Основы векторного и тензорного анализа: Методические указания для студентов физического факультета к решению задач по курсу. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р.В. ВЕДРИНСКИЙ, А.А. НОВАКОВИЧ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для студентов физического факультета к решению задач по курсу ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА Часть 1

Ростов-на-Дону 2006

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ Р.В. Ведринским, и кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики РГУ А.А. Новаковичем. Ответственный редактор

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Саченко.

Компьютерный набор и верстка

студентка Н.В. Коновалова.

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и вычислительной физики физического факультета РГУ, протокол № 15 от 14 февраля 2006 г.

2

СОДЕРЖАНИЕ: 1. Элементы векторной алгебры …………………………………………стр. 4 2. Градиент скалярного поля ……………………………………………..стр. 9 3. Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского- Гаусса …стр.12 4. Ротор векторного поля и теорема Стокса …………………………….стр.17 5. Комбинированные задачи векторного анализа ………………………стр.22 6. Задачи на использование метода оператора набла …………………..стр.24 Литература ………………………………………………………………стр.29

3

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Большинство

физических

величин

являются

скалярными

или

векторными, причем физической величиной является сам вектор, а не его компоненты, зависящие от выбора системы координат. Скаляр – однокомпонентная величина f, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т.д.

r Вектор – трехкомпонентная величина a , компоненты (проекции) которой преобразуются при поворотах системы координат как декартовы координаты точки, например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д. Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x1, x2, x3), направленные так, что направление оси z (x3) определяется направлениями осей x, y (x1, x2) по правилу правого винта. r r r r r r Единичные орты – три единичных вектора e x , e y , e z ( e1 , e2 , e3 ),

направленные по соответствующим координатным осям. (В математической r r r литературе их чаще обозначают i , j , k .) r r Линейная комбинация векторов - αa + β b , где α, β - вещественные числа.

ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

rr r r r r векторов ab ≡ a ⋅ b ≡ (a , b ) r r r r r r следующими свойствами: 1. a ⋅ b = b ⋅ a , 2. a ⋅ a ≥ 0 , r r r r r r r 3. a ⋅ (αb1 + βb2 ) = αa ⋅ b1 + β a ⋅ b2 . r r r r Скалярное произведение a ⋅ b двух векторов a и b равно Скалярное

произведение

r r r r a ⋅ b = a ⋅ b cos θ 4

-

скаляр,

со

или

r r a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3

r r r r r r где a и b – длины векторов a и b , θ - угол между векторами a и b , a1 , a 2

r и a3 - проекции a вектора на оси x, y и z (1, 2 и 3).

r r r r a = a1e1 + a 2 e2 + a3 e3 r r rr r r векторов a × b ≡ [ab ] ≡ [a × b ] - вектор, со r rr r r rr rr rr следующими свойствами: 1. [ab ] = −[b a ] , 2. [a (αb1 + βb2 )] = α[ab1 ] + β[ab2 ] , r rr r r r r rr [e1e2 ] = e3 , [e2 e3 ] = e1 , [e3e1 ] = e2 . Модуль векторного произведения – это

Векторное

произведение

площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, равная:

rr r r [ a b ] = a ⋅ b sin θ Компоненты векторного произведения вычисляются по следующей формуле, которая легко получается из приведенных выше свойств этого произведения: r r r e1 e2 e3

rr [ a b ] = a1 a2 a3 = b1

r

b2

b3

r

r

= e1 (a 2 b3 − a3b2 ) + e2 (a3b1 − a1b3 ) + e3 (a1b2 − a 2 b1 ) r rr Двойное векторное произведение [a [b c ]] вычисляется по формуле «бац минус цаб»:

r rr r r r r rr [a [b c ]] = b (ac ) − c (ab ) r rr Смешанное произведение векторов: (a ,[b c ]) - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей: r rr r rr r rr r rr r rr r rr a , b c = b , [c a ] = c , ab = − a , c b = − b , [ac ] = − c , b a

( [ ]) (

) ( [ ]) ( [ ]) ( 5

) ( [ ])

Если

хотя

бы

два

вектора- сомножителя коллинеарны, смешанное

произведение равно 0. СПФ вычисляется по формуле:

a1 r r r a , b c = b1

a2

a3

b2

b3 = ± V

c1

c2

c3

( [ ])

r где V –объем параллелепипеда, построенного на векторах a ,

r r b и c , знак “+”

- в случае, когда тройка векторов правая, а знак “-” - в случае, когда тройка векторов левая.

r

плоскости, перпендикулярной вектору H (a, b, c ) r проходящей через точку r0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в векторной форме имеет вид Уравнение

и

((rr − rr0 ), H ) = 0 r

или в компонентах:

a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0

r

Уравнение прямой, параллельной вектору H (a, b, c ) и проходящей через r точку r0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) имеет вид:

r r r r = r0 + αH , где α - любое вещественное число. Учитывая, что величина α одна и та же для всех координатных осей, получаем, что уравнение прямой, записанное в компонентах, имеет вид:

x − x0 y − y 0 z − z = = a b c

6

Задачи r r 1.1 Выразить косинус угла между векторами a и b через направляющие косинусы этих векторов (направляющие косинусы- косинусы углов между вектором и осями координат). 1.2 Дан тетраэдр ABCD, где, например, A(0,1,1), B(1,2,3), C(3,1,0), D(2,1,3). Найти:

r 1.2.1 Координаты вектора A B ; 1.2.2 Длину стороны AB;

r r 1.2.3 угол между векторами A B и A C ; 1.2.4 Площадь грани ABC; 1.2.5 Вектор нормали к грани ABC; 1.2.6 Угол между гранями ABC и ABD; 1.2.7 Объем тетраэдра ABCD; 1.2.8

Уравнение

плоскости,

параллельной

плоскости

ABC

и

проходящей через точку D; 1.2.9 Уравнение прямой, параллельной прямой AB и проходящей через точку C; 1.2.10 Расстояние от точки D до плоскости ABC; 1.2.11 Расстояние от точки C до прямой AB; 1.2.12 Координату точки O, где O- проекция точки D на плоскость ABC; 1.2.13 Координату точки P, где P- проекция точки C на прямую AB; 1.3 Найти проекции скорости и ускорения точки, а также угол между скоростью и ускорением в заданный момент времени, если координаты x и y заданы, условиями: 1.3.1 x = sin(t2), y = cos(t2), t = 1; 1.3.2 x = sin(t)-cos(2t), y = cos(t2), t = 1; 1.3.3 x = sin2(t), y = cos(t), t = 2. 7

1.4 Найти координаты центра масс системы трех частиц с массами m1, m2 и m3, расположенных в точках A1, A2 и A3: 1.4.1 m1 = 2, m2 = 4, m3 = 3, A1 (0,0,2), A2 (1,1,0), A3 (0,1,1); 1.4.2 m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2, A1 (1,0,1), A2 (0,2,3), A3 (1,1,1); 1.4.3 m1 = 3, m2 = 4, m3 = 1, A1 (2,0,0), A2 (1,2,1), A3 (-1,1,1); 1.4.4 m1 = 3, m2 = 1, m3 = 2, A1 (-1,0,1), A2 (2,3,0), A3 (1,0,2). 1.5 Упростить выражения:

[[r r ] r v ] r r r r 1.5.2 [[a , b ], [c , a ]]; r r r r 1.5.3 ([a , b ], [a , c ]); r r r r 1.5.4 ([a , b ], [c , a ]). 1.5.1 a , b , [a , c ] ;

1.6

Доказать справедливость тождества: r r r r r r r r r a , b ⋅ [a , c ], b , c = a ⋅ b , c

([ ] [

[ ]]) ( [ ])2

1.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A и r перпендикулярной вектору H , и уравнение прямой, проходящей r через точку A и параллельной вектору H :

r 1.7.1 A(1,2,-3, ), H (5,7,-6); r 1.7.2 A(-2,0,1, ), H (-1,2,4); r 1.7.3 A(1,2,-1, ), H (0,1,-1).

1.8 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах: r r r r r r r r r − a + b + c, a − b + c, a + b − c .

8

2. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ r r Если в каждой точке r пространства задан скаляр ϕ (r ) - это скалярное поле. r r r Если в каждой точке r пространства задан вектор a (r ) - это векторное поле. r Приращение dϕ скалярного поля при перемещении на вектор dr равно:

r r r ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ r dϕ = ϕ (r + dr ) − ϕ (r ) = dx1 + dx2 + dx3 = gradϕ ⋅ dr . ∂x1 ∂x2 ∂x3 Градиент – это вектор gradϕ ≡ ∇ϕ ≡

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , . r с компонентами ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂r

r r Величина dϕ = gradϕ ⋅ dr = gradϕ ⋅ dr ⋅ cosθ , где θ - угол между векторами r градиент и dr . Отсюда следует, что направление вектора gradϕ - это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении. Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из

которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. В этих точках gradϕ = 0 . r r Силовое поле F (r ) - это векторное поле, значение которого в каждой точке пространства равно силе, действующей на частицу в этой точке. Потенциальное силовое поле – это силовое поле, работа по перемещению

частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом случае r можно ввести скалярное поле потенциальной энергии U (r ) , связанное с r r r силовым полем соотношением: F (r ) = −gradU (r ) . r r Плотность потока тепла q (r ) - количество тепловой энергии, протекающей в единицу

времени

через

единичную

площадку,

ориентированную

перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом температуры 9

соотношением:

r r r q (r ) = − κ ⋅ grad T (r ) , где

r T (r )

-

скалярное

поле

температуры, κ - коэффициент теплопроводности.

Задачи 2.1 Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума, направление наискорейшего роста в заданной точке (x0, y0, z0), а также уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке: 2.1.1 (x2-y2+z); 2.1.2 (x3-3y2z+y2+3z2); 2.1.3 (x2-5x+7y2-y+6z2+3); 2.1.4 (5x3-8y2z+4y2+4z2+6); 2.1.5 (6x4+8xyz2+7x2z+y+6) 2.2 Найти компоненты вектора градиент:

(

r 2.2.1grad(r), где r = r = x 2 + y 2 + z 2

(

r 2.2.2 grad( ρ ), где ρ = ρ = x 2 + y 2

)

)

1/ 2

1/ 2

;

;

1 r

2.2.3 grad ( ); 2.2.4 grad (ln( ρ ));

r r 1 2.2.5 grad ( r r ), где R - постоянный вектор, r = ( x, y , z ) ; r −R r r r r 2.2.6 grad (ln ρ − ρ 0 ), где ρ 0 - постоянный вектор, ρ = ( x, y ,0) ; 2.2.7 grad (f(r)); 2.2.8 grad(f(ρ)); rr r 2.2.9 grad (f( k r )), где k - постоянный вектор; 2.2.10 grad(f(ρ, z)); 10

r r 2.2.11 grad (f( r )g( r )); rr r 2.2.12 grad ( αr ), где α - постоянный вектор; r r r r r 2.2.13 grad ( a ,[ω, r ]) , где a и ω - постоянные векторы;

2.2.14 grad (exp(-αr)); 2.2.15 grad (exp(- αr 2 )); 2.2.16 grad (exp(-αρ)); 2.2.17 grad (exp(- αρ 2 )); rr 2.2.18 grad (sin( k r )); rr 2.2.19 grad (sin( k ρ )). rr e − cr , gradsin(k r ) r rr rr 2.2.21 grad ([ar ], [b r ]) rr ⎛ dr ⎞ r 2.2.22 grad⎜⎜ 3 ⎟⎟, d = const ⎝r ⎠ rr rr 2.2.23 grad (ar )(b r )

2.2.20 grad

(

)

2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку r А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции exp (-r2), r=| r |.

2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции (x2+y2-3z) в точке А(-1, 2, -1). 2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций r (x2+2y2-z2) и r=| r | в точке А(-1, 1, 1). 2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y2-z). 2.3.5.. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного r r r r значения функции r − a в этой точке. r - радиус-вектор, a постоянный вектор с координатами (1, 2, 0). 11

3.ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО- ГАУССА

r r r Вектор площадки ∆ S ≡ ∆ f ≡ n ∆ S направлен перпендикулярно площадке и r равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали n , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

r r r r Поток ∆Φ векторного поля a (r ) через площадку ∆ S в точке r равен r r r r r r ∆Φ = a (r ) ⋅ ∆ S = a (r ) ⋅ n∆S . r r Поток Φ векторного поля a (r ) через поверхность S равен сумме потоков r этого поля через все площадки ∆ S i , на которые разбита поверхность S. При ∆ Si → 0

сумма превращается в интеграл по поверхности r r r r r r r r Φ = ∑ a (ri )∆S i = ∫ a (r )dS , где ri - средняя точка на площадке ∆ S i . i

S:

S

r r Поток ΦS векторного поля a (r ) через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков ∆Φ m через поверхности дифференциально малых объемов ∆ Vm , на которые можно разбить замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: Φ S = ∑ ∆Φ m . Чтобы последняя сумма была m

интегральной (и для нее существовал предел при m→∝), необходимо, чтобы потоки ∆Φ m были пропорциональны соответствующим объемам ∆ Vm . r r r Дивергенция векторного поля a (r ) в точке rm - это скаляр, равный:

∆Φ m r r r diva (rm ) = , где rm - средняя точка в объеме ∆ Vm . Отсюда следует, что в ∆ Vm пределе при ∆ Vm → 0 сумма по m становится интегралом по объему V: 12

r r r r Φ S = ∑ ∆Φ m = ∑ div a (rm )∆Vm ⇒ ∫ div a (r ) dV . Представляя этот поток в виде m

m

V

r r r интеграла Φ S = ∫ a (r )dS по поверхности S, ограничивающей объем V, мы S

r r r r r приходим к теореме Гаусса: ∫ a (r )dS = ∫ div a (r )dV . S

V

Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными 3 ∂a r r r ∂ a1 ∂ a 2 ∂ a3 + его компонент: div a (r ) ≡ ∇a = + ≡∑ α. ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 α =1 ∂ xα

Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных

производных, связывающее скорость изменения плотности ρ жидкости в r r каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости v (r ) жидкости в этой же точке:

∂ρ r = −div(ρv) . Уравнение непрерывности ∂t

выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса. Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме -

дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда ρ в каждой точке и дивергенцию r r r ∂ρ плотности электрического тока j (r ) в этой же точке: = −div j . Выводится ∂t из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

13

Уравнение

теплопроводности

– дифференциальное

уравнение

для

температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде r ∂ T (r ) r = adiv grad T (r ) , где a – коэффициент УТ имеет вид: ∂t температуропроводности.

Задачи 3.1 Найти: 3.1.1 div( x 3 − 2 xy 2 ;2 x 4 z + y 2 ;2 z 3 x 2 y exp( x)) ; 3.1.2 div( x exp( x 2 ) + cos y ⋅ sin x; sin( zy ); cos( zy ) exp( zx)) ; 3.1.3 div( xy 2 sin( zx); cos( xy 2 z ) ln( z ); ln( yz ) exp( x − 2 y )) ; 3.1.4 div( x 4 + 5 xy 2 z − exp( x); ln( y ) z 2 − 7 y; sin( 25 xyz 2 )) ; r 3.1.5 div(r ) ; r 3.1.6 div(ρ) ; 1 3.1.7 div( grad ( )) ; r

3.1.8 div( grad (ln(ρ))) ; r 3.1.9 div( f (r )r ) ; r 3.1.10 div( f (ρ)ρ) ; r v r 3.1.11 div[ω, r ] , где ω - постоянный вектор; r r r r r 3.1.12 div[α, [ω, r ]] , где α и ω - постоянные вектора; r r r r r 3.1.13 div(α, (ω, r )) , где α и ω - постоянные вектора; r r 3.1.14 div( grad ( f (r ) g (r ))) ; 14

r r r 3.1.15 div( f (r ) A(r )) ; r r r 3.1.16 div( f (r )[α, r ]) , где α - постоянный вектор; r r r 3.1.17 div ( f (ρ)[α, ρ]) , где α - постоянный вектор; r rr 3.1.18 div [a [b r ]] r 3.1.19 div zr rr 3.1.20 div(r [ar ]) rr [ar ] 3.1.21 div r r r r − R0 r r r r 3.1.22 div r r , R0 , d = const , r ( x, y, z ), r =| r | | r − R0 | rr r ⎛ (dr ) r ⎞ 3.1.23 div⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ r ⎠ r 3.2 Найти поток поля A( x + 1;2 z − y + 2;3x − z + 1) через поверхность S , где поверхность S имеет вид: 3.2.1 S - единичный квадрат, расположенный в плоскости xOy (стороны r квадрата параллельны осям x и y ), положительная нормаль n (0,0,1) . 3.2.2 S - окружность радиуса R с центром в начале координат, r расположенная в плоскости xOy , положительная нормаль n (0,0,1) . r r 3.2.3 Найти поток поля a (r )( x − z , y + 2 x − z , x + y ) через поверхность сферы радиуса r с центром в начале координат. 3.3 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для единичного кубика,

r

r

ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля A , где A : 3.3.1 (x-y; z+y-x; 2z); 3.3.2 (2x-z; y+z-x; 2x+y-z). 3.4 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для единичного кубика,

r ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля A , где 15

r A:

3.4.1 ( x 2 − 2 yz + 1;2 xy + y 2 + 2;2 yz + 1) ; 3.4.2 ( x − y − z 2 − 1;2 zy + y 2 − 4;2 y 2 z 2 + x + 2) ; 3.4.3 ( x 2 + y 2 − z; xyz + 5; xy 2 + 1) ; 3.4.4 (2 xy − 3;2 z 2 + 1; x − zy 2 + 1) . 3.5 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для сферы радиуса R с r

r

центром в начале координат и поля A , где A : r r 3.5.1 A = r ; r r 3.5.2 A = rr ; r r 3.5.3 A = r 2 r ; r r 3.5.4 A = r 3 r ; r r 3.5.5 A = r r . 3.6 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

r лежит в плоскости xOy), и поля A : r r 3.6.1 A = ρ ; r r 3.6.2 A = ρρ ; r r 3.6.3 A = ρ 2ρ ; r r 3.6.4 A = ρ3ρ ; r r 3.6.5 A = ρ / ρ 3.7 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

r

лежит в плоскости xOy), и поля A : r r 3.7.1 A = r ; 16

r r 3.7.2 A = ρr ; r r 3.7.3 A = ρ 2 r ; r r 3.7.4 A = ρ3 r ; r r 3.7.5 A = r ρ . 3.8 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для сферы радиуса R с

r A центром в начале координат и поля : r r 3.8.1 A = r r 3 ; r r 3.8.2 A = f (r )r . 3.9 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

r

лежит в плоскости xOy), и поля A : r r 3.9.1 A = ρ ρ 2 ; r r 3.9.2 A = f (ρ)ρ . 3.10 Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание

r

лежит в плоскости xOy), и поля A : r r 3.10.1 A = r ρ 2 ; r r 3.10.2 A = f (ρ)r .

4. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ТЕОРЕМА СТОКСА

r r Циркуляция AL векторного поля a (r ) по замкнутому контуру L - скалярная r величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков ∆ rn , на r r которые разбит конур L, и векторов a (r ) в средних точках этих участков:

17

r r r r AL = ∑ a (rn )∆rn . При ∆ rn → 0 сумма переходит в интеграл по контуру L: n

r r r AL = ∫ a (r )dr . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода L

контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы r циркуляций по границам Lk малых площадок ∆ S k , на которые разбита r поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов ∆ S k согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и Lk, для которых вычисляются циркуляции: AL = ∑ ∆ALk . Чтобы записанная сумма k

была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны ∆S k . Это возможно, если существует векторное поле, r r r r r r r называемое ротором rot a (r ) поля a (r ) такое, что ∆ALk = rot a (rk ) ⋅ ∆S k . При ∆ S k → 0 циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: r r r AL = ∫ rot a (r ) dS . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде S

интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой r r r r r r Стокса: AL = ∫ a (r )dr = ∫ rot a (r )dS . Положительное направление нормали для L

S

поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта. Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент r r r e1 e2 e3

∂ r r поля соотношением: rot a (r ) = ∂ x1 a1

∂ ∂ x2 a2

∂ . Определитель, стоящий в ∂ x3 a3

правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов: 18

∂a ∂a r ∂a r ∂a ∂a r ∂a r r rot a (r ) = = e1 ( 3 − 2 ) + e2 ( 1 − 3 ) + e3 ( 2 − 1 ) ∂x 2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, r заданного на плоскости (x,y): a ( x, y, z )( P ( x, y ), Q( x, y ),0) и замкнутого контура

L,

заданного

на

плоскости

(x,y).

Тогда:

r r r AL = ∫ a (r )dr = ∫ Pdx + Qdy , L

L

r r r ∂Q ∂ P rot a (r )(0,0, ( − )) и dS (0,0, dxdy ) . Тогда из теоремы Стокса следует ∂x ∂y формула Грина: AL = ∫ Pdx + Qdy = ∫ ( L

S

∂Q ∂ P − )dxdy . ∂x ∂ y

Задачи 4.1 Найти: 4.1.1 rot ( xy 2 sin( z );2 xyz; ln( xyz )) ; 4.1.2 rot ( xz exp( y ); exp( x 2 ) z cos( y ); ln( z ) exp( xy )) ; 4.1.3 rot ( xy 2 sin( zx); exp( xyz ) ln( xyz ); cos( xy 2 ) z 3 ) ; 4.1.4 rot ( yz exp( x 2 ); cos( xy 2 z ) exp( xyz ); xy 2 sin( z ) ln( y )) ; r 4.1.5 rot (r ) ; r 4.1.6 rot (ρ) ; r 4.1.7 rot ( f (r )r ) ; r 4.1.8 rot ( f (ρ)ρ) ; r r r 4.1.9 rot[ω, r ] , где ω - постоянный вектор; r r r r r 4.1.10 rot[α, [ω, r ]] , где α и ω - постоянные вектора; r r r r r 4.1.11 rot (α, (ω, r )) , где α и ω - постоянные вектора; r 4.1.12 rot ( grad ( f (r ))) ; 19

r r 4.1.13 div(rot ( A(r ))) ; r r r 4.1.14 rot ( f (r ) A(r )) ; r 4.1.15 rot yr ; r rr 4.1.15 rot [a[b r ]] ; r rr 4.1.16 rot (d sin(k r )) ; rr 4.1.17 rot (r [ar ]) ; rr [ar ] 4.1.18 rot ; r r d 4.1.19 rot ; r rr [dr ] 4.1.20 rot 3 ; r rr r ⎛ (dr )r ⎞ 4.1.21 rot⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ r ⎠ r r r r r r r r r r 4.2 Вычислить rot[a , b ] , div[a , b ] , rot (ca ) , div(ca ) , grad (a , b ) , где a , b и

c равны: r r 4.2.1 a ( y; z; x) , b (2 x; y − z;0) , c = 1 r ; r r 4.2.2 a (2 x; z; y ) , b (b1 ; b2 ; b3 ) , c = r 2 ; r r 4.2.3 a ( y;− z; x) , b ( y; x; x) , c = ln(r ) ; r 2 2 2 r 4.2.4 a ( x ; y ; z ) , b ( z;2 x; y ) , c = r 1 2 ; r r 4.2.5 a (a 2 ; a 2 ; a3 ) , b ( y;− y; zx) , c = r . r 4.3 Вычислить выражение, где ω(ω1 ; ω 2 ; ω3 ) = const : r r 4.3.1 rot[ρω, r ] ; r r 4.3.2 rot[ρω, ρ] ; r r 4.3.3 rot[rω, ρ] ; 20

r r 4.3.4 rot[rω, r ] ; r r 4.3.5 rot[ω, ρ] ; r r 4.3.6 rot[ω, r ] ; r r 4.3.7 rot[ρ, r ] . r r 4.4 Найти циркуляцию поля a (r )( x − z , y + 2 x − z , x + y ) по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y,z). 4.5 Проверить теорему Стокса для единичных квадратов в плоскостях

r

xOy , xOz , yOz и поля A : 4.5.1 ( x + y + z; x − z; z + y ) ; 4.5.2 ( x − y; 2 z − x; x + y + 2 z ) .

r

4.6 Проверить теорему Стокса для граней единичного куба и поля A : 2

4.6.1 ( xy + 1; 2 zy + 1; xyz + 2) ; 2 2 4.6.2 ( y + z x − 3; z + x + y + 4; zx − 3) ;

4.6.3 ( xyz + x + 1; 2 xy − z − 2; z + 1) ; 4.6.4 (2 z − 1; 2 y − 3 x + z − 1; xyz + 1) . 4.7 Проверить теорему Стокса для окружности радиуса R с центром в r r rr точке O , лежащей в плоскости xOy , и поля A = [b r ] , где b постоянный вектор.

21

5. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Указание:

при

решении

задач

этого

параграфа

не

использование метода оператора набла. Задачи 5.1 Вычислить div grad f для следующих скалярных полей f: rr r 5.1.1 f = sin(k r ) , k - постоянный вектор; rr r −1 5.1.2 f = r sin(k r ) , k - постоянный вектор; rr r 5.1.3 f = sin(k ρ) , k - постоянный вектор;

rr 2 5.1.4 f = (k r ) , rr 2 5.1.5 f = (k ρ) ,

r k - постоянный вектор; r k - постоянный вектор;

5.1.6 f = 1 r ; 5.1.7 f = ln(ρ) ; 5.1.8 f = exp( −αr ) ; 2

5.1.9 f = exp(−αr ) ; 5.1.10 f = exp( −αρ) ; 2

5.1.11 f = exp(−αρ ) .

r

r

5.2 Вычислить rot rot a для векторных полей a :

r

2

2

2

5.2.1 a ( x ; xy + y ; xz + z ) ;

r

2 2 5.2.2 a ( x + y ; xz; yz) ;

r

2 2 5.2.3 a ( z ; xy; yz + z ) ;

22

предлагается

r

2 2 2 5.2.4 a (2 xz; x + y ; 2 z ) .

5.3 Вычислить rot grad f для следующих скалярных полей f : 5.3.1 f = exp( −αr ) ; 5.3.2 f = ln(ρ) ; 5.3.3 f = 1 r .

r

r

5.4 Вычислить div rot a для векторных полей a : r r r r 5.4.1 a = [ω, r ] , ω - постоянный вектор;

r

2 2 5.4.2 a ( x + y ; xz; yz) .

5.5 Упростить выражение с предварительным использованием методов векторной алгебры и вычислить: r r r r 5.5.1 rot[[a , ρ], [b , ρ]] ;

r r r

5.5.2 rot[a , [ρ, b ]] ; r r r r 5.5.3 div[[a, ρ], [b , ρ]] ;

r r r

5.5.4 div[a , [ρ, b ]] ; 5.5.5 5.5.6 5.5.7 5.5.8

r r r r rot[[a , r ], [b , r ]] ; r r r rot[a , [r , b ]] ; r r r r div[[a , r ], [b , r ]] ; r r r div[a , [r , b ]] .

23

6. ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ОПЕРАТОРА НАБЛА Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты

∂ r ∂ r ∂ r ∂ ∂ ∂ , , и его можно представить в виде: ∇ = e1 + e2 + e3 . ∂ x1 ∂ x2 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ x3

Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла», проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только учитывать, что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению он должен r стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать. Так ∇ ⋅ a r r r это дивергенция поля a (r ) , а a ⋅ ∇ - скалярный дифференциальный оператор: r a ⋅∇ ≡

3

r

∂

∑ aα ( r ) ⋅ ∂ x

α =1

r r r r . Понятно, что ∇ϕ = grad ϕ , ∇ ⋅ a = div a , [∇a ] = rot a . α

Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго

порядка: ∆ = ∇ ⋅ ∇ =

∂2 ∂ x12

+

∂2 ∂ x22

+

∂2 ∂ x32

.

С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей r r rotgradϕ = [∇, (∇ϕ)] = [∇, ∇]ϕ = 0 , справедливо: divrot a = (∇,[∇a ]) = 0 , r r r r r r rotrot a = [∇[∇a ]] = ∇(∇, a ) − (∇, ∇)a = graddiv a − ∆a . Надо иметь в виду, что последний член – это вектор с компонентами ∆a1 , ∆a2 , ∆a3 . Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла проводится по следующей схеме: 1. Вместо операций grad, div, rot и ∆ вводим операции с использованием оператора набла:

gradf ≡ ∇f r r divA ≡ ∇A r r rotA ≡ [∇A] 24

∆ ≡ (∇, ∇ ) 2. Анализируем,

на

дифференциальный

какие

функции

оператор

набла

действует

как

оператор. По определению эти функции должны

располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:

rr rr rr rr rot[ AB] = [∇[ AB]] = [∇ ( A) [ AB]] + [∇ ( B ) [ AB]] 3.

Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной

алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом примере:

rr r r r r [∇ ( A) [ AB]] = A(∇ ( A) B) − B(∇ ( A) A) rr r r r r [∇ ( B ) [ AB]] = A(∇ ( B ) B) − B(∇ ( B ) A) 4.

Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем

полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не действуют. Так:

r r r r r r r r A(∇ ( A) B) − B(∇ ( A) A) = ( B∇ ( A) ) A − B(∇ ( A) A) r r r r r r r r A(∇ ( B ) B) − B(∇ ( B ) A) = A(∇ ( B ) B) − ( A∇ ( B ) ) B 25

5.

Поскольку

операторы

набла оказываются в позициях, где они

автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы, убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости обозначения grad, div, rot и ∆ . В рассматриваемом примере окончательно получаем:

rr r r r r r r r r rot[ AB] = ( B∇ ( A) ) A − B(∇ ( A) A) + A(∇ ( B ) B) − ( A∇ ( B ) ) B = r r r r r r r r = ( B∇) A − B(∇A) + A(∇B) − ( A∇) B =

r r r r r r r r = AdivB − BdivA + ( B∇) A − ( A∇) B где

r r ∂ ∂ ∂ r r r ( A∇) B = ( A1 + A2 + A3 )( B1e1 + B2 e2 + B3e3 ) = ∂x1 ∂x2 ∂x3

= ( A1

∂B ∂B r ∂B1 + A2 1 + A3 1 )e1 + ∂x1 ∂x 2 ∂x3

+ ( A1

∂B2 ∂B ∂B r + A2 2 + A3 2 )e2 + ∂x1 ∂x 2 ∂x3

+ ( A1

∂B3 ∂B ∂B r + A2 3 + A3 3 )e3 ∂x3 ∂x1 ∂x 2 Задачи

6.1 Записать следующие выражения, используя вместо оператора набла операции grad, div, rot и ∆ :

rr

6.1.1 (∇[ AB]) ;

rr ∇ ( A B) ; 6.1.2 26

rr [ [ A B]] ; ∇ 6.1.3 r

6.1.4 (∇fA) ;

r

6.1.5 [∇fA] ; 6.1.6

∇( fg ) ;

6.1.7 (∇, ∇( fg )) ;

rr

6.1.8 [∇[ωr ]] ;

rr

6.1.9 (∇[ωr ]) ;

r

6.1.10 ∇(∇A) ;

r

6.1.11 (∇, ∇) A ;

r 6.1.12 (∇[∇A]) ; r 6.1.13 [∇[∇A]] ; 6.1.14 (∇, ∇ ) f ; 6.1.15 [∇ × ∇f ] . 6.2 Преобразовать выражение методом оператора набла ∇ и затем расписать в частных производных:

rr 6.2.1 div[ AB] ; rr 6.2.2 grad ( AB) ; rr 6.2.3 rot[ AB] ;

r 6.2.4 div( fA) ; r 6.2.5 rot ( fA) ; r grad ( f b ); 6.2.6 r 6.2.7 div grad ( fb ) ; 27

rr r rot[ωr ] , где ω - постоянный вектор; rr r 6.2.9 div[ωr ] , где ω - постоянный вектор;

6.2.8

6.3 Расписать в частных производных: r

6.3.1 grad divA

r r r ( ∆ A) ( ∆ A ) ( ∆ A) 6.3.2 y; z; x; r 6.3.3 div rotA ; r 6.3.4 rot rotA ; 6.3.5 div gradf ; 6.3.6 rot gradf ; 6.3.7 (∆f ) . r 6.4 Найти напряженность электрического поля E , если задан потенциал ϕ r ( E = − gradϕ) : 2 2 2 2 2 6.4.1 ( x + 2 y z + sin( x)) exp(−( x + y + z )) ; 2 2 2 6.4.2 ( x + sin( zx) + y x cos(z )) exp(− x ) .

6.5 Найти плотность электрических зарядов в вакууме ρ , если задана r r напряженность электрического поля E (divE = 4πρ) : 2 2 6.5.1 ( x + 4 sin( z ) exp(xy); cos( x) + ln( xyz); xy z ) ; 2 6.5.2 ( x exp(− x ) + y + z; ln(xy) sin(z ); x + y + z + 1) .

28

ЛИТЕРАТУРА

1. И.В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.- С. 313409. 2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988. 3. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.- М.: Наука, 1970.- С. 9- 22. 4. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.- С. 216.

29