Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС ...
7 downloads
376 Views
480KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т
О С Н О ВЫ Ф У Н К Ц И О Н И Р О ВА Н И Я И П Р О Г Р А М М И Р О ВА Н И Я М И К Р О Т Р Е Н А Ж Е Р А М Т 1804 П особие (спец иальность010803 (014100) "М икроэлектроника и полупроводниковы е приборы ")
В оронеж 2005
2
У тверж дено науч но-м етодич еским от 20 января 2005 г протокол № 1.
советом
ф изич еского ф акультета
С оставители: Борм онтовЕ .Н . Бы кадорова Г .В .
П особие подготовлено на каф едре ф изики полупроводников и м икроэлектроники ф изич еского ф акультета В оронеж ского государственного университета. Реком ендуется для студентов 4 и 5 курсов ф изич еского ф акультета спец иальности 010803 (014100) "М икроэлектроника и полупроводниковы е приборы ", студентов 4 и 5 курсов, обуч аю щ их ся в бакалавриатуре и м агистратуре понаправлению "Ф изика" (програм м а "Ф изика полупроводников. М икроэлектроника"), а такж е студентов спец иальности 210401 (2001) “М икроэлектроника и твердотельная электроника” .
3
С одержани е 1. П озиц ионны е систем ы сч исления … … … … … … … … … … … … … … … 1.1. Д воич ная систем а сч исления … … … … … … … … … … … … … … … .. 1.2. В осьм ерич ная и ш естнадц атерич ная систем ы сч исления … … … … 1.3. П еревод ч исел из двоич нойсистем ы сч исления в систем ы сч исления соснованием 2n и обратно… … … … … … … … … … … .. 1.4. Ариф м етич еские операц ии впозиц ионны х систем ах сч исления … 1.5. П редставление ц елы х ч исел в Э В М … … … … … … … … … … … … … ... 2. Э лем енты алгебры логики … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 2.1. Л огич еские ф ункц ии … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2.2. Л огич еские операц ии в систем е ком пью тернойм атем атики MathCAD … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 2.3. Л огич еские основы устройства ком пью тера … … … … … … … … … . 2.3.1. Базовы е логич еские элем енты … … … … … … … … … … … … .. 2.3.2. Т аблиц ы истинности составны х логич еских ф ункц ий … … .. 2.3.3. П остроение логич еских сх ем … … … … … … … … … … … … ... 2.3.4. С ум м атор двоич ны х ч исел … … … … … … … … … … … … … … 3. П рограм м ирование м икропроц ессорнойсекц ии К1804В С 1 … … … … … 3.1. М икропроц ессорная секц ия К 1804В С 1 … … … … … … … … … … … . 3.2. М естная регистровая пам ять… … … … … … … … … … … … … … … ... 3.3. О перац ионная ч асть… … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 3.4. У правляю щ ая ч асть… … … … … … … … … … … … … … … … … … . … 4. П рограм м ирование сх ем управления м икропроц ессорной серии К 1804 4.1. П остроение проц ессора … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4.2. У правление адресом м икроком анды … … … … … … … … … … … … .. 4.3. У правление последовательностью м икроком анд … … … … … … … . 5. У стройствои ф ункц ионирование м икротренаж ера М Т 1804 … … … … .. 5.1. С труктура м икротренаж ера М Т 1804 … … … … … … … … … … … … .. 5.2. Конструкц ия устройства М Т 1804 … … … … … … … … … … … … … .. 5.3. П орядок работы с устройством М Т 1804 … … … … … … … … … … … 6. М етодика составления, загрузки и вы полнения м икропрограм м устройства М Т 1804 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 6.1. Ф орм атм икроком анд … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 6.2. С оставление м икропрограм м , их загрузка и вы полнение … … … … Л итература … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
4 4 5 6 8 8 12 12 16 17 17 19 19 20 28 28 30 31 31 39 39 39 44 50 50 52 55 56 56 62 65
4
1. П ози ци онны е си стемы счи слени я 1.1. Д воич ная систем а сч исления И спользование двоич ной систем ы сч исления в Э В М обусловлено тех нич еским и возм ож ностям и, т.е. налич ием элем ентов с двум я устойч ивы м и состояниям и, условноприним аем ы м и за 0 и 1. О снованием двоич ной систем ы сч исления является ч исло2, и разряды ч исла последовательноим ею тследую щ ие веса: 2 12
211
210
29
28
27
26
25
2 4 23 22 2 1 2 0 2-1
4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16
8
4
2
1
2 -2
2-3
0.5 0,25 0,125
и так далее. П реобразование из двоич ной систем ы сч исления в десятич ную сводится к нах ож дению сум м ы произведений весов на ч исло единиц соответствую щ их разрядов. П рим ер 1.1. П реобразовать из двоич ной систем ы сч исления в десятич ную следую щ ие ч исла: 1012; 0,112; 10,01 2.
1012 =1⋅ 22 +0⋅ 21 +1⋅ 20 = 4+0+1=5 0,112 =1⋅2−1 +1⋅ 2−2 = 0,5+0,25 =0,75 10,012 =1⋅ 21 +0⋅ 20 +0⋅ 2−1 +1⋅ 2−2 = 2+0,25 = 2,25. П реобразование десятич ны х ч исел в двоич ны е производится последую щ им алгоритм ам : а) преобразование ц елы х ч исел производится последовательны м делением десятич ного ч исла на основание 2 и ч тением результата и остатков в обратном порядке. П рим ер 1.2. Н айти двоич ны йкод ц елогодесятич ногоч исла 11. 11 10 1
2 5 2 4 2 2 1 2 1 0
⇒
1011 2;
б) преобразование дробны х десятич ны х ч исел проводится последовательны м ум нож ением дробной ч асти на основание 2 и ч тением ц елы х ч астей результатовум нож ения.
5
П рим ер 1.3. Н айти двоич ны йкод дробногодесятич ногоч исла 0,875. х2 0,875 0,750 0,500
1,750 1,500 1,000
⇒
0,1112
П рим ер 1.4. Н айти двоич ны йкод см еш анногодесятич ногоч исла 10,52. П ри преобразовании см еш анного ч исла из десятич ной систем ы сч исления в двоич ную , отдельнопреобразую тся ц елая и дробная ч асти, а затем результаты преобразованийсум м ирую тся. 10 2 10 5 2 0 4 2 2 1 2 1 0 х2 0,52 1,04 0,04 0,08 0,08 0,16 0,16 0,32 0,32 0,64 0,64 1,28 0,28 0,56
⇒
⇒
10102;
0,52 10=0,1000012
С ледовательно, 10,5210=1010,1000012. 1.2. В осьм ерич ная и ш естнадц атерич ная систем ы сч исления О снованием восьм ерич ной систем ы сч исления является ч исло 8, а для записи ч исел использую тся ц иф ры 0,1,2,3,4,5,6,7. П рим ер 1.5. Записатьвразвернутом виде восьм ерич ное ч исло1041,78. 1041,78 = 1⋅8 3 + 0⋅82 + 4⋅81 + 1⋅80 + 7⋅8 -1. П рим ер 1.6. П еревести из десятич нойввосьм ерич ную систем усч исления ч исло 72810.
6
728 72 8 8 0
8 91 8 8 11 8 11 8 1 8 3 3
С ледовательно, 72810 = 13308. О снованием ш естнадц атерич ной систем ы сч исления является ч исло16, а для записи ч исел использую тся ц иф ры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. П рим ер 1.7. П еревести из ш естнадц атерич ной в десятич ную систем усч исления ч исло2FA16. 2FA16 = 2⋅16 2 + 15⋅161 + 10⋅160 = 778. П рим ер 1.8. Записатьвсвернутойф орм е ч исло С ⋅162 + F⋅16 1 + 2⋅160 + 8⋅16-1 + D⋅16-2. С ⋅162 + F⋅161 + 2⋅160 + 8⋅16 -1 + D⋅16-2 = CF2,8D16.
1.3. П еревод ч исел из двоич нойсистем ы сч исления всистем ы сч исления с основанием 2 n и обратно Е сли основанием рассм атриваем ой систем ы сч исления является степень ч исла 2, топеревод ч исел из этой систем ы сч исления в двоич ную и обратно м ож нопроводитьпоболее просты м правилам . Д ля тогоч тобы ц елое двоич ное ч ислопредставитьв систем е сч исления с основанием 2n (n=2, 3, … ), нуж новы полнитьследую щ ие действия: - двоич ное ч ислоразбитьсправа налевона группы поn ц иф р вкаж дой; - если в последней левой группе окаж ется м еньш е n разрядов, тодополнить этугруппуслева нулям и донуж ногоч исла разрядов; - каж дую группу, представляю щ ую собой n-разрядное двоич ное ч исло, записатьсоответствую щ ейц иф рой всистем е сч исления с основанием 2n. П рим ер 1.9. Д воич ное ч исло 1011011000110102 перевести рич ную систем усч исления.
в ш естнадц ате-
Разбиваем данное ч ислосправа налевона тетрады и под каж дой из них записы ваем соответствую щ ую ш естнадц атерич ную ц иф ру. П ри этом неполную тетрадуслева дополняем нулям и.
7
0101
1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 ⇒ 5В 1А16
5
B
А
1
Д ля перевода дробны х двоич ны х ч исел в систем у сч исления с n основанием 2 (n=2, 3, … ), нуж новы полнитьследую щ ие действия: - двоич ное ч ислоразбитьслева направона группы поn ц иф р вкаж дой; - если в последнейправойгруппе окаж ется м еньш е n разрядов, тонеобх одим о дополнитьэтугруппусправа нулям и донуж ногоч исла разрядов; - каж дую группу, представляю щ ую собой n-разрядное двоич ное ч исло, записатьсоответствую щ ейц иф рой всистем е сч исления с основанием 2n. П рим ер 1.10. П еревести в восьм ерич ную систем усч исления двоич ное ч исло 0,0101110011 2. 0, 0 1 0 0,
2
111
001
100
7
1
4
⇒ 0,27148.
П ри переводе произвольного двоич ного ч исла, содерж ащ его ц елую и дробную ч асти, в систем усч исления с основанием 2n (n=2, 3, … ) необх одим о отдельно перевести ц елую и отдельно дробную ч асти, затем объединить их ч ерез запятую . Д ля тогоч тобы произвольное ч исло, записанное в систем е сч исления с основанием 2n, перевести в двоич ную систем усч исления, нуж нокаж дую ц иф ру этого ч исла зам енить ее n-знач ны м эквивалентом в двоич ной систем е сч исления. П рим ер 1.11. П еревести ш естнадц атерич ное ч исло 2F0,C716 в двоич ную систем усч исления. 2 0010
F
0,
C
7
⇒ 1011110000,110001112
1 1 1 1 0 0 0 0, 1 1 0 0 0 1 1 1 1.4. Ариф м етич еские операц ии впозиц ионны х систем ах сч исления
Ариф м етич еские операц ии в позиц ионны х систем ах сч исления вы полняю тся по тем ж е правилам , ч то и в десятич ной. С ледует только пом нить, ч топри вы полнении операц ии вы ч итания всегда из больш егопоабсолю тной велич ине ч исла вы ч итается м еньш ее и ставится соответствую щ ий знак больш его по абсолю тнойвелич ине ч исла. П рим ер 1.12. В ы полнитьследую щ ие действия вдвоич нойсистем е сч исления: а) 1101+1,101; б) 1110-101,1;
в) 101 х 0,11; г) 110 : 10.
8
а)
б)
+ 1101
___1,101 1110,101
1110 - _101,1 1000,1
в)
х
101 0,11 101 101_ 11,11
г) 110
10 10 10 0
10 11
1.5. П редставление ц елы х ч исел вЭ В М Н аиболее простое представление ц елы х ч исел – прям ой код, когда знак ч исла кодируется встарш ем разряде: 0 – знак “+” , (полож ительное ч исло); 1 – знак “–” , (отриц ательное ч исло). Т ак, в восьм иразрядны х м аш инах под знак ч исла отводится старш ий разряд, а сем ьостальны х под код ч исла. П рим ер 1.13. П редставить в прям ом коде на восьм и разрядах полож ительны е и отриц ательны е ч исла: 127; 43; –127 ; –43. +127 10=011111112 +4310=001010112
ц елы е
-12710=111111112 -4310=101010112
М аксим альное знач ение ц елого отриц ательного ч исла, представленного на n-разрядном регистре в ф орм ате ц елое чи сло с о зн а к ом , равно 2 n-1-1. М иним альное знач ение ц елогонеотриц ательногоч исла, представленногона nразрядном регистре вф орм ате ц е лое чи с ло со зн а к ом , равно2n-1. Н онаиболее ш ирокое распространение в Э В М получ илопредставление ц елы х ч исел в дополнительном коде, ч топозволяет зам енитьвы ч итание или слож ение ч исел сразны м и знакам и толькооперац иейслож ения. Д ополнительны й код отриц ательного двоич ного ч исла получ ается по следую щ ем управилу: - получ итьобратны йкод м одуля двоич ногоч исла зам еной1 на 0 и 0 на 1; - прибавитьк обратном укоду1. П рим ер 1.14. П олуч итьдополнительны й код отриц ательного ч исла –1011 на восьм иразрядном регистре. Ч исло: 00001011 О бр. код: 11110100 + _______1 Д оп. код: 11110101
9
П олож ительны е ч исла в прям ом , обратном и дополнительном кодах изображ аю тся одинаково– двоич ны м и представлением с 0 взнаковом разряде. П рим ер 1.15. П редставитьвф орм ате 1 байтполож ительное ч исло17 10=10001 2 в прям ом , обратном и дополнительном кодах . 0 0010001 – прям ойкод; 0 0010001 – обратны йкод; 0 0010001 – дополнительны й код. К ак бы ло отм еч ено вы ш е, отриц ательны е ч исла в прям ом , обратном и дополнительном кодах им ею тразное представление. П рим ер 1.16. П редставитьвф орм ате 1 байтотриц ательное ч исло-26 10=11010 2 в прям ом , обратном и дополнительном кодах . 1 0011010 – прям ойкод; 0 0011010 – прям ойкод абсолю тногознач ения данногоч исла; 1 1100101 – обратны йкод; 1 1100110 – дополнительны й код.
Задания 1.1 П еревести из двоич нойсистем ы сч исления в десятич ную следую щ ие ч исла: а) 111001112; 112; 11100012; б) 0,01112; 0,11 2; 0,0012; 0,11012; в) 11,012; 1,012; 1011,001 2; 10,12. 1.2. П еревести из десятич ной систем ы сч исления в двоич ную следую щ ие ч исла: а) 50; 11110; 18; 252; 32; 16; б) 0,17; 0,085; 0,1; 0,81; 0,00110; в) 13,8; 10,01 10; 100,10110; 25,1. 1.3.
О триц ательны е десятич ны е ч исла представитьв прям ом коде в двоич ной систем е сч исления (на двенадц атиразрядном регистре): -131; -101; -215; -17; -325.
1.4.
О триц ательны е десятич ны е ч исла представить в двоич ной систем е сч исления вдополнительном коде (на ш естнадц атиразрядном регистре):
10
-213; 1.5.
-18; -10010; -19; -1314.
В ы полнитьследую щ ие действия в двоич нойсистем е сч исления: а) 101,1 + 0,101 1,1 + 1001,1
0,1001 + 1,0011 11,001 + 0,0011
б) 111,001 – 0,111 10,01 – 0,11111
1010,0 - 101,0011 1010 – 101
в) 11001,1 х 1,01 11,01 х 1,01
101,001 х 11,001 1101,1 х 1,0001
г) 1,001 : 1,01 101,101 : 1,011
101,1 : 1,11 11,11 : 0,11
1.6. Записать в развернутом виде натуральны е ч исла 0, 1, 2, … , 14, 15 в десятич нойи двоич нойсистем ах сч исления. 1.7. К акой ч исловой эквивалент им еет ц иф ра 5 в десятич ны х ч ислах : 5783? 3615? 51? 1570? 1.8. Заполнитьследую щ ую таблиц у. С и стема с чи слени я
О сновани е
Ц и фры
ш естнадц атерич ная десятич ная
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 8
0,1,2,3,4,5,6,7
2
1.9.
Заполнитьследую щ ую таблиц у. С и стема с чи с лени я десятич ная
О сновани е 10
Р азряды (с тепени ) 10000
В осьм ерич ная двоич ная
1.10. Записатьвразвернутом виде ч исла: а) А8=142706; б) А2=1100101; в) А16=143511;
г) А10=142,706; д) А8=142,706; е) А16=1F3,5C1.
1000
100
10
1
11
1.11. К акие ч исла следую тза ч ислам и: 12? 11112? 1012? 1010112? 78? 37 8? 1178? 1F16? 9AF916? CDEF16? 1.12. К акие ч исла предш ествую т ч ислам : 102? A10 16? CD16?
1010 2?
20 8?
11112?
10008?
111 2?
1016?
1.13. К акой ц иф рой заканч ивается ч етное двоич ное ч исло? К акой ц иф рой заканч ивается неч етное двоич ное ч исло? К аким и ц иф рам и м ож ет заканч иваться ч етное троич ное ч исло? 1.14. К акое наибольш ее десятич ное ч исло м ож но записать трем я ц иф рам и в систем е сч исления: а) двоич ной; б) восьм ерич ной; в) ш естнадц атерич ной? 1.15. В какойсистем е сч исления справедливоравенство: а) 21 + 24 = 100; б) 20 + 20 = 100; в) 22 + 44 = 110? 1.16. Д есятич ное ч исло59 эквивалентноч ислу214 в некоторой другой систем е сч исления. Н айти основание этойсистем ы . 1.17. В ы ч ислитьзнач ение вы раж ения: а) 2568 + 10110,12⋅ (608 + 1210) – 1F16; б) 1AD16 – 10010111002 : 10102 + 2178; в) 101010 + (10616 – 110111012) ⋅ 128; г) 10112 ⋅ 11002 : 148 + (1000002 – 408). 1.18. Запиш ите десятич ны е ч исла в прям ом , обратном и дополнительном кодах (ф орм ат1 байт): 31; -63; 65; -127; -9; -15; 127; -100. 1.19. Н айти десятич ны е представления ч исел, записанны х вобратном коде: а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 0 1101001. 1.20. Н айти десятич ны е представления ч исел, записанны х в дополнительном коде: а) 1 1011000; б) 1 0011111; в) 1 1001001. 1.21. Т рех знач ное десятич ное ч ислооканч ивается ц иф рой 3. Е сли этуц иф ру перем естить на два разряда влево, т.е. с него будет нач инаться запись нового ч исла, то это новое ч исло будет на единиц у больш е утроенного исх одногоч исла. Н айти исх одное ч исло. 1.22. В осстановить неизвестны е ц иф ры , обознач енны е знаком вопроса, в следую щ их прим ерах на слож ение и вы ч итание, определив внач але, в какойсистем е записаны ч исла:
12
а) + 5?55 ?327 ?16?4
б) - 1536 ?42 67?
1.23. В ы полнить ариф м етич еское действие ком пью терном представлении.
2010–6010
в 16-разрядном
1.24. П еревести из двоич ной систем ы сч исления ввосьм ерич ную : 1011002; 100010002; 0,1001012; 10,0011101002. 1.25. П еревести из двоич ной систем ы сч исления вш естнадц атерич ную : 10112; 100111012; 0,001101 2; 0,00101012; 10101,00110012. 1.26. П еревести из восьм ерич нойсистем ы сч исления вдвоич ную : 7518; 10108; 3528; 0,621 8; 71,0018. 1.27. П еревести из ш естнадц атерич нойсистем ы сч исления вдвоич ную : A5116; 1FC016; 0,79A16; 1D,BCD 16. 1.30. Ч исло 2110, записанное в некоторой систем е сч исления, эквивалентно ч ислу 150, записанном у в систем е сч исления с основанием в 2 раза больш им . Ч ем уравноэточ исловдесятич нойсистем е сч исления? 1.31. Д аноравенствоА 2х =В х . Ч ем уравноВ , если А =10? 1.32. Д аноравенство121х =448. Ч ем уравнох? 1.33. Д аноравенствоА х =В 2х . Ч ем уравноВ , если А =20? 1.34. Д аноравенство320х =151 х +2. Ч ем уравнох? 2. Элементы алгебры логи к и 2.1. Л огич еские ф ункц ии М атем атич еским аппаратом , описы ваю щ им преобразование инф орм ац ии и ф ункц ионирование ц иф ровы х сх ем , является а лге бра логи к и или булева а лге бра , основы которой залож ил в 18 веке английский уч ены й Д ж ордж Бульв работе “И сследование законов м ы ш ления” . Ф ункц ия Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X i ,..., X n , )
13
назы вается логич еской, если каж дая перем енная Хi и ф ункц ия Y м огут приним ать только два знач ения: “1” (единиц а) и “0” (ноль) (да-нет, истиналож ь, true-false). Л огич еская перем енная м ож ет бы ть реализована на основе лю бой ф изич еской систем ы , им ею щ ей два устойч ивы х , ч еткоразлич им ы х состояния, одном уиз которы х условноприписы вается знач ение “1” , другом у– “0” . П ростейш ей логич еской ф ункц ией является ф ункц ия логич еского отриц ания Н Е : Y (X ) = X . О на им еетследую щ ую таблиц уистинности: X
Y(X)
0 1
1 0
Ф ункц ия логич ескогоум нож ения И (конъю нкц ия) записы вается как Y ( X 1, X 2) = X 1 ⋅ X 2 = X1∧X2.
О на истинна тогда и толькотогда , когда знач ения обеих перем енны х истинны , и им еетследую щ ую таблиц уистинности: X1
Х2
Y(X1,Х2)
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
Ф ункц ия логич ескогослож ения И Л И (дизъю нкц ия) им еетвид Y ( X 1, X 2) = X 1 + X 2 = X1∨X2.
О на лож на, если обе перем енны е лож ны , и им еет следую щ ую истинности: X1
Х2
Y(X1,Х2)
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
таблиц у
14
Н а основе данны х ф ункц ий м ож ет бы ть получ ена лю бая логич еская ф ункц ия. С истем а из просты х логич еских ф ункц ий, на основе которы х с пом ощ ью суперпозиц ии м ож ет бы ть получ ена лю бая логич еская ф ункц ия, назы вается фу н к ц и он а льн о полн ой. Ф ункц ионально полны м и являю тся, наприм ер, такие совокупности логич еских ф ункц ий: Y = X ; Y = X 1 + X 2 Y = X Y = X 1 ⋅ X 2
;
- ш трих Ш еф ф ера (отриц ание конъю нкц ии). Ш трих Ш еф ф ера им еетследую щ ую таблиц уистинности:
Y = X 1 ⋅ X 2 = X 1/ X 2
X1
Х2
Y = X 1⋅ X 2
1 1 1 0
1 0 1 0
0 1 1 1
Y ( X1, X 2) = X1+ X 2 = X1 ↑ X 2 - стрелка П ирса (ф ункц ия В ебба или отриц ание
дизъю нкц ии). Э та ф ункц ия им еетследую щ ую таблиц уистинности: X1
Х2
Y = X1+ X 2
1 1 1 0
1 0 1 0
0 0 0 1
Ф ункц ия слож ения по м одулю 2 (операц ия несовпадения), назы ваем ая И С К Л Ю Ч АЮ Щ Е Е И Л И , записы вается ввиде Y ( X 1, X 2) = X 1 ⊕ X 2 = ( X 1 ∧ X 2) ∨ ( X 1 ∧ X 2) . О на им еетследую щ ую таблиц уистинности: X1
Х2
Y(X1,Х2)
1 0 1 0
1 1 0 0
0 1 1 0
15
Ф ункц ия логич еского следования (им пликац ия) в естественном язы ке соответствуетоборотуе с ли … , т о … : Y ( X 1, X 2) = X 1 ⇒ X 2 . О на им еетследую щ ую таблиц уистинности: X1
Х2
Y(X1,Х2)
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 0 1
Л огич еская ф ункц ия эквивалентности или логич еского равенства образуется соединением двух вы сказы ваний в однос пом ощ ью оборота т огда и т ольк о т огда , к огда … . Э та ф ункц ия им еет обознач ения ∼ или ⇔ и следую щ ую таблиц уистинности:
X1
Х2
Y(X1,Х2)
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
П ри вы ч ислении логич еских вы раж ений соблю дается следую щ ий приоритет логич еских операц ий: снач ала вы полняю тся действия в скобках , затем отриц ание элем ентарны х перем енны х , логич еское ум нож ение, логич еское слож ение, им пликац ия, эквивалентность. П рим ер 2.1. В ы полнить операц ии дизъю нкц ия, конъю нкц ия, стрелка П ирса, ш трих Ш еф ф ера и исклю ч аю щ ее И Л И над ч ислам и Х1=1 и Х2=0. Х1∨Х2 = 1 + 0 = 1 Х1∧Х2 = 1 ⋅ 0 = 0 X1 ∨ X2 = 1 + 0 = 0 X1 ∧ X2 = 1 ⋅ 0 = 1 X 1⊕ X 2 = 1⊕ 0 = 1
П рим ер 2.2. В ы полнить операц ии дизъю нкц ия, конъю нкц ия, стрелка П ирса, ш трих Ш еф ф ера и исклю ч аю щ ее И Л И над ч ислам и Х1=1010 и Х2=1110.
16
Х1∨Х2 = 1010 + 1110 = 1110 Х1∧Х2 = 1010 ⋅ 1110 = 1010 X1 ∨ X2 = 1010 + 1110 = 1110 = 0001 X1 ∧ X2 = 1010 ⋅1110 = 1010 = 0101 X 1 ⊕ X 2 = 1010 ⊕ 1110 = 0100
Задания 2.1 . В ы полнитьследую щ ие логич еские операц ии: 2.1.1. X 1 ∨ X 2 2.1.3. X 1 ∨ X 2 2.1.5. X 1 ∨ X 2 2.1.7. X 1 ∧ X 2 2.1.9. X 1 ⊕ X 2 2.1.11. X 1 ⇒ X 2
2.1.2. X 1 ∧ X 2 2.1.4. X 1 ∨ X 2 2.1.6. X 1 ∧ X 2 2.8. X 1 ⊕ X 2 2.1.10 X 1 ∧ X 2 2.1.12 X 1 ⇔ X 2
а) при Х1=1, Х2=1; б) при Х1=1, Х2=0; в) при Х1=0, Х2=1; г) при Х1=0, Х2=0. 2.2.
В ы полнитьследую щ ие логич еские операц ии:
2.2.1. X 1 + X 2 2.2.3. X 1 + X 2 2.2.5. X 1 + X 2 2.2.7. X 1 + X 2 2.2.9. X 1 + X 2 2.2.11. X 1 ⊕ X 2 2.2.13. X 1 ⊕ X 2 2.2.15. X 1 ⇒ X 2
2.2.2. X 1⋅ X 2 2.2.4. X 1⋅ X 2 2.2.6. X 1⋅ X 2 2.2.8. X 1⋅ X 2 2.2.10. X 1⋅ X 2 2.2.12. X 1 ⊕ X 2 2.2.14. X 1 ⊕ X 2 2.2.16. X 1 ⇔ X 2
а) при Х1=1011, Х2=1111; б) при Х1=11, Х2=01; в) при Х1=1110, Х2=1001; г) при Х1=001, Х2=100. 2.3. В ы полнитьследую щ ие логич еские операц ии: 2.3.1. ( X 1 ∨ X 2 ) ∧ X 3 2.3.3. ( X 1 ∧ X 2 ) ⊕ X 3
2.3.2. X 1 ⊕ X 2 ⊕ X 3 2.3.4. X 3 ⊕ X 3 ∧ ( X 1 ∨ X 2 )
2.3.5. X 2 ⇔ X 1 ⇒ X 1 2.3.6. X 1 ⊕ X 2 ⇒ X 1 а) при Х1=1, Х2=0 и Х3=1; б) при Х1=101, Х2=111 и Х3=100; в) при Х1=10, Х2=11 и Х3=11.
17
2.2. Л огич еские операц ии всистем е ком пью тернойм атем атики MathCAD Л оги че с к и е опера т оры систем ы MathCAD предназнач ены для вы полнения булевских операц ийи вы бираю тся из палитры Л огич еская Л инейка: - отриц ание NOT (¬); - логич еское слож ение OR (∨); - логич еское ум нож ение AND (∧); - ш трих Ш еф ф ера (/); - стрелка П ирса (↓); - исклю ч аю щ ее И Л И XOR (⊕). Аргум ентам и логич еских операторов являю тся логич еские перем енны е 0 и 1 (TRUE / FALSE). П рим ер 2.3. В ы ч ислитьследую щ ие вы раж ения: ¬[ ¬[¬( 1 ⊕ 1) ] ] = 1 x := 1
y := 0
¬[ x ⊕ ( ¬y ) ∨ ( ¬x ⊕ y ) ] = 1
П рим ер 2.4. В ы полнитьоперац ию логич ескогоследования P ∨ Q , где Р=1100, Q=1010. Реш ение средствам и систем ы MathCAD использованием операц ии векторизац ии. 1 1 P := 0 0
1 0 Q := 1 0
м ож но
провести
с
1 → 0 ( ¬P ∨ Q) = 1 1
2.3. Л огич еские основы устройства ком пью тера 2.3.1. Базовы е логич еские элем енты В се логич еские операц ии в ком пью тере реализую тся базовы м и логич еским и элем ентам и (вентилям и), составляю щ им и ф ункц ионально полную систем у: Н Е , И Л И , И ; ш трих Ш еф ф ера И -Н Е ; стрелка П ирса И Л И -Н Е . П оскольку лю бая логич еская операц ия м ож ет бы ть представлена в виде ком бинац ии основны х базовы х элем ентов, толю бы е устройства ком пью тера, производящ ие обработкуили х ранение инф орм ац ии, м огут бы ть собраны из базовы х логич еских элем ентов, как из “кирпич иков” .
18
К аж ды й логич еский элем ент им еет свое условное обознач ение, которое вы раж ает его логич ескую ф ункц ию , но не указы вает на то, как им енно электронная сх ем а реализована. Э то упрощ ает запись и поним ание слож ны х логич еских сх ем . Ч тобы представить два логич еских состояния 0 и 1 в вентилях , соответствую щ ие им вх одны е и вы х одны е сигналы им ею т один из двух установленны х уровней напряж ения. Н априм ер, +5 В и 0 В , +2,4 В и 0,4 В . С х ем а Н Е (инвертор) (рис.2.1) реализует операц ию отриц ания. Е сли на вх оде сх ем ы 0, тона вы х оде 1. К огда на вх оде 1, на вы х оде 0. X
X
Рис.2.1. Л огич ескийэлем ентН Е (инвертор). С х ем а И Л И (дизъю нктор) (рис.2.2) реализует операц ию логич еского слож ения, таблиц а истинности которой приведена в таблиц е истинности для данной ф ункц ии. X
1
X∨Y
Y
Рис.2.2. Л огич ескийэлем ентИ Л И (дизъю нктор). С х ем а И (конъю нктор или конвертор) (рис.2.3) реализует операц ию логич еского ум нож ения, таблиц а истинности которой приведена в таблиц е истинности для даннойф ункц ии. X
&
X∧Y
Y
Рис.2.3. Л огич ескийэлем ентИ (конвертор). С ледую щ ие две сх ем ы ш трих Ш еф ф ера И -Н Е (рис.2.4) и стрелка П ирса И Л И -Н Е (рис.2.5) являю тся ф ункц иональнополны м и систем ам и, и их таблиц ы истинности приведены втаблиц ах истинности для данны х ф ункц ий. X
&
Y
X Y
1
X ∧Y
Рис.2.4. Л огич ескийэлем ентИ -Н Е .
X ∨Y
Рис.2.5. Л огич ескийэлем ентИ Л И -Н Е .
19
2.3.2. Т аблиц ы истинности составны х логич еских ф ункц ий Д ля каж догосоставногологич ескоговы раж ения м ож нопостроитьтаблиц у истинности, которая определяет его истинность при всех возм ож ны х ком бинац иях исх одны х знач ений просты х перем енны х . Т аблиц а истинности строится в следую щ ей последовательности. 1. К олич ество строк в таблиц е истинности равно ч ислу возм ож ны х ком бинац ий знач ений независим ы х логич еских перем енны х плю с строка, в которой указы вается содерж ание столбц ов. Е сли ч исло логич еских перем енны х равноn, токолич ествострок равно2n+1. 2. К олич ествостолбц ов в таблиц е истинности равноколич ествулогич еских перем енны х плю с колич ествологич еских операц ий. 3. С троится таблиц а с указанны м колич еством строк и столбц ов, обознач ается содерж им ое столбц ов, заполняю тся возм ож ны е наборы знач ений исх одны х логич еских перем енны х . 4. Заполняется таблиц а истинности постолбц ам , вы полняя последовательно логич еские операц ии всоответствии сих таблиц ам и истинности. П рим ер 2.5. С оставитьтаблиц уистинности логич ескойф ункц ии F ( A, B) = ( A ∨ B ) & (A ∨ B ) . К олич ество независим ы х логич еских перем енны х равно 2, 2 следовательно, ч ислострок будетравно2 +1=5. К олич ество логич еских операц ий равно пяти, и с уч етом колич ества логич еских перем енны х ч ислостолбц овесть5+2=7. А 0 0 1 1
В 0 1 0 1
A∨ B
A
B
A∨ B
( A ∨ B ) & (A ∨ B )
0 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
0 1 1 0
2.3.3. П остроение логич еских сх ем У стройства ком пью тера (сум м аторы в проц ессоре, ш иф раторы и деш иф раторы , логич еские сх ем ы ариф м етико-логич еского устройства и так далее) строятся на основе базовы х логич еских элем ентов. П рим ер 2.6. П остроить логич ескую сх ем у заданной логич еской ф ункц ии F ( A, B) = B & A ∨ B & A . П остроение необх одим о нач инать с логич еской операц ии, которая долж на вы полняться последней, в данном случ ае – операц ии логич еского
20
слож ения, которая вы полняется дизъю нктором . Н а еговх оды подаю тся сигналы с двух конъю нкторов, на которы е в свою оч ередьподаю тся один сигнал норм альны йи один инвертированны йс инверторов(рис.2.6.).
Рис.2.6. Л огич еская сх ем а ф ункц ии F ( A, B) = B & A ∨ B & A . 2.3.4. С ум м атор двоич ны х ч исел В ц елях м аксим ального упрощ ения ком пью тера все м ногообразие м атем атич еских операц ий в проц ессоре сводится к слож ению двоич ны х ч исел. П оэтом у главной ч астью проц ессора являю тся сум м аторы , обеспеч иваю щ ие такое слож ение. Полу с у м м а т ор. П ри слож ении двоич ны х ч исел А и В в каж дом разряде образуется сум м а S и при этом возм ож ен перенос P в старш ий разряд. Т аблиц а слож ения одноразрядны х двоич ны х ч исел с уч етом переноса в старш ий разряд вы глядитследую щ им образом : С лагаем ы е A B 0 0 0 1 1 0 1 1
П еренос P 0 0 0 1
С ум м а S 0 1 1 0
И з таблиц ы видно, ч топеренос м ож нореализоватьс пом ощ ью операц ии логич ескогоум нож ения P = A& B. Знач ения сум м ы близки к результату операц ии логич еского слож ения кром е случ ая, когда на вх оды подаю тся две единиц ы , а на вы х оде долж ен получ иться нуль. Н уж ны й результат достигается, если результат логич еского слож ения ум нож итьна инвертированны йперенос: S = ( A ∨ B) & ( A & B) .
21
П остроением таблиц ы истинности логич еской ф ункц ии данного логич еского вы раж ения м ож но убедиться в правильности сделанны х предполож ений. А
В
( A ∨ B)
A& B
( A & B)
( A ∨ B) & ( A & B)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
Т еперьна основе получ енны х логич еских вы раж ений м ож нопостроить из базовы х логич еских элем ентов сх ем у слож ения одноразрядны х двоич ны х ч исел. П о логич еской ф орм уле переноса видно, ч то для получ ения переноса необх одим логич еский элем ент И . Д ля получ ения сум м ы долж ен использоваться элем ентлогич ескогоум нож ения И с двум я вх одам и. Н а один из вх одов надоподатьрезультат логич ескогослож ения ч исел А и В , т.е. на него долж ен подаваться результатлогич ескогослож ения сэлем ента И Л И . Н а второй вх од подается результат инвертированного логич еского ум нож ения исх одны х ч исел ( A & B) . Д анная сх ем а (рис.2.7) назы вается полу с у м м а т ором , так как реализует сум м ирование одноразрядны х двоич ны х ч исел без уч ета переноса из м ладш его разряда.
A B
&
A& B A& B
A& B
1
&
( A ∨ B) & A & B
A∨ B
Рис.2.7. С х ем а полусум м атора двоич ны х ч исел. Полн ы й одн ора зрядн ы й полу с у м м а т ор. П олны йодноразрядны йсум м атор долж ен им етьтри вх ода (слагаем ы е А , В и Р0 – перенос из м ладш егоразряда) и два вы х ода (сум м а S и перенос Р). Т аблиц а слож ения в этом случ ае будетим еть следую щ ийвид:
22
С лагаем ы е
А 0 0 1 1 0 0 1 1
В 0 1 0 1 0 1 0 1
П еренос из м ладш его разряда
П еренос
С ум м а
P0 0 0 0 0 1 1 1 1
P 0 0 0 1 0 1 1 1
S 0 1 1 0 1 0 0 1
И дея построения логич еской ф ункц ии полного одноразрядного сум м атора такая ж е, как и полусум м атора. И з таблиц ы слож ения видно, ч то перенос Р приним ает знач ение 1 тогда, когда х отя бы две вх одны е логич еские перем енны е одноврем енно приним аю т знач ение 1. Т аким образом , перенос реализуется путем логич еского слож ения результатов попарного логич еского ум нож ения вх одны х перем енны х А , В и Р0. Ф орм ула переноса получ ает следую щ ийвид: P = ( A & B ) ∨ ( A & P0 ) ∨ (B & P0 ) . Д ля получ ения знач ения сум м ы S необх одим о результат логич еского слож ения вх одны х перем енны х А , В и Р0 ум нож ить на инвертированны й перенос Р : S = ( A ∨ B ∨ P0 ) & P . Д анное логич еское вы раж ение дает правильны е знач ения сум м ы вовсех случ аях , кром е одного, когда все вх одны е логич еские перем енны е приним аю т знач ение 1. Д ействительно: P = (1 & 1) ∨ (1 & 1) ∨ (1 & 1) = 1 ; S = (1 ∨ 1 ∨ 1) & Р = 1 & 0 = 0 . Д ля получ ения правильного знач ения сум м ы (для данного случ ая перем енная S долж на приним атьзнач ение 1) необх одим ослож итьполуч енное вы ш е вы раж ение для сум м ы с результатом логич еского ум нож ения вх одны х перем енны х А , В и Р0. В результате логич еское вы раж ение для вы ч исления сум м ы в полном одноразрядном сум м аторе приним аетследую щ ийвид: S = ( A ∨ B ∨ P0 ) & P ∨ ( A & B & P0 ) .
У словное обознач ение одноразрядногосум м атора приведенона рис.2.8.
23
ai bi pi-1
A B P0
ПС P S
pi si
Рис.2.8. П олны йодноразрядны йсум м атор.
М н огора зрядн ы й с у м м а т ор. М ногоразрядны й двоич ны й сум м атор, предназнач енны й для слож ения м ногоразрядны х двоич ны х ч исел, представляет собой ком бинац ию одноразрядны х сум м аторов. П ри слож ении двоич ны х ч исел длиной два и более бит, м ож но использовать последовательное соединение одноразрядны х сум м аторов, прич ем для двух соседних сум м аторов вы х од переноса преды дущ егосум м атора является вх одом для последую щ его. Н априм ер, сх ем а вы ч исления сум м ы S=(s3 s2 s1 s0) двух двоич ны х трех разрядны х ч исел A=(a2 a 1 a0) и В =(b 2 b1 b0) м ож етим етьвид, приведенны й на рис.2.9. a0 b0 0 В х од переноса
A B P0
a1
ПС
b1 P S
A B P0
a2
ПС
b2 P S
A B P0
s1
s0 М ладш ий раз ряд сум м ы
ПС P S s2 s3 С тарш ие раз ряды сум м ы
РезультатS=(s3 s2 s1 s0)
Рис.2.9. С х ем а вы ч исления сум м ы двух двоич ны х трех разрядны х ч исел. Задания 2.1. К акое тож дествозаписаноневерно: а) X ∨ X ≡ 1 ; б) X ∨ X ∨ X ∨ X ∨ X ∨ X ≡ 1 ; в) X & X & X & X & X ≡ X ? 2.2. И з двух вы сказы ваний a и b построитьсоставное вы сказы вание, которое бы лобы : а) истиннотогда и толькотогда, когда оба данны х вы сказы вания лож ны ; б) лож нотогда и толькотогда, когда оба вы сказы вания истинны . 2.3. Л огич еское вы раж ение назы вается т ож де с т ве н н о-лож н ы м , если оно приним ает знач ения 0 при всех наборах вх одящ их в него просты х
24
вы сказы ваний. П остроив таблиц у истинности, покаж ите, ч то вы раж ение (A & B & B )∨ (A & A)∨ (B & C & C ) тож ественно-лож ное. 2.4. Л огич еское вы раж ение назы вается т ож де с т ве н н о-и с т и н н ы м , если оно приним ает знач ения 1 при всех наборах вх одящ их в него просты х вы сказы ваний. П остроив таблиц у истинности, покаж ите, ч то вы раж ение (A & B & C )∨ (A & B & C )∨ A ∨ C тож ественно-истинное. 2.5. П остроить таблиц уистинности ф ункц ии F ( A, B ) = A ∨ B . К акая логич еская ф ункц ия тож дественна даннойф ункц ии? 2.6. П остроить таблиц у истинности ф ункц ии F ( A, B) = (A ∨ B )& (B ∨ A) . К акая логич еская ф ункц ия тож дественна даннойф ункц ии? 2.7. Д ано логич еское вы раж ение A ∧ B . П ри каких знач ениях А и В данное вы раж ение будетлож ны м ? истинны м ? 2.8. Д аны два просты х вы сказы вания: А ={2⋅2=4}, В ={2⋅2=5}. К акие из составны х вы сказы ваний истинны и какие лож ны : а) A ; б) B ; в) A & B ; г) A ∨ B ; д) A ⇒ B ; е) A ⇔ B ? 2.9. Д аны просты е вы сказы вания: А ={5>3}, В ={2=3}, C={4