Г. ВАГНЕР
ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Harvey M. Wagner Department of Administrative Science Yale University; Consult...
6 downloads
349 Views
10MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Г. ВАГНЕР
ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Harvey M. Wagner Department of Administrative Science Yale University; Consultant to McKinsey and Company, Inc.
Principles of Operations Research With Applications to Managerial Decisions
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1969
Г. ВАГНЕР ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Том 3
Перевод с английского Б. Т. Вавилова
Издательство «Мир» Москва 1973
УДК.35.073.5
В томе 3 отражены современные достижения в области стохастического моделирования и рассмотрены многочисленные проблемы оптимизации управляющих решений применительно к процессам, явлениям и состояниям, характеризуемым параметрами, подчиняющимися законам теории вероятностей. Как и в первых двух томах, приведен ряд поучительных примеров, иллюстрирующих возможности излагаемых методов (модели очередей, вероятностные модели управления запасами, модель управляемой экономики и др.). Автор знакомит читателя также с проблемой построения имитационных моделей систем управления и возможностями реализации такого рода моделей на ЭВМ. Заключительная глава данного тома посвящена вопросам организации работ на всех этапах операционного исследования и практического использования получаемых при этом результатов.
Редакция литературы
по вопросам новой техники
Перевод на русский язык, «Мир», 1973
3314-336 041(01)-73
ГЛАВА 16
Введение в теорию стохастических оптимизационных моделей 16.1. УПРАВЛЯЮЩИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В предшествующих томах рассматривались оптимизационные модели, для практической реализации которых необходимо полностью детерминированное представление всех исходных данных. Именно так обстоит дело с линейными моделями *), при построении которых постулировалось, что удельная прибыль, потребительский спрос, уровни запасов и т. д. являются величинами, определяемыми совершенно однозначно. При рассмотрении задач управления запасами, календарного планирования производства и замены оборудования 2) также предполагалось, что задание числовых значений параметров, фигурирующих в соответствующих моделях, не сопряжено с какой бы то ни было неопределенностью. Но, поскольку в реальных условиях по крайней мере некоторые из упомянутых выше показателей известны лишь приближенно, у многих может возникнуть сомнение относительно практической ценности методов оптимизации, рассмотренных в первых двух томах. Поспешим, однако, еще раз заверить читателя в том, что детерминистические модели находят широкое практическое применение. Вопрос заключается лишь в том, когда применимы такого рода модели для решения реальных задач организационного управления. Исключительно важно (и далеко не всегда просто) найти правильный ответ именно на этот вопрос. Ниже приводятся некоторые соображения, которые при анализе данной проблемы могут быть весьма полезными. Чтобы этот анализ был всесторонним, необходимо 1) в каждом конкретном случае добиться понимания внутренней природы имею, щейся неопределенности и увидеть ее истоки; 2) представить себекаким образом учитывается эта неопределенность выбранной математической моделью; 3) разобраться в существе метода, с помощью которого находится численное решение для данной модели при наличии надлежащих исходных данных. Таким образом, приступай к исследованию с целью решения той или иной практической задачя организационного управления, операционист должен прежде всего выяснить I) с какими видами неопределенности ему придется столкнуться и каким образом это может отразиться на выборе оптимального решения; II) можно ли в рамках принятой модели адекватным образом учесть недетерминистский характер исследуемой ситуации. 1 2
) См. т. 1 (в частности, гл. 2). ) См. гл. 8—11 в т. 2.
ГЛАВА 16
Выбор наиболее эффективного метода получения численного решения для той или иной оптимизационной модели — важный момент любого прикладного операционного исследования. Задача эта, однако, является сугубо математической (или, можно сказать, технической). В последующих главах читателю будут представлены широкие возможности познакомиться с различными формальными методами решения оптимизационных задач. Однако в процессе изучения материала не следует слишком углубляться в математические дебри, так как при этом можно упустить из поля зрения требования, изложенные в пп. I) и II), и, следовательно, не увидеть самого главного. Ниже ,рассмотрены две явно упрощенные постановки задачи, помогающие усвоить основные моменты анализа операционно-исследовательской ситуации и служащие ориентиром при поисках ответов на вопросы, содержащиеся в пп. I) и II). Пример 1. Фирма «Бонбон», занимающаяся производством продуктов питания, стоит перед дилеммой: увеличивать ли ей производственные мощности уже действующего завода или строить новое предприятие такого же профиля. По мнению президента фирмы, решение этой дилеммы существенно зависит от того, какая доля рынков сбыта будет принадлежать фирме в течение ближайших десяти лет. Допустим, что плановый отдел фирмы «Бонбон» располагает всеми прочими данными, которые следует принять во внимание при выработке окончательного решения, и считает, что организационно-технологическая структура производства и процессы сбыта готовой продукции могут быть математически представлены в виде линейной модели, аналогичной моделям, приведенным в гл. 2. Президенту фирмы необходимо убедиться, что экономический анализ проблемы в явной форме учитывает неопределенность той части общего объема сбыта рассматриваемых изделий, которая в перспективе будет приходиться на долю фирмы. Следует постоянно помнить, что главное в постановке задачи— это решение, где целесообразнее разместить дополнительные производственные мощности. Значения других управляемых переменных, учитываемых моделью (как, например, объемы сбыта каждого вида продукции, средний и пиковый уровни запасов или требуемые объемы сырьевых поставок), в соответствии с предположением представляют меньший интерес, хотя и используются при обосновании основного решения. Следовательно, экономический анализ задачи целесообразно проводить следующим образом. Вначале с помощью детерминированной линейной модели нужно найти наилучший вариант расширения производства для ряда предположительных и вероятных значений такого параметра, как часть общего объема сбыта рассматриваемых изделий, приходящаяся на долю фирмы. Если в результате выяснится, что оптимальное решение нечувствительно к этому параметру, то можно утверждать, что используемая линейная модель адекватно учитывает упомянутый выше элемент неопределенности. Если же обнаруживается, что реше-
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
7
ние обладает сильной чувствительностью к вариациям указанного параметра, то необходим дополнительный анализ задачи. В частности, для каждого значения доли рынка, контролируемой фирмой, следует найти численное значение суммарной прибыли (получаемой, скажем, за год). При этом может быть установлено, что, несмотря на чувствительность основного решения к доле рынка, контролируемой фирмой, суммарная прибыль оказывается практически нечувствительной к этому параметру. Если прибыль также сильно зависит от доли рынка, контролируемой данной фирмой, то для содержательного анализа задачи необходимо каким-то образом получить оценку правдоподобия каждого выбранного значения доли рынка, контролируемой фирмой. Фирма может пойти на дополнительное исследование рынка с тем, чтобы получить информацию, позволяющую уменьшить диапазон неопределенности и подготовить более веские основания для принятия окончательного решения относительно расширения производства. Таким образом, в ходе анализа проблемы расширения производства фирмы «Бонбон» исследуется природа неопределенности рыночной конъюнктуры и влияние этой неопределенности на формирование управляющего решения. За основу при этом принимается некоторая линейная оптимизационная модель, а влияние неопределенности устанавливается с помощью анализа на чувствительность (гл. 5). Если такого рода анализ показывает, что прибыль существенно зависит от доли рынка, контролируемой фирмой, то президент фирмы «Бонбон» может определить «риск» для каждого варианта решения путем оценки правдоподобия различных значений рассматриваемого параметра. Более того, фирма может оценить экономический эффект, достигаемый за счет получения дополнительной информации о рынках сбыта на этапе выработки окончательного решения. Что же касается численных значений ряда фигурирующих в этой сложной задаче управляемых переменных (объемов поставок, уровней запасов и др.), то для их определения планирующий орган фирмы, безусловно, должен прибегнуть к помощи стандартных процедур линейного программирования и воспользоваться вычислительными возможностями большой современной ЭВМ. Пример 2. Обратимся теперь к другому примеру, который на первый взгляд обнаруживает сходство с только что рассмотренным. Представим себе, что у фирмы «Цветметалл», являющейся одним из крупнейших поставщиков слитков цветных металлов, имеется несколько десятков заводов, расположенных в различных географических районах США. Центральные службы фирмы располагают четырьмя относительно небольшими ЭВМ, 70% машинного времени которых используется для подготовки стандартных сводных бухгалтерских отчетов, а остальное время отводится для выполнения вычислительных работ, связанных со специальными исследованиями, проводимыми научно-поисковыми группами и отделом исследования операций. Несмотря на то что средняя доля машинного времени,
8
ГЛАВА 16
расходуемого на эти специальные исследования в течение года, приблизительно известна, потребности научно-поисковых групп в «услугах» ЭВМ в сильной степени варьируются во времени, и нередко заказы на проведение специальных вычислительных работ с помощью ЭВМ поступают «целыми пачками». У фирмы имеется также несколько малых ЭВМ, которые находятся непосредственно при заводах; 50% машинного времени этих ЭВМ расходуется на составление бухгалтерских отчетов предприятий, а остальное время уходит на удовлетворение потребностей местных «технических» групп, таких, как отдел главного конструктора или отдел главного технолога. Начальником производственного отдела, отвечающим за эксплуатацию электронно-вычислительного комплекса фирмы, установлено, что в течение 4—5 (а иногда и 10) дней как ЭВМ центральных служб, так и ЭВМ на предприятиях оказываются перегруженными. Будучи уверенным в том, что нехватка машинного времени в эти периоды приводит к дорогостоящим и вызывающим естественное раздражение задержкам в производстве, он планирует установить в центральных службах фирмы либо одну ЭВМ средней мощности взамен имеющихся там четырех ЭВМ, либо одну большую ЭВМ, заменив ею парк ЭВМ центральных служб и некоторые из малых ЭВМ, размещенных на предприятиях. Начальник производственного отдела четко представляет себе, что при принятии организационного решения необходимо учесть ряд трудноформализуемых факторов, в частности относительные преимущества децентрализованного использования ЭВМ. Однако ему хотелось бы сопоставить эти соображения с возможностями более мощной и экономически более эффективной ЭВМ. Кроме того, с помощью нового вычислительного комплекса он намерен устранить или по крайней мере существенно снизить наблюдающиеся перегрузки ЭВМ и обусловленные ими задержки и перерывы в производстве. То, что в какой-то момент возникнет необходимость реконструировать электронно-вычислительный комплекс фирмы, начальник производственного отдела понял уже несколько лет назад. Именно тогда им были начаты работы по сбору и систематизации данных, • относящихся ко всем режимам функционирования принадлежащих фирме ЭВМ. Поэтому начальнику производственного отдела фирмы было известно, например, количество часов, расходуемое каждой ЭВМ на составление платежных ведомостей, на учет складских запасов, на проверку правильности оформления счетов и т. д. Фирмы,, занимающиеся производством ЭВМ, снабдили его временными показателями выполнения тех же самых видов работ с помощью больших ЭВМ и ЭВМ среднего размера. Начальник производственного отдела фирмы обратился в отдел исследования операций с просьбой помочь ему проанализировать возникшую проблему. Фактически начальник производственного отдела уже располагал (в первом приближении) данными для построения линейной модели. По его мнению, управляемыми переменными
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
9
Xjj должны явиться частоты поступления заказов на выполнение работы i-ro вида на ЭВМ /-го типа 1); коэффициент при управляемой переменной хц должен выражать скорость выполнения машиной /-го типа работы i-ro вида; ограничения должны отражать то обстоятельство, что суммарное число «заказов» на выполнение каждого, вида работ, а также машинное время каждой ЭВМ лимитированы; целевая функция должна выражаться через величины Cjj, представляющие собой стоимость выполнения работы i-ro вида на ЭВМ ;-го типа. Можно ли задачу фирмы «Цветметалл» анализировать таким же образом, как и задачу фирмы «Бонбон»? Одинакова ли в этих задачах роль неопределенности? Что думает по этому поводу читатель? Как на первый, так и на второй вопрос следует дать отрицательный ответ. Попытаемся это аргументировать. В примере с фирмой «Бонбон» получаемая прибыль однозначно выражается через среднегодовые показатели, так как доля рынка, контролируемого этой фирмой, является той основой, которая определяет производственную деятельность фирмы в течение года. В случае фирмы «Цветметалл» метод усреднения (на некотором большом интервале времени, например равном одному году) исказил бы саму суть проблемы «перегрузок», так как последние обусловлены неравномерностью (во времени) поступления заявок на различные виды вычислительных работ или, другими словами, неравномерным временным распределением потребностей в машинном времени. Совершенно очевидно, что и при существующей структуре электронно-вычислительного комплекса все виды работ в конечном итоге оказываются выполненными — дополнительные вычислительные мощности требуются для того, чтобы сократить задержки в выполнении «заказов», обусловленные неравномерностью их поступления. Таким образом, математическая модель будет в данной ситуации полезной лишь в том случае, если в ней будет отражено влияние случайных событий в самом процессе функционирования исследуемой системы. Другими словами, метод анализа рассматриваемой проблемы должен учитывать текущие события с тем, чтобы обеспечить оценку среднего числа заказов, выполняемых в течение года с существенными задержками. Читателю, видимо, интересно было бы знать, можно ли для задачи фирмы «Цветметалл» построить такую модель, в которой использовались бы усредненные (за год) данные и одновременно учитывалось бы влияние «текущей» неопределенности. Не исключено, что это возможно. Однако модель такого типа, по-видимому, была бы неудобной для практического использования. Перегрузки ЭВМ можно было бы учесть с помощью «специального» приема путем введения фиктивного дополнительного времени на выполнение работы й ) То есть величины, показывающие, сколько раз за единицу времени; (например, в течение года) работу г-го типа выполняли на ЭВМ /-го типа.— Прим. перев.
10
ГЛАВА 16
i-ro вида на ЭВМ ;'-го типа. Такой прием в сочетании с анализом модели на чувствительность мог бы быть достаточно эффективным, если бы в задаче фигурировало лишь весьма небольшое число видов работ и типов ЭВМ. Однако, знакомясь с последующими главами, , читатель убедится, что существуют другого класса модели, именуемые стохастическими (или вероятностными), которые в значительно большей степени приспособлены для анализа задач, связанных с оптимизацией так называемой пропускной способности. В этих моделях используются данные предыдущих наблюдений (или измерений), позволяющие описать вероятностный характер поступления «заявок» на обслуживание и, следовательно, заострить внимание на элементах неопределенности, свойственных задачам такого типа. Что касается методов нахождения (численных) решений для стохастических моделей, то их детальное обсуждение было бы пока преждевременным и практически невозможным. Они составят предмет особого рассмотрения в последующих разделах книги. Пока же достаточно отметить, что в зависимости от математической структуры модели для получения численных решений задач стохастического характера могут использоваться алгоритмы линейного или нелинейного программирования, методы динамического программирования, а в тех случаях, когда ни один из перечисленных способов не приводит к успеху, возможно применение так называемого имитационного моделирования (гл. 21). Таким образом, по мере ознакомления с материалом, содержащимся в данном томе, читатель сможет убедиться в том, что вычислительные методы, развитые в предыдущих томах, оказываются также эффективными и при решении многих стохастических задач. Кроме того, ниже будет изложен ряд специальных методов и приемов решения задач, содержащих элементы неопределенности. Предварительные замечания относительно вероятностных моделей. В рассмотренных выше примерах обсуждались два различных способа учета неопределенности при решении задач организационного управления: 1) с помощью анализа на чувствительность решения, полученного для детерминированной модели, и 2) путем построения модели, содержащей фактор неопределенности в явном виде. Основным предметом обсуждения в данном томе является методология учета и анализа вероятностных характеристик в оптимизационных моделях. При этом любая неопределенность будет рассматриваться нами как совокупность неполных предсказаний, характеризуемая некоторым распределением вероятностей различных возможных событий (или исходов). Во многих случаях построенные таким образом модели будут представлять собой лишь в определенной степени усложненные варианты детерминистических моделей, решения для которых могут быть найдены уже известными нам методами. Однако это имеет место далеко не всегда. В ряде случаев для получения решения достаточно лишь подставить математическое ожидание той или иной величины в детерминистическую модель; однако гораздо
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Ц
чаще для получения численных решений нам придется (если это не будет сопряжено со слишком большими трудностями) искать соответствующую оптимальную стратегию. Если же нахождение оптимальной стратегии окажется слишком затруднительным, мы будем вынуждены использовать в процессе вычислений произвольные (принятые на основании здравого смысла) предположения относительно характера и «поведения» неопределенности. В любом случае по сравнению с детерминистическими моделями использовать вероятностные модели значительно сложнее. Во-первых, возникают трудности концептуального характера (например, связанные с интерпретацией самого понятия «вероятность» и с определением критерия оптимальности; см. разд. 16.2). Во-вторых, появляются дополнительные трудности технического порядка, обусловленные особенностями математического аппарата, используемого при решении стохастических задач оптимизации. Так, например, даже в том случае, когда стохастическая модель является простым обобщением ее детерминистического аналога, объем вычислительных процедур возрастает, поскольку приходится рассматривать каждое возможное событие вместо одной-единственной оценки. Кроме того, в стохастических моделях критериальные функции г), как правило, являются нелинейными, и, следовательно, задача оптимизации носит более сложный характер. В-третьих, для нахождения распределения вероятностей требуется большое число исходных данных. Например, руководитель фирмы может заметить флуктуации цен на продукцию конкурирующей фирмы, однако далеко не всегда ему удается сформулировать соответствующий закон распределения вероятностей. Таким образом, абстрагируясь от мотивов чисто познавательного плана, можно утверждать, что интерес к стохастическим явлениям был бы весьма ограниченным, если бы его не стимулировала практическая необходимость решения конкретных задач организационного управления. Еще раз об искусстве выбора модели. Мы снова возвращаемся к вопросу: каким образом при решении конкретной практической задачи организационного управления производится выбор подходящей для этого случая математической модели? К сожалению, нет такого учебника, который содержал бы непогрешимые рецепты, позволяющие сделать этот выбор совершенно безошибочным. Операционист вынужден полагаться на опыт, здравый смысл и непрерывный анализ реальных ситуаций. Выполняя конкретное исследование, операционист (так же как и руководитель) обычно имеет возможность получить квалифицированную консультацию или мудрый совет со стороны. В этом можно видеть некоторое утешение. Однако если принимать управляющее решение предстоит вам, то и ответственность за это решение (каковы бы ни были его последствия) придется нести именно вам, а не вашим To есть критерии эффективности, или целевые функции.— Прим. перев.
12
ГЛАВА 16
советчикам. Следовательно, работая над освоением излагаемых здесь методов эффективного использования математического аппарата при решении задач организационного управления, читатель не должен забывать о том, что это не избавляет его от необходимости развивать в себе творческие способности и профессиональную интуицию. Чтобы помочь читателю справиться с этой задачей, мы подобрали для данного тома значительное число примеров, представляющих собой стохастические аналоги моделей, рассмотренных в предыдущих томах. Необходимо развить в себе умение видеть влияние неопределенности на постановку организационно-управленческой задачи через призму модели. Тогда, столкнувшись с практической задачей принятия управляющего решения в условиях неопределенности,, читатель сможет более уверенно определить те существенные моменты, которые необходимо отразить в математической модели, и, следовательно, найти ключ к решению проблемы. Некоторые методические указания. В оставшейся части этой главы, а также в двух последующих главах показано, каким образом можно обобщить многие из задач, рассмотренные в предыдущих томах, с тем чтобы учесть в них элементы случайности. Одновременно сформулирован ряд общих положений (теорем) об оптимальных решениях для стохастических моделей. Наконец, продемонстрирована применимость уже известных читателю методов (в частности, линейного и динамического программирования) для нахождения в случае такого рода моделей соответствующих численных решений. Таким образом, три первых главы этого тома свяжут весь последующий материал с содержанием двух предыдущих томов. Важно вместе с тем иметь в виду, что многие из моделей, рассмотренные в первых трех главах настоящего тома, носят слишком общий характер. В них явно недостаточно представлена «тонкая» структура и нечетко определена форма представления оптимального решения. Поэтому глубинное содержание понятия «оптимальное решение» здесь раскрывается далеко не в полной мере, а модели трудно поддаются количественному анализу. Однако в последующих главах читатель найдет хорошо структурированные модели, позволяющие разобраться в подробностях метода стохастического программирования. Один исключительно важный класс вероятностных моделей связан с задачей управления запасами в условиях, когда спрос на продукцию заранее не известен. Несколько моделей этого класса, а также ряд наиболее эффективных методов их анализа рассмотрены в гл. 19 и приложении II. Другой, имеющий широкое применение класс стохастических моделей ориентирован на решение так называемых задач массового обслуживания. Именно к такой категории можно отнести рассмотренную выше задачу обновления электронно-вычислительного комплекса фирмы «Цветметалл». Если условия образования и обслуживания очереди не слишком сложны, рабочие характеристики системы (такие, как средняя длина очереди, среднее
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
13
время ожидания и вероятность наступления событий, когда очередь полностью отсутствует) могут быть найдены с помощью аналитических методов, изложение которых содержится в гл. 20 и приложении III. Результаты, обсуждению которых посвящены указанные разделы тома, позволяют, кроме того, оценить в целом возможности стохастического программирования при решении задач минимизации задержек, связанных с ожиданием обслуживания. Процессы образования очередей в условиях вероятностного характера потока заявок бывают иногда настолько сложными, что их анализ стандартными математическими методами оказывается затруднительным; для исследования такого рода процессов нередко приходится применять имитационное моделирование с помощью ЭВМ. Основы имитационного моделирования на ЭВМ, а также ряд конкретных приемов построения имитационных моделей излагаются в гл. 21. При изучении каждой из приведенных ниже стохастических моделей полезно заострить внимание на следующих вопросах: 1. Какова оптимальная стратегия детерминистического аналога рассматриваемой модели? 2. Какой объем информации о распределении вероятностей необходим для определения оптимального решения? Рассмотрение первого вопроса позволяет лучше понять роль неопределенности в каждом конкретном случае. В некоторых примерах детерминистические варианты моделей имеют тривиальные решения и, следовательно, читателю удастся прочувствовать, в какой степени наличие элемента неопределенности усложняет задачу принятия управляющих решений. Нахождение оптимального решения детерминистического варианта задачи проще по сравнению со случаем ее стохастического аналога, а также тогда, когда детерминированная модель нетривиальна, и, таким образом, читатель сможет оценить ту дополнительную сложность, которая возникает при учете фактора неопределенности. Важность второго вопроса станет совершенно очевидной, когда читатель приступит к изучению так называемого метода вероятностных ограничений (см., например, разд. 16.5), в котором для нахождения оптимальной стратегии требуются лишь квантили распределений вероятностей. Добросовестно пытаясь ответить на поставленные выше вопросы при рассмотрении каждой из сформулированных ниже задач, читатель сможет более детально разобраться в основах стохастического моделирования. 16.2.
НА ПУТИ К ОПТИМАЛЬНОМУ РЕШЕНИЮ
Прежде чем приступать к подробному обсуждению конкретных моделей и примеров, следует сказать несколько слов о характере той дополнительной сложности, которая возникает всякий раз, когда пытаются найти оптимальное решение в условиях неопределенности. Мы будем исходить из предположения, что читатель полностью овладел приемами построения детерминистических моделей,
14
ГЛАВА 16
а также соответствующими методами оптимизации. В частности, читателю должно быть ясно, что в случае задач линейного и динамического программирования, рассмотрению которых посвящены два предыдущих тома, как само решение, так и последствия принятия этого решения определяются совершенно однозначно. Так, например, в детерминистической задаче планирования производства заведомоизвестно, какое добавочное количество продукции будет получено, если переработать 10 дополнительных единиц сырья. Аналогично детерминистическая модель управления запасами содержит очевидное предположение, согласно которому, зная объемы закупок в течение нескольких ближайших отрезков времени, можно точно вычислить уровни запасов на протяжении всего планового периода. Но представим себе другую ситуацию: пусть при переработке 10 дополнительных единиц сырья можно получить различные объемы разнотипной продукции или предположим, что в задаче управления запасами объемы складируемой продукции зависят от фактического уровня сбыта. Другими словами, рассмотрим ситуацию, когда приходится принимать решение или определять стратегию, не имея полного представления о том, к каким результатам могут привести запланированные действия. Всякий раз, когда выбор осуществляется в условиях неопределенности, прежде всего следует уяснить, какой смысл вкладывается в понятие оптимальное решение. В настоящем разделе этот вопрос обсуждается во всех подробностях. В то же время, если требуется принять немедленно лишь некоторые из всей совокупности решений, а другие решения можно отложить до того "момента, когда неопределенность частично исчезнет, возникает необходимость проанализировать возможность построения условного плана, или стратегии. Обращаясь вновь к задаче управления запасами, можно конкретизировать эту мысль следующим образом: вначале определяется объем закупок на текущий (первый) период, а для последующих периодов разрабатывается своего рода инструкция, позволяющая определить объемы заказов в зависимости от уровней спроса, наблюдаемых в течение предыдущих периодов. Таким образом, трудно, а порой даже невозможно утверждать, какими должны быть объемы закупок после первого периода, но существуют четкие альтернативы, определяемые в момент принятия будущих решений данными ретроспективного анализа. Понятие «стратегия принятия управляющих решений» подробнее будет обсуждаться в следующем разделе. Математическое ожидание случайных величин. Если бы читателю приходилось применять на практике методы моделирования, рассматриваемые в предыдущих томах, он согласился бы с утверждением, что использование единственной целевой функции, подлежащей оптимизации, продиктовано лишь удобством выбора в этом случае какого-то одного управляющего решения из огромного числа допустимых вариантов. Руководители, имеющие опыт практического
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
15
применения методов исследования операций, хорошо знают, что получаемое с помощью математической модели решение редко является оптимальным «абсолютно со всех точек зрения». Фактически почти всегда получаемое решение корректируют «вручную», с тем чтобы окончательно согласовать его с действительностью. В ряде же случаев производят изменения в структуре модели и ищут новое «оптимальное» решение. При решении задач оптимизации управляющих решений в условиях неопределенности мы будем поступать аналогичным образом, строя модели, содержащие единственную (подлежащую оптимизации) целевую функцию. Однако с самого начала следует предупредить читателя о том, что при решении практических задач ему необходимо будет исследовать различные рабочие характеристики решения, получаемого на основе единственного критерия оптимизации. Это решение, если необходимо, корректируется на основе дополнительных соображений, или же модифицируется сама модель, с тем чтобы получаемый с ее помощью результат приобрел практическую ценность и был успешно внедрен заинтересованной организацией. В большинстве моделей, к рассмотрению которых мы переходим, фактор неопределенности сказывается на значениях выбранного (или заданного) экономического критерия эффективности. Поэтому именно математическое ожидание (которое называется также средним или ожидаемым значением) экономического критерия будет постоянно использоваться нами в качестве оптимизируемой целевой функции. В последнее время специалистами по теории принятия решений разработано несколько методов обоснования того, что при поиске оптимального варианта действий следует исходить именно из среднего значения упомянутого критерия. Доказательства этого положения можно найти в современных монографиях, посвященных вопросам статистического анализа. Но как бы ни были эти доказательства увлекательными, мы не останавливаемся на них в данной книге, поскольку независимо от того, нашел бы их читатель убедительными или нет, при решении задач оптимизации управляющих решений мы все равно будем использовать математическое ожидание экономического критерия в качестве целевой функции стохастической модели. (Вместе с тем мы частично компенсируем отсутствие последовательного теоретического анализа этого вопроса путем детального рассмотрения конкретных операционных ситуаций.) За редким исключением, нами используются лишь элементарные понятия теории вероятностей, такие, как математическое ожидание и функция распределения. Нередко мы пользуемся дискретными распределениями вероятностей, так что читателю в процессе вычислений не понадобится обращаться к дифференциальному и интегральному исчислению. В ряде случаев приводятся лишь окончательные результаты вычислений, основанные на применении дифференциального и интегрального исчислений; несмотря на то что формулы иногда выглядят весьма сложными, при задании численных
16
ГЛАВА 16
значений фигурирующих в модели параметров у читателя в процессе вычислений не должно возникать никаких трудностей. Следует вместе с тем заметить, что даже те читатели, которые прослушали (или изучили самостоятельно) полный курс теории вероятностей, могут с некоторыми из математических соотношений встретиться впервые и поэтому найдут их несколько необычными. Это объясняется тем, что в большинстве учебников по теории вероятностей вопросы оптимизации управляющих решений не рассматриваются. По этой причине средние значения и дисперсия некоторых случайных величин могут показаться читателю весьма сложными для восприятия. Нахождение встречающихся в данном томе математических ожиданий различного рода величин, вообще говоря, ненамного сложнее вычисления средних для заданных распределений. Для подтверждения этого замечания дадим краткий обзор основных понятий, которые будут использоваться нами при анализе приводимых ниже примеров. Пусть X есть случайная величина, которая может принимать одно из значений п = О, 1, 2, . . ., N. Обозначим через Р [X = п] вероятность того, что X принимает значение п. Тогда математическое ожидание случайной величины X определяется следующей формулой: N
Е[Х] = 2 п-Р[Х = п] п=0
(ожидаемое значение X).
(1)
Если переменная X может с некоторой положительной вероятностью принимать любое неотрицательное целочисленное значение, в выражении (1) вместо N должен фигурировать символ сю; при этом (как и в других случаях, когда производится суммирование бесконечной последовательности значений) постулируется, что математическое ожидание всегда представляет собой конечное число. Предположим теперь, что нам требуется вычислить математическое ожидание X2. В этом случае 2
Е[Х \^
N
S п*-Р(Х-=п}
п=0
2
(ожидаемое значение X ).
(2)
Рассмотрим наиболее общий случай. Пусть требуется вычислить математическое ожидание некоторой функции случайной переменной (обозначим эту функцию через / (X)). Тогда ft E [ f ( X ) ] = S f ( n ) - P [ X = n] (ожидаемое значение /(X)). (3) n=0
Приведем пример, когда выражение (3) применяется для анализа задачи, критериальная (целевая) функция которой имеет экономическое содержание. Рассмотрим простой, но весьма типичный экономический критерий — ожидаемые затраты, связанные с хранением складских запасов в течение планового периода единичной протя-
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
17
ценности. Обозначим через D случайную величину, представляющую собой объем потребительского спроса за единичный период. Пусть D может принимать значения d = О, 1, 2, . . ., N; соответствующие вероятности обозначим через Р [D = d]. Предположим, что приобретается у единиц продукции, которая складируется с целью обеспечения резерва, служащего для удовлетворения потребительского спроса. Пусть стоимость единицы продукции равняется с долл. Если часть запасов окажется в конце рассматриваемого периода нереализованной, то это вызовет издержки, связанные с хранением; затраты на хранение единицы продукции в течение одного периода обозначим через h. (Допустим, что нереализованная в конце планового периода продукция полностью обесценивается.) В случае же, когда спрос D превышает объем заказа у, то за каждую недостающую единицу продукции взимается штраф в размере р. Таким образом, суммарные затраты в течение одного периода зависят не только от объема заказа, но и от фактического уровня спроса. Поскольку объем заказа у должен определяться в условиях, когда спрос точно не известен, «потенциальный результат» управляющего решения вполне правомерно выразить через математическое ожидание суммарных затрат. Обозначим через / (d у) суммарные затраты в случае, когда D = d, а объем заказа равен у. Тогда
f(d\y) =
cy-\-h-(y — d),
если d^y
cy^-p-(d — у),
если d>y
(объем заказа превышает уровень спроса),
(уровень спроса превышает объем заказа). (4) Следовательно, ожидаемые затраты при условии, если объем заказа у ограничен некоторым значением N (у ^ N), определяются следующими выражениями: N
E[f(D\y)]=^f(d\y).P[D d=0
E[f(D\y)]
=
(5)
= d],
f ( d \ y ) . P [ D = d}+ 2
d=y+l
f ( d \ y ) . P [ D = d] (если y