Компьютерное моделирование в экономике

Министерство образования Российской Федерации Белгородский государственный университет

Литвинов А.Л.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ Учебное пособие

Белгород 2003

ББК 65 С Л 64 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Белгородского государственного университета Рецензенты: Заведующий кафедры математических методов и информационных технологий в экономике и управлении, профессор, д.т.н. Жиляков Е.Г. Заведующий кафедры информационно-управляющих систем Национального аэрокосмического университета (ХАИ), профессор, д.т.н. Федорович О.Е.

Л 64

Литвинов А.Л. Компьютерное моделирование в экономике: Учеб. пособие. – Белгород: Изд-во БелГУ, 2003. – 108 с. В пособии рассмотрена общая методология компьютерного моделирования экономических систем, основные инструментарии компьютерного моделирования. Кратко описана система символьной компьютерной математики Maple, выбранная в качестве базовой для реализации моделей. Рассмотрены отдельные математические модели, используемые в экономике и их реализация средствами Maple. Приведены задания к практическим занятиям, образцы их решения. Предназначено для студентов экономических специальностей. ББК 65 С

© Белгородский государственный университет, 2003 2

Введение Для современного уровня развития экономической теории характерно широкое использование метода моделирования. При исследовании сложных экономических систем возникают ситуации, когда невозможно непосредственно получить знание о них или прогнозировать их поведение в будущем из-за сложности, отсутствия полной теории. В этом случае в процессе исследования можно заменить исследуемую систему (оригинал) каким-то объектом, возможно и другой природы, сходную с оригиналом по поведение или описанию (моделью). Оперируя с моделью, исследователь получает новые знания, которые переносятся на оригинал. Все современные экономические теории являются ни чем иным, как моделями функционирования экономических систем. Оригинал, модель средства оперирования с моделью могут быть самыми разнообразными. В общем случае никаких ограничений на использование метода моделирования не накладывается, кроме одного: нужно, чтобы модель позволяла переносить полученные знания на оригинал с учетом его природы. Особенность тех ситуаций, при которых используют метод моделирования, сама специфика использования моделей в познавательном процессе, позволяют сделать вывод, что использование метода моделирования возможно лишь в тех случаях, когда у исследователя уже сложились некоторые начальные теоретические представления о предмете исследования. Не зная хотя бы приблизительно некоторые свойства объектаоригинала, мы не можем подступаться к выбору модели. Моделирование является эффективным методом познания только тогда, когда проведено начальное теоретическое обобщение знаний об исследуемом объекте, когда эти знания уже систематизированы какой-то теорией. Роль модели заключается в проверки истинности этих первоначальных обобщений, в их дальнейшем развитии. В качестве модели берется объект, свойства которого исследованы достаточно полно. Только зная свойства модели и оригинала настолько, что можно установить сходство между моделью и оригиналом, приступают к дальнейшим исследованиям. При использовании метода моделирования большое значение приобретает вопрос об истинной оценки моделей. Если рассматривать модель как специфический образ познаваемого объекта, то отношения между ними сходства или несходства, а также степени сходства могут быть оценены в терминах истинности или неистинности (ложности), а также в отношении абсолютной и относительной истины. Истинность модели означает соответствие модели объекту исследования. Понятие истинности модели должно проводиться, принимая к вниманию условия, на основе которых модель того или другого типа воспроизводит исследуемое явление. Очевидно, что для разного вида моделей эти условия будут разными. 3

Процесс моделирования начинается с постановки задачи исследования, решение которой может быть получено с помощью модели. В соответствии с конкретной задачей необходимо выделить некоторые свойства и отношение, исследование которых может привести к цели. После определения предмета изучения перед исследователем возникает необходимость расширения знаний о нем. Результаты исследований объекта могут показать невозможность или большие трудность в решении поставленной задачи путем непосредственного оперирования с объектом. Чтобы преодолеть эти трудности исследователь в процессе познания создает промежуточное звено – модель. В процессе моделирования исследователь от предшествующего исследования объекта, его описания переходит к построению или выбору такого объекта, на основе изучения которого было бы возможно получить интересующие его данные об исходном объекте. Поиск модели возможен как на интуитивной основе, так и на строго логической основе. После выбора модели ее необходимо исследовать, то есть она становится объектом исследования. При этом все действия выполняются уже над моделью и направлены на получение знаний об этом объекте, на установление законов его развития, свойств и отношений. Конечным этапом моделирования является перенос полученных с помощью модели данных на оригинал. Благодаря наличию определенного соответствия элементов и отношений модели элементам и отношениям оригинала, существует возможность переноса знаний, полученных с помощью модели, на оригинал. Связь соответствующих элементов и отношений модели с элементами и отношениями оригинала устанавливаются исследователем в процессе моделирования. Эвристическое значение моделирования проявляется в том, что в результате констатации наличия ряда общих свойств у модели и оригинала, исследователь приписывает оригиналу некоторое новое свойство, обнаруженное при исследовании модели. Вся практика использования метода моделирования свидетельствует о том, что залогом успеха является не способность исследователя строить произвольные мысленные конструкции, а прежде всего в способности правильно отображать существующие связи, раскрывать объективные закономерности и на основе этого правильно предусматривать неизвестные стороны и свойства. Как никакому другому методу моделированию присуще тесное, органическое единство теории и практики. Практика в форме построению модели и модельного эксперимента выступает здесь уже не только как исходный пункт познания но прежде всего как форма развития теории. Моделирование характеризуется также такой существенной диалектической особенностью как взаимосвязь и взаимопроникновение старого и нового знаний, как движения знания от известного к неизвестного. 4

Модели экономических систем характеризуются большой размерностью и сложностью. Их исследование возможно только на компьютерах. Поэтому в последнее время интенсивно развивается компьютерное моделирование, занимающееся построением и исследованием моделей сложных систем на компьютерах. 1. ИНСТРУМЕНТАРИИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Для моделирования используются много средств. Но в экономике сформировался четко выраженный круг средств для моделирования. Во первых это мощный аппарат современной высшей математики, с помощью которого можно обрабатывать экспериментальные зависимости, находить экстремумы функций, составлять и решать обычные и дифференциальные уравнения, исследовать полученные зависимости. Из высшей математики постепенно выделился круг задач прикладного аспекта таких как математическое программирование, теория массового обслуживания, управление запасами, теория игр, которые составляют современную прикладную математику. Существенным моментом задач прикладной математики является то, что они имеют большую размерность и решение реальных задач возможный лишь с помощью электронных вычислительных машин. Использование электронных вычислительных машин , в особенности персональных, сделало революционный шаг в моделировании технических и экономических процессов. Появилась возможность использования алгоритмов моделирования, которые невозможно было реализовать традиционными способами. Появился новый метод моделирования, которое базируется на прямом воспроизведении исходной системы программными средствами с искусственной имитацией параметров, от которых зависит система. Этот метод получил название имитационное моделирование и он используется там, где аналитические методы не дают надлежащей точности. Следует заметить, что имитационное моделирование требует много времени на программирование, отладку, прогон моделей и обработку полученного численного материала. Результаты носят частный характер, определяемыми заданными конкретными параметрами. Развитие вычислительной техники и программирования дало возможность создать так называемые системы компьютерной математики, которые объединяют в себе свойства редакторов текста, языков программирования и имеют большое количество встроенных математических функций и методов решения основных задач математики. К таким системам относятся: Mathcad, Mathimatica, Matlab, Maple. Они имеют современный интерфейс, замечательные возможности по построению графи-

5

ков. Значительным достижением есть то, что некоторые из них способные выполнять аналитические преобразования. Наиболее мощными возможностями в этом направлении принадлежат системе Maple, в особенности ее последним модификациям Maple 6 - Maple 9. Это обусловило выбор системы Maple в качестве базовой в данном пособии для решения задач компьютерного моделирования..

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА MAPLE

2.1. Общая характеристика системы Maple Maple – это интегрированная программная математическая система, ориентированная на символьное и численное решение математических задач, которая имеет мощный встроенный язык программирования (подобен Бейсик). Количество используемых функций, которые охватывают все разделы математики и смежные дисциплины доходит до 3000, что практически исключает программирование при решении конкретных задач. Основные возможности: • Решение задач линейной алгебры. • Решение задач математического анализа. • Интегральные преобразования Фурье, Лапласа. • Решение дифференциальных уравнений. • Решение задач теории вероятностей и математической статистики. • Решение задач статистической обработки информации . • Графическая визуализация вычислений; построение двухмерных и трехмерных графиков в различных системах координат. • Задание анимационных графиков и их проигрывание. Maple позволяет подготавливать файлы в HTLM формате для передачи по сети Internet, а также преобразовывать файлы в формат LaTeX.

Maple реализован в среде операционной системы Windows и имеет совместимый с ней интерфейс. Система имеет прекрасно выполненную справочную систему с большим количеством примеров. Maple непрерывно развивается, в эксплуатации имеется несколько реализаций (4 - 9), во многом схожих друг с другом, но с добавляющимися возможностями. Для Maple 8 разработан русификатор (кроме помощи), по мнению автора, не совсем удачный. 6

Основным объектом Maple для ввода информации, которая впоследствии заносится в файл, является документ или рабочий лист (Worksheet). Новый документ создается по команде File/New. Вначале он имеет имя Untitled(N), N=1,2,... После редактирования документ может быть записан на диск под своим именем командой File/Save As... Минимальными структурными единицами документа Maple являются параграф (Paragraph) и группа (Execution Group). Параграфы состоят из текстовых строк и используются для подготовки текстовой информации. Группа является основным диалоговым объектом Maple и состоит из ячейки ввода, куда заносятся команды, текстовые комментарии, и ячейки вывода, куда система Maple заносит результаты вычислений, графики, различные сообщения. В группу могут включаться и параграфы. Группа обрамляется слева прямоугольной скобой ( [ ). Приглашением Maple для ввода команды служит знак >, при вводе текста он отсутствует. Команды вводятся красным цветом. Позиция для ввода очередного символа отмечается курсором ( | ). Для переключения ячейки ввода между режимами ввода команды или текстового комментария используется команда Edit/Input mode или клавиша F5. Для ввода параграфа используется команда Insert/Paragraph► (до курсора или после курсора). Для ввода группы в произвольное место рабочего листа используется команда Execution Group► (до курсора или после курсора). Для ввода параграфов и групп после текущего положения курсора можно использовать соответствующие кнопки панели инструментов. Работа с Maple в основном ведется в интерактивном режиме: запрос в виде математического выражения, команды – результат, запрос результат и т.д., хотя возможен и чисто программный подход к решению конкретных задач. Запись функций и команд ведется на Maple-языке и во многом похожа на обычные языки программирования. Также возможна запись математических выражений в естественной математической форме с использованием специальной палитры математических символов. Если запись ведется на Maple – языке, то полученное выражение можно преобразовать в естественную математическую форму. Для этого необходимо поставить курсор в начало команды и щелкнуть мышью по кнопке r ,находящейся в начале панели форматирования входных выражений. Для подготовки научных публикаций используется так называемая инертная (неисполняемая) форма команд. Запись выражений в инертной форме практически ничем не отличается от обычного текста, кроме того, что функции в инертной форме начинаются с большой буквы; имеется возможность с помощью второй кнопки на панели форматирования входных выражений перейти от инертной формы выражения в активную. 7

Рассмотрим копию экрана Maple с типовыми примерами работы с системой, изображенную на рис.2.1

Рис.2.1

Весь экран делится на несколько областей. В самом верху находится титульная строка с названием системы и именем текущего документа. Под ней находится строка главного меню. Ещё ниже находится панель инструментов, а ниже ее находится панель форматирования входных выражений. При вводе текста панель форматирования входных выражений заменяется обычной панелью форматирования. Основную часть окна занимает рабочая область, заполненная группами и параграфами. Математические выражения, записанные на Maple-языке, должны заканчиваться или ; или : (так называемыми фиксаторами). Процесс работы с рабочим листом называется сеансом; как видно из рис.2.1, практически весь сеанс состоит из отдельных групп, реализующих отработку вводимых математических выражений. 2.2. Основные средства управления Maple К средствам управления Maple относятся: главное меню, панель инструментов, панель форматирования (для текстовых выражений), панель форматирования входных выражений (для команд на Maple-языке), контекстные меню, вызываемые щелканьем правой кнопки мыши по тому или иному объекту. Для набора математических выражений могут использоваться символьная палитра (для набора греческих букв), палитра математических выражений (рис. 2.5) и палитра для заполнения матриц. Вызов этих палитр осуществляется командой View/Palettes►. Введена воз8

можность работы с электронной таблицей (Spreadsheet). Вызов режима работы с электронной таблицей осуществляется командой Insert/Spreadsheet, после чего становятся доступными команды пункта главного меню Spreadsheet. Пункты главного меню Maple максимально унифицированы с операционной системой Windows . Естественно, добавлены специфические команды. Назначение кнопок панели инструментов (Tool Bar) представлено на рис.2.2

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20

1 - Создание нового документа 2 – Открытие документа 3 - Сохранение активного документа 4 - Печать активного документа 5 - Вырезание 6 - Копирование 7 - Вставка 8 - Отмена последней операции 9 – Восстановление отмененной операции 10 – Переключение ячейки ввода на ввод 11 - Переключение ячейки ввода на математического выражения в инертной форме. ввод текста 12 - Вставка новой группы 13 – Удаление текущей секции 14 - Создание секции или подсекции 15 - Прерывание вычислений 16 - Вывод малыми символами (100%) 17 - Вывод средними символами (150%) 18 - Вывод крупными символами (200%) 19 - Вывод непечатаемых символов 20 - Полное раскрытие активного окна Рис. 2.2 Назначение основных кнопок панели форматирования входных выражений приведено на рис. 2.3.

9

1 2

3 4

5

1 – Переключение между стандартной и текстовой формой математического выражения. 2 – Переключение между активной и инертной и формой математического выражения. 3 – Проверка и коррекция текста на английском языке. 4 – Выполнение текущего выражения. 5 – Поле редактируемого выражения. Рис. 2.3 На рис.2.4 представлена панель форматирования (Contex Bar) с назначением отдельных кнопок 1

2

3

4

5

6

7 8 9

10 11 12

1 – Поле стиля 2 – Переключатель стиля 3 - Поле выбора шрифта 4 - Переключатель шрифтов 5 - Поле размера символов шрифта 6 - Переключатель размеров шрифтов 7 - Символы полужирные 8 - Символы наклонные 9 - Символы подчеркнутые снизу 10 - Выравнивание текста слева 11 - Выравнивание текста по середине 12 - Выравнивание текста справа Рис. 2.4 Математические выражения, которые вводятся в ячейку ввода должны заканчиваться фиксаторами (; или :). Символ «;» задает вывод результатов вычислений в ячейку вывода, символ «:» блокирует вывод результатов вычислений. Окончание ввода выражения фиксируется нажатием клавиши Enter. Если при вводе выражение не помещается на одной строке, то оно автоматически переносится на следующую строку. Нажатием комбинации клавиш Shift+Enter можно задать принудительный перенос выражения на новую строку. Это делается для придания документу наглядности. Группы могут объединяться в так называемые секции и подсекции. Секция начинается с кнопки со знаками + и –. На рис. 2.5 приведен пример секции и подсекции, а также палитры математических выражений.

10

Рис. 2.5. Знак + показывает, что секция закрыта и все, что в ней находится невидимо, но принимает участие во всех вычислениях. Знак – показывает, что секция открыта. В секции целесообразно помещать вспомогательные вычисления, которые не стоит обозревать постоянно. Создание секций и подсекций осуществляется командами Insert/Section, Insert/Subsection и соответствующей кнопкою на панели форматирования входного выражения. Открытие и закрытие секций осуществляется щелканьем по кнопке начала секции, а также командами View/Expand All Sections и View/Collapse All Sections. 2.3. Основы работы с системой Maple В общем случае Maple является программной системой для работы с математическими выражениями. Математическое выражение может содержать операторы, операнды и функции с параметрами. Выражения в Maple могут изменяться (эволюционировать) в соответствии с математическими законами или заданными правилами преобразования или представления. Например, функция упрощения выражений simplify способна упрощать многие математические выражения, записанные в качестве ее параметров: >simplify((a^2-2*a*b+b^2)/(a-b)); a-b Как уже отмечалось ранее, математическое выражение должно оканчиваться так называемым фиксатором: это или точка с запятой ; или двоеточие : . Символ ; заканчивает (фиксирует) выражение и задает вывод результатов, символ : блокирует вывод результатов (сами вычисления при этом могут выполняться). Фиксаторы выполняют роль разделителей выражений, если в строке их несколько. Ввод выражения заканчивается нажатием клавиши Enter. При этом курсор ввода может быть в любой позиции строки. С помощью от одного до трех знаков % (“ в реализации R4) можно вызвать на выполнение первое, второе или третье выражение с конца сеанса (даже если знак % стоит в середине сеанса): >sin(2.); .9092974268 11

>tan(1.4); 5.797883715 >%%; .9092974268 Строковые данные, если они стоят не в параграфе или в текстовом комментарии обрамляются знаками обратного апострофа ‘: >int(cos(x),x); sin(x) >‘int(cos(x),x)‘; int(cos(x),x) Для вставки не выводимого комментария в строку, содержащую математическое выражение, используется знак # : >diff(x^n,x);# это производная n x^n/x diff(x^n,x);‘this is the differentiation ‘; n x^n/x this is the differentiation Следует заметить, что с русскими буквами в командах система работает неустойчиво. В Maple используется ряд предопределенных констант: Pi – π = 3,141..; I – мнимая единица; infinity – бесконечность; в качестве основания натурального алгоритма - числа e рекомендуется использовать exp(1) . Maple выводит результаты вычислений с определенной точностью (по умолчанию 10 значащих цифр). Командой >Digits:=n: можно задать точность в n значащих цифр. Maple состоит из ядра, написанного на языке программирования Си и содержащее тщательно оптимизированные процедуры, и пакетов расширения, написанных на Maple-языке и поставляемых с системой. Пакеты могут дополняться, модифицироваться, чем обеспечивается расширение и адаптация системы. При обращении к ядру сразу указывается соответствующая функция, а при обращении к пакету вначале указывается имя пакета, а потом нужная функция. Например, >with(‘linalg’): # вызов пакета решения задач линейной алгебры >M:=matrix(2,2,[a,b,c,d]); # формирование квадратной матрицы и ее заполнение

a b  M =  c d  Результаты, получающиеся при выполнении аналитических и численных преобразований не всегда выводятся в нужной форме. Если 12

выражение - скалярная переменная, то ее значение будет выведено в ячейке вывода. Для переменных более сложных типов выводятся не их значения, а просто повторяется имя переменной. Просто повторяются также имена неопределенных переменных. Для получения результата в нужном виде его в ряде случаев необходимо подвергнуть специальной процедуре оценивание. Эта процедура выполняется с помощью нескольких специальных функций: eval(expr), evalf(expr,n), evalm(mexpr) и др. Например >sin(1.); .8414709848 >sin(1); sin(1) >evalf(sin(1),4); .8415 Многие математические выражения имеют различные тождественные формы. Часто преобразование выражения из одной формы в другую позволяет получить результат более наглядный и удобный для анализа. Кроме того, различные функции Maple работают с разными формами выражений и разными типами данных. Поэтому большое значение имеет целенаправленное преобразование выражений и данных. Основной функцией для такого преобразования является функция convert(expr, form, opt1,opt2,…), где expr – выражение, которое необходимо преобразовать, form – наименование формы, в которую будет преобразовано выражение, optI – опции преобразования. Список форм насчитывает 67 наименований: decimal – задает преобразование числа в десятичное представление из двоичного, восьмеричного и шестнадцатеричного; float - задает преобразование числа в вещественное представление; fraction - задает преобразование числа в рациональное в виде отношения целых чисел; exp - задает преобразование функции в экспоненциальный вид и т.д. Пример: >convert(2.46,fraction); # преобразование числа из вещественного в дробное 123/50 Еще одной мощной функцией преобразования выражений является функция combine. Она обеспечивает объединение показателей степенных функций, преобразование тригонометрических и некоторых иных функций. Эта функция может записываться в трех формах: combine(f) combine(f, name) combine(f, name, opt1, opt2, ...) 13

где: f — любое выражение, множество или список выражений, name - имя, список или множество имен, opti, opt2, ... — имена опций. Во втором аргументе можно использовать следующие функции: exp ln power trig Psi polylog radical abs signum plus atatsign conjugate plot product range В качестве опций могут указываться следующие: arctan atatsign conjugate exp ln polylog power Psi radical trig Примеры применения функции combine представлены ниже: > combine(exp(2*x)^2,exp); ехр(4 х) > combine(2*sin(x)^2+2*cos(x)^2); 2 > combine(sin(x)*cos(x)); ½ sin(2x) Maple работает с числами, символьными данными, списками, векторами, матрицами, наборами и таблицами. Числа с которыми работает Maple могут быть: целыми десятичными (1, 325), рациональными в виде отношения целых чисел (123/50), вещественными (1.56, 123.5623Е-12), комплексными (4+6*I), двоичными (10011101), восьмеричными и шестнадцатеричными (B23A). Символьные данные - это просто цепочки символов, которые обычно используются для создания текстовых блоков. В одних случаях Maple сам идентифицирует строку как текст (так, при вводе параграфа, когда информации вводится в ячейку ввода как текст, отсутствует символ >). При этом в строку добавляется специальный внутренний признак. В других случаях необходимо явно указать, что последовательность символов является строкой, обрамляя ее обратными апострофами, например ‘ (‘sin(x)‘) . Объекты Maple можно объединять в множества и списки. Множества создаются с помощью фигурных скобок { , }: >B:={c,f,w+n,3,7,7,i}; B := {3, 7, i, f,с, w+n} В множестве автоматически устраняются повторяющиеся элементы и элементы множества могут переставляться в соответствии с внутренними правилами. Для двух множеств можно использовать операторы объединения (union), пересечения (intersect) и исключения (minus). Примеры: > {d,u,o,r,r,e} union {d,t,q,r}; {t, u, r, d, o, e, q} > {d,u,o,r,r,e} intersect {d,t,q,r}; {r,d}

14

> {d,u,o,r,r,e} minus {d,r}; {u, o, e} Доступ к элементам множества В с i-го по j-й можно осуществить выражением B[i..j], к i-ому элементу – B[i]. Пустое множество задается выражением []. Списки создаются квадратными скобками [,]. > D1:=[5,7,3,5,f,w,b,h]; D1 := [5, 7, 3, 5, f, w, b, h] Списки преобразуются и выводятся строго в том порядке, в каком они были заданы. Списки широко применяются для задания векторов и матриц. Доступ к элементам списка осуществляется аналогично множествам. 2.4. Работа со справочной системой Maple Maple имеет две взаимосвязанные системы помощи. Одна из них оперативная (online) позволяет вызвать нужную справку в командном режиме. Для этого достаточно набрать в командной строке слово help или ? (вопросительный знак) с последующим указанием искомого слова в кавычках, например: > help(sin); или > ?sin В данном случае после нажатия клавиши Enter будет получена справка по функции sin . Такое обращение применяется для библиотечных функций и зарезервированных (ключевых) слов системы. Его недостатком является то, что нужно знать имя оператора или функции, по которой ожидается получение справки. На экран дисплея будет выведено подробное сообщение (справка) на английском языке о назначении и правилах записи (синтаксисе) соответствующей функции, оператора или пакета применений. Весьма полезным средством является выделение и выбор примеров из справок. Для этого используется клавиша Ins, которой намечают начало и конец выделений. Можно также выделить пример, перемещая мышь с нажатой левой клавишей. Наконец, используя команду Copy Examples в позиции Edit главного меню окна справки, можно скопировать в буфер все примеры. После этого, закрыв окно справки, можно перенести в документ имеющиеся в буфере примеры. Можно также выделить любое слово в тексте, по которому необходимо получить справку, и выбрать пункт Help главного меню. Кроме того можно установить курсор на любое слово и нажав клавишу F1 получить справка об этом слове (если она имеется в системе).

15

Основные средства управления справочной системой Maple сосредоточены в позиции Help главного меню. Справочная база данных имеет удобную древообразную структуру контекстно-зависимого поиска. В ходе поиска информации вначале указываются ее общие признаки, затем частные – и так далее (см. рис. 2.6).

Рис. 2.6 2.5. Основные операторы, команды и функции ядра Maple Операторы Maple служат для конструирования выражений и применяются совместно с операндами. К основным операторам Maple относятся + сложение; - вычитание; * умножение; / деление; ** или ^ возведение в степень; := присвоение; mod вычисление модуля; ! факториал, . или cat конкатенация (объединение); and логическое И; or логическое ИЛИ и т.д.. Кроме того пользователь имеет возможность создавать свои операторы с помощью оператора define. Для отмены присвоения значений отдельным переменным (например х), которые в дальнейшем можно не использовать, можно использовать выражение >x:=`x`. Для одновременной отмены присвоения значений всем переменным можно использовать команду restart. В отличии от других языков программирования в Maple существенно расширены функции оператора присваивания (:=). С его помощью переменной можно присвоить значение какой-либо константы, выражения, уравнения или даже системы уравнений. Например T1:=diff(y(x),x)-y(x)=sin(x)*x

16

T1 присвоено значение дифференциального уравнения. Это позволит при решении данного дифференциального уравнения обращаться к нему с помощью переменной Т1. Maple имеет полный набор элементарных математических функций, функций математического анализа, линейной алгебры и т.д. Большинство элементарных функций имеет обозначение принятое в математике : sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), arcsin(x), cot(x) – котангенс, sqrt(x), ! - факториал. Их полный список можно найти в справке в разделе Mathimatics/Basic Mathimatics/initially known functions. Их инертные аналоги начинаются с большой буквы. Суммы ряда вычисление ( f(m)+f(m+1)+f(m+2)+..+f(n-1)+f(n) ) можно выполнить с помощью функций sum(f,k) и sum(f,k=m..n), где f – функция, задающая члены суммируемого ряда, к – индекс суммирования, m и n – целочисленные пределы изменения к. Если n=∞, тогда для n используется константа infinity. Пример: > sum(40*(0.5)^k,k=0..infinity); 80. Произведений членов последовательности вычисление можно выполнить с помощью функции product(f,k=m..n). Предел функции вычисляется функциями пределов, имеющих вид: limit(f,x=a) или limit(f,x=a,dir) где f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, а – точка, в которой вычисляется предел, dir – опция, указывающая на направление поиска предела (left – слева, right – справа).Пример >limit(sin(x)/x,x=0); 1 Производной функции вычисление ( f ′( x ) = df ( x ) / dx ) реализуется функцией diff(f(x),x). Пример: >diff(sin(cos(x)),x); -cos(cos(x))*sin(x) Для вычисления производных n-го порядка, а также для вычисления частных производных от функции с несколькими аргументами используются функции: diff(f(x),x$n) , diff(f(x,y,z..,u),x,z). Наряду с функцией diff может использоваться дифференциальный оператор D. В форме D(f)(x), где f – только имя функции, он эквивалентен diff(f(x),x). С его помощью можно указывать значения производных при конкретных значениях переменных и тем самым вводить начальные условия в дифференциальные уравнения. Примеры: > D(sin)(x); cos(x) >D(sin)(Pi/3); 1/2

17

> D(D(sin))(3.141/6); -.50 Интегралов неопределенных и определенных вычисление можно выполнить с помощью функций int(f(x),x) и int(f(x),x=a..b) Для вычисления кратных интегралов функция int исполь- 1 y 2 зуется многократно. Пример: вычислить двой( 2 − x − y )dxdy ной интеграл

∫ ∫ o

y

> int(int((2-x-y),x=sqrt(y)..y^2),y=0..1); -11/30 Уравнений линейных и нелинейных решение можно получить в аналитическом виде с помощью функции solve(eqn, var) или solve({eqn1,eqn2,..},{var1,var2,..}), где eqn – уравнение, содержащее функцию одной или нескольких переменных, var – переменная, по которой ищется решение. Если решение содержит повторяющиеся выражения, то Maple обозначает их как %1, %2, .. и выводит решение с такими переменными. При решении систем уравнений они и список переменных задаются как множества в фигурных скобках. При этом и результат решения получается в виде множества. Чтобы преобразовать его к обычному решению, нужно использовать функцию assign, которая обеспечивает присваивание переменным значения, взятых из множества. Примеры: >solve(x^2+p*x+q=0,x); −

1 2

p+

1 2

p 2 − 4q , 12 p −

1 2

p 2 − 4q ;

>s:=solve({3*x+y=a,x-y=b},{x,y}); s:={y= -3/4 b + 1/4 a , x=1/4 b + 1/4 a} >x; x Доступа к элементу множества пока нет. >assign(s): >x;y; 1/4 b + 1/4 a -3/4 b +1/4 a >x; 1/4 b + 1/4 a Замечательной возможностью функции solve является возможность решения систем линейных уравнений относительно ограниченного числа переменных. Например, систему трех уравнений с переменными x, y, z, v, t можно решить относительно только первых трех переменных x, y, z. При этом решения будут функциями относительно переменных t и v:

18

>e1:=2*x+10*y+16*z-6*t+8*v=20: > e2:=3*x+2*y+4*z+8*v=20: > e3:=6*x-4*y+z+3*t+5*v=10: > e4:=8*x-2*y+4*z-3*t+v=0: > e5:=3*x+2*y+4*z+t+5*v=30: > S1:=solve({e1,e2,e3,e4,e5}); S1:= {t =

431 −122 −73 266 2051 ,z= ,v = ,x= ,y= } 65 39 65 39 195

> S2:=solve({e1,e2,e3},{x,y,z}); S 2 := { y =

−64 530 1 −68 520 14 37 310 11 v+ − t, x = v+ − t, z = v − + t} 23 69 23 23 69 23 23 69 23

> Digits:=3: > convert(%%,float);

{ y = − 2.78v + 7.68 − .0435t , x = −2.96v + 7.54 − .609t , z = 1.61v − 4.49 + .478t}

>assign(S2): >x; x=

−68 520 14 v+ − t 23 69 23

Если функция solve выдает решение, как корни уравнения высокой степени, то следует воспользоваться численным решение с помощью функции fsolve. Назначение для имен выполняется с помощью функции assign, имеющей формы assign(a,b), assign(a=b), где а – имя, в – выражение и assign(t), где t – множество или набор уравнений. Последняя форма часто используется при решении систем уравнений, когда надо явно присвоить переменным решения, взятые из множества полученного решения, как в предыдущем примере. Еще примеры: >assign(a,2): >a; 2 После использования назначения для переменной его целесообразно отменить. Выполнить это можно или с помощью функции unassign или путем взятия в прямые апострофы: >unassign(‘x’); >y:=’y’; >x; x >y; y В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни являются решением определенного уравнения. Ино-

19

гда удается получить эти корни в явном виде с помощью функции allvalues: > solve({x*y=a,x+y=b},{x,y}); {y = RootOf(_Z2 - _Zb + a), x = -RootOf(_Z2 - _Zb + a) + b} > allvalues(%); 1

1

1 1 2 2 b − 4a , x = b − b − 4a } 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 {y = b − b − 4a , x = b + b − 4a } 2 2 2 2

{y =

b+

Неравенств и систем неравенств решение можно также получить с помощью функции solve: > solve({x*y*z>0,x>-1,y+z>10},{x,y,z}); {y = 0, -1 < x, 10 < z}, {-1 < x, z = 0, 10 < y} Выделение правой и левой части выражения осуществляется с помощью функций rhs и lhs. Эти функции применяются при конструировании функций совместно с функцией unapply, когда результат решения дифференциального уравнения или какого-либо преобразования получается в невычисляемом формате. > a2:=y=x^3-2*x-6: > z2:=rhs(a2); z2 := x - 2 x - 6 Конструирование функций. Maple ориентирован на символьные преобразования. Поэтому запись f(t) означает просто символьное выражение. Чтоб придать f(t) смысл функции от аргумента х, используется unapply. Обычно она применяется по схеме: функция > f: = unapply (expr,t,v,w,..), где f – обозначение будущей функции, expr – математическое выражение, описывающее будущую функцию, t, v, w,.. – ее переменные. Пример: > m(x,y):=sqrt(x^2+y^2); m( x, y ) := x 2 + y 2

> m(3,4); m(3, 4) то есть m(x,y) не является в данный момент функцией. Воспользуемся функцией unapply >m:=unapply(sqrt(x^2+y^2),x,y); m := ( x, y ) → x 2 + y 2

теперь > m(3,4); 25

20

> evalf(%);

5.000000 Дифференциальных уравнений решение выполняется с помощью функции dsolve({eqns} {vars}, option), где deqns – одно дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий; vars – переменная или переменные, относительно которых ищется решение; option – необязательный параметр, указывающий на метод решения. Параметр option задает один из методов решения: exact – аналитическое решение (принято по умолчанию); explicit – решение в явном виде; laplace – решение через преобразование Лапласа; series – решение в виде ряда с порядком, указываемым значение переменной Order; numeric – решение в численном виде. Для решения задачи Коши в {deqns} надо включать начальные условия, а при решении краевых задач – краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т.д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т. Выражение {deqns} должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия. Решение дифференциальных уравнений выводится, как правило, в не вычисляемом виде. Если нужна дальнейшая работа с решением, то его надо преобразовать в полновесные функции с помощью функции unapply. В Maple имеется пакет решения дифференциальных уравнений DEtools, значительно расширяющий возможности ядра Maple по решению дифференциальных уравнений. Задание начальных значений производных функции необходимо выполнять с помощью оператора D. Так оператор D(D(y))(1.)= -3 задает начальное значение второй производной от функции y в точке 1, равное -3. Пример: Решить дифференциальное уравнение y" – y = x sin(x) при у(1) = 3, у′(1) = -1 , т. е. задачу Коши. > restart: >solve({diff(y(x),x$2)-y(x)=x*sin(x),y(1.)=3.,D(y)(1.)=-1.},y(x));

y( x) =

x x x 2 1 − e cos( x ) − e x sin( x ) + 1.0893( e ) + 12.0168 x 2 e

> y(2.); y(2.)

21

Полученная в решении функция у(х) не является полновесной, её нельзя использовать для получения числовых значений решения, строить по ней графики. Получим решение , используя функцию unapply: R:=dsolve({diff(y(x),x$2)-y(x)=x*sin(x),y(1.)=3.,D(y)(1.)=-1.},y(x));

R :=

x x x 2 1 e cos( x ) + e x sin( x ) − 1.0893(e ) − 12.0168 y ( x) = − x 2 e

Отменяем присвоение для у: >y=`y`: Формируем полновесную функцию: > y:=unapply(rhs(R),x);

y :=

x x x 2 1 e cos( x ) + e x sin( x ) − 1.0893(e ) − 12.0168 x →= − x 2 e

Вычисляем значение у(х) в точке 2. > y(2.); 4.136392464 Строим график функции (рис. 2.7): >plot(y(x),x=-10..10);

Рис. 2.7. Экстремумов функций поиск выражения expr при ограничениях constr по переменным vars без указания вида реализуется с помощью функции extrema(expr, constr, vars, ‘nv’), где nv – переменная, которой присваиваются найденные координаты точек экстремума. Примеры: > extrema(x*exp(-x),{},x,'s'); {exp(-1)} > s; {{x = 1}} > extrema(x^3.-2.*x^2.+5.,{},x,'s'); {3.8, 5.} > s;

{{x = 0}, {x = 1.3}}

22

> extrema(x^2+y^2+3,{},{x,y},'s'); {3} > s; {{y = 0, x = 0}} Если ограничений нет, то это указывается пустым множеством {}. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрг служат функции: minimize (expr, optl, opt2, ..., optn) maximize (expr, optl, opt2, ..., optn) Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной так и нескольких переменных. С помощью опций optl, opt2, ..., optn можно указывать дополнительные данные для поиска. Например, опция 'infinity' означает, что поиск минимума или максимума выполняется по всей числовой оси, а опция location (или location=true) дает расширенный вывод результатов поиска — выдается не только значение минимума (или максимума). но и значения переменных в этой точке. Примеры применения этих функции приведены ниже. > minimize(х^2-3*х+у^2+3*у+3); −3 2 > minimize(х^2-3*х+у^2+3*у+3, location); − 3   −3 3  − 3 ,   y = , x = ,  2   2 2  2   > minimize(x^2+y^2,x=-10..10,у=-10..10,location); 0, {[{y = 0,.x= 0},0]} > maximize(sin(x)/x, х= - 2..2, location); 1, {[{x = 0}, 1]} Статистические расчеты в Maple можно выполнить, используя пакет stats. Пакет stats для таких расчетов представлен всего двумя многоцелевыми статистическими функциями: stats[subpackage, function](args) subpackage[function](args) Однако, благодаря специальной форме задания параметров (в частности, в виде субпакетов subpackages), возможно вычисление самых разнообразных статистических функций. Возможно обращение к следующим субпакетам: anova — дисперсионный анализ; describe — функции распределения вероятности; fit —линейная регрессия; random — генерация случайных чисел с различными законами распределения;

23

statevalf — вычисление статистических функций и получение оценок для массивов данных; statplots — построение графиков статистических функций; transform — функции преобразования данных . Одним из важнейших приложений пакета Stats является регрессионный анализ. Под регрессионным анализом (или просто регрессией) обычно подразумевают нахождение некоторой формальной аналитической зависимости, которая приближенно (по критерию минимума среднеквадратичной ошибки) аппроксимирует некоторую исходную зависимость. Чаще всего она бывает представлена набором (облаком) точек, например, данных эксперимента. Для проведения регрессионного анализа служит функция fit, которая вызывается следующим образом: stats[fit,leastsquare[vars,eqn,parms]](data) или fit[leastsquare[vars,eqn,parms]](data) где: data — список данных, vars — список переменных для представления данных, eqn — уравнение, задающее аппроксимирующую зависимость (по умолчанию линейную), parms — множество параметров, которые будут заменены вычисленными значениями. На примерах ниже показано проведение регрессий с помощью функции fit для зависимостей вида у(х). Пусть получены экспериментальные данные зависимости у от х: х

1.00

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

у

1.04

1.06

1.16

1.10

1.03

0.99

0.95

Тогда реализацию регрессии можно выполнить в следующей последовательности >with(stats): # вызов пакета >Digits:=5: # задание вывода пяти значащих цифр >f:=fit[leastsquare[[x,y]]([ [1.00,1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70], [1.04,1.06,1.16,1.15,1.10,1.03,0.99,0.95]]); f := y = -.16905 x + 1.2882 >plot(y,x=2..9);

Plotting error, empty plot В примере функция регрессии не задана, поэтому реализуется простейшая линейная регрессия и функция fit возвращает полученное уравнение регрессии для исходных данных, представленных списками координат узловых точек. Это уравнение аппроксимирует данные с наи24

меньшей среднеквадратичной погрешностью. Построенная функция выводится в не вычисляемом формате. Для дальнейшей работы ее надо представить в виде полновесной функции, как это сделано ниже. >R:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^2+b*x+c]]([ [1.00,1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70], [1.04,1.06,1.16,1.15,1.10,1.03,0.99,0.95]]); R := y = -1.0640 x2 + 2.7036 x - .59498 > plot(y,x=2..9); Plotting error, empty plot >y:=`y`: > y:=unapply(rhs(R),x); y := x -> -1.0640 x 2 + 2.7036 x - .59498 > plot([y(x),[[1.,1.04],[1.1,1.06],[1.2,1.16],[1.3,1.15], [1.4,1.1],[1.5,1.03],[1.6,0.99],[1.7,0.99]]], x=1.0..1.7, style=[line,point],thickness=1);

Рис. 2.8 Во втором примере задано приближение исходных данных степенным многочленом второго порядка. Вообще говоря, функция fit обеспечивает приближение любой функцией и, таким образом, реализует практически все виды регрессии для функций одной переменной. Однако функция fit может обеспечивать регрессию и для функций с несколькими переменными. При этом просто надо увеличить размерность массивов исходных данных. В качестве примера ниже приведен пример регрессии для функции двух переменных >f=fit[leastsquare[[x,y,z],z=a+b*x+c*y,{a,b,c}]]\ ([[1,2.3.5.5],[2,4.6,8.8],[3.5.7,10,15]]); f = (z = 1+7/2*x-3/4*y) > fa:=unapply(rhs(f),x,y); fа := (x, у) -> 1+7/2*x-3/4*y 25

>fa(1.,2.);

2.999999999 В данном случае уравнение регрессии задано в виде z=а+b*с+с*y. Обратим внимание на важный момент в конце этого примера — применение полученной функции регрессии для вычислений или построения ее графика. Прямое применение функции f в данном случае невозможно, так как она представлена в не вычисляемом формате. Для получения вычисляемого формата она преобразуется в функцию двух переменных fa(x,y) путем отделения правой части в выражении для функции f. После этого появилась возможность вычисление значений функции fa(xy) для любых заданных значений х и у С матрицами и векторами работа осуществляется командами ядра Maple и пакета решения задач линейной алгебры linalg. При работе с матрицами следует иметь в виду, что вывод значений матрицы можно осуществить функцией evalm(expr). Создание векторов и матриц можно выполнить функцией ядра array. Обычно она используется в форме: аrray(a..b,s1) возвращает вектор с индексами от a до b и значениями в одномерном списке s1; array(a..b,c..d,s2) возвращает матрицу с номерами строк от a до b, столбцов от c до d и значениями в двумерном списке s2: > A:=array(1..3,[x,y,`cos`]); A := [x, y, cos] > B:=array(1..2,1..2,[[a,b],[c,d]]); a b  B :=   c d  > B; B > evalm(B); a b  B :=   c d  Элементы векторов и матриц являются индексированными переменными, т. е. место каждого элемента вектора определяется его индексом, а у матрицы – двумя индексами. Допустимы операции вызова нужного элемента и присвоения ему нового значения: V[i] - вызов i – го элемента вектора V; M[i, j] - вызов элемента матрицы M, расположенного на i – й строке j – го столбца M[i, j]:=х - присваивание нового значения х элементу матрицы М.

26

С матрицами можно выполнять типовые операции сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, а также решать с их помощью системы линейных уравнений. Пример - решить квадратную систему линейных уравнений: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2, 4 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 4, - 4 x1 +2 x2 + x3 = 2. Сформируем матрицу системы А и вектор-столбец свободных членов В. > A:=array(1..3,1..3,[[1,2,3],[4,5,6],[-4,2,1]]);  1 2 3 A:=  4 5 6  − 4 2 1 > B:=array(1..3,1..1,[[2],[4],[3]]);  2 B:= 4  3

Значения неизвестных хi можно определить как произведение матрицы, обратной к матрице А, на вектор-столбец свободных членов В: > X:=A^(-1)*B; X := B

A

> evalm(X);  −1   3 2    3 1  3    

> convert(evalm(X),float); −.3333333333    .6666666667   .3333333333 

Соответственно x1= -0,33333.., x2=0,66666.., x3= 0,33333.. . Более эффективно операции линейной алгебры реализуются посредством пакета решения задач линейной алгебры linalg. Он содержит свыше ста функций по формированию матриц и векторов, выполнению всех возможных операций над ними, решению линейных уравнений как в матричном виде, так и через специальную функцию. Работе с этим паке27

том должен предшествовать вызов пакета командой with(linalg). Рассмотрим основные функции этого пакета. Формирование матрицы с числом строк n, >A := matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [-4, 2, 1]]): Ранг матрицы вычисляется функцией >rank(A); 3 Вектора создание реализуется функцией vector: vector( [5,4,6,3] ) → [5, 4, 6, 3] Угол между векторами А и В можно вычислить с помощью функции angle(A, B). Определитель (детерминант) матрицы А вычисляется функцией det(A): >det(A); 21 2.6. Построение графиков в системе Maple

Maple позволяет строить двумерные и трехмерные графики, находить пересечение поверхностей в пространстве, задавать анимационные эффекты. Простейшими являются двумерные графики. Они строятся с помощью функции plot, в которой задается функция графика, его вид, цвет и другие параметры. Общий вид задания графика - plot(f,h,v,opt1,opt2,...), где: f – функция, график которой мы строим; h – диапазон изменения аргумента функции по горизонтали, обычно задается в виде x1..x2; v – диапазон изменения функции по вертикали (может не указываться, тогда Maple подбирает диапазон автоматически); v – диапазон изменения функции по вертикали (может не указываться, тогда Maple подбирает диапазон автоматически); opt – различные опции, с помощью которых можно задать различные параметры. Типичная команда для построения графика одной функции имеет вид: >plot(tan(x),x=-6*Pi..6*Pi,y=-10..10,title=”График тангенса”, color=green, style=point, symbol=cross, thickness=2, labels=[`x`,`tg`]); Эта команда построит график функции тангенса со следующими параметрами: диапазон изменения x - от -6π до +6π, диапазон изменения самой функции - от –10 до +10, заголовок - График тангенса, цвет графика – зеленый, график будет выводиться точками, символ вывода одной точки

28

графика – крестик, толщина графика – 2 условные единицы (может быть 0, 1, 2, 3, по умолчанию 0), название оси абсцисс – x, оси ординат - tg. В команде обязательным являются задание функции и диапазона изменения аргумента. Все остальные опции или необязательны или устанавливаются Maple по умолчанию. В Maple возможен одновременный вывод графиков нескольких функций. В этом случае сами функции и их опции задаются множествами вида [a1,a2,..,an]; возможно построение графиков по отдельным точкам, как в примере на рис. 10. На рис. 2.9 представлена команда вывода двух графиков sin x и (sin x)/x и сами графики с различными опциями:

Рис. 2.9 диапазон изменения аргумента x по горизонтали: –10 - +10; диапазон изменения функций по вертикали – подобран Maple; заголовок графика «Образец 2-х графиков»; график функции sin x строится черным (black) цветом, график функции (sin x)/x строится красным (red) цветом; графики функций строятся сплошной линией (line) толщиной 0 и 3, соответственно); Если щелкнуть левой кнопкой мыши по графику, то вверху появляется дополнительная панель управления видом графика.

29

График можно построить по точкам, заданных списком координат аргумента и функции. На рис. 2.10 изображен график такой функции, отдельные точки графика соединены ломаной линией зеленого цвета.

Рис.2.10. Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d. Пример её использования для построения графика пересекающихся поверхностей приведен на рис. 2.11: > plot3d({2*sin(x*y)+1, x^2+2*y^2-5},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi);

Рис. 2.11 Статистический пакет stats имеет собственные возможности для построения графиков. Ниже реализовано построение гистограммы набора случайных чисел: > with(stats): with(stats[statplots]): Задание случайных величин

30

> data2:= [-1.96,-.814,1.86,1.96,.519,.739,-.0540,.702,.663,.591,.580,.475, .589,1.33,.0420,-.460,-.482,1.58,.778,.530,-.507,-.233,-.195, 193, -.136]; data2 := [-1.96, -.814, 1.86, 1.96, .519, .739, -.0540, .702, .663, .591, .580, .475, .589, -1.33, .0420, -.460, -.482, 1.58, .778, .530, -.507, -.233, -.195, .193, -.136] Построение гистограммы > histogram[count](data2);

Рис. 2.12 2.7. Работа с электронными таблицами В Maple версии 5 и выше внедрены ограниченные средства работы с электронными таблицами. Для задания электронных таблиц в главном меню в позиции Insert появилась операция Spreadsheet (вставка шаблона электронной таблицы). При исполнении этой операции появляется типичный шаблон электронной таблицы (рис. 2.13), имеющий размер 100 (рядов) х 52 (колонок).

31

Для работы с таблицами в главном меню Maple становится доступной позиция SpreadSheet, содержащая набор операций для работы с табличными данными. Кроме того появляется отдельная панель для работы с таблицей. В ячейки таблиц могут вводиться любые выражения Maple, а также текстовые данные на английском языке. Ячейки характеризуются своим адресом — буквой столбца (A – AZ) и номером строки (1 – 100), например AB4. Внутри таблицы курсор мыши превращается в жирный крест и его можно использовать для указания нужной ячейки и фиксации в ней ввода. При этом ввод данных в выделенную ячейку производится путем их набора в специальном поле ввода выражения панели для работы с таблицами. Нажав правую клавишу мыши, можно вывести контекстнозависимое меню с рядом операций,. доступных для заданной ячейки. Ввод выражения в выделенную ячейку осуществляется через поле ввода панели для работы с таблицами. Ввод выражений в ряд смежных ячеек по вертикали или горизонтали существенно ускоряется путем использования операции автозаполнения (Fill). Для этого необходимо соответствующее выражение занести в первую ячейку ряда выделить её. Нажав и удерживая клавишу shift отмечается последняя ячейка ряда. После выделения ячеек ряда необходимо выполнить одну из команд Down, Up, Left, или Right пункта меню SpreadSheet. Выделение ячеек ряда можно выполнить мышью, а вместо выбора команды заполнения нажать первую кнопку панели для работы с таблицами. Ряд смежных ячеек можно заполнить числами, возрастающими или убывающими с определенным шагом Для этого вводится определенное число в первую ячейку ряда, ряд ячеек выделяется и нажимается первая кнопка панели для работы с таблицами (можно также выполнить команду SpreadSheet/Fil/Detailed… .Появляется диалоговое окно для выбора шага ряда (Step Size), направления заполнения. Можно также ввести последнее значение ряда (Stop Value). Нажатие кнопки приводит к заполнению ряда. Выражение из одной ячейки в другую можно переносить через буфер обмена, а также перетаскивать или копировать мышью. Для перетаскивания выражения из одной ячейки в другую необходимо выделить исходную ячейку, подвести к ней указатель мыши так, чтобы он принял форму стрелки, нажать левую кнопку мыши (при этом внизу стрелки появляется квадратик) перетащить содержимое клетки в нужную ячейку и отпустить левую кнопку мыши. Для копирования выражения с помощью мыши выполняются те же действия, но перед нажатием левой кнопки мыши необходимо нажать и удерживать клавишу Ctrl. При этом около стрелки появится небольшой крестик.

32

В математических выражениях, заносимых в ячейки таблицы, можно использовать ссылки в виде адресов ячеек на содержимое других ячеек. Признаком ссылки является знак ~ (тильда) перед адресом. Используются абсолютные ссылки, которые отмечаются знаком $ и относительные ссылки, которые специально не отмечаются. Так выражение ~$B5 обозначает абсолютную ссылку на колонку В и относительную ссылку на пятую ячейку в ряде этой колонки. Применение разных видов ссылок на ячейки таблицы аналогично табличным процессорам, например Excel. Для изменения размера видимой на экране части таблицы необходимо активизировать саму таблицу; подвести указатель мыши в виде стрелки снаружи к любому краю таблицы и щелкнуть левой кнопкой мыши. Вокруг таблицы появятся маркеры изменения границ. Перетаскивая их мышью можно изменять размеры таблицы. ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО РАЗДЕЛУ Практическое занятие № 2.1 1. Познакомьтесь с назначением кнопок панели инструментов и отработайте операции, закрепленными за этими кнопками. 2. Познакомьтесь с пунктами главного меню и отработайте операции, закрепленными за этими пунктами 3. Найдите производную от функции y=sin2 x 4. Найдите интеграл от функции x3 e-3x 5. Постройте двумерный график функции y=sin3x/x 6. Постройте трехмерный график функции cos(xy) 7.Постройте анимационный 3D-график функции sin(xyt) 9. Решите систему уравнений 5nx +10 y2=20 10 x2 -xy =5 , n - номер компьютера ( если не получается точное решение, попробуйте функцию fsolve и выясните ее назначение) 10. Решите дифференциальное уравнение y'' - 20y' - 6ny = sin nx, при y(2) = -2, y'(2) = 3 и постройте "представительный" график функции y(x) . 11. Решите систему уравнений матричным способом -3nx + 10y +25z = -1, 2x - 4ny - 15z = 10, 15x +5y + 2nz = 7 . 33

Практическое занятие № 2.2 Моделирование производственной деятельности однопрофильной фирмы Исходные условия: Фирма планирует выпуск солнечных батарей. На основании исследований была установлена зависимость спроса D от цены Р за батарею : D=100000-(200-10*N)*P, где N - номер Вашей подгруппы (компьютера). Фирма выпускает Q солнечных батарей в месяц, которые полностью раскупаются, и ее затраты составляют C=(150000-100*N)+100*Q+0.003*Q^2 . Задания 1. С помощью функций extrema и maximize пакета Maple рассчитайте прибыль(S) и определить оптимальный объем производства 2. Постройте график зависимости S=f(Q) зеленым цветом с заголовком. 3. По справке разберите несколько вариантов реализации функции maximize и реализуйте их. Методические указания 1. Присвойте переменной Р решение уравнения 100000-(200-10*N)*P-Q=0 относительно Р. 2. Сформируйте функцию затрат. 3. Сформируйте функцию дохода. 4. Сформируйте функцию прибыли. 5. Найдите экстремум и максимум функции прибыли. 6. Постройте представительный график функции прибыли. Вопросы 1. Из чего складываются затраты? 2. Что такое цена и как она формируется? 3. Что такое прибыль, как она формируется и какие виды прибыли Вы знаете 4. Как найти максимум функции обычным методом и с помощью системы Maple ? 5. Как в системе Maple строятся графики, какие опции (всего 25) можно задать в функции построения графика?

34

Практическое занятие № 2.3 Компьютерная модель фирмы в условиях монополистического сговора

Фирма изготовляет два вида товаров в количестве Q1 и Q2, соответственно. Функция затрат имеет вид C=10*Q1+Q1*Q2+10*Q2, а кривые спроса каждого товара описываются выражениями D1=P1 + P2 - 80 D2=2*P1 + P2 - (15+№*10), где P1 и P2 - цена единицы каждого вида товара , соответственно, а № - номер компьютера. Фирма выпускает товары в соответствии со спросом. Кроме того фирма связана договором на общий объем производства товаров; ее квота составляет 15 единиц. Определите максимальную прибыль при этих условиях и оптимальный план производства товаров. Постройте график зависимости прибыли от объема производства. Методические указания 1. Определите переменные P1 и P2 через Q1 и Q2. 2. Присвойте переменным Р1 и Р2 решения соответствующего уравнения. 3. Сформируйте полновесную функцию прибыли в зависимости от двух переменных. 4. Найдите максимум этой функции. 5. Постройте график функции прибыли по одной переменной (Р1 или Р2). Вопросы 1. Из чего складываются затраты? 2. Что такое цена и как она складывается? 3. Что такое монопольный сговор, цели сговора и как государство с этим борется? 4. Как в Maple можно решить систему уравнений? 5.Что такое полновесная функция и как ее можно сформировать в Maple? 6. Как найти максимум функции обычным методом и с помощью системы Maple ?

35

Практическое занятие № 2.4 Аналитическое описание экономических зависимостей

Используя систему Maple, по экспериментальным данным экономической зависимости найдите ее аналитическое описание y=f(x) методом интерполяции кубическими сплайнами и аппроксимации многочленом 3й степени по методу наименьших квадратов. Постройте соответствующие графики, наложив их на экспериментальные точки. Сделайте выводы об области применимости рассмотренных методов описания экономических зависимостей. Варианты выполнения практического занятия

Вариант 1 х 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 у -0.78 1.50 -2.13 -2.09 -1.60 -1.31 0.13 1.45 2

0.2 0.5 0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 x у -1.49 -2.28 -2.00 -1.53 -1.51 -0.15 0.74 2.63

3

х у

0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 -1.55 -1.74 -2.04 -2.39 -1. 54 -0.35 0.85 2.34

4

х у

0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 2.3 2.7 3.1 -1.70 -2.41 -1.53 -1.23 0.70 2.11 5.73 9.75

5

х у

-0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.1 1.4 2.01 0.77 -0.51 -1.73 -2.41 -1.14 -1.86 -1.14

6

х -0.6 -0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 у 1.50 0.44 -1.33 -1.35 -2.73 2.31 -1.95 -0.87

7

х -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.1 1.4 1.7 у 0.53 -0.91 -1.49 -2.53 -2.05 -1.30 -1.71 -0.05

8

х 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 у -2.79 -2.64 -1.22 -1.80 -0.31 -0.17 0.91 1.85

9

х у

-0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 -4.22 -3.30 -2.38 -2.78 -2.98 -1.12 -0.97 0.82

10

х у

-0.15 -1.2 0.9 -0.6 -0.3 0.0 0.3 0.6 -4.65 -3.52 -4.82 -3.12 -3.54 -2.01 -2.04 -1.89 36

11

х у

-1.3 -1.1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 -4.58 -3.48 -3.33 -4.91 -3.06 -3.05 -3.69 -2.78

12

х у

-0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.1 1.4 -4.11 -3.23 -3.77 -2.85 -1.23 -1.22 -0.23 1.96

13

х у

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 -3.86 -3.04 -2.20 -1.81 -2.57 -1.84 -1.81 -0.11

14

х у

1 2 3 4 5 6 7 8 67.66 32.05 23.88 13.27 10.66 19.62 4.42 3.83

15

х y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -0.74 -0.21 -0.11 -0.57 -0.27 0.03 0.44 0.05

16

х у

0.2 0.4 0.6 0.8 -0.33 -0.58 0.24 0.04

1.0 1.2 1.4 1.6 0.41 -0.45 -0.23 0.37

17

х у

1.5 2.0 2.5 3.0 4.81 3.82 3.34 2.87

3.5 4.0 4.5 1.08 1.27 1.92

18

x у

0.8 1.4 2.0 2.6 3.2 8. 89 10.36 16.65 19.18 23.25

19

х у

-1.0 -7.61

20

х у

-0.8 -0.5 -5.38 -5.02

21

х у

-0.6 -3.60

22

х у

1.2 3.89

5.0 1.01

3.8 4.4 5.0 20.98 23.23 27.66

-0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 -5.70 -3.43 -0.33 0.63 0.01 -0.84 0.33 -0.2 0.1 -3.41 -1.50

0.4 0.7 1.0 1.3 -0.37 0.25 0.60 -0.44

-0.1 0.4 0.9 1.4 1.9 2.4 2.9 -2.05 -0.06 0.82 -0.34 0. 51 2.01 6.37 1.9 2.6 3.3 4.0 4.27 6.98 8.15 13.17

4.7 16.28

6.1 5.4 22.52 25.66

Методические указания

1. Откройте новый лист Maple и начните его с restart: . 2. Присвойте переменной X список аргументов экспериментальной зависимости (список оформляется как: X:=[a1,a2,....,an]. Присвойте

37

переменной Y список зависимой переменной экспериментальной зависимости. 3. Выполните интерполяцию экспериментальных данных кубическим сплайном и результат присвойте переменной f1. Последовательность команд следующая: > readlib(spline): #вызов библиотеки > f11:=spline(X,Y,x,cubic): > f1:=evalf(f11,3); Проанализируйте сформированную зависимость. Результаты анализа запишите. 4. Выполните аппроксимацию экспериментальных данных многочленом 3- й степени по методу наименьших квадратов. Последовательность команд следующая: > with(stats): > f21:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^3+b*x^2+c*x+d]]([X,Y]); > f2:=unapply(rhs(f21),x); 5. Постройте совместный график функций f1 (зеленым цветом, линией), f2 (красным цветом, линией) экспериментальных точек (черным цветом, точками) 6. Сделайте выводы по работе и запишите их в отчет Контрольные вопросы

I. В чем состоит задача описания экспериментальных данных и какими методами она выполняется ? 2. В чем заключается задача интерполяции функции, какими методами она выполняется? 3. В чем заключается задача аппроксимации экспериментальных данных, какими методами она выполняется ? 3. Как выбирается общий вид эмпирической функции? 4. В чем заключается сущность метода наименьших квадратов? 5. Как с помощью системы Maple осуществляется интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных, в чем разница этих методов? 6. Укажите области применения интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных.

38

Практическое занятие № 2.5 Динамическая модель рынка

По наблюдениям было установлено, что спрос на товар зависит от цены p(t), которая изменяется во времени. То есть, спрос тоже в конечном итоге зависит от времени и определяется соотношением

 d  d2  Dem(t ) = 2 2 p(t )  −  p(t )  − p(t ) + 15 .   dt  dt    Предложение товара описывается соотношением

 d  d2  S (t ) = 3 2 p(t )  −  p(t )  − p(t ) + 15 ,   dt  dt    Начальные условия: где p(t) - функция цены от времени . p(0)=№+3, Dem(0)=S(0)=10, где № - номер вашего компьютера. В предположении, что предложение товара равно спросу на него (Dem(t)=S(t)), найдите зависимость цены от времени. Найдите эластичность спроса по цене. Постройте совместные графики спроса, цены и эластичности в зависимости от времени. Методические указания:

1. Выразите Dem(t) и s(t) как функции цены. 2. Присвойте переменной W значение выражения, равного разности Dem и S и приравняйте его нулю (так как по условию Dem=S) 3. Решите дифференциальное уравнение W относительно цены и преобразуйте получившийся результат в функцию от времени. Эта функция будет содержать неопределенную константу _С1 или _С2 . 4. Проверьте, как изменится выражение для спроса после преобразований. 5. Выразите Dem(t) как полновесную функцию цены. Из решения уравнения Dem(0)=10 найдите значение неопределенной константы. 6. Выведите выражение для цены после преобразований. 7. Выведите выражение для спроса после преобразований. 8. Найдите эластичность спроса по цене (обратите внимание, что спрос и цена - функции параметра t !) . 9. Постройте необходимые графики. 10. Оформите письменно отчет по лабораторной работе и сдайте лабораторную работу преподавателю. Отчет можно подготовить элек-

39

тронным способом, переписать файл с отчетом на дискету и создать его твердую копию на струйном или лазерном принтере. Вопросы 1. Что такое динамическая модель рынка?. Какие виды моделей вы еще знаете? 2. Что такое спрос, как он формируется? 3. Что такое цена, как она формируется? 4. Что такое эластичность, её свойства? 5. Экономическая сущность эластичности. 6. Как решаются дифференциальные уравнения в системе Maple ? 7. Как формируются полновесные функции в системе Maple ? Практическое занятие № 2.6 Моделирование рекламной деятельности фирмы Торговая фирма реализует товар, о котором в момент времени t из числа потенциальных покупателей N=10000*№ (№ - номер компьютера) знает только n покупателей. Фирма проводит шумную рекламную компанию, в результате которой количество потенциальных покупателей, знакомых с товаром непрерывно увеличивается. За период времени ∆t число потенциальных покупателей, знакомых с товаром увеличится на величину, пропорциональную ∆t, числу покупателей, которые ничего не знают о товаре и числу покупателей, знакомых товаром, с коэффициентом пропорциональности k ( k=10-6 №). Известно, что в начальный момент времени t=0 о товаре знали N/g человек (время отсчитывается от момента начала рекламных мероприятий), g - отношение числа потенциальных покупателей к числу покупателей, которые знали о товаре до начала рекламных мероприятий (g = 2, 5, 10). Найдите закон изменения число потенциальных покупателей, знакомых с товаром, в зависимости от времени и коэффициента g, постройте совместные двумерные графики процесса. Методические указания 1. Составьте уравнение, связывающее значение функции n в момент t + ∆t со значением функции n в момент t ; преобразуйте его в разностное уравнение, разделите на ∆t и перейдите к пределу при ∆t стремящемся к нулю. 2. Решите получившееся уравнение при разных значения g и постройте графики процесса. Вопросы 1. Какое место занимает реклама в жизни современного общества ? 2. Какими видами рекламной деятельности занимаются производственные, торговые и кредитные организации? Назовите примеры и цифры. 3. От чего зависят предлагаемые потенциальным клиентам ставки процента ? 4. Как называются полученные вами графики ?

40

3.ЭЛЕМЕНТЫ МИКРО ЭКОНОМИКИ 3.1. Функции спроса и предложения, равновесная цена Микро экономика – раздел экономики, который занимается анализом отдельных элементов экономической системы. Один из важнейших разделов микро экономики — изучение спроса и предложения. Спрос на некоторые товары — это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью (прибылями) потребителей. Предложение — это количество товара, который может быть предложено для продажи по данной цене. Здравый смысл подсказывает: увеличение выпуска требует дополнительных затрат и, для того чтобы заинтересовать производителя в увеличении выпуска, нужно предложить ему повышенную цену. Отсюда вытекает, что предложение S нужно рассматривать, как возрастающую функцию цены Р. Если предложение зависит от цены, то и цена зависит от предложения. Экономисты обычно именно функцию Р = S(Q) называют функцией предложения, а её график — кривой предложения; здесь Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р. Тот же здравый смысл подсказывает: если цена на определенный товар начинает возрастать, то количество проданного товара будет уменьшаться, то есть зависимость спроса Q от цены Р — убывающая функция. Экономисты называют функцией спроса функцию Р=D(Q), а ее график — кривой спроса, здесь Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р. Хотя любое предположение о виде функциональных зависимостей S(Q) и D(Q) будет упрощением действительности, исследование этих функций позволяет частично «оценить» реальную ситуацию. Таким образом, анализируя модель, можно оценивать, прогнозировать изменение исследуемых величин. Чем ближе модель к реальности, тем, вообще говоря, она более сложнее и тем более точными могут оказаться прогнозы и оценки. Некоторые содержательные выводы о взаимном влиянии показателей можно сделать, исследуя поведение графиков соответствующих функций. Ниже на рис. 3.1 изображены графики функций спроса и предложения, описываемые зависимостями P=D(Q):= - 5Q+150, P=S(Q):=Q2/4 + Q/2 + 70, построенные с помощью системы Maple. S(Q) D(Q)

Рис. 3.1

41

Представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, а соответствующая цена — равновесной ценой. Пересечение графиков при Р = 100 означает, что при такой цене весь сделанный товар раскупается, спрос и предложение совпадают. При ценах, ниже равновесной (Р< 100), спрос превышает предложение; при D(Q) > S(Q), возникает «дефицит» товара и производители могут повышать цену, рыночная цена будет стремиться к равновесной. Если же цены выше равновесной цены Р>100, то S(Q) большее D(Q), предложение превышает спрос, остается нереализованная продукция, которая побудит производителей снижать цену, и рыночная цена будет стремиться к равновесной. Для определения равновесной цены графически достаточно щелкнуть мышью по точке пересечения графиков спроса и предложения. В окне координат панели графиков Maple появятся её координаты (в данном случае Q = 9,932,P = 99,41 ). Для определения Q, при котором достигается равновесная цена, необходимо решить уравнение 5Q+150 = Q2/4 + Q/2 + 70 или аналитически с помощью функции solve, или численно с помощью функции fsolve. Для рассматриваемых функций Q = 10, соответственно равновесная цена равна 100. Видно, что графическое решение дает ошибку, порядка 7%. Следует заметить, здесь рассмотрена очень упрощенная модель: ведь цена — не единый фактор, который определяет изменение спроса и предложения; с некоторыми другими факторами можно ознакомиться в трудах, в которые отражены исследование функций нескольких переменных в экономических задачах [5]. Практическое занятие № 3.1 Задание Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену графически и аналитически. Выполните задание для функций D(Q) = -АQ + В и S(Q) = Q2 /С + О /R + Е Порядок выполнения задания 1. Определите функцию предложения как функцию переменной Q. 2. Определите функцию спроса как функцию переменной Q. 3. Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения. Найдите графически координаты точки пересечения. 4. Найдите символьное значение Q, при котором достигается равновесная цена. 5. Вычислите равновесную цену как значения функции спроса в соответствующей точке. Вариант решения задачи для линейной функции спроса D(Q) = 150-5Q и для функции предложения S(Q) = Q 2 /4 + Q/2 + 70 приведен выше.

42

Варианты заданий № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

А 3 5 4 5 7 6 4 5 7 6 4 5 7 6 4

В 120 12 100 120 100 120 140 130 100 140 110 140 90 130 150

С 4 4 3 2 2 3 7 7 7 5 3 3 2 3 7

R 2 2 2 5 5 7 2 2 2 5 1 5 5 7 2

Е 80 80 70 70 70 90 60 60 60 50 70 70 70 90 60

№ А В С 16 4 140 5 17 5 130 5 18 7 150 5 19 6 140 7 20 4 140 7 21 3 120 3 22 5 120 3 23 4 100 2 24 6 120 2 25 7 100 3 26 7 150 5 27 8 140 7 28 5 140 7 29 2 120 3 30 8 120 3

R 5 7 7 7 7 2 2 5 5 7 7 7 7 2 2

E 50 80 80 70 70 70 70 70 70 90 80 80 90 40 50

Контрольные вопросы 1. Чем занимается микро экономика? 2. Что такое спрос? 3. Что такое предложение? 4. Что называется функцией предложения? 5. Что называется точкой равновесия? 6. Как найти равновесную цену? 3.2. Функции спроса. Зависимость спроса от прибыли

Предметом теории потребления является исследование того, как люди распределяют заработную плату между разными расходными статьями своего бюджета, в каких объемах они покупают продукты потребления и т.д. Функции спроса описывают зависимость спроса D на продукт потребления от цены Р этого продукта и от дохода потребителя х D=D (Х,P). При фиксированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D=D (х). Рассмотрим, как пример, функции спроса Торнквиста D(х), которые описывают зависимость размера спроса на разные группы товаров в зависимости от их цены и роли в потребительской корзине:

43

αx( x + β ) - спрос на малоценные товары; x2 +γ αx D1( x) := - спрос на товары первой необходимости; x+β α (x − γ ) D 2( x) := - спрос на товары второй необходимости (отx+β

D 0( x) :=

носительная роскошь) αх( x − γ ) - спрос на предметы роскоши. D3( x) := x+β Здесь α, β, γ — некоторые фиксированные параметры. На рис. 3.2. приведены графики функций спроса Торнквиста, построенные в Maple при .α:=10 β:=3 γ:=2 . x – доход D3 D0

D1

D1

D2

D3

D2

Рис. 3.2 Из приведенных графиков видно, что при α = 10, β = 3, γ = 2 спрос на малоценные товары возрастает при небольших доходах, а потом, с возрастанием доходов, начинает падать и стремится к значению α сверху. Спрос на товары первой необходимости возрастает с возрастанием доходов и стремится к значению α снизу. Товары второй необходимости и предметы роскоши покупают только люди с прибылью, которая превышает γ = 2. При этом спрос на товары второй необходимости отстает от спроса на товары первой необходимости и ограничен сверху значением α. И только спрос на предметы роскоши с возрастанием доходов постоянно возрастает. Практическое занятие № 3.2 Задание Постройте график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.

44

Порядок выполнения задание 1. Определите функцию спроса как функцию прибыли и параметров. 2. Постройте на одном графике кривые спроса для разных значений параметров. Варианты заданий

№ 1 2 3 4 5 6

α 11 12 13 14 15 16

β 1 2 3 4 5 6

γ 2 2 2 2 2 2

№ 7 8 9 10 11 12

α 13 12 12 12 10 10

β 4 4 5 5 5 5

γ 2 2 3 4 5 5

№ 13 14 15 16 17 18

α 16 15 13 14 11 14

β 3 3 1 2 4 4

γ 2 2 2 2 2 2

№ 19 20 21 22 23 24

α 10 11 12 13 14 15

β 4 4 5 5 5 5

γ 2 2 3 4 5 5

Варианты 1 - 1 5 : исследуйте функцию D0( x) := Варианты 16-30: исследуйте функцию D1( x ) :=

N α β 25 5 4 26 6 4 27 7 5 28 8 5 29 9 5 30 10 5 αx( x + β )

γ 2 2 3 4 5 5

x2 +γ αx x +β

Контрольные вопросы

1. Что изучает теория потребления? 2. Какое содержание имеют функции спроса Торнквиста? 3. Как изменяется спрос на малоценные товары? 4. Что называется функцией спроса? 5. Как изменяется спрос на товары первой необходимости? 6. Как изменяется спрос на товары второй необходимости и предметы роскоши? 3.3.Максимальная прибыль

В наиболее общем виде прибыль π — разность между выручкой предприятия от реализации продукции R и полными затратами С: π = R - С. Поскольку цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель, полная выручка, полученный от реализации товара в количества Q по цене — Р, исчисляется по формуле R=QР(Q), где Р= Р(Q) соответствующая функция спроса. Полные затраты С разделяют на постоянные Сf,, которые не зависят от объема производства Q, и переменные Сv — затраты на производство единицы продукции, то есть С = Сf , + Сv Q.

45

Задача об определении максимальной прибыли заключается в определении такого объема производства Qmах, при котором достигается максимальная прибыль, то есть нужно при заданных значениях С f , Сv и заданной функции спроса P = P(Q) найти максимум функции π (Q) = QР(Q)-( С f + Сv Q ). На рис.3.3 приведен график зависимости прибыли для квадратичной функции P(Q) = 10Q – Q2 при Сf=70, Сv =0.7.

Рис.3.3. Чтоб найти геометрически объем выпуска продукции Q, при котором достигается максимум прибыли, необходимо щелкнуть мышью на максимуме кривой прибыли. В окне координат панели рисунка выводятся значения Q и прибыли, при которых достигается максимум ( в данном примере максимум прибыли равен 83,43 при Q = 6,6 ). Из рисунка видно, что производство прибыльно только при Q1 < Q < Q2;, где Q1 и Q2 — точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты. Для аналитического определения границ интервала, в котором производство рентабельно (прибыль больше нуля) необходимо решить уравнение QР(Q)-( С f + Сv Q ) >0 относительно Q, что можно выполнить с помощью функции solve или fsolve. Для аналитического определения объема производства Q, при котором достигается максимальная прибыль необходимо решить уравнение d π (Q ) =0 dQ относительно Q. В Maple это можно выполнить комбинированной командой fsolve(diff(QР(Q)-( С f + Сv Q ),Q)=0,Q);

46

Практическое занятие № 3.3 Задание

Найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции выручки предприятия и функции затрат. Выполните вычисления для функции выручки предприятия R = АQ -Q2 и для функции затрат С = С f + Сv Q. Порядок выполнения задания

1. Определите функцию полной прибыли как функцию объема проданного товара Q. 2. Постройте на графике кривую полной прибыли . 3. Найдите графически максимальную прибыль и границы прибыльного производства. 4. Найдите аналитически границу прибыльного производства. 5. Найдите производную функции прибыли и точку максимальной прибыли. 6. Вычислите максимальную прибыль. Варианты заданий №

А

Сf

Сv

№

А

Сf

Сv

№

А

Сf

Сv

№

А

Сf

Сv

№

А

Сf

Сv

1

10

6

0.6

7

11

80

0.2

13

11

80

0.4

19

12

10

0.6

25

12

10

0.6

2

10

7

0.9

8

12

10

0.6

14

11

80

0.5

20

12

10

0.9

26

12

10

0.9

3

10

6

0.2

9

13

10

0.9

15

11

80

0.1

21

9

80

0.2

27

9

80

0.2

4

10

8

0.6

10

15

10

0.2

16

12

12

0.2

22

9

80

0.6

28

9

70

0.6

5

20

7

0.9

11

12

10

0.5

17

12

10

0.7

23

9

80

0.9

29

15

80

0.9

6

10

8

0.9

12

10

90

0.5

18

12

10

0.8

24

10

80

0.9

30

9

80

0.9

Контрольные вопросы

1. Что такое прибыль? 2. Чем определяется цена? 3. По какой формуле вычисляется полная выручка? 4. На какие составные части разделяют полные затраты? 5. В чем состоит задача об определении максимальной прибыли? 3.4. Cредние и предельные показатели

Переменные в экономическом анализе называются показателями. В экономике широко используются средние значения: средняя производитель47

ность, средняя прибыль, средние затраты и др. Однако с помощью средних показателей нельзя определить, какое влияние на результат деятельности (прибыль, объем производства и др.) осуществляет изменение одного из показателей. В этом случае целесообразно анализировать изменения переменных, то есть применять методы дифференциального исчисления. Предельная выручка определяется как производная полной выручки R=R(Q) по количеству товара Q, то есть она равняется скорости изменения выручки при изменении объема продаж. Средняя выручка — это выручка на единицу продаж: R (Q) Rср = . Q Если R(Q) = PQ, где P - цена единицы товара, то R (Q) Rср = = P, то есть средняя выручка равняется цене единиQ цы продукции. Аналогично определяются предельные и средние показатели для других экономических показателей. Средние и предельные затраты: C (Q) dC (Q) C ср = , C / (Q) = , где C(Q) функция затрат. Q dQ Средняя и предельная производительность: Q ( L) dQ( L) Qср = , Q / ( L) = , L dL где Q(L) — производственная функция, которая описывает зависимость объема выработанной продукции Q от количества затраченной работы L. Средняя и предельная склонность к потреблению: S (Y ) dS (Y ) , S / (Y ) = , где S(Y) — функция потребления, S ср = Y dY которая описывает зависимость объёма потребление S от национального дохода Y . Средняя и предельная склонность к сбережению: Z (Y ) dZ (Y ) , Z / (Y ) = , где Z(Y) — функция сбережеZ ср = Y dY ний, которая описывает зависимость объемов капиталовложений Z от национального дохода Y . Заметим, что для простейшей двухсекторной модели Y = S + Z ,поэтому S'(Y) + Z'(Y) = 1, Sср + Zср = 1.

48

Практическое занятие № 3.4 Задание

Вычислите средние и предельные значения для заданной производственной функции y = a (bx ) m / n . Порядок выполнения задания

1. Определите заданную экономическую функцию и постройте ее график. 2. Определите среднее значение и постройте его график. 3. Найдите предельное значение и изобразите его на том же графике. Варианты заданий № 1 2 3

а 2 3 4

Ь т 2.2 4 3.3 3 4.4 4

п 5 4 5

№ а Ь 11 1.1 2 12 2.3 3 13 3.4 4

т 3 2 3

п 4 3 4

№ а Ь 21 2,1 3 22 1.3 4 23 2.4 2

т 3 2 3

п 4 3 4

4

5

5.5

3

4

14 4.5

2

3

24 3.5

2

3

5 4 6.7 6 3 7.6 7 2 5.4 8 1 4.5 9 0.9 2.9 10 1.9 3.0

4 3 4 3 4 3

5 4 5 4 5 4

15 16 17 18 19 20

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

25 26 27 28 29 30

3 2 3 2 3 2

4 3 4 3 4 3

5

5.6 4 6.5 3 5.5 2 7.4 1 4.7 0.9 3.3 1.9

3

4.6 5 5.5 2 6.5 3 3.4 2 5.7 1.9 6.3 2.9

Контрольные вопросы

1. Что в экономическом анализе называют показателями? 2. Что нельзя определить с помощью средних значений? 3. Что такое предельная выручка? 4. Что такое средняя выручка? 5. Что такое средние и предельные затраты? 6. Что такое средняя и предельная производительность? 7. Что такое средняя и предельная склонность к потреблению? 8. Что такое средняя и предельная склонность к сбережению? 3.5. Эластичность экономических функций

Эластичность — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при относительном приращении аргумента стремящемся к нулю, то есть

49

E x ( f ( x)) = E xf =

 ∆f lim  ∆x / х → 0  f

  ∆x   :     x 

Эластичность можно определить через производную и средние величины: lim  ∆f   ∆x  lim  ∆f   x  x f ' ( x) '   :  = . E xf = =   ⋅   = f ( x ) ∆x → 0  f   x  ∆x → 0  ∆x   f  f ( x ) f ср ( х ) или как логарифмическую производную: d ln f ( x ) E xf = , d ln x так как df ( x ) dx d ln f ( x ) = и d ln x = . f ( x) x Для функции, заданной на конечном множестве значений xi рассматривают конечную (процентную) эластичность: y 2 − y1 ⋅ 100% y1 E xy = . x 2 − x1 ⋅ 100% x1 Эластичность спроса по цене определяется равенствами: dD dD P dQ P E PD = D = ⋅ = ⋅ . dP dP D dP Q P где D = D(Р) — функция спроса, Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р. Напомним, что функция спроса D = D(Р) — убывающая функция, поэтому эластичность E PD отрицательна (точнее, неположительная), обычно анализируется величина | E PD |. Свойства эластичности: bf 1. эластичность – безразмерная величина, то есть E ax = E xf 2. эластичность взаимообратных функций – взаимообратные величины. E xf = 1 x . Ef

50

3. эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть E x (u( x ) ⋅ v ( x )) = E xu + E xv . 4. Экономический смысл эластичности: это процентное изменение экономического показателя при изменении аргумента на один процент. Эластичность от некоторых функций следующая: • эластичность от степенной функции постоянна и равна E x ( xα ) = α ; • эластичность от показательной функции пропорциональна аргументу, то есть E x ( a x ) = x ln( a ). ax • эластичность от линейной функции: E x ( ax + b) = . ax + b В зависимости от значений | E PD |. различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если | E PD |> 1, то есть относительное повышение цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противоположном случае, если | E PD | ≤ 1, товар называют товаром неэластичного спроса. Существует связь между предельной прибылью и эластичностью спроса по цене. Как уже отмечалось выше, суммарная выручка R(Q) исчисляется по формуле R(Q) = QP(Q), где P(Q) — функция спроса. Тогда предельную выручку R'(Q) можно выразить через E PD . R ' (Q ) =

d (QP(Q ) ) = P + Q ⋅ dP = P1 + Q ⋅ dP  = P dQ  dQ dQ 

 1  P 1 − D .  E P  

  1   Равенство R / (Q ) = P1 −  справедливо для любой функции  E PD   

спроса. Отсюда вытекает, что при реализации товаров неэластичного спроса (| E PD | ≤ 1), предельная выручка отрицательна и суммарная выручка падает; если же спрос на товар эластичный (| E PD |> 1), то предельная выручка положительна и, следовательно, суммарная выручка возрастает. Справедливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарная выручка — возрастающая функция.

51

Эластичность предложения по цене определяется равенствами: dS dS P dQ P ES = S = P dP dP ⋅ S = dP ⋅ Q , P

где S = S(P) — функция предложения, Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р . Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность E PS неотрицательная, и анализируется величина E PS Ниже приведены вычисления предельной прибыли и эластичности спроса по цене при квадратичной функции спроса 2 P = D (Q ) = −0,1Q + 0,6 Q + 0,7 . Из второго свойства эластичности следует E PD = 1 E PD =

(

E DP

. Поэтому

)

− 0,1Q 2 + 0,6 Q + 0,7 D(Q ) 1 ⋅ = , d [Q ⋅ (− 0,2 Q + 0,6)] Q D(Q ) dQ

(

)

R (Q ) := QP (Q ) = Q − 0,1Q 2 + 0,6 Q + 0,7 , d R p (Q ) := R (Q ) = − 0,3Q 2 + 1,2Q + 0,7 . dQ На рис.3.4 приведен график модуля найденной эластичности спроса по цене.

EPD P(Q)

Рис.3.4 Показано графическое определение объема продукции и цены, при которых товар теряет эластичность (Е≤1).

52

На рис. 3.5 изображены графики зависимостей выручки R(Q) и предельной выручки RP(Q) в зависимости от объёма продукции Q, приобретенной потребителем по цене Р. R

RP

Рис. 3.5. Оба показателя имеют максимумы при разных значениях Q; максимум R достигается, когда Rр обращается в нуль. Для аналитического определения цены, при которой спрос на товар теряет эластичность, необходимо решить уравнение E PD =1 относительно Q и подставить найденное значение в выражение для Р= Р(Q). Для рассматриваемого примера Q=4,517 , P(Q)=1,37. Практическое занятие № 3.5 Задание

Найдите для заданной функции спроса P(Q)= -aQ2 + bQ +c эластичность E PD спроса по цене и соответствующую предельную выручку. Постройте графики эластичности ЕD и предельной выручки. Найдите значения Q и соответствующую цену, при которой | E PD | = 1. Сформулируйте выводы. Порядок выполнения задание

1. Определите функцию спроса Р= Р(Q) . 2. Найдите эластичность спроса по цене. 3. Определите функцию суммарной выручки. 4. Найдите предельную выручку. 5. Постройте графики эластичности спроса по цене и предельной выручки . 6. Постройте график суммарной выручки и предельной выручки

53

7. Найдите на графику точку, в которой |ED| = 1 .Определите графически цену, при которой товар теряет эластичность. 8. Найдите аналитически точку Q, в которой |ED| = 1 . 9. Вычислите аналитически соответствующее значение цены. Варианты заданий №

a

b

c

№

а

b

с

№

а

b

c

1

1/15

0.5

0.7

11

0.1

6/7

0.3

21

0.2

4/7

0.3

2

1/15

4/7

0.7

12

0.1

6/7

0.5

22

0.3

2/7

0.5

3

1/15

4/9

0.7

13

0.1

6/7

0.7

23

0.2

5/7

0.7

4

1/15

5/7

0.7

14

0.1

6/7

1

24

0.2

3/7

1

5

1/15

5/9

1

15

2/15

6/7

1

25

4/15

6/9

1

6

1/15

5/9

0.8

16

2/15

6/7

0.9

26

5/15

6/7

0.9

7

1/15

5/9

0.5

17

2/15

6/7

0.8

27

2/15

5/7

0.8

8

1/15

5/9

0.6

18

2/15

6/7

0.7

28

1/15

4/7

0.7

9

0.1

5/9

1

19

2/15

6/7

0.5

29

3/15

3/7

0.5

10

0.1

5/9

0.8

20

2/15

6/7

0.3

30

6/15

8/7

0.3

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое эластичность, ее экономический смысл ? 2. Как определить эластичность функции через ее производную? 3. Назовите и докажите основные свойства эластичности. 4. Определите эластичность основных элементарных функций. 5. Как вычисляется предельная выручка через эластичность? 6. Как графически определить цену, при которой товар теряет эластичность ? 7. Как аналитически определить цену, при которой товар теряет эластичность ? 4. КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАЧЕТОВ

В экономической, деловой, игровой и других сферах деятельности часто возникает задача учета взаимных задолженностей, когда между несколькими участниками формируются взаимные задолженности, по которым необходимо к концу определенного периода расплачиваться. Рассмотрим пример такой задачи и возможный алгоритм её решения. 03.01.20** г. предприятие А продало предприятию В продукцию на сумму 1000 руб. с оплатой к концу определенного периода. В результа-

54

те образовалась задолженность предприятия В перед предприятием А в размере 1000 руб. 04.02.20** г. предприятие А продало предприятию С продукцию на сумму 500 руб. на тех же условиях. 05.02.20** г. предприятие А продало предприятию В продукцию на сумму 2000 руб. на тех же условиях. 07.02.20** г. предприятие В продало предприятию А продукции на сумму 800 руб. на тех же условиях. В результате продажи и покупки товаров в течение рассматриваемого периода между предприятиями А, В, С сформировались взаимные задолженности, представленные в таблице 4.1, которую назовем Журнал регистрации взаимных задолженностей Таблица 4.1. Журнал регистрации взаимных задолженностей № п/п

1 2 3 4 5 6 7 8

Дата

03.06.20** г. 04.06.20** г. 05.06.20** г. 07.06.20** г. 03.06.20** г. 03.06.20** г. 03.06.20** г. 03.06.20** г.

Задолженность К получению К оплате А В А С А В В А В С С А С В В С Итого

Сумма (руб)

1000 500 2000 800 400 1500 700 400 7300

Всего вариантов взаимных задолженностей может быть шесть: АВ, АС, ВА, ВС, СА, СВ. По результатам хозяйственной деятельности за предыдущий период времени на начало рассматриваемого каждое предприятие имеет определенную прибыль или убыток (так называемое входящее сальдо). Входящее сальдо предприятий приведено в таблице 4.2 (данные с плюсом –прибыль, с минусом – убыток). Таблица 4.2. Входящие сальдо предприятий Предприятия

A

B

C

Входящее сальдо

+200

-100

-100

Входящие сальдо можно записать в векторной форме: S(t-1) = [ +200, -100, -100 ]T , где t-1 обозначает конец предыдущего периода времени, T – знак транспонирования , то есть S(t-1) – это вектор-столбец.

55

Обозначим через Zi(A,B) i-ю по порядку задолженность предприятия В перед предприятием А, аналогично Zi(X,Y) - i-я задолженность произвольного предприятия Y перед предприятием X. Через Z(X,Y) обозначим общую задолженность предприятия Y перед предприятием X за определенный период времени. Тогда: Z(A,B) = Z1(A,B) + Z2(A,B) = 1000 + 2000 = 3000 (руб) . Z(В,С) = Z1(В,С) + Z2(В,С) = 400 + 400 = 800 (руб) . Результаты суммирования запишем в сводный журнал взаимных задолженностей (таблица 4.3). Таблица 4.3. Сводный журнал взаимных задолженностей № п.п

1 2 3 4 5 6

Задолженность К получению К оплате А В А С В А В С С А С В Итого

Сумма(руб.)

3000 500 800 800 1500 700 7300

Задача заключается в том, чтобы к концу расчетного периода произвести окончательные расчеты между предприятиями и сформировать общий итог хозяйственной деятельности с учетом входящего сальдо. Это можно сделать двояким образом: а) произвести все шесть расчетов между участниками в соответствии с данными таблицы 2 по принципу «Каждый сам за себя»; б) сделать необходимые расчеты и произнести взаимозачеты долгов. При втором варианте число платежей сократится ровно вдвое, соответственно для расчетов потребуется меньше наличных денег. Для того, чтобы произвести взаимозачет долгов между двумя любыми предприятиями X, Y (у нас А, В, С) необходимо из суммы к получению Z(X, Y) вычесть соответствующую сумму оплаты Z(Y, X), т. е. говоря бухгалтерским языком, рассчитать сальдо (остаток) задолженности ∆Z(X, Y) = Z(X, Y) - Z(Y, X). Если сальдо положительно ∆Z(X, Y) > 0, то оно (сальдо) и есть сумма к получению предприятием X от предприятия Y. И наоборот, если ∆Z(X, Y) < 0, то сальдо представляет собой сумму оплаты своего долга предприятием X предприятию Y. При этом запись ∆Z(Y, X) = - ∆Z(X, Y) > 0 обозначает ту же сумму, которую предприятие Y должно получить от предприятия X. Так, в нашем примере Z(A, В) = 3000 - это есть сумма долга, которую предприятие А должно получить от предприятия В, a Z(B, А) = 800 - соответственно, сумма к получению предприятием В от предприятия А.

56

Сальдо ∆Z(А, В) = Z(A, В) - Z(B, A) = 3000 - 800 = + 2200 означает окончательную сумму долга, которую предприятие А должно получить от предприятия В при окончательном расчете. При расчетах между предприятиями А и С , соответственно, получаем ∆Z(А, С) = Z(A, С) - Z(С, A) = 500 - 1500 = - 1000 , и этот результат означает прямо противоположное - сумму к оплате задолженности предприятия А перед предприятием С или, что то же самое, ∆Z(С, А) = - ∆Z(A, С) = + 1000 представляет собой сумму к получению предприятием С долга от предприятия А. И, наконец, расчет сальдо ∆Z(B, С) = Z(B, С) - Z(C, В) = 800 - 700 = + 100 является заключительным во взаиморасчетах между тремя предприятиями. Таким образом, при втором варианте расчетов необходимо произвести всего три платежа для погашения взаимных задолженностей между предприятиями А, В и С, соответственно, для этого потребуется меньшая сумма наличных денег, равная 2200 + 1000 + 100 = 3300 (руб.), (сравните с общей суммой 7300 руб. при шести платежах по схеме «Каждый сам за себя»). В общем случае при числе предприятий М количество возможных (неповторяющихся) корреспонденции равно М х (М - 1). Так, при М = 10 число возможных корреспонденций будет равно 10 х (10 - 1) = 90, при М = 100, соответственно, 9900, при числе участников М = 1000 число возможных корреспонденции возрастет до 1000 х (1000 - 1) = 990000 и т. д. Поэтому возникает необходимость в систематизации такого рода расчетов. Запишем данные сводного журнала в виде шахматной таблицы следующего вида: Таблица 4.4. Шахматная таблица взаимных задолженностей предприятий за выбранный период К получению

Итого к получению

К оплате

Предприятия

А

В

С

А

0

3000

500

3500

В

800

0

800

1600

.С

1500

700

0

2200

Итого к оплате

2300

3700

1300

7300

Этой таблице соответствует матрица Z

57

3000 500  0  800 0 800 Z= 1500 700 0  2300 3700 1300 

3500  1600  2200   7300 

(4.1)

,

последняя строка, которой содержит итоговые суммы по столбцам, а последняя колонка содержит итоговые суммы по строкам, самый правый нижний элемент содержит общий итог. Назовем эту матрицу матрицей прихода. В ней по строкам (кроме последней), записаны суммы, которые каждое предприятие должно получить от других предприятий.. Транспонируем матрицу Z. Получим матрицу ZT : ZT

800 1500 2300  0 3000 0 700 3700  =  500 800 0 1300    3500 1600 2200 7300  

(4.2)

.

В этой матрице по строкам (кроме последней) записаны суммы, которые каждое предприятие должно заплатить другим предприятиям. Назовем эту матрицу матрицей платежей. Ей соответствует транспонированная шахматная таблица взаимных задолженностей предприятий за выбранный период (таблица 4.5). Таблица 4.5. Транспонированная шахматная таблица взаимных задолженностей предприятий за выбранный период

К оплате

Итого к оплате

К получению

Предприятия

А

В

С

А

0

800

1500

2300

В

3000

0

700

3700

С

500

800

0

1300

Итого к получе3500 1600 2200 7300 нию Если из матрицы прихода Z вычесть матрицу платежей ZT, то получим матрицу-сальдо окончательных расчетов как разность ∆Z = Z - ZT . + 2200 − 1000 + 1200   0   0 − 2200 + 100 − 2100  (4.3) ∆Z =  + 1000 − 100 0 + 900    0   − 1200 + 2100 − 900 Этой матрице соответствует шахматная таблица-сальдо расчетов между предприятиями за выбранный период (табл. 4.6) 58

Таблица 4.6. Шахматная таблица-сальдо расчетов между предприятиями за выбранный период. К получению

К оплате

Итого к получению

Предприятия

А

В

С

А

0

+ 2200

- 1000

+ 1200

В

- 2200

0

+ 100

- 2100

С

+ 1000

- 100

0

+ 900

Итого к оплате

- 1200

+ 2100

- 900

0

Полученная таблица обладает следующими свойствами: а) сумма всех ее элементов равна нулю; б) элементы таблицы зеркально симметричны относительно нулевой главной диагонали, т. е. всегда ∆Z(X, Y) = - ∆Z(Y, X) для любых X, Y = А, В, С. Для получения окончательных итогов хозяйственной деятельности предприятий на конец рассматриваемого периода времени (так называемое исходящее сальдо) необходимо к данным последнего столбца таблицы 4.6 прибавить соответствующие значения таблицы 4.2. Шахматная таблица-сальдо расчетов между предприятиями за выбранный период, исходящее сальдо и способ их получения, описанный выше, могут составить основу компьютерной технологии бухгалтерского учета. Действительно, если под именами А, В, С вместо предприятий подразумевать активно-пассивные счета бухгалтерского учета, то описанный алгоритм позволяет получить итоговые данные по каждому счету. Используя введенные выше обозначения, можно записать основное уравнение взаимных расчетов для любого количества предприятий в следующей матричной форме: ∆Z = Z - ZT , (4.4) S(t) = S(t-1) + submatrix(∆Z, 1..n-1, n..n-1), где ∆Z , - матрица, т. е. таблица, в которой со знаком « + » или «-» записаны окончательные сальдо взаимных задолженностей на конец t рассматриваемого периода, S(t) – вектор исходящих сальдо на конец рассматриваемого периода, submatrix - операция выделения последнего столбца без последнего элемента из матрицы ∆Z. Пусть, например, t - 1 = 31.12.02, a t = 31.03.03 тогда рассматриваемый период времени первый квартал 2003 г. внутри которого справедливы матричные уравнения (4.4). Матрицы ∆Z, ZT квадратные, одинакового размера (М + 1) х (М + 1); последние строки и столбцы содержат итоговые данные. 59

Уравнения (4.4) в компьютерной реализации полностью отражают процесс взаимозачетов между предприятиями, то есть являются его компьютерной моделью. Итоговую таблицу окончательных расчетов между предприятиями можно сформировать в следующем виде ( таблица 4.7) Таблица 4.7. Таблица окончательных расчетов между предприятиями на конец выбранного периода. К получеВходящее нию Предпри- сальдо ятия

A B C

200 -100 -100

К оплате A

B

C

0 -2200 -1000

2200 0 -100

-1000 100 0

Итог за Исходящее период сальдо 1200 -2100 900

1400 -2200 800

Исходящего сальдо окончательных расчетов в таблице 4.7 содержит числа со знаком « + » и «—». Число со знаком « + » означает сумму к поступлению для соответствующего предприятия, числа же со знаком «-» соответствуют противоположному и означают сумму к оплате. Следует отметить, что в бухгалтерском учете такое представление информации не является традиционным. Обычно суммы к получению и суммы к оплате показывают с положительным знаком, но каждую в своей колонке. Это можно сделать, если таблицу 4.7 развернуть в таблицу 4.8, как это показано ниже: Таблица 4.8

A B C

Нач сальдо С кредита в дебет Деб. оборот Д-т К-т A B C 200 - 2200 2200 100 100 100 100 1000 1000

С дебета в кредит A B C 1000 2200 100 -

Кред. Конеч. сальдо оборот Д-т К-т 1000 1400 2200 2200 100 800 Итого 2200 2200

Таблица 4.8 полностью эквивалентна таблице 4.7. При анализе таблицы 4.8 видно, что каждая ее строка, относящаяся к предприятиям, соответствует итоговой строке важнейшего бухгалтерского документа – Главная книга (обороты счета). Итоговые столбцы дают данные для составления баланса, а в итоговой строке записана валюта баланса. Выше проведенные расчеты легко можно автоматизировать, выбрав подходящее программное приложение. Одним из возможных приложений является табличный процессор Excel, обладающий развитыми средствами работы с матрицами. Последовательность действий будет следующая: 60

1. Запишем данные таблицы 1 в область A1:C11 листа Excel, предварительно дав столбцам имена, например 1, 2, 3. A B C Операции между Предприятиями за выбранный период 1 2 3 1000,00 a b 500,00 a c 2000,00 a b 800,00 b a 400,00 b c 1500,00 c a 700 c b 400 b c Итого 7300,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10

2. Данные входящего сальдо из таблицы 4.2 занесем в область A15:D17.

A

15 16 17

B C Входящие сальдо предприятий ПредприA B ятия Сальдо 200 -100

D C -100

3. Путем последовательного суммирования значений строк с одинаковыми названиями предприятий (например a, b) формируем шахматную таблицу взаимных задолженностей предприятий за выбранный период (электронный аналог таблицы 4.4). Эту процедуру можно выполнить с помощью Мастера Частичная сумма.. , вызываемого из меню Сервис. Результат запишем в ячейки B23:D25 области А20:E26. (Предварительно в ячейки B23, C24, D25 необходимо занести нули). Мастер Частичная сумма.. формирует итоги за несколько шагов: • На первом шаге необходимо указать всю область данных вместе с наименованием столбцов A3:C11 (итоговая строка не входит в область данных). Эту процедуру можно выполнить выделением мышью. Нажимаем кнопку далее. • На втором шаге указываем условия суммирования (например для корреспонденции a, b необходимо указать следующее: суммировать по третьему столбцу и добавить два условия: столбец 1 = а, столбец 2 = b). Нажимаем далее. • На третьем шаге выбираем переключатель Копировать формулу в отдельную ячейку. Нажимаем далее. • На четвертом шаге выбираем ячейку, куда будет занесен ре-

61

зультат (для корреспонденции a, b ячейка C23). Для этого вначале щелкаем по полю Задайте ячейку…, а потом по ячейке C23. Нажимаем Готово. И так выполняем для всех корреспонденций. Формируем информационное обрамление таблицы. В результате получим A

B

C

D

20

Взаимные задолженности между предприятиями

21 22

за выбранный период ПредприA ятия A 0 800,00 B 1500,00 C

23 24 25

B

C

3000,00 0 700,00

500,00 800,00 0

В ячейках по краям этой таблице формируем итоговые суммы по строка и столбцам. Получаем 20 21 22 23 24 25 26

A B C D E Взаимные задолженности между предприятиями за выбранный период Предприятия A B C Итого 0 3000 500 3500 A 800 0 800 1600 B 1500 700 0 2200 C 2300 3700 1300 7300 Итого

4.С помощью функции транспонирование (ТРАНСП) транспонируем матрицу, находящуюся в ячейках B23:E26, и помеcтим её в в ячейки B31:E34 области A28:E34. Для этого: • начиная с ячейки B31, выделяем область B31:E34, куда будет помещен транспонируемый массив, и щелкаем по кнопке fx . Из категории Ссылки и массивы выбираем функцию ТРАНСП и щелкаем по кнопке Ok. В появившемся окне указываем область, где находится исходный массив (у нас B23:E26). Это можно сделать путем выделения этой области мышью. Одновременно нажимаем Ctrl, Shift, Enter (не Ok !), занося в ячейки области B31:E34 функцию ТРАНСП как формулу массива. В области B31:E34 сформируется транспонированная матрица. Формируем информационное обрамление таблицы. Получаем

62

A B C D Транспонированная таблица взаимных задолженностей между предприятиями Предприятия A B C 0 800 1500 A 3000 0 700 B 500 800 0 C 3500 1600 2200 Итого

28 29 30 31 32 33 34

E

Итого 2300 3700 1300 7300

5. Используя формулу массива, вычтем из матрицы, находящейся в области B23:E26, транспонируемую матрицу, находящуюся в области B31:E34, и результат запишем в ячейки B39:E42 области A36:E42. Для этого, начиная с ячейки B39, выделяем область B39:E42; нажимаем клавишу =; выделяем область B23:E26 и нажимаем клавишу - ; выделяем область B31:E34 и одновременно нажимаем клавиши Ctrl, Shift, Enter. В ячейках B39:E42 области A36:E42 сформируется итоговая разность двух матриц аналогичная таблицы 6. Формируем информационное обрамление таблицы. Получаем: A

B

C

36

таблица расчетов между

37

предприятиями за выбранный период

38

Предприятия

D

E

A

B

C

Итого

39

A

0

2200

-1000

1200

40

B

-2200

0

100

-2100

41

C

1000

-100

0

900

42

Итого

-1200

2100

-900

0

6. В ячейках B49:G51 области A45:G51 сформируем итоговую таблицу расчетов между предприятиями за выбранный период. Для этого в ячейки B49:B51 из ячеек B17:D17 скопируем содержимое входящего сальдо (выделяем область B49:B51, нажимаем клавишу =, выбираем ТРАНСП, выделяем область B17:D17, и совместно нажимаем Ctrl+Shift+Enter ). В ячейки С49:Е51 с использованием формулы массива копируем содержимое ячеек B39:D41. (Выделяем область B49:B51, нажимаем клавишу =, выделяем область B39:D41 и совместно нажимаем Ctrl, Shift, Enter ). В ячейках F49: F51 формируем итоговые суммы за период (в ячейку F49 заносим формулу =СУММ(C49:E49) и копируем её 63

в ячейки F50: F51). В ячейках G49:G51 формируем исходящее сальдо на конец периода. Для этого в ячейку G49 заносим формулу =СУММ(B49:E49) и копируем её в ячейки G50: G51 . Формируем информационное обрамление таблицы. Получаем: A

B C E F D Итоговая таблица расчетов между предприятиями за выбранный период Итого за К оплате Входящее сальдо период A B C 0 2200 -1000 1200 200

G

45 46 47 48 49

К получению Предприятия A

50

B

-100

-2200

0

100

-2100

-2200

51

C

-100

1000

-100

0

900

800

Исходящ сальдо 1400

7. В области A53:M59 cформируем электронную таблицу, содержащую в бухгалтерском представлении, входящие сальдо в виде начальных остатков дебетовых и кредитовых, развернутую таблица-сальдо расчетов между предприятиями за выбранный период и остатки на конец периода в дебетовом и кредитовом представлении. Для этого 1. Используя формулу массива из ячеек B49:B51 выберем положительные значения входящего сальдо и запишем их в ячейки B56:B58. С этой целью выделяем ячейки B56:B58, вводим формулу =ЕСЛИ(B49:B51>0;B49:B51;”-”) и одновременно нажимаем Ctrl, Shift, Enter. Аналогично, используя формулу массива из ячеек B49:B51 выберем отрицательные значения входящего сальдо и запишем их c обратным знаком в ячейки С56:С58. С этой целью выделяем ячейки B49:B51, вводим формулу =ЕСЛИ(B49:B510;C49:C51;”-”) и одновременно нажимаем Ctrl, Shift, Enter. В ячейку G56 запишем формулу =СУММ(D56:F56), формирующую дебетовый оборот предприятия А за выбранный период. Копируя эту формулу в ячейки G57 и G58 сформируем дебетовые обороты предприятий B и С за выбранный период. 3. Используя формулу массива из ячеек С49:Е51 выберем отрицательные значения расчетов между предприятиями и запишем их в ячейки H54:J56. С этой целью выделяем ячейки H54:J56, вводим формулу =ЕСЛИ(C49:C510; СУММ(B56;G56)-СУММ(C56;K56);"-") и скопируем её в ячейки L57 и L58 . В ячейку M56 запишем формулу =ЕСЛИ(СУММ(B56;G56)-СУММ(C56;K56) restart: > readlib(spline):X:='X':Y:='Y': X:=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]: Y:=[18.00,15.54,14.14,14.03,14.35,14.59,14.76,14.85,14.91,14.94, 14.96,14.98,14.99,14.99,15.00,15.00,15.00,15.00,15.00,15.00]: Z:=[13.33,13.25,13.76,14.23,14.53,14.71,14.82,14.89,14.93,14.96, 14.97,14.99,14.99,15.00,15.00,15.00,15.00,15.00,15.00,15.00]: > f1:=spline(X,Y,T,cubic):f2:=spline(X,Z,T,cubic): > > plot([f1,f2],T=0..19,z=12..18,color=[red,black],thickness=3, labels=[`T`,`SP2, DP2`]); SP2

DP2

Рис. 5.6 Видно, что кривая спроса плавно выравнивается с кривой предложения, совершая определенные колебания. График зависимости критерия равновесия рынка ED в зависимости от модельного времени, построенного с помощью кубической и линейной сплайн-интерполяции, приведен на рис.5.7.

Рис.5.7

77

Видно, что линейная сплайн-интерполяция (жирная линия) дала более точную картину процесса, чем кубическая. На рис. 5.8 представлена распечатка прогона модели при одних и тех же параметрах цен и спроса, что и на рис. 5.5, но при предложении ресурса в полтора раза больше. Введите последовательно через запятую первоначальные цены на продукцию ( P(I) < 40), первоначальный спрос на неё ( DP(I) < 25 ) и объем ресурса ( 80 < SR < 120 ) и нажмите Enter P(1) P(2) DP(1) DP(2) SR ? 30, 10, 10, 15, 150 T U 0 878 1 1005 2 995 3 1047 4 975 5 1095 6 866 7 1190 8 502 9 1020 10 975 11 1074 12 925 13 1129 14 756 15 1148 16 634 17 1089 18 857 19 1128 20 763

ED -121.67 -89.60 -77.67 -63.32 -42.37 -40.96 -43.09 -81.54 -217.83 -42.80 -52.77 -65.12 -54.87 -69.40 -101.89 -85.59 -163.21 -71.83 -83.59 -93.06 -120.99

PR DR(1) DR(2) P(1) P(2) 2.50 36.00 36.00 30.00 10.00 1.80 89.40 40.91 34.00 7.67 1.62 108.38 18.90 33.75 4.70 1.42 130.10 34.10 32.31 5.51 1.54 95.01 18.41 30.10 4.42 1.21 153.02 58.05 30.05 6.17 1.76 61.00 6.14 27.56 2.92 1.02 219.59 144.80 30.19 8.17 2.95 18.73 0.00 25.52 0.00 1.77 82.78 69.59 32.15 9.83 1.79 85.43 24.94 33.05 5.95 1.43 134.50 54.76 33.20 7.06 1.78 74.18 12.76 30.74 4.25 1.22 169.42 88.32 31.69 7.63 2.19 41.48 1.50 28.17 1.79 1.22 170.00 129.22 31.91 9.27 2.57 30.96 0.11 28.56 0.57 1.50 122.85 95.98 33.17 9.77 2.12 55.49 6.60 31.52 3.62 1.32 160.50 100.98 33.56 8.87 2.33 41.50 1.76 29.99 2.06

SP(1) 6.00 9.45 10.41 11.41 9.75 12.37 7.81 14.82 4.33 9.10 9.24 11.60 8.61 13.02 6.44 13.04 5.56 11.08 7.45 12.67 6.44

DP(1) 10.00 9.20 8.97 9.20 9.70 9.88 10.44 10.15 10.96 10.00 9.39 9.14 9.56 9.50 10.18 9.69 10.17 9.44 9.49 9.10 9.69

SP(2) 18.00 19.19 13.04 17.52 12.87 22.86 7.44 36.10 0.00 25.03 14.98 22.20 10.71 28.19 3.68 34.10 1.00 29.39 7.71 30.15 3.98

DP(2) 13.33 13.25 14.67 15.33 16.38 16.35 17.95 16.65 19.65 17.28 17.20 16.58 17.47 16.52 18.65 16.69 19.40 17.10 18.21 16.52 18.51

Рис. 5.8. Видно, что избыточное предложение ресурса сильно дестабилизирует рынок, приводя к значительным колебания цен, спроса и предложения. Практическое занятие № 5 Задание к практическому занятию по разделу

Исследуйте процесс функционирования регулируемого рынка по его схеме и на основе имитационной модели. Проследите, как изменяются основные характеристики в зависимости от времени. Укажите, как влияет избыточное предложение исходного ресурса на функционирование рынка. 78

Порядок выполнения задания 1. Получите у преподавателя исходные данные своего варианта, скопируйте в свою папку по сети из сервера папку с имитационной моделью РегулРынок, войдите в нее и дважды запустите файл с имитационной моделью РегулРынок .bat. При первом прогоне укажите предложение ресурса в 100 единиц, при втором – в 150. Для повторного запуска программы используйте команду RUN, а для выхода из программы – команду SYSTEM 2. Скопируйте результаты прогонов для отчета в редактор Word. 3. Проанализируйте полученные результаты. 4. Постройте по полученным данным первого прогона с помощью системы Maple интерполирующие графики изменения зависимостей U, ED, SP(I), DP(I) от относительного времени (I = 1 для нечетных вариантов, . I = 2 – для четных) и скопируйте их в отчет. 5. Сделайте выводы по работе и оформите отчет по заданию. Варианты заданий № варианта

P1

P2

DP1

DP2

1

30

10

15

25

2

10

30

25

15

3

10

15

10

10

4

40

10

25

10

5

25

40

15

20

6

35

30

20

20

7

34

29

22

18

8

28

14

13

22

9

22

23

10

15

10

13

18

13

14

11

31

32

25

25

12

34

10

10

25

13

5

40

20

25

14

35

5

15

26

15

8

28

15

10

79

Контрольные вопросы 1. Что такое имитационная модель и чем она отличается, например, от математической модели? 2. Как функционирует рынок, описываемый имитационной моделью в данной лабораторной работе? 3. Посредством чего различные субъекты воздействуют на рынок? 4. Что такое закон управления и как его формируют различные субъекты рынка? 5. Какие критерии используют в своей деятельности различные субъекты рынка? 6. Объясните работу модели по блок схеме. 7. Ваши выводы по результатам функционирования рынка. 6. Балансовые модели в экономике 6.1. Компьютерная модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева В.В.)

На примере этой модели будет показано использование операций над матрицами и элементов программирования при моделировании технико-экономических систем. Любое национальное хозяйство развивается в сложной системе межотраслевых взаимосвязей, понять которые во всей их совокупности путем простого суммирования невозможно. Например, спрос на автомобили оказывает влияние не только на автомобильную промышленность, но и косвенным путем на металлургию и области, которые вырабатывают шины, бортовую электронику, а через них на производство микросхем. Изменения в одной области неизбежно сказывается во всем народном хозяйстве. Для анализа межотраслевых связей выдающийся экономист Леонтьев В.В. разработал специальный метод балансового анализа – “анализ затрата-выпуск” (Input-output analysis или I/O analysis), который позволяет исследовать процессы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должна выработать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности национального хозяйства системы в его продукции. Пусть весь производственный сектор национальной экономике разделен на n “чистых отраслей ” (секторов). Словосочетание “чистая область” означает, что продукция каждой области является однородной. Чистая область является экономической абстракцией, не обязательно существующей в виде каких-то организационных форм, то есть это модель. Например, под отраслью “электроэнергетика” можно понимать совокупность всех электростанций независимо от их принадлежности.

80

Подобная идеализация разрешает провести тщательный анализ сформированной технологической структуры общественного производства и распределения. Предположим, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли вырабатывают разную продукцию. В процессе производства своего вида продукции каждая отрасль потребляет продукцию других отраслей. Пусть в какой-либо момент времени Т0 составлен балансовый отчет по национальной экономике по итоговым данным за фиксированный период времени, например, за прошедший год, по следующей форме.

Конечный спрос (потребление инвестиции, експорт(+), импорт(-) )

….

α1j

….

α1n

d1

q1

2

α21

α22

….

α2j

….

α2n

d2

q2

di

qi ....

αin

....

….

....

αij

....

….

....

αi2

....

αi1

....

i

....

....

α12

....

α11

....

1

....

n

....

…..

....

j

....

….

....

2

....

1

n

αn1

αn2

….

αnj

….

αnn

dn

qn

g1

g2

....

gj

....

gn

-

D

q1

q2

....

qj

....

qn

D

V

Добавленная стоимость (прибыль занятых по → найму, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее) Объем затрат →

Отрасли производства

....

Отрасли производства

Отрасли покупатели (сектора Отрасли спрородавцы са) → (сектора предложений) ↓

Объем выпуска

Таблица 6.1

81

Строки приведенной таблицы показывают распределение выпуска (output) каждого вида продукции. Величина αij показывает объем продукции отрасли i, которую закупили у нее отрасли j ( i, j = 1,2,…)в качестве промежуточных продуктов. Конечный спрос di показывает объем продукции i-й отрасли, который был потреблен на инвестиции, экспорт, для создания запасов. Число qi равняется общему объему продукции (валовому выпуску) i-й отрасли за отчетный период. Каждая строка характеризуется следующим балансом: выпуск данного вида продукции = промежуточный спрос + конечный спрос,

который математически может быть записан как

q i = (α i 1 + α i 2 + ...α ij .. + α in ) + d i , i = 1,2,..., n.

(6.1)

Столбцы таблицы показывают структуру затрат (input), или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс: затраты отрасли = промежуточные затраты + добавленная стоимость

что в математической записи выглядит как

q j = (α 1 j + α 2 j + ... + α nj ) + g j , j = 1,2,..., n.

(6.2)

Промежуточные затраты являются исходными материалами, закупленными i – й отраслью у отраслей (секторов) 1,2,...,n. Добавленная стоимость является факторными затратами отрасли, то есть вновь приобретенной стоимостью, которая распадается на заработную плату, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления. Для национальной экономики, исходя из закона сохранения должны выполняться отношения: Выпуск отрасли = затраты отрасли, Общая сумма конечного спроса = общая сумма добавленной стоимости.

Математически это записывается следующим образом:

qi = n

∑ i =1

n

n

j =1

j =1

∑ α ij + d i = ∑ α ji + g i ,

di =

i = 1,2,..., n.

(6.3)

n

∑ qi .

(6.4)

i =1

Уравнения (6.3) и (6.4) называются балансовыми уравнениями. Единицами измерения всех указанных величин могут быть или натураль-

82

ными (тонны, штуки) или стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостный баланс. В будущем будим иметь в виду стоимостный баланс. Таблица 6.1 также называется таблицей межотраслевого баланса и она позволяет изучать структуру потоков ресурсов в национальной экономике. Но более информативными являются относительные величины. Если все элементы αij таблицы 6.1 разделить на величину qj (объем продукции j – й отрасли), а числа di на qi , то числа aij =αij /qj , i,j = 1,2,…,n, можно понимать как объем продукции i - й отрасли, необходимой для производства одной единицы продукции отрасли с номером j; числа ci = di / qi , i = 1,2,…,n, как долю продукции i –й отрасли, которая пошла на непроизводственное потребление. Числа aij ,i = 1,2,…,n, носят название коэффициентов прямых, непосредственных затрат j – й отрасли и в некотором смысле полностью характеризуют технологию j – й отрасли в отчетном периоде: выпуск единицы продукции возможен при структуре затрат, характеризуемыми величинами aij. Исходя из экономического смысла, считаем коэффициенты aij положительными. Матрица А=[ aij ], составленная из коэффициентов прямых затрат aij , несет много информации о структуре межотраслевых связей и существующей технологии общественного производства, которые сложились в народном хозяйстве. Сравнивая такие матрицы, составленные в разные моменты времени, можно прогнозировать направления изменения и развития технологии. Например, некоторые коэффициенты затрат труда при семидесяти шести отраслевой схеме классификации отраслей народного хозяйства США имеют вид Таблица 6.2 Название отрасли Автомобили и оборудование Ремонт автомобилей Нефтепереработка

1947 г. 0,2149 0,4769 0,1328

1958 г. 0,1569 0,4969 0,0881

Из таблицы 6.2 видно, что вследствие внедрения прогрессивной технологии резко уменьшились затраты на производство автомобилей и нефтепереработку, но в сфере ремонта автомобилей, где преобладает ручной труд, относительные затраты возросли. Матрицу А можно использовать для текущего и долгосрочного планирования. Сделаем следующие предположения: ƒ Существующая технология производства неизменна в течение некоторого промежутка времени [T0, T], где Т>T0 . В зависимости от по-

83

ставленной задачи промежуток [T0, T] может равняться одному календарному периоду (год) или нескольким. ƒ Технология производства линейная, то есть будем считать, что для выпуска продукции i-й отрасли объемом xi необходимо и достаточно сделать затраты в объемах xiaij , j=1,2,…,n, продукции каждой отрасли. Все это вместе приводит к тому, что мы будем рассматривать идеализацию реальных процессов - модель. Мы не можем производить какой угодно объем продукции, так как не хватит прежде всего производственных мощностей. Пусть i-я отрасль должна вырабатывать объем xi, i=1,2,…,n, ваT лового выпуска своей продукции. Обозначим через X = [ x1 , x2 ,…., xn ] матрицу-столбец валового выпуска всех секторов.

Воспользовавшись

предположением о линейности, рассчитаем затраты отрасли i на выпуск продукции в других отраслях. Это будет a i 1 x1 + a i 2 x 2 + ... + a in x n . (6.5) Из уравнения баланса вытекает, что выражение (6.5) равняется xi минус конечный спрос, то есть n

∑ a ij x j = x i − d i ,

i = 1,2,..., n,

j =1

где

di

конечный спрос на продукцию i-й отрасли.

В матричном виде AX = X - D, или ( I – A ) X = D, (6.6) где D - вектор конечного спроса национальной экономики, I – единичная матрица. Матрица OL = (I-A)-1 называется матрицей полных затрат или обратной матрицей Леонтьева. Уравнение (6.6) вместе с интерпретацией матрицы A и векторов X, D называется моделью Леонтьева. При планировании ставится задача: найти вектор X валового выпуска, чтобы удовлетворить вектор конечного спроса D при существующей структуре экономики, которая задается матрицей A. Если задан вектор конечного спроса D и существует положительный вектор производства X, который удовлетворяет уравнению (6.6), то модель Леонтьева называется продуктивной.

84

Для установления продуктивности модели Леонтьева необходимы выполнения условия Хаукинса-Саймона: 1 − a11 − a21 ...

− a12

...

1 − a22 ... ... ...

− a1n − a2 n > 0, ...

− an1

− an 2

... 1 − ann

1 − a11

− a12

...

− a21 ... − an1

1 − a22 ... ... ... − an 2

− a1n −1

− a2n −1 1 − a11 − a12 > 0, > 0, ... − a21 1 − a22 ... 1 − ann −1

1 − a11 > 0.

Теоретически решение уравнения (6.6) весьма компактно: X = (I – A )-1 D = OL·D, где OL = ( I – A )-1 - обратная матрица Леонтьева. OL является ни чем иным, как матрицей коэффициентов полных затрат. Экономическое содержание ее элементов olij заключается в следующему: коэффициент olij показывает общую потребность в валовом выпуске продукции отрасли i для производства единицы конечной продукции отрасли j. Например, для выпуска автомобилей нужна продукция металлургической отрасли, это будет первичный спрос; также нужны подшипники, для выпуска которых нужна продукция металлургической отрасли – это образует вторичный спрос со стороны отрасли автомобилестроения на продукцию металлургической отрасли и так далее. Рассмотрим процедуру планирования с использованием модели Леонтьева на примере данных экономики США за 1958 год в системе Maple. >restart:Digits:=7: >with(‘linalg’): # вызов пакета линейной алгебры Модель межотраслевого баланса экономики США по данным 1958 г. (млн. дол.) задана следующей таблицей > Is:=array(1..12,1..12,[ [Sek, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , Sum , Prod , ValVup], [1, 8565, 8069, 8843, 3045, 1124, 276, 230, 3464, 33616, 3992, 37608], [2, 1505, 6996, 6895, 3530, 3383, 365, 219, 2946, 25839, 19261, 45100], [3, 98, 39, 5, 429, 5694, 7, 376, 327, 6975, 39347, 46322], [4, 999, 1048, 120, 9143, 4460, 228, 210, 2226, 18434, 22625, 41059], [5, 4373, 4488, 8325, 2729, 29671,1733, 5757, 14756, 71832,137572, 209404], [6, 2150, 36, 640, 1234, 165, 821, 90, 6717, 11853, -654, 11199], [7, 506, 7, 180, 0, 2352, 0, 18091, 26529, 47665, 8327, 55992], [8, 5315, 1895, 2993, 1071, 13941, 434, 6096, 46338, 78083, 82997, 161080], [Sum,23511,22578,28001,21181, 60790, 3864,31069,103303, 294297,313467, 607764], [Doh,14097,22522, 18321,19878,148614, 7335,24923, 57777, 313467,xxxxxx ,xxxxxx], [Zat, 37608,45100 ,46322, 41059,209404,11199,55992,161080, 607764,xxxxxx, 607764]]);

85

Sek 1 1 8565 2 1505 3 98 4 999 Is= 5 4373 6 2150 7 506 8 5315 Sum 23511 Doh 14097 Zat 3760

2 8069 6996 39 1048 4488 36 7 1895 22578 22522 45100

3 8843 6895 5 120 8325 640 180 2993 28001 18321 46322

4 3045 3530 429 9143 2729 1234 0 1071 21181 19878 41059

5 1124 3383 5694 4460 29671 165 2352 13941 60790 148614 209404

6 7 8 276 230 3464 365 219 2946 7 376 327 228 210 2226 1733 5757 14756 821 90 6717 0 18091 26529 434 6096 46338 3864 31069 103303 7335 24923 57777 11199 55992 161080

Sum Prod 33616 3992 25839 19261 6975 39347 18434 22625 71832 137572 11853 -654 47665 8327 78083 82997 294297 313474 313467 xxxxxx 607764 xxxxxx

ValVup 37608 45100 46322 41059 209404 11199 55992 161080 607764 xxxxxx 607764

Где: Sek – отрасли ( секторы), Sum – промежуточные затраты или промежуточный спрос; Doh – добавленная стоимость, Zat затраты отрасли, Prod – конечный спрос, ValVup – выпуск продукции. 1 -отрасль материалов, 2 - металлообрабатывающие отрасли, 3 - строительство , 4 - отрасль, которая объединяет транспортное оборудование, электрику и газ, 5 - услуги и транспорт, 6 - горнодобывающая промышленность, 7 - сельское хозяйство и сопредельные отрасли, 8 - все другие отрасли . В отличие от таблицы 1 матрица Is (начальная) имеет дополнительный столбец Sum и дополнительную строку Sum – суммы коэффициентов α по столбцам и по срокам. Спланируем выпуск продукции в отраслях промышленности в млн. долларов США, чтобы удовлетворить потребление по каждой отрасли, заданного таблицей 6.3. Таблица 6.3 Номер отрасли 1 2 3 4 5 6 7 8

Объем продукции отрасли, которая направляется на потребление (млн. дол.) 6000 40000 39000 22000 300000 500 8000 90000

86

Формируем матрицу коэффициентов прямых затрат, которая соответствует этой таблице: Образовываем матрицу Rash размером 8х8 из элементов α путем их изъятия из матрицы Is с помощью функции submatrix 230 3464   8565 8069 8843 3045 1124 276   219 2946  1505 6996 6895 3530 3383 365  98 39 5 429 5694 7 376 327    999 1048 120 9143 4460 228 210 2226  RashM =   4373 4488 8325 2729 29671 1733 5757 14756    640 1234 165 821 90 6717   2150 36  506 7 180 0 2352 0 18091 26529    5315 1895 2993 1071 13941 434 6096 46338  >Rash:=submatrix(Ishodn,2..9,2..9); Образовываем матрицу прямых затрат путем деления элементов столбцов матрицы Rash на общий объем затрат по каждой отрасли, которые выбираются из 12-той сроки матрицы Is. Так как операции деления в пакете linalg нет, заменяем ее умножением на обратную величину. Так как операцию умножения можно выполнять лишь по отдельным столбцам, оформляем ее в цикле программным путем. При этом будет выводиться много промежуточных данных, поэтому все оформляем в секцию (она сейчас открыта). - #Формирование матрицы коэффициентов затрата-выпуск > EE:=matrix(8,8): > copyinto(Rash,EE,1,1): > for и from 1 to 8 do EE:=mulcol(EE,и,(1/(Ishodn[12,и+1]))) od: >A:=matrix(8,8): >A:=convert(eval(EE),float):

>evalm(A);

.2277441

.1789135 .1909069 .07416338 .04001808 .1551220 .1488526 .08597594 .002605829 .00086474 .0001079424 .01044863 .02656350 .02323725 .002590618 .2226850 .1162785 .09951220 .1797241 .06646695 .05716869 .00079822 .01381663 .03005504 .01345458 .00015521 .003885926 0 .1413263 .04201774 .06461432 .02608505

.005367615 .01615537 .02719146 .02129854 .1416926 .000787950 .01123188 .06657466

87

.02462527 .03256602 .00062455 .02034261 .1546217 .07325125 0 .03872234

.004107730 .003911273 .006715245 .003750536 .1028183 .001607372 .3230997 .1088727

.02150484 .01828905 .00203004 .01381922 .09160666 .04169978 .1646946 .2876707

Найдем обратную матрицу Леонтьева. Для этого сформируем единичную диагональную матрицу: >II:=band([1],8); 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 II= 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 С помощью матричных операций вычисляем обратную матрицу Леонтьева >OL:=evalm((II-A)^(-1)); 1.339392 .08865971 .01289261 .06457548 OL:= .2648177 .09986208 .1093064 .3213846

.2960476 .213901 .0089487 .0562216 .2155171 .02884338 .04931747 .1624581

.3115558 .2090991 1.011064 .0342750 .3195975 .0454198 .0684206 .2099102

.1721120 .1527271 .01945329 .305546 .17354241 .05887385 .03503676 .1175035

.03372644 .03817543 .03398887 .03842964 .207020 .01106307 .05376374 .1350609

.05840473 .05702074 .00796947 .04049442 .2300262 1.088982 .02995881 .1024312

.02991055 .02466648 .01750241 .02080906 .2293987 .01776728 1.547186 .2686170

.06693522 .05135275 .01276199 .04094215 .2395344 .07430657 .3718269 1.506068

Просчет контрольного примера. Формируем матрицу конечного спроса по 11-му столбцу матрицы Is, которая описывает экономику США. >D1:=matrix(8,1,[3992,19261,39347,22625,137572,-654,8327,82997]: 3992 19261 39347 D1: = 22625 137572 -654 8327 82997 Так как символ D зарезервирован за обозначением дифференциального оператора, то для обозначения вектора-столбца конечного спроса (demand) выбран идентификатор D1. Вычисляем объемы выпуска по каждой отрасли

88

>Х1:= multiply(OL,D1); 37608.00 45100.01 46321.99 Х1:= 41059.00 209404.9 11199.00 55992.01 161080.0

Видим, что модель работает с довольно большой точностью. Решим поставленную задачу. Формируем матрицу конечного спроса. > Dem:=matrix(8,1,[6000,40000,39000,22000,300000,500,8000,90000]);  6000   40000     39000    22000  Dem :=   300000     500   8000     90000 

Находим потребный выпуск продукции промышленности в млн. долларов США, чтобы удовлетворить потребление по каждой отрасли, заданного таблицей 6.3. X2:=multiply(OL,Dem); 52226.17  76903.39    51784.10   48095.57 X 2 :=   412108.5   15513.64   68054.02   197463.7 

Аналогично можно планировать производство и при других показателях.

89

Практическое занятие № 6.1 Задание

Исследуйте заданную укрупненной таблицей межотраслевого баланса модель экономики (в таблице А и І - сельское хозяйство, В и II — промышленность, С і III — транспорт, IV — сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V — общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли при заданном конечном спросе Y. Найдите зависимость выпуска каждой отрасли от конечного спроса. Укажите, как должен измениться выпуск каждого сектора при увеличении спроса на транспортные услуги на k%, где k = N для вариантов N= 1-10, k=|(N/2)-5| для вариантов N=11-20, k=|(N/3)-5| для вариантов N =21-30. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ І

II

III

IV

V

Y

16

50

20

96

100

3

5

40

23

81

100

С

2

26

ЗО

32

90

110

А

20

22

100

З0

172

180

№ А 1

2

3

4

5

В

7

16

I

II

III

IV

V

Y

А

130

88

650

140

100

1000

В

43

75

520

63

701

710

С

32

98

390

62

582

560

А

140

94

700

150

108

1100

В

6

20

80

26

132

150

В

46

80

560

66

752

800

С

5

32

60

35

132

140

С

35

104

420

65

624

640

А

ЗО

28

150

40

248

230

А

10

16

50

20

96

110

17

В

10

25

120

ЗО

185

190

В

3

15

40

23

81

90

С

7

38

90

37

172

180

С

2

26

ЗО

32

90

89

А

40

34

200

50

324

340

А

20

16

50

20

106

115

В

13

З0

160

33

236

240

В

3

15

40

23

81

90

18

19

С

10

44

120

40

214

200

С

22

26

ЗО

32

110

100

А

50

40

250

60

400

500

А

70

52

350

80

552

560

В

16

35

200

36

287

300

В

23

45

280

43

391

410

С

12

50

150

42

254

230

С

17

62

210

47

336

350

60

46

300

70

476

500

А

90

64

450

100

704

720

A 6

10

№

20

в

20

40

240

40

340

350

В

ЗО

55

360

50

495

500

С

15

56

180

45

296

300

С

22

74

270

52

418

420

А

70

52

350

80

552

570

А

100

70

500

11

780

790

В

23

45

280

43

391

400

В

33

60

400

53

546

550

С

17

62

210

47

336

370

С

25

80

300

55

460

440

90

21

22

8

9

10

II

12

13

A

80

58

400

90

628

600

A

90

64

450

100

в

26

50

320

46

442

450

в

ЗО

55

360

50

С

20

68

240

50

378

400

С

22

74

270

52

А

90

64

450

100

704

700

А

60

46

300

В

10

55

360

50

495

470

В

20

40

240

С

22

74

270

52

418

430

C

15

56

А

60

46

300

70

476

480

A

100

70

40

240

40

340

400

B

33

180

45

296

350

С

25

15

24

760

495

450

418

430

70

476

500

40

340

350

180

45

296

310

500

110

780

800

60

400

53

546

600

80

300

55

460

470

В

20

C

15

А

100

70

500

110

780

790

А

60

46

300

70

476

480

В

33

60

400

53

546

650

В

20

40

240

40

340

450

С

25

80

300

55

460

470

С

15

56

180

45

296

260

А

70

52

350

80

552

560

А

70

52

350

80

552

560

В

23

45

280

43

391

400

В

23

45

280

43

391

410

С

17

62

210

47

336

350

С

17

62

210

47

336

400

А

90

64

450

100

704

700

А

80

58

400

90

628

780

В

ЗО

55

360

50

495

677

В

26

50

320

46

442

500

74

270

52

418

400

С

20

68

240

50

378

350

А

40

34

200

50

324

400

С

14

23

704

22

56

А

100

70

500

11

780

700

В

33

60

400

53

546

470

C

25

80

300

55

460

600

А

90

64

704

710

В

36

65

440

56

597

670

С

27

86

330

57

500

500

450

100

25

26

27

28

29

30

В

13

30

160

33

236

230

С

10

44

120

40

214

250

А

50

40

250

60

400

420

В

16

35

200

36

287

350

С

12

150

42

254

320

50

Порядок выполнения задания

1. Составьте и введите матрицу межотраслевого баланса. 2. Вычислите объем выпуска и платежи в сектор конечного спроса для каждой отрасли. 3. Составьте структурную матрицу экономики А. 4. Проверьте справедливость условия Хаукинса-Саймона. 5. Найдите матрицу (I - А)-1. 6. Вычислите объем выпуска для каждого сектора экономики при заданном конечном спросе. 7. Вычислите увеличения выпуска продукции при заданном изменении начального спроса на продукцию указанного сектора.

91

8.

Сохраните результаты вычислений в файле. Контрольные вопросы

1. Что такое межотраслевой баланс в экономике ? 2. В чем состоит цель балансового анализа ? 3. Какая модель межотраслевых связей называется замкнутой ? 4. Что описывает таблица межотраслевого баланса ? 5. Какой вид имеет соотношение баланса в матричной форме ? 6. Что называется матрицей полных затрат ? 7. Для чего необходимое выполнение условий Хаукинса-Саймона ? 6.2. Цены в системе межотраслевых связей

Цены в рассмотренной выше открытой модели межотраслевых связей можно определить из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производственного сектора должна равняться совокупным затратам производства в расчета на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В затраты входит не только плата за ресурсы, которые приобретены в данном и других секторах, но и добавленная стоимость (заработная плата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги, которые выплачиваются правительству и другим секторам конечного спроса, и др.). Пусть баланс составлен в стоимостном выражении. Обозначим: xi , i = 1,2,..,n, – объем производства i – х секторов, удовлетворяющих конечному спрос yi , i = 1,2,…,n. V I — суммарные платежи i - го сектора за одну единицу выработанной i - м сектором продукции, определяемые как gi / xi ; р j – цена единицы продукции j-го сектора; αij — объем товаров и услуг i - го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-му секторе (как и выше). n

Тогда, x i pi =

∑α

ij

p j + v i x i , но поскольку αij = aij xi , то

j =1

n

xi pi =

∑a

ij x j

p j + vi xi ,

j =1

Разделив на ненулевые xi получим для искомых цен систему уравнений

92

 (1 − a11 ) p1 − a 21 p 2 − ... − a n1 p n = v1 , − a p − (1 − a ) p − ... − a p = v ,  12 1 22 2 n2 n 2  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....   − a1n p1 − a 2n p 2 − ... − (1 − a nn ) p n = vn .

В матричной форме система уравнений для цен имеет вид: (I-A)TP = V, где А — структурная матрица экономики; V — заданный вектор платежей; Р — искомый вектор цен. Тогда цены Р можно найти по формуле Р = ((E – А)T) -1 V, или, что то же самое, Р = ((I – А)-1) T V Аналитические выражения цены Р через платежи V имеют вид:

 p1 = d11v1 + d 21v2 + ... + d n1v n ,  p = d v + d v + ... + d v ,  2 12 1 22 2 n2 n  .......... .......... .......... .......... .......... ....   p n = d1n v1 + d 2n v 2 + ... + d nn v n . Из приведенных равенств, очевидно, что элемент ol ij, матрицы (I - А)-1 показывает, как изменится цена рi единицы продукции i - го сектора при изменении на единицу платежа v j в j - м секторе. Поскольку X T V = X T (I – A)T P = ((I – A)X) T = Y T P , то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество n

n

i =1

i =1

∑ xi v i = ∑ y i p i . Левая часть этой тождественности равняется общей сумме добавленных стоимостей, которые выплачиваются в сектор конечного спроса, а правая часть — суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенная тождественность подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

93

Практическое занятие № 6.2 Задание

Найдите цены для единицы продукции каждого производственного сектора модели экономики из предшествующей задачи для заданного в условии вектора платежей. Укажите, как увеличиваются цены на транспортные услуги при увеличении на 20% платежей в сектор сельского хозяйства. Порядок выполнения задания

1. Откройте файл, в котором сохраняется рабочий документ с решением предшествующей задачи. 2. Определите вектор конечного спроса и вектор платежей. 3. Вычислите цену единицы продукции каждого производственного сектора по заданным платежам, используя вычисленную раньше матрицу (I - А)-1 . Варианты задач

№

Платежи

№

Платежи

№

Платежи

1 0.5 0.7 0.3

11

0.5

0.6

0.4

21

0.5 0.6 0.3

2 0.4 0.2 0.2 3 0.5 0.4 0.2

12 13

0.4 0.5

0.3 0.3

0.1 0.3

22 23

0.4 0.2 0.1 0.5 0.3 0.2

4 0.6 0.4 0.3

14

0.5

0.5

0.3

24

0.5 0.4 0.3

5 0.4 0.3 0.2 6 0.5 0.4 0.2

15 16

0.4 0.4

0.2 0.3

0.3 0.2

25 26

0.4 0.2 0.2 0.5 0.3 0.2

7 0.5 0.6 0.3 8 0.4 0.3 0.4 9 0.4 0.5 0.3

17 18 19

0.5 0.4 0.5

0.7 0.2 0.5

0.4 0.5 0.2

27 28 29

0.5 0.7 0.3 0.4 0.2 0.4 0.4 0.5 0.2

10 0.6 0.4 0.6

20

0.6

0.3

0.5

С

0.6 0.4 0.5

Контрольные вопросы

1. Что входит в совокупные затраты производства ? 2. По какой формуле можно найти цены Р ? 3. Как рассчитать увеличения цены на транспортные услуги при увеличении на единицу платежей в секторе сельского хозяйства ? 4.Из чего складывается добавленная стоимость ?

94

5. Какое тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода? 6.3. Простейшая модель экспорта и импорта

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей на государственном уровне. Если экономика государства перестает быть само обеспечивающейся и государство начинает импортировать и экспортировать продукцию производственных секторов, в то время как сектор конечного спроса потребляет то же количество продукции производственных секторов, то устанавливается новый баланс между затратами и выпуском. Структурная матрица экономики, а значит и матрица (I - А)-1 остаются прежними; изменяется конечный спрос. К величине платежей в сектор конечного спроса каждого сектора нужно прибавить объем экспорта и отнять из него объем импорта (импорт можно рассматривать как отрицательный экспорт) yk = yk' + ek , k = 1,2,…,n . Здесь yk - заданный конечный спрос, который не изменился, на продукцию k-го сектора; yk' — объем конечного продукта k-го сектора при наличии экспорта и импорта, ek - объем экспорта (ek > 0) или импорта (ek < 0) продукции k - го сектора. Таким образом, в таблицы межотраслевого баланса столбец сектора конечного спроса разбивается на три столбца: столбец заданного конечного спроса, столбец экспорта-импорта и столбца конечного продукта (табл. 6.4), причем каждый элемент последнего с этих трех столбцов равняется сумме соответствующих чисел в предшествующих двух. Таблица 6.4 Конечный спрос

Экспортимпорт

Конечный продукт

Сельское хозяйство Промышленность

60 100

-20 40

60-20 100+40

Транспорт

80

0

80+0

Выпуск X вычисляется по формуле Х = (E-A)-1 Y', где Y' = Y + ЕI; Y - конечный спрос, который не изменился; ЕI зкспорт-импорт; А — структурная матрица экономики. Определив вектор выпуска X, можно найти по формуле bij = аij хj элементы bij; матрицы нового межотраслевого баланса В.

95

Практическое занятие № 6.3 Задание

Исследуйте заданную структурной матрицей модель экономической системы (А — сельское хозяйство, В - промышленность, С - транспорт , І - конечный спрос, II - экспорт-импорт, III - конечный продукт). Найдите объем выпуска каждой отрасли при заданном спросе при наличии экспорта и импорта. Найдите матрицу нового баланса. Проверьте правильность вычислений. Порядок выполнения задание 1. Откройте файл, в котором сохранен рабочий документ с решением задачи задания п. 6.1. 2. Определите вектор экспорта-импорта и вычислите вектор конечного продукта. 3. Вычислите объем выпуска каждого сектора, используя вычисленную раньше матрицу (I-A)-1 и новый вектор конечного продукта. 2. Вычислите матрицу нового баланса. 3. Проверьте правильность вычислений. Для этого найдите вектор выпуска для новой матрицы баланса и сравните его с вектором, вычисленным в п. 6.3. Вычисление матрицы нового межотраслевого баланса Варианты заданий І

II

III

10

16

10+16

B

3

15

3+15

С

30

-6

30-6

А

20

22

20+22

В

6

20

6+20

С

ЗО

-2

30-2

А

30

28

В

30

-25

С

7

38

А

40

В

1З

№ А 1

2

3

4

5

І

II

III

А

90

-ЗО

90-30

B

46

-6

46-6

С

50

-20

50-20

А

90

-ЗО

90-30

В

46

-6

46-6

С

50

10

50+10

30+28

А

11

30

11+30

30-25

В

53

-13

53-13

7+38

С

55

-5

55-5

34

40+34

А

130

-ЗО

130-30

30

13+30

В

60

-ЗО

60-30

№

16

17

18

19

С

44

-10

44-10

С

60

10

60+10

А

50

40

50+-40

А

150

-50

150-50

В

16

35

16+35

В

66

-6

66-6

С

50

-12

50-12

С

65

5

65+5

20

96

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

А

60

46

60 46

А

100

-50

50-50

В

40

-20

40-20

В

56

-6

56-6

21

С

15

56

15+56

С

57

3

57+3

А

70

52

70+52

А

140

10

140 + 10

В

23

45

21+45

В

63

-3

63-3

С

62

-17

62-17

С

62

8

62+8

А

20

10

20+10

А

160

-10

160-10

В

23

30

23+30

В

70

30

70+30

С

32

-5

32-5

С

67

-7

67-7

22

21

А

40

20

40+20

А

60

-46

60-46

В

30

-10

30-10

В

20

40

20-40

24

С

37

6

37+6

С

15

56

15+56

А

60

-20

60-20

А

100

-70

100-70

В

36

5

36+5

В

33

60

33+60

25

С

42

7

42+7

С

25

80

25+80

А

30

10

30+10

А

60

-46

60-46

В

26

ЗО

26+30

В

20

40

20+40

С

35

-5

35-5

С

15

56

15+56

А

50

-10

50-10

А

70

-52

70-52

В

33

6

33+6

В

23

45

23+45

С

40

-5

40-5

С

17

62

17+62

А

70

-40

70-40

А

80

-58

80-58

В

40

10

40+10

В

26

50

26+50

С

45

5

45+5

С

20

68

20+68

А

100

-50

100-50

А

40

-34

40-34

В

50

10

50-10

В

ІЗ

ЗО

13+30

С

52

-3

52-3

С

10

44

10+44

А

70

-20

70-20

А

50

-40

50-40

В

40

10

40+10

В

16

35

16+35

С

45

5

45-5

С

12

50

12+50

26

27

28

29

30

Контрольные вопросы

1. Как изменяется таблица межотраслевого баланса в открытой системе межотраслевых связей на государственном уровне? 2. По какой формуле вычисляется выпуск X ? 3. Как изменяется конечный спрос в открытой системе межотраслевых связей?

97

6.4. Линейная модель международной торговли

Рассмотрим модель международной торговли, в которой принимают участие n стран. Обозначим хi— национальный доход i - й страны; aij - часть национального дохода i - й страны, которую она тратит на закупку товаров j - й страны, рi — общая выручка от внутренней и внешней торговли. Будем считать, что каждое государство тратит весь свой национальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что n

∑a i =1

ij

= 1, i = 1,2,..., n.

Матрица А, элементами которой являются коэффициенты aij называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равняется единице. Предположим, что на протяжении определенного фиксированного промежутка времени структура международной торговли не изменяется (не изменяется структурная матрица торговли), а национальные доходы торгующих стран могут измениться. Нужно определить, какими должны быть эти национальные доходы, чтобы международная торговля осталась сбалансированной, то есть чтобы сумма платежей всех государств равнялась суммарной выручке от внешней и внутренней торговли. Общая выручка рi от внешней и внутренней торговли i - й страны исчисляется по формуле n

pi = ∑ aij x j . j =1

В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, то есть у каждой страны выручка от торговли должен быть не меньшее ее национального дохода: рi ≥ хi , i =1, 2, ..., n. n

Тем не менее, поскольку

∑a

ij

= 1, i = 1,2,..., n, то

i =1

n

∑ i =1

n

pi =

n

∑∑ i =1 j =1

n

aij x j =

n

∑ ∑ xj

j =1

i =1

98

n

aij x j =

∑ j =1

n

xj ≥

∑x . i

i =1

Последнее неравенство справедливая только в случае, если рi = xi , i = 1,2,…,n, то есть во всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должен совпадать с национальным доходом. В матричной записи это означает, что имеет место равенство АХ = X, где А — структурная матрица международной торговли, а X — вектор национальных доходов. Отсюда вытекает, что баланс в международной торговле будет достигнут, если единица является собственным значением структурной матрицы международной торговли, а вектор национальных доходов торгующих стран — собственным вектором, который отвечает этому единичному собственному значению. Практическое занятие № 6.4 Задание

Найдите национальные доходы торгующих стран в сбалансированной системе международной торговле с заданной структурной матрицей торговли. Порядок выполнения задание

1. Определите структурную матрицу торговли. 2. Найдите собственный вектор, который отвечает собственному значению структурной матрицы торговли, которое равняется единице. Пример выполнения задания

Найдите национальные доходы торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли со структурной матрицей торговли. 1 / 3 1 / 5 1 / 2 1 / 4   1 / 6 1 / 2 1 / 4 1 / 4 А= 1 / 4 1 / 10 1 / 8 1 / 4   1 / 4 1 / 5 1 / 8 1 / 4 Решение поставленной задачи связано с нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы А. Эту задачу целесообразно решать в новом пакете системы Maple - LinearAlgebra, ориентированному на использование быстрых алгоритмов линейной алгебры. Последовательность решения следующая: Настройка рабочего листа >restart: >with (LinearAlgebra)

99

Ввод структурной матрицы торговли >A:=Matrix(4,4,[[1/3,1/5,1/2,1/4],[1/6,1/2,1/4,1/4],[1/4,1/10,1/8,1/4], [1/4,1/5,1/8,1/4]]; Необходимо преобразовать элементы матрицы в десятичное представление >convert(A,float,10);  0.3333333333 0.1666666667  0.2500000000  0.2500000000

0.2000000000 0.5000000000 0.250000000 0.5000000000 0.2500000000 0.250000000 0.1000000000 0.1250000000 0.250000000  0.2000000000 0.1250000000 0.250000000

Используя функцию Eigenvektors рассчитываем собственные значения и собственные вектора матрицы А и присваиваем их, соответственно, матрицам V и E. Функция Eigenvektors i – му собственному значению из вектора V сопоставляет собственный вектор, расположенный в i – м столбце матрицы E. Результат представляем в десятичном формате. >(V,E):= Eigenvektors(A): >convert(evalm(V),float,3); [0.302,-0.0466+0.0355 I,-0.0466 – 0.0355 I, 1]

>convert(evalm(E),float,3); 3.57 − 0.426 I 3.57 + 0.426 I 1.68  − 0.62  1. 1. 1. 1.64    − 0.35 − 1.59 + 0.727 I − 1.59 − 0.727 1.    − 0.030 − 2.98 − 0.301I − 2.98 + 0.301I 1.16  Собственному значению матрицы А, равному 1 ( 4 – й элемент вектора V) соответствует собственный вектор [1.68, 1.64, 1, 1.16], расположенный в 4 – м столбце матрицы Е. Из приведенных вычислений очевидно, что для сохранения баланса в системе международной торговли национальные доходы х1, х2, х3, х4 четырёх торгующих стран должны удовлетворять условию (х1, х2, х3, х4) =с (1.68, 1.64, 1, 1.16) с произвольной константой с.

100

Варианты заданий  0.091  0.409 1. A =   0.169  0.333  0.191  0.409 3. A =   0.069  0.333  0.091  0.409 5. A =   0.169  0.333  0.591 0.109 7. A =   0.169   0.833  0.191 0.109 9. A =   0.369   0.833

0.059 0.182 0.333  0.441 0.318 0.333  0.400 0.273 0167   0.367 0.227 0.167  0.059 0.182 0.333  0.441 0.318 0.333  0.500 0.273 0.167   0.367 0.227 0.367, 0.059 0.182 0.333  0.441 0.318 0.333  0.400 0.273 0167   0.367 0.227 0.167 0.359 0.182 0.333  0.441 0.318 0.333  0.460 0.273 0.167   0.367 0.227 0.867  0.359 0.182 0.733  0.241 0.318 0.333  0.460 0.273 0.167   0.367 0.227 0.867 

 0.991 0.509 11. A =   0.769   0.833

0.359 0.282 0.333  0.241 0.218 0.333  0.460 0.373 0.167   0.367 0.427 0.867 

0.901 0.509 13. A =  0.709  0.803

0.359 0.182 0.733  0.241 0.118 0.333  0.460 0.173 0.167   0.367 0.127 0.867 

0.101 0.109 15. A =  0.109  0.103

0.359 0.182 0.763  0.241 0.118 0.363  0.460 0 173 0.167   0.367 0.127 0.867 

 0.086 0.450 2. A =   0.169   0.133

0.059 0.182 0.333  0.441 0.448 0.333  0.480 0.273 0.167   0.367 0.727 0.167  0.286 0.459 0.182 0.333   0.450 0.441 0.448 0.333   4. A =  0.369 0.480 0.873 0.167     0.173 0.367 0727 0167   0.086 0.059 0.182 0.333  0.450 0.441 0.448 0.333   6. A =   0.169 0480 0.273 0.167     0.133 0.367 0.727 0.167  0.086 0.059 0.182 0.333 ,  0.490 0.541 0.848 0.333   8. A =   0.369 0.480 0.273 0.167     0.133 0.367 0.727 0.167   0.586 0.059 0.682 0.333   0.790 0.541 0.048 0.383   10. A =  0.469 0.480 0.173 0.167     0.139 0.767 0.827 0.187   0.186 0.190 12. A =   0.169   0.139

0.059 0.682 0.333  0.041 0.048 0.383  0.080 0.173 0.167   0.067 0.827 0.187  0.286 0.059 0.282 0.333  0.290 0.041 0.248 0.383   14. A =  0.269 0.080 0.273 0.167    0.239 0.067 0.227 0.187   0.289 0.059 0.982 0.333   0.299 0.041 0.548 0.383   16 . A =   0.269 0.080 0.573 0.167     0.239 0.067 0.527 0.187  101

0.389 0.399 18. A =  0.369  0.339

0.159 0.982 0.333  0.141 0.548 0.383  0.180 0.573 0.167   0167 0.527 0.187 

0.201 0.209 17. A =  0.209  0.203

0.379 0182 0.163  0.271 0.118 0.163  0.470 0.173 0.167   0.377 0.127 0.167 

0.241 0.249 19. A =  0.249  0.243

0.189 0.479 0.172 0.163   0.471 0.178 0.163  20. A = 0.199 0.119 0.470 0.173 0.167    0.319 0.477 0.177 0.167 

0.189 0.982 0.333  0.181 0.548 0.383  0.180 0.573 0.167   0.187 0.527 0.187 

0.151 0.159 21. A =  0.159  0.153

0.179 0.172 0.153  0.275 0.378 0.163  22. A = 0.275 0.173 0.177   0.275 0.177 0.187 

0.586 0.196  0.616  0.555

0.289 0.552 0.333  0.281 0.548 0.383  0.280 0.563 0.167   0.287 0.447 0.187 

0.551 0.459 23. A =  0.359  0.653

0.179 0.272 0.153  0.275 0.278 0.163  0.275 0.273 0.177   0.275 0.277 0.187 

0.386 0.396 24. A =  0.316  0.355

0.222 0.552 0.333  0.233 0.578 0.383  0.580 0.563 0.167   0.287 0.447 0.787 

0.151 0.159 25. A =  0.159  0.153

0.179 0.272 0.253  0.275 0.278 0.263  0.275 0.273 0.277   0.275 0.277 0.287 

0.186 0.196 26. A =  0.116  0.155

0.222 0.552 0.433  0.233 0.578 0.483  0.580 0.563 0.467   0.287 0.447 0.487 

0.181 0.189 27. A =  0.189  0.183

0.179 0.472 0.253  0.275 0.478 0.263  28 . A = 0.275 0.473 0.277   0.275 0.477 0.287 

0.186 0.196  0.116  0.155

0.222 0.552 0.433  0.233 0.578 0.483  0580 0.563 0.467   0.287 0447 0487 

0.081 0.089 29. А =  0.089  0.083

0.586 0.479 0.472 0.753   0.496  0.275 0.478 0.263  30. А =   0.316 0.275 0.873 0.277    0.275 0.477 0.287   0.255

0.222 0.652 0.433  0.233 0.678 0.983  0.580 0.663 0.467   0.287 0.447 0.487 

102

Контрольные вопросы

1. На что государство тратит весь свой национальный доход? 2. По какой формуле вычисляется общая выручка от внешней и внутренней торговли страны? 3. Какое неравенство является условием отсутствия дефицита? 4. При каком математическом условии достигается баланс в международной торговле? Темы рефератов для углубленного изучения материала

1. Моделирование в экономике и его использование в развития и формализации экономической теории. 2. Математическая модель, и ее основные элементы. Экзогенные и эндогенные переменные, параметры. 3. Основные типы моделей. 4. Математическая экономика и эконометрика. 5. Общая теория линейных систем. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. 6. Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства. Исследование линейной зависимости. 7. Линейный оператор и его матрица. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. 8. Аппроксимация эмпирических результатов по методу наименьших квадратов. 9. Построение и анализ графиков функций. 10. Функции и графики в экономическом моделировании. 11. Эластичность функции и ее экономическое содержание. 12. Применение эластичности в экономических задачах. 13. Абсолютные и относительные величины в экономическом анализе. 14. Паутинная модель формирования курса валют. 15. Соотношение между суммарными, средними и маргинальными (предельными) величинами. Задачи нахождения по одной из этих величин двух других. Формальный и графический анализ. 16. Функции полезности. Задание потребительского выбора. 17. Решение задачи потребительского выбора. 18. Общая модель потребительского выбора. 19. Понятие производственной функции одной переменной. 20. Формальные свойства производственной функции. 21. Маргинальные (предельные) и средние значения производственной функции. 22. Производственные функции в темповой записи. 23. Кривая Лаффера. 24. Точка Лаффера. 25. Индекс цен. 26. Инфляция. 103

Библиографический список

1. Дьяконов В.П. Математическая система Maple: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 608 с. 2. Доманова А., Жак С.В., Стерликов Ф.Ф. Экономика. Компьютерное моделирование: Учебник для вузов. – Ростов н/Д: ЛаПО, 1998. – 233 с. 3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: МГУ, ДИС,1997. – 368 с. 4. Конюховский П.В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. – СПб.: Питер, 2001. – 224 с. 5. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей: Учебно-практическое пособие. – М.:,Финстатинформ, 2000. – 246 с. 6. Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – 160 с.

104

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .............................................................................................3 1. ИНСТРУМЕНТАРИИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ....5 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА MAPLE ..........................................6 2.1. Общая характеристика системы Maple ................................................6 2.2. Основные средства управления Maple .................................................8 2.3. Основы работы с системой Maple ......................................................11 2.4. Работа с справочной системой Maple ................................................15 2.5. Основные операторы, команды и функции ядра Maple ...................16 2.6.Построение графиков в системе Maple ...............................................28 2.7. Работа с электронными таблицами ....................................................31 Задания к практическим занятиям по разделу ..............................33 Практическое занятие № 2.1 ...........................................................33 Практическое занятие № 2.2 ...........................................................34 Практическое занятие № 2.3 ...........................................................35 Практическое занятие № 2.4 ...........................................................36 Практическое занятие № 2.5 ...........................................................39 Практическое занятие № 2.6 ...........................................................40 3.ЭЛЕМЕНТЫ МИКРО ЭКОНОМИКИ ...................................................41 3.1.Функции спроса. равновесная цена .....................................................41 Практическое занятие № 3.1 ...........................................................42 3.2.Функции спроса. Зависимость спроса от прибыли ............................43 Практическое занятие № 3.2 ...........................................................44 3.3.Максимальная прибыль .......................................................................45 Практическое занятие № 3.3 ...........................................................47 3.4.Cредние и предельные показатели ......................................................47 Практическое занятие № 3.4 ...........................................................49 3.5.Эластичность экономических функций ..............................................49 Практическое занятие № 3.5 ...........................................................53 4. КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАЧЕТОВ ...........................54 Практическое занятие № 4 ..............................................................66 5.КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ РЕГУЛИРУЕМОГО РЫНКА (модель Эрроу-Гурвица) ........................................................................70 Практическое занятие № 5 ..............................................................78 6. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ ......................................80 6.1. Компьютерная модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева В.В.) ......................................................................80 Практическое занятие № 6.1 ...........................................................90 105

6.2.Цены в системе межотраслевых связей .............................................. 92 Практическое занятие № 6.2 .......................................................... 94 6.3.Простейшая модель экспорта и импорта ........................................... 95 Практическое занятие № 6.3 .......................................................... 96 6.4.Линейная модель международной торговли ...................................... 98 Практическое занятие № 6.4 .......................................................... 99 Темы рефератов для углубленного изучения материала ........... 103 Библиографический список ......................................................... 104

106

107