Изучение курса ТЭЦ с использованием систем автоматизации инженерных расчетов: Учебное пособие. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. В. Регеда, О. Н. Регеда

ИЗУЧЕНИЕ КУРСА ТЭЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ Учебное пособие В двух частях Часть 1

ПЕНЗА 2010 0

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ)

В. В. Регеда, О. Н. Регеда

Изучение курса ТЭЦ с использованием систем автоматизации инженерных расчетов Учебное пособие В двух частях Часть 1

Пенза Издательство ПГУ 2010 1

УДК 621.38 (076) Р31 Р е ц е н з е н т ы: доктор технических наук, профессор, академик Российской метрологической академии, заместитель директора ФГУ «Пензенский ЦСМ» А. А. Данилов; кандидат технических наук, начальник отдела НИКИРЭТ филиала ФГУП ПО «Старт» А. И. Диянов

Р31

Регеда, В. В. Изучение курса ТЭЦ с использованием систем автоматизации инженерных расчетов : учеб. пособие : в 2 ч. / В. В. Регеда, О. Н. Регеда. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – Ч. 1. – 148 с. Рассмотрены теоретические вопросы курса «Теория электрических цепей» по темам: «Переходные процессы в линейных электрических цепях» и «Цепи с распределенными параметрами». Для автоматизации расчетов рекомендовано применение программ MathCAD и Еlectronics Workbench. Изложены основы работы с программами, приведены примеры типовых расчетов и схем для моделирования. Учебное пособие подготовлено на кафедре «Электротехника и транспортное электрооборудование» и предназначено для студентов специальности 090106 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», изучающих курс «Теория электрических цепей».

УДК 621.38 (076)

© ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет», 2010

2

Введение При подготовке специалистов в области информационной безопасности особенно актуальны знания в области радиоэлектроники, которая базируется также на важнейшей дисциплине «Теория электрических цепей». Существенно облегчить последовательное усвоение сложного материала студентами позволяет использование информационных технологий в учебном процессе. Сюда следует отнести использование таких систем автоматизации инженерных расчетов, как MathCAD при выполнении типового расчета цепей постоянного и переменного тока и Еlectronics Workbench при выполнении лабораторных работ по курсу ТЭЦ с помощью виртуального лабораторного стенда. Cистема MathCAD во всем мире признана одной из наиболее совершенных программных систем, позволяющих решать математические задачи в объеме программы технического вуза. Начиная с версии MathCAD 2002 и заканчивая последней доступной версией MathCAD 14, система обеспечивает удобный интерфейс и широкий набор решаемых задач. Данное пособие совместно с виртуальной лабораторией «Еlectronics Workbench» позволяет обеспечить практическую направленность, проектную и научную деятельность, творческое начало, как индивидуальную, так и корпоративную заинтересованность студентов. Вместе с тем оно способствует воспитанию их системного мышления и информационной культуры. Оно может использоваться в различных формах обучения как методический материал для лабораторного практикума в мультимедийных аудиториях, как средство для самостоятельной работы студентов при усвоении сложного теоретического материала, как средство контроля и самоконтроля знаний студентов. Выбор программы Еlectronics Workbench (EWB) в качестве виртуальной лаборатории не случайный. Она широко применяется во многих высших учебных заведениях мира в силу своей доступности. 3

Вместе с тем ЕWB может применяться и на предприятиях, занимающихся разработкой электрических цепей без использования дорогостоящего оборудования. Программа позволяет производить большое количество анализов для электрических и электронных устройства гораздо быстрее, чем при стандартных методах исследования. ЕWB включает в себя большое количество моделей радиоэлектронных устройств наиболее известных производителей, таких как Motorolla, а также позволяет пополнять существующие библиотеки аналогичными элементами с требуемыми характеристиками. При этом Еlectronics Workbench проста в обращении и не требует глубоких знаний в компьютерной технике, обладает стандартным, интуитивно понятным интерфейсом, требует минимум времени для своего освоения. Кроме того, приучает студентов к самостоятельной работе и позволяет им получить представление о современных средствах разработки электронных устройств и развить свой творческий потенциал. При моделировании электрических схем в пакете Еlectronics Workbench выполняются следующие действия: − формируется электрическая схема анализируемого устройства с помощью встроенного редактора, для этого нужные компоненты перетаскиваются с панели компонентов в рабочую область и соединяются друг с другом с помощью проводников, а затем устанавливаются требуемые значения параметров компонентов; − к схеме подключаются необходимые тестовые инструменты: функциональный генератор, вольтметр, амперметр, осциллограф, логический анализатор, пробник и др. − запускается процесс моделирования, путем нажатия на виртуальный выключатель питания; − на экране монитора можно наблюдать результаты анализа, например, осциллограммы периодического процесса или амплитудночастотные характеристики устройства, а при необходимости и сохранять для последующего документирования.

4

1. Системы автоматизации инженерных расчетов 1.1. Основы работы с программой Electronics Workbench При моделировании электрических схем ЕWB позволяет: − выбирать элементы и приборы из библиотек; − перемещать элементы и схемы в любое место рабочего поля; − поворачивать элементы и их группы на углы, кратные 90 °; − копировать, вставлять или удалять элементы, фрагменты схем; − изменять цвета проводников; − выделять цветом контур схем; − одновременно подключать несколько измерительных приборов и наблюдать их показания на экране монитора; − присваивать элементам позиционные обозначения; − изменять параметры элементов. Изменяя настройки приборов в EWB, можно: − изменять шкалы приборов в зависимости от диапазона измерений; − задавать режим работы прибора; − задавать вид входных воздействий на схему (постоянные или гармонические токи или напряжения, треугольные или прямоугольные импульсы). При этом EWB позволяет: − одновременно наблюдать несколько кривых на графике; − отображать кривые различными цветами; − измерять координаты точек на графике; − вставлять схему или ее фрагмент в текстовый редактор, в котором печатается пояснение по работе схемы. После запуска файла EWB32.ЕХЕ на экране появляется изображение монтажного стола (рабочее поле) – большая центральная часть экрана, на которой размещаются компоненты схемы и измерительные приборы. 5

Панель компонентов состоит из пиктограмм полей компонентов, а поле компонентов – из условных изображений компонентов. Щелчком мыши на пиктограмме компонентов открывается поле, соответствующее этой пиктограмме. Панель компонентов включает в себя следующие разделы: Sources, Basic, Diodes, Transistors, Analog Ics, Mixed Ics, Digital Ics, Logic Gates, Digital, Indicators, Controls, Miscellaneous, Instrument, а также настраиваемую панель инструментов Favorites. Для добавления в настраиваемую панель требуемого элемента надо щелкнуть по его изображению на соответствующей панели правой кнопкой мыши и выбрать в появившемся контекстном меню команду Add to Favorites. Чтобы убрать элемент с панели Favorites, необходимо щелкнуть по его изображению на панели Favorites правой кнопкой мыши и выбрать в появившемся контекстном меню команду Remove From Favorites. В верхней части экрана располагается Горизонтальное меню, содержащее следующие разделы: File – организация работы с файлами (открытие, создание, распечатка файлов и т.п.); Edit – опции раздела позволяют вырезать и копировать выделенный фрагмент схемы, перемещать элементы или блоки схемы. Опция Copy as Bitmap позволяет копировать выделенный фрагмент схемы в буфер обмена, откуда его можно вставить в другое приложение, например в Word, при составлении отчета о лабораторной работе; Circuit – раздел, позволяющий вращать, менять свойства, приближать и отдалять элементы схемы. Кроме того, возможна настройка визуальных параметров схемы (расположение и ориентация элементов схемы, настройка цветов и шрифта, поиск и другие стандартные функции); Analysis – раздел позволяет запускать, приостанавливать и завершать анализ схемы, а также устанавливать различные опции анализа; Window – раздел предназначен для экранных настроек при работе с документами; Help – раздел служит для доступа к справочной системе Electronics Workbench.

6

В правом верхнем углу экрана находятся клавиши включения питания и паузы , с помощью которых запускается или временно приостанавливается процесс моделирования. Для остановки процесса моделирования или прекращения паузы необходимо повторно нажать на соответствующую клавишу. При моделировании электрической цепи (рис. 1.1) последовательно выбирают требуемые разделы на панели компонентов и переносят соответствующие элементы и приборы на рабочее поле. Для этого необходимо: щелкнуть мышью на нужном элементе (приборе) и, не отпуская кнопки, перенести его на рабочее поле. Если расположение элементов схемы по умолчанию вас не устраивает, то их можно повернуть, выбрав в меню команду Circuit/Rotate или нажав комбинацию клавиш Ctrl + R.

Рис. 1.1

7

Для соединения элементов в соответствии с моделируемой схемой необходимо щелкнуть по одному из контактов первого элемента левой кнопкой мыши так, чтобы появилась черная точка контакта и, не отпуская клавишу, довести курсор до требуемого контакта второго элемента. При появлении точки контакта у вывода другого элемента отпустить Рис. 1.2 кнопку мыши. В результате появляется проводник (рис. 1.2). В случае необходимости можно добавить дополнительные узлы (разветвления). Для этого надо просто перетащить элемент с панели на место проводника, где надо его разветвить. Соединители могут появляться автоматически при наведении второго конца проводника на уже существующий проводник (рис. 1.3). Рис. 1.3 При этом необходимо помнить, что каждый соединитель имеет лишь четыре точки подключения: справа, сверху, слева и снизу. Если подсоединить проводник к уже занятой точке соединителя и отпустить левую клавишу мыши, то существующее соединение заменяется на вновь введенное. Проводники можно выполнить линиями разного цвета, выполнив двойной щелчок на изображении проводника и выбрав нужный цвет из палитры. Если данным проводником к контрольной точке подключается вход виртуального осциллографа, то этим же цветом будет окрашена соответствующая осциллограмма на экране прибора. Если необходимо удалить проводник, то следует указать вывод компонента, куда подключен этот проводник так, чтобы этот вывод выделился, и, нажав левую клавишу мыши, перенести проводник от вывода, а затем отпустить клавишу. Кроме того, для того чтобы убрать проводник, элемент или прибор с рабочего поля, необходимо выделить его и нажать на клавишу Del на клавиатуре. При этом вме8

сте с выбранным объектом пропадут и все линии связи, подключенные к этому объекту. Линия связи может получиться неровной из-за неточного взаимного позиционирования элементов и приборов по горизонтали и вертикали. Для ее выравнивания можно выделить объект и переместить с помощью мыши методом перетаскивания или с помощью клавиш управления курсором. Для установки требуемых значений параметров компонентов необходимо дважды щелкнуть мышью по нему, в результате появится соответствующее окно свойств элемента. Вид окна Свойств для индуктивности (Inductor Properties) показан на рис. 1.4, в разделе Value которого можно установить требуемое значение параметра элемента путем ввода с клавиатуры требуемого значения в текстовое окно.

Текстовое окно

Счетчик

Рис. 1.4

Единицу измерения выбирают с помощью счетчика, расположенного в этом же окне. При этом в EWB используют обозначения единиц измерения, приведенные в табл. 1.1. Таблица 1.1 Обозначение в WB Обозначение по ГОСТу

V

Hz Deg

В

Гц

°

A

Ohm

F

H

М

m

μ

n

p

А

Ом

Ф

Гн

М

м

мк

н

п

9

В разделе Label можно задавать позиционные обозначения элемента. Для проведения экспериментальных исследований к схеме можно подключить различные измерительные приборы: амперметр и вольтметр , выбрав их с панели инструментов Indicators (рис. 1.5). Количество амперметров и вольтметров на этой панели не ограничено.

Рис. 1.5

При необходимости их можно повернуть так же, как и другие элементы (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Вольтметр или амперметр по умолчанию вставляется в режиме измерения постоянного напряжения или тока. Выделенная толстой линией сторона прямоугольника соответствует отрицательной клемме. Двойным щелчком на изображении вольтметра (амперметра) открывается диалоговое окно свойств Voltmeter Properties (Ammeter Properties), в котором указаны: – величина внутреннего сопротивления (по умолчанию для вольтметра – 1 МOм, а для амперметра – 1 мОм); – вид измеряемого напряжения или тока (DC – постоянное, AC – переменное). При измерении переменного синусоидального тока (АС) вольтметр или амперметр показывает действующее значение только переменной составляющей напряжения U = 10

Um I или тока I = m . 2 2

При необходимости в схему можно дополнительно добавить приборы с Панели приборов Instrument (рис. 1.7).

. Рис. 1.7

Каждый из приборов имеется на панели в единственном экземпляре, поэтому при переносе его на рабочее поле соответствующее изображение на панели становится недоступным. При моделировании электрических цепей в курсе ТЭЦ наибольший интерес представляют следующие приборы: мультиметр (Multimeter) предназначен для измерения напряжения, тока, сопротивления или ослабления сигнала в децибелах между двумя контрольными точками электрической цепи; функциональный генератор (Functional generator) является источником напряжения, который вырабатывает сигнал синусоидальной, прямоугольной или треугольной формы; осциллограф (Oscilloscope) используется для визуального наблюдения электрических сигналов в функции времени, измерения их амплитудных и временных параметров (длительности, времени задержки, периода повторения и пр.); графопостроитель (Bode Plotter) используется для построения амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик схемы. Изображение любого прибора с Панели приборов может быть развернуто двойным нажатием левой клавиши мыши по нему. На рис. 1.8 показан мультиметр в развернутом состоянии. Он может работать в разных режимах измерения: на постоянном токе и на переменном токе. При этом в режиме измерения постоянного тока необходимо подключаться с учетом полярности. 11

На рис. 1.9 показан функциональный генератор, который является источником напряжения специальной формы. Генератор способен вырабатывать напряжение синусоидальной, прямоугольной и треугольной формы. Форма сигнала задается клавишами верхнего ряда. Включить генератор в режиме генерации напряжение прямоугольной формы.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Частота сигналов Frequency, коэффициент заполнения Duty cycle, амплитуда Amplitude и смещение Offset базовой линии (постоянной составляющей напряжения) устанавливаются либо непосредственным вводом с клавиатуры в соответствующее окно, либо с помощью соответствующего счетчика. При этом частота выходных сигналов генератора может устанавливаться в пределах от 0,1 Гц (Hz) до 999 МГц. Коэффициент заполнения задает для прямоугольного сигнала отношение в процентах длительности импульса с высоким рабочим уровнем к периоду, а для треугольного сигнала – отношение длительности положительного линейно нарастающего фронта к периоду. Коэффициент заполнения 50 % соответствует симметричной форме сигнала. Форма синусоидального сигнала не изменяется с изменением данного коэффициента. Амплитуда задает максимальное значение выходного напряжения, отсчитываемое от базовой линии (смещения по постоянному току) в предположении, что выходной сигнал снимается между за12

жимами COM (Общий) и «+» (или COM и «−»). Если выходной сигнал снимается с зажимов «+» и «−», то амплитуда удваивается и задается в диапазоне от 1 μV до 999 KV. Offset задает величину постоянного смещения выходного сигнала в пределах от −999 до +999 КВ. Режим источника напряжения, реализуемый функциональным генератором, предполагает, что генерируемый сигнал свободен от искажений, шумов и пульсаций, свойственных реальным генераторам с реальной нагрузкой. Параметры генерируемого сигнала в режиме источника напряжения не зависят от величины подключенной нагрузки. Один из выходных зажимов генератора обычно подключается к земле. Для настроек, указанных на рис. 1.9, на выходе генератора в схеме 1.3 формируются положительные прямоугольные импульсы с амплитудой, изменяющейся от 0 до 2 В, с частотой 100 кГц и с коэффициентом заполнения 50 %. На рис. 1.10 показана схема рис. 1.3, но добавлен осциллограф с панели приборов. Первый канал осциллографа подключен на выходе генератора прямоугольных импульсов, а на второй вход подано напряжение, падающее на сопротивлении в 1 кОм.

Рис. 1.10

На рис. 1.11 показано развернутое изображение осциллографа. Входные зажимы осциллографа подключаются к контрольным точкам схемы аналогично остальным соединениям в схеме. Для удобст13

ва можно назначить разные цвета для изображений подаваемых на вход осциллографа сигналов, выполнив двойной щелчок левой кнопкой мыши по соответствующему проводнику.

Рис. 1.11

Левый и правый нижние зажимы осциллографа представляют собой входы его двух каналов: Channel А и Channel В. Верхний правый зажим осциллографа (GROUND) обычно соединяется с шиной нулевого потенциала . В блоке синхронизации Trigger можно выбрать требуемый режим синхронизации для запуска развертки осциллографа: автоматическая синхронизация – кнопка Auto, синхронизация от канала А или В и внешняя синхронизация – Ext. Кнопки Edge (фронт) устанавливают запуск развертки соответственно по фронту и спаду запускающего сигнала. Полоса прокрутки Level (уровень) определяет пороговое напряжение, превышение которого приводит к запуску развертки. Щелчком левой клавиши мыши можно выбрать требуемый режим работы осциллографа. При нажатии на кнопку Y/T по оси Х откладывается время, а по оси Y – напряжения сигналов А и В. В режимах работы B/A и A/B по оси X откладываются напряжения сигналов А и В соответственно, а по оси Y – напряжения сигналов В и А. На каждом канале можно установить емкостной вход, закрытый для постоянной составляющей (кнопка АС), потенциальный вход, открытый для постоянной составляющей, (кнопка DC) или подать на вход осциллографа уровень нулевого потенциала (кнопка 0). По14

следний режим используется для коррекции положения луча на экране осциллографа в отсутствии входного сигнала. Нужный масштаб временной развертки осциллографа (масштаб по оси Х – X position) можно подобрать с помощью счетчика справа от поля текущего масштаба в блоке Time base. Скорость развертки можно изменять от 0,1 нс до 1 с на одно деление шкалы. Нужный масштаб по оси Y (Y position) можно настроить для каждого канала отдельно с помощью счетчика сбоку от поля текущего масштаба, который может меняться от 10 мкВ/дел до 5 КВ/дел. Для смещения начальной точки развертки по оси X используется полоса прокрутки X position для обоих каналов одновременно. Если X position установлено 0.00, то развертка начинается от начала экрана осциллографа, положительное ненулевое значение X position сдвигает начало развертки вправо, а отрицательное – влево. Смещение сигналов по оси Y задается полосой прокрутки Y position индивидуально для каждого канала в пределах от −3 до 3 делений и используется для того, чтобы раздвинуть по вертикали изображения сигналов А и В, либо сдвинуть оба сигнала одновременно. В режимах В/А и А/В шкала по оси Х определяется установленным масштабом по каналу А и В соответственно. При нажатии кнопки Expand осциллографа появляется его расширенная модель с дополнительными инструментами (рис. 1.12). В отличие от простой модели здесь имеются три информационных табло, на которых выводятся результаты измерений. Кроме этого, непосредственно под экраном находится линейка прокрутки, позволяющая наблюдать любой временной отрезок от момента включения до момента выключения схемы. На экране осциллографа расположены два курсора (красный и синий), обозначаемые 1 и 2, с помощью которых можно измерить мгновенные значения напряжений в любой точке осциллограммы. Для этого курсоры перетаскиваются мышью в требуемое положение (мышью захватывают треугольники в верхней части курсора). Координаты точек пересечения первого курсора с осциллограммами отображаются на левом табло, координаты второго курсора на среднем табло. На правом табло отображаются значения разностей между соответствующими координатами первого и второго курсоров.

15

На рис. 1.12 в третьем информационном окне видно, что длительность прямоугольного импульса равна 5 мкс, а амплитуда – 2 В. Аналогичные результаты можно получить, умножив длину импульса в делениях на экране осциллографа (5 делений) на масштаб по Х (1 мкс/дел.), а амплитуду импульса в делениях на экране осциллографа (4 деления) на масштаб по Y (500 мВ/дел.).

Синий курсор Красный курсор Ползунок

Масштаб по Х

Смещение по Х

Смещение по Y

Масштаб по Y

Рис. 1.12

На рис. 1.12 видно также, что входные сигналы сдвинуты относительно средней линии на два деления вниз. Это позволяет более рационально использовать площадь экрана и более точно проводить измерения параметров импульса. Нажатие на клавишу Reduce осциллографа возвращает предыдущую модель осциллографа.

16

На рис. 1.13 показана схема рис. 1.3, к которой подключен графопостроитель Bode Plotter, используемый для построения амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик схемы. Графопостроитель измеряет отношение амплитуд сигналов в двух точках схемы и фазовый сдвиг между ними. Для измерений графопостроитель генериРис. 1.13 рует собственный спектр частот, диапазон которого может задаваться при настройке прибора. Частота любого переменного источника в исследуемой схеме игнорируется, однако схема должна включать какой-либо источник переменного напряжения. Графопостроитель имеет четыре зажима: два входных IN и два выходных OUT. Левые выводы входов IN и OUT подключаются к исследуемым точкам, а их правые выводы заземляются. При двойном щелчке по изображению графопостроителя открывается его увеличенное изображение (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Кнопка MAGNITUDE нажимается для получения АЧХ, кнопка PHASE – для получения ФЧХ. Панель VERTICAL задает: 17

– начальное I значение параметра вертикальной оси; – конечное F значение параметра вертикальной оси; – вид шкалы вертикальной оси – логарифмическая Log или линейная Lin. Панель HORIZONTAL настраивается аналогично. При получении АЧХ по вертикальной оси откладывается отношение напряжений: – в линейном масштабе от 0 до 10 Е9; – в логарифмическом масштабе от −200 до 200 dB. При получении ФЧХ по вертикальной оси откладываются градусы от −720° до +720 °. По горизонтальной оси всегда откладывается частота в Гц или в производных единицах. На рис. 1.15, 1.16 показаны АЧХ и ФЧХ для схемы рис. 1.3. Для точного отсчета результата измерений можно использовать визирную линию, управляя ее позицией с помощью кнопок с изображениями горизонтальных стрелок ←, → в нижней части лицевой панели Bode Plotter. Визирную линию можно также перемещать с помощью мыши, для чего визир (в виде крестика в левом нижнем углу экрана прибора) следует перетащить в нужную точку на графике АЧХ или ФЧХ.

Визирная линия

Рис. 1.15

18

Рис. 1.16

Отсчет измеряемой величины появляется на цифровом табло в нижней правой части прибора (на рис. 1.16 – −44.88 °).

1.2. Основы работы с программой MathCAD Описание возможностей работы в программе MathCAD можно найти в различных источниках, например [1−4]. Применение MathCAD для автоматизации расчета линейных электрических цепей [5] позволяет существенно упростить анализ особенно сложных электрических цепей.

1.2.1. Пользовательский интерфейс программы MathCAD Рассмотрим основные правила, в соответствии с которыми задаются и решаются математические задачи, возникающие при расчете линейных электрических цепей, в среде пакета MathCAD. Главное меню системы (рис. 1. 17) содержит следующие разделы: File (Файл) – работа с файлами, сетью Internet и электронной почтой; Edit (Правка) – редактирование документов; View (Вид) – изменение средств обзора и включения элементов интерфейса; Insert (Вставить) – установка вставок объектов и их шаблонов; Format (Формат) – изменение формата (параметров) объектов; Tools (Сервис) – управление параметрами и процессом вычис19

ления; Symbolics (Символика) – выбор операций символьного процессора; Window (Окно) – управление окнами системы; Help (Помощь) – работа со справочной базой данных о системе.

Рис. 1.17

Для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд служат Панели инструментов. На рис. 1.17 изображено окно MathCAD с пятью основными панелями инструментов, расположенными непосредственно под строкой меню. Кнопки в панелях сгруппированы по сходному действию команд: Standard (Стандартная) служит для выполнения большинства операций, таких, как действия с файлами, редакторская правка, вставка объектов и доступ к справочным системам; Formatting (Форматирование) – для форматирования (изменения типа и размера шрифта, выравнивания и т.п.) текста и формул; Math (Математика) – для вставки математических символов и операторов в документы; Resources (Ресурсы) – для вызова ресурсов MathCAD (примеров, учебников и т.п.); Controls (Элементы управления) – для вставки в документы стандартных элементов управления интерфейса пользователя (флажков проверки, полей ввода и т.п.). Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей (рис. 1.18).

20

Рис. 1.18

Перечислим назначение математических панелей: Calculator (Калькулятор) служит для вставки основных математических операций. Данная панель получила свое название из-за схожести набора кнопок с кнопками типичного калькулятора; Graph (Графики) – для вставки графиков; Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных операторов; Evaluation (Определение) – для вставки операторов управления вычислениями; Calculus (Вычисления) – для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования; Boolean (Логика) – для вставки логических (булевых) операторов; Programming (Программирование) – для программирования средствами MathCAD; 21

Greek (Греческий Алфавит) – для вставки греческих символов; Symbolic (Символы) – для вставки символьных операторов. Работа с системой MathCAD сводится к подготовке в окне редактирования задания на вычисления и к установке форматов для их результатов. Входным языком системы является язык визуального программирования, многие записи вводятся просто выводом шаблонов соответствующих операторов. Используемые при описании задачи переменные должны быть определены с использованием знака присваивания :=, назначение которого отлично от используемого в математике знака равенства. MathCAD интегрирует в себе три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска первого достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой клавишей мыши. Например, если хотите найти сумму членов некоторого ряда чисел, то следует в панели найти соответствующую пиктограмму и вывести шаблон данной операции на поле документа

После заполнения соответствующих позиций шаблона и ввода знака равенства = MathCAD возвращает результат: 10

1 x

∑ sin(x) ⋅ = 8.415

i =1

Текстовые блоки позволяют создавать в документе пояснения, т.е. делать документ MathCAD более понятным. Для задания текстового блока достаточно ввести символ '' (двойная кавычка). В появившемся прямоугольнике можно вводить текст и осуществлять его редактирование. В общем случае решаемая задача состоит из отдельных решающих блоков. Решающие блоки могут иметь следующий вид: – вычисление значения числового выражения: вычисляемое числовое значение = результат вычисления 12 + 3.2

3 .8 = 16.677 ; 2 .6

– определение переменных: 22

переменная := числовое значение а := 12.40

g := −3.56

s := 11.22 ;

– задание выражения: переменная := вычисляемое выражение f := a + 2 ⋅ g ⋅

s . 3

Используя опцию Number (Результат) из меню Format, можно управлять разрядностью выводимых результатов вычислений. Следует обратить внимание на то, что MathCAD различает строчные и прописные буквы в именах переменных. Для задания циклических вычислений с целочисленной управляющей переменной цикла используется следующая конструкция: Имя переменной := Nнач .. Nкон Здесь знак .. вводится набором знака ; , Nнач – начальное значение переменной и Nкон – конечное значение переменной. Если Nнач < Nкон, то шаг изменения переменной равен +1, а если Nнач > Nкон, то –1. Кроме того, знак .. можно выбрать на панели Matrix. Переменные такого типа в системе MathCAD называются переменными с заданными пределами измерения или ранжированными переменными. Шаг изменения можно задать любым, используя другую конструкцию задания таких переменных: Имя переменной := Nнач , Nслед .. Nкон , где Nслед – следующее за Nнач значение переменной. Шаг в этом случае равен Ncлед – Nнач. Циклы, реализованные с помощью переменных с заданными пределами изменения, показаны на рис. 1.19. В ранжированных переменных невозможно осуществить доступ к произвольному элементу представляемого ими ряда. Этой цели служат массивы. Наиболее распространены одномерные массивы – векторы и двумерные – матрицы.

23

Рис. 1.19

В MathCAD массив задается именем, как и любая переменная. Вектор имеет ряд элементов с определенным порядком расположения. Порядковый номер элемента задается индексом. Нижняя граница индексации определяется значением системной переменной ORIGIN, которая может иметь значение 0 или 1. По умолчанию ORIGIN = 0. Влияние значения этой системной переменной ORIGIN показано на примере рис. 1.20. Элементы матриц также являются индексированными переменными, имена которых совпадают с именами матриц. В этом случае для каждой индексированной переменной указываются два индекса: первый – для номера строки, второй – для номера столбца. Для указания подстрочных индексов после имени переменной вводится знак открывающей квадратной скобки с клавиатуры.

Рис. 1.20

24

Вектор или матрица могут быть созданы присваиванием их элементам (индексированным переменным) тех или иных значений. Это возможно при использовании шаблона, извлекаемого из меню матричных операторов (последний пример) или с помощью оператора присваивания без использования шаблона. Примеры заданий различных матриц показаны на рис. 1.21.

Рис. 1.21

Используемый в примере оператор отношения, применяемый для формирования единичной матрицы, имеет более жирное начертание =, чем оператор равенства =. Он располагается на математической панели Boolean. 25

Необходимо помнить, что последовательность расположения отдельных решающих блоков в задаче должна быть такой же, как для операторов в языковой конструкции: слева – направо, сверху – вниз. При составлении любой задачи нужно максимально использовать площадь листа, оставляя на нем как можно меньше пустых мест. Следует знать, что не все доступные функции MathCAD имеют соответствующие кнопки, для их вызова или ознакомления со всем перечнем функций следует воспользоваться соответствующей кнопкой f(x), расположенной на Стандартной панели. При решении любой задачи возможны формальные ошибки. В этом случае ошибочный элемент задачи выделяется красным цветом и появляется сообщение об ошибке.

1.2.2. Определение комплексных чисел в системе MathCAD Решения некоторых уравнений содержат комплексные числа. MathCAD воспринимает комплексные числа как в алгебраической форме записи: А = a + bi, где a и b – вещественные числа, так и в показательной форме записи: A = AeiΨ. Комплексные числа могут также возникать в результате вычислений, даже если все исходные значения вещественны. Например, если вычислить − 1 , то MathCAD возвращает 1i. При вводе комплексных чисел нельзя использовать i саму по себе для ввода комплексной единицы. Нужно всегда печатать 1i, в противном случае MathCAD истолкует i как переменную. Когда курсор покидает выражение, содержащее 1i, MathCAD скрывает избыточную единицу. Некоторые операции над комплексными числами и их результаты показаны на рис. 1.22.

26

Рис. 1.22

1.2.3. Решение систем линейных уравнений в системе MathCAD Если система линейных уравнений задана в MathCAD в матричной форме A ⋅ X = B, где A – матрица коэффициентов; В – вектор свободных членов. Причем если система содержит n уравнений, то размерность вектора B должна быть n, а размерность матрицы A – (n x n). Решение системы можно получить также в матричной форме: X = А–1 ⋅ B. Для решения систем линейных уравнений в системе MathCAD дополнительно введена специальная функция lsolve(A, B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений A*X = B при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов B. 27

На рис. 1.23 приведен пример решения системы линейных уравнений: ⎧− 2x1 + 0,24x 2 − 0,06x 3 = 9; ⎪ ⎨0,03x1 − 3,3x 2 − 0,12x 3 = 5; ⎪0,77x + 0,32x − 0,22x = 2. 1 2 3 ⎩

Рис. 1.23

1.2.4. Построение графиков в системе MathCAD Для создания графиков в системе MathCAD имеется графический процессор, который позволяет строить графики в соответствии с различными шаблонами, выбираемыми на панели Graph: в декартовой системе координат, в полярных координатах, трехмерные графики, график в виде точек (фигур) в трехмерном пространстве, в виде гистограммы и графика векторного поля на плоскости. Построение графиков возможно следующим способом. Для построения графика в декартовой системе координат необходимо ранжировать аргумент, указав диапазон его изменения и шаг. Это выполняется по правилам, рассмотренным для ранжирования 28

переменных в предыдущем разделе. Затем надо задать соответствующие функции и выбрать из панели шаблон X−Y Plot. В появившемся шаблоне графика необходимо ввести имя переменной и имена функций в соответствующие окна. На рис. 1.24 приведен пример построения графика y = sin(x).

Рис. 1.24

Функцию можно не определять заранее, а задать ее непосредственно в самом шаблоне графика (рис. 1.25).

Рис. 1.25

Если строятся графики нескольких функций в одном шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые (рис. 1.26). 29

Рис. 1.26

Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически. После заполнения соответствующих полей шаблона для построения графика в автоматическом режиме вычислений достаточно вывести курсор за пределы графика или нажать клавишу F9. При необходимости можно изменить параметры графиков, выполнив двойное нажатие по нему и задав нужные значения в появившемся окне форматирования.

1.2.5. Использование программирования в системе MathCAD Хотя набор программных модулей ограничен, все же их использование позволяет существенно расширить возможности программы MathCAD. Программные операторы сосредоточены в панели программных элементов Programming (рис. 1.27), которая включает в себя следующие программы: Add Line – создает и при необходимости расширяет жирную вертикальную линию, справа от которой в шаблонах задается запись программного блока: ← – символ локального присваивания (в теле программного модуля); if – оператор условного выражения; 30

for – оператор задания цикла с фиксированным числом повторений; while – оператор задания цикла типа «пока» (цикл выполняется, пока выполняется некоторое условие); otherwise – оператор иного выбора (обычно применяется с if ); Рис. 1.27 break – оператор прерывания; continue – оператор продолжения; return – оператор-функция возврата; on error – оператор обработки ошибок. Функция if используется для создания условных выражений и имеет следующий формат: If (Условие, Выражение 1, Выражение 2). Если в этой функции условие выполняется, то вычисляется выражение 1, в противном случае – выражение 2. На рис. 1.28 приведена программа, с помощью которой из синусоидального сигнала формируется двухполупериодный выпрямленный сигнал.

Рис. 1.28

Оператор otherwise обычно используется совместно с оператором if. Его использование поясняет следующая программная конструкция, приведенная на рис. 1.29. 31

Рис. 1.29

В этой программе также использован оператор Add Line, который выполняет функции расширения программного блока. Оператор for служит для организации циклов с заданным числом повторений. Он записывается в виде for Var ∈ Nmin .. Nmax Эта запись означает, что если переменная Var меняется с шагом +1 от значения Nmin до Nmax, то выражение, помещенное в шаблон, будет выполняться. Переменную счетчика Var можно использовать в выражениях программы. На рис. 1.30 приведена программа, с помощью которой вычисляется сумма ряда.

Рис. 1.30

В первой строке оператора Add Line переменной S5 присваивается значение нуль. Затем организуется цикл по переменной i, изменяющейся от 0 до 4, в котором значение переменной S5 переназначается пять раз. В результате оператор Add Line возвращает значение суммы ряда S = 15.

32

2. Переходные процессы в линейных электрических цепях 2.1. Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации Процессы, возникающие в электрической цепи (ЭЦ) при переходе от одного установившегося энергетического режима к другому установившемуся энергетическому режиму, называются переходными процессами (режимами). В установившихся режимах токи и напряжения в ЭЦ определяются только видом действующих в цепи источников энергии. Источники энергии могут быть либо постоянными, либо гармоническими, либо несинусоидальными, но периодическими. В отличие от установившихся режимов, изменение токов и напряжений в ЭЦ во время переходного процесса происходит не периодически. Мгновенные значения токов и напряжений, возникающих в переходных режимах, могут во много раз превысить их установившиеся значения. Это обусловливает важность задачи анализа переходных процессов. Возникновение переходных процессов в ЭЦ связано с коммутациями, т.е. скачкообразного изменения структуры цепи, параметров ее элементов, а также подключением или отключением источников энергии. И хотя изменения не могут происходить мгновенно, что связано с изменением количества энергии, запасенной в электрических и магнитных полях, для упрощения расчетов обычно пренебрегают временем коммутации. На схеме электрической цепи процесс коммутации можно изобразить с помощью идеального клюа) б) в) чевого элемента: замыкающего, размыкающего и переключающего Рис. 2.1 (рис. 2.1,а−в). Идеальный ключ S в замкнутом состоянии обладает нулевым сопротивлением, в разомкнутом состоянии – бесконечно большим сопротивлением и переходит из одного состояния в другое за бесконечно малый промежуток времени.

33

В теории переходных процессов момент времени непосредственно до коммутации принято обозначать t = 0–, а момент времени сразу же после коммутации – t = 0+. Переход от одного установившегося режима к другому происходит мгновенно лишь в цепях, не содержащих накопителей энергии. Если ЭЦ содержит индуктивные и емкостные элементы, то энергия электрического или магнитного поля, запасенная в соответствующем элементе, не может измениться скачком при коммутации. Данное положение формулируется в виде законов коммутации. 1 закон коммутации. Если в процессе коммутации индуктивность элемента не изменяется, то значение тока в ней до коммутации iL(0–) равно значению тока сразу же после коммутации iL(0+), а затем плавно изменяется от этого значения iL(0+) = iL(0–)

при L = const.

2 закон коммутации. Если в процессе коммутации емкость элемента не изменяется, то значение напряжения в ней до коммутации uC(0–) равно значению напряжения сразу же после коммутации uC(0+), а затем плавно изменяется от этого значения uC(0+) = uC(0–)

при C = const.

Значения токов и напряжений в ЭЦ в момент времени до коммутации называются начальными значениями. Сразу же после коммутации эти значения могут изменяться или оставаться постоянными. Начальные условия, не изменяющиеся при коммутации и определяемые по состоянию цепи до нее, называются независимыми начальными значениями. В соответствии с законами коммутации к ним при определенных условиях относятся токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Ток и напряжение на сопротивлении, напряжение на индуктивности и ток через емкость могут меняться скачком при коммутации. Эти величины определяются по состоянию цепи после коммутации с учетом независимых начальных значений и называются зависимыми начальными значениями. Постоянство тока в индуктивности при коммутации позволяет при расчете начальных значений заменить индуктивность источником тока, а емкость – источником ЭДС. В частности, при нулевых начальных значениях ветвь с индуктивностью можно считать разомкнутой, а участок цепи с емкостью – накоротко замкнутой. 34

Значения токов и напряжений в цепи после переходного процесса, т.е. при t → ∞ , называются установившимися значениями. Начальные и установившиеся значения величин можно определить с помощью любых методов расчета электрических цепей в установившемся режиме.

2.2. Классический метод расчета переходных процессов Расчет переходных процессов в ЭЦ классическим методом [7] сводится к составлению и решению дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений ЭЦ, составленных по законам Кирхгофа для ЭЦ после коммутации, с использованием закона Ома относительно мгновенных значений токов и напряжений. Из полученной системы для каждого неизвестного может быть выделено одно дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, порядок которого n будет определяться конфигурацией цепи и характером ее элементов: d ni d n −1i a n n + a n −1 n −1 + ... + a 0i = f ( t ) . dt dt

(2.1)

Общее решение этого дифференциального уравнения позволяет найти полный ток в цепи (i), который складывается из суммы принужденной (iпр) и свободной (iсв) составляющих: i = i пр + i cв .

Принужденная составляющая представляет собой частное решение уравнения (2.1) и определяет значение интересующей нас переменной в новом установившемся режиме. Этот режим называют принужденным, поскольку установившиеся токи и напряжения в этом режиме изменяются с той же частотой, что и действующие в ЭЦ принуждающие ЭДС или токи. Так, если в ЭЦ имеются только источники постоянного напряжения или тока, то принужденный ток будет также постоянным, а если напряжения или токи источников меняются по гармоническому закону, то принужденная составляющая представляет собой гармоническую функцию времени той же частоты. Свободная составляющая соответствует процессам в электрической цепи при отсутствии внешних источников энергии, т.е. режиму, 35

при котором энергия электрических и магнитных полей, запасенная в реактивных элементах, преобразуется без внешнего воздействия. Она определяется как решение однородного дифференциального уравнения: an

d n i cв dt n

+ a n −1

d n −1i cв dt n −1

+ ... + a 0i cв = 0 .

(2.2)

Этому дифференциальному уравнению соответствует следующее характеристическое уравнение: a n p n + a n −1p n −1 + ... + a 1p + a 0 = 0 .

Известно, что решение уравнения (2.2), когда все корни характеристического уравнения простые (различные), имеет вид i cв = A n e p n t + A n −1e p n −1t + ... + A1e p1t ,

(2.3)

где pn, pn-1, ..., p1 − корни характеристического уравнения; An, An-1, ..., A1 − постоянные интегрирования, которые имеют размерность искомой величины. Когда характеристическое уравнение имеет n одинаковых (кратных) действительных корней p, то решение уравнения (2.2) можно записать как

(

)

icв = A n t n −1 + A n −1t n − 2 + ... + A1 ept .

(2.4)

С учетом (2.3) и (2.4) общее решение уравнения (2.1) для разных и для кратных корней характеристического уравнения соответственно равно i = i пр + A n e p n t + A n −1e p n−1t + ... + A1e p1t , (2.5)

(

)

i = iпр + A n t n −1 + A n −1t n − 2 + ... + A1 ept .

(2.6)

Основная трудоемкость классического метода расчета связана с нахождением значений постоянных интегрирования An, An-1, …, A1. Причем с ростом порядка дифференциального уравнения, описывающего электрическую цепь, эта задача существенно усложняется. Для нахождения постоянных интегрирования записывают выражения для искомого тока i(t) и его (n − 1) производных в момент t = 0+. В результате для случая разных корней характеристического 36

уравнения из уравнения (2.5) получается система из n уравнений с n неизвестными постоянными интегрирования ⎧ ⎪A n + A n −1 + ... + A1 = i(0 + ) − i пр ⎪ ⎪ di(0 + ) di пр − . ⎨p n A n + p n −1A n −1 + ... + p1A1 = dt dt ⎪ n −1 ⎪ d n −1i(0 + ) d i пр n −1 n −1 n −1 ⎪p n A n + p n −1A n −1 + ... + p1 A1 = − dt n −1 dt n −1 ⎩

(2.7)

Для нахождения свободных членов в системе уравнений (2.7), которые совпадают с начальными значениями тока i(0+) и его (n − 1) производной в момент t = 0, составляют уравнения равновесия ЭЦ и подставляют в них известные независимые начальные значения, т.е. значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях до коммутации. Система (2.7) может быть записана в матричной форме: Δ ⋅ A = C,

где Δ =

1 p1

1 p2 ⋅⋅⋅

p1n −1

p 2 n −1

⋅ ⋅

1 pn

⋅

– определитель системы;

p n n −1

⎡ A1 ⎤ ⎢A ⎥ ⎢ 2⎥ ⋅ A = ⎢ ⎥ – матрица-столбец постоянных интегрирования; ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⋅ ⎥ ⎢⎣A n ⎥⎦

37

(2.8)

⎡i(0 + ) − i пр ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ di(0 + ) − di пр ⎥ ⎢ dt ⎥ dt С= ⎢ ⎥ − матрица-столбец свободных членов. ... ⎢ ⎥ ⎢ n −1 d n −1i пр ⎥ ⎢ d i (0 + ) − ⎥ n −1 ⎥ ⎢⎣ dt n −1 dt ⎦

Решение системы (2.8) можно представить в матричной форме: A = Δ−1 ⋅ C.

Полученная система может быть легко решена с применением программирования либо с помощью современных компьютерных программ математического моделирования типа MathCAD. Получим аналогичную систему для случая кратных корней характеристического уравнения. Для этого найдем значения функции i(t) и ее (n − 1) производных из выражения (2.6) для момента времени t = 0+, в результате получим систему, аналогичную системе уравнений (2.8): Δкр ⋅ A = C, где векторы-столбцы A и С совпадают с аналогичными значениями в системе уравнений (2.8), а главный определитель Δкр представляет собой треугольную матрицу, элементы которой равны нулю, если номер строки k меньше номера столбца j, а значения остальных ее элементов можно посчитать по формуле

(k − 1)! k − j p [6]. (k − j)!

Полученное в общем виде выражение для определителя Δкр позволяет быстро формировать его для любого n. Так, например, для пяти кратных корней этот определитель равен ⎡1 ⎢p ⎢ Δкр = ⎢p 2 ⎢ 3 ⎢p ⎢⎣p 4

0 0 1 0 2p 2 2 3p 6p 4p 3 12p 2

38

0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0 ⎥. ⎥ 6 0⎥ 24p 24⎥⎦

Приведем рекомендуемую последовательность расчета классическим методом: 1) анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий; 2) составление уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации; 3) составление и решение характеристического уравнения. Определение свободной составляющей решения; 4) составление уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации и определение принужденной составляющей решения; 5) нахождение общего вида решения в виде суммы принужденной и свободной составляющих; 6) определение постоянных интегрирования.

2.3. Переходный процесс в цепи RL Рассмотрим пример расчета переходного процесса классическим методом для ЭЦ, содержащей последовательно соединенные сопротивление R и индуктивность L, при подключении ее к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 2.2,а). Найдем закон изменения тока i(t) в этой цепи после коммутации. 1. Анализ цепи до коммутации показывает, что ток i(0–) = 0, так как цепь разомкнута. В соответствии с первым законом коммутации ток через индуктивность не может меняться скачком и независимые начальные условия для этой цепи нулевые: i(0+) = i(0–) = 0. 2. Составим для цепи уравнение по второму закону Кирхгофа после коммутации: u L (t ) + u R (t ) = E ,

или с использованием законов Ома u L (t) + u R (t) = L

di + Ri = E . dt

3. Данному дифференциальному уравнению соответствует следующее характеристическое уравнение: Lp + R = 0. 39

(2.9)

Это уравнение имеет один корень p = −

R , поэтому свободная L

составляющая тока в соответствии с выражением (2.3) равна iсв = Aep t = Ae

−t

τ,

(2.10)

1 L = – постоянная времени цепи, которая равна времени р R в секундах, по истечении которого ток изменяется в е ≈ 2,7 раз от своего начального значения по отношению к установившемуся значению.

где τ = −

а)

б)

в)

40

г)

Рис. 2.2

Хотя теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, но через время, равное 3τ, все токи и напряжения в цепи достигнут своего установившегося значения с погрешностью порядка 5 % и на практике считается, что переходной процесс завершился. 4. При определении принужденной составляющей учтем, что рассматриваемая ЭЦ – цепь постоянного тока, поэтому f = 0, а реактивное индуктивное сопротивление на постоянном токе XL = 2πfL = 0. Поэтому эквивалентная схема цепи в установившемся режиме будет иметь вид (рис. 2.2,б). В этой цепи протекает ток i(∞ ) = i пр =

E . R

5. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения для тока можно представить в виде i = i пр + i св =

E + Ae pt . R

6. Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим последнее выражение для момента времени t = 0+ и с учетом независимых начальных условий получим i (0 + ) =

Откуда А = −

E + A = 0. R

E , а общее решение дифференциального уравнеR

ния можно представить в виде

41

i( t ) =

−t ⎞ E⎛ τ . 1 e − ⎜ ⎟ R⎝ ⎠

(2.11)

На рис. 2.2,в приведены графики зависимостей iсв(t/τ) и iпр(t/τ), а также суммарный график i(t/τ) с учетом их начального значения. Из графиков видно, что суммарный ток i в цепи возрастает по экспоL E ненте с постоянной времени τ = от нуля до значения, равного . R R Построение графика iсв(t/τ) удобно проводить в следующей последовательности: – отложить на графике значение i св (0) = −

E −0 E e =− ; R R

– по истечении времени t, равного τ, значение свободной составляющей тока будет равно E E ⎛t⎞ ≈− , i св ⎜ ⎟ = i св (1) = − Re 2,7R ⎝τ⎠

т.е. модуль свободной составляющей уменьшается примерно в 2,7 раза относительно начального значения; – в момент времени t = 2τ значение свободной составляющей тока будет равно i (1) E ⎛t⎞ i св ⎜ ⎟ = i св (2 ) = − − 2 = св , e Re ⎝ τ⎠

т.е. модуль свободной составляющей снова уменьшается примерно в 2,7 раза относительно значения i св (1) ; – аналогично получим значение тока для момента времени t = 3τ: i св (3) =

i св (2) . e

Из выражения (2.11) по закону Ома можно определить падения напряжения на сопротивлении uR(t) и на индуктивности uL(t) в виде −t ⎞ ⎛ u R ( t ) = Ri = E⎜1 − e τ ⎟ ⎝ ⎠

42

u L (t) = L

−t di ⎛ E ⎛ − R ⎞ − tτ ⎞ ⎛ E ⎛ −1⎞ − t ⎞ = L ⎜ − ⎜ ⎟ e τ ⎟ = L⎜ − ⎜ ⎟ = Ee τ . ⎟e dt ⎝ R⎝ L ⎠ ⎠ ⎝ R⎝ τ ⎠ ⎠

Графики зависимостей uR(t/τ), uL(t/τ) приведены на рис. 2.2,г. Поскольку uR = iRR, то напряжение на сопротивлении повторяет по форме кривую тока. Напряжение на индуктивности в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до уровня Е, а затем снижается до нуля по экспоненте с постоянной времени, равной τ. Подставляя выражения для uR(t) и uL(t) в уравнение по второму закону Кирхгофа для данной цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени: −t ⎞ −t ⎛ uL (t) + u R (t) = E ⎜ 1 − e τ ⎟ + Ee τ = E . ⎝ ⎠ Для упрощения инженерных расчетов переходных процессов в сложных ЭЦ характеристическое уравнение цепи удобно получить из так называемого операторного сопротивления. Для этого необходимо выполнить следующие действия: – исключить из схемы все источники ЭДС и тока, заменив их соответствующим внутренним сопротивлением (при этом участки цепи с идеальными источниками ЭДС необходимо накоротко замкнуть, так как их внутреннее сопротивление равно нулю, а ветви с идеальным источником тока необходимо разомкнуть, так как их внутреннее сопротивление равно бесконечности); – разорвать любую ветвь ЭЦ и определить комплексное сопротивление цепи Z(jω) относительно точек разрыва (при этом рекомендуется выбрать такую точку на схеме, чтобы относительно точек разрыва получить цепь с наиболее простым алгебраическим выражением для комплекса полного сопротивления); – заменить в выражении для комплексного сопротивления jω на оператор р и приравнять полученное выражение к нулю; – привести полученное выражение для Z(р) к общему знаменателю (при этом в зависимости от точки разрыва выражение для Z(р) в общем случае может быть различным, но его числитель всегда совпадает с соответствующим характеристическим сопротивлением ЭЦ). Так, например, для электрической цепи (рис. 2.2,а) комплекс полного сопротивления цепи относительно входных зажимов равен

43

Z = jωL + R, а соответствующее операторное сопротивление цепи равно Z(p) = pL + R. Приравняв его к нулю, получим характеристическое уравнение цепи, совпадающее с выражением (2.9). Рассмотрим ЭЦ, содержащую последовательно соединенные сопротивление R и индуктивность L, которая длительное время была подключена к источнику постоянной ЭДС Е, при переключении ключа из положения 1 в положение 2 (рис. 2.3,а). 1. Анализ цепи до коммутации показывает, что ее эквивалентная схема совпадает со схемой рис. 2.2,б, а независимые начальные условия для этой цепи ненулевые: i (0 + ) = i (0 − ) =

E . R

2. Уравнение для цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа равно L

di + Ri = 0 . dt

3. Данному дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение (2.9) и свободная составляющая тока, совпадающая с выражением (2.10). 4. Принужденная составляющая тока в данной цепи будет равна нулю: i пр =

0 = 0, R

так как в цепи после коммутации отсутствуют источники энергии.

44

а)

б) Рис. 2.3

В этом случае по сравнению с рассмотренным ранее примером начальные и установившиеся значения меняются местами. 5. Таким образом, общее решение для тока при переходном процессе в цепи можно представить в виде i( t ) = Ae pt .

6. Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим последнее выражение для момента времени t = 0+ и с учетом независимых начальных условий получим i(0 + ) = A =

E . R

Откуда общее решение дифференциального уравнения запишется следующим образом: E −t i(t) = e τ . (2.12) R Из выражения (12) по закону Ома можно определить падения напряжения на сопротивлении uR(t) и индуктивности uL(t) в виде u R ( t ) = Ri ( t ) = Ee

45

−t

τ,

u L (t) = L

−t di E⎛ R −t ⎞ = L ⎜ − e τ ⎟ = −Ee τ . dt R⎝ L ⎠

Из выражений (2.12) следует, что при замыкании цепи накоротко ток в ней уменьшается по экспоненте от уровня

E до нуля с поR

L (рис. 2.3,б). Напряжение на сопротивлении R изменяется по такому же закону, что и ток, а напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком изменяется от нуля до уровня –Е, а затем плавно по экспоненте снижается до нуля (рис. 2.3,б). Подставляя выражения uR(t), uL(t) в уравнение по второму закону Кирхгофа для данной цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени: стоянной времени τ =

u L (t) + u R (t) = Ee

−t

τ

− Ee

−t

τ

= 0.

Для рассматриваемых цепей длительность переходного процесса в цепи прямо пропорциональна L, так как индуктивность определяет количество энергии, запасаемой в магнитном поле цепи, и обратно пропорциональна R, так как сопротивление определяет количество энергии, рассеиваемой в виде тепла. При отсутствии внешних воздействий на цепь в виде источника ЭДС (в свободном режиме) переходный процесс заканчивается тогда, когда вся энергия магнитного поля будет преобразована в тепло. Если в реальной цепи (см. рис. 2.2,а), содержащей катушку индуктивности c индуктивностью L и резистор с сопротивлением R , ключ работает на размыкание, то в силу того, что ток через индуктивность не сможет измениться скачком до нуля, в первый момент после коммутации в ключе возникает искра между контактами. В результате образуется контур для протекания тока через катушку индуктивности. Так как остаточное сопротивление ключа в замкнутом состоянии значительно больше, чем в открытом состоянии, то постоянная времени в цепи после коммутации будет значительно меньше, чем до коммутации. Это приведет к тому, что ток в цепи после коммутации очень быстро пропадет. Подобный режим работы используется для воспламенения рабочей смеси в цилиндре бензинового двигателя внутреннего сгорания с

46

помощью искры, возникающей в искровом промежутке свечи зажигания. Рассмотрим ЭЦ, в которой до размыкания ключа параллельно цепи был подключен вольтметр (рис. 2.4). Так как ток через индуктивность i(0 + ) = i(0 − ) =

E не сможет измениться скачком, то после R

коммутации он будет протекать в контуре R-L-pV.

Рис. 2.4

При этом на вольтметре с сопротивлением RV будет падать напряжение: u V (0 + ) = R V i (0 + ) = R V

R Е =E V . R R

Вместе с тем для контура R-L-pV можно записать следующее уравнение Кирхгофа: u L (0 + ) + Ri(0 + ) + R V i(0 + ) = 0 .

Откуда падение напряжения на индуктивности равно u L (0 + ) = −(R + R V )i(0 + ) = − E(1 +

RV ). R

Если RV > R, то напряжение на вольтметре и на индуктивности при отключении цепи от источника ЭДС в первый момент времени повысится в

RV раз. Если энергия магнитного поля, запасенная в катушR

ке индуктивности достаточно велика, то может выйти из строя вольтметр и может быть нарушена изоляция самой катушки индуктивности.

47

Во избежание возникновения больших перенапряжений при отключении цепей постоянного тока с большой индуктивностью (например, обмоток возбуждения генераторов постоянного тока) эти цепи предварительно замыкают на малое сопротивление.

2.4. Переходный процесс в цепи RC Рассмотрим переходной процесс в цепи с последовательным соединением сопротивления R и емкости C, которая с помощью ключа S переключается от источника постоянной ЭДС Е1 к источнику Е2 (рис. 2.5).

Рис. 2.5

1. Если цепь до коммутации была достаточно давно подключена к Е1, то, с учетом того, что реактивное емкостное сопротивление на 1 = ∞ , ток в цепи отсутствовал, но емкость постоянном токе XС = 2πfC была заряжена до напряжения Е1. Поэтому независимые начальные условия для этой цепи на основании второго закона коммутации можно записать следующим образом: u C (0 + ) = u C (0 − ) = Е1 . 2. Запишем второй закон Кирхгофа для этой цепи после коммутации: uR(t) + uC(t) = Ri(t) + uС(t) = E2. Учитывая, что i( t ) = C

du C ( t ) , последнее уравнение можно запиdt

сать следующим образом: RC

du C ( t ) + u C (t ) = E 2 . dt

48

(2.13)

3. Для решения этого дифференциального уравнения относительно uC(t) необходимо составить характеристическое уравнение в виде RCp + 1 = 0. Это уравнение имеет один корень, равный p = −

1 , а свободная RC

составляющая uС св равна uС св = Aept = Ae

−t

τ,

1 = RC – постоянная времени переходного процесса. р Заметим, что характеристическое уравнение для этой цепи можно также получить из числителя соответствующего операторного сопротивления:

где τ = −

Z(p) = R +

1 RCp + 1 = = 0. pC pC

4. В установившемся режиме на вход рассматриваемой ЭЦ подано постоянное напряжение с выхода источника Е2, поэтому ток в цепи в установившемся режиме будет отсутствовать, а установившееся значение напряжения на емкости будет равно Е2. Таким образом, принужденная составляющая uС пр = Е2. 5. Общее решение уравнения (2.13) для напряжения при переходном процессе в цепи можно представить суммой свободной и принужденной составляющих: −t

uС (t) = uС св + uС пр = Ae τ + E2. 6. Для нахождения постоянной интегрирования А рассмотрим последнее выражение для момента времени t = 0+ и с учетом независимых начальных условий получим uС (0+) = А+ E2 = Е1.

(2.14)

Откуда А = Е1 − E 2 , а общее решение уравнения (2.13) равно uС (t) = E2 + ( Е1 − Е 2 ) e

−t

τ

.

Из последнего выражения можно определить падение напряжения на сопротивлении uR(t) в виде 49

u R (t) = Е 2 − u C (t) = (E 2 − E1 ) e

−t

τ

.

На рис. 2.6,а приведены графики зависимостей uC(t/τ), uR(t/τ) для случая Е2 > Е1, из которых видно, что напряжение на емкости до коммутации и сразу же после коммутации остается неизменным и равно Е1, а затем плавно нарастает по экспоненте с постоянной времени τ = RC до значения Е2. Напряжение на сопротивлении в первый момент времени после коммутации скачком изменяется от нуля до уровня (Е2 − Е1), а затем плавно убывает до нуля по экспоненте. Ток в цепи повторяет по форме напряжение на сопротивлении. Если Е2 = 0, то после коммутации произойдет полный разряд емкости, так как в цепи не останется внешних источников энергии, и вся энергия, накопленная в электрическом поле емкости, преобразуется в тепло в резисторе. Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую, а постоянная интегрирования для данной цепи из (2.14) будет равна Е1. Таким образом, напряжения на емкости и на сопротивлении в переходном процессе будут изменяться по следующим законам: uС(t) = E1 e

−t

τ;

u R (t) = 0 − u C (t) = −E1e

−t

τ

.

Графики зависимостей uC(t/τ), uR(t/τ) для случая Е2 = 0 приведены на рис. 2.6,б, из которых видно, что напряжение на емкости до коммутации и сразу же после коммутации остается неизменным и равно Е1, а затем плавно убывает по экспоненте с постоянной времени τ = RC до нуля. Напряжение на сопротивлении в первый момент времени после коммутации скачком изменяется от нуля до уровня –Е1, а затем плавно убывает до нуля по экспоненте. Ток в цепи повторяет по форме напряжение на сопротивлении.

50

а)

б)

Рис. 2.6

2.5. Переходный процесс в цепи RLC Рассмотрим переходный процесс в ЭЦ, содержащей последовательное соединение R-, L-, C-элементов, при подключении ее к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 2.7). 51

Если цепь до коммутации была достаточно давно отключена от источника постоянной ЭДС Е, то на момент коммутации ток в ней отсутствовал, а емкость была разряжена. Запишем независимые начальные условия для этой цепи на основании первого и второго законов коммутации: i (0 + ) = i (0 − ) = 0 ; (2.15) u C (0 + ) = u C ( 0 − ) = 0 .

(2.16)

Рис. 2.7

Уравнение по второму закону Кирхгофа для этой цепи после замыкания ключа представляет собой интегро-дифференциальное уравнение: u R (t) + u L (t) + u C (t) = L

1 di + Ri + ∫ idt = E . dt C

(2.17)

Рассмотрим это уравнение в начальный момент времени сразу же после коммутации: di(0 + ) 1t L + Ri(0 + ) + ∫ i(0 + )dt = E . dt C0

В последнем уравнении второе слагаемое с учетом (2.15) и третье слагаемое с учетом (2.16) будут равны нулю. Следовательно, можно получить зависимое начальное условие для этой цепи относительно дифференциала тока в виде di(0 + ) Е = . dt L

(2.18)

Продифференцируем уравнение (2.17) и с учетом постоянной ЭДС Е получим дифференциальное уравнение второго порядка: d 2i di 1 L 2 + R + i = 0. dt C dt

52

(2.19)

Для решения дифференциального уравнения (2.19) относительно i(t) необходимо составить характеристическое уравнение в виде Lp 2 + Rp +

1 R 1 = 0 ⇒ p2 + p + = 0. C L LC

Корнями этого характеристического уравнения являются 2

p1, 2

R 1 ⎛R ⎞ =− ± ⎜ ⎟ − = −δ ± δ 2 − ω02 , 2L LC ⎝ 2L ⎠

(2.20)

где δ = R/2L – коэффициент затухания, пропорциональный затуханию в последовательном колебательном контуре при резонансной частоте; 1 – угловая частота, на которой в цепи (см. рис. 2.7) воза ω0 = LC никает резонанс. Введем понятие критического сопротивления цепи Rкр, которое определяется из условия равенства нулю дискриминанта в (2.20): 2

⎛ R кр ⎞ 1 = 0. ⎜ ⎟ − 2L LC ⎝ ⎠ Откуда R кр = 2 L

C

= 2ρ ,

где ρ = L C – волновое сопротивление цепи. Корни характеристического уравнения в зависимости от соотношения параметра R и R кр могут быть трех видов: − при R > R кр или R > 2ρ уравнение имеет два вещественных разных отрицательных корня; − при R = R кр или R = 2ρ уравнение имеет два одинаковых вещественных корня p = −

R = −δ ; 2L

– при R < R кр или R< 2ρ уравнение имеет два комплексно сопряженных корня: p1, 2 = −δ ± jωсв ,

где ωсв = ω02 − δ 2 − частота свободных колебаний в цепи. 53

При этом для случая R ≠ R кр свободная составляющая тока в соответствии с (2.3) будет равна i cв = A1e p1t + A 2 e p 2 t ,

а для случая R = R кр свободная составляющая тока в соответствии с (2.4) будет равна i cв = e pt ( А1 + A 2 t ) .

Принужденная составляющая тока в данной цепи iпр будет равна нулю, так как в цепи с постоянным источником ЭДС ток через емкость в установившемся режиме не протекает. Таким образом, общее решение для тока в случае R ≠ R кр или R = R кр можно представить соответственно следующим образом: i = A1e p1t + A 2 e p 2 t

(2.21)

i = e pt (А1 + A 2 t ) .

(2.22)

или Для нахождения постоянных интегрирования в выражениях (2.21), (2.22) необходимо получить систему из двух уравнений относительно А1 и А2, аналогичную системе (2.7). В случае R > R кр или R > 2ρ рассмотрим выражения (2.21) для момента времени t = 0+ и с учетом независимого начального условия (2.15) получим первое уравнение системы: i(0 + ) = A1 + A 2 = 0 .

Продифференцируем выражение (2.21) и рассмотрим полученное уравнение

di = A1p1e p1t + A 2 p 2 e p 2 t в момент времени t = 0+ с учеdt

том зависимого начального условия (2.18). В результате получим второе уравнение системы: di E (0 + ) = A1p1 + A 2 p 2 = . dt L

Решение полученной системы уравнений даст следующие значения для постоянных интегрирования: А1 = −A 2 =

E E . = L(p1 − p 2 ) 2L δ2 − ω2 0

54

Таким образом, для случая R > R кр общее решение уравнения (2.19) можно представить следующим образом: i(t) =

E 2L δ

2

− ω02

(e p1t − e p2 t ) = i1 (t) − i 2 (t) .

(2.23)

Графики зависимости i1(t/τ), i2(t/τ) и i(t/τ) приведены на рис. 2.8. i, i1, i2 i1

i

t/τ i2

Рис. 2.8

Так как при δ > ω0 оба корня отрицательные разные, то обе экспоненты будут со временем уменьшаться по модулю до нуля со скоростью, определяемой постоянными времени для каждой из них τ1 =

−1 −1 и τ2 = . р1 р2

Однако τ1 всегда больше, чем τ2, поэтому переходный процесс через время, равное примерно трем τ1, практически завершится. Отметим, что в начальный момент времени график i(t/τ) проходит через нуль, следовательно, выполняется первый закон коммутации и ток через индуктивность не меняется скачком. 55

Такой переходный процесс называется апериодическим. При увеличении разности

(δ

2

− ω02

)

значения p1,2 расходятся,

при этом p2 → –∞, а p1 → 0 и длительность переходного процесса стремится к бесконечноcти. В случае R = R кр рассмотрим выражения (2.22) для момента времени t = 0+ и с учетом независимого начального условия (2.15) получим: i(0 + ) = е 0 (A1 + A 2 ⋅ 0 ) = А1 = 0 .

Продифференцируем выражение (2.22), в результате получим di = A1pe pt + A 2 e pt + A 2 tpe pt . dt

Рассмотрим последнее выражение в момент времени t = 0+ и с учетом зависимого начального условия (2.18) получим di E (0 + ) = A 2 = . dt L

Таким образом, для случая R = Rкр общее решение уравнения (2.19) можно представить следующим образом: i( t ) =

E рt E −δt te = te . L L

(2.24)

График зависимости i(t/τ) для случая кратных корней приведен на рис. 2.9. Отметим, что в начальный момент времени график также проходит через нyль, следовательно, выполняется первый закон коммутации и ток через индуктивность не меняется скачком. В этом случае переходный процесс завершается за время, равное примерно 3τ, где τ = 1/ δ . Такой переходный процесс называется апериодическим критическим. Для случая R < Rкр корни характеристического уравнения получаются комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью.

56

Рис. 2.9

В этом случае свободная составляющая решения дифференциального уравнения также будет суммой двух экспонент, но эти экспоненты могут быть объединены, и общее решение уравнения (2.19) можно представить следующим образом: Ee −δt i( t ) = Lωсв

⎛ e jωсв t − e − jωсв t ⎜ ⎜ 2j ⎝

⎞ Ee −δt ⎟= ⎟ Lω sin(ωсв t ) . св ⎠

(2.25)

График зависимости (2.25) приведен на рис. 2.10. Эта функция представляет собой синусоиду с изменяющейся во времени амплитудой. Период этих колебаний Тсв определяется частотой свободных колебаний ωсв и равен Tсв =

57

2π . ωсв

Рис. 2.10

Затухание δ определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний свободной составляющей. Максимальное значение затухания соответствует режиму, граничному с апериодическим режимом. Частота свободных колебаний ωсв тока и напряжений при увеличении затухания стремится к нулю, а при уменьшении – к резонансной частоте цепи. Подобный переходный процесс в цепи называется колебательным.

2.6. Переходный процесс в разветвленной цепи первого порядка Рассмотрим, как протекает переходный процесс при смешанном соединении элементов (рис. 2.11), если до коммутации ключ был разомкнут, а после коммутации замыкается. Расчет проведем для следующих значений параметров R1 = R2 = 10 Ом, R3 = 5 Ом, E = 1 В, L = 2 мГн.

58

Анализ цепи до коммутации показывает, что независимые начальные условия для нее – это ток через индуктивность i(t), который равен: E 1 = ≈ 0,067 А . i(0+ ) = i(0− ) = R1 + R3 15 Операторное сопротивление для этой цепи равно

Z(p) = R12 + R3 + pL = 10 + 0,002p , где R12 =

R1R2 = 5 Ом . R1+ R2

Рис. 2.11

Найдем корень характеристического уравнения и постоянную времени цепи: p=−

τ=−

10 = −5000 с−1; 0,002

1 1 = = 0, 2 мс . p 5000

Свободная составляющая тока равна iсв = Aept = Ae

−t

τ.

Принужденная составляющая тока в данной цепи будет равна

iпр =

E 1 = = 0,1 А . R12 + R3 10

59

Таким образом, общее решение для тока в цепи в амперах равно i = Ae pt + 0,1 (А).

Для нахождения постоянной интегрирования А запишем последнее выражение в момент времени t = 0+ с учетом независимых начальных условий получим i(0 + ) = A + 0,1 = 0,067 А.

Откуда А = –0,033 А, а общее решение дифференциального уравнения для тока запишется следующим образом:

(

)

i( t ) = 0,100 − 0,033e −5000 t А.

Из последнего выражения можно определить падения напряжения на индуктивности и сопротивлениях: u L (t) = L

di = 0,002 ⋅ ( −0.033) ⋅ (− 5000 ) ⋅ e −5000 t = 0,330e −5000 t В; dt

(

)

uR12 (t ) = uR3 (t ) = R12 ⋅ i(t ) = 5 ⋅ 0,100 − 0,033 ⋅ e−5000t =

(

)

= 0,500 − 0,165e−5000t В .

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации: u R12 ( t ) + u L ( t ) + u R 3 ( t ) =

(

)

= 2 ⋅ 0,500 − 0,165e −5000 t + 0,33e −5000 t = 1 В = E.

Как видно из последнего выражения для данной цепи после коммутации выполняется второй закон Кирхгофа. Так как R1 и R2 равны и включены параллельно, то по ним протекают равные по значению токи: i R1 ( t ) = i R 2 ( t ) =

(

)

u R12 ( t ) u R12 ( t ) = = 0,0500 − 0,0165e −5000 t (A). R1 R2

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для цепи после коммутации

(

) (

)

i R1 ( t ) + i R 2 ( t ) = 2 ⋅ 0,0500 − 0,0165 e −5000 t = 0,100 − 0,033e −5000 t А = i ( t ).

60

Как видно из последнего выражения первый закон Кирхгофа выполняется для заданной цепи после коммутации. Графики изменения токов и напряжений для рассмотренной цепи показаны на рис. 2.12,а, б.

а)

б)

Рис. 2.12

2.7. Моделирование переходных процессов в программе Еlectronics Workbench На рис. 2.13 приведен пример моделирования в среде Еlectronics Workbench переходного процесса для схемы рис. 2.3.

Рис. 2.13

При моделировании выбраны следующие значения параметров схемы: Е = 2 В, L = 1 мГн, а сопротивление R = 10 Ом составим 61

из двух последовательно включенных сопротивлений: R1 = 9 Ом и R0 = 1 Ом. На вход А осциллографа подадим прямоугольные импульсы с выхода генератора импульсов uги(t). При этом момент переключения ключа из положения 1 в положение 2 (см. рис. 2.3,а) соответствует заднему фронту импульсов с выхода генератора прямоугольных импульсов, а переключения ключа из положения 2 в положение 1 – переднему фронту импульсов. По умолчанию изображение сигнала uги(t) на экране осциллографа будет черного цвета. Подключим на канал В осциллографа напряжение uR0 и установим красный цвет для соответствующего проводника, выполнив двойной щелчок по его изображению. Сопротивление R0 предназначено для наблюдения на экране осциллографа изображения сигнала красного цвета uR0(t) в мВ, равного по значению току в этой цепи i(t) в мА (рис. 2.14). uги(t)

i(t)

Рис. 2.14

Общий выход функционального генератора Common соединим со входом Ground осциллографа и с шиной нулевого потенциала

.

Как было показано ранее, постоянная времени для этой цепи L равна τ = = 100 мкс, значение тока в цепи до коммутации R i(0–) =

E = 200 мА, принужденная составляющая тока равна нулю, R

62

а ток после коммутации в рассматриваемой цепи изменяется по экс−t E −t 2 −t поненте i(t) = e τ = e τ = 200e τ мA . R 10 Установим с помощью соответствующих элементов управления следующий режим работы генератора прямоугольных импульсов: 1 = – частота выходных прямоугольных импульсов f = 10τ =

1 = 1 кГц – Frequency =1 kHz; 10 ⋅ 0,0001

– коэффициент заполнения, который равен отношению длительности импульса к периоду – Duty cycle = 50 %; – амплитуда импульсов 1 В – Amplitude = 1 V; – постоянная составляющая, равная смещению двухполярных прямоугольных импульсов на 1 В – Offset = 1 V. При этом на выходе генератора будут формироваться однополярные прямоугольные импульсы с амплитудой 2 В. Запустить процесс моделирования, нажав на клавишу включе. Для остановки процесса моделирования необхония питания димо повторно нажать соответствующую клавишу включения питания. Подобрать масштаб изображения на экране осциллографа, используя для каждого канала временную и амплитудную развертки, а также смещение по оси Y (Y position), указанные на рис. 2.14. Это позволит более точно провести последующие измерения значений напряжений. Для экспериментального определения постоянной времени цепи с помощью осциллографа необходимо развернуть его изображение, нажав на кнопку Expend, и с помощью ползунка выбрать участок осциллограммы, совпадающий с задним фронтом импульсов (рис. 2.15). Точность измерения τ можно повысить, установив максимально возможную временную развертку осциллографа для заданного значения частоты выходных импульсов генератора (на рис. 2.15 – Time base 0.05 ms/div). Совместим красный курсор 1 осциллографа с задним фронтом импульса (что соответствует моменту переключения ключа из положения 1 в положение 2). Снимем показания с его крайнего левого цифрового индикатора. 63

Рис. 2.15

На рис. 2.15 показание VА1= 0.0000 V соответствует окончанию импульса с выхода генератора импульсов, а показание VB1 = 198.5850 mV равно напряжению uR0(0–) и соответствует начальному значению тока в цепи до коммутации i(0–). Расчетное значение uR0(0–) = R i(0–) = 1 ⋅ 200 = 200 мВ. С учетом того, что установившееся значение тока в цепи, как показано ранее, примерно равно нулю, определим по результатам эксперимента напряжение uR0 в цепи по истечении времени t = τ: u R 0 (τ) ≈ VB1e

−τ

τ

≈

198,5850 ≈ 74 мВ . 2,7

Для экспериментального определения значения τ переместим синий курсор 2 осциллографа таким образом, чтобы показания среднего цифрового индикатора VB2 наиболее близко совпадали с расчетным значением 74 мВ (на рис. 2.15 – VB2 = 74.6079 mV). 64

Результат измерения постоянной времени снимем с крайнего правого цифрового индикатора (на рис. 2.15 τ в мкс соответствует показанию – Т2-Т1 = 101.0674 μs). Таким образом, измеренное значение постоянной времени цепи совпадает с его расчетным значением (100 мкс) с погрешностью порядка 1 %. С помощью ползунка выберем участок осциллограммы, совпадающий с передним фронтом импульсов (рис. 2.16), и проведем измерение постоянной времени цепи при подключении ее к источнику постоянного напряжения 2 В (переключение ключа из положения 2 в положение 1).

Рис. 2.16

Совместим красный курсор 1 осциллографа с передним фронтом импульса. Снимем показания с его крайнего левого цифрового индикатора.

65

На рис. 2.16 VBА1 = 2.0000 V – это передний фронт импульса, а показание VB1 = 1.7759 mV, равное напряжению uR0(0–), примерно соответствует расчетному значению начального тока в цепи до коммутации i(0–) = 0. Совместим синий курсор 2 осциллографа с задним фронтом импульса. Снимем показания с его среднего цифрового индикатора. На рис. 2.16 показание VB2 = 198.5850 mV, равное напряжению uR0(5τ), примерно соответствует установившемуся значению тока E в цепи iпр = = 200 мA . R Определим по результатам эксперимента напряжение uR0 по истечении времени t = τ: u R 0 ( τ) = (VB2 − VB1) 1 − e −1 ≈ 125 мB .

(

)

Для экспериментального определения значения τ переместим синий курсор 2 осциллографа таким образом, чтобы показания среднего цифрового индикатора VB2 наиболее близко совпадали с расчетным значением 125 мВ (на рис. 2.17 – VB2 = 125.2008 mV).

Рис. 2.17

66

Результат измерения постоянной времени снимем с крайнего правого цифрового индикатора (на рис. 2.17 – Т2-Т1 = 101.0868 μs). Таким образом, измеренное значение постоянной времени цепи и для переднего фронта импульса с выхода генератора импульсов совпадает с его расчетным значением (100 мкс) с погрешностью порядка 1 %. На рис. 2.18 приведен пример моделирования в среде Еlectronics Workbench переходного процесса для схемы рис. 2.11. В качестве коммутирующего элемента на этой схеме использован управляемый напряжением ключ (Voltage-Controlled Switch). При подаче положительного фронта управляющего сигнала с выхода генератора прямоугольных импульсов ключ замыкается, а при подаче отрицательного фронта – размыкается.

Рис. 2.18

При моделировании выбраны следующие значения параметров схемы: Е = 1 В, L = 2 мГн, сумма сопротивления в каждой ветви R1 = R2 = 2R3 = 10 Ом. Сопротивление R0 = 1 Ом предназначено для наблюдения на экране осциллографа сигнала uR0 в мВ, 67

соответствующего по значению току, протекающему в данной ветви в мА. В схеме рис. 2.18 осциллограф подключен для измерения тока через индуктивность, расчетное значение которого равно i( t ) = 0,100 − 0,033e −5000t А. При этом значение тока в цепи до коммутации равно i(0–) = 67 мА, принужденная составляющая тока i пр = 100 мА.

(

)

Так как постоянная времени для этой цепи равна τ = 200 мкс, то установим с помощью соответствующих элементов управления следующий режим работы генератора прямоугольных импульсов: – частота выходных прямоугольных импульсов 1 1 f= = = 500 Гц – Frequency = 500 Hz; 10τ 10 ⋅ 0,0002 – коэффициент заполнения, который равен отношению длительности импульса к периоду – Duty cycle = 50 %; – амплитуда импульсов 1 В – Amplitude = 1 V; – постоянная составляющая, равная смещению двухполярных прямоугольных импульсов на 1 В – Offset = 1 V. Подберем масштаб изображения на экране осциллографа, используя временную и амплитудную развертки осциллографа, а также смещение по оси Y, указанные на рис. 2.19. Установим красный курсор 1 осциллографа в положение, соответствующее току через индуктивность до коммутации, которое примерно равно 67 мА. На рис. 2.19 показание VВ1 = 66.7686 mV равно значению напряжения uR0(0–), что соответствует начальному значению тока в цепи до коммутации i(0–) = 67 мА. Переместим синий курсор 2 осциллографа на тот участок осциллограммы, где ток через индуктивность примерно достиг своего установившегося значения 100 мА (на рис. 2.19 – VB2 = 97.4886 mV равно значению напряжения uR0(5τ)).

68

Рис. 2.19

По результатам эксперимента рассчитаем значение напряжения uR0(τ) по истечении времени t = τ следующим образом: ⎛ VB2 − VB1 ⎞ u R 0 (τ) ≈ VB2 − ⎜ ⎟ ≈ 86 мВ. 2.7 ⎝ ⎠

Для экспериментального определения значения τ переместим синий курсор 2 осциллографа таким образом, чтобы показания среднего цифрового индикатора VB2 наиболее близко совпадали со значением 86 мВ (на рис. 2.20 – VB2 = 86.0410 mV).

69

Рис. 2.20

Результат измерения постоянной времени снимем с крайнего правого цифрового индикатора (на рис. 2.20 – Т2-Т1 = 197.1655 μs); что совпадает с расчетным значением 200 мкс с погрешностью порядка 1,5 %.

2.8. Моделирование переходного процесса в электрических цепях второго порядка При расчете переходных процессов в относительно сложных электрических цепях, например, с двумя и более реактивными элементами, целесообразно автоматизировать расчет, например, с помощью программы MathCAD. По результатам расчета в этой же программе можно построить полученные графики зависимости. Рассчитаем переходный процесс для цепи с последовательным соединением R-, L-, C-элементов (см. рис. 2.7) для следующих значений параметров элементов: Е = 1 В; L = 10 мГн; C = 1 мкФ. 70

При данных значениях параметров собственная резонансная частота данного последовательного колебательного контура равна ω0 =

1 1 = = 10 000 рад/с. LC 0,01 ⋅ 0,000001

В разделе 2.5 показано, что характер переходного процесса в рассматриваемой цепи зависит от значения сопротивления R по отношению к ее критическому сопротивлению Rкр. Рассчитаем значение критического сопротивления следующим образом:

R КР = 2 L

C

= 2ρ = 2

0,01 = 200 Ом . 0,000001

Рассчитаем переходный процесс в данной цепи для трех различных значений сопротивления R. На рис. 2.21 приведена программа, записанная в среде MathCAD, с помощью которой проверена правильность расчета для случая вещественных разных корней и построен график зависимости i(t) в соответствии с выражением (2.23). По оси абсцисс графика отложено время в секундах в диапазоне от 0 до 5τ1, а по оси ординат – ток в А. При R = 2 Rкр = 400 Ом коэффициент затухания для этой цепи R 400 равен δ = = = 20 000 с−1, а соответствующее характеристиче2L 0,02 ское уравнение имеет два отрицательных вещественных разных корня (2.20): p1 = −δ + δ 2 − ω02 = −2679 с−1; p 2 = −δ − δ 2 − ω02 = −37320 с−1.

При этом соответствующие постоянные времени цепи равны τ1 =

−1 = 373,2 мкс ; р1

τ2 =

−1 = 26, 79 мкс . р2

71

Рис. 2.21

На рис. 2.22 приведен пример моделирования данной цепи в программе Еlectronics Workbench. При моделировании последовательно с сопротивлением R−R0 включено сопротивление R0 = 1 Ом, которое предназначено для наблюдения на экране осциллографа сигнала uR0 в мВ, соответствую72

щего по значению току i(t) в мА. В сумме оба сопротивления равны сопротивлению R = 400 Ом.

Рис. 2.22

Передний фронт прямоугольных импульсов с выхода функционального генератора соответствует моменту замыкания ключа. Установим частоту импульсов генератора порядка f=

1 ≈ 300 Гц – Frequency = 300 Hz. 10τ1

Подберем масштаб изображения на экране осциллографа, используя временную и амплитудную развертки осциллографа, а также смещение по оси Х, указанные на рис. 2.23.

73

Рис. 2.23

Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости i(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется апериодическим. На рис. 2.24 приведена программа, записанная в среде MathCAD, с помощью которой рассчитано значение тока i(t) в А для двух моментов времени: t = 3τ2 и t = 3τ1.

74

Рис. 2.24

Известно, что по истечении времени t = 3τ1 (на рис. 2.24 это время равно 1,12 мс) переходный процесс завершается с погрешностью порядка 5 %. Определим по результатам эксперимента соответствующие значения тока i(t) в мА для двух моментов времени: t = 3τ2 и t = 3τ1. Для этого установим красный курсор 1 осциллографа по показаниям левого цифрового индикатора на время t ≈ 80 мкс (на рис. 2.23 показание левого цифрового индикатора – Т1 = 79.3231 μs), а синюю риску 2 осциллографа по показаниям среднего цифрового индикатора на время t ≈ 1,12 мс (на рис. 2.23 показание среднего цифрового индикатора – Т2 = 1.1203 ms). Расчетное мгновенное значение тока i(3τ2) = 2,184 мА, а его экспериментальное значение определим по показаниям с левого цифрового индикатора осциллографа (на рис. 2.23 – VB1 = 2.1857 mV). Расчетное мгновенное значение тока i(3τ1) = 143,7 мкА, а его экспериментальное значение определим по показаниям со среднего цифрового индикатора осциллографа (на рис. 2.23 – VB2 = 135.0704 μV). Сравнивая расчетные и экспериментальные значения токов для моментов времени t = 3τ2 и t = 3τ1 можно сделать вывод, что расхождение между ними не более 6 %. При R = RКР = 200 Ом характеристическое уравнение для этой цепи имеет два одинаковых отрицательных вещественных корня: p=−

R = −δ = –10 000 с−1. 2L

При этом соответствующая постоянная времени для этой цепи будет равна τ=

−1 = 100 мкс . р

На рис. 2.25 приведена программа, записанная в среде MathCAD, с помощью которой проверена правильность расчета для

75

случая равных корней и построен график зависимости i(t) в соответствии с выражением (2.24). По оси абсцисс графика отложено время в секундах в диапазоне от 0 до 5τ, а по оси ординат – ток в А. На рис. 2.26 приведен пример моделирования данной цепи в программе Еlectronics Workbench. При моделировании последовательно с сопротивлением R−R0 включено сопротивление R0 = 1 Ом, которое предназначено для наблюдения на экране осциллографа сигнала uR0 в мВ, соответствующего по значению току i(t) в мА. В сумме оба сопротивления равны сопротивлению R = 200 Ом. Подберем масштаб изображения на экране осциллографа, используя временную и амплитудную развертки осциллографа, а также смещение по оси Х, указанные на рис. 2.27. Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости i(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется апериодическим критическим.

76

Рис. 2.25

Рис. 2.26

77

Рис. 2.27

На рис. 2.28 приведена программа, записанная в среде MathCAD, с помощью которой рассчитано значение тока i(t) в А для момента времени t = 3/δ.

Рис. 2.28

Определим по результатам эксперимента соответствующие значения тока i(3/δ). Для этого установим красный курсор 1 осциллографа по показания левого цифрового индикатора на время t ≈ 300 мкс (на рис. 2.27 показание левого цифрового индикатора – Т1 = 298.9031 μs). 78

Расчетное мгновенное значение тока i(3/δ) = 1,494 мА, а его экспериментальное значение определим по показаниям с левого цифрового индикатора осциллографа (на рис. 2.27 – VB1 = 1.5287 mV). Сравнивая расчетные и экспериментальные значения можно сделать вывод, что расхождение между ними порядка 2 %. При R = 0,5 Rкр = 40 Ом коэффициент затухания будет равен δ=

R 40 = = 2000 с−1. 2L 0,02

Найдем постоянную времени цепи для огибающей, определяющей скорость затухания переходного процесса:

−1 = 0,5 мс . δ В этом случае характеристическое уравнение будет иметь два комплексно-сопряженных корня с отрицательной вещественной частью p1, 2 = −δ ± jωсв , где частота свободных колебаний в цепи равна τ=

ωсв = ω02 − δ 2 = 9 798 рад/с.

Период свободных колебаний найдем как Tсв =

2π = 6, 413 ⋅10−4 с. ωсв

На рис. 2.29 приведена программа, записанная в среде MathCAD, с помощью которой проверена правильность расчета для случая комплексно-сопряженных корней и построен график зависимости i(t) в соответствии с выражением (2.25). По оси абсцисс графика отложено время в секундах в диапазоне от 0 до 5τ, а по оси ординат – ток в мА. На рис. 2.30 приведен пример моделирования данной цепи в программе Еlectronics Workbench. При моделировании последовательно с сопротивлением R−R0 включено сопротивление R0 = 1 Ом, которое предназначено для наблюдения на экране осциллографа сигнала uR0 в мВ, соответствующего по значению току i(t) в А. В сумме оба сопротивления равны сопротивлению R = 40 Ом. Подберем масштаб изображения на экране осциллографа, используя временную и амплитудную развертки осциллографа, а также смещение по оси Х, указанные на рис. 2.31. 79

Рис. 2.29

Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости i(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется колебательным затухающим. Для экспериментального определения значения периода свободных колебаний Тсв совместим красный курсор 1 осциллографа с передним фронтом импульса. Синий курсор 2 переместим в точку пе80

рехода через нуль второй положительной полуволны сигнала uR0, таким образом, чтобы показания среднего цифрового индикатора VB2 наиболее близко совпадали со значением 0 мВ (на рис. 2.31 – VB2 = –92.2581 μV).

Рис. 2.30

Рис. 2.31

81

Результат измерения периода свободных колебаний снимем с крайнего правого цифрового индикатора (на рис. 2.31 – Т2 – Т1 = = 663.5968 μs). Сравнивая расчетное значение периода свободных колебаний Тсв (на рис. 2.29 Tcb = 6.413 ⋅ 10-4) со значением, полученным экспериментально, можно сделать вывод, что они совпадают с погрешностью порядка 3 %.

2.9. Задания по моделированию переходных процессов в разветвленных электрических цепях второго порядка с применением программ Еlectronics Workbench и MathCAD 1. В зависимости от заданного преподавателем варианта в соответствии с табл. 2.1 рассчитать переходный процесс классическим методом относительно искомой величины для одной из электрических схем (рис. 2.32–2.36), используя программу MathCAD.

Рис. 2.32

Рис. 2.33

Рис. 2.34

82

Рис. 2.35

Рис. 2.36

1.1. Для всех вариантов заданий базового уровня сложности использовать следующие значения параметров элементов: – источник постоянной ЭДС Е = 1 В; – R1 = 2R2 = R3 = 10 Ом; – L = 1 мГн; – С = 10 мкФ. 1.2. Для заданий усложненного уровня сложности использовать следующие значения параметров элементов: – источник гармонической ЭДС е = 10sin(10 000 t + ϕ) В, где начальная фаза ϕ равна номеру варианта в градусах; – R1 = 2R2 = R3 = 40 Ом; – L = 10 мГн; – С = 1 мкФ. 1.3. Для заданий углубленного уровня сложности использовать следующие значения параметров элементов: – источник постоянной ЭДС Е = 1 В; – L = 1 мГн; – С = 10 мкФ. Вывести выражение для корней характеристического уравнения для заданной преподавателем цепи в соответствии с табл. 2.1. Найти эквивалентное резистивное сопротивление Rкр дискриминанта D, при котором D = 0. Рассчитать в среде MathCAD переходный процесс классическим методом относительно искомой величины (cм. табл. 2.1) для трех видов корней характеристического уравне83

ния: вещественных разных, кратных и комплексно-сопряженных, выбрав значения сопротивлений произвольно, исходя из полученного значения Rкр. Таблица 2.1 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Номер рисунка

2.32

2.33

2.34

2.35

2.36

Искомая величина Исходное положение ключа iL(t) iR2(t) iC(t) iL(t) iR2(t) iC(t) iR2(t) iL(t) uC(t) iR2(t) iL(t) uC(t) iL(t) iC(t) uC(t) uL(t) iL(t) iC(t) uC(t) uL(t) i1(t) i2(t) i3(t) uC(t) uL(t) i1(t) i2(t) i3(t) uC(t) uL(t) iR2(t) iL(t)

84

Ключ замкнут

Ключ разомкнут

Ключ замкнут

Ключ разомкнут

Ключ замкнут

Ключ разомкнут

Ключ замкнут

Ключ разомкнут

Ключ разомкнут

Определить при каких условиях в цепи наступают незатухающие колебания. 2. Смоделировать переходный процесс в среде Еlectronics Workbench. 3. Сравнить результаты моделирования и расчета и сделать выводы.

2.9.1. Пример расчета для варианта № 1 Рассчитать классическим методом iL(t) для схемы рис. 2.32, если до коммутации ключ был замкнут. При расчете использовать следующие значения параметров элементов: E = 1 В; L = 1 мГн; R1 = 10 Ом; С = 10 мкФ. 1. Найдем независимые начальные условия для цепи до коммутации: E 1 = = 0,1 А ; R1 10 – напряжение на емкости uC(0 + ) = u C (0 − ) = 0 B , так как на посто-

– ток через индуктивность i L (0 + ) = i L (0 − ) =

янном токе XL = 0, то емкость представляет собой закороченный участок. 2. Операторное сопротивление для этой цепи равно

R 2 pL R 2 + pL + p 2 R 2 CL 1 Z(p) = + = = 0. pC R 2 + pL R + pL pC ( 2 ) Откуда получим характеристическое уравнение цепи: R 2 + pL + p 2 R 2 CL = 0

⇒

1 1 p+ = 0. R 2C LC

p2 +

Найдем корни характеристического уравнения: p1, 2

1 =− ± 2R 2 C

2

⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ . 2 R C LC ⎝ 2 ⎠

Определим эквивалентное резистивное сопротивление Rэд дискриминанта D, при котором D = 0:

R эд = R 2 =

85

1 L . 2 C

3. Так как характеристическое уравнение имеет два корня, то для случая R2 ≠ Rкр или R2 = Rкр свободная составляющая тока в соответствии с (2.3) или (2.4) будет равна i Lcв = A1e p1t + A 2 e p 2 t или i Lcв = e pt ( А1 + A 2 t ) .

4. Принужденная составляющая тока в данной цепи iLпр будет равна нулю, так как в цепи после коммутации отсутствуют источники энергии. 5. Таким образом, общее решение для тока iL в случае R ≠ R кр или R = Rкр можно представить в соответствии с (2.21) или (2.22) следующим образом: i L = A1e p1t + A 2 e p 2 t или i L = e pt ( А1 + A 2 t ) .

6. Для нахождения постоянных интегрирования А1 и А2 в случае разных корней составим систему уравнений, аналогичную (2.7). С учетом того, что для данной цепи порядок дифференциального уравнения n = 2, получим

⎧A 2 + A1 = i L (0+ ); ⎪ ⎨ di L (0+ ) p A p A . + = 2 2 1 1 ⎪⎩ dt

(2.26)

Так как элементы L и C включены параллельно, то для любого момента времени, в том числе и сразу же после коммутации, на них падает одинаковое напряжение, равное L

di L (0 + ) = u C (0 + ) . dt

Из последнего выражения найдем зависимое начальное условие для рассматриваемой цепи: di L (0 + ) u C (0 + ) 0 = = = 0. dt L L

Система (2.26) может быть записана в матричной форме (2.8) как Δ ⋅ A = C,

86

⎡1

1⎤

где Δ – определитель системы, который равен ⎢ ⎥ – для случая ⎣p1 p 2 ⎦ разных корней характеристического уравнения или

⎡ 1 0⎤ ⎢p 1⎥ – ⎣ 1 ⎦

для случая кратных корней характеристического уравнения; ⎡A ⎤

A = ⎢ 1 ⎥ – матрица-столбец постоянных интегрирования; ⎣A 2 ⎦ ⎡ i L (0 + ) ⎤ ⎡0,1⎤ С = ⎢ di L (0 + ) ⎥ = ⎢ ⎥ − матрица-столбец свободных членов. 0 ⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦ ⎣ ⎦

Решение системы (2.26) можно представить в матричной форме: A = Δ−1 ⋅ C.

Полученная система может быть легко решена с помощью программы MathCAD. На рис. 2.37 приведена программа, написанная в среде MathCAD, реализующая описанный выше алгоритм для случая, когда сопротивление R2 меньше критического сопротивления цепи в пять раз. В программе приняты следующие обозначения: – критическое сопротивление цепи – RKR; – ток через индуктивность до коммутации – iL0; – напряжение на емкости до коммутации – uC0; – принужденное значение тока через индуктивность iLpr. При вычислении главного определителя Δ системы (2.26) и при задании аналитического выражения для iL(t) используются программные блоки, которые создаются с помощью команды Add Line. В первом программном блоке при выполнении условия р1 ≠ р2 ⎡1

1⎤

⎡1

0⎤

главный определитель Δ = ⎢ ⎥ , иначе Δ = ⎢p 1⎥ . p p ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 2⎦ Во втором программном блоке при выполнении условия р1 ≠ р2 значения функции iL(t) в А вычисляются в соответствии с выражением (2.21), иначе – в соответствии с выражением (2.22). Значения аргумента функции iL(t) в секундах задаются с помощью ранжированной переменной t, которая изменяется в диапазоне от 87

ванной переменной t, которая изменяется в диапазоне от нуля до 5τ1 τ с шагом, равным 1 . 10

Рис. 2.37

88

На рис. 2.38 приведен пример моделирования рассматриваемой цепи в Еlectronics Workbench, а на рис. 2.39 – осциллограмма iL(t).

Рис. 2.38

iL(t)

Рис. 2.39

89

При моделировании последовательно с индуктивностью L включено сопротивление R0 = 0,001 Ом, которое предназначено для наблюдения на экране осциллографа сигнала uR0 в мкВ, соответствующего по значению току iL(t) в мА. Подберем масштаб изображения на экране осциллографа, используя временную и амплитудную развертки осциллографа, указанные на рис. 2.39. Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости iL(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется апериодическим. На рис. 2.40, 2.41 приведены программы, написанные в среде MathCAD, с помощью которых рассчитаны значения токов iL(t) и построены соответствующие графики зависимости для двух случаев, когда сопротивления R2 = Rкр и R2 = 4Rкр. На рис. 2.42 приведен пример моделирования данной цепи в программе Еlectronics Workbench для случая, когда R2 = Rкр, а на рис. 2.43 показана соответствующая осциллограмма iL(t). Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости iL(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется апериодическим критическим. На рис. 2.44 приведен пример моделирования данной цепи в программе Еlectronics Workbench для случая, когда и R2 = 4Rкр, а на рис. 2.45 показана соответствующая осциллограмма iL(t). Сравнение теоретического и экспериментального графиков зависимости iL(t) показывает, что они совпадают. Напомним, что такой переходный процесс называется колебательным затухающим. На правом цифровом индикаторе осциллографа можно посмотреть результаты измерения периода свободных колебаний с помощью передвижных курсоров осциллографа (на рис. 2.45 – Т2Т1 = 669.7725 μs). Измеренное значение совпадает с теоретическим значением, рассчитанным в MathCAD (на рис. 2.45 – Tcb = 6.489 ⋅ 10− 4 с).

90

Рис. 2.40

91

Рис. 2.41

92

Рис. 2.42

iL(t)

Рис. 2.43

93

Рис. 2.44

iL(t)

Рис. 2.45

94

3. Цепи с распределенными параметрами 3.1. Первичные параметры однородной цепи Цепи, которые рассматривались выше, относятся к классу цепей с сосредоточенными параметрами. Практически вся энергия магнитных полей в таких цепях сосредоточены в катушках, вся энергия электрических полей – в конденсаторах, а тепловые потери – в резисторах. В цепях с распределенными параметрами потери, емкость и индуктивность распределены в пространстве. Если длина линии соизмерима или больше длины волны сигнала, то ее следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Так как скорость распространения волны сигнала вдоль воздушной линии Vф примерно равна скорости света С≈ 3⋅108 м/с [7], то длину волны сигнала с периодом Т и частотой f можно найти как λ =V ф Т =

Vф f

. Для f = 50 Гц длина волны примерно равна

λ = 6000 км, а для f = 3 ГГц – λ = 0,1 м. Если рассматривается распределение параметров только вдоль одной пространственной координаты, то цепи с распределенными параметрами называют длинными линиями. К длинным линиям относят телефонный провод, коаксиальный кабель, оптоволоконную линию и т.п. Для количественной оценки распределенных параметров используются следующие первичные (погонные) параметры длинной линии, отнесенные к единице длины (км или м): r0 – первичное сопротивление потерь в проводниках линии, характеризующее тепловые потери в проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости. Определяется как резистивное сопротивление проводников короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 км; L0 – первичная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 км; С0 – первичная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 км. Включает в себя также и емкость по отношению к земле или корпусу устройства и емкость по отношению к другим проводам; 95

g0 – первичная проводимость изоляции. Определяется как проводимость между разомкнутыми на конце проводами отрезка линии длиной 1 км. При этом первичная проводимость g0 ≠

1 , r0

так как она определяется несовершенством изоляции, а первичное сопротивление r0 – потерями в проводниках. Первичные параметры линии зависят от ее конструкции и от частоты передаваемого по ней сигнала. Вычисление первичных параметров линии относится к задачам теории электромагнитного поля. Практически во многих случаях особенно для кабельных линий можно считать g0 ≈ 0. Если первичные параметры длинной линии равномерно распределены вдоль линии, то такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров можно разбить на отдельные однородные участки.

3.2. Дифференциальные уравнения однородной линии Для изучения распределения токов и напряжений в линии выделим в ней отдельное звено бесконечно малой длины ΔX (рис. 3.1). И представим линию как цепную схему с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы. Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты х, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения. Здесь предполагается, что направление координатной оси х совпадает с направлением оси линии, а начало линии, куда подключается источник энергии, находится слева. Обозначим: u – напряжение между верхним и нижним проводами на расстоянии х от начала линии; Δu – приращение напряжения на участке Δх; i – ток в точке х; Δi – приращение тока на участке Δх.

96

Рис. 3.1

Уменьшение напряжения в конце участка линии Δх вызвано падением напряжения на сопротивлении и индуктивности R0ΔX и L0ΔX, а уменьшение тока в конце участка линии Δх вызвано его ответвлением в g0ΔX в виде тока утечки и в C0ΔX в виде тока смещения и описывается следующей системой уравнений: ∂i ⎞ ⎧ ⎛ − Δ u = r i + L ⎜ ⎟Δx ; 0 0 ⎪ ∂ t ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪− Δi = ⎡g (u + Δu ) + C ∂ (u + Δu ) ⎤ Δx. 0 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎪⎩ ∂t

(3.1)

Разделим обе части уравнений (3.1) на Δх и, перейдя к пределу при Δх ⇒ 0, получим, пренебрегая величинами второго порядка малости: ∂i ⎧ ∂u r i L ; − = + 0 0 ⎪⎪ ∂x ∂t ⎨ ⎪− ∂i = g u + C ∂u . 0 0 ⎪⎩ ∂x ∂t

(3.2)

Эти уравнения известны в литературе под названием телеграфных уравнений. Они могут быть однозначно решены при использовании граничных условий, т.е. значений напряжения и тока в начале или в конце линии в заданном режиме работы.

97

3.3. Периодический режим работы однородной длинной линии Применяя комплексную форму записи телеграфных уравнений, получим уравнения (3.2) записанные не в частных, а в обыкновенных производных, так как комплексные действующие значения U и I являются функциями только x: ⎧ dU ⎪⎪− dx = (r0 + jωL 0 )I = Z 0 I ; ⎨ ⎪− d I = (g 0 + jωC 0 ) U = Y 0 U. ⎪⎩ dx

(3.3)

Продифференцируем эти уравнения и заменим в полученных выражениях

dU dI и их зависимостями согласно (3.3). dx dx

В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка: ⎧ d2 U 2 ⎪ 2 = Z0 Y 0 U = γ U ; ⎪ dx ⎨ 2 ⎪d I 2 ⎪⎩ dx 2 = Z0 Y 0 I = γ I ,

(3.4)

где γ = Z 0 Y 0 = α + jβ – коэффициент распространения; α – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы (смысл этих названий поясним позже). Для уравнений из системы (3.4) можно записать общее для них характеристическое уравнение в виде p 2 − γ 2 = 0 , корни которого равны p1,2 = ± γ . Общее решение дифференциального уравнения (3.4) для напряжения в точке x запишется следующим образом: U x = A1e

− γx

γx

+ A 2e .

(3.5)

Из первого уравнения системы (3.3) с учетом (3.5) получим Ix = −

где Z B =

γ 1 1 dU x − γx γx − γx γx (A1e − A 2 e ) , = (A1e − A 2e ) = ZB Z 0 dx Z0

Z0 Z0 = – волновое сопротивление. γ Y0

98

(3.6)

Постоянные интегрирования А1 и А2 можно найти из (3.5) и (3.6) при граничных условиях (х = 0) для напряжения и тока в начале линии U1 и I1: ⎧ U x (x = 0) = U1 = A1 + A 2 ; ⎨ ⎩ I x (x = 0) Zв = I1 Zв = A1 − A 2 . Складывая и вычитая эти уравнения, получим значения А1 и А2: ⎧ A1 = (U1 + I1 Zв ) / 2; ⎨ ⎩A 2 = (U1 − I1 Zв ) / 2 .

(3.7)

Подстановка полученных значений А1 и А2 в (3.5) и (3.6) дает следующие уравнения для определения Ux и тока Ix в произвольной точке х длинной линии:

U1 + I1 Zв −γx U1 − I1 Zв γx ⎧ U = e + e ; ⎪⎪ x 2 2 . ⎨ + − U I Z U I Z −γx γx 1 в 1 в 1 1 ⎪I x = e e − 2Zв 2Zв ⎪⎩

(3.8)

Эти уравнения называют уравнениями передачи однородной длинной линии.

3.4. Падающие и отраженные волны Обозначим в уравнениях (3.7) А1 = Uп и А2 = Uо. При этом запись уравнений передачи однородной длинной линии (3.8) упростится: ⎧ U = U e −γx + U e γx = U п о х пад + U х отр ; ⎪ x ⎨ U п −γx U о γx e − e = I х пад − I х отр , ⎪I x = Z Z в в ⎩

(3.9)

Из уравнений (3.9) видно, что напряжение и ток состоят из первых слагаемых, уменьшающихся с увеличением расстояния от начала линии x, и вторых – возрастающих с увеличением расстояния от начала линии x, т.е. физически существующие результирующие токи и напряжения состоят из падающих и отраженных волн. 99

Помня, что в (3.9) все величины в общем случае комплексные

U п = U п е jϕп ; U о = U о е jϕо ; γ = α + jβ; Zв = Zв e jϕв , подставим их в систему (3.9) и в результате получим ⎧ U x = U п e jϕп e−αx e− jβx + U о e jϕо eαx e jβx ; ⎪ ⎨ U п jϕп −αx − jβx − jϕв U о jϕо αx jβx − jϕв . I e e e e e = − ⎪ x Z e e e Z в в ⎩ Переходя от уравнений передачи для комплексов действующих значений напряжений и токов в последней системе к уравнениям передачи для мгновенных значений напряжений и токов, получим ⎧u x (t) = U п 2e −αx sin(ωt + ϕп − βx) + U о 2eαx sin(ωt + ϕо + βx); ⎪ ⎨ U Uп −αx sin(ωt + ϕп − βx − ϕв ) − о 2eαx sin(ωt + ϕо + βx − ϕв ). ⎪i x (t) = Z 2e Zв ⎩ в (3.10) Проанализируем сначала первые слагаемые. Из системы (3.10) видно, что в каждой точке линии х колебания напряжения и тока являются гармоническими с частотой источника ω. Амплитуда этих колебаний уменьшается (из-за потерь энергии в линии) по мере удаления от начала линии по закону е-αх. В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (знак «минус» перед βх) из-за конечной скорости распространения электромагнитных волн. Если в момент времени t1 сделать фотографию распределения, например, напряжения падающей волны ux п вдоль линии, то она будет иметь вид кривой 1 на рис. 3.2. В следующий момент времени t2 фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину ω(t2 – t1) и вся картина как бы сместится вдоль оси х вправо (кривая 2 на рис. 3.2). Аналогичная ситуация будет наблюдаться и в момент времени t3 > t2 (кривая 3 на рис. 3.2).

100

Рис. 3.2

Если сделать последовательно ряд мгновенных фотографий и затем их проецировать на экран, то создается впечатление движущейся волны напряжения вдоль линии. Фактически же вдоль линии распространяется состояние равной фазы. Например, можно взять точку линии x1, соответствующую максимуму напряжения в момент времени t1 (на рис. 3.2 – точка А) и определить скорость ее перемещения. Скорость распространения вдоль линии состояния равной фазы называется фазовой скоростью распространения. В момент времени t1 в точке х1 будет определенное фазовое состояние ωt1 – βx1. Это же фазовое состояние будет наблюдаться в точке x2, но уже в момент времени t2: ωt2 – βx2. Приравнивая их, получим ω t1– βx1 = ωt2 – βx2 или ω(t1 – t2) = β (x1 − x2). Фазовую скорость распространения υф (км/с) найдем из последнего выражения как отношение расстояния х2 – x1, пройденного точкой А, за время t2 – t1: υф = (x2 – x1) / (t2 – t1) = ω / β.

101

С возрастанием частоты υф возрастает и для воздушной линии, она стремится к скорости света υф = С0 ≈ 3⋅108 м/с, а для кабеля ее значение в 2÷2,5 раза меньше [7]. Таким образом, первые слагаемые уравнения (3.10) описывают падающие волны напряжения и тока, переносящие энергию от генератора к нагрузке. Вторые слагаемые в выражениях (3.10) описывают волны точно такого же характера, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении, т.е. от конца линии к ее началу. Эти волны называются отраженными волнами напряжения и тока. Амплитуды отраженных волн убывают от конца линии к началу. Наибольшая амплитуда отраженных волн наблюдается в конце линии. Их появление объясняется тем, что не вся энергия падающей волны поглощается в нагрузке. Часть энергии отраженной волны возвращается генератору, поэтому имеют место дополнительные потери энергии. Отметим, что две бегущие волны в линии устанавливаются после завершения переходного процесса. Во время переходного процесса в линии происходит следующее. Первоначально возникшая падающая волна напряжения, распространяясь вдоль линии, доходит до нагрузки и частично отражается, порождая отраженную бегущую волну. Отраженная волна, в свою очередь, распространяясь и доходя до входных зажимов, также частично отражается, порождая вторичную падающую волну напряжения. Вторичная падающая волна напряжения порождает вторичную отраженную волну и т.д. После каждого отражения амплитуда волны уменьшается. Поэтому через некоторое время переходный процесс практически завершится: все падающие волны, складываясь, образуют одну установившуюся падающую волну, а все отраженные – установившуюся отраженную волну в длинной линии. Из выражения (3.10) может быть получено выражение для расчета длины волны сигнала λ через коэффициент фазы β исходя из следующего выражения: (ωt –βx) – (ωt –β(x+λ)) = 2π. Откуда длина волны сигнала может быть определена через коэффициент фазы β:

102

λ=

2π . β

Отраженные волны возникают в конце линии. Определим соотношения между падающими и отраженными волнами в конце линии. Полагая в (3.9) х = L (в конце линии) и обозначая напряжение и ток в конце линии соответственно U2 и I2, получим

⎧⎪ U 2 = U 2п + U 2о ; ⎨ ⎪⎩I2 = I2п − I2о . С учетом обозначений, принятых в (3.9), и того, что напряжение на выходе линии связано с сопротивлением нагрузки Zн, соотношением U2 = I2 Zн , их можно переписать следующим образом: ⎧⎪I 2 Zн = U 2 п + U 2 о ; ⎨ ⎪⎩I 2 Zв = U 2 п − U 2о .

(3.11)

Складывая эти равенства и вычитая из первого равенства второе, получим Z + Zв U 2 п = I2 н ; 2 Z − Zв U 2 о = I2 н . 2 Отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей волн в точке х = L называется коэффициентом отражения по напряжению в конце линии: Z − Zв nu2 = U2 о / U2 п = н . (3.12) Zн + Zв Отраженные волны, как правило, нежелательны. Коэффициент отражения по напряжению показывает, какую часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет амплитуда отраженной волны. Амплитуда отраженной волны тока из выражения (3.11) равна

I2 о = −

U2 о Zв

= −n u2

U2 п Zв 103

= −n u2 I2 п = n i2 I2 п ,

где ni2 – коэффициент отражения по току. Отсюда видно, что коэффициент отражения по току равен по значению и противоположен по знаку коэффициента отражения по напряжению. Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии. В режиме короткого замыкания в конце линии, т.е. когда Zн = 0, из выражения (3.12) следует, что коэффициент отражения по напряжению равен nu2 = –1, a коэффициент отражения по току ni2 = 1. Падающая и отраженная волны напряжения в конце линии имеют равные амплитуды и сдвинуты по отношению друг к другу на 180°. Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии будет равна нулю. В то же время падающая и отраженная волны тока будут иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению тока в конце короткозамкнутой линии. При холостом ходе в конце линии (Zн = ∞) nu2 = 1 и ni2 = –1, т.е. картина изменится на противоположную: ток в нагрузке будет равен нулю, а напряжение увеличится вдвое. Случай, когда Zн = Zв, соответствует согласованному включению линии. В этом случае коэффициенты отражения nu2 = ni2 = 0 и отраженные волны напряжения и тока будут отсутствовать. Напряжение и ток в любой точке линии, в том числе и на входе (х = 0), будут определяться только падающими волнами. При этом из выражения (3.9) следует, что Zв = U1п / I1п = U1 / I1 = Zвх, т.е. входное сопротивление такой линии, а также отношение комплексов напряжения и тока для любой точки линии будут равны ее волновому сопротивлению. Поэтому режим работы генератора, питающего такую линию, не изменится, если в любом сечении линии ее разрезать и вместо отрезанной части включить волновое сопротивление. Таким образом, если рассматривать длинную линию как симметричный четырехполюсник, то ее волновое сопротивление можно рассматривать как характеристическое сопротивление четырехполюсника. В режиме согласованного включения вся энергия поглощается в конце линии нагрузочным сопротивлением. Этот режим работы наи104

более выгоден для передачи сигналов связи, так как отражение энергии от нагрузки приводит, помимо увеличения рабочего ослабления линии, к появлению так называемых эхо-сигналов, накладывающихся на основной сигнал и искажающих его. Кроме того, в линии при отражении могут иметь место нежелательные увеличения напряжения и тока.

3.5. Вторичные параметры однородной линии Вторичными или характеристическими, параметрами линии являются коэффициент распространения γ, коэффициент затухания α, коэффициент фазы β и волновое сопротивление Zв, которые, в свою очередь, выражаются через первичные параметры линии и частоту передаваемого по ней сигнала. В выражении (3.6) было введено понятие волнового сопротивления линии, которое определяется как

Zв =

r + jωL0 Z0 . = 0 Y0 g 0 + jωC0

На рис. 3.3 показаны графики частотных зависимостей модуля Zв и угла φв волнового сопротивления однородной линии.

Рис. 3.3

При ω = 0 Zв = r0 / g 0 , а φв = 0, т.е. волновое сопротивление чисто резистивное.

105

Точно такой же характер имеет Zв при ω → ∞: Zв = L0 / C0 , φв = 0. В остальной части диапазона частот Zв линии имеет емкостной характер, так как обычно C0 / g0 > L0 / r0, а угол φв является отрицательным. Из соотношений (3.9) следует, что сопротивление Zв определяет токи падающей и отраженной волн по соответствующим напряжениям: U х пад j( ϕuх пад − ϕix пад ) jϕ Zв = e = Zв e в ; I х пад

Zв =

Uх о

e

(

j ϕu x отр − ϕix отр

) = Z e jϕ . в в

Iх о Таким образом, волновое сопротивление линии выражает соотношение между амплитудами и фазами напряжения и тока падающей и отраженной волн в любой точке линии. Волновое сопротивление не зависит от длины линии – оно постоянно в любой точке линии. При создании компьютерных сетей чаще всего встречаются линии с волновым сопротивлением 50, 75 и 100 Ом [8]. Среднее значение Zв для воздушных линий – 400÷500 Ом, а для кабелей – 60÷80 Ом. У кабелей С0 значительно больше, чем у воздушных линий, а L0 – значительно меньше [7]. Ко вторичным параметрам линии относится также коэффициент распространения, который был введен в формуле (3.4): γ = Z 0 Y 0 = α + jβ .

Из (3.9) в режиме согласованного (отраженные волны отсутствуют) имеем U1 / U x = I1 / I x = e

γx

(3.13) включения

линии

= e αx e jβx .

Для отрезка линии единичной длины (1 км, 1 м и т.д.) можно записать α = ln

U1 I = ln 1 ; Uх Iх

β = Ψu1 – Ψux = Ψi1 – Ψix. 106

Вещественная часть коэффициента распространения α характеризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине при распространении энергии на расстояние, равное единице длины линии. Она называется коэффициентом ослабления линии и измеряется в неперах, отнесенных к единице длины линии (км или м). При использовании десятичного логарифма вместо натурального коэффициент ослабления измеряется в дБ на км или на м и равен α = 20 lg

U1 I = 20 lg 1 . U2 I2

Напомним, что 1 Нп = 8,7 дБ. Мнимая часть коэффициента распространения β характеризует изменение напряжения и тока по фазе на единицу длины линии. Она называется коэффициентом фазы линии и измеряется в рад/км или рад/м. Вместо радиан могут использоваться градусы. Численные значения коэффициентов α и β можно найти по первичным параметрам линии из выражения (3.13). На рис. 3.4,а и б даны графики, качественно отражающие эту зависимость.

а)

б)

Рис. 3.4

3.6. Линия без искажений Неискаженной передачей сигнала называется такая передача сигнала, при которой форма сигнала в начале и конце линии одинакова. Это возможно, если коэффициент затухания линии α и соответственно фазовая скорость υф на всех частотах одинаковы. 107

Для обеспечения неискаженной передачей сигнала в линиях должно выполняться условие L0 C0 = . r0 g 0

(3.14)

При этом линия обладает минимальным затуханием, какое только возможно при заданных значениях параметров r0 и g0. В этом случае коэффициент ослабления линии α = r0 g 0 и фазоω 1 вая скорость υф = = не зависят от частоты, а коэффициент β L 0 C0 фазы β = ω L 0 C 0 прямо пропорционален частоте. При этом волновое сопротивление Zв = L0 / C0 – действительное число. Поэтому при согласованной нагрузке напряжение и ток в любой точке линии без искажений совпадают по фазе, а отношение мгновенных значений напряжения и тока в любой точке равно L0 u = , i C0

откуда L 0i 2 C 0 u 2 = . 2 2

(3.15)

То есть на любом отрезке линии без искажений в согласованном режиме энергия магнитного поля в каждый момент времени равна энергии электрического поля. Однако на практике обычно

L0 C