 で

き る.

以 前 と ま っ た く同様 に,行 列AQに に,第

お い て は,第

１行 お よ び 第 １列 が 「状 態 ０」

２行 お よ び第 ２列 が 「状 態 １」 に対 応 して い る.こ

の と き,行 列AQの

ｉ行 第 ｊ列 成 分 は, Ｑ が 「状 態j-1」 を 表 し て い る.

か ら 「状 態i-1」

に遷 移 す る事 象 の 振 幅

第

例 え ば,状

態 ベ ク ト ル υ1は

同様 に して,Ｑ

Ａ に よ っ て 以 下 の よ う に 変 換 さ れ る.

を 「状 態 １」 か ら ２単 位 時 間動 作 させ た と きの 状 態 は,以 下 の 計

算 に よ り得 られ る.

す な わ ち,1QTM 

Qは,「

状 態 １」 か ら 動 作 を 開 始 す る と,２ 単 位 時 間 後 に は,確

率 １で 「状 態 ０」 に 遷 移 す る.こ

  次 に,1QTMの

の こ と は,上

で 述 べ た こ と と 一 致 して い る.

状 態 遷 移 行 列 が満 たす べ き条 件 に つ い て 考 えて み よ う.1QTM

の 状 態 遷 移行 列 Ａ は ２行 ２列 に な る.そ こで,遷 移 行 列 Ａ の 一 般 形 を

と置 こ う.す

る と 一 般 に,

を任 意 の 状 態 ベ ク トル とす る と き,Ｑ の 状 態 遷 移 は 以 下 の 式 で 表現 す る こ とがで きる.

(**)   今 度 の 場 合 に は,a,b,c,dは

確 率 で は な く振 幅 を表 して い るの で,任 意 の複 素

数 を値 と して取 れ る.し た が っ て,1PTMの

と きの よ う に簡 単 に結 論 は導 け な い.

実 は,上 の よ うな状 態 遷 移行 列 が,計 算 木 に 対 す る三 つ の 条 件 を満 た す よ うな変 換 を 定義 す る た め に は,以 下 の 条 件 を満 足 す れ ば よ い こ とが 知 られ て い る. QTMの

状 態 遷 移 行 列 は,ユ

ニ タ リ行 列 で な け れ ば な らな い.

行 列 Ａ が ユ ニ タ リ で あ る と は, AA+=A+A=I が 成 り 立 つ と き を い う.こ

こ で,A+は

行 列 Ａ の 転 置 共 役 行 列 を 表 す.つ

行 列 Ａ の ｉ行 ｊ 列 成 分 の 共 役 複 素 数(注1)が,行

列A+の

ｊ 行i列

ま り,

成 分 と な る.

例 え ば,

な ら ば,

とな る.こ 実 際,上

こで,ａ

は複 素 数 ａ の 共 役複 素 数 を表 して い る.

の行 列AQの

転 置 共 役 行 列 は以 下 の よ う に求 まる.

こ の と き,

と な り,同 様 に してA+QAQ=Iも

示 す こ とが で き る の で, AQは

リ行 列 で あ る.し た が って,AQは1QTMの

確 かにユニ タ

状 態 遷 移 行 列 と して適 格 で あ る こ と

が わ か る.   量 子 力 学 を ご存 じの 方 に は,前 ペ ー ジの(**)式 の 発 展 過 程 の時 間 推 移 行 列(ユ

ニ タ リ行 列)に

が,物 理 系(こ の 場 合 は1QTM) よ る表 現 に な っ てい る こ とが お わ

か りい た だ け る こ と と思 う. (注 １)

複 素数x+iyとx-iy(x,yは て,実 数xの 共 役 複 素数 はx自

実 数, ｉは 虚 数単位)は,  互いに他 の共 役 複 素 数で あ る.し たが っ 身 で あ るこ とに注 意 す る.

の因数 分 解 ア ル ゴ リズ ムの動 作 原理

Shor

2.4

  本 節 で は,AT&T, 

Bell研 究 所 のShorに

よ っ て 考案 され た,量 子Turing機

械 上 の 効 率 的 な 因数 分 解 ア ル ゴ リズ ムの 概 略 を直 観 的 に説 明す る.本 節 の詳 細 は, 第 ６章 に記 述 す る.

因数 分解 の難 しさ

2.4.1

  コ ン ピ ュ ー タ の 内 部 で は,整

数 を ２進 数 で 表 現 し て い る.し

を コ ン ピ ュ ー タの メモ リ 内 に 貯 え る に は,log  Nビ

た が っ て,整

ッ ト を 必 要 と す る(対

数 Ｎ 数 の底

は ２ と す る).

  ア ル ゴ リズ ム は,そ の実 行 ス テ ップ 数 が 入 力 長(ビ

ッ ト数)の 多 項 式 で押 さ え

られ る と きに,多 項 式 時 間 で 動 作 す る とい う． 因 数 分 解 問 題 の 場 合,入 与 え られ る 整 数Nはlog 

Nビ

ッ トで 表 現 され るか ら,因 数 分 解 の ア ル ゴ リズ ム

Ａ が 多 項 式 時 間 で動 作 す る と した ら,あ る 多項 式 Ｐ に対 し,Ａ 数 が Ｐ(log  N)以

力 と して

の 実 行 ス テ ップ

下 と な ら な け れ ば な らな い.理 論 上 は,多 項 式 時 間 で 動 作 す る

ア ル ゴ リズ ム が,効 率 の よ い ア ル ゴ リ ズ ム で あ る と考 え られ て い る.   例 え ば,１ 以 上 √N以 分 解 法(エ

下 の 各整 数 で Ｎ を割 って み る とい う,最 も素 朴 な 因 数

ラ トス テ ネ ス の ふ る い)を 考 え て み よ う.こ の 方法 は 少 な く と も √N

ス テ ップ を必 要 とす る.し か し,√N=21/2logNはlogNに

関 す る指 数 関 数 で

あ り,し たが っ て,こ の ア ル ゴ リズ ム は多 項 式 時 間 で は動 作 しな い.実 際,因 分 解 に対 す る効 率 的 な(通 常 の)ア

数

ル ゴ リズ ムは 知 られ て い な い.現 在 知 られ て

い る最 良の ア ル ゴ リズ ム は,

2(log  N)1/3(loglog 

N)2/3

の オ ー ダ の ス テ ップ 数 で 動 作 す る.し か し,逆 に因 数 分解 に対 す る効 率 的 な(通 常 の)ア

ル ゴ リズ ム が 存 在 しな い とい う証 明 が な され た わ け で もな い.

  現 在,200桁

の 整 数 を 因 数 分 解 し よ う と す る と,ス

い た と し て も,答

ー パ ー ・コ ン ピ ュ ー タ を 用

が 出 る ま で に は 数 十 億 年 も か か る と い わ れ て い る.こ

の ような

因数 分 解 の 難 し さ を よ りど こ ろ と して,RSAな れ,イ

2.4.2

ン ター ネ ッ ト上 な どで広 く利 用 され て い る.

量 子Turing機

械 とは

本 節 で は,量 子Turing機 1QTMの のQTMで

違 い は,1QTMで

械(QTM)の

直 観 的 説 明 を行 う.一 般 のQTMと

は 記 憶 容 量 が １ビ ッ トに制 限 され る の に 対 し,一 般

は,そ の よ うな制 限 が な い とい う点 の み で あ る.同 様 の 関 係 が,一 般

の 確 率 的Turing機 ずPTMに

どの 公 開 鍵 暗 号 シ ス テ ム が 実 現 さ

械(PTM)と1PTMの

間 に も成 り立 つ の で,以 下 で は,ま

つ い て 説 明 し,そ の 後 にPTMと

  まず,通 常 の 決 定 性Turing機 式 的 に は,図2.9の 定 性Turing機

の対 比 でQTMを

導 入 す る.

械 に よ る計 算 の様 子 を考 え て み よ う.そ れ は,図

よ うに 直 線 的 に 表 現 す る こ とが で きる.す

な わ ち,通 常 の 決

械 に よ る計 算 に お い て は,計 算 の 各 ス テ ップ に お い て,次

に 実行

可 能 な ステ ップ は,(存 在 す る な らば)一 意 的 に定 ま る.   これ に対 し,通 常 のPTMに

よ る計 算 の 様 子 は,図2.10の

よ うな木 の形 で 表 現

さ れ る.す な わ ち,こ の 場 合 に は,計 算 の 各 ステ ップ に お い て,次 に 実 行 可 能 な ス テ ップ は,一 般 に一 意 的 に は 定 ま らず,高

図2.9

々２つ の 可 能 な もの の 中 か ら,あ る

通常の決定性計算

図2.10

通常の確率的計算

確 率 に従 っ て 選 ば れ る.   例 え ば,計

算 の あ る ス テ ップ に到 達 した と き に,次

種 類 存 在 した 場 合,PTMは テ ップ を,さ

に実 行 可 能 なス テ ップ が ２

内 部 的 に コ イ ン投 げ を行 っ て,表 が 出 た ら第 １の ス

もな け れ ば 第 ２の ス テ ップ を実 行 す る ．

  逆 に,図2.10の

よ うな木 は,あ るPTMの

よ うな木 を描 い て も,そ れ が常 にPTMの 2.10の よ うな 木 がPTMの

計 算 過 程 を表 現 す る わ け だ が,ど の 計 算 過 程 を 表 現 す る とは 限 ら ない.図

計 算 過 程 を表 現 す る には,以

下の 三 つ の 条 件 を満 た さ

なけ れ ば な らな い. １.

同 じ 計 算 ス テ ッ プ か ら は,同 な い.例

え ば,図2.10の

で あ っ た と し よ う.こ

じ確 率 に 従 う状 態 遷 移 が 起 こ ら な け れ ば な ら

様 相(注１)Ａと Ｂ に お い て,と の と き,も

も に機 械 の 状 態 が ｑ

し様 相 Ａ か ら の 遷 移 が,

「状 態 を γ に変 え,ヘ ッ ドの あ るマ ス 目に 記 号 ｂを書 き込 み,そ の 後 ヘ ッ ド を右 に １マ ス動 か す 」 とい う遷 移 が 確 率1/2で

起こ

り, (注 １）あ

る時 刻 ｔ にお け る,Turing機

械 Ｍ の 有 限制 御 部の 状態,テ

む対 を,時 刻 ｔ にお け る Ｍ の様 相 とい う.

ー プ の内容,ヘ

ッドの 位 置 をす べ て 含

「状態 を ｓ に 変 え,ヘ

ッ ドの あ るマ ス 目 に記 号 ｃ を書 き込 み,そ

の 後 ヘ ッド を左 に １マ ス動 か す 」 とい う遷 移 が確 率1/2で

起 こる

の で あ れ ば,こ れ と ま っ た く同様 の 遷 移 が様 相 Ｂ に お い て も起 こ ら なけ れ ば な らな い. ２.

木の 中 の あ る 親 に付 随 した 様 相 か ら,そ の 子 に 付 随 した 様 相 へ は,決 定 性 Turing機

３.

械 の １ス テ ップ の動 作 で 遷 移 で きな け れ ば な らな い.

木 の レベ ル ご と に,そ の レベ ル の 頂 点 に 付 随 した様 相 の 発 生 確 率 を合 計 す る と,そ の和 は １にな ら なけ れ ば な らな い.例

え ば,図2．10の

場 合,レ ベ

ル ０に あ る 頂 点 は木 の根 Ａ だ け で あ り,そ の 発 生 確 率 は １だ か ら,明 らか に この 条 件 は 満 た され る.レ ベ ル １に は 頂 点 Ｂ と Ｃ が 存 在 す る.Ｂ

に対

応 す る様 相 の 発 生 確 率 は1/2,Ｃ

ある

に 対 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は1/2で

か ら,そ の 合 計 は確 か に １に な って い る.レ ベ ル ２ には 頂 点D,E,  在 す る.例

え ば,頂 点 Ｄ に対 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は

で あ る.同

様 に し て,頂

1/4,1/2で

点E,Fに

あ る か ら,そ

対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は,そ

Fが

存

れ ぞ れ,

れ ら の 合 計 は や は り １ に な る.

  このPTMの

場 合 の よ うに, QTMに

よ る計 算 の 様 子 も,図2.11の

表 現 さ れ る.す

な わ ち,こ の 場 合 に も,計 算 の 各 ステ ップ にお い て,次

能 な ス テ ップ は,一 般 に 一 意 的 には 定 ま らず,幾

よ う な木 で に実 行 可

つ か の 可 能 な もの の 中 か ら,あ

る確 率 に従 っ て選 ば れ る.た だ し,今 度 の 場 合 は,そ

の確 率 が 通常 の確 率 で は な

く,い わ ゆ る量 子 確 率 に な っ て い る.   例 え ば,計 算 の あ る ス テ ップ に到 達 した と き に,次 に 実 行 可 能 な ス テ ップ が ２ 種 類 存 在 した 場 合,QTMも テ ップ を,さ

内 部 的 に コ イ ン投 げ を行 って,表

が 出 た ら第 １の ス

も な け れ ば 第 ２の ス テ ップ を実 行 す る.た だ し,こ の 場 合 の コ イ ン

は一 般 に通 常 の コ イ ンで は な く,量 子 コ イ ン とで も呼 べ る もの で あ る.   図2.11の

木 が,PTMに

ら れ た 値 が,対

対 す る 図2.10の

木 と唯 一 異 な る点 は,木 の 辺 に付 け

応 す る状 態 遷 移 の 確 率 で は な く,そ の 振 幅 で あ る とい うこ とで あ

図2.11

る.そ れ以 外 は,確 率 的Turing機

量子確率的計算 械 に 対 す る計 算 木 と量 子Turing機

計 算 木 は ま っ た く同 じで あ る.す な わ ち,図2.11の の計 算 過 程 を表 現 す る た め に は,以 １.

同 じ計 算 ス テ ップ か ら は,同 な い.例 え ば,図2.11の

械 に対す る

よ うな木 が 量 子Turing機

械

下 の 三 つ の 条 件 を満 た さ な け れ ば な ら ない. じ確 率 に 従 う状 態 遷 移 が 起 こ らな け れ ば な ら

様 相 Ａ と Ｂ に お い て は,図2.10の

場 合 と同様,

まっ た く同 じ遷 移 が 起 こ っ て い なけ れ ば な ら ない. ２.

木 の 中 の あ る 親 に 付 随 した 様 相 か ら,そ の子 に付 随 した 様 相 へ は,決 Turing機

３.

定性

械 の １ス テ ップ の動 作 で 遷 移 で き なけ れ ば な らな い.

木 の レベ ル ご と に,そ の レベ ル の 頂 点 に付 随 した 様 相 の 発 生 確 率 を 合 計 す る と,そ の 和 は １ に な らな け れ ば な らな い.例 え ば,図2.11の

場 合,レ ベ

ル ０に あ る頂 点 は木 の根 Ａ だ け で あ り,そ の 発 生 確 率 は １だか ら,明 らか に こ の条 件 は 満 た され る.レ ベ ル １には 頂 点 Ｂ と Ｃ が 存 在 す る.Ｂ 応 す る様 相 の 発 生 確 率 は

に対

Ｃ に対応す る様相 の発生確率 は

で あ る か ら,そ の 合 計 は確 か に １に な っ て い る.レ ベ ル ２ に は頂 点D,E, Fが

存 在 す る.例 え ば,頂 点 Ｄ に対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は

で あ る.同 1/4,1/2で

様 に し て,頂 あ る か ら,そ

点E,Fに

対 応 す る 様 相 の 発 生 確 率 は,そ

れ ぞ れ,

れ ら の 合 計 は や は り １ に な る.

変換 換

2.4.3

離 散Fourier 散Fourier変

  Shorが

考 案 した 因数 分 解 の 量 子 ア ル ゴ リス ム に お い て 中心 的 な役 割 を果 た す

の が,次

の よ う な 離 散Fourier変

DFTと

略 す)で

あ る.DFTは

換(Discrete 

１ ビ ッ トの 状 態 空 間 に 対 して 適 用 さ れ る,以

行 列 Ａ で 表 現 さ れ る 変 換 で あ る.

この行 列 を ビ ッ ト ０を表 す状 態 ベ ク トル

に 適 用 し て み よ う.す

る と,

Fourier  Transformation,以

下 下 の

と な る.こ

の 式 の 右 辺 は,状

態 ベ ク トル

と

を,等

しい 振 幅 で 重 ね合 わ せ た 状 態 を表 して い る.つ

ま り,右 辺 の 状 態 に あ る １

ビ ッ トの 物 理 系 を観 測 す る と,そ れが ０で あ る こ とが ,確 率

で 観 測 され る.し た が っ て,そ の 物 理 系 が １で あ る こ と も,同

じ確 率

で観 測 さ れ る. 次 に,行 列 Ａ を ビ ッ ト １を表 す 状 態 ベ ク トル

に 適 用 し て み よ う.す

と な る.こ

る と,

の 式 の 右 辺 は,状

態 ベ ク トル

を,絶 対 値 は 等 しい が 符 号 が 異 な る振 幅 で重 ね 合 わせ た状 態 を表 して い る.し か し,こ の 場 合 も右 辺 の 状 態 に あ る １ビ ッ トの物 理 系 を観 測 す る と,そ れ が ０で あ る こ とが,確

率

で 観 測 さ れ,ま

た,そ

れ が １ で あ る こ と も,同

じ確 率

で 観 測 さ れ る こ とに な る.   以 上 を ま と め る と,あ す る と,最 と,変

る ビ ッ ト に 行 列 Ａ で 表 現 さ れ るDFTと

初 そ の ビ ッ ト に ０ が 書 き 込 ま れ て い よ う と,１

換 後 の ビ ッ ト を 読 め ば,０

の よ う な 性 質 が あ る た め,DFTは Flip)と

い う変 換 を適 用

が 書 き込 ま れ て い よ う

と １が 等 し い 確 率 で 読 み 出 せ る わ け で あ る.こ 別 名,量

子 コ イ ン 投 げ(Quantum 

Fair Coin

も呼 ば れ る.

  さ て,最

初 に ｎ 個 の マ ス 目 を 持 つ テ ー プ が 与 え ら れ,テ

に は ０ が 書 き 込 ま れ て い る と し よ う.こ 上 で 述 べ たDFT(量

子 コ イ ン投 げ)を

子 を 表 し た 計 算 木 が,図2.12に

  図2.12の

ープのすべ てのマス 目

の ｎ 個 の マ ス 目 に 対 して,左

適 用 して い く こ と を 考 え る.こ

か ら 順 に, の計 算 の様

示 さ れ て い る.

計 算 木 に お い て は,木 の 根 Ａ に対 応 す る初 期 状 態 の 第 １ビ ッ ト(最

も左 側 の ビ ッ ト)にDFTを

適 用 した 結 果 が,木 の 第 １ レベ ル の 二 つ の 頂 点B,C

に対 応 す る様 相 と して 現 れ て い る.こ の う ち頂 点 Ｂ は,量 子 コ イ ン投 げ の 結 果,

図2.12

ｎ ビ ッ トテ ー プ 上 のDFT

第 １ ビ ッ トの 値 が ０に な っ た様 相 に対 応 して お り,頂 点 Ｃ は,量 子 コ イン投 げ の 結 果,第

１ビ ッ トの 値 が １に な った様 相 に対 応 して い る.さ ら に,頂 点 Ｂ の 様 相

の 第 ２ ビ ッ トにDFTを お り,ま た,Ｃ 点F,Gに

適 用 した 結 果 得 られ る様 相 が,図 の 頂 点D,Eに

の様 相 の 第 ２ ビ ッ トにDFTを

現 れて い る.例

適 用 した結 果 得 られ る様 相 が,頂

え ば,頂 点 Ｅ に対 応 した様 相 は,第

を適 用 した結 果 が ０で あ り,か つ,第 た 様 相 で あ る.以 下 同 様 に して,木

現 れて

２ ビ ッ トにDFTを の 各 頂 点 にDFTを

１ビ ッ トにDFT

適 用 した結 果 が １で あ っ 適 用 した 結 果 の 様 相 が 対

応 して い る.   図2.12の 計 算 木 に は2n個

の葉 が あ るが,そ れ らの 葉 に は左 か ら順 に,000…0

(ｎ 個 す べ て の マ ス 目 に ０が 書 き込 まれ て い る)か

ら111…1(ｎ

個す べて のマ

ス 目 に １が 書 き込 まれ て い る)ま で の 状 態 が 現 れ て い る.こ れ らの 状 態 は,す べ て等 しい 振 幅

を持 って い る こ とに 注 意 す る.す

な わ ち,ｎ

番 に,量 子 コ イ ン投 げ(DFT)を

適 用 して い っ た結 果,最

す べ て の 状 態 が,等

2.4.4

終 的 に2n個

の可 能 な

しい 振 幅 で 重 ね 合 わ され た 状 態 が 得 られ た こ と を,図2.12の

計 算 木 は表 現 して い る.し か も,こ の2n個 の処 理(ｎ

ビ ッ トテ ー プ の 左 側 の マ ス 目 か ら順

回 のDFTの

の 状 態 の重 ね 合 わ せ が, ｎ ス テ ップ

適 用)で 得 られ て い る こ とが 重 要 な 点 で あ る.

量子並列計算

 Deutschに る 点 は,QTMで

よっ て 考 案 され たQTMが,通

械 と最 も大 き く異 な

は 単 一 プ ロセ ッサ 上 で 任 意 の 並 列 度 の 並 列 計 算 が 行 え る 点 で あ

る(量 子 力 学 の 理 論 的 枠 組 み に従 え ば,無   簡 単 な 例 で 説 明 す る.z=f(x1,x2,…,xn)を な わ ち,z,  x1,x2,…,xnの

の 値(０

限 の並 列 度 も許 され て い る). ｎ 変 数 ブ ー ル 関 数 と す る.す

値 は ０ ま た は １ で あ る と す る.異

X=(x1,x2,…,xn)とY=(y1,y2,…,yn)(X,  に 対 し て,ｚ

常 のTuring機

Yの

な る二つ の入力

各 成 分 は ０ ま た は １)

ま た は １)を 求 め る 必 要 が あ る と し よ う.

  こ の場 合,通

常 は まずf(X)の

れ ば な らな い.し

計 算 す る の に 必 要 な時 間 の,お   QTMで

値 を計 算 しな け

よそ ２倍 の 時 間 が か か っ て し ま う.

は,入 力 Ｘ と Ｙ の 両 方 を 同 時 に符 号 化 した 入 力 を 用 意 す る こ とが

で き る.こ れ は実 際 に は,Ｘ QTMにX+Yを

と Ｙ をある線形空 間内の点

Ｘ,  Ｙ と して 表 現 し,

入 力 す る こ とに相 当 す る.こ の 形 の 符 号 化 を, Ｘ と Ｙ の量

子 重 ね 合 わ せ(quantum 

superposition)と

す る通 常 の プ ログ ラ ム をQTM上 とf(Y)の

値 を計 算 し,そ の 後 にf(Y)の

か し,こ の よ う な計 算 を行 う と,ｆ の 値 を 一 つ の 入 力 に 対 して

呼 ぶ.こ の 入 力 に対 して, ｆ を計 算

で 走 らせ る と(注１),その 結 果,出 力 と してf(X)

量 子 重 ね 合 わせ が 得 られ る.こ の こ と を,も う少 し形 式 的 に述 べ よ う.

QTMは,実

際 に は ｆ の 計 算 に対 応 す る線 形 変 換(Ufと

の と き,Ufの

呼 ぼ う)を 実行 す る.こ

線 形 性 か ら以 下 が 成 り立 つ.

Uf(X+Y)=Uf(X)+Uf(Y) た だ し,Ｘ

と Ｙ の量 子 重 ね合 わせ をX+Yと

とf(Y)の

量 子 重 ね 合 わせ に相 当す る.こ の 計 算 にお い て は,ｆ の 計 算 プ ログ ラ

ム(す

なわ ち線 形 変 換Uf)は

表 して い る.こ の 式 の 右 辺 がf(X)

１回 しか 実 行 され て い な い の で,こ

の計算 に要す

る時 間 は,ｆ の 値 を 一 つ の 入 力 に 対 して 計 算 す る の に必 要 な時 間 の み で あ る.入 力 の 量 子 重 ね 合 わせ に 対 して行 わ れ る この よ うな計 算 を,量 子 並 列 計 算 と呼 ぶ.   さ らに好 都 合 な こ と に は,前 節 で 示 した よ う にDFTを

用 い る と, QTMは

指

数 個 の 入力 の 量 子 重 ね合 わせ を線 形 時 間(ｎ ス テ ップ)で 用 意 す る こ とが で きる. した が っ て,そ の 入 力 の 重 ね合 わ せ に対 して ｆ の プ ロ グ ラ ム を １回実 行 す れ ば, す べ て の 入 力 に 対 す る ｆ の 値 の量 子 重 ね合 わせ が得 られ る.   こ こ まで 読 まれ た 読 者 は,あ

ま りに も話 が うま過 ぎる と思 わ れ た だ ろ うが,現

在 の量 子 力 学 の枠 組 み に従 う限 り,こ こ まで の と こ ろ は一 応 問 題 な い.実 題 は そ の 後 で あ る.上 の よ うな 計 算 が 行 わ れ た後 に は,例 え ば,出 2n個

の ｆ の 値f(X1),f(X2),…,f(X2n)が

て い る こ と に な る.こ (注１)QTMは

は,問

力テープ上 に

量 子 重 ね合 わせ の 状 態 で 印刷 され

こ で再 び,現 在 の 量 子 力 学 の 枠 組 み に従 う と,出 力 テ ープ

,通 常 のTuring機

械 が実 行 可 能な すべ て の プ ログ ラム を実 行 で きる.

か らの 値 の 読 み 出 しに強 い制 限 が 課 され て しま うの で あ る.   今 の 例 で い え ば,出

力 の 可 能 な 観 測 方 法 と し て は,例

に 対 し て,「f(Xi)=1か?」(Xi∈{0,1}n)を

え ば,あ

るi,1〓i〓2n

観 測 す る こ と が で き る が,こ

の

場 合, １.実 際 にf(Xi)=0の

と き は,上

の 観 測 結 果 は 確 率 １ でNOと

  ２.実 際 にf(Xi)=1の

と き は,上

の 観 測 結 果 は 確 率1/2nでYESと

な り, なる

こ と し か 保 証 で き な い.

  この こ とは,QTMは

すべ て の 入力 値 に対 す る計 算 を効 率 よ く行 っ た の に,そ

の 結 果 を我 々人 間が 効 率 よ くは読 み 出 せ ない と い うジ レ ンマ を表 して い る.一 方, 因 数 分 解 問 題 や 離散 対 数 問 題 の よ うに,QTMが

通 常 のTMよ

り も高 速 に解 け そ

うな 問 題 が す で に知 られ て い る が,そ の よ うな問 題 は,量 子 並 列 計 算 と適 当 な観 測 方 法 とを う ま く組 み合 わせ れ ば,効 率 よ く解 け る よ うな構 造 を持 っ て い る こ と が わ か る.

2.4.5

２ 段Fourier変

換

  上 で 述 べ た量 子 並 列 計 算 の メカ ニ ズ ム を用 い て,図2.12の 2n個

の 状 態 の 重 ね 合 わせ 上 で,な

計 算 木 の 葉 に現 れ る

ん らか の 計 算 を行 う こ と を考 え よ う.例 え ば,

こ の計 算 木 の 葉 に現 れ る 様相 の 重 ね 合 わ せ が,

X1+X2+…+X2n

と 表 現 で き た と し よ う.た 目 の 葉 に 対 応 し たTMの   こ こ で は,TMの

だ し,Xi(1〓i〓2n)は,こ 様 相 を 表 現 す る ベ ク トル と す る.

様 相 を,そ

を ｎ ビ ッ トの ２進 列 と す る.さ 値 の 割 当 て と解 釈 し,あ

の 計 算 木 の 左 か ら ｉ番

の テ ー プ の 内 容 と 同 一 視 して,各Xi(1〓i〓2n) ら に,こ

れ を ブ ー ル 変 数x1,x2,…,xnに

対す る

る ｎ 変 数 ブ ー ル 関 数 ｆ の 値 を 求 め る こ と を 考 え よ う.ｆ

の 値 を 求 め る こ と に 対 応 す る ユ ニ タ リ変 換 をUfで

表 す と,Ufの

線 形 性 か ら,以

図2.13

下の 関

DFTを

用 いた 量子 並列 計 算

式 が 得 られ る. Uf(X1+X2+…+X2n)=Uf(X1)+Uf(X2)+…+Uf(X2n)

こ の 式 の 右 辺 は,f(X1),…,f(X2n)の

値 を 求 め た 後 のTuring機

械 の2n個

の様

相 の 重 ね 合 わ せ を 表 現 し て い る.以

上 の 計 算 の 様 子 が,図2.13に

  さ ら に 計 算 を 続 け よ う.図2.13の

葉 に 現 れ て い る 各 様 相 の 最 も左 側 の ビ ッ トか

ら,図2.12の

と き と ま っ た く 同 様 に,順

の 様 子 が,図2.14に

示 さ れ て い る.読

不 思 議 に 思 わ れ る か も し れ な い が,実 考 案 さ れ た ２ 段 フ ー リ エ 変 換(Fourier  が 離 散 対 数 問 題 に 対 す るShorの Shorは,こ

番 にDFTを 者 は,な

は,こ

示 さ れ て い る.

適 用 し て み よ う.こ

の計算

ぜ こ の よ う な 計 算 を 行 うの か と

の 計 算 方 法 はD.R.  Simonに

Twice)と

呼 ば れ る も の で,こ

ア ル ゴ リ ズ ム の 基 礎 と な っ て い る[49].そ

の 離 散 対 数 問 題 に 対 す る ア ル ゴ リ ズ ム を 少 し 変 形 す る こ と で,因

よ って の手法 し て, 数分

解 問 題 に 対 す る 量 子 ア ル ゴ リ ス ム を 得 た の で あ る[48].   ２ 段 フ ー リ エ 変 換 の 結 果 得 ら れ る 図2.14の て い る.関

数 ｆ が １ 対 １ の と き は,各(X,Y), 

計 算 木 は,次

の よ うな 性 質 を持 っ

X,Y∈{0,1}nに

対 し,各

組

図2.14

２段

(Y,f(X))は

す べ て異 な る.よ っ て計 算結 果 を観 測 す る と,各 組(Y,f(X))が

等

確率 1/22n

で 観 測 され る.す な わ ち,計 算 木 の 葉 の 部 分 で は 干 渉 は ま っ た く起 こ らな い.   しか し,ｆ が １対 １で ない 場 合 に は,組(Y,f(X))の た め,そ

中 に等 しい もの が現 れ る

の よ うな箇 所 で 干 渉 が起 き る こ とに な る.こ の 場 合,所

て い るf(X)に

望 の 結 果 を与 え

つ い て は 正 の 干 渉 が 起 こ る よ うに し,そ うで は な いf(X)に

つい

て は負 の 干 渉 が 起 こ る よ うに して,所 望 の 結 果 が 得 られ る確 率 を増 幅 させ よ う と い うの が,Shorの

2.4.6

一 連 の 量 子 ア ル ゴ リズ ム の 設 計 方 針 で あ る.

量 子 ｋ 面 サ イ コロ投 げ

  本 節 で は,因

数 分 解 問 題 に 対 す るShorの

流 儀 で 直 観 的 に 説 明 す る.Shorの 拡 張 し た,図2.15の Roll)を

ア ル ゴ リ ズ ム の 動 作 原 理 を,Simonの

ア ル ゴ リ ズ ム で は,DFT(量

子 コ イ ン投 げ)を

よ う な 量 子 ｋ 面 サ イ コ ロ 投 げ(Quantum 

k-sided 

Die

用 い る.

  オ イ ラー の φ 関 数 は 自然 数 上 で そ の 値 が 定 義 され,自 然 数 Ｎ に対 す る φ(Ｎ) の 値 は,「Ｎ と互 い に素 な Ｎ 以 下 の 整 数 の個 数 」 と定 義 され る. ａ と Ｎ が 互 い に 素 の と き,ａ

のmod 

Nの

aγ ≡1mod 

オ ー ダ γ と は,

N

を満 た す 最 小 の 整 数 γ の こ と をい う.ａ と Ｎ が 互 い に素 の と き,ａ のmodN

図2・15

量子 ｋ 面サ イ コロ投 げ

図2.16

の オ ー ダ を発 見 で きれ ば,Ｎ

Shorの 因 数分 解 ア ルゴ リズムの 動作

の 因 数 分 解 が 比 較 的 簡単 に行 え る こ とが,整 数 論 の

結 果 と して 知 られ て い る(詳 細 は本 書 の 第 ６章 参 照).実 ラ ンダ ム に選 ば れ た 整 数 ａ に対 し,ａ のmod  Nの

際,Shorが

示 した の は,

オ ー ダ γ を,小 さ な誤 り確 率

で 多 項 式 時 間 以 内 に発 見 す る量 子 ア ル ゴ リズ ム で あ る.   い ま,整

数 Ｎ

関 数 φ(N)の

値 が わ か っ て い た と し よ う(後

こ と は な い).こ が 図2.16で

を 因 数 分 解 し た い と き に,QTMの

の 仮 定 の も と で,Shorの

あ る.た

だ し,図2.16の

処 理 に 先 立 っ て, Eulerの

で も 述 べ る が,実

φ

際 に は この よ うな

ア ル ゴ リズ ムの 動 作 を説 明 して い るの

計 算 木 は,ａ

のmod 

Nの

オ ー ダ γ を求 め

る 計 算 に 対 す る も の で あ る. よ く見 て い た だ く と わ か る が,こ

の 図 は,図2.14の

２段Fourier変

換の計算木

にお い て,

１.DFTに

よ る 二 股 の 分 岐 が,量

岐 の 置 き換 え られ,

子 φ(n)面 サ イ コ ロ投 げ に よ る φ(n)個 の 分

２.さ ら に,量

子 並 列 計 算 を行 う関 数 ｆ と して,f(a,x)=axと

い う関 数 が 具

体 的 に指 定 され た も の で あ る.   こ の と き,ａ か も,γbが

と Ｎ が 互 い に 素 で あ り,γ が ａ のmodNの

φ(Ｎ)の

起 こ す.([a,b,x]と る.こ

こ で は,テ

倍 数 な ら ば,様

い う表 記 は,テ

相[a,b,x]に

対 応 す る葉 同士 は 正 の 干 渉 を

ー プ の 内 容 が “a,b,x” で あ る こ と を 表 して い

ー プ の 内 容 と様 相 を 同 一 視 し て い る こ と に 注 意.)し

以 外 の 様 相 に 対 応 す る 葉 同 士 は 負 の 干 渉 を起 こ し,そ る.し

オ ー ダ で あ り,し

た が っ て,図2.16の

プ を 観 測 す る と,あ

か し,そ

れ らの振 幅 の 合 計 は ０に な

計 算 木 で 表 さ れ る 計 算 が 終 了 し た 後 で,QTMの

る 整 数 ｋ に 対 し γb=kφ(Ｎ)を

関 係 式 か ら γ を 求 め る こ と が で き る.こ 越 え る こ と な の で 省 略 す る.詳

  実 は,上 記 の ア ル ゴ リズ ム はShorの

テ ー

満 た す ｂ が 観 測 で き,こ

の こ と の 詳 細 な 理 由 は,本

細 に つ い て は,第

れ

の

章 の レベ ル を

６章 を 参 照 さ れ た い.

ア ル ゴ リズ ム を非 常 に単 純 化 して 説 明 し

た もの で あ る が,以 下 の よ うな 問 題 点 が あ る. ● まず,整 数 Ｎ の 因 数 分 解 に先 立 って,φ(Ｎ)の が,そ

値 を知 ら なけ れ ば な らない

の 値 の 計 算 を多 項 式 時 間 で行 う方 法 は知 られ て い ない.

● さ ら に,量 子 φ(Ｎ)面 サ イ コ ロ投 げ は,QTMを

用 い て も多 項 式 時 間 で行

え る か ど うか は わ か ら ない. し たが っ て,上 記 の 簡 略 版 の ア ル ゴ リズ ム を そ の ま ま用 い た の で は,QTM上

で

因 数 分 解 が 多項 式 時 間 で 行 え る こ と は示 せ そ う も ない.   実 際,Shorが

行 っ た の は,こ の 簡 略 版 の アル ゴ リズ ムの 動 作 を確 率 的 に近 似 す

る こ とで あ っ た.そ の 結 果,若 干 の誤 り確 率 を伴 うが,因 数 分 解 を多 項 式 時 間で 行 え る量 子 ア ル ゴ リズ ム を設 計 す る こ とに成 功 した.し か も,こ の 誤 り確 率 は い く らで も小 さ くす る こ とが で きる.Shorが

行 った 近 似 の 方 法 は,本 書 の 第 ６章 で 詳

細 に説 明 す るの で,興 味 の あ る方 は そ ち ら を ご参 照 い た だ きた い.し か し,Shor の 因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム の 動 作 原 理 は,上 記 の 簡 略 版 ア ル ゴ リズ ム と基 本 的 に同 じ もの で あ る.

第 ３章 量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 に

向けて 本章 で は,前 章で 概 略 を紹 介 した量 子 コ ンピュ ー タの,実 現 に向 けて の研 究 を紹 介す る.量 子 コ ン ピュー タの 実現 に関 す る研 究 は,ま だ始 まっ たば か りだが,本 章 で は,そ の よ うな研 究 で何 が問題 にな っ てい るの か を列 挙 す る こ とに 主眼 を置 い た(量 子 コ ン ピュー タの 理論 にお け る未 解 決問題 に つい ては,第 ４章以 降 で述 べ る).こ の 分野 の研 究 は現 在進 行 中で あ り,日 々新 しい論 文 が発 表 され てい る.そ う した最 新情 報 を得 る には,イ ンタ ー ネ ッ トを利用 す るの が最 も効 率的 で ある.そ こで,本 章 の 最後 に,量 子 コ ンピュー タ関連 の論 文 が多 数登 録 されて い るWWWサ

イト

のア ドレス を掲 載 したの で,ご 活用 いた だ きたい.な お,本 章の 記 述の 多 くの 部 分 は,文 献[35] を参 考 に して い る.

3.1

量子情報

  情 報 量 の 単 位 は ビ ッ トで あ る.１ ビ ッ トの 情 報 は,二 つ の選 択 肢YesとNoの 別 を 表 す.す

区

な わ ち,情 報 は 離散 的 な単 位 の 集 ま り と して 表 現 され る.一 方,前

に も述 べ た よ うに,量 子 力 学 にお い て は 原 子 のエ ネ ル ギ ー ・レベ ル は 離 散 的 に な る.量 子 コ ン ピ ュ ー タの 基 本 的 な発 想 は, 今 日の デ ジ タ ル情 報 処 理 で 用 い られ て い る離 散 的 性 質 を,量 子 力 学 に お け る(特 殊 な)離 散 的 性 質 で 表現 し よ う と い う こ と で あ る.

現 在 のデ ジ タル ・コ ン ピュー タで は,キ

ャパ シ タ内 の極 板 間 の 電圧 に よ り １ビ ッ

トの 情 報 を表 現 して い る.す な わ ち,充 電 され た キ ャ パ シ タは １ を表 現 し,充 電 さ れ て い な い キ ャパ シ タは ０ を表 現 して い る と考 え る.こ れ と同様 に,水 素 原 子

(ａ)

(ｂ) 図3.1

水 素原 子 へ の情報 の 記憶. (ａ)情 報 の 反 転, (ｂ)情 報 の 読 み 出 し.

の列 も複 数 の ビ ッ ト を保 持 す る こ とが で き る.こ の 場 合 に は,基 底 状 態 に あ る原 子 は ０ を表 現 し,励 起 状 態 に あ る原 子 は １を表現 して い る と考 え る(図3.1参 この よ うな 形 で 水 素 原 子 を用 い,コ

ン ピ ュ ー タを 実 現 す る た め には,水

照).

素原子 に

貯 え ら れ た情 報 に対 して,読 み 出 し,書 き込 み,演 算 が 行 え な け れ ば な らな い.   量 子 系 に情 報 を書 き込 む方 法 を初 め て 示 した の は,ノ I.I.Rabiで

ーベ ル物 理 学 賞 受 賞 者 の

あ っ た.彼 の 方 法 を水 素 原 子 に適 用す る と以 下 の よ う にな る.

エ ネ ル ギ ー ・レベ ルがE0の

基 底 状 態 に あ る水 素 原 子 Ａ に, ０ を書

き込 む 場 合 に は何 も行 わ な くて よい が,１ を書 き込 む場 合 に は,Ａ よ り高 い エ ネ ル ギ ー 状 態E1に こ れ を 行 う に は,E1-E0に を,Ａ

を

励 起 させ る.

等 しい量 の エ ネ ルギ ー を持 つ 光 子 か ら な る レー ザ 光

に 注 げ ば よ い.

  も し レーザ 光 が 適 当 な強 さで適 当 な 時 間 だ け 照 射 され れ ば,Ａ る に 従 っ て,基 底 状 態E0か

ら励 起 状 態E1に

は 光 子 を吸 収 す

徐 々 に移 行 す る.一 方, Ａ が す で

に励 起 状 態E1に

あ る 場 合 に は,同

じ レーザ 光 が Ａ に 光 子 を放 出 させ る の で,Ａ

は基 底 状 態E0に

移 行 す る.す な わ ち,こ の レー ザ 光 に よ り,水 素 原子 Ａ が 保持

す る ビ ッ トが 反 転 さ れ る.   Ａ が 保 持 す る情 報 を ０か ら １に 反 転 させ る の に 要 す る時 間 を ｔ と し よ う.も し上 の 意 味 で 適 切 な レーザ 光 が,時 間t/2だ

け 照 射 され る と,Ａ

は,同

じ振 幅 を

持 っ た,０ に対 応 す る 波 と １に対 応 す る波 の 重 ね 合 わ せ に対 応 した状 態 に な る. この と き,Ａ が 保 持 して い る キ ュ-ビ

ッ ト(quantum 

bit)は,「 半 分 だ け 反 転 さ

れ て い る」 と考 え る こ とが で きる.こ れ に対 し,通 常 の ビ ッ トは ０ま た は １ を表 す こ と しか で き ない.   量 子 系 か らの情 報 の 読 み 出 し も,上 で述 べ た反 転 と同 様 に して行 う こ とが で き る.E2を, 

E1よ

り高 い が,よ

か ら情 報 を読 み 出 す に は,E2-E1に に照 射 して,Ａ E2に

を状 態E2に

励 起 さ れ る が,E2は

り不 安 定 な水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー状 態 とす る. Ａ 等 しい 量 の エ ネ ル ギ ー を持 つ レー ザ 光 を Ａ.

移 行 させ れ ば よい.Ａ

は,状 態E1に

不 安 定 なエ ネ ル ギ ー 状 態 な の で,Ａ

あ れ ば,状 態 は す ぐ に光 子 を

放 出 して 崩 壊 し状 態Elに

戻 る.一 方, Ａ が 基 底 状 態E0に

レ ーザ 光 を照 射 して も何 も起 こ らな い.も に あ れ ば,Ａ

あ れ ば,上 の よ うな

し,Ａ が 「半 分 だ け 反 転 さ れ た 」状 態

が 光 子 を放 出 して １を保 持 して い た こ と を示 す確 率 と,光 子 を放 出

せ ず に ０ を保 持 して い た こ と を示 す 確 率 は,と

もに1/2で

あ る.

量子 回路

3.2 3.2

  一 般 に 電 気 回 路 は,多 数 の 論 理 ゲ ー ト(素 子)か

ら構 成 され て い る.通 常,論

理 ゲ ー トは 数 種 類 存 在 し,そ の 種 類 ご とに,各 ゲ ー トが 行 うべ き単 純 な演 算 が 定 め られ て い る.回 路 に入 力 が 与 え られ る と,入 力 が 到 達 した ゲ ー トか ら順 に,そ の ゲ ー トが行 うべ き演 算 を行 っ て い き,最 終 的 に 回 路 全 体 が 複 雑 な計 算 を行 うよ う に設 計 され て い る.   通 常 の コ ン ピ ュ ー タ を 実 現 す る の に 用 い ら れ て い る 論 理 ゲ ー ト と し て は,AND, OR,  NOTゲ

ー ト な ど が あ る.例

種 類 の ゲ ー ト を用 い れ ば,任 路 を構 成 す る こ と が で き る.こ AND…

え ば, ANDとNOT,ま

意 のTuring機

た はORとNOTの

械 の 計 算(を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン す る 回

れ ら の 論 理 ゲ ー トの 動 作 は,以

こ の 論 理 ゲ ー ト は ２ 入 力 １出 力 で あ る(図3.2(a)参 に お い て は,二

つ の 入 力 ビ ッ トx１

(ａ)

図3.2

通常 の論 理 ゲ ー トの動作. (ａ)ANDゲ

２

とx2の

下 の と お りで あ る. 照).  ANDゲ

ー ト

値 が と も に １ な ら ば,出

力 ビッ

(ｂ)

ー ト, (ｂ)ORゲ

(ｃ)

ー ト,

(ｃ)NOTゲ

ー ト.

トyの OR…

値 も １に な るが,そ

れ 以外 の 入 力 に対 して は ｙ の 値 は ０ に な る.

こ の 論 理 ゲ ー ト も ２ 入 力 １出 力 で あ る(図3.2(b)参 お い て は,二

つ の 入 力 ビ ッ トx1とx2の

ｙ の 値 も ０ に な る が,そ NOT…

値 が と も に ０ な ら ば,出

ー トに 力 ビット

れ 以 外 の 入 力 に 対 し て は ｙ の 値 は １ に な る.

こ の 論 理 ゲ ー トは １入 力 １出 力 で あ り,ビ ゲ ー ト に お い て は,入

照).ORゲ

ッ トの 反 転 演 算 を行 う.NOT

力 が １ の 場 合 に は 出 力 は ０ に な り,入

に は 出 力 は １に な る(図3.2(c)参

力 が ０の 場 合

照).

  と こ ろ で,前 節 で も述 べ た よ う に,量 子 計 算 は ユ ニ タ リ変 換 と呼 ばれ る線 形 変 換 で 表 現 され る が,ユ

ニ タ リ変換 は必 ず 逆 変 換 を持 つ.し

た が って,量 子 計 算 を

実 現 す る た め に は,逆

向 きに も動 作 す るゲ ー トしか 使 え な い.と

こ ろが,上

べ た 通 常 の ３種 類 の論 理 ゲ ー トの うち,逆 向 きに も動 作 可 能 な の はNOTゲ の み で あ り,ANDゲ す な わ ち,ANDゲ

ー トとORゲ

ート

ー トにお い て は逆 向 きの計 算 は実 行 で きな い.

ー ト(ま た はORゲ

ー ト)の 出力 ビ ッ ト ｙ の 値(０ ま た は １)

が 与 え られ て も,入 力 ビ ッ トx1,x2の   Deutsch[16]やYao[54]ら

で述

値 が 何 で あ っ たか を求 め る こ とはで き ない.

の 研 究 に よ っ て,量

子Turing機

械 の動作 は量子 回

路 で シ ミュ レー シ ョ ンで きる こ とが わ か って い る.最 近,量 子 回路 を実 現 す る た め の量 子 論 理 ゲ ー トにつ い て盛 ん に研 究 が 行 わ れ て い るが,現 在 まで に,例 え ば, 以 下 の よ うな 量 子 論 理 ゲ ー トが 考 案 され て い る.な お,量 子 論 理 ゲ ー トの 各 入 出 力 は,一 制 御NOT…

つ の キ ュ ー ビ ッ トに対 応 してい る. こ の ゲ ー ト は ２入 力 ２ 出 力 で あ る(図3.3(a)参

場 合 に つ い て 説 明 す る と,制 値 が ０ な ら ば,入 の 値 と な る が,x1値 す な わ ち,x1=1の

御NOTゲ

ー ト に お い て は,入

力 の 第 ２ ビ ッ トx2の が １ な らば,x2の と き に,x2の

の 場 合 に お い て も,y1=x1で

照).最

も単 純 な

力 ビ ッ トx1の

値 が そ の ま ま 出 力 の 第 ２ ビ ッ トy2 値 が 反 転 さ れ た 値 がy2の

否 定 がy2に

代 入 さ れ る.な

値 と な る. お,い

ずれ

あ る.

ユ ニ タ リ変 換 … この ゲ ー トは １入 力 １出 力 で あ り,入 力 に対 して 指 定 され たユ

(ａ) 図3.3

(ｂ)

量子論 理 ゲ ー トの 動作. (ａ)制 御NOTゲ

ニ タ リ変 換 Ｕ を 行 う(図3

.3(b)参

ー ト, (ｂ)ユ ニ タ リ 変 換 ゲ ー ト.

照).た

だ し,こ

の ユ ニ タ リ変 換 Ｕ は ,

行 列 式 が １で あ る よ う な,２ 行 ２列 の ユ ニ タ リ行 列 で 表 現 さ れ る も の で あ る .

  上 の例 か ら もわ か る よ うに,計 算 の 可 逆 性 を保 証 す る た め に,量 子 論 理 ゲ ー ト の 入 力 数 と出 力 数 は一 致 して い な け れ ば な らな い .原 理 的 には,量 子Turing機 の す べ て の動 作 は,制 御NOTゲ

械

ー ト とユ ニ タ リ変 換 ゲ ー トを用 い て 構 成 した 量

子 回 路 で シ ミュ レ ー シ ョ ンす る こ とが で きる[６].こ の結 果 は,任 意 の 量 子 回路 が た か だか ２入 力 ２出力 の 量 子 論 理 ゲ ー トで構 成 可 能 で あ る こ と を示 して お り,大 変 重 要 で あ る.量 子 論 理 ゲ ー トを用 い た 量子 回 路 の 構 成 法 に 関 す る わ か りやす い 解 説 が,[28]に

あ る.

  通 常 の コ ン ピ ュー タの 場 合 と同様 に,量 子 論 理 ゲ ー トを ワ イヤ で 結 合 す れ ば,量 子 回路 を作 る こ とが で きる.し か し,後 で述 べ る よ うに,「量 子 ワ イヤ 」 を構 成 す る こ とは非 常 に 難 しい こ とが 指 摘 され て い る.

3.3

量 子 系 の シ ミ ュ レー シ ョ ン

  今 の とこ ろ は,数 ビ ッ トの メモ リ上 で の 量 子計 算 しか行 え な いが,近 い 将 来,数 十 な い し数 百 ビ ッ トの メモ リ上 で の 量 子 計 算 が行 え る可 能 性 が あ る と い わ れ て い

る.現

在 の コ ン ピ ュ ー タ は 何 百 万 ビ ッ ト も の メ モ リ を 持 っ て い る の で,こ

つ ま ら な い と 考 え ら れ る 読 者 も 多 い だ ろ う.と 用 で き な く て も,量

こ ろ が 実 際 に は,１

れで は

ビ ッ ト しか 利

子 コ ン ピ ュー タ に は現 在 の コ ン ピ ュ ー タが行 え な い計 算 を実

行 で き る 可 能 性 が あ る.

  ０ と １の 状 態 が 等 しい 振 幅 で 重 ね 合 わ され た 状 態 に あ る 原 子 を考 え,そ れ が 表 現 す る ビ ッ トが ０で あ る か １で あ る か を,そ れ を 蛍 光 させ る こ と に よ り決 定 す る こ とを考 え よ う.こ の 場 合,２ 回 に １回 は,そ の 原 子 は 光 子 を放 出す る の で,そ の ビ ッ トは １で あ る こ とが わ か る.そ

うで な け れ ば,光 子 は 放 出 され ない の で,そ

の ビ ッ トは ０で あ る こ とが わ か る.す な わ ち,こ の 原 子 が 表 現 す る ビ ッ トを観 測 す る と,１ が 正確 に確 率1/2で

読 み 出 せ る.こ の よ うな ビ ッ トをラ ン ダ ム ・ビ ッ

ト とい う.現 在 の コ ン ピュ ー タを用 いて,理 想 的 な ラ ンダ ム ・ビ ッ トを作 り出 す 方 法 は知 られ て い な い.も

し量 子 コ ン ピュ ー タ を用 い て,理

想 的 な ラ ンダ ム ・ビ ッ

トを作 り出す こ とが で きれ ば,幅 広 い応 用 が 期 待 で き る で あ ろ う.   一 方,S.Lloydは,そ

れ ほ ど多 くの ビ ッ ト数 を使 わ ない で,量 子 コ ン ピュ ー タ

で任 意 の 量 子 系 の 動 作 が シ ミュ レー シ ョ ンで き る こ と を指 摘 して い る.こ の 量 子 コ ン ピ ュ ー タが 量 子 系 の 時 間 発 展 を記 録 す るの に要 す る ス テ ップ 数 は,そ の 系 の サ イズ に比 例 す る.Feynmanが

指 摘 した よ うに,量 子 系 を現在 の コ ン ピュ ー タで

模 倣 す る に は,一 般 に,そ の 系 の サ イズ に 関 す る指 数 関 数 的 な ス テ ップ 数 が 必 要 に な る.   Shorの

ア ル ゴ リズ ムで 動 作 す る量 子 コ ン ピュ ー タが,因 数 分 解 の 速 度 にお い て

現 在 の ス ーパ ー コ ンピ ュー タ を上 回 るた め に は,数 百 ビ ッ トの メモ リを数 千 ス テ ッ プ に わ た って 制 御 す る必 要 が あ り,そ の 間 中,コ ば な らな い.こ を,Landauerは   し か し,量 に は,わ

ヒー レ ン ト状 態 を維 持 しな け れ

の よ う な計 算 を行 う量 子 コ ン ピュ ー タの 実 現 が 非 常 に難 しい 理 由 幾 つ も指 摘 して い る.

子 系 の シ ミュ レー シ ョン にお い て現 在 の コ ン ピ ュ ー タ を しの ぐ た め

ず か 数 十 ビ ッ トの メ モ リ を数 十 ス テ ップ に わ た っ て 制 御 す る こ と が 要 求

さ れ る だ け で あ る.し

た が っ て,量

子 コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て,例

重 粒 子 の 量 子 状 態 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン し,そ

え ば,未

知 の多

の 性 質 を 解 明 す る こ と な ど は,近

い

将 来 に達 成 で き るか も しれ な い 一 つ の 目標 で あ る.

3.4

量 子 コン ピュ ー タの実 現 に お け る問題 点

  本 節 で は,量 子 コ ン ピュ ー タ を実 現 し よ う とす る 際 に,克 服 しな け れ ば な らな い 問 題 点 を 簡 単 に列 挙 して お く. １.量 子 ワ イ ヤ の 構 成 …

量 子 論 理 ゲ ー トを ワ イヤ で 結 合 す れ ば,量

子 コン

ピュ ー タを作 る こ とが で き る はず で あ る.し か し,「量 子 ワ イヤ 」 を構成 す る こ とは 非常 に難 しい.現 在 の コ ン ピュ ー タで 用 い られ て い る ワ イヤ は,あ る ゲ ー トか ら他 の ゲ ー トに電 気 信 号 を伝 達 す る単 な る金 属 線 で あ る.一 方, 量 子 ワ イヤ を実 現 す る た め に は,電 子 と陽 子 を思 い の ま ま に移 動 させ る た め に,原 子 を分 解 で きな け れ ば な らな い し,ま た そ の後 で,粒 子 の ス ピ ン な ど をす べ て 乱 す こ と な く,原 子 を再 構 成 す る こ とが で きな け れ ば な らな い.こ れ は非 常 に難 しい こ とで あ る.   量 子 論 理 ゲ ー トを接 続 す る た め の,別

の 方 法 を提 案 して い る研 究 者 もい

る.光 フ ァ イバ ー や 空気 の 中 を通 過 す る光 子 は,あ る ゲ ー トか ら他 のゲ ー ト に情 報 を運 ぶ こ とが で きる.カ

リフ ォル ニ ア工 科 大 学 のH.J.Kimbleら

の

グ ル ー プ は,光 子 を 一 つ の 原 子 と と も に微 少 な体 積 の 中 に閉 じ こめ て,通 常 は小 さな 光 子 間 の 非 線 形 相 互 作 用 を増 強 す る こ とに成 功 した.Kimbleら は,こ の 作 用 を用 いて,量 子 論 理 ゲ ー トを構 成 す る方 法 を検 討 して い る.こ の種 の 量 子 光 ゲ ー トか ら構 成 され た量 子 コ ン ピ ュ ー タは,計 算 速 度 が速 く, しか も,コ

ヒー レ ンス を破 壊 す る よ う な環 境 か らの 影 響 を受 け付 け に くい

と期 待 され て い る.し か し,こ の 実 現 方 法 も非 常 な 困 難 を と もな う と考 え られ て い る.   ワ イ ヤ リ ン グ の 問 題 に 対 す る 別 の 試 み も あ る.ス Mancha大

学 のJ.I.Ciracと,Innsbruck大

ラ ップ 内 で 量 子 ビ ッ ト を孤 立 させ,外

ペ イ ン のCastilla-La

学 のP.Zollerは,イ 界 の い か な る 影 響 か ら も,量

を 隔 離 す る た め の 方 法 を 検 討 して い る.ま

た,NISTのD.J.Winelandの

オ ン ・ト 子 ビッ ト

グ ル ー プ は,イ オ ン に よ って 符 号 化 され た ビ ッ ト上 で 演 算 を行 う量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 につ い て検 討 して い る. ２.

デ コ ヒ ー レ ン ス の 問 題 … 量 子 系 の 状 態 の 重 ね 合 わ せ は,環 境 が そ の 系 の 状 態 に影 響 を与 え な い 場 合 に の み 保 存 され る.量 子 コ ン ピュ ー タ とい う系 は,数 百 万個 以 上 の 原 子 か ら構 成 され る可 能性 が あ る が,そ

れ らの 原 子 の

うち の た だ 一 つ で も乱 さ れ て 量 子 コ ヒ ー レ ンス が 破 壊 され る と,相 互 作 用 を 及 ぼ し合 っ て い る量 子 系 が,ど 態 を保 て るか は わ か らな い.一

の くら い の 時 間,真

方,Shorら

は,あ

の量 子 重 ね 合 わせ 状

る程 度 の デ コ ヒ ー レ ンス

に直 面 して も,彼 の ア ル ゴ リズ ム が 正 し く動 作 す る こ とを 示 して い る.こ の よ うな コ ヒー レ ンス とデ コ ヒー レ ンス の 問 題 に つ い て考 察 して お くこ と は,量 子 コ ン ピ ュ ー タの 設 計 に あ た っ て大 変 重 要 で あ る. ３.

誤 り訂 正 … 量 子 コ ン ピュ ー タの実 現 に 関す る も う一 つ の 深 刻 な問 題 は,誤 り訂 正 で あ る.一 般 に情 報 処 理 シス テ ム は,ビ

ッ トを ラ ン ダ ム に反 転 して

し ま う ノ イズ に敏 感 で あ る.通 常 の 誤 り訂 正 法 に お い て は,ビ して,そ

れ が 誤 りか ど う か を検 査 す るが,こ

ッ ト を観 測

の よ うな 方 法 を用 い る と,量

子 コ ン ピュ ー タ はデ コ ヒ ー レ ン ト状 態 に 陥 っ て し ま う.も し効 果 的 な 誤 り訂 正 が行 え な い と,た

と え量 子 コ ン ピュ ー タが 実現 で きた と して も,多

くの

メモ リ を必 要 とす る計 算 を長 時 間 に わ た っ て行 え な い可 能 性 が あ る .そ の よ うな わ け で,最 近,量

3.5

子 誤 り訂 正 に 関 す る研 究 が 盛 ん に行 わ れ て い る.

研 究の ための情 報源

  量 子 計 算 に 関 す る論 文 の 多 くは,論 文 誌 に 掲 載 され る前 に,WWWサ 登 録 され る こ とが 多 い.一

イ トに

般 に,そ の よ うな サ イ トか ら論 文 を取 っ て きた 方 が,

論 文 誌 へ の 掲 載 を待 つ よ り もは るか に 速 く情 報 に ア ク セ ス で きる.そ

こ で,ま ず

量 子 計 算,量 子 暗 号,量 子 通 信 な ど に 関 す る情 報 を提 供 して い る 主 な 公 的 機 関 の WWWサ

イ トのURLア

ド レス を紹 介 す る.

  最 も豊 富 な情 報 を提 供 して い るの は,

http://xxx.lanl.gov/archive/quant-ph Los  Alamos 

で あ る.こ

National 

Laboratoryの

の ア ー カ イ ブ か ら は,新

て も ら う こ と が で き る.そ

量 子 物 理 学 ア ー カ イブ

た に 登 録 さ れ た 論 文 の ア ブ ス トラ ク トを送 っ

の た め に は,

quant-ph＠xxx.lanl.gov

に 電 子 メ ー ル を 打 て ば よ い が,そ

の 際,subjectラ

イ ン に,

subscribe

と書 き,本

文 は 空 に し て お く.こ

の よ う に す る と,そ

の メー ルの 差 し出 し人 の 電

子 メ ー ル ア ド レ ス が 先 方 の メ ー リ ン グ リ ス ト に 登 録 さ れ,以 ス ト ラ ク ト が 送 ら れ て く る よ う に な る.た 文 数 は,平 で も,か

だ し,こ

均 し て 日 に 数 件 程 度 に な る の で,こ

後,新

着論文 のアブ

の ア ー カ イブ に 登 録 さ れ る 論

こ か らの 情 報 を フ ォロ ー す るだ け

な り 骨 が 折 れ る.

こ の ほ か の サ イ ト と して は,以

下 の も の が あ る.

http://eve.physics.ox.ac.uk/QChome.html 量 子 計 算,量

子 暗 号 に 関 す るOxford大

学の ホームペ ージ

http://aerodec.anu.edu.au/ qc/index.html 量 子 計 算 に 関 す るAustralian 

National 

Universityの

ホ ー ム ペ ー ジ

http://feynman.stanford.edu/qcomp/ Stanford大

学 の 量 子 計 算 ア ー カ イブ

こ こで 紹 介 したサ イ トに は,量 子 計 算 に関 す る計 算 機 科 学 寄 りの 論 文 と,物 理 寄 り の 論 文 の 両 方 が 登 録 さ れ て い る.ま た 最 近 は,量 子 計 算 な ど に関 す る個 人 の ホ ー ム ペ ー ジ も多 数 設 け ら れ て い る の で,興 味 の あ る方 は文 献[14]を 参 照 され たい.   量 子 計 算 に 関 す る理 論 計 算 機 科 学 の 論 文 は,上 の サ イ トの ほか に,以 下 の 国 際 会 議 のProceedingsに

も毎 回2∼3件

程 度 が 掲 載 され て い る.

ACM 

Symposium 

ACMの IEEE 

of Computing

計 算 理 論 に関 す る シ ンポ ジ ウ ム

Symposium 

IEEEの

on  Theory 

on  Foundations 

of  Computer 

Science

計 算 機 科 学 基 礎 理 論 に 関 す る シ ンポ ジ ウ ム

  ま た,量 子 計 算 に 関 す る物 理 寄 りの 論 文 が 数 多 く発 表 さ れ る 国 際 会 議 に は,以 下 の もの が あ る. Workshop 

on  Physics 

of  Computing

物 理 学 と 計 算 論 に 関 す る 国 際 ワ ー ク シ ョッ プ で あ り,略

称 をPhysCompと

い う.量 子 コ ン ピ ュ ー タの 実 現 可 能 性 な ど に つ い て ,盛

ん に 議 論 が 交 わ され

て い る.PhysCompのProceedingsはIEEE 

ら購 入 す る こ と が で

Pressか

き る. International 

Conference 

on  Quantum 

Communication&

Measurement 量 子 通 信 を メ イ ン に し た 国 際 会 議 で あ り,略 1996年

い う. QCMも

か ら 量 子 コ ン ピ ュ ー タ を 積 極 的 に ス コ ー プ に 含 め て い る .QCM'96

のProceedingsは, 

Plenum 

Publishing 

  量 子 コ ン ピ ュ ー タ に 関 す る研 究 は,ま WWWサ

称 をQCMと

Corporationか

ら出版 予 定 で あ る .

さ に 現 在 進 行 中 な の で,上

で紹 介 した

イ トや 国 際会 議 な どを通 じて,最 新 の 情 報 を得 る こ とが 大切 で あ る .残

念 なが ら,こ の 分 野 の 研 究 は 日本 で は ま だ あ ま り盛 ん で は な い が,今 後,チ ス に満 ち た こ の分 野 の研 究 が,日 本 で 活 発 に行 わ れ る こ と を期待 して い る .

ャン

第Ⅱ部 量子 コン ピュータの 理 論

第Ⅱ 部

量 子 コ ン ピ ュ ー タの 理 論

  量 子 コ ン ピ ュ ー タの研 究 者 を 目指 す 読 者 の 背 景 知 識 は,計 算 機 科 学,数

学,物

理 学 な ど ま ち ま ち で あ る.こ の よ うな 幅広 い 読 者 に 内 容 を理 解 して い た だ くた め に,第

Ⅱ 部 の 記 述 ス タ イル も,理 論 計 算 機 科 学 の テ キ ス トと して は,や や 厳 密 さ

に 欠 け る もの に な っ て い る.し か し,そ の 代 わ りに 幅広 い 読 者 が,内 容 を直 観 的 に 理 解 しや す くな っ た の で は ない か と思 っ て い る.   理 論 計 算 機 科 学 の 立 場 か ら量 子 計 算 の研 究 を行 い た い 読 者 は,本 書 の 内 容 を完 全 に理 解 さ れ た後,本 書 の 末 尾 に挙 げ た 参 考 文 献 や,第

３章 の 最後 にあ るWWW

サ イ トか ら最 新 の論 文 を取 り寄 せ て精 読 して い た だ き たい.本 書 の 内 容 が 理 解 で きて い れ ば,そ れ らの論 文 を読 み 始 め る際 の 苦 労 は か な り軽 減 され るは ず で あ る. な お,そ き た い.

の ため の ガ イ ド を,本 書 の 「あ とが き」 に掲 載 したの で,ご 一 読 い た だ

第

４章

計算論概説

 理 論計 算機 科学(Theoretical  Computer  Science)と

い う学 問分野 をご存 じだ ろ うか?  この

分 野 は,応 用 数 学 の 一分 野 に位 置 付 け る ことが で き,P=NP?問

題 な どの,フ ェル マー 予想

に匹敵 す る く らい の 大未 解 決 問題 を有 す る分 野 で あ る.海 外 で は,多 くの若 く優 秀 な頭 脳 が,こ の分 野 で 日夜 しの ぎを削 って研 究 競 争 を繰 り広げ てい る.し か し,残 念 なが ら 日本 で は,こ の分 野 は ま だあ ま り広 くは知 られて い ない よ うであ る.   おそ ら く読 者 の 皆 さん は,物 理 学 の 中に理 論 物理 学 とい う分 野 があ る こと はご 存 じだ ろ う.理 論物 理 学 は,物 理 学全 体 に対 す る理論 的 基礎 を与 え る学 問分 野 で あ る.実 は,理 論 計算 機 科学 も まった く同様 に,コ ン ピュー タを設計 した り,ソ フ トウェア を開 発す る際 の理 論 的基礎 を与 える学 問分 野 なので あ る.  本 章 で は,こ の 理論 計 算機 科 学 の 中心 的分 野 で あ る,ア ル ゴ リズム論,オ ー トマ トン理 論,計 算量 理 論 の要 点 を,本 書 の残 りの部 分 を読 む際 に必 要 とな る事 項 に焦点 を絞 って解 説 してい く.

計算時間の測 り方

4.1

  コ ン ピ ュ ー タ に問 題 を解 か せ る際 の計 算 時 間 は,ど の よ うに して 測 れ ば よい の だ ろ うか?  一 口 に コ ン ピュ ー タ とい っ て も,パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タか らス ー パ ー コ ン ピ ュ ー タ に至 る まで 機 種 は千 差 万 別 で あ る.各 ユ ーザ が ,自 分 の 使 用 し て い る コ ン ピュ ー タ上 で の計 算 時 間 を時 計 を 使 って 測 っ た の で は,使 用 機 種 に依 存 した 計 算 時 間 しか 得 られず,本

質 的 に問 題 が 速 く解 け て い る の か 否 か は わ か ら

な い.   そ こで,理 論 計 算 機 科 学 の 一 分野 で あ る計 算 量 理 論 で は,計 算 時 間 を実 際 の コ ン ピュ ー タ に依 存 し な い形 で 定 義 して い る.そ の 基 本 的 な考 え 方 は次 の とお りで あ る.ま ず コ ン ピ ュ ー タの 数 学 的 モ デ ル(計 算 モ デ ル と呼 ぶ)Ｍ の モデ ル が 実行 可 能 な基 本 操 作 の 集 合 を定 め る.通 常,こ して は,Turing機 Turing機

械 とい うモ デ ルが 採 用 さ れ る(第

を定 義 し,そ

の よ うな計 算 モ デ ル と

２章,お

よ び4.7節

参 照).

械 は 現 在 の コ ン ピ ュ ー タの数 学 的 モ デ ルで あ る.

  そ して,採 用 した計 算 モ デ ル の各 基 本 操 作 を １ス テ ップ と考 え て,あ

る問題 を

解 くた め に 必 要 な計 算 時 間 を,そ の 問 題 を解 くた め に Ｍ が 必 要 とす る ス テ ップ 数 と して評 価 す る.そ の 際,解

くべ き問題 Ｐ とそ の 解 法 手 続 き(ア ル ゴ リ ズ ム)

Ａ は 固 定 して考 え る が,ア ル ゴ リズ ム Ａ が 問 題 Ｐ を解 くの に 要 す る ス テ ップ 数 は問 題 の 入 力 サ イ ズ の 関数 と して表 現 す る.   話 を具 体 的 に す る た め に,コ ン ピュ ー タに解 かせ る問 題 Ｐ と して,次 の よ うな 整 数 の ソー テ ィング(並

べ 換 え)の 問 題 を考 え る.ソ ー テ ィ ング 問 題 は,例 え ば

受 験 生 を得 点順 に並 べ た 名 簿 を作 成 す る と き な ど,い ろ い ろ な状 況 で 解 く必 要 に 迫 られ る 問 題 で あ る. ソ ー テ ィ ング 問 題:入

力 と して ｎ 個 の 整 数 が 与 え られ た と き,そ

れ らの 数 を小 さな もの か ら順 に並 べ て 出 力せ よ. この 問 題 を解 くた め の ア ル ゴ リズ ム Ａ と して,バ

ブ ル ・ソ ー ト とい うよ く知 ら

れ た ア ル ゴ リズ ム を採 用 し,バ ブ ル ・ソー トの計 算 時 間 を 理 論 的 に 評 価 して み よ

う.ソ ー テ ィン グ問 題 の 入 力 サ イズ は,入 力 と して与 え られ る整 数 の 個 数 ｎ で あ る.結 論 を先 に述 べ て お く と,以 下 で 示 す バ ブ ル ・ソー トの 計 算 時 間 は,入 力 サ イズ が ｎ の と きに,n2ス

テ ップ よ り も小 さ くな る.

  ち な み に,計 算 時 間 を入 力 サ イズ の 関 数 と して 表 現 す る理 由 は 以 下 の とお りで あ る.例 え ば ソ ー テ ィン グ問 題 は,入 力 さ れ た整 数 の 個 数 が 数 十程 度 な らば 人 手 で も簡 単 に解 け る が,そ の 個 数 が 数 千,数 万 に な る と大 変 な作 業 に な る.一 般 に, 我 々は 問 題 Ｐ の 入 力 サ イズ ｎ が 増 加 した と きの,ア ル ゴ リズ ム Ａ の 計 算 時 間 の 増 え方 に興 味 が あ る の で,Ａ

の 計 算 時 間 を ｎ の 関数 と して 表 現 す る.そ

して,そ

の 関 数 が 値 の 小 さ な 関数 で あ るほ ど,ア ル ゴ リズ ム Ａ の 時 間効 率 が よい と判 断 す るの で あ る.   さ て,ソ ー テ ィ ング の 簡 単 な例 題 を考 え よ う.例 え ば,入 力 と して ５個 の整 数 ４,３,１,５,２ が この 順 番 で 与 え られ た とす る.こ れ らの数 を並 べ 換 えて,小

さい も

の か ら １,２,３,４,５の 順 で 出 力 した い.こ の 作 業 を,バ ブ ル ・ソ ー トとい うア ル ゴ リズ ム を用 い て行 った 様 子 が,図4.1(a)に

示 され てい る.こ の 例 に 沿 って,ア

ル ゴ リズ ム の動 作 を説 明 しよ う.

(ａ)

(ｂ)

図4.1 

バ ブ ル ・ソ ー トの 処 理 の 流 れ.(ａ)最 し た 数 を 表 して い る.

初 の 例 題.(ｂ)第

２の 例 題.太

字 の数 は位 置 が確 定

ま ず,図4.1(a)の

一 番左 の 行 に 入 力 43152

が 示 さ れ て い る(図4.1の と す る).図4.1で

は,入

列 を 横 書 き に す る と き に は,上

の 数 を左 側 に 書 く も の

力 は 与 え ら れ た 順 番 に 上 か ら書 か れ て い る.つ

ま り,こ

の 場 合 に は ４ が 入 力 の 最 初 の 数 で あ り,２ が 最 後 の 数 で あ る.   以 下 で は,バ

ブ ル ・ソ ー ト で 用 い られ る 基 本 操 作 を 次 の よ う に 定 め る(注 １)

基 本操 作: て,も

(図4.1の)あ

る列 の 数 ｘ を そ の 真 上 の数 ｙ と比 較 し

し ｘ が ｙ よ り小 さけ れ ば ｘ とyの

位 置 を入 れ 換 え る.さ

も

なけ れ ば,こ の 入 れ換 えは行 わ な い. バ ブ ル ・ソ ー トで は,こ

の 操 作 を 列 の 一 番 下 の 数 の 組(x,y)か

ら始 め て,次

第 に

列 の 上 の 数 の 組 に 適 用 し て い く.

  図4.1(a)の

例 で い え ば,ま ず 最 初 に,数

ｘ と して入 力 の 最 後 の数 ２が 取 られ,

数 ｙ と して は そ の 真 上 の 数 ５が 取 ら れ る.そ

して,上 の 基本 操 作 が適 用 され るが,

この 場 合 に は ２は ５よ り も小 さい か ら,そ れ らの 場 所 の 入 れ換 えが 行 わ れ,数 の 並 びは 43125 と な る.引

き続 き,同 様 の 操 作 を この 列 の 左 隣 の 数 の 組 に対 して 適 用 す る.す

わ ち,x=2,y=1と

な

取 って 基 本 操 作 を再 度 適 用 す る.し か し,今 回 は ｘ が ｙ

よ り小 さ くない の で,数 の 入 れ 換 え は 起 こ らず,数

の並び は

43125

の ま ま で あ る.さ ら に処 理 は左 に 進 み,x=1, 

y=3に

対 して 基 本 操 作 が 再 度 適

用 され る.今 度 は ｘ が ｙ よ りも小 さい か ら入 れ換 えが 行 わ れ,数 の 並 び は 41325 (注 １)この 基本 操作

は,Turing機

械 が １ステ ップ で実 行 可能 な もの で はな い.し か し,こ の操 作 はTuring機

械 が 定数 ス テ ップ で 実行 可能 なの で,話 を 簡潔 にす るた めに,便 宜 的 に １ステ ップ で実 行 可 能 と考 えて い る.

とな る.引 る.今

き続 き,処 理 は左 に進 み,x=1,y=4に

対 して基 本 操 作 が 適 用 され

回 も ｘ が ｙ よ りも小 さい か ら入 れ換 え が 行 わ れ,数 の並 び は 14325

とな る.以 上 で,処 理 が列 の左 端(図4.1(a)で

い え ば 上 端)ま で 進 ん だ の で,処

理 の 第 １ラ ウ ン ドが 終 了 した.こ の 第 １ラ ウ ン ド終 了 時 の 結 果 が,図4.1(a)の

左

か ら ２番 目の 列(こ の 列 を 「列 ２」 と呼 ぼ う)に 示 され て い る.  以 上 の よ う な処 理 を行 う と,第

１ラ ウ ン ド終 了 時 点 に は,「列 ２」 の 一 番 上 に 入

力 中 の 最 小 数 が現 れ る こ とが わ か る.そ こ で,こ の 最 小 数 １は も う固 定 して し ま い,「列 ２」 の 中の 残 りの 四 つ の 数 の並 び 4325

に対 して,第 す な わ ち,第

１ラ ウ ン ド と同 様 の処 理 を実 行 す る.こ ２ラ ウ ン ドはx=5.y=2に

処 理 が 始 ま る.第

れが 第 ２ ラ ウ ン ド で あ る.

対 して 基 本操 作 を適 用 す る と こ ろ か ら

２ ラ ウ ン ドが 第 １ラ ウ ン ド と最 も大 き く異 な る点 は,二 つ の数

の 比 較 の 回数 が １回減 る こ とで あ る.す な わ ち,「列 ２」 の 一 番 上 の 数 １は 最 小 数 で あ る こ とが す で にわ か っ て い る の で,第 しな い.つ て,第

ま り,y=1と

２ラ ウ ン ドで は も はや 比 較 の 対 象 とは

取 られ て基 本 操 作 が 適 用 され る こ とは な い.し

１ラ ウ ン ドで は 合 計 ４回 の 比 較 が 行 わ れ た が,第

の 比 較 しか行 わ れ ない.第

たが っ

２ ラ ウ ン ド で は 合 計 ３回

２ラ ウ ン ド終 了 時 の結 果 を,図4.1(a)の

左 か ら ３番 目

の列(「 列 ３」)に 示 した.   以 下 同 様 に,「列 ３」 の 上 か ら二 つ の 数 １,２は 固 定 して 考 え,「列 ３」 の 中の 残 り の三 つの数の並 び 435

に対 して,第

３ ラ ウ ン ドの 処 理 を 実 行 す る.第

作(比 較)が 行 わ れ る.第

３ラ ウ ン ドで は 合 計 ２回 の 基 本操

３ ラ ウ ン ド終 了 時 の結 果 は,図4.1(a)の

左 か ら ４番 目

の 列(「 列 ４」)に 示 さ れ て い る.最 後 に,「列 ４」 の 中 の残 りの 二 つ の 数 の 並 び 45

に 対 し て,第

４ ラ ウ ン ド の 処 理 を 実 行 す る.第

わ れ な い が,こ い る の で,数

の 例 の 場 合 に は,数

が す で に 小 さ い も の か ら順 に 並 ん で し ま っ て

の 入 れ 換 え は 起 こ ら な い.し

で 数 の 並 び に 変 化 は 起 き な い.第

４ ラ ウ ン ドで は １回の 比 較 しか行

た が っ て,第

４ ラ ウ ン ドの 実 行 の 前 後

４ ラ ウ ン ド終 了 時 の 結 果 が,図4.1(a)の

左 か ら

５番 目 の 列(「 列 ５」)に 示 さ れ て い る が,こ

れ が バ ブ ル ・ソ ー トの 実 行 結 果 で あ る.

  ち な み に,バ

ラ ウ ン ド に お い て処 理 対 象 とな る数 の

ブ ル ・ソ ー ト の 名 前 は,各

並 び の 中 の 最 小 数 が,(図4.1で い る.も

ち ろ ん,バ

  次 に,バ

の よ うに 上 が っ て くる こ と に 由来 して

ブ ル ・ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム は,入

て も正 し く動 作 す る.例 図4.1(b)に

見 る と)泡

え ば,入

力 が5,4,3,2,1の

力 が ど の よ う な もの で あ っ

場 合の ア ル ゴ リズ ム の動 作 を

示 し た. ブ ル ・ソ ー ト の 計 算 時 間 を 評 価 し て み よ う.基

お り で あ る.上

の 例 か ら も わ か る よ う に,バ

力 さ れ た 整 数 の 個 数(入 理 が 実 行 さ れ る.そ

力 サ イ ズ)が

本操作 は上で定め た と

ブ ル ・ソ ー ト の 実 行 に お い て は,入

ｎ の と き に は,全

部 でn-1ラ

ウ ン ドの処

し て,

第 １ ラ ウ ン ドで は全 部 でn-1回

の 基 本 操 作 が 実 行 され,

第 ２ ラ ウ ン ドで は 全 部 でn-2回

の 基 本 操 作 が 実 行 され,

第 ３ ラ ウ ン ドで は全 部 でn-3回

の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ,

第n-2ラ

ウ ン ドで は全 部 で ２ 回 の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ,

第n-1ラ

ウ ン ドで は全 部 で １回 の 基 本 操 作 が 実 行 さ れ る.

した が って,入 力 サ イズ が ｎ の と きのバ ブ ル ・ソ ー トの 基 本 操 作 の 実行 回 数,す な わ ち ス テ ップ 数 は,

と な る.

数学 メモ １  等差 数 列の和

こ の 公 式 に お い てk=n-1と

  よ っ て,バ

置 く と 上 の 式 が 得 ら れ る.

ブ ル ・ソ ー ト の 計 算 時 間 は 入 力 サ イ ズ を ｎ と す る と き,n2ス

テ ッ

プ よ り も小 さ く な る こ と が わ か っ た.   実 は,ソ

ー テ ィ ン グ に 対 し て は,バ

ブ ル ・ソ ー ト よ り も 時 間 効 率 の よ い ク イ ッ

ク ・ソ ー ト と い う ア ル ゴ リ ズ ム が 知 ら れ て い る[３].ク

イ ッ ク ・ ソ ー トの 実 行 時

間 は,入

力 サ イ ズ を ｎ と す る と き,平

nス

定 数.以

後,こ

の よ う な 式 をcn  log nと

さ ら に,Turing機

で あ る.し

略 記 す る.)で

た が っ て,ク

か し,ク

低 限nlognス

テ ッ プ(た

だ し ｃは

あ る こ と が 知 ら れ て い る.

械 の よ う な 通 常 の 計 算 モ デ ル 上 で,２

ソ ー テ ィ ン グ を行 う た め に は,最 で き る[３].し

均 でC×n×log 

数 の大 小 比 較 に基 づ い て

テ ップ が 必 要 で あ る こ とが 証 明

イ ッ ク ・ソ ー ト は 最 良 の ソ ー テ ィ ン グ ・ア ル ゴ リ ズ ム

イ ッ ク ・ソ ー トを 紹 介 し よ う と す る と説 明 が 長 く な る の で,本

節 で は 簡 単 な バ ブ ル ・ソ ー ト を 紹 介 し た.

数学 メモ ２  対 数 2x=nの 書 く.例

と き, ｘ を,２

を 底 とす る ｎ の 対 数 と い い, x=log 

え ば,log  2=log 

本 書 で は,logは

21=1, 

log 4=log 

22=2な

底 ２ の 対 数 を 表 す の に 用 い る(底

用 対 数 と い うが,通

常 は,常

用 対 数 を 表 す 際 に,底

が10の

nと

ど と な る. 対 数 を常

を略 し てlognの

よ う に 書 く.)

4.2

計算機 の物理的実現方法 と計算時間

前 節 の 終 わ りで,Turing機

械 の よ う な通 常 の計 算 モ デ ル 上 で,２ 数 の 大 小 比 較

に基 づ い て ｎ 個 の 整 数 の ソ ー テ ィ ング を行 うた め には,最 低 限nlognス

テ ップ

が 必 要 で あ る と 述 べ た.と

こ ろ が,ソ

ー テ ィ ン グ 問 題 を ほ ぼ2nス

テ ップ で 解 く

次 の よ う な 方 法 が あ る(注１).   ま ず,ソ

ー トす べ き ｎ 個 の 整 数x1,x2,…xnが

入 力 と し て 与 え ら れ た ら,ゆ

で る 前 の 固 い ス パ ゲ ッ テ ィ を ｎ 本 用 意 す る(話 き 数 は す べ て ス パ ゲ ッ テ ィ の 長 さ(単 し て,１

位:㎜)以

本 目 の ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 さxl  ㎜

を 長 さx2  ㎜

に 切 り,以

を 簡 単 に す る た め に ,ソ

ー トす べ

下 で あ る と仮 定 し て お く).そ

に 切 り,続

い て ２ 本 目 の ス パ ゲ ッテ ィ

下 同 様 に し て, ｎ 本 目 の ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 さxn  ㎜

に 切 る ま で 同 じ作 業 を 繰 り返 す.こ ゲ ッ テ ィ を 束 に して つ か み,机

の 作 業 が 終 了 し た ら,切

り終 え た ｎ 本 の ス パ

の 上 に 片 側 を 揃 え て 立 て る.そ

の 結 果,一

番先端

が 飛 び 出 し て い る ス パ ゲ ッ テ ィの 表 現 し て い る 数 が 入 力 中 の 最 大 数 な の で ,ま ず そ の ス パ ゲ ッ テ ィ を 抜 き 出 し て 机 の 上 に 置 く.次 飛 び 出 し て い る ス パ ゲ ッ テ ィ を 取 り 出 し て,先 の 右 隣 に 置 く.以

下 同 様 の 作 業 を,束

上 の 作 業 が 終 了 した と き に は,机 順 に(左   さ て,こ

か ら)並

に,残

ほ ど机 の 上 に 置 い た ス パ ゲ ッテ ィ

の ス パ ゲ ッ テ ィが な く な る ま で 繰 り返 す .以

の 上 に は ｎ 本 の ス パ ゲ ッ テ ィが,長

の 手 続 き の ス テ ッ プ 数 を 考 え て み よ う〔 注2).ま ず,ｎ

の 上 に 立 て る の に １ ス テ ッ プ を 要 し,そ に 抜 き 出 し て い くの に,ｎ パ ゲ ッ テ ィが,そ す る か ら,全

に,ス

パ ゲ ッ テ ィの 束 を机

終 的 に机 の 上 に 並 ん だ ｎ 本 の ス

の ま ま 出 力 結 果 を 与 え て い る と 解 釈 す れ ば ,処

体 で は2n+1ス

本 の ス パ ゲ ッテ ィ

の 束 か ら ス パ ゲ ッ テ ィ を 長 い も の か ら順

ス テ ッ プ を 要 す る.最

理 は 以 上 で終 了

テ ッ プ で ソ ー テ ィ ン グ が 終 了 して い る こ と に な る.

ー テ ィ ン グ に は 最 低 で もnlognス

れ は 一 体 ど う し た こ と で あ ろ う か?nlognス プ で,ソ

い もの か ら

べ ら れ て い る は ず で あ る.

の 長 さ を 切 り揃 え る の に ｎ ス テ ッ プ が 必 要 で あ る .次

前 節 で,ソ

りの 束 の 中 で 先 端 が 最 も

テ ッ プ が 必 要 で あ る と 述 べ た が,こ テ ップ よ り も 少 な い2n+1ス

テ ッ

ー テ ィ ン グ が 行 え て し ま っ た!

  こ こ で 紹 介 し た ス パ ゲ ッ テ ィの よ う な 計 算 の 道 具 を,ア

ナ ロ グ ガ ジ ェッ ト と い

 (注１)２ 数の大小比較以外のある種の操作を仮定すれば,通 常のコンピュータにおいても,ソ ーテ ィングをcn   ステップで行 うこ とがで きるバケ ットソー トなどのアルゴリズムが知られている.  (注２)ここでのステ ップ数は,こ のアルゴリズムの実行者である人間が １ステップ とみなす基本操作 に基づい   て数 えられる.

う[18].ス

パ ゲ ッテ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ は,人

行 で き る が,お

間 が 行 うの で あ れ ば非 常 に安 価 に実

そ ら く実 用 に は な ら な い.例

ち い ち 切 り刻 ん で,そ な い で あ ろ う.あ

え ば,１

れ ら を 束 に し て 立 て て,な

る い は,こ

万 本 もの スパ ゲ ッテ ィをい

ど と い う こ と を 行 う物 好 き は い

の ス パ ゲ ッ テ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ を 実 行 す る ロ ボ ッ ト

を 作 成 す る こ と も 考 え ら れ る が,ソ

ー テ ィ ン グ と い う 一 つ の 作 業 だ け を 行 う特 殊

な ロ ボ ッ ト を 開 発 す る こ と は 大 変 不 経 済 で あ る.   しか し,ス

パ ゲ ッテ ィ ・ソ ー テ ィ ン グ の 話 は,理

論 的 に は 非 常 に 重 要 な 教 訓 を含

ん で い る.つ

ま り,ス

論 上 ソー テ ィ ング に 必 要 な最 低

パ ゲ ッ テ ィ を 用 い る と,理

限 の 計 算 時 間 よ り も,短

い 時 間 で ソ ー テ ィ ン グ が 行 え て し ま っ た の で あ る.な

こ の よ う な こ と が 起 き た の だ ろ う か?  と が 起 こ る の は,計 テ ィ)の

結 論 か ら い っ て し ま え ば ,こ

算 に 利 用 して い る 道 具(こ

ロ バ ン で あ る た め,立

ま り,Turing機

械 をモ デ ル と し

質 的 に ２進 数 を 取 り扱 う高 級 電 子 ソ

て た ス パ ゲ ッテ ィの 束 か ら 最 も 長 い も の を 選 び 出 し て い く

こ と に 相 当 す る 操 作 を,ｎ   以 上 の 話 は,以

の よ うな こ

の 場 合 は コ ン ピ ュ ー タ とス パ ゲ ッ

物 理 的 性 質 の 違 い に 原 因 が あ る の だ.つ

て 実 現 さ れ て い る 現 在 の コ ン ピ ュ ー タ は,本

ぜ

ス テ ップ で は実 行 で きな い の で あ る.

下 の よ う な 教 訓 を 含 ん で い る.

「コ ン ピ ュー タの 物 理 的 実 現 方 法 を本 質 的 に変 更 す れ ば,非 常 に高 速 な コ ン ピュ ー タが 実現 で き る可 能 性 が あ る.」 計 算 尺 か ら手 回 し計 算 機,さ

ら には電 子 計 算 機 へ とい う計 算 機 の発 展 の歴 史 は,ま

さに この 教 訓 の 実 践 の 過 程 で あ っ た と も考 え られ る.そ

して,コ

ン ピュ ー タ を量

子 力 学 の 原 理 に従 うシ ス テ ム と して実 現 で きれ ば,計 算 速 度 を現 在 よ り も飛 躍 的 に 向 上 させ る こ とが で き るの で は な い か と考 え た こ とが,量

子 コ ン ピ ュ ー タが 考

案 され た根 本 的 な 理 由 で あ ろ うと筆 者 は考 え て い る.

4.3 次 に,グ

多項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム ラ フ 理 論 の 問 題 に つ い て 考 え て み よ う.図4.2の

よ う な,頂

点 と辺 か

(ａ)

図4.2 

種 々 の グ ラ フ.(ａ)閉

路 的 グ ラ フ,(ｂ)ハ

ら な る 網 状 の 図 形 を グ ラ フ と い う.図4.2で を 結 ぶ 線 分 が 辺 を 表 し て い る.グ の こ と を い う.た

ミル ト ン グ ラ フ,(ｃ)非

は,黒

ラ フ Ｇ の 路 と は,Gの

つの黒丸

頂 点 の 列x0,x1,…,xl

Ｇ の辺 で 結 ば れ て い る もの

閉 路 で あ る と は,l〓3, 

x0=xlで

あ り,か

つ頂点

ミ ル ト ン グ ラ フ と は,そ

のすべ

互 い に 相 異 な る と き を い う.

  閉 路 を 含 む グ ラ フ を 閉 路 的 グ ラ フ と い う.ハ て の 頂 点 を 含 む 閉 路(ハ 連 結 グ ラ フ と は,そ

グ ラ フ だ が,ハ

存 在 す る よ う な グ ラ フ で あ る.ま

え ば,図4.2(a)の

ミ ル ト ン グ ラ フ で あ る.ま

た,

れ らを結 ぶ 路 が 存 在 す る

グ ラ フ は 閉 路1231を

ミ ル ト ン グ ラ フ で は な い.図4.2(b)の

含 む の で,ハ

ラ フ だ が,(ｃ)は

ミ ル ト ン 閉 路)が

の 相 異 な る 任 意 の ２頂 点 に 対 し,そ

よ う な グ ラ フ で あ る.例

123451を

連 結 グ ラ フ.

丸 が 頂 点 を 表 し,二

だ し,xiとxi+1(0〓i