Алгебра, и логика, 39, N 2 (2000), 145-169
УДК 510.67:512.57
П Р И М И Т И В Н О С В Я З Н Ы Е ТЕОРИИ*)
Е, А. П А Л Ю...
7 downloads
159 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра, и логика, 39, N 2 (2000), 145-169
УДК 510.67:512.57
П Р И М И Т И В Н О С В Я З Н Ы Е ТЕОРИИ*)
Е, А. П А Л Ю Т И Н Юрию Леонидовичу Ершову, многому меня
научившему,
в связи с его 60-летием
Введение
Цель настоящей работы — доказать теорему об элиминации кванто ров для так называемых примитивно связных теорий. Примерами таких теорий служат теории модулей. Данная теорема обобщает хорошо извест ную теорему Баура—Гараваглиа—Монка (см. [1]) об элиминации кванторов в теории моделей модулей. Отметим, что определение класса примитив но связных теорий не содержит, в отличие от модулей, каких-либо усло вий относительно вида аксиом, задающих эти теории. В [2, 3] приведена аналогичная теорема для так называемых коммутативных теорий. Класс примитивно связных теорий содержится в классе коммутативных теорий, но коммутативные теории, в отличие от примитивно связных, не допус кают полной элиминации кванторов до примитивных формул (необходи мо добавление произвольных 1-местных формул). Упомянем работу [4], в которой рассматриваются так называемые аддитивные теории. Как и примитивно связанные, они обобщают теории модулей и являются част ным случаем примитивно связных теорий. Отметим, что доказательство основной теоремы для аддитивных теорий значительно проще. *'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00600.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
146
Е. А. Палютин Пусть Т — полная теория первого порядка языка L. Никаких ограни
чений на мощность языка L мы не предполагаем. Как обычно, фиксируем некоторую достаточно насыщенную модель Q теории Т с носителем С Все рассматриваемые элементы и множества берутся из С. Кортежи (п-ки) элементов (ai,...,a n ) и переменных (х\, ...,х п ) будут обозначаться соот ветственно а и х. Если s — кортеж элементов или переменных, то через /(s) обозначаем его длину. Вместо 6 1= Ф(а) будем использовать просто выражение Ф(а). Вместо а € Сп пишем а € С. Формулы вида Зз1...Эа: п (ФоЛ...ЛФ*.), где Ф,, г ^ fc, — атомарные формулы, называются позитивно ными; для краткости будем называть их
примитив
примитивными.
Если а — кортеж элементов из 6, то через tp+(a) будем обозначать множество всех примитивных формул Ф(х), истинных в С на кортеже а. Эквивалентность а на некотором множестве X п-ок элементов из С, определенная в С с помощью некоторой примитивной формулы Ф(х 1 ,х 2 ), называется примитивной эквивалентностью. Область определения X та кой эквивалентности а задается в С примитивной формулой Ф(х, х) и обо значается через dom а. Обычно а отождествляют с Ф и используют выра жение Qf(xL,x2) вместо Ф(х*,х 2 ). Если Ф(х,у) — примитивная формула, а — кортеж элементов, 1(a) = = /(у), то через Ф(С,а) обозначается множество всех кортежей элемен тов из С, на которых в С выполняется формула Ф(х,а). Такие множе ства называются примитивными.
Говорят, что примитивное множество
X 0-определимо, если X = Ф(С) для некоторой примитивной формулы Ф(х). Если Ф(х,у) — примитивная формула, a, b — n-ки из С и /(a) = = /(b) == /(у), то множества Ф(С,а) и Ф(6,Ь) называются
примитивными
копиями. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория Т называется примитивно
нормальной,
если для любых примитивных копий X, У выполняется X = Y или X П ПУ = 0.
Примитивно связные теории
147
В случае модуля М над ассоциативным кольцом R примитивные ко пии являются классами смежности некоторой подгруппы, поэтому теории модулей примитивно нормальны. Примитивно нормальной будет также теория системы А, если теория ее декартовой степени Аш стабильна. Если Ф(х, у) — примитивная формула, то через хФ обозначается формула Зу(Ф(х 1 ,у) Л Ф(х 2 ,у)). Если теория Т примитивно нормальна, то формула (хФ)(х 1 ,х 2 ) определяет в С эквивалентность, областью опре деления которой является множество ЗуФ(С,у), а ее классами будут все непустые множества вида Ф(С, а), где а — набор элементов из С. Поэтому непустое примитивное множество X является классом некоторой прими тивной эквивалентности а — назовем ее носителем множества X. Непу стые примитивные множества Х1 Y тогда и только тогда будут прими тивными копиями, когда они имеют общий носитель а, который назовем свидетелем копий X , Y. Множество X называется А-примитивным,
если существует такое
семейство 5 примитивных множеств, что
X =
f){Y\Y€S}.
Эквивалентность а называется А-примитивной,
если существует та
кое множество Е примитивных эквивалентностей, что
Ясно, что область определения doma Д-примитивной эквивалент ности а является 0-определимым Д-примитивным множеством и любое непустое Д-примитивное множество X будет классом некоторой Д-при митивной эквивалентности а, назовем ее носителем X . Пусть а — эквивалентность, X — некоторое множество. Будем гово рить, что X является а-замкнутым,
если аа С X при любом а 6 (X П
d o m a ) . Через а \ X обозначается ограничение (аПХ2)
эквивалентности
а на множество X. Через Х/а обозначаем множество {(а \ X)a | a 6 X}. Непустое множество X называется обобщенно примитивным множеством),
(о. п.
если существуют такое Д-примитивное множество X* и
148
Е. А. Палютин
такая примитивная эквивалентность а, что X* С dom а и X = Х*/а.
При
этом X* называется основой, а а — образующей эквивалентностью
мно
жества -X". Носитель основы X* о. п. множества -X" назовем носителем
X.
Отождествляя одноэлементное множество {а} с элементом а, будем счи тать, что Д-примитивные множества являются обобщенно примитивными. Классы X и У одной Д-примитивной эквивалентности а назовем /^-примитивными
копиями, а а — свидетелем копий X и У.
О. п. множества X и У называются обобщенно примитивными
ко
пиями (о. п. копиями), если у них имеется общая образующая эквивалент ность, а основы X* и У* являются копиями. Свидетель Д-примитивных копий X* и У* называется свидетелем о. п. копий Jf и У. Пусть а — Д-примитивная эквивалентность, /3 — примитивная экви валентность, dom а С dom/З. Эквивалентность на множестве (doma)/(/3fl Па), определенную эквивалентностью а, назовем обобщенно примитивной эквивалентностью
(о. п. эквивалентностью) и обозначим через а//3.
Формула Ф(х,у,г) называется (х,у)-рефлексивной, если /(х) = /(у) и выполняется Г Ь (Ф(х, у , s) -» (3»Ф(х,х,z) Л ЗгФ(у, у , z))).
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Нетрудно проверить, что если теория Т примитив но нормальна и (х, у)-рефлексивная формула Ф(х,у) содержит свободно только переменные из кортежей х, у, то она определяет эквивалентность, ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть о. п. множества X, У — о. п. копии, а — их образующая эквивалентность. 1) Будем говорить, чтоX связано cY с помощью
формулыФ(х,у,z),
если существует кортеж элементов с и выполняются следующие условия: (a) для любых a 1 G -X"* и b 1 G У* существуют такие а 2 £ X* и Ь 2 € У*, что в С истинны Ф(а х ,Ь 2 ,с) и Ф(а 2 ,Ь 1 ,с); (b) для любого а Е X* множество Ф(а, С, с) является (а \ У*)-замкнутым и не содержит У*; (c) для любого b G У множество Ф(С, Ь,с) является (а \ Х*)-замкнутым и не содержит -X"*.
149
Примитивно связные теории
2) Будем говорить, что X примитивно связано с У, если существует (х,у)-рефлексивная формула (x,y,z) такая, что X связано с У с помо щью формулы 1, Ф задает на Y/s аффинное сложение и V содержит ся в некотором £>классе. Поскольку элемент а свободен, то X* С dom£. По примитивной связности теории Г, лемме 1.5 и теореме компактности су ществуют такие примитивные формулы Фо> -, Ф*» ч т о ДОЯ любого b E X* найдется г ^ к такой, что множества Y/s и тЪ/s аддитивно или е-связаны формулой Ф,-. Поскольку а свободен в X, все предыдущие свойства имеют место при замене У на любой r-класс r b , b G X*. По замечанию после лем мы 1.4, лемме 1.6 и лемме Ноймана [9] найдутся такие j ^ к и примитив ная эквивалентность А конечного индекса т в 1 , что г С А и для любых А-эквивалентных Ь, с Е X* формула Ф^ связывает тЬ/s и тс/s. ПО лемме 1.9 существует примитивная эквивалентность /3', связывающая r b / e , rc/s для любых Ь, с € (X* П Аа) и Z П Аа содержится в некотором /З'-классе. Поскольку а свободен, по лемме 1.1 предудущие свойства /3' выполняются с заменой а на произвольный d E -X"*. Если га = 1, то в качестве /3 возьмем /3'. Доказательство завершаем индукцией по га, используя леммы 1.8, 1.9, 1.1 и тот факт, что а свободен.
§ 2. Основные леммы Л Е М М А 2.1. Пусть X, Y — о. п. копии, а — их образующая эквивалентностъ, /3 — примитивная эквивалентность, а С /3 и /3 имеет конечный индекс в X. Тогда индексы /3 в X uY
совпадают.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что лемма неверна и индекс п = [X : /3] является минимальным среди всех контрпримеров к утвер ждению леммы. Из определения примитивной связанности теории следует, что копии одноэлементного множества не более чем одноэлементны. Сле довательно, п > 1. Так как множества Х/0 и Y//3 примитивно связаны и имеют различную мощность, то найдутся их подмножества, образующие контрпример к лемме с меньшим упомянутым индексом.
159
Примитивно связные теории
Л Е М М А 2.2. Пусть X — о.п. множество, Хо, ...,^fc — глобальные в X примитивные множества, X* С |J{Xo, ...,Х*} и X*