Численные методы и инженерные расчеты: Рабочая программа, задание на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольных работ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Кафедра информатики

Численные методы и инженерные расчеты

Рабочая программа Задания на контрольную работу Методические указания к выполнению контрольной работы

Факультеты – все Специальности – все, кроме 210100, 220100 Направления – все, кроме 550200, 52800

Санкт-Петербург 2007

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 519.6 Численные методы и инженерные расчеты. Рабочая программа. Задания на контрольную работу. Методические указания к выполнению контрольной работы. – СПб.: Изд-во CЗТУ, 2007. - 24 с. Методические указания разработаны на основании государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по специальностям подготовки дипломированных специалистов всех специальностей. Приведены рабочая программа, методические указания к выполнению контрольной работы и задание на контрольную работу. Контрольная работа содержит четыре задания и составлена таким образом, чтобы студенты получили представление об основных положениях численных методов и инженерных расчетов.

Рассмотрено на заседании кафедры информатики 18.01.07 г., одобрено методической комиссией экономико-гуманитарного факультета 15.11.06 г. Рецензенты:

кафедра информатики и вычислительной математики СЗТУ (зав. каф. Г.Г.Ткаченко, канд. физ.-мат. наук, доцент); кафедра экспериментальной физики СПбГПУ (докт. физ.мат. наук, доцент А.С.Лукьяненко)

Составители:

С.В. Субботин, канд. физ.-мат. наук, доц.; В.В. Тарасенко, канд. физ.-мат. наук, доц.; Е.В. Курунова, ст. преподаватель.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2007 2

Предисловие Курс «Численные методы и инженерные расчеты» входит в цикл естественнонаучных дисциплин в соответствии с государственным стандартом 2000 г.

В процессе выполнения данных контрольных работ студенты познакомятся с численными методами и их реализацией на примерах решения уравнений и систем уравнений, интерполяции и интегрирования функций.

1. Содержание дисциплины 1.1. Содержание дисциплины по государственному образовательному стандарту ЕН.Ф.01.05 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ; теоретические основы численных методов: погрешности вычислений: устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени): численные методы линейной алгебры: решение нелинейных уравнений и систем: интерполяция функций: численное интегрирование и дифференцирование: решение обыкновенных дифференциальных уравнений: методы приближения и аппроксимации функций: преобразование Фурье: равномерное приближение функций: математические программные системы. 1.2. Рабочая программа дисциплины (объем дисциплины 140 часов) 1.2.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений [1], с.8-35 Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций 1.2.2. Интерполяция и численное дифференцирование [1], с.35-85 Постановка задачи приближения функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях. Многочлены Чебышева. 3

Обратная интерполяция. Ортогональные системы. Численное дифференцирование. Погрешности формул численного дифференцирования 1.2.3. Численное интегрирование [1], с.86-164 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования. 1.2.4. Приближение функций [1], с.164-200 Наилучшие приближения в разных пространствах. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Итерационный метод. Интерполяция и приближение сплайнами. 1.2.5. Многомерные задачи [1], с.201-250 Методы неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов и регуляризации. Сведение многомерных задач к одномерным. Метод МонтеКарло. Выбор метода решения задачи. 1.2.6. Численные методы алгебры [1], с.250-324 Методы последовательного исключения, ортогонализации и простой итерации. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Зайделя и наискорейшего спуска. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений. Проблема собственных значений. 1.2.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации [1], с.324-360 Простые итерации, метод Ньютона и метод спуска. Методы уменьшения размерности. Решение стационарных задач методом установления. Целевая функция. 1.2.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [1], с.360-495 Решение задачи Коши: разложение в ряд и методы Рунге-Кутта. Контроль погрешности на шаге. Конечно-разностные методы. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование систем уравнений. Краевые задачи. Функция Грина. Нелинейные краевые задачи. Метод прогонки. 4

1.3. Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения Темы лекции. Интерполирование и приближение функций, численное интегрирование и дифференцирование, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Объем, ч 4

1.4. Тематический план практических занятий Темы практических занятий 1.4.1 Интерполяция функций узлами.

Объем, ч с

равноотстоящими 1

1.4.2 Приближенное решение уравнений. Отделение корней. Уточнение корней. 1 1.4.3.Приближенное интегрирование с заданным шагом. Метод прямоугольников. Метод трапеций. Интегрирование по Ромбергу. Метод Симпсона. 1 1.4.4. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1- го порядка методом Эйлера. 1 Итого__________8

ЛИТЕРАТУРА 1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. – М.: «Наука», 1978. 2. Орвис В.Д. Excel для ученых, инженеров и студентов. – Киев: Юниор, 1999. 3. Ткаченко Г.Г., Бессонова Т.Д. Вычислительная техника и программирование. ч.П. –Л.: СЗПИ, 1991. 4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 5. Евдокимов В.В. Экономическая информатика. – Спб.: Питер Паблишинг, 1997. 6. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. СПб.: «БХВ-Петербург», 2005. 5

Задания на контрольную работу В контрольной работе студенту необходимо выполнить четыре задачи. Порядок выбор варианта указан в каждом задании.

Работа 1. Интерполяция функций с равноотстоящими узлами. 1. Цель работы. Получения аналитической зависимости по экспериментальным данным.

2. Основные теоретические положения. 2.1. Приближение функций одной переменной. Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми. Пример 1. Закон движения некоторого объекта S = f(t) представлен в табл. 1 (t – время, S –путь). Таблица 1 0 1 2 3 4 5 6 t 0 2 10 30 46 130 222 S Требуется найти пройденный объектом путь к моменту t = 3,5. Для вычисления S = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости S = f(t). При требовании точного совпадения в узловых точках функции и ее приближения (задача интерполяции) число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов. В тех случаях, когда значения функции в узлах определены с некоторой погрешностью или количество узловых точек велико, требование точного совпадения в узлах излишне. Аппроксимирующая зависимость должна быть близка к исходной функции лишь в смысле некоторого критерия. В этом случае задача о приближении (задача аппроксимации) ставится следующим образом. Требуется данную достаточно сложную функцию f(x) заменить (аппроксимировать) полиномом так, чтобы отклонение функции от полинома на заданном множестве Х={x} было минимальным. В 6

качестве критерия рассогласования в задачах аппроксимации наиболее распространен критерий «наименьших квадратов» R: n

R = ∑ (f(xi) - yi)2, i =0

где yi – наблюдаемое значение аппроксимирующей зависимости (вычисленное или полученное из опыта) в i-й точке; f(xi) – раcсчитанное значение аппроксимирующей функции в i-й точке.

2.2. Постановка задачи интерполяции. Задача интерполирования может быть сформулирована следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] заданы n + 1 точка х0, x1, … , xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции f (x) в этих точках, т. е. y0 = f (x0); y1 = f (x1); … ; yn = f (xn). Требуется построить интерполирующую зависимость F(x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и интерполируемая функция f (x), т.е. F(x0) = f (x0) = y0 , ............. F(xn) = f (xn) = yn. Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены Pn ( x ) . Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn ( x ) , обеспечивающий требуемую точность интерполяции ε, т.е. удовлетворяющий условию f ( x ) − Pn ( x ) ≤ ε . (1) Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

2.3. Конечные разности. Пусть для значений x0 , x0 + h, x0 + 2h,L , x0 + nh , где h – шаг интерполяции, известны значения функции y0 , y1 ,L , yn .

7

Определение: Конечной разностью первого порядка разность

называется

∆y i = y i +1 − y i , i = 0 ,1, L , n − 1

(2) Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка

∆2 yi = ∆yi +1 − ∆yi , i = 0, 1,L, n − 2, LLLLLLLLLLLLLLL

(3)

∆k yi = ∆k −1 yi +1 − ∆k −1 yi , i = 0, 1,L, n − k . Конечные разности при вычислении удобно записать в таблицу, форма которой представлена в табл. 2. Таблица 2 2 3 yi i xi ∆yi ∆ yi ∆ yi ∆4 yi 0 x0 y0 ∆y0 ∆2y0 ∆3y0 ∆4y0 1 x1 y1 ∆y1 ∆2y1 ∆3y1 2 x2 y2 ∆y2 ∆2y2 3 x3 y3 ∆y3 4 x4 y4 Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов. Пример 2. Вычислим таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.3. Таблица 3 0 1 2 3 xi 5 5 9 25 yi Решение

∆2y0 = ∆y1 - ∆y0 = 4-0 = 4 ∆y0 = y1 - y0 = 5-5 = 0 ∆y1 = y2 - y1 = 9-5 = 4 ∆2y1 = ∆y2 - ∆y1 = 16-4 = 12 ∆y2 = y3 - y2 = 25-9 = 16 ∆3y0 = ∆2y1 - ∆2y0 =12-4 = 8 Сведем значения конечных разностей в табл.4.

8

i

xi 0 1 2 3

0 1 2 3

∆yi 0 4 16

yi 5 5 9 25

Таблица 4 ∆ yi ∆ 3y i 4 8 12 2

2.4. Интерполяционный полином Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде ∆y0 ∆2 y0 ∆n y0 Pn ( x ) = y0 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) +K+ ( x − x0 )( x − x1 )K ( x − xn −1 ) 1! h n!hn 2!h2

(4)

или

Pn ( x ) = y0 +

n

∑ ( x − x0 )( x − x1 )K( x − xk −1 )

∆k y0

. (5) k ! k h k =1 Можно показать, что оценка погрешности Rn(x) при замене f(x) полиномом Pn(x) имеет вид: ∆n y0 Rn(x)= ( x − x0 )( x − x1 )K( x − xn −1 ) . (6) n! h n Пример 3. Построим интерполяционный полином Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в табл.3 (конечные разности в табл.4). Решение Ясно, что здесь шаг интерполяции h=1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е. 2 Pn ( x ) = P3 ( x ) = y 0 + ( x − x0 ) ∆y0 + ( x − x0 )( x − x1 ) ∆ y0 + 2

1! h

+

= 5+

( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) ∆3 y0 3! h 3

2!h

=

( x − 0) ⋅ 0 ( x − 0)( x − 1) ⋅ 4 ( x − 0)( x − 1)( x − 2) ⋅ 8 + + = 1!⋅ 1 12 ⋅ 1 ⋅ 2 13 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3

x ( x − 1)( x − 2) ⋅ 4 (4 x 2 − 4 x )( x − 2) 2 = 5 + 0 + x ( x − 1) ⋅ 2 + = 5 + 2x − 2x + = 3 3 =

1 1 (15 + 6 x 2 − 6 x + 4 x 3 − 8 x 2 − 4 x 2 + 8 x ) = (4 x 3 − 6 x 2 + 2 x + 15) . 3 3 9

Итак, интерполяционный полином для табл.3 имеет вид: 2 4 P3 ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 5 . 3 3 Пример 4. Найти значение y = f (x) для x = 1,5. Решение 3 y = f ( 1,5) = P3( 1,5) = 4/3 ⋅1,5 - 2 ⋅1,52 + 2/3⋅ 1,5 + 5 = 6, т.е. y (1,5) = 6.

3. Ввод исходных данных для индивидуального задания. Необходимо осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.9. Номер варианта выбирается по последней цифре шифра. Таблица 9 №

1

2

Порядковый номер исходных данных 3 4 5 6 7 8 1-й вариант

Х 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 У 0,88 0,889 0,890 0,891 0,892 0,893 х2 =1,462 Значения х1 = 1,4161 2-й вариант Х 0,101 0,106 0,111 0,116 0,121 0,126 У 1,261 1,276 1,291 1,306 1,321 1,336 х2 =1,4633 Значения х1 = 1,418 3-й вариант Х 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 У 0,86 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670 х2 =1,462 Значения х1 = 1,4161 4-й вариант Х 0,18 0,185 0,190 0,195 0,200 0,205 У 5,615 5,467 5,352 5,193 5,066 4.946 х2 =0,225 Значения х1 = 0,182 5-й вариант 3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 Х 3,5 У 33,11 34,65 36,60 38,47 40,44 42,52 х2 = 4,176 Значения х1 = 3,522

9

10

1,445 1,450 1,455 1,460 0,894 0,895 0,896 0,897 х3 = 1,413 х4 = 1,470 0,131 0,136 0,141 0,146 1,352 1,367 1,383 1,399 х3 = 1,4124 х4 = 1,4655 0,45 0,50 0,55 060 0,638 0,606 0,577 0,549 х3 = 1,413 х4 = 1,470 0,210 0,215 0,220 0,225 4,832 4,722 4,618 4,519 х3 = 0,175 х4 = 0,238 3,80 3,85 3,90 3,95 44,70 46,99 49,40 51,93 х3 = 3,475 х4 = 4,25

10

№

1

2

Продолжение таблицы 9 Порядковый номер исходных данных 3 4 5 6 7 8 9 10 6-й вариант

Х 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 У 8,68 8,29 7,96 7,65 7,36 7,10 х2 =0,174 Значения х1 = 0,122 7-й вариант Х 1,340 1,345 1,350 1,360 1,365 1,370 У 4,26 4,35 4,46 4,56 4,67 4,79 х2 =1,392 Значения х1 = 1,362

0,145 0,150 0,165 0,170 6,85 6,62 6,40 6,20 х3 = 0,114 х4 = 0,185 1,375 1,380 1,385 1,390 4,91 5,01 5,18 х3 = 1,336 х4 = 1,40

8-й вариант Х 0,15 У 4,48 Значения

0,16 0,17 4,95 5,47 х1 = 0,153

0,18 5,99

0,19 0,20 6,05 6,68 х2 =0,257

0,21 0,22 6,909 7,38 х3 = 0,140

0,23 0,24 8,166 9,025 х4 = 0,266

9-й вариант Х 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 У 20,19 19,61 18,94 18,17 17,30 16,31 х2 =0,558 Значения х1 = 0,455 10-й вариант Х 0,01 0,06 0,11 0,16 0,21 0,26 У 0,99 0,95 0.91 0,88 0,84 0,81 х2 =0,525 Значения х1 = 0,022

0,51 0,52 0,53 0,54 15,19 13,94 12,55 10,99 х3 = 0,44 х4 = 0,567 0,31 0.36 0,78 0,74 х3 = 0,008

0,41 0,46 0,71 0,68 х4 = 0,610

Литература [ 1 ], с.331-347, [ 3 ], с.32-41.

11

Работа 2 Приближенное решение уравнений. Отделение корней. Уточнение корней. 1. Цель работы. Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения. 2.1 Постановка задачи В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид f (x)=0, (7) где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число ξ (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество: f(ξ)≡0 (8) называется корнем уравнения или его решением. Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов: 1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [α,β] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения; 2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [α,β] с заданной точностью ε.

2.2. Отделение корней Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [α, β], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).

f(x) α1

ξ1

β 1α 2

ξ2

β2

ξ3

α3

β3

х

Рис. 1.

12

При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями: если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)⋅f(b)0, то между а и b имеется четное число корней или их совсем нет; если f(a)⋅ f(b)0, a f(0)⋅f(2) 0 . Условие сходимости метода Ньютона для x0 = 3.5 выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

x1 =

2 x03 − 4.2 x02 − 6.6 3 x02 − 8.4 x0 + 1.4

= 3.166 ;

x3 =

x2 =

2 x23 − 4.2 x22 − 6.6 3 x22 − 8.4 x2 + 1.4

2 x13 − 4.2 x12 − 6.6 3 x12 − 8.4 x1 + 1.4

= 3.029 ;

= 3.001.

Уточнённое значение корня x ∗ ≈ 3.001 . В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину ∆ =| x3 − x2 | = 0.028 .

15

3. Порядок выполнения работы. Задание 1. Отделить все действительные корни для уравнения (9). Задание 2. Отделить все действительные корни для уравнения из индивидуального задания. Задание 3. Уточнить значение корня для уравнения из индивидуального задания.

3.1. Отделение корней для уравнения из индивидуального задания 3.1.1. По последней цифре шифра из табл.10 выбрать индивидуальное задание и отделить корни. Таблица 10 Номер варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Уравнение 2х3 - 5х2 + 4х - 9 = 0 3х3 - 10х2 +2х - 7 = 0 3х3 - 7х2 +2х - 5 = 0 2х3 – 5х2 + 5х - 12 = 0 5х3 - 3х2 + 4х -$$$$$ = 0 2х3 - 5х2 +5х - 12 = 0 2х3 - 5х2 +4х - 11 = 0 2х3 - 7х 2 + 3х - 10 = 0 3х3 - 105х 2 + 2х - 7= 0 3х3 - 2х2 +5х - 3= 0

Интервал [ 0;4 ] [ 0;4 ] [-1;3 ] [ 0;4 ] [ 0;4 ] [ 2;6 ] [ 2;6 ] [ 0;4 ] [ 2;6 ] [ -2;2 ]

3.1.2. Уточнить значение одного из отделенных корня.

Литература [ 3 ], с. 4-8.

16

Работа 3 Приближенное интегрирование с заданным шагом 1. Цель работы. Изучение способов приближенного интегрирования .

2. Основные теоретические положения. 2.1. Постановка задачи. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл b

I=

∫ f ( x )dx

(15)

a

Методы приближенного интегрирования основаны на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой f (x) (рис.3). f(x) f(x)

x 0

a

b

Рис.3. Для вычисления интересующей нас площади (см. рис.4) разобьем область интегрирования на n равных частей точками: x = a, x1, x2, ... , xi, xi+1, ... , x n = b . f(x)

f(x) Ii x 0 х= a

хi

xi+1 х= b

Рис.4.

17

Тогда где

n

I = ∑ Ii , i =1 xi +1

Ii =

∫ f ( x )dx .

(16) (17)

xi

Значит, для вычисления интеграла (15) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.4).

2.2. Интегрирование экспериментальных данных. Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах хi производят измерение значений некоторой функции yi, (см.работу 1). Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла. Рассмотрим три простейших метода приближенного интегрирования.

2.3. Типы формул интегрирования. Наиболее часто при численном интегрировании используются метод прямоугольников, метод трапеций, интегрирование по Ромбергу, метод Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.

2.4. Метод прямоугольников. Согласно методу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [a,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками (рис.5). Значение интеграла определяется по следующей формуле:

18

I=

n −1

∑ yi ( xi +1 − xi ) .

(18)

i =1

y уi

x

xi xi+1

0

Рис.5. Такое приближение может показаться грубым, например, для случая, указанного на рисунке, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника - перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.

2.5. Метод трапеций. Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций (рис.6). y

f(x)

уi 0

x

xi

xi+1

Рис.6. Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая в данном случае равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций. n −1 ( y + y ) i i +1 ( x (19) I= ∑ i +1 − xi ) . 2 i =1 2.6. Интегрирование по Ромбергу. Метод трапеций можно улучшить с помощью интегрирования по Ромбергу, использующий две различные оценки для экстраполяции значения интеграла. При вычислении первой оценки используется правило трапеций для каждой точки, а при вычислении второй оценки – правило трапеций для каждой второй точки (рис.7). 19

y уi 0

x xi

xi+1 Рис.7. I1=

I2=

n −1

( yi + yi +1 ) ( xi +1 − xi ) 2

(20)

( yi + yi + 2 ) ( xi + 2 − xi ) . 2 i =1,3,5,...

(21)

∑

i =1 n−2

∑

Полученные оценки соответствуют различным интервалам между точками. Согласно методу Ромберга, ошибка при вычислении интеграла пропорциональна квадрату расстояния между точками. I = I1 + C h2, (22) 2 (23) I = I2 + C(2h) , где С – постоянная величина, h = (b - a) / n. Решение этих двух уравнений дает выражение для вычисления интеграла: I = I1 + 1/3(I1 - I2) . (24) 2.7. Метод Симпсона. Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных (рис.8) используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8). y уi 0

x

xi

xi+1

Рис.8. I=

I=

n−2

1 ( yi + 4 yi +1 + yi + 2 )h 3 i =1,3,5,...

n−3

∑

3 ( yi + 3 yi +1 + 3 yi + 2 + yi + 3 )h . 8 i =1,4 ,7 ,...

∑

(25) (26) 20

Пример 1. Вычислить определенный интеграл 5

x dx x 1 + 0

I =∫

с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208). Метод прямоугольников. I=

4

∑ f(x

i = 1 ,...

i

)⋅ ∆ x

где f ( xi ) =

xi ; ∆ x = xi + 1 − xi =1 1 + xi

Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу f(xi) слева 0 0.5 0.667 0.75 0.8

xi 0 1 2 3 4

f(xi) справа 0.5 0.667 0.75 0.8 0.833

Значение интеграла(слева) = 2.717, значение интеграла(справа) = 3.55. Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335. Метод трапеций. 4

f ( xi ) + f ( xi + 1 )

i =1

2

I =∑

xi

f(xi)

0 1 2 3 4 5

0 0.5 0.667 0.75 0.8 0.833

∆x

I = 0/2+0.5+0.667+0.75+0.8+0.833/2=3.1335

21

3. Порядок выполнения работы. Задание 2. Повторить вычисления с числом шагов, равным 10. Задание 3. Вычислить интеграл для индивидуального задания. Номер варианта определяется по последней цифре шифра. 4

4 4 4 5 x 1 1 1 1 dx 2) ∫ dx dx 1) ∫ 4) 5) dx 3) ∫ ∫ 2 + x dx ∫ 2 + x2 2 1 + x 2 + x 2 + x 1 0 0 0 0 4 4 4 4 5 x 1 x 1 1 6) ∫ dx 7) ∫ dx 8) ∫ dx 9) ∫ dx 10) ∫ dx 2 2 1 + x 4 + x 2 + x 3 + x 3 + x 1 0 0 0 0

Литература

[5], с. 68-78.

Работа 4 Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера 1. Цель работы Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

2. Основные теоретические положения Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1го порядка y ′ = f ( x, y ) (27) с начальным условием y ( x0 ) = y 0 (28) (так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения yk = y(xk) в точках xk = x0 + k⋅h (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x0 = a, xn = b. Значения yk+1 определяется по формуле y k + 1 = y k + h ⋅ f ( xk , y k ) , k = 0,1,2,....,n − 1,

(29)

которая получается заменой производной на ее разностный аналог. 22

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

Rk = 0.5 ⋅ h 2 y ′′(ε ) , где xk ≤ ε ≤ xk +1 Проинтегрировать уравнение

методом

y′ =

Пример1. Эйлера следующее

(30)

дифференциальное

3⋅ x+2 ; y ( 0) = 0 2 ⋅ 1+ x

на интервале 0 – 5 для n = 10. Решение. Разбиваем интервал на 10 частей: ∆x = h = 5/10 = 0.5. Тогда для любой точки xn уравнение (30) , в котором f не зависит от yn, можно записать в виде y(xn)= y(0) + f(x1)⋅∆x + f(x2)⋅∆x + ⋅⋅⋅ + f(xn-1)⋅∆x

где f ( xi ) =

3 ⋅ xi + 2 2 ⋅ 1 + xi

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы xi 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

f(xi) 1.0 1.429 1.768 2.055 2.309 2.539 2.75 2.946 3.13 3.305

y(xi) 0.0 0.5 1.2145 2.0985 3.126 4.2805 5.55 6.925 8.398 9.963 11.616

Точное значение 0.0 0.61 1.41 2.372 3.464 4.672 6.0 7.425 8.944 10.553 12.25

Пример 2. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

y ′ = 0.185 ⋅ (x 2 + cos 0.7 ⋅ x )+1.843 ⋅ y ; y (0.2) = 0.25

23

Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить n =

b − a 1.2 − 0.2 = =10 шагов. На каждом h 0.1

шаге надо вычислить значения xk , yk , yk′ = f ( xk , yk ) , h ⋅ yk′ , и yk +1 . Первый шаг. (k = 0). Имеем: x0 = a = 0.2; y0 ( x0 ) = 0.25; y1 = y0 + h ⋅ f ( x0 , y0 ) Вычислим

f ( x0 , y0 ) = 0.185 ⋅ (0.2 2 + cos(0.7 ⋅ 0.2)) +1.843 ⋅ 0.25 = 0.6513 Тогда

h ⋅ f (x0 , y0 ) = 0.1⋅ 0.6513= 0.0651 и, следовательно, по формуле (30)

y1 = 0.25 + 0.0651= 0.3151 Делаем следующий шаг. Второй шаг. (k=1).

x1 = x0 + h = 0.2 + 0.1= 0.3; y 2 = y1 + h ⋅ f ( x1 , y1 ) Вычислим f ( x1 , y1 ) = 0.185 ⋅ (0.32 + cos(0.7 ⋅ 0.3)) +1.843 ⋅ 0.3151= 0.7784 . Тогда h ⋅ f ( x1 , y1 ) = 0.1 ⋅ 0.7784 = 0.0778 и y 2 = 0.3151+ 0.0778 = 0.3929 И так далее. Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы. yk y`k=f(xk, yk) yk+1 k xk h⋅yk 0 0,2 0,25 0,6513 0,0651 0,3151 1 0,3 0,3151 0,7784 0,0778 0,3929 2 0,4 0,3929 0,9316 0,0932 0,4861 3 0,5 0,4861 1,1160 0,1116 0,5977 4 0,6 0,5977 1,3371 0,1337 0,7314 5 0,7 0,7314 1,6019 0,1602 0,8916 6 0,8 0,8916 1,9184 0,1918 1,0835 7 0,9 1,0835 2,2962 0,2296 1,3131 8 1,0 1,3131 2,7466 0,2747 1,5878 9 1,1 1,5878 3,2829 0,3283 1,9161 10 1,2 1,9161 3,2912 0,3291 2,3081 Таким образом, задача решена.

3. Порядок выполнения работы. Задание 1. Повторить вычисления примера 1 с шагом, равным 0.25 на интервале [0 – 3]. Задание 2. Проинтегрировать уравнения для индивидуального задания на интервале [0.2 – 1.2]. Во всех вариантах начальное условие: y(0.2) = 0.25. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками и шагом 0,1. 24

Номер варианта определяется по последней цифре шифра. 1) y ′ = 0.133 ⋅ x 2 + sin 2 ⋅ x + 0.872 ⋅ y

( ) 2) y ′ = 0.215 ⋅ (x + cos1.5 ⋅ x )+ 1.283 ⋅ y 3) y ′ = 0.158 ⋅ (x + sin 0.8 ⋅ x )+1.164 ⋅ y 4) y ′ = 0.173 ⋅ (x + cos 0.7 ⋅ x )+ 0.754 ⋅ y 5) y ′ = 0.221 ⋅ (x + sin 1.2 ⋅ x )+ 0.452 ⋅ y 6) y ′ = 0.163 ⋅ (x + cos 0.4 ⋅ x )+ 0.635 ⋅ y 7) y ′ = 0.218 ⋅ (x + sin 1.6 ⋅ x )+ 0.718 ⋅ y 8) y ′ = 0.145 ⋅ (x + cos 0.5 ⋅ x )+ 0.842 ⋅ y 9) y ′ = 0.213 ⋅ (x + sin 1.8 ⋅ x )+ 0.368 ⋅ y 10) y ′ = 0.127 ⋅ (x + cos 0.6 ⋅ x )+ 0.573 ⋅ y 2

2

2

2

2

2

2

2

2

Литература

[ 1 ], с. 65-72.

25