ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ВОСТОЧНО - СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА УЧЕ...
77 downloads
318 Views
794KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ВОСТОЧНО - СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для дистанционного обучения по экономическим специальностям Часть 1
Багаева С.Д.
Улан-Удэ, 2006г.
2
Издается в соответствии с планом учебно-методической работы ВСГТУ ББК 22 1я77 074-1 074-1
Багаева С.Д. Математика: ВСГТУ, 2006 г. - 69 с.
Учебно - методический комплекс для дистанционного обучения. Часть1 – Улан-Удэ:
Учебно-методический комплекс выполнен под руководством профессора, д.ф.-м.н. Ц.Б. Шойнжурова. Учебно-методический комплекс по математике предназначен для студентов экономических специальностей. В него входят предусмотренные стандартом компоненты, в том числе курс лекций в виде структурно-логических схем, знакомящий студентов с основными разделами математики. В каждом разделе УМК приведены теоретические вопросы, достаточное количество решенных задач и примеров, поясняющих и закрепляющих теоретический материал. Многовариантные задания самостоятельных расчетных работ по ключевым разделам курса выдаются студенту индивидуально. Пункты 2.9, 3.4, 4.9, 6.4, 7.11, 7.12 взяты из учебника «Высшая математика для экономистов» под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. Ключевые слова: вектор, матрица, прямая, пространство, предел, производная.
3
ЦЕЛИ КУРСА Содержание курса высшей математики согласно образовательному стандарту разбивается на 4 части. Предлагаемое пособие содержит 9 тем и отвечает на вопросы 1 части содержания курса стандарта. Надо иметь в виду, что данное пособие не заменяет учебник по высшей математике, а дополняет его. В нем собраны и систематизированы основные определения, теоремы, компактно даны основные свойства всех понятий, изучаемых в данном разделе математики. Данное пособие направлено на решение таких задач: - дать студентам математический аппарат векторной алгебры, базовых понятий аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, матриц. Дать аппарат анализа поведения функций, нахождение пределов, производных и т.д. - обеспечить подготовку студентов к восприятию следующих разделов математики 2,3, и 4 части. - сформировать у студентов определенный навык использования современного математического аппарата, ориентированного на различные науки экономического и управленческого профиля, строгого исследования объектов, учета количественных факторов при проведении исследований.
4 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Обратная теоремадля данной теоремы – теорема, в которой условием является заключение, а заключением- условие данной теоремы.
Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается или опровергается при помощи доказательств.
Прямая и обратная теоремы наз. взаимно обратными
Необходимое условие для выполнения какого- либо верного утверждения- всякое условие, без осуществления которого данное утверждение заведомо неверно.
Достаточное условие для выполнения какого- либо утверждения – всякое условие, из которого следует это утверждение.
Если прямая и обратная теоремы верны, то эти две взаимно обратные теоремы можно сформулировать в виде одной теоремы в терминах «необходимо и достаточно». Выражение «необходимо и достаточно» часто заменяется выражениями «тогда и только тогда» , «в том и только в том случае», «те и только те» СИМВОЛИКА №
Символы ∃ ∀ ∈
Название квантор существования квантор всеобщности принадлежность
∃х- «существует х» ∀х-«для любого х» х ∈ R-«х принадлежит R»
1
Обозначение логических операций А∪В
∈ (∉)
отрицание
х ∈ R-«х не принадлежит R»
2
А∩В
5
⊂ (⊆)
включение
6 7 8
∅ ⇒ ∼
1 2 3 4
пустое множество следование эквивалентность
Пояснение
А ⊂ В-«А включено в В» «А подмножество В» например, обычный нуль А ⇒ В –«из А следует В» А ∼ В- «А эквивалентно В»
№
3
А \ В или А-В
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Название логических Геометрическое операций истолкование объединение (дизъюнкция)- это множество, элементы которого А В ∈ хотя бы одному из множеств пересечение (конъюнкция)- это множество, элементы которого ∈ A B каждому из множеств А и В разность- это множество из тех элементов множества А, которые не вошли в В.
A
B
5 ТЕМА 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1.1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ) ЧИСЕЛ Множество действительных чисел (R) полностью определяется 16 аксиомами: сложения, умножения, порядка и принципом непрерывности Дедекинда.
1. 2. 3. 4. 5.
Аксиомы сложения Для любых чисел а , в ∈ R определено единственное число а+в ∈ R, называемое суммой чисел а и в. Для любых а, в ∈ R имеет место соотношение а+в=в+а (коммутативность) Для любых а, в ∈ R имеет место соотношение а+(в+с)= (а+в)+с (ассоциативность) Существует число 0 ∈ R такое , что а+0= а для всех а∈ R. Число 0 носит название нуль. Для любого числа а ∈ R существует число в ∈ R такое, а+в=0.
Аксиомы умножения 6. Для любых чисел а, в ∈ R определено единственное число а, в ∈ R называемое произведением чисел а и в. 7. Для любых а, в ∈ R имеет место соотношение а • в = в•а (коммутативность) 8. Для любых а ; в ∈ R имеет место соотношение а • (в • с) = (а • в) • с (ассоциативность). 9. Существует число 1 ∈ R такое , что 1•а = а для всех а ∈ R. Число 1 носит название единица. 10. Для любого а ∈ R , а ≠ 0, существует в ∈ R такое , что а • в = 1. 11. Для любых а, в ∈ R имеем а • (в + с) = а • в + а • с (дистрибутивность). Аксиомы порядка 12. Для двух чисел а, в ∈ R имеет место одно ( и только одно) из трех соотношений : а < в, а=в, а > в. 13. Для любых а, в • с ∈ R таких, что а < в и в < с, справедливо соотношение а < с (транзитивность). 14. Для любых а, в, с ∈ R таких , что а < в, справедливо соотношение а+с < в+с. 15. Для любых а, в, с ∈ R таких, что а < в и с > 0, справедливо соотношение а • с < в•с Принцип непрерывности Дедекинда 16. Пусть множество R действительных чисел разделено на два класса К1 и К2 так, что: а) классы К1 и К2 не пусты; б) каждое действительное число относится только к одному классу; в) из условий а ∈ К1 и в s,
6 1.2. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ КЛАССЫ МНОЖЕСТВ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА N = {1, 2,3,...,...,. ..} К понятию натуральных чисел приходят в процессе счета. Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1. Множество натуральных чисел N ⊂ R обладает следующими свойствами: 1. 1 ∈ N 2. Из n ∈ N следует n + 1 ∈ N 3. Если n ∈ N , то n − 1 ∈ N тогда и только тогда, когда n≠1. 4. Если М-подмножество N со свойствами: a ) 1 ∈ M , б ) из n ∈ M следует n + 1 ∈ M , то M = N .
Действительное число q называется целым числом, если существуют такие натуральные числа n и m, что q=n-m.
Действительное число а называется рациональным, если существуют такие целые числа q1 и q2 (q2≠0), что a= q1 / q2.
Действительное число а называется иррациональным , если не существует такие целые числа q1 и q2 (q2≠0), что a= q1 / q2.
Целые числа
z = {....,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
Рациональные
числа
Q = {m n}, где m, n ∈ z , n ≠ 0 .
Рациональное число – это бесконечная десятичная периодическая дробь.
±
m = ± a 0 , a1 ,...a r (b1 , b2 ,...bs ) ( s < n) . n
Иррациональное число –(R\ a) бесконечная непериодическая десятичная дробь.
±
m = ± a0 , a1 , a2 ,... n
Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами. Действительное число – это бесконечная десятичная дробь.
[а ], a1, a2 ,...
7 1.3. МНОЖЕСТВА Множество – это совокупность объектов, объединенных по какому-то одному признаку Непустое множество А элементов х,у,… наз. упорядоченным, если задан закон сравнения его элементов, удовлетворяющий следующим аксиомам: а) для любых элементов х,у – А выполняется одно и только одно из трех соотношений: 1. х >у, 2. у > х, 3. х = у; б) если х >у и у > z, то х > z
Пусть
J n = {1,2,3,...n} - множество натуральных чисел
Множества А и В называют эквивалентными , если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие: А∼ В.
Пр. Множество действительных чисел Множество А наз.конечным, если существует такое натуральное число n, что А ∼ Nn = Jn Пр. А= { 2,4,6} и
J3 = { 1,2,3 }
Множество В наз.бесконечным, если не существует такое число n, что В ∼ Jn Пр.
Множество Х , эквивалентное множеству J всех натуральных чисел, наз. счетным.
В= { -1,-2,-3,…-n,…}
Если бесконечное множество не является эквивалентным J, то оно наз. несчетным (элементы несчетного множества нельзя перенумеровать)
Пр. 1. Т. Кантора. Множество всех точек отрезка [0,1] несчетно. Его наз.континуумом. 2. Множество действительных чисел.
Пр. Множество всех рациональных чисел.
Действительное число а наз.нижней границей множества Е, если ∀х∈Е х≥a ( не обязательно , а∈ Е ). Всякое множество, для которого существует нижняя граница, наз. ограниченным снизу.
J= { 1,2,…n,…}
Действительное число в наз.верхней границей множества Е, если ∀х∈Е х≤ в (не обязательно, в∈ Е ). Всякое множество, для которого существует верхняя граница, наз.ограниченным сверху.
Множество, которое ограничено и снизу, и сверху, наз.ограниченным.
8 Принцип полноты Каково бы ни было ограничено снизу (сверху) множество Е, среди его нижних (верхних) границ имеется наибольшая (наименьшая) , она наз.точной нижней границей Е и обозначается inf E ( точной верхней границей Е и обозначается sup E)
Пр. 1. Е= (а,в) – интервал. а= inf E, в= sup E, но они ∉ Е. Множество не имеет наибольшего и наименьшего элемента.
Пр. 2. Е= [a,в]- отрезок. а= inf E, в= sup E, a, в ∈ Е, а- наименьший элемент, в- наибольший элемент.
• а2
• • а1 а
• • • х3 х1 х2
• в
• в1
• в2
х
Пр. 3. Е1= [а,в], E2= (а,в] a= inf E1 ∈ E1, в = sup E1 ∉ E1 a= inf E2 ∉ E2 , в = sup E2 ∈ E2 E1 имеет наименьший элемент и не имеет наибольшего, Е2 имеет наибольший элемент и не имеет наименьшего.
Окрестностью точки х0 ∈ М наз. множество Uх0 , состоящее из всех точек х∈ М, таких, что ρ (х,х0) < r , где r – радиус окрестности (для оси : это (х0 – r , x0 +r )) .
Точка Q наз. предельной точкой множества М, если в каждой окрестности этой точки найдется отличная от нее точка из М. Точка множества М не являющаяся предельной для него, наз. изолированной. Множество, содержащее все свои предельные точки, наз. замкнутым.
Точка Р наз. внутренней точкой множества М, если существует окрестность Uр , такая, что Uр ≤ М.
Точка Р наз. граничной точкой множества М, если в любой ее окрестности есть точки множества М, так и точки, не принадлежащие множеству М.
Множество, каждая точка которого является внутренней, наз. открытым.
Множество граничных точек наз. границей.
Т. Больцано – Вейерштрасса Любое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
Пр. 1. [a,в] – замкнутое множество, в окрестности любой его точки есть точки этого отрезка, следовательно, все его точки – предельные и принадлежат этому множеству.
Пр. 2. (а,в). Точки а,в являются предельными точками этого множества, но так как они ему не принадлежат, то это множество не является замкнутым; любая точка этого множества – внутренняя, следовательно, это – открытое множество.
Пр. 3. Промежуток (а,в] не является открытым, так как в – граничная точка, и он не является замкнутым, так как а – его предельная точка, но ему не принадлежит.
9 ТЕМА 2. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 2.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть по некоторому правилу f каждому элементу х ∈ Х поставлен в соответствие один определенный элемент y∈ Y. Тогда правило (соответствие) f наз. ФУНКЦИЕЙ, заданной на множестве Х со значениями в множестве Y f
Y = f (x) или X → Y
Если X и Y – содержатся во множестве действительных чисел, то f – наз. числовой функцией.
Функция , определенная на множестве натуральных чисел, наз. последовательностью.
Числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел, наз. числовой последовательностью.
{аn} наз. возрастающей (неубывающей), если аn+1 ≥ an .
{an} наз. убывающей (невозрастающей), если аn+1 ≤ an .
Возрастающие и убывающие последовательности наз.монотонными
{an} наз. убывающей, если аn+1 < an .
строго
{an} наз. строго возрастающей, если аn+1 > an .
Последовательность наз. ограниченной сверху (снизу), если существует число М такое, что хR ≤ М (хR ≥ М) для всех R = 0,1,2,3,… .
Число а наз. ПРЕДЕЛОМ последовательности {xn}, если для любого ε > 0 найдется N, что для всех n≥N выполняется неравенство xn − a < ε
lim xn = a , говорят, что {xn} сходится к пределу а, или xn → a . n→∞
Переменная хn имеет своим пределом точку а, если вне любой окрестности этой точки имеется конечное или пустое множество точек хn .
Арифметические действия с переменными, имеющими предел
lim( xn ± Yn ) = lim xn ± lim Yn ,
lim( xn ⋅ Yn ) = lim xn ⋅ lim Yn ,
lim
xn lim xn = , если lim Yn ≠ 0. Yn lim Yn
10 2.2. Теоремы о числовых последовательностях
Т.1. Если переменная имеет предел, то он единственный.
Т.2. Если последовательноть {xn} сходится, то она ограничена
Т.3. Если переменная xn имеет не равный нулю предел а, то найдется такое N, что для всех n>N
xn >
a 2
Т.4. Если
Т.5. Если переменные xn и Yn стремятся к одному и тому же пределу а и xn ≤ zn ≤ Yn , то
xn → a, Yn → в и xn ≤ Yn для всех n = 1,2,...,
то а ≤ в.
, то есть,
начинается с некоторого номера, xn сохраняет знак а.
Следствие. Если элементы сходящейся последовательности {xn} принадлежат [а,в], то ее предел также принадлежит [a,в].
Т.6. Если хn→a , то
xn − a .
переменная zn также стремится к а.
Теоремы о пределах монотонных последовательностей
Т.1. Монотонная ограниченная последовательность всегда имеет предел
lim an = a ≤ M
n→∞
Т.2. Число е.
1 lim (1 + ) n = e n →∞ n
Т.3. Принцип вложенных отрезков. Пусть задана последовательнос ть отрезков, вложенных друг в друга, то есть, с длинами, стремящимися к нулю. Тогда существует и притом единственная точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам.
Т.4. Из всякой последовательности действительных чисел {xn} можно выделить подпоследовательность {xnк}, сходящуюся к конечному числу, или к+∞ , или к-∞.
Т.5. Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность {xnк}, сходящуюся к некоторому числу.
Т.6. Условие Коши сходимости последовательности. Последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда ∀ε>0 ∃ N, что для всех n ≥ N и m ≥ N имеет место неравенство xn − xm < ε Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, наз. фундаментальной последовательностью. Т.7. Критерий Коши существования предела. Для того, чтобы последовательность действительных чисел {xn} имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
11 2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ Способы задания
Аналитический
Графический
Табличный
Параметрический
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, составленная из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, умножения, возведения в степень, взятия функций от функции. Примеры: y = x 2 + 3 x; y = x cos x; y = sin 2 x; y = 1 − sin 2 x ; y = log sin x
Дробно-рациональная
НЕЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ – y=[x], y=|x| ….
Функция многих действительных переменных
Функция комплексного переменного
Трансцендентная
Алгебраическая Целая рациональная
Логический
Показательная
Тригонометрическая
Иррациональная
Обратные тригонометрические функции
Логарифмическая
Степенная Линейная
Квадратическая
Свойства
Монотонность
Действия
Сложение
Четность Вычитание
Основные элементарные функции
…..
Кубическая
Периодичность Умножение
Непрерывность
Наличие экстремумов Деление
Дифференцирование
Асимптоты
Наличие нулей
Интегрирование
Извлечение корня
Возведение в степень
Графики y=ax2+bx+c
y=ax+b y
y=axn
n=3
y=a/x
y= x
y=ax , a>1
y=loga x a>0, a≠1
n=4 a>0
n=2
1
y=ax
1 a>0
a x
1
1
n=3 y=sinx
1
0 y=tgx
y=arcsinx
π π
1 y=arctgx
y=[x]
y=|x|
2
1
2
π
2
-1
1 -1
2 3
Функция наз. ОГРАНИЧЕННОЙ на данном множестве Х, если существует такое M>0, что f ( x ) ≤ M при x ∈ X .
Функция наз. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ (б.б.) при х→а если ∀М>0 ∃δ>0, что для всех х≠а и удовлетворяющих неравенству x − a < δ → f ( x ) > M , то есть lim f ( x ) = ∞
x→a
x→a
(если М не существует, то (х) -неограниченная функция.)
Т.1. Если lim f ( x ) = A , где А-
Т.2. Если lim f ( x ) = A и А≠0-
конечное число, то f(x) ограничена в некоторой окрестности точки а.
конечное число, то существует окрестность точки а, в которой
x→a
α(х) наз. БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ (б.м.) при х→а, если limα ( x) = 0
x→a
f ( x) >
A 2
.
Т.3. Если f(x)→A при х→а и А≠0, то
1 - есть ограниf ( x)
12 Равносильны два утверждения:
1. lim f ( x ) = A и x→a
2. f ( x) = A + α ( x), где α ( x ) − б. м.
Т.4. Произведение ограниченной при х→а функции на б.м. есть функция б.м. при х→а.
Т.5. Если lim f ( x ) = ∞ , то x→a
1 lim = 0. Если x → a f ( x)
lim α ( x) = 0, то
ченная функция при х→а.
x→a
lim x→a
1
α ( x)
= ∞.
2.4. Основные теоремы о бесконечно малых
Т.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х→а функций есть б.м. при х→а.
Т.2. Произведение конечного числа бесконечно малых при х→а функций есть б.м. при х→а.
Т.3. Если α(х)-б.м. при х→а, f(x)-б.б. при х→а, то lim α ( x) = 0. x → a f ( x)
Т.4. Частное от деления б.м. на ограниченную функцию при х→а есть функция б.м.
Сравнение бесконечно малых Если lim x→a
α ( x) = A, где А≠0, то α β ( x)
и β наз. бесконечно малыми одного порядка при х→а. Замечание. Для сравнения двух функций еще используется символ: f(x)=0(g(x)) при х→а. Эта запись означает , что отношение f ( x ) в g ( x) окрестности а есть ограниченная функция, т.е. существует такое M>0, что f ( x) ≤M g ( x)
f ( x) ≤ M ⋅ g ( x) .
α ( x) = 0, а тогда x → a β ( x)
Если lim
lim x→a
β ( x) = ∞, то α наз. бескоα ( x)
нечно малой высшего порядка, чем β, а β-б.м. низшего порядка, чем α , при х→а. Это обозначают α=0(β) и говорят, что «α есть 0 малое от β».
Т.1. Если α(x)≈β(x), х→а, то β(x)≈α (x), х→а.
Если lim x→a
α ( x) = A ≠ 0, то α наз. бескоβ R ( x)
нечно малой порядка R относительно β. В этом случае α и βR –б.м. одного порядка при х→а.
Т.2. Чтобы б.м. α и β были эквивалентными, необходимо и достаточно , чтобы: α ( x) = β ( x) + 0( β ( x)), x → a. [ или : чтобы α - β была б.м. более высокого порядка, чем α (или β), т.е. α - β=0(α ), (или α - β=0(β)].
Если lim x→a
α ( x) = 1, то α и β наз. эквиваβ ( x)
лентными бесконечно малыми при х→а : α≈β.
Т.3. Если α(x)≈β(x), х→а, то lim[ f ( x ) ⋅ α ( x ) ] = lim[ f ( x ) ⋅ β ( x ) ], x→a
x→a
f ( x) f ( x) lim⋅ = lim . x → a α ( x) x → a β ( x)
13 2.5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть f определена на некоторой окрестности т. а, за исключением, быть может, самой точки а: А наз. ПРЕДЕЛОМ f в т.а, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < x − a < δ выполняется
А наз. ПРЕДЕЛОМ f в т.а. тогда и только тогда, когда для любой числовой последовательности{xn} такой, что lim xn = a
соотношение
( x ≠ a)
f ( x) − A < ε ,
Односторонние пределы. f(x) имеет в т.а ПРЕДЕЛ справа (слева) равный А,В и обозначается
f (a + 0) = lim f ( x) = A,
n→∞
f (a − 0) = lim f ( x) = B, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, что для всех х из интервала (а,а+δ) (а-δ,а) имеет место неравенство f ( x) − A < ε , f ( x) − B < ε
x→a
x→a
f ( x) → A ( x → a) y A+ε y=f(x) A A-ε a-δ
a a+δ
Т.1. Если f имеет предел при х→а, то он единственный.
lim f ( x) = A
x→a −0
lim f ( xn ) = A
lim f ( x) = A или
неравенство f ( x) − A < ε , что означает
x→a+0
выполняется равенство
y f(a+0)=A
Т.2. f имеет предел в т.а. тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке и левый, и правый пределы и они совпадают.
Основные теоремы о пределах
lim f1 ( x) = A1 ,
Т.4. Если
x→a
lim f1 ( x) = A,
lim f 2 ( x) = A2
lim f 2 ( x) = A
и на некоторой окрестности f1 ( x) ≤ f 2 ( x), то
и на некоторой окрестности f1 ( x) ≤ ϕ ( x) ≤ f 2 ( x),
x→a
A1 ≤ A2
f наз. возрастающей (не убывающей) на множестве Х, если из x1< x2, где х1, х2∈Х, следует неравенство f(x1)< f(x2) (соответственно f(x1)≤ f(x2))
lim f ( x) = A
x → −∞
y
y
0 a
Т.3. Если
x → +∞
A+ε • A A-ε
f(a-0)=B
x
Число А наз. ПРЕДЕЛОМ f при х→+∞ х→-∞ , если ∀ ε > 0 ∃м такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству x > м выполняяется
x→a x→a
то lim ϕ ( x) = A. x→a
Возрастающие и убывающие функции наз. строго монотонными
м
x
м
0
x
Т.5. Критерий Коши существования предела. f имеет предел в т.а. тогда и только тогда, когда ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, что для всех х1, х2, удовлетворяющих условию 0 < x1 − a < δ ,
0 < x2 − a < δ имеет место неравенство f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
f наз. убывающей (не возрастающей) на множестве Х, если из x1< x2, где х1, х2∈Х, следует неравенство f(x1)> f(x2) (соответственно f(x2)≥ f(x1)).
A+ε A • A-ε
Т.6. Пусть
lim f ( x) = A, lim ϕ ( x) = B,
x →a
x →a
где А и В- конечные числа. Тогда
lim[ f ( x) ± ϕ ( x)] = A ± B, x→a
lim[ f ( x) ⋅ ϕ ( x)] = A ⋅ B, x→a
и при условии, что В≠0,
lim x→a
f ( x)
ϕ ( x)
=
A B
Т. Если f возрастающая и ограничена сверху, т.е. f(x)<M для всех значений х, то она имеет предел
lim f ( x) = A, где A ≤ M . x→a
x
14 Решение примеров
lim ( x 3 + 3 x 2 − 4) = lim x 3 + lim 3 x 2 − lim 4 = 23 + 3 ⋅ 2 2 − 4 = 8 + 12 − 4 = 16 x→2
x→2
x
x→2
x→2
0
x
lim (5 − cos x ) = lim 5 − lim cos x = 5 − 1 = 0 x→0
x→0
x→0
Раскрытие неопределенностей
1) lim
x→3
( x − 2) ( x − 3) x2 − 5x + 6 0 x−2 1 = = lim = lim = ; 2 x → x → 3 3 0 ( x − 3) ( x + 3) x+3 6 x −9
2) lim
3+ x − 3 0 ( 3 + x − 3) ( 3 + x + 3) 3+ x −3 1 x ; = lim = = = lim = lim x→0 x ( 3 + x + 3) x→0 x ( 3 + x + 3) 0 x→0 x 2 3 x ( 3 + x + 3)
3) lim
0 ( x − 3) ( x + 3) ( x + 1 + 2) ( x − 3) ( x + 3) ( x + 1 + 2) x2 − 9 = = lim = lim = 24; x → x → 3 3 x +1− 4 ( x + 1 − 2) ( x + 1 + 2) x +1 − 2 0
x→0
x →3
2 2 1 3x3 2 x 2 1 1+ 2 3+ − 3 + 3 − 3 5 3 3 3x + 2 x − 1 ∞ ∞ x + 2x x x = 3; x x = lim x = 1 = ∞; 5) lim 4) lim = = lim = = lim x 2 x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 1 1 1 5 ∞ ∞ x→∞ 1 5x3 + x 5 x3 − x x 5+ 2 − 5 0 + 3 3 3 x x x x x 3 1 1 − 4 1+ 3 2 4 3 4 2 2 0 2 2 1 + − + ∞ 3x 2 − 1 ∞ x x x x x x x x = = 0 ; 7) lim = (∞ − ∞ ) = lim = = lim = ; 6) lim 4 − = = lim x 2 2 x→∞ x + 2 x→∞ 2 x − 1 x → ∞ ( 2 x − 1) ( 2 x + 1) 1 2x + 1 4 ∞ x→∞ 4 + 2 − 2 − 1 ∞ x→∞ 1 + 2 2 3 4 x x x x ( x + 1 − x + 5) ( x + 1 + x + 5) −4 x +1− x − 5 8) lim ( x + 1 − x + 5 ) = (∞ − ∞ ) = lim = lim = = 0; x→∞ x→∞ x → ∞ ∞ x +1 + x + 5 x +1 + x + 5 1 5− 2 2 5x − 1 ∞ 5 x + 5x − x − 1 x 9) lim ( x 2 + 5 x − x 2 + 1) = (∞ − ∞ ) = lim = lim = = lim = . 2 2 2 2 x→∞ x→∞ x→∞ x → ∞ x + 5x + x + 1 x + 5x + x + 1 ∞ 1+ 5 + 1+ 1 2 2 x x 3
2
15 2.6. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 1.
sin x =1 x →0 x
lim
x
x = 1 lim x → 0 sin x
2. lim 1 + 1 = e x → ∞
x
1 lim (1 + α )2 = e α →0
Решение примеров
sin x sin 6 x 6 sin 6 x = lim = 6 lim =6 x →0 x →0 x →0 6 x x 6x
lim
(
lim 1 + k
x→∞
sin 3x sin 3x 5 x cos 5 x 3 = = lim 3 x ⋅ ⋅ ⋅ x → 0 tg 5 x x →0 5 3x sin 5 x 5 x
) x
x
kt t k k 1 1 1 = = lim 1 + = x t = lim 1 + = e k t → ∞ t → ∞ t t x = kt x
x
x
2 2x + 1 2x + 1 + 2 2x + 3 lim + = = lim = lim x → ∞ 2 x + 1 x → ∞ x → ∞ 2 x + 1 2x + 1 2x + 1 2 1 = 1 t− t −2 2 1 x t + 1 2 1 1 lim 1 lim 1 1 ⋅ + = + = + = 2 x + 1 = 2t =e t → ∞ t → ∞ t t t x = 2t − t = t − 1 2 2
lim
2
kx kx 2 sin sin 2 2 1 − cos kx 2 = lim 2 ⋅k =k = lim lim x →0 x →0 x → 0 kx 2 2 x2 x2 2 2
2
sin x x − sin x sin tgx − sin x sin x sin(1 − cos x) x cos 2 ⋅2= 1 = lim = lim ⋅ lim = lim 2 x →0 x →0 x → 0 x ⋅ x 2 cos x x →0 x x3 x3 x 4 2
2x + 5 =α 3 3 5 3 2ч + 5 x α− lim 1 + = 2 x + 5 = 3α = lim (1 + α ) 2 2 = e 2 x → 0 α →0 3 x = 3α − 5 2 1
Задача о непрерывном начислении процентов Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Найти размер вклада Qt через t лет. При использовании простых процентов 2p p pt . размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину (р /100) Q0 , т.е.
Q1 = Q0 1 + , Q2 = 1 + ,..., Qt = Q0 1 + 100 100 100
p 1 + 100
На практике чаще применяют сложные проценты . Т.е. размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число 2
раз, т.е.
t
p p p Q1 = Q0 1 + , Q2 = Q2 1 + ,..., Qt = Q0 1 + . 100 100 100
Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то процент начисления за 1/ n-ю часть года составит (р/n) %, а размер вклада за t лет при nt начисnt
p Если полагать, что проценты по вкладу начисляются ежеквартально, ежемесячно, каждый день, каждый час, т.е. n→∞, то размер Qt = Q0 1 + . 100n 1 pt p = nt pt x вклада за t лет составит p 1 100 n x 100 = Q0 ⋅ lim 1 + = Q0 ⋅ e 100 Qt = lim Q0 1 + n 100 → ∞ n→∞ x n x 100 x= p
лениях составит
16 Примеры бесконечно малых и бесконечно больших
1) y = sin x при x → 0, т.к. lim sin x = 0
1 1 4) y = при x → 0, т.к. lim = ∞ x →0 x x
2) y = x 2 − 1 при x → −1, т.к. lim ( x 2 − 1) = 0
5) y = tgx при x →
x →0
x → −1
1 =0 x →∞ 6 x
3) y = y − 6 − x при x → ∞, т.к. lim 6 − x = lim x →∞
π 2
, т.к. lim tgx = ∞
6) y = 3 x при x → ∞, т.к. lim 3 x = ∞ x →∞
Эквивалентные бесконечно малые 1) sinx ~ x,
2) arcsinx ~ x,
3) tgx ~ x,
5) 1-cosx ~ (x2/2),
4) arctgx ~ x,
6) ex-1 ~ x,
7) ln(1+x) ~ x,
8) (1+x)n-1 ~ nx,
9) ax-1 ~ xlna,
10) n 1 + x − 1 ~ ( x / n)
Применение эквивалентных бесконечно малых и к вычислению пределов
α x+2 ax −1 x ln a ex − e e (e x −1 − 1) e (eα − 1) sin ( x + 2) 1 = lim = ; = lim = ln a; = lim = lim = lim e = e; 2) lim 3) lim 2 0 0 1 1 0 0 x → −2 x x x x x → → → − → → → → α α α α x x x −1 x −1 4x + 8 4( x + 2) 4 arcsin x 2− 3 x ⋅ 3x 3 sin 3 x ln(1 + 3 x ) 2 −1 1 2 x − arcsin x x = ; = lim = ; = lim = lim 5) lim 4) lim 3 2 5 x 0 x → 0 2 x + arctgx x→0 x → arctgx 2 +1 3 x ⋅ 53 x 5 − 1) ( arctg x ) (e 2+ x 2 ( 1 + x sin x + cos x ) 1+1 1 x x 2 ( 1 + x sin x + cos x ) = lim = lim = lim = ; 6) lim 0 0 x→0 x → x → − 1 cos sin 1 x x x 1 + x sin x − cos x 1 + x sin x − cos x +1 3 + 2 x2 x2 1 x sin x cos 2 x x ⋅1 x sin x x sin x 7) lim 2 = lim = lim = lim = ; x → 0 tg x + 1 − cos 2 x x → 0 sin 2 x x → 0 sin 2 x (1 + 2 cos 2 x ) x → 0 x (1 + 2) 3 + 2 sin 2 x 2 cos x (т.к. cosx ~ 1, sinx ~x) y y π π 2 0 8) lim (1 − x ) tg x = (0 ⋅ ∞ ) = lim y tg (1 − y ) = lim = = lim = ; x →1 y → 0 y → 0 y → 0 π π 2 2 tg y 0 y π 1) lim
2
2
(т.к. tg π y ~ π при y→0)
2
arcsin 3 x + 5 x 3 3 x + 0( x ) 3 0 9) lim = = lim = x → 0 sin 2 x + (e x − 1) 5 x 0 → 2 x + 0( x ) 2 0 arcsin 3 x ~ 3 x (e x − 1) 5 ~ x 5 sin 2 x ~ 2 x x 5 ~ 0( x ) 5 x 3 ~ 0( x )
2
17 2.7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 , в том числе в самой точке х0 .
Функция наз. НЕПРЕРЫВНОЙ в точке х0 если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ х, стремится к нулю при ∆ х→ 0:
Функция НЕПРЕРЫВНА в точке х0 если для всякого ε>0 ∃δ>0 такое, что
f ( x) − f ( x0 ) < ε ,
lim ∆y = lim [ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0
∆x → 0
∀x : x − x0 < δ .
∆x → 0
y
f(x0)
f(x) НЕПРЕРЫВНА в точке х0 , если существуют пределы f(х0+0) и f(х0-0) такие , что
M ∆y M0
Если f(x) не является непрерывной в точке х0 , то она наз. разрывной в точке х0 .
f ( x0 + 0) = f ( x0 − 0) = f ( x0 ).
∆x
x0 +∆x 0 x0 f(x) непрерывна в точке x0
Если х0 – точка разрыва, то х0 наз. точкой разрыва 1-го рода, если f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. y
x
Функция , определенная на интервале (а,в) и непрерывна в каждой его точке, наз. непрерывной на интервале (а,в). Функция наз. кусочно-непрерывной на отрезке [а,в], если она имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода.
f(x0+0)
y
в
х
Если х0 – точка разрыва, то х0 наз. точкой разрыва 2-го рода, если по крайне мере один из пределов справа и слева не существует или бесконечен. y
0
скачок x0
Точка разрыва 1-го рода x2
x1 − x2 < δ
f(x0) f(x0-0)= f(x0+0)
0
x1
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε
y y=f(x)
x
x0
Точка разрыва 2-го рода.
f(x0-0)
a
Функция, определенная на множестве Х, наз. РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНОЙ на этом множестве, если ∀ε>0∃δ>, зависящее только от ε, такое , что для всех х1, х2 ∈Х, удовлетворяющих неравенству
y=f(x) f(x0+∆x)
f(x) наз. НЕПРЕРЫВНОЙ в точке х0 , если для любой последовательности {xn} значений аргумента, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность функций {f(xn)} сходится к f(х0).
0
x0
x
Точка разрыва 1-го рода , устранимый разрыв
x
18 2.8. Основные теоремы о непрерывных функциях
Т.1. Если f(x) и ϕ(x) непрерывны в х0 , то в этой точке непрерывны и следующие функции: 1. с⋅f(x), 2. f(x) ± ϕ(x), 3. f(x) ⋅ ϕ(x), 4.
Т.2. Если ϕ(x) непрерывна в точке а и f(y) непрерывна в точке y=ϕ(a) , то функция от функции (сложная функция) F(x) =f(ϕ(x)) непрерывна в точке а.
Т.3. Все основные элементарные функции непрерывны в области своего определения.
Т.4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
Т.5. Функция, обратная к строго монотонной непрерывной функции, непрерывна в интервале своего определения.
f ( x) , ϕ ( x) ≠ 0 ϕ ( x) Свойства функций, непрерывных на отрезке
Т.1. Всякая непрерывная на отрезке [а,в] функция ограничена на нем.
Т. Вейерштрасса. Всякая непрерывная на [а,в] функция принимает на нем как наибольшее так и наименьшее значение. y M m 0 a в Лемма. Если функция непрерывна в точке х0 и f(х0) ≠ 0, то существует окрестность точки х0 , в которой функция сохраняет знак.
x
Т.3. Функция , непрерывная на отрезке [а,в] , принимает на этом отрезке все значения между любыми двумя ее значениями.
Т.Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Т. Пусть f(x) непрерывна на [а,в] f(a)=A, f(в)=В. Тогда для любого С, заключенного между А и В, существует такая точка с ∈ (а,в), что f(c)=C. y
Т. Если f(x) непрерывна на [а,в] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то между а и в найдется по крайней мере одна точка х=С, в которой функция обращается в нуль. y
В С А 0 а
с
в
х
0
а с
в
х
19 Решение примеров 1) Исследовать на непрерывность
y=
x
, доказав, что lim ∆y = 0
1 + x2
∆x → 0
Решение. Возьмем любое значение х и дадим ему приращение ∆ х, функция получит приращение ∆ y :
∆y=
x+∆x x x + ∆ x + x 3 + x 2 ∆x − x − x 3 − 2 x 2 ∆ x − x ( ∆x ) 2 ∆ x − x 2 ∆x − x ( ∆x ) 2 ∆x (1 − x 2 − ∆x ) ; − = = = 1 + ( x + ∆x ) 2 1 + x 2 1 + ( x + ∆x ) 2 (1 + x 2 ) 1 + ( x + ∆x ) 2 (1 + x 2 ) 1 + ( x + ∆x ) 2 (1 + x 2 )
[
lim ∆y = lim
∆x → 0
∆x → 0
2
∆x (1 − x − ∆x )
[1 + ( x + ∆x) ] (1 + x 2
2) Исследовать на непрерывность
2
)
=0
]
[
при любом
y = ( x 2 − 2) e x +
фиксирован ном
]
[
]
х.
x 2 + 1 sin x .
Каждое слагаемое этой функции является элементарной функцией, т.е. по Т.3 является непрерывной функцией, а так как произведение, сумма непрерывных функций по Т.1 является непрерывной функцией, то ответ: данная функция непрерывна при всех значениях х, где она определена. 3) Исследовать на непрерывность
x=2
x 2 + 1 y= 5 x x=3
A = lim ( x 2 + 1) = 5 x→2−0 lim 5 = 5 B = x → 2+0
при при при
−∞<x≤2 2< x≤3 x>3
A = lim 5 = 5 x →3− 0 B = lim x = 3 x →3+ 0
C = f (5) = ( x 2 + 1) x = 5 = 5
A≠ B
A=B=C
x = 3 т. разрыва
x=5
− x +1 x ≤ −π 4 y = tgx −π < x a1 ), функции Л. Торнквиста x − c1
y=
b2 ( x − a 2 ) ( x > a2 ) x − c2
y=
b3 ( x − a3 ) ( x > a3 ) x − c3
мы можем установить уровни доходов а1, а2, а3, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения b1, b2 для групп товаров первой и второй необходимости. у объем предметы спроса роскоши
2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ). кол-во товара кривая спроса q(p)
кривая предложения S(p)
3. Изучая в теории потребительского спроса КРИВЫЕ БЕЗРАЗЛИЧИЯ (линии, вдоль которых полезность двух благ х и у одна и та же), например, задаваемые в виде ху=V, и ЛИНИЮ БЮДЖЕТНОГО ОГРАНИЧЕНИЯ рхх+руу=J при ценах благ рх и ру и доходе потребителя J, мы можем установить оптимальные количества благ х0 и у0, имеющих максимальную полезность V0. у
4. Рассматривая ФУНКЦИИ ИЗДЕРЖЕК (ПОЛНЫХ ЗАТРАТ) с(q) и ДОХОДА фирмы r(q), мы можем установить зависимость ПРИБЫЛИ П(q)=c(q)-r(q) от объема производства q и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно (0 0, a > 0 )
(sin x )/ = cos x
(e x ) / = e x
(cos x ) / = − sin x
( a x )′ = a x ln a Сложная функция y=f ( φ(x) ) , если y= f (u), а u=φ (x).
y / = f ′(u ) ⋅ u ′
Обратная функция x = φ (y), если y=f(x) – дифференцируемая, строго монотонная функция /
xy =
Решение примеров
1) y = ln( x 3 − 3 x 2 ),
1 /
( y x/ ≠ 0)
)
1 ⋅ ( −2 x ) 2 1− x
2
arcsin x + 1 − x 2
1 1− x
2
=1−
3
6x − 1 2x + 1 , 5 15 x − 4
1 3 2 y′ = y + − 6 x − 1 2 x + 1 15 x − 4
x arcsin x
x = ϕ (t ) y = ψ (t )
dy / y dy = t = dt y x/ = dx xt/ dx dt
6) y 3 + 3 x − 3 y − 1 = 0
y′ = ?
3 yy 2 / + 3 − 3 y ′ = 0 y′ =
1 1 − y2
x = t2 − 1 7) 3 y = t + 5
1 − x2
4) y = x + ln x, y x/ = 1 + x y/ =
Параметрически заданная функция
y′ = ?
′ 1 1 1 ′ (ln y ) = ln( 6 x − 1) + ln( 2 x + 1) − ln(15 x − 4) = 2 5 3 y′ 6 2 15 = = + − y 3 (6 x − 1) 2 ( 2 x + 1) 5 (15 x − 4)
3) y = 1 − x 2 ⋅ arcsin x, y ′ = ? ′ y ′ = 1 − x 2 arcsin x + 1 − x 2 ⋅ (arcsin x )′ = =
Неявно заданная функция F(x,y)=0. Дифференцируем по х обе части уравнения, рассматривая y как функцию от х находим y/ .
y ′ f ′( x ) (ln y )′ = = y f ( x)
5) y =
y ′ = 3 sin 2 5 x ⋅ cos 5 x ⋅ 5
(
Логарифмическая производная
y′ = ?
1 3x 2 − 6 x 3x − 6 = y′ = u′ = 3 u x − 3x 2 x 2 − 3x 2) y = sin 3 5 x, y ′ = ?
1 cos 2 x 1 (ctgx ) / = − 2 sin x (arcsin x )/ = 1 2 ( x < 1) 1− x 1 ( x < 1) (arccos x ) / = − 1 − x2
(tgx ) / =
y x/
1 x +1 = x x
x x +1
и
x y/ = ?
y x/ =
y x/ = ?
yt/ 3t 2 3 = = t 2t 2 xt/
23 3.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производной n-го порядка наз. производная от производной (n-1) порядка y ′′ = ( y ′)′,
y ′′′ = ( y ′′)′,...
y ( n ) = ( y ( n −1) )′
Решение примеров
3) Найти
1) Найти y / V от y = sin 2 x y ′ = (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x y ′′ = ( 2 cos 2 x )′ = −4 sin 2 x
y′ =
y / V = ( −8 cos 2 x )′ = 16 sin 2 x x = a sin t y = b cos t
Геометрические приложения
y ′′′ = (3 x 2 + 12 x + 6) e x + ( x 3 + 6 x 2 + 6 x ) e x = ( x 3 + 9 x 2 + 18 x + 6) e x
M0 (x0 , y0 ) α x
Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к y = x 3 + 2 x в т.М (1,3)
y ′ = 3 x + 2, y ′(1) = 3 + 2 = 5 y − 3 = 5 ( x − 1), y − 5 x + 2 = 0 2
x + 5 y − 16 = 0
y ′′′ = 60 ( x + 1) 2
y ′′ = (6 x + 3 x 2 ) e x + (3 x 2 + x 3 ) e x = ( x 3 + 6 x 2 + 6 x ) e x
касательной
x0
y ′′ = 20 ( x + 1) 3 ,
5) y ′′′ = ? y = x 3e x y ′ = 3 x 2 e x + e x x 3 = (3 x 2 + x 3 ) e x
y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ( x − x0 )
y
1 y − 3 = − ( x − 1) 5
1 cos 2 t
y ′ = 5 ( x + 1) 4 ,
/ b − b sin t ′ y y x = t/ = = − tgt a cos x a xt ′ b b 1 tg − t − 2 b a = a cos t = − y ′x′ = / 2 a cos t ( a sin t ) t a cos 3 t
y0
y = tgt
′ 1 2 cos t sin t 2 sin t = = y ′′ = 2 cos 4 t cos 3 t cos t 4) y ′′′ = ?, если y = ( x + 1) 5
y ′′′ = ( −4 sin 2 x )′ = −8 cos 2 x ″ 2) y x = ?
y ′′, если
уравнение касат . уравнение нормали
уравнение
Уравнение нормали , т.е. прямой, проходящей через M0 (x0 , y0 ), перпендикулярно касательной:
y − f ( x0 ) = −
1 ( x − x0 ) y ′( x0 )
Пример 2. x = t − sin t Найти ур-ие касательной и нормали в т. t =
y = 1 − cos t π π π x0 = 2 − sin 2 = 2 − 1 π y0 = 1 − cos = 1 2 π 1 y − 1 = + x − + 1 1 2 π y − 1 = −1 x − + 1 2
y ′x =
(1 − cos t ) t/ sin t = (t − sin t ) t/ 1 − cos t
2x − 2 y + 4 − π = 0 2x + 2 y − π = 0
π. 2
π y ′ = 1 2
ур. касательно й
ур. нормали
24 3.4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Закон теории производства. Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. Т.е. уровень выпуска х0 является оптимальным для производителя, если MS(x0)=MD(x0), где MS – предельные издержки, а MD – предельный доход. Обозначим за С(х) – функцию прибыли. Тогда С(х)=D(x)-S(x). Значит, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска х0, при котором С(х) имеет максимум., значит в этой точке С/(х)=0. Но C/(x)=D/(x)-S/(x), поэтому D/(x0)=S/(x0), т.е. MD(x0)=MS(x0).
Закон об уровне наиболее экономического производства. Уровень наиболее экономического производства определяется равенством средних и предельных издержек. Средние издержки AS(х) определяются как S ( x) , т.е. издержки по x производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке у=AS(x), т.е. при условии S ′ ( x) − S AS ′( x) = = 0, x2 откуда S ′( x) − S = 0 или S ′ S , x т.е. MS(x)=AS(x).
Закон убывающей доходности. С увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает. Иными словами, величина ∆у , ∆х где ∆х – приращение ресурса, а ∆у – приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении х. Или закон формулируется так: Функция у=f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.
Закон убывающей полезности. С ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Или функция полезности является функцией, выпуклой вверх. Функция полезности V=V(x), где х-товар, а V-полезность, которая очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом.
Задача. Функция издержек имеет вид С(х)=10+(х2/10). На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). в дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за едтницу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?
Решение. Средние издержки A( x) = 10 + x принимает минимальное значение при х=10. предельные издержки M ( x) = x . При установившейся цене р=4 оптимальное значение x 10 5 Р(х) выпуска задается условием максимизации прибыли: Р(х)=4х-С(х)→max, т.е. 4=М(х), откуда хопт = 20 . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.
25 3.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 наз. ГЛАВНАЯ линейная относительно ∆х часть приращения функции в этой точке dy=f/(x0)∆x
(∆ f =df+0(∆x)).
Т. Для того, чтобы функция f(x), определенная в Х, была дифференцируема в х∈Х, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в точке Х. Доказательство (необходимость). Пусть f(x) дифференцируема в точке Х. Разделим ∆у на ∆х, получим ∆y = C + α (∆x) . Очевидно, что правая часть выражения при ∆х→0 имеет предел ∆x С, поэтому lim ∆y = y ′ = C ∆x → 0 ∆ x
Доказательство (достаточность). Пусть f(x) имеет конечную производную в точке Х, тогда поэтому у(х) дифференцируема в точке х.
Геометрический смысл дифференциала. Следствия 1. dy = y ′( x)dx
dy 2. = y ′( x) dx
М// у(х+∆х) у(х)
М
Q
Х
М/ Р
ММ/ - хорда ММ// - касательная М/Р = ∆ f М//Р=∆хtgQ=f/ (x) ∆x=df
х+∆х
Приближенные вычисления с помощью дифференциала Пример. Вычислить 1,07 . Рассмотрим f ( x ) = x 0,5 в окрестности х=1.
1 , принимая ∆х=0,07, получаем 2x f (1 + 0,07) ≈ 1,07 ≈ f (1) + f ′(1) ⋅ 0,07 ≈ 1,0035 f ′( x) =
- дифференциал численно равен приращению ординаты касательной , проведенной к графику ф х в точке Х
Дифференциалы высших порядков
dy = f ′( x)dx, d 2 y = d (d f ( x)) = d ( f ′( x) ∆x) = ( f ′( x)∆x)′∆x = f ′′( x)∆x 2 + f ′( x) (∆x)′ ∆x, т.к. ∆x′ = 0, d 2 y = f ′′( x)∆x 2 = f ′′( x)∆x 2 − второй дифференциал функции в точке х Аналогично : d n f = f ( n ) dx n дифференциал n порядка,
Пример. y = e 3 x . dy = (e 3 x ) ′dx = 3e 3 x dx, d 2 y = (3e 3 x dx) ′dx = 9e 3 x dx 2 .
dn f = f ( n ) ( x). dx n
26 ТЕМА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 4.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Т.1. (Обобщенная о среднем). Если функции f (x) и φ (х) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b) , то существует хотя бы одна точка с (a0, то y=logax возрастает при х∈(0,+∞). 4. y ′ =
у
х
29 4.4. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0 наз. точкой МАКСИМУМА функции y=f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x) ≤ f ( x0 ) .
у
Точка х1 наз. точкой МИНИМУМА функции y=f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f ( x) ≥ f ( x1 ) . х1
х0
х
Значения функции в точках х0 и х1 наз.соответственно МАКСИМУМОМ и МИНИМУМОМ , которые объединяются общим названием ЭКСТРЕМУМОМ функции. Т.к. имеем достаточно малую окрестность точки х0 и х1, то экстремум наз. локальным экстремумом, на некотором промежутке может быть несколько экстремумов.
у
f max ( x0 ) < f min ( x3 ) х0
1 достаточное условие экстремума. Т. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума, а если - с минуса на плюс, то точка минимума.
Необходимое условие экстремума: Для того, чтобы функция y=f(x) имела ЭКСТРЕМУМ в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f/(x0)=0) или не существовала. у у/=0 у =-х у=+х у/=0
х
y′ = x
y/>0 +
′ не существ.
y/tgα1). функция ВОГНУТА на Х.
α2
f(x1)
x
x1
х1 + х 2 2
α1
х
x2
Достаточные условия выпуклости функции 1. Функция ВЫПУКЛА на Х тогда и только тогда, когда ее у/ на Х монотонно УБЫВАЕТ (tgα2>tgα1).
2. Если у// дважды дифференцируемой функции ОТРИЦАТЕЛЬНА на Х, то функция ВЫПУКЛА на Х.
ТОЧКОЙ ПЕРЕГИБА графика непрерывной функции наз. точка, разделяющая интервалы, в которых функция вогнута и выпукла. НЕОБХОДИМОЕ условие перегиба. Т. у// дважды дифференцируемой функции в в точке перегиба х0 РАВНА НУЛЮ , т.е. у// (х0)=0.
ДОСТАТОЧНОЕ условие перегиба. Т. Если у// дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 –т. перегиба X1
ПРИМЕРЫ Найти интервалы выпуклости, точки перегиба. 3 2 1. у = 13 х − х .
y′′ = х 2 − 2 х, у′′ = 2 х − 2, у′′ = 0, х=1 у// 0 + у т.перегиба ∩ ∪ (-∞,1) – интервал выпуклости (1,+∞) – интервал вогнутости
х =1
Решение. 2. y = 3 x − 2.
y′ = 1 3
2 − ( х − 2) 3 ,
3.
у ′′ = −
2
9 ( х − 2) у//≠0, у// не существует при х=2. х=2 у// + ∞ у т.перегиба ∪ ∩ (-∞,2) – интервал вогнутости (2,+∞) – интервал выпуклости 3
5
Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.
у// 1 , то спрос – эластичный,
E x ( y ) = 1 , то спрос единичной эластичности, E x ( y ) < 1 , то спрос неэластичный относительно цены.
Свойства. 1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной х на темп изменения функции T = (ln y )′ = y ′ , E ( y ) = x ⋅ T y x y y 2. E (uv ) = E (u ) + E (v ), E u = E (u ) − E (v ) x x x x x x v 1 3. E x ( y) = E y ( x)
Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб) выражается формулой у=-0,5х+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.
Решение.
E x ( y) = на 0,6%.
Геометрический смысл М В
α
N C ∆МВN~∆МАС, MN MB = , MN = xtgα , MC MA MC = y. x x MB E x ( y ) = ⋅ y ′ = tgα = − y y MA эластичность (по абсолютной вел.) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями ох и оу. А
х − 0,5 х = , при х = 60 Е х ( у ) = −0,6, т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн.руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости − 0,5 х + 80 х − 160
36 ТЕМА 5. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 5.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители (или детерминантом) называется число, которое ставится в соответствии любой квадратной матрице. Определитель 2-го порядка
Определитель 1-го порядка
∆ 1 = А = а11
∆2 = А =
а11
а12
а21
а22
Определитель 3-го порядка
а11 ∆ 3 = А = а21
=
а12 а22
а13 а23 = а11а22 а33 + а12 а23 а31 + а21а32 а13 − а31а22 а13 − а12 а21а33 − а32 а23 а11
= а11а22 − а12 а21 Определитель n-го порядка
∆n = А =
a11 a21
a12 a22
... a1n ... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
...
= ∑ ( −1) r (i ) а1i1 ...а2i 2 ...аni n
О
О
О
О
О
О
О
О
О
(правило треугольников или правило Сарруса)
(i )
Дана квадратная матрица n-го порядка Минором Mij элемента аij матрицы называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца Пример.
M 12
a11 = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a a23 = 21 a31 a33
a23 = а21а33 − а23a31 a33
Алгебраическим дополнением Аij матрицы n-го порядка наз. его минор, взятый со знаком (-1)i+j : Аij = ( −1) i + j M ij . Пример: А12 = (−1)1+ 2 M 12 = − M 12 = −( a21a33 − a23a31 )
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбцов) на их алгебраические дополнения n
∆ = а i1 Ai1 + а i 2 Ai 2 + ... + а in Ain = ∑ a is Ais . S =1
1 −1 1 Пример: A = 2 1 1 . Найти определитель A . 1 1 2 1 способ: ∆ = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − ( −1) ⋅ 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 (пр. Сарруса) 1 1 2 1 2 1 2 способ: ∆ = 1 ⋅ − (−1) ⋅ + 1⋅ = −1 ⋅ (2 − 1) + (4 − 1) + (2 − 1) = 1 + 3 + 1 = 5 (разложили по элементам 1 строки) 1 2 1 2 1 1
37 5.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
Следствие.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число.
Общий множитель для всех элементов какой либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя
3. При транспонировании матрицы ее опредеТ
А = А.
литель не изменяется
4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.
n
∑ ais Ais = 0
a21 a31
a23 = λ a33
a22 a32
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
8. ∆ матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
при i ≠ j
λa11 λa12 λa13
9. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.
АВ = А ⋅ В
S =1
2 Пример:
−5
1
2
− 3 7 −1 4 =− 5 −9 2 7 4
−6
1
2
1
−5
2
2
1 −5
−1 7 − 3 4 0 =− 0 2 −9 5 7 1
−6
4
2
(поменяли местами I и III столбцы, изменился знак ∆)
0
2
2
1 −5
2
2
1 −5 2 2
1 −5 2
2
2 1
−1 6 0 = 1 3 0
1 2
1 3 0 = −1 6 0
1 0
1 3 0 = 3 0 0
1 0
1 3
1
−2 0
1
−2 0
0
3 3
0
0
0 −3
0
(сложили I и II строки, (поменяли местами умножили I на (-2), II и III строку, изсложили с III, вычли менился знак ∆) из I-IV строку)
0
(умножили на 2 (из III вычли II строку и вычIV строку) ли с III, из II вычли IV)
3 = −9 0 ∆ треугольной матрицы = произведению диагональных элементов
38 5.3. МАТРИЦЫ Система mn чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов наз. МАТРИЦЕЙ размера m·n и обозначается
Определение
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n A= ..... ..... ... .... a m1 am 2 ... amn
a11 a21 ...
... a1n ... a2 n ... ...
am1
..
amn
a11 ... a1n a21 ... a2 n ... ... ... am1 ... amn
, а также
air и ( d ir ).
m=n А- квадратная матрица
∆=det A≠0 А- невырожденная (неособенная)
∆=det A=0 А-вырожденная (особенная)
1 0 0 E = 0 1 0 0 0 1 0 при i ≠ r air= 1 при i = r
Частные случаи 0 a11 0 0 a22 0 0 0 a33 (аir=0 для всех i≠r) диагональная матрица
Фундаментальные понятия
A11 A21 ... An1 A22 ... An 2 1 A A−1 = 12 ∆ ... ... ... ... A 1n A2 n ... Ann −1 −1 ( A ⋅ A = A ⋅ A = E) А-обратная матрица
m≠n А- прямоугольная матрица
0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 (air=0) нулевая матрица
Е- единичная матрица
AT = A−1 (или AT ⋅ A = A ⋅ AT = E ) А- ортогональная матрица
a11 a12 a 13
a12 a22 a23
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 T A = ... ... ... ... a 1n a2 n ... amn транспонированная, сопряженная матрица
a13 a23 a33
n=1 матрица – столбец a11 a21 ... a m1 m=1 (a11 a12 ….a1n ) матрица- строка
Две матрицы наз. равными, если число строк и столбцов одной из них соответственно равны числу строк и столбцов другой, соответствующие элементы этих матриц равны aij = bij , A = B.
(aij = a ji , A = AT ) симметрическая, самосопряженная матрица
Действия над матрицами Суммой (разностью) матриц А,В одинакового размера наз. третья матрица С такого же размера, у которой cij = aij ± bij (i = 1, m C = A± B
j = 1, n)
Произведением матрицы А на число λ наз. матрица λa12 λa A ⋅ λ = λ ⋅ A = 11 λa21 λa22 элементы которой получены умножением всех элементов матрицы А на число λ λ ⋅ A = λaij (i = 1, m, j = 1, n)
Произведением матрицы А из n строк и m столбцов на матрицу В из m строк и l столбцов наз. матрица С=А⋅В, которая получается следующим образом С=А⋅В= = a1
a4
a2 a5
b1 b2 a b + a b +a b a3 ⋅ b3 b4 = 1 1 2 3 3 3 a6 a4b1 + a5b3 + a6b3 b5 b6
a1b2 + a2b4 + a3b6 a4b2 + a5b4 + a6b6
39 Пример: А = 3 5
Пример:
0 2 , 6 1
2 0 1 , А = − 1 3 0
4 1 0 4 4 2 С = А + В = В = 1 5 2 7 10 3
2 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−1) + 1 ⋅ (−1) 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 3 + 1⋅1 1 1 0 2 ⋅1 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 4 6 1 1 В = 2 − 1 3 С = А ⋅ В = = 4 −1 1 − 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) + 0 ⋅ (−1) − 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 5 − 4 9
В·А (у В – в строке 3 элемента, у А – в столбце 2 элемента, следовательно, матрицу В нельзя умножить на А). Матрицы А и В наз. сцепленными , если количество элементов в строке матрицы А равно количеству элементов в столбце матрицы В.
Свойства : 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(В+С) 3) λ(А+В)=λА+λВ 4) А(В+С)=АВ+АС 5) (А+В)С=АС+ВС 6) λ(АВ)=(λА)В=А(λВ) 7) А(ВС)=(АВ)С Примеры : 1) А =
1 2 . Найти А2. 3 4 1 2 1 2 7 10 = А2 = 3 4 3 4 15 22 1 2 3 . Найти АТ. 2) А = 4 5 6 1 4 Т А = 2 5 . 3 6
Пример: А+0=А – где 0 – нулевая матрица 0·А=0
2 5 . Найти А-1. А = 6 1
∆=
2 5 6 1
= 2 − 30 = −28 ≠ 0
А −1сущ.
2 5 АТ = 6 1 А11 = (−1)1+1 ⋅ 1 = 1
А12 = (−1)1+ 2 = −5
А21 = (−1) 2+1 6 = −6
А22 = (−1) 2+ 2 ⋅ 2 = 2
1 1 − 5 − 28 − 6 2 Проверка : А −1 =
1 1 − 5 2 5 1 1 ⋅ 2 + (−5) ⋅ 6 1 ⋅ 5 + (−5) ⋅ 1 = − = 28 − 6 2 6 1 28 − 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 − 6 ⋅ 5 + 2 ⋅ 1 0 1 0 1 − 28 = =Е = − − 28 0 1 28 0 А −1 ⋅ А = −
40 5.4. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ. Дана прямоугольная матрица a11 a12 a22 a A = 21 ... ... a m1 am 2
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
Выделим в матрице А R произвольных строк и R произвольных столбцов. Определитель R-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, наз. МИНОРОМ R –го порядка матрицы А.
Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ понимают: 1. замену строк столбцами, а столбцов- соответствующими строками ; 2. перестановку строк матрицы; 3. вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю; 4. умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля; 5. прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
РАНГОМ матрицы А наз. наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. r(A). Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, наз. БАЗИСНЫМ МИНОРОМ матрицы. Если r(A)=r(B), то матрицы А и В наз. ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ.
А ~ В.
ПРИМЕРЫ 1.
Определить ранг матрицы
4 3 2 2 A = 0 2 1 1 0 0 3 3 Решение. Вычтем из элементов 4-го столбца элементы 3-го столбца, а затем вычеркнем 4-й столбец:
4 3 2 2 4 3 2 0 4 3 2 A = 0 2 1 1 ~ 0 2 1 0 ~ 0 2 1 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 3 4 3 2 2 1 = 24 ≠ 0 , то ранг матрицы равен 3. 0 0 3
Так как 0
2. Определить ранг матрицы и найти базисные миноры матрицы
1 0 2 0 0 A = 0 1 0 2 0 2 0 4 0 0 Решение. 1 0 2 0 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 ~ ~ ~ 1 0 2 0 ~ 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 2 0 4 0 0 2 0 4 0 1 0 2 0 0 0 0 0 r=(A)=2. Базисными минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличные от нуля.
1 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0 0 2 , , , , , , , . 0 1 0 2 1 0 0 2 2 0 2 0 0 4 4 0 Таким образом, матрица А имеет 8 базисных минора.
41 ТЕМА 6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ m ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ C n НЕИЗВЕСТНЫМИ
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 (1) a21 y1 + a22 y2 + ... + a2 n yn = 0 (2) a x + a x + ... + a x = b a y + a y + ... + a y = 0 m2 2 mn n m mn n m1 1 m1 1 m 2 2
a11 a12 a22 a A = 21 ... ... a m1 am 2
Система (1) наз. НЕОДНОРОДНОЙ
наз. МАТРИЦЕЙ системы
Система (2) наз. ОДНОРОДНОЙ
Система уравнений (1) наз. СОВМЕСТНОЙ, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система наз. ОПРЕДЕЛЕННОЙ, если она имеет только одно решение r (A)=n (∆≠0, ∆i-любые)
Совместная система наз. НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ, если она имеет больше одного решения. r(A)0 и противоположно ему при λ0. если Х≠0 и (Х,Х) =0 при Х=0
Число линейно независимых векторов пространства наз. РАЗМЕРНОСТЬЮ пространства и пишется d(R) =n.
Упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства наз. БАЗИСОМ .
Теорема. Каждый вектор линейного n-мерного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.
Теорема. Если любой вектор линейного пространства R может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов e1 , e 2 ,...., e n
то d(R)=n
e1 , e 2 ,...., e n
(а следовательно, векторы образуют базис в пространстве R)
Линейное пространство R/ наз. ПОДПРОСТРАНСТВОМ линейного пространства R, если элементами пространства R/ являются только элементы пространства R.
54 7.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И МАТРИЦЫ
y = f ( x ) , т.е. каждому вектору x ∈ R ставится в соответствие вектор y ∈ R . Такая функция y называется ОТОБРАЖЕНИЕМ (ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ, ОПЕРАТОРОМ) линейного пространства R в линейное пространство R. Вектор y наз. ОБРАЗОМ вектора х и вектор х - ПРООБРАЗОМ вектора y .
Пусть R – линейное пространство, в нем задана векторная функция
Отображение А линейного пространства А↔А наз. ЛИНЕЙНЫМ , если 1.
2. A (λ x ) = λ A ( x )
А ( x + y ) = A ( x ) + A ( y ); Свойства линейных отображений
1. При линейном отображении нулевой вектор переходит в нулевой А(0)=0
2.
Если
зависимы,
векторы
то
e1 , e 2 ,...., e n и
их
линейно образы
А (e1 ), А (e2 ),...., А (en ) линейно зависимы.
3. Если m-мерное подпространство V линейно отображены на n-мерное подпространство A(V), то m>n
Линейные отображения в координатах. Матрица линейного отображения
В = {e1 , e2 ,...., en } определено f i = A (ei ) . Покажем, что эти формулы определяют y = A (x ) . Из условия равенства двух векторов получим (По условию x = υ1 ⋅ e1 + υ 2 ⋅ e2 + ... + υ n ⋅ en и y = η1 ⋅ e1 + η 2 ⋅ e2 + ... + η n ⋅ en ) a11 a12 a13 ... a1n η1 = a11 ⋅ υ1 + a12 ⋅ υ 2 + ... + a1 ⋅ υ n η = a ⋅ υ + a ⋅ υ + ... + a ⋅ υ 2 a21 a22 a23 ... a2 n наз. МАТРИЦЕЙ данного линейного отображения в базисе В. 21 1 22 2 2 n A= .......... .......... .......... ...... .......... .......... .......... .......... ...... η n = an1 ⋅ υ1 + an 2 ⋅ υ 2 + ... + an ⋅ υ n an1 an 2 an 3 ... ann
Пусть в Rn c базисом
Примеры линейных операторов и их матриц Нулевое отображение 0 0(х)=0
0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0
Тождественное отображение Е Е(х)=Х
Преобразование подобия Гк Гк (х)=кх
1 0 0 Е = 0 1 0 0 0 1
к 0 0 Гк = 0 к 0 0 0 к
Преобразование вращения Vφ (поворот всех векторов плоскости на угол φ против часовой стрелки)
cos ϕ Vϕ = sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
Операции над линейными отображениями и их матрицами Равенство
Сложение
Умножение на число
Умножение линейных отображений и их матриц
Обратная матрица
Ранг матрицы
Матричный метод решения системы уравнений
55 7.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ Преобразование координат векторов при переходе к новому базису Преобразование матрицы линейного отображения при переходе к новому базису
f1 = c11 e1 + c21 e2 f 2 = c12 e1 + c22 e2 X ( x1 , x2 ) в старом базисе, X ( x1′ , x′2 ) в новом базисе, т.е. c X = x1 e1 + x2 e2 c C = 11 12 -матрица преобразования координат X = x1′ f1 + x2′ f 2 c21 c22
Пусть известно
′ ′ приравнивая, получаем x1 = c11 x1 + c12 x2 - формулы преобразования коорд. x2 = c21 x1′ + c22 x′2
старые координаты получаются из новых с помощью С-перехода от старого базиса к новому Х = С Х / . Преобразование координат в евклидовом пространстве при переходе от одного ортонормированного базиса В = {e1 ,e2 } к ортонормированному В ′ = f1 , f 2
{
Пусть
В = {e1 ,e2 } - старый базис, В′ = {f1 , f 2 }- новый базис. Пусть
f1 = g11 e1 + g 21 e2 , f 2 = g12 e1 + g 22 e2
g11 g 21
g12 =G g 22
Получили ортогональную матрицу G. Примеры 1. Рассмотрим поворот базисных векторов против часовой стрелки на угол φ. Найти зависимость между координатами точки М в старом и новом базисе. М (х,у) – в старом базисе, M (х/,у/) – в новом.
f1 = e1 cos ϕ + e2 sin ϕ ,
π
x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ , y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ
f2
Выберем новый базис В/ . матрицу перехода обозначим через С. В базисе B′ : X / ↔ Y / .
X = C X /, Y = CY /
или Y / = C −1Y , отсюда
Y / = C −1Y = C −1 ⋅ A X = C −1 A C X / . Итак, при переходе от старого базиса к новому матрица линейного отображения преобразуется в матрицу C −1 A C . Линейное отображение Q , имеющее ортогональную матрицу, наз. ОРТОГОНАЛЬНЫМ отображением.
Свойства ортогонального преобразования Оно сохраняет скалярное произведение, т.е. скалярное произведение образов векторов равно скалярному произведению их прообразов: (G(x), G(y))=(x,y)
Оно не изменяет метрики (сохраняет длины векторов и углы между ними)
2. Выберем на плоскости декартову прямумоуг. систему координат, поместив в ее начало в точку О и приняв за базисные векторы i и j , осуществим парал-
лельный перенос точек плоскости на вектор a ( x0 , y0 ) . Такое преобразо-
π
+ ϕ ) + e2 sin( + ϕ ) = −e1 sin ϕ + e2 cos ϕ , 2 2 − cos ϕ sin ϕ C = sin ϕ cos ϕ f 2 = e1 cos(
}
Выясним, по каким правилам будет происходить изменение матрицы линейного отображения, если выбранный базис заменяется другим. Пусть в базисе В линейное отображение имеет матрицу А: Y = A ( x ) .
вание наз. ПЕРЕНОСОМ начала координат. Выразим старые координаты т. М через новые ОМ=ОО/+О/М, в координатной форме
e2
x = x0 + х′ y = у0 + у ′
ϕ
Это и есть формулы преобразования координат при переносе начала.
f1 e1
Обратная матрица транспонированной
равна
G −1 = G T (det G = ±1)
3. Если последовательно выполнить два преобразования координат, сначала перенос начала, а затем поворот плоскости на угол φ, то формулы преобразования координат будут иметь вид:
x = x0 + x′ cos ϕ − y′ sin ϕ , y = y0 + x′ sin ϕ + y′ cos ϕ у/
у М
j О/
j О
i
i
х/ х
56 7.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Ненулевой вектор X называется СОБСТВЕННЫМ вектором линейного отображения А, если A ( x ) = λ x . λ – это число называется СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ отображения А, соответствующим вектору X . Примеры 1. Нулевое отображение О ( x ) = 0 . Каждый ненулевой вектор - есть собственный с собственным значением λ=0.
2. Тождественное преобразование Е (x) = х .
3.
Все ненулевые собственные с λ=1.
Каждый ненулевой собственный с λ=к.
векторы
Преобразование
подобия
Γк ( х ) = кх (к ≠ 0, к ≠ 1) .
–
вектор
–
4. Преобразование вращения Vϕ . При преобразовании вращения плоскости на угол φ (φ≠0, φ ≠ π) ни один образ не будет коллинеарен прообразу. Значит, это преобразование собственных векторов не имеет.
Свойства Собственные векторы Х / , Х // , Х /// , линейного отображения А с попарно различными собственными значениями λ1, λ2 λ3 линейно независимы.
Если в качестве базиса пространства принять собственные векторы данного линейного оператора А, то матрица этого оператора получит диагональный вид: на диагонали матрицы А расположатся собственные значения векторов базиса.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного отображения Пусть линейное отображение А в базисе В = {e1 , e2 , e3 } задано матрицей собственным значением λ, т.е. A ( x ) = λ x . Для нахождения l, m, n запишем это равенство в координатной форме:
а11 l + a12 m + a13 n = λ l , а21 l + a22 m + a23 n = λ m, а l +a m+a n=λn 32 33 31
а11 А = а21 а 31
(а11 − λ ) l + a12 m + a13 n = 0, а21 l + (a22 − λ ) m + a23 n = 0, а l + a m + (a − λ ) n = 0 32 23 31
а12 а22 а32
а13 а23 а33
пусть отображение имеет собственный вектор X (l,m,n) с
а11 − λ a12 a13 а21 a22 − λ a23 = 0 а31 a32 a23 − λ
Это равенство с переменной λ наз. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ матрицы А. Каждому корню λ0 соответствует собственный вектор, который может быть найден путем решения системы после замены в ней λ на λ0 .
57 7.9. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное отображение А евклидова пространства называется СИММЕТРИЧЕСКИМ, если для ∀ х ,
y ∈ E имеет место равенство ( A ( x ), y ) = ( x , A ( y )) .
Свойства Т.1. Всякое симметрическое линейное отображение в любом ортонормированном базисе имеет матрицу А, совпадающую со своей транспонированной А, т.е. А=АТ . Матрица такого вида наз. СИММЕТРИЧЕСКОЙ (САМОСОПРЯЖЕННОЙ) и характеризуется условием aij = a ji .
Т.2. Собственные значения симметрического отображения действительны.
Т.3. Собственные значения симметрического отображения, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.
Т.4. Симметрическое отображение А в n – мерном евклидовом пространстве Е имеет ортонормированный базис из собственных векторов этого отображения. Следствие. Матрица симметрического отображения всегда приводится к диагональному виду.
Пример В ортонормированном базисе
В = {e1 ,e2 } дано линейное отображение
y1 = 5 x1 + 2 x2 y2 = 2 x1 + 2 x2
1. Положим λ=1. Тогда получим 4 l + 2m = 0
2 l + m = 0,
2 l + m = 0, m = −2 l
Привести матрицу этого отображения к диагональному виду и найти ортонормированный базис собственных векторов.
Принимая, например, l =1, получим m=-2. Итак , собственный вектор g1 , соответствующий собственному значению λ=1, найден
Решение.
g1 (1 − 2) . Нормируем его: f 1 , − 2 . 1
Выпишем матрицу данного отображения Она симметрическая : a12 = a21 Составляем характеристическое уравнение
5 5 2. Положим в системе λ=6. Тогда − l + 2m = 0 2 l − 4m = 0,
5 2 А = 2 2
− l + 2m = 0
Принимая, например, m=1, получим l =2. второй собственный вектор g 2 соответствующий собственному значению λ=6, найден g 2 (2,1)
5−λ
2 = 0 λ2 − 7λ + 6 = 0 λ1 = 1 λ2 = 6 2 2−λ В ортонормированном базисе В, состоящем из собственных векторов
Нормируем его:
данного отображения, матрица А будет иметь вид 1
1 − 2 f1 , 5 5
0 0 6
Найдем этот базис. Составим систему для определения координат l,m собственного вектора: (5 − λ ) l + 2m = 0 2l + (2 − λ )m = 0
λ Отображение А, осуществляемое диагональной матрицей 1 0 0
2 1 f2 , 5 5
Итак, задача решена до конца, найден ортонормированный базис
2 1 f2 , 5 5
в котором матрица А данного отображения приведена к ортогональному виду.
0
λ2
растяжении (сжатии) пространства вдоль координатных осей.
0
0 , имеет простой и наглядный геометрический вид, а именно, такое преобразование состоит в 0 λ3
58 7.10. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Квадратичной формой от n переменных называется однородная квадратичная функция вида
(
)
n
n
Φ = ∑∑ ari ⋅ xr ⋅ xi
или Φ= X , A X , где А- матрица квадратичной формы, у которой аri=air
или
Φ = x T ⋅ Ax
r = 1 i =1
Для r=3, i=3, Φ =
3
3
∑∑ a
ri
⋅ xr ⋅ xi = a11 x12 + a22 x22 + a33 x32 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 ,
r =1 i =1
где a12 = a21 , a13 = a31 , a23 = a32 , т.е. А-симметричная матрица
a11 A = a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Φ ( x1 , x2 , x3 ) = λ1 x12 + λ2 x22 + λ3 x32 , не содержащая членов с произведениями x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 называется квадратичной формой, приведенной к КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Например : Φ = x12 + 4 x22 − 6 x1 x2 является квадратичной формой, так как Φ = ( x , x ) 1 − 3 x1 = x T ⋅ Ax 1 2 − 3 4 x2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду Постановка задачи такова: найти такую ортогональную матрицу С, чтобы после введения новых переменных y1, y2, ….. yn при помощи уравнения X=CY данная квадратичная форма содержала бы только слагаемые с квадратами текущих координат: x T Ax x → λ1 ⋅ y12 + λ2 ⋅ y22 + ... + λn yn2 = Cy После замены переменного х=Cy форма xTAx переходит в форму yT(CTAC)⋅y , которая должна содержать только слагаемые квадратами переменных. (y ортогональной матрицы С: CT=C-1) . Таким образом , задача равнозначна следующей: найти ортогональную матрицу С такую, чтобы матрица CT АС имела диагональный вид. Так как матрица А – сим- метрическая, то это всегда возможно: все ее собственные значения действительны, размерность собственного подпространства, принадлежащего собственному значению λ, совпадает с кратностью λ, собственные подпространства, принадлежащие собственным значениям, ортогональны. Отсюда в качестве столбцов искомой матрицы С выбираем ортонормированную систему собственных векторов матрицы формы А. Тогда посредством замены X=CY квадратичная форма при- водится к виду λ1 ⋅ y12 + λ2 y22 + ... + λn yn2 , где λ- собственные значения матрицы А с учетом кратности.
Две квадратные матрицы наз. ПОДОБНЫМИ, если каждая из них является матрицей одного и того же линейного оператора А в некотором базисе.
Множество корней характеристического уравнения матрицы А с учетом их кратности наз. СПЕКТРОМ матрицы А.
Т. Характеристические многочлены и спектры подобных матриц совпадают.
59 ПРИМЕР Дана квадратичная форма Φ ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 2 x22 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x2 x3 . Привести ее к каноническому виду. РЕШЕНИЕ Метод Лагранжа- метод выделения полного квадрата Коэффициент при
Метод ортогонального преобразования
2 1
x равен 3, т.е. отличен от нуля. Выделим в квадратной форме члены, 2 1
содержащие х1 : 3 x +4 х1 х2 . Дополним это выражение до полного квадрата членом, не содержащим х1 , и сразу же вычтем добавленный член Тогда получим 3( x12 + 4 x1 x2 + 4 x22 ) − 4 x22 . 3 9 3 Введем обозначение y1 = x1 + 2 x2 . Приведя подобные члены, 3 перепишем квадратичную форму: 3 y12 + 2 x22 + 4 x2 x3 + x32 . 3 К полученной квадратичной форме снова применим метод выделения полного квадрата. 2 2 2 Приведя подобные члены и обозначив x2 + 4 x2 x3 = ( x22 + 6 x2 x3 + 9 x32 ) − 6 x32 . 3 3 y2 = x2 + 3 x3 , y3 = x3 , получаем следующий канонический вид квадратичной формы : 2 y1 = x1 + 3 x2 2 3 y12 + y22 − 5 y32 , где y2 = x2 + 3 x3 3 y =x 3 3
Запишем преобразование в матричной форме: 2 0 1 3 Y = 0 1 3 ⋅ X , 0 0 1
2 2 1 − 3 X = 0 1 − 3 ⋅ Y 0 0 1
или
X = CY .
Здесь a11 = 3, a22 = 2, a33 = 1, a12 = 2, a13 = 0, a23 = 2.
3−λ 2 0 2 2−λ 2 =0 0 2 1− λ 2 (3-λ) (2- λ) (1- λ) -4 (1- λ) -4 (3- λ)=0, или (2- λ) (λ -4 λ-5) =0 λ1=2, λ2=-1, λ3=5. Определяем собственные векторы, соответствующие найденным характеристическим числам. Для определения координат собственных векторов получаем три системы линейных уравнений: 1 .λ 1 = 2 , 2.λ = −1. 3.λ = 5 Составляем характеристическое уравнение
l
2
l + 2m = 0 2l + 2n = 0 2m − n = 0
4l + 2m = 0 2l + 3m + 2n = 0 2m + 2 n = 0
= 2 c , m = − c , n = − 2 c l = c, m = −2c, n = 2c
3
− 2l + 2m = 0 2l − 3m + 2n = 0 2m − 4n = 0 l = 2c, m = 2c, n = c
u = c ( 2 e1 − e 2 − 2 e 3 ) v = c(e1 − 2e2 + 2e3 ) w = c( 2e1 + 2e2 + e3 ) Пронормировав эти векторы, получим новый ортонормированный базис / 1 e1 = 3 (2e1 − e 2 − 2e 3 ) / 1 e 2 = − ( e 1 − 2e 2 + 2e 3 ) 3 e 3/ = 1 (2e1 + 2e 2 + e 3 ) 3
Итак, ортогональное преобразование ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ: Число слагаемых с положительными каноническими коэффициентами и число слагаемых с отрицательными каноническими коэффициентами ПОСТЯННО и не зависит от линейного невырожденного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.
1 2 3 3 1 X= − −2 3 3 2 − 2 3 3
2 3 2 ⋅Y 3 1 3
или
X = CY .
Приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду: 2 y12 − y22 + 5 y32 .
В данном примере одна и та же квадратичная форма двумя невырожденными преобразованиями приведена к двум различным каноническим видам (получили две подобные матрицы). В каждом из них положительных канонических коэффициентов равно 2, число отрицательных канонических коэффициентов равно 1, что подтверждает закон инерции квадратичной формы.
60 7.11. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ) Пусть имеется n стран S1,S2, ….,Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно х1, х2,…,хn. Обозначим коэффициентами a ij долю национального дохода, которую страна S j тратит на покупку товаров у страны S i . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.
n
∑ aij = 1 ( j = 1,2,..., n) . i =1
a11 a12 ... a1n Рассмотрим матрицу a 21 a 22 ... a 2 n , которая получила название СТРУКТУРНОЙ МАТРИЦЫ ТОРГОВЛИ. A= ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn n В соответствии с a = 1 сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1. для любой страны Si (i = 1,2,..., n) выручка от внутренней и внешней торговли
∑ i =1
ij
составит: pi = ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n . Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S i , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее
ai1x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn > x1, национального дохода: pi ≥ xi (i = 1,2,..., n) . Если считать, что pi > xi (i = 1,2,..., n) , то получаем систему неравенств ai1x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn > x2 , ....................................... ai1x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn > xn . Сложив все неравенства системы, получим после группировки x1 (a11 + a21 + ... + an1 ) + x2 (a12 + a22 + ... + an 2 ) + ... + xn (a1n + a2n + ... + ann ) > x1 + x2 + ... + xn . Учитывая, что выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству x1 + x2 + ... + xn > x1 + x2 + ... + xn . Таким образом, неравенство pi > xi (i = 1,2,..., n) невозможно, и условие pi ≥ xi принимает вид pi = xi (i = 1,2,..., n) . (С экономической точки зрения это понятно, т.к. все страны не могут одновременно получать прибыль). Вводя вектор Х = ( x1 + x2 + ... + xn ) национальных доходов стран, получим матричное уравнение А Х = Х , где Х - матрица-столбец из координат вектора х , т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению λ=1. Задача. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид: 0,2 0,3 0,2 A = 0,6 0,4 0,6 0,2 0,3 0,2 Найти соотношение национальных доходов сбалансированной торговли.
этих
стран
для
Решение. Находим собственный вектор Х , отвечающий собственному значению λ=1, решив уравнение ( А − Е) Х = 0 , или 0,2 х1 0 − 0,8 0,3 методом Гаусса. 0 , 6 0 , 6 0,6 х2 = 0 − 0,2 0,3 − 0,8 х3 0 Найдем Х =(с,2с,с). Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при соотношении их национальных доходов: 1:2:1.
61 7.12. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ 1. Использование алгебры матриц Задача 1. В таблице приведены данные о дневной производительности 5 предприятий холдинга, выпускающих 4 вида продукции с потреблением трех видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия за год и цена каждого вида сырья. Вид Производительность Затраты видов изд. предприятий: изд/день сырья, ед.веса/изд № 1 2 3 4 5 1 2 3 1 4 5 3 6 7 2 3 4 2 0 2 4 3 0 3 5 6 3 8 15 0 4 6 4 4 5 4 3 10 7 5 4 5 8 6 Кол-во рабочих дней за год Цены видов сырья, ден.ед./ед.веса 1 2 3 4 5 1 2 3 200 150 170 120 140 40 50 60
Задача 2. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице Вид изд. Кол-во Расход Норма Стоимость н/п изд.ед. сырья времени изд., кг/изд. изгот.ч ден.ед/изд. 1 20 5 10 30 2 50 2 5 15 3 30 7 15 45 4 40 4 8 40 Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции.
Требуется определить: 1. годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий; 2. годовую потребность каждого предприятия в каждом виде сырья; 3. годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств. Матрица затрат сырья на единицу изделия: Решение. Вид изделия Дана матрица производительности предп-риятий по всем видам продукции: 1 2 3 4 1 Производительность 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 А = 0 2 4 8 15 0 3 10 7
4 5 1 6 7 2 вид 3 0 3 изделия 4 6 ↓ 5 4 4
Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Значит, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j-го столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия по каждому изделию, и она описывается матрицей Агод
800 750 510 300 680 0 = 1600 2250 0 600 1500 1190
720 980 360 0 480 840 600 560
В= 2 Вид 3 5 4 8 3 сырья ↓ 4 6 5 6
Дневной расход по типам сырья описывается произведением В на А: 55 126 53 62 58 ВА = 68 165 85 89 77 74 167 78 92 82
Годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья: 11000 18900 9019 7440 8120 ВАгод = 13600 24750 14450 10680 10780 14800 25050 13260 11040 11480 Введем вектор стоимости сырья p = (40, 50, 60) ,
тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия P = pBAгод =
= (2008000, 3496500, 1878500, 1494000,
1552600 )
Решение. Составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл: q = (20, 50, 30, 40) вектор ассортимента, s = (5, 2, 7, 4) -вектор расхода сырья, t = (10, 5, 15, 8) -вектор затрат рабочего времени, p = (30, 15, 45, 20) - вектор стоимости. Тогда S = (q, s ) = 100 + 100 + 210 + 160 = 570кг Т = (q, t ) = 1220 ч, Р = (q, p ) = 3500 ден.ед.
ТЕМА 8. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 8.1. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Уравнение плоскости в пространстве
n ( A, B, C ) - нормаль М(х,у,z) n
A ( x − xO ) + B ( y − yO ) + C ( z − zO ) = 0
Ах+Ву+Сz+Д=0 общее уравнение плоскости
(n, M O M ) = 0 векторное уравнение плоскости Уравнение прямой на плоскости
в отрезках
уравнение прямой, проходящей через точку
x cos α + y cos β − р = 0 нормальное уравнение прямой
Ах+Ву+С=0 общее уравнение прямой
М О ( xO , yO ) ( n, M O M ) = 0 векторное уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Задачи
cos α = cos α = cos α =
Нахождение угла A1 A2 + B1B2 + C1C2
Условие перпендикулярности A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0
A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22 A1 A2 + B1B2 A12 + B12 ⋅ A22 + B22
, tgα =
l1l2 + m1m2 + n1n2 l12 + m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22
r1 − r2 1 + r1 r2
A1 A2 + B1 B2 = 0, 1 + к1 к 2 = 0 l1l 2 + m1 m 2 + n1 n 2 = 0
Условие параллельности A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2
A1 B1 = , r1 = r2 A2 B2 l1 m1 n1 = = l 2 m2 n2
z − z1
x2 − x1 x3 − x1
y2 − y1 y3 − y1
z 2 − z1 = 0 z3 − z1
y − y0 = к ( x − x0 ) уравнение прямой, проходящей через точку
y=кx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом
x y уравнение прямой в отрезках + =1 a b
N (l , m, n) - направляющий вектор М (х,у,z) N М 1 ( x1 , y1 , z1 ) М О ( xO , y O , z O )
y − y1
x − x0 y − y0 = x1 − x0 y1 − y0 уравнение прямой , проходящей через две точки
(r , nO ) − р = 0
М (х,у)
x − x1
уравнение плоскости, проходящей через три точки
x y z уравнение плоскости + + =1 a b c
A ( x − xO ) + B ( y − yO ) = 0
n ( A, B) - нормаль
( A1 A, A1 A2 , A1 A3 ) = 0
(r , nO ) − P = 0 x cos α + y cos β + z cos γ − P = 0 нормальное уравнение плоскости
уравнение плоскости, проходящей через точку
М О ( xO , yO , zO )
62
x − x0 y − y 0 z − z 0 = = l m n канонические уравнения прямой
x − x0 y − y0 z − z0 = = x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 уравнение прямой, проходящей через две точки
x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z + nt 0 параметрические уравнения прямой
Расстояние от точки М ( xO , yO , zO ) до плоскости, прямой A x0 + B y 0 + C z 0 + Д d= А2 + В 2 + С 2 d=
A x0 + B y 0 + C А2 + В 2
63 8.2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнение
Определение
2
2
2
∑ ∑ aki xk xi + 2∑ Ai X i + B = 0 определяет кривую 2-го порядка, где
k =1 i =1
aki , Ai , B - заданные постоянные числа, X = ( X 1 , X 2 ) - переменная точка
i =1
или Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
в R2 Способы приведения к каноническому виду
а12 = 0
а12 ≠ 0
Сведение квадратичной формы
2
2
i =1
k =1
Параллельный перенос
Выделение полного квадрата
∑ ∑ a ik xi x k к каноническому
виду a11
a12
A1
∆ = a21
a22
A2
A1
A2
B
Инварианты кривой 2-го порядка
Канонические уравнения
δ=
a12
a21
a22
δ0 Окружность: х2+y2=1 , ∆≠0
a11
O1
O1
0
х
x
64 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 1. Определить тип линии второго порядка и построить ее 2х2+6у2-8х+12у-4=0. Решение. В уравнении отсутствует член с произведением ХУ, (а12=0). Выделим квадраты относительно Х и У: ( 2 x 2 − 8 x ) + (6 y 2 + 12 y ) − 4 = 0, 2( x 2 − 4 x ) + 6( y 2 + 2 y ) − 4 = 0, 2( x 2 − 4 x + 4) + 6( y 2 + 2 y + 1) = 18, или ( x − 2) 2 ( y + 1) 2 + = 1 уравнение Эллипса 9 3
у
2. Привести к каноническому виду и найти расположение следующей линии 4х2- у2-16х+16у+23=0. Решение. Преобразуем данное уравнение: 4(х-2)2-(у-3)2+16=0, получаем ( x − 2) 2 ( y − 3) 2 − = −1 уравнение гиперболы 4 16 у
3
-3
О1(2,-1)
х -2 3
3
0 − 3
х
О1(2,3)
2 -4
m y= . n График- есть равносторонняя гипербола с асимптотами – координатными осями и вершинами (х0, у0), где х 0 = у 0 = m (знаки х0, у0 зависят от квадрата). у
х
5. Построить график ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ функции y = (с≠0, bc-ad≠0). График – есть равносторонняя гипербола с асимптотами y = а , X = − d , c
параллельными осям координат, и
ах + b cx + d
c
О1 − d , a . c c
центром в точке − d , a . c c
(х0,у0)
(-х0,-у0)
О1(1,0) 2
3
2
4. Построить график ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
0
0
уравнение
4
х
0
3. Построить кривую 3х2-6х+у-3=0. Решение. Преобразуем данное уравнение 3(х2-2х+1)+у=0, или у=-3(х-1)2 параболы. у
х
х=−
d , c
0
y=
а c
65 ТЕМА 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Алгебраическая
форма комплексных чисел z = x + iy , где х – действительная часть, х=Rе(z) у – мнимая часть, y=Jm(z) i 2 = −1 или i = − 1 - мнимая единица
Тригонометрическая форма комп. чисел (к. ч.) z = r (cos ϕ + i sin ϕ )
r = x 2 + y 2 = z - модуль к.ч. y tg ϕ = , ϕ = Argz − аргумент к.ч. x x z cos ϕ = , sin ϕ = x2 + y2 x2 + y2
z = x + iy
Определения x + iy ( y ≠ 0) мнимое
x + oi = x дейст-
вительное число
число
о + iy ( y ≠ 0) чисто мнимое
z=0, если х=0, у=0
Показательная форма к.ч. z = re iϕ
Геометрическая форма к.ч. у А(х,у)
z = z = x2 + y2
ϕ = Arg z e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ − формула Эйлера
О х z = x + iy - соответствует т.А, (ОА) .
z1 = x1 − iy1
z1=z2 , если х1=х2, у1=у2
z1 и z 2 − сопряженная
z 2 = x2 + iy 2
число
Арифметические действия z1 ± z 2 = x1 ± x2 + i
z1 ⋅ z 2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y 2 + x2 y1 )
( y1 ± y 2 )
z 2 + z 2 = (r1 cos ϕ1 + r2 cos ϕ 2 ) + i (r1 sin ϕ1 + r2 sin ϕ 2 )
y
z1 z 2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )] или
z1
z1+z2
z1-z2 z2
z = r1r2 = z1 ⋅ z 2 ,
Arg z = ϕ1 + ϕ 2 = Arg z1 + Arg z 2
x
Геометрически умножение z1 на z2 означает изменение длины радиус-вектора r1 (или r2) в r2 раз (или r1) раз и его поворот вокруг т.О против часовой стрелки на угол φ2 (или φ1) z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) формула Муавра
-z2
z1 ( x1 x2 + y1 y 2 ) + i ( x2 y1 − x1 y 2 ) = z2 x22 + y 22 z1 r = 1 [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 )] z 2 r2 или
z =
r1 r2
=
z1 z2
( z2
≠0)
Arg z = ϕ1 − ϕ 2 = Arg z1 − Arg z 2
ϕ + 2π k ϕ + 2π k + i sin z = n r cos n n где k = 0,1,2,...(n − 1).
n
При k=n,n+1,… значения корня уже будут повторяться.
Замечание: При переводе комплексного числа в тригонометрическую форму можно пользоваться таким правилом для аргумента φ y , если z лежит в I или в IV координатных плоскостях, ϕ = arctg x y , если z лежит во II координатной плоскости, ϕ = arctg + π x y , если z лежит в III координатной плоскости. ϕ = arctg − π x
66
Решение примеров 1. Даны z1 = 2 − 3i, Найти
z 2 = 1 + 4i.
z1 + z 2 , z1 ⋅ z 2 ,
z1 . z2
z1 + z2 = (2 + 1) + (−3 + 4) i = 3 + i z1 ⋅ z2 = (2 + 3i ) (1 + 4i) = (2 ⋅ 1 − (−3) ⋅ 4) + (2 ⋅ 4 + (−3 ⋅ 1) i = 14 + 5 i z1 (2 + 3i ) (1 − 4i) 2 − 3i − 8i − 12 10 11 = = = − i z2 (1 + 4i) (1 − 4i) 1 + 16 17 17 2. Представить в тригонометрической форме: a ) z = 3 + 3i b) z = −2 + 2 3i c) z = − 3 − i d ) z = −3 e) z = 6i a) Точка (3,3) лежит в I четверти y π r = 3 2 + 3 2 = 2 3 , ϕ = arctg = arctg1 = , 4 x π π z = 2 3 cos + i sin 4 4
b) Точка (-2, 2 3 ) лежит во II четверти r = ( −2) 2 + ( 2 3 ) 2 = 4, ϕ = arctg
5π 5π 2π 2π + i sin + i sin z1 = 2 cos и z 2 = 3 cos 6 6 3 3 π π 9π 9π 5π 2π 5π 2π z = z1 ⋅ z 2 = 2 ⋅ 3 cos + + + i sin + i sin = 6 cos = 6 cos + i sin = 6 3 6 3 6 6 2 2 = 6 (0 − i ⋅ 1) = −6i 3π 3π π π 4. Разделить + i sin z1 = 10 cos на z 2 = 2 cos + i sin 4 4 4 4 z1 2 3π π π π 3π π = − + i sin − = 5 cos + i sin = 5 (0 + i ) = 5 i z= cos 4 4 z 2 3 4 4 4 4 3. Перемножить
2 3 2 + arctg ( 3 ) = π , −2 3
2π 2π + i sin z = 4 cos 3 3 с) Точка (- 3 ,-1) лежит в III четверти 5 −1 r = ( − 3 ) 2 + ( −1) 2 = 2, ϕ = arctg = − π, 6 3 5π 5π 5π 5π z = 2 cos − − i sin = 2 cos + i sin − 6 6 6 6
18
5. Возвести в степень 1 3 −i 2 2 18
1 3 −i 2 2
18
5π 5π = 118 cos + i sin 3 3
= cos 18 ⋅
6. Решить уравнение z 4 + 1 = 0 z 4 = −1, откуда
z = 4 − 1, − 1 = cos π + i sin π ,
π + 2π r π + 2π r z = 4 − 1 = 4 1 cos + i sin . 4 4
Придавая r значения 0,1,2,3, получим четыре значения корня уравнения 2 π + i sin = (1 + i ) 4 4 2 3π 3π 2 + i sin = z1 = cos ( −1 + i ) 4 4 2 5π 5π 2 + i sin =− z 2 = cos (1 + i ) 4 2 4 7π 7π 2 + i sin = z 3 = cos (1 − i ) 4 4 2 z 0 = cos
π
y
d) Точка (-3,0) лежит на отрицательной полуоси ох 0 r = ( −3) 2 + 0 = 3, ϕ = arctg = π, −3 z = 3 (cos π + i sin π )
5π 5π + i sin 18 ⋅ = cos 30π + i sin 30π = 1 3 3
z1
z0
е) Точка (0,6) лежит на положительной полуоси оу 6 π r = 0 + 6 = 6, ϕ = arctg = arctg ∞ = , 0 2 π π z = 6 cos + i sin 2 2 2
x z2
z3
67
СОДЕРЖАНИЕ 1. Элементы математической логики Тема 1. Теория множеств 1.1. Множество вещественных (действительных) чисел 1.2. Некоторые важные классы множеств 1.3. Множества Тема 2. Пределы и непрерывность 2.1. Последовательности 2.2. Теоремы о числовых последовательностях 2.3. Классификация функций 2.4. Основные теоремы о бесконечно малых 2.5. Предел функции 2.6. Замечательные пределы 2.7. Непрерывность функции 2.8. Основные теоремы о непрерывных функциях 2.9. Применение функций в экономике Тема 3. Дифференциальное исчисление 3.1. Производная 3.2. Формулы дифференцирования основных элементарных функций 3.3. Производные высших порядков 3.4. Приложение производной в экономической теории 3.5. Дифференциал функции Тема 4. Приложения производной 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 4.2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 4.3. Возрастание и убывание функции 4.4. Экстремум функции 4.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 4.6. Выпуклость функции. Точки перегиба 4.7. Асимптоты 4.8. Исследование функций и построение графиков 4.9. Предельный анализ экономических процессов Тема 5. Матрицы и определители 5.1. Определители
Стр. 4 5 5 6 7 9 9 10 11 12 13 15 17 18 20 21 21 22 23 24 25 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 36 36 68
5.2. Свойства определителей 5.3. Матрицы 5.4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы Тема 6. Системы линейных уравнений 6.1. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными 6.2. Решения системы линейных уравнений 6.3. Итерационные методы 6.4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Тема 7. Векторная алгебра 7.1. Вектор 7.2. Операции над векторами 7.3. Умножение вектора на вектор 7.4. Деление отрезка в данном отношении 7.5. Пространства 7.6. Линейные отображения и матрицы 7.7. Преобразование координат 7.8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 7.9. Симметрические линейные отображения 7.10. Квадратичные формы 7.11. Линейная модель обмена (модель международной торговли) 7.12. Применение элементов линейной алгебры в экономике Тема 8. Уравнения линий 8.1. Прямая и плоскость 8.2. Кривые 2-го порядка Тема 9. Комплексные числа Содержание Подписано в печать 23.10.2006 г. Формат 60×84 1/16. Усл.п.л. 7,9. Тираж 300 экз. Заказ № 236. ___________________________________________________ Издательство ВСГТУ. 670013. г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в.
ВСГТУ, 2006
37 38 40 41 41 42 44 45 46 46 49 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 62 62 63 65 67