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{200}, {110}. 1.15. '
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0.4086 / 3. !
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1.16. '
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2.
1/8,1/8,3/8
3/8,1/8,5/8
3.
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3/8,7/8,5/8
4.
5/8,7/8,3/8
3/8,7/8,5/8
5.
5/8,5/8,1/8
7/8,5/8,3/8
6.
1/8,1/8,1/8
5/8,1/8,5/8
7.
7/8,5/8,3/8
5/8,3/8,7/8
8.
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3/8,7/8,5/8
9.
3/4,3/4,1/4
7/8,7/8,1/8
10.
3/4,1/4,3/4
5/8,3/8,7/8
11.
1, 0, 0
1/2, 2, 1/2
12.
1, 0, 0
1, 1, 0
1.19. 1
(
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[111]; ) [011]
[101]; )
[111]. 1.20. !
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1
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2.
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3.
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4.
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5.
1/8,5/8,5/8
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6.
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7.
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3/8,1/8,3/8
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10.
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11.
7/8,5/8,3/8
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12.
5/8,3/8,7/8
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1.23. 1
(001)
(
(221)
.
1.24. !
),
)
(100), (110)
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(111)
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( 1.25. (111), (110)
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* (100)
0
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.
1.26. -
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*
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( 1
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(
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(0,1/2,1/2); D(1,1,1/2).
1.27. -
(010)
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1.28. ' ) In-P
,
)
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(011)
%
.
1.29. '
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,
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.
)
1.30. -
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(
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( 1.31.
.
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(101)
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( 1.33.
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n
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.
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,
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1.36.
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n
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) ,
n.
30
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1.39.
,
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,
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,
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2-
*
,
+ 1.40. 4
) .
(
)
74,5°; 57°; 36°. 1
.
. 1.41.
Z
(
,
*
C'
O
,
)
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p,q,r -
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%
B'
,
(
.
.1.11).
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" .1.11. 1.42. '
(
& ,
% : A(x1,y1,z1),
(
B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3).
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,
(
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.
(
.
.
1.44. '
,
(
( d=a/(h2+k2+l2)1/2,
hkl
( -
.
1.45. $
.
*+
(h1 k1 l1)
*
&
(h2 k2 l2). 1
,
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.
1.46. &
.
.
& 1.43.
(
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2.
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2.1. "
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" (
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n
n+1 x
0
x x n-1
xn
x n+1
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,
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(
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x
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-)* M
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n-
%
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(2.1)
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,
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*+
n+1
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&
%
%
F2 = -β(xn - xn+1).
(2.2)
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)
.
(2.1) (2.2),
'
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= β(x n +1 − 2 x n + x n −1 )
dt 2
(2.3)
(2.3)
6
xn = A⋅exp[i(ωt+kna)],
(2.4)
; ω -
# -
; k , |k|=2π/λ); (kna) -
-
k
% (i2 = -1).
% na; i – ,
' ,
(
n-* .'
%
ω,
. .
(2.4) (2.3)
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(2.5)
(2.5), ,
,
)
) ω=
,
%
%
%
k∼1/λ)
(
(
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* (
(2.5)
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( 33
*+
: +k
-k. -
k
,
.
$ (2.5)
ω
,
%
k (
k(λ),
), . . .'
k=[-π/ ; π/ ].
)
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% (2.5)
+
,
(
)
(
*
ω, )
% (2.5),
*+ ,
k),
* *
(2.3)
+
(2.3).
)
%
(2.4):
(
xn = Σ Aj expi(ωjt+kjna).
"
)
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&
) .'
(2.6)
(
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)%
(
)
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%, . .
= L/N.
!
(2.7)
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(
N
)
%, n-
-
1-
n+N
% .
( )
,
xn=xn+N
Σ#expi(ωjt+kjna) = ΣAexp(i[ωjt+kj(n+N)a]). eix =cos(x) + i⋅sin(x)
(2.8) (2.8)
(
,
*+ : exp(i[ωjt+kjna]) = exp(i[ωjt+kj(n+N)a]),
cos(kjna) + isin(kjna) = cos(kjna) + isin(kjna) + cos(kjNa) + isin(kjNa).
)
, 34
(2.9)
kjNa = 2πm, m=0, +1, +2,
(2.10)
. .
'
,
)
(2.5)
k)
*
(
* )
, . .
.'
k [-π/a; π/a] ( k
,
( ) (kj+1 - kj)=2π/N ,
(2.10),
k,
(
)
2π/a,
*& )
,
)
,
(2π/ ):(2π/N ) = N.
,
3N
)
(
(
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&
,
%
./ ( ω)
& ), 1937 .). $
)
(
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* )= ω
&
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)*
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-
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(1907 .). ,
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ω.
*
& 3N
3.
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. 35
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,
(
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( ,
,
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. '
0
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&
&
,
*
U = U0 + n ω , U0-
(2.11) =0 , n -
&
'
. S,
& F
%
-
,
(
.
)
,
F=U-TS,
(
:
)
∂F ∂U ∂S = −T = 0. ∂n ∂n ∂n
$ (2.11)
(2.12)
, ∂U = ω. ∂n
3
(2.13) S
)& n
3N W= n
3
N
n
, )%
) W
)
%
*
S=kBlnW.
:
(n + 3N )! n!(3N )!
(2.14)
(2.14) ,
)
&
: ln(n!) = n⋅ln(n) - n.
(2.13)
)
,
3N>>1,
:
S = k B n ln
n + 3N n + 3N + 3N ln n 3N
∂S/∂n=k⋅ln[(n+3N)/n]
'
(2.16)
(2.13) (2.12),
(2.16) :
36
(2.15)
n 1 = 3N exp( ω / k B T ) − 1
(2.17)
(2.17)
'
(
*
. -
% (2.15),
.
' )
, &
(2.17)
-
F=U-TS,
% (2.11).
&
)
V=∂U/∂T,
CV =
0 :
(
(
ω / k B T )2 3Nk exp( ω / k B T )
[exp(
(2.18)
ω / k B T ) − 1]2
,
/ &
( ,
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.-
% ,
,
.
(
)
*+ ,
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%
&
(
*
(
) kB >> ω ). ! &
&
)
:
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(
CV=3R=3kBNA
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(R –
"
)
+ )
). (kB >kT.
* 2.18.
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.
,
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,
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2.19. " % *,
* %
(
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*
) ,
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: ∆p ⋅ ∆x ≥ h ,
∆E ⋅ ∆t ≥ h ,
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% .
$
&
,
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) .
(
)
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)
.
)
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) .
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' -
% dV
( )
. '
% * Ψ*(x,t)
*
(
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* , V
)
(
% , . . V
Ψ(x,t)
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Ψ ⋅ Ψ * dV=1.
%
0
&
) = Ψ ⋅ Ψ ∗dV .
! 0
&
&
49
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∇ 2 Ψ + U ( x ) Ψ =−
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%
)
% .
&
,
, i -
5
( (
(3.1)
% , ∇ -
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% ,U-
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-
)
(,
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-)*
)
.
( !
,
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)
)
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)
%
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(
i Ψ ( x, t )=χ( x ) exp(− E t )
/-
)
& )
,
(3.2)
. (3.2)
'
−
2
2m
(3.1) ∇ 2 χ+ Uχ=Eχ
.
(3.3)
. $
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,
$
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. " , 2
*
(
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% , % ,
*
) U=0.
.
&
,
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*
) (3.3)
%
*+
,
( ,
(3.3)
d 2χ + Eχ= 0 2m dx 2 .
!
,
⋅
(3.4)
χ -
,
-
(3.4)
) χ= exp(−
% 50
ix 2me 2
),
+
i
Ψ ( x, t ) = exp −
%
2
(Et − x 2mE )
.
(3.5)
,
)
,
%
( y= exp[i(k x − ω t )] ,
|k| =2π/λ -
(3.6)
,λ(3.5)
( E= ω,
!
, ω(3.6)
2π mV 2 m 2 V 2 p 2 . = , E= = = λ 2 2m 2m
2mE
k=
&
-
(*
.'
& -
.
-,
,
. (3.4)
$
( . "
) L≥ x ≥0. ' ,
%
)
,
U
& (
%
%
)
) χ(0)=χ(L)=0 (
, (3.4)
(
). 1 sin(kx),
)
,
cos(kx),
% . )
=0. , χ=sin(kx),
sin(kL)=0,
(
) k = nπ/L, χ=sin(kx)
'
&
n=0, ±1, ±2,....(3.4),
E=
2
2m
k
π E= 2m L
& (
.
%
, 2
2
' L
)
2
n2
.
(3.7)
/
,
*
″
) ″
*
(λ/2)
L(
3.1). 51
,
)
,
n=2
E
n=1
n=3 n=2 n=1
0
0
L
L/2
" . 3.1 ,
)
L→∞
% ,
&
(3.7)
)
% &
.
3.2. ' . 0
!
)
(
&
)
.
& 3.2.1.
. ,
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)
,
0
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. 1
(
,
)
−
3
&
2
2m
& .
0
:
&
∇ 2 Ψ =EΨ .
)
(3.8)
) ψ,
%
)
χ,
% .
) *
L -
ψ,
(*
%
,
%
ψ( r ) = ψ( L + r ), 52
*
./
* &
)
,
& '
-
L + r.
r
,
( ,
) ,
) L.
L
%
Ψ (x, y, z ) = Ψ (x + L, y + L, z + L ) ,
(3.9)
: −
2
∂ 2ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ
+ + ( ) = E ψ ( x , y, z ) . 2m ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 (3.10)
" =const, k
Ψ = C e i⋅( k⋅r ) ,
+
r
-
%
(3.10)
Ψ
,
. $
& = V,
(3.9)
(
[
)
]
exp i k x L + k y L + k z L = exp i k x (x + L) + k y ( y + L) + k z ( z + L) , kx , ky, kz -
. !
k
%
( exp(ix ) = cos x + i sin x ),
(3.11)
)
(3.11)
)
,
(
)
kz =
2π , L
cos (k x L ) = 2πn x , cos k y L = 2πn y , cos (k z L ) = 2πn z , kx =
2π , L
ky =
2π , L
nx, ny, nz = 0, ±1, ±2....- %
'
*
&
).
* (3.10)
% *
(3.12),
&
/ E=
$ (3.13) n,
&
,
(3.12)
( 2m 2
k 2x + k 2y + k 2z
)
=
2
2π 2m L
,
*+
k
%
2
(n 2x + n 2y + n 2z ) .
( .
% ,
%
53
(3.13)
n 2 = n 2x + n 2y + n 2z
%
ψ(nx, ny, nz).
(
%
)
)
,
(
. ,
)
.
*+
n2=1
(3.13),
(
)
:
)*
n x = ±1, n 2x = 1, n 2y = 0, n 2z = 0; n 2x = 0, n y = ±1, n 2y = 1, n 2z = 0;
.
n 2x = 0, n 2y = 0, n z = ±1, n 2z = 1 (
& %
%
, ψ(-1,0,0)
. -
x,
)
(
ψ(1,0,0) -
(
&
)
,
. !
(
,
( &
,
' ( .3
"
)
,
n2=1
,
)
6.
(
3.2.2.
. %
)
'
T=0 K.
&
(
. /
& )
,
:
-
+
n2=0
n
,
.' &
/=0
.
&
)c
*+
n2=1 (nx= ±1, ny=0, nz=0; nx=0, ny=±1, nz=0; nx=0, ny=0, nz=±1) . '
&
( *+
,
%
12 ,
%,
,
. 0
&
#
", 54
,
,
#
-
,
1=0 . ,
1
.! ) L
neL3 &
( )
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%
%
.!
n
nF ,&
( 4 3 πnF. / 3
W=
,
,
).
(
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ne. !
&
%
.
*+
0 )
&
(
,
4 n e L3 = 2 π n 3F . 3 $ (3.13)
, L nF = 2π nF
'
=
2
2m
, %
5 &! (
&
.
(2 m E F
1 )2 .
(3.15) (3.14), E 0F
%
(3.14)
(3.15) ,
2 3.
(3 π n ) 2
e
(3.16)
&
)
,
* 3-
3.1).
(
'
*
g(E). 0
" E+dE,
&
.'
g(E)
'
dE:
g(E ) = %
'
dI,
" E
)
)
dI . dE
(3.17) ) &
*
55
E
g ( E ) dE = I ,
(3.18)
0
I -
,
&
0
&
/. /
,
!
(
I=ne,
%
ne
%
ne
,
)
(3.16), 3 ( 2 m) 2
2π 2
3
%
%
0
* &
(3.18)
g(E) = 4
/F,
)
& &
(
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/,
%
1 E2
(3.19) .3.2.
& g(E)
E
" . 3.2
3.2.3.
. -
.
!
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0.971
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2.33
K
12
0.520
0.862
Ge
#
0.566
5.323
Cu
42
0.3597
8.96
BaO
NaCl
0.550
5.72
Ag
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0.4078
10.50
CaO
NaCl
0.4797
3.37
Be
4'
0.2283
1.848
KCl
NaCl
0.6277
1.99
Mg
4'
0.3220
1.738
MgO
NaCl
0.4203
3.58
Zn
4'
0.2657
7.133
NaCl
NaCl
0.5628
2.165
Al
42
0.404
2.689
CsCl
CsCl
(0.411)
3.97
Mo
12
0.314
10.22
CaF2
*
0.546
3.18
W
12
0.316
19.35
Cu2S
*
0.559
5.7
Ni
42
0.352
8.91
GaAs
0.566
5.35
Pt
42
0.392
21.45
ZnS
0.543
4.08
Po
'
0.335
9.32
BeS
0.485
2.36
90
3
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Cu
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(
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Zn
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Ni
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Al
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KCl
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2,28
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Cu
Ag
Al
Ni
1,03 – 1,31
0,99 – 1,16
0,66 – 0,73
1,6
%
Li
Na
Nb
Mo
0,34
0,4
2,6
2,3 – 3,24
Ge
Si
GaAs
GaP
1,9 – 2,7
2,5 – 4,5
2,3 *
2,6 *
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'
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.
0
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.
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.
Li
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Be
14,14
Al
11,63
Na
3,23 (3,2)*
Mg
7,13
Ga
10,35
K
2,12
Ca
4,68
In
8,60
Rb
1,85
Sr
3,95
Cs
1,57
Ba
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Pb
9,37
Cu
7,00
Zn
9,39
Sn
10,03
Ag
5,48
Cd
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Au
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1,35
Na
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1,3
Ga
0,596
K
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Ca
2,9
In
1,69
Rb
2,41
Sr
3,6
Cs
3,20
Ba
2,7
Pb
2,98
Cu
0,695
Zn
0,64
Sn
1,78
Ag
0,646
Cd
0,688
Au
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%
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13,5
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0,017
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0,050
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0,042
5,5
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%
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0,068
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13,2
%
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1
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0,098
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%
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