Алгебра и логика,, 40, N 2 (2001), 135-157
УДК 512.54
ЧАСТИЧНЫЕ П О Р Я Д К И НА ГРУППАХ Д Л А Б А Н. Я. МЕДВЕДЕВ
Для...
5 downloads
170 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика,, 40, N 2 (2001), 135-157
УДК 512.54
ЧАСТИЧНЫЕ П О Р Я Д К И НА ГРУППАХ Д Л А Б А Н. Я. МЕДВЕДЕВ
Для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы поло жительных действительных чисел дается полное описание максимальных частичных порядков и минимальных изолированных частичных поряд ков групп Длаба [1] D#(I), £>#*(!), Д,#(1), 1)#(1) единичного интерва ла I = [0,1] и Он, -D#* расширенной действительной прямой R. Бо лее точно, покажем, что 1) любая группа, изоморфно вложимая в одну из вышеперечисленных групп Длаба, не имеет нетривиальных минималь ных частичных порядков (предложение 1.1); 2) группы £>я(1) и D # име ют 4 максимальных частичных порядка и 4 нетривиальных минималь ных изолированных частичных порядка; 3) группы D#*(I), !>*#(!) и £)#* имеют 10 максимальных частичных порядков и 8 нетривиальных мини мальных изолированных частичных порядков; 4) у группы Р#(1) — 16 нетривиальных минимальных изолированных частичных порядков и 40 максимальных частичных порядков (теор. 2.1—3.4). Отметим, что ранее Холланд [2] получил описание минимальных и максимальных частичных порядков группы А(К) всех порядковых автоморфизмов линейно упоря доченного множества действительных чисел R.
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00156, и Министерства образования РФ.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
136
Я. Я. Медведев § 1. Определения и вспомогательные результаты Группа G называется частично упорядоченной, если на ней опреде
лено отношение частичного порядка х или (x)f < x. Естественно упорядоченное множество концов опорных интервалов функции (x)f обозначим через Af. В дальнейшем точку первого излома (левый конец первого опорного ин тервала) функции (x)f будем обозначать через Ь\ или £хПусть G - одна из групп 1)*д(1), DH*(1), &н{1), DH(I),
DH*, DH-
Будем говорить, что элементы / и g из G имеют одинаковые базисные характеристики, (Af)h
если существует элемент h из группы G такой, что
= А 5 , (Ь а )/ / П = ((ba)h)gf ? г Д е &а — левый конец опорного ин
тервала (Ь а >с а ) € А/ функции (x)f. В [1, 4] доказано, что элементы / и g группы G сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые базисные характеристики. Хорошо известно, что множество всех частичных порядков в любой группе замкнуто относительно произвольных пересечений и, следователь но, образует полную нижнюю полурешетку относительно пересечения. Из леммы Цорна следует, что любой частичный порядок содержится в неко тором максимальном частичном порядке. Те же самые утверждения вы полняются и для изолированных частичных порядков группы. Тривиальный частичный порядок Р = {е} является наименьшим частичным порядком в любой группе и наименьшим изолированным час тичным порядком в любой упорядочиваемой группе* В общем случае ми нимальных (изолированных) нетривиальных частичных порядков может и не быть, как, например, для аддитивной группы целых чисел, но ес ли они есть, то мощность множества всех минимальных (изолированных) нетривиальных частичных порядков либо четное натуральное число, либо бесконечна. Отметим также, что любая нильпотеитная группа без круче-
139
Частичные порядки на, группах Длаба ния не имеет минимальных нетривиальных частичных порядков.
Следующее предложение показывает, что в группах Длаба отсутству ют нетривиальные минимальные частичные порядки. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1. Для любой подгруппы Н
мультиплика
тивной группы положительных действительных чисел любая подгруппа групп Z?#(I), DJJ* не имеет нетривиальных минимальных
частичных
порядков. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — произвольная группа из условия леммы и Р — ее минимальный частичный порядок. Тогда, очевидно, что Р =z Soigne) для некоторого элемента g € G. Пусть, для определенности, £i — первая точка излома функции g и (£\)gf
> 1 в естественно упорядо
ченной мультипликативной подгруппе Я положительных действительных чисел. Тогда g $ Pj = S G ( # 2 , e), поскольку значение правой производной в первой точке излома любого неединичного элемента из инвариантной по лугруппы SG(g2,e)
больше либо равно ((£i)tf' n ) 2 и ( ( б ) / 1 ) 2 > ( ( б ) / 1 ) -
п
С Л Е Д С Т В И Е 1.1. Свободная группа Fn конечного или счетного ранга и группа Томпсона G