無限次元空間の測度 下―不変測度　 紀伊國屋数学叢書 13

紀伊國屋数学叢書   13-B

編 集 委員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

山崎 泰郎

無 限 次 元 空 間 の測 度 〈 下〉  不 変 測度 紀伊國屋書店

ま

 下 巻 では,無

え

が

き

限次 元 空 間上 の不 変 測度 に つ い て 論 ず る.ま ず 本 書 の 内 容 に つ

い て概 括 的 な説 明 を し よ う.  不 変 測度 と言 う場 合,一 般 に は或 る変 換 群 に対 す る測 度 の 不 変 性 が 問 題に な るわ け だ が,本 書 で 問 題 に す るの は ベ ク トル空 間 上 の平 行 移 動 お よ び 回転 に 関 す る不 変 性 で あ る.周 知 の よ うに 有 限 次 元 ベ ク トル空 間 上 で は,ル ベ ー グ測 度 が そ の よ うな 唯 一 の 測 度 であ る.し た が って本 書 で 問題に す るの は,ル ベー グ 測 度 に 類 似 の 測 度 を 見 つ け る試 み だ と言 って もよい.歴 史 的 に 言 って,無 限 次 元 空 間 の測 度 論 が 確 率 論 との 関連 に お い て進 め られ て来 た結 果,無 究 は あ ま り行 なわ れ て お ら ず,そ

限測度の研

の た め に不 変性 の概 念 も よ り弱 い 準 不 変 性

(平行 移 動 し て も測 度 が 絶 対 連 続 な こ と)に お き か え られ た.残 念 な が ら,無 限 次 元 空 間 の場 合す べ て の 平行 移 動 で 準 不 変 な 測 度 は 存 在 しな い.そ

こで 適 当 な

或 る部 分 空 間 の 元 に よ る平 行 移 動 だ け に 限 定 して,そ の 意 味 で の 不 変 性 や 準 不 変 性 を 問 題 に しな け れ ば な らな い.こ の 意 味 で 準 不 変 な 測 度 は 無 限に 多 く存 在 す る.(典 型 的 な 例 は,R∞

上(l2)準 不 変 な測 度 と して 無 限 次 元 ガ ウス 測 度).

それ らの 中に は,同 値 な不 変 測 度 を もつ もの も,も た な い も の もあ る.ま た 不 変 測 度 だ け で も無 限 に 多 く存 在 す る.こ れ が有 限 次 元 ル ベ ー グ測度 ま た は 局所 コン パ ク ト群 上 の ハ ー ル測 度 と大 いに 違 うと ころ で あ る.し た が って,こ れ ら 多 数 の 不 変 測 度 の 中 か ら,何 か 別 の 自然 な 条件 を 付 加 す る こ とに よ り,特 定 の 標 準 的 な もの を選 び 出 す こ とが 次 の 課 題 とな ろ う.   本 書 で は 第1章 で 古 典 的 結 果 と して,局 所 コ ンパ ク ト群 上 の ハ ール 測 度 お よ び そ の 逆 問 題 で あ る ヴ ェー ユ位 相に関 す る ことを 述 べ る.そ し て無 限 次 元 位 相 ベ ク トル空 間 は 決 し て局 所 コン パ ク トで は あ り得 ぬ こと か ら,す べ て の平 行 移 動 で準 不 変 な測 度 は存 在 し な い こ とを導 く.   第2章

では 準 不 変 性 の概 念 を弱 め て,或

る部 分 空 間 の 元 に よ る平 行 移 動 だ け

に限 定 し,そ の意 味 で 準不 変 な典 型 的 な 測度 とし て 無 限 次 元 ガ ウ ス測 度 を 考 え

て,そ の性 質 を調 べ る と と もに 関 連 事 項 に つ い て 説 明す る.   第3章 で は 回転 不 変 性 に 関 し て論 ず る.回 転 は ヒル ベ ル ト空 間 上 に定 義 で き るが,回 転 不 変 測 度 は ヒル ベ ル ト空 間上 に は 存 在 せ ず,ヒ ル ベ ル ト空 間 を 適 当 に 拡 大 し回 転(の うち の或 る も の)も 適 当 に拡 張 した 上 で初 め て 回 転 不 変 測 度 が 作 れ る.有 界 測 度 の範 囲 内 で は 回 転不 変 測 度 は ガ ウス測 度 だ け で あ るが,無 限 測 度 ま で許 す と,回 転不 変 測 度 もや は り無 限 の多 様 性 が あ る.ま た ヒル ベ ル ト 空 間 上 で な く,無 限 次 元 回 転 群 自身 の 上に 不 変 測度 を作 る問 題 も考 え られ る. こ の場 合 も無 限次 元 回 転 群 を 適 当に 拡 大 した 上 で,初 め て不 変 測 度 が 作 れ る. 以 上 で無 限次 元 回転 群 と した と こ ろを ロ ー レ ン ツ群 で お きか え て も 同様 な 議 論 が(少 し複 雑 に な るが)で き る.ロ ー レ ン ツ不 変 測度 は 必然 的 に無 限測 度 で,し た が って無 限 次元 ロー レ ン ツ不 変 測 度 に つ い て の 議 論 に は,無 限測 度 に対 す る Kolmogorov型

の拡 張定 理 が本 質的 に必 要 に な る.

  第4章 で はR∞ 上 の 平 行 移 動 に 関 す る不 変 測 度,準 る.こ の章 の前 半はDaoの

不変測度につ いて 論ず

本に載 っ てい る こ と の焼 き直 しで あ るが,後

半は

筆 者 お よび下 村 宏 彰氏に よ る新 し い結 果 を 中 心 と し,他 の書 物 に は載 って い な い.こ の 章 で 見 られ る よ うに無 限次 元 空 間 上 の平 行 移 動 不 変(準 不 変)測 度 の 研 究 は,ガ

ウ ス測 度 な ど散 発 的 な例 につ い て調 べ る段 階 を越 えて,或

る程 度一 般

論 が で きつ つ あ り,そ の 成 果 に よ って は 新 た な 展 望 が 開 け る もの と期 待 さ れ る.今 や 我 々は,ガ

ウス 測度 以 外 に可 成 り広 い ク ラ スの 平行 移動 準不 変測 度 を

知 って い るが,そ れ に して もす べ て の準 不変 測 度 を数 え あげ る ま でに は まだ 〓 か な 道 の りが あ る.   上 述 の よ うな 平 行 移 動 に 関 す る不 変 測度 の研 究 は,無 限 自 由度 の 群(無 限 次 元 リー群 とか,場

の量 子 論 な ど無 限 自由度 を もつ 物 理 系)の 表 現 に 必要 であ る.

ま た流 れ の理 論(エ ル ゴー ド理 論)な ど確 率 論 的 研究 に も有 用 で あ る.さ らに フ ァ ィ ンマ ン積 分 とも密 接 に 関 連 して い る と思 わ れ るが,そ の 関 連 は 今 の と ころ 明 らか で ない.   上 巻 の 「拡 張 定 理 」が ほ ぼ 完 成 され た 内 容 を も って い る のに 比 べ て,下 巻 の 「不 変 測 度 」 の 研 究 は ま だ 流動 的 で あ り,そ 大 きい.

の 内容 は今 後 ふ え て 行 く可 能 性 が

目

次

まえが き 第1章

  群 上 の不 変 測 度

  §1  ラ ドン-ニ コ デ ィ ムの定 理 

1

 §2  可 測 群,不

9

変 測 度,準 不 変 測 度 

  §3  ハ ール測 度 

20

  §4  定 理3.3の 証 明 

28

  §5  厚 い 群 

34

  §6  ヴ ェー ユ位 相 

44

  §7  ベ ク トル空 間 の場 合 

51

第2章

  ガ ウス 測 度 お よ び 関 連 し た 問 題

  §8  準 不 変 性 とエ ル ゴー ド性 

57

  §9  射 影極 限 測 度 の 絶 対 連 続 性 

66

  §10 商 空 間,部 分 空 間 と特 性 関 数 

77

  §11  ガ ウ ス測 度 

79

  §12 E*準 不 変 性 とE*エ

ル ゴー ド性 

  §13  相 互 の 絶 対 連 続 性

84   92

  §14  回転 不 変 測度 の一 意 性 

100

  §15 L2(μ)の 構 造 

108

第3章 

回 転 不 変 性 と ロー レ ン ツ不 変 性

  §16  球 面 上 の 一 様 測 度 の 射 影極 限 

118

  §17  回 転 群 の不 変測 度 

124

  §18  正 則表 現 

134

  §19  ハ ー ル 測度 の射 影 極 限 

138

  §20  回転 と相 似 変 換 で不 変 な測 度

 48

  §21  ロー レ ン ツ不 変 性 

151

  §22  二 葉 双 曲面 の場 合 

160

第4章 

平 行 移 動 に 関 す る 不 変 性,準

不変 性

  §23  測 度 の た た み 込 み と準 不 変 性 

169

  §24  実 測 度 のバ ナッ ハ 空 間 

172

  §25  角 谷 位 相 

177

  §26  Tμ の 評 価 

187

  §27 特 性 位 相 

197

  §28  直 積 型 の 測度 

206

  §29 定 常 積 の場 合 

213

  §30 非 定 常 積 の場 合 

225

  §31  R∞0不変 測 度 の非 有 界 性 そ の 他 

235

  §32  無 限 次 元 ルベ ー グ測 度 

240

  §33  回 転 と相 似 変 換 に 関 す る不 変 性 

252

文

献 

261

索

引 

262

第1章  群上 の不変測度

 群 上 の不 変 測 度 と して は 局 所 コン パ ク ト群 上 の ハ ー ル測 度 の理 論 が 有 名 で あ る.し か し測 度 は 可 算 加法 的 集 合 族Bさえ

あ れ ば 考 え られ る の で,必

ず し も

位 相 と関 係 づ け て考 え る 必要 は な い.そ れ で まず 可測 群 の 概 念 を 導 入 し,準 有 界 な不 変 測 度 が も し存 在 す れ ば一 意 的 で あ る こ とを 証 明 して お く.次 に 存 在 す るか ど うか を問 い,そ の た め の 必 要 十 分 条 件 と して 局 所 コ ンパ ク ト性 を 導 入 す る.ま ず 準 備 と して これ も有 名 な ラ ドン-ニ コ デ ィム(Radon-Nikodym)の

定

理 に つ い て 述 べ る.

  §1  ラ ドン-ニ コデ ィム の 定 理   (X,B)は

可 測空 間 と し,μ,ν は と もにB上

の 可 算 加 法 的 測 度 とす る.

  定 義1.1  次 の 条件 が み た され る と き,ν は μ に関 し て 絶対 連 続 で あ る と 言 い 

と書 く.

  (1.1)   

かつ

∀E∈B,  μ(E)=0⇒

ν(E)=0.

  の と き(す な わ ち μ(E)=0⇔

ν(E)=0の

と き),μ

と νは

同 値 で あ る と 言 い,μ ∼ ν と書 く.   ま た 次 の 条 件 が み た さ れ る と き,ν

は μに 関 し て 特 異 で あ る と言 い ν⊥ μ と

書 く.   (1.2) 

 (X,B)上

∃E∈B,  μ(E)=0, 

ν(Ec)=0.

の可 算 加 法 的 測 度 全 体 の上 で,関

係  は 推 移 的( 

か つ 

の 上 に 半 順 序 を 定 義 す る.ま

な ら 

)で あ り,∼

方関

に よる 同値 類 の集 合

た 関 係 ⊥ は 対 称(ν ⊥ μ な ら μ⊥ν)で あ る.μ

関 し て 絶 対 連 続 か つ 特 異 な 測 度 は,ゼ   さ て 可 測 空 間(X,B)上

係 ∼ は 同値 関 係 を なす.一

ロ 測 度(ν(E)=0

for ∀E∈B)に

に

限 る.

に 二 つ の 可 算 加 法 的 測 度 μ,ν が 与 え ら れ た と き,

 (1.3)

の形 に分 解 す る こ とを 考 え よ う.

  定 理1.1 

も し(1.3)の 形 の 分 解 が 可 能 な ら,そ

の 分 解 は 一 意 的 で あ る.す

な

わ ち ν=ν1+ν2=ν1′+ν2′ と す る と,ν1=ν1′,ν2=ν2′ で な く て は な ら な い.   証 明   ま ず(1.3)か

ら 導 か れ る幾 つ か の 結 果 を 述 べ る.(1.2)に ∃E0∈B,  μ(E0)=0, 

で あ り,一

方(1.1)に

よ り

ν2(E0c)=0

よ り E∈B, 

E⊂E0⇒

ν1(E)=0

で あ る.

E∈Bを

任意に 考 え る とき, 

と よ り 

で あ るが,上

記のこ

で あ る か ら,

を 得 る.し たが って結 局  (1.4)

で あ る.同 様 な こ とは ν1′,ν2′ に対 し て も言 え るか ら  (1.5)

で あ る.

で あ る が, 

と こ ろ で,  か ら ν1(E∩E0′)=0,し

を得

た が っ て 

る.ν1′ に 対 し て も 同 様 に し て  =ν1′(E)が

なので あ る

が 導 け る か ら,ν1(E)

わ か る. で あ る が, 

また  で あ り, 

な の で こ の 値 は0で を 得 る.同

も導 け る か ら ν2(E)=ν2′(E)で

あ る.し

た が っ て 

様 に し て 

あ る. 

(証 明 終)

  この 定 理 の 証 明 で は μ,ν に対 して 如 何 な る仮 定 も必 要 で は な く,定 理1.1 は 無 条 件 で 成 立 す る.し か し分 解(1.3)の 可能 性 は,無 条 件 で は保 証 され な い.  例  X=R1(数

直 線),B=ボ

レ ル集 合 族 とす る.μ は 普通 の ル ベ ー グ測 度 と

し,

=∞  

ν(E)

{

=Eの

(Eが 無 限 集 合 の とき) 元 の数

 (Eが 有 限集 合 の とき)

ν2⊥μ の 形に 分 解 で き た と し て 矛 盾 を 導 こ う.一

と お く.ν=ν1+ν2, 

点 か ら 成 る 集 合{x}に ν2({x}}=1で る.し

対 し,μ({x})=0だ

あ る.こ

か ら ν1({x})=0,し

の こ とか ら,ν2(E)=0と

か し φc=R1に

対 し て μ(R1)=∞

  定 義1.2  可 測 空 間(X,B)上

た が っ て

な る の はE=φ

≠0だ

の と きに 限

か ら,ν2⊥ μ で は あ り得 な い.

の 可 算 加 法 的 測 度 μ は,μ(X)0で

あ る. 

(証 明 終)

  以 上 で μ,ν と も 準 有 界 の 場 合 に は, 

と な る こ とが わ か っ た.こ   こ の と きB-可

で あ れ ば ∃f≧0,ν=μfす

の こ と をdν=fdμ

測 な φ(x)≧0に

なわ ち

と も あ ら わ す.

対 し(φ(x)≧0で

な く て も φ(x)が

ν-可

積 分 な ら ば)  (1.18)

と な る(こ の こ と は 証 明 な し で,定

理1.4の

φ(x)が

明 ら か に 正 し い.そ

階 段 関 数 の と き は(1.18)は

証 明 の 中 に 利 用 し た).な

し て 任 意 の φ(x)≧0

は 階 段 関 数 の 単 調 増 加 列 の 極 限 と し て あ ら わ せ る し,φ(x)≧0で 積 分 な ら ばL1-ノ

ぜ な ら,

な くて も可

ル ム で 階 段 関 数 に よ り近 似 で き る か ら.

  こ う し てdν=fdμ

か ら φdν=φfdμ

が出 て 来 る.す

なわ ち

φ(fdμ)=(φf)dμ と 言 う結 合 律 が 得 ら れ る.特

に 準 有 界 な μ,ν に 対 し,μ∼

ν と な るた め の必 要

十分条件 は dν=fdμ,  ∃f(x)>0 と な る こ と で,こ

の と き 

  定 理1.1,1.2,1.4は,μ,ν の 定 理 と 呼 ば れ る.準

for μ-almost

all x

で あ る. と も準 有 界 の 場 合,総

称 し て ラ ドン-ニコ デ ィ ム

有 界 で な い 場 合 は 筆 者 の コ メ ン トで あ る.

 §2 可 測 群,不 変 測 度,準 不 変 測 度  位 相 群 の 定 義 との 類 推 で,可 測 群 を 次 の よ うに定 義 す る.  定 義2.1  Gは 群,BはGの (G,B)が

可 測 群 で あ る とは,次

部 分 集 合 か ら成 る可 算 加 法 的 集 合族 と す る. の二 条 件 がみ た され る こ とで あ る.

  (1)  x→x-1は(G,B)か

ら(G,B)へ

の 可 測 写 像 で あ る.

  (2)  (x,y)→xyは(G×G,B×B)か   こ こ にG×GはGの

ら(G,B)へ

積 集 合 で,B×Bは{A×B;A∈B,B∈B}に

て 生 成 さ れ るG×Gの {x;(x,y)∈E}と

お け ば,E∈B×Bな

よ りB∈Bな

あ る.し

あ ら た め てyと

x)は

も ち ろ んB×B-可

た たが

か る に 

考 え て,B∈B⇔By∈Bが

あ る.yは

得 る.こ

任意だか ら

出 て 来 た.(x,y)→(y,

測 で あ る か ら,(x,y)→yxも

様に し てB∈B⇒yB∈Bを

あ る.ま

ら Φ-1(B)∈B×B,し

だ か ら Φ-1(B)(y)=By-1で y-1を

あ る.

らB-1∈Bで

Φ と 記 し て,B∈Bな

っ てΦ-1(B)(y)∈Bで

と き,E(y)=

ら ∀y∈G;E(y)∈Bで

お い て は,(1)に

(2)の 写 像(x,y)→xyを

  定 義2.2 

よっ

可 算 加 法 的 集 合 族 で あ る.E⊂G×Gの

  可 測 群(G,B)に

右 不 変,左

の 可 測 写 像 で あ る.

可 測 と な り,上

と同

の よ うに し て 可 測 群 に お い て は,Bは

不 変 か つ 逆 元 に 関 し て も 不 変 で あ る と わ か る. 可 測 群(G,B)上

  (2.1) 

の 可 算 加 法 的測 度 μが右 不 変 で あ る とは

∀E∈B,  ∀y∈G;μ(Ey)=μ(E)

が 成 り立 つ こ と で あ る.左   言 い か え れ ば,次

不 変 測 度 も 同 様 に 定 義 さ れ る.

の よ うに も 言 え る.(G,B)上

  (2.2)  に よ り測 度Ryμ

(Ryμ)(E)=μ(Ey) を 定 義 す る.μ

立 つ こ と で あ る.同

が 右 不 変 で あ る と は,∀y∈G,Ryμ=μ

が成 り

様に

  (2.3)  に よ り測 度Lyμ

の可 算 加 法 的測 度 μ に対 し

(Lyμ)(E)=μ(yE) を 定 義 す る と き,μが

左 不 変 で あ る と は,∀y∈G,Lyμ=μ

が

成 り立 つ こ と で あ る.   以 上 の 議 論 で=を

す べ て ∼ で お き か え て,準

上 の 可 算 加 法 的 測 度 全 体 を,絶

対連 続 性 に よる 同値 関 係 ∼ に よ って 同値 類 に

分 け る.μ ∼ ν で あ れ ば μ(E)=0⇔ ⇔

ν(Ey)=0で

あ り,Ryμ∼Ryν

ν(E)=0で と な る.す

同 値 類 の 集 合 の 上 で 定 義 で き る.Lyに   定 義2.3  可 測 群(G,B)上 不 変 で あ る とは

不 変 性 を 定 義 で き る.(G,B)

あ り,し

た が っ て μ(Ey)=0

な わ ち(2.2)のRyは,∼

に よる

つ い て も 同 様 で あ る.

の 可 算 加 法 的 測 度 μ(ま た は そ の 同 値 類)が

右準

 (2.4) 

∀y∈G;Ryμ

∼μ

が成 り立 つ こ と であ る.左 準 不 変性 も同 様 に定 義 さ れ る.   言 い かえ れ ば,μ(ま

た は そ の 同 値類)が 右 準不 変 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件

は  (2.5)

とな る こ とで あ る.右 不 変 測 度(を 含 む 同 値 類)は もち ろ ん右 準不 変 で あ る.一 般 の 変 換 の 場 合 に は,逆 に 準 不 変 な測 度 の同 値 類 が 不 変 測 度 を 含 む とは 必 ず し も言 え な い.し

か し後 に 証 明 す る(定 理2.4)よ うに 可測 群上 の 右(左)準 不 変測

度 の 場 合 に は 逆 も成 り立 っ て,準 不 変 な準 有 界 測 度 は 必 ず 同値 な不 変測 度 を も つ.

  可 測群(G,B)上に

右 不 変 測 度 が 存 在 す るか ど うか を 考 え よ う.測 度 に 条件

を つ け ね ば,右 不 変 測 度 は つ ね に存 在 す る.な ぜ な ら =∞ 

 (2.6)

とす れ ば,明

μ(E)

{

=Eの

(Eが 無 限 集合 の とき) 元の数

 (Eが 有 限 集 合 の と き)

ら か に μは 右 不 変 で あ る.

  数 直線R1上(Bは

ボ レ ル集 合族)の ル ベー グ測 度 は 不 変 測 度 で あ るが,明

か に(2.6)の μ とは 同値 で ない.し た が って 不変 測 度 は 一意的 で な い.ル

ら

ベー

グ測 度 を不 変 測 度 とし て 一 意 的 に 特徴 づ け た い と言 う要 請 もあ り,ま た 現 実 の 問 題 と し て 準有 界 で な い 測度 は 極 め て 取 り扱 い難 い こ と もあ って,以 後 測 度 は す べ て準 有 界測 度 だ け を 考 え る こ とに す る.可測 群 上 の 準 有 界 測 度 だ け を 考 え れ ば,今 度 は 一 意 性 は つ ね に 保 証 され,か え って 存 在 の 方 が あ や し くな る.そ の様 子 を 以下 で説 明 す る.な お 今 後,単 に測 度 と言 って も準 有 界 性 を つ ね に 仮 定 して い る もの とす る.ま た ゼ ロ測 度 は(不 変 測 度 に は 違 い な いが)考 察 の 対 象 外 に す る.   定 理2.1  可 測 群(G,B)上 の右 準不 変測 度(の 同 値類)は,も し存 在 す れ ば 一 意 的 で あ って,そ れ は左 準不 変 で もあ る.し た が って(G,B)上 の右準不変 測 度 の存 在,左 準 不 変 測 度 の 存 在,両 側 準 不 変 測 度 の存 在 は 同値 で あ って,存 在 す る場 合 は そ れ は 同 じ もの であ っ て一 意 的 に定 まる.   この証 明 の 前 に 準 備 と してフビニ(Fubini)の 可 測 群(G,B)の

定理 に つ い て 述 べ る(証 明略).

場 合 につ い て述 べ る と次 の よ うに な る.(G,B)上

の 可算 加

法 的 準 有 界 測 度 μ,ν に 対 し,(G×G,B×B)上 度 λ を 定 め,こ

に 次 の関 係 に よ って 準 有 界 測

れ を μ ×ν と 記 す.

 (2.7)

くわ し く言 う と,E(y)∈Bは 関 数 に な っ て(2.7)が

意 味 を も つ.特

  (2.8)  で あ り,こ

既 に 述 べ た が,さ

ら に μ(E(y))はyのB-可

にE=A×B,A∈B,B∈Bな

ら

(μ×ν)(A×B)=μ(A)ν(B) れ は(ν ×μ)(B×A)に

一 致 す る.B×Bは

こ の よ う なA×Bを

む 最 小 の 可 算 加 法 的 集 合 族 な の で,Et={(x,y);(y,x)∈E}と ∀E∈B×B,(μ で あ る.し

測

×ν)(E)=(ν

含

お くと

×μ)(Et)

であ

た が っ て  だ か ら(x)E={y;(x,y)∈E} 

る が, 

とお い て  (2.7)′

で も あ る.   な お,フ

ビ ニ の 定 理 は 準 有 界 で な い 測 度 の 直 積 に 対 し て は 一 般 に 成 り立 た な

い.((2.7)で

一 般 に μ(E(y))はyのB-可

(2.8)のB×Bへ

測 関 数 に な ら な い.ま

の 拡 張 と 考 え て も,そ

  定 理 の 証 明   ま ず(G,B)上  (2.9) 

た μ×ν を

れ は 一 意 的 に 定 ま ら な い).

の 可算 加法 的測 度 μ に対 し

μ(E)=μ(E-1)∀E∈B

と し てμ を 定 義 す る.明

らか に μ∼ ν な ら μ∼ ν で あ り,し

に よ る 同 値 類 の 集 合 の 上 で 定 義 で き る.ま

た が っ て〓

は ∼

た

 (2.10)

で あ るか ら,μ が左 準不 変 な らμ は 右 準 不 変 で あ る.同 様 に μが 右準 不 変 な ら μ は左 準 不 変 で あ る.そ れ ゆえ,右  

準 不 変測 度全 体 と左 準 不 変測 度 全 体 と は

の 関 係 に よ り一 対 一 に 対 応 す る.

  そ こで定 理 を 証 明す る には,μ,ν を 右準 不 変測 度 としてμ ∼ν を 証 明す る と よい.な ぜ な ら特 にμ ∼ μ で もあ るか らμ は 左 準 不 変 で も あ り,μ ∼ ν と合 わ す と μ∼ν を得 て右 準 不 変 測 度 の一意 性 が わ か る.

  写 像(x,y)→xy-1を 写 像 で,任

Ψ と記 す とΨ は(G×G,B×B)か

意 のE∈Bに

対 しΨ-1(E)∈B×Bと

ら(G,B)へ

な る.そ

の可 測

し て 

だ か らΨ-1(E)(y)=Eyで 同 様 に(x)Ψ-1(E)=E-1xが す る と,(2.7)と(2.7)′

わ か る.し

た が っ てI=(ν

あ り, 

×μ)(Ψ-1(E))を

計算

に より

 (2.11)

と な る.(2.11)の

第 一 の 等 号 よ り,I=0⇔

右 準 不 変 性 に よ り ν(E)=0な あ る.逆

にI=0な

ν(Ey0)=0で

ν(E)=0で

ら ∀y,ν(Ey)=0で

ら 殆 ん ど す べ て のyに

あ り,し

よ う に し てI=0を

第 二の 等 号 はI=0⇔

μ(E-1)=0を

様 にして μ の 意 味 す る.こ

わ か り,こ

∼μ が 成 り立 っ て い る こ と を 示 し て い る. 

  定 理2.2  可測 群(G,B)上

の 右 不 変 測 度 は,も

の

れは ν

(証 明 終)

し存 在 す れ ば定 数 倍 を除 い

て 一 意 的 で あ る.ま た この と き左 不 変 測 度 も一 意 的 に 存 在 す る.す (G,B)上

の

れ ゆ え 特 に ∃y0,

得 る.同

仲 介 に し てν(E)=0⇔μ(E-1)=0が

ぜ な らν

た が っ てI=0で

対 しν(Ey)=0,そ

あ る が,ν は 右 準 不 変 な の で ν(E)=0を

右 準 不 変 性 よ り(2.11)の

あ る.な

な わ ち,

で 右 不 変測 度 の 存 在 と左 不 変 測 度 の 存 在 は 同値 で あ っ て,存

在す る

場 合 は そ れ ぞ れ(定 数 倍 を 除 い て)一 意 的 で あ る.   証 明   前 定 理 の証 明 の うち(2.10)は,μ が 左 不 変 な らμ は 右 不 変 であ る こ と を 導 き,同 様 に μが 右不 変 な らμ は 左 不 変 な こ と もわ か るか ら,右 不 変 測 度 全 体 と左 不 変 測 度 全 体 とは  理 の前 半,す

の関 係 に よ り一 対 一 に 対 応 す る.よ

って 定

なわ ち 右 不 変測 度 の 一 意 性 さえ 証 明 す れ ば よい.

  μ,νは とも に 右不 変測 度 とす る.前 定 理 に よ り μ∼ν が 成 り立 ち,と

もに 左

準 不 変 で あ る.μ ∼ν だ か ら ラド ン-ニ コデ ィム の定 理 に よ り   (2.12)  とな って い る.こ

∃f(x)>0for∀′x,dν=fdμ こに ∀′xは 「殆 ん どすべ て のxに

対 し て」 を意 味す る記 号

で あ る.「 測 度 μ に関 し て」 を 明示 し た い とき は ∀′(μ)xと 書 く.   (2.12)に お い てf(x)=const 結 す る.(2.12)は

for∀ ′xが 成 り立 つ こ とが わ か れ ば 証 明 は 完

を 意 味 す る が こ こでEの

と な る か ら,μ,ν

を 得 る.よ

か わ りにEyを

と も右 不 変 だ と

っ て 密 度 関数fの

  (2.13) 

一意性に より

∀y,∀′x 

で な くて は な ら な い.fがB-可   (2.14) 

f(x)=f(xy)

測 な こ とか ら

φ(x,y)=f(x)-f(xy)

はB×B-可

測 で あ る.そ

こで

  (2.15) 

E={(x,y);φ(x,y)≠0}

と お く とE∈B×Bで

を 得 る.上

考え ると

あ り,I=(μ

式 第 一 の 等 号 と(2.13)よ

×μ)(E)を

りI=0で

り ∀′x,μ({y;f(x)≠f(xy)})=0で

計 算 す る と(2.7)と(2.7)′

あ り,し

あ る.し

よ り

た が って 第二 の 等 号 よ

た が って 特 に

∃x0∀ ′y  f(x0)=f(x0y) を 得 る.と

こ ろ が μ は 左 準 不 変 で あ る か ら,左

か らx0-1を

掛 け る こ とに よ り

∀′y  f(x0)=f(y) が わ か る.こ

 

Gが

う し て ∀′y,f(y)=const.が

証 明 で き た. 

(証 明 終)

ア ー ベ ル 群 の と き は 右 不 変 測 度 と 左 不 変 測 度 の 区 別 は な くな る.Gが

ー ベ ル群 で な けれ ば は 限 ら な い.そ

,右

不 変 測 度,左

ア

不 変 測 度 が 存 在 し て も 両者 が 一 致 す る と

れ ぞ れ 一 意 的 で あ る こ と が わ か る だ け で あ る.し

か し次 の こ と

が 成 り立 つ.   定 理2.3  可 測 群(G,B)の る.し

右 不 変 測 度 μ が 有 界 な ら ば,μ

は左 不 変 で もあ

た が っ て μ は 両 側 不 変 で あ る.

  証 明   μ=μ はB×Bに

を 証 明 す れ ば よ い.E∈Bに

対 し Ψ-1(E)={(x,y);xy-1∈E}

属 し,Ψ-1(E)(y)=Ey,(x)Ψ-1(E)=E-1xで

の定 理 に よ り

あ る か ら,フ

ビニ

そ こ で μ が 右 不 変 で あ れ ば,μ(Ey)=μ(E),μ(E-1x)=μ(E-1)だ

か ら

μ(E)μ(G)=μ(E-1)μ(G) と な る.00for∀

(2.21)

′x

f(x)=g(T(x))/g(x)for∀′x

が 成 り立 つ こ と で あ る.   証 明   μ と 同 値 なT-不 り∃g(x)>0,dμ=gdν

と な る.よ

変 測 度ν が 存 在 す れ ば,ラド で あ る.こ

ン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 よ

のとき

っ て 密 度 関 数 の一 意 性 に よ り(2.21)を 得 る.

  逆 に(2.21)が

はT-不

成 り立 て ば, 

変測 度 で あ る.な ぜ な ら 

で あ る か ら. 

(Lemmaの

  こ のLemmaを

用 い て,可

測 群(G,B)上

の 準 不 変 測 度 μが 必 ず 同 値 な

右 不 変 測 度 を もつ こ と を 証 明 し よ う.し

か し 右 移 動Ty:x→xyに

Lemmaを

関 係 を み た すB-可

適 用 し よ う と し て も(2.21)の

つ け る の は 困 難 で あ る.そ B-可 測 で は あ っ て も(x,y)に

れ はTyに

証 明 終)

対 し て

測 関 数g(x)を

伴 な う密 度 関 数fy(x)が,xに

関 し てB×B-可

見

関 し て

測 とは 言 え な い こ と が 障 害 に

な っ て い る.   そ こ でfy(x)と

同 じ よ うな 役 割 を 果 すB×B-可

そ れ を 用 い て 証 明 を 進 め て 行こ う.G×G上   (2.22) 

測 関 数f(x,y)を

定 義 し,

で 変 換:

T:(x,y)→(xy,y),T-1:(x,y)→(xy-1,y)

を 考 え れ ば,TもT-1もB×B-可

測,す

な わ ちTはB×B-可

測 同 型 写 像 で

あ る.   (G,B)上 う.E∈B×Bと

の 準 不 変 測 度 μ に対 し,μ

×μ はT-準

す る と き フ ビニ の定 理 に よ り

不 変 で あ る こ とを 証 明 し よ

で あ るが

だ か らT(E)(y)=E(y)yで

あ る.ま

た μは 準 不 変 な の で

μ(E(y)y)=0⇔ で あ り,し

μ(E(y))=0

た が って (μ×μ)(T(E))=0⇔(μ

を 得 る.こ

れ はμ ×μ がT-準

×μ)(E)=0

不 変 で あ る こ と を 意 味 す る.

  した が っ て ラ ドン-ニ コ デ ィ ム の 定 理 よ り ∃f(x,y);B×B-可

測 関 数,f(x,y)>0for∀′(x,y)

 (2.23)

と な る.た

だ しd(μ

×μ)(x,y)をdμ(x)dμ(y)と

  次 に こ のf(x,y)の

み た す 関 数 方 程 式 を 求 め,そ

(今 の 場 合B×B-可

測 関 数g(x,y))を

  今 度 はG×G×Gに

おいて

書 い た. れ を 用 い て(2.21)で

見 つ け る こ とを 考 え よ う.

T1:(x,y,z)→(xy,y,z),T2:(x,y,z)→(x,yz,z), T3:(x,y,z)→(xz,y,z)

を 考 え る と,T1,T2,T3と

もB×B×B-可

測 同 型 写 像 で あ っ て,E∈B×B×B

に対 し  (2.24)

が 成 り立 つ.以 下 の 計 算 で簡 単 の た め μ×μ×μ を λ と書 く.さ て   (2.25) 

S:(x,y,z)→(xyz,yz,z)

と す る と,S=T1°T2で

あ る か ら(2.24)を

またS=T3°T2°T1と

も書 け る か ら

繰 り返 し適 用 し て

言 うg

こ の両 者 を 比 較 す る と,密 度 関 数 の 一 意 性 に よ り

が 成 り立 つ こ とが わ か る.両

辺 をf(y,z)>0で

割 ると

 (2.26)

と な る.と

こ ろ で ∀′(x,y,z)と

言 う こ と は ∀′x,∀′(y,z)と

言 う こ と で あ り,

した が っ て 特 に

μは 左 準 不 変 な の で,x0yを

あ らた め てyと

こ こ で 文 字x,y,zをcyclicに

書 きな お して も

取 りかえ る と

が 成 り立 つ こ とに な る.す な わ ち  (2.27) で あ り,言

い かえ

れ ば

  (2.28) 

g(x,y)=f(z0,z0-1x)

と し て(2.27)は(2.21)の

成 立 を 意 味 し て い る.

 し た が っ てLemmaに (2.28)によ

れ ばg(x,y)は

れ をg(x)と

で あ る.明

よ り  実 はxの

書 き, 

はT-不

変 測 度 に な る.と

み に 依 存 し てyに

こ ろが

は よ ら な い.そ

こで こ

と お く と 容 易 に わ か る よ うに

ら か に ν∼μ だ か ら,こ

の νが 右 不 変 測 度 で あ る こ と を 示 せ れ ば 証

明 は 完 結 す る.   ν×μ がT-不

変 な こ とか ら,ν が 右 不 変 な こ と を 導 こ う.ν ×μ がT-不

言 う こ と は 任 意 のE∈B×Bに

対 し(ν ×μ)(T(E))=(ν

が 成 り立 つ こ と を 意 味 す る.特

にE=A×B,A∈B,B∈Bと

×μ)(E)す

変 と

なわ ち

す ると

 (2.29)

を 得 る.こ こでAを

一 つ 固 定 して(2.29)の 両 辺 をBの

測 度 とみ な す と,密

度

関 数 の一 意 性 に よ り  (2.30) 

∀A∈B 

が 成 り立 つ.あ

∀′y 

と は ∀′yを∀yで

ν(Ay)=ν(A)

お き か え ら れ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.

  (2.31) D={y∈G;ν(Ay)=ν(A)} と お く と,ν(Ay)がyのB-可 に よ っ て μ(Dc)=0で

測 関 数 で あ る こ とか らD∈Bで あ る.D≠Gと

あ り,(2.30)

仮 定 し て 矛 盾 を 導 こ う.x0∈Dcを

一つ

考えて   (2.32) 

D0={y∈G;ν(Ax0y)=ν(Ax0)}

と お く と,(2.30)をAの し か る にy∈D0な ∈x0-1Dcで

か わ り にAx0に

対 し て 適 用 し て μ(D0c)=0を

らν(Ax0y)=ν(Ax0)≠ν(A)だ

あ る.す

な わ ちD0⊂x0-1Dcで

に よ り μ(x0-1Dc)=0だ が 得 ら れ た が,こ

あ る.μ(Dc)=0と

か らμ(D0)=0と

れ はμ(G)>0に

か らx0y∈Dc,よ

な る.こ

得 る. っ てy

μ の準不 変 性

う し てμ(D0)=μ(D0c)=0

矛 盾 す る. 

(証 明 終)

  §3  ハー ル 測 度   前 §で 述 べ た よ うに 可 測 群 上 で 不 変 測 度 は,存 る.そ

在 す る とす れ ば 一 意 的 で あ

こ で 次 に 存 在 す る か ど うか を 問 う こ と に す る.

  最 も 有 名 な 結 果 は 局 所 コ ン パ ク ト位 相 群 上 の 不 変 ボ レ ル 測 度 の 存 在 で あ る. 順 を 追 っ て これ を 説 明 す る が,ま   定 義3.1  Gは で あ る と は,次

群,τ

はG上

ず 位 相 群 の 定 義 か ら 始 め よ う.

の ハ ウ ス ドル フ 的 位 相 と す る.(G,τ)が

の 二 条 件 が み た さ れ る こ と で あ る.

  (1)  x→x-1は(G,τ)か

ら(G,τ)へ

  (2)  (x,y)→xyは(G×G,τ   特 に(2)か

ら,yを

る と きy→xyは

位相群

の 連 続 写 像 で あ る.

×τ)か ら(G,τ)へ

一 つ 固 定 す る と きx→xyは

の 連 続 写像 で あ る.

連 続 で,xを

一つ 固定 す

連 続 で あ る.

  今 後,位

相 τ は 特 に 記 さ な い こ と と し,単

位 相群Gの

ボ レ ル 集 合 族 をBと

す る.こ

に 位 相Gと

の と き(G,B)は

言 う よ うに 記 す. 必 ず し も可 測 群 に

な ら な い.も

しGの

に な ら な い.な B)が

濃 度 が 連 続 濃 度 よ り大 き け れ ば,(G,B)は

ぜ な ら 一 点 集 合{e}(eは

可 測 群 な らG×Gの

さ ね ば な ら な い.と   定 理3.1 

決 し て 可測 群

属 す の で,も

し(G,

Δ={(x,y);xy-1=e}はB×Bに

属

こ ろ が こ の こ とは 次 の 定 理 に よ り否 定 さ れ る.

二 つ の 可 測 空 間(X,B),(Y,B′),お

が あ る と き,も

し像f(X)の

  (3.1)  はB×B′

対角線集合

単 位 元)はBに

よ びXか

らYへ

濃 度 が 連 続 濃 度 よ り大 き け れ ば,fの

の 写 像f グ ラ フ:

G(f)={(x,y);y=f(x)} に 属 さ な い.

  こ の 定 理 に よ れ ば,(X,B)=(Y,B′)と 対 角 線集 合 Δ がB×Bに

しfを

恒 等 写 像 と 取 る こ と に よ り,

属 さ な い こ と が わ か る.

  定 理 の 証 明  一般 に 集 合Xの

部 分 集 合 の 族Uが

あ る と き,

 (3.2)

 合 併 はUの が 成 り立 つ.な

ぜ な ら(3.2)の

易 に わ か る し,B′(U)が B(U)=B′(U)を   さ て,定

可 算 部 分 集 合U′ す べ て に つ い て の 合 併 右 辺 をB′(U)と

し て,B(U)⊃B′(U)⊃Uは

容

可 算 加 法 的 集 合 族 で あ る こ と も確 か め ら れ る の で,

得 る.

理 の 記 号 でX×Yか

らXへ

の 射 影 をp1,Yへ

の 射 影 をp2と

すれ

ば 直 積 可 測 空 間 の定 義 に よ り B×B′=B(p1-1(B)∪p2-1(B′)) で あ る.よ

っ てG(f)∈B×B′

可 算 部 分 集 合U′ い.す

と す れ ば,Bの

可 算 部 分 集 合Uお

が あ っ てG(f)∈B(p1-1(U)∪p2-1(U′))で

な わ ちG(f)∈B(U)XB(U′)で

  よ っ て 各x∈Xに

よ びB′ の

な くて は な ら な

あ る.

対 しG(f)の

切 り 口;

(x)G(f)={y;(x,y)∈G(f)}={f(x)} はB(U′)に   一 方A∈U′

属 す.し

た が っ てf(X)の

の と き ,CA(y)=1

→(CA(y))∈{0,1}U′

for

一 点 集 合 は す べ てB(U′)に y∈A,=0

for 

属 す.

と し て Φ:Y∋y

を 考 え る.

  この とき B″={Φ-1(E);E⊂{0,1}U′} と お く とB″ は 可 算 加 法 的 集 合 族 でU′ ⊂B″ だ か ら,B″

⊃B(U′)で

あ る.そ

れ ゆ えf(X)の

一 点 集 合 は す べ てB″ に 属 す.言

は 一 対 一 で あ る.{0,1}U′ ってf(X)の

い か えれ ばf(X)の

上で Φ

は(U′ が 可 算 集 合 な ので)連 続濃 度 を もち,し たが

濃 度 は連 続 濃 度 以下 で なけ れ ば な ら な い.

  す な わ ちG(f)∈B×B′

な らf(X)の

濃 度 は 連続 濃 度 以下 で あ る とわ か っ

た.そ の対 偶 が 定 理 の主 張 で あ る.    この よ うに位 相 群Gの

(証 明終)

ボ レル 集 合 族Bを

可 測 群 に な ら な い.(G,B)が

考 え た の で は,一

般 に(G,B)は

可 測 群 に な るた め の一 つ の十 分 条 件 は,B×B

が 積 位 相 に 関 す るボ レル 集 合 族 と一 致す る こ とで,そ の た め の十 分 条 件 は 位 相 群Gが

第 二 可 算 公 理 をみ た す こ と で あ る(上 巻,定 理11.2の(4)).特

距 離 の つ く可 分 な 群 で あれ ば,(G,B)は

可 測 群 に な る.

  今 度 は ボ レ ル 集 合 族 の か わ りに ベ ー ル 集 合 族Bを

考 え よ う.も

が 積 位 相 に 関 す る ベ ー ル 集 合 族 に 一 致 す る 」 な ら ば,(G,B)は な ぜ な らG上 R1の

にGが

の 連 続 関 数 全 体 をC(G)と

し 「B×B

可 測 群 に な る.

し て,Bはf-1(O)(f∈C(G),Oは

開 集 合)の 形 の 集 合 で 生 成 さ れ る が,f(x)=f(x-1),φ(x,y)=f(xy)と

お く とf∈C(G),φ

∈C(G×G)で

あ り,A=f-1(O)と

して

A-1=f-1(O)∈B,

のベ ール 集 合 族 と な り,「  」 の 仮 定 が あ れ ば φ-1(O)∈B×Bだ

か ら,(G,B)は

可測 群 で あ

る.   定 理3.2  X,Yは

と も に 局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 空 間 と

し,そ れ ぞ れ の ベ ー ル 集 合 族 をB1,B2と

す る.X×Yの

ベ ー ル 集 合 族 はB1×B2

に 一 致 す る.   系   局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 群Gに 族 をBと

す る と き,(G,B)は

  定 理 の 証 明   X,Yと 証 明 さ れ て い る.X,Yと

も コ ン パ ク トな 場 合 に つ い て は 上 巻,定

f∈C(X)の

と き,φ(x,y)=f(x)と

と か らB1×B2⊂Bが

ー ル 集 合

理11.2の(2)で

も局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トと し た 場 合 の

証 明 も多 少 の 修 正 を 施 す こ と に よ り同 様 に で き る が,こ  

お い て,ベ

可 測 群 で あ る.

こ に そ れ を 再 記 す る.

お く と φ∈C(X×Y)で

導 か れ る.(BはX×Yの

あ り,こ

ベ ー ル 集 合 族).

の こ

  逆 にB⊂B1×B2を

示 す に は,φ

∈C(X×Y)お

に 取 る と き,φ-1(O)∈B1×B2で の 開 集 合 で あ る.ま 書 け,し

よ びR1の

開 集 合Oを

任意

あ る こ と を 言 え ば よ い.φ-1(O)はX×Y

たR1に

は 距 離 が つ く の で,Oは

た が っ て φ-1(O)も

閉 集 合 の 可算 合 併 と し て

閉 集 合 の 可 算 合 併 と し て 書 け る.一

可 算 コ ン パ ク トな こ と か らX×Yも

可 算 コ ン パ ク トで あ り,そ

の 閉 集 合 は コ ン パ ク ト集 合 の 可算 合 併 と し て 書 け る.こ

方,X,Yと

も

れ ゆえX×Y

う し て,φ-1(O)は

コン

パ ク ト集 合 の 可 算 合 併 と し て 書 け る こ と が わ か る.   そ こ で 一 般 にX×Yの

開 集合Wが

 (3.3) 

(Knは

の形 に書 け る ときW∈B1×B2で 開集 合W,コ

コ ン パ ク ト)

あ る ことを 示 そ う.そ のた め に はX×Yで

ン パ ク ト集合KがK⊂Wを

みたす限 り

∃B∈B1×B2,K⊂B⊂W で あ る こ と を 言 え ば よ い.な と す る と, 

ぜ な ら(3.3)に

お い てKn⊂Bn⊂W,Bn∈B1×B2

と な る か らW∈B1×B2で

  さ て 各 点z∈Kに

対 しWに

含 ま れ る 近 傍Wzを

の 被 覆 に な る の で 実 は 既 に 有 限 合 併 でKを を み た す よ う に 選 べ る こ と,す

あ る. 考 え る と,{Wz}z∈KはK

被 っ て い る.よ

な わ ちX×Yの

各 点 はB1×B2に

か ら 成 る 基 本 近 傍 系 を も つ こ と を 言 え ば よ い.し xの

基 本 近 傍 系 をu,yの

B}はz=(x,y)の (お よ びB2)に

基 本 近 傍 系 をBと

か る に 積 位 相 の 定 義 に よ り,

局X(お

よ びY)の

各 点 が,B1

属 す る 集 合 か ら 成 る 基 本 近 傍 系 を も つ こ と を 示 せ ば よ い.

任 意 に 考 え る.x0の

お い て,一

点x0∈Xお

よ びx0を含

む 開 集 合Uを

コ ン パ ク ト近 傍 が 存 在 す る が そ れ をU0と

の 事 実 を 用 い る.「 コ ン パ ク ト空 間Xに あ る と き,X上

for x∈U0-(U∩U0)と

のfに

対 しf(x)=0

for 

はX上

の 連 続 関 数 に な る.す

お い て,一

す る.こ

点x0∈Xお

よ びx0を

の 連 続 関 数fでf(x0)=1,f(x)=0

な る も の が 存 在 す る 」(証 明 略).し f(x)=0

属 す る集 合

し て,u×B={U×V;U∈u,V∈

基 本 近 傍 系 に な る の で,結

  局 所 コ ン パ ク ト空 間Xに

開 集 合Uが

っ てWz∈B1×B2

た が っ てU0上

含む

for 

と

の 連 続 関 数fでf(x0)=1,

な る も の が 存 在 す る(U0はU0の と し て 定 義 域 をX全 な わ ちf∈C(X).そ

こ で次

内 部).こ

体 に ひ ろ げ て や る と,f し てfの

定 義 の仕 方 か ら

で あ り, 

であ る.こ れ で 証 明 は 完 了 した. 

  次 の 定 理 は 本 §の 主 定 理 で あ る.な つ い て 述 べ て あ るが,左

お 定 理3.3∼3.5に

(証 明終)

お いては右不変性 に

不 変 性 に つ い て も全 く同 様 な こ とが 成 り立 つ(証 明 も

同 様).   定 理3.3  Gは 局 所 コン パ ク ト位 相 群 とし,G上 な連 続 関数 全 体 をC0(G)と 数 値 汎 関 数I(f)が   I(f)は

す る.C0(G)上

で 定 義 され 台 が コ ンパ ク ト

に次 の条 件(1)∼(4)を

存 在 す る.(正 確 に はI(f)≡0以

み たす 実

外 の ものが 存 在 す る).

線 型,す な わ ち

 (1)  I(af)=aI(f),∀a∈R1,  (2)  I(f+g)=I(f)+I(g).   I(f)は

正 値,す

  (3)  f(x)≧0

なわち

I(f)は

for ∀x∈G⇒I(f)≧0.

右 不 変,す

なわ ち

  (4)  I(f)=I(fy),∀y∈G,∀f∈C0(G),  

た だ し.fy(x)=f(xy)と

す る.

  この定 理 の証 明は 繁 雑 な の で,後

まわ しに し て §4で ゆ っ くりや る こ と に

し,ま ず は 定 理3.3が 正 しい と認 め た 上 で 得 られ る結 果 に つ い て 述 べ る.   定 理3.4  局 所 コ ンパ ク トか つ 可算 コン パ ク トな位 相 群Gの Bと す る.可 測 群(G,B)の

ベ ー ル集 合 族 を

上 に 右 不 変 測 度が(定 数倍 を 除 い て)一 意 的 に 存 在

す る.   定 理3.4でBの

か わ りに ボ レ ル集 合族Bを

考 えれ ば,(G,B)は

可測 群 とは

限 らな い.す な わ ち(x,y)→xyはB×BとBに

関 して は 可 測 と 限 ら な い.

しか しyを 一 つ 固 定 す る ご とにx→xyはB可

測 で あ り,xを

る ご とにy→xyはB可

測 で あ る.そ

一つ固定す

れ ゆえ 定 義2.2の よ うに して 右 不 変

ボ レル 測 度 は定 義 で き る.す な わ ち   (3.4)  と してRyμ

(Ryμ)(E)=μ(Ey)  を定 義 し,「 ∀y∈G;Ryμ=μ

∀E∈B 」 と言 う条 件 で ボ レ ル測 度 μの 右 不

変 性 を 定 義 で き る.   定 理3.4′  局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク トな 位 相 群Gの をBと

す る.(G,B)上

ボレル 集 合 族

に は 内 正 則 か つ 外 正 則 な 右 不 変 測 度 が(定 数 倍 を 除 い

て)一 意 的 に 存 在 す る.   定 理3.4お I(f)で

よ び3.4′ の 証 明   上 巻,定

定 理3.3の(1),(2),(3)を

理22.3に

よ る.C0(G)上

の 汎 関 数

み たす ものは

 (3.5)

の 関 係に よ り,(G,B)上 合Kに

の 内 正則 か つ外 正 則 な 測 度μ で任 意 のコ ンパ ク ト集

対 し μ(K)0に 対 し

り(4.12)が

  さ て 最 後 の 段 階 と し てJ(f)を

出 て 来 る. 構 成 し よ う.先

ず 次 の よ うな写 像 Φ を 定 義

す る.  (4.20)

そ して  (4.21)

と お く.明

ら か にU1⊂U2な

らH(U1⊂H(U2)で

あ る か ら,{H(U)}U∈uは

有 限 交 叉 性 を 有 す る(す な わ ち 任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 が 空 で な い).一 フ の 定 理 よ りΠ[0,‖f‖r(Car(f))]は

すなわち

方 チ コノ

積 位 相 に 関 し て コ ン パ ク トな の で

 (4.22)

と な る.こ

の と き 積 位 相 の 定 義 よ り,任

fm∈C0+(G)に

対 し,Vn⊂Uを

意 のU∈uと

任 意 有 限 個 のf1,f2,…,

み た す 列{Vn}を

適当に取 り

 (4.23)

と な る よ う に で き る.   こ のJ(f)がLemma J(f)≧0は

1の

明 ら か で あ る.ま

条 件(ⅰ)∼(ⅳ)を たJU(f)に

み た す こ と を 示 そ う.(ⅲ)の

つ い て の 性 質(ⅳ)′ か ら(ⅳ)が,

(ⅰ)′ か ら(ⅰ)が 出 て 来 る の は 当 然 で あ る.(ⅱ)に (4.23)に

つ い て は,(4.11),(4.12),

よ り

J(f)+J(g)≧J(f+g)≧J(f)+J(g)-ε が 任 意 の ε>0に

対 し て 成 り立 つ こ と と な り,よ

っ てJ(f+g)=J(f)+J(g)

と な っ て(ⅱ)が 成 り立 つ.   最 後 にf(x)=1

for x∈U0と

(4.9)よ りJU(f)≧1で 的 に0で

は な い.こ

あ る.し

す る と(こ の よ う なf∈C0+(G)は た が っ てJ(f)≧1と

う し てLemma

で は な い 汎 関 数J(f)が,C0+(G)の

1の

存 在 す る),

な り,汎

条 件(ⅰ)∼(ⅳ)を

関 数Jは

恒等

み た し て 恒 等 的 に0

上 に 作 れ た.

  §5 厚 い群   前 二 §でGが 族B上

局 所 コン パ ク トか つ可 算 コン パ ク ト位 相 群 の とき,ベ ー ル集 合

に 右 不 変 測 度 が,定

こ とか ら,Gの

数 倍 を 除 い て 一 意 的 に 存在 す る こ とを 見 た.こ

の

厚 い部 分 群 上 に も右 不 変 測 度 が 存 在 す る こ とが わ か る.詳 し く

は下 記 の通 り.   定 理5.1  (G,B)が

可測 群 の と き,Gの

部 分 群G0に

対 し て(G0,B∩G0)

は 可 測 群 で あ る.   証 明  x→x-1がB可 し た が っ てE′

測 と言 う こ と は,E∈B⇒E-1∈Bを

で あ っ て,G0上   次 に Φ:(x,y)→xyと ∈B×Bを

意 味す る.

∈B∩G0⇒∃E∈B, 

意 味 す る.よ

でx→x-1はB∩G0可

す る と,Φ がB可 ってE′=E∩G0,E∈Bで

測 で あ る.

測 と 言 う こ と はE∈B⇒ あ れ ば,Φ

Φ-1(E) のG0×G0上

へ の制

限 をΦ0と

し て,  と な る.し

(Y,B2)に

対 し,A⊂X,B⊂Yと

が 成 り立 つ.よ

か る に 一 般 に 可 測 空 間(X,B1),

し て 

っ て 

が 得 ら れ て,(G0,B∩G0)

は 可 測 群 で あ る こ とが証 明 で き た.    定 理5.2 

Gは

ー ル 集合族

G0=Buで

局 所 コ ン パ ク トか つ 可 算 コ ン パ ク ト位 相 群 と し,Bは

とす る .Gの

連 続 関 数 を,す

稠 密 な 部 分 群G0に

そのベ

定 義 され た 実 数 値 一 様 し て,B∩

あ る.

体 をCu(G)と

場 合 につ い て証 明 す る.G上

し,す べ て のf∈Cu(G)を

し よ う.明 らか にBu⊂Bで

  f∈C(G)と と 書 け る.こ

す る.Gは

って も し任 意 のf∈C(G)がBu

証 明 で きた こ とに な る. (Knは

可 算 コ ン パ ク トな の で 

こ で{Kn}は

単 調 増 加 と考 え て よ い.Gは

る か ら,∃ φn(x)∈C0(G),φn(x)=1 パ ク トな 連 続 関 数 全 体).こ

for x∈Knで

あ る.(C0(G)は

測 とわ か る.

稠 密 な 部 分 群 で あ る 場 合 を 考 え る.f∈Cu(G)の

の 制 限 をf0と

し てf0∈Cu(G0)で

あ り,R1の開

あ るか ら,B∩G0⊂Buが

対 し,G0はGで

稠 密 な の でf0は

っ て 再 びf0-1(O)=f-1(O)∩G0か

  定義5.1  位 相 群Gの

或 るf∈Cu(G)に らBu⊂B∩G0が

部 分 集 合Aが

集 合Oに

わ か る.逆

台が コン

あ り, 

測 な こ とか らfもBu可

=f-1(O)∩G0で

コ ン パ ク ト)

局 所 コ ン パ ク トで も あ

の と き φnf∈C0(G)⊂Cu(G)で

(各点 収 束)で あ るか ら,φnfがBu可   次 にG0がGの

の実 数 値 一 様 連 続 関 数 全

可 測 に す る最 小 の可算 加法 的 集 合族

あ る.よ

可 測 で あ る こ とが わ か れ ばBu=Bが

G0へ

対 し,G0で

べ て 可 測 に す る 最 小 の 可算 加 法 的 集 合 族 をBuと記

  証 明  まずG=G0の

をBuと

(証 明終)

と き,fの 対 しf0-1(O)

に 任 意 のf0∈Cu(G0)に 一 意 的 に 拡 張 さ れ る.よ わ か る. 

次 の 性 質 を もつ と き,Aは

(証 明 終)

全 有 界(ま た

は 先 コン パ ク ト)であ る と言 う.   「単 位 元 の任 意 の 近 傍Uに

対 し,AはUの

  Gの 単 位 元 が 全 有 界 な近 傍 を もつ とき,Gは

右 移 動 の有 限 合 併 で被 え る.」 局 所 全 有 界 で あ る と言 う.ま た

Gが 全 有 界集 合 の可 算 合 併 と し て 書け る とき,Gは

可 算 全 有界 で あ る と 言 う.

  明 らか に コン パ ク ト集 合 は全 有 界 で あ る.全 有 界 集 合 の 任 意 の 部 分 集 合 は 全

有 界 で あ る.が

完 備 群 の と きは 逆 に 全 有 界 閉 集 合 は す べ て コ ンパ ク トで あ る

(例 え ば ブル バ キ 数学 原 論 「位 相」 参 照).   定 理5.3  位 相 群Gが は,Gが

局 所 全 有 界 か つ 可 算 全 有 界 で あ るた め の 必要 十 分 条 件

局 所 コン パ ク トか つ 可 算 コン パ ク トな位 相 群Gの

稠 密 な部 分群 と同

型 に な る こ と(群 と して の 同 型 対 応 で 同 時 に 同 相 で もあ る写 像 の存 在 す る こ と) で あ る.   証 明  十 分 で あ る こと を示 そ う.GをGの 単 位 元 の近 傍Uに

対 し,U∩GはGの

を示 せ ば よい.「Gの あ る」.Gの ⊂Uを

稠 密 部 分 群 と同一 視 す る.Gの

単 位 元 の近 傍 で あ る.よ

コン パ ク ト集 合Kに

単 位 元 の任 意 の近 傍Uを

対 し,K∩GはGの

考 え る.Gの

み たす ものが あ り,ま たWW-1⊂Vと

ろ でKはWの

って 次 の こ と 全有界集合で

単 位 元 の 近 傍VでV∩G

な る近 傍Wが

存 在 す る.と こ

右 移 動 の 有 限 合 併 で 被 え る.

 (5.1)

GはGで る.よ

稠 密 だ か ら∃yk∈G;yk∈Wxkで

あ り,Wxk⊂WW-1yk⊂Vykと

な

って

が 得 られ て,K∩GはGで   逆 にGは

全 有 界 で あ る こ とが示 され た.

局 所全 有 界 か つ可 算全 有 界 とす る.Gの

なわ ち,Gは 算 のGへ

一 様 空 間 として はGの

完 備 化 群 をGと

一 様構 造 の完 備 化 で,群

す る.(す

演 算 はGの

の連 続 的 拡 張 で あ る.一 般 の位 相 群 ではx→x-1はGに

まで 連

続 的 に拡 張 で き る とは 限 ら な い(す な わ ち 完 備 化群 は作 れ な い)が,Gが 有 界 と仮 定 す る こ とに よ りx→x-1はGに バ キ 数学 原論 「位 相」 参 照).こ の 閉 包Aは

の と きGの

近 傍 に な るか らGは 位 元 の 近 傍Vを はU0の

もつ が,U0はGの

てGは

局所 全 有

み たすGの

単

右 移 動 の 可 算 合 併 で 被 え る こ とか ら,G

右 移 動 の 可 算 合併 で 被え る こ とが わか り,よ っ てGは

で あ る. 

対 し,AのGで

単位元の コンパク ト

局所 コン パ ク トで あ る.次 にV-1V⊂U0を

考 え る と,GがVの

局所全

まで 連続 的 に拡 張 で き る.(ブ ル 全 有 界 集 合Aに

全 有 界 閉 集 合,し たが って コ ンパ ク トに な る.さ

界 な の で 単 位 元 は全 有 界 な近 傍U0を

群演

可算 コンパク ト (証 明終)

 定 理5.1∼ 定 理5.3を 組 み 合 わ せ て,次 の結 果 を得 る.   定 理5.4  Gは 局 所 全 有 界 か つ 可 算全 有 界 な 位 相群 とす る.ま たBuはG上 の実 数値 一 様 連続 関 数 を す べ て 可 測 に す る最 小 の可 算 加 法 的 集 合族 とす る.こ の と き(G,Bu)は

可 測 群 で あ る.

  定 義5.2  位 相 群Gは 言 う.(1)Gは Gの

次 の性 質 を もつ と き,厚 い 群(thick

局 所 全 有 界 か つ 可 算 全 有 界 で あ って,(2)Gの

ベ ー ル集 合 族 をB,(G,B)上

group)で

あ ると

完 備 化 群 をG,

の ハ ー ル 測度 を μ と して,Gは

μに 関 し て

厚 い 集 合 で あ る.す な わ ち   (5.2) 

B∈B,B∩G=φ

⇒

  定 理5.5  Gが 厚 い 群 の と き,定 理5.4で

μ(B)=0. 述 べ た 可測 群(G,Bu)の

上 に,右

不 変 測 度 が 定 数 倍 を除 い て一 意 的 に存 在 す る.   これ をGの

右 ハ ー ル測 度 と言 う.

  証 明   一 意 性 は §2で 証 明ず み で あ る.存 在 を言 うた め に,(G,B)上 のハ ー ル測 度 μ のGへ の跡ν が 求 め る も の で あ る こ とを示 そ う.す な わ ちE∈Bu =B∩Gに

対 して

 (5.3) ν(E)=μ(B),E=B∩G,B∈B

とお く.Gは

μに 関 し て厚 い集 合 な の で,Bの

選 び方 に よ らず(5.3)の

右辺の

値 は 定 ま る.そ し て μが 準 有 界 な こ とか ら νも準有 界 で あ る.な ぜ な ら

と す れ ば,En=Bn∩Gと

が 得 ら れ る.ま

して

たν は 次 に 示 す よ う に 右 不 変 で あ る.E=B∩Gの

と し てEy=(B∩G)y=By∩Gだ

と き,y∈G

か ら ν(Ey)=μ(By)=μ(B)=ν(E).

これ でν が 求 め る性 質 を み たす こ とが わ か った.    し か し 厚 い 群 で あ る こ とは,右   例1 

Qは

とす る.も 致 し,R1の

不 変 測 度 の 存 在 の た め に 必 要 条 件 で は な い.

有 理 数 全 体 の 加 法 群,そ ち ろ んQ=R1で

(証 明終)

の 位 相 は 数 直 線R1の

あ り,R1で

位 相 のQへ

の制限

は ベ ー ル集 合 族 は ボ レ ル集 合 族 と一

ハ ー ル 測 度 は 普 通 の ル ベ ー グ測 度 で あ る.そ

し てQの

ル ベ ー グ測

度 は0だ か らQは

厚 い群 では な い.一 方BuはQの

すべての部分集合 か ら 成

り,そ の上 に は 明 らか に不 変測 度 が 存 在 す る(各 点 の測 度 を1と す る).   しか しQに

離 散位 相 を 課 した とき,対 応 す るBu′ は上 のBuと

一 致 し,Qは

離 散位 相 に 関 して局 所 コン パ ク トか つ 可 算 コン パ ク トで あ る.だ か ら位 相 の選 び方 が 適 切 で なか った だけ で,(Q,Bu)上

に 不 変 測 度 が 存 在 す る こ とは ハ ー ル

測 度 の理 論 内 の こ とで あ る.   例2  Tは 一 次 元 トー ラ ス(円 周群 と も言 う.T=R1/Z,Zは 法 群)と す る.Tは

コンパ ク ト群 で あ る.Tの

の積 位 相 を 課 せ ば,Gは

整数全体の加

非 可 算 直 積Gを

コンパ ク ト群 に な る.Gの

考 え,GにT

ベ ー ル集 合族Bは,Tの

ベ ー ル集 合 族(ボ レ ル集 合 族 と一 致)の 直 積 で あ る(上 巻,定 理11 .2の(2)).そ し てTの

ハ ー ル測 度 は 円 周 上 の 一 様 測度 で あ り,こ れ の 直 積 測度 がGの

ハー

ル測 度 とな る.   さて 次 の よ うな部 分 群G0を

考 え る. とな る λ∈Λ は 高 々可 算個

 (5.4) 

G0はGの

稠 密 な 部 分 群 で あ る が,さ

す る と,Bは B=φ のG0へ

ら に 厚 い 群 で も あ る.な

可 算 個 の 座 標 だ け で 定 ま り,し

で な くて は な ら ず,よ の 跡 は,G0の

っ てG0は

た が っ てB∈B,G0∩B=φ

厚 い 群 で あ る.そ

ハ ー ル 測 度 に な る.こ

ぜ な らB∈Bと

こ でGの

なら ハ ー ル測 度

れ が 局 所 コ ン パ ク トで な い 群 の ハ

ー ル測 度 の 一 例 で あ る .

  定 義5.3  Gは 局 所全 有 界 か つ 可算 全 有 界 な 位 相群 と し,定 理5.4で 可測 群(G,Bu)を

考 え る.Bu上

の測 度 μは,次

∀B∈Bu,Bが

全有 界

述 べた

の性 質 を み た す と き局所 有 限

で あ る と言 う.  (5.5) 

⇒ μ(B)0な

の 右 不 変 測 度 に な る.

ら μ(E)>0よ

っ て 

で あ る.し

た が っ て 定 理5.6よ

りGは

厚 い 群 で な くて は な ら な い.

  定 理 の 証 明  Gが

厚 い 群 で あ る こ と が 証 明 で き さ え す れ ば,(G,Bu)上

不 変 測 度 の 一 意 性 に よ り,定 ば な ら な い.よ

っ てGが

  (G,Bu)上 G,Gの

理5.6の

μ はGの

の右

右 ハ ー ル測 度 と一 致 し な け れ

厚 い 群 で あ る こ と の 証 明 さ え す れ ば よ い.

に 局 所 有 限 な 右 不 変 測 度 μ が 存 在 し た とす る.Gの

ベ ー ル 集 合 族 をBと

し て,B∈Bに

完 備 化群 を

対 し

  (5.8) μ(B)=μ(B∩G) と し て 測 度μ を 定 義 す る.Gは明 っ て あ とはμ がGの

らか に 測 度μ に 関 し て 厚 い 集 合 で あ る.よ

ハ ー ル 測 度 で あ る こ と を 示 せ ば よい.

  ま ずμ は 準 有 界 で あ る.な

ぜ な ら μは 準 有 界 な の で

 (5.9)

で あ る が,μ お

の 定 義(5.8)よ

く とGは{Bn}n=0,1,2,…

=0を

得 る.こ

りμ(Bn)=μ(En)0,∃O(開  (5.11)

集 合)∈B,∃K(コ

K⊂B⊂O,μ(B-K)0で

あ る.

  証 明   Φ:(x,y)→xy-1,p1:(x,y)→xと

  §2で 証 明 し た(定 理2.1の

任 意 で あ る. 

あ る.

お くと

証 明 の 中)よ う に μ(E′)>0か

ら μ(E′-1)>0が

出 て 来 るの で

した が って 定 理 の 結 論 を得る. 

  Lemma

3  可 測 群(G,B)上

(証 明終)

の 看 不 変 測 度 μ に 対 し,(6.2)で

定 ま るUE,ε

の 有 限 個 の 共 通 部 分 は 測 度 正 で あ る.言

い か え れ ば,ヴ

ェー ユ 位 相 に 関 す るe

の 基 本 近 傍 系 で 測 度 正 の 集 合 ば か りか ら成 る も の が あ る.   証 明   E1,E2,…,En∈U,ε1,ε2,…,εn>0と 記 す.Lemma   Lemma

1に 2を

よ り μ(Uk)>0は

し,簡

単 の た めUEk,εkをUkと

示 さ れ て い る.

繰 り返 し 適 用 す る こ と に よ り

ただ し

 (6.8) 

い ま 

と な るx0を

し てxk∈Ukx0が

一 つ 固 定 す る.こ

の と きUk=Uk-1を

得 られ る か ら,Ukxk⊂Uk2x0,し

とUk2⊂Vkで

あ るか ら,Ukxk⊂Vkx0を

も考慮

か る にVk=UEk,2εkと

得 る.よ

っ て(6.8)よ

ε1,ε2,…,εnは 任 意 に 選 べ る の で,2ε1,2ε2,…,2εnも

お く

り

任 意 と な り,よっ

は 証 明 さ れ た. 

て定理

(証 明 終)

  このLemmaを

用 い て,Gは

ヴ ェー ユ 位相 に 関 して 局 所全 有 界 か つ 可 算 全

有 界 で あ る こ とを 導 こ う.   まず μ は準 有 界 な の で,

と書 け る.{En}は

と な り,こ きLemma

の こ と か らE∈Uか 1よ

  こ のUE,ε

単 調 増 加 に選 ん で お くと

り,ε