Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет)

Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению “Прикладные математика и физика”

Москва 2005

УДК 532.529 Х58 Рецензенты: Кафедра физики Российского химико-технологического университета (Зав. кафедрой, доктор физико-математических наук, профессор В.М. Кузнецов) Доктор физико-математических наук, профессор И.И. Липатов

Х58

Хлопков Ю.И., Жаров В.А. Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2005. — 179 с.

ISBN 5-7417-0132-9

Рассмотрены теоретические основы изучения турбулентного движения жидкости. Дан критический анализ многочисленных теоретических подходов описания турбулентности. Турбулентность рассматривается в контексте физических методов. Приведенный в пособии ретроспективный взгляд позволяет легко перейти к изучению современных методов теоретического и численного исследования сложных неоднородных турбулентных течений. Книга доступна как для студентов, так и для аспирантов-аэродинамиков. Предназначено для широкого круга читателей, интересующихся современными проблемами описания турбулентных течений. УДК 532.529

ISBN 5-7417-0132-9

© Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л., 2005 © Московский физико-технический институт (государственный университет), 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Современные методы исследования турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2. Турбулентность как естественное состояние жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3. Турбулентность как ветвь статистической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4. Перенормировочная теория возмущений . . . . . . . . .

107

5. Ренормализационная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ........

ПРЕДИСЛОВИЕ Вопросу теоретического описания турбулентных явлений посвящено множество монографий и научных статей, так как эта проблема оказывается неувядающей вот уже в течение более 150 лет. Время от времени появляются очень яркие новые идеи и методы, которые вдохновляют многочисленных исследователей на преодоление необычайных трудностей, связанных с пониманием сути проблемы. Тем не менее практическая важность хотя бы инженерного решения этой проблемы породила огромное число полуэмпирических моделей, в которых вопрос о сути проблемы не ставится, а результаты ориентируются на определенный набор интересных для технических приложений течений. При этом делается упор на описание средних моментов низкого порядка: средняя скорость, среднее давление, средняя кинетическая энергия, средние концентрации химических компонентов и т. п. Кроме того, развивалось моделирование, мотивацией которого была невозможность точного численного описания течений при очень больших числах Рейнольдса. В последнее время достигнут значительный прогресс в экспериментальном и теоретическом изучении анизотропных турбулентных течений, который позволяет вернуться к исходным проблемам, связанным с существом этого явления [1–4]. Экспериментально обнаружены когерентные структуры, которые представляют существенные элементы течений, оказывающие сильное влияние на различные физические характеристики потоков. Таким образом, течение разбивается на глобально среднее течение, когерентную структуру и стохастический компонент. Были сделаны эксперименты, которые способствовали выявлению деталей когерентных структур. Стохастический же компонент стал теоретически связываться с так называемой фрактальной структурой множества сингулярностей поля завихренности [6–8]. Сингулярная структура турбулентного поля пульсаций следует, например, из простых рассуждений [5]. Рассмотрим уравнение Навье–Стокса:

∂ t v + ( v ⋅ ∇) v = −∇p / с + нΔv .

(1)

При ν → 0 уравнение инвариантно относительно преобразований [29]:

r → лr , v → л h v, t → л1− h t , л > 0 .

(2)

Для конечных ν уравнение будет инвариантным, если н → л1+ h н .

(3)

Заметим, что число Re = VL/ν инвариантно относительно преобразований (2) и (3). Предполагая, что мелкомасштабная турбулентность статистически инвариантна относительно этих законов подобия, мы можем выбрать h, исходя из физических соображений. Предположение Колмогорова (1941) – законы подобия турбулентности оставляют неизменным поток энергии в предположении о локальности нелинейных взаимодействий в k-пространстве. Из этого предположения следует, что скорость диссипации энергии инвариантна относительно преобразований подобия (3). По определению, ε = ν〈 (·v)2〉 , где символ 〈 …〉 – среднее по ансамблю. Отсюда е → л3h−1е

(4)

Из инвариантности получаем h = 1/3. Теория Колмогорова имеет сильное продолжение по отношению к величине градиента скорости ·v. Рассмотрим величину

Δv / Δx 1/ 3 = [ v( x ) − v( y)] / ( x − y ) 1/ 3 . Из преобразования подобия с h = 1/3 следует

lim Δv / Δx1/ 3 ≠ 0 x→ y

.

(5)

т.е. градиент скорости является сингулярной величиной. Сингулярность поля пульсаций с самого начала проблемы обыгрывалась по аналогии с кинетической теорией газов, т.е. несжимаемая жидкость рассматривалась как ансамбль жидких частиц – молей. При этом течение определяется хаотическим движением молей, каждый из которых обладает собственной скоростью и координатой. Изменение характера течения в целом, например, поля средних скоростей происходит из-за турбулентного перемешивания молей с разными собственными скоростями. Вообще любая характеристика течения является усреднением аналогичных характеристик молей, составляющих данный поток. Аналогию между молярным перемешиванием в турбулентном потоке и молекулярным переносом в газах использовали еще Буссинеск и Прандтль для вывода известных формул турбулентного трения. Формула Буссинеска имеет вид ф= снT ∂ u / ∂ y , нT = lv , здесь величины l и v – случайные длина перемешивания и пульсационная скорость жидкой частицы. Формула Прандтля имеет вид ф= снT ∂ u / ∂ y, нT = L2 ∂ u / ∂ y , здесь L (путь смешения) – эмпирическая величина. В общем случае подобными формулами осуществляется связь двух тензоров: тензора напряжения и тензора скоростей деформации. Заметим, что подобная связь между названными тензорами называется линейной, даже если коэффициент νT зависит от элементов поля скорости. Большим вкладом в развитие теории турбулентности явилась каскадная теория передачи энергии по спектру турбулентных пульсаций, т. е. передача энергии от больших масштабов к меньшим. Колмогоров и Обухов придали этой теории в однородном и изотропном случае аналитический вид, воспользовавшись теорией размерности и подобия. Результаты были экспериментально подтверждены с большой степенью точности. С тех пор для течений с большими числами Рейнольдса изотропная и однородная турбулентность рассматривается как основная составляющая, хотя и допускается существование ситуаций, в которых спектр энергии еще не установился. Главный вывод этой теории – наличие инерционной области спектра по волновым числам k: 1/L box = U ( x, t ) .

Теперь мы хотим получить уравнения переноса для описания этих макроскопических процессов. Для импульса – это уравнения Навье–Стокса, которые будут приведены в пункте 2. Однако если бы вы захотели вывести их из микроскопических рассмотрений, то обнаружили бы, что подобная трактовка строга и универсальна для тех свойств, которые являются основными для континуума. А свойства, которые зависят от природы частных сред (т. е. вида напряжений), будут возвращать нас к проблеме многих тел молекулярного взаимодействия. На практике мы можем избежать столкновения с этими проблемами, если будем оперировать понятиями механики континуума, ограничивая свое внимание (что и делается на самом деле) линейными ньютоновскими жидкостями. Тем не менее поучительно взглянуть на то, что при этом остается, по крайней мере, в принципе. При выводе макроскопических свойств с помощью статистической механики нам требуется одночастичная функция распределения f1, которая определяет вероятность того, что частица имеет определенные координаты в фазовом пространстве в некоторый момент времени. Если мы выведем строгие уравнения для эволюции во времени для f1, то обнаружим, что она зависит от новой функции f2, которая определяет вероятность того, что частица 1 имеет определенные координаты в фазовом пространстве при условии, что частица 2 имеет некоторые определенные координаты. Очевидно, что f2 – это условная вероятность, и если две частицы статистически независимы, то мы получаем простой результат:

f 2 = f12 . Однако в реальных ситуациях частицы не являются независимыми. Они взаимодействуют, так как в противном случае они не смогли бы образовать макроскопических потоков, в которых бы доминировал процесс стремления к равновесию. В соответствии с этим нам нужно получить уравнение для двухчастичной функции распределения, но это приводит к тому, что в уравнении появляется трехчастичная функция распределения. И так далее. Мы получаем незамкнутую статистическую иерархию, в которой всегда на одно неизвестное больше, чем уравнений. Это известная BBGKY-иерархия [Балеску, 1975; Райхль, 1980] и ее замыкание – серьезная нерешенная проблема микроскопической статистической физики. Переходя к макроскопической статистической физике, мы видим, что в самом центре ее существует проблема, в точности аналогичная рассмотренной, поэтому главная тема будет связана с путями замыкания цепочки уравнений в теории турбулентности и аналогией между теорией турбулентности и микроскопической статистической теорией. (Отметим, что некоторые исследователи называют эту аналогию мезоскопической физикой, но здесь этот термин не используется). Следует, однако, понять ограничения, сопутствующие такой аналогии. В микроскопической теории переноса, соответствующей умеренным условиям, макроскопические процессы генерируют внешние масштабы, которые существенно больше микроскопических. Так можно представить локальное равновесие, существующее в объеме достаточно большом, чтобы подансамбль был представительным, т. е. позволял использовать результаты, полученные при условии теплового равновесия. В турбулентности это не так. Поскольку в турбулентности «транспортные процессы» – это не то же самое, что «молекулярные процессы», турбулентное распределение не является нормальным. Поэтому нет аналогов ни константе Больцмана, ни распределению Больцмана.

Некоторое проникновение в предмет может быть получено, если мы рассмотрим способы измерений. Рассмотрим течение жидкости вдоль длинной прямой трубы в качестве примера. При этом основной гидродинамический подход состоит в измерении перепада давления вдоль трубы с помощью отверстия в стенке трубы и манометра, а также измерения количества жидкости, протекающей через сечение трубы в единицу времени. Если разделить последнюю величину на площадь поперечного сечения трубы, то получим среднемассовую скорость U, которая является нашей первой статистической величиной. С увеличением внешней силы, т. е. перепада давления, скорость течения также увеличится. В конце концов, отклонение от линейной связи между этими двумя величинами даст знать о наступлении турбулентности. То, что это протекает именно так, впервые продемонстрировал Осборн Рейнольдс (1883, 1895), воспользовавшись подкрашенной струйкой тока, – теперь мы называем это методом визуализации течения. Эта демонстрация приоткрыла одну из тайн, но количественная сторона дела была отложена до конца 1930-х годов, так как требовала развития анемометрии, т. е. способов измерения скорости. Изначально эти методы были основаны на идее введения нагретой проволочки в поток. Изменения локальной скорости потока приводили к изменению температуры проволочки и тем самым к изменению ее сопротивления, которое измерялось мостом. Проволочные анемометры все еще широко используются в настоящее время в сочетании с лазерными анемометрами, действие которых основано на рассеянии лазерного света. Если расположить анемометр в какой-либо точке внутри трубы, то можно измерить локальную скорость жидкости в этой точке как функцию времени. В принципе можно получить все поле скорости U(t, x). При этом следует иметь в виду, что анемометр должен быть существенно меньше, чем допустимый размер области течения, соответствующий размеру наименьшего вихревого движения. Однако анемометр с неизбежностью будет больше молекулярных масштабов, поэтому все измерения, проведенные этим прибором, соответствуют континуальному пределу. В соответствии с этим, когда мы указываем точку жидкости, мы имеем в виду нечто, что одновременно меньше характерных масштабов течения и больше молекулярных масштабов. Поле скорости U(t, x), измеренное таким образом, известно в динамике жидкости как эйлеровское. Эйлеровская координатная система соответствует лабораторной. Можно также перейти в систему отсчета, связанную с жидкой частицей, если мы изучаем движение этой жидкой частицы. Так, если мы пометим жидкость в точке x в некоторый момент времени t0, то, наблюдая за ней в течение времени t, мы можем ввести лагранжевы координаты X(t), такие, что X(t0) = x, а лагранжева скорость равна V(t) = dX / dt. Эта координатная система очень удобна для обсуждения турбулентной диффузии, но не очень удобна для общего изложения. С одной стороны, не существует решения задачи перехода к эйлеровской системе координат, с другой стороны, очень трудно проводить эксперимент в лагранжевых координатах. Тем не менее идея лагранжевых координат неожиданно появится снова несколько позже. Изучение хаотического поведения динамических систем с несколькими степенями свободы вызвала большой интерес в связи с идеей хаоса. Большинство физиков, во всяком случае, знакомы с идеей итераций простейшего отображения, приводящего к удивительным образам, которые чувствительны к начальным данным и к величинам управляющих параметров. Кроме того, хорошо известно, что турбулентность можно рассматривать как типичный пример детерминистического хаоса, и это часто приводит к неправильному пониманию в отношении переноса теории хаоса малой размерности на турбулентность. Поэтому мы сделаем здесь несколько осторожных замечаний по этому поводу. Во-первых, идея хаоса не является новой. Больцман сделал предположение о молекулярном хаосе или Stossahlanzatz для того, чтобы замкнуть систему уравнений, которая позднее стала называться иерархией BBGKY. Даже в современном понимании теории хаоса ряд основных идей давно знаком исследователям турбулентности. Предположим, что мы рассматриваем эйлеровское поле скорости U(t, x). Тогда это полностью детерминированная величина, определяемая уравнениями Навье–Стокса для любого момента времени при заданных начальных условиях. Как согласовать это утверждение с фактом появления турбулентности? Рейнольдс нашел, что безразмерное соотношение R = Ud / н

(1)

дает критерий перехода от ламинарного течения к турбулентному. Здесь d и U – характерные длина и скорость, в данном случае – диаметр трубы и среднемассовая скорость, а ν – кинематическая вязкость жидкости. Поскольку диаметр трубы и вязкость фиксированы, влияние числа Рейнольдса R можно интерпретировать как влияние безразмерной скорости. Когда безразмерная скорость превысит некоторое критическое значение, может возникнуть турбулентность. Таким образом, на языке современной теории хаоса число Рейнольдса – это управляющий параметр. Когда оно превосходит некоторое критическое значение, решение уравнений Навье– Стокса становится чувствительным к начальным условиям и, следовательно, хаотическим в том смысле, что любая малая неопределенность в начальных условиях будет усиливаться, приводя к непредсказуемости поля скорости. Так, отдельная реализация турбулентного поля будет очень сильно отличаться от любой другой на уровне очень подробного описания, что полностью согласуется с современной теорией хаоса. Однако надо также иметь в виду, что любое турбулентное течение можно рассматривать как ансамбль множества реализаций (предполагая эргодичность, которая является слабым предположением, следующим из перемешивающего характера турбулентности). Так, среднее поведение, полученное по множеству реализаций, нечувствительно к бесконечно малым возмущениям начальных условий, т. е. заданный градиент давления приводит всегда к одной и той же среднемассовой скорости в трубе. Таким образом, детерминизм восстанавливается для средних величин, характеризующих систему. Наконец, прежде чем перейти к обсуждению других вопросов, интересно отметить, что признаки лежащего в основе этих явлений хаоса можно обнаружить во многих сдвиговых турбулентных течениях. Например, в течении в трубе переход к турбулентности не является раз и навсегда произошедшим катастрофическим событием, он более похож на квазипериодический процесс, известный под названием «берстинга». Он может наблюдаться с помощью визуализации течения или с помощью осреднения по коротким отрезкам времени, содержащим идентичные нестационарные события. Этот тип когерентных структур (если использовать общий термин) более присущ свободным сдвиговым течениям, где открытие катящихся вихрей в турбулентном слое смешения [Браун, Рошко, 1974] стимулировало быстрый рост исследований в этой области. Понятие перенормировки играет главную роль в современной теории турбулентности, и будет полезно сделать некоторые общие замечания, относящиеся к рассматриваемому вопросу, с этой точки зрения. Коротко говоря, этот термин пришел из квантовой физики и относится к процедуре исключения расходимостей, которые появляются тогда, когда делается попытка распространить дискретные формулировки динамики частиц на случай непрерывного поля. Эти расходимости появляются как на больших масштабах, так и на малых, и известны соответственно как «инфракрасные» и «ультрафиолетовые». Следует подчеркнуть, что расходимости этого рода не присущи теории турбулентности. Некоторая путаница по этому поводу может возникнуть благодаря существованию инфракрасной расходимости при переходе к пределу бесконечных чисел Рейнольдса и является полностью искусственной ситуацией, рассмотренной с целью проверки частных теорий. Существование расходимостей – это крах теории, т. е. факт, который не нуждается в формулировке. Смысл, который мы будем придавать термину «перенормировка», хорошо установлен ранее в статистической физике и физике взаимодействия многих тел. В общем случае он связан с представлением о квазичастицах, в котором взаимодействующие («голые») частицы заменяются на «одетые», которые уже не взаимодействуют. «Одетые» частицы перенормированы с помощью передачи им части энергии взаимодействия. Ранние систематические вычисления этого рода были проделаны Дебаем и Хюккелем в 1920-м году, которые исследовали электронный газ в электролите и учли электрон-электронное взаимодействие с помощью замены заряда отдельного электрона на зависящий от пространственных координат эффективный заряд. Подстановка эффективного заряда в закон Кулона привела к появлению экранирующего потенциала, в котором коллективное действие облака электронов можно было интерпретировать как экранирующий эффект. В наши дни подобная операция должна рассматриваться как перенормировка, а Дебай– Хюккелевская теория – как специальный случай перенормируемой теории возмущений. В турбулентности аналогичная ситуация возникает с перенормировкой вязкости жидкости за счет добавления случайного влияния макроскопического вихревого движения для создания эффективной или турбулентной вязкости. Фактически эта идея была предложена Буссинеском ad hoc в 1890-х годах – первый пример ренормализованной величины! В этом смысле и будет далее использоваться термин «перенормировка», хотя временами это будет скорее неявно, чем явно.

Когда турбулентность рассматривается в контексте физики в целом и в контексте фазового перехода в частности, то естественно предположить, что известная проблема турбулентности состоит в том, чтобы предсказать критическое значение числа Рейнольдса фазового перехода от ламинарного течения к турбулентному. Это действительно проблема первостепенной важности, и она продолжает привлекать большое внимание. Но это не относится к содержанию этой книги. Рассмотрим турбулентность в жидкости как явление природы, требующее статистического описания. В соответствии с этим, как и в микроскопической статистической физике, мы столкнемся с проблемой замыкания статистической иерархии. В пункте 2 эта проблема будет рассмотрена в том виде, как она появляется у гидродинамиков, которые соприкасаются с исследованием течений в трубах, струях и даже в таких сложных ситуациях, как обмен тепла и турбины. Это означает, в сущности, что статистические свойства таких течений осложнены зависимостью от координат (неоднородность) и от ориентации в пространстве (анизотропия). В пункте 3 мы рассмотрим вопрос о том, как можно переформулировать проблему турбулентности, чтобы она стала похожа на теорию поля в теоретической физике, т. е. чтобы она была однородной и изотропной. Центральным вопросом в этом пункте будет вопрос о том, как можно удовлетворительно сформулировать тестовые задачи для развиваемых здесь теорий с искусственной изотропией. Однако, как мы увидим, хорошо развитая турбулентность может мыслиться как задача из области критических явлений с фазовым переходом к автомодельному поведению, демонстрирующему универсальность и масштабную инвариантность. В пунктах 2 и 3 приведена формулировка проблемы с точки зрения гидродинамиков и физиков-теоретиков соответственно. Оставшиеся пункты посвящены использованию методов перенормировки решения задачи, сформулированной в пункте 3, т. е. не рассматривается вопрос практических приложений. В пункте 4 рассматривается проблема замыкания в теории турбулентности с помощью методов статистической теории поля. Здесь общая стратегия состоит в том, чтобы начиная с теории возмущений и используя так называемое λ-разложение, ренормализовать это разложение с помощью частных методов суммирования. Варианты теории рассматриваются с точки зрения их способности удовлетворять определенным целям. В пункте 5 рассмотрен новый ренормгрупповой метод, в котором осуществляется эффективное сокращение степеней свободы, а управляющие уравнения перенормируются для того, чтобы сделать их независимыми от преобразования. Появление масштабной инвариантности характеризуется стационарной точкой. Этот пункт в действительности содержит модифицированную версию статистической проблемы замыкания, которая может мыслиться наиболее естественной с точки зрения ее компьютерной реализации.

2. Турбулентность как естественное состояние течения жидкости Динамика жидкости основана на изучении сравнительно простых течений: свободных струй и следов, пограничных слоев, прилегающих к твердой поверхности, течений в прямых трубах и плоских каналах. Эти классические течения образуют специальный случай и могут быть отнесены к течениям в пограничных слоях или (более общо) к двумерным потокам. При переходе к турбулентности нужно проявлять осторожность, когда имеется среднее двумерное течение, так как на самом деле турбулентное движение остается полностью трехмерным. Для того чтобы представить непосредственно суть турбулентности как основного явления движения жидкости, рассмотрим стационарное среднее течение в плоском канале в качестве представительного примера. Кроме того, поскольку динамика жидкости не включается в обычный курс физики, мы начнем с краткого введения в математическое описание движения жидкости на уровне уравнений и рассмотрим способы их применения к простым ламинарным течениям. Далее будут рассмотрены течения несжимаемой жидкости. Для обсуждения условий, при которых это может быть справедливо, см. [Бэтчелор, 1967]. Для наших целей оно сводится к утверждению того, что плотность ρ всегда остается постоянной, а уравнение неразрывности можно записать в виде

∂ U в / ∂ xв = 0 ,

(2)

где Uβ(x, t) – скорость жидкости в точке x в момент времени t. Отметим, что здесь в основном используется декартова система записи тензоров, греческие индексы α, β, γ, ... принимают значения 1, 2, 3, …. Мы также будем использовать соглашение о суммировании, согласно которому по повторяющимся индексам проводится суммирование. Для несжимаемой жидкости уравнение, выражающее закон сохранения импульса, записывается в виде

∂ U б / ∂ t + ∂ U бU в / ∂ xв = 1 = − (∂ P / ∂ xб − ∂ у бв / ∂ xв ) с ,

(3)

где σαβ – тензор напряжений, P – давление. Для ньютоновской жидкости тензор напряжений задается соотношением у бв = с v(∂ U б / ∂ xв + ∂ U в / ∂ xб )

,

(4)

где ν – кинематическая вязкость жидкости. Подставляя σαβ из (4) и воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение движения несжимаемой ньютоновской жидкости в виде

∂ U б / ∂ t + ∂ U бU в / ∂ xв = 1 = − ∂ P / ∂ xб + н∇ 2U б с

(5)

которое известно как уравнение Навье–Стокса. Для тех читателей, которые незнакомы с этим уравнением, его вывод можно найти во многих учебниках по динамике жидкости (например, [Бэтчелор, 1967]). На этой стадии может быть полезно узнать, что это уравнение есть не что иное, как второй закон Ньютона, примененный к жидкому континууму. Для этого надо рассмотреть отдельную жидкую частицу объема dV и массы dm = ρ dV, которая согласно механике Ньютона и своей континуальной природе (конвективная часть) имеет ускорение ∂ U/∂ t + (U, ∇)U. Правая часть уравнения описывает взаимодействие между жидким элементом и остальной жидкостью. Уравнения (2) и (5) описывают движение многих обычных жидкостей, таких, как вода, алкоголь, глицерин, воздух и большинство газов, при условии, что их плотность остается

постоянной. Многие другие жидкости (например, суспензии, растворы полимеров) требуют для своего описания более сложных конститутивных соотношений между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, чем рассмотренная ниже линейная связь. В качестве конкретного примера рассмотрим стационарный сдвиговый поток между бесконечными пластинами, которые расположены параллельно плоскости (x1, x3) при x2 = 0 и x2 = 2a. Течение жидкости происходит только в направлении x1, а поле скорости сводится к U(x, t) = (U1(x2), 0, 0). Тогда производная по времени от скорости исчезает, а нелинейный член в уравнении (5) можно записать в виде

∂ U1 ( x2 )U1 ( x2 ) / ∂ x1 = 0 ,

(6)

в результате чего уравнение Навье–Стокса запишется следующим образом:

∂ P / ∂ x1 = ∂ у 12 / ∂ x2 ,

(7)

Отметим, что равенство нелинейного члена нулю – это характерное свойство одномерного ламинарного течения и что уравнение Навье–Стокса в этой частной ситуации описывает равновесие между продольным градиентом давления и вязкими напряжениями. Для этого течения тензор вязких напряжений можно получить из соотношения (4): у 12 = сн dU1 / dx2 ,

(8)

это выражение соответствует закону Ньютона. Этот закон дает одновременно и определение и метод измерения динамической вязкости μ = ρν. С точки зрения физики этот эффект можно интерпретировать как необратимый поток продольного импульса (т.е. в направлении x1) в направлении x2. Можно решить уравнения (7) и (8) одновременно и получить хорошо известный параболический профиль скорости. Для этого подставим уравнение (8) в уравнение (7), получим

сн d 2U1 / d x22 = ∂ P / ∂ x1 ,

(9)

Интегрируя дважды и используя условия «прилипания» U1(0) = U1(2a) = 0, получим

U1 ( x2 ) = −

dP y (2a − y ) dx1 2сн ,

(10)

Следует заметить, что в рассматриваемой ситуации давление зависит только от одной переменной, поэтому замена частной производной на обыкновенную справедлива. К тому же давление изменяется в направлении движения потока, следовательно, его градиент является отрицательной величиной, а выражение для скорости – положительной. Можно получить много физических сведений о турбулентности, если изучать способы передачи энергии от точки к точке в турбулентном потоке или от одной группы вихрей с определенными размерами к другой с другими размерами. Отметим, что под словом «энергия» мы будем всегда подразумевать кинетическую энергию макроскопического движения жидкости. Начнем с некоторых общих для ламинарных и турбулентных течений соображений. В общем случае жидкость, занимающая объем V и ограниченная поверхностью S, обладает кинетической энергией ET, связанной с движением жидкости, выраженной через поле мгновенной скорости U(x, t), равной:

ET =

1 ∑ с U б2 dV 2 б V∫ ,

(11)

Далее иногда будет использован знак суммирования вместо соглашения о повторяющихся индексах вида Uα2 = Uα Uα. Легко показать (см., например, [МакКомб, 1990]), что уравнение для ET может быть выведено из уравнения Навье–Стокса, при этом получим dET / dt = ∫ с U б f б dV − ∫ с еdV V

V

,

(12)

где fα(x, t) – внешняя сила (на единицу массы жидкости), а ε – энергия диссипации в единицу времени на единицу массы жидкости. Она определяется выражением

е=

1 2 н∑∑ (∂ U б / ∂ xв + ∂ U в / ∂ xб ) 2 б в

(13)

Уравнение (12) говорит нам о том, что скорость изменения энергии равна скорости притока энергии за счет работы внешних сил и убыли за счет преобразования энергии в тепло благодаря вязкости. Сделаем по этому поводу два замечания. Во-первых, нелинейные члены в уравнении Навье–Стокса не вносят вклада в уравнение (12), т. е. эти члены не производят работы над системой. (Это замечание относится и к давлению: как будет видно из дальнейшего изложения, давление действует аналогично нелинейным членам.) Математически это объясняется тем, что любой член, имеющий дивергентный вид в уравнении для энергии, исчезает при интегрировании по объему системы при получении уравнения для глобального значения этой величины. Во-вторых, вязкие члены можно разделить на две части, одна из которых имеет диффузионный характер и исчезает при интегрировании, а другая описывает диссипацию энергии и представлена в правой части уравнения (13). Научное исследование турбулентности берет начало с работ Осборна Рейнольдса (1883). Задача, которую решал Рейнольдс, принадлежит к классическим работам, посвященным исследованию течений в прямых трубах с постоянным круговым сечением. Используя свой «метод цветных полосок», он первым показал для заданной жидкости и параметров трубы, что течение будет ламинарным для скорости жидкости, не превышающей некоторой критической величины. При скорости, равной критической, течение внезапно становится турбулентным на некотором расстоянии от начала трубы. При скорости больше критической турбулентное состояние оказалось вполне типичным, хотя и можно поддерживать ламинарное состояние, устраняя возмущения на входе в трубу. Эксперименты Рейнольдса показали, что минимальное значение безразмерной скорости R, определенной соотношением (1), при котором может появиться турбулентность, приблизительно равно 2000. Однако ламинарное течение в трубе может быть метастабильным при значительно больших числах Рейнольдса. Подробности по этому вопросу можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968]. Рассмотрим теперь течение в трубе, когда число Рейнольдса заметно превосходит критическую величину. На рис. 1 показано распределение средней скорости в зависимости от расстояния точки наблюдения от оси трубы. Среднее течение направлено по оси x1, а x2 – поперечная или радиальная координата. Для сравнения изображен также эквивалентный ламинарный профиль для того же числа Рейнольдса. Последний профиль, естественно, описывается параболой, определенной соотношением (10), полученной из уравнения Навье–Стокса. Теория турбулентности должна решить аналогичную задачу для турбулентного профиля скорости.

Рис. 1. Сравнение ламинарного и турбулентного распределений средней скорости для течения в трубе при R = 105

Как правило, мы будем рассматривать среднее значение как результат осреднения по времени, при этом средняя скорость будет обозначаться чертой сверху. В общем случае операция осреднения, определенная некоторым способом, будет изображаться угловыми скобками 〈 〉 , и эти скобки будут использоваться для обозначения моментов более высокого порядка. Так, для средней скорости можно написать

U б (x, t ) = U б (x, t ) =

1 2T

∫

T

−T

U б (x, t + t ′)dt ′

,

(14)

где 2T – время осреднения, которое должно быть существенно больше времени турбулентных пульсаций для их успешного сглаживания и существенно короче характерного внешнего времени задачи. Для определенности далее будут рассматриваться течения, средняя скорость которых постоянна по времени. В этом пункте мы следуем процедуре, предложенной Рейнольдсом (1885), согласно которой мгновенная скорость представляется в виде суммы средней по времени скорости U б и отклонений от этого среднего значения uα, т.е. U б ( x, t ) = U б ( x, t ) + u б ( x , t ) ,

(15)

Аналогично можно представить и давление

P ( x , t ) = P ( x , t ) + p ( x, t ) ,

(16)

где P (x, t ) – среднее давление, а p(x, t) – флуктуации давления. Из этих определений следует, что флуктуации имеют нулевое среднее, т. е. uб ( x, t ) = 0 , p ( x, t ) = 0 ,

(17)

С физической точки зрения этот результат имеет простое объяснение: в среднем мгновенная скорость одинаковое время как превосходит среднюю скорость, так и имеет значения меньше ее. Соответственно среднее от квадрата флуктуаций не равно нулю и можно ввести среднеквадратичную величину u′ следующим образом:

u ′(x, t ) = ∑ uб (x, t ) 2

1/ 2

б

.

(18)

На практике u′ часто используется как удобная мера интенсивности флуктуаций. Мы напоминаем, что зависимость от времени, обозначенная выше для среднеквадратичного значения флуктуаций, относится к медленным внешним изменениям и оставлена только в целях обобщения записи. Когда мы обратимся к конкретным примерам реальных течений, то будем ограничиваться только стационарными случаями. Рассмотрим сначала уравнение неразрывности (2). Если мы подставим разложение (15) и усредним согласно определению (14) и (17), то получим

∂ U в / ∂ xв = 0 .

(19)

Вычитание этого результата из уравнения (2) дает похожий результат для uα, следовательно, средняя скорость и флуктуации удовлетворяют уравнению неразрывности порознь. Полученный результат является простым следствием линейности уравнения (2). Для того чтобы оперировать подобным образом с уравнением движения, подставим соотношения (15) и (16) в уравнение (5) и усредним его почленно. Легко показать, что операция осреднения коммутирует с оператором дифференцирования по времени (см., например, [МакКомб, 1990]). На этот раз нам приходится работать с нелинейными членами, поэтому, замечая, что

Uu = U u = 0

, получим

∂U б / ∂ t + ∂U бU в / ∂ xв + ∂ uб uв / ∂ xв = 1 = − ∂P / ∂ xб + н∇ 2U б с

(20)

Сравнение с уравнением (5) показывает, что уравнение для средней скорости в точности совпадает с уравнением Навье–Стокса, записанного для средней скорости, в которое добавлен член, содержащий величины 〈 uα uβ〉 . Таким образом, уравнения для среднего движения (в данном случае уравнения (19) и (20)) содержат три независимых неизвестных: U б , P и 〈 uα uβ〉 . Если мы заглянем вперед, то увидим, что уравнение (22) для флуктуаций скорости может быть использовано для получения уравнения для третьей неизвестной 〈 uα uβ〉 . Однако оно будет содержать неизвестные моменты третьего порядка и т. д. В этом заключается известная проблема замыкания, отмеченная в пункте 1. Уравнение (20) есть уравнение Рейнольдса, а член с 〈 uα uβ〉 – это (кинематическое) рейнольдсово напряжение. Этот член описывает перенос импульса турбулентными флуктуациями. Как было отмечено Рейнольдсом, этот член существенно увеличивает вязкие напряжения, обусловленные случайным блужданием молекул. Гипотеза о том, что существует аналогия между этими двумя процессами, вместе с утверждением, что величина 〈 uα uβ〉 может быть выражена линейным образом через тензор скорости деформаций и некоторый эффективный (и явным образом записанный) коэффициент вязкости, была главной темой в исследованиях турбулентности. Подробный вывод тензора напряжений для явного выражения турбулентного трения можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968, с. 537]. Здесь нам будет удобнее ввести полный тензор сдвиговых напряжений с помощью соотношения

фбв = у бв − с uб uв

,

(21)

в котором тензор вязких напряжений определен соотношением (4). Уравнение движения для флуктуаций скорости получается вычитанием уравнения (20) из уравнения (5): ∂uб / ∂ t + ∂uбU в / ∂ xв + ∂U б uв / ∂xв +

(

+∂ uб uв − uб uв

) / ∂x

в

1 = − ∂p / ∂xб + н∇ 2uб с . (22)

Ясно, что любой член этого уравнения при усреднении исчезает. Но если умножить их на uγ(x, t) и усреднить, то мы получаем основу для изучения одноточечной одновременной иерархии в соответствии с известными инженерными методами. Но можно умножить на uγ(x′, t′) и усреднить, тогда получим двухточечную двухвременную иерархию, лежащую в основе фундаментального подхода. Однако сначала мы сконцентрируем внимание на одноточечной форме уравнений. В частности, мы рассмотрим энергетический баланс для флуктуаций. В турбулентном случае уравнение (11) для полной кинетической энергии легко обобщить: учтя разложение (15), получим 2 ET = ∑ ∫ с U б2 dV + ∑ ∫ с uб2 dV б V

б V

,

(23)

U u =0 где опять использовано свойство б б . Обычно мы будем интересоваться только энергией, связанной с флуктуациями скорости uγ(x, t). Можно получить соответствующее уравнение сохранения энергии из уравнения для тензора напряжений Рейнольдса. Подробности вывода можно найти во многих монографиях [МакКомб, 1990], здесь мы только обрисуем общие контуры подхода и процитируем окончательный результат. Рассмотрим уравнение (22) для компонент флуктуаций uα(x, t). Перепишем его в виде уравнения для uγ(x, t), оставляя все другие индексы без изменения и присвоив ему номер (22a). Теперь умножим (22) на uγ(x, t) и усредним. После этого умножим (22a) на uα(x, t) и усредним. Затем, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения функций, сложим полученные уравнения вместе. Эта процедура приводит нас к уравнению для кинематических напряжений Рейнольдса 〈 uα uγ〉 . Если мы теперь положим α = γ, то получим уравнение для среднеквадратичных флуктуаций (или нормальных компонентов напряжений) в виде

∂ uб2 / ∂ t + U в ∂ uб2 / ∂ xв = 1 = −∂ uб2 uв / ∂ xв − 2 ∂ uв p / ∂ xв − с −2 uб uв ∂ U б / ∂ xв + + н∂

2

u

2 б

/ ∂ xв ∂ xв − 2н∑ в

⎛ ∂ uб ⎜⎜ ⎝ ∂ xв

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(24)

Если мы теперь просуммируем данное выражение по α, разделим на два, то получим уравнение сохранения турбулентной кинетической энергии E на единицу массы:

∂ E / ∂ t + U в ∂ E / ∂ xβ = 1 =− ∂ 2

∑u u

2 б в

/ ∂ xв −

б

1 − ∂ uв p / ∂ xв + н∂ 2 E / ∂ xв ∂ xв − с − uб uв ∂ U б / ∂ xв − н∑ бв

⎛ ∂ uб ⎜⎜ ⎝ ∂ xв

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(25)

где E=

1 ∑ uб2 2 б

(26)

Левая часть уравнения (25) дает полную скорость изменения по времени (т. е. локальное плюс конвективное) турбулентной кинетической энергии на единицу массы жидкости. Другими словами, уравнение (25) говорит нам, что полная скорость изменения турбулентной энергии по времени полностью определяется членами, расположенными в правой части уравнения. Для того чтобы придать этому конкретный смысл, следует заметить, что первые три члена в правой части уравнения (25) могут быть записаны в дивергентном виде и в соответствии с этим не вносят вклада в глобальный баланс энергии. Следовательно, основной эффект этих членов заключается в диффузии турбулентной энергии в пространстве за счет нелинейных и вязких взаимодействий соответственно. Трудность, возникающая с четвертым членом, состоит в том, что он не может быть записан в дивергентном виде. Однако если вывести уравнение баланса энергии для средней скорости, то соответствующий член может быть найден. Два этих члена, вместе взятых, можно проинтегрировать и увидеть, что они дают сохранение полной энергии. Таким образом, можно интерпретировать четвертый член правой части уравнения (25) как поток энергии от среднего поля к полю флуктуаций. В литературе он часто называется «генеративным членом»: см. [Хинце, 1975]. Очевидно, что последний член в правой части рассматриваемого уравнения выражает необратимую диссипацию кинетической энергии в тепловую. Наконец, заметим, что невозможно решить ни уравнение (24), ни уравнение (25): проблема замыкания не позволяет это сделать. Тем не менее каждый член в отдельности может быть измерен экспериментально, поэтому генерация флуктуаций и энергетический баланс изучаются таким способом. Мы вернемся к этому позже. В случае течения в канале мы конкретизируем процедуру осреднения. Аргументы, использованные для скорости жидкости в случае ламинарного течения в канале, теперь применимы только к средней скорости, направленной по оси x1 и зависящей от координаты x 2 . Так, для средней скорости можно написать

U1 ( x2 ) = U1 ( x2 , t ) =

1 2T

∫

T

−T

U1 ( x2 , t + t ′)dt ′

.

(27)

Поскольку течение в канале стационарно, примем далее, что средняя скорость постоянна во времени. Для средней скорости, определенной выражением Uα ( x ) = {U1 ( x ), 0, 0} , легко показать, что уравнения (19) и (20), выражающие сохранение массы и импульса, приводятся к виду

∂ U1 / ∂ x1 = 0 и

(28)

1 н ∂ 2U1 / ∂ x22 − ∂ u1u2 / ∂ x2 = ∂ P / ∂ x1 с .

(29)

Если мы сравним этот результат с уравнением (9), соответствующим случаю ламинарного течения, то можем заметить, что в дополнение к замене мгновенных величин на их средние значения появляется корреляция флуктуационных скоростей 〈 u1 u2〉 , обычно называемая напряжениями Рейнольдса, которая дополняет вязкий член и выражает дополнительное сопротивление движению за счет флуктуаций. Уравнение (25), описывающее баланс турбулентной энергии, можно еще применить к случаю полностью развитого, стационарного среднего течения в плоском канале. Требуя выполнения указанных ограничений, можно приравнять нулю производные по t, x1, x2, а также недиагональную корреляцию, содержащую u3, и свести исходное уравнение сохранения энергии к виду, приспособленному для описания развитого турбулентного течения в канале: − u1u2 dU1 / dx2 − ⎛1 ⎞ 1 −d / dx2 ⎜ ∑ uб2u2 + u2 p ⎟ с ⎝2 б ⎠ = н∑ (∂ uα / ∂ xβ )2 = е б,в

(30)

В этом выражении отброшен член вязкой диффузии на том основании, что он мал по сравнению с остальными членами почти во всей области, кроме пристеночной, как это следует из экспериментальных данных. Можно охарактеризовать турбулентный пограничный слой в жидкости, текущей около твердой поверхности, с помощью масштаба длины и скорости, задав полную толщину слоя δ и скорость набегающего потока. Эти параметры известны под названием «внешних масштабов». Но можно определить и «внутренние масштабы», которые необходимо использовать, если нам нужно охарактеризовать структуру турбулентности. Для того чтобы обсуждать скейлинговое поведение в сдвиговых течениях, необходимо ввести соответствующие внутренние масштабы. Прежде всего обычно разделяют турбулентный пограничный слой на внутренний слой (приближенно), расположенный в области 0 ≤ x2 ≤ 0,2 δ, и внешний слой, ограниченный областью 0,2 δ ≤ x2 ≤ δ, где координата x2 измеряется по нормали к поверхности: x2 = 0 на поверхности и x2 ~ δ на внешней границе пограничного слоя. (Следует заметить, что положение внешней границы турбулентного пограничного слоя само по себе является случайной величиной, поэтому, когда мы ссылаемся на нее, то подразумеваем среднее значение.) Такое разделение на слои основано на экспериментальных наблюдениях, которые показывают, что величина полного напряжения сдвига τ12, определенного соотношением (21), остается практически постоянной во внутреннем слое и приближенно равна его значению τw на поверхности (стенке). Подобные рассуждения, относящиеся к пограничному слою на пластине в потоке жидкости, могут быть перенесены на течение в канале. В таком течении постоянство величины напряжения сдвига в подслое не является сильно выраженным свойством, но подразделение на подслои все еще оправдано общей феноменологией. Внутренний слой можно разделить на подслои по относительной величине вязких и турбулентных напряжений. В данном случае уравнение (21) принимает простой вид ф12 = снdU1 / dx2 − с u1u2 ,

(31)

в котором вязкий член определяется законом Ньютона по средней скорости деформации, а турбулентная часть соответствует компоненте тензора напряжений Рейнольдса. Около стенки граничное условие, накладываемое на скорости: {u1, u2} → 0 при x2 → 0, утверждает, что произведение u1 u2 стремится к нулю при приближении к стенке. Поэтому на стенке напряжение обусловлено только вязкими напряжениями и может быть записано в виде

фw = сн[ dU1 / dx2 ]x2 = 0 ,

(32)

Теперь можно определить вязкий подслой как область вблизи стенки, в которой доминирует первый член в правой части соотношения (31). Для больших значений x2 второй член в правой части (31) становится доминирующим, поэтому эта область часто называется областью постоянства турбулентного напряжения. Очевидно, что существует промежуточная область, в которой оба члена имеют одинаковый порядок величины. Такая область называется переходной (или, часто, буферным подслоем). Физическую меру каждого из этих подслоев наиболее удобно выразить через так называемые «внутренние переменные», которые могут быть введены следующим образом. Анализ размерностей (подтвержденный экспериментом) показывает, что подходящим масштабом скорости для внутренней области может быть величина

uф = (фw / с)1/ 2 ,

(33)

в соответствии с которой масштаб длины внутреннего слоя определится как «масштаб длины внутреннего слоя» = ν / uτ , (34) где uτ – так называемая «вязкая скорость». Как будет видно из дальнейшего, uτ имеет тот же порядок, что и величина среднеквадратичной флуктуации скорости. Используя соотношения (32) и (33), можно определить безразмерные переменные:

x2+ = x2uф / н ,

U1+ = U1 / uф .

(35)

Эти величины предназначены для измерения расстояний от стенки в единицах ν/uτ и для малой вязкости приводят к растяжению пристеночной области. Экспериментальные результаты (которые будут обсуждаться позже) позволяют предложить следующую классификацию: внутренний слой внешний слой

0 ≤ x2 ≤ 0,2 δ 0,2 δ ≤ x2 ≤ δ

При этом внутренний слой разделен на подслои следующим образом: вязкий подслой переходный слой турбулентный слой постоянного напряжения

+ 0 ≤ x2 ≤ 5 + 5 ≤ x2 ≤ 30

x2+ > 30 +

Следует подчеркнуть, что характерные величины, принятые для x2 и x2 с целью ввести классификацию слоев, различны у разных авторов. Это, безусловно, подчеркивает трудности в установлении точных критериев установления границ между подслоями. Феноменологические теории для среднего профиля скорости были подкреплены экспериментальными наблюдениями, позволяющими проверить законы подобия в рассматриваемых здесь ситуациях. Например, во внутренней области пограничного слоя совокупность измерений средней скорости может быть сведена к универсальной форме:

U1+ = f ( x2+ ) ,

(36)

которая известна как «закон стенки». Предполагается, что стенка имеет гладкую поверхность. Если высота (как-либо определенная) неоднородностей на стенке меньше, чем толщина вязкого подслоя, то говорят, что

стенка «гидравлически гладкая» и выполняется закон подобия (36). Если высота неоднородности больше толщины вязкого подслоя, то она определяет масштаб внутренней области. С другой стороны, для внешней области эксперимент дает самосохраняющуюся форму профиля вида

U ∞+ − U1+ = g ( x2 / д) ,

(37)

которая известна под названием «закон дефекта скорости». Функции f и g могут быть определены (по крайней мере, для большей части пограничного слоя), если потребовать здесь, чтобы существовала область, где обе формы (или даже их первые производные) непрерывны. Подробные пояснения могут быть найдены в книге [Хинце, 1975]. Результат известен: функции f и g должны быть логарифмами, а уравнение (37) принимает вид

U1+ = A ln( x2+ ) + B

(38)

где A и B – постоянные, которые должны быть определены из сравнения соотношения (38) с экспериментальными результатами. Этот логарифмический профиль средней скорости прекрасно подтвержден экспериментально, причем до такой степени, что приобрел статус закона природы в области динамики жидкости. К сожалению, как мы еще увидим, этот закон не выполняется вблизи стенки и во внешней части пограничного слоя. (Совершенно очевидно, что соотношение (38) не может удовлетворять граничному условию U1 ( x2 = 0) = 0 .) Однако можно установить предельную форму средней скорости на стенке, рассматривая уравнение (31) для полного напряжения сдвига в пределах вязкого подслоя. Требуя, чтобы полное напряжение было постоянным в этой области (τ12 = τ0), и чтобы напряжения Рейнольдса стремились к нулю, получим

фw /с = нdU1 / dx2 , x2+ ≤ 5 .

(39)

Интегрируя это соотношение по x2 и используя (33), получим

U1 = uф2 x2 / н ,

(40)

или в безразмерных переменных

U1+ = x 2+ ,

(41)

при этом константа интегрирования положена равной нулю для того, чтобы удовлетворить граничному условию на стенке. Этот линейный закон применим только к вязкому подслою и получил достаточное экспериментальное подтверждение. Хотя уравнения Рейнольдса для средней скорости не могут быть решены, можно проинтегрировать их для получения нескольких полезных результатов, относящихся к сдвиговым течениям. В частности, мы обсудим двумерное течение в канале, образуемом добавлением второй пластины, параллельной плоскости (x1, x3), расположенной при x2 = 2a над плоскостью x2 = 0. Вниз по течению на значительном удалении от входа в канал, где оба пограничных слоя сливаются вместе, турбулентное течение будет хорошо развито, поэтому уравнения Рейнольдса сведутся к уравнению (29). Перепишем уравнение (29), заменяя частные производные на обыкновенные; получим нd 2U1 / dx22 − d u1u2 / dx2 = (1/ с ) dP / dx1 .

(42)

Интегрирование каждого члена уравнения по x2 дает

снdU1 / dx2 − с u1u2 = ( x2 − a )dP / dx1 = ф12 ,

(43)

в котором последняя операция получена с использованием уравнения (31) и условий dU1 / dx2 = 0 , 〈 u1 u2〉 = 0 при x2 = a (центральная линия канала). Для значений x2, расположенных достаточно далеко от стенок канала, можно пренебречь вязкими напряжениями и записать напряжения Рейнольдса в виде с u1u2 = −( x2 − a ) dP / dx1 = ф12 .

(44)

С другой стороны, на стенке (т.е. при x2 = 2a) имеем важное соотношение

фw = adP / dx1 ,

(45)

которое подтверждает простой метод определения сдвигового напряжения на стенке с помощью двух легко измеримых величин. Кроме того, можно ввести коэффициент турбулентного сопротивления f с помощью соотношения

f = 2фw / с U 2 ,

(46)

где U – среднемассовая скорость. Наконец, для полноты следует заметить, что существует эмпирический закон для коэффициента сопротивления в канале. Он имеет вид [Годстейн, 1938; с. 338]. 1/

f = 4log( R

f ) − 0, 4 ,

(47)

где f – коэффициент сопротивления, и называется законом Прандтля–Кармана. Существует огромное количество данных, относящихся к турбулентности, большая часть которых получена много лет назад. Заинтересованный читатель может получить прекрасное впечатление о предмете, если он заглянет в книгу «Modern Developments in Fluid Dynamics» [Голдстейн, 1938; в двух томах]. Не стоит комментировать скорость развития предмета исследований, чтобы понять, что слово «современный» не такое уж здесь неуместное. Чтобы картина была достаточно содержательная, рассмотрим только несколько исследований. Мы ограничим внимание на течении в канале. Для того чтобы дать представление о течении в канале, обратимся к работам Никурадзе (1932, см. [Голдстейн, 1938]), Лауфера (1954) и Лоуна (1971), которые связаны с исследованиями течения в трубах круглого сечения. Результаты для других форм канала – плоских течений – не сильно отличаются от рассматриваемых ниже. Но для полноты будут рассмотрены работы Лауфера (1951), Хуссейна и Рейнольдса (1975), а также Креплина и Экельмана (1979), посвященные исследованиям в каналах. Наконец, прежде чем вернуться к обсуждению экспериментальных результатов последнего времени, нам придется переопределить координатную систему для течений с другими геометриями. Для течений в каналах x1 – координата в продольном (осевом) направлении, x2 – расстояние от стенки в радиальном направлении, x3 – азимутальная. На рис. 2 показано распределение средней скорости в трубе для трех сильно отличающихся друг от друга чисел Рейнольдса. Результаты взяты из работ Никурадзе (1932) и являются достаточно хорошей характеристикой турбулентности с резким изменением профиля скорости около стенки и более пологим профилем вблизи ядра. Ясно, что такое поведение профиля скорости становится более выраженным по мере роста числа Рейнольдса.

Рис.2. Распределения средней скорости для течения в трубе при различных числах Рейнольдса: ● – 4×103, ■ – 1,1×105, ▲ – 3,2×106

Стремление формы профиля к универсальному «закону стенки» показано на рис. 3, на котором сведены воедино все три предыдущие совокупности экспериментальных точек. Поскольку абсцисса x2 на графике отложена в логарифмическом масштабе (логарифм по основанию 10), прямая линия указывает на удовлетворительную логарифмическую зависимость, которой удовлетворяет большая часть данных.

Рис. 3. Логарифмическое распределение средней скорости для течения в трубе: универсальная форма закона в пристеночных переменных (обозначения те же, что и на рис. 2)

Этот результат подтвержден многочисленными исследованиями (например, см. [Голдстейн, 1938], [Хинце, 1975]). Это говорит о том, что распределение скорости, задаваемое соотношением (38), находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, за

исключением тех, которые относятся к области, непосредственно примыкающей к стенке. Однако значительно меньше согласия проявляется в отношении значения констант A и B. На рис. 3 прямая линия соответствует выражению

U1+ = 5,75log( x2+ ) + 5,5 , и, переходя к натуральным логарифмам, получим, что A = 2,5 и, следовательно, константа фон Кармана равна k = 0,4. Но даже в рамках приведенных здесь данных ясно, что экспериментальный разброс допускает и другие значения констант A и B. В противоположность этому средний профиль скорости в вязкой подобласти является строгим результатом. И хотя мы не представили ни одной экспериментальной точки в этой области на рис. 3, линейный закон также проверен экспериментально (последние данные из этой области см. в работе [Бэйквелл и Ламли, 1967]). Для определения величин в турбулентном течении обратимся к классическим измерениям Лауфера (1954), который использовал технику проволочных термоанемометров для получения трех компонент флуктуирующей скорости для течения воздуха в канале. На рис. 4 представлены среднеквадратичные скорости u1′, u2′, u3′, деленные на скорость uτ, определенную по трению на стенке, в зависимости от x2/a для двух различных чисел Рейнольдса R = 50 000 и R = 500 000. Очевидно, что каждая среднеквадратичная компонента удовлетворительно коррелирует с uτ, за исключением области вблизи стенки. Другие точки, как можно заметить, содержат несоответствие между компонентами в большинстве течений, благодаря тенденции к их возрастанию в направлении стенки и стремлению к одному пределу на оси трубы. Обсуждение этих аспектов будет отложено до следующего пункта, в котором будет рассмотрен процесс производства и переноса турбулентности.

Рис. 4. Радиальное распределение трех среднеквадратичных компонент скорости для турбулентного течения в трубе: u1′/uτ ⎯ , u2′/uτ ⎯ − ⎯ , u3′/uτ - - -

На рис. 5 показано распределение величин 〈 u1 u2〉 /uτ2, 〈 u1 u2〉 / u1′u2′. Первое из них – это отношение напряжений Рейнольдса к напряжениям на стенке; данные подтверждают линейную зависимость, предсказанную соотношением (42). Вторая величина – это коэффициент корреляции, который равен приблизительно 0,4 независимо от точки. Сначала мы объясним уравнение сохранения энергии для флуктуационных скоростей, т. е. уравнение (25). Обращаясь к четвертому члену правой части уравнения, мы назвали его членом производства, так как он выражает преобразование энергии от среднего поля к флуктуирующему и интерпретируется поэтому как скорость генерации турбулентности. Рассмотрим этот член в

условиях стационарного хорошо развитого течения в канале. Уравнение (30) есть уравнение (25), переписанное и приспособленное к описанию течения в канале. Член производства энергии теперь появляется в виде первого члена в левой части уравнения (30) и имеет вид − u1u2 dU1 / dx2 .

(48)

Рис. 5. Радиальное распределение напряжения Рейнольдса и коэффициента корреляций для турбулентного течения в трубе: 〈 u1 u2〉 /uτ2 ⎯, 〈 u1 u2〉 /u1′u2′ - - -

Теперь мы в состоянии понять некоторые качественные особенности результатов, относящихся к среднеквадратичным величинам скоростей, рассмотренных ранее. Из рассмотрения уравнений (24) и (48) можно сделать следующие выводы: (а) кинетическая энергия среднего течения преобразуется только в флуктуации продольной скорости 〈 u12〉 , поэтому не удивительно, что u1′ больше, чем остальные компоненты u2′, u3′; (б) радиальная и азимутальная компоненты u2′, u3′ возбуждаются за счет инерционной передачи энергии от u1′ посредством тройных корреляций или, конкретнее, благодаря члену, содержащему флуктуации давления. (в) скорость генерации 〈 u12〉 будет очень большой около стенки, где велики и напряжения Рейнольдса и средний градиент скорости. Эта скорость должна быстро падать при удалении от стенки. Таким образом, роль тройных корреляций состоит в переносе энергии в радиальном направлении (стремление к однородности) и преобразовании энергии от 〈 u12〉 к 〈 u22〉 и 〈 u32〉 (тенденция к изотропии). Это подтверждается результатами, приведенными на рис. 4, которые показывают, что среднеквадратичные компоненты приближенно равны и относительно однородны около оси трубы, где член генерации турбулентности равен нулю. Можно рассматривать баланс энергии, вернувшись к уравнению (25). Лоун (1971) измерял величины отдельных членов в уравнении. Его результаты приведены на рис. 6. Измерение генеративного члена весьма доступно, в то время как измерение скорости диссипации представляет большие трудности, так как подразумевает измерение девяти независимых компонентов флуктуирующего тензора скоростей изменения напряжения. На рис. 6 кривая диссипации энергии была получена вычислением разности между генерацией и инерциальной трансформацией (или диффузией). К сожалению, эта процедура страдает от того, что вклад от флуктуаций давления в диффузию не может быть измерен непосредственно и должен быть оценен другим способом с потерей точности. Лоун также определил скорость диссипации двумя другими методами, которые были основаны на предположении локальной изотропии в области малых масштабов, которые больше всего ответственны за диссипацию. Далее эти методы не обсуждаются, поскольку они содержат элементы, лежащие очень далеко от содержания этого курса. Однако из рис. 6 ясно, что все три

метода определения скорости диссипации достаточно хорошо согласуются друг с другом, поэтому мы относимся к этим результатам как к достаточно убедительному доказательству выполнения уравнения баланса турбулентной энергии.

Рис. 6. Баланс турбулентной энергии в ядре потока в трубе (Лоун, 1971)

Мы рассмотрим традиционные феноменологические теории турбулентности, хотя можно доказать, что первая – это общее предположение, а вторая – есть просто метод его реализации. Начиная с ранних исследований турбулентности, было сделано много попыток согласовать идеи, лежащие в основе кинетической теории газов с представлениями о свойствах континуума (особенно со свойством завихренности и вихревого движения в целом), встречающихся в макроскопическом движении жидкости. В результате многие теории турбулентности основывались на аналогии между хаотическим движением вихрей и случайном движении молекул в разреженных газах. Модель длины смешения (см., например, [Шлихтинг, 1968], [Хинце, 1975]) хорошо известна и дает нам интересный пример, который мы здесь обсудим. Мы начнем с рассмотрения связанного с этими представлениями понятия эффективной вихревой вязкости. Представление о том, что коллективное движение вихрей может быть заменено коэффициентом вязкости, очень привлекательно. Традиционно оно вводится по аналогии с известными результатами кинетической теории (например, как в уравнении (8)): среднее вязкое сдвиговое напряжение = снdU1 / dx1 . Можно попытаться представить турбулентное сдвиговое напряжение в аналогичной форме −с u1u2 = снT ( x2 ) dU1 / dx2 ,

(49)

где νT(x2) – это кинематическая вихревая вязкость. Вопреки тому, что провозглашение такой аналогии было очевидно даже для ранних исследователей турбулентности, эта гипотеза все еще привлекает большое внимание. Позднее мы рассмотрим дополнительные подтверждения этой идеи о вихревой вязкости на основе недавних ренормгрупповых исследований, которые будут

даны с некоторыми ограничениями. На данной стадии мы просто отметим, с критической точки зрения, что в течении, где dU1 / dx2 и 〈 u1 u2〉 обращаются в ноль одновременно в некоторой точке, вихревая вязкость (определенная соотношением (49)) может быть либо нулем, либо бесконечностью в некоторых точках течения. Если же мы преследуем аналогию с континуальными механизмами, а не кинетической теорией, то очевидно, что «конститутивные соотношения» для турбулентности в общем случае должны быть существенно более сложными, чем чисто «ньютоновское», определяемое соотношением (49). Модель длины смешения является более амбициозной попыткой построить аналогию с кинетической теорией. Мы начнем с напоминания о том, что напряжение сдвига Рейнольдса ρ〈 u1 u2〉 – это поток x1 - компоненты импульса в направлении x2. Прандтль предположил, что этот импульс переносится дискретными порциями жидкости, которые перемещаются в направлении x2 на расстояние l без взаимодействия друг с другом (т. е. предполагается, что их импульс сохраняется на длине l), а затем перемешиваются с жидкостью в новом месте. Ясно, что длина l, называемая длиной смешения, играет в этом процессе роль длины свободного пробега. Существенным в этом анализе является следующее. Жидкий элемент dV переносится из точки x2 в точку x2 + l с помощью флуктуации скорости u2. При этом переносится импульс в другую точку благодаря разности между U1 ( x 2 ) и U 1 ( x 2 + l ) . В результате изменяется импульс в направлении x1, и, следовательно, изменяется скорость u1 в направлении x1. Это можно выразить следующим образом: с u1dV = с[U1 ( x2 ) − U1 ( x2 + l )]dV = = −с (ldU1 / dx2 )dV

(50) с точностью до первого порядка по l , следовательно

u1 = − ( ldU1 / dx 2 ) .

(51)

Заметим, что, если U 1 является возрастающей функцией x2, жидкие частицы, движущиеся в направлении положительных x2 (т. е. в направлении, соответствующем положительным флуктуациям u2), вызывают отрицательную флуктуацию в скорости u1. Таким образом, напряжение Рейнольдса будет отрицательно, поэтому корреляцию можно записать, используя среднеквадратичные скорости, в виде u1u2 = − R12u1′u2′ = −C u12

,

(52)

где R12 – коэффициент корреляции. Следующий шаг следует из экспериментальных наблюдений, которые показывают, что u2′ имеет тот же порядок величины, что и u1′ в подслое, где напряжение постоянно. Выразив через константу C коэффициент R12, получим из формулы (51) с u1u2 = −с l 2 (dU1 / dx2 ) 2 ,

(53)

где константа C теперь уже вошла в определение l. На этом этапе нам необходимы дальнейшие предположения, а именно: (а) в подслое постоянного напряжения можно положить τ12 = τw; (б) для x2 > 5 можно пренебречь вязким членом в сдвиговом напряжении; (в) l = k x2, где k известна как константа Кармана. После этого, воспользовавшись уравнениями (31) и (53), получим фw / с = − u1u2 = l 2 (dU1 / dx2 ) 2 ,

(54)

откуда, с учетом уравнения (32),

k 2 x22 (dU1 / dx2 )2 = uф2 .

(55)

Наконец, извлекая корень квадратный из правой и левой частей уравнения и интегрируя по x2, получим профиль скорости в виде

U1 = (uф / k )ln( x2 ) + D ,

(56)

где D – константа интегрирования. Этот результат можно сшить с линейным профилем (см. уравнение (41)), выбрав соответствующим образом константу D. В результате получим, что логарифмический профиль, задаваемый соотношением (56), удовлетворяет виду «закона стенки» (38). Мы видим, что эксперимент дает существенное подтверждение логарифмического распределения скорости.

3. Турбулентность как ветвь статистической физики В этом пункте мы будем следовать схеме изложения, сходной со схемой пункта 2, интересуясь главным образом структурными основами турбулентности. То есть рассмотрим корреляции скоростей в двух или более точках (и моментах времени), тогда как в пункте 2 рассматривались только одноточечные корреляции. Основы такого подхода изложены Тейлором (1935) в статье, в которой были введены также понятия статистической однородности и изотропии, шаг, который перевел теорию турбулентности из разряда инженерной науки в разряд области физики. В следующей работе [Тейлор, 1938а] было завершено определение энергетического спектра через волновые числа (т. е. использовано преобразование Фурье от двухточечной пространственной корреляции), и, как мы теперь понимаем, вычисление этого спектра является главной целью фундаментальной теории турбулентности. Двухточечные корреляции второго порядка (или моменты) поля скоростей играют ведущую роль в теории турбулентности. Поэтому обратим некоторое внимание на связи между двухточечным (фундаментальным) и одноточечным (инженерным) подходами к решению проблемы турбулентности. В частности, поскольку многоточечная теория является более общей по сравнению с двухточечной, мы будем интересоваться условиями, при которых она сведется к одноточечной. Начнем с того, как реально можно измерить корреляции в двух точках, например, в течении в трубе. Можно предположить, что у нас есть анемометр, который измеряет все три скалярных компонента флуктуирующей скорости в одной точке x. Если у нас есть второй такой анемометр в точке x′, то в принципе мы должны перемножить все пары сигналов и усреднить полученное произведение, чтобы получить девять скалярных компонентов корреляционного тензора Qαβ, который определяется соотношением

Qбв (x, x′; t , t ′) = uб (x, t ) uв (x′, t ′)

,

(57)

Каждый компонент корреляционного тензора сам по себе является функцией восьми скалярных переменных. Поэтому мы прежде, чем начнем создавать множество данных, попытаемся аккуратно рассмотреть вопрос о том, как можно решить такую задачу наиболее систематическим образом. В своей существенной части корреляции скорости, как можно ожидать, зависят от двух вещей. Во-первых, если мы достаточно далеко раздвигаем точки, в которых производится измерение, то можем ожидать, что корреляция исчезает. Таким образом, корреляция будет зависеть от расстояния между измеряемыми точками. Во-вторых, величина корреляций должна, при фиксированном расстоянии между точками, зависеть от абсолютных величин компонентов скорости. Если мы обратимся к экспериментальным результатам, относящимся к сдвиговым течениям (например, рис. 5), то увидим, что величины корреляции, при заданном расстоянии между точками, зависят от расстояния до оси трубы. На практике очень хорошим способом решения этой задачи является жесткое закрепление двух анемометров с помощью устройства, которое позволяет менять расстояние между ними контролируемым образом. Кроме того, сама эта система закрепляется на втором аналогичном устройстве, которое позволяет менять положение пары как целого в трубе, так что влияние изменения расстояния между датчиками можно исследовать в каждой точке независимым образом. Формально эта процедура соответствует замене переменных, т. е. мы представляем двухточечную корреляцию в виде функции переменных R = ( x + x′) / 2 , r = x − x′ ,

(58) (59)

где R – это координаты центра (или абсолютные координаты), а r – разностные координаты (или относительные координаты). Аналогичное преобразование может быть выполнено для переменных по времени t и t′, при этом получим

Qбв ( x, x′; t , t ′) = Qбв (r, R , ф, T )

,

(60)

где

T = (t + t ′) / 2 ,

(61)

ф = (t − t ′) .

(62)

Ясно, что если положить x = x′ в выражении (60), то получим одноточечную корреляцию, которой мы интересовались в наших предыдущих рассмотрениях, где она встречалась как напряжение Рейнольдса. В этом случае ее зависимость от абсолютного положения точки является важным свойством. Однако если мы хотим достигнуть фундаментального понимания турбулентности, то нам необходимо сосредоточиться на том, как корреляции зависят от относительных координат. Понятно, что нам хотелось бы установить, где турбулентность является чисто детерминистическим процессом (т. е. ламинарным течением), а где полностью случайным (т. е. таким, как подбрасывание монеты или бросание костей). Ранее мы видели, как могут упроститься статистические уравнения, полученные с помощью усреднения уравнений Навье–Стокса, при описании течения в канале. Для того чтобы исследовать физику турбулентности, нам необходимо сосредоточиться на простейшей нетривиальной задаче, и давно признано, что такой задачей является однородная изотропная турбулентность. Мы начнем с краткого обсуждения двух подходов. Следует заметить, что в этом пункте переменные по времени нас не интересуют, поэтому выкладки будут выглядеть проще, если эти переменные не указывать явно. Термин «однородность» в действительности есть сокращение от «пространственной однородности» и означает независимость средних величин от абсолютных координат для заданного направления. Так, течение в канале, рассмотренное ранее, по предположению однородно по координатам x1 и x3. Однако неопределенный термин «однородность» обычно применим к полям, которые являются трансляционно инвариантными во всех трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. тот случай, который мы здесь рассматриваем. Наиболее важное применение этого ограничения состоит в том, что выражение (60) можно записать как функцию только от относительных координат, т. е.

uб (x) uв (x′) = Qбв (x − x′) = Qбв (r )

,

(63)

и аналогично для моментов более высокого порядка. Кроме того, корреляция не должна зависеть от замены x на x′, т. е. является симметричной функцией r: Qбв (r ) = Qвб (−r )

.

(64)

Дополнительное ограничение, связанное с изотропией, определяется независимостью от направления. Формально это означает, что все моменты скорости инвариантны относительно вращения системы координат и относительно отражений от координатных плоскостей. Принципиальным моментом является также требование дополнительной симметрии: Qбв (r ) = Qвб (r ) (65) Можно вывести дальнейшие следствия из изотропии при первом рассмотрении одноточечных моментов. Можно показать, что все недиагональные элементы одноточечного корреляционного тензора равны нулю, т. е. u1u2 = u2u3 = u3u1 = 0 ,

а диагональные элементы все равны

(66)

u1

2

= u2

2

= u3

2

= u2

,

(67)

где 〈 u2〉 – средний квадрат флуктуационной скорости в некотором направлении. Отсюда следует, что одноточечный изотропный корреляционный тензор может быть записан как Qбв (0) = (2 E / 3)дбв

,

(68)

где E – кинетическая энергия турбулентных флуктуаций на единицу массы жидкости, а δij – символ Кронекера. Таким образом, одноточечный корреляционный тензор может быть выражен через одну скалярную константу. Как мы увидим далее, двухточечный корреляционный тензор может быть также сведен к одному скаляру, который в данном случае является уже функцией расстояния между x и x′. Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько реализуемо представление об изотропной турбулентности. Возвращаясь назад к результатам, относящимся к течению в трубе как типичному примеру, из рис. 4 можно видеть, что среднеквадратичные компоненты скорости сильно отличаются друг от друга, следовательно, соотношение (67) не выполняется. Подобным же образом рис. 5 показывает, что 〈 u1 u2〉 не равно нулю, за исключением оси симметрии трубы, следовательно, соотношение (66) не выполняется также. Отсюда ясно, что течение в трубе крайне анизотропно и это относится к большинству течений, так как наличие границ и наложенного извне градиента давления неизбежно приводит к выделению предпочтительного направления. Все это убеждает нас, что изотропные турбулентные течения надо искать там, где имеются большие физические объемы газа или жидкости с заметной областью, удаленной от границ. Очевидным примером являются геофизические течения, наблюдаемые в атмосфере или океане. В противоположном случае течений, наблюдаемых в лабораторных условиях, можно рассмотреть другой предел и сосредоточиться на вихрях малого размера, относительно которых можно надеяться, что они не подвержены влиянию твердых границ. Этого можно достигнуть, поддерживая расстояние между измеряемыми точками малым по сравнению с масштабами длины, на которых заметна неоднородность – так называемая «локальная изотропия». Оба подхода могут приводить к очень хорошей аппроксимации изотропной турбулентности. Однако развитию предмета сильно способствовало изобретение искусственного вида турбулентности. Это турбулентность, сгенерированная решеткой. Для краткости мы будем ее называть «решеточная турбулентность». Она может быть создана в лабораторных условиях следующим образом. Предположим, что воздух, текущий в аэродинамической трубе, проходит через ячейки решетки. Физическая ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, такова, что пограничные слои на стенках трубы тонкие, поэтому большая часть потока представляет собой потенциальное ядро (другими словами, течение в аэродинамической трубе соответствует входной области течения в трубе). В этих условиях вихревая дорожка генерируется каждым стержнем, из которых сделана решетка, и при условии точного подбора параметров решетки многочисленные дорожки сливаются вместе вниз по течению, создавая турбулентное поле. Эксперимент показал, что такие поля являются приближенно изотропными (см. [Голдстейн, 1938], с. 228–229). К сожалению, решеточная турбулентность не может быть полностью однородной, так как она затухает в направлении движения жидкости. Тем не менее, переходя в систему координат, движущуюся вместе с жидкостью, можно сделать турбулентность математически эквивалентной изотропной турбулентности, которая свободно затухает во времени. Если движение происходит вдоль оси x1, то вышесказанного можно добиться, введя преобразование

t = x1 / U ∞ ,

(69)

где t – переменная, описывающая затухание во времени. На практике получено, что ранние стадии затухания могут сильно зависеть от конструкции решетки, создающей турбулентность. Это не так уж и удивительно, но можно ожидать, что достаточно далеко от решетки вниз по течению турбулентность будет независима от способа ее

генерации и примет универсальный вид, подчиняющийся только уравнению движения. Эксперименты подтверждают это. Возвращаясь к двухточечным корреляциям, напомним, что можно свести девять скалярных функций, которые (в принципе) необходимо знать, к одной. Общий метод, который позволяет это сделать, был предложен Робертсоном (1940) и основывается на том, что изотропный тензор может быть выражен через инварианты группы вращения. Здесь мы изложим только наиболее интересные моменты. Робертсон показал, что изотропная двухточечная корреляция может быть записана в виде Qбв (r ) = A(r )rб rв + B (r )д бв

,

(70)

где A и B – четные функции от r = |r|. Заметим, что этот результат сводится к соответствующему одноточечному, если положить r нулю. Хотя выражение (70) удовлетворяет всем требуемым симметриям, мы можем еще привлечь уравнение неразрывности для установления связи функций A и B. Однако сначала мы выразим эти функции через продольный и поперечный корреляционные коэффициенты. Это может быть сделано следующим образом. Введем две точки и направление от точки к точке, т. е. вектор, соединяющий эти две точки. В декартовой системе координат три отличных от нуля коэффициента корреляции равны друг другу. Если основываться на системе координат, связанной с двумя точками, то существует два других коэффициента. Корреляция может вычисляться вдоль направления между точками по скорости, параллельной r, или по поперечным компонентам uT, которые перпендикулярны r. Во втором случае возможно вычисление двух одинаковых корреляций. Продольный и поперечный коэффициенты корреляции f и g можно ввести с помощью соотношений u 2 f (r ) = uL (x) u L (x′)

,

(71)

g (r ) = uT (x) uT (x′)

,

(72)

u

2

где f(r) и g(r) – четные дифференцируемые функции r, удовлетворяющие условию f(0) = g(0) = 1, а также f′(0) = g′(0) = 0. Мы должны также потребовать, чтобы x = x′ + r.. Можно связать f(r) и g(r) с коэффициентами A и B в (70), рассматривая специальный случай, когда r направлен вдоль x1. То есть x = 0, а r = (r1, 0, 0). Тогда, полагая α = β = 1 в (70), получим Q11 (r ) = Ar 2 + B = u 2 f (r )

, (73) где последний шаг следует из (71). Аналогично можно положить α = β = 2 в (70), при этом получим Q22 (r ) = B = u 2 g (r )

.

(74)

Очевидно, (74) дает нам связь коэффициента B с g(r), и если мы подставим этот результат в (73), то легко получим связь A с f(r) и g(r). Тогда уравнение (70) может быть записано в виде Qбв ( r ) = u 2

( f (r ) − g (r ) ) rб rв / r 2 +

+ u 2 g (r )дбв

(75)

Наш последний шаг состоит в исключении функции g(r), связав ее с функцией f(r). Мы сделаем это, продифференцировав соотношение (75) по rα и привлекая уравнение неразрывности. После простых выкладок и небольшой перегруппировки членов легко находим, что двухточечная изотропная корреляция может быть выражена через одну скалярную функцию следующим образом:

Qбв ( r ) = u 2

( f (r ) + rf ′(r ) / 2 ) дбв −

− u 2 f ′( r ) rб rв / 2r 2

,

(76)

где штрих означает дифференцирование по r. Для частного случая r = 0 можно заметить, что

∑Q

бб

(0) = u 2 Tr(д бв ) = 3 u 2 = 2 E

б

(77)

где Tr – след, т. е. сумма диагональных элементов матрицы. Два важных масштаба можно определить с помощью продольного корреляционного коэффициента f(r). Первый – это микромасштаб Тейлора λ. Это дифференциальный масштаб длины и его можно получить следующим образом. Предположим, что мы разложили функцию f(r) в ряд в точке r = 0. Тогда требуя, чтобы f(r) была симметричной функцией от r, т. е. f′(0) = 0, можно написать

f (r ) = 1 − r 2 / 2л 2 + O(r 4 ) , 1/ л = − f ′′(0) , 2

(78) (79)

т. е. мы определили микромасштаб, аппроксимируя параболой корреляционную функцию в области малых r. Продольный интегральный масштаб L определяется выражением ∞

L = ∫ f ( r )dr 0

(80)

Можно проиллюстрировать физический смысл L (хотя и не строго), придавая экспоненциальный вид корреляционной функции. (На практике этот вид может быть очень хорошей аппроксимацией, хотя ясно, что он непригоден в точке r = 0, где мы требуем выполнения условия f′(0) = 0 из соображений симметрии.) Исключительно для этой цели рассмотрим f(r) = = exp(–b r), где b – некоторый параметр с размерностью обратной длины. Подставляя это выражение в (80), легко найдем, что L = 1/b. Другими словами, если корреляция была экспоненциальной по виду, то интегральный масштаб – это длина, на которой корреляция изменяется от 1 до 1/e. Турбулентность – это существенно нестационарное явление. Тем не менее, можно отличать ситуации, когда средняя скорость зависит от времени, от ситуаций, когда зависимость от времени отсутствует. Например, каждодневным образчиком этого является ситуация, когда мы пользуемся трубой для стока воды, соединенной с краном. Теперь представим, что мы открываем и закрываем кран. Во время этих манипуляций средняя скорость воды в трубе будет меняться со временем. Но если допустить, что внешние факторы (установка крана, регулировка сопла или окружающие условия) будут постоянны, то очевидно, что средняя скорость воды будет также постоянна – условие, которое мы ранее назвали «стационарное среднее течение». Распространение этой идеи на многовременные моменты дает нам представление о стационарности. Формально величина uα(x, t) есть стационарная случайная величина, если связанное с ней распределение вероятностей зависит только от разности моментов времени, входящих в ее определение, но не от их абсолютных величин. В качестве примера рассмотрим двухточечную корреляцию. Временно опуская зависимость от пространственных координат и тензорные индексы, получим из соотношений (57) и (60): u (t ) u (t ′) = Q (ф, T ) ,

(81)

где τ и T – соответственно относительное и абсолютное времена. Тогда, если u(t) – стационарная случайная функция, соотношение (81) примет вид u (t ) u (t ′) = Q (ф) = Q(t − t ′) ,

(82)

причем

Q( t − t ′ ) = Q( t ′ − t ) .

(83)

Таким образом, стационарность – это однородность во времени. Использование Фурье-анализа приводит к трем главным выигрышам. Он сводит дифференциальный оператор к мультипликативному, дает относительно простую картину турбулентности и позволяет определить число степеней свободы турбулентной системы. Мы начнем рассмотрение с турбулентной жидкости, занимающей куб со стороной L. Поле скорости (или какая-либо другая динамическая переменная) может быть разложено в ряд Фурье следующим образом uб ( x, t ) = ∑ uб (k , t ) exp(ik ⋅ x) k

,

(84)

где волновой вектор k определен соотношением k = (2р / L )( n1 , n2 , n3 ) ,

(85)

а n1, n2 и n3 – целые числа, по каждому из которых суммирование проводится от минус до плюс бесконечности. Надо заметить, что нами используются одинаковые обозначения для полей, независимо от того, является ли это поле физической скоростью или ее Фурье-образом. Несмотря на то, что в математических монографиях используются другие обозначения, обозначения, принятые ниже, являются обычными в работах подобного рода. Путаницы при этом не происходит, наоборот, очень удобно представлять величину uα(k, t) как поле скорости в пространстве волновых чисел. Мы начнем с преобразования уравнения неразрывности, так как это позволит нам довольно легко сдвинуться с места. Поскольку мы ограничиваемся изотропными полями с нулевым средним, то соотношение (15) можно упростить U б ( x , t ) = u б ( x, t ) .

(86)

Тогда, подставляя (84) в (2) и проводя дифференцирование, получим

∑ (ik )u (k , t ) exp(ik ⋅ x) = 0 в

в

. (87) Это соотношение должно выполняться для всех exp(ik⋅x). Поэтому уравнение неразрывности принимает вид k

kв uв (k , t ) = 0

,

(88)

т. е. векторы u(k) и k взаимно ортогональны. Займемся теперь преобразованием уравнения Навье–Стокса. При этом придется представить поле давления тоже в виде ряда Фурье, коэффициенты ряда обозначим через p(k) по аналогии с полем скорости. После этого надо подставить выражения для скорости и давления, записанные через Фурье-компоненты, в уравнение (5). Мы получим требуемую форму, учтя следующие моменты:

• • Каждая производная по пространственным переменным заменяется при переходе к пространству волновых чисел на соответствующий компонент волнового вектора мультипликативно. • • Нелинейный член является произведением в физическом пространстве, поэтому, согласно теореме о свертке, он должен перейти в свертку в пространстве волновых чисел. В соответствии с этим, представляя переменную суммирования в свертке через j, можно записать преобразованное уравнение Навье–Стокса следующим образом:

(∂ / ∂ t + нk 2 )uб (k , t ) =

= −ikб p(k ) − ikв ∑ uв ( j, t )uб (k − j, t ) j

.

(89)

Здесь и далее полагается, что ρ = 1 (так как жидкость несжимаемая). Следует заметить, что нелинейный член после преобразования Фурье представляет взаимодействие мод c волновыми векторами j с модами c волновыми векторами j – k, в результате которого образуются моды с векторами k. Это явление известно как нелинейное смешение. Оно лежит в основе хаотического поведения жидкости. Уравнения (88) и (89) вместе определяют две неизвестных величины: скорость и давление. Можно исключить одно уравнение и одну неизвестную величину и тем самым получить соленоидальное уравнение Навье–Стокса в виде, который является отправной точкой во многих современных теориях турбулентности. Мы сделаем это следующим образом. Умножим каждый член в уравнении (89) на kα и просуммируем по α. Из уравнения неразрывности в форме (88) немедленно следует, что оба члена в левой части уравнения исчезают. Поэтому, перегруппировав оставшиеся члены, можно записать давление в виде

p(k ) = −kб kв k −2 ∑ uв ( j, t )uб (k − j, t ) j

.

(90)

Ранее мы отмечали, что давление в действительности является нелинейной величиной, оправдание этому теперь очевидно. Продолжая процедуру вывода, подставим выражение (90) для давления в уравнение Навье–Стокса, замечая, что индекс α теперь является немым и может быть заменен на индекс γ, чтобы устранить путаницу с обозначениями, возникшую в уравнении (89). Кроме того, используя свойства символа Кронекера, получим окончательно (∂ / ∂ t + нk 2 )uб (k , t ) =

= M бвг (k )∑ uв ( j, t )uб (k − j, t ) j

где

,

M бвг (k ) = (2i)−1 ( kв Dбг (k ) + kг Dбв (k ) ) Dбв (k ) = д бв − kб kв / k . 2

(91) ,

(92) (93)

Отметим, что нами использована инвариантность нелинейного члена по отношению к замене волновых векторов и индексов для того, чтобы записать правую часть уравнения (91) в симметричном виде, в котором используется оператор инерциального переноса (92). Легко проверить, что решение уравнения (91), если оно удовлетворяет уравнению неразрывности (88) в начальный момент времени, будет решением во все последующие моменты времени. Умножая каждую часть уравнения на kα, легко обнаруживаем, что левая часть уравнения, благодаря соотношению (88), исчезает. Правая часть уравнения (91) тоже исчезает, что является следствием важного свойства оператора Dαβ(k): kб Dбв (k ) = 0

.

(94)

Для того, чтобы развить формализм, основанный на уравнении (91), мы должны знать коечто об общих свойствах иерархии моментов в пространстве волновых чисел. Мы начнем с рассмотрения свойства однородности, которое в конфигурационном пространстве x означает инвариантность по отношению к сдвигам. Временно опуская зависимость от времени, запишем выражение для коэффициентов Фурье в выражении (84) следующим образом uб (k ) = (1/ L)3 ∫ uб (x) exp(−ik ⋅ x)dx

,

(95)

из которого следует, что двухточечная корреляция в k-пространстве может быть связана с соответствующей величиной в x-пространстве соотношением uб (k )uв (k ′) = = (1/ L)6 ∫∫ dxdx′ uб (x)uв (x′) exp(−ik ⋅ x − ik ′ ⋅ x′) = = (1/ L)6 ∫∫ dxdx′ uб (x)uв (x − r ) × exp(−i (k + k ′) ⋅ x)exp(ik ′ ⋅ r )

(96)

Теперь мы воспользуемся свойством инвариантности в виде

uб (x)uв (x − r ) = uб (0)uв (r )

,

и соотношение (98) можно переписать в виде uб (k )uв (k ′) = = (1/ L)6 ∫∫ dxdr uб (0)uв (r ) × exp(−i (k + k ′) ⋅ x) exp(ik ′ ⋅ r )

(97)

На этом шаге можно выполнить интегрирование по x, поэтому с учетом (1/ L)3 ∫ dx exp(−i (k + k ′) ⋅ x) = дk + k ′, 0 корреляция в пространстве волновых чисел примет вид uб (k )uв (k ′) = = дk + k ′,0 (1/ L)3 ∫ drQбв ( r ) exp(ik ′ ⋅ r )

.

(98)

Таким образом, если мы находим корреляцию двух различных мод k и k′, то получим неисчезающий вклад только при условии k + k′ = 0. Аналогично можно показать, что для моментов третьего порядка

uб (k ) uв ( j) uг (l ) = 0, k + j + l ≠ 0

(99) и, в общем случае, свойство однородности для момента произвольного порядка означает, что он равен нулю, если сумма волновых векторов, его определяющих, не равна нулю. Наконец, для того, чтобы получить предел системы с бесконечным объемом, мы определим тензор корреляции в пространстве волновых чисел следующим образом:

Qбв (k ) = ( L / 2р)3 uб (k )uв (−k ) и

(100)

Qбвг (k , j) = ( L / 2р)6 uб (k )uв ( j)uг (−k − j)

.

(101)

Ясно, что эта процедура может быть индуктивно продолжена в направлении определения тензоров произвольного порядка. Ранее было дано короткое введение в приложение теории инвариантов Робертсона (1940) к тензору изотропных корреляций в конфигурационном пространстве. Тот же метод может быть применен к тензору изотропного спектра (например, [Бэтчелор, 1971]), который существенно проще использовать в пространстве волновых чисел, хотя здесь мы только приведем окончательные результаты. Применяя те же рассуждения, что и ранее, получим результат, аналогичный уравнению (70), удовлетворяющий всем требованиям симметрии. Кроме того, используя уравнение неразрывности для исключения одного из скаляров, получим требуемый общий вид: Qбв (k ; t , t ′) = Dбв (k )Q( k ; t , t ′)

.

(102)

Для случая одновременных корреляций: Q ( k ; t , t ′) = Q ( k ; t ) .

(103)

Для случая, когда корреляции не зависят от времени: Q (k ; 0) = q (k ) .

(104)

Из выражения (102) следует, что описанный выше вид изотропного спектра удовлетворяет условию неразрывности kα Qαβ(k) = 0 для произвольного q(k). Эта процедура может быть распространена на моменты более высокого порядка, но поскольку нас интересует замыкание на уровне вторых моментов, мы не будем это делать, упомянув для полноты результат Орзага (1969), который рассмотрел общую проблему представления изотропного момента произвольного порядка с помощью скалярных функций. Рассмотрим физическую интерпретацию функции q(k) и попытаемся оправдать название тензора Qαβ(k) «спектральный». Для начала вычислим след тензора Qαβ(k), используя выражение (102): Tr(Qбв ) = Tr(Dбв q(k )) = 2q(k )

.

(105)

Теперь можно связать Tr(Qαβ(k)) с энергией E на единицу массы жидкости следующим образом. Из соотношения (68) получим 2 E = 3 u 2 = Tr ( Qбв (r ) )

∞

r =0

= ∫ E (k ) dk 0

,

(106)

где необходимое интегрирование по углам легко выполняется. В этом выражении E(k)dk – это вклад в полную энергию от гармонических компонентов с волновыми векторами, лежащими в спектральном интервале между k и k + dk:

E (k ) = 4рk 2 q(k ) .

(107)

Обычно величина E(k) называется «волновым спектром». Более формально эта величина представляет распределение энергии по волновым числам (или по угловым пространственным частотам), поэтому, в силу предыдущего соотношения, можно интерпретировать величину q(k) как плотность вкладов в полную энергию в пространстве волновых чисел. Поэтому мы будем называть ее спектральной плотностью.

Мы обсудили трехмерный энергетический спектр, который является ключевым понятием в турбулентности, однако на практике бывает более удобным измерять частотный спектр одной флуктуирующей скорости в продольном направлении. Фактически огромный массив экспериментальных данных представляет из себя спектры этого вида, поэтому нам нужно рассмотреть задачу о том, как связать измеренные спектры с теоретическими. Как обычно, мы рассматриваем движение жидкости в направлении x1, а анемометр расположен в одной точке для измерения флуктуаций скорости u1. Если сигнал анемометра пропустить через спектральный анализатор, то флуктуации скорости будут разложены на гармоники по (угловой) частоте ω. Затем, если выходной сигнал возвести в квадрат и усреднить, то результирующий спектр E11(ω) с необходимостью обладает следующим свойством ∞

u12 = ∫ E11 (щ)dщ 0

.

(108)

Возможность выразить частотный спектр через волновой связана всецело с гипотезой «замороженной конвекции» [Тейлор, 1938]. Тейлор предположил, что изменения u1 во времени в фиксированной точке обусловлены прохождением замороженной турбулентной структуры при условии, что средняя (набегающая) скорость, содержащая турбулентные вихри, значительно больше турбулентных флуктуаций, т. е. можно связать поле скорости в разные моменты времени преобразованием u1 ( x1 , t ) = u1 ( x1 − U1t , 0) ,

и, следовательно, локальная производная по времени в точке может быть заменена на конвективную производную при условии u′ >(k) отводит энергию из всех явных масштабов способом, который согласуется с идеей вихревой вязкости. 2. T>>(k) могут быть определены >< по T (k) и T>>(k) для заданного спектра энергии E(k). Это делается с помощью соотношений

н>> (k ) = −T >> (k ) / 2k 2 E (k ) ,

ν >< (k ) = −T >< (k ) / 2k 2 E (k ) . При этом было получено, что квадратичный вклад ν>>(k) (несмотря на его различное определение) ведет себя как соответствующая вихревая вязкость из итеративного усреднения. Наоборот, качественно наиболее важная черта величины ν>