Сборник задач по статистической физике

В,П. МОРОЗОВ, А.С. ГАРЕВСКНЙ, Н.Г. ГОIlУБЕf3А,

М,Я. ШИF'UБОКСВ, В.М. СОКОЛОВ, В.В. /V\ИТЮГОВ

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

.i?;iiiii

'~;;;;Ф

siiiii

'"@::

;:J0_

.~­ Z~ >:.01;;~

Q-N, -00

.';_0

:I_L() ;;_N

.-

~=~ i -O >=

, ГОРЬКИЙ 1980

j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j

!,(IЩИGТЕPGТВО BblCli;EГO И СРЕДНЕГО СПЕЩШIЬJЮI'O ОБРАЗОВАНИЯ '?сФСР roрьковс~ий Ордена Трудового Красного 8наW$НИ государственный у~иверситет И~. Н.И.Лобачевскоrо

В.П.~ороаов, А.С.Гаревокии, Н.Г.Голуоева, М.Я.ШироБОКОВ, В.t.СОКОJlОБ, В.В.!:итюroв

с Е О Р Н И К

n о.

3 А Д А Ч

с т 1 Т И С Т И Ч Е С К О

fорыши

R

ф и з и к Е

1%0

'

531.19(076)

удк

В.П.МОРОЗОВ, А.С.ГаревскиЙ. Н.Г.Голубева, М.Я.Широбоков;,

•

В.М.Соколов, В.В.~~итюгов. Сборник задач по статистической физике.

Учебное посо6ие,ГорькиЙ,изд.ГТУ,!980,с.67.

в предлагаемом с60рю:ке преДС'l'авлены задачи и упра)i(неНИfl по курсу

IY

теР).JОДИНЗllИКИ и

стаl'истичес;\ой физ!ши,

курсе физического факультета

rri.

читаемому на

\1атериал расподоЛ(ен при­

мерно в том же !юрядке, что и -Б лекционн~ "урее. Каждый из раздедов содержит Kp~TKoe ~зложение теории,

сводку основных

формул и рецептов решения типовых задач. Большинство задач снабжены решениями и указаниями методического и математичеq­ кого

харак!ера.

Настоящее' издание я:ззrяется перера~отаНlШIl варианто),! пер­

B~ro. В чвстности, увеличено количество задач,nО физике твердого

!l'B.1la.

Использованы звдачи, О:1у6лико:ванные в научных журналах и

ыонограф!4ЯХ. Пособие предназначено для студентов старших· курсов

физическоro ~фаКУJIЬ'fеfа университета. Рис.3, Би6.11иогра~ия

- 3

названия.

Рецвнзвнtы,: от.НаучныЙ aDТРУДНИК ИПФ АН СССР ДC>Jtт.ф.1! р(х) и импульсам Р(?; дЛЯ

2.

кл.ассического

гар,"онического

осцил!Щтора.

Две частицы находятся в ОДНОJlер.!юЙ потенциально!! яме шири­

Н~Й Q '" Энергия системы Е

• НаЙТИРЭCl-;~lеделение

.f (6) ДЛЯ одной из часtиц. 3. tI qас:rиц идеального rB\lB

по энергии

наХОДПТСff В 06ъеме V и имею'f

энергию t: . ВЫЧИСЛИТь энтропию газа. Найти распределение по энергии ДЛЯ одной частицы /Рассмотрет:Ь преД'ел Е -..- ; ,,-.,....,: Е -

;Т-,б. , 4. си~теМIi из

!!о.вой частоты

tJ

lшаНТО]JЫХ

Г/

гарnонических ОСiJ,ИJlJ\ЯТОРО:В ощша-

't:. tI (() имещт энергию Е :::лaJ(11 +2:) ,Найти энтро"

ПИЮ этой системы и распределение по энергии ДЛf! OlIilOI'O осцид-

./

М

Зlятора 11 пределе /V- "iТ

:; n-

5. Макроскопическое состояние еие

V

и с энергией Е

N

частиц ид,еалыiгоо 1'83'Э :в 06ъ­

!.:ЩIЩО опреД,еJ\ИТЬ, если задать числа

частиц :в !tэ:ждой ячейке оCiъемом ,и!. =/JPl. ~ \1, .в ш~ст!~меР!ЮJI ПРОС!РВИG'твв ОДНОй частицы. а) Найти энтропию

T

N

частиц и находиться в

квантово" состоянии определяется ФОрмулой

f

II/n,II

=у е

pll-1n.N кт

n

-о.,

- 12 -

,....

z -_статистичеСr:а!I cJ!ct:a 601,ъu'огораСUРСД€liения Ги66са l!!!.. Em.N· fl!N 2 ::. L е кт L е-кт =L е "r l N

где

l..", -

COAer.Z11'i'

" n N ' стаТС:УМI'3 кан:оничее;кого распределения, когда систеlSа

ЧGС'~t~ц. GСНОl'ш.;е ~ср:,:од,шгJ..ические 'l'оу,д(:ства § 3

!i

lfЫ,JlЮТСЯ слt/j,~::ЩИ:J ~6разо~:: d[=TdS -РdV

-t-

pdil ;

dF =-SdТ-РdV+f/di1;' dФ:::.-SdТ+VdР+jUdiJ, dW = TdS -f-vdp o'}ldN; dя. =- .5dT - P,dV

-il d;U

Здесь введен еще О~:Ш теРr.iQд~",з.'С,tческиЙ ПО1'епциал Q. = F -fUN

2

i\OTOp;ь;r~ ,связан (;

~ОР':.7Ло::

Q. = -КТE!n К. Если В'IН~/Ij!!!lЦ; г.:ожа о!'.су~C'l'Буют, . т. е. объем RВЛRе1'СЯ хар,щтерис~акрй сисуе~. У'О Ф == и 51 = -PV .

fU N

ЗАДАЧИ

1.

а)

Непосредственным

tJ- =- (сМо) dJU

т

;iсреднением

6)

7(окага ть:

(6NY =кТ (;:)т

г. ~JIЯ 60льцманооокого ИДIЗр,ЛЬНОГf) ",аза наЙ';':А

системе иметь rJ 4&С1:ИЦ. ВЫЧИСЛИ'.i?ь I

-

(Li

Р",

-

ввронтност

hY-" .

3. Используя большое каноническое распределение Ги66са, найти

давлсние идеального газа. [ ,F, S, ХИМИЧGСК\IЙ по тенциал,

i .

Сравнить полу чанные ВЫРШlfения с теми, дО то рыв 'полу чаются с по-J uощъю

.4.

каноничсского

ПОК8З3ТЬ,

РrJспределеНИ5I

•

что ХИJ.\ичесУ.иЙ потенциал СИСIемы с СJ'щес'.гвенно

nерс!:.е,шьа: '!' ел [~e

JJ-p%m ~U('::) КТ) .

в случае ПРИlI,ениj..~ОСТИ статистики Больцмана эта формула дае!!'

~звеСТRое СООfвошение между давлением и КDнцентрацией

p('i) =кТn (i)

- 15 ЗАДАЧИ

1. Для идеального газа 60ЗОНОВ' и фермионов найти ятность ~ахождения

nl(

частиц Б

Wnl( - :веро-_

К -ои квантово» состоянии.

Вычислить (n к - n'~...)(nlC'-nl(')' 2.

Решить задачу

5 § 2

с учеТОl! 061.енного ВЗ8ИJ!одействия,

Т.е.

для а) фермионов,б) 60ЗОНОВ.

3.

Найти все термодинамические функции полностью вырохденного

газа ферuионов с законо~ дисперсии: а)& ::.p~z.m ; 4.

6)

& =сР .

Найт~ тер!о!одинаыические функции 60ЗОНОВ при Т < То

( ~ - температура :вырождения).

5.

Найти химический потенциал 60лъцмановского

Вычислить первую квантовую направку

идеального газа.

к хи~ическому потенциалу и

давлению для Бозе и Ферми-газов. В ЯВНОМ виде найти условия ПРIDIСНИМОСТИ статистики Больщ,!8Н8.

6.

llоказать,

что для идеального

газа с законом дисперсии

PV ?

2

= зЕ

lдеалышй газ фСРl:ИОНО:В находится во вращающеllСЯ с частотой

fJ.)

ЦШlИщре. iJайти химический потенциал. концентрацию

n('i)

и да:вление Р (:r) при т =о 8. Газ ~еРJ.:ионD:в наХОДИ!rСЯ в ОДНОЫС;JНОLl ГiOJie тяжести СП и заключен 13 цилиндр С осью :ВДОЛЬ,

2. • НайтО!

=m9! )

те же Ееличины,

\

что и :в предыдущей задаче.

9. ПОК8З8!Ъ. ~!~ :в Д13y~epHO~ СJl~чае Бозе-13ыро~еRие OTC~TCTEy~.

10. Найти раБО!r~ и ПРИ!rОК тепла для газа БОЗОВОЕ Е адиа6атичес­ KO~,

ИЗО!rер~ическо~,

а) Т»"'го ;

6)

изохорическом и

Т < то

(То

-

изобарическом процессах

!re~iIepaтypa Бозе-конден-сации).

- 16 -

§ 6.

ТЕПЛОВОЕ L13ЛУЧЕНИЕ

ЭJJеКТРОl;агнитное поле 13 Ky6~ с ребром граНИЧНЫIlИ

условиями

предста:вляеТСf!

L..

и периодическими

как суп~позиция

плоских

волн, каждая из ЕОТОРЫХ характеризуется .БОЛНО:ВШ,; DeIИОРОЫ К

поляризацией d. ,( UJX,oI ШЮСКОt\ волне

=(:к

и

). При :вычислении энергии каждой

сопостаВЛfiется

гармоничес!(ий осциллятор,

Н= fj;( 4~ •

1-

так что

w:.~ ~~OI)

или в прlfдста:влении вторичного КВЗНТОВ3НIffl

, л Н"='~ nW.t,;r (n",.К.... 21) Таким 06раЭDU,

энергия поля'

-

сумма энергий отдельных осцил­

JlЯТОР~:В

nц)ае,К' От сумuировавия по

",.-:- J

К

UОЖНD перейти к интегрированию

Vdts.

~ -- 2. (2ff)h где й(ш):::

f

Е /

1j2.C

=J" D

Ь

VW2. а

-

J

у,,),2

'$"2.

С ~ d UJ

плотнос'1'Ъ плоских BOJIН с Ч11СТОТО!! W •

hw . tJ(ш)dw _ е'" CIJ/KT -1 1

ffZК Ч

S

=ба n3 c.t .: ~87'fO- г/сек

3

град4

46 VT" с

-

постоянная Стефан~-Болъцuана.

#

Спектралънгя lШЩНОСТЬ ИЗ.'Jуч~ния (q.OP"'YJ18 Планка):

l'

f, V

Р(Ш; =1(2 С 3

Ц)~

e1t4J/f(r _ {

- 1'7 С КОРПJ1С1\J1ЛЯРНОЙ точки зрения электромагнитное поле идеальный газ 60зе-чаОl"Щ- фОТОНОБ,

- это

СОСТОJ1НИ? которых опреде­

Jif!ЮТОЯ квантовыми чиолами J. ,К . Энергия .

V

(21imкtjЗ/2 h2.

;J

.

Электронный газ в металлах является вырожденным вплоть до теl:.пера:rур

порядка

f\ • 10 iv

При температуре абсолютного нуля электронный газ в !:.етал­ лах наЗЫЕа;рт полностыо вырождеюIЫМ. Б ЭТОМ случае распределение

Ферми И1.iеет вид

при

б ~ fUo

при

(, ~JUIЗ

- 19 где jUo - ХИ)l!ичеСiШ;! потенциал газа при Т=О К. Средняя

энергия

Е

сис~е~

р?вна

= j&Я(&)d&.

JUo

химический потенциал

опреде.т.яется из условия

J.lo

N = J g-(6)d& о

Плотность числа состс'яний т;уры данного

. ~(&) зависит от зонной струк-

кристаю;а. Пр;; раССJ.:отрении с;::а60заполнеНfiЫХ

электронаL~ энергетических зон ~';:,06HO ние)~

о

раОПреде!1ении

пслненных З0Н

з;;еI,ТjJС'Н~В

qол~е полезны~

в

прСДСТiJВМJеТ

00(;0;;

ВС,;сm':'iЮСiЬ

POHiiOC

состс,яние

занято

кваЗИ'Jвст;щеЙ-Дl;,!ркоti,

fU

СЛ~'чае

'3

же

почти

о

за-

распреде-

1

что

одночастичнос

К()'ТОРОЙ заряд,

элект­

L -с состояние и~:п:ульс.

энергия

опреДВJ1RIOТСfI с JtеД:УЮ:;ИI.: ОGраЗО1i'

еn =+Iel 6n =Const - б(р.) , Отсюда С.iiедует,

З0не'

ТОГО,

в

пре;:,ставление

ив З8!iЯТО. ТОБОРИТ, что

L

и nc:r"Hi,;;a.:: Ферtv\1'1

зоне;

nвляетси в

пользоваться предстаВJ:iе­

pn =-р .

JUh =. const -р

- 20 (электроны)

(дырки)

;

"

где энергил отсчитываетсл от пото.лка валентной зоны, E~- шири-; на запрещенно

....

ЗОНЫ;

т" t 11 т~ h -

ifv1\ Э'i"i'8ктивные !.:ассы электронов и'

,

дырок соответственно. При этом функция ~(&) ПРОПо. рцио.нальна {f. Для вычисления магнитной во.СПРИИМЧИВОСТИ электро.нно.го. газа

'удо.бно пользоваться теРJ.:о.ДИН8мическим потенциалом Л.

манных т

. У, J1 ,

.

в пере­

и Н, магнитный момент

-N : - (ait J atrJт,

V,j\l

~АДАЧИ

I. Найти скорость, импульс И эн'ергию Ферми полностью вырожден­

нога алектронного. газа ( & =p'''/zm). 2.

По.лучить условия идеальности для электронного газа в металле

и не:выро.ждеННОIt полупро:воднике. Можно. ли рассматривать эдектрйн­

ный газ меди как идеальный 3.

lJ

висмуте. считан что 8,:: ~

-t'

~ т;; p~ PI
0 о ,&') . ~C. Рассчитать плотноеть ТDКЗ насы~ения теРМGэлектронной эмис­

СI~И ИЗ L:еталла С работой выхода

Д (Эффект РИЧардсона).

13. На~ти хи~~ческиfi потенциал н cDOcTBedHOK полупроводнике

пр" КТ« &~ (61- ширина запрещенной зоны, те и тиыше J!accbl ЭjiектроНL Е

j,

,цЬ;РОК соот:ветственно).

mh -

эффек­

- 22 -

14. Найти плотность дырок в полупроводнwке, содержаще~: в 1 см 3

акцепторов с уровнями, лежащими выше !{ран валентной зоны

110.

на Ео.

.

на,

на

а

Считать, что каждом

CI1CTel,;a

дырок в :валентной :зоне невырожде­

акцепторноlI. уровне

UОжет

ааходиться

JlИШЬ один

электрон.

15.

Найти хиыческийй потенциал и l!ЛОТНОGТЬ ;)лектронов проводи-

. мости

В

предельных

случаях

низких

и

13ЫСОЮIХ

полупроводник содержит "'а. доноров в {

см 3

температур,

если

• Энергия донорных

уровней .1ежит ниже дна зоны ПРОВОДИМОСТИ на Е d. •

I6. rIолупроводник содержит лJа. доноров и л/о.

акцепторов на f см (Nd. >Na ). определить температурную зависимость коацеа­ 3

трации

электронов

и

дырок

в

случае,

когда

ш.рождение

в

зоне

ПРО:ВОДИJlОСТИ ОТСУТ СТВУ вт ц; l1РО:ВОДИ!.!ОСТЬ, в основном, примесная.

§ 8. ФЛУКТУАЦИИ ТЕР!.:одинАМИЧИ::КИХ ВЕЛичин. МАкеИМАЛЪНАЯ РАБОТА Для того. чтобы перевести. C~CTeMy, ~аходящуюся в тепловом контакте

с

термостатом,

из

равновесного

С9СТОЯНИЯ

в

неравновес­

ное нео6ХОДИМQ затратить работу

R;: 7(, dSn .,. ~ (Е - Тgs + РО v) • где Sn - суммарная энтропия системы и термостата; То , РО

-

равновесные знаЧЫJИЯ теuпературы и давления. ПОСУ.ОЛЬКУL1Sn~О , 1"0

R~ A(E-~S t PoV) :: Rтin

,т.е. минимальная работа будет

затрачена при обратимом (f1Sn=O) процессе. И наоборот, если систеыа неравновесна,

то

при обратимом переходе в

равновесное

состояние o!fa совершает мансю.:альяую работу IRmax i :: IRmilll Если на систему не действуют внешние силы (

R=О ')

и о i18

- 23 аамопроизвольно откдоняется от равновесного состОЯНИЯ, ~O

вероятность флуктуации можеr быть вычислена по формулак ASn _Rmю

W "'" е -я-

Находя

при

l!Sn

w

или

R=O,

~ ехр{ -~

Предполагая, равновесне,

W ..... е

1КТ) и перпендикулrРНОill к неы] эJtект­

ричеСКОJl лоле Е.

llала по l!ОСТИ

( Е«Н). Считая. что частота СТ{)llIfНDiнmий сравнению с sl. =eUjmc , ВЫЧИСЛИТ:!> '1'енэор .ПРО1l0ДИ­

6 i.и

• PacC)tO'.rpeTb, 11 Ч8с'лtости. рассеяние Н& точечных

дефектах. V=Vo Указаiше:

r:..d'{i'f-i;J. (. . концентрация

которых'" •

использо:ватъ уравнение для Jlатрицы ПЛОТНОСТИ,

считая

рассеи~ающий потенциал l!озмущениеl4.

14.

Из линеаризо.l!aННОГО по

внешнему ОДНОРОДНОМ)

электрическо\&у

ПОJIЮ Е уравиеНl'!1! ДnЯ 1I8orР14Щi ПЛОТнQСТИ ПОЛjЧИТЬ кинетичеСКОЕ: -f(/;

;lрввнение БОnЪЦLIsна для электронов в твердом теле при рассея­

нии нв неподвижныХ приuесf!x,

15.

Определить связь теплопроводности и ПРОВОДИ!lОСТИ (заХDВ

Видемана-Франда).

- 29 О ТВ Е ТЫ

и

РЕШЕН И Я

. § 1. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ ОБЪЕМОВ. подСЧЕТ ЧИСЛА КВАНТОБШ СОСТОЯНИЙ

f ~

4. а) Для классической частIщы r(E)=(Z1i1'l) dp1td1. =

2aJ2rnE 211"1'1'

12rn~E

аг a.ffrТi' . 1 g(E)=aE-2trh{f или 9(Е}= 2r.h

J((1'.2/.~т-E) dplI dХ = d

J(JlPx -JГmЕ) ~ J~ +C:~))dp.:. Q JZrji' 1ih': . IP.I/m Ip..l/m 1 (21ih) (Е'

=Q

,

6) Энергетический спектр частицы·&n

;t'n1

= Zma.~

"

t

• Число Г(Е)

KBaHToBы~ состояний с энергией, не превыающейй эад?нного зна­

, равно JlаКСИМВЛЬНОltу числу n_ ,ДЛЯ KO~OPOro &I'\mox ~ Е . Таким. образом, г(Е)::n_= [( 2;"~:E//%1

чения Е

СКОбки [ J k't,l

.

-

знак "антье" - взятие' hелой части числа. Если ) ~ а n;;:;!' Е » - - - , ТО знак "аитье" JlОЖНО ОПУСТJБТЬ и Г(Е.:: ;h 2ma.~ . что совпадает с результатом пункта а). 4

5.

а) Для классического осциллятора Г(Е)

=2.1r~ Jdp. dx

Геометрически этот интеграл представляет площадь эллипса с

полуосю&и J2mE и JZE/mllJ'- • Так ч~о 1 г;;::::;:Е ) Г(Е) = 21Гft 1i'.,ZmE ·~ZElm(&J1 =;;;; ,(Е б) Энергетический спектр осцилляiора

Г(Е)=nmox +1 , где n""АХ

бп,..о.а ~E 4 nпw

-

аr f =if =~

&n:n(.f) (n + f/1)

(n=О, f,t •.J

ыаКСИ1lальное ЧИСЛО, дШl 1Штороro

=[l:J - f 1 . Следрватвnьво

Г О •

Г((:):; {2;Л)~ Jdp dv =(2~h)i J?PJt dp" ~P! ер ~ Е

v

lt1l :; (21111)3 ""3

Р)С +Р!/ +pf f:..f;.

Е3

ст

1/8

:;

~

Здесь интеграл по и~пульсам равен 06ъe~y шара с радиусом Е/С

'",\

оГ

lл~iJ···

е,

( g,t.}=" дЕ (f1f~~)r; ~ Е:: (Zh;;, {

)

V f J(P-Elc) ~d" ч~VЕ~ =(21rfi}3 С Р PSl1! Эdвd'1:::.: (24i1'!)3 с;;

Г(Е) =

10.

f

N

rr.tdp,d\1..

N! (2.1i11t3 .i ~

.

в этой ф:>рuуле tI!

t:.p~/2m ~E i;&i

появляется 11 сил;утождеств'епkоЬти частиц: при перестаНОJЗке

qас~иц состояние систецн не uеняеТСR. ИRтеrра~ по ~~~~дЬcay .

представляе'l' СМОЙ объе}': 3М -мерно:'о тара радиусом {2iiiE' • Воспользуемся для объема V. (R)= !Jinl2. Rn '1'01' а

"

При

П.

11::.1

n

-мерного тара фоРМУ~DИ

{Е = у" 1Г:.Nlг (2тE)~/2.

~ д Г)

r(q+1)'

Г(3Н/2

"'1(21;1'1)1>11 +i) получи).! результат задачи ~ 7 этого параграфа.

ГfЕ)-(2in),i

переuеннщс

l'i' dp~dx~

. ~(~+~~}'E A=J2m' fk Х, = yZ/mUJ'ZXi. 2*

J

.=

E

Г(Е) =иJN(21"h>'" Qdp. dXi.

f

(p~l.+Xil.)"E

. Делая заJlену.

,

получим

N

N1(ftш)1l .

Здесь интеграл есть объеl.! 2/'1 -l'ериоro шара раДlo1уса lЁ. • § 2.

!.:~КРОКАНОНИЧЕСКСЕ РАПРEдEJlЕНИЕ

1. Совместное распределение по координатам и иvлульсаы

~(P.X)

=9 J (pt 2т --f

r . J9(p.x)dpdx= ~ -!:

21i

=21/Л9.(Е)=(д

~

тш 2х.t

2.

-Е

) .

Из ~словия НОРJ.!Ировки

_ р" находи),! ~ =]J.(2.m + (си. Jl!5 § 1)

Р(Х)= J9(p,x)dP=ii-JJ(~

+

mC&)"XI.

~

~\

-E;dpdx =::.

m~"xJ. -E)dp=

=~J(J(р-'2m{Е-~)') ... ·J(p.. J2m(E _ m1'-x,t) ))dp= 2Тi

Ipl/m

.

Ipl/m

-

ц;Ггn

1

32 -

Y/l

{Е - т2.'l Х ! 1 f Аналогично р(р]= Jp(p,X)dX.:;:Ii{[m (E-p:l/z.m)1h :::: 1i f f

Те же результаты 1:0ЖНD получить иначе. Вероятность

W(d)()

найти частv.цу :в интервале dx равна W(dX):: 'Ч,Х) , где t(dx} - lJре1,Ш нахо~rдеиия частицы в интервале dx , т - пер'ЮД. Решение УРЭ:ЭН8ВИЙ движения ДЛЯ гармонического осциллятора

дает X='/2Ejmw t ~in (blt "''/), ОТr~уД3 t (dx) =.ldt :: 2dx

2. dX

::: wJZE/mlJiC' COJ(r..Jt i' 1) ::::

t(dx) _..!!:!.... lJ ,\'_ шГriI

dx)::::

W(

т

-

Т.е. ДЛЯ n'(х)

2

m ;::X /12.

dx

_

2:л ttUXJ~ 1ifi (Е -m(jJtХ&/l) 1/2. -р(х)dХ

получен TQT же регулизт, что и выше.

r

2.

("J/ZЕ/mщ:"( f-

-2

-.tJfР, р P'X'H.X~) (2т, (

2

~ ) 2т!. -1:

=9 't _ Lp' р/ ~) ~ =!J\Z:n, + ,2;'2, - Ejdp,dpldx,dx;. = l

::: (ZJlIi)2.~(EJ=2.1ia2{m,m2. ДЛИ получения

?(61) 1'.8.

i:a6 § 1).

нужно ПРОСУI,':МИ1JOНR'1'Ь Р (р, Х, р2. Х 2.)

по всем СОСТОilШШМ при УСЛОВЮ:, фlШGиро.вана,

(Cj,:~

что ЭПСРП:Н перво;! частицы

- 33

-

',.3Еергия

iJ

E:::t)(.IJL(ni+J)=f)!V(M+~). Т.е. M=i:nj.. Число CCCTOK~ , ~1

ннИ GИG~емы

~JI{f"i}

ИЗ

{l"I i } u6разоr;ать разную

tJ

ч~сел

рюшо числу спососов, КО~ОРШJИ МОЖ.'Ю J

1'(щ!6L'!U8ТОР2Jtи 1\(lЛJ чии ~H \м)

1'1 с

; злемеИТЭРЕ'

(/II+m-fН

= {I'!~ 1)1 М!

ОGцит,щ!тора ф:'ЩС:1iJОВЭН&. т.е. зщаНО,I1,

:н.ерг~я пеРЕ

, -'

>

'~""Lf'I'1.

.-3'.

и число СОСТОЯНИЙ БС~Й системы, когда фИJ~сиро:ван8' .3Н6'рГ1!Я

N7/'1-1'f4-?,j!

первого осцил:!Я':.'ора, равна flll-t{Н-n.J::: (N-2.j! 1'1-"1'; !~СIФ.маЯ vероятuоотъ

R ::: ~i

•

• 9-,.1-* (M-n.J::.JtJ..fМ-n,-2.J! М! (м-,:: 9u(М) {N-2.}!(М-n,JН/J.f/1-;' .

'

Если N--. J::;iiз то из формулы Стирлин:га , м! _ n {м-ш ~ 1. (iV+M"'in4-2.)! _ 1 (11-n)! -/'1 ; (N-~! -!iГ' \l'J+m-m· - \N +1'1)'" M~ (MIN)fIt nfe Поэтому Рn /' N(M+f!/)1I,+1 = (1:,f. M/N)/tf H = (1 +nf )f1f+<j

3НТРОIН!Я "=fп иli(11) • ПО формуле Стирлинга lnl1!=мfлtН') 2n

'I',H}!= (N+H)fn(tJ+M) -(Н+М);

I!n ("I-f)!""Nl!ntJ·~

6 .':IJ[(1.f-n)fn(1+ii)-nеn;;1

",

плотнЬстьqисла частиц

n·~

"

-

- Шj. -

6=4=

[2fi;;)Э' J\

=Nen 'б.

f{/z)

N v(2.1fm8)5/J1.

'f

еil (гтmfJ)!Il. . i'I (21ii,):>

(i?

-r,',[ I

I'J

!:о

_L' 2iiiS

-

,

6)

9T(E-6n

)

'(

36

Е -&"

)"-1

= (J'ruJ)ti(rH)!

при

N--

2.

f(&) = J~{р.,рJ(Н-&)dрdq, с

11

E.=~N

;

nолуЧИ1\

-~ кт J(H-t)dpd~

Rf е '

_~

::: f1 е к ~(&);

Wn

=

Wn ;

(Е ~E>n)'·H L (Е _ &" )'''-4

"

е -&"/8

'i:e-&n/ 8

= ."

=11 .е _.&.! «Т. J(H-&)dpd'} =-

IГ ' =Je

_H~~

~ dpd'J-

р!

а) д.f= Je -'iiYiКтdpdv

_

(8 -u -")

;; v (21imKTY'k

-37

р (Х) == f J(

WN

'tл (X}'r; (х) :; ~1ibl th 2~ы.,) f/г

~p С-к" 't,(1J th ~~T) . Здесь

оператора

'tn (х) -

"

собственная Ф:lНJЩИЯ

энеРГIШ осцшrлff'rора

'(mw"fч ~n(x) Х ';th J Jjри J3;';Ч~1СJlещlИ

(rrЩJ-,~

1

= Щ k"n!

е

ДJ~Хl.н

Тi'i1W)

n(XV71

р (х) следует :ВОС!10льзо:ваТЬСII формулой

. f: (~~{'Hn (х)Нn(ч) =(1-l:2гr~е.хр{ 2J1!1lf-~~:~it)l:tJ 4.

ДЛR 1"'

":2'

где ~! -

статсумма одной частиU,Ы

r= ::-ктеn2 н ==-rJктf!п eN~' ~ :: rdpdv е- 2 :;КТ _ V(Z1itтlK,..)~/2. J(21rn)~'

f

6)-} dpdV 21-

(2#1)3

п) Р(&)

I

1\1

N

- ~~

_

81iV

. ,. (2 ~n р ~ ~-! -#т

"

. 2 "

"=}

(21in}3

1,

ilF

;

д1:

f

r

r~ ==

l:z.

-

"

""'12 = J(

- ",/!, _е -":tl 2.)

1Y19 аР

- Сi{ЛЫ, веРХllее ОСНОJ3анин. {50/(.::: - a/t' t.;:: -

I.KT_)~ \с J

т. р! dpdxdydl. е -~ (21iFl)~

" _ 1iR 2 (г.1itnк.т)3/z. кт (е

r

(21in)3

(KT)3N/t г( 311) е

:;.

1. =(-22 fУ-'

8.

е

- \

дГ

2.,;'F

,

деflствующие на llИжпеfJ J1

.да:вление

P('i) =KTn('f>. =

, -т~ rJm't e :lR1{e-"'!!,IКт _ е-m9ёг/КТ) А

Ненc:iрмиро1!аннsя Jlатрица плотности W'Н,:: е-Р,Н (ft=Jт)

9.

~wtm

.

•

" (lf)

1ЩЧЗДЫШ'l1 условие)! V/

..

А {If}

-:;-:: - Н w

1J!.о:влеТ1!ОРЯ6Т :i равнению Блоха

о /ь

"

(f>=G)= f

-

.

с

в координаrаО)l предсrавлении:

d~l~ (х.х·,р> ~x \V(Н)()()J('.~); W(Н)(х.х;о) =J(x-x') А

/1

~!

ДJlS СВО60ДНDJI ЧВСТJЩЫ Н = - 2т Ь

•

поэтому

W(Н}'i'i'А)' 'Г'

dw(W)r;;i/b):-t 111. .4 ~J?t . 2т d

\

J(i-i") ..'Il't-i {j)"

'

(1, •

•

ЭfO уравнение типа уравнения rеП~ОПРО:ВОДВОСtИ. Его решение;

~(t" 1[')1.

wtN> ('i, 'f,p) ... (l~t~)* € - " CtarC'''!Aa

Z .. IO.

i"".sp

4\

w'

Jа}( d у d1::

(н}

-

или :в нашем CJlj'чае

W~O c'i: 'i:~) "" v ( t':t.гjJ!f!

J.!атрица ПЛОТНОС!'! ОСЦИn:П!Г1'ора :в R(>ордина~n"l! nрвДСТВ:ВЛСЕ;

УХ.'

('"". = '- WN'f'n (x}'tn (х'), "

:где Wn .- (

е

_.hUl кт

-ttrи/ICТ)

1-е 'f'n(к)- СОбствевнь:е функции оператора энергии ОСЦИJlJl!Г1'ора (СУ. ~

3 § 3)-

.

_ l rи 1!Ы)~ { тси ~ t , t "ы р хХ' - (1i1l th 2кТ etIp - 2JiSh t.(a)/~TL(X +Х )ф кт -2.хХ

'J}

2 xz. -Jo - рос x dx -

II.

39 -

1i С гтш

th 2"К'Г IittJ

ВРlJщгтельнCJЯ :энергия ротатора &6р. "" 2.f, (м." + М:),;

те" 1= т

- :момент инерции 1

-~.

•

~8p_ ={21ih)Z.JdM~dM2.d':!,d'f2.e=

1frKT

Fвp. ==-ктеn l",_ _ Сила (= - ~~.,. :: 2.;"14. 11 S = Nк en ~~ . При нахождении 4S следует учесть. что 7е~;перат;у ра

15.

начального

и конечного

СОСТОЯНИЙ одинакова.

Продесс ДЖОУЛЯ-Томсона протекает при ПООТОЯRНОЙ энтальпии.

(!!) i}P w а(т,w) '" _ [C)W., /(~,

ТакиlЛ образом, НУЖЕО найти

Г"3Т.'

\ар!",

::

d(P,W) -

\эр

J.,.

У= =_ Т(.Н-}т-+ ер

Эi Jp

;: i· (v - т (!~~) . Учитывая уравнение СОСТОЯНИЯ идеалън~rO

газа Р

P·v=Nt1>1.)

;lз~:енение внут ренней энергии тела в единицу времени (скорость охлаждения) определяется разностью потока излучения тела и !

и потока излучения оболочки иа., поглощаемого телом

Наличие ООолочки уме;ьшает скорость охлаждения тела в

R /(R l -t2 ) pa~. 2

§ 7.

1

~

2.

JUo

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В МET~AX

= /:: ( 3

1

~N

%;

p~:: J2.тр.

Вырожденный электронный газ

ны],;,

11 ПОЛУПРОВОДНИКАХ

; 1JF, :::

~IL

Б металле можно счита:rь идеаль­

еСJ,И средняя кинетическая энергия электрона (по порядку

величины равная химическому потенциалу 8кин.:::::;: t~eYk -\

)

много ООJIьше потенциальной энергии взаимодействия электрона с Z 2: ,

flдрО~j

U=

а.

где а

e

О

электроном и ядр м. В l:еди последнее

3.

-'

U} --L!L J; - т."

Р. )t

,

ного электрона),

- среднее расстояние I!ежду .1 (22. m еj3 ll. .

Ne е D t "> Uu H . ' если д.- »

неравенство

Симметричный тензор -i

ных составляю:дих

. . . (l V)·,з -1

mi.Jc:

( m)(j!'

v

-1:." п""

не выполняется.

в главных осях имеет три различ-

-1 -1 ту'! и mн ). ВВОДff новыв пврвll8Н:Ш8

fl'I ::: J!L n. 11J:..!!l. n (т - loiacc8 с.воеодJI1 ту'! 'У' ':Ii ГI1H "'-2 можно записать среднюю энергию в виде

- 48

Е

=

В1ivm.. mvчmil!~ J9f,J..:!i.."..2.-~-~-&-~-2 . tJ'l.df> :: (2:f1tm)b

(2JiПт)3

2т

lf

(j

::. 2f"VmJ!! I'nyv 1Т1"

&. (§,.т)~!

Полвrая ~ = ch8

Е

-

W

JJ1+X'l x2.dx 110

о

• запишеы Е 6\,':В :виде

= Z1iVrтi,.,. mY!I~~ &;.(~m)~/2 rсЛ 2 в sh2edB

J

(2$"t!m)b .[f

.

: . (~)% 2. ~

тУ!I

1ivmlOt ml;! (1i1;p m&k

{sh (lta(;) - ~ ео J

::

.

Граничный ИJlПУЛЪС Ферми ~ и 80 определяются из УСЛО:ВИЯ

~

=

21ihm

-v т"" f1"!!f!r' fМ l ?:

sh f) =

2rhm .J~ m хх mv'l mlё

(-.AtL) i~ 8'1iV

{_Lylt т61

(М-/4 811У

•

- 4-9 ...

(; =i (3~1.)2f3 (6 fз)? ::

~2. (4}%

f.! - &l. ~ - :Z~ (31i~YI! ~~ (4У'/а

б. Плотность СОСТОЯНИЙ й(&)= р

i1ГVf>"

'(26h)$~~

• Поэтоыу

Е = f&~(G)d6 =.(31i 1t -})f,f." 7.

СПИНОJЭая энергии электрона :в магнитном ПОле равна t:. jJJi

поэтому

n

::f яо (р

+ JUs/i)

.. tл.о (р-р,.н) >

где $2.0 (/U)- потенциал в отсутствие поля. При Р& Н «р ПОЛУЧИМ

Откуда

1

0-

11: v

д?до _ А (oNl э fUl. - V ~ aJU Т,"

Считая газ ПОЛНОСтью вырождеивым. получим

• ].:: flJ: (для вычисления

(2 т)Ц' JI.I 4ft . 2.рЦ,!.

(~~) r-

испаЛЪЗ0вался ответ к задаче ~I),

т,у

Химический nотеIщиал определяется из УСДОЭI!FI:

N = Б f1rr.t.;: ~(~~~jJ~ {(JU-Р/ 8 Н)3!t'+(II+J!"н)'kj Учитывая, что' р» РвИ f

• .. ,11.

ПОJlУЧИМ

14:'

jU=J.Io-Т~ где ро 8.

- химический

•

потенциал при Н ... О (Сlol. зада'f3 Ie 1).

Уровни энергии орбитального движения электрона

t; =P:/Zm

+

(Zn+1)JUaH

- 50 где

n = О. ',2 ._. ,

-

Р!.

состояний винтеРБале

импульс Б' направлении поля. Число

d Pl.

при ззданно!,'

n

г~U

eCTЬ~

dpi:

(С14. Ландау, лифшиц "Квантовая I>'.еханика"). Поэтом:!

~.

тУ

r{

Н -

~~=-KT ~~: ~l en 1+е

P-Р;/2m-(2n+1)!J§J.i

кт·

.

}dP~

СУМIlУ ыожно БЫЧИСЛИТЬ С помощьюфорuулы СУ1.мирования Э;iлера­

-

lJВЮ10ренв

f.. f:(n+f) =JF(x)dx+ 2.~ р'{о) о

n={)

I

условие примеНИIlОСТИ которой со~тоит

И31lенения :;ункции

F(x) на одни:.

в r.:а,::юсти относительного

n -n .. 1

II:are

. ПОСJ:еднее

БЫПОJlНИIlО при JUБI1 «кТ Учитывав все это,

получи~

'R=2JUБ н j((р-2.р,Нх)dХ+ ~~H c)((~-;n!1!§H)'1 1-1

о

=]((x)dX _ {2P,)lf ......

cft.J

21f

где

'((,,) _

а! (р)

кттУ

...

Jo

.. - - 2.1" n! __Ln

{Оu1 {.1 .... еа;р [ )( -кт P~/lm J}} dp~

Первое с;;агаеl!ое в вь:ра",еш:и ,::.ля

равен

. .: n=о

st

но: !ю;:;ер:,::ст Н

, ': .6.

Я о . Такиl' образо!!.

Отсюда БОСПРИИМЧИВОСТЬ из предыдуще~озадачи.

1-

равна одно;; тре'Ги Еосг,;,!:ш.Ч1ВСС-;:;;'

~. а) N =J9(6)dl :::9Ро' JUo = ~

- 51 -

&

6) Условие отсутствия ВЫРОIДения~ ПОэтому

.

N=

d&

-

-

'J[ e(f,-р}Jкr -+1 "-'3.[ е

9:'

Стнуда e JUlкr = ,Т.е. N В) в слуqае силъноrо вырождения

-ftl/Kr

» 1

.J#- ...l!=? е IC"'I{2rТiiiГ f dp~ ~."_f ар,. .df>.J 1i(е(t~/щк.т ...i)

=

- ItJmKTjd& е" (1 e~r.t)/Kr) -

(21i1i)!

.

г.

Гl.i:: 62

=.

;~C::', ч:";!,:

~\''Ie!.:

. ,"

•

~

•

2.т

.1

__

+

!

с ч::тзя JU - JUo::

J~3ЛОSСНРf!

W- - JLlo =- А > '> КТ

под.::н~еГ~а::'ЬiiС~~

(1J-&~)fкт

.

1:8.101::\" паРЭl:СТРJi

N't

1cr

:J'Hl~L.l!i1

.

Е

.t-.'

=

Следовательно,

, ' q'[,e2.N \,;I(tcJ) = 1 - m(UJ1.-Lw/t) 5.

'z;е:1ствуя 'rэк ;,0, Y-Вi, В пре~::>Jдущо~j ЗDдаче, получим при 'L.....,..

iI dt

1"

e2.r.J E(t) :. rn

о

При~еНRR к этому ~равнению операцию d~v и уЧитывая, что

dLvf=~r.en и divJ=e~~ ,г,:;с: n=NJ'f'd 5 11' ОТJ(Jюнение

Ч)lсла элек'-,роноз от

д n + 41ie1-tJ п

2

(н 2.

m

parHOB.CCHoro - О -

значенин,

наtlд€u

-58 Отсю~а ВИДНО, ЧтО плотность заряда осциллирует с частотой

Шр

::

,

t ~ Ч1rе N • Если :;честь конечность 't ",

последнего ~'равнения появится ханию 1:0ле6аний с декре}lеНТОll

6.

-t а

i!tn

t

то В правой чаСТI

,что приведет I{ зату­

i

"t .

КИfiетическое уравнение в линейном приближении по

Отметим,

f

Иl.:еет

что Б линеВнок приближении Блияние ыагнитноro поля поэто}!j' оставлено второе слагаеllое в левой часТ;1

OTcyTcTByeor" ура:внения.

Решение иксет БИД

f :: гд.е

еН

.n. = -;:nc

e't" f

-

1fiY (Е"

+st~1:

е: [Е HJ) ,

т ..

'

чаСtота Ераш.еНШI эnектрона в ыаГНИ'l'ша, поле.

LычислеНJlе 1'01:8 и тенэора прС'вод'ИIIОСТИ при st 't «. f (сла60е магнитное поле) и

n'l»> f

(сильное l!аГНИ'J'ное поле) прсдос­

тавляе~ длf са~остоятельно~ работu.

7.

Линеаризовавное по электрическому тюлю {,И;Jе'J'ическое ;урав­

нение

имеет

В!',[;

П:уст:ь

и имеет вид плоской jJОЛНЫ,

вдоль оси Х

• _

Тогда ище~ решение в Биде

~(;r, v;t) ::

_

'ffIJ., ("") е

LCUJt-tр)

Из кине~ического уравнения следует

1ff.J,,.(i-) ==

еЕо m

.

.u.

"г'(7""w7_"=q.""1I;;:'"'",)1"",.:-Jf"'/т:;:" .

раСПРОа1'раняющейся

- 59 Спектральная амплитуда плотности тока

.

_

.

e~Nr:of

vi

~V..

цd~1'-

iwq.. - - т ~(ш "f1J.1IX)+~-f !1ри выполнении неравенстэ 1- vi:
Ток

.

Jx

. JIJ

~

еnсЕ Н

-

Х О - ЦeliТj1а ОСДИJlЛfщиtl при стощшопеНИflХ.

РассеюзвющиИ потенциал

j.

«; IJ

исю::.r.ь в виде ряда

V

можно, УЧИТЫ1Jат:ь по 'теории .вvзмуще­

• Соответственно 1481'РИЦJ1 ПЛО:ГНОGТИ следу вт

9 = Ро

i-

р,;. р,

..... ,

где ИНД6i

'J -

t

-линеиная по ЭJIектрическоыу полю добавка. Тогда

i-ftJр;" :: (е:' -E:')~~ -е~Тi.9(D)]~к, -tгде

~

оазиса

(

_

~

r

r

2iii""" LK't . ..а...!атричные

'К')

=

Кощ.:утатор

[-'[, р .)]

е

ЗJIеllент),J РЕ, ,.11.(1' r ... f ~ ./ . :. 9~ '''e . n ..... н.и~

)

VкK" nK.~o - n;titu Vj('Jj('

.

I

JjII(I

toJ

E

(4)

(f}

L к"

..

Э]lе~ен'1'Ы

ЕЬJ.числены О'1'НОСИl'ельно

.

,

ИLеет ТОЛЬКО диагонадьдь;е l~аТРi1ЧJiые·

-i.;' J-n,>

1'''''' f'"

-

.

ра!>НОВtСIi8И ФУIilЩilИ распреДeJlе-

65 Если

К ~K'

•

ТО

04;;Т8ТЬ,

что

диагонаilЬНi.:е

эле~,с;;;:г",

(f)

сравнению с недиагонадъныlI.И

9« = f'l

Pitir

ИJ.:еют

Юj3ШУЮ

V

ра3110же~{ии по раосе!1вающеloiУ потендиалу

•

степень

в

Тогда в послед-

нем уравнении сумма имеет на единицу большую степень по

V

чем остальные члеш',. Следовательно

ю

~K' ::: lодставлнн ~

пользунсь

n{11 кК'

r

V"tК' ( 'fit - ~ ) E1r -Ек> - Lr,I в уравнение

(, -

)

•

"'" устреМJ!ЯR

J....

соотношением

)( ~ LJ ::: Р ( ~) т i. '1iJ (ж), !IОJlУЧЩi кинетическое уравнение с интегралом ()тою(новений

ЛИТЕРАТУРА

~. Кубо Р. СТl:)тистическая мехаНИ!i8. Il., Мир, I967.

?

Ландау Л .Д., Лифшиц Е.М. ,Статистическая физика,

11 •• Наука, I976.

3.

Задачи по термодинамике и статистической фИ3И!iе.

Под ред. П.ЛаР~С6ерга.М.,Мир,I974.

о

СОДЕРЖАНИЕ

стр

38Дач~

§'!.

СТР

OTBe~ы

Фааовое простраН~ТЕО. ВЫчисление

фазовых объе~ов" Подсчет чиола СОСТО2НИЙ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 § 2. Uикроканоническое распределение 5 § 3. 'Каноническое расdределеиие - Г.ббса . 7 -----------~----§ 4. Большое каноническое распре-

29

____________ 11

39

квантовых

деление

§ S. .

rИббса

31 зs

Распредел~ние Бозе-Эйнштейна, ФеРllи-ДираК8. Больцt:'ана_

_ _ _ _ _ _

§ 6. Тепловое издучение_ _ _ _ _ _ _ ___ § 7. Статистика ЭJlеКТРОНОЕ в ~еталлах к

ПОЛJлроводииках_

_ _ _ _ _ _ _ _ _

13

41

16

44

18

47

§ 8.

Флуктуации !ер~одина~ических ве.иичии. l!аКСИlшлъная работа" ___

22

54

§ 9.

Неравновесные систе~ы._

24

S5

'.' _ _ _ _ _ _ _

Влади~ир Павлович Морозо~, Ана~олиИ Степанович ГареВСRИЙ, Нина Георгиевна ГОJIj'бе:аа, Михаил Яковлевич i!lирocJоков,

Влади~ир Ыихайлович СОICOЛОВ~ Вnaдимир ВИК~ОРОВl4q Ми~юroв

, с Б О Р Н И К

ПО

Э А Д А Ч

аТАТИСТИЧЕСКО~

tИЗИКЕ

УЧ60llое пособие

Поди. к neч.

12/1I-801'. Фор.БУII. 60x90/I6. Буura 'fиn. II!I. IIеча~ь оФс6rная. lч.-ilЗД. 3,0 л. :iс;n'.-печ. ~,4д. 3aв:a~ j! 39. Тищи

500 3§я- иена 15. J9П' llJIЗН 1980 I'('~li.позиШl1!

* 264,

Лаборатория множи. тех-юi ГГУ. ГОРЪКИ'Й,пр. farapua -'23.