Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения. Часть 1

Федеральное агентство по образованию ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения. Часть1.

Составители: Бурлова Л.В., Бадлуева А.А. Сордохонова Е.Н.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2006

Данные методические указания содержат варианты контрольных заданий и краткие теоретические сведения, которые нужно рассматривать как дополнение к имеющимся учебникам. Номер варианта выполняемой контрольной работы выбирается в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки. Ключевые слова: вероятность случайного события, случайные величины, закон распределения, числовые характеристики случайных величин, статистическое оценивание законов и параметров распределения, корреляция.

Рецензент: С.С. Дашиева , к.ф.-м.н., доц.

Обучение на заочном факультете требует от студента самостоятельного изучения материала, предусмотренного программой. Результаты этой работы оцениваются на экзамене. Практические навыки в решении задач, необходимые для успешной сдачи экзамена, проверяются при защите контрольных работ. В помощь студентам по теоретическим основам курса читаются установочные лекции, решение типовых задач разбирается на лекциях и практических занятиях во время сессии. Кроме этого в данном пособии приводится список рекомендуемой литературы. Правила выполнения и защиты контрольных работ изложены перед второй контрольной работой. Программа первого семестра включает следующие разделы: I. Линейная алгебра. II. Аналитическая геометрия и векторная алгебра. III. Введение в математический анализ. IV. Производная функции и ее приложения. Перечислим основные вопросы, которые необходимо изучить, напомним кратко содержание некоторых и рассмотрим примеры. I. Линейная алгебра 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Определители 2 и 3 порядка, правила их вычисления и свойства. Разложение определителя по строке (столбцу) и понятие об определителе nго порядка. 3. Обратная матрица, условие существования и правила вычисления. 4. Решение матричных уравнений. 3

Решим матричное уравнение АХ=В, где А и В заданные матрицы, а Х – неизвестная матрица. Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу А-1 : А-1АХ=А-1В ЕХ=А-1В Х=А-1В - решение уравнения. Пример. Решим уравнение  0 1  1 2 − 1      0 − 1 1  Х=  − 1 1  , где  2 2  2 0 − 1      1 2 − 1  0 1     А=  0 − 1 1  , В=  − 1 1  . Найдем матрицу Х.  2 0 − 1  2 2     Убедитесь, что обратная матрица А-1 имеет вид 1 2 1   -1 1  А =  2 1 − 1 . Теперь получаем 3   2 4 − 1 5    0 3  0 5   1 2 1  0 1    1  1 1 Х=  2 1 − 1 − 1 1  =  − 3 1  =  − 1 .   3 3 3  − 6 4    4    2 4 − 1 2 2   − 2 3  Можно сделать проверку, подставив Х в уравнение. 5. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймления миноров, метод элементарных преобразований. Понятие базисного минора. Для любой прямоугольной матрицы определяется понятие ранга этой матрицы. Выбирая произвольным 4

образом несколько строк и такое же число столбцов матрицы, составим определитель из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Каждый такой определитель называется минором соответствующего порядка данной матрицы. Пример. Пусть 1 3 2 4   А=  2 6 4 3  . 3 9 6 7   Выбрав 1 и 3 строки, 1 и 4 столбцы данной матрицы, получаем минор 2-го порядка матрицы А: 1 4 3 7

= 7 − 12 = −5 .

Этот минор равен -5.

Взяв три строки и первые три столбца, составим минор 3-го порядка данной матрицы: 1 3 2 2 6 4 = 0 , который оказался равен нулю.

3 9 6 Минорами первого порядка являются сами элементы матрицы. Среди отличных от нуля миноров найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Ранг матрицы А обозначается r(А). Метод окаймления миноров нахождения ранга матрицы состоит в следующем: 1). Находится минор рассматриваемой матрицы, отличный от нуля (первого, второго и т.д. порядков). 2). Окаймляя его строками и столбцами ( из числа оставшихся строк и столбцов), то есть добавляя еще одну 5

строку и столбец, находят минор следующего порядка, отличный от нуля. Как только такой минор нашелся, прекращают вычисление миноров данного порядка и переходят к вычислению миноров следующего порядка, получаемых окаймлением найденного. Процесс продолжается до тех пор, пока не получат, что все миноры какого-либо порядка равны нулю. Миноры более высоких порядков далее уже не рассматриваются, так как все они равны нулю. Пример. Найдем ранг матрицы 1 2 3 4    А=  1 0 1 2  .  3 4 7 10    1 2 Минор М 12 = −2 ≠0. 12 = 1 0 Далее миноры второго порядка уже не вычисляют, а вычисляют миноры третьего порядка, полученные окаймлением минора М 12 12 . Для окаймления осталась третья строка и столбцы третий и четвертый. 1 2 3 1 3 4 123 124 М 123 = 1 0 1 = 0 ; М 123 = 1 0 2 = 0 .

3 4 7

3 4 10

Больше миноров третьего порядка, окаймляющих М 12 12 нет, все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы r(А)=2. Метод элементарных преобразований определения ранга матрицы основан на следующих свойствах. Ранг матрицы не меняется: 1) при перестановке местами ее строк (или столбцов); 2) при умножении всех элементов ее строки (столбца) на отличное от нуля число; 3) если к элементам какой - либо строки (столбца) 6

прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Преобразования 1-3 называются элементарными преобразованиями матрицы. Метод же заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная матрица приводится к так называемому каноническому виду 1 0 0 Λ  0 1 0 Λ 0 0 1 Λ 

0  0 , 0 

число единиц на главной диагонали

которого равно рангу матрицы.  2 −1 3 − 2 4 Пример. Найдем ранг матрицы А=  4 − 2 5 1 7  .  2 −1 1 8 2  

Проследите самостоятельно преобразования были проделаны.

какие

элементарные

 2 −1 3 − 2 4  2 −1 3 − 2 4      4 − 2 5 1 7 → 0 0 −1 5 −1 →  2 − 1 1 8 2   0 0 − 2 10 − 2      1 − 1 3 − 2 4 1 − 1 3 − 2 4          0 0 − 1 5 − 1 →  0 0 − 1 5 − 1 →  0 0 − 1 5 − 1  0 0 0 0 0     3 − 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4        0 −1 −1 5 0 → 0 −1 −1 5 0 →  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  

Две единицы на главной диагонали, следовательно, ранг матрицы r(А)=2. Пусть матрица А имеет ранг r. По определению, эта матрица содержит отличный от нуля минор r-го порядка. Их может быть несколько. Любой отличный от нуля минор матрицы А порядка, равного рангу матрицы, называется базисным минором. 7

Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами. 6.

n-мерные векторы, n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости. Базис системы векторов, ранг системы векторов. Базис пространства Rn. Координаты вектора. Теорема о базисном миноре.

Кратко сформулируем правила решения типовых задач. Исследование линейной зависимости векторов. Пусть требуется исследовать линейную зависимость векторов a1 , a 2 ,..., a k . Если векторы линейно независимы, то все они входят в базис этой системы векторов и ранг этой системы равен k. Ранг матрицы, составленной из координат этих векторов, также равен k. Если векторы линейно зависимы, то число базисных векторов меньше k, ранг системы векторов меньше k. Отсюда правило: а) составляется матрица из координат данной системы векторов и находится ее ранг; б) если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы линейно независимы, если же ранг матрицы меньше числа векторов, то они линейно зависимы. Нахождение какого-либо базиса системы векторов. Находится какой-либо базисный минор матрицы системы векторов. Векторы, координаты которых вошли в базисный минор, образуют базис. Нахождение ранга системы векторов. Составляется матрица системы векторов. Ранг системы векторов равен рангу этой матрицы. Пример. Найти ранг системы векторов, какой-либо ее базис, разложить по данному базису векторы не вошедшие в базис. Даны 8

 3   а1=  5  , 1   7

 − 1   а 2=  − 3  ,  − 3    − 5

 3    а 3=  2  ,  − 5    1 

 2   а 4=  3  , 0    4

 5    а 5=  4  . − 7    1 

Составим матрицу, столбцами которой являются векторы, и найдем ее ранг. 3 −1 3 2 5    5 − 3 2 3 4  А= 1 − 3 − 5 0 − 7   − 7 5 1 4 1   Приведем матрицу к каноническому виду, не меняя местами столбцы. Получим, матрицу  1 0 0 0 0  .  0 0 0 1 0  0 0 0 0 1   Видно, что r (A)=3, ранг системы векторов также равен 3, r (А)=3 3.

На каждом из указанных промежутков функция является элементарной, поэтому точки, где функция не будет 48

непрерывной, это точки, в которых функция не определена, или точки, где функция меняет свое аналитическое выражение. Следовательно, х=2 – точка разрыва, т.к. в ней функция не определена. Проверим точку х=3, в которой функция меняет свое аналитическое выражение. 4x 12 lim f ( x) = lim = = 12 x →3− 0 x →3− 0 x − 2 1 lim f ( x) = lim (15 − x) = 12 x →3+ 0

x →3+ 0

f (3) = 12. Равенство выполняется, непрерывности функций.

поэтому

х=3

–

точка

IV. Производная функции и ее приложения

1.

Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Производная параметрической, неявной функции, логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

Для усвоения техники дифференцирования необходимо хорошо знать правила дифференцирования (1-5), таблицу производных элементарных функций (6-18), правило нахождения производной сложной функции (19). y′ = 0 y ′ = c ⋅ u ′ ( x)

1. y = c = const 2. y = c ⋅ u ( x) 3. y = u ( x) ± v ( x) 4. y = u ( x) ⋅ v ( x) 5. y = 49

u ( x) v ( x)

y ′ = u ′ ( x) ± v ′ ( x) y′ = u′ v + u v′ y′ =

u ′v − u v′ v2

6. y = x α

y ′ = α x α −1

7. y = e x

y′ = e x

8. y = a x

y ′ = a x ln a

9. y = ln x

y′ =

10. y = log a x

y′ =

1 x

12. y = cos x

1 x ⋅ ln a y ′ = cos x y ′ = − sin x

13. y = tgx

y′ =

11. y = sin x

1

cos 2 x 1 14. y = ctgx y′ = − sin 2 x 1 15. y = arcsin x y′ = 1− x 2 1 16. y = arccos x y′ = − 1− x 2 1 17. y = arctgx y′ = 1 + x2 1 18. y = arcctgx y′ = − 1 + x2 19. y = f (u ( x)) y ′ = f u/ ⋅ u x/ Примеры. 1) Найдем производную функции y = 6x 5 − 3

4 x

+ 9.

Применяя правила дифференцирования (3), (2) и (1), имеем 50

′ ′  1   1  5 y ′ = (6 x ) ′ −  4 3  + (9) ′ = 6( х ) ′ − 4 3  + 0. x   x

Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим

5

( x 2 ln (5 x + 1)) ′ = ( x 2 ) ′ ln (5 x + 1) + x 2 (ln (5 x + 1)) ′ =

Используя табличную производную (6) для степенной функции, получим ′  −1 ′ 4 1 1 −3   5 4 3   ( x )′ = 5х ;  3  = х =− х .  3  x    Окончательно имеем 4  1 −4  4 − y ′ = 6 ⋅ 5 x 4 − 4 − х 3  + 0 = 30 х 4 + х 3 .  3  3  

u=

y = arcsin u , по табличной формуле (15) имеем

3 , тогда 2− x

1

′  3  −1 ′ −1 ′ −2 u x/ =   = 3(2 − x) = 3 (2 − x) = 3( −1) (2 − x) (2 − x)′ = 2− x

[

] [

]

= 3(−1) ( 2 − x) − 2 (−1) = 3(2 − x) − 2 .

Окончательно получим y x/ = yu/ ⋅ u x/ =

1 1− u

2

⋅ u x/ =

1  3  1−   2− x

2

⋅ 3(2 − x) − 2 .

3) Вычислить производную функции y = x 2 ln(5 x + 1) − 31− x . Сначала дифференцируем у как разность ′ y ′ = ( x 2 ln(5 x + 1)) ′ − 31− x .

( )

51

1 ⋅ 5. 5x + 1

По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от 1− x

3

.

(3 )′ = 3 1− x

1− x

ln 3(1 − x) ′ = 31− x ln 3(−1) = −31− x ln 3. 5x + 1

. 1 − u2 В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции (19) и формулой (6) получим yu/ =

+ x2 ⋅

1 (5 x + 1) ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5x + 1

2 Таким образом y ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5 x + 31− x ln 3.

2) Найдем производную функции 3 y = arcsin . 2− x Введем промежуточный аргумент

= 2 x ln(5 x + 1) + x 2

Большое количество примеров, заданий с ответами на производную сложной функции можно найти в [4]. 2. Исследование функции и построение графика. Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции, монотонности функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Глобальные экстремумы. Рассмотрим некоторые моменты исследования. Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее первой производной, то следует: 1) найти первую производную, найти ее корни и точки разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными на экстремум (критическими точками); 2) отметить на числовой оси точки подозрительные на экстремум и определить интервалы знакопостоянства у/. На тех участках, где y/>0, функция возрастает, где y/0, функция вогнута, где у/ 1. 

(

)

5

y x = arctg ; 6) y = x 2ctg 3 x − 33− 5 x. x y

Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки 4 производства С(х): С ( x) = 10 − ( x − 1) 3 p ( x) = 10 − x 3

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а,в]: функции y = f (x) y = x2 +

2 + 2 x − 5; x +1

[1,7].

Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = 1 − 5. 3x 2 − 3

59

;

при a) x → 4; b) x → 3; c) x → ∞

arctg 5 x 1 − 3х − 5 + х 3− x ; 3) lim ; 4) lim   x →0 x → ∞ 2 − x  x +1 3x

5 x −2

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.  − 3 − x, если х < −2,  f ( x) = x 2 − 5, если − 2 ≤ x < 3,  7 - 2x, если x > 3. 

1 1) y = arctg ; x −1

2

2) y = 3 x 8 + 55 x 2 − 3 ; 3) y = (cos x ) x ;

5)

4 x 2 + x − 39

Задание 3. Найти производные данных функций

Задание 3. Найти производные данных функций 2 1) y = arctg ; x−3  x = 2t − t 2  1 4) y = ; 2 3  (t − 1) 

5 x 2 − 14 x − 3

5

2 4   2) y =  3 x 4 − 4 − 3  ; 3) y = x x ; x  

 3t 2 + 1  x= y  3t 3 ; 5) tg = 5 x; 6) y = x 5 cos 3 x + 23+ 4 x. 4)   t3  x  y = sin  + t  3    

Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х): С ( x) =

x x3 + 2 8

p( x) = 8 −

x 2

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = x 3 − 3x 2 − 24 x + 3; [0,5]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x − 3 + 2 . 2

2

x−3

60

Вариант 4. Задание 1. Найти пределы функций: 7 x 2 + 12 x − 4 ; x → x0 3 x 2 + 2 x − 8

Вариант 5. Задание 1. Найти пределы функций:

при a) x → 5; b) x → −2; c) x → ∞

1) lim

x−3

sin 7 x  4x + 1  2) lim ; 3) lim ; 4) lim   x →3 3 х + 7 − 5 х + 1 x →0 tg 5 x x → ∞ 4 x − 3 

x → −2

Задание 3. Найти производные данных функций

)

2) y = 5 x 2 + 43 x 5 + 3 ; 3) y = (arctgx) x ;

Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х). x3 − 3x 2 + 3x + 3 3

p( x) = 8 − x

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения 4 функции y = f (x) на отрезке [а,в]: [1,4]. y=4−x− ; x2

Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: 2x + 3 y= . ( x + 3) 2

 2 x + 1, если х < −1,  f ( x) = x 2 , если − 1 ≤ x ≤ 2,  6 - x, если x > 2. 

Задание 3. Найти производные данных функций 5

1) y = arccos 2 x + 1 − 4 x 2 ;

5   2) y =  3 x 4 − 4 + 2  ; 3) y = x tgx ; x  

 x = ln tgt  1 ; 5) x − y + e y ⋅ arctgx = 0, 6) y = 2 x 5 sin 3 x + 3 2 −3 x . 4)  y=  sin 2 t

Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х). С ( x) =

2 3 9x2 x − + x +1 3 2

p ( x) = 5 − x

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ108 ции y = f (x) на отрезке [а,в]: [2,4]. y = 2x2 + − 59; x

Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y=

61

4 x −1

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.

3

 x = ln(1 − t 2 ) x 4)  ; 5) ln y = arctg ; 6) y = x 4tg 7 x + 32 + 5 x. 2 y  y = arcsin 1 − t

С ( x) =

при a) x → 2; b) x → −1; c) x → ∞

7 − х − 11 + х sin 5 x  2 − 5x  ; 3) lim ; 4) lim   x → 0 sin 6 x x → ∞ 3 − 5 x  x+2

2) lim

 − 3x, если х ≤ 1,  f ( x) = x 2 − 4, если 1 < x < 3,  2x - 5, если x ≥ 3. 

(

x → x0

20 x 2 + 13x − 7 ; 6 x 2 − 5 x − 11

7 x +3

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.

1) y = arctg x 2 − 1;

1) lim

2 x 3 − 27 . x2 62

Вариант 6. Задание 1. Найти пределы функций: 2 x 2 + 5x − 3 ; x → x0 3 x 2 + 10 x + 3

при a) x → 5; b) x → −3; c) x → ∞

1) lim

2) lim x →2

Вариант 7. Задание 1. Найти пределы функций:

x−2 2 х + 5 − 5х − 1

x  6x − 5  ; 4) lim   x →0 arctg 7 x x →∞ 6 x + 7 

1) lim

x → x0

8 x −5

; 3) lim

2) lim

x → −3

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.  − x, если х < 0,  f ( x) = x 2 , если 0 ≤ x ≤ 2,  x + 1, если x > 3. 

4 x 2 + 15 x − 4 2 x 2 + 5 x − 12

;

arcsin 5 x 7 − 3х − 1 − 5 х  2 − 7x  ; 3) lim ; 4) lim   x →0 x → ∞ 5 − 7 x  х+3 x

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.

Задание 3. Найти производные данных функций 2

3

2 1  2) y =  x 8 + 83 x 2 − 1 ; 3) y = (arcsin x) x ; 4 

 x = 1 − t2  t ; 5) x − y + a sin y = 0, 6) y = 3x 4 ctg 5 x + 41− 2 x. 4)  y=  1 − t2 

Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 2 изменяются средние издержки? С ( x) = 10 + 2 x + 5 x p = 37 2

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 2 + 2 + 2 x − 5; [− 0,2;5]. x +1

Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x − 4 . ( x − 5) 2

63

6 x+2

 x − 1, если х ≤ 0,  f ( x) = x 2 , если 0 < x < 2,  2x, если x ≥ 2. 

Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arccos x + 1;

при a) x → 3; b) x → −4; c) x → ∞

1) y = arccos 1 − x ;

2   2) y =  5 x 4 − + 3  ; 3) y = (ln x)sin x ; x x  

 x = ln(t + t 2 + 1) 4)  ; 5) y sin x = cos( x − y ), 6) y = 3 x 5 ln(1 − 2 x) + 7 2 x − 3 2  y = t t + 1

Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом изменяются средние издержки? С ( x ) = 10 +

x 5x 2 + 2 4

p = 10,5

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 3 − 3x 2 − 24 x + 3; [− 5;−1]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального 2 исчисления функцию и построить график: y = 4 − x .

2x − 1

64

Вариант 8. Задание 1. Найти пределы функций: 1) lim

x → x0

2) lim x →5

2 x 2 + 7 x − 15 x 2 − x − 30

;

x−5 3х + 1 − 5 х − 9

Вариант 9. Задание 1. Найти пределы функций: 13x 2 − 6 x − 40 ; x → x0 5 x 2 + x − 22

при a) x → 4; b) x → −5; c) x → ∞ tg 5 x  8x − 3  ; 4) lim   x →0 tg 7 x x →∞ 8 x + 5 

1) lim

9 x −4

; 3) lim

2) lim

x → −4

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.  x − 1, если х ≤ 0,  f ( x) = x 2 , если 0 < x < 2,  2x, если x ≥ 2.  5

3   2) y =  4 x 3 + 3 − 2  ; 3) y = (sin x)ln x ; x x  

y  x = 2t − t 2 4)  ; 5) y 2 x = e x , 6) y = 4 x 3 cos 5 x + 51− 2 x  y = arcsin(t − 1)

Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 3 изменяются средние издержки? С ( x) = 2 + x + x p = 6,5 2

8

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ1  ции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = 4 − 8 x − 15; − 2;− . x2

 

2 

Задание 6. Исследовать средствами дифференциального 2 исчисления функцию и построить график: y = x .

5 − 2x

x + sin 5 x 1 − 2 х − 13 + х  4 − 9x  ; 4) lim  ; 3) lim  x →0 sin 3x x → ∞ 5 − 9 x  х+4

7 x −5

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.  3 x + 1, если х < 0,  f ( x) = x 2 + 1, если 0 ≤ x < 1,  0, если x ≥ 1. 

Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arctg x − 1;

при a) x → 3; b) x → 2; c) x → ∞

Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arcsin 3x − 1 − 9 x 2 ;

)

(

4

2) y = 7 x 5 − 3x3 x 2 − 6 ; 3) y = (cos x)ln x ;

 x = ln ctgt  1 ; 5) (e x − 1)(e y − 1) − 1 = 0, 6) y = 8 x 4tg 6 x − 36 x. 4)  y=  cos2 t

Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 2 изменяются средние издержки? С ( x) = 10 + x + x p = 14,5 2

10

Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = 2 x − x; [0;4]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = 1 x + 4 . 2

x2

66 65

Вариант 10. Задание 1. Найти пределы функций: 1) lim

x → x0

2) lim x →7

2 x 2 − 11x − 21 2

x + x − 56

;

x−7 3х + 4 − 4 х − 3

Список рекомендуемой литературы

при a) x → 2; b) x → 7; c) x → ∞ sin 5 x  10 x + 1  ; 4) lim   x →0 2 x + sin 3 x x →∞ 10 x − 3 

10 x + 3

; 3) lim

Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.  x + 4, если х < −1,  f ( x) = x 2 + 2, если − 1 ≤ x < 1,  2x, если x ≥ 1.  Задание 3. Найти производные данных функций 5

1) y = arcsin 1 − x ;

  9 2) y =  8 x 3 − 2 + 6  ; 3) y = x ln x ; x x  

 x = 1 − t 2 ; 5) x − y + arctgy = 0, 6) y = 2 x 3 sin 5 x − 63 x + 2 4)   y = tg 1 + t

Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом изменяются средние издержки? С ( x) = 16 + 2 x + x 3 p = 50 Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = x − 4 x + 5; [1;9]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x .

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н. Фридман; Под ред.проф. Н.Ш.Кремера.-2-е изд., М.:ЮНИТИ,2003.471с. 2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А.Путко и др.; Под ред.проф. Н.Ш. Кремера.-М.:ЮНИТИДана,2002.-423с. 3. Векторная алгебра: Методическое пособие/ М.Д. Улымжиев/ ВСГТУ – Улан-Удэ,2000.-46с. 4. Методические указания к самостоятельной работе студентов по овладению техникой дифференцирования сложных функций: Методическое пособие/ Д.Д.Маланова, Е.Г. Васильева/ ВСГТУ-Улан-Удэ,1997.-20с. 5. Линейная алгебра/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк - М.: Наука,1978 6. Основы математического анализа/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк - М.: Наука,1993

Подписано в печать 20.09.2006г. Формат 60х84 1/16. Усл.п.л. 3,95 Тираж 500 экз. Заказ №168. Издательство ВСГТУ.670013.г.Улан-Удэ, ул.Ключевская,40, в.

3 − x2

67

68